Filozofski vestnik Letnik/Volume XXI • Številka/Number 1 • 2000 • 157-176 NARAVA ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Filozofski vidiki Descartesovega dela v algebri * STEPHEN GAUKROGER Nihče ni k zgodnjemu razvoju algebre prispeval toliko kot Descartes. Bil je sposoben v veliki meri povezati aritmetiko in geometrijo, s tem, da je pokazal na njune medsebojne povezave v izrazih algebraičnega zapisa. To je bil dose- žek, k i j e zasenčil njegovo drugo znanstveno delo in Descartes je bil prepri- čan, da bi lahko algebra služila kot model za njegova druga prizadevanja. Zvezo med algebro in drugim znanstvenim delom je Descartes raziskoval, ob upoštevanju vprašanja metode, v svojem prvem objavljenem delu Razprava o metodi kako pravilno voditi razum ter v znanostih iskati resnico, skupaj z optiko, me- teorologijo in geometrijo, ki so zgledi v tej metodi (1637). Kar se nam tu otipljivo ponuja, j e splošna razprava o metodi, kateri so pripeti trije zgledi metode. Gre za tri zelo uspešne zglede, kajti pri vsakem od njih n a m j e zagotovljen vsaj en temeljni rezultat: sinusni lomni zakon v Optiki, izračun in eksperimentalna potrditev kotov mavričnih lokov v Meteorologiji in rešitev Pappusovega proble- ma lege za štiri ali več premic v Geometriji. Vendar pa bi naredili resno napako, če bi v Geometriji videli zgolj ponazoritev metode. Descartes uspešno obravna- va algebraični pristop, ki ga j e razvil v Geometriji, predvsem kot izhodišče pra- vilne metode in ne zgolj kot njeno ponazoritev. Poleg tega metodološki vidiki algebre na noben način ne izčrpajo zanimanja zanjo, in čeprav se jih bom dotaknil, bo žarišče te obravnave ležalo drugje. Tri osnovne teme, s katerimi se nameravam ukvarjati, so: kaj Descarteso- vo delo v algebri dejansko pomeni, v čem je njegova izvirnost, in kako je mo- goča aplikacija algebre na fizični svet. Toda v osnovi teh tem leži globlji prob- * Copyright © 1992 Cambridge University Press. Tiskano z dovoljenjem avtorja in založbe. Pre- vedeno po: Stephen Gaukroger, »The nature of abstract reasoning: philosophical aspects of Descartes' work in algebra«, v: The Cambridge Companion to Descartes, ur. John Cotting- ham, Cambridge University Press, Cambridge 1992, str. 91-114. Avtor Citira Descartesa po izdaji, ki s ta jo uredila Adam in Tannery (AT). Kjer za navedeno mesto obstaja sloven- ski prevod, smo na to opozorili v opombi; ostale citate iz omenjene izdaje je iz latinščine prevedel Matjaž Vesel, iz francoščine pa V. Likar. S T E P H E N G A U K R O G E R lern, namreč vprašanje abstraktne narave algebre. Ena izmed tem, kij ih bom poskušal razjasniti, j e vprašanje, v čem j e za Descartesa bistvo te abstraktnosti. I. Narava Descartesove algebre Algebra, aritmetika in geometrija Grki so geometrijske probleme razvrstili na bodisi ravninske, na proble- me prostorskih teles ali na linearne, glede na to, ali njihova rešitev zahteva premice in krožnice, stožernice oz. bolj kompleksne krivulje. Evklid seje omejil na dva postulata: d a j e mogoče povleči premico skozi poljubni točki, in d a j e mogoče načrtati krožnico, ki ima za središče poljubno točko ter gre skozi drugo poljubno dano točko. Vendar je obseg problemov, ki j ih j e mogoče rešiti zgolj na osnovi teh dveh postulatov zelo omejen in poznejši matematiki so dodali treyi postulat; namreč, da lahko dani stožec seka dana ravnina. Geo- metrija stožernic, k i je temu sledila, j e bila v antiki pojmovana kot težko ra- zumljiva veja matematike z malo praktičnega pomena. Aristotel j e prepričlji- vo pokazal, da je naravno gibanje teles bodisi premočrtno (v primeru zemelj- skih teles) bodisi krožno (v primeru nebesnih teles) ; tako j e s fizikalnega sta- lišča sledilo, da lahko shajamo brez kompleksnejših krivulj: te očitno nimajo temelja v naravi in so zanimive zgolj s stališča matematike. Vendar je do se- demnajstega stoletja potreba po obravnavi krivulj mimo premice in kroga postala neodložljiva. Parabolo, pot, kij i sledi projektil, so preučevali v balisti- ki, astronomi pa so se zelo dobro zavedali dejstva, da planeti in kometi opisu- jejo eliptične, parabolične in hiperbolične poti. V optiki, k i je bila ena izmed najbolj intenzivno proučevanih področij v naravoslovju sedemnajstega stolet- ja, je bilo potrebno pri konstrukciji leč in ogledal vsaj poznavanje stožernic. Delo aleksandrijskih matematikov na stožernicah j e bilo nezadovoljivo in mno- gi njihovi rezultati so bili prej kot ne posledica iznajdljivosti - prej obrobne rešitve problemov kot posledica uporabe kakega splošnega postopka. Natanko takšen splošen postopekje Descartes razvil in uporabil v Geome- triji, razpravi, kije imela revolucionarne posledice za razvoj matematike. Geo- metrija obsega tri knjige: prva obravnava »probleme, ki jih je mogoče kon- struirati zgolj z uporabo krožnic in premic«, druga se ukvarja z »naravo kri- vulj« in tretja s konstrukcijo problemov prostorskih in hiperprostorskih [su- persolid] teles. Kar zadeva temelje algebre je prva knjiga najpomembnejša, in posledično se bom osredotočil prav na njo.1 1 Za popolni pregled Geometrije glej J. F. Scott, The Scientific Work of René Descartes, Taylor & Francis, London 1952, poglavja 6-9. 1 5 8 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Ob naslovu, ki namiguje, da zadeva le tiste probleme, ki pri svoji kon- strukciji uporabljajo premice in krivulje, bi bilo mogoče pričakovati, da bo prva knjiga vsebovala tradicionalno snov, medtem ko bosta drugi dve vsebo- vali novejšo. Navsezadnje j e Evklid podal dokaj izčrpno obravnavo proble- mov, kijih j e mogoče konstruirati samo z uporabo premice in krožnice. Toda dejansko je namen prve knjige predvsem prikazati nova algebraična sredstva pri reševanju geometrijskih problemov z uporabo aritmetičnih postopkov, in obratno. Z drugimi besedami, cilj je pokazati, kako lahko, če o njih razmišljamo v algebraičnih izrazih, kombiniramo sredstva obeh področij. Geometrija se prične z neposredno primerjavo med aritmetiko in geome- trijo (AT VI 369). Tako kot so v aritmetiki operacije, kijih uporabljamo, sešte- vanje, odštevanje, množenje, deljenje in iskanje korenov, tako lahko tudi v geometriji vsak problem zvedemo na takega, ki ne zahteva nič drugega kot poznavanje dolžin daljic, ter ga v tej obliki lahko rešimo zgolj z uporabo petih aritmetičnih operacij. Descartes potemtakem uvaja aritmetične izraze nepo- sredno v geometrijo. Moženje j e npr. operacija, ki jo je mogoče izvesti zgolj z uporabo premic (se pravi zgolj z uporabo ravnila): Vzemimo na primer, da j e AB enota, in daje treba pomnožiti BD z BC; ni mi treba drugega, kakor da povežem točki A in C in nato povlečem vzporednico DE s CA in BE je produkt tega množenja. (AT VI 370) Če po drugi strani želimo poiskati kvadratni koren, potrebujemo premi- ce in krožnice (torej ravnilo in šestilo): Če pa je treba poiskati kvadratni koren od GH, mu dodam v premi črti FG, kije enota in razdelim FH na dva enaka dela v točki K, iz središča K povlečem krog FIH; potem iz točke G povlečem premo črto do I pravo- kotno na FH, in GI je iskani koren. (AT VI 370-1) 1 5 9 S T E P H E N G A U K R O G E R Vredno j e omeniti, da se v primeru, ko j e FG poljubno izbrana enota, dolžina GI prav lahko izkaže za iracionalno: to za geometrijsko konstrukcijo ni rele- vantno. Descartes nadalje pokaže, da nam dejansko ni treba risati črt, temveč j ih lahko označimo s črkami. Svetuje nam, naj na ta način označimo vse daljice, tako tiste, katerih dolžino želimo določiti, kakor tudi tiste, katerih dolžina j e znana, in zatem nadalje, kot da smo problem že rešili, povezujemo daljice med seboj tako, d a j e mogoče vsako količino izraziti na dva načina. S tem j e določena enačba in cilj je poiskati takšno enačbo za vsako neznano daljico. V primerih, ko to ni mogoče, poljubno izberemo daljice z znanimi dolžinami, za vsako neznano daljico, za katero nimamo enačbe, in: če obstaja še vedno več enačb, jih je treba uporabiti vsako zapored, bo- disi dajih vzamemo posamič ali daj ih primerjamo z drugimi, da bi ugo- tovili vsako od neznanih daljic, in tako z razmotavanjem povzročili, da bi ostala le ena sama, enaka kakšni drugi znani daljici, katere kvadrat, ali kub, ali kavadrat kvadrata, ali peta ali šesta potenca itd. bi bili enaki seštevku ali razliki dveh ali ali več količin, od katerih bi bila ena znana, druge pa sestavljene iz sorazmerij med enoto in tem kvadratom, ali ku- bom, ali kvadratom kvadrata itd., pomnoženimi z drugimi znanini dalji- cami. To lahko zapišem na tak način: z = b ali z2 = -az + b2 ali z3 = az2 + b2z - c3 ali z4 = az3 - c?z + d4 itd. Se pravi, da je z, ki gajemljem za neznano količino, enak b\ ali kvadrat od zje enak kvadratu od b minus a pomnoženo z z ... In tako je vedno mogoče zvesti vse neznane količine na eno samo, kadar se da problem konstruirati s krogi in premimi črtami, ali s koničnimi sekcijami, ali celo s kakšnimi drugimi črtami, ki so zgolj za stopnjo ali dve bolj sestavljeni. (AT VI 373-4) To je neobičajen pristop k problemu. Algebraične enačbe z dvema nez- nankama F(x, y) - 0, so bile tradicionalno pojmovane kot nedoločene, ker iz takšne enačbe ni bilo mogoče določiti obeh neznank. Kar j e bilo mogoče narediti, j e bila zamenjava poljubno izbranih vrednosti za x in nato reševanje enačbe za y pri vsaki od teh vrednosti, kar pa na noben način ni moglo veljati za splošno rešitev enačbe. Toda Descartesov pristop omogoča preoblikovanje tega postopka v splošno rešitev. Kar mu uspe narediti, j e to, da vzame x za absciso točke in ustrezen y za njeno ordinato ter omogoči spreminjanje nez- nanega x-a tako, da vsaki vrednosti x-a ustreza vrednost y-a, ki j o j e mogoče 1 6 0 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA izračunati iz enačbe. Na ta način končamo z množico točk, ki oblikujejo po- polnoma določeno krivuljo, ki zadovoljuje enačbo. Zgled: Descartesova obravnava Pappusovega problema lege2 Ta postopek ponazarja Descartesova rešitev enega izmed velikih nereše- nih matematičnih problemov, ki j ih je zapustila antika, Pappusovega proble- ma lege za štiri ali več daljic. Za kaj pri tem pravzaprav gre. V primeru proble- ma za tri daljice, so podane tri daljice in njihove lege, naloga pa je poiskati lego točk, iz katerih j e mogoče načrtati tri nove daljice k prej podanim dalji- cam tako, da vsaka nova daljica z dano daljico tvori dani kot, pri čemer je produkt dolžin dveh daljic konstantno sorazmeren s kvadratom tretje. Pri Pappusovem problemu za štiri daljice so podane štiri daljice in njihove lege, poiskati pa moramo lego točk, iz katerih lahko k danim daljicam načrtamo štiri nove daljice tako, d a j e produkt dolžin dveh načrtanih daljic v konstant- nem sorazmerju s produktom preostalih dveh. V antiki j e bilo znano, d a j e lega v vsakem primeru stožernica, ki gre skozi presečišča daljic, vendar ni bil razvit noben splošen postopek za rešitev dane- ga problema. Descartesova obravnava naloge je algebraična in popolnoma splošna, omogoča nam, da izrazimo odnose med daljicami z uporabo zgolj dveh spremenljivk. Njegov pristop je v tem, da pokaže, kako j e mogoče prob- lem, eksplicitno rešen za primer štirih daljic, vendar na način, ki ga j e teore- tično mogoče posplošiti na n daljic, zvesti na problem, pri katerem je vse, kar moramo vedeti, le dolžine določenih daljic. Te daljice so koodinatne osi, dol- žine pa nam podajajo abscise in ordinate točk. Problem štirih daljic je prika- zan na naslednji način (AT VI 382-7): 1 6 1 S T E P H E N G A U K R O G E R Na sliki so polno prikazane tiste daljice, ki so podane in črtkano tiste, ki jih iščemo. Descartes vzame AB in BC za osnovni daljici ter nadaljuje tako, da vse ostale z njima postavi v odnos. Njuni dolžini sta x ter y in AB v resnici predstavlja »-os, BC pa ;y-os; moment, k i j e v Descartesovem diagramu zastrt ob dejstvu, da AB in BC nista prikazani pravokotno druga na drugo (ker bi to zakrilo razmerja). Zdaj so koti trikotnika ABR dani, tako d a j e razmerje AB:BR znano. Če to razmerje pišemo kot f, potem velja BR = in CR = y + ^ (kjer točka B leži med C in R). Koti trikotnika DRC so prav tako znani, in če raz- merje CR:CD označimo z f, velja CR = y + in CD = ^ + . Nadalje, ker so lege AB, AD in EF določene, je k, kot dolžina AE, s tem podana; torej EB = k + x (kjer A leži med E in B). Koti trikotnika ESB so prav tako dani, s tem pa j e dano tudi razmeije BE:BS. Če zaznamujemo to razmerje z -jr, dobimo BS = dk^x i n c s = zy+dk+dx ( B l e ž . m e d s i n c ) K o t i t r i k o t n i k a p s e so dani, zato poznamo razmerje CS:CF. Če ga zapišemo kot j , dobimo CF = +c'tk+de.\ ^ ^ l označuje dano dolžino AB, velja BG = l - r, če znano vrednost razmerja BG.BT v trikotniku BGT označimo z - j , potem BT = J1 / x in CT = —-, in če razmerje CT:CH v trikotniku TCH pišemo kot i , velja CH = Ne glede na to, koliko daljic z dano lego imamo, je mogoče dolžino dalji- ce, ki poteka skozi točko C in oklepa s temi daljicami dane kote, vedno izraziti s tremi izrazi oblike ax+ by+ c. Za tri izmed štirih podanih daljic j e dobljena enačba kvadratna enačba, kar pomeni, da lahko za vsako znano vrednost y-a, vrednosti x-a določimo zgolj z uporabo ravnila ter šestila; dovolj veliko število vrednosti nam omogoča slediti krivulji, na kateri mora ležati točka C. Za prob- lem s petimi ali šestimi daljicami j e enačba kubična, pri sedmih ali osmih daljicah j e enačba četrtega reda, z devetimi ali desetimi petega in tako naprej; red enačbe se poveča za ena z vsakima dvema novima daljicama. Descartesov napredek onstran meja stare matematike TL rešitvijo Pappusovega problema je Descartes rešil enega izmed najtež- jih problemov, ki j ih je zapustila stara matematika, in rešil g a j e na preprost, eleganten način, z možnosjo posplošitve. S tem j e razvil tehniko, ki precej presega tiste, ki so se uporabljale v antiki. V drugi knjigi Geometrije Descartes nadaljuje obravnavo Pappusovega prob- lema lege za tri ali štiri daljice s tem, da razločuje krivulje, ki ustrezajo enač- bam drugega reda, namreč elipso, hiperbolo in parabolo. Ta obravnava j e precej izčrpna, vendar Descartes upošteva le zelo malo primerov, ki ustrezajo kubičnim enačbam, zatrjujoč (nekoliko optimistično, kot se je pokazalo)3 da njegova metoda kaže, kako naj bi le-te obravnavali. Njegova splošna razvrsti- 1 6 2 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA tev krivulj in zlasti opustitev transcendentnih krivulj je izzvala veliko razprav,4 vendar nas tu ne bo zanimala. Kljub temu j e nemara vredno omeniti, d a j e Descartesova metoda načrtovanja tangente na krivuljo dobila nov pomen z raz- vojem [diferencialnega] računa (h kateremu sam ni neposredno prispeval), saj predstavlja ekvivalent k iskanju nagiba krivulje v vsaki točki, kar je oblika odva- janja. Končno Descartes v tretji knjigi obravnava probleme prostorskih in hi- perprostorskih teles. To predstavlja pomemben napredek v primerjavi z alek- sandrijskimi matematiki, ki so le z odporom priznavali uporabo krivulj, ki niso bile premice ali krožnice, kategorije problemov prostorskih teles pa niso nikoli sistematično premislili. Tukaj Descartes razširja svojo algebraično analizo daleč prek interesov antičnih matematikov. Najbolj osupljiva značilnost njegovega pris topaje v tem, d a j e za ohranitev splošnosti svoje strukturalne analize enač- be pripravljen dopustiti ne le negativne korene, temveč tudi imaginarne ko- rene, kljub sicer intuiciji popolnoma nasprotujoči naravi le-teh. Da bi lahko zapopadli, kako radikalno je to, kar počne, moramo najprej povedati nekaj več o naravi algebre in Descartesovem mestu v njenem razvoju. II. Izvirnost Descartesovega pristopa Geometrijska algebra Značilna poteza algebreje njena abstraktnost. Obsega matematične struk- ture, definirane v popolnoma operativnih in relacijskih izrazih, brez vsake omejitve glede na lastnosti operandov. Natančno rečeno, nima nikakršne last- ne vsebine, temveč pridobi vsebino le skozi interpretacijo. Tako razmišljamo o algebri danes, vendar ni bila vedno pojmovana na tako abstrakten način; razlikujemo lahko dve ključni stopnji v njenem razvoju: osvobajanje števila od prostorske intuicije ter osvoboditev same algebre od izključno numerične in- terpretacije. K razvoju prve j e v veliki meri prispeval Descartes. Vendar pa izvirnost Descartesovega algebraičnega pristopa ni vedno cenjena. Se skoraj do nedavnega j e veljalo, da so Grki obvladali »geometrijsko algebro«, to je postopek ukvarjanja s pristno algebraičnimi problemi, k i j e zaradi krize, na- stale s pitagorejskim odkr i tem linearne inkomenzurabilnosti, rezultirala v geometrijski formulaciji in razrešitvi teh problemov. Dokazovalo seje, d a j e bila ta geometrijska algebra pozneje ponovno odkrita, v delih Descartesa in 3 Glej Grosholz, »Descartes' Unification of Algebra and Geometry«, v: S. Gaukroger (ur.), Descartes, Philosophy, Mathematics, and Physics, Harvester, Sussex 1980, str. 156-168. 4 Glej predvsem J. Vuillemin, Mathématiques et métaphysique chez Descartes, PUF, Pariz 1960,21987. 1 6 3 S T E P H E N G A U K R O G E R drugih j e izgubila svoj geometrijskijezik in tako postala bolj splošna. Sporno je, ali lahko geometrijske formulacije in rešitve določenih vrst matematičnih problemov pri Grkih tolmačimo kot algebro v geometrijski preobleki. Ni mo- goče zanikati, d a j e npr. pri Evklidu mnogo matematičnih izjav, za katere zlahka najdemo ekvivalentne algebraične rezultate. Se več, mnogim izjavam iz druge knjige Evklidovih Elementov j e mogoče poiskati zelo neposredno al- gebraično interpretacijo, medtem ko so bile vedno opazne težave z njihovo čisto geometrijsko interpretacijo. Videti j e navsezadnje, kakor d a j e bila geo- metrijska algebra natanko tisto, kar je predstavljalo odgovor na krizo v mate- matiki, sproženo z odkritjem linearne inkomenzurabilnosti, z odkritjem, ki mu razpoložljivi aritmetični postopki niso bili kos. Dvomi v takšno vrsto interpretacij so dejansko obstajali vse od tridesetih let dvajsetega stoletja, toda šele pred nedavnim s e j e začelo v splošnem priz- navati, d a j e nekaj narobe s pogledom geometrijske algebre. Jacob Klein j e npr. v svojem pionirskem delu o zgodnjem razvoju algebre pokazal, da so bile potrebne zelo radikalne spremembe v konceptu števila, predno je algebra postala možna, ter da te niso bile realizirane vse do Vietajevega dela ob koncu šestnajstega stoletja.5 Drugič je zdaj očitno, d a j e bila pitagorejska geometrija ploskev, kije bila sicer daleč od tega, da bi bila geometrijska algebra, posveče- na reševanju problema inkomenzurabilnosti, v resnici namenjena ukinitvi tega, kar je veljalo za nerešljiv problem.(l Tretjič imajo vse izjave iz Evklidovih Ele- mentov v resnici geometrijske interpretacije7 in v številnih primerih j ih njiho- va algebraična predstavitev preprosto trivializira.8 Verjamem, d a j e sklep, ki ga moramo iz tega izpeljati, da preprosto ni nobenih dokazov, ki bi podpirali tradicionalno trditev, da so grški matematiki operirali s kakršno koli pristno algebraično idejo, zavestno ali kako drugače. Vendar reči, da Grki niso operirali z geometrijsko algebro, ne pomeni, da geometrija ni igrala pomembne vloge v grški aritmetiki. Dejansko je igrala zelo pomembno vlogo, toda vlogo prav nasprotno tradicionalni interpretaci- ji, ker je prej zmanjšala kot pa povečala abstraktnost aritmetike. Razumevanje te vloge je pomembno, če naj popolnoma ovrednotimo izvirnost Descarteso- ve algebre; njegov pristop je smiselno primerjati z zelo vplivno obravnavo šte- vila, ki j o j e ponudil Aristotel v svoji Metafiziki? 5 J. Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, MIT Press, Cambridge, Mass. 1968. G A. Szabo, The Beginnings of Greek Mathematics, Reidel, Dordrecht 1978, predvsem dodatek. 7 Glej predvsem razpravo o petem izreku iz druge knjige Elementov, ibid., str. 332-353. 8 S. Unguru, »On the need to rewrite the history of Greek mathematics«, v: Archive for History ofExactScirencesXV (1975-6), str. 67-114. 9 Kar sledi, je izpeljano iz S. Gaukroger, »Aristotle on intelligible matter«, v: Phronesis XXV (1980), str. 187-97, kjer je mogoče najti veliko popolnejšo obravnavo. 1 6 4 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Aristotelovo pojmovanje: število, materija in prostor Za Aristotela so matematični predmeti materialni, in to njihovo materijo imenuje »noetična materija«. Matematika je za Aristotela odlikovana z dejs- tvom, da se njeni predmeti ne spreminjajo in nimajo neodvisne eksistence. Ti predmeti so noetični, v nasprotju s čutnimi, do njih pa pridemo skozi abstra- hiranje od »čutnih« števil in oblik, se pravi števil in oblik čutnih predmetov. Čutne predmete tvori čutna materija, Aristotel pa meni, da morajo biti mate- matični predmeti narejeni iz noetične materije. Ta nauk privzema, ker verja- me, da so števila ter oblike lastnosti, in da morajo biti lastnosti vedno nečemu vpisane. Čutna števila in oblike so uprimerjene v čutni materiji, toda noetična števila in oblike to ne morejo biti, ker so zgolj predmeti mišljenja; kljub temu, ker so lastnosti, morajo biti v nečem uprimerjene in tako Aristotel odkrije novo obliko čisto abstraktne materije, v kateri so uprimerjena števila in oblike. Aristotel v primeru geometrije uporablja dve različni vrsti abstrakcije. Prva vključuje neupoštevanje materije čutnih predmetov, tako da nam ostanejo le lastnosti kot »biti trikoten« in »biti okrogel«. Geometrija raziskuje »biti okro- gel« v zelo splošnih izrazih kot obliko česarkoli, kar je, najbolj splošno reče- no, okroglo. In karkoli je, najbolj splošno rečeno, okroglo, je nekaj, do česar pr idemo s komplementarnim načinom abstrakcije, pri kateri prezremo last- nosti čutnih objektov, tako da postane predmet raziskave tisto, kar ima te lastnosti. Tako nam preostane podlaga nedoločene razsežnosti [¿determina- te extension], določen zgolj v izrazih prostorskih dimenzij: dolžine, širine in globine. To abstrakcijo j e mogoče peljati naprej, s čimer dobimo ravnine ter nazadnje premice in točke, pri čemer ima vsaka od teh podlag različno di- menzijo. Te podlage ne morejo niti biti čutne, ker so bile oropane lastnosti, ki bi j ih prikazale kot čutne, niti ne morejo imeti neodvisne eksistence, saj so samo abstrakcije in so to, kar Aristotel imenuje noetična materija.. Aristotel pravzaprav isto trdi o številih, kar pa je bolj problematično. Geo- metrijsko noetično materijo si lahko predstavljamo kot prostore z eno, dvema ali tremi dimenzijami, toda kako naj si predstavljamo noetično materijo števi- la? Odgovor je: na približno enak način - pod pogojem da upoštevamo, da v grški matematiki, za razliko od geometrije, ki operiraš premicami, aritmetika operira z njihovimi dolžinami* (ali površinami oz. prostorninami). Razlika je izjemnega pomena, česar s e j e Aristotel dobro zavedal. Dolžino daljice, do- kler j e le-ta določene dolžine, j e mogoče razumeti kot potencialno deljivo v diskontinuirane dele, se pravi, v določeno mnoštvo enotskih dolžin. Šele z * Izraz za premico z določeno dolžino (na obeh straneh omejeno premico) je v sloven- skem jeziku daljica, medtem ko se v angleščini za oboje uporablja line oz. straight line. (Op. prev.) 1 6 5 S T E P H E N G A U K R O G E R obravnavanjem npr. dolžine stopala kot nedeljive dolžine, lahko to dolžino obravnavamo kot enotsko, kot mero drugih dolžin (primerjaj prvo knjigo Ari- stotelove Metafizike). In v tem primeru dolžina daljice postane dejansko isto kot število, ki ga Aristotel definira kot mnoštvo merjeno z enoto oz. »enim«. Osrednja razlika med aritmetiko in geometrijo leži v dejstvu, da se prva ukvar- ja z diskontinuiranimi, druga pa z kontinuiranimi velikostmi. Premica razum- ljena preprosto kot premica vstopi v sfero geometrije zato, ker j e neskončno deljiva in ima potemtakem kontinuirano velikost, toda razumljena kot enot- ska dolžina ali vsota enotskih dolžin vstopa na področje aritmetike. V izrazih te razlike lahko jasno vidimo kaj pomeni aritmetika v Aristotelo- vem pojmovanju: je metrična geometrija. Čeprav nikoli eksplicitno ne ome- nja metrične geometrije, njegova aritmetična terminologija - linearna, plo- skovna in prostorska števila, merjena števila, faktorji, ki merijo produkte pri mno- ženju - konsistentno nakazuje, da gre za pojmovanje aritmetike, ki mu je bilo samoumevno. Metrična geometrija j e v resnici bistveno aritmetična discipli- na, skupna vsem starim matematikom od starobabilonskega obdobja do alek- sandrijcev.10 V pričujočem kontekstu njen pomen leži v dejstvu, da se kljub ukvarjanju s premicami, ravninami itn., ukvarja z njimi ne qua premicami in ravninami, temveč qua enotskimi dolžinami in enotskimi površinami oz. vso- tami ali produkti takšnih enotskih dolžin in površin. Aristotel v svojih delih vseskozi govori o številih v eni dimenziji, ravninskih številih in prostorskih številih ter nikoli ne vpelje ideje geometrične predstave števil. Dejansko tudi noben grški ali aleksandrijski avtor ne govori o številih, predstavljenih geo- metrijsko. Poučno na tem mestu je, da so aritmetične izjave v Evklidovih Ele- mentih, ki sestavljajo knjige od VII do IX, eksplicitno izražene v terminih dol- žin daljic, kot da bi števila bila dolžine daljic. In natančno to tudi so. Aristotel ni bil v matematiki nikoli inovator. Ni nameraval razviti nove oblike matematike, temveč zagotoviti pravo filozofsko osnovo za matematiko njegovega časa. To, čemur zagotavlja osnovo v primeru aritmetike, ni oblika aritmetike, kije zaradi svoje utemeljenosti v geometrijski algebri posebej ab- straktna in splošna, temveč predvsem oblika aritmetike, ki je zaradi utemelje- nosti na izrazih metrične geometrije, odvisna od prostorskih predstav, in j e posledično resno omejena. Vzemimo npr. aritmetično operacijo množenja in posebej spremembo dimenzije, ki j o vključuje ta operacija, ter se pojavlja v produktu, ki ima vedno višjo dimenzijo. To ni omejenost zapisa; notranje j e povezana z idejo, da so števila za grške matematike vedno števila nečesa. Posle- dica tega je, da moramo, ko množimo, množiti števila nečesa: ne moremo 10 O zgodnjem razvoju metrične geometrije glej W. R. Knorr, The Evolution of the Eucli- dean Elements, Reidel, Dordrecht 1975, str. 170. si. 1 6 6 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA npr. množiti dva krat tri, vedno moramo množiti dva nečesa krat tri nečesa. V tem smislu j e Klein pri Grkih števila imenoval »determinirana«. Ne simbolizi- rajo splošnih velikosti, temveč vedno določajo mnoštvo predmetov.11 Poleg tega v aritmetičnih operacijah niso ohranjeni samo dimenzijski vidiki, temveč tudi fizična in intuitivna narava teh dimenzij, tako da npr. ni mogoče zmnoži- ti med seboj več kot treh dolžin, ker je nastali produkt prostorsko telo, ki izčrpa število razpoložljivih dimenzij.12 Kartezijanska algebra in abstrakcija Descartes eksplicitno nasprotuje temu prostorskemu pojmovanju. Na za- četku Geometrije, potem ko nam j e pokazal geometrijske postopke za množe- nje in iskanje kvadratnih korenov, vpelje posamezne črke, da bi označil dolži- ne daljic. Toda njegova interpretacija teh črkje pomenljivo drugačna od tra- dicionalne interpretacije. Če je po tradicionalni interpretaciji a dolžina dalji- ce, j e a1 kvadrat s stranicami dolžine a, ab\e pravokotnik, ki ima stranice dol- žine a in b, a' pa j e kocka z dolžinami stranic a. Vendar pa so po Descartesovi interpretaciji vse te količine dimenzijsko homogene: Opozoriti je tudi treba, da se morajo vsi deli ene in iste črte praviloma izraziti z enako razsežnostmi tako eni kot drugi, medtem ko enota v problemu sploh ni določena: tako a3 vsebuje toliko razsežnosti kot ab2 ali b3, ki so sestavni deli črte, ki sem jo imenoval \jva3 - b3 + ab2 (AT VI 371) T u j e premestitev med aritmetiko in geometrijo nekaj, kar podpira abstrahi- ranje operacij, ne nekaj, kar njihovo abstrakcijo omejuje, kot pri starih poj- movanjih. Odločilno j e vprašanje ravni abstrakcije. Pri antičnih matematikih j e nekdo lahko trdil, d a j e rešil matematični problem le, če je bil sposoben konstruirati ali izračunati določen lik ali število. Se več, edina števila, ki so bila dopustna kot rešitve, so bila naravna števila: negativna števila so bila še pose- bej »nemogoča« števila. Res je, da se proti koncu aleksandrijskega obdobja, najbolj opazno v Diofantovi Aritmetiki, pojavljajo iskanja problemov in rešitev, povezanih s splošnimi velikostmi, vendar iz teh postopkov nikoli ni nastalo nič drugega razen pomožnih tehnik v stanju pred končno stopnjo, ko se dolo- čeno število izračuna. Descartes temu pogledu eksplicitno nasprotuje in vpra- 11 J. Klein, op. cit., str. 133 si. 12 Edina izjema k tej omejitvi pri množenju se pojavlja v relativno poznem aleksandrij- skem delu, Heronovi Metrica I 8, kjer sta dva kvadrata, se pravi, površini zmnoženi med seboj. 1 6 7 S T E P H E N G A U K R O G E R vilu XVI, med Pravili kako naravnavati umske zmožnosti, z zelo jasnimi izrazi pojasnjuje naspro^e med njegovim in tradicionalnim pristopom: Da bi vse to jasneje razumeli, je treba biti najprej pozoren na to, da so aritmetiki označili posamične velikosti z več enotami oziroma z nekim številom, mi pa, nasprotno, tu nič manj ne abstrahiramo od samih šte- vil, kot malo prej od geometrijskih likov, ali česar- koli drugega. To delamo zato, da bi se izognili razvlečenosti dolgega in nepotrebnega računanja, predvsem pa, da bi deli v obravnavi, ki sodijo k naravi problema, ostali vedno razločeni in ne bi bili zakriti z nekorist- nimi števili. Ce npr. iščemo hipotenuzo pravokotnega trikotnika, kate- rega dani stranici sta 9 in 12, bo aritmetik rekel, daje ta v a/225 oziroma 15, mi pa bomo namesto 9 in 12 napisali a in i in odkrili, d a j e hipote- nuza v -\[a2 + b2. Tako bosta tista dva dela, a2 in b2, ki sta bila spojena v številu, ostala razločena. ... Mi, ki iščemo jasno in razločno spoznanje stvari, vse te stvari razločujemo, pa ne aritmetiki, ki so zadovoljni, če pridejo do iskanega rezultata, četudi ne opazijo, kako je ta odvisen od tistega, kar je dano; to pa je pravzaprav prava znanost. (AT X 455-6, 458) Za Descartesa je ukvarjanje s splošnimi velikostmi konstitutivno za matema- tično obravnavo. Nobenih števil ali likov ne ocenjuje za »nemogoče« na intui- tivni osnovi. Dejanskoi rade volje sprejme čisto algebraične omejitve, ki zahte- vajo takšno razširitev »števila«, da ne bi vsebovalo zgolj celih števil, pač pa tudi ulomke in iracionalna števila. Strukturalna analiza enačbe ga je pripeljala do tega, d a j e sprejel negativne in imaginarne korene. T u j e naša intuicija glede tega, kaj so števila, žrtvovana strukturalni definiciji števila, ki j o predpisuje algebra. V tem pogledu Descartes odpira razvoj, v katerem se zbirka predmetov, ki sodijo v kategorijo »števila«, razširja in utrjuje, medtem ko se povečuje splo- šnost algebre in njena pravila operacij definirajo kot števila nove vrste bitno- sti. Kot je pokazal Kneale, ls je bil odnos matematikov do razširjanja ideje šte- vila, vse do vpeljave kompleksnih števil in vključno z njo, nereflektiran. Ohra- nitev splošnih pravil algebre je od njih zahtevala vpeljavo novih oblik bitnosti, katere so bili prisiljeni sprejeti, da bi rešili probleme, zastavljene na zgodnejši stopnji, vendar si niso zastavljali nikakršnih splošnih vprašanj glede tega po- stopka. Položaj se je spremenil v poznih tridesetih in zgodnjih štiridesetih letih devetnajstega stoletja. Najprej so Peacocke, Gregory in de Morgan priče- li dojemati algebro v tako abstraktnih matematičnih izrazih, da kot operandi-v 13 W. Kneale in M. Rneale, The Development of Logic, Oxford University Press, Oxford 1962, str. 390 si. 1 6 8 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA njenih operacijah sploh niso več nujno nastopala števila. Zatem se je Hamil- ton začel ukvarjati z algebro hiperkompleksnih števil, katera, ker so definira- na z algebraičnimi operacijami, ne zadovoljujejo vseh pravil, ki veljajo za kom- pleksna števila. Ti dve obliki razvoja sta nakazovali, d a j e algebra lahko splo- šnejša, kot se je mislilo. V tem kontekstu sije bil George Boole, v očeh mnogih utemeljitelj sodobne formalne logike, sposoben zamisliti abstraktni račun za logiko. Ko je pokazal, kako je mogoče zakone algebre formalno izraziti brez interpretacije in kako zakoni, ki veljajo za števila do kompleksnih števil, ne veljajo nujno vsi skupaj v vsakem algebraičnem sistemu, je lahko nadaljeval z razvojem omejene algebre, k i j e predstavljala operacije tradicionalne silogi- stike. Osvobojena svoje izključno numerične interpretacije j e algebra postane veliko močnejša priprava, njena aplikacija v logiki pa jo je neposredno peljala k najbolj temeljnim vprašanjem. Takšen razvoj predstavlja nadaljevanje Des- cartesovega dela v algebri, vendar j e to nadaljevanje tuje Descartesovemu pri- stopu. Da bi razumeli, zakaj je tako, moramo pogledati, kaj Descartes šteje za metodološko posebnost algebre. Algebra, dedukcija in kartezijanska »analiza«14 Descartes kot smo videli trdi, da medtem, ko so se zgodnji matematiki ukvarjali izključno z izračunavanjem določenih numeričnih rešitev enačb, on sam abstrahira iz števil, ker ga zanimajo strukturne značilnosti samih enačb. Na tem mestuje zdaj mogoče povleči neposredno analogijo z logiko. Če naj o logiki razmišljamo v algebraičnih izrazih, tako kot Descartes razmišlja algebraič- no o aritmetiki, moramo abstrahirati iz delnih resnic (tako kot Descartes abstra- hira iz posameznih števil) in raziskati odnos med resnicami neodvisno od njiho- ve vsebine, v abstraktnih strukturalnih izrazih. Toda ta premik k višjemu nivoju abstrakcije, ki se ga bežno dotakne Leibniz, in kije konstitutiven za moderno logiko in filozofijo matematike, je bil Descartesu popolnoma tuj. Descartes ni videl možnosti razlage logike kot podaljška njegovih algebraičnih tehnik, ker je dojemal logiko (kije bila zanj aristotelovska silogistika) kot odvečno metodo predstavitve že doseženih rezultatov, medtem ko je za algebro menil, d a j e ne- kaj popolnoma drugega, namreč metoda odkrivanja novih rezultatov. Vpraša- nje metodeje bilo obravnavano drugje v tem besedilu, kljub temu nekaj besed o specifični povezavi z algebro na tem mestu ne bi bilo odveč. 14 Za podrobno razpravo o temah, izpostavljenih v tem poglavju, glej S. Gaukroger, Cartesian Logic, Oxford University Press, Oxford 1989. 1 6 9 STEPI IEN G A U K R O C E R Ko Descartes v pravilu IV iz Pravil, kako naravnavati umske zmožnosti, raz- pravlja o potrebi po 'metodi odkrivanja resnice', usmerja svojo pozornost k matematiki. Pove nam, da mu je bila matematika, ko j o j e prvič študiral, neza- dovoljiva. Čeprav so rezultati, ki so j ih dobili matematiki resnični, niso poja- snili, kako so prišli do rezultatov in v veliko primerih kaže, kakor da gre bolj za srečo kot za veščino. Dokaj razumljivo so mnogi zaradi tega matematiko zavrnili kot prazno in otročjo. Vendar pa so začetniki filozofije v antiki posta- vili matematiko za prvi pogoj proučevanja modrosti. To j e navedlo Descartesa na misel, da so morali imeti »matematiko, kaj različno od tiste, ki j o uče za naših dni« (AT X 376; slov. prev.* str. 120) in skušal j e najti sledi te »resnične matematike« v pisanju Pappusa in Diofanta. Toda omenjena avtorja sta se bala, »»da bi njuna matematika izgubila kaj ugleda, ko bi se zaradi lahkote in enostavnosti razširila med vse ljudi, in sta se zato odločila, da nam namesto nje prikaže ta kot sadove svoje umetnosti nekaj sterilnih resnic, strogo deduci- ranih že iz zaključkov .« (AT X 376-7; slov. prev., str. 121-122). Umetnost raziskovanja, za katero je Descartes verjel, d a j o j e ponovno odkril, j e to kar imenuje »analiza«. V antiki sta bili analiza in sinteza komle- mentarna postopka in Pappusje razlikoval dve vrsti analize: »teoretično ana- lizo«, pri kateri poskušamo dokazati resnico teorema in »problematično analizo«, pri kateri poskušamo odkriti nekaj neznanega. Če so ti postopki uspešno dokončani, moramo naše rezultate nato potrditi s sredstvi sinteze, pri čemer začnemo iz definicij, aksiomov in pravil ter naše rezultate deducira- mo izključno iz njih. Antični matematični teksti, ki so se ukvarjali s strogim dokazovanjem, so predstavili zgolj sintetične dokaze. Descartes naredi dvoje: učinkovito omeji »analizo« na problemsko analizo in popolnoma zavrne po- trebo po sintezi. Slednje postane očitno takoj, ko si bežno pogledamo Geome- trijo. Tradicionalni seznami definicij, postulatov itn. so popolnoma odsotni in takoj smo soočeni s tehnikami reševanja problemov. Za Descartesa j e cilj te vaje, cilj, ki ga, kot verjame, lahko omogoči na sistematičen način le algebra, reševanje problemov. Ko je enkrat problem rešen, je za Descartesa predstavi- tev rezultatov v sintetičnih izrazih popolnoma odveč. Splošneje rečeno, to pomeni zavračanje vrednosti deduktivnega sklepanja v matematiki. To j e eden izmed najbolj problematičnih delov Descartesovega pojmova- nja algebre in v tej zadevi se razhaja ne le z modernimi matematiki, temveč tudi s svojimi sodobniki. Vir problema se po njegovem mnenju nahaja v tem, * René Descartes, Razprava o metodi kako pravilno voditi razum ter v znanostih iskati resnico; Pravila kako naravnavati umske zmožnosti, prevedel Boris Furlan, Slovenska matica, Ljublja- na 1957. (Op. prev.) 1 7 0 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA da deduktivni sklep ne more imeti nikakršne spoznavne vrednosti in ne more igrati nobene vloge v razvoju vednosti. Leibniz je bil prvi filozof, ki se je v celoti odzval na ta pogled; pokazal je, da v tem, ko so lahko analize koristne kot način reševanja posameznih problemov, pa v sintetični oz. deduktivni pred- stavitvi rezultatov v matematiki sprožimo sistematično strukturiranje in Širitev vednosti, ki omogoča prepoznavanje, natančno identifikacijo in razrešitev za- gat, težav, pomanjkljivosti itn. Kakorkoli, problem j e globok in mnogo filozofovje postavilo pod vprašaj položaj dedukcije. Sekst Empirik, eden najpomembnejših antičnih skeptikov, j e nasproti deduktivnemu sklepu ponudil naslednji bistroumen argument.Ir ' Primerjajmo naslednja sklepa: A B (1) Ce je dan, j e svetlo. Dan je. (2) Dan je. Svetlo je. (3) Svetlo je. A predstavlja deduktivni dokaz, B nededuktivnega. Sekstov dokazje v tem, da so deduktivna sklepanja vedno po lastnih kriterijih pomanjkljiva. V prika- zanem primeru npr. ali (3) sledi iz (2) ali pa ne. Če sledi, potem je B popol- noma sprejemljiv sklep, kajti v B preprosto sklepamo na (3) iz (2). Vendar, če to drži, j e izjava (1) očitno odvečna. Po drugi strani, če (3) ne sledi iz (2), potem j e (1) neresnična izjava, kajti (1) jasno trdi, da [(3) sledi iz (2)]. Tako deduktivni sklep ni možen: kar nam A pove več od B, je ali odvečno ali nere- snično. Ni bilo veliko filozofov, ki bi bih pripravljeni iti tako daleč kot Sekst, vendar j ih je mnogo izražalo splošno zaskrbljenost glede smisla dedukcije. Nekateri, kot J. S. Mill, so bili mnenja, da premise v deduktivnih sklepanjih vsebujejo iste trditve kot sklep, ter da so sklepanja dejansko zaradi tega veljav- na.10 Na tem mestu j e treba zastaviti vprašanje glede smisla deduktivnih skle- panj. Drugi, kot npr. logični pozitivisti, so trdili, da so logične resnice analitič- no resnične in zato se iz njih nikoli ne moremo naučiti ničesar novega. To zagotovo ne more biti res, kajti včasih se naučimo česa novega tudi iz deduktivnih dokazov. Poglejmo si npr. prvo Hobbesovo srečanje z Evklidovi- mi Elementi, kot ga opisuje Aubrey v svojih Brief Lives: Ko je bil v knjižnici za gospode, so Evklidovi Elementi ležali odprti na 47 El. libri I. Prebral je izrek. Za B - , je dejal (tu in tam je s poudarkom izustil zanos no kletev), to j e nemogoče! Tako je prebral njegov dokaz, 15 Seextus Empiricus, Outlines of Pyrrhonism, II, 159 (V izdaji Loeb: zv. I, str. 253-255). 111 Glej drugo Millovo knjigo, A System of Logic [1843], Longmans, London 1976. 1 7 1 S T E P H E N G A U K R O G E R ki ga je napotil na naslednjega, ki ga je prav tako prebral. [In tako na- prej] daje bil naposled nazorno prepričan v njegov resničnost. Tako se je zaljubil v geometrijo.17 Hobbes ne začne zgolj s tem, da v nekaj ne verjame, temveč celo s tem, da ne verjame, d a j e kaj takega sploh mogoče; veriga deduktivnega sklepanja pa ga prepriča v nasprotno. Gre za očiten primer spoznavnega napredovanja, se pravi, Hobbes konča s prepričanjem, ki ga sicer ne bi bil dosegel in za to novo prepričanje je odgovorno čisto deduktivno sklepanje. Res je, da vsa deduktiv- na sklepanja s seboj ne prinašajo spoznavnega napredka: sklepanje »če p, po- tem p« očitno ne vsebuje spoznavnega napredovanja, čeprav gre za formalno veljaven deduktivni sklep. Descartes zgreši pravo pot s tem, ko zanika, da kate- rikoli deduktivni sklep vsebuje spoznavno napredovanje. Kakor kaže Hobbe- sov primer, to ni preprosto razvidno. Nadalje, tudi če deduktivni sklep ne bi mogel nikoli povzročiti spoznavne- ga napredovanja, bi vseeno imeli dober razlog za ukvarjanje s sistematičnimi odnosi med resnicami, npr. med geometrijskimi resnicami in aritmetičnimi resnicami, kajti dokaj pomembno je, da vemo, na kakšen način nekatere izha- jajo iz drugih in natančno v čem je bistvo tega »slediti iz«. Toda Descartes predpostavlja, d a j e spoznavno napredovanje edini kriterij, ki ima vrednost, to pa ga vodi v opustitev vsega, za kar meni, da ni metoda raziskovanja. Alge- bro razume kot metodo raziskovanja par excellence, in natanko zato, ker j o do- jema na tak način, mu j e zaprta možnost razmišljanja o dedukciji v algebraič- nih izrazih. III. Aplikacija matematike na realnost Abstraktna narava algebre, kot se je zavedal Descartes, j e vir njene moči. Vendar je tudi potencialni vir težav, kajti če je matematika tako abstraktna kot zatrjuje Descartes, lahko njen odnos do materialnega sveta postane proble- matičen. To je za Descartesa posebej pomembno vprašanje, ker želi razviti matematično fiziko, popolnoma matematično razlago materialnega sveta. Des- cartes obravnava vprašanje matematične fizike v Pravilih kako naravnavati um- ske zmožnosti na način, ki med seboj povezuje matematiko, epistemologijo in naravoslovje, njegov prispevek pa ni uporaben zgolj kot pomoč pri razumeva- nju načina, kako razmišlja o tem, da bi lahko nekaj tako abstraktnega kot algebra povezal z naravnim svetom, temveč tudi kot osvetlitev njegovega raz- mišljanja glede vprašanja, v čem ta abstraktnost obstaja. 17 Aubrey's Brief Lives, ur. Oliver Lawson Dick, Seeker in Warburg, London 1960, str. 150. 1 7 2 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA Enostavne narave V Pravilih Descartes ves čas vztraja, da mora spoznavanje začeti s tem, kar imenuje »enostavne narave«; to so tiste stvari, kijih ni mogoče dalje analizira- ti in katere lahko zapopademo na neposreden in intuitiven način. Takšne enostavne narave j e mogoče zapopasti le z razumom, čeprav »moremo sicer ugotoviti, d a j e samo intelekt zmožen znanstvenega spoznanja, da pa mu mo- rejo biti pri tem v pomoč ali v oviro tri druge sposobnosti, namreč imaginaci- ja, čuti in spomin.« (AT X 398; slov. prev. str. 143) V pravilu XIVje povezava med razumom in imaginacijo izpeljana na dokaj zanimiv način: Z 'razsežnostjo' razumemo vse tisto, kar ima dolžino, širino in globino, ne da bi se spraševali, ali je to resnično telo ali zgolj prostor. Zdi se, da to ne potrebuje nadaljnjega pojasnjevanja, kajti naša imaginacija nič ne zaznava lažje kot to ... Kajti četudi bi kdo, ob predpostavki, d a j e vse razsežno izničeno, lahko prepričal samega sebe, da to ne bi preprečilo obstoja razsežnosti same na sebi, za ta koncept ne bi uporabil telesne ideje, temveč samo slabo presojajoč razum. To bo tudi sam priznal, če bo pozorno razmislil o podobi te razsežnosti, ki jo bo tedaj skušal upo- dobiti v svoji fantaziji. Opazil bo namreč, da je ne zaznava brez vsakega subjekta, temveč da sijo popolnoma drugače predstavlja, kotjo presoja; in dodajam (ne glede na to, kaj naš razum) veijame glede resnice stvari ), da tiste abstraktne entitete v fantaziji niso nikoli tvoije- ne ločeno od subjektov. (AT X 442-3) Descartes nadaljuje s trditvijo, da medtem, ko sta »razsežnost« in »telo« zasto- pana v imaginaciji z eno in isto idejo, to za razum ne velja. Ko rečemo, da »število ni števna stvar« ali da »razsežnost ali oblika ni telo«, sta pomena »šte- vila« in »razsežnosti« tukaj takšna, da jima v imaginaciji ne ustrezajo nobene posebne ideje. Ta dva stavka sta »delo čistega razuma, ki ima sam sposobnost ločevanja abstraktnih bitnosti te vrste« (AT X 444). Descartes vztraja, da mo- ramo ločiti tiste vrste stavke, v katerih so pomeni izrazov ločeni od vsebine idej v imaginaciji, od stavkov v katerih izrazi, čeprav »se izrekajo na isti način v abstrakciji od njihovih subjektov, kljub temu ne izključujejo ali zanikajo ni- česar, od česar se realno ne razlikujejo« (AT X 445). Razum in imaginacija Razlika med dvema vrstama izjavje nemara najbolj jasno izražena v razliki med njunimi lastnimi predmeti, to je med predmeti razuma in predmeti ima- ginacije. Lastni predmeti razuma so popolnoma abstraktne bitnosti in osvo- bojeni podob ali »telesnih predstav«. Ko se ukvarja s svojimi lastnimi dejav- 1 7 3 S T E P H E N G A U K R O G E R nostmi, se razum zares »sam obrne proti sebi« (AT VII 73) in zre tiste stvari, ki so čisto razumske, kot misel in dvom, kot tudi tiste »enostavne narave«, ki so skupne tako duhu kot telesu, kot so eksistenca, enotnost in trajanje. Vendar se razum lahko usmeri tudi k »idejam« v imaginaciji. Na ta način izvršuje tudi operacijo, ki ji je lastna, vendar pa je imaginacija ni sposobna izpeljati, na- mreč, izločanja komponent teh idej z abstrahiranjem. Na tem mestu se pojavi potreba po imaginaciji, kajti razum sam nima sploh nikakršne povezave s svetom. Bitnosti, ki j ih dojame razum, so nedolo- čene. Imaginacija je potrebna, da bi postale določene. Ko npr. govorimo o številih, moramo uporabiti imaginacijo, da bi nam prikazala nekaj, kar j e mo- goče izmeriti z mnoštvom predmetov. Razum dojema »pet-nost« [fiveness] kot nekaj ločenega od petih predmetov (ali odsekov premice, ali točk, ali česarkoli) in tako je potrebna imaginacija, če naj ta »pet-nost« ustreza neče- mu v svetu. To, s čimer imamo tu dejansko opraviti, je , vsaj kar zadeva razum, algebra. To drži vse dotlej, dokler je predmete algebre, katerih nedoločeno vsebino je izločil razum, mogoče prikazati in dojemati simbolno, kot premice in ravnine, ki jih je mogoče identificirati z dejanskim svetom. Algebra se uk- varja s popolnoma abstraktnimi bitnostmi, dojetimi v razumu, toda te abstrakt- ne bitnosti morajo biti predočene simbolno in s tem prikazane kot določene, kar zahteva pomoč imaginacije. Imaginacija na ta način predočuje splošne ve- likosti (abstraktne bitnosti) kot določene velikosti (ki se ne razlikujejo od tega, česar velikosti so). Vseeno vsaka vrsta določene velikosti tu ne bo primerna. Privilegirana določena velikost, ki j o želi Descartes izbrati, j e prostorska razsežnost. Za to obstajata dva razloga. Prvič, algebraične bitnosti j e mogoče prikazati geome- trijsko, se pravi v izrazih čiste prostorske razsežnosti. Drugič, Descartes trdi (npr. v pravilu XII) da tedaj, ko se ukvarjamo s fiziološkimi, fizikalnimi in op- tičnimi vidiki zaznave, postane jasno, da to kar vidimo na noben način ni po- dobno telesom v svetu. Sam svet ne vsebuje barv, vonjev itn. (nobenih sekun- darnih kvalitet) temveč zgolj prostorsko razsežno telo. Sekundarne kvalitete, ki jih zaznavamo, so preprosto značilnosti interakcije naših čutnih organov, spoz- navnega aparata itn., z zunanjim svetom. So psihični dodatki zaznavajočega duha. Tako je svet samo enostavno prostorsko razsežno telo in kar se zabeleži v imaginaciji niso nič drugega kot preprosto prostorsko razsežne velikosti. Skratka, fizični svet in abstraktne bitnosti algebre so potemtakem v ima- ginaciji predočene kot razsežne velikosti oz. kot merila razsežnih velikosti, pri čemer se prve preslikajo v slednje: 1 7 4 N A R A V A ABSTRAKTNEGA MIŠLJENJA razum abstraktne bitnosti (algebra) i imaginacija premice, dolžine daljic, itn. (geometrija in aritmetika) fizični svet . razsežne velikosti t materialni predmeti (materialna razsežnost) V tej shemi se čisto mišljenje, značilno za algebro, s katero se ukvarja razum, neposredno ne preslika v fizični svet. Prej gre za to, da se njegov prikaz v obliki aritmetike in geometrije preslika v prikaz fizičnega sveta, v prikaz, ki se sestoji iz izključno dvodimenzionalnih oblik. To pojmovanje je podvrženo mnogim težavam, kar je mogoče pričakovati iz obravnave, ki zadeva tako te- meljna vprašanja, vendar pa nam zagotavlja prvi eksplicitni epistemološki in metafizični temelj za matematično fiziko v zgodovini filozofije, in v marsikate- rem pogleduje njegova vloga v Descartesovi misli celo bolj središčna kot pri »cogitu«. Kar je pri Descartesovem delu v algebri izjemno, je nivo njene abstrakt- nosti. Ta dosežek je bil vedno postavljen v senco, bodisi z Descartesovo lastno trditvijo, d a j e bilo vse, kar je počel, samo ponovno odkrivanje skrite metode raziskovanja, znane že antičnim matematikom, bodisi s širše sprejetim mo- dernim pogledom, da so ti matematiki poznali 'geometrijsko algebro', to je, algebraično interpretacijo aritmetike, k i je vsebovala geometrijski zapis. Po- dal sem nekaj razlogov, zaradi katerih sem prepričan, da takšna razlaga in predvsem slednje ne drži. To, kar so poznali antični matematiki, dejansko ni bila posebna abstraktna algebraična interpretacija aritmetike, temveč pred- vsem njena posebno konkretna geometrijska interpretacija. Do abstraktne interpretacije pride le s kombinacijo sredstev aritmetike in geometrije, ki proi- zvede nekaj, kar j e veliko močnejše in abstraktnejše, kot vsaka izmed obeh; in to j e Descartesov dosežek. Descartes (z Vietajem in drugimi) utemelji to, kar sem prepoznal kot prvo stopnjo v razvoju algebre, namreč osvobajanje števila od prostorske intuicije. To je odprlo pot drugi stopnji, osvobajanju same alge- bre od izključno numerične interpretacije. Vendar p a j e premik k tej drugi stopnji v popolnem naspro^u s celotno vodilno mislijo Descartesovega pristo- Sklep 1 7 5 S T E P H E N G A U K R O G E R pa. Do tega ni prišlo toliko zaradi tega, ker nas vodi do ravni abstrakcije, kij i niti sam ni bil naklonjen, kajti njegova zgodnja ideja »univerzalne matemati- ke« je vključevala ekstremno abstraktno (vendar neizvedljivo) pojmovanje ma- tematike, ki presega katerokoli specifično vsebino, ukvarjajoč se zgolj s tem, kar ima red in velikost (AT X 378). Temveč predvsem zaradi njegove zahteve, da naj bo to metoda raziskovanja, kar nadalje pomeni, da mora biti spoznav- no informativna. Deduktivni sklep, kot (napačno) misli, ne more biti nikoli spoznavno informativen, zato zavrača vsako povezavo med algebro in logiko. Vendarle se druga stopnja v razvoju algebre zgodi v veliki meri kot rezultat njene uporabe v sistemih deduktivnega sklepanja. Descartesa potemtakem sploh ni vznemirjala abstraktna narava njegove algebre v matematičnem kontekstu. V več pogledih je še bolj izjemno, da ga ni vznemirjala niti v fizikalnem kontekstu. Njegov poglavitni namen j e bil razviti matematično fiziko, matematika pa je za Descartesa konec koncev al- gebra. Dobro zavedajoč se, vsaj po njegovi zgodnji fazi »univerzalne matema- tike«, da [matematična fizika] ne more biti zgolj stvar uporabe sistema, tako abstraktnega kotje algebra, na nečem tako konkretnem in specifičnem ko t j e realni svet, je poskušal dokazati, da imata nekaj bistveno skupnega: geometri- jo. Edine dejanske lastnosti snovi so tiste, ki jih je mogoče v celoti razumeti v geometrijskih izrazih, algebra pa j e v imaginaciji prikazana v čisto geometrij- skih izrazih. Potemtakem je geometrija tista, ki obe med seboj povezuje. To nemara ni najbolj ploden način uvajanja temelja za matematično fiziko,18 toda sama smelost in bistroumnost zamislije presenetljiva, in zaresje to prvi ekspli- citen filozofski poskus razčiščevanja do zadnje podrobnosti tega, kako bi lah- ko bila možna matematična fizika. Skratka, Descartesovo delo v algebri j e nekaj, kar se širi daleč preko same matematike. Zaradi tega dela velja Descartes za enega največjih matematikov sedemnajstega stoletja. Ce torej sledimo posledicam, ki j ih je imelo njegovo delo v razvoju kvantitativnega mehanskega razumevanja fizičnega sveta, j e bil eden izmed največjih naravoslovcev sedemnajstega stoletja; če pa sledimo po- sledicam, ki jih je imelo za vprašanje metode, je postal njegov največji filozof. Prevedel Ernest Zenko 18 Glej Gaukroger, »Descartes' project for a mathematical physics«, v: S. Gaukroger (ur.), Descartes, Philosophy, Mathematics, and Physics, str. 97-140. 1 7 6