MATEMATIKA Računanje točnih vrednosti trigonometričnih funkcij ^ ^ ^ MARKO RAZPET • Iz znanih vrednosti sin0° = 0, sin 30° = |, sin45° = - sin60° = ' sin 90^ 1, coS0° = 1, coS30° = ^, cos45° = ^, coS60° = 1, coS90° = 0 lahko z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi korenjenji izrazimo sinuse in kosmuse Ivotov, ki so celi mnogokratniki kota 15°. Z adiciijslsinii izreki dobimo, razen za zgoraj navedene kote, ki so sicer celi mnogokratniki kota 15°, še: ■ Sin 15° = Sin(45° - 30°) = sin45° cos30° - coS45° sin 30° = V2). Na enak nacin oz. s formulo sinx = cos(90° - x) dobimo tudi ■ cos 15° = 4(V6 + V2), sin 75° = 1 (J6 + v2), cos 75° = 1(V6 -V2). Ali lahko samo s prej omenjenimi računskimi operacijami irrarimo tudi vrednosti funkcij sinus in kosinus ra cele mnogokratnike kakšnega manjšega kota, izraženega v stopinjah r naravnim številom? Izkaže se, da je najmanjši tak kot 3°. Da bi lahko izrazili sin 3° in cos 3°, moramo najti 4 presek 40 (2012/2013)5 MA T EMATIKA vrednoitiifunkrijsmus m kosinus Icakšneganai^E^1^-n^g^a^ lo^nogol^i^E^l^i^ikEik^E^ 360,š4°,g2°1. g)o sezulaaSabomoprišli jDoivmku^ lrv8dratno enačbo. Naj°rej ^i^uatao 36° u 90°-54šod. 18° + s8° u 10ion V8j. Zato je ■ sin(18° + 18°) = sin(90° - (18° + 18° + 18°)) = nus((in° + in°) + in°). Po adicijskih izrekih lahko zapišemo: ■ 2 sin in° nus in° = nus(in° + in°) cus in°- sin(inj + inj) sin iS j Z ■ (nus2inj- sin2 inj) nusinj- 2 sin inj nus inj sin inj. Pu šegjšinjo s ggštuejem nus inj Z 0 in z opušteni-njem usnunne enišusti sin2 a + nus2 a z i duOimu ■ 2 sin inj z i - 4 sin2 inj. Turnej je sininj ouzitinng eešiten šnideitne eninOe 4%2 + 2% - i z 0: sin 18° = a/5-1 Iz tega rezultata ni težko izraziti ■ c0s18° = Vi - sin2 18° = 1 V^TŽTS . Opazimo, da shajamo z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi korenjenji. Sedaj pa takoj vidimo, da je ■ sin3° = sin(18° - 15°) = sin 18° cos 15° - cos 18° sin 15°. Z znanimi vrednostmi dobimo ■ sin 3° = 16 ((Vš - 1)(Vš + V2) - (V6 - V2)V 10 + 2Vš) . V decimalni obliki pa je ■ sin3° = 0.052 335 956 242 943 83 ... Tako bi lahko izrazili tudi cos 3° in sestavili tabelo sinusov in kosinusov kotov 0°, 3°, 6°,..., 42°, 45°. Vec pa zaradi znanih zvez ni potrebno. Vse vrednosti izrazimo le z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratnimi koreni. Tako tabelo je sestavil in objavil že baron Jurij Vega (1754-1802). Zakaj poleg štirih aritmetičnih operacij toliko poudarjamo kvadratne korene? Zato, ker daljico, katere dolžina se izraža s temi operacijami, lahko geometrijsko konstruiramo samo z ravnilom in šestilom. Pomagamo si s sorazmerji in podobnimi trikotniki ter s Pitagorovim izrekom, ki posledicno v pravokotnem trikotniku eno stranico izraža s preostalima dvema ravno s kvadratnim korenom. Kaj pa je s sin 1°? Kakorkoli obracamo znane enakosti in dobljene enacbe, nikoli ne pridemo do kvadratne enacbe, ampak do kubicne. Korene kubicne enacbe v splošnem primeru lahko natancno izrazimo s t. i. Cardanovimi formulami, ki pa so zapletene in poleg kvadratnega korena vsebujejo tudi tretji koren. Poleg tega Cardanove formule navadno vsebujejo ravno kote, katerih vrednosti trigonometricnih funkcij ne znamo tocno izraziti. Dolžine daljice, ki se izraža s tretjim korenom, na splošno ne moremo konstruirati samo z ravnilom in šestilom. Kot 3° torej lahko konstruiramo le z ravnilom in šestilom, kota 1° pa ne. Ker pa je nacrtovanje kota enakovredno konstrukciji primernega pravokotnega trikotnika, to na splošno ne gre samo z ravnilom in šestilom, ce se vrednost ene od kotnih funkcij tega kota izraža s kubic-nim korenom. Za sin 1° so na tako voljo le še približni izracuni. Podobno, kot smo racunali prej, zlahka zapišemo: ■ sin 3° = 3sin1°- 4sin31°. Število 5 = sin1° je torej pozitivna rešitev kubicne enacbe ■ 4x3 - 3x + a = 0, pri čemer je a = sin 3° znano število. Ker je kot 3° majhen, je sin1° približno enak a/3. V prvi polovici 15. stoletja je Al-Kaši že znal izračunati število 5 poljubno natančno z iteracijo. Zgornjo kubično enačbo prepišemo v obliko PRESEK 40 (2012/2013) 5 5 MATEMATIKA x = (4x3 + a)/3 . SLIKA 1. Najmanrša pozitivna abscka jre sebišč obeh kriv ulj je sin 1' Tri rbšikve dobimo Irot presečišče krivulj y = x in y = f(x) = i4x3 + o.e/3>. Najmanjša pozitivna rešitev je ravno 5. Za začetni približek so števila 5 vza-rrvemo kae a/3, nkto pa izrazunamo naslednji, boljši približek sn = /kso). Iz tega dobimo še bkljši prabli-žak s j = f (sn). Ta postopek nad aljujemo in števila tn = Sn-e j se približajk številu s tako blizrič, kakor želimo. n S n 0 0.017 445 318 747 647 94 1 0.017 452 397 805 531 90 2 0.017 452 406 426 767 05 3 0.017 452 406 437 270 70 4 0.017 452 406 437 283 49 5 0.017 452 406 437 283 51 TABTLA1. Računanje pnj^ližk^v ■ sin1° = 0.017 452 406 437 284. Zanimivo bi bilo odgovoriti na vprašanje, zakaj vrednosti funkcij sinus in kosinus za nekatere kote lahko izrazimo le z osnovnimi štirimi aritmetičnimi operacijami in s kvadratni korenjenji, drugih pa ne. V prvem primeru lahko kot načrtamo samo z ravnilom in šestilom, v drugem pa ne. Izkaže se, da je problem enakovreden problemu, kdaj lahko krogu včr-tamo pravilni n-kotnik samo z ravnilom in šestilom. To gre npr. za n = 3,4, 5,6, za n = 7 pa ne. Kdaj pravilni n-kotnik lahko načrtamo samo z ravnilom in šestilom? Odgovor na to vprašanje imamo, izrazimo pa ga s t. i. Fermatovimi števili (Pierre de Fermat, 1601-1665, francoski matematik). O tem je dosti napisanega v matematični literaturi, nekaj tudi v Preseku. _ XXX Barvni sudoku 4, ^ ^ • V 8 x 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2 x 4) nastopalo vseh 8 števil. 2 7 7 6 4 8 6 3 8 5 7 3 4 7 4 8 5 1 6 Tosej je zaokroženo na 15 darirxalk: XXX 6 PRESEK 40 (2012/2013) 5