45 Izbira metode pri verjetnostnih analizah visokovodnih konic Nejc Bezak * , Mitja Brilly * in Mojca Šraj * Povzetek Kvalitetno izvedena verjetnostna analiza visokovodnih konic je pogoj za določ itev povezave med ocenjeno vrednostjo pretoka in pripadajoč o povratno dobo oziroma verjetnostjo. Analizirali smo 58 let podatkov dnevnih vrednosti pretokov z vključ enimi maksimalnimi konicami z vodomerne postaje Litija 1 na reki Savi. Verjetnostno analizo smo naredili z metodo letnih maksimumov (AM metoda) in z metodo vrednosti nad izbranim pragom (POT metoda). Pri tem smo uporabili najpogosteje uporabljene porazdelitvene funkcije in tri nač ine ocenjevanja parametrov. S pomoč jo statistič nih in grafič nih testov smo primerjali rezultate analiz in določ ili razlike med obema metodama. Metoda vrednosti nad izbranim pragom je dala boljše rezultate statistič nih testov kot metoda letnih maksimumov. Med uporabljenimi porazdelitvami je najboljše rezultate dala logaritemsko Pearsonova porazdelitev tipa 3 (LP3). Za oceno parametrov porazdelitev pa je metoda L-momentov izkazala boljše rezultate kot metoda momentov in metoda največ jega verjetja. Ključ ne besede: Metoda letnih maksimumov; Metoda vrednosti nad izbranim pragom; Metoda momentov; Metoda L-momentov. Keywords: Annual maximum series; Peaks over threshold series; Method of moments; Method of L-moments. Uvod Poplave so izredno dinamič en, naraven pojav, ki lahko povzroč ijo veliko gmotno škodo ali celo ogrozijo č loveška življenja. V Sloveniji pogosto prihaja do manjših poplav, vse pogosteje pa tudi do več jih. Visoke vode ogrožajo več kot 3000 kvadratnih metrov slovenskega ozemlja (ARSO, 2012a). Za zmanjšanje poplavne ogroženosti lahko uporabimo aktivne in pasivne ukrepe. Verjetnostne analize visokovodnih konic so potrebne tako pri aktivnih kot pri nekaterih pasivnih ukrepih. Poleg tega so verjetnostne analize potrebne tudi pri vsakodnevnem obratovanju hidrotehnič nih objektov in pri razumevanju ekstremnih hidroloških pojavov. Verjetnostna analiza visokovodnih konic se najpogosteje dela z metodo letnih maksimumov (angl. annual maximum series method). Najpreprosteje je za oceno parametrov porazdelitve uporabiti enostavno metodo momentov (MOM). Metoda L- momentov (Hosking & Wallis, 1997) in metoda največ jega verjetja (MLE) sta dve možni alternativi rač unsko preproste metode momentov. Turk (2011) je predstavil nekatere osnovne znač ilnosti MLE metode. Velikokrat se verjetnostno analizo izvede le z nekaterimi oziroma celo le z eno porazdelitveno funkcijo. V praksi se pogosto uporablja logaritemsko Pearsonova porazdelitev tipa 3 (Kuč ič , 2007). Bolj smiselno je uporabiti več porazdelitvenih funkcij in nato primerjati rezultate analiz. Metoda vrednosti nad izbranim pragom (angl. peaks over threshold method) oziroma krajše POT metoda je bila v hidroloških krogih prvič omenjena pred več kot pol stoletja (Langbein, 1949; Shane & Lynn, 1964), vendar vse do danes ni izrinila iz praktič ne uporabe rač unsko enostavnejše metode letnih maksimumov. Veliko raziskovalcev je ugotovilo, da je POT metoda izkazala * Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, Jamova 2, 1000 Ljubljana, Slovenija 46 boljše ujemanje s podatki kot metoda letnih maksimumov (Cunnane, 1973; Madsen, 1996; Tavares & da Silva, 1983). Pri uporabi metode vrednosti nad izbranim pragom se sicer sreč amo z nekaterimi ne povsem natanč no definiranimi koraki, kot sta upoštevanje pogojev neodvisnosti konic in izbira vrednosti praga. Pomanjkanje splošno priznanih navodil za izvedbo analize je glavna slabost POT metode. Namen raziskave je prikaz prednosti in slabosti obeh metod, ki se uporabljata pri verjetnostnih analizah visokovodnih konic. V prispevku so prikazane nekatere alternative metodi letnih maksimumov in ocenjevanju parametrov z metodo momentov. Poleg tega smo poskušali natanč neje definirati nekatere korake POT metode. Primerjali smo rezultate analiz in s pomoč jo statistič nih testov ugotavljali, katera metoda se bolje prilega podatkom s hidrološke postaje Litija na reki Savi. Podatki Slika 1: Vodomerna postaja Litija 1 na reki Savi (ARSO, 2012b) Hidrološka postaja Litija na reki Savi (Slika 1) je najstarejša postaja Agencije RS za okolje (Frantar & Hrvatin, 2008). Meritve so se zač ele leta 1893, leta 1953 pa je bila postaja prestavljena. Meritve se izvajajo z limnigrafom Seba Omega. Verjetnostna analiza visokovodnih konic je bila narejena s podatki, ki so bili izmerjeni na vodomerni postaji Litija 1 na reki Savi in nam jih je posredovala Agencija RS za okolje (2011). Uporabili smo 58 let podatkov dnevnih vrednosti pretokov z vključ enimi maksimalnimi konicami (1953-2010). Primerjali smo dnevne in urne serije vrednosti pretokov z vključ enimi največ jimi konicami. Ugotovili smo, da je razlika v volumnu visokovodnega vala pri uporabi dnevnih vrednosti z vključ enimi absolutnimi konicami in pri upoštevanju urnih vrednosti manjša od 5 %. Primerjavo smo izvedli na 13 naključ no izbranih visokovodnih valovih z uporabo preproste tro-toč kovne grafič ne metode za izloč anje baznega odtoka. Do 47 podobnih rezultatov je prišla tudi Pugelj (2012), ki je analizirala podatke z vodomerne postaje Šentjakob na Savi. Površina vodozbirnega zaledja vodomerne postaje Litija znaša 4821 km 2 . Za hidrološko postajo je znač ilen alpski dežno-snežni režim z dvema viškoma v spomladanskem in jesenskem obdobju. Slednji je v primeru obravnavane postaje izrazitejši (Frantar & Hrvatin, 2008). Poletno in spomladansko obdobje je č as nizkih pretokov, č eprav so spomladanske vrednosti pretokov precej izenač ene z zimskimi. Metoda letnih maksimumov Pri metodi letnih maksimumov vzorec oblikujemo tako, da ta vsebuje maksimalni pretok posameznega leta. Vzorec je torej sestavljen iz toliko elementov kolikor let podatkov imamo na voljo za analize. Zaradi tako oblikovanega vzorca lahko pride do neupoštevanja pomembnih dogodkov, ki sicer niso bili največ ji v posameznem letu, so pa več ji od nekega letnega maksimuma, ki se je zgodil v nekoliko bolj sušnem letu. Po drugi strani pa lahko v analizah upoštevamo tudi nekatere dogodke, ki bi sicer ležali pod določ eno vrednostjo praga pri POT metodi. Oblikovanje vzorca pri metodi letnih maksimumov je sicer zelo enostavno, vendar je ravno ta preprostost ena izmed glavnih pomanjkljivosti metode letnih maksimumov. Ta slabost postane še izrazitejša v primeru krajših serij podatkov, ko imamo za analize na razpolago le eno ali dve desetletji podatkov. V takih primerih je priporoč ljiva uporaba metode vrednosti nad izbranim pragom ali upoštevanje več vodomernih postaj s podobnimi karakteristikami (Robson & Reed, 1999). Pojem povratne dobe T AM , ki pripada metodi letnih maksimumov, predstavlja povpreč ni interval med leti, v katerih se je zgodil eden ali več dogodkov, ki presegajo vrednost pretoka Q. Ko se v hidrologiji sreč amo s pojmom povratne dobe, se ta v več ini primerov nanaša na prejšnjo definicijo. Metoda letnih maksimumov je sestavljena iz naslednjih korakov: • oblikovanje vzorca, • ocenjevanje parametrov porazdelitve, • določ itev odvisnosti med ocenjeno vrednostjo pretoka in pripadajoč o povratno dobo oziroma verjetnostjo. Za ocenjevanje parametrov porazdelitev lahko med drugim uporabimo metodo momentov, metodo L-momentov in metodo največ jega verjetja. Pri najenostavnejši metodi momentov parametre porazdelitev ocenimo s pomoč jo karakteristič nih števil oziroma momentov vzorca. Metoda momentov da dobre rezultate v primeru simetrič nih vzorcev, pri podatkih z veliko asimetrijo pa se njena uč inkovitost zmanjša (Hosking & Wallis, 1997). Metoda L-momentov je rač unsko le nekoliko bolj zapletena kot metoda momentov. Izhaja iz verjetnostno obteženih momentov (angl. probability weighted moments) in ocene parametrov temeljijo na L-momentih namesto na navadnih momentih. Vse potrebne enač be za izrač un ocene parametrov porazdelitev z metodo L-momentov sta zapisala Hosking & Wallis (1997). Ena izmed možnih alternativ pri ocenjevanju parametrov je tudi metoda največ jega verjetja. Ta je glede na metodo momentov in tudi glede na metodo L- momentov rač unsko bolj zahtevna. Pri metodi največ jega verjetja parametre porazdelitve ocenimo tako, da je verjetnost, da se je zgodil naš vzorec največ ja (Takara, 2009). Išč emo torej take ocene parametrov, kjer ima funkcija verjetja oziroma logaritmirana funkcija verjetja maksimum. Le pri redkih porazdelitvenih funkcijah dobimo kot rezultat analitič ne izraze za ocene parametrov (n.pr. normalna in logaritemsko normalna porazdelitev), pri več ini porazdelitev pa dobimo sistem nelinearnih enač b, ki analitič no ni rešljiv in se 48 moramo zato problema lotiti s pomoč jo rač unalniških programov, ki omogoč ajo numerič no reševanje enač b. Pri analizah podatkov z vodomerne postaje Litija smo uporabili naslednje porazdelitvene funkcije: normalno (N), logaritemsko normalno (LN), Pearsonovo 3 (P3), logaritemsko Pearsonovo 3 (LP3), Gumbelovo, porazdelitev ekstremnih vrednosti (GEV) in generalizirano logistič no porazdelitev (GL). Ker se v praksi pogosto uporablja logaritemsko Pearsonova porazdelitev tipa 3, podajamo enač be za oceno parametrov po metodi momentov in metodi L-momentov: • Metoda momentov: = ; = ; = − . (1) • Metoda L-momentov: Za t 3 <1/3: = 3 ; = , , , . (2) Za 1/3) ?+% @ 0AB > D 3 4 F Gmin [@ L ,@ L ] . (4) V enač bi 4 je A površina poreč ja v kvadratnih miljah, x S1 in x S2 sta dve zaporedni konici, Θ pa označ uje razdaljo med dvema zaporednima konicama. V primeru, da velja eden izmed pogojev iz enač be 4, manjše izmed konic v POT vzorcu ne upoštevamo. Slabost prvega pogoja iz enač be 4 se pojavi v primeru velikih prispevnih površin. Za upoštevanje pogojev neodvisnosti konic se lahko uporabi tudi program Hydrospect (Radziejewski, 2012). S pomoč jo omenjenega programa lahko vzorec določ imo hitro in zanesljivo, slabost programa pa je, da omogoč a upoštevanje le prvega izmed pogojev iz enač be 4. V več ini primerov je sicer ta pogoj tisti, ki nam že izloč i odvisne konice. Naslednji korak je izbira ustrezne mejne vrednosti. Gre za subjektiven proces, zato se raziskovalci poslužujejo različ nih izbir vrednosti praga. Mejno vrednost lahko izberemo na podlagi fizikalnih kriterijev in sicer kot vrednost vodostaja, ko zač ne reka poplavljati. Bezak (2012) je zbral nekatere pogoje, ki ne temeljijo na fizikalnih osnovah in so jih v svojih raziskavah uporabili različ ni raziskovalci. Najbolj pogosto je uporabljen pogoj, ki je zapisan v priroč niku Flood Estimation Handbook (Robson & Reed, 1999). Ta predlaga določ itev vzorca tako, da ta vsebuje povpreč no 1, 3 oziroma 5 konic nad mejno vrednostjo nad pragom na leto. Za pomoč pri izbiri ustrezne mejne vrednosti je Lang s sodelavci (Lang et al., 1999) predlagal tudi nekatere grafič ne teste s katerimi lahko določ imo interval možnih vrednosti praga. Pri izbiri praga pa je smiselno upoštevati nasvet, ki sta ga zapisala Tavares & da Silva (1983): za vrednost praga naj se izbere č im nižja vrednost, ob pogoju, da s tem ne kršimo predpostavk modela. Metoda vrednosti nad izbranim pragom je sestavljena iz porazdelitve velikosti konic nad mejno vrednostjo in porazdelitve števila konic v letu. Za opis števila konic v letu m lahko uporabimo Poissonovo, binomsko ali negativno binomsko porazdelitev. Za pomoč pri izbiri ustrezne porazdelitve lahko uporabimo indeks disperzije d, ki določ a razmerje med varianco in srednjo vrednostjo spremenljivke m. V primeru, da je indeks disperzije enak (oz. približno enak) 1 lahko uporabimo Poissonovo porazdelitev (konice se pojavljajo povsem sluč ajno), v primeru, da je d>1 uporabimo negativno binomsko porazdelitev (prihaja do pojavljanja dogodkov v skupinah) in č e je d<1 je priporoč ena uporaba binomske porazdelitve (konice se dogajajo v enakomernih č asovnih intervalih). Za modeliranje velikosti konic nad mejno vrednostjo (y=x-x 0 ) lahko uporabimo eksponentno ali Pareto porazdelitev. V primeru, da za opis števila konic v letu izberemo Poissonovo porazdelitev in za modeliranje velikosti konic nad vrednostjo praga uporabimo eksponentno porazdelitev, lahko povezavo med ocenjeno vrednostjo pretoka in pripadajoč o povratno dobo določ imo s pomoč jo naslednje enač be (Önöz & Bayazit, 2001): @ N = @ +ln− (−lnP Q ). (5) V enač bi 5 x 0 predstavlja vrednost praga, β ter μ pa označ ujeta momenta prvega reda spremenljivk y in m. Pri metodi vrednosti nad izbranim pragom torej za oceno parametrov uporabimo metodo momentov, saj izenač imo karakteristič na števila s teoretič nimi momenti posameznih porazdelitvenih funkcij. 51 Rezultati Verjetnostno analizo visokovodnih konic smo najprej naredili z metodo letnih maksimumov. Kot že reč eno, smo uporabili sedem različ nih porazdelitvenih funkcij in tri nač ine ocenjevanja parametrov porazdelitev. Ker smo želeli ugotoviti katera porazdelitvena funkcija se najbolje prilega vzorcu letnih maksimumov, smo uporabili nekatere statistič ne in grafič ne teste. Uporabili smo teste Kolmogorov-Smirnov (K-S), Anderson-Darling (A-D), PPCC (angl. Probability plot correlation coefficient), RMSE (angl. Root mean square error), MAE (angl. Mean absolute error), RMAE (angl. Root mean square error), AIC (angl. Akaike information criterion) ter 5 testov, ki primerjajo empirič ne in teoretič ne verjetnosti (Ricci, 2005). Za izrač un verjetnosti posameznega podatka smo uporabili Weibullovo enač bo (F i =i/(n+1)). Rezultati testov so pokazali, da se podatkom najbolje prilega logaritemsko Pearsonova porazdelitev tipa 3 (ocenjevanje parametrov po metodi L-momentov). Le nekoliko slabši rezultati so bili pri več ini testov izrač unani pri logaritemsko normalni porazdelitvi, Pearsonovi 3 porazdelitvi in porazdelitvi ekstremnih vrednosti. Slabše sta se s podatki ujemali normalna in generalizirana logistič na porazdelitev. Ugotovili smo, da je metoda L-momentov izkazala boljše rezultate testov kot metoda momentov in metoda največ jega verjetja. Medtem, ko pri primerjavi metode momentov in MLE metode nobeden od nač inov ocenjevanja parametrov ni izstopal. Testi K-S, A-D in PPCC se lahko uporabijo tudi za testiranje hipotez. Testirali smo nič elno domnevo (H 0 : podatki sledijo testirani porazdelitveni funkciji) in ugotovili, da nobene izmed testiranih porazdelitvenih funkcij pri nobenem izmed uporabljenih statistič nih testov pri vseh treh nač inih ocenjevanja parametrov, nismo mogli zavrniti z izbrano stopnjo znač ilnosti 0,05. Najvišje vrednosti testnih statistik (najslabše ujemanje s podatki) je pri več ini testov izkazala normalna porazdelitev. Slika 4: Q-T krivulje za vse obravnavane porazdelitvene funkcije pri metodi letnih maksimumov za metodo momentov (levo) in metodo L-momentov (desno) Na sliki 4 so prikazane krivulje, ki prikazujejo ocenjene vrednosti pretokov s pripadajoč imi povratnimi dobami oziroma verjetnostimi za vseh sedem uporabljenih porazdelitev (metoda momentov in metoda L-momentov). Tudi iz slik 4 lahko vidimo, da se s podatki najslabše ujema normalna porazdelitev, ki precej odstopa od ostalih porazdelitvenih funkcij. Rezultati testov so pokazali, da je v našem primeru metoda L- momentov pri vseh prikazanih primerih dala boljše rezultate kot metoda momentov. Najboljši rezultati so bili izvrednoteni pri uporabi logaritemsko Pearsonove porazdelitve 52 tipa 3 (LP3). Na sliki 5 je prikazana primerjava med empirič no in teoretič no porazdelitveno funkcijo za logaritemsko Pearsonovo porazdelitev tipa 3 in Pearsonovo porazdelitev tipa 3. Za grafič ni prikaz podatkov je bila ponovno uporabljena Weibullova enač ba. Iz slik 5 lahko opazimo, da se tako log-Pearsonova 3 kot Pearsonova 3 porazdelitev dobro ujemata z vzorcem letnih maksimumov. Vidimo lahko tudi, da sta oba prikaza porazdelitvene funkcije in podatkov zelo podobna (slika 5). Nato pa smo verjetnostno analizo izvedli še z metodo vrednosti nad izbranim pragom. Najprej smo na podatkih z vodomerne postaje Litija 1 na reki Savi upoštevali pogoje neodvisnosti konic. Iz enač be 4 smo izrač unali, da morata biti dve neodvisni konici oddaljeni vsaj 8,3 dneva. Upoštevanje pogojev neodvisnosti konic smo izvedli tako roč no kot s pomoč jo programa Hydrospect. Ugotovili smo, da je program Hydrospect kljub upoštevanju le enega izmed pogojev iz enač be 4, določ il podobne vzorce, kot smo jih določ ili z roč nim upoštevanjem pogojev neodvisnosti konic. Na podlagi izbranih vrednosti praga smo določ ili POT vzorec, s pomoč jo karakteristič nih števil spremenljivk m in y smo določ ili parametre enač be 5, s pomoč jo Hi-kvadrat testa ter testa indeksa disperzije (Cunnane, 1979) smo preverjali ustreznost Poissonove porazdelitve za opis števila konic v letu in s pomoč jo dveh testov, ki sta jih predlagala Van Montfort & Witter (1985), smo preverili ustreznost eksponentne porazdelitve za modeliranje velikosti konic nad mejno vrednostjo. Nobena izmed porazdelitvenih funkcij pri nobenem izmed testov ni bila zavrnjena s stopnjo znač ilnosti 0,05. POT metodo smo izvedli za vrednosti praga 1021 m 3 /s, 662 m 3 /s, 508 m 3 /s in 347 m 3 /s (povpreč no 1, 3, 5 in 8 konic nad mejno vrednostjo na leto). Tudi pri metodi vrednosti nad izbranim pragom smo uporabili teste RMSE, MAE, RMAE in PPCC. Izkazalo se je, da se rezultati testov izboljšujejo z nižanjem vrednosti praga. Do podobnih ugotovitev sta v svojem č lanku prišla tudi Tavares & da Silva (1983). Na sliki 6 so prikazane krivulje, ki povezujejo ocenjene vrednosti pretokov s pripadajoč imi povratnimi dobami oziroma verjetnostimi za primera POT 5 in POT 8. Opazimo lahko, da se Q-T krivulje lepo ujemajo s podatki, ki so prikazani z Weibullovo enač bo. Na slikah 6 so izrisani tudi 95 % intervali zaupanja, ki so tudi ena izmed oblik za izražanje natanč nosti ocenjene vrednosti pretoka. Tudi statistič ni testi so ena izmed oblik za izražanje natanč nosti ocenjene vrednosti pretoka. Slika 5: Primerjava med empirič no in teoretič no porazdelitveno funkcijo za logaritemsko Pearsonovo 3 (levo) in Pearsonovo 3 porazdelitev (desno) z oceno parametrov po metodi L-momentov 53 Slika 6: Q-T krivulje za POT vzorca, ki vsebujeta povpreč no 5 oziroma 8 dogodkov nad pragom na leto Na podlagi analiz in testov (RMSE, MAE, RMAE in PPCC) smo ugotovili, da je metoda vrednosti nad izbranim pragom dala boljše rezultate kot metoda letnih maksimumov. Že vzorec, ki vsebuje povpreč no 1 dogodek nad pragom na leto (POT 1) je dal nižje vrednosti testnih statistik kot kombinacija metode L-momentov in logaritemsko Pearsonove porazdelitve tipa 3, ki se je izkazala kot najprimernejša za izvedbo analize po AM metodi na podatkih s hidrološke postaje Litija 1 na reki Savi. Z nižanjem vrednosti praga pa so se rezultati testov RMSE in MAE, glede na metodo letnih maksimumov, še izboljševali. Tako so bili najboljši rezultati izvrednoteni pri POT vzorcu, ki vsebuje povpreč no 8 dogodkov nad pragom na leto. POT 5 vzorec je dal le nekoliko slabše rezultate statistič nih in grafič nih testov, poleg tega pa je bil v tuji literaturi (Robson & Reed, 1999) več krat predlagan za uporabo kot POT 8 vzorec. Tudi pri tem primeru smo preverili ali sta eksponentna in Poissonova porazdelitev primerni izbiri za modeliranje velikosti konic nad mejno vrednostjo in opis števila konic nad pragom na leto. V preglednici 1 so prikazane ocenjene vrednosti pretokov za nekatere izbrane primere. Opazimo lahko, da je metoda vrednosti nad izbranim pragom dala višje ocenjene vrednosti pretokov kot metoda letnih maksimumov (logaritemsko Pearsonova porazdelitev tipa 3 in ocenjevanje parametrov po metodi L-momentov) pri več jih vrednostih ponovitvenega intervala. Preglednica 1: Primerjava ocenjenih vrednosti pretokov pri metodi letnih maksimumov in metodi vrednosti nad izbranim pragom Primer/Vrednost pretoka Q 2 [m 3 /s] Q 10 [m 3 /s] Q 100 [m 3 /s] Q 500 [m 3 /s] LP3 (MOM) 1181 1758 2368 2812 LP3(L-momenti) 1184 1775 2423 2836 POT 1 1142 1758 2527 3055 POT 3 1131 1734 2486 3003 POT 5 1130 1723 2463 2971 POT 8 1137 1746 2504 3026 Zaključ ki Analizirali smo 58 let podatkov dnevnih vrednosti pretokov z vključ enimi maksimalnimi konicami. Za izvedbo verjetnostne analize smo uporabili tako metodo letnih maksimumov (AM metoda) kot metodo vrednosti nad izbranim pragom (POT metoda). Uporabili smo različ ne porazdelitvene funkcije in različ ne nač ine ocenjevanja parametrov 54 porazdelitev. S pomoč jo statistič nih testov pa smo posamezne metode in nač ine izrač unov ovrednotili. Metoda L-momentov je izkazala boljše rezultate kot metoda momentov in metoda največ jega verjetja, tako po statistič nih kot tudi po grafič nih testih. Uporabo metode L- momentov predlagajo tudi drugi avtorji (Hosking & Wallis, 1997). Ocenjevanje parametrov po metodi L-momentov je rač unsko le malce bolj zahtevno kot uporaba metode momentov, zato bi bilo v nekaterih praktič nih primerih smiselno uporabiti obe metodi ocenjevanja parametrov. Metoda največ jega verjetja pa je rač unsko precej zahtevnejša in tudi rezultati statistič nih testov so bili v našem primeru slabši kot pri uporabi metode L- momentov. Najboljši rezultati so bili izrač unani pri uporabi logaritemsko Pearsonove porazdelitve tipa 3 (LP3), ki se na našem geografskem območ ju najpogosteje uporablja (Kuč ič , 2007). Ugotovili smo torej, da je uporaba te porazdelitvene funkcije smiselna. Tudi nekatere druge porazdelitvene funkcije so izkazale dobre rezultate statistič nih in grafič nih testov (logaritemsko normalna porazdelitev, Pearsonova 3 porazdelitev in porazdelitev ekstremnih vrednosti), medtem ko sta normalna porazdelitev in generalizirana logistič na porazdelitev dali slabše rezultate. Ugotovili smo, da je POT metoda po statistič nih testih dala boljše rezultate kot metoda letnih maksimumov. Do podobnih ugotovitev so prišli tudi nekateri drugi avtorji (Cunnane, 1973; Madsen, 1996; Tavares & da Silva, 1983). Že POT 1 vzorec je dal boljše rezultate testov kot metoda letnih maksimumov. Z nižanjem vrednosti praga pa so se rezultati metode vrednosti nad izbranim pragom še izboljševali. V primeru podatkov z vodomerne postaje Litija 1 je POT metoda dala višje ocenjene vrednosti pretokov kot metoda letnih maksimumov, ni pa to pravilo, saj so nekateri drugi raziskovalci prišli do drugač nih ugotovitev (Bač ova-Mitkova & Onderka, 2010). O bolj zanesljivih zaključ kih smiselnosti uporabe posameznih metod bi bilo potrebno podobne analize izvesti na več vodomernih postajah na območ ju Slovenije. Kljub temu pa lahko zaključ imo, da je metoda vrednosti nad izbranim pragom dobra alternativa metodi letnih maksimumov. Zahvala Zahvaljujemo se Agenciji RS za okolje za posredovane podatke z vodomerne postaje Litija na reki Savi. Del rezultatov raziskave je nastal v okviru temeljnega raziskovalnega projekta J2-4096, ki ga financira Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije. Literatura Agencija RS za okolje. (2011). Hidrološki podatki. Message to: Kobold, M. 2011. Osebna komunikacija. Agencija RS za okolje. (2012a). Vreme, Poroč ila in projekti. http://www.arso.gov.si/vreme/poro%C4%8Dila%20in%20projekti/ (3.10.2012) Agencija RS za okolje. (2012b). Atlas okolja. http://gis.arso.gov.si/atlasokolja/profile.aspx?id=Atlas_Okolja_AXL@Arso (3.10.2012) Bač ova-Mitkova, V., Onderka, M. (2010). Analysis of extreme hydrological events on the Danube using the peak over threshlod method, Journal of Hydrology and Hydromechanics 58(2), 88- 101. Bezak, N. (2012): Verjetnostna analiza visokovodnih konic z metodo vrednosti nad izbranim pragom in z metodo letnih maksimumov (Flood frequency analysis with peaks over threshold 55 method and annual maximum series method). Unpublished Diploma, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 106 p. (in Slovenian). Cunnane, C. (1973). A particular comparison of annual maxima and partial duration series methods of flood frequency prediction, Journal of Hydrology 18(3-4), 257-271. Cunnane, C., Lynn, M. A. (1975). Flood estimation following the Flood studies report. Meeting of the Civildivision, Engineering scholl U. C. D., 9. 2. 1975: 39 p. http://www.opw.ie/en/media/Flood%20Estimation%20FSR%20Cunnane-Lynn%20-%201975.pdf (3.10.2012) Cunnane, C. (1979). A note on the Poisson assumption in partial duration series models, Water Resources Research 15(2), 489-494. Frantar, P., Hrvatin, M. (2008). Pretoč ni režimi. P. Frantar (ur.), Vodna bilanca Slovenije 1971– 2000. MOP ARSO, Ljubljana, 43–50. Hosking, J. R. M., Wallis, J. R. (1997). Regional frequency analysis: an approach based on L- moments. Cambridge, Cambridge University Press, 224 p. Kuč ič , K. (2007). Metoda momentov L pri verjetnostni analizi visokih vod (Method of L-moments for flood frequency analysis). Unpublished Diploma, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 85 p. (in Slovenian). Lang, M., Ouarda, T.B.M.J., Bobee, B. (1999). Towards operational guidelines for over-threshold modelling, Journal of Hydrology 225(3-4), 103-117. Langbein, W.B. (1949). Annual floods and the partial-duration flood series, Transactions, American Geophysical Union 30(6), 879-881. Madsen, H. (1996). At-site and regional modelling of extreme hydrologic events. A thesis for the degree of Doctor of Philosophy. Lyngby, Technical University of Denmark, Department of Hydrodynamics and Water Resources, 45 p. Önöz, B., Bayazit, M. (2001). Effect of the occurrance process of the peaks over threshold on the flood estimates, Journal of Hydrology 244(1-2), 86-96. Pugelj, A. (2012). Analiza visokovodnih valov Save v Šentjakobu (Water wave analysis of Sava in Šentjakob). Unpublished Diploma, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, 98 p. (in Slovenian). Radziejewski, M. (2012). Program Hydrospect. http://www.staff.amu.edu.pl/~maciejr/hydrospect/ (3.10.2012) Ricci, V. (2005). Fitting distributions with R (21. 2. 2005). http://cran.r-project.org/doc/contrib/Ricci-distributions-en.pdf (3.10.2012) Robson, A. J., Reed, D. W. (1999). Statistical procedures for flood frequency estimation. Volume 3 of the Flood Estimation Handbook. Center for Ecology & Hydrology, 338 p. Shane, R. M., Lynn, W. R. (1964). Mathematical model for flood risk evaluation, Journal of the Hydraulics Division. Proceedings of the American Society of Civil Engineers 90(HY6), 1-20. USWRC. (1981). Guidelines for determining flood flow frequency. United States Water Resources Council, Bulletin 17B, Hydrology Subcommitte. Washington, DC, 185 p. http://water.usgs.gov/osw/bulletin17b/dl_flow.pdf (3.10.2012) Takara, K. (2009). Frequency analysis of hydrological extreme events and how to consider climate change. The Nineteenth IHP training course (International Hydrological Program), 29. 11. 2009 – 12. 12. 2009. Nagoyomo and Kyoto, Japan. http://ihpnagoyaforum.org/textbooks/TakaraLecture.pdf (3.10.2012) Tavares, L. V., Da Silva, J. E. (1983). Partial duration series method revisited, Journal of Hydrology 64(1-4), 1-14. Turk, G. (2011). Verjetnostni rač un in statistika, 246 p. http://km.fgg.uni-lj.si/PREDMETI/sei/vrs.pdf (3.10.2012) Van Montfort, M. A. J., Witter, J. V. (1985). Testing exponentiality against generalised Pareto distribution, Journal of Hydrology 78(3-4), 305-315.