P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 25 (1997/1998) Številka 1 Stran 7
Marko Razpet:
PITAGOROV IZREK IZ TRAPEZA
Ključne besede: matematika, Pitagorov izrek.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/25/1323-Razpet.pdf
© 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
Matematika
PITAGOROV IZREK IZ TRAPEZA
Za dokaz Pitagorovega izreka obstaja več načinov, med katerimi so prav preprosti tisti, v katerih uporabljamo ploščino likov. Oglejmo si primer, kako Pitagorov izrek izpeljemo z uporabo trapeza.1
Vzemimo pravokotni trapez ABCD, ki ima za osnovnici a in i», višina pa je enaka vsoti njunih dolžin a + b. Na stranici AD je točka E oddaljena od oglišča A za a oziroma od oglišča D za. b. Trikotnika ABE in CDE sta očitno pravokotna in skladna. Njuna hi-potenuza je c, kateti pa sta a in 6, kot je označeno na sliki 1. Pravokoten je tudi trikotnik DCE, kar sledi iz komplementarnosti kotov a in ¡3.
Slika 1.
Srednjica trapeza ABCD je ^ (u+6), njegova višina pa a+b. Ploščina trapeza je enaka produktu srednjice in višine, hkrati pa vsoti ploščin pravokotnih trikotnikov ABE, CDE in BCE, zato velja:
^(a + b)(a + b) = ^ab +-ab + ^c2 .
Od tod dobimo enakost
-d2 +ab+ -b2 =ab+ -c2 . 2 2 2
Po preureditvi sledi Pitagorov izrek:
2 i i.2 2 a + b = c
Marko Razpet
1 Tako je Pitagorov izrek leta 1876 dokazal Garfield, član ameriškega Predstavniškega doma, kasnejši predsednik ZDA (op. urednice).