OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
OBZORNIK MAT. FIZ.    LJUBLJANA    LETNIK 58    ŠT. 4    STR. 133–168   JULIJ 2011
C  KM Y 
2011
Letnik 58
4
i
i
“kolofon” — 2011/10/5 — 21:40 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2011, letnik 58, številka 4, strani 133–168
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Marko Petkovšek (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko
in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Dreven-
šek Olenik, Damjan Kobal, Peter Legiša, Petar Pavešić, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter
Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancirata jo Javna agencija za knjigo Re-
publike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport.
c© 2011 DMFA Slovenije – 1851 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
PORAVNAVA NIZOV IN DELANNOYJEVA ŠTEVILA
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 05A15, 40B05, 68R15, 92D20
Pokazali bomo, kako je poravnava nizov povezana z Delannoyjevimi števili D(m,n), s
katerimi zapǐsemo število mrežnih poti v množici N×N od točke (0, 0) do dane točke (m,n),
pri čemer so dovoljeni koraki v smereh (1, 0), (0, 1) in (1, 1). Vpeljali bomo Levenštejnovo
razdaljo med nizoma in na kratko predstavili njeno uporabo v genetiki.
SEQUENCE ALIGNMENT AND DELANNOY NUMBERS
We will show how the sequence alignment is connected with the Delannoy numbers
D(m,n) which express the number of lattice paths in the set N × N with allowed steps
(1, 0), (0, 1) and (1, 1). The Levenshtein distance between two sequences is introduced
and its application in genetics is briefly presented.
Uvod
Kdor pǐse z računalnǐskim urejevalnikom besedil, zagotovo pozna poravnavo
vrstic: levo, desno, sredinsko in obojestransko. Po navadi imamo najraje
obojestransko poravnano besedilo, pri čemer sta vnaprej določena levi in
desni rob, ki nam kot vidna ali nevidna ravna črta ne dovoljujeta, da bi
kakšna črka, številka, ločilo ali kakšen drug znak padel bolj v levo od levega
roba oziroma bolj v desno od desnega roba. Pomembno vlogo pri tem igra
tudi znak za presledek, kateremu je namenjena posebna tipka. S presledki
na primer ločujemo besede in nakažemo nov odstavek, lahko pa si mislimo,
da z njimi na desno poravnamo prekratko vrstico. Ker običajno prostori za
grafične znake niso enake širine, del težav s poravnavo odpade, ker urejeval-
niki po potrebi sami rahlo zgoščajo in redčijo razmike med znaki.
Če pa izberemo znake, ki zahtevajo enake širine, potem imamo z obo-
jestransko poravnavo take težave kot nekoč na klasičnih pisalnih strojih.
In ravno taka poravnava nas bo v nadaljevanju najbolj zanimala. Spoznali
bomo, da je poravnava besed oziroma nizov kar uporabna. Vpeljemo namreč
lahko mero, koliko sta si niza blizu. Ker pa so znaki ali elementi niza lahko
marsikaj, lahko preverjamo ne le podobnost besedil in s tem odkrivamo na
primer plagiatorstvo, ampak tudi podobnost tonskih zapisov in nukleotidnih
zaporedij v genetiki. Nekaj več o tem bomo povedali v zadnjem razdelku.
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 133
Marko Razpet
Poravnava nizov
Prej povedano bomo sedaj posplošili. Iz črk, številk, ločil in morebitnih
drugih znakov nekega področja, ki ga obravnavamo, sestavimo množico A,
ki ji bomo rekli abeceda tega področja. Elementom abecede bomo rekli kar
znaki. V abecedo bomo dodali tudi znak za presledek, ki ga bomo označevali
z znakom  , da bo bolj viden. Niz ali beseda dolžine m je končno zaporedje
σ = a1a2 . . . am, kjer je vsak ak ∈ A, z izrazom prava beseda pa bomo
imenovali niz, v katerem ni znaka za presledek. Tudi v naravnem jeziku
namreč v besedah med črkami ni znaka za presledek. Niz σ = a1a2 . . . am je
torej prava beseda, če je v njej vsak ak ∈ A \ { }. Pametno je vpeljati tudi
znak za prazen niz : ⋄. Dolžino niza σ označimo z |σ|. Za σ = a1a2 . . . am
je torej |σ| = m. Katero koli nenegativno celo število m je zato lahko
dolžina nekega niza. Tako je na primer |⋄| = 0, |  | = 2, |RAKETA| = 6 in
|RAK ETA| = 7.
Pravi besedi
σ = a1a2 . . . am , τ = b1b2 . . . bn
poravnamo v enako dolga niza σ′ in τ ′ z dodajanjem znaka  tako, da znaki
ostanejo v istem vrstnem redu, znak  pa ne sme biti v σ′ in τ ′ hkrati na isti
poziciji. Če bi dovolili nasprotno, bi lahko dobili s poravnavo nize poljubne
dolžine s poljubno mnogo presledki. Vzemimo, da sta niza po poravnavi
dolžine ℓ:
σ′ = a′1a
′
2 . . . a
′
ℓ , τ
′ = b′1b
′
2 . . . b
′
ℓ .
Pri tem je a′k eden od ai ali  , b
′
k eden od bi ali  , za noben k pa ni a
′
k =
b′k =  , števila m,n, ℓ pa očitno povezuje relacija max(m,n) ≤ ℓ ≤ m + n.
Za prikaz poravnave je najbolje, da niza pǐsemo drugega nad drugim.
Navedimo nekaj poravnav različnih dolžin besed OBZORNIK in MATEMATIKA:
OB  ZORNIK OB  ZORNIK OB Z OR N IK  O BZO RNIK 
MATEMATIKA  MATEMATIKA   MATEMA TIKA MAT EMAT IKA
Poravnavo pravih besed σ in τ imamo lahko tudi za pretvorbo besede σ
v besedo τ ali obratno s tremi transformacijami nad njunimi znaki, in sicer
z brisanjem, vrivanjem in zamenjavo (vključujoč ohranjanje).
Ena od poravnav besed AKSIOM in VZROK dolžine 8 je
AKSI OM 
 V ZRO K
134 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
V tem primeru smo po vrsti uporabili naslednjih 8 transformacij:
1. brisanje znaka A;
2. zamenjavo znaka K z znakom V;
3. brisanje znaka S;
4. zamenjavo znaka I z znakom Z;
5. vrivanje znaka R;
6. ohranjanje znaka O;
7. brisanje znaka M;
8. vrivanje znaka K.
Po poravnavi dobljena niza spet stisnemo z opustitvijo presledkov:
AKSI OM 7→ AKSIOM,  V ZRO K 7→ VZROK.
V tem smislu smo prek poravnave besed z brisanjem, vrivanjem in za-
menjavo znakov pretvorili eno besedo v drugo. Podobno lahko opǐsemo tudi
obratno transformacijo, to je pretvorbo besede VZROK v besedo AKSIOM.
Poravnavo besed lahko vpeljemo tudi drugače. Iz abecede A konstrui-
ramo abecedo B = A×A. Znake nove abecede B označimo v obliki stolpca:
[
a
b
]
∈ B ⇐⇒ a ∈ A in b ∈ A .
Posebej označimo znak za presledek  v B:
 ∈ B ⇐⇒  =
[
 
 
]
.
Prave besede v B so po našem dogovoru končni nizi elementov iz B \ { }.
Iz dvojice pravih besed σ = a1a2 . . . am in τ = b1b2 . . . bn sestavimo novo
besedo dolžine ℓ z znaki abecede B takole:
[
a′1
b′1
][
a′2
b′2
]
. . .
[
a′ℓ
b′ℓ
]
. (1)
Prve koordinate stolpcev so znaki besede σ ali pa  . Podobno so druge
koordinate znaki besede τ ali  . Pri tem je vrstni red znakov brez  v novih
nizih enak kot v prvotnih nizih. Nikjer v nizu pa ne sme biti  nad  . Če
spregledamo oklepaje, dobimo ravno poravnavo besed σ in τ . Torej pri tem
nastopajo stolpci treh oblik:
[
a′k
b′k
]
=
[
 
bi
]
,
[
a′k
b′k
]
=
[
aj
 
]
,
[
a′k
b′k
]
=
[
ai
bj
]
.
133–145 135
Marko Razpet
V poravnavi dolžine ℓ naj bo v število stolpcev prve vrste, h druge in d
tretje vrste. Veljajo torej relacije: v + h + d = ℓ, m + v = ℓ, n + h = ℓ. Iz
njih izrazimo:
d = m+ n− ℓ , h = ℓ− n , v = ℓ−m. (2)
Število vseh poravnav dolžine ℓ besed dolžine m in n označimo s Q(m,n, ℓ).
To število pa lahko zapǐsemo s trinomskim koeficientom. V besedi (1) je
namreč nanizanih ℓ stolpcev, od katerih je v prve, h druge in d tretje vrste.
Takih pa je toliko, na kolikor načinov lahko permutiramo ℓ reči, od katerih
je v prve, h druge in d tretje vrste, zato je
Q(m,n, ℓ) =
ℓ!
h!v!d!
=
(
ℓ
h, v, d
)
, h+ v + d = ℓ.
Z upoštevanjem izrazov (2) dobimo:
Q(m,n, ℓ) =
(
ℓ
n
)(
n
m+ n− ℓ
)
=
(
ℓ
m
)(
m
m+ n− ℓ
)
. (3)
Vseh možnih poravnav pa je
D(m,n) =
m+n
∑
ℓ=max(m,n)
Q(m,n, ℓ). (4)
V nadaljevanju bomo z N označevali množico vseh celih nenegativnih
števil, torej N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Števila D(m,n) ((m,n) ∈ N × N) imenu-
jemo Delannoyjeva števila, ker se je z njimi prvi ukvarjal francoski matema-
tik in častnik Henri-Auguste Delannoy (1833–1915) v povezavi s številom
šahovskih iger. Več o tem manj znanem matematiku lahko preberemo v [1].
Delannoyjeva števila
Za nazorno ponazoritev poravnav pravih besed dolžin m in n si lahko po-
magamo z množico točk
M(m,n) = {(x, y) : x ∈ {0, 1, 2, . . . ,m}, y ∈ {0, 1, 2, . . . , n}} ⊂ N× N.
Vsaki poravnavi pravih besed pa lahko povratno enolično priredimo neko
pot, ki povezuje nekatere točke vM(m,n). Pri tem povežemo točki (0, 0) in
136 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
v v v v v v v
v v v v v v v
v v v v v v v
v v v v v v v
v v v v v v v
v v v v v v v
A K S I O M
V
Z
R
O
K
(0, 0)
(6, 5)
Slika 1. Delannoyjeva pot k poravnavi besed AKSIOM in VZROK iz primera.
(m,n) z neko usmerjeno potjo, pri čemer so dovoljeni samo koraki v smeri
vektorjev (1, 0), (0, 1), (1, 1) (horizontalni, vertikalni, diagonalni). Vsaka
taka pot je Delannoyjeva pot.
Do Delannoyjeve poti, ki ustreza poravnavi pravih besed, pridemo tako,
da dani poravnavi priredimo korake takole:
[
aj
 
]
←→ (1, 0),
[
 
bj
]
←→ (0, 1),
[
ai
bj
]
←→ (1, 1).
Ustrezajo brisanju, vrivanju in zamenjavi znakov pri pretvorbi ene besede
v drugo. Pri tem gremo v poravnavi dolžine ℓ od leve proti desni, ustrezno
Delannoyjevo pot pa pričnemo v (0, 0) ∈ M(m,n), sledimo poravnavam in
po ℓ korakih prispemo v (m,n) ∈ M(m,n). Poravnavi besed AKSIOM in
VZROK, ki smo jo navedli zgoraj, ustreza Delannoyjeva pot na sliki 1.
Zato je Q(m,n, ℓ) ravno število Delannoyjevih poti z ℓ koraki od (0, 0)
do (m,n). Taka pot ima h = ℓ − n horizontalnih, v = ℓ −m vertikalnih in
d = m + n − ℓ diagonalnih korakov. Število najdalǰsih Delannoyjevih poti,
ki imajo m+ n korakov, je
Q(m,n,m+ n) =
(
m+ n
m
)
=
(
m+ n
n
)
,
133–145 137
Marko Razpet
število najkraǰsih Delannoyjevih poti z max(m,n) koraki pa je
Q(m,n,max(m,n)) =
(
max(m,n)
min(m,n)
)
.
Število vseh Delannoyjevih poti od (0, 0) do (m,n) je ravno Delannoyjevo
število D(m,n).
Števila Q(m,n, ℓ) so simetrična za vsak ℓ ∈ N: Q(m,n, ℓ) = Q(n,m, ℓ).
Prav tako so tudi Delannoyjeva števila simetrična: D(m,n) = D(n,m).
Oboja števila pa imajo rekurzijo. Za števila Q(m,n, ℓ) pridemo do nje z
naslednjim razmislekom. Denimo, da smo v ℓ − 1 koraku prispeli iz točke
(0, 0) v eno izmed točk (m−1, n), (m,n−1), (m−1, n−1). Takih možnosti
je Q(m− 1, n, ℓ− 1) +Q(m,n− 1, ℓ− 1) +Q(m− 1, n− 1, ℓ− 1). Iz katere
koli od omenjenih točk pa je potreben samo še en korak, da prispemo v
točko (m,n). Zato za števila Q(m,n, ℓ) za vse ℓ ≥ 1, m ≥ 1 in n ≥ 1 velja
rekurzija
Q(m,n, ℓ) = Q(m− 1, n, ℓ− 1) +Q(m,n− 1, ℓ− 1) +Q(m− 1, n− 1, ℓ− 1)
pri robnih pogojih Q(0, n, ℓ) = δn,ℓ in Q(m, 0, ℓ) = δm,ℓ, kjer je δ znani
Kroneckerjev simbol. Posebej namreč za m > 0 pomeni Q(m, 0, ℓ) število
poravnav niza dolžine m in praznega niza ⋄. Poravnavo, in to dolžine m,
v tem primeru dobimo samo na en način, z brisanjem vseh znakov niza σ.
Zato je Q(m, 0,m) = 1. Analogno najdemo: Q(0, n, n) = 1. Prazen niz pa
poravnamo s praznim nizom tudi le na en način, zato je Q(0, 0, 0) = 1.
Vpeljimo za ℓ ∈ N množico parov
T (ℓ) = {(i, j) ∈ N× N, 0 ≤ i ≤ ℓ, 0 ≤ j ≤ ℓ, i+ j ≥ ℓ}.
Na tej množici so števila Q(m,n, ℓ) pozitivna, na N×N\T (ℓ) pa so enaka 0.
Zgled je tabela 3. V funkcionalni analizi bi rekli, da je T (ℓ) nosilec funkcije
(m,n) 7→ Q(m,n, ℓ). Pri danem ℓ velja zanimiva enakost
∑
(m,n)∈T (ℓ)
Q(m,n, ℓ) = 3ℓ,
ki jo dokažemo z metodo matematične indukcije glede na parameter ℓ in s
pravkar dokazano rekurzijo, ki jo imajo števila Q(m,n, ℓ).
Za Delannoyjeva številaD(m,n) pa velja za vsem ≥ 1 in n ≥ 1 rekurzija
D(m,n) = D(m− 1, n) +D(m,n− 1) +D(m− 1, n− 1) (5)
138 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
n ↑
8 1 17 145 833 3649 13073 40081 108545 265729
7 1 15 113 575 2241 7183 19825 48639 108545
6 1 13 85 377 1289 3653 8989 19825 40081
5 1 11 61 231 681 1683 3653 7183 13073
4 1 9 41 129 321 681 1289 2241 3649
3 1 7 25 63 129 231 377 575 833
2 1 5 13 25 41 61 85 113 145
1 1 3 5 7 9 11 13 15 17
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 m→
Tabela 1. Delannoyjeva števila D(m,n).
pri robnih pogojih D(m, 0) = D(0, n) = 1. Dokažemo jo bodisi iz rekurzije
za števila Q(m,n, ℓ) in z vsoto (4) ali pa neposredno z naslednjim premisle-
kom.
Denimo, da smo prispeli po Delannoyjevi poti iz točke (0, 0) v eno izmed
točk (m−1, n), (m,n−1), (m−1, n−1). Takih možnosti je seveda natančno
D(m− 1, n) +D(m,n− 1) +D(m− 1, n− 1). Iz katere koli od omenjenih
točk pa je potreben samo še en dovoljen korak, da prispemo v točko (m,n).
Zato za števila D(m,n) velja zgornja rekurzija, s pomočjo katere lahko hitro
izračunamo Delannoyjeva števila za majhne m in n (tabela 1).
Obstaja več zapisov števil D(m,n). S formulo (3) na primer dobimo
D(m,n) =
m+n
∑
ℓ=max(m,n)
(
ℓ
m
)(
m
m+ n− ℓ
)
=
m+n
∑
ℓ=max(m,n)
(
ℓ
n
)(
n
m+ n− ℓ
)
,
pa tudi
D(m,n) =
min(m,n)
∑
k=0
(
m
k
)(
n
k
)
2k . (6)
Slednjo lahko izpeljemo popolnoma kombinatorično. Vsaki Delannoyjevi
poti od (0, 0) do (m,n) namreč lahko povratno enolično priredimo neki niz
simbolov H,V,D, pri čemer le-ti po vrsti označujejo horizontalni, vertikalni
in diagonalni korak. Vzemimo v takem nizu na piko podniza K = HV ,
nekakšen levi ovinek ali koleno, in podniz D. Delannoyjevih poti, na katerih
133–145 139
Marko Razpet
se K ali D pojavita natanko k-krat, je ravno
(
m
k
)(
n
k
)
2k.
Prvi faktor pomeni število načinov, na katere lahko k-krat nastopi eden od
omenjenih podnizov po horizontali dolžine m, drugi faktor število načinov,
na katere lahko k-krat nastopi eden od omenjenih podnizov po vertikali
dolžine n, tretji faktor pa pove, da k-krat izbiramo med dvema podnizoma.
Število vseh Delannoyjevih poti potem dobimo kot rezultat seštevanja po
vseh možnih številih k.
Pri malo večjih m in n so števila D(m,n) zelo velika, na primer:
D(10, 10) = 8 097 453 , D(16, 24) = 85 275 509 086 721.
Zato je dobrodošla kakšna ocena. A. Raichev in M. C. Wilson sta v [3]
izpeljala asimptotično formulo
D(Nm,Nn) ∼
(
n
L−m
)Nn(
m
L− n
)Nm√
mn
2πNL(m+ n− L)2
za N →∞, kjer je L =
√
m2 + n2.
Preden končamo razdelek, si še oglejmo, kdaj so trinomski koeficienti
največji, in lep primer, v katerem se pojavijo Delannoyjeva števila, čeprav
ni neposredno povezan z Delannoyjevimi potmi.
Vemo, da binomski koeficienti z izbranim zgornjim indeksom n in spo-
dnjim indeksom k (n, k ∈ N) pri lihih n dosežejo dvakrat svojo največjo vre-
dnost, pri sodih pa enkrat. Trinomski koeficienti pa pri izbranem zgornjem
indeksu dosežejo svojo največjo vrednost enkrat ali trikrat. Za največjo
vrednost Qℓ trinomskega koeficienta
(
ℓ
i, j, k
)
=
ℓ!
i!j!k!
(i, j, k ≥ 0, i+ j + k = ℓ)
namreč dobimo izraz
Qℓ =
(
ℓ
⌊ ℓ3⌋, ⌊ ℓ+13 ⌋, ⌊ ℓ+23 ⌋
)
.
Razlikovati je treba tri možnosti glede na ostanek pri deljenju števila ℓ
s 3. Označimo z mℓ in nℓ tisti števili, pri katerih je Qℓ = Q(mℓ, nℓ, ℓ). V
tabeli 2 so zbrane vse možnosti.
140 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
ℓ mℓ nℓ Qℓ
3λ 2λ 2λ ℓ!
λ!3
2λ 2λ+ 1
3λ+ 1 2λ+ 1 2λ ℓ!
λ!2(λ+1)!
2λ+ 1 2λ+ 1
2λ+ 1 2λ+ 2
3λ+ 2 2λ+ 2 2λ+ 1 ℓ!
λ!(λ+1)!2
2λ+ 1 2λ+ 1
Tabela 2. Števila Qℓ so odvisna od oblike indeksa ℓ.
Da ne bi imeli napačnega vtisa, da smo Delannoyjeva števila vpeljali
zgolj zaradi štetja poravnav nizov in Delannoyjevih poti, povejmo, da se
pojavljajo še marsikje, o čemer pa lahko več izvemo v izčrpni obravnavi
[5]. Omenimo samo primer. Za vsako pozitivno celo število n in vsako
nenegativno celo število m je v množici
On(m) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ Zn : |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ≤ m}
natančno D(m,n) točk. Podrobnosti najdemo na primer v [4].
n ↑
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
7 8 56 168 280 280 168 56 8
6 28 168 420 560 420 168 28
5 56 280 560 560 280 56
4 70 280 420 280 70
3 56 168 168 56
2 28 56 28
1 8 8
0 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 m→
Tabela 3. Števila Q(m,n, 8) na nosilcu T (8). Največja so v okvirčkih.
Vemo, da je Rn poln metrični prostor za normo ||(x1, x2, . . . , xn)|| = |x1|+ |x2|+ . . .+
|xn| in da so v tem prostoru zaprte krogle s sredǐsčem v točki (0, 0, . . . , 0) in s polmerom
r ≥ 0 množice
Kn(r) = {(x1, x2, . . . , xn) ∈ R
n : |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn| ≤ r}.
133–145 141
Marko Razpet
Potemtakem množica On(m) vsebuje natanko vse točke s celoštevilskimi koordinatami
krogle Kn(m) in D(m,n) pove število teh točk.
Samo po sebi je zanimivo, kako poimenovati nekatere geometrijske objekte v prostoru
R
n. Za n = 1 imamo opravka kar z množico R, ki jo točka x1 = 0 razdeli na dva dela: na
pozitivna in negativna števila. Krogla K1(r) pa je kar daljica s krajǐsčema v točkah −r in
r. Za n = 2 koordinatni osi x1 = 0 in x2 = 0 razdelita ravnino R
2 na 4 kvadrante, krogla
K2(r) pa je običajni kvadrat z oglǐsči (±r, 0) in (0,±r). Za n = 3 koordinatne ravnine
x1 = 0, x2 = 0 in x3 = 0 razdelijo prostor R
3 na 8 oktantov, krogla K3(r) pa je oktaeder
z oglǐsči (±r, 0, 0), (0,±r, 0) in (0, 0,±r).
V splošnem primeru koordinatne hiperravnine x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 razdelijo
prostor Rn na 2n delov, ortantov. Krogla Kn(r) pa je n-razsežno hipertelo z oglǐsči
(±r, 0, 0, . . . , 0), (0,±r, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . ,±r).
Imena za to hipertelo so različna. Po analogiji s primerom n = 3 mu pravijo n-razsežni
hiperoktaeder. V uporabi pa sta tudi imeni krǐzni politop in ortopleks. Za naravno število
m ima torej n-razsežni hiperoktaeder natanko D(m,n) celoštevilskih točk.
Levenštejnova razdalja
Videli smo, da vsaki poravnavi pravih besed σ = a1a2 . . . am in τ = b1b2 . . . bn
v niza σ′ = a′1a
′
2 . . . a
′
ℓ in τ
′ = b′1b
′
2 . . . b
′
ℓ ustreza neka Delannoyjeva pot med
točkami množice M(m,n) in obratno. Delu poravnave na j-tem mestu,
zapisane s stolpcem oblike
[
a′j
b′j
]
,
pa lahko določimo tudi kazen ali ceno c(j, σ′, τ ′). Ta kazen je pozitivna,
vzeli bomo kar 1, če sta komponenti različni, in 0 sicer. To se pravi:
c(j, σ′, τ ′) =
{
1 , če je a′j 6= b′j ,
0 , če je a′j = b
′
j .
Isto lahko zapǐsemo tudi z relacijo c(j, σ′, τ ′) = ν(a′j 6= b′j), pri čemer ν(I)
pomeni Boolovo vrednost (1 ali 0) izjave I. Celotno kazen ali ceno poravnave
pa definiramo kot
c(σ′, τ ′) =
ℓ
∑
j=1
c(j, σ′, τ ′).
Želimo pa si, da je c(σ′, τ ′) najmanǰsa. Najmanǰsa kazen poravnave be-
sed σ, τ je Levenštejnova razdalja dL(σ, τ) med njima. Poimenovana je po
Vladimirju Iosifoviču Levenštejnu, leta 1935 rojenem ruskem znanstveniku,
uveljavljenem na področju teorije informacij in kod za popravljanje napak.
Za vsako besedo σ je dL(σ, σ) = 0 in dL(σ, ⋄) = |σ|. Levenštejnova razdalja
142 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
med besedama pove najmanǰse število vrivanj, brisanj in zamenjav znakov,
ki so potrebni za poravnavo teh besed.
Od poravnav
AKSI OM AKSIOM
 V ZRO K VZR OK
.....=.. ....=.
ima prva kazen c = 7, druga pa najmanǰso, c = 5. Znaki pod poravnavo
povejo kazen: pika 1 kazensko točko, enačaj nobene. Zato je v našem pri-
meru dL(AKSIOM, VZROK) = 5. Enako kazen imajo lahko različne poravnave
istih besed.
Algoritem za iskanje Levenštejnove razdalje med nizoma najdemo v mar-
sikaterem viru s tega področja, v našem jeziku je lepo opisan v [6]. Zato
bomo zgolj navedli ta algoritem za iskanje razdalje dL(σ, τ) besed
σ = a1a2 . . . am , τ = b1b2 . . . bn,
ki nam da tudi Delannoyjevo pot ustrezne poravnave. Rešitev je lahko več.
Definiramo števila L(i, j), kjer je 0 ≤ i ≤ m in 0 ≤ j ≤ n. Najprej za
0 ≤ i ≤ m in 0 ≤ j ≤ n postavimo
L(i, 0) = i, L(0, j) = j. (7)
Nato računamo rekurzivno z relacijo
L(i, j) = min(L(i− 1, j) + 1, L(i, j − 1) + 1, L(i− 1, j − 1) + ν(ai 6= bj))
in na koncu dobimo dL(σ, τ) = L(m,n). Z uvedbo polkolobarja (R ∪
{∞},⊕,⊙), v katerem sta definirani operaciji ⊕ in ⊙ s formulama
x⊕ y = min(x, y) in x⊙ y = x+ y,
lahko zapǐsemo
L(i, j) = 1⊙L(i− 1, j)⊕ 1⊙L(i, j − 1)⊕ ν(ai 6= bj)⊙L(i− 1, j − 1), (8)
kar spominja na rekurzijo Delannoyjevih števil v obliki
D(i, j) = 1 ·D(i− 1, j) + 1 ·D(i, j − 1) + 1 ·D(i− 1, j − 1) .
S polkolobarjem (R ∪ {∞},⊕,⊙) se ukvarja tropska matematika, ki je
dobila ime po vremenskih lastnostih Brazilije, kjer jo je okrog leta 1990 ute-
meljila skupina francoskih in brazilskih matematikov kot samostojno teorijo.
133–145 143
Marko Razpet
R 6 5 4 4 3 2 3
E 5 4 3 3 2 2 3
T 4 3 3 2 1 2 3
S 3 2 2 1 2 3 4
I 2 1 1 2 3 4 5
S 1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6
S E S T R A
Tabela 4. Števila L(i, j).
Pogosto je s tem v zvezi omenjen matematik in informatik madžarskega rodu
Imre Simon (1943–2009). V tropsko matematiko spadata na primer tropska
geometrija in tropska algebra. Tropska matematika je pripravna tudi za
obravnavo nekaterih problemov kombinatorike in dinamičnega programira-
nja, kamor uvrščamo tudi prej opisano iskanje Levenštejnove razdalje med
nizoma.
Oglejmo si primer etimološko bližnjih besed SESTRA in SISTER. Z upo-
rabo robnih pogojev (7) in rekurzije (8) izpolnimo tabelo 4 števil L(i, j).
Torej je dL(SESTRA, SISTER) = L(6, 6) = 3. Od L(6, 6) naredimo obratno
Delannoyjevo pot do L(0, 0). Splošno: v levo, če je L(i − 1, j) < L(i, j);
navzdol, če je L(i, j−1) < L(i, j); diagonalno, če je L(i−1, j−1) ≤ L(i, j).
V našem primeru imamo dve rešitvi:
R 6 5 4 4 3 2 3
E 5 4 3 3 2 2 3
T 4 3 3 2 1 2 3
S 3 2 2 1 2 3 4
I 2 1 1 2 3 4 5
S 1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6
S E S T R A
R 6 5 4 4 3 2 3
E 5 4 3 3 2 2 3
T 4 3 3 2 1 2 3
S 3 2 2 1 2 3 4
I 2 1 1 2 3 4 5
S 1 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6
S E S T R A
Tabela 5. Ustrezni Delannoyjevi poti sta naznačeni s števili v krepkem tisku.
Ustrezni poravnavi sta:
SESTRA SEST RA
SISTER SISTER 
=.==.. =.==.=.
144 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Poravnava nizov in Delannoyjeva števila
Poravnava nizov in genetika
Že skoraj 70 let (od leta 1944, veliko o tem je v [7]) je znano, da so v vseh
živih organizmih razen v nekaterih virusih nosilke dednih informacij mole-
kule deoksiribonukleinske kisline (DNK). Molekulo DNK si predstavljamo
kot dvojno vijačnico, sestavljeno iz riboznih (sladkornih) in fosfatnih gra-
dnikov. Obe vijačnici pa prečno povezujejo pari dušikovih baz adenin (A),
citozin (C), gvanin (G) in timin (T). Vedno sta v komplementarnem paru:
adenin in timin ter citozin in gvanin. Molekulo DNK si lahko predstavljamo
tudi kot lestev, ki smo jo zvili okoli njene vzdolžne simetrale, klini lestve
pa so pari dušikovih baz. Tako zgradbo sta leta 1953 na podlagi svojih
in predhodnih raziskav drugih znanstvenikov predvidela molekularni biolog
in fizik F. H. Crick (1916–2004) in molekularni biolog J. D. Watson (ro-
jen leta 1928), ki sta leta 1962 skupaj s fizikom in molekularnim biologom
M. D. Wilkinsom (1916–2004) prejela Nobelovo nagrado za fiziologijo ali
medicino. Slednji je z rentgensko metodo potrdil predvidevanje prvih dveh.
Vzdolž izbrane vijačnice molekule DNK si sledijo dušikove baze v nekem
zaporedju, ki ga vedno beremo v dogovorjeni smeri, vzdolž preostale vijač-
nice pa v obratnem komplementarnem zaporedju. Zaporedje lahko obravna-
vamo kot niz znakov abecede {A,C,G, T, -}. Črtico - je smiselno pridružiti
abecedi, ker z njo v zaporedju označimo izbris ali delecijo posamezne baze.
V nizu baz je zakodiran dedni zapis organizma. Genetiki s posebnim postop-
kom pridejo do teh nizov, jih poravnavajo in primerjajo med sabo. Tako
ugotavljajo na primer evolucijsko sorodnost med organizmi, ki jim DNK
pripada.
Povezavo med številom poravnav nizov in Delannoyjevimi potmi ter upo-
rabo v genetiki obravnava veliko del, na primer [2].
LITERATURA
[1] C. Banderier, S. Schwer, Why Delannoy numbers?, Journal of Statistical Planning and
Inference 135 (11/2005), str. 40–54.
[2] L. Pachter, B. Sturmfels, The mathematics of phylogenomics, SIAM Review 49 (2007),
št. 1, str. 3–31.
[3] A. Raichev, M. C. Wilson, A new method for computing asymptotics of diagonal co-
efficients of multivariate generating functions, arXiv:math/0702595v1, 9 str.
[4] M. Razpet, Nekaj primerov kombinatoričnega preštevanja, Matematika v šoli 13
(2007), št. 1–2, str. 78–96.
[5] R. A. Sulanke, Objects counted by the Delannoy numbers, Journal of Integer Sequences
6 (2003), članek 03.1.5, 19 str.
[6] A. Taranenko, Razdalja med nizi, Presek 35 (2007/08), št. 1, str. 25–27.
[7] J. D. Watson, A. J. Berry, DNK – skrivnost življenja, Modrijan, Ljubljana, 2007.
133–145 145
PERIODNA PREGLEDNICA IN ZGRADBA ATOMOV
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 31.15.bt
Mednarodno leto kemije 2011
”
bo proslavilo dosežke kemije in njene prispevke k bla-
ginji človeštva“. Ob tej priliki je vredno pregledati kvantne korenine periodne preglednice
elementov. To je stičǐsče fizike in kemije, pomembno za poučevanje obeh. V kemiji
razpravo pogosto začnejo s statističnim modelom atoma. Ta model okvirno pojasni vr-
stni red, v katerem elektroni v atomih polnijo podlupine (n, l), ki jih označujeta glavno
kvantno število n in obhodno kvantno število l. Vrstni red izraža Madelungovo pravilo:
elektroni polnijo podlupine z naraščajočo vsoto n+ l, pri enaki vsoti pa z naraščajočim n.
THE PERIODIC TABLE AND THE STRUCTURE OF ATOMS
The Internationl year of chemistry 2011
”
will celebrate the achievements of chemi-
stry and its contributions to the well-being of mankind“. On this occasion it appears
worthwhile to review the quantum roots of the periodic table of elements. This is a point
of contact of physics and chemistry, important for the teaching of both. In chemistry the
discussion is often begun with the statistical model of the atom. In this model the order
in which electrons are filling the subshells (n, l), characterized by the principal quantum
number n and the orbital quantum number l, can be understood. The order is expressed
by the Madelung rule: the subshells fill up in the order of the increasing sum n + l and
for equal sums in the order of increasing n.
Thomas-Fermijev model
Satyendranath Bose, profesor fizike v Daki, je leta 1923 članek, ki mu ga je
zavrnila angleška revija, poslal Albertu Einsteinu, s katerim sta prej izme-
njala nekaj pisem. Einstein je članek prevedel in ga leta 1924 dal objaviti s
pohvalno pripombo. Bose je ugotovil, da v faznem prostoru vsakemu stanju
ustreza celica s prostornino h3 s Planckovo konstanto h. Vsaka točka faznega
prostora enega delca s šestimi dimenzijami – tri opǐsejo lego delca in tri nje-
govo gibalno količino – podaja stanje delca. V letih 1924 in 1925 je Einstein
na Bosejev način obdelal plin in napovedal Bose-Einsteinovo kondenzacijo.
Privzel je, da dano stanje lahko zasede poljubno število delcev.
Enrico Fermi je leta 1926 raziskal množico delcev, za katere velja Pau-
lijeva prepoved, da danega stanja ne more zasesti več delcev kot eden. S
tem je postavil osnove Fermi-Diracove statistike. Raziskovanje je nadaljeval
146 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Periodna preglednica in zgradba atomov
in leto zatem razvil statistični model atoma [1]. Enaka misel je vodila Lle-
wellyna Thomasa, tako da model imenujemo po obeh [2]. Okoli atomskega
jedra se giblje veliko elektronov, vezanih na jedro. Naboj elektronov, poraz-
deljenih okoli jedra, določa električno polje, to pa določa energijo elektronov.
Povezava obojega napove porazdelitev elektronov po razdalji. Rezultat velja
okvirno za vse atome, ki imajo dovolj elektronov, da jih smemo obravnavati
statistično. S tem izgubimo značilnosti atomov posameznih elementov, a
pridobimo teoretično utemeljen pregled nad atomi vseh elementov.
Izhodǐsče koordinatnega sistema postavimo v jedro in množico elektro-
nov obravnavamo, kot da bi bili neodvisni drug od drugega. Glede lege in
glede hitrosti so vse smeri enakovredne. Zanimamo se za delce v tanki kro-
gelni lupini med polmeroma od r do r+dr s prostornino 4πr2dr. Po gibalni
količini pa zajamemo delce v notranjosti Fermijeve krogle s polmerom naj-
večje gibalne količine pF in prostornino 4πp
3
F /3. Lego obravnavamo drugače
kot gibalno količino, ker nam gre za porazdelitev elektronov po oddaljenosti
od jedra. Tako dobimo število stanj v krogelni lupini:
dN = 2 · 4πr2dr · 4πp3F /(3h3) .
Z dvojko upoštevamo spin elektrona z dvema mogočima usmeritvama, s h3
v imenovalcu pa prostornino fazne celice.
Elektroni se gibljejo v vseh mogočih smereh z velikostjo gibalne količine
od 0 do pF . Največja gibalna količina ustreza največji kinetični energiji
Wk0 =
1
2p
2
F /m, če je m masa elektrona. Polna energija vezanega elektrona,
ki jo sestavljata kinetična in potencialna energija W = Wk +Wp, je nega-
tivna. Elektroni s pozitivno polno energijo bi zapustili atom. V skrajnem
primeru velja potem 12p
2
F /m = −Wp. Krogelne lupine smo izbrali, da zno-
traj vsake lupine potencialno energijo lahko obravnavamo kot konstantno.
V osnovnem stanju atoma so vsa stanja pod energijo 12p
2
F /m zasedena,
nad njo pa nezasedena. Število zasedenih stanj določa število elektronov:
dN = 32π2r2(−2mWp(r))3/2dr/(3h3) . (1)
Do porazdelitve elektronov v atomu po razdalji od jedra nas pripelje Gaus-
sov zakon o električnem pretoku. Električni pretok skozi krogelno ploskev
s polmerom r je enak naboju v notranjosti ploskve: DS = ε0E · 4πr2 =
−e0
∫
dN . Pri tem je −e0 naboj elektrona in E = (dWp/dr)/e0 jakost
električnega polja. Električni pretok je:
ε0E · 4πr2 = ε0
1
e0
dWp
dr
· 4πr2 = e0Z − e0
∫ r
0
dN
dr
dr .
146–155 147
Janez Strnad
Enačbo odvajamo po r in z (1) dobimo:
d
dr
(
r2
dWp
dr
)
= − 8e
2
0π
3ε0h3
r2(−2mWp)3/2 .
Potencialno energijo elektrona v atomu nastavimo kot
Wp(r) = −e20Zχ(r)/(4πr) .
Pri tem je Z vrstno število elementa, ki je enako številu pozitivnih osnovnih
nabojev jedra in številu elektronov v nemotenem atomu. Funkcija χ(r)
meri odstopanje od potencialne energije elektrona v polju golega jedra, v
katerem bi veljalo χ(r) = 1. To zares velja zelo blizu jedra: χ(0) = 1.
V zelo veliki razdalji pa ni polja, ker naboj elektronskega oblaka izravna
naboj jedra: χ(∞) = 0. Razdaljo r izrazimo z novo spremenljivko r =
αx z α = 12(3π/4)
2/3rB/Z
1/3. Bohrov polmer je rB = ε0h
2/(πme20) =
4πε0~
2/(e20m) = 0,0528 nm. Pri tem je ~ = h/(2π). Naposled dobimo
diferencialno enačbo:
d2χ
dx2
=
χ(x)3/2
x1/2
, χ(0) = 1, χ(∞) = 0 , (2)
ki so jo velikokrat rešili numerično [2]. Thomas-Fermijev model je uporabno
orodje za raziskovanje pozitivnih in celo negativnih ionov ter sipanja. Tu se
zanimamo samo za nevtralne atome v osnovnem stanju in model izkoristimo
le v poučevalske namene.
Vrtilna količina
Energija elektronov v atomu je odvisna še od obhodne vrtilne količine. Tudi
v tem koraku sledimo Fermiju [1]. V Fermijevi krogli, v kateri so vse smeri
enakovredne, si zamislimo os skozi izhodǐsče in krajevni vektor ~r v smeri te
osi. Vektorju gibalne količine ~p, ki ustreza točki v krogli, priredimo kom-
ponento p⊥ v ravnini, pravokotni na os. Vektor obhodne vrtilne količine
elektrona ~L = ~r× ~p ima tedaj velikost L = rp⊥. Pri računanju porazdelitve
elektronov po komponenti gibalne količine p⊥ se zgledujemo po preǰsnjem ra-
čunu. Elektronom s komponento gibalne količine med p⊥ in p⊥+dp⊥ ustreza
tanka valjasta plast z obsegom osnovne ploskve 2πp⊥, vǐsino 2
√
p2F − p2⊥ in
debelino dp⊥, torej s prostornino 4πp⊥
√
p2F − p2⊥ dp⊥. Velikost vrtilne ko-
ličine L =
√
l(l + 1) ~ razvijemo v vrsto za velik l: L = (l + 12)~. Zapisani
148 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Periodna preglednica in zgradba atomov
izraz predelamo in za spremembo komponente gibalne količine dp⊥ = dL/r
vstavimo ~/r, ker se obhodno kvantno število l spreminja v skokih po 1:
4π
L
r
~
r
√
p2F −
L2
r2
=
h2
πr2
(l + 12)
√
p2F − L
2
r2
.
Tako smo poskrbeli za porazdelitev elektronov po komponenti vrtilne koli-
čine. Upoštevati moramo še krajevno porazdelitev. To naredimo tako, da
dobljeni izraz pomnožimo s prostornino tanke krogelne lupine 4πr2dr:
dNl =
2
h3
h2
πr2
(l + 12)
√
p2F − L
2
r2
· 4πr2dr = 4(2l+1)h
√
p2F − L
2
r2
dr .
Prva dvojka zopet upošteva dve usmeritvi spina in h3 v imenovalcu prostor-
nino fazne celice. Pod korenom vstavimo p2F =−2mWp=2m(Ze20/4πε0r)χ(r)
in L2 = (l + 12)
2
~
2. S spremenljivko x = r/α sledi:
dNl =
2(2l + 1)
π
√
aχ(x)
x
− b
x2
dx (3)
z a = (3πZ/4)2/3 in b = (l + 12)
2. Porazdelitev elektronov po obhodnem
kvantnem številu l dobimo, ko v enačbi (3) integriramo po območju, na
katerem je izraz pod korenom pozitiven. Fermi je vse zapleteno računanje
opravil numerično.
Za utemeljitev periodne preglednice potrebujemo splošen račun, zato
uporabimo približek za funkcijo χ(x). Dokaj natančen preprost približek
χT (x) = 1/(1 + cx)
2 s c = (π/8)2/3 je leta 1954 predložil T. Tietz [3].
Približek v bližini izhodǐsča odstopa od funkcije χ(x) in v izhodǐsču ne zrase
čez vse meje. Vendar približek izpolnjuje zahtevo
∫
∞
0
√
xχ3/2(x) dx = 1, ki
sledi iz zveze N = Z
∫ x
0
√
xχ3/2(x)dx in ki nadomesti robni pogoj χ(∞) =
0 [4].
Nl =
2(2l + 1)
π
∫ x2
x1
√
a
x(1 + cx)2
− b
x2
dx
integriramo med ničlama, med katerima je izraz pod korenom pozitiven. Ta
izraz predelamo v:
−bc2(x2 + (2/c− a/(bc2))x+ 1/c2)
x2(1 + cx)2
in izračunamo ničli:
x1 =
a
2bc2
− 1
c
−
√
a2
4b2c4
− a
bc3
in x2 =
a
2bc2
− 1
c
+
√
a2
4b2c4
− a
bc3
.
146–155 149
Janez Strnad
Račun integralov ob pomoči tablic ni zapleten, a je zamuden. Rezultat pa
je preprost [5], [4], [6]:
Nl =
2(2l + 1)
π
· π
(
√
a
c
− 2
√
b
)
= 2(2l + 1)((6Z)1/3 − (2l + 1)) . (4)
Madelungovo pravilo
Erich Madelung je postavil pravilo:
”
Urejevalno načelo [. . . ] je leksikograf-
ska urejenost po številih n+ l, n“ in pristavil:
”
Teoretične utemeljitve prav
tega vrstnega reda še ni.“ [7] Po tem pravilu elektroni zasedajo podlupine
(n, l) po naraščajoči vsoti glavnega in obhodnega kvantnega števila n + l.
Če je vsota enaka, pa se vrstni red ravna po naraščajočem glavnem kvan-
tnem številu.1 Madelung je načelo spoznal leta 1926 [4], objavil pa v tretji
izdaji svoje knjige [7]. Prvi del načela o vsoti n+ l je objavil Charles Janet
že leta 1927.
Vrednosti obhodnega kvantnega števila zaznamujemo s simboli: l = 0
s s, l = 1 s p, l = 2 z d, l = 3 s f, l = 4 z g. Podlupina (n, l) ima
2(2l + 1) stanj (magnetno obhodno kvantno število ml teče od −l do l,
magnetno spinsko kvantno število pa je ms = −12 ali ms = 12). Število stanj
v podlupini zapǐsemo kot eksponent. Po Madelungovem pravilu si ustvarimo
preglednico podlupin:
(6s)2, (4f)14, (5d)10, (6p)6.
(5s)2, (4d)10, (5p)6,
(4s)2, (3d)10, (4p)6,
(3s)2, (3p)6,
(2s)2, (2p)6,
(1s)2.
Razpored podlupin, s katerim je povezana elektronska konfiguracija ato-
mov, si zapomnimo z risbo (slika 1). Pri tem se pustimo voditi navzdol
poševnim puščicam in pri podlupini s, v kateri so elektroni močno vezani
na jedro, preskočimo v nižjo vrstico. Števila stanj v vrsticah so 2, 8, 8, 18,
1Pravilo velja za nemotene atome. V atomih, ki so izgubili veliko elektronov, se pol-
nijo podlupine z naraščajočim n, pri enakem n pa z naraščajočim l. To sta ugotovila
S. A. Goudsmit in P. I. Richards [4].
150 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Periodna preglednica in zgradba atomov
18, 32. Zaporedne vsote teh števil dajo vrstna števila žlahtnih plinov helija
(2), neona (10), argona (18), kriptona (36), ksenona (54) in radona (86), ki
ustrezajo dolžinam period v preglednici.
1s2
2s2 2p6
3s2 3p6 3d10
4s2 4p6 4d10 4f14
5s2 5p6 5d10 5f14
6s2 6p6 6d10 6f14
7s2 7p6 7d10 7f14
Slika 1. Z risbo si zapomnimo, kako si po Madelungovem pravilu sledijo podlupine.
Madelungovo pravilo ne velja strogo, poznamo dvajset izjem. Več jih
pojasnimo
”
z velikim številom multipletnih stanj v zapletenih elektronskih
konfiguracijah, medtem ko težǐsče stanj morda ustreza pravilu. Energija
enega od teh stanj se lahko zniža zaradi velike zamenjalne interakcije.“ [4]
Tako sta na primer zadnji podlupini atoma kroma z Z = 24 (4s)1, (3d)5, ne
(4s)2, (3d)4 in atoma bakra z Z = 29 (4s)1, (3d)10, ne (4s)2, (3d)9.
Utemeljitev
Prvi del Madelungovega pravila je prvi utemeljil V. M. Klečkovski [5]. Kra-
tek članek, v katerem je izhajal iz enačbe (4), je zbudil precej pozornosti.
V francosko govorečih deželah pravilo pogosto imenujejo po Klečkovskem,
ne po Madelungu.
Sledimo D. Pan Wongu, ki je utemeljil tudi drugi del pravila in rezultate
Fermijevih numeričnih računov primerjal z rezultati Tietzevega približka
(slika 2) [5]. Enačba (4) v okviru Thomas-Fermijevega modela povezuje
tri spremenljivke: število elektronov v atomu Nl v podlupinah z določenim
obhodnim kvantnim številom l, število l in vrstno število Z. Z njo lahko za
146–155 151
Janez Strnad
element z danim vrstnim številom Z izračunamo število elektronov z danim
obhodnim kvantnim številom l. Ugotovimo lahko, pri katerem vrstnem šte-
vilu se začne polniti kaka podlupina. Tako na primer za element z vrstnim
številom Z = 10, neon, za l = 3 dobimo negativno število Nl, kar kaže,
da atom neona ne vsebuje elektronov v podlupini f. Napovemo lahko, pri
katerem vrstnem številu se začnejo prehodni elementi. Za l = 2 in Nl = 0
sledi (6Z)1/3 = 7 in Z = 21, skandij. Podobno lahko napovemo, pri katerem
vrstnem številu se začnejo lantanidi. Za l = 3 sledi Z = 57, lantan.
10
20
30
20 40 60 80
Nl
Z
s
p
+
+ + +
+
+ +
+
+ + + + + +
+
+
bc bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
bc
bc bc bc bc
bc
bc
bc
Slika 2. Število elektronov Nl z danim obhodnim kvantnim številom l = 0 (s) in l = 1 (p)
v odvisnosti od vrstnega števila Z. Gladko krivuljo je Fermi dobil z numerično integracijo,
črtkano krivuljo da Tietzev približek, krožci in križci pa kažejo eksperimentalne vrednosti
[6].
Podlupina (n, l) sprejme največ 2(2l+1) elektronov. RazmerjeNl/(2(2l+
1)) povežemo z največjim kvantnim številom n podlupine, ki jo v atomu
zasedajo elektroni. To je podlupina z naǰsibkeje vezanimi, valenčnimi ele-
ktroni. Pri danem glavnem kvantnem številu n obhodno kvantno število
zavzame vrednosti l = 0, 1, . . . , n − 1. Glavno kvantno število je n =
1, 2, . . . , l + 1. Največje glavno kvantno število, ki zadeva valenčne elek-
152 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Periodna preglednica in zgradba atomov
trone, je n = l + 1. Tako postavimo:
Nl
2(2l + 1)
= n− (l + 1) . (5)
Zvezo preizkusimo. Vzemimo atom z Nl = 20 elektroni p, to je l = 1.
Enačba n = 3, 3 + 1 + 1 napove n = 5. Pogled na preglednico podlupin
pokaže, da je zares treba v peto vrstico do zadnje podlupine 5p, če naj bo
v tej in v vseh nižjih podlupinah v atomu 18 do 24 elektronov p.
Enačbi (4) in (5) dasta:
n+ l = (6Z)1/3 . (6)
Zvezo preizkusimo za atom z Z = 60 elektroni, neodim, za katerega je
(6Z)1/3 = 7,11. Po enačbi (4) je v tem atomu po 12, 25, 21 in 2 elektronov, ki
imajo po vrsti obhodno kvantno število 0, 1, 2 in 3 in glavno kvantno število
7, 6, 5 in 4. Elektronov g z l = 4 v atomu neodima ni. Pogled na preglednico
podlupin pokaže, da je v atomu s 60 elektroni z elektronsko konfiguracijo
(1s)2 | (2s)2, (2p)6 | (3s)2, (3p)6 | (4s)2, (3d)10, (4p)6 | (5s)2, (4d)10, (5p)6 |
(6s)2, (4f)4 12 elektronov s, 24 elektronov p, 20 elektronov d in 4 elektroni
f. Valenčna podlupina je 4f. Odstopanja opozorijo na to, koliko smemo
zaupati modelu.2 Da Thomas-Fermijev model opǐse povprečne lastnosti
atomov, se zavemo, če zvezne krivulje modela primerjamo s stopničastimi
eksperimentalnimi rezultati (slika 3).
Enačba (6) pove, da vsota n+ l narašča z naraščajočim vrstnim številom
in utemelji prvi del Madelungovega pravila. Odvod dl/(−dn) = 1 spominja
na sliko 1. Podlupinam z enako vsoto n+ l ustreza približno enaka energija.
Če je Nl/(2(2l+1)) celo število, so z elektroni zasedene vse podlupine z da-
nim obhodnim kvantnim številom l in različnimi glavnimi kvantnimi števili
n. Ker je 2l+1 celo število, neceli del izvira od člena z (6Z)1/3. Ta člen da
tem več valenčnih elektronov, čim večje je obhodno kvantno število l. Od
dveh podlupin z enako vsoto n+ l s približno enako energijo ima podlupina
z večjim l več valenčnih elektronov in ji ustreza manǰsa energija. Podlupini
z manǰsim l ustreza torej večja energija. Po enačbi (6) se pri danem Z vsota
n + l ne spreminja, zato večja energija ustreza podlupini z večjim n. To
utemelji drugi del Madelungovega pravila.
2Neodim kot lantanid sodi med izjeme Madelungovega pravila. Skoraj pri vseh lanta-
nidih se polni notranja podlupina (4f) in ostaja valenčna podlupina (6s)2.
146–155 153
Janez Strnad
0
5
0
10
0
10
0
10
0 25 50 75 100 Z
Nl
Nl
Nl
Nl
s
p
d
f
Slika 3. Število elektronov Nl z danim obhodnim kvantnim številom l v odvisnosti od
vrstnega števila Z za različne vrednosti l. To je izpopolnjena odvisnost s slike 2. Gladke
krivulje je navedel Fermi (1), črtkaste je dal izpopolnjeni račun, ki ga nismo omenili,
stopničaste pa kažejo eksperimentalne vrednosti. Diagram opozori na pomanjkljivosti
Thomas-Fermijevega modela [2].
Sklep
S sklepanjem smo utemeljili periodno preglednico elementov. Kako trdno
se komu zdi sklepanje, je stvar osebne presoje. Vsi kemiki niso zadovoljni z
njim. E. Sceri opozarja, da ne kaže pretiravati z izjavami, kako kvantna me-
hanika utemelji periodno preglednico [8]. Težave vidi v
”
zaključkih period“
2, 10, 18, 36, 54, 86. Kaže, da se mu Madelungovo pravilo z dvajsetimi izje-
mami zdi preohlapno. Zavzema se za strožjo utemeljitev, ki naj bi vključila
tudi popravke zaradi posebne teorije relativnosti.
Učbeniki fizike uberejo navadno drugačno pot, na kateri Madelungo-
154 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
Periodna preglednica in zgradba atomov
vega pravila ne omenijo. Za vodikov atom rešijo Schrödingerjevo enačbo.
Rešitev uporabijo za ion z enim elektronom in razvijejo približek golega je-
dra. Uvedejo približek krogelno simetričnega povprečnega polja, v katerem
obravnavajo gibanje Z-tega elektrona v polju jedra in krogelno simetrič-
nega oblaka preostalih Z − 1 elektronov. V tem približku podlupine ležijo
med ustreznimi podlupinami v vodikovem atomu in v približku golega jedra.
Ugotovijo, da oblak pri danem številu n z naraščajočim l sega vse dalje od
jedra in se energija podlupine z naraščajočim l bliža ustrezni energiji pri
vodiku. Tako se na primer podlupina (3d) vrine med podlupini (4s) in (4p).
Rezultate je mogoče izbolǰsati z računom z notranje usklajenim poljem, pri
katerem račun ponavljajo kot iteracijo. Postopek je razvil Douglas Rayner
Hartree leta 1928. Še bolǰse rezultate dobijo, če v celoti vključijo Paulijevo
prepoved na način, ki sta ga predlagala John C. Slater in Vladimir A. Fock
okoli leta 1930.
Nekaterim kemikom se zdi prva pot posrečena. “Ni presenetljivo, da
Tietzeva rešitev Thomas-Fermijevega modela ponudi za malenkost napačen
odgovor. Preprosto osupljivo je, da s tako izrazito predpostavko o elektron-
skem plinu okoli jedra dobimo odgovor, ki je blizu pravega rezultata.“ [6]
Na obeh poteh se je treba sprijazniti s približki in se zadovoljiti z okvirno
utemeljitvijo periodne preglednice. Ob Mednarodnem letu kemije se zdi
smiselno, da fiziki spoznajo pot, ki jim ni domača, čeprav so jo pripravili
fiziki.
LITERATURA
[1] E. Fermi, Eine statistische Methode zur Bestimmung einiger Eigenschaften des Atoms
und ihre Anwendung auf die Theorie des periodischen Systems der Elemente, Zeit-
schrift für Physik 48 (1928), 73–79.
[2] P. Gombas, Statistische Behandlung des Atoms, Handbuch der Physik (ur. S. Flügge)
XXXVI, Atome II, Springer, Berlin 1956, str. 109.
[3] T. Tietz, Approximate analytic solution of the Thomas-Fermi equation for atoms,
Journal of Chemical Physics 22 (1954) 2094–2095; Comparison of the approximate
solution for free neutral atoms, 23 (1955), 1167.
[4] S. A. Goudsmit, P. I. Richards, The order of electron shells in ionized atoms,
Phys. Rev. 51 (1964), 664–671.
[5] V. M. Klečkovski, K obosnovaniju pravila posledovatel’nogo zapolnenija (n+l)-grup,
Žurnal eksperimental’noj i teoretičeskoj fyziki 41 (1961), 465–466.
[6] D. Pan Wong, Theoretical justification of Madelung’s rule, Journal of Chemical Edu-
cation 56 (1979), 714–717.
[7] E. Madelung, Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers, Springer, Berlin 1936,
str. 359, 360.
[8] E. R. Sceri, How good is the quantum mechanical explanation of the periodic system,
Journal of Chemical Education 75 (1998), 1384–1385.
146–155 155
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 156 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
ROBERT BLINC (1933–2011)
Robert Blinc se je rodil leta 1933. Na Univerzi v Ljubljani je diplomiral leta
1958 in doktoriral leta 1959. Po doktoratu se je izpopolnjeval na Massac-
husetts Institute of Technology v ZDA. Redni profesor Univerze v Ljubljani
je postal leta 1970. Za rednega člana SAZU je bil izbran leta 1976. Na
Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani, katere dekan
je bil v obdobju 1976–1978, je predaval na dodiplomskem in podiplomskem
študiju. Njegova predavanja so bila izjemno cenjena. Akademik prof. dr. Ro-
bert Blinc je bil gostujoči profesor na vrsti uglednih tujih univerz.
Raziskovalno je deloval na Institutu Jožef Stefan. Raziskoval je feroe-
lektrike z vodikovimi vezmi, tekoče kristale, inkomenzurabilne sisteme, pro-
tonska in devteronska stekla, relaksorje ter magnetoelektrične sisteme. Je
eden od utemeljiteljev uporabe jedrske magnetne resonance pri raziskavah v
fiziki kondenzirane snovi. Med njegovimi raziskovalnimi dosežki velja pose-
bej omeniti Blinc-De Gennesov tunelski model feroelektrikov z vodikovimi
vezmi,
”
soft mode“ teorijo faznih prehodov v nematskih in feroelektričnih
tekočih kristalih in določanje ekscitacij ter gostote solitonov v inkomenzu-
rabilnih sistemih z jedrsko magnetno resonanco. Pokazal je, kako lahko s
pomočjo magnetne resonance določimo Edwards-Andersonov ureditveni pa-
rameter in porazdelitveno funkcijo lokalne polarizacije v devteronskih ste-
klih in relaksorjih. Akademik prof. dr. Robert Blinc je raziskal tudi vrsto
magnetoelektričnih sistemov, v katerih hkrati obstajata spontana polariza-
cija in spontana magnetizacija. O rezultatih raziskav je skupaj s sodelavci
poročal v velikem številu mednarodno odmevnih člankov. Je tudi soavtor
treh knjig, ki obravnavajo feroelektrike, tekoče kristale in inkomenzurabilne
sisteme. Avgusta letos je pri založbi Oxford University Press izšla njegova
zadnja knjiga z naslovom Advanced Ferroelectricity. Bil je član širših ure-
dnǐskih odborov vrste mednarodnih znanstvenih revij, predsednik mednaro-
dnega združenja za magnetne resonance AMPERE in predsednik evropskega
komiteja za feroelektrike.
Akademik prof. dr. Robert Blinc je bil za svoje izjemno raziskovalno
delo deležen vrste domačih in mednarodnih priznanj. Leta 1999 je postal
častni doktor Univerze v Bukarešti, leta 2003 pa častni doktor Univerze v
Ljubljani. Prejel je Kidričevo nagrado za fiziko v letih 1965 in 1971, nagrado
156 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 157 — #2 i
i
i
i
i
i
AVNOJ leta 1978 in Zoisovo nagrado za življenjsko delo leta 2008. Ambasa-
dor znanosti je postal leta 1991. Leta 2002 je prejel zlati častni znak svobode
Republike Slovenije. Prejel je nagrado mednarodnega združenja magnetne
resonance ISMAR leta 1977 in nagrado Mednarodnega združenja za jedr-
sko kvadrupolno resonanco leta 2004. Akademik prof. dr. Robert Blinc je
bil član Saške akademije znanosti v Leipzigu, grške akademije znanosti v
Atenah, Evropske akademije znanosti in umetnosti (Salzburg), Evropske
akademije (London), Hrvaške akademije znanosti, Makedonske akademije
znanosti, Poljske akademije znanosti in Mednarodne inženirske akademije s
sedežem v Moskvi. Akademik prof. dr. Robert Blinc je bil od leta 2003 tudi
častni član Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
Janez Seliger
OSEMNAJSTO MEDNARODNO TEKMOVANJE
ŠTUDENTOV MATEMATIKE
Leta 1994 sta Univerza v Sofiji in University College London organizirala
prvo mednarodno tekmovanje študentov matematike v Plovdivu v Bolga-
riji. Namen začetnih tekmovanj, ki jih je finančno podpiral evropski projekt
Tempus, je bila primerjava kvalitete študija na evropskih univerzah. Slo-
venci se tekmovanja redno udeležujemo od leta 1995. Pogosto se z nostalgijo
spominjam prvih tekmovanj, ko je le nekaj več kot 60 tekmovalcev reševalo
izjemno estetske matematične naloge, popoldneve preživljalo ob nogome-
tnih tekmah, večere pa ob breskvah, melonah, lubenicah in sangriji, ki jo je
pripravljala španska ekipa.
Z leti je tekmovanje postalo zelo popularno in zares mednarodno. Letos
je tekmovalo že več kot 300 študentov iz 44 držav. Tako tudi organizacija
tekmovanja postaja čedalje bolj zahtevna. Zaradi tradicije in zelo dobrih
izkušenj z Amerǐsko univerzo v Bolgariji je bilo tekmovanje letos že šestič v
Blagoevgradu.
Tekmujejo študentje prvih štirih letnikov. Med tekmovalci se najdejo
tudi fiziki in študenti tehničnih fakultet. Naloge so v grobem iz snovi, ki se
na večini študijev matematike predavajo v prvih dveh letih.
Dan po prihodu je sestanek vodij ekip, kjer do poznega večera izbiramo
tekmovalne naloge. Izbrati je treba deset nalog, po pet za vsak tekmo-
valni dan. Teža nalog narašča z zaporedno številko; prvo nalogo reši večina
študentov, zadnje pa skoraj nihče. Pazimo tudi, da so različna področja
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 157
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 158 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 1. Slovenska ekipa: Peter Muršič, Miha Habič, Tom Primožič, Marjan Jerman, Jan
Kralj in Jure Vogrinc.
matematike smiselno zastopana. Končni izbor nalog je dosežen z glasova-
njem. Letos sem bil nad izborom nalog prvič razočaran. Vodje ekip, ki v
tekmovanju vidijo nadaljevanje srednješolskih olimpijad, so izglasovali ne-
sorazmerno veliko nalog, kjer se namesto občutka in talenta za matematiko
preverja tekmovalne izkušnje in poznavanje trikov. Tako v končnem izboru
ni bilo nobene lepe naloge iz realne ali kompleksne analize.
Naslednja dva dneva študenti tekmujejo, vodje ekip pa ocenjujemo na-
loge. Da bi zagotovili največjo mero poštenosti, vsako nalogo neodvisno
popravita dva ocenjevalca, ki se morata kasneje strinjati z oceno. Seveda
so možne tudi pritožbe, ki se upoštevajo, če se z njimi strinjata vsaj dva
popravljavca ali pa neodvisna, vnaprej izbrana komisija treh vodij ekip.
Kot običajno sem se javil za ocenjevanje zelo lepe naloge iz linearne
algebre, ki je bila prvi dan zastavljena kot druga naloga:
I.2. Ali obstaja realna matrika A velikosti 3× 3 s sledjo 0, za katero velja:
A2 +A> = I ?
158 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 159 — #4 i
i
i
i
i
i
Osemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Študenti so našli kar nekaj različnih rešitev, ena od njih gre takole:
Matrika A je normalna, ker je
AA> = A(I −A2) = (I −A2)A = A>A .
Zato imata matriki A in A> iste lastne vektorje, ustrezne lastne vrednosti
pa so konjugirane. Vsaka lastna vrednost mora tako izpolnjevati enakost
λ2 + λ̄ = 1 ,
zato je λ =
1±
√
5
2
.
Vsota lastnih vrednosti matrike A je enaka sledi matrike A. Hitro se
lahko prepričamo, da samo s števili oblike
1±
√
5
2
ne moremo dobiti vsote
0.
Iz rešitve se lepo vidi, da je privzetek o velikosti in realnosti matrike
odveč. Ta dva privzetka pa sta koristna, če se reševanja naloge lotimo
drugače. Hitro se recimo vidi, da je vsota kvadratov lastnih vrednosti enaka
3. S premetavanjem enačbe in Vietovimi formulami lahko dobimo še vsoto
četrtih potenc lastnih vrednosti in nato pokažemo, da takemu sistemu enačb
ne zadoščajo ničle karakterističnega polinoma z realnimi koeficienti.
Drugi dan je bila kot druga zastavljena zelo simpatična kombinatorična
naloga z elementi znanstvenofantastične sociologije:
II.2. V neki nezemeljski rasi so osebe treh različnih spolov. Poročeni
trojček je sestavljen iz treh oseb paroma različnih spolov, ki so si med seboj
všeč. Vsaka oseba je lahko v največ enem poročenem trojčku. Čustva v rasi
so vedno obojestranska: če je oseba x všeč osebi y, velja tudi obratno.
Oddaljeni nenaseljeni planet želijo kolonizirati z odpravo, v kateri je po
n oseb vsakega spola. Ugotovili so, da je vsakemu članu odprave všeč vsaj
k oseb vsakega od preostalih dveh spolov. Naloga odprave je tvoriti čim
več poročenih trojčkov, ki bodo sčasoma z v zakonu rojenimi otroki poselili
planet.
(a) Če je n sodo število in je k =
n
2
, pokaži, da morda ni mogoče ustvariti
niti enega poročenega trojčka.
(b) Če je k ≥ 3n
4
, pokaži, da je vedno možno ustvariti n disjunktnih poro-
čenih trojčkov in tako poročiti vse člane odprave.
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 159
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 160 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
Prvi del naloge je zelo lahek, za drugi del pa se je treba pošteno potruditi.
Pomaga uvedba relacije
”
si nista všeč“, za katero se izkaže, da ne pokriva
prevelikega dela populacije.
Zelo zanimiva je bila tudi četrta naloga prvega dneva, ki kaže, kako lepo
se da rešiti na videz zapleteno nalogo z malo bolj globokim vpogledom v
matematiko.
I.4. Naj bodo A1, . . . , An končne neprazne množice. Funkcija f je defini-
rana s pravilom
f(t) =
n∑
k=1
∑
1≤i1<...<ik≤n
(−1)k−1t|Ai1∪...∪Aik | .
Pokaži, da je funkcija f nepadajoča na intervalu [0, 1]. (Pri tem |A| kot
običajno pomeni moč množice A.)
Naj bo Ω =
⋃n
i=1Ai. V podmnožico X ⊂ Ω izbiramo elemente iz Ω tako, da
je element x ∈ Ω izbran v množico X z verjetnostjo t, neodvisno od izbora
preostalih elementov.
Potem je
P (C ⊂ X) = t|C| .
Po načelu vključitve in izključitve je
P ((A1 ⊂ X) ali (A2 ⊂ X) ali . . . ali (An ⊂ X)) =
=
n∑
k=1
∑
1≤i1<...<ik≤n
(−1)k−1P (Ai1 ∪ . . . ∪Aik ⊂ X) =
=
n∑
k=1
∑
1≤i1<...<ik≤n
(−1)k−1t|Ai1∪...∪Aik | .
Verjetnost P ((A1 ⊂ X) ali (A2 ⊂ X) ali . . . ali (An ⊂ X)) pa je nepa-
dajoča funkcija argumenta t.
Kako varljiv je lahko prvi vtis, kaže zadnja naloga prvega dneva, ki je
na prvi pogled čisto obvladljiva. Na koncu se je izkazalo, da so se le trije
študentje približali rešitvi:
I.5. Naj bo n naravno število in V (2n − 1)-razsežen vektorski prostor
nad obsegom Z2 = {0, 1}. Pokaži, da lahko za poljubne vektorje v1, . . .,
160 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 161 — #6 i
i
i
i
i
i
Osemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Slika 2. Rilski samostan.
v4n−1 ∈ V najdemo zaporedje takšnih indeksov 1 ≤ i1 < . . . < i2n ≤ 4n− 1,
da je
vi1 + . . .+ vi2n = 0 .
Rešitev poteka s pomočjo zelo zvite indukcije in manj razsežnih kvocientnih
prostorov.
Po končanem izboru nalog sem javno izrazil svoje pomisleke o manjkajoči
lepi nalogi iz analize. Po tesnem preglasovanju so me nekateri vodje ekip
skušali prepričati, da v analizo spada tretja naloga drugega tekmovalnega
dneva:
II.3. Določi vrednost vsote
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
ln
(
1 +
1
2n
)
ln
(
1 +
1
2n+ 1
)
.
Uradna rešitev (ki po mojem ni zelo analitična) gre takole:
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 161
i
i
“Selinger” — 2011/10/5 — 19:35 — page 162 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
Za n ≥ 1 naj bo f(n) = ln
(n+ 1
n
)
. Preverimo lahko, da velja
f(2n) + f(2n+ 1) = f(n).
Znana neenakost ln(1 + x) ≤ x pove tudi, da je f(n) ≤ 1
n
.
Definirajmo še funkcijo
g(n) =
2n−1∑
k=n
f3(k) < nf3(n) ≤ 1
n2
.
Tedaj je
g(n)− g(n+ 1) = f3(n)− f3(2n)− f3(2n+ 1)
= (f(2n) + f(2n+ 1))3 − f3(2n)− f3(2n+ 1)
= 3(f(2n) + f(2n+ 1))f(2n)f(2n+ 1)
= 3f(n)f(2n)f(2n+ 1) ,
zato je
N∑
n=1
f(n)f(2n)f(2n+ 1) =
1
3
N∑
n=1
(g(n)− g(n+ 1)) = 1
3
(g(1)− g(N + 1)) .
Ker gre g(N + 1)→ 0, ko gre N →∞, je iskana vsota enaka
∞∑
n=1
f(n)f(2n)f(2n+ 1) =
1
3
g(1) =
1
3
ln3(2) .
Po tekmovanju smo si ogledali znameniti Rilski samostan. Komisija je
nato pregledala še zadnje pritožbe in določila meje za nagrade.
Slovenijo so zastopali Miha Habič, Jan Kralj, Tom Primožič in Jure
Vogrinc z Univerze v Ljubljani in Peter Muršič z Univerze na Primorskem.
Miha Habič in Jan Kralj sta dobila tretjo nagrado, drugi pa pohvalo.
Več o tekmovanju in o preǰsnjih tekmovanjih lahko preberete na spletni
strani: http://www.imc-math.org
Marjan Jerman
162 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 163 — #1 i
i
i
i
i
i
ŠOLA
UTRINEK K LANSKEMU POSVETU NA SAZU
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
Septembra lani je Slovenska akademija znanosti in umetnosti povabila na
posvet, o katerem je Obzornik podrobneje poročal (Mojca Čepič, Posvet o
pouku fizike, kemije in matematike na Slovenski akademiji znanosti in ume-
tnosti, Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 25–29). Na posvetu so učitelji fizike,
kemije in matematike na vseh stopnjah poročali o razmerah na naših šo-
lah in težavah, ki jih tarejo. Razpravljali so o pomenu fizike v vsakdanjem
življenju, o kvaliteti pouka matematike, o novih prijemih v poučevanju nara-
voslovnih predmetov, o stalnem strokovnem spopolnjevanju učiteljev, o slabi
motiviranosti učencev, o nekritični podpori staršev. Posvetu sta se pozneje
pridružila tudi minister za šolstvo in šport in v. d. direktorja Direktorata
za visoko šolstvo na Ministrstvu za visoko šolstvo, znanost in tehnologijo in
razkrila nekaj svojih pogledov. Čeprav so bile na posvetu misli usmerjene
predvsem v prihodnost, sem kot zastopnik odhajajočega rodu želel opozo-
riti na napake iz preteklosti, da jih ne bi ponavljali. Po nastopu ministra
in direktorja pa se mi je zazdelo, da prihajata iz sveta, ki se tako razlikuje
od sveta matematikov, fizikov in kemikov, da bi moja vprašanja zgrešila
namen. Čeprav je od posveta poteklo že dobro leto, bodo morda kakega
člana društva opozorila na širši vidik naših šolskih težav.
• Ali morebiti ne razpravljamo o težavi, ki je samo del obsežneǰsih te-
žav? Ali ni naša družba pretirano asimetrična? Ali ne vodijo države
in njenih ustanov pravniki, ekonomisti in drugi, ki nimajo uravnoveše-
nega pogleda na matematiko in naravoslovje? Ali to, kar so načrtovali,
primerjamo z dosežki, da bi ugotovili, v kakšno smer bi bilo smiselno
usmeriti razvoj?
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 163
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 164 — #2 i
i
i
i
i
i
• Ali v zadnjih šestdesetih letih slovenski šolski sistem ni preživel vrste
sprememb in reform z dvomljivim uspehom? Ali se šolski delavci, ki jim
vsiljujejo spremembe in reforme, teh ne naveličajo in jih ne izvajajo?
Ali je mogoče napovedati, kako se bo razvijal sistem, če se v kratkem
času spremeni preveč okolǐsčin?
• Ali je lahko uspešen poučevalski sistem, če se nenehno znižuje zahtev-
nost in spodbuja prepričanje, da je mogoče doseči znanje brez napora?
Ali zniževanje zahtevnosti na vseh stopnjah šolanja ne spodbuja izbire
poti z najmanj napora?
• Ali pretirana množičnost ne vodi do znižanega znanja? Ali znižano
znanje ne pripelje do zaostajanja gospodarstva? Ali v razvitih državah
gospodarstvo ne poskrbi za izbolǰsanje šolstva, če začenja zaostajati?
NOVE KNJIGE
Marcus du Sautoy, THE NUMBER MYSTERIES: A Mathema-
tical Odyssey Through Every Day Life, Fourth Estate, London,
2010, 316 strani.
Knjiga ni, kot smo v matematiki navajeni, prepolna definicij, izrekov in
njihovih dokazov ter zapletenih tabel in slik, ampak je večinoma usmerjena
v pripovedovanje. S tem naj bi bolje razumeli nekatere matematične vsebine
in probleme, s katerimi se v življenju pravzaprav kar naprej srečujemo.
V prvem poglavju srečamo praštevila, kot že nič kolikokrat v knjigah,
namenjenih širokemu krogu bralcev, ki jih vsaj malo zanima matematika.
Praštevila so skrivnostna, odkar jih poznamo. Neskončno mnogo jih je,
porazdeljena so neenakomerno, v zvezi z njimi je še mnogo nerešenih pro-
blemov, povezana so z znamenito Riemannovo funkcijo zeta, za katero je
prav tako še nerešena Riemannova hipoteza o njenih netrivialnih ničlah.
Drugo poglavje pripoveduje o nenavadnih, včasih nekako izmuzljivih
tvorbah. Govor je o platonskih telesih in kako iz njih dobimo poliedre, ki
so dobri približki za sfero, o mehurčkih in minimalnih ploskvah, kristalnih
strukturah, fraktalih in njihovi dimenziji, predstavitvi štirirazsežnih struk-
164 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 165 — #3 i
i
i
i
i
i
The Number Mysteries
tur, barvanju zemljevidov, obliki
vesolja in Poincaréjevi hipotezi
ter Perelmanovi rešitvi le-te.
Tretje poglavje je posvečeno
logiki, verjetnostnemu računu, te-
oriji iger, magičnim kvadratom,
nekaterim igram, ki so v računal-
nǐski dobi osvojile svet, osnovam
teorije grafov in nekaterim klasič-
nim problemom, ki jih navadno
študiramo v zvezi s tem.
Predzadnje poglavje pa obrav-
nava osnove kodiranja in komuni-
kacij. Tu spoznamo morda neko-
liko manj znane prijeme za tajno
prenašanje sporočil v starih in no-
veǰsih časih, pa bolj znane na-
čine kodiranja, znamenito nem-
ško Enigmo, nazadnje pa tudi
vlogo praštevil pri sodobnem ko-
diranju in prenašanju sporočil, s čimer imamo zadnje čase opraviti skoraj
vsak dan.
Zadnje, peto poglavje se ukvarja z napovedovanjem bodočih dogodkov.
Vemo, kako izračunati datume Sončevih in Luninih mrkov v bližnji priho-
dnosti. Težave pa nam dela na primer že preprosto nihalo, za katero je
težko upoštevati vse okolǐsčine, da bi lahko vnaprej izračunali, kako se bo
obnašalo. Toliko teže je napovedati, kaj se bo dogajalo z vremenom, s po-
pulacijami organizmov, in dogodke v vesolju, saj imajo že majhne naključne
spremembe kake količine lahko katastrofalne posledice.
O avtorju
Marcus Peter Francis du Sautoy, rojen leta 1965 v Londonu, je študiral ma-
tematiko na univerzi v Oxfordu. Na tej univerzi je leta 1989 tudi doktoriral
z disertacijo Discrete Groups, Analytic Groups and Poincaré Series in tam
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 165
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 166 — #4 i
i
i
i
i
i
postal profesor matematike. Njegovo raziskovalno področje je razumevanje
sveta simetrij, pri čemer uporablja različne prijeme, ki vključujejo funk-
cije zeta, p-adične Liejeve grupe, teorijo modelov, algebraično geometrijo
in analitične metode. Leta 1995 je računalnǐski strokovnjak madžarskega
rodu Charles Simonyi podaril univerzi v Oxfordu poldrugi milijon funtov,
da bi ustanovili posebno katedro, ki naj bi skrbela za boľse razumevanje
in popularizacijo znanosti tako znotraj univerze kot zunaj nje. Simonyi je
kar dvakrat poletel v vesolje, kjer je preživel vsega skupaj skoraj mesec dni.
Prvi profesor nove katedre je postal leta 1995 Richard Dawkins, leta 2008
pa ga je nasledil Marcus du Sautoy. Poleg opisane knjige je Marcus du
Sautoy tudi avtor odmevnih knjig The Music of the Primes: Searching to
Solve the Greatest Mystery in Mathematics ter Finding Moonshine: A Ma-
thematician’s Journey Through Symmetry. Slednja je izšla tudi z naslovom
Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature. V Springerjevi zbirki
Lecture Notes in Mathematics sta Marcus du Sautoy in Luke Woodward
objavila delo Zeta Functions of Groups and Rings.
Marcus du Sautoy je za bolǰse razumevanje in popularizacijo znanosti,
zlasti matematike, v sodelovanju z BBC ustvaril tudi številne radijske oddaje
in televizijske nadaljevanke. Od leta 2008 imamo na voljo The Story of Math
v štirih enournih nadaljevanjih na dveh DVD-jih. Avtor nas popelje skozi
celotno zgodovino matematike, kakršno sicer poznamo iz knjig. Ena od odlik
slikovnega in zvočnega zapisa na modernem mediju pa je zagotovo v tem,
da lahko spoznamo pristna okolja, v katerih je nekoč nastajala matematika.
Filmov in DVD-jev o matematiki in njeni zgodovini ni prav veliko, zato je
Sautoyjeva stvaritev še toliko bolj dobrodošla. Za svoje delo je bil Marcus
du Sautoy tudi večkrat primerno nagrajen, nazadnje januarja 2010, ko je
prejel Award of the Joint Policy Board for Mathematics.
Slovenske javne knjižnice du Sautoyjevih del nimajo ravno na pretek.
Morda pa bo ta članek kakšno vzpodbudil, da bo nekoliko razširila svojo
ponudbo tudi z njegovimi deli, ki nam dajo veliko zanimivega branja in nas
vodijo k razmǐsljanju o matematiki in svetu, v katerem živimo.
Marko Razpet
166 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 167 — #5 i
i
i
i
i
i
Origamics
Kazuo Haga, ORIGAMICS, Mathematical Explorations Through
Paper Folding. World Scientific, New Jersey in drugje, 2008, 152
strani.
Origami je znana tradicionalna
japonska umetnost prepogibanja
kvadratnih kosov papirja, s či-
mer dobimo zanimive in estet-
sko oblikovane dvo- ali trirazse-
žne objekte, ki spominjajo na
živali, cvetje in drugo. S se-
stavljanjem različno velikih in
obarvanih objektov lahko ustva-
rimo precej velike in kompleksne
samostoječe izdelke. Nekaj od
tega poznamo iz otroških let, na
primer papirnata letala, papir-
nata pokrivala ali čake in papir-
nate barčice.
Prej ali slej pa spoznamo, da
je ob prepogibanju papirja mo-
žno obravnavati kar precej geo-
metrije in algebre. Robove kva-
dratnega ali pravokotnega kosa
papirja in prepogibne črte imamo za dele premic, oglǐsča in presečǐsča pre-
pogibnih črt pa za točke. Tako lahko po nekaj prepogibih opazujemo kote
in like na papirju in začnemo odkrivati in dokazovati različne odnose med
njimi. S tem beseda origami postane neustrezna, zato je v naslovu knjige
uporabljena beseda origamics, kar bi se dalo posloveniti z besedo origamika,
ki nas spominja na besede matematika, fizika, keramika in druge. Prepogi-
banje papirja je našlo svoje mesto tudi v šolah in na seminarjih za učitelje
matematike. Čeprav je taka dejavnost bolj eksperimentalne in spretnostne
vrste, ji pa vendar moramo priznati, da je naravnana tudi v študij geome-
trije, ki je v šolah po vsem svetu že nekoliko zanemarjena. Origamika je
torej lahko zanimiva in poučna tako za učitelje kot tudi za njihove učence.
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 167
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 168 — #6 i
i
i
i
i
i
Nove knjige
Pokukajmo malo v vsebino knjige. Začetek je namenjen prepogibanju
kvadratnega kosa papirja. Spoznamo tri tako imenovane Hagove izreke.
Nanašajo se na razmere, ki nastanejo, ko prepognemo kvadrat tako, da eno
od njegovih oglǐsč pade na nasprotno stranico. Z dolžino enega od odsekov
lahko izrazimo dolžine preostalih daljic na papirju, in to racionalno, brez
uporabe korenov. To nas v posebnih primerih pripelje do pitagorejskih
trikotnikov in deljenja daljic na več dolžinsko enakih delov.
Nato sledi posplošitev Hagovih izrekov na primer pravokotnega kosa
papirja, ki ima razmerje stranic
√
2 : 1. Papirji formata A imajo ravno to
lastnost. Pravokotnikom s takim razmerjem stranic pravi avtor pravokotnik
s srebrnim razmerjem, kar ni povsem korektno (glej pripombo na koncu
članka), po analogiji z zlatim razmerjem τ = (1 +
√
5)/2.
Z dvema prepogiboma kvadratnega kosa papirja, pri čemer dve sosednji
oglǐsči preideta na nasprotno stranico, pridemo do presečǐsč, ki imajo glede
na stranice in druge točke prav zanimive lastnosti.
S prepogibanjem na vsaki strani različno obarvanega papirja dobimo
v barvi spodnje strani različne like. Če izbrano oglǐsče kvadratnega kosa
papirja postavimo v različne lege, lahko tudi zunaj kvadrata, in ga do konca
prepognemo, dobimo trikotnike, štirikotnike in petkotnike. Zanimivo se je
vprašati, kdaj dobimo katerega od naštetih likov. Mimogrede pa se porodi
še kup drugih vprašanj.
Prav tako nam prepogibanje kvadratnega oziroma pravokotnega kosa
papirja prinaša veliko lepih nalog, če izberemo točko v ravnini papirja in
vanjo zaporedno prepognemo vsa oglǐsča. Lahko pa določimo tudi neko
ravno črto v ravnini papirja in vanjo zaporedno prepogibamo dele njegovih
stranic. Prepogibanje papirja pa lahko usmerimo celo v napeto igro med
udeleženci.
Knjiga bralca vseskozi ne le vzpodbuja, da prepogiba kos papirja, ampak
ga tudi vabi, da opazuje oblike, ki jih pri tem dobi, da jih med seboj primerja
in da samostojno postavlja hipoteze za odnose med dobljenimi geometrij-
skimi objekti ter da jih poskuša tudi dokazati. Pri tem ni treba znati več
kot Pitagorov izrek in lastnosti podobnih trikotnikov ter nekaj algebre za
računanje.
Knjiga je primerno branje za učence in učitelje od vǐsjih razredov osnovne
168 Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4
i
i
“Strnad-Sazu” — 2011/10/6 — 13:19 — page 169 — #7 i
i
i
i
i
i
Origamics
šole naprej. Njena vsebina je natančno in logično razporejena in bogato li-
kovno opremljena. Učitelji in profesorji bodo na prepogibanje papirja morda
nekoliko drugače gledali in vsaj del vsebine vključili v pouk oziroma pre-
davanje. Z veseljem pa jo bo prebral tudi marsikdo, ki se z geometrijo že
dolgo ni ukvarjal,
O avtorju
Kazuo Haga je upokojeni profesor biologije na univerzi v Tsukubi. S pre-
pogibanjem papirja pa se je ukvarjal med poteki dolgotrajnih bioloških eks-
perimentov in za sprostitev med napornim delom z mikroskopom. Opisana
knjiga obravnava samo košček njegovih dognanj, do katerih je prǐsel pri
prepogibanju papirja.
Pripomba
V resnici je srebrno razmerje % = 1 +
√
2. Tako je razmerje stranic pravo-
kotnika, ki ostane, če odrežemo od pravokotnika z razmerjem stranic
√
2 : 1
največji možni kvadrat. Obstaja tudi še bronasto razmerje σ = (3+
√
13)/2.
Vsem tem kovinskim razmerjem so skupne oblike kvadratnih enačb, ki jim
zadoščajo, in njihovi razvoji v neskončne verižne ulomke. Posplošimo: n-to
kovinsko razmerje σn je pozitivni koren enačbe x
2 = nx+ 1 z diskriminanto
D = n2 + 4, ki očitno za noben naraven n ni kvadrat kakega naravnega
števila. Ker je σ2n = nσn +1 oziroma σn = n+1/σn, lahko hitro dobimo ne-
skončen verižni ulomek σn = [n;n, n, . . .]. Temu ustrezajo žlahtnosti kovin
na velikih športnih tekmovanjih. Prvi, n = 1, prejme zlato medaljo; ustreza
mu zlato razmerje τ = σ1, ki se kot verižni ulomek zapǐse s samimi enicami.
Drugi, n = 2, prejme srebrno medaljo; ustreza mu srebrno razmerje % = σ2,
ki se kot verižni ulomek zapǐse s samimi dvojkami. Tretji, n = 3, prejme
bronasto medaljo; ustreza mu bronasto razmerje σ = σ3, ki se kot verižni
ulomek zapǐse s samimi trojkami. Nehvaležnemu četrtemu mestu, n = 4,
ustreza razmerje σ4 in verižni ulomek s samimi štiricami. Lahko pa se četrti
potolaži z enakostjo: σ4 = 2τ + 1.
Marko Razpet
Obzornik mat. fiz. 58 (2011) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2011/10/5 — 21:40 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2011
Letnik 58, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Poravnava nizov in Delannoyeva števila (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . 133–145
Periodna preglednica in zgradba atomov (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . 146–155
Vesti
Robert Blinc (1933–2011) (Janez Seliger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156–157
Osemnajsto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–162
Šola
Utrinek k lanskemu Posvetu na SAZU (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 163–164
Nove knjige
Marcus du Sautoy, The number mysteries: A Mathematical
Odyssey Through Every Day Life (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . 164–166
Kazuo Haga, Origamics, Mathematical Explorations Through
Paper Folding (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167–XV
CONTENTS
Articles Pages
Sequence alignment and Delannoy numbers (Marko Razpet) . . . . . . . . . 133–145
The periodic table and the structure of atoms (Janez Strnad) . . . . . . . . . 146–155
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156–162
School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163–164
New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164–XV
Na naslovnici: Ekviverjetnostne ploskve vodikovih orbital opišejo valovne funkcije
ψn,l,m(r). n je glavno kvantno število, l je tirno magnetno število in m magnetno
kvantno število.