I No ve knj ige Vesna Omladič: MATEMATIKA IN ODLOČANJE • • •• • •• • • • • • Vesna Omladič MATEMATIKA IN ODLOčaNJE • • • • • • • Knjižica z zgornjim naslovom je izšla v zbirki SIGMA. Delo predstavlja obogatitev slovenske matematične literat ure, ne samo zato, ker je prvo, ki obravnava novo področj e teorije odločanja, ampak t ud i, ker širi ma- tematično kult uro na dru žboslovna področja . Knjižica obsega po leg Kazala , Predgovora , Literature in Stvarn ega kazala sedem po glavij na 179 st ra- neh . Tekst ilust riraj o šte vilni pri- meri in pet slik. Seznam lit erature obsega enajst t ekstov, od tega šest domačih . Stvarno kazalo je zelo pre- gledno in popolno ter obsega kar pet st rani. Odlika knjižice je v tem , da je razumljiva širšemu krogu bralcev, torej bralcem , ki nimajo večje mate- matične izob razbe. Za večino tekst a zadostuje predznanj e v obseg u gim- nazijske matem ati ke. Ker se s pro- blemom odločanja srečujemo skoraj vsak dan, bi bilo za vsakogar koristno, da se seznani z nekaterim i ugotovit vami teo rije odločanja in njenimi metodami . Na mesto opisa vseb ine knjižice raj e omenimo nekaj primerov odločanja, ki so podr obno raz ložen i in na kater ih so ilustrirane metode odločanja. V prvem primeru ponudijo igralcu dve možnosti : srečko za loterijo z dobitkom 1000 evrov v 11% primerov in br ez dobitka v 89% primerov ali srečko za loterij o z dobi t kom 5000 evrov v 10% primerov in brez dobitka v 90% primerov. V drugem primeru odločanja je d ilema med priredi t vijo šport nega tekmovanj a , ki bi v lep em vremenu prineslo 25 denarnih enot dobička , v slabem pa le 18 denarnih enot, in veselico, ki bi v prvem primeru prinesla 30 denarnih enot dobička , v dru gem pa le 16. Podobnih primerov odločanj a je v knjižici še več : družinsko odločanj e za nakup avt omobila , ko imajo različni člani družine različne preference, odločanj e volivcev na enokrožnih in dvokrožnih volitvah in pod obn o. Zvonimi r Bohte IPRESEK list za mlade matematike , fizike , astroname in računalnikarje 31. letnik, leto 2003/04, številka 1 , strani 1-64 VSEBINA MATEMATIKA FIZIKA A ST R O N O M IJA RAČUNALNIŠTVO NOVE KNJIGE ZANIMIVOSTI , RAZVEDRILO NOVICE NALOGE T E K M OVA N J A NA OVITKU Troj iški ses tav (Aleksand ar .luri ši č ) 20-21 Žužki - nožiščne kr ivulje as t ero ide (Marko Razpet) 47-52 Ali sloni tečejo? (J anez Strnad) 16- 19 O trenj u , 1. de l (Janez Strnad ) 28-31 S t renje m do viso kih temper atur (Andrej Likar) 34-36 Enakonočje (Marijan P rosen) 8-12 In potem so zav ladali reflektorji (M arijan Prose n) . . . . . 40-46 O razvrstitvah in per mutacijah (Mart in Juvan) 22-27 Vesna Omladič : Mate matika in odločanje (Zvonim ir Bo ht e) II Marija Vilfan in Igor Muševič: Tekoči krist al i (Irena Dreven šek-Olenik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36-37 Drobna o zlatem rezu (Nada R azpet ) 7 Z netranzitivnostjo v igri kock do 'skor a j za nes lj ive ' zmage - reš . st r . 46 (Matej M lakar) 13-15 Križa nka "P oj mi iz a lgebre" - reš . na st r . 39 (Marko Bokal ič ) 32-33 Baloni in vod ne bombe? Ne , zrcala in leče ! (Vida Kariž Mer har) 38-39 Francois Viete (1540 - 1603) , ob štir ist olet n ici smrt i (Marij a Venc elj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-6 Izpitni rezult ati - reš. str. 52 (Marija Vencelj ) 2 Tri različne za na j ml aj še - reš . st r . 31 (Dragolj ub Miloševi č , prev. Marija Ven celj ) . . . . . . . . . . .. 2 Naloga za spretne (in pot rp ežlji ve) računarje - reš . str. 27 (Iva n Vidav ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Tovornjaki - reš . str. 46 (D ušan M urovec) 3 39 . tekmovanje za Zlato Vegovo priznanje (Aleksande r Potočnik) 53-5 4 23. državn o tekm ovanje iz fizike za Zla ta Stefanova prizn anja (Jelisiava Sakelšek) 54-55 1. te kmova nje d ija kov in dij akinj sred nj ih st rokovnih šol iz znanja poslovne matemati ke (Sabina Gajšek) . 55-56 3. tekmovanje dij ak ov t er dijakinj sre d njih po klicni h šol v znanju matemat ike (Dušanka Vrenčur) 56-57 3. tekmo vanje dij akov in d ijakinj sred nj ih teh niški h in st ro kov nih šol v znanj u matem at ike (Darinka Žižek , Polonca Pavlič , Irena Pi vko ) 57-60 47. matematično te kmo va nje sred nješolcev in sred nješolk Slove nije (Matj až Željko) 60-61 41. fizikal no t ekmovanj e srednješolcev in sre d nješolk Sloven ije (C iril Do mi nk o) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-64 S trenj em segret les se začne kad it i (foto An d rej Lika r) . G lej t ud i članek na str. 34 1 Slika k članku na st r. 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Lovca pri pri žiga nj u og nja (k č lanku na str. 34) IV Za vsakogar nekaj I IZPITNI REZULTATI Na zaklj učnem izpi tu iz matematike so učenci od govarj ali na 30 vprašanj. Doseženo število točk je komisija izračunala po formuli T = 4P- N + 30, kjer je P pomenil število pr avilnih odgovorov in N število napačnih od- govorov. Neodgovorje nih vprašanj niso točkovali . Ali se je dalo doseči poljubno celo število točk od Odo 1507 Marija Vencelj Rešit ev je na st r. 52. TRI RAZLIČNE ZA NAJMLAJŠE 1. Ciril je prinesel domov 15 mandarin v št irih plastičnih vrečkah . V vsaki vrečki je bilo liho število mandarin. Kako mu je to uspelo7 2. V naslednji post avitvi t rinajstih vžigalic pr estavite eno vžigalico tako, da boste dobili veljavno enakost . Obstajajo t ri možnosti, poiščite vse. 3. Dan a st a dva trikotnika , eden s st ranicami 10, 13 in 13 enot ter drugi s st ranicami 24, 13 in 13 enot . Ocenite, kateri od trikotnikov ima večjo ploščino . Drago ljub Milo ševi č, prev. Marija Vencelj Rešitve so na str. 31. I .Za vsakogar nekaj NALOGA ZA SPRETNE (IN POTRPEŽLJIVE) RAČUNARJE Naj bost a x in y poljubni od nič različni rea lni števili povezani z enačbo y2 = x(x 2 + 5x - 32) . Oglejmo si zdaj trikotnik s st ranicami a = (32 - x 2 ) y + x (x 2 + 32) , b = (32 - x 2 ) y - x (x 2 + 32) , c = 2x (x 2 + 8x - 32) . (1) (2) Dokaži, da se v te m trikotniku izražajo ploščina p in dvojni težiščnici 2t a in 2tb kot po linomi spremenjlj ivk x in y s celimi koeficienti ! Pripomba 1. Težiščnico ta, ki sega od središča strani ce a do naspro- tnega oglišča, i zračunamo iz enačbe Pod obno dobimo t b iz enačbe 4t~ = 2(a2 + c2 ) - b2 . Pripom ba 2. Če st a števili x in y , ki zadoščata enačbi (1), racionalni , nam daj o obrazci (2) t rikot nik z racion alnimi stranicami a, b in c, v katerem se t udi ploščina in dve težiščnici izražajo z racionalnimi števili. Npr. x = -1 in y = 6 zadoščata enačbi (1). Pripadajoči t rikot nik ima stranice a = 153, b = 219, c = 78. Njegova ploščina je p = 3780, težiščnici pa sta ta = 291/ 2 in tb= 105/ 2. Obstaj a neskončno parov racionalnih št evil x , y , ki zadoščajo enačbi (1). Ivan Vidav Rešitev je na st r. 27. TOVORNJAKI V skladišče so pripelja li 57 to n tovora. Za pr evoz so uporabili 10 tovor- njakov po 8 to n, 4 tone in 3 t one. Koliko je bilo pos ameznih tovornjakov, če so bili vsi polni in je vsak pripeljal le enk rat? Dušan Murovec Rešitev je na st r. 46. Novice I FRANQOIS VrETE (1540 - 1603) Ob štiristoletnici smrt i ax 2 + bx + c = O b Xl + X2 =-- a c X l ' X2 = - a (Vietove formule) Srednješolci t ega sveta poznajo Vie- tovo ime pr edv sem po for mulah , ki povez ujejo rešitve kvadratne enačbe z nje nimi koeficienti . Vendar te zveze še zdaleč niso edini Vietov prisp e- vek matemat iki, čeprav matem atika ni bila njegov poklic. Za svojega življe nja je bil pr edvsem po znan kot učitelj in zaupnik visokega francoskega plemstva ter svetovalec hugenot- skega kralja Henr ika IV., res pa je t ud i, da mu je bila matematika glavno razvedrilo in zabava . Francois Viete se je rodi l let a 1540 v Fontenay-Ie-Comte v Franciji materi Marguerite Dupont in očetu Etiennu Vietu, ki je bi l odvet nik v Fontenayu in notar v Le Busseauju. Francois je bil dvakrat poročen. Najprej z Barb e Cot hereau , po njeni smrti pa z J uliet te Leclerc. Ker je Fr ancois Viete izhaj al iz ugledne družine, je bil deležen naj- boljše možne vzgoj e. Po začetnem šolanju v Fontenayu se je vp isal na študij prava na univerzi v Poit ierju in diplomiral leta 1560. Kot pravnik je deloval št iri let a , nato pa je odložil svoj ur adni poklic in spreje l službo zasebnega učitelj a Cat herine de P ar thenay iz pomembne francoske plemiške družine de Soubise. Njeni družini je sledil najprej v La R oche le in nato v P ariz , kj er ga j e o p azil kralj K arel IX. in ga let a 1573 imenoval za svet nika višjega sodišča v Re nnesu , glavnem mestu province Bretanj e. V Re nnes u je ostal dobrih šes t let , od let a 1580 deloval na vr hovnem sodišču v Parizu in bil hkrat i t ajni svetovalec kr alja Henrika III . Zar adi političnih intrig je bil let a 1584 izgnan z dvora , kamor ga je let a 1589 Henrik III. ponovno poklical, da bi mu zaup al mesto svet nika vrhovnega sodišča , ki je bilo medtem pr eseljeno v Tour s. Novice Kasneje ist ega let a je med šp an sko-fran cosko vojno t udi novi kralj Henrik IV . Navarski povabil Viet a k sodelovanju . Toda ne kot državnega birokrat a , ampak kot matem atika, da bi dešifrir al pr est reženo pismo špan- skega kralj a Filipa II . Šifra je bila tako zapletena, da so se Španci počutili povsem varne. Pretreseni , da je bila odkrita, so se celo pri to žili pri papežu, češ da Francij a v vojni uporablja črno magijo. Iz Toursa se je Viet e leta 1594 vrnil v Pariz in let a 1597 v Fontenay. Ponovno je bil poklican v Pari z 1599. leta , toda konec leta 1602 ga je Henrik IV. odpustil. Francois Viete je umrl v Parizu 23. februarja 1603. V Vietovem življ enju st a bili dve obdobji, ko ni deloval kot pravnik (1564 - 1568 in 1584 - 1589) pa bil toliko plodovitejši drugje. V prvem obdobju je poučeval Catherine de Parthenay. Svoje učitelj ske dolžno sti je vzel z vso resnostjo in pripravlj al za svojo varovanko lekcije z različnih področij , t udi matem atike in nar avoslovj a. Njegovo najstarejše ohra- njeno znanstveno delo je lekcija za Catherine s področj a, s katerim se je Viete ukvarj al pravzaprav vse življenje, namreč povezava matem atike z ast ronomijo in kozmologijo. Pomembno delo s tega področja je Canon mathem aticus, seu ad t riangula cum appe ndicibus (Matematični zborn ik z dod atkom iz t rigonometrije) , ki ga je začel izdaj ati let a 1571. Slu žil naj bi kot matematični uvod v veliko študijo Ptolem ejevega ast ronomskega modela. Viete je namreč vztraj al pri Ptolemej evem geocentričnem mo- delu Osončja (v središču Osončja je Zemlj a), čeprav je že let a 1543 izšla knji ga De revolu ti onibus or bium coelestium, v kater i je Kop ernik pr edst a- vil heliocentrični mod el (središče Oson čj a je Son ce). Viete je spregledal geometrijsko veljavnost Kopernikovega mod ela. S samo matematiko se je Viete veliko ukvarj al predvsem po štiride- sete m letu star osti. Svoja dela je z velikimi usp ehi izdaj al v samozaložbi. Veliko so ga ponati skovali , vendar veljajo mnoga njegova del a danes za izgubljena , čeprav je znano , da so obstajala . Viete ima velike zas luge za razvoj algebre . Izid njegovega najpomembnejšega algebraičnega dela "Isa- goge" (In artem analyticem isagoge) leta 1591 lahko št ejemo za spočetje moderne algebre. V algebri je prvi , še pred Descartesom, uvedel pr eprosto in uporabno simboliko in s te m odprl matematikom pot v algebro. Med prvimi je s črkami pr edstavil t udi števila . Znaka + in - je uporablj al tako, kot ju up orablj amo dan es, A2 pa je pisal "A qu ad ratum" . J e pa še vedno vztrajal na grškem principu homogenosti, po katerem produkt dveh daljic nujno pom eni ploščino, zato lahko sešt evamo daljice le z daljicami, ploščine samo s ploščinami in prostornine s prostorninami. Viete se je ukvarj al tudi z ravninsko in sferno t rigonomet rijo in ta- beliranjem trigonometričnih funkcij. Veljal je za izjemnega mojstra v Novice I računanju s trigonometričnimi funk cijami in je prvi - mod erno povedan o - predst avil trigonometrične funk cije z neskončnimi vrstami. V povezavi algebre s t rigonomet rijo je prevedel Cardanove formule za rešit ev kubične ena č be v trigonometrično obliko, zato je izginil strah pr ed "ire ducibilnim primerom " . Izračunal je vrednost števila "Tr na devet decim alk natančno , pri čemer si je pom agal z dvem a 1296-kotnikom a , ki ju je včrtal in očrtal krožnici. Na dalje je pr edstavil število "Tr z neskončnim produktom in zverižnim ulomkom. Še bi lahko naš tevali , a se ustavim o le ob Vietovem zadnjem delu. To je zvezek "Apollonius Gallus" , ki je izšel let a 1600. V njem je rešil vseh deset konstrukcijskih pro blemov, ki nastopajo v Ap olonij evi nalogi. To je naloga s šest ilom in ravnilom konstruirati vse kro žnice, ki se dotikaj o t reh danih krožnic . Pri tem je vsaka od danih kro žnic lahko izrojena v premi co ali reducirana v točko . To nalogo je zastavil in rešil že antični matematik Ap olonij iz Perge okoli let a 200 pr. n . št . v izgubljenem delu , o katerega obstoju in vsebini vemo nekaj le iz del pozno antičnega matematika Pap- posa. Viet e je kot prvi to domnevno delo obnovil (znan o je, da je vodilni matem atik 15. st olet ja Regiomontanus dvomil v možnost zahtevanih konstrukcij le z uporab o ravn ila in šest ila). Ker je bil Apolonij iz Perge eden naj slavnejših antičnih matem atikov, si je je Viet e z izbiro naslova , pod katerim je rešit ev objavil, pri slu žil vzdevek "Galski Apo lonij" . Ko t zanimivost omenimo še, da je bil Viete ud eležen t udi pri po- pravlj anju julijan skega koledarja . Pri vsakolet nem določanju giblj ivih pr aznikov! je dolgo veljala velika zmeda. Hiter razvoj astronomije je opozoril na ta problem , predlagani so bili številni novi koledarji. Pap ež Gregor XIII. je sklica l veliko število matem atikov, astronomov in visokih cerkvenih dostojan st venikov, ki so se odločili sprejeti koledar , kakršnega je predl agal Clavius . Da bi odpravili napako, ki je nas tala z julijanskim koledarj em , so spreje li sklep, da 4. oktobru 1582 takoj sledi 15. oktober 1582 , za naprej pa je bil sprejet popravek glede prestopnih let. Grego- rij an ski koledar je pri nekaterih znanstvenikih, med katerimi je bil t udi Viete, nal et el na veliko nasprotovanj e. Viete je sicer cen il delo, vloženo v reformo koledarja , kljub temu pa si je dovolil, da ga je proti koncu življenja zaneslo v neupravičeno polemiko s Claviusom. Ko je Clav ius odklonil, da bi v koledar vn esel popravke, ki jih je predložil Viete, se mu je ta 1602. oddolžil z objavo pamflet a , ki je bil enako nasil en kot nepošten. Marija Vencelj 1 Velika noč je na prvo nedeljo po prvi spo mladanski polni luni. Datume ost alih giblj ivih pr aznikov , kot so pust, bin košt i, . . . določijo glede na datum velike noči . IAstronomija DROBNA O ZLATEM REZU o zlatem rezu je bilo v P reseku objavljenih že nekaj člankov. Tokrat si oglejmo le kr atko nalogo , kat ere reš ite v je povezana z zlatim rezom. Imejmo pravokotni trikotnik, kat erega stranice so trij e zap oredni členi aritmetičnega zapore dja . Stranice trikotnika lahko zapišemo kot b = b, a = b - d, c = b + d, pr i čemer je drazlika aritmetičnega zaporedja. Iz Pitagorovega izreka sled i a = 3d , b = 4d c = 5d . b - x .rl , ~E , I , T I I X I /, c Rešit ev je torej klasični egipčanski pravokotni t r ikotn ik, ki im a stranice v razme rju 3 : 4 : 5. Brez ško de lahko izb erem o d = 1. Narišimo sime t ralo kot a , ki leži nasp roti dalj še kat et e. To je v našem primeru kot (3 . Simetrala odreže na kateti bodseka IGTI = x in ITAl = b - x . Podalj šajmo daljico BT za x, da dobimo točko E. Izračunajmo razm erj e daljic IBEI : IBGI. B a C Simet rala kota (3 deli kateto b v razmerju priležnih stranic kota (3. To pomeni , da je x : (b - x ) = a : c in ab 3 X = - - = -. c+ a 2 Velja 3 3 3(v'5+ 1)IBEI = va2 + x2 + X = -V5 + - = . 2 2 2 Iskano razm erj e je IBEI v'5 + 1 IBGI 2 to pa je ravno razmerje zlatega reza. Za kon ec si narišimo še zla t i pravokotnik BFGE, ki ima st ranici IBEI in IBFI = IBGI B v razm erju zlatega reza. A c E , I I I , / a , c G I I I I / / F Nada Razpet Is ENAKONOČJE Astronomija I P a je spe t t u . Kdo? Kaj ? Jesensko enakonočje vendar, ko sta dan in noč enako do lga, ko se pri nas , na seve rni zem eljski poluti , uradno začne (koledarska ali astronomska) jesen . Letos se začne 23. 9. ob 12. uri in 47 minut , navedli bi lah ko celo sekunde , a ne bodimo preveč natančni . Za naše razmi šljanje zapisani pod atek povsem zadost uje . Kaj se pravzaprav vsako leto na Zem lji oziroma v vesolju zgodi, da je ta t renute k izbran! (gre za dogovor) za začetek jeseni ? Oglejmo si astronoms ke razmere ob enakonočju . Zanima nas predvsem dvoj e, in sicer • kaj se v tem času dogaj a v veso lju , pr i čemer mislimo na medsebojno lego Sonca in Zemlj e, oziroma natančneje , mis limo na kot med smerjo sončevih žarkov in sme rjo Zem ljine vrtilne osi; • kako to doživlj amo na Zem lji , pri čemer mislimo na opazovano dnevno pot Sonca nad obzorj em ob enakonočju . Beseda nanese na enakonočje, ko obravnavamo let ne čase . Ti pred- st av ljajo v našem življe nju enega najpome mb nejših nar avnih pojavov. Nekateri mislij o, da je to povsem geografska t em a. Daleč od tega! --.... terminator ( m ej a- med dnevom in noV-o) Slika l . Lega Zemlj in e vrtiine os i g lede na Sončeve ža rke ob jesenskem a li spo m lad an- ske m enakonočj u. V kr aju A na ze meljskem ekvatorju a li v kr a ju B na vz po re d niku sta dan in noč enako d olga , saj sta ob a kr a ja ena ko časa os vetljena in enako časa v t emi . 1 M et eorološka jesen se začne že 1. se pt em bra (do govor) . Podobno kot o jesen skem enakonočj u lahko razmišljamo o spo m ladanskem, ki se zgod i vsako le t o okoli 21. 3. Met eorološka pom lad se začne že 1. m ar ca . S t ujko enakonočj u rečemo ekvin okcij (iz la ti nskih besed aequus - enak in n ox - noč) . Astronomija Letni časi na stajajo zara di krože nja Zemlj e okrog Sonca, vendar zato , ker je Zemljina vrtilna os za kot 66,5° naklonj ena k ravnini Zemljinega t ira kro ženj a in ohranja svojo smer. Zaradi tega svetlobni žarki, ki prihaj aj o s Sonca, na obe zemeljs ki polut i med letom padajo pod različnim kotom . Kad ar opoldne padaj o na določeno ploskev na Zemljinem površju strmo , se ploskev bolj segreva (poletj e), ko pa padajo položno, se segreva manj (zima) . Opomba. Če bi bila Zemljina vr tilna os pravoko tna na ravnino Zemlji- nega kroženj a , letnih časov ne bi bilo. P rav tako jih ne bi bilo, če se Zemlj a ne bi vrtela . Čeprav se v bistvu Zemlj a giblje okrog Sonca po rahlo sploščeni elipsi in je enkrat Soncu najbliže (za nas pozimi ), drugič pa naj dlje (za nas poleti) , pa to na potek letnih časov ne vpliva. Enakonočje najbolje pojasnimo, če pozorno zasledujemo, kaj se do- gaja s kotom med smerjo Sončevih žarkov in smerjo Zemljine vrtilne osi. Med let om se t a kot spreminja: od to pega kot a (90° + 23,5°) do ostrega (90° - 23,5°) in od ost reg a do to pega, dvakrat v letu pa doseže vrednost pr avega kot a , torej 90° , prvič v prvi polovici let a , drugič v drugi. V prvem primeru govorimo o spomlad anskem enakonočju - na severni polu ti se začne pomlad (na južni jesen ) , v drugem primeru o jesenskem - na severni Severna polobla strmo padanje žarkov - poleti 21 . junij Južna polobla položno padanje žarkov - pozimi 21. marec 23.september Severna polob la položno padanje žarkov - pozimi 21. decembe r Južna polobla strmo padanje žarkov - polet i Slika 2. Št ir i znači lne lege Zem lje na nje nem t iru okr og So nca. Med letom Zemlj ina vrtiina os ohranja smer in naklon pro ti ravnini Zemlj inega kroženj a . Zato so na našem planetu let ni časi. Astronomija I po luti se začne jesen (na južni pom lad ). Trenutek, ko omenjeni kot doseže 90° , je mogoče napovedat i do sekunde natančno , vend ar v navadnem življe nju zados t uje na ur o, večkrat celo na dan natančen podatek. Za utrdi t ev pojma let nih časov si velja dobro ogledati sliko 2, ki poj asnjuje začetek letnih časov s prikazom kroženj a Zem lje okrog Sonca . s s S 7 žarkov 5 žarkov 3 žarki najmočnejše segrevanje manj še manj ( ( ( ( ( s Ožarkov nič Slika 3. Čim višje nad obzorj em je Sonce , te m bolj greje . Segre va nje ravn e ploskve S (kos Ze mlj inega površja ) je odvisn o od str mine Sončevih ža rkov . Če pad a jo na ploskev pravokot no , j e seg revanje najmočnej še . P ri vse bolj poševnih ža rkih je segrevanje vse sla bše. Če padajo ža rki vzp ored no s p losk vij o, seg re va nja ni (prime rj aj severn e in južne st ra n i st reh , pogorij , cest , krtin) . Skica prikaz uje , kako enakomern o gost snop Sončevih žarkov pri različni st rm ini seg re va ena ko veliko ravn o ploskev s ploščino S. Zdaj pa poglejmo, kako enakonočje doživlj amo v naših krajih , kako tega dn e vidimo oziroma op azuj emo Sonce na nebu. P ri tem opisu bomo še vedno zanemarili neke podrobnosti. Opazovanj a nas prepričujejo , da pri nas sredi zime Son ce vzhaja nekje na jugovzhodu, pride opo ldne nizko nad jug in zahaja nekje na jugozahodu. Vendar pa se vzhajališče (vzid) in zahajališče (za id) Sonca med letom spreminjata. Čim bo lj gre zima v pomlad , t em bliže vzhodu vsak dan vzhaja Sonce in tem bliže zahodu zahaja. Oko li 21. 3. vzide skoraj natančno na vzho du (E ), zaide skoraj natančno na za hodu (W ) in je ravno pol dn eva (12 ur ) na nebu, tj . nad obzorjem (slika 4). Ko torej kot med Sončevimi žarki in Zemljino osjo doseže 90° , nastopi enakonočj e (spomlad an sko ali jesensko), kar se zgodi v različnih čas ih . V vseh krajih na Zem lji (razen polih) tega datuma Sonce vzide na vzho du in za ide na zaho du, je 12 ur nad obzorjem in 12 ur pod njim. Dan in noč sta enako dolga , kar pa seveda velja le za idealno obzorje, npr. na mo rju, kjer ni gora. Vendar pa to, kar smo pravkar povedali , povsem ne dr ži, t udi za idealno obzorj e ne. Res bi bilo le, če Zem lja ne bi imela ozračj a. Ker ga ima , se st vari nekoliko za plet ejo . Tu mor am o predvsem omenit i lom svet lobe v ozračj u . Svet lobni žarek, ki pri haj a iz vesolja, npr. z zvezde, se v zračnih plasteh lomi k navpičnici , t ako da ni raven , ampak se narah lo ukrivi in opazovalec na površju Zem lje vidi, na prim er , zvezdo više, kot je v resni ci. Enako seveda velja t udi za Sonce. I A stronomija 111 na.dglavis"c"'(l ••••••••••••• •00••• • • • •• •• •••• ......". -' , ...···· ··nebo ..'l/ Sever .'- .....~--- 2, poklič i permutacije(p , n - 1), sicer preglej p v p zamenjaj elementa na mest ih n in f (n, i) do tod če je n > 2, pokliči permutacije(p, n - 1) , sicer preglej p P ri pravilnem delovanju postopka pričakujemo , da bo na mestih , kjer pregledamo t abelo p , v njej vsakič druga razvrst itev. Razvrstit ev, ki se v tabe li nah aja ob začetnem klicu , je lahko poljubn a , res pa je, da bo posto- pek to razvr stit ev ob ravnaval kot t isto , ki ust reza identični permutaciji. Bist vo postopka se skr iva v izbiri predpisa i, ki določa, kako med sebo j za menjuje mo eleme nte tabele. Pred pis mora zagotovit i, da bomo res zgradili vse razvrst itve. Na prvi pogled pa ni t i ni jasno, ali t ak pr edpis sploh obst aj a . No , B. R . Heap je let a 1963 opazil, da za f lahko vzamemo f (n,i) := { ~ , 1., če je n lih , če je n sod . V nadaljevanju prispevka se bom o poskušali prepričati , da z zgorn jo izbiro res do bimo vse razvrst it ve. Razmislek bo za ht eval kar nekaj računanja s permutacijami. Poglejmo najprej maj hne pr imere. Če je n = 1, se telo zanke sploh ne izvrši , eelino razvrstitev pa pregled amo v zadnji vrs t ici. P ri n = 2 se telo zanke izved e enkrat. V njem pregled amo začetno razvrst it ev, nato pa za me njamo eleme nta na mest ih 1 in 2 (J (2, 1) = 1 in n = 2) . Po koncu zanke pr egled amo še dru go razvrstit ev . V splošnem pa razm išlj ajmo t akole. Če je n > 2, klic po dprogr ama permutacije izved e n rekur zivnih klicev , n - 1 v zanki in enega po koncu zanke. Prepričat i se moramo, da se pri rekurzivnih klicih na mest u n zvrst ijo prav vsi eleme nt i. Nato up oštevamo predpost avka , da rekurzivn i I Računalništvo klici (pri njih ima drugi par am eter manj šo vrednost) res naredij o vse raz- vrstitve eleme nt ov na mestih od 1 do n- 1, in tako dobimo vse ra zvrsti tve vseh n elementov. Takemu načinu razmišljanj a pr avimo dokazovanje z matematično indukcijo. Bazo indukcije, pr everj anj e trdit ve za n = 1 in n = 2, smo že pr emislili v pr ejšnjem odstavku. Ravnokar pa smo opisali t udi načrt za dokaz indukcijskega koraka. Če želimo razumet i, kako se izmenjujejo elementi na zadnje m mestu, moramo vedeti , kako rekurzivni klic pr emeša elemente na pr vih n - 1 mes tih. Označimo s Tn pe rmut acijo , v skladu s katero je po klicu permutacije (p , n) prem ešan a tab ela p. S sledenje m postopku (ali pa s pomočjo pr ograma, ki izvaj a opisani postopek) ugotovimo, da velja T2 = = (12) , T3 = (13) , T4 = (1 4 3 2), T5 = (15) , T6 = (1 652 34), T7 = = (1 7) in T8 = (187234 56) . Z nekaj smelost i pos t avimo domnevo, da je permut acija T n enaka 2-ciklu (1 n) , če je n lih , in enaka n-ciklu (1 n n - 1 23 ... n-2) , če je n sod. Obnašanje postopka bomo opisa li s permutacijami . Naj bo 7ri , 1 :::; i :::; n , permutacija , ki določa razvrsti tev t ik pr ed i-ti m rekurzivn im klicem . Iz opisa postopka sledi, da za i = 1, 2, . . . , n - 1 velja { 7ri ° T;;-~l ° (1 n) , 7ri +1 = - 1 ( .)7ri OTn_1 o ln , če je n lih , če je n sod . P rvi kompozitum ustreza rekurzivn emu klicu, drugi pa sami zam enj avi v postopku. Pri te m smo up oštevali , da so 2-cikli kar sa mi svoji in- verzi. Razvrst it ev, ki je v tabe li p po koncu klica , pa ustreza permut aciji - 17rnOTn _ 1· Dokazovanj e pr avilnosti postopka smo tako pr evedli na povsem ra- čunski , algebraični pr oblem . Pokazati moramo, da so elementi 7ri(n), i = 1, . .. , n , med seboj različni (kar pom eni, daje pri vsakem rekurzivnem klicu na mestu n drugačen eleme nt ) in da je 7rnO T;;-~ 1 = 7r1 °T;; 1 (kar po- meni , da je končna ra zvrsti t ev rav no s permut acijo T n premešana začetna razvrsti t ev 7r1)' Brez škode lahko vzamemo, da je 7r1 identična permuta- cija . V računu bomo glede na parnost števila n ločili dve možnosti . Na j bo n liho število. Potem je 7r2 = T;;-~ l 0 (1 n ) = (1 n -3 n -4 ... 2 n - 2 n -1 ) (1 n ) = (lnn-3 n -4 oo . 2n - 2n- 1) Računalništvo I cikel dolžine n . Velja t udi n, = 7r~- 1 . C iklična permutacija vsak element krožno preslika v njegovega naslednika. Podobno velja za potenco cikla , le da moramo naredit i toliko korakov naprej po ciklu, kolikor je vrednost eksponenta. Tako ugotovimo, da velja . 11 2 7ri ~n ) n n -3 n - i - 1 n - 3 n - 2 n -1 2 n - 2 n - 1 n 1 Ker so v spo dnji vrst ici tabe le sa ma različna števila , je prvi del t rditve dokazan. Poglejm o še izraz 7rn o Tr-;-! l . Če up oštevamo, da je k-ta potenca cikla dolžine k identična permutacija , sledi še drugi del t rdit ve: Ostan e še možnost , ko je n sodo število. Tedaj je T;;-! 1 = (1 n - 1). Tako z nekaj računanj a dobimo 7r2 = (1 n- 1) o (1 n ) = (n - 1 1 n) , 7r3 = 7r2 o (1 n - 1) 0 (2 n ) = (n- 1 n 2), 7r4 = 7r3 o (1 n - 1) 0(3 n ) = (n - 1 1 n 3 2), 7r5 = 7r4 0( 1 n - 1) o (4 n) = (n- 1 n 4 3 2), 7r6 = 7r5 o (1 n - 1) o (5 n) = (n - 1 1 n 5 4 3 2) . Natančneje , za lihe i > 1 velja 7ri = (n - 1 n i - 1 i - 2 ... 3 2) , za sode i =1= n pa 7ri = (n - 1 1 n i - 1 i - 2 . . . 3 2) . Zadnja permutacija 7rn je enaka 7rn =7rn_l o ( l n- l) o(n - 1 n )= (l n ) (n - l n - 2 . .. 3 2) . Tako dobimo 1 nn- 1 n- 2i - 1 3 4 2 3 2 n -l7ri (n) 1-1~-- ---------- -- I Računalništvo - Rešitve nalog V spodnji vrstici t ab ele so zop et sama različna števila, tako da prvi del trditve dr ži. Poračunajmo še 7fn OT;~ 1 : 7fn O T;~ l = (1 n) (n -1 n-2 . .. 3 2) (1 n-1) =(1 n-2 n - 3 .. . 3 2 n - 1 n)=T1~1 . S tem je pr avi lnost pos topka dokazana. Opisanega postopka vam gotovo ne bo težko pr etvoriti v program, ki bo s pomočjo rekurzije zgradil vse razvrstitve. Bolj izkušenim programer- jem pa pred lag am , da poskusijo napisati nerekurzivno različico postopka . Ta mora seved a grad iti razvrstitve v povsem enakem vrstnem redu kot rekurzivna . Po mojih izku šnjah naj bi bila t udi za slabo pet ino hi trejša (je pa to seveda odvisno od računalnika in pr evajalnika, ki ga up orabljate) . V prisp evku smo spoznali Heapov postopek za pr egled vseh razvr- st itev (oz. permutacij ), ki ga je pr eprosto opisa t i, pr ecej težje pa se je prepričati , da deluje pravilno. Za dokazovanje pravilnosti smo izbra li bo lj algebraično, matematično korektno pot, ki pa ni najbolj naz orna . Smo se pa pr i t em vsaj poskušali naučiti osnov računanja s permutacijami. Martin Juvan NALOGA ZA SPRETNE (IN POTRPEŽLJIVE) RAČUNARJE - Rešitev s str. 3 Račun pokaže, da se ploščina trikotnika in težiščnici izra žajo t ako le: p = 4x2(x 4 - 80.1:2 + 1024) , 2t a = (x 2 + 32)y + 3x (x 2 - 32) in 2tb = (x 2 + 32)y - 3x(x 2 - 32) . Na desni so polinomi spremenljivk x in y s celimi koeficienti . Pripomba. V nalogi navedeni izrazi za a, b in c niso poz itivni pri vseh parih šte vil x , y , ki zadoščajo enačbi y2 = x(x2 + 5x - 32) . Treba je vzeti trikotnik, ki ima za stranice absolutne vr ednosti la l, Ibl , Ici- V Heronovem obrazcu za ploščino in v obrazcih za težiščnice pa nastop aj o samo kvadrati stranic in za to morebitni negativni pred znaki ne motijo pri računanju . Tudi ploščina p in dvo jni težiščnici 2t a in 2tb so , strogo vzeto, absolutne vrednosti izrazov na desni. Ivan Vidav Fizika I o TRENJU, I. del Trenje se na prvi pogled zdi prec ej dolgočasen poj av . Tod a brez njega si ni mogoče zamislit i življenja. Če ne bi bilo trenja, ne bi mogli up orabljat i žebljev, vijakov z maticami in lesnih vijakov ter zagozd. V st rojih ne bi bilo prenosov z jermeni in dotikaj očimi se kolesi. Ne bi mogli igrati na godala. Ne bi mogli zanetiti ognja ne z vrt enjem pali čke iz trdega lesa ob kosu mehkega lesa ne s kresilom in ne z vžigalicami. Ne bi mogli hoditi, avtomobili in vlaki ne bi mogli speljati ali se zaustavit i, avtomobili ne bi mogli zaviti . (Del težav zas lut imo pr i hoji in vožnji z avtomobilom ob poledici.) Ne bi delovale ne bobnaste ne kolut ne zavore, avto mobila ne bi mogli pu stiti zavrteg a na klancu . Ne bi mogli up orabiti enoj ne lestve. Vozila bi pospeševali in zavirali ali zaustavljali z reakcijskimi ali raketnimi motorji , katapulti in velikimi kepami ilovice. (Na podobne razmere naletijo vesoljci, ko zapust ijo vesoljsko ladjo.) Naprave s te lesi, ki se dotikajo in gibljejo drugo glede na drugega , se ne bi obrabile. Trenje je spremljalo ljudi od najst arejših časov. Izkoriščali so ga, na pri mer zat o, da so zane t ili ogenj . Na drugi strani so ga po- skušali zm anjšat i. Težka telesa so dali na nekakšne sani in t renje med sanm i in podlago zm anjšali z m aza- njem . Uporabljali so vodo, mleko , rast linsko olje a li živa lsko mast (sli- ka 1). Pod telo so položili okro- gle gr edi in s tem drsenj e prevedli v kotaljenj e . To je pripeljalo do izu m a kolesa in voza s kolesi t er na drugi strani do preprost ih ležajev. V as irski naselb in i so našli ostanke šest tisoč let sta rega ležaja , ki je zm anjšal t renje vr at po t leh . Slika 1. 4400 let st a ra risba iz gro ba egipčanskega veljaka Tija kaže moža , ki pred sani s kipom poliva neko kaplje- vino, da bi zmanjšal trenje . o t re nju je razmišljal že Arist otel , a ni spoznal, da je sila t re nja usmerjen a nasproti sili konja, ki vleče voz . Za to je m islil, cia mora na voz nenehno de lovati "zunanj i vzrok" , a li po naše , rez ultanta sil, da se enakomerno giblje . Tako je trenje zameglilo pot do zakona gibanja . Isaac Newton je pr iše l do zakona preko gibanja planetov, pri katerem ni trenja. V laborat oriju so Newtonov zakon nekdaj preizkušali tako, da so opazova li gibanje dveh ut eži v navpični smer i na vrvici, ki j e tek la čez lahek škr ip ec z vodoravno osj o (A twoodov škrip ec, Presek 23 (1995/96) 90) . Danes se IFizika lahko izognemu trenju tako , da med telo in kovinsko podlago damo kos suhega ledu, ki ob stiku s kovino sublimira v plinast ogljikov dioksid . Za poskuse v razredu je pripravna zračna klop . Vozilo se giblje po votlem nosilcu s trikotnim presekom, iz katerega skozi drobne luknje piha zrak . V ob eh primerih nastane tanka plast plina, "zračna blazina" , po kateri se telo giblje brez trenja. Trenje je raziskoval Leonardo da Vinci (1452 do 1519). (Glej Leo- nardo da Vinci kot fizik, Presek 27 (1999/2000) 216.) V be ležnicah Atlantskega kodeksa najdemo prvo kvantitativno razpr avo o trenju z ugo- tovitvami: • Sila trenja je sorazmern a s hr apavostjo . • Sila trenja se podvoj i, če podvojimo breme. • K trenju, ki ga povzroča isto brem e, sodi enaka sila na začetku gibanja, čeprav ima morda stik različno dolžino ali širino. • Pri trenju se na pripravni ravnini z zglajeno površino vsako telo upira s četrtino svoje tež e. • Če nagib telesu omogoča, da deluj e s četrt ino svoje teže v smeri gibanja, t eži t elo samo od seb e h gibanju navzdol. Pojma sile Leonardo v dan ašnjem pomenu še ni poznal, pač pa je pisalo "uporu trenja" . Delal je poskuse, ki jih je spremljal z risb ami. Kvad er je bilo t reba vleči z enako silo, ne glede na to , ali je stal na stranski ploskvi z največjo, srednjo ali najmanjšo površino. V beležnicah Madridskega kodeksa je da Vinci obdelal trenj e st rojev in si zamislil valj čne in kroglične ležaj e, ki so jih začeli v večji meri uporab ljati šele okoli let a 1900. Njegova dognanja niso vp livala na razvoj , ker so vseb ino beležnic spoznali šele v 20. stoletju. Prva spoznanja o trenju je objavil Guillaume Amontons (1663 do 1705) let a 1699, ne da bi v vsem dosegel da Vincija. Nared il je vrsto poskusov s preprostimi napravami. Klado v obliki kvadra je na vodo- ravno podlago pr itiskala navpična vijačna vzmet. Z vzmetno te htnico je Amontons meril silo, s katero je pr emikal klado. Dela l je pos kuse s telesi iz železa, bakra, svinca, lesa in spreminjal pov ršino drsne ploskve. Ugotovil je: • Tr enj e je sorazmerno s silo, ki zgornjo ploskev st iska na spodnjo. • Sila trenja je za uporabljene snovi približno en aka tret jini te sile. • Sila trenj a je neodvisna od površine drsne ploskve . Amontons je še trdil, da sila trenja ni odvisna od snovi, če telo namažem o. Mis lil je, da je sila trenja odvisna od hitrosti. Fizika I Razmišljal je tudi o izvoru trenja in dom neval , da sila trenja nastane zaradi hr apavosti. Po dlaga in klad a imat a vdrte in izbočene dele, ki segajo drugi v druge. Upor se pojavi, ker moramo klado dvigovat i, kot da bi se gibala po klancu navzgor , da se premaknejo izbočeni in vdrti deli dr ugi glede na druge. Amontons ni razločeval med lepenjem in trenj em . Na klado v obliki kvadra, ki se enakomerno giblje po vodoravni po dlag i, deluj ejo tri te lesa: Zemlja s težo mg navpično navzdol, vzme- t na tehtnica v vodoravni smeri s silo FI in podlaga s silo ff (slika 2) . Silo po dlage razstavimo na pravokotn o kom p onento Fp in vzdolžno kom po- nento Ft . Vzdolžna komponenta je sila trenja , ki je vedno naspro- tna smeri gibanja. Na vodoravni podlagi je pravokotna komponenta navpična. P ri enakomerne m gibanju so vse komponente sil v ravno- vesju; težo uravnovesi pravokotna komponenta podlage, silo vzmet ne teht nice pa vodoravna komp onent a sile podlage, to je sila trenja. Slika 2. Klada v obliki kvadra se enakomerno giblje po vod o- ravni podlagi proti desni . Na - njo deluj ejo: t eža navpično nav- zdol, vzm etna tehtnica proti de- sni in podlaga s silo , ki ima navpično in vodoravno kompo- nento. Navpična kompon enta sile pod lage uravnovesi težo , vo- doravna kompon enta , to je sila t renja, pa si lo vzmetne te ht nice. K F, __-'--_ _ F_"....J!... _'r\-_.-_-_~_ _ __'_ _ mg Na klad o polagamo uteži in ugotovimo, daje sila trenja sor azmerna s težo in s tem s pravokotno komponento sile po dlage : F; = ktFp . Sorazmernostni koeficient kt je koeficien t trenja. Sila trenja ni odvisna od tega, po kateri mejn i ploskvi drsi kvader, tako da tudi ni odvisna od površina B, v kateri se klada dotika podlage: F; ni odvisna od S . Sila trenja in koeficient trenja sta odvisna od snovi , iz katerih sta klada in podlaga, in od obdelave površin . Fizika - Rešit ve nalog Poskusi pokažejo, da se tr enje v mirovanju ali statično tr enje, kratko lepenje, razlikuje od trenja v gibanj u ali dinamičnega trenja, kr atko trenja. Tako po znamo poleg sile t renja Ft še silo lepenja FI. V mirovanju leži komponent a sile pod lage na telo v vodoravni smeri na intervalu od O do največje sile lepenja FlO: o::; FI ::; FlO . Največj i sili lep enj a priredimo koeficien t lep enja ki. Največja sila le- penja je pod obno kot sila t re nja sorazme rna s pravokotno silo in zanjo velja podobna zveza kot za silo trenja: Navadno je največja sila lepenj a malo večja kot sila t renja in koeficient lep enj a malo večji kot koeficient t renja pri dani kladi in podlagi: Janez Strnad TRI RAZLIČNE ZA NAJMLAJŠE - Rešitve s str. 2 1. 2. 3. V tri vrečke je dal po pet mandarin , nato pa te t ri vrečke dal v četrto . V~ ~ ~+~~ ~)1 V~ ~ ~ =- ~~ ~V~ V~ ~~ =- ~~ ~ ~V Vsakega od t rikotnikov sestavljata po dva skladna t rikotnika s st ra- nicami 5, 12 in 13 enot . Torej imat a t rikotnika enaki ploščini . Dragoljub Miloševi č, prev. Marija Vencelj Zan imivosti - Razvedrilo I KRIŽANKA "P OJMI IZ ALGEB RE" DRUŽiNSKI SISTEMAT. SESTAVA ";""->7 lASTNOST KATEGORI· PRESl iKAVA TKANINE, PRIIMEK MENiČNI E.NAKI JAMED DVEH KIJO IG PESNIKA POROK CRKI VRSTO IN I( x ) = x AlJ VEČ ZNJ; JEZA SVEDSKA AVTOR SESTEVANJE ZNAMKA NEKAJ MOBILNIH IZREKOV INMN02E- TELEFONOV IZ GEOM. NJE . IESNA- VE~ NAZIV TONE IPESNISKO) f------ ~A BELO- ~\~JSKA KDOR SE ~ JEZA , CICA DEŽELA ZANASA NA SESTEVANJE IZ BIBLIJE IZKUSTVA SKALE V NORV. MORJU POLlTICARKA- BUNDTLAND ZAPRT ZALIV, - ROKAV IVOBAN NEKDANJI UREDNIK PRESEKA ~ POVELJE OZNAKA ROD SOV, KI PULE MU PRIPADA - VELIKA NICOLE UHARICA KIDMAN (LAT.) ZNAK ZA ANGLESKA TITAN PIVNICA GRSKI ~FILOZOF - OBZOBNO IGRAlKA roVQ STONE IMNDŽINAj REZULTAT ZNAK ZA IACA IZ - ~'IJENEG SLABSALNI :MJJA IZRAZ ZA V7J1;C AZUCA :0 NUCIC ANDREJ IGRAU OKo Slika 2. Nekaj t ipov reflektorjev - sheme: zgora j - new to nski tip, sred ina - gregoryje- vski t ip , spodaj - ca ssagra ins ki tip; ak - okular. Slika 3 . Herschel-lomonosovski tip reflektorj a - she ma . Prim arno zrcalo Z je nekoliko nagnjen o k os i cevi daljnogleda, s čimer prihranimo manjše sekundarno rav no zrca lo , kakršn o je npr. pri newtonskem t ip u reflektorja. P r vi reflekt orji n ewtonskeg a t ip a , ki so jih iz d elali , :; 0 bili g le de kako - vosti opazovanj dosti slab ši od refraktorjev, daljnogledov z lečami , bili so slabši celo od zelo nerodnih zračnih refraktorjev. Vendar pa so v tekmo- vanju z refraktorj i končno le iztržili zmago. Glavna pr ednost reflektorjev je namreč ta, da nimajo kromatične aberacije (barvne napake). Če ima glavno zrcalo obliko rot acijskega paraboloida, pa je možno i zničiti t ud i tako imenovano sfern o aberacijo (vsaj za žarke, ki padaj o na glavno zrcalo vzporedno z optično osjo daljnogleda). Astronomija I Slika 4. Herschl ov velikan , zgra jen v začetku 19. stoletj a . Izdelava zrcal je lažja kot za objekt ive refraktorjev zelo zahte vno brušenj e ogromnih leč. To je že v naprej zagotavljalo usp eh reflekt orjev. Ker nim aj o barvne nap ake, je mogoče izdelati svetlobno zelo močne re- flektorj e, kar ne velja za refraktorje. Gradnja reflektorj a z enako velikim objekti vom kot refrak tor je dosti cenejša kot gra dnja refraktorjev. Seveda imaj o pomanjkljivosti t udi reflektorji . Njihove cevi so odprte . V cevi se stalno vrt inčijo zračni tokovi, zara di katerih pride do neenako- mernosti zraka, kar kvari sliko. Površje zrcal, na katerem se od bijaj o sve- tlobni žarki, se hitro kvari , razmeroma kmalu post an e mot no in pot rebuje stalno obnovo. Da dobimo odlične slike, je potrebna skoraj idealn a oblika zrcal , kar je težko doseči , sa j se pri uporabi (pri opaz ovanju) oblika zrcala hitro spreminja in kvari zaradi meh an skih obremenitev in temperaturnih sprememb . Kljub tem hib am so reflektorji postali najobet avn ejši t ip te leskopov . I Astronomija Slika 5. Zrcalo 2,5 metrskega re flektorja na observatorij u Mo unt Wilson . Tako je let a 1721 John Hadley, sicer izumit elj sekstanta, izdelal new- tonski ti p reflektorja s prem erom bronastega zrc ala 15 cm in goriščno razdaljo 158 cm. Z nj im so z lahkoto opazovali štir i velike Jupitrove sate- lit e, pa t udi Cassinijevo ločnico v Saturnovem obroču, ki jo je Huyghens s svojim 37 met rov dolgim zračnim re fraktorjem komaj razločil. V Angliji je v sredini 18. stoletja J ames Short že serijsko izdeloval zelo kakovostne reflekto rje. Večina j ih je bilo izdelanih p o gregoryjevskem tipu, največji me d njimi je ime l prem er glavnega zrcala že 55 cm. Rus Mihail Vasilj evič Lomon osov (1711-1768) in Anglež William Herschel (1738- 1822) pa sta upor ablj ala pri opazovanjih drugačen t ip reflektorja. Glav no zrcalo sta nar ahlo nagnil a , t ako da je bila slika oddalje- nega predmet a , ki jo je dalo glavno zrcalo, blizu vho dne zenice (odprtine) te leskopa. Na tem mest u sta postavila okular. Ta ti p reflektorja je imel t o prednost , da pri nj em ni bilo t reba up orablj ati vmesnega ravnega zrcala ali prizme, zaradi česar se je izgubljal de l sprejet e svet lobe. Seveda pa so se lahko pojavlj ale razne druge napake (kom a, astigmatizem , dist or zija) , ki so bile manj opazne pri drugih reflektorskih sistemih . Astronomija I Slika 6. K upola petmetrskega reflektorja na gori Pa lomar v ZDA . Znam enit i astronom W illiam Herschel je izdelal več sto reflektorjev , med njimi tudi pravega velikana (težkega skoraj eno tono) s premerom glavnega zrcala 122 cm in goriščno razdaljo 12,5 m, vendar je s tem nerodnežem malo opazoval. Bil je bolj za okras in razkazovan je. Leta 1865 je angleški pivovar W illiam Lassel po dolgotrajnem delu zgrad il odličen reflektor s premerom glavnega zrcala 61 cm in z njim 10. 10. 1846 odkr il Neptunov satelit Triton. Najbolj zanimivo pri t em je, da so plan et Neptun odkrili le malo pred te m , 23. 9. 1846. Največj i reflektor s kovinskim zrcalom je izdelal irski aristo krat Wi l- liam Parsons, lord Rosse. Njegov velikanski dalj nogled , rekli so mu Pošast iz Parsonstowna, s pr emerom glavnega zrcala 2 m (debelino 15 cm) in goriščno razdaljo 14 m je bil zgrajen 1845 in je bil celo namenj en opa- zovanju. Z njim je lord Rosse odkril spi ralno struktur o Andromedine I Astronomija galaksije (M 31) , kar mu ted aj niso verje li. Odkritje so potrdili šele v 20-tih let ih prejšnj ega stoletj a . Daljnogledska cev je bil a dol ga 18 m in nar ejena iz smrekovih desk . Zno traj te cevi je lahko prosto hodil človek z odprtim dežnikom v roki, kar je med drugim stori l tudi mestni pastor. Slika 7. Pogled na petmetrski reflektor (r isb a ) . Nato so zgradili še dosti večje in kakovostnejše reflektorje. Po prvi svetovni vojni so na observatoriju Mount Wilson v ZDA postavili 2,5 me- t rsk i reflektor in z njim opravili ogromno ast ronomskih meritev in opa- zovanj . Po drugi svet ovni vojni pa so ameriški optiki z velikim trudom izdelali t udi glavno (13 ton težko) zrcalo za 5 metrski reflekt or z goriščno razd alj o 6,5 m in ga post avili na obse rvatoriju Mount Palom ar. Ta dalj- nogled je zabe ležil in seved a še beleži zvezde, ki so milij arde svet lobnih let oddalj ene od nas. Astronomija - Rešitve nalog I Ru si so pozneje na astrofizikalnem observatoriju Zelenčukskaj a na Kavkazu post avili mozaični reflektor s premerom vhod ne zenice 6 m. Mimogrede, tudi Hu bblov vesoljski daljnogled je reflektor. Izdelava reflektorj ev najrazličnej ših tipov se nad aljuje. Zdaj na pri- mer pri opazovanju ne uporab ljajo več posamičnih daljnogledov, am pak daljnoglede, ki so sestavljeni iz dveh, t reh , štirih in tudi več velikansk ih reflektorjev (mreža) . Takšen "mrežni daljnogled" ima zelo veliko skupno ločlj ivost . Marij an Prosen Z NETRANZITIVNOSTJO V IGRI KOCK DO 'SKOR AJ ZANESLJIVE' ZMAGE - Rešitve nalog s str. 13 1. Izmed 36 možnost i, ki jih imamo pri metu dveh kock, vidimo, da je ugodnih 24, neugodnih pa 12, in to za vsakega izmed zgoraj napisan ih par ov. 2. V množici kock K (3 ,3 ,5 ,5 ,7 ,7 ) , K (2,2 ,4 ,4 ,9 ,9 ) , K C1,1,6 ,6 ,8 ,8 ) prva kocka premaga drugo, druga t retjo, ta pa zopet pr vo. (a) Števila, ki se pojavijo na kockah lahko razporedimo v magični kvadrat , v katerem je vsota po vrst icah, stolpc ih in obeh diago- nalah enaka (15) . 8 1 6 3 5 7 4 9 2 3. Kocke so K (1 ,1,1,13 ,13 ,13 ) , K CO,3 ,3 ,12 ,12,12» K C2,2,2,11 ,11 ,14) ' Mat ej Mlakar TOVORNJAKI - Rešitev s str. 3 Pet tovornj akov po 8 to n, dva za 4 to ne in t rije za 3 tone. Dušan Murovec I Matematika ŽUŽKI - NOŽIŠČNE KRIVULJE ASTEROIDE Dan o ravninsko krivuljo K lahko na različne načine preoblikujemo v nove krivulje. Nožiščno krivuljo K p dane ravninske krivulje K dobimo tako, da v ravnini t e krivulje izberemo točko P, nato pa jo pravokotno proj iciramo na vse t angente kri vulj e K . Mn ožica vseh nožišč N, t o je prese či š č pravokotnic skozi P z vsemi tangent ami krivulje K, je no ži š čna krivulja K p kri vulj e K glede na pol P. Nekatere krivulje, recimo pr emica in kro žnica , imajo razmeroma eno- stavne nožiščne krivulje, nekatere pa bolj zaplete ne . Oglejmo si, kak šne nožiščne krivulje im a ast eroida ali zvezdnica. Asteroida je krivulja, ki ima v pravokotnem koordinatnem sistemu Oxy enačbo (1) kjer je a pozitivna konstanta . Iz same enačbe razberemo, da je neobčut­ lj iva za zamenjave x f-t -x, Y f-t - y, X f-t Y in x f-t -y. To pomeni , da so premice x = O, y = O, y = x in y = - x simetrale asteroide (1). y y =-x y =x x S lika 1. S irnetr a le ast e roide . Ast eroido op iše izbrana točka na krožnici polmer a a/4, če se ta kro ž- nica brez drsenja kotali po notranji strani krožnice polmera a. Zato pravimo, da je asteroida pos eben primer hipocikloide. Asteroida je lep primer ravninske krivulje, za katero večina računov poteka brez hujših zap letov. Matematika I Astero ido laže obravnavamo , če jo zapišemo v parametrični obliki. Če namreč enačbo (1) pr eoblikujemo v ( Xi/3) 2 (yi/3) 2 = a i / 3 + a i / 3 1 in se spomnimo, da je cos2 t + sin 2 t = 1 za vsako realno število t , potem se sa mo po sebi vsiljuje, da post avimo od koder sledi X i / 3 ai/3 = cost , yi/3 . a i / 3 = sin t x = a cos3 t , Y = a sin3 t . (2) To sta parametrični enačbi asteroide. Funkciji sinus in cosinus smo smeli uporabiti zato, ker lahko že iz (1) sklepamo, da je asteroida omejena kri vulja. Če en člen na levi strani v (1) povečamo , se mora drugi zmanjšati in obratno . Za x = O dobimo y = ±a, za y = Opa x = ±a. Točke (a, O) in (O, a), (-a, O) in (O, - a) so na astero idi najbolj oddaljene od njenega središča. To so osti astero ide. Po vrsti j ih dobimo iz (2) za t = O, t = 7r / 2, t = 7r in t = 37r/ 2. Očitno je za en obhod asteroide dovolj , da par ameter t preteče interval [O, 27r) . Za t = 27r dobimo zopet isto točko kot za t = O. Vsaki točki na ast eroidi ustreza natanko en t na intervalu [O , 27r). Za O< t < 7r / 2 poteka asteroida po prvem kvadrantu, za 7r / 2 < t < 7r po drugem , za 7r < t < 37r/2 po t retje m in za 37r/ 2 < t < 27r po četrtem. Kakšen geomet rijski pomen ima param et er t? Trdimo, da je t su- plementaren naklonskemu kotu tange nte na asteroido v točki , ki ustreza par am etru t. Do tangente pridemo po običajnem postopku: skozi dve različni točki To(xo, yo) in Ti(X i ,YI) asteroide najprej post avim o sekanto , po tem pa omenjeni točki zbližamo v eno, recimo v To. Če pri t em sekant a pr eide v mejni položaj , smo našli tangent o. Smerni koeficient ks sekante pr eide pri t em v sm erni koeficient kt t angente. Denimo, da gre asteroida skozi To, ko je t = to, skozi TI pa te daj, ko je t = ti' P ri tem je seveda to i= tI . Torej je Xo = a cos" to, yo = a sin3 to, Xl = acos3tI in YI = a sin3 h · Matematika Zapišimo smerni koeficient ks sekante skozi To in TI: YI - YO a sin' tI - a sin:' to k - - - - ---=---- - - -'-- s - Xl - Xo - a cos-' tI - a cos-' to Po krajšanju in razstavljanju dobimo k _ (sin h - sin to)(sin2 tI + sin tI sin to + sin2 to) s - (cos tI - COS to)(cos? h + COS tI COS to + cos? to) Razliko dveh sinusov in dv eh kosinusov lahko prevedemo na produkt 2 COS tO!t 1 sin t, ;to (sin 2 h + sin tI sin to + sin' to) k-------,---"--.,---,--~..2..---=---------.:=-----------=- -----.:=-----­ s - -2 sin tO!t 1 sin t, ;to (cos? tI + COS h cos to + cos? to) Po ponovnem krajšanju imamo cos ?(sin2 tI + sin tI sin to + sin2 to) sin tO!t 1 (cos? tI + COS tI COS to + cos? to) Ko gre TI proti To , gre tI proti to, koeficient ks pa proti cos to(3 sin 2 to) sin to _-----.:::..c...-_ ___=_~ = - -- = - tan to sin to(3 cos? to) COS to . Smerni koeficient kt tangente na asteroido v točki To(xo, Yo) je torej dan s formulo k t = - tan to = tan(1r - to). Za zgornjo in spodnjo ost k t ni definiran. Enačba tangente na asteroido v To pa je zato Po preuredtitvi dobimo enost avnejšo obliko: Xsin to + y cos to = a sin to cos to . Ta oblika da pravilni rezultat tudi za vse osti asteroide. Naklonski kot et tangente je tt - to, torej je to res suplementaren naklonskemu kotu tangente na asteroido v točki, ki pripada parametru to. Če izvzamemo osti asteroide , potem njena tangenta preseka os X v točki A(a cos to, O), os y pa v točki B(O, a sin to). Razdalja med A in B pa je očitno enaka a, neodvisno od izbire točke To na asteroidi . Značilno za asteroido je , da je medosna razdalja za vse tangente asteroide stalna. Izjeme so le tangente v njenih osteh. Mat ematika I Množ ica vseh tangent na asteroido je dan a z enačbo x sin t + Y cos t = a sin t eos t . (3) Ast eroide (1) se v vsaki točki dotika natanko ena premica oblike (3) , v dveh različnih točkah pa dve različni t aki premici. Pravimo, da je asteroida (1) ogrinjača mno žice premic (3). Slika 2 prikazuje nekaj t angent z dotikališči v prvem kvadrantu. y x Slika 2. Tangent e na as te ro ido . Sedaj pa že lah ko izpeljemo izraza za koordinati (x, y) nožišča N izbrane točke Pip,q) - pola - na katerokoli tangento aste roide . Pravoko- tnica na tangento (3) skozi P ima očitno enačbo (x - p)cos t - (y - q) sin t = O. Rešitev x in y sist ema enačb x cos t - Y sin t = P cos t - q sin t x sin t + y cos t = a sin t eos t sta koordinati točke N . Preprost račun nam da x = (p cos t - q sin t + a sin2 t) cos t , Y = (-p cos t + q sin t + a cos2 t ) sin t . To st a parametrični enačbi no ži š čne krivulje asteroide (2) glede na dani pol P(p,q). IMat ematika y ,r Slika 3 . Št ir iperesna detelj ica kot nožiščna kri vulj a as teroide , če je pol izhod išče . Oblika nove krivulj e je precej odvisna od izbire točke P . V najen o- st avnejšem primeru p = q = O ima nožiščna kri vulja astero ide glede na njeno središče parametrični enačbi x = a sin2 teos t , y = a cos2 t sin t . Ker je v t em primeru x2+ y2 = a2sin 2 t cos2 t = (a/2)2 sin2 2t , se palami radij iskan e kr ivu lje izraža z [J = (a/ 2) sin 2t. Kri vulja je štir iperesna deteljica (slika 3). Če izberem o točko P kar na slep o, ne predaleč od astero ide, dobimo kri vuljo , ki bolj ali manj sp ominja na nekak šnega žužka . Na sliki 4 je primer , ko je p = (2/ 7)a in q = (4/ 7)a. y Slika 4. Nesimetrični žužek. Matematika - Rešitve nalog I Simetrične žuž ke dobimo, če izberemo P na eni od sime t ral as t eroide. Slika 5 prikazuje primer žu žka , ki je dobljen kot nožiš čna krivulja asterode za primer p = q = (2/ 7)a. y x Slika 5. Simetričn i žužek. S parametričnima enačbama nožiščnih krivulj asteroide lahko različne oblike žužkov preučujemo z računalniškim progr amom Derive. Kdor ima raje geome t rijske konstrukcije, pa bo morda segel po Cabri-geornet re in poskusil od kriti kako zanimivost tudi manj znanih krivulj . Seved a lahko uporabite t ud i druge programe, ki so vam na voljo . Marko Razpet IZP ITNI REZULTATI - Rešitev s str. 2 Pri opisanem načinu točkovanja ni možnih šest rezultatov: 139, 143, 144, 147 , 148 in 149 točk . Marija Ven celj I Tekmo vanja 39. TEKMOVANJE ZA ZLATO VEGOVO PRIZNANJE Najbo ljš i učenci in učenke sedmin te r osmih razredov s področnih t ek- movanj so se v soboto, 12. aprila 2003, pomerili v sedmih regijah na državn em te kmovanju za zlat o Vegovo priznanj e. Nanj se po veljavnem pravilniku uvrsti 0,5% vseh sedmošolcev s posameznega področj a in 1% vseh osmošolcev s posameznega področj a ter še učenci , ki jih na podlagi dosežkov na področnem t ekmovanju izb ere državna t ekmovalna komisija. REGIJA 7. raz red 8. raz red Ljubljana 80 112 Kranj 29 34 Maribor 44 72 Celje 27 38 Koper 18 18 Nova Gorica 11 15 Novo mesto 20 37 SKUPAJ 229 326 Zlato Vegovo priznanje prejmejo sedmošolci in sedmošolke, ki so osvo- jili najmanj 13 od 25 mo žnih točk , t er osmošolci in osmošolke, ki so osvojili najmanj 13 od 25 možnih točk. Nagrade najuspešn ejšim tekmovalcem in tekmovalkam: 7. razred 1. nagrada Nina Zupančič , OŠ Trebnje. II. nagrada Aleš Srna , OŠ Antona Tomaža Linharta , Rad ovljic a . III. nagrada Maj a P oklinek , OŠ Vuzenica; Katarina Vogelnik, OŠ Oskarja Kovačiča , Ljubljana ; Miha Čančula, OŠ Božidarj a Jakca , Ljubljana ; Aljaž Gaber , OŠ Cve tka Gol arja , Škofj a Loka; Miha Horvat, OŠ Antona Tomaža Lin - harta, Radovlji ca; Kaj a Podobnik, OŠ Ivana Groharj a , Škofj a Loka; Alen- ka Verša , DSŠ Frana Levstika, Prosek. Tekm ovanja I 8. razred I. nagrada Nejc Ramovš, OŠ Mirna Peč. II. nagrada Tadej Stepišnik Perdih, OŠ Šmarje pri Jelšah. III. nagrada Mateja Pipan , OŠ Milojke Št rukelj , Nova Gori ca; Jon Leskovec, OŠ No- t ranjski od red Cerknica; Tom Primož, OŠ narodnega heroj a Maksa Pe- čarja, Lju bljana ; J ernej Zupančič , OŠ Trebnj e; T ina Ilc, OŠ Danil a Lo- karja, Ajdovščina; Melita Rut ar , OŠ Franceta Bevka, Tolmin; J aka Sočan, OŠ Ma jd e Vrhovnik , Lju bljan a. Aleksander Potočnik 23. DRŽAVNO TEKMOVANJE IZ FIZIKE ZA ZLATA STEFANOVA PRIZNANJA Državnega tekmovanja, ki je bilo 5. aprila na Pedagoški fakul teti v Lju- bljani , se je udeležilo 50 dvočlanskih ekip 7. razreda in 42 ekip 8. razreda. Tekmovalc i so reševali ekipno dve eksper imentalni nalogi in t ri teoretične naloge posamično . Na tekmovanju je 89 učencev in učenk 7. razreda te r 53 učencev in učenk 8. razreda prejelo zlata Stefanova priznanj a. Dr žavn ega tekmovanje so se udeležili najboljši učenci ter učenke po- dročnih tekmovanj . Področnega t ekmovanja se je ud eležilo 400 dvočlan­ skih ekip sedmih in 420 ekip osmih razredov. Podeljenih je bilo 590 srebrn ih Stefanovih pri znanj učencem/učenkam sedmih razredov in 460 pri znanj učencem/učenkam osmih razredov. Šolskega tekmovanja se je udeležilo 4568 učencev/učenk sedm ih raz re- dov in 4425 učencev/učenk osmih razredov, 1469 učencev/učenk sedmih razredov in 1440 učencev/učenk osmih raz redov pa je prejelo bro nas ta Stefanova priznanj a. Na dr žavnem tekmovanju so bile podeljene tudi nagrade za najboljše tekmovalce in tekmova lke. Nag rade so prejeli: 7. razred 1. nagrada Mih a Čančula, OŠ Božidarja Jakca, Ljubljana. I Tekmovanja 2 . nagrada Marko Bregan t , OŠ Mokronog; Gašper Golob , OŠ Rihard a Jakopiča, Ljubljan a; Aleš Srna, OŠ Antona Tom aža Linharta Rad ovljica ; Kata- rin a Vogelnik, OŠ Oskarja Kovačiča, Ljubljana; Nejc Volk , OŠ Srečka Kosovela , Sežan a; Jure Zmrzlikar , OŠ Vodi ce. 3 . nagrada J an ez Barborič , OŠ Šmarjeta; Uroš Orešič , OŠ Poljčane ; Davor Pavlovi č , 1. OŠ Slovenj Gradec; Tad evž Rop ert , OŠ Lenart v Slovenskih Goricah . 8. razred 1. nagrada Katarina Kejžar, OŠ Dr avlje, Ljubljan a ; Blaž Kirn , OŠ Preserj e. 2 . nagrada J ernej Gr mek, OŠ Toneta Čufarja, Ljubljana ; Tadeja Tomšič , OŠ Med- vode ; Mar tin Werdonig, OŠ Bojan a Ilicha, Maribor . 3 . nagrada Jure Ausec, OŠ Simona J enka , Kr anj ; J aša Markun , OŠ Simona Jenka Kr anj ; Iren a Matkovič, OŠ Bojan a Ilicha, Maribo r; Matic Žirovec, OŠ Lava , Celje; Uroš Žunkovič , OŠ Fran ca Lešnika- Vuka , Slivnica pri Mari- boru. Tekmovalci in tekmovalke osmih razredov, ki so se uvrstili na pr vih petnaj st mest , so vabljeni v Poletno šolo fizike, ki bo na Bledu v Plemlj evi vili. Mladim tekmovalkam in te kmovalcen te r njihovim mentorjem iskreno čest itamo za dosežene rezult ate, vsem , ki so pripom ogli k uspešni izvedbi tekmovanj , pa se najlepše zahvaljuj emo. Rezultati državnega tekmovanj a so obj avljeni na splet ni strani Druš- tva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije : ht t p://www. dmfa. si. Jelislava Sakelšek 1. TEKMOVANJE DIJAKOV IN DIJAKINJ SRE DNJ IH STROK OVN IH ŠO L IZ ZNANJA P OSLOVNE M AT EMAT IKE V letošnjem šolskem letu so se dij aki in dij akinje srednjih st rokovn ih šol prvič sp opad li v tekmovanju iz znanj a poslovne matematik e. V ponede- ljek , 24. 3.2003, so potekala šolska te kmovanja, ki se jih je udeležil 401 dijak, od tega 192 na prvi in 209 na drugi zahtevnost ni stopnji. Tekmovanja I Iz vseh 24-ih sodelujočih šol se je 47 dijakov ter dij akinj udeležilo dr žavnega tekmovanja, ki je bilo v petek , I l. 4.2003, na Srednji ekonomski šoli Celje. Tekmovanje se je pričelo ob 9. uri z otvoritvijo in končalo ob 15. uri z razgl asitvijo neuradnih , nekaj dni kasneje pa tudi uradnih rezultatov tekmovanj a . Predstavniki Društva matem atikov, fizikov in as t ronomov Slovenije so 22. 5. 2003 v okviru skupne slovesne podelitve nagrad za vsa tekmovanja podelili t ekmovalcem tega tekmovanja šest nagrad. Naj boljši t ekmovalec na višji zahtevnostni stopnji pa je preje l še praktično nagrado, ki jo je prisp evalo društvo jadralnih padalcev Kimfly, Vodi ce. Nagrade so preje li: 1. za ht evnostna stop nja 1. Tanja Lokošek, Gimnazija in ekonomska srednja šola , Tr bovlje 2. Boško Simeunovi č , Srednja gradbena, geodets ka in ekonoms ka šola , Ljubljana 3. Damijan Šorli, Sred nja ekonomska in trgovska šola, Nova Gorica 2 . zaht evnostna stop nja 1. Daniel Stojkov, Srednja ekonomska in t rgovska šola, Nova Gorica 2. Lucija Koderman , ŠC R udolfa Meistra Kamnik - Srednja ekonoms ka šola 3. Maja Sakelšek, Gimnazija in ekonoms ka srednja šola , Trbovlje Sabina Gajšek 3. TEKMOVANJE DIJAKOV TER DIJAKINJ SREDNJIH POKLICNIH ŠOL V ZNANJU MATEMATIKE Na šolskem tekmovanju je letos tekmovalo že 1785 tekmovalcev in t ekmo- valk. Društvo matematikov , fizikov in ast ronomov Slovenij e, Srednja grad- bena, geodetska in ekonomska šola - Srednja poklicna šola v Ljubljani t er Zavod RS za šolstvo so bili 12. 4. 2003 organizatorj i 3. držav nega tekmovanja v znanju matemat ike za 74 najboljših dijakinj in dijakov srednjih poklicn ih šol iz 38-ih slovenskih poklicn ih šol. Podeljenih je bilo 20 zlatih prizn anj (nagraje ni dijaki in dijakinje so iz 16-ih šol) . Na svečani podelitvi je organizator prvim t rem najbolje uvrščenim iz vsakega let nika podelil priznanja in praktične nagrade. P rejeli so jih: I Tekmovanja 1. let nik 1. nagrada Boštj an Krajnik, Srednja elekt ro in st ro jna šola, Kr anj 2. nagrada Nataša Regent , Srednja frizerska šola , Ljubljana 3 . nagrada Simo n Matek , Srednja strokovna in poklicna šola, Celje 2. letnik 1. nagrada Tom až Volmaj er , Lesar ska šola , Maribor 2. nagrada Andrej Muger li, Srednja lesarska šola, Nova Gorica 3 . nagrada Sim on Fabčič, Srednja trgovska šola, Kr anj 3 . letnik 1. nagrada Matjaž Štokelj , Srednja lesarska šola, Nova Gorica 2 . nagrada Ana Osredkar , Srednja frizerska šola , Ljubljan a 3 . nagrada Jure Suš in, ŠC Novo mesto - Poklicna in tehniška elekt ro šola Dušanka Vrenčur 3. TEKMOVANJE DIJAKOV IN DIJAKINJ SREDNJIH TEHNIŠKIH IN STROKOVNIH ŠOL V ZNANJU MATEMATIKE V šolskem let u 2002/2003 smo izvedli 3. t ekmovanje dijakov in dijakinj srednjih tehniških in strokovnih šol v znanju matem at ike, t ekmovanj e B. Tekmovanja se lahko udeležijo vsi d ijak i in dij akinj e št irilet nih pr ogra- mov, ki ne obiskujejo gimnazijskega progr ama. Op ažamo, da tekmovanj e dosega vedno večje zanimanje, kar je bil t ud i cilj ust anoviteljev. Dijakom in dij ak injam je udeležba na tekmovanju dodatna pozitivna - prijetna moti vacija . Tekmovanja I Tekmovanje poteka na t reh ravneh: • šolsko (Evropski matematični kenguru); • regijsko, ki je organizira no v osmih centrih; • dr žavno. Naloge na šolskem te kmovanju so izbirnega t ipa, na regijskem te k- movanju so naloge izbirnega tipa in kompleksne nal oge, na dr žavnem te kmovanju pa je pet kompleksnih nalog. Na loge za vse ravni te kmovanja pripravi dr žavna te kmovalna komi sija. Šolsko te kmovanje je bilo izp eljano v četrtek, 20. marca 2003. Ude- ležilo se ga je 3533 dijakov in dij akinj . Na tem nivoju je bilo po deljenih 1103 priznanj . 847 tekm ovalcev in tekm ovalk je te kmovanje nadaljevalo na regijskem te kmovanju ,' ki je bilo organi ziran o 29. aprila 2003 v naslednjih regijskih cent rih: regija Celjska regija Dolenjska regija Gorenjska regija Ljubljanska reg ija O Ljubljan ska reg ija 1 Maribo rska reg ija Pomurska regija Primorska regija gostitelj tekmovanja ŠC Celje - Poklicna in tehniška gradbena šola ŠC Novo mesto - Poklicna in te hniška elektro šola Srednj a ekonomsko - turistična šola, Rad ovljica SŠ Dom žale SŠ za farmacijo, kozmetiko in zdravstvo, Ljubljan a Srednja pr ometna šola, Maribor Gimnazija Franc a Miklošiča, Ljutomer Srednja pomorska šola, Por torož Na regijskem tekm ovanju je bilo podeljenih 283 srebrn ih pri znanj. 12. aprila 2003 smo izvedli 3. dr žavno tekmovanj e, ki je bilo na Srednji gradbe ni, geodetski in ekonomski šoli v Ljubljani. Dr žavnega tekmovanja se je udeležilo 123 tekmovalcev iz srednjih tehniških in st rokovnih šol širom Slovenije . Državna tekmovalna komisija je podelila 45 zlat ih pri znanj . Dobitniki zlatih priznanj 1. letnik Davorin Krt , ŠC Velenj e - Poklicna in tehniška elekt ro in računalniška šola; Samo J ereb , Srednja lesar ska šola , Škofja Loka; Simon Matavž, Srednja strojnokovinarska šola, Ravne na Koroškem ; Martin Kr au ser , I Tekmo vanja ŠC Velenj e - Poklicna in te hniška elekt ro in računalniška šolaj Darko Pavlovi č , ŠC Velenje - Poklicna in te hniška elektro in računalniška šola; Sa ndi Babič , ŠC P tuj - Pokli cna in tehniška elektro šola j Borut Rutar, Srednja gradbena, geodetska in ekonoms ka šola, Ljubljana ; Denis Štaleker, ŠC Velenj e - Pokli cna in te hniška elektro in računalniška šola; Goran Hribar , Ekonomska šola , Murska Sobota; Matej Mež ik, Srednja elektro in strojna šola, Kranj ; And reja Nastran, SŠ za farmacija , kozmetiko in zd ravstvo, Ljubljana ; Indira Ajanovič , Srednja zdravstvena šola Izola ; Kondrad Pogačar , ŠC Celje - Poklicna in te hniška elektro in kemij ska šola; Marko Skrt , ŠC Postojna - Srednja šola. 2. letnik Mih a Nagelj, ŠC za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljana ; Simon Murgelj , ŠC za elekt rote hniko in računalništvo , Ljubljana ; Robi Gorup, T ŠC Nova Gorica - Poklicna in tehniška elekt ro šola; J ani Prošt , Srednja strojnokovinarska šola, Ravn e na Koroškem; Damjan Repar , SŠ za elek- trotehniko in računalništvo , Ljubljana; Luka Boe Thaler , SŠ za farmacija, kozmetiko in zdravst vo, Ljubljan a ; Klem en Jezernik, ŠC Velenj e - Po - klicna in t ehniška elekt ro in računalniška šola; J asn a Tofant , ŠC Celje - Pokli cna in tehniška elektro in kemij ska šola; Željka Vasic, Srednja gostinska in turistična šola Izola ; Rob ert J erovšek , ŠC Velenj e - Poklicna in te hniška elektro in računalniška šolaj David Kapun, Srednja elekt ro - računalniška šola Mar ibor ; Anja Miklavčič , ŠC Novo mesto - St ro jna, zdravstvena ter poklicna in tehniška kemij ska šola . 3 . letnik Goran Stojakovič, ŠC Velenj e - Pokli cna in te hniška elektro in računalniš­ ka šola; Dura Drljača, ŠC za elektrotehniko in računalništvo , Ljubljan a; David Zakonj šek , ŠC Velenje - Pokli cna in te hniška elektro in računalniška šola; Manca Košorog, Gimnazija Kočevj e ; Dejan Kovačevič , ŠC Velenje - Pokli cna in tehniška elektro in računalniška šola; Moj ca Spo riš, SŠ za farmacija , kozmetiko in zdravstvo, Ljubljana; Marko Keferle, ŠC Novo mesto - St rojna, zdravstvena ter poklicna in t ehniška kemij ska šola ; Goran Keser , ŠC Celje - Pokli cna in te hniška gr adbena šola ; Andra ž Kopač , Srednja elekt ro in st rojna šola, Kranj. 4. letnik Vanj a Maj cen, Gimnazija Celje - Cente r ; Aleš Jugovic, Šola za st ro jništ vo Škofja loka; Mihael Rebernik, ŠC Celje - Poklicn a in tehniška strojna šola; Jernej Guzej , SŠ za farmacija, kozmetiko in zdravstvo, Ljubljana; Tom až Kanalec, TŠC Nova Go rica - Poklicna in t ehniška elekt ro šola; Tekmovanja I Boštj an Kr ajnik, Ekonomska šola Kr anj - Srednja poklicna in st rokovna šola; Matej Pičulin, T ŠC Nova Gor ica - Poklicna in tehniška elekt ro šola; Anže Rezar , ŠC Celje - Poklicna in tehniška st rojna šola; Dean Delgiusto, Srednj a pomorska šola, Portorož; Aloj z Resnik, SŠ Krško . Na jbo ljš im t rem tekmovalcem v posamezni tekmovalni kategoriji smo na svečani podelit vi v Ljubljani , 22. maj a 2003, po delili nagrade. Letošnj ega tekm ovanja se je ud eležilo več dijakov in dijakinj kot lan skega. Takega zanimanja smo zelo veseli. Zahvaljujemo se pr ofesorjem mentorjem, org ani zatorjem regijskih te k- movanj in dr žavnega te kmovanja ter ravnateljem, vsem torej , ki so pripo- mogli k usp ešni izpeljavi vseh tekmovanj . Darinka Žižek, Polonca Pavlič, Irena Pivko 47. MATEMATIČNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IN SREDNJEŠOLK SLOVENIJE V sobotnem dopoldnevu 12. aprila 2003 se je 161 dijakov in dij akinj iz 41 gimnazi j in srednjih šol v pr ostorih Gimnazije Želimlje spopadlo z nalogami na 47. matematičnem te kmovanju srednj ešolcev Slovenije . Urice do večerne razglasit ve neuradnih rezultatov so si lahko skraj šali z izletom na grad Turjak , z izlet om v Izobraževalni cente r za jedrsko energijo v Podgorici ali pa ob poslušanju potopisnega pr edavanja o Novi Zelandiji. Za usp ešno reševanj e nalog je državna te kmovalna komisija podelila na- slednje nagrade: 1. letnik Prva nagrada Boštj an Kovač , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana; P rimož Koželj , Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a ; Gašper Zadnik, Gimnazija Vič , Ljublj an a . Druga nagrada Nino Bašič , Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; Žiga Lokar , Gimnaz ija Kr anj ; Jože Mužerlin, Gimnazija Celje- Center. Tretja nagrada Tad ej Grobelšek , ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava; Matj až Krn c, ŠC Slovenj Gra dec - Gimnazija; Peter Lendero, ŠC Velenje Splošna in strokovna gimnaz ija; Samo Štajner , Gimnaz ija Brežice. I Tekmovanja 2. letnik Prva nagrada Sara Kališni k, ŠC Ce lje - Splošna in strokovna gimnazija Lava . Druga nagrada Jan Lonzaric, II. gimnazija Maribor. Tretja nagrada Deni s Golež, ŠC Celje - Splošna in st rokovna gimnazija Lava ; Klavdij a J agar, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava; Matija Polajnar , Srednja elekt ro in stro jna šola , Kranj. 3 . letnik Prva nagrada Nik Stopar , SŠ Ven a Pilon a Ajdovščina ; Mitja Trampuš, Gimnazija Beži- grad, Ljubljana; Klem en Žib erna, II . gimnazija Maribor. Tretja nagrada Matevž Pičman , Gimnazija Kranj ; J an oš Vidali, Gimnazija Kop er. 4 . le t n ik Prva nagrada Rok Kon č ina , ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava; Žiga Novšak, 1. gimnazija Celje; Tad ej P ajnhar t J ar c, Gi mnazija Bežigrad , Ljubljana; Janez Šter , Gimnaz ija Želimlje. D ruga nagrada Tine Porent a , Gimnazija Škofja Loka. Tretja nagrada Kat ar ina Bolko , SŠ Vena Pilon a Ajdovščina; Domen Rovšček , Gimnazija To lmin; Bojan Žunkovič , II. gimnazija Maribor. P o določil ih P ravilnika o tek movanju sred nješolcev v zn anj u m a tem a- tike je državna te kmovalna komisija na po d lag i rezul t a t ov dveh izb irn ih tes tov in državn ega tekmovanj a izbrala ekipo, ki bo zastopala Slovenijo na Med naro dni matematični olimpiadi v Tokiu na J ap onskem . V ekipo so se uvrst ili: Rok Končina, Ivo List, Nik Stopar , Janez Šte r , Mitja Trampuš in J anoš Vid ali . M alj až Željko Tekmovanj a I 41. FIZIKALNO TEKMOVANJE SREDNJEŠOLCEV IN SREDNJEŠOLK SLOVENIJE Tudi letos je te kmovanje, t ako kot v pr ejšnj ih letih , potekalo v t reh stopnjah in treh skup inah, ki so se razlikovale po snovi . Na prvo stopnjo, regijsko tekmovanje, se je prij avilo 738 tekmo- valcev iz 57 sred njih šol, udeležil pa se ga je 601 tekmovalec. Tekmovanj e je bilo istočasno izvedeno 22. marca 2003 na osmih srednjih šolah iz posameznih regij: Škofijski klasični gimnaz iji Ljubljana, Gimn aziji Litija , II I. gimn aziji Maribor , Gimnaziji Ravne na Koroškem , Srednji elekt ro in strojni šoli Kranj , ŠC Nova Gor ica - Gimnaziji, Srednji tehn iški šoli Koper in Gimnaziji Brežice. Tekmovaln e komisije so popravile izdelke in pr edložile tekmovalce za državno tekmovanj e iz posamezne regije. Na tek- movanju je 193 te kmovalcev osvojilo bronasto priznanj e, 126 pr edlaganih za državno tekmovanje pa t udi srebrno pri znanj e. Državno t ekmovanje je bilo 5. aprila 2003 v Šolskem cent ru Novo mesto . Od 126 pr edlaganih tekmovalcev se ga je v 1. skupini udeležilo 54, v II . skupini 38 in v III. skupini 27, skupaj 119 tekmovalcev iz 38 srednjih šol. Tekmovanje je izvedla tekmovalna komisija DMFA Slovenije, stroške te kmovanja pa sta kril a Ministrstvo za šolstvo, znanost in šport ter soorganizator državnega tekmovanja - Šolski center Novo mesto . P ri izvedbi tekmovanja in oceni tvi izdelkov so pomagali št udent je in sodelavci FMF, Oddelek za fiziko, in sodelavci Inšti tuta Jožef St efan. Na letošnj em dr žavnem te kmova nju je komisija razglasila t ri pr ve nagrade, šest drugih , osem t retjih in 29 pohval. Vseh 17 nagrajenih je prejelo t udi zla to pri- znanje . Svečana podelit ev nagrad in zlat ih priznanj je bila 22. maja 2003 na priredi tvi v Koloseju v Ljubljani. Podeljene nagrade in pohvale Skupina 1 1. nagrada Matija Krajnc, Gimnazija Bežigrad , Lju bljana. II. nagrada Ni bila podeljena. III. nagrada Denis Golež, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnaz ija Lava; Matija Vidmar, Gimnazija Bežigrad , Ljublj an a ; Vasj a Susič , Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljan a; Mih a Troha, Gimnazija Jurija Vege, Idrija ; Andrej Soršak, 1. gimnazija Maribo r. I Tekmovanja Pohvala Matjaž Berčič, Gimnazija Škofja Loka ; Tadej Kanduč, Srednja vzgojitelj- ska šola in gimnazija Ljub ljana; Denis Brojan, SŠ za elektrotehniko in računalništvo, Ljubljan a; Tadej Grobe lšek , ŠC Celje - Splošna in stro- kovna gimnazija Lava; Matjaž Gomilšek , II. gimnaz ija Maribor ; Matija Lavrinc, ŠC Rudolfa Maistra Kamnik - Gimnazija ; Tom Vodopivec, T ŠC Nova Gorica - PTEŠ; J erneja Bogovič, ŠC Novo mesto - Tehniška gim- nazija; Simon Gangl, Srednja elektro-računalniška šola Maribor; Timotej Homar, Škofijska klasična gimnaz ija, Ljubljana; Klemen Rupnik, Gimna- zija Jurija Vege, Idrija . Skupina II 1. nagrada Simon Čopar , Gimnazija Litija ; Nik Stopar, SŠ Vena Pi lona Ajdovščina. II. nagrada Gregor Donaj, II. gimnaz ija Maribor; Mon ika Turk , Gimnazija Novo mesto; Gregor Pos njak, Gimnazija Kr anj. III. nagrada Simon J esenko, Gimnazija Škofja Loka; Klemen P irnat , Gim naz ija Beži- grad , Ljubljana. Pohvala Mar t in Stroj nik, Gimnaz ija Bežigrad , Ljubljan a; Matej Ur bas, II. gim na- zij a Maribor ; Lan Žagar , Gimnazija Bežigrad , Ljubljana ; Klemen Blokar , Gimnaz ija Šentv id Ljubljana; Matij a J avorski , Gimnazija J esenice; Mar ko Kuder , Srednja tehniška in poklicna šola , Tr bov lje; Mitj a Trampuš, Gim- nazija Bežigrad , Ljublj an a ; Tadej J an ež, Gimnaz ija Bežigrad , Ljublj an a; Žiga Novšak, 1. gimnazija v Celju ; Božid ar Roglič , Srednja te hniška in poklicna šola, Trbovlje. Skupina III 1. nagrada Ni bila po deljena. II. nagrada Klemen Žibern a, II. gimnazija Maribor ; Anton Potočnik , ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnazija Lava; Ivo List, Gimnazija Bežigrad , Lju- blj an a. III . nagrada Rok Končina , ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnaz ija Lava. Tekmovanja I Pohvala Marko Kotar , SŠ J osip a Jurčiča Ivančna Gorica; Rok Prislan , ŠC Nova Gorica - Gimnazija; Tad ej Paj nh art J ar c, Gimnazija Bežigrad , Ljublj ana; Gašper Žerovnik , Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a ; Simon Kolar , Gimn azija Mur ska Sob ota ; Jasna Rodman, Škofijska gimnazija Vipava ; Mitja P išlar , Gimnaz ija Koper ; Matej Rožič , ŠC Novo mesto - Tehniška gimnazija. Izbirno tekmovanje za olimpijsko ekipo je bilo 9. maj a 2003 na Fakulteti za matem atiko in fiziko, Oddelek za fiziko. Udeležilo se ga je 10 najboljš ih tekm ovalcev iz III. skupine in 2 najboljša iz II . sku pine z državnega tekm ovanja. V ekipo za letošnjo 34. mednarodno fizikalno olim piado so se uvrst ili: Klemen Žibern a , II. gimnaz ija Maribor; An- ton Potočnik, ŠC Celje - Splošna in strokovna gimnaz ija Lava; Gašp er Žerovn ik, Gimnazija Bežigrad , Ljubljan a; Rok P rislan , ŠC Nova Gorica - Gimnazija in Marko Kotar , SŠ J osipa Jurčiča Ivančna Gorica . Ciril Dominko PRESEK list za mlade m atematike , fizike, ast r o n o me in računaln ikarje 31. letnik, šo lsko leto 2003/04 , š tev ilka 1 , str a n i 1-64 UREDNIŠK I ODBOR : Vlad imir Batagelj , Tanja Bečan (jezi kovni pregled), Mirko Dob ovišek (glav ni ur ed nik), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja), Bo jan Go lli, Marjan Hriba r , Boš tjan Jaklič (tehnični ur ednik) , Mart in J uvan (računal­ ništvo) , Sandi K lavžar, Bo ris Lavrič , Andrej Lika r (fizika) , Matija Lokar , Franci Oblak , Peter Petek, Marijan P rosen (astronom ija) , Marija Venc elj (matematika, od govorna ur ednica). Dopisi in naročnine : DMFA - za ložni štvo, Presek, Jadranska ulica 19 , 100 1 Ljublj a- na , p.p. 2964 , te l. (Ol) 4766-553, te lefaks (Ol) 2517-28 1. Naročnina za šolsko let o 2003/04 je za po samezne naročnike 3 .600 SIT (posamezno naročilo velja do preklica) , za skupins ka naročila šol 3.000 SIT, posamezna številka 900 SIT, tem atska štev ilka 1.650 SIT, stara številka 650 SIT, let na naročnina za t uj ino 25 EUR, dev izna nakazila SKB banka d .d . Ljubljana, Ajdovščina 4, Ljublj a na , SWIFT: SKBASI2X , transakcijski račun štev ilka 03100-1000018787 . List sofinancira MŠZŠ Založilo DMFA - za ložništvo Tisk: DE LO T iskarna , Ljublj ana © 2003 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Sloven ije - 1538 Poštnina plačana pri pošt i 1102 Ljublj ana