Numerični postopek za izračun temperaturnega polja brame pri kontinuiranem ulivanju jekla
Numerical Precedure for Calculating Temperature Field in Continuous Casting of Steel
B, Šarler1, Fakulteta za strojništvo, Ljubljana
Prejem rokopisa - received: 1995-10-04; sprejem za objavo - accepted for publication: 1996-01-22
V delu so opisana empirična metalurška merila ohlajanja pri kontinuiranem ulivanju jekla. Problem pravilne nastavitve procesnih parametrov je formuliran kot minimizacijski problem, ki temelji na analitičnem zapisu meril ohlajanja in znanem temperaturnem polju brame Za definirano računsko intenzivno nalogo je razvit hiter numerični postopek za izračun temperaturnega polja brame. Temelji na podlagi Voller-Swaminathanove iterativne sheme, kije v tem delu modificirana s preprostejšim računanjem novega volumskega deleža kapljevinske faze, Crank-Nicolsonovi časovni diskretizaciji ter na metodi kontrolnih prostornin v dveh dimenzijah. Diskretizirane enačbe so rešene na podlagi razvitega simetričnega ADI razcepa in TDMA algoritma. Natančnost metode je preverjena na podlagi dveh preskusnih primerov. Metoda je vgrajena v simulator livne naprave ACRONI Jesenice.
Ključne besede: kontinuirano ulivanje, metoda kontrolnih prostornin, modeliranje strjevanja
This work describes empirical metallurgical cooling criteria of the continuous casting of steel. The problem of setting proper casting process parameters is formulated as a minimization problem based on analytical form of the cooling criteria and on calculated temperature field of the slab. For the defined computationally intense optimization problem, a fast solution algorithm is developed for determining the temperature distribution in the slab. It is based on the Voller-Swaminathan iterative scheme modified with simple calculation of the new liquid volume fraction, Crank-Nicolson time discretization and on the finite volume method in two dimensions. Discretized equations are solved by using the deduced symmetric ADI decomposition and TDMA algorithm. The accuracy of the method is checked with two test cases. The described method is implemented in the ACRONI Jesenice caster simulator.
Key words: continuous casting, finite volume method, solidification modelling
1 Uvod in pomen raziskave
Kvaliteta brame pri kontinuiranem ulivanju jekla je funkcija željene sestave taline oziroma čistosti taline, notranje in zunanje razpokanosti proizvoda, intenzivnosti izcej na mikro, mezo in makro merilu, poroznosti ter pravilnih dimenzij proizvoda. Kvaliteto kontinuirano ulitih proizvodov zagotavljamo in izboljšujemo na podlagi podrobnega razumevanja dogajanj procesa, možnosti spremljanja in regulacije procesnih parametrov ter s primerno organizacijo dela1.
Sodobna nastavitev procesnih parametrov pri kontinuiranem ulivanju jekla temelji na empiričnem znanju ter na direktnem in inverznem modeliranju procesa. Pri direktnem modeliranju skušamo predvideti kvaliteto izdelka v odvisnosti od podanih procesnih parametrov, pri inverznem pa skušamo določiti procesne parametre, ki dajo željeno kvaliteto. Na podlagi empiričnih izkušenj pri kontinuiranem ulivanju jekel so se izoblikovala tako imenovana metalurška merila ohlajanja, ki omejujejo variacije temperaturnega polja brame glede na željeno kvaliteto proizvoda. Iz izračuna temperaturnega polja brame ter metalurških meril ohlajanja lahko sklepamo na dobro ali slabo nastavitev procesnih parametrov livne naprave.
' Doc. dr. Božidar ŠARLER. Fakulteta za strojništvo
Laboratorij za dinamiko fluidov in termodinamiko 1000 Ljubljana, Aškerčeva 6
Značilna metalurška merila ohlajanja pri kontinuiranem ulivanju jekla2 so:
•	največja dovoljena dolžina kapljevinskega korena
•	največje dovoljeno ohlajanje površine ingota na enoto časa
•	največje dovoljeno ponovno segrevanje površine ingota na enoto časa
•	najnižja dovoljena temperatura površine ingota v točki ravnanja
•	največje negativno odstopanje površinske temperature ingota pri dani osni legi v območju ohlajanja s prhami
•	največje pozitivno odstopanje površinske temperature ingota pri dani osni legi v območju ohlajanja s prhami.
Značilno število procesnih parametrov livnih naprav za kontinuirano ulivanje jeklenih bram je med 20 in 30. Za zgled navedimo livno napravo ACRONI Jesenice, v kateri so procesni parametri: temperatura ulivanja, hitrost ulivanja, nivo taline v kokili, frekvenca nihanja kokile, livni prašek, pretoki vseh štirih stranic kokile, vstopna temperatura hladila primarnega ohlajevalnega sistema, pretoki prh dvanajstih sekundarnih ohlajevalnih sistemov, vstopna temperatura hladila sekundarnega ohlajevalnega sistema.
Na podlagi numeričnega simulatorja livne naprave poiščemo pravilno nastavitev procesnih parametrov na naslednji način
1. Nastavimo približek optimalnih procesnih parametrov.
2.	Izračunamo temperaturno polje livne naprave.
3.	Izračunamo odstopanje metalurških meril ohlajanja od predpisanih vrednosti v primerni normi2.
4.	Iz stare nastavitve livne naprave in izračunanega odstopanja na podlagi primernega minimizacijskega algoritma izračunamo novo približno nastavitev livne naprave ob upoštevanju omejitev procesnih parametrov.
5.	• V primeru, da se stara in nova nastavitev livne
naprave razlikujeta, nadaljujemo s točko 2. • V primeru, da se stara in nova nastavitev livne naprave ne razlikujeta, ustavimo postopek iskanja optimalne nastavitve livne naprave.
Zaradi obilice procesnih parametrov je določanje optimalne nastavitve vseh procesnih parametrov livne naprave računsko intenzivno opravilo, ki zahteva primeren optimizacijski postopek in karseda hiter numerični izračun, saj moramo v vsakem novem koraku optimizacijskega postopka na novo izračunati celotno temperaturno polje ingota. V primeru, da temperaturno polje livne naprave računano pri vzdolžnih intervalih livne naprave 0,025 m pri prečni ločljivosti temperature 0,01 m in ingotu prečnih dimenzij 0,25 m x 1,6 m in dolžini od vrha ulivanja do rezalne dolžine 21,845 m (livna naprava ACRONI) je rezultat izračuna 3657727 vrednosti za temperature.
Vsebina prispevka je omejena samo na opis nu-meričnega postopka za izračun temperaturnega polja brame. Opis uporabljanih fizikalnih modelov ohlajanja livne naprave (prestop toplote z ingota na kokilo, prenos toplote v kokili, prestop toplote z ingota na primarno hladilo, prenos toplote z ingota na kapljice hladila, zasto-jno hladilo ob valjčnicah, obtekajoče hladilo, valjčnice in s sevanjem) je najti v3, optimizacijski postopek pa bo opisan v eni naših naslednjih publikacij.
ulivanja. Njeno izhodišče sovpada z notranjim (južnim) delom brame.
Narava prenosa toplote pri kontinuiranem ulivanja jekla je takšna2, da je prevajanje toplote v smeri, vzporedno z ulivanjem, zanemarljivo v primerjavi z ad-vektivnim prenosom. Tako je koordinata z parabolična, koordinati x in y pa sta eliptični. Temperaturno polje v brami livne naprave ob danem času opišemo s tem, da izračunamo za vsak vzdolžni položaj (imenujmo ga rezino) prečno temperaturno polje. Tako so temperaturne razmere v brami pri dani koordinati z odvisne le od starosti rezine v livni napravi in intenzivnosti njenega hlajenja v odvisnosti od časa. Rezine nastajajo na začetni vzdolžni koordinati ulivanja zstart in potujejo v smeri baznega vektorja iz s hitrostjo ulivanja V. Za izračun intenzivnosti hlajenja rezine v odvisnosti od časa potrebujemo zvezo med koordinato z livne naprave in starostjo rezine t, ki je v splošnem
z(t) = J V(t')dt' + zSTARX , V(t) = V(t) . iz, (2)
'start
kjer je tSTART začetni čas rezine.
V primeru, ko je hitrost ulivanja konstantna, imamo med koordinato z livne naprave in starostjo rezine t naslednjo preprosto zvezo:
t(z) = Z~Z.S.TART + tSTART.	(3)
2 Numerični postopek
2.1 Popis geometrije brame
Temperaturno polje brame v točki z radij-vektorjem p ob času t popisujemo v tri-dimenzionalnem kartezičnem koordinatnem sistemu:
p =xix + yi + zi.
d)
kjer x, y in z predstavljajo koordinate, i.v, iY in i: pa bazne vektorje. Koordinata z meri dolžino notranjega (južnega) dela livnega sistema kokile in valjčnic. Ker je livni sistem ločno ukrivljen, predstavlja uporaba kartezičnih koordinat približek, v katerem livni sistem "izravnamo". Izhodišče koordinate z sovpada s polovično višino kokile, bazni vektor pa s smerjo ulivanja. Koordinata Jt meri širino (smer zahod-vzhod) brame, pravokotno na smer ulivanja. Njeno izhodišče sovpada z zahodno stranico brame. Koordinata y meri debelino (smer jug-sever) brame, pravokotno na smer
V SPLOŠNEM
<0 = t(-zy
t0+A1 =
V(f)df + rSTART
PRI KONSTANTNI HITROSTI ULIVANJA
'start
t„ = '
-start
tn+At =	'START
0	V
+ tc.
Slika 1: Shema potovanja rezine brame in relacije med krajevno in časovno koordinato
Figure 1: Slice travelling schematics and relations betvveen space and time coordinates

Ker se zanimamo samo za stacionarna stanja livne naprave, v nadaljevanju uporabljamo samo zgornjo preprosto zvezo. Posledično temperaturno polje brame T(x,y,z) popisujemo v obliki
T(x, y, z(t)); t(zSTART) < t < t(zCUT).
2.2 Osnovna enačba, začetni in robni pogoji
(4)
Reševanja temperaturnega polja rezine se lotimo na naslednji način:
Entalpijo rezine popisujemo z enofaznim modelom4
^ (fsPshs + fLpLhL) = - V • (fsFs + fLFL), (5)
kjer smo zanemarili vse mehanske vplive in disperzne člene. V enačbi (5) sta fs in h volumska deleža trdne S in kapljevinske L faze, ps in pt gostoti, hs in hi entalpiji ter Fs in Fl toplotna tokova faz. Ker zanemarimo morebitne poroznosti, velja naslednja konstitutivna enačba za volumska deleža faz:
fs + f, = 1.
(6)
Toplotna tokova faz konstituiramo s klasično Fourier-jevo relacijo:
Fs - -ksVTs, Fl - -kLVTL,
(7)
kjer ks in kl predstavljata toplotni prevodnosti, Ts in Tl pa temperaturi faz. Predpostavimo, da sta fazi v lokalnem termodinamskem ravnovesju, in s T označimo njuno temperaturo:
T = Ts = Tl.	(8)
Ker so zanemerjeni mehanski vplivi, sta entalpiji faz:
T	T
hs = J cps(0)d0, hL = J cpL(0)d6 + hM,
(9)
kjer cps in cpl označujeta specifični toploti faz pri konstantnem tlaku, hM pa talilno entalpijo. Enačbo (5) lahko ob upoštevanju naštetih konstitutivnih relacij zapišemo v obliki:
p„c~T = V ■ (kVT) - p0hLS|fL,
kjer smo definirali
,, dps „, dpL _	,
p„c = fshs -^r + fLhL "^r + fsPsSs + fLPiCpL>
k = fsks + f,k„ Pi)hLs = PiX - Pshs-
(10)
(11) (12)
Z po smo označili neko povprečno gostoto, na primer povprečno gostoto trdne in kapljevinske faze na sredi talilnega intervala.
Predpostavimo, da sta ob nekem začetnem času to znani porazdelitev temperature in deleža kapljevinske faze na odprtem območju rezine Q z mejo E, definirani preko funkcij 7b(p) in/z/j(p):
T(p,to) = T0(p), fL(p,to) = fL0(p).	(13)
Robni pogoji na meji JT so podani v Robinovi obliki:
F - -(fsks + fLkL) VT =
= H (T0 - TJ) • nr, F = F nr,
(14)
kjer U predstavlja koeficient toplotne prestopnosti, 7> temperaturo na meji, Tre/ referenčno temperaturo in nr vektor, pravokoten na E. Koeficient toplotne prestopnosti U je v splošnem funkcija položaja ter spremenljivk Tr, Tre/in/lt-
Rešitev osnovne enačbe predstavlja temperaturno polje in polje deleža kapljevinske faze na območju 12 in njeni meji E ob času to + At.
Za reševanje osnovne enačbe potrebujemo naslednje snovne lastnosti hM, ps(T),	pL(T), djf(T), cpS(T),
cpl(T), /l(T) in znani funkciji v Robinovih robnih pogojih za to < t < to + At v naslednji obliki
H = H (xp, yr, zr(t), Tr, Tref), Tref = Tref(xr, yr, zr(t))
t0 < t < t0 + At.
(15)
Pri tem xr, yr in zr predstavljajo koordinate meje E-
2.3 Diskretizacija
2.3.1 Časovna diskretizacija
Osnovno enačbo diskretiziramo po času na podlagi Crank-Nicolsonove sheme:
Po c
1+1/2
At
(T1+1-T') = V-(kVT)l+l/2-
PohLT^cr-fL).
(16)
Indeks l označuje količino ob času to, indeks l+l ob času to + At in indeks / + 1/2 ob času to + At. Ker so členi v osnovni enačbi v splošnem odvisni od temperature, jih moramo iterativno določiti. V tej zvezi vpeljemo indeks m, ki šteje iteracije. Tako enačbo (16) zapišemo, ko računamo temperaturo ob času to + t pri m+1 iteraciji v naslednji obliki:
_ m 1+1/2 1 ^m+lrr^l+l t-K	/ml V7m+lm\l+l/2
Po At	~
-Po^-^-rc-fi.)-
At
(17) 219
Snovne lastnosti in volumski delež kapljevinske faze ne morejo imeti indeksa m+1, ker so v splošnem odvisni od m+,T.
2.3.2 Voller-Swaminathanova iterativna shema
Poglavitni element Voller-Swaminathanove sheme je vpeljava približnega volumskega deleža kapljevinske faze ob iteraciji m+1 v enačbo (17). Ker je volumski delež kapljevinske faze ob iteraciji m+1 odvisen od temperature ob iteraciji m + 1, ga izrazimo v naslednji približni obliki:
m+lr4+l__mri+I m
Ii — ti +
Tako dobimo
^L ,mrl+k /m+l-pl+1 mrpI+K
^ ( 'L J l 1 _ 1 )■
m 1+1/2 1 /m+lrpl+1 .Tik V7 /Hll V7H+ lrrr. 1+1/2
P') c ~7~S T = v'( kV T) -
At
m. l+li 1 /m/4+1 J \
-	Po hLS — ( fL - fL) -
At
-1J+1 ,
m, 1+V4m 0IL I lnpl+1 mrpl+k
-	Po h, s —--( T - T ).
P	8T At
(19)
2.3.3 Diskretizacija na podlagi metode kontrolnih prostornin
Temperaturno polje rezine brame računamo v mrežnih točkah pPoložaj mrežne točke p/j; i = 1,...,1, j = 1,...,J je podan z
xi = x_ + (i-l)Ax,yj = y_ + (j-l)Ay (20) kjer sta mrežni razdalji At in Ay definirani kot:
Lx	Lv
Ax = ——, Ay = —JL 1-1 J-l
(21)
(18)
in sta v splošnem različni. Rezino brame razdelimo na pravokotne kontrolne prostornine kot je razvidno s slike 2.
Sistem algebrajičnih enačb za izračun temperatur v mrežnih točkah dobimo tako, da enačbo (19) integriramo po kontrolni prostornini Qjj in integrale izrazimo z vrednostmi temperatur v mrežnih točkah.
Pri tem naletimo na dva tipa integralov. Integral skalarne funkcije T(p) po kontrolni prostornini približno izrazimo kot:
J T(p)d^ = QiJT(pij),
(22)
Uporaba tovrstnega približka deleža kapljevinske faze zagotavlja optimalno majhno število iteracij v primerjavi z drugimi načini7.
KONČNI VOLUMEN
mrežna točka p,

volumen fij |
površina tjj = rs + rN + rE + rw
Slika 2: Shema diskretizacije rezine Figure 2: Discretization of the slice
INDEKSI MREŽNIH TOČK IN OZNAČBE NA PODLAGI STRANI NEBA
	O iJ-H	
©	O	e
M j	u	i+ij
		
kjer je Q,j volumen kontrolne prostornine Qij.
Integral funkcije -VJj (p) po kontrolni prostornini Oi,j, kjer velja Jj= -kVT, približno izrazimo kot:
-j VJr(p)dQ =
e«
~ _rsi j-jj-sij j-j-pNi j —rEi j-Jj-Ejj ~rwi.j'Jjwi,j'	(23)
kjer Toij; O = S,N,E,W predstavljajo površine kontrolnega volumna in kjer smo označili:
Jroi,j - K0i.j 7 ; O - S,N,
Ay
Jjoi.j - Koij — ; O - E,W,
(24)
koi.j - 2'
Koeficienti ksij, km,j, kEij in km,j so izračunani kot: k(T(pt,j))k(roi,j)
k(J(p1,J))+k(J0lJ)'
O = S,N,E,W, i=l,...I, j=l,...J.
(25)
Fluksi skalarne količine J" dobijo zaradi Robinovih robnih pogojev za kontrolne prostornine na robu območja in na ogliščih območja posebno obliko, ki jo eksplicitno ne navajamo.
Sistem algebrajičnih enačb za neznane Ti,j zapišemo v obliki
»Au/^r^) =
1 /nv-11^I1mp.l+fe.rpl+1 impl+Virpl+1	impl+VSrpl+I ] m^l+Vi rpl+1
—( Si-j-,iij~2 i j—I X i-J-»	2 1 i.j+l~ "-i+lj 1 i+l.j
l^ltfej+l 1/m^lt^ rapl+Vž-.rrJ	imp.lflirpi
— M_i,jli-i,j 2( xi,j	2 i j—11i,j-l~ MJtl1 i,j+l
t mciM^ -pl lm^l+^rjj m^+Vi	mpl+Vi m . ,mrl+l rl ..
—i Wl,j1i+l.j_2 i-l.j i—1 »j *-xxi.j	yyi,j A2ijl 1Li.j_1Li.j;
mA , ni+ 11^1-1 mry.l+U
+ A3i,j(. A i.j ii.j )•
lrj, 1+1
1 i.j
j, I	1 r /+/ __ r l
' i,j • J Li.j ~ Ju,j ■
2. Izračunamo specifične toplote, difuzijske koeficiente, in druge snovne lastnosti:
O 1 i i
(I)
(26)
pri čemer koeficienti Aij nastopajo iz integracije prehodnega in izvornih členov (tip integrala 22), koeficienti C-,,j pa iz integracije difuzijskega člena (tip integrala 23) po kontrolni prostornini Q,,;.
2.4	Reševanje sistema algebraičnih enačb
Sistem rešimo na iterativen način tako, da pri reševanju lahko uporabimo hiter TDMA algoritem6. Ker imamo v Voller-Swaminathanovi shemi izvorni člen odvisen od temperature na koncu časovnega koraka, klasična ADI metoda6, ki dovoljuje uporabo TDMA algoritma, odpove, saj daje nesimetrične rezultate. V našem primeru smo ADI simetrizirali na naslednji ad-hoc način: V prvem pol-koraku neodvisno rešimo tridi-agonalna sistema enačb, dobljena s klasičnima jc in y razcepoma. Za vrednosti temperature ob času 1+1/2 vzamemo povprečje tako dobljenih vrednosti. Pri tem ne upoštevamo izvornega člena zaradi m+7-vega približka volumskega deleža kapljevinske faze. V drugem pol-koraku za začetno vrednost vzamemo izračunane temperature ob času 1+1/2 in neodvisno rešimo tridiagonalna sistema enačb dobljena s klasičnima x in y razcepoma. Za vrednosti temperature ob času l+l vzamemo povprečje tako dobljenih vrednosti. Pri drugem pol-koraku upoštevamo izvorni člen vsled m+l-vega približka volumskega deleža kapljevinske faze. Z omenjeno simetrizacijo smo računski čas glede na klasično ADI shemo povečali za dvakrat. To je še vedno ekonomično, saj klasične sheme za iskanje m+'fLj+1 potrebujejo več kot dvakrat več iteracij kot Voller-Swami-nathanova7. V situaciji brez faznega prehoda uporabljamo samo klasični ADI razcep.
2.5	Iterativni potek računanja
Potek računanja med časovnim korakom to < t < to +
A t.
1. Na začetku računanja definiramo diskretizacijske in
geometrijske parametre
I, J, 10, At,
Ax, Ay, nLj, rSij, rNiJ, rEij, rWiJ.
ter postavimo vrednosti temperaturnega polja in polja volumskega deleža kapljevinske faze ob koncu časovnega koraka na vrednosti ob začetku časovnega koraka
ter koeficiente
a a a r'[+Vl ryUVl rrrl+Vi
li.j' A2i,j> A3ij> ^—i.j ' —iTj ' *—i.j—1» M.j+1' *—'i—1 ^-i+l.j' xxi,j' yyi,j 1
(II)
na podlagi vrednosti temperature in volumskega deleža kapljevinske faze ob začetku in koncu časovnega koraka ter robnih pogojev.
3. Izračunamo nove vrednosti temperature ob koncu časovnega koraka na podlagi modificirane ADI dek-ompozicije:
m+lrpl+l
(HI)
4. Izračunamo nove volumske deleže kapljevinske faze ob koncu časovnega koraka:
m+1^1+1 _ ra^+l_|_m^M_^m+lrpl+l_rp,mjl+KN Li.j Li.j -\m V i.j v Li.j//' dTM
(IV)
Uporabimo korekcijo:
m+lrl+l
rU,j m+1 J+l
fu!j= I v primeru:
f*+1 > 1 Li.j > 1'
rl+1 r\	m+M+l n
fLij = 0 v primeru: fLiJ < 0.
(V)
5. Izračunamo novo entalpijo ob koncu časovnega koraka:
ll_l+l L/m+lrT^l+l m+lrl+K
Li.j = h( Tj j , fLiJ).
(VI)
6. Preverimo konvergenco na podlagi konvergenčnega merila:
m+1, i+1 m. 1+1 . ■
I "i,j - "i,j I < hr
(VII)
•	V primeru, da je konvergenčno merilo izpolnjeno, postavimo:
m+lrl+i r /m+lrrJ+K m+l.l+l t_ /m+lrrJ+l m+lrl+K /tt-ttt\
iLi,j = fL( Ti,j)- h; j = h( Tjj, r ii.j) - (VIII)
•	V primeru, da konvergenčno merilo ni izpolnjeno, nadaljujemo s točko 2.
Pripomniti velja, da je v originalni Voller-Swami-nathanovi shemi računanje približka novega volumskega deleža kapljevinske faze precej bolj zapleteno, saj avtorja uporabljata povsem drugo strategijo v mrežnih točkah, pri katerih T(mfLl+1) ne leži, T(m+1fLl+') pa leži v talilnem intervalu. Tej komplikaciji se v naši shemi brez izgube natančnosti izognemo z opisanimi postavitvami v primeru, ko je konvergenčno merilo izpolnjeno.
ACRI il JESENICE - MOiILD TEMPERATURES
C	....................................................'Mil m^u.^^'
-50 -10 -30 -20 -10 0 10 20. 30 *kn]
hI
ACRONI JESENICE - MO.CLD TEMPERAH - E5
-50 -40 -30 -20
[ C J
ACRONI JESENICE - MOULD TEMPES? UHES
Slika 3(a,b,c): Značilno temperaturno polje brame po 0,30 m (a), po 0,45 m ulivanja (b) ter pri izstopu iz kokile po 0,60 m ulivanja (c). Notranja izoterma predstavlja likvidus temperaturo 1810 K, zunanja pa solidus temperaturo 1790 K. Iz slike 3(c) je razvidno, da je pri danih pogojih na izstopu iz kokile strjenega približno 0,015 m roba ingota Figure 3(a,b,c): Representative temperature field of the ingot after casted lengths 0.30 m (a), 0.45 m (b) and at the mould outlet at 0.60 m (c). Inner isotherm represents Iiquidus temperature 1810 K. outer isotherm represents solidus temperature 1790 K. Figure 3(c) shows solidified shell thickness of approximately 0.015 m
3 Testiranje metode
V tem delu prikažemo dva preskusna zgleda. S prvim
smo preverili pravilno implementacijo Robinovih robnih
pogojev in temperaturnega polja brez faznega prehoda, z
drugim pa smo preverili pravilno implementacijo trdno-
kapljevinskega faznega prehoda. Imejmo pravokotno
območje 0 m < x < 1,5 m, 0 m < y < 1,5 m. Snovne
lastnosti so p = 1 kg/m3, cs = cl = 1 J/(kgK), ks = kL = 1 W/(mK), Ts = 0,99 K, TL = 1,01 K. V prvem testnem primeru je hM = 0,00 J/(kgK), v drugem pa 0,25 J/(kgK). Snov naj bo pri začetni temperaturi 1,3 K. Na severnem in zahodnem delu je kvadrat toplotno izoliran. V prvem primeru seva na južni in vzhodni strani v okolico s temperaturo 0 K pri koeficientu toplotne prestopnosti 1 W/(m2K). V drugem testnem primeru temperatura roba ob času t > to pade na 0 K. V obeh primerih nas zanima temperaturno polje ob času t = 0,1 s. Diskretizacijski parametri so At = 0,005,1 = 21, J = 21, hE = 0,0001 J/kg. Rešitev prvega preskusnega zgleda primerjamo z analitično rešitvijo iz8, rešitev drugega pa z referenčno semi-analitično rešitvijo iz9. Pri danih diskretizacijskih parametrih dobimo v prvem (drugem) primeru povprečno napako v računskih točkah enako 0,00098(0.00979)
K, največjo napako v računskih točkah pa 0,00207 (0,04224) K. Obe napaki sta pričakovane velikosti10.
4	Uporaba
Opisan numerični postopek smo uporabili v simulatorju temperaturnega polja brame, naprave za kontinuirano ulivanje ACRONI Jesenice. Na sliki 3 sta prikazani izotermi Ts = 1790 K in TL = 1810 K brame dimenzij 1,06 m x 0,20 m pri ulivanju s temperaturo 1850 K in s hitrostjo 0,0166 m/s. Snovne lastnosti so p = 7140 kg/m3, cs = cL = 717 J/(kgK), hM = 277000 J/kg, ks = kL = 26,4 W/(mK). Koeficient toplotne prestopnosti kokile je 11 = 600 W/(mK), referenčna temperatura Tref = 350 K. Diskretizacijski parametri so I = 107, J = 21, At = 1,2 s, hE = 100 J/kg. Celotno število iteracij, potrebnih za izračun 30 časovnih korakov je 251. Največje število iteracij v časovnem koraku je 10, povprečno 8,4 in najmanjše 7.
5	Sklepi
Prikazano delo sloni na Voller-Swaminathanovi shemi za računanje temperaturnega polja ob prisotnosti trdno-kapljevinskega faznega prehoda v kombinaciji z metodo kontrolnih prostornin. Osnovna metoda je v tem delu nadgrajena tako, da je iskanje približka volumskega deleža kapljevinske faze v točki, kjer prihaja do faznega prehoda, močno poenostavljeno, navkljub nezmanjšani natančnosti sheme. Obenem predstavlja delo nadgradnjo originalne metode, ki je bila predhodno preskušena samo v eni prostorski dimenziji na dve in na način, ki omogoča uporabo hitrega TDMA algoritma. Razvit numerični postopek je implementiran v simulatorju temperaturnega polja brame naprave za kontinuirano ulivanje ACRONI Jesenice.
Zahvala
Avtor se zahvaljuje MZT in ACRONI Jesenice za finančno podporo v okviru projektov Modeliranje kontinuiranega ulivanja jekla, Modeliranje kontinuiranega ulivanja in projekta evropske skupnosti COST 512: Modelling in materials science and processing.
6	Literatura
1W. R. Inving, Continuous Casting of Steel, The Institute of Materials, The University Press, Cambridge, 1993
2	E. J. Laitinen, On the simulation and control of the continuous casting process, Technical report, University of Jyvaskila, Finland, 1989
3	B. Šarler, A. Košir, Modeliranje prenosa toplote in snovi pri kontinuiranem ulivanju - modela ACRONI Jesenice in IMPOL Slovenska Bistrica, Kovine, zlitine, tehnologije, 28, 1994, 163-167
4	W. D. Bennon, F. P. Incropera, A continuum model for momentum, heat and species transport in binary solid-liquid phase change systems - I. Model formulation, Int. J. Heat Mass Transfer, 30, 1987, 2161-2170
5	S V. Patankar, Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere, New York, 1980
6	W H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, The Art of Scientific Computing. Second Edition. Cambridge University Press, Cambridge, 1992
7	V. R- Voller, C. R. Swaminathan, General source-based method for solidification phase change, Num. Heat Transfer, 19B. 1991, 175-189
8	H. S. Carslaw, J. C. Jaeger, Conduction of Heat in Solids, Clarendon Press, Oxford, 1959
9	K. A. Rathjen, L. M. Jiji, Heat conduction vvith melting or freezing in a corner, J. Heat Transfer, 93, 1971, 101-109
10	A. J. Dalhuijsen and A. Segal, Comparison of Finite Element Tech-niques for Solidification Problems, Int. J. Numer. Methods Eng., 23, 1986, 1807-1829
INŠTITUT ZA KOVINSKE MATERIALE	1000 LJUBLJANA, LEPI POT 11 POB 431
IN TEHNOLOGIJE p.o.	SLOVENIJA
INSTITUTE OF METALS	Telefon: 061/1251-161. Telefax: 061 213-780 AND TECHNOLOGIES p o.
VACUUM HEAT TREATMENT LABORATORY
Vacuum Brazing
Universally accepted as the most versatile method of joining metals. Vacuum Brazing is a precision metal joining technique suitable for many component configurations in a vvide range of materials.
ADVANTAGES
•	Flux free process yields clean, high integrity joints
•	Reproducible quality
•	Components of dissimilar geometry or material type may be joined
•	Uniform heating & cooling rates minimise distortion
•	Fluxless brazing alloys ensure strong defect free joints
•	Bright surface that dispense vvith expensive post cleaning operations
•	Cost effective
Over five years of Vacuum Brazing expertise at IMT has created an unrivalled reputation for excellence and quality.
Our experience in value engineering vvill often lead to the use of Vacuum Brazing as a cost effective solution to modern technical problems in joining.
INDUSTRIES
•	Aerospace
•	Mechanical
•	Electronics
•	Hydraulics
•	Pneumatics
•	Marine
•	Nuclear
•	Automotive
QUALITY ASSURANCE
Quality is fundamental to the IMT philosophy. The choice of process, ali processing operations and process control are continuously monitored by IMT Quality Control Department. The high level of quality resulting from this tightly organised activity is recognised by government authorities, industry and International companies.