Nič pomeni nič – nečesa* Anja Janežič Osnovna šola Martina Krpana Ljubljana Σ Povzetek Velik vpliv na učenje posameznikov ima poučevanje, ki ga iz- vaja učitelj. Če želimo izboljšati poučevanje in tudi učenje v šoli, morajo biti učitelji seznanjeni s kritičnimi lastnostmi po- sameznega koncepta, ki jih mora učenec zaznati in prepoznati, če ga želi razumeti. Ni namreč dovolj, da učitelj kritične lastno- sti učencem zgolj poimenuje. Za učenje je veliko večjega pome- na, da so odkrite v okviru dejavnosti, ki jih za učence zasnujejo učitelji. Namen tega preglednega članka je predstaviti razvoj koncepta števila nič v preteklosti, opozoriti na najpogostejša napačna razumevanja, ki se kot posledica različnih konceptov, napačnih predstav ... pojavljajo pri razumevanju koncepta šte- vila nič po celotni vertikali osnovnošolskega izobraževanja, in tako opozoriti na kritične lastnosti, ki lahko učiteljem olajšajo načrtovanje dejavnosti v procesu poučevanja. Ključne besede: število nič, zahtevni matematični koncepti, razumevanje, poučevanje, učenje. Nothing means nothing – of something Σ Abstract Teaching performed by the teacher has a great influence on the learning of individuals. If we want to improve teaching and in consequence also learning in school, teachers must be acquain- ted with the critical properties of an individual concept, which the pupil must detect and recognize if he wants to understand α Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 02-06 Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 024-044 031 a Uv od V prvem poglavju svoje knjige Svet števil je Guedj (1996, str. 13) zapisal: »Človeštvo je za prehod od množine do števila potrebo- valo dolgo dobo. Koncept števila, ki se nam zdi nekaj samoumevnega, je rezultat dolgo- trajnega razvoja abstraktnega mišljenja.« Po njegovih besedah je pogoj za nastanek števila abstraktno gledanje na predmete, pri katerih upoštevamo zgolj obstoj, zanemarimo pa njihove lastnosti in posebnosti. Nekaj podobnega kot velja za nastanek števila, velja tudi za število nič. Za prehod od prvih števil do števila nič je človeštvo potre- bovalo kar nekaj časa, saj je bilo, kot pravita Berlinghoff in Gouvêa (2008), treba o števi- lih razmišljati »kot o idejah, ki obstajajo tudi tedaj, ko ne preštevamo ničesar« (Berling- hoff in Gouvêa, 2008, str. 83). Šele tedaj, pra- vita, »obravnavanje ničle kot števila postane povsem smiselno« (prav tam). b Začetki števila nič Zgodovinarji so začetke ničle postavili v Me- zopotamijo leta 1600 pred Kr. Babilonci so v tem času že poznali sistem mestne vrednosti. Prazno mesto, s katerim so pokazali, da je eno mesto izpuščeno, so najprej označevali s presledkom, ker pa so bili presledki zaradi hitrosti pisanja različno veliki, so jih pozneje nadomestili s piko. Z odkrivanjem ničle so nadaljevali Hin- dujci. Še pred letom 600 pred Kr. so poznali mestni desetiški sestav, kot ga imamo še da- nes. Za označitev praznega mesta so upora- bili majhen krogec. Omenjeni sestav so se v 9. stoletju naučili uporabljati Arabci in pod njihovim vplivom se je v naslednjih dveh ali treh stoletjih po- stopoma razširil tudi v Evropo. Simboli za posamezne številke so se sicer nekoliko spre- menili, načela pa so ostala ista. (Arabci so krogec uporabljali za označitev števila pet, za označitev praznega mesta so uporabljali piko.) Indijsko besedo za odsotnost količi- it. It is namely not enough that the teacher names the critical properties to the pupils. It is much more important for learning that they are discovered in the framework of activities, which are designed for pupils by teachers. The aim of the following synoptic article is to present the development of the concept of the number zero in the past to warn against frequent misun- derstandings which are the consequence of different concepts, wrong notions.....and appear in the understanding of the con- cept of the number zero along the whole vertical of primary edu- cation. In this way I am trying to expose the critical proprieties, which can be of a great help to teachers in planning of activities in the teaching process. Keywords: number zero, demanding mathematical concepts, understanding, teaching, learning. Matematika v družboslovnih vedah 032 ne, sunja, so Arabci prevedli z besedo sifr, Evropejci pa z latinsko zephirum, skupaj z le napol polatinjeno besedo cifra. Ti dve besedi sta se razvili v angleški besedi zero in cipher (ničla in številka). Še danes uporabljamo simbol števila nič (krog ali oval) za oznako tega, da katera potenca števila deset ni upo- rabljena. Hindujci so poleg tega, da so označili neko odsotnost količine, do 9. stoletja ugoto- vili še nekaj, in sicer, da je odsotnost količine tudi količina sama – nič so začeli obravnavati kot število (Berlinghoff in Gouvêa, 2008). Tedaj se je začel razcvet aritmetike in al- gebre, o čemer priča tudi tale zapis: »Ničla se je do konca 18. stoletja iz pripomočka za označevanje praznega mesta razvila v pravo algebrsko orodje. Na poti do matematične dovršenosti, pa je bil v zvezi s številom nič storjen še en pomemben korak. Ko so mate- matiki v 19. stoletju posplošili strukturo sis- tema števil in v sodobno algebro uvedli ko- lobarje in obsege, je število nič postalo zgled posebnega elementa teh struktur. Dejstvo, da se število ne spremeni, ko mu prištejemo 0, in da množenje števila z nič zopet privede do števila nič, je postalo definicija »aditivne enote«, posebnega elementa teh abstraktnih struktur.« (Berlinghoff in Gouvêa, 2008, str. 85) γ Nekaj prednosti uvedbe števila nič za razvoj aritmetike Ljudstva v preteklosti (Egipčani, Kitajci, Grki, Maji, Idijci, Azteki, Etiopci, Hebrejci in Rimljani) so poznala več različnih številskih sistemov. Zgodovinarji znanosti so jih razvr- stili v tri skupine; aditivne (seštevalne), me- šane (seštevalne in množilne) ter pozicijske ali mestne. Aditivni številski sistemi za izražanje šte- vil uporabljajo operacijo seštevanja. Število se zapiše z nizanjem simbolov, vsota simbo- lov pa pomeni zapisano število. Mešani številski sistemi za izražanje števil uporabljajo dve operaciji: seštevanje in mno- ženje. Seštevanje tudi tu deluje kot štetje vre- dnosti zaporednih enot. Množenje pa deluje po sistemu: dvesto = dve · sto je predstavlje- no z dve, ki mu sledi sto. Nizanje števk ima pomen množenja (Guedj, 1996). Omenjena številska sistema sta pov- sem koristna za zapis števil (število 345 (CCCXXXXV) lahko v rimskem aditivnem številskem sistemu zapišemo brez težav), a imata nekaj pomanjkljivosti: a) Za vedno večja števila si je treba izmi- šljevati vedno nova imena. b) Možnosti za predstavljanje števil, ki jih je sicer neskončno, so omejene. c) Težko primerjamo velikost števila gle- de na količino uporabljenih znakov; kot primer naj navedem števili 888 (DCCCLXXXVIII), kjer za zapis po- trebujemo 12 znakov, in število 1001 (MI), kjer za zapis potrebujemo dva znaka. Za manjše število v omenjenem aditivnem številskem sistemu lahko tako porabimo več znakov kot za večje. č) Zmnožiti števili 57 (LVII) in 38 (XXXVIII) je praktično nemogoče, še bolj pa razumeti, kako smo prišli do zmnožka 2166 (MMCLXVI). Ravno zaradi omenjenih pomanjkljivosti je bila potreba po iznajdbi drugačnega šte- vilskega sistema – sistema mestne vrednosti Nič pomeni nič - nečesa 033 tako velika. Sistem mestne vrednosti pa se je v popolnosti lahko razvil šele, ko je ničla postala število, saj so tako imeli s pomočjo 10 simbolov neomejeno število možnosti za predstavljanje števil. Težava z iskanjem vedno novega znaka in imena zanj je bila rešena, saj vsaka števka (vključno z ničlo) lahko zasede vsako me- sto. Ista števka v zapisu, odvisno od mesta na katerem stoji, predstavlja različno števi- lo, ima torej različno ime. V številu 56845 je ime prve števke 5 petdeset tisoč, zadnje pa 5 enic. Mesto v zapisu števila ima določeno ime in šteje samo po sebi. Čeprav je število ena manjše od števila devet, je enica v številu 1001 vredna veliko več kot katera koli deve- tica v številu 999. Prav tako so z iznajdbo števila nič in po- sledično sistema mestne vrednosti olajšali vsakdanje primerjanje števil med sabo. Ko- ličina uporabljenih števk za zapis nekega števila je v mestnem sistemu v premem so- razmerju z velikostjo števila (število 999 je manjše od števila 1001, ker prvega sestavlja- jo tri števke, drugega pa štiri) prav tako pa so operacije med števili možne in jih lahko razložimo. δ Število nič v različnih oblikah in kontekstih Kar nekaj raziskovalcev; Hughes (1986), Clemson in Clemson (1994), Worhington in Carruthers (2008), matematiko pojmuje kot (tuj) jezik, ki se ga morajo otroci naučiti. Značilnost jezika je v tem, da lahko iste bese- de pomenijo različno, odvisno od konteksta, v katerem so uporabljene. Število nič lahko v vsakdanjem življenju izrazimo v dveh oblikah – govorjeni ali za- pisani obliki. Znotraj posamezne oblike lah- ko opazujemo enako besedo ali simbol, ki v različnih govornih kontekstih pomeni nekaj drugega. Kontekst je lahko matematične ali družbene narave, število nič je lahko kardi- nalno ali ordinalno. Lahko ima numerične vrednosti (število fižolčkov v posodi), lahko pa le opisne (številka registrske tablice). V nadaljevanju bo predstavljenih nekaj različnih besednih oblik, nato pa še nekaj različnih simbolnih oblik. Beseda nič ima v slovenskem jeziku še nekaj sopomenk: ničla, nula, ničeln, ničen, nulti, ničti ... Beseda nič v stavku: »tri plus nič je tri« ima matematični kontekst in pomeni nekaj povsem drugega kot beseda »nič« v reku: »O tem se povsod šušlja, čisto brez nič ne bo.« (družbeni kontekst) Prav tako se razlikuje sporočilo stavka: »Pozabil si napisati ničlo«, ki je lahko tako v matematičnem kontekstu (ničla kot sim- bol) kot v družbenem (ničla kot del telefon- ske številke) od tega: »V primerjavi z njim je prava ničla.« (družbeni kontekst) Različno lahko uporabljamo tudi bese- do nula. Stavek »Njihova poštna številka je ena, tri, šest, nula« (družbeni kontekst) ima precej drugačen pomen od »Sedem minus sedem je nula« (matematični kontekst) ali »Ena nula zate« (kardinalna numerična vre- dnost - množica zadetkov na gol). Čeprav je uporaba besednega izražanja ideje o ničli na videz zapletena, pa je sim- bolna oz. vizualna lahko še bolj. Simbol ničle (0) lahko opazujemo skoraj na vsakem ko- raku, saj je drugi znak za javno stranišče 00, ob polnoči naša digitalna ura kaže 00:00 ali 24:00, nogometna tekma Slovenija : Anglija se lahko konča 1 : 0, voda zmrzne pri 0 ºC, telefonska številka vsebuje področno kodo Matematika v družboslovnih vedah 034 031 ali 02, štoparica pred začetkom merjenja časa kaže 0: 00, pri predmetu zgodovina se pogovarjamo o dilemi, ali leto 0 obstaja ali ne, pri kemiji imajo kemijski elementi oksi- dacijsko število 0, zdravnik nam lahko pove, da smo zaradi odsotnosti določenih antige- nov univerzalni krvodajalci s krvno skupino 0, pri slovenskem jeziku lahko srečamo zapis črke O, ki je zelo podobna številu 0, število 0 je lahko sestavni del naše registrske številke na avtomobilu, lahko je oznaka za pritličje v veleblagovnici, termometer lahko kaže 0 ºC ... Glede na zapisano, mora otrok prepozna- ti, v katerem kontekstu govorimo, kar pa po mnenju Gardnerja (1997, v Worhington in Carruthers, 2008) lahko spodbudimo le z zgodnjim seznanjanjem otroka z različnimi zvrstmi znotraj simbolnega sistema. ε Razumevanje števila nič Avtorici Wheeler in Feghali (1983, str. 147) v svojem članku navajata, da lahko »razume- vanje števila nič pri otrokih vsebuje napačne predstave, ki pa imajo na razumevanje velik vpliv«. Kot eno od takih predstav navajata dva primera: »Nič ni število« in »Nič je nič«. Obstajajo različne teorije o tem, kdaj je posameznik sposoben razumeti idejo števila nič. Piaget pravi, da koncept števila nič ni v celoti razvit, dokler ne dosežemo formalne operativne stopnje, nekje do 11. leta starosti (Wheeler in Fegali, 1983, po Inhelder in Pi- aget, 1969). To je stopnja, ko miselne opera- cije niso več omejene s konkretnimi primeri, torej takrat, ko posameznik lahko abstraktno in hipotetično razmišlja v kontekstu jezi- kovnega in logičnega sistema (Marjanovič Umek, 2004). S trditvijo Piageta, ki pravi, da je za uče- nje posamezne ravni znanja najprej potreben telesni razvoj, se ne strinja veliko razvojnih psihologov, ki mu očitajo celo, da s svoji- mi sklepi podcenjuje sposobnosti majhnih otrok (Hughes, 1986, po Gelman in Galli- stel, 1978; Donaldson, 1978). Novejša spo- znanja o kognitivnem razvoju otrok so bolj naklonjena ruskemu razvojnemu psihologu Levu Semjonoviču Vigotskemu, čigar ideja je bila, da »učenje predhodi in usmerja razvoj, ključni mehanizem, ki pojasnjuje odnos med učenjem in razvojem pa je območje bližnjega razvoja. Otrokovo mišljenje usmerja odrasli oz. kompetentnejši sovrstnik, s tem pa akti- vira kognitivne strukture, ki so že razvite, a ne do mere, da bi jih otrok lahko uporabil samostojno« (Svetina, 2005, str. 104). Omeniti velja še enega psihologa, to je Bruner (1966, v Clemson in Clemson, 1994), ki je s svojim delom veliko prispeval h ko- gnitivni in pedagoški psihologiji. Določil je tri vrste reprezentacij; enaktivno, ikonično in simbolno. Enaktivno pomeni učenje skozi akcijo, medtem ko je ikonična reprezentacija odvisna od uporabe slik, ki pomagajo odkri- vati vzorce ali poti. Simbolična reprezenta- cija pomeni uporabo simbolov, skozi katere lahko raziskujemo in manipuliramo hipo- teze. Brunerjev model ima jasno povezavo z Piagetovimi stopnjami razvoja, a se razlikuje v bistveni stvari – njegov model ni tako jasno povezan z leti posameznika. Pravi, da opisa- ne modele učenja kot odziv na novo učenje uporabljamo vsi, nekateri na višji stopnji kot drugi, vendar pa nakazuje na to, da se mlajši otroci bolj nagibajo k enaktivnemu mišljen- ju. Razumevanje števila nič je v preteklosti raziskovalo več avtorjev. Prvi med njimi je Hughes (1986), ki je del poskusa predstavitve Nič pomeni nič - nečesa 035 količine, namenil tudi poskusu ponazarjanja števila nič. Otroke (predšolske in otroke pr- vega razreda) je prosil, naj na listu pokažejo, da na mizi ni nobene kocke. Ugotovil je, da skoraj vsi otroci, ki so za predstavitev količine uporabljali konveci- onalne simbole, tudi za predstavitev ničle uporabijo simbol 0, da bi predstavili odso- tnost kock. Otroci, ki so pri predstavitvi ko- ličine uporabljali ikonično ali piktografično predstavitev, so odgovarjali na različne nači- ne. Nekaj jih je uporabilo simbol 0, ali pa so izumili svoj lastni simbol, kot je pika ali po- mišljaj. Drugi so risali prazno mizo ali škatlo, tretji so list papirja pustili prazen, tako da se je raziskovalec težko odločil, ali so to nare- dili namerno, ali je bila to le posledica tega, da niso znali odgovoriti. Nekaj odgovorov je bilo nerazumljivih. Čeprav so dobili veliko zanimivih odgo- vorov od otrok, pa je raziskovalec opazil, da se je veliko otrok na zastavljeni problem predstavitve ničle odzvalo s prepadenim po- gledom, ker niso razumeli, kaj želi od njih. Zavedel se je, da je otrokom treba dati razlog za risanje oznak na papir. Da bi to dosegel, je razvil igro s konzerva- mi. Potreboval je štiri identične prazne kon- zerve, ki so vsebovale različno število kock, navadno 1, 2, 3 in 0 kock. Otrok si je najprej ogledal določeno število kock v posamezni konzervi, nato pa je raziskovalec konzerve zaprl in jih med sabo pomešal. Nato je otro- ka prosil, naj poišče konzervo, ki vsebuje npr. 2 kocki. Tu je moral vsak otrok ugibati. Po nekaj poskusih je raziskovalec dejavnost pre- kinil z idejo, ki bi lahko pomagala. Predla- gal je, naj na papir zapišejo nekaj, kar jim bo pomagalo pri vedenju, koliko kock je v po- samezni konzervi. Ko je označil posamezno konzervo, je raziskovalec konzerve ponovno pomešal med sabo in ponovno vprašal po konzervi, ki ima določeno vsebino. Tako je preveril, ali so jim oznake kakor koli poma- gale pri igranju igre. Rezultati so pokazali, da je dve tretjini predšolskih otrok in vsak otrok v prvem ra- zredu sposobnih pokazati pravo konzervo, glede na svojo oznako. Oznake so bile po- dobno, kot v prvem poskusu: nerazumljive, piktografične, ikonične in simbolne. Vseeno, pa sta bili prisotni dve pomembni razliki: - Prva od njih zadeva število nič, saj so v nasprotju s prepadenimi pogledi na pra- zno mizo otroci zdaj odsotnost predme- tov v konzervi predstavili enako kot druge količine. Predšolski otroci so največkrat ničlo ponazorili kot prazen prostor, prvo- šolčki pa s simbolom 0. - Druga razlika se je nanašala na število piktografičnih odgovorov, ki se je v pri- merjavi s prvo zelo zmanjšala. Seveda pa je bila mogoča rešitev tudi ta, da število kock nadomestijo z ustreznim številom predmetov, narisanih na pokrovu, in otroci so uporabljali tudi ta način. Čeprav je bila večina odgovorov popolna jasna vsakemu človeku, je bilo vseeno nekaj ta- kih, kjer na prvi pogled število ni bilo ja- sno, zato je raziskovalec otroka povprašal, kako ve, da je notri točno določeno šte- vilo. Opisuje primer razgovora z dečkom, ki pravi: »Ta črtica ima rep, to pomeni, da konzerva nima notri ničesar.« Preveril je še, kako je s prepoznavanjem otrokovih lastnih, izmišljenih simbolov te- den dni po tem, ko so si jih zamislili. Ugoto- vil je, da so otroci, ki so jim njihove oznake pomagale takoj po njihovem zapisu, določe- no število predmetov v konzervi na podlagi svojih oznak našli tudi teden pozneje, tisti Matematika v družboslovnih vedah 036 pa, ki jim oznake že takoj niso pomenile ni- česar, jih niso znali dešifrirati niti po tednu dni. Koncept števila nič se je v kulturi pojavil dokaj pozno, predvsem zaradi potrebe po ekonomičnosti zapisa in zaradi lažjega raču- nanja. Tudi v naši kulturi velja koncept šte- vila nič kot težko razumljiv. Nekako kontra- diktorno se zdi, da »simbol, ki sicer označuje odsotnost neke količine, takrat, ko je zapisan poleg nekega drugega števila, njegovo vre- dnost poveča 10krat« (Hughes, 1986, str. 90). Gre za to, da simbol ničle uporabljamo v dva namena. Prvi je ta, da označujemo od- sotnost neke količine, drugi pa zato, da po- vemo, da kakšna potenca števila deset ni bila uporabljena (število 507  5S 0D 7E). V tem primeru ima število nič v istem številu lahko različno vlogo. Pri številu 5040 ima prva ni- čla od leve proti desni funkcijo stotic (0 S), zadnja pa enic (0E). Dejstvo, da ima neka števka (v tem prime- ru število nič) v istem številu lahko različno funkcijo je lastnost sistema mestne vredno- sti. Pri njem lahko z majhnim številom števk napišemo neomejeno število številk. Sistem, ki je izjemno domiseln in enostaven za upo- rabo, pa je sestavljen kompleksno, iz različ- nih idej in principov (Clemson in Clemson, 1994). Težave, ki jih prinaša število nič, po mne- nju Hughesa (1986) ne izhajajo iz tega, da je ničla simbol, ki ponazarja nič (količinsko), kar se kaže tudi v zgoraj opisani raziskavi. Težave v razumevanju povzroča ničla v sis- temu mestne vrednosti. Da težava ni v ničli kot simbolu, ki pona- zarja količinsko odsotnost, je razvidno tudi iz primera 6-letnega dečka Erika, ki sem ga približno 3 mesece pred vstopom v prvi razred osnovne šole vprašala: »Kaj je nič?« Odgovoril mi je: »Nič je takrat, ko nimaš nobenega jabolka«. Prav tako ni imel težav z reševanjem računov, kot je 3 – 3 = 0, če si je pri tem pomagal s konkretnimi primeri za ponazoritev števila 3, na primer večjimi lego kockami ali prsti. Računanje je poteka- lo tako, da je najprej na mizo postavil 3 lego kocke/dvignil tri prste, nato pa 3 kocke z mize vzel/pokrčil tri prste. Podobno se kaže v primeru, ki ga nava- ja Hughes (1986). Piše o primeru deklice, ki pri petju pesmi o šarkljh v pekarni (katerih število se vztrajno manjša, zato ker jih kupu- je deček) s pomočjo krčenja prstov pride do ugotovitve, da v trgovini ne ostane nič več rozinovih peciv. Avtorica Catterall (2005) se je ukvarjala z predstavami otrok o številu nič, bolj konkre- tno o odnosu med številom nič in drugimi števili. Otrokom, starim od 5 do 11 let je dala naloge, pri katerih so po velikosti razvrščali kartončke z različnimi kombinacijami števil. Ena kombinacija je vsebovala naravna števila (1, 2, 3), število nič in ulomke, druga le deci- malna števila, manjša od ena s številom nič, tretja ulomke in število nič, četrta decimalna števila in število nič, peta nekaj naravnih šte- vil in število nič, šesta pa števila od 0 do 9. Rezultati so pokazali, da otroci ničli kot simbolu na številski osi pogosto pripisujejo mesto zraven številke ena (½, ¼, 0, 1), pogo- sto se pojavi tudi otrokovo pojmovanje, da je nič preprosto nič, brez vrednosti, brez po- mena in vpliva in je tako popolnoma vseeno, katero mesto zasede, še več, nekateri jo celo ignorirajo. Poleg tega so otroci pogosto v di- lemi, ali je ničla celo število ali ne. V zvezi s tem, ali je nič celo število ali ne, je raziskovalka z otroki opravila kratek raz- govor. Ugotovila je, da cela števila pojmu- Nič pomeni nič - nečesa 037 jejo kot polna števila, ne delčke, kot jim to predstavljajo ulomki. Cela števila naj bi za- pisovali pred ulomki (4½), a v tem primeru število nič izpade kot celo število, saj pravijo, da enostavno ne pišemo 0½. Ko raziskoval- ka vpraša, zakaj je tako, ji odgovorijo: Ker je to neumno, ker lahko režemo cela števila na dele, ne moremo pa tega storiti z ničlo. Ne moreš rezati od nič, ne moreš imeti polovice od nič. Haylock in Cockburn (2008, str. 37) pra- vita, da do razumevanja koncepta nekega števila prihaja na podlagi mreže povezav med »konkretnimi situacijami, simbolom, jezikom in slikami«, t. j. pri povezavi enega simbola z zelo različnimi situacijami. Nevar- nost, ki obstaja, pa je, da v mreži povezav, ki tvorijo matematični koncept, preveč utrjuje- mo le eno povezavo, zanemarjamo pa enako ali pomembnejše povezave. Če ena povezava prevladuje v otrokovem mišljenju, je pozneje težko graditi na novih izkušnjah, ki jih vča- sih težko povežemo s točno določenim de- lom mreže povezav (Haylock in Cockburn, 2008). Otrok se v svojem življenju najprej sreča z vsakdanjo uporabo števila nič v pomenu od- sotnosti neke količine. Odrasli okrog njega se lahko pogovarjajo: »Tekma se je končala z rezultatom tri proti nič.« ali »Nimam nič več piškotov. Kupiti bom morala nove.« Tudi pri začetnem aritmetičnem računanju, npr. seštevanju in odštevanju, ko si otrok pomaga s konkretnimi predmeti ali prsti v primeru reševanja, računa: 2 + 0 = verjetno razmišlja takole: »Imam dve kocki oz. dva dvignjena prsta. Nato ne dodam nobene kocke/ne dvi- gnem nobenega prsta. Ostala sta mi torej dva prsta/dve kocki. To je verjetno rezultat. Kot je razvidno iz primera, otrok tudi v mate- matičnem svetu razmišlja o ničli kot o neki odstotnosti količine. Beseda nič oz. simbol nič v neki meri za- gotovo pomeni odsotnost količine. Pa je res le to? Pravilen odgovor bomo dobili že, če bomo pri pisnem računanju deljenja opazo- vali otroka oz. učenca. Pri reševanju računa 0 : 2, se bo vsaj na začetni stopnji zagotovo znašel pred kognitivnim konfliktom. V vsak- danjem življenju se nam namreč deljenje nič bombonov na dva dela zdi brez smisla, v matematičnem problemu pa ga ima. Če na primer nič bombonov razdelimo dvema otrokoma, to lahko naredimo pravično. Vsak od otrok bo dobil nič bonbonov. Težave otrok s številom nič po mnenju Haylock in Cockburn (2008) nastanejo zato, ker prevladuje eden od konceptov števila nič. Število nič ima namreč tako količinski kot abstraktni pomen, saj označuje ničelno množico, je število, predstavlja točko na šte- vilski osi, ki deli pozitivna in negativna šte- vila, je simbol, označuje prazno mesto v sis- temu mestne vrednosti, je nevtralen element za seštevanje in odštevanje. Različne koncepte lahko dojamemo na različnih stopnjah kognitivnega razvoja, ve- likokrat se zgodi, da ravno zaradi nerazume- vanja nekega pomena pride do nejasnosti oz. težav pri pouku matematike. Kljub temu pa ima ničla na mišljenje in razumevanje okrog nas velik pomen. Catterall (2005) pravi, da do težav z razu- mevanjem števila nič pri otrocih pride zato, ker so otroci »neodločni glede tega, kateri koncept ničle naj v dani situaciji poudarijo in katerega ignorirajo. Njihovo razmišljanje se je premaknilo z abstraktnega premisleka o simbolu na konkretni premislek o vrednosti ničle« (Catterall, 2005, str. 69). Pravi, da »ob- staja napetost med otrokovim pojmovanjem Matematika v družboslovnih vedah 038 in uporabo števila ter prazno skupino, ki jo vidijo, ko abstraktni simbol ničle pojasnjuje- mo v konkretnem izrazu« (prav tam). Vseh konceptov ničle otrok ne dojame naenkrat, ampak skozi proces učenja. Po- trebne so različne izkušnje, preko katerih jih otrok spoznava in postopno dojema. ζ Vpliv števila nič na matematiko kot predmet Iznajdba števila nič ima na matematiko iz- jemen vpliv, saj je bilo šele z iznajdbo ničle mogoče neovirano seštevati, odštevati, mno- žiti in deliti, med seboj lahko primerjamo velikost števil ... Prav iznajdba ničle je pripo- mogla k temu, da se je matematika kot di- sciplina tako razvila, hkrati pa postala tudi sestavni del drugih discipin. V nadaljevanju bom predstavila, kje v učnem načrtu pri ma- tematiki je potrebno razumevanje ideje o številu nič in kje ležijo najpogostejše težave v razumevanju. a) Prvi razred V prvem razredu se učenci s številom nič srečajo v obliki štetja, zapisa in branja števil od 0 do 20, to je simbolno obliko. Poleg tega se srečajo z oceno števila predmetov v mno- žici, ki nima več kot 10 elementov, to je ničlo kot kardinalnim številom. Ločijo med glav- nim in vrstilnim pomenom števila, določijo predhodnik in naslednik števila, prepoznajo in nadaljujejo oz. oblikujejo preprosto zapo- redje števil in primerjajo števila po velikosti. Poleg že omenjenega spoznajo še seštevanje in odštevanje v obsegu od 0 do 10. Težave, ki jih v prvem razredu lahko pov- zroči število nič, so naslednje: – Učencem se lahko zdi nesmiselno, da označujejo odsotnost predmeta s priso- tnostjo nekega števila. – Učenci se lahko pri predhodniku ali na- sledniku števila zmotijo pri zapisu, saj ima število 9 velikokrat v vrsti kot svojega na- slednika zapisano število 0. – Poleg tega lahko zaradi zmotnega mišlje- nja o tem, da je število nič popolnoma nič, brez vrednosti, brez pomena, delajo napa- ke pri urejanju števil po velikosti. Caterall (2005) v svojem članku o dojemanju ničle v odnosu do drugih števil piše o razmi- šljanju otrok, da je zaradi zgoraj opisanih lastnosti ničle vseeno, katero mesto ničla zasede pri urejanju po velikosti, nekateri otroci ničlo celo popolnoma prezrejo. – Pri primerjanju števil lahko naletimo na težavo nerazumevanja tega, da ima število ena, če ima na desni strani zapisano števi- lo nič, lahko desetkratno vrednost (razu- mevanje sistema mestne vrednosti). Tako lahko učenci števili 1 in 10 zapišejo eno poleg drugega, na podlagi predvidevanja, da ničla zraven ne spremeni ničesar. – Pri seštevanju in odštevanju s številom nič učenci lahko razmišljajo na način, kot ga opisujeta avtorici *Anthony in Walshaw (2004), in sicer, da prištevanje vsakega števila nekemu drugemu številu pomeni povečanje, odštevanje nekega števila od drugega pa zmanjšanje tega števila. V tem primeru števila nič otroci sploh ne uvr- ščajo med števila, prihaja pa do napačnih izračunov. Nič pomeni nič - nečesa 039 b) Drugi razred V drugem razredu se učenci s številom nič srečajo v obliki štetja, zapisa in branja števil do sto, z razlikovanjem desetiških enot (enic, desetic in stotic), urejanjem množice narav- nih števil do 100 po velikosti, določanjem predhodnika in naslednika danega števila, oblikovanjem in zapisovanjem preprostega zaporedja števil in zapisovanjem odnosov med števili. Poleg tega se srečajo še z razu- mevanjem vloge števila 0 in 1 pri seštevanju in odštevanju in z razumevanjem, da je šte- vilo 0 razlika dveh enakih števil. Poleg težav, ki sem jih izpostavila že v prvem razredu, je pogosto kot problema- tična za otroke omenjena mestna vrednost. Težave lahko nastopijo pri branju in pisanju števil v dogovorjenih oblikah. Branje in pi- sanje števil pa težav ne povzroča le majhnim otrokom, ampak, kot ugotavlja Brown (1981, v Wheeler in Feghali, 1983) tudi odraslim. Nekaj manj kot polovica študentov v njegovi študiji namreč ni znala pravilno zapisati šte- vila štiristo tisoč tri in sedemdeset. Nekaj po- dobnega sta ugotovila tudi Crooks in Flock- ton (2002, v Wheeler in Feghali, 1983) ki sta raziskovala zapis v standardnih oblikah pri novozelandskih študentih. Ugotovila sta, da le približno 11 % učencev 4. razreda in 50 % učencev 8. razreda zna pravilno zapisati šte- vilo dvesto tisoč triinštirideset v simbolni obliki. c) Tretji razred V tretjem razredu se učenci s številom nič srečajo v obliki usvojitve produktov v obse- gu 10 · 10 (poštevanka) do avtomatizma. To predznanje je nujno za množenje z nič. Poleg tega se učijo uporabljati računske zakone pri seštevanju in množenju in spoznajo vlogo števil 0 in 1 pri množenju in deljenju. Kot pravita Haylock in Cockburn (2008, str. 113, 114), so »težave pri množenju in de- ljenju z ničlo posledica lastnosti ničle v odno- su do množenja in deljenja. Pojasniti 7 · 0 = 0 in 0 · 7 = 0 ni preveč težko. Mislimo na sedem množic z nič elementi oz. nič množic s sed- mimi elementi. Preprosto dovolj je, da upo- rabimo ponavljajoče seštevanje kot sestavni del množenja. Vendar pa morajo biti otroci seznanjeni s temi mislimi in o njih razpra- vljati, saj lahko sicer identiteto za seštevanje narobe uporabijo na primerih množenja. Na problem 7 · 0 lahko odgovorijo z odgovorom 7. Napačen odgovor izvira iz nepravilne do- mneve, da množenje z nič pomeni »ne nare- di ničesar«. Pri množenju ima to lastnost »ne naredi ničesar« število 1. Deljenje, ki vsebuje ničlo, pravita Haylock in Cockburn (2008), je nekoliko bolj zaple- teno. Koliko je 0 : 5 in koliko 5 : 0? Račun 0 : 5 lahko pretvorimo v situacijo: Imamo 0 bombonov, ki jih želimo pravično razdeliti petim ljudem. Vsak od njih bo dobil enako število – nič bombonov (0 : 5 = 0). Račun 5 : 0 pa nima smisla pri deljenju na ena- ke dele – ne moremo predvideti deljenja 5 predmetov med nič ljudi. Lahko pa rečemo: »Koliko množic z nič elementi je potrebnih, da dobimo 5 elementov?« Računanje lahko poteka dolgo časa, pa še vedno ne bomo niti blizu 5 elementom. Pravimo, da tega ne mo- remo izračunati. Obstaja pa še poseben primer deljenja, in sicer: 0 : 0. V tem primeru imamo nešteto re- šitev, saj je rezultat 0 ali katero koli naravno število b (0 : 0 = 0, ker je 0 · 0 = 0, pa tudi 0 : 0 = b, saj je 0 · b = 0). Pravimo, da izraz 0 : 0 ni definiran. Matematika v družboslovnih vedah 040 č) Četrti razred V četrtem razredu se učenci s številom nič srečajo v obliki pisnega odštevanja, ustnega množenja in deljenja z 10 in 100, pisnega in ustnega množenja z enomestnim številom v množici naravnih števil do 1000, pisnega množenja z dvomestnim številom v množici naravnih števil do 1000, pisnega deljenja z enomestnim številom s preizkusom, pisnega deljenja z večkratniki števila 10, uporabljanja računskih operacij pri reševanju problemov ... Pri odštevanju lahko opazujemo teža- ve otrok s pisnim odštevanjem, ko je račun zapisan v stolpcu, na primer 5000 – 189. »V pokončnem formatu, ničla v enicah in de- seticah odštevanca, to je spodnjega števila, pomeni, da ni treba ničesar odvzeti, zaradi česar se nekateri učenci sprašujejo, kaj sto- riti. Ko je ničla sestavni del zmanjševanca ali zgornjega števila, pomeni, da tam ni ničesar, od koder bi lahko jemali.« (Anthony in Wal- shaw, 2004, po Klein, 2000). Opisani drugi situaciji sem bila priča tudi sama, in sicer pri pouku dopolnilnega pouka. Deklici težav ni toliko povzročala ničla v enicah kot pa to, da si »ne more sposojati od desetic«, ker »tam ni ničesar«. Ničla svoje posebnosti kaže v računih pi- snega množenja oblike: 24 · 12. Ker gre pri pisnem množenju za algoritem, s pomočjo katerega med seboj najprej množimo števili 24 in deset, nato 24 in 2, na koncu pa sešteje- mo vmesne rezultate, je zapis tak: Pozneje pa zapis števila nič v prvem, del- nem izračunu izpuščamo, vendar mu mesto še vedno ohranjamo. Prihaja do napak, pri katerih učenci na- pačno podpisujejo enice, desetice in stotice, in do nerazumevanja tega, zakaj do zamika sploh prihaja. V četrtem razredu se, če tega niso usvojili v tretjem razredu, pri učencih pojavijo te- žave pri računanju podobnih primerov, kot je: 4024 : 4. V tem primeru je prva števka deljenca deljiva s 4 in potrebno je deljenje z naslednjo, z ničlo. V tem primeru veliko učencev zmotno predvideva, da je 0 : 4 = 0 (preprosto nič, nič vredno) in zato delnega količnika ne vpiše med končnega. V rezulta- tu se zmotno mišljenje pokaže kot eno mesto prekratko število. V omenjenem primeru se skriva še ena »past«. V nadaljevanju deljenja, kjer je treba dve deliti s štiri, lahko učenci zmotno pred- videvajo, da rešitev v celih številih ni mogoča (ničle ne uvrščajo med cela števila), in zato ponovno izpustijo zapis ničle. Predvidevamo lahko, da je izpust zapisa števke nič posledica uporabe algoritma, ko je prva števka v deljencu, manjša od delitelja. V primeru 234 : 3 = dve stotici namreč lahko razdelimo na tri enake dele le tako, da vsak del dobi vrednost nič. Ker pri tem že upo- števamo to, da število nič, zapisano na levi strani, pred naravnim številom nima vpliva na velikost števila, delni količnik nič prepro- sto izpuščamo oziroma ga ne zapisujemo, kar pa lahko učencem povzroča veliko teža- vo v razumevanju, ki je lahko tudi posledica neusvojenega koncepta mestne vrednosti. Učencem je treba pojasniti, zakaj v prvem primeru ničle ne pišemo in zakaj jo je treba pisati pozneje. Vidimo lahko, da tu razume- vanje koncepta ničle zopet igra veliko vlogo, Nič pomeni nič - nečesa 041 saj v nasprotju z ničlami na levi strani, pred naravnim številom, števila, napisana na de- sni strani naravnega števila, vpliv na velikost števila imajo. d) Peti razred V petem razredu se učenci z ničlo sreču- jejo v kontekstu naslednjih ciljev: pisati in brati števila do milijona, razlikovati desetiške enote, urediti naravna števila do milijona, opredeliti predhodnika in naslednika števi- la, poznati in razlikovati liha ter soda števila, zapisati in brati števila prek milijona, števila zaokrožiti na desetice, stotice, ponazoriti gra- fično na številski premici vse štiri računske operacije, seštevati in odštevati v obsegu do milijona (ustno in pisno), množiti naravna števila v obsegu do milijona, deliti z dvome- stnim naravnim številom, zapisati s potenco produkt enakih faktorjev in obratno, izraču- nati vrednost potence naravnih števil, razčle- niti naravna števila na večkratnike potenc šte- vila 10 (desetiški sestav), rešiti s premislekom in z diagramom preproste enačbe (računske enakosti) in znati napraviti preizkus. Poleg drugih lastnosti, ki jih ima število nič in sem jih že omenila v prejšnjih razre- dih, je tudi ta, da je ničla sodo število. Za učence je to lahko težava, saj je težko reči, da je sodo nekaj, česar po njihovih velikokrat zmotnih interpretacijah ni. Za razumevanje ničle kot sodega števila je treba ponovno ra- zumeti koncept števila nič pri deljenju. Soda so vsa števila deljiva z dve, kar velja tudi za ničlo. Vpeljava ničle kot sodega števila pa je možna tudi po analogiji, pri kateri se osre- dotočimo na enice števil, ki so soda, npr. 10, 12, 14, 36, 58, 370. Vidimo lahko, da se pri sodih številih v enicah pojavljajo vedno ena- ka števila: 0, 2, 4, 6 in 8. Število nič ima posebnosti tudi v poten- cah. Katero koli število, različno od nič, na- mreč ima potenco nič, je enako natančno 1. Prvič, otroci zaradi podobnosti zapisa potenco 5 0 pretvorijo v račun 5 · 0, katerega rezultat je enak 0. Drugič, pri veliko otrocih opažam, da se to pravilo enostavno naučijo na pamet, ko pa jih vprašaš po razlagi, tega ne znajo pojasniti. Uvajanje tega pravila bi po mojem mnenju moralo potekati na primeru, deljenju dveh potenc z enakima osnovama: Število nič ima pomembno funkcijo pri množenju desetic in deljenju desetic. Pri množenju števil 10 in 100 enostavno le pre- štejemo število ničel in jih zapišemo za šte- vilom ena (10 · 100 = 1000). Pri deljenju pa števili ničel odštejemo. Število nič ima pomembno funkcijo tudi pri reševanju preprostih enačb. Če namreč vse vrednosti prenesemo na eno stran enač- be, je druga stran enaka nič. V tem primeru se velikokrat zgodi, da otroci pozabijo na to in preprosto ne vedo, kaj na to mesto zapi- sati, čeprav gre za preprost račun odštevanja dveh enakih števil (zmanjševanca in odšte- vanca), katerega rezultat je nič. e) Šesti razred V šestem razredu se učenci z ničlo srečujejo v kontekstu naslednjih ciljev: informativno spoznati rimske številke, velika števila za- okroževati na desetice, stotice, urejati, pri- merjati naravna števila po velikosti, decimal- na števila množiti in deliti s potenco števila 10, množiti dve decimalni števili, deliti dve Matematika v družboslovnih vedah 042 naravni števili (količnik je lahko decimalno število) in narediti preizkus. Število nič svojo izrednost in posebnost v šestem razredu kaže pri decimalnih številih. Prvič, nekaterim otrokom je izredno težko po velikosti urediti števila: 0,003, 0,03, 0,3 in 0,30, saj ne moremo primerjati velikosti šte- vila na podlagi dolžine zapisa, poleg tega je pomembno, kje se nahaja števka, večja od 0, saj po njej lahko ocenimo, za kako velike dele celote gre (desetine, stotine ...). Pri tem je po- membno, da se otroci zavedajo, da za zadnjo decimalko večjo od nič lahko stoji neome- jeno število ničel, pa vendar to ne vpliva na povečanje števila za določeno potenco števila 10 kot pri celih številih. Nasprotno pa ničla pred decimalko, večjo od nič, število 10-krat pomanjša. Najpogostejše napake, ki se poja- vljajo pri tem cilju, so, da učenci svoje znanje o tem, da ima daljše število, kot je, večjo vre- dnost, prenesejo tudi na decimalna števila. O težavi primerjanja decimalnih števil med seboj, razpravljata tudi Anthony in Walshaw (2004). Pri množenju decimalnih števil ima ničla posebnost v tem, da je število decimalnih mest v rezultatu enako seštevku decimalnih mest obeh faktorjev. Nevarnost, ki obstaja, je, da otrok prezre ničle in kot rezultat upo- števa le naravna števila. f) Sedmi razred V sedmem razredu se otroci z ničlo srečujejo v kontekstu naslednjih ciljev: ulomek zapisati kot k in ulomek zapisati z decimal- nim številko in jo zaokrožiti na zahtevano število decimalnih mest. Tu se ponovi in nekoliko poglobi znanje o deljenju števil, predvsem pa vedenje o tem, da deljenje z ničlo poteka v neskončnost in zato rezultata ne moremo definirati. g) Osmi razred V osmem razredu se otroci z ničlo srečujejo v kontekstu naslednjih ciljev: racionalnemu številu poiskati nasprotno vrednost, ugotovi- ti, kateri množici števil pripada dano število, racionalnemu številu določiti absolutno vre- dnost, poznati in uporabljati znak za absolu- tno vrednost. Težave, povezane z ničlo, v tem razredu so lahko te, da ne vedo, kaj je to absolutna vrednost – oddaljenost nekega števila od šte- vilskega izhodišča (0) na številski premici. Ta vrednost je vedno pozitivna, medtem ko ničla ni ne pozitivna ne negativna. h) Deveti razred V devetem razredu se otroci z ničlo sreču- jejo v kontekstu naslednjih ciljev: izračunati produkt vsote in razlike dveh danih členov ter kvadrat dvočlenika, izračunati kvadrat dvočlenika in razliko kvadratov, določiti ni- člo na grafu linearne funkcije, izračunati ni- člo funkcije. Tu se najpogosteje pojavljajo napake pri tem, da učenci zamešajo, katera vrednost mora biti enaka nič (x ali y), da ima graf funk- cije ničlo. Prav tako se pojavljajo težave pri reševanju enačb, katerih rešitev je enaka nič. η Sklep Veliko avtorjev: Wheeler in Feghali (1983), Hughes (1986), Clemson in Clemson (1994), Anthony in Walshaw (2004) ter Cat- k a a a Nič pomeni nič - nečesa 043 teral (2005) pridejo do skupnih ugotovitev, in sicer, da je predstava o ničli kot prazni, ničvredni in nepomembni zelo odmevna, predvsem kar zadeva razumevanje koncepta števila nič. Da bi otrokom pomagali in preventivno delovali pred težavami v razumevanju, je po mnenju Clemson in Clemson (1994) treba otroke seznaniti z različnimi izkušnjami, tre- ba jim je dati možnost, da uporabljajo kon- kretne predmete pri delu s števili. Da bi razu- meli globlji pomen števila nič, jim moramo pomagati razumeti princip sistema mestne vrednosti, za katerega so v zgodovini porabili veliko razmisleka in idej, da so ga razvili, mi pa pričakujemo, da ga bodo otroci usvojili takoj. To lahko naredimo tako, da jim omo- gočimo uporabo simbolov na zanje nov na- čin. S tem se strinjata Anthony in Walshaw (2004), ki pravita, da morajo pravila otroci doumeti na podlagi lastnih dejavnosti. Šele z nakopičenim bogastvom izkušenj in spodbudami k induktivnemu mišljenju, ki jim pomaga pri povezavi, bodo otroci zgradili svoje matematične koncepte in ne- kega dne, navdušeno, kot otrok, o katerem pišeta *Anthony in Walshaw (2005, str. 38, po Wheeler in Feghali, 1983), avtor izjave v naslovu članka, sprevideli, da nič lahko označuje več stvari, ne le odsotnost količine, kar pa je zagotovo prva otrokova izkušnja z omenjenim številom. δ Viri in literatura 1. Anthony, J. G. in Walshaw, A. M. (2004). Zero, a none number. Teaching children mathematics, 11 (1), (38– 42). 2. Berlinghoff, P . W . in Gouvea, Q. F . (2008). Matematika skozi stoletja. Ljubljana: Modrijan. 3. Catterall, R. (2005). Exploring children's conceptions of zero in relationship to other numbers. V J. Fragner in B. Hudson, B. (ed.), Researching the teaching and learning of matehematics II (str. 55–75). Linz: Päda- gogische Akademie des Bundes in Oberösterreich. 4. Clemson, D. in Clemson W. (1994). Mathematics in the early years: T eaching and learning in the first three years of school. London: Routhledge. 5. Guedj, D. (1996). Svet števil. Ljubljana: DZS. 6. Haylock, D. in Cockburn, A. (2008). Understanding mathematics for young children: a guide to founda- tion stage and lower primary teachers. Los Angeles (idr.): SAGE. 7. Hughes, M. (1986). Children and number. Difficulties in learning mathematics. Oxford: Basil Blackwell. 8. Marjanovič - Umek, L. in Zupančič. M. (ur.). (2004). Matematika v družboslovnih vedah 044 Razvojna psihologija. Ljubljana: Znanstveno-razisko- valni inštitut Filozofske fakultete. 9. Svetina, M. (2005). Izkustveno mišljenje kot prehod med predoperacionalnim in konkretnologičnim mišl- jenjem pri otrocih. Pedagoška obzorja 14 (1), (101– 118). 10. Wheeler, M. in Feghali, I. (1983). Much ado about nothing: Preservice Elementary School Teacher's Concept of Zero. Journal for Reasearch in Mathema- tics Education 14 (3), (147–155). 11. Worthington, M. in Carruthers, E. (2008). Children's mathematics: making marks, making meaning. Lon- don: P . Chapman; Thousands Oaks, New Delhi: SAGE. Nič pomeni nič - nečesa