i
i
“869-Horvat-Lozej” — 2010/5/31 — 14:00 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 15 (1987/1988)
Številka 1
Strani 44–49
Boris Horvat in Miro Lozej:
KAKO NISVA POSTALA MILIJONARJA
Ključne besede: matematika, novice.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/15/869-Horvat-Lozej.pdf
c© 1987 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I~OI/I[E
KAKO NISVA POSTALA MILIJONARJA
Na Rub ikovo kocko smo vsi že skoraj pozabili . Pred nekaj leti pa je bilo druga-
če. Takrat smo vsi iskali nove in nove postopke in matematič ne obrazce, s ka-
terimi bi kocko čim hit reje sestavili . Danes jo verjet no le še malokdo zna se-
staviti. Kot vsaka i g r ač ka , ki se je navel ičamo , je obležala na dnu kake omare.
Ob kock i se je pojavila prava poplava sestavljank, ki razen spretnih rok
zahtevajo predvsem ob ilo logičnega sklepanja, prostorske predstave in vizu -
alnega pomnenja . Posamezniki in nekateri pro izvaja lci takšnih igrač so čez noč
obogatel i. Ob Rubikavi kocki dimenzije 3 x 3 x 3 so se pojav il i še: kocka
4 x 4 x 4, domino kvader 2 x 3 x 3, tetraede r, okrogla 'kocka', kač a, barvaste
kroglice , izdelani so bili celo načrt i za kocko 5 x 5 x 5. Zd i se pa, da poč as i
zamira zanimanje za tak tip ig rač.
Vendar Erno Rubi k , genialni madžarski izum ite lj, ni miroval. Po nekaj
letih zatišja je prišla na trg njegova nova igračka, k i jo je poimenoval "MAG IC",
To je osem ploščic, k i so povezane med seboj tako, da sestavljajo 2 x 4 ploščo .
Na eni strani plošče so narisani na črn i pod lagi trije mavr i č ni obroč i (ko je
i g rač a nesestavljena) , na drugi strani pa so narisani kosi mavričnih obročev.
Bistvo izuma nove igračke je izredno domišljena povezava posameznih ploščic
med seboj. Povezane so z najlonskimi vrvicami , k i po min iaturnih žlebovih se-
gajo čez celotno površino ploščic , tako da ploščice lahko prevračamo, vrtimo
in iz igračke naredimo najrazličnejše prostorske like (obroče , stole, stolpe ipd) .
Pri tem p loščice nikoli ne razpadejo , kakorko li so obrnjene, vedno jih vrvice
držijo skupaj. Naloga sestavljanke pa je v tem, da z najrazličnejšimi t ransfor-
macijami premešamo ploščice med seboj tako, da kosi mavričn ih obročkov ,
ki so narisani na zadnji strani igrače, tvor ijo tri med seboj sklenjene mavrične
obroče . Takrat ploščice niso več zložene v ploščo 4 x 2, ampak v 3 x 3 z eno
manjkajočo vogelno ploščica.
Ob novi Rubikavi igrački sva se spomnila zgodbe, ki bo mogoče zanimiva
tudi za bralce Preseka. Pozimi pred šestimi leti, ko so se ševsi ukvarjali z Rubi -
kova kocko, sva začela razmišljati, ali bi bilo mogoče napraviti podobno
sestavljanko iz kakšnega drugega telesa. Naju ni zanimala teorija in spretnost
v sestavljanju kocke, temveč čisto tehnično vprašanje, kako je kocka sestav lje-
na. Na podoben način , kot je Rubik razstavil kocko na posamezne elemente in
jih smiselno povezal, sva razmišljala, bi bilo mogoče razstaviti na med seboj
povezane kose tudi kakšno drugo geometrijsko telo (in s patentom zaslužiti
44
kakšen dinar) .
Kot je znano, obstaja v tridimenzionalnem svetu le pet pravilnih geome-
trijskih teles, ki jih je prvi opisal že Arhimed in jih tudi imenujemo Arhimedova
telesa. To so:
tetraeder, ki ga omejujejo štirje enakostranični trikotniki,
oktaeder, ki ga omejuje osem enakostraničnihtrikotnikov,
heksaeder ali kocka, ki jo omejuje šest kvadratov,
dodekaeder, ki ga omejuje dvanajst pravilnih petkotnikov, ter
ikozaeder, ki je omejen z dvajsetimi enakostraničnimi trikotniki. Kocko je
obdelal že Rubik in tudi tetraeder sva že videla v neki reviji. Za oktaeder nisva
imela prave predstave, kako bi ga bilo treba "razrezati", da bi se posamezne
plasti lahko vrtele, ikozaeder pa je že "preokrogel", da bi se dalo posamezne
plasti enostavno vrteti (verjetno pa bi bilo zanimivo telo, zgrajeno na ikozae-
dru, s posameznimi "izrastki", ki bi olajšali sestavljanje takšne igračke). Tako
Prototip magičnegadodekaedra BOMIDO. 45
nama je ostal samo dodekaeder, ki je po najinem mnenju tudi najlepše pravilno
geometrijsko telo. Lotila sva se matematičnih preračunavanj in risanja načrtov.
To nit i ni bilo težko, saj je za to delo zadostovalo že znanje srednješo lske trigo-
nometrije, midva pa sva takrat že bila študenta matematike . Izkazalo se je, da
je notranji mehanizem v bistvu enak kot pri Rubikovi kocki , le prilagojen dru-
gačnim geometrijskim lastnostim. Največja težava za predstavo je v tem, da
nikjer ni pravega kota . Za potrditev teorije, da mehanizem tako razdeljenega
telesa resnično deluje, je Miro v očetovi mizarsk i delavnic i z očetovo pomočjo
izdelal prototip. Ta je , nekoliko trdo sicer , popolnoma brezhibno delova l.
Prototip sva odnesla k fotografu, ki ga je z vseh stran i, znotraj in zunaj,
poslikal. Načrte in slike sva odnesla v patentno p isarno in vložila pr ijavo "Pro-
storske logične igračke BOMIDO" (Boris Miro Dodekaeder) kot model. (Prav
med pisanjem članka za Presek sva dobila od Patentnega urada obvestilo, da je
bila potrjena zaščita modela.) Po prijavi modela na patentnem uradu sva spo-
46 BOMIDO v notranjosti.
mladi leta 1982 začela iskati proizvajalce najine igračke, saj sva, po Rubikovem
vzoru, tudi midva želela postati milijonarja. Toda tu se je zataknilo. Nobena
tovarna kovinsko-plastičneusmeritve, noben domžalski plastičar ni bil dovolj
navdušen nad najino idejo, da bi bi! pripravljen vložiti denar v razvoj orodja za
dodekaeder. Ker telo nima nobenega pravega kota, se je vsem zataknilo že pri
izdelavi načrta za oradje. Po nekaj mesecih sva obupala nad nerazumevajočo
domovino in se odločila za agresivni prodor na svetovno tržišče.
Med prvomajskimi prazniki sva z vsemi slikami in dokumenti odpotovala
v London. Že prej sva se, bila pismeno oziroma telefonično dogovorila za
sestanek z Davidom Singmastrom, matematikom, ki je bil takrat glavni popu-
larizator in teoretik Rubikove kocke, in z Jamesom Dalgetyjem, ki je bil kot
direktor firme Pentagle novopečeni bogataš po zaslugi Rubikove kocke in po-
dobnih igrač. Na domu pri Singmastru sva bila že ob devetih dopoldne. Vedel
BOMIDO na risalni mizi. 47
je sicer, da je mogoča konstrukcija magičnega dodekaedra po vzoru Rubikove
magične kocke , vendar prototipa še ni videl. Navdušeno si je ogledoval foto -
grafije najinega ročno izdelanega modela, posebej še, ko je slišal , da model
deluje. Obisk pri Singmastru je bil zelo zanim iv. Še kakšni dve uri sva ostala
pri njem in v tem času nama je pokazal cel muzej najrazličnejših sestavljank
z vsega sveta. Samo o Rubikovi kocki je imel cele police knj ig in priročnikov ,
prav tako z vsega sveta. Kasne je sva mu poslala knj ižico, ki je izšla pri beo-
grajsk i založbi Galaksije. Nekaj igrač, nalepk , plakatov in priponk nama je
podaril, še ve č pa sva jih kupi la v improvizirani trgovin i v njegovi hiš i. Najbolj
sva se navduševala (kot konjičkarska mizarja) nad sestavljankami (puzzles) iz
plemenitega lesa. Na primer zmešnjava različnih ali celo enakih teles, ki se-
stavljajo kocko ali kakšno drugo pravilno telo . Obstajajo cele matematične
teorije , kak o je mogoče pravilno telo razrezati na simetrična telesa in takšne
sestavljanke sploh niso enostavne .
Singmaster naju je prijazno odpeljal do središča Londona, kjer sva imela
za opoldne dogovorjen sestanek :v McDonnaldov i restavrac iji z Jamesom
Dalgetyjem. Dalgety ni bil dosti starejši od naju, ime l je pravo lepotico za
ženo in bleščeče no v športni avto Saab 900 tu rbo (!) Ž e sva se tudi sama videla
v takšnem avtomobilu, ko sva še pred pričetkom kosila dož ivela hladen tuš.
Dalgety je sicer rekel, da sva pametna in pr idna, tudi on je bil navdušen nad
lesenim modelom , vendar je iz to rbe privlekel na dan ne kaj plastičnih modelov
- protot ipov dodekaedra, ki jih je prejšnji dan dobil v tovarn i. Bili so na las
podobni t istim , ki sva si j ih zam islila midva, kar pomeni, d a so matematični
in geometrijsk i zakon i povsod enaki. Povedal nama je , da sva kakšen mesec
prepozna z naj inim patentom , takrat ga je namreč on odkup il od nekega
Madžara . Dva meseca kasneje je stekla že redna proizvodnja magičnega dode-
kaedra. V tol ažbo sva po pošti dobila prve primerke .
Pred kra tkim so prijatelji v Londonu v več velikih trgovinah z igračami
iskali magičn i dodekaeder . Povsod so še imeli Rub ikovo kocko v najrazličnejših
izpe ljan kah, toda dodekaedra ni bilo mogoče nikjer dobiti . Prodajalci so po-
vedali, d a je imel zelo malo uspeha , verjetno se je ljudem zdel prekompliciran
(v zmešnjavi dvanajstih barv se je res težko znajti), in da že dolgo ni več v pro-
daji. Sicer pa sestavljanje samo ni bilo nič težje kot pr i kocki, le da je bilo ne-
koliko več dela. Dodekaeder je b il na neki način kopija kocke in ponovitev ne
more biti niko li tako uspešna kot originalna zamisel. To so neizprosni zakoni
potrošn iške mental itete in svobodnega tržišča. Le kdor jih zna dobro oceniti
in v pravem t renutku ponuditi nov proizvod , se lahko nadeja uspeha.
Tako nisva postala m illjonar]a , celotno zgodbo pa sva ohranila v prijetnem
spominu. Kdor ne poskusi, tud i uspeti ne more .
48
Kot nekdanja študenta matematike sva sklenila, da v spomin na to zgodbo
podariva najin prototip matematični knjižnici , da bo stal v vitrinah knjižn ice v
tretjem nadstropju na Jadranski 19 v Ljubljani.
Pisani magični dodekaeder (glej IV stran ovitka) lahko naročite pri Perrta-
gle, Paradox Engineering Ltd., Over Wallop, Hampshire, 5020 8HT, Velika
Britanija z nakaz ilom 84:. .
Hkrati pa razpisujeva nagradni natečaj na temo magičnega dodekaedra, ka-
terega prototip si lahko ogledati na slikah . Odgovoriti mo rate na naslednja
vprašanja:
1. Koliko je sredinskih , vogalnih in koliko robnih delov magičnega dodeka -
edra? Odgovor utemeljite z izpeljavo enačb za števila robov in vogalov
poljubnega poliedra (to je naloga za ogrevanje).
2 . Koliko barvnih nalepk, to je, koliko petkotnikov potrebuje za sredinske
elemente, koliko rombov za vogalne elemente in koliko trikotnikov za
robne elemente? Odgovor utemeljite.
3. Kolikšna sta volumna robnega in vogalnega elementa in kolikšen je volu-
men vsega dodekaedra (v odvisnosti od dolžine roba dodekaedra)?
5. Kolikšen je polmer včrtane in o črtane krogle dodekaedra in kolikšen pol-
mer krogle, ki se dotika robov?
Priložiti morate tudi vse računske izpeljave. O nagrajencih bo razen pravilnosti
odgovorov odločala tudi elegantno izpeljana rešitev. Še majhen nasvet: v pravi-
lnem petkotniku se skriva zlati rez, s pomočjo katerega lahko izračunamo
kotne funkcije posameznih kotov, ki jih bomo potrebovali pr i izračunih.
Najboljše odgovore bomo objavili, za nagrade pa razpisujemo en pravi
magični dodekaeder in pet knjižnih nagrad iz Presekove knjižnice. Rok za
oddajo odgovorov je 1.11.1987. Pošljite jih na uredništvo Preseka.
Boris Horvat in Miro Lozej
49
~. ,
------------~ -