IZ RAZREDA 43 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Mnemonike in kaj ima nesrečna ljubezen opraviti z racionalno funkcijo Natalija Zver Gimnazija Litija, Gimnazija Ledina Izvleček Dijaki pri učenju matematike pogosto naletijo na težave s pomnjenjem. Bistvo tega prispevka je prikaz al- ternativnega načina poučevanja, z vključevanjem motivacijsko zanimivih asociacij – mnemonik, ki so lahko koristne za boljše pomnjenje in hitrejši priklic. Dijakom omogočajo ustvarjanje lastnih asociacij, zato lahko postane učenje matematičnih pojmov bolj zanimivo, kar vodi k boljši motivaciji. Ta asociacijska tehnika ni vedno učinkovita pri vseh dijakih. Menim, da učinkovitost ni odvisna od dijakovih sposobnosti, temveč od dijakovega in učiteljevega značaja. V prispevku je predstavljena nesrečna ljubezen kot asociacija pri razume- vanju obnašanja grafa racionalne funkcije v okolici polov ter v odnosu z vodoravno in poševno asimptoto. Ključne besede: matematika, asociacije, mnemonike, racionalna funkcija On Mnemonics and Connection Between Unrequited Love and Rational Function Abstract When learning arithmetic, students frequently have trouble memorising the material. The purpose of this study is to present an alternate method of instruction that includes mnemonics or associations that are both motivationally compelling and quickly remembered. Learning mathematics can be more engaging and moti- vating if students have the freedom to build their associations. This strategy is not always successful. Effective- ness, it seems, depends less on aptitude and more on the student‘s and the teacher‘s personalities. The author introduces unrequited love as an association for understanding how a rational function‘s graph behaves at its poles and concerning its horizontal and oblique asymptotes. Keywords: mathematics, associations, mnemonics, rational function. Uvod Že več let opažam, da se o uporabi mnemonik pri poučevanju gimnazijske matematike v slovenskem prostoru zelo redko piše. Pri dijakih, ki jih poučujem, sem v tem času zaznala, da je upora- ba zapomnitvenih tehnik zelo učinkovita. Odločila sem se, da za- pišem eno izmed svojih mnemonik, ki jo uporabljam pri pouku. Mnemonike Kot se za matematike spodobi, je prav, da zapišemo najprej defi- nicijo mnemonike. Mnemonika -e ž [gr. mnemonike sc. techne iz mneme spomin] je spretnost in nauk o urjenju spomina (s pravili, kako si zapomni- mo čim več; sloni na zakonih o asociaciji idej); (vaja za) urjenje spomina. Verjetno je eden izmed najbolj nazornih prikazov, kaj so mne- monike, naslednji primer: kadar nekdo vpraša, koliko dni ima npr. april, bo marsikdo pogledal na roko in začel naštevati me- sece po vrsti, pri čemer se bo s prstom druge roke premikal po členkih. Če bo pristal na členku, bo vedel, da ima mesec 31 dni, v nasprotnem primeru, ko bo pristal med členkoma, pa 30 dni, z izjemo februarja, ki ima 28 oziroma 29 dni. Slika 1: Uporaba mne- monike za število dni v mesecu. IZ RAZREDA 44 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Mnemonika, ki so jo včasih uporabljali, da so otrokom razložili, kdaj lahko sedijo na travi, da se ne bodo prehladili, pravi, da lah- ko sediš na travi tiste mesece, ki v imenu nimajo črke r. Slika 2: Mnemonika, povezana s sedenjem na travi. Seveda je takšnih mnemonik še veliko, saj so si tudi v preteklosti pri pomnjenju pomagali z različnimi zapomnitvenimi tehnika- mi. T udi pri pouku jih srečamo, vendar jih nekateri žal velikokrat povezujejo z delom z manj sposobnimi dijaki, torej kot nekaj »manjvrednega« oziroma »ne dovolj strokovnega«. To ne drži, saj mnemonike uporabljajo pri učenju tudi zelo sposobni dijaki. Matematiko poučujem že več kot dvajset let in spoznala sem, da mnemonike niso namenjene samo dijakom z učnimi težavami, ampak jih s pridom uporabljajo tudi nadarjeni dijaki, saj nekate- re pojme tako hitreje prikličejo iz spomina. Od dijaka do dijaka se zapomnitvene tehnike lahko razlikujejo. Vsak lahko za isto matematično vsebino poišče svojo asociacijo, povezano s podro- čjem, ki ga zanima ali ga dobro pozna, kot so šport, risani filmi ipd. na področju, kjer je v svojem okolju opazil matematične za- konitosti ali podobnosti; torej je matematiko opazil v okolju, od- nosih, glasbi, literaturi … Asociacije so lahko vizualne, zvočne, besedne, številske, pri povezovanju pojmov si lahko pomagamo tudi z vrstnim redom začetnic pojmov v abecedi. Zanimivo je brati o strategijah, ki jih pri pomnjenju decimalk števila pi uporabljajo ljudje, ki v recitiranju decimalk tekmujejo. Od združevanja po devet števk v nekakšne telefonske številke, do označevanja števk z različnimi barvami, pri čemer nastanejo barvni vzorci. Vse to so mnemonike oziroma zapomnitvene tehnike, ki s po- močjo asociacij pomagajo pri lažjem pomnjenju. Mnemonike delujejo na principu povezovanja novih pojmov s pojmi, ki so že zasidrani v našem spominu, in na ta način se novih pojmov hitreje spomnimo. Še vedno v različnih projektih sodelujem s svojimi, sedaj že za- poslenimi, bivšimi dijaki. Ob eni izmed takih priložnosti mi je nekdanja dijakinja zaupala, da me je svoji sodelavki predstavi- la kot profesorico, ki matematiko poučuje kot zgodbo. Najprej sem se nasmehnila, nakar sem premislila njene besede in se ji zahvalila za kompliment. Zelo dobro je namreč opisala moj ne- koliko drugačen način poučevanja, s katerim poskušam razvi- jati ljubezen do matematike. Želim si, da bi pri reševanju nalog dijaki uživali ter spoznali, da je matematika orodje za reševanje življenjskih problemov. Matematiko poskušam predstaviti kot celovito, povezano zgodbo, pri čemer mi pomagajo mnemonike, ki poskrbijo za marsikatero sproščeno minuto pri pouku. Verjamem, da si vsak, ki novo snov sprejema v okolju in na na- čin, pri katerem se dobro počuti, veliko več zapomni, kot če je pri pouku napet, nesproščen in prestrašen. Mnemonike so name- njene pripenjanju novega znanja na snov, ki je že utrjena; smeh in sproščenost, ki jih sprožijo pa dijaku, pomagata pri dobrem počutju in lažjem pomnjenju. Skrivnost sreče ni v tem, da vedno delamo tisto, kar imamo radi, temveč da imamo radi to, kar delamo. (Lev Nikolajevič Tolstoj) Graf racionalne funkcije s kančkom romantike Dva izmed ciljev, zapisanih v učnem načrtu pri racionalni funk- ciji, govorita o tem, da dijaki/dijakinje: • poznajo in uporabljajo lastnosti racionalnih funkcij, • narišejo in interpretirajo graf racionalne funkcije. Da bi cilja uresničili, pred risanjem grafa racionalne funkcije določimo ničle, pole in navpične asimptote, začetno vrednost, enačbo vodoravne oziroma poševne asimptote, presečišče grafa funkcije z asimptoto, lahko določimo tudi predznak funkcije ter narišemo graf. Matematiki poznamo različne šale. Če nas kdo vpraša, kaj je ne- srečna ljubezen v matematiki, je odgovor na dlani: ko se ljubita dve vzporedni premici. Matematik bi dodal še: v evklidski geo- metriji. To šalo uporabljam pri poučevanju racionalne funkcije. Upora- bljam jo pri obnašanju grafa funkcije v okolici polov, torej kakšen je graf levo in desno od navpične asimptote, in pri risanju gra- fa funkcije v presečišču funkcije z vodoravno oziroma poševno asimptoto ter obnašanju funkcije daleč proč od koordinatnega izhodišča. 1 Graf racionalne funkcije in navpična asimptota Graf funkcije ima v polu navpično asimptoto, ki se ji približuje z obeh strani, je ne seka, niti se je ne dotakne, saj funkcija v polu ni definirana. Graf funkcije je v polu »pretrgan«, kot bi ga s škarja- Slika 3: Na primeru 1 je prikazana nesrečna ljubezen. IZ RAZREDA 45 Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 mi nekdo razrezal. Če vse skupaj primerjamo z ljubezenskim od- nosom, je videti kot da asimptota graf funkcije privlači, vendar nikdar ne prideta skupaj. Med navpično asimptoto in grafom funkcije je torej vedno ne- srečna ljubezen. Primer 1 . 1. Ničle: x = 2 (1) 2. Poli: x 1 = 1 (1) , x 2 = 1 (1) 3. Začetna vrednost: f(0) = 2 4. Vodoravna asimptota: y = 0 2 Graf racionalne funkcije in vodoravna (poševna) asimptota Zgodba v primeru vodoravne in poševne asimptote je nekoliko drugačna. Vemo, da se graf funkcije in vodoravna (poševna) asimptota lah- ko sekata, ampak to se zgodi le pri nekem končnem x, v neskonč- nosti se graf vodoravni (poševni) asimptoti le približuje. V presečišču funkcije z asimptoto zato rečem, da sta graf funk- cije in asimptota »prišla skupaj« (kratkoročno srečna ljubezen), potem se spreta, se kratek ali daljši čas kujata, vendar v neskonč- nosti čutita ljubezen drug do drugega. Vodoravna (poševna) asimptota graf funkcije v neskončnosti privlači, vendar ne pride- ta več skupaj (dolgoročno gledano nesrečna ljubezen). Primer 2 1. Ničle: 2. Poli: x 1 = –2 (1) , x 2 = 5 (1) 3. Začetna vrednost: 4. Vodoravna asimptota: y = 4 Slika 5: Na primeru 2 je prikazana kratkoročno srečna ljubezen in dol- goročno gledano nesrečna ljubezen. Primer 3 1. Ničle: x = 1 (1) 2. Poli: x 1 = 0 (1) , x 2 = –1 (1) 3. Začetna vrednost: ni začetne vrednosti 4. Poševna asimptota: y = –x + 1 Slika 4: Na primeru 1 je prikazana kratkoročno srečna ljubezen in dol- goročno gledano nesrečna ljubezen. Med vodoravno (poševno) asimptoto in grafom funkcije je lahko kratkoročno srečna ljubezen, dolgoročno gledano pa je vedno nesrečna ljubezen. Slika 6: Na primeru 3 je prikazana kratkoročno srečna ljubezen in dol- goročno gledano nesrečna ljubezen. IZ RAZREDA Matematika v šoli, št. 2., letnik 28, 2022 Zaključek Menim, da učinkovitost mnemonik ni odvisna od dijakovih sposobnosti, temveč od dijakovega in učiteljevega značaja. Nekaterim dijakom so omenjene asociacije v veliko pomoč, saj s takim načinom razlage snov malo bolje razumejo. Zapomnijo si, da graf funkcije z navpično asimptoto nima skupne točke. Vsekakor pa je pouk matematike zaradi te mnemonike bolj zanimiv, saj dijake z asociacijo nekoliko razvedrim in jih tako hitreje motiviram za delo. Viri [1] Pavlič, G., Rugelj, M., Šparovec, J., Kavka, D. (2013). Spatium novum: matematika za gimnazije. Ljubljana: Modrijan. [2] Verbinc, F. (1982). Slovar tujk. Ljubljana: Cankarjeva založba. [3] Žakelj, A., idr. (2008). Učni načrt Matematika Gimnazija. Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. https://eportal.mss.edus.si/msswww/pro- grami2018/programi/media/pdf/un_gimnazija/un_matematika_gimn.pdf (6. 12. 2022). V digitalni publikaciji predstavljamo nadaljnje izsledke in izkušnje na področju formativnega spremljanja pri matematiki s poudarkom na različnih oblikah izkazovanja in ugotavljanja matematičnega znanja. Predstavljene so naslednje oblike ugotavljanja znanja, ki so hkrati dokazi o učenju: • preiskovalne naloge, • pisna besedila, • govorni nastopi, • vizualne predstavitve, • didaktične igre, • izdelki. Publikacija je dosegljiva na: www.zrss.si/pdf/ugotavljanje_matematicnega_znanja.pdf Ugotavljanje matematičnega znanja digitalni priročnik Iz digitalne bralnice ZRSŠ