IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
2014 Letnik 61
OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
dr JANEZ STR Nad
OBZORNIK MAT. FIZ.' LJUBLJANA • LETNIK 61 • ŠT. 2 • STR 41-80'MAREC 2014
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAREC 2014, letnik 61, številka 2, strani 41-80
Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč. Sofinančira jo Javna agenčija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-nančiranje domačih znanstvenih periodičnih publikačij.
© 2014 DMFA Slovenije - 1937	Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
OSNOVE KVANTNEGA RAČUNALNIŠTVA, 2. DEL
MATIJA PRETNAR
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 68Q12, 81P68
V drugem delu članka si ogledamo Deutschev algoritem, ki je bil prvi kvantni algoritem, ter najznamenitejsa kvantna algoritma: Groverjev algoritem za iskanje v neurejeni tabeli in Shorov algoritem za razcep na prastevila.
THE BASICS OF QUANTUM COMPUTING, PART 2
The second part looks at Deutsch's algorithm, which was the first quantum algorithm, and at two most famous quantum algorithms: Grover's search algorithm and Shor's factorization algorithm.
Simulacija klasičnih vezij
Preden se začnemo navduševati nad učinkovitostjo kvantnih računalnikov, najprej preverimo, ali lahko z njimi res izračunamo vse, kar bi Želeli. Torej, za vsako funkcijo f: {0,1}m ^ {0,1}n, ki jo znamo izračunati na običajnem računalniku, zelimo poiskati ustrezno unitarno preslikavo oziroma kvantno vezje Uf, ki bo dajala enake odgovore.
Kaj pomeni, da bodo odgovori enaki? Ce nastavimo kubite na začetno bazno stanje |x) = |xoXi ■ ■ ■ xm-1), kjer so Xi posamezni vhodni biti, potem zelimo s pomočjo Uf izračunati stanje |f(x)) = |y0y1 ■ ■ ■ yn-1). Toda kako lahko z unitarnimi preslikavami izračunamo funkčijo, ki nima inverza? Se več: kaj, če funkčija f nima enakega stevila vhodnih in izhodnih bitov?
Obema tezavama se izognemo tako, da vezje poleg vhoda |x) sprejme se nekaj dodatnih kubitov, na katere bomo shranili izhod |f (x)). Za začetek si oglejmo primer, ko f izračuna en bit, torej ko je n = 1. Vezje Uf tedaj iz stanja |x)|0) izračuna stanje |x)|f(x)). Natančneje: iz stanja |x)|b) bomo izračunali stanje |x)|b © f (x)), kjer je ekskluzivni ali © podan z:
0 © 0 = 0 0 © 1 = 1 1 © 0 = 1 1 © 1 = 0.
Iz enakosti cnot|x)|b) = |x)|b © x) izvira tudi oznaka za cnot v kvantnih vezjih.
Ce je izhodnih kubitov več, ravnamo podobno: iz vhoda |x)|b), kjer je b zdaj zaporedje n kubitov, enako izračunamo |x)|b © f (x)), le da tokrat © deluje po posameznih kubitih.
Na splošni superpoziciji vezje Uf deluje linearno: stanje J2xb ax,b|x)|b), kjer x b označuje vsoto po vseh 2m moZnih baznih stanjih |x) in vseh 2n moZnih stanjih kubitov za odgovor |b), spremeni v ^xbax,b|x)|6 © f (x)). Običajno pa bodo kubiti za odgovor nastavljeni na |0), zato bo odgovor kar superpozicija ax|x)|f (x)).
Ali lahko na tak način simuliramo vsa klasična vezja? Vemo, da lahko vsa taka vezja sestavimo iz negacije in konjunkcije. Negacijo simuliramo tako, da s kontrolirano negacijo stanje kontrolnega kubita presnamemo na ciljni kubit, nato pa ciljni kubit negiramo z vrati X. Zaradi izreka o ne-podvajanju seveda ne moremo presneti splosnega stanja, le bazni stanji |0) in |1), a to je za simulacijo klasicnega vezja dovolj.
Za konjunkcijo pa uporabimo Toffolijeva vrata T. Ta delujejo podobno kot cnot, le da imajo dva kontrolna in en ciljni kubit, ki ga negiramo takrat, ko sta oba kontrolna kubita enaka |1). Velja torej T1110) = 1111) in T1111) = 1110), vsa druga bazna stanja pa vrata T pustijo pri miru.
S pomocjo teh dveh vrat lahko izrazimo vsa preostala vezja, na primer disjunkcijo. Disjunkcijo lahko s pomocjo negacije in konjunkcije izrazimo kot x1 V x2 = —(—XI A —x2), to pa implementiramo z naslednjim vezjem:
|xi) |x2) |0) |0) |0) |0)
										
C	>	X								
	U		r		X					
VJ				U		r	> -			
VJ							w • r		X	
VJ								i)		
xi) X2) -Xi) -X2)
—x1 A —x2) Xi V x2)
(1)
Pri tem smo zaradi sorodnega delovanja vrata T oznacili podobno kot cnot.
Na tak nacin vsako klasicno funkcijo f simuliramo s kvantnim vezjem Rf, ki poleg vhodnih podatkov dobi se nekaj kubitov delovnega prostora, poleg odgovora pa vrne se nekaj smeti, ki so posledica pomoznih racunov. Teh smeti se hocemo znebiti, saj zaradi prepletenosti vplivajo na stanja vhodnih in izhodnih kubitov. K sreci tudi tu obstaja re sitev: po uporabi vezja Rf odgovor presnamemo na dodatne kubite, nato pa uporabimo inverz R-1, ki kubite z odgovorom in smetmi povrne v prvotno prazno stanje, na dodatnih kubitih pa ostane kopija odgovora.
|x) |0) |0)
|x) |0)
|f (x))
Ker so vsa vezja unitarna, vemo, da inverz obstaja. Toda kako ga izračunamo? Kot vemo, velja (UV)-1 = V-1U-1, zato inverz dobimo tako, da inverze posameznih vrat sestavimo v obratnem vrstnem redu. Ker so vrata X, Y, Z, H, cnot in T sama svoj inverz, lahko vsako vezje, ki je sestavljeno iz njih, obrnemo kar tako, da ga izvedemo od desne proti levi (nekatere implementacije to enostavno dopusčajo).
Deutschev algoritem
Spodobi se, da si kot prvi kvantni algoritem ogledamo Deutschev algoritem [1], saj je bil to prvi kvantni algoritem, ki je deloval učinkoviteje od klasičnega. Recimo, da zelimo za nam neznano funkcijo f: {0,1} ^ {0,1} ugotoviti, ali je konstantna, pri tem pa imamo na voljo le "črno skatlo", torej neko napravo, ki na nam neznan način računa vrednosti f.
Ce je ta črna skatla klasično vezje, nam ne ostane drugega kot to, da jo uporabimo dvakrat, da izračunamo f (0) in f (1), nato pa odgovora primerjamo. Ce pa imamo na voljo kvantno vezje Uf:
|x> —
Uf
f
—	IX
-	|b © f (x)>,
nam Deutsčhev algoritem odgovor izračuna z le eno uporabo Uf.
Glavni ideji sta dve. Prva je očitna: na vhodnem kubitu podamo super-pozičijo |+>, da hkrati izračunamo Uf na |0> in |1>. Druga pa je bolj zvita: na izhodnem kubitu namesto |0> podamo |->. Po uporabi vezja na |x>|—> je stanje namrečč enako
Uf |x>|—> = ^Uf | x>| 0> - TUf |x>|1> = ^|x>|0 © f (x)> - T| x>11 © f (x)>.
Ce je f (x) = 0, je končno stanje enako | x> | ->, če pa je f (x) = 1, je izhodno stanje enako — |x>|—>. Torej v splosnem velja, da je izhodni kubit v stanju (-1)f (x)|x>|—>.
Ce za vhod podamo |+>, dobimo
Uf |+>|—> = T Uf |0>|—> + T Uf |1>|—>
= T (—1)f (0) |0>|—> + T (—1)f (1)|1>|—>
= (—1)f (0) (^7510> +	|1>)|—>.
Ce je f konstantna in je f (0) = f (1), je prvi kubit v stanju |+>, sičer pa je v stanju |—>. Kako ugotovimo, v katerem stanju je?
Po uporabi vezja na prvem kubitu uporabimo Hadamardova vrata H. Ta |+> slikajo v |0>, |—> pa v |1>, kar potem izmerimo na običajen način.
Podobno lahko stanje pomerimo v vsaki ortonormirani bazi, le namesto H moramo izbrati ustrezno unitarno preslikavo.
Celoten Deutschev algoritem izvedemo s sledečim vezjem:
>> f (0) = f (1)

|1> f (0) = f (1)
Ce je funkcija f konstantna, izmerimo |0>, če ni, pa |1>.
Vprasanje, na katero odgovori Deutschev algoritem, ni ravno najbolj zanimivo, a v odgovoru nanj smo videli nekaj glavnih trikov, ki se uporabljajo v skoraj vseh kvantnih algoritmih.
Groverjev algoritem
Zanimivejsa je naslednja naloga: za funkcijo f: {0,1,..., N — 1} ^ {0,1} zelimo poiskati x, za katerega velja f (x) = 1. To je tako, kot bi v (papirnatem) telefonskem imeniku iskali osebo, ki zivi na danem naslovu. Ker je imenik urejen po priimkih in ne po naslovih, nam ne ostane drugega, kot da ga preiscemo od zacetka do konca. Ce imamo sreco, osebo najdemo takoj, ce ne, pa lahko sele cisto na koncu. Cas, ki ga potrebujemo za tako iskanje, narasca linearno z velikostjo imenika: za stokrat vecji imenik potrebujemo stokrat vec casa. Pravimo, daje casovna zahtevnost problema enaka O(N).
Groverjev algoritem [3] pa isti problem na kvantnem racunalniku resi s casovno zahtevnostjo O(VN), kar pomeni, da za stokrat vecji imenik potrebujemo le desetkrat vec casa. Ideja je sledeca: zacnemo s superpozicijo vseh baznih stanj, nato pa amplitudi ustreznih stanj zamenjamo predznak, nazadnje pa vse amplitude »prezrcalimo« prek povprecja, s cimer se amplituda vseh ustreznih stanj poveca (slika 1).
ttx
M
o oo (a)
»
ttx
M
(b)
|x>
(c)
|x>
a
x
Slika 1. Amplitude baznih stanj pri (a) začetnem stanju, (b) obratu faz ustreznih stanj in (c) zrcaljenju amplitud prek povprečja M- Ustrezna stanja so označena z znakom •.
Ta dva koraka nato dovoljkrat ponovimo, na koncu pa izmerimo stanje. Z veliko verjetnostjo bo to izmerjeno stanje ravno eno od ustreznih. Ustreznost izmerjenega stanja nato preverimo se s prvotno funkcijo f, in ce odgovor ni ustrezen, postopek ponovimo. Najprej moramo pokazati, da sta obrat faze in zrcaljenje prek povprecja unitarni preslikavi, nato pa se
ugotoviti, kolikokrat ju moramo ponoviti, da pridemo do odgovora. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je N = 2n, in stanja |0), |1),..., |N — 1) izenačili z vsemi baznimi stanji |x) sistema n kubitov.
Obrat faze F je seveda unitarna preslikava: vsa ustrezna bazna stanja imajo lastno vrednost —1, vsa preostala pa 1. Implementiramo jo tako, da izhodni kubit pri vezju Uf, ki računa funkcijo f, nastavimo na |—). Tako kot pri Deutschevem algoritmu vidimo, daje Uf|x)|—) = (—1)f(x)|x)|—).
Zrcaljenje prek povprečja definiramo kot D = 2|^)(^| — I, pri čemer je |,0) = h®n|0n) superpozicija vseh 2n baznih stanj,	pa ortogonalni
projektor na vektor saj |^>) slika v	=	= (0|<^)|'0).
Preslikava D res zrcali prek povprecja saj iz
D E ax|x) = E M2|^| — I)|x) = E (2ax|^)(^|x) — |x))
x	x
= 2 E i7Xf|^> — E ax|x) = 2 E 3= E — E ax|x)
x
x'
— I )|x) = 2^(2ax|
x
«x'
VN'r/	~^ VN^ VN'
x
x
=2
Ex' ax' N
—Y1 ax|x) = |x)—Y1 ax|x) = —ax)|x)
xx
|x) — > ax|x) =
x	x	x
vidimo, da amplitudo ax spremeni v ^ — (ax — = 2^ — ax.
Ker je = H®n|0n) in ker je H®n sebi adjungirana, lahko pisemo:
D = 2|'0)('0| — I = 2H ®n|0n)(0n|H®n — H®nH®n = H ®n(2|0n){0n| — I)H ®n
Preslikava 2|0n)(0n| — I bazni vektor |0n) slika v |0n), vse druge bazne vektorje |x) pa v —|x), zato je unitarna, torej je unitarna tudi preslikava D.
Poleg tega tudi vidimo, kako implementiramo D. Med dvoje Walsh-Hadamardovih vezij vrinemo vezje, ki obrne fazo vsem baznim stanjem, razlicnim od |0n). To spet lahko dosezemo tako, da na izhodnem kubitu |—) uporabimo vezje, ki |0n) slika v |1), preostala bazna stanja |x) pa v |0). Tako vezje lahko naredimo s konjunkcijo negacij vseh vhodnih kubitov. Vezje, ki izvede celoten korak Groverjevega algoritma, je torej:


- df |p)
Kolikokrat moramo izvesti ta korak? Vidimo, da se vsem ustreznim stanjem amplituda spreminja hkrati. Podobno velja za vsa neustrezna stanja. Privzemimo, da vemo, da je vseh ustreznih stanj p. Tedaj lahko definiramo superpozicijo ustreznih stanj |^>i) = Exf(x)=1|x) in superpozicijo
neustreznih stanj |^>0) =	(x)=0|x). Tedaj je superpozicija vseh
stanj enaka = l^i) +	1^0)- Ce označimo iJjN = sin$, velja
= sin $|<^i) + cos $|^>0).
Očitno velja, da obrat faze F deluje kot F|^i) = ) in F|^>0) = |^>0), saj vsem ustreznim stanjem obrne fazo, neustrezna pa pusti pri miru. Za zrcaljenje prek povprečja D pa lahko pokazemo
D|pi) = 2|^)<^i) - |^i) = 2sin$|^) - |^i) = 2 sin $(sin $|^>i) + cos $|^>0)) — |^i) = — cos2$|^i) + sin 2$|^>0)
in podobno D|^>0) = sin2$|^>i) + cos2$|^>0). Torej za korak G = DF velja
G|pi) = — D|pi) = cos 2$|^>i) — sin2$|^0), G|^) = D|^0) = sin2%i) + cos2$|^i),
zato je G rotacija za kot 2$.
Iz zacetnega stanja = sin$|^>i) + cos$|^>0) po k rotacijah tako pridemo v stanje Gk= sin(2k + 1)$|^i) +cos(2k + 1)$|^>0). Ce izberemo k, za katerega bo (2k + 1)$ blizu |, bo v koncnem stanju prevladovala superpozicija ) in z veliko verjetnostjo bomo izmerili eno od ustreznih stanj. Veljati mora torej k « 2(2? — 1), zato izberemo kar k = |_J.
Ce je ustreznih stanj malo (kar je klasicno najtezje), je sin $ =
majhno s tevilo. Tedaj velja $ « sin $, zato moramo izvesti priblizno 4
korakov, zaradi cesar je casovna zahtevnost Groverjevega algoritma enaka O(^N).
Kaj pa, ce ne vemo, koliko je p? Tedaj lahko najprej poskusimo primere, ko je p = 1,2,4,8,..., in z veliko verjetnostjo bomo v vsaj enem od poskusov izmerili ustrezen odgovor. Poleg tega pa obstajajo algoritmi, ki ocenijo p, njihova casovna zahtevnost pa je prav tako O(^N).
Shorov algoritem
Za konec si oglejmo se najznamenitej s i kvantni algoritem: Shorov algoritem za prastevilski razcep [4]. V resnici bomo re s evali osnovnej s o nalogo: namesto razcepa stevila N bomo iskali neki njegov pravi delitelj, torej stevilo 1 < d < N, ki deli N. Kajti ce najdemo tak d, lahko postopek ponovimo na d in N/d ter tako scasoma pridemo do celotnega prastevilskega razcepa.
Stevilo d najenostavneje poi scemo tako, da pregledamo vsa naravna stevila, ki so vecja od 2 in manjsa od VN, ter se ustavimo, ko eno izmed njih
deli N. Časovna zahtevnost takega postopka je torej O(\/N): za stirikrat večje stevilo potrebujemo dvakrat več časa. Seveda obstajajo tudi učinko-vitejsi algoritmi, a vseeno iz prastevil p in q veliko laze izračunamo p ■ q kot pa iz zmnozka p ■ q dobimo nazaj razčep na p in q. Šifriranje RSA, ki je danes prečej pogosto uporabljano, se zana sa ravno na tezavnost pra stevilskega razčepa. C asovna zahtevnost Shorovega algoritma pa je le O((log N)3). Hitrost takega razčepa si najbolje predstavljamo s primerjavo časov, ki jih za razčep potrebujejo različni algoritmi (tabela 1).
velikost stevila	« 106	» 1010	» 1020	» 1030	» 1040	» 1050
naivni algoritem	1 ms	100 ms	3 h	30 let	3 ■ 106 let	3 ■ 1011 let
algoritem GNFS	1 ms	75 ms	3 min	10 h	1 meseč	6 let
Shorov algoritem	1 ms	4 ms	40 ms	125 ms	300 ms	600 ms
Tabela 1. Casi, potrebni za razcep števila z naivnim algoritmom (O(vN)), trenutno najučinkovitejšim klasičnim algoritmom GNFS (O(e(64/91ogN)1/3(1og1ogN)2/3)) in s Shoro-vim algoritmom (O((log N)3)). Za laZjo primerjavo predpostavimo, da vsi trije algoritmi za razcep stevil okoli milijona potrebujejo eno milisekundo.
Shorov algoritem temelji na ideji, da poisčemo naravno stevilo x, za katero velja x2 = 1 (mod N). Tedaj je x2 — 1 deljivo z N, zato ima vsaj eno od stevil x — 1 in x + 1 skupni delitelj z N, ki pa ga lahko hitro izračunamo z Evklidovim algoritmom. Stevilo x poi sčemo v zaporedju
a mod N, a2 mod N, a3 mod N,...,
kjer je a neko stevilo, ki je tuje N.
Ker je vseh ostankov pri deljenju z N le končno mnogo, se mora neki člen v zaporedju ponoviti. Rečimo, da za stevili m in r velja am = am+r (mod N). Tedaj velja am(ar — 1) = 0 (mod N), in ker je a in s tem tudi am tuje N, je ar = 1 (mod N). Zato je r perioda zaporedja, in če je stevilo r sodo, bo ar/2 ravno iskani x.
Za primer vzemimo N = 21 in a = 10. Tedaj je zaporedje ostankov potenč enako 10,16,13,4,19,1,10,16,... Perioda zaporedja je enaka 6 in iskani x je enak 103 = 13 (mod 21). Torej je stevilo 132 — 1 deljivo z 21 in iskani delitelj najdemo tako z D(12, 21) = 3, kot z D(14, 21) = 7.
Ce je stevilo r liho, pa tak prijem ne deluje, zato postopek ponovimo za neki drug a. S tem in drugimi manj simi zapleti se tu ne bomo ukvarjali, temveč se bomo posvetili ključnemu delu Shorovega algoritma: izračunu periode. Kogar tema bolj zanima, si lahko vse podrobnosti ogleda v [2].
Posamezne člene zaporedja aj mod N lahko izračunamo prečej učinkovito. Če je j sodo, velja aj = (aj/2)2, sičer pa velja aj = a ■ (a(j-1)/2)2. Tako postopoma zelo hitro izračunamo poljubno potenčo. Na primer, a42
izračunamo iz a21, to iz a10, to iz a5, to iz a2 in to iz a. Poleg tega ves čas računamo le z ostanki, kar nam stvari Se olajSa, saj nam ni treba delati s Stevili, večjimi od N.
A kljub temu s postopnim računanjem členov ne bomo prisli daleč, saj je perioda lahko skoraj tako velika kot N. Na tej točki prvič uporabimo prednosti kvantnih računalnikov: členov ne bomo računali drugega za drugim, temveč vse hkrati.
Klasično vezje, ki potenče računa po zgornjem postopku, namreč znamo pretvoriti v kvantno vezje U, za katero velja U|j)|0) = |j)|aj mod N}. Nato to vezje uporabimo na superpozičiji = Zj!-1 Ij)|0) za neko dovolj veliko stevilo M, da dobimo superpozičijo
—M(|0}|a° mod N) + |1)|a1 mod N) + ■ ■ ■ + |M - 1)|aM-1 mod N)).
Nato pomerimo izhodni register. Izmerili bomo |am mod N) za neki naključno izbran in nam neznan m < r. Ta vrednost nam sičer ne bo pomagala, vendar bomo s tem dosegli, da se bo na vhodu obdrzala le superpozičija tistih stanj | j), za katera je aj mod N = am mod N. Stanje vhoda bo torej
|^>) = —n (|m) + |m + r) + |m + 2r) + ■ ■ ■ + |m + (n — 1)r)),
pri čemer je n = |_M-mJ stevilo vseh stanj v superpozičiji. Ta superpozičija pa je sestavljena ravno iz baznih stanj, razmaknjenih za periodo r.
Na primer, za N = 21, a = 10 in M = 64 iz začetne superpozičije 8 ^6=°|j)|0) z uporabo vezja U dobimo stanje
1 (|0)|1) + 11 )| 10) + 12)| 16) + 13 )| 13) + |4)|4) + |5)|19) + |6)|1) +
|7)|10) + |8)| 16) + 19)| 13) + ■ ■ ■ + 161 )| 10) + |62)|16) + |63)|13)).
Rečimo, da pri meritvi izhoda izmerimo 113). Tedaj je stanje vhodnega registra enako |^>) = —tj(|3) + |9) + 115) + ■ ■ ■ + 163)). Ce bi pri meritvi izmerili kak drug izhod, bi dobili drugačno stanje vhoda, a v vsakem primeru bi bila stanja v superpozičiji razmaknjena ravno za periodo r.
To periodo bomo izlusčili tako, da bomo na |^>) uporabili kvantno Fou-rierevo transformacijo. To je unitarna preslikava, podana z matriko
Q =
VM
1 WM"1 W2(M"1)
1	1 ■	■ 1
	w2 ■	■ WM-1
w2	w4 ■	■ w2(M-1)
W(M-1)(M-1)
1
kjer je w = e2ni/M kompleksni koren enote. Najprej si oglejmo, kako kvantna Fouriereva transformacija deluje, nato pa Se to, kako jo učinkovito implementiramo s kvantnim vezjem. S tem bomo tudi preverili, da je unitarna.
Delovanje kvantne Fouriereve transformacije si najlaZe predstavljamo, če si ogledamo amplitude baznih stanj v sliki Q|^>), torej skalarne produkte vrstic matrike Q s stanjem |^>) = (|m) + |m+r) + - ■ - + |m+(n-1)r)). Am-
plituda pri |0) je tako enaka a0 = \pM, pri |1) pa a1 = ^n=o	.
K tej vsoti torej prispevajo le potence, ki ustrezajo baznim stanjem, ki so v superpoziciji |^>). Predstavljamo si lahko, da hodimo po enotski kroznici in se v vsakem koraku premaknemo za eno potenco, v vsoto pa stejemo vsako r-to obiskano potenco (slika 2a). Potence so razporejene enakomerno, bazna stanja pa nastopajo periodicno, zato se upostevane potence medsebojno (skoraj) iznicijo in amplituda je blizu 0.
u
,27
u
u33' «i
u
u
(a)
u "
.2.15;
«2
• u
,..••■ u2-27
,2-57
(b)
aii
(c)
Slika 2. Potence korena enote u = e2ni/64, ki jih upoštevamo pri izračunu amplitud baznih stanj (a) |1), (b) |2) in (c) |11) v kvantni Fourierevi transformaciji superpozicije |<^) = (|3) + |9) + • • • + |63)). Amplituda je oznacena z znakom • na sredini kroga, zaradi berljivosti pa so nekatere oznake izpuscene.
Pri izracunu amplitude stanja |2) ravnamo podobno, le da se s koraki premikamo za dve potenci. Ker so upostevane potence zopet razporejene enakomerno (vsaj za dovolj velike M), bo amplituda zopet zanemarljiva (slika 2b). Tudi pri nadaljnjih stanjih sklepamo enako — vse dokler ne pridemo do nekega stanja |i), pri katerem med dvema upostevanima potencama priblizno obhodimo celotno kroznico. Tedaj namrec upostevane potence niso vec enakomerno razporejene po kroznici, temvec so si blizu, zato se njihovi prispevki ne iznicijo (slika 2c).
V vsakem koraku se premaknemo za i potenc, potenco pa upostevamo na vsakih r korakov. Tako bomo z veliko verjetnostjo izmerili le stanja |i), za katera bo ir cim blize polnega obhoda, torej stevila M ali pa nekega njegovega veckratnika. Ko izmerimo stanje |i), prek razvoja v verizni ulo-mek izracunamo zaporedne priblizke ulomka M ■ Izkaze se [2], da je prvi priblizek, ki se od M razlikuje za manj kot 2Mf, oblike k za neki k, s cimer lahko koncno izracunamo periodo r.
2
9 , ,2-39
u
i5
u
u
9
u
23
u
3
u
Hu63
11-3i
2 63
• u
•u57
251 •.
u
1163
51
221
u
u
15% 10% 5% 0%
|0>
|11>
|21>
|32>
|43>
|53>

Slika 3. Verjetnosti posameznih baznih stanj po uporabi kvantne Fouriereve transformacije na superpoziciji s periodo 6 pri M = 64. Ob vsakem vrhu je poleg ustreznega baznega stanja |^> zapisan tudi ulomek, ki ga dobimo z razvojem stevila M v verizni ulomek.
Iz števila r izračunamo x = ar/2 mod N, iz tega pa D(x — 1,N) in D(x + 1,N). Ce smo našli pravi delitelj števila N, končamo. V primeru neuspeha poskusimo še z nekaj večkratniki dobljenega imenovalca, saj imata lahko k in r skupni delitelj, zato bo dobljeni ulomek okraj san. Ce tudi to ne uspe, poskusimo se s stevili, ki so blizu saj, kot vidimo na sliki 3, obstaja manj sa verjetnost, da smo izmerili stevilo blizu vrha. Ce tudi v tem primeru ne najdemo stevila r, čeloten postopek ponovimo.
Nazadnje poglejmo se, kako kvantno Fourierevo transformacijo učinkovito implementiramo. Kot pri Groverjevem algoritmu bo tudi tu najenostavneje, če vzamemo M oblike 2q in stanja |0), |1),..., |M — 1) izenačimo z vsemi baznimi stanji |x) sistema q kubitov. Stanje |xoXi ••• xq_i) torej predstavlja |x02q_1 + x12q_2 + ■ ■ ■ + xq-1). Poleg tega kvantno Fourierevo transformačijo pri M = 2q označimo s Qq, koren enote e2ni/2q pa z wq.
Poglejmo, kako lahko Qq rekurzivno izrazimo s pomočjo Qq-1 in s tem njeno računanje prevedemo na enostavnej si primer. C e Qq uporabimo na nekem sodem stanju |2k) in v dobljeni vsoti zdruzimo člene, razmaknjene za 2q-1, dobimo
2q — 1
2q — 1
Qq|2k) = ^E <lj) = E j + "f^*"1 )|2q_1 + j). j=0
2q z_/ wq
j=o
Ce |x02q 1 + j) pisemo kot |x0)|j) ter upostevamo, da velja = wq-1 in w?q = 1, lahko vsoto naprej zapisemo kot
2q — 1
E 1 (!°)lj) + l1)lj)) = (7210) + 7211))72^ E 1lj). j=0
2q-1_1
tr Z^
j=0
Zadnji kubit stanja |2k) je enak |0), prvih q — 1 kubitov pa predstavlja |k), zato lahko pisemo |2k) = |k)|0) in tako dobimo Qq(|k)| 0)) = |+)(Qq_1|k)).
Z malce vec truda za liha stanja dobimo (|k)|1)) = |—)(RQq-1|k)), kjer je R rotacija, ki bazno stanje |£) slika v |£). To izvedemo tako, da na j-tem izhodnem kubitu uporabimo fazno rotacijo Rn/2j, ki stanje |0) ohranja,
stanje |1) pa slika v em/2J |1) = w?9 j 111), saj tako za £ = y12q_2 + ■ ■ ■+yq-1
stanje = |yi ■ ■ ■ yq-i) slikamo v u,
Vi2g-
•u,
Vg-l
|yi ••• yq-i) = u
Tako za soda kot za liha stanja torej na prvih q — 1 kubitih uporabimo Qq-1, nato pa v odvisnosti od zadnjega kubita xq-1 uporabimo se rotacijo R ter prvi kubit izhoda y0 nastavimo na |+) oziroma |—). To elegantno storimo z dogovorom, da bomo izhod brali v obratnem vrstnem redu. Tedaj moramo namreč v odvisnosti od zadnjega bita vhoda ustrezno nastaviti zadnji kubit izhoda, kar pa lahko storimo s Hadamardovimi vrati. V tem primeru tudi fazne rotacije izvedemo v obratnem vrstnem redu, zato kvantno Fourierevo transformacijo izvedemo z vezjem:
|xo) |xi)
|Xq—2) |Xq-i)
Za torej poleg vezja za Qq-i potrebujemo Se q dodatnih kvantnih vrat, torej vsega skupaj q(q+i) vrat. Tako je zahtevnost kvantne Fouriereve transformacije enaka O(q2) oziroma O((log N)2). Zahtevnost celotnega Sho-rovega algoritma, ki znasa O((log N)3), pa je posledica računanja potenc in največjih skupnih deliteljev ter se nekaj drugih korakov preverjanja, ki jih tu nismo omenjali.
LITERATURA
[1]	D. Deutsch, Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer, Proc. R. Soc. Lond. 400 (1985), 97-117.
[2]	A. Ekert in R. Jozsa, Quantum computation and Shor's factoring algorithm, Rev. Mod. Phys. 68 (1996) 733-753.
[3]	L. K. Grover, Quantum Mechanics helps in searching for a needle in a haystack, Phys. Rev. Lett. 79 (1997), 325-328.
[4]	P. W. Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum, Computer, SIAM J. Sci. Statist. Comput. 26 (1997), 14841509.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
2
HOMOPOLARNA INDUKCIJA
ROBERT HAUKO
Fakulteta za strojništvo Univerza v Mariboru
PACS: 41.20.Gz
Elektromagnetna indukcija je eno od zahtevnejših poglavij fizike v šolah. Ob bogati aplikativni moci pojava je potrebna še vsaj osnovna teoretična razlaga. V srednji šoli zadoštujeta izraza za magnetno šilo na gibajoči še naboj ter Faradayev indukcijski zakon v obliki spremembe pretoka skozi prevodno zanko. Homopolarna indukcija, pri kateri nastopa homogeno ali osno simetrično magnetno polje, je teoretično zahtevnejša. Osnovni namen članka je seznanitev učiteljev in učencev z nekaterimi primeri homopolarne indukcije in z njenim zgodovinskim ozadjem, ob tem podamo še teoretično razlago. S poznavanjem homopolarne indukcije in homopolarnih naprav, tako v generatorski kakor tudi v motorni izvedbi, lahko pridobijo učitelji dodatno didaktično orodje z veliko demonstracijsko močjo, dijaki in študentje pa poglobijo ze pridobljeno znanje iz elektromagnetizma.
THE HOMOPOLAR INDUCTION
Electromagnetic induction is one of the more complex chapters in physics education. Upon the occurrence of a rich application power, there is at least the need for the basic theoretical explanation. In high school, the expressions for the magnetic force on a moving charge and Faraday's induction law in the form of magnetic flux changes through the conductive loop are sufficient. Homopolar induction, which is the type of induction with homogeneous or axially symmetric magnetic field, is theoretically more difficult. The primary purpose of this article is to acquaint teachers and students with some examples of homopolar induction and its historical background, and at the same time to give a theoretical explanation. By knowing the homopolar induction and homopolar devices, in both generator and in motor form, the teachers will gain an additional teaching tool with great demonstration power, while students will deepen their already acquired knowledge of electromagnetism.
Uvod
Med obodom in osjo kovinskega nemagnetnega diska, vrtečega se med poloma magneta, se inducira električna napetost. Pojav je odkril M. Faraday, ki je na njegovi osnovi izumil prvi elektromagnetni generator in hkrati izpeljal zakon elektromagnetne indukcije. Kljub temu pa so bili nekateri rezultati eksperimenta z vrtečim se diskom v navideznem nasprotju z indukcijskim zakonom spremembe magnetnega pretoka. M. Faraday je poiskal ustrezno razlago, vendar tudi sam z njo ni bil zadovoljen. Poglejmo eksperiment, imenovan tudi Faradayev paradoks, podrobneje.
Homopolarna indukcija Eksperiment
Na skupno os postavimo permanentni cilindrični magnet in nemagnetni kovinski disk tako, da simetrijska os magnetnega polja in geometrijska os diska sovpadata (slika 1). V treh korakih izvedemo Faradayev poskus.
•	Disk vrtimo ob mirujočem magnetu in merimo inducirano napetost med osjo in robom diska. Ob tem izmerimo napetost različno od nič.
•	V naslednjem koraku okoli osi vrtimo magnet, disk naj miruje. Na disku se napetost ne inducira, čeprav se deli magneta gibljejo relativno glede na disk.
•	Magnet in disk pritrdimo skupaj tako, da se obe osi dobro ujemata. Ko ju zavrtimo, med robom in osjo diska izmerimo od nič različno napetost, čeprav se disk in magnet ne gibljeta relativno drug proti drugemu!
Izid poskusa zvečine preseneti tudi bolj izkusene fizike, kako ne bi dijakov oziroma studentov. Tudi veliko učiteljev, ki se s pojavom sreča prvič, izide drugega in tretjega dela poskusa napove napačno.
Slika 1. Predlog naprave za izvedbo Faradayevega poskusa. Magnetno polje je dodatno ojacano s feromagnetnim diskom. Na skupni osi lahko vrtimo samo disk iz aluminija, magnet z Železom ali oboje. Z drsnim kontaktom merimo inducirano napetost med osjo in obodom Al diska [3].
Razlaga eksperimenta
Indučirano napetost med obodom in osjo diska v prvem delu poskusa razlo-zimo s srednjesolskim znanjem fizike. Ko v mislih razdelimo disk na tanke krozne izseke, postane primer zelo podoben običajnemu srednjesolskemu zgledu gibajoče prevodne prečke (slika 2). Tako kot s prečko se tudi z diskom gibljejo nosilči naboja v smeri pravokotno na zunanje magnetno polje. Nanje deluje v poljubni točki magnetna sila, ki vleče elektrone proti robu ali
F
O
m
Slika 2. Na elektrone znotraj vrtečega krožnega izseka deluje magnetna sila v smeri proti obodu diska. Med osjo in obodom diska se inducira napetost.
proti osi, odvisno od smeri polja in od smeri vrtenja diska. Radialno gibanje nosilcev naboja preneha takrat, ko električna sila, ki je posledica nastalega električnega polja zaradi razmaknjenih nabojev, uravnovesi magnetno. Med robom in osjo se pojavi inducirana napetost Ui. Zapisemo jo lahko kot
pri čemer je u kotna hitrost vrtenja diska in magnetni pretok skozi kroZno zanko, ki poteka po obodu diska.
Razlago lahko razsirimo tudi na drugi in tretji del poskusa. Ker imamo opravek s simetričnim magnetnim poljem, vrtenje magneta okrog simetrijske osi ne vpliva na inducirano napetost na disku. Za nastanek napetosti je pomembno le vrtenje prevodnika.
Leta 1831, kmalu po odkritju elektromagnetne indukcije, je M. Faraday izvajal tudi poskus, prikazan na sliki 3.
Cilindrični kovinski magnet visi navpično, potopljen z enim polom v posodo z Živim srebrom, z drugim pa je priključen v zaključeno prevodno zanko z galvanometrom. Ko vrtimo magnet okrog njegove navpične osi, opazimo tok skozi galvanometer. Opisani poskus lahko primerjamo z eksperimentom, ki gaje ze prej, leta 1821, izvedel A. M. Ampere: če nadomestimo galvanometer z virom napetosti, se bo magnet vrtel okrog lastne osi. V tedanjem času tesna povezava med rezultatoma poskusov se ni bila razumljena, saj prinčipa ohranitve energije in njene transformačije iz ene oblike v drugo se nista bila uveljavljena. Faradayevo odkritje je razvnelo razprave fizikov in električnih inzenirjev, ki so vztrajale vse do konča 19. stol. Opisani pojav je leta 1841 W. E. Weber poimenoval unipolarna indukčija, saj je verjel, daje pomemben samo en pol magneta. Pojem je razsiril z namenom, da bi zaobjel čim več pojavov, v katerih se vrti disk ali votel bakren čilinder okoli osi magneta. Pojav so poskušali razloziti z dejstvom, da deli električnega vodnika presekajo magnetne silniče, vendar so te razlage nemudoma porajale
(i)
Zgodovina
Slika 3. Vrtenje prevodnega magneta okrog svoje osi ob zaključeni prevodni zanki inducira električni tok.
novo vprašanje: se skupaj z magnetom vrtijo tudi magnetne silnice, in ce se, ali se napetost inducira tudi tedaj, ko silnice sekajo stacionarni prevodnik?
Faraday sam je verjel, da silnice ob vrtenju magneta ostajajo pri miru, kar ga je privedlo do nasprotja z Amperovo teorijo, po kateri magnetne lastnosti izvirajo iz tokovnih ovojev znotraj molekul v telesu magneta. Torej bi se morale silnice, ce sploh obstajajo, vrteti skupaj z magnetom. V grobem so se fiziki razdelili na tri skupine: prvi so verjeli, da se silnice vrtijo, drugi, da mirujejo, tretji pa so videli v silnicah samo prezentacijo magnetnega polja in zanje vprasanje ni imelo fizikalnega pomena. Izkazalo se je, da si je bilo zelo tezko zamisliti poskus, ki bi nedvoumno odločil, kateri od pogledov je pravilen, in v 19. stol. teorija elektromagnetizma ni bila sposobna uspesno pojasniti teoreticnega ozadja homopolarne indukcije. Sele v 20. stol. s splo-snim sprejetjem Maxwellovih enacb, z Lorentzevo silo na elektron in s teorijo relativnosti je lahko prislo vsaj do konsenza o homopolarni indukciji. Kljub navideznemu konsenzu glede mehanizma homopolarne indukcije pa obcasno indukcija, pri kateri uporabljamo homogeno ali osno simetricno magnetno polje, se zmeraj razburja duhove. Zdi se, da je pri homogenem magnetnem polju s spremembami na sklenjeni tokovni zanki nemogoce ugotoviti gibanje izvira polja. Enako velja tudi za vrtenje izvira okrog simetrijske osi polja
[3].
Faradayev zakon elektromagnetne indukcije
Uvodno predstavljen Faradayev disk se v učbenikih omenja kot zgled, kjer se napoved izida poskusa s Faradayevim zakonom spremembe magnetnega pretoka izkaze za nepopolno in kjer je za izračun indučirane napetosti treba uporabiti izraz za magnetno silo na gibajoči se naboj [6], [1]. V splosnem 3. Maxwellova enačba
V x E = -dB/dt	(2)
in Lorentzeva sila na delec v elektromagnetnem polju
F = eE + ev x B	(3)
ponujata odgovor tudi takrat, ko Faradayev indukcijski zakon o spremembi magnetnega pretoka ne napove pravilno izida poskusa. Ker pa je Faradayev zakon v standardni obliki zelo prirocen in ucinkovit, predvsem pri pouce-vanju fizike v srednji soli, in ker lahko z njim uspesno razlozimo nastanek izmenicne napetosti pri vrtenju tuljave v magnetnem polju, bi se mu bilo skoda odpovedati pri nekaterih bolj zapletenih primerih. V nekaterih novej-sih clankih [4], [5], [2] je pokazano, da lahko Faradayev indukcijski zakon, zapisan v spremenjeni obliki
dû f dû \ f dû \ Ui = -* = -{« ),=0 -{m)= Utrans + U- (4)
obravnavamo kot ekvivalent enacbama (2) in (3). Zapisana oblika napetosti (4) se nanasa na dva pojava. Prvi clen,
f f dB
Utrans = - J JA~dB • dA	(5)
imenovan transformacijska napetost, se nanasa na primer, ko zanka miruje in predstavlja integracijo po ploskovnem vektorju dA znotraj zanke. Faraday jo je imenoval potencial-elektricna indukcija. Ustreza Maxwellovi enacbi za rotor elektricnega polja. Drugi clen,
Ugib =
v x B
• dL,	(6)
imenovan gibalna napetost, predstavlja integracijo po kroznem loku dL oboda zanke. Je posledica gibanja prevodnika in odslikava brezizvornost magnetnega polja. Iz gibalne napetosti lahko dobimo tudi Lorentzevo silo na naboj, ki se giblje skupaj z zanko. Faraday je to napetost imenoval magneto-elektricna indukcija.
Pri uporabi Faradayevega zakona spremembe magnetnega pretoka naletimo pogosto se na konceptualno tezavo - kako definirati zanko, skozi katero moramo opazovati spremembo pretoka? Za primer homogenega magnetnega polja sledi iz gibalne napetosti (6) tudi ustrezna definicija spremembe plo-scine zanke:
fs £-dL- <7>
Taka definicija Ag ni enoznacna in fizikalni pomen ima samo sprememba povrsine dAg, pri cemer predstavlja v± komponento hitrosti, ki je pravokotna na delcke gibajocega prevodnika, z indeksom g pa poudarimo, da se
L
Slika 4. Do pravilnega rezultata lahko pridemo tako iz enačbe (6) za izračun gibalne inducirane napetosti kakor tudi z uporabo pravilne definicije ploščine zanke, skozi katero se spreminja magnetni pretok. Na levi sliki sestavljata zanko poleg treh stranic pravokotnika še radialna stranica OA in krozni lok AC, na desni sliki postane zanka pravokotna.
Slika 5. Za nastanek inducirane napetosti na tokovni zanki je pomembno le relativno gibanje med tuljavo in magnetom.
ta nanasa na gibajoči se naboj. Pri računanju inducirane napetosti je torej treba uporabiti področje, ki navidezno nastaja z gibanjem točk prevodnika.
V	nasprotnem primeru Faradayev zakon ne napove pravilno izida poskusa.
V	primeru, ko Faradayevega zakona indukcije ne uporabimo na zanki, ampak na razseznem telesu, kot je recimo Faradayev disk, mora pot integracije kazati gibanje prevodnika, ki zakljucuje zanko in se lahko giblje relativno glede na druge odseke zanke (slika 4).
Definiciji transformacijske in gibalne napetosti sta vezani na izbiro koordinatnega sistema. Poglejmo pogost srednjesolski zgled relativnega gibanja med tuljavico in magnetom (slika 5). V koordinatnem sistemu mirujocega magneta se inducira gibalna napetost na tuljavi, v koordinatnem sistemu mirujoce tuljave pa se njuno relativno gibanje kaze kot transformacijska napetost zaradi spreminjanja gostote magnetnega polja na mestu tuljave.
Opisani relativizem je prirocen v primerih, kadar nimamo opravka s homogenim ali osno simetricnim magnetnim poljem. Pri homopolarni indukciji pa je treba relativizem razsiriti na tri telesa: poleg magneta in diska se pojavi se del tokovne zanke, s katero zakljucimo elektricni krog - voltmeter. Problem relativnega gibanja med prevodnikom in magnetom se prevede na relativno gibanje vseh treh teles, zaradi cesar sele medsebojno relativno gibanje posameznih delov tokovne zanke, omogoceno z drsnimi kontakti, povzroci nastanek inducirane napetosti.
Slika 6. Dve zaključeni zanki v magnetnem polju. Kljub preklapljanju stikala S, pri čemer se spreminja ploSčina zanke, se v njej ne inducira električna napetost.
Primeri
Poglejmo se nekaj zgledov. Obravnavajmo zanko, ki je prikazana na sliki 6. Stikalo S skrbi za to, da lahko zaključimo zanko s ploščino A1 ali Ai + A2. Pri preklopu stikala se prevodnik ne giblje občutno. Kljub temu da se pri preklopu magnetni pretok skozi zanko znatno spremeni, pa se napetost ne inducira. Ker sprememba ni povezana z gibanjem prevodnika in je magnetno polje stacionarno, se ne inducira niti gibalna niti transformacijska napetost. Enačba (4) tako pravilno napove rezultat poskusa, ceprav lahko sprememba ploscine marsikoga zavede.
Delovanje generatorja napetosti pogosto razlozimo s spremembo orientacije zanke glede na magnetno polje. Slika 7 kaze dve postavitvi, ki prikazujeta identicno spremembo orientacije zank, pa je kljub temu inducirana napetost razlicna. V prvem primeru trden okvir prevodnika lezi najprej v horizontalni ravnini A1 magnetnega polja. Ko spremenimo njegovo orientacijo v navpicno lego A2, se v zanki inducira napetost. V drugem primeru obravnavamo stekleno cevko, zakljuceno v dve zanki pod pravim kotom v horizontalnem magnetnem polju, kot je prikazano na sliki 7b. Tok prevodne tekocine iz horizontalne cevke v vertikalno povzroci spremembo v orientaciji zanke, toda inducirane napetosti ni. Do razlike v obeh primerih pride zaradi razlicnih smeri hitrosti nosilcev naboja. V prvem primeru imajo elektroni v spodnji precki smer hitrosti, ki je pravokotna tako na magnetno polje kakor tudi na precko, tako da se med njenima koncema inducira napetost. V drugem primeru se nosilci naboja gibljejo samo vzdolz posameznih odsekov vodnika, zato se na posameznih odsekih ne inducira napetost.
Naslednji primer velja poleg Faradayevega diska za najbolj demonstrativen zgled krsitve Faradayevega zakona. Sestavimo zanko iz prevodnika, ki se zakljuci s parom proznih scipalk, in jo damo okrog magneta, kot kaze slika 8a. Zanko lahko potegnemo z jedra magneta. Pri tem se scipalki stikata ob magnet in jedro magneta postane del zanke. Faradayev zakon v standardni obliki napove inducirano napetost, saj se zmanjsa magnetni pretok skozi zanko. Napoved se izkaze za napacno, saj ne zaznamo inducirane napetosti. Faradayev zakon v obliki (4) je spet uspesnejsi v napovedi izida poskusa.
Slika 7. Navidezno identični postavitvi in spremembi usmerjenosti zank zaradi različnega gibanja nosilcev naboja pripeljeta do različnih učinkov. V primeru a) imajo elektroni med spremembo orientacije kovinskega okvirja tudi komponento hitrosti, pravokotno na magnetno polje in na smer okvirja, inducira se napetost. V primeru b) je gibanje toka prevodne tekočine omejeno na notranjost statičnega okvirja, zato ni indučirane napetosti.
s v*	s
I-
a)	b)
Slika 8. Pri demonstraciji uporabimo prevodno zanko, ki jo na mestu lahko razklenemo. Zanka naj na zacetku objema jedro magneta, tako da je magnetni pretok skoznjo vecji od nic. Zanko potem izvlecemo iz magnetnega polja. To lahko naredimo tako, da se z mestom, kjer je spoj, dotaknemo jedra, potem spoj razklenemo in zici drsita po jedru, na drugi strani pa ju ponovno sklenemo (zgled a). Pretok skozi zanko je zdaj enak nic. Kljub temu se na zanki napetost ne inducira. Drugace je, ce zanko izvlecemo skozi rezo v jedru, ne da bi jo razklenili (b).
Ker se magnetno polje ne spreminja s časom in je ujeto v jedru magneta, se nosilci naboja ne gibljejo skozi magnetno polje. Tudi segment magneta, ki zaključuje zanko, miruje glede na preostali del magneta. Ce pa izvlečemo zanko iz magneta skozi rezo, nastane inducirana gibalna napetost, kar smo tudi pričakovali. Poskus ponuja veliko moznosti za diskusijo z dijaki in studenti.
Gibajoči se okvir v obliki U iz prevodnika naj drsi po prevodni plosci, kot je prikazano na sliki 9. Ceprav se magnetni pretok skozi zanko ne spreminja, pride do inducirane napetosti. Ker se spodnji del zaključene zanke ne giblje (odprta zanka), dobimo pri računanju gibalne inducirane napetosti samo prispevek od zgornje prečke (le nanjo deluje magnetna sila). Ploskev Ag, skozi katero moramo opazovati pretok, pa lezi vzporedno s prevodno plosco na visini zgornje prečke. To je namreč tista ploskev, ki ustrezno odslikava
Slika 9. Opazovanje spremembe magnetnega pretoka skozi napačno zanko ne napove pravilno izida poskusa. Električni krog je sklenjen z gibljivim okvirjem in statično prevodno podlago. Na zgornji prečki se inducira napetost.
gibanje tock prevodnika. Uporaba prevodnega okvirja U za rob ploskve Ag bi v tem primeru dala napačno napoved inducirane napetosti. Ce pa bi bil tudi spodnji del zanke gibljiv in bi bila zanka tako zaprta, v njenem celotnem okvirju ne bi dobili inducirane napetosti.
Sklep
Ker smo začeli s poskusom, katerega rezultati se kazejo kot paradoks, nave-dimo za konec samo Feynmanovo misel [1, str. 17-5]:
Paradoks je situacija, ko dobimo en izid poskusa v primeru, ce ga analiziramo na prvi nacin, ter drugega ob drugačni analizi. Tako ostanemo včasih celo v negotovosti glede izida poskusa. Seveda v fiziki ni resnicnih paradoksov, saj je vedno samo en pravilen odgovor; navsezadnje verjamemo, da deluje narava samo na doloceni nacin (in ta je seveda naravno pravilen). Tako se v fiziki paradoks nanaša samo na negotovost glede nasega razumevanja pojava.
LITERATURA
[1]	R. Feynman, R. B. Leighton in M. Sands, Lectures on Physics, Vol. 2, pp. 17-1-17-1-3, Addison-Wesley, Reading, MA (1989).
[2]	I. Galili, D. Kaplan in Y. Lehavi, Teaching Faraday's law of electromagnetic induction in an introductory physics course, Am. J. Phys. 74, 337-343 (2006).
[3]	R. Hauko, Homopolarna indukcija in njen relativistični koncept, magistrsko delo, Fakulteta za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani (2010).
[4]	H. Montgomery, Unipolar induction: a neglected topic in the teaching of electroma-gnetism, Eur. J. Phys. 20, 271-280 (1999).
[5]	F. Munley, Challenges to Faraday's law rule, Am. J. Phys. 72, 1478-1483 (2004).
[6]	J. Strnad, Fizika, 2. del, 5. natis, 375-385, DMFA - zaloZnistvo, Ljubljana (1995).
NOVE KNJIGE
Michael M. Albert, Richard J. Nowakowski in David Wolfe, Lessons in Play, An Introduction to Combinatorial Game Theory, A K Peters, Wellesley, 2007, 288 strani.
Knjiga obravnava kombinatoricne igre, v katerih dva igralca izmenično vlečeta poteze brez uporabe kocke, kart ali drugih »slučajnih pripomočkov«, in kjer imata igralca popolno informacijo o trenutnem stanju igre. Primeri takih iger so križci in krogci, dama in šah. V t. i. normalni igri zmaga igralec, ki je naredil zadnjo potezo. Igralec, ki je na potezi, se v kombina-toricni teoriji iger imenuje naslednji (N - next), igralec, ki je bil na potezi pred njim, pa predhodni (P - previous). Ce imata igralca na voljo razlicne nabore potez, potem se eden imenuje levi (L - left), drugi pa desni (R -right). Tako lahko npr. v igri dominiranje Levi postavlja domine na sa-hovnico samo vodoravno, Desni pa samo navpicno (glej primer take igre na sliki 1).

Slika 1. Primer poteka igre »Dominiranje«.
Do Sprague-Grundyjeve teorije (okrog 1930), ki je postavila matematične temelje sploSnejSemu Študiju iger, so matematiki analizirali le posamezne, zelo preproste igre. Matematiki so dolgo studirali predvsem taksne igre, ki jih srečamo v ekonomiji in biologiji. Izid dveh temeljnih del v 70-ih (Conway, On Numbers and Games) in (Berlekamp, Conway, Guy, Winning Ways for your Mathematical Plays) je prinesel popolno in globoko teorijo, uporabno za analizo nestetih kombinatoričnih iger. Od takrat je bilo organiziranih več konferenc posebej o kombinatoričnih igrah, in teorija se je se močno razvila.
Cilj te knjige, ki je dostopna vsakemu studentu s poznavanjem osnov algebre in diskretne matematike, je manj ambičiozen; zeli biti vodnik k ra-
zumevanju evaluacijske sheme za t. i. končne normalne igre z dvema igralcema. Lahko razumljivo in dobro motivirano razlago teorije dopolnjujejo aplikacije ter Številni problemi in slike ter naloge z reSitvami. Za razumevanje igre ni dovolj le poznati njena pravila; bolje je, če nekaj iger odigramo sami, najbolje pa jih je igrati z nasprotnikom.
Razlagi osnovnih definicij in problemov kombinatorične teorije iger sledi razlaga osnovnih strategij igranja iger (npr. »pozresna« strategija, uporaba simetrije, upostevanje parnosti, zavlačevanje in zapletanje polozaja v sicer izgubljeni poziciji, kraja strategije, itd.).
Eden od temeljev teorije kombinatoričnih iger je klasifikacija vseh pozicij, ki lahko nastopijo v dani igri, v stiri razrede izidov: N, P, R, L, glede na to, ali v dani poziciji ob optimalni igri zmaga tisti, ki je na potezi naslednji, predhodni, levi, ali desni. V splosnem t. i. leve opcije GL (mozne poteze za levega igralca) in desne opcije GR (mozne poteze za desnega igralca) niso nujno enake. Igro, ki jo lahko definiramo rekurzivno kot mnozico levih in desnih opcij, kar simbolicno zapisemo takole: G = {GL|GR}, lahko predstavimo tudi z ustreznim drevesom močnih potez.
Ce ima to drevo globino n, pravimo, da je igra G rojena na dan n. V knjigi je podrobno obravnavana teorija nepristranskih iger (kjer je GL = Gr), medtem ko je novejša teorija pristranskih iger (kjer je GL = GR) prikazana z analizo tipičnega primera (angl. case study) neke izpeljanke (Partizan Endnim) znane igre nim. Avtorji lepo razlozijo, kako igram (in njihovim pozicijam) priredimo njihova imena oziroma njihove številske vrednosti, kar nam pomaga pri analizi pozicij in izbiri zmagovalnih potez. Najpreprostejše igre imajo celoštevilske vrednosti 0 = { | }, 1 = {0| }, —1 = { |0}, nekatere pa so oznacene tudi z drugimi simboli, npr. * = {0|0}, f= {0|*}, X= {*|0}. Obstajajo pa tudi igre z vrednostmi Jn, kjer je a lahko tudi negativno stevilo.
Kljucen preboj v raziskovanju iger je bilo Conwayevo odkritje, da je
Lessons in Play, An Introduction to Combinatorial Game Theory
igre mogoce seštevati (pozicije mnogih iger namrec pogosto »razpadejo« na manjše igre) in da za to seštevanje zadoščajo aksiomom grupe ter da jih je mogoce tudi primerjati med seboj z relacijami delne urejenosti >, <, >, <. Dejansko igre rojene na dan n tvorijo celo distributivno mrezo (za vsaki dve igri G in H obstaja njuna najmanjša zgornja meja G V H ter njuna največja, spodnja meja G AH). Conway je celotno teorijo kombinatoricnih iger strnil v pet aksiomov, ki povedo, kaj je igra, kaj je vsota dveh iger, kaj je nasprotna igra, kdaj sta dve igri enaki in kdaj da levi igralec eni igri prednost pred drugo. Nasprotna igra od G = {GL|GR} je G = {—GR| — GL}, kjer negacija mnozice obrne predznak vsakega elementa mnozice.
Popolna resitev igre (npr. v smislu zmagovite strategije, ki v vsaki te-oreticno dobljeni poziciji dejansko najde zmagovalno potezo) je ponavadi tezka, zato so praviloma predstavljene le resitve posameznih njenih pozicij. Avtorji bralca spodbujajo, naj med prebiranjem posameznih poglavij tudi sam poskusi iznajti in resiti svoje lastne igre. Ena kljucnih idej kombinato-ricne teorije iger je: vsaki igri prirediti njeno vrednost; ko ugotavljamo, kdo zmaga in kaksna bi lahko bila zmagovalna strategija, je dovolj upostevati te vrednosti (torej lahko na same igre pozabimo in operiramo le s stevili). Vsako poglavje se zacne z nekaj problemi za ogrevanje studentov, pa tudi z nekaj nasveti njihovim uciteljem, kako lahko smiselno dopolnijo vsebino posameznih poglavij. V vsakem poglavju je veliko vaj, namenjenih krepitvi in preverjanju razumevanja ze obravnavanih vsebin.
Posebni poglavji sta posveceni v zadnjem casu intenzivno raziskovanim vročim igram, (angl. hot games), kot sta npr. go in amazons, v katerih je prednost prve poteze velika, ter povsem-majhnim igram (angl. all-small games), ki imajo lastnost, da imata v vseh pozicijah bodisi oba igralca na voljo kaksno potezo bodisi je nima nobeden. Knjigo lepo zaokrozi poglavje, ki presega tematiko uvodnega ucbenika in obravnava trenutno najbolj intenzivno preucevane smeri razvoja teorije kombinatoricnih iger, npr. transfinitne igre, pa igre z zankami (angl. loopy games), v katerih se dolocene pozicije lahko ponovijo. V prvem dodatku je predstavljena t. i. indukcija od zgoraj navzdol (angl. top-down induction) ali, kot ji pravijo logiki, e-indukcija, primerna za indukcijo po drevesih, pa tudi za analizo kombinatoricnih iger, saj nam v dolocenih primerih sploh ni treba posebej preveriti osnovnih primerov (t. i. »bazni indukcijski korak« je trivialno izpolnjen). Drugi dodatek predstavlja kratek uvod v prosto dostopni program CGSuite (za instalacijo obiscite www.cgsuite.org in sledite navodilom), mocno programsko orodje, ki omo-goca izvajanje razlicnih algebraicnih manipulacij na igrah. To orodje je za teoretike kombinatoricnih iger enako pomembno kot Maple ali Mathematica za matematike ali fizike. Program pomaga pri razvijanju intuicije o igrah, z njim lahko preverjamo resitve nalog, ki smo jih naredili s svincnikom in papirjem, razvijamo hipoteze, izvajamo zapletene racune, itd. Vendar se nam vse te cudovite moznosti odpro sele potem, ko prestudiramo vsaj prvo polovico knjige, in ko ze razumemo notacijo oziroma pripisovanje vrednosti
posameznim igram. Tretji dodatek vsebuje rešitve nalog. V zadnjem dodatku so definirana pravila 35 v knjigi obravnavanih kombinatoricnih iger, razvrščenih po abecedi.
Knjiga, ki s svojimi številnimi primeri in slikami ter postopnostjo razlage pomaga osvojiti osnovne pojme in koncepte tega sicer zahtevnega področja v razmeroma kratkem casu, bo vsakega kombinatoriki naklonjenega bralca, ki tega podrocja se ne pozna, zagotovo navdusila za kombinatoricne igre. Avtorji, ki navajajo bogat izbor referencne literature, posebej priporocajo za nadaljnji studij poleg ze omenjenih Conwayevih knjig tudi zbornike s konferenc o kombinatoricnih igrah, ki so jih uredili Guy (1991), Nowako-wski (1996, 2002) in Nowakowski in Fleischer (2004). Knjiga bo vsec tudi uciteljem matematike in vodjem matematicnih krozkov, ki zelijo matematiko priblizati mladim. Tudi marsikateri dijak in student bi v njej lahko nasel navdih za raziskovalni projekt (analiza znanih ali izumljanje in igranje novih iger), morda pa tudi programerski izziv ali idejo za pisanje prvega clanka.
Jurij Kovic
VESTI
OBZORNIKOVIH ŠESTDESET LETNIKOV
Obzornik za matematiko in fiziko je pričel izhajati leta 1951 kot glasilo Društva matematikov in fizikov. V začetku so ga urejali Anton Moljk (ki je hkrati vodil sekcijo za tisk pri druStvu), Ivan KuSčer, Albin Zabkar ter Ivan Štalec kot odgovorni urednik in hkrati vodja uprave časopisa (le drugo stevilko prvega letnika je uredil Stanko Tos). Štalec je bil do leta 1960 tudi tehnični urednik. Poleg navdusenja in prizadevnosti urednikov je v prvem letu izdajanje časopisa omogočila izdatna subvenčija Sveta vlade LR Slovenije za prosveto in kulturo.
Naročnina je sprva znasala 120 din, a seje ze naslednje leto zvisala na 250 din. Natančnih podatkov o začetni nakladi sičer nimamo, je pa zanimivo, da so se uredniki Obzornika ob konču prvega leta pohvalili s skoraj 1000 prijavami ze od prve stevilke dalje, kar se zdi skoraj neverjetno. To hkrati pomeni, da je vpliv časopisa takrat skoraj desetkratno presegel stevilčno moč samega članstva (koneč leta 1951 očenjeno na 100) in je bila njegova ustanovitev torej zadetek v polno. Naklada časopisa je potem počasi rasla in do leta 1977 dosegla stevilko 1500. Največja je bila koneč osemdesetih let 20. stoletja, ko se je povzpela do maksimuma 1650 leta 1989, nato je spet padla in znasa danes 1250 enot.
Kaksna je bila začetna usmeritev novega časopisa? V uvodniku prve stevilke z naslovom Zaceli smo so nastete programske točke urednistva: Obzornik bo prinašal strokovne članke iz matematike in fizike, novice iz teh strok po svetu, navodila za fizikalne poskuse, opise novih instrumentov, novice iz
Slika 1. Naslovnica prve številke Obzornika iz leta 1951.
naših šol, razprave o učnih načrtih, učilih in naših knjigah, razgovore o strokovnem jeziku, utrinke (z opozorili na napake). Na koncu tega sestavka bo bralec lažje ocenil, koliko in kako so se te smernice uresničevale v naslednjih desetletjih.
Najprej se posvetimo formalnim podatkom o casopisu, njegovi zunanji podobi in problemom urejanja. Potem pa si bomo na kratko ogledali tudi nekatere njegove vsebinske posebnosti.
Pregled urejanja Obzornika po formalni in tehnični plati
Prav kmalu so se pri urejanju pojavile tehnicne in financne težave. Izvirale so iz težkega matematicnega stavka, obremenjenega s formulami in posebnimi znaki, kar je v klasicnem tiskarskem procesu vedno zahtevalo izurjenega in potrpezljivega stavca. Tiskarski stroski so bili zato zelo veliki in pogosto je uprava casopisa morala iskati dodatno subvencijo. Leta 1954 je Obzornik zacasno prenehal izhajati, ker je moral zamenjati tiskarno (namesto Tiskarne Toneta Tomšiča je po letu 1955 casopis tiskala Tiskarna Ljudske pravice). Pomanjkanje financnih sredstev je povzrocilo ponoven presledek v izhajanju v letih 1958 in 1959. Skupaj je tako izpadlo za tri leta besedila, kar je tudi razlog, da se je 60. letnik koncal sele triinsestdeset let po izidu prve stevilke. Tudi kasneje so bile kljub postopnemu zvisanju narocnine se vedno financne tezave, a je Obzornik potem redno izhajal s stirimi in od leta 1973 dalje s sestimi stevilkami na leto (z izjemo leta 1981, ko je izslo le pet stevilk na 160 straneh, in leta 1987, ko je bilo natisnjenih sedem stevilk na
224 straneh). To je pomenilo skupaj 192 tiskanih strani besedila na leto; za vsebino pa sta bili redno izkorisčeni tudi notranja in zunanja stran platnic na koncu vsake stevilke. V sedemdesetih in osemdesetih letih je bil obseg Časopisa kljub sestim stevilkam nekajkrat povečan (224 strani v letih 1975, 1977 in 1987 ter 312 strani leta 1978 in 208 strani leta 1982). Od leta 2007 dalje ima posamezna stevilka okrog 40 strani, z občasnimi odstopanji, tako da znasa letni obseg casopisa povprecno 240 strani.
Obdobje	Tiskarna
1951-1954	Toneta Tomšiča
1955-1989	Ljudske pravice
1990-2004	Kurir
2005-2008	Razvedrilo
2009-2014	Collegium graphicum
Tabela 1
Tiskarne so se v sestih desetletjih potem se nekajkrat zamenjale (glej tabelo 1), kar pa najbrz ni bistveno vplivalo na kvaliteto tiska, ki se je postopoma večala hkrati z novimi tehnologijami v izdelavi papirja in z napredkom grafične tehnike. Lahko rečemo, da so se uredniki tehničnih tezav dokoncno resili sele v devetdesetih letih 20. stoletja s pojavom moderne računalniske programske opreme, ki omogoča preprosto stavljenje in oblikovanje besedil in slik za tisk. Finančne tezave pa so ostale in so se vsakih nekaj let ponovno zaostrile. Poleg tega je bila občasno skrb urednikov tudi pomanjkanje (primernih) člankov, tako iz fizike kot iz matematike.
Ivan Staleč je uredil prvih sest letnikov Obzornika. Leta 1960 ga je na mestu odgovornega in tehničnega urednika zamenjal Franč Kvaternik, ki je ostal na tem mestu vse do leta 1974. Sledil mu je Janez Strnad z najdaljsim obdobjem (16 let s kratko prekinitvijo leta 1984, ko je dolznost za eno leto prevzel Gabrijel Tomsič) odgovornega urednikovanja, vse do leta 1990. Z njim seje končalo tridesetletno obdobje fizikov; odtlej so naloge odgovornega urednika opravljali sami matematiki: Milan Hladnik, Boris Lavrič, Roman Drnovsek, Peter Semrl in Saso Strle (glej tabelo 2).
Se v Stalčevi dobi so se postopoma v delo urednistva vključili tudi Ivan Vidav, Niko Prijatelj in Anton Kuhelj, kasneje pa tudi stevilni drugi (preveč jih je, da bi vse nasteli). Nekateri so ze kmalu prenehali sodelovati, zato pa so se pojavljali novi in novi sodelavči. Spet drugi so svojo dolznost opravljali dolga leta, pri čemer so včasih nastopali v različnih vlogah. Stevilo članov uredniskega odbora se je v začetku, do sredine 60-tih let 20. stoletja povečevalo, nato se je zmanjsalo, od sredine 70-tih let naprej je spet raslo do leta 1983, ko je bilo 16 članov. Od leta 1984 do 1992 je bil uredniski odbor spet manjsi, vendar pa je imel poleg delovnih članov tudi osem zunanjih
Obdobje	Odgovorni urednik
1951-1959	Ivan Staleč
1960-1973	Franč Kvaternik
1974-1983	Janez Strnad
1984	Gabrijel Tomsič
1985-1990	Janez Strnad
1991-1992	Milan Hladnik
1993-2000	Boris Lavrič
2001-2005	Roman Drnovsek
2006-2007	Peter Semrl
2008-2014	Saso Strle
Tabela 2
svetovalcev.
Medtem je leta 1970 nastala Komisija za tisk, ki je odtlej sistematično skrbela ne samo za Obzornik, ampak za vse tiskane izdaje drustva, matematičnega in fizikalnega oddelka na fakulteti ter Inštituta za matematiko, fiziko in mehaniko. Komisija je imela svojega vodjo oziroma predsednika, ki je bil glavni urednik vseh izdaj, med drugim tudi Obzornika. Ta funkcija je ostala v veljavi do danes (tudi po letu 1997, ko je iz Komisije nastalo samostojno drustvo DMFA - zalošništvo).
Leta 1974 so bili imenovani posebni uredniki za matematiko in posebni za fiziko (prej to ni bilo strogo ločeno). Ta ločitev se je izkazala za koristno in se je ohranila do danes. Kdo vse in kdaj je urejal matematični del in kdo fizikalni del Obzornika, je razvidno iz tabel 3 in 4.
Za bogato in razvejeno izdajateljsko dejavnost Komisije za tisk je ob pomoči glavnega urednika, različnih odborov in urednikov v resniči skrbel Ciril Velkovrh. Pri Obzorniku je (tako kot pri drugih publikačijah) uvedel redne jezikovne preglede vseh besedil in branje korektur. Zanimivo je, da sta od takrat pa do danes vse jezikovno delo opravila samo dva lektorja: Marija Janezič od 1974 do 1993 in Janez Juvan od 1994 do 2014. Korekture člankov in drugih prispevkov pa so običajno (poleg urednikov) opravljali mlajsi sodelavči, v glavnem asistenti na fakulteti.
Ciril Velkovrh je deloval pri Obzorniku skoraj dvajset let, od 1974 do 1992. Nase je prevzel glavno breme tehnične priprave vsake nove stevilke Obzornika, izbire besednega in slikovnega gradiva, dodatnih tekstov, preloma strani, koordinačije med avtorji, uredniki, rečenzenti, lektorji in korektorji, risarji, računalniskimi oblikovalči in drugimi sodelavči. Sestavljal je avtorske pogodbe, pogovarjal se je s tiskarji, delal finančne konstrukčije
Obdobje	Urednik za matematiko
1974-1983	Anton Suhadolč
1984	Joze Vrabeč
1985-1986	Matjaz Omladič
1987-1992	Milan Hladnik
1993-2000	Boris Lavrič
2001-2005	Roman Drnovsek
2006-2007	Peter Semrl
2008-2014	Saso Strle
Tabela 3
Obdobje	Urednik za fiziko
1974-1992	Janez Strnad
1993-1999	Martin Copič
2000-2004	Marko Zgonik
2005-2008	Irena Drevensek Olenik
2009-2014	Ales Mohorič
Tabela 4
in kot dejanski operativni vodja Komisije za tisk skrbel sploh za vse nujne uredniške posle, razen strogo strokovnih (matematičnih oziroma fizikalnih) vsebin samih člankov. Njegovo delo je močno presegalo zgolj tehnično urejanje časopisa, zato je bil zanj povsem primeren splosen (in preprost) naziv: urednik. Od leta 1993 do 2000 je funkčijo urednika opravljal Bostjan Jaklič, zatem so v bistvu isto delo spet pod nazivom tehnični urednik opravljali Marjan Jerman, Vladimir Bensa in Matjaz Zaversnik (glej tabele 5, 6, 7).
K tehničnemu urejanju časopisa spada tudi risanje slik. Danes to najbrz ni tak problem, saj večina avtorjev dobro obvlada ta ali oni računalniski program, ki omogoča risanje in vstavljanje slik, tabel, grafikonov, predstavljanje matematičnih krivulj, ploskev in drugih objektov ipd. Avtorji v glavnem sami narisejo slike in pripravijo vse potrebno za dokončno opremo članka.
Ko smo ze pri opremi časopisa, se za hip ustavimo se pri naslovničah. Posamezne stevilke prvih treh letnikov (1951-1953) so nosile značilno pikčasto interferenčno podobo (glej sliko 1), v naslednjih sestih letnikih (1955/561962) je bila oblika geometrijska (velik trikotnik s tanjso krivuljo). Od leta 1963 do 1967 se je naslovniča ponasala s črno mrezasto strukturo na te-
Obdobje	Tehnični urednik, urednik 1978-2000
1951-1959	Ivan Stalec
1960-1973	Franc Kvaternik
1974-1992	Ciril Velkovrh
1993-2000	Bostjan Jaklic
2001-2004	Marjan Jerman
2005-2010	Vladimir Bensa
2011-2014	Matjaz Zaversnik
Tabela 5	
Obdobje	Rač. stavljenje (oblikovanje)
1989-2004	Martin Žemljic
2005-2006	Monika Testen
2007-2010	-
2011-2014	Tadeja Sekoranja
Tabela 6
mno rdeci podlagi. Sledilo je bolj asketsko obdobje 1968-1977 z enobarvno podlago. Do 1969 je bila ob levi strani navpicna crna crta, ki pa je potem izginila, le barva podlage se je menjevala, od bledo modre do bledo rumenkaste in nazaj. Leta 1978 so se na naslovnicah pojavile slike in fotografije (fizikalnih eksperimentov, pomembnih znanstvenikov, geometrijskih konstrukcij itd.).
Te slike so bile v zvezi z vodilnim clankom ali drugim pomembnim prispevkom v posamezni stevilki. Urednik Boris Lavric pa je leta 1996 uvedel novost, da je naslovnico opremil z reprodukcijo starejsega ali modernega likovnega dela bolj ali manj znanega umetnika. Ta noviteta sicer ni imela neposredne povezave z vsebino dane stevilke (oziroma je bilo treba to povezavo dojeti bolj abstraktno), je pa pomenila zanimivo osvezitev. Po letu 2000 se je opremljanje naslovnic s slikami vrnilo v stare okvire in tako ostalo do danes (glej sliko 2).
Po osamosvojitvi Slovenije, od leta 1993 dalje, je poleg glavnega urednika vseh izdaj Komisije za tisk kot formalnega sefa, Obzornik dejansko urejalo sest urednikov: odgovorni urednik, urednik za matematiko, urednik za fiziko, (tehnicni) urednik, jezikovni lektor in racunalniski oblikovalec.
Obdobje	Risanje slik
1975-1979	Berto Zitko, Miro Lozej, Marjan Turk
1980-1992	Miha Staleč
1993-2014	Avtorji ali občasni sodelavči
Tabela 7
Leto	Naslov
1968	Stvarno kazalo za letnike od I do XV (za obdobje 1951-1968)
1984	Stvarno in abečedno avtorsko kazalo za letnike 16 (1969) - 30 (1983)
2004	Stvarno in abečedno avtorsko kazalo za letnike 31 (1984) - 50 (2003)
Tabela 8
Vseh oseb, ki so posredno ali neposredno, tako ali drugače sodelovale pri urejanju (posameznih rubrik) Obzornika, pri njegovem lektoriranju ali izdajanju, se je v sestih desetletjih nabralo več kot 50, če pri tem ne stejemo zunanjih svetovalcev in občasnih dodatnih pomočnikov, risarjev slik, tipka-rič, delavčev v tiskarnah, distributerjev, poverjenikov po solah itd. Vsem omenjenim, zlasti pa neposrednim urednikom, velja vse priznanje za vztrajanje v zahtevnem poslanstvu sirjenja slovenske matematične in fizikalne besede.
Kratek pregled vsebine dosedanjih šestdeset letnikov
Bolj kot zunanja, oblikovna plat in problemi formalnega in tehničnega urejanja je seveda pomembna vsebina Obzornika. Prvi vtis o njej lahko pridobimo iz objavljenih stvarnih in avtorskih kazal. Doslej so izsla trikrat (glej tabelo 8), za zadnjih deset let pa je kazalo se v pripravi. Za podrobnejso analizo moramo seveda vzeti v roke posamezne stevilke.
Kot rečeno, je bil Obzornik ze od začetka razdeljen na rubrike, ki so se z leti seveda malče spreminjale in dodajale, kaksna pa je tudi zamrla. Glavi del vsake stevilke so bili ves čas strokovni članki iz matematike, fizike (tudi geofizike in tehnike) ter astronomije, redkeje (v zadnjih tridesetih letih) iz računalnistva. V prvi poloviči, nekje do leta 1983, je po stevilu strokovnih
Slika 2. Nekatere naslovnice Obzornika iz minulih obdobij.
prispevkov prevladovala fizika, kasneje pa matematika. Astronomije je bilo vedno bolj malo.
Iz matematike je bilo v prvem obdobju največ člankov iz klasičnih področij, kot so analiza, algebra s teorijo stevil in geometrija s topologijo, skoraj za tretjino manj iz verjetnosti, diskretne matematike, numerične matematike in računalnistva. Do danes se je to razmerje priblizno uravnovesilo. V zadnjih desetih letih opazamo nekoliko daljse matematične članke kot prej. Nasploh so članki zelo raznovrstni; le nekaj je res originalnih razprav, v glavnem pa so objavljeni prispevki informativni, pač v skladu z zasnovo Obzornika, ki »hoče zbuditi zanimanje ter dvigniti raven matematične in fizikalne izobrazbe pri nas« [3]. Med njihovimi avtorji so bili vseskozi ste-vilčno najbolje zastopani univerzitetni profesorji, vse do leta 2003 najbolj Ivan Vidav, ki so mu v začetku sledili zlasti Alojz Vadnal, Franče Kriza-nič, Anton Suhadolč, Zvonimir Bohte, Josip Grasselli, Niko Prijatelj, Joze Vrabeč in Rajko Jamnik, kasneje pa tudi mlajsi: Joze Andrej Cibej, Boris Lavrič, Milan Hladnik, Borut Zalar, Matija Lokar, Miran Cerne in Janez Zerovnik, če naj nastejem samo tiste z več kot petimi objavljenimi članki v posameznem obdobju, ki ga zajema kazalo. V zadnjih desetih letih pa je najpogostejsi matematični piseč Marko Razpet s petnajstimi članki, drugih petdeset avtorjev mu sledi z enim ali največ tremi prispevki. Vseh različnih
avtorjev matematičnih člankov je bilo v teh sestih desetletjih več kot 170.
Pri fiziki pa so v petdesetih in sestdesetih letih 20. stol. prevladovali članki iz takrat modernih področij jedrske fizike. Danes je izbira bolj urav-notezena in sega od čisto teoretičnih razglabljanj do zanimivih zgodovinskih ali sodobnih modelov, od uveljavljene uporabe fizike npr. v medičini do novih odkritij in drznih napovedi, torej spet velika izbira. Vseskozi je bilo tudi prečej opisov praktičnih eksperimentov in tehničnih izvedb. Najbolj uveljavljen piseč fizikalnih sestavkov je Janez Strnad, ki je doslej v Obzorniku objavil več kot dvesto člankov, sledijo pa mu (v spostljivi razdalji z opusom drugega velikostnega reda) Ivan Kusčer, Peter Gosar in Anton Moljk v začetnem obdobju ter Mitja Rosina in Mitja Kregar po letu 1984 (spet omenjam le pisče z več kot petimi prispevki v posameznem obdobju). Med astronomi je po stevilu člankov v ospredju Marjan Prosen. Vseh različnih avtorjev s članki iz fizike, tehnike ali astronomije je bilo več kot 200.
V rubriki strokovnih člankov je zajetih tudi nekaj prevodov besedil pomembnih svetovnih osebnosti iz matematike ali fizike. Pri tem gre večkrat za zanimiva filozofska vprasanja, ki se tičejo pomena in prihodnosti nasih ved. Tako so matematiki npr. ze kmalu prevedli Wignerjeva razmisljanja o vlogi matematike v naravoslovju, Dieudonnejev prispevek o sodobni matematiki, Stoneovo obravnavo revolučij v matematiki, kasneje pa npr. članek Mičhaela Atiyaha o razvoju čiste matematike, van der Waerdenov pogled na medsebojni vpliv matematike in fizike ali Thomovo očeno »moderne« matematike kot vzgojne in filozofske zmote, Knuthovo mnenje o računalnistvu in matematiki, Devidejevo predavanje na Bledu 1973 ali Enzensbergerjev esej o razumevanju matematike v sirsi druzbi. Fiziki pa so občasno (zlasti v prvih desetletjih) prevajali tudi bolj strokovne članke, npr. Wignerja o simetriji in ohranitvenih zakonih, Prokorova o kvantni elektroniki, GellManna in Rosenbauma o osnovnih delčih, Panofskega o fotonih, Cirklerja in Cooperja o supraprevodnosti, poleg Dysona o prihodnosti fizike, Jordana o neresenih vprasanjih fizike, Hilla o biofiziki itd.
Ko smo ze pri tujih avtorjih, povejmo, da je urednistvo skoraj vedno, tudi s primernimi prevodi, poskrbelo, da se je v časopisu uveljavljal lep slovenski strokovni jezik. Pri pregledu lahko opazimo le dve izjemi: v času prejsnje drzave se je sem in tja pojavil članek v (takrat bratski) srbohr-vasčini, leta 1999 pa so bili v anglesčini (brez prevoda) objavljeni nekateri povzetki blejske mednarodne konferenče iz linearne algebre.
Tezko bi v tem kratkem sestavku na hitro in brez podrobnejse analize izločili najpomembnejse članke minulih desetletij. Splosna slika kaze veliko tematsko raznolikost. Ob pregledu kazal pa morda le opazimo kaksno omembe vredno posebnost.
Določen del strokovnih člankov je bil, zlasti v novejsem obdobju, pisan zelo pedagosko. Namenjeni so bili predvsem učiteljem v srednjih in osnovnih solah ter drugim diplomiranim matematikom in fizikom, redkeje dijakom in drugim vedozeljnim mladim bralčem. Objavljena so bila zlasti
različna tematska predavanja s stevilnih (drustvenih) seminarjev, ki so včasih zaobsegla čelotno (večkrat čelo dvojno ali povečano) stevilko. Tako so bili npr. natisnjeni materiali s seminarjev Mehanika tekočin leta 1975, Topologija leta 1976 in Astrofizika leta 1977. Naslednje leto 1978 je Obzornik najprej v prvi stevilki s povečanim obsegom objavil predavanja s seminarja Matematična logika, v zajetni sesti stevilki pa na 120 straneh se besedila s seminarja Fizika za dručboslovce. Leta 1982 so bili med platniče Obzornika zajeti kar trije seminarji: Fizika polprevodnikov, Geometrija in na konču se poseben seminar Zavoda za solstvo o pouku fizike. Z dodatno stevilko razsirjen časopis pa je leta 1987 prinesel več člankov s seminarja Medicina in fizika.
V letih 1992 in 1993 je izhajala zanimiva serija člankov s skupnim naslovom Igre narave, katerih avtor je bil Mitja Rosina. O pouku fizike v nasih solah je pogosto pisal Janez Strnad, pa tudi drugi. Po letu 2006 so uredniki skusali napraviti časopis se bolj dostopen sirsi publiki, zlasti mladini in učiteljem po solah, kar je napovedal odgovorni urednik Peter Semrl v dveh uvodnikih in prikazal nov pristop v posebnem članku o pravokotnosti v normiranih prostorih [4]. Pojavila se je tudi zanimiva novost: od 2006 do 2011 je bil vsako leto objavljen obsirnejsi intervju z znanim profesorjem oziroma z matematikom ali fizikom, ki je uspel na kaksnem drugem področju (npr. s prof. Dusanom Petračem, prof. Ivanom Vidavom, prof. Črtomirom Zupančičem in drugimi). Te intervjuje je z velikim občutkom za sogovornika in za vsebino pogovora pripravljal Damjan Kobal.
Spečifično solska gradiva, kot npr. novi učni načrti, smerniče pogostih solskih reform, poročila o pouku matematike in fizike po svetu, resevanje problemov v solah, predlogi za izboljsanje pouka, predstavitve novih učil, nove tehnologije oziroma novih fizikalnih poskusov, kar vse je bila v preteklosti tudi naloga DMFA Slovenije, so se pojavljala v posebni rubriki Šola. V njej so bile objavljene tudi vesti o novostih na univerzah, znanju stu-dentov matematike in fizike ter seznami diplomantov na različnih stopnjah visokosolskega studija matematike ali fizike (zadnji tak seznam je bil leta 2007 objavljen za leto 2005, kasneje so tovrstni podatki za javnost postali nedostopni). Občasno so bili objavljeni povzetki strokovnih ali znanstvenih srečanj, npr. leta 1986 ob posvetovanju Učbeniki fizike in njihov vpliv na pouk ali leta 1999 ze omenjena mednarodna konferenča iz linearne algebre na Bledu. O pouku matematike in o matematičnem izobrazevanju v tujini je bilo objavljenih tudi nekaj zanimivih prevodov (npr. 1963 Polya o učenju in poučevanju, 1991 Thurston o matematičnem izobrazevanju v ZDA ali 1993 Zeitler o aksiomatiki v geometriji in naravoslovju, 2006 Weiman in Perkins o prenovi pouka fizike). V zadnjem desetletnem obdobju je bilo objavljenih kar prečej člankov domačih avtorjev o problemih pouka matematike ali fizike v nasih solah (Strnad, Vidič Drobnič, Pavesič, Kobal, Golez, Semrl, Jerman, Repolusk, Cepič, Babič, Planinsič, Mozer, Prelog, Mohorič in drugi) pa tudi o sirsih vprasanjih vzgoje in izobrazevanja oziroma situačije v nasem solstvu
(Kobal, Hvala, Zabret). Problem je, da se tehtne in pogosto kritične besede v javnosti ne slisijo, odgovorni pa jih ne upostevajo.
Občasno so se pojavile skoraj tematske stevilke Obzornika tudi ob posebnih dogodkih ali pomembnejsih obletničah. Ob 100-letniči Plemljevega rojstva in velike proslave na Bledu 1973 so bili npr. objavljeni nekateri strokovni prispevki o Plemljevem delu, pa tudi spominski zapisi o njem. Leta 1995 so bili ob prvem (in doslej edinem) kongresu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije objavljeni fizikalni prispevki. Podobno je bilo vsaj pol stevilke posvečene Vidavovi 70-letniči leta 1988 in 90-letniči leta 2008. Obzornik je naslednje leto počastil tudi 100-letničo rojstva Antona Peterlina. Drugih obletnič se je spomnil vsaj z enim strokovnim člankom ali s krajsim prispevkom. Sem spadajo tudi različni zapisi ob smrti posameznih znanih osebnosti (govori ob odprtem grobu, nekrologi itd.). Nasploh je bil vseskozi dan kar prečejsen poudarek zgodovinskim temam, tako pri strokovnih člankih kot ob počastitvi obletnič različnih zgodovinsko pomembnih dogodkov. O tem so zlasti veliko pisali Strnad, Suhadolč, Juznič, Razpet, Legisa in drugi. Zdi se, da je v zadnjem času ta trend se bolj izrazit.
Pomembno informativno in čelo izobrazevalno vlogo je imela ves čas tudi rubrika Nove knjige. Kot pove ime, je prinasala očene različnih novih monografij, učbenikov in drugih publikačij. Včasih jih je Obzornik veliko brezplačno prejel v očeno. Očenjene so bile tudi vse nove slovenske matematične ali fizikalne knjige, zlasti tiste, ki jih je izdala domača Komisija za tisk, vendar je bilo po letu 1990 tezko kontrolirati vse slovenske izdaje zaradi močno povečane produkčije strokovne literature, tako da so uredniki s to prakso hočes nočes prenehali. Se vedno pa je koristno prebrati mnenja o marsikateri novi knjigi s področja matematike, fizike ali astronomije, za katero sičer ne bi vedeli ali pa ne bi bili nanjo pozorni.
Ne smemo pozabiti, da je Obzornik glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, zato je vedno prinasal poročila o raznih drustve-nih predavanjih in seminarjih, o tekmovanjih učenčev, dijakov in studentov oziroma njihovih uspehih doma in v tujini, pa o strokovnih srečanjih in občnih zborih, o drustvenih priznanjih, o strokovnih ekskurzijah ipd. Včasih je bila temu namenjena posebna rubrika Društvena dejavnost, po letu 1984 pa so te vsebine skrite pod rubriko Vesti, ki poleg novič iz sveta in različnih obvestil urednistva prinasa tudi druga poročila (o delovanju različnih insti-tučij, o raziskovalni dejavnosti, o posvetovanjih in znanstvenih konferenčah, o nagradah in priznanjih nasim znanstvenikom, do leta 2007 tudi o novih diplomah, magisterijih in doktoratih in se marsikaj). Rubriki Vprašanja in odgovori in Utrinki pa se pojavljata le občasno in v manjsem obsegu.
Namesto sklepa kratek premislek o strokovnem pisanju
Za koneč si oglejmo nekaj preprostih (in v preteklosti pogosto zastavljenih) vprasanj:
Ali je Obzornik po vsebinski strani izpolnil začetna pričakovanja? Ali je za bralce primeren, so le-ti z njim zadovoljni? Ali je prezahteven? Ali je vsebinsko dovolj raznolik in uravnotečen? Ali je aktualen?
Dokončne očene tu ne bomo podali. Na nekatera od teh vprasanj (npr. glede prevelike zahtevnosti) so uredniki včasih ze odgovorili (glej npr. [1], [2]), na druga bodo morali odgovoriti bralči, na tretja nedvoumen odgovor morda niti ni mozen. Braleč bi vprasanjem gotovo takoj lahko dodal se katero, kritiziral to in ono, pograjal vsebino ali obliko, morda kaj tudi pohvalil. A ostanimo pri pozitivnih vidikih nasega jubilanta in sklenimo prispevek z naslednjimi mislimi o tezavah pri pisanju in branju matematičnih in fizikalnih sestavkov.
Strokovno pisanje je vedno zahtevno, treba je podati natančne defini-čije pojmov, nedvoumno opisati probleme in prečizno formulirati trditve, da vemo, o čem govorimo. Izvajanje mora biti pravilno, argumentirano in konsistentno. Obzornik je večkrat razlagal, kaj odlikuje dobre sestavke, in dajal napotke, kako to doseči (glej npr. [5] ali [6]). Strokovna besedila tudi niso lahko branje; od bralča zahtevajo poleg primerne izobrazbe končentra-čijo, potrpezljivost in kritičnost. Ze res, da lahko v glasbi uziva tudi kdo, ki ni glasbeno izobrazen, ki sam ne igra nobenega instrumenta ali ne zna brati not. Toda uzitek je toliko večji, kolikor več glasbene vzgoje smo bili poprej delezni. Podobno lahko boljsa izobrazba na področju matematike, fizike in astronomije kvečjemu prispeva k razumevanju in občudovanju modernih doseSzkov omenjenih ved, novih odkritij in presenetljivih znanstvenih spoznanj, ki smo jim priča v zadnjem času. Prav tako pa pripomore tudi k zavedanju, da take doseSzke vsej genialnosti ustvarjalčev navkljub omogoSča le poglobljen studij in trdo delo.
Po drugi strani pa se moramo zavedati, da Obzornik ni znanstvena revija v pravem pomenu besede. V skladu s čiljem, ki si ga je zadala pred več kot sestdesetimi leti, namreč »zbuditi zanimanje in dvigniti raven matematične in fizikalne izobrazbe« (glej [3]), je ostala zavezana svojemu imenu. Njen čilj je torej »siriti svojim bralčem strokovna obzorja« in tako naj tudi ostane se nadaljnjih sestdeset let.
LITERATURA
[1]	J. Strnad, Dvajset letnikov Obzornika za matematiko in fiziko, Obzornik mat. fiz. 21 (1974) 1-2, 48-49.
[2]	J. Strnad, Obzornikovih petdeset, Obzornik mat. fiz. 50 (2003) 6, 162-163.
[3]	R. Drnovšek, Ob koncu petdesetega letnika Obzornika (uvodnik) in Sodelavcem!, Obzornik mat. fiz. 50 (2003) 6, 161-162, (ponatis iz 2. številke 1. letnika).
[4]	P. Semrl, Pravokotnost v normiranih prostorih, Obzornik mat. fiz. 53 (2006) 4, 10013.
[5]	I. Kušcer, O strokovnem pisanju, Obzornik mat. fiz. 34 (1987) 6, 211-219.
[6]	M. Hladnik, Kako napisati matematični tekst, Obzornik mat. fiz. 42 (1995) 1, 25-III.
Milan Hladnik
JANEZ STRNAD - 80-LETNIK
Lani sem na občnem zboru DMFA poslu sal predavanje o kombinatoriki, kjer je bilo omenjeno Erdosevo Število. To je Število, ki kateregakoli matematika poveZe z madžarskim matematikom Paulom Erdosem. Število je najmanj s a razdalja med matematikom in Erdosem v grafu, katerega točke so avtorji, povezave med njimi pa članki, ki so jih napisali v soavtorstvu. Zakaj Erdos? Poročajo, da je to matematik z največjim stevilom člankov, znan po tem, da je potoval od sodelavca do sodelavca in pisal članke. Člankov se je nabralo vsaj 1525. Na Cobissu sem vtipkal Janez Strnad in dobil seznam s 1292 zapisi. Kar je posebej impresivno - večino tega je Janez ustvaril sam. Sodi med najbolj plodovite slovenske avtorje. Je pa se mnogo več.
Janez Strnad je bil rojen leta 1934 v Ljubljani. Diplomiral je leta 1957, doktoriral pa 1963 na Univerzi v Ljubljani. Leta 1974 je postal redni profesor, od leta 2001 je tudi zasluzni profesor Univerze v Ljubljani. Delal je na Fakulteti za matematiko in fiziko in na Institutu Jozef Stefan. Izpopolnjeval se je na Institutu za teoretično fiziko v Heidelbergu in bil večkrat gost na In stitutu za didaktiko fizike v Giessnu, Nemčija. Raziskovalno se je ukvarjal z difuzijo nevtronov, posebno teorijo relativnosti in jedrsko fiziko. Posveča se poučevanju in popularizačiji fizike. Objavil je več kot sto člankov v tujih revijah, več kot sestdeset referatov na strokovnih sestankih, večinoma v tujini, več kot 750 člankov v domačih strokovnih revijah in skoraj tristo v časopisih in splosnih revijah, več kot petdeset knjig in knjizič, med njimi učbenike.
Za mnogo studentov, ki smo pri njem poslusali predavanja iz Fizike I in II, je Janez njeno poosebljenje. Je eden najimenitnej sih učiteljev fizike v Sloveniji. Njegovi učbeniki za visokosolsko fiziko so tako znani, da bo frazo »poglej v Strnada« vsak od kolegov razumel. Sodeloval je pri pripravi nalog in vpra sanj, ki so del zeleznega repertoarja studentov fizike. Napisal je učbenik fizike za srednjo solo.
Izjemno dobro pozna zgodovino fizike in je ziva enčiklopedija fizikalnih pojavov, znamenitih imen, letnič . . . To znanje je izkazoval pri predmetu Razvoj fizike. Iz serije radijskih oddaj je nastala knjizna zbirka v sedmih delih Fiziki. V njej so zbrani zivljenjepisi znanih fizikov in opisana njihova odkritja. Posebej in podrobneje je v več delih obravnaval zivljenje in dosezke Jozefa Stefana ter Alberta Einsteina. Pregled skozi zgodovino fizike pa najdemo v njegovih popularnih knjigah Razvoj fizike, Sto let fizike: od 1900 do 2000 in Zgodbe iz fizike.
Skoraj vsako leto na stalnem strokovnem spopolnjevanju - strokovnem srečanju srednjesolskih učiteljev fizike - predstavi pregledno predavanje iz zgodovine fizike. Natančnost njegovega spomina sem spoznal, ko sem po rečenziji enega njegovih prispevkov do stavka in z vsemi letničami natančno poslusal se predavanje. Seveda dobro poznavanje zgodovine fizike koristi
tudi pri pouku. Namreč, podobne težave in stranpoti, kot jih je skozi zgodovino ubiral razvoj fizike, lahko zasledimo tudi pri učencih in dijakih, ko pri razumevanju določenih vsebin napačno uporabljajo izku Snje iz vsakdanjega zivljenja. Daje izjemen pedagog, ki o poučevanju razmislja tudi sirse, kazejo mnoga druga dela, kot npr. O poučevanju fizike, kjer poda svoje nasvete učiteljem, kako učiti fiziko, katere zglede izbrati, kaj zaobiti in kako. Poučevanju in učenju fizike je namenil prek 40 člankov v Fiziki v čoli.
Ni pa poučeval le bodočih fizikov, temveč poučuje tudi sirso javnost. Predsednik drzave ga je 25. oktobra 2005 odlikoval z zlatim redom za zasluge za zivljenjsko delo v naravoslovju, se posebej za prispevek k sirjenju znanstvene kulture in razumevanja znanosti. Objavil je več kot 100 člankov v Proteusu, več kot 30 v Spiki, v Gei ter Življenju in tehniki. Fizike ne popularizira le s članki, ampak tudi s poljudnimi knjigami. Za delo Iz take so snovi kot sanje je leta 1988 prejel Levstikovo nagrado.
Svojo s irino izkazuje z izjemnim naborom tematik z vseh področij fizike. S področja jedrske fizike je bila ze omenjena Iz take so snovi ... S področja astronomije naj omenim Prapok prasnov počene v dir in Mala zgodovina vesolja, ter od kvantne fizike, Mala kvantna fizika, do teorije relativnosti in meroslovja Svet merjenj: o razvoju fizike in merjenju osnovnih fizikalnih količin.
Svoje izrazje je izpilil do potankosti. Zamislite si studenta, čigar prvi korak na poti v učenje je »podčrtavanje«. Kaj mu pomaga podčrtovanje, ko konča s popolnoma podčrtanim besedilom? Na jedrnatosti izrazja se pozna, da je pripravil leksikon fizike in sodeloval pri pisanju enčiklopedije. V leksikonu ni prostora za besedičenje, besedila morajo biti kratka in jasna.
Naučil me je veliko o fiziki. Eno pomembnej s ih lekčij sem dobil, ko sva neki ponedeljek po kolokviju, tedenskem pogovoru z gostujočim profesorjem, skupaj čakala pred dvigalom. Tisti kolokvij je bil o teoretični fiziki osnovnih delčev. V pogovoru sem priznal, da nisem prav dosti razumel. Hudomusno se je nasmehnil in dejal »Jaz tudi ne.« Za to sem mu prav posebej hvalezen.
Janez Strnad je od leta 2001 častni član Drustva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. Njegov prispevek k dejavnosti dru stva je neprečen-ljiv. Za predsednika je bil izvoljen v letih 1966, 1984 in 1985. V drustvenih glasilih Obzornik za matematiko in fiziko ter Presek je objavil v vsakem po več kot 100 prispevkov. V Obzorniku za matematiko in fiziko je bil član ure-dniskega odbora 1964-1973, področni urednik 1974-1992, odgovorni urednik 1974-1976, 1981-1983, 1985-1990, glavni in odgovorni urednik 1977-1980. v Preseku je bil glavni urednik 1976-1980.
Slavljenču v svojem imenu in v imenu urednistva čestitam za visok jubilej in mu zelim se veliko uspeha in zdravja.
Aleš Mohorič
ZOISOVE NAGRADE IN PRIZNANJA 2013
Zoisove nagrade in priznanja, priznanja Ambasador znanosti ter Puhova priznanja za leto 2013 so bila podeljena 22. novembra 2013 v Mariboru. Med prejemniki Zoisovih nagrad in priznanj sta tudi clana nasega drustva: prof. dr. Tomaz Zwitter in prof. dr. Dusanka Janezic. Vsem nagrajencem iskreno Čestitamo za uspeh in priznanje.
Dosezki nagrajencev so opisani na straneh Ministrstva za solstvo, znanost in sport [1]. Povzemimo dosezke nasih Članov.
Dusanka Janezic je prejela Zoisovo nagrado za vrhunske dosezke v matematiki v naravoslovju. Dusanka Janezic je redna profesorica na Fakulteti za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije Univerze na Primorskem in znanstvena svetnica na Fakulteti za kemijo in kemijsko tehnologijo Univerze v Ljubljani. Temeljne usmeritve njenega znanstvenoraziskovalnega dela so izpopolnjevanje in razvoj ter uporaba novih metod in algoritmov pri molekularnem modeliranju, to je pri teoretskih raziskavah v naravoslovnih in tehnicnih znanostih, kot so kemija, farmacija, molekularna fizika, strukturna biologija in razvoj novih materialov. S svojimi vrhunskimi dosezki na podrocju molekularnega modeliranja, ki ga je v Slovenijo pripeljala pred 20 leti, je trajno prispevala k razvoju znanstvenoraziskovalne in razvojne dejavnosti v Republiki Sloveniji. S svojim dolgoletnim znanstvenoraziskovalnim, pedagoskim in strokovnim delom na podrocju molekularnega modeliranja si je pridobila velik ugled med vodilnimi strokovnjaki in znanstveniki v svetu in doma.
Bibliografija profesorice Dusanke Janezic obsega vec kot 400 enot. O svojem delu je v soavtorstvu objavila znanstveno monografijo z naslovom Graph Theoretical Matrices, sedem poglavij v monografijah tujih zaloznikov ter 86 znanstvenih clankov v tujih revijah najvisjega kakovostnega razreda z domacimi in tujimi sodelavci. V zadnjih sedmih letih je profesorica Dusanka Janezic objavila 40 izvirnih znanstvenih clankov v uglednih mednarodnih revijah z visoko odmevnostjo. Njeni znanstveni dosezki so inovativni in imajo k uporabnosti naravnano vrednost.
Tomaz Zwitter je prejel Zoisovo priznanje za pomembne znanstvene dosezke v astrofiziki in astronomiji. Prof. dr. Tomaz Zwitter je profesor na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Svoje raziskovalno delo je usmeril v astronomske meritve, ki omogocajo pridobivanje podatkov, potrebnih za razumevanje mozaika strukture vesolja. Raziskuje medzvezdni prostor, samostojne in dvojne zvezde, galaksije, aktivna galakticna jedra, supernove, simbioticne zvezde, kataklizmicne spremenljivke, pulzarje in komete. Za studij teh raznolikih objektov uporablja predvsem spektroskopijo in fotometrijo. Uveljavil seje pri vec mednarodnih kolaboracijah, katerih cilj je razvozlati zgodovino in prihodnost nase galaksije. Omeniti je treba, da
Tomaž Zwitter
je eden od ustanoviteljev pravkar končanega mednarodnega projekta RAVE (RAdial Velocity Experiment), pri katerem sodelujejo znanstveniki iz devetih držav, in je tudi njegov znanstveni direktor. Projekt RAVE je doslej izmeril radialne hitrosti in spektroskopsko določil vrednosti fizikalnih parametrov več kot pol milijona zvezd nase Galaksije. Med dosezki njegovega dela je treba posebej poudariti meritve ubezne hitrosti iz nase galaksije za zvezde v Sončevi okolici, ki so nov neposreden dokaz obstoja temne snovi v zunanjem haloju Rimske ceste. Meritev ubezne hitrosti je omogočila tudi do zdaj najboljso določitev mase nase galaksije. Profesor Zwitter je uvedel novo spektroskopsko metodo določanja razdalj do zvezd, ki nam da prostorsko sliko polozajev in gibanj zvezd danes in v preteklosti. Je vodja raziskovalnega programa Astrofizika in fizika atmosfere. Bil je član čen-tra odličnosti Vesolje, znanost in tehnologije in predsednik njegovega sveta. Vodi slovensko sodelovanje pri misiji Gaia Evropske vesoljske agenčije, ki astrometrično, fotometrično in spektroskopsko opazuje milijardo zvezd nase Galaksije in bo tako odgovorila na vprasanja o nastanku te, kot ene od tipičnih galaksij v vesolju. Sodeluje v projektu HermesGalah, ki bo posnel Ečhellove spektre milijona zvezd in določil natančne kemične zastopanosti 26 elementov v njihovih atmosferah. To bo natančno opredelilo nastajanje zvezd v zgodovini nase galaksije ter poiskalo bratranče nasega Sonča.
Je (so)avtor več kot stotih člankov. Znanstvena dela nagrajenča so dosegla izjemno mednarodno odmevnost, saj so bila čitirana več kot tritisočkrat, kar kaze njegov pomembni prispevek k svetovni zakladniči znanja.
LITERATURA
[1] http://www.mizs.gov.si/nc/si/medijsko_sredisce/novica/article/55/8426/,
dostop 30. 11. 2013
Aleš Mohoriš
SPOŠTOVANI UČITELJI MATEMATIKE, FIZIKE IN ASTRONOMIJE
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije vabi k udeležbi in sodelovanju na strokovnem srečanju in 66. občnem zboru, ki bosta 24. in 25. oktobra 2014 v Hotelu Cerkno v Cerknem.
Vodilni temi letosnjega strokovnega srečanja sta Aktualnost Močni-kovih učbenikov in Priprave na svetovno leto svetlobe. Letos se spominjamo 200-letnice smrti dr. Franca Močnika, leto 2015 pa je obeleženo kot svetovno leto svetlobe. K sodelovanju vabimo vse učitelje in člane DMFA, da predstavijo svoje izkusnje in ideje:
•	v obliki krajsih predstavitev;
•	v obliki plakatov;
•	v obliki delavniče.
Predavateljem bosta na voljo projekčijsko platno in projektor. Računalnik s potrebno programsko opremo in druge pripomočke morajo predavatelji prinesti s seboj ali pa se morajo o tem poprej dogovoriti (sporočiti Janezu Krusiču, telefon 01 4766 559 e-posta tajnik@dmfa.si).
Prosimo vas, da nam prispevke na izbrani temi posljete do 15. septembra 2014 na naslov nada.razpet@fmf.uni-lj.si.
Prijave morajo vsebovati:
•	naslov prispevka,
•	ime in priimek avtorja (ali več avtorjev),
•	naslov ustanove, kjer je avtor zaposlen, oziroma domači naslov (neobvezno)
•	elektronski naslov,
•	kratek povzetek prispevka (pri velikosti črk 12pt naj ne presega 10 vr-stič).
Izbor prispevkov bo opravila in razvrstila po sekčijah posebna komisija, ki jo bo imenoval upravni odbor DMFA Slovenije. Povzetki bodo objavljeni v biltenu občnega zbora.
Vsa obvestila v zvezi z občnim zborom in strokovnim srečanjem bomo sproti objavljali na domači strani DMFA: http://www.dmfa.si/.
Prijava na seminar in kotizacija
Zgodnja prijava (do 20. septembra 2014): 35 EUR za člane DMFA Slovenije, 50 EUR za nečlane. Običajna prijava (do zapolnitve mest): 49 EUR za clane DMFA Slovenije, 70 EUR za nečlane. Na seminar se je treba prijaviti prek informacijskega streZnika DMFA (prijava bo mozna od 1. 9. 2014 dalje). Morebitne hotelske storitve si udeleZenci rezervirajo sami.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Andrej Likar
OBVESTILO
V Obzorniku za matematiko in fiziko, letnik 49, st. 2, str. 62-63, in na domači strani DMFA, www.dmfa.si/pravilniki/Pravilnik_Drustvena-Priznanja.html je objavljen Pravilnik o podeljevanju drustvenih priznanj.
Vabimo vas, da pisne predloge (z utemeljitvami) v skladu s tem pravilnikom za letosnja priznanja posljete do 30. septembra 2014 na naslov: DMFA Slovenije, Komisija za pedagoško dejavnost, Jadranska ul. 19, 1000 Ljubljana.
Predsednik DMFA Slovenije: prof. dr. Andrej Likar
STROKOVNA EKSKURZIJA DMFA 2014 NA GORIŠKO
Pripravljamo strokovno ekskurzijo na Gorisko, ki bo v soboto 27. septembra ali 4. oktobra 2014. Ce se zanimate in zelite dobivati nadaljnja obvestila, pisite na mitja.rosina@ijs.si.
Obiskali bomo Univerzo v Novi Gorici, kjer nam bodo predstavili Juzni observatorij mednarodne kolaboracije »Pierre Auger«, v kateri uspesno sodelujejo pri razvoju in izgradnji lidarskih sistemov ter razvoju programske opreme za analizo. Tam, v Argentini, proučujejo kozmične zarke ekstremnih energij. Observatorij sestavlja mreza 1600 talnih detektorjev, razporejenih po povrsini 3000 kvadratnih kilometrov argentinske pampe vzhodno od Andov. Predstavili nam bodo tudi »Center za raziskave atmosfere«, ki izvaja lidarske meritve transporta aerosolov in druge ekoloske in meteoroloske meritve na Observatoriju na Otliči nad Ajdovsčino.
Predvidoma bomo obiskali tudi LIDAR-ski observatorij na Otliči, obnovljen dvoreč Lanthieri v Vipavi, kjer ima univerza del svoje dejavnosti, pokusili univerzitetna vina z njihovega posestva ter si ogledali podjetje PI-PISTREL v Ajdovsčini. Ce bo čas, si bomo za kulturni dodatek ogledali se grad (muzej) in palačo Coronini v Stari Goriči.
Mitja Rosina
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAREC 2014 Letnik 61, številka 2
ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53
VSEBINA
Članki	Strani
Osnove kvantnega računalništva, 2. del (Matija Pretnar) ............................41-51
Homopolarna indukcija (Robert Hauko)..............................................................52-60
Nove knjige
Lessons in Play, An Introduction to Combinatorial Game Theory
(Jurij Kovic) ............................................................................................................61-64
Vesti
Obzornikovih šestdeset letnikov (Milan Hladnik) ............................................64-75
Janez Strnad - 80-letnik (Aleš Mohorič) ............................................................76-77
Zoisove nagrade in priznanja 2013 (Aleš Mohorič) ........................................78-79
Vabilo (Andrej Likar)....................................................................................................80-VII
Obvestilo (Andrej Likar) ............................................................................................VII
Strokovna ekskurzija DMFA 2014 na Goriško (Mitja Rosina) ....................VII
CONTENTS
Članki	Strani
The Basics of Quantum Computing, part 2 (Matija Pretnar) ......................41-51
The Homopolar Induction (Robert Hauko) ........................................................52-60
New books ....................................................................................................................61-64
News ................................................................................................................................64-VII
Na naslovnici: Karikatura Janeza Strnada (Božo Kos).