i
i
“1193-Drnovsek-0” — 2010/7/19 — 12:18 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 21 (1993/1994)
Številka 6
Strani 346–351
Roman Drnovšek:
NEENAKOST MINKOWSKEGA
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/21/1193-Drnovsek.pdf
c© 1994 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
I~l'-'-ml'-" ~"'", ICI I" III~/'
NEENAKOST MINKOWSKEGA
V tem prispevku bomo dokaz al i naslednjo neenakost Minkowskega l :
Naj bodo Xl . x2, . .. . Xn in YI. Y2. . . .. Yn poljubna nenegativna števila
in p ~ 1 realno število. Tedaj velja neenakost
< ( P P P)l/P (P P p) l /P_ Xl + x2 + ...+ Xn + YI + Y2 + .. .+ Yn (1)
V dokazu t e neenakosti bomo uporabili drugo (prav ta ko pomemb no)
Haiderjevo neenakost" :
Naj bodo Xl. X2 . . . ., Xn in YI, Y2. . . .. Yn poljubna nenegativna števila
in p > 1 realno šte vilo. Ces q označimo š tevilo p/(p - 1). je
< ( P p )l/P ( q q) l / qXl YI + ...+ x n Yn _ Xl + ...+ x n . YI + ...+ Yn . (2)
Za št evili p in q velj a pq = p + q ozi roma 1/p + 1/q = 1. Takima
št evilo m a pravimo konjungirana eksponenta. Očitno je q > 1. P rav ta ko
je j asno , da sta tudi q in p konj ungiran a eksponenta , če sta taka p in q .
Pomemben posebni primer konjungiranih eksponentov je p = q = 2 .
Heiderj evo neenakost ob i čajno dokažemo s pomočjo Youngove neena-
kosti3 :
Naj bosta p > 1 in q > 1 konjungirana eksponenta, torej 1/ p+1/ q = 1.
Tedaj za poljubni nenegativni š tevili X in Y velja
x P v"
xY :S - +-.
p q
(3)
Enakost velja natanko tedaj , ko je x P = Y q (kar bomo dokazali le za primer,
ko je p racionalno št eviloJ.
Yo ungovo neen a kost lah ko hit ro doka žemo z uporabo neelemen tarn ih
me tod ; na primer s pomočjo odvod a poiščemo ekstrem primerne funkcije
(naloga 4 ) . Tukaj podajmo (bolj a li manj) elementaren do kaz .
1 Neenakost je let a 1896 v svo ji knjig i "Geo me trie de r Zahlen" predst avil nem ški
matem atik H. Mink owsk i. (Gl ej prispevek na prejšnji s t ra ni.)
2 V t ej ob liki je let a 1889 neen akost dokazal nem ški matem atik O. Haider .
3 Neenakost je let a 191 2 prvi ob ravnava l angleški matem atik W . H. Young.
347
Najprej se prepri čajrno, da je (3) dovolj dokazati v primeru x 2: y = 1,
torej veljavnost zveze
x p 1
x < - + - za vse x > 1 . (4)
- p q
Za trenutek privzemimo, da smo (4) že dokazali. Naj bosta x in y polju bni
nenegativni števili. te je x 2: yq-l, vstavimo v (4) namesto števila x število
x / yq-l 2: 1 in tako dobimo
x x p 1
-- < + -yq-l - p y (q - l )p q
te upoštevamo (q -1)p = q in neena čbo pomnožimo z v" . dobimo (3). To
pomeni , da v primeru x 2: yq-l iz (4) sledi (3) . te pa je x < yq-l, potem
Je
xp-1 < y(P-l)(q-l) = ypq-p-q+I = Y .
Ker sta p in q konjungirana si eksponenta , sta taka tudi q in p . te torej
velja (4) , potem je izpolnjena tudi neenakost
x q 1
x < - + - za vse x > 1 .
- q p
V tej neenačbi število x zamenjamo s številom y/x p- 1 > 1, in pod obno kot
prej izpeljemo (3).
te v neenakosti (4) upoštevamo l/p+ l/q = 1, dobimo
p(x - 1) :s x P - 1 . (5)
Pokažimo (5) najprej v primeru, ko je p racionalno število , torej p =
= m] n, kjer sta m in nnaravni števili in m > n. te je x = 1, potem velja
v (5) enačaj. Dokažimo, da za x > 1 velja v (5) celo st rogi neenačaj . te
pišemo x = z n , potem je z > 1, dokazati pa moramo neenakost
zn - 1 zrn -1
--- <---
n m
oziroma, če upoštevamo pravilo o razliki m-tih oz . n-tih potenc in krajšamo
z z - 1 > O:
1 + z + ...+ zn-l 1 + z + ...+ zrn-l
------- < ---- ---
n m
(6)
348
Ker j e z > 1, je 1 < z < Z 2 < . . . < zm- l , to rej je
a = 1 + z + .. .+ zn- l < z n- l < z n < .. . < zm-l
n
Zato imamo
1 + z + ... + z m-l (1 + z + ...+ zn- l) + (z n + ... + zm- l )
--------= >
m m
m -n
,..-A-..,
na+(a+ ... + a)
> =m
na+ (m-n)a
= a ,
m
to je (6). Kaj pa , ce p ni racionalno št evilo? Tedaj pri poljubn em k E IN
najdemo tako raciona lno šte vilo r (odvisno od št evila k), da j e r :s p <
< r + lO-k . 5t evilo r lahko dobimo tako, da v decimalnem zap isu št evila p
prečrtarno vse decimalke od (k + l)-te naprej. Ker je r racionalno število, po
že dokazanem velja b = (x r - l)/(x - 1) - r 2: O. Pokaž imo, da je t edaj
c = (x P - l)/(x - 1) - p 2: o. Iz
b - c = (x r - x P)/ (x - 1) + (p - r ) = x" (1 - xp-r) /(x - 1) + (p - r )
dobimo oceno b - c < lO-k, ce upoštevamo x p - r 2: 1 oz . 1 - x p - r :s O
in p - r < lO-k. Torej je c > b - lO-k > -lO- k Ker to velja za vsak
k E IN, s števil i {- lO-k} pa se lahko poljubno približamo O, sledi c 2: O, to
j e (5). Iz dokaza j e razvidno , da velja v primeru , ko je p racionalno število,
ena čaj v (3) le, ce je x = yq-l , to je x P = yq . Dokaz neenakosti (3) je
t ako kon ča n.
Oglejmo si sedaj , kako Holderjeva neenakost sledi iz Youngove neena-
kosti . Pišimo
(
n ) l/ p
A = L xf
k=l
lil
(
n ) l / q
B= L Y~ .
k =l
Le je A = Oali B = O, potem je Xl = .. .= x n = Oali YI = ... =Yn = Oin
tedaj (2) velja. Zato smemo privzeti, da je A > O in B > O. Le postav imo
X k = Xk / A in Yk = Yk/B za k = 1,2 , . . . , n , imamo Xi + ...+xf: = 1
349
in Y1
q + ...+ Ynq = 1. Youngova neenakost nam sedaj da oceno
1 1
=-+-=1 .
p q
Od tod dobimo
n
L x kYk :s A· B =
k=l
S tem je Holderjeva neenakost dokazana.
Neenakost Minkowskega sedaj hitro uženerno . Ker za p = 1 neenakost
(1) očitno velja , smemo vzeti p > 1. Prav tako smemo privzeti , da niso vsi
Xi in Yi enaki O. Z uporabo Heiderjeve neenakosti dobimo
Podobno imamo
Le zadnji neenakosti seštejerno, dobimo
Neenakost delimo z zadnjim faktorjem , ki je razl ičen od O (zakaj?) , upo-
števamo 1 - 1/q = lip , pa smo pri (1). Neenakost Minkowskega je tako
dokazana.
Slika 1.
350
Oglejmo si vse tri neenakosti v posebnem primeru p = 2. Ker je tedaj
tudi q = 2 , pre ide Youngova neenakost v zn ano neenačbo
xy ::; ~ (x2 + y 2 ) •
ki sledi tudi iz neenakosti (x - Yf ~ O. V Hi:ilderjevi neenakosti , ki se tedaj
glasi
(XI Yl + . . . + xn Ynf ::; (xl + ... +x~) , (YI + . . .+ Y~),
prepoznamo Cam:hyjevo neenakost4 . Neenakost Minkowskega pa Je v
primeru p = 2 znana trikotniška neenakost :
Zakaj se neenakost imenuje trikotni ška , vidimo s slike 1, kjer smo zaradi
enostavnosti vzeli n = 2 . Koordinate točk na sliki so A(O, O) , B(Xl, X2) in
C( Xl +YI, x 2 + Y2 ). Trikotniška neenakost je posledica naslednjega očitnega
dejstva o razdaljah : razdalja med
točkama A in C ni nikoli večja od
vsote razdalj od A do B in od B
do C. Grški matematik Evklid je
o tem dejstvu že v tretjem stoletju
pred našim štetjem zapisal nasled -
nje : "To ve vsak osel. Postavi kopi-
co sena v eno oglišče trikotn ika in
osla v drugega. Da bi dobil svoje se-
no, osel zaneslj ivo ne bo šel vzdolž
dveh stranic ."
Končajmo z nalogami . Reš itve prvih treh nalog so elementarne, zadnji
dve pa zahtevata poznavanje pojma odvoda oziroma integrala.
1. S pomočjo neenakosti Minkowskega poka ži, da za vsak p > 1 ln vsak
n E IN velja neenakost
(
n +
2
l) P .lP + 2P + 3P + ...+ nP ~ n .
4 V svoji knjigi "Cours d'analyse" JO Je leta 1821 zapisal francoski matematik
A.L.Cauchy.
2. PokaiLi, da v Hsiderjtvi ntcnakosti velja maw natanko tcdaj, ko ob- 
stajata taki ncnegativni konstanti P in b, da jc ax: = by: za vse 
& = 1 , 2 ,  ... " n .  
3. DekaZi, da v neenakwti Minkwvskega velja mahj tedsj in It ttdaj, ko 
obstajata taki nsnegativni konstanti a in b. da j c  a X k  = byk za me 
k = l , 2  ,..., n. 
XP 1 
f ( x ) =  - + - - x ,  
P 9 
podaj alternativni dokat Youn- 
gave neenakosti I (Namig: naj- 
prcj se prcprihj, da je dcvolj 
pokarati, da jt f(x) 2 0, in 
pottm to tudi dokaiti.) 
5. lrrarunaj plo3Eini tikov pod in 
nad krivuljo v = u p 1  oziroma 
u = vq-l,  kjer je ( p  - 1)(q - 
1)  = 1 (gtej sliko 2 )  ! Ugotovi, 
k a k h  je gaometrijski poman 
Youngow neenakaeti ! Stika 2 
Roman Drnovrtk