i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 190 — #4
i
i
i
i
i
i
Vesti
reˇ sitve, ki privzamejo, da je kakˇ sna od dejansko obrnljivih matrik (recimo
A−B ali C +A
−1
) obrnljiva.
Pogosto se uˇ stejemo tudi pri teˇ zavnosti nalog. Letos tako noben od
ˇ studentov ni priˇ sel niti blizu reˇ sitvi naslednje naloge:
Prvi dan, ˇ cetrta naloga: Naj bo p(z) = a
0
+a
1
z +···+a
n
z
n
polinom
s kompleksnimi koeficienti in 1 = c
0
≥ c
1
≥ ... ≥ c
n
≥ 0 konveksno
zaporedje realnih ˇ stevil (to pomeni, da je 2c
k
≤ c
k−1
+ c
k+1
za k =
1,2,...,n−1). Pokaˇ zi, da za polinom q(z)= c
0
a
0
+c
1
a
1
z+···+c
n
a
n
z
n
velja
max
|z|≤1
|q(z)|≤max
|z|≤1
|p(z)|.
Meni osebno je bila najbolj vˇ seˇ c naslednja naloga:
Drugi dan, tretja naloga: Naj bosta A in B kvadratni kompleksni ma-
triki, za kateri velja A
2
B +BA
2
= 2ABA. Pokaˇ zi, da za dovolj veliko
naravno ˇ stevilo k velja (AB−BA)
k
=0.
Naˇ sa ˇ studentka
ˇ
Spela
ˇ
Spenko je ˇ cudovito in zelo kratko reˇ sitev dobila s
pomoˇ cjo znanih dejstev o nilradikalih.
Ena od lepˇ sih uradnih reˇ sitev pa uporabi le znanje linearne algebre:
Najprej pokaˇ zimo, da komutator X = AB−BA komutira z A:
AX−XA=(A
2
B−ABA)−(ABA−BA
2
)= A
2
B+BA
2
−2ABA=0.
Ker je
X
m+1
= X
m
(AB−BA)= A(X
m
B)−(X
m
B)A,
je sled matrike X
m+1
enaka 0 za vse m≥ 0. Sledi matrik X, X
2
, ..., X
n
so vsote ustreznih potenc lastnihvrednostimatrike X. Zato morajo bitivse
lastne vrednosti niˇ celne in matrika X je nilpotentna.
Marjan Jerman
MATEMATI
ˇ
CNO RAZISKOVANJE NA MARSU
V okviru DMFA Slovenije smo poleti ˇ ze ˇ cetrto leto zapored organizirali
MARS – MAtematiˇ cno Raziskovalno Sreˇ canje, namenjeno ˇ sirˇ semu krogu
srednjeˇ solcev. Sreˇ canje je potekalo od 16. do 22. avgusta na Fakulteti za
matematiko, naravoslovje in inf. tehnologije v Kopru. Vsebinski poudarek
sreˇ canja je na ustvarjalnem raziskovanju matematiˇ cnih problemov in njiho-
vega ozadja, ne pa na tehnikah reˇ sevanja tekmovalnih nalog.
190 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5

i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 191 — #5
i
i
i
i
i
i
Matematiˇ cno raziskovanje na MARSu
V pestrem programu je sodelovalo okoli 25 dijakov iz vse Slovenije, ki so
v okviru letoˇ snje vodilne teme
”
Oblika prostora“ sodelovali v delavnicah in
pripravilinekajkrajˇ sihskupinskihprojektovokrivuljah,fraktalih,neevklid-
ski geometriji ter veˇ crazseˇ znih objektih. Pri izvedbi delavnic so sodelovali
Uroˇ s Kuzman, Gaˇ sper Zadnik, Dejan
ˇ
Siraj, David Gajser, Nino Baˇ siˇ c in
Maja Alif, razen prvega vsi ˇ se ˇ studentje matematike na FMF Univerze v
Ljubljani.
Kot vsako leto pa je krajˇ sa predavanja o vlogi matematike v sodobni
druˇ zbi za dijake pripravilo tudi nekaj uglednih slovenskih raziskovalcev:
prof. dr. Sandi Klavˇ zar (Hanojski stolpi), doc. dr. Emil
ˇ
Zagar (Bezierjeve
krivulje), doc. dr. Martin Milaniˇ c (Matematika v biologiji: iskanje popol-
nih filogenetskih dreves) in doc. dr. Aljaˇ z Ule (Teorija iger: matematika
strateˇ skega odloˇ canja).
Tudi letos je MARSovske strokovne aktivnosti spremljal domiseln dru-
ˇ zabni program, ki se je zaˇ cel s spoznavnim veˇ cerom, imenovanim Vzlet. Na
Olimpijskem veˇ ceru so svoje prigode in vtise s tekmovanj predstavili udele-
ˇ zenciˇ stirih letoˇ snjih mednarodnih olimpijad: matematiˇ cne (Anja Komatar,
Matjaˇ zLeonardis,MatejAleksandrov),fizikalne(FilipKozarski),raˇ cunalni-
ˇ ske(Matjaˇ zLeonardis,
ˇ
ZigaHam, MatejAleksandrov, NaceHudobivnik)in
lingvistiˇ cne (Anja Komatar, Katja Klobas, Boris Mitrovi´ c). Veliko MAR-
Sovsko pustolovˇ sˇ cino, zabavno orientacijsko tekmovanje z matematiˇ cnimi
ugankami, so dijaki zaˇ celi s fizikalnimi poskusi v koprskem Centru eksperi-
mentov, konˇ calipanaukrivljeniploskvivelikegatoboganavvodnemparku.
Obiske plaˇ ze v prostem ˇ casu so dijaki popestrili z igrami za utrjevanje mo-
ˇ stvenega duha, skoraj vsak veˇ cer pa so se pozno v noˇ c zabavali z namiznimi
strateˇ skimi igrami od ˇ saha do katancev. Ko so v petek zjutraj konˇ cali s
pripravo projektov, so si za oddih v kinu ogledali ˇ se film
”
21 – Razpad Las
Vegasa“, hollywoodsko interpretacijo zgodbe o skupini ˇ studentov matema-
tike, ki je uspeˇ sno goljufala velike igralnice.
Zares pestro dogajanje na MARSu je obˇ sirneje predstavljeno na spletni
strani . Kot vodja programa pa lahko reˇ cem, da
se MARSa veˇ cinoma udeleˇ zujejo dijaki, ki so kot z drugega planeta: ustvar-
jalni, polni energije, radovednosti, matematiˇ cnih idej in zabavnih domislic,
zato je delo z njimi nadvse prijetno. Obenem bi se za gostoljubje zahvalil
prof. dr. Draganu Maruˇ siˇ cu, dekanu Fakultete za matematiko, naravoslovje
in inf. tehnologije v Kopru, kjer je potekala veˇ cina strokovnih dejavnosti.
MARS 2009 sta finanˇ cno podprla tudi Ministrstvo za visoko ˇ solstvo, zna-
nost in tehnologijo ter
ˇ
Studentska organizacija Univerze v Ljubljani, konˇ cal
Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5 191

i
i
“budimp2009” — 2009/11/19 — 11:17 — page 192 — #6
i
i
i
i
i
i
Vesti
(foto: Jernej Filipˇ ciˇ c)
pa se je v soboto, 22. avgusta, ko so se predstavitve dijaˇ skih projektov z
zanimanjem udeleˇ zili tudiˇ stevilni starˇ si udeleˇ zencev.
Boˇ stjan Kuzman
MATEMATI
ˇ
CNE NOVICE
Nagrada za najboljˇ si ˇ clanek iz Uporabne linearne algebre
Tonagrado(SIAG/LAPrize)podeljujeSekcijazalinearnoalgebroznane
organizacije SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) vsako
tretje leto. Letos sta jo dobila profesor dr. z Univerze v Za-
192 Obzornik mat. fiz. 56 (2009) 5