IZDAJA DRUŠTVO MATEMATIKOV, FIZIKOV IN ASTRONOMOV SLOVENIJE
ISSN 0473-7466
2013 Letnik 60
OBZORNIK
ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

fN >
-
" , ' H
OBZORNIK MAT. FIZ. • LJUBLJANA • LETNIK 60 • ŠT. 4 • STR. 121-160* JULIJ 2013
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2013, letnik 60, številka 4, strani 121-160
Naslov uredništva: DMFA-založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski racun: 03100-1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešic, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Janez Juvan.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Clani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 21 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 10,50 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino
40 EUR. Posamezna številka za člane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o rečipročnosti z Ameriškim matematičnim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi meseč.
(g 2013 DMFA Slovenije - 1914	Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz matematike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvleček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS) in čitirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (čopyright). Prispevki so lahko oddani v računalniški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk je 12 pt, razmik med vrstičami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj napisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima rečenzentoma, ki morata predvsem natančno očeniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Ce je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različič urejevalnikov TgX oziroma LTgX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
RIMSKO DOMINANTNO ŠTEVILO
POLONA PAVLIC1, JANEZ ŽEROVNIK2'3
1 Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Univerza v Mariboru 2Fakulteta za strojništvo, Univerza v Ljubljani 3Institut za matematiko, fiziko in mehaniko
Math. Subj. Class. (2010): 05C69
Na podlagi motivacije iz vsakdanjega življenja predstavimo koncept dominacije ter rimske dominacije. Natančneje se posvetimo slednji. Predstavimo nekaj osnovnih lastnosti koncepta ter jih uporabimo za dolocitev vrednosti rimskih dominantnih stevil nekaterih posebnih družin grafov.
THE ROMAN DOMINATION NUMBER
We present a concept of the domination and the Roman domination based on motivation from everyday life. We focus our attention to the Roman domination and present some basic properties of this graph invariant. Using these properties we determine the exact values of the Roman domination number of some special graph classes.
Uvod
Predstavljajmo si, da želimo po državi razporediti centre za reševanje tako, da bo teh cim manj in da bodo reševalci prispeli na pomoc v vsako obcino v dogovorjeno kratkem casu. Probleme te vrste učinkovito opisemo v jeziku teorije grafov takole: Vsako lokacijo predstavimo s tocko, imenovano vozlišče, med dvema lokacijama pa narisemo crto (pravimo ji povezava), ce obstaja (hitra) pot med tema lokacijama. Tako množico vozlisc skupaj s povezavami imenujemo graf in jo oznacimo z G = (V,E), kjer V pomeni mnozico vozlisc, E pa mnozico povezav, tj. urejenih parov vozlisc. Ce med dvema vozliscema obstaja povezava, pravimo, da sta sosednji. Mnozico vseh sosedov vozlisca u grafa G po navadi oznacimo z N(u). Naj bo se N [u] = N (u) U {u}. Število sosedov vozlisca u imenujemo .stopnja vozlišča u. Najvecjo med vsemi stopnjami vozlisc vcasih oznacimo z A(G).
Problem razporeditev resevalnih enot lahko sedaj opisemo takole: obcine predstavimo z grafom, nato pa vsako vozlisce oznacimo bodisi z 0 bodisi z 1. Pri tem 0 pomeni, da na lokaciji ni resevalne enote, 1 pa, daje. Ce te oznake grafa izberemo tako, da je vsaka 0 sosednja z neko 1, potem dobimo zgoraj opisano situacijo. Pravimo, da smo tedaj graf dominirali, najmanjsemu moznemu stevilu enic, ki jih potrebujemo, da bo graf dominiran, pa pravimo dominantno število grafa,, 7(G). Mnozici vozlisc, oznacenih z 1 v dominaciji grafa, pravimo tudi dominantna množica. Dominantni mnozici, ki ima 7(G) elementov, vcasih recemo tudi 7-množica.
Poglejmo sedaj nekaj primerov dominantnih števil preprostih grafov, ki jih najdemo na sliki 1. Prvi primer predstavlja graf, ki ima vse možne povezave na danih vozliscih. Imenujemo ga poln graf na sestih vozliscih. Poln graf na n vozli scih označimo s Kn. Očitno je 7(Kn) = 1. Vozlisce dominantne mnozice je obarvano temneje. Na tem mestu definirajmo se komplement grafa G, ki ga oznacimo z G. To je graf, katerega mnozica vozli sc je enaka mnozici vozli sc grafa G, povezave v komplementu pa so med tistimi vozlisci, kjer v osnovnem grafu povezav ni bilo. Komplement polnega grafa Kn je graf brez povezav. Ocitno je 7(Kn) = n. Drugi graf
s slike 1 imenujemo cikel na n vozliscih, Cn. Razmislite, da je v splosnem n
Y(Cn) = — . Podobno velja tudi za grafe, imenovane poti na n vozli scih,
3 I
Pn. Tak graf ima podobno kot cikel n vozlisc, med njimi pa izpustimo eno
n
izmed povezav cikla. Tudi zanje je 7(Pn) = — . Zadnji graf na sliki 1
3
imenujemo mreza ter jo oznacimo z G^,n. V nasem primeru je k = 4 in n = 3. Za te grafe je bila dolocitev dominantnega stevila dolga leta neznanka - obstajala je domneva, ki pa ni bila dokazana vse do leta 2011 [3].
-o-
-o
O-C	p-<	»-O
0-C	5-<	1-O
Slika 1. Dominantne množice nekaterih grafov.
Rimska dominacija
S taksnim opisom razporeditev re sevalnih enot v mestu se nam lahko zgodi sledeca situacija: re s evalna enota iz mesta, oznacenega z 1, mora posredovati pri nekem sosedu, ki nima svoje re s evalne enote (je oznaceno z 0). Hkrati pa se v tem mestu, ki je poslalo re sevalno ekipo k sosedom, zgodi nesreca.
V taki obliki dominacije torej nimamo nikakrsne rezerve, ki pa je v realnih situacijah se kako pomembna. Enega takih zanimivih problemov je ze v casu svojega vladanja rimskemu imperiju v 4. stoletju postavil cesar Konstantin [6, 7, 8]. Ko je prevzel vladanje rimskemu imperiju, se je ta raztezal od severne Afrike, prek Male Azije do polovice Britanije ter cez celotno Iberijo na zahodu (slika 2). Predhodniki so cesarju v dolga leta tra-jajocih vojnah osvojili ogromno ozemlja, a sosednji narodi so vse mocneje vpadali na zavzeta obmocja in vojska rimskega imperija se je ob posredovanjih prepolovila. Konstantin je tako postavil vprasanje, kako z legijami, ki so mu ostale, zastraziti province tako, da bodo bodisi zastrazene z manj so enoto vojske, bodisi bo v provinco lahko prisel na pomoc del vojske iz so-
Slika 2. Rimski imperij v 2. stoletju [9].
sednje province, ki pa bo zastražena z večjo enoto vojske in tako tudi po posredovanju pri sosedih ne bo ostala nezastražena.
Opazimo, da je tudi to neke vrste dominacija, vendar tukaj dominiramo graf, ki predstavlja na primer ozemlje rimskega imperija, z dvema različnima vrstama vozlisč - takimi, ki dominirajo le sebe, ter takimi, ki dominirajo sebe ter vsa sosednja vozlisča. V jeziku teorije grafov bomo sedaj vozlisča grafa označili z elementi mnozice {0,1,2} tako, da bo vsako vozlisče, označeno z 0, sosednje z vsaj enim, ki je označeno z 2. Vozlisča, označena z 1, rabijo le za to, da dominirajo sama sebe in nimajo vpliva na sosede. Tak tip dominačije po zgodbi, ki smo jo navedli zgoraj, imenujemo rimska dominacija. Najmanjsa izmed vsot takih oznak vozlisč je rimsko dominantno .število grafa. Poglejmo si se formalno definičijo [2]:
Definicija 1. Rimska dominantna funkcija grafa G = (V, E) je taka preslikava f : V —> {0,1, 2}, pri kateri je vsako vozlisče u s f (u) = 0, sosednje z nekim vozlisčem v s f (v) = 2. Vrednost rimske dominantne funkčije je ste-vilo w(f) = ^ veV (G) f (v). Najmanjsi vrednosti rimske dominantne funkčije grafa G pravimo rimsko dominantno število grafa G in ga označimo z yr(G).
Rimsko dominantno funkčijo (kratko RDF), ki realizira w(f) = yr(G), imenujemo tudi YR-funkcija. Glede na neko rimsko dominantno funkčijo
f lahko množico vozlišč grafa G zapi šemo kot urejeno particijo (V0, V1, V2) množice V, kjer je Vi = {v e V | f (v) = i} za i e {0,1,2}. Pi šemo tudi f = (Vo,Vi,V2). Vpeljimo še oznako ni = \Vi\ za število vozlišč v Vi za i = 0,1, 2. V tem jeziku je vrednošt rimške dominantne funkcije f = (V0, V1, V2) enaka w(f) = n1 + 2n2.
Razmišlite, da lahko na tak nacin š pomocjo enega vozlišca z oznako 2 ucinkovito odbijemo le en napad na njegovega šošeda, ki ima oznako 0. Primer, ko lahko vozlišce pošreduje pri vec hkratnih napadih na šošednje vozli šce, natancneje pojašnjuje definicija k-rimškega dominantnega števila [4], ki pa je tukaj ne bomo podrobneje opišovali.
Dodajmo še, da je dovolj preucevati povezane grafe (take, pri katerih za poljubni dve vozlišci obštaja pot med njima). Namrec, (rimško) dominantno število grafa, ki ni povezan, je všota (rimških) dominantnih števil njegovih povezanih komponent (delov). Zato, ce ne bo pošebej pišalo, imejmo v mišlih povezane grafe.
Lastnosti rimskih dominantnih funkcij
Zacnimo z nekaterimi preproštimi pošledicami definicije rimškega dominantnega števila, ki bodo korištne tako pri dokazovanju izrekov kot tudi za bolj š o predštavo o konceptu.
Trditev 2 ([1, 2]). Naj bo G = (V, E) graf na vsaj treh vozliščih in f = (V0, V1, V2) neka YR-funkcija grafa G. Potem velja:
1.	V1 U V2 je dominantna mnozica grafa G;
2.	V2 je y-množica grafa, induciranega1 na V0 U V2;
3.	neko vozlišče iz V1 je sosednje še največ z enim vozliščem iz V1;
4.	med vozlišči mnozic V1 in V2 ni povezav;
5.	YR(G) < |V(G)| — A(G) + 1.
Dokaz. Tocki 1 in 2 šledita direktno iz definicije rimškega dominantnega števila. Tocko 3 dokazemo takole: Naj bo f = (V0, V1, V2) YR-funkcija grafa G. Ce bi bilo neko vozlišce u e V1 šošednje z dvema razlicnima vozlišcema v,w £ V1, lahko tvorimo novo rimško dominantno funkcijo g takole: naj bo g(u) = 2, g(v) = g(w) = 0 ter g(x) = f (x) za vša druga vozlišca grafa G. Opazimo, da ima rimška dominantna funkcija g vrednošt za 1 manj šo od najmanjše mozne, kar je protišlovje.
1Graf, induciran na množici X C V (G), je graf, katerega množica vozlišč je množica X, povezave med vozlišci iz X pa so vse, ki so bile povezave med temi vozlišci tudi že v grafu G.
Poglejmo se tocko 4. Naj bo f = (V0, Vi, V2) taka YR-funkcija grafa G, da je uv povezava grafa G in je f (u) = 1 ter f (v) = 2. Potem je tudi f' = (V0 U {u}, Vi \ {u}, V2) YR-funkcija grafa G z za 1 manj so vrednostjo, kar pa je protislovje (f je bila YR-funkcija, torej RDF najmanj Se vrednosti, mi pa smo nasli se manj so).
Nazadnje se lotimo se tocke 5. Naj bo vozlisce u vozli s ce največje stopnje v G. Potem je f = (N (u), V (G) \ N [u] , {u}) RDF grafa G vrednosti w(f) = (|V(G)| - (A(G) + 1))+2 = |V(G)| - A(G) + 1.	-
Ker ocitno obstaja povezava med dominantnim stevilom ter rimskim dominantnim stevilom, bomo v nadaljevanju natancneje preucili, kak sen je odnos med tema grafovskima invariantama.
Trditev 3. Naj bo G graf. Potem velja:
1.	y(g) < yr(g) < 2y(G);
2.	yr(G) = y(G) natanko tedaj, ko je G = Kn.
Dokaz. Naj bo D neka Y-mnozica grafa G. Potem je (V (G) \ D, 0, D) rimska dominantna funkcija grafa G vrednosti 2y(G). Zato je yr(G) < 2y(G). Za poljubno YR-funkcijo f = (V0, Vi,V2) grafa G pa je mnozica Vi U V2 ocitno tudi dominantna mnozica grafa (ne nujno najmanj s a), zato je y(G) < n1 + n2 < n1 + 2n2 = yr(G), in tako je dokazana prva trditev.
Za grafe brez povezav je ocitno yr(G) = y(G). Vzemimo nazadnje se tak graf G, da je yr(G) = y(G), in naj bo f = (V0, Vi, V2) neka njegova YR-funkcija. Ker je Vi U V2 dominantna mnozica, je, podobno kot zgoraj, Y(G) < + n2 < + 2n2 = yr(G), vendar morajo po predpostavki, ce pogledamo zacetek in konec neenakosti, povsod v resnici nastopati enacaji. Zato je n2 = |V2| =0. Po definiciji RDF je zato tudi Vo = 0. Torej je Yr(G) = = |V(G)| = n in zato tudi y(G) = n, iz cesar pa sledi, da je G nujno graf Kn.	■
Dodajmo se, da graf G, ki zadosca enakosti yr(G) = 2y(G), imenujemo rimski graf. Ena moznih preprostih karakterizacij rimskih grafov je naslednja:
Trditev 4. Graf G je rimski graf natanko tedaj, ko obstaja taka YR-funkcija grafa G, da je Vi = 0.
Dokaz. Naj bo G graf in recimo, da obstaja taka yr-funkcija f = (V0, Vi, V2) grafa G, da je Vi = 0. Potem je vrednost te YR-funkcije w(f) = ni + 2n2 = 0 + 2n2, in ker je mnozica V2 tudi dominantna mnozica, je w(f) = 2n2 > 2y(G). Po trditvi 3 je w(f) = yr(G) < 2y(G), zato je w(f) = 2y(G). Torej je G rimski graf.
Za dokaz v drugo smer vzemimo rimski graf G. To je tak graf, da je yR(G) = 2y(G). Ker je Vi U V2 dominantna mnoZica grafa G ter je Vi n V2 = 0, je y(G) < | Vi U V2| = ni + n2. Ker pa je G rimski graf, je
2y(G) = 2ni + 2n2 = yr(G) = ni + 2n2, iz cesar sledi, da je ni = 0 oziroma Vi = 0.	■
Na primerih s slike 1 so rimski grafi polni grafi Kn za n > 1 ter cikli C3k in C3k+2. Tretji graf s slike 1, mreza G4,3, je primer grafa, ki ni rimski. Razmislite, da je yr(G4,3) = 7.
Glede na trditev 3 bi bilo zanimivo pogledati se, koliksna je lahko dejanska razlika med yr in 2y. Iz preprostega primera grafa, imenovanega subdividirana zvezda, S i,8 na sliki 3, lahko vidimo, daje razlika med Yr(G) in 2y(G) lahko poljubno velika. Na desni sliki, ki prikazuje Yr-funkcijo, je crno vozlisce iz V2 v YR-funkciji, siva vozlisca pa so vozlisca iz Vi v yr-funkciji. V splosnem za subdividirano zvezdo velja, daje rimsko dominantno stevilo yr (Si,n) = 2 + n, medtem ko je dvakratnik dominantnega stevila
2y (Si,n) = 2n.
Slika 3. 7-množica in YR-funkcija subdividirane zvezde S1i8.
Določiti rimsko dominantno stevilo poljubnega grafa je zelo tezek problem. V matematiki take tezke probleme (vecina res zanimivih je takih) imenujemo NP-polni problemi. Pojasnimo, kaj to pomeni.
Recimo, da imamo neki odlocitveni problem. To je tak, na katerega lahko odgovorimo z da ali ne. Ce zanj obstaja resitev, ki jo lahko poi-scemo dovolj hitro (v jeziku algoritmov v polinomskem casu), pravimo, da ta problem pripada razredu P. Ce pa za problem znamo za mozno resitev v polinomskem casu preveriti, ali je prava, pravimo, da problem pripada razredu NP. Gotovo je P C NP, ne ve pa se, ali je morda P = NP. Vecina raziskovalcev deluje, kot da to ni res. Problem, ali je P = NP, je eden od sedmih problemov tisocletja, ki jih je leta 2000 objavil ameriski
Clay Mathematics Institute. Za resitev vsakega od njih je razpisal nagrado milijon ameriskih dolarjev. Do danes je bil resen le eden (Poincarejeva domneva). Torej ob predpostavki, da je P = NP, to, da je neki problem NP-poln, nekoliko poenostavljeno receno pomeni, da ne obstaja dovolj hiter algoritem (polinomski), ki bi poiskal resitev zastavljenega problema, le za mozno re sitev lahko dovolj hitro preverimo, ali je prava. V nasem primeru je tak problem dolocitev rimskega dominantnega stevila poljubnega grafa [1]. Zato so se razlicni raziskovalci omejevali na iskanje rimskih dominantnih stevil manj sih druzin grafov. O nekaterih rezultatih smo govorili ze pri rimskih grafih (za polne grafe in cikle).
Grafi z majhnimi rimskimi dominantnimi števili
Za konec se karakterizirajmo grafe, ki imajo rimsko dominantno stevilo 2 ali 3. Take grafe bomo opisali v jeziku maksimalne stopnje vozlisc grafa. Rimsko dominantno stevilo 2 imajo natanko tisti grafi, ki premorejo vozli-sce stopnje |V(G)| — 1, rimsko dominantno stevilo 3 pa grafi, ki premorejo vozli sce stopnje |V(G)| — 2, ne pa vozli sca stopnje |V(G)| — 1.
Trditev 5 ([5]). Za povezan graf G na vsaj dveh vozliščih so naslednje trditve ekvivalentne:
1.	yr(G) = 2;
2.	Y(G) = 1;
3.	A(G) = |V(G)| — 1.
Dokaz. Naj bo n = |V(G)|. C e graf G vsebuje vozli s ce stopnje n — 1, potem je ocitno y(G) = 1 in yr(G) = 2.
Recimo sedaj, da je y (G) = 1 in u G V (G) dominira G. Potem je f = (V(G) \ {u} , 0, {u}) yr-funkcija grafa G (ker je G povezan in ima vsaj dve vozlisci).
Naj bo nazadnje se yr(G) = 2. Ce je f = (V(G) \ {u}, 0, {u}) yr-funkcija grafa G, potem mora biti vsako vozlisce iz V (G) \ {u} sosednje z u, z drugimi besedami, u je stopnje n — 1. Po drugi strani pa je lahko tudi f = (V(G) \ {u, v} , {u, v} , 0) YR-funkcija grafa G, katere vrednost je 2. To pa se lahko zgodi samo v primeru, ko je G graf K2 (G je povezan). V tem posebnem primeru sta obe vozli s ci stopnje n — 1.	■
Trditev 6 ([5]). Naj bo G povezan graf na vsaj dveh vozlisčih. Tedaj je Yr(G) = 3 natanko tedaj, ko je A(G) = |V(G)| — 2.
Dokaz. Naj bo yr(G) = 3 in naj bo f = (V0, Vi, V2) neka YR-funkcija grafa G. Ce je V2 = 0, je ocitno |V(G)| = 3, in ker je G povezan, je to bodisi
P3 bodisi K3. Ampak yr(P3) = Yr(K3) = 2, kar je protislovje. Zato je
|Vi| = |V2| = 1.
Naj bo u G V\ in v G V2. Po trditvi 2, tocka 4, uv ni povezava grafa G, vsa druga vozliSca grafa G pa morajo biti po definiciji RDF sosednja z v. Zato je v stopnje | V(G)| — 2. Trditev 5 zagotavlja, da G nima vozlisca visje stopnje, to je stopnje | V(G)| — 1.
Da dokončamo dokaz, recimo, da je A(G) = |V(G)| — 2. Potem je po tocki 5 trditve 2 yr(G) < |V(G)| — (|V(G)| — 2) + 1 = 3, ker velja trditev 5, pa je tudi Yr(G) > 3. Torej je Yr(G) = 3	■
Glede na zadnji trditvi je na prvi pogled videti, da bi lahko veljalo, da je yr(G) = 4 natanko tedaj, ko je A(G) = | V(G)| — 3. Graf s slike 4 je tak, da je yr(G) = 4, A(G) = 6, vozlisc pa ima kar 12. Vsaj v eno smer torej ta trditev ne drzi. Sami pa lahko preverite, ali velja, da iz A(G) = |V(G)| — 3 sledi, da je Yr(G) = 4.
LITERATURA
[1]	E. W. Chambers, B. Kinnersley, N. Price in D. B. West, Extremal problems for Roman domination, SIAM Journal on Discrete Mathematics 23 (2009), 1575-1586.
[2]	E. J. Cockayne, P. A. Dreyer, S. M. Hedetniemi in S. T. Hedetniemi, Roman domination in graphs, Discrete Mathematics 278 (2004), 11-22.
[3]	D. Goncalves, A. Pinlou, M. Rao in S. Thomasse, The domination number of grids, SIAM Journal on Discrete Mathematics 25 (2011), 1443-1453.
[4]	M. A. Henning, Defending the roman empire from multiple attacks, Discrete Mathematics 271 (2003), 101-115.
[5]	T. Kraner Sumenjak, P. Pavlic in A. Tepeh, On the Roman domination in the lexicographic product of graphs, Discrete Applied Mathematics 160 (2012), 2030-2036.
[6]	C. S. ReVelle, Can you protect the Roman Empire, Johns Hopkins Magazine 49 (1997), 40.
[7]	C. S. ReVelle in K. E. Rosing, Defendens Imperium Romanum: a classical problem in military strategy, The American Mathematical Monthly 107 (2000), 585-594.
[8]	I. Stewart, Defend the Roman Empire!, Scientific American 281 (1999), 94-96.
[9]	Ancient Rome, www.en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Rome, ogled september 2012.
VEC KOT 150 DECIMALK KROŽNE KONSTANTE PRED LETOM 1800
Math. Subj. Class. (2010): 01A50, 01A55
V prispevku je na podlagi nekaterih virov pokazano, da je neznani avtor pred letom 1800 izračunal 152 pravilnih decimalk Števila n.
MORE THAN 150 DIGITS OF THE CIRCULAR CONSTANT
BEFORE 1800
In this contribution, it is shown on the basis of references, that an uknown author correctly calculated 152 digits of the number n before the year 1800.
O številu n, krožnem številu ali krožni konstanti, to je razmerju med obsegom in premerom kroga, je bilo že veliko napisanega, veliko truda je bilo vloženega v računanje njegovih decimalk, v doseganje rekordov števila le-teh in raziskave njegovih lastnosti, kljub temu pa ne bo prav nič odveč, če dodamo se nekatera, morda za marsikoga manj znana dejstva.
Vse do Isaaca Newtona (1643-1727) so stevilo n računali z metodo krogu včrtanih in očrtanih pravilnih večkotnikov, tako kot je to počel ze Arhimed iz Sirakuz (zivel je priblizno od leta 287 do leta 212 pred nas im s tetjem), in posebnega napredka v stevilu točnih dečimalk stevila n pravzaprav ni bilo. Nekateri posamezniki so ga računali leta in leta.
Sam Newton stevila n sičer ni izračunal na prav veliko dečimalk, ker je svoj intelekt usmeril v pomembnej se stvari, je pa uporabil bistveno novost, in sičer stevilske vrste. Kako? V danasnjem jeziku bi rekli, da je vzel krog, omejen s krozničo x2 + y2 = x, od katerega je s premičo x = 1/4 odrezal odsek in zapisal njegovo plosčino na dva načina: najprej po srednje solsko kot razliko plosčin kroznega izseka z notranjim kotom 120° in temu včrtanega enakokrakega trikotnika ter z integralom funkčije x ^ Vx — x2 na intervalu [0,1/4]. Pojem integrala funkčije se je ravno začel porajati v Newtonovem času. Ker je ze poznal binomsko vrsto tudi za nečele eksponente, mu to ni bilo tezko. Brez posebne zadrege jo je členoma integriral in nazadnje dobil za računanje stevila n popolnoma uporaben rezultat:
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta Univerza v Ljubljani
Newton in Sharp
Sestel je nekaj členov dobljene vrste, izračunal se \/3, pri čemer je vse delal na primerno stevilo decimalk natančno, in leta 1666 nasel pravilen pribliZek za stevilo n na 15 decimalk.
V Newtonovih časih je bila Ze znana vrsta
n=0
x2n+1
arctg x = £(-l)n 2nTT,	(1)
ki absolutno konvergira, ce je \x\ < 1, pogojno pa za x = ±1. Ponovno jo je odkril Škotski matematik James Gregory (1638-1670). Ponovno smo zapisali zato, ker jo je poznal Ze Madhava iz Sangamagrame (1340-1425) v juZni Indiji, in sicer v enakovredni obliki, ki jo dobimo, ce v (1) vstavimo x = tg (, pri cemer mora za absolutno konvergenco veljati \x\ = \ tg (\ < 1.
Angleski matematik in astronom Abraham Sharp (1653-1742) je v vrsto (1) vstavil x = \/3/3, dobil po poenostavitvi
{ -i \n
n = 2^3 V ( 1) ,	(2)
^ 3n(2n + 1)	w
n=0
in uspelo mu je leta 1699 najti 71 točnih decimalk stevila n, kar je bil znatno bolj si rezultat kot vsi drugi do takrat. Formula (2) je nerodna zaradi faktorja \/3, ki ga je tudi treba natancno izracunati na veliko stevilo decimalk.
Machin, Jones, de Lagny, Euler in Vega
Na sreco pa imajo trigonometrične funkcije adicijske izreke s svojimi posledicami, s katerimi doseZemo mnogo hitrejso konvergenco. Ena takih je Machinova formula (podrobnosti izpeljave so na primer v [16])
n = 4 arctg 1 - arctg ,	(3)
poimenovana po angleskem matematiku in astronomu Johnu Machinu (1680-1751), ki je oba clena v (3) po formuli (1) razvil v vrsti, sestel dovolj clenov in izracunal stevilo n na 100 pravilnih decimalk. Pri tem je ocitno potekal ves racun samo z racionalnimi stevili. William Jones (1675-1749) iz Walesa je leta 1706 opisal Machinov uspeh z vsemi stotimi decimalkami stevila n, avtorja zelo pohvalil glede natancnosti in predlagal, da se krozno konstanto oznaci s n, ker je to prva crka grske besede nspi^épsia, kar pomeni obod, krog. To besedo uporablja tudi Evklid v svojih Elementih.
Francoz Thomas Fantet de Lagny (1660-1734) je bil se bolj vztrajen kot Sharp, kajti z vrsto (2) je leta 1719 izracunal stevilo n na 127 decimalk,
dve leti kasneje pa je bil rezultat objavljen. Prvih 112 decimalk je v de Lagnyjevem rezultatu točnih, 113. decimalka pa je napačna (namesto 8 je zapisano 7), naslednje, od 114. do 127., pa so pravilne. Kljub temu mu priznajo le 112 točnih decimalk. Morda gre pri nesrečni 113. decimalki le za napako pri prepisovanju. Kot kaze, se dolgo vrsto let z racunanjem stevila n v smislu njegovih novih decimalk nihce ni vec resno ukvarjal in kot najboljsi dotakratni rezultat so po matematicnih besedilih se kaks nih 70 let navajali objavljeni de Lagnyjev priblizek z napako na 113. decimalki vred.
Leonhard Euler (1707-1783) je pri vsem svojem obseznem delu razvil tudi nekaj formul Machinovega tipa za izracun stevila n. Sam z racunanjem krozne konstante ni izgubljal dragocenega casa, izracunal je le 20 njenih decimalk leta 1755. S svojim velikim vplivom in avtoriteto pa je dosegel, da se jo se danes oznacuje s n, kar je prvi predlagal omenjeni Jones. Baron Jurij Vega (1754-1802) je uporabil Eulerjevo, tudi Huttonovo formulo
in leta 1789 poslal akademiji znanosti v Sankt Peterburg svoj izracun s tevila n na 143 decimalk z opisom postopka vred. Bil je preprican, da je 140 decimalk tocnih, v resnici pa jih je bilo tocnih samo 126. Je pa odkril, da je 113. de Lagnyjeva decimalka 8, ne pa 7. Akademija je z objavo precej kasnila: namesto leta 1791 je luc sveta Vegov n v Rusiji ugledal sele leta 1795. Toda Vega je najbrz sam ugotovil napako in leta 1794 v dodatku k svoji Popolni zakladnici logaritmov [15] objavil stevilo n na 140 decimalk, od katerih pa so zadnje 4 spet napacne. Uporabil je Eulerjevo formulo
Napako je naredil s tem, da je za arctg(1/7) uporabil kar delni rezultat iz leta 1789, arctg(3/79) pa je izracunal na novo. Oba clena imata napake na zadnjih nekaj mestih, kar prinese 136 pravilnih decimalk stevila n. Dobljeni rezultat so ponatisnili se 15 let po Vegovi smrti v njegovem ucbeniku. Ker avtoriziranega bolj sega rezultata tisti cas ni bilo, nihce pravzaprav ni vedel, katere decimalke od 126. naprej so pravilne.
Lahko recemo, da je Vega leta 1789 zru sil de Lagnyjev rekord iz leta 1719: 112 tocnih decimalk stevila n je povecal na 126, ce pac za pravilne decimalke stejemo samo tiste, ki so pred prvo nepravilno. Leta 1794 je Vega z objavo pravzaprav podrl svoj lastni rekord, izracunal je stevilo n na 140 decimalk, od teh je 136 pravilnih. Kdo je bil torej tisti, ki je izboljsal Vegov rekord?
Rutherford, Montucla in skrivnostni rokopis
Leta 1841 je angleški matematik William Rutherford (1798-1871) v [12] objavil 208 decimalk števila n, ki ga je izračunal po predelani Machinovi formuli:
1 1 1
n = 414 arctg 5 - arctg 70 + arctg 99
Opisal je postopek in zapisal, da se njegov izracun zagotovo ujema v 152 decimalkah z izracunom na rokopisu, ki lezi v Radcliffski knjiznici v Oxfordu. Angleski fizik John Radcliffe (1652-1714) pa je tisti, po katerem je knjiznica dobila ime. Žal je bilo kljub vsemu trudu samo teh Rutherfordovih 152 decimalk tocnih, vse nadaljnje pa napacne, o cemer pa Rutherford ni mogel vedeti, ker bolj sega rezultata takrat se ni bilo. Na vprasanje, ki ga mu je nekdo zastavil leta 1842 glede rokopisa v Oxfordu, je odgovoril, da ga sicer sam ni videl, da pa o njegovem obstoju ne dvomi, ces da je naveden z vsemi do takrat znanimi decimalkami v [7] iz leta 1841. Pod geslom Quadrature of the circle je res opisana vsa problematika v zvezi z obsegom in plo scino kroga ter seveda z racunanjem stevila n. Med drugimi je omenjen tudi Vega in njegovih 140 decimalk. Pomemben pa je zapis, da je astronom, geodet in matematik madzarskega rodu grof Franz Xaver von Zach (17541832) informiral Francoza Montucla o Radcliffskem rokopisu. Zach se je med letoma 1783 in 1786, kot prica njegov zivljenjepis, res mudil v Angliji kot tutor saskega odposlanca.
Sledili smo nekaterim rekordom v stevilu pravilnih decimalk stevila n. Sedaj smo prisiljeni nekoliko pobrskati se po francoskih virih. V njih spet srecujemo de Lagnyja, Vego in Radcliffski rokopis.
Francoz Jean-Etienne Montucla (1725-1799) je bil priznan zgodovinar matematike in je ze leta 1754 anonimno izdal knjigo z enakim naslovom kot [9], v kateri je obravnaval kvadraturo kroga, trisekcijo kota in podvojitev kocke, torej tri glavne matematicne anticne probleme. Nekaj let kasneje je izdal se obsezno delo Histoire des mathématiques [10]. Kmalu po njegovi smrti je spravil na svetlo raz sirjeno verzijo tega dela astronom Joseph Jerome Leframjois de Lalande (1732-1807), ki gaje bilo vredno omeniti tudi zato, ker je zelo pohvalil Vegovo Popolno zakladnico logaritmov [15]. V 4. zvezku [10] je objavljen de Lagnyjev n na 127 decimalk s podcrtano 113. decimalko. Omenjen je Vega, ki je odkril napako na tem mestu, in njegov izracun 126 oziroma 136 pravilnih decimalk stevila n. Nato so objavljene nadaljnje decimalke, vse do 154., ki so vse pravilne razen zadnjih dveh. Te je videl Zach v Radcliffskem rokopisu.
Delo [9] z imenom in priimkom avtorja je v razsirjeni in popravljeni obliki iz slo leta 1831. Matematik Sylvestre-Frarnjois Lacroix (1765-1843) je
Lagny, plus grande que 3,i4i59| »6535 89793 23846 26433 «3279 5o|a88 41971 69399 375io 68209*74944 5oa3o 78164 06286 20899^ 86280 34825 34211 70670!02148 o8651 3272Í 06647 09384 46, et moindre que le même nombre augmenté de l'unité. J'ai séparé par un trait les 32 décimales de Leulen. L'erreur sur un cerçle d'un diamètre cent millions de fois plus grand que celui de la sphère des étoiles fixes, en supposant fa parallaxe de l'orbe terrestre d'une seconde seulement, seroit encore plusieurs milliards de milliards de fois moindre que l'épaisseur d'un cheveu. Le n4e- chiffre » ou le chiffre 7 que nous avons marqué , doit être un 8; M- Véga s'en est assuré» comme on le voit dans ses grandes tables de logarithmes , page 633, on il donne les valeurs des séries. M. le baron de Zach a vu dans un manuscrit de la bibliothèque de Ratclif, à Oxford , le calcul poussé encore plus loin , et jusqu'à i55 chiffres; après 446, ajoutez 09 5*5o58 ak3i7 25359 40812 84802.
Slika 1. Del besedila iz leta 1802 v [10].
poskrbel za dodatke v knjigi. V dodatku v zvezi s kvadraturo kroga Lacroix malo pokara Montucla, ker ni izpeljal Machinove formule, in to naredi kar sam. Tudi tu je objavljen de Lagnyjev n na 127 decimalk, toda s pravilno 113. decimalko. Spet je omenjen nas Vega in njegovo računanje stevila n. Nato so objavljene nadaljnje decimalke, vse do 154., zapisane v Radcliffskem rokopisu. Ostaja pa popolna skrivnost, kdo je avtor omenjenega rokopisa. Novej se kronologije, ki se ukvarjajo s stevilom n, Radcliffski rokopis redkokdaj omenjajo, verjetno zato, ker je njegov avtor neznan. So pa tudi svetle izjeme, na primer [1]. Popolnoma dosledni pri tem sicer niso: egipcanski, babilonski in hebrejski priblizek so po navadi omenjeni, ceprav tudi tu avtorja ne poznamo. Ce je vse to res, je nekdo izracunal stevilo n na 152 tocnih decimalk ze pred letom 1800. Verjetnost, da bi kdo uganil pravilne decimalke od 128. do 152., je le 10-25.
Morda je za marsikoga presenecenje, da je leta 1822 Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832), nems ki profesor matematike v Gottingenu, v svojem ucbeniku [13] objavil 157 decimalk stevila n. Na tamkaj snji univerzi je takrat deloval tudi Carl Friedrich GauB (1777-1855), najboljsi takratni matematik sploh. Pravijo, da GauB ni nic kaj rad predaval, kajti Thibaut ga je kot izvrsten predavatelj popolnoma zasencil. Od kod sedaj Thibautu stevilo n na toliko decimalk? Ocitno so ga prepisovali in posiljali naokoli, in tako ga je dobil tudi Thibaut in uporabil v svojem ucbeniku, tako kot se marsikdo. Sicer pa je opisal postopek za izracun, ni pa navedel, od kod mu toliko decimalk. Sam si s tem ni belil glave, povedal je le to, da gre za naj-
natančnejši podatek. Ce pa pozorno pogledamo v njegov učbenik, opazimo napako Ze na 10. decimalki: namesto 5 piše 9. Naslednja napaka je pri 108. decimalki: namesto 6 stoji 3. Potem sledijo pravilne decimalke vse do 127. Sledita popolnoma napačni decimalki 4 in 6, za katerima pa je 6 pravilnih decimalk, samo za dve mesti pomaknjene v desno. Sledi decimalka 1, ki je napacna, nato pa kar 19 pravilnih decimalk, za tri mesta pomaknjene v desno. Zadnji dve, 156. in 157., pa sta napacni. Verjetno so napake nastale pri prepisovanju ali stavljenju v tiskarni, kajti v naslednji izdaji ucbenika [13] leta 1831 sta popravljeni 10. in 108. decimalka, izpuscene so v prejsnji izdaji vrinjene decimalke 4, 6 ter 1, in tako natiskano stevilo n je popolnoma pravilno na 152 decimalk. Napacni sta le zadnji dve, 0 in 2, kar se lepo vidi v tabeli, v kateri je zapisanih nekaj decimalk od vkljucno 107. naprej.
	1 1 1	1	1
	1 2 3	4	5
	0 0 0	0	0
prav	865132823066470938446095505822317253594081284811174...		
L 1719	865132723066470938446		
V 1789	8651328230664709384447672138611733138		
V 1794	8651328230664709384460955058226136		
T 1822	835132823066470938446460955051822317253594081284802		
T 1831	865132823066470938446095505822317253594081284802		
R 1841	865132823066470938446095505822317253594081284847378...		
D 1844	865132823066470938446095505822317253594081284811174...		
Pri tem kratica in letnica pomenita, kdo in kdaj je stevilo n objavil oziroma poslal v objavo: L — de Lagny, V — Vega, T — Thibaut, R — Rutherford, D — Dase. Podcrtane decimalke so napacne.
Dase in Straßnitzki
Leta 1844 je Johann Martin Zacharias Dase (1824-1861), tudi Dahse, izračunal 200 točnih decimalk Števila n po formuli
( 1 1 1A
n = 41 arctg 2 + arctg 5 + arctg ^ I .	(6)
Formulo (6) je izpeljal Leopold Karl Schulz von Straßnitzki (1803-1852). Rezultat je bil objavljen v nemški reviji Crelle's Journal, kar je popularno ime revije Journal für die reine und angewandte Mathematik, ki izhaja še danes, ustanovil pa jo je v Berlinu leta 1826 matematik August Leopold Crelle (1780-1855).
StraBnitzki takoj za petimi vrsticami decimalk števila n predstavi Daseja iz Hamburga kot nadpovprečnega racunarja, sposobnega izredno hitrega računanja na pamet z dolgimi večmestnimi stevili. Dase se je prezivljal s tem, da je po gostilnah za denar na pamet računal s takimi stevili. Ravno zaradi izjemne sposobnosti je StraBnitzki najel Daseja kot nekaksno zivo računalo, da mu je izračunal krozno konstanto na 200 decimalk, in to v dveh mesecih. Tako hitro morda tudi zato, ker v (6) nastopajo preprosta, za računanje lepa stevila. Mimogrede omeni tudi dokument v Radcliffski knjiznici in ujemanje Dasejevega izračuna na prvih 152 decimalkah. Prosil je celo oblasti, da bi mlademu Daseju pomagale najti primerno sluzbo, čes da ga bodo sicer Avstrijcem in Nemcem speljali Francozi ali Anglezi. Zal je Dase prej umrl, preden je dobil stalno zaposlitev.
StraBnitzki, rojen v Krakovu, je studiral matematiko, fiziko in se nekatere druge vede na Dunaju. Ko je končal studij, sta se hkrati sprostili mesti učitelja na liceju v Salzburgu in Ljubljani. Kot razberemo v [17], je delo leta 1827 dobil v Salzburgu, tam pa so ga posodili Ljubljani, kjer je med letoma 1827 in 1834 predaval elementarno matematiko na liceju in Franca Močnika (1814-1892), nasega izvrstnega matematičnega pedagoga in pisca ucbenikov, navdusil za studij matematike. Morda ravno zaradi vmesnega Salzburga v delu [2] najdemo podatek, da je v Ljubljani deloval od leta 1828 do 1834.
Ko je prisel v Ljubljano, je zapisal, da je znanstveno zivljenje v tem mestu precej na dnu. V Ljubljani je imel poleg svojega rednega dela tudi več neobveznih predavanj o matematiki in astronomiji. Iz Ljubljane se je preselil v Lvov, kjer je leta 1834 doktoriral in postal univerzitetni profesor. Nazadnje pa se je ustalil na Dunaju, kjer je razmeroma mlad umrl. Tudi na Dunaju je nadaljeval z neobveznimi predavanji. Pravijo, daje bilo zanimanje zanje toliksno, da je zaradi pomanjkanja prostora v predavalnicah nekatera predavanja tudi ponavljal.
Sklepne besede
Za konec omenimo, da je Rutherford se enkrat zbral svoje moči in stevilo n leta 1853 izračunal na 440 točnih decimalk. Takrat je bilo drugače: primerjal se je lahko z amaterskim angleskim matematikom Williamom Shanksom (1812-1882), ki je istega leta izračunal 517 točnih decimalk.
V zvezi z najbolj popularno matematicno konstanto povejmo, da se zadnja desetletja ne le računa vedno več in več njenih decimalk, ampak se odkrije tu pa tam se kaksna njena preprosta skrivnost. Tako je na pri-
mer sele leta 1989 Ko Hajasi objavil naslednjo povezavo števila n s cleni Fibonaccijevega zaporedja	= {0,1,1,2,3, 5, 8,...}:
DokaZemo jo z metodo matematične indukcije, z upostevanjem lastnosti Fibonaccijevih stevil in funkcije arctg. Za m = 2 dobimo iz (7) znano formulo (6).
[1]	R. P. Agarwal, H. Agarwal in S. K. Sen, Birth,, growth and computation of pi to ten trillion digits, Advances in difference equations 2013, 2013:100.
[2]	J. Ciperle, Podoba velikega uCiliSCa ljubljanskega. Licej v Ljubljani 1800-1848, Slovenska matica, Ljubljana, 2001.
[3]	Z. Dahse, Der Kreis-Umfang für den Durchmesser 1 auf 200 Decimalstellen berechnet, Journal für die reine und angewandte Mathematik 27 (1844), str. 198.
[4]	P. Eymard in J.-P. Lafon, The number n, AMS, Providence, Rhode Island, 1999.
[5]	W. Jones, Synopsis palmariorum matheseos, London, 1706.
[6]	T. F. de Lagny, Sur la quadrature du cercle, & sur la mesure de tout arc, tout secteur, & tout segment donné, Histoire de l'Academie royale des sciences (1719), 135-145, Paris 1721.
[7]	G. Long (urednik), The Penny Cyclopaedia of the Society for the diffusion of useful knowledge XIX, Charles Knight & Co., London, 1841.
[8]	U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A history of mathematics, Wiley, Hoboken, 2011.
[9]	J.-E. Montucla, Histoire de recherches sur la quadrature du cercle, Bachelier Pere et Fils, Pariz, 1831.
[10]	J.-E. Montucla, Histoire des mathématiques, 4. del, Henri Agasse, Pariz, 1802.
[11]	A. V. Popov in M. Zargi, Jurij Vega in njegove povezave s St. Petersbursko akademijo znanosti, v zborniku Jurij baron Vega in njegov cas, DMFA - zaloZnistvo in Arhiv Republike Slovenije, Ljubljana, 2006.
[12]	W. Rutherford, Computation of the ratio of the diameter of circle to its circumference to 208 places of figures, Philosophical transactions of the Royal Society of London, 1841, 281-283.
[13]	B. F. Thibaut, Grundriß der reinen Mathematik zum Gebrauch bey academischen Vorlesungen, Gottingen, Vandenhoek und Ruprecht, 1822 (četrta izdaja), 1831 (peta izdaja).
[14]	G. Vega, Détermination de la demi-circonférence d'un cercle, dont le diamètre = 1, exprimée en 140 figures décimales, Nova acta Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae IX (1791), Sankt Peterburg, 1795.
[15]	G. Vega, Thesaurus logarithmorum completus, Weidmann, Leipzig, 1794.
[16]	I. Vidav, Visja matematika I, DMFA - zaloznistvo, Ljubljana, 2008.
[17]	C. Wurzbach, Biographisches Lexikon des Kaiserthums Oesterreich 32, Verlag der Universitäts-Buchdruckerei, Dunaj, 1876.
LITERATURA
NA POTI DO NOVEGA KELVINA
JANEZ STRNAD
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
PACS: 06.20.fa, 06.20.Jr
Generalna konferenca za uteži in mere je priporočila, naj bi kelvin vezali na Boltzman-novo konstanto. V angleškem Državnem fizikalnem laboratoriju so to konstanto izmerili z relativno negotovostjo, manjšo od milijonine. Pri tem so morali premagati precej tezav. Tudi v drugih metroloskih laboratorijih so konstanto izmerili kar se da natančno. Nekateri so uporabili enak, drugi pa drugačen merilni način. Odločitev o novem dogovoru bo odvisna od merjenj v prihodnosti.
ON THE WAY TO A NEW KELVIN
The General Conference on Weights and Measures has recommended that the kelvin should be based on the Boltzmann constant. At the British National Physical Laboratory this constant was measured with a relative uncertainty less than 1 ppm. Thereby some difficulties had to be surmounted. The constant was measured in other metrological laboratories as well. Some used the same method of measurement and some used other ones. The decision concerning a new definition will depend on future measurements.
Po sedanjem dogovoru je kelvin vezan na trojno stanje vode pri temperaturi 273,16 K, to je 0,1 °C. Ce bi ga vezali na Boltzmannovo konstanto, se ne bi bilo treba sklicevati na lastnost snovi [7]. V angleSkem DrZavnem fizikalnem laboratoriju NPL v Teddingtonu so natančneje kot doslej izmerili Boltzmannovo konstanto [5]. O tem so poročale stevilne s fiziko povezane revije [6] in internet. Kot pri vseh zelo natančnih merjenjih so morali premagati vrsto tezav. Opisimo nekaj pomembnih korakov pri tem merjenju in omenimo druga prizadevanja v tej smeri.
Pred sestimi leti so v omenjenem laboratoriju razmisljali, kako bi pri merjenju Boltzmannove konstante dosegli relativno negotovost 10-6. Odločili so se za merjenje hitrosti zvoka v plinu. Hitrost zvoka c v enoatomnem plinu pri majhnem tlaku je povezana z Boltzmannovo konstanto ks:
3Mc2
ksT = W	(1)
Pravzaprav so izmerili velikost produkta ks T, v katerem se konstanta v statistični mehaniki pojavi skupaj s temperaturo. Po starem dogovoru je temperatura trojnega stanja vode natančno določena in je z znanim produktom mogoče izračunati Boltzmannovo konstanto. Po novem dogovoru bi postala Boltzmannova konstanta natančno določena in bi s produktom izračunali temperaturo.
Slika 1. Bakreni resonator visi v tlačni posodi, ta pa v 25 litrski izotermni posodi: resonator 1, tlačna posoda 2, izotermna posoda 3. Resonator ima več odprtin za anteni, zvočnik in mikrofon ter dovod in odvod plina [5].
Avogadrovo konstanto Na poznamo z relativno negotovostjo 0,044T0-6. Maso mola plina M je mogoče natančno izmeriti. Temperaturo T je smiselno drZati čim bliZe temperature trojne točke vode. Za plin so izbrali argon z gostoto, blize gostoti zraka, v katerem so preizkusili merilne naprave. Helij bi imel prednost, da ga sestavlja en sam izotop.
Hitrost zvoka so izmerili z akustičnim resonatorjem. Ta hitrost je v plinu le malo odvisna od tlaka. Merili so pri konstantni temperaturi, a različnih tlakih. V krogelnem resonatorju je preprosto ugotavljati resonanče, pri katerih se tlak spreminja samo z razdaljo od sredisča. Tezavno pa je natančno izmeriti polmer, pravzaprav prostornino resonatorja. Kaze, da je to najzahtevnejsi del naloge. Velikost resonatorja so kolikor mogoče natančno ugotovili tako, da so ga uporabili hkrati kot resonator za mikrovalove. Elektromagnetne resonanče v krogelnem resonatorju pa so degenerirane, se pravi, da dani resonančni frekvenči ustreza več različnih stoječih valovanj. Zato so uporabili resonator v obliki triosnega elipsoida, pri katerem ni degeneračije.
Za polmer na eni osi so izbrali 62 mm, na drugi osi za 31 ^m več in na tretji osi za 62 ^m več. Resonator s prostornino priblizno 1 litra so izdelali na univerzi Cranfield, kjer so si izkusnje pridobili pri izdelovanju zrčal za vesoljske teleskope. Bakreni polkrogli so spojili potem, ko so ju dodatno postruzili. Hkrati so struzili na notranji in na zunanji strani, da so ju lahko dobro spojili. Iz stirih polkrogel so sestavili dva resonatorja. S prvim so se privajali na merjenja, glavna merjenja pa naredili z drugim. Z natančnim
Slika 2. Pri konstantni temperaturi so spreminjali tlak in z akustičnimi resonancami ugotavljali kvadrat hitrosti zvoka. Odločilni podatek je dala ekstrapolacija k tlaku 0. Kvadrat hitrosti zvoka se je s tlakom le malo spreminjal [6].
merjenjem so se prepričali, da notranje površje resonatorjev od predvidene oblike ni odstopalo za več kot 1,5 ^m.
Resonator je visel v tlačni posodi in ta v večji izotermni posodi s prostornino 25 litrov (slika 1). Po izotermni posodi je kroZila tekočina s temperaturo -0,2 °C. Skozi resonator so v tlačno posodo in iz nje poganjali sibek tok argona, da nečistoče iz tlačne posode niso zasle v resonator. Tok so nadzorovali z merilniki pretoka. Tlak so merili v tlačni posodi. Tlak v resonatorju je bil za malenkost večji kot v tlačni posodi. To so ugotovili po spremembi impedanče zaradi spremembe dielektričnosti argona.
Mikrovalovni anteni so skrbno vgradili v resonator tako, da je ostalo njegovo notranje povrsje gladko. Ko je ena od anten oddajala mikrovalove, je ob resonanči druga sprejela močno povečan signal. Pri tem so razločili tri resonanče, povezane s tremi osmi elipsoida. Podrobno so merili pri devetih mikrovalovnih resonančah na območju od 2 do 20 GHz. Rezultate so uskladili in tako dobili ekvivalentni polmer resonatorja na 3,5 nm natančno. Z njim so izračunali prostornino resonatorja z enačbo V = /3.
V resonator so na enak način vgradili drobna zvočnik in mikrofon in opazovali akustične resonanče. Pri opazovanih resonančah je argon nihal krogelno simetrično in na stenah viskoznost ni motila. Motilo pa je, da se je v zgosčini plin segrel in v razredčini ohladil in v 0,01 mm tanki toplotni mejni plasti izmenjal toploto s steno. Pojav so upostevali s popravki. V ta namen so opazovali sedem akustičnih resonanč pri konstantni temperaturi
Slika 3. Risba naprave, s katero merijo v nemski Fizikalno-tehniski zvezni ustanovi: merjenje tlaka 1, plin 2, vakuumska posoda 3, termostatska tekočina 4, izotermni sčit 5, uporovni termometer 6, baker 7, merilni kondenzator 8, vakuumske črpalke 9 [1].
pri različnih tlakih in ekstrapolirali podatke k tlaku 0 (slika 2). To je poslabšalo natančnost ekvivalentnega polmera na 11,7 nm. Naposled so dobili hitrost zvoka na 0,09 • 10-6 natančno.
Najprej je motilo, da so bile resonančne krivulje ozje, kot so pričakovali. Resonanca pri 3548,8095 s-1 je na primer imela razpolovno sirino 2,864 s-1, ko so pričakovali 2,868 s-1. Ce bi bile resonanče sirse od pričakovanih, bi pomislili na dusenje, ki ga niso upostevali. Ozje resonanče pa so namigovale na neznani pojav. Leta 2012 se je na mednarodnem simpoziju pokazalo, da stari račun ni ustrezno uposteval učinka toplotne mejne plasti. Novi račun je skladno z merjenji dal ozje resonančne krivulje.
Izotopsko sestavo plina so izmerili z masnim spektrometrom na Raziskovalnem okoljskem sredisču skotskih univerz v East Kilbridu. Argon je vseboval izotope 36Ar, 38Ar in 40Ar. Skrbno so ugotovili primesi drugih zlahtnih plinov in vodne pare in jih s filtri in z adsorpčijo odstranili.
Glavne podatke so zbrali pri treh merjenjih pri konstantni temperaturi -0,2 °C, ki so jo nadzorovali s sestimi uporovnimi termometri. Te so prej podrobno preizkusili in nato prenesli v napravo, ne da bi prekinili en sam kovinski stik. Dobljene rezultate so uskladili med seboj. Upostevali so se nekatere manjse popravke in nazadnje prisli do Boltzmannove konstante ks = 1,38065156 • 10-23 J/K z relativno negotovostjo 0,71 • 10-6.
Mike Moldover in sodelavči na ameriskem Drzavnem institutu za standarde in tehnologijo v Gaithersburgu so leta 1988 merili splosno plinsko konstanto R = N^kg. Hitrost zvoka so ugotovili s kroglastim akustičnim
resonatorjem. Njegovo prostornino so izmerili tako, da so ga napolnili z živim srebrom in potem Živo srebro stehtali. Za Boltzmannovo konstanto so navedli 1,3806513 ■ 10-23 J/K z relativno negotovostjo 1,8 ■ 10-6. Zapisali so, da so „pripravljeni pojesti napravo, ce bi se pokazalo, da je vrednost napačna za vec kot 10 ■ 10-6" [2].
Laurent Pitre in njegovi sodelavci na francoskem Drzavnem laboratoriju za metrologijo in preizkusanje so leta 2011 merili na enak način kot na NPL in za Boltzmannovo konstanto dobili 1,38064774 ■ 10-23 J/K z relativno negotovostjo 1,24 ■ 10-6 [4].
Bernd Fellmuth in sodelavci s Fizikalno-tehniske zvezne ustanove v Berlinu so leta 2011 izmerili Boltzmannovo konstanto po drugi poti [1]. Izhajali
so iz Clausius-Mossottijeve enacbe:
g - 1 = Na (2)
£ + 2 V ■ 3g0	()
za dielektricnost £ plina z molekulami, ki nimajo lastnega elektricnega dipol-nega momenta in ki dobijo moment pe1 = aE v elektricnem polju z jakostjo E. Pri tem je a polarizirnost molekule. Za plin z majhno gostoto stevila molekul N/V velja enacba £—1 = aN/(V£0). Iz nje izracunamo gostoto molekul N/V = £0(g — 1)/a in jo vstavimo v plinsko enacbo p = (m/M)RT/V:
T = . (3)
V termostatu s kubicnim metrom vode pri temperaturi blizu trojnega stanja vode sta v dveh enakih posodah enaka jeklena valjasta kondenzatorja s kapaciteto 10 pF (slika 3). Temperaturo so nadzorovali z uporovnimi termometri. Ena od posod je izsesana, v drugi je helij pri tlaku od 10 bar do 70 bar. Glavna tezava je dovolj natancno meriti tlak. Z razmerjem kapacitet izmerijo dielektricnost C (p)/C (p = 0) = £. Ta je zelo majhna, pri tlaku 1 bar in trojnem stanju vode doseze 7 ■ 10-5. Kapaciteto merijo z mostickom in izmenicnim tokom.
Upostevali so razne popravke, med njimi spremembo prostornine kondenzatorja zaradi povecanega tlaka in zaradi enacbe (2) ter plinsko enacbo razvili po virialih. Za Boltzmannovo konstanto so dobili 1,380657-10-23 J/K z relativno negotovostjo 9,2 ■ 10-6. To so povezali s podatkom, ki so ga dobili pri prejsnjem merjenju pri temperaturi okoli 24 K. Nazadnje so navedli 1,380655 ■ 1023 J/K z relativno negotovostjo 7,9 ■ 10-6.
Raziskovalna skupina s clani univerz v Caserti in Milanu in italijanskega Drzavnega instituta za metroloska raziskovnja je Boltzmannovo konstanto izmerila na opticni nacin [3]. Z zapleteno lasersko napravo so merili spektralno gostoto pri prehodu pri valovni dolzini 1,39 ^m v vodni pari. V vodi so obogatili izotop kisika 18O. Tako so dobili celotno širino spektralne črte na polovični višini AvD zaradi Dopplerjevega pojava, ker se molekule gibajo. Merili so pri pri temperaturi 0,1550 °C in spreminjali tlak. Z
upoštevanjem vrste popravkov so dobili širino črte in so iz enačbe zanjo AvD = v^J2ln2ksT/Mc2 izračunali produkt:
T = M* iAVDV.	(4)
s 2ln2 V v J	w
Pri tem je v frekvenca, ki ustreza teZišču spektralne črte. Za Boltzmannovo konstanto so navedli 1,380631 ■ 10-23 J/K z relativno negotovostjo 16 ■ 10 6.
Skupina CODATA je ob zadnjem izravnavanju podatkov leta 2012 za Boltzmannovo konstanto navedla ks = 1,3806488 ■ 10-23 J/K z relativno negotovostjo 0,94 ■ 10-6. Primerjava meritev pokaze, da so vsaj nekateri merilci relativno negotovost ocenili prenizko. Pri zelo natančnih merjenjih to ni redek pojav.
Na enak način kot angleski Drzavni fizikalni laboratorij, a z različnimi napravami, merijo v frančoskem Drzavnem laboratoriju za metrologijo in preizkusanje in italijanskem Drzavnem institutu za metroloska raziskovanja v Torinu. Vse raziskovalne skupine sodelujejo in izmenjujejo podatke. To se je primerilo na primer na Mednarodni delavniči o napredku pri določanju Boltzmannove konstante jeseni 2009 v Torinu.
V letu 2014 pričakujejo nova natančna merjenja Boltzmannove konstante. Odbor za podatke za naravoslovje in tehnologijo bo presodil njihovo skladnost in morebiti priporočil novo vrednost za Boltzmannovo konstanto in njeno relativno negotovost. Ce se bodo odbori in pododbori Urada za utezi in mere s tem strinjali, bo Mednarodni odbor za utezi in mere oblikoval predlog novega dogovora o kelvinu. Dogovor bo sprejet, če bo zanj glasovala Generalna konferenča za utezi in mere, ki se bo sestala leta 2014 ali leta 2018.
LITERATURA
[1]	B. Fellmuth, J. Fischer, Ch. Gaiser, O. Jusko, T. Priruenrom, W. Sabuga in Th. Zandt, Determination of the Boltzmann constant by dielectric-constant gas thermometry, Metrologia 48 (2011) 382-390.
[2]	M. R. Moldover, J. P. M. Trusler, T. J. Edwards, J. B. Mehl in R. Davis, Measurement of the universal gas constant R using a spherical acoustic resonator, Journal of Research of the National Bureau of Standards 93 (1988) 85-144.
[3]	L. Moretti, A. Castrillo, E. Fasci, M. D. De Vizia, G. Casa, G. Galzerano, A. Merlone, P. Laporta in L. Gianfrani, Determination of the Botzmann constant by means of precision measurements of E^8 O line sh,a,pes at 1,39 ^m, Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 060803 1-5.
[4]	L. Pitre, F. Sparasci, D. Truong, A. Guillou, L. Risegari in M. E. Himbert, Measurement of the Boltzmann constant kB using a quasi-spherical acoustic resonator, International Journal of Thermophysics 32 (2011) 1825-1886.
[5]	M. de Podesta, R. Underwood, G. Sutton, P. Morantz, P. Harris, D. F. Mark, F. M. Stuart, G. Vargha in G. Machin, A low-uncertainty measurement of the Boltzmann constant, Metrologia 50 (2013) 354-376.
[6]	M. de Podesta, Redefining temperature, Physics World 26 (2013) 28-32 (8).
[7]	J. Strnad, Sistem enot na poti sprememb, Obzornik mat. fiz. 59 (2012) 95-99.
ŠOLA
KAJ OBSEGA SREDNJEŠOLSKA FIZIKA?
ALEŠ MOHORIC
Fakulteta za matematiko in fiziko Univerza v Ljubljani
Vsak učitelj pri svojem delu stoji pred izzivi. Njegova naloga je ustvariti razmere, v katerih dijaki konstruirajo znanje na način, da bodo čim več snovi čim bolje razumeli. Razumevanje snovi preverjajo testi in pogosto je pouk usmerjen v povečanje uspesnosti na teh testih. To ni nujno slabo, vendar tak način dela večinoma vkalupi pouk. Nekateri testi, npr. matura, so za dijake zelo pomembni in temu se prilagodi pouk, tako da se eno solsko leto nameni utrjevanju snovi z dijaki, ki predmet izberejo na maturi.
Pri poučevanju nas veze več omejitev. Najbolj nas pri pouku omejuje razpoložljivi čas. Pri naporu, da bi ta čas čim bolje izkoristili, moramo poskrbeti za pravo mero, saj so sposobnosti dijakov omejene, njihovi interesi so različni in prevelik poudarek na določenem predmetu lahko privede do odpora. Sprememba stevila ur je vedno plod dolgotrajnih in tehtnih usklajevanj med predstavniki različnih strok. Nekaj svobode imajo na voljo ravnatelji, ki lahko določenim predmetom namenijo več časa, in dijaki, ki si lahko izberejo predmete, ki jih bolj zanimajo in jih bodo spoznavali podrobneje. Logično je, da večje stevilo ur pripomore k boljsemu prenosu znanja. Obseg fizikalnega znanja je vedno večji in naravna teznja je, da bi povečevali tudi obseg pouka fizike. Ker so dijaki v srednjih solah vedno bolj obremenjeni z vsemogočimi vsebinami, to ni smiselno.
Druga omejitev je nivo znanja, do katerega poučujemo. Znanje pomeni končeptualno razumevanje in koherentno/povezano znanje in tudi sposobnost uporabiti naučeno v situačiji, ki ni identična solski. Znanje in časovna omejitev se medsebojno izključujeta. Vse snovi nikoli ne moremo obravnati v čeloti. Zato se omejimo le na nekaj tem in različne teme pokrijemo do različnih znanj. Pomembna je tudi pravilna izbira vrstnega reda. Nekatere teme zahtevajo predznanje drugih, marsikdaj pa smo pri fiziki omejeni tudi z matematičnim znanjem dijakov. Marsikatero snov bi lahko obravnavali drugače, bolj poglobljeno, če bi pris la na vrsto kasneje.
Pri izbiri tem in vrstnem redu nam pomaga in nas omejuje učni načrt [1]. Učni načrt je konservativen dokument in njegove spremembe niso pogoste in zazelene, saj vplivajo na način dela in terjajo prilagoditve. Zato so
Slika 1. Doseženi rezultati testiranja naravoslovne pismenosti na raziskavi PISA 2006.
spremembe vedno premišljene in ne preobsežne. Vodilo pri prenovi učnih programov mora biti previdnost. Spremembe morajo biti majhne in v smereh, za katere nas izkusnje iz drugih držav ali pilotnih projektov učijo, da so prave. Nova spoznanja in izboljsave morajo temeljiti na kritični presoji preteklih posegov v načrt. Spremembe pogosto sprozi pristojno ministrstvo. Pri tem tudi prisluhne pripombam učiteljev in strokovnih zdruzenj ter uposteva privlačnost za učence. Od sprememb zelimo, da bi ujeli korak z naprednimi učnimi načrti drugih drzav in sledili razvoju znanosti. Posreden vpliv pri razmisleku o novih učnih načrtih imajo mednarodna primerjanja znanj, kot npr. mednarodna raziskava trendov znanja matematike in naravoslovja TIMMS (Trends in International Mathematičs and Sčienče Study). TIMMS izvajajo na vsaka tri leta [2], naslednji pa bo leta 2015. Druga, podobna primerjava je program mednarodne primerjave dosezkov učenčev PISA (programme for international student assessment) [3], kjer se je Slovenija leta 2006 kar dobro uvrstila (slika 1) [4].
Zadnjič je bil učni načrt za fiziko posodobljen leta 2008. Poudarki pri tej prenovi so temeljili na vsebinski razbremenitvi v korist večjega razumevanja vsebin ter pridobivanja manjkajočih kompetenč,1 npr. kompetenče digitalne pismenosti, učenja učenja, samoiničiativnosti in podjetnosti, poleg ze ustaljenih temeljnih kompetenč v naravoslovju in tehnologiji ter matematične kompetenče. Vsebinska razbremenitev omogoča večjo izbirnost na maturi z
1Kombinacija znanja, spretnosti in odnosov (Uradni list Evropske unije st. 3 3 94/10).
okrog 30 % zmanjšanim obsegom vsebin, na katere se morajo dijaki v okviru maturitetnega dela programa pripraviti v 4. letniku [5]. Spremembe so prinesle zmanjšan obseg obveznih znanj v prvih treh letnikih za okrog 20 %, kar omogoča več časa za doseganje večjega razumevanja konceptov, razvijanja kritičnega misljenja, spoznavanje naravoslovnega pristopa pri resevanju problemov in za eksperimentiranje. Namen učnega načrta fizike za gimnazije je podati smerniče učiteljem, kako dijake učiti fiziko. To pomeni, da dijaki razumejo osnovne zakone, izreke, definičije, ki veljajo v fiziki, in obvladajo mehanizme komuničiranja o teh pojmih. Razumevanje ne pomeni samo reprodukčije pojma, ampak tudi uporabo pojma za razumevanje in napoved njegovih posledič. Pomemben del pouka pa ni le razumevanje pojmov, ampak tudi seznanjanje s pojavi in relevantnimi količinami. Razlog za posodobitev načrta so nova spoznanja v pedagoskih končeptih in razvoj polja (fizike), saj naj bi pri pouku fizike dijake seznanili tudi z novejsimi spoznanji. V starem učnem načrtu je bila snov razdeljena na jedro, izbirni del in maturitetni del, v novem načrtu pa ločimo med splosnimi znanji, posebnimi znanji in izbirnim delom. Splosna znanja so potrebna za splo-sno izobrazbo in jih obravnavajo vsi dijaki. Obsegajo podatke, končepte, definičije fizikalnih količin in razumevanje fizikalnih zakonov, ki sodijo v splosno izobrazbo. Sem sodijo tudi temeljna pročesna znanja: kompleksno razmisljanje, osnove eksperimentiranja, iskanje, obdelava in vrednotenje podatkov iz različnih virov, predstavljanje projektov, timsko delo in učenje učenja. Posebna znanja dopolnjujejo splosna znanja s poudarkom na kvantitativni obravnavi. Izbirne vsebine so zaključene, zahtevnejse vsebine in niso del obveznega znanja. Učitelj nekatere vsebine lahko poglablja do posebnih znanj, ne pa nujno vseh, ki pridejo v postev na maturi - od tu izhaja izbirnost na maturi. Nekatera znanja na maturi preverjamo poglobljeno, vendar dijaki ne potrebujejo poglobljenega znanja vseh vsebin. Določene teme spadajo v izbirne vsebine, ki jih učitelj priredi sebi in potrebam sole. V razdelitvi učnega načrta po vsebinah je jasno zaznati izkustveno naravnanost (poudarek na eksperimentalnem delu, projektnem delu, seminarskih nalogah). V posodobljenem načrtu se večji poudarek daje aktivnim metodam poučevanja. Pri aktivnem pouku dijaki večino časa aktivno sodelujejo s pogovorom, razmisljanjem in poskusi. Izmenjava mnenj poteka tudi med dijaki. Učitelj dijaku sproti podaja povratno informačijo o njegovem znanju. Učitelj vzpodbuja aktivno sodelovanje in diskusijo z vprasanji, kjer k razvoju znanja pomembno prispevajo tudi stranpoti in napačni odgovori.
Učni načrt ne predpise vrstnega reda, je pa dobro premisliti, kdaj in kako obravnavamo posamezne teme. Ce neko temo obravnavamo prezgo-
daj, ne moremo graditi na predznanju, ki ga pridobimo drugje. Učitelji si do neke mere lahko izberejo svojo pot. Zgled je npr. geometrijska optika, ki zahteva najmanj matematičnega predznanja in jo lahko obravnavamo Ze na začetku. Tematsko sodi za poglavji o valovanju in o svetlobi, ki pa za samo obravnavo nista nujni. Termodinamike npr. ne obravnavamo pred mehaniko, saj uporabljamo končept energije, ki ga običajno vpeljemo preko dela sile. Pri vrstnem redu se oziramo tudi na matematično znanje dijakov. Učitelji fizike zelimo, da bi matematična znanja, ki so potrebna pri pouku fizike (npr. vektorji, funkčije, trigonometrične funkčije, eksponentna in logaritemska funkčija in kasneje tudi odvod in integral), pri matematiki obravnavali usklajeno. Nekaj prizadevanj za usklajevanje učnih načrtov za fiziko in matematiko je ze bilo, vendar ni tezava le v načrtih. Znotraj načrta je učitelj suveren, saj lahko sam izbere vrstni red, in najtezje učitelji naredimo spremembo pri sebi. Tezko je spreminjati ustaljen način dela. Marsikje pa se učitelji matematike in fizike dogovorijo za usklajen vrstni red. Pri vrstnem redu in znanjih, ki jih zelimo doseči pri posamezni temi, se je treba zavedati, da je učenje pročes in da vsega zelenega ne moremo narediti naenkrat. Narasčajoče znanje - tako matematike kot fizike - upostevamo v zgledih, ki jih obravnavajo pri pouku fizike. S tem pridobi tudi matematika, saj se izkaze kot vsebina, ki je uporabna tudi zunaj svojega področja. Pri tem koristijo primerni učbeniki.
Aktualni učni načrt razdeli fiziko na nasteta poglavja, kjer je z velikostjo črk nakazano stevilo ur, priporočeno za obravnavo določene tematike:
1.	Merjenje, fizikalne količine in enote
2.	Premo in krivo gibanje
3.	Sila in navor
4.	Newtonovi zakoni in gravitacija
5.	Izrek o gibalni količini — posebna znanja in izbirne vsebine
6.	Izrek o vrtilni količini — izbirno poglavje
7.	Delo in energija
8.	Tekočine — izbirno poglavje
9. Zgradba snovi in temperatura
10.	Notranja energija in toplota
11.	Električni naboj in električno polje
12.	Električni tok
13.	Magnetno polje
14.	Indukcija
15.	Nihanje
16.	Valovanje
17.	Svetloba
18.	Atom
19.	Polprevodniki — izbirno poglavje
20.	Atomsko jedro
21.	Astronomija
22.	Teorija relativnosti — izbirno poglavje
Ko	sem lani na dveh strokovnih srečanjih, ki jih je organiziral Zavod za
šolstvo Slovenije, anketiral 80 srednješolskih učiteljev fizike, sem imel priložnost, da sem ugotovil njihov razpored poglavij po letnikih.
Zastavil sem jim vprasanje, v katerem letniku, če sploh, učijo določeno poglavje učnega načrta. Odgovori so zbrani v histogramih 1 in 2. Histogram 1 kaže deleže, v katerih učitelji določeno snov obravnavajo po letnikih. V postev pridejo le trije letniki, saj je četrti letnik namenjen dijakom, ki fiziko izberejo na maturi in tam obravnavajo določene teme do posebnih znanj. Kaj in kako obravnavajo v četrtem letniku, se od generačije do generačije lahko spreminja.
Rezultati so dokaj pričakovani in učitelji v dokajsnji meri sledijo razdelitvi učnega načrta. Največje odstopanje se pokaze pri poglavjih Nihanje in Valovanje, saj učitelji tematiko pogosto uvrstijo pred elektriko in magnetizem (in termodinamiko) v drugi letnik. Razlog je v tem, da se sama snov navezuje na mehaniko, ki se obravnava v prvem in deloma v drugem letniku. Tezava je v tem, da v drugem letniku dijaki se ne poznajo dovolj dobro trigonometričnih funkčij. Zato nekateri učitelji s snovjo počakajo do tretjega letnika. Seveda potem za tretji letnik ostane preveč snovi in je treba
delež
±	2,letnik
'jj
■ 3, letnik
Slika 2. Histogram deležev poglavij po letnikih.
v drugega prestaviti relativno težka poglavja elektrike (in deloma magnetizma). Ena od reSitev je, da se v drugem letniku obravnava električni tok. Težava tega načina pa je, da se to stori brez utrjene predstave o električnem naboju.
Histogram 2 kaže deleže učiteljev, ki izberejo določena poglavja. Zavedati se je treba, da so določena poglavja sestavljena iz posebnih in splosnih znanj. Splosna znanja morajo obravnavati vsi učitelji in 100-odstotni de-lezi so tam pričakovani. Podrobnejsa analiza, katera od posebnih znanj so izpusčena, zal ni na voljo. Učni načrt daje učiteljem moznost, da obseg snovi zmanjsajo in na ta račun poglobijo drugo snov in poudarijo učenje naravoslovne metode. Ker je čelotni čas omejen, se mora učitelj zavestno odločiti in določena poglavja izpustiti, kar je marsikomu se vedno tezko. Vendar se naredi več skode s hitro in povrsno obravnavo vseh poglavij kot s poglobljeno obravnavo manjsega stevila poglavij. Očitno je, da se pri pouku največ izpusča poglavja moderne fizike. To je snov, ki je izkusnjam dijakov najbolj tuja. Pri izpusčanju snovi je pazljivost na mestu, saj ne zelimo ustvariti vtisa, da je fizika zastarela znanost, čeprav so osnove stare ze stoletja.
Anketa pokaze, da se vrstni red poglavij med učitelji v veliki meri ujema. Največja razlika je v uvrstitvi poglavij o nihanju in valovanju. Analiza pokri-
Slika 3. Histogram deležev učiteljev, ki obravnavajo določena poglavja.
tosti snovi zgolj po poglavjih, naštetih v učnem načrtu, ni dovolj natančna, da bi zajela porazdeljenost posebnih znanj. Določene tematike, ki imajo v učnem načrtu svoje poglavje, se lahko obravnavajo pod drugimi poglavji, tekočine se npr. lahko vsaj deloma obravnava v poglavju Temperatura in snov, del astronomije pa se lahko obravnava hkrati z gravitačijskim zakonom.
LITERATURA
[1]	J. Strnad, O poučevanju fizike, DMFA - založništvo, 2006.
[2]	Naravoslovni, bralni in matematični dosečki slovenskih učencev, Nacionalno poročilo, Pedagoški inštitut, 2007.
[3]	http://portal.mss.edus.si/msswww/programi2010/programi/media/pdf/un_ gimnazija/un_fizika_strok_gimn.pdf, ogled 24. 10. 2013.
[4]	http://193.2.222.157/UserFilesUpload/file/raziskovalna_dej avnost/TIMSS/ TIMSSAdvanced/TIMSS_A_nacPorVSE. pdf, ogled 24. 10. 2013.
[5]	http://www.pisa.oecd.org/, ogled 22. 10. 2013.
[6]	http://www.ric.si/mma/M-FIZ-2014V/20ISSN/2012092610040371/, ogled 24. 10. 2013.
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
NOVE KNJIGE
Shai Simonson, Rediscovering Mathematics — You Do the Math, The Mathematical Association of America, 2011, 240 strani.
Knjiga je namenjena sirsemu krogu bralcev, ki jih zanima matematika: dijakom, Študentom, njihovim učiteljem, pa tudi tistim, ki v svojem prostem Času radi resujejo matematične naloge. Morda jo bodo vzljubili celo tisti, ki jim je sola v mladih letih grenila Življenje. Mogoče bodo učitelji nasli v njej celo navdih za boljse poučevanje matematike, lahko jo uporabljajo za delo z nadarjenimi, o katerih se zadnje čase veliko govori. Pa se sami se bodo verjetno pri tem naučili kaj novega. Knjiga je naravnana namreč tako, da skozi naloge preiskuje, preizkusa in ponovno odkriva sičer ze znane matematične resniče. Veliko nalog je iz vsakdanjega zivljenja, de-narnistva in sporta, tako da niso le same sebi namen. Ob njih spoznamo tudi prečej zanimivosti iz zgodovine matematike, tako da dobimo nekaj občutka, kako se je matematika razvijala, pa tudi nekaj podrobnosti o nekaterih matematikih.
Že bezen pogled na kazalo knjige pove, da naloge, zbrane v njej, pokrivajo več matematičnih področij. Nastejmo nekatera: geometrija, algebra, teorija stevil in njena uporaba v komuničiranju na medmrezju, kombinatorika in verjetnostni račun z igrami na srečo, algoritmi. Knjiga vsebuje v vsakem poglavju tudi naloge za samostojno resevanje. Nekatere lahko uze-nemo, če se zgledujemo po resenih primerih v knjigi, nekatere pa terjajo
samostojen razmislek. Precej nalog zahteva tudi, da kakšno trditev, do katere pridemo sami, tudi dokaZemo.
Avtor nam polaga na srce tudi nekaj splosnih misli. Zavedati se moramo, da je matematika jezik, katerega se je treba naučiti in privaditi. Običajno nas mora v njegove skrivnosti nekdo vpeljati. Za dobro razumevanje matematičnega besedila je pogosto treba kaksen njegov del večkrat prebrati, vcasih se moramo vrniti nekaj strani ali poglavij nazaj, sem in tja se prileze premor, pogosto pa ne kaze drugega, kot vzeti v roke se kaksno drugo knjigo. Usvajanje matematičnega znanja pač ni premočrtno. Ne nazadnje pa je pomembno tudi to, da se matematike ne učimo samo z gledanjem, ampak s papirjem in svinčnikom v roki.
Kot primer zanimivosti v knjigi navedimo v bistvu egipčanski postopek mnozenja naravnih stevil. Zmnozek dveh naravnih stevil lahko izračunamo tako, da enega od faktorjev, po navadi manjsega, brez ostanka zaporedno delimo z 2, dokler ne pridemo do 1, večjega pa ravno tolikokrat zaporedno pomnozimo z 2. Rezultate zapisemo v dveh stolpčih. Na konču sestejemo tiste dvakratnike, pri katerih je v isti vrstiči liho stevilo, ki je nastalo z deljenjem z 2. Postopek pojasnimo na primeru računa 19 x 11 760:
19	11760 ^
9	23 520 ^
4	47 040
2	94 080
1	188 160 ^
19x11760 =	223 440
Sestejemo samo tista stevila v drugem stolpču, ki so označena z znakom Pravilnost postopka se zlahka preveri, če prvi faktor zapisemo v dvoji skem stevilskem sistemu, to se pravi kot vsoto različnih potenč z osnovo 2 in s koefičientoma 0 in 1, v nasem primeru 19 = 1 ■ 20 + 1 ■ 21 + 0■ 22 +0 ■ 23 + 1 ■ 24. Lihim stevilom v levem stolpču ustreza koefičient 1, sodim pa 0.
Marko Razpet
http://www.dmfa-zaloznistvo.si/
Vasile Berinde: Exploring, Investigating and Discovering in Mathematics, Birkhäuser Verlag, Basel-Boston-Berlin, 2004, 246 strani.
Vasile Berinde
Exploring, Investigating and Discovering in Mathematics
Po besedah avtorja, dolgoletnega navdušenega reševalca nalog elementarne matematike in se-stavljavca problemov za revijo Gazeta Mat.emat.ica, je glavni cilj knjige (z več kot 100 natančno rešenimi problemi in 150 vajami iz 24 skrbno izbranih tem s področja aritmetike, algebre, geometrije, analize, pa tudi uporabne matematike): podrobno predstaviti ustvarjalne tehnike reševanja in opažanja novih problemov s posebnim poudarkom na tem, kako razvijati inventivne veščine študentov. Sistematično razloži, kako organizirati in omogočiti mladim matematikom gladek prehod od reševanja problemov, ki jim jih zastavi nekdo drug, k samostojnemu raziskovanju in odkrivanju novih problemov in rezultatov.
Med posebnostmi knjige, ki je namenjena Študentom in učiteljem matematike, pa tudi tistim, ki se pripravljajo na matematična tekmovanja ter vsem, ki jih zanima sam ustvarjalni pročes in način, kako matematik od ze znanega prehaja k osvajanju neznanega, velja omeniti predvsem: natančno in ustvarjalno obdelan izvorni problem, katerega rešitev je najprej podrobno analizirana, potem pa preoblikovana v metodo, ki je lahko uporabljena pri mnogih sorodnih problemih; poudarek je na učenju raziskovalnih vesčin, izhajajoč iz izvornega problema in njegove resitve, ki naposled omogoči bralču, da sam odkrije nove in tehtne probleme, ki terjajo nadaljnje raziskovanje; razlaga sičer ostaja na elementarni ravni, vendar pa omogoča raziskovanje tako na elementarni ravni kot tudi z uporabo visje matematike.
Vseh 24 tem in njihovih variačij (komponiranih po zgledu ustvarjalnosti glasbenikov pri pisanju fuge), pa tudi rezultati, ki jih ilustrirajo, so pospre-
mljeni z navedbami člankov, v katerih so bili obravnavani problemi rešeni. Vsako od ustreznih 24 poglavij knjige je torej tudi kratek pregledni članek o razvoju posamezne teme v matematični literaturi.
Avtor uporablja na lastni izkusnji zasnovan izvirni hevristični pristop. Po njegovem mnenju mora resevalec problemov poleg matematične strogosti in natančnosti spostovati se najmanj tri načela: 1) algoritmičnost (resitev mora biti jasno strukturirana in razdeljena na posamezne faze, posamezne operačije morajo biti grupirane in pročesno urejene, kar vodi k jasni re s i-tvi, ki je uporabna tudi za druge probleme), 2) splosnost (ko smo problem ze re sili, moramo najti čim več sorodnih problemov, ob katerih lahko preverimo splosnost re sitvene metode) in 3) posplositev (problema nikoli ne smemo imeti za resenega, dokler natančno ne analiziramo vseh komponent problema, potrebnost oziroma zadostnost uporabljenih predpostavk, in dokler ne ugotovimo, do katere mere so bili različni podatki uporabljeni v posameznih fazah resitve).
Ce bi knjigo brali le kot zbirko razmeroma preprostih metod za reseva-nje tezkih problemov, bi spregledali njeno pravo poslanstvo: zapolniti vrzel v izobrazevanju studentov matematike, od katerih se do diplome pogosto zahteva predvsem neustvarjalno resevanje problemov, od podiplomčev pa se naenkrat pričakuje odskok na vi sjo raven, kjer se začne njihovo prvo raziskovalno delo, na katero pa niso bili primerno pripravljeni. Avtor verjame, da je njegova knjiga lahko primerna odskočna deska za taksno samostojno raziskovanje. K pisanju so ga spodbudila pogosta vpras anja studentov, ali je v matematiki sploh se ostalo kaj neraziskanega, kar je vredno oziroma mogoče raziskovati nekomu, ki se nima sirokega znanja v matematiki.
Knjiga bo vseč tistim, ki so jim blizu npr. knjige G. Polye (npr. How to Solve It?, Discoveries in Mathematics in Patterns of Plausible Inference). Mladim raziskovalčem pomaga zgraditi natančno delovno metodo, s katero lahko sistematično prehajajo od začetnega problema k njegovim vse zahtev-nejsim različičam in čelo novim problemom.
In kaksne so obravnavane teme? Ker ne moremo nasteti vseh, omenimo le nekatere tipične primere. Kar nekaj se jih nanasa na rekurzivna oziroma diferenčna zaporedja (tako npr. od res itve diferenčne enačbe xn+1 = xn + an, n > 0, pri danem zaporedju (an) preidemo k res itvi splosnej se enačbe xn+1 = bxn + an ter k ustreznim integralskim in matričnim razli-čičam istega problema), geometrijske konstrukcije, konvergentna zaporedja, neenakosti, sistemi nelinearnih enačb, determinante, harmonična vrsta, metoda teleskopiranja, polinomska aproksimacija zveznih funkcij, funkcijske
enačbe, posplošena Newton-Leibnizeva formula, itd. Razvedrilna matematika je zastopana z znanim izvornim problemom merjenja: „Iz 12-litrskega vrča, polnega vina, s pomočjo praznega 5-litrskega vrča prelij 4 litre v prazen 7-litrski vrč," katerega resitev je posplosena do resitve problema: „Iz vrča z več kot 2m — n litri vina prelij 2(m — n) litrov v m-litrski vrč s pomočjo n-litrskega vrča." Uporaba računalnika ne le pri resevanju, ampak tudi pri odkrivanju novih problemov je ilustrirana npr. na primeru enačbe nI + ■ ■ ■ + nI = 1, kjer so ni,... ,nk različna naravna stevila; s pomočjo računalnika generirana tabela določenih kvantitativnih vidikov rezultatov je omogočila formulačijo različnih teoretičnih rezultatov, kot je npr. ta, da enačba + + zj + i + ui = 1 nima čelostevilskih resitev. Avtor torej predlaga uporabo računalnikov po shemi: izvorni problem ^ tabela kvantitativnih podatkov, dobljenih z računalnikom ^ teoretični rezultati (izreki, formule), ki jih na podlagi analize teh zbranih podatkov oblikuje raziskova-leč. Med zanimivejse probleme sodi tudi iskanje prve dečimalke izrazov, kot je npr. N = \/n2 + 11n + 30, n G N,n > 3 (ki jo najdemo z uvedbo nove spremenljivke x = n + 5, za katero dokazemo x + i, < N < x + i,, torej je prva dečimalka stevila N enaka 4).
Avtor v predgovoru pravi, da vsakdo od nas premore ustvarjalno iskro, vendar potrebujemo tudi primerna orodja za to, da se nase latentne ustvarjalne sposobnosti lahko razvijejo; upa, da je ta knjiga taksno orodje, in verjame, da si lahko z njenimi načeli algoritmičnosti, splosnosti in posplo-sitve oziroma predstavljeno metodo pomagamo ne le v matematiki, temveč povsod, kjer potrebujemo ustvarjalen pristop k resevanju problemov.
Iz prve roke lahko z bralči delim tudi lastno izkusnjo s to knjigo, ki jo vsake toliko časa ponovno pregledam in v njej se vedno najdem kaj novega: z njo si namreč lahko pomagamo ne le pri samem raziskovanju, ampak tudi pri pisanju oziroma strukturiranju člankov. Ob njej se npr. naučimo, da mora imeti raziskovanje jasno določen čilj, da steje prav vsak korak in da je treba napredovati z majhnimi koraki ter pozorno oprezati za novimi problemi v različnih smereh. Ceprav vse to ne more nadomestiti poglobljenega znanja, ki pride le kot rezultat dolgoletnega vztrajnega studija (in ki je tista prava vsebinska osnova, iz katere sčasoma začno poganjati dobre ideje ter se začno kazati presenetljive povezave med na videz različnimi področji matematike), pa je vsaj na začetku tudi taksna formalna fokusiranost na ustvarjalno metodo lahko v določeno pomoč in motivačijo. Osnove, tudi metodoloske, so potrebne, dajo nam varnost in orientačijo, a potem je treba iti onstran njih.
Jurij Koviš
VESTI
PROFESOR PETER GOSAR - DEVETDESETLETNIK
V mesecu oktobru je praznoval devetdesetletnico akademik prof. dr. Peter Go-sar.
Peter Gosar je bil rojen 15. oktobra 1923 v Ljubljani. Po končani klasični gimnaziji je studiral fiziko na Univerzi v Ljubljani in diplomiral leta 1951 iz fizike in matematike. Leta 1956 je bil promo-viran za doktorja fizikalnih znanosti z disertacijo o razsirjanju svetlobe v optično nehomogenem sredstvu.
V letih 1953-1957 je delal pri razvoju polprevodni skih elementov v laboratoriju za polprevodnike pri Institutu za elektro-zveze v Ljubljani, nato pa je leta 1957 postal sodelavec Nuklearnega instituta Jo-zef Stefan. V letu 1961 je pricel predavati na LTniverzi v Ljubljani in njegova predavanja iz fizike trdnih snovi so kmalu vzbudila veliko zanimanje. Oktobra 1966 se je redno zaposlil kot izredni profesor na Matematicno-fizikalnem oddelku Fakultete za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani ter bil leta 1971 izvoljen v naziv rednega profesorja. Na univerzi je predaval vse do upokojitve v letu 1993.
Profesor Gosar sodi v na sem okolju med pobudnike znanstvenih raziskav v fiziki trdnih snovi. V obdobju do leta 1960 je objavil vec clankov o eksperimentalnih in teoreticnih raziskavah povrsinskega fotoefekta pri polprevodnikih in njihovih povr sinskih lastnostih. S tega podrocja ima tudi dva patenta. Kasneje se je usmeril na podrocje teoreticnih raziskav v fiziki trdnih snovi, kjer je obravnaval vrsto transportnih in dinamicnih problemov, npr. elektricne in mehanske lastnosti ledu, elektricno prevodnost polprevodnikov in molekulskih kristalov, teorijo majhnih polaronov, elektricne lastnosti amorfnih snovi, elektricno prevodnost v plastnih molekulskih kristalih, teorijo vecelektronskih preskokov med primesmi v zmerno kompenziranih polprevodnikih, relaksacijo paraelasticnih centrov, korelacijske funkcije za gostoto tokovnih izvorov v amorfnih snoveh in teorijo koherentnega sevanja kanaliziranih nabitih delcev v kristalih. Posebno pozornost so vzbudila njegova dela o protonski prevodnosti ledu, o elektronskem transportu v molekulskih kristalih, o vecelektronskem preskakovanju v polprevodnikih ter o relaksaciji paraelasticnih centrov. Med prvimi pri nas je vpeljal metodo ter-modinamskih Greenovih in odzivnih funkcij s podrocja kvantne statisticne
mehanike, ki jo je dopolnjeval in uporabljal pri reševanju problema kinetike paraelasticnih centrov in električne prevodnosti amorfnih snovi.
Kot gostujoči znanstvenik je profesor Gosar sodeloval v več tujih centrih: 1958-1959 v Laboratoire de Magnetisme et de Physique de Solide, Bellevue, Francija; 1964-1966 na University of North Carolina, Chapel Hill, ZDA; 1972-1973 v Laboratoire de Spectrometrie, Universite I de Grenoble, Francija. Porocal je na stevilnih mednarodnih in domacih srecanjih, veckrat tudi z vabljenimi in uvodnimi predavanji.
S svojim raziskovalnim delom na podrocju fizike trdnih snovi ter s predavanji in mentorskim delom na Univerzi v Ljubljani je profesor Peter Gosar odlocilno prispeval k razvoju fizike in k dvigu kvalitete visokosolskega stu-dija pri nas. Njegova predavanja na dodiplomskem in podiplomskem studiju fizike so med studenti in profesorji veljala kot vzor skrbno pripravljenih in razumljivih predavanj. Na vsa vprasanja slu s ateljev je vedno odgovarjal z natancnimi pojasnili, ki so bila odraz njegove siroke razgledanosti in poglobljenega znanja. Kljucna je bila tudi vloga profesorja Gosarja kot predsednika komisije in glavnega izprasevalca pri diplomskih in magistrskih izpitih. Prav tako je bilo neprecenljivo njegovo pretehtano mnenje pri usmerjanju pedagoskega dela in pri kadrovskih vpras anjih. Profesor Gosar je bil mentor pri petih doktorskih delih ter pri stevilnih diplomskih in magistrskih delih.
Leta 1964 je profesor Peter Gosar prejel Kidricevo nagrado za raziskave protonske prevodnosti ledu, leta 1994 pa drzavno nagrado Republike Slovenije za zivljenjsko delo na podrocju teoreticne fizike. Prejel je tudi stevilne druge nagrade in priznanja: zasluzni clan Instituta Jozef Stefan (1979), red dela z zlatim vencem (1980), zasluzni znanstvenik Instituta Jozef Stefan (1994), castni clan Dru stva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (1994), zasluzni profesor Fakultete za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani (1994). Slovenska akademija znanosti in umetnosti ga je leta 1969 izvolila za dopisnega clana in leta 1976 za svojega rednega clana.
Ob svojem pedagoskem in raziskovalnem delu je profesor Gosar prevzemal tudi stevilne druge odgovorne naloge. Na Institutu Jozef Stefan je bil v letih 1967-1969 nacelnik Oddelka za fiziko, kasneje pa vodja Odseka za fiziko, clan Znanstvenega sveta instituta in v casu 1980-1982 njegov predsednik. V letih 1971-1972 ter 1973-1975 je bil predstojnik Oddelka za fiziko FNT Univerze v Ljubljani, v casu 1970-1971 pa predsednik Drustva matematikov, fizikov in astronomov. Bil je clan komisije za Kidriceve nagrade, clan predsedstva Raziskovalne skupnosti Slovenije in vec let tudi predsednik njene podrocne komisije za matematicno-fizikalne vede.
Profesor Peter Gosar velja za enega od utemeljiteljev sodobne slovenske fizikalne sole. S svojim raziskovalnim delom na podrocju fizike trdnih snovi se je izkazal kot vrhunski znanstvenik, hkrati pa kot izjemen predavatelj, mentor in pedagog. Ob visokem jubileju zelimo slavljencu se veliko zdravih in uspesnih let.
Peter Prelovšek in Rasa Pirc
MARS 2013
Od 18. do 24. avgusta letos je potekal že osmi tabor za srednješolce MARS (matematično raziskovalno srečanje). Marsovci smo se zbrali ob Bohinjskem jezeru, natančneje v Centru solskih in obsolskih dejavnosti Bohinj. Odpravo smo vodili Maja Alif, David Gajser, Lara Kozarski, Nejc Rosenstein in Jana Vidrih z UL FMF ter Matej Roskarič z UM FNM. Pri organizaciji je pomagal dr. Bostjan Kuzman, UL PeF, ki je bil tudi odgovorna oseba. Ne le vodstvo, tudi udelezenci so bili po spolu zelo uravnotezeni: devet dijakinj, prav toliko dijakov, dve studentki in en student. Študenti, vsi iz prvega letnika UL FMF, so sestavljali t. i. studentsko skupino, ki je prevzela tudi manj se vodstvene naloge.
Osrednja dejavnost tabora so bili, kot vsa leta doslej, marsovski projekti. Mentorji (posadka) smo pripravili sedem matematicnih tem, ki so jih udelezenci raziskovali v skupinah po trije - vsaka skupina svojo temo. Vsak dan smo nekaj ur namenili delu pri svojem projektu. To delo je poleg reseva-nja matematicnih problemov vkljucevalo pisanje kraj sega sestavka, izdelavo morebitne racunalniske aplikacije in pripravo predstavitve projekta. Ta je bila izvedena na zakljucnem dogodku tabora - pristanku, na katerega so bili vabljeni tudi starsi in ucitelji udelezencev.
Eden izmed projektov se je ukvarjal z naslednjim problemom. Organizatorji nagradne igre imajo na voljo neskončno belih kap, neskončno črnih kap, neskončno modrih kap ... MoZnih barv je neskončno. Kandidati za nagrado, ki jih je števno neskončno, vse te barve poznajo. Vedo tudi, kako bo izbor nagrajenčev potekal, in se pred začetkom lahko dogovorijo za strategijo. Izbor se začne tako, da so kandidati postavljeni v vrsto in imajo hrbet obrnjen proti začetku vrste, torej gledajo proti neskončnemu delu. Med postavljanjem v vrsto lahko prestejejo, koliko kandidatov je za njimi. Nato jim organizatorji dajo na glavo kape in vsi kandidati morajo hkrati zapisati barvo svoje kape na list. Kdor barvo kape zadane, dobi nagrado. Za kaksno strategijo naj se dogovorijo?1 Vec informacij o projektih najdete na spletni strani http://mars.famnit.upr.si/projekti.html.
Dva dni je bil z nami na MARS-u dr. Uros Kuzman, UL FMF, ki je pripravil dve dveurni delavnici z naslovom Kompleksna stevila. Predstavil je polarni zapis kompleksnih stevil ter graficno interpretacijo sestevanja in mnozenja. Razvita orodja je uporabil za resevanje geometrijskih problemov v koordinatni ravnini. Udelezenci so spoznali nekaj lepih primerov, pri katerih se zacetni problem reducira na preproste in enostavno resljive enacbe v mnozici kompleksnih stevil.
XV strategiji, ki je opisana pri projektu Turistična agencija Mars, vsi, razen končno mnogo kandidatov, dobijo nagrado. Strategija uporablja aksiom izbire.
Skupinska slika
Večere smo imeli rezervirane za gostujoče predavatelje. Prvi je, edini že zgodaj popoldne, pred mladino stopil dr. Milan Hladnik, kije predaval o geometrijskih konstrukcijah s pomanjkljivim evklidskim orodjem. Najprej smo izvedeli, kaj lahko načrtamo z evklidskim orodjem, nato pa smo temu orodju bodisi kaj odvzeli, bodisi ga malo spremenili. Ali ste vedeli, da lahko le s sestilom skonstruiramo iste točke kot s sestilom in neoznačenim ravnilom? Sledilo je predavanje dr. Bostjana Kuzmana, ki je predstavil končna polja. Začeli smo s konstrukcijo končnih polj reda 2, 3 in 4 ter končali s konstrukcijo Galoisovih polj. Sergio Hiroki Koike Quinatar, UP IAM in FAMNIT, nas je na tretjem predavanju popeljal v svet politopov: od starih Grkov pa do rezultatov dvajsetega stoletja. Zadnji nam je predaval dr. Andrej Bauer, UL FMF. Predstavil je osnove lambda računa: sintakso, ^-redukčijo, uvedel je urejene pare, stevila, sestevanje, mnozenje . . . Povedal nam je tudi, do kaksnih izkusenj je prisel pri pisanju knjige HoTT, ki pomeni izjemen, se vroč dosezek matematikov.
Med strokovnim delom programa MARS 2013 omenimo se tri delavniče, ki so udelezenčem pomagale pri projektih. Delavničo LTEX je vodila Jana, delavničo GeoGebre je vodila Lara, delavničo retorike pa sta pripravila Nejč in Maja.
Kljub zgosčenemu urniku je bilo razpolozenje na taboru izjemno. V prostem času smo igrali razne druzabne igre, začensi z Mafijo ter letosnjim odkritjem Hanabijem. Bil je tudi čas za sprehode, kopanje v Bohinjskem
Posadka. Sedijo: Maja, Lara, Jana. Stojijo: Nejc, Matej, David.
jezeru, igranje košarke, namiznega tenisa ... Vsak dan je bil objavljen problem dneva, s katerim smo si proste urice krajšali tako posadka kot udeleženci. Podali smo se tudi na pohod po koritih Mostnice, kjer smo namočili noge v ledeno hladen potok, za zadnje popoldne pa je bila pripravljena tradicionalna Velika marsovska avantura. Na njej je sodelovalo sest ekip udelezencev ter pet ekip povabljencev. Slo je za orientacijski pohod s sedmimi kontrolnimi tockami, na katerih so ekipe resevale razlicne matematicne in prakticne probleme.
Zvecer nam je nekaj povabljenih udelezencev srednjesolske mednarodne matematicne olimpijade ter studentskega matematicnega tekmovanja predstavilo svoje izkusnje. Sledila je razglasitev rezultatov avanture in piknik ob tabornem ognju, harmoniki ter dveh kitarah.
V imenu vse ekipe se zahvaljujem DMFA Slovenije za podporo. MARS 2013 sta financno podprla SOU v Ljubljani ter SO FMF.
David Gajser
ACAT POLETNA ŠOLA IZ RAČUNSKE TOPOLOGIJE
Med 1. in 5. julijem 2013 je v Ljubljani potekala poletna sola Summer school on computational topology and topological data analysis pod okriljem raziskovalne mreže Applied and Computational Algebraic Topology (ACAT) v sodelovanju s Fakulteto za matematiko in fiziko UL, Fakulteto za računalništvo in informatiko UL ter Institutom Jozef Stefan. Organizacijski odbor so sestavljali S. Cabello, P. Pavesič (FMF), A. Franc, G. Jerse, N. Mramor Kosta (FRI) in P. Skraba (IJS).
Predavanja so zajemala različna področja računske topologije in topolo-ske analize podatkov:
•	vztrajnostno homologijo (Ulrich Bauer, Institute of Science and Technology Austria; Sara Kalisnik, Stanford University),
•	diskretno Morsovo teorijo (Bruno Benedetti, Freie Unversitat Berlin),
•	algoritme na razlicnih razredih grafov (Jeff Erickson, University of Illinois at Urbana-Champaign),
•	racunalniski vid (Massimo Ferri, Universita di Bologna),
•	topolosko robotiko (Danica Kragic in Florian Pokorny, KTH Royal Institute of Technology) in
•	topoloske metode v strojnem ucenju (Marinka Žitnik, FRI).
Uvodno predavanje o pomembnosti ravninskih grafov v uporabni matematiki in racunalnistvu je pripravil Bojan Mohar (Simon Fraser University), zakljucno predavanje o kvalitativni analizi, modeliranju in simulaciji dina-micnih sistemov pa Ivan Bratko (FRI).
Predavanja so bila namenjena predvsem podiplomskim studentom. Poleg glavnih tecajev so svoje delo predstavili tudi nekateri doktorandi, v poznem popoldanskem casu pa so potekale projektne delavnice za studente, kjer so se studenti lahko preizkusili v npr. implementaciji cik-cak vztrajnosti, proucevanju topologije omrezja slovenskih znanstvenikov, prepoznavi rokopisa z uporabo topoloskih metod ali pa rekonstrukciji topologije in geometrije stavb iz podatkov o jakosti wi-fi signala.
Povzetki predavanj so ze objavljeni na http://acat2013.fmf.uni-lj. si/, videoposnetki pa bodo dostopni na http://videolectures.net/.
Aleksandra Franc
C6 >N
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2013 Letnik 60, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53
VSEBINA
Članki	Strani
Rimsko dominantno število (Polona Pavlic, Janez Žerovnik) ......................121-128
Vec kot 150 decimalk krožne konstante pred letom 1800
(Marko Razpet) ....................................................................................................129-136
Na potido novega Kelvina (Janez Strnad) ........................................................137-142
Šola
Kaj obsega srednješolska fizika? (Aleš Mohoric)............................................143-149
Nove knjige
ShaiSimonson, Rediscovering Mathematics - You Do the Math
(Marko Razpet) ....................................................................................................150-151
Vasile Berinde: Exploring, Investigating and Discovering
in Mathematics (Jurij Kovic) ............................................................................152-154
Vesti
Profesor Peter Gosar - devetdesetletnik
(Peter Prelovšek in Raša Pirc) ........................................................................155-156
MARS 2013 (David Gajser)......................................................................................157-159
ACAT poletna šola iz računske topologije (Aleksandra Franc) ..................160-XV
CONTENTS
Articles	Pages
The Roman domination number (Polona Pavlic, Janez Žerovnik)............121-128
More than 150 digits of the circular constant before 1800
(Marko Razpet) ....................................................................................................129-136
On the way to a new Kelvin (Janez Strnad) ......................................................137-142
School ............................................................................................................................143-149
New books ....................................................................................................................150-154
News ................................................................................................................................155-XV
Na naslovnici: William Thomson, lord Kelvin Larški, 1824-1907.