Bojan Kuzma
ZBIRKA IZPITNIH VPRAŠANJ PRI PREDMETIH ANALIZA III IN ANALIZA IV
(Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št. 2) Urednica zbirke: Petruša Miholič Izdala in založila:
Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, Univerza na Primorskem
Primorski inštitut za naravosloven in tehnične vede Koper Fakulteta za matematiko, naravoslovje in informacijske tehnologije
%
rt-O
s *
o.
(/nive^v
i/NlVt^1"
UNIVERZA NA PRIMORSKEM UNtVERSITA DEL LITORALE UNIVERSITY OF PRIMORSKA
Titov trg 4, SI - 6000 Koper Tel.: + 386 5 611 75 00 Fax.: + 386 5 611 75 30 E-mail: info@upr.si http://www.upr.si
© TeMeNa, 2009 Vse pravice pridržane
Koper, 2009
CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana
517(075.8)(079.1)
KUZMA, Bojan
Zbirka izpitnih vprašanj pri predmetih Analiza III in Analiza IV [Elektronski vir] / Bojan Kuzma. - El. knjiga. - Koper : Knjižnica za tehniko, medicino in naravoslovje - TeMeNa, 2009. - (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike ; št. 2)
Način dostopa (URL): http://temena.famnit.upr.si/files/files/zv_2_DS.pdf ISBN 978-961-92689-1-9
246642432
Zbirka izpitnih vprašanj pri predmetih Analiza III in Analiza IV
Bojan Kuzma Koper, 2009
Kazalo
1	Predgovor	3
2	Kolokviji	5
3	Pisni izpiti	37
4	Teoretična vprasanja	103
5	Nekatera vpraSanja na ustnih izpitih	108
1 Predgovor
Zaradi stalnih in ponavljajočih se zelja slušateljev po primerkih starih izpitnih vprašanj sem se odločil izdati zbirko vseh kolokvijev in izpitov pri predmetih kjer sem svojčas sam vodil vaje in ki v grobem ustrezajo sedanjima Analiza III in Analiza IV. Zbirka je nastajala skozi več let. V tem času sem vodil vaje na Univerzi v Mariboru in kasneje na Univerzi v Ljubljani, zato najbrz ne bo presenetljivo, da zasledite ponekod naslov "KOLOKVIJ IZ ANALIZE II,"drugod pa "KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ". Tukaj ni odveč opozorilo, da so bili takrat vsi predmeti čeloletni in ne semestrski. Tako npr. Analiza II pokriva čelotno področje semestralnih predmetov Analiza III +IV.
Tudi termin predavanja učne snovi je bil na eni univerzi malče drugačen kot na drugi - tako je npr. ponekod v čurričulumu tudi delček diferenčialnih enačb ali diskretnih struktur. V kolikor je bila večina nalog na kaksnem od izpitov oz. kolokvijev iz teh dveh področij, ga nisem uvrstil v pričujočo zbirko. Ce pa so bile naloge iz diferenčialnih enačb oz. diskretnih struktur v manjsini, mogoče ena ali dve, sem ga vključil. Na tem mestu bi rad dodal, da naloge niso moje. Večinoma sem jih črpal iz znanih zbirk nalog kot so
(i)	M. Usčumlič, P. Miličič: Zbirka zadataka iz vise matematike 1. Beograd. Naučna knjiga, 1984.
(ii)	B. G. Sergeevič, B. P. Demidovič (prevajaleč I. Uremovič): Zadači i rijeseni primjeri iz vise matematike s primjenom na tehničke nauke. Zagreb. Tehnička knjiga, 1978.
(iii)	M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladič: Resene naloge iz analize I. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, 1972.
(iv)	V. Batagelj: Diskretne strukture. 1 - naloge. Ljubljana, IMFM FNT, Oddelek za matematiko, 1979.
(v)	M. Dobovisek, B. Magajna: Naloge iz algebre 1. Ljubljana, Drustvo matematikov, fizikov in astronomov SR Slovenije, 1984.
(v)	M. Kolar, B. Zgrablič: Več kot nobena, a manj kot tisoč in ena resena naloga iz linearne algebre. Ljubljana, Pedagoska fakulteta, 1996.
(vi)	P. Mizori-Oblak, B. Krusič (avtor dodatnega besedila): Matematika za studente tehnike in naravoslovja, Del 1. Ljubljana, Fakulteta za strojnistvo, 1997.
(vii)	P. Mizori-Oblak, Matematika za študente tehnike in naravoslovja, Del
2.	Ljubljana, Fakulteta za strojništvo, 1991.
(viii)	P. Mizori-Oblak, Matematika za študente tehnike in naravoslovja, Del
3.	Ljubljana, Fakulteta za strojništvo, 1986.
Tu in tam pa se najde tudi kaksna izvirna naloga.
Glede na raznovrstnost snovi sem bil dolgo časa v dilemi, v katerem vrstnem redu naj zbirko uredim. Odločil sem se za kronoloski razpored. Naj na koncu zazelim obilo veselja pri resevanju.
2 Kolokviji
2.6.1995
1. Naj bo
f (x,y):
0;	sicer
sicer
(a)	Ali je f zvezna?
(b)	Ali je parcialno odvedljiva v tocki (0, 0)?
(c)	Ali je diferenciabilna v tej tocki?
2.	Poisci ekstremne vrednosti funkcije
u := 2x3 + 4x2 + y2 - 2xy na obmocju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 4!
3.	Resi diferencialno enacbo
(xy2 — y3) dx + (1 — xy2) dy = 0; integrirajoci mnozitelj je funkcija y-na
4.	Resi enacbi
(a)	y'" + y" = x2 + 1 + 3ex
(b)	(1 + x)2y'' — 3(1 + x)y' + 4y = (1 + x)
x
3
15.2.1996
1. Izračunaj integral
r1	1 xb — xa
/ sinfln —)—--dx (b>a> 0)
/0	x ln x
2. (a) Dokazi, da je
r4 3	53
/ v/l6-;r2cfe = 43 £(-,-) 'o	42
64 /Ira)2
(b) Dokazi, da je 43 B(~, -) =-^-—.
v j	4 2	21
3. Zamenjaj vrstni red integracije pri
r1 rV* / dx / f (x,y)
./0 Jx
16.4.1996
1. Dana je vrsta
nx	(n — 1)x


—1 \ 1 + n2x2 1 + (n — 1)2x
(a)	Poisci funkcijo, h kateri konvergira.
(b)	Ali je konvergenca enakomerna?
(c)	Ali lahko vrsto clenoma integriramo na intervalu [0,1]?
2. Ali konvergira integral
f oo
' cos x
-dx
x
3. Napisi enacbo premice skozi koordinatno izhodisce, ki od parabole y2 4x odsece del s ploscino 9.
4. Dokazi, da vrsta
OO O n2
n!
n— 1
konvergira in ji izracunaj vsoto. (Nasvet: pomagaj si s funkcijo ex.)
5. Razvij funkcijo
v Taylorjevo vrsto okoli tocke 0. Za katere x dobljena vrsta konvergira k f (x)?
16.4.1996
1.	Poišči dolžino loka krivulje y2 = x3, ki ga odseče premica x =
2.	Ali konvergira integral
roc
/ cos x / -dx
J 0 x
3. Napiši enačbo premice skozi koordinatno izhodišče, ki od parabole y2 4x odseče del s ploščino 9.
4. Dokazi, da vrsta
OO 9
v^ n2
n!
n= 1
konvergira in ji izračunaj vsoto. (Nasvet: pomagaj si s funkčijo ex.)
5. Razvij funkčijo
x2 — x — 2
v Taylorjevo vrsto okoli točke 0. Za katere x dobljena vrsta konvergira k f (x)?
(Nasvet: Razbij funkčijo na parčialne ulomke in vsakega razvij v Tay-lorjevo vrsto. Dobljene vrste nato se sestej.)
3
4.6.1996
1. Dana je funkčija
2
t( \ x y
x2 + y2
(a)	Ali jo lahko definiras v točki (0, 0), da bo zvezna?
(b)	Ali je parčialno odvedljiva?
(č) Ali je diferenčiabilna v točki (0, 0)?
2.	Liho nadaljevanje funkčije
f(t) := cos V2t razvij v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n].
3.	Razvij funkčijo
čos x3y4 — 1
.lir. y) := -fr2-+ ■!// 1 M.r 2
x5y2
v Taylorjevo vrsto okoli točke (0, 0) in izračunaj
d7 f
dxdyf
4. Resi diferenčialno enačbo
:(0).
x2y" + 2xy' — 6y = 0, ki ustreza pogoju y(1) = y(—1) = 1.
5. Bodi
u(x, y) := x + 0(xy), kjer je 0 diferenčiabilna funkčija. Dokazi, da tedaj velja
du du
y n
ox oy
1.	Poisči ekstrem funkcije
f (x, y) := x3 + 8y3 - 6xy + 5; vsakič preveri tudi, ali nastopi lokalni minimum oz. maksimum!
2.	Liho nadaljevanje funkcije
f(t) := cos ^t razvij v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n].
3.	Poisci prve stiri nenicelne clene razvoja funkcije
f(x,y) := a/1 + x'2 + y2 v Taylorjevo vrsto okoli tocke (1, 2).
4.	Resi diferencialno enacbo
x2y" + 2xy' — 6y = 0, ki ustreza pogoju y(1) = y(—1) = 1.
5.	Bodi
u(x, y) := x + 0(xy), kjer je 0 diferenciabilna funkcija. Dokazi, da tedaj velja
du du
V n
dx dy
4.4.1997
1. Izracunaj integrala sin x
(a)
(b)
sin x + cos x
x
dx
xe
(1 + ex)2
dx
2. Dokazi, da obstaja in nato izracunaj doloceni integral
I := / x lnsin xdx J 0
(Nasvet: Najprej razbij integral na dva dela: fj = /J^2 + /J/2. V drugi integral lahko uvedes novo spremenljivko x = t + n/2, nato pa ga zapises kot vsoto dveh integralov. Upostevaj, da je /J^2 ln cos t dt =
— | ln 2, pa prideš do enačbe / = J^2 x ln sin x dx + x ln cos xdx — f ln2). Ce sedaj preostala integrala združiš, in upoštevaš adicijski
«n/2
teorem, dobiš / = + ln | j^2 x dx + ^ ln 2.)
3. Izracunaj dolzino krivulje y = x — 2ln(1 + x) na intervalu [0,1].
4. Dana je funkcija
f(x, y)
2xy xfl-\-y2 '
A; sicer
x2 + y2 = 0
Ali lahko definiras konstanto A, da bo pri vsakem fiksnem x=x0 funkcija y ^ f (xo,y) zvezna povsod. Ali lahko definiras konstanto A, da bo funkcija f kot funkcija dveh spremenljivk zvezna povsod?
7T
1.	Izračunaj dolzino krivulje, podane parametrično z
x(t) := t + t2 y(t) := t — t2 med točkama T1(0, —2) in T2(2, 0).
2.	Dana je preslikava A : R4 — R4
A : (a, b, c, d) — (c, c,a + b,d).
Zapisi njeno matriko A v standardni bazi in poisči njene lastne vrednosti in lastne vektorje.
3.	Poisči Fourierovo vrsto za funkčijo, ki je na intervalu [—n, n] definirana
z
{—I — x; —7T < X < — 7j7T x - f;	< x < 7T
0	sicer
in je periodična s periodo 2n.
4. Utemelji, da vrsta konvergira in jo tudi izračunaj na dve dečimalki natančno (brez uporabe kalkulatorja!)
oo
_(-1)'
n(n -
n=2
n(n + 1)(n + 2)
1.	Funkcijo
f (x,y) := (x — 1)2 + 2y(x — 2) + (y — 3)3 razvij v Taylorjevo vrsto okoli tocke T(1, 2).
2.	Poisci lokalne ekstreme funkcije
f (x,y) := x2 + xy — y — 32
3.	Poisci diferencialno enacbo, katere resitve sestavlja druzina krivulj
2 2 2 (x — a) + y = a
4.	Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y" — 4y' + 13y = x
2.6.1997
1.	Naj bo
[ 0;	sičer
(a)	Ali je f zvezna?
(b)	Ali je parčialno odvedljiva v točki (0, 0)? (č) Ali je diferenčiabilna v tej točki?
2.	Poisči ekstremne vrednosti funkčije
u := 2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na območju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 4!
3.	Resi diferenčialno enačbo
(xy2 — y3) dx + (1 — xy2) dy = 0; (integračijski faktor je funkčija y-na.)
4.	Razvij funkčijo f (t) := sin(zt); z G R\Z v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Nato pokazi, daje
sin|z = 2 ^ (-!)*+**; vr = 2 ^ (-1)^(2^)
sillTTZ TT^ k2 -Z2 ^ K2 ' TT^ (2t + l)2 - Z2 ^ ' fc=1 t=0 ^ '
1.	Doloci dolzino krivulje
t6
x(t) := -
t4
Uit) := 2 —
med njenim preseciscem z abscisno osjo in njenim preseciscem z ordi-natno osjo.
2.	(a) Z integralskim kriterjem preveri, ce vrsta
y_l_
^ n(3n — 1)
n=1 v	'
konvergira.
(b) S kvocientnim kriterijem preveri konvergenco vrste
2n

1 + 22n
n=1
3. Zapi si MacLaurinovo vrsto funkcije
1x
f(x) :
VI
4. Razvij funkcijo
s ) n; —n < x < 0 f(x) :=
0; sicer
v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n].
1.	Razvij funkčijo
f (x, y) := (x2 + y2)(x2 — y2) + 2xy(x2 — y2 + y4) v Taylorjevo vrsto okoli točke (0, 0).
2.	Naj za funkčijo z = z(x,y) velja:
dz dz
=
ox oy
Napisi gornji izraz v polarnih koordinatah x = r čos y = r sin 0.
3.	Poišči ekstreme funkčije z(x,y) = čos(x — y) sinx.
4.	Poisči resitev diferenčialne enačbe
y'" — 3y' + 2y = ex + x
5.	Poisči vse usmerjene grafe na treh in stirih točkah, ki so izomorfni svojemu komplementarnemu grafu.
1.	Izracunaj dolzino loka krivulje
s/ = K5tt)
med tockama T(1,y(1)) in T(2,y(2)).	(35 tock)
2.	Izracunaj priblizno vrednost integrala
sin x2
0
tako, da funkcijo sin t razvijes v Taylorjev polinom do reda 6. Oceni
tudi napako.	(30 tock)
3.	Cestna odseka z enacbo y = |x| pripeljeta vsak s svoje smeri iz ne-skoncnosti do tock T(0, 0) oz. T(1,1). Povezi ju s krivuljo, da bo dobljena pot dvakrat zvezno odvedljiva. Preveri tudi, ce tako sestavljena
cesta kdaj seka samo sebe.	(35 tock)
2.12.1999
1.	Določi prostornino telesa, ki ga omejujejo ploskve z enačbami
z = 4 — x, z = 0, x2 + y2 = 1
(35 točk)
2.	Izračunaj integral
«oo
dx
Jo VTT^
(35 točk)
3. Izračunaj kot med tangento, normalo in binormalo poti
r(t) := e*(sin t, čos t, 1) in z-osjo, in pokazi, da je neodvisen od parametra.	(30 točk)
1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIČNE ANALIZE III
B
2.12.1999
1. Določi prostornino telesa, ki ga omejujejo ploskve z enačbami
z = 4 — x, z = 0, x2 + y2 = 2
2. Izračunaj integral
r dx

x4
(35 točk)
(35 točk)
3. Izračunaj kot med tangento, normalo in binormalo poti r(t) := e(e4 sin(t + 1),et,et čos(t + 1)) in y-osjo, in pokazi, da je neodvisen od parametra.	(30 točk)
0
1.	Rekurzivno definiramo zaporedje na slede c nac in:
a\ := 1; an+\ := — 2an)
(a)	Pokazi, daje zaporedje alternirajoce (torej so cleni z lihimi indeksi pozitivni, s sodimi pa negativni), in da lezi na [—1,1] (15 tock)
(b)	Izrazi an+2 z an in odtod pokaz i, da je podzaporedje sodih clenov padajo ce. Poka zi tudi, da je podzaporedje lihih clenov monotono.
(10 to ck)
(c)	Pokazi, daje zaporedje (an)n konvergentno in poi s ci limito. (Nasvet: pomagaj si s prej snjo tocko)	(10 tock)
2.	Pod kak snimi koti se sekata krivulji
y = sin x, y = cos x
(35 to ck)
3.	Poi s c i ploscino lika, ki ga oklepa krivulja y2 = x2 — x4. (30 tock)
1.	Poisci dolzino loka astroide, tj. krivulje z enacbo
y2/3 + x2/3 = a2/3; x,y > 0
(30 tock)
2.	Potencno vrsto izrazi z elementarnimi funkcijami (tj. poisci njeno vsoto)
(-1)' ^2n(n+iy
n
n
s (cv) := —-——x
(Nasvet: Pomagaj si s potencno vrsto za funkcijo f (x) := x ■ s(x)) (35 tock)
3. Poisci Fourierovo vrsto za funkcijo, ki je na intervalu [—n, n] definirana z
{—I — X; —7T < X < — 7j7T * - f;	< X < 7T
0	sicer
in je periodicna s periodo 2n.	(35 tock)
1.	Poisči dolzino loka astroide, tj. krivulje z enačbo
y2/3 + x2/3 = b2/3; x,y < 0
(30 točk)
2.	Potenčno vrsto izrazi z elementarnimi funkčijami (tj. poisči njeno vsoto)
~ (—x)k
s(x) :=
k
= k(k + 1)
(Nasvet: Pomagaj si s potenčno vrsto za funkčijo f (x) := x ■ s(x)) (35 točk)
3. Poisči Fourierovo vrsto za funkčijo, ki je na intervalu [—n, n] definirana z
{f + X] —n<x< — \ti —X — f; |7T < X < 7T ,
0	sičer
in je periodična s periodo 2n.	(35 točk)
11.3.2001
1. Iz kroga z radijem r izrezemo izsek in preostanek zvijemo v stozec. Poisči kot izseka, pri katerem bo prostornina stozca maksimalna. (Nasvet: V = oh/3, kjer je h visina stozca, o pa plosčina osnovnice. Mogoče ti bo tudi koristila identiteta 8 n3 — 28 n2 x + 18 nx2 — 3 x3 = (2n — x) (4n2 — 12nx + 3x2))
(35 tock)
2. Izracunaj volumen rotacijskega telesa, ce mnozico
D := {(x,y) G R2; —n/2 < x < n/2, 0 < y < cosx} zavrtis okoli y-osi.	(30 tock)
3. S pomocjo Taylorjevega polinoma reda p = 5 za funkcijo sin x/2 pri-blizno izracunaj integral
fn sin(x/2) , / -dx
Jo x
in oceni napako.	(35 tock)
1.	Dan je krog polmera a. Iz njega naredimo sto z ec tako, da najprej odrezemo izsek, in preostanek zvijemo. Poi s ci kot izseka, pri katerem bo prostornina tako dobljenega sto zca maksimalna.
(Nasvet: V = ho/3, kjer je h visina stozca, o pa ploscina osnovnice. Mogoce ti bo tudi koristila identiteta 8n3 — 28n2t +18nt2 — 313 = (2n — t) (4n2 — 12nt + 312))
(35 to ck)
2.	Izra cunaj volumen rotacijskega telesa, ce mno zico
D := {(x,y) G R2; —n/2 < x < n/2, 0 < y < cosx} zavrti s okoli x-osi.	(30 to ck)
3. S pomo cjo Taylorjevega polinoma reda p = 5 za funkcijo sin x/3 pri-bli zno izra cunaj integral
r sin(x/3) ,
/ —5-dx
Jo 3x
in oceni napako.	(35 to ck)
A
30.5.2001
1. Naj bo f : [0,n] — R definirana z f(x) := sin(2x). Razvij sodo nadaljevanje funkčije f v Fourierovo vrsto na intervalu [—n, n]. Preveri tudi, kdaj je dobljena vrsta enaka f (x). (Nasvet: Mogoče ti bo v pomoc:
a sin(a+3)—sin(a—3) ■	a cos(a—3)+cos(a+3) n
cos asm p = —-——-—— m pa cos a cos p = —-——-——■) (o 5 točk)
2.	Naj bosta ^ dvakrat zvezno odvedljivi funkčiji. Poisči vse točke (x, y), da je
2d2z 2&2z dx2 ^ dy2
kjer je y) :=	+ ^/xy^f(y/x)	(30 točk)
3.	Poisči ekstrem funkčije f (x, y) := y2 — 3x2 + 2y na območju, omejenem z elipso x2/4 + y2 = 1.
(35 točk)
1. S pomocjo potencne vrste izracunaj vsoto
~ 2n- 1
E
3n
n=1
(30 tock)
2.	Naj bo / : [0,7r] —► R definirana z f{x) := cos(|). Razvij liho nadaljevanje funkcije f Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Preveri tudi, kdaj je dobljena vrsta enaka f (x).
(Nasvet: Mogoče ti bo v pomoč: cos a sin /3 = ~ sm(»-/?)+sm(a+/j) pa cos a cos /3 = cos("-/3)+cos("+/3).)	(35 točk)
3.	Poisci ekstrem funkcije f (x, y) := x2 — 3y2 + 2x na obmocju, omejenem s krivuljama y2 = x in x2 + y2 = 5x.	(35 tock)
B
30.5.2001
1.	S pomo cjo poten c ne vrste izrac unaj vsoto
3n +1
2™
n=1
(30 to ck)
2.	Naj bo / : [—7r,7r] —► E definirana z f(x) := cos(|). Razvij jo v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Preveri tudi, kdaj je dobljena vrsta enaka f (x).
(Nasvet: Mogoče ti bo v pomoč: cos a sin /3 = ~ sm(»-č)+sin(a+/j) pa cos a cos /3 = cos("-/3)+cos("+/3).)	(35 točk)
3.	Poi s ci ekstrem funkcije f (x, y) := y2 — 3x2 + 2y na obmocju, omejenem s krivuljama x2 = y in x2 + y2 = 5y.	(35 to ck)
1. Obmocje D omejujejo krivulje x = 0, x =1, y = 0, y = x3. Izracunaj povrsino telesa, ki nastane z rotacijo D okoli abscise.	(30 tock)
2. S pomocjo Euler-McLaurinove formule izracunaj Ek—o k2.
(Nasvet: h E^ g(a+jh)-f* g(x) dx =	(x)l& +	/Q6 Pp(x)g^ (x) dx;
-\n— 1
j=0
poleg tega pa je 1
Bo(x B1(x B2(x Bs(x B^(x
-I2I+®
= ( - - X + xz
o :
x 3 x
2

2 2 1
30

■ + x + x2 — 2 x3 + x4
max |B0(x)| = 1.
x£[0,1]
max |B1(x)| = 0.5
x£[0,1]
max |B2(x)| = 0.166667
x£[0,1]
max |B3(x)| = 0.0481125
x£[0,1]
max |B4(x)| = 0.0333333)
x£ [0,1]
(35 tock)
3. Razvij F (x) := tudi F(7)(0).
JO sin t2 dt v Taylorjevo vrsto okoli x0 = 0. Izracunaj
(35 tock)
1
1
1.	Obmocje D omejujejo krivulje x =1, x = 2, y = 0, y = 3x3. Izracunaj povrsino telesa, ki nastane z rotacijo D okoli abscise.	(30 to ck)
2.	S pomocjo Euler-McLaurinove formule izracunaj ^k=i29C)2 k2.
^n— 1 "3 = 0
poleg tega pa je
b
(Nasvet: h E"~o ff(a+Jh)~fa 9(*) dx =	f Bj g^ (x)	/Q6 PP(x)gW (x) dx;
Bo(x B1(x B2(x Bs(x B^(x
1
-I5I+*
= ( - - X + xz
o :
x 3 x
2

2 2 1
30

■ + x + x2 — 2 x3 + x4
max |B0(x)| = 1.
x£[0,1]
max |B1(x)| = 0.5
x£[0,1]
max |B2(x)| = 0.166667
x£[0,1]
max |B3(x)| = 0.0481125
x£[0,1]
max |B4(x)| = 0.0333333)
x£ [0,1]
(35 to ck)
3. Razvij F (x) := tudi F(9)(0).
/C cos t2 dt v Taylorjevo vrsto okoli xC = 0. Izracunaj
(35 to ck)
1
1
1. S pomocjo Beta funkcije (B(p, q) := f0 tp-1(1 — t)q-1 dt) izracunaj integral
f2 dx
/o V24 -
(35 tock)
2. Razvij funkcijo f (x) := sin 2x po kosinusih na [—n, n]. Kdaj je dobljena vrsta enaka f (x)?	(20+10=30 tock)
(Nasvet: sin(a) sill(/3) = ^(a-,3)-cos{a+,3) . ^^ ^^ = sin(a-/?)+sin(a+/?) )
3. Identiteta u + v = x; u3 + v3 = y doloca funkciji u = u(x,y); v = v(x,y). Pokaži, da je = 2V1U2 • S pomočjo tega rezultata izračunaj
še če je /(u) = usin u.
(10+25=35 tock)
1. S pomočjo Beta funkčije (B(p, q) := f^ tp-1(1 — t)q-1 dt) izračunaj integral
f3 dx
/o V34 -
(35 točk)
2. Razvij funkčijo f (x) := čos2x po sinusih na [—n,n]. Kdaj je dobljena vrsta enaka f (x)?	(20+10=30 točk)
(Nasvet: sin(a) sill(/3) = ^(a-,3)-cos{a+,3) . ^^ ^^ = sin(a-/?)+sin(a+/?) )
3. Identiteta u + v = x; u3 + v3 = y določa funkčiji u = u(x,y); v = y). Pokaži, da je || =	S pomočjo tega rezultata izračunaj
še če je f(v) = usin u.
(10+25=35 točk)
1.	Izracunaj dolzino loka krivulje
y = arcsin(e-x) med tockama T(0,y(0)) in T(1,y(1)).
(Nasvet: 1 =	c^2;r ~~ sh2;r = 1-)	(30 točk)
2.	Razvij funkcijo f(x) :=	^ v Taylorjevo vrsto okoli x0 = 0 in izracunaj f(22)(0). Za katere x je vrsta enaka f (x)?	(35 tock)
3.	S pomocjo Hermitove formule
p b	n-1
/ f (x) dx—h J] f (a+ih) = h/2(f (b)+f (a)) — h2/12(f'(b) — f'(a))+r(a, b, h)
i—i
(kjer je |r(a,b,fr)| < ^ J^ \f{4) (x)\ dx) seštej
999 1 i— i i
in oceni napako.	(35 tock)
1. Izracunaj dolzino loka funkcije
y = ex
med tockama T(0,y(0)) in T(1,y(1)).
(30 tock)
2.	Razvij funkcijo f(x) := 3/^3 v neskončno Taylorjevo vrsto okoli =
0 in izracunaj f (20)(0). Za katere x je vrsta enaka f (x)?	(35 tock)
3.	S pomocjo Hermitove formule
/b	n-i
f (x) dx—h J] f (a+ih) = h/2(f (b)+f (a)) — h2/12(f'(b) — f'(a))+r(a, b, h) i=i
(kjer je |r(a,b,fr)| < /Q6 |/(4)(x)| cfe) seštej
999 1 i=21
in oceni napako.	(35 tock)
A
2.6.2003
1. Naj bo f : [0,n] — R definirana z f (x) := cos(2x). Razvij liho nadaljevanje funkcije f v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Preveri tudi, kdaj je dobljena vrsta enaka f (x). (Nasvet: Mogoče ti bo v pomoc:
cos asm p = —-——-—— m pa cos a cos p = —-——-——■) (o 5 to ck)
2.	Naj bosta ^ dvakrat zvezno odvedljivi funkciji. Poi s ci vse to cke (x, y), da je
2d2z 2&2z dx2 ^ dy2
kjer je y) := $(xy) + ^/xy^f(y/x)	(30 točk)
3.	Poi s ci ekstrem funkcije f (x, y) := x2 — 3y2 + 2x na obmocju, omejenem z elipso x2 + y2/4 = 1.
(35 to ck)
1.	Lik, omejen s koordinatnima osema in krivuljo y2/3 + x2/3 = 1 zavrtimo okoli abscie (x-osi). Poisci volumen vrtenine.
(Nasvet: V = n /£ f (x)2 dx)	(35 tock)
2.	Zapisi Taylorjevo formulo reda n =10 okoli x := 0 za funkcijo f (x) := cos(x2) in oceni napako, ce x G [—1,1].	(30 tock)
3.	Potencno vrsto izrazi z elementarnimi funkcijami (tj. poisci njeno vsoto)
(-1)' ^2n(n+iy
oo
n
n

(Nasvet: Pomagaj si s potencno vrsto za funkcijo f (x) := x ■ s(x)) (35 tock)
1. V enačbo — x = y — za funkcijo u = u(x, y) uvedi nove spremenljivke a := x — b := xy.
Preveri, ali se v novih spremenljivkah enačba glasi = 0, ali pa = 0.
(35 točk)
2. S pomočjo Euler-McLaurinove formule
n-1	„b	p
hj
j=0 j=1 j
h^2g(a+jh)~ I g{x) dx = ^—B]\g{]-1){x) J	j PP(x)g{p) (x) dx
b	hP
h
b
sestej ^k^9]3 k4.	(30 točk)
3. Poisči vse lokalne ekstreme funkcije z = y2 + cos(x — y). (35 točk)
3 Pisni izpiti
24.1.1994

; (x,y) = (0,0)
1.	Podana je funkcija f(x,y) := < Vx'2+y'
[ 0	; sicer
(a)	IzraCunaj smerne odvode funkcije f v izhodisCu.
(b)	Ali je funkcija zvezna?
(c)	Ali je odvedljiva v izhodisCu?
Odgovore utemelji!
2.	Oznacimo z J0 Besselovo funkcijo nicelnega reda. Dokazi, da je
fff/2 ;a > 0
"OO •
sin ax
Jo(x) dx = < arcsina x
l-n/2
|a| < 1
a < -1
(Nasvet: Jo(x) lahko pišemo tudi kot Jo(x) = | J^2cos (x cos 0) dO] poleg tega pa bo verjetno potrebno uporabiti znano enakost /0°° ^^ dx = n/2.)
3. S pomocjo razvoja funkcije
f (x) = (n2 - x2)2 x G (-n,n) v Fourierovo vrsto, izracunajte vsoto:
E
k=0 (2k + 1)4
0
4. Poisci vse singularne tocke diferencialne enacbe II reda
(3z2 + 7z + 4V" + (18z + 22V' + 18w = 0.
V okolici vsake pravilne singularne tocke poisci tudi splosno resitev gornje enacbe!
13.9.1994
1. Dokazi, da je integral
r dx
J2 x(ln x)k
konvergenten le za k > 1 !
2. Funkcijo
2x;	x < 3n
(x — n)2; x > 3n
f(x)	2
razvij v Fourierovo vrsto na [2n, 4n]. Koliko je s(0)? (s(x) je Fourierova vrsta funkcije f.)
oo
3.	Izracunaj vsoto
J]k2(k — 1)xk .
k—0
Za katere x vrsta konvergira?
4.	Ce je x = r cos 9 in y = r sin 9, pokazi, da je
d2Č cos 29 .

5x5y r2
5. Reši diferencialno enačbo xy' — y = \/x'2 + y2, y(l) = 1 !
1.	Poi s ci ekstreme funkcije
f (x, y, z) := 2x + 2y — z, znotraj enotske krogle s sredi s cem v izhodi s cu koordinatnega sistema.
2.	Poi s ci krivulje, kjer je plos cina trikotnika, ki ga tvorijo prese ci s ci tan-gente z koordinatnima osema in to c ka (0, 0) konstantno enaka a2.
3.	Sklenjeni krivulji
r = a(1 + cos 0) in r = a(1 + sin 0)
omejujeta dva ravninska lika. Izracunaj plo s cino in obseg preseka teh dveh likov.
4.	Dana je funkcija
f (x,y) := x log(x2 + y2) .
(a)	ali je zvezna?
(b)	ali je zvezno parcialno odvedljiva?
5. Naj bo
Poi s ci tiste to cke, kjer je
f(t) := log j in u(x, y) := f(x2 + y2).
d2 d2
Tli +	= 0
Sx2 5y2
14.2.1995
1. Izracunaj
f f f	dxdydz
V
y/x2 + y2 + (z - l)s
kjer integriramo znotraj enotske krogle s srediscem v izhodiscu.
2.	Doloci v formuli
J f (x) dx = a0f (x0) + aif (xi) + R
utezi a0, a1 in vozle x0, x1, da bo formula natancna, tj. da bo R = 0 za vse polinome stopenj 0,1,..., n. Kako velik je sploh lahko n?
3.	Dokazi, da je
Rotf x a) = ^Grad f^ a — (Div/)a;
pri cemer je Grad / matrika, v katere vrsticah so gradienti posameznih komponent vektorske funkcije /
4.	Funkcijo f (x) := cos(zx) razvij v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Odtod izracunaj koeficiente ak v formuli
ctg(nz) =
ak
k—-00 (z — k)
11.4.1995
1. Poisči krivuljo, ki gre skozi točko T(1, 0) in v vsaki točki krivulje velja: odsek tangente na ordinatni osi je enak razdalji med dotikalisčem (tangente na krivuljo) in koordinatnim izhodisčem.
2. Dokazi, da funkcija z = arctan- ustreza enačbi
y
dz dz u — v
du dv u2 + v2' tu je x = u + v in y = u — v!
3.	Poisči splosno resitev diferenčialne enačbe (1 — x2)y'' — xy' + 9y = 0. (Nasvet: ena izmed resitev, y1 je polinom tretje stopnje. Splosno resitev dobis tako, da postavis y := y1z in poisčes neznano funkčijo z.)
4.	Določi najmanjso in največjo vrednost funkčije
/(x,y) := x2 + y2 — 3xy
na območju D := {(x, y); 0 < x < 2, —1 < y < 2}.
5.	Razvij liho nadaljevanje funkčije /(x) := čos zx v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Odtod izračunaj vsoto

k=o (2k + 1)2 — z2
6.6.1995
1.	Krivulja r(s) je podana z naravnim parametrom s. Poisci tak vektor A (s), za katerega velja:
dt -t*	dn ^
— = A x t, — = Ax n; ds	ds
tu sta t in n tangenta oz. normala krivulje r. (Nasvet: Frenetove formule.)
2.	Izra cunaj integral
p<x e-ax _ e-bx
- dx (0 < a < b).
x
3.	Poi s c i neznano diferenciabilno funkcijo f, za katero je f (0) = 0, in je polje
U := (1 + x2)f (x)r + 2xyf (x)j — 3zk
solenoidalno. Nato najdi tudi tisti njegov potencial, pri katerem je zadnja komponenta ni celna.
(Nasvet: / je oblike ^^ i kjer je p polinom tretje stopnje.)
4.	Poi s ci prve tri pozitivne korene en cbe
x sin x = 1.
Koreni naj bodo izracunani na 5 decimalk natancno. (Nasvet: nalogo si precej olaj sas s skico.)
o
13.6.1995
1. Ali vrsta
konvergira?
2. Razvij funkcijo

/ (-1)" — ' nn
n=1
f (x,y)
1 + sin xy + xy sin xy
1 + xy
v Taylorjevo vrsto okoli tocke (0, 0)
3.	Poisci splosno resitev diferencialnih enacb
(a)	y dx = \Jy2 + x2 dy
(b)	y" + y = ^2.
Ali ima enacba (a) tudi singularno resitev?
4.	Doloci ekstremne vrednosti funkcije
f (x,y) := x2 + y2 - 3xy na obmocju D := {(x, y); x < y2, —2x > y}.
5. Izracunaj vsoto
E(—d'
2k + 1
fc=0
(2k + 1)2 — z2
(Nasvet: razvij liho nadaljevanje funkcije f (x) vrsto)
cos zx v Fourierovo
1. Dana je funkcija
2n+1
fU) : ^ l/,2 l(.r l)
n—1	x	7
(a)	Kje je definirana?
(b)	Izrazi jo z elementarnimi funkcijami
(c) Poišči	(4^-1)9"-
(Nasvet: s substitucijo jo pretvori v potencno vrsto!)
2. Za pozitivna stevila x,y in z velja zveza x + y + z = 1. Pri katerih vrednostih doseze funkcija
f (x, y, z) := xpi yp2 zp3
najvecjo vrednost? (Tu je p1, p2, > 0.)
3. Razvij funkcijo
I nx — x2;	x G (—n, 0)
f(x) :=
|x2 — 3nx + 2n2; x G (0,n) v Fourierovo vrsto in z njeno pomocjo dokazi, da je

n2
—1 (2n — 1)2 8
4. Poisci resitev diferencialne enacbe
x y' = x\Jy — x2 + 2 y
1
11.6.1996
1. Izračunaj
E
ro	n
n xn
n + 2 n!
n=1
2. Izračunaj plosčino zanke Desčartovega lista
3t	3t
2
x = ^^ V
1 + t3 * 1 + t3 3. Razvij funkčijo
I nx — x2;	x G (—n, 0)
f := jx2 — 3nx + 2n2; x G (0,n)
v Fourierovo vrsto in z njeno pomočjo dokazi, da je
1	n2

^ (2n — 1)2 8'
n=1 v	'
4. Poisči ekstreme funkčije
2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na območju, omejenem s krivuljama
y = x2 in y = 4
5. Poisči polinomsko resitev enačbe
(1 — 2x2)y'' + 2y' + 4y = 0
27.8.1996
1. Izracunaj vsoti
ro n+2	ro n
n xn+2	v-^ n xn
>--— oz. >---
^ n + 2 n!	^ n + 2 n!
n=1	n=1
2.	V trikotniku ABC s koordinatami A(0, 0), B(1, 0) in C(0,1) poisci tocko, katere vsota razdalj do temen trikotnika je maksimalna.
3.	Razvij funkcijo
' etx; x G (0, 2n)
f (x) := ,
1; x = 0, x = 2n
v Fourierovo vrsto.
4.	Bodi funkcija z = z(x,y) podana implicitno z
/ 2 , 2 , 2\3 2
(x + y + z ) = yz. Poisci totalni diferencial funkcije z.
5.	Resi naslednji diferencialni enacbi:
(a)	y''' + y' = x4.
(b)	x2y'' — 3xy' + 4y = x3.
1.	Razvij funkcijo
f (x, y) := (x2 + y2)(x2 — y2) + 2xy(x2 — y2 + y4) v Taylorjevo vrsto okoli tocke (0, 0).
2.	Poi s ci prehodno matriko med standardno bazo in bazo, podano z
ei := 41 — 6j e2 := 1 + 12j
V novi bazi izrazi tudi matriko
A ()■
3. Dolo ci dol zino krivulje
x(t)
t6
t4
y(t) ■= 2--
med njenim prese ci s cem z abscisno osjo in njenim prese ci s cem z ordi-natno osjo.
4. Poi s ci resitev diferencialne enacbe
y"' — 3y' + 2y = ex + x
6
1.	Poisči povrsino vrtenine, ki nastane z rotačijo pozitivnega dela funkčije
y = 2 + x — x2
okoli absčisne osi.
2.	Liho nadaljevanje funkčije
/(x) := 1 (x > 0) razvij v Fouirerovo vrsto na [—n,n].
3.	Razvij funkcijo	_
f(x,y) := \/l — x2 — y2
v Taylorjevo vrsto okoli točke T(0, 0) do vključno polinoma četrte stopnje.
4.	Poisči splosno resitev diferenčialne enačbe
y" — 4y' + 4y = x
5.	S pomočjo Dijkstrinega algoritma poisči najkrajsi pot med točkama T1 in T2 v grafu
1.	Poišči površino lika, ki ga omejujejo krivulja y = ^ in premice x 0, x = e-1 ter y = 0.
2.	Izracunaj vsoto
1 , (—1)n

^ 3™ 2™
n—1
3. V diferencialno enacbo
dz d2 z
dx dxdy
za funkcijo z = z(x,y) uvedi nove spremenljivke £ in n, ki se s starimi izrazajo kot: £ + n = x, £ ■ n = y.
4.	Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y,,/ — y'' — y' + y = ex — 1
5.	Poisci najkrajse vpeto drevo v naslednjem grafu. (Vse daljice brez oznak imajo dolzino 1.)
IZPIT IZ MATEMATIKE II
20.8.1998
1.	Poisci ploscino med krivuljo y = (x + x3)e-x2 in njeno asimptoto.
2.	Poisci ekstreme funkcije
f (x, y) := x2 — 3xy + 2y2 + y + x — 2
3.	Razvij funkcijo f(x, y) := sin^ ^ V Taylorjev polinom okoli točke T(0, 0).
4.	Poisci splosno resitev diferencialne enacbe
y"' — 3y' + 2y = x + cos x
5. Poisci najkrajso pot med T1 in T2 v naslednjem grafu. (Vse daljice brez oznak imajo dolzino 1.)
1.	Po metodi najmanjših kvadratov aproksimiraj funkcijo s polinomom stopnje največ ena v točkah x = 0,1, 4 in 9.
2.	Bodi z G R\Z. Razvij funkčijo /(x) := čos(zx) v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Nato izračunaj vsoto
k=0
(~l)fc z2 — k2
(Nasvet: mogoče ti bo v pomoč identiteta cos a cos /3 = cos(~a ^+costQ,+/j))
3. Poisči maksimum funkčije z = x2 — x — y2 na trikotniku z oglisči v točkah T(0, 0), T(1, 0), T(0,1).
4. Razvij funkcijo f(x,y) := ~Ts™xy v Taylorjevo vrsto okoli točke T(0,0) in poišči vrednost ad3I3 (0, 0)
L	ax3ay3 ^ ' '
5. Izračunaj dvojni integral
II srn I«,.
D
kjer je D območje, omejeno s premičami x = 0, y = n ter kubično parabolo y =
1.	Za katera realna s tevila x velja neena Cba
|x - 1| < |x + 1|
2.	Pokaz i s popolno indukcijo, da je
1 1	1	n
+ + • • • +
1 ■ 3 3 ■ 5	(2n - 1)(2n + 1) 2n +1
3.	Poi s Ci pravokotno projekcijo premice p : x + y — z =1, x + z = 2 na ravnino n: x — y + z = 3.
4.	Poi s Ci lastne vrednosti matrike
200 A := | 0 2 —1 v-1 1 0
Pri vsaki lastni vrednosti poi s Ci tudi vse linearno neodvisne lastne vektorje.
5.	Napi si enaCbo tangente in normale na krivuljo y = (x — 1)(x — 2)(x — 3) v toCki x = 2, kjer krivulja seka abscisno os. V tej toCkah poisci tudi kot med krivuljo in absciso.
6.	Poi s Ci dolžino loka krivulje

x2 ln(x)
y = T
od x = 1 do x = e.
7. Naj bo f (x,y) := x2ln(xy). IzraCunaj
df df d2 f d2f d2f
—T" + T" + ^^TT + Ž/TT ~ V-
dx dy dx2 dy2 dxdy
8. Skiciraj integracijsko obmocje, zamenjaj vrstni red integracije in izracunaj dvojni integral:
/•1/2	l-(.t-l)2	nI	/-V1-.T2
/ dx _;ry dy + / dx	xy dy
Jo J-^J 1-(.t-1)2	«/1/2
Vsaka naloga prinese po 15 tock.
13.9.1999
2.	Ravni cesti z enačbama y = —x + 1 oz. y = x nas pripeljeta iz neskončnosti do točk T(0,1) oz. T(1,1). Manjkajoči odsek ceste naredi tako, da bo celotna trasa potekala po dvakrat odvedljivi krivulji.
3.	Bodi z G R\Z. Razvij funkčijo f (x) := sin(zx) v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Nato izračunaj vsoto
(Nasvet: mogoče ti bo v pomoč identiteta sin a sin /3 = cos(-a
4.	Poisči pogojni ekstrem funkčije u(x,y) := ax + by, če točka lezi na krozniči x2 + y2 = 1.
5.	Skičiraj integračijsko območje in zamenjaj vrstni red integriranja
1. S pomočjo potenčne vrste poisči vsoto
(n +1)2
n=1
1. S pomo cjo poten c ne vrste poi s c i vsoto

= (n + 1)3n
2.	Naj dvakrat zvezno odvedljiva funkcija u = u(x,y) zado S Ca identiteti
d2u d2u
-—-= u
dt2 dx2
PokaZi, da se z uvedbo novih spremenljivk £ = x—t, n = identiteta glasi
d2u 1 _ 4
3.	Poi s ci ekstremne vrednosti funkcije
g(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na obmo cju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 4.
4.	S pomočjo razvoja funkcije f (x) := (n2 — x2)2 v Fourierovo vrsto na intervalu [—izracunaj
n4
n=1
/»t , r n t \ i	xn sin(ax) . nxn 1 cos(ax) . n—n2 r n— 2 / \ j \
(Nasvet: J rr cos (a;*) <ir =-^—H--—J x qos(olx) dx)
5. Približno izračunaj integral s pomočjo razvoja funkcije \Jl +1 v bi-nomsko vrsto reda 5 in nato oceni napako.
[ t~A/5VTTtdt
Jo
1. Izracunaj
f f f	dxdydz
\Jx2 + y2 + (z - l)s
V
kjer integriramo znotraj enotske krogle s srediscem v izhodiscu.
2.	Dokazi, da obstaja tak nenicelni (konstanten) vektor a, da krivulja
oklepa z njim konstanten kot.
3.	Izracunaj
/'MI±£U
Jo 1 + ^
(Nasvet: pomagaj si z funkcijo f(a) := /J '"^.T^ dx. Odtod je gornji integral enak f (1) — f (0).)
1.	Krivulja f(s) je podana z naravnim parametrom s. Poisči tak vektor A (s), za katerega velja:
dt -t*	dn ^
— = A x t, — = Ax n; ds	ds
tu sta t in n tangenta oz. normala krivulje f. (Nasvet: Frenetove formule.)
2.	Izračunaj integral
p<x e-ax _ e-bx
- dx (0 < a < b).
x
3.	Poisči neznano diferenčiabilno funkčijo f, za katero je f (0) = 0, in je polje
U := (1 + x2)f (x)f + 2xyf (x)f — 3zk
solenoidalno. Nato najdi tudi tisti njegov potenčial, pri katerem je zadnja komponenta ničelna.
(Nasvet: / je oblike ^^ i kjer je p polinom tretje stopnje.)
4.	Poisči prve tri pozitivne korene enčbe
x sin x = 1.
Koreni naj bodo izračunani na 5 dečimalk natančno. (Nasvet: nalogo si prečej olajsas s skičo.)
0
1.	Določi spremljajoči trieder T, iV, B za krivuljo
V(t) := (t — sin t, 1 — čos t, t)
pri t = 0.
2.	S pomočjo integrala poisči volumen telesa, ki ga omejujejo ploskve z enačbami
z = 2x2 + y2 + 1, x + y = 1, z = 0, x = 0, y = 0
3.	S pomočjo integrala poisči volumen telesa, ki ga od hiperboloida
2 2 2 2 x + y — z = —a
odreze valj x 2 + y 2 = a 2. 4. Izračunaj integral
g—ax _ g—bx
0x
5. Izračunaj
dx (0 < a < b).
x
-dx
^/o tan x
/-»T ,	r i •• £/ \	cn/2 arctan(atan x) i \
(Nasvet: pomagaj si s iunkcijo j(a>) := J0 ---ax.)
6. Poisči neznano diferenčiabilno funkčijo /, za katero je /(0) = 0, in je polje
T := (1 + x2)/(x)V + 2xy/(x)T — 3zk
solenoidalno. Nato najdi tudi tisti njegov potenčial, pri katerem je zadnja komponenta ničelna.
(Nasvet: / je oblike ^pf^, kjer je p polinom tretje stopnje.)
7. Poisci prve tri pozitivne korene encbe
x sin x = 1.
Koreni naj bodo izracunani na 5 decimalk natancno. (Nasvet: nalogo si precej olajsas s skico.)
Izmed 7. izberite 5 nalog. Vaš izbor onzašite na začetku lista.
1.	Izračunaj dolzino loka funkčije
f (x) := 1/4 x2 — 1/2 lnx
za 1 < x < e.
2.	Liho nadaljevanje funkčije
fx; 0 <x < n/2 f : x ^ <
[0; n/2 < x < n
razvij v Fourierovo vrsto na [—n,n].
3. Naj bodo a, b realna stevila in
u(x, y) := ln -; r = \J(x — a)2 + (y — b)2.
Za katera stevila a, b je
d2u 52u
--1--= 0?
Sx2 5y2
4. Dano pozitivno realno stevilo a razdeli na tri pozitivna stevila, da bo njihov produkt maksimalen.
1.	Poišči vrednost integrala
J J + V ' (x ~ yf dxdy;
D
kjer integriramo po območju D, omejenem s premicami x + y = 1, x — V =1, x + y = 3, x — y = —1.
2.	Preveri, če je krivulja ravninska, in če je, poi s či enačbo ravnine v kateri lez i.
r(t) = (1 + 3t + 2t2, 2 — 2t + 5t2,1 — t2).
3.	Izra čunaj integral
r<x e-ax _ e—bx
/ -dx (0 < a < b).
Jo	x
4.	Izra čunaj
r/2 x
-dx Jo tan x
/tvt ,	r i •• (•/ \	rn/2 arctan(a tan x) j n
(Nasvet: pomagaj si s iunkcijo j{a) := J0 ---<±r.)
1.	S pomo cjo integrala izracunaj volumen vrtenine, ko se trikotnik z ogli s ci T(0, 0), T(1,1), T(2, 0) zavrti okoli ordinate.
2.	Razvij funkcijo
/0*0 := T"---
1 + x — 2x2
v Taylorjevo vrsto okoli tocke x = 0 in poi s ci konvergencni polmer.
3.	Naj bo z G R\Z. Sodo nadaljevanje funkcije f (x) := sin zx razvij v Fourierovo vrsto na [—n,n], in preveri, za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi transformiranki s(x).
4.	Poi s c i tocko na elipsi x2 + y2/4 = 1, ki je najdlje od tocke T(1, 0). (Nasvet: Lagrangeova metoda iskanja vezanih ekstremov.)
5.	Izra cunaj integral
J J xy dxdy
S
kjer integriramo po obmo cju S, omejenem z gornjim delom kroz nice (x — 2)2 + y2 = 1 ter abscisno osjo.
1.	Izračunaj f^2\Ztanxdx
2.	Integriraj
//
D
kjer je D tisto območje, ki lezi med srčničo r = (1+čos 0) in krozničo r = 1, in ki ne vsebuje koordinatnega sredisča.
3.	Pokazi, da vse normalne ravnine na krivuljo V (t) := (sin21, sin t čos t, čos t) potekajo skozi isto točko.
(Normalna ravnina je pravokotna na tagento.)
4.	Poisči splosno resitev diferenčialne enačbe 2y'' + 5y' = /(x), če je
(a)	/(x) = 01 g-2 5x — 25 sin(2^5x)
(b)	/(x) = 3čosh(5x/2)
5.	Določi konstanti a in b, da bo izraz
(y2 + 2xy + ax2) dx — (by2 + 2xy + x2) dy (x2 + y2)2
totalni diferenčial skalarnega polja u(x, y) ter nato določi u.
1. Poisči vsoto

^ (2n — 1)3n-1
n=1 v	'
(Nasvet: Pomagaj si s potenčno vrsto x2n/(2n — 1).)
2. Enačbe x = u + v, y = u2 + v2 in z = u3 + v3 določajo funkčijo
dz dx
z = z(x,y). Ali velja I1 = —3uv?
3.	Naj bo z G R\Z. Liho nadaljevanje funkčije f (x) := čos zx razvij v Fourierovo vrsto na [—n,n], in preveri, za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi transformiranki s(x).
(Nasvet: cos(a) sin(/3) = sin(/j-")+sin(/3+").)
4.	Poisči točko na elipsi x2 + y2/4 = 1, ki je najdlje od točke T(0, 2).
5. Izračunaj integral
xy dxdy
S
kjer integriramo po območju S, ki lezi med enotsko krozničo in srčničo r = 1 + čos 0.
28.8.2000
1.	Poi s ci povr sino vrtenine, ce lik, ki ga omejujeta krivulji y2 = x ter x2 = y zavrtimo okoli x-osi.
(Nasvet: sh2;r = ch2;r — 1 =	, poleg tega pa je sh';r = chrr ter
ch'x = shx.)
2.	Poišči smerni odvod funkcije ; = točki T = (1/2, l/\/2), in v smeri normale na elipso 2x2 + y2 = 1.
3.	Naj bo z G R\Z. Funkcijo f (x) := sin zx razvij v Fourierovo vrsto na [—n,n], in preveri, za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi trans-formiranki s(x).
(Nasvet: sin(a) sin(/3) =
4.	V manj sem naselju imajo dve cesti; prva je oblike x2 — 2y2 = 1, druga pa y = x — 2; tu je x < 0. Ker je naselje zelo majhno, imajo precej omejen proracun, radi pa bi povezali obe dve cesti med sabo. Ali jim lahko pove s koliko morajo najmanj placati, ce pri sepnemo, da je cena nove ceste premosorazmerna z njeno dolzino?
(Nasvet: Kvadrat razdalje od to cke T(xo,yo) do premice z enacbo p : aX + bY + c = 0 izračunamo po formuli d(p, T)2 =	. Nato
uporabi metodo vezanih ekstremov.)
5. Izra cunaj integral
J J ey dxdy
S
kjer integriramo po obmo čju S, ki lez i med parabolo y2 = x in premi-čama x = 0 ter y = 1.
1.	S pomo čjo integrala izračunaj volumen vrtenine, ko se trikotnik z ogli s či T(0, 0), T(1,1), T(2, 0) zavrti okoli ordinate, tj. y-osi.
2.	S pomočjo vsote
oo
n=1
seštej X)n=l (4n2-l)9'
n + 1
3.	Poi s či Fourierovo vrsto za funkčijo
f (x):= (1; "n/2 " x " ^ ,
|0; —n < x < —n/2
ki jo periodično nadaljujemo s periodo 2n. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
4.	V parcialno diferenčialno enačbo
dz dz (y3 — x3)(x + y)
=-n-z = z(x, y)
dx dy	x3y3
uvedi nove neodvisne spremenljivke u = x2 + y2, u = ^ + K
5.	Zamenjaj vrstni red integračije
en	/»sin x
/ dx / f (x,y) dy. oo
13.9.2000
1. Izračunaj plosčino sklenjene krivulje z enačbo
2
22
x y
V 22 + 32
2
2
_ y_
42 52
(Nasvet: Uvedi posplosene polarne koordinate x = 2r čos t, y = 3r sin t.
Mogoče ti bo v pomoč tudi: sin21. = 1~cos(2^ ; cos2 f = l+c°4'2t) ^
2.	Dana je prostorska krivulja y = \J'2ax — x2, z = aln(2a/(2a — x)). Zapisi jo z naravnim parametrom.
3.	Izračunaj skalarni pretok polja a := (x2,y — x,yz) v smeri notranje normale na povrsino, ki jo omejujejo ploskve
z = 0, z = x2 + y2, x2 + y2 = 1.
4. Poisči splosno resitev diferenčialne enačbe 2y"+5y/ = /(x), če je /(x) = 01 g-25x — 25 sin(2-5x).
1. S pomočjo potenčne vrste poisci vsoto

=1 (n + 2)3n
2.	Naj dvakrat zvezno odvedljiva funkcija u = u(x,y) zadoSča identiteti
d2u d2u
-—-= u
dt2 dx2
PokaZi, da se z uvedbo novih spremenljivk £ = x—t, n = identiteta glasi
d2« 1 _ 4
3.	Poisči ekstremne vrednosti funkcije
g(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na območju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 4.
4.	S pomočjo razvoja funkčije f (x) := n2 — x2 v Fourierovo vrsto na intervalu [—izračunaj
n2
n=1
/»t , r n t \ i	xn sin(ax) . nxn 1 cos(ax) . n—n2 C n— 2 t ^ J ^
(Nasvet: J x qos(olx) dx =-^—H--—J z cos(ax) dx)
5. Približno izračunaj integral s pomočjo razvoja funkcije \Jl +1 v bi-nomsko vrsto reda 5 in nato očeni napako.
[ t~2/5VTTtdt 0
20.3.2001
2. Poi s ci Fourierovo vrsto za funkcijo
(1; —n < x < —n/2 — 1; n/2 < x < n
0 sicer
ki jo periodi cno nadaljujemo s periodo 2n. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
3. V parcialno diferencialno ena cbo
uvedi nove neodvisne spremenljivke u = x, v = x2 + y2.
4.	Poi s ci ekstremne vrednosti funkcije
g(x,y) = x2 + y2 na obmo cju, omejenem s krivuljo y2 + x2 = 2x.
5.	Zamenjaj vrstni red integracije
1. S pomo cjo poten c ne vrste poi s c i vsoto
n— i
ž/tt" - = 0; z = z(x, y)
5.6.2001
ki jo periodično nadaljujemo s periodo 2n. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
3.	Razvij f (x,y) := 3y2 + 2xy — x2 — 6x — 2y — 4 po potenčah (x + 2) in (y — 1).
(Nasvet: Razvij jo v okoliči točke T(—2,1).)
4.	Poisči točko na hiperboli x2 + 2y + 1 = y2, ki je najbliže točki T(1,1). (Nasvet: Lagrangeova metoda iskanja vezanih ekstremov.)
5.	Zamenjaj vrstni red integračije
1. Funkčijo
n=1
izrazi z elementarnimi funkčijami (tj. sestej gornjo vrsto).
2. Poisči Fourierovo vrsto za funkčijo
f (x) :
2; —n/2 < x < n 1; —n < x < —n/2 '
y
13.6.2001
1.	Poisči volumen avtomobilske zračniče, ki nastane, ko zavrtimo krozničo
x2 + (y — 2)2 = 1 okoli abscise.
(Nasvet: Zgornji del krožnice je graf funkcije y = 2 + \J 1 — x2. Pri integriranju pa ti bo mogoče v pomoč cos21 = 1+c°s(2*) _ )
2.	Razvij funkčijo
/1; 0 < x < h /h(x) := \ , 10; h < x < n
po kosinusih (tu je h G (0, n)). Za katere x je /(x) enaka tako dobljeni vrsti?
3. Naj bo u = u(x, y, z) := rr + Poišči vse točke x, y, z, za katere je
du du du dx dy dz
4.	Poi s či tri taka pozitivna s tevila z vsoto 1, da bo njihov produkt najve čji mo zen.
5.	Zamenjaj vrstni red integračije
r i ri—y
/ dy / _f(x,y)dx.
Jo J i-?r
1.	Poi s ci dol z ino odseka, ki ga od tangente na funkcijo y = x2 v to c ki x = 2 odre zeta koordinatni osi.
2.	Naj bo h G (—n,n). Poi s ci Fourierovo vrsto za funkcijo
fh(x):=(1; —" " x " h, 10; h < x < n
ki jo periodi cno nadaljujemo s periodo 2n. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
3.	V parcialno diferencialno enacbo
dz dz (y3 — x3)(x + y)
=-n-z = z{x,y)
dx dy	x3y3
uvedi nove neodvisne spremenljivke u, v, ki so s starimi v povezavi:
u = x2 + y2, v = - + -.
a 1	x y
4.	Poi s ci ekstreme funkcije f (x,y) := sin x + sin y + sin(x + y) na kvadratu K := {(x,y) G R2; 0 < x,y < n/2}
5.	Zapi s i Taylorjevo formulo reda p = 2 za funkcijo f (x, y) := xy v okolici tocke T(1,1).
1. Poišči površino vrtenine, ce zarotiraš pentljo 9y2 = x(3 — x)2 okoli x-osi.
0.5
(Nasvet: Mogoče ti bo v pomoč
9+12.t-2.T2-4.T3+.T4 _ (l+.r)3 36 x—24 ,t2+4 .t3	x
2. Naj bo h E (0,n). Razvij funkčijo
fh(x) :=
1; 0 < x < h
0; h < x < n
po sinusih. Za katere x je /(x) enaka tako dobljeni vrsti?
3.	Naj bo / dvakrat zvezno odvedljiva funkcija. Poisči vse točke, ki resijo enačbo
<92$ _ 9 52$ ^ dx2 dxdy' če je $ = $(x, y) := /(4x + y2).
4.	Poi s či razdaljo med koordinatnim izhodi s čem in krivuljo z enačbo xy = 1.
(Nasvet: Lagrangeova metoda vezanih ekstremov).
5. Zamenjaj vrstni red integračije
rl	p\fl—x2
dx	f(x,y)dy.
'-i J-l+Vl-x2
)
1. Poisči naravno definičijsko območje funkčije f in izračunaj njeno vsoto (tj., izrazi jo z elementarnimi funkčijami)
f (x) := ]>]
— nx2n+1
=1 (2n +1)
n=1
2.	Funkčijo, ki jo periodično nadaljujemo s periodo 2n, razvij v Fourierovo vrsto
m \ I |x|; n/2 < |x| < n
f(x) := <
V 7 | —1; —n/2 < x < n/2 Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
3.	Naj bo g dvakrat zvezno odvedljiva funkčija. Ali je $(x,y) := g(2x + xy — y2) resitev enačbe
ži (9	(x 9 - o?
dx " dxdy	"
4.	Poisči ekstremne vrednosti funkčije
g(x, y) = x3 + y3 — 3xy na kvadratu {(x,y) G R2; 0 < x < 2, —1 < y < 2}.
5.	Za funkčijo
f (x, y) = —x2 + 2xy + 3y2 — 6x — 2y — 4
uporabi Taylorjevo formulo reda p = 10 po potenčah (x — 2) in (y + 1). Očeni ostanek če je x G [1, 3] ter y G [—2, 2].
1.	Izračunaj volumen vrtenine, če polkrožnico y = \J'2x — x2] x G [0,2] zarotira s okoli ordinate (tj., y-osi).
(Nasvet: cos2t = ^f2^.) '
2.	Razvij v Fourierovo vrsto funkcijo f (x) := | sinx| na [—n,n]. Za katere x je f(x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
3.	Poi s ci smerni odvod funkcije f (x, y) := x2 ln(xy)—y sin(nx) v to cki T(1/2, 2) in v poljubni smeri. Pri kateri smeri je odvod najmanjši?
4. Naj bo g zvezno odvedljiva funkcija. Preveri, ce za $(x,y) := x■ g(2x — y2) velja
d$ d$ y dx dy x
5. Zapi s i funkcijo f (x, y) := ey sin(x/2) po Taylorjevi formuli okoli to c ke T(0, 0) do reda n = 2. Oceni napako, ce je x,y G [—01, 01]. (Nasvet: e ~ 2.7182 ■ ■ ■ < 3.)
19.11.2001
1.	Izračunaj volumen vrtenine, če polkrožnico y = \J'2x — x2] x E [0,2] zarotira s okoli ordinate (tj., y-osi).
(Nasvet: cos2t= ^f^.) '
2.	Razvij v Fourierovo vrsto funkčijo /(x) := sin2 x na [—n, n]. Za katere x je /(x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
/-»T , • 2	1—cos(2 x) ,	7 cos(a—6)+cos(a+6) \
(Nasvet: sm x =-^—- ter cos a cos o = —--—---.)
3.	Poi s či smerni odvod funkčije /(x, y) := x2 ln(xy) — y sin(nx) v to čki T(1/2, 2) in v poljubni smeri. Pri kateri smeri je odvod najmanjši?
4. Naj bo g zvezno odvedljiva funkčija. Preveri, če za $(x,y) := x■ g(2x — y2) velja
dx2 dy2
5. Zapi s i funkčijo /(x, y) := e(y/2) sin x po Taylorjevi formuli okoli to č ke T(0, 0) do reda n = 2. Očeni napako, če je x,y E [—01, 01]. (Nasvet: e ~ 2.7182 ■ ■ ■ < 3.)
1. Preveri, kdaj vsota konvergira, in jo nato sestej (tj. izrazi z elementarnimi funkčijami).

=1 (n + 2)n!
n=1
2. Naj bo 0 < h < n. Razvij funkčijo
1; |x| < h
fh(x) := , ,
— 1; sičer
v Fourierovo vrsto na intervalu [—n, n]. Kdaj je dobljena vrsta enaka fh(x)?
3. V parčialno diferenčialno enačbo
S z	dz
+ - y)if = o
dx	dy
za funkčijo z = z(x,y) uvedi nove spremenljivke
ln \Jx2 + y'2
u
y
v = arctan — x
4.	V trikotniku ABC s koordinatami A(0, 0), B(1, 0) in C(0,1) poisči točko, katere vsota kvadratov razdalj do oglisč trikotnika je maksimalna.
5.	Priblizno izračunaj integral s pomočjo razvoja funkčije sin t v Taylor-jevo vrsto reda 5 in nato očeni napako.
[ t-2/5 sin tdt
xn
1. Poi s či povr s ino, če se astroida, tj. krivulja z enač bo y2/3 + x2/3 = 1 zavrti okoli y-osi.
2 0-4 0-6 0-8 1
yi " ' ' " ( " ' '
(Nasvet: P = 2tt J^ g{y)y/l + g'(y)2 dy)
2.	Razvij funkčijo
v Taylorjevo vrsto okoli točke 0. Za katere x dobljena vrsta konvergira k / (x)?
3.	Razvij funkčijo /(x) := čos zx v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n]. Odtod izračunaj vsoto
2 (—1)k z sin(n z)
E
k=i
z2 — k2
(Nasvet: cos(a) cos(/3) = cos("-/3)+cos("+/3))
4. Preveri, če funkcija z = arctan- ustreza enačbi
y
dz dz u — v
du dv u2 + v2' tu je x = u + v in y = u — v!
5. Določi najmanjso in največjo vrednost funkčije
/(x,y) := x — 3x"
znotraj elipse, omejene z x2 + 2y2 + y = 0
1. Dana je funkcija
1 x — 1 \
f (x) :=
(X): 1//-' 1 V-r ' 1 )
(a)	Kje je definirana?
(b)	Izrazi jo z elementarnimi funkcijami
(Nasvet: s substitucijo jo pretvori v potencno vrsto!)
2.	Razvij funkcijo
f(x):=fn; x G (—n0)
\0; x G [0,n) v Fourierovo vrsto. Kje je dobljena vrsta enaka f (x)?
3.	Za pozitivna s tevila x,y in z velja zveza x + y + z = 1. Pri katerih vrednostih dosez e funkcija
f (x,y,z) := x2 y3 z4
najve cjo vrednost?
4.	Izračunaj ter za funkcijo f(x, y) := g(x2 + x/y)
5.	Zamenjaj vrstni red integracije
r-1	i>x	p2	('1/x
/ dx / f (x,y) dy + /	f (x,y) dy
0	x/4	1	x/4
25.6.2002
1. Dana je funkčija
\ 2n+1
x — 1
IX' — *	'	1
— 1 /x — 1 V
n=1
(a)	Kje je definirana?
(b)	Izrazi jo z elementarnimi funkčijami
(c)	Poišči
(Nasvet: s substitučijo jo pretvori v potenčno vrsto!)
2.	Za pozitivna s tevila x,y in z velja zveza x + y + z = 1. Pri katerih vrednostih dosez e funkčija
f (x,y,z) := x2 y3 z4
najve čjo vrednost?
3.	Razvij funkčijo
f(x):=fn; x G (—n0)
\0; x G [0,n) v Fourierovo vrsto. Kje je dobljena vrsta enaka f (x)?
4.	Poi s či resitev diferenčialne enačbe
x y' = x\Jy — x2 + 2 y
26.8.2002
1. Razvij funkcijo f(x) := cosx2 1 v Taylorjevo vrsto okoli točke 0. Nato
COS X — 1
poi s či s e /(6)(0).
2. Funkčija z = z(x,y) zados č a naslednji identiteti:
x2 + y2 + z2 = / (x + 2y + 3z) kjer je / zvezno odvedljiva funkčija. Izračunaj
dz	dz
" + " ^
3.	Razvij funkčijo x sin x v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n].
(Nasvet: sinacos^ = sin(o"/?)+sin(o+/?).)
4.	Izra čunaj plo s čino lika, ki ga omejuje krivulja z ena čbo
x2 + ^)2 = x2 + y2
(Nasvet: Uvedi posplo s ene polarne koordinate)
13.11.2002
2 2 2
1.	Elipso K + ^r^i = 1 zavrtimo okoli osi x. Za katero vrednost parametra c > 0 ima dobljeno rotacijsko telo najmanj si moz ni volumen?
2.	Razvij v Fourierovo vrsto funkcijo f (x) := sin2 x na [—n, n]. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
/-»T , • 2	1—cos(2 x) ,	7 cos(a—6)+cos(a+6) \
(Nasvet: sm x =-^—- ter cos a cos o = —--—---.)
3. Naj bo g zvezno odvedljiva funkcija. Preveri, ce za $(x,y) := x■ g(2x — y2) velja
5$ 5$ y
+ =
dx dy x
4. Izracunaj dvojni integral
// smf<M!/.
D
kjer je D obmo cje, omejeno s premicami x = 0, y = n ter kubi c no parabolo y =
1. S pomo cjo poten c ne vrste poi s c i vsoto
— 1
E
= (n + 1)4n
2.	Poi S Ci ekstremne vrednosti funkcije
g(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na obmo Cju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 3.
3.	S pomo Cjo razvoja funkcije f (x) := (n2 — x2)2 v Fourierovo vrsto na intervalu [—izračunaj
g (-1)"
n4
n=1
/»t ,_(' n t \ 7	xn sin(ax) . nxn 1 cos(ax) . n—n2f n— 2 / \ J N
(Nasvet: J x cos (a;*) <ir =-^—H--—J x qos(olx) dx)
4. Približno izračunaj integral s pomočjo razvoja funkcije \Jl +1 v bi-nomsko vrsto reda 5 in nato oceni napako.
[ r4/5VTTt,dt 0
17.3.2003
1. Razvij funkčijo
/(x) :
1
1 + 3x + 2x2
v Taylorjevo vrsto okoli točke x = 0 in poisči konvergenčni polmer.
2. Poisči točko na elipsi x2 + y2/4 = 1, ki je najdlje od točke T(0,1). (Nasvet: Lagrangeova metoda iskanja vezanih ekstremov.)
3. Razvij /(;r) := sin(rrv/3) v Fourierovo vrsto na intervalu [—7r,7r]. Za katere x je /(x) enaka dobljeni vrsti?
(Nasvet: sin a sin P = 1/2(čos(a — P) — čos(a + P)), ter sin a čos P = 1 /2(sin(a — P) + sin(a + P)).)
sin (xV3)
4. Izračunaj dvojni integral
sin - dxdy, y
D
kjer je D območje, omejeno s premičami x parabolo y =
0, y = n ter kubično
1.	Razvij funkčijo /(x) := čos(x2) po Taylorjevi formuli reda p = 5 okoli
točke a = 0 in oceni napako za x G [—
2.	Razvij funkčijo x čos x v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n].
(Nasvet: sin a cos /3 = SiM^M.)
3.	Naj bo / : R — R zvezno odvedljiva. Preveri, če funkčija z(x,y) := e2 x / (y — ln x) ustreza enač bi
čb čb
7: H- ^ T: ^ OCZ
dy dx
4. Poi s či maksimum funkčije /(x,y) := x + y — 2 znotraj elipse z enačbo x2 + y2/4 = 1.
1. Izra cunaj plo s cino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
yi(x) = -j— in j/2(x) = ^lnrr.
2.	Razvij funkcijo f (x) := 1 — |x| v Fourierovo vrsto na intervalu [—2, 2].
3.	V ena cbo
2dz . 2dz 2
x t~ + v -7T- = z
uvedi nove neodvisne spremenljivke x = t in y = in preveri, da dobi s enacbo
,2dz 2 tdt=Z-
4.	Dolo ci lokalne minimume funkcije
z(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 .
5.	Dana je funkcijski predpis
oo
n=1
(a)	Doloci definicijsko obmocje.
(b)	Se stej vrsto (tj. izrazi f z elementarnimi funkcijami)
1.	Izračunaj povrsino vrtenine, če lik, omejen z y = 0, y = sinx, x = 0, x = n zavrti s okoli absčise.
(Nasvet: Najprej uporabi čh2t — sh2t = 1. Nato si lahko pomagas se z
ch2i =
2.	S pomočjo potenčne vrste poi s či vsoto

=1 (n + 1)2n
3. Razvij funkčijo /(x) := čos(x/2) v Fourierovo vrsto na intervalu [—n, n]. Z njeno pomo čjo izračunaj vsoto
1 — 4 k2 fc=i
(Nasvet: mogoče ti bosta v pomoč identiteti cos a cos /3 = cos(Q,+/j)+cos(Q' z3) oz.
cos a sin p = —-——— j
4.	Poi s či ekstrem funkčije /(x, y) := ax + by na krogu, omejenem z enačbo x2 + y2 = 1.
5.	Razvij funkčijo /(x, y) := 5 — 2 x + x2 + 4 y + y2 v Taylorjevo formulo okoli točke T(1, —2).
1.	Skičiraj telo, omejeno s krivuljo K := {(x,y) G R2| y > 0,y2 = 1 — 4 (x — 4)2} in absčisno osjo (x-osjo). Nato izračunaj volumen telesa, ki nastane z rotačijo tega telesa okoli absčise.
2.	S pomočjo potenčne vrste poisči vsoto
~ 1
E
= (n + 2)2n
3. S pomočjo razvoja funkčije /(x) := (n2 — x2)2 v Fourierovo vrsto na intervalu [—n,n], izračunaj
E'-1'
n4
n=1
/tvt ^ C n t \ 7	xn sin(ax) , nxn 1 cos(ax) , n—n2 C n— 2 I \ 7 \
(Nasvet: J x cos(a';r) dx =-^—H--—J x cos(a';r) dx)
4. Naj dvakrat zvezno odvedljiva funkčija u = u(x,y) zadosča enačbi
d2u d2u

dt2 dx2
u
Pokazi, da se z uvedbo novih spremenljivk £ = x — t, n = x + t enačba glasi
d2u 1 _ 4
5. Poisči ekstremne vrednosti funkčije
g(x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 — 2xy na območju, omejenem s krivuljama y = x2 in y = 4.
n
1. Izra cunaj plo s cino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
= -7—- in V'2 =
2. S pomo cjo Euler-MacLaurinove formule reda p = 2 pribli zno izracunaj
vsoto	W oceni Pri tem storjeno napako.
(Nasvet: Euler-MacLaurinova formula se glasi
n—l	,,6	P	,-b
h^Iin-jh) / f(x)dx=Y,B^[fU-1\x)}ba+(-iy+1^ /	'' ix)<ln
j=0 Ja j=1 Ja
tu ie še h = — ter
n
B0(x) = 1 max \B0(x)\ = 1.000000;	B1(x) = (- (- ) + .t )	max |Bi(.t)| = 0.5000000
xG[0,1|	V \2 J J	x6[0,1]
Bi{x) = (- - x + max = 0.166667;	B3(x) = (- - + xA	max |B3(.t)| = 0.0481125
V 6	J x6[0,1]	V 2 2 J	i£[0,1]
3. Razvij funkcijo
f(x) ■= ( 'ar' ~ 2
0; f < < 7T
v Fourierovo vrsto na intervalu [—n, n]. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
4.	V trikotniku z ogli s c i v tockah A(0, 0), B(1, 0), C(0,1) poisci taksno tocko T, da bo vsota razdalj od T do vseh oglji sc maksimalna.
5.	Razvij funkcijo f (x,y) := x2 sin(xy) po Taylorjevi formuli reda n =2 okoli to c ke T(0, 0). Oceni napako za x,y G [—1/10,1/10].
1. Izra cunaj plo s cino lika, ki ga omejujeta grafa funkcij
yi(x) = —- in y2 (x) = 2xlnx. 2x
2.	S pomo Cjo Euler-MacLaurinove formule reda p = 2 pribli zno izraCunaj vsoto J29k=io w i11 oceni pri tem storjeno napako.
(Nasvet: Euler-MacLaurinova formula se glasi
n-1	„b	p	r-b
h^Iin-jh) / fix),lx	'	ir1^ / r,,i^)fix)dx:
j=0 Ja j=1 Ja
tu je še h = ^^ ter Bo(x) = 1, Bi(.t) = (— + .t) in Bn(x) = — x + x2) ter maK^gjo,!] 1-^2(^)1 = 1/6)
3.	Razvij funkcijo
f(x) ■= i 'ar' ~ ^
\0; f < M < tt
v Fourierovo vrsto na intervalu [—n, n]. Za katere x je f (x) enaka svoji Fourierovi vrsti?
4.	V trikotniku z ogli s c i v tockah A(0, 0), B(1, 0), C(0,1) poisci taksno to cko T, da bo vsota kvadratov razdalj od T do vseh ogli s c maksimalna.
5.	Aproksimiraj funkcijo f (x, y) := x2 sin(xy) po Taylorjevi formuli reda n = 2 okoli to cke T(0, 0). Oceni napako za x,y G [-1/10,1/10].
1.	Preveri, za katere z vrsta konvergira, in jo seštej: f(z) :=	2»-1 •
2.	Naj bo h G (0,n). Razvij funkčijo
/1; 0 < x < h
//l(x) := \ n h / ^ ,
10; h < x < n
po sinusih. Za katere x je /(x) enaka tako dobljeni vrsti?
3.	Poi s či vse to čke (x,y), ki re s ijo enačbo
<92$ _ 9 <92$ ^ <9;r2 <9;r<9y'
če je $ = $(x,y) := /(4x + y2), in je / dvakrat zvezno odvedljiva funkčija.
4.	Poi s či razdaljo med T(—1, 0) in krivuljo z enačbo x3 + 2y2 = 0. (Nasvet: Lagrangeova metoda vezanih ekstremov)
1. Poi s či vsoto

x2n
= (2n - 1)
n=1
2.	Razvij funkcijo f(x) := cos(\/2;r) po sinusih na [0,7r], in preveri, za katere x je /(x) enaka dobljeni vrsti.
(Nasvet: cos(a) sin(f3) = sin(/j-")+sin(/3+").)
3.	Ena čbe x = u + v, y = u2 + v2 in z = u3 + v3 dolo č ajo funkčijo
z = z(x,y). Ah velja || = —3uv?
4. Poi s či točko na elipsi x2 + y2/4 = 1, ki je najdlje od točke T(0, 2). (Nasvet: Razdalja bo najdaljša, ce bo njen kvadrat največji. Pri tem si lahko pomagaš z metodo vezanih ekstremov.)
1.	Poisči plosčino med krivuljo y = (x + x3)e-x2 in njeno asimptoto.
2.	S pomočjo Taylorjeve formule reda n = 9 izračunaj priblizno vrednost integrala, in očeni napako.
f1 1 — čos(x2) ,
/ -;- dX
J-1
3. V enačbo (x + y)% — (x — = 0 za funkcijo z = z(x, y) uvedi nove
spremenljivke u := ln \Jx2 + y'2 ter w := arctan
4. Poi s či pozitivna stevila x, y, z, da bo njihova vsota najmanj s a, če vemo, da je produkt enak 1
1. Obmocje D := {(x,y); 0 < x < siny, 0 < y < n} zavrtimo okoli x-osi. Poi s ci volumen vrtenine.	(25 to ck)
2. S pomo cjo Taylorjeve formule reda n = 9 izra cunaj pribli z no vrednost integrala, in oceni napako.
f1 sin(x2) ,
/ -;- dX
/_ i X4
3. Denimo, da je $(x,y) := xf (x2 — y2), kjer je f zvezno odvedljiva funkcija. Poi s c i vrednost izraza	(25 tock)
<9$ 2 dx dy
4. Poi s ci pozitivna stevila x,y,z, da bo njihov produkt najmanj si, ce vemo, da je vsota enaka 1
1.	S pomočjo potenčne vrste poišči vsoto	(ra+i)3»
2.	Približno izračunaj integral s pomočjo razvoja funkcije \Jl + t v bi-nomsko vrsto reda 5 in nato očeni napako.
[ rA/5VT+tdt
Jo
3. Naj dvakrat zvezno odvedljiva funkčija u = u(x,y) zado s ča identiteti
d2u d2u

dt2 dx2
u.
Preveri, če se z uvedbo novih spremenljivk £ = x—t, n = x+t identiteta glasi
d2u 1 _ 5£5n 4
4. Poi s či ekstremne vrednosti funkčije
g(x,y) = x2 + 2y2 na obmo čju, omejenem s krivuljo y2 + x2 = 2x.
(Nasvet: Najprej poišči lokalne ekstreme znotraj območja, nato pa še morebitne ekstreme na robni krivulji.)
4 Teoretična vprašanja
Kolokvij — teorij a 5. november 2008
Analiza 3
Ime in Priimek: Vpisna številka: Smer:
1. Kdaj pravimo, daje metri č ni prostor (M, d) kompakten? Nas tej vsaj dve ekvivalentni definičiji.	(7 to čk)
2. Kaj je robna točka podmnoziče metričnega prostora in kaj je njen rob? Kdaj je mnoz iča zaprta? Kako to preverimo s pomočjo robu? (7 to čk)
3. Kako smo definirali smerni odvod funkčije več spremenljivk? (6 točk)
Izpit — teorija 26. november 2008
Analiza 3
Ime in Priimek: Vpisna številka: Smer:
1. Kako poi s cemo ekstreme funkcije ve c spremenljivk, in kako s pomo cjo Hessejeve matrike pri funkcijah dveh spremenljivk preverimo, da je v neki to cki res ekstrem?	(10 to ck)
2. Kaj je gradient? Kaj je njegova geometrijska interpretacija? Kak sna je povezava med izohipso in gradientom?	(10 to ck)
3. Kako smo s pomo cjo Darbouxovih vsot definirali dvojni integral fD f dv po neki omejeni mnozici D C R2?	(10 tock)
4. Kdaj pravimo, da je mnoziča v matri čnem prostoru (M, d) povezana? Katere so povezane mnoz iče v prostoru (R, |.|) realnih s tevil z obi č ajno metriko?
(10 to čk)
5. Katere to č ke so izolirane in katere so stekali s č a neke podmnoz iče v metri čnem prostoru?	(10 to čk)
5 Nekatera vprašanja na ustnih izpitih
1.	Zveznost, diferenciabilnost funkcij ve c spremenljivk.
2.	Gradient; Jacobijeva matrika in povezava z odvodom.
3.	Smerni odvod, parcialni odvod.
4.	Veri zno pravilo.
5.	Formulacija izreka o lokalno inverzni preslikavi; protiprimer, da v splo snem ne velja globalni izrek.
6.	Formulacija izreka o implicitni funkciji; kje ga uporabljamo?
7.	Iskanje ekstremov in Lagrangeova metoda iskanja vezanih ekstremov.
8.	Definicija dvojnega/mnogoternega integrala.
9.	Ra cunanje (Fubinnijev izrek).
10.	Formulirajte izrek o uvedbi novih spremenljivk v dvojni integral.
11.	Definicija izlimitiranega dvojnega integrala zvezne funkcije konstantnega predznaka po neomejenem obmo cju ?
12.	Navedite zadostni pogoj za to, da je funkcija F; F(y) = J6 f (x,y) dx za vsak y G [c, d] odvedljiva. Kako se izraz a odvod F s funkcijo f (pri navedenem pogoju) ?
13.	Kako bi izracunali odvod funkcije F(y) := J^) f (x,y) dx. Kaksne so predpostavke, ob katerih formula velja?
14.	Definicija realnih funkcij r in B in zveza med njima?
15.	Opi site Stirlingovo formulo in povejte zakaj jo uporabljamo.
16.	Za skalarne in vektorske funkcije izpeljite formulo za odvod -^f(h(t)), i(f(t)-h(t)),i(f(t)*h(t))-
17.	12. Ce je vektorska funkcija /(t) odvedljiva in ima konstantno absolutno vrednost ||/(č)|| = const je za vsak t odvod ^ f(t) pravokoten na /(t). Dokazite to!
18.	Ali je kaksna razlika med pojmoma pot v R3 in krivulja v R3? (Razlozite oba pojma.)
19.	Katero krivuljo imenujemo gladko, katero razreda Cr; katero odsekoma gladko, katero enostavno in katero enostavno sklenjeno?
20.	Definičija dolzine poti in ločne dolzine krivulje.
21.	Kdaj imenujemo parametrizačijo krivulje naravno?
22.	Ali za vsako enostavno krivuljo razreda C1 obstaja naravna parametri-začija ?
23.	Kako sta definirani (analiti čno) fleksijska in torzijska in ukrivljenost (k in t) gladke enostavne krivulje v dani točki te krivulje?
24.	Kaksen je geometrijski pomen fleksije in torzije?
25.	Razloz ite pojem osnovnega spremljajočega triedra T, NV, B gladke krivulje razreda C3.
26.	Kdaj je krivulja ravninska?
27.	Frenet - Serret-jeve formule in njihov pomen.
28.	Definičija krivuljnega integrala 1. vrste; za kaj ga uporabljamo?
29.	Definičija enostavne, gladke orientirane krivulje r in krivuljnega integrala 2. vrste; zakaj ga uporabljamo?
30.	Greenova formula.
31.	Gaussov in Stokesov izrek.
32.	Nabla formalizem
33.	Kdaj ima polje skalarni/vektorski potenčial, in definičija potenčiala.
34.	Kaj je gladka ploskev? Kaj je gladka ploskev z robom?
35.	Kaj je prva fundamentalna forma ploskve?
36.	Kdaj pravimo, da sta ploskvi izometri čni? Kako to preverimo s prvo fundamentalno formo?
37.	Kaj je orientacija ploskve? Kdaj je rob ploskve orientiran skladno (koherentno) s ploskvijo?
38.	Kdaj Fourierova vrsta funckije f konvergira?
39.	Lastnosti Fourierove transformacije.