MATE MATIKA
Na napakah se ucimo ali Malfattijev problem
nU NU
Nada Razpet
-> Geometrijske naloge rešujemo tako, da si najprej narišemo skico, pri kateri pa včasih že upoštevamo nekatere predpostavke. Kaj pa če le te niso pravilne? Nekaj podobnega se je zgodilo italijanskemu matematiku Malfattiju. Ta je leta 1803 v delu Memoria sopra un problema stereotomico objavil naslednji problem (slika 1): Dana je pokončna trikotna prizma iz nekega materiala, npr. marmorja. Kakšna naj bo medsebojna lega treh izrezanih valjev, ki imajo enako višino, kot je prizma, da bo ostanek materiala najmanjši [1]?
Malfatti je prostorski problem prevedel na ravninskega in v istem delu zapisal: Kako naj iz trikotnika izrežemo tri kroge tako, da bo njihova skupna ploščina največja?
Malfatti je bil prepričan, da je vsota ploščin tako vcrtanih krogov, kot je to na sliki 1, tudi največja, ampak izkaže se, da to ne drži. Vendar je že konstrukcija teh krogov svojevrstni matematični izziv, s katerim se bomo spopadli tudi mi.
Malo zgodovine
Malfatti ni bil prvi, ki je zastavil ta problem. Že leta 1384 naj bi ga reševal italijanski matematik Giglio di Cecco da Montepulciano. Njegov rokopis hranijo v Biblioteca Comunale degli Intronati v Sieni. Pravijo tudi, da je leta 1703 Jacob Bernoulli reševal ta problem za enakokraki trikotnik. Kako v trikotnik vcr-tati tri med seboj dotikajoce se kroge, je leta 1811 objavil Joseph Diaz Gergonne, leta 1826 Jacob Steiner in leta 1853 Karl Schellbach. Vec najdemo v [2].
Problem so poznali tudi na Japonskem ([3]). Tam je matematik Naonubu Ajima v 18. stoletju reševal naslednji problem: Kako v trikotnik vcrtamo tri med seboj dotikajoče se kroge? (slika 2)
SLIKA 1.
Zgoraj: prizmi so vcrtani trije valji. Spodaj: trikotniku sovcrtani trije krogi.
	A		
	/ ~~~ /s	A	V\
A /1			\V I V
/ y / v / \ / n	T2 v S	n \ / /	/ \ / \ / \
SLIKA 2.
Ajimov problem treh trikotniku vcrtanih krogov
4
PRESEK 45 (2017/2018) 2	4
MATE MATIKA
Ajima je ploščino trikotnika izrazil s Heronovo formulo, izračunal polmer trikotniku včrtanega kroga, nato pa z uvedbo novih spremenljivk izračunal polmere posameznih krogov. Račun je podoben kot pri izračunu obrnjenega Malfattijevega problema, je pa zahtevnejši in obsežen. Ajima je po izračunu navedel še poseben primer: če merijo straniče a = 507, b = 375 in c = 252, potem je r1 = 64, r2 = 56,25, in r3 = 36.
Obrnjen Malfattijev problem
Tudi na lesenih tabličah (sangaku), ki so obešene na stenah japonskih templjev, najdemo primer, ki je nekakšen obrnjen Malfattijev problem: ri, r2 in r3 so polmeri treh med seboj dotikajočih se krogov (glej sliko 2). Konstruiraj trikotnik, ki se dotika vseh treh krogov, in mu včrtaj krog. Izrazi polmer včrtanega kroga s polmeri r1, r2 in r3. Pri rešitvi naloge je bilo zapisano opozorilo: Račun je dolg, rešitev pa relativno preprosta. Skičirajmo, kako je japonski matematik Omura Kazuhide v knjigi Sanpo Tenzan Tebi-kiguza (izšla leta 1841) z angleškim naslovom Algebraic Methods of Geometry rešil to nalogo.
Nekaj priprave
V trikotnik včrtamo krog s središčem S in polmerom r, na sliki 3 označen z rdečo barvo, in tri med seboj dotikajoče se kroge s središči S1, S2 in S3 ter ustreznimi polmeri r1, r2 in r3.
Daljiči AM in AM' sta odseka na tangentah, zato je AM = AM'. Štirikotnik AMS2M' je deltoid. Tudi štirikotnika BTS3N in CPS1P' sta deltoida (na sliki 3 so deltoidi sivo obarvani).
Najprej trikotniku ABC odrežemo te tri deltoide (slika 4).
Nato s škarjami zarežemo še po daljičah SS1, SS2 in SS3 in staknemo krajišči M in M' ter P in P'. Dobljeni lik dopolnimo do pravokotnika, kot kaže slika 5.
Dolžine daljič TP, P 'M' in MN so razdalje med dvema dotikališčema krogov s straničami trikotnika ABC. Izračunajmo eno od teh razdalj.
Pomagamo si s skičo 6. Trikotnik S2HS3 je pravokotni trikotnik in zanj velja
■ (r2 + r3)2 = IS3HI2 + (r2 - n)2, |S3H |2 = |MN |2 = 4r2r3,
SLIKA 3.
Obarvane deltoide odrežemo.
SLIKA 4.
Osrednji del razrežemo in lik razgrnemo.
■	MN = 2vr2r3.	(1)
Ugotovili smo, da je razdalja med dotikališcema krogov ravno dvakratnik korena iz produkta polmerov dotikajocih se krogov (enačba 1). Zato velja
■	tp + P 'M'+ MN = 2(vrTr3 + vTrr2 + vr2rD.
Štirikotniki TPS1S3, P 'M 'S2S1 in MNS3 S2 so trapezi, v vsakem sta osnovnici kar ustrezna polmera,

PRESEK 45 (2017/2018) 2
5
MATE MATIKA

h1	s X3 h2 x3 s x2 h3 X2 s
t xi k z3 pp' x3 l x2 MM' x2 J	n
SLIKA 5.
Razgrnjeni lik dopolnimo do pravokotnika.
r2\
SLIKA 6.
Računanje razdalj med dotikališcema dveh sosednjih krogov
višine pa razdalje med dotikališči, zato so ploščine trapezov:
na trikotniku včrtanega kroga. Iz istega razloga sta enako dolgi tudi BN = BT, saj sta tudi to odseka na tangentah kotu ¡3 včrtanega kroga. Zato velja:
■	BJ = BK, BN = BT ^ KT = JN = xt, AJ = AL, AM = AM' ^ MJ = M'L = x2, CL = CK, CP' = CP ^ P 'L = PK = x3.
Razdalje med dotikališcema krogov s stranicami so:
■	PT = 2Vr3ri = xi + x3
MN = 2 V r2r3 = x1 + x2
M P = 2Vr2r1 = x2 + x3.
(2)
Iz sistema treh enačb (enačbe 2) s tremi neznankami izračunamo x1, x2 in x3:
	—s, \		
\ H			■ xi =
		r3 J \	x2 =
			x3 =
' pi = p(TPSiS 3) = (r3 + riVr3ri, P2 = p (P' M' S2 Si) = (ri + r2)Vrir2, P3 = PMNS3S2) = (r2 + r 3)^x2^3.
Da dobimo ploščine označenih petkotnikov, moramo k ploščinam trapezov dodati še ploščino osrednjega trikotnika SiS2S3. Izračunamo jo po Heronovem obrazču. Pri tem so straniče ai = ri + r3, bi = ri + r2 in ci = r2 + r3 in poloviča obsega ri + r2 + r3:
Zapišimo ploščine dodanih trikotnikov (slika 5):
■ p(S3HiS) = 2(r - r3)xi = p(SH4S3), p(SH2Si) = T(r - ri)x3, p(SH3S2) = T(r - r2)x2.
Ploščino pravokotnika TNH4Ht izračunamo na dva načina. Prvi je kar po osnovnem obrazču za računanje ploščin, to je s produktom obeh stranič:
pp = 2r(vrrT + V rir2 + -JTri)-
(3)
■ p(SiS2S3) = y (ri + r2 + r3)(nr2r3).
Izračunajmo še ploščine dopolnilnih trikotnikov (na sliki 5 so označeni črtkano). Vsi so pravokotni trikotniki. Ena kateta je vedno enaka razliki dveh polmerov, drugo pa moramo izračunati.
Ozrimo se na sliko 3. Daljiči BJ in BK sta enako dolgi, saj sta to odseka na tangentah iz oglišča B
Drugi pa z vsoto ploščin trapezov, osrednjega trikotnika in dodanih trikotnikov:
■ pp = pi + p2 + p3 + p(SiS2S3) + p(S3HiS) +
p(SH4S3) + p(SH2Si) + p(SH3S2). (4)
Z malo računske spretnosti lahko iz enačb (3) in (4) dobimo končni rezultat:
r
2 J rir2r3
VrT + Vrž + Vrš - V ri + r2 + r3
Polmer trikotniku včrtanega kroga smo izrazili s polmeri treh dotikajočih se krogov.
6
PRESEK 45 (2017/2018) 2	6
MATE MATIKA
Malfattijev izračun in konstrukcija
Poglejmo, kako je Malfatti konstruiral svoje tri kroge [4]. Vemo, da središča krogov ležijo na simetralah kotov. Ce poznamo še odseke x, y in z (slika 7), potem znamo kroge načrtati. Vse uporabljene oznake lahko preberemo na sliki 7.
Problem bomo rešili, če najdemo x, y in z, to so razdalje od oglišč do dotikališč posameznega kroga s stranicama, ali povedano drugače, če poznamo tan-gentne odseke.
Vpeljimo oznake in zapišimo osnovne povezave, ki jih poznamo že iz prejšnjih primerov:
■ w = AE = AF, t = BF = BD, u = CD = CE PQ = 2vrrr2, a = t + u, b = w + u, c = w + t
a = BC = AQi + QiDi + DiC ^ t + u = y + 2 V r2r3 + z,
b = AC = APi + PiEi + EiC ^
w + u = x + 2 V rir3 + z,
c = AB = AP + PQ + QB ^
w + t = x + 2 V rir2 + y. Iz relačij
■ aAPSi - aAFS in ABS2Q - aBSF
s podobnimi trikotniki dobimo:
r2 _ r
y = t'
(5)
n
x
rir2 =
r w r 2xy wt
Vrirž = rJ—-.
wt
xy
Na enak način
■ ABS2Q - aBSF in ACS3Di - aCSD

Vr2r3 = rJ — tu
in
aAPSi - aAFS in ACS3Di - aCSD ^
Vrir3 = rJ—.
uw
Pri tem smo z r označili polmer včrtanega kroga, z ri, r2 in r3 pa polmere ostalih treh krogov. Zamenjamo izraze pod koreni v enačbah (5), ki vsebujejo polmere krogov, z novimi izrazi in dobimo
xy
x + y + 2rJ-= w + t,
J \wt
iyz
y + z + 2rJ— = t + u, V tu
x + z + 2r,
zx uw
= u + w.
(6)
Pri tem so r, w, t, u količine, ki so določene s trikotnikom ABC (polmer včrtanega kroga in odseki na njegovih tangentah, to je na straničah trikotnika). Iz sistema treh enačb (6) izrazimo x, y in z (Malfatti je za izračun baje potreboval nekaj strani):
2x = w + t + u - r + Vr2 + w2 -Vr2 + t2 -Vr2 + u2,
2y = w + t + u - r -Vr2 + w2 + Vr2 + t2 -Vr2 + u2,
2z = w + t + u - r -Vr2 + w2 -Vr2 + t2 + Vr2 + u2.

PRESEK 45 (2017/2018) 2
7
MATE MATIKA

x = ANi = AKi y = BN2 = BK2 Z = CNZ = CK3
C\ C'.
s = (g + b + c)/2
C'C" = a + b + c C'H = (a + b + c)/2 = s MT=SC+SB + SA + r MT-C'H=VW=2m VV' = m
C"
		■ ! ■ iT	SLIKA 8.
	SC SB	\sa r ;	Malfattijeva konstruk
		¡W	cija treh krogov
2 m
Velja:
5A = Vr2 + w2, SB Wr2 + t2
SC = Vr2 + m2 w + u + t = 5. Naj bo
■	2m = S A + SB + SC + r - s. Potem velja
■	2SA - 2m = S A + S A - S A - SB - SC - r + s
= SA - SB - SC - r + s = 2x.
Torej je
■	x = S A - m.
Odseke na stranicah trikotnika x, y in z torej lahko zapišemo kot
■	x = S A - m, y = SB - m, z = SC - m.
Konstrukcija je razvidna iz slike 8. Trikotniku ABC narišemo simetrale kotov in poiščemo presečišče S. Včrtamo mu krog s polmerom r. Stranico c na obeh straneh podaljšamo za b oziroma a. Dolžina daljice C 'C" je obseg trikotnika ABC. Razpolovimo daljico in dobimo polovico obsega (dolžina daljice C H). Poišcemo vsoto SC+SB + SA+r, to je MT, od nje odštejemo pol obsega s in dobimo VW = 2m. Razpolovimo daljico VW in dobimo m. Narišemo
krog s središčem v S in polmerom m. Krog seka simetrale kotov v točkah Ni, N2 in N3. Velja:
■ ANi = S A - m = x BN2 = BS - m = y CN3 = SC - m = z.
Narišemo krožne loke iz oglišč trikotnika A, B in C z ustreznimi polmeri ANi, BN2 in CN3. Dobimo točke Ki, K2 in K3. Iz točke Ki, K2 in K3 načrtamo pravoko-tnice na straniče. Kjer te pravokotniče sekajo simetrale kotov, so središča krogov Si, S2 in S3. Polmeri krogov so potem: ri = SiKi, r2 = S2K2 in r3 = S3K3.
Ugotovili smo, da se lahko iz navidez preproste naloge marsikaj naučimo. O tem, kakšna je pravilna rešitev Malfattijevega problema, pa kdaj drugič.
Literatura
[1]	G. Malfatti, Memoria sopra un problema stere-otomico, Mem. Mat. Fis. Soč. Ita. Sči i0, No. i, 235-244, i803.
[2]	J. Lorent, Not set in stone: nineteenth-century geometrical construction and Malfatti Problem, BSHM Bulletin: Journal of the British Sočiety for the History of Mathematičs, 27:3, i69-i80, DOI: i0.i080/i7498430.20i2.676962
[3]	F. Hidetoshi, T. Rothman, Sacred Mathematics, Japanese Temple Geometry, Prinčeton University Press, 2i6-2i8, 293-295, 2008.
[4]	G. Martin, Geometric constructions, UTM Springer, str. 92-95, i998.
_ XXX
8
PRESEK 45 (2017/2018) 2	8