ARHITOVA KRIVULJA 
MARKO RAZPET 
Pedagoˇska fakulteta 
Univerza v Ljubljani 

Math. Subj. Class. (2010): 01A20, 14H50, 53A04, 53A05 
V prispevku je predstavljena Arhitova krivulja. Navadno jo omenjamo v zvezi z antiˇcnim problemom podvojitve kocke. Nastane kot presek rogatega torusa in kroˇznega valja, ki se torusa dotika v dveh toˇckah. 
THE ARCHYTAS CURVE 
In this contribution the Archytas curve is presented. It is usually mentioned in con­nection with the ancient problem of doubling the cube. It is created as the intersection of a horn torus and a circular cylinder which touches the torus at two points. 
Uvod 
Arhitova krivulja A je za matematiko in njeno zgodovino dovolj zanimiva, ker ni povezana le s problemom podvo jitve kocke, ampak ˇze sama po sebi ponuja neka j novih izzivov. Spoznali bomo, da je A presek rogatega torusa z valjem, ki se torusa dotika natanko v dveh toˇckah. Zapisali bomo ustrezne enaˇcbe v primernem pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu Oxyz, pa tudi pravokotne pro jekcije krivulje A na koordinatne ravnine, pri ˇcemer bomo naˇsli celo zlato razmerje . . Za krivuljo A bomo poiskali tudi regularno parametrizacijo. 
Starogrˇski matematik, mehanik, drˇzavnik in strateg Arhitas iz Tarenta (........ . .........., 428–347 pr. n. ˇst.) je bil pitagorejec. Po [1] na j bi sklanjali Arhitas, Arhita, Arhitu, . . . , ustrezni svo jilni zaimek pa zapisali kot Arhitov. Znan je tudi po tem, da je otel iz rok sirakuˇskega tirana Dionizija Mla jˇsega (396–337 pr. n. ˇst.) samega .lozofa Platona (427–347 pr. n. ˇst.). Platon se je namreˇc, razoˇcaran nad atensko demokracijo, ki je bila na smrt obsodila njegovega uˇcitelja Sokrata (470–399 pr. n. ˇst.), za dlje ˇcasa umaknil iz Aten, precej potoval in se sreˇcal z matematikoma Teodorjem iz Kirene ter Arhitom iz Tarenta. V Sirakuzah je poskusil udejanjiti svo je zamisli o idealni drˇzavi. Toda s tiranom se je tako hudo sporekel, da ga je moral reˇsevati Arhitas. Leta 387 pr. n. ˇst. je Platon v Akademovem ga ju blizu Aten ustanovil znamenito Akademijo, v kateri so ˇstudirali tudi znani antiˇcni matematiki, geometri in astronomi: Tea jtet (417–369 pr. n. ˇst.), Evdoks iz Knida (410–347 pr. n. ˇst.), tudi Arhitov uˇcenec, brata Dejnostrat (390–320 pr. n. ˇst.) in Mena jhmos (380–320 pr. n. ˇst.) ter Avtolik iz Pitane (360–290 pr. n. ˇst.). V Platonovi Akademiji je seveda beseda nanesla tudi na velike geometrijske probleme (veˇc o tem na primer v [3–5]). Platon je vztra jal, da je treba geometrijske probleme reˇsevati samo s ˇsestilom in neoznaˇcenim ravnilom, in to v ravnini. Problem podvo jitve kocke, to se pravi konstrukcije roba b kocke, ki ima dvakrat veˇcjo prostornino kot kocka z robom a, je na problem vmesnega sorazmerja prevedel Hipokrat s Hiosa (470–410 pr. n. ˇst.). Njegova ideja je bila, dani daljici dolˇzine a na jti daljici dolˇzin b in c, za kateri velja relacija: 
ab c 
= = . (1) 
b c 2a 
Iz nje namreˇc dobimo na jprej
 r
3
a abc 1 
= · · = ,
b bc 2a 2 
. . 
nato pa b = a 3 2 in c = a 3 4. Problem je enakovreden iskanju kratkega geometrijskega zaporedja a, b, c, 2a. 
2
Ker veljata relaciji b2 = ac in c= 2ab, lahko tudi reˇcemo, da je par 2
(x, y) = (b, c) neniˇcelna reˇsitev sistema enaˇcb x= ay, y2 = 2ax, to se pravi 
netrivialno preseˇciˇsˇce dveh parabol. Ker je tudi bc = 2a2, je par (x, y) = 2 2
(b, c) tudi reˇsitev sistemov enaˇcb x= ay, xy = 2a2 in y2 = 2ax, xy = 2a, kar pomeni preseˇciˇsˇce hiperbole xy = 2a2 z eno od omenjenih parabol. Tako je Mena jhmos s stoˇznicami reˇseval problem podvo jitve kocke. Starogrˇski matematiki so naˇsli ˇse druge naˇcine reˇsevanja problema podvo jitve kocke 
ˇ
(veˇc na primer v [3, 5]). Platon seveda ni bil z nobeno zadovoljen. Zal ni vedel, da je problem nereˇsljiv na naˇcin, ki si ga je zamislil. To so dokazali ˇsele v 19. stoletju. 
Nastanek Arhitove krivulje 
Arhitas iz Tarenta je bil prvi, ki je v geometrijo vpeljal gibanje. Problema podvo jitve kocke se je lotil na povsem svo jstven naˇcin, s prehodom iz rav­nine v prostor. Da bi mu laˇze sledili, bomo vse obravnavali v pravokotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu Oxyz (slika 1), ˇceprav je Arhitas na­logo reˇseval brez koordinatnega sistema, ki ga ni poznal. V ravnino Oxy poloˇzimo kroˇznico Kxy s polmerom a, njeno srediˇsˇce pa v toˇcko S(a, 0). Ko­ordinatnemu izhodiˇsˇcu diametralno nasprotna toˇcka na Kxy je A(2a, 0). Na Kxy izberemo toˇcko N(x, y), konstruiramo poltrak p od koordinatnega izho­diˇsˇca O skozi N in kroˇznico K.. s polmerom a skozi O, s srediˇsˇcem P na p, in sicer v ravnini, ki vsebuje os Oz. Koordinatnemu izhodiˇsˇcu diametralno nasprotno toˇcko na K.. oznaˇcimo z M. Pravokotnica skozi N na ravnino Oxy seka to kroˇznico v toˇckah T+ in T-. 

Slika 1. Nastanek Arhitove krivulje. 
Ko toˇcko N vodimo po kroˇznici Kxy, toˇcki T±(x, y, ±z) opiˇseta krivuljo, ki ji pravimo Arhitova krivulja in jo bomo oznaˇcevali z A, njene pravokotne pro jekcije na koordinatne ravnine Oxy, Oyz, Oxz pa ustrezno Axy, Ayz , 
Axz. Poltrak p na j z osjo Ox oklepa kot ., polarni kot toˇcke N. Polarni 
e 
2
radij toˇcke N je . = |ON | = x2 + y. Pri tem je -./2 . . . ./2. Ker je trikotnik OAN pravokoten, lahko tako j zapiˇsemo enaˇcbo kroˇznice Kxy v polarnih koordinatah z . = 2a cos ., v pravokotnih koordinatah z 
2
x+ y2 = 2ax, v parametriˇcni obliki pa kot 
x = 2a cos 2 ., y = 2a cos . sin .. (2) 
Ker sta tudi trikotnika OM T± pravokotna, dobimo po viˇsinskem izreku 
2 2
zanju relacijo z= .(2a - .) = 4acos .(1 - cos .). S tem smo naˇsli 
± 
parametriˇcne enaˇcbe Arhitove krivulje A: 
e 
x = 2a cos 2 ., y = 2a cos . sin ., z = ±2a cos .(1 - cos .). (3) 
Ker je za raˇcunanje ugodno, da v parametrizaciji krivulje nastopata funkciji sin in cos racionalno, ne pa pod korenskim znakom, bomo v nadaljevanju poiskali boljˇso parametrizacijo. 
Oˇcitno krivulja A leˇzi hkrati na valju V, ki ima v koordinatnem sistemu 
2
Oxyz enaˇcbo x+ y2 = 2ax, in na torusu T , ki nastane z rotacijo kroˇznice K.. okoli osi Oz, ki je tangenta na to kroˇznico. Torus nima odprtine, zaradi znaˇcilne oblike v okolici njegovega srediˇsˇca mu pravimo rogati torus. 
22 2
Iz parametriˇcnih enaˇcb (3) dobimo na jprej x+ y= 4acos2 ., z2 = 2 2222
4acos .(1-cos .), nato ˇse x+y+z2 = 4acos2 .+ 4acos .(1-cos .) = 
2
4acos ., nazadnje pa enaˇcbo torusa T : 
22 2
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2). (4) 
22 2
Arhitova krivulja je potemtakem presek torusa (x+y+z2)2 = 4a2(x+y2) 2
in valja x+ y2 = 2ax. Arhitas je problem podvo jitve kocke v bistvu reˇsil tako, da je svo jo krivuljo A presekal s kroˇznim stoˇzcem S, ki ima vrh v srediˇsˇcu torusa T in os skozi zunanje dotikaliˇsˇce valja V in torusa T , to je toˇcko A. Kot ob vrhu stoˇzca S je treba ˇse pravilno izbrati. Enaˇcbo stoˇzca S
e 
zapiˇsimo kot .x = y2 + z2, kjer je . pozitivna konstanta. Presek Arhitove 
e 
krivulje s stoˇzcem .x = y2 + z2 pa nam ob primerni izbiri faktorja . da daljice, ki so uporabne za podvo jitev kocke. V jeziku algebre to pomeni, da reˇsujemo sistem enaˇcb: 
e 
22 22 2
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2), x + y 2 = 2ax, .x = y2 + z. 
3
Brez teˇzav izloˇcimo y in z in dobimo enaˇcbo x4(1 + .2)2 = 8ax, ki ima 
e 
trivialno reˇsitev x0 = 0 in netrivialno reˇsitev x1 = 2a/
3
(1 + .2)2 
. 

Arhitovo krivuljo A preseka stoˇzec S v ˇstirih toˇckah, ki ima jo absciso x1, njihove ordinate pa dobimo iz enaˇcbe valja V. Pro jekcije (vse pro jekcije v prispevku so pravokotne) teh toˇck na ravnino Oxy ima jo tudi abscise x1,
.. . 
33
1 + .2 
.

za polarni radij pa .1 = 2ax1 = 2a/
. . 
Za . = 1 je x1 = b = a 
2, 

3
2. V prvem primeru je kot ob vrhu stoˇzca 90.za . = 3 pa je .1 = b = a 
, 

v drugem pa 120. . V obeh pa s tem reˇsimo problem podvo jitve kocke. 
Iz zgodovinskih virov, ˇzal tudi ne iz [3], ne razberemo, ka j je Arhita vodilo, da se je lotil na opisani naˇcin reˇsevati problem podvo jitve kocke. Poudarja jo pa njegovo genialnost. Da pa je njegov naˇcin tesno povezan z relacijo (1), lahko preberemo ravno v [3] ali pa v [4]. 
Projekcije na koordinatne ravnine in regularna parametrizacija 
Pro jekcijo Axy = Kxy lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dolˇzine 2a z ogliˇsˇci (0, ±a), (2a, ±a) in dotikaliˇsˇci (0, 0), (2a, 0), (a, ±a) v ravnini Oxy. Izkaˇze se, da tudi drugi dve pro jekciji lahko vˇcrtamo v prav tako velik kvadrat. 
Z izloˇcitvijo koordinate y iz enaˇcb torusa in valja dobimo pro jekcijo Axz krivulje A na ravnino Oxz v implicitni obliki: 
3
(2ax + z 2)2 = 8a x. 
Zelo lep izraz dobimo za ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje (slika 2): 

  2a  2a
. . S = 2z(x) dx =2 2a2ax - x dx. 
0 0
S substitucijo x = 2au2 se nam izraz poenostavi:  1  1
e 
22
S = 16a u u - u2 du = 16a u 3/2(1 - u)1/2 du. 0 0 
Z uporabo funkcij B in . tako j dobimo: 

2 .(5/2).(3/2)
S = 16a 2B(5/2, 3/2) = 16a = .a2 . 
.(4) 
To je ravno ploˇsˇcina kroga, ki ga omejuje Kxy. ˇ2
Ce bi v prejˇsnjem integralu postavili u = cost, bi se nam integral tudi poenostavil tako, da v njem ne bi bilo korenov. To pa pomeni, da bi 
2 4
bilo smiselno krivuljo Axz parametrizirati z x = 2au= 2a cost. Potem zlahka dobimo ˇse z = a sin 2t. En obhod po krivulji dobimo, ˇce vzamemo -./2 . t . ./2. Preprosta parametrizacija krivulje Axz v ravnini Oxz je torej 
4 
x = 2a cos t, z = a sin 2t, -./2 . t . ./2. 
Brez zapletov lahko izraˇcunamo preseˇciˇsˇca te krivulje s kroˇznico x2+z2 = 2ax. V ta namen reˇsimo naslednji sistem enaˇcb: 
3 2
(2ax + z 2)2 = 8a x, x + z 2 = 2ax. 
3
Izloˇcimo z in dobimo enaˇcbo (4ax - x2)2 = 8ax, ki jo poenostavimo v 
2 3 
x 4 - 8ax 3 + 16a x 2 - 8a x = x(x - 2a)(x 2 - 6ax + 4a 2) = 0. 
Enaˇcba ima 4 reˇsitve: 
. . 
x1 = 0, x2 = 2a, x3 = (3 - 5)a, x4 = (3 + 5)a. 
Reˇsitev x4 > 2a ne pride v poˇstev. Skupne toˇcke obeh krivulj v ravnini Oxz so torej: 
   
. . O(0, 0), A(2a, 0), B±a(3 - 5), ±2a5 - 2. 
. 
Pro jekcija toˇck B± na os Ox je toˇcka C((3 - 5)a, 0), ki deli daljico OA v zlatem razmerju. Velja namreˇc: 
. 
|OA| |C A| 1+ 5 
== = .. 
|C A| |OC | 2 

Slika 2. Projekcija Arhitove krivulje na ravnino Oxz. 
O tem se hitro prepriˇcamo, ˇce upoˇstevamo izraze: 
. . |OA| = 2a, |C A| = a( 5 - 1), |OC | = a(3 - 5). 
Izraz zlato razmerje je v resnici precej nov, ˇceprav so sam po jem ˇze upo­rabljali v antiki, na primer Evklid v svo jih Elementih, kjer na veˇc mestih namesto besed zlato razmerje na jdemo ..... ... µ.... ....., kar pomeni, ˇce pogledamo v [2], skrajno in srednje razmerje. Luca Pacioli (1445–1517) je to razmerje imenoval divina proportione, boˇzansko razmerje. Med prvimi, ki so uporabljali izraz zlato razmerje, v nemˇsˇcini goldene Proportion, je bil nemˇski matematik Martin Ohm (1792–1872), brat .zika Georga Ohma (1789–1854), po katerem se imenujeta Ohmov zakon in enota ohm (.) za elektriˇcno upornost. Zlato razmerje . ima preprost razvo j v veriˇzni ulomek: . = [1; 1, 1, 1, . . .]. Dobimo ga iz relacije . = 1 + 1/.. 
Krivuljo Axz lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dolˇzine 2a z ogliˇsˇci (0, ±a), (2a, ±a), dotikaliˇsˇca pa so v toˇckah O(0, 0), A(2a, 0), D±(a/2, ±a) v ravnini Oxz. 
ˇ
Zal pa se z zadnjo parametrizacijo krivulje Axz ne da parametrizirati same krivulje A v obliki, ki ne bi vsebovala korenov funkcij. Izraza za y se ne da poenostaviti v racionalno obliko, ki bi vsebovala le funkciji cos in sin. Zato se parametrizacije lotimo nekoliko drugaˇce. 
Kroˇznico x2 + y2 = 2ax v ravnini Oxy smo z (2) ˇze parametrizirali s polarnimi koordinatami . in .. Razmere predstavimo v pomoˇznem pravo­kotnem karteziˇcnem koordinatnem sistemu O.. na desni polovici enotske kroˇznice (slika 3). 

Slika 3. Enotska kroˇznica v koordinatnem sistemu O... 
Toˇcko (cos ., sin .) poveˇzemo s toˇcko (-1, 0) z daljico, ki seka os O. v toˇcki (0, v). Oˇcitno daljica oklepa z osjo O. kot ./2. Ordinata v = tan(./2) pa je s kotom . cno doloˇ
= ±. natanˇcena. Znani enakosti 
1 - tan2(./2) 2 tan(./2) 
cos . = , sin . = ,
1 + tan2(./2) 1 + tan2(./2) 
ki ju sreˇcamo pri integraciji funkcij, ki se racionalno izraˇza jo s cos . in sin ., nam dasta izraza 
2
1 - v2v 
cos . = , sin . = .
2 2
1 + v1 + v
2 2
Vemo, da pri kroˇznici x+ y= 2ax velja omejitev -./2 . . . ./2, kar prinese omejitev -1 . v . 1. Zato lahko enoliˇcno zapiˇsemo v = sin t za -./2 . t . ./2 in dobimo 
cos2 t 2 sin t 2 sin2 t 
cos . = , sin . = , 1 - cos . = . 
1 + sin2 t 1 + sin2 t 1 + sin2 t 
2
S tem imamo naslednjo parametrizacijo kroˇznice x+ y2 = 2ax: 
4
2a cost 2a cos t sin 2t 
x = , y = , -./2 . t . ./2. 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 
Hitro se vidi, da lahko iz tretje relacije v (3) izrazimo 
2 2 
2 8acost sin2 t 2a2 sin2 2t 
z 2 = 4a cos .(1 - cos .) = = . 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 
S tem smo naˇsli: 
. 
a 2 sin 2t 
z = ± . 
1 + sin2 t 
Ker velja x(. -t) = x(t), y(. -t) = y(t) in z(. -t) = -z(t), se odloˇcitvi pri izboru predznaka za z(t) izognemo tako, da namesto intervala parametriza­cije -./2 . t . ./2 vzamemo interval -. . t . .. Potem y in z ˇstirikrat zavzameta vse vrednosti od -a do a ter x ˇstirikrat vse vrednosti od 0 do 2a, kar je v skladu z de.nicijo Arhitove krivulje kot preseka torusa in valja. Krivulja A v vektorski parametriˇcni obliki je 
  
. 
2 cos4 t 2 cos t sin 2t 2 sin 2t
fr (t) = a, , , -. . t . .. (5) 
(1 + sin2 t)2 (1 + sin2 t)2 1 + sin2 t
Pri spreminjanju parametra t po intervalu [-., .] toˇcka, ki je izraˇzena z zgornjim kra jevnim vektorjem, doseˇze vsako toˇcko krivulje A natanˇcno en­krat, razen samopreseˇciˇsˇca A(2a, 0, 0) za t = 0 in t = ±. ter samodotikaliˇsˇca O(0, 0, 0) za t = ±./2. Izkaˇze se, da je |fr˙(t)| > 0 za vsak t, kar pomeni, da je po [9] A regularna sklenjena krivulja (slika 4). 
Krivulja Ayz , pro jekcija krivulje A na ravnino Oyz, ima enaˇcbo: 
2 22
(z 4 + 4a y 2)2 = 8a z 2(4a y 2 - z 4). 
Do te enaˇcbe lahko pridemo z izloˇcitvijo spremenljivke x iz enaˇcb 
22 22
(x + y + z 2)2 = 4a 2(x + y 2), x + y 2 = 2ax, 
ˇce ne gre drugaˇce, z rezultanto R[p(x), q(x)] polinomov (veˇc o rezultanti polinomov na jdemo na primer v [8]) 
2 2 - 2a 2 2)2 - 4a 22 2 
p(x) = x 4 + 2(y + z 2)x 2 + (y + z y , q(x) = x 2 - 2ax + y 
spremenljivke x, pri ˇcemer sta y in z parametra: 
R[p(x), q(x)] = 

Slika 4. Arhitova krivulja. 
1  0  2(y 2 + z 2 - 2a 2)  0  (y 2 + z 2)2 - 4a 2 y 2  0  
0  1  0  2(y 2 + z 2 - 2a 2)  0  (y 2 + z 2)2 - 4a 2 y 2  
1  -2a  y 2  0  0  0  

            
0  1  -2a  y 2  0  0  
0  0  1  -2a  y 2  0  
0  0  0  1  -2a  y 2 

. 
Primerno raˇcunalniˇsko orodje za delo z matrikami in determinantami nam izraz poenostavi: 
4 22
R[p(x), q(x)] = 16a y 4 + 8a y z 2(z 2 - 4a 2) + z 6(z 2 + 8a 2). 
Po preureditvi ˇclenov imamo enaˇcbo iskane krivulje v ravnini Oyz: 
2 22
R[p(x), q(x)] = (z 4 + 4a y 2)2 - 8a z 2(4a y 2 - z 4) = 0. 
ˇ

Ce v tej enaˇcbi za ma jhne y in z zanemarimo ˇclene stopnje 6 ali veˇc, dobimo: y2(y2 - 2z2) = 0. To pomeni, da se krivulja A dotika sama sebe v toˇcki (0, 0, 0), njena tangenta pa je tam os torusa, v toˇcki A(2a, 0, 0) pa 
. 
samo sebe seka pod kotom 2 arctan( 2/2). Krivulja Ayz v parametriˇcni obliki je . 
2a cos t sin 2t a 2 sin 2t 
y = , z = , -. . t . .. 
(1 + sin2 t)2 1 + sin2 t 
            

Slika 5. Pro jekcija Arhitove krivulje na ravnino Oyz. 
Ima obliko rahlo popaˇcene ˇstiriperesne deteljice. Ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje, se da izraˇcunati po formuli: 
./2 ./2 2
1 . sin3 t cost(2 + cos2 t) dt
2
S = 4 · (yz˙- zy˙)dt = 16a 2 . 
2 0 0 (1 + sin2 t)4 
Po daljˇsem raˇcunu dobimo: 
. 
. 
2
2
S = 4a ln(1 + 2) - . 
3 
. 
V izrazu opazimo srebrno razmerje ( = 1 + 2, za katero je ( = 2 + 1/(, razvo j v veriˇzni ulomek pa je, prav tako kot za zlato razmerje, preprost: ( = [2; 2, 2, 2, . . .]. Krivuljo Ayz lahko vˇcrtamo v kvadrat s stranico dol­
re 
. 
ˇzine 2a z ogliˇsˇci (±a, ±a), dotikaliˇsˇca pa so v toˇckah ±a, ±a 2 2 - 2 , 
. 
(±a 3/2, ±a) v ravnini Oyz (slika 5). Celotna Arhitova krivulja A je zaprta v kocki z robom 2a in ogliˇsˇci (0, ±a, ±a), (2a, ±a, ±a). 
Za konec 

ˇ
V zvezi z Arhitovo krivuljo bi lahko reˇsili ˇse kakˇsno nalogo. Ce prereˇzemo valj vzdolˇz osi Oz in ga nato z Arhitovo krivuljo vred razgrnemo v rav­nino x = 2a, dobimo v njej osmici podobno krivuljo, za katero se da lepo 
. . izraˇcunati ploˇsˇcino S lika, ki ga omejuje: S = 16a2( 2 - ln(1 + 2)). Lepo se da z uporabo GeoGebre 5 predstaviti Arhitovo krivuljo v pro­storu, jo sukati in opazovati njeno anaglifno sliko. Po jasnimo na kratko, za ka j pri slednji sploh gre. Potrebe po izdelavi dobrih naˇcrtov ob jektov, kot so na primer stro ji, zgradbe in prometnice, so prispevale k razvo ju opisne geometrije. Med pr­vimi jo je ˇstudiral in uvedel v ˇsole Gaspard Monge (1746–1818), Napoleonov general [5, 7]. Kmalu so spoznali naˇcin, kako prevarati ˇcloveˇske oˇci, da bi videle prostorsko. Eden od naˇcinov je ravno omenjena anaglifna slika, ki jo sestavljata skora j identiˇcni, malo razmaknjeni ravninski sliki, ki sta obi­ˇca jno obarvani, ena rdeˇckasto, druga zelenkasto, in narisani na isti ravnini, gledani skozi rdeˇce-zelena oˇcala pa se v naˇsih moˇzganih ustvari vtis prave prostorske slike. Gledati pa je treba hkrati z obema oˇcesoma, ka jti ravno razdalja med njima omogoˇca, da anaglifno sliko vidimo prostorsko. Prvo metodo za izdelavo anaglifnih slik je ˇze leta 1852 razvil Wilhelm Rollmann (1821–1890) iz Leipziga. Sama beseda anaglifen izvira iz grˇskih besed ..., kar pomeni na, drug na drugega, in ....., dolbem, graviram, predstavljam. Sorodna beseda je hieroglif, pri kateri prvi del izha ja iz grˇske besede ....., kar pomeni sveti, boˇzanski. Eden od redkih uˇcbenikov o anaglifnih slikah, ki ga dobimo pri nas, je v hrvaˇsˇcino prevedena knjiga [6], ki jo je napisal v madˇzarˇsˇcini Imre P´al (ro jen 1911) ˇze davnega leta 1959 in je bila prevedena v veˇc jezikov. Izvirni naslov je T´erl´attat´os ´abr´azol´o m´ertan, kar pomeni Opisna geometrija z anaglifnimi slikami. 
LITERATURA 
[1] 	B. Aubelj, Antiˇcna imena po slovensko, Modrijan, Ljubljana, 1997. 
[2] 	A. Dokler, Grˇsko-slovenski slovar, Knezoˇsko.jski zavod sv. Stanislava, Ljubljana, 1915. 
[3] 	T. Heath, A history of Greek mathematics, Vol. I. Dover Publ., New York, 1981. 
[4] 	M. Jerman, Reˇsevanje treh velikih starogrˇskih problemov, Obzornik mat. .z. 59 (2012), 182–192. 
[5] 	U. C. Merzbach in C. B. Boyer, A history of mathematics, John Wiley & Sons, Ho­boken, New Jersey, 2011. 
[6] 	I. P´al, Nacrtna geometrija u anaglifskim slikama, Tehniˇcka knjiga, Zagreb, 1966. 
[7] 	D. J. Struik, Kratka zgodovina matematike, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 1986. 
[8] 	I. Vidav, Algebra, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2010. 
[9] 	I. Vidav, Diferencialna geometrija, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 1989.