Metoda iskanja vzorcev The Pattern Search Method Amela Sambolić Beganović Zavod RS za šolstvo Σ Povzetek V prispevku predstavljamo reševanje besedilnih nalog z me- todo iskanja vzorcev. Na začetku metodo predstavimo in nato prikažemo mogoče načine reševanja izbranih nalog s to meto- do. Reševanje učencev podkrepimo z mnenji učiteljev. Ključne besede: metoda iskanja vzorcev, besedilne naloge Σ Abstract In the paper the solving of textual tasks through the use of the pattern search method is presented. We first present the meth- od, and then follow it up with all the possible ways of solving selected tasks by this method. We bolster pupils‘ solving of the exercises with the teachers’ opinions. Keywords: pattern search method, textual tasks α Matematika v šoli ∞ XXI. [2015] ∞ 50-55 051 α Predstavitev metode iskanja vzorcev Nekatere zahtevnejše besedilne oz. problems- ke naloge lahko rešimo z metodo iskanja vzorcev. Gre za reševanje problema, ki je enostavnejši (na primer zmanjšamo število) od prvotnega. Enostavnejše različice proble- ma nam pomagajo poiskati vzorec, s pomoč- jo katerega problem lažje rešimo. Naloga 1 - Rokovanje na družinskem pik- niku Markovi starši pripravljajo družinski pik- nik, ki se ga bo udeležilo 27 sorodnikov. Tako kot vsak se bo tudi ta družinski pik- nik začel z močnim stiskom rok. Koliko bo vseh rokovanj? Vir slike: http://mikimiska.wordpress.com/tag/piknik/ Rešitev: Število rokovanj med 30 sorodniki je 435. Ideja metode »iskanje vzorcev« je nasled- nja: iščemo enostavnejše različice proble- ma, ki nam bodo pomagale poiskati vzorec. Učence uvajamo v algebrske zapise oz. v pos- plošitev problema. I. Grafična pot reševanja Vsaka povezava med dvema točkama pome- ni eno rokovanje. Število točk pomeni število ljudi, število povezav pa število rokovanj. II. Tabeliranje Število sorodnikov Število rokovanj (Matematična) opažanja 1 0 / 2 1 3 3 4 6 5 10 6 15 … … … 30 435 n Število rokovanj med 30 sorodniki je 435. Z učenci poskušamo rešiti predstavljeno nalogo z metodo iskanja vzorcev. Želeno je, da učenci sami izpeljejo induktivni sklep za večje število sorodnikov. Naslednji korak je, da vzorec – tabelo nadaljujejo. Povezava med prvim in drugim stolpcem je težja, zato naj učenci podatke v preglednici zapišejo druga- če, skratka tako, da lažje opazijo vzorec (pra- vilo). Priporočamo preglednico s praznim tretjim stolpcem, ki ga v tem primeru upo- 052 Metoda iskanja vzorcev rabimo. Zadnji korak je posplošitev prob- lema in rešitev. V nadaljevanju predstavljamo raznolike načine reševanja učencev od 6. do 9. razre- da dveh nalog (Rokovanje na družinskem pikniku in Počitniško delo) po tej metodi. Učenci so bili pri reševanju različno uspešni. Strnili bomo ugotovitve, načine reševanja, ki jih je sporočilo sedem učiteljev v šolskem letu 2010/2011 v forumu spletne učilnice za matematiko v osnovni šoli. V večini preds- tavljenih primerov učitelji učencev niso po- sebej usmerili v konkretno metodo reševan- ja, ampak so jim pustili prosto pot. Ko so učenci nalogo rešili, so si skupaj ogledali še reševanje z metodo iskanja vzorcev (npr. za izhodišče so vzeli rešitev učenca, ki je to me- todo samostojno uporabil). β Reševanje naloge Rokovanje na družinskem pikniku Učitelji so zaznali, da je učencem naloga o številu rokovanj na družinskem pikniku po- vzročala kar nekaj »preglavic«. Pri reševanju te naloge so učenci uporabljali različne pri- kaze, ki so jim pomagali pri poenostavitvi problema. Težave so se pojavljale tudi pri razume- vanju besedila naloge. Učiteljica je zapisala: Pri tej nalogi imam tudi sama nekaj pripomb. Rešitev je za 30 oseb. V besedilu ni točno omenjeno, koliko ljudi bo na pik- niku. Moralo bi pisati, da se piknika udele- ži še 27 sorodnikov. Poleg tega pa se mi ne zdi logično, da se bodo med seboj rokovali Mark in njegova starša. Učenec je računal za 27 oseb. Najprej je pomnožil 27 krat 27, vendar je videl, da pride liho število, ki ni deljivo z 2, zato je pomnožil 27 krat 26, da so se vsi sorodniki med seboj rokovali samo enkrat. Tukaj bi moral prišteti še 3 krat 27, ker se vsak član družine rokuje s sorodniki enkrat (med seboj pa se ne rokujejo) in bi bila rešitev 432. Menimo, da ima naloga več rešitev, glede na privzete predpostavke, ki jih predvidimo ob začetku reševanja naloge. Če predpostavi- mo, da so Marko in njegovi starši družinski člani in da se bo piknika udeležilo 27 sorod- nikov, potem beseda še ni potrebna. Nato predpostavimo, da se upoštevajo vsa roko- vanja (tudi med družinskimi člani). Ob teh dveh predpostavkah je rešitev naloge takšna, kot je bila napovedana v rešitvah. Najbolj na- ravna je seveda rešitev, ki izključi rokovanja med ožjimi družinskimi člani. Izpostavili bomo tri poti reševanja učen- cev, iz katerih je razvidna uporaba različnih prikazov pri iskanju vzorcev, in »težave«, ki so jih učenci imeli. 1. način reševanja Učenec je v prikazanem primeru (Slika 1) iz- bral tabelo, ki jo je sistematično in pravilno oštevilčil od 1 do 30. Sprašujemo se, zakaj tabela ni v celoti izpolnjena. Ker je zmanjka- lo časa, volje, potrpljenja ali je učenec pre- prosto ugotovil, da je »nekaj narobe« in ni nadaljeval. Iz tabele je razvidno, da učenec še ne ve, da je rokovanje med 1. in 2. udele- žencem piknika enako kot rokovanje med 2. in 1. (dvojno štetje). Če bi nadaljeval, bi lepo 'ploskovno' prikazal problem rokovanja. 2. način reševanja Rešitev naloge (Slika 2) ni pravilna. Zanimivo bi bilo vedeti, kako je razmišljal učenec. Uče- nec izračuna 27 krat 27 in dobi rezultat 729. Nato si pomaga z risanjem in ugotovi, da re- 053 [ S l i k a 1] Reševanje naloge Rokovanje na družinskem pikniku s tabelo [ S l i k a 2] Nepravilno reševanje naloge o Rokovanju na družinskem pikniku zultat 729 ni pravilen. Pomembno je, da je uče- nec z risanjem črte od enega objekta, ki pred- stavlja enega sorodnika, do drugega objekta, ki predstavlja drugega sorodnika, ugotovil, da je rokovanje med 1. in 2. udeležencem pikni- ka enako kot rokovanje med 2. in 1. (dvojno štetje), kar učencu, ki je izbral tabelo kot pri- pomoček pri iskanju vzorca ni uspelo. 054 Metoda iskanja vzorcev 3. način reševanja Pri tretjem izbranem izdelku (Slika 3) si predstavljamo, da je učenec prikaz, ki ga je uporabljal na poti do rezultata, preprosto ob- držal v glavi (ali na drugem papirju). Učen- čeva metoda spominja na skrivanje sledi in zato vpogled, od kod rezultat 351, ni mogoč. γ Reševanje naloge Počitniško delo Ana je sprejela počitniško delo varuške so- sedovega malčka vsak dan za enak čas. Pla- čilo pa bo prejemala po naslednjem ma- tematičnem pravilu: Prvi dan bo zaslužila 1 €, drugi dan 3 €, tretji dan 5 € in tako dal- je. Koliko bo Ana zaslužila po dvajsetih dneh? Ali bi lahko bilo v realnem življenju takšno pravilo plačevanja smiselno? Rešitev: 400 € Pri reševanju naloge o višini Aninega zas- lužka so učenci najpogosteje nalogo rešili tako, da so zapisovali zaslužek po posamez- nih dnevih in na koncu vse skupaj sešteli. Nalogo so reševali učenci v 8. in 9. razredih, v različnih ravneh zahtevnosti. Učiteljica je opozorila na navodilo naloge, ki učencem ni bilo razumljivo: Naloga je bila učencem zanimiva in so jo dobro reševali. Nekaj pripomb je bilo le na vprašanje »po 20 dneh«. Nekateri so mislili, da morajo izračunati le dnevni zas- lužek 20. dneva. Večina učencev je nalogo reševala na podoben način, hitro so odkrili vzorec lihih števil. 1. način reševanja [ S l i k a 4] Reševanje naloge Počitniško delo Učenci so nalogo razumeli (Slika 4), ve- čali števila, niso pa induktivno sklepali in posploševali. 2. način reševanja [ S l i k a 5] Sistematično reševanje naloge Počitniško delo [ S l i k a 3] Tretji način reševanja naloge Rokovanje na družinskem pikniku 055 Učiteljica je zapisala zanimivo ugotovi- tev, ki se nanaša na razliko v reševanju med učenci 8. in 9. razreda: Naloga je bila učencem zelo zanimiva in jih je pritegnila. Skoraj vsi učenci so tudi prišli do pravilne rešitve, le po različnih po- teh. Učenci 9. razreda so bili iznajdljivejši in so iskali vzorce, posploševali in na zelo kratek način rešili nalogo. 3. način reševanja Učitelj je zapisal, da je, da bi se izognil re- ševanju naloge z zapisom zaslužkov po po- sameznih dneh in seštevanju vseh zaslužkov po 20 dneh, spremenil vprašanje: Kolikšen bo zaslužek po 100 dnevih? Ugotovil je nas- lednje: Učenci so se lotili reševanja naloge na podoben način (zapisovali so zaslužek po posameznih dneh), a so kmalu ugotovili, da je za takšen pristop malo preveč dni. Po neuspelih poizkusih so si učenci po učiteljevem nasvetu pomagali s tabelo (dan, zaslužek, skupen zaslužek) ter z opazovan- jem dni in skupnega zaslužka. S skupnim razmišljanjem so prišli do simbolnega zapi- sa: zaslužek = število dni 2 δ Za konec Navajamo še eno nalogo, ki se lahko reši z opisano metodo. Naloga 3 – Kvadrati in trikotniki Koliko je vseh kvadratov na sliki? Koliko je vseh trikotnikov na sliki? Rešitev: 72 kvadratov, 240 trikotnikov Vir: Mathplus 9, Harcourt Brace & Company, Canada Dopis uredništva: Zahvaljujemo se učiteljicam Tanji Jagari- nec, Nataši Pavšič, Andreju Starc in Nataši Olenik, ki so v šolskem letu 2010/11 z nami delile svoja razmišljanja in izdelke učencev v spletni učilnici študijskih skupin za matema- tiko.