i
i
“629-Kramar-Obojestranska” — 2010/6/3 — 10:30 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 10 (1982/1983)
Številka 4
Strani 181–182
Edvard Kramar:
OBOJESTRANSKA PRAŠTEVILA
Ključne besede: matematika, rekreacijska matematika, praštevila.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/10/629-Kramar.pdf
c© 1983 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
v
MATEMATICNO
RAZVEDRILO
OBOJESTRANS KA PRAšTEVILA *
Pra štev il o j e nara vno štev ilo, ve čj e od 1, ki j e de l j i vo le z 1 i n
s samim s eboj . Taka š tev i la s o na pr imer 2 , 7, 41 in 173. Obo j e -
st ransk o p r a š t e v i l o pa i menujmo pr aš t e vi l o , ki ostane pr aš t e vi -
l o, tudi če ga za piš emo v obratnem vrstnem redu. Na primer šte-
vi l o 13 j e. že t ako, sa j je tudi 31 pra število .
Iz k~že se, da j e ta kih š te vil kar pr ecej. Očitn o so vs a enome s t -
na pr aš t e vi l a , t o j e 2 , 3 , 5 in 7 , oboj es t ran s ka pr aš t e vi l a . Dv o-
mest nih t akih š te vi l je dev et, tromestnih pa kar 43, med štiri -
in več me stn i m i pa ji h je še mnog o več . Za zgled jih zap išimo še
ne kaj : 11, 13 , 101, 333,337,769,1283,39397 in tako da l j e .
Večmestn a 'oboj estra nska pra števila se lahko začenjajo le s šte-
vil i 1, 3,7 a l i 9. Za kaj?
Ne ka t e ra med o~en j eni m i št e vi l i i majo še eno le po l astnos t , nurn -
re č ne sp r emenijo s e , če tu d i j i h za pi šemo v obratnem vrst nem re-
du, i me nuj mo jih s imetrična pr a š t e v ila. Taka števila so na pri-
mer II, 101 in 383 . Tudi s im e t r i č n i h pra števil je veliko . Edino
dvome s t no tako št e vil o j e I I, tromes tn ih simetričnih pra števil
j e 15 , pe t mes tn i h 93, medt em ko šti ri mestnega s imetričnega pra-
števila ni nob eneo.a. Sl edn je j e sicer ma l o pr ese ne tlj ivo , vendar
bomo dokaza l i s pl oš no ugot ovit e v: Ra z en šte v ila 11 ni nobene ga
si me tričnega pra števi la za pis a ne ga s s odim številc~ decimalnih
mest .
* če j e komu v šeč, lah ko t aka š t e vi la i men uj e olivetšarp pra š t e vi la.
181
Pr ed en bomo t o ugoto vi l i , dokaži mo, da j e vsa ko š t e vi l o ob li ke
l 0 zm- 1 + 1 , m = 1 , 2, . .. de lj iv o z 11. Uporab imo ma t em a t i č n o
i ndukci j o ( gl ej Pr es e k V/ 2 ) . Za m = 1 j e to o č i t no res , na j bo
10 zm- 1 + 1 = l l k, k E N i n si og l e j mo , kaj dob i mo , č e m za men ja -
mo z m + 1 : 19 z( m+ l ) - 1 + 1 = l Q2 ( 10 zm- l + 1) - 99 = 10 z .1 1k - 99 .
To š tev ilo pa je ZODe t de lj ivo z 11. Ogle j mo si se daj de$ e t i šk i
za pi s s ime tričn e q a 2n-mestneqa š tev i l a
.. . +a z . 10 + a l
Zapišino z gor nj i i zr az ma l o dr ug a če
N = a d l 0 zn-
1
+ 1 ) + 10a z( 10 zn- 3+ 1) + 'oo +
Ke r s o po dokazanem vs a š t e vi l a v oklepa j i h de 1j i va z 11 , je t u-
di š tev i l o N delji vo z 11 i n t or ej ne mo re biti pr a š t e v i l o , ra -
ze n sev e da , č e j e N = 11.
Iz oboj e s t r ans ki h pra š t evi l lah ko pos kus i mo se sta vlja t i kva dr at-
ne sh eme z l a s t nos t jo , da kakork ol i preb ere mo š t ev i l o v nj ih ,
ve dno dobi mo pr aš t e vi lo . Pr imer tak e sh eme, s es t a vlj ene i z dvo-
rn e s t ni h št e vi l , j e
1 3
7 1
Ka kor kol i pr e be remo š tev i lo v nJ eJ , vodor avno , na v pi č n o a li po
dia gona li v kakršn iko li smer i , vedno dobi mo or a š t e v i l o , Pri rr er
take ~a kvadrata , se stav ljenega iz š t i r i mestni h pr a š t e vi l , je
tud i
3
9
1
1
7
5
2
9
1
5
8
?
. J
9
1
3
3
Na sp lo h pa j e ka r t ež ko na j t i kva dr a t na shemo š te vi l s ta ko l e -
p i mi lastnos tm i. Nek o l iko l a žj ~ ~e n a jt i k va d ra t n o shemo pra -
števi l , č e za hte vamo , da j e š tev i l o Dra št ev il o l e v pri mer u,
ko ga pr e be re rro po vrs t ic i a l i s t ol oc u v pol j ubni smeri . Pos ku-
s i na jti sam ka kšn e ga od teh !
Edva rd Krama r
182