'V-" SECflZEHKT OTSOHEE JAHRESBERICHT DER K. K. OBER*REALSCHULE Sä in Gör z. Am Schlüsse des Schuljahres 1870 HERAUSGEGEBEN VOM DIRECTOR Dr. E g i d Schreiber •; 5/' %' '1-1' ‘i2 «Mi SM ■ INHALT 1. Construction der Linien zweiter Ordnung aus umschriebenen Vierecken 2. Die darstellende Geometrie als Unterrichtsgegenstand an Realschulen.— Beide Aufsätze von Prof. Barchanek. 3. Schulnachrichten. GÖRZ Gedruckt bei Mailing — Im Selbstverläge der Lehranstalt. llijf mM SECHZEHNTER JAHRESBERICHT DER K. K. OBER-REALSCHULE in G ö r z. Am Schlüsse des Schuljahres 187« HERAUSGEGEBEN VOM DIRECTOR Dr. E g i cl Schreiber —=-B^xOo-= 2 m und C D = 2 n seien die Masszahlen derselben. Wir machen zuvor das Axensystem x y für die folgende Untersuchung ersichtlich, ziehen die Gerade B C und legen sodann einen beliebigen Strahl parallel zur Axe der x, welcher auf B C und b c die Schnittpunkte « und ß erzeugt. Projicirt man nun « von c aus auf die Gerade a b nach y, so hat man in ß y sofort eine Ellipsentangente, deren Berührungspunkt M im Schnitte von der Geraden D « liegt. Aus der Gleichung der Geraden B C: ^ + IT = 1.................................* • BC erhalten wir, wenn B ß der Kürze wegen mit fr bezeichnet wird, iür y — fr die Coordinaten von «: ( x = — (n — fr) « n ( y = Ziehen wir durch c ( X ” m und « eine Gerade: ( y “ — n m fr y -f- n (fr + n) x *= m n*............................ca. Daraus erhalten wir iür y n n den Punkt y: ( x - n » m y j 11 + 'fr ( y = n Die Gleichung der Geraden ß y wird offenbar fr als Parameter enthalten und wir können daher dieselbe als eine Function von fr leicht auf die Form bringen: F (fr) “ (m + x) fr2 — 2 m y -9- -f- n* (m — x) = 0 Erhält fr andere Werte, so bekommt auch die Gerade ß y andere Positionen; suchen wir den geometrischen Ort, welcher von dieser Schaar von Geraden eingehüllt wird. Zu diesem Behufe bilden wir: d F ('fr') m v . , = (m + x) fr — m y = 0, woraus fr ss- / ■ d fr v 1 j i m + y Eliminiren wir mittels dieses Wertes aus F (fr) «=* 0 die Variable fr so erhalten wir sofort: m2 y2 + n2 x2 == m2 n2 als die Gleichung des gesuchten Ortes und dies ist offenbar die Mittelpunktsgleichung der Ellipse, deren conjugirte Diameter 2 m Fig. 5. und 2 n mit den in Fig. 5 gegebenen identisch sind und ß y ist daher eine Tangente dieser Ellipse. d F ('#) Lassen wir nun F (fl) «= 0 und —j—0 bezüglich x und y 11 & coexistiren, so erhalten wir daraus die Coordinaten des Berührungspunktes M : M m y n- + und da diese der Gleichung der Geraden I) «: n + n) m (-9- — n) 0 I) « wie leicht zu ersehen, Genüge leisten, so ist liiemit auch der zweite Theil der obigen Behauptung bewiesen. Denken wir uns in Fig. 5 die Axen x, y mit einander vertauscht und in Bezug auf dieses Axensystem die vorige Rechnung consequent durchgefühlt, so kommen wir zu dem Ergebnisse, dass wir auch hier die Tangenten und ihre Berührungspunkte noch auf eine zweite Art erzeugen können. In Fig. 5 wurde eine dieser Tangenten ersichtlich gemacht: l [i beliebig aber parallel zu C D gezogen, k von b aus nach v projicirt und man hat sofort in v eine Tangente; projicirt man A von B aus nach N, so hat, man den Berührungspunkt derselben. Ist die Differenz der gegebenen Diameter gross, dann wähle man jene Erzeugungsart, bei der sich alle nötigen Schnittpunkte sicher ergeben. Fig. 6. In Fig. 6 wurde nach dieser Methode eine Ellipse gezeichnet, für welche das den Axen A B und G I) umschriebene Rechteck a b C d gegeben ist. Auf B C wurden drei beliebige Punkte a, ß und y angenommen, sodann das Lineal parallel zu C I) durch diese Punkte verschoben und gleichzeitig die Schnittpunkte 1 a I, 2 ß' II und 3 y' III noti rt; «, ß, y von a aus, «' ß' y von d aus auf b C projicirt und die entsprechenden Punkte verbunden, so hat man fofort in zwei Quadranten je 3 Tangenten construirt, deren Berührungspunkte sich auch sofort ergeben, wenn die Punkte «, /3, y und « ß' y von A aus auf die entsprechenden Tangenten projicirt werden. Für die andere Hälfte wurde die Anordnung ebenso ge* troffen. Die Punkte a. /3, y wurden zwar beliebig, jedoch mit Rücksicht darauf angenommen, dass es für praktische Zwecke besonders geboten erscheint, an der Stelle der grössten Krümmung der Curve nahe liegende Tangenten sammt deren Berührungspunkten zu ccm* struiren. Im Hinblicke auf Fig. 3 kann auch nach der in Fig. 5 begründeten Methode die Ellipse aus dem umschriebenen Trapeze recht vortheilhaft gezeichnet werden. Liegt der Schnitt der nicht parallelen Seiten benützbar, daun sind beide Erzeugungsarten gleich brauchbar. Im gegentheiligen Falle wähle man jene, welche von diesem Schnittpunkte unabhängig ist. Die Anordnung kann ähnlich der Fig. 3 getroffen werden. In Fig. 7 wurde vorausgesetzt, das Viereck a' b' c' d' sei die Perspective eines der Ellipse im Raume umschriebenen Parallelogramme abcd, 0 das Bild des Mittelpunktes und die Geraden A' B, C D welche durch 0 nach den .PHuchtpunkten der Gegenseiten gehen, seien die Bilder der conjugirten Diameter A B und C I); aus diesen Bestimmungsstücken soll mittels der vorhin erklärten Methode die Projection dieser Ellipse unabhängig construirt werden. Liegt einer der beiden Fluchtpunkte der Gegenseiten benützbar, dann wähle man jenes Verfahren, bei dem der gegebene Fluchtpunkt benützt werden kann. In Fig. 7 wurde angenommen, der Fluchtpunkt V der Geraden a b und b c liege benützbar. Im weiteren ist Anordnung und Ausführung aus der Figur selbst zu entnehmen. Wäre keiner der beiden Fluchtpunkte brauchbar, dann wird man zwei ähnliche und in Bezug auf den unzugänglichen Fluchtpunkt auch ähnlich liegende Hilfsdreiecke construiren wie in Fig. 4. Construction der Parabel. Die in der Praxis häufig vorkommende Aufgabe, eine Parabel aus einem Parallelogramme ABCD (Fig. 8) zu construiren, ist identisch mit der Aufgabe: Eine Parabel zu construiren, für welche gegeben sind: Ox die Richtung eines Diameters, 0 der Endpunkt desselben und eine conjugirte Seime C D. Bezeichnen wir mit M und N die Halbirungspunkte von A o und B o so sind bekanntlich M C und N I) Tangenten dieser Parabel und C, I) die Berühsungspunkte derselben. Machen wir das Axensystem x y ersichtlich, auf welches die folgende Untersuchung bezogen wird, projiciral alsdann einen auf der Axe der x beliebig angenommenen Punkt P parallel zur y Axe nach L auf die Tangente N 1), so ist die Gerade L R, welche durch L parallel zu M P gezogen wird, eine Tangente der Parabel, deren Berührungspunkt Q sofort resultirt, wenn man 1’ von C aus auf R L projicirt. Setzen wir der Kürze halber OE — a und EC "b, dann ist die Gleichung der Geraden, wclche durch die Punkte Fig. 7. Fig. 8. x *-> O l x =* a y- — und D I y - - b geht: 2ay + bx + ab = 0.........................................N D, woraus, wenn O P rr fr gesetzt wird, für x = fr sich die Coor-dinaten von L ergeben: x = fr a 2 a y = - }...........................................................L. Durch die Punkte j x «= 0 i' x <*=» fr M ] ^ _b und P ] gellt die Gerade: ' " 2 ( y — 0 y — — —— X 4-- MP 2# r2....................................... Die Gleichung eines beliebigen durch L gezogenen Strahles ist offenbar : y . = m (x — ■9’), wobei m den vorläufig noch unbe- z n. stimmten Richtungskoefficienten vorstellt. Bringen wir die Bedingung in Rechnung, dass LR || MP, so muss m — — ~ sein. 2 1T Setzen wir diesen Wert in die letzte Gleichung und schreiben diese als eine Function von -fr in folgender Form: F (fr) = b fr2 + 2 a -fr y -f- a b x ~ 0 . . . . LR. Nimmt fr andere Werte an, so erhält auch L R andere Positionen. Fragen wir nun unter Voraussetzung einer stetigen Aenderung von fr nach der Einhüllenden Curve und bilden zu diesem Behufe: —= ay + b^ = 0, woraus fr = — d fr J b Eliminirt man mittels dieses Wertes aus F (fr) = 0 die Variable -fr, so bekommt man: (2 a y — I) x — ab), (a y2 — b2 x) ~ 0 Der Nullmachende Wert des ersten Faktors: 2 ay — bx — ab = 0 gibt sofort: die Gleichung einer Geraden, welche auf den Coordinaten- axen die Abschnitte und — a erzeugt und dies ist offenbar die Gerade M C, von der wir bereits wissen, dass sie eine Tangente der Parabel und C ihr Berührungspunkt sei. Es ist höchst interessant zu bemerken, dass die Rechnung diesen Grenzfall, für welchen zufolge unserer Construction R L mit M C zusammenfällt, als eine singuläre Auflösung ausscheidet. Der nullmachende Wert des zweiten Faktors giebt: b* y2 = — x und dies ist die fragliche Parabel. R L ist sohin eine Tangente derselben. Lassen wir F (£•) «=> 0 und —“* 0 dff bezüglich x und y coexistiren, so erhalten wir die Coordinaten des Berührungspunktes Q: t9 X = a b ,9- y — Q. Bezeichnen wir die vorhin angesetzten Werte der Coordinaten der Punkte C und P kurzweg beziehlich mit x" y" und x"’ Y" dann finden wir ohne viel Mühe die Relation: x — x" x' — x" a — (> 7 >7 — t 77> — r i y — y y — y h woraus unzweideutig hervorgeht, dass die Tunkte Q, P und C in einer Geraden liegen. Eleganter kommen wir auf diese Eigenschaft, wenn wir die Gleichung der Geraden P Q aufstellen, welche sich sofort auf folgende Form bringen lässt: fr “ b) = (x - a).......................P Q. Aus dem Baue dieser Gleichung geht unmittelbar hervor, ( X '*{J, dass die Gerade P Q durch den Punkt , ‘ . geht und dies ist l y = b eben der Punkt C. Dass wir behufs einer symmetrischen Darstellung M C mit N D und C mit I) vertauschen und dann ebenso die erwiesene Construction anwenden können, geht aus vorstehender Rechnung unmittelbar hervor. 9. In Fig. 9 soll aus dem Rechtecke a b c d eine Parabel gezeichnet werden, für welche die Axe A x, der Scheitel A und die conjugirte Sehne b c gegeben sind. Wir machen A M =» M a und A N — N d und erhalten sofort M b unb N o, die Tangenten in b und c. Durch die beliebig auf Ax angenommenen Punkte a, ß, y, & verschieben wir parallel zu a d das Lineal und notiren auf M b und N c die Schnittpunkte 1, 2, 3, 4 und I, II, III, IV. Parallel zu M a verschiebe man das Lineal bis es durch 1 geht und ziehe diese Gerade, welche eine Parabeltangente ist, deren Berührungspunkt im Schnitte der Geraden b « liegt. Eine zweite Tangente erhält man, wenn parallel zu M ß durch II eine Gerade gezogen wird; ihr Berührungspunkt ist im Schnitte der Geraden b ß; ebenso ergeben sich beliebige andere Tangenten und deren Berührungspunkte. Die symmetrisch liegenden Tangenten bekommt man auf ähnliche Art. Zieht man z. B. parallel zu N y durch den Punkt 3 einen Strahl, so giebt dieser eine Tangente, deren Berührungspunkt auf der Geraden c y liegt. Die Punkte «, ß, y, ä sind wenn auch beliebig doch so angenommen, dass man dort, wo die Curve am stärksten gekrümmt ist, auch nahe liegende Tangenten bekomme. Bei der pratischen Ausführung können alle Gerade, welche blos die Richtung anderer Geraden bestimmen gar nicht und von den übrigen Hilsstrahlen nur die nötigen Schnitte gezeichnet werden, damit die Zeichuungsfläche vor allen unnützen Linien verschont bleibe. Dass diese Construction ebenso handzuhaben ist, wenn die Parabel aus einem Parallelogramme zu construiren ist, folgt aus Fig. 8. Die in Fig. 5 erwiesene Methode, Tangenten samint ihren Berührungspunkten an die Ellipse zu construiren, lässt sich auch sofort auf die Paiabel übertragen, wenn wir nur letztere als das 10. centrale Bild einer Ellipse ansehen. Denken wir uns Fig. 10 das der Ellipse umschriebene Parallelogramm a b c d so in die Grundebene gelegt, dass der Diameter A B in den Grundschnitt G G zu liegen kommt. Das um die Horizontslinie IIII' in die Bildebene umgelegte Auge falle mit, C, dem Endpunkte des zweiten Diameters C I) zusammen. Die Distanz C C' wählen wir gleich dem Abstande des Punktes C von dem Grundschnitte G G\ Dann liegt c d sammt dem Berührungspunkte D in einer durch das Auge parallel zur Bildebene gelegten Ebene, der Verscliwindungsebene, und das centrale Bild der Ellipse ist bei dieser Anordnung eine Curve zweiten Grades mit einem unendlich fernen Punkte und einer unendlich fernen Tangente, und das ist die Parabel. Machen wir nun den Fluchtpunkt v für die parallelen Geraden ad und b c ersichtlich, dann bekommen wir sofort a' b' als das Bild von a b. Nebenbei bemerken wir, dass a' und b' die Halbi rungspunkte von a C und b G sind. Die unendlich fernen Punkte der Strahlen C c und 0 d sind offenbar die centralen Bilder von c und d; ebenso hat D den unendlich fernen Punkt, von der Geraden C 1) zum Bilde und die Gerade B C füllt, mit ihrer Perspective zusammen. Ueberlegen wir, das die vorerwiesene Construction in Fig. 5 auf Eigenschaften beruht, welche durch das Projiciren nicht verloren gehen und dass die centralen Bilder der Ellipsentangenten und deren Berührungspunkte notwendig Tangenten und deren Berührungspunkte für die Parabel geben müssen; dann werden wir um den letzteren Zweck zu erreichen, die Construction von Fig. 5 lediglich in Perspective zu setzen haben. Vorhin wurde « ß parallel zu A B aber sonst beliebig gezogen, die Perspective a‘ ß‘ ist also wieder parallel zu A B. Alsdann wurde « von d aus nach y projicirt und ß y gab eine Ellipsentangente. Hier wüssen wir «' von dem unendlich fernen Punkte d' projiciren; a‘ y‘ ist sohin parallel zu A a' und ß‘ y1 ist eine Parabeltangente. Der Berührungspunkt M der Ellipsentangente liegt aui der Geraden D «, für die Parabel müssen wir «' von dem unendlich fernen Punkte D' projiciren, d. h. der Berührungspunkt M' der Parabeltangente liegt auf der Geraden; welche durch «' parallel zu C D gelegt wird. C I) gibt die Richtung eines Durchmessers der Parabel, C den Endpunkt desselben und A B eine conjugirte Sehne. Wenn also diese Bestimmungsstücke gegeben sind, so können wir von der eben abgeleiteten schönen Construction Gebrauch machen. Hiernach wurde in Fig. 11 aus dem Parallelogramme mnpq eine Parabel Fig. 11. gezeichnet, für welche A x ein Durchmesser und n p eine conjugirte Sehne ist. Wir machen zuerst die Halbirungspunkte M und N der Strecken A m und A q ersichtlich, ziehen M n und N p, die Tangenten an die Parabel in den Punkten n und p. Auf A n die beliebigen Punkte a, ß, y angenommen und einmal parallel zu m q auf M n nach I, II und III projicirt und dann parallel zu Mn nach 1, 2, 3. 1 I, 2 II, 3 III sind Tangenten der Parabel, deren Be- rührungspunkte im Schnitte der durch «, ß und y parallel zu A x gezogenen Geraden liegen. Wie die weitere Construction für den übrigen Theil der Parabel übersichtlich zu halten sei, ist aus Fig. 11 hinreichend ersichtlich. Die in Fig. 5 begründete Construction für die Ellipse lässt zwei Erzeugungsarten zu, je nachdem wir den Strahl a ß entweder parallel zu dem einen Diameter ziehen oder X ,« parallel zu dem anderen. Untersuchen wir nun wie sich die Construction für die Parabel aus der zweiten Methode ergiebt. Ziehen wir also in Fig. 1(U fi parallel zu C D, projiciren X von a aus nach v, so ist fi v eine Ellipsentangente, deren Berührungspunkt auf der Geraden A X liegt. Setzen wir diese einfache Construction in Perspective, so erhalten wir ein zweites Verfahren, Tangenten sammt deren Berührungspunkten an die Parabel zu construiren. Lassen wir im Uebrigen die Figur für sich selbst sprechen und erwähnen blos, dass X' fi offenbar in V verschwinden muss und 0 C ■= C V ist. o 12. Von dieser Construction wollen wir in Fig. 12 eine kleine Anwendung mnehen. Das Trapez m' n' p' q' sei etwa das perspektivische Bild des Paral lelogrammes mnpq von Fig. 11, wobei wir uns selbstverständlich die Seiten m n und p q parallel zur Bildebene zu denken haben. Die Gerade A' x\ welche durch den Schnitt der Diagonalen parallel zu m' n geht, ist das Bild des Durchmesser der Parabel, A' das Bild seines Endpunktes und m' q' die Perspective einer con-jugirten Sehne. Bei dieser Anordnung wird das Bild der Parabel wieder eine Parabel sein und wir sollen dasselbe aus dem gegebenen Trapeze construiren. Wir verlängern A' x' und machen A' v = A' x' verbinden m' und q' mit v und erhalten M' m', M' q' die Parabeltangenten in m' und q'. Die beliebig auf A' q' angenommenen Punkte a', /3' und y projiciren wir von v nach I, II und III und dann von M' auf die Gerade q' N' nach 1, 2, 3. Die Geraden 1 I, 2 II, 3 III sind Tangenten an die gesuchte Parabel, deren Berührungspunkte sich sofort ergeben, wenn a ß' y von m' auf die entsprechenden Tangenten projicirt werden. Wie die Construction für den anderen Theil der Parabel zu halten sei, ist aus der Figur ersichtlich. Construction der Hyperbel. 13. In Fig. 13 seien ABz: 2 a und C D = 2 b die reelle und die imaginäre Axe einer Hyperbel, K L M N das denselben umschriebene Rechteck und x y das Axensystem, auf welches wir die folgende Untersuchung beziehen. Projicirt man einen beliebig auf der x Axe angenommenen Punkt P einmal von M auf N Iv nach R und dann parallel zur y-Axe auf die Asymptote O N nach S, so erhält man in R S unmittelbar eine Hyperbeltangente, deren Berührungspunkt T auf einer durch P parallel zur anderen Asymptote 0 K gezogenen Geraden liegt. Setzen wir 0 P — fl, dann ist die Gerade welche durch die Punkte M ( x = a i x = ö- und P j / y = b I y — 0 geht, durch die Gleichung bestimmt: y = JL (0 - x).............................................MP, a ir woraus für x = a die Coordinaten des Punktes R folgen: Die Asymptote 0 N hat zur Gleichung: b „ _T y = ..... x.......................................0 N J a und daraus ergeben sich für x =: & die Coordinaten des Punktes S: x = i'> '-7' i......................................................s Die Gleichung der durch R und S bestimmten Geraden muss offenbar eine Funktion von o sein und lässt sich daher in folgender Form schreiben: F {») -= (a y — b x) fl2 +2a2 b i9 — a2 (a y -f- b x) = 0 . . . R S. Lassen wir 0 sich stetig ändern, dann ändert auch die Gerade R S Richtung und Lage stetig und wir fragen nach dem geometrischen Orte, welchen die Geraden R S einhüllen. Zu diesem Behufe bilden wir: *— = o (a y — bx) + a2 b = 0, und daraus folgt: d & a = a2b b x — a y Mittels dieses Wertes eliminiren wir aus F (#) = 0 die Variable <> und erhalten sofort: als die Gleichung des fraglichen Ortes, der offenbar • mit der zu construireuden Hyperbel identisch ist. R S ist sonach eine Tangente derselben. dF (rK) Lassen wir die Gleichungen F (#) == 0 und , - = 0 dw bezüglich x und y coexistiren, so erhalten wir daraus die Coordinaten des Berührungspunktes T : \ y = a-> -f-9-2 ‘2V j *i-a! b \ 2a# / Daraus ergeben sich augenfällig folgende Relationen: a2 — . a y #2 — as .... x — ■& =------------------------ und —r~~ - »v— ! mithin: 291 b *■§■ -j~— — (x — -fr) , oder : JL (x — &) , eine sehr durchsichtige Glei- a cliung, welche besagt, dass der Berührungspunkt auf einer Geraden liegt, welche zu der Asymptote o K parallel ist und durch den Ix = -9- Punkt, dessen Coordinatcn < geht, und dies ist offenbar ( y = 0 der Punkt P, wodurch der zweite Theil der obigen Behauptung ganz einfach bewiesen ist. Alle vorhin gewonnenen Ergebnisse, gelten offenbar auch für ein schiefes Axensystem, folglich gilt auch diese Construction auch dann, wenn das einem beliebigen Paare coujugirter üiameter Fi". 14. umschriebene Parallelogramm gegeben ist. In Fig. 14 wurde nach dieser Methode eine Hyperbel coustruirt, deren conj. Diameter AB und C D gegeben sind. Aus dieser Darstellung möge entnommen werden, wie Behufs einer zweckmässigen Anordnung die Eckpunkte des umschriebenen Parallelogrammes a ß y & bei der praktischen Ausführung symmetrisch zu vertauschen und von den C011-structionslinien nur die nötigen Schnitte zu markiren sind. In Fig. 12 wurde der Umfang der Hyperbel absichtlich nicht gezeichnet sondern nur die Tanpenten zunächst der Berührungspunkte stärker gezogen, um recht augenfällig zu zeigen, wie genau als durch diese wenigen Tangenten und deren Berührungspunkte die gesuchte Curve bestimmt ist. Um den Scheitel herum liefert diese Methode die Tangenten und deren Berührungspunkte sehr einfach und sicher. Im weiteren Verlaufe wird der Schnitt der Tangente mit der Asymptote unbenützbar, folglich auch die erwähnte Construction weniger brauchbar und umständlich. Um gerade diesen Fehler zu beheben leiten Fig. 15. wil' in Fig. 15 eine andere Construction ab, welche ebenso einfach als bemerkenswert ist. L M P Q sei das den Axen AB und CD umschriebene Rechteck einer Hyperbel; A und B die Scheitel derselben. Beziehen wir die folgende Untersuchung auf die Asymptoten der Hyperbel als Coordinatenaxen, » sei der von denselben eingeschlossene Winkel, und p und q zwei Strahlen, welche durch den Scheitel B parallel zu den Asymptoten gelegt wurden. Zieht man durch o einen beliebigen Strahl, der mit der positiven x Axe etwa den Winkel (p einschliesst, notirt auf demselben die Punkte «, ß und y, welche auf p, q und der Geraden MP liegen, zieht dann durch « und ß beziehungsweise Parallele zu den Asymptoten y und x, so schnei - den sich diese in einem Punkte R der Hyperbel; R mit y verbunden giobt sofort die Tangente t im Punkte R. Da Om = On = ~ OM =: i l/n2 + b'2 ist, so hat man sofort die Gleichungen für die Strahlen p und q: y = ~ I/as + bs........................................P 1 x — - |/a2 + b'-.......................................q 2 ^ Die Gleichung des beliebig durch den Ursprung gezogenen Strahles Oa sei: y = n x Ok sin q> wobei der Richtungscoefficient n = :----- sin ((B-: der Punkt y liegt auf einer Geraden, welche auf den Axen die Segmente |/V- -)- |/~ erzeugt und dies ist die Gerade MP, wodurch auch der letzte Theil der obigen Behauptung bewiesen ist. Für die Tangenten, deren Berührungspunkte sehr nahe dem Scheitel liegen, ist diese Methode praktisch nicht gut brauchbar, weil diesfalls die Punkte y und II, wodurch die Tangente bestimmt ist, sehr nahe au einander liegen. Aber gerade au dieser Stelle liefert die frühere Methode ganz sichere Resultate. Da die frühere Ableitung eben so gut dann gilt, wenn von der Hyperbel ein paar conjugirter Diameter gegeben wären, so gilt auch die eben abgeleitete Construction auch für das umschriebene Parallelogramm ganz unverändert. Fig. 16. In Figur IG wurde die Hyperbel aus dem den Axen AB und CD umschriebenen Rechtecke u (i y d nach dieser Methode construirt. Der Umfang derselben wurde nicht gezogen, sondern nur die Tangenten zunächst der Berührungspunkte stärker gehalten um recht augenfällig zu zeigen, wie die Form der Curve durch diese Bestimmungsstücke schon hervortritt. Von den projicirenden Strahlen blos die nötigen Schnitte zu notiren und die ganze Constručtion reclii; übersichtlich und symmetrisch darzustellen, mag aus der Figur selbst entnommen werden- Die darstellende Geometrie als Unterrichtsgegenstand an Realschulen. Unter demselben Titel veröffentlichte Herr Director Am-brözy in dem vorjährigen Programme der Bielitzer Oberrealschule einen Artikel, worin er in gedrängter Kürze die herrschenden Vor-urtheile über den Unterricht in der darstellenden Geometrie an unseren llealschulen widerlegt, die Ursachen der im allgemeinen schlechten Unterrichtserfolge in diesem Gegenstände bespricht und auch geeignete Vorschläge macht, den zahlreichen Missständen zu begegnen. Dass dieses Thema ein zeitgemässes ist, muss wohl zugegeben werden; denn es berührt eine brennende Frage unseres gegenwärtigen liealschulweseus, über die wunderbarer Weise gerade unter Fachleuten an berufener Stelle ein sehr geringer Meinungsaustausch gepflogen und zur Klärung und Sichtung der verschiedenen in neuester Zeit sich geltend machenden Ansichten noch wenig beigetragen wurde. Ich habe diesen Artikel mit grösser Aufmerksamkeit gelesen, einmal schon darum, weil dies einer der ersten Beiträge zu der oberwähnten Frage ist und zugleich kommt diese Arbeit aus der Feder eines älteren Lehrers, der also ein richtiges Urtheil über den Gegenstand sowohl, als auch über die Methode unserer Lehrbücher haben kann, und da der Verfasser noch überdies Director einer öff. Oberrealschule ist, wird er auch angeben können, wie weit das Ziel und wie hoch die Anforderungen in dieser Disciplin bei gerechter Würdigung der anderen Lehrgegen-stände gestellt werden können, damit der Erfolg zu der aufgewendeten Zeit im richtigen Verhältnisse stehe und jede Ueberbürdung der Schüler sorgsam hintau gehalten werde. Director Ambrözy findet die Ursache der schlechten Unterrichtserfolge aus der darstellenden Geometrie an den meisten Anstalten nicht in der Natur des Lehrgegenstandes, sondern in der unrichtigen Behandlung desselben, was sich einigennasseu dadurch entschuldigen liesse, dass für die methodische Behandlung der darstellenden Geometrie als einer Schöpfung der Neuzeit noch wenig geschehen konnte. Als das wesentlichste Gehrechen, welches gegenwärtig dem Unterrichte in der darstellenden Geometrie anhaftet, bezeichnet er den unverhältnissmässig umfangreichen Stoff, der zur Bearbeitung gelangt, und schlägt eine Reducirung desselben vor. Als zweiter Uebelstand bei dem descriptiven Unterrichte werden unsere Lehrbücher bezeichnet, welche gleichsam nur Auszüge aus grösseren Werken sind, auf die methodisch richtige Behandlung und auf die Bedürfnisse der Mittelschulen nur sehr wenig Rücksicht nehmen. Weiters wird eine methodisch correcte Behandlung des Gegenstandes verlangt; auf der ersten Stufe sind nur wenige, aber durch ihre Wichtigkeit hervorragende Partien so zu behandeln, dass hiedurch der Schüler zu einem klaren Verständnisse und einer streng wissenschaftlichen Auflassung des Besprochenen gelange. Nach Massgabe dieser Ausführungen unterbreitet er schliesslich den Facli-collegen einen detailirten Lehrplan für die Ertheilung des Unterrichtes in der darstellenden Geometrie, der mit der Ministerial-Verordnung vom 19. Juli 1870 ZI. 5207 nicht im Widerspruche steht und mit der Erklärung des orthogonalen Projectionsverfahrens beginnt. Principiell sind diese vier Punkte so glücklich getroffen, dass sie wohl die Zustimmung aller Fachcollegen für sich haben, aber über das Wie, die erkannten Uebelstände zu beseitigen und das Mangelhafte durch etwas Besseres zu ersetzen, dürften wohl die Ansichten divergiren und es wäre in dieser Beziehung nicht [ohne Interesse, die verschiedenen Meinungen von •Fachmännern zu hören, damit diese wichtige Unterrichtsfrage gehörig beleuchtet, richtig aufgefasst und einer gedeihlichen Lösung zugeführt werde. Dass die Ansichten über diese Frage im Princip gleich und in der Ausführung sich widersprechen können, ist wohl zuzugeben. In dem erwähnten Artikel lese ich beispielsweise: „Die Reducirung des Lehrstoffes auf das unbedingt Notwendige und Wichtige ist ein unabweisbares Bedürfnis für die Erzielung günstiger Resultate, und eine solche Reduction ist ohne Schädigung der eigentlichen Aufgabe des Unterrichtes in der darstellenden Geometrie an Realschulen möglich.“ Vollkommen einverstanden.— Wenn aber weiter gesagt wird, es sei klar, dass die Auflösung des körperlichen Dreieckes auf graphischem Wege gänzlich zu meiden sei, weil diese auf der ersten Stufe des Unterrichtes völlig überflüssig sei, da der Schüler die hiedurch gewonnenen Resultate niemals praktisch verwerten könne; dass diese Constructionen überdies keinen theoretischen Wert haben, weil deren Durchführung in eine Zeit falle, in welcher der Schüler mit den Lehrsätzen der Stereometrie über die Lage der Ebenen zu einander noch nicht so weit unterrichtet sei, um die erwähnten Constructionen mit Verständnis ausführen zu können und endlich, weil man bei der Auflösung gewisser Fälle die Supplemen-tarecke benützen müsse,—so muss ich gestehen, dass mir alle diese Gründe nichts weniger als klar sind, und ich viel eher dem Vor- schlage beipflichte, der für eine sorgsamere Pflege des körperlichen Dreieckes einsteht, weil ich darin ein ganz besonderes Unterrichtsmittel erblicke. Eine eingehende Kenntnis des körperlichen Dreieckes ist für jedermann wünschenswert, der auch nur über die Fundamentalsätze der Stereometrie gekommen; ein um so grösseres Interesse hat die körperliche Ecke für den, der fortan zur graphischen Darstellung der ebenflächigen Körper gehen will. Wie stünde es dann mit der streng wissenschaftlichen Auffassung, welche vorhin für alles das, was im descriptiven Unterrichte vorkommt, so entschieden verlangt wurde ? Abgesehen von dieser grossen Lücke spreche ich auch aus dem Grunde gegen die ausschliessliche Zuweisung des körperlichen Dreieckes in den mathematischen Unterricht, weil die graphische Auflösung sehr anschaulich ist, vom Schüler leicht erfasst und dauernd behalten wird, folglich sehr geeignet ist, seine Studien in der Stereometrie und der sphärischen Trigonometrie wesentlich zu unterstützen. Ueberdies empfiehlt es sich schon aus pädagogischen Gründen eine so hochwichtige Frage, welche dem Schüler auch im mathematischen Unterrichte manche Schwierigkeit bietet, von den verschiedensten Gesichtspunkten aus zu beleuchten. Ein kleines Beispiel: Die Summe der Seitenwinkel einer dreiseitigen körperliche Ecke liegt zwischen 2 und 6 Rechten. In was degenerirt die Ecke für die untere Grenze? Wer verhilft dem Schüler leichter zu dieser Vorstellung, die graphische oder die mathematische Behandlung ? Die Schwierigkeiten, welche sich im descriptiven Unterrichte der graphischen Auflösung nach den vorigen Ausführungen entgegen stellen sollen, bestreite ich ebenfalls. Auf der ersten Stufe meines Unterrichtsganges nehme ich die ste-reometrischen Fundamentalsätze in anschaulicher und dem Geiste der darstellenden Geometrie angepassten Weise; auf der zweiten Stufe den Punkt, die Gerade, die Ebene und die Beziehungen dieser Gebilde unter einander, und auf der dritten Stufe kommt nach meiner Auffassung die körperliche Ecke zum Vortrag und ist da der beste Prüfstein für den Erfolg, mit dem die frühere Partie abgehandelt wurde. Ich bereite die einzelnen Aufgaben vor, lege sie dem Schüler so zurecht, dass er in allen nötigen Constructionen mir zuvorkommen muss. Ich kann auch nicht zugestehen, dass der Schüler auf dieser Stufe über die Lage der Ebenen zu einander noch nicht soweit unterrichtet ist um diese Constructionen mit Verständnis ausführen zu können. Wäre dies der Fall, so hat er auch in der früheren Partie ohne Verständnis gearbeitet. Wenn der Schüler nicht in die Lage kommt, die gelegentlich der Behandlung der körperlichen Ecke gewonnenen Resultate zu verwerten, so trifft die Schuld den Lehrer, der es verabsäumt das früher Vorgetragene praktisch zu verwerten und in vielseitiger Uebung zu erhalten. Abgesehen davon, dass die Körper, zu deren Darstellung sofort geschritten wird, der Ecken genug haben, ist das körperliche Dreieck ein so eminentes Gebilde, dass es als Unterrichtsmittel sich selbst Zweck genug ist, weil hier die Denkthätigkeit und das Vorstelhmgs-vermögeu vorzüglich geschult wird. An sehr zweckmässigen Aufgaben, welche die Ecke betreffen, haben wir wohl keinen Mangel, ich verweise z. B. auf die Sammlung von Lehrsätzen und Aufgaben aus der Planimetrie und Stereometrie von La Fremoire, worin ich überraschend schöne Aufgaben über das körperliche Dreieck gefunden, die sich durch Leichtigkeit und Eleganz auszeichnen und für die praphische Behandlung wie geschaffen sind. — Dass man bei der Auflösung gewisser Fälle zu der Supplementarecke seine Zuflucht nehmen müsse, ist wahr, aber ist diese Auflösung etwa unrichtig? Ich finde es ganz in der Ordnung, dass der Schüler die Supplementarecke als solche und eine schöne Anwendung derselben kennen lerne. Dass der Lehrer nur die einfachen Fälle nehmen, und die mehrdeutigen übergehen wird, ist wohl für den Unterricht an Realschulen geboten, aber deswegen braucht man nicht das Kind sammt dem Bade zu verschütten. Mit demselben Hechte könnte man auf andere Partien verweisen; so z. B. beruht die ganze Theorie der Tangirungsebenen auf dem Satze, dass alle Tangenten, welche in einem gewöhnlichen Punkte einer stetig gekrümmten Fläche möglich sind, in einer Ebene liegen. Ist der Beweis, den wir gewöhnlich den Schülern geben und der auch in unseren Lehrbüchern ist, stichhältig? Ich glaube, dass er keinen besonderen mathematischen Wert habe und auch nichts weniger als anschaulich oder überzeugend sei. Und doch bauen wir die ganze eonstructive Behandlung auf diesem Satze auf*). Der früher ausgesprochene Wunsch, nur die durch ihre Wichtigkeit hervorragenden Partien zu behandeln, spricht auch ganz entschieden für die Ansicht, dass die Construction der körperlichen Ecke aus 3 gegebenen Stücken dem descriptiven Unterrichte an Realschulen gewahrt bleiben müsse. Ein weiterer Vorschlag des erwähnten Artikels geht dahin, die Theorie der ebenen und aufwickelbaren Linien zu streichen. Gründe : Die wenigen Constructioncn, welche bezüglich der ebenen Curven bei Bestimmung der Schnittlinien von krummen Flächen mit Ebenen und der ersteren Flächen untereinander notwendig sind, müssen an den betreffenden Steilen ohnehin kurz erläutert werden, weil unter Hinweisung auf den in der 4ten (Jlasse genommenen Lehrstoff der Lehrer sonst Gefahr lauft, von den Schülern nicht verstanden zu werden. Die aufwickelbaren Curven können ihrer Natur gemäss niemals Gegenstand des Unterrichtes an einer Mittelschule sein. Ohne die Hilfsmittel der analytischen Geometrie *) In Guglers Lehrbuch der darstellenden Geometrie ist ein anderer Beweis für diesen Sau, der allerdings auch seine Achillesferse hat, wie überhaupt die meisten elementar geiührten Beweisführungen, bei denen das unendlich Kleine mit im ispiele ist, aber er ist einfacher und wenigstens anschaulich. sind die auf graphische Darstellungen gestützten Untersuchungen über die Eigenschaften• der ebenen und aufwickelbaren Curven nicht blos entbehrlich, sondern auch geradezu schädlich, weil den Schüler an Flachheit gewöhnend. Die Tragweite dieses Vorschlages verstehe ich nicht ganz. Eine Untersuchung der aufwickelbaren Curven war meines Wissens nie Gegenstand des Unterrichtes an Realschulen. Das Wenige, was über aufwickelbare Curven im Lehrbuche *) enthalten ist, wurde ja ohnehin meist übergangen, bis auf die Schraubenlinie, von welcher zweifelsohne genommen werden kann: das Entstehungsgesetz, die orthogonale Abbildung, und selbst die Tangentencon-struction in einem Punkte der Curve kann unter Zuhilfenahme eines Cylinders und eines schief geschnittenen Papierstreifens sehr anschaulich gezeigt werden. Damit muss aber Director Ambrozy gewiss einverstanden sein; denn in dem Lehrstoffe, den er für die sechste Classe vorschlägt, ist unter Anderem auch enthalten: „die windschiefen Schraubenflächen, ebene Schnitte derselben und Be-rührungsebenen an dieselben.“ Will man aber principiell aussprechen, die Erzeugung und Darstellung der krummen Linien, welche sogar schon auf Seite 8 des Lehrbuches vorkommt, ferner das Kapitel von den aufwickclbaren Curven im Allgemeinen ist auszulassen, so wird damit wohl jeder Lehrer einverstanden sein. Ich befürworte auch die vorhin empfohlene Behandlung der Schraubenfläche, ihrer ebenen Schnitte und ihrer Berührungsebenen nicht. Das Wenige, was etwa zur Darstellung einer flachen oder scharfen Schraube nötig ist, werde daselbst angeknüpft und an einem vorgezeigten Modelle, welches die Erzeugung dieser Fläche gut zum Ausdruck bringt, mag sich die Anschauung üben und die Vorstellung kräftigen; alles übrige bleibe weg. Die Berührungsebenen an windschiefe Flächen werden unsere Schüler nur verwirren, weil sie das windschiefe Flächenelement nicht beherrschen. — Für eine Einschränkung der Lehre von den ebenen Curven trete ich ein, aber die constructive Behandlung derselben ganz über Bord zu werfen, wäre wohl ein unverzeihlicher pädagogischer Verstoss und ein gewaltiger Rückschritt im constructiven Zeichnen überhaupt. Die Formenlehre der Curventheorie bereichert wesentlich das Begriffsvermögen des Schülers. Offene und geschlossene Curven, Curven mit Schlingen, Schleifen und Spitzen, Curven mit Wende- und Rückkehrpunkten, Curven mit mehrfachen und mit Maximal- und Minimalpunkten, sich berührende und sich schneidende Curven, äquidistante, ähnliche und ähnlich liegende, eben so wie symmetrische Curven werden dem Schüler anschaulich vorgeführt und er verbindet künftighin mit allen diesen Begriffen die richtige Vorstellung. Die Erklärungen über Tangente, Normale, Krüunnungs- *j Ich meine ebenfalls das von Sclmedar, winkel sind sehr einfacher Natur und werden durch die Anschauung wesentlich unterstützt. Der Schüler wird alsdann von selbst den Namen der Curve von durchwegs gleicher Krümmung nennen, eine Linie zeichnen, bei welcher alle Elemente als gleich angesehen werden müssen und eine andere, deren Krümmung in allen ihren Punkten gleich Null ist, die Stelle angeben, wo z. B. die Ellipse am stärksten und wo am wenigsten gekrümmt ist. Es sind ja diese Eigenschaften so innig mit den Linien verwachsen, dass man die letzteren nie, auch selbst mit ganz profanen Augen ansehen kann, ohne an die Existenz der ersteren erinnert zu werden. Der Schüler hört oft nur das, was er bereits geahnt, der Lehrer hat ihm nur zu dem richtigen Ausdruck verholten. Die Curvenlehre richtig behandelt führt .den Schüler zu einer fruchtbaren Anschauung über geometrische Örter und legt auch die Idee nahe, aus einer Linie nach gegebenen einfachen Gesetzen eine andere abzuleiten. Ich erinnere beispielsweise an die Beziehungen zwischen Gegenstand und Bild bei einem Planspiegel. Der Schüler wird angeleitet gegebene Bedingungen constructiv zu behandeln und es ist nicht zu verkennen, dass bei diesen Aufgaben der combinatorische Sinn geweckt und Lust und Liebe zu geometrischen Studien gefördert wird. Der Einwurf, dass der Schüler über die Natur des fraglichen geometrischen Ortes nichts sagen kann, hat nicht viel zu sagen, weil diese Aufgaben auch andere Seiten haben, an die sich sehr interessante Betrachtungen anknüpfen lassen. Nicht der geometrische Ort als solcher, sondern auch alles das, was der Schüler an diesem Orte gelernt, ist für die Schule massgebend. Die vorher angezogenen analytischen Hilfsmittel, welche eine constructive Behandlung der Curvenlehre erst in der siebenten Classe möglich machen, scheinen ganz speziell die Kegelschnittslinien zu betreffen, wenn der Vortrag aus der analytischen Geometrie über die Curven zweiten Grades nicht hinaus kommt. Es ist allerdings wahr, dass die Behandlung der Kegelschnitte mit diesen Hilfsmitteln eine weitgehende und streng wissenschaftliche sein könnte, dass der Vortrag diesfalls eine grosse Zahl von schönen und fruchtbaren Sätzen in den Bereich seiner Betrachtungen mit Erfolg aufnehmen könnte, die im anderen Falle kaum genannt werden dürfen; aber trotz alledem wäre es eine geradezu drakonische Mass-regel, die constructive Behandlung erst im siebenten Jahrgang zu nehmen und sonst ganz zu eliminiral. Aus der Grundeigenschaft des Kegelschnittes wird ein Schüler der 4t,en Classe mit vollem Verständnisse einzelne Curvenpunkte aufsuchen. Ph' wird auch damit ausreichen, gewisse charakteristische Punkte zu finden, wie z. B. jene, welche auf der durch die gegebenen Fixpunkte F und F' gehenden Geraden liegen, er wird auch bei einiger Anleitung leicht lierausfinden, dass z. 13. die Ellipse nach oben und unten, nach rechts und links symmetrisch ist, er wird selbst ansagen und finden, wie gross oder wie klein ein Leitstrahl werden kanu; ein einfaches rechtwinkliges Dreieck wird uns die schöne Beziehung zwischen den Axcn uud der linearen Excentricität aufdecken u. dgl. Den Satz, dass die Normale den von den Leitstrahlen gebildeten Winkel hal-birt, theilt man dem Schüler unbewiesen mit und kann ihn etwa irgendwie anschaulich zu machen suchen (der einfallende und der reflectirte Strahl, das Einfallslot). Auf diesem Satze kann man unter Zuhilfenahme der Gruudeigenschaft der Curve und der Lehren über das gleichschenklige Dreieck die für die Bedürfnisse der Realschule vollkommen ausreichenden Tangentenconstructionen auch für den Fall, wenn der Umfang der Curve nicht zu benützen ist, ganz logisch und richtig aufbauen. Mehr braucht man dazu nicht. Lässt man auch alles übrige weg, so ist für den constructiven Theil der Geometrie noch immerhin genug geleistet worden. Der Schüler wird sich an dem unbewiesenen Satze eben so wenig stossen, als er viel früher keinen Anstand nahm zu glauben, dass 3.1415926|... die Ludolfische Zahl sei. Erwägt man, dass die Kegelschnitte in der Physik auch schon vor der siebenten Classe nicht umgangen werden können, so ist es schon im Interesse der Goncentration des Unterrichtes geboten, die Kegelschnitte so gut als es eben geht zu nehmen. Im constructiven Zeichnen ist der Kegelschnitt sich selbst Zweck, in der Physik blos Mittel zum Zweck, es ist also auch in dieser Beziehung nicht schwer zu entscheiden, wer damit den Anfang machen müsse. Wegen der grossen Rolle, welche die Kegelschnittslinien im praktischen Leben, in den einzelnen Wissenschaften und in der Natur spielen, muss einige Kenntnis derselben ohneweiters mit zur allgemeinen Bildung gerechnet werden. Veilegen wir die construc-tive Behandlung derselben in die siebente Classe, wie viel Procent der studierenden Jugend gehen dann diesbezüglich ganz leer aus? Jetzt hat ein absolvirter Unterrealschüler, der nicht selten gleich ins geschäftliche Leben tritt, eine populäre und dann hätte er gar keine Kenntnis dieser Curven. Die Ansicht, dass alle diese Con-structionen bei der Bestimmung der Schnittlinien von krummen Flächen mit Ebenen erläutert werden sollen, ist richtig; aber einerlei ist es nicht, ob diese Erklärungen dem Schüler neu oder lediglich eine Wiederholung sind. Ausserdem gehört die Darstellung der ebenen Schnitte der Kegelflächen zu den schwierigeren Aufgaben, es ist daher auch aus pädagogischen Gründen nicht anzuraten, die eigentliche Aufgabe durch ganz neue Erklärungen aus der Curven-lehre noch mehr zu compliciren. Der Behauptung, es sei ohnehin nur wenig, was man aus der Curvenlehre bei dieser Gelegenheit brauche, pflichte ich auch nicht bei. Wenn es weiter heisst, dass die Theorie der Linien gleicher Beleuchtungsintensität nicht in die Mittelschule gehöre, weil die diesbezüglichen Constructionen eine zu dem durch dieselben erzielten Nutzen in keinem Verhältnisse stehende Zeitdauer erfordern, so gebe ich gerne zu, dass diese Partie wegbleiben kann, aber voll- kommen theile ich diese Ansicht nur dann, wenn es dem Lehrer etwa beifällt, die Schattenlehve auszugsweise nach einem grösseren Specialwerke vorzutragen. Es lässt sich im Gegentheil gerade diese Partie sehr leichtfasslich und knapp für die Realschule im innigen Anschluss an den früheren Lehrstoff zurecht legen. Ich halte keine Partie für so dankbar und anregend im descriptiven Unterrichte wie diese, aber die Behandlung derselben muss auf dem Boden der Schule gewachsen sein. Im Interesse für andere elementare Partien, welche der Schüler vollkommen bewältigen muss, stimme ich nötigenfalls auch dafür, die Intensitätslinien zu streichen. Als weiteren Übelstand bezeichnet Direktor Ambrozy unsere Lehrbücher, welche nur Auszüge aus grösseien Werken seien, auf die methodisch richtige Behandlung des Gegenstandes nur wenig Rücksicht nehmen, dieselbe erschweren oder gar unmöglich machen. Um dies zu erweisen, macht er auf den nach seiner Ansicht gröbsten Yerstoss aufmerksam, welcher in dieser Beziehung fast in allen Lehrbüchern vorkommt. Die Drehung eines Punktes um eine fixe Axe macht dem Schüler erfahrungsgemäss grosse Schwierigkeiten. Für einen günstigen Unterrichtserfolg ist es unbedingt nötig, dass ganz speziell diese Aufgabe richtig verstanden werde und da diese an die Spitze des ganzen Lehrgebäudes ohne stichhältigen Grund gestellt wird, wo der Schüler noch nicht die notwendige Kenntnis über die Beziehungen der Tracen einer Ebene zu den Projektionen einer auf derselben normal stehenden Geraden haben kann, so kann es dem Lehrer nicht gelingen, bezüglich dieser Aufgabe das richtige Verständnis bei seinen Schülern zu erzielen; das Auftreten derselben an der genannten Stelle muss daher als ein durch nichts zu rechtfertigender didaktischer Yerstoss angesehen werden. Der Rat, die Axendrehung später vorzunehmen hat wohl Manches für sich und es Hesse sich dieser vermeintlich arge Missstand durch eine ganz einfache Dislocation beheben, welche füglich vorgenommen werden kann, aber nicht muss. Zur Ehre unserer Lehrbücher sei’s gesagt, dass hier durchaus keine Gefahr ist, in die Kriegstrompete zu blasen und wenn diese locale Frage thatsächlich ihr grösster Fehler ist, dann erkenne man sie zum mindesten als gut an. Ich muss natürlich jetzt den Beweis für meine Behauptung, der Platz, an dem die Drehung des Punktes im Lehrbuche vorkommt, sei, wennauch nicht der Beste, doch nicht verwerflich, führen, nur muss man mir zugestehen, dass der Schüler den auf den wenigen vorangehenden Seiten enthaltenen Lehrstoff auch faktisch verstehe. Ein Raumpunkt (a, a2) soll um eine in der horizontalen Projektionsebene liegende Dreliungsaxe d gedreht werden (eine andere Aufgabe kommt im Lehrbuche nicht vor). Die Drehungsebene U*) geht durch a senkrecht auf d, also steht auch d senkrecht auf U. Die horizontale Projectionsebene ist eine durch d gelegte Ebene, *) Die Erklärung der einschlägigen Begriffe geht voran. folglich ist sic senkrecht zu U, und umgekehrt U senkrecht auf der ersteren. Das Perpendikel a a, welches von a zur horizontalen Projectionsebene gefällt wird, liegt in U, demnach kann at nur in der horizontalen Trace von U liegen ; es geht also auch umgekehrt die horizontale Trace von U durch aj. d steht senkrecht auf U, folglich auch senkrecht auf jeder Fusspunktsgeraden dieser Ebene; die horizontale Trace von U ist aber eine derselben, folglich geht sie nicht nur durch ai, sondern muss noch überdies senkrecht auf d stehen. Die vertikale Trace von U geht durch den Axenpunkt N und steht, wie bereits bekannt, senkrecht auf der Axe. Der Schnitt von d mit der horizontalen Trace ist der Drehungsmittelpunkt ra. Die Bahn, welche der Punkt bei der Drehung beschreibt, ist ein in U liegender Kreis, dessen Halbmesser co a ist. Die Perpendikel, welche von beliebigen Punkten dieses Kreises zur horizontalen Projektionsebene gefällt werden, liegen sämmtlich in U, daher auch ihre Fusspunkte nur in der horizontalen Trace dieser Ebene liegen können, d. h. der Kreis hat seine horizontale Projection in der Horizontalspur von U, daselbst muss also auch die horizontale Projection des Punktes a nach der Drehung liegen. Denken wir uns die Drehungsebene um ihre Horizontaltrace in die horizontale Projectionsebene umgelegt; die relative Lage der Strecke a zu der Trace ändert sich während der Drehung nicht, u. s. w. Meine Sache war, zu zeigen, dass man den beliebten Schimmel von den Beziehungen der Tracen zu den Projectionen der zu dieser Ebene normalen Geraden bei der Erklärung der Drehung eines Punktes um eine fixe Axe nicht einzuspannen braucht. Von dieser Ansicht dürften auch die Verfasser unserer Lehrbücher wahrscheinlich ausgegangen sein und verdienen dafür keinen so herben Tadel, dass sie dem Schüler die erwähnte Frage sofort vorlegen, als es die gegebenen Mittel nur erlauben, damit er von nun an Gelegenheit habe, dieselbe bei einfachen Aufgaben anzuwenden und vielseitig und stetig durchzuüben. Die ge-gentheilige Behauptung hat auch vieles für sich. Denn es ist vollkommen richtig, dass die ersten praktischen Drehungsaufgaben sehr einfacher Natur sind, vom Schüler an der betreffenden Stelle unmittelbar ausgeführt werden können, ohne der Axendrehung im allgemeineren Sinne zu gedenken und da letztere dem Schüler bedeutende Schwierigkeiten bereitet, so ist es recht empfehlenswert, ihre Behandlung aufzuschieben. Werden sonach alle Für und Wider der beiden Anschauungen gehörig abgewogen, so ist es nicht so unwahrscheinlich, dass aus dem zuvor so scharf markirten durch nichts zu rechtfertigenden didaktischen Verstoss ein harmloser Streit um des Kaisers Bart wird. Das stereometrische Beweismateriale, welches ich vorhin angezogen, kann doch auf dieser Stufe zur Verwendung kommen und wenn nicht, dann wurde wohl eine pädagogische Todsünde begangen, aber wunderbar genug, dass sie erst auf Seite 215 auf den Pranger gestellt wird und nicht schon auf Seite 6, wo sie noch crasser auftretend, bereits zur Gewohnheitssünde geworden. Im vierten Punkte hebt Director Ambrozy hervor, eine methodisch völlig correcte Behandlung des fraglichen Lehrgegenstandes sei vor Allem notwendig, wenn das auf diesem Gebiete der Schul-thätigkeit angestrebte Ziel erreicht werden solle. Ganz richtig, aber die Winke, welche diesfalls gegeben werden, sind nicht von Belang. Wenn behauptet wird, dass die Mannigfaltigkeit, welche insbesondere in Betreff der Pyramiden, Prismen und krummen Flächen bei dem descriptiven Unterrichte an Realschulen sich so häufig bemerkbar macht, entschieden schädlich und eine Beschränkung derselben im Interesse des Unterrichtes dringend erforderlich ist, dann gestehe ich, dass mir dieser Vorschlag etwas räthselhaft klingt. Unsere Lehrbücher zeigen eine solche Eigentümlichkeit nicht, und das, was darin zu finden ii>t, nimmt Director Ambrozy in den proponirten Lehrplan auf. Die Umdrehungsflächen lediglich auf die Kugel und das Rotationrellipsoid zu beschränken, kann immerhin geschehen, aber das ändert an der Sache nichts; im Gegenthcil, es ist sehr fraglich, ob eine unsicher gezeichnete Ellipse oder eine aus Kreisbögen einfach gebildete Curve oder auch ein nach dem Curvenbrettchen scharf gezogener Linienzug sich als Meridian bei der Behandlung der verschiedenen die Umdrehungsflächen betreffenden Aufgaben besser empfehle. Von windschiefen Flächen wird im Lehrbuche nur die Schraubenfläche behandelt, und diese wird auch zur Behandlung vorgeschlagen und zwar in dem früher erwähnten Umfange. Kegel - und Cylinderflächen werden auch nach dem Lehrbuche genommen. Bei den Pyramiden und Prismen wird empfohlen, nur jene mit regulärer Basis zu nehmen. Soll vielleicht nebenbei die horizontale Projectionsebene auch zur ständigen Basisebene ernannt werden? Ich glaube, dass ein solcher Vorschlag sich mit dem Wesen des descriptiven Unterrichtes, der doch die Leichtigkeit im Auffassen geometrischer Formen und eine Beweglichkeit des Vorstellungsvermögens erziehen soll, nicht gut verträgt. Einen methodischen Erfolg kann man da auch nicht ab-sehen, denn der Schüler wird z. B. eine beliebige Pyramide viel leichter annehmen, als eine senkrechte, deren Basis regulär ist, und wenn nicht die Darstellung des Körpers, sondern eine an demselben auszuführende Aufgabe Zweck der vorgelegten Const.ruct.ion ist, dann ziehe ich die erstere sogar vor. Diese Aengstlichkeit, welche dem Schüler auf dieser Stufe auch noch sehr wenig zumuthen darf, zeugt, dass es mit der Kenntnis und der nötigen Einsicht in die Beziehungen der Geraden zu Ebenen und der Ebenen untereinander noch immer nicht vorwärts gehen wolle und der (Jegenstand im weiteren Fortschreiten nur an Schwierigkeiten gewinne, was doch bei der naturgemässen Behandlung einer mathematischen Disciplin gerade umgekehrt sein sollte. Man gehe in dem erwähnten Vorschläge noch um einen Schritt weiter und trachte diese methodisch correcte Behandlung des Gegenstandes in der angeregten Weise consequent. durchzuführen, dann dürfte der Gegenstand etwa noch besser für die Bedürfnisse der Realschulen zurecht gelegt sein, aber man gebe dann auch dem Kinde den rechten Namen und sage statt darstellende Geometrie: „Das Zeichnen der Stereometrie“ Solche Vorschläge legen die Vermutlmng nahe, dass es vielleicht anderswo fehle. Ich nehme von dieser Thatsache umsomehr Notiz, als ich dadurch nur in meiner Ansicht: dem Unterrichte in der darstellenden Geometrie an unseren Realschulen fehle zumeist eine positive Basis, bestärkt werde; im folgenden will ich auf diesen Punkt noch zurück kommen. Der vorgeschlagene detailirte Lehrplan schliesst sich im Ganzen und Grossen unserem zu Recht bestehenden Lehrpläne an. Den Lehrstoff für die fünfte Classe finde ich zu gross. Die ebenen Schnitte der Pyramiden und Prismen und die gegenseitigen Durchdringungen dieser Körper können in die sechste Classe verlegt werden, damit das erste Capitel um so gründlicher vorgenommen und vielseitig durchgeübt werden könne. In dem Lehrstoffe für die sechste Classe heisst es Punkt 8: „Gegenseitige Durchdringungen der Kegel-Cylinder- und Rotationsflächen.“ Für einen detailirten Lehrplan ist eine solche Fassung sehr knapp, weil diese Aufgaben an der Realschule nur sehr unvollkommen behandelt werden können. Die Tangentenconstruction an die Projection der Durchdrin-gungscurve könnte allenfalls genommen werden; sie wird aber nicht vorgetragen und vielleicht aus guten Gründen. Die Wendepunkte der Curvenprojection können schon gar keinen Gegenstand des Vortrages bilden, und der Lehrer wird schwerlich andere Eigenschaften der Curve im Raume und ihrer Bilder auch nur im mindesten berühren können, woraus der Schüler die Natur dieser Linien erkennen und sichere Behelfe für die richtige Darstellung derselben gewinnen kann. Wenn je der Schüler Gefahr lauft sich an Flachheit zu gewöhnen, so ist es hier der Fall. Mit grösser Mühe und bedeutendem Zeitaufwand gelangt er zu einem sehr zweifelhaften Resultat,, weil diese Aufgaben seine Kräfte thatsächlich übersteigen. Zu zeigen, wie einzelne Punkte der Curve gefunden werden, welche alsdann durch einen stetigen Linienzug zu verbinden sind, genügt zwar vollkommen zur principiellen oder ideellen Auflösung, aber für die graphische Behandlung ist hiemit noch nicht alles erledigt. In dieser Partie würde ich daher eine bedeutende Redu-cirung vorschlagen. Von den Durchdringungen der Kegel- und Cy-linderflächen sollen nur die einfachsten Fälle genommen werden, z. B. wenn die Eintrittscurve eine ebene ist, folglich die Austritts-curve auch eben sein muss, oder irgend ein leichtfassliches Beispiel über Gewölbe u. dgl. Die Schnitte der Kegel- und Cylinder-flächen mit den Umdrehungsflächen und die Durchdringungen der letzteren Flächen unter einander erfahren ein wo möglich noch traurigeres Schicksal, also können sie billigermassen aus dem Lehrplan ganz gestrichen werden, eben so wie die ebenen Schnitte und die Berührungsebeuen der windschiefen Schraubenfläche. Für die siebente Classe wird auch vorgeschlagen, die Theorie des axonometri- sehen Zeichnens auf mathematischem Wege zu entwickeln und diese Resultate zur axonometrischen Darstellung einfacher Körper und technischer Objecte anzuwenden. Bei den gegenwärtigen Zeitläuften, wo die Ueberbürdung der Schüler vielfach beklagt wird und noch überdies meist schlechte Erfolge aus der darstellenden Geometrie vorliegen, kann man auch diesem Vorschläge nicht beipflichten. Die Axonometrie bleibe schon darum ganz weg, weil eine fadenscheinige Vielwisserei nur verderblich ist. Viel empfehlenswerter erscheint es, den Schüler in der letzten Phase seiner Ilealstudien mit neuen Theorien verschonend, Zeit und Mühe für eine fruchtbare Wiederholung des früheren Lehrstoffes zu sparen. Obwohl ich mit den Ausführungen des Herrn Director Am-brozy im Prinzip vollkommen einverstanden bin, so kann ich einen nachhaltigen Erfolg für den descriptiven Unterricht auch dann nicht in Aussicht nehmen, wenn alle Winke und Vorschläge, die er behufs Erzielung besserer Unterrichtserfolge hier gegeben hat, reali-sirt werden, wenigstens insolange nicht, als man diesen Unterricht nicht auf gewachsenen und tragfähigen Boden stellt. Im Interesse dieser wichtigen Frage sei es mir erlaubt meine unvorgreifliche Ansicht im Folgenden kurz zu entwickeln. Seit einem Vierteljahrhundert ist die darstellende Geometrie Lehrgegenstand unserer Realschulen, welche sich innerhalb dieses Zeitraumes wesentlich geändert haben. Aus der sechsclassigen Realschule ist eine siebenclassige geworden und diese unterscheidet sich von der ersteren wohl durch etwas mehr als um eine positive Classenei nheit. Auf der Oberrealschule von ehemals treten Mathematik und darstellende Geometrie entschieden in den Vordergrund und nehmen den Fleiss und die physische Zeit des Schülers besonders in Anspruch. Die Zahl der wöchentlichen Unterrichtsstunden war für die darstellende Geometrie in jeder Classe grösser und es brachte auch der Unterrealschüler, wenn auch nicht die beste Vorbereitung, also doch eine entsprechende Eignung für den descriptiven Unterricht mit. Die praktische Geometrie in der 2ten und das Bauzeichnen in der 3ten Unterrealclasse haben vielleicht diese Prädisposition bewirkt; damit will ich aber keineswegs eine Sehnsucht nach dem alten Lehrpläne ausgesprochen haben. Auf der Realschule von heute ist die Zahl der humanistischen Fächer vermehrt worden, und nebenher geht die darstellende Geometrie mit verminderter Zahl der wöchentlichen Unterrichsstun-den und gebundener Marschroute. Der Schüler bat behufs Erlangung einer allgemeinen und lückenlosen Bildung alle Lehrfächer als gleich wichtig anzusehen und alle mit Fleiss und Bedacht zu pflegen. Die Ansprüche der anderen Disciplinen wurden grösser, die Vorbereitung oder Eignung des Unterrealschülers für den Unterricht in der darstellenden Geometrie entschieden schlechter, und die Schüler selbst — so will es mir scheinen — werden nachgerade jünger und schwächer. Lehrplan, Lehrbuch und Methode haben ihr stereotypes Aussehen behalten, obwohl der erste Unterricht aus der darstellenden Geometrie bereits in die vierte Classe fällt, welche aber keineswegs der ehemaligen ersten Oberrealclasse äquiparirt werden kann. Wie viel hat der Schüler bis dahin von räumlichen Formen kennen gelernt und wie hoch ist seine stereometrische Einsicht überhaupt anzuschlagen? Diese Betrachtung wäre bereits geeignet einige Zweifel über das richtige Verhältnis des Mittels zum Zwecke in der vorliegenden Frage wach zu rufen; setzen wir aber dieses pessimistische Raisonnement ganz bei Seite und sehen uns lieber ganz objectiv in der Schulstube um, was hören wir? Einen lauten Ruf: Die Erfolge sind schlecht, die Schüler arbeiten zu wenig, und als Echo hallt es wider: „Die Schüler arbeiten zu Hause nichts als geometrisches Zeichnen, sie sind überbürdet. Welche Vorkehrungen werden getroffen, um diesen grossen acustischen Fehler zu beheben? Darüber gehen die Meinungen so wreit auseinander, dass man bald nicht wüsste, wo den Nagel auf den Kopf zu treffen. Ich halte dafür, dass der erste Unterricht ein verfehlter sei. Wer die Tochter haben will, dei halte es mit der Mutter, so sagt’s wenigstens ein altes Sprichwort, und was thuu wir? Wir wollen die Tochter haben ohne auch nur eine bescheidene Anfrage bei der altehrwürdigen und sonst so wohlwollenden Mutter gehalten zu haben. Was Wunder also, wenn ein handfester Korb unser untheilbares Loos wird. Der erste Unterricht in der darstellenden Geometrie muss, wenn er den Bedürfnissen unserer Realschulen vollkommen gerecht werden soll, für Schüler berechnet sein, die kaum das 14te Lebensjahr zurückgelegt haben. Diesem Alter darf man nur ein sehr geringes Abstractionsvermögen zumuthen, muss vielmehr Bedacht nehmen, dass alle neuen Begriffe gründlich gelegt und dauernd befestigt. werden, wenn der Unterricht in dieser mathematischen Disciplin, wo das Folgende ohne gründlicher Kenntnis des Vorangehenden entweder nur flach oder gar nicht verstanden werden kann, überhaupt auf Erfolg rechnen darf. Der erste Unterricht muss notwendig dort beginnen, wo thatsächlich der Anfang einer methodischen Behandlung zu finden ist, und für den descriptiven Unterricht liegt dieser Urquell unverkennbar in der Stereometrie, der Mutter der darstellenden Geometrie. Die Fundamentalsätze der Stereometrie in anschaulicher und dem Geiste der descriptiven Geometrie entsprechender Behandlunng wecken das Abstractionsvermögen des Schülers und führen ihn auf dem natürlichsten Wege in den neuen Gegenstand ein, in welchem sie fortan eine so grosse Bedeutung behalten, dass eine gründliche Einsicht und ein wissenschaftliches Auffassen der descriptiven Methoden ohne sie nicht denkbar ist. Allerdings wird bereits in der dr itten Classe Stereometrie vorgetragen, aber man geht viel zu leicht über diese Sätze hinveg, theils aus Mangel an Zeit, theils aus Rücksicht für das unentwickelte Begriffsvermögen des Schülers, und das Wenige, was da genommen wird, nimmt gewiss keine Rücksicht auf die Bedürfnisse der descrip-tiven Geometrie. Trotz alledem setzen wir wissen- oder gewissenlos einen stereometrisch vorgebildeten Schiller voraus und beginnen sofort mit der orthogonalen Projection auf eine und 2 Bildebenen, aber schon bei dem ersten Beweise, dass die orthogonalen und zugeordneten Bilder eines Punktes in einer Senkrechten auf die Axe liegen, müht sich der Lehrer vergeblich ab, den Schüler zu überzeugen. Denn dieser kann nur ruhig zuhören, gläubigen Sinnes die beredten Worte des Lehrers vertrauungsvoll entgegennehmen und sich schliesslich mit dem überraschend einfachen Resultate zufrieden stellen. Von einer Überzeugung und einer wissenschaftlichen Einsicht kann so lange nicht die Rede sein, als der Schüler die Ililfssätze, welche bei diesem Beweise in’s Treffen geführt werden, nicht vollkommen beherrscht, aber nicht etwa dem Wortlaute sondern dem Inhalte nach ; er muss sie, ich möchte sagen, selbst erfunden haben. Ist dies nicht der Fall, so kann der Schüler nur wähnen, den Vortrag verstanden zu haben, faktisch nahm er das Resultat des Beweises als mechanisches Merkzeichen hin, und dies ist doch ein furchtbarer Missstand, der auch nicht viel durch ein gelegentliches Einstreucn oder Recitiren bewusster Sätze behoben wird. Für meine Behauptung spricht auch die sich vielfach bemerkbar machende Erscheinung, dass . der mittelbefähigte Schüler von einer Lehrstunde zur anderen mit dein Lehrer wacker Schritt zu halten scheint; der eine hat viele Ursache mit dem anderen zufrieden zu sein, aber gegen alle Erwartung nimmt dieser erfreuliche Zustand bald eine bedauerliche Wendung. Nach Verlauf eines Semesters wird es nachgerade schwüle in den descriptiven Lehrstunden und noch ist ein Schuljahr kaum ins Land gegangen und Schüler und Lehrer stehen sich etwas schroff gegenüber. Von dem auszuführenden Bau ist kaum das erste Stockwerk fertig und schon muss die relative Festigkeit der unterschiedlichen pädagogisch didaktischen Hilfsmittel bedeutend in Anspruch genommen werden, das Ausweichen des Gemäuers hintanzuhalten. Die folgende Skizze, welche weder auf Mustergiltigkeit noch Vollständigkeit Anspruch macht, diene lediglich als Illustration für eine anschauliche und dem Geiste der darstellenden Geometrie entsprechende Behandlung der stereometrischen Fundamentalsätze, so wie ich sie im Sinne habe. Die Körper werden von Flächen begrenzt. Der verschiedenen Gestaltung der Körper müssen auch mannigfache Begrenzungen entsprechen, d. h. es giebt sehr viele Arten von Flächen und diese zeichnen sich ebenfalls durch verschiedenartige Eigenschaften aus. Nenne einige Flächen, die dir entweder von Haus aus oder aus dem früheren geometrischen Unterrichte bekannt sind. Auf der Tafelfläche wurde eine Gerade gezogen, kann man daselbst noch andere Gerade nach beliebigen Richtungen ziehen? Wenn die Tafelfläche nach oben, unten, rechts und links über alle Grenzen erwei- fort wäre, dann könnten wir nns in derselben unbegrenzte Gerade vorstellen, wie viele? Rolle die Zeichentbcke zu einem Cylinder und versuche auf dieser Flächo eine Gerade zu ziehen; mache noch eine 2te, 3te ersichtlich und sage etwas über die Richtung dieser Geraden. Versuche auf derselben Fläche eine Gerade nach einer anderen Richtung zu ziehen, was findest du? Bilde aus einem Papierblatte eine Kegeltiäche und versinnliche dir darauf einige Gerade und gieb von diesen etwas besonders Bemerkenswertes an. Lässt sich auf der Kegelfläche nach jeder beliebigen Richtung eine Gerade ziehen? Ich denke an jenen Punkt, von wo aus die ganze Kegelfläche mit Geraden völlig bedeckt werden kann, zeige ihn und sage, ob bei der Cylinderfläche ein ähnlicher Punkt vorkommt. — Wenn wir uns aber doch einen solchen Punkt an der Cylinderfläche vorstellen wollten, wo wäre der zu denken? Welche Merkmale haben die eben erwähnten Flächen gemein und wodurch unterscheiden sie sich wesentlich ? Donke an die Kugel und sage, ob es möglich sei, auf dieser Fläche auch nur eine Gerade zu ziehen?*) Merke: Die ebene Fläche oder kurzweg die Ebene zeichnet sich vor allen anderen Flächen durch die besondere Eigenschaft aus, dass in derselben nach allen Richtungen Gerade möglich sind. Wir wollen künftighin die Ebene unbegrenzt denken und auch die Geraden, welche in derselben gezogen werden können, uns als unbegrenzt vorstellen, wenn sonst keine Beschränkung ausgesprochen wird. Die unbegrenzte Gerade wird auch „Strahl“ genannt, vielleicht deswegen, weil der Lichstrahl, wenn er in demselben Medium sich fortpflanzt, die Gerade besonders schön versinnlicht. In der Zeichnungsebene werde ein Strahl p und ein Punkt a angenommen. Ziehe durch a eine Gerade q, welche p schneidet und bezeichne den Schnittpunkt mit b. Wenn b auf p in demselben Sinne weiter rückt, was lässt sich über den von p und q eingeschlossenen Winkel sagen ? Und wenn dieser Winkel schliesslich zu Null geworden ist, wo liegt dann b und welche besondere Lage hat q angenommen? Von parallelen Geraden können wir uns also vorstellen, dass sie sich schneiden, nur liegt dieser uneigentliche Schnittpunkt in unendlicher Ferne. Wenn wir uns mit dieser Anschauung, w'elche übrigens mit der, dass *) Auf diese Frage erhielt icli einmal von einem guten Schüler eine bejahende Antwort. Aufmerksam gemacht, die Kugel und die Gerade sich richtig vorzustellen, bleibt der Junge zu meinem nicht geringen Erstaunen doch hei seiner Ansicht. Dann könnten wir auf der halbkugelfönnigeu Kuppel, welche den eisernen Ofen dort abschliesst, auch eine Gerade ziehen ? Auf die zustimmende Antwort heisse ich den Schüler die Kreide zu nehmen und die Gerade wirklich auf dieser sphärischen Umdrehungsfläche zu ziehen, was er auch bereitwilligst thut. Mit grösser Sorgfalt machte er einen Meridian dieser Fläche ersichtlich, trat einige Schritte zurück, brachte sein beobachtendes Auge in die Ebene dieses Meridians und blinselte ihn mit höchst zufriedener Miene an. Natürlich musste ihm diese Curve als Gerade erscheinen, Ich führe diesen Fall an, weil er psychologisch sehr interessant ist. sich die Parallelen nie schneiden, in keinem Widerspruche steht, befreunden, dann können wir sagen: Jede Gerade einer Ebene schneidet jede andere Gerade derselben Ebene. Wenn wir diesen uneigentlichen Punkt ganz umgehen wollten, müsste es heissen: Jede Gerade einer Ebene schneidet jede andere Gerade derselben Ebene, oder ist zu derselben parallel. Wir wollen die einfachere Fassung dieses sehr wichtigen Satzes uns merken, nur dürfen wir nicht vergessen, dass auch der Fall mit inbegriffen ist, wo die Geraden parallel sind, sich also in unendlicher Ferne schneiden ; gehe so weit du willst, du kommst nie zn diesem Punkte und näherst dich demselben auch nicht. Daran wollen wir uns übrigens nicht stossen; das Unendliche ist dem Endlichen unerreichbar. Zeichne in der Zeichnungsfläche zwei sich schneidende Gerade p und q. Die Hypotenuse des dir zur Hand liegenden Dreieckes versinnliche ein Stück von einer unbegrenzten Geraden, die etwa r heissen mag. Der Strahl r bewegt sich so, dass er über p und q hingleitet, d. h. in jeder seiner Lagen p und q schneidet. Versinnliche diese Bewegung; was beschreibt oder was erzeugt die Gerade r? Bezeichnen wir p und q als Leitgerade und r als eine geradlinige Erzeugende ; kleide nun das eben erkannte Entstehungsgesetz in Worte. Wie viele Gerade sind durch zwei Punkte und wie viele Ebenen durch zwei sich schneidende Gerade möglich? Was bestimmen zwei Punkte und was zwei sich schneidende Gerade? Siehst du vielleicht im Schulzimmer zwei sich schneidende Gerade, durch welche eine Ebene gelegt erscheint ? Sieh’ unverwandten Auges zur Tafel und denke dir etwa von dem rechten Auge zu zwei diagonal gegenüberliegenden Ecken der Schul-tafel Gerade gezogen. Fahre mit der Spitze des Stiftes im Raume so nach, wie du dir diese Geraden denkst und halte alsdann die Ebene des Dreieckes so, wie du dir die durch diese zwei sich schneidenden Geraden bestimmte Ebene vorstellst. Zeichne in der Ebene der Zeichnungsfläche zwei parallele Gerade p und q. Ein Strahl r bewegt sich stetig weiter, so dass er in jedem Momente dieser Bewegung p und q schneidet.—Zu versinnlichen. Was erzeugt r? Kleide diese Entstehungsart der Ebene in Worte. Wie viel Ebenen sind durch zwei Parallele möglich ? Wir erkennen somit, dass zwei parallele Gerade eben hinreichen, aber auch vollkommen genügen zur Bestimmung einer Ebene. Denke nach, ob diese 2te Entstehung der Ebene nicht etwa als ein spezieller Fall aus der erste-ren hervorgeht. Nimm in der Zeichnungsfläche eine Gerade p und einen ausserhalb liegenden Punkt a an. Ein Strahl r bewegt sich so, dass er stets durch a geht und p beständig schneidet. — Zu versinnlichen. Beantworte auch ietzt der Reihe nach die früher gestellten Fragen. Durch eine Gerade und einen Punkt ist eine Ebene bestimmt; gilt dieser Satz allgemein? Wie gestaltet sich diese Erzeugungsart dann, wenn a in unendliche Ferne rückt? In der Zeichnungsfläche werden drei Punkte A, B, C, welche nicht in einer Geraden liegen, angenommen; Wie viele Ebenen sind hiedurch möglich und kann man diese Bestimmungsstücke auf die früheren zurückführgn? — Zwei sich schneidende Gerade p und q in der Zeichiiungsfläche gegeben; eine dritte Gerade r gleitet über p so hin, dass sie stets zu q parallel bleibt. — Zu versinnlichen. Was erzeugt r? Ist diese Entstehungsart nicht bereits früher angeregt worden? Gib im Zusammenhänge die Bestimmungsstücke einer Ebene an. Ich denke mir eine Gerade, welche mit einer Ebene zwei Punkte gemein hat; was lässt sich mit Bestimmtheit von dieser Geraden behaupten ? Wenn wir künftighin nachweisen wollten, dass eine Gerade in einer gegebenen Ebene liegt, oder wenn in einer Ebene eine Gerade anzunehmen ist, was wird da zu thun sein? — Der Stift versinnliche eine Gerade p, welche mit der Zeichnungs-fiäche nur einen Punkt a gemein hat. Von dieser Geraden sagen wir, sie schneide die Ebene und nennnen a den Schnittpunkt oder die Spur von p auf dieser Ebene. Ich denke mir eine Gerade p, welche zwei in der Zeichnungs-fläche liegende Gerade schneidet; was lässt sich von p sagen ? Kann oder muss dieser Strahl in der Zeichnungsebene liegen?—Der Stift versinnliche eine Gerade p , welche die Zeichiiungsfläche in einem Punkte a schneidet und merklich nach einer Seite hin geneigt ist; wie viele Gerade der Zeichnungsebene werden von p geschnitten? Zeichne einige derselben und betrachte die Winkel, welche diese Geraden mit p einschliessen; sie sind verschieden; siehst du ungefähr den kleinsten und den grössten derselben heraus? Suche jenen Strahl der Ebene, welcher auf p senkrecht steht, was dir mit Hilfe des rechtwinkligen Dreieckes, welches dir zur Hand liegt, am leichtesten gelingen dürfte. Weil die Winkel, welche p mit den durch a in der Zeichnungsebene gezogenen Strahlen einschliesst, ungleich sind, so wollen wir sagen; p sei zur Zeichnungsfläche geneigt oder schief. Kannst du nun diesen Satz allgemein aussprecheu? Wann ist eine Gerade schief oder geneigt zu einer Ebene? Ziehe in der Ebene der Zeichnungsfläche eine beliebige Gerade p und halte das Dreieck so, dass es eine durch p gelegte Ebene vorstelle; wie viele solcher Ebenen giebt es denn? Mache einige ersichtlich? Von diesen Ebenen wollen wir eine beliebige uns nochmals vorstellen und etwa mit U benennen. Ich denke mir 3 Punkte a, b und c; a liegt in der Zeichnungsebene, b in der Ebene U und c in beiden Ebenen gleichzeitig; versinnliche diese Punkte und sage, wie viele es von jeder Art giebt. Kannst du dir die Gesammtheit der Punkte vorstellen, welche sowohl in der Ebene U als auch in der Zeichnungsfläche liegen? Was ist der Schnitt zweier Ebenen? Wodurch ist eine Gerade vollkommen bestimmt? Sollten wir in Hinkunft den Schnitt zweier Ebenen zu construiren haben, was wird zur völligen Auflösung dieser Aufgabe vollkommen genügen? Sehr oft hat man den Schnitt zweier Ebenen zu suchen und man kennt vorweg einen Punkt, welcher in beiden Ebenen liegt; was ist noch weiter nötig, wenn der Schnitt dieser Ebenen bestimmt werden soll? — Ich denke mir drei Gerade in, n und p; m liegt in der Zeichnungsfläche, n in der Ebene U und p in beiden Ebenen; versinnliche dieselben und gib an, wie viele es von jeder Art, gicbt. Wenn von einer Geraden p erwiesen wird, dass sie gleichzeitig in zwei gegebenen Ebenen U und V liege, welche besondere Bedeutung kommt dieser Geraden zu? Versuche zwei Ebenen U, V und eine Gerade p, welche in keiner dieser Ebenen liegt, dir so vorzustellen, dass es auf p einen Punkt gibt, welcher in beiden Ebenen liegt; wo trifft p die Ebenen U und V? Die Ebene des Dreieckes stelle abermals eine Ebene U vor, welche die Zeichnungsfläche in einer Geraden p schneidet. In U eine beliebige Gerade q angenommen; wo schneidet diese die Zeichnungsfläche? Wenn man alle möglichen Geraden der Ebene U mit der Zeichnungsebene zum Schnitt bringt, wo liegen die Spuren dieser Geraden? Wo treffen beliebige Gerade der Zeichnungsfläche die Ebene U? Gegeben: zwei Ebenen U und V, und man bringt eine beliebige Gerade der Ebene U zum Schnitt mit der Ebene V, was erhält man dadurch? Merke: Ein Punkt des Schnittes zweier Ebenen wird gefunden, wenn man in einer Ebene eine beliebige Gerade annimmt und sie mit der anderen Ebene zum Schnitt bringt. Wie werden wir künftig den Schnitt zweier Ebenen suchen? Ziehe in der vorhin versinnlichten Ebene eine beliebige Gerade r, parallel zu der Schnittlinie p; wo trifft r den Schnitt dieser Ebenen ? Die Geraden p und r haben dieselbe Richtung. Ziehe in der Zeihnungsfläche einen Strahl p; der Stift versinnliche eine Gerade q, welche nicht in der Zeichnungsebene aber parallel zu p liegt; wie viele solcher Geraden sind denkbar? Zwei parallele Gerade bestimmen eine Ebene; versinnliche die Ebene der Strahlen p q. — Die Gerade q schneidet p im unendlich fernen Punkte; hat q mit p etwa noch einen anderen Punkt gemein? Könnte der Schnitt von q mit der Ebene U noch wo anderwärts als auf p liegen? Ist es möglich, dass q mit der Ebene der Zeichnungsfläche einen endlich liegenden Punkt gemein habe? Wir sagen demnach, q sei auch parallel zu der Zeichnungselene. Wenn wir nachweisen, dass eine Gerade parallel sei zu einer Geraden, welche in einer gegebenen Ebene liegt, was folgern wir daraus? Sprich diesen wichtigen Satz ganz allgemein aus. ■— Eine Gerade p schneide im Punkte a die Zeichnungs-flläche; kann man 111 der Zeichnungsfläche eine Gerade parallel zu p ziehen? — Der Stift versinnliche eine zur Zeichnungsfläche parallele Gerade p; ziehe in der Zeiclmungsfläche einen Strahl q parallel zu p; wieviele solcher Strahlen giebtes noch? Mache also noch die Strahlen r, s, t.,. ersichtlich, welche ebenfalls in der Zeichnungs-fläche liegen und zu p parallel sind. — Was ist durch die Strahlenpaare: pq, pr, ps, pt,... volkommen bestimmt? Versinnliche diese Ebenen und sage, wie die Schnittlinien derselben mit der Zeickuuugsfläche heissen, und was ist daran bemerkenswert? Durch die Gerade p, welche parallel zur Zeichnungsfläche geht, lege mehrere Ebenen U, V, W,... und denke sie mit der Zeichnungsfläche zum Schnitt gebracht, was kann man von diesen Schittlinien behaupten? Erkennst du hier einen neuen stereometrischen Lehrsatz? Sprich ihn ganz allgemein aus. — Versinnliche eine beliebige Gerade p, welche die Zeichnungsfläche in einem Punkte a schneidet; das Dreieck stelle eine beliebige durch p gelegte Ebene U vor, mache die Spur dieser Ebene in der Zeichnungsfläche ersichtlich. Lege durch p noch andere. Ebenen V, W. . und zeichne die Spuren derselben, was findest du ? Kann ein beliebig durch a in der Zeichnungs-fläche gezogener Strahl als die Spur einer durch p gelegten Ebene betrachtet werden ? Erblickst du nicht etwa in dem vorigen Lehrsatz einen ganz speziellen Fall von dem letzteren? Die Spitze des Stiftes versinnliche einen beliebigen Raumpunkt a, durch welchen eine Gerade p parallel zu der Zeiclmungsebene gezogen werden soll; wie viele solcher Geraden giebt es? Eine davon kannst du z. B. auf folgende Art erhalten: In der Zeichnungsfläche ziehe einen beliebigen Strahl p1; durch a und p’ ist eine Ebene bestimmt, versinnliche sie und ziehe darin einen Strahl p parallel zu p’. Was lässt sich von p behaupten? Warum muss p auch zu der Ebene der Zeichnungsfläche parallel sein? Ziehe durch a noch eine andere Gerade q ebenfalls parallel zur Zeich-nungsfläche; was ist durch die Geraden p und q bestimmt? Versinnliche diese Ebene, die etwa U heissen mag. Du weisst bereits, dass der Schnitt zweier Ebenen durch zwei Punkte bestimmt ist, welche wir erhalten, wenn zwei beliebige Gerade der einen Ebene mit der anderen zum Schnitt gebracht werden; bringe daher p und q zum Schnitte mit der Zeichuungsfiäche. Was ist durch diese zwei Punkte bestimmt? Wo liegen sie? Wo liegt sohin der Schnitt der Ebene U mit der Zeicliuungstiäche? Merke: von solchen Ebenen sagen wir, dass sie parallel seien. Sage nun: Was versteht man unter parallelen Ebenen ? Zieht man in einer zur Zeichnugsfläche parallelen Ebene eine beliebige Gerade r, was behauptest du davon? Beweise, dass r auch zur Zeichnungsebene parallel sein müsse. Was bildet die Gesamintheit der Geraden, welche durch einen beliebigen Punkt im Raume parallel zu einer gegebenen Ebene gezogen werden können? Durch einen Raumpunkt a eine Ebene U parallel zu der Zeichnuns-ebeue zu legen; diese Ebene bestimmst du am einfachsten durch zwei sich schneidende Gerade; sage: wie? Ich denke mir zwei E-benen U und V; von zweien in der Ebene U liegenden Geraden p und q ist bekannt, dass sie zu V parallel sind; entscheide: kann oder muss U zu V parallel sein? Du thust wohl, wenn du zwei fälle unterscheidest; welche? — In der Zeichnungsfläche werde ein Punkt a angenommen; von hieraus ziehen wir in derselben Ebene einen beliebigen Halbstrahl, d. h. eine nur nach einer Seite hin uubegreuzte Gerade p; wie viele Gerade kann man in a senkrecht auf p errichten?*) Nimm das rechtwinklige Dreieck zur Hand, lege den Scheitel des rechten Winkels auf a, lasse die eine Kathete mit p zusammenfallen und bewege die E-bene des Dreieckes so, dass die auf p liegende Kathete ihre Lage unverändert beibeliält; wie viele Positionen kann bei dieser Bewegung die andere Kathete, die wir q nennen wollen annehmen? Merke, dass sich der rechte Winkel des Dreieckes nach wie vor nicht geändert hat und du erkennst sofort, dass es unzählig viele Gerade giebt, welche in a senkrecht auf p möglich sind. Halte das rechtwinklige Dreieck in der vor besprochenen Art, so dass also eine Kathete desselben eine beliebige Gerade q versinnliche, welche in a senkrecht auf p steht. Nimm noch überdies das zweite deiner rechtwinkligen Dreiecke, halte es so, dass etwa die Hypotenuse desselben in der Zeichnungsfläche durch a senkrecht auf p stehe und die Ebene desselben, kurzweg U genannt, mit q Zusammenfalle. Halte diese Stellung der Ebene U fest, bewege das andere Dreieck wie vorhin und du bemerkst, dass bei dieser Bewegung der Strahl q stets in der Ebene u verbleibt; was erzeugt er also? — Die Ge-sammtheit der Geraden, welche in a senkrecht auf p stehen, bildet die Ebene U. Die Gerade p steht zu U in einer ganz besonderen Beziehung, a wird der Fusspunkt von p auf der Ebene U genannt; p steht senkrecht auf jeder Geraden, welche durch diesen Fusspunkt in der Ebene U gezogen wird, scldiesst mit allen diesen Fusspunktsgeraden gleiche Winkel ein und wir sagen daher,dass p normal oder senkrecht zu U sei. Was kannst du also von einer Geraden p, welche auf einer gegebenen Ebene U senkrecht steht, behaupten? Der Stift versinnliche eine Gerade p, welche auf der Zeichnungsfläche senkrecht steht. Könnte mittels eines rechten Winkels leicht untersucht werden, ob p auch wirklich auf der Zeichnungsebene senkrecht stehe? Prüfe und zeige den Fehler. Von einem beliebigen Punkte der Ebene U denke ich mir einem Strahl senkrecht auf p gezogen; wo schneiden sich diese Geraden ? Von beliebigen anderen Punkten der Ebene U werden Perpendikel auf p gefällt; was lässt sich über die Fusspunkte derselben sagen? — Nehmen wir in der Zeichnungsfläche einen Punkt a an und ziehen durch denselben in dieser Ebene zwei Halbstrahlen p und *) Diese Frage wird sehr selten von Schülern richtig beantwortet. Einige sagen, es sei nur Eine möglich und meinen zumeist die Gerade, welche in a scnkrecht auf die Zeichnungsebene errichtet werden kann; andere geben zwei an, indem sie auch noch die Gerade erkennen, welche in a senkrecht auf p steht und in der Zeichnungsfläche liegt. Es fällt mir aut, dass speziell diese Frage mit der Drehung eines Punktes um eine fixe Gerade in einem sehr innigen Zusammenhänge steht und dass die Klage: „Die Drehungsaufgaben bereiten dem Schüler ausserordentliche Schwierigkeiten“ eine gewisse Popularität erlangt hat. Der didaktische Verstoss von früher besteht also wirklich, aber er trifft nicht den Platz, an welchem die Drehung im Lehrbnche abgehandelt ^ird, sondern die Sache selbst. q beliebig, nur sollen sie nicht etwa Winkel von 180° einschliessen. Nimm das eine Dreieck, lege es mit dem Scheitel auf a, lasse eine Kathete desselben mit p zusannnenfallen, bewege es wie vorhin, so wird die andere Kathete r die Geraden versinnlichen, welche in a senkrecht auf p stehen, deren Gesammtheit bekanntlich die Ebene U ist, welche in a senkrecht auf p steht. Nimm das andere Dreieck zur Hand, lege es ebenso mit dem Scheitel des rechten Winkels auf a, lasse eine Kathete desselben mit q zusammenfallen , dann kann die andere Kathete s wie zuvor die Geraden versinnlichen, welche in a senkrecht auf q stehen, deren Gesammtheit die Ebene V ist, welche in a senkrecht auf q steht. Versinnliche gleichzeitig mehrere Lagen von den Geraden r und s? Es giebt eine ganz bestimmte Position, für welche r mit s zusam-menfällt, nennen wir dieselbe t; mache sie ersichtlich? Diese Gerade t liegt gleichzeitig in den Ebenen U und V; welche besondere Bedeutung kommt ihr also zu? Zwei Ebenen schneiden sich aber nur iu einer einzigen Geraden, kann es sohin noch eine andere Position für r und s geben, wo sie ebenfalls zusammenfallen? Es giebt nur eine Gerade, welche in a senkrecht auf p und q steht. Die Gerade welche in a senkrecht auf der Ebene der Zeichnungsfläche steht, ist aber auch senkrecht sowohl auf p als auch auf q, folglich ist sie mit t identisch, d. h. steht eine Gerade senkrecht auf zweien Geraden, welche durch ihren Fusspunkt in der Ebene gezogen werden, so steht sie auch senkrecht auf dieser Ebene, und ist dies der Fall, so steht sie auch senkrecht auf jeder dritten dieser Fusspunkts-geraden. Versinnliche eine Gerade p, welche auf der Zeichnungsfläche senkrecht steht, und eine zu p parallele Gerade q; es ist zu beweisen, dass auch q auf der Zeichnungsfläche senkrecht stehen müsse, p und q sind parallele Gerade, versinnliche die Ebene U derselben. Die Punkte, wo p und q die Zeichnungsebene schneiden, bezeichne mit a und b und mache die Spur r von U auf der Zeichnungsebene ersichtlich. In der Ebene U merke auf die zwei parallelen Geraden, welche von einer dritten geschnitten weiden; zeige die Schneidende und nenne die Geschnittenen. — Die Winkel (p r) und (q r) sin^/Neben* winkel,was folgt daraus? Da der Winkel (p r) ein Rechter ist, so muss daher (q r) auch ein Rechter sein. Ziehe nun in der Zeichnungsebene zwei beliebige parallele Gerade s und t durch die Punkte a und b. Wie gross ist der Winkel (p s)? Warum ist er ein Rechter? Vergleiche die Schenkel des Winkels (p s) mit jenen des Winkels (q t), was findest du? Welche Eigenschaft haben Parallelwinkel? Folglich ist auch der Winkel (q t) ein Rechter, q steht also senkrecht auf den zwei Fusspunktsgeraden r und t, was folgt daraus? Und was war zu beweisen? — Versuche folgenden Satz selbständig zu beweisen: Stehen zwei Gerade senkrecht auf derselben E- beue, so sind sie parallel. Gegeben: eine Gerade p; ln einem Punkte a dieser Gera- den eine Ebene U senkrecht auf p zu legen. Wir ziehen durch a zwei beliebiege Gerade q und r senkrecht auf p; was bestimmen dieselben? Warum ist p auf dieser Ebene senkrecht? Die folgende Aufgabe löse selbständig und versinnliche alles. Gegeben: eine Gerade p und ein ausserhalb liegender Punk a; durch a eine Ebene U senkrecht auf p zu legen. Ziehe in der Zeichnungsfläche einen beliebigen Strahl p und trachte dir jene Geraden vorzustellen, welche in allen möglichen Punkten von p senkrecht auf die Zeichnungsfläche errichtet worden können. Wass lässt sich über ihre Richtung sagen? Was bildet die Gesaimntheit derselben? Ist dieses Erzeugungsgesetz einer E-bene früher vorgekommen? Wiederhole cs? wersinnliche diese E-bene, welche U heissen soll, und zeige den Schnitt von U mit der Zeichnungsebene. Von dieser Ebene U sagen wir, dass sie auf der Zeichnungsebene senkrecht stehe. Fälle von einem beliebigen Punkte der Ebene U eine Gerade q senkrecht auf ihre Schnittlinie p, so steht q auch senkrecht auf der Zeichnungsflächc. Zieht man von einem beliebigen Punkte der Ebene U eine Gerade r senkrecht auf die Zeichnungsfläche, so liegt sie in U und ihr Fusspunkt muss auf p liegen. Diese Grundeigenschaften der Ebene U gehen aus ihrem Entstehungsgesetze unmittelbar hervor; überzeuge dich hievon und versinnliche alles. — Sage nun allgemein: Wann stehen zwei Ebenen senkrecht auf einander und welche besonderu Eigenschaften kommen solchen Ebenen zu? Versinnliche eine Gerade p, welche auf der Zeichnungsflä-che senkrecht steht; dus Dreieck versinnliche eine durch p gelegte Ebene U, deren Schnitt mit der Zeiclmungsfläche du ersichtlich machen und mit q bezeichnen kannst. Merke: p steht senkrecht auf der Zeichnungsebene und auf der Schnittlinie q, warum? Ziehe von einem beliebigen Punkte der Ebene U eine Gerade r parallel zu p und beantworte nun folgende Fragen: Wo muss die Gerader liegen? Wo trifft sie die Schnittlinie q? Wie steht r zuq und wie zu der Ebene der Zeichnungsfläche? Wenn du von beliebigen anderen Punkten der Ebene U Parallele zu p ziehst, was lässt sich auch von diesen behaupten? Erkennst du nun,welche besondere Stellung die Ebene U zu der Zeichnungsebene hat? Denke dir noch beliebige andere Ebenen durch p gelegt und überzeuge dich, ob auch hier die eben erkannten Merkmale zutreffen? Sprechen wir diesen Lehrsatz allgemein aus: Steht eine Gerade senkrecht auf einer Ebene, so steht auch jede durch diese Gerade gelegte Ebene ebenfalls senkrecht auf derselben Ebene. Gegeben: eine Gerade p und eine Ebene U; durch p eine Ebene V senkrecht auf U zu legen. Nimm auf p einen beliebigen Punkt a an und ziehe durch denselben einen Strahl r ^senkrecht auf U; was ist durch die Geraden p und q bestimmt? Beweise, dass diese Ebene senkrecht auf U steht.— Wie viele Ebenen kann man durch eine Gerade senkrecht auf eine Ebene legen? Wann eine und wann unendlich viele. Deine rechtwinkligen Dreiecke mögen nun zwei Ebenen U und V vorstellen, welche nicht parallel sind und auf der Zeich-nimgsfläche senkrecht stehen; versinnliche sie, ziehe ihre Spuren p und q in der Zeichnungsfläche, notire deren Schnittpunkt a und errichte in demselben eine Gerade r senkrecht auf die Zeichnungsebene. Halte den Begriff von aufeinander senkrechten Ebenen fest und sage: Wo musš r liegen ? Wenn r sowohl in der Ebene U als auch in V liegt, welche Bedeutung hat r? Du siehst nun ein, wenn U und V senkrecht auf der Zeichnungsebene stehen, so muss auch r, der Schnitt dieser Ebenen, ebenfalls auf der Zeichnungsfläche senkrecht stehen. Merke dir diesen Lehrsatz ganz besonders, wir werden uns sehr oft darauf berufen und sprich ihn nochmals, aber ganz allgemein aus.----------- Ich breche dieses erbauliche Zwiegespräch hier ab. Der enge Rahmen eines Programmartikels lässt eine umfassende Behandlung dieser Elemente nicht zu, und das war auch nicht beabsichtigt. Ich wollte blos zeigen, dass die stereometrischen Lehrsätze rein anschaulich im Sinne der darstellenden Geometrie und grundlegend für den ersten Unterricht in diesem Gegenstände so behandelt werden können, dass der Schüler in erster Reihe die nötige Einsicht in die Beziehungen der Geraden und der Ebenen unter einander bekomme; denn diese Erkenntnis muss notwendig einem descriptiven Unterrichte, der auf guter Basis weiter bauend, auch einen guten Erfolg in Aussicht nehmen will, voran gehen und kann lediglich nur durch die Stereometrie, aber keineswegs durch die darstellende Geometrie vermittelt werden. Giebt man andererseits zu, dass unseren Schülern der vierten Glasse diese stereometrische Einsicht mangelt, und dass auch unsere für den ersten Unterricht in der darstellenden Geometrie bestimmten Lehrbücher etwa im Interesse strenger Wissenschaftlichkeit darauf keine Rücksicht nehmen, sondern ganz vornehm einen stereometrisch vorgebildeten Schüler schlechterdings voraussetzen: dann wird es wohl gar nicht schwer fallen, den Cardinalfehler in dem descriptiven Unterrichte an unseren Realschulen zu erkennen. Die Betrachtung der stereometrischen Wahrheiten führte ich auch absichtlich bis zu jenem Satze, der zum gründlichen Verständnis des ersten Fundamentalsatzes der darstellenden Geometrie unbedingt nötig ist. Von hier an könnte erst die Erklärung des orthoganalen l’rojectionsverfahrens beginnen, wenn man etwa geltend machen wollte, dass die einschlägigen stereometrischen Lehrsätze gelegentlich mit aller Umsicht und Gründlichkeit genommen werden können. Die katechisirende Behandlungsweise mag vielleicht vom Standpunkte der sonst üblichen Lehrmethoden eigenthümlich erscheinen, aber ich höbe ihre guten Folgen schon vielfach erfahren. Der Schüler muss dabei Acht geben und beständig denken, sonst wird er gleich ertappt. Er findet nichts, er versteht nichts, er kann sich nichts versinnlichen; das sieht der Lehrer augenblicklich und kann rechtzeitig und in rechter Weise nachhelfen. Denn für einen guten Unterrichtserfolg aus der darstellenden Geometrie ist es unerlässlich, dass der Lehrer die ungetheilte Aufmerksamkeit aller Schüler in jedem Momente der Unterrichtsstunde wirklich für sich habe und stets wahrnehme, ob sein Vortrag auch in Allem und Jedem verstanden und richtig erfasst wurde. Wenn der Schüler die meisten der gestellten Fragen von selbst beantwortet, so bekommt er nicht nur Mut und Selbstvertrauen, sondern auch Lust und Liebe für den Gegenstand, dessen Elemente doch eine so ausserordentlich leichtfassliche und anschauliche Behandlungsweise gestatten, dass man auch den weniger befähigten Schüler getrost mitnehmen kann. Sobald er anfängt dem lebendigen Worte unzugänglich zu werden, so begreife er zuerst mit den Fingern und dem physischen Auge und schliesslich ganz bedächtig mit dem Verstand. Diese Umsicht ist um so gebotener, weil ein solcher Schüler, welcher die Elemente nicht gründlich erfasst, in allen folgenden drei Jahrgängen für den descriptiven Unterricht verloren ist, und hat er den guten Willen weiter zu kommen, so trachtet er das Zuwenig in der mündlichen Leistung selbst gegen den Willen des Lehrers mühsam durch Fleiss im Zeichnen zu ersetzen. Mit bewunderungswürdiger Ausdauer wird ausgezogen und schraffirt, strichlirt und punktirt, beschrieben und dekorirt, beschnitten und radirt, und was ist das Ende vom Lied: Er, der aus der darstellenden Geometrie doch nichts erlernt und aus den anderen Gegenständen auch nahe daran war umzukippen, kehrt Bewaffneten Auges an den heimatlichen llerd und an seinen Wangen könnte man schier den Schnitt zweier Ebenen demonstriren. Die vorhin skizzirte stereometrische Excursion ist am besten geeignet, das Vorstellungsvermögen des Schülers zu wecken, ihn auf dem natürlichsten Wege in die neue Wissenschaft anstandslos einzuführen und mit der Rede-, Denk- und Schlussweise dieser Disciplin nach und nach vertraut zu machen. Ganz unvermerkt gelangt man auf den Boden der darstellenden Geometrie, und man lasse auch hier die Klarheit und Anschaulichkeit des Vortrages in den Vordergrund treten. Eine gute Lehrmethode muss den Schüler nach und nach von der Scholle loslösen, sein räumliches Sehen bilden und eine gewisse Beweglichkeit seines Vorstellungsvermögens erziehen. Der Schüler muss alsbald dahin gebracht werden, dass er sich alle in einer vorgelegten Aufgabe auftretenden Elementargebilde richtig vorstelle, ohne sie auch zuvor greifbar versinnlichen zu müssen. Will der Lehrer prüfen, ob die Auffassung des Schülers richtig sei, oder will er seiner Vorstellung durch ein Anschauungsmittel beispringen, so liefern der Bleistift, die Kante des Lineals, der Zirkel, die Schultafel, die Theke, die zwei rechtwinkligen Dreiecke, die Ebene des Tisches, die Wand- und Fussbodenfläche Materiale genug, aus dem unter der Hand des Schülers ein Modell elienso entsteht, wie die ideelle Auflösung durch logische Schlüsse zum Resultate gelangt. Soll das Modell einen Wert haben, so muss es der Schüler selbst erfinden. Die Fälle, wo ein fertiges Modell den descriptiven Unterricht beleben soll, sind äusserst dünn gesäet, z. B. Suche eine Gerade, welche drei sich kreuzende Gerade schneidet. Ist diese Aufgabe eindeutig? Suche noch andere Gerade, welche der gestellten Bedingung genügen. Die Gesammtheit der Strahlen, welche die gegebenen Leitlinien schneiden, bildet eine Fläche, welche du dir kaum richtig vorstellen wirst; an diesem Modelle erkenne einen Theil derselben. In allen einfachen und durchsichtigen Aufgaben ist das Mitbringen und Vorzeigen fertiger Modelle ganz entschieden zu verwerfen, weil sie die Schüler nur zerstreuen, die Denkfaulheit unterstützen und eine unzeitige Schaulust wecken, welche mit dem Geiste der darstellenden Geometrie im crassen Widerspruche steht. Die schön angestrichenen Modelle, welche sich nachgerade immer breiter in den descriptiven Unterrichtsstunden machen wollen, sind im günstigsten Falle pädagogische Liebesgaben, in herzlicher Wohlmeinung für die begangenen didaktischen Verstösse reuevoll verabreicht. Auf der ersten Stufe kann der Unterricht in der darstellenden Geometrie nur sehr langsam fortschreiten. Ein längeres Verweilen bei den ersten Aufgaben und eine vollkommen durchgreifende Behandlung derselben ist hier mehr als in jedem anderen Unterrichtsfache geboten. Damit die Aufmerksamkeit und die Selbst-thätigkeit des Schülers stets rege erhalten werde, muss eine prinzipiell wichtige Aufgabe mehrmals, aber stets in einem neuen Gewände vorgeführt werden. Ein Beispiel: der Punkt im Raume. Die orthogonale Projection des Raumpunktes auf einer Bildebene. Das orthogonale Bild und die Ordinate eines Punktes der Grösse und Lage nach gegeben, den Punkt im Raume zu versinnlichen. Die Projection des Punktes auf zwei zugeordneten Bildebenen. Die zugeordneten Bilder eines Punktes gegeben; man versinnliche den Raumpunkt über jeder Bildebene. In beliebigen Ordinalen Bilder von Raumpunkten zu suchen, welche gegebenen Ordinaten entsprechen. Die Projection des Punktes auf drei Bildebenen, wovon die dritte auf den ersteren senkrecht steht. Aus zwei Bildern das dritte zu suchen und den Raumpunkt über jeder Bildebene zu versinnlichen. Aus drei Ordinaten die Bilder zu suchen. Die Bilder gegeben, die Ordinaten der Grösse und Lage nach auszuwerten. Die Projection des Punktes auf drei Bildebenen, wovon die dritte zu einer der ersteren parallel ist und abermalige Erledigung der früheren Fragen. Eben so ist die Projection des Punktes auf drei Bildebenen zu behandeln, wenn die dritte nur auf einer der ersteren senkrecht steht. Geht man bei diesem Exercitium stets von den Gesetzen des physischen Sehens aus, dann war die Arbeit für Schüler und Lehrer gleich leicht und angenehm und, was noch mehr heis- sen will: eine der wichtigsten Aufgaben der darstellenden Geometrie wird hiedurch gedeilich gelüst, so dass der Lehrer wohl alle Schüler für sich hat und beide können wohlgemut weiter gehen. Ein vortreffliches Lehrmittel für die methodische Behandlung dieser und auch der folgenden Aufgaben sind zwei Schreibtafeln aus Papier mache, welche halb durchschnitten und entsprechend ineinander gesteckt die rrojectionsebenen in der rechten Zuordnung und auch sofort die in der Zeichnungsfläche vereinigten Bildebenen vorstellen können und von jedem Schüler sammt dem zugehörigen Schreibstifte in die Lehrstunde mitzubringen sind. Bei Aufgaben, welche dem Schüler auf der ersten Stufe des Unterrichtes bedeutende Schwierigkeiten bereiten und doch gründlich erfasst werden müssen, damit der weitere Unterrichtserfolg nicht zweifelhaft werde, muss der Grundsatz vom Besonderen zum Allgemeinen streng durchgeführt und alle speziellen Fälle eingehend so betrachtet werden, dass die Schüler unter der Hand des Lehrers die nötige Einsicht und Übung erlangen. Nehmen wir eine der meist beanständeten Aufgaben, die Axendrehung, und versuchen, einen Entwurf für deren methodische Behandlung zu skizziren : Die Drehungsaxe betrachten wir der Reihe nach in folgenden Lagen: 1. In der ersten und senkrecht auf der zweiten Bildebene. 2. In der zweiten und senkrecht auf der ersten Bildebene. 3. Parallel zur ersten und senkrecht auf der zweiten Bildebene. 4. Parallel zur zweiten und senkrecht auf der ersten. 5. In der ersten und geneigt zur zweiten. 6. In der zweiten und geneigt zur ersten. 7. Parallel zur ersten und geneigt zur zweiten. 8. Parallel zur zweiten und geneigt zur ersten. !). In der Bildaxe. 10. Im Raume und parallel zu beiden Bildebenen. 11. Geneigt zu beiden Bildebenen. Für jeden dieser Fälle ergeben sich folgende Aufgaben : A.) Einen Punkt der Bildebene um einen gegebenen Winkel im bestimmten Sinne zu drehen. B.) Dieselbe Aufgabe an einem beliebigen Punkte im Raume aus-geführt. C.) Einen Raumpunkt, wenn möglich, in die Bildebene zu drehen. D.) Ein Raumpunkt dreht sich um die gegebene Axe; es sind einige seiner Positionen, etwa von 30 zu 30 Graden ersichtlich zu machen. Dieselben Aufgaben auszuführen für eine Strecke, und da wollen wir wieder folgende Fälle unterscheiden: a.) Die Strecke sei senkrecht auf der Drehungsaxe. ß.) Parallel zu derselben. y.) Geneigt zur Axe und ein Endpunkt liege auf der Drehungsaxe. d.) Geneigt und ln derselben Ebene mit der Axe; keiner der End. punkte liege auf letzterer. £.) Die Strecke gehe an der Axe im Raume vorüber. Schliesslich kommen die Axendrehungen von ebenen und beliebigen Polygonen. Der Einsicht des Lehrers bleibt es überlassen, diese Aufgaben in 4 Gruppen entsprechend einzutheilen: 1. Aufgaben, welche Gegenstand des Vortrages sind. 2. Aufgaben, an welchen der Schüler den Vortrag ausarbeitet und allenfalls in eine Ilauslheke nur mit dem Bleistifte skizzirt. 3. Aufgaben, welche unter der Leitung des Lehrers im Zeichnungs • saale construirt werden, und endlich 4. Aufgaben, welche blos examinando vorgenommen werden. Die Behandlung complicirter Aufgaben, wo der Schüler Gefahr lauft, sich in dem Wust von Constructionslinien sehr leicht zu verirren, muss für den Massenunterricht methodisch völlig durchgebildet sein, ich möchte sagen bis an die Grenze der Pedanterie. Alle Schüler müssen geometrisch ähnliche Annahmen haben, was durch Goordinaten leicht erreichbar ist; der Anfang der Arbeit sowie. der Weg auf dem die Auflösung vorbereitet und das Resultat erreicht werden soll, muss im vorhinein gesichtet werden, auf alle Hindernisse oder etwaige Schwierigkeiten, welche sich im weiteren Verlaufe der Construction entgegen stellen, muss der Schüler gefasst und bereits auch so vorbereitet sein, dass er gegebenen Falles darüber mühelos hinweg kommt. Ein kleines Beispiel: Die Durchdringungen ebenilächiger Körper bieten den Schülern bedeutende Schwierigkeiten, was wohl sehr begreiflich ist, wenn diese Partie eine so lakonische Behandlung erfährt, wie sie in unseren Lehrbüchern leider zu finden ist. Rüstet man den Schüler nur mit der ideellen Auflösung aus, giebt ihm noch überdies den Schnitt einer Geraden mit einer Ebene, oder den Schnitt zweier Ebenen auf den Weg mit der Weisung, die Eckpunkte des Durchdringungs-polygons zu finden und sodann ordnungsgemäss zu verbinden, so ist iiiemit diese Aufgabt nichts weniger als schulgerecht behandelt worden. Man denke sich einen mittelbefähigten Schüler, der im Zeichnen genug ungeschickt ist, und der sich im Verlaufe der Lehrstunde einen ausgiebigen Gebrauch des Radiergummi nicht versagen kann — solcher Jungen wird es hoffentlich an jeder Anstalt mehr oder weniger geben —; lässt sich erwarten, dass ihm das ordnungsgemässe Verbinden der gefundenen Punkte, was doch unter Umständen das schwierigste an der ganzen Aufgabe ist, gelingen werde? Wird er nicht viel lieber eine neue Zeichnung beginnen, als in dem Wirrsal der bereits vorliegenden Construction einen vermutlichen Fehler suchenV Das Gesammtresultat wäre ein viel günstigeres, wenn in das ganze Verfahren eine stramme Ordnung eingeführt worden wäre. Einen sehr guten Dienst für die methodische Behandlung dieser Aufgabe leistet die Tabelle, welche Professor Schlesinger in seinem Lehrbuche der darstellenden Geometrie vorschlägt. F^in beliebiger Eckpunkt des Durchdringungs-polygons wird zum Ausgangspunkte der Arbeit ernannt, mit I bezeichnet und in die Tabelle auch so übersichtlich eingetragen, dass sofort ersichtlich wird, auf welcher Kante und in welcher Fläche der nächste Eckpunkt, der mit 1 zu verbinden kommt, liege. Er wird mit 2 bezeichnet und abermals schematisch eingetragen. Die Punkte 1 und 2 sind gleich zu verbinden und zu entscheiden ob ” sichtbar oder gedeckt sei. Die Kanten, auf welchen die Punkte 1 und 2 liegen, werden auch unmittelbar ordentlich ausgeftihrt, indem ersichtlich gemacht wird, ob sie sichtbar bis zu den Schnittpunkten oder blos sichtbar bis zur Gontour des zweiten Körpers oder vielleicht ganz gedeckt sind. Nachdem dies alles geschehen, lehrt ein Blick auf die Tabelle oder auch ein einfaches Vorstellen des gegebenen Falles, auf welcher Kante und in welcher Fläche der nächste Punkt 3 liege, der nun ebenso zu behandeln ist wie die früheren Punkte. So tritt allmählig die fertige Arbeit wie ein goldener Kern hervor, jedes müssige Versuchen ist beseitigt, alle Schüler arbeiten in demselben Sinne, vollenden ohne Schwierigkeit die Aufgabe gleichzeitig und freuen sich des schönen Resultates. Schliesslich nur noch eine kleine Bemerkung, die Goncentration des descriptiven Unterrichtes betreffend. Grundsätzlich hat die Vortragsweise vom Besonderen zum Allgemeinen zu schreiten. Es giebt aber trotz alledem einige Partien, für welche die Unterrichtsmethode mehr zusammenfassend sein muss, wenn sie naturgemäss und gleichzeitig genetisch - heuristisch sein soll. Man erzielt beispielshalber durch die gesonderte Behandlung der Pyramiden, Prismen, Kegel und Cylinder, ihrer Darstellung und ihrer Beziehungen zu Geraden und Ebenen eine scheinbare Erleichterung auf Unkosten der wahren, die rechte Ein - und Uebersicht gewährenden Einfachheit, welche gewiss erreicht wird, wenn diese Gebilde mit einem Schlage unter dem Gattungsnamen der Strahlenflächen erledigt werden. Diese Auffassung ist wissenschaftlich gerechtfertigter, dem Geiste der darstellenden Geometrie zusagender und vom pädagogischen Standpunkte umso empfehlenswerter, weil sie bedeutend weniger Unterrichtszeit beansprucht, eine weit genauere Einsicht in das Wesen dieser Gebilde und ihren Zusammenhang unter einander gewährt und ihre Ergebnisse vom Schüler leichter erfasst und dauernd behalten werden, weil sie eben nicht so gesondert da stehen. Hat man sich mit den Strahlcnflächen nur einigermassen befreundet, so kann der Vortrag klar und einfach sein; denn diese Auffassung ist der Sache vollkommen entsprechend und man wird nicht so leicht um ein Wort verlegen sein, welches den entsprechenden Begriff vollkommen deckt. Im Lehrbuche lese ich z.B. an einer Stelle, wo der Verfasser recht deutlich sein will, von „einer pyramidalen Oberfläche der Pyramide“; diese und ähn- liehe Ausdrucksweisen muss man zum mindesten als gezwungen bezeichnen. Die Entstehung und Eintheilung der Strahlenflächen kann man recht gerne und dankbar aus der neueren Geometrie entgegen nehmen und jedes mtissige Geflunker mit Begriffen, welche dieser Wissenschait eigentümlich sind, strenge zurückweisen. Eine Methode, welche diese Begriffe mit herüber nimmt und davon schliesslich entweder gar keinen oder wenigstens keinen vernünftigen Gebrauch macht, der die Unterrichtszwecke gedeihlich fördert, ist weder Fleisch noch Fisch und taugt selbstverständlich nichts. Görz im Juli 1876. Clemens Barchanek. Schulnachrichten. 1. Personalstaiul (les Lehrkörpers u. Fiuhervertheilung. I)r. Egid Schreiber, Director, Mitglied dos Landcsscliulnites, l'ung. Landesschulinspector für die ital. Volksschulen, Director der Prüfungs-Commission für allg. Volks- u. Bürgerschulen, Co-mite-Mitglied des landwirtschaftlichen Lehrercurses. (Naturg. in I). Franz Erjavec, Professor, Custos des naturhist. Cabinetes, Ordinarius in VII (Naturg. m V-VII, Sloven. in III-V). Anton Sessich, Professor, Besitzer des gold. Verdienstkreuzes, Mitglied des Bezirksschulrates (Relig. in allen CI.). Simon Kos, Professor, (Mathein, in I, III, IV, Physik in VII). Alois Möstl, Professor, akadem. Historienmaler, Custos der Lehrmittelsammlung für Kalligraphie u. Freihandzeichnen (Freihand-zeiclin. in II-VII). Jacob Filippi, Professor (Italien, in allen CI.) Clemens Barchanek, Professor, Bezitzer des Anerkennungsdiploms der Wiener Weltausstellung vom J. 73, Custos des geom. Cabinetes, Ordinarius in V (Mathem. in V, geom. Zeichn. u. darstell. Geom. in IV-VII). Iacob Čebular, Professor, Custos des physik. Cabinetes, Ordinarius in II (Matliein. in II, VI, VII, Physik in IV, VI). Franz Plolil, Lehrer, Custos der Schülerbibliothek, Ordinarius in I a (Deutsch in I a, b, Kalligr. in I a, Sloven. in I, VI). Emmerich Müller, Lehrer, Custos der Lehrerbibliothek, Ordinarius in III (Deutsch in III, V-VII, Geogr. Gesch. in III). Johann Taurer von Gallenstein, Lehrer, Custos des ehem. Laboratoriums, Ordinarius in VI (Naturg. in II, Pysik in 111, Chemie in IV — VII). Arthur Cafasso, Lehrer, Custos des geograpli. Cabinetes, Ordinarius in IV (Deutsch in IV, Geogr. Gesch. in I a, IV — VII). Ernst Limlentlial, Supplent, Ordinarius in 1 b (Kalligr. in I In II, geom. Zeichn. iti I — III). Franz Vodopivce, Supplent (Geogr. Gesch. in 1 b. II, Deutsch u. Sloveiu in II). Lorenz Gay, Volksschullehrer (Franzos, in allen CI.). Michael Komel, Übungsschullehrer, leitete die Vorbereitungscl. A. Yinceiiz Dittrieh, Volksschullehrer, leitete die Vorbereitungscl. B. Alois Kn eschen, Turnlehrer, leitete den Turnunterricht. üieuerscha f t. Ficdrich Marzollo, Schuldiener Anton Vuspan. Schuldiener. 2. Lelirverfassnng. I. CLASSE. I. Religion, 2 St. Biblische Geschichte des alten Bundes. ‘2. Deutsche Sprache. 6 St.. Formenlehre auf Grundlage des nackten u. durch Wenobjekte erweiterten Satzes. Aussprache u. Rechtschreibung. Memoriren u. Reproduciren. Monatl. 2 Schul-? u. 4 Hausaufgaben. 3. Italienische Sprache. 4 St. Alfabeto italiano, pronuncia delle vocali e delle cousonaut.i, raddoppiameuto ed assimiliazione delle raedesime, divisione delle sillabe, uso delle lettere raajuacole, acconto tonico e grafico; dell’ interpunzione, delle parti del-1’ orazione in generale; il sootantivo, 1’articolo, 1’aggettivo, le vod nuinerali, il pronouie, noini nmuerali, comparazione degli aggettivi; conjugaziorie de’ verbi ausiliari e dei verbi deboli. Esercizii di leggere, d’ apprendi re a memoria, applicazione delle regole grammaticali ed ortogratiche con brani di prosa e pr.e-sie. -1 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 4. St. Izreka in pravopisje; pravilna in nepravilna sklanja imen; prosti stavek. Čitanje pesni in prozaičnih sestavkov. Vsak mesec po 6 pism. nalog. 4. Geographie. 3 St, Grundztige der mathem. u. physikal. Erdkunde, soweit dieselbe zum Verständnisse der Karte unentbehrlich sind u. in anschaulicher Weise erörtert werden können. Beschreibung der Erdoberfläche in ihrer natttrl. Beschaffenheit u. den allgem. Scheidungen nach Völkern u. Staaten auf Grund* läge steter Handhabung der Karte. 6. Arithmetik. 3 St. Dekadisches Zahlensystem. Die Grundrech- nungen mit unbenannten Zahlen ohne u. mit Decimalbriichen. Gruudzüge der Theilbarkeit, grösstes geraeinschaftl. Mass, kleinstes gemcinschaftl. Vielfaches. Gemeine Brüche, Verwandlung derselben in Decimalbrilche und umgekehrt. Rechnen mit benannten Zahlen. 7. Naturgeschichte. 3 St. Anschauungsunterricht in der Naturge- schichte. I. Sem. Wirbelthiere, II. Sem. Wirbellose. 8. Geometrisches Zeichnen. 6 St. Geom. Anschauungslehre, geom. Gebilde in der Ebene. (Linien, Winkel, Dreieck, Kreis, Ellipse). Combinationen dieser Figuren; das geom. Ornament; Elemente der Geometrie im Raume; Zeichnen nach Draht- u. Holzmodellen. 9. Kalligraphie. 1 St. Deutsche Current- u. engl. Schrift. II. CLASSE. 1. Religion. 2 St. Biblische Geschichte des neuen Bundes. 2. Deutsche Sprache. 5. St. Wiederholung u. Hingehendere Be- handlung der gesammten Formenlehre u. die gewöhnlichsten Erweiterungen des einfach. Satzes. Analyse prosaisch. Aufsätze und Memoriren von Gedichten aus dem Lesebuche. 4 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 4 St. Riassunto per sommi capi della grammatica della classe prima, quindi osservazioni sulle forme irregolari de’ verbi ausiliari e dei verbi deboli; verbi riflessivi, forti, anomali, difettivi, fonnazione del futuro; preposizioni, avverbi interposti. Esercizi a voce ed in iscritto coine nella prima. 4. Slovenische Sprache. 4 St. Glagol: sponna, brezsponna, ne- pravilna in nepopolna sprega; obraževanje zloženih časov in naklonov; terpevna doba; prislov; predlog; veznik; medmet; skladnja: o stavku ali reku sploh, prosti stavek. Čitanje in slovljenje pesni in proz. sestavkov iz Cvetnika za drugi zazred. Vsak mesec po 4 naloge. 5. Geographie-Geschichte. 4 St. Specielle Geographie Asiens und Africas; detaillirte Beschreibung der Terrainverhältnisse u. der Stromgebiete Europas an oftmalige Anschauung u. rationelle Besprechung der Schul- u. Wandkarten anknüpfend; Geographie des westl. u. sttdl. Europas. — Übersicht der Geschichte des Alterthums. 6. Arithmetik. 3 St. Das wichtigste aus der Mass- u. Gewichts- kuade, von dem Geld- u. Münzwesen, mit besonderer Berück- sichtigung des französ. Systems. Mass- Gewichts- u. Münzre-duction. Allegationsrechung. 7. Naturgeschichte. 3 St. Anschauungsunterricht in der Naturgeschichte I. Sem. Mineralogie, II. Sem. Botanik. s. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Hanimetrie; Übungen mit dem Zirkel u. Reisszeuge überhaupt ; Gebrauch der Reisschiene u. des Dreieckes. !). Freihandzeichnen. 4 St. Die in der Natur vorkommenden u. in der Ornamentik auftretenden Blatt- u. Blutenformen auf Grundlage ebener, geom. Gebilde stylistisch entwickelt. Ornamentmoti-ve iles Altertliums mit besoud. Rücksicht der classischen Style monochrom dargestellt. 10. Kalligraphie. 1 St. Deutsche Current-, englische u. französ. Rundschrift. 111. CLASSE. 1. Religion. 2. St. Katholische Religionslehre. 2. Deutsche Sprache. 4 St. Conjunctionen, Praepositiorien, Jnter- jectionen. Die Erweiterungen des einfachen Satzes. Der zusammengesetzte Satz im allgein. Das wesentlichste üb. Orthographie u. Interpunction. 4 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 3 St. Ripetizione delle forme irregolari dei verbi, indi forme regolari ed irregolari dei pronomi; deri-vazione delle parole, composizione delle medesime; sintassi della proposizione semplice e composta. Esercizii a memoria ed in iscritto. 3 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 3 St. Ponavljanje sklanje in sprege. Skladje: glasovna vikšava, izpeljava, sestava. Skladnja do sklonov s predlogi. — Citanje iz Cvetnika. Učenje na pamet. Vsak mesec po 3 naloge. 5. Französische Sprache. 2 St. Cursoriäche Wiederholung des Lehrstoffes der I. u. II. CI. u. Ergänzung der Formenlehre durch die selteneren, abweichenden Formen. Vollständige Syntax des Nom und Pronom. 4 schriftl. Arbeiten monatlich. G. Geographie -- Geschichte. 4 St. Deutschland, die Schweiz, Nord- u. Osteuropa. — Geschichte des Mittelalters mit speciel-ler Berücksichtigung der vaterländischen Verhältnisse. 7. Arithmetik. 3 St. Fortgesetzte Uebungen im Rechnen mit be-sond. Zahlen zur Wiederholung u. Erweiterung des bisherigen Lehrstoffes. Zinseszinsenrechnungen. Die 4 Rechnungsoperationen mit allgem, Zahlen. Quadrirung u. Cubirung des Binoms u. tlocad. Zahlen. Auöziehung der Quadrat - u. Cubikwurzel, 8. Physik. 4 St. Allgem. Eigenschaften der Körper; Wärmelehre. Statik und Dynamik fester, tropfbarer u. ausclehnsamer Körper. 9. Geometrisches Zeichnen. 3 St. Mass u. Messen der Strecken, Proportionalität der Streckenpaare; Ähnlichkeit der Dreiecke, ähnliche u. ähnlich liegende geom. Gebilde in der Ebene; Thei-|ung der Strecke im beliebigen, harmonischen, äussern u. mittleren Verhältnisse; Die Kreislehre. Anwendung der Planimetrie auf Beispiele aus der technisch. Praxis, jo.FreihandZeichen. 4 St. Populäre Erklärung des wichtigsten aus der Farbenlehre sammt Anwendung der Farbe an Orna-mentniotiven . (’heuiie. 3 St. Übersicht der wichtigsten Grundstoffe miri ihrer Verbindungen mit besonderer Berücksichtigung ihres natürlichen Vorkommens. 10. Geometrisches Zeichnen. :i St. Anwendung der talgein'. Grundoperationen zur Lösung planimetrischer und stereometrischer Aufgaben. Die perspectivische Ähnlichkeit. Theoretisch construct.ive Behandlung der Curvenlehre. Die stereometrischen Fundamentalsätze; der Punkt im Raume. 11. Freihandzeichnen. 4 St. Die Ornamentik der Renaissance nach Tafdzeichnungen u. plastischen Modellen; der menschl. Charakterkopf nach Tafelzeichnungen. — Die Grundlehren der perspectiv. Erscheinungen u. ihrer Anwendung zur Darstellung ebener u. räumlicher geom. Gebilde sowie Combinationen letzterer zu einfachen architektonischen Objecten in gerader Ansicht. y. CLASSE. 1. Religion. 1 St. Fundamentaldogmatik. 2. Deutsche Sprache. 3 St. Allgem. Stylistik, insbesondere der histor. Styl. Lehre von der Betonung und Metrik, voir den Figuren und Dichtungsarten mit den entsprechenden Proben aus dem Lesebuche. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 3 St. Storia della letteratura italiana del secolo XV. e XVI. con lettura e commenti filologici e sti-listici riei rispettivi autori. Dei diversi componimenti in prosa. 2 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 3 St. Nauk o podobah, prilikah in pesniških izdelkih ozirom na Cvetnik. Deklamatorične vaje. Ci-tanje prevodov iz staro- in novoklasičnega slovstva. Vsak mesec po 2 nalogi. 5. Französische Sprach«*. 2 St. Wiederholung u. Ergänzung des grammatischen Unterrichtes, Erweiterung der lexikalischen Kenntnisse. Sprech- u. Schreibübungen mit besond. Rücksicht auf die franz. Lectüre. Lesung von Musterstücken. 3 schriftl. Arbeiten monatlich. 6. Geschichte. 3 St. Pragmatische Geschichte des Alterthums mit steter Berücksichtigung der hiemit im Zusammenhange stehenden geograph. Daten. 7. Mathematik. G St. Gleichungen des 1. Grades mit mehreren Unbekannten, unbestimmte Gleichungen. Theorie der Zahlen, Brüche, Potenz- und Wurzelgrössen, laterale und complexe Zahlen. Verhältnisse und Proportionen. Gleichungen des 2. Grades mit 1 u. 2 Unbekannten. — Planimetrie, geom. Constructio-nen, Anwendungen der Algebra auf Geometrie. S. Darstellende Geometrie. 3 St. Der Punkt, und die Gerade im Raume; die Ebene. Beziehungen der Elementargebilde unter einander; die Axeudrehung. 9. Naturgeschichte. 3. St. Anatom, physiol. Grundbegriffe des Thierreiches mit besonderer Rücksicht, auf höhere Thier«; sy-stem. Zoologie mit genauerem Eingehen in die niederen Tliier-formen. 10. Chemie. 3 St. Gesetze der ehem. Verbindungen, Atome, Mole- cüle, Aequivalente, Wertigkeit der Atome, Typen, Bedeutung der ehem. Symbole und Formeln. Metalloide und leichte Metalle. 11. Freihandzeichnen. 4 St. Erklärung des menschl. Kopfes in Bezug auf Knochen- u. Muskellehre mit entsprechenden Übungen nach Tafelzeichnungen u. Reliefs. Das antik-classische Ornament in Anwendung auf Geräte dieses Styles. Perspectiv. Darstellung stereom. Gebilde in gerader Ansicht mit zur Bildebene parallelem Lichtstral beleuchtet. VI. CLASSE. ♦ 1. Religion. 1. St. Specielle Dogmatik. 2. Deutsche Sprache. 3 St. Abschluss der syntakt. Übungen ; Geschichte der deutsch. Literatur bis Klopstock. Lectüre: Iphigenie und Hermann und Dorothea von Güthe. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 3. Italienische Sprache. 3. St, Storia della letteratura italiana del secolo XVII. lettura coine nella V. Dei vari componi-menti in verso. 2 compiti al mese. 4. Slovenische Sprache. 3 St. Čitanje kakor v. V. razredu; preva- janje iz nemškega na slovensko. Staroslov. oblikoslovje; slovanske starožitnosti in pregled staroslov. slovstva. Po 2 nalogi na mesec. 5. Französische Sprache. 2 St. Fortsetzung der Sprech-u. Schreib- übungen, Lesung von Musterstücken prosaisch, u. poet. Form. 3. schriftl. Arbeiten monatlich. 6. Geschichte. 3 St. Geschichte des Mittelalters in gleicher Be- handlungsweise wie in V. 7. Mathematik. 5. St. Logarithmen; Gleichungen höheren Grades, die sich auf quadratische zurückführen lassen, Exponenzialglei-chungen, Reihen, Combinationslehre; das Binom. Ebene u. sphaer. Trigonometrie, Stereometrie. 8. Darstellende Geometrie. 3 St. Die körperliche Ecke, die Viel- flächner. Die Stralenflächner, ihre Eintheilung, Darstellung u. die ebenen Schnitte derselben. Die Umdrehungsflftchen. Berüh-rungsebenen an Straleu- n. Unulrehungsflächen. Durchdringungen ebenflächiger Körper. 9. Naturgeschichte. 2 St. Anatom, physiol. Grundbegriffe des Pflanzenreiches; systematische Botanik. 10. Physik. 4 St. Allgem. Eigenschaften der Körper; Wirkungen der Molekularkräfte, Mechanik, Akustik. 11. Chemie. 3 St. Schwere Metalle mit Berücksichtigung der wicli- tigten metallurg. Processe. Organische Chemie: Constitution der organ. Verbindungen. Homologe u. heterologe Reihen. Chemie der Alkohole u. deren Derivate. Kohlehydrate, Glukoside. 12. Freihandzeichnen. 4 St. Die Knochcn-u. Muskellehre der menschl. Figur mit entsprechenden Übungen nach Tafelzeichnungen u. Modellen. Die Ornamentik des Mitelalters. Perspectiv. Darstellnng stereom. Körper u. architekton. Grundformen mit zur Bildebene schrägem Lichtstral beleuchtet. VII. CLASSE. 1. Religion. 1 St. Moral. ¥ 2. Deutsche Sprache. 2 St. Geschichte der deutsch. Literatur bis incl. Schiller u. Göthe. Lectüre von Probestücken aus dem Lesebuch. 12 schriftl. Arbeiten jährlich. 3. Italienische Sprache. 2 St. Storia della letteratura del seco- lo XVIII; lettura e commento dei 4 primi canti del Paradiso di Dante. 1 compito al mese. 4. Französische Sprache. 2 St. Fortsetzung der Sprech u. Schreib- übungen, Ausdehnung der Lectüre auf hervorragendere Werke franz. Autoren. 2 schriftl. Arbeiten monatlich. 5. Geschichte. 3 St. Geschichte der Neuzeit mit besonderer Her- vorhebung der culturhistorischen Momente. C. Statistik. 3 St. Kurze Übersicht der Statistik Österreich-Un-garus mit eingehender Besprechung der Verfassungsverhältnisse. 7. Mathematik. 5 St. Combinationslehre, binom. Lehrsatz, unbe- stimmte Gleichungen des 1. Grades mit 2 u. 3 Unbekannten; Reihen höherer Ordnung, Kettenbrüche, Stereometrie, sphaeri-sche u. analyt. Trigometrie. 8. Darstellende Geometrie. 4 St. Wiederholung des vorherge- gangenen Lehrstoffes. Durchdringung der Stralenflächen. Bc- rührnngsebenen an Kegel- lind Umdrehungsflachen. Die Sehnt,-tenlelire. Elemente der l’erspective. !>. Naturgeschichte. 3. St. Kenntnis der wichtigsten Mineralien nach krystallographisclien, physikalischen n. chemischen Grundsätzen; Geognosie, Grundzüge der Geologie,- 10. Physik. 4 St. Electricitüt, Magnetismus, Wiirnie, Optik. 11. Chemie. 2 St. Proteinstoffe, Alkaloide, aroinat. Substanzen. Übersichtliche Wiederholung des gesainmten ehem. Lehrstoffes. 12. Freibandzeichnen. 3 St. Vorherrschende Übungen nach plastischen Modellen u. dnrehgeführten Vorlagen aus den verschiedenen Zweigen des freien Zeichnens als Wiederholung des gesainmten Lehrstoffes. Perspectiv. Darstellung nrchitekton. Objecte mit Schattengebung. 3, keferbücher. 1. Religion. Schuster Dr. G. Storia Sacra del vecchio e del nuovo testainento ad nso delle scuole elementari cattoliche. Vienna 1861 (I, II). — Zgodbe svetega pisina stare in nove zaveze za katoliške ljudske šole. Dunaji 1.863 (I, IIj. Schiavi Lor. Corso d'Istrnzione religiosa adnso delle classi gin-nasiali inferiori. 2. ed. Venezin, 1865 (III). Lesar Ant. Katekizem ali keršanski katoliški nauk. Ljubljani 1862 (III.) Wapplcr I)r. Ant: Cultus der kathol. Kirche zum Gebrauche an Untergymnasien u. Unter-Realsclmlen. 4. Auflage. Wien 1869 (IV.) — Kathol. Religionslehre für höhere Lehranstalten. 4. Aufl. Wien 1808 (V—VII). Cutechismo maggiore ad nso delle scuole elementari. Vienna 1856 (Vorb. CI.) 2. Deutsche Sprache. Heinrich Ant. Grammatik der Deutschen Sprache für Mittelschulen» 2. Aufl. Laibach 1874 (I, II, Vorb. 01.) Brandl Dr. J. Deutsche Grammatik, Klagenfurt 1870 (III.—IV.) Neumnim Alois u. Gehlen Otto, Deutsches Lesebuch für Gymnasien u. verwandte Anstalten. 5. Anti. Wien 1874. 1. B. (I.), 2. 13. (II.), 3. B. (III. IV.) Egger Alois, Deutsches Lehr- u. Lesebuch für höhere Lehranstalten. 4. Aufl. Wien 1875. 1. Th. (V,), 2. Tli. (VI, VII). Madiera K. A. Deutsches Lesebuch für die erste Klasse an Gymnasien u. Realschulen. 4. Aufl. Prag 1872 (Vorb. Gl.) 3. Italienische Sprache. Dematio Fort. Grammatica dclla lingua italiana ad uso delle scuo-le, Vienna 1874 (1—III). Libro (li lettura per le, classi dei ginnasio inferiore. Vienna, 1805 vol. 1. (I). vol. 2. (II). Ainlu'osoli Franc. Letture italiane proposte agli scolari della torza classe dei ginnasj. 2. ed. Vienna 1858 (lil). Sarrara Frnne. Antologia italiana proposta alle classi dei ginnasi liceali. Vienna 1853—59. vol. 1 (IV), 2. (V), 3, 4 ( VI), 5 (VII). 4. Slovenische Sprache. Janežič A. Slovenska slovnica za domačo in šolsko rabo. 3. Auflage. Klagenfurt, 18(U (I —IV). Cvetnik Berilo za slovensko mladino. Klagenfurt 18(35. 1. Thl. (I), 2. Th. (II), — Cvetnik slovenske slovesnosti. Berilo za više gimnazije in realke. Klagenfurt 18U8. (III—VII). Miklosich Fr. Slovensko berilo za osmi giinnazialni razred. Wien 1853 (V —Vil). 5. Französische Sprache. (iruner Fr. Schulgrammatik der franz. Sprache. Stuttgart, 1863 (III—VII). I bungsaufgaben über die Wort- & Satzfügung. Stuttgart 1863 (III—VII). (>runer u. Wildennjith Franz, Chrestomathie für Real- & Gelehrte- Schulen. Stuttgart 1S03,/IV*tY1{)^.v 0. Geographie, Seydlitz Ernst. Kleine Schulgeographie. 15. Aufl. Breslau 1874 (I). — Schulgeographie, grössere Ausgabe. 15. Aufl. Bres- lau 1874. (II—IV). Kozcnn B. Geographischer Schulatlas. Wien 1874. Stieler, Schulatlas der neuesten Erdkunde. Ausgabe für die ö-sterr. ung. Monarchie in 39 Karten. 53. Aufl. Gotha u. Wien 1873. 7. Geschichte. Gindely Ant. Lehrbuch der allgemeinen Geschichte für die unte- ren Klassen der Mittelschulen. 4. Aufl. Prag 1873. 1. B. (II) 2. B. (III) 3. B. (IV). Lehrbuch der allgemeinen Geschichte für die obe- ren Klassen der Real- und Handelsschulen. 2. Aufl. Prag 1870 (V—VII). Haiinak Eni. österreichische Vaterlandskunde für die höheren Klassen der Mittelschulen. 4. Aufl. Wien. 1874 (VII). 8. Mathematik. Villicus Fr., Vollständiges Lehr-und Übungsbuch der Arithmetik für Unterrealschul. Wien 1861—1864 (I—IV). Salomon Josef Dr. Lehrbuch der Elementar-Mathematik für 0-berrealschulen. I. Band. Die Elemente der Algebra. 4. Aufl. Wien 1874 (V—VII). Sonndorfer R. Lehrbuch der Geometrie für die oberen Klassen der Mittelschulen. 2. Aufl. Wien 1873 (V—VII). 9. Darstellende Geometrie. Močnik, Anfangsgründe der Geometrie in Verbindung mit dem Zeichnen für Unterrealschulen. 15. Aufl. Prag 1873 (I—III). Sncdar R. Grundzüge der darstellenden Geometrie. 4. Aufl. Brünn 1869 (IV— VII). 10. Naturgeschichte. Pokorny, lllustrirte.Naturgeschichtc des Tluerreiclies. 12. Auflage. ms l874 a3 M Mutter- sprache Lebensalter -S Ä c5 l d ►“a ►-3 GO 2cugnisclassen bti 1876 1875 94 62 3G 24 21 12 8 8 265 93 48 25 17 15 10 31 214 33 1 19 29 18 11 12 2 16 18 19|42|37|42i52 I 32 3 jrS O Schulgeld Ertrag O (Z3 C» O Cß C/2 Schulgeld- befreite ganz halb a O» o Q« m N fco cS O) PQ 33 3' C 2 3 2 l1 23 12 113 2il9|,f 47 51 36 21 25 14 ! I I 10 347-50 283-75 16,261 2 11(34 480 6 178 116 88 128 48 48 36,1437-50 332 154 112 76 104 56 00 421 19 14 15 11 1 1177 75 45,85 2615-25 1 1 I 771 “5 <0 C OJ X ci <33 -o 03 OJ _o 3 m 60-14 150.— 116 10 4 210-141140 66-40 35-20 22-40 18-40 13-60 11-20 8-00 175-20 Lehrmittelauf- wand.") a 03 c/3 C