ISSN 0351-6652 Letnik 24 (1996/1997) Številka 5 Strani 158-269, XVII Peter Legiša: FOTOGRAFIJA IN MATEMATIKA I - upodabljanje Ključne besede: fizika, optika, fotografija, leče, fotografski objektivi. Elektronska verzija: http://www.presek.si/24/1306-Legisa.pdf © 1997 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo lu £ a lu cl / od (ravnine) leče narišemo še eno ravnino, pravokotno na os. To bo naša predmetna, ravnina. V njej vzemimo manjši predmet kot na sliki 2. Kot verno, leča. napravi obrnjeno sliko predmeta v slikovni ravnini, ki je spet pravokotna na os. Razdaljo slikovne ravnine od (ravnine) leče označimo z b. Leča nam, kot vemo, napravi podobnostno transformacijo predmetne ravnine na slikovno ravnino. Koeficient podobnosti označimo z m in imenujemo povečava. Pri običajnem slikanju je m mnogo bliže 0 kot l, saj na filmu nastane pomanjšana slika stvarnosti. Slika 7. Na sliki 2 s podobnostjo trikotnikov vidimo, da je m ~ B : A = b : a m Tako je in od tod Ali se pravi ali B-.A = (b-f):f. 6 : a — (6 - /) : / bf ~ ab ~ af. (b + a)f = ab, b+a _ 1 7 1 I -1 a + b~ f d) Razdalji a in b sta konjugiran/ razdalji. Dioptrija Recipročna vrednost goriščne razdalje leče je Jomnost ali optična moč leče. Enota za lomnost je dioptrija,, ki ni nič drugega kot. m-1. Npr.: leča z goriščnico 20 cm ima 1 : 0,2 m = 5 dioptrij. Leča z goriščno razdaljo 5 cm ima 20 dioptrij. h h Slika 3. Ce tesno zložimo dve tanki leči, se sestav obnaša kot leča, katere moč je vsota moči obeli leč. To ni težko videti (slika 3). Žarke, ki izhajajo iz gorišča F prve leče, ta pretvori v snop vzporednih žarkov. Druga leča te žarke združi v svojem gorišču G. Po (1) je J_ 1 - 1 /i + h ~ 1 ' kjer sta /i,/2 gori srni razdalji obeh leč, / pa goriščna razdalja sestava. Npr.; če zložimo lečo z goriščno razdaljo 20 cm in lečo z goriščno razdaljo 5 cm, ima sestav 5+20 = 25 dioptrij. Goriščna razdalja sestava je torej 4 cm. Omenimo še, da imajo razpršilne leče (kakršne nosijo kratkovidni) negativno optično moč. Fotografski objektivi Pri slikanju s fotoaparatom naj bi nam leča fotoaparata napravila obrnjeno sliko predmeta na film. Vendar stvari niso tako preproste. Naša razglabljanja so veljala za tanko lečo. Kritično razpoloženi bralci bi lahko vprašali: kako tanko? Moj prvi fotoaparat danes že izumrle znamke Ferrania je dejansko imel eno samo majčkeno lečo. Ker je skoznjo v aparat prihajalo zelo malo svetlobe, je bil osvetlitveni čas precej dolg in so slike biie ponavadi "stresene". Tudi kadar se mi je posrečilo držati aparat pri miru, slike niso bile ostre. Vzrok je med drugim v tem, da steklo ne lomi svetlobe vseh barv enako. Modro barvo denimo lomi bolj kot rdečo. Pravimo, da. v leči (enako kot v stekleni prizmi) pride do disperzije (razklona) bele svetlobe. Nekatera stekla svetlobo razklonijo bolj, druga manj. Pri kristalnih kozarcih je velika disperzija celo zaželena, saj so mavrični razlomi lepi, V fotografiji, pri izdelavi očal, teleskopov itd. pa nam disperzija povzroča težave še danes. Slika 4. Lcca razprši belo svetlobo. Na sliki 4 imamo točkast, izvir 1 bele svetlobe. Ce se modri žarki iz J srečajo ravno na filmu, se rdeči žarki srečajo šele za filmom. Tako namesto bele točke na filmu dobimo mavrično pego - z modro sredino in rdečim robom. Tej napaki, ki pokvari ostrino tudi pri slikanju Črnobelih motivov, pravimo barvna napaka ali kmmatič-na aberad/a. (To ni edina, je pa najbolj opazna napaka enostavnih leč.) Vsak, ki nosi očala z debelejšimi stekli, pozna barvno napako, ki je opazna predvsem na robu vidnega polja. Zaradi te in drugih optičnih napak enostavnih leč močno kratkovidnim ali daljnovidnim ljudem tudi očala ne pričarajo povsem ostre slike. Cc pa ti "slabovidni" ljudje pogledajo skozi dober daljnogled, pogosto vidijo povsem ostro. Zakaj? Pred več kot 2-50 leti sta dva angleška optika neodvisno ugotovila, da je s kombinacijo leč iz različnih stekel mogoče barvno napako močno zmanjšati. Vzela sta konveksno lečo iz navadnega stekla in dodala šibkejšo konkavno lečo iz svinčevega stekla, ki svetlobo bolj razkloni kot navadno steklo. Sestav je imel pozitivno optično moč (slika 5). modra rdeča [a Slika 5. Akromat je sestavljen iz dveh različnih vrst stekel. Slika 6. Konkavna leča belo svetlobo razprši v drugo smer kot konveksna. Konveksna leča je belo svetlobo razklonila v eno smer, konkavna pa v drugo (slika G), S primerno kombinacijo oblik obeh leč sta se učinka obeh razklonov bolj ali manj uničila. Večkrat obe leči kar zlepijo skupaj. Takim kombinacijam leč rečemo airramati in so optično neprimerno boljši od enostavnih leč. Uporaba akromatov je omogočila izdelavo dobrih daljnogledov, mikroskopov itd. Danes imajo celo najcenejši fotoaparati namesto ene leče objektiv, sestavljen iz dveh ali več leč. To je eden od čudežev masovne proizvodnje in potrošnje. Dobri objektivi so sestavljeni iz najmanj štirih leč. Trud konstruktorjev je usmerjen k temu, da bi taki objektivi dajali kar sc da verno sliko stvarnosti. Pri mnogih objektivih lahko brez večjih problemov računamo, kot da imamo namesto objektiva eno samo tanko lečo, postavljeno v optičnem središču objektiva. In tog Vrnimo se torej k enačbi 1 1 _ 1 a + b ~ 7' Če gre a v oo, gre ak 0 in tako i>_1 k /_I. Lahko rečemo, da za a = = oo velja b = f: Slika neskončno oddaljenega predmeta nastane v goriščrii ravnini objektiva. Če je a < oo. je a 1 > 0 in tako 1 1 _ 1 1 J~a~T><7' se pravi b > f. Slike bližnjih predmetov so torej za več kot / oddaljene od optičnega središča objektiva. Če hočemo torej na filmu dobiti ostro sliko bližnjega predmeta, moramo povečati razdaljo med objektivom in filmom. Ponavadi se to zgodi t.ako, da se objektiv odmakne od filma. Odmik ali izteg označimo z x', kjer je b-f. Večina objekt ivov je vgrajena v nekakšno vijačnico. Če v pravo smer vrtimo obroč za ostrenje, se objektiv odmika od filma. (Danes navadno to namesto nas opravlja elektromotorček.) Označimo še x = a — f. Potem je = (a - f)(b-f) = ab-(a + b)f + f = f2 po (1). Zapomnimo si: xx = f~ . Na mnogih objektivih imamo lestvico razdalj. Ker bi bilo težko označiti optično središče objektiva, te razdalje pomenijo odda/j en «s t med predmetno ravnino in ravnino filma, se pravi d=a+ b. Primera: 1. Vzemimo objektiv z gori srno razdaljo 5 cm. Če je j: = 2,5 m, je , /2 25 cm2 jj = — = _-_-„--~ 1 mm. x 250 cm Izteg je majhen. Razdalja med predmetno ravnino in ravnino filma je d = x + x' + 2f~x + 2f = 2,6 cm. Povečava je m =1= •u' + f = 5'Lcm _ jL = o 02 a x + f 255 cm 50 Če je objekt dolg 1 dm, je njegova slika na filmu dolga 2 mm. 2. Če je / = 25 nun in x = 2,5 m, je i' = — 4 mm. Izteg je komaj opazen! Tuje d i x + 2/ — 255 cm iu x' + f 1 m — ——7 — 77-r = 0,01. x + f 100 Objekt, dolg I dm, ima 1 mm dolgo sliko na filmu. Posplošimo nauke gornjih zgledov. Vzemimo, daje x bistveno večji od /. Potem je x' zelo majhen. Razdalja med ravninama filma in predmeta je x + 2/ = x. Dolžina slike je B = mA = "-—tl-A = i A x + f x in izteg Pri (približno) enaki razdalji je dolžina sliko sorazmerna /. Izteg pa je sorazmeren p - Če npr. / podvojimo, se dolžina slike podvoji, izteg pa se pomnoži z 22 " 4. Povečave Vrnimo se k enačbi o-1 + b^1 = /-1. Upoštevajmo, daje b = ma, pa je 1 11 a + b ~ 7 in od tod Ker je b = x' + /, je ter a- (1+ m-1)/, 6 = (m + 1)/. x' = mf, x-m~1f (2) d= (2 + m + ro-1)/ . (3) Če je m = 1, se pravi slika enako velika kot original, je a = 6 = 2/ in d = 4/. Če je m — je a = 3/, b = |/ in d = /. Če je m = 2, je 0= §/,6 = 3/ in d= f/. V tem zadnjem primeru je leča bliže originalu kot sliki. Izteg znaša x' = 2/, Tako velik izteg ponavadi dosežemo tako, da med lečo in telo aparata vstavimo meh. Primeri; 3. Naj bo / — 5 cm in d = 45 cm. Koliko je m? Rešitev, Stvari se lotimo takole. Ker je, kot vemo iz prakse, izteg x' sorazmerno majhen, je d = x + 2/ in torej x = 35 cm. Iz enačbe xx' = / ugotovimo , P . 25 x = — = —cm = i mm. x .50 Če smo (preveč) natančni, postopek še enkrat ponovimo z upoštevanjem izračunane vrednosti za x'\ x = d~2f = 34,3cm in P 25 x'= — = —-on = 0,73cm (sliki 7 in 8). Po (2) je m =f= =0,15. -s —1 3 0 3 2 3 : 3 30 3 1 Slika 7. Objektiv, naravnan na do. Slika 8, Objektiv, naravnan na 0,45 ni. 4. Objektiv iz prejšnjega zgleda lahko naravnamo na razdalje d od 45 cm do oo. Med objektiv in telo aparata vstavimo vmesni obroček dolžine 25 mm (podoben tistemu na sliki 9). Kakšne so mogoče povečave in razdalje slikanja? Rešitev; Objektiv sam ima izteg od 0 do 7,3 mm. Z obročkom vred ima izteg od 25 mm do 32,3 mm. Iz enačbe (2) je m med || in se pravi od 0,5 do 0,65. Ustrezne razdalje slikanja izračunamo iz (3) in znašajo od 22,5 cm do 21 cm. 5. Na objektiv iz prejšnjega zgleda (brez vmesnega obročka) privijemo predlečo z 2 dioptrijama (slika 10). Kakšne so mogoče povečave in razdalje slikanja? SJika 9. Vmesni obroček. Slika 10. Predleča s +2 dioptrijama. Rešitev: Računamo, kot da bi tesno zložili dve tanki leči. Objektiv ima 20 dioptrij, predleča 2 dioptriji; sestav obeli torej 22 dioptrij ali goriščno razdaljo 45,5 mm. Goriščna razdalja sestava se je torej zmanjšala za 4,5 mm; za toliko vzamemo, da se je povečal izteg. Torej je novi izteg X' med 4,5 mm in 7,3 + 4,5 = 11,8 mm, in to pri novem F = 45,5 mm. Iz enačbe X' - M F dobimo, da je povečava, med 4,5 . 11,8 45,5 111 45,5' se pravi med 0,1 in 0,26. Drugače povedano, med 1 : 10 in (približno) 1 : 4. Ustrezne razdalje izračunamo po (3) in znašajo od 55 cm do 28 cm. Formule za predleče Če je bil objektiv naravnan na oo, preden smo privili predlečo, je zdaj razdalja med ravninama pred leče in predmeta enaka goriščni razdalji predle če. To vidimo takole (slika 11). Ce imamo točkast izvor svetlobe v gorišču prcdleče, nam predleča proti objektivu pošlje snop. vzporeden optični osi. Objektiv ta snop združi v svojem gorišču na filmu in tako napravi ostro sliko izvora. Slika 11. Torej: če smo privili predlečo z dvema dioptrijama, bo razdalja od predleče do ravnine predmeta 50 cm. Če smo privili predlečo z goriščno razdaljo 250 mm, bo razdalja od predleče do ravnine predmeta 25 cm. Pri starejših ljudeh leča v očesu izgubi prožnost in ne more toliko spreminjati goriščne razdalje kot v mladosti. Mnogi ostro vidijo oddaljene predmete, ne morejo pa brati. Kot pri fotoaparatu predleča v obliki očal pomaga zmanjšati goriščno razdaljo očesa. Z dvema dioptrijama bodo zgoraj omenjeni zanesljivo videli ostro na pol metra, z 2,5 dioptrijami pa na 40 cm. Izpeljimo sedaj Formule za majhen ob jektiv z dodatno predlečo (slika 12). Privzamemo, da se z dodatkom predleče optično središče ne premakne in torej b ostane isti. Objektiv s predlečo naj ima goriščno razdaljo /, predleča pa goriščnicog. Kot. prej privzamemo, daje optična moč sestava enaka 1 +