IZ RAZREDA 47 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Strategije štetja in računanja pri učencih z gibalno oviranostjo Anja Vidmar, dr. Janez Jerman 1 in Erna Žgur 1 Pedagoška fakulteta, Univerza v Ljubljani Povzetek Matematika pomembno vpliva na posameznikovo uspešnost in zadovoljstvo na šolskem in življenjskem področju. Številske predstave so ključnega pomena za uspešno obvladovanje matematike. Učenci z lažjimi motnjami v duševnem razvoju imajo pri razvoju številskih predstav več težav, saj počasneje usvajajo šolska znanja in potrebujejo za pridobivanje teh predstav bistveno več časa. Kognitivni in motorični razvoj potekata vzporedno in povezovalno, zato lahko sopojavljanje gibalne oviranosti ob prisotni motnji v duševnem razvoju predstavlja dodatno oviro pri razvoju številskih predstav. Strategije štetja in računanja so temelj, na katerem učenci gradijo in rešujejo številske in aritmetične probleme. V raziskavi se je potrdilo, da imajo učenci z gibal- no oviranostjo pomanjkljivo razvite številske predstave ter strategije štetja in računanja v primerjavi z učenci brez gibalne oviranosti. Zato posledično potrebujejo bistveno več prilagojenih in specifičnih osebnih izkušenj, strategij in aktivnosti. Ključne besede: številske predstave, strategije, gibalna oviranost, lažje motnje v duševnem razvoju  Counting and Calculation Strategies in Children with Impairment in Movement Abstract Mathematics has an important effect on learners’ performance and satisfaction in school as well as life in general. The concept of numbers is crucial for successful mastering of mathematics. Students with mild intel- lectual disabilities have more difficulty in understanding numbers due to their slower assimilation of school material, therefore they need much more time to grasp these concepts. Cognitive and motor development are parallel and connected, which means that impairment in movement with a simultaneous intellectual disability represent an additional obstacle in the understanding of numbers. Counting and calculation strategies are the foundation upon which students build and solve numerical and arithmetic problems. The research confirmed insufficiently developed understanding of numbers and counting and calculation strategies in students with impairment in movement compared to those not impaired in movement. Consequently, their learning process requires substantially more personalized and specific individual experiences, strategies and activities. Keywords: concept of numbers, strategies, impairment in movement, mild intellectual disabilities  Uvod Matematika je »univerzalen jezik, ki pre- sega kulturne, socialne in civilizacijske razlike« (J. Vipavc in M. Kavkler, 2015, str. 9). Dobro razvite matematične spretnosti in sposobnosti pripomorejo k uspešnemu delovanju posameznika v družbi, saj se z matematiko srečujemo na vsakem ko- raku – vsakič, ko pogledamo na uro, na koledar, iščemo pravo številko avtobusa, plačujemo položnice ali kupujemo, se so- očamo s količinami, števili, štetjem, raču- nanjem (Van Rooijen, Verhoeven in Stee- nbergen, 2010; Vipavc in Kavkler, 2015). Vsak dan torej matematiko uporab- lja večina ljudi, ne glede na okoliščine, možnosti, sposobnosti, ki jih posameznik ima, in ne glede na to, ali se prisotnosti matematike v svojih početjih zaveda ali ne (Tomšič idr., b.d.). Slabše razvite matema- tične sposobnosti in spretnosti lahko po- membno vplivajo na poznejše matematič- ne dosežke, šolsko in delovno uspešnost posameznika ter tudi na posameznikov standard življenja (Geary, 1994; Bymes in Wasik, 2009; Van Rooijen idr. 2010). M. Kavkler (2007) opozarja, da je za uspeš- no obvladovanje aritmetike treba učencu v prvih letih šolanja razviti osnovne pred- pogoje, kot so: sposobnost primerjanja količin, velikostnih odnosov, razumevan- je pojma števila, obvladovanje različnih vrst štetja, razvoj potrebnega matematič- nega pojmovnega in proceduralnega znan- ja itd. Usvajanje teh znanj in spretnosti je dolgotrajen proces in se zdi marsikatere- mu učencu abstrakten in težak, kar je po mnenju strokovnih delavcev eden glavnih razlogov, zaradi katerega imajo številni učenci težave pri matematiki in doživljajo IZ RAZREDA 48 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 ob učenju matematike hude stiske (Vi- pavc in Kavkler, 2015). Matematika mno- go pogosteje kot drugi predmeti učencem povzroča težave in čutijo do nje strah in odpor. Slabše številske predstave so ena izmed najpogostejših ovir, ki otežujejo učenje matematike (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2014). Prisotnost lažje motnje v duševnem raz- voju (LMDR) lahko predstavlja dejavnik neuspeha pri ustreznem razvoju številskih predstav. Učenci, ki imajo LMDR, imajo pomembno znižane intelektualne sposob- nosti ter znižane sposobnosti za učenje in usvajanje splošnih znanj. Pri njih se kaže- jo odstopanja na področju konceptualnih, socialnih in praktičnih veščin (Colnerič in Zupančič, 2005; Vovk-Ornik, 2015). Matematika ima v prilagojenem progra- mu vzgoje in izobraževanja z nižjim izo- brazbenim standardom (NIS), kamor se vključujejo učenci z LMDR, pomembno mesto, saj je na urniku od 4 do 5 ur na teden. V skladu s predpisanim kurikulum je tako potrebno, da se v tem obdobju posveti dovolj pozornosti razvoju števil- skih predstav tudi učencem z LMDR, saj ima pojav zadostne razvitosti zgodnjih številskih spretnosti pomemben vpliv na poznejše akademske in tudi druge vseživ- ljenjske dosežke posameznika. Vpliv gibalne oviranosti na področje številskih predstav Učenci z gibalno oviranostjo (GO) se lah- ko zaradi posledic specifičnega gibalnega razvoja srečujejo s številnimi težavami na različnih področjih kognitivnega in kona- tivnega razvoja. Pojavljajo se lahko težave pri branju, pisanju, govoru ter pri mate- matiki (Haskell in Barrett, 1993; Vrlič Danko, 2005). Od vseh naštetih področij je po mnenju različnih avtorjev (Haskell in Barrett, 1993; Van Rooijen idr., 2010; Erkoç Gecü in Erkoç, 2013) najmanj razis- kan vpliv posledic GO na matematičnem področju. Učne težave pri matematiki so pogosto po- vezane s slabo razvitimi številskimi preds- tavami in pojmi ter primanjkljaji na pod- ročju štetja (Kalan, 2015). Jean Piaget je menil, da so dejavnosti, kot so razvrščanje, manipuliranje, urejanje in prirejanje, pred- pogoj za usvajanje koncepta števila (Labi- nowicz, 2010). Pri otrocih z GO so lahko zaradi omejitev v gibanju (orientaciji) omenjene spretnosti zmanjšane ali odsot- ne (Haskell in Barrett, 1993). Od najzgod- nejših razvojnih obdobij dalje otrok z raz- iskovanjem fizičnih karakteristik objektov pridobiva osnovne predstave o teži, obliki, velikosti, hitrosti in prostorskih odnosih (prav tam, 1993). Preko razvrščanja, urejan- ja, prirejanja in manipuliranja s predmeti otrok razvija pojem števila. Če je gibalni razvoj moten in otrok nima dovolj prilož- nosti in izkušenj za raziskovanje, lahko prihaja do pomanjkljivih, nepopolnih, na- pačnih ali neustreznih predstav. Da otrok razvije abstraktne koncepte, kot je npr. spo- sobnost konzervacije števila, potrebuje ve- liko praktičnih vaj preurejanja, opazovan- ja, preiskovanja in preverjanja značilnosti in posledic spremenjenega vzorca, ki je nastal kot posledica preurejanja določenih predmetov v prostoru. Otroci z GO imajo bistveno zmanjšane zmožnosti samostoj- nega manipuliranja s predmeti (Haskell in Barret, 1993). Na težave pri aritmetiki lahko vplivajo različne oblike GO, ki jih spremlja različ- na stopnja motene senzorične integracije: razne oblike cerebralne paralize, spina bi- fida, mišične distrofije, kongenitalne de- formacije udov … Raziskovalci (Arp, Ta- ranne in J. Fagard, 2006; Dellatlos, Filho,; Jenks, de Moor, van Lieshout, Maathuis, Keus in Gorter 2007, v Van Rooijen idr. 2010) ugotavljajo, da učenci z GO v pri- merjavi s kontrolnimi skupinami učencev brez GO dosegajo slabše rezultate na pod- ročju ocenjevanja količine, na področju vizualno-prostorskih in števnih sposob- nosti, pri reševanju nalog seštevanja in odštevanja do 100 ter imajo slabši obču- tek za števila. Vzroke za takšne rezultate avtorji pripisujejo slabšemu vizualno- -prostorskemu kratkotrajnemu spominu pri učencih z GO, šibkejši vizualno-mo- torični koordinaciji, šibkejšim vizualno- -prostorskim in števnim spretnostim ter pomanjkanju osnovnega aritmetičnega znanja. Vzrokov pa je lahko še več: pri- manjkljaji s področja zaznavanja telesa, delov telesa, dojemanja telesne sheme, razvoja lateralizacije, prehod čez srednjo linijo … (Žgur, 2017). Strategije štetja in računanja pri učencih z gibalno oviranostjo Otroci navadno začnejo reševati arit- metične probleme seštevanja s pomočjo strategij, ki temeljijo na štetju. Pri tem si največkrat pomagajo z različnimi pred- meti in s prsti (materialne strategije). Postopoma preidejo na verbalno štetje, s katerim si pomagajo pri reševanju raču- nov seštevanja in odštevanja (verbalne strategije), pozneje pa dejstva memorira- jo in jih prikličejo iz dolgotrajnega spo- mina (miselno računanje) (Geary, 1994). Normalen potek razvoja strategij v času osnovnošolskega izobraževanja poteka od nezrelih, neučinkovitih strategij, preko verbalnega štetja k priklicu aritmetičnih dejstev (Kavkler, 2007). Geary (1994) po več virih (Ginsburg, 1982; Saxe, 1982; Geary, Fan in Bow-Tho- mas, 1992) povzema, da v različnih kultu- rah prva strategija, ki jo otroci uporabljajo za reševanje aritmetičnih problemov, te- melji na štetju. Zato je obvladovanje štetja ključnega pomena, da se lahko razvijejo višje, naprednejše in hitrejše strategije. Če se otrok pri štetju moti, bo v dolgotrajni spomin uskladiščil napačno aritmetično dejstvo (prav tam, 1994). M. Kavkler (1997) navaja, da je temeljni cilj aritmetike dosežen, ko je otrok iz dol- gotrajnega spomina sposoben brez napak priklicati osnovna, bazična aritmetična dejstva. Tako se lahko posveti reševanju kompleksnejših in zahtevnejših aritme- tičnih problemov in ne izgublja časa in energije z nižjimi in zamudnejšimi strate- gijami. M. Kavkler (1997, po Geary, 1994) navaja naslednje strategije štetja in raču- nanja: Strategije štetja nazaj: 1. nima strategije; 2. pomaga si s konkretno oporo, a šteje nazaj; 3. pomaga si s štetjem naprej, brez opor; 4. šteje nazaj brez opor. Strategije preštevanja predmetov: 1. nima strategije; 2. prime in premakne vsak predmet; 3. vsakega predmeta se do- tika s prsti; 4. gleda in prešteva predmete. Seštevanje: 1. nima strategije; 2. šteje vse na prste; 3. začne s prvim številom, ne gle- de na velikost, in prišteje drugo; 4. začne z večjim številom in prišteje drugo; 5. pri- kliče aritmetično dejstvo. Odštevanje: 1. nima strategije; 2. prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek; 3. šteje nazaj po ena od večjega števila; 4. šteje po ena naprej od manjšega števila; 5. priklic aritmetič- nega dejstva. IZ RAZREDA 49 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 V nadaljevanju predstavljamo izsledke raziskave avtorice A. Vidmar (2017), v katero je bilo vključenih 44 učencev 2. in 3. razreda prilagojenega vzgojno-izob- raževalnega programa z NIS (od tega 22 učencev z različnimi oblikami in stopnja- mi GO). Raziskava je pokazala, da imajo učenci z GO bistveno slabše razvite števil- ske predstave pri reševanju nalog, ki me- rijo razvitost številskih predstav, in da se glede na učence razlikujejo v rabi strate- gij. Interpretirali bomo najpomembnejše razlike med obema vzorcema. Rezultati (Tabela 1) kažejo, da kar 68,2 % učencev z GO nima razvite strate- gije štetja nazaj. Med učenci brez GO je teh učencev skoraj polovica manj (36,4 %). V primerjavi s celotnim vzorcem več kot polovica učencev nima ustrezne strategi- je štetja nazaj (52,3 %), 40,9 % učencev pa uporablja šteje nazaj brez opor. Med temi učenci je velika večina učencev (59,1 %) brez prisotne GO. Izračunani Kruskal-Wallisov test razlik je pokazal, da ni statistično značilne razlike v rabi strategij štetja nazaj med učenci z GO in med učenci brez GO (χ 2 = 7,234; df = 3; 2p = 0,065), se pa dobljeni rezultat statis- tični zanesljivosti (2p = 0,05*) močno pri- bliža (2p = 0,065). * Velja pri vseh vrednostih Kruskall-Wal- lisovega testa. Analiza strategij preštevanja predme- tov (Tabela 2) je pokazala, da med učen- ci z GO 22,7 % učencev nima strategije preštevanja predmetov, medtem ko med učenci brez GO ni nobenega takega učen- ca. Pri celotnem vzorcu je v največji meri (47,7 %) zastopana strategija »vsakega predmeta se dotika s prsti«, sledi upo- raba strategije »prime in premakne vsak predmet« (22,7 %). 18,2 % učencev upo- rablja najvišjo strategijo »gleda in prešte- va predmete«, v najmanjši meri (11,4 %) učenci ne uporabljajo nobene strategije, med temi učenci pa ni nobenega učen- ca brez GO. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da obstajajo statistično značilne razlike (χ 2 = 8,625; df = 3; 2p = 0,035) v rabi strategij preštevanja predmetov med učenci z GO in med učenci brez GO (v korist slednjih). Rezultati (Tabela 3) kažejo, da kar polo- vica učencev z GO (50,00 %) nima raz- vite strategije seštevanja, medtem ko je med učenci brez GO takšnih učencev zgolj 18,2 %. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da obstajajo (χ 2 = 13,333; df = 4; 2p = 0,010) statistično značilne razlike med učenci brez GO in med učenci z GO v rabi strategij seštevanja v prid učencem brez GO. Rezultati (Tabela 4) kažejo, da 54,5 % učencev z GO nima prisotne strategije odštevanja. Pri učencih brez GO je ta- kšnih učencev 22,7 %. Več kot polovi- ca učencev brez GO (54,5 %) uporablja strategijo »prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek«, kar uporablja 36,4 % učencev brez GO. Strategije »priklic aritmetičnega dejst- va« ne uporablja nobeden od učencev z GO ter trije učenci (13,6 %) brez GO. Test razlik Kruskal-Wallis je pokazal, da ni statistične značilnosti (χ 2 = 7,934; df = 4; 2p = 0,094) med obema skupinama učencev. Pri vseh opazovanih strategijah štetja in seštevanja (Tabela 1, Tabela 2, Tabela 3 in Tabela 4), razen pri strategijah pre- števanja predmetov, je med učenci z GO vsaj polovica učencev, ki nima prisotne nobene strategije. Pri učencih brez GO je takšnih učencev bistveno manj (največ pri strategijah štetja nazaj – 36,4 %). Več učencev brez GO uporablja višje razvite strategije štetja nazaj (več kot polovica jih šteje nazaj brez opor). Med strategi- jami preštevanja predmetov je najvišja strategija »gleda in prešteva predmete« med obema vzorcema zastopana v enaki meri, vendar imajo, za razliko od učen- cev z GO, vsi učenci brez GO razvito vsaj Tabela 1: Vrsta strategij štetja nazaj glede GO Gibalna oviranost Skupaj da ne Strategije štetja nazaj nima strategije f 15 8 23 % 68,2 36,4 52,3 pomaga si s konkretno oporo, a šteje nazaj f 1 0 1 % 4,5 0,0 2,3 pomaga si s štetjem naprej, brez opor f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 šteje nazaj brez opor f 5 13 18 % 22,7 59,1 40,9 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 Tabela 2: Vrsta strategij preštevanja predmetov glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne Strategije preštevanja predmetov nima strategije f 5 0 5 % 22,7 0,0 11,4 prime in premakne vsak predmet f 3 7 10 % 13,6 31,8 22,7 vsakega predmeta se dotika s prsti f 10 11 21 % 45,5 50,0 47,7 gleda in prešteva predmete f 4 4 8 % 18,2 18,2 18,2 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 IZ RAZREDA 50 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 eno strategijo preštevanja predmetov. Učenci brez GO uporabljajo v večji meri višje razvite strategije seštevanja (treba je omeniti, da več učencev z GO uporab- lja strategijo »začne z večjim številom, ne glede na velikost, in prišteje drugo«, vendar pa več učencev brez GO prikliče aritmetično dejstvo pri seštevanju). Prav tako je pri strategijah štetja nazaj več učencev, ki prikličejo aritmetično dejstvo (13,6 %), med učenci z GO pa ni nobe- nega učenca, ki bi uporabljal to strategijo. Razloge za omenjena dejstva pripisujemo predvsem vplivu spremljajočih posledic GO. Učenci z GO imajo zaradi specifič- nega poteka motoričnega razvoja pogosto zmanjšane zmožnosti samostojnega ma- nipuliranja s predmeti, pomanjkljivo je razvita tako groba kot tudi fina motorika (Žgur, 2017), tako učenci posledično raz- vijejo tudi manj spontanih predštevilskih dejavnosti. Gibalno oviranost pogosto spremljajo pridružene senzorno-percep- tivne motnje, motnje zaznavanja lastnega telesa in telesne sheme, motnje pomnjen- ja in pozornosti, težave pri zaznavanju predmetov, težave z organizacijo učenja, dela …, dodatne težave pa lahko povzro- ča še pogosta odsotnost od pouka (zaradi postopkov zdravljenja ali rehabilitacije, utrujenost zaradi fizičnih ovir ipd.), kar vse lahko vpliva na učenje in usvajanje šolskega znanja ter učenje aritmetičnih strategij. Učenci z GO in LMDR potrebu- jejo bistveno več utrjevanja in ponavljan- ja. Iz rezultatov sklepamo, da učenci 2. in 3. razreda še niso zadovoljivo usvojili in avtomatizirali vseh strategij štetja in ra- čunanja ter potrebujejo pri tem še mnogo vodenih izkušenj in usmerjenih ter kon- kretnih vaj. Strategije pomoči in podpore pri razvijanju številskih predstav Strokovni delavci lahko pomagajo učen- cem pri razvijanju številskih predstav z na- slednjimi splošnimi strategijami (Hod- nik Čadež, 2002; Kavkler, 2011): • Pred začetkom vsake nove ure naredi- mo povzetek prejšnje snovi. • Uporabljamo čim bolj različne pri- mere matematičnih problemov, ki naj bodo povezani z življenjskimi situaci- jami. • Učencem zagotovimo različne kon- kretne in grafične materiale, ki jim pomagajo pri razumevanju matema- tičnih vsebin in konceptov. • Učencem matematične vsebine in probleme v čim večji meri verbalizi- ramo. • Učenje in poučevanje naj bo aktivno, multisenzorno, povezano z učenčevi- mi izkušnjami. • Delovni listi naj bodo prostorni in ne prenatrpani s preveč vizualnimi infor- macijami. • Potrebno je načrtno spodbujanje rabe prstov ali drugih predmetov pri usva- janju količin in pri računanju. • V čim večji meri naj se spodbuja pred- številske dejavnosti urejanja, razvrš- čanja. • Potreben je sistematičen prehod od naravnih predmetov, preko grafične ponazoritve do simbolov. Predstavljamo še nekaj praktičnih pri- merov razvijanja specifičnih strategij (z avtorsko določenimi cilji) za pomoč pri Tabela 3: Vrsta strategij seštevanja glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne Strategije seštevanja nima strategije f 11 4 15 % 50,0 18,2 34,1 šteje vse na prste f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 začne s prvim številom, ne glede na velikost, in prišteje drugo f 1 8 9 % 4,5 36,4 20,5 začne z večjim številom in prišteje drugo f 7 3 10 % 31,8 13,6 22,7 prikliče aritmetično dejstvo f 2 6 8 % 9,1 27,3 18,2 Skupaj f 22 22 44 % 100,0 100,0 100,0 Tabela 4: Vrsta strategij odštevanja glede na gibalno oviranost Gibalna oviranost Skupaj da ne Strategije odštevanja nima strategije f 12 5 17 % 54,5 22,7 38,6 prešteje večje število na prste, odšteje manjše in prešteje preostanek f 8 12 20 % 36,4 54,5 45,5 šteje nazaj po ena od večjega števila f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 šteje po ena naprej od manjšega števila f 1 1 2 % 4,5 4,5 4,5 priklic aritmetičnega dejstva f 0 3 3 % 0,0 13,6 6,8 Skupaj f f 22 44 % 100,0 100,0 100,0 IZ RAZREDA 51 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 razvijanju številskih predstav, ki so nasta- le kot rezultat magistrskega dela (Vidmar, 2017). Strategija za obravnavo novega števila Tabela 5 prikazuje korake strategije za obravnavo novega števila do 10. Tudi pri obravnavi števil do 20 in naprej lahko prav tako sledimo tem korakom, le da uporabljamo razne materiale, ki ponazarjajo enice in desetice ter nadalje stotice. Pomembno je tudi, da sproti, ko obravnavamo nova števila, izgrajujemo številsko vrsto. Morske zvezde Cilj aktivnosti je prirejanje morskih zvezd k pikam (slika 1). Učenci priredijo po eno morsko zvezdico k vsaki piki. V poznejših korakih na bele številke položijo še pešče- ne številke, s tem utrjujejo simbolni zapis števila. Prirejanje je pomembna sposob- nost za razvoj občutka za števila in štetje, pomembno je, da jo učenci v čim večji meri urijo. Opomba: Morske zvezde so primer prak- tičnega materiala, lahko jih nadomestimo z drugimi predmeti, ki so večji in lažji za prijemanje (npr. kocke, ploščice, zamaški iz plute, kostanji, kamenčki ipd.), saj ne- kateri učenci z GO potrebujejo več pri- lagoditev. Opomba velja za vse nadaljnje aktivnosti in strategije. Rojstnodnevno število Cilj aktivnosti je, da učenci utrjujejo po- vezavo med količino, številskim simbo- lom ter štetjem. Pripomočki (Slika 2): • torte iz papirja ali kartona, • več svečk različnih barv, sestavljene iz dveh delov. Navodilo: Ob praznovanju rojstnega dne v razredu vsi učenci dobijo torte iz papir- ja, na katerih je zapisano, koliko let ima učenec, ki praznuje rojstni dan. Na tor- te (sami ali ob pomoči) postavijo svečke (Slika 3). Slika 2: Rojstnodnevno število. (Living Mon- tessori Now, b.d.) Slika 3: Rojstnodnevno število. (Living Mon- tessori Now, b.d.) Tabela 5: Strategija za obravnavo novega števila 1. korak Pred obravnavo novih števil uporabimo čim več različnih predštevilskih dejavnosti razvrščanja, prirejanja, urejanja. 2. korak Ob obravnavi novega števila glasno povemo število, ki ga bomo obravnavali, ga ponazorimo s konkretnimi predmeti (nastavljamo množice istovrstnih predmetov števila 4 – nastavimo 4 svinčnike, 4 radirke, 4 flomastre itd.). 3. korak Utrjujemo količinsko predstavo o novo spoznanem številu (nastavljamo množice z raznovrstnimi predmeti, z isto močjo – za število 4 to pomeni v eni množici npr. 1 kemik, 1 radirka, 1 zvezek, 1 kamenček. Predmeti med množicami naj se dobro razlikujejo, da učenec razliko opazi). Uporabimo čim več različnih naravnih predmetov, ki jih učenci poznajo. Učenec najprej nastavi predmete zase, nato pogleda pri ostalih sošolcih. 4. korak Število ponazorimo z didaktičnim materialom (npr. kockami, kroglicami). 5. korak Število zapišemo s številsko sliko (npr. pikicami, ki ponazarjajo količino tega števila). Številsko sliko damo zraven ali jo prilepimo na konkretno ponazorjeno količino tega predmeta (na kamenčke, kocke, flomastre ipd.). 6. korak Število zapišemo tudi z besedo. 7. korak Število zapišemo s številskim simbolom: • Najprej zapis učitelj demonstrira in verbalizira, lahko s pomočjo pesmice (npr. za številko 5 lahko po korakih, ob demonstraciji, pove: »Moj vrat kratek je in raven, trebušček okrogel in napet, na vrhu pa še streha, to sem jaz, številka 5!«.) • Sledi zapis števila na veliko podlago, učenci lahko po njem hodijo, se vozijo z vozički, sledijo z avtomobilčki itd. • Število zapišemo na manjšo predlogo, učenci jo prevlečejo z raznimi barvicami, rišejo npr. mavrico, ji sledijo z različnimi predmeti, jo okrasijo, izdelajo iz plastelina. • Število lahko zapišemo v sipke materiale: riž, moko, peno za britje, zdrob, mivko ipd. • Sledi zapis na še manjšo predlogo, po katerem učenci vlečejo mavrico, polagajo predmete ipd. • Na koncu sledi prost zapis števila – najprej na večje, nato na manjše ploskve. Slika 1: Aktivnost prirejanja. (Living Montes- sori Now, b.d.) IZ RAZREDA 52 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Poišči par 1. primer: Polovici učencev nalepimo na sprednjo stran majice števila (1–10 ali 1–20), drugi polovici pa količinske ponazoritve teh zapisanih števil (npr. pike, krogce, kapljice), ponazoritev naj bo nestandardna (drugačna od stan- dardne ponazoritve na igralni kocki). Učenci morajo poiskati svoj par, tako utrjujejo povezavo med količino in šte- vilskim simbolom. 2. primer: Učencem nalepimo na spred- njo stran majice številke (1–10 ali 1–20). Po dva učenca imata na majici enako številko. Naloga učencev je, da poiščejo svoj par, tako lahko utrjujejo vizualno podobo zapisanih števil. 3. primer: Aktivnost je namenjena utr- jevanju računov seštevanja in odšte- vanja. Polovici učencev zalepimo na sprednjo stran majice račune v obsegu 1–5 ali 1–10, drugi polovici pa vsoto ali razliko za pripadajoči račun. Učenci morajo poiskati svoj par. Na enak način lahko igramo igro spomin s kartami, za vse tri primere. Koga bo pojedel krokodil? Cilji: • Učenci s pomočjo konkretnega mate- riala določijo večje in manjše število. • Učenci s pomočjo grafične ponazori- tve določijo večje in manjše število. • Učenci določijo večje in manjše števi- lo na simbolnem nivoju. Pripomočki (Slika 4, Slika 5, Slika 6): • kartice z vpisanimi števili, • narejena krokodilova usta iz lesa, • slika krokodilovih ust, • cofki, kamenčki ali drug material. Navodila: 1. Korak: Učenec si pod vsako število nastavi ustrezno število frnikol/cofkov. Povemo mu, da krokodilček vedno poje večje število, in ga vprašamo, na katero stran se bo torej obrnil. 2. Korak: Postopoma opuščamo konkret- ni nivo (cofke in lesenega krokodilčka) in učenec vadi na grafičnem nivoju (nariše ali pobarva določeno število krogcev ter vriše krokodilčka v prazno okence). Ilustracija 1 Ilustracija 2 Slika 5: Večje in manjše število – 2. korak. 3. Korak: Učenec vadi na simbolnem ni- voju. 5 > 3 Slika 6: Večje in manjše število – 3. korak. Didaktična igra: Bingo Cilji: • Učenci utrjujejo simbolni zapis števi- la. • Učenci povezujejo simbolni zapis šte- vila z verbalno oznako. • Učenci utrjujejo branje števil do 10. Pripomočki: • igralne podloge (Slika 7), • manjši kartončki za pokrivanje števil. Navodila igre: Vsak učenec dobi svojo igralno podlogo s šestimi polji, na kateri so števila od 0 do 10 (Slika 7). En učenec ali odrasla oseba je zadolžena za žrebanje števil. Tisto število, ki ga izžreba, glasno prebere (vendar ga ne pokaže). Zmagova- lec je tisti, ki prvi prekrije vsa polja. Igro se lahko igra, dokler vsi ne prekrijejo svo- jih polj. Slika 4: Večje in manjše število – 1. korak. Slika 7: Bingo. Ilustracija 1 Ilustracija 2 Opomba: Igralna podloga lahko vsebuje števila poljubnega številskega obsega. Različice igre: Igra se lahko izvaja tudi z drugačnimi cilji (npr. utrjevanje prepro- stih računskih operacij seštevanja in od- števanja). V tem primeru namesto žreba ene številke izžrebamo kartico, na kateri so zapisani računi ali uganke (Slika 8). 1. Številu 3 dodaj število 2. Katero število dobiš? 2. Pred mano je število 6, za mano pa število 8. Katero število sem? 3. Sem za 3 številke večje od števila 4. Katero število sem? 4. Če od mene odšteješ 2, dobiš število 1. Katero število sem? 5. Za mano sta števili 9 in 10. Katero število sem? 6. Pred mano ležita števili 7 in 8. Katero število sem? Slika 8: Bingo – različica igre. IZ RAZREDA 53 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Didaktična igra: Nahrani opico Cilji: • Učenci štejejo do 5. • Učenci utrjujejo količinske predstave o številih. Pripomočki: • igralna podloga (Slika 9), • barvna kocka, • igralne figure (poljubne), • kartice z bananami (približno 40 kar- tic za dva igralca) (Slika 10). Navodila : Vsak igralec dobi igralno figurico in ena- ko število kartic z bananami. Prvi igralec vrže barvno kocko. Premakne se na tisto polje, kot kaže barva na kocki. Pogleda, katera številka je zapisana na njegovem polju. Nato, glede na to številko, nahrani opico z bananami, tako da opici položi v usta določeno število banan (npr. če je na polju zapisana številka tri, položi opici v usta tri banane). Zmaga tisti, ki prvi po- rabi vse kartice. 3 5 2 1 4 3 2 1 5 4 3 1 5 2 4 Start Cilj Slika 9: Nahrani opico. IZ RAZREDA 54 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Zaključek Na osnovi dobljenih raziskovalnih podatkov povzemamo, da obstajajo razlike med učenci z GO in učenci brez GO pri rabi strategij štetja in računanja. Učenci z GO večinoma nimajo izdelanih strategij, s katerimi bi si lahko pomagali pri štetju in računanju. Statistično značilne razlike so se izkazale pri rabi strategij prešte- vanja predmetov in seštevanja. Pri preštevanju predmetov se je največja razlika pokazala v tem, da imajo vsi učenci brez GO določeno strategijo pri preštevanju predmetov, pri učencih brez GO je skoraj četrtina takšnih, ki strategije nimajo. Največja razlika pri seštevanju se med obema skupinama učencev kaže v tem, da veliko več učencev brez GO nima ustrezne strategije seštevanja, manj jih tudi prikliče aritmetično dejstvo. Slednje nakazuje, da še nimajo usvojene avtomatizacije priklica. Potrjene so opazne razlike med učenci z GO in učenci brez GO pri uporabi strategij, zato bi bilo v praksi smiselno več časa posvetiti konkretni dejavnosti in ponazoritvi pri razvoju številskih in prostorskih strategij pri učencih z GO. Pri poučevanju pa je treba uporabljati čim več konkretnih, realističnih, z življenjem pove- zanih dejavnosti ter ostati na nivoju konkretnega poučevanja, vse dokler posamezen učenec to potrebuje, in šele postopno, s primerno zahtevnostjo preiti na grafični in simbolni nivo. S tem namenom smo v prispevku zbrali nekaj dejavnosti in strategij, s katerimi lahko izboljšamo proces poučevanja in učenja strategij. Številske in prostorske predstave so temelj za nadaljnjo uspešnost na matematičnem področju, zato je smiselno, da jim v praksi posvetimo dovolj časa in učencem, še posebej učencem z GO, nudimo dovolj realnih, zabavnih in konkretnih izkušenj. ■ Slika 10: Igralne karte za igro Nahrani opico. 3 5 2 1 4 3 2 1 5 4 3 1 5 2 4 Start Cilj IZ RAZREDA 55 Matematika v šoli, št. 1., letnik 24, 2018 Literatura Arp, S., Taranne, P . in Fagard, J. (2006). Global Perception of Small Numerosities (Subitizing) in Cerebral-palsied Children. Journal of Clinical and Experimental Neuropsychology, 28(3), 405−419. doi: 10.1080/13803390590935426 Bymes, J. in Wasik, B. (2009). Factors predictive of mathematics achievement in kindergarten, first and third grades: An opportunity– propensity analysis. Contemporary Educational Psychology 34(2), 167−183. doi: 10.1016/j.cedpsych.2009.01.002 Erkoç, M. F., Gecü, Z., in Erkoç, C. (2013). The Effects of Using Google SketchUp on the Mental Rotation Skills of Eighth Grade Stu- dents. Educational Science: Theory & Practice, 13(2), 1285–1294. Pridobljeno s http://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1017248.pdf Geary, D.C (1994). Children‘s Mathematical Development: Research and practical applications. W ashington, DC: American Psychological Association. Haskell, S. in Barrett, E. (1993). The Education of Children with Physical and Neurological Disabilities. London: Chapman & Hall. Kalan, M. (2015). Strategije reševanja aritmetičnih besednih problemov pri učencih z učnimi težavami pri matematiki. (Doktorska dis- ertacija, Pedagoška fakulteta Ljubljana). Pridobljeno s http://pefprints.pef.uni-lj.si/2812/1/Doktorska_naloga_2015_Marko_Kalan.pdf Kavkler, M. (1997). Latentna struktura specifičnih učnih težav pri matematiki (Doktorska disertacija). Pedagoška fakulteta Ljubljana. Kavkler, M. (2007). Specifične učne težave pri matematiki. V M. Kavkler in M. Košak Babuder (ur.), Učenci s specifičnimi učnimi težavami: Skriti primanjkljaji – skriti zakladi (77–113). Ljubljana: Društvo Bravo. Labinowicz, E. (2010). Izvirni Piaget. Učenje – Mišljenje – Poučevanje. Ljubljana: DZS. Tomšič, G. idr. (b.d.). Učni načrt za prilagojen izobraževalni program z nižjim izobrazbenim standardom. Matematika. Pridobljeno s http://www.mizs.gov.si/fileadmin/mizs.gov.si/pageuploads/podrocje/posebne_potrebe/programi/ucni_nacrti/pp_nis_matematika.pdf Van Rooijen, M., Verhoeven, L. in Steenbergen, B. (2011). Early numeracy in cerebral palsy: review and future research. Developmental Medicine & Child Neurology, 53, 202 – 209. doi: 10.1111/j.1469-8749.2010.03834.x Vidmar, A. (2017). Številske in prostorske predstave pri učencih z gibalno oviranostjo in lažjimi motnjami. v duševnem razvoju. (Mag- istrsko delo). Pedagoška fakulteta Ljubljana. Vipavc, J. in Kavkler, M. (2015). Konceptualne osnove obravnave učencev z učnimi težavami pri matematiki. V M. Kavkler in M. Košak Babuder (ur.), Težave pri učenju matematike: strategije za izboljšanje razumevanja in učnih dosežkov učencev (9−24). Ljubljana: Bravo, društvo za pomoč otrokom in mladostnikom s specifičnimi učnimi težavami. Vovk-Ornik, H. (ur.), Kriteriji za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (str. 23–31). Ljubljana: Zavod RS za šolstvo. Pridobljeno s http://www.zrss.si/pdf/Kriteriji-motenj-otrok-s-posebnimi-potrebami.pdf. Vrlič Danko, A. (2005). Gibalno ovirani otroci in otroci z nevrološko poškodbo v vrtcu in v šoli. Maribor: Svetovalni center za otroke, mladostnike in starše Maribor. Žakelj, A. in V alenčič Zuljan, M. (2015). Učenci z učnimi težavami pri matematiki: prepoznavanje učnih težav in model pomoči. Ljubljana: Zavod Republike Slovenije za šolstvo. Žgur, E. (2017). Vloga razvoja motorike pri otroku in njena vpetost v predšolski kurikul - pomen zgodnje obravnave. V B. Vrbovšek, D. Belak in S. Žnidar, Simona (ur.), Različni otroci − enake možnosti (str. 28−40). Ljubljana: Supra. Žgur, E. (2017). Aspects of motor development in children with cerebral palsy. Innovative issues and approaches in social sciences. In- novative Issues and Approaches in Social Sciences, 10(1), 117−126. Pridobljeno s http://pefprints.pef.uni-lj.si/4358/1/Zgur.pdf