i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 1 | #1
i
i
i
i
i
i
OFIURIDA ALI KA
  CJEREPNICA
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedago  ska fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15
Predstavljamo o urido, manj znano ravninsko krivuljo, ki jo je prvi obravnaval D.
Uhlhorn na za  cetku 19. stoletja. O urida je mno  zica to  ck, ki jih dobimo s preprostim
geometrijskim postopkom, je pa tudi no  zi  s  cna krivulja parabole, inverzna slika hiperbole
ter cisoida premice in kro  znice. Pokazali bomo, da z o urido lahko re  sujemo nekatere
kubi  cne ena  cbe.
OPHIURIDE
We introduce the ophiuride, a lesser-known planar curve,  rst discussed by D. Uhlhorn
at the beginning of the 19th century. An ophiuride is a set of points obtained by a simple
geometric procedure, but it is also a pedal curve of a parabola, the inverse of a hyperbola,
and the cissoid of a line and a circle. We will show that the ophiuride can be used to solve
some cubic equations.
Uvod
Nem  ski samouk in iznajditelj Diedrich (tudi Diederich) Uhlhorn (1764{1837)
je   ze v delavnici svojega o  ceta, mizarja, in kasneje v svoji poklicni karieri po-
kazal velik talent za izdelavo mehanskih in opti  cnih naprav. Samostojno se
je nau  cil toliko matematike, da je lahko za  cel   studirati krivulje. D. Uhlhorn
je opazoval na delujo  cih strojih gibanje to  ck, ki opisujejo razne krivulje.
Verjetno so bile le-te navdih, da je leta 1809 objavil knjigo [5], v kateri je
precej natan  cno obravnaval ve  c ravninskih krivulj, ki jim je dal tudi imena,
jih zapisal v pravokotnih kartezi  cnih koordinatah in dognal njihove glavne
lastnosti, pri   cemer je uporabljal tudi odvod. Za nekatere krivulje je izde-
lal in na koncu knjige objavil na  crte orodij, s katerimi bi te krivulje lahko
na  crtovali.
D. Uhlhorn v svoji knjigi na prvem mestu obravnava ravno o urido
in njeno uporabo ter opi  se orodje za njeno na  crtovanje. Posveti ji kar 40
strani. Besedo o urida izvaja iz gr  skih besed   o s , kar pomeni ka  ca , v nem-
  s  cini Schlange, in our  a, kar pomeni rep, v nem  s  cini Schwanz. Iz tega je
za o urido D. Uhlhorn sestavil nem  sko besedo Schlangenschwanzlinie, kar
pomeni dobesedno ka  cjerepa   crta , lep  se in kraj  se ka  cjerepnica .
Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 2 | #2
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
D. Uhlhorn uporablja o urido tudi za re  sitev anti  cnih problemov pod-
vojitve kocke in tretjinjenje kota. Anti  cni matematiki so sicer uporabljali
nekaj krivulj za re  sevanje teh dveh problemov, ni pa videti, da bi poznali
tudi o urido. Vse ka  ze, da je bil D. Uhlhorn prvi, ki se je kar natan  cno
ukvarjal z njo (glej [2]). Na  crtovanje z njegovim orodjem pa nas   se najbolj
spominja na znano Platonovo re  sitev problema podvojitve kocke z dvema
kotnikoma, o   cemer je nekaj napisanega v [3].
O urida je ravninska krivulja, ki jo dolo  cajo trije podatki: premica p,
izbrana to  cka O na p in izbrana to  cka A, ki ni na p. Premica p in to  cki O
ter A so za izbrano o urido stalnice.
Slika 1. Konstrukcija to  cke na o uridi.
Oglejmo si, kako najenostavneje konstruiramo posamezne to  cke T na
o uridi, ki jo dolo  cajo p, O in A. Najprej na p izberemo to  cko M in kon-
struiramo premico q skozi A in M. Nato konstruiramo v M pravokotnico
r na q, nazadnje pa   se pravokotnico s skozi O na r. Premici q in s sta
vzporedni.
Premici r in s se sekata v to  cki T . Ko to  cka M prete  ce p, to  cka T
opi  se krivuljo, ki jo zaradi njene oblike imenujemo o urida . Del krivulje
ima obliko zanke (slika 1).
Analiti  cna obravnava o uride
Tako kot D. Uhlhorn bomo o urido obravnavali z metodami analiti  cne ge-
ometrije. Dodali pa bomo   se marsikaj, kar mu ni bilo znano. Vpeljemo
pravokotni kartezi  cni koordinatni sistem Oxy. Vlogo premicep bo igrala os
x, vlogo to  cke O koordinatno izhodi  s  ce, to  cka A(a;b) pa naj bo v prvem
2 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 3 | #3
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
kvadrantu. Pozitivni   stevili a in b o urido v koordinatnem sistemu Oxy
natan  cno dolo  cata.
Pravokotna projekcija to  cke A na osx je to  cka A
′
(a; 0), na ordinatno os
pa to  cka A
′′
(0;b). To  cka A je od O oddaljena za c=
√
a
2
+b
2
.
Slika 2. O urida v koordinatnem sistemu.
Vpeljemo relativno absciso  to  cke M glede naA
′
, tako da jeM(a+ ; 0).
Brez te  zav zapi  semo ena  cbe premic q, r in s:
q∶ y =−
b
  (x−a−  ); r∶ y =
  b
(x−a−  ); s∶ y =−
b
  x:
To  cka T na o uridi je presek premic r in s in ima koordinati
x
T
=
(a+  )  2
b
2
+  2
; y
T
=−
b(a+  )  b
2
+  2
:
Da bi o urido   cim lep  se parametrizirali, vpeljemo z relacijo   =−bt   stevilski
parameter t in dobimo:
x(t)=
(a−bt)t
2
1+t
2
; y(t)=
(a−bt)t
1+t
2
: (1)
To sta parametri  cni ena  cbi o uride. Takoj opazimo, da Sx(t)S→∞ iny(t)→
−b, ko StS→∞. To pomeni, da je y =−b vodoravna asimptota o uride. Ko
parameter t nara  s  ca od zelo velikih negativnih vrednosti proti 0, to  cka T
potuje v   cetrtem kvadrantu, njena abscisa se manj  sa, ordinata pa dose  ze
nekje najmanj  so vrednost, ki jo bomo kasneje izra  cunali. Za t<−b~a poteka
o urida pod svojo asimptoto, za t = −b~a jo preseka v to  cki B(b
2
~a;−b),
za −b~a < t < 0 pa poteka nad asimptoto in za t = 0 dose  ze koordinatno
izhodi  s  ce O. V   cetrtem kvadrantu ima o urida tudi prevoj. Za t = a~b
1–14 3
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 4 | #4
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
dose  ze T   se enkrat to  cko O, za t∈ [0;a~b] opi  se v negativni smeri v prvem
kvadrantu zanko, katere velikost je odvisna od razmerja konstanta inb. Ko
t nara  s  ca od a~b prek vseh meja, potuje T po tretjem kvadrantu in se od
zgoraj pribli  zuje asimptoti o uride.
Iz ena  cb (1) vidimo, da velja zveza x(t)~y(t)=t. Z izlo  citvijo parametra
t najdemo implicitno ena  cbo o uride:
y(x
2
+y
2
)=x(ay−bx): (2)
O urida je algebrska krivulja tretje stopnje in je dolo  cena s konstantama
a inb. Ker se jo da parametrizirati z racionalnima funkcijama, je racionalna
krivulja. D. Uhlhorn je njeno implicitno ena  cbo na  sel, ni pa se ukvarjal z
njeno parametrizacijo. Ena  cba (2) je kvadratna za spremenljivko x, ki se jo
da izraziti zy. D. Uhlhorn je vztrajal pri tem in na  sel ve  c lastnosti o uride.
Videli bomo, da se jo da lepo obravnavati v parametri  cni obliki.
V ena  cbi (2) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstante a ali
b. Iz o uride s konstantama SaS in SbS dobimo o uride za vse primere s
preprostimi transformacijami, in sicer: za a> 0 inb< 0 z zrcaljenjem   cez os
x, zaa< 0 inb> 0 z zrcaljenjem   cez os y ter zaa< 0 inb< 0 z zrcaljenjem   cez
koordinatno izhodi  s  ce (slika 3). To ustreza izbiri to  cke A glede na premicop
in to  cko O na njej (slika 1) oziroma postavitvi to  cke A v ustrezen kvadrant.
Slika 3. O urida in predznaka konstant a in b.
4 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 5 | #5
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
Kaj pa,   ce dovolimo, da je v ena  cbi (2) katera od konstant a in b enaka
0? Za a = b = 0 dobimo kar abscisno os, y = 0. Za a = 0 in b ≠ 0 pa
x
2
(y +b) = −y
3
, kar je ena  cba Dioklove cisoide, ki ima v to  cki O ost z
navpi  cno tangento in ne zanke ter vodoravno asimptoto y =−b. Ugotovitvi
nista v nasprotju z de nicijo o uride v Uvodu.
Za a ≠ 0 in b = 0 dobimo iz ena  cbe (2) ena  cbo y(x
2
+y
2
−ax) = 0, ki
predstavlja unijo premice y = 0 in kro  znice x
2
+y
2
−ax = 0 s sredi  s  cem v
to  cki S(a~2; 0) in polmerom % = SaS~2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju
z uvodno de nicijo o uride. To  cka A ≠ O v tem primeru le  zi na premici
p (slika 1). Za M ≠ A dobimo vse to  cke T na p. Za M = A pa je treba
upo  stevati vse premice q skozi A, vse pravokotnice r skozi A na q in vse
pravokotne projekcije to  cke O na r. S tem dobimo to  cke T , ki le  zijo na
kro  znici s sredi  s  cem v sredi  s  cu daljice OA in polmerom %= SOAS~2.
Zato lahko brez   skode za splo  snost obravnavamo samo primer a > 0 in
b > 0. Za zelo majhne x in y v (2) prevlada desna stran. To pomeni, da
je pribli  zek o uride tedaj krivulja x(ay−bx)= 0, ki pa razpade na premici
x = 0 in ay = bx, ki sta tangenti na o urido v njeni dvojni to  cki O. Prva
poteka skozi O in A
′′
, druga pa skozi O in A (slika 4).
Slika 4. Tangenti na o urido v njeni dvojni to  cki.
Parametri  cna oblika o uride je primerna za izra  cun plo  s  cine S(a;b) lika,
ki ga omejuje njena zanka. Uporabimo formulo
S(a;b)=−
1
2
S
a~b
0
(x(t) _ y(t)−y(t) _ x(t))dt;
v kateri je s piko ozna  cen odvod po parametru t. Predznak minus stoji pred
integralom zato, ker to  cka T(x(t);y(t)) opi  se zanko v negativni smeri, ko t
1–14 5
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 6 | #6
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
te  ce po integracijskem intervalu. Po dalj  sem ra  cunu dobimo:
S(a;b)=
1
2
S
a~b
0
t
2
(a−bt)
2
(1+t
2
)
2
dt=
1
4
(a
2
− 3b
2
) arctg
a
b
+
3ab
4
−ab ln
c
b
;
kjer je c =
√
a
2
+b
2
. V posebnem primeru a = 0;b ≠ 0 je S(0;b) = 0, kar
ni presenetljivo, saj o urida, ko a→ 0 pri b ≠ 0, preide v Dioklovo cisoido,
zanka o uride pa se stisne v to  cko.
O urida kot cisoida premice in kro  znice
To  cko O pravokotno projicirajmo na premico q (slika 5). Dobimo to  cko
P , premico skozi O in P pa ozna  cimo z n. Ena  cba premice n je by =  x .
Preprost ra  cun poka  ze, da ima to  cka P koordinati
x
P
=
b
2
(a+  )
b
2
+  2
; y
P
=
b  (a+  )
b
2
+  2
:
Ni te  zko videti, da koordinati to  cke P zado  s  cata ena  cbi kro  znice
x
2
+y
2
=ax+by;
ki je o  crtana pravokotniku OA
′
AA
′′
. Njeno sredi  s  ce je v to  cki S(a~2;b~2),
polmer pa c~2. Ko te  ce M po premici p, te  ce P po tej kro  znici. Premica n
preseka premico y =b v to  cki Q(b
2
~ ;b ). Za vektor
—⇀
QP v standardni bazi
dobimo
—⇀
QP =   b
2
(a  −b
2
)
  (b
2
+  2
)
;
b(a  −b
2
)
b
2
+  2
  :
  Ce vpeljemo nov   stevilski parameter   z relacijo    =b, dobimo
—⇀
QP =   (a−b  )  2
1+  2
;
(a−b  )  1+  2
  :
Na premici n dolo  cimo to  cko T
′
tako, da velja
——⇀
OT
′
=
—⇀
QP . To pa pomeni,
daT
′
te  ce po o uridi, ko M te  ce po premici p. O urida (2) je torej v smislu
de nicij v [1, 4] cisoida premice y =b in kro  znice x
2
+y
2
=ax+by.
Do enakega rezultata pridemo tudi,   ce o urido (2) zapi  semo v polarnih
koordinatah: r =a cos’+b sin’−b~ sin’:
6 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 7 | #7
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
Slika 5. O urida in kro  znica.
O urida kot no  zi  s  cna krivulja parabole
Ko spreminjamo to  cko M po premici p, premice r ogrinjajo neko krivuljo.
Poi  s  cemo jo po standardnem postopku. Enoparametri  cna dru  zina premic r
je dana z ena  cbo
F(x;y;  )=by−  (x−a−  )= 0:
Njihovo ogrinja  co, ovojnico ali envelopo dobimo,   ce iz sistema ena  cb
F(x;y;  )= 0;
@F
@  (x;y;  )= 0
izlo  cimo parameter   . Rezultat je preprost. Iskana ogrinja  ca je parabola
4by = (x−a)
2
: (3)
Njeno teme je to  cka A
′
(a; 0), gori  s  ce je to  cka A(a;b), vodnicav pa asimptota
o uride. To  cke T so pravokotne projekcije ali no  zi  s  ca to  cke O na tangente
te parabole. To pomeni, da je o urida no  zi  s  cna krivulja parabole glede na
to  cko na njeni temenski tangenti (slika 6).
V kateri to  cki T
0
(x
0
;y
0
) se o urida in parabola dotikata? Da bi odgo-
vorili na to vpra  sanje, moramo re  siti sistem ena  cb (2) in (3). Ko izlo  cimo
neznanko y, dobimo (x
3
− 3ax
2
+(3a
2
+ 8b
2
)x−a
3
)
2
= 0. Re  siti je treba ku-
bi  cno ena  cbo x
3
−3ax
2
+(3a
2
+8b
2
)x−a
3
= 0, ki se po uvedbi nove neznanke
1–14 7
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 8 | #8
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 6. O urida in parabola.
  =x−a prevede v enostavnej  so:   3
+ 8b
2
  + 8ab
2
= 0. Po Cardanu dobimo
realen koren
  0
=
√
3
3
  3
…
4b
2
(  − 3a
√
3)−
3
…
4b
2
(  + 3a
√
3)  ;
pri   cemer je   =
√
27a
2
+ 32b
2
. Iskana to  cka je torej T
0
(  0
+a;  2
0
~(4b)).
Izka  ze se, da je ta to  cka na zanki o uride od njene dvojne to  cke O najbolj
oddaljena.
Premica r se parabole dotika v to  cki D(a+ 2 ;  2
~b). Pravokotna pro-
jekcija dotikali  s  ca D na vodnico v parabole je D
′
(a+ 2 ; −b) in premica r,
tangenta na parabolo v D, je simetrala daljice AD
′
. To lastnost lahko iz-
koristimo za konstrukcijo kubi  cnega korena z metodo prepogibanja papirja,
kar bomo naredili na koncu prispevka.
O urida in hiperbola
Kaj dobimo z inverzijo o uride (2) na kro  znici x
2
+y
2
= a
2
? Inverzija na
taki kro  znici je preslikava
  ∶ (x;y)z→   a
2
x
x
2
+y
2
;
a
2
y
x
2
+y
2
  :
8 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 9 | #9
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
Ko jo uporabimo v ena  cbi o uride in dobljeni izraz poenostavimo, dobimo
ena  cbo axy−bx
2
=a
2
y, iz katere sledi
y =
bx
2
a(x−a)
=
bx
a
+b+
ab
x−a
:
Iskana krivulja je sto  znica, in sicer hiperbola z asimptotama
x=a in y =
bx
a
+b:
Prese  ci  s  ce asimptot je sredi  s  ce S
h
(a; 2b) hiperbole (slika 7).
Slika 7. O urida in hiperbola.
Po  sevna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na o urido v to  cki
O. Inverzija   seveda preslika hiperbolo nazaj v o urido. Kaj pa asimp-
toti? Navpi  cna asimptota se preslika v kro  znico x
2
+y
2
= ax s sredi  s  cem
v to  cki S
1
(a~2; 0) in polmerom %
1
=a~2 in se dotika navpi  cne tangente na
o urido v O, po  sevna pa v kro  znico b(x
2
+y
2
) = a
2
y−abx s sredi  s  cem v
to  cki S
2
(a~2;a
2
~(2b)) in polmerom %
2
= ac~(2b). Ta kro  znica se v O do-
tika po  sevne tangente na o urido v O. Sredi  s  ce S
2
le  zi namre  c na premici
by =−ax, ki je pravokotna na po  sevno tangento na o urido v O. Opazimo
tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstante a.
Obe kro  znici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni kro-
  znici na o urido v to  cki O. Kako to vidimo? V to  cki, ki jo dolo  ca parameter
t, je krivinski polmer
1–14 9
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 10 | #10
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
  (t)=
( _ x
2
(t)+ _ y
2
(t))
3~2
S _ x(t) y(t)−  x(t) _ y(t)S
=
(a
2
− 4abt+ 4b
2
t
2
+b
2
t
4
)
3~2
2Sa
2
− 3abt+ 3b
2
t
2
+abt
3
S
: (4)
Za t= 0 in t=a~b res dobimo
%
1
=  (0)=
a
2
; %
2
=  (a~b)=
ac
2b
:
To ni ni  c   cudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na kro  znici,
ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. O urida s pritisnjenima
kro  znicama v O vred se z inverzijo preslika v hiperbolo in njeni asimptoti.
Asimptoti sta tangenti na hiperbolo v neskon  cnosti.
Ekstremne to  cke in prevoj o uride
Kje ima o urida ekstremne to  cke? Katere to  cke na njej imajo lokalne ek-
stremne ordinate, katere lokalne ekstremne abscise? Odgovor se skriva v
odvodih funkcij v (1):
_ x(t)=
t(2a− 3bt−bt
3
)
(1+t
2
)
2
; _ y(t)=
a− 2bt−at
2
(1+t
2
)
2
:
Najla  ze je poiskati t za ekstremni ordinati, v katerih je _ y(t)= 0. Re  sitvi
kvadratne ena  cbe at
2
+ 2bt−a = 0 sta t
1;2
= (−b±c)~a, iz katerih dobimo
to  cki
Y   (c−b)
2
2a
;
c−b
2
  ; Z   (c+b)
2
2a
;−
c+b
2
  :
To  cka Y ima najve  cjo ordinato na o uridi, to  cka Z pa najmanj  so. V teh
dveh to  ckah je tangenta na o urido vodoravna (slika 8).
Te  ze pa je najti na o uridi to  cko X z lokalno ekstremno absciso.
  Ce
postavimo _ x(t) = 0, dobimo t = 0 za dvojno to  cko O, v kateri ima abscisa
o uride najmanj  so vrednost,   ce upo  stevamo samo lok od Z doY , netrivialno
re  sitev na zanki pa dobimo,   ce re  simo kubi  cno ena  cbo bt
3
+3bt−2a= 0. Njeno
edino realno re  sitev t
0
izrazimo po Cardanu:
t
0
=
3
‰
a+c
b
+
3
‰
a−c
b
:
Da bi izra  cunali X(x(t
0
;y(t
0
)), izkoristimo zvezo bt
3
0
+ 3bt
0
− 2a =bt
0
(t
2
0
+
1)− 2(a−bt
0
)= 0, iz   cesar takoj sledi
y(t
0
)=
t
0
(a−bt
0
)
1+t
2
0
=
bt
2
0
2
; x(t
0
)=t
0
y(t
0
)=
bt
3
0
2
=a−
3bt
0
2
:
10 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 11 | #11
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
Lokalno najve  cjo absciso ima torej o urida v to  cki
X   a−
3
2
  3
»
(a+c)b
2
+
3
»
(a−c)b
2
  ;
1
2
  3
»
(a+c)
2
b+
3
»
(a−c)
2
b  −b  :
Slika 8. Lokalno ekstremne to  cke in prevoj o uride.
V prevoju W o uride je njena ukrivljenost, to je obratna vrednost kri-
vinskega polmera  (t), enaka 0. To pomeni, da mora v prevoju parametert
zado  s  cati ena  cbi a
2
−3abt+3b
2
t
2
+abt
3
= 0. Te ena  cbe ne bomo re  sevali, pa  c
pa bomo upo  stevali, da v vsaki to  cki T(x;y) veljax~y =t. To uporabimo v
zgornji ena  cbi, ki jo poenostavimo v abx
3
+3b
2
x
2
y−3abxy
2
+a
2
y
3
= 0, iz (2) pa
izrazimoy
3
=axy−bx
2
−x
2
y. Iz obeh ena  cb dobimo x(bx−ay)(ax+3by−a
2
)=
0. Ena  cba razpade na tri: x = 0, bx−ay = 0 in ax+ 3by−a
2
= 0. Prvi dve
nam dasta to  cko O, kjer ni prevoja. Prevoj o uride je potemtakem na pre-
miciax+3by =a
2
. Za koordinati prevojaW dobimo kubi  cni ena  cbi, katerih
realni re  sitvi se izra  zata precej zapleteno.
O urida, kubi  cne ena  cbe in tretjinjenje kota
Z o uridami lahko re  sujemo tudi kubi  cne ena  cbe z realnimi koe cienti in
posledi  cno tudi tretjinimo kote. Znano je, da lahko vsako kubi  cno ena  cbo s
premikom neznanke pretvorimo v obliko
y
3
+py+q = 0: (5)
  Ce preoblikujemo ena  cbo o uride (2) v kubi  cno ena  cbo glede na y, tudi
dobimo tako obliko:
y
3
+(x
2
−ax)y+bx
2
= 0: (6)
1–14 11
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 12 | #12
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
S primerjavo koe cientov v ena  cbah (5) in (6) dobimo p=x
2
−ax; q =bx
2
.
  Ce sta p in q realna koe cienta, izberemo primeren x
0
≠ 0 in dolo  cimo
konstanti o uride:
a=
x
2
0
−p
x
0
; b=
q
x
2
0
:
Na  crtamo ustrezno o urido, ki ima eno od oblik na sliki 3. Ordinate prese-
  ci  s  c s premico x=x
0
so realne re  sitve ena  cbe (5).
Slika 9. Re  sitev ena  cb y
3
= 2a
3
(levo) in y
3
− 13y+ 12= 0 (desno) z o urido.
Najprej re  simo ena  cbo y
3
− 2a
3
= 0 za a > 0. Njen realni koren je y
0
=
a
3
√
2. Tedaj je p = 0, q =−2a
3
, a =x
0
in b =−2a. Z o urido s konstantama
a in b=−2a tako gra   cno re  simo problem podvojitve kocke. Na sliki 9 levo
je a = SOA
′
S in a
3
√
2 = SA
′
  S. Tako je, kot ka  ze, D. Uhlhorn na svojevrsten
na  cin re  sil problem podvojitve kocke.
Podobno re  sujemo ena  cbo y
3
− 13y+ 12= 0. Zax
0
= 1 dobimo konstanti
o uride a= 14 in b= 12 (slika 9 desno).
Neprakti  cnost take metode re  sevanja kubi  cnih ena  cb,   cesar se je zavedal
D. Uhlhorn, je v tem, da je za vsako ena  cbo treba dolo  citi konstanti a in b
o uride.
Tretjinjenje kota lahko obravnavamo v okviru kubi  cnih ena  cb.
  Ce je
namre  c   = 3  , velja enakost 4 cos
3
  − 3 cos  = cos  , kar pomeni, da pri
znanem kotu     stevilo y = cos  zado  s  ca kubi  cni ena  cbi
y
3
−
3
4
y−
1
4
cos  = 0;
ki je oblike (5) in jo lahko re  sujemo z ustrezno o urido. Dovolj je, da znamo
12 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 13 | #13
i
i
i
i
i
i
Oﬁurida ali kaˇ cjerepnica
to narediti za oster kot  . Tedaj sta cos  in cos  s kotoma  in  natan  cno
dolo  cena, kar pomeni, da pri izbrani enoti lahko za kot   konstruiramo cos  ,
iz dobljenega cos  pa kot   .
O urida in prepogibanje papirja
O urido (2) preseka premica u, ki ima ena  cbo x = a in poteka skozi A
in A
′
, v to  cki T(a;−
3
√
a
2
b) (slika 10). Tedaj je SA
′
TS =
3
√
a
2
b. Premica r
je tangenta na parabolo (ogrinja  co premic skozi M in to  cke na o uridi) v
to  cki D in poteka skozi M(a+ ; 0) in T , je pa tudi simetrala daljice AD
′
.
Iz podobnih trikotnikov OTA
′
in TMA
′
dobimo   = SA
′
MS=
3
√
ab
2
.
  Ce zrcalimo O   cez r, dobimo to  cko O
∗
na premici w, ki ima ena  cbo
x= 2a. Premicav, ki ima ena  cbo y =−b, pa se prezrcali   cez r v premicov
∗
,
ki poteka skozi A.
Slika 10. Zrcaljenje   cez tangento parabole.
Za konstrukcijo daljice z dol  zino
3
√
a
2
b uporabimo tanek prosojen papir
 , na katerem ustvarimo s prepogibanjem med seboj pravokotna prepogiba
x iny, ki se sekata v to  cki O (slika 11). Nato naredimo   se prepogiba u inw,
ki sta desno ody oddaljena zaa oziroma 2a. Presek medx inu ozna  cimo z
A
′
. Nau na razdaljib odx ozna  cimo to  cko A, podx pa naredimo prepogib
v na razdaljib. Nazadnje naredimo prepogib r tako, daO pade vO
∗
naw,
A pa vA
∗
nav. Presek premicr inu je to  cka T , za katero je SA
′
TS=
3
√
a
2
b.
Presek daljice AA
∗
s premico r je to  cka M, za katero je SA
′
MS=
3
√
ab
2
.
  Ce vzamemoa za enoto, je SA
′
TS=
3
√
b,   ce pa izberemo za enoto b, pa je
SA
′
MS=
3
√
a. S tem smo dvakrat konstruirali tretji koren.
1–14 13
i
i
\Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 14 | #14
i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 11. S prepogibanjem papirja do SA
′
TS=
3
√
a
2
b in SA
′
MS=
3
√
ab
2
.
Naloga namesto zaklju  cka
Videli smo, da se z inverzijo na kro  znici s sredi  s  cem v dvojni to  cki o uride
le-ta preslika v hiperbolo, ki tudi poteka skozi to dvojno to  cko. Na isti
kro  znici se hiperbola z inverzijo preslika nazaj v o urido, kar je poseben
primer inverzije hiperbole na kro  znici, ki ima sredi  s  ce na tej hiperboli.
  Ce naredimo inverzijo poljubne hiperbole na kro  znici, ki ima sredi  s  ce na
tej hiperboli, dobimo krivuljo, ki spominja na o urido, ni pa nujno o urida.
Naloga zahteva poiskati na hiperboli tiste to  cke, ki so lahko sredi  s  ca kro  znic,
na katerih se ista hiperbola z inverzijo preslika v o urido. V katerih to  ckah
hiperbole so tangente pravokotne na eno od njenih asimptot? Ali take to  cke
obstajajo za vsako hiperbolo?
LITERATURA
[1] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spektrum, Wiesbaden,
2017.
[2] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt, 2019.
[3] M. Razpet in N. Razpet, Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida,
Obzornik. mat.  z. 67 (2020), 41{51.
[4] A. A. Savelov, Ravninske krivulje,
  Skolska knjiga, Zagreb, 1979.
[5] D. Uhlhorn, Entdeckungen in der h ohern Geometrie, theoretisch und practisch abge-
handelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809.
14 Obzornik mat. ﬁz.69 (2022) 1