i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 1 | #1 i i i i i i OFIURIDA ALI KA CJEREPNICA MARKO RAZPET IN NADA RAZPET Pedago ska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 14H45, 51M15 Predstavljamo ourido, manj znano ravninsko krivuljo, ki jo je prvi obravnaval D. Uhlhorn na za cetku 19. stoletja. Ourida je mno zica to ck, ki jih dobimo s preprostim geometrijskim postopkom, je pa tudi no zi s cna krivulja parabole, inverzna slika hiperbole ter cisoida premice in kro znice. Pokazali bomo, da z ourido lahko re sujemo nekatere kubi cne ena cbe. OPHIURIDE We introduce the ophiuride, a lesser-known planar curve, rst discussed by D. Uhlhorn at the beginning of the 19th century. An ophiuride is a set of points obtained by a simple geometric procedure, but it is also a pedal curve of a parabola, the inverse of a hyperbola, and the cissoid of a line and a circle. We will show that the ophiuride can be used to solve some cubic equations. Uvod Nem ski samouk in iznajditelj Diedrich (tudi Diederich) Uhlhorn (1764{1837) je ze v delavnici svojega o ceta, mizarja, in kasneje v svoji poklicni karieri po- kazal velik talent za izdelavo mehanskih in opti cnih naprav. Samostojno se je nau cil toliko matematike, da je lahko za cel studirati krivulje. D. Uhlhorn je opazoval na delujo cih strojih gibanje to ck, ki opisujejo razne krivulje. Verjetno so bile le-te navdih, da je leta 1809 objavil knjigo [5], v kateri je precej natan cno obravnaval ve c ravninskih krivulj, ki jim je dal tudi imena, jih zapisal v pravokotnih kartezi cnih koordinatah in dognal njihove glavne lastnosti, pri cemer je uporabljal tudi odvod. Za nekatere krivulje je izde- lal in na koncu knjige objavil na crte orodij, s katerimi bi te krivulje lahko na crtovali. D. Uhlhorn v svoji knjigi na prvem mestu obravnava ravno ourido in njeno uporabo ter opi se orodje za njeno na crtovanje. Posveti ji kar 40 strani. Besedo ourida izvaja iz gr skih besed os , kar pomeni ka ca , v nem- s cini Schlange, in our a, kar pomeni rep, v nem s cini Schwanz. Iz tega je za ourido D. Uhlhorn sestavil nem sko besedo Schlangenschwanzlinie, kar pomeni dobesedno ka cjerepa crta , lep se in kraj se ka cjerepnica . Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 2 | #2 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet D. Uhlhorn uporablja ourido tudi za re sitev anti cnih problemov pod- vojitve kocke in tretjinjenje kota. Anti cni matematiki so sicer uporabljali nekaj krivulj za re sevanje teh dveh problemov, ni pa videti, da bi poznali tudi ourido. Vse ka ze, da je bil D. Uhlhorn prvi, ki se je kar natan cno ukvarjal z njo (glej [2]). Na crtovanje z njegovim orodjem pa nas se najbolj spominja na znano Platonovo re sitev problema podvojitve kocke z dvema kotnikoma, o cemer je nekaj napisanega v [3]. Ourida je ravninska krivulja, ki jo dolo cajo trije podatki: premica p, izbrana to cka O na p in izbrana to cka A, ki ni na p. Premica p in to cki O ter A so za izbrano ourido stalnice. Slika 1. Konstrukcija to cke na ouridi. Oglejmo si, kako najenostavneje konstruiramo posamezne to cke T na ouridi, ki jo dolo cajo p, O in A. Najprej na p izberemo to cko M in kon- struiramo premico q skozi A in M. Nato konstruiramo v M pravokotnico r na q, nazadnje pa se pravokotnico s skozi O na r. Premici q in s sta vzporedni. Premici r in s se sekata v to cki T . Ko to cka M prete ce p, to cka T opi se krivuljo, ki jo zaradi njene oblike imenujemo ourida . Del krivulje ima obliko zanke (slika 1). Analiti cna obravnava ouride Tako kot D. Uhlhorn bomo ourido obravnavali z metodami analiti cne ge- ometrije. Dodali pa bomo se marsikaj, kar mu ni bilo znano. Vpeljemo pravokotni kartezi cni koordinatni sistem Oxy. Vlogo premicep bo igrala os x, vlogo to cke O koordinatno izhodi s ce, to cka A(a;b) pa naj bo v prvem 2 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 3 | #3 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica kvadrantu. Pozitivni stevili a in b ourido v koordinatnem sistemu Oxy natan cno dolo cata. Pravokotna projekcija to cke A na osx je to cka A ′ (a; 0), na ordinatno os pa to cka A ′′ (0;b). To cka A je od O oddaljena za c= √ a 2 +b 2 . Slika 2. Ourida v koordinatnem sistemu. Vpeljemo relativno absciso to cke M glede naA ′ , tako da jeM(a+; 0). Brez te zav zapi semo ena cbe premic q, r in s: q∶ y =− b (x−a− ); r∶ y = b (x−a− ); s∶ y =− b x: To cka T na ouridi je presek premic r in s in ima koordinati x T = (a+ ) 2 b 2 + 2 ; y T =− b(a+ ) b 2 + 2 : Da bi ourido cim lep se parametrizirali, vpeljemo z relacijo =−bt stevilski parameter t in dobimo: x(t)= (a−bt)t 2 1+t 2 ; y(t)= (a−bt)t 1+t 2 : (1) To sta parametri cni ena cbi ouride. Takoj opazimo, da Sx(t)S→∞ iny(t)→ −b, ko StS→∞. To pomeni, da je y =−b vodoravna asimptota ouride. Ko parameter t nara s ca od zelo velikih negativnih vrednosti proti 0, to cka T potuje v cetrtem kvadrantu, njena abscisa se manj sa, ordinata pa dose ze nekje najmanj so vrednost, ki jo bomo kasneje izra cunali. Za t<−b~a poteka ourida pod svojo asimptoto, za t = −b~a jo preseka v to cki B(b 2 ~a;−b), za −b~a < t < 0 pa poteka nad asimptoto in za t = 0 dose ze koordinatno izhodi s ce O. V cetrtem kvadrantu ima ourida tudi prevoj. Za t = a~b 1–14 3 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 4 | #4 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet dose ze T se enkrat to cko O, za t∈ [0;a~b] opi se v negativni smeri v prvem kvadrantu zanko, katere velikost je odvisna od razmerja konstanta inb. Ko t nara s ca od a~b prek vseh meja, potuje T po tretjem kvadrantu in se od zgoraj pribli zuje asimptoti ouride. Iz ena cb (1) vidimo, da velja zveza x(t)~y(t)=t. Z izlo citvijo parametra t najdemo implicitno ena cbo ouride: y(x 2 +y 2 )=x(ay−bx): (2) Ourida je algebrska krivulja tretje stopnje in je dolo cena s konstantama a inb. Ker se jo da parametrizirati z racionalnima funkcijama, je racionalna krivulja. D. Uhlhorn je njeno implicitno ena cbo na sel, ni pa se ukvarjal z njeno parametrizacijo. Ena cba (2) je kvadratna za spremenljivko x, ki se jo da izraziti zy. D. Uhlhorn je vztrajal pri tem in na sel ve c lastnosti ouride. Videli bomo, da se jo da lepo obravnavati v parametri cni obliki. V ena cbi (2) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstante a ali b. Iz ouride s konstantama SaS in SbS dobimo ouride za vse primere s preprostimi transformacijami, in sicer: za a> 0 inb< 0 z zrcaljenjem cez os x, zaa< 0 inb> 0 z zrcaljenjem cez os y ter zaa< 0 inb< 0 z zrcaljenjem cez koordinatno izhodi s ce (slika 3). To ustreza izbiri to cke A glede na premicop in to cko O na njej (slika 1) oziroma postavitvi to cke A v ustrezen kvadrant. Slika 3. Ourida in predznaka konstant a in b. 4 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 5 | #5 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Kaj pa, ce dovolimo, da je v ena cbi (2) katera od konstant a in b enaka 0? Za a = b = 0 dobimo kar abscisno os, y = 0. Za a = 0 in b ≠ 0 pa x 2 (y +b) = −y 3 , kar je ena cba Dioklove cisoide, ki ima v to cki O ost z navpi cno tangento in ne zanke ter vodoravno asimptoto y =−b. Ugotovitvi nista v nasprotju z denicijo ouride v Uvodu. Za a ≠ 0 in b = 0 dobimo iz ena cbe (2) ena cbo y(x 2 +y 2 −ax) = 0, ki predstavlja unijo premice y = 0 in kro znice x 2 +y 2 −ax = 0 s sredi s cem v to cki S(a~2; 0) in polmerom % = SaS~2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju z uvodno denicijo ouride. To cka A ≠ O v tem primeru le zi na premici p (slika 1). Za M ≠ A dobimo vse to cke T na p. Za M = A pa je treba upo stevati vse premice q skozi A, vse pravokotnice r skozi A na q in vse pravokotne projekcije to cke O na r. S tem dobimo to cke T , ki le zijo na kro znici s sredi s cem v sredi s cu daljice OA in polmerom %= SOAS~2. Zato lahko brez skode za splo snost obravnavamo samo primer a > 0 in b > 0. Za zelo majhne x in y v (2) prevlada desna stran. To pomeni, da je pribli zek ouride tedaj krivulja x(ay−bx)= 0, ki pa razpade na premici x = 0 in ay = bx, ki sta tangenti na ourido v njeni dvojni to cki O. Prva poteka skozi O in A ′′ , druga pa skozi O in A (slika 4). Slika 4. Tangenti na ourido v njeni dvojni to cki. Parametri cna oblika ouride je primerna za izra cun plo s cine S(a;b) lika, ki ga omejuje njena zanka. Uporabimo formulo S(a;b)=− 1 2 S a~b 0 (x(t) _ y(t)−y(t) _ x(t))dt; v kateri je s piko ozna cen odvod po parametru t. Predznak minus stoji pred integralom zato, ker to cka T(x(t);y(t)) opi se zanko v negativni smeri, ko t 1–14 5 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 6 | #6 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet te ce po integracijskem intervalu. Po dalj sem ra cunu dobimo: S(a;b)= 1 2 S a~b 0 t 2 (a−bt) 2 (1+t 2 ) 2 dt= 1 4 (a 2 − 3b 2 ) arctg a b + 3ab 4 −ab ln c b ; kjer je c = √ a 2 +b 2 . V posebnem primeru a = 0;b ≠ 0 je S(0;b) = 0, kar ni presenetljivo, saj ourida, ko a→ 0 pri b ≠ 0, preide v Dioklovo cisoido, zanka ouride pa se stisne v to cko. Ourida kot cisoida premice in kro znice To cko O pravokotno projicirajmo na premico q (slika 5). Dobimo to cko P , premico skozi O in P pa ozna cimo z n. Ena cba premice n je by = x . Preprost ra cun poka ze, da ima to cka P koordinati x P = b 2 (a+ ) b 2 + 2 ; y P = b (a+ ) b 2 + 2 : Ni te zko videti, da koordinati to cke P zado s cata ena cbi kro znice x 2 +y 2 =ax+by; ki je o crtana pravokotniku OA ′ AA ′′ . Njeno sredi s ce je v to cki S(a~2;b~2), polmer pa c~2. Ko te ce M po premici p, te ce P po tej kro znici. Premica n preseka premico y =b v to cki Q(b 2 ~;b ). Za vektor —⇀ QP v standardni bazi dobimo —⇀ QP = b 2 (a −b 2 ) (b 2 + 2 ) ; b(a −b 2 ) b 2 + 2 : Ce vpeljemo nov stevilski parameter z relacijo =b, dobimo —⇀ QP = (a−b ) 2 1+ 2 ; (a−b ) 1+ 2 : Na premici n dolo cimo to cko T ′ tako, da velja ——⇀ OT ′ = —⇀ QP . To pa pomeni, daT ′ te ce po ouridi, ko M te ce po premici p. Ourida (2) je torej v smislu denicij v [1, 4] cisoida premice y =b in kro znice x 2 +y 2 =ax+by. Do enakega rezultata pridemo tudi, ce ourido (2) zapi semo v polarnih koordinatah: r =a cos’+b sin’−b~ sin’: 6 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 7 | #7 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Slika 5. Ourida in kro znica. Ourida kot no zi s cna krivulja parabole Ko spreminjamo to cko M po premici p, premice r ogrinjajo neko krivuljo. Poi s cemo jo po standardnem postopku. Enoparametri cna dru zina premic r je dana z ena cbo F(x;y; )=by− (x−a− )= 0: Njihovo ogrinja co, ovojnico ali envelopo dobimo, ce iz sistema ena cb F(x;y; )= 0; @F @ (x;y; )= 0 izlo cimo parameter . Rezultat je preprost. Iskana ogrinja ca je parabola 4by = (x−a) 2 : (3) Njeno teme je to cka A ′ (a; 0), gori s ce je to cka A(a;b), vodnicav pa asimptota ouride. To cke T so pravokotne projekcije ali no zi s ca to cke O na tangente te parabole. To pomeni, da je ourida no zi s cna krivulja parabole glede na to cko na njeni temenski tangenti (slika 6). V kateri to cki T 0 (x 0 ;y 0 ) se ourida in parabola dotikata? Da bi odgo- vorili na to vpra sanje, moramo re siti sistem ena cb (2) in (3). Ko izlo cimo neznanko y, dobimo (x 3 − 3ax 2 +(3a 2 + 8b 2 )x−a 3 ) 2 = 0. Re siti je treba ku- bi cno ena cbo x 3 −3ax 2 +(3a 2 +8b 2 )x−a 3 = 0, ki se po uvedbi nove neznanke 1–14 7 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 8 | #8 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet Slika 6. Ourida in parabola. =x−a prevede v enostavnej so: 3 + 8b 2 + 8ab 2 = 0. Po Cardanu dobimo realen koren 0 = √ 3 3 3 … 4b 2 ( − 3a √ 3)− 3 … 4b 2 ( + 3a √ 3) ; pri cemer je = √ 27a 2 + 32b 2 . Iskana to cka je torej T 0 ( 0 +a; 2 0 ~(4b)). Izka ze se, da je ta to cka na zanki ouride od njene dvojne to cke O najbolj oddaljena. Premica r se parabole dotika v to cki D(a+ 2; 2 ~b). Pravokotna pro- jekcija dotikali s ca D na vodnico v parabole je D ′ (a+ 2; −b) in premica r, tangenta na parabolo v D, je simetrala daljice AD ′ . To lastnost lahko iz- koristimo za konstrukcijo kubi cnega korena z metodo prepogibanja papirja, kar bomo naredili na koncu prispevka. Ourida in hiperbola Kaj dobimo z inverzijo ouride (2) na kro znici x 2 +y 2 = a 2 ? Inverzija na taki kro znici je preslikava ∶ (x;y)z→ a 2 x x 2 +y 2 ; a 2 y x 2 +y 2 : 8 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 9 | #9 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Ko jo uporabimo v ena cbi ouride in dobljeni izraz poenostavimo, dobimo ena cbo axy−bx 2 =a 2 y, iz katere sledi y = bx 2 a(x−a) = bx a +b+ ab x−a : Iskana krivulja je sto znica, in sicer hiperbola z asimptotama x=a in y = bx a +b: Prese ci s ce asimptot je sredi s ce S h (a; 2b) hiperbole (slika 7). Slika 7. Ourida in hiperbola. Po sevna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na ourido v to cki O. Inverzija seveda preslika hiperbolo nazaj v ourido. Kaj pa asimp- toti? Navpi cna asimptota se preslika v kro znico x 2 +y 2 = ax s sredi s cem v to cki S 1 (a~2; 0) in polmerom % 1 =a~2 in se dotika navpi cne tangente na ourido v O, po sevna pa v kro znico b(x 2 +y 2 ) = a 2 y−abx s sredi s cem v to cki S 2 (a~2;a 2 ~(2b)) in polmerom % 2 = ac~(2b). Ta kro znica se v O do- tika po sevne tangente na ourido v O. Sredi s ce S 2 le zi namre c na premici by =−ax, ki je pravokotna na po sevno tangento na ourido v O. Opazimo tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstante a. Obe kro znici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni kro- znici na ourido v to cki O. Kako to vidimo? V to cki, ki jo dolo ca parameter t, je krivinski polmer 1–14 9 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 10 | #10 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet (t)= ( _ x 2 (t)+ _ y 2 (t)) 3~2 S _ x(t)y(t)− x(t) _ y(t)S = (a 2 − 4abt+ 4b 2 t 2 +b 2 t 4 ) 3~2 2Sa 2 − 3abt+ 3b 2 t 2 +abt 3 S : (4) Za t= 0 in t=a~b res dobimo % 1 = (0)= a 2 ; % 2 = (a~b)= ac 2b : To ni ni c cudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na kro znici, ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. Ourida s pritisnjenima kro znicama v O vred se z inverzijo preslika v hiperbolo in njeni asimptoti. Asimptoti sta tangenti na hiperbolo v neskon cnosti. Ekstremne to cke in prevoj ouride Kje ima ourida ekstremne to cke? Katere to cke na njej imajo lokalne ek- stremne ordinate, katere lokalne ekstremne abscise? Odgovor se skriva v odvodih funkcij v (1): _ x(t)= t(2a− 3bt−bt 3 ) (1+t 2 ) 2 ; _ y(t)= a− 2bt−at 2 (1+t 2 ) 2 : Najla ze je poiskati t za ekstremni ordinati, v katerih je _ y(t)= 0. Re sitvi kvadratne ena cbe at 2 + 2bt−a = 0 sta t 1;2 = (−b±c)~a, iz katerih dobimo to cki Y (c−b) 2 2a ; c−b 2 ; Z (c+b) 2 2a ;− c+b 2 : To cka Y ima najve cjo ordinato na ouridi, to cka Z pa najmanj so. V teh dveh to ckah je tangenta na ourido vodoravna (slika 8). Te ze pa je najti na ouridi to cko X z lokalno ekstremno absciso. Ce postavimo _ x(t) = 0, dobimo t = 0 za dvojno to cko O, v kateri ima abscisa ouride najmanj so vrednost, ce upo stevamo samo lok od Z doY , netrivialno re sitev na zanki pa dobimo, ce re simo kubi cno ena cbo bt 3 +3bt−2a= 0. Njeno edino realno re sitev t 0 izrazimo po Cardanu: t 0 = 3 ‰ a+c b + 3 ‰ a−c b : Da bi izra cunali X(x(t 0 ;y(t 0 )), izkoristimo zvezo bt 3 0 + 3bt 0 − 2a =bt 0 (t 2 0 + 1)− 2(a−bt 0 )= 0, iz cesar takoj sledi y(t 0 )= t 0 (a−bt 0 ) 1+t 2 0 = bt 2 0 2 ; x(t 0 )=t 0 y(t 0 )= bt 3 0 2 =a− 3bt 0 2 : 10 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 11 | #11 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica Lokalno najve cjo absciso ima torej ourida v to cki X a− 3 2 3 » (a+c)b 2 + 3 » (a−c)b 2 ; 1 2 3 » (a+c) 2 b+ 3 » (a−c) 2 b −b : Slika 8. Lokalno ekstremne to cke in prevoj ouride. V prevoju W ouride je njena ukrivljenost, to je obratna vrednost kri- vinskega polmera (t), enaka 0. To pomeni, da mora v prevoju parametert zado s cati ena cbi a 2 −3abt+3b 2 t 2 +abt 3 = 0. Te ena cbe ne bomo re sevali, pa c pa bomo upo stevali, da v vsaki to cki T(x;y) veljax~y =t. To uporabimo v zgornji ena cbi, ki jo poenostavimo v abx 3 +3b 2 x 2 y−3abxy 2 +a 2 y 3 = 0, iz (2) pa izrazimoy 3 =axy−bx 2 −x 2 y. Iz obeh ena cb dobimo x(bx−ay)(ax+3by−a 2 )= 0. Ena cba razpade na tri: x = 0, bx−ay = 0 in ax+ 3by−a 2 = 0. Prvi dve nam dasta to cko O, kjer ni prevoja. Prevoj ouride je potemtakem na pre- miciax+3by =a 2 . Za koordinati prevojaW dobimo kubi cni ena cbi, katerih realni re sitvi se izra zata precej zapleteno. Ourida, kubi cne ena cbe in tretjinjenje kota Z ouridami lahko re sujemo tudi kubi cne ena cbe z realnimi koecienti in posledi cno tudi tretjinimo kote. Znano je, da lahko vsako kubi cno ena cbo s premikom neznanke pretvorimo v obliko y 3 +py+q = 0: (5) Ce preoblikujemo ena cbo ouride (2) v kubi cno ena cbo glede na y, tudi dobimo tako obliko: y 3 +(x 2 −ax)y+bx 2 = 0: (6) 1–14 11 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 12 | #12 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet S primerjavo koecientov v ena cbah (5) in (6) dobimo p=x 2 −ax; q =bx 2 . Ce sta p in q realna koecienta, izberemo primeren x 0 ≠ 0 in dolo cimo konstanti ouride: a= x 2 0 −p x 0 ; b= q x 2 0 : Na crtamo ustrezno ourido, ki ima eno od oblik na sliki 3. Ordinate prese- ci s c s premico x=x 0 so realne re sitve ena cbe (5). Slika 9. Re sitev ena cb y 3 = 2a 3 (levo) in y 3 − 13y+ 12= 0 (desno) z ourido. Najprej re simo ena cbo y 3 − 2a 3 = 0 za a > 0. Njen realni koren je y 0 = a 3 √ 2. Tedaj je p = 0, q =−2a 3 , a =x 0 in b =−2a. Z ourido s konstantama a in b=−2a tako gra cno re simo problem podvojitve kocke. Na sliki 9 levo je a = SOA ′ S in a 3 √ 2 = SA ′ S. Tako je, kot ka ze, D. Uhlhorn na svojevrsten na cin re sil problem podvojitve kocke. Podobno re sujemo ena cbo y 3 − 13y+ 12= 0. Zax 0 = 1 dobimo konstanti ouride a= 14 in b= 12 (slika 9 desno). Neprakti cnost take metode re sevanja kubi cnih ena cb, cesar se je zavedal D. Uhlhorn, je v tem, da je za vsako ena cbo treba dolo citi konstanti a in b ouride. Tretjinjenje kota lahko obravnavamo v okviru kubi cnih ena cb. Ce je namre c = 3 , velja enakost 4 cos 3 − 3 cos = cos , kar pomeni, da pri znanem kotu stevilo y = cos zado s ca kubi cni ena cbi y 3 − 3 4 y− 1 4 cos = 0; ki je oblike (5) in jo lahko re sujemo z ustrezno ourido. Dovolj je, da znamo 12 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 13 | #13 i i i i i i Ofiurida ali kaˇ cjerepnica to narediti za oster kot . Tedaj sta cos in cos s kotoma in natan cno dolo cena, kar pomeni, da pri izbrani enoti lahko za kot konstruiramo cos , iz dobljenega cos pa kot . Ourida in prepogibanje papirja Ourido (2) preseka premica u, ki ima ena cbo x = a in poteka skozi A in A ′ , v to cki T(a;− 3 √ a 2 b) (slika 10). Tedaj je SA ′ TS = 3 √ a 2 b. Premica r je tangenta na parabolo (ogrinja co premic skozi M in to cke na ouridi) v to cki D in poteka skozi M(a+; 0) in T , je pa tudi simetrala daljice AD ′ . Iz podobnih trikotnikov OTA ′ in TMA ′ dobimo = SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Ce zrcalimo O cez r, dobimo to cko O ∗ na premici w, ki ima ena cbo x= 2a. Premicav, ki ima ena cbo y =−b, pa se prezrcali cez r v premicov ∗ , ki poteka skozi A. Slika 10. Zrcaljenje cez tangento parabole. Za konstrukcijo daljice z dol zino 3 √ a 2 b uporabimo tanek prosojen papir , na katerem ustvarimo s prepogibanjem med seboj pravokotna prepogiba x iny, ki se sekata v to cki O (slika 11). Nato naredimo se prepogiba u inw, ki sta desno ody oddaljena zaa oziroma 2a. Presek medx inu ozna cimo z A ′ . Nau na razdaljib odx ozna cimo to cko A, podx pa naredimo prepogib v na razdaljib. Nazadnje naredimo prepogib r tako, daO pade vO ∗ naw, A pa vA ∗ nav. Presek premicr inu je to cka T , za katero je SA ′ TS= 3 √ a 2 b. Presek daljice AA ∗ s premico r je to cka M, za katero je SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Ce vzamemoa za enoto, je SA ′ TS= 3 √ b, ce pa izberemo za enoto b, pa je SA ′ MS= 3 √ a. S tem smo dvakrat konstruirali tretji koren. 1–14 13 i i \Razpet" | 2022/3/21 | 8:13 | page 14 | #14 i i i i i i Marko Razpet in Nada Razpet Slika 11. S prepogibanjem papirja do SA ′ TS= 3 √ a 2 b in SA ′ MS= 3 √ ab 2 . Naloga namesto zaklju cka Videli smo, da se z inverzijo na kro znici s sredi s cem v dvojni to cki ouride le-ta preslika v hiperbolo, ki tudi poteka skozi to dvojno to cko. Na isti kro znici se hiperbola z inverzijo preslika nazaj v ourido, kar je poseben primer inverzije hiperbole na kro znici, ki ima sredi s ce na tej hiperboli. Ce naredimo inverzijo poljubne hiperbole na kro znici, ki ima sredi s ce na tej hiperboli, dobimo krivuljo, ki spominja na ourido, ni pa nujno ourida. Naloga zahteva poiskati na hiperboli tiste to cke, ki so lahko sredi s ca kro znic, na katerih se ista hiperbola z inverzijo preslika v ourido. V katerih to ckah hiperbole so tangente pravokotne na eno od njenih asimptot? Ali take to cke obstajajo za vsako hiperbolo? LITERATURA [1] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017. [2] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt, 2019. [3] M. Razpet in N. Razpet, Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida, Obzornik. mat. z. 67 (2020), 41{51. [4] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Skolska knjiga, Zagreb, 1979. [5] D. Uhlhorn, Entdeckungen in der hohern Geometrie, theoretisch und practisch abge- handelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809. 14 Obzornik mat. fiz.69 (2022) 1