i
i
“kolofon” — 2019/12/13 — 13:12 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, MAJ 2019, letnik 66, številka 3, strani 81–120
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: info@dmfa-zaloznistvo.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1100 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2019 DMFA Slovenije – 2108 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 81 — #1 i
i
i
i
i
i
KATAKAVSTIKA BERNOULLIJEVE LEMNISKATE
MARKO RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2010): 01A45, 53A04
V prispevku predstavljamo kratko zgodovino Bernoullijeve lemniskate in njeno kata-
kavstiko za sredǐsčne žarke.
A CATACAUSTIC OF THE BERNOULLI LEMNISCATE
A brief history of the Bernoulli lemniscate and its catacaustic for central rays are
presented.
Uvod
Kot že naslov pove, je osnova obravnavane katakavstike imela opravka z ma-
tematično družino Bernoullijevih v švicarskem Baslu. Lemniskato sta na-
mreč že poznala matematika, brata Jakob (1655–1705) in Johann Bernoulli
(1667–1748). Jakob je leta 1694 v septembrski številki revije Acta Erudito-
rum objavil članek (navajamo samo del naslova) Constructio curvæ acces-
sus & recessus æquabilis, ki omenja algebrsko krivuljo z enačbo x2 + y2 =
a
√
x2 − y2. Danes jo običajno zapǐsemo v kartezičnih koordinatah z enačbo
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).
Prej omenjeni članek je dodatek Bernoullijevemu prispevku iz junijske
številke iste revije, kar je razvidno iz drugega dela naslova. Napisan je v
latinščini. Izvor ima sicer v povsem drugem problemu, in sicer v teoriji
elastičnosti. Za nas pa je v članku zanimiva uporaba besede lemnisci, kar je
rodilnik ednine samostalnika lemniscus. Bernoulli pǐse, da je krivulja četrte
razsežnosti in ima obliko (namenoma uporabljamo starinske črke)
. . . jacentis notæ oonarii∞, seu complicatæ in nodum fasciæ, sive le-
mnisci, d’un nœud de ruban Gallis.
Bernoulli s tem pove, da ima omenjena krivulja obliko ležeče osmice, to-
rej ∞, ali v vozel zvitega traku ali lemniskusa, obliko vozla francoskega
traku. Navedeno besedilo je deloma v francoščini, kar je v reviji zapi-
sano kurzivno. Namesto enačba ali krivulja četrte razsežnosti danes rečemo
enačba ali krivulja četrte stopnje.
Beseda lemniscus je bila Bernoulliju všeč in krivuljo je na koncu članka
poimenoval curva lemniscata, s trakovi okrašena krivulja, Bernoulliju na
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 81
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 82 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
čast pa jo imenujemo Bernoullijeva lemniskata, da jo razlikujemo od drugih
lemniskat.
Beseda lemniscus je grškega izvora. Stari Grki so zmagovalcu na športnih
igrah na glavo pripeli lovorjev venec s posebnim volnenim trakom, ki se
imenuje v grščini λημνίσκος. Nekateri besedo izpeljujejo iz λῆμος, kar pomeni
volna, drugi (na primer [5]) pa iz imena otoka Lemnos, Λῆμνος, kjer naj bi
prvi izdelovali take trakove. Beseda lemniscus je znana tudi v anatomiji.
Ljudje nosimo lemniskuse v glavi, ne da bi za to sploh vedeli: lemniscus
medialis, lemniscus lateralis in lemniscus trigeminalis.
Besedo lemniskata najdemo tudi v imenih nekaterih drugih krivulj, na
primer: Boothova lemniskata, Geronova lemniskata in Brualdijeva lemni-
skata. Ker teh ne bomo obravnavali, bomo Bernoullijevo lemniskato odslej
imenovali kar lemniskata.
Lemniskata kot Cassinijev oval
Jakob Bernoulli še ni vedel, da je lemniskati sorodne krivulje, Cassini-
jeve ovale, poznal že Giovanni Domenico Cassini (1625–1712), italijansko-
francoski matematik in astronom. Lemniskata je poseben primer Cassinije-
vih ovalov. Oglejmo si, kako definiramo Cassinijeve ovale.
Znano je, da je elipsa množica točk T v ravnini, za katere je vsota razdalj
od dveh izbranih točk G1 in G2 (G1 6= G2) te ravnine konstantna. Podobno
je hiperbola množica točk T v ravnini, za katere je razlika razdalj od dveh
izbranih točk G1 in G2 te ravnine konstantna. Kaj pa, če vsoto oziroma
razliko nadomestimo s produktom ali kvocientom? Za kvocient je odgovor
preprost: krožnica, ki ji pravimo Apolonijeva krožnica. Če pa vzamemo
produkt, dobimo Cassinijev oval. Torej: Cassinijev oval je množica točk T
v ravnini, za katere je produkt razdalj od dveh izbranih točk G1 in G2 te
ravnine konstanten.
Če označimo r1 = |G1T | in r2 = |G2T | ter izberemo za konstanto neko
dolžino k, potem je enačba Cassinijevega ovala r1 · r2 = k2. Pri tem smo
vzeli k2 zato, da uskladimo dimenzije obeh strani enačbe. Točki G1 in G2 po
zgledu elipse in hiperbole imenujemo gorǐsči ovala. S točkama G1 in G2 smo
v ravnini vzpostavili tako imenovani bipolarni koordinatni sistem. Razdalji
r1 in r2 določata točki T in T
′, ki sta si zrcalni glede na premico skozi G1 in
G2. Razdalji r1 in r2 imenujemo prevodnici (poimenovanje po [7]) ustrezne
točke. Elipsa ima v bipolarnem koordinatnem sistemu enačbo r1 + r2 = 2a,
hiperbola pa |r1 − r2| = 2a.
82 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 83 — #3 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Kako pridemo do enačbe Cassinijevega ovala? V koordinatnem sistemu
Oxy izberemo gorǐsči G1(−c, 0) in G2(c, 0). Pri tem je c = |G1G2|/2 > 0
polovica medgorǐsčne razdalje. Prevodnici točke T (x, y) sta
r1 = |G1T | =
√
(x+ c)2 + y2, r2 = |G2T | =
√
(x− c)2 + y2.
Enačba Cassinijevega ovala v kartezičnih koordinatah je potem√
(x+ c)2 + y2 ·
√
(x− c)2 + y2 = k2.
Ko odpravimo korene in enačbo preuredimo, dobimo
(x2 + y2)2 − 2c2(x2 − y2) = k4 − c4.
Oval je simetričen glede na os x in glede na os y ter glede na koordina-
tno izhodǐsče O, ki je njegovo sredǐsče. Oblika ovala je močno odvisna od
razmerja k/c. Za k > c je oval enodelna, za k < c pa dvodelna sklenjena
krivulja brez samopresečǐsč.
Zanimiv je mejni primer k = c, ko je krivulja sicer enodelna, toda samo
sebe preseka v točki O (slika 1). To je ravno lemniskata, za katero velja
r1 · r2 = c2, v pravokotnih kartezičnih koordinatah pa
(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2).
Krivulja poteka skozi koordinatno izhodǐsče, je simetrična glede na obe ko-
ordinatni osi in glede na svoje samopresečǐsče O, kjer se seka pod pravim
kotom. Tangenti v O sta premici y = x in y = −x. Če vpeljemo polos le-
mniskate a = c
√
2, lahko njeno enačbo zapǐsemo v obliki, ki smo jo zapisali
v uvodu:
(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2).
Lemniskata os x preseka v svojih temenih P (−a, 0) in Q(a, 0). Točke E1, E2,
F1 in F2 na lemniskati, ki imajo ekstremne ordinate, ustrezajo polarnemu
radiju c.
Z uvedbo polarnih koordinat % in ϕ, tako da je x = % cosϕ in y = % sinϕ,
dobimo enačbo lemniskate v polarni obliki: % = a
√
cos 2ϕ.
Pri geometrijski konstrukciji posameznih točk Cassinijevih ovalov, in s
tem tudi lemniskate, se je treba nasloniti na kak izrek iz evklidske geometrije,
ki govori o produktu dveh razdalj, na primer na vǐsinski izrek v pravokotnem
trikotniku ali na izrek o potenci točke glede na krožnico.
Lemniskata omejuje dva skladna lista. Njuno skupno ploščino S je prvi
pravilno izračunal Giulio Carlo Fagnano dei Toschi (1682–1766) okoli leta
81–89 83
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 84 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 1. Osnovni elementi Bernoullijeve lemniskate.
1750. Rezultat je presenetljivo preprost: S = 2c2 = a2. Dolžina lemniskate
pa je delala matematikom kar hude težave, ker ni izrazljiva z elementarnimi
funkcijami. Bernoulli je znal izraziti diferencial ds loka lemniskate s polar-
nim radijem %. Velja namreč ds2 = %2 dϕ2 + d%2. Iz polarne oblike dobimo
najprej z diferenciranjem
d% = − a sin 2ϕ√
cos 2ϕ
dϕ = −a
2 sin 2ϕ
%
dϕ,
nato pa
d%2 =
a4
%2
(1− cos2 2ϕ) dϕ2 = a
4 − %4
%2
dϕ2.
Nazadnje dobimo preprost rezultat
ds =
a2√
a4 − %4
d%.
Za dolžino s lemniskate je dovolj, da izrazimo dolžino ` njenega dela v prvem
kvadrantu:
` = a2
∫ a
0
d%√
a4 − %4
.
S pomočjo substitucij % = au in % = a cosψ lahko rezultat zapǐsemo v
oblikah
` =
aΓ2(1/4)
4
√
2π
=
a√
2
K(1/
√
2),
pri čemer je Γ Eulerjeva funkcija gama, K pa popolni eliptični integral prve
vrste v Legendrovi obliki:
Γ(p) =
∫ ∞
0
xp−1e−x dx (p > 0), K(k) =
∫ π/2
0
dψ√
1− k2 sin2 ψ
(0 < k < 1).
84 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 85 — #5 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Osnovna lastnost funkcije Γ je njena rekurzivna enačba
Γ(p+ 1) = pΓ(p) (p > 0).
Pri izpeljavi prvega izraza za ` uporabimo tudi Eulerjevo funkcijo B (beta),
ki je definirana z izrazom
B(p, q) =
∫ 1
0
xp−1(1− x)q−1 dx (p > 0, q > 0),
in formule
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p+ q)
, Γ(p)Γ(1− p) = π
sin pπ
(0 < p < 1), Γ(1/2) =
√
π.
Po zgledu četrtine krožnice s polmerom a in dolžino πa/2 so za lemniskato
s polosjo a vpeljali število $ (pi skript), tako da je ` = $a/2 (več o tem na
primer v [1]). Grobi približek za število $ je 2,622, natančna vrednost pa
se izraža kot
$ =
Γ2(1/4)
2
√
2π
=
√
2K(1/
√
2).
Drug razlog za uvedbo števila $ sta analogni obliki za dolžino krožnice
in lemniskate pri a = 1:
π = 2
∫ 1
0
dt√
1− t2
, $ = 2
∫ 1
0
dt√
1− t4
.
Računanje dolžine lemniskate je bil začetek razvoja teorije eliptičnih inte-
gralov in eliptičnih funkcij, s katerimi so se veliko ukvarjali na primer Leon-
hard Euler (1707–1783), Adrien-Marie Legendre (1752–1833), Carl Friedrich
Gauß (1777–1855), Niels Henrik Abel (1802–1829), Carl Gustav Jacob Ja-
cobi (1804–1851) in Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (1815–1897).
Normala in tangenta na lemniskato ter katakavstika
Za krivuljo, ki je podana v polarni obliki, je kot µ, ki ga tangenta t v točki
T s polarnima koordinatama ϕ in % na krivulji oklepa z daljico OT , dan s
splošno formulo
tgµ =
%
%′
.
Črtica označuje odvajanje polarnega radija po kotu ϕ. Izpeljavo te po-
membne formule v teoriji krivulj najdemo na primer v [7]. Za Bernoullijevo
lemniskato je
tgµ = − ctg 2ϕ,
81–89 85
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 86 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 2. Odboj sredǐsčnega žarka na lemniskati.
iz česar sledi µ = π/2 − 2ϕ, če je T v prvem kvadrantu. Omejitev na
prvi kvadrant za naše potrebe popolnoma zadošča. Kot med krajevnim
vektorjem in normalo n pa je tako enak 2ϕ. Normala n seka abscisno os
pod kotom 3ϕ (slika 2).
To pomeni, da normalo in tangento na Bernoullijevo lemniskato v dani
točki T konstruiramo s kotom 2ϕ, ki ima en krak enak TO in vrh v točki T .
Obstaja pa še nekaj postopkov za konstrukcijo tangente v točki lemniskate
(glej na primer [3, 6]). Še več zanimivih lastnosti lemniskate najdemo v [2].
Avtor jih je navedel in dokazal v [4].
Katakavstika ravninske krivulje je ogrinjača premic nosilk odbitih žar-
kov, ki iz skupne točke z imenom radiant padajo v ravnini krivulje na to
krivuljo. Upoštevamo samo prvi odboj na krivulji. Radiant je lahko »v
neskončnosti«. Takrat so na krivuljo padajoči žarki med seboj vzporedni
v neki smeri. Oblika katakavstike lemniskate je odvisna od radianta. Za
žarke, ki na lemniskato padajo vzporedno z eno od njenih simetral, dobimo
neomejeno katakavstiko.
Omejeno, srčasto katakavstiko lemniskate dobimo za žarke, ki izhajajo
iz njenega sredǐsča O. Če je naklonski kot vpadnega žarka ϕ, je naklonski
kot odbitega žarka 5ϕ (slika 2). Pri tem upoštevamo, kar že vemo: vpadni
in odbojni kot žarka sta enaka 2ϕ.
Žarek naj se odbije v točki T , ki ima polarni kot ϕ. Ker je naklonski kot
odbitega žarka 5ϕ, ima odbiti žarek v koordinatnem sistemu Oxy enačbo
y − % sinϕ = tg 5ϕ(x− % cosϕ),
iz katere brez težav izpeljemo za računanje ugodneǰso obliko
x sin 5ϕ− y cos 5ϕ = % sin 4ϕ.
86 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 87 — #7 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
To je enoparametrična družina premic, kjer je ϕ parameter. Njihovo ogri-
njačo dobimo po splošni metodi, ki je opisana na primer v [7]. Zgornjo
enačbo odvajamo po parametru ϕ in rezultat delimo s 5:
x cos 5ϕ+ y sin 5ϕ =
1
5
%′ sin 4ϕ+
4
5
% cos 4ϕ.
Dobimo linearni sistem enačb za x in y z determinanto 1. Rezultat je
naslednja parametrična oblika katakavstike:
x =
4% cos 4ϕ+ %′ sin 4ϕ
5
cos 5ϕ+ % sin 4ϕ sin 5ϕ,
y =
4% cos 4ϕ+ %′ sin 4ϕ
5
sin 5ϕ− % sin 4ϕ cos 5ϕ.
Če v obeh izrazih na desni strani izpostavimo % in upoštevamo, da je %′/% =
− tg 2ϕ, dobimo s pretvorbami trigonometričnih izrazov preprosteǰso obliko:
x =
1
5
%(ϕ)(5 cosϕ− cos 5ϕ), y = 1
5
%(ϕ)(5 sinϕ− sin 5ϕ).
Omejenost dobljene krivulje se lepo vidi iz njene parametrične oblike. Ne
pozabimo, da je pri tem %(ϕ) = a
√
cos 2ϕ in da ϕ ni polarni kot točk
katakavstike.
Kot zanimivost dodajmo še, da je krivulja
x = 5 cosϕ− cos 5ϕ, y = 5 sinϕ− sin 5ϕ
epicikloida s štirimi loki na krožnici z enačbo x2 + y2 = 16. Potemtakem je
katakavstika neke vrste hibrid med lemniskato in to epicikloido.
Katakavstika ima osti v točkah (−4a/5, 0) in (4a/5, 0). V okolici sredǐsča
O se lemniskata in katakavstika dobro ujemata (slika 4).
Ploščina Sk lika, ki ga ograjujeta oba dela katakavstike, je 4a
2/5, kar
pomeni, da pokriva 4/5 obeh listov lemniskate. Do tega rezultata pridemo
z naslednjim računom:
Sk = 4 ·
1
2
∫ π/4
0
(xy′ − x′y) dϕ = 6a
2
5
∫ π/4
0
(cos 2ϕ− cos 6ϕ) dϕ = 4a
2
5
.
Prav tako dobimo za diferencial ločne dolžine ds katakavstike za sre-
dǐsčne žarke v nasprotju s samo lemniskato razmeroma preprost izraz:
ds =
√
x′2 + y′2 dϕ =
6a
5
· sin 2ϕdϕ√
cos 2ϕ
.
81–89 87
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 88 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet
Slika 3. Družina premic nosilk odbitih žarkov.
Slika 4. Katakavstika lemniskate za sredǐsčne žarke omejuje dve srci.
Dolžina `k njenega loka v prvem kvadrantu je
`k =
6a
5
∫ π/4
0
sin 2ϕdϕ√
cos 2ϕ
=
6a
5
.
Ugotovili smo že, da je dolžina lemniskate v prvem kvadrantu
` =
$a
2
,
kar je približno 1,311a in seveda več kot 6a/5 = 1,2a. Tudi slika 4 kaže, da
je katakavstika za spoznanje kraǰsa od lemniskate.
Lepo se da izračunati tudi ekstremne koordinate točk katakavstike. Ek-
stremne abscise imajo točke s koordinatami
x = ±4a
5
, y = 0 in x = ±a
8
4
√
20(
√
5 + 1), y = ± a
20
√
29
√
5− 61,
ekstremne ordinate pa točke s koordinatami
x = ± a
20
√
29
√
5 + 61, y = ±a
8
4
√
20(
√
5− 1).
88 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Razpet” — 2019/12/16 — 6:54 — page 89 — #9 i
i
i
i
i
i
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate
Vse navedene točke so konstruktibilne (z neoznačenim ravnilom in šestilom).
Prvi dve točki iz prve skupine sta osti katakavstike.
Za konec
Ekstremne točke katakavstike lemniskate so konstruktibilne. Za samo le-
mniskato so se matematiki že od samega začetka trudili, da bi njen lok v
prvem kvadrantu z geometrijsko konstrukcijo razdelili na dolžinsko enake
dele. Omenjeni Fagnano je potrdil, da se lok da razdeliti na dva, tri in pet
dolžinsko enakih delov. Na vprašanje, kdaj se ga da razdeliti na n ena-
kih delov, je odgovoril Abel. Odgovor je presenetljiv: natanko tedaj, ko je
konstruktibilen pravilni n-kotnik.
Slika 5. Upogib kabelske plastične vezice. Svetla krivulja je lemniskata.
Pravilnost Bernoullijevega računa v članku, ki je bil omenjen na začetku
pričujočega prispevka, lahko sami preverimo z upogibom primerno prožnega
traku, na primer še ne uporabljene kabelske plastične vezice. Poskrbeti je
treba, da se oba konca stikata pod pravim kotom (slika 5). Ujemanje je kar
dobro, kljub temu, da vezica ni idealno prožna.
LITERATURA
[1] P. Eymard in J.-P. Lafon, The number π, AMS, Providence, 2004.
[2] W. Hess, Eigenschaften der Lemniskate, Z. Math. Phys. 26 (1881), 143–144.
[3] A. Ostermann in G. Wanner, Geometry by Its History, Undergraduate Texts in Ma-
thematics, Springer, Heidelberg, 2012.
[4] M. Razpet, Bernoullijeva lemniskata, študijsko gradivo, dostopno na www.pef.uni-lj.
si/matwww/lemniskata01.pdf, ogled 7. 11. 2019.
[5] S. Schwartzman, The words of mathematics, MAA, Washington, 1994.
[6] J. Steiner, Einfache Construction der Tangente an die allgemeine Lemniscate, J. Reine
Angew. Math. 14 (1835), 80–82.
[7] I. Vidav, Vǐsja matematika I, DZS, Ljubljana, 1968.
81–89 89
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 90 — #1 i
i
i
i
i
i
HOMOPOLARNI MOTORJI
ROBERT HAUKO
Fakulteta za strojnǐstvo
Univerza v Mariboru
PACS: 41.20.Gz
Homopolarni motorji, tako kot homopolarna indukcija na splošno, niso vključeni v
standardne fizikalne učbenike. Kljub temu pa lahko pojave, povezane s homopolarno in-
dukcijo, uporabimo kot zanimivo učno dopolnilo pri rednem pouku fizike, v okviru doda-
tnih ur ali pri različnih raziskovalnih projektih. Homopolarni motorji so najbolj preprost
primer elektromotorja na enosmerni tok in elementarna oblika pretvorbe električne ener-
gije v mehansko. Na vǐsjih ravneh poučevanja fizike omogočajo preprosto demonstracijo
sile na gibajoči naboj (tokovni vodnik) in analizo njenega navora. Kot vse homopolarne
naprave lahko tudi motorna izvedba s svojo zagonetnostjo, ki ima dolgo zgodovinsko
ozadje, ponudi miselni izziv izkušenim fizikom.
THE HOMOPOLAR MOTORS
Homopolar motors, like homopolar induction in general, are usualy not included in
the physics texbooks. However, the phenomena associated with homopolar induction
can be used as an interesting supplementary chapter in regular physics classes, as part of
additional hours or in various school research projects. Homopolar motors are the simplest
example of a direct-current electric motor, and thus an elemental example of converting
electricity into the mechanical energy. At the higher levels of physics education, the motors
can serve for demonstration of the magnetic force on a moving charge (wire segment) and
for analysis of magnetic torque. Like all homopolar devices, the motor version with its
puzzle, that has a long history, offers a mental challenge also for experienced physicists.
Uvod
O homopolarni indukciji smo prav na tem mestu že pisali [3], za lažje na-
daljevanje ponovimo v uvodu ključne značilnosti pojava:
• Homopolarna indukcija je elektromagnetna indukcija s homogenim ali
z osno simetričnim magnetnim poljem.
• Oznaka »homopolarna« (tudi »unipolarna«) izvira iz sredine 19. sto-
letja, ko je prevladovalo prepričanje, da je pri pojavu pomemben samo
en pol magneta.
• Če vrtimo kovinski disk okrog simetrijske osi magnetnega polja, se med
sredǐsčem in robom diska inducira napetost Ui.
90 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 91 — #2 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
• Nastanek napetosti lahko na srednješolski ravni razložimo z magnetno
silo na gibajoče se elektrone znotraj kovinskega diska. Dobimo zvezo
Ui =
ω
2π
Φm, (1)
pri čemer je ω kotna hitrost vrtenja diska in Φm magnetni pretok skozi
krožno zanko, ki poteka po obodu diska.
• Inducirano napetost izmerimo tudi v primeru, če se skupaj s kovinskim
diskom vrti še izvir magnetnega polja. Nasprotno pa samo vrtenje izvira
magnetnega polja na mirujočem disku ne povzroči nastanka inducirane
napetosti (slika 1).
Slika 1. Faradayev poskus. Na skupno os pritrdimo nemagnetni kovinski disk (Al) in
trajni magnet s feromagnetnim dodatkom (Fe). Vrtilni mehanizem omogoča samostojno
vrtenje kovinskega diska ali magneta in hkratno vrtenje obeh elementov. V vseh treh
primerih merimo napetost med sredǐsčem in robom kovinskega diska. Rezultat je prese-
netljiv: inducirano napetost izmerimo v primerih, ko vrtimo samo kovinski disk ali ko
skupaj vrtimo kovinski disk in magnet, ob mirovanju diska in vrtenju magneta napetosti
ne izmerimo [3].
• Izid opisanega eksperimenta ni v skladu z eno od osnovnih predstav o
magnetni indukciji, tj. pomembnostjo relativnega gibanja med prevodno
zanko in izvirom magnetnega polja.
• Pokaže se, da lahko izid poskusa enakovredno razložimo na dva načina;
absolutna razlaga poudarja pomen gibanja prevodnika, gibanje izvira
pa je za nastanek inducirane napetosti nepomembno. Relativna razlaga
poudarja pomen relativnega gibanja med vsemi tremi pari vključenih
elementov: kovinskim diskom, izvirom magnetnega polja in voltmetrom
(preostankom vezja).
• Vse homopolarne naprave vključujejo drsne kontakte, ki omogočajo re-
lativno gibanje med posameznimi deli električnega kroga.
90–104 91
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 92 — #3 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
Slika 2. Homopolarni motor – najbolj preprosta oblika elektromotorja [8].
Eksperiment
Povežimo baterijo, kovinski vijak in majhen ploščni magnet tako, kot je
prikazano na sliki 2.
Brž ko sklenemo električni krog, se vijak (skupaj z magnetom) začne
vrteti! Dobili smo preprosto napravo, ki pretvarja električno energijo v
mehansko, kar je osnovna značilnost elektromotorjev. Tako kot pri homo-
polarni indukciji, imamo opravka z osno simetričnim magnetnim poljem,
zato ga imenujemo homopolarni motor. Še pred razlago delovanja motorja
si zastavimo nekaj osnovnih vprašanj:
• Kakšna je vloga vijaka? Ga lahko nadomestimo z žebljem ali z žico?
• Od katerih fizikalnih količin je odvisna končna hitrost vijaka?
• Kako bi odvisnost raziskali s (šolskim) eksperimentom?
• Kaj se zgodi, če vijaku preprečimo vrtenje? Se bo v tem primeru vrtel
preostanek vezja? Bi bila potem smer vrtenja enaka ali nasprotna smeri
vrtenja vijaka?
• Ali vrtenje magneta vpliva na delovanje motorja?
• Kako je z ohranitvijo vrtilne količine? Kaj je »akcija« in kaj »reakcija«?
Razlaga
Pri iskanju odgovorov na zastavljena vprašanja začnemo razlago s tokom, ki
ga požene baterija skozi zaključeno tokovno zanko, katere del je tudi vijak.
Začetni tok je odvisen od napetosti baterije U0 in od električnega upora
vijaka (celotnega vezja) R. Ker ima električni tok v področju glave vijaka
92 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 93 — #4 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
pretežno radialno smer, se na posamezne tokovne odseke pojavi pravokotna
magnetna sila, ki povzroči navor in vrtenje vijaka. V mikroskopski sliki
deluje na gibajoče se elektrone magnetna sila, zato ti pridobivajo v povprečju
tudi tangencialno komponento hitrosti. Trke elektronov z ioni v tangentni
smeri zazna vijak kot magnetni navor (slika 3).
Slika 3. Pri električnem toku skozi vijak pridobijo elektroni zaradi magnetne sile še
tangencialno komponento hitrosti, na vijak deluje magnetni navor.
V [4] je bilo pokazano, da velja za magnetni navor zveza:
M =
I
2π
ΦB, (2)
pri čemer je ΦB magnetni pretok skozi zanko, ki gre po obodu glave vi-
jaka. Magnetni navor je premo sorazmeren z električnim tokom, kakor to
poznamo pri tokovni zanki [6], le da zdaj kaže vektor navora v smeri zuna-
njega magnetnega polja in ne v pravokotni smeri.
Navor lahko torej povečamo tako, da povečamo tok skozi zanko ali da
uporabimo močneǰsi magnet oz. vijak s širšo glavo. Na stikih med vrtečim
se vijakom in baterijo na eni strani ter žičnim kontaktom na drugi strani se
ustvarja majhen zunanji zaviralni navor Mzun; privzemimo, da je njegova
vrednost stalna. Dovolj velika napetost na viru povzroči rezultanto navora
ter posledično enakomerno pospešeno vrtenje vijaka. Vendar nas izkušnje z
motorji iz vsakdanjega življenja učijo, da pospeševanje običajno traja zelo
kratek čas. Večina elektromotorjev dokaj hitro doseže končno hitrost in od
takrat naprej se vrti motorna gred enakomerno. Razlog je reakcijski navor,
ki je posledica inducirane napetosti v motorju.
Zaradi vrtenja vijaka v magnetnem polju se med osjo in robom vijaka
inducira električna napetost, podobno kot v primeru vrtenja Faradayevega
diska (1). Inducirana napetost ima nasprotno polariteto kot vir napeto-
sti, zato se celotna gonilna napetost tokovne zanke in s tem električni tok
zmanǰsata. Za neto električni tok velja torej:
I =
U0 − Ui
R
. (3)
90–104 93
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 94 — #5 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
V stacionarnem stanju ob enakomernem vrtenju vijaka sta magnetni navor
in zunanji zaviralni magnetni navor v ravnovesju:
M = Mzun, (4)
Iz enačb (2), (3) in (4) dobimo zvezo
(U0 − Ui)ΦB
R 2π
= Mzun.
Ker poznamo zvezo med inducirano napetostjo in kotno hitrostjo vijaka (1),
dobimo za končno hitrost vijaka izraz
ω =
2πU0
ΦB
− Mzun4π
2R
(ΦB)2
. (5)
Za primer, ko velja Mzun ≈ 0, lahko v (5) izpustimo drugi člen in dobimo
končno hitrost vijaka
ω =
2πU0
ΦB
, (6)
kjer je ΦB magnetni pretok skozi vrhnjo ploskev glave vijaka. Končna hitrost
vijaka je torej premo sorazmerna z napetostjo baterije in obratno sorazmerna
z gostoto magnetnega polja in ploščino glave vijaka. S spreminjanjem bate-
rije, magnetov in dimenzije vijaka se da enačbo (6) dokaj hitro kvalitativno
potrditi, natančneǰsa meritev pa se zdi primerna tudi za laboratorijsko vajo
ali projektno oz. raziskovalno nalogo.
Na koncu poudarimo še enkrat, da velja približek za končno kotno hi-
trost (6) samo, ko je zunanji navor zanemarljiv. V primeru homopolarnih
motorjev v funkciji delovnih orodij, ko je premagovanje zunanjega navora
ključna naloga, je treba za končno hitrost vijaka uporabiti celotno rešitev
(5). V limitnem primeru največjih obremenitev sta kotna hitrost in induci-
rana napetost zanemarljivi, tako da lahko neposredno iz zveze (2) dobimo
zahteve po električnem toku in lastnostih uporabljenega magneta.
Analogija
V šolah se na splošno premo gibanje obravnava podrobneje od kroženja in
vrtenja. Z uporabo analogije z ravnimi tokovnimi vodniki poskusimo zato še
poglobiti razumevanje principa delovanja homopolarnega motorja. Namesto
o navorih bomo govorili o silah, vrtilno količino pa nadomestili z gibalno ko-
ličino. Analizirali bomo reakcije v obliki magnetnih sil na gibajoče naboje in
induciranih napetosti. Zanimalo nas bo, ali sta tudi v primeru homopolar-
nih motorjev obe razlagi homopolarne indukcije enakovredni (pomembnost
absolutnega ali relativnega gibanja) in ali ima gibanje izvira magnetnega
94 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 95 — #6 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
Slika 4. Prikaz delovanja homopolarnega motorja s pomočjo razlage magnetne sile na
gibljive prečke znotraj pravokotne tokovne zanke. Rezultanta sil na magnet je enaka nič.
polja kakšen vpliv na delovanje motorja. S spoznanji bomo dopolnili zbirko
odgovorov na zastavljena vprašanja v poglavju Eksperiment.
Skozi tokovno zanko, ki se zvečine nahaja v zunanjem homogenem ma-
gnetnem polju, naj teče enosmerni tok v smeri, kot je prikazano na sliki 4.
Drsni stranici A in B dolžine l sta na medsebojni razdalji r in se lahko pro-
sto (premo) gibljeta po dveh pritrjenih kovinskih nosilcih. Brez zunanjega
magnetnega polja deluje med prečkama A in B odbojna magnetna sila
F =
µlI2
2πr
,
ki se s povečevanjem medsebojne razdalje zmanǰsuje. V primeru zunanjega
magnetnega polja čuti vsaka od prečk silo
FMA = FMB = IlB. (7)
Magnetna sila, ki deluje na prečki v različnih smereh in ni odvisna od njune
medsebojne razdalje, povzroči gibanje prečk. Tudi v tem primeru se elek-
trična energija pretvarja v mehansko, spet imamo opravka s homopolarnim
elektromotorjem. Po 3. Newtonovem zakonu deluje vsaka od prečk z na-
sprotno enako silo na magnet. Obe sili se uravnovesita, tako da magnet
ne zazna nobene efektivne sile. Enaka ugotovitev velja tudi za drugi par
vzporednih vodnikov. Rezultanta sil na magnet FR je enaka nič vsaj dotlej,
dokler se večji del tokovne zanke nahaja znotraj homogenega magnetnega
polja magneta.
Če izberemo smer električnega toka tako, da kaže lastno magnetno polje
zanke v smeri zunanjega magnetnega polja, je učinek delovanja magnetne
sile večanje razdalje med prečkama in s tem zmanǰsevanje lastnega magne-
tnega polja zanke. Obratno se zgodi, če smer toka skozi zanko zamenjamo.
90–104 95
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 96 — #7 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
V obeh primerih se zdi, kot da zunanje magnetno polje deluje le kot sred-
stvo za medsebojno interakcijo posameznih delov električne zanke. Dokler
so vsi deli tokovne zanke v enakem magnetnem polju, se izvir magnetne sile
v efektivnem smislu prenese z zunanjega magneta na posamezne vzporedne
odseke tokovne zanke.
Kot smo že povedali, se gredi v elektromotorjih zaradi indukcije prej ali
slej začnejo vrteti enakomerno. S hitreǰsim vrtenjem se povečuje reakcijski
navor, ki čez čas uravnovesi primarni magnetni navor. Poglejmo, kako je
z reakcijo v uporabljeni analogiji. Na nosilce naboja v prečkah A in B, ki
se zaradi gibanja prečk gibljejo pravokotno na homogeno magnetno polje,
deluje magnetna sila
Fm = evB.
Med krajǐsčema obeh gibajočih se prečk se, merjeno v laboratorijskem sis-
temu mirujočega preostanka kroga, inducira električna napetost. Učinka
obeh induciranih napetosti se seštejeta in poženeta inducirani tok v naspro-
tno smer glede na prvotno smer toka. Zaradi tega se skupni tok v zanki
zmanǰsa, s tem se zmanǰsa tudi sila med prečkama (7) in slej ko prej se
zaradi mehanskega trenja prečki gibljeta enakomerno.
V naslednjem koraku predpostavimo, da se lahko giblje samo prečka B,
medtem ko ostane prečka A del negibljivega dela tokovne zanke (slika 5).
Slika 5. Analogija z eno samo gibljivo stranico B. Rezultanta sil na magnet ostaja enaka
nič.
Sila na prečko B ostane enaka, magnetno silo na prečko A pa uravnovesi
okolica, tj. podlaga, na katero je zanka pričvrščena. Enako velja za preostala
dva odseka vezja. Celotna neto sila magneta na tokovno zanko je enaka nič
in podobno kot v preǰsnjem zgledu tudi magnet ne čuti nobene rezultante.
Na prvi pogled se lahko zdi, kot da deluje sila samo na prečko B. Ker je izvor
te sile v magnetu in ker ne zaznamo ustrezne reakcije premikanja magneta,
se zdi, kot da delovanje motorja krši zakon o ohranitvi gibalne količine.
V tej luči so razlage, ki ne upoštevajo zunanjih opornih sil (ali navorov),
96 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 97 — #8 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
nepopolne. Napetost se zdaj inducira samo na gibljivi prečki B, zato je
dvakrat manǰsa glede na napetost v preǰsnjem zgledu, a slej ko prej se bo
prečka zaradi trenja spet gibala enakomerno.
Analizirajmo še problem gibanja magneta. Privzemimo, da se magnet
na sliki 5 giblje enakomerno z majhno hitrostjo v desno, v smeri gibanja
prečke B. Magnetni sili na prečki A in B se ne spremenita (7), rezultanta
sil na magnet ostaja nič. Kako pa je z reakcijsko inducirano napetostjo?
Če privzamemo hipotezo o pomembnosti relativne hitrosti med izvirom in
nosilci naboja, se zaradi gibanja magneta inducirana napetost na prečki
B nekoliko zmanǰsa, primanjkljaj nadomesti napetost na mirujoči prečki A.
Celotna inducirana napetost ostane nespremenjena. Pridemo torej do istega
rezultata kot ob privzetku, da je za velikost inducirane napetosti pomembno
le absolutno gibanje obeh prečk (absolutna razlaga).
Z ugotovitvijo, da gibanje magneta pri homopolarnih motorjih ne vpliva
na inducirano napetost, naredimo še dodatni korak v razvoju analogije.
Ko povežemo magnet z gibljivo prečko B preko togega izolatorja, postane
podobnost z obravnavano obliko homopolarnega motorja iz eksperimenta
(slika 2) še bolj očitna: gibljiva prečka B predstavlja glavo vijaka, negibljiva
prečka A predstavlja del vezja v eksperimentu, ki je pravokoten na magnetno
polje, povezovalni togi izolator pa nadomesti lepenje med magnetom in glavo
vijaka (slika 6).
Slika 6. Podobnost v delovanju dveh oblik homopolarnega motorja; premo gibanje dela
tokovne zanke (analogija) primerjamo z vrtenjem (eksperiment). V obeh primerih sledi
gibanju prevodnika tudi magnet.
V analogiji smo privzeli, da se večji del tokovne zanke nahaja v enakem
(homogenem) magnetnem polju. V realnem eksperimentu je najverjetneje
magnetno polje na oddaljenem mestu šibkeǰse kot v neposredni bližini ma-
gneta. V tem primeru se magnetne silnice razklenejo, magnetno polje pa
pridobi poleg oslabljene navpične komponente tudi vodoravno komponento.
90–104 97
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 98 — #9 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
Primanjkljaj magnetne sile na del vodnika A se nadomesti s silo na navpični
odsek vodnika (slika 6), celotna magnetna sila na tokovno zanko pa tako,
kot smo ugotovili v analogiji, ostaja nič. Sklep potrjuje tudi eksperimen-
talna izkušnja, ki kaže na to, da v grobem delovanje homopolarnega motorja
(slika 2) ni odvisno od dolžine in geometrije tokovnih vodnikov.
Pedagoški vidik
Homopolarni motorji zelo nazorno prikazujejo spreminjanje električne ener-
gije v mehansko, zato lahko imajo veliko demonstrativno moč že pri osnov-
nošolskem pouku fizike ali tehnike. Njihova izdelava in optimizacija po-
sameznih parametrov delovanja se zdi primerna naloga za projektno oz.
raziskovalno delo (slika 7). Pri pouku fizike na srednjih šolah in fakul-
tetah lahko služijo homopolarni motorji za ponazoritev magnetne sile na
gibajoči se naboj (tokovni vodnik) oziroma so lahko v pomoč pri analizi
elektromagnetne indukcije in narave elektromagnetizma. Ponuja se primer-
java homopolarnega motorja s klasičnim elektromotorjem na izmenični tok:
vloge rotorja, statorja, kolektorja, komutatorja in drugih sestavnih delov se
precej poenostavijo ali celo izginejo. Tudi načrtovanje dovolj natančnega
eksperimenta in preverjanje enačb (2) in (6) je lahko primeren izziv.
Poleg resnih znanstvenih člankov o homopolarnih motorjih [7, 1, 2] lahko
najdemo množico izvedb in navodil za izdelavo v obliki fotografij in filmov
tudi na spletu [9, 10]. Ob vsem naštetem preseneča relativno slabo pozna-
vanje teh preprostih naprav, tako s strani dijakov kot tudi s strani učiteljev.
V pomoč učitelju pri iskanju rešitev in ustreznih razlag ob demonstracijski
uporabi homopolarnih motorjev lahko med drugim služi tudi prej prikazana
analogija, pri tem se zdi ključen prehod iz opisa tokovne zanke z dvema
gibljivima prečkama k zanki z eno gibljivo prečko.
Slika 7. Dva primera izvedbe homopolarnih motorjev [9, 10]. Oba pola baterije predsta-
vljata za žični sistem drsni kontakt. Magnetno polje ustvarja ploščni magnet pod baterijo.
Tako kot pri motorju z vijakom na sliki 2 je pomemben magnetni navor na del vezja, ki
je pravokoten na smer magnetnega polja (os vrtenja).
98 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 99 — #10 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
Zaključek
Za zaključek citirajmo Rovellija [5]. Čeprav se njegove besede zvečine na-
našajo na večje konceptualne probleme, pa lahko prenesemo njegov pogled
na negotovost in verjetnost v okviru fizike toplote tudi na problem razu-
mevanja inducirane napetosti v homopolarnih napravah. Hkrati naj citat
velja kot vabilo za bolj splošen pogled na električno in magnetno polje, ki
ga prikažemo v dodatku.
Napovedljivost ali nenapovedljivost se ne tiče njunega točnega sta-
nja. Tiče se le dokaj omejene podskupine njunih lastnosti, s kate-
rimi součinkujemo mi. Ta podskupina lastnosti je odvisna od našega
posebnega součinkovanja z žličko in balonom. Verjetnost se ne na-
naša na razvoj snovi same. Nanaša se le na razvoj tistih njenih
posebnih lastnosti, na katere delujemo mi. In že spet se pokaže, da
so zamisli, s katerimi si urejamo svet, v bistvu relacijske – kako
součinkujejo deli sveta med seboj.
Dodatek – Teorija EM polja
Za bralca, ki ga, tako kot včasih M. Faradaya, vprašanje o gibanju magne-
tnega polja pri homopolarnih napravah še zmeraj bega, prikličemo teorijo
elektromagnetnega (EM) polja. Kako torej bolj splošno pristopiti k pro-
blemu in razlagi odnosa med izvirom in poljem? Sestavili bomo četverec
elektromagnetnega polja, ga transformirali z Lorentzovo transformacijo v
koordinatni sistem gibajočega se naboja (in magneta) ter pogledali, kaj se
pri tem zgodi z magnetnim in električnim poljem.
Za začetek zapǐsimo Maxwellove enačbe:
∇× ~B = 1
c2
∂ ~E
∂t
+ µ0~j (8)
∇× ~E = −∂
~B
∂t
(9)
∇ · ~B = 0 (10)
∇ · ~E = ρ
0
. (11)
Enačbe postanejo bolj simetrične z vpeljavo vektorskega potenciala ~A in
skalarnega potenciala φ, tako da velja:
~B = ∇× ~A
~E = −∇φ− ∂
~A
∂t
. (12)
90–104 99
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 100 — #11 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
S tako definicijo potencialov sta enačbi (9) in (10) identično izpolnjeni, iz
enačb (8) in (11) ter s pomočjo vektorske identitete ∇× (∇× ~A) = ∇(∇ ·
~A)−∇2 ~A pa dobimo
∇2 ~A− 1
c2
∂2 ~A
∂t2
= −µ0~j +∇
(
∇ · ~A+ 1
c2
∂φ
∂t
)
∇2φ− 1
c2
∂2φ
∂t2
= − ρ
0
− ∂
∂t
(
∇ · ~A+ 1
c2
∂φ
∂t
)
. (13)
Simetrija med ~B in ~E, ki je razvidna iz Maxwellovih enačb, se prenese
tudi na enačbi za vektorski potencial ~A, s katerim predstavimo magnetno
polje, ter skalarni potencial φ, ki predstavlja električno polje. Iz definicije
(12) ugotovimo, da rodita vektorska potenciala ~A in ~A′, ki se razlikujeta
za gradient poljubnega potenciala −∇ψ, isto magnetno polje ~B. Podobna
ugotovitev velja tudi za dva skalarna potenciala; φ in φ′, ki se razlikujeta
za člen ∂ψ/∂t, pripeljeta do istega električnega polja ~E:
~A′ = ~A+∇ψ
φ′ = φ− ∂ψ
∂t
. (14)
Ker sta ~B in ~E edini merljivi količini, sta potenciala ~A in φ nedoločena do
umeritvenega (kalibracijskega) polja ψ. To imenujemo umeritvena invari-
anta elektromagnetnega polja. Omogoča nam, da lahko izberemo polji ~A
in φ tako, da ustrezata še dodatnemu skalarnemu pogoju. Zelo ugodno je
izbrati pogoj:
∇ · ~A+ 1
c2
∂φ
∂t
= 0. (15)
Do izbranega pogoja (15) (ki naj velja tudi za potenciala ~A′ in φ′), nas
privede umeritveni potencial ψ, za katerega velja:
∇2ψ − 1
c2
∂2ψ
∂t2
= 0. (16)
Ker gre za (rešljivo) valovno enačbo, si lahko torej z umeritvijo (16) poeno-
stavimo desne strani enačb (13) tako, da dobimo
∇2 ~A− 1
c2
∂2 ~A
∂t2
= −µ0~j
∇2φ− 1
c2
∂2φ
∂t2
= − ρ
0
. (17)
100 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 101 — #12 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
Zapis valovnega operatorja ∇2 − ∂2/(c2∂t2), ki na levi strani enačb (16)
in (17) deluje na ψ, ~A in φ, se z uvedbo dodatne časovne koordinate ct,
ki je značilnost teorije relativnosti, poenostavi. Ob tem bomo s četvercem
predstavili tudi elektromagnetno polje, hkrati razširili s četrto komponento
še vektor gostote toka, s čimer dobimo iz enačb (13) enotno enačbo EM
polja. Še prej pojasnimo pravila zapisa, značilnega za teorijo relativnosti.
Četverec koordinate dogodka P (ct, x, y, z, ) označimo z (x0, x1, x2, x3).
Vpeljimo še matriko Minkovskega s komponentami ηµν tako, da je η00 = −1,
ηii = 1 za i = 1, 2, 3, vse druge komponente pa so enake 0. Za zgled zapǐsimo
delovanje valovnega operatorja ∇2 − ∂2/(c2∂t2) na skalarnem potencialu φ
v kraǰsi obliki:
3∑
µ=0
3∑
ν=0
ηµν
∂2φ
∂xµ∂xν
= ηµνφ,µν (18)
V zgornjem zapisu (18) se skrivata dva dogovora: če se grški indeks v pro-
duktu ponovi tako, da nastopa enkrat zgoraj in enkrat spodaj, potem gre
za tekoči indeks, po katerem seštevamo, ko teče od 0 do 3. Drugi dogovor
je ta, da označimo parcialni odvod funkcije po koordinati xµ kot:
φ,µ≡
∂φ
∂xµ
φ,µν ≡
∂2φ
∂xµ∂xν
.
Vpeljimo četverec elektromagnetnega polja tako, da vektorskemu potencialu
~A dodamo ničelno komponentno, ki jo sestavimo iz skalarnega potenciala φ
kot:
A0 = −
φ
c
,
kjer je c svetlobna hitrost. Umeritvena invarianta (14) se zapǐse
A′µ = Aµ + ψ,µ .
Valovni enačbi (17), ki smo ju dobili z umeritvijo (15), lahko sedaj združimo:
ηµν
∂2Aλ
∂xµ∂xν
= −µ0jλ,
pri čemer smo razširili še vektor gostote toka ~j v četverec z dodano časovno
komponento j0 = −ρc.
Valovni operator ηµν∂2φ/(∂xµ∂xν) se pri prehodu iz enega inercialnega
sistema v drugega s klasično Galilejevo transformacijo ne ohranja. Da ele-
ktromagnetna teorija ni invariantna na Galilejevo transformacijo, je bilo
jasno že konec 19. stoletja. Ustrezna transformacija L, ki ohrani valovni
operator, mora zadostiti pogoju:
L η L̃ = η, (19)
90–104 101
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 102 — #13 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
pri čemer je L̃ inverzna transformacija L. Pogoj (19) zadovoljijo Lorentzovi
potiski, to je matrika oblike:
L =

γ βxγ βyγ βzγ
βxγ
βyγ I +
γ2
γ+1
~β ⊗ ~β
βzγ
 ,
pri čemer je vektor ~β = ~v/c, γ2 = 1/(1−β2) in pomeni zapis ~β⊗ ~β matriko
~β ⊗ ~β =
 βxβx βxβy βxβzβyβx βyβy βyβz
βzβx βzβy βzβz
 .
Lorentzove transformacije, značilnost Einsteinove teorije relativnosti, so to-
rej ustrezne tudi za transformacije četvercev elektromagnetne teorije, kar
nakazuje na to, da je tudi ta v svojem bistvu relativistična.
Poglejmo sedaj, kako L transformira četverec EM polja. V koordinatnem
sistemu S : x0, x, y, z naj kaže konstantno magnetno polje ~B = (0, 0, B) v
smeri osi z. Najbolj preprost ~A, ki ustreza temu polju, tvori četverec:
A =

0
0
Bx
0
 .
V sistemu S′ : x′0, x′, y′, z′, ki se giblje glede na sistem S z relativno hitrostjo
~v, je
A′ =
(
γ ~βγ
~βγ I + γ
2
γ+1
~β ⊗ ~β
)
·
(
0
~A
)
=
(
γ~β · ~A
~A+ γ
2
γ+1
~β(~β · ~A)
)
.
Za naše polje velja ~β · ~A = βyBx, tako da dobimo:
A′ =

γBβyx 0Bx
0
+ γ2γ+1
 βxβyBxβyβyBx
βzβyBx

 .
Z inverzno Lorentzovo transformacijo dobimo zvezo med x in x′. Iz
x0
x
y
z
 =
(
γ −~βγ
−~βγ I + γ
2
γ+1
~β ⊗ ~β
)
·

x0
′
x′
y′
z′

102 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 103 — #14 i
i
i
i
i
i
Homopolarni motorji
dobimo
x = −βxγx0
′
+ x′ +
γ2
γ + 1
βx(βx · x′ + βy · y′ + βz · z′)
ter
A′ =

γBβy 0B
0
+ ~β γ2γ+1βyB
 ·
·
(
−βxγx0
′
+ x′ +
γ2
γ + 1
βx(βx · x′ + βy · y′ + βz · z′)
)
,
iz česar lahko po definiciji (12) izluščimo polji ~B′ in ~E′. Tako dobimo vre-
dnosti:
~B′ =
 −
γ2
γ+1Bβxβz
− γ
2
γ+1Bβyβz
B + γ
2
γ+1B(β
2
x + β
2
y)
 in ~E′ =
 γBvy(1 + 2
γ3
γ+1β
2
x)
γBvx(1 + 2
γ3
γ+1β
2
y)
γ2 γ
4
γ+1Bcβxβyβz
 . (20)
Ker smo uporabili magnetno polje, ki je imelo komponento samo v smeri
osi z, se nam je v zapisu rezultata navidezno izgubila simetrija v zapisu
komponent ~B′ in ~E′. Vendar lahko, upoštevajoč aditivnost obeh polj in
linearnost Lorentzove transformacije L, uganemo polje v transformiranem
sistemu tudi pri gibanju po magnetnem polju, ki vsebuje vse tri neničelne
komponente.
Iz rezultata (20) je razvidno, da v lastnem sistemu delca, ki se giblje v
ravnini xy, pravokotni na izbrano smer magnetnega polja, magnetno polje
ostaja nespremenjeno. Ker velja βz = 0, odpadeta komponenti B
′
x = B
′
y =
0, izraz B′z = B +
γ2
γ+1B(β
2
x + β
2
y) pa se z upoštevanjem β
2
x + β
2
y = β
2 =
(γ2 − 1)/γ2 poenostavi v B′z = γβ. Pri nerelativističnih hitrostih (γ ≈
1) se torej magnetno polje z opisano transformacijo ohranja ~B′ = ~B. V
primeru gibanja v smeri homogenega polja (βx = βy = 0) pa velja ohranitev
magnetnega polja tudi za relativistične hitrosti.
Z Lorentzovo transformacijo v koordinatni sistem S′ smo pridelali tudi
električno polje. V (20) se v komponentah električnega polja skriva vek-
torski produkt γ~v × ~B. Ta je okleščen, saj smo uporabili najbolj preprosto
obliko magnetnega polja z le eno neničelno komponento. V lastnem sistemu
delca, ki se giblje v ravnini xy, ostaja električno polje v ravnini in kaže pra-
vokotno na smer njegovega gibanja. Nastanek električnega polja je v skladu
z relativistično sliko elektromagnetizma. Lorentzova sila na naboj v polju
~F = e( ~E + ~v × ~B), (21)
90–104 103
i
i
“Hauko” — 2019/12/16 — 6:54 — page 104 — #15 i
i
i
i
i
i
Robert Hauko
ki je merljiva količina, mora biti v vseh inercialnih sistemih enaka. Ker
je hitrost v lastnem sistemu gibajočega se naboja enaka nič, delec ne čuti
magnetne sile, njeno vlogo prevzame električna sila.
Vidimo, da med pojmoma električno in magnetno polje ni absolutne
razlike, delitev je odvisna od posameznega inercialnega sistema. Tako je
tudi (izmerjena) inducirana napetost odvisna od izbire opazovanega koordi-
natnega sistema, najpogosteje je ta vezan na preostanek električnega kroga
(slika 1). Ugotovimo, da brez sklenjenega električnega kroga o inducirani
napetosti ni smiselno govoriti. Vse to se ujema tudi z enakovrednostjo abso-
lutne in relativne razlage inducirane napetosti, ki smo jo uporabili pri opisu
delovanja homopolarnih naprav.
Vrnimo se k transformaciji magnetnega polja. Ugotovili smo, da se ho-
mogeno magnetno polje v sistemu, ki se giblje v ravnini, pravokotni na smer
~B, ohranja. Ugotovitev mora veljati tudi v sistemu gibajočega se magneta.
Gibanje izvira magnetnega polja se torej ne odraža v spremembi magnetnega
polja, temveč v nastalem električnem polju (v sistemu magneta). Privze-
mimo, da se magnet giblje v smeri osi x z nerelativistično hitrostjo v = vx, v
njegovi okolici pa se nahaja mirujoči naboj e. Sila na naboj, ki jo izmerimo
v sistemu magneta (21), ima dve komponenti: poleg električne komponente,
ki je posledica nastalega električnega polja Fel = evxB, vsebuje še magnetno
komponento Fm = −evxB. Slednja je posledica tega, da mirovanje naboja
v gibajočem se magnetu zaznamo kot gibanje s hitrostjo v = −vx. Obe
komponenti sile se izničita, celotna Lorentzova sila na mirujoči naboj ostaja
nič. Naboj torej ne zazna vpliva gibanja magneta. Podobno velja za vrte-
nje magneta okrog simetrijske osi in za gibajoči naboj znotraj prevodnika v
homopolarnih napravah.
LITERATURA
[1] R. D. Eagleton, The radial magnetic field homopolar motor, Am. J. Phys. 56 (1988),
858–.
[2] J. Guala Valverde, P. Mazzoni in R. Arcilles, The homopolar motor: A true relativi-
stic engine, Am. J. Phys. 70 (2002), 1052–.
[3] R. Hauko, Homopolarna indukcija, Obzornik mat. fiz. 61 (2014), 52–60.
[4] H. Montgomery, Unipolar induction: a neglected topic in the teaching of electroma-
gnetism, Eur. J. Phys. 20 (1999), 271–280.
[5] C. Rovelli, Sedem kratkih lekcij iz fizike, prev. A. Kodre, 2. natis, DMFA – založnǐstvo,
Ljubljana, 2019, 50–51.
[6] J. Strnad, Fizika, 2. del, 5. natis, DMFA – založnǐstvo, Ljubljana, 1995, 362–365.
[7] A. Serra-Valls in C. Gago-Bousquet, Conducting Spiral as an Acyclic ou Unipolar
Machine, Am. J. Phys. 38 (1970), 1273–.
[8] Homopolar motor, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Homopolar\_motor, ogled
14. 11. 2019.
[9] How to make a Homopolar Motor from Battery, dostopno na www.youtube.com/
watch?v=RGFtpOZxThc, ogled 30. 10. 2019.
[10] DIY: How to Make a Simple Homopolar Motor, dostopno na www.youtube.com/
watch?v=voHz6sxwQ2Q, ogled 30. 10. 2019.
104 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 105 — #1 i
i
i
i
i
i
IZ ZGODOVINE
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti:
Renesančni človek
Uvod: Leonardo in renesansa
Petsto let od svoje smrti Leonardo da Vinci, ta največji in najbolj preučevani
renesančni genij, še vedno navdihuje in preseneča. Velja za najpopolneǰse
utelešenje humanističnega ideala vsestranskega človeka (l’uomo universale).
Okrog njegove javne podobe se je skozi stoletja spletel pravi mit, ki nje-
gove dosežke nekritično in pretirano poveličuje. Njegovi občudovalci so mu
pripisovali tudi nekatere izume, o katerih ni razmǐsljal; tako so npr. neko nje-
govo risbo imeli za prikaz računskega stroja, čeprav je v resnici prikazovala
prestavni mehanizem. Kljub neštetim analizam (in celo poskusom osve-
tlitve njegovega nezavednega s strani samega očeta psihonalize, Sigmunda
Freuda) Leonardo ostaja skrivnosten kot Giocondin smehljaj, ali kot temna
stran meseca, ali kot skalna jama, pred katero je nekoč obstal, v precepu
med strahom, ki ga je zadrževal, in radovednostjo, ki ga je gnala naprej
[4, str. 20]. V zgodovino se je zapisal predvsem kot umetnik in izumitelj,
čeprav je bil, kot razkrivajo njegove beležnice in razprave, ki jih je za časa
svojega življenja pokazal le redkim, tudi znanstvenik, naravoslovec in mislec
ter matematik.
Leonardo je vedno rad uporabljal analogije in brez težav prehajal med
različnimi področji. Opažanja vzorcev in spoznanja iz narave, od katere se
je učil neposredno, brez učiteljev in knjig, je pogosto prenesel v umetnost
ali izumiteljstvo, podprto z znanstvenim raziskovanjem in matematičnim
razmǐsljanjem. Kar je na primer spoznal o letenju ptic, ki ga je strastno
preučeval vse življenje, je skušal prenesti v svoje izume letalnih strojev.
Leonardo je imel izredno sposobnost opazovanja. V Traktatu o slikarstvu
je zapisal: »Slikarjev um naj bo podoben ogledalu, ki se vedno spremeni v
barvo tiste stvari, ki jo ima pred seboj, in se napolni s toliko liki, kolikor je
stvari, ki se nahajajo pred njim. Vedi torej, slikar, da ne moreš biti dober,
če nisi vsestranski mojster in s svojo umetnostjo ne posnemaš vseh vrst
oblik, ki jih ustvarja narava; teh pa ne boš znal napraviti, če jih ne vidǐs in
jih ne upodobǐs v duhu« [9, 53. Čemu mora biti podoben slikarjev um]. Po
drugi strani pa svari, naj pri tem posnemanju ne zaidemo v drugo skrajnost:
»Slikarjem pravim, da ne sme nikdar nihče oponašati manire drugega, saj bo
imenovan za vnuka in ne sina narave. Kajti glede na to, da je naravnih stvari
v tolikšnem izobilju, se je treba vedno vračati k naravi in ne k mojstrom, ki
so se učili od nje« [9, 78. O oponašanju slikarjev ]. Isto misel je izrazil v še
splošneǰsi obliki takole: »Kdor lahko gre k izviru, tega ne zanima vrč vode.«
Njegov priljubljeni moto je bil: »Modrost je hči izkušnje.« Kljub temu je
sčasoma razvil navado, da je podrobno in sistematično preučil vse, kar so o
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 105
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 106 — #2 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
določeni temi, ki ga je zanimala in jo je želel raziskati, napisali drugi.
Najzanesljiveǰsi primarni viri za preučevanje Leonarda so Leonardova
dela, dokončana in nedokončana (ohranjene slike, risbe, freske, kipi, študije,
razprave, načrti, tehnični izumi, naprave in stroji). Dragocen vir podatkov
o Leonardu je knjiga Življenja umetnikov (prva izdaja 1550, druga izdaja
1568); v njej je italijanski slikar, arhitekt, pisec in zgodovinar Giorgio Vasari
(1511–1574), ki velja za prvega umetnostnega zgodovinarja, opisal življenje
in delo več kot 200 slikarjev, kiparjev in arhitektov italijanske renesanse.
Poznavanje Leonarda pomagajo širiti tudi razstave o njem po svetu, še
posebej veliko jih bo letos, ob petstoletnici njegove smrti. V gradu Cloux
v Amboisu (Francija), kjer je živel nazadnje, je urejena njegova spominska
soba, razstavljeni so tudi eksponati njegovih izumov.
Raziskovalcem njegovega življenja in dela je zanimiv tudi kot avtor slav-
nih beležnic. Vanje je zapisoval svoje globoke misli, lucidna opažanja, rezul-
tate svojih eksperimentov, razprave, ki jih nikoli ni objavil in skice neštetih
tehničnih izumov, ki so bili veliko pred svojim časom. Te kaotične zapiske,
v katerih so se na posameznih listih mešale najrazličneǰse teme, je pokazal
le redkim. Sam jih je zaman poskušal urediti za objavo. Po Leonardovi
smrti se je njegova pisna zapuščina začela drobiti, izgubljati, krasti [2, str.
109–116]. Večino beležnic so odkrili in preučili šele konec 19. stoletja, ko
so jih našli založene v arhivih večjih evropskih knjižnic. Ohranjenih je 21
njegovih beležnic z okrog 7200 stranmi zapiskov, risb, skic, idej, vprašanj,
opažanj, misli, načrtov, seznamov stvari, ki jih mora postoriti ali spoznati,
pa tudi piktogramov [6, str. 114–115], ki so v 20. stoletju navdihnili izum
miselnih vzorcev. Vsebujejo zametke številnih razprav (o anatomiji, o sli-
karstvu, o perspektivi, o ptičjem letu itd.), ki pa jih ni nikoli objavil. Iz njih
so kasneje sestavili različne kodekse (njihov seznam in popis vsebine bralec
najde v [1, str. 63–66] in v [4, str. 527–529]). Po njih so tudi konstruirali
prototipe številnih njegovih izumov. Leonardo je pisal v zrcalni pisavi, od
desne proti levi, z levico, da ne bi razmazal črnila [4, str. 32], in ne zato, ker
bi želel skriti svoja odkritja, kot so razlagali nekateri.
Zgoščen opis Leonardovega življenja in dela je podan v [3, 7]. Njegova
dela in izumi so prikazani v [5, 6]. Vsebinsko poglobljene razlage Leonarda
ponujajo razprave [2]. Njegovi prispevki k fiziki so predstavljeni v [8]. Po-
drobneǰso zgoščeno kronologijo njegovega življenja in dela, pospremljeno s
fotografijami, urejeno v obliki dveh plakatov, ter podrobne razlage njegovih
najpomembneǰsih del lahko bralec najde v [4]. Veliko o njem je v privlačni
obliki predstavljeno tudi v bogato ilustrirani knjigi [6] s številnimi repro-
dukcijami njegovih del. Njegova zbrana dela najdemo na spletni strani [11].
Naš kratki prikaz Leonardovega življenja in dela začnimo z nekaj osnov-
nimi podatki o njem in o značilnostih obdobja, v katerem je živel in ustvar-
jal.
Rodi se 15. aprila 1452 v toskanski vasici Vinci. Med 1466 in 1477 je
vajenec pri Andrei del Verrochiu, firenškem kiparju, zlatarju in slikarju.
106 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 107 — #3 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni človek
Leta 1472 je sprejet v ceh lekarnarjev, zdravnikov in umetnikov. Leta 1481
slika Poklon svetih treh kraljev. Leta 1482 pǐse znamenito pismo Ludovicu
Sforzi, milanskemu regentu, in se preseli v Milano.1 Leta 1490 se osamosvoji
in ustanovi svojo delavnico. V letih 1495–1498 slika Zadnjo večerjo pod
pokroviteljstvom Ludovica Sforze. Leta 1500 se vrne v Firence. Leta 1502
sprejme mesto glavnega inženirja pri Cesareju Borgii. Leta 1506 dokonča
Mono Lizo, od katere se do konca življenja ne loči. Leta 1512 iz Milana
pobegne v Rim. Leta 1516 zapusti Italijo in se preseli v Amboise, kjer je
glavni kraljevi slikar, inženir in arhitekt. Umre 2. maja 1519.
Leonardovi zaščitniki, delodajalci in pokrovitelji so bili mogočneži ti-
stega časa. Najprej je bil to Lorenzo Medičejski Veličastni (1449–1492) v
Firencah, nato Ludovico Sforza (1452–1508) v Milanu, nato Cesare Borgia
(pribl. 1475–1507), nato Charles d’Amboise (1473–1511), francoski guverner
Milana od 1503 do 1511, nato Giuliano Medičejski (1479–1516), Lorenzov
sin, v Rimu, nazadnje Franc I., francoski kralj od leta 1515. Leonardo je
(okoli 1502) svoje storitve pisno ponudil tudi turškemu sultanu Bajazidu
II., ko je ta zaman iskal arhitekta za most čez Zlati rog med Istanbulom in
Galato (študije za konstrukcije in pismo v arabščini so v [5, str. 120–121]).
Izraz renesansa (v italijanščini rinascimento) etimološko ustreza fran-
coskima besedama renaitre (oživeti) in naissance (rojstvo). Pomeni preo-
brazbo pogleda na svet, oživljanje klasičnega antičnega ideala človeške moči
in zmožnosti. Ta ideal obudi Giotto, razvijejo ga Brunelleschi, Alberti in
Masaccio, popoln razcvet doživi z Leonardom, Michelangelom in Rafaelom.
Renesanso zaznamujejo tudi številna nova odkritja in izumi (tisk, svinčnik
in poceni papir, astrolab, magnetni kompas, velike jadrnice, top z dolgim
dosegom, mehanska ura). V tem se bistveno razlikuje od predrenesančne
Evrope.
Kuga v 14. stoletju je pomorila skoraj polovico Evropejcev; nekaterim
posameznikom je ostalo veliko kapitala, ki so ga vlagali v trgovino in obrt,
kot pokrovitelji in meceni pa tudi v razvoj znanja in umetnosti – to je
bila ena izmed pomembnih spodbud za nastop renesanse. Druga spodbuda
je bil beg grških izobražencev iz Konstantinopla leta 1452; v Evropo so
prinesli antično znanje in rokopise [3, str. 27–31]. V obdobju renesanse so
pomembna novost tudi velike, vsem dostopne knjižnice; kot pravi templji
učenosti so spodbujale izmenjavo misli in svobodno razmǐsljanje.
Na začetku 15. stoletja ni bilo nobenega kraja s tako ustvarjalnim oko-
ljem, kot so bile Firence. V Firencah so se zbirali ustvarjalni duhovi z raz-
ličnih ustvarjalnih področij. Bogata kultura je nagrajevala predvsem tiste,
ki so obvladali in znali zliti v svojem ustvarjalnem delu različne discipline
[4, str. 25–28]. Bolj kot firenška renesansa, ki se je navdihovala predvsem
pri antiki in klasičnih avtorjih ter avtoritetah ter ni imela posluha za na-
1To pismo, ki ga, potem ko navede številne svoje sposobnosti in izume, zaključi z
ugotovitvijo, da zna tudi slikati, in to bolje od kogarkoli drugega, imajo za »verjetno
najbolǰso prošnjo za službo vseh časov« [3, str. 35–37].
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 107
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 108 — #4 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
ravoslovje in matematiko, je bila Leonardu blizu milanska umetnostna in
znanstvena scena, zato je tudi največji del svojega življenja preživel prav v
Milanu.
Leonardov pristop k znanosti je bil utemeljen na opazovanju in eksperi-
mentih ter tesno povezan z uporabo novih spoznanj pri različnih izumih, za
razliko od klasične znanosti, ki je izšla iz antične filozofije in logike. Klasična
aristotelska znanost je svet pojasnjevala, iskala je bistva in vzroke pojavov
ter argumente in dokaze, zakaj je nekaj res.2 Bila je bolj ali manj kvali-
tativna, temelječa na logiki silogizmov. Znanost sholastikov je bila ujeta v
svoje predpostavke, visoko učena razglabljanja in sledenje avtoritetam.
Nemški teolog, filozof in matematik Nikolaj Kuzanski (1401–1464), ki
ga imajo številni za Leonardovega vzornika v »fiziki«, je v fiziko vnesel
kvantitativni princip. Opozoril je na pomen merjenja pri raziskovanju, tr-
dil je, da je vse gibanje relativno in da se tudi Zemlja giblje [2, str. 53],
kar je zagovarjal tudi Leonardo. Leta 1438 je Kuzanski v Italijo iz Kon-
stantinopla prinesel Diofantovo Aritmetiko. Znan je tudi po tem, da je z
razdelitvijo kroga na neskončno mnogo infinitezimalno tankih krožnih izse-
kov izpeljal zvezo med ploščino ter radijem in obsegom kroga: p = or/2. Z
delitvami kroga na manǰse trikotnike se je, pri poskusih njegove pretvorbe v
ploščinsko enak kvadrat, ukvarjal tudi Leonardo. Pravzaprav so za številne
Leonardove zamisli našli neke predhodnike s podobnimi idejami. Vendar so
bile njegove raziskave praviloma sveže in izvirne, zastavljal si je preprosta,
a domiselna vprašanja, natančno je opisal stvari, ki se zdijo samoumevne,
kot so npr. meja med svetlobo in senco, različne barve ozračja na različnih
straneh neba itd. Leonardova znanost je utemeljena na načelu, da je najpo-
membneje »znati videti« (ital. saper vedere) in je omejena na tisto, kar se
da narisati.3 Leonardo se je do svojega širokega znanja dokopal predvsem z
opazovanjem narave, eksperimentiranjem, praktičnimi izkušnjami in teore-
tičnimi razmisleki, pa tudi preko sodelovanja in pogovorov s sodobniki (npr.
z matematikom in frančǐskanskim menihom Luco Paciolijem (1445–1514),
z arhitektom Donatom Bramantejem (1445–1514), s profesorjem anatomije
Marcantonijem della Torrejem (1481–1511), s katerim sta nameravala sku-
paj izdati teoretično delo o anatomiji, in številnimi drugimi), ter z bra-
njem del drugih avtorjev (npr. Vitruvija, Brunelleschija, Arhimeda, grških
in arabskih fizikov). Njegova slikarska umetnost ni mimetična, ampak se
tako rekoč znanstveno ukvarja z vprašanjem, kako z različnimi slikarskimi
sredstvi, npr. kompozicijo, perspektivo, barvo itd., ustvariti čim bolj harmo-
nično, skladno umetnǐsko delo. Že kot otrok je strastno zbiral najrazličneǰse
stvari, kot npr. živali, rože, liste in koščke lesa nenavadnih oblik itd. Kasneje
je s podobno zbirateljsko strastjo sestavljal različne sezname, od različnih
2Tako se je npr. celo še Johannes Kepler (1571–1630), ena ključnih figur v znanstveni
revoluciji 17. stoletja, spraševal, zakaj je število planetov takšno, kot je (takrat so jih
poznali le šest), odgovor pa našel v številu pravilnih poliedrov.
3Leonardo se je že pri Verrochiu intenzivno učil risanja, npr. prstov rok, lilij, draperij.
108 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 109 — #5 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni človek
oblik nosov do besed, ki se jih je naučil, in stvari, ki jih mora postoriti ali o
njih koga povprašati itd.
V času, ko so umetnost še vedno vrednotili kot eno izmed obrti, je z
različnimi primerjavami dokazoval večvrednost slikarstva v primerjavi s pe-
snǐstvom in glasbo [9, str. 5–41]. Med prvimi italijanskimi slikarji je uporabil
oljne barve. Uporabljal je izredno tanke nanose barv in ponekod slikal tudi
s prsti. Na najzgodneǰsi njegovi ohranjeni risbi iz leta 1473, ki prikazuje
pokrajino reke Arno in grad Montelupo, je kot prvi naslikal pokrajino brez
človeških figur in simbolizma. Slikarstvo je oprl na znanost (geometrijo,
optiko, linearno perspektivo, anatomijo itd.). Rezultate svojih anatomskih
in fizioloških študij je strnil v odlične anatomske risbe. Žal jih ni objavil v
knjižni obliki.
Leonardov Traktat o slikarstvu [9] je nekakšen poskus nadgradnje in sin-
teze Evklidove geometrije, optike arabskih fizikov ter Vitruvijevih, Brunel-
leschijevih in Albertijevih nazorov o arhitekturi v znanost o svetlobi, senci,
barvi, perspektivi in proporcih. V tem delu – ki ga je iz kaotičnih zapiskov
sestavil njegov učenec Francesco Melzi (1491–1568/70), ki mu je prepustil v
varstvo vso svojo pisno zapuščino – po eni strani razvija (slikarsko) teorijo
na aksiomatski, geometrijski, deduktiven način zavoljo nje same, po drugi
strani pa vanjo integrira izsledke opazovanj, zagovarja izkustveni, induktivni
in celo eksperimentalni pristop ter daje zelo konkretne napotke za uporabo
te teorije v (slikarski) praksi, kot na primer: »Slikar, ki želi, da ga njegova
dela častijo, mora vedno iskati neposrednost gibov v spontanih naravnih
dejanjih ljudi, rojenih iz močnega izbruha njihovih čustev. O tem si mora
delati kratke zapiske v svojih knjižicah in jih uporabiti v svoj namen pri
postavljanju nekega človeka v enak položaj, da bi videl lastnosti in videz
delov telesa, ki se uporabljajo v takšnih dejanjih« [9, 124. Pravila slikar-
stva]. Njegovi posnemovalci v umetnosti, »leonardisti«, ga niso dosegli ali
presegli. Leonardo je s svojim upodabljanjem aktivnih, anatomsko realistič-
nih figur močno vplival na velikega italijanskega slikarja in arhitekta visoke
renesanse Rafaela Santija (1483–1520), pa tudi na svojega velikega tekmeca
Michelangela Buonarottija (1475–1564), italijanskega kiparja, slikarja, arhi-
tekta in pesnika, s katerim se sicer ni najbolje razumel. Leonardove ideje
iz [9] so vplivale tudi na francosko umetnost, v kateri so se izoblikovala še
številna bolj podrobna slikarska pravila kot tista, ki jih je začel zapisovati
on.
Znanstvenik, umetnik in izumitelj
Privlačila so ga najrazličneǰsa znanstvena področja: anatomija, botanika,
geologija, geografija, kartografija, matematika, fizika, optika, astronomija
itd. Kot znanstvenik je bil samouk. To je imelo svoje prednosti (izvir-
nost, nebrzdana radovednost in vsestranska ustvarjalnost) in obenem slabo-
sti (nihče ga ni usmerjal, fokusiral, mentoriral, recenziral njegovega dela).
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 109
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 110 — #6 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Ker ni imel formalne izobrazbe (samega sebe je imenoval »uomo senza let-
tere«), je sprva podcenjeval vlogo teorije in se je moral vsega naučiti iz
lastnih izkušenj.
Poveličeval je neodvisnost in izvirnost misli, zavračal posnemanje drugih
in opominjal, da se moramo obrniti neposredno na naravo, ki nam ponuja
bogastvo svojih pojavnih oblik [3, str. 92]. Raje je posploševal iz eksperi-
mentov kakor sklepal iz abstraktnih načel. V tem se je razlikoval od arhe-
tipskega renesančnega človeka, ki je sprejemal preporod modrosti, izhajajoč
iz vnovič odkritih del klasične antike. Podobno kot pred njim že Nicolas
Oresme (1323–1383) je prekinil tradicijo srednjeveških sholastikov in celo
humanistov v zgodnjem obdobju renesanse, ki so raje ponavljali modrosti
iz klasičnih besedil, kakor da bi preverjali njihovo verodostojnost. Predpi-
sal je celo, kako je treba poskuse ponavljati in spreminjati, da bi zagotovili
njihovo verodostojnost. S svojim pristopom je nakazal pozneǰso znanstveno
metodo. Povezoval je eksperiment in teorijo, podobno kot za njim Bacon in
Galilej, in podobno, kot je Alhazen povezoval opazovanje in eksperiment v
optiki.4 Iskal je vzorce in analogije, te je uporabljal kot preprosto metodo
postavljanja teorij. Zlahka je prehajal med različnimi področji, ni bil speci-
alist, kot so to znanstveniki v današnjem času. Njegove raziskave niso bile
namenjene le praktičnim aplikacijam, čeprav so se dostikrat začele z mislijo
nanje. Zelo pozorno je opazoval in zapisoval svoja opažanja. Pomemben je
tudi kot izumitelj in konstruktor različnih tehničnih naprav (npr. padalo,
jadralno letalo, različni bojni stroji (katapulti, samostreli, parni top, tank,
oblegovalne lestve), premični mostovi, podmornica, skafander, čoln na pe-
dala, zapornice pri jezu, mehanična ura, hidravlični in predilni stroji, načrti
za prekope, kanale, mostove, kupole itd. [2, str. 79]) ter vizionar (načrti
za idealno mesto z dvignjenimi cestami). Sam je izdelal številne prototipe
svojih izumov, nekateri so ostali samo na papirju, druge pa so šele v zadnjih
desetletjih in letih naredili po njegovih načrtih. Zavedal se je, da se rezul-
tati znanstvenega raziskovanja lahko uporabijo tudi neetično, zato je npr.
nekatere svoje vojne izume ohranil zase.
Ob znanju, ki ga je pridobival v Milanu, se je njegov prezir do prejetih
modrosti omilil. Začel se je učiti latinščine, da bi lahko študiral antične
avtorje. Ko je v devetdesetih letih 15. stoletja začel črpati znanje iz knjig,
je vse bolj začel spoznavati pomen teoretičnih osnov. Spoznal je, da se oba
pristopa dopolnjujeta. »Praksa mora vedno temeljiti na zdravi teoriji,« je
zapisal leta 1510. Tako je več kot stoletje pred Galilejem postal eden iz-
med najpomembneǰsih mislecev Zahoda. Ker ni imel na voljo matematičnih
orodij, kakršne so pozneje uporabljali Kopernik, Galilej in Newton, ko so
4Francis Bacon (1561–1626) velja za očeta empirizma in znanstvene metode, razložene
v knjigi Novum Organum (1620)), ki naj bi nadomestila metodo iz Aristotelovega Orga-
nona. Galileo Galilej (1564–1642) velja za očeta opazovalne astronomije, moderne fizike
in moderne znanosti. Alhazen (965–1040) je avtor več kot 90 knjig, med drugim zelo
vplivne knjige o optiki.
110 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 111 — #7 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni človek
oblikovali teoretične naravne zakone, se je zanašal na bolj elementarne me-
tode: v naravi je videl vzorce, teorije pa je postavljal z analogijami. Na
analogiji sloni npr. da Vincijevo pravilo, po katerem se vsaka veja drevesa
razcepi v veje, ki imajo enako skupno debelino kot prvotna veja, podobno
kot se reka razcepi v rokave z enako skupno količino vode [9, str. 361–364].5
Morda najlepši vpogled v Leonardovo znanstveno-izumiteljsko metodo
daje njegova kratka razprava, danes znana kot Kodeks o letenju ptic. Začenši
okrog leta 1490 je več kot dve desetletji skrbno preučeval ptičje letenje in
možnost konstruiranja naprav, s katerimi bi lahko letel tudi človek. V raz-
pravi najdemo opažanja in razmǐsljanja o raziskovalni metodi, kot so npr.:
»Če želimo znanstveno pojasniti letenje ptic, moramo znanstveno pojasniti
veter, to pa bomo storili s preučevanjem gibanja vode.« »Z znanstveno raz-
lago gibanja vode bomo prǐsli do spoznanja o letenju stvari po zraku.« »Ko
se ptice spuščajo proti tlom in imajo glavo niže od repa, rep spustijo in
močno razširijo, s krili pa hitro mahajo. Glava se tako dvigne nad rep,
let se upočasni in ptica lahko mehko pristane.« Raziskovanje letenja ptic
ga je vodilo do načrtov za letalni stroj, ki bi ga poganjale človeške mǐsice,
pa tudi do načrtov za jadralno letalo. »Ptica je instrument, ki deluje po
matematičnih zakonih, človek pa lahko poustvari tak instrument« [4, str.
179–189]. Nazadnje je spoznal, da ideja letalnega stroja z gibljivimi krili ni
uresničljiva.
Ena izmed najslavneǰsih Leonardovih risb, ki je dobila svojo pomanǰsano
upodobitev tudi na evrskem kovancu, je »Vitruvijski človek«. Temelji na
Leonardovem preučevanju razprave »O arhitekturi«, ki jo je napisal Mark
Vitruvij Polio, rojen okrog 80. leta pr. n. št. in v kateri je opisal arhitekturo
klasične antike. Leonardo je v krog, ki po nekaterih interpretacijah simboli-
zira nebo, in kvadrat, ki simbolizira zemljo, okrog leta 1490 izredno skrbno
zarisal idealne proporce človeškega telesa, t. i. Kanon proporcev človeškega
telesa in s tem močno presegel podobni vizualni ponazoritvi razlage teh pro-
porcev iz Vitruvijeve razprave, ki sta ju Francesco di Giorgio in Giacomo
Andrea naredila ob približno istem času.6 Ni sprejel vsega, kar je zapisal
Vitruvij (tako je npr. Vitruvij telesno vǐsino moškega podal kot šestkratno
dolžino stopala, Leonardo pa kot sedemkratno [4, str. 156]), temveč se je
zanašal na lastne izkušnje in poskuse. Kljub temu pa je sprejel osnovno Vi-
truvijevo misel, da so razmerja človeškega telesa analogna razmerjem dobro
zasnovanega svetǐsča, pa tudi makrokozmosu sveta. V Leonardovem »An-
throposu« nekateri vidijo svojevrsten umetnǐski poskus kvadriranja kroga,
pa tudi nekakšen avtoportret [4, str. 157], podobno kot imajo nekateri tudi
5Poskusimo to pravilo izraziti matematično: če ima veja ploščino pravokotnega preseka
πR2, razcepi pa se v veje s ploščinami presekov πR21, πR
2
2, . . . , πR
n
2 , potem je πR
2 =
πR21 + πR
2
2 + · · · + πR2n.
6Problem razmerij človekovega telesa so obravnavali že stari Egipčani, ki so risali člo-
veka po predpisanih proporcih na podlagi kvadratne mreže; stari Grki so občudovali Po-
liklejtov kip, imenovan Kanon, pri katerem so razmerja temeljila na zlatem rezu.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 111
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 112 — #8 i
i
i
i
i
i
Iz zgodovine
Mono Lizo za svojevrsten mojstrov avtoportret, le da se Anthropos mršči,
Mona Liza pa smehlja.
Kot zanimivost omenimo še, da so v Leonardovi rodni vasici Vinci po-
stavili tridimenzionalno verzijo Leonardovega »Anthroposa«.
Skrivnost Leonardove genialnosti
Leonardova genialnost naj vsaj načeloma ne bi bila tako nedostopna razu-
mevanju, kot to menijo tisti, ki ga pretirano poveličujejo in zmanǰsujejo ali
opravičujejo njegove napake, značajske posebnosti in muhavosti (ko je npr.
tudi po več ur samo razmǐsljal in strmel v fresko Zadnje večerje, potem pa
s čopičem naredil le potezo ali dve) in neuspehe (kot je bil npr. fiasko z eks-
perimentiranjem z novo slikarsko tehniko, ko je slikal Bitko pri Anghiariju,
katere videz poznamo le po kopiji Petra Paula Rubensa [4, str. 356], in so
nanesene barve ob sušenju slike z baklami začele polzeti po zidu). Ni bil
le muhast umetnik, po potrebi je bil tudi pragmatik in realist; ko ni mogel
uresničiti svojega načrta za veličasten konjenǐski spomenik Ludovicu Sforzi,
ker so potrebovali bron za topove, se je s tem dostojanstveno sprijaznil,
čeprav je v zasnovo tega kipa vložil izjemno veliko časa in truda in naj bi
predstavljal njegovo najpomembneǰso kiparsko stvaritev. Skrivnost njegove
genialnosti je morda tudi v tem, da je v sebi spajal na videz nepomirljiva
nasprotja. Tako npr. ni bil le brezčutnež, ki je z največjim zanimanjem
skiciral obešenca ali seciral truplo starčka, s katerim se je tik pred njegovo
smrtjo še pomenkoval, da bi dognal skrivnost njegove dolgoživosti, ampak je
bil veliko pred svojim (in današnjim) časom tudi v svojem odnosu do živih
bitij, ko je zapisal: »Prǐsel bo dan, ko bodo ljudje sodili o uboju živali prav
tako, kot danes presojajo o uboju človeka. Prǐsel bo čas, ko bomo zauži-
vanje živali obsojali prav tako, kot danes obsojamo zauživanje nam enakih,
ljudožerstvo.« Eden izmed redkih, ki je vsaj delno razumel Leonardovo ge-
nialnost in jo znal ceniti, je bil francoski kralj Franc I, ki mu je v zadnjih
letih življenja ponudil prijeten grad in vso podporo, da je premǐsljeval in
delal, kar je želel [3, str. 48–51].
Pri vsem ni bil velikan, delal je tudi napake – toda kdo jih ne? Veliko
stvari je začel, razmeroma malo jih je dokončal; morda je bila vzrok temu
značajska slabost, nediscipliniran um, begajoča pozornost, morda pa tudi
nesoglasja z naročniki njegovih del. Zanimalo ga je preveč stvari, kot kažejo
npr. zapisi: »Napihni prašičja pljuča in opazuj, ali se jim pri tem povečata
tako širina kot dolžina, ali le širina.« »Opǐsi jezik žolne« [4, str. 525].
Leonardu sta bili znanost in umetnost tako rekoč eno. Ni ju videl kot
ločeni področji. Zato v današnjem času vse večje specializacije nekateri
Leonardu odrekajo status znanstvenika, ali pa omalovažujejo njegove ideje
(češ da jih je večino dobil od drugih), njegove izume (češ da je bolj ali manj o
njih samo fantaziral, pa skoraj nobenega uresničil), njegove slike in kipe (češ
da jih tako ali tako ni veliko dokončal), njegove zapiske (češ da so neurejeni,
112 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“Kovic” — 2019/12/13 — 13:06 — page 113 — #9 i
i
i
i
i
i
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti: Renesančni človek
da se v njih stvari ponavljajo), njegove didaktične metode (češ da je preveč
vztrajal na slikarskih pravilih iz svojega Traktata o slikarstvu) itd.
V njegovem času so mu tekmeci očitali, da ni izobražen, da ne obvlada
slikarskih tehnik, tudi v okviru svojega slikarskega ceha je ostal vse življenje
bolj ali manj odrinjen na rob in ni dobival veliko naročil za slike. Večinoma
pa se sodobnikom ni niti sanjalo, s čim vse se ukvarja na skrivaj.
Naravo Leonardove genialnosti lepo povzema Isaacson: »Njegovo genial-
nost lahko razumemo, lahko se od nje tudi učimo. Temeljila je na sposobno-
stih, ki si jih vsakdo lahko z lastno voljo izostri, na primer na vedoželjnosti
in natančnem opazovanju. Njegova sposobnost, da razblini ločnico med
stvarnostjo in fantazijo, je bila – podobno kot tehnika sfumata – s katero je
zabrisal črte na sliki, ključna za njegovo ustvarjalnost« [4, str. 3–4]. Načela,
ki se jih je držal Leonardo, lahko bralec najde v knjigi [3].
Leonarda lahko posnemamo vsaj v tem, da vedno nosimo s seboj bele-
žnico in si vanjo zapisujemo najrazličneǰse misli, opažanja, vprašanja, nove
besede tujega jezika, ki smo se jih naučili, pa tudi miselne vzorce, risbe,
sezname stvari, ki jih želimo postoriti ali izvedeti. Tako se nam najlažje
odpro vrata do neizčrpne ustvarjalnosti, ohranili pa bomo tudi marsikatero
opažanje ali misel, ki bi sicer zdrsnila v pozabo.
LITERATURA
[1] G. T. Bagni in B. D’Amore, Leonardo e la Matematica, Giunti Editore, Milano, 2006.
[2] A. Detela (et al.), Razprave o Leonardu, Studia humanitatis, Ljubljana, 2005.
[3] M. J. Gelb, Postanite ustvarjalni kot Leonardo da Vinci (podnaslov: Sedem korakov
do genialnosti), Založba Tangram, Ljubljana, 2003.
[4] W. Isaacson, Leonardo da Vinci, Fascinantna biografija enega največjih genijev vseh
časov, Učila International, Tržič, 2018.
[5] O. Letze in T. Buchsteiner, Leonardo da Vinci, znanstvenik, izumitelj, umetnik, Na-
rodni muzej Slovenije, Ljubljana, 1999–2000.
[6] R. Ormiston, The Life and Works of Leonardo da Vinci, A full exploration of the
artist, his life and context, with 500 images and a gallery of his greatest works, Hermes
House, Anness Publishing Ltd, 2011.
[7] J. Strnad, Leonardo da Vinci, znanstvenik, izumitelj, umetnik, Presek 27
(1999/2000), 196–198.
[8] J. Strnad, Leonardo da Vinci in fizika, Presek 27 (1999/2000), 216–222.
[9] Leonardo da Vinci, Traktat o slikarstvu, Studia humanitatis, Ljubljana, 2014.
[10] Leonardo da Vinci, Italian artist, engineer and scientist, dostopno
na www.britannica.com/biography/Leonardo-da-Vinci/Anatomi-cal-studies-
and-drawings, ogled 17. 4. 2019.
[11] Leonardo da Vinci, The Complete Works, dostopno na www.leonardoda-vinci.org/,
ogled 17. 4. 2019.
Jurij Kovič
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 113
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 114 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Predsednik Pahor podelil srebrni red za zasluge DMFA Slovenije
Na priložnostni slovesnosti v predsednǐski palači je predsednik Borut Pahor
10. julija 2019 Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ob 70-
letnici njegovega delovanja podelil državno odlikovanje srebrni red za zasluge
za njegove prispevke k razvoju pedagoškega, strokovnega in znanstvenega
dela na področjih matematike, fizike in astronomije. Slovesnosti se je poleg
predsednika društva, Dragana Mihailovića, ki se je v imenu društva zahvalil
za prejeto priznanje, udeležilo tudi nekaj članov društva.
V nadaljevanju najprej navajamo celotno utemeljitev odlikovanja, ki jo
lahko najdemo tudi na spletnih straneh predsednikovega urada [1], nato pa
še govor predsednika društva Dragana Mihailovića ob sprejemu priznanja.
Slika 1. Predsednik Pahor podeljuje odlikovanje. Foto: Andrej Guštin
Utemeljitev odlikovanja
Društvo matematikov, fizikov in astronomov (DMFA) Slovenije ima letos 70
let, saj je bilo kot Društvo matematikov in fizikov ustanovljeno leta 1949.
Njegovi temeljni dejavnosti sta podpora kakovostnemu pedagoškemu delu
ter popularizacija matematike, fizike in astronomije.
Društvo prireja različna tekmovanja v matematiki, fiziki in astronomiji
na vseh stopnjah šolanja. Osnovnošolski in srednješolski mladini je vsako
leto namenjenih 12 državnih tekmovanj s ciljem spodbujati zanimanje za
znanost. Najdalǰso tradicijo imajo srednješolska tekmovanja v matematiki,
114 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 115 — #2 i
i
i
i
i
i
Predsednik Pahor podelil srebrni red za zasluge DMFA Slovenije
ki potekajo neprekinjeno že od šolskega leta 1957/58 in so bila sploh prva
slovenska tekmovanja v znanju. Najbolj množično pa je tekmovanje osnov-
nošolcev, znano kot Matematični kenguru. Lani je samo v matematičnih
tekmovanjih v osnovnih šolah tekmovalo 73.430 učencev.
Prvo vseslovensko tekmovanje v fiziki je bilo maja 1981 v Mariboru v
okviru 5. srečanja mladih tehnikov Slovenije. Že naslednje leto so fiziki
v Mariboru skupaj z Društvom matematikov, fizikov in astronomov Slo-
venije priredili samostojno republǐsko tekmovanje in tako je letos potekalo
že 39. tekmovanje za Stefanova priznanja. Društvo prireja tudi tekmova-
nja v znanju astronomije za Dominkova priznanja, prvo je bilo v šolskem
letu 2009/2010, in tekmovanja Kresnička, ki so tekmovanja v naravoslovju.
Vsako leto izbere in pripravi ekipe slovenskih udeležencev za več kot de-
set mednarodnih tekmovanj, med katerimi sta mednarodna matematična in
mednarodna fizikalna olimpijada, ki imata več kot 50-letno tradicijo. Na
mednarodni olimpijadi iz astronomije in astrofizike je leta 2017 slovenski
dijak Aleksej Jurca dosegel absolutno prvo mesto.
Za učitelje in širšo strokovno javnost društvo redno pripravlja seminarje
in predavanja. Pri tem sodelujejo ugledni strokovnjaki z različnih ustanov
in znanstvenih področij. Skrb za stroko že 50 let izraža s podeljevanjem
priznanj mentorjem za uspešno delo z mladimi. Skoraj tako dolgo kakor
zgodovina društva je tudi njegovo publicistično in založnǐsko udejstvovanje:
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije od leta 1971 izdaja
Presek, list za mlade bralce, za širši krog članov že od leta 1951 Obzornik za
matematiko in fiziko in ob tem še knjižno zbirko Sigma. Ob raznovrstnih
knjižnih in priložnostnih publikacijah, kot so učbeniki, zborniki, bilteni in
podobno, društvo sodeluje tudi pri izdaji mednarodne znanstvene revije Ars
Mathematica Contemporanea.
DMFA prireja številne razstave, pripravlja poljudna predavanja in iz-
vaja druge aktivnosti za promocijo znanstvenih dosežkov, raziskovalnega
dela in poklicev v znanosti. Kot glavni slovenski organizator je sodelovalo
na mednarodnih prireditvah v okviru mednarodnega leta astronomije 2009,
svetovnega leta fizike 2005 in svetovnega leta matematike 2000. Zdaj pri-
pravlja 8. evropski matematični kongres, ki bo julija 2020 v Portorožu, in
evropsko fizikalno olimpijado, ki bo leta 2021 v Ljubljani. Društvo upra-
vlja hǐso in spominsko sobo prof. dr. Josipa Plemlja na Bledu, kjer občasno
potekajo poletne šole ter znanstvene in strokovne delavnice.
V bogati 70-letni zgodovini so društvu predsedovali in v njem sodelo-
vali številni ugledni slovenski matematiki in fiziki. Kot prvi častni član je
bil leta 1949 izvoljen prof. dr. Josip Plemelj, slovenski matematik mednaro-
dnega ugleda in prvi rektor Univerze v Ljubljani. Častno članstvo društvo
podeljuje strokovnjakom ali pedagogom, ki s svojim delom pomembno pri-
spevajo k razvoju matematičnih in naravoslovnih znanosti oziroma društva.
Doslej so izvolili 35 častnih članov in članic.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 115
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 116 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ima status dru-
štva v javnem interesu, vanj pa so včlanjeni vsi, ki se želijo izobraževati in
izpopolnjevati znanje in znanost ter ju prenašati novim rodovom. Danes
ima društvo 850 aktivnih članov, vsi sodelujejo povsem prostovoljno. Vodi
jih prepričanje, da delajo za znanje in znanost, nagrajujejo pa jih sijajni
uspehi, ki jih mladi znanstveni navdušenci dosegajo doma in v tujini.
Za 70 let neutrudnega pedagoškega, strokovnega in znanstvenega dela na
področjih matematike, fizike in astronomije ter za spodbujanje ljubezni do
znanja pri mladih se Slovenija Društvu matematikov, fizikov in astronomov
Slovenije zahvaljuje z visokim državnim odlikovanjem.
Slika 2. Skupinska slika po podelitvi.
Zahvalni govor predsednika društva
Spoštovani gospod predsednik, spoštovani ugledni gostje, spoštovani kolegi!
Dovolite mi, da se v imenu DMFA Slovenije zahvalim za to izjemno prizna-
nje. Zahvaljujem se vsem, ki so ob 70-letnici delovanja DMFA prepoznali
pomen te obletnice in prispevali k današnjemu dogodku.
DMFA Slovenije združuje raziskovalce, profesorje, učitelje in dijake v
stanovski zvezi, ki skrbi za popularizacijo stroke med mladimi in v širši
javnosti. Organizira znanstvena srečanja in promovira znanstvene dosežke.
Izdaja društveno glasilo Obzornik za matematiko in fiziko ter Presek, list za
mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje.
116 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 117 — #4 i
i
i
i
i
i
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Verjetno najpomembneǰse poslanstvo društva je kravžljanje mladih mo-
žganov. Talente je namreč treba prebuditi. Ključna za uspeh pri prebu-
janju talentov pa je motivacija, kar je naloga društva. Uspeh pa ne pride
brez velikega truda in dolgoletne tradicije. Društvo pripravlja in sodeluje
na različnih tekmovanjih vseh vrst, od šolskih tekmovanj do mednarodnih
olimpijad. Organizira tekmovanja iz znanja, ki se jih vsako leto udeleži več
kot 100.000 tekmovalcev. V sedemdesetih letih se to število kar namnoži.
V zadnjih letih beležimo izjemne dosežke posameznikov na olimpijadah,
kar nedvomno prispeva k ugledu Slovenije v svetu tam, kjer šteje – med
mladimi. Olimpijade iz matematike, fizike in astronomije potekajo po ce-
lem svetu in so zelo podobne športnim olimpijadam, le da se pri enih tek-
muje v umskih veščinah, pri drugih pa v telesnih. Razlika je tudi v tem, da
je neposredni televizijski prenos matematičnega tekmovanja lahko nekoliko
manj zanimiv, kot je na primer smučanje. Je pa dolgoročni družbeni po-
men nabiranja znanja iz naravoslovno-matematičnih veščin verjetno širšega
pomena, kot je šport, saj je ključ do uspeha na vseh področjih znanosti,
gospodarstva, medicine in tudi družboslovja ter športa.
Člani društva so prostovoljci, ki delajo brezplačno. Predsednǐsko pri-
znanje je še posebej pomembno za vse tiste posameznike, ki jih ne morem
danes poimensko našteti, a dobro vemo, kdo so. Oni svoje življenjsko delo
posvečajo poslanstvu društva. Seveda smo nagrajeni tudi vsakič, ko naši
tekmovalci izkažejo uspehe, a državno odlikovanje je vendarle pomembno
priznanje širše družbe za požrtvovalno delo skupine posameznikov, ki tvorijo
društvo. V izjemno čast mi je, da lahko v imenu DMFA Slovenije prejmem
to priznanje in se v imenu vseh članov društva zanj srčno zahvalim.
LITERATURA
[1] Predsednik Pahor na posebni slovesnosti vročil državna odlikovanja: srebrni red za
zasluge, red za zasluge in medalje za zasluge, dostopno na www.up-rs.si/up-rs/
uprs.nsf/objave/A3042FB21FC143A4C125843300255232?OpenDocument, ogled 10. 7.
2019.
Urednǐstvo
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Tudi letos je konec julija v Blagoevgradu v Bolgariji potekalo mednarodno
tekmovanje študentov matematike. Pomerilo se je 360 študentov. Ljubljan-
sko univerzo so predstavljali Viktor Cvrtila, Grega Saksida, Tea Štrekelj in
Gašper Urh, Univerzo na Primorskem pa Ðorđe Mitrović, Besfort Shala in
Roman Solodukhin.
Besfort Shala in Roman Solodukhin sta dobila drugo nagrado, Ðorđe
Mitrović in Gašper Urh tretjo, Gregor Saksida in Tea Štrekelj pa sta dobila
pohvalo.
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 117
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 118 — #5 i
i
i
i
i
i
Vesti
Slika 1. Predstavniki Slovenije pred kampusom Amerǐske univerze v Blagoevgradu. Z
leve: Grega Saksida, Gašper Urh, Ðorđe Mitrović, Besfort Shala, Roman Solodukhin, Tea
Štrekelj in Viktor Cvrtila.
Naloge s tekmovanja in posamične rezultate lahko najdete na internetni
strani www.imc-math.org.
Za vtis sledi nekaj rešenih nalog s tekmovanja. Upam, da vas bo kakšna
od nalog motivirala za možgansko telovadbo, še preden boste pogledali njeno
rešitev.
Tekmovalci so dva dni, vsak dan po pet ur, reševali po pet nalog. Rimska
številka označuje dan tekmovanja, arabska pa zaporedno številko naloge.
Praviloma teža naloge narašča z zaporedno številko.
I.1. Izračunaj produkt
∞∏
n=3
(n3 + 3n)2
n6 − 64
.
Podobno kot seštejemo teleskopske vsote, lahko naredimo tudi s produkti.
118 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 119 — #6 i
i
i
i
i
i
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
Razpǐsimo n-ti faktor produkta an kot
n2(n2 + 3)2
(n3 − 8)(n3 + 8))
=
n2(n2 + 3)2
(n− 2)(n2 + 2n+ 4)(n+ 2)(n2 − 2n+ 4)
=
=
n
n− 2
· n
n+ 2
· n
2 + 3
(n− 1)2 + 3
· n
2 + 3
(n+ 1)2 + 3
.
Za N ≥ 3 je N -ti delni produkt
∏N
n=3 an enak(
N∏
n=3
n
n− 2
)
·
(
N∏
n=3
n
n+ 2
)
·
(
N∏
n=3
n2 + 3
(n− 1)2 + 3
)
·
(
N∏
n=3
n2 + 3
(n+ 1)2 + 3
)
=
N(N − 1)
1 · 2
· 3 · 4
(N + 1)(N + 2)
· N
2 + 3
22 + 3
· 3
2 + 3
(N + 1)2 + 3
=
72
7
N(N − 1)(N2 + 3)
(N − 1)(N + 2)((N + 1)2 + 3)
.
Ko gre N proti neskončno, zgornji izraz konvergira proti 727 .
Kot zanimivost naj omenim, da je velika večina tekmovalcev dobila pravo
idejo in pokraǰsala ustrezne zaporedne člene, pri tem pa naredila napako,
ker ni delala z limitami končnih produktov. Ocenjevalci so v tem primeru
nalogo ocenili s 60 %, zraven pa ilustrirali težavo z neskončnim produktom
∞∏
n=1
n
n+ 1
,
ki je enak 0 (N -ti delni produkt je enak 1N+1), na videz pa se vsi členi
pokraǰsajo in bi tako moral biti produkt enak 1.
I.3. Naj bo f : (−1, 1)→ R dvakrat odvedljiva funkcija, za katero velja
2f ′(x) + xf ′′(x) ≥ 1 za vse x ∈ (−1, 1).
Pokaži, da je ∫ 1
−1
xf(x) dx ≥ 1
3
.
Naloga črpa idejo iz zakladnice na videz nemogočih rešitev nalog z Rollovim
in Lagrangeevim izrekom, kjer moramo funkcijo napisati kot odvod primerne
funkcije. Hitro ugotovimo, da je drugi odvod funkcije
g(x) = xf(x)− x22
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 119
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 120 — #7 i
i
i
i
i
i
Vesti
enak ravno
g′′(x) = 2f ′(x) + xf ′′(x)− 1 ≥ 0,
zato je funkcija g konveksna in se njena tangenta nahaja pod grafom funk-
cije. Če je g′(0) = a, je
g(x) ≥ g(0) + g′(0)x = ax,
zato je∫ 1
−1
xf(x) dx =
∫ 1
−1
(
g(x) +
x2
2
)
dx ≥
∫ 1
−1
(
ax+
x2
2
)
dx =
1
3
.
II.2 Naj C označuje množico vseh sestavljenih števil. Za vsako število n ∈ C
definirajmo an kot najmanǰse naravno število k, za katero n deli k!.
Utemelji, ali konvergira vrsta ∑
n∈C
(an
n
)n
.
Pokazali bomo, da je
an
n
≤ 2
3
za n > 4,
zato dano vrsto od drugega člena naprej majorizira konvergentna geome-
trijska vrsta s kvocientom 23 < 1.
Vsako sestavljeno število n > 4 je lahko treh različnih oblik:
(i) Recimo, da je število n deljivo z vsaj dvema različnima prašteviloma.
Tedaj ga lahko razcepimo na produkt tujih števil n = qr, kjer je r ≥ 2
in je brez škode za splošnost q > r. Tedaj n = qr deli q! = r!(r +
1) · · · (q − 1)q, zato je an ≤ q in je
an
n
≤ q
n
=
1
r
≤ 1
2
.
(ii) Tokrat naj bo n = p2 kvadrat praštevila p ≥ 3 (gledamo le n > 4). Ker
p2 deli p · 2p, ki deli (2p)!, je an ≤ 2p in je
an
n
≤ 2p
p2
=
2
p
≤ 2
3
.
(iii) Naj bo n potenca praštevila, n = pk, k ≥ 3. Tedaj n = pk deli produkt
p · p2 · · · pk−1, zato je an ≤ pk−1 in je
an
n
≤ p
k−1
pk
=
1
p
≤ 1
2
.
120 Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3
i
i
“srebrniRed” — 2019/12/13 — 13:10 — page 121 — #8 i
i
i
i
i
i
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
II.4 Določi vsa naravna števila n, za katera obstajata kvadratni obrnljivi
realni matriki A in B velikosti n× n, za kateri velja
AB −BA = B2A.
Enakost, ki velja za matriki A in B, lahko predelamo v veliko bolj informa-
tivno enačbo
B = A−1(B2 +B)A,
ki pove, da sta si matriki B in B2 +B podobni.
Naj bo najprej velikost matrik n liho število. Tedaj ima karakteristični
polinom matrike B vsaj eno realno ničlo, recimo λ. Po izreku o preslikavi
spektra je tudi λ2 + λ > λ realna lastna vrednost matrike B, ki je večja od
λ, saj zaradi obrnljvosti matrike B velja λ 6= 0. Tako pridemo do neskončne
množice različnih realnih lastnih vrednosti matrike B, kar je v nasprotju s
končno velikostjo matrike B.
Preostane nam še možnost, ko je n sodo število. V primeru n = 2
množica
{λ, λ2 + λ, (λ2 + λ)2 + λ2 + λ}
ne sme imeti več kot dveh elementov. Tako hitro najdemo kandidata za
lastni vrednosti matrike B, z nekaj vztrajnega poskušanja pa še primerno
realno matriko, na primer
B′ =
[
−1 1
−1 −1
]
in podobnostno transformacijo med B in B2 +B
A′ =
[
0 1
1 0
]
.
S pomočjo teh 2 × 2 matrik lahko zgradimo diagonalno bločni matriki po-
ljubne sode velikosti
A = A′ ⊕ · · · ⊕A′, B = B′ ⊕ · · · ⊕B′,
ki sta seveda realni, obrnljivi in ustrezata enakosti AB −BA = B2A.
Marjan Jerman
Obzornik mat. fiz. 66 (2019) 3 XI
i
i
“kolofon” — 2019/12/13 — 13:12 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, MAJ 2019
Letnik 66, številka 3
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Katakavstika Bernoullijeve lemniskate (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . 81–89
Homopolarni motorji (Robert Hauko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–104
Iz zgodovine
Leonardo da Vinci (1452–1519) – ob petstoletnici njegove smrti:
Renesančni človek (Jurij Kovič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–113
Vesti
Predsednik Pahor podelil srebrni red za zasluge DMFA Slovenije
(uredništvo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–117
Šestindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike
(Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117–XI
CONTENTS
Articles Pages
A catacaustic of the Bernoulli lemniscate (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . 81–89
The Homopolar Motors (Robert Hauko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–104
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–113
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–XI
Na naslovnici: Srebrni red za zasluge, ki ga je predsednik Borut Pahor podelil
Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, glej novico na strani 114.
(Foto: Andrej Guštin)