ŠOLSKA TEORIJA Kako lahko vzgojitelj preveri otrokovo sposobnost štetja?1 Jasmina Bunšek, mag. predšolske vzgoje Že dveletni otrok začne v igro vključevati števila. Takrat bi lahko pomislili, da otrok zna šteti, vendar samo omemba števila še ne pomeni, da ima otrok sposobnost štetja. Lahko sklepa- mo, da otrok že pozna nekaj poimenovanj števil. Otrok loči besede števil od drugih opisnih besed. Da zna otrok šteti mora upoštevati načela štetja. Kako ugotoviti, na kakšni stopnji razumevanja je otrok, je za vzgojitelje uporabna informacija, saj na podlagi tega organ- izirajo dejavnosti za otroke. V prispevku predstavljam štiri reprezentacije števil (konkretno, grafično, simbolno in jezikovno) ter uporabnost prehajanja med njimi. Na koncu navajam še primere nalog prehajanja med reprezentacijami. Ključne besede: štetje, reprezentacija števil, pred- šolski otroci Besedno štetje Besedno šteje je eno izmed prvih otrokovih izku- šenj in spoznanj o številu (Labinowicz 2010). Pimm (1995) meni, da ko odrasli sprašujejo otroka po šte - tju, navadno mislijo na besedno štetje, saj jih ne za- nima, ali znajo določiti, koliko objektov določene vr- ste je v zbirki predmetov, ampak ali lahko ustvarijo pravilen določen nabor govorjenih zvokov v pravem vrstnem redu. Besedno štetje začnejo otroci usvajati med dru- gim in tretjim letom in se razvija še nekaj let. Veliko 2,5-letnih otrok loči besede števil od drugih opisnih besed. Otroci takrat praviloma še ne uporabljajo standardnega vrstnega reda števil – npr. otrok reče »tri, pet«, da prešteje dva predmeta. Otrok te starosti razume, da različna imena števil predstavljajo različ- ne količine in da je njihovo zaporedje pomembno (Geary 1994). Otroci morajo prvih nekaj poimeno - vanj števil povezati bodisi z zaznavno reprezentacijo bodisi z neverbalno reprezentacijo natančno dolo- čene količine za določeno majhno število (Cordes in Gelman 2005). Nekateri teoretiki so mnenja, da otrokove prve be- sede štetja nimajo numerične vrednosti (Cordes in Gelman 2005). Piaget (Labinowicz 2010) meni, da lahko ta zmožnost besednega štetja odrasle zave- de k sklepanju, da otrok, ki zna šteti, tudi razume pojem števila. Sodobna generacija otrok razodeva veliko zmožnost besednega štetja. Pri tem ne sme- mo spregledati otrokove zmožnosti le majhnega razumevanja, čeprav pri štetju zelo dobro posnema odrasle. Golo naštevanje števil, brez prisotnih re- sničnih predmetov, je dejavnost brez smisla, doda Piaget (Labinowicz 2010). Fayol in Seron (2005) po drugi strani trdita, da ima besedno štetje vrednost. Med otrokovim razvojem se zgodi, da razume več imen za števila in jih povezuje s kardinalnostjo, ne ve pa, katero ime povezati s katero množico. Štetje z upoštevanjem načel štetja Veščina štetja je pogojena z razumevanjem princi- pov (Manfreda Kolar 2006, Papalia idr. 2003) oziro - ma načel štetja (Hodnik Čadež 2004 in Ferbar 1990). Načela štetja so (Manfreda Kolar 2006; Hodnik Ča- dež 2004; Papalia idr. 2003 in Ferbar 1990): • načelo povratno enoličnega prirejanja, • načelo urejenosti ali ustaljenega vrstnega reda, • načelo kardinalnosti, • načelo nepomembnosti vrstnega reda, • načelo abstrakcije. Prva tri načela pojasnjujejo pravila procesa, kako šteti. Četrto načelo pove, kaj lahko štejemo, peto pa povezuje vsa prejšnja načela (Manfreda Kolar 2006). Načela štetja po Gelmanovi in Gallistelu (Cordes in Gelman 2005) veljajo za besedne in nebesedne si- tuacije. Reprezentacije števil Reprezentacija je nekaj, kar stoji nekje namesto ne- česa drugega (Hodnik Čadež 2003, 2015). Za vsako reprezentacijo moramo definirati: • reprezentiran svet (svet, ki ga reprezentiramo), • svet, ki ga reprezentirajoči svet prikazuje, • kateri aspekti so predstavljeni, • katere vidike reprezentiranega sveta predstavlja in • povezanost med svetom, ki se predstavlja, in re- prezentirajočim svetom (Palmer 1978, v Hodnik Čadež 2015). Reprezentacije so sestavni del spoznavanja ma- tematike, ki nam po eni strani pomagajo pri obli- kovanju matematičnih pojmov, po drugi strani pa predstavljajo tudi vir težav za otroke, saj otroci ne interpretirajo reprezentacij tako, kot bi mi želeli (Ho- dnik Čadež 2003). Prepoznavanje več različnih re - prezentacij števil in sposobnost njihovega interpre- tiranja sta sestavna dela razumevanja števil (Powell in Nurnberger-Haag 2015). Razlikujemo med notranjimi (mentalne slike) in 1 Vsebina članka izhaja iz magistrskega dela Razumevanje pojma število pri 3–5-letnih otrocih (2016), ki je nastala pod mentorstvom dr. Tatjane Hodnik Čadež s Pedagoške fakultete v Ljubljani. 55 Didakta ŠOLSKA TEORIJA 56 Didakta zunanjimi (okoljskimi) reprezentacijami (Hodnik Čadež 2003, 2015; Powell in Nurnberger-Haag 2015). Zunanje reprezentacije so sestavljene iz strukturira- nih simboličnih elementov, katerih naloga je zuna- nji, viden prikaz določene matematične stvarnosti (Hodnik Čadež 2003, 2015). Informacije zunanjih reprezentacij niso direktno prenosljive oz. prevedlji- ve v notranje reprezentacije. Pridobivanje znanja s pomočjo reprezentacij temelji na aktivni udelež- bi otrok v procesu interpretacij reprezentacij in je med drugim odvisno tudi od otrokovega predzna- nja (Hodnik Čadež 2003). Notranje reprezentacije opredeljujemo kot miselne predstave oz. miselne prezentacije, nekaj, kar nima originala, kot notranji svet izkušenj (Hodnik Čadež 2015). Notranjih repre - zentacij ne moremo neposredno opazovati (Man- freda Kolar 2006). To je najmanj dostopno področje za pedagoške delavce in zato najbolj zanimivo (Ho- dnik Čadež 2015). Naše razumevanje otrokovih no - tranjih reprezentacij je mogoče le z opazovanjem otrok pri uporabi zunanjih reprezentacij (Manfreda Kolar 2006). Vsak medij, preko katerega skušamo razumeti notranji svet izkušenj, je le bolj ali manj dobra interpretacija naših notranjih formulacij (Ho- dnik Čadež 2015). Uspešno učenje je aktivno obliko - vanje znanja v procesu interakcij med zunanjimi in notranjimi reprezentacijami (Hodnik Čadež 2003). Zunanje reprezentacije števil so po V. Manfreda Kolar (2006) lahko konkretne in simbolne, po T. Ho - dnik Čadež (2003, 2015) pa poleg omenjenih še gra- fične. Novejše raziskave kažejo, da je bolj kot vrstni red obravnave reprezentacij pomembno vzposta- vljanje povezav med njimi (Hodnik Čadež 2015). V nadaljevanju predstavljam konkretno, grafično, simbolno in jezikovno reprezentacijo. Slika ponazarja jezikovno, konkretno in grafično reprezentacijo ter matematične simbole, kar razu- Odnosi med reprezentacijami (Hodnik Čadež 2003, prirejeno po Haylock in Cockburn 1989) memo kot simbolno reprezentacijo. Puščice med reprezentacijami predstavljajo vse možne kombi- nacije prehodov med reprezentacijami. Reprezen- tacije in prehodi med njimi lahko veljajo tudi za dru- ge matematične pojme. KONKRETNA REPREZENTACIJA Poznamo strukturirane in nestrukturirane materi- ale. Strukturirani so npr. Dienesove plošče, katerih namen je sicer že osnovnošolskim otrokom poma- gati pri razumevanju desetiškega sistema in račun- skih algoritmov. Konkretni nestrukturiran material predstavlja vse reči, ki jih otrok uporablja kot pri- pomočke za učenje. Konkretni material pri učenju matematike so otrokovi prsti na rokah, lahko pa tudi na nogah. Fizični občutek ob uporabi je po- memben vir znanja (Pimm 1995), vendar konkretni material sam po sebi ne zagotavlja izkušnje, tudi ne vsebuje matematike in ni njen izvor. Samo ljudje s svojimi mislimi lahko osmislimo konkreten material in vzgojiteljeva vloga ob uporabi konkretnega ma- teriala je predvsem pomagati otroku, da material osmisli. Največja »nevarnost« je, da je otrok pri rokovanju z materialom bolj pozoren na samo rokovanje kot pa na učenje o pojmu, ki ga želimo pojasniti ob dolo- čenem materialu. Pri razumevanju matematičnih pojmov je bistveno prehajanje med posameznimi reprezentacijami in težko bi kateri od reprezen- tacij v katerikoli fazi učenja dali prednost. Ključno pri uporabi konkretnega materiala je, da vzgojitelji namenimo večjo vlogo povezovanju znanja, ki ga otrok pridobiva ob različnih reprezentacijah, torej da pri vpeljevanju konkretnega materiala razmišlja- mo, kaj naj s pomočjo konkretnega materiala osvo- jijo, in ne, kako naj material uporabljajo (Hodnik Ča- dež 2003). V rokovanju z materialom se mora odražati miselna aktivnost, ki je potrebna za razumevanje abstrak- tnega matematičnega pojma. Če zunanje repre- zentacije ne predvidijo določenih miselnih naporov, so didaktično neustrezne (Markovac 1990). GRAFIČNA REPREZENTACIJA Grafične reprezentacije so pri učenju matematike v vrtcih najbolj zastopane v drugem starostnem ob- dobju. Predstavljajo nekakšen most med konkre- tnimi reprezentacijami in reprezentacijami z mate- matičnimi simboli (Hodnik Čadež 2003). Heedens (1986, v Hodnik Čadež 2003) je grafično reprezen- tacijo predstavil kot most, ki vodi od konkretnega proti abstraktnemu. Deli ju na semikonkretne in semiabstraktne reprezentacije. Primer konkretne reprezentacije seštevanja do deset je reprezentacija s pravimi orehi, primer semikonkretne reprezenta- cije so narisani orehi, semiabstraktna reprezentaci- ja pa so namesto orehov, na primer, narisani krogci. Prikaz s krogci je lahko v neki drugi situaciji primer semikonkretne reprezentacije. KONKRETNE REPREZENTACIJE MATEMATIČNI SIMBOLI GRAFIČNE REPREZENTACIJE JEZIK 57 Didakta SIMBOLNA REPREZENTACIJA Matematika je jezik s svojim sistemom znakov (La- binowicz 2010). Matematični simboli na začetku šo - lanja so števke od 0 do 9, znaki za operacije (+, -, ., :) ter znaki za relacije (<, >, =) (Hodnik Čadež 2003). Za- pis je dvakrat odmaknjen od stvarnosti in je najbolj abstraktna oblika predstavljanja. Poljubne konfigu- racije z značilnimi oblikami imenujemo števila in ne spominjajo na zapleten pojem števila. Dekodiranje znakov za števila ne vodi samodejno do pomena. Matematični odnosi niso vgrajeni v njihove simbo- le. Odnose ustvari in jih tem simbolom pripiše člo- vek (Labinowicz 2010). V vrtcu otrok po Kurikulumu za vrtce (2007: 65) »rabi simbole, s simboli zapisuje dogodke in opisuje stanje«, lahko tudi brez védenja, kaj številke pomenijo. Otroci velikokrat matematič- ne simbole uporabljajo mehanično, brez razumeva- nja. Čeprav otroci pokažejo, da so pri uporabi mate- matičnih simbolov spretni, se po navadi pokaže, da je njihova uporaba simbolov rigidna oz. uspešna le v določenih situacijah (Hodnik Čadež 2003). JEZIKOVNA REPREZENTACIJA Jezik je zelo pomemben medij. Z njegovo pomo- čjo razlagamo, hkrati pa je tudi sam po sebi repre- zentacijski sistem (Hodnik Čadež 2003). Z jezikov - no reprezentacijo se praviloma otroci srečajo pred simbolno reprezentacijo (Cordes in Gelman 2005). Govor, torej jezik, je najbolj celosten in abstrakten način predstavljanja. Čeprav so druge oblike pred- stavljanja zelo podobne predmetom ali dogodkom, ki jih simbolizirajo, govor, izražen v simbolih, ne spo- minja nanje. Govor pogosto spremlja druge oblike predstavljanja (Labinowicz 2010). Razvoj pojmov je v veliki meri odvisen od razvoja miselnih in govornih struktur oz. od načina otrokove reprezentacije (Mar- janovič Umek 2004). Prehajanje med reprezentacijami V procesu prehoda med specifičnimi reprezenta- cijami predstavlja konkretna reprezentacija »bazo«, abstraktna reprezentacija pa cilj. V procesu vzpo- stavljanja povezav med reprezentacijami od otrok pričakujemo, da odkrijejo podobnost struktur obeh reprezentacij. Povezava med njima je po navadi skri- ta (Ding, Li 2014 v Hodnik Čadež 2015). Odkrivanje povezave pa je ključnega pomena za učenje ma- tematike z razumevanjem. Dva ključna kriterija za vzpostavljanje povezave med reprezentacijami sta: podobna struktura reprezentacij in postopen pro- ces pri učenju vzpostavljanja povezav med repre- zentacijami (postopno zmanjševanje konkretnega) (Hodnik Čadež 2015). Najučinkovitejši pristop, ki otrokom omogoča boljše razumevanje matematičnih pojmov, je poučevanje matematike, ki temelji na raziskovanju različnih re- prezentacij specifičnega matematičnega pojma in spodbujanju otrok, da prehajajo iz ene v drugo reprezentacijo (Hodnik Čadež 2015). Tekoča raba reprezentacij in spretna uporaba posameznih re- prezentacij in prehodov med reprezentacijami, ko je to potrebno, je učinkovitejše od osredotočanja na reprezentacijo, ki nima utemeljene povezave z ma- tematičnim pojmom (Bieda in Nathan 2009 v Ho - dnik Čadež 2015). Manfreda Kolar (2006) je postavila vprašanje, kako si otrok pri reševanju zahtevnejših matematičnih na- log lahko pomaga s prevedbo števil v različne repre- zentacije. Ugotavlja, da je za otroke najbolj zahteven zapis s konvencionalnimi simboli in s tem povezana prevedba v simbolni zapis. Če otroci teh ne poznajo, jim zapis ne nudi nobene uporabne informacije. Hughes in Byrdon (1986, v Manfreda Kolar 2006) sta v svoji raziskavi 22 otrokom, ki so se že seznanili s konvencionalnimi simboli, predstavila serijo nalog, ki so vključevale operaciji seštevanja in odštevanja. Naloge so se stopnjevale po zahtevnosti. Ko je bila naloga pretežka, sta otroku v pomoč ponudila list in svinčnik. Le en otrok si je pomagal s strategijo pre- hajanja med reprezentacijami in si narisal pike v po- moč. Ostali otroci so na list pisali le konvencionalne simbole, s katerimi si niso mogli nič pomagati. Kako otroci prehajajo med simbolno in konkretno repre- zentacijo, sta Hughes in Byrdon (prav tam) ugo- tavljala z drugim delom vprašalnika. Za razliko od prvega dela sta pri zahtevnejših nalogah ponudila kocke v pomoč. Le 3 otroci od 22 so kocke uspešno uporabili za rešitev simbolno podane naloge. Prime- ri kažejo, da otroci ne prepoznajo smisla v uporabi konvencionalnih simbolov niti konkretnega materi- ala v obliki kock, če ne znajo prehajati med repre- zentacijami. Manfreda Kolar (2006) tako povzema, da je obvla- dovanje matematičnih simbolov tesno povezano s prehajanjem med simbolnimi in konkretnimi re- prezentacijami. Ob tem navaja ključne cilje preha- janja med tema vrstama reprezentacij (prav tam): • dati smisel formalnim matematičnim nalogam s prehajanjem v konkretno reprezentacijo; • prevajati konkretno podane naloge v formalni zapis; • če je problem pravilno rešen in bi se radi prepri- čali, če je določena rešitev smiselna, lahko pre- verimo s prevajanjem formalne reprezentacije naloge v konkretno. Torej, večkrat kot bo otrok prehajal med različnimi reprezentacijami števil, bolj jih bo ponotranjil. Naloge za preverjanje prehajanja med reprezen- tacijami števil V nadaljevanju navajam, kakšne naloge sem po- stavila otrokom v vrtcu, da bi ugotovila kako dobro razumejo pomen števil. Pomagala sem si z igračo veverico, ki se je namesto mene pogovarjala z otro- kom. Vsi potrebni pripomočki so opisani v nalogi sami. Število, ki ga želimo izvedeti od otroka, prila- godimo našemu zanimanju. 58 ŠOLSKA TEORIJA Didakta 1. Konkretno-jezikovno prehajanje: Veverica pred otroka položi majhno posodo z 2 orehoma in vpraša otroka, koliko orehov je v posodi. 3. Konkretno-simbolno prehajanje: Veverica pred otroka položi list s števili in črkami. Predenj položi še posodo z orehi. Otroka prosi, da pokaže s kate- rim znakom napišemo, koliko orehov je v posodi. 4. Grafično-konkretno prehajanje: Otrok ima pred sabo košaro z orehi. Veverica predenj položi sliko s 5 orehi in ga prosi: »V posodo daj toliko orehov, kolikor jih je na sliki.« 2. Konkretno-grafično prehajanje: Igrača veverica otroku ponudi list papirja, barvico, nato še poso- do z enim orehom. Otroka prosi, da nariše toliko orehov, kolikor jih vidi v posodi. Postavitev pripomočkov pri nalogi konkre- tno-jezikovnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi konkre- tno-simbolnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi grafič- no-konkretnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi konkre- tno-grafičnega prehajanja. 59 Didakta 5. Grafično-jezikovno prehajanje: Otroku veverica ponudi sliko s 3 orehi in ga vpraša, koliko orehov je na sliki. 7. Jezikovno-grafično prehajanje: Veverica pred otroka položi list papirja in barvico. Otroka prosi, da ji nariše 2 oreha. 6. Grafično-simbolno prehajanje: Veverica pred otroka položi sliko s 6 orehi in list s števili in črka- mi, razmetanimi na njem. Otroka prosi, da ji po- kaže, s katerim znakom se napiše, koliko orehov je na sliki. 8. Simbolno-grafično prehajanje: Veverica pred otroka položi prazen list papirja in barvico ter zapis število 5 na kartončku. Otroka prosi, da ji nariše toliko orehov, kot piše na kartončku. Postavitev pripomočkov pri nalogi grafič- no-simbolnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi grafič- no-simbolnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi grafič- no-jezikovnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi jezikov- no-grafičnega prehajanja. 9. Simbolno-konkretno prehajanje: Veverica poda otroku navodila, da v posodo nabere toliko ore- hov, kot piše na kartonu. Na kartonu piše 7. Postavitev pripomočkov pri nalogi simbol- no-konkretnega prehajanja. 60 ŠOLSKA TEORIJA Didakta 12. Simbolno-jezikovno prehajanje: Pred otroka po- samezno položimo kartonček z zapisom števila 4 in vprašamo, kaj piše na njem. Postavitev pripomočkov pri nalogi simbol- no-konkretnega prehajanja. Postavitev pripomočkov pri nalogi simbol- no-jezikovnega prehajanja. 10. Jezikovno-konkretno prehajanje: Veverica otro - ka prosi, da ji v posodo nabere 4 orehe. 11. Jezikovno-simbolno prehajanje: Pred otroka položimo list s števili in črkami, mešano razpo- rejenimi, in ga prosimo, da na njem pokaže, ka- tero število je 3. Postavitev pripomočkov pri nalogi jezikov- no-konkretnega prehajanja. Zaključek Naloge prehajanja med reprezentacijami priporo- čam v uporabo v varnem okolju, ko so otroci siti in spočiti. Sama sem bila prijetno presenečena nad odzivi otrok. Nekateri otroci so lahko zelo srame- žljivi, lahko pa pogumni, eni se prestrašijo vprašanj, drugi pa se znajdejo po svoje, če že niso prepričani v odgovor. Naloga vzgojitelja (izpraševalca) je, da ima čim bolj nevtralen obraz, medtem ko postavlja vprašanja in medtem, ko prejema odgovor. Otroci si zelo pomagajo tudi z našimi odzivi. Odgovori otrok nam bodo pokazali, kako zanimivo otroci razmišlja- jo in sklepajo. Literatura: Bahovev, E. D. (2007): Kurikulum za vrtce: predšolska vzgoja v vrt - cih. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport. Bunšek, J. (2016): Razumevanje pojma število pri 3–5-letnih otro - cih. Ljubljana: Pedagoška fakulteta, UL – magistrsko delo. Cordes, S. in Gelman, R. (2005): The young numerical mind: When does it count? V: Campbell Jamie I. D. (ur.), Handbook of Mathematical Cognition, str. 127–142. New York in Hove. Psycho - logy Press. Fayol, M. in Seron, X. (2005): About Numerical Representations V: Campbell Jamie I. D. (ur.), Handbook of Mathematical Cognition, str. 3–22. New York in Hove. Psychology Press. Ferbar, J. (1990): Štetje. Novo mesto: Pedagoška obzorja. Geary, D. C. (1994): Children's Mathematical Development: Rese - arch and Practical Applications. Washington: American Psycho- logical Association. Hodnik Čadež, T. (2015): Poučavanje matematike u osnovnoj ško - li u svjetlu suvremenih istraživanja. Poučak: časopis za metodiku i nastavu matematike. Letnik 15, št. 2, str. 4–19. Hodnik Čadež, T. (2004): Cicibanova matematika, priročnik za vzgojitelja. Ljubljana: Državna založba Slovenije. Hodnik Čadež, T. (2003): Pomen modela reprezentacijskih pre - slikav za učenje računskih algoritmov. V: Pedagoška obzorja. Di- dactica Slovenica, letnik 18, št. 1. Labinowicz, E. (2010): Izvirni Piaget. Mišljenje – Učenje – Poučeva- nje. Ljubljana: Državna založba Slovenije. Manfreda Kolar, V. (2006): Razvoj pojma število pri predšolskem otroku. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. Marjanovič Umek, L. (2004): Razvojna psihologija. Ljubljana: Znanstvenoraziskovalni inštitut Filozofske fakultete. Markovac, J. (1990): Metodika početne nastave matematike. Za- greb: Školjska knjiga. Papalia, D. E., Olds, Wendkos, S. in Feldman, R. D. (2003): Otrokov svet: otrokov razvoj od spočetja do konca mladostništva. Ljublja- na: Educy. Pimm, D. (1995): Symbols and meanings in school mathematics. London and New York: Routledge. Powell, S. R., Nurnberger-Haag, J. (2015): Everybody Counts, but Usually Just to 10! A Systematic Analysis of Number Representati- ons in Children’s Books. Early Education and Development, letn. (2015) 26: 377–398. London and New York: Routledge.