ETAŽNI SPEKTRI POSPEŠKOV ZA POTRESNO PROJEKTIRANJE IN OCENJEVANJE OPREME STAVB FLOOR ACCELERATION SPECTRA FOR SEISMIC DESIGN AND ASSESSMENT OF EQUIPMENT IN BUILDINGS dr. Vladimir Vukobratović, univ. dipl. inž. grad. Znanstveni članek vladavuk@uns.ac.rs UDK 006:624.042.7 Univerza v Novem Sadu, Fakulteta tehniških ved Oddelek za gradbeništvo in geodezijo Trg Dositeja Obradovića 6, Novi Sad, Srbija akad. prof. dr. Peter Fajfar, univ. dipl. inž. grad. peter.fajfar@fgg.uni­lj.si Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, IKPIR Jamova cesta 2, Ljubljana Po v zetek l Članek obravnava etažne spektre pospeškov, ki določajo potresne obre­menitve opreme stavb, občutljive za pospeške. Potresni odpornosti takšne opreme je v pred­pisih in praksi posvečene premalo pozornosti. Etažni spektri odziva, uporabljeni v Evrokodu 8, so neustrezni. Natančnejša določitev etažnih spektrov odziva zahteva zamudno in precej zahtevno dinamično analizo časovnega odziva. Namen študije, prikazane v tem članku, je bil razvoj direktne metode za račun etažnih spektrov odziva, ki omogoča račun etažnih spektrov pospeškov neposredno iz projektnega spektra konstrukcije ob upoštevanju dinamičnih ka­rakteristik konstrukcije. Metoda je uporabna tudi pri neelastičnem obnašanju konstrukcije, kar lahko precej pripomore k ekonomičnosti projektiranja opreme. Najprej je bila opravljena parametrična študija, kjer so bili etažni spektri pospeškov elastičnih in neelastičnih konstruk­cij z eno in več prostostnimi stopnjami izračunani z (ne)linearno dinamično analizo. Oprema je bila modelirana kot elastični sistem z eno prostostno stopnjo. Predlagana metoda je bila verificirana s primerjavo rezultatov z natančnejšimi rezultati, dobljenimi v parametrični študiji. Zaradi svoje enostavnosti je metoda primerna za uporabo v praksi. V primeru upoštevanja neelastičnega obnašanja konstrukcije jo je treba uporabljati v kombinaciji z N2­metodo ali drugo metodo za poenostavljeno nelinearno analizo konstrukcij. Ključne besede: etažni spektri odziva, pospeški, oprema stavb, potresno projektiranje, di­rektna metoda, neelastično obnašanje, Evrokod 8 Summary l This paper deals with floor acceleration spectra, which are used for the seismic design and assessment of acceleration­sensitive equipment installed in buildings. In design codes and in practice not enough attention is given to the seismic resistance of such equipment. Floor response spectra which are proposed in Eurocode 8 are not appro­priate. A more accurate determination of floor response spectra requires a complex and quite demanding dynamic response­history analysis. The purpose of the study presented in this paper is the development of a direct method for the determination of floor response spectra, which enables the generation of floor acceleration spectra directly from the design spectrum of the structure by taking into account dynamic properties of the structure. The method is also applicable to inelastic structures, which can greatly improve the economic aspects of equipment design. A parametric study of floor acceleration spectra for elastic 158 and inelastic SDOF and MDOF structures was conducted by using the (non)linear response­history analysis. The equipment was modelled as an elastic SDOF system. The proposed method was validated by comparing its results with more accurate results obtained in the parametric study. Due to its simplicity, the method is an appropriate tool for practice. In the case of inelastic structural behaviour, the method should be used in combination with the N2 method, or another appropriate method for simplified nonlinear structural analysis. Keywords: floor response spectra, accelerations, equipment in buildings, seismic design, direct method, inelastic behaviour, Eurocode 8 Tako imenovani nekonstrukcijski elementi in oprema stavb predstavljajo večji del vrednosti stavb. Po raziskavah Taghavija in Mirande [Taghavi, 2003] znaša vrednost gradbene konstrukcije samo 18 % v poslovnih stavbah, 13 % v hotelih in 8 % v bolnišnicah, preostanek je vrednost nekonstrukcijskih elementov in opreme (ki jih bomo v nadaljnjem tekstu imenovali s skupnim imenom oprema ali sekundarni elementi). Kljub temu se projektiranju tega dela stavb posveča zelo malo pozornosti, z izjemo jedrskih elektrarn, kjer je glavna pozornost namenjena potresni varnosti opreme. Oprema je občutljiva bodisi za deformacije (npr. predelni zidovi) ali pospeške (npr. stroji v industrijskih objektih). V tem prispevku se bomo ukvarjali samo z opremo, občutljivo za pospeške. Pri projektiranju te opreme se uporabljajo tako imenovani etažni spektri pospeškov (v nadaljevanju tudi »etažni spektri«). Določanje teh spektrov in postopek njihove uporabe sta opisana v poglavju 2. Namen članka je opis osnovnih značilnosti etažnih spektrov in prikaz praktično uporabne metode za določanje teh spektrov. Etažni spektri se lahko uporabljajo, ko je masa opreme bistveno manjša od mase stavbe, drugače je treba opremo vključiti v model konstrukcije. Po [ASCE 4­98, 2000] je meja pri masi opreme, ki je enaka enemu odstotku mase stavbe. Osnovne enačbe predlagane metode so bile prikazane v članku [Yasui, 1993]. Uporaba metode je bila omejena na elastične konstrukcije, medtem ko je bila uporaba za konstrukcije z več prostostnimi stop­njami le bežno omenjena. V raziskovalni skupini v Inštitutu za konstruk­cije, potresno inženirstvo in računalništvo (IKPIR), FGG, je bila razvita možnost razširitve uporabnosti metode na neelastične konstrukcije z eno prostostno stopnjo ([Novak, 1994], [Fajfar, 1995]). Upoštevanje neelastičnosti konstrukcije večinoma zmanjšuje vrednosti v etažnih spektrih. Začetne raziskave na področju etažnih spektrov v IKPIR so kmalu zamrle, ponovno pa so se pričele leta 2010, spodbujene tudi s potrebami prakse. Pri tem so bili upoštevani rezultati, objavljeni v obeh navedenih publikacijah. Literatura, povezana z etažnimi spektri, ni prav obsežna. Pregled lite­rature je podan v [Vukobratović, 2015a]. Med pomembnejše objave sodijo: ([Lin, 1985], [Sewell, 1986], [Yasui, 1993], [Medina, 2006], [Politopoulos, 2007], [Sullivan, 2013], [Calvi, 2014], [Filiatrault, 2014], [Vukobratović, 2015b]). Prvi članek v slovenščini je po našem vedenju napisal Vidic [Vidic, 1988], mladi raziskovalec v IKPIR. Klasična metoda za določanje etažnih spektrov temelji na dinamični analizi z računom časovnega odziva. Postopek je prikazan na sliki 1. Potresna obtežba mora biti podana v obliki akcelerograma. Z linearno ali nelinearno analizo konstrukcije izračunamo časovne poteke absolutnih pospeškov v posameznih etažah konstrukcije, iz njih pa spektre, ki jih imenujemo etažni spektri pospeškov. Etažni spekter pospeškov predstavlja potresno obremenitev za opremo, tako kot spekter pospeškov zaradi gibanja tal predstavlja potresno obremenitev za konstrukcijo. Spekter za konstrukcijo ustreza samo določenemu potresnemu nihanju tal, uporablja pa se lahko za kon­strukcijo s poljubnim nihajnim časom. Podobno etažni spekter ustreza samo določenemu potresnemu nihanju tal, pa tudi samo določeni etaži določene konstrukcije, uporablja pa se za opremo s poljubnim nihajnim časom, ki je montirana v izbrani etaži izbrane konstrukcije. Glede na to, da časovni potek gibanja tal pri bodočem potresu ni znan, je praviloma treba celoten postopek analize opraviti za več akcelerogramov. Iz navedenega je jasno, da je določanje etažnih spektrov po klasični metodi zelo zamudno in se v praksi uporablja le etažni spekter oprema absolutni pospešek etaže oprema konstrukcija konstrukcija etažni spekter pospešek tal direktno spekter tal Slika 1•Shematičen prikaz določanja etažnih spektrov s klasično in izjemoma, praviloma le pri zelo pomembnih objektih. direktno metodo Pri direktni metodi se etažnih spektri izračunajo neposredno iz spektra Postopek projektiranja ali ocenjevanja opreme pri uporabi etažnih gibanja tal (slika 1). Takšne metode so privlačne za prakso, saj so spektrov je enak tistemu pri projektiranju ali ocenjevanju konstrukcije bistveno enostavnejše, seveda pa so zaradi nekaterih poenostavitev pri uporabi projektnih spektrov. Pomembni vhodni parametri so nihajni praviloma manj natančne. čas opreme, njeno dušenje in morebitna sposobnost sipanja energije z neelastičnimi deformacijami. Etažni spekter pospeškov za elastično konstrukcijo z eno prostostno stopnjo (SDOF) je prikazan na sliki 2a. Dušenje konstrukcije znaša 5 % kritičnega dušenja, predpostavljeno je elastično obnašanje opreme. Obe predpostavki sta uporabljeni tudi v vseh drugih primerih, prikazanih v tem članku. Nihajni čas konstrukcije znaša Tp = 0,3 s (indeks p se nanaša na primarno konstrukcijo, indeks s pa na sekundarno – opre­mo). Potresna obtežba je določena s skupino 30 akcelerogramov, katerih povprečni spekter pospeškov ustreza Evrokod 8 spektru za tla B z maksimalnim pospeškom tal PGA = 0,35 g (slika 3). Etažni spektri na sliki 2a predstavljajo povprečne vrednosti, izračunane za vrednosti dušenja opreme 1 % in 5 % kritičnega dušenja. Osnovne značilnosti etažnega spektra pospeškov so naslednje: a. Pri zelo togi opremi (nihajni čas opreme Ts = 0) je pospešek opreme enak pospešku konstrukcije (Ap) ne glede na dušenje opreme. b. Pri zelo podajni opremi (Ts je velik) je etažni spekter pospeškov enak spektru gibanja tal, ki ustreza dušenju opreme. c. V resonančnem območju, kjer je nihajni čas opreme približno enak nihajnemu času konstrukcije, nastanejo veliki amplifikacijski pospeški, ki naraščajo z manjšanjem dušenja. Slika 2•Etažni spektri pospeškov za SDOF ­konstrukcijo s Tp = 0,3 s. (a) elastična konstrukcija in dušenje opreme 1 % in 5 %, (b) elastična in nelastična konstrukcija (dve histerezi in dve duktilnosti) in dušenje opreme 5 % Pri neelastičnem obnašanju konstrukcije je pospešek konstrukcije omejen. Zato se etažni spekter zmanjša v primeru toge opreme (majhen Ts) in v resonančnem območju, medtem ko neelastičnost konstrukcije praktično ne vpliva v primeru podajne opreme (velik Ts). Primerjava spektrov za elastično in neelastično konstrukcijo je prikazana na sliki 2b. Upoštevani sta dve duktilnosti (2 in 4) in dve različni histerezni pravili: idealno elastoplastično obnašanje (EP) in model s padajočo togostjo (Q). Utrjevanje po pričetku tečenja ni upoštevano. Pri Q­histerezi je iz etažnih spektrov razvidno, da se območje resonance premakne k večjemu nihajnemu času, kar je posledica podaljšanja efektivnega nihajnega časa pri plastifikaciji. Etažni spektri odziva za konstrukcije z več prostostnimi stopnjami (MDOF) so prikazani na sliki 4. Konstrukcijo predstavlja trietažni okvir, ki ima osnovni nihajni čas T1 = 0,3 s, drugi in tretji nihajni čas pa znašata 0,08 in 0,04 s. Etažni spektri so prikazani za prvo in tretjo etažo. Slika 4•Etažni spektri pospeškov za dve etaži trietažnega okvira z nihajnimi časi T1 = 0,3 s, T2 = 0,08 s in T3 = 0,04 s. Primerjava za elastično in neelastično konstrukcijo. Dušenje opreme znaša 5 % Etažni spektri na sliki 4 kažejo, da se poleg resonančnega območja, ki ustreza nihajnemu času prve oblike, pojavijo tudi resonančna območja pri nihajnih časih višjih oblik, ki so lahko pomembna predvsem v spodnjem delu konstrukcije. V primeru, prikazanem na sliki 4, se pojavi pomembna amplifikacija pospeškov v prvi etaži pri nihajnem času, ki ustreza drugi obliki nihanja. Tudi pri MDOF­konstrukcijah velja pravilo, da je pospešek zelo toge opreme enak pospešku ustrezne etaže, medtem ko pospešek podajne opreme določa spekter gibanja tal. Maksimalni pospeški zelo podajne opreme so enaki vrednosti spektra gibanja tal pri nihajnem času in dušenju opreme ne glede na pozicijo opreme. Neelastično obnašanje konstrukcije zmanjša pospeške v območju nihajnih časov do vključno resonančnega območja pri osnovnem nihajnem času. Ob upoštevanju značilnosti etažnih spektrov, prikazanih v poglavju 3, smo razvili direktno metodo za določanje etažnih spektrov pospeškov, ki omogoča relativno enostaven račun etažnih spektrov neposredno iz projektnega spektra za račun konstrukcije. Podrobnosti metode so opisane v [Vukobratović, 2015a]. Na tem mestu podajamo samo kratek opis postopka in njegovih osnov. Izhajamo iz enačbe za etažne spektre pospeškov za elastične kon­strukcije SDOF, ob upoštevanju teorije dinamike konstrukcij so jo izpeljali Yasui in sodelavci [Yasui, 1993]. Naše analize so pokazale, da ta enačba daje precej konservativne vrednosti pospeškov v območju resonance, zato smo vrednosti v tem območju ocenili z empiričnimi enačbami, ki smo jih določili s parametrično študijo. Poleg tega smo uvedli možnost upoštevanja neelastičnega obnašanja konstrukcije z uporabo neelastičnih spektrov konstrukcije namesto elastičnih spektrov. Enačba za etažni spekter SDOF­konstrukcije, ki je uporabna zunaj resonančnega območja, se tako glasi 1 . 2 S ( T , . ).2 . e pp . 2 . p s . e ss A = ( T / T ) + S ( T , . ) (1) Rµ s 1- (T /T )2 . . . . p s Tp in Ts sta nihajna časa konstrukcije in opreme, .p in .s sta vred­nosti dušenja za konstrukcijo in opremo, Se pa je vrednost v elastičnem spektru pospeškov. Neelastično obnašanje konstrukcije je zajeto z redukcijskim faktorjem Rµ, ki predstavlja razmerje med vrednostjo v elastičnem in neelastičnem spektru pri določeni duktilnosti µ. V primeru elastične konstrukcije velja Rµ = 1. Lahko se uporabi Rµ­faktor, ki so ga predlagali Vidic in sodelavci [Vidic, 1994] . Tp . (µ - 1) + 1, Tp < TCRµ =. TC , (2) . µ, T . T . p C kjer je TC karakteristična perioda gibanja tal (enaka TC v Evrokodu 8). Enačba 2 je vključena v Evrokod 8. V primerih, ko modeliramo utrjevanje po pričetku tečenja, je treba (pri uporabi Rµ v enačbi 1) Rµ deliti z (1 + . (µ – 1)), kjer je . razmerje postelastične in elastične togosti. Če upoštevamo model z zmanjševanjem togosti pri histereznem obnašanju (Q­model), je v postresonančnem območju treba upoštevati efektivni nihajni čas konstrukcije Tp,µ , ki je večji od začetnega nihajnega časa Tp. V naši študiji smo uporabili enačbo 1+ µ+µ (3) T = T p, µ p 3 Enačba 1 se lahko napiše tudi v obliki 1 . S ( T , . ).2 22 e pp A = . . + {( T / T ) S ( T , . )} (4) s sp ess . R . ( T /T )2 - 1 µ . . s p Iz enačb 1 in 4 sta razvidni značilnosti a) in b) etažnih spektrov, opisani v poglavju 3. V resonančnem območju izračunamo vrednost etažnega pospeška z S T, . As = AMP × Ap = AMP (5) e ( p p ) Rµ Faktor amplifikacije AMP predstavlja maksimalno spektralno vrednost pospeška opreme (v resonančnem območju), normirano s pospeškom konstrukcije Ap, oziroma povečanje pospeška opreme v resonančnem območju glede na pospešek konstrukcije Ap. AMP = max(A / A ) (6) s p Empirično dobljene vrednosti AMP so definirane v enačbah 7 (za EP­model) in 8 (za Q­model). V obeh primerih je treba upoštevati dušenje opreme (.s) v %. Vrednosti AMP za 5 % dušenja opreme so prikazane na sliki 5. . 10 = ( = 0, 20 , ) 0 . T / T 0, 20 .linearno med 2, 5 za T / T 0 in AMP T / T . . s pC pC pC 5 + . . -0,60 = (+. ) , 0, 20 . T /T AMP . 18 1 s p C . 1 . -0 ,60 -0 ,20 ( ) , T/T > 1 18 1 + . T /T . . ( p ) p sC C . (7) .linearno med 2, 5 za T / T = 0 in AMP T / T = 0, 20 , 0 . T / T . 0, 20 . . 10 p C ( p C ) p C 5 + . s . -0 ,60 -0,85 AMP . 18 1 s µ µ p C = ( + . ) ( 0, 6 + 0, 4 ) , 0, 20 . T / T . 1 . -0 ,60 -0,20 -0,85 ( + . ) ( T / T ) ( 0, 6 + 0, 4 µ µ ) , T / T > 1. 18 1 spC pC . . (8) Slika 5•Predlagane vrednosti AMP, primerjane z vrednostmi, dobljenimi v parametrični študiji V primeru elastičnih MDOF­konstrukcij dobimo etažne spektre s kombinacijo etažnih spektrov za posamezne nihajne oblike. Zunaj resonančnega območja za vsako nihajno obliko uporabimo enačbo 1, ki jo je treba v skladu s teorijo dinamike konstrukcij (modalna analiza, za izpeljavo glej [Vukobratović, 2015a]) pomnožiti s faktorjem .i.ij, kjer je z i označena nihajna oblika, z j pa etaža (v splošnem prostostna stopnja). .ij predstavlja vrednost nihajne oblike i v etaži j. Faktor par­ticipacije .i je definiran kot . M { } T [ ]{ } 1 . = i , (9) i { } T [ ]{ } . .iM i kjer {.i} predstavlja nihajno obliko i, [M] je masna matrika, {1} pa enotin vektor. Zunaj resonančnega območja tako vrednost v etažnem spektru pospeškov, ki ustreza nihajni obliki i in etaži j, izračunamo z enačbo .. . 2 S ( T ,. ).2 i ij . e p ,i p ,i . 2 As ,ij = T /T + S T, . .( p ,i s ) . e ( s s ) Rµ 1- ( Tp ,i / T s )2 . .. . (10) Vrednost etažnega spektra v območju resonance izračunamo po analogiji z enačbo 5 kot A = AMP × A , (11) s ,ij i p ,ij kjer je maksimalni pospešek etaže j pri nihajni obliki i definiran z Se ( Tp ,i ,.p,i ) p,ij = . . ij (12) A i Rµ Enačba 12 izhaja iz klasične modalne analize, glej npr. ([Fajfar, 1984], [Chopra, 2012]). Rezultate, dobljene za posamezne nihajne oblike, je treba kombinirati ob upoštevanju dejstva, da gre za maksimalne vrednosti, ki ne nastopijo v istem času. Pokaže se, da najbolj pogosto uporabljana kombinacij­ska pravila (SRSS in CQC), ki se standardno uporabljajo v potresnih analizah, zaradi velike občutljivosti absolutnih pospeškov za vplive višjih nihajnih oblik pogosto niso dovolj natančna v primeru pospeškov v spodnjih etažah, zlasti v primerih togih konstrukcij, ki imajo zelo nizke nihajne čase pri višjih nihajnih oblikah. V takšnih primerih so bolj primerne metode za modalno kombinacijo, ki so bile razvite ob analizah objektov, pomembnih za jedrsko varnost. Dve metodi (Gupta in Lindley­Yow) sta podani npr. v [USNRC 1.92, 2006] in v [Vukobratović, 2015a]. V naših analizah smo uporabili Guptino metodo. Osnovne korake in enačbe tega postopka smo na kratko opisali v Dodatku. SRSS­metoda predstavlja poseben primer uporabljene metode. Guptino kombinacijo lahko uporabimo za etažne spektre v območju nihajnih časov opreme od Ts = 0 do vključno konca platoja resonančnega območja za osnov­no nihajno obliko. Poudariti je treba, da so razlike med SRSS ali CQC in Guptino metodo praviloma lahko praktično pomembne samo v spodnjih etažah. V postresonančnem območju osnovne nihajne oblike je treba upoštevati dejstvo (glej poglavje 3), da se pri zelo podajni opremi etažni spekter v vseh etažah ujema s spektrom gibanja tal. To je mogoče doseči, če se etažni spektri za posamezne nihajne oblike seštejejo ob upoštevanju ustreznih predznakov (algebraična vsota – ALGSUM). Da se namreč dokazati [Vukobratović, 2015a], da za elastične konstrukcije velja N .. = 1 (13) . i ij i 1 = Iz enačb 10 in 13 sledi, da se rezultantna vrednost v etažnem spektru As,j pri zelo podajni opremi v vseh etažah približuje Se(Ts,.s). Kot približek algebraično vsoto uporabimo na celem območju nihajnih časov opreme, večjih od resonančnega nihajnega časa za osnovno nihajno obliko. Seštevamo vrednosti, dobljene z enačbo 10. Pri tem upoštevamo, da so izračunane vrednosti navzgor omejene z vrednost­jo, dobljeno za območje resonance (plato) v osnovni nihajni obliki (z upoštevanjem Guptine metode). V primeru neelastičnega obnašanja konstrukcije postopki, ki temeljijo na kombinaciji posameznih nihajnih oblik, teoretično ne veljajo. Jih je pa mogoče uporabljati v praksi za približek. Predlagana metoda uporablja ta približek. Uporabijo se vse enačbe in postopki, navedeni v tem poglavju. Predpostavljeno je, da se neelastično obnašanje pojavi samo pri nihanju v osnovni nihajni obliki, odziv v višjih nihajnih oblikah je elastičen. Predlagano direktno metodo smo ovrednotili s primerjavami z rezultati, dobljenimi s klasičnim postopkom z računom časovnega odziva (slike 6 in 7, spektri so normirani na PGA vhodnega gibanja tal). Uporabili smo trietažno steno z osnovnim nihajnim časom T1 = 0,31 s in trietažni okvir z osnovnim nihajnim časom T1 = 1,0 s. Potresna obtežba je definirana v poglavju 3 (slika 3). S slik 6 in 7 je razvidno, da predlagana direktna metoda za določanje etažnih spektrov pospeškov vodi do rezultatov, ki se razmeroma dobro ujemajo z rezultati analize časovnega odziva. Slika 6•Primerjava direktnih in klasičnih etažnih spektrov pospeškov za dve etaži trietažne stene z nihajnimi časi T1 = 0,31 s, T2 = 0,04 s in T3 = 0,014 s za elastično in neelastično (Q) konstrukcijo. Dušenje opreme znaša 5 % Slika 7•Primerjava direktnih in klasičnih etažnih spektrov pospeškov za dve etaži trietažnega okvira z nihajnimi časi T1 = 1,0 s, T2 = 0,32 s in T3 = 0,19 s za elastično in neelastično (EP) konstrukcijo. Dušenje opreme znaša 1 % V Evrokodu 8 so etažni spektri pospeškov zajeti v poglavju 4.3.5, ki uporaba »ustreznih« etažnih spektrov, pri čemer postopek določitve teh obravnava nekonstrukcijske elemente. V primerih, ko gre za posebno spektrov ni definiran. V običajnih primerih se lahko uporabi zelo poenos­pomembne ali posebno nevarne nekonstrukcijske elemente, je zahtevana tavljen postopek, kjer je etažni spekter pospeškov določen s formulo 31 z/H .(+) . As = PGA . 2 - 0, 5 . . PGA (14) .1+ (1- T /T ) . . s 1 . Ts predstavlja nihajni čas nekonstrukcijskega elementa, T1 pa osnovni nihajni čas konstrukcije. H je višina konstrukcije, z pa kota etaže. Vrednosti pospeškov v etažnem spektru po enačbi 14, normirane s PGA, so prikazane na sliki 8, kjer je pokazana tudi primerjava z re­zultati predlagane direktne metode za SDOF­konstrukcije. Kot input je upoštevan Evrokod 8 spekter za tla B z maksimalnim pospeškom tal PGA = 0,30 g. Upoštevane so konstrukcije, ki imajo nihajni čas enak 0,3, 0,5, 0,75 in 1,0 s. Predpostavljeno je neelastično obnašanje konstruk­cije z duktilnostjo µ = 2, ki je opisano z modelom s padajočo togostjo (Q). Dušenje opreme in konstrukcije znaša 5 %. Slika 8•Primerjava normiranih etažnih spektrov odziva dobljenih iz Evrokoda 8 in s predlagano direktno metodo za neelastične SDOF­konstrukcije (Q­model, µ = 2) z različnimi nihajnimi časi. Dušenje konstrukcije in opreme znaša 5 % S slike 8 je razvidno, da je etažni spekter po Evrokodu 8 (enačba 14) v grobem primerljiv s povprečnimi rezultati, dobljenimi iz predlagane direktne metode ob upoštevanju razmeroma visoke vrednosti dušenja opreme (5 %). Iz zgradbe enačbe 14 pa je razvidno, da enačba v Ev­rokodu 8 ne upošteva vpliva pomembnih parametrov, kot so dušenje opreme, nelinearnost konstrukcije in povezava nihajnega časa konstruk­cije s pospeškom konstrukcije, in je zato neustrezna. V prikazanem numeričnem primeru je obravnavan armiranobetonski trietažni okvir z enim poljem (višina etaže 3 m, širina polja 5 m). Dimenzije stebrov in gred so 50/80 in 50/60 cm. Modul elastičnosti betona znaša 33 GPa. V vsaki etaži okvira je upoštevana masa 28 t. Nihajni časi okvira znašajo 0,29, 0,075 in 0,037 s za prvo, drugo in tretjo nihajno obliko. Nihajne oblike {.i} so .+0, 242 . .+1, 000 . . +1, 000 . .. .. .. { } = +0, 649 . , {. } = +0, 910 . , {. } = -0, 828 . .1 . 2 . 3 . .. .. .. +1, 000 -0, 833 +0, 295 .. .. .. Modalni faktorji participacije znašajo .1 = 1,28, .2 = 0,43 in .3 = 0,26. Za vse nihajne oblike je predpostavljenih 5 % dušenja. Upoštevana sta elastično in neelastično obnašanje okvira. Neelastično obnašanje je opisano s Q­modelom (model s padajočo togostjo brez utrjevanja) na nivoju elementov. Plastični členki so predpostavljeni na konceh stebrov in gred. Cilj analize je določitev etažnih spektrov odziva v posameznih etažah. Oprema se lahko modelira kot SDOF­sistem. Dušenje opreme znaša 5 %. Potresna obremenitev je določena s spektrom po Evrokodu 8 za tla B (PGA = 0,35 g, TC = 0,5 s), ki je prikazan na sliki 3. Vrednosti elastičnih spektralnih pospeškov znašajo 0,87 g, 0,61 g in 0,48 g za prvo, drugo in tretjo nihajno obliko. Za določitev neelastičnega obnašanja v prvi nihajni obliki je uporabljena N2­metoda ([Fajfar, 2000], [Fajfar, 2002]). Okvir je obremenjen z vodoravnimi silami, ki izhajajo iz prve nihajne oblike. Efektivna masa (m*) znaša 53 t, transformacijski faktor . pa 1,28. Vrednosti sile (Fy*) in pomika (dy*) na meji tečenja ekvivalentnega SDOF­sistema znašajo 278 kN in 1,15 cm. Nihajni čas ekvivalentnega SDOF­sistema (T*) znaša 0,30 s. Pospešek, ki ustreza sili Fy*, znaša Say = 0,53 g. Iz spektra, ki določa potresno obremenitev, izhaja vrednost elastičnega pospeška za T* (Se(T*)), ki znaša 0,87 g. Redukcijski faktor Rµ torej znaša 0,87 g/0,53 g = 1,64. Iz enačbe 2 dobimo ob upoštevanju T* < TC duktilnost µ = 2,1, iz česar sledi pomik ekvivalentnega SDOF­sistema dt* = 2,39 cm. Ciljni pomik za MDOF­sistem znaša d3 = dt = 3,06 cm. Po narejeni potisni analizi do ciljnega pomika dobimo še pomika v prvi (d1) in drugi (d2) etaži, ki znašata 1,04 in 2,27 cm. Neelastični vektor prve nihajne oblike, ki ga je treba uporabiti v enačbah 10 in 12 direktne metode za določitev etažnih spektrov, je enak . d /d . .+0, 268 . 1 3 ... . {.1 neel } = .d / d 3 = .+0, 644 . 2 . ... . d /d +1, 000 . 3 3 .. . Etažne spektre najprej določimo za posamezne nihajne oblike in jih nato kombiniramo, kot je pokazano v nadaljevanju. Vrednosti faktorjev .i.ij so pokazane v preglednici 1 (i se nanaša na obliko, j pa na etažo). Preglednica 1•Vrednosti faktorjev .i.ij Elastična 1. nihajna oblika Maksimalni etažni pospeški (Ap,1j , enačba 12) znašajo 0,27 g v prvi, 0,72 g v drugi in 1,11 g v tretji etaži. • Zunaj resonance (enačba 10): . . 2 1 1 j 2 2 A = {0, 87g 0, 29 / T ( ) } + S ( T , . ) s,1 j s ess 1- ( 0, 29 / T s )2 • V resonanci (enačbi 11 in 12): As,11 = 1,66 g in As,13 = 6,84 g (AMP1 = 6,14 iz enačbe 7). Neelastična 1. nihajna oblika Maksimalni etažni pospeški (Ap,1j, enačba 12) znašajo 0,18 g v prvi, 0,44 g v drugi in 0,68 g v tretji etaži. • Pred resonanco (enačba 10): neel . . 2 1 1 j 2 2 A = 0, 53g 0, 30 / T + S T, . {( )} e ( s ) s ,1 j s s 1- ( 0, 30 / T )2 s • V resonanci (enačbi 11 in 12): As,11 = 0,85 g in As,13 = 3,20 g (AMP1 = 4,71 iz enačbe 8). • Po resonanci (enačbi 10 in 3): neel . . 2 1 1 j 2 2 A = {0, 53g 0, 37 / T ( ) } + S ( T , . ) s ,1 j s ess 1- ( 0, 37 / T )2 s Elastična 2. nihajna oblika Maksimalni etažni pospeški (Ap,2j, enačba 12) znašajo 0,26 g v prvi, 0,24 g v drugi in –0,22 g v tretji etaži. • Zunaj resonance je treba v enačbi 10 uporabiti .2.2j , Tp,2 = 0,075 s in Se(Tp,2,.p,2)/Rµ = 0,61 g. • V resonanci (enačbi 11 in 12) As,21 = 1,37 g in As,23 = –1,15 g (AMP2 = 5,23 iz enačbe 7). Elastična 3. nihajna oblika Maksimalni etažni pospeški (Ap,3j, enačba 12) znašajo 0,12 g v prvi, –0,10 g v drugi in 0,04 g v tretji etaži. • Zunaj resonance je treba v enačbi 10 uporabiti .3.3j , Tp,3 = 0,037 s in Se(Tp,3,.p,3)/Rµ = 0,48 g. • V resonanci (enačbi 11 in 12) As,31 = 0,48 g in As,33 = 0,15 g (AMP3 = 3,85 iz enačbe 7). Modalna kombinacija Za modalno kombinacijo je uporabljena Guptina metoda, ki je podana v [USNRC 1.92, 2006] in opisana v Dodatku. Frekvenci f1 in f2 sta določeni kot: 1 f1 + 2fZPA f = = 7 Hz , f = = 24 Hz , 1 T 23 B kjer TB predstavlja spodnjo mejo platoja v vhodnem spektru (v tem primeru znaša 0,15 s), fZPA pa je frekvenca, od katere dalje je spektralni pospešek praktično enak maksimalnemu pospešku tal (v tem primeru je izbrana vrednost 33 Hz). V preglednici 2 so pokazani togi (.i) in periodični ((1–.i 2)0,5) koeficienti za modalno kombinacijo (i se nanaša na obliko). Vrednosti so izračunane za elastično obnašanje okvira, uporabljene pa so tudi pri neelastičnem obnašanju. oblika Tp,i [s] fi [Hz] .i (1–.i 2)0,5 1 0,29 3,5 0 1 2 0,075 13 0,54 0,84 3 0,037 27 1 0 Preglednica 2•Guptini koeficienti za modalno kombinacijo Rezultantni maksimalni etažni pospeški (Ap,j) in etažni spektri odziva (As,j) za prvo etažo so določeni v nadaljevanju. Rezultati za prvo in tretjo etažo so prikazani na sliki 9. Rezultantni maksimalni etažni pospeški v prvi etaži se določijo kot: Ap ,tog ,1 = 0, 54A p ,21 + Ap ,31 , Ap,period ,1 = ( Ap,11 ) 2 + (0, 84A p,21 ) 2 , A = ( A ) 2 + ( A ) 2 p ,1 p ,tog ,1 p,period ,1 Rezultantni etažni spektri odziva se določijo kot: • Območje med Ts = 0 s in koncem platoja osnovne nihajne oblike: 2 2As ,tog ,1 = 0, 54A s ,21 + As,31 , As ,period ,1 = ( As ,11 ) + ( 0, 84A s,21 ) , 2 2As,1 = ( As,tog ,1 ) + ( As ,period ,1 ) • Območje po resonanci osnovne nihajne oblike (od vrednosti Ts/Tp,1 = 1 dalje): + As ,1 = As ,11 + As ,21 As ,31 V članku so prikazane osnovne značilnosti etažnih spektrov pospeškov, ki se uporabljajo za potresno projektiranje in ocenjevanje opreme v stavbah in inženirskih objektih. Obravnavane so elastične in neelastične konstrukcije, ki so modelirane kot SDOF­ali MDOF­sistem. Oprema je modelirana kot elastičen SDOF­sistem. Pokazano je, da imajo lahko višje nihajne oblike pomemben vpliv na etažne spektre, predvsem v spodnjem delu objekta. Neelastično obnašanje konstrukcije v glavnem zmanjšuje vrednosti etažnih spektrov. Zmanjšanje je izrazito predvsem v primeru opreme, ki je v resonanci z osnovno nihajno obliko konstrukcije. Predlagali smo razmeroma enostavno metodo za direktno določanje etažnih spektrov iz elastičnega projektnega spektra pospeškov, ki pred­stavlja potresno obremenitev za konstrukcijo. Predlagana metoda daje v primeru elastičnih konstrukcij zelo dobre rezultate, v primeru neelastičnih konstrukcij pa rezultati predstavljajo večinoma primeren približek, ki je uporaben vsaj za preliminarne analize in za preverjanje rezultatov natančnejših analiz. Neelastično obnašanje opreme, ki za zdaj še ni zajeto v predlagani metodi, se lahko približno upošteva s povečanjem koeficienta dušenja opreme. Metoda predstavlja uporabno alternativo za izjemno grob postopek, ki se za analizo opreme uporablja v Evrokodu 8 in ki ne upošteva nekaterih bistvenih vplivov na etažne spektre. Prvi avtor se za finančno podporo zahvaljuje srbskemu ministrstvu za Članek izhaja iz doktorske disertacije prvega avtorja, opravljene pod znanost in tehnologijo (projekt TR36043), drugi avtor pa Javni agenciji mentorstvom drugega avtorja na Fakulteti za gradbeništvo in geodezijo za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije (ARRS, projekt J2­4180). Univerze v Ljubljani. ASCE 4­98, Seismic Analysis of Safety­Related Nuclear Structures and Commentary, ASCE Standard, American Society of Civil Engineers, Reston, VA, USA, 2000. Calvi, P. M., Sullivan, T. J., Estimating floor spectra in multiple degree of freedom systems, Earthquakes and Structures 7(1): 17–38, 2014. Chopra, A. K., Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 4th Edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, USA, 2012. EC8­1, SIST EN 1998­1: 2005 – Evrokod 8: Projektiranje potresnoodpornih konstrukcij – 1. del: Splošna pravila, potresni vplivi in pravila za stavbe, 2005. Fajfar, P., Dinamika gradbenih konstrukcij, Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo, UL, Ljubljana, 1984. Fajfar, P., A Nonlinear Analysis Method for Performance Based Seismic Design, Earthquake Spectra 16(3): 573–592, 2000. Fajfar, P., Poenostavljena nelinearna analiza konstrukcij pri potresni obtežbi, Gradbeni vestnik 51(11): 302–315, 2002. Fajfar, P., Novak, D., Floor response spectra for inelastic structures. Transactions of the 13th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology (SMiRT 13), Porto Alegre, Brazil, 13.–18. avgust 1995, K044/1: 259–264, 1995. Filiatrault, A., Sullivan, T., Performance­based seismic design of nonstructural building components: The next frontier of earthquake engineering, Earthquake Engineering and Engineering Vibration 13(1): 17–46, 2014. Lin, J., Mahin, S. A., Seismic Response of Light Subsystems on Inelastic Structures, ASCE Journal of Structural Engineering 111(2): 400–417, 1985. Medina, R. A., Sankaranarayanan, R., Kingston, K. M., Floor response spectra for light components mounted on regular moment­resisting frame structures, Engineering Structures 28(14): 1927–1940, 2006. Novak, D., Fajfar, P., Nelinearni etažni spektri odziva za racionalno aseizmično projektiranje opreme, Zbornik 16. zborovanja gradbenih konstruktorjev Slovenije, Bled, Slovenija, 8.–9. september 1994, 95–102, 1994. NUREG/CR­6645, Reevaluation of Regulatory Guidance on Modal Response Combination Methods for Seismic Response Spectrum Analysis, U.S. Nuclear Regulatory Commission, Washington, D.C., USA, 1999. Politopoulos, I., Feau, C., Some aspects of floor spectra of 1DOF nonlinear primary structures, Earthquake Engineering & Structural Dynamics 36(8): 975–993, 2007. Sewell, R. T., Cornell, C. A., Toro, G. R., McGuire, R. K., A study of factors influencing floor response spectra in nonlinear multi­degree­of­freedom­ structures, Report No. 82, The John A. Blume Earthquake Engineering Center, Stanford University, Stanford, CA, USA, 1986. Sullivan, T. J., Calvi, P. M., Nascimbene, R., Towards improved floor spectra estimates for seismic design, Earthquakes and Structures 4(1): 109–132, 2013. Taghavi, S., Miranda, E., Response Assessment of Nonstructural Building Elements, PEER Report 2003/05, Pacific Earthquake Engineering Research Center, College of Engineering, University of California Berkeley, 2003. USNRC Regulatory Guide 1.92, Combining modal responses and spatial components in seismic response analysis, U.S. Nuclear Regulatory Commission, Washington, D.C., USA, 2006. Vidic, T., Določanje etažnih spektrov odziva, Zbornik 10. zborovanja gradbenih konstruktorjev Slovenije, Bled, Slovenija, 14.–16. september 1988, 173–180, 1988. Vidic, T., Fajfar, P., Fischinger, M., Consistent inelastic design spectra: strength and displacement, Earthquake Engineering & Structural Dynamics 23(5): 507–521, 1994. Vukobratović, V., The influence of nonlinear seismic response of structures on the floor acceleration spectra , UL FGG, 2015. Vukobratović, V., Fajfar, P., A method for the direct determination of approximate floor response spectra for SDOF inelastic structures, Bulletin of Earthquake Engineering 13(5): 1405–1424, 2015. Yasui, Y., Yoshihara, J., Takeda, T., Miyamoto, A., Direct generation method for floor response spectra, Transactions of the 12th International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology (SMiRT 12), Stuttgart, Germany, 15.–20. avgust 1993, K13/4: 367–372, 1993. V tem dodatku so pokazani osnovni koraki Guptine metode za modalno kombinacijo [USNRC 1.92, 2006]. Uporaba te metode pride v poštev predvsem takrat, ko se računajo absolutni pospeški. Na absolutne pospeške vplivajo namreč tudi nihajne oblike z zelo nizkimi nihajnimi časi (visokimi frekvencami), pri katerih konstrukcija niha skoraj kot togo telo. Takšno nihanje je v fazi z nihanjem tal. Te nihajne oblike nimajo vpliva na količine, ki so povezane z deformacijami, npr. pomiki, etažni pomiki, notranje sile in napetosti, zato jih v običajnih analizah, kjer nas ne zanimajo absolutni pospeški, zanemarimo. Običajni metodi za kom­binacijo (CQC in SRSS) predstavljata poseben primer Guptine metode, kjer vse nihajne oblike obravnavamo po postopku za periodični odziv. V Guptini metodi so modalni odzivi sestavljeni iz dveh delov: togega (v fazi) in periodičnega. Če z Ri označimo odziv za nihajno obliko i, izražen npr. s pospeški (ali katerokoli drugo količino), se toga (Rri) in periodična (Rpi) komponenta odziva določita z enačbama D.1 in D.2. Rr = R . (D.1) i ii Rp = R 1- . 2 , (D.2) ii i kjer je .i koeficient toge komponente odziva, ki ima vrednost med 0 (za povsem periodične nihajne oblike) in 1 (za povsem toge nihajne oblike). Koeficient .i se določi iz enačbe D.3, v kateri je fi frekvenca (recipročna vrednost nihajnega časa) oblike i, f1 in f2 pa sta frekvenci, opisani spodaj. . 0, fi . f1 . . ln ( f / f 1 ).i = . i , f1 . fi . f2 (D.3) ln f / f . ( 2 1 ) . . 1, fi . f2 Če potresno obremenitev predstavlja širokopasovni spekter (kot je npr. Evrokod 8 spekter), se za f1 lahko vzame frekvenca, pri kateri se začne plato konstantnih pospeškov, kar v primeru Evrokoda 8 pomeni f = 1/TB. Frekvenca f2 se lahko določi iz enačbe D.4, ki je podana v [NUREG/ CR­6645, 1999]. Frekvenca fZPA je frekvenca, pri kateri je spektralni pospešek praktično enak maksimalnemu pospešku tal (v praksi se običajno vzame fZPA = 33 Hz). f1 + 2fZPA f = (D.4) 2 3 Vse toge komponente odziva (Rri) je treba kombinirati z algebraično vsoto (ALGSUM), kar vodi do rezultante togega dela odziva (enačba D.5). Vse periodične komponente odziva (Rpi) je treba kombinirati s kombinacijskim pravilom CQC ali pa SRSS (enačbi D.6), kar vodi do rezultante periodičnega dela odziva. V enačbah D.5 in D.6 n pomeni število upoštevanih nihajnih oblik. V primeru CQC­pravila je .ij modalni korelacijski koeficient za nihajni obliki i in j. n Rr = . Rr i (D.5) i 1 = nn n Rp = . Rp Rp (CQC ,) Rp = Rp 2 (SRSS ) (D.6) . . ij i j . i i 1 = j 1 = i 1 = Celotni odziv (R) se določi kot R = Rr 2 + Rp 2 (D.7) V primerih zelo togih konstrukcij, kot so npr. objekti nuklearnih elektrarn, ima lahko precej nihajnih oblik frekvence višje od fZPA. Če teh oblik ne upoštevamo, lahko podcenimo etažne pospeške. Vpliv teh oblik lahko vključimo z metodo manjkajoče mase (»missing mass«), v kateri se vpliv nihajnih oblik, ki imajo frekvence višje od fZPA , zajame z eno dodatno – nadomestno nihajno obliko. Prispevek te oblike se določi s statično analizo ob upoštevanju povsem toge konstrukcije in dela mase, ki ni zajeta v tistih nihajnih oblikah, ki so vključene v modalno analizo (manjkajoča masa). Tako določen prispevek manjkajoče mase (Rmm) se prišteje k togemu delu odziva. Namesto enačbe D.5 je treba uporabiti enačbo D.8. n Rr = . Rr i + Rmm (D.8) i 1 = Celotni odziv (R) se spet določi iz enačbe D.7. Guptina metoda predstavlja razširitev običajnih SRSS­ali CQC­pravil, ki omogoča bolj ustrezno upoštevanje višjih nihajnih oblik, kjer konstruk­cija niha pretežno v fazi z gibanjem tal skoraj kot togo telo. Predpostav­ljeno je, da so to nihajne oblike, ki imajo frekvence višje od f2. Odzive v vseh teh nihajnih oblikah algebraično seštejemo (togi del). Odzive v nihajnih oblikah s frekvencami, manjšimi od f1, oziroma z nihajnimi časi, večjimi od nihajnega časa na spodnji meji platoja v spektru pospeškov (TB v Evrokodu 8), kombiniramo s standardnimi pravili (SRSS, CQC) (periodični del). Odzive v nihajnih oblikah s frekvencami v vmesnem območju (med f1 in f2) po posebnih pravilih razdelimo na togi in periodični del. V primeru, ko ima konstrukcija nihajne oblike z zelo visokimi frekvencami (npr. večjimi od 33 Hz), se odzivi v vseh teh nihajnih oblikah lahko združijo in prištejejo togemu delu odziva. S tem se upošteva vpliv mase, ki ni vključen v nihajne oblike, upoštevane v modalni analizi. Togi in periodični del odziva se kombinirata po SRSS pravilu. Razlika med Guptino metodo in SRSS­postopkom je v drugačnem kombiniranju vpliva nihajnih oblik z visokimi frekvencami (togi del odziva). Pomembnejše razlike se lahko pojavijo le v spod­njem delu konstrukcije, kjer SRSS­postopek praviloma daje nekoliko nekonservativne rezultate, medtem ko so razlike v preostalih etažah praviloma zanemarljive.