i
i
“kolofon” — 2019/1/23 — 6:54 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
Glasilo Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
Ljubljana, JULIJ 2018, letnik 65, številka 4, strani 121–160
Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana
Telefon: (01) 4766 633, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska
pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski
račun: 03100–1000018787 Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovščina 4,
1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787
Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in
odgovorni urednik), Aleš Mohorič (urednik za fiziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek
Olenik, Damjan Kobal, Petar Pavešić, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet,
Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehnični urednik).
Jezikovno pregledal Grega Rihtar.
Računalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja.
Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov.
Člani društva prejemajo Obzornik brezplačno. Celoletna članarina znaša 24 EUR, za druge
družinske člane in študente pa 12 EUR. Naročnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR.
Posamezna številka za člane stane 3,99 EUR, stare številke 1,99 EUR.
DMFA je včlanjeno v Evropsko matematično društvo (EMS), v Mednarodno matematično
unijo (IMU), v Evropsko fizikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za čisto in
uporabno fiziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o recipročnosti z Ameriškim matematič-
nim društvom (AMS).
Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. Sofinancira jo Javna agencija za raziskovalno
dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofi-
nanciranje domačih znanstvenih periodičnih publikacij.
c© 2017 DMFA Slovenije – 2085 Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana
NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV
Revija Obzornik za matematiko in fiziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne članke iz mate-
matike, fizike in astronomije, včasih tudi kak prevod. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig
s teh področij, poročila o dejavnosti Društva matematikov, fizikov in astronomov Slovenije ter vesti
o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in
razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok.
Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle-
ček v slovenskem jeziku, naslov in izvleček v angleškem jeziku, klasifikacijo (MSC oziroma PACS)
in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih
lahko večinoma razumemo tudi ločeno od besedila. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih
virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v računalni-
ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost črk
je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt.
Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma fiziko na zgoraj na-
pisani naslov uredništva. Vsak članek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki
morata predvsem natančno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je
originalnost (in pri matematičnih člankih splošnost) rezultatov. Če je prispevek sprejet v objavo,
potem urednik prosi avtorja še za izvorne računalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane
v eni od standardnih različic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek.
Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu.
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 121 — #1 i
i
i
i
i
i
VERJETNOST KOMUTIRANJA
URBAN JEZERNIK
Universidad del Páıs Vasco
Math. Subj. Class. (2010): 20P05, 20D60, 20F65
Verjetnost komutiranja je verjetnost, da v dani končni množici, opremljeni z binarno
operacijo, dva naključno izbrana elementa komutirata. V članku razǐsčemo vpliv alge-
braične strukture na njeno verjetnost komutiranja, pri čemer se osredotočimo predvsem
na končne grupe. Razkrijemo nekaj lastnosti množice zavzetih verjetnosti komutiranja
končnih grup. Predstavimo tudi sodobneǰse posplošitve pojma verjetnosti komutiranja na
neskončne grupe.
COMMUTING PROBABILITY
Commuting probability is the probability that in a given finite set equipped with
a binary operation, two randomly chosen elements commute. In this paper, we explore
the influence of the algebraic structure of this set on its commuting probability, focusing
especially on finite groups. Some properties of the set of all commuting probability values
of finite groups are revealed. We also present modern generalizations of the concept of
commuting probability to infinite groups.
O verjetnosti komutiranja
Opazujmo končno množico X, opremljeno z binarno operacijo. Verjetnost
komutiranja vk(X) je verjetnost, da dva naključno in neodvisno izbrana
elementa množice X komutirata glede na dano operacijo. Vrednost vk(X)
izračunamo tako, da med vsemi urejenimi pari elementov v X izračunamo
delež tistih, ki komutirajo.
Verjetnost komutiranja sta sistematično prvič raziskovala Erdös in Turán
med razvijanjem lastne verjetnostne metode [3]. V pričujočem članku si ta
koncept ogledamo iz različnih zornih kotov, pri čemer za vodilo vzamemo
interakcijo med algebraično strukturo dane množice X in njeno verjetnostjo
komutiranja vk(X).
Vstopimo s primeri.
Primer 1. Za X vzemimo simetrično grupo S3, najmanǰso nekomutativno
grupo. Spomnimo se, da S3 sestoji iz šestih permutacij na treh točkah, kot
je prikazano na naslednji sliki. Dve različni permutaciji sta na sliki povezani
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 121
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 122 — #2 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
s povezavo, če in samo če komutirata.
(2 3)
(1 2)
(1 2 3)
(1 3 2)
(1 3)
()
Verjetnost komutiranja grupe S3 izračunamo tako, da med vsemi urejenimi
pari elementov izračunamo delež tistih, ki komutirajo. Število vseh urejenih
parov elementov v S3 je 6
2 = 36. Komutirajoče pare preštejmo tako, da
za vsak element posebej premislimo, s katerimi elementi komutira. Enota
komutira z vsemi elementi. Dvocikli v S3 paroma ne komutirajo. Prav
tako noben od dvociklov ne komutira z nobenim triciklom. Tricikla (1 2 3)
in (1 3 2) komutirata. Hkrati ne pozabimo, da vsak element komutira
sam s sabo. Tako je število vseh komutirajočih urejenih parov v S3 enako
6 + 3 · 2 + 2 · 3 = 18 in zato je verjetnost, da je naključno izbrani urejeni par
komutirajoč, enaka vk(S3) =
18
36 =
1
2 .
V simetričnih grupah vǐsjih redov Sn število urejenih parov elementov
raste zelo hitro, komutirajoči pari pa so, razen disjunktnih ciklov, bolj iz-
jemne sorte. Pričakujemo torej, da velja limn→∞vk(Sn) = 0. Res je tako,
utemeljitev podamo v posledici 7.
Primer 2. Za X vzemimo simetrije kvadrata, predstavljene kot diedrska
grupa D4. Spomnimo se, da D4 sestoji iz štirih rotacij (okrog sredǐsča
kvadrata za kote 0◦, 90◦, 180◦ in 270◦) in štirih zrcaljenj (dve preko simetral
stranic in dve preko diagonal).
Preštejmo komutirajoče pare. Enota grupe, tj. rotacija za 0◦, komutira z
vsemi elementi. Vsaka od netrivialnih rotacij komutira z vsako od drugih
122 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 123 — #3 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
rotacij. Rotacija za kot 180◦ komutira tudi z vsemi zrcaljenji, nobena od
drugih dveh netrivialnih rotacij pa ne komutira z nobenim zrcaljenjem. Zr-
caljenji komutirata, če in samo če sta istovrstni. Ugotovili smo torej, da
enota komutira z 8 elementi, rotacija za 180◦ prav tako z 8 elementi, rota-
ciji za 90◦ in 270◦ s 4 elementi, ter nazadnje vsako od štirih zrcaljenj s 4
elementi. Tako velja vk(D4) =
8+8+2·4+4·4
64 =
5
8 .
Kvadrat lahko zamenjamo s poljubnim pravilnim n-kotnikom. Grupa
simetrij pravilnega n-kotnika je diedrska grupa Dn. Ta sestoji iz n rotacij in
n zrcaljenj. Število urejenih parov elementov je (2n)2, torej raste kvadratno
z n. Vsaj takšno rast pa ima tudi število komutirajočih parov, saj vsaka od
n rotacij komutira z vsako drugo. Velja torej vk(Dn) >
n·n
(2n)2
= 14 za vsak
n. V posledici 12 premislimo, da velja limn→∞vk(Dn) =
1
4 .
Primer 3. Za X vzemimo direktni produkt množic {0, 1} × {1, 2, . . . , n}.
Na X definirajmo binarno operacijo ? na naslednji način:
(i, j) ? (k, l) =
{
(i, j) če je j ≤ l;
(k, l) sicer.
Operacija ? torej vrne element, katerega druga komponenta je manǰsa, če
pa sta drugi komponenti enaki, vrne prvi element. Hitro lahko preverimo,
da je ta operacija asociativna, torej je (X, ?) polgrupa. Vsaka dva elementa
z različnima drugima komponentama komutirata, elementa z enako drugo
komponento pa komutirata le, če sta enaka. Komutirajočih parov je ve-
liko, zato verjetnost komutiranja v X lažje izrazimo kot nasprotni dogodek
nekomutiranja. Tako velja vk(X) = 1 − 2n
(2n)2
= 1 − 12n . Z naraščajočim
n na ta način najdemo nekomutativne polgrupe z verjetnostjo komutiranja
poljubno blizu 1.
Z modifikacijo tega primera sta Ponomarenko in Selinski pokazala, da je
lahko verjetnost komutiranja končne polgrupe poljubno pozitivno racionalno
število med 0 in 1.
Izrek 4 ([13] – Ponomarenko in Selinski 2012). Za vsako racionalno
število r ∈ (0, 1] obstaja končna polgrupa S, za katero velja vk(S) = r.
Nekoliko bolj pestro je z množicami, v katerih je več algebraične struk-
ture. Slika 1 prikazuje histogram verjetnosti komutiranja, ki jih dobimo,
če opazujemo le grupe moči največ 256. Število takšnih grup je 63 104, le
516 od teh je komutativnih. Najmanǰsa možna verjetnost komutiranja je
121–137 123
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 124 — #4 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
tukaj 1/28 ≈ 3,6 %. Verjetnosti komutiranja so sicer skoncentrirane okoli
22 %. Ne spreglejmo tudi presenetljivih praznin: na histogramu je videti
cele intervale verjetnosti brez zavzetih vrednosti.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
Slika 1. Histogram verjetnosti komutiranja grup moči kvečjemu 256.
Ko na množico X dodamo še več algebraične strukture, recimo z do-
datno operacijo, s katero X postane kolobar, so rezultati glede verjetnosti
komutiranja sorodni tistim za grupe [10], čeravno se jih v literaturi najde
manj. V nadaljevanju se zato osredotočimo na verjetnosti komutiranja grup.
V naslednjih razdelkih podamo nekaj osnovnih lastnosti verjetnosti komu-
tiranja končnih grup, dokažemo obstoj verjetnostnih lukenj in dosedanja
opažanja še izostrimo, nazadnje pa pokažemo, kako lahko pojem verjetnosti
komutiranja posplošimo na neskončne grupe.
O strukturnem vplivu
Osredotočeni smo na končne grupe in na razumevanje vpliva grupne struk-
ture na verjetnost komutiranja. Zabeležimo najprej povezavo med verjetno-
stjo komutiranja grupe in njenih podgrup ter kvocientov.
Trditev 5. Naj bo G končna grupa in H njena podgrupa. Tedaj velja
vk(G) ≤ vk(H). Če je H podgrupa edinka v G, velja vk(G) ≤ vk(G/H).
Dokaz. Verjetnost komutiranja izrazimo eksplicitno kot delež komutirajočih
parov med vsemi urejenimi pari v grupi G:
vk(G) =
|{(x, y) ∈ G×G : xy = yx}|
|G|2
.
124 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 125 — #5 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
Slednje zapǐsimo kot
vk(G) =
∑
x∈G |{y ∈ G : xy = yx}|
|G|2
in prepoznajmo centralizator CG(x) = {y ∈ G : xy = yx} ≤ G. Da lahko
primerjamo vrednost vk(G) z vk(H), bo torej dovolj primerjati velikost
CG(x) z velikostjo CH(x) = {y ∈ H : xy = yx} za vsak izbran x ∈ G.
Očitno je CH(x) podgrupa grupe CG(x) in tako je CG(x) unija odsekov
{aCH(x) : a ∈ CG(x)}. Vsakemu takemu odseku aCH(x) lahko na naraven
način priredimo odsek grupe G po podgrupi H, in sicer aH. Hitro preve-
rimo, da je to prirejanje dobro definirano in celo injektivno. Za a, b ∈ CG(x)
namreč drži aH = bH natanko tedaj, ko je a−1b ∈ H, kar je ekvivalentno po-
goju a−1b ∈ CG(x)∩H = CH(x), slednje pa je enako kot aCH(x) = bCH(x).
Tako smo izpeljali neenakost |CG(x) : CH(x)| ≤ |G : H| med števili odsekov.
Izpeljano neenakost uporabimo v gornjem zapisu verjetnosti komutira-
nja:
vk(G) =
∑
x∈G |CG(x)|
|G|2
≤
|G : H|
∑
x∈G |CH(x)|
|G|2
.
V zadnji vsoti gremo po elementih grupe G in preštejemo število elementov v
H, ki z vsakim od njih komutirajo. S tem torej preštejemo komutirajoče pare
v G×H. Te lahko preštejemo tudi tako, da gremo po elementih podgrupe
H in preštejemo elemente v G, ki z njimi komutirajo. Tako dobimo
vk(G) ≤
|G : H|
∑
x∈H |CG(x)|
|G|2
.
Še enkrat uporabimo neenakost med števili odsekov in zaključimo
vk(G) ≤
|G : H|2
∑
x∈H |CH(x)|
|G|2
=
∑
x∈H |CH(x)|
|H|2
= vk(H).
Tako je dokazan prvi del trditve.
Za dokaz drugega dela najprej razpǐsemo
vk(G/H) =
|{(xH, yH) ∈ G/H ×G/H : xyH = yxH}|
|G/H|2
.
Ob elementih x, y ∈ G je pogoj xyH = yxH ekvivalenten pogoju x−1y−1xy ∈
H. Veljavnost tega pogoja je neodvisna od menjave elementa x ali y s ka-
kšnim drugim predstavnikom istega odseka xH ali yH. Tako lahko izrazimo
vk(G/H) =
|{(x, y) ∈ G×G : x−1y−1xy ∈ H}|
|G/H|2 · |H|2
.
121–137 125
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 126 — #6 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
Parov (x, y) ∈ G × G z lastnostjo x−1y−1xy ∈ H je vsaj toliko, kolikor je
parov z lastnostjo x−1y−1xy = 1, se pravi xy = yx. S tem lahko omejimo
verjetnost komutiranja v kvocientu,
vk(G/H) ≥ |{(x, y) ∈ G×G : xy = yx}|
|G|2
= vk(G),
s čimer je tudi dokaz drugega dela zaključen.
Iz dveh grup G1 in G2 lahko napravimo novo grupo. To storimo najlažje
kar tako, da ju zložimo v direktni produkt grup G1×G2. Spomnimo se, da je
kot množica to običajen kartezični produkt množic G1 in G2, grupna opera-
cija pa je definirana po komponentah, se pravi (g1, h1)(g2, h2) = (g1g2, h1h2)
za gi ∈ G1, hi ∈ G2. Preverimo, da je verjetnost komutiranja v tem smislu
multiplikativna.
Trditev 6. Za končni grupi G1 in G2 velja vk(G1×G2) = vk(G1) ·vk(G2).
Dokaz. Res, najprej zapǐsimo
vk(G1 ×G2) =
∑
x∈G1×G2 |CG1×G2(x)|
|G1 ×G2|2
=
∑
a∈G1
∑
b∈G2 |CG1×G2((a, b))|
|G1 ×G2|2
.
Ker v kartezičnem produktu G1 × G2 množimo po komponentah, lahko
centralizator izrazimo kot CG1×G2((a, b)) = CG1(a) × CG2(b) ≤ G1 × G2.
Sledi
vk(G1 ×G2) =
∑
a∈G1
∑
b∈G2 |CG1(a)||CG2(b)|
|G1|2|G2|2
.
Zadnjo vsoto prepoznamo kot produkt∑
a∈G1 |CG1(a)|
|G1|2
·
∑
b∈G2 |CG2(b)|
|G2|2
= vk(G1) · vk(G2)
in dokaz je zaključen.
Z zabeleženima trditvama nam že uspe utemeljiti, da je v dovolj velikih
simetričnih grupah komutirajočih parov zanemarljivo malo.
Posledica 7. Velja limn→∞vk(Sn) = 0.
Dokaz. Simetrična grupa nižje stopnje se naravno vloži v simetrično grupo
vǐsje stopnje, zato je po trditvi 5 zaporedje verjetnosti komutiranja sime-
tričnih grup (vk(Sn))
∞
n=1 padajoče. Pokažimo, da konvergira proti 0. V ta
126 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 127 — #7 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
namen za vsako naravno število k opazujmo grupo Gk = S3× · · ·×S3, ki je
produkt k kopij simetrične grupe S3. Po trditvi 6 velja vk(Gk) =
(
1
2
)k
.
Po Cayleyjevem izreku lahko vsako končno grupo vložimo v dovolj ve-
liko simetrično grupo. Torej za vsak k obstaja n, da velja Gk ≤ Sn, in
zato za vsak m ≥ n velja vk(Sm) ≤ vk(Sn) ≤ vk(Gk) =
(
1
2
)k
. Tako je
limn→∞vk(Sn) = 0.
Verjetnost komutiranja simetričnih grup vk(Sn) je mogoče izračunati
eksplicitno in tako podati tudi asimptotično obnašanje tega zaporedja, ko
gre n proti neskončno. Ta in splošneǰsi opis za vse končne grupe sta na-
šla že Erdös in Turán, gre pa takole. Elementa x, y abstraktne grupe G
sta konjugirana, če obstaja tak g ∈ G, da velja x = g−1yg. Lahko je
preveriti, da je relacija konjugiranosti ekvivalenčna relacija na množici G.
Ekvivalenčni razred elementa x je enak xG =
{
g−1xg : g ∈ G
}
, imenujemo
ga razred konjugiranosti. Grupa G tako razpade na disjunktno unijo ra-
zredov konjugiranosti. Število teh razredov označimo s k(G). Za elementa
g, h ∈ G velja g−1xg = h−1xh, če in samo če je (gh−1)−1x(gh−1) = x. Sle-
dnje je enako kot gh−1 ∈ CG(x), kar preberemo kot enakost desnih odsekov
CG(x)g = CG(x)h. Na ta način se vzpostavi bijekcija g
−1xg 7→ CG(x)g med
elementi razreda xG in odseki grupe G po podgrupi CG(x). V posebnem
drži enakost |G : CG(x)| = |xG|. Na vsem povedanem temelji naslednji
izrek, ki razkrije povezavo med verjetnostjo komutiranja in k(G).
Izrek 8 ([3] – Erdös in Turán 1968). Naj bo G končna grupa. Tedaj je
vk(G) =
k(G)
|G|
.
Dokaz. Kot običajno razpǐsemo
vk(G) =
∑
x∈G |CG(x)|
|G|2
.
Velikost centralizatorja s pomočjo enakosti |G : CG(x)| = |xG| zamenjamo
z velikostjo razreda konjugiranosti in dobimo
vk(G) =
∑
x∈G
1
|xG|
|G|
.
Vsoto v števcu razdelimo po razredih konjugiranosti in iz vsakega izberimo
predstavnika xi za 1 ≤ i ≤ k(G). Razredi konjugiranosti xGi so med sabo
121–137 127
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 128 — #8 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
disjunktni in pokrijejo ves G, za vsak element x ∈ xGi pa velja xG = xGi .
Sledi
vk(G) =
∑k(G)
i=1 |xGi |
1
|xGi |
|G|
=
k(G)
|G|
in dokaz je zaključen.
Število razredov konjugiranosti dane grupe lahko izračunamo hitreje kot
število vseh komutirajočih parov. Premislimo, kakšni so razredi konjugira-
nosti v primeru simetrične grupe Sn. Naj bo σ izbrana permutacija. Če
zanjo velja σ(i) = j, potem za konjugirano permutacijo α−1σα ob poljubni
α ∈ Sn velja
(α−1σα)(α−1(i)) = (α−1σ)(i) = α−1(j).
Konjugirani element α−1σα torej preslika α−1(i) v α−1(j) in tako permu-
tira na enak način kot σ, le da je treba vsako od števil 1 ≤ i ≤ n zamenjati
z α−1(i). Ko α preteče vse elemente grupe Sn, v razredu za konjugiranost
σSn najdemo ravno vse permutacije z enako ciklično strukturo kot σ. Število
razredov konjugiranosti v Sn je zato enako številu vseh možnih razčlenitev
naravnega števila n. Elementarna eksplicitna formula za to število ne ob-
staja, že dolgo pa je poznana njena dobra asimptotska ocena [7]. Z njo
velja
vk(Sn) ∼
exp
(
π
√
2n
3
)
4n
√
3 · n!
,
zato je logaritem log (vk(Sn)) po Stirlingovi aproksimaciji proporcionalen
−n log n za velike vrednosti n.
Število k(G) je povezano z mnogimi drugimi aspekti teorije grup, tudi
bržkone naslavneǰsim – teorijo upodobitev. Brez strahu se lahko s tem dej-
stvom okoristimo! Teorija upodobitev je del matematične folklore, potrebno
znanje pa lahko osvežimo že z zapiski [11].
Opazovano grupo G s homomorfizmom ρ : G → GL(V ) upodobimo na
končnorazsežnem kompleksnem vektorskem prostoru V . Kadar je dimV =
n, grupo GL(V ) enačimo z GLn(C). Kadar lahko vektorski prostor V zapi-
šemo kot direktno vsoto V = U ⊕W , pri čemer grupa G preko preslikave ρ
deluje na vsaki komponenti te vsote posebej, rečemo, da je upodobitev raz-
cepna. V nasprotnem imamo opravka z nerazcepno upodobitvijo. Prav tako
kot cepimo naravna števila na prafaktorje, lahko upodobitev ρ razcepimo
na nerazcepne upodobitve. Število vseh različnih nerazcepnih upodobitev
(do izomorfizma natančno) grupe G je ravno k(G) [11, posledica 1.2.5]. Vse
128 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 129 — #9 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
najdemo v univerzalnem primeru upodobitve; to je regularna upodobitev,
pri kateri elemente grupe G upodobimo kot leva množenja na grupni alge-
bri CG. Fineǰsi pogled na slednjo upodobitev poda naslednji izrek, ki ga
najdemo v [11, izrek 1.2.3].
Izrek 9 (Wedderburn). Naj bo G končna grupa. Tedaj je njena regularna
upodobitev izomorfna direktni vsoti
CG ∼=
k(G)⊕
i=1
Vi ⊕ · · · ⊕ Vi︸ ︷︷ ︸
dimVi
,
kjer so V1, V2, . . . , Vk(G) ravno vse različne nerazcepne upodobitve (do izo-
morfizma natančno) grupe G. V posebnem sta kompleksni dimenziji leve in
desne strani enaki, zato velja
|G| =
k(G)∑
i=1
(dimVi)
2 . (1)
Primer 10. Opazujmo kvaternionsko grupo Q8 = {±1,±i,±j,±k}. Spo-
mnimo se, da v njej množimo z zakoni i2 = j2 = k2 = −1 in ij = k, jk = i,
ki = j. Da grupo Q8 upodobimo na enorazsežnem kompleksnem prostoru,
je treba podati homomorfizem χ : Q8 → C×. Ta je natanko določen s sliko
generatorjev i in j. Za vsakega od njiju smemo izbrati enega od dveh kom-
pleksnih korenov števila −1. Enostavno je preveriti, da vsaka taka izbira
porodi homomorfizem χ. Skupaj imamo torej štiri enorazsežne upodobitve
grupe Q8. Po Wedderburnovem izreku velja 8 = 1
2 + 12 + 12 + 12 +
∑
i d
2
i ,
kjer so di stopnje vǐsjerazsežnih nerazcepnih upodobitev. Edina možnost je,
da obstaja natanko ena taka upodobitev stopnje 2. Tako velja k(Q8) = 5 in
zato vk(Q8) =
5
8 .
Na splošno je število enorazsežnih upodobitev dane grupeG ravno število
odsekov po njeni izpeljani podgrupi G′ = 〈
{
x−1y−1xy : x, y ∈ G
}
〉. Dokaz
tega dejstva najdemo v [11, izrek 2.8.4]. Wedderburnovo formulo (1) zato
lahko zapǐsemo kot
|G| =
∣∣G : G′∣∣+∑
i
d2i ,
kjer so di stopnje vǐsjerazsežnih nerazcepnih upodobitev grupe G. Od tod
je mogoče izpeljati zgornjo mejo za verjetnost komutiranja poljubne grupe.
121–137 129
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 130 — #10 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
Trditev 11 ([14] – Rusin 1979). Naj bo G končna grupa. Tedaj velja
vk(G) ≤ 1
4
(
1 +
3
|G′|
)
.
Dokaz. V Wedderburnovi formuli upoštevajmo di ≥ 2, pa velja
|G| = |G : G′|+
k(G)∑
i=|G:G′|+1
d2i ≥ |G : G′|+ (k(G)−
∣∣G : G′∣∣) · 4.
Neenakost delimo z |G|, izrazimo vk(G) = k(G)/|G| in trditev sledi.
O zavzetih vrednostih
Množico zavzetih verjetnosti komutiranja vseh končnih grup označimo z V.
S strukturnimi rezultati iz preǰsnjega razdelka lahko dokažemo dve zanimivi
lastnosti množice V. Najprej se prepričajmo, da V ni diskretna podmnožica
intervala [0, 1].
Posledica 12. Velja limn→∞vk(Dn) =
1
4 .
Dokaz. Naj bosta ρ in τ rotacija in zrcaljenje v Dn. Velja ρ
−1τ−1ρτ =
ρ−2. Izpeljana podgrupa D′n torej vsebuje kvadrate vseh rotacij. Teh je
vsaj n2 in tako gre |D
′
n| proti neskončno, ko gre n proti neskončno. Že
iz uvodnega razdelka vemo, da je vk(Dn) >
1
4 , zato iz trditve 11 sledi
limn→∞vk(Dn) =
1
4 .
Vrednost 14 je torej limitna točka množice V. Hkrati je po trditvi 6
verjetnost komutiranja grupe S3×S3 ravno 14 , torej je limitna vrednost tudi
zavzeta in množica V ni diskretna. Iz strukturnih ocen izpeljimo še drugo
lastnost, in sicer obstoj intervalov nezavzetih vrednosti.
Posledica 13 ([6] – Gustafson 1973). Interval (58 , 1) ne vsebuje verje-
tnosti komutiranja nobene končne grupe.
Dokaz. Naj bo G končna grupa z vk(G) > 58 . Iz predpostavke in trditve 11
sledi neenakost
5
8
< vk(G) ≤ 1
4
(
1 +
3
|G′|
)
,
ki se poenostavi do |G′| < 2. Sledi G′ = 1, torej je G komutativna in zato
vk(G) = 1.
130 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 131 — #11 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
Oglejmo si verjetnosti komutiranja grup moči največ 256 še enkrat, to-
krat bolj podrobno. Omejimo se na verjetnosti z intervala [0,1, 0,3]. Slika 2
prikazuje zalogo vrednosti funkcije verjetnosti komutiranja, zožene na mno-
žico grup moči kvečjemu 256. Vemo že, da se verjetnosti komutiranja diedr-
skih grup z zgornje strani stekajo k vrednosti 14 , na sliki je razločen začetek
te konvergence. Tik pod limitno točko 14 je moč zaznati verjetnostno luknjo.
Opazimo tudi, da je limitnih točk množice V najbrž več. Zanimivo bi jih
bilo opisati.
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
Slika 2. Zavzete verjetnosti komutiranja grup moči kvečjemu 256.
O teh in splošneǰsih lastnostih množice zavzetih verjetnosti komutiranja
je razmǐsljal že Joseph in postavil naslednje domneve.
Domneva 14 ([9] – Joseph 1977). Množica V ima naslednje lastnosti:
1. Limitne točke množice V so racionalne.
2. K limitnim točkam množice V se zavzete verjetnosti komutiranja lahko
stekajo le z zgornje strani.
3. Množica V ∪ {0} je zaprta.
Po prvi domnevi naj bi okoli vsakega iracionalnega števila na intervalu
[0, 1] našli okolico, ki ne seka množice V. Tretja domneva pravi, da za vsako
zaporedje vn ∈ V s pozitivno limito limn→∞vn = v obstaja končna grupa
z verjetnostjo komutiranja v. Nazadnje druga domneva trdi, da za vsako
limitno točko v obstaja δ > 0, da velja (v − δ, v) ∩ V = ∅. Slednje pomeni,
da je množica V dobro urejena glede na relacijo >.
Delno razrešitev Josephovih domnev najdemo v nedavno objavljenem
članku [2]. Avtor prikaže presenetljivo in čudovito povezavo med verjetno-
stjo komutiranja in egipčansko kompleksnostjo racionalnih števil. Vsako
racionalno število q > 0 lahko zapǐsemo kot vsoto q = 1/n1 + · · ·+ 1/nm za
neka naravna števila ni in m. To lahko storimo na več načinov, na primer
5
6 =
1
6 +
1
6 +
1
6 +
1
6 +
1
6 =
1
2 +
1
3 . Najmanǰse število uporabljenih sumandov
m, za katerega obstaja tak zapis, je (egipčanska) kompleksnost E(q) šte-
vila q. Eberhard dokaže, da so verjetnosti komutiranja končnih grup tesno
povezane z ulomki omejene kompleksnosti.
121–137 131
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 132 — #12 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
Izrek 15 ([2] – Eberhard 2015). Za vsako padajočo funkcijo
η : N→ (0, 1) obstaja konstanta M = M(η) ∈ N, tako da je verjetnost komu-
tiranja poljubne končne grupe oblike q + , kjer je E(q) ≤ M in
0 ≤  ≤ η(E(q)).
Od tod lahko hitro izpeljemo veljavnost prvih dveh zgornjih domnev.
Dokaz prvih dveh Josephovih domnev. Naj bo v > 0 limitna točka množice
V. Številu v se približajmo kar se da dobro z ulomki omejene kompleksnosti;
naj bo
Q(m) = sup {q < v : E(q) ≤ m}
za vsako naravno število m. Definirajmo funkcijo η : N→ (0, 1) s predpisom
η(m) = (v − Q(m))/2. Po izreku obstaja konstanta M , da vsako vrednost
p ∈ V lahko zapǐsemo kot p = q + , kjer je E(q) ≤ M in 0 ≤  ≤ η(E(q)).
Če slučajno drži še neenakost q < v, sledi q ≤ Q(E(q)) in zato velja najprej
neenakost
 ≤ η(E(q)) = v −Q(E(q))
2
≤ v − q
2
,
s tem pa še
p = q +  ≤ v + q
2
≤ v +Q(M)
2
= v − η(M).
V tem primeru je torej število p oddaljeno vsaj η(M) od števila v.
Vzemimo zaporedje vn = qn+ n ∈ V z limito v. Iz zgornjega premisleka
sledi, da lahko le za končno mnogo indeksov velja qn < v. S tem je dokazana
druga domneva. Ker je zato vn ≥ qn ≥ v za skoraj vse indekse, tudi
zaporedje qn konvergira k v. Množica vseh ulomkov kompleksnosti največ
M je zaprta (ko ji dodamo 0), saj jo lahko predstavimo kot sliko zvezne
preslikave ({
1
n
: n ∈ N
}
∪ {0}
)M
→ [0,M ],
ki sešteje M -terico števil na levi. Od tod sledi E(v) ≤ M . Tako je v
racionalno število in tudi prva domneva je dokazana.
Tretja Josephova domneva je še vedno odprta.
132 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 133 — #13 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
O neskončnih grupah
Pojem verjetnosti komutiranja ima smisel za poljubne grupe, opremljene
z verjetnostno mero. V posebnem to naravno velja za kompaktne (Hau-
sdorffove) topološke grupe. Ponovimo, da je topološka grupa G množica,
ki je hkrati opremljena s strukturo grupe in topološkega prostora, oboje pa
je uglašeno z zahtevo, da sta množenje in invertiranje v G zvezni presli-
kavi. Vsaka kompaktna topološka grupa G je naravno opremljena s Haa-
rovo mero; to je verjetnostna Borelova mera µ, za katero med drugim velja
µ(x · E) = µ(E) pri vsakem x ∈ G in Borelovi množici E ⊆ G. Bralec lahko
več o Haarovi meri prebere v [8, razdelek I.2].
Primer 16. Opazujmo končno grupo G, opremljeno z diskretno topologijo.
Njena Haarova mera µ sovpada z normalizirano mero štetja točk. Torej za
podmnožico A ⊆ G velja µ(A) = |A|/|G|.
Primer 17. Opazujmo multiplikativno grupo S1 kompleksnih števil abso-
lutne vrednosti 1. Tukaj je Haarova mera merljive množice A ⊆ S1 enaka
vrednosti λ({t ∈ [0, 1] : e2πit ∈ A}), kjer je λ običajna Lebesgueova mera na
intervalu [0, 1].
Pare elementov iz grupe G slučajno izbiramo iz produktnega prostora
G×G, opremljenega z verjetnostno produktno mero µ×µ. Komutiranje v G
izrazimo z zvezno preslikavo k : G×G→ G , k(x, y) = x−1y−1xy . Komuti-
rajoči pari so natanko množica k−1({1}). Verjetnost komutiranja v grupi G
je tako enaka
vk(G) = (µ× µ)(k−1({1})) =
∫
k−1({1})
d(µ× µ).
Ni se težko prepričati, da tudi za kompaktne grupe velja izrek o verje-
tnostni luknji. Tokrat predstavimo elementarneǰsi dokaz, ki se izogne teoriji
upodobitev.
Trditev 18 ([6] – Gustafson 1973). Interval (58 , 1) ne vsebuje verjetno-
sti komutiranja nobene kompaktne grupe.
Dokaz. Verjetnost komutiranja kompaktne grupe G izrazimo kot∫
k−1({1})
d(µ× µ) =
∫
G
∫
CG(x)
dµ(y)dµ(x) =
∫
G
µ(CG(x)) dµ(x),
121–137 133
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 134 — #14 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
kjer prva enakost sledi po Fubinijevem izreku. Razdelimo verjetnost komu-
tiranja na dva dela,
vk(G) =
∫
Z(G)
µ(CG(x)) dµ(x) +
∫
G−Z(G)
µ(CG(x)) dµ(x).
Predpostavimo, da G ni komutativna. Tedaj kvocientna grupa G/Z(G)
grupe G po svojem centru ni ciklična, zato je |G : Z(G)| ≥ 4. Ker je G
disjunktna unija odsekov po centru, sledi µ(Z(G)) ≤ 14 . Za tiste elemente
x ∈ G, ki ne pripadajo centru, velja neenakost |G : CG(x)| ≥ 2 in zato
µ(CG(x)) ≤ 12 . Zdaj velja
vk(G) ≤ µ(Z(G)) · 1 + µ(G− Z(G)) · 1
2
≤ µ(Z(G))
2
+
1
2
≤ 5
8
,
s čimer je dokaz zaključen.
Nekoliko bolj izvirna definicija verjetnosti komutiranja je potrebna za ne-
skončne grupe, ki same po sebi niso opremljene z verjetnostno mero. Avtorji
[1] k temu problemu pristopijo s stalǐsča geometrijske teorije grup. Vsaki
končno generirani grupi G, generirani s simetrično množico X = X−1, lahko
priredimo njen Cayleyjev graf Cay(G,X). Vozlǐsča tega grafa so elementi
grupe G, med elementoma x, y ∈ G pa obstaja povezava, če in samo če je
x−1y ∈ X.
Primer 19. Naj bo F prosta grupa na dveh generatorjih a, b. Njeni ele-
menti so okraǰsane besede s črkami iz množice X = {a, a−1, b, b−1}. Cay-
leyjev graf Cay(F,X) dobimo tako, da vsako besedo povežemo z njenim
nadaljevanjem z vsako od črk iz množice X. Ta graf je neskončen in je
delno prikazan na sliki 3. V sredǐsču je enota 1 grupe F . Ko jo podalj-
šamo z vsakim elementom množice X, dobimo njene sosede a, a−1, b, b−1.
Vsakega od teh lahko zopet podalǰsamo. Pri tem upoštevamo še kraǰsanje
besed, na primer aa−1 = 1. Če se torej v grafu sprehodimo od enote 1 v
smeri »desno-gor-levo«, prispemo do elementa aba−1.
Cayleyjev graf lahko opremimo z naravno metriko: za razdaljo
dX(x, y) med vozlǐsčema x in y razglasimo število povezav na najkraǰsi
poti med x in y. Namesto algebraičnega objekta G tako lahko opazujemo
metrični prostor Cay(G,X). Verjetnost komutiranja lahko izmerimo v
vsakem končnem kosu tega metričnega prostora, cel prostor pa lahko
izčrpamo s končnimi množicami, najbolj naravno kar s kroglami okoli enote
134 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 135 — #15 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
a−→ a−→ a−→
↑b
↑b
↑b
↑b
a−→ a−→
↑b
↑b
a−→a−→
↑b
↑b
↑b
a−→ a−→
a−→a−→
↑b
↑b
a−→ a−→
↑b
↑b
↑b
↑b
↑b
a−→a−→
a−→ a−→
↑b
↑b
a−→a−→
↑b
↑b
a−→a−→a−→
↑b
↑b
↑b
↑b
a−→a−→
↑b
↑b
a−→ a−→
Slika 3. Del Cayleyjevega grafa proste grupe z generatorjema a, b.
BX(n) = {x ∈ G : dX(x, 1) ≤ n}. V tem jeziku slika 3 prikazuje kroglo
BX(3) Cayleyjevega grafa proste grupe. Stopnja komutiranja (v tej splo-
šnosti ne moremo govoriti več o verjetnosti) v grupi G je
sk(G,X) = lim sup
n→∞
|{(x, y) ∈ BX(n)× BX(n) : xy = yx}|
|BX(n)|2
.
Antoĺın, Martino in Ventura dokažejo, da za grupeG polinomske besedne
rasti (to pomeni, da velikosti krogel BX(n) rastejo kvečjemu polinomsko z
n) v zgornji definiciji obstaja celo limita ter da je ta neodvisna od izbire
končne generirajoče množice X. Poleg tega avtorji premislijo, da je v takih
grupah stopnja komutiranja pozitivna le v izjemnih primerih.
Trditev 20 ([1] – Antoĺın, Martino in Ventura 2017). Naj bo G gru-
pa, generirana s končno množico X. Predpostavimo, da je G polinomske
rasti. Tedaj je sk(G,X) > 0 natanko tedaj, ko ima G komutativno podgrupo
končnega indeksa.
Predpostavka o polinomski rasti je precej omejujoča. Grupe s to lastno-
stjo so natanko grupe, ki imajo nilpotentno podgrupo končnega indeksa [4].
Ko nasprotno opazujemo grupe s hitro, eksponentno rastjo, so te daleč stran
121–137 135
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 136 — #16 i
i
i
i
i
i
Urban Jezernik
od komutativnih in avtorji pričakujejo, da je njihova stopnja komutiranja
ničelna.
To domnevo znajo potrditi za precej širok razred grup s takšno rastjo,
in sicer hiperbolične grupe [5]. To so grupe, katerih Cayleyjev graf je videti
kot hiperbolični prostor v naslednjem smislu:
obstaja δ > 0, pri katerem je vsak trikotnik v Cay(G,X) δ-ozek.
Tukaj s pojmom trikotnik mislimo izbiro treh točk v grafu in geodetskih
poti med njimi, izraz δ-ozek pa pomeni, da je vsaka točka na kateremkoli
robu trikotnika oddaljena za največ δ od vsaj ene točke na uniji drugih dveh
robov trikotnika. V takem metričnem prostoru so torej trikotniki negativno
ukrivljeni, podobno kot v hiperboličnem prostoru.
Primer 21. Proste grupe so hiperbolične. Kot smo videli v primeru 19, so
njihovi Cayleyjevi grafi neskončna drevesa in trikotniki v njih so zelo ozki.
Primer 22. Lep primer hiperbolične grupe je modularna grupa transfor-
macij hiperbolične ravnine {z ∈ C : Im(z) > 0}. Ta sestoji iz preslikav
oblike
z 7→ az + b
cz + d
,
kjer so a, b, c, d cela števila, za katera velja ad−bc = 1. Opremljena je z ope-
racijo komponiranja preslikav. Ni težko preveriti, da preslikavi S : z 7→ −1/z
in T : z 7→ z + 1 generirata to grupo. Preslikava S je kompozicija inverzije
preko enotske krožnice in zrcaljenja preko imaginarne osi, preslikava T pa
enotska translacija. Generatorja zadoščata relacijama S2 = (ST )3 = 1. S
tema dvema relacijama je modularna grupa enolično določena in jo v tem
smislu lahko podamo kot končno prezentirano grupo 〈S, T | S2, (ST )3〉. Ko
postavimo X = {S, S−1, ST, (ST )−1}, si lahko Cayleyjev graf te grupe glede
na X predstavljamo sorodno kot graf na sliki 3, le da moramo v slednjem
mnogo vozlǐsč identificirati. V Cayleyjevem grafu modularne grupe obsta-
jajo dvocikli zaradi enakosti S2 = 1 in tricikli zaradi enakosti (ST )3 = 1.
Ko prosti grupi dodajamo naključne dolge relacije, skoraj vedno dobimo
hiperbolično grupo.
Izrek 23 ([5] – Gromov 1987, [12] – Ol’shanskĭı 1992). Ob danih
naravnih številih n ≥ 2 in k ≥ 1 enakomerno in neodvisno iz proste grupe
z n generatorji a1, a2, . . . , an izberimo besede r1, r2, . . . , rk doľzine največ `.
Naj bo G = 〈a1, . . . , an | r1, . . . , rk〉 kvocient proste grupe po teh relacijah.
Tedaj verjetnost, da je G hiperbolična grupa, konvergira proti 1, ko gre `
proti neskončno.
136 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Jezernik” — 2019/1/11 — 7:37 — page 137 — #17 i
i
i
i
i
i
Verjetnost komutiranja
Vsako končno generirano grupo lahko predstavimo kot kvocient proste
grupe. Kadar za to potrebujemo le končno mnogo relacij, je torej grupa
v smislu izreka 23 skoraj zagotovo hiperbolična. Če izključimo tiste, ki
vsebujejo ciklično podgrupo končnega indeksa, zanje velja naslednji rezultat.
Trditev 24 ([1] – Antoĺın, Martino in Ventura 2017). Naj bo G hi-
perbolična grupa, generirana s končno množico X. Predpostavimo, da G ne
vsebuje ciklične podgrupe končnega indeksa. Tedaj je sk(G,X) = 0.
Nazadnje imajo torej skoraj vse (končno prezentirane) grupe ničelno
stopnjo komutiranja. Temu primerno naš izlet po verjetnosti komutiranja
končajmo z enim Šalamunom –
nič nič nič nič
fiuuuuu še ena gobica
LITERATURA
[1] Y. Antoĺın, A. Martino in E. Ventura, Degree of commutativity of infinite groups,
Proc. Am. Math. Soc. 145 (2017), 479–485.
[2] S. Eberhard, Commuting probabilities of finite groups, Bull. Lond. Math. Soc. 47
(2015), 796–808.
[3] P. Erdös in P. Turán, On some problems of a statistical group-theory. IV, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar 19 (1968), 413–435.
[4] M. Gromov, Groups of polynomial growth and expanding maps, Inst. Hautes Études
Sci. Publ. Math. 53 (1981), 53–73.
[5] M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in group theory 8 (1987), 75–263.
[6] W. H. Gustafson, What is the probability that two group elements commute?, Amer.
Math. Monthly 80 (1973), 1031–1034.
[7] G. H. Hardy in S. Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc.
Lond. Math. Soc. 2 (1918), 75–115.
[8] M. Hladnik, Uvod v harmonično analizo na lokalno kompaktnih grupah, zapiski pre-
davanj, Ljubljana, 2006, dostopno na www.fmf.uni-lj.si/~hladnik/3st/HA.pdf,
ogled 21. 12. 2018.
[9] K. Joseph, Several conjectures on commutativity in algebraic structures, Amer. Math.
Monthly 84 (1977), 550–551.
[10] D. MacHale, Commutativity in finite rings, Amer. Math. Monthly 83 (1976), 30–32.
[11] P. Moravec, Osnove upodobitev končnih grup, Samozal., Ljubljana, 2018, dostopno
na www.fmf.uni-lj.si/~moravec/Papers/upodob_moravec.pdf, ogled 21. 12. 2018.
[12] A. Yu. Ol’shanskĭı, Almost every group is hyperbolic, Internat. J. Algebra Comput.
2 (1992), 1–17.
[13] V. Ponomarenko in N. Selinski, Two semigroup elements can commute with any
positive rational probability, College Math. J. 43 (2012), 334–336.
[14] D. J. Rusin, What is the probability that two elements of a finite group commute?,
Pacific J. Math. 82 (1979), 237–247.
121–137 137
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 138 — #1 i
i
i
i
i
i
O TEMPERATURI LEDU NA VODI
JOŽE RAKOVEC
Fakulteta za matematiko in fiziko
Univerza v Ljubljani
PACS: 05.70.Np, 44, 92.10 Rw
Opisana je temperatura površine ledu na vodi, kot sledi iz izmenjave toplote med vodo,
ledom in zrakom nad njim: prevajanje iz vode skozi led in naprej v zrak nad njim, infrar-
deče sevanje s površine ledu navzgor in infrardeče sevanje iz ozračja navzdol in poraba
toplote ob sublimaciji vodne pare s površine ledu v nenasičen zrak nad njim. Vertikalna
konvekcija, horizontalna advekcija ter turbulentno mešanje zraka nad ledom so obrav-
navani samo kvalitativno, sončno obsevanje ledu pa je zaradi beline ledu zanemarjeno.
ON TEMPERATURE OF ICE ON THE WATER
The temperature of the surface of ice on the water is described as follows from heat
exchanges between water, ice and air: the heat conduction from the water through the
ice and further into the air above it, the upwards infrared radiation from the surface of
the ice and the downwards infrared radiation from the atmosphere and the latent heat
needed for the sublimation of water vapor from the ice surface into the non-saturated air
above it. Vertical convection, horizontal advection and turbulent mixing in the air above
the ice are considered only qualitatively, while solar irradiation of the ice is neglected due
to ice’s whiteness.
Uvod
Jožef Stefan je seveda najbolj poznan po svojem zakonu o sevanju črnega
telesa. Ukvarjal pa se je še z marsičim, npr. tudi z debeljenjem ledu na
vodni površini [3]. Gre za nalogo o t. i. premični meji, ki se pogosto imenuje
kar po njem (npr. Stefanova naloga na Wikipediji). Stefan je debeljenje ledu
opisal z enačbo, ki pove, da se toplota, ki se ob nastanku nove plasti ledu
debeline dh v času dt ob zmrzovanju vode v led sprosti na spodnji strani ledu
(latentna toplota zmrzovanja/taljenja qt), prevaja skozi led proti površini
ledu. Zato mora biti temperatura ob površini ledu za ∆T nižja od tiste na
meji z vodo. Skoraj vse oznake za količine, ki opisujejo dogajanje, so danes
standardno drugačne od Stefanovih – on v tej objavi npr. označi latentno
toploto zmrzovanja vode s σ – dandanes je σ skoraj izključno »rezervirana«
za njegovo in Boltzmannovo konstanto. Stefanova izhodǐsčna enačba, pre-
pisana z danes običajnimi oznakami, je qtρldh = λl∆T/hdt (ρl in λl sta
138 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 139 — #2 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
gostota in toplotna prevodnost ledu, h pa njegova debelina). Stefan se ni
spraševal o tem, kaj je s toploto, ko skozi led pride na površje (čeprav je
seveda poznal pomembnost sevanja, pa tudi latentne toplote izhlapevanja
ali sublimacije – npr. [4, 2]). Upošteval je samo, da se ob zmrzovanju na
spodnji meji ledu toplota sprošča in da se ta toplota skozi led prevaja nav-
zgor. Ker se led debeli (spodnja meja se premika), postane od kraja in od
časa odvisna naloga kar zapletena.
Ob 150. obletnici Stefanovega rojstva in 100. obletnici smrti je o Stefa-
novi nalogi za Obzornik pisal tudi prof. Janez Strnad [6], kasneje pa o ledu
na vodi na preprosteǰsi način tudi v Preseku [5]. V Preseku je npr. razložil,
da za obstoj življenja v vodi pod ledom ni predvsem »zaslužna« zanimiva
lastnost vode, ki je najgosteǰsa pri 4 ◦C. Pojasnil je, da je glavni razlog za
to, da je led na jezerih in mirnih rekah le ob površini, ne pa tudi ob dnu, ta,
da je led redkeǰsi od vode in zato plava ob gladini. Držal se je Stefanovega
načina zgolj s prevajanjem toplote, dodal pa je še prevajanje skozi tanko
laminarno mejno plast zraka nad ledom, da je lahko v obravnavo vključil
tudi temperaturo zraka Tz tik nad to plastjo. Toliko toplote, kot je pride do
površine ledu s prevajanjem skozi trdno snov (led) j = −λl Tl−Tvh , je prehaja
tudi navzgor skozi mejno plast zraka tik nad ledom j = K(Tl−Tz). Tu so λl
toplotna prevodnost ledu (vzel je 2,3 W/mK) in h njegova debelina, Tv in
Tl sta temperaturi ledu na meji z vodo (Tv spodaj, enaka temperaturi vode)
in na površini ledu (Tl zgoraj na meji z zrakom), K je koeficient prehajanja
toplote skozi mejno plast zraka (Strnad je uporabil oznako α in za brez-
vetrje je npr. vzel 5,6 W/m2K) in Tz je temperatura zraka na vrhu mejne
plasti zraka. Glede na relativno topleǰso vodo je zato, da toplota vedno teče
navzgor, spodaj toplo, zgoraj pa hladno: Tv > Tl > Tz.
Prevajanje toplote skozi led ne potrebuje kake dodatne razlage, za pre-
hajanje toplote skozi mejno plast zraka pa utegne biti koristno kratko poja-
snilo. Gre pravzaprav za prevajanje skozi zelo tanko plast zraka (debeline
δ samo nekaj milimetrov), ki je nekako »prilepljena« ob površino in zato
zrak v njej povsem miruje – torej prevajanje toplote. Čeprav je prevodnost
λz zraka zelo majhna, pa so skozi mejno plast temperaturne razlike zelo
velike, pa tudi razdalja δ je zelo majhna. Torej je K ≈ λz/δ in iz podatka
o uporabljeni vrednosti za K in za λz = 0,025 W/m
2K, lahko ocenimo δ na
približno 4 mm.
Niti Stefan niti Strnad v obravnavo nista vključila še drugih možnih
izmenjav toplote med ledom in ozračjem – za njuni obravnavi to ni bilo
potrebno. Prvi je namreč za zgornji robni pogoj predpisal temperaturo
138–150 139
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 140 — #3 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
površine ledu, drugi pa temperaturo zraka ob vrhu mejne plasti. Poglejmo,
kateri so še možni načini izmenjave toplote in kaj doprinesejo k temperaturi
površine ledu. Telesa med seboj izmenjujejo toploto na več načinov. Po-
navadi naštevamo tri: poleg prevajanja še sevanje in konvekcijo. Pa to še
ni vse: kaj pa morebitno izhlapevanje vode? Za izhlapevanje je potrebna
toplota. Torej se površina, s katere izhlapeva voda, s porabo toplote za
izhlapevanje hladi – izhlapevanje odnaša toploto proč od nje. Ta toplota je
potem »skrita« v zraku (zato ji rečemo tudi latentna toplota) ob dejstvu,
da je izhlapela voda sedaj v zraku kot para z vǐsjo entalpijo. Nasprotno
kondenzacija pomeni sproščanje latentne toplote (para se spreminja nazaj
v vodo ali v led – npr. rosa ali slana na tleh). Pri izhajanju pare z ledu
ne rečemo, da para izhlapeva iz ledu, temveč, da sublimira – poseben izraz
uporabimo zato, da poudarimo, da ne gre za spremembo iz tekoče vode v
paro, ampak iz ledu v paro; obratni pojav je depozicija pare. Toplotne iz-
menjave so torej: poleg že obravnavanega prevajanja še sevanje, sublimacija
vodne pare iz ledu, konvekcija. A še vedno to ni vse: kaj pa mešanje zraka
nad ledom? Ob vetru se v zraku pojavlja turbulenca, ki premika in meša
dele bolj hladnega in bolj toplega zraka. To pomeni turbulentni prenos to-
plote od tam, kjer je temperatura vǐsja, tja, kjer je nižja. Torej: če je led
topleǰsi od zraka nad njim, turbulentna difuzija lahko znižuje temperaturo
zraka ob mejni plasti, kar lahko vpliva tudi na temperaturo površine ledu.
Obratno velja ob topleǰsem zraku – toda v takih primerih stabilne zračne
plasti (spodaj hladno, zgoraj topleje) je turbulenca dušena in zato le šibka.
Samo prevajanje toplote
Če upoštevamo samo prevajanje toplote skozi led in njeno prehajanje skozi
mejno plast zraka, potem mora ob zelo počasnem spreminjanju razmer (sko-
raj stacionarno stanje) toliko toplote preiti s površine ledu v zrak nad njim,
kot je do površine pride iz globin:
K(Tl − Tz) = λ1
Tv − Tl
h
. (1)
Od tod izvemo, da je temperatura ledu na površini Tl uteženo povprečje
med temperaturo vode in temperaturo zraka in odvisna od debeline ledu –
čim debeleǰsi je led, tem manj njegova površina »čuti« vodo pod njim in
tem bolj zrak nad njim:
Tl =
λl
h Tv +KTz
λl
h +K
. (2)
140 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 141 — #4 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
Če izberemo za temperaturo vode pod ledom 0 ◦C = 273 K, za temperaturo
zraka ob vrhu mejne plasti −10 ◦C = 263 K in za debelino ledu 20 centime-
trov, dobimo pri izbrani vrednosti za K (torej ob brezvetrju) za temperaturo
površine ledu 269,8 K = −3,4 ◦C.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega
toka (W/m-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
j prev-mej-pl
j prev-led
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
j prev-mej-pl + j sev
Slika 1. Gostoti toka prevajanja toplote skozi led in skozi laminarno mejno plast zraka
nad njim. Čim t pleǰsa je površina ledu, tem manj se razlikuje od temperature vode
pod ledom in tem bolj od temperature zraka nad mejno plastjo: zato ena krivulja upada,
druga pa narašča s temperaturo ledu. Križata se pri 269,8 K = −3,4 ◦C.
Led bi bil pri tej debelini ob upoštevanju samo prevajanja toplote za
6,8 ◦C topleǰsi od zraka nad laminarno mejno plastjo. Ko poznamo Tl,
poznamo gostoto toplotnega toka: okrog 38 W/m2.
Sevanje
Lotimo se še sevanja. Površina ledu namreč tudi seva. Zanimivo je, da v
območju infrardečega sevanja (IR), torej pri temperaturi okrog 0 ◦C (okrog
273 K) led seva skorajda kot črno telo – po Stefanovem zakonu. Led je v
infrardečem torej črn! (Kdo bi si mislil? Pa je tako – praktično vse snovi
okrog nas so v infrardečem sevalno črne – izjeme so le izglajene kovine, kot
so nanosi na ogledala. Črn tudi ni zrak nad nami.) Torej led sevalno oddaja
138–150 141
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 142 — #5 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
toploto navzgor z gostoto energijskega toka
j↑ = εlσT
4
l .
Tu je εl emisivnost ledu – če je led res skorajda »črn«, je ta praktično
enaka ena (recimo med 0,95 in 1), σ pa Stefan-Boltzmannova konstanta
(5,67 · 10−8 Wm−2K−4). Kam gre to sevanje? Seveda navzgor. Koliko ga
absorbira zrak in koliko ga gre skozi ozračje še naprej v vesolje? To je
odvisno od absorptivnosti zraka. Če bi zrak absorbiral kot črno telo, bi vse
to sevanje segrevalo zrak. Pa ni tako. Zrak v infrardečem ni črn, ampak
nekatere njegove sestavine absorbirajo v posameznih pasovih v infrardečem.
Temu rečemo učinek tople grede, ki je zelo pomemben za klimo na Zemlji.
Ker se tukaj s klimo ne ukvarjamo, povejmo samo, da sta glavna absorberja v
zraku vodna para (okrog 60 % učinka tople grede) in ogljikov dioksid (okrog
26 %) in ta dva, skupaj s še nekaterimi plini v zraku (preostalih 14 %), ob
jasnem nebu absorbirajo okrog 70 %-IR sevanja; preostalih 30 % pa gre v
vesolje. Snov, ki absorbira (lastnost, da energijo sevanja lahko sprejme),
ima tudi lastnost, da sevanje tudi oddaja: sposobnost absorpcije sevanja
(absorptivnost α) je enaka sposobnosti oddajanja sevanja (emisivnost ε).
Za emisivnost zraka nad ledom torej predpǐsimo vrednost εzr.
Sedaj moramo še izbrati primerni vrednosti za εzr in za temperaturo
zračne plasti, ki seva. Čim bolj je zrak suh (čim manj je v njem vodne
pare), tem debeleǰsa plast zraka je potrebna, da je v njej dovolj pare, da
opravi svojo celotno »sevalno nalogo«. Ponavadi je ta debelina nekaj deset
metrov, morda tudi sto metrov. Tako debela plast pa nima nujno vsa enake
temperature. Ponavadi je podnevi najtopleje pri tleh, ponoči in zjutraj pa je
pri tleh najbolj mraz. No, če se zadovoljimo z zelo grobim približkom (samo
zato, da je obravnava preprosteǰsa), potem vzamemo, da ima celotna plast,
ki absorbira in seva, kar enako temperaturo, kot je tik nad mejno plastjo
zraka nad ledom, torej Tzr = Tz. Kaj pa emisivnost εzr? Vemo, da se ob
jasnih, suhih nočeh močno ohladi, kar privede npr. do jutranje rose (pozimi
pa slane), ob vlažnih ali celo oblačnih jutrih pa se ohladi dosti manj – npr.
da na tleh sploh ni rose (ali slane). Torej tudi emisivnost zračne plati ni
kar konstantna. Spet zaradi preprostosti vzemimo kar že omenjenih 70 % –
torej εzr = 0,7. Tedaj zrak seva navzdol proti površini ledu:
j↓ = εzrσT
4
zr.
Sedaj ima enačba za izmenjavo toplote dva dodatna sevalna člena:
K(Tl − Tz) + σεlT 4l − σεzrT 4zr = +λl
Tv − Tl
h
. (3)
142 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 143 — #6 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
Vnaprej predvidevamo, da bo sedaj led hladneǰsi, saj sam seva skoraj kot
črno telo (skoraj »stoodstotno«) in z vǐsjo temperaturo, zrak proti njemu pa
manj – samo okrog 70-odstotno in z nižjo temperaturo (privzeli smo, da je
led topleǰsi od zraka). Ker enačba vsebuje četrto potenco temperature ledu,
bo najlažje, če za izbrane vrednosti koeficientov v njej poǐsčemo rešitev kar
z risanjem. Spet vzemimo za temperaturo vode pod ledom 0 ◦C = 273 K,
za temperaturo zraka −10 ◦C = 263 K in za debelino ledu 20 centimetrov.
Za εl vzamemo kar vrednost 1 in za εzr vrednost 0,7. Če uporabimo izbrane
vrednosti, risba pokaže rešitev enačbe pri Tl = 264,5 K = −8,7 ◦C. Sevanje
torej za privzete vrednosti (npr. jasno nebo, miren zrak) zniža temperaturo
površine ledu od preǰsnjih −3,4 ◦C za dodatnih 5,3 ◦C na −8,7 ◦C. Vsi pa
vemo, da se ob oblačnih nočeh manj ohladi – oblaki sevajo proti tlom kot
črno telo s svojo temperaturo. Kaj pa sončno obsevanje podnevi? Če je
led zelo bel, je segrevanja od sonca manj, stareǰsi, temneǰsi led pa sončno
obsevanje lahko čez dan segreva.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
j prev-mej-pl + j sev
j prev-led
j prev-mej-pl
j sev
Slika 2. Prevajanje toplote skozi mejno plast in sevanje; presečǐsče debeleǰse neprekinjene
krivulje (prevajanje skozi led) in debeleǰse črtkane krivulje (prevajanje skozi mejno plast
in sevanje) je pri Tl = 264,5 K = −8,7 ◦C.
Ko poznamo temperaturo ledu, lahko (pri privzeti temperaturi plasti
zraka, ki seva navzdol Tzr = Tz = −10 ◦C), ocenimo neto sevalni tok (nav-
zgor) na malo manj kot 90 W/m2. Več kot dvakrat toliko, kot s prevajanjem
toplote! Sevanja torej nikakor ne smemo zanemariti!
138–150 143
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 144 — #7 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
Sublimacija – s površine ledu izhaja para
Tudi v krajih, kjer je pozimi mraz, je treba posušiti perilo. Ljudje vedo, da
se posuši tudi, če potem, ko ga obesijo na prosto, najprej zmrzne. Odvisno
od temperature in vetra pač malo dlje traja, da je perilo suho. Ko ga
obesijo na sušilno vrv, naprej iz njega voda izhlapeva, ko pa se ohladi pod
0 ◦C, pa seveda zmrzne. Iz njega še vedno izhaja (sublimira) vodna para –
je pa sušenje počasneǰse, ker je za pretvorbo tekoče vode v paro potrebna
toplota izhlapevanja qi = 2,5 MJ/kg toplote, za pretvorbo iz ledu v paro pa
je sublimacijska toplota za 0,3 MJ/kg večja – torej qs = 2,8 MJ/kg za vsak
kilogram.1
Skozi laminarno mejno plast so po Reynoldsovi analogiji prenosi za-
znavne toplote, pare, gibalne količine podobni (glej npr. [12]). Torej bi
lahko tudi za gostoto toka vodne pare zapisali jpara = Kρ (ρv,l − ρv,δ), kjer
je Kρ = D/δ, D je difuzivnost za vodno paro skozi miren zrak, ρv,l in ρv,δ
pa sta gostoti vodne pare tik ob ledu in na vrhu laminarne mejne plasti.
Temu ustrezen tok sublimacijske toplote je torej
js = qs
D
δ
(ρv,l − ρv,δ) .
Za paro skozi miren zrak je pri temperaturi nekoliko pod 0 ◦C difuzivnost D
okrog 2 · 10−5 m2/s (npr. [10]), debelino δ pa smo že ocenili na okrog 4 mm.
Torej je tok sublimacijske toplote navzgor odvisen samo še od razlik gostot
vodne pare. Kakšni sta ti dve gostoti? Tik nad ledom je stanje nasičeno,
ob vrhu mejne plasti pa je vodne pare ob suhem vremenu manj, ob bolj
vlažnem pa več. Do sedaj smo prǐsli do dveh ocen za temperaturo površine
ledu: okrog −3 ◦C in okrog −8 ◦C; torej za prvo oceno vzemimo, da ima
površina ledu temperaturo −5 ◦C. (Bolj natančna ocena upošteva, da je
ρv,l funkcija temperature ledu Tl; o tem malo kasneje). Pri tej temperaturi
je nasičena gostota vodne pare nad ledom ρv,l = 0,0032 kg/m
3 (npr. iz
kakšnih tabel za nasičeno stanje nad ledom). Gostota ob vrhu mejne plasti
ρδ pa je odvisna od tega, kako je zrak suh in kako učinkovito veter odnaša
1Večina ljudi misli oz. je naučena v šoli, da se voda spreminja v paro pri 100 ◦C. Toda
– skoraj vsa para na svetu izhlapi pri temperaturah okrog 15 do 25 ◦C – taka je namreč
temperatura oceanov in večinoma tudi tal, iz katerih izhlapeva voda. Seveda para izhaja
tudi iz ledu – torej pri še nižjih temperaturah. Spreminjanje v paro pri 100 ◦C je torej
izjema – npr. v domači kuhinji in pri tej temperaturi je izparilna toplota 2,3 MJ/kg. Pri
še vǐsjih temperaturah voda izpareva npr. v industriji ali v termoelektrarnah. Torej: voda
na naši Zemlji se spreminja v paro predvsem pri temperaturah, ki vladajo v zraku pri tleh
in le neznaten del se je spremeni v paro pri temperaturah okrog 100 ◦C.
144 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 145 — #8 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
paro iznad njega. Če je ledena površina majhna, morda veter prinaša nad
led iz suhe okolice suh zrak. Če pa je ledena površina velika, potem velja
horizontalna homogenost in veter neposredno na odnašanje pare ne vpliva
(pač pa vpliva na turbulenco in s tem na prenos navzgor – a o tem kasneje
pri vplivu turbulentnega mešanja). Vzemimo, da je pri temperaturi zraka
−10 ◦C zrak precej suh, npr. z relativno vlažnostjo 30 %. To pri −10 ◦C
pomeni gostoto vodne pare okrog ρv,δ = 0,0006 kg/m
3. Torej je ocenjena
razlika gostot 0,0026 kg/m3.
Izračunajmo gostoto toka sublimacijske toplote: okrog 36 W/m2 – pri-
bližno toliko, kot pri prevajanju skozi led in skozi mejno plast. Vpliv izha-
janja pare iz ledu je približno tolikšen, kot prevajanje skozi mejno plast! Ob
upoštevanju samo prevajanja in sublimacije bi toplota, ki od spodaj pride
skozi led na njegovo površino, približno zadostovala za sublimacijo v paro!
Naredimo oceno znižanja temperature, ko prevajanju zaznavne toplote
dodamo samo tok latentne (sublimacijske) toplote, pri istih Tz in Tv kot
prej:
K(Tl − Tz) + js = +λl
Tv − Tl
h
, (4)
oziroma
Tl =
λl
h Tv +KTzr
λl
h +K
− js
λl
h +K
. (5)
Znižanje temperature za js/
(
λl
h +K
)
je spet odvisno od debeline ledu;
ponovno izberimo debelino 20 cm in dobimo znižanje temperature samo
zaradi sublimacije za nekaj več kot 2 ◦C.
Natančneǰso oceno vpliva sublimacije dobimo, če nasičeno gostoto vodne
pare preko Clausius-Clapeyronove enačbe pnas(T ) = pnas,0e
qs
Rv
(
1
T0
− 1
T
)
izra-
zimo s temperaturo. Tu je pnas(T ) nasičeni parni tlak vodne pare (v tem
primeru nad ledom) pri temperaturi T , pnas,0 je izhodǐsčna vrednost pri izho-
dǐsčni temperaturi: pnas,0(T0 = 0
◦C) = 6,1 hPa, qs je že večkrat omenjena
sublimacijska toplota in Rv = 461 Jkg
−1K−1 specifična plinska konstanta
za vodno paro. Ker velja tudi ρnas =
pnas
RvT
, lahko zapǐsemo vrednost nasi-
čene gostote vodne pare tik nad ledom v odvisnosti od temperature površine
ledu kot
pnas,0
RvTl
e
qs
Rv
(
1
T0
− 1
Tl
)
. Enačbo prepǐsemo v obliko, ki omogoča risanje
križanja dveh krivulj, ki pove, kakšna je Tl:(
K +
λl
h
)
Tl + qs
D
δ
(
pnas,0
RvTl
e
qs
Rv
(
1
T0
− 1
Tl
)
− ρv,z
)
= +λl
Tv − Tl
h
. (6)
138–150 145
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 146 — #9 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega 
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
 j prev-mej-pl + j sev + j subl
j prev-led
j prev-mej-pl
j sev
j subl
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
j prev mej-pl + j subl
j prev-led
j prev-mej-pl
j subl
Slika 3. Če prevajanju skozi mejno plast dodamo gostoto toka sublimacijske toplote, je
temperatura površine ledu (križǐsče debeleǰse neprekinjene in debeleǰse prekinjene črte)
Tl = 267,5 K = −5,7 ◦C – v primerjavi z zgolj prevajanjem skozi mejno plast za 2,3 ◦C
nižja. Pri preǰsnji grobi oceni o Tl = −5 ◦C torej nismo bili daleč od natančneje določene
vrednosti.
Izhlapevanje poleti lahko močno hladi – pri vǐsjih temperaturah je pač
razlika gostot vodne pare večja (pri vǐsjih temperaturah je Clausius-Clapey-
ronova krivulja »bolj strma«). A tudi pozimi in tudi z ledu je izhajanje pare
očitno pomembno. Je pa tu treba poudariti še en pogoj: jakosti prehajanja
v paro ne določa zgolj razlika gostot vodne pare, ampak tudi (in pogosto
predvsem) količina toplote, ki je na razpolago za izhlapevanje ali za subli-
macijo. Včasih toplote pač ni dovolj in zato je celo poleti, ko je razpoložljive
energije za izhlapevanje več, izhlapevanje dosti manǰse od maksimalno mo-
žnega glede na razliko gostot. In še: saj tla niso vedno povsem mokra in
zato tik nad njimi ni nasičenja. Pa še ni konec: tla so (vsaj pri nas) pokrita
z vegetacijo – ta pa predvsem podnevi deluje kot črpalka za vodno paro.
Zato meteorologi računajo potencialno evapotranspiracijo PE: potencialna
bi veljala za primer povsem mokrih tal, transpiracija pa opozarja na dodaten
146 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 147 — #10 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
vpliv vegetacije. PE je po dogovorjeni metodi [11] računana količina, saj jo
je meriti precej težko. Računi povedo, da pri nas poleti v povprečju izhlapi
kakih 150 kg/m2 v celem mesecu, kar je okrog 0,2 kg/m2 na uro, pozimi pa
v povprečju med 10 in 20 kg/m2 v celem mesecu oz. 0,02 kg/m2 na uro (glej
npr. [7, 8]), čemur bi ustrezala gostota toka sublimacijske toplote js okrog
15 W/m2. V mesečnem povprečju so zajeti suhi pa tudi vlažni dnevi, ko
izhlapevanja ali sublimacije skoraj ni. Če pa vzamemo neki zelo suh dan
(in morda še nekaj vetra), pa bi morda prǐsli na kakih 50 W/m2. Ne glede
na vse negotovosti pri računanju EP, ki se jih meteorologi zavedajo, pa smo
spoznali, da hlajenja z izhlapevanjem (v toplem delu leta) ali s sublimacijo
(ko je mraz) ni pametno zanemariti!
Konvekcija in turbulentno mešanje
Za izhlapevanje ali za sublimacijo v zrak pri tleh ni pomembna samo tanka
laminarna plast: če sta nad njo veter in s tem turbulenca, sta izhlapevanje
ali sublimacija seveda močneǰsi. Kajti veter npr. lahko odnaša paro in tako
vzdržuje nizko gostoto vodne pare nad laminarno plastjo, poleg tega pa
izhlapevanje ali sublimacija hladita in je spodaj zato »hladno«.
Konvekcija je močna v labilnem ozračju, v močno stabilnem pa lahko
povsem zadušena. Stabilnost je odvisna od spremembe temperature z vǐsino
∂T/∂z v primerjavi z adiabatno spremembo temperature nenasičenega zraka
ob njegovem morebitnem dviganju (proti nižjemu tlaku) ali spuščanju (proti
vǐsjemu tlaku) dT/dz = −g/cp. V primeru, ki ga privzame Strnad, je
led topleǰsi od zraka, tako da bi se morda lahko pojavilo kaj konvekcije.
Toda vsako gibanje zraka navzgor zahteva tudi kompenzacijska spuščanja.
Zato se nad homogeno površino proži konvekcija celičnega tipa, ki pa se
pojavi le nad izrazito toplo podlago (kot npr. v segretem olju v ponvi –
Bénardova konvekcija, glej npr. [9]). Kadar pa je pri tleh mraz, nekoliko vǐsje
pa nekaj topleje, imamo t. i. temperaturno inverzijo (inverzija – obratno
kot običajno, ko je spodaj topleje, zgoraj pa hladneje). Znano je, da so
plasti s temperaturno inverzijo močno hidrostatično stabilne – v njih so
vertikalna premikanja zraka močno dušena (razlika med vzgonom in težo
pri morebitnem premiku dela zraka le-tega vedno sili nazaj v izhodǐsčno
lego). Torej nad ledom konvekcije ni ali pa je morda le šibka.
Kaj pa horizontalna izmenjava z vetrom? Meteorologi horizontalnemu
prenosu lastnosti z vetrom ponavadi rečemo advekcija (da poudarimo, da
ne gre za konvekcijo v vertikalni smeri – čeprav sta izraza konvekcija in
138–150 147
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 148 — #11 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
advekcija v resnici sinonima). Tu pa je možno, da nad led veter ali sa-
pica prinašata iz okolice ali topleǰsi ali še hladneǰsi zrak. Toplo advekcijo
lahko pričakujemo npr. podnevi iznad okolǐsnjega kopnega brez ledu, ki je
temneǰse in se zato od sonca bolj segreje kot led. V takem primeru bi ad-
vekcija pomenila lokalno ogrevanje nad ledom. Hladno advekcijo pa bi npr.
povzročil mrzel veter, pri nas npr. pozimi od severovzhoda. Kaj bi lahko
povzročila advekcija? To, da bi se temperatura zraka na vrhu laminarne
mejne plasti spremenila. S tem se tukaj ne ukvarjamo: Tz smo mi (pa tudi
Strnad) privzeli kot eno od vhodnih konstant, »konstantni robni pogoj«.
In turbulenca? Turbulentni vrtinci so 3D-izotropno neurejeno gibanje
sem in tja – torej tudi neurejena dviganja in spuščanja zraka. Turbulenco
v ozračju vsako striženje vetra (pri tleh je to predvsem sprememba hitrosti
u z vǐsino ∂u/∂z) pospešuje. Stabilnost turbulenco duši: ker so v stabil-
nem zraku vertikalna gibanja dušena in zato zrak ne more gor-dol, se zaradi
3D-izotropnosti v stabilni zračni plasti ne more premikati in mešati niti ho-
rizontalno. V stabilnem ozračju torej turbulence ni ali pa je le zelo šibka.
Labilnost pa turbulenco pospešuje. Razmerje med pospeševanjem zaradi ve-
trovnega striženja in med dušenjem/pospeševanjem podaja brezdimenzijsko
Richardsonovo število Ri = gT
∂T
∂z /
(
∂u
∂z
)2
. (Točneje: ne T , ampak potenci-
alna temperatura Θ, ki bi jo imel zrak, če bi ga adiabatno stisnili na tlak
1000 hPa; pri tleh pa razlika med njima ni pomembna). Pa še tole: kvadrat
pri spremembi hitrosti z vǐsino ∂u/∂z pove, da je vseeno, ali z vǐsino hitrost
narašča – kot je po navadi pri tleh, ali pa pada – kot je npr. pri turbulenci
v vǐsinah nad jet-streamom.
Kriterij za turbulenco v zraku v naravi torej ni Reynoldsovo število Re
(to je v ozračju predvsem zaradi nizke viskoznosti zraka povsem neuporaben
kriterij), ampak je to ali Richardsonovo število Ri ali pa parameter stabil-
nosti ζ po Moninu in Obuhovu. Močno negativna Richardsonova števila
pomenijo močno turbulenco, pri vrednosti okrog Ri ≈ 0,25 pa turbulenca
že zamre in je pri še večjih Ri v ozračju ni. Veliko se uporablja tudi krite-
rij ζ po Moninu in Obuhovu, ki sta na osnovi eksperimentalnih podatkov
(glej npr. [1]) teoretično potrdila podobnosti med vertikalnimi turbulen-
tnimi prenosi toplote, vlage, gibalne količine – če jih ustrezno normiramo s
parametrom ζ. Povezave med ζ in Ri so empirično določene.
Nekaj primerov vertikalnih turbulentnih prenosov: ker ob vetru močneje
piha vǐsje nad tlemi kot pri tleh, turbulentno mešanje prenaša gibalno ko-
ličino navzdol. Podnevi so po navadi tla topla in iz njih izhlapeva voda –
turbulenca tedaj nosi toploto in vlago (z njo pa tudi latentno toploto) nav-
148 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 149 — #12 i
i
i
i
i
i
O temperaturi ledu na vodi
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega 
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
 j prev-mej-pl + j sev + j subl
j prev-led
j prev-mej-pl
j sev
j subl
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273
j gostota 
energijskega
toka (Wm-2)
Tl temperatura površine ledu (K)
j prev mej-pl + j subl
j prev-led
j prev-mej-pl
j subl
Slika 4. Upoštevanje prevajanja, sevanja in sublimacije. Debeleǰsa neprekinjena krivulja
(gostota energijskega toka skozi led) in debeleǰsa prekinjena krivulja (vsota gostot tokov s
prevajanjem, sevanjem in sublimacijo) od površine ledu navzgor) se sekata pri temperaturi
263,5 K = −9,7 ◦C, torej zelo blizu temperaturi zraka na vrhu mejne plasti.
zgor. Ponoči je večinoma pri tleh hladno, pojavi se temperaturna inverzija
in turbulenca zamre: četudi v vǐsini morda piha, prenosa gibalne količine
navzdol ni in zamre tudi veter pri tleh.
Opisi vertikalnih prenosov s turbulentno difuzijo so zapleteni (kot vse v
zvezi s turbulenco). Za vertikalni turbulentni prenos vodne pare npr. velja
za jvert,turb = −αv ku∗zΦv(ζ)
∂ρv
∂z . Tu so αv turbulentna analogija Schmidtovemu
številu, u∗ je Prandtlova torna hitrost (to so povezave – statistične korelacije
– med turbulentnimi fluktuacijami horizontalne hitrosti u′ in fluktuacijami
vertikalne hitrosti w′ : u∗ =
√
−u′w′), k je von Kármánova konstanta in
Φv(ζ) funkcija, ki opisuje, da je v stabilni atmosferi turbulentni prenos šib-
keǰsi, v labilni pa močneǰsi. Torej je obravnava turbulence zapletena reč.
Ampak – res smo se že preveč oddaljili od naše teme – temperature povr-
šine plavajočega ledu.
138–150 149
i
i
“Rakovec” — 2019/1/11 — 8:05 — page 150 — #13 i
i
i
i
i
i
Jože Rakovec
Sklep
Za razlago zgolj tega, zakaj je pod ledom v jezerih in mirneǰsih rekah voda v
tekočem stanju, resda zadošča zgolj obravnava prevajanja toplote iz globin
skozi led in naprej skozi mejno plast v zrak nad ledom. Za obravnavo tem-
perature površine ledu pa je skoraj nujno upoštevati vsaj še vpliva sevanja
in prehajanja vodne pare iz ledu v zrak nad njim, ki sta pomembna tudi ob
brezvetrju.
Na koncu ocenimo še temperaturo zaradi skupnega vpliva prevajanja
skozi laminarno mejno plast, sevanja in sublimacije – slika 4 (ne upoštevamo
pa konvekcije, advekcije in turbulence).
Led ima torej ob privzetih pogojih skoraj enako temperaturo kot zrak na
tej vǐsini in prevajanje toplote skoznjo v tem primeru ne prenaša skoraj nič
toplote navzgor. Še malo bolj suh zrak – pa bi bila temperatura ledu nižja
od temperature ob vrhu mejne plasti – tedaj bi bilo prevajanje navzdol.
Vplivov morebitne konvekcije (in advekcije) ter turbulence kvantitativno
nismo vključili, ampak smo jih opisali samo kvalitativno. Zanemarili smo
tudi sončno obsevanje, kajti led je precej bel.
LITERATURA
[1] J. A. Businger, J. C. Wyngaard, Y. Izumi in E. F. Bradley, Flux Profile Relationships
in the Atmospheric Surface Layer, J. Atmos. Sci. 28 (1971), 181–189.
[2] J. Stefan, Theorie des Psychrometers (nach Maxwell und Stefan), Zeitschrift der
österr. Gesellschaft für Meteorologie 16 (1981), 177–182.
[3] J. Stefan, Über die Theorie der Eisbildung, insbesondere über die Eisbildung im Po-
larmeere, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien –
SAW 98, II a, 1889, 965–983.
[4] J. Stefan, Versuche über die Verdampfung, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akade-
mie der Wissenschaften in Wien – SAW, Philosophisch-Historische Klasse, 68 (1873),
385–423.
[5] J. Strnad, Led in voda, Presek 19 (1992), 204–208.
[6] J. Strnad, Stefanova naloga (Stefan’s task), Obzornik mat. fiz. 34 (1987), 207–210.
[7] ARSO, dostopno na www.arso.gov.si/o agenciji/knjižnica/mesečni bilten/, ogled 6.
12. 2018.
[8] ARSO, dostopno na meteo.arso.gov.si/met/sl/agromet/data/month/, ogled 6. 12.
2018.
[9] Bénardova konvekcija, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh-
Bénard_convection, ogled 6. 12. 2018.
[10] Difuzivnost vodne pare skozi zrak, dostopno na www.thermopedia.com/content/
696/, ogled 6. 12. 2018.
[11] FAO, dostopno na www.fao.org/docrep/X0490E/X0490E00.htm, ogled 6. 12. 2018.
[12] Reynoldsova analogija, dostopno na en.wikipedia.org/wiki/Reynolds_analogy,
ogled 6. 12. 2018.
150 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 151 — #1 i
i
i
i
i
i
ZANIMIVOSTI
ZLOBNI TEST MATEMATIČNE INTUICIJE
Beseda intuicija pomeni neposredno dojemanje, zaznavanje bistva brez ra-
zumskega razčlenjevanja (SSKJ). Matematiki jo uporabimo, kadar želimo
poudariti, da ima nekdo »nos za rešitev« oziroma neke vrste šesti čut, ki ga
vodi v pravilno smer tudi takrat, ko so argumenti še neznani. Skratka, gre
za prvino, ki si jo poskuša okrepiti vsak naravoslovec, čeravno ga, obilici
treninga navkljub, še vedno lahko pusti na cedilu. Da se to lahko zgodi
že pri zelo enostavnih problemih, naj bi razkril naslednji test, pripravljen
po vzoru trač revij. Za kvalitetno meritev je bistveno, da se pri nobenem
od vprašanj ne ustavite za več kot pol minute. Na koncu število pravilnih
odgovorov seštejte in prepričan sem, da mi boste pritrdili, da v matematiki
ni »skoraj očitnih« stvari. So le očitne in neočitne!
1. Okoli ekvatorja napeljemo vrv, jo podalǰsamo za en meter, nato pa
enakomerno odmaknemo od površja Zemlje. Katera je največja žival,
ki še lahko zleze pod njo?
a) mǐs
b) mravlja
c) nič od navedenega
2. Ob šestih zvon bije šestkrat, med prvim in zadnjim udarcem pa je 6
sekund. Ob enajstih bije enajstkrat. Koliko sekund je med prvim in
zadnjim udarcem?
a) 10
b) 11
c) 12
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 151
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 152 — #2 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
3. Na zabavo pride deset oseb. Tisti, ki se ne poznajo, se rokujejo. Koli-
kšna je verjetnost, da sta se dve osebi rokovali z enakim številom ljudi?
a) 100 %
b) 67 %
c) 10 %
4. V rokah držimo tetraeder in štiristrano piramido z robovi enake dolžine.
Koliko ploskev ima telo, ki ga dobimo, če staknemo dve trikotni ploskvi?
a) 9
b) 7
c) 5
5. Polno zajemalko vode zlijemo v sod vina in tekočino v njem premešamo.
Nato zajamemo še polno zajemalko mešanice in jo zlijemo v vrč vode.
Česa je več:
a) vode v sodu
b) vina v vrču
c) obojega je enako
6. Na Trojanah po novem opravljajo sekcijsko meritev – voznik dobi kazen,
če njegova povprečna hitrost preseže 100 km/h. Prvo polovico odseka
prevozimo s hitrostjo 50 km/h. S kakšno povprečno hitrostjo smemo
peljati v drugem delu, če ne želimo prejeti kazni?
a) 150 km/h
b) 220 km/h
c) kakor hitro želimo
7. Kovanec enotskega polmera zakotalimo okoli drugega s trikrat večjim
obsegom. Koliko obratov okoli svoje osi napravi?
152 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 153 — #3 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
a) 3
b) 4
c) 9
8. Po 40. letu se pri 1 % žensk pojavijo maligne tvorbe. Mamografija jih
odkrije v 90 %, vendar pa je test pozitiven tudi pri 10 % zdravih žensk.
Kolikšna je verjetnost, da je pacientka s pozitivnim testom res bolna?
a) okoli 8 %
b) okoli 72 %
c) natančno 90 %
9. Trije tekači z enakomerno hitrostjo pretečejo 100 metrov. Prvi drugega
prehiti za 20 metrov, drugi pa tretjega za prav toliko. Za koliko metrov
je prvi tekač prehitel tretjega?
a) 30
b) 36
c) 40
10. Eifflov stolp je visok 321 metrov, zanj pa so porabili 7 milijonov kilo-
gramov jekla. Kako visoka bi bila njegova 1 kilogram težka maketa,
narejena iz enakega materiala?
a) manj kot milimeter
b) nekaj centimetrov
c) dober meter in pol
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 153
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 154 — #4 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
Rešitve
Odgovori: 1 c), 2 a), 3 a), 4c), 5c), 6c), 7b), 8a), 9b), 10c).
Utemeljitve:
1. Intuicijo lahko prevara veliko razmerje med obsegom ekvatorja in po-
dalǰskom vrvi, čeprav je odgovor neodvisen od polmera sfere. Res, iz
primerjave originalnega in podalǰsanega obsega dobimo, da je
2πR′ = 2πR+ 1 m =⇒ R′ −R = 1
2π
m ∼= 16 cm.
Dobljena razlika polmerov je enaka oddaljenosti vrvi od površja.
2. Uganka je zelo podobna vprašanju: »Koliko kolov potrebujemo za 11 m
ograje, če naj bodo razporejeni na en meter?« Ključno je torej, da ne
razmǐsljamo o številu udarcev, temveč o dolžini intervalov med njimi.
Iz podatkov o prvem zvonjenju izvemo, da je med dvema udarcema 65
s. Drugo bitje je sestavljeno iz 10 intervalov, zato traja 12 s.
3. Če je na zabavi deset oseb, se lahko vsaka izmed njih načeloma rokuje z
0 do 9 ljudmi. Vendar pa se prva in zadnja možnost ne moreta zgoditi
hkrati. Torej se mora vsaj eno število rokovanj zgoditi dvakrat.
4. Naloga izvira iz amerǐskega testiranja PSAT 1980, pravilni odgovor pa je
bil objavljen šele po protestu 17-letnega Daniela Lowena. Ta je opa-
zil, da se ob staknitvi trikotnih ploskev združita tudi dva para stranskih
154 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 155 — #5 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
ploskev, kar je, vsaj na podlagi skice, precej neočitno. Matematično to
najlažje preverimo tako, da staknemo robova osnovnih ploskev dveh ko-
pij štiristrane piramide in povežemo njuna vrhova (glej sliko). Sedaj
premislimo, da je dolžina vezne daljice enaka dolžini roba piramide.
Telo, ki nastane med piramidama, je torej enako tetraedru.
5. Z odgovorom na to vprašanje imajo še najmanj težav otroci, eksaktno
pa rešitev najlažje ilustriramo s sliko. Na njej je (nezmešana) vsebina
zajemalke pri drugem zajemanju. Ključen je razmislek, da smo pred
tem v sod zlili polno zajemalko vode, sedaj pa nazaj nesemo manǰsi,
s svetlo barvo označen del. To pomeni, da je v sodu ostalo natanko
toliko vode, kot je trenutna količina vina v zajemalki.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 155
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 156 — #6 i
i
i
i
i
i
Zanimivosti
6. Uganka ni po meri cestnoprometnih predpisov, a takšna so dejstva. Če
voznik polovico poti s prevozi s polovično hitrostjo v/2, je že porabil
enako količino časa, kot bi jo za celotno pot pri hitrosti v = 100 km/h:
t =
s/2
v/2
=
s
v
.
Vsaka nadaljnja sekunda na poti torej kvečjemu zmanǰsa njegovo pov-
prečno hitrost.
7. Tudi ta naloga izvira iz amerǐskega preverjanja, SAT 1982. Zmeda je
bila tokrat še večja, saj pravilni odgovor sploh ni bil ponujen v obkroža-
nje. Najbolǰsi način za preverjanje rešitve je empiričen, potrdi pa, da je
na splošno število obratov enako seštevku obeh radijev. Manǰsi kovanec
namreč, poleg obratov, ki izvirajo iz razmerja v obsegih, naredi še en
dodaten obrat zaradi kroženja okoli osi celotnega vrtenja. Kakorkoli, če
še vedno niste prepričani in imate težave z iskanjem kovancev ustrezne
oblike, lahko preizkus izvedete tudi z dvema kovancema enake oblike
(na sliki).
8. Gre za nalogo, ki jo v prvem letniku slǐsijo študenti medicine. Opozori
jih na to, da morajo biti pri interpretaciji testiranj previdni. Oglejmo
si primer 1000 pacientk. Zares bolnih je 10, zdravih pa 990. Skupno
dobimo torej 108 pozitivnih testov, med katerimi pa je kar 99 lažnih.
Ustrezno razmerje je torej enako 9108 ≈ 8 %.
156 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“KuzmanUros” — 2019/1/11 — 8:07 — page 157 — #7 i
i
i
i
i
i
Zlobni test matematične intuicije
9. Ključen je razmislek, da ob prihodu prvega tekača v cilj razdalja med
drugim in tretjim tekačem še ni enaka 20 m. Tolikšna bo šele, ko bo v
cilj prǐsel tudi drugi tekač. Ker pa zaradi enakomernih hitrosti enako-
merno narašča, je v opazovanem trenutku enaka štirim petinam končne
vrednosti – drugi tekač se namreč nahaja na štirih petinah svoje poti.
10. Stolp je tridimenzionalni objekt, zato je njegova masa sorazmerna s
kubom njegove vǐsine H. Za ilustracijo, upoštevajoč dejansko obliko
stolpa bi zanj potrebovali pravokotno škatlo vǐsine H, širina in dolžina
pa bi morali znašati približno 13H. Volumen te škatle V =
1
9H
3 je
torej sorazmeren s 7 milijoni kilogrami, kar pomeni, da bi morala vǐsina
kilogramske makete znašati
h =
H
3
√
7 · 106
≈ 1,68 m.
Uroš Kuzman
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 157
i
i
“Mohoric” — 2019/1/11 — 8:08 — page 158 — #1 i
i
i
i
i
i
VESTI
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2018
V Ljubljani so bile 27. novembra podeljene Zoisove nagrade in priznanja,
priznanje Ambasador znanosti ter Puhovo priznanje in nagrada za leto 2018.
Prejemniki so: Bogdan Povh, ambasador znanosti RS; Leon Kralj, Puhovo
priznanje; Mojca Benčina, Saša Prelovšek Komelj, Janez Košmrlj, Andreja
Kutnar, Tadej Rojac in Nina Gunde Cimerman, Zoisovo priznanje za po-
membne dosežke; Marjan Pipenbaher, Puhova nagrada; Robert Dominko,
Matjaž Perc in Marko Noč, Zoisova nagrada za vrhunske dosežke; Franc
Vodopivec, Puhova nagrada za življenjsko delo ter Milica Kacin Wohinz in
Boštjan Žekš, Zoisova nagrada za življenjsko delo.
Med prejemniki sta tudi člana našega društva: akad. prof. dr. Boštjan
Žekš in prof. dr. Saša Prelovšek Komelj.
Vsem nagrajencem iskreno čestitamo za uspeh in priznanje.
Dosežki nagrajencev so opisani na straneh Ministrstva za izobraževanje,
znanost in šport [1]. Povzemimo dosežke naših članov.
Zoisovo nagrado za življenjsko delo na področju teorijske fizike je prejel
akad. prof. dr. Boštjan Žekš.
Slika 1. Vir: Urad Vlade RS za Slovence v zamejstvu in po svetu.
Boštjan Žekš je bil raziskovalec na Odseku za teoretično fiziko Instituta
Jožef Stefan, profesor biofizike na Medicinski fakulteti Univerze v Ljubljani
ter profesor in dekan na Univerzi v Novi Gorici. Je član Slovenske akademije
znanosti in umetnosti, na kateri je opravljal tudi funkcijo tajnika razreda za
matematične, fizikalne, kemijske in tehnǐske vede in bil predsednik akade-
mije.
158 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Mohoric” — 2019/1/11 — 8:08 — page 159 — #2 i
i
i
i
i
i
Nagrade in priznanja
Raziskovalno je delal na področjih feroelektričnih kristalov, predvsem
tistih z vodikovimi vezmi, tekočih kristalov in feroelektričnih tekočih kri-
stalov ter biofizike bioloških in modelnih fosfolipidnih membran. Na vseh
treh področjih, ki med seboj niso povezana, je veliko prispeval k napredku
znanosti, obiskoval svetovne centre ter imel predavanja in uvodna predava-
nja na največjih mednarodnih konferencah. V intenzivnem obdobju svojega
znanstvenega delovanja je objavil 214 del v uglednih mednarodnih revijah
ter tri monografije. Njegova dela obsegajo okoli 6.500 citatov.
Akademika Boštjana Žekša njegovi raziskovalni dosežki uvrščajo med
enega od naših najbolj eminentnih fizikov.
Zoisovo priznanje za pomembne dosežke na področju teoretične fizike
osnovnih delcev je prejela prof. dr. Saša Prelovšek Komelj.
Slika 2. Vir: osebni arhiv.
Prof. dr. Prelovšek Komelj je veliko prispevala k razumevanju fizike kvar-
kov in hadronov, ki so sestavljeni iz njih. V Sloveniji je prva vpeljala iz-
račune kvantne kromodinamike na mreži – to je edini teoretični pristop za
študij močne sile v hadronih ab-initio. Proučuje hadronska stanja, ki raz-
padajo prek močne interakcije. S sodelavci iz Avstrije in Kanade je kot
prva teoretično potrdila obstoj takih stanj, ki vsebujejo kvark s ali c. Kot
prva je s sodelavci proučila tudi interakcije med nekaterimi pari hadronov,
kjer se tvorijo nenavadna štirikvarkovska stanja. Saša Prelovšek Komelj
je zaposlena na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, na
Institutu Jožef Stefan in na Univerzi v Regensburgu. Za kraǰsi ali dalǰsi
čas je gostovala na številnih svetovnih univerzah. Je soavtorica ali edina
avtorica 47 izvirnih znanstvenih člankov v uglednih revijah z več kot 2.400
citati. Svoje delo je predstavila v vrsti vabljenih in plenarnih predavanj na
uglednih konferencah po svetu in uspešno utira raziskovalno pot v okviru
niza mednarodnih projektov.
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 159
i
i
“Mohoric” — 2019/1/11 — 8:08 — page 160 — #3 i
i
i
i
i
i
Vesti
LITERATURA
[1] www.mizs.gov.si/si/delovna_podrocja/direktorat_za_znanost/sektor_za_
znanost/dejavnost/nagrade_in_priznanja_za_izjemne_dosezke_v_znanstveno_
raziskovalni_in_razvojni_dejavnosti/2018/, ogled 4. 12. 2018.
Aleš Mohorič
In memoriam: Ciril Velkovrh (1935–2017)
V petek, 22. decembra 2017, smo se na ljubljanskih Žalah poslovili od Ci-
rila Velkovrha, ki je bil skoraj trideset let pomemben sodelavec Odseka za
matematiko na tedanji Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo v Ljubljani.
Ciril se je rodil 24. julija 1935 na Vrhovcih pri Ljubljani. Končal je vǐsko
gimnazijo in doštudiral matematiko na ljubljanski univerzi. V mladosti je
bil ljubiteljski športnik in dolga leta navdušen planinec (za 50-letno nepre-
kinjeno članstvo je bil npr. leta 2001 nagrajen z zlatim častnim znakom PD
Ljubljana Matica). Kot profesor je po diplomi leta 1959 tri leta poučeval
matematiko na Ekonomski srednji šoli v Trbovljah, v začetku šestdesetih
let pa je bil povabljen v Ljubljano na Odsek za matematiko Fakultete za
naravoslovje in tehnologijo, da bi pomagal vzpostaviti in urediti knjižnico.
Skoraj petindvajset let je potem knjižnico vzorno vodil in vzdrževal, po
njegovi zaslugi je že v 70. letih preǰsnjega stoletja, torej še pred računal-
nǐsko dobo, postala moderna študijska in raziskovalna ustanova, v pomoč
uporabnikom tako pri raziskovalnem kot pri pedagoškem delu.
Nekaj let je bil tajnik Društva matematikov, fizikov in astronomov Slove-
nije. Pripravljal je redne občne zbore ter pisal poročila o delu društva. Ves
čas je tudi sodeloval pri različnih društvenih akcijah in prireditvah, urejanju
Vegove in Plemljeve spominske sobe ipd. Vse do svoje predčasne upokojitve
leta 1992 pa se je poleg knjižnice ukvarjal zlasti z založnǐsko in izdajateljsko
dejavnostjo, ki je po njegovi zaslugi doživela pravi razcvet. Od leta 1970
dalje je bil namreč urednik in tajnik, v resnici pa dejanski operativni vodja
komisije za tisk. Sodeloval je pri izdajanju matematičnih in fizikalnih publi-
kacij: pri knjigah in učbenikih, ki so izhajali v različnih zbirkah, pri revijah
Obzornik za matematiko in fiziko ter Presek, pripravljal je večletna kazala,
zbiral in objavljal bibliografske podatke o znanih matematikih in fizikih,
urejal občasne izdaje itd. Nase je prevzel breme tehnične priprave vsake
nove publikacije, od izbire slikovnega gradiva, dodatnih tekstov, preloma
strani do koordinacije med avtorji, uredniki, recenzenti, lektorji, oblikovalci
in drugimi sodelavci, od sestavljanja avtorskih pogodb, stikov s tiskarnami,
do distribucije in prodaje. Skratka, skrbel je za vse nujne urednǐske po-
sle, razen strogo strokovnih vsebin, za katere so bili odgovorni posamezni
uredniki. Večkrat pa je celo sam poiskal avtorje in jih potem priganjal, da
so pravočasno končali z delom. Založbi je tudi v težkih časih inflacije znal
160 Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4
i
i
“Mohoric” — 2019/1/11 — 8:08 — page 161 — #4 i
i
i
i
i
i
In memoriam: Ciril Velkovrh (1935–2017)
priskrbeti potrebna sredstva, tako da je poslovala celo z dobičkom. Šte-
vilo bibliografskih enot, pri katerih je sodeloval in imel pri njih pomemben
delež, gre v stotine. Za uspešno društveno delo je prejel več društvenih pri-
znanj (npr. ob 25. obletnici delovanja Zveze društev matematikov, fizikov
in astronomov Jugoslavije, ob 30. in 40. obletnici delovanja društva ter ob
10. obletnici izhajanja Preseka) in državnih odlikovanj (Red dela z zlatim
vencem leta 1974, Red republike z bronastim vencem leta 1989). Na žalost
pa je v začetku devetdesetih let prǐslo med njim ter vodstvoma odseka in
društva do resnega nesporazuma glede vodenja komisije. Moral je zapustiti
to delovno mesto, kar ga je močno prizadelo.
Še nekaj let je nadaljeval s podobnim delom, in sicer je v okviru Pla-
ninske zveze Slovenije sodeloval pri izdajanju planinske literature, potem
pa si je našel novo področje delovanja. V zadnjih dvajsetih letih svojega
življenja se je namreč Ciril kot upokojenec sicer ljubiteljsko, a vendar zelo
resno posvečal fotografiji. Dvakrat je prehodil slovensko planinsko pot in
ob njej v objektiv ujel vse kapelice, križe in druga verska znamenja, ob
tem pa še številne druge naravne znamenitosti, gorsko cvetje ipd., da nje-
govih panoramskih posnetkov naših gora sploh ne omenjamo. Pozneje se je
enako intenzivno fotografsko ukvarjal s cerkvami, starimi hǐsami in šolskimi
stavbami po različnih krajih naše domovine. Svoje fotografije je predsta-
vil javnosti v velikem formatu in na razglednicah na več kot 650 razstavah
po Sloveniji, v zamejstvu in v tujini. Priložnostne govore, ki so jih ob
odprtju teh razstav imeli uveljavljeni slovenski umetnostni kritiki in drugi
izobraženci, pa je zbral ter jih skupaj s svojimi spomini na prehojeno pot in
izbranimi posnetki objavil v več zanimivih knjigah. S svojimi fotografijami
je opremil tudi vsaj deset velikih stenskih koledarjev, večinoma takih s pla-
ninsko tematiko. Veliko mu je pomenilo, ko je leta 2013 za svojo promocijo
slovenskega planinstva s fotografijami, knjigami, razglednicami in koledarji
prejel Zlati častni znak Planinske zveze Slovenije.
Na svoji življenjski poti bibliotekarja, urednika in fotografa je srečeval
številne zanimive ljudi in skoraj z vsakim je znal vzpostaviti pristen kontakt
in produktivne odnose. Bil je sicer zelo zahteven sogovornik, vztrajen in
dosleden, a vendar pravičen in dobronameren. Znal je prepričati druge,
da so sprejeli njegovo zamisel, čeprav se sprva morda niso strinjali z njo.
Vedno je ravnal tako, kot je mislil, da je prav. Bil je človek neizmerne
energije, zgled delavnosti in vztrajnosti. Delal je tako rekoč do zadnjega
diha. Zadnjih osem let se je pogumno boril z zahrbtno boleznijo; uteho je
našel v svoji družini in v delu. Svoje bogato in polno življenje je sklenil v
petek, 15. decembra 2017, dopoldne. Prijatelji bomo pogrešali njegovo živo
besedo, njegovo vedrino in humor, kakor tudi njegove fotografske razstave
in kulturna srečanja, ki jih je organiziral ob odprtju svojih razstav.
Milan Hladnik
Obzornik mat. fiz. 65 (2018) 4 XV
i
i
“kolofon” — 2019/1/23 — 6:54 — page 2 — #2 i
i
i
i
i
i
OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO
LJUBLJANA, JULIJ 2018
Letnik 65, številka 4
ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53
VSEBINA
Članki Strani
Verjetnost komutiranja (Urban Jezernik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–137
O temperaturi ledu na vodi (Jože Rakovec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138–150
Zanimivosti
Zlobni test matematične intuicije (Uroš Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151–157
Vesti
Zoisove nagrade in priznanja ter Puhove nagrade in priznanja 2018
(Aleš Mohorič) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158–160
In memoriam: Ciril Velkovrh (1935–2017) (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . 160–XV
CONTENTS
Articles Pages
Commuting probability (Urban Jezernik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–137
On temperature of ice on the water (Jože Rakovec) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138–150
Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151–157
News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158–XV
Na naslovnici: V ledeni kocki so ujeti mehurčki zraka. Mehurčki nastanejo med
zmrzovanjem, ker je v vodi raztopljen zrak. Z ohlajanjem se zmanjša topnost
zraka v vodi in zrak zapušča raztopino. Če želimo narediti led brez mehurčkov,
uporabimo prekuhano vodo ali pa jo počasi ohlajamo od spodaj, tako da zrak
lahko uhaja skozi zgornjo, tekočo plast (glej članek na straneh 138–150). Foto:
Aleš Mohorič