Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije Ljubljana, JULIJ 2015, letnik 62, številka 4, strani 121–160 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohoriˇc (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehniˇ cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. clane in študente pa 12 EUR. NaroˇPosamezna številka za ˇ clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je vˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ clanjeno v Evropsko matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇc­ cnosti z Ameriškim matematiˇ nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proraˇ cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje domaˇcih znanstvenih periodiˇcnih publikacij. ©c2015 DMFA Slovenije – 1973 cana pri pošti 1102 Ljubljana Poštnina plaˇ NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇclanke iz mate­matike, .zike in astronomije, vˇclankov objavlja prikaze novih knjig casih tudi kak prevod. Poleg ˇs teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti cij, poroˇ o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevilˇcrpen opis, da jih cene, morajo imeti dovolj izˇlahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ cinoma razumemo tudi loˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇclanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇcunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. cic urejevalnikov TEX oziroma LAvtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. GRÖBNERJEVE BAZE IN REŠEVANJE SISTEMOV NELINEARNIH POLINOMSKIH ENAČB BRIGITAFERČEC1,2,MATEJMENCINGER3,4 1Center za uporabno matematiko in teoretično .ziko, Univerza v Mariboru 2Fakulteta za energetiko, Univerza v Mariboru 3Fakulteta zagradbeništvo,prometnoinženirstvoinarhitekturo Univerza v Mariboru 4Inštitut za matematiko, .ziko in mehaniko, Ljubljana Math.Subj.Class.(2010): 13A15, 13B25, 68N30 Obravnavamo Gröbnerjeve baze, ki so pomemben teoretični gradnik moderne teorije polinomskihkolobarjev. Razložimopomen multideljenja,S-polinomainBuchbergerjevega algoritma. Opišemo reševanje nekaterihproblemov,kise nanašajo naideale vpolinomskih kolobarjih in se osredotočimo na uporabo pri reševanju sistemov polinomskih enačb ter problemu implicitizacije. GRÖBNER BASES AND SOLVING NONLINAR POLYNOMIAL SYSTEMS Gröbner bases, which are an important building block of modern theory of polyno­mial ring theory, are considered. The meaning of the multidivision, S-polynomial and Buchberger’salgorithmisexplained. TheuseofGröbnerbasesinsometheoretical aspects concerning the ideals in polynomial rings is considered. We are interested in the use of solving polynomial systems and implicitization problem. Uvod Vgrobemlahko rečemo,da uporaboGröbnerjevihbaz najdemopovsod,kjer nastopijopolinomskiideali oz.polinomske enačbe. Torej nele v matematiki, temveč tudi vštevilnihdrugih vedah –nekaterihinženirskihproblemih,kot je naprimer robotika[3,pogl.6]. V matematikiGröbnerjevebaze nasto­pijopri odgovoru na vprašanje, alije nekipolinom elementdanegaideala, priproblemu enakostiidealov,izračunupresekadveh ali večidealovinpo­dobno(glejnpr.[3,9]). TeorijoGröbnerjevihbazjeleta1965 vpeljalBruno Buchberger[2]. Nateorijolahkogledamo sstališčaposplošitveEvklido­vega algoritma,patudikot naposplošitevGaussove eliminacijelinearnega sistema,katere rezultatje(zgornje-)trikotna oblikalinearnega sistema. Te­orijaGröbnerjevihbaz omogoča računanje(deljenje) vkolobarjupolinomov več spremenljivk,kije analogno računanju(deljenju) vpolinomskihkolo­barjih ene spremenljivke. Pogosto moramo vpraksirešiti sistempolinomskih enačb(več spremen­ljivk) f1 (x,y,z)=0,f2 (x,y,z)=0,f3 (x,y,z)=0 (1) alipaimamopodanoploskev alikrivuljovparametrični obliki x = f1 (u,v),y = f2 (u,v),z = f3 (u,v); u,v . R (2) ali x = f1 (t),y = f2 (t),z = f3 (t); t . R (3) ali x = f1 (t),y = f2 (t); t . R (4) inželimo zapisatipripadajočo enačbo(enačbi)vimplicitni obliki. Poglejmo sidvakonkretna motivacijskaprimera: Primer 1. a) x = t5,y = t2 +1,z = t3 -1. 2 +u22 u+vvv2 +3u b) x = ,y =2(u-v)2 ,z =2v. u-v (u-v)3 22 +3 c) x = u +v, y =2uv +v,z =3uvv. Začnimo s primerom c). Če želimo iz enačb eliminirati parametra u in v,hitro opazimo,da zaradi nelinearnosti naloga ni takopreprosta,kot npr. prilinearnemprimeru x =1+2u -v, y = u +v, z =2-u +3v. Čeprav lahko poskusimo s podobno »strategijo« in iz prvih dveh enačb nekako izrazimoparametra u in v (zx in y)in rezultata vstavimo v tretjo enačboterjopreoblikujemotako,dale-ta ne vsebuje več nobenihkorenov – nampodolgem računanju celo uspedobitiimplicitno enačboploskve c): 32 2 4xz +4y 3 -3xy 2 -6xyz +z =0. V nadaljevanju tega članka želimo ugotoviti, ali lahko zgornjo enačbo do­bimo z metodo,podobnoGaussovi eliminaciji, oz. z neke vrste metodo na­sprotnihkoe.cientov. Nadaljujmo s krivuljo a), kjer nastopajo t5 , t2 in t3 . Spodnja računa 2 t2·5 ne potrebujeta dodatnih pojasnil, saj sta precej očitna: t5·2 = xin = 23 (y-1)5, zatoje(y-1)5 - x= 0 in t5·3 = x, (z +1)5 = t3·5, zatoje 3 (z +1)5 - x= 0. Tako dobljeni enačbi zagotovo pomenita implicitno enačbo krivulje a), ki pa verjetno ni »najboljša možna« v smislu najve­čje potence spremenljivk, ki v implicitnih enačbah nastopajo. Hitro lahko preverimo,daje ena od možnosti tudi y3 -3y2 +3y -z2 -2z -2 =0in yz+y-z -x -1=0(z najvišjopotenco3). Nazadnjepoglejmo še točkob): 2 +22 u +vvuv2 +3u x = ,y =2 ,z =2v u -v (u -v)2 (u -v)3 . u+v Hitro lahko preverimo, da z uvedbo nove spremenljivke t = enačbe b) u-v postanejo»enoparametrične«: x = t, y = t2 +1, z = t3 -1,karpomeni,da imamo za neskončno različnih vrednosti u in v isto vrednost t; torej se pri implicitizacijilahkopojavi»probleminverza«,ki algebrskopomeniproblem neodvisnostiparametrov u in v (podrobnostinajdete v[6]). Zgoraj naštete probleme uspešno reši teorija Gröbnerjevih baz, ki npr. polinomomx-t5,y-t2 -1,z-t3 +1priredipolinome -2+3y-3y2 +y3 - 2 2z -z,1+x -y+z -yz,-1+t+2y-y2 +tz, -1-t+ty -z,1+t2 -y, kipredstavljajo njihovoGröbnerjevobazo. Čebibili eliminacijskiproblemi iz primera 1 linearni, bi bil rang razširjene matrike pripadajočega sistema manjši od števila neznank v sistemu. Če za linearni sistem velja, da sta ranga (pripadajoče) matrike sistema in razširjene matrike sistema enaka številu neznank,je rešitev enolična. V nadaljevanjubomo videli,daje edina ustreznaposplošitevGaussove eliminacije za nelinearne polinomske sisteme iskanje Gröbnerjeve baze sis­temu pripadajočega ideala (polinomov sistema). Iz »novega« eliminacij­skega postopka mora biti na koncu tudi razvidno, ali je rešitev v obliki izoliranihtočk, alipa so rešitvekrivulje,ploskve(tj.kakšna raznoterost pripadasistemuenačb). Osnovnaidejapri reševanjusistema(1) temelji na tako imenovanih S-polinomih in spominja na (srednješolsko) metodo nasprotnihkoe.cientov, zato nipresenetljivo,dapri tej teorijipostanepo­membno tako imenovano »multideljenje« (posplošitev deljenja polinomov ene spremenljivke),kjerželimopolinom f (x1,...,xn)delitiz večpolinomi p1 (x1,...,xn),...,pk (x1,...,xn). Kot bomo videli,dobimopritakem de­ljenju ustrezne koe.ciente q1 (x1,...,xn),...,qk (x1,...,xn)ter(enoličen) ostanek r (x1,...,xn) f = q1p1 +··· +qkpk +r, karbopodrobneje opisano v naslednjempoglavju. Primer 2. Motivacijokončajmozdvemasistemoma oblike(1): 22 + (A) f1 = -xy3 -yz +yz2 +2xz3,f2 = z2 +xy +z, f3 = yxz +y; 2 (B) g1 = -xy3 -yz +yz2 +1xz3,f2 = z2 +xy +z, f3 = y2 +xz +y. Po eni strani(npr.po videzu) sta si sistema(A) in(B) zelopodobna, saj se razlikujetale v enemkoe.cientu(prikazan zdebelejšopisavo). Po drugi stranipa sta sistema(A)in(B)bistveno različna, sajima sistem(A)končno mnogo rešitev(rešitve soizolirane) za z, medtemkoima sistem(B) za z neizolirane rešitve(jihje neskončno mnogo). Za zdajpovejmo,da razlog za totiči vtem,daje g1 = -y2f2 + z2f3, čemur v nadaljevanju pravimo, da jeg1 v idealu, ki ga tvorita f2 in f3, oziroma da se deljenje polinoma g1 z množico {f2,f3}»izide«, medtem ko za f1 velja 3 f1 = -y 2f2 +z 2f3 +xz , čemur v nadaljevanjupravimo,daf1 ni elementideala,kigatvorita f2 inf3, oziroma da se deljenje polinoma f1 z množico {f2,f3}»ne izide« (ostanek 3 r = xzje neničeln). Oboje lahko enostavno preverimo. Na koncu »iz­dajmo«,dajeGröbnerjevabaza množicepolinomov {f1,f2,f3}(kar bomo de.nirali kasneje), če damo spremenljivki x »večji pomen« kot spremen­ 5 ljivki y in obema »večjipomen« kot spremenljivki z, enaka GA = {z4 +z, 4223 z3 +yz3 +z4 +yz,yz2 +yz,y2 +y3 -z2 -z,y+y2 +xz,xy+z+z2}, med­ temkojeGröebnerjevabaza množicepolinomov {g1,f2,f3}enaka GB = 3 {y2 +y3 -z2 -z,y +y2 +xz,xy +z +z2}. Če za zdaj na Gröbnerjevo bazo pogledamo kot na preoblikovanje sistema f1 =0,f2 =0,f3 =0 tako, da vedno ohranimo množico rešitev sistema,je očitno,daima sistem(A) glede na neznanko z izolirane(realne) rešitve z1,2,3,4 = 0 in z5 = -1(kot 5 slediizprve enačbe z4 +z=0), medtemkoima sistem(B)rešitve nakrivu­3 y2 lji yz2 +yz3 -zz2 -zz=0(glejsliko1b),torej so rešitve oblike (-zy+zy,zz),če z , zjezz= x,0,0) oziroma(0,-1,0) sicer.Na sliki1asov(zy,z)-ravnini 0, ter(zprikazane rešitve sistema(A); hitrolahkopreverimo,da rešitev sestavljajo izolirane točke(0,-1,0),(0,-1,-1),(0,0,-1) terpremica(x,0,0). OsnovnaidejaGröbnerjevihbazjeposplošitikorak vklasičnem algo­ritmu Gaussove eliminacije, kjer npr. par polinomov f =5x +2y - z - 1 in g =3x +4y - 2z - 2 zamenjamo z ekvivalentnim parom polinomov f =5x +2y - z - 1 in Sf,g =7z - 14y +7. Če koe.ciente monomov (a) Rešitev sistema(A). (b) Rešitev sistema(B). Slika 1. Primer 2: rešitve projicirane na ravnino x = 0. polinomov f in g zapišemo vprvo vrstico matrike,dobimo matriko ( 52 -1 -1 ) 34 -2 -2 , kjer sta vprvem stolpcu matrikekoe.cientapredspremenljivko x, vdrugem stolpcu sta koe.cienta pred spremenljivko y, v tretjem stolpcu sta koe.ci­enta pred spremenljivko z, v četrtem stolpcu pa stojita prosta člena obeh polinomov. Sedaj spomočjoGaussovemetode(nasprotnikoe.cienti) eli­miniramo spremenljivko x v drugem polinomu, in sicer pomnožimo prvo vrstico matrikes3indrugoz -5 ter obe vrstici seštejemo, dadobimo ( 52 -1 -1 ) . 0 -14 7 7 Poudarimo,da smo zadnjo vrsticodobili z metodo nasprotnihkoe.cientov: 15 15 Sf,g = (5x +2y-z -1)- (3x +4y-2z -2)= -14y+7y+7. 53 V nadaljevanju tega poglavja bomo podali nekaj de.nicij, ki poma­gajo razumeti pomen Gröbnerjevih baz. Več podrobnosti in splošnejši pri­stop najdetenaprimerv[3,9]. Obravnavajmopolinome f spremenljivk x1,...,xn skoe.cienti izpolja k: .1 f = L a.x1 ··· x .n n , ..S kjerje S končna podmnožica množice Nn in . =(.1,...,.n). Pravimo, 0 ..1 .n .1 .n daje x= x ··· xmonom, a. . k\{0}koe.cient in a.x ··· xčlen 1 n 1 n polinoma. Množico vsehpolinomov spremenljivkx1,...,xn skoe.cientiiz k označimo s k[x1,...,xn]. Z operacijama seštevanjein množenjepolinomov jek[x1,...,xn]komutativenkolobar. Nadalje rečemo,daje|.|= .1 +··· + .n stopnja monoma ter st(f) = max{|.|: . . S}stopnja polinoma. Za kn vsako naravno število n je= {(a1,...,an): a1,...,an . k}a.n prostor dimenzijen. Množicapolinomov f1,...,fs je naravnopovezana s sistemom enačb f1(x1,...,xn) =0,f2(x1,...,xn) =0,...,fs(x1,...,xn) =0, kar zapišemo krajše: fn(nx)= n0. (5) Množica vsehrešitevsistema(5)jede.niranakota.na raznoterost,določena spolinomi f1,...,fs: V(f1,...,fs)= {(a1,...,an). kn : fj(a1,...,an)=0 za1 . j. s}. Ideal v k[x1,...,xn] je podmnožica I kolobarja k[x1,...,xn], ki zadošča naslednjimapogojema: (i) če sta f,g . I,potemje f +g . I in (ii) čeje f . I in h . k[x1,...,xn],jehf . I. Kotnajpreprostejšiprimerideala v k[x1,...,xn]vzemimo množico vseh možnih linearnihkombinacij, kilahko nastanejoizpolinomov f1,...,fs: s (f1,...,fs)=L hjfj : h1,...,hs . k[x1,...,xn]. j=1 Ta množicajeideal,ki mupravimo ideal, generiran s polinomi f1,...,fs. Čeje ideal I . k[x1,...,xn]generiran s končno mnogo elementi f1,...,fs, pravimo,daje I končno generiran ideal. Potemje I = (f1,...,fs)in mno­žica{f1,...,fs}seimenuje baza idealaI. Naprimer,bazaideala (f1,f2,f3) iz primera 2(A)je {f2,f3}, baza ideala (g1,f2,f3)iz primera 2(B) paje {g1,f2,f3}. Poizreku oHilbertovibazi(glej npr.[3, str.74: Theorem4])je vsak polinomski ideal v kolobarju k[x1,...,xn]končno generiran. Ekviva­lentno, vsaka naraščajoča veriga idealov I1 . I2 . I3 . ··· v k[x1,...,xn] se ustali[9, str.4:Corollary1.1.7],karpomeni,da obstajatakšen m . 1, daje Ij = Im za vsak j>m. Algebraičnageometrija,ki obravnava zveze med algebro(ideali)ingeo­metrijo(a.ne raznoterosti),je zelo obširna(glej npr.[3,9]). Glavno vlogo pri tem imata »naravni« preslikavi, V (I), medmnožicama vseh a.nih ra­znoterosti V in vseh idealov I ter radikalideala. Preslikava I: V › I jede.nirana z I(V)= {f . k[x1,...,xn]:f (a1,...,an)=0zavse(a1,...,an). V}. (6) Preslikava V: I › V jede.nirana z (f1,...,fk) -›V(f1,...,fk), (7) kjerje V(f1,...,fk)takoimenovana ničelna množicapolinomov f1,...,fk (torejrešitev sistema f1 =0,...,fk =0). . Radikal ideala I, kiga označimo s I,jede.niran takole: . I = {f . k[x1,...,xn]:obstaja tak p. N, daje fp . I}. Ideal I . k[x1,...,xn]jeradikalni ideal,čeje enak svojemu radikalu: . I = I. Zvezo med algebro in geometrijo si bomo ogledali na primeru vsote in produktaidealov,kiimatatu zanimivoinpomembnovlogo,kislediizformul za raznoterost vsoteinproduktaidealov: V(I +J)= V(I).V(J), (8) Slika 2. Ploskvi V(I )in V(J )iz primera 3. V(I · J)= V(I).V(J). (9) Vsota, I + J, idealov I in J je ideal, de.niran z vsemi možnimi vsotami elementoviz obehidealov: I +J := {f +g : f . I,g . J}, produkt,I· J, idealovI inJ jeideal,de.niran z(vsemi)vsotamiproduktov, kjer nastopajofaktorjiizobehidealov: I · J := {f1g1 +··· +frgr : f1,...,fr . I,g1,...,gr . J,r . N}. Če sta I = (f1,...,fk)in J = (g1,...,gs), sta vsota I + J in produkt I · J generirana tako(glej npr.[3, str.181–183]) I +J = (f1,...,fk,g1,...,gs)in I · J = (figj :1 . i . k,1. j. s), torejje (f1)+··· +(fk)= (f1,...,fk).Geometrijskapomena enačb(8) in (9)si oglejmo na enostavnihprimerih. Primer 3. Naj bosta I = (x +2y+6-2z)in J = (x2 +y2 -z) ideala v R[x,y,z]. Tedajje I + J = (x +2y+6-2z,x2 +y2 -z) in V(I +J)= V(I).V(J),kotjeprikazanona slikah2in3. Primer 4. Naj bosta I = \(x +y)2 ,2x2 -y-1) in J = (x +y,x3 +2y) ideala v R[x,y]. Tedajje I · J = \(x +y)3 ,(x +y)2(x 3 +2y) ,(2x 2 -y-1)(x +y),(2x 2 -y-1)(x 3 +2y)) 121–137 127 Slika 3. Presek ploskev V(I )in V(J ) Slika 4. Raznoterost V(I )izprimera4(dve iz primera 3. točki). Slika 5. Raznoterost V(J )iz primera 4 Slika 6. Raznoterost V(I · J ) iz primera 4 (tri točke). (pet točk). in V(I · J)= V(I).V(J), karjeprikazano na slikah4,5in6. Opomba: Raznoterost V(I · J)je določena z x +y = 0 in .2x2 -y-1..x3 +2y. = 0, kar nam da pet točk na sliki 6. V nadaljevanju opozorimo na pomen preslikav (6) in (7). Vemo, da vsaka raznoterost V določa neki ideal I(V) in vsak ideal I določa neko raznoterost V(I). Če velja I(V1)= I(V2),je nujno V1 = V2, todačeje V(I1)= V(I2), ninujno,daje I1 = I2. Najpreprostejši takparje I1 = (x) 2 in I2 = (x2). Tudi za f1 = x2 -yin f2 =(x -y)2 (x +y)velja I1 = (f1), I2 = (f2)in I1 = I2, toda V(I1)= V(I2). Iz enakosti raznoterosti pa .. sledi, da sta pripadajoča radikala enaka, I1 = I2. O tem govori tako imenovaniHilbertovNullstellensatz[3, str. 170–171]. Izrek 1(Krepki Hilbertov Nullstellensatz). Naj bo An a.n prostor nad algebraično zaprtim poljem k in naj bo I ideal v k[x1,...,xn]. Tedaj za vsak ideal I . k[x1,...,xn]velja . I(V(I))= I. V nadaljevanju želimo natančno de.nirati Gröbnerjevo bazo in s tem povezano(že omenjeno) »multideljenje«. Zato najprejde.nirajmo monom­ sko ureditev, <,v k[x1,...,xn]kot relacijo dobre ureditve 0 < v množici Nn z naslednjimadvemalastnostma: (i) vsakanepraznapodmnožicamonomovimanajmanjši elementin . ..ß. (ii) če velja x x 21 x 92 x 43 >x 21 x 82 x 50 . 3 . Splošnoje xY. Če f delimo z urejeno množico (f1,f2),pričakujemo rezultatoblike f = q1f1 +q2f2 +r. Zapis sheme multideljenjaje skladen s shemo multideljenja v[9, str.14]. . Oznaka f pomeni,dajef polinom,kigadelimo z množicopolinomov(f1 in f2). Oba vodilna člena LT(f1)= XY in LT(f2)= X2 delita vodilni člen LT(f)= X2Y. Toda ker je v urejeni množici (f1,f2), s katero delimo, najprej naveden f1, delimo X2Y z XY in dobimo X, ki ga zapišemo h kvocientu q1. Natopomnožimo X s f1 in rezultatpodpišemopodpolinom 2 f, od katerega slednjega tudi odštejemo. Dobimo polinom XY- XY, katerega vodilni člen delimo z LT(f1)in dobimo Y, ki ga pripišemo h q1. Postopek ponovimo in nov polinom, ki ga delimo z LT(f1)ali LT(f2),je 2 -XY - Y. Njegovvodilničlenjepravtakodeljivz LT(f1): faktor -1 pripišemo h q1. Na koncu dobimopolinom -Y2 +Y,katerega vodilničlen 2 ni večdeljiv niti z LT(f1)niti z LT(f2), zato vodilničlen-Ypripišemo v desnistolpeckot ostanekin ostanepolinom Y,kigapapravtakopripišemo k ostanku. Nazadnje h q2 pripišemo 0 in polinom -Y2 + Y je (končni) ostanek, r,pri tem multideljenju.Celotna shemamultideljenjajetaka: q1 : X +Y -1 q2 :0 r . f1 : XY +YX2 Y +XY2 f2 : X2 +YX2 Y +XY XY2 -XY XY2 -XY 2 XY2 +Y -XY -Y2 -XY -Y -Y2 +Y Y ›-Y2 0 ›-Y2 +Y, karpomeni 2 f =(X +Y -1)f1 +0f2 -Y+Y. Po drugi strani, če zamenjamo »vrstni red« polinomov f1 in f2, torej če delimo z urejeno množico(f2,f1), spodobnimizračunomkotzgorajdobimo f = Yf1 +Yf2 -2Y2 . Očitnoje rezultat tovrstnegadeljenja zelo odvisen od vrstnega redapolino­mov, s katerimi delimo, saj lahko sprememba vrstnega reda spremeni tako vrednosti kvocientov q1,q2 kot tudi vrednost ostanka r. Ko delimo poli­nom f z množico polinomov F =(f1,f2), lahko pišemo f = {{q1,q2},r}namesto f = q1f1 + q2f2 + r. Z uporabo teh simbolov lahko prvi pri­mer zapišemo kot f = {{X + Y - 1,0},-Y2 + Y}, drugi primer pa po­meni f = {{Y,Y},-2Y2}. Omenimo še, da je rezultat v osnovi odvi­ sen tudi od izbire ureditve monomov. Če izberemo leksikografsko ureditev Y >X,je rezultatdeljenja spetdrugačen,karje razvidnoiz naslednjega primera, kigaizvedemo spomočjo sistema računske algebre Mathematica. V programu Mathematica se procedura deljenja polinoma f (x1,...,xk)z množico polinomov {f1,...,fn}(upoštevajoč ureditev x1 > ... >xk) iz­vede z ukazom PolynomialReduce[f,{f1,...,fn},{x1,...,xk}]. Rezultat je oblike {{q1,...,qn},r}in pomeni f = q1f1 + q2f2 + ··· + qsfs + r. 2 Na primer: PolynomialReduce[X2Y + XY,{XY + Y,X2 + Y},{Y,X}] nam vrne {{-2+2X + Y,2 - Y},-2X2}, kar pomeni X2Y + XY= (2X +Y -2)· (XY +Y)+(-Y +2)· .X2 +Y. -2X2 . Izprimera5je razvidno,dalahko smiseln rezultat v zvezi zdeljenjem polinoma z množicopolinomovpodamo samoprivnaprejizbrani ureditviin pri vnaprej izbranem vrstnem redu polinomov v množici, s katero delimo. Multideljenjeje smiselnode.nirati,kotkaže spodnji algoritem,kijepovzet po[9, str.12]. Preden zapišemo algoritem, zapišimo de.nicijo reduciranosti ostanka r prideljenjupolinoma z množicopolinomov. De.nicija 1. Naj bodo f,f1,...,fs . k[x1,...,xn],fj =0(za 1 . j. s) in naj bo F = {f1,...,fs}. Ostanek r . k[x1,...,xn]je reduciran glede na F, čeje bodisi r = 0 bodisi noben monom, ki nastopi v polinomu r, ni deljiv z nobenim elementom množice {LM(f1),. . .,LM(fs)}, tj. r ima manjšo stopnjokotkaterikolipolinom f1,...,fs. Sedaj si poglejmo algoritem multideljenja. V algoritem vstavimo f . k[x1,...,xn] in urejeno množico F =(f1,...,fs) . k[x1,...,xn].{0}. Rezultat algoritma so takšnipolinomi q1,...,qs,r . k[x1,...,xn],da velja: (i) f = q1f1 +··· +qsfs +r, (ii) r je reduciranglede na(f1,...,fs), (iii) max(LM (q1)LM (f1),. . .,LM (qs)LM (fs))= LM (f). Algoritem 1(Multideljenje). Koraki algoritma vpsevdokodu: POSTAVI q1 := 0,...,qs := 0,h := f DOKLER h =0 DELAJ: ČE obstaja j tak, da LM (fj)deliLM (h) POTEM Za najmanjši j, za katerega LM (fj)deliLM (h): LT(h) LT(h) qj := qj +, h := h- fj LT(fj ) LT(fj ) SICER r := r +LT (h),h := h-LT (h). Zgornji algoritemje osnova za naslednjiizrek,kijepovezan zdeljenjem polinomaz množicopolinomov. Izrek 2. Najbopodana(urejena) množicapolinomov F =(f1,...,fs). Naj bo v kolobarju k[x1,...,xn]izbrana monomska ureditev <. Tedaj lahko vsak polinom f . k[x1,...,xn]zapišemo v obliki f = q1f1 +··· +qsfs +r, kjerje r reduciran glede na F = {f1,...,fs}. Dokazlahkonajdetenaprimerv[3,str.62–63]. Čedobimoprideljenju polinoma f z urejeno množico polinomov F ostanek r, to običajno krajše zapišemo takole: F f -› r. Vnadaljevanjuželimo uporabiti algoritem multideljenja za rešitev nekaterih (dobro znanih) teoretičnihproblemov teorijepolinomskihkolobarjev(kot je na primer problem članstva v idealu in njegovem radikalu). Vemo, da ničeln ostanek pri deljenju polinoma f s polinomi f1,...,fs pomeni f . I. Obrattedajne velja(vedno). Četudiima f prideljenju sf1,...,fs neničeln ostanek,lahko obstajadeljenjepolinoma f spolinomi f1,...,fs (vdrugem vrstnem redu),kida ostanek0, saj smo videli,da ostanki(dokler niizbrana monomskaureditev) nisoenoličnodoločeni.Poglejmoprimer: 2 Primer 6. Naj bo f = xy + xy +2x +2, f1 = x2 - 1 in f2 = xy +2. Izberimo leksikografsko ureditev x>y. Potem z algoritmom multideljenja dobimo f = yf1 +f2 +(2x +y). Ostanekr =2x+y je neničelnintakobilahko zaključili,daf/.(f1,f2). Če F pa spremenimo vrstnireddeliteljev f1 inf2,imamo f -› 0za F =(f2,f1), sajje f =0f1 +(x +1)f2 +0, karpomeni f .(f1,f2). Kot bomo videli kasneje, lahko težave, ki so nakazane v primeru 6, odpravimo z de.nicijoGröbnerjevihbaz. Gröbnerjeve baze in njihova uporaba Gröbnerjeva baza ideala (f1,...,fs)jeposebna množica{g1,...,gt}, zaka­tero algoritem1(multideljenje)izprejšnjegapoglavja zapoljubenpolinomf vrne ostanek r =0natanko tedaj,koje f .(f1,...,fs). Natančneje: Gröb­nerjevabazaideala I . k[x1,...,xn]jekončnapodmnožicaG = {g1,...,gt}ideala I zlastnostjo (LT(I))= (LT(g1),. . .,LT (gt)). Spodnji izrek je splošno znan (glej npr. [3, str. 75]). Poudarimo, da je funkcija LT (inLM)smiselna samopriizbrani(znani) monomski ureditvi <. Izrek 3. Vsak neničelni ideal I . k[x1,...,xn]ima Gröbnerjevo bazo. Če je G = {g1,...,gt}Gröbnerjeva baza ideala I, je očitno ostanek vsakega polinoma f . I pri multideljenju enoličen. Čeje f = q1g1 +··· + '' '' qtgt +r in f = q1g1 +··· +qgt +r ', potemje r -r =(q1 -q1)g1 +··· + t '' (gt -q )gt . I. Čeje r -r = 0,je LT(r -r ').(LT(I)), kar pomeni, da tLT(gi)deli LT(r -r ')za neki i. Tojeprotislovje, saj nobenčlen ostankov ' '' r in r ni deljiv z LT(gi)za noben i =1,...,t. Zatoje r = r in qi = qi za vsak i =1,...,t. Gröbnerjevabazajetesnopovezana s takoimenovanimS-polinomom za danparpolinomovf,g . k[x1,...,xn];gre zaposplošitevS-polinoma,de.­niranega v uvodu. Naj bosta f,g . k[x1,...,xn]neničelnapolinoma. Naj­manjši skupni večkratnik njunih vodilnih monomov naj bo LCM(LM(f), LM(g))= x.. Potemje S-polinompolinomov f in g de.nirankot .. xx Sf,g = · f -· g. LT(f) LT(g) Opazimo, da S-polinomi poskrbijo za eliminacijo vodilnih členov in so v bistvu edini način, da se ta eliminacija zgodi med seštevanjem členov iste stopnje. Buchbergerjeva osnovnaidejapride.nicijiGröbnerjevihbazjebil na­slednjikriterij. Najbo I ideal. PotemjeG = {g1,...,gt}Gröbnerjevabaza ideala I natanko tedaj,koje za vsak i = j ostanekdeljenjapolinoma Sgi,gj z G enak nič: G Sgi,gj -› 0. Buchbergerjev algoritem,kijeprikazan v nadaljevanju,jepovzetpo[9]; prvič je bil opisan v Buchbergerjevi doktorski disertaciji [3]. Algoritem zahteva vnos množice polinomov {f1,...,fs}. k[x1,...,xn]\{0}in vrne Gröbnerjevobazo G ideala (f1,...,fs). Algoritem 2(Buchberger). Procedura vpsevdokoduje: POSTAVI G := {f1,...,fs}. Korak 1. Za vsakpar gi,gj . G, i = j,izračunaj Sgi,gj Spomočjo algoritma za multideljenjeizračunaj ri,j: GSgi,gj -› ri,j ČE Vsi ri,j =0,izpiši G SICER K množici G dodaj vse neničelne ri,j in se vrni na Korak 1. Opomnimo,daimajo vsinajučinkovitejši sistemi računske algebre ukaze (»rutine«) za izračun Gröbnerjevih baz. V sistemu Mathematica je ukaz GroebnerBasis. KerBuchbergerjev algoritem temelji na algoritmu1, tapa temeljinamonomski ureditvičlenov,jeizračunGröbnerjevebaze odvisen od monomske ureditve. (Todapriizbrani monomski ureditvijeGröbnerjeva baza enolična.) Poleg Mathematice imajo takšne rutine med drugimi še Singular in Maculay2. Opazimo, da lahko Buchbergerjev algoritem proizvede več baznih ele­mentov,kotjepotrebno,in s tega stalšča ni optimalen. Topalahkoizbolj­šamo, če zahtevamo dodatni pogoj, da noben člen polinoma gi ni deljiv z LT(gj)za j = i. Enoličnost množice G končno zagotovimo, če zahtevamo še,daje vsak gi moničen (tj. LC(gi) =1zavsak i). Tako dobimo t. i. reducirano Gröbnerjevobazo.ReduciranaGröbnerjevabaza vedno obstaja inje enolična(glej npr.[9,Theorem1.2.24]). Preprost algoritem,kipro­izvede reducirano Gröbnerjevo bazo in se začne s katerokoli Gröbnerjevo bazo,jenaslednji: začnemoz G in naredimo vsakpolinom gi . G moničen, nato vsak g . G zamenjamo z njegovim ostankomprideljenju g z elementi G\{g}(pri .ksnimonomski ureditvi). Seveda ukazi v vseh sistemih račun­skealgebreizračunajoGröbnerjevobazo,kiježereducirana. Naprimer: 2 Gröbnerjeva baza ideala I = (-x3 + y,xy - y2)glede na leksikografsko 3 222 ureditev x>y jeG = {-y2 +y,-y2 +xy,xy-y,x3 -y}. V nadaljevanju bomo obravnavali problem iskanja Gröbnerjeve baze v zvezi z nelinearnimi sistemi enačb. Medštevilnimi uporabamiGröbnerjevih bazbomo nakoncu omenilitudi uporabopri celoštevilskemprogramiranju, kjer uporabimoGröbnerjevobazoz uteženoureditvijo(glej[5]). n Recimo,daiščemo rešitev(a1,...,an). k (nelinearnega)polinomskega sistema(5), kjerje k algebraično zaprtje polja k. Naslednjiizrek(glej[3, str.170])podakriterij zaobstoj rešitvesistema(5). Izrek 4. Naj bo G = {g1,...,gt}reducirana Gröbnerjeva baza ideala (f1,...,fs). Sistem nima rešitve natanko tedaj,koje G = {1}. Medglavnimiproblemi vteorijipolinomskihkolobarjevjeproblem, ali je neki polinomf v danem idealu I = (f1,...,fn),inproblem, alije neki . polinom v radikalu I [9, str. 30]. S tem problemom je povezanih več sorodnihproblemov; od relacije(v smislupodmnožice) meddvemaidealoma do enakostiidealovinpresekaidealov[9, str.36–37],ter nenazadnjeproblem tako imenovaneprimarnedekompozicijeideala[9, str. 40–42]. Če sistem(5)nimakončno mnogo rešitev,je za njegovo razrešitev treba izračunati primarno dekompozicijo ideala I,karje znatno zahtevnejšekot račun v spodnjem primeru (podrobnosti glej v [9, poglavje 1.4]), kjer je prikazan tudipostopek uporabeBuchbergerjevega algoritma. Primer 7. Poiščimo rešitev sistema: 2 f1 = x +y =0, 24 f2 =2xy+x =0, 4 22 f3 = xz +x +xy +xy =0. Izračunajmo Gröbnerjevo bazo z uporabo Buchbergerjevega algoritma. Fiksiramo leksikografsko ureditev z>y> x in uredimo zapis polinomov f1,f2,f3 glede na to ureditev: f1 = y+x 2 , 4 f2 =2yx 2 +x, 22 4 f3 = zx +yx +yx+x. Sedajizračunamoposamezne S-polinome, ki so 22 4 yx 2 )- yx 2 x (y+x (2yx +x 4 )= , Sf1 ,f2 = y 2yx2 zyx zyx 22 324 (y+x 2 )- (zx +y x +yx+x 4 )= zx 3 -yx 2 -yx -yx , Sf1 ,f3 = y zx 22 4 zyx zyx 2 zx 32 5 Sf2 ,f3 = (2yx 2 +x 4 )- (zx +yx 2 +yx+x 4 )= -yx 3 -yx 2 -yx . 2yx2 zx 2 14 Sedaj Sf1 ,f2 = xdelimo z urejeno množicopolinomov(f1,f2,f3)in do­ 2 4 bimo ostanek 1 x. Kerjele-taneničeln,gapripišemok začetni množici 2 14 polinomovindobimo urejeno množico G =(f1,f2,f3,f4),kjerje= x. f42 Če delimo polinoma Sf1 ,f3 in Sf2 ,f3 z množico polinomov G, obakrat do­bimo ostanek0. TakojeGröbnerjevabazaideala (f1,f2,f3)enaka GB = {f1,f2,f3,f4}. Bazo reduciramo tako,da vse vodilnekoe.cientepolinomov f1,f2,f3 in f4 postavimo na 1. Opazimo tudi, da če polinom f2 delimo z množico(f1,f4), dobimo ostanek 0. Zato lahko f2 odstranimo iz Gröb­nerjeve baze. Čepa polinom f3 delimo z množico(f1,f4), dobimo ostanek zx -x3,kiga vGröbnerjevibazi zapišemo namesto f3. Takoje reducirana Gröbnerjevabazaideala (f1,f2,f3)enaka 24 GR = {y+x ,x ,zx -x 3}. Sedaj lahko sistem f1 = f2 = f3 = 0 rešimo zelo preprosto. Ker je drugi polinom v GR odvisen samo od spremenljivke x, je očitno x = 0. Prvipolinom vGröbnerjevibazi vsebuje samo x in y, odkoder sledi y =0. Zadnji polinom vsebuje spremenljivki x in z, x = 0 pa očitno reši enačbo 3 zx -x=0 za vsak z, torejje z poljubenin sistemima neskončno rešitev, kijih zapišemokot {(0,0,z): z . R}. Nazadnje omenimo,dalahko spomočjoGröbnerjevihbaz rešujemo splo­šniproblemceloštevilskegaprogramiranja(IP)(glej[5]),ki seglasi takole: minimiziraj nc · nx pripogoju Anx = nb, (10) n kjerje A . Zm×n in b =(b1,...,bm)T . Zm,indaje zelo obsežna tudi uporabaGröbnerjevihbazprikvalitativni obravnavi sistemov navadnihdi­ferencialnih enačb(glej npr.[4,8,9]). LITERATURA [1] M. Beaudin, G. Picard in G. Savard,Polynomial Systems Solving with Nspire CAS, V: Galán García, José Luis (ur.). ACA 2013, Málaga, July 2nd–6th, 2013, Hotel Málaga Palacio, Málaga, Spain. Proceedings of Applications of Computer Algebra, 2013, str. 41. [2] B. Buchberger, Ein Algorithmus zum Au.nden der Basiselemente des Restlasse­nringes nach einem nulldimensionalen Polynomideal, PhD Thesis, Mathematical In­stitute, University of Innsbruck, Austria, 1965; An Algorithm for .nding the basis elements of the residue class ring of a zero dimensional polynomial ideal, J. Symbolic Comput. 41 (2006), 475–511. [3] D. Cox, J. Little in D. O’Shea,Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, 3rd edition, Springer, New York, 2007. [4] V. F. Edneral, A. Mahdi, V. G. Romanovski in D. S. Shafer,The center problem on a center manifold in R3 , Nonlinear Anal. 75 (2012), 2614–2622. [5] S. Flory in E. Michel, Integer Programming with Gröbner basis, http://www. iwr.uni-heidelberg.de/groups/amj/People/Eberhard.Michel/Documents/Else/ DiscreteOptimization.pdf, ogled 29. 9. 2015. [6] X. S. Gao in S. Chou, Implicitization of rational parametric equations, J. Symbolic Comput. 14 (1992), 459–470. [7] G.-M. Greuel, G. P.ster in H. A. Schönemann, SINGULAR 3.0 A Computer Algebra System for Polynomial Computations, Centre for Computer Algebra, University of Kaiserlautern(2005), http://www.singular.uni-kl.de, ogled 29. 9. 2015. [8] V.Romanovski,M.MencingerinB.Ferčec,Investigation of center manifolds of three-dimensional systems using computer algebra, Program. comput. softw. 39 (2013), 67–73. [9] V. G. Romanovski in D. S. Shafer,The Center and cyclicity Problems: A computa­tional Algebra Approach, Birkhäuser, Boston, 2009. http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ O GIBALNI KOLI ˇ CINI SVETLOBE V PROZORNEM SREDSTVU JANEZ STRNAD Fakulteta za matematiko in .ziko Univerza v Ljubljani PACS: 41.20.Jb Kaˇze, da so se pribliˇzali reˇsitvi veˇc kot sto let stare dileme o gibalni koliˇcini svetlobe v prozorni snovi, znane kot nasprotje Minkowskega in Abrahama. V mednarodnem letu svetlobe se zdi vredno poroˇcati o tem tudi zaradi novih merilnih naˇcinov. THE MOMENTUM OF LIGHT IN A TRANSPARENT MEDIUM Apparently, the more as hundred years old dilemma of the momentum of light in a transparent medium, known as the Minkowski-Abraham controversy, is nearing its solu­tion. In the International year of light it seems appropriate to report on this also with respect to new measuring methods. Gibalna koliˇcina svetlobe James Clerk Maxwell je ˇze leta 1862 izpeljal zvezo: G = W/c, g = G/V = |E.× H.|/c2 (1) med gibalno koliˇcino G, ki jo ima svetloba z energijo W , ˇce c zaznamuje hitrost svetlobe v praznem prostoru. Dodali smo ˇse zvezo za gostoto gibalne koliˇcine. Zveza velja v praznem prostoru. Leta 1908 je Hermann Minkowski napovedal, da je gibalna koliˇcina svetlobe v prozornem dielektriku z lomnim koliˇcnikom n veˇcja kot v praznem prostoru: GM = nW/c, gM = GM /V = |D.× B.|. (2) Dodali smo zvezo za gostoto gibalne koliˇcine. Leto pozneje je Max Abraham zatrdil, da je gibalna koliˇcina svetlobe v prozornem dielektriku manjˇsa kot v praznem prostoru: GA = W/(nc),gA = GA/V = |E.× H.|/c2 . (3) Tudi v tem primeru smo dodali zvezo za gostoto gibalne koliˇcine. Pri tem vzamemo, da lomni koliˇcnik ni odvisen od valovne dolˇzine, se pravi, da ne O gibalni koliˇ cini svetlobe v prozornem sredstvu upoˇstevamo razklona, in da je dielektrik nemagneten. V praznem prostoru z n = 1 enaˇcbi (2) in (3) preideta v (1). Enaˇcbe za gostoto gibalne koliˇcine poveˇzemo z enaˇcbami za gibalno koliˇcino z zvezami za elektromagnetno valovanje: D = ..0E, B = µ0H, 2 gM = .gA = ngA, B2 = ..0µ0E2 , B = E/(c/n) in w = W/V = ..0E2 . Omejili smo se na najpreprostejˇsi primer, da je valovanje ravno in se razmere ne spreminjajo s krajem. V enaˇcbah ˇse nismo izvedli ˇcasovnega povpreˇcenja, 1 ki bi pripeljalo na primer do w = ..0E02 . 2 Gibalna koliˇcina elektromagnetnega valovanja je zanimiva koliˇcina [1]. O nasprotujoˇcih si enaˇcbah (2) in (3) so ˇse posebej vneto razpravljali, tako da se je nabrala obseˇzna literatura [1].1 Do enaˇcb (2) in (3) sta pripeljali zapleteni izpeljavi, v katerih sta Minko­wski in Abraham uporabila razliˇcna tenzorja energije-gibalne koliˇcine elek­tromagnetnega polja. V kvantnem okviru je do enaˇcb mogoˇce priti pre­prosto z zvezo med gibalno koliˇcino fotona in valovno dolˇzino svetlobe G1 = h/.. Planckova konstanta h energijo fotona povezuje s frekvenco W1 = h.. Enaˇcba (2) sledi, ˇce upoˇstevamo, da je valovna dolˇzina v snovi z lomnim koliˇcnikom n enaka ./n: G1M = nh./(..)= nW1/c. Enaˇcba (3) pa sledi, ˇce z zvezo m1c2 = h. vpeljemo efektivno maso fotona in z njo izraˇcunamo gibalno koliˇcino: G1A = m1v =(h./c2)c/n = W1/(cn)s hitrostjo svetlobe v = c/n v snovi z lomnim koliˇcnikom n [2, 3]. Vpraˇsanje je ˇze na prvi pogled zapleteno. Elektromagnetno valovanje v snovi zaniha naelektrene delce, tako da gibalno koliˇcino sestavljata prispe­vek polja in prispevek delcev. Po enaˇcbah (1) in (3) sklepamo, da prispevek polja zajame Abrahamova enaˇcba. Enaˇcba Minkowskega pa ne opiˇse polne gibalne koliˇcine v snovi, kakor bi morda priˇcakovali [4]. Polne gibalne ko­liˇcine ni mogoˇce preprosto vpeljati, ker ni preproste utemeljitve, kdaj snov miruje. To je mogoˇce za krajevno in ˇcasovno omejen sunek elektroma­gnetnega valovanja. Najprej vzamemo, da nemotena snov miruje, potem elektromagnetno polje v sunku zaniha atome in po prehodu sunka nemo­tena snov zopet miruje. Polno gibalno koliˇcino v posebnem primeru podaja 1 zveza G = [(n2 +1)- 1 (n2 -1)2]GA [4]. Pokaˇze se, da enaˇcba Minkowskega 23 1Spletni naslov PDF Bibliography on the Abraham-Minkowski debate. Princeton . . . vsebuje 225 ˇclankov, a zahteva prijavo. (Nemˇskim ˇclankom so dodani angleˇski prevodi.) Posamezni ˇclanki pa so prosto dostopni, na primer H. Minkowski, Die Grundgleichungen f¨ange in bewegten K¨ ur die elektromagnetische Vorg¨orpern ali M. Abraham, Zur Elektro­dynamik bewegter K¨ orper. podaja psevdogibalno koliˇcino, ki je v tem primeru precej koristna. Nekateri Abrahamovo gibalno koliˇcino imenujejo kinetiˇcna gibalna koliˇcina, medtem ko je za gibalno koliˇcino Minkowskega veˇc imen: kvazigibalna koliˇcina, ka­noniˇcna ali kristalna gibalna koliˇcina ali kar valovni vektor. Razliˇcna imena opozarjajo tudi na razliˇcne poglede. Razpravi o tem se izognemo [5]. Pogled na veljavo enaˇcb (2) in (3) se je s ˇcasom spreminjal. Najprej je prevladovalo mnenje, da je prava enaˇcba Minkowskega, za katero se je zdelo, da jo podpirajo merjenja. Potem se je mnenje zaˇcelo nagibati k Abrahamovi enaˇcbi. Zdaj nekateri menijo, da sta pravi obe enaˇcbi, le da veljata v razliˇcnih okoliˇsˇcinah [2, 3]. Poskusi Da bi razumeli poskuse, si oglejmo, kako svetloba deluje na prozorno snov. Po izreku o gibalni koliˇcini je sunek sile enak spremembi gibalne koliˇcine. Na ravno mejo prozorne snovi naj iz praznega prostora pravokotno pade 2 omejen curek svetlobe. Del energijskega toka r=(n - 1)2/(n + 1)2 se 2 odbije, del 1 - rvstopi v snov. Treba je upoˇstevati tudi odriv odbitega dela. Za razliko gibalnih koliˇcin za oba primera dobimo: .GM = (1 - r 2)nW/c - (1 + r 2)W/c = [(n - 1)/(n + 1)]2W/c, (4M) .GA = (1 - r 2)W/(nc) - (1 + r 2)W/c = -[(n - 1)/(n + 1)]2W/c. (4A). Sprememba gibalne koliˇcine v enoti ˇcasa da silo. Ko upoˇstevamo odriv, iz zapisanih enaˇcb razberemo, da curek svetlobe na prozorno snov po Min­kowskem deluje od snovi proti praznemu prostoru, in po Abrahamu enako izdatno v nasprotni smeri. Iz tega sledi navodilo za preizkus enaˇcb (2) ali (3). Posvetiti je treba ˇ na vodoravno mejo prozorne snovi. Ce se na osvetljenem delu snov izboˇci navzgor, velja enaˇcba (2), ˇce se ugrezne navzdol, pa enaˇcba (3). A. Askin in J. M. Dziedzic sta leta 1973 laserski curek usmerila na gladino vode [6]. Z laserjem pri valovni dolˇzini 530 nm sta v 60 ns trajajoˇcih sunkih, ki so si sledili 20-krat na sekundo in dosegli najveˇcjo moˇc od 1 do 4 kW, osvetljevala del gladine s premerom 4,2 µm. Opazila sta, da se je prepuˇsˇceni curek zoˇzil. To sta pojasnila z uˇcinkom zbiralne leˇce zaradi izboˇcenosti gladine. Po tem naj bi veljala enaˇcba Minkowskega. Na sklep so letele pripombe, da bi zaradi velike moˇci laserskih sunkov izboˇcenost lahko povzroˇcile sile, ker se je na robu sunkov moˇcno spremenilo elektromagnetno polje. O gibalni koliˇ cini svetlobe v prozornem sredstvu Slika 1. Gladina med plastema kapljevine je bila tem bolj izboˇcena, ˇcim veˇcja je bila moˇc laserja pri poskusu A. Casnerja in J.-P. Delvilla. Od zgoraj navzdol je bila moˇc laserja 0,27 W, 0,54 W in 0,81 W [7]. Uporabili so linearno polarizirani curek ionskega argonskega laserja z valovno dolˇzino 514 nm. Spremembo oblike gladine so uspeˇsno napovedali z uporabljenimi enaˇcbami. Tudi druga merjenja so govorila za enaˇcbo Minkowskega. Alexis Ca­sner in Jean-Pierre Delville sta leta 2001 uporabila ˇsibek neprekinjen curek argonskega ionskega laserja [7]. Opazovala sta mejo med plastema kaplje­vinskih meˇsanic z zelo majhno povrˇsinsko napetostjo, ki so ju sestavljali v glavnem voda, toluen in butanol. Meja je bila jasno izboˇcena v smeri curka in izboˇcenost je naraˇsˇcala z moˇcjo laserja (slika 1). Od drugih poskusov samo omenimo enega s plinom in drugega s trdnino. Leta 2005 je ameriˇska raziskovalna skupina z odbojem fotonov na oblaku rubidijevih atomov v Bose-Einsteinovem kondenzatu dobila rezultat, ki je ustrezal enaˇcbi Minkovskega [8]. Leta 2008 je kitajska raziskovalna skupina uporabila kremenovo vlakno s premerom 450 nm in pri izstopu svetlobe iz vlakna zaznala silo v notranjost vlakna, kar je ustrezalo Abrahamovi enaˇcbi [9]. Rezultate poskusa z vlaknom so kritizirali z dveh strani, tako da jih kaˇze sprejeti z zadrˇzkom. Skupina raziskovalcev z Drˇzavnega laboratorija za optoelektronske mate­riale in tehnologije v Guanzhouu na Kitajskem in z Inˇstituta za kompleksne sisteme na Weizmannovem inˇstitutu v Izraelu je pred kratkim poroˇcala o svojih poskusih [3]. Gladino vode ali mineralnega olja so obsevali z vzpore­ Slika 2. Pri poskusu se del vpadnega laserskega curka odbije in zoˇzi, del ga vstopi v kapljevino. Na gladini po Abrahamovi enaˇcbi nastane vdolbina, ki deluje kot ukrivljeno zbiralno zrcalo, zaradi katerega se zoˇzi odbiti curek. Kot med vpadnim in odbitim curkom je pretiran, v resnici je meril le 3. [3]. dnim neprekinjenim laserskim curkom in opazovali odbiti curek. Ugotovili so, da se je odbiti curek zoˇzal. To so pojasnili z vdolbino, ki je nastala po Abrahamovi enaˇcbi in je delovala kot zbiralno zrcalo (slika 2). Zasledovali so, kako se je vzpostavilo ravnovesje med silo zaradi svetlobe in povrˇsinsko napetostjo. Laserski curek z valovno dolˇzino 532 nm je imel Gaussov pro.l s polmerom 0,165 mm pri olju in 0,175 mm pri vodi. Moˇc je segla od 0,4 do 1 W pri olju in od 1,2 do 2 W pri vodi. Izmerili so povrˇsinsko napetost, lomni koliˇcnik in absorpcijski koe.cient in izvedli veˇc kontrolnih poskusov. Curek se je po vkljuˇcitvi zoˇzil v 0,7 s pri olju in 1,0 s pri vodi. Pri moˇci laserja 1 W je bil krivinski polmer ugreznjenega dela 2,76 m pri olju, pri moˇci 2,1 W pa 2,98 m pri vodi. Gladina se je ugreznila za 20 nm. Pojasnili so, zakaj so nekatere meritve podprle enaˇcbo Minkovskega in druge Abrahamovo enaˇcbo. Gladina se izboˇci, kar ustreza enaˇcbi Minkow­skega, ˇce svetloba sicer povzroˇci spremembo tlaka v kapljevini, a ne poˇzene ˇ kapljevine v gibanje, ko je svetlobni curek preozek ali posoda preplitva. Ce pa svetloba poˇzene kapljevino v kroˇzenje, se gladina na mestu curka ugrezne, kar ustreza Abrahamovi enaˇcbi. Poskus in razlago so ˇse dodatno podprli. Skupina se ˇze dalj ˇcasa ukvarja z zadevo in po tej strani zbuja zaupanje. Vendar se o vpraˇsanju mnenja precej razhajajo, zato ni priˇcakovati, da bodo razprave ponehale. O gibalni koliˇ cini svetlobe v prozornem sredstvu Slika 3. Tako pojasnijo, zakaj nekatera merjenja podpirajo enaˇcbo Minkovskega in druga ˇ Abrahamovo enaˇcbo. Ce je curek zelo ozek in posodica plitva, svetloba povzroˇci, da se ˇ gladina dvigne po enaˇcbi Minkovskega. Ce svetloba poˇzene kapljevino v kroˇzni tok, se gladina ugrezne po Abrahamovi enaˇcbi [3]. LITERATURA [1] D. J. Gri.ths, Resource letter EM-1: electromagnetic momentum, Am. J. Phys. 80 (2012), 7–18. [2] U. Leonhardt, Momemtum in an uncertain light, Nature 444 (2006), 823–824. [3] L. Zhang, W. She, N. Peng in U. Leonhardt, Experimental evidence for Abraham pressure of Light, New Journal of Physics 17 (2015), 53035, 1–12. [4] R. Peierls, More Surprizes in Theoretical Physics, Princeton Univesity Press, Prin­ceton 1991, str. 38, 41. [5] A. B. Pippard, Momentum and pseudo-momentum: 1. Classical pseudo-momentum and wave pressure, Eur. J. Phys. 13 (1992), 2–87. [6] A. Askin, M. Dziedzic, Radiation pressure on a free liquid surface, Phys. Rev. Lett. 30 (1973), 139–142. [7] A. Casner, J-P. Delville, Giant deformation of a liquid-liquid interface induced by the optical radiation pressure, Phys. Rev. Lett. 87 (2001), 054503-1-4. [8] G. K. Campbell, A. E. Leanhardt, J. Mun, M. Boyd, E. W. Street, W. Ketterle in D. E. Pritchard, Photon recoil momentum in dispersive media, Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 170403-1-4. [9] W. She, J. Yu in R. Feng, Observation of a push force on the end of a nanometer silica .lement exerted by outgoing light, Phys. Rev. Lett. 101 (2008), 243601-1-4. http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ MATEMATIK JOˇ ZEF JENKO1 STANISLAV JUˇC ZNIˇ Math.Subj.Class.(2010): 01A50 Kranjˇcan Joˇzef Jenko je bil eden najpomembnejˇsih matematikov v habsburˇski mo­narhijipredmarˇcnedobe;predavaljevLjubljani,Linzu, Gradcuinnadunajskiuniverzi. Vzgojiljecelo vrsto vrhunskih strokovnjakov, vkljuˇcnozljubljanskimprofesorjemmate­matike in astronomije Poljakom Schulzem. Posebna zasluga gre Jenku za tri desetletja iskrenega prijateljstva z Jernejem Kopitarjem. MATHEMATICIAN FROM KRANJ JOSEF JENKO, (ON 200TH ANNIVERSARY OF HIS CHAR IN LYCEUM AND JOANNEUM OF GRAZ) Josef Jenkowasoneof themostimportantmathematiciansofHabsburgMonarchy in Vorm¨ arz. HelecturedinLjubljana,Linz, Graz,andinVienneseUniversity. Heformatted a whole bunch of leading experts including the Polish professor Schulz who distingui­shed himself as professor of mathematics and astronomy in Ljubljana. Jenko is specially creditedforhislifelong friendship with Jernej(Bartholomew) Kopitar. Uvod Joˇzef Jenko(*1776 Kranj, †1858Dunaj) seje v svojih spisihinpredavanjih ob matematiki ukvarjal tudi shitro se razvijajoˇcimi tehniˇskimidoseˇzki svoje dobe. Kot eden najpomembnejˇsih matematikov vhabsburˇski monarhijije predaval visokoˇsolsko matematiko v Ljubljani, Linzu, Gradcu in predvsem nadunajski univerzi. Vzgojilje celo vrsto vrhunskih matematikovindrugih strokovnjakov. ˇ Student Po niˇzjihˇstudijihjeJenkoleta1795/96in1796/97 obiskovalˇseljubljanski licej,kjergajemed .lozofskimiˇstudijami .zikouˇcilJernej Schaller,mate­matikopaAntonGruber. JoˇzefJenkodrugaˇce odbrataTomaˇza vLjubljani niprejemalˇstipendije,ˇcepravjezakljuˇcneizpiteiz .zikeinuporabnemate­matike(11.–16.3.1796in18.–20.8.1796)priGruberjuinSchallerju opravil z najboljˇsima ocenama[1]. 1 Ob dvestoletnici njegovega prevzema katedre na Liceju in Joanneumu v Gradcu. Sliki 1 in 2 sta dostopni tudi na spletni strani Obzornika www.obzornik.si/62/4/ juznic-sliki.html. Jenkojeˇstudiral .lozo.jonaDunajuvletih1797–1801. Najprejjeobi­skoval tretji, zadnji dunajski letnik liceja, saj diploma ljubljanskega liceja ni zadostovala za vpis na univerzo. Ob zaˇcetku univerzitetnegaˇstudijaje Jenko postal Kna.jev ˇstipendist leta 1799, skupaj z dobra ˇstiri leta mlaj­ˇsimAntonomGogalopl. Leesthalom(*1780, †1841), kije bil 11. 9. 1814 skupaj s profesorjem cerkvenega prava in zgodovine cerkve v Ljubljani Ju­rijem Dolinarjem krstni boter Jenkovegaprijatelja, ljubljanskegaprofesorja matematike Samuela Gunza[2]. Jenkovdunajskiprofesor .zikeinmehanikevdrugemletnikujebil nek­danjiljubljanski .zikinrektorAntonAmbschell,matematikopajeJenko sprvaposluˇsal vprvemindrugemletnikupriGeorguIgnatzubaronuMetz­burgu,kipajeumrlˇze3.5.1798[3]. Ambschelljeleta1798predaval .ziko s poskusi po svojem uˇcbeniku v drugem letniku .lozo.je, D¨ ottler pa prav tam enakopo uˇcbenikuJohannaChristianaPolykarpaErxlebena(*1744, †1777). Metzburga sta na katedri za matematiko nadomestila na niˇzji stop­njiBauer, na viˇsjipaKesaer. Uporabno matematikoje naDunajuleta1801 predavalprofesorBauer;leta1798jepredavalpraktiˇcnogeometrijo v tre­tjemletniku .lozofskihˇstudijev. JohannWilhelmBauer(*1742/43, †1825) je uˇcil raziskovalcapraˇstevilAntonaFelkela(*1740, †1800);bilje eden od najvidnejˇsih profesorjev .lozofske fakultete, dekan leta 1790/1791, senior leta 1807, cesarsko-kraljevi svetovalec (1814) in dobitnik zlate medalje z veriˇzico leta 1817. Tehnologijojeleta1798predavalJosefMayervtretjemletniku .lozof­skihˇstudijev. Nauk oZemljije skupaj spregledom tedanjih tehnologij na dunajskiuniverzipredavaldoktor .lozo.jeinlekarniˇstvaVincent vonVlaha, opazovalno astronomijopaFranz vonPaulaTriesnecker(*1745, †1817) ob teoretski astronomiji,kijebilatedaj vdomeniprofesorjev matematikein .zike. Ambschellov pomoˇcnik je bil izredni profesor eksperimentalne .­zike D¨ottler, ˇcigar uˇcbenik iz leta 1812 je Jenko pozneje ocenil na petih straneh; Jenko in Bolzano sta ocenila tudi uˇcbenik Abrahama Gotthelfa K¨astnerja,pokateremjeljubljanske veljake svojˇcaspouˇcevalGabrijelGru­ber. Nadunajski univerzije viˇsjo matematikopredavalprostozidarskipod­pornikJurijaVegeFranzKsaverpl.Kesaer(*1740,†1804),kije vBornovem prostozidarsko-naravoslovnem glasilu objavil razpravi o centralnih silah in o Evklidovempetempostulatu »Abhandlung ¨ uber dieLehre von den Paral­lellinien«. Stanislav Južnicˇ Obzornik mat. .z. 62 (2015) 4 Profesor matematike v Ljubljani, Linzu, Gradcu in na Dunaju Zaradi vojnejebilaljubljanskakatedra za matematikoleta1802/1803 neza­sedena,takodaje matematiˇcnapredavanja6.6.1803 nadomeˇsˇcalprofesor .zikeSchaller,28.8.1803paKalister. Naslednjeleto1803/04jepouk ma­tematike prevzel Kranjˇcan Joˇzef Jenko; leta 1808 je bil profesor ˇciste in uporabne matematike [4]. Tako je Jenko vsaj nekaj ˇcasa obenem s Kali­strompouˇceval matematiko naliceju,potemkojeKalisterleta1807 znova postalprofesorzamatematiko, .zikoinnaravoslovjenaljubljanskemliceju. Desetega avgusta1803pajebilJenkoimenovan zaprofesorja matema­tike. Dne6.4.1802 sejeSchallerpodpisalkotprofesor .zikeinsuplentza uporabno matematiko, 27. 8. 1803 pa sta bila pod redovalnico podpisana Franc Wilde in Matija Kalister kot uˇcitelj 4. razreda normalke in suplent matematike. 29. 3. 1804 je bil kot uˇcitelj matematike ˇze podpisan Josef Jenko, na isti dan, 6. 4. 1804 in znova oktobra 1804 pa Johann Neumann kotuˇcitelj .ziketerpredavatelj grˇskeliteratureinslovnice[5]. Uporabna matematikajetistiˇcasˇse obsegalaˇstevilnapodroˇcja sedanje astronomijein .zike vkljuˇcno z geometrijsko optiko in deli mehanike. Nove francoske ˇsolske oblasti so ljubljansko katedro za matematiko po Jenkovi ostavki in kratkem Kersnikovem nadomeˇsˇcanju zaupale Jenkovemu prijateljuSamueluGunzu[6]. Gunzjebilljubljanskiprofesor osnovne(ele­mentarne)in uporabne matematike medjesenjo1810inletom1819, obˇcasno pa so zapoukosnov zaposlilipomoˇcnika,leta1814pajekotprofesor suplent predaval tudigrˇsˇcino. Leta1819jeGunz odˇsel vLinzintamprevzel nekoˇc Jenkovo katedro za viˇsjo matematiko. Jenko seje vLjubljani zaljubil vJoˇzefo(Pepico) Kogl(Kogel, *1796, †1814), hˇcerko ljubljanskega zdravnika Karola Bernarda Kogla. Kljub Jen­koviprizadevnostisijePepca rajeizbrala njegovegaˇstudentaJoˇzefaRudeˇza (*1793,†1846). Joˇzefjeleta1807/08 obiskovalˇsesti razred niˇzjihˇsol vLju­bljani,natojevLjubljani nalicejupriJenkukonˇcaldrugiletnik .lozofskih ˇstudijev, tikpredenjeJenkopodal ostavkodne14.6.1810 vkoristKersnika inGunza. VLjubljanijeJenko uˇcilleprvi semesterleta1809/10, natopa jepredavalvLinzu[7]. Gorenjski rojakJernej Kopitar(*1780, †1844)je vpismih veˇckratpro­sil ˇcili pomaga do boljˇzbe, s katero Zigo Zoisa, naj Jenku s priporoˇse sluˇbolahkopreˇzivljal svojodruˇzino[8]. Jenkoje zZoisovimposredovanjem po umrlem Mathiasu Jeschowskem dne 29. 4. 1814 prevzel graˇska licejska predavanja matematike; pol leta pozneje 24. 11. 1814 je Jenko prevzel ˇse predavanja tehnologije na Joanneumu, poznejˇsi graˇski politehniki. S tem sobile njegovegmotne skrbidodobra odpravljene. Jenkoje zasedalgraˇsko licejskokatedrozamatematikovletih1814–1819, od25.10.1816 zramoob rami sprofesorjem .zikeKulikom. Leta1815/16jeJenkonagraˇskemliceju predaval matematikointehnologijo,Neumannpa .ziko. Leta1819jeKu­lik(Kullik) predaval .zikoinastronomijonamestoNeumannanagraˇskem licejuin naJoanneumu. Jenkojebilprofesortehnologije,kijijeleta1819 dodalˇse matematiko. Jenkov nekdanji ˇstudent ˇ Stajerec Josef Knar(*1800, †1864)je prevzel Jenkovpoukmatematike naliceju vGradculeta1820,leta1824pajepostal redni(stalni) profesor matematikeintehnologije. Istegaletaje vGradcu objavil knjigo o novem postopku za raˇcunanje korenov ˇstevil in poslal dve pismi Jenku. Do februarja 1819 je zunanji avstrijski ˇclan koroˇske kmetijske druˇzbe Ignac Appeltauer(*1769, †1829) pouˇceval osnove matematike na univerzi naDunaju. Dne13.12.1819gajenadomestilJenko,kijebilvpisankot profesor elementarne matematike, stanujoˇc v Leopoldstadt ˇst. 590, ˇsele v ˇsolskemletu1820/21. Medizrednodolgimprofesorskim staˇzemjeJenkodo upokojitveleta1850predavaldunajskimsluˇsateljemprvegaletnika .lozo.je kotizredniprofesor elementarne matematike;obenemjebil odbornik sploˇsne vzajemnekapitalskein rentno-pokojninske zavarovalnice. Pouˇcevalje sedem do osem ur na teden po obeh delih Appeltauerjevega uˇcbenika iz let 1814 in1817; vdrugemletnikujeuˇcil suplentRudolfBrestel,poznejˇsi .nanˇcni minister tako imenovane meˇsˇcanske vlade. Med Jenkovimi sodelavci na dunajski univerzi so bili njegovi nekdanji uˇcitelji Bauer, profesor .zike in mehanikeJohannZemantsek, astronomJohannB¨ urg,direktor zvezdarnein profesorznanstveneastronomijeJosefLittrow,adjunktza .zikoinmehaniko AndreasSpunar; katedra za viˇsjo matematiko nibila zasedena odleta1821, vsedoPetzvalovegaimenovanja19.11.1836; matematikPetzvalje zaslovel tudi z raziskovanjem optike leˇc. Leta 1850 je Jenkova dunajska izredna predavanjaprevzelBolzanovˇstudentdr.FranzKsaver Moth(*1802, †1879) kot redniprofesor[9]. Slika 2. Akademski predniki Jerneja Kopitarja vpovezavi z njegovim prijateljem Jenkom. Jenkovi rokopisi, uˇcbeniki, ˇstudentje in sodelavci Jenkova zapuˇsˇcinajedanesposebna enota vPragi,lekorespondenco zBer-nardomBolzanom(*1781, †1848) soleta1971prenesli medBolzanove spise. Bolzano spada med vidne ˇceˇske matematike, pomembne za razvoj analize. NekaterideliJenkove zapuˇsˇcine soˇseposebej imenitni,denimoˇstirinajstli­stov najveˇcjega folioformata dolg popis Jenkove knjiˇznice. Med zanimivimi spisijeˇseproˇsnja zadovoljenje zatiskJenkovih matematiˇcnihtez zaizpit na viˇsjih .lozofskih ˇstudijih Liceja v Ljubljani. Zapisana je bila na dveh listih leta 1807. Jenkoje sestavil zajeten rokopis o sestaviZemljine skorje napetinˇsest­desetih listih, rokopis o letalstvu pa na desetih listih folioformata. Napisal je ocenoknjigepraˇskega natodunajskega rektorjaFranzaIgnatzaCassiana Hallaschka(Halaˇska, *1780, †1847), moravskega naravoslovca, matematika, .zikain astronoma. Podobnoje recenziral uˇcbenik svojegapoznejˇsega so­delavca Andreasa Baumgartnerja o uporabi mehanike za umetnost in obrt. BaumgartnerjezJenkovimpriporoˇcilompostal univerzitetniprofesor; nato sejepovzpel napoloˇzaj direktorja tobaˇcnihindrugih tovarn,predsednika akademijeinkonˇcnoˇse ministra. Jenkojepokratkem .zikalno-matematiˇcnemrokopisunaenemlistufo­lioformata ocenilˇse uˇcbenik svojega nekdanjegaprofesorjapiaristaRemigia D¨ottlerja napetihfolijih; recenziraljedva uˇcbenika svojega nekdanjegaˇstu­denta Schulza o ˇcisti geometriji na enem foliju in prvi del elementov ˇciste matematike na osmihfolijih. Sestaviljeizvleˇckeizkemijskih spisov natreh folijihinrecenzijena12folijih. Presodiljetedanje .zikalnevsebine(2fo­lija), na petih listih pisal o zavarovalniˇstvu, na sedmih o kronometriji, na petih o cenah,pravtako napetihpaje odgovoril na nagradno vpraˇsanje omostovih. Naenemfolijujeopisalnapravozaprepreˇcevanjeprˇsenjais­ker iz dimnih vodov parnih strojev po seznamu. Na enem listu je opisal merilno napravo, nadvehpa zgradbo teatradne8. junija1817. Opisalje ˇzeleznice za nateˇcaj ministrstva za obrt in trgovino na devetnajstih listih, na nagradno vpraˇsanjedanske znanstvenedruˇzbepaje odgovoril naˇstirih listih. KmalupoprihodujeJenko vGradcu sestavilˇsestfolijev rokopisa za svoj govor obrtnikomdne19.11.1815. Na160inˇse56listihje ocenildelo kandidatov za konˇcne izpite za matematiko in .ziko na razliˇcnih univerzah v Avstriji. Sestindevetdeset pisnih ˇmatematiˇcnih nalog njegovih ˇstudentov dunajske .lozofskefakultetemedletoma1820–1845jeobsegalo148listov. Med Jenkovimi najboljˇsimi ˇstudenti je bil Poljak Karol (Leopold) Sc­hulz pl. Strassnitzki (Straszinski, Strasznicki, *1803, †1852). 22. 3. 1823 je Jenko priredil letno diskusijo (disputacijo), na kateri je Schulz branil veˇc matematiˇcnih tez. Schulz je postal adjunkt pri profesorjih Baumgar­tnerju, Jenku in Ettingshausenu dne 13. 9. 1824; ˇcez tri leta je odˇsel v Ljubljano kot adjunkt in suplent, nato pa je bil Moˇcnikov profesor. Vo­dilni slovenski pisec matematiˇcnih uˇcbenikov Moˇcnik je bil potemtakem torej uˇcenec Jenkovega uˇcenca Schulza! Schulz je odkril formulo ./4= arctan(1/2)+arctan(1/5)+arctan(1/8), skupaj s svojimpomoˇcnikom, »ˇzi­vim raˇcunalnikom« ZachariasomDasejem(Dahse),paje zaslovelzizbolj­ˇsavopreraˇcunavanjdecimalkˇstevila . JurijaVegeinWilliamaRutherforda. Daseje namreˇcpoSchulzevi enaˇcbi v nekaj tednihizraˇcunal200pravilnih decimalkˇstevila .. Dasejebileden najveˇcjihgenijev za raˇcunanje, matema­tiˇcneteorijepa so mubileˇspanska vas, zatobrezSchulzeve osebnepodpore nebipriˇseldaleˇc. Ettingshausenje matematikom znanpredvsempo uvedbi binomskega simbola,kiga uporabljamoˇsedandanes. Jenku so pisali profesorji matematiˇcnih ved Leopold Gunz, Karel Hum­mel v letih 1839–1840, Josef Knar 1824, Biwaldov naslednik .zik v Gradcu Kulik1816–1856indunajskiastronomJosephJohannLittrow(*1781, †1840) 1827[10]. Jenkojepisal oAndreasuBaumgartnerjuzaupravo .lozofskefakultete naDunajuleta1822,takodajeBaumgartnerlahkopostal naslednjeleto profesor .zike in uporabe matematiˇcnih spretnosti na Dunaju. O svojem dijakuLeopolduSchulzujeJenkopisalDvorniˇstudijskikomisiji naDunaju leta1828,kojebilSchulzˇseprofesor vLjubljani. Jenkojeleta1833stanovalnaLeopoldstadtˇst. 590severovzhodnood strogega srediˇsˇcaDunajakotprofesorˇcistein elementarne matematike. Leta 1847in1848jeJenko stanoval naLandstraßeˇst.358jugovzhodno od stro­gegasrediˇsˇcamesta[11]. Jenkojeshranil189pisemBiwaldovegainNeu­mannovega naslednika na poloˇzaju graˇskega profesorja .zike Kulika. Kulik je bil na tej katedri obenem Hummelov predhodnik. Jakob Philip Kulik (*1793, †1863) in Jenko sta bila tri leta sodelavca v Gradcu. Dve pismi je Jenku pisal ljubljanski pomoˇcnik in nato naslednik Jenkovega ˇstudenta Schulza Karl Hummel. Hummel je spisal prvi in edini ljubljanski licejski uˇcbenik matematike; edini paˇc zato, ker so liceje kmalu po Hummelovem odhodu iz Ljubljane – ukinili. Sklep Jenkov pomen za Slovence je vsaj dvojen: bil je prvovrsten matematik, obenempa najboljˇsiin zadnjiprijatelj JernejaKopitarja. TakojeJenko za Slovence zasluˇzenpodvehplateh,po matematiˇcno-tehniˇskiinpo slavistiˇcni. SKopitarjem morda nista veliko znanstveno sodelovala, zatopajeKopitar s pomoˇcjobarona ˇcilJenkuprevzempomembnih avstrijskih ZigeZoisa omogoˇmatematiˇcnih kateder. Jenkov vpliv seveda seˇze daleˇc za slovenske meje. Do upokojitve leta 1850jebildolgoletni sodelavecpionirjev moderne znanosti v srednjiEvropi, dunajskih profesorjev Ettingshausena, Baumgartnerja, Littrowa, J. Petz­vala, Antona Schr¨ otterja in Augusta Kunzeka. Ettingshausen in Baumgar­tner sta na Dunaju prva urejevala matematiˇcno-.zikalno revijo Zeitschrift f¨ ur Physik und Mathematik, v kateri sta objavljala tudi ljubljanska profe­sorja matematikeSchulzinKarlHummel. Jenkoje umrl ravno ob zaˇcetku potiJoˇzefa(Josipa) Stefana na vrhdunajske univerze. LITERATURA [1] ZAL SI LJU 184, Klasiˇcna gimnazija v Ljubljani, Akcijski fond 1, 75, mapa 451. [2] M. Preinfalk, Anton Gogala pl. Leesthal,Drevesa, 2012, 1, str. 8. [3] A. Phillebois,Wiener Universit¨ur das Jahr 1798, str. 46, 53, 188. ats-Schematismus f¨ ¨ [4] Hof-und Staats-Schematismus des Osterreichischen Kaiserthums, 2. del (Staat), Wien 1808, str. 716; ZAL SI LJU 186, 1/75 mapa 453. [5] F. Kidriˇc, Gunz,Leopold(geslo), Slovenski biografski leksikon,2. zvezek(ur.Izidor Cankar in drugi), Ljubljana. [6] ZAL SI LJU 184, fond 1, enota 53;J. Ciperle, Podoba velikega uˇciliˇsˇca ljubljanskega, Licej vLjubljani1800–1848,Ljubljana2001,251–253; V.Schmidt, Zgodovinaˇsolstva in pedagogike na Slovenskem, II. Ljubljana 1964, str. 105; F. Kidriˇc, Dobrovsk´y in slovenski preporod njegove dobe, Ljubljana 1930. [7] L. Schiviz von Schivizho.en,Der Adel in der Matrikel des Hertzogtums Krain, G¨ orz, 1905, str. 311; L. Vidmar, Zoisova literarna republika: Vloga pisma v narodnih pre­rodih Slovencev in Slovanov, Ljubljana 2010, Kopitarjevo pismo 10. 10. 1812. ¨ [8] Hof-und Staats-Schematismus des Osterreichischen Kaiserthums, Wien 1816: str. 683, 742, 746, 816; 1819: str. 161, 165; 1820: str. 161, 167; 1821: str. 101; 1822: str. 110, 287; 1824, str. 168; F. Krones, Die Geschichte der Karl Franzens Universit¨ at in Graz 1585–1885, Graz 1886, str. 134, 137, 138, 290, 582, 585–586; J. Aschbach, Ge­schichte der Wiener Universit¨ at von 1848–1898,(ur.AkademischerSenatder Wiener Universit¨ at), Wien 1898, 276–277, 281. [9] P.Kˇrivsk´y, JosefJenko(27.3.1776 Kranj–1858Dunaj):p´isemn´apoz°ustalost,Praha 1978,3–6,9,16; L. K.SchulzStrassnitzki, Professor Schulz von Strassnitzki als Gele­hrter und Mensch,EineErinnerung andessenzehntenSterbtag(9. Juni1862), Wien 1862, str. 9; Schematismus des Laibacher Gouvernements im K¨ onigreiche Illyrien f¨zniˇcnikova Gorica kot sredi­ ur das Jahr 1834, str. 155; S. Juˇc, Cauchyjeva in Moˇˇsˇce evropske matematike, Arhivi, 2005, 28/1: 24; S. Juˇzniˇc, Zaˇcetki kristalogra.je v Ljubljani, Acta Chimica Slovenica, 2006, 53/3: (Supplement) 4–6. ¨ [10] Hof-und Staats-Schematismus des Osterreichischen Kaiserthums, Wien 1824, str. 173; 1833, 2: str. 91, 338; 1836: str. 93, 358; 1847: 87, 112, 356, 358; 1848: str. 95a in 95b. NOVE KNJIGE Anthony Lo Bello, Origins of Mathematical Words, John Hopkins University Press, Baltimore, 2013, 366 strani. V matematiki, .ziki in astrono­miji zelo pogosto uporabljamo besede, ki imajo izvor v stari grˇs­ˇcini, latinˇsˇcini, pa tudi v arabˇsˇci­ni. To se dogaja znanosti v vseh evropskih jezikih. Nekatere znan­stvene izraze so sicer uspeli bolj ali manj uspeˇsno prevesti v na­cionalne jezike, vseh pa seveda ˇse zdaleˇc ne. Razvoj matematike in drugih ved pa kar naprej zahteva, da si izmiˇsljujemo nove in nove, kar nam bolj ali manj uspeva. Anthony Lo Bello je napisal obseˇzno delo, etimoloˇski slovar, ki natanˇcno opisuje veliko ˇstevilo matematiˇcnih in astronomskih izrazov. Pa ne samo to, pri neka­terih se zadrˇzi veliko dlje, saj ˇsirˇse pojasnjuje njihovo zgodovinsko ozadje. Grˇske besede zapiˇse z grˇs­kimi ˇcrkami, arabske pa z arab­skimi. To je pomembno, kajti preˇcrkovanje iz grˇske in arabske pisave v latinico ni vedno zadovoljivo, ˇse posebej ne s ˇcrkami slovenske abecede. Poudariti je treba, da avtor pojasnjuje angleˇske besede grˇskega, latinskega in arabskega izvora, od katerih pa smo jih Slovenci vendarle uspeli precej prevesti v svoj jezik. Kljub temu uporabljamo veliko besed, ki so nepreve­dene, tako da je slovar ˇse vedno zanimiv tudi za nas. Imamo sicer veˇc izvrstnih sploˇsnih slovarjev tujk, v katerih je na kratko pojasnjenih veliko besed s podroˇcja matematike, .zike in astronomije. Lo Bello pa se omeji v glavnem na matematiko in malo manj pozornosti posveti astronomiji. Pri matematiˇcnih izrazih je avtor zelo kritiˇcen glede na to, kako so ses­tavljeni. Niso mu vˇseˇc tisti, ki so oblikovani iz grˇskega in latinskega dela, ˇse manj pa je zadovoljen s kraticami z nekaj ˇcrkami in z besedami, ki so na pol grˇske oziroma latinske, na pol pa angleˇske. V predgovoru Lo Bello navede nekaj zgodovine. Poudari, da nam stari ˇ Egipˇcani in Babilonci niso zapustili matematiˇcnih izrazov. Sele stari Grki, ki so sprejeli veliko matematiˇcnega znanja iz Egipta in Mezopotamije, razvili pa so ogromno svojega, so dejansko ustvarili pravo matematiˇcno in drugo znanstveno izrazoslovje, ki ga bolj ali manj uporabljamo ˇse danes. Tudi besedi matematika in geometrija sta grˇski. Veˇcinoma je njihovo izrazje preˇslo v latinˇsˇcino skoraj nespremenjeno, samo preˇcrkovano v latinico: . so prepisali v c, . v ch, . v x, . v z, . v th, . v y, . v ph, . v ps, ., . v e, . v o, .. v oe, .. v ae, .. v i. Znak za krepki pridih . so zamenjali s h, konˇcnico -.. z -us, -... z -ium. Tako so na primer oba Hipokrata, matematika in zdravnika, v grˇsˇcini ..........., prevedli v Hippocrates, oˇceta zgodovine, Herodota, v grˇsˇcini .........,v Herodotus, Ptolemaja, grˇsko .....µ.... pa v Ptolemaeus. Rimljani niso razvijali nove matematike. Kar so je poznali, so jo s precejˇsnjim delom izrazja vred prevzeli od Grkov. Po propadu za­hodnega dela rimskega imperija je omembe vreden Boetij (480–524, letnici sta pribliˇzni), rimski politik, .lozof, teolog, matematik in .zik. Med drugim je prevajal Evklida iz grˇsˇcine v latinˇsˇcino. Po Boetijevi zaslugi imamo ˇse danes besede grˇskega izvora baza, diameter, gnomon, ortogonalen, paralelen, paralelogram, romb, romboid, trapez. Prav tako besede latinskega izvora, na primer: ekstrem, .gura, komponenta, linearen, planaren, sektor. Vzhodni del nekoˇc mogoˇcnega rimskega imperija je ˇse ohranil veliko grˇs­kega matematiˇcnega znanja in virov. Ko so Arabci zagospodovali severni Afriki, so spoznali vrednost Evklidovih Elementov in Ptolemajevega Al­magesta in obe deli v 9. stoletju prevedli v arabˇsˇcino. Iz tistega obdobja izvirajo besede algebra, algoritem, azimut, zenit, cifra, ki imajo arab­ske korenine. Adelard iz Batha je v 12. stoletju zaˇcel prevajati arabska znanstvena dela v latinˇsˇcino, tudi Evklida. Iz njegovih prevodov smo dobili besede latinskega izvora, na primer: aplikacija, ekvidistanten. V obdobju evropske renesanse je poraslo zanimanje za grˇsko znanost in umetnost. Grˇska dela so prevajali neposredno iz grˇsˇcine v latinˇsˇcino, ki je ostala jezik znanosti vse do 19. stoletja. Pojavili so se latinski izrazi, iz katerih izvirajo na primer abscisa, adicija, koe.cient, diferencirati, ek­sponent, formula, funkcija, maksimum, minimum, multiplikacija, ordinata. Zanje se je treba zahvaliti velikim matematikom, kot so New­ton, Leibniz, Bernoulliji in Euler, ki so obvladali latinˇsˇcino in grˇsˇcino in pravilno sestavljali nove matematiˇcne izraze. Z vedno slabˇsim znanjem klasiˇcnih jezikov so se pojavile besede, ki jih Lo Bello ne ˇsteje med zgledno sestavljene in jim dodaja prilastek macaronic. Take besede so nastale iz latinskega, grˇskega ali kakˇsnega drugega dela, na primer: avtokorelacija, kohomologija, difeomor.zem, hiperprostor, matroid, kvazianali­tiˇcen. Oglejmo si nekaj primerov temeljitih razlag besed. Brahistohrona je krivulja, po kateri pade v homogenem gravitacijskem polju v najkrajˇsem ˇcasu toˇckasta masa iz ene toˇcke v drugo pod njo, pri ˇcemer toˇcki nista na isti vertikali. Problem brahistohrone je postavil Johann Bernoulli (1667–1748) in pomeni zaˇcetek takrat novega matematiˇcnega podroˇcja, variacijskega raˇcuna. Iskana krivulja je cikloida, ki je tudi razloˇzena v knjigi. Beseda brahistohrona je grˇskega izvora. Prvi del izvira iz preseˇznika ß........, najkrajˇsi, pridevnika ß....., kar pomeni kratek. Drugi del pride iz besede ......, ˇcas. Baje se je Bernoulli zmotil in zapisal v latinˇsˇcini brachys­tochrona namesto pravilno brachistochrona. Verjetno ga je zavedel y v besedi brachys, grˇsko ß...... Pripomnimo, da Slovenci nismo enotni pri zamenjavi grˇske ˇcrke . z ustrezno domaˇco ˇcrko. Vˇcasih piˇsemo h, vˇcasih k. Tako smo dobili iz .... besedo kaos, iz ..... pa besedo hiton, spodnje oblaˇcilo pri starih Grkih. Niˇc ˇcudnega, ˇce najdemo v slovenˇsˇcini tudi zapis brahistokrona. V grˇski mitologiji obstaja tudi Titan z imenom Kronos, grˇsko ......, Zevsov oˇce, pa tudi Hronos, bog ˇcasa, grˇsko ....... Imeni ...... in ...... zvenita zelo podobno, zato vˇcasih pride do zmeˇsnjave. Kot klasiˇcen primer slabo sestavljene besede Lo Bello navaja kobor­dizem. Predpona ko-, latinsko co-pomeni skupaj, z neˇcim. Drugi del izhaja iz francoske besede bord, angleˇske border ali poznolatinske bordus in pomeni meja, rob. Konˇcnica -izem, grˇsko -..µ.., latinsko -ismus pa oznaˇcuje v sestavljenkah neki nauk, smer, stanje, lastnost, posebnost. Kobordizem je sicer urejena trojka objektov (W, M, N), pri ˇcemer je W diferenciabilna mnogoterost, katere rob je disjunktna unija mnogoterosti M in N. Azimut je beseda arabskega izvora. Nastala je iz besede as-sum—ut, tudi as-sim—ut, arabskow. J\, kar je mnoˇzina samostalnika as-samt, arabsko J\, ki pomeni pot, smer. Pripomnimo, da imata zapisani arabski besedi doloˇcni ˇclen al-, arabsko J\, v katerem pa se l vˇcasih, na primer pred s,v izgovarjavi prilikuje naslednjemu soglasniku. Zato smo namesto al-zapisali as-. Teˇzava je tudi v tem, da v arabˇsˇcini ne piˇsejo samoglasnikov. Le ko je poudarek na pravilni izgovarjavi, dodajajo zanje dodatne znake. Lo Bello ima na koncu slabo zapisano de.nicijo azimuta. V astronomiji je azimut ena od koordinat nebesnega telesa v horizontskem koordinatnem sistemu. Druga koordinata je viˇsina nebesnega telesa. Azimut je kot med meridianom in viˇsinskim krogom nebesnega telesa. Beseda graf je izvedena iz grˇskega glagola ....., kar pomeni piˇsem, riˇsem, ˇcrtam. V teoriji grafov obstaja tudi beseda digraf in marsikdo, ki v tej teoriji ni doma, bi najprej pomislil na latinsko predpono di-, ki pomeni neko spremembo, loˇcitev, ali pa na grˇsko predpono ..-iz besede ..., kar pomeni dvakrat. Tu avtor ne pove, da je di-pravzaprav okrajˇsava za angleˇsko besedo directed. Digraf je namreˇc samo drug izraz za usmerjeni graf. Predstavimo ˇse nekaj znanih primerov. Veliko besed v matematiki ima konˇcnici -oida oziroma -oid, na primer cisoida, strofoida, ki sta imeni krivulj, in bolj znane elipsoid, romboid, trapezoid. Konˇcnici izvirata iz grˇskih -..... za moˇski in ˇzenski spol ter -..... za srednji spol iz samostal­nika ....., kar pomeni oblika, lik, pogled, podoba. Brˇsljan je v grˇsˇcini ....... Ce tej besedi odstranimo konˇdo­ ˇcni .. in ji dodamo -.-....., bimo pridevnik .........., v katerem pa v latinˇsˇcini .. preide v i (tudi ......... je v latinˇsˇcini Euclides, ali pa ikona, ki je nastala iz ....., kar pomeni slika, podoba). Pridevnik .......... torej pomeni podoben brˇsl­ ˇ janu. Crta, krivulja, podobna brˇsljanu, je potemtakem .......... ...µµ.. Zadnjo besedo so izpuˇsˇcali, prva pa je postala samostalnik, v latinˇsˇcino pa so jo prepisali kot cissoida, v francoˇsˇcini cisso¨ide. V mislih imamo ves ˇcas Dioklovo cisoido. Evklid v svojih Elementih uporablja besedi romb in romboid (..µß.., ..µß...... ...µ.). Romboid torej pomeni lik, podoben rombu. Zanimivo je pri tem, da Evklid vsak ˇstirikotnik, ki ni kvadrat, pravokotnik, romb ali romboid, imenuje trapez, v grˇsˇcini ........., ki je dal latinsko besedo trapezium. Evklid besede trapezoid, ki bi pomenila lik, podoben nam domaˇcemu trapezu, ne pozna. V grˇsˇcini je za trapezoid nastala beseda ............. Uvedel jo je Proklos v 5. stoletju v svojih ko­mentarjih k Evklidovim Elementom. V ZDA in Kanadi pomeni trapezium sploˇsni ˇstirikotnik v Evklidovem smislu, trapezoid pa naˇs obiˇcajni trapez, ki ima dve vzporedni stranici. Izvor obeh besed je ......., kar pomeni miza s ˇstirimi nogami. ......... pomeni tudi mizica. Lo Bello ne omenja, da je prvi zlog tra pravzaprav krajˇsa oblika od tetra, ki nastopa na primer tudi v besedi tetraeder, izpeljani iz ˇstevnika ........, kar pomeni ˇstiri. Drugi del besede ....... je ...., kar pomeni noga, pa tudi kraj, konec kake stvari. Knjiga je lahko kljub nekaterim spodrsljajem izvrsten pripomoˇcek uˇcitel­jem, profesorjem in ˇstudentom matematike, ˇse posebej tistim, ki piˇsejo in ob­javljajo v angleˇsˇcini, pa tudi vsem drugim, ki jih zanima izvor in zgodovina matematiˇcnih izrazov. Priporoˇcamo jo vsakomur, ki se ˇzeli nauˇciti pravilno uporabljati in razumeti tisto sodobno matematiˇcno terminologijo, ki je nas­tajala dolga stoletja in temelji na originalnih izrazih iz stare grˇsˇcine, latin­ˇsˇcine in arabˇsˇcine. Anthony Lo Bello je profesor matematike na Allegheny College v Pen­silvaniji in je avtor obseˇznega dela, ki natanˇcno obravnava ˇsirjenje in vpliv Evklidovih Elementov v srednjem veku. Marko Razpet VESTI MATEMATIˇCNE NOVICE ˇ Stevilo . in letoˇsnji 14. marec Peter Semrl nam je prinesel naslednjo zanimivost. ˇLetoˇsnji 14. marec je marsikdo v ZDA oznaˇcil kot 3/14/15. Na ta dan je bilo torej zjutraj, dobre pol minute po 9:26, »doseˇzeno« ˇstevilo . =3.1415926535 ··· Kvadkopterji kot primer uporabe kontrolne teorije in matematiˇcnih algoritmov Kvadkopterji – mali helikopterji s ˇstirimi elisami – so osupljiv primer upo­rabe novih tehnologij in matematiˇcnega aparata, ki izvira iz teorije kontrole. V okviru t. i. TED talks, ki privlaˇcno kaˇzejo napredek in nove ideje, najdemo dve dobri predstavitvi [1, 2] teh doseˇzkov. V drugi predstavitvi vidimo celo sodelovanje treh takih helikopterjev, ki nosijo mreˇzo in z njo meˇcejo in lo­vijo ˇzogo! Zelo verjetno bodo tako lovili tudi zraˇcna plovila, ki vohunijo po prepovedanih obmoˇcjih. Ob zadnjih poplavah v Ljubljani je recimo s takim trotom in nanj pri­trjeno akcijsko kamero (cena kamere 400 EUR) nastal posnetek [3], ki se lahko enakovredno meri s posnetki poklicnega snemalca iz policijskega heli­kopterja. (Pravzaprav nekaterih bolj tveganih stvari v tem videu z velikim helikopterjem niti ne bi bilo mogoˇce narediti.) Podobna kombinacija kvadkopterja za 500 EUR, akcijske kamere za pri­bliˇzno isto vsoto in nekaj sreˇce pa je omogoˇcila neverjetne posnetke vulkan­skega izbruha [4] na tihomorskem otoku. Mimogrede, na klasiˇcno posnetih videih [5, 6] zelo dobro vidimo udarni val podobnih vulkanskih eksplozij. Algoritmi in posojanje ˇ Clanek [7] opisuje sorazmerno nov pojav na .nanˇcnem trgu v ZDA. To so platforme za neposredno posojanje manjˇsih zneskov, od tisoˇc do 35 tisoˇc dolarjev. Stvar je nastala zaradi nedavne .nanˇcne krize, velike zadolˇzenosti gospo­dinjstev in poslediˇcne previdnosti bank. Te malo posojajo, obrestne mere za posojila pa se v ZDA veˇcinoma zaˇcnejo pri 10 odstotkih. Varˇcevalcem te banke ne izplaˇcujejo skoraj nikakrˇsnih obresti. (V najboljˇsih ˇcasih sta­bilnosti in gospodarske rasti naj bi ameriˇske banke po tem ˇclanku posojale po obrestni meri 6 odstotkov, varˇcevalcem pa izplaˇcevale 3 odstotke obre­sti. Slabih posojil je bilo v dobrih ˇcasih, tudi zaradi profesionalnosti in konservativnosti bankirjev, manj kot 3 odstotke.) Vsakdo z nekaj denarja (zadoˇsˇca ˇze 25 dolarjev) lahko ˇcez tovrstno inter­netno platformo kratkoroˇcno (doba vraˇcanja je najveˇc 5 let) posodi denar. Tisti, ki zaprosi za posojilo, mora kot navadno navesti svoj letni dohodek in namen porabe, naslov ipd. Na platformi se tudi vidi, ali je oseba ˇze kdaj tu zaprosila za posojilo. V ZDA in tudi drugod obstajajo ustanove, ki zbirajo podatke o posojilojemalcih in zanje izraˇcunajo kreditno oceno. ˇ Ce kdo kdaj ni vrnil posojila, ima seveda nizko oceno. (Nekatere od teh ustanov upo­rabljajo tudi vpraˇsljive kriterije: kdor ˇzivi v revni ˇcetrti, avtomatiˇcno dobi niˇzjo oceno.) Platforma na podlagi kreditne ocene in v skladu z dolˇzino dobe vraˇcanja izraˇcuna letno obrestno mero. Za krajˇse obdobje je obrestna mera niˇzja. Za triletna posojila ljudje z najboljˇso kreditno oceno letno pla­ˇcajo nekako od 6 do 12 odstotkov. Za tiste z najslabˇso oceno letne obrestne mere lahko znaˇsajo 26 odstotkov. K temu pride od pol do pet odstotkov enkratne provizije. (Ce se komu te ˇˇstevilke zdijo visoke, mora upoˇstevati, da ima le 15 od 50 drˇzav v ZDA omembe vredne zakone proti oderuˇstvu, ki efektivno letno obrestno mero omejujejo na manj kot 60 odstotkov [8].) Posojilne platforme zaˇcenjajo ogroˇzati posojilno in varˇcevalno vlogo bank. Veˇcina posojilodajalcev zelo razprˇsi svoje naloˇzbe in tako zmanjˇsa tveganje izgube denarja zaradi plaˇcilne nezmoˇznosti posojilojemalca. Pri tem lahko posojila .ltrirajo po prej navedenih podatkih. (Od 1 do 10 odstotkov po­sojil ni vrnjenih. Tvegana so recimo posojila v poslovne namene.) Kriteriji platform za doloˇcanje obrestnih mer so za zdaj ˇse precej grobi. Tisti, ki se poglobijo v statistike, lahko veˇckrat bolje ocenijo donose kot platforma ˇ sama in z ustreznim .ltriranjem maksimizirajo dobiˇcek. Zal so se tudi tu vmeˇsali »hedge« skladi. Ti imajo na voljo veliko kapitala, .ltriranje pa so izpopolnili in avtomatizirali. S svojimi algoritmi na platformah bliskovito poberejo potencialno najbolj donosna posojila in malim vlagateljem tako zmanjˇsajo donose. LITERATURA [1] R. D’Andrea, The astounding athletic power of quadcopters, http://www.ted.com/ talks/raffaello_d_andrea_the_astounding_athletic_power_of_quadcopters, ogled 6. 7. 2015. [2] V. Kumar, Robots that .y and cooperate http://www.ted.com/talks/vijay_kumar_ robots_that_fly_and_cooperate, ogled 6. 7. 2015. [3] M. Bonˇcina, Poplave na Viˇcu 2014, http://vimeo.com/109711342, ogled 6. 7. 2015. [4] S. O’Callaghan, Dji Phantom .ies into Volcano, https://www.youtube.com/watch? v=0-shWVW1UBc, ogled 6. 7. 2015. [5] J. Reynolds, Izbruh vulkana Sakurajima, https://www.youtube.com/watch?v= 3XTVZmAtu0s, ogled 6. 7. 2015. [6] Izbruh vulkana Tavurvur http://geotripper.blogspot.com/2014/09/in-case­you-havent-seen-it-shock-wave.html, ogled 6. 7. 2015. [7] What you need to know about Lending Club and Prosper http://www.consumer­reports.org/cro/news/2015/01/what-to-know-about-lending-club-and-pros­per-peer-to-peer/index.htm, ogled 6. 7. 2015. [8] Payday lenders: Small loans, hefty fees, big problem http://www.consumerreports. org/cro/aboutus/mission/viewpoint/small-loan-big-problems/overview/ small-loan-big-trouble-ov.htm, ogled 6. 7. 2015. Peter Legiˇsa STROKOVNA EKSKURZIJA DMFA 2015 V ZAGREB V soboto 3. oktobra 2015 smo obiskali Institut Rudjer Boˇskovi´c v Zagrebu. Ogledali smo si dva laboratorija. V Centru za pozitronsko tomogra.jo (PET, positron emission tomo­graphy) proizvajajo radiofarmacevtike 18F-FDG (Fluorodeoksiglukoza z ra­dioaktivnim izozopom .uor 18). Prof. dr. Alfred ˇ Svarc nam je pokazal in izˇcrpno razloˇzil ciklotron, ki proizvaja izotop 18F (Ruđer Medikol Ciklotron) in eksperimentalno delo na mikro-PET kameri. Po laboratoriju za interakcije ionskih snopov pa nas je vodil dr. Milko Jakˇsiˇc. Pokazal nam je eksperimentalne naprave za osnovne in uporabne raziskave, zlasti za nedestruktivne analitiˇcne metode. Za kulturni dodatek smo si popoldne ogledali v Muzeju Mimara bogato zbirko slik iz ˇsol znamenitih starih mojstrov, ki jih je zbral hrvaˇski zbiratelj Ante Topi´c Mimara. Ogledali smo si tudi Muzej sodobne umetnosti. SESTAVLJAMO SPISEK, KOGA NAJ OBVESTIMO ZA EKSKUR­ˇ ZIJE V LETU 2016. Ce se zanimate in bi radi dobivali obvestila, piˇsite na naslov: mitja.rosina@ijs.si. Mitja Rosina OSMA SLOVENSKA KONFERENCA IZ TEORIJE GRAFOV Med 21. in 27. junijem 2015 je v Kranjski Gori potekala »Osma slovenska konferenca iz teorije grafov«, 1 ki se je je udeleˇzilo 287 udeleˇzencev iz 40 drˇzav. S tem je ta konferenca postala najveˇcje in najpomembnejˇse svetovno sreˇcanje, posveˇceno teoriji grafov, hkrati pa je tudi potrdila osrednjo vlogo slovenske teorije grafov v svetu. Seveda ni preseneˇcenje, da je bila med vsemi drˇzavami najbolje zastopana Slovenija, vsaj po deset udeleˇzencev na konferenci pa so imele tudi ZDA, Kitajska, Nemˇcija, Madˇzarska, Kanada, Italija, Slovaˇska, Republika Juˇzna Afrika in Japonska. Na drugi strani so bile z enim predstavnikom zastopane Armenija, Hongkong, Indonezija, Ma­kedonija, Portugalska, Singapur in ˇ Svedska. Kot je razvidno iz naslova konference, gre za osmo konferenco iz serije konferenc, ki so v svetu znane tudi kot »blejske konference«. Zgodovina teh sreˇcanj sega v leto 1985, ko je bila organizirana prva konferenca in sicer v Dubrovniku. Naslednjih ˇsest konferenc je bilo na Bledu (v letih 1991, 1995, 1999, 2003, 2007 in 2011), od tod tudi njihovo pogovorno ime. Odloˇcitev, da sreˇcanje tokrat organiziramo v Kranjski Gori, je bila zato vse prej kot ˇ lahka. Stevilo udeleˇzencev in njihovi izjemno pozitivni odzivi na lokacijo ter na samo izvedbo dogodka pa so najboljˇsi dokaz, da je bila odloˇcitev ˇ pravilna. Ceprav se je drˇzava (preko ARRS) pred ˇcasom odloˇcila, da ne bo veˇc podpirala organizacije konferenc, smo dogodek izpeljali brez teˇzav, saj smo imeli podporo Inˇstituta za matematiko, .ziko in mehaniko, ki je bil institucionalni organizator konference, podpore pa smo bili deleˇzni tudi od vseh treh javnih slovenskih univerz. Zelo dobrodoˇsla je bila tudi tehniˇcna podpora podjetja Abelium d. o. o. Na konferenci je bilo 247 predavanj, med katerimi je bilo devet plenar­nih, ki so jih izvedli Michael Giudici (Avstralija), Michael Henning (Repu­blika Juˇzna Afrika), Brendan McKay (Avstralija), Alexander Mednykh (Ru­sija), Joy Morris (Kanada), G´abor Tardos (Madˇzarska), Carsten Thomas­sen (Danska), Thomas Tucker (ZDA) in Douglas West (Kitajska in ZDA). Druga predavanja so potekala v vzporednih sekcijah. Poleg sploˇsnih sekcij so bila predavanja organizirana tudi v okviru 13 minisimpozijev, kar je po eni strani olajˇsalo organizacijo predavanj, po drugi pa omogoˇcilo udeleˇzen­cem bolj poglobljeno delo. Minisimpoziji so pokrivali naslednja podroˇcja: uporaba teorije grup v teoriji grafov; asociativne sheme; kemijska teorija grafov; kombinatorika; konˇcne geometrije; dominacija v gra.h; vloˇzitve gra­fov in simetrije zemljevidov; produkti grafov; metriˇcna dimenzija in sorodni 18th Slovenian Conference on Graph Theory parametri; politopi in gra.; spektralna teorija grafov; struktura in lastnosti vozliˇsˇcno-tranzitivnih grafov; vozliˇsˇcna barvanja in prepovedani podgra.. V druˇzabnem delu konference smo vzporedno organizirali tri izlete, in sicer na Bled, v Trento in kolesarski izlet. Vsi izleti so bili lepo sprejeti, kolesarjenja pa so se ˇse posebej razveselili ˇsportni navduˇsenci. Organizatorji konference so opravili izjemno delo in se jim za njihovo poˇzrtvovalno delo iskreno zahvaljujem. Poleg zadev, ki so obiˇcajne za kon­ference in jih udeleˇzenci priˇcakujejo kot samoumevne, je bilo narejenih tudi veˇc stvari, ki so nivo organizacije dvignile za stopnico viˇsje od obiˇcajnih standardov. Prav poseben poudarek je bil namenjen oblikovanju gradiv za udeleˇzence, kot je to na primer urnik konference. Izpostavim naj tudi izdajo dnevnega ˇcasopisa z imenom »The teleGraph«, ki je izˇsel vsak dan konfe­rence (izˇslo je ˇsest posameznih ˇstevilk) in je udeleˇzence konference vsako jutro v tiskani obliki priˇcakal na hotelskih recepcijah. Poleg dnevnih novic in praktiˇcnih informacij za udeleˇzence je ˇcasnik vseboval tudi podlistek z ˇ dnevno matematiˇcno uganko. Casnik je naloˇzen tudi na spletni strani kon­ference (kg15.imfm.si), kjer bralce Obzornika vabimo, da si ogledajo tudi druge podrobnosti o dogodku, na primer zgoraj omenjeni urnik konference. Sandi Klavˇzar OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, JULIJ 2015 Letnik 62, številka 4 ISSN 0473-7466, UDK 51+ 52 + 53 VSEBINA ˇClanki Strani Gröbnerjeve baze in reševanje sistemov nelinearnih polinomskih enaˇcb (Brigita Ferˇcec, Matej Mencinger) . . . . . . . . . . . . . 121–137 O gibalni koliˇcini svetlobe v prozornem sredstvu (Janez Strnad) . . . . . . . 138–143 Matematik Jožef Jenko (Stanislav Južniˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144–152 Nove knjige Anthony Lo Bello, Origins of Mathematical Words (Marko Razpet) . . . . 153–156 Vesti Matematiˇcne novice (Peter Legiša) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–159 Strokovna ekskurzija DMFA 2015 v Zagreb (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . . . 159 Osma slovenska konferenca iz teorije grafov (Sandi Klavžar) . . . . . . . . . 160–XV CONTENTS Articles Pages Gröbner bases and solving nonlinar polynomial systems (Brigita Ferˇcec, Matej Mencinger) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–137 The momentum of light in a transparent medium (Janez Strnad) . . . . . . 138–143 Mathematician from Kranj Josef Jenko (Stanislav Južniˇc) . . . . . . . . . . . . . 144–152 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–156 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157–XV Na naslovnici: Crooksov svetlobni mlinˇ cek je vrsta radiometra. Sestavljen je iz nepredušne buˇ cke, v kateri je delni vakuum, in niza lopatic na gredi. Lopatice se vrtijo, ko je mlinˇc cek osvetljen. Fotogra.ja: Aleš Mohoriˇ