1
UVO DNI K
" S te vret enčar?"
" Da."
" Dill<:l te dvojno?"
.. Ne. samo zrak ..."
" S katerega plan eta . če smem vprašati? "
"Z Zemlje ."
.. Potem rti. prosim . k nas lednjemu okencu ."
Stopil sem tja . Pogledal sem noter in se prepričal. da
imam pred seboj istega uradnika. pravzaprav njegov nadaljnji
del. Brskal je po veliki knjigi .
"A! Le imam." je reke l. "Zemlja oo . hm . zelo dob ro. Ste kot
turist ali kot trgovec?"
" Kot turist."
" Pote m pa dovolite . oo ..
Z eno od tipalk je izpo lni l obr azec. z drugo pa mi je isto časno
dal drug obrazec v podpis . potem pa rekel :
" Vme d* se bo začel čez teden dni. Bi hoteli. pros im. s tem v
zvezi stopiti do sobe 116. tam je naša izdelova lnica rezer v. ki se
bo ukvarjala z vami . Potem prosim. če stopite v sobo 67. kjer
je farmacevtska kabina . Tam boste dobili pilule Evfrugium . ki
jih morate jemati vsake tri ure. da bi nevtralizira li za vaš organ
škod ljivo radioaktivno delovanje našega planeta oo. Ali se želite
svetit i med vaš im bivanje m na Ent eropiji?"
.. Ne. hvala ."
..Kakor želite . Prosim . tukaj so vaši dokumenti . Vi ste
sesalec . a li ne?"
" Da. "
" Potem pa prijetno sesanje! "
* vesolj sk i meteo rsk i dez
Iz romana Zvezdni utrinki Iljina Tihega Stanis lawa Lema.
KITE - SPLETI - VOZU
1. Kulturna zgodovina nam kaže. da se je č l ove k že od davn ine zanimal za
pletenje in vozlanje . Kite ob čudujerno v raznih pleteninah . vzbujajo nam
zaradi prakti čnosti in lepega občutek urejenosti in naravnosti: z vozli se
ukvarjajo prakti čno vsepovsod : od tehnike. medicine do umetnosti.
V geometriji poznamo razne like. telesa . računamo jim razne prirejene
koli čin e : plošči ne. površine . prostornine . Pa se seznanimo še z nekimi
drugimi "bitji" geometrijskega prostora: za ogrevanje si jih oglejmo na slikah:
P n~ kt l"' . il i le t ~ 1 v il/ p i
/ tVO /1; 11 7
Spl f' 1 r i vr h lIV{! 1 1 -r-n .h
~ I ()/ 11!(
8 1) llln Jt:J s~ i ~ Jl le [ !l olj ll hn i
k: Ili l'll 1 lell;l ,;;pl l~T.i rus t I
lIV \ll/ t~ lll . l lUJH ,1 le
Matematiki so v prejšnjem stoletju pri čeli več razmišljati o načinih
obravnave in računanju s kitami in vozli. S temi vrsticami usmerimo v to
podro čj e nekaj prvih korakov .
2. Na vsaki od dveh vzporednih vodoravnih daljic ( "de š~ic") na
skupni navpični ravnini izberimo na enakih medsebojnih razdaljah štiri točke
( "žeblj ičke"). na zgornji 1, 2. 3. 4 in na spodnji daljici točke 1'. 2'. 3' . 4' .
Pa jih povežirno s štirimi nit mi: to je mogoče narediti na razli čne načine.
vedno pa pazimo na to . da se niti vedno spuščajo. kar pomeni. da vsaka
nit kvečjemu enkrat se če vsako ravnino R. ki je vzporedna deščicama in je
pravokotna na navpično ravnino. Tako nastane v geometrijskem prostoru
kita s šti rimi nitmi . Na podoben na čin oblikujemo kito s poljubnim številom
1?/> 5 -
-1.--1--
, 'I I 11 ' II I TI ) • I l ' • l' 1 1 p "'1' ,' ,1
3
niti (pri nas bo to število 1. 2. 3, 4).
Enakost kit. Kito smemo po prostoru premikati z vzporednimi togimi
premiki, njene niti smemo tudi premikati npr. levo-desno . pri čemer si
mislimo, da so te niti raztegljive ali pa skr čljive. pazimo pa na to, da ne
prekršimo zgornjega pogoja o ravnini R . Niti se naj med seboj ne seče] o ali
dotikajo.
Zmno žek dveh kit ki in k2 (z enakima številoma niti) uvedemo preprosto
takole : prvi kiti ki prilepimo drugo kito (in srednjo deš čico odstranimo):
'M. ID = -0 -
ke = ek = k
Enotska kita (na kratko enota
el: kito, ki ji lahko vse niti "porav-
namo" . imenujemo enota .
Vidimo. da je poimenovanje eno-]
ta upravičeno. saj za poljubno kito
k velja:
1
Zrcalna ali obratna kita dane kite . Prezrcalimo dano kito k na ravnini R
[primerja] na sliki). ki gre skozi spodnjo de š čico pravokotno na navpično
ravnino, pa nastane zrcalna (ali obratna) kita k' (kite k). l.e potem
odmislimo srednjo de š čico 1'2'3'4. ohranimo pa zgornjo in spodnjo . lahko
niti poravnarno. tako da nastane enota e:
Velja :
(k')' =k
e' =e
kk' =k'k = e
kil, k'
4
Razvidno je. da za poljubne tri kite kl ,k2 ,k3 velja pri množenju
združljivost (asociativnost)
2al pa v splošnem množenje kit ni zam enljive [kornutatlvno]. kot kaže
zglcd s kitama ain b (ali bin cl :
l-\ T]·-1_-_Li - - -~
/ ,
=1=
'. ,
Kite a,h ,c in njihove zrca lne kitc imenujemo osnovne kite (s štirimi
nitm i) .
Pri kitah a in b opazimo. da sta njuna "nadvoza" za en "korak"
vsaks cbi. Pravimo . da sta a in b sosednj i kiti: po prejšnjem sodilu prav
lahko ugotovimo . da sta si kiti v tchle parih t udi sos ednji :
a' in b
a in b'
a' in b'
Druga če sta osnovni kiti ncsosednji, npr. a in c.
bin c
b' in c
b in c'
b' in c'
5
Prav lahko s sliko ugotoviš : Zmnožek nesosednjih osnovnih kit je
zamenljiv. Torej: ac = ca, a'c = ca', ac' = c'a, a'c' = c'a'.
Za vajo potrdi. da veljata enakosti
aba = bab in bcb = cbc
medte m ko ne velja
aca = cac
Pomen osnovnih kit je razviden iz te trditve:
S pripravnimi dovoljenimi premiki niti je mogoče doseči. da je dana kita
zmnožek osnovnih kit.
Zgled. S kito z dvema nitima ni posebno mnogo dela, precej več ga je
s kito s štirimi nitmi:
, "
I I' l' ~1 l i ' I 1 , I · 1,
Upoštevajoč zgornje lastnosti (osnovnih) kit se da za dano kito tudi
računsko ugotoviti. ali je (ni) enota.
Zgled. Kita k = bac'a'cb'aca'c' je enota, saj je mogoče zapisati
k = b(ac')a'cb'(ac)a'c' = b(c'aa')cb'(ca)a'c' = bc'cb'cc' = bb' = e .
Nariši za kito k ustrezno sliko.
J . Zlepimo pri dani kiti k obe deščici. tako da se poistovetijo točke 1 in
1',2 in 2' ,3 in 3' ,4 in 4'. Iz kite k nastane splet. Ima lahko več enostavno
sklenjenih krivulj (na kratko rečemo tudi krožnic) . Če nastane samo ena
sklenjena krivulja, govorimo ovozlu.
Zgledi. Iz osnovne kite a nastane splet treh krožnic. Iz kite aa = a2
oblikujemo splet štirih krožnic, prvi dve sta med seboj uveriženi. Kita a3
daje vozel s tremi nadvozi. Znak tega vozla je 31, imenujemo ga tudi trilist .
6
2
. 1 ,
Izberimo na trilistu smer ob-
hoda in to označimo s puščicami:
pravimo. da smo vozelorientirali .
Če pa zamenjamo na vozlu vlogi
nadvoz-podvoz. dobimo zrcalni vozeli
' l ii I T 1CQ)
~~cg~
II' 1 1 1 111 1
Seveda lahko to naredimo z vsakim vozlom v.
Obstajajo vozli. ki so sami sebi zrcalni. Tak je npr.
nadvozi. ki ga imenujemo na kratko osmica:
vozel 41 s štirimi
7
! I II t 111\'\...I ' ll l lllll\
~.....~~ 1!l !t lI! 1
.' , "j
4. V praksi oblikujemo (sklen-
jen) vozel tako, da "zavozlarno" vrv
in konca vrvi združirno:
(~~'I,,
Vrv in njene dele smemo potem še premikati. le pretrgati (ali celo
presekati. kot je naredil neki vojskovodja z gordijskim vozlom) je ne smemo,
pa dobimo k danemu vozlu ekvivalentni vozel. Trije osnovni dovoljeni premiki
delovso vidni na tej sliki:
••••
. . . ,
\,..l V
!~\"f\
• •
.Q ..{\
.. '.' .•• •
V geometriji pravimo, da nastane vozel z vlotitvijo krožnice v (tri-
razsežnl] prostor. Tudi tu dobimo iz vozla ekvivalentnega, če (končno krat)
uporabimo osnovne premike (te je v geometrijo uvedel nemški matematik K.
Reidemeister in se po njem poimenujejo Reidemeisterovi premiki vozla).
Vozel je razvozlan, če s temi osnovnimi premiki nastane iz danega vozla
v "navadna krožnica" (tako kot pri kiti a) v prostoru. Zanjo uporabljamo v
nadaljevanju znak O.
Vozle razvrstimo nekako po številu nadvozov:
o
8
Vidimo. da so prvi trije vozli v zgornji preglednici nezavozlani. vsi so
ekvivalent ni O . Za nasled nje tri nam geometrijska nazornost pravi. da so
zavozlani (da jih ni mogoče razvozlati) .
Omenili smo dva načina oblikovanja vozlov. Pa se vpra šajrno : Ali
dobimo po obeh opisanih načinih iste vozle? Ali je mogoče ugotoviti
(ne)zavozlanost tudi z računsko metodo?
Oba problema sodita v topologijo, lepo panogo sodobne matematike,
Prvi problem je leta 1925 pritrd ilno rešil ameriški topolog J .W.Alexander:
vse vozle je mogoče narediti z lepljenjem kit.
Glede drugega problema povejmo. da so topologi dognali to : vsakemu
usmerjenemu vozlu v (spletu) je mogoče prirediti izraz i( v) dveh spremenljivk
x in y. tako da sta izpolnjeni dve lastnosti :
(1) Za nezavozlan vozel O je itO) = 1
(2) Le se trije usmerjen i vozli (spleti) v+,v- in vO ujemajo povsod razen
v okolici ene točke. kot kaže slika
'o
o~" c ." .
" ",
velja enakost xi(v+) + t i (v- ) + yi(vO) = O.
Pri uporabi je treba vedeti. da iz enakosti i(v1) i(V2) ne smemo
sklepati na ekvivalentnost vozlov V1 in V2 (ali spletov) . pač pa zagotovo
vozla V1 in V2 nista med seboj ekvivalentna. če izraza i(V1) in i(v2) nista
med seboj enaka . (Pravimo . da je enakost izrazov i(V1) in i(V2) potrebni
pogoj ekvivalentnosti vozlov. ni pa zadostni .)
Preden preidemo k zgledom. pokažirno. kako iz dveh vozlov V1 in V2
oblikujemo njuno povezano vsoto V1]V2: Oba vozla (v prostoru si ju mislimo
vsaksebi) povežemo s trakom (možna sta dva načina). oblikovani usmerjeni
vozel (torej povezana vsota) je označen s krepko črto :
c~O
9
Pokazati je mogoče. da je tako povezana vsota vozel. ki je določen do
ekvivalence. in da velja enakost
(3) i(Vl]V2) = i(Vl)i(V2)
5. Zgledi.
a] Vemo že. da je vozel. ki nastane iz osnovne kite a ali a' (z dvema
nitima). nezavozlan: splet. ki nastane iz enote e. pa ima dve neuveriženi
krožnici. Vidno je. da lahko uporabimo (1) in (2):
in dobimo od tod izraz i( vO) dveh nespletenih krožnic
. ° 1 1I(V ) = --(x +-)
y x
b] Na podoben način dobimo po (2) in a] za tele splete
co
nespletenl krotnlcl spletenI krotnlcl nespletena kroznlca
enakost x(-t(x + ~)) + ~i(v-) + yi = O in po lahkem računu sledi
izraz spleta dveh uveriženlh krožnic
Od tod sklepamo . da si spleta vO v a) in v- v b) nista ekvivalentna.
Za vajo pokaži, da splet v v
zgledu b) ni ekvivalenten spletu na
tejle sliki:
10
c) Do l očimo izraz i (31) ' Pozorno poglejmo sliko
pa lahko po (1) . (2) pišemo: xi + ~ i( 3 1 ) + yi (vO) = O. Zaradi b)
dobimo potem izraz za levi trilist
Izkaže se: če zamenjamo x z ~ . dobimo izraz i za desni t rilist
Ker noben teh izrazov ni 1. sklepamo. da sta trilista zavozlana: še več .
t rili sta si nista ekvivalent na vozla (to velja zaradi neenakosti njunih izrazov),
č ) Tudi osmica 41 je zavozlan vozel. kot je vidno na podlagi slike in
računov :
' II , 1 ,. ,
'"
-, " . 11 ~ ti lI I
'() (1)2 2 2J 41 = - - - x - 1 + Yx
Zanimivo je. da je ta izraz n eobčut ljiv na zamenjavo x z +. presene tljivo
pa to ni. saj smo že pokazali (s poskusom) . da je osmica sebi zrcalen vozel.
d) Na kraju poka žirno. da Whiteheadov splet (glej sliko) ni ekvivalenten
niti spletu dveh neuveriženih niti spletu dveh uveriženih krožnic. To ugo-
tovimo na podlagi slik in ra čun ov [ pu š čice kažejo tudi. na katerih toč kah se
spleti razlikujejo):
v+ (W hite headov sp let W) v- (u verlZenl krožn lc l)
~ o (ir II, .11
Upošt evajoč zgleda b] in c) i zrač u n a mo
. ( ) 1 1 1 3 3
I W = - -{x+-)+y{- +2x + x ) - xy
Y x x
kar ni niti izraz v b) niti v c).
Ob koncu tega kratk ega potepanja povejmo . da mnogo pomembnih
ma tem a tičn i h problemov privede do študija kit in vozlov.
Ivan Pucelj
~KOMPAS mOmOOmD (logo)
Od namiznih računalniških sistemov do avtomatizira ne
tovarne prihodnosti.
12
REZANJE VEtKOTNIKA NA TRIKOTNIKE
Vzemimo v ravnini poljuben izbočen ali konveksen večkotnik. Z rezanjem
ga lahko razdelimo na same trikotnike na neskončno mnogo na činov . Tukaj
se bomo omejili na naslednji na čin rezanja: Večkotnik režerno z njegovimi
diagonalami. ki se ne sekajo v notranjosti. Nekoč so nam v osnovni
šoli pripovedovali, da je diagonalo odkril sam Pitagora . ki je imel prekratko
posteljo. po diagonali iz kota v kot pa mu je bila ravno pravšnja .
Naj ima naš večkotnik n ogli š č . kjer je n 2: 3. Z našim na činom
rezanja povežemo nekatera ogli š ča z diagonalami. Stranicam in diagonalam
skupaj bomo rekli povezave, ker povezujejo oglišča večkotnika . Ne pozabimo.
režerno na same trikotnike. Rešili bomo naslednje naloge:
1. lzra čunaj število En povezav. ki jih dobimo na ta n ačin !
2. lzra čunaj število Tn trikotnikov . na katere smo razrezali n-kotnik!
3. Poi š či število Dn vseh različnih rezanj danega n-kotnika na sam e trikot-
nike na prej opisani način!
Odgovor na prvo vprašanje je preprost. Pri trikotniku imamo 3 povezave.
torej E3 = 3. pri štirikotniku nastane pri dogovorjenem n a činu rezanja 5
povezav. to se pravi E4 = 5. Ni težko videti. da dobimo pri n + l -kotniku
le dve povezavi več kot pri n-kotniku . to pomeni. da velja preprosta zveza
En+1 = En + 2. Iz te pa hitro najdemo formulo
En = 2n - 3, n 2: 3
Podobno izračunamo število Tn . Najprej je očitno T3 = 1 in T4 = 2.
Pri dogovorjenem n a činu rezanja dobimo pri n + l-kotniku le en trikotnik več
kot pri rezanju n-kotnika, to pomeni. da velja zveza Tn+1 = Tn + 1. iz katere
takoj sledi
Tn = n - 2, n 2: 3
Zaradi popolnosti označimo z On št evilo ogli š č. ki nastopajo v naših
nalogah . Seveda je On = n. Pri tem velja enakost
On - En + Tn = 1 , n 2: 3
v kateri bodo starejši bralci spoznali Eulerjev izrek.
Precej teže pa je rešiti tretjo nalogo. Za n-kotnike z majhnim št evilom
ogli š č n pridemo do števil Dn z risanjem vseh možnost i. Za n = 3 imamo
13
Slika 1. Rezanje petkotnika na trikotnike
trikotnik in tu ni kaj rezati . To pomeni 0 3 =1. Za Il =4 dobimo štirikotnik
in 0 4 = 2. Za petkotnik dobimo Ze 5 možnosti (slika 1): 05 = 5.
Števila On za Il 2 5 bomo izračunali rekurzivno. to je z Ze znanimi števili
Mislimo si. da imamo Il-kotnik in v njem izbrano neko stranice. ki ji pravimo
baza (slika 2). Iz kraji š č te baze povlecimo diagona li v neko drugo oglišče
našega Il-kotnika. Naj ima večkotnik desno od trikotnika z bazo i. oni na levi
strani pa j st ranic. kjer je i 2 3 in j 2 3. Števili i in j nista neodvisni.
Sli ka 2. Tri kotnik z bazo
14
Očitno mora veljati enakost i+j-2+1 = 11 . torej i+j = 11+1. Oglišče
t rikotnika z bazo naj se sedaj spreminja po vseh t istih ogliščih II-kotnika. ki
niso kraj i š č e baze. Za i ;::: 3 in j ;::: 3 lahko dobljene i- in j -kotnike desno in
levo od tr ikotnika z bazo še naprej režerno na trikotnike na DI oziroma DJ
n ači nov . pri tem je i ;::: 3, j ;::: 3 in i + j = 11 + 1. Pri izbranem trikotniku z
bazo lahko to naredimo na DIDJ načinov. Če pa se zgodi. da je j = 11 - 1.
ko se des no od tr ikot nika z bazo večkotnik izrodi v daljico (slika 2 desno) .
lahko dalje delimo na tr ikot nike le 11 - 1-kotn ik levo od trikotnika z bazo . in
to na Dn- 1 na činov . Podobno je s to rečjo v primeru i = 11 - 1. Za 11 ;::: 5
velja to rej enakos t
ki jo lahko kraj še za pišemo tudi takole :
n -2
o; = 2Dn- 1 + L DIDn+1 - 1 , 11 ;::: 5
1=3
Z zadnjo formu lo lahko i zračunamo še nadaljnje čl en e zaporedja Dn :
D6 = 14, D7 = 42 , D8 = 132, Dg = 429, D10 = 1430 , .. .
Seveda nas za nima končn a formula za št evila Dn . Te tu ne bomo
dokazovali. glasi pa se takole:
o; _ _1 .(211 - 4)
- 11 -1 11 -2
pri tem smo upor abili binomski koeficient
(nJ) = m ·(m -1)· · ·(m -k+1)k 1 ·2 · · · k
o katerem smo v P RESEKU že dosti pisali.
Na log a : Pokati , da iz zgornje formul e sledi
411 - 6
Dn+1 = - - · Dn
11
15
Števila On se ne pojavljajo samo pri našem problemu. ampak tudi
drugod . Oglejmo si problem postavljanja oklepajev. Denimo.da imamo
znake a, b, c, d v tem vrstnem redu. Zanima nas. na koliko načinov lahko
mednje postavimo tri predklepaje "C' in tri zaklepaje "r tako. da nikjer
ne nastopata predklepaj "(" in zaklepaj "r eden za drugim. ne da bi kaj
oklepala. to se pravi. izločevall bomo možnost "(l". Poudarimo . da je vrst ni
red znakova, b, c, d stalen . Te možnosti so:
((ab)(cd), (((ab)c)d), ((a(bc))d), (a((bc)d)), (a(b(cd)))
Možnosti je torej 5. to je 05. Ali je kakšna zveza med številom rezanja
ve č kot nika na trikotnike in postavljanjem oklepajev na opisani način v
splošnem primeru? Je . Med n znake lahko tako postavimo n-l predklepajev
"l" in n-1 zaklepajev "l" tako . da se "I" in "r nikdar ne srečata skupaj. na
0n+l načinov. To vidimo tako . Stranice n + l -kotnika označimo z n znaki.
ena pa ostane zaenkrat neoznačena. Na opisani način razrežerno n+ l-kotnik
na trikotnike na vseh 0n+l možnih načinov. Če lahko v danem primeru
stranici a, b (a, b sta katerikoli stranici) zaključimo v trikotnik . označimo
tretjo stranico z (ab). Prej ali slej pridemo po večkotniku naokrog in nazad-
nje lahko označi mo tudi prvotno neozna čeno st ranico večkotnika (slika 1) .
{la b lc l d ((a(b c ))d)
a b c d a
(a((b c l d ll
b eda
(a{b (cd ) ))
b c d
a b c a b c d
Slika 3 . D vojiSka drevesa s petimi Izhodi
16
Znan je še en primer . v katerem imamo opraviti s števili Dn . To
je primer dvojiških ali binarnih dreves . Dvojiško drevo (primerjaj ga z
redovnikom. tudi v PRESEKU je bilo o drevesih že marsikaj napisanega)
ima eno točko posebej odlikovano . pravimo ji koren. Iz njega izstopata dve
veji. v vsako drugo točko pa vstopa ena veja. izstopata pa dve ali nobena.
Tistim točkam , v katere vstopa ena veja , izstopa pa nobena, pravimo izhodi
drevesa. Dvojiška drevesa z izhodi a,b ,c,d v predpisanem vrstnem redu
so na sliki 3. Očitno vsakemu dvojiškemu drevesu pripada neka postavitev
oklepajev med znake a,b,c,d. Vsakokrat označimo točko. iz katere izhajata
veji do ain b, z (ab). če vodita veji do b in (cd). označimo izhodno točko z
(b(cd)) in tako naprej. Dvojiških dreves z n izhodi. ki so označeni v danem
vrstnem redu. je natančno Dn+1 .
Večkotnik smo v našem primeru rezali na trikotnike . Podobno bi lahko
rezali tudi na štirikotnike. petkotnike . .. Lahko pa bi dovolili tudi druge
možnosti : večkotnik bi rezali deloma na trikotnike. deloma na štirikotnike
itd. V tem primeru bi dobili števila. ki so v tesni zvezi z onimi. ki smo jih
srečali pri šahovskem kralju.
Uporabljena literatura: H. G. Forder: Some Problems in Combina-
torics, The Math . Gazette 45 (1961). str. 199-201 G. P6lya, R. E. Tar-
jan. D. R. Woods : Notes on Introductory Combinetorics, Birkhauser ,
Boston -BaselStuttgart 1983
P. S.: V tretji številki Preseka 16 se je v program KINGPATH prikradla
napaka . Vrstica 320 se pravilno glasi: B[Y] :=0 ;
Marko Razpet
GLEJ GA!
Daleč, daleč spodaj na tleh vidiš
vozel - tak kot je prikazan na sliki.
Predaleč je torej. da bi zmogel ja-
sno razbrati. kako se križa njegova
vrv.
Povej . kolikšna je verjetnost.
da je vozel na tleh zavozlan (ozi-
roma kolikšna je verjetnost. da je
vozel detelja in ne triviaini vozel)!
Vilko Domajnko
17
MAT V ŠTIRIH POTEZAH
Ljubiteljem literature irskega pisa-
telja Lorda Dunsanyja ni pot rebno
posebej poudarjati. da je bil velik
ljubitelj šaha. Manj pa je znano ,
da se je ukvarjal tudi s šahovskimi
problemi. v katerih se. prav tako kot
v njegovih leposlovnih delih, preple-
tata humor in fantazija. Problem,
predstavljen na šahovski deski. je
Dunsany objavil v knjigi
The Week-End Problem Book.
Pot do rešitve problema zahteva več
logi čnega mišljenja kot šahovskih
veščin, seveda brez poznavanja os-
novnih pravil kraljevske igre ne gre.
lahko pojavi med igranjem partije.
Pozicija je dokaj nenavadna , vendar se
Janez Ale!
PRESEK
list za mlade matematike, fizike. astronome in računalnikarje
lB .letnik, šolsko leto 1990/91, številka 1, strani 1-64
UREDNIŠKI ODBOR: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Dušica
Boben (p isma bralcev, stavljenje teksta), Vilko Domajnko, Darjo Felda (tekmovanja),
Bojan Go lli, M arj an Hribar, Sa ndi Klavžar ( račun aln iš tvo), Damjan Kob al , Jože
Kotnik, Edvard K r amar (Presekova knj ižn ica) , Bo ris Lavrič (matematika, odgovorni
uredn ik), Andrej Likar (fizika) , Matija Lokar , Bojan Mohar (glavni ured n ik) , Franci
Oblak, Peter Petek, Pavla R anzinger (astronomija), Marjan Smerke (svetovalec za
fotografijo), Miha Štalec (risbe.), Ciril Velkovrh (urednik, nove knjige, novice), Marija
Vencelj .
Dopise poši ljajte in list naročajte na naslov: Društvo matematikov, fizikov in as-
tronomov Slovenije - Podružnica Ljubljana - Komisija za tisk, Presek, Jadranska c.
19,61111 Ljubljana, p.p. 64, tel (061) 265-001/53, št . žiro računa 5010 1-678-47233 .
Naročnina za šo lsko leto 1990 / 91 vplačana do izida druge številke, je za posamezne
naročnike 100 .-din, za skupinska naročila šo l 80 .- din, posamezna številka 20 .- di n
(16 .- din).
List sofin ancir aj o R KRDT,RKVIT K in R KK
Ofset tisk Časopisno in grafično podjetje DELO, Ljubljana
(0 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije - 1023
'-'-"/",-,L ""
"PARADOKSA" STEKOtlNAMI
Nekateri slovarji pojasnijo paradoks kot trditev . ki se zdi na prvi pogled
napačn a , a se izkaže pri podrobnejšem pogledu za pravilno. Tudi v fiziki
naletimo večkrat na besedo v tem pomenu. Včasih z narekovaji poudarimo.
da ne gre za pravi paradoks. pri katerem je s trditvijo ali s sklepanjem nekaj
zares narobe. V fiziki so navidezni paradoksi pogosto povezani z njenim
razvojem . Kak pojav primerjamo z drugim. ki ga že obvlada mo. toda pozneje
se pokaže, da primerjava ni umestna. Novi pojav je treba pojasniti drugače
in je pri njem zato izid drugačen , kot bi ga pričakovali. če bi bil novi pojav
zares podoben prejšnjemu.
Obdelajmo dva pojava. ki ju včasih zaznamujemo kot "paradoksa" :
Opišimo ju, osvetlimo njuno zgodovinsko ozadje in pojasnimo. Oba sodita v
poglavje o tekočinah. prvi v del. ki obravnava mirujoče tekočine. hidrostatiko.
drugi v del o tekočinskem toku. hidrodinamiko. Oba dela menda ne sodita
med kratkočasne in nekatere učne knjige drugega ali kar oba obidejo .
Vzemimo posode različnih oblik z enako velikim dnom in nalijmo v vse
vodo do enake višine (slika 1) . Sila vode na dno je v vseh primerih enaka
in ni odvisna od oblike posode. Nekdaj se je zdelo to tako nenavadno , da
so govorili o "persdoksu " mirujoče tekočine (hidrostatičnem paradoksu) . Ali
mislite. da spoznanje zasluži to ime?
Ni težko razumeti. zakaj se je zdelo spoznanje nekdaj bolj nenavadno
kot dandanes . Pojav sodi v statiko. ki obravnava mirovanje teles . Nekaj
njenih spoznanj izvira od Arhimeda iz 3. stoletja pred našim štetjem.
Šele v šestnajstem stoletju so to znanje rešili pozabe in obnovili. Eden
Slika 1. Pascalove posode Iz njegove Razpra ve o ra vnovesju kapljevin.
Sila na dno je v vseh enaka. ker Imajo posode enako veliko dno in sega vodna
gladina v njih do enake vrstne .
19
izmed zaslužnih mož je bil Simon Stevin. ki je živel na Nizozemskem in leta
1586 izdal knjigo o umetnosti tehtanja. Tedaj so pogosto primerjali kapljevino
s trdnim telesom. Stevin si je zamislil. da so deli kapljevine v posodi trdni.
in dognal. da morajo biti gladine v povezanih posodah enako visoke. Toda
zavedal se je že bistvene razlike med trdnim telesom in kapljevino (slika 2).
V tem so mu sledili še nekateri drugi fiziki. med njimi Evangelista
Torricelli. ki ima zasluge za prvo meritev zračnega tlaka. Da je bilo nekaterim
tedanjim fizikom težko uvideti razloček med trdnim telesom in kapljevino.
priča zabaven Torricellijev zapis iz leta 1644: "Nekoč je živel filozof. ki je
enega izmed svojih služabnikov videl. kako je vstavil cevko v steklenico z
vinom. Okaral ga je češ. da vino nikoli ne bo steklo po cevki. ker težka
telesa silijo navpično navzdol. a ne vodoravno v stran. Toda služabnik ga
je z dejanjem prepričal. da sicer sili po naravi tudi kapljevina navzdol. a
poleg tega sili na vse strani. celo navzgor. ker išče kraj. na katerega se bo
premestila. tako da bo na njem odpor manjši kot sila kapljevine."
Deset let prej so fiziki. med njimi tudi Galileo Galilei. mislili še. da ima
voda samo "absolutno težo". Del vode naj bi imel težo samo. če ga ne bi
obdajali drugi deli vode. "Voda v vodi nima teže. ker se ne spušča." Niso
uvideli. da za vsak del vode težo uravnovesi vzgon. to je sila okolnih delov
vode.
Podrobno je pojave obdelal Blaise Pascal v Razpravi o ravnovesju kap-
(o)
Slika 2. Razlika med trdnim telesom ln kapljevino z enako oostoto v
posodi. Sila opeke na oo dtaco zaradi teZe Je enaka sili enako teZke kapljevine
na dno posode z enako obliko (a). Sila dveh opek na podlaco zaradi teZe
pa ni enaka sili enako teZke kapljevine na dno posode z enako obliko. Treba
Je unostevau !:e navpično 5110 kapljevine na stranske vodoravne dele posode
(crtkano) (b):
20
ljevin in teti mase zraka. ki je izšla leta 1663. leto po njegovi smrti. Jasneje
kot drugi pred njim. na primer Simon Stevin. je opred elil tlak v mirujoči
kapljevini. "T lak. ki ga izvajamo kjerkoli na kapljevino v zaprti posodi. se
prena ša nezmanjšan po vsej kapljevini in deluje pravokotno na vse stene." To
trditev so imenovali Pascalov izrek. Pascalu se je na osnovi izreka porodila
zamisel za napravo . ki so jo več kot sto let pozneje patenti rali kot kapljevinsko
stiskalnico (slika 3). "Posoda. polna vode. a sicer povsem zaprta. ima dve
odprtini. od katerih je ena stokrat večja kot druga . Postavimo v odprtini
bata. ki ju tesno zapirata . Mož. ki potiska mali bat. deluje s silo . enako sili.
s katero potiska sto mož veliki bat. ki je stokrat večji .. . Za večjo jasnost
lahko dodamo. da je tlak vode enak pod obema batorna : kajti. če je eden
stokrat večji kot drugi. se tudi dotika stokrat več delov vode ."
Pascal je pri poskusih raziskal odvisnost tlaka v rnirujo či tekočini od
višine , o kateri smo doslej molčali . Z dobrih deset metrov visokim stolpcem
vode je uravnovesil zračni tlak. Svaka je pripravil do tega, da je izmeril zračni
tlak ob vznožju in na vrhu gore . Merjenje je potrdilo misel, da tudi zračni
tlak z višino pojema. Odvisnost tlaka od višine in njegovo neodvisnost od
oblike posode je pokazal s sodom. V sod je vstavil dolgo navpično cevko z
razmeroma majhnim premerom. Ko je dolil dovolj vode v cevko . je sod počil
(slika 4) .
Ker je Pascal med prvimi spoznal vlogo tlaka v rnirujo či tekoči ni in
razčistil nekatera vprašanja v zvezi z zračnim tlakorn. ni n eupravičeno . da
1
il
H
l!
i '
j -c,;..... . ; ... - - ,- '
I .. I
.' '," - ~
' .
mol i ba l
m a lo s i l o
Slika 3 . Poenostav ljena shema ka-
pljevinske st iskalnice.
ve I i k; ba t
vel iko si lo
~- - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - .-- - - - - --- - - - - - -- - - - - - - - - - - - -- - _._- - - - - - -
- - - - - - - -- _.- - -- - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - -- - - -_.- - -- - --_ .•- - - - -
Slika 4 . Sod z navpl čno cevjo. v
katero je B.Pascal dolil malo vode.
ln doseoel, da je sod poč ll .
21
so enoto za tlak poimenovali po njem:
1 newton na kvadratni meter = 1 pasc al ali 1 N/m 2 = 1 Pa .
Naredimo kratek ra čun. Vzemimo . da je v posodi z ravnim dnom voda.
Ker je tlak na dno neodvisen od oblike posod e. si lahko mislimo. da ima
posoda obliko prizme. Težo vode dobimo . če njeno maso m pomnožimo
s težnirn posp eškom g . Za to težo je sila na dno F večja od sile Fo na
gladino vode: F = Fo + mg . Tlak dobimo. ko silo delimo s presekom S
osnovne ploskve: P = Po - pgz. Pri tem je Po = Fo ]S tlak na gladini in
prosto rnina prizme V = Sz . Gostoto vode vpeljemo kot kvocient mase in
prosto rnine p = mlV. Višino prizme smo zaznamovali z z in opremili drugi
č le n z rninu sorn . če merimo z od dna navzgor (slika 5). Tako upoštevamo.
da z narašč ajočo višino tlak pojema . En a čbi lahko damo obliko. ki poveže
tlak P2 v višini Z2 s tlakom Pl v višini Zl :
ali P2 + pgz2 = Pl + pgzl
E načb a velja. če se med višinima Z2 in Zl ne spremeni gostota . Pri kapljevi-
nah. ki jih smemo imeti za nesti sljive. je vedno tako. pri plini h pa samo . če
višinska razlika ni prevelika. Spo mnimo se. da zajamemo s teko činemi pline
in kapljevine.
Preidimo k drugemu poskusu. Iz risa lnega lista izrežimo krožni izsek.
z
si l a na F.
gladi no O~7 z
- -- z, ,P,
P2 > P,
z2 < z ,
Sli ka 5 . Si la tla ka na dn o F =
pS j e veCja ko t sil a tla ka na olad ino
FO = POS za tezo kap ljev ine m(J =
pV(J = pSz(J. Tla k z naraš čajo čo
oloblno naraš ča ln z nara š čajo čo vl šl-l
no pojema. zato velja o = po - p(Jz.
Ce usmerimo os z navpl čno navzcor .
LL- pr esek 5
--I~::f: :-
-----1-- - - - - z2 ,P2
si l a na I
dno F . 7
o
22
ga zvijmo v plašč stožca in zalepirno. tako da se prilega lijaku. V navpično
postavljeni Iija k dajmo papirnati stožec. Zaradi teže stožec pade. Pridržimo
stožec v lijaku. pihajmo v lijak in spustimo stožec. Dokler piharno. stožec
ostane v lijaku in pade na tla . šele ko nam zmanjka sape. Podoben poskus
se posreči tudi z vretenom za sukanec in s kosom papirja (slika 6) . Izid
marsikoga preseneti. saj bi pričakoval. da stožec zaradi upora v zračnem
curku še hitreje pade na tla . Pojav včasih imenujejo "paradoks" gibajoče
se teko čine (hidrodinamični paradoks). Povedati pa je treba. da nadenejo to
ime zadnje čase tudi nekaterim drugim izidom.
Da bomo pojav razumeli. nadaljuj mo prejšnjo razpravo. Torricelli je
leta 1643. malo pred Galilejevo smrtjo . postal njegov sodelavec . Že prej
je napisal rokopisni Dve knjigi o gibanju prosto padajo6h in vrženih težkih
teles. V njiju je mimogrede obravnaval tudi iztekanje vode iz posode skozi
dovolj veliko odprtino. lztekajoči curek je usmeril tudi navpično navzgor in
ugotovil. da curek ni dosegel gladine. Vendar pri dobro oblikovani odprtini
razlika ni bila velika. Po tem je sklepal. da bi curek dosegel gladino. če ne bi
bilo upora. "Voda. ki izteka iz posode. ima v točki iztekanja enako hitrost.
kot bi jo imelo poljubno težko telo. tudi kaplja te vode. ko bi prosto padla od
gladine do višine odprtine." Trditev je postala znana kot Torricellijev izrek.
Za hitrost iztekajoče vode v velja tedaj ena čba ! v2 = gz . če je z višina
gladine nad odprtino.
(b)(o )
zr ak
][ ]l[
~ ~V~
Slika 6. Poskus. pri katerem plhamo skozi lijak navplčno navzdol ln s tem
dosežemo. da miruje v njem stoZec Iz papirja. Ko ne pthamo , stožec pade (a).
Poskus se posreCI tudi z vretenom za sukanec ln kosom papirja (b). VoZIni
je hitrost zraka velika ln tlak nlZJI od zunanjeca zracneca tlaka .
23
* * *
Torricelli je naredil še drug poskus, ki ga najbolje razumemo na osnovI
računa. Hitrost Iztekanja vode v = V2hz skozi odprtino s p~esekom 5dna dnu
posode po vežlrno s hitrostjo znlzevanja gladine <ae f at v prlzrnat lčn l posodi s
presekom 5 . ProstornIna vode , ki IzteCe skozi odprtino na sekundo, je enaka
prostornIni med lego gladine ln njeno leoo sekundo pozneje:
dz
v5 d = -5-dt
Enačbo V2{JZ 5d = -5dZ/dt preuredlmo v dz/vz = -V2Q(5d/5)dtln
Integrlramo od začetne vlšlne gladine Zo do vl~lne z ln od zacetneoa Casa
O do Casa t :
ali
Iz enačb e Izhaja , da se gladina zn lža do dna pri z = O v easu td =
J2ZO/fl 5/5d ' Ta Cas razdelimo na N delov ln vpeljemo tn = ntd/N. n S N .
VstavImo to v enačb o za višino gladIne ln enacb o kvadriramo:
n 2
Zn=Zo(l--)
N
Naposled polščerno razmerja višinskih razlik:
Torricelli je opazoval, kako se je v enakomernih časovnih razmIkih nlžala gladina
v posodi protI koncu Iztekanja ln po ugotovljenem razmerju .. .5.3.1 sklepal, da
gre za kvadratne odvisnost. To razmerje so tedaj poznali od prostega padanja.
Računa, kakršen je naš, v tej oblikI ~e nj mogel nareditI.
* * *
Privzeli smo, da deli vode na gladini pri višini z mirujejo. Če se pri višini
Zl gibljejo s hitrostjo Vl, se gibljejo pri višini z2 s hitrostjo V2 in velja
Vstavimo V1 = O in Zl = z ter Z2 = O in V2 = v , pa dobimo prejšnjo zvezo
! v2 = gz. Obe strani enačbe smo še pomnožili z gostoto kapljevine p.
Če se ne spreminjata samo višina delov vode in njihova hitrost ampak
tudi tlak, moramo povezati obe enačbi. Dobimo znamenito Bernoullijevo
ensčbo:
24
1 2 1 2
P2 + "2PV2 + pgz2 = Pl + "2PVl + pgzl .
Ena čbo , ki smo jo v Preseku že srečali (6 (1978/79) , str .241) . je Daniel
Bernoulli objavil v Hidrodinamiki leta 1738 . Del kapljevine se lahko dvigne.
če se mu zmanj ša hitrost. Ker je višina povezana s tlakom. lahko preide tud i
na območj e s povišan im tlakom. če se mu zmanjša hitrost. Danes vemo. da
velja ena č ba samo približno. in to tem bolje. či m manjše delo opravijo sile
med plastmi kapljevine. čim manjše je "t renje" med deli kapljevine.
Potrebujemo samo ena čbo za primer. da se ne spremeni višina:
Ena čba pove. da je tlak manjši na mestu. kjer ima kapljevina večjo hitros t.
Vzemimo . da teče kapljevina skozi cev s spremenljivim presekom . Na mestu .
kjer je hitrost Vl , je presek Sl. na mestu. kjer je hitrost V2 . pa presek
52. Kapljevina je nestisljiva. zato se ne spremeni njena prostornina . ki
preteče skozi določen presek v časovni enoti. Hitrosti potemtakem povezuje
s presekoma ena čba (ki smo jo uporabili tudi prej):
Čim manjši je presek. tem večja je hitrost in skupaj s prejšnjim: č i m manjši
je presek. tem manjši je tlak. Dobljeni sklepi obveljajo tudi za plin. če se
njegova gostota ne sprem eni znatno . Ena čbe veljajo v tem primeru manj
natančno.
ož ino k~p.l Jlc e.
l '~~ " : ' :p un ~r--o..::• •• •" " . '. "
I~ •• •
sesa 11=-= :-::-1
----- --
( b l - - - -
Sli ka 7. Sesai ka na vodni curek (a) ln razprsuo (b)
25
S tem ni težko pojasn iti poskusa, katerega izid se je prej zdel nenavaden.
V cevki lijaka. v katero pihamo, je tlak malo večji od zunanjega zračnega tlaka .
hitrost delov zraka pa razmeroma majhna . V ožini med stožcern in lijakom
je presek zelo majhen, hitrost velika in tlak manjši od zunanjega zračnega
tlaka . Sila zaradi razlike tlakov uravnovesi težo stožca.
* * *
Kdor teoa pojava še ni videi, se mu zdi č u d e n ln nerazumljiv. Predstavlja
si morda, da bl moral biti v ožlnt , kjer je voda utesnjena na manjši presek, tlak
večjl, Pri tem se č l o ve k nehote spomni na one<:::o ljudi, ki bolj pritiskajo druo
na cruceca. kjer rinejo skozi vrata. Vendar Je pri vodi poskus pokazal ravno
nasprotno; v o21nl je tlak zmanjšan . Ljudje se ne dajo dosti deform irati, kaplje
pa čl s to lahko.
i .xuscer ln A .Moljk, Fizika, l.del, DZS , Ljubljana 1980, str . 250
* * *
Slika 8. Sled mehu rjev , ki nastanejo ob vrtečem se vijaku na mestih, na
katerih je hitrost delov vode zelo velika ln tlak rnocno znlzan.
26
Pojav izkorišča na primer sesaIka na vodni curek (slika la) . Curek vode
iz pipe vodimo skozi ožino. po kateri se giblje z veliko hitrostjo . Na tem
mestu in v njegovi okolici je tlak precej manjši od zunanjega zračnega tlaka.
Skozi cevko iz dela posode. ki obdaja ožlno, sesa naprava zrak. Podobno
deluje razpršilo. le da sta v njem vlogi zamenjani. Namesto vodnega curka
imamo curek zraka ali kakega drugega plina, ki sesa in razpršuje vodo ali
dl šečo kapljevino (slika lb) .
Menda sta zaradi tega pojava trčili ladji, ki sta vozili vštric po kanalu.
Deli vode med njima so imeli večjo hitrost glede na njiju kot deli vode na
nasprotni strani. zato je bil tlak na območju med ladjama manjši kot na
nasprotnih straneh . Ladjo je tlščala proti drugi ladji sila zaradi razlike obeh
tlakov. Če se je to zares primerilo. sta morala biti kapitana dokaj nepazljiva.
Pojav lahko moti še drugače. V vodnem toku okoli vrtečih se delov turbin
ali ladijskih vijakov imajo dcli vode zelo veliko hitrost. Hi trost je tolikšna.
da je tlak manjši od izparilnega tlaka. voda izpareva in nastanejo mehurji
vodne pare. Pojav. znan kot kavitacija . je škodljiv . ker mehurji zmanjšajo
učinkovitost turbin ali vijakov in praskajo vrtljive dele. da se prej obrabijo
(slika 8).
Tako smo dva "paradoksa" povezali v kramljanju. v katerem ni manjkal
ščepec prave fizike . Ali ste se pri tem dolgočasili?
Janez Strnad
ŠAHOVSKE UGANKE
Oglejmo si tri zanimive uganke, povezane s šahorn.
1. Ali lahko postavimo komplet šestnajstih belih fi gur na šahovsko desko
tako . da vsaka figura ščit i le eno drugo figuro?
2. Kako moramo razvrstiti 8 belih fi gur ( brez kmetov) . da bo napadena
ali zasedeno n aj večj e število polj?
3. Kako pa bi razvrstili 8 belih fi gur ( brez kmetov) . da bo napadena
najmanjše število polj?
Janez Ale!!
27
ŠAHOVSKI PROBLEM SAMA LOYDA
Zdaleč največkrat ponatisnjen ša-
hovski problem Sama Loyda. sesta-
vljen pri njegovih osemnajstih le-
tih. prikazuje očarljiv način poda-
janja šahovskih problemov. zavitih
v zanimive anekdote .
Leta 1713. v času. ko so Turki
oblegali švedskega kralja Karla XII
v taborišču Bender. je kralj pogosto
preživljal čas ob igranju šaha z enim
izmed svojih ministrov. Med neko
partijo je Karel. v poziciji prikazani
na sliki. kot beli naznanil mat v treh
potezah. Hip za tem je zablodela
krogia razbila belega skakača na po
Iju el. Karel je ponovno preučil pozicijo. se nasmehnil in dejal. da skakača
tako ali tako ne potrebuje . saj ima še vedno mat v štirih potezah. Toda
druga krogia je belemu razbila tudi kmeta na h2. Kralj je neprizadet ponovno
pretehtal svojo pozicijo in napovedal mat v petih potezah .
Zgodbe pa tu še ni konec. če bi namreč prva krogia odstrelila belemu
trdnjavo na g7 namesto skaka ča , bi lahko Karel še vedno matiral nasprotnika .
tokrat v šestih potezah.
Janez Aleš
TEŽJI TRIKOTNIKI
Poi š či vse trikot nike s stra nicami dolžine a, b in e. Čt; za vsak naraven niz
daljic. ki merijo an, bn in en lahko sestavimo trikotnik.
Boris Levri č
OCL/-' IC 1\101 l1l:"L_,I'I'L 111L__l
KOLIKO TRIKOTNIKOV - Rešitev iz P-XVII/2
v P XVII -2 je Sand i Klavžar zastavil nalogo. koliko trikotnikov je na sliki 1.
- - - - - · n +1- - -- -
n
...--
...--
~ 3 ... n-1 n
Slika 1. Koliko triko tnikov Je na
sliki?
Slika 2 . G raf i čn a pre dstavitev
vsote prvih n naravnih SteviI.
Najprej bomo nalogo posplo šili. poiskali rešitev splošn ejše naloge .
od govor na zgornje vprašanje pa potem ne bo težak .
Trikotniku . ki ima za osnovo n najmanjših trikotnikov. bomo rekli n-
trikotnik. Na sliki 1 imamo tor ej S-trikotnik . Splošnejša naloge se sedaj
glas i: Koliko trikotnikov je v n-trikotniku? Preden za čnemo z reševanjem .
potrebujemo nekaj matematičnega orodja. Večina verjetno ve. da je vsota
prvih n naravnih števil enaka
n(n + 1)
1+2+ ... +n = 2
V veljavnost te identitete se lahko prepričamo tudi s pomočjo slike 2.
Potrebovali bomo še vsoto kvadratov prvih n naravnih št evil
e + 22 + .. .+ n2 = 11(11 + 1~(211 + 1)
Formulo doka žirno z matemati čno indukcijo . Najprej pokažimo. da velja
za n = 1:
n(n + 1)(2n + 1) _ 1(1 + 1)(2i + 1) _ 1
6 - 6 -
Naj sedaj formula velja za (n - 1) . Tedaj:
29
e + 22 + '" + (n - 1)2 +n2 =
(n - 1)n(2(n - 1) + 1) 2 (n2 - n)(2n - 1) + 6n2= + II = -'-------"-'-----::---''-------
6 6
_2113+3n2+n _ n(2n2+3n+l) _ n(II+1)(2n+l)
666
Za krajši zapis vpeljimo še sumacijski znak L: ' Vsoto števil al , a2 ,
a3, '" an bomo krajše zapisali kot L:7=1 (aJl ' torej velja
n
al + a2 + '" + an = L (aJl
1=1
Seznaniti se moramo še z oklepaji [...1, s katerimi označujemo zaokro-
ževanje na prvo celo število navzdol, npr. : [:rrl= 3. Potrebovali jih bomo
pri celošt evilskem deljenju naravnega števila n z 2. kar bomo označili [n /2].
Velja
{
~: n sod
[n /2] = n-l . "h
2 . n I
Kdor pozna programski jezik pascal. ve. da lahko izvede operacijo celoštevil-
skega deljenja z operatorjem div. v našem primeru velja [n /2] = n div 2.
ln sedaj k reševanju splošne naloge. Vse trikotnike razdelimo na dva
razreda. na pokončne trikotnike (tiste s horizontalno stranice spodaj) in
obrnjene . Pokon čnih l-trikotnikov je v prvi vrsti n. v drugi n - 1. v
tretji n - 2, .... v predzadnji 2 in v zadnji 1. Vseh l-trikotnikov je torej
L:7=1 i = n(ni 1) . Podobno preštejemo še vse ost ale trikotnike:
pokončni trikotniki obrnjen i trikotniki
l-trikotnikov n(n
2-1)
l-trikotnikov (n -
21)n
2-trikotnikov (n -l)n 2-trikotnikov (n -3)(n-2)
2 2
3-t rikotnikov ( n- 2)( n - l ) 3-trikotnikov (n-5)(n -4)
2 2
4-trikotnikov (n -3 )(n -2) 4-t rikotnikov (n - 7)(n -6)
2 2
k-trikotnikov (n -k+l)(n-k+2) k-trikotnikov (n -2k+l)(n-2k+2)
2 2
(n - 2)-trikotnikov 6
(II - l)-trikotnikov 3
n-trikotnikov 1
([11 /2] - 2)-trikotnikov
([n/21- l)-trikotnikov
[n/2]-trikotnikov {~~
{
15:
21;
{
6'
10:
IJ sod
n lih
n sod
n lih
n sod
n lih
30
Z N(n) označimo š t evilo t rikotnikov v n-trikotniku.
lzračunajmo najprej vsoto 51
51 = t (n - k + 1)2( n - k + 2) = ~ t (n - k + 1)(n - k + 2) =
k=l k=l
1 n
="2 L (n2 - 2nk+ 3n+ k2 - 3k+ 2) =
k = l
1 n 3 ln 3 n
= _n 3 - n '" k+ - n2 + - '" k2 - - '" k+ n =2 L 2 2 L 2 L
k = l k=l k = l
1 3 n(n+l) 3 2 ln(n+l)(2n+l) 3n(n+l)= -n - n + - n + - - - + n =
2 2 22 6 22
1 3 1 2 1
=-n + - n + -n
623
z vsoto 52 je nekaj več dela:
n je sod :
52 =t / 2 (n - 2k + l )2(n - 2k + 2)
k=l
= - [(n - l)n + (n - 3)(n - 2) + ... + 3 · 4 + 1 ·2] =
1
="2[1 .2+ 3 · 4 + 5 · 6 + ... + (Il - 3)(n - 2) + (n - 1)11] =
1
="2[(2 .2- 2) + (4 · 4 - 4) + (6 · 6 - 6) + ...+
+ ... + ((n - 2)(n - 2) - (n - 2)) + (n · n - n)] =
1 nJ2 nJ2 nJ2
="2 L ((2kf - 2k) = 2 L e - L k =
k=l k=l k = l
=2 [~ . ~ (~ + 1)(2~ + 1)] - ~ . ~ . (~ + 1) = ~ n3 + ~ n2 - ~ n
6 2 2 2 2 2 2 12 8 12
•
31
n je lih:
(n-1)/2
52= L (n-2k+~)(n2k +2) =
k=l
1
= -[(n - l)n + (n - 3)(n - 2) + "o + 4 ·5 + 2·3] =
2
1 .
=-[2 o 3 + 4 o 5 + 6 ·7 + 000+ (n - 3)(n - 2) + (n - l)n] =
2
1
="2[(2 o 2 + 2) + (4 ·4 + 4) + (6 o 6 + 6) + 00.+
+ '0. + ((n - 2)(n - 2) + (n - 2)) + (n . n + n)] =
1 (n-1) /2 (n-1)/2 (n-1)/2
="2 L ((2k)2 + 2k) = 2 L k2 + L k =
k=l k=l k=l
1 11 -111-1 11-1 111-1 n-l
=2[- .-(- + 1)(2- + ll1 + -(-(- + 1) =
622 2 222
1 3 1 2 1 1
= -n + - n - -n - -
12 8 12 8
Po seštetju obeh vsot 51 in 52 dobimo .
n sod
n lih
Kdor zna iskati ničle polinomov. pa lahko rezultat pretvori v
N(n) = { ill(n + 2)(2n + 1) ; n sod
itn + 1)(2112 + 3n - 1); n lih
ln končno številčn i rezultat : N(8) = 170. Na sliki 1 je torej 170
trikotnikov .
Ciril Pezdir
32
S liKOVNA I(RIŽAN I.(A._) FR AN C.
K.RIZANEC GiMATE- LJUB LJAN NEKDA N JI KRAJ PRI NU >A M E D KRCE -M AT U, IN P IVO· JA P O N S KI V INA , , 'J (
Clg~tfJ~
ASTRO- VARNA PR EM IER
OPA T IJI ROMIH KONJEM
LAZ jC
N OM IN O SLI CO
t- L lJ N M ~ 1
A N li t. ~ E O
J P A VROlA
NAR O DO ·
P OA;;~~ A ) A
VELIKA S LO VEC
~L O ZA CET· TR A 5 T Ll N A N ICA ST Rl\ lINA
./ K LANC A
Cl. MEST O K
M ICH I.
N
ZDR AV I· R A
GANA L A N ~ LIS CE VO P IS P O· BELG IJ I RI
T O VAN JA
ZVEZA
O SEBNI
SMUCA R·ZA IM EK
ORlAV
~ E: c.. UN ICE · O N A SK A SIZV O Z N IC D IS CI·NAFTE VAlKA PLINA
ZELE ZA
P OLJSk.I MAN J >A
AS ·
~ O t> \'2.
U JE OA
"lRON OM E ~ r.. JA N~!\; l h O L A J ) NEHUDA
CLOVEK Z
UG O U ,- VODNA GO VORNO ~ E cr ON A ZZI t lVAl N APAKO L
OTOV IN A b-NABIT MO SKO
$ PA N SK I OE LEC IME
P ES N IK L O ~ C A 1( GA R CIA ) S L.P ES N IK( MATE J) 60 MINU T
S L. IGRA- PL ANE T
GLAV N O
Y
LE C
~ t'-1
O SON CJA
ME S T O A (IVO ) ~ \jS A M Q E
T ANTA L ORO M
5V E D S KA R. ~ O
ZEN S KA . B IZ.LE S TEV KI BE R E
A.V TOR : NAJ V ELJA
K O 'r N A
RM A RKO PUSC AVA S A A- A
fvlEHA V A
B OKA LIC NA SV ETU
M A T E·
MAT IK I
33
POJrVII IZ ASTRONo rv·tLi L
ES TO V
~
BERN · PR IPRAV-
l EP O-
POTAP - TR ES E-
BOL E ZEN
F'Z'KA LN A) TRAN JI O D P RT J E SLOVN A ZARA D I
-A LM A - GR OB A HAk D lJ EN A RA Z- LJ A; K' NJ E.
TR~;~lJ E
ENO TA ZA
CIJ'
RIEMA N N HRANA P RAVA ZV ON DR GET MOL
-
O ~ ~ E ~ T I V
VA D I re-
SV IT EK.
LJICA
ŽiVALI D R- E: c. ~ k. AN ,",O TAL ST AR US·
MER NIK
PO OBE -
DEK
TI T E ~ ' TAL. E S E ~N AR AVO -
S LOV EC
O
VO LNENO K' P
L O () OBLALI LO ~ O ? A
GO LEGA
Z GUMB' TELESA
Rr.'1NA
t EN .lME
~
LRNO R E. P A MR K NEM;KI N E. V ~JME NA
ŽiVA L FILOZ OF
ZDR AVILO
GIBANJ E.
K TU J DV O· L E t:. S T RU· -r O "-GLAS N IK J AN JE
O ZVE Z· SP li T
O S T V ~ A
OJE P RIIMEK S TS EVER . Sli KAR J A
NEBA RAfAE LA
STVAR·
v' N OST RIS BA ,
C. SP .S li KA R Q.. E A ~ O T( SAL-
VAD OR)
REKA IN :r-
t b O ME ST O N I T R ODMEV
DALJ;E
NA S LO- O BDO BJ E
VA; KE M
IV A N IV JE
PUCE LJ
•
I
J El2... f\ N AN DR E J MA URIC E ~
N OV A K RA.VEL
1- K A CILJ . S M A t: RN AM EN
D N
ZDRA·
A '" A,\ A
V ILN A )< J
ROŽ A
,-,__ Je
I
MISS PRESEKA
V č l a n k u "Nenavadne krivulje" preberemo. kako lahko konstruiramo zanimive
ravninske krivulje. Priloženi program zahteva kot podatke le nekaj števil in
že nariše krivuljo. Zakaj ravno tako, razberemo v članku.
ln sedaj vabilo. Na Presekov naslov (PRESEK , Jadranska 19. 61111
Ljubljana . p.p. 64 (za Miss Preseka)) nam pošljite eno ali več izvirnih slik,
ki ste jih ustvarili s programom "Generlra nje.Fra kta lov" . Avtor slik je
lahko en sam . zelo zanimive krivulje pa lahko nastanejo tudi s skupinskim
delom (npr. v krožku) . saj verjetno nima vsakdo možnosti samostojnega
dela na osebnem računalniku . Seveda pa lahko program iz turbo pascala (ki
smo ga dobro spoznali v zadnjih treh številkah lanskega Preseka) prevedete
tudi v pascal vašega računalnika . ali v kak drug jezik. Nič hudega . če slike
ne moret e z zaslona spraviti na papir. zadostovalo bo že. da nam pošljete
št evilske podatke. ki ustr ezajo dani krivulji. Seveda je nemogoče reči. katera
krivulja je najlepša (kot je to navadno na običajnih lepotnih tekmovanjih).
zato bomo objavili sliko vsake zanimive krivulje. Rok za oddajo "lepotic"
je konec koledarskega leta 1990.
Preden se lotite dela . še nekaj splošnih napotkov za konstrukcijo lastnih
krivulj.
Najenostavnej ši na čin konstruiranja je seveda . da si nadaljne delitve v
tabeli kar izmislimo. Le nam je krivulja potem v šeč. jo lahko poskušamo še
izboljšati.
Drugemu načinu bomo rekli metod a iniciatorja in generetor]e, pri kateri
je iniciator nekakšno seme . iz kater ega se razvija krivulja po pravilih. ki jih
podaja generator. Po tej metodi dobimo Kochovo snežinko . Peanovo krivuljo
in Sierpinskijevo preprogo . Pri Kochovi snežinki je iniciator enakostraničen
trikotnik (slika la) in generator Davidova zvezda (slika lb). Pri Peanovi
krivulji je iniciator diagonala kvadrata (slika 4a). generator pa povezane
diagonale devetih kvadratov (slika 4b) . Pri Sierpinskijevi preprogi je iniciator
daljica (slika la) in generator lik s slike lb. Enostavno je. če vzamemo za
iniciator daljice . za generator pa si izmislimo lik. Vsakemu vektorju potem
priredimo celico. ki se v naslednjem koraku nadomesti z ustrezno orient iranim
likom.
Konstrukcija krivulj bo šla seveda tembolj od rok. čim bolj se bomo
poglobili v delovanja samega postopka risanja . Seveda lahko tudi sami
izumite postopek. s katerim boste prišli do zanimivih krivulj.
Le boste veliko eksperimentirali . še tole . Program je avtor napisal na
kratko . kolikor se je dalo . Da si prihranimo mukotrpen vnos podatkov za
35
vsako posamezno krivuljo. lahko program razširimo tako . da vsako
krivuljo shranimo v obliki datoteke. V datoteko shranimo vse parametre
potr ebne za risanje krivulje. št evilo smeri. tabelo . rojstno celico. dolžino celice
in koordinat e za četka risanja krivulje.
Dodajmo še. da je lahko predstavitev celic poljubna. V vseh primerih
v č l a n k u so predstavitve namreč enako dolgi. razli čno usmerjeni vektorji.
vendar je predstavitev celice lahko kakršenkoli objekt (npr. zaporedje č rk .
geomtrijski liki. ... ).
Sandi Klav/ar in Ciril Pezdir
' ,: ...,;'
, 1:
. .
: . ~. , .~.:.-..~~ .
.- -." " .': :" I ~- f "':; ." - '""': . :, ~ ;
, .....;.·~ ::.~Io~.V~~~ _ • ·~~~.~ ~j.~~·~.,,:-:"l
EULERJEVA NALOGA
Med drugim se je švicarski matem -
atik Euler ukvarjal tudi z naslednjo
nalogo:
Na koliko rezli čnih ns člnov la-
hko razre/emo pravilni n- kotnik s
pomotjo njegovih diagonal na same
trikotnike tako . da se zs črtene dia-
gonale pri tem ne se čejo ?
Lao nhard Euler (1707 - 1783)
Bralci naj za za četek preverijo pravilnost podatkov v naslednji tabeli
n 3 4 5 6
št evilo rešitev Eulerjeve
naloge za pravilni n-kotnik 1 2 5 14
zatem pa se naj tudi sami poskusijo v reševanju te naloge v primerih.
ko je n = 7 in n = 8.
Vilko Domajnko
36
Z GRAFI GRE LAžJE PRESEKOVA NADLOGA
Niz letošnjih Presekovih nadlog bomo začeli z zbirko rekreacijskih nalog. ki
v teoriji grafov pogosto služijo kot slikovito dopolnilo .
Poglejmo torej!
1. Prva je iz zbirke znamenitega ameriškega sestavljalea ugank Sama
Loyda (1841 - 1911).
V začetku tega stoletja je planet Mars seveda še zmogel na vse pretege
buriti domišljijo Zemljanov. In tako je zviti Loyd narisal zemljevid Marsa z
nekaterimi "tedaj pravkar odkritimi" mesti in z vodnimi kanali. ki povezujejo
ta mesta . Od reševalcev uganke je zahteval. da poiščejo pot. ki vodi skozi
vsako izmed označenih mest natanko po enkrat. Toda pri tem je treba začeti
in končati v mestu. ki leži ob južnem polu planeta in je označeno s črko S
(glej sliko 1) . Pot. ki jo bo predlagal reševalec . pa mora nositi v sebi še nek
dodatni pomen. ki ga še nočemo izdati. Močno se namreč nadejamo. da ga
bo odkril kar reševalec sam.
Še tole zanimivost je vred no omeniti pri tej uganki. Loyd jo je objavil
kar dvakrat. In to kljub temu. da je že po prvi objavi uganke dobil pravcato
goro pisem. v katerih so mu reševalci sporočali : "Saj sploh ni takšne poti."
Res je bil nabrit. ta Loyd. ni kaj!
Slika 1 Slika 2
2. Na sliki 2 je načrt neobičajne zgradbe z mnogo vrati. Povejte. ali se
je mogoče sprehoditi skozi to zgradbo tako. da gre spreh ajalee skozi sleherna
vrata natanko enkrat.
37
3. Z labirinti in z zamotano hojo po njih ste se v lanskem letniku Preseka
že spopadli (glej Presek 3). Tokrat je pred vami primer . ob katerem boste
lahko uporabili pridobljeno znanje.
V kraju Hampton Court v Angliji imajo znamenit labirint. Domnevam .
da vas takle labirintek ne bo spravil v prehudo zadrego in da vam torej ne
bo pretežko poiskati kakšne izmed odrešilnih poti. ki vodijo ven iz sredine
labirinta (od točke A do točke Ž). Nekoliko težje pa je najbrž poiskati vse
take različne poti. In glej. prav to zahteva ta naloga! Pravzaprav - dovolj bo .
če poveste le. koliko teh poti je.
Pri tem iskanju ne štejte tistih . pri katerih je treba iti po kakšnem delu
več kakor le enkrat.
ž
Sli ka 3 Sli ka 4
4. Slika 4 nam predstavlja načrt mestnega parka. Njegovi skrb niki so se
odločili. da bo v zabavo vseh meščanov po poteh parka vozil majhen otroški
vlakec. Skozi park bi naj vozil po krožni poti. ki bi naj bila speljana tako. da
bi skozi vsako izmed kri ži š č parka peljala natanko enkrat. Pri tem ni nujno.
da bi vlak vozil po vseh poteh parka . Obenem pa načrtovalci takšne krožne
vožnje tudi ne želijo. da bi šel vlak po kakšni izmed poti večkrat.
Toda . glej. nesreča res nikoli ne počiva - krožne vožnje. ki bi ustrezala
vsem opisanim zahtevam . sploh ni mogoče speljati.
Ali znate pojasniti. zakaj ne?
5. Šest dobrih prijateljev živi v šestih razli čnih mestih . Ker nočejo . da
bi njihovo prijateljstvo in poznanstvo sčasoma usahnilo . so se domenili. da se
bodo vsak teden v sredo poklicali po telefonu in si med seboj pripovedovali
vsaj šale . če že ne kaj drugega .
38
Trdijo. da so uspeli svoje sredine telefonske pogovore sčasoma že tako
izmojstriti. da jim sedaj zadošča že vsega skupaj samo osem pogovorov. da
vsak izmed njih izve vse šale preostalih petih prijateljev.
Vendar se mi zdi. da je osem presneto nizko število pogovorov in tako
res ne vem. če naj jim verjamem.
Pomagajte!
6. Mož in žena iz družine Bel čev] sta priredila hišno zabavo in nanjo
povabila še dvoje zakonskih parov - Modrinjakova in Rumenjakova dva. Vsi
stari znanci so se ob snidenju. kakor se seveda spodobi. najprej rokovali.
Vendar pa je bilo med tedaj zbranimi tudi nekaj takšnih . ki se še niso poznali.
Ti se niso med seboj rokovali.
" : :" :'.:., .,.-
Ko so bili že vsi zbrani. je Belec kot prireditelj zabave povprašal vsakega
izmed prisotnih . kolikokrat se je rokoval. Pri tem je za čud a dobil od njih
same različne odgovore.
Povej. kolikokrat se je rokovala Belčeva žena. Pri tem upošteva], da
- se mož in žena z enakim priimkom med seboj nista rokovala :
• se nihče ni rokoval s samim seboj:
- se nihče ni z nikomer rokoval več kakor enkrat .
Vilko Domajnko
39
ŠTEVILA IN TRDNJAVE NA ŠAHOVNICI
1 Na polja šahovnice
zapišemo po vrsti. kot kaže slika.
naravna števila od 1 do 64. Na
osem polj postavimo šahovske trd-
njave. tako da se paroma ne bijejo.
torej tako. da nobeni dve trdnjavi
nista v isti vrstici ali v istem stolpcu
šahovnice. Kolikšna je vsota števil
na poljjih . kjer stoje trdnjave?
2 Na slepo izberimo tri polja navadne šahovnice in nanje
postavimo tri trdnjave · vsako na svoje polje. Je bolj verjetno. da se bo med
seboj bil vsaj en par trdnjav ali da se ne bo nobeden?
3 Na polju. ki je
v i-ti vrstici in j -tem stolpcu
šahovnice. je zapisan produkt
števil i inj (glej sliko). Postavi
na osem polj te šahovnice trd-
njave. tako da se paroma ne
bodo bile in da bo vsota števil
na teh poljih največja.
Boris Levrič
1"l-ll IC -1' l~ LIj_I~I- " L ut:
PRESEK
TUDI ZA PETI IN ŠESTI RAZRED OSNOVNE ŠOLE?
V zapisu o temeljnih vsebinskih zasnovah je Presek označen kot list za učence
zadnjih dveh razredov osemletnih šol in prvih razredov srednjih šol ter seveda
za ostale. ki se zanimajo za matematiko. fiziko. astronomijo in računalništvo .
Anketa med osnovnošolskimi učitelji pa je pokazala. da Presek berejo tudi
petošoIci in šestošoIci.
Na našo anketo so odgovorili aktivi 28 osnovnih šol. kjer so naročili lani
skupaj 570 primerov revije Presek. 26 učiteljev iz teh šol uči matematiko.
18 fiziko. 3 računalništvo in eden fizikalni praktikum. tehnično vzgojo in
gospodinjstvo .
V skoraj vseh odgovorih se pojavljajo misli: zanimivo. a včasih premalo
razumljivo za osnovnošolce. prispevki naj bodo na nivoju osnovnošolskega
znanja, Presek je prezahteven za 5.. 6.,7 . razred; več nalog za osnovnošolce;
več vsebin. zanimivih za osnovnošolce ...
Vsebinsko bi naj bil torej Presek bolj prilagojen osnovnošolski snovi od
5. do 8. razreda. predvsem bi naj vseboval več nalog za te razrede . Učitelji
pišejo, da pri pouku ali interesnih dejavnostih najbolj koristno uporabijo:
* naloge (matematične - 12. vse - 8. tekmovanja - 7. fizikalne - 3).
* razne članke. ki predstavljajo literaturo za referate pri fiziki in as-
tronomiji.
* članke o fizikih in rnaternatikih.
* razvedrilne prispevke.
Skladno s tem pišejo tudi o pogrešanih prispevkih . V ospredju so
katerikoli prispevki. članki ali naloge primerne za osnovnošolce . Najbolj
pogrešajo fizikalne prispevke, opise poskusov. aktualne dogodke v as-
tronomiji. mogoče tudi nasvete ali ideje za naravoslovne dni. Koristno bi
lahko uporabili spise o fizikih in matematikih. logične in razvedrilne naloge.
pa tudi več rekreativne matematike si želijo.
Količinsko bi povečali obseg matematični rubriki. sledi fizika in računal­
ništvo . Astronomiji so dali enako število glasov za "veC in "manj" . Več
prostora bi 28 aktivov osnovnošolskih učiteljev namenilo tudi razvedrilu in
nalogam za osnovnošolce. .
Že vrsto let se trudimo učitelje privabiti k ustvarjanju revije. Z anketo
smo želeli zvedeti. zakaj ve činomo ne sodelujejo . Vsi so se strinjali. da bi bilo
tako sodelovanje potrebno . Kje pa se zatakne? Večina jih misli. da je temu
vzrok preobremenjenost (16). Verjetno se za tem skriva občutek premajhne
41
manj več
6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
MA
NAL.OŠ
/
AST /
rf
sposobnost i (4) oz. mnenje . da je za njihovo znanje nivo prispevkov previsok
(2) ter da dobijo premalo vzpodbud uredniškega odbora .
Velikokrat sem že vabila bralce naj pišejo. Ob tej priložnosti ponujam
nekaj konkretnih idej iz ankete:
* Člani kro žkov, pišit e nam o svojem delu. o vaših usp ešnih tekmovalcih .
njihovih občutkih ob pripravi na tekmovanja. o vaših mentorjih . Pošljite
nam kakšno težko nalogo za član e drugih kro žkov.
* Predstavite svoje raziskovalne naloge. kako je potekala priprava in
sodelovanje z mentorji. odkod ideja. kokliko časa ste vložili.
* Kateri razred piše "najlepše" šolske naloge? Objavili jih bomo . Lahko jih
boste primerjali z drugimi in se ob njih pripravljali na naslednje preizkuse
znanja .
* Pošljite "cvetke" iz šolskih klopi. Tukaj je že ena :
RAZV
RAČ
FI
sin x
cos x
in
co
(Kaj bi si delali probleme s tan gen-
som . krajšajmo.)
Seveda je bilo nekaj konkretnih idej namenjenih tudi uredniškemu
odboru:
* Uvesti dopisni krožek.
* Članek "Kako zbrusiti zrcalo za daljnogled. kadar nimamo brus nega
prahu?"
Tako! Ideje so tu. Zavihajmo rokave!
Lep pozdrav!
Du~ica Boben
42
STEPHEN W . HAWKING, KRATKA ZGODOVINA
(:.ASA, Cankarjeva založba, 1990, 189 str., cena 195.- din
(156 .-din).
Hawkingova knjižica je izjemna iz več razlogov. V njej pisec razgrinja današnje
poglede na razvoj vesolja. Pri tem lahko iz prve roke poroča odognanjih
astrofizike. h katerim je v veliki meri prispeval. Tu in tam navede tudi svoje
spomine in mnenja. Prostodušno pričevanje o tem . kako je na osnovi novih
spoznanj večkrat spremenil svoje sklepe. pove o bistvu raziskovanja več kot
dolge razprave. Po človeški strani je knjižica velik uspeh . ker je Hawking
zaradi težke bolezni že več let priklenjen na bolniški voziček in se zadnji čas
sporazumeva z okolico le preko posebnega računalnika . Sam pravi. da je
pač za delo v teorijski fiziki potrebna le glava in da ga telesna prizadetost ni
ovirala.
Knjižica ima deset poglavij. Prva tri opišejo razvoj naših pogledov na
vesolje. Prostor so nekdaj obravnavali popolnoma ločeno od časa. Povezala
ju je posebna teorija relativnosti. Splošna teorija relativnosti je zajela še
gravitacijo. S to teorijo bi bilo mogoče predvideti. da se vesolje širi. Merjenja
so namreč pokazala. da se galaksije. veliki zvezdni otoki. oddaljujejo druga
od druge. Hawking je skupaj s sodelavcem prišel do sklepa . da se v teoriji
ni mogoče izogniti velikemu poku. ko se je začelo širjenje iz ene same točke
in ko sta bili temperatura in gostota snovi neomejeni.
Naslednja štiri poglavja zajamejo najprej pregled kvantne fizike . ki
obravnava najmanjše delce. Gibanja teh delcev ne moremo opisati tako.
kot smo vajeni opisovati gibanje večjih teles. Splošna teorija relativnosti ni
usklajena s tem spoznanjem. Vso snov sestavljajo delci in sile med njimi
določajo lastnosti snovi. od njih pa je odvisen razvoj zvezd. Kako zvezda
konča svoj razvoj. določa njena masa . Zvezda z dovolj veliko maso se sesede
vase in nastane črna luknja. Hawking je ugotovil. da črne luknje zaradi
kvantnih pojavov sevajo. kar se je zdelo dotlej izključeno .
Zadnja tri poglavja se vračajo k začetku vesolja. za katerega se je
Hawking pozneje zopet začel zanimati. ker pač črna luknja v nekaterih
pogledih spominja na vesolje v malem. Razmere ob velikem poku bi bilo
treba opisati s kvantno teorijo gravitacije. ki je za zdaj še ni. Hawking je
prišel do nekaterih delnih rezultatov. ko je privzel. v nasprotju s prejšnjimi
trditvami . da je vesolje končno . a neomejeno in nima ne začetka in ne konca.
Od bralca knjižica ne zahteva kakega posebnega fizikalnega znanja in v
njej je ena sama enačba. znamenita Einsteinova zveza med maso in energijo.
Vendar mora biti bralec dovolj zbran in pripravljen prebrati nekatere odstavke
43
tudi po večkrat. Vse kaže. da to ni ovira. saj se je knjižica ponekod prebila
med uspešnice . Upamo. da bo tudi pri nas veliko bralcev seglo po njej. Čez
dolga leta se bo marsikateri strokovnjak spominjal . kako je v svoji mladosti
navdušeno prebiral Hawkingovo Kratko zgodovino časa .
Janez Strnad
ZBIRKE NALOG Z REPUBLIŠKIH TEKMOVANJ
Tekmovanja naj ne bodo sama sebi namen. Pomembneje je samostojno
reševati naloge. dobljene rezultate primerjati z rezultati drugih ali pa s
pravilnimi rešitvami. Primerno vzpodbudo in pomoč za tako delo boste
našli v knjigah Knjižice Sigma. kjer so zbrane naloge in rešitve z dosedanjih
republiških tekmovanj matematikov. fizikov in računalnikarjev . Reševalce
vabimo. da nam pošljejo svoje originalne in elegantne rešitve . ki jih bomo
v Preseku z veseljem objavili. Navedene knjige po enotni ceni 100.00 din
(80.00 din) lahko dobijo člani društva in naročniki Preseka pri skupinskem
naročilu šol z 20% popustom .
Matematika
24. Batagelj V.. Pisanski T .. Rešene naloge iz matematike z republiških
tekmovanj. 1. del. 1950-1966. 180 str.
25. Batagelj V.. Pisanski T .. Rešene naloge iz matematike z republiških
tekmovanj . 2. del. 1967-1975. 188 str.
43. Lavrič Boo Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj. 3. del.
1976-1987 . 116 str .
46. Juri ši č A.. Rešene naloge z mednarodnih matematičnih olimpiad. 1. del.
1978-1988.92 str.
Fizika
21. Hribar Moo Rešene naloge iz fizike z republiških tekmovanj. 1. del. 1951-
1970. 168 str.
37. Golli Boo Žitnik J.. Rešene naloge iz fizike z republiških tekmovanj. 2.
del. 1971-1983 . 112 str.
Računalništvo
44 Batagelj V.. Dolenc T oo Martinec M.. Mohar B.. Reinhardt R., Tvrdy
I.. Vitek A.. Enajsta šola računalništva. Rešene naloge z republiških
tekmovanj 1977-1987.396 str.
Ciril Velkovrh
s
44
UtSENIKI IN PRIROtNIKI ZA OSNOVNO IN SRED-
NJO ŠOLO V LETU 1990/91
1. ZBIRKE VAJ IZ ARITMETIKE IN ANALIZE ZA SREDNJE ŠOLE
(Ivan Štalec)
1. razred. 100 str .. 100.00 din (80.00 din)
2. razred. 88 str .. 100.00 din (80.00 din)
3. razred. 204 str .. 150.00 din (120.00 din)
4. razred. 120 str .. 100.00 din (80.00 din)
2. MATEMATiČNE TABElE IN FORMULE (Stanko Uršič) 96 str..
100.00 din (80.00 din)
3. GEOMETRIJA ZA SREDNJE ŠOLE, 2. del (Ivan Pucelj. Ivan
Štalec) 176 str .. 100.00 din (80.00 din)
4. MALI PRIROČNIK OPERACIJSKEGA SISTEMA MS DOS
(Sandi Klavžar) 50 str.. 75.00 din (60.00 din)
5. PROGRAMSKI JEZIK PASCAL (Bojan Mohar. Egon Zakrajšek) 196
str. 125.00 din (100.00 din)
6. TURBO PASCAL (Matija Lokar) 100 str.. 125.- din (100.- din)
7. ASTRONOMIJA ZA SREDNJE ŠOLE (France Avsec. Marijan
Prosen) 176 str .. 100.00 din (80.00 din)
8. KARTI SEVERNEGA IN JUŽNEGA NEBA 2,000 s katalogom 28
str.. 125.- din (100.- din)
9. NAJNUJNEJŠE O GRAFIH (Drago Bajc. Tomaž Pisanski) 64 str ..
50.00 din (40.00 din)
10. KAKO REŠUJEMO MATEMATiČNEPROBLEME (George Polya)
272 str .. 150.00 din (120.00 din)
ŠE DVE ECCOVI NALOGI
1. ZABAVA
Na neki zabavi je vsakdo segel v roko trem ljudem. razen enega. ki se je
rokoval samo z eno drugo osebo .
* Kakšno je najmanjše možno šte vilo ljudi na zabavi?
* Ali je lahko na taki zabavi 21 ljudi?
* Ali obstaj a splošno pravilo. ki pove. koliko ljudi je lahko na taki zabavi?
ar'f1d
45
STRNAD J., ZGODBE IZ FIZIKE , Lj ubljana , Sloven ska
matica 1990 , 380 str. (Naravoslovna knjižnica ; 4) Cena
330 .- din (264 .- din)
Marsikdo izmed bralcev Preseka pozna - to velja za večino ljudi - fiziko
predvsem kot šolski predmet. Ponavadi je predstavljena kt skupek zakonov
nad pojmi. ki jih vpeljemo. da bi ob njih lažje govorili o naravnih pojavih in
jih podrobno opisali . Le redko lahko ob obravnavi kakih zanimivejših stvari
zaslutimo uporabnost in moč največkrat težko razumljivih pojmov in zakonov .
Skoraj nikoli pa ne pomislimo na rnu čna iskanja. ki so na koncu privedla do
preprostih in učinkovitih današnjih spoznanj.
Toliko bolj je zato dragocena najnovejša knjiga J. Strnada z naslovom
Zgodbe iz fizike . Kakor predstavi knjigo avtor sam . je to zbirka zgodb iz
razvoja fizike od Aristotela do danes. V zgodbah zvemo . kako so nastajali
dane s vsem znani osnovni zakoni od mehanike, termodinamike in elektrike do
kvantne mehanike in kako je mnogokrat zgolj slučajno prišlo do pomembnih
odkritij . Tudi o stranpoteh govorijo zgodbe . pa o tekmovalnosti in o
okori š čanju s tujimi rezultati . Delo v fiziki se nam pokaže kot področje
iskanj in naporov mnogih ljudi. Uspehi se menjujejo z zmotami in neuspehi
- tako kot pri vsakem drugem človeškem delu . Prav predstavitev fizike kot
č l ove š ke dejavnosti je glavni namen knjige.
Knjiga bo zanimivo branje za vse, ki so se učili fiziko in ki kdaj preberejo
kako časop isno novico o novih odkritjih . Bralcem Preseka pa jo še posebej
toplo priporočamo .
Marjan Hribar
2. PONAR EJENI KOVAN CI
Imate 20 kovancev . Nekaj je ponare jenih . nekaj pa je pravih. Prav i kovanci
imajo težo med 11 in 11.1 grama . Ponarejeni kovanci pa imajo težo med
10.6 in 10.7 grama. Dovoljenih vam je 15 te htan j na vzmetni teht nici (ne
vzvodni. ta ko da ne morete primerjati teže dveh kovancev z enim teh tan jem) .
da do ločite . kateri kovanci so pravi in kateri ponarejeni .
Bodite pazljivi! Med štirimi kovanci. ki s kupaj tehtajo 44 gramov so
lahko trije pravi (po 11.1 grama) in en ponarejen (za 10.7 grama), ali pa
št irje pravi (po 11 gramov) .
Iz knjige Dennis Shasha: Zagonetne dogodiv š čine Dr. Ecca
izbrala in prevedla Nel a Mramor
46
PRESEKOVA KNJ ižNICA
V Presekovi knjižnici je izšlo že 32 različnih naslovov. Med njimi smo nekatere
že večkrat ponatisnili . druge pa imamo na zalogi še v večjem številu. Po nekaj
letih so se generacije učencev že zamenjale . zato vam ob izidu prve letošnje
številke Preseka ponovno pošiljamo na ogled naslednje brošure :
5. Strnad J.. Relativnost za za četnike. 64 st r.. (50.- /40 .- din)
7. Križani č F.. Ukročena matematike . 64 str. , (50.- /40.- din)
9. St rnad J.. Začetki kvantne fizike . 48 st r. . (40.-/32.- din)
16. Šporer Z.. Oh. ta matematike. 226 str .. (100.-/80.- din)
V tej zbirki imamo na zalogi tudi še naslednje brošure:
1. Vidav I.. Jos ip Plemelj - Ob stoletnici rojstva (50.- /40. - din)
2. Prosen M.. Astronomska opazovanja (50.-/40.- din)
4. Strnad J.. Začetki sodobne fizike (50.-/40.- din)
6. Landau L.D.. Kaj je teorija relativnosti (50.-/40.- din)
8. Ranzinger P.. Presekova zvezdna karta (50.-/40.- din)
10. Kuščer I.. Enajsta šola za fizike (50.-/40.- din)
22. Bajc D.. Pisanski T .. Najnujnejše o grafih (50.-/40.- din)
24. Strnad J.. Jožef Stefan - Ob stopetdesetletnici rojstva (50.-/40.- din)
26. Vidav I.. Josip Plemelj - Ob dvajseti obletnici smrti (30.-/24 .- din)
27. Strnad J .. Do Newtonovih zakonov (30.-/24.- din)
U čitelj e matematike in fizike prosimo. da prve štiri brošure pokažejo
u čencem v razredih . vse pa jim s primernim strokovnim dopolnilom tudi
ponudijo. Pri skupinskem naročilu imajo poleg č l a n ov društva tudi naročniki
Preseka 20% popust. Prosimo. da nam neprodane izvode in dodatna naročila
vrnete vsaj do 31. oktobra 1990 na naslov Komisija za tisk DMFA. 61111
Ljubljana. Jadranska c. 19. pp 64.
Ciril Velko vrh
A l i že vest e, da je alternativ lahko v eč ?
AL T E C H vam nudi eno izmed najugodnej ših : to je
prenosn i rač u n a l n i k HYUN DAI že za 1.650 .- USA 5) fco Celov ec
Vse informacije dobite pri A LTECH , Ljubljana,
T itova c. 118, tel. št . (061 ) 34 7-96 1,347-969
OB DVAJSETLETNICI REVIJE KVANT
Na začetku leta 1970 je izšla prva št evilka sovjetske rn atemati čno-fizikal ne
revije za uče nce K vant. Že prej so trije mat ematiki M.A.Lavrent'ev.
A.N.Kolmogorov in P.S.Aleksandrov in trije fiziki P.L.Kapica. I.K.Kikoin in
I.V.Obreimov v posebn em pismu utemeljili potrebo po taki reviji.
"Vemo, da se znanos t uspešno razvij a samo, če v zna nstveno-raz-
is kov alne us tanove prihaj a dobro izbrana in nadarj ena mladina . Da bi
bila iz bira čim uspešn ejša, je treba že od šolskih klopi vzgaja ti poteze, ki
so nujno potre bne pri raziskovalnem delu. To so : ustvarjalna domišljija,
pogum in ljub ezen do raziskovanja . Naša šola zdaj v polni me ri ne mo re
izvajati te na loge. Tako vzgojo bi tudi zahteval samo razmeroma m ajhen
del naših učencev. Da bi zajeli po m ožn osti vse naše šole, j e treba osno-
vati posebno revij o. Za razliko od obstoječih dobrih polj udnozn a nstve nih
revij bi si morala nova revij a kot osn ovn o nalogo postaviti razvijanje ust -
varj alnega zanimanja učence v in vzgoj o ak ti vnega sprejemanj a znanj a in
zmožnosti za pove zovanje teorije s prakso . Čeprav bi bilo tako vzgojo
smiselno uves ti za vse veje naravoslovja, pred lagamo, da začnemo z izda-
j anjem matematično -fizikalne revij e. .. 11
Zanimivo je. da so izhajali vsi trije matematični K vantovi očetje iz
moskovske matematične šole N.N.Luzina. ki ji šaljivo pravijo Luzitanija .
in vsi trije fizikalni z Leningrajskega fiziko-tehni čn ega inštituta A.F.loffeja.
Predlog v znanstvenem svetu uveljavljenih akademikov je naletel na odobra -
vanje in tako je pred dvajsetimi leti začel izhajati pri založbi N auka in pod
pokroviteljstvom Akademije znanosti K van t. Ime je revija dobila po obroku
energije v elektromagnetnem valovanju. s katerim je Max Planck leta 1900
začel v fiziki novo. kvantno obdobje. Urednik je postal I.K.Kikoin. njegov
namestnik pa A.N.Kolmogorov.
Ob dvajsetletnici se K vant spominja svojih korenin. Te segajo v tride-
set a leta. ko so se začel a m a tem a tična in fi zikaina tekmovanja u čencev
v Moskvi. Leningradu in Novosibirsku. V šestdesetih letih so prerasla
v vsezvezne olimpiade . Nastale so posebne matemati čno-fizikalne šole
z internati in ve černe in dopisne šole. V tem nizu ustanov. ki so vse
bile namenjene iskanju nadarjenih u čencev in njihovemu čim hitrejšemu
strokovnemu razvoju . je manjkala le še revija z nameno m, ki ga je opredelilo
pismo akademikov.
K vant je izpolnil pričakovanja. Če nit: drugega, priča o tem prva številka
revije Quantum, angleške izdaje Kvanta , ki je pravkar izšla v ZDA. Pri na črtu
sodelujeta ameriški Nobelovec S.Glashow in sovjetski fizik Ju .Osip'jan kot
48
glavna urednika in' Američani B.Aldridge kot odgovorni urednik. E.Lozanski
kot mednarodni svetovalec in H.Andersen kot zastopnik izdajatelja.
V dvajsetih letih se je Kvant precej spremenil. Vseh šest očetov
in nekateri drugi stalni sodelavci so umrli. Starim rubrikam. na primer
K vantovi zbirki nalog. K vantovemu laboratoriju. Praktikumu abiturientov.
Matematičnemu kro žku, Olimpiadam. Obvestilom. so se pridružile nove. na
primer: Šola v K vantu. Informatika in programiranje . Igrice in uganke ,
Kvant se smehlja. R (za rakete in raziskovanje vesolja), Ali imate idejo?
Načrtujejo pa še nove. na primer Poročila o knjigah. Raziskovalne naloge .
.vprašajte - odgovarjamo.
Kvant je zahtevnejši od štiri leta mlajšega Pre seka. Že od prve številke
zagotavlja. da je treba "reševati naloge. brati prispevke s svinčnikom in
papirjem in se pobrigati, da sami naredite opisane poskuse." Kvant je
obsežnejši. saj na leto izide dvanajst številk . Toda Presek z več kot stokrat
manjšim zaledjem je v svojem okolju tudi zavidljiv dosežek. Zato se Kvantu
zagotovo ne bo zdelo za malo. če se čestitkam ob njegovi dvajsetletnici
pridruži Presek in njemu in novorojenemu Quantumu zaželeli še dolgo in
uspešno izhajanje.
Janez Strnad
PISMA BRALCEV
Aleš Jesenšek je poslal Preseku prijazno pismo. ki se začenja takole: "Rad
prebiram Presek. Še posebno všeč so mi članki iz fizike. Z branjem sem
začel v osnovni šoli. nadaljeval v sred nji šoli. potem na fakulteti in tudi zdaj.
ko sem nekako odrasel . z veseljem vzamem revijo v roke. Ob članku Tokovni
top sem se spomnil. kako zagnano sem se v srednji šoli lotil posebne teorije
relativnos ti."
V nadaljevanju samo povzemamo bistvo pisma, v katerem je več enačb.
Naelektren ploščati kondenzator opazujemo v lastnem opazovalnem sistemu.
v katerem miruje, in v laboratorijskem sistemu, v katerem se giblje. Le se
kondenzator giblje v smeri. ki je pravokotna na njegovo električno polje. je
sila. ki deluje na naelektreno telo med ploščama kondenzatorja. v labora-
torijskem sistemu manjša kot v lastnem. Ali se zaradi podobnega pojava v
ionskem kristalu zmanjša sila med ioni v laboratorijskem sistemu. v katerem
se kristal hitro giblje? Ali je v tem sistemu tališče kristala nižje kot v lastnem
sistemu . v katerem miruje?
49
Kratek odgovor brez enačb utegne biti zanimiv tudi za druge bralce Pre-
seka. Na začetku posebne teorije relativnosti se naučimo prevesti opis kakega
pojava v nepospešen em opazovalnem sistemu (opazovalni sistem sestavljajo
koordinatni sistem in ure) v opis tega pojava v drugem takem sistemu . En
opis prevedemo v drugega z Lorentzovimi transformacijami. kot prevedemo
latinski odlomek s slovarjem v slovenščino. Lorentzove transformacije so
kolikor mogoče preproste. linearne. in pri prevajanju samem ne more priti
do težav. Do navideznih težav. ki jim nekateri pravijo "paradoks]" . lahko
pride. če začetni opis v nepospešen em opazovalnem sistemu ni popoln ali
neoporečen. Pri obravnavanju naelektrenega kondenzatorja ali mirujočega
naboja v električnem polju lahko zaidemo v težave. če ne upoštevamo tega.
da na plošči kondenzatorja ali na naelektreno telo v polju deluje kako drugo
telo s silo. ki uravnoveša električno silo. To telo. ki je obremenjeno na stisk
ali nateg. moramo vključiti v račune. potem pa opis venem opazovalnem
sistemu ustreza opisu v drugem. Podroben račun je narejen za ploščati kon-
denzator. ki se giblje v smeri električnega polja. v članku W.Rindlerja in
J .Denurja A simple relativistic paradox about electrostatic energy. American
Journal of Physics 56 (1988) 795.
V ionskem kristalu delujejo na izbrani ion neposredni sosedi s privlačno
silo. nekoliko bolj oddaljeni sosedi z odbojno silo.... in elektroni sosednjih
ionov na njegove elektro ne z odbojno silo... Zaradi tega so razmere v
kristalu tako zapletene. da jih ne moremo obvladati. če se menimo samo
za transformacijo polja sosednjih ionov.
Ker po tej poti ne pridemo zlahka do odgovora. se mu poskusimo
približati po drugi . Vprašamo se po tališču kristala v laboratorijskem
sistemu. če ga poznamo v lastnem sistemu. Potrebujemo samo Lorentzovo
transformacijo za temperaturo. Vendar poznamo tri različne transformacije.
po prvi je temperatura T' v laboratorijskem sistemu nižja kot temperatura
T v lastnem. T' = Tli, po drugi je enaka . T' = T in po tretji je višja .
T' = IT. Pri tem je I = 1/)1- v2/c2 . če je v hitrost lastnega sistema
v laboratorijskem . Vse je odvisno od tega. kako vpeljemo temperaturo in
druge terrnodinarnične količine in kakšen način merjenja imamo v mislih.
Več o tem je mogoče prebrati v članku H.Callena in G.Horwitza Relativistic
Thermodynamics. American Journal of Physics 39 (1971) 938. Razprava o
tem še ni končana.
Morda naš dopisnik in drugi bralci z odgovorom ne bodo čisto zadovoljni.
Sodi pač med primere. ko na razmeroma preprosto vprašanje ni preprostega
odgovora . Takih vprašanj je v fiziki veliko.
Janez Strnad
OC-OL1"'Ll"l" 10, ,_, 1" _I 11_ I usn
PARALAKSA
Poglej na predse iztegnjeni prst roke najprej z desnim . nato pa z levim
o česom . Glave ne premikaj . Na steni sobe ali na ozadju oddaljenih predmetov
vidiš prst v r a z l ič n i h smereh. Opisano spremembo smeri merimo s kotom .
ki ima vrh v opazovanem prstu , kraka pa sta usmerjen a k oče tn a . Temu
kotu rečemo para/aksa (iz grške besede paraliaxis - menjava. sprememba,
1
.......
.:,.0
<:/
r
I
/ "
\
\
\
\
I
I
I
I
I
I
/
I
kr ož n ico s /
p olmer om /
r /
-'
/
/
-- ---
Slika 1. K ucotavl ja nj u paralakse . P prst (o oaz ovano telo) , D desno
oko ( pr v o opazovau sce ) . L lev o oko (druco opazova ttsca). P' navi dezna leoa
prsta na ozadju , Ce oa o led am o z de snim očesom , P " navidezna leoa prsta na
ozadju, Ce c a oledamo z levim očesom , I DL 1= b baza, < D P L = <lP ' P P " = P
pa ra taksa p rs ta (o oazovaneca t elesa ) , r odda ljenost (razda jja) . Ker j e b dost i
rnanjst od r , lahko vzamem o b kar za lok na kroznlcl spo imero m r, Ce loku
pripa da sredlš čn ] ko t o, Sesta vim o anacb o p /36 0 o = b/(2 1rr), ki pove, da st a
si paralaksa ln oddaljeno st ob rat no soraz m erni koll člnl . Če p Izmerimo, lahko
p ri znani ba zi b d olo č lrn o r.
51
odstopanje), razmiku med oč erna pa baza (slika 1). Namesto očes si lahko
mislimo opazovali š či. namesto prsta pa oddaljeno telo , ki ga opazuj emo iz
obeh opazovališč. Paralaksa je to rej kot, v katerem iz oddaljenega telesa
vidimo izbrano bazo , pravokot no na zorno smer.
13
14
12
Sli ka 2. Pri n a t a n č n em od č it a­
va nj u ska le nekaterih m er iln ikov m o-
ramo paziti na parata kso . NI vseeno ,
kako odblramo v redn ost. Pravilno
od č ltavarno ta ko , da c;Jleda mo ved no
z en im oč esom ln pra vo kotno na ska -
lo; cl - prav il no odclta van je. b,c - ne-
pra vi lno .
Če primikamo prst očesoma, se
para laksa veča, če ga odmikamo ,
se manjša. Ta preprost poskus s
prstom nas pripelje na misel. da
sta si paralaksa in oddaljenost (raz-
dalja) telesa obratno sorazm erni . O
tem nas prepriča ena čba , ki smo jo
zapisali v besed ilo pod sliko 1.
lzra čun ajmo paralakso prsta,
ki ga drži mo v oddaljenosti r =
50 cm od očes, če je razm ik med
očesoma b = 6 cm . V en a č bo
vstavimo podatke in dobimo p =
b . 360°1(2u ) = 6 cm .360°/( 2 .
3,14 . 50) cm = 6,9° , Ali zasl ed-
imo to paralakso? Seveda jo, saj
naše oko loči mnogo manjše kote od
izračunan ega. (Čim manj ši kot med
dvema razmaknjenima točkama lo
č i mo , boljša je ločljivost našega oče- ]
sa. Ločlj ivost človeškega očesa je
nekaj kot nih minulo)
Ločljivost najbolj šega očesa je l' (ena kotna minuta ) . Recimo , da ni-
mamo najbolj ših oči. Naj bo ločljivost naš ega očesa okoli 3' . Koliko meri
odd aljenost točkastega telesa , da pri gleda nju enkrat z enim, d rugič z drugim
očesom še zapazimo navidezni premik telesa glede na odd aljene predm ete,
da tor ej zasledimo njegovo paral akso? Postavimo p = 3' , b = 6 cm in
izračunamo odda ljenost r = 6 cm ·360· 60'/(2· 3,14 · 3' ) = 68.8 rn, Če bi
gledali točka st o telo v razdalji večji od 68,8 rn najprej z enim in nato z drugim
očesom , ne bi več zaznali njegove paralakse . Zasledili pa bi jo, če bi povečali
bazo, če bi opazovali dano točko iz dveh bolj razmaknjenih opazovali š č. kot sta
razmaknjeni očesi. (Naredi ta poskus .) Z večjo bazo tor ej lahko ugotovimo
ve čj o oddaljenost telesa . Tak nači n merjenja oddaljenost i uporabljajo v
52
\
i '
..•.."...
.\
I. , ;
/
r -.
1
tt.---: :
li..
~
~
l
i
t
~
~':...,,\
Refrakto r z odprt ino 60 cm na sprou lskem cbservatorllu (ZDA) Je med
najbolj zna nimi dallnoc tedl , s katerim na f ot oo raf sk l nacln rner ll o para lakse
zvezd. Doseoil so nata nčnost meritev pod 0 ,005" (pet tosočlnk kotne
sekund e) .
53
gcodcziji. vojski (daljinomer) in predvsem v astronomiji. Ogledali si borno
omenjeni na čin merjenj a v astronomij i.
Če bi iz dvch zelo razmaknj cnih krajev na zemeljskem površju istočasno
opazovali ali pa foto graf irali Luno ali kak planet. bi ju na ozadju zvezdnega
neba zaznali v razli čnih legah. Če pa bi na tak na čin opazovali zvezde . ne
bi zas ledili spremembe njihovih Icg. To pomeni, da je za Luno in druga
telesa Oson čj a [planete , komct e. mctcorje itn .) izbrana baza na zemeljskem
površju dovolj velika. da bi z njo dolo čili oddaljenost teh teles. za zvezde pa
premajhna. Sklepamo tudi : Ker ne ugotovimo navidezncga premika zvezd.
morajo biti zvczde vsekakor mnogo dalj od nas . kot so Luna in planeti.
Rcs je . Spremembo legc kake bližnje zvczdc glcde na mnogo bolj
oddaljene bi zaznal i šele, če bi jo opazovali iz dvch zelo razmaknjenih leg
Zemlje na njeni poti okrog Sonca. Pri zelo oddaljenih zvezdah pa tudi tega
ne bi mogli zasl editi . Torej so zvezde zares zelo daleč .
Za določanje oddaljenosti teles Oson čja jemljemo za bazo kar polmer
Zcmlje. Kot . v katerem je iz planeta (ali kakega druge ga telesa Oson čja] viden
polmer Zemlje. pravokotno na zorno smer. je (dnevna) para /aksa planeta
(slika 3). Para lakso planeta bi načeloma ugotovili takol e: Plan et bi opazovali
isto časno iz dveh krajev. ki ležita na istem poldncvniku . Za prvi kraj L bi
bil planet na obzo rju. v drugem kraju K pa bi ga vidcli v zenitu . Kot med
smerema od obeh o p az ova li š č proti planetu je enak para laksi planeta. Ko
tor ej določijo (fotografirajo) legi planeta glcdc na zvezde. ugotovijo kot med
legama - to je paralakso planeta. oddaljenost planeta pa izra čunajo iz ena čbe .
ki je zapisana pod sliko 3.
Za vajo i zr a čun a] oddaljcnost planeta Marsa od Zemlje v trenutku. ko
je bila njegova paralaksa l B" : Za polmer Zemljc vzemi 6370 krn. (Rezultat:
7.3 .107 km)
Pri merjenju odda ljenosti zvezd pa vzam emo mnogo večjo bazo . kot je
polmer Zemlje. Za bazo vzam emo polmer kro žnice, po kateri kroži Zemlja
okrog Sonca (slika 4). Kot . v katerem bi iz zvezde videli polmer zemeljske
krožnice ali kar razda ljo mcd Soncem in Zemljo. pravokotno na zorno smer.
imenuj emo (letno) para/aksa zvezde. Paralakso bližnje zvezde d o ločijo takole:
Zvezdo opaz ujejo (fotografirajo) v č a sov n em presledku policta. ko je Zemlja
v nasprotnih Icgah na svoji kro žnici okrog Sonc a . Ugotovijo smeri, v katerih
vidijo zvezdo glcde na ozadj e zvczdnega neba iz ob eh leg Zcmlje. Polovični
kot med obema smere ma pa je enak paral aksi zvezde . Izkazalo se je. da
je za večino zvczd še ta baza premajhna , Uporabna je le za določev anj e
oddaljcnost i najbližjih zvczd .
54
Zvezdno nebo
Za vajo iz ra čun a] oddaljenost
najbližje zvezde Proksime Kentavra .
če je njena paralaksa 0,75". Za
polmer zemeljske krožnice vzemi 1.5
.108 km. (Rezultat : 4.3 svetlobna
leta . Svetlobno leto je razdalja . ki
jo prepotuje svetloba vene m letu.
to je 3 .10 8 mis ·60 ·60 ·24 ·365,25
s = 9,5 .101 2 km.)
. P (planet)
p
Slika 3 . Paralaksa planeta je
kot P. v katerem Iz planeta P vidimo
polmer Zemlje R . ki stoji pravokotno
na zorn i smerI. Ker je po lmer Zamlje
neprimern o rnanl šl od oddaljenosti
plan eta. sp et lahko sestavimo ena -
č b o P/360 o = R /(21rr), Iz katere pri
zn anem R = 6370 k m ln Izmerjeni
para la ks l P izra čunamo oddaljenost
r planeta . Ker se planeti olb ljejo , se
nj iho va parata ksa stalno sp remInja ,
prl bl lZnj ih planetih bolj , pri bolj odd-
aljenih pa manj .
r
f
smer proti zenitu
za kroj K
b =IL DI =R =6370 km
-~
-~--------
K
hor izon t
--------
- -- - "'9""-.....c>=-
L
kr ožnico s
polmerom
r
55
ozadje zvezdnego neba
zvezdo)
b =IL DI =
= Q = 1.5.1O"mMarijan Prosen
k r o ž nic c s
polmerom
Ir
--- _.-......-- - - ---.... ~- --- _ .,, - L Q " 0_ _ -
Zemljo po- ,--- - _"
:irm;;:~~:/----1-------- )
oko l i Sonca Sonce Zem ljo
Z najbolj zmogljivimi da ljnogle-I
di danes izmerijo še zvezdno pa-
ralakso 0.005" in s te m oddaljenost
zvezd do okoli 650 svetlobnih let.
(Prepričaj se o tem z rač u n o rn . ]
Večje oddaljenosti zvezd merijo na
druge n ači ne . O tem pa je Presek
pisal pred kratk im.
Sl ika 4 . Parala ksa zvezde j e
kot o, v kat erem bl Iz zvezd e vid eli
po lmer zeme ljs ke k roZnlce a, k i st oji
pravo kotno na zorno sme r. Ker j e a
skrajno majhen v primeri z r, spe t
velj a ana cba p / 3 6 0o = a/(21rr ), Iz
kat ere pri znan em a = 1,5 .1 0 8 km
ln Izmerj enI paralaksl p lz racunarno
oddalj enost r zvezde. Z ara di ve-
likanskih odd aljenosti Imaj o zvezde
zelo majhno oara la kso (vse so pod
1" ) . Zato je zvezdno par al akso Izre-
dno tazko Izme rit I. Prvo zvez dno pa-
ralakso ln s t em oddaljeno st zvezde
so astronom i Izm er ili ~e l e pr ed 150
letI.
-n LJ L' II" - - ,,_ _, I ~ _
NENAVADNE KRIVULJE
Najprej si bomo ogledali nekaj znanih krivulj in o vsaki povedali kaj za-
nimivega . Potem se bomo seznanili z enostavnim n a č i nom generiranja vseh
teh krivulj. Napisali pa bomo tudi program . s katerim bomo lahko vse te
krivulje risali in si izrnišljali svoje.
1. Kochova snežinka
Za čnimo z enakostranl čnirn trikotnikom (slika la). V prvem koraku
razdelimo vsako stranico trikotnika na tr etjine. srednje odseke stranic pa
nadom estimo z novimi. za t retjino manjšimi enakostrani čnirni trikotniki (slika
lb). V drugem koraku naredimo enako z vsako od stranic tako dobljenega
poligona. ki spominja na Davidovo zvezdo . Postopek lahko ponavljarno .
dokler nam to dopu š ča natan čnost risanja . Le po nekaj korakih postopka
lahko približno vidimo. kakšen bo izgled krivulje. obris lika. če bi postopek
izvedli n eskon čnokrat (slika l e. glej 4. stran ovitka).
Krivulja , ki jo dobimo, č e postopek izvedemo neskon čnokrat, se imenuje
Kochova snežlnks , saj je podobna pravi snežinki. Prvi jo je raziskoval v
z a četku tega st oletj a Helge von Koch . Zelo je zanimiva . saj ima neskon čno
velik obseg. pa vendar obse ga končno površino . Komur so doma ča geometr i-
jska zaporedj a. mu obse ga in površine ne bo težko izra čun ati .
Poglejmo, kakšen lik dobimo. če srednj e dele stranic nadorne š čarno s
trikotniki obrnjenimi navznoter (slike 2a do 2e). Obs eg lika, če postopek
ponovimo n eskon čnokrat. je enak obse gu Kochove snežinke, površina lika
pa je manj ša od površine za četn e ga trikotnika za toliko , kot je površina
Kochove sne žlnke večja od površine istega začetn ega trikotnika . Imenujmo
ta lik obratna Kochova snetinka. Ravnino lahko popoln oma prekrijemo z
i z rne njaj oč i m a se likorna Kochove snežlnke in obratne Koch ove snežlnke (slika
3. glej 4. st ran ovitka).
2. Peanova krivulja
Peanovo krivuljo dobimo z naslednjim postopkom . V prvem korak u
kvadratu nariš emo diagonalo (slika 4a) . V drugem koraku kvadrat razde-
limo na devet enak ih kvadratov in sedaj njim nariš emo vse diagonale z eno
pot ezo. tako da nikjer ne sekamo svoje poti (slika 4b) . V tretjem koraku
naredimo enako z vsakim od manjših kvadratov (slika 4c) . Ker se na slikah 4
diagonale kvadratov v kotih st ikajo. ni jasno . kako krivuljo narišemo. Jasno
pa bo. če zavoje krivulje zaoblimo (slika 4cc). Krivulja. ki jo dobimo . če
postopek ponovimo n eskon čnokrat. se imenuje Peanova krivulja. Opaz imo.
da se krivulja z vsakim nasled njim korakom vedno bolj gosto vije po površini.
omejeni s kvadr ato m. Peanova krivulja je prostor zapolnjujoča krivulja. kar
57
pomeni. da gre skozi vsako točko površine. omejene s kvadratom. To krivuljo
je v drugi polovici prejšnjega stoletja odkril italijanski matematik in logik
Giuseppe Peano (glej 3. stran ovitka).
3. Zmajeva krivulja
Zmajevo krivuljo lahko le za
nekaj prvih korakov razvoja dobimo
s prepogibanjem papirja. Vzemimo
dolg papirnati trak. ki predstavlja
začetek razvoja zmajeve krivulje
(slika 5a). Trak prepogni mo po
polovici in odprimo do pravega kota
(slika 5b) . Trak potem dvakrat za-
poredoma prepognimo po polovici
in ga odprimo do pravih kotov (slika
Se). trak trikrat zaporedoma pre-
pognimo po polovici... Kdor ima
izkušnje s prepogibanjem papirja ve]
da se papir ne da prepogniti več kot
sedemkrat. pa naj bo še tako tanek
in dolg.
Naj bo papir na začetku še
tako dolg . je prostor. ki ga zaseda
zmajeva krivulja. po vsakem ko-
raku manjši. Vendar pa je zma-
jeva krivulja. dobljena z neskončno
mnogo prepogibanj. prostor zapol-
njujo čs krivulja. če na vsakem ko-
raku dolžino papirja ustrezno po-
daljšamo . Če želimo. da je razdalja
med začetkom in koncem zmajeve
krivulje na vsa kem koraku enaka.
moramo krivuljo na vsakem koraku
podaljšati za vr-krat . Štiri zmajeve
krivulje lahko lepo zložirno skupaj .
kot prikazuje slika 6 na 3. strani
ovitka .
o)
Slika 5
Prvi je zmajevo krivuljo opisal fizik John E. Heighway leta 1960 in po
njem krivuljo imenujemo tudi Heighwayev zmaj.
58
4. Sierpinskijeva preproga
o)
c)
Slika l
b )
Začnemo z daljico (slika la) .
potem pa v vsakem naslednjem ko-
raku vsako daljico zamenjamo z li-
kom (slika lb). ki je sestavljen iz
osmih za tretjino krajših daljic. Če
postopek ponovimo neskončnokrat ,
dobimo krivuljo z imenom Sierpin-
skijeva preproga . Sierpinskijeva pre-j
proga ni prostor zapolnjujota krivu-
lja. Vsota površin vseh 'lukenj' v
preprogi je enaka najmanjši površini
kvadrata . ki jo pot rebujemo, da vanj
vrišemo krivuljo. Torej sama krivu-
lja ne prekrije nobene površine.
5. Hilbertova krivulja
Osnovni element te krivulje je o)
lik na sliki 8a. V prvem koraku
uporabimo štiri osnovne elemente
in jih povežemo med seboj s tremi
daljicami. kot prikazuje slika 8b. Za
vsak naslednji korak uporabimo za-
dnjo dobljeno sliko kot osnovni el-
ement. Krivulja. ki jo dobimo po
neskončno mnogo korakih. se ime-
nuje Hilbertova krivulja in je prostor
zapolnjujoča krivulja. b)
RISANJE KRIVULJ
59
Z risanjem teh krivulj je podo-
bno kot z risanjem premice . trikot-
nika. kroga .. .. Vse kar narišemo . pa
naj bo še tako natančno. je le pri-
bližek. pripomoček za nazorno pred-
stavo ideje . Vsaka črta . ki jo na-
rišerno. ima neko debelino. končno
dolžino in tudi popolnoma ravna
ni. Vse zgoraj opisane krivulje so
dobljene s postopkom deljenja. po-
novljenim neskončnokrat. Mi bomo
risali le krivulje na začetnih stopn-
jah njihovega razvoja .
Generiranje krivulj si oglejmo
kar na primeru Kochove snežinke.
ki je zelo enostavna . Kateri so os-
novni elementi potrebni za risanje
Kochove snežinke? To je šest vek-
torjev določe ne dolžine . ki jih bomo
o števil čiti od O do 5. kot prikazuje
slika 9. Krivuljo. ki je sestavljena iz
Sl ika 8
c)
d l
celica nadaljne delitve predstavitev
60
teh vektorjev. lahko sedaj opišemo z nizom vektorjev . Npr.: niz 024
predstavlja enakostraničen trikotnik (slika la). niz 051021324354 pa Kochovo
snežinka na prvi stopnji razvoja (slika lb).
Videli smo, da se na vsakem naslednjem koraku vse stranice poligona
nadomestijo z likom. sestavljenim iz štirih za tretjino krajših daljic. To lahko
opišemo z naslednjimi pravili: vektor Ose nadomesti z nizom vektorjev 0510.
vektor 1 se nadomesti z nizom vektorjev 1021.. .. Podajmo ta pravila v tabeli :
2 1
O O 5 1 O O
1 102 1 1
2 2 1 3 2 2 3 O
3 3 243 3
4 4 3 5 4 4
5 540 5 5
6 102 4 -1
l, 5
Slika 9
V prvem stolpcu so celice. Vsaka celica ima svoje ime. to je število. V
zadnjem stolpcu je podana grafična predstavitev. interpretacija celic. Celicam
O do 5 smo priredili vektorje s slike 9. celica 6 pa nima nobene grafične
predstavitve in smo jo označili z -1. V srednjem delu tabele. imenovanem
nadaljnje delitve. pa so podani nizi celic, ki nadomestijo celico v naslednjem
koraku.
Celico. ki jo vzamemo kot začetno in iz nje potem v nadaljnih korakih
razvijamo krivuljo v skladu s pravili v tabeli. imenujemo rojstno celico. Na
sliki 10 je predstavljen razvoj celice 6. Generacija označuje. kolikokrat celice
nadomestirno z njim ustreznimi nizi celic.
Oglejmo si sedaj program (str . 61) za risanje krivulj. ki so predstavljene
s tabelo . Program je napisan v turbo pascalu. ne bo pa ga težko prilagoditi
za katerikoli prevajalnik na drugem računalniku. ki omogoča risanje.
Ko program poženemo. vpišemo število smeri. t .j. vektorjev. ki so
potrebni za risanje krivulje. Pri Kochovi snežinki je to število 6. Potem
vpisujemo nadaljne delitve celic in za vsako celico niz končamo z -1. Za
vsa ki m nizom nadaljnih delitev vnesemo še predstavitev celice. Vpisovanje
v tabelo končamo z dvema -1. prvič ob prvi nadaljni delitvi celice. ki je ne
potrebujemo več. in drugič ob predstavitvi te celice.
Po vnosu osnovnih podatkov krivulje v zanki spreminjamo naslednje
parametre : dolžino celice. rojstno celico. generacijo in koordinati začetka
') ;readl n(s tS :r.er i);
pro gram. Cener irall j I_Fr akta lov ;
'III'. Cr t ,Gr.ph ;
var nadal j naC.l i t vl :array[O .. 60,O . . 60]of integlr ;
priditavi t ev : arrllY[O. . 60] of i nt.gar ;
. tSm..ri. doll:! na C.licl, gln.racija , r o j It naC .lic. , z:ac ItekI, tacIt ekI . i. j : i nte ger ;
grDr i v er , gr!'olode: in t i ger;
ch :char ;
proceduri nari l i(cl lic. : int eg . r) j
v ar dX,d y : integer;
beg t n
it preda t llvit av[c Il ica ]> =O t han beg i lI.
dx: =round (dol z in aC ,1i c ,," c oI ( pr ed st avi t eve c e l i caj mod
stSmeri* :2'''Pi/ . t Sm..r i» ;
dy : 2-r oun d (d o l .z: inaCe li cI*11 n (p r e ds t a vit ev [cal ica] mod
.tSmer i* :2*Pi / stSmlri» ;
it ( Fr ed . t a vi tav [ cel i ca] >=0) a nd (pr adst avi t e v [c. lic.] c s t Smer-i)
t hall L d ne Re L ( dx , ely )
el.. Nov . a . l ( dx , dy ) ;
an d ;
end ; { nar is i }
pr ocedur Ikr i "Yulj a( generac i ja . c . lica : i n teg er) ;
v a r i : in t agar;
begin
i t gen erac i j ..=0
thla aari , i ( e l l i ca)
Il,. belia
i : =O;
whi l . nadal jneOelitvl[ ellica .i]>=O do begin
krivulj a(ganerllcij Il -l, nadal j DeDelitve Icet ace , f l ) ;
i : =i+l ;
and ; { \W hi l e
en d ; { e l sl }
end ; { kr Lvu Lj e, }
bogi. { gloV1l i }
Cl rS er ;
'Nr i t Q( " e t e vt Lc llI~e r i
i : "O ;
repeat
j : ~ O ;
r ep e at;
'Hi !:: -s(j 1- 1 :3 ,' .. na d a Lj ne d eLf ce-r c el i c a ' , i : 3 . · '); r9 <l Ifl.n (.Hdll lj n-'lDal ir.v J.I [i ,jl ) ;
j : =j q ;
'.lnt i l r,a j a ljniJD eli t v e[i ,j - 11<0 ;
... ri t;a ( ·p r ·d.tllv-t c av c e l i c . ',1 :3,' ') ;r "-'l. d : n (fr ~ d s tav i t a 'd i ]) ;
L =i +1 ;
un t f I n!ld al jnaD-31itve[ i - l,O ]<O;
ch : =;O;
r epe e t { a p r e mi.n j a n j e pa ram et rov i n r i s an j a }
".A' rit B('d lJl z i :'J4 ce Lf c e ::: '); r ead Ln fdo La f na CeLd c e) ;
writ e( ' roj l5 cn a. c e La c a = ' ) ;readln ( rc j 9t :l.ACe l i ca ) ;
'..r i te ( ' g'iln"", r a cijA = ' ) ; r e a.d l .ll.(g e n.e r llc ij !'1);
'Nrit a( 'zac e til k r iaan.ja 1 koord inat. :1 ' ) ;readln (z4cetekX) ;
writ .( ' z,a cetek r i ean j e T koo rd i na t. :1 ') ; r e a dln ( z:a c e t ek Y) ;
~rDr1ver :=d ')tect; { vs t op v grd i eni nac I a }
I nitGnph(iFDrivor ,grNo d. ,, 'l ;
:-.\ o lre To ( z&c a t a :'d . :lac9t~kY) ;
~rt vu Lj a (~ lEl ~ e r ll ci j a , r o j s t na GeLf c a ) ;
r ""p 'u .t unt il K~yP rBII .ad ; { c aJo:.a.j na priti3k ka t e r eko Id t i pk .
ch :=Rtt adKtfiy; { pr ebe r I kat er .. tipk a j e b i l a pr i t i.an j ana }
čLce e č r e p h : { nll xa j v t ek s t ovni na e in }
unti l ch.='27 ; { kon c&j ob pri t isku na tipko ESC}
an d . { glavni}
61
62
generac ijo
O 6 brez preds t avi tve
/ 1
D1 O 2 4
/I~ 11~ 11\\
O2 051021325450/I~ /I~ /I~ /I~ ~\ /1\ /I~fi~ /1\\~/I~~
Slika 10
risanja. Po vsakem vnosu parametrov se krivulja nari še. in če želimo končati.
pritisnemo tipko ESC. drugače pa katerokoli drugo tipko .
Celice imajo lahko naslednje grafične predstavitve p, če je število vseh
smeri enako n: če je O<p <n -1. potem se nariše vektor pod kotom p?:.'f. če
je n<p<2n - 1. potem se le premaknemo v smeri p2: za dolžino vektorja.
če pa je p negativno število. celica nima predstavitve.
Podajmo še tabele za ostale krivulje. ki smo jih spoznali :
Peanova krivulja
število smeri = 8
rojstna celica = katerakoli
celica nadaljne delitve predstavitev
O010323010 1
1 121030121 3
2 232101232 5
3 303212303 7
celica nadaljne delitve predstavitev
Zmajeva krivulja
število smeri = 4
rojstna celica = katerakoli 001
1 21
2 23
3 03
O
1
2
3
Sierpinskijeva preproga
število smeri = 4
rojstna celica =
= katera koli od O do 3
63
celica nadaljne delitve predstavitev
O 010363010 O
1 121070121 1
2 232141232 2
3 303252303 3
4444 4
5 555 5
6666 6
7 777 17
celica nada ljne delitve predstavitev
Hilbertova krivulja
št evilo smeri = 4
rojstna celica = 8 ali 9 O 1034
1 0125
2 0126
3 1037
4 6740
5 7651
6 7652
7 6743
8 1039
9 6748
O
1
2
3
O
1
2
3
-1
-1
Napotki za konstrukcijo lastnih krivulj
Najenostavnejši način za konstrukcijo las t ne krivulje je seveda. da si
nadaljne delitve v tab eli kar izmislimo . Če nam je krivulja potem všeč . jo
lahko poskušamo še izboljšati. Drugemu nači nu bomo rekli metoda inici-
atorja in generatorja . pri kat eri je iniciator nekakšno seme. iz katerega se
razvija krivulja po pravilih. ki jih podaja generator. Po tej meto di je dobljena
Kochova snežinka. Peanova krivulja in Sierpinskijeva prepro ga . Pri Kochovi
snežinki je iniciator enakostraničen tri kot nik (slika la) . generator pa Davi-
dova zvezda (slika lb). Pri Pea novi krivulji je iniciator diagonala kvadrata
(slika 4a) . generator pa povezane diagon ale devetih kvadratov (slika 4b).
Pri Sierpinskijevi prepro gi je iniciator daljica (slika 7a). generator pa lik
64
na sliki lb . Enostavno je če vzamemo za iniciator daljico. za generator pa si
izmislimo lik. Vsakemu vektorju potem priredimo celico. ki se v naslednjem
koraku nadomesti z ustrezno orientiranim likom. Konstrukcija krivulj bo
šla seveda tembolj od rok. či m bolj se bomo poglobili v delovanja same ga
postopka risanja.
Ideje za razširitev programa
Vsako krivuljo lahko shran imo na disk v obliki dat oteke . V dat oteko
shranimo vse parametre potrebne za risanje krivulje. število smeri. celotno
tabelo. rojstno celico. dolžino celice . koordinate z ače t ka risanja krivulje. Tako
si prihranimo veliko dela s tipkanjem tab el v program . Ni nujno. da so celice
predsta vljene z raz li čno usmerjenimi. enako dolgimi daljicami. Predst avitev
celic bi lahko bila tudi tridimenzionalna.
Ciril Pezdir
KOMISIJA ZA TISK DMFA Slovenije
61111 Ljubljana. pp 64
Jadranska c. 19, tel. (061) 265-061
NAROČILNICA
Za šolsko leto 1990/91 n aročamo ..... izvodov PRESEKA - lista za mlade
matematike. fizike. astronome in ra č u na l n i karje po celoletn i na ročnin i za
posam eznike 100.00 din in za skupinska na roči l a na šolah 80.00 din.
Šola .
Priimek in ime ..
Naslov (ulica. hišna številka. sjevi lka pošt e in kraj) .
Naroč n i n o bomo poravnali do 1.11.1990. (Kasneje nakazane na roč n i ne bodo
lahko višje.)
Žig in podpis
Datum:
o) b ) cl d ) e )
Slika 1
D&Jukk
o) b) c) d) e)
Sli ka 2
Sl ika 3
Slika 6
m SUka .,,)
/ >om_
o) b) c) d) e)
Slika 4