Dinamika masnih sistemov Avtorji Boštjan Harl Marko Kegl Timi Karner Marec 2024 Naslov Dinamika masnih sistemov Title Dynamics of Mass Systems Avtor Boštjan Harl Marko Kegl Authors (Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo) (Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo) Timi Karner (Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo) Recenzija Nenad Gubeljak Boštjan Brank Review (Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo) (Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo) Lektoriranje Language editing Amidas, d. o. o. Tehnična urednika Jan Perša Technical editors (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Oblikovanje ovitka Jan Perša Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafika na ovitku System web, avtor: geralt, Pixabay.com, 2024 Cover graphics Harl, Kegl, Karner (avtorji), 2024 Grafične priloge Viri so lastni, razen če ni navedeno drugače. Graphic material Harl, Kegl, Karner (avtorji), 2024 Založnik Univerza v Mariboru Izdajatelj Univerza v Mariboru Published by Univerzitetna založba Issued by Fakulteta za strojništvo Slomškov trg 15, 2000 Maribor Smetanova ulica 17, 2000 Maribor Slovenija Slovenija ht ps:/ press.um.si, zalozba@um.si https://fs.um.si, fs@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Izdano Published at Maribor, marec 2024 Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at ht p:/ press.um.si/index.php/ump/catalog/book/854 © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba CIP - Kataložni zapis o publikaciji / University of Maribor, University Press Univerzitetna knjižnica Maribor Besedilo / Text © Harl, Kegl, Karner, 2024 531.391(0.034.2) To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva-HARL, Boštjan Nekomercialno-Brez predelav 4.0 Mednarodna. / This work is licensed under the Dinamika masnih sistemov [Elektronski Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 International License. vir] / avtorji Boštjan Harl, Marko Kegl, Timi Karner. - 1. izd. - E-publikacija. - Uporabnikom je dovoljeno reproduciranje brez predelave avtorskega dela, Maribor : Univerza v Mariboru, Univerzitetna distribuiranje, dajanje v najem in priobčitev javnosti samega izvirnega avtorskega dela, založba, 2024 in sicer pod pogojem, da navedejo avtorja in da ne gre za komercialno uporabo. Način dostopa (URL): Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative Commons, razen https://press.um.si/index.php/ump/catalog/ če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto book/854 v licenci Creative Commons, boste morali pridobiti dovoljenje neposredno od imetnika ISBN 978-961-286-835-2 (Pdf) avtorskih pravic. doi: 10.18690/um.fs.1.2024 COBISS.SI-ID 188292867 https:/ creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ ISBN 978-961-286-835-2 (pdf) DOI ht ps:/ doi.org/10.18690/um.fs.1.2024 Cena Price Brezplačni izvod Odgovorna oseba založnika prof. dr. Zdravko Kačič, For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Harl, B., Kegl, M., Karner, T. (2024). Dinamika masnih sistemov. Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba. Attribution doi: 10.18690/um.fs.1.2024 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov Vsebina Vsebina .................................................................................................................................................... I Predgovor ................................................................................................................................................ 1 1 MATEMATIČNE IN MEHANSKE OSNOVE ................................................................................ 3 1.1 Osnovne predpostavke in dogovori 3 1.2 Matematične osnove 4 1.3 Kinematične osnove 6 1.3.1 Opis gibanja točke na osnovi gibljive baze 7 1.3.2 Opis gibanja telesa 9 1.3.3 Rotacijska matrika in preslikave komponent 10 2 DINAMIKA TOGEGA TELESA .................................................................................................... 11 2.1 Masni delec in telo 11 2.2 Osnovni zakoni dinamike 16 2.2.1 Newtonovi zakoni za masni delec 16 2.2.2 Uporaba Newtonovih zakonov na sistemu delcev in na zveznem telesu končnih dimenzij 16 2.3 Splošni zakoni dinamike in njihova uporaba 18 2.3.1 Zakoni o gibalni količini 18 2.3.2 Zakoni o vrtilni količini 22 2.3.3 Zakoni o mehanski energiji 26 2.3.3.1 Delo in moč 26 2.3.3.2 Kinetična energija 27 2.3.3.3 Potencialne energije 29 3 MEHANSKA NIHANJA .................................................................................................................. 31 3.1 Uvod in definicije 31 3.1.1 Telo 32 3.1.2 Vzmet 33 3.1.2.1 Togosti konstrukcijskih elementov 33 3.1.2.2 Nadomestna togost skupine vzmeti 35 3.1.3 Dušilka 37 3.2 Lastna nihanja sistemov z eno prostostno stopnjo 38 3.2.1 Nedušeno lastno nihanje 38 3.2.1.1 Eliminacija statične obremenitve 40 3.2.1.2 Rotacija okrog fiksne osi 40 3.2.2 Dušeno lastno nihanje 41 3.3 Lastna nihanja sistemov z več prostostnimi stopnjami 44 3.4 Vsiljena nihanja sistemov z eno prostostno stopnjo 46 3.4.1 Nedušeno vsiljeno nihanje 47 3.4.2 Dušeno vsiljeno nihanje 48 3.4.2.1 Primer vsiljenega nihanja z inercijskim vzbujanjem 50 3.4.2.2 Primer vsiljenega nihanja z vzbujanjem podlage 51 4 ANALITIČNA DINAMIKA ............................................................................................................. 53 4.1 Uvod 53 4.2 Prostostne stopnje dinamičnih sistemov 54 4.3 Pridobivanje gibalnih enačb s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa in D'Alambertovega UM, Fakulteta za strojništvo I B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov principa 54 4.3.1 Newton-Eulerjev pristop 54 4.3.2 D'Alembertov princip 55 4.3.3 Newton-Eulerjev pristop in diagram prostih teles 56 4.3.4 D'Alambertov princip in uporaba metode prerezov 59 4.4 Posplošene oz. generalizirane koordinate 62 4.5 Holonomni sistemi in holonomne vezi 64 4.6 Neholonomni sistemi in neholonomne vezi 65 4.7 Virtualno delo 66 4.7.1 Virtualni pomik 66 4.7.2 Odvisne in neodvisne koordinate 67 4.8 Virtualno delo in posplošene sile 69 4.8.1 Posplošene sile 69 4.8.2 Virtualno delo konservativnih in nekonservativnih sil 72 4.8.3 Virtualno delo reakcijskih sil v podporah 72 4.9 Princip uporabe virtualnega dela v statiki oz. statičnem ravnotežju 73 4.9.1 Virtualno delo v statiki 73 4.9.2 Pridobivanje ravnotežnih enačb 74 4.10 Princip uporabe virtualnega dela v dinamiki 78 4.10.1 Virtualno delo v dinamiki 78 4.10.2 Pridobivanje gibalnih oz. dinamičnih enačb 78 4.11 Izpeljava Lagrangeeve enačbe 83 4.11.1 Lagrangeeva enačba 83 4.11.2 Upoštevanje sile vzmeti pri Lagrangeevi metodi 88 LITERATURA ..................................................................................................................................... 91 Stvarno kazalo ...................................................................................................................................... 93 UM, Fakulteta za strojništvo II B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov Predgovor Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Dinamika masnih sistemov, ki spada v učni program Fakultete za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, smer Mehatronika, na Univerzi v Mariboru. Za razumevanje knjige je potrebno relativno skromno predznanje. S področja mehanike je koristno poznavanje osnovnih pojmov iz statike in kinematike. S področja matematike pa je potrebno poznavanje osnov vektorskega in diferencialnega računa. Zaradi preglednosti in lažjega branja so matematični in drugi objekti pisani z različnimi pisavami. Kolikor se je dalo, so uporabljena naslednja pravila označevanja:  skalarji: a, , b c   ,  ,  vektorji in matrike (tenzorji): , a A, b, Bz, , Z ,,    točke: A,B, CZ UM, Fakulteta za strojništvo 1 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov UM, Fakulteta za strojništvo 2 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove 1 MATEMATIČNE IN MEHANSKE OSNOVE Namen:  Opredeliti osnovne predpostavke in dogovore.  Osvežiti matematične pojme, ki jih bomo najbolj potrebovali.  Osvežiti najbolj nujne teme iz področja kinematike. Cilj: S pridobljenim znanjem bo študent sposoben predelati in razumeti snov naslednjih poglavij. 1.1 Osnovne predpostavke in dogovori V okviru te knjige bomo privzeli naslednje dogovore in predpostavke: ● Telesa bomo obravnavali kot homogena. Največ opravka bomo imeli z nedeformabilnimi oziroma togimi telesi, razen kadar ko bo posebej poudarjeno, da je obravnavano telo deformabilno oziroma (v našem primeru) elastično. ● Vse mehanske sklope, kot so na primer ležaji, mehanske vezi in podpore, bomo obravnavali idealizirano: ni zračnosti, ni trenja in podobno. ● Za opis gibanja bomo večinoma uporabljali Kartezijev koordinatni sistem. Za opis mehanskega dogajanja v ravnini bomo uvedli fiksno ortonormirano vektorsko bazo (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 ) in koordinatni sistem O𝑥𝑦, slika 1.1. 𝐚 y ay a 𝐞 x 𝑦 O 𝐞 x 𝑥 Slika 1.1: Ortonormiran koordinatni sistem O𝑥𝑦 v opazovani ravnini UM, Fakulteta za strojništvo 3 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove Dogovorimo se še, da bomo bazo (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 ) in koordinatni sistem O𝑥𝑦 orientirali vedno tako, kot kaže slika. Zaradi tega dogovora bomo risanje koordinatnega sistema pogosto opuščali. Prav tako bomo običajno opuščali risanje vektorske baze. Za opis gibanja v prostoru vektorsko bazo (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 ) razširimo z vektorjem 𝐞𝑧 = 𝐞𝑥 × 𝐞𝑦 , ki določa tretjo os, os z (slika 1.2). Baza (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 , 𝐞𝑧 ) je ortonormirana in določa desnosučni koordinatni sistem O𝑥𝑦𝑧, ki ga imenujemo Kartezijev koordinatni sistem. z 𝐚 az 𝐞𝑦 y 𝐞𝑧 ax ay O 𝐞𝑥 x Slika 1.2: Ortonormiran koordinatni sistem O𝑥𝑦𝑧 v prostoru Razen fiksnega koordinatnega sistema O𝑥𝑦𝑧 bomo uvedli še gibljivega Q𝑢𝑣𝑤. Vektorsko bazo gibljivega sistema bomo označili z (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ). Ravninski različici fiksnega in gibljivega koordinatnega sistema sta prikazani na sliki 1.3. v 𝐞 y 𝑣 u Q 𝐞 𝐞 𝑢 𝑦 O 𝐞𝑥 x Slika 1.3: Fiksni koordinatni sistem O𝑥𝑦 in gibljivi koordinatni sistem Q𝑢𝑣 Kot se bo izkazalo v nadaljevanju, je uvedba gibljivega koordinatnega sistema koristna zato, ker lahko s tem opis gibanja v mnogih primerih zelo poenostavimo. 1.2 Matematične osnove Z uporabo fiksnega koordinatnega sistema O𝑥𝑦𝑧 lahko poljuben vektor 𝐚 zapišemo kot 𝐚 = 𝑎𝑥𝐞𝑥 + 𝑎𝑦𝐞𝑦 + 𝑎𝑧𝐞𝑧 (1.1) kjer so (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 , 𝐞𝑧 ) bazni vektorji koordinatnega sistema. Ker v tem koordinatnem sistemu velja 1 0 0 𝐞𝑥 = [0] , 𝐞𝑦 = [1] , 𝐞𝑧 = [0] (1.2) 0 0 1 UM, Fakulteta za strojništvo 4 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove lahko zapis vektorja 𝐚 skrajšamo na 𝑎𝑥 𝐚 = [𝑎𝑦] (1.3) 𝑎𝑧 oziroma 𝐚 = [𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧]𝑇 (1.4) Skalarje 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 in 𝑎𝑧 imenujemo koordinate vektorja 𝐚. Pri ravninskih problemih imamo v glavnem opravka z vektorji, za katere velja 𝑎𝑧 = 0. Zaradi racionalnosti v takih primerih vektor 𝐚 pišemo tudi kot 𝑎𝑥 𝐚 = [𝑎 ] (1.5) 𝑦 Pozor: Če tak vektor uporabimo v vektorskem produktu, ga je treba pred tem obvezno razširiti s tretjo koordinato 𝑎𝑧 = 0. V izračunih pogosto potrebujemo tudi normo ali dolžino vektorja 𝐚, ki je skalar in jo izračunamo 𝑎 = ‖𝐚‖ = +√𝑎2 2 2 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑎𝑧 (1.6) Z uvedbo dodatnega gibljivega koordinatnega sistema Q𝑢𝑣𝑤 lahko poljubni vektor 𝐚 zapišemo na dva načina, in sicer kot 𝐚 = 𝑎𝑥𝐞𝑥 + 𝑎𝑦𝐞𝑦 + 𝑎𝑧𝐞𝑧 (1.7) ter kot 𝐚 = 𝑎𝑢𝐞𝑢 + 𝑎𝑣𝐞𝑣 + 𝑎𝑤𝐞𝑤 (1.8) kjer so (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ) bazni vektorji gibljivega koordinatnega sistema, ki so spremenljivi in odvisni od časa. Opozorimo na dejstvo, da so koordinate 𝑎𝑥, 𝑎𝑦 in 𝑎𝑧 vektorja 𝐚 v fiksnem koordinatnem sistemu v splošnem številčno drugačne od koordinat 𝑎𝑢, 𝑎𝑣 in 𝑎𝑤 istega vektorja v gibljivem koordinatnem sistemu. Definirajmo še operacije med vektorji in matrikami. Skalarni produkt dveh vektorjev 𝐚 in 𝐛, slika 1.4, je skalar 𝑐, ki se izračuna kot produkt dolžin obeh vektorjev in kosinusa vmesnega kota (vmesni kot je kot 𝛼, ki ga vektorja oklepata, če izhajata iz skupne začetne točke) 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎𝑏 cos 𝛼 = 𝑐 (1.9) Skalarni produkt lahko izračunamo tudi kot vsoto produktov istoležnih komponent obeh vektorjev 𝐚 in 𝐛 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝐚𝑇𝐛 = 𝑎𝑥𝑏𝑥 + 𝑎𝑦𝑏𝑦 + 𝑎𝑧𝑏𝑧 = 𝑐 (1.10) Skalarni produkt vektorja s samim seboj lahko zapišemo kot 𝐚 ∙ 𝐚 = 𝐚2. UM, Fakulteta za strojništvo 5 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove 𝐚 y  𝐞𝑦 𝐛 O 𝐞 x 𝑥 Slika 1.4: Vektorja a in b v koordinatnem sistemu O𝑥𝑦 Iz definicije skalarnega produkta je očitno, da je njegova vrednost enaka nič, če sta vektorja 𝐚 in 𝐛 med seboj ortogonalna. Vektorski produkt vektorjev 𝐚 in 𝐛 je vektor 𝐜, slika 1.5, ki je pravokoten na ravnino, ki jo tvorita vektorja 𝐚 in 𝐛. Njegova absolutna vrednost je enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja 𝐚 in 𝐛. 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏𝑥 𝑦𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑦 𝐚 × 𝐛 = [𝑎𝑦] × [𝑏𝑦] = [−(𝑎𝑥𝑏𝑧 − 𝑎𝑧𝑏𝑥)] = 𝐜 (1.11) 𝑎𝑧 𝑏𝑧 𝑎𝑥𝑏𝑦 − 𝑎𝑦𝑏𝑥 𝐜 𝐛  𝐚 Slika 1.5: Vektorski produkt vektorjev a in b Absolutna vrednost vektorskega produkta je enaka produktu norm obeh vektorjev in sinusa vmesnega kota, oziroma ‖𝐚 × 𝐛‖ = 𝑎𝑏 sin 𝛼 . Od tod sledi, da je vektorski produkt enak vektorju nič, če sta vektorja 𝐚 in 𝐛 med seboj paralelna. Produkt matrike 𝐀 dimenzije 3 × 3 in vektorja 𝐛 dimenzije 3 da vektor 𝐜 dimenzije 3, ki ga izračunamo kot 𝑎 𝑎 11 𝑎12 𝑎13 𝑏𝑥 11𝑏𝑥 + 𝑎12𝑏𝑦 + 𝑎13𝑏𝑧 𝐀𝐛 = [𝑎21 𝑎22 𝑎23] [𝑏𝑦] = [𝑎21𝑏𝑥 + 𝑎22𝑏𝑦 + 𝑎23𝑏𝑧] = 𝐜 (1.12) 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑏𝑧 𝑎31𝑏𝑥 + 𝑎32𝑏𝑦 + 𝑎33𝑏𝑧 1.3 Kinematične osnove V tem poglavju bomo na kratko predstavili tiste teme iz področja kinematike, ki jih bomo nujno potrebovali pri opisu dinamike togega telesa. UM, Fakulteta za strojništvo 6 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove 1.3.1 Opis gibanja točke na osnovi gibljive baze Eden najbolj uporabnih načinov opisa gibanja točke je s pomočjo gibljive baze. Motiv za tak način opisa je v tem, da gibljivo bazo namestimo tako, da kompleksnejše gibanje razstavimo na dve enostavnejši gibanji. To nam mnogokrat precej poenostavi zapis krajevnega vektorja in nato tudi izračun hitrosti in pospeškov točke. Uvedimo fiksni koordinatni sistem O𝑥𝑦𝑧 z bazo (𝐞𝑥 , 𝐞𝑦 , 𝐞𝑧 ) in gibljiv koordinatni sistem Q𝑢𝑣𝑤 z bazo (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ), slika 1.6. Lego izhodišča Q gibljive baze podaja krajevni vektor 𝐫𝑄, njeno vrtenje v prostoru pa naj podaja vektor kotne hitrosti 𝛚. Krajevni vektor točke A lahko zapišemo kot 𝐫 = 𝐫𝑄 + 𝐩 (1.13) Vektor 𝐩 lahko na osnovi gibljive baze izrazimo kot 𝐩 = 𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝒗 + 𝑤𝐞𝑤 (1.14) pri čemer smo z (𝑢, 𝑣, 𝑤) označili lokalne koordinate točke A – koordinate A glede na gibljivo bazo (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ). A 𝐩 𝐞𝑤 𝛚 z Q 𝐞𝑢 𝐫 𝐞𝑣 𝐫𝑄 y O x Slika 1.6: Opis gibanja na osnovi gibljive baze Hitrost točke A dobimo, kot vedno, z odvajanjem krajevnega vektorja po času 𝐯 = 𝐫̇𝑄 + 𝐩̇ = 𝐯𝑄 + 𝑢̇𝐞𝑢 + 𝑣̇𝐞𝑣 + 𝑤̇𝐞𝑤 + 𝑢𝐞̇𝑢 + 𝑣𝐞̇𝑣 + 𝑤𝐞̇𝑤 (1.15) Izpeljava izrazov za odvode baznih vektorjev (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ) po času se verjetno najenostavneje naredi na osnovi sklepanja o lastnostih odvoda vektorja po skalarju. Oglejmo si poljubno situacijo, in sicer iz takega zornega kota, da bosta vektorja 𝐞𝑢 in 𝛚 ležala v opazovani ravnini, slika 1.7. Iz teorije vemo, da je odvod vektorja po času enak vektorju, ki kaže v smeri gibanja vrha vektorja, če bi tega risali iz fiksne točke. Ali drugače: 𝐞̇𝑢 kaže v smeri gibanja vrha 𝐞𝑢, če bi tega risali iz fiksne točke. V narisani situaciji je očitno, da morata biti smer in orientacija 𝒆̇𝑢 enaka smeri in orientaciji vektorja 𝛚 × 𝐞𝑢. Glede norme odvoda pa je znano naslednje: norma odvoda vektorja po skalarju (času) je enaka absolutni hitrosti gibanja vrha vektorja 𝒆𝑢, če bi tega risali iz fiksne točke. UM, Fakulteta za strojništvo 7 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove 𝛚 𝐞  𝑢 Q ravnina (𝐞𝑢, 𝐞𝑤) Slika 1.7: Izračun odvoda baznega vektorja 𝐞𝑢 V narisani situaciji je jasno, da je (pri fiksirani točki Q) absolutna hitrost vrha 𝐞𝑢 enaka ‖𝛚‖‖𝐞𝑢‖ sin 𝛼. To pa je natanko norma vektorja 𝛚 × 𝐞𝑢. Iz tega torej sledi 𝐞̇𝑢 = 𝛚 × 𝐞𝑢 (1.16) s podobnim sklepanjem pa lahko ugotovimo še 𝐞̇𝑣 = 𝛚 × 𝐞𝑣 , 𝐞̇𝑤 = 𝛚 × 𝐞𝑤 (1.17) Z upoštevanjem teh ugotovitev lahko hitrost točke A torej zapišemo kot 𝐯 = 𝐯𝑄 + 𝑢̇𝐞𝑢 + 𝑣̇𝐞𝑣 + 𝑤̇𝐞𝑤 + 𝛚 × (𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝑣 + 𝑤𝐞𝑤) (1.18) oziroma 𝐯 = 𝐯𝑄 + 𝐯𝑟 + 𝛚 × 𝐩 (1.19) Pri obravnavanem opisu gibanja lahko torej na hitrost točke A gledamo kot na vsoto naslednjih treh komponent ● 𝐯𝑄 – hitrost izhodišča Q gibljive baze, ● 𝐯𝑟 = 𝑢̇𝐞𝑢 + 𝑣̇𝐞𝑣 + 𝑤̇𝐞𝑤 – hitrost A napram gibljivi bazi (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ) – relativna hitrost in ● 𝛚 × 𝐩 – hitrost A zaradi vrtenja gibljive baze (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ) s kotno hitrostjo 𝛚. Pospešek točke A dobimo, kot običajno, z odvajanjem vektorja hitrosti po času. Sledi 𝐚 = 𝐯̇𝑄 + 𝐯̇𝒓 + 𝛚̇ × 𝐩 + 𝛚 × 𝐩̇ (1.20) oziroma 𝐚 = 𝐚𝑄 + 𝑢̈𝐞𝑢 + 𝑣̈𝐞𝑣 + 𝑤̈𝐞𝑤 + 𝑢̇𝐞̇𝑢 + 𝑣̇𝐞̇𝑣 + 𝑤̇𝐞̇𝑤 + 𝛚̇ × (𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝑣 + 𝑤𝐞𝑤) + 𝛚 × (𝑢̇𝐞𝑢 + 𝑣̇𝐞𝑣 + 𝑤̇𝐞𝑤) + 𝛚 × (𝑢𝐞̇𝑢 + 𝑣𝐞̇𝑣 + 𝑤𝐞̇𝑤) (1.21) Po preureditvi dobimo 𝐚 = 𝐚𝑄 + (𝑢̈𝐞𝑢 + 𝑣̈𝐞𝑣 + 𝑤̈𝐞𝑤) + 2𝛚 × (𝑢̇𝐞𝑢 + 𝑣̇𝐞𝑣 + 𝑤̇𝐞𝑤) + 𝛚̇ × (𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝑣 + 𝑤𝐞𝑤) + +𝛚 × (𝛚 × (𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝑣 + 𝑤𝐞𝑤)) (1.22) oziroma 𝐚 = 𝐚𝑄 + 𝐚𝑟 + 2𝛚 × 𝐯𝑟 + 𝛚̇ × 𝐩 + 𝛚 × (𝛚 × 𝐩) (1.23) Na pospešek točke A lahko torej pri tem opisu gledamo kot na vsoto naslednjih petih komponent: UM, Fakulteta za strojništvo 8 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove ● 𝐚𝑄 – pospešek izhodišča Q gibljive baze, ● 𝐚𝑟 = 𝑢̈𝐞𝑢 + 𝑣̈𝐞𝑣 + 𝑤̈𝐞𝑤 – pospešek A napram gibljivi bazi (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤 ) – relativni pospešek, ● 𝐚𝑐 = 2𝛚 × 𝐯𝑟 – pospešek A zaradi spreminjanja njene obodne hitrosti kot posledico spreminjanja krivinskega polmera tira – Coriolisov pospešek, ● 𝐚𝑡 = 𝛚̇ × 𝐩 – pospešek A zaradi spreminjanja njene obodne hitrosti kot posledico spreminjanja kotne hitrosti 𝛚 - tangencialni pospešek in ● 𝐚𝑛 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐩) – pospešek A zaradi ukrivljenosti tira – normalni pospešek. Na koncu poudarimo, da so zgoraj omenjene komponente (tako pri hitrosti, kot tudi pri pospešku) odvisne od izbire koordinatnega sistema. Drugačna izbira gibljive baze da namreč drugačne vrednosti komponent hitrosti in pospeška pri istem gibanju. 1.3.2 Opis gibanja telesa Zelo primerno izhodišče za opis gibanja telesa v prostoru predstavlja opis gibanja točke na osnovi gibljive baze. Če namreč gibljivo bazo (𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 , 𝐞𝑤) pritrdimo na opazovano telo, lahko lego, hitrost in pospešek poljubne točke A telesa, slika 1.8, izrazimo z enačbami, ki smo jih spoznali v prejšnjem poglavju. A 𝐩 𝐞𝑤 z Q 𝐫 𝐞𝑣 𝐫𝑄 y O x Slika 1.8: Opis gibanja telesa v prostoru V skladu s povedanim lahko torej lego poljubne točke A telesa zapišemo kot 𝑥𝑄 𝐫 = 𝐫 𝑦 𝑄 + 𝐩 = [ 𝑄] + (𝑢𝐞𝑢 + 𝑣𝐞𝒗 + 𝑤𝐞𝑤) (1.24) 𝑧𝑄 Pri tem so (𝑢, 𝑣, 𝑤) lokalne koordinate točke A, ki so odvisne od tega, katero točko telesa opazujemo. Druge količine pa so tiste, ki določajo pozicijo in zasuk telesa v prostoru, in sicer v naslednjem smislu: ● pozicijo telesa določa lega točke Q oziroma parametri 𝑥𝑄, 𝑦𝑄 in 𝑧𝑄, ● zasuk telesa določa gibljiva baza, oziroma bazni vektorji 𝐞u , 𝐞𝑣 in 𝐞𝑤 . UM, Fakulteta za strojništvo 9 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 1 Matematične in mehanske osnove Treba se je spomniti, da ima prosto telo v prostoru 6 prostostnih stopenj: 3 za pozicijo in 3 za zasuk. Trije primerni parametri za določanje pozicije so očitno 𝑥𝑄, 𝑦𝑄 in 𝑧𝑄. Pri rotacijah pa se pri izbiri primernih parametrov zaplete. Vektorji 𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 in 𝐞𝑤 imajo namreč skupaj 9 komponent, ki jih je očitno treba izraziti samo s 3 parametri. Ta postopek imenujemo parametrizacija prostorskih rotacij. Možnosti, kako parametrizirati rotacije, imamo več. Vsaka od njih ima svoje dobre in slabe lastnosti. Zgolj za ilustracijo omenimo le naslednji dve varianti: ● parametrizacija z uporabo Eulerjevih kotov in ● parametrizacija z rotacijskim psevdovektorjem. Če vektorje 𝐞𝑢 , 𝐞𝑣 in 𝐞𝑤 po stolpcih zložimo v matriko, dobimo rotacijsko matriko 𝐑 = [𝐞𝑢 ⋮ 𝐞𝑣 ⋮ 𝐞𝑤] (1.25) Zaradi tega lahko rečemo, da zasuk telesa v prostoru določa njegova rotacijska matrika 𝐑, parametrizacijo zasukov pa imenujemo tudi parametrizacija rotacijske matrike. 1.3.3 Rotacijska matrika in preslikave komponent Za konec si oglejmo le nekaj najpomembnejših lastnosti rotacijske matrike. Fiksni in gibljivi koordinatni sistem naj imata isto izhodiščno točko, eden napram drugemu pa sta lahko poljubno zavrtena. 𝐫𝑥𝑦𝑧 naj označuje lego neke točke A, izraženo v fiksnem koordinatnem sistemu; 𝐫𝑢𝑣𝑤 pa naj označuje lego iste točke A, izraženo v gibljivem koordinatnem sistemu. V takem primeru lahko dokaj enostavno pokažemo, da velja 𝐫𝑥𝑦𝑧 = 𝐑𝐫𝑢𝑣𝑤 (1.26) Rotacijska matrika predstavlja torej preslikavo med koordinatami iste točke, izraženimi v dveh koordinatnih sistemih, ki sta med seboj poljubno zavrtena. Pokazati je mogoče, da je matrika 𝐑 ortogonalna matrika. To pomeni, da ima vedno inverzno matriko, in ta je enaka njeni transponiranki. Torej velja 𝐑−1 ≡ 𝐑𝑇, iz česar sledi, da velja tudi 𝐫𝑢𝑣𝑤 = 𝐑𝑇𝐫𝑥𝑦𝑧 (1.27) Ni pa rotacijska matrika uporabna le pri preslikavi vektorjev. Z njeno uporabo lahko preslikujemo tudi objekte višjega reda, kot so na primer tenzorji (drugega ali višjega reda). Razlaga pomena pojma tenzor presega okvir tega učbenika. Za nas naj bo zaenkrat dovolj le to, da lahko preslikavo (vztrajnostnega) tenzorja iz enega koordinatnega sistema v drugega naredimo z uporabo rotacijske matrike 𝐑, in sicer kot 𝐉𝑥𝑦𝑧 = 𝐑𝐉𝑢𝑣𝑤𝐑𝑇 (1.28) kjer je 𝐉𝑥𝑦𝑧 vztrajnostni tenzor, izražen v koordinatnem sistemu 𝑥𝑦𝑧, 𝐉𝑢𝑣𝑤 pa je isti tenzor, izražen v zasukanem koordinatnem sitemu 𝑢𝑣𝑤. V obratni smeri je preslikava naslednja 𝐉𝑢𝑣𝑤 = 𝐑𝑇𝐉𝑥𝑦𝑧𝐑 (1.29) UM, Fakulteta za strojništvo 10 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa 2 DINAMIKA TOGEGA TELESA Namen:  Spoznati osnovne zakone dinamike za masni delec.  Spoznati pojme gibalna in vrtilna količina ter delo, moč in energija.  Spoznati splošne zakone dinamike za masni delec in telo. Cilj: S pridobljenim znanjem bo študent sposoben enostavnejše dinamične probleme iz tehniške prakse pravilno formulirati in rešiti. Glavne oporne točke:  Osnovni zakoni dinamike: trije Newtonovi zakoni za masni delec.  Splošni zakoni se izpeljejo iz osnovnih zakonov dinamike ter se nanašajo na gibalno in vrtilno količino ter delo, moč in energijo. 2.1 Masni delec in telo Osnovni zakoni dinamike so formulirani za masni delec, vendar pa lahko iz njih izpeljemo zakone, ki veljajo za telo. Masni delec imenujemo točkasto telo s končno maso 𝑚. Z besedo točkasto poudarimo, da so dimenzije telesa tako majhne, da lahko: ● zanemarimo vse vplive, ki so posledica rotacije telesa, in ● prijemališča vseh zunanjih sil prestavimo v težišče telesa. Morda se zdi, da takšen model telesa ni kaj prida uporaben v praksi, vendar pa se izkaže, da temu ni tako. V mnogih praktičnih primerih se zaradi vezi (vodila, podpore ...) telesa lahko gibljejo samo premo, medtem ko je rotacija preprečena. Razen tega lahko pogosto prijemališča zunanjih sil brez škode prestavimo v težišče telesa. V takih primerih lahko opazovano telo upravičeno obravnavamo kot masni delec, slika 2.1. vzmet telo dušilec Slika 2.1: Dinamičnih vplivov rotacij tukaj ni – telo lahko obravnavamo kot masni delec UM, Fakulteta za strojništvo 11 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Seveda se pa situacija spremeni, če se opazovano telo lahko vrti in so vplivi zaradi rotacije takšni, da jih ne moremo zanemariti, slika 2.2. V takem primeru moramo naš objekt obravnavati kot telo s končnimi dimenzijami in končno maso 𝑚. Slika 2.2: Dinamični vplivi rotacij so tukaj veliki – teles zato ne moremo obravnavati kot masne delce Za dinamično obravnavo teles potrebujemo nekaj pomožnih količin. Najpomembnejše med njimi so: prostornina in masa telesa, krajevni vektor težišča, osni vztrajnostni momenti in deviacijski vztrajnostni momenti telesa. Prostornino in maso telesa B računamo z izrazoma 𝑉 = ∫ 𝑑𝑉 𝐵 (2.1) 𝑚 = ∫ 𝜌𝑑𝑉 = ∫ 𝑑𝑚 𝐵 𝐵 kjer operator ∫ označuje integracijo po celem telesu, 𝑑𝑉 je diferencial prostornine, 𝜌 pa je 𝐵 gostota snovi telesa. Produkt 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉 imenujemo diferencial mase telesa. Težišče telesa je točka, ki ustreza masnemu središču telesa, če je gravitacijsko polje konstantno. V tem primeru lahko krajevni vektor težišča izračunamo kot 1 𝐫𝑇 = ∫ 𝐫𝑑𝑚 (2.2) 𝑚 𝐵 kjer je krajevni vektor poljubne točke telesa označen z 𝐫. V praksi si lahko računanje težišča pogosto poenostavimo, če upoštevamo lastnost aditivnosti integrala. Poenostavljeno povedano to pomeni, da lahko integracijo po celem telesu nadomestimo z vsoto integracij po njegovih sestavnih delih. V ta namen razdelimo opazovano telo B skupne mase 𝑚 na 𝑛 delov B 𝑛 1 … B𝑛 z masami 𝑚1 … 𝑚𝑛, kjer je 𝑚 = ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑖, slika 2.3. B B, m 1, m 1 z B i, mi x y Slika 2.3: Razcep telesa B na sestavne dele B i lahko olajša računanje težišča Zaradi lastnosti aditivnosti integrala lahko zapišemo ∫ 𝐫𝑑𝑚 = ∑𝑛𝑖=1 ∫ 𝐫𝑑𝑚 (2.3) 𝐵 𝑖 𝐵𝑖 UM, Fakulteta za strojništvo 12 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Ker pa je ∫ 𝐫𝑑𝑚𝑖 = 𝑚 𝐵 𝑖𝐫𝑇𝑖 (2.4) 𝑖 kjer je 𝐫𝑇𝑖 težišče dela 𝐵𝑖, sledi ∑𝑛 𝐫 𝐫 𝑛 𝑖=1 𝑇𝑖𝑚𝑖 𝑇𝑚 = ∑ 𝐫 𝑖=1 𝑇𝑖𝑚𝑖 → 𝐫𝑇 = (2.5) 𝑚 Ta izraz za računanje težišča telesa B je dokaj koristen, saj je v praksi pogosto lažje izračunljiv kot osnovni izraz z integralom po celem telesu. V zvezi s težiščem telesa je koristno izpeljati še eno pomembno relacijo, ki se izkaže za zelo koristno pri izpeljavi splošnih zakonov mehanike za telo. V ta namen zapišimo definicijo težišča telesa in jo nekoliko preuredimo, kot sledi, slika 2.4. 𝑚𝐫𝑇 = ∫ 𝐫𝑑𝑚 = ∫ (𝐫 (2.6) 𝐵 𝑇 + 𝐩)𝑑𝑚 𝐵 kjer je 𝐩 vektor, ki kaže od težišča telesa do točke podane z 𝐫. B, m T z p 𝐫𝑇 dm r x y Slika 2.4: Razcep krajevnega vektorja 𝐫 na (𝐫𝑇 + 𝐩) Vektor 𝐫𝑇 je neodvisen od integracije po telesu, iz česar sledi 𝑚𝐫𝑇 = 𝐫𝑇 ∫ 𝑑𝑚 + ∫ 𝐩𝑑𝑚 = 𝑚𝐫 (2.7) 𝐵 𝐵 𝑇 + ∫ 𝐩𝑑𝑚 𝐵 Očitno mora veljati ∫ 𝐩𝑑𝑚 = 0 (2.8) 𝐵 oziroma z besedami: če vektor, odmerjen iz težišča telesa do poljubne točke, integriramo po celotnem telesu, bo rezultat vedno enak nič. Osni vztrajnostni moment telesa, je definiran kot 𝐽 2 𝛼 = ∫ 𝑟𝛼 𝑑𝑚 (2.9) 𝐵 kjer desni spodnji indeks 𝛼 označuje os, glede na katero moment računamo, B označuje telo, 𝑑𝑚 je diferencial mase (masa elementarnega dela) telesa, 𝑟𝛼 pa je oddaljenost 𝑑𝑚 od osi 𝛼. Kot primer si oglejmo izračun osnega vztrajnostnega momenta mase homogene pravokotne prizme za os 𝑧, ki gre skozi geometrijsko središče prizme, slika 2.5. Dimenzije prizme so 𝑎 × 𝑏 × 𝑐, gostota materiala pa je enaka 𝜌. UM, Fakulteta za strojništvo 13 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa y r y b x x a 𝐽𝑧 = ∫ 𝑟2𝑑𝑚 = ∫ (𝑥2 + 𝑦2) 𝜌 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐵 𝐵 𝑎 𝑏 𝐽 2 2 𝑧 = 𝜌𝑐(𝑏 ∫ 𝑎 𝑥2𝑑𝑥 + 𝑎 ∫ ) 𝑏 𝑦2𝑑𝑦 − − 2 2 1 1 1 𝐽𝑧 = 𝜌𝑐 ( 𝑎3𝑏 + 𝑏3𝑎) = 𝑚(𝑎2 + 𝑏2) 12 12 12 V praksi si pri računanju osnih vztrajnostnim momentov običajno pomagamo z vztrajnostnimi momenti teles pravilnih geometrijskih oblik. Formule za izračun teh vztrajnostnih momentov je zato dobro imeti izpeljane vnaprej. Morda najbolj uporabne od teh formul, kjer 𝑚 označuje maso telesa, vse osi pa gredo skozi težišče teles, slika 2.5, so naslednje: 1 𝑟2 ℎ2 ● za valj polmera 𝑟 in višine ℎ: 𝐽𝑥 = 𝑚𝑟2, 𝐽 + ) 2 𝑦 = 𝑚( 4 12 1 1 ● za kvader dolžine 𝑎, višine 𝑏 in širine 𝑐: 𝐽𝑥 = 𝑚(𝑏2 + 𝑐2), 𝐽 𝑚(𝑎2 + 𝑐2) 12 𝑦 = 12 1 ● za tanko dolgo palico dolžine 𝑙: 𝐽𝑦 = 𝑚𝑙2 (os y je pravokotna na geometrijsko os in 12 𝑟 → 0) y y c r x b x a h Slika 2.5: Telesa pravilnih geometrijskih oblik Za izračun vztrajnostnega momenta okoli osi, ki ne gre skozi težišče telesa, lahko uporabimo Huygens-Steinerjevo pravilo (izpeljava ni težka in jo bralec lahko naredi sam), ki ga zapišemo kot 𝐽𝛼 = 𝐽𝑡 + 𝑒2𝑚 (2.10) Pri tem je 𝐽𝛼 vztrajnostni moment glede na (netežiščno) os 𝛼, 𝐽𝑡 je vztrajnostni moment glede na vzporedno težiščno os 𝑡, 𝑒 je razdalja med osmi, 𝑚 pa je masa telesa, slika 2.6. UM, Fakulteta za strojništvo 14 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa α t m 𝐽 x 𝛼 = 𝐽𝑡 + 𝑒2𝑚 e Slika 2.6: Uporaba Huygens-Steinerjevega pravila Deviacijski vztrajnostni moment telesa je definiran kot 𝐽𝛼𝛽 = − ∫ 𝛼𝛽𝑑𝑚 (2.11) 𝐵 kjer indeksa 𝛼 in 𝛽 označujeta izbrani (medsebojno ortogonalni) osi, 𝛼 in 𝛽 v integralu pa sta koordinati materialnega delca glede na ti dve izbrani osi. Opozorimo na naslednji dejstvi: ● iz definicije očitno sledi, da je 𝐽𝛼𝛽 = 𝐽𝛽𝛼, ● če je vsaj ena od ravnin 𝛼𝛾 ali 𝛽𝛾 simetrijska ravnina telesa, velja 𝐽𝛼𝛽 = 0. Če osi 𝛼, 𝛽 in 𝛾 ortogonalnega koordinatnega sistema izberemo tako, da so vsi deviacijski momenti enaki nič, to je, 𝐽𝛼𝛽 = 𝐽𝛽𝛾 = 𝐽𝛾𝛼 = 0, potem osi 𝛼, 𝛽 in 𝛾 imenujemo glavne vztrajnostne osi telesa. V primeru, da gredo vse glavne vztrajnostne osi skozi težišče telesa, jih imenujemo centralne glavne vztrajnostne osi telesa. Kot primer si oglejmo prizmo mase 𝑚 v neki izbrani legi, glede na koordinatni sistem 𝑥𝑦, slika 2.7. Deviacijski vztrajnostni moment mase, glede na osi 𝑥 in 𝑦, se izračuna kot 𝑏 𝑎 1 𝐽𝑥𝑦 = − ∫ 𝑥𝑦𝑑𝑚 = −𝜌𝑐 ∫ ∫ 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = − 𝑚𝑎𝑏 (2.12) 𝐵 0 0 4 y c m b x a Slika 2.7: Deviacijski vztrajnostni moment telesa Osni in deviacijski vztrajnostni momenti telesa, zloženi v matriko dimenzij 3 × 3, predstavljajo tako imenovani vztrajnostni tenzor 𝐉 telesa 𝐽𝑥 𝐽𝑥𝑦 𝐽𝑥𝑧 𝐉 = [𝐽𝑦𝑥 𝐽𝑦 𝐽𝑦𝑧] (2.13) 𝐽𝑧𝑥 𝐽𝑧𝑦 𝐽𝑧 Razlaga pomena pojma tenzor presega okvir tega učbenika. Za nas naj bo zaenkrat dovolj le to, da lahko preslikavo (vztrajnostnega) tenzorja iz enega koordinatnega sistema v drugega naredimo z uporabo rotacijske matrike 𝐑, kot je to opisano v prvem poglavju. UM, Fakulteta za strojništvo 15 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa 2.2 Osnovni zakoni dinamike Osnovni zakoni dinamike so trije Newtonovi zakoni, ki veljajo za masni delec. Na osnovi teh treh zakonov lahko namreč izpeljemo vse druge zakone (zakon o ohranitvi gibalne količine ...), ki jih imenujemo splošni zakoni dinamike. 2.2.1 Newtonovi zakoni za masni delec Prvi Newtonov zakon Prvi Newtonov zakon, ki ga imenujemo tudi zakon vztrajnosti (ali inercije), lahko zapišemo tako:  Masni delec, na katerega ne delujejo nobene zunanje sile, ohranja svoje stanje mirovanja ali translatornega enakomernega gibanja. Lastnost masnega delca, da ohranja svoje stanje, če nanj ne delujejo zunanje sile, imenujemo vztrajnost ali inercija delca. Drugi Newtonov zakon Drugi Newtonov zakon, ki mu rečemo kar osnovni zakon dinamike, je Newton formuliral na osnovi gibalne količine, Euler pa ga je kasneje zapisal v bolj znani obliki, in sicer: 𝐅 = 𝑚𝐚 (2.14) Z besedami bi ga lahko opisali tako:  Masni delec mase 𝑚 , na katerega delujejo zunanje sile z rezultanto 𝐅 , se giblje s takim pospeškom 𝐚 , da je produkt 𝑚𝐚 enak 𝐅 . Pospešek delca in sila, ki nanj deluje, sta torej sorazmerna vektorja; njuna smer in orientacija sta vedno enaki. Sorazmernostni faktor predstavlja maso delca. Tretji Newtonov zakon Tretji Newtonov zakon, ki ga imenujemo tudi zakon akcije in reakcije, lahko zapišemo tako:  Dva masna delca delujeta drug na drugega s silo enake intenzitete in smeri, vendar nasprotne orientacije. To velja ne glede na gibalno stanje obeh delcev, torej tako pri pospeševanju kot tudi v stanju mirovanja. 2.2.2 Uporaba Newtonovih zakonov na sistemu delcev in na zveznem telesu končnih dimenzij Newton je svoje zakone zapisal za masni delec. Da lahko te zakone prevedemo tudi v obliko, ki velja za telesa končnih dimenzij, je zelo koristno uvesti sistem masnih delcev, slika 2.8. Ta UM, Fakulteta za strojništvo 16 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa je sestavljen iz 𝑁 masnih delcev z masami 𝑚𝑖, 𝑖 = 1 … 𝑁. Posamezni delci so med seboj lahko povezani z vezmi ali pa tudi ne. Vsak delec 𝑚𝑖 je lahko obremenjen z zunanjo silo 𝐅𝑖 in s silami 𝐟𝑖𝑗 v vezeh, ki vežejo delce. Za sile v vezeh iz tretjega Newtonovega zakona sledi:  Če na delec 𝑚𝑖 deluje vezna sila 𝐟𝑖𝑗, potem na delec 𝑚𝑗 deluje nasprotno enaka vezna sila 𝐟𝑗𝑖 = −𝐟𝑖𝑗. F i m m k i f ij z f ji mj x y Slika 2.8: Sistem masnih delcev Težišče sistema masnih delcev je podano z enačbo: 1 𝐫 𝑁 𝑇 = ∑ 𝐫 (2.15) 𝑚 𝑖=1 𝑖𝑚𝑖 kjer je 𝑚 = ∑𝑁 𝑚 𝑖=1 𝑖 skupna masa sistema, 𝐫𝑖 pa je krajevni vektor oziroma lega masnega delca 𝑚𝑖. Če to enačbo množimo z 𝑚 in dvakrat odvajamo po času, dobimo 𝑚𝐚 𝑁 𝑇 = ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑖𝐚𝑖 (2.16) kjer je 𝐚𝑇 pospešek težišča sistema. Uporabimo zdaj drugi Newtonov zakon za masni delec 𝑚𝑖. Ta se glasi: 𝐅𝑖 + ∑ 𝐟𝑖𝑗 = 𝑚𝑖𝐚𝑖. Pri tem ∑ 𝐟𝑖𝑗 označuje vsoto vseh veznih sil, s katerimi drugi delci delujejo na delec 𝑚𝑖. Če to enačbo vstavimo v prejšnjo, dobimo: 𝑚𝐚 𝑁 𝑇 = ∑ (𝐅 𝑖=1 𝑖 + ∑ 𝐟𝑖𝑗) (2.17) Za konec se moramo samo še spomniti, da vezne sile 𝐟𝑖𝑗 nastopajo paroma in da je vsota vseh teh sil v sistemu enaka nič. Ker je torej ∑𝑁 ∑ 𝐟 𝑖=1 𝑖𝑗 = 0, sledi 𝐅 = 𝑚𝐚𝑇 (2.18) kjer 𝐅 = ∑𝑁 𝐅 𝑖=1 𝑖 označuje rezultanto vseh zunanjih sil, ki delujejo na sistem. Za sistem delcev torej velja, da je vsota vseh zunanjih sil enaka produktu skupne mase in pospeška težišča sistema. To enačbo lahko interpretiramo kot drugi Newtonov zakon za sistem masnih delcev. Kadar na sistem delcev ne delujejo zunanje sile, je torej pospešek težišča enak nič. Iz tega sledi, da mora biti v odsotnosti zunanjih sil hitrost težišča sistema konstantna. Ali drugače, če je ∑𝑁 𝐅 𝑖=1 𝑖 = 0, sledi: 𝐯𝑇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (2.19) UM, Fakulteta za strojništvo 17 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa To pomeni, da brez vpliva zunanjih sil težišče sistema delcev ohranja konstantno hitrost, ki je lahko seveda tudi enaka nič. Torej tak sistem lahko, na primer, miruje, se giblje enakomerno premo, enakomerno rotira okrog ene od glavnih težiščnih osi ali pa opravlja še kakšno drugačno gibanje. V vsakem primeru je vektor hitrosti težišča zagotovo konstanten, če nimamo vpliva zunanjih sil. Sistem masnih delcev lahko prevedemo na zvezno telo končnih dimenzij, če privzamemo 𝑁 → ∞ in 𝑚𝑖 → 𝑑𝑚, kjer 𝑑𝑚 označuje diferencial mase telesa, slika 2.9. B z dm r x y Slika 2.9: Zvezno telo B končnih dimenzij in njegov diferencial mase 𝑑𝑚 Zamenjava 𝑚𝑖 → 𝑑𝑚 formalno pomeni, da je treba vsak operator za seštevanje po 𝑁 delcih sistema zamenjati z integralom po celotnem telesu B oziroma ∑𝑁 𝑖=1 → ∫ (2.20) 𝐵 V splošnem lahko ugotovimo, da po opravljenih zamenjavah vse enačbe, ki smo jih izpeljali za sistem delcev, smiselno veljajo tudi za telo končnih dimenzij. Drugi Newtonov zakon se torej za telo končnih dimenzij lahko zapiše kot 𝐅 = 𝑚𝐚𝑇 (2.21) Ali z besedami: vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo, je enaka produktu mase telesa in pospeška njegovega težišča. 2.3 Splošni zakoni dinamike in njihova uporaba Z uporabo Newtonovih zakonov lahko načelno rešimo vse probleme klasične dinamike. Vendar pa se v praksi izkaže, da je reševanje mnogih problemov precej enostavnejše, če namesto osnovnih zakonov uporabimo njihove izpeljanke – torej zakonitosti, ki jih izpeljemo iz Newtonovih zakonov in jih imenujemo splošni zakoni dinamike. V tej knjigi bomo obravnavali le nekaj najpomembnejših. 2.3.1 Zakoni o gibalni količini Masni delec Za masni delec z maso 𝑚, ki se giblje s hitrostjo 𝐯, slika 2.10, definiramo gibalno količino 𝐊 kot UM, Fakulteta za strojništvo 18 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa 𝐊 = 𝑚𝐯 (2.22) Če levo in desno stran gornje enačbe odvajamo po času (in upoštevamo, da je masa konstantna), dobimo 𝑑𝐊 𝑑(𝑚𝐯) 𝑑𝐯 = = 𝑚 = 𝑚𝐚 (2.23) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Če upoštevamo, da je produkt 𝑚𝐚 enak rezultanti 𝐅 vseh zunanjih sil (drugi Newtonov zakon), pa sledi 𝑑𝐊 = 𝐅 (2.24) 𝑑𝑡 Gornja enačba nam pove, da je hitrost spreminjanja gibalne količine enaka rezultanti zunanjih sil. To enačbo imenujemo tudi zakon o spremembi gibalne količine (v diferencialni obliki). Z besedami ga lahko opišemo tako:  Časovni odvod gibalne količine masnega delca je enak vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo na masni delec. z v K 1 m 2 tir gibanja x y Slika 2.10: Gibalna količina masnega delca Pomnožimo zdaj gornjo enačbo z diferencialom časa 𝑑𝑡 ter levo in desno stran integrirajmo od stanja 1 (v času 𝑡1) do stanja 2 (v času 𝑡2). Dobimo 𝐊 𝑡 ∫ 2 𝑑𝐊 = ∫ 2 𝐅𝑑𝑡 (2.25) 𝐊1 𝑡1 Iz tega očitno sledi 𝑡 𝐊 2 2 − 𝐊1 = ∫ 𝐅𝑑𝑡 (2.26) 𝑡1 kjer sta 𝐊1 in 𝐊2 gibalni količini masnega delca v trenutku 𝑡1 oziroma 𝑡2, integral na desni strani gornje enačbe pa imenujemo impulz ali sunek sile. Gornjo enačbo, ki jo imenujemo tudi zakon o spremembi gibalne količine (v integralski obliki), lahko torej z besedami opišemo tako:  Sprememba gibalne količine masnega delca v časovnem intervalu od 𝑡1 do 𝑡2 je enaka impulzu sile v tem istem časovnem intervalu. Iz gornje razlage je očitno, da se bo gibalna količina masnega delca ohranjala, kadar bo 𝐅 = 𝟎. V takem primeru je namreč tudi impulz sile enak nič in torej velja 𝐊2 = 𝐊1 (2.27) kar imenujemo zakon o ohranitvi gibalne količine. UM, Fakulteta za strojništvo 19 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Telo Gornje enačbe, ki smo jih izpeljali za masni delec, lahko v nekem smislu posplošimo tudi na telo končnih dimenzij. Gibalna količina telesa B je enaka vsoti gibalnih količin vseh njegovih delcev. Torej lahko zapišemo 𝐊 = ∫ 𝐯𝑑𝑚 (2.28) 𝐵 kjer je 𝐯 hitrost diferenciala mase 𝑑𝑚. dm  p z Q rQ O B x y Slika 2.11: Na telesu B izberemo točko Q Izberimo na telesu B poljubno točko Q, slika 2.11. Iz poglavij o kinematiki vemo, da lahko hitrost 𝐯 poljubne točke telesa vedno zapišemo kot 𝐯 = 𝐯𝑄 + 𝛚 × 𝐩 (2.29) kjer je 𝐯𝑄 hitrost točke Q (translacija telesa), 𝛚 je kotna hitrost vrtenja telesa (rotacija telesa) okrog osi, ki gre skozi Q, 𝐩 pa je vektor od točke Q do diferenciala 𝑑𝑚, slika 2.11. Po vstavljanju te relacije v izraz za gibalno količino dobimo 𝐊 = ∫ (𝐯𝑄 + 𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 = 𝐯 + 𝛚 × ∫ 𝐩𝑑𝑚 (2.30) 𝐵 𝑄 ∫ 𝑑𝑚 𝐵 𝐵 Drugi člen na desni strani enačbe vsebuje integral ∫ 𝐩𝑑𝑚. Če točko Q izberemo v težišču 𝐵 telesa, se pravi, Q ≡ T, dobimo ∫ 𝐩𝑑𝑚 = 0. Razen tega vemo, da je ∫ 𝑑𝑚 = 𝑚, iz česar 𝐵 𝐵 sledi 𝐊 = 𝑚𝐯𝑇 (2.31) Gibalna količina telesa je torej enaka produktu mase telesa in hitrosti njegovega težišča in je torej neodvisna od rotacije telesa okrog njegove težiščne osi, slika 2.12. Če dobljeno relacijo odvajamo po času, dobimo zakon o spremembi gibalne količine telesa (v diferencialni obliki) 𝑑𝐊 = 𝑚𝐚 𝑑𝑡 𝑇 = 𝐅 (2.32) kjer je 𝐅 rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo, 𝐚𝑇 pa je pospešek težišča telesa. UM, Fakulteta za strojništvo 20 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa z v T m K tir gibanja težišča x y Slika 2.12: Gibalna količina telesa Smiselno lahko seveda zapišemo tudi zakon o spremembi gibalne količine telesa v integralski obliki 𝑡 𝐊 2 2 − 𝐊1 = ∫ 𝐅𝑑𝑡 (2.33) 𝑡1 Telo spremenljive mase V tehniški praksi ni malo situacij, kjer je potrebno analizirati gibanje telesa, čigar masa se med gibanjem zvezno in bistveno spreminja. Primer takšne situacije je gibanje rakete z motorjem na tekoče gorivo. V takšnih primerih je potrebno gibalne enačbe zapisati z ustreznim upoštevanjem vpliva masnega toka, zaradi katerega se masa telesa spreminja (narašča ali upada). dm v m v z m F x y Slika 2.13: Gibanje telesa s spremenljivo maso Oglejmo si situacijo na sliki 2.13. Težišče telesa mase 𝑚 se giblje s hitrostjo 𝐯. Znotraj časovnega intervala 𝑑𝑡 na telo deluje zunanja sila 𝐅, v telo pa trči tudi masni delec mase 𝑑𝑚, ki se giblje s hitrostjo 𝐯𝑚. Masni delec se pri trku spoji s telesom, katerega masa je po trku torej enaka vsoti 𝑚 + 𝑑𝑚. Zaradi delovanja zunanje sile in trka se spremeni tudi hitrost telesa; njegovo težišče se po trku giblje s hitrostjo 𝐯 + 𝑑𝐯. Za opisano situacijo lahko zapišemo zakon o spremembi gibalne količine sistema (telo + delec) znotraj časovnega intervala 𝑑𝑡. Ta se glasi (𝑚 + 𝑑𝑚)(𝐯 + 𝑑𝐯) − (𝑚𝐯 + 𝑑𝑚𝐯𝑚) = 𝐅𝑑𝑡 (2.34) V tej enačbi se med seboj izničita dva produkta 𝑚𝐯, razen tega pa lahko zanemarimo tudi diferencialno količino višjega reda 𝑑𝑚𝑑𝐯 ≈ 0. Z upoštevanjem slednjega lahko zakon preoblikujemo v 𝑚𝑑𝐯 + 𝑑𝑚𝐯 = 𝑑𝑚𝐯𝑚 + 𝐅𝑑𝑡 (2.35) UM, Fakulteta za strojništvo 21 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Če dobljeno enačbo delimo z 𝑑𝑡, dobimo na levi strani časovni odvod gibalne količine telesa spremenljive mase. Zakon o spremembi gibalne količine telesa spremenljive mase se torej v diferencialni obliki lahko zapiše kot 𝑑𝐊 = 𝑚̇𝐯 𝑑𝑡 𝑚 + 𝐅 (2.36) 𝑑𝑚 kjer 𝑚̇ = predstavlja masni tok zaradi katerega se spreminja masa opazovanega telesa. V 𝑑𝑡 tej enačbi na desni strani nastopa vektor 𝐯𝑚, ki predstavlja hitrost delcev masnega toka. V tehniški praksi ta hitrost običajno ni znana, dokler ne poznamo hitrosti gibanja telesa. To je dokaj neugodna situacija, ki se ji lahko izognemo, če to enačbo predelamo v nekoliko drugačno obliko. Za predelavo gornje enačbe najprej upoštevamo, da lahko časovni odvod gibalne količine zapišemo kot 𝑑𝐊 = 𝑚𝐚 + 𝑚̇𝐯. Z upoštevanje te relacije lahko po preureditvi dobimo 𝑑𝑡 𝑚𝐚 = 𝑚̇(𝐯𝑚 − 𝐯) + 𝐅 (2.37) kjer izraz v oklepaju (𝐯𝑚 − 𝐯) = 𝐯𝑟 predstavlja relativno hitrost delcev masnega toka, merjeno napram telesu. Slednjo enačbo lahko torej zapišemo tudi kot 𝑚𝐚 = 𝑚̇𝐯𝑟 + 𝐅 (2.38) To je zelo uporabna enačba za izračun gibanja rakete. Na desni strani nastopata namreč razen zunanje sile 𝐅 še masni tok 𝑚̇ in relativna hitrost 𝐯𝑟 izpušnih plinov raketnega motorja. Obe slednji količini sta torej parametra raketnega motorja in predstavljata znana podatka. Če lahko rezultanto 𝐅 zunanjih sil (gravitacija, zračni upor ...) dovolj dobro ovrednotimo, izračun trenutnega pospeška rakete torej ni več problematičen. Produkt 𝑚̇𝐯𝑟 ima enoto sile in ga imenujemo tudi potisk motorja. 2.3.2 Zakoni o vrtilni količini Masni delec Opazujemo masni delec z maso 𝑚, ki se giblje s hitrostjo 𝐯, slika 2.14. Vrtilno količino masnega delca, izračunano glede na fiksno točko O, definiramo kot 𝐋𝑂 = 𝐫 × 𝑚𝐯 (2.39) kjer je 𝐫 krajevni vektor masnega delca. L O z v m 1 2 r tir gibanja y x O Slika 2.14: Vrtilna količina masnega delca UM, Fakulteta za strojništvo 22 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Kar takoj opozorimo na dejstvo, da je vrtilna količina delca odvisna od izbire točke O (oziroma izhodišča koordinatnega sistema). Če koordinatni sistem premaknemo, se torej spremeni tudi vrednost vrtilne količine delca. Odvajajmo vrtilno količino po času. Dobimo 𝑑𝐋 𝑂 = 𝐯 × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐚 (2.40) 𝑑𝑡 Ker je prvi vektorski produkt na desni strani enak nič in če upoštevamo drugi Newtonov zakon, sledi 𝑑𝐋 𝑂 = 𝐫 × 𝐅 (2.41) 𝑑𝑡 oziroma 𝑑𝐋 𝑂 = 𝐌 𝑑𝑡 𝑂 (2.42) kjer smo z 𝐌𝑂 označili rezultanto momenta vseh zunanjih sil na delec. Pri tem mora biti moment zunanjih sil izračunan glede na točko O. To enačbo imenujemo zakon o spremembi vrtilne količine (v diferencialni obliki). Z besedami jo lahko opišemo tako:  Časovni odvod vrtilne količine (izračunane glede na točko O) masnega delca je enak momentu vseh zunanjih sil (izračunanemu glede na točko O), ki delujejo na masni delec. Pomnožimo gornjo enačbo z diferencialom časa 𝑑𝑡 ter levo in desno stran integrirajmo od stanja 1 (v času 𝑡1) do stanja 2 (v času 𝑡2). Dobimo 𝐋 𝑡 ∫ 𝑂2 𝑑𝐋 2 𝑂 = ∫ 𝐌 (2.43) 𝐋 𝑂𝑑𝑡 𝑂1 𝑡1 Iz tega očitno sledi 𝑡 𝐋 2 𝑂2 − 𝐋𝑂1 = ∫ 𝐌𝑂𝑑𝑡 (2.44) 𝑡1 kjer sta 𝐋𝑂1 in 𝐋𝑂2 vrtilni količini masnega delca v trenutku 𝑡1 oziroma 𝑡2, integral na desni strani gornje enačbe pa imenujemo impulz ali sunek momenta sile. Gornjo enačbo, ki jo imenujemo tudi zakon o spremembi vrtilne količine (v integralski obliki), lahko torej z besedami opišemo tako:  Sprememba vrtilne količine masnega delca v časovnem intervalu od 𝑡1 do 𝑡2 je enaka impulzu momenta v tem istem časovnem intervalu. Iz gornje razlage je očitno, da se bo vrtilna količina masnega delca ohranjala v vsakem časovnem intervalu, v katerem bo 𝐌𝑂 = 𝟎. V takem primeru torej velja 𝐋𝑂2 = 𝐋𝑂1 (2.45) kar imenujemo zakon o ohranitvi vrtilne količine. Telo Enačbe, ki smo jih izpeljali za masni delec, lahko smiselno posplošimo tudi na telo končnih dimenzij. Kar takoj povejmo, da je izpeljava zakonitosti, ki so vezane na vrtilno količino telesa, precej zahtevna. Na srečo se stvari nekoliko poenostavijo, če se dogovorimo, da bomo vrtilno količino telesa računali le glede na posebej izbrane točke telesa. UM, Fakulteta za strojništvo 23 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Začnimo s splošno definicijo. Vrtilna količina telesa B, izračunana glede na izhodišče O koordinatnega sistema, slika 2.15, je podana z izrazom 𝐋𝑂 = ∫ 𝐫 × 𝐯𝑑𝑚 (2.46) 𝐵 kjer je 𝐫 krajevni vektor diferenciala mase 𝑑𝑚, 𝐯 pa je njegova hitrost. B, m Q z p v 𝐫𝑄 dm r O x y Slika 2.15: Razcep krajevnega vektorja 𝐫 na (𝐫𝑄 + 𝐩) Splošen izraz za vrtilno količino je običajno razmeroma težko izračunljiv. Tukaj si pomagamo tako, da na telesu 𝐵 izberemo točko Q, slika 2.11. Vrtilna količina telesa B, izračunana glede na Q, se lahko zapiše kot 𝐋𝑄 = ∫ 𝐩 × 𝐯𝑑𝑚 = ∫ 𝐩 × (𝐯 (2.47) 𝐵 𝑄 + 𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 𝐵 kjer je 𝐯𝑄 hitrost točke Q telesa, 𝛚 je kotna hitrost rotacije telesa okrog osi, ki gre skozi točko Q, 𝐩 pa je vektor od točke Q telesa do diferenciala 𝑑𝑚. Dobimo 𝐋𝑄 = ∫ 𝐩𝑑𝑚 × 𝐯 = ∫ 𝐩 × (𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 (2.48) 𝐵 𝑄 + ∫ 𝐩 × (𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 𝐵 𝐵 kjer smo privzeli, da je ∫ 𝐩𝑑𝑚 × 𝐯 𝐵 𝑄 = 0. Ta relacija je izpolnjena takrat, kadar je točka Q izbrana tako, da velja vsaj eden od naslednjih pogojev: ● Točka Q je fiksna točka. V tem primeru namreč v vsakem trenutku velja 𝐯𝑄 = 𝟎 in gornja relacija je očitno izpolnjena. Kot primer take točke lahko navedemo točko na fiksni osi rotirajočega telesa. ● Točka Q je težišče telesa. V tem primeru je namreč ∫ 𝐩𝑑𝑚 = 𝟎 in gornja relacija je očitno 𝐵 spet izpolnjena. Pri tem ni pomembno, ali se težišče telesa giblje ali ne. Od zdaj naprej bomo predpostavljali, da točka Q izpolnjuje vsaj enega od navedenih pogojev. Krajši račun nam pokaže, da lahko integral ∫ 𝐩 × (𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 zapišemo kot 𝐵 ∫ 𝐩 × (𝛚 × 𝐩)𝑑𝑚 = 𝐉𝛚 (2.49) 𝐵 kjer je 𝐉 vztrajnostni tenzor telesa, izračunan glede na osi, ki gredo skozi točko Q telesa. Torej velja 𝐋𝑄 = 𝐉𝛚 (2.50) Vrtilna količina telesa, izračunana glede na njegovo točko Q, je torej enaka produktu vztrajnostnega tenzorja telesa in vektorja njegove kotne hitrosti in je torej neodvisna od translacije telesa. Z odvajanjem te enačbe po času in izpeljavo, ki presega okvir te knjige, lahko UM, Fakulteta za strojništvo 24 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa dobimo 𝑑𝐋 𝑄 = 𝐉̇𝛚 + 𝐉𝛚̇ = 𝐌 𝑑𝑡 𝑄 (2.51) kjer 𝐌𝑄 označuje moment vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo, izračunan glede na točko Q. Pozor: Ta enačba velja le, če točka Q izpolnjuje vsaj eno od predhodno navedenih zahtev. Uporaba te enačbe pri poljubnem gibanju telesa ni ravno enostavna. Težaven je predvsem časovni odvod 𝐉̇ vztrajnostnega tenzorja. Tukaj si pogosto pomagamo tako, da izračunamo vztrajnostni tenzor 𝐉𝑢𝑣𝑤 glede na gibljivo bazo, ki jo prednostno izberemo tako, da njene osi predstavljajo centralne glavne vztrajnostne osi telesa. Če v isti gibljivi bazi izrazimo še vektor kotne hitrosti telesa 𝛚𝑢𝑣𝑤, lahko z uporabo rotacijske matrike 𝐑 vrtilno količino telesa glede na fiksne osi izrazimo kot 𝐋𝑄 = 𝐑𝐉𝑢𝑣𝑤𝐑𝑇𝐑𝛚𝑢𝑣𝑤 = 𝐑𝐉𝑢𝑣𝑤𝛚𝑢𝑣𝑤 (2.52) kjer smo upoštevali, da je 𝐑𝑇𝐑 = 𝐈. V mnogih inženirskih situacijah sta količini 𝐉𝑢𝑣𝑤 in 𝛚𝑢𝑣𝑤 glede na čas konstantni, kar pomeni, da sta njuna časovna odvoda enaka nič. V takem primeru se odvod vrtilne količine lahko izračuna relativno enostavno, in sicer kot 𝑑𝐋 𝑄 = 𝐑̇𝐉 𝑑𝑡 𝑢𝑣𝑤𝛚𝑢𝑣𝑤 = 𝐌𝑄 (2.53) kjer 𝐑̇ označuje časovni odvod rotacijske matrike. V tehniški praksi imamo na srečo pogosto opravka z razmeroma enostavnimi situacijami. Dve taki pogosti situaciji sta: ● Telo rotira okrog osi 𝛼, ki gre skozi težišče telesa in ima fiksno smer. Pri tem je rotacijska os (in torej tudi težišče telesa) lahko tudi pospešena. Primer takšne situacije bi lahko bilo kotaljenje valja po strmini. ● Telo rotira okrog osi 𝛼, ki gre skozi fiksno točko telesa in ima fiksno smer. Primera takšne situacije bi bila rotacija vztrajnika na gredi in nihanje telesa v ravnini okrog fiksne točke. V obeh navedenih situacijah lahko za vrtilno količino ugotovimo, da se njena komponenta 𝐿𝑄𝛼 v smeri osi 𝛼 zapiše kot 𝐿𝑄𝛼 = 𝐽𝛼𝜔𝛼 (2.54) kjer 𝐽𝛼 označuje osni vztrajnostni moment mase telesa glede na os 𝛼, 𝜔𝛼 pa je kotna hitrost vrtenja telesa okrog 𝛼, slika 2.16. z   Q  LQ y x Slika 2.16: Vrtilna količina pri rotaciji telesa okrog osi fiksne smeri V danih razmerah je 𝐽𝛼 konstanten in je torej njegov časovni odvod enak nič. Razen tega pa je konstantna tudi smer vektorja 𝛚. Zakon o spremembi te komponente vrtilne količine se torej v obravnavani situaciji glasi 𝑑𝐿 𝑄𝛼 = 𝐽 𝑑𝑡 𝛼𝜔̇𝛼 = 𝑀𝑄𝛼 (2.55) UM, Fakulteta za strojništvo 25 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa kjer je 𝑀𝑄𝛼 komponenta (v smeri osi 𝛼) rezultante momenta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo, izračunana glede na točko Q. Z uporabo integracije lahko ta zakon zapišemo še v integralski obliki 𝑡 𝐿 2 𝑄𝛼2 − 𝐿𝑄𝛼1 = ∫ 𝑀𝑄𝛼𝑑𝑡 (2.56) 𝑡1 ki pravi, da je sprememba (osne komponente) vrtilne količine enaka impulzu navora zunanjih sil okrog osi 𝛼. 2.3.3 Zakoni o mehanski energiji 2.3.3.1 Delo in moč Obravnavajmo točko T, ki se giblje po nekem poljubnem tiru. Krajevni vektor točke T označimo z 𝐫, njen diferencialno majhen pomik vzdolž tira pa z 𝑑𝐫. Na točko T naj deluje sila 𝐅. F T y dr 1 2 r r+ dr tir gibanja T x Slika 2.17: Delo sile na diferencialnem pomiku dr Količino 𝑑𝐴 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 (2.57) imenujemo diferencial dela, ki ga je opravila sila 𝐅 pri pomiku točke T iz lege 𝐫 (v času 𝑡) v lego 𝐫 + 𝑑𝐫 (v času 𝑡 + 𝑑𝑡). Skalarni produkt 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 je pozitiven, kadar je kot med 𝐅 in 𝑑𝐫 oster, in negativen, če je ta kot top. Opravljeno delo sile je torej ● pozitivno, če sila 'pomaga' pri gibanju točke, oziroma ● negativno, če sila 'zavira' gibanje. To tudi pomeni, da je v primeru, ko je sila 𝐅 pravokotna na pomik 𝑑𝐫, opravljeno delo enako nič (skalarni produkt dveh pravokotnih vektorjev je enak nič). Celotno delo, ki ga sila 𝐅 opravi v končnem časovnem intervalu od trenutka 𝑡1 do trenutka 𝑡2, dobimo z integracijo gornje enačbe in ga lahko izrazimo kot 𝐫2 𝑡 𝐴 2 12 = ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ∫ 𝐅 ∙ 𝐯𝑑𝑡 (2.58) 𝐫1 𝑡1 kjer smo upoštevali, da je 𝑑𝐫 = 𝐯𝑑𝑡. V tehniški praksi se pogosto zgodi, da se točka T giblje po premici, sila 𝐅, ki nanjo deluje, pa je v časovnem intervalu od 𝑡1 do 𝑡2 konstantna. V takem primeru lahko delo, ki ga je opravila sila 𝐅 v intervalu od 𝑡1 do 𝑡2, izrazimo kot 𝐴12 = 𝐹𝑢𝑢12 (2.59) kjer je 𝑢12 pomik točke T v opazovanem času, 𝐹𝑢 pa je komponenta sile 𝐅 v smeri pomika 𝑢12. UM, Fakulteta za strojništvo 26 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Drug pogost primer v tehniški praksi je, da se točka T giblje po krožnici, sila 𝐅, ki nanjo deluje, pa v časovnem intervalu od 𝑡1 do 𝑡2 povzroča konstantni moment 𝑀𝜑 (glede na os rotacije). V takem primeru lahko delo, ki ga je opravil moment 𝑀𝜑, v intervalu od 𝑡1 do 𝑡2, izrazimo kot 𝐴12 = 𝑀𝜑𝜑12 (2.60) kjer je 𝜑12 kot zasuka točke T v opazovanem časovnem intervalu. Delo, ki ga sila opravi, je med drugim odvisno od dolžine 𝑡2 − 𝑡1 opazovanega časovnega intervala. Vendar nas v praksi pogosto ne zanima samo skupno opravljeno delo, ampak tudi, kako hitro narašča delo, ki ga opravlja neka sila. V ta namen vpeljemo skalarno količino, ki jo imenujemo moč. Definirana je kot odvod dela 𝐴, ki ga opravlja neka sila, po času 𝑡 oziroma 𝑑𝐴 𝑃 = (2.61) 𝑑𝑡 Z upoštevanjem definicije za diferencial dela 𝑑𝐴 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 dobimo 𝐅𝑑𝐫 𝑑𝐫 𝑃 = = 𝐅 ∙ = 𝐅 ∙ 𝐯 (2.62) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Trenutna moč, ki jo dovaja sila 𝐅, je torej enaka skalarnemu produktu vektorjev sile 𝐅 in hitrosti 𝐯 njenega prijemališča. Iz tega lahko izpeljemo naslednji ugotovitvi, ki ju pogosto rabimo v praksi: Prvič: Če pri translatornem gibanju s potovalno hitrostjo 𝑣 na sistem delujemo s silo 𝐹𝑣 (v smeri gibanja), je trenutna moč, ki jo dobavlja sila 𝐹𝑣, enaka 𝑃 = 𝐹𝑣𝑣 (2.63) Drugič: Če pri rotacijskem gibanju s kotno hitrostjo 𝜔 na sistem delujemo z momentom 𝑀𝜔 okrog rotacijske osi, je trenutna moč, ki jo dobavlja moment 𝑀𝜔, enaka 𝑃 = 𝑀𝜔𝜔 (2.64) 2.3.3.2 Kinetična energija Masni delec Opazujmo masni delec z maso 𝑚, ki se giblje s hitrostjo 𝐯, slika 2.18. Skalarno količino 𝑊𝑘, ki jo definiramo kot 1 𝑊𝑘 = 𝑚𝐯2 (2.65) 2 kjer 𝐯2 predstavlja skalarni produkt vektorja hitrosti s samim seboj, imenujemo kinetična energija masnega delca. z v m 1 2 tir gibanja x y Slika 2.18: Kinetična energija masnega delca UM, Fakulteta za strojništvo 27 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Odvod kinetične energije po času nam da 𝑑𝑊 𝑚 𝑑𝐯 𝑘 = 2𝐯 ∙ = 𝑚𝐯 ∙ 𝐚 (2.66) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 od koder po množenju z 𝑑𝑡 in upoštevanju, da je 𝐯𝑑𝑡 = 𝑑𝐫, dobimo 𝑑𝑊𝑘 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑑𝐴 (2.67) kjer je 𝐅 rezultanta zunanjih sil na masni delec, 𝑑𝐴 pa je diferencial dela, ki ga opravi 𝐅 na pomiku 𝑑𝐫. Ta enačba pomeni, da je diferencialna sprememba kinetične energija enaka diferencialu dela, ki ga je opravila rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na delec. Integrirajmo zdaj levo in desno stran enačbe od stanja 1 (v času 𝑡1) do stanja 2 (v času 𝑡2). Dobimo 𝑊𝑘2 − 𝑊𝑘1 = ∆𝑊𝑘 = 𝐴12 (2.68) Z besedami bi to lahko opisali tako:  Sprememba kinetične energije masnega delca v izbranem časovnem intervalu je enaka delu, ki ga v tem istem časovnem intervalu opravi rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na delec. Če je torej vloženo delo pozitivno, potem kinetična energija delca naraste, v nasprotnem primeru (vloženo delo je negativno) pa kinetična energija delca upade. Telo Kinetična energija diferenciala mase 𝑑𝑚 telesa se lahko zapiše kot 1 𝑑𝑊𝑘 = 𝐯2𝑑𝑚 (2.69) 2 kjer je 𝐯 hitrost diferenciala mase 𝑑𝑚. Z integriranjem teh prispevkov po celem telesu B dobimo izraz za kinetično energijo telesa 1 𝑊𝑘 = ∫ 𝐯2𝑑𝑚 (2.70) 2 𝐵 Kot smo to že večkrat naredili, tudi tokrat hitrost 𝐯 poljubne točke telesa razcepimo na 𝐯 = 𝐯𝑄 + 𝛚 × 𝐩 (2.71) kjer je 𝐯𝑄 hitrost točke Q (translacija telesa), 𝛚 je kotna hitrost vrtenja telesa (rotacija telesa) okrog osi, ki gre skozi Q, 𝐩 pa je vektor od točke Q do diferenciala 𝑑𝑚. Po vstavljanju te relacije v izraz za kinetično energijo telesa, dobimo 1 2 𝑊𝑘 = ∫ (𝐯𝑄 + 𝛚 × 𝐩) 𝑑𝑚 𝐵 2 (2.72) 1 1 = 𝐯2 ∫ 𝑑𝑚 + 𝐯 ) + ∫ (𝛚 × 𝐩)2𝑑𝑚 2 𝑄 𝐵 𝑄 ∙ (𝛚 × ∫ 𝐩𝑑𝑚 𝐵 2 𝐵 Če točko Q izberemo v težišču telesa, se pravi, Q ≡ T, potem imamo ∫ 𝐩𝑑𝑚 = 0. Razen tega 𝐵 pa vemo, da je (𝛚 × 𝐩)2 = 𝑟2𝜔2, kjer 𝑟 označuje oddaljenost delca telesa od rotacijske osi, 𝜔 pa je norma rotacijske hitrosti. Iz tega sledi 1 1 𝑊 2 2 𝑘 = 𝑚𝐯 + 𝐽𝛚 (2.73) 2 𝑇 2 𝑇 kjer je 𝑚 masa telesa, 𝐽 pa je osni vztrajnostni moment telesa glede na težiščno rotacijsko os, podano z vektorjem kotne hitrosti 𝛚𝑇. UM, Fakulteta za strojništvo 28 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa Izpeljava zakona o spremembi kinetične energije za telo je dokaj enostavna za telo, ki rotira okrog osi fiksne smeri. V tem primeru je osni vztrajnostni moment 𝐽 telesa glede na to os konstanten, konstantno smer pa ima tudi vektor kotne hitrosti 𝛚𝑇. Če upoštevamo te okoliščine, lahko izraz za kinetično energijo telesa odvajamo po času ter integriramo od stanja 1 (v času 𝑡1) do stanja 2 (v času 𝑡2) in dokaj enostavno izpeljemo 𝑊𝑘2 − 𝑊𝑘1 = ∆𝑊𝑘 = 𝐴12 (2.74) kjer je vloženo delo 𝐴12, ki ga opravijo zunanje sile na telo, enako 𝑡 𝑡 𝐴 2 2 12 = ∫ 𝐹𝑣𝑣𝑇𝑑𝑡 + ∫ 𝑀 (2.75) 𝑡 𝜔𝜔𝑇𝑑𝑡 1 𝑡1 Pri tem je 𝑣𝑇 potovalna hitrost težišča telesa, 𝐹𝑣 je komponenta rezultante zunanjih sil v smeri gibanja težišča, 𝑀𝜔 je rezultanta momenta zunanjih sil okrog rotacijske osi, 𝜔𝑇 pa je kotna hitrost rotacije telesa okrog težiščne osi. 2.3.3.3 Potencialne energije V tehniški praksi je običaj, da delo, ki ga vlagajo nekatere vrste zunanjih sil, izračunavamo na osnovi ustreznih potencialov. Ker se tak potencial v nekem smislu obnaša podobno kot energija opazovanega sistema, se zanj pogosto uporablja izraz potencialna energija. Tukaj bomo na kratko omenili samo dve vrsti potencialne energije; to sta: ● potencialna energija 𝑊𝑝𝑔, s katero izračunavamo delo, ki ga opravi teža oziroma gravitacijsko polje, in ● potencialna energija 𝑊𝑝𝑒, s katero izračunavamo delo, ki ga opravijo sile, ki so posledica elastičnih deformacij ( deformacijska energija). Z izrazom potencialna poudarimo dve posebni lastnosti teh energij, in sicer: ● Količina energije je odvisna od lege masnega delca v prostoru. ● Sprememba energije pri spremembi lege masnega delca je odvisna samo od začetne in končne lege, ne pa tudi od tega, po kakšni poti je delec potoval od začetne v končno lego. Opazujmo delec z maso 𝑚, ki ga premaknemo od vertikalne koordinate 𝑦1 do koordinate 𝑦2, slika 2.19a. Pokažemo lahko, da je pri tem (neodvisno od oblike poti gibanja) sila teže opravila delo 𝐴𝑔 = −𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1), kjer smo z 𝑔 označili velikost gravitacijskega pospeška. Če spremembo potencialne energije 𝑊𝑝𝑔 definiramo kot ∆𝑊𝑝𝑔 = −𝐴𝑔 = 𝑚𝑔(𝑦2 − 𝑦1) (2.76) lahko zakon o spremembi kinetične energije preuredimo v naslednjo obliko 𝑔 ∆𝑊𝑘 + ∆𝑊𝑝𝑔 = 𝐴12 (2.77) 𝑔 Pri tem je ∆𝑊𝑘 sprememba kinetične energije, ∆𝑊𝑝𝑔 je sprememba potencialne energije, 𝐴12 pa je delo rezultante vseh zunanjih sil razen sile teže. Ta enačba je uporabna tudi za telo končnih dimenzij, le da v tem primeru 𝑦 predstavlja vertikalno koordinato težišča telesa. Izbira referenčne lege s koordinato 𝑦 = 0 je poljubna. V tehniški praksi so namreč vedno zanimive le spremembe potencialne energije, ki ustrezajo spremembi lege masnega delca ali telesa. UM, Fakulteta za strojništvo 29 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 2 Dinamika togega telesa gravitacija (a) (b) m x  y k m Slika 2.19: Potencialni energiji 𝑊𝑝𝑔in 𝑊𝑝𝑒 Opazujmo masni delec 𝑚, ki se lahko giblje v horizontalni smeri, slika 2.19b. Na podlago je pritrjen z linearno vzmetjo togosti 𝑘 z enoto [N/m]. Uvedimo koordinato 𝑥, ki meri horizontalno lego delca tako, da je 𝑥 = 0, ko je vzmet nedeformirana (sila vzmeti na telo je enaka nič). V tem primeru lahko velikost sile pri poljubni legi delca zapišemo kot 𝐹 = 𝑘𝑥 (2.78) Če delec premaknemo od koordinate 𝑥1 do koordinate 𝑥2, pri tem elastična sila v vzmeti opravi delo 𝐴 2 2 𝑒 = −𝑘(𝑥2 − 𝑥1 ) 2 ⁄ . Če spremembo potencialne energije 𝑊𝑝𝑒, definiramo kot 𝑘(𝑥2−𝑥2) ∆𝑊 2 1 𝑝𝑒 = −𝐴𝑒 = (2.79) 2 lahko zakon o spremembi kinetične energije preuredimo v naslednjo obliko ∆𝑊 𝑒 𝑘 + ∆𝑊𝑝𝑒 = 𝐴12 (2.80) Pri tem je ∆𝑊 𝑒 𝑘 sprememba kinetične energije, ∆𝑊𝑝𝑒 je sprememba elastične energije, 𝐴12 pa je delo rezultante vseh zunanjih sil razen elastične sile vzmeti. Za telo končnih dimenzij, ki se lahko giblje translatorno in je pritrjeno na linearno vzmet, velja enaka enačba. Kadar imamo opravka s telesom, ki se lahko vrti okrog fiksne osi in je pritrjeno na linearno torzijsko vzmet, je situacija načeloma podobna, le da so tukaj vpletene rotacijske količine. Velikost momenta v torzijski vzmeti je enaka 𝑀 = 𝑘𝑡𝜑 (2.81) kjer 𝑘𝑡 označuje torzijsko togost vzmeti z enoto [Nm r ⁄ ad], 𝜑 pa je zasuk telesa, merjen iz lege, pri kateri je vzmet nedeformirana (navor vzmeti na telo je enak nič). Spremembo potenciala pri zasuku od kota 𝜑1 do kota 𝜑2, lahko v tem primeru zapišemo kot 𝑘 2−𝜑2) ∆𝑊 𝑡(𝜑2 1 𝑝𝑒 = (2.82) 2 UM, Fakulteta za strojništvo 30 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 3 MEHANSKA NIHANJA Namen:  Spoznati osnove mehanskih nihanj.  Spoznati osnovne gradnike nihajočih mehanskih sistemov.  Zapisati diferencialno enačbo gibanja nihajočega mehanskega sistema.  Rešiti enačbo gibanja sistema. Cilj: S pridobljenim znanjem bo študent sposoben opisati in analizirati enostavnejše nihajoče mehanske sisteme in njihov odziv, s poudarkom na nedušenem in dušenem lastnem nihanju. Glavne oporne točke:  Osnovni gradniki: telo, vzmet in dušilec.  Diferencialna enačba gibanja sledi iz Newtonovih zakonov.  Nihanja: lastna/vsiljena in nedušena/dušena. 3.1 Uvod in definicije Kadar se telesa ali sistemi teles ponovljivo gibljejo okoli svojih ravnovesnih leg, govorimo o mehanskem nihanju. Enostavnejše nihajoče sisteme lahko modeliramo kot sistem masnih delcev ali togih teles, ki so med seboj povezana z veznimi elementi, kot so na primer vzmeti in dušilci, slika 3.1. Precej bolj zahtevni sistemi pa so sestavljeni iz deformabilnih teles, vendar obravnava takih sistemov presega okvir te knjige. m y x  k2 M, J k1 c1 k1 c1 Slika 3.1: Primer nihajočega sistema – poenostavljen model vozila Pri mehanskem nihanju imamo torej opravka z gibanjem sistema okrog ravnovesne lege. To pomeni, da moramo v sistemu imeti tako imenovane povratne sile, ki sistem vračajo v ravnovesno lego. Te sile običajno izvirajo iz elastičnih podpor in elastičnih veznih elementov, UM, Fakulteta za strojništvo 31 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja ki jih v najbolj enostavnih primerih modeliramo z uporabo linearnih elastičnih vzmeti, slika 3.2. Razen povratnih sil v nihajočem sistemu praviloma nastopajo vsaj še disipacijske sile, ki so posledica trenja in drugih vrst izgubljanja energije sistema. V najbolj enostavnih primerih te sile modeliramo z uporabo linearnih dušilnih elementov. Kadar pri nihanju na sistem delujejo le povratne in disipacijske sile, govorimo o lastnem nihanju. Če pa na nihajoči sistem razen teh sil delujejo še aktivne sile, govorimo o vsiljenem nihanju sistema. Nihajočemu sistemu, na katerega ne delujejo aktivne sile, njegova amplituda in s tem tudi energija nihanja s časom upadata. Razlogi za to so trenje in druge vrste energijskih izgub. V nekaterih situacijah so te izgube lahko tako majhne, da jih lahko v modelu nihajočega sistema zanemarimo. Tak model ne vsebuje dušilnih elementov, njegova energija pa se pri odsotnosti zunanjih sil ohranja. Takšno nihanje imenujemo nedušeno nihanje. V nasprotnem primeru, kadar izgub energije ne moremo zanemariti, pa je model nihajočega sistema treba opremiti z dušilnimi elementi, ki poskrbijo za disipacijo energije sistema. Takšno nihanje imenujemo dušeno nihanje. Amplituda Vzmet odmika Telo Ravnovesna Skrajna Skrajna lega spodnja lega zgornja lega Slika 3.2: Nedušeno mehansko nihalo – telo na elastični vzmeti Pri mehanskih nihanjih se vzorci gibanja posameznih delov sistema pogosto periodično ponavljajo v določenih časovnih intervalih. V takih primerih govorimo o periodičnem nihanju. Časovni interval ki je potreben, da nihajoči del opravi en popolni cikel oziroma nihaj (na primer pomik iz skrajne spodnje lege v skrajno zgornjo lego in nazaj v skrajno spodnjo lego), imenujemo nihajna doba ali perioda nihanja. Število nihajev na enoto časa pa imenujemo frekvenca nihanja. Frekvenco nihanja 𝑓 lahko izračunamo iz periode nihanja 𝑇 kot 1 𝑓 = (3.1) 𝑇 Med nihanjem se odmik posameznega dela nihajočega sistema, merjen iz ravnovesne lege, s časom spreminja. Maksimalni odmik od ravnovesne lege imenujemo amplituda nihanja. Najpomembnejši elementi, ki jih uporabljamo pri modeliranju nihanj enostavnejših mehanskih sistemov, so: telo, vzmet in dušilka. 3.1.1 Telo Pri nihajočem sistemu z besedo telo označujemo masni element, čigar vztrajnostnih vplivov na dinamiko nihanja ne moremo zanemariti. Karakteristični parametri telesa so njegova masa in njegovi vztrajnostni momenti mase. Te količine smo v predhodnih poglavjih že obravnavali. UM, Fakulteta za strojništvo 32 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 3.1.2 Vzmet Z besedo vzmet običajno označujemo tako imenovan linearni vzmetni element. To je elastični element brez mase, ki izkazuje linearno karakteristiko. Za običajno linearno vzmet slednje pomeni, da je povezava med raztezno silo 𝐹 in raztezkom 𝑥 vzmeti linearna 𝐹 = 𝑘𝑥 (3.2) kjer proporcionalni faktor 𝑘 predstavlja togost vzmeti z enoto [N/m], raztezek 𝑥 pa je merjen tako, da je vzmet nedeformirana pri 𝑥 = 0. Situacija je podobna za linearno torzijsko vzmet. Tukaj je povezava med sučnim momentom 𝑀 in kotom zasuka 𝜑 vzmeti linearna 𝑀 = 𝑘𝑡𝜑 (3.3) kjer 𝑘𝑡 označuje torzijsko togost vzmeti z enoto [Nm r ⁄ ad], 𝜑 pa je kot zasuka telesa, merjen tako, da je vzmet nedeformirana pri 𝜑 = 0. Za vsako linearno vzmet velja, da je idealno elastična. To pomeni, da obremenitev in razbremenitev vzmeti poteka brez disipacije energije oziroma brez energijskih izgub. Pri modeliranju nihajočih sistemov vzmetni elementi nadomeščajo elastične podpore in elastične vezi med nihajočimi telesi in podlago. Elastična podprtja in vezi so pogosto izvedeni z elastičnimi konstrukcijskimi elementi, kot je na primer osno, upogibno ali torzijsko obremenjena elastična palica. Za takšne elemente moramo na osnovi njihovih geometrijskih in materialnih parametrov izračunati togost pripadajočega vzmetnega elementa. 3.1.2.1 Togosti konstrukcijskih elementov Togost osno obremenjene elastične palice Pri osno obremenjeni palici je raztezek 𝑥 palice v odvisnosti od statične osne 𝐹 podan z enačbo 𝐿 𝑥 = 𝐹 (3.4) 𝐴𝐸 kjer je 𝐿 dolžina palice, 𝐴 je velikost njenega prereza, 𝐸 pa je elastični modul materiala. Če to enačbo za raztezek primerjamo z ustrezno enačbo vzmetnega elementa, 𝐹 = 𝑘𝑥, sledi, da je togost osno obremenjene palice enaka 𝐸𝐴 𝑘 = (3.5) 𝐿 To je togost, ki jo uporabimo, če v nihajočem sistemu osno obremenjeno elastično palico modeliramo z vzmetnim elementom, slika 3.3. Seveda to lahko naredimo le, kadar je masa palice dovolj majhna, da lahko njene vztrajnostne vplive na dinamiko nihanja zanemarimo. palica vzmet telo x Slika 3.3: Osno obremenjena elastična palica v vlogi elastičnega elementa UM, Fakulteta za strojništvo 33 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja Togost upogibno obremenjene elastične palice Pri upogibno obremenjeni palici je prečni poves 𝑥 vrha palice v odvisnosti od statične prečne sile 𝐹 podan z enačbo 𝐿3 𝑥 = 𝐹 (3.6) 3𝐸𝐼 kjer je 𝐿 dolžina palice, 𝐼 je vztrajnostni moment njenega prereza glede na težiščno os upogiba, 𝐸 pa je elastični modul materiala. Če to enačbo za prečni poves primerjamo z ustrezno enačbo vzmetnega elementa, 𝐹 = 𝑘𝑥, sledi, da je togost upogibno obremenjene palice enaka 3𝐸𝐼 𝑘 = (3.7) 𝐿3 To je togost, ki jo uporabimo, če v nihajočem sistemu upogibno obremenjeno elastično palico modeliramo z vzmetnim elementom, slika 3.4. Seveda to lahko naredimo le, kadar je masa palice dovolj majhna, da lahko njene vztrajnostne vplive na dinamiko nihanja zanemarimo. palica vzmet telo x Slika 3.4: Upogibno obremenjena elastična palica v vlogi elastičnega elementa Togost torzijsko obremenjene elastične palice Pri torzijskem nihanju vlogo vzmeti opravlja linearni torzijski vzmetni element, pri katerem je odvisnost med kotom zasuka 𝜑 torzijske vzmeti in obremenitvenim torzijskim momentom 𝑀𝑡 podana z enačbo 𝑀𝑡 = 𝑘𝑡𝜑 (3.8) kjer je 𝑘𝑡 torzijska togost vzmeti z enoto [Nm/rad]. Pri torzijsko obremenjeni palici je zasuk 𝜑 vrha palice v odvisnosti od statičnega torzijskega momenta 𝑀𝑡 podan z enačbo 𝐿 𝜑 = 𝑀 𝐺𝐼 𝑡 (3.9) 𝑡 kjer je 𝐿 dolžina palice, 𝐼𝑡 je torzijski vztrajnostni moment njenega prereza, 𝐺 pa je strižni modul materiala. Če to enačbo za zasuk primerjamo z ustrezno enačbo vzmetnega elementa, 𝑀𝑡 = 𝑘𝑡𝜑, sledi, da je togost torzijsko obremenjene palice enaka 𝐺𝐼 𝑘 𝑡 𝑡 = (3.10) 𝐿 To je togost, ki jo uporabimo, če v nihajočem sistemu torzijsko obremenjeno elastično palico modeliramo z vzmetnim elementom, slika 3.5. Seveda to lahko naredimo le, kadar je masa palice dovolj majhna, da lahko njene vztrajnostne vplive na dinamiko nihanja zanemarimo. UM, Fakulteta za strojništvo 34 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja palica vzmet  telo Slika 3.5: Torzijsko obremenjena elastična palica v vlogi elastičnega elementa Torzijsko obremenjene palice imajo pogosto okrogli prerez. Za okrogli prerez s premerom 𝑑 je torzijski vztrajnostni moment 𝐼𝑡 enak polarnemu vztrajnostnemu momentu 𝐼𝑝 oziroma 𝜋𝑑4 𝐼𝑡 = 𝐼𝑝 = (3.11) 32 3.1.2.2 Nadomestna togost skupine vzmeti Nihajoči sistemi pogosto vsebujejo večje število vzmetnih elementov. Pri tem se pogosto izkaže, da lahko posamezno skupino vzmeti zamenjamo z enim samim vzmetnim elementom, ki pa mora izkazovati ekvivalentno oziroma ustrezno nadomestno togost. Če nam to uspe, smo s tem poenostavili tako model nihajočega sistema kot tudi zapis pripadajočih diferencialnih enačb gibanja. Nadomeščanje skupine vzmeti z nadomestnim vzmetnim elementom je odvisno od lastnosti in konfiguracije obravnavane skupine in ga moramo izvesti v skladu s konkretno situacijo. Pri tem si lahko pomagamo z ugotovitvami, ki sledijo iz zamenjave sistema dveh vzmeti, ki sta lahko vezani ● vzporedno ali pa ● zaporedno. Ti dve zamenjavi si je zato koristno ogledati natančneje. Nadomestna togost vzporedno vezanih vzmeti O vzporedni vezavi dveh vzmeti 1 in 2, slika 3.6, govorimo takrat, kadar imata obe vzmeti ves čas nihanja enaka raztezka 𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥 (3.12) V tem primeru lahko sile v vzmeteh zapišemo kot 𝐹1 = 𝑘1𝑥 (3.13) 𝐹2 = 𝑘2𝑥 (3.14) Skupna sila, ki deluje na nihajoče telo, je torej enaka 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑘1𝑥 + 𝑘2𝑥 = (𝑘1 + 𝑘2)𝑥 (3.15) Enaka sila bi delovala na telo, če bi namesto vzmeti 1 in 2 uporabili nadomestno vzmet s togostjo 𝑘, ki izpolnjuje pogoj UM, Fakulteta za strojništvo 35 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 𝑘 = 𝑘1 + 𝑘2 (3.16) Izkaže se, da lahko ta rezultat celo posplošimo. Nadomestna togost večjega števila vzporedno vezanih vzmeti je namreč enaka vsoti togosti posameznih vzmeti ali drugače 𝑘 = ∑𝑖 𝑘𝑖 (3.17) k 1 k 2 k x Slika 3.6: Vzporedna vezava dveh vzmeti 1 in 2 ter nadomestni vzmetni element Nadomestna togost zaporedno vezanih vzmeti O zaporedni vezavi dveh vzmeti 1 in 2, slika 3.7, govorimo takrat, kadar imamo v obeh vzmeteh ves čas nihanja enako silo 𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹 (3.18) V tem primeru raztezka v obeh vzmeteh izpolnjujeta enačbi 𝐹 = 𝑘1𝑥1 (3.19) 𝐹 = 𝑘2𝑥2 (3.20) Skupni raztezek obeh vzmeti je torej enak 1 1 𝑥 = 𝑥1 + 𝑥2 = 𝐹( + ) (3.21) 𝑘1 𝑘2 Natanko tolikšen pomik telesa bi izmerili, če bi namesto vzmeti 1 in 2 uporabili nadomestno vzmet s togostjo 𝑘, ki izpolnjuje pogoj 1 1 1 = + (3.22) 𝑘 𝑘1 𝑘2 Izkaže se, da lahko ta rezultat celo posplošimo. Nadomestna togost večjega števila zaporedno vezanih vzmeti je namreč enaka 1 𝑘 = (3.23) ∑ 1 𝑖 𝑘𝑖 UM, Fakulteta za strojništvo 36 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja k 1 x1 k 2 x2 k x Slika 3.7: Zaporedna vezava dveh vzmeti 1 in 2 ter nadomestni vzmetni element 3.1.3 Dušilka Z besedo dušilka običajno označujemo linearni dušilni element. To je element brez mase, ki je namenjen disipaciji energije in izkazuje linearno karakteristiko. Slednje pomeni, da je povezava med raztezno silo 𝐹 in raztezno hitrostjo 𝑥̇ dušilke linearna 𝐹 = 𝑐𝑥̇ (3.24) kjer proporcionalni faktor 𝑐 predstavlja dušilno konstanto z enoto [Ns/m]. Linearna dušilka omogoča najbolj enostaven način za približno modeliranje tako namenskih dušilnih mehanskih sklopov (na primer oljni dušilci v amortizerjih) kakor tudi vse vrste nezaželenih energijskih izgub (na primer drsno trenje in zračni upor). V obeh primerih je ta element tisti, ki povzroča disipacijo energije oziroma nepovratne energijske izgube, slika 3.8. vzmet vzmet dušilka x x Slika 3.8: Nihajoč sistem, modeliran brez disipacije in z disipacijo energije Podobno kot pri vzmeteh lahko teoretično tudi pri dušilkah večje skupine dušilnih elementov nadomeščamo z enim ekvivalentnim oziroma nadomestnim elementom. Vendar pa so večje skupine dušilcev v praksi precej redke, zato posebna obravnava takih situacij verjetno ni smiselna oziroma upravičena. UM, Fakulteta za strojništvo 37 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 3.2 Lastna nihanja sistemov z eno prostostno stopnjo Kot smo že omenili, o lastnem nihanju govorimo takrat, kadar na gibajoč sistem delujejo le povratne in disipacijske sile brez prisotnosti aktivnih sil. Študijo lastnosti in obnašanja takih sistemov bomo obravnavali na vzorčnem modelu, kjer lahko togo telo translatorno niha samo v eni smeri, slika 3.9. V tem modelu je togo telo običajno postavljeno na valjčke, za katere privzamemo, da so brez mase in omogočajo translatorno gibanje telesa brez kakršnih koli energijskih izgub. To pomeni, da za disipacijo energije skrbi izključno dušilni element. x k m c Slika 3.9: Vzorčni model z 1 PS za študij lastnega nihanja Masa telesa vzorčnega modela je podana z 𝑚, togost linearno elastične vzmeti je 𝑘, konstanta dušilca pa je enaka 𝑐. Lego telesa podaja koordinata 𝑥, ki je merjena tako, da je pri 𝑥 = 0 sila v vzmetnem elementu enaka nič. Iz tega sledi, da je velikost sile v vzmetnem elementu enaka |𝐹| = 𝑘|𝑥|. Ker je lega telesa natančno podana le z 1 koordinato, pravimo, da ima sistem 1 prostostno stopnjo (1 PS). 3.2.1 Nedušeno lastno nihanje Nedušene lastno nihanje je nihanje brez disipacije energije. Predstavimo ga lahko z uporabo vzorčnega modela, pri katerem odstranimo dušilko, oziroma zahtevamo, da je 𝑐 = 0 (3.25) Na tak sistem deluje v horizontalni smeri samo ena sila, in sicer sila vzmetnega elementa. Njena komponenta x je enaka 𝐹𝑣 = −𝑘𝑥, slika 3.10. x k m Fv Slika 3.10: Model za nedušeno lastno nihanje in zunanje sile v smeri x Za opis gibanja tega sistema uporabimo Newtonov zakon za smer x oziroma zakon o spremembi gibalne količine. Ta se glasi 𝑚𝑥̈ = 𝐹𝑣 = −𝑘𝑥 (3.26) UM, Fakulteta za strojništvo 38 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja To enačbo običajno nekoliko preuredimo, in sicer tako, da vse člene prestavimo na levo stran enačaja ter obe strani delimo z maso telesa. Od tod dobimo diferencialno enačbo nedušenega mehanskega nihala z eno translatorno prostostno stopnjo 𝑘 𝑥̈ + 𝑥 = 0 (3.27) 𝑚 Z matematičnega stališča je to homogena linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Pri tem je 𝑥 neznana funkcija, ki predstavlja časovno odvisen pomik telesa iz ravnovesne lege, 𝑥̈ pa je njen drugi odvod po času. Iz čisto praktičnih računskih razlogov konstanto 𝑘 𝑚 ⁄ , ki stoji pred neznano funkcijo 𝑥, zamenjamo s pomožno količino 𝑘 𝜔2 = (3.28) 𝑚 Z uvedbo te količine se torej diferencialna enačba obravnavanega sistema glasi 𝑥̈ + 𝜔2𝑥 = 0 (3.29) Takšne diferencialne enačbe ne moremo rešiti z direktno integracijo, ampak je treba poiskati tako imenovani nastavek za njeno rešitev. Nastavek, ki reši našo diferencialno enačbo, se lahko zapiše kot 𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡 (3.30) kjer sta 𝐴 in 𝐵 zaenkrat še neznani konstanti, 𝑡 pa je čas. Iz nastavka za rešitev diferencialne enačbe je očitno, da je 𝑥 zamaknjena sinusoida oziroma harmonična funkcija, pomožna količina 𝜔 pa predstavlja lastno krožno frekvenco nedušenega nihanja, slika 3.11. T Pomik Čas Slika 3.11: Lastno nihanje nedušenega sistema je harmonična funkcija Lastna krožna frekvenca 𝜔 sistema je povezana s frekvenco 𝑓 in periodo 𝑇 nihanja. Ta odvisnost je podana z 2𝜋 𝜔 = 2𝜋𝑓 = (3.31) 𝑇 Na koncu sta ostali nedoločeni le še konstanti 𝐴 in 𝐵 v nastavku za rešitev diferencialne enačbe. Ti dve konstanti izračunamo iz začetnih pogojev. Število razpoložljivih začetnih pogojev mora ustrezati redu diferencialne enačbe. Naša diferencialna enačba je drugega reda, kar torej zahteva dva začetna pogoja. Najpogosteje se ta dva pogoja podajata v obliki naslednjih enačb UM, Fakulteta za strojništvo 39 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 𝑥(0) = 𝑥 0 (3.32) 𝑥̇(0) = 𝑥̇0 kjer sta 𝑥0 in 𝑥̇0 znana lega in hitrost telesa v času 𝑡 = 0. Če v ta dva začetna pogoja vstavimo nastavek za rešitev, dobimo sistem dveh navadnih linearnih enačb za neznani konstanti 𝐴 in 𝐵. Rešitev teh dveh enačb nam da pravilne vrednosti za ti dve konstanti. 3.2.1.1 Eliminacija statične obremenitve Lastno nihanje se odvija brez prisotnosti aktivnih zunanjih sil. Vendar pa obstajajo situacije, ko lahko aktivno zunanjo silo eliminiramo in na ta način nihanje vseeno obravnavamo kot lastno nihanje. Takšna situacija je prisotnost statične oziroma časovno neodvisne zunanje obremenitve, kot je na primer lastna teža. k m xs y x Slika 3.12: Eliminacija statične obremenitve z uvedbo nove koordinate Obravnavajmo primer enostavnega nihala, pri katerem mora sila v vzmeti prevzeti tudi težo telesa, slika 3.12. Naj bo koordinata 𝑦, ki meri lego telesa, enaka nič takrat, ko je vzmet nedeformirana (sila v vzmeti je enaka nič). Diferencialna enačba nihanja sistema v vertikalni smeri se torej lahko zapiše kot 𝑚𝑦̈ = −𝑘𝑦 + 𝑚𝑔 (3.33) Uvedimo zdaj novo koordinato 𝑥 = 𝑦 − 𝑥𝑠, kjer je 𝑥𝑠 = 𝑚𝑔 𝑘 ⁄ statični poves telesa pod vplivom lastne teže. Če upoštevamo to definicijo in dejstvo, da je 𝑥̈ = 𝑦̈, lahko diferencialno enačbo predelamo v 𝑚𝑥̈ = −𝑘(𝑥 + 𝑥𝑠) + 𝑚𝑔 = −𝑘(𝑥 + 𝑚𝑔 𝑘 ⁄ ) + 𝑚𝑔 (3.34) iz česar sledi 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0 (3.35) To pomeni, da lahko statično aktivno obremenitev eliminiramo preprosto z uvedbo nove koordinate, ki meri lego telesa iz statične ravnovesne lege. Po eliminaciji lahko nihanje obravnavamo kot lastno nihanje brez prisotnosti aktivnih zunanjih sil. 3.2.1.2 Rotacija okrog fiksne osi Vse ugotovitve, vezane na lastna nihanja, smo izpeljali za sistem, kjer lahko telo niha translatorno, lega telesa pa je podana s translatorno koordinato 𝑥. Vendar pa imamo v praksi pogosto opravka tudi s takimi sistemi, kjer nihajoče telo rotira okrog fiksne osi, njegova lega pa je podana s kotno koordinato 𝜑. Kadar imamo opravka z lastnim nihanjem, je takšno telo razen v rotacijski osi podprto tudi z elastičnimi vzmetmi, ki okrog rotacijske osi povzročajo povratni moment sil 𝑀 = −𝑘𝑡𝜑 (3.36) UM, Fakulteta za strojništvo 40 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja Pri tem je 𝑘𝑡 nadomestna torzijska togost elastičnih vzmeti, kot 𝜑 pa je merjen iz statične ravnovesne lege sistema. Za opis gibanja tega sistema uporabimo zakon o spremembi vrtilne količine, ki se glasi 𝐽𝜑̈ = 𝑀 = −𝑘𝑡𝜑 (3.37) kjer je 𝐽 aksialni vztrajnostni moment telesa okrog rotacijske osi. To enačbo preuredimo podobno kot pri translatornem nihanju in dobimo diferencialno enačbo nedušenega mehanskega nihala z eno rotacijsko prostostno stopnjo 𝑘 𝜑̈ + 𝑡 𝜑 = 0 (3.38) 𝐽 Iz matematičnega stališča je ta enačba enakega tipa kot diferencialna enačba translatornega nihanja, le da je zdaj neznana funkcija kot 𝜑, ki predstavlja časovno odvisen zasuk telesa iz ravnovesne lege, 𝜑̈ pa je njegov drugi odvod po času. Tako kot pri translaciji tudi tukaj vpeljemo lastno krožno frekvenco 𝜔 sistema, in sicer z relacijo 𝑘 𝜔2 = 𝑡 (3.39) 𝐽 Diferencialna enačba obravnavanega sistema se torej glasi 𝜑̈ + 𝜔2𝜑 = 0 (3.40) Nastavek, ki reši našo diferencialno enačbo se lahko zapiše kot 𝜑 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡 (3.41) kjer sta 𝐴 in 𝐵 integracijski konstanti, ki ju dobimo iz začetnih pogojev, 𝑡 pa je čas. Zasuk telesa pri rotacijskem lastnem nedušenem nihanju je torej, enako kot pri translaciji, harmonična funkcija časa. 3.2.2 Dušeno lastno nihanje Dušeno lastno nihanje je nihanje z disipacijo oziroma z izgubami energije. Predstavimo ga lahko z uporabo vzorčnega modela, pri katerem zagotovimo dušenje z zahtevo 𝑐 > 0 (3.42) Na tak sistem delujeta v horizontalni smeri le dve sili, in sicer sila vzmetnega elementa in sila dušilnega elementa. Njuni komponenti x sta enaki 𝐹𝑣 = −𝑘𝑥 in 𝐹𝑑 = −𝑐𝑥̇, slika 3.13. x k Fv m c Fd Slika 3.13: Model za dušeno lastno nihanje in zunanje sile v smeri x Za opis gibanja tega sistema uporabimo Newtonov zakon za smer x oziroma zakon o spremembi gibalne količine. Ta se glasi 𝑚𝑥̈ = 𝐹𝑣 + 𝐹𝑑 = −𝑘𝑥 − 𝑐𝑥̇ (3.43) UM, Fakulteta za strojništvo 41 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja To enačbo običajno nekoliko preuredimo, in sicer tako, da vse člene prestavimo na levo stran enačaja. Od tod dobimo diferencialno enačbo dušenega mehanskega nihala z eno translatorno prostostno stopnjo 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0 (3.44) To je linearna diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Nastavek za rešitev ima obliko 𝑥 = 𝑋𝑒𝜆𝑡 (3.45) kjer je 𝑋 še nedoločena konstanta, 𝜆 pa neznan parameter. Po vstavljanju tega nastavka v diferencialno enačbo dobimo 𝑚𝑋𝜆2𝑒𝜆𝑡 + 𝑐𝑋𝜆𝑒𝜆𝑡 + 𝑘𝑋𝑒𝜆𝑡 = 0 (3.46) Če to enačbo delimo z 𝑋𝑒𝜆𝑡, dobimo kvadratno enačbo 𝑚𝜆2 + 𝑐𝜆 + 𝑘 = 0 (3.47) ki jo mora obvezno izpolnjevati parameter 𝜆, da bo uporabljen nastavek za rešitev ustrezen. Rešitvi te kvadratne enačbe sta 𝑐 𝑐 𝑘 𝜆1,2 = − ± √( )2 − (3.48) 2𝑚 2𝑚 𝑚 kar pogosto zapišemo v obliki 𝜆1,2 = −𝑝 ± 𝑖𝑞 (3.49) kjer je 𝑐 𝑝 = (3.50) 2𝑚 in 𝑐 2𝜋 𝑞 = √ 𝑘 − ( )2 = (3.51) 𝑚 2𝑚 𝑇𝐷 Pri tem količina 𝑞 predstavlja lastno krožno frekvenco, 𝑇𝐷 pa je perioda dušenega nihanja. Opazimo lahko, da je v primeru zanemarljivo majhnega dušenja, 𝑐 ≈ 0, frekvenca 𝑞 enaka krožni frekvenci 𝜔 nedušenega lastnega nihanja. Dušeno lastno nihanje je precej odvisno od tega, kolika je vrednost koeficienta dušenja 𝑐 glede na mejno oziroma kritično vrednost 𝑐𝑘𝑟, ki jo imenujemo koeficient kritičnega dušenja. Kritična vrednost dušenja nastopi, ko sta rešitvi karakteristične enačbe 𝜆1 in 𝜆2 realni in enaki. V tem primeru je 𝑞 = 0, od koder lahko zapišemo enačbo za izračun 𝑐𝑘𝑟, in sicer 𝑐 𝑘 𝑞 = √( 𝑘𝑟)2 − = 0 (3.52) 2𝑚 𝑚 Od tod sledi 𝑐𝑘𝑟 = 2𝑚√ 𝑘 = 2𝑚𝜔 (3.53) 𝑚 kjer je 𝜔 lastna krožna frekvenca nedušenega sistema. UM, Fakulteta za strojništvo 42 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja Glede na vrednost koeficienta dušenja 𝑐 razlikujemo tri oblike dušenja: ● nadkritično dušenje (𝑐 > 𝑐𝑘𝑟): rešitvi karakteristične enačbe 𝜆1 in 𝜆2 sta realni in različni, splošna rešitev diferencialne enačbe gibanja pa je naslednja 𝑥 = 𝐴𝑒𝜆1𝑡 + 𝐵𝑒𝜆2𝑡 (3.54) Sistem s takšnim dušenjem ne niha, pomiki pa se s časom približujejo vrednosti nič. ● kritično dušenje (𝑐 = 𝑐𝑘𝑟): rešitvi karakteristične enačbe 𝜆1 in 𝜆2 sta realni in enaki, kar pomeni, da je 𝑞 = 0 in 𝑐 𝜆 𝑘𝑟 1 = 𝜆2 = − = −𝜔 (3.55) 2𝑚 Rešitev diferencialne enačbe gibanja zapišemo kot 𝑥 = 𝐴𝑒𝜆1𝑡 + 𝐵𝑡𝑒𝜆2𝑡 (3.56) Tudi pri sistemu s kritičnim dušenjem le-ta ne niha. Sistemi s kritičnim dušenjem so pogosto uporabni za inženirske aplikacije, saj dosežejo ravnotežni položaj brez oscilacij v najkrajšem možnem času. ● podkritično dušenje (𝑐 < 𝑐𝑘𝑟): rešitvi karakteristične enačbe 𝜆1 in 𝜆2 sta kompleksni in konjugirani. Z uporabo Eulerjeve formule, 𝑒𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦, lahko splošno rešitev diferencialne enačbe v tem primeru zapišemo v naslednji obliki: 𝑥 = 𝑒−𝑝𝑡(𝐴 cos(𝑞𝑡) + 𝐵 sin(𝑞𝑡)) (3.57) Ta situacija je za inženirsko prakso najbolj zanimiva, zato si jo je vredno natančneje ogledati. Primer odziva mehanskega nihala s podkritičnim dušenjem je prikazan na sliki 3.14. Vidimo lahko, da se amplituda nihanja zaradi dušenja postopoma zmanjšuje. Časovni interval med dvema zaporednima (pozitivnima ali negativnima) amplitudama je konstanten in je enak periodi dušenega nihanja 𝑇𝐷. Simboli 𝑡𝑖 in 𝑥𝑖 označujejo čase ekstremnih (amplitudnih) odmikov in njihove vrednosti. Pomik TD Čas ti+1 , xi+1 ti , xi Slika 3.14: Lastno nihanje podkritično dušenega sistema V inženirski praksi je hitrost zmanjševanja amplitud pogosto zelo pomemben podatek. Za oceno te hitrosti uporabljamo količino Δ = ln 𝑥𝑖 , ki jo imenujemo logaritemski dekrement. Ta 𝑥𝑖+1 količina predstavlja naravni logaritem količnika dveh zaporednih amplitud. Z uporabo nastavka UM, Fakulteta za strojništvo 43 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 𝑥 = 𝑒−𝑝𝑡(𝐴 cos(𝑞𝑡) + 𝐵 sin(𝑞𝑡)) in dejstva, da je 𝑡𝑖+1 = 𝑡𝑖 + 𝑇𝐷, lahko izraz za logaritemski dekrement zapišemo v obliki Δ = 𝑝𝑇𝐷 (3.58) ki je mnogo bolj uporabna za izračunavanje vrednosti logaritemskega dekrementa. 3.3 Lastna nihanja sistemov z več prostostnimi stopnjami Do zdaj smo obravnavali nihanje mehanskih sistemov z le eno prostostno stopnjo. V praksi so takšni sistemi še kar pogosti, vendar pa imamo mnogokrat opravka tudi s takšnimi sistemi, ki imajo več prostostnih stopenj. Odziv takih sistemov lahko običajno izračunamo le z uporabo ustreznih numeričnih postopkov, ki presegajo okvir te knjige. Zaradi tega si bomo v nadaljevanju ogledali le postopek določevanja lastnih frekvenc in lastnih nihajnih oblik nedušenega sistema z več prostostnimi stopnjami. Lastne frekvence in lastne nihajne oblike sistema predstavljajo namreč pomembne parametre sistema, katerih poznavanje nam koristi pri obravnavi tako nedušenih kot tudi dušenih nihajočih sistemov. Razen tega lahko z uporabo teh količin zapišemo tudi zakon nihanja nedušenega sistema z več prostostnimi stopnjami. Izpeljavo splošnih enačb bomo začeli na vzorčnem modelu z dvema prostostnima stopnjama, slika 3.15. x1 x2 k1 m1 k2 m2 k3 Slika 3.15: Vzorčni model z dvema prostostnima stopnjama Lego teles v vzorčnem modelu določata dva parametra: ● 𝑥1, ki predstavlja lego telesa z maso 𝑚1, in ● 𝑥2, ki predstavlja lego telesa z maso 𝑚2. Opazovani sistem ima torej dve prostostni stopnji. Za določitev diferencialnih enačb gibanja zapišemo Newtonov zakon za vsako telo posebej 𝑚1𝑥̈1 = −𝑘1𝑥1 + 𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) (3.59) 𝑚2𝑥̈2 = −𝑘2(𝑥2 − 𝑥1) − 𝑘3𝑥2 (3.60) iz česar sledi 𝑚1𝑥̈1 + (𝑘1 + 𝑘2)𝑥1 − 𝑘2𝑥2 = 0 (3.61) 𝑚2𝑥̈2 − 𝑘2𝑥1 + (𝑘2 + 𝑘3)𝑥2 = 0 (3.62) UM, Fakulteta za strojništvo 44 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja Če ti dve enačbi predelamo v matrično obliko, dobimo 𝑚 𝑥̈ 𝑘 𝑥1 [ 1 0 ][ 1] + [ 1 + 𝑘2 −𝑘2 ][ ] = 𝟎 (3.63) 0 𝑚 𝑥 2 𝑥̈2 −𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 2 oziroma 𝐌𝐱̈ + 𝐊𝐱 = 𝟎 (3.64) kjer je 𝐌 masna matrika sistema, 𝐊 je togostna matrika sistema, 𝐱̈ je vektor pospeškov, 𝐱 pa je vektor koordinat oziroma prostostnih stopenj sistema. Rang vpletenih matrik in vektorjev ustreza številu prostostnih stopenj obravnavanega sistema. Če imamo opravka z nihajočim sistemom z 𝑁 prostostnimi stopnjami, ta matrična enačba predstavlja sistem 𝑁 linearnih diferencialnih enačb drugega reda. Iskanja lastnih frekvenc takšnega sistema se lahko lotimo z uporabo nastavka v obliki 𝐱 = 𝐗 sin 𝜔𝑡 (3.65) kjer je 𝐗 vektor konstant. Po vstavljanju tega nastavka v sistem diferencialnih enačb dobimo [𝐊 − 𝜔2𝐌]𝐗 = 𝟎 (3.66) Iz takega sistema enačb lahko izračunamo netrivialen oziroma od nič različen vektor 𝐗 edino v primeru, ko je karakteristična matrika [𝐊 − 𝜔2𝐌] singularna. Drugače povedano, za netrivialne rešitve moramo zahtevati, da je determinanta te matrike enaka nič oziroma 𝑑𝑒𝑡[𝐊 − 𝜔2𝐌] = 0 (3.67) Za sistem z 𝑁 prostostnimi stopnjami lahko iz te enačbe izračunamo 𝑁 lastnih frekvenc sistema 𝜔𝑖, 𝑖 = 1 … 𝑁 (3.68) Ko so lastne frekvence 𝜔𝑖 znane, lahko iz naslednjih sistemov enačb [𝐊 − 𝜔2𝑖𝐌]𝐗𝑖 = 𝟎, 𝑖 = 1 … 𝑁 (3.69) izračunamo še 𝑁 lastnih vektorjev oziroma lastnih nihajnih oblik sistema 𝐗𝑖, 𝑖 = 1 … 𝑁 (3.70) Vektorji 𝐗𝑖 so medsebojno ortogonalni glede na masno matriko 𝐌, kar pomeni, da je produkt 𝐗 𝑇 𝑖 𝐌𝐗𝑗 = 0 če 𝑖 ≠ 𝑗. Znane lastne frekvence 𝜔𝑖 in lastne nihajne oblike 𝐗𝑖 nihajočega sistema nam omogočajo zapis splošnega nastavka za rešitev diferencialnih enačb gibanja sistema z 𝑁 prostostnimi stopnjami. Ta nastavek se lahko zapiše kot 𝐱 = ∑𝑁 𝐗 𝑖=1 𝑖(𝐴𝑖 cos 𝜔𝑖𝑡 + 𝐵𝑖 sin 𝜔𝑖𝑡) (3.71) kjer so 𝐴𝑖 in 𝐵𝑖 integracijske konstante, ki jih izračunamo iz začetnih pogojev 𝐱(𝑡 = 0) = 𝐱 0 (3.72) 𝐱̇(𝑡 = 0) = 𝐱̇0 Za to lahko uporabimo enačbi, ki ju izpeljemo z upoštevanje ortogonalnosti lastnih nihajnih oblik. Če namreč nastavek za rešitev množimo z leve z 𝐗 𝑇 𝑖 𝐌, po preureditvi dobimo 𝐗 𝑇𝐌𝐱 𝐴 𝑖 0 𝑖 = (3.73) 𝐗 𝑇 𝑖 𝐌𝐗𝑖 UM, Fakulteta za strojništvo 45 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja in 𝐗 𝑇𝐌𝐱̇ 𝐵 𝑖 0 𝑖 = (3.74) 𝜔 𝑇 𝑖𝐗𝑖 𝐌𝐗𝑖 kjer je 𝐗 𝑇 𝑖 𝐌𝐱0 produkt začetnih pomikov z vektorjem nihajnih oblik (izračunan glede na masno matriko 𝐌), 𝐗 𝑇 𝑇 𝑖 𝐌𝐱̇0 je produkt začetnih hitrosti z vektorjem nihajnih oblik, 𝐗𝑖 𝐌𝐗𝑖 pa je produkt vektorja nihajnih oblik s samim seboj. Izračun konstant 𝐴𝑖, 𝐵𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑁 nam da torej zakon nihanja nedušenega sistema z 𝑁 prostostnimi stopnjami. 3.4 Vsiljena nihanja sistemov z eno prostostno stopnjo Pri vsiljenem nihanju na nihajoč sistem delujejo razen povratnih in disipacijskih sil še razne vrste aktivnih sil, ki običajno niso odvisne od trenutne lege ali hitrosti sistema. Te sile so lahko posledica: ● raznih procesov znotraj opazovanega sistema (npr. vrtenje neuravnovešenega rotorja elektromotorja) ali ● vplivov drugega sistema na naš opazovani sistem (npr. tresljaji podlage, na katero je pripet naš opazovani sistem). Študijo lastnosti in obnašanja takih sistemov bomo obravnavali na vzorčnem modelu, kjer lahko togo telo translatorno niha samo v eni smeri, slika 3.16. Gre za enak model, kot smo ga imeli pri obravnavi lastnih nihanj. Edina razlika je prisotnost zunanje aktivne sile 𝐹, ki je odvisna od časa. x k m F = F( t) c Slika 3.16: Vzorčni model z 1 PS za študij vsiljenega nihanja Diferencialno enačbo gibanja takega sistema lahko zapišemo kot 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹 (3.75) kjer je 𝐹 = 𝐹(𝑡) časovno odvisna sila, ki zajema vse aktivne zunanje vplive na sistem. Splošna rešitev take diferencialne enačbe je sestavljena iz dveh delov: ● homogenega dela, 𝑥ℎ, in ● partikularnega dela, 𝑥𝑝, UM, Fakulteta za strojništvo 46 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja tako da imamo 𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝 (3.76) Partikularni del reši originalno diferencialno enačbo, homogeni del pa pripadajočo homogeno enačbo 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0. Sila 𝐹 je aktivna sila, ki lahko mirujoč sistem spravi v gibanje. Zato pravimo, da 𝐹 predstavlja vzbujanje dinamičnega sistema. V inženirski praksi imamo opravka z različnimi oblikami vzbujanja dinamičnih sistemov, vendar je daleč najpomembnejše harmonično vzbujanje. Takšno vzbujanje je definirano s harmonično funkcijo, ki jo lahko v splošni obliki zapišemo kot 𝐹 = 𝐹0 sin(Ω𝑡 + Φ) (3.77) Pri tem konstanta 𝐹0 predstavlja amplitudo sile vzbujanja, Ω je krožna frekvenca vzbujanja, Φ pa fazni zamik vzbujanja. V nadaljevanju bomo obravnavali izključno harmonično motnjo, za fazni zamik pa bomo zaradi enostavnosti kar predpostavili Φ = 0 (3.78) Ta predpostavka nima pomembnih posledic za ugotovitve, ki bodo sledile. 3.4.1 Nedušeno vsiljeno nihanje Za opis nedušenega vsiljenega nihanja lahko uporabimo diferencialno enačbo vzorčnega modela, če privzamemo, da je 𝑐 = 0. Ker smo predpostavili harmonično motnjo brez faznega zamika, se enačba gibanja zapiše kot 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin(Ω𝑡) (3.79) Če to enačbo delimo z 𝑚 in uvedemo pomožne količine 𝐹 𝜔 = √ 𝑘 , 𝑓 = 0 (3.80) 𝑚 𝑚 dobimo 𝑥̈ + 𝜔2𝑥 = 𝑓 sin(Ω𝑡) (3.81) Nastavek za rešitev je v tem primeru 𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝 , 𝑥ℎ = 𝐴 cos(𝜔𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑡) , 𝑥𝑝 = 𝐶 sin(Ω𝑡) (3.82) Integracijski konstanti 𝐴 in 𝐵 se izračunata iz začetnih pogojev, konstanto 𝐶 pa dobimo z vstavljanjem partikularnega dela rešitve 𝑥𝑝 v diferencialno enačbo. Iz tega sledi 𝑓 𝐶 = (3.83) ω2−Ω2 Če bi šel Ω → 0, dobimo kvazistatično obremenitev sistema. V tem primeru je konstanta 𝐶 𝑓 𝐹 enaka 𝐶 0 𝑠𝑡 = = in predstavlja odmik sistema od ravnovesne lege pri statični obremenitvi. ω2 𝑘 Količnik 𝐶 1 𝛽 = | | = | | (3.84) 𝐶𝑠𝑡 1−𝑟2 Ω kjer je 𝑟 = , imenujemo dinamični faktor ojačenja. Ta količina predstavlja relativno mero za 𝜔 velikost amplitud vsiljenega nihanja. Z inženirskega stališča je zelo koristen graf faktorja 𝛽 v UM, Fakulteta za strojništvo 47 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja odvisnosti od količnika frekvenc 𝑟, slika 3.17. 1 𝛽 = 1 − 𝑟2 Ω < 𝜔 Ω > 𝜔 Ω 𝑟 = 𝜔 Slika 3.17: Dinamični faktor ojačenja v odvisnosti od količnika frekvenc S slike vidimo, da faktor dinamičnega ojačenja, in s tem tudi amplituda nihanja, narašča preko vseh meja takrat, ko gre 𝑟 → 1 oziroma Ω → 𝜔. Ta pojav, ki je lahko usoden za normalno delovanje sistema, imenujemo resonanca. Teoretično imamo opravka z resonanco takrat, kadar je frekvenca vzbujanja enaka lastni frekvenci sistema oziroma Ω = 𝜔. V praksi pa so seveda problematične tudi situacije, ko sta obe frekvenci sicer različni, vendar se bistveno ne razlikujeta. Namreč, kadar imamo Ω ≈ 𝜔, lahko na dinamičnemu sistemu opazimo periodično naraščanje in upadanje amplitud nihanja. Ta pojav, ki ga imenujemo podrhtavanje sistema, je lahko zaradi občasnih prevelikih amplitud prav tako usoden za dinamični sistem. V tehniški praksi se je zato vedno treba izogibati situacijam, ko je Ω ≈ 𝜔. Za ilustracijo podrhtavanja sistema je na sliki 3.18 prikazan odziv sistema, pri katerem je Ω = 1,2 𝜔. Pomik Čas Slika 3.18: Podrhtavanje sistema kot posledica Ω ≈ 𝜔 3.4.2 Dušeno vsiljeno nihanje Dušenja v opazovanem sistemu v praksi pogosto ne moremo zanemariti, kar pomeni, da imamo 𝑐 > 0. V takem primeru se diferencialna enačba vzorčnega modela s harmoničnim vzbujanjem zapiše kot 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 sin(Ω𝑡) (3.85) UM, Fakulteta za strojništvo 48 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja Če to enačbo delimo z 𝑚 in uvedemo pomožne količine 𝐹 𝑐 𝜔 = √ 𝑘 , 𝑓 = 0 , 𝑝 = , 𝑞 = √ 𝑘 − 𝑝2 (3.86) 𝑚 𝑚 2𝑚 𝑚 dobimo 𝑥̈ + 2𝑝𝑥̇ + 𝜔2𝑥 = 𝑓 sin(Ω𝑡) (3.87) Če predpostavimo podkritično dušenje, ki se pojavlja v večini inženirskih sistemov, se nastavek za rešitev zapiše kot 𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝 , 𝑥ℎ = 𝑒−𝑝𝑡(𝐴 cos(𝑞𝑡) + 𝐵 sin(𝑞𝑡)) , 𝑥𝑝 = 𝐶 sin(Ω𝑡 − 𝛾) (3.88) Konstanti 𝐴 in 𝐵 se izračunata iz začetnih pogojev; konstanti 𝐶 in 𝛾 pa dobimo z vstavljanjem partikularnega dela rešitve 𝑥𝑝 v diferencialno enačbo. Iz tega sledi 𝑓 2𝑝Ω 𝐶 = , 𝛾 = tan−1 ( ) (3.89) √(ω2−Ω2)2+4𝑝2Ω2 ω2−Ω2 Dinamični faktor ojačenja je pri dušenem sistemu 𝐶 1 𝛽 = | | = (3.90) 𝐶𝑠𝑡 √(1−𝑟2)2+4δ2𝑟2 𝑝 Ω kjer smo uporabili δ = in 𝑟 = . 𝜔 𝜔 Dinamični faktor ojačenja je torej pri dušenem vsiljenem nihanju odvisen od količine δ, ki je sorazmerna koeficientu dušenja 𝑐. Graf odvisnosti 𝛽 od 𝑟 in δ prikazuje slika 3.19. Vidimo lahko, da bo z inženirskega stališča bližina resonance oziroma frekvenc Ω in 𝜔 problematična 1 1 pri vrednostih δ < , medtem ko postane vpliv resonance pri vrednostih δ > praktično 2 2 zanemarljiv. 𝛽 1 δ = 4 Ω < 𝜔 1 δ = 2 3 δ = Ω > 𝜔 4 𝑟 Slika 3.19: Dinamični faktor ojačenja v odvisnosti od 𝑟 in δ Na koncu je dobro opozoriti še na naslednje dejstvo: homogeni del rešitve dinamičnega odziva gre zaradi dušenja vedno proti nič, ko gre čas proti neskončnosti. Ali drugače 𝑡 → ∞ ⇒ 𝑥ℎ → 0 (3.91) V praksi to pomeni, da bo po določenem (prehodnem) času ∆𝑇, merjenem od začetka vzbujanja sistema, njegov odziv praktično enak partikularnemu delu rešitve. Ali drugače UM, Fakulteta za strojništvo 49 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 𝑡 > ∆𝑇 ⇒ 𝑥ℎ ≈ 0 ⇒ 𝑥 ≈ 𝑥𝑝 (3.92) Zaradi tega odziv sistema v času 𝑡 < ∆𝑇 imenujemo prehodni odziv, odziv v času 𝑡 > ∆𝑇 pa stacionarni odziv sistema. Na sliki 3.20 je prikazan tipičen primer vsiljenega nihanja z dušenjem, pri katerem se jasno ločita prehodni in stacionarni del odziva sistema. Pomik prehodni stacionarni odziv odziv Čas Slika 3.20: Prehodni in stacionarni odziv sistema 3.4.2.1 Primer vsiljenega nihanja z inercijskim vzbujanjem Pogost vzrok nihanja sistemov so neuravnovešene vrteče se mase, ki povzročajo inercijsko vzbujanje. Na sliki 3.21 je prikazan primer, kjer masa 𝑚𝑢 kroži s kotno hitrostjo Ω na razdalji 𝑒 okoli fiksne osi na telesu mase 𝑚𝑠. Diferencialna enačba gibanja sistema je (𝑚𝑠 + 𝑚𝑢)𝑦̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 0 (3.93) kjer 𝑦 označuje lego težišča celotnega sistema mase 𝑚𝑠 + 𝑚𝑢. Če zapišemo izraz za težišče sistema (𝑚𝑠 + 𝑚𝑢)𝑦 = 𝑚𝑠𝑥 + 𝑚𝑢(𝑥 + 𝑒 sin(Ω𝑡)) (3.94) tega dvakrat odvajamo in vstavimo v izvorno diferencialno enačbo sistema, dobimo (𝑚𝑠 + 𝑚𝑢)𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑢𝑒Ω2 sin(Ω𝑡) (3.95) Vidimo lahko, da ta enačba ustreza splošni diferencialni enačbi za vsiljeno nihanje s harmoničnim vzbujanjem, pri čemer je 𝑚𝑠 + 𝑚𝑢 = 𝑚 in 𝑚𝑢𝑒Ω2 = 𝐹0. x 𝑒 sin(Ω𝑡) c ms mu e  k Slika 3.21: Sistem z inercijskim vzbujanjem To pomeni, da vse enačbe, ki veljajo za harmonično vzbujan sistem, smiselno veljajo tudi za sistem z inercijskim harmoničnim vzbujanjem. UM, Fakulteta za strojništvo 50 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja 3.4.2.2 Primer vsiljenega nihanja z vzbujanjem podlage Drug pogost vzrok vsiljenih nihanj je vzbujanje s premikanjem podlage, na katero je pripet opazovani dinamični sistem. x y c m kp ks Slika 3.22: Sistem z vzbujanjem prek podlage Primer takšnega sistema je prikazan na sliki 3.22. Če je pomik podlage 𝑦 harmonična funkcija 𝑦 = 𝑌 sin(Ω𝑡), lahko diferencialno enačbo gibanja zapišemo kot 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + (𝑘𝑠 + 𝑘𝑝)𝑥 = 𝑘𝑝𝑌 sin(Ω𝑡) (3.96) Očitno tudi ta enačba ustreza splošni diferencialni enačbi za vsiljeno nihanje s harmoničnim vzbujanjem, pri čemer je 𝑘𝑠 + 𝑘𝑝 = 𝑘 in 𝑘𝑝𝑌 = 𝐹0. UM, Fakulteta za strojništvo 51 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 3 Mehanska nihanja UM, Fakulteta za strojništvo 52 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4 ANALITIČNA DINAMIKA Namen:  Spoznati Newton-Eulerjev pristop.  Spoznati D'Alambertov princip.  Spoznati posplošene oz. generalizirane koordinate ter posplošene sile.  Spoznati princip virtualnega pomika, virtualnega dela ter uporabe virtualnega dela v statiki in dinamiki.  Spoznati Lagrangeevo enačbo in njeno uporabnost. Cilj: S pridobljenim znanjem bo študent sposoben zapisati gibalne enačbe sistema z različnimi uporabljenimi metodami. 4.1 Uvod Kot že samo ime pove gibalne enačbe opisujejo gibanje mehanskega oz. dinamičnega sistema, ko je ta podvržen nekim zunanjim silam in ali momentom. Takšen sistem ima lahko odprto kinematično verigo, kot jo imajo roboti, ali pa ima zaprto kinematično verigo, kot jo imajo npr. štiri zgibni mehanizmi. Gibalne enačbe ne opisujejo samo gibanje sistema, temveč podajajo tudi potrebne navore in ali sile za željeno gibanje po predpisani poti, hitrosti ali pospešku. Lahko podajajo tudi pospeške, hitrosti in poti iz podanih navorov na motorju. Pridobivanje gibalnih enačb dinamičnega sistema je za inženirja mehatronike pomembno iz več vidikov. V kolikor želimo dimenzionirati motor dinamičnega sistema, potrebujemo gibalne enačbe. S pomočjo gibalnih enačb izračunamo kolikšen navor je potreben na motorju za premagovanje gibanja po predpisani trajektoriji. Gibalne enačbe so prav tako pomembe pri vodenju dinamičnih sistemov. V kolikor želimo voditi dinamični sistem s pomočjo regulacije, potrebujemo gibalne enačbe, ki jih zapišemo v Laplaceovem prostoru ter tako dobimo stopnični odziv dinamičnega sistema. S pomočjo stopničnega sistema izberemo ustrezen regulator za vodenje obravnavanega sistema. Prav tako s pomočjo gibalnih enačb dobimo ustrezne reakcijske sile v vezeh s pomočjo katerih po tem ustrezno dimenzioniramo vezni element. Klasičen pristop, ki smo ga do sedaj že spoznali, je pridobivanje gibalnih enačb s pomočjo Newtonovih zakonov, še posebej z uporabo Newtonovega drugega in tretjega zakona. Newtonov pristop je vektorski pristop z uporabo prostih diagramov teles, kot bo to prikazano v nadaljevanju. Pri tem vedno dobimo poleg gibalnih enačb za dinamični sistem še reakcijske enačbe v podporah oz. vezeh dinamičnega sistema. Analitičen pristop, na drugi strani, ne zahteva poznavanja Newtonovih zakonov. S pomočjo skalarne veličine dela, ki je razdeljeno na kinetično in potencialno energijo ter zakonom o ohranitvi energije in uporabo Lagrangeevega pristopa enostavno pridemo do UM, Fakulteta za strojništvo 53 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika gibalnih enačb dinamičnega sistema. Z omenjenim pristopom pridemo do minimalnega števila gibalnih enačb dinamičnega sistema brez reakcijskih sil. Lahko pa iz pridobljenih gibalnih enačb pridobimo reakcijske sile v vezeh in podporah. Dinamični sistemi so dinamično vzbujani kar pomeni, da je podan navor, ki poganja sistem in je potrebno poiskati odziv sistema v smislu opravljene poti, hitrosti, pospeška ali generirane sile. Na drugi strani lahko na dinamični sistem delujejo zunanje sile in nas zanima potreben navor na motorju, ki bo premagoval zunanje sile po v naprej predpisani trajektoriji. Če želimo pridobiti odziv dinamičnega sistema moramo rešiti gibalne enačbe. Gibalne enačbe dinamičnega sistema so po navadi navadne diferencialne enačbe drugega reda. Za pridobivanje odziva jih je potrebno integrirati. Analitično je težko najti rešitev zato v večini primerov uporabljamo numerične metode. Večinoma se za to uporablja metoda Runge-Kutta. V nadaljevanju se bomo osredotočili na obravnavo ravninskih dinamičnih sistemov. 4.2 Prostostne stopnje dinamičnih sistemov Izraz prostostne stopnje označuje najmanjše možno število položajnih parametrov, ki popolnoma opišejo dinamični sistem. Povedano drugače, če dinamični sistem potrebuje najmanj dva podatka, da popolnoma opišemo dinamični sistem, potem ima ta sistem dve prostostni stopnji. Industrijski robot ima šest prostostnih stopenj oz. šest servo motorjev, kjer s prvimi tremi motorji doseže vse pozicije točke v prostoru z zadnjimi tremi motorji pa vse orientacije točke v prostoru. Batni mehanizem ima samo eno prostostno stopnjo saj lahko z zasukom pogonske ročice določimo vse kote in položaj batnice. 4.3 Pridobivanje gibalnih enačb s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa in D'Alambertovega principa 4.3.1 Newton-Eulerjev pristop V nadaljevanju bomo pridobili gibalne enačbe dinamičnega sistema s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa, ki ga že poznate, vendar ga niste nikoli tako poimenovali saj v večini primerov uporabljamo kar izraz Newtonov pristop. Prosto togo telo i v ravnini ima tri prostostne stopnje kar lahko opišemo s tremi podatki 𝑅𝑖𝑥, 𝑅𝑖𝑦 in 𝜃𝑖, kot to prikazuje slika 4.1. Za pridobivanje dinamičnega modela telesa tako potrebujemo tri neodvisne diferencialne enačbe drugega reda, ki opisujejo neomejeno gibanje togega telesa v ravnini. UM, Fakulteta za strojništvo 54 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika y i 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝜃 𝑅 𝑖 𝑖𝑦 𝑂𝑖 𝑹𝒊 𝑅𝑖𝑥 x Slika 4.1: Prosto togo telo v ravnini Newton-Eulerjev pristop tako pridobi naslednje tri enačbe za gibanje težišča togega telesa v ravnini. 𝑛 ∑ 𝐹𝑖𝑗𝑥 = 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑥 𝑗=1 𝑛 ∑ 𝐹𝑖𝑗𝑦 = 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑦 (4. 1) 𝑗=1 𝑚 ∑ 𝑀𝑖𝑗 = 𝐽𝑖𝜃̈𝑖 𝑗=1 Pri tem sta prvi dve enačbi Newtonovi enačbi pridobljeni iz izreka o gibalni količini, tretja pa je Eulerjeva enačba, pridobljena iz izreka o vrtilni količini. Od tod tudi izraz Newton-Eulerjev pristop. 4.3.2 D'Alembertov princip D'Alambertov princip pravi, da so vztrajnostne sile in vztrajnostni momenti togega telesa enaki vsoti vseh zunanjih sil in vsoti vseh zunanjih momentov, ki delujejo na togo telo. Slika 4.2 prikazuje grafično upodobitev principa. 𝑭𝑖2 𝑚 i 𝑖𝑎𝑖𝑦 𝑭 i 𝑖1 𝑀𝑖2 𝑚 𝐽 𝑖𝑎𝑖𝑥 𝑖𝜃̈𝑖 = 𝑀𝑖1 𝑭𝑖3 Slika 4.2: Grafična upodobitev D'Alambertovega principa. Pri čemer se sile 𝑭𝑖1, 𝑭𝑖2, 𝑭𝑖3 in momenta 𝑀𝑖1, 𝑀𝑖2 obravnavata kot zunanje sile in zunanji momenti. Izrazi 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑦, 𝑚𝑖𝑎𝑖𝑥 in 𝐽𝑖𝜃̈𝑖 pa predstavljajo vztrajnostne sile obravnavanega telesa. V UM, Fakulteta za strojništvo 55 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika kolikor bi zapisali enačbe glede na D'Alambertov princip, bi pridobili popolnoma identične gibalne enačbe, kot smo jih pridobili v enačbi (4.1). 4.3.3 Newton-Eulerjev pristop in diagram prostih teles Pridobivanje gibalnih enačb dinamičnega sistema togih teles s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa poteka s pomočjo diagrama prostih teles. Predstavljajte si, da so tri toga telesa med sabo povezana z vezmi oz. sklepi. Diagram prostih teles pridobimo tako, da telesa med sabo razdružimo, kjer vezi nadomestimo z reakcijskimi silami oz. silami v vezeh, na vsako telo pa narišemo še sile in momente, ki vplivajo na telo. Za vsako posamezno telo tako zapišemo tri enačbe v obliki enačbe (4.1). Usmeritve posameznih sil predvidevamo. Če smo se pri usmeritvi zmotili, bomo kot rezultat dobili negativno vrednost. 𝑚1𝑎1𝑦 𝐽1𝜃̈1 𝑚 y 1𝑎1𝑥 𝐹 𝐹12𝑦 12𝑥 x x x 𝐹12𝑥 𝐹12𝑦 x x a) Dinamični sistem b) Diagram prostih teles Slika 4.3: Dinamični sistem in diagram prostih teles V nadaljevanju si bomo pogledali pridobivanje gibalnih enačb dinamičnih sistemov z odprto kinematično verigo, kot jo imajo npr. industrijski roboti. Primer 4.1: Za dvoosni manipulator na sliki 4.4 zapiši gibalne enačbe s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa, če so znani 𝜃2 in 𝜃3 ter 𝜃̈2 in 𝜃̈3. 𝑔 𝑙 𝑀 3 3 A 𝜃3 𝑙2 𝑀2 𝜃 y 2 O x Slika 4.4: Dvoosni manipulator V kolikor želimo zapisati gibalne enačbe dvoosnega manipulatorja s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa je potrebno narediti diagrame prostih teles, kot to prikazuje slika 4.5. Za telo 2 in telo 3 zapišemo ravnotežne enačbe. UM, Fakulteta za strojništvo 56 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑚3𝑎3𝑦 𝐽 𝑔 3𝜃̈3 𝑙 𝑀 3 3 𝐹 𝑚 23𝑦 3𝑎3𝑥 𝐹23𝑥 𝜃 x 3 𝑚 x 𝐴 2𝑎2𝑦 𝑙 𝐹23𝑥 𝑚3𝑔 2 𝐹23𝑦 x 𝐽2𝜃̈2 x 𝑀 𝑚 2 2𝑎2𝑥 y 𝜃 𝐹 2 𝐹 12𝑦 12𝑥 x 𝑚2𝑔 x 𝑂 x 𝐹 𝐹 12𝑦 12𝑥 x x Slika 4.5: Diagram prostih teles dvoosnega manipulatorja Pri zapisu ravnotežnih enačb za drugo telo moramo upoštevati, da vse momente pri tem pristopu opazujemo okoli težišča telesa 2. 𝐹12𝑥 − 𝐹23𝑥 = 𝑚2𝑎2𝑥 𝐹 12𝑦 − 𝑚2𝑔 − 𝐹23𝑦 = 𝑚2𝑎2𝑦 (4. 2) 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝐹 2 2 2 2 12𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − 𝐹12𝑦 2 2 + 𝑀2 + 𝐹23𝑥 2 2 − 𝐹23𝑦 2 2 = 𝐽2𝜃̈2 Pri zapisu ravnotežnih enačb za tretjo telo ponovno upoštevamo vse momente okoli težišča telesa 3. 𝐹23𝑥 = 𝑚3𝑎3𝑥 𝐹 23𝑦 − 𝑚3𝑔 = 𝑚3𝑎3𝑦 (4. 3) 𝑙 𝑙 𝐹 3 3 23𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 − 𝐹23𝑦 2 3 + 𝑀3 = 𝐽3𝜃̈3 Iz obeh zgornjih enačb lahko izrazimo potreben moment na posameznem motorju. 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝑀 2 2 2 2 2 = 𝐽2𝜃̈2 − 𝐹12𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹12𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝐹23𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹23𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 2 2 2 𝑙 𝑙 (4. 4) 𝑀 3 3 3 = 𝐽3𝜃̈3 − 𝐹23𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 + 𝐹23𝑦 2 3 Poglejmo, koliko neznank imamo sedaj v zgornjih enačbah. Neznanke so: 𝑀2, 𝑀3, 𝐹12𝑥, 𝐹12𝑦, 𝐹23𝑥, 𝐹23𝑦, 𝑎2𝑥, 𝑎2𝑦, 𝑎3𝑥, 𝑎3𝑦. Torej imamo 6 enačb in 10 neznank. Dodatne štiri enačbe dobimo, če s pomočjo kinematike zapišemo pospeške težišča telesa 2 in 3 po x in y osi. Tako dobimo 10 enačb in 10 neznank. S tem sistem enačb postane rešljiv. Opazimo lahko, da z Newton-Eulerjevim pristopom pridobimo še enačbe za reakcijske sile v vezeh oz. sile v posameznih podporah. Poznavanje teh sil je v določenih primerih željeno, kadar npr. želimo dimenzionirati posamezen element moramo poznati sile v podporah. V večini primerov pa je dovolj, če poznamo samo gibalne enačbe za posamezno prostostno stopnjo dinamičnega sistema. V nadaljevanju si bomo pogledali pridobivanje gibalnih enačb dinamičnih sistemov z zaprto kinematično verigo. UM, Fakulteta za strojništvo 57 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Primer 4.2: Za štiri zgibni mehanizem, kot je prikazan na sliki 4.6, izpeljite gibalne enačbe s pomočjo Newton-Eulerjevega pristopa, če so znani 𝜃2, 𝜃3 in 𝜃4, 𝜃̈2, 𝜃̈3 in 𝜃̈4 ter 𝑭3. 𝑭 𝜑 3 3 𝐵 𝜃 𝑔 4 𝑙3 𝐴 𝜃3 𝑙2 𝑙 𝑀 4 2 𝜃 y 2 𝑀4 𝑂 𝐶 x Slika 4.6: Štiri zgibni mehanizem Ponovno je potrebno izdelati diagrame prostih teles in za posamezno prosto telo zapisati ravnotežne enačbe v obliki enačbe (4.1). 𝑭3 𝐹34𝑦 𝐵 𝑚3𝑎3𝑦 x 𝜃4 𝜑 𝑔 3 𝐹 𝐽3𝜃̈3 𝐹 23𝑦 𝑙 34𝑥 𝐹 𝐴 3 23𝑥 x 𝜃3 𝐹 𝑚 34𝑥 3𝑎3𝑥 𝑙 𝐹 2 34𝑦 𝑚 𝐹 4𝑎4𝑦 𝑚 23𝑦 𝐹23𝑥 2𝑎2𝑦 x x 𝑚3𝑔 𝐽 𝐽4𝜃̈4 𝑚 2𝜃̈2 4𝑎4𝑥 𝑚 𝑀4 2𝑎2𝑥 𝑚 𝑀 𝜃 4𝑔 2 2 𝑚 𝑙 𝐹41𝑦 y 4 2𝑔 𝐹 𝐹 x 12𝑥 𝑂 12𝑦 𝐶 x 𝐹 𝐹 41𝑥 12𝑥 𝐹41𝑦 𝐹41𝑥 𝐹12𝑦 x x Slika 4.7: Diagram prostih teles štiri zgibnega mehanizma Pri zapisu ravnotežnih enačb za drugo telo moramo upoštevati, da vse momente pri tem pristopu opazujemo okoli težišča telesa 2. 𝐹12𝑥 − 𝐹23𝑥 = 𝑚2𝑎2𝑥 𝐹 12𝑦 − 𝑚2𝑔 − 𝐹23𝑦 = 𝑚2𝑎2𝑦 (4. 5) 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝐹 2 2 2 2 12𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − 𝐹12𝑦 2 2 + 𝑀2 + 𝐹23 2 2 − 𝐹23𝑦 2 2 = 𝐽2𝜃̈2 Pri zapisu ravnotežnih enačb za tretjo telo ponovno upoštevamo vse momente okoli težišča telesa 3. 𝐹23𝑥 + 𝐹3𝑥 − 𝐹34𝑥 = 𝑚3𝑎3𝑥 𝐹 23𝑦 − 𝑚3𝑔 + 𝐹3𝑦 − 𝐹34𝑦 = 𝑚3𝑎3𝑦 (4. 6) 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝐹 3 3 3 3 23𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 − 𝐹23𝑦 2 3 + 𝐹34𝑥 2 3 − 𝐹34𝑦 2 3 = 𝐽3𝜃̈3 Enak postopek izberemo tudi pri zapisu ravnotežnih enačb za četrto telo. UM, Fakulteta za strojništvo 58 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝐹34𝑥 − 𝐹41𝑥 = 𝑚4𝑎4𝑥 𝐹 34𝑦 − 𝑚4𝑔 − 𝐹41𝑦 = 𝑚4𝑎4𝑦 (4. 7) 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 𝐹 4 4 4 4 34𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 4 − 𝐹34𝑦 2 4 + 𝐹41𝑥 2 4 − 𝐹41𝑦 2 4 + 𝑀4 = 𝐽4𝜃̈4 Ta postopek da 9 enačb. V kolikor vstavimo v zgornje enačbe še izraze za pospeške in vstavimo enačbe v momentne enačbe, dobimo sistem 8 enačb, ki podajajo reakcijske sile v podporah, in momentno enačbo iz katere lahko izrazimo potreben moment ali pa kotni pospešek, odvisno kaj točno nas zanima. 4.3.4 D'Alambertov princip in uporaba metode prerezov V nadaljevanju bo prikazan postopek uporabe D'Alambertovega principa in metode prerezov oz. ravnovesja podsistemov na obeh prej že prikazanih primerih. Primer 4.3: Za dvoosni manipulator zapišite gibalne enačbe s pomočjo D'Alambertovega principa in uporabo metode prerezov, če so znani 𝜃2 in 𝜃3 ter 𝜃̈2 in 𝜃̈3. 𝑚 𝑔 3𝑎3𝑦 𝑙3 𝑀3 𝐽3𝜃̈3 𝜃 𝑙 3 3 𝐹23𝑦 𝑀 𝑚 3 3𝑎3𝑥 𝑙2 𝜃 x 3 𝑀2 𝐴 Prerez 1 𝑚3𝑔 𝐹23𝑥 𝜃 x 2 Podsistem 1 𝑚3𝑎3𝑦 Prerez 2 𝐽3𝜃̈3 𝑙3 𝑀 𝑚 3 3𝑎3𝑥 𝜃 𝐴 3 𝑚 𝑙 𝑚 2𝑎2𝑦 2 3𝑔 𝐽2𝜃̈2 𝑚 𝑀 2𝑎2𝑥 2 𝜃 𝐹 2 12𝑦 x 𝑚2𝑔 𝑂 𝐹12𝑥 Podsi x stem 2 Slika 4.8: Dvoosni manipulator, metoda prerezov in ravnotežje podsistemov Vsak prerez naredimo pri posameznem sklepu začenši pri zadnjem sklepu. S tem dobimo prvi podsistem. Po tem naredimo še en prerez pri sklepu 1. Tako dobimo drugi podsistem. Za oba podsistema zapišemo ravnotežne momentne enačbe glede na točko prereza, kjer upoštevamo D'Alambertov princip. Za prvi podsistem tako zapišemo ravnotežne enačbe okoli točke A. D'Alambertov princip pravi, da je vsota vseh zunanjih momentov enaka vsem vztrajnostnim momentom. UM, Fakulteta za strojništvo 59 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika ∑ 𝑀𝑍𝑀 = ∑ 𝑀𝑉𝑀 𝑙3 𝑙3 𝑙3 𝑀3 − 𝑚3𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 (4. 8) 2 3 = 𝐽3𝜃̈3 + 𝑚3𝑎3𝑦 2 3 − 𝑚3𝑎3𝑥 2 3 𝑙 𝑙 𝑀 3 3 3 = 𝐽3𝜃̈3 + (𝑚3𝑎3𝑦 + 𝑚3𝑔) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3 − 𝑚3𝑎3𝑥 2 3 Za podsistem 2 zapišemo momentne ravnotežne enačbe okoli točke O s pomočjo D'Alambertovega principa. ∑ 𝑀𝑍𝑀 = ∑ 𝑀𝑉𝑀 𝑙 𝑙 𝑀 2 3 2 + 𝑀3 − 𝑚2𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − 𝑚3𝑔 (𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 2 3) 𝑙2 𝑙2 = 𝐽2𝜃̈2 + 𝐽3𝜃̈3 − 𝑚2𝑎2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (4. 9) 2 2 + 𝑚2𝑎2𝑦 2 2 𝑙 − 𝑚 3 3𝑎3𝑥 (𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3) 𝑙 + 𝑚 3 3𝑎3𝑦 (𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3) V kolikor enačbo (4.8) vstavimo v (4.9) dobimo spodnjo enačbo. 𝑙 𝑙 𝑀 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 = 𝐽2𝜃̈2 − 𝑚2𝑎2𝑥 2 2 + (𝑚2𝑔 + 𝑚2𝑎2𝑦) 2 2 − 𝑚3𝑎3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 (4. 10) +(𝑚3𝑔 + 𝑚3𝑎3𝑦)𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 Kot lahko opazimo, z uporabo metode prerezov pri mehanizmih z odprto kinematično verigo, pridobimo toliko gibalnih enačb kot ima mehanizem prostostnih stopenj. UM, Fakulteta za strojništvo 60 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Primer 4.4: Za štiri zgibni mehanizem zapišite gibalne enačbe s pomočjo uporabe D'Alambertovega principa in uporabo metode prerezov, če so znani 𝜃2, 𝜃3 in 𝜃4, 𝜃̈2, 𝜃̈3 in 𝜃̈4 ter 𝑭3. 𝑭3 𝑭 𝜑 𝑚3𝑎3𝑦 3 3 𝐵 𝜃4 𝜑 𝐵 𝑔 3 𝐽 𝑙 3𝜃̈3 𝐹34𝑥 3 𝑙 3 𝜃 𝐴 𝜃 3 𝐴 𝑚 3 3𝑎3𝑥 𝑙 𝐹 2 34𝑦 𝑚2𝑎2𝑦 x 𝑙 𝑚 2 3𝑔 Prerez 1 Prerez 2 𝐽 𝑙 2𝜃̈2 𝑚 4 2𝑎2𝑥 𝑀 2 𝜃2 𝑀 𝑀 2 𝑚 4 2𝑔 𝜃 𝐶 𝐹 2 12𝑦 𝑂 Prerez 0 Prerez 3 𝐹12𝑥 Podsistem 2 𝑭3 𝑚 𝐵 3𝑎3𝑦 𝜑 𝜃 3 4 𝐽3𝜃̈3 𝐹 𝐴 𝑙 23𝑥 𝐴 3 𝜃 𝑚 3 3𝑎3𝑥 𝑙 𝑙2 𝑚4𝑎4𝑦 2 𝐹 𝑚 23𝑦 𝑚 2𝑎2𝑦 2𝑎2𝑦 x 𝑚3𝑔 𝐽 𝑚 4𝜃̈4 4𝑎4𝑥 𝐽 𝐽 2𝜃̈2 𝑚 2𝜃̈2 𝑚 2𝑎2𝑥 2𝑎2𝑥 𝑀4 𝑚4𝑔 𝑀 𝑀 2 𝑙 𝑚 2 𝑚 4 2𝑔 𝜃 2𝑔 𝐹 𝜃 2 𝐹 12𝑦 2 12𝑦 𝐶 𝐹41𝑥 𝐹 𝐹 𝐹 41𝑦 12𝑥 12𝑥 𝑑 x Podsistem 1 Podsistem 3 Slika 4.9: Štiri zgibni mehanizem, metoda prerezov in ravnotežja podsistemov Pri zaprto zančnih verigah moramo narediti pri ročici 2 dva prereza, torej pri obeh sklepih. S tem dobimo prvi podsistem. Od tukaj dalje pa v vsakem sklepu naredimo prerez in pridobimo nov podsistem. Postopek prikazuje slika 4.9. Najprej zapišemo ravnotežne enačbe za podsistem 1 okoli točke A z upoštevanjem D'Alambertovega principa. ∑ 𝑀𝑍𝑀 = ∑ 𝑀𝑉𝑀 𝑙2 𝐹12𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝐹12𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑚2𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (4. 11) 2 2 + 𝑀2 𝑙 𝑙 = 𝐽 2 2 2𝜃̈2 + 𝑚2𝑎2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − 𝑚2𝑎2𝑦 2 2 Za podsistem 2 zapišemo ravnotežne enačbe okoli točke B z upoštevanjem D'Alambertovega principa. UM, Fakulteta za strojništvo 61 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika ∑ 𝑀𝑍𝑀 = ∑ 𝑀𝑉𝑀 𝐹12𝑥(𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3) − 𝐹12𝑦(𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3) 𝑙 𝑙 + 𝑚 2 3 2𝑔 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3) + 𝑀2 + 𝐹3𝑥 2 3 𝑙 + (𝑚 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3𝑔 − 𝐹3𝑦) 2 3 (4. 12) 𝑙 = 𝐽 2 2𝜃̈2 + 𝑚2𝑎2𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3) 𝑙 𝑙 − 𝑚 2 3 2𝑎2𝑦 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3) + 𝐽3𝜃̈3 + 𝑚3𝑎3𝑥 2 3 𝑙 − 𝑚 3 3𝑎3𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 Za podsistem 3 zapišemo ravnotežne enačbe okoli točke C z upoštevanjem D'Alambertovega principa. ∑ 𝑀𝑍𝑀 = ∑ 𝑀𝑉𝑀 𝑙 −𝐹 2 12𝑦𝑑 + 𝑀2 + 𝑚2𝑔 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4) 𝑙 + 𝐹 3 3𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3 + 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4) 𝑙 𝑙 + (𝑚 3 4 3𝑔 − 𝐹3𝑦) ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4) + 𝑀4 + 𝑚4𝑔 2 4 𝑙 (4. 13) = 𝐽 2 2𝜃̈2 + 𝑚2𝑎2𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4) 𝑙 − 𝑚 2 2𝑎2𝑦 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4) + 𝐽3𝜃̈3 𝑙 𝑙 + 𝑚 3 3 3𝑎3𝑥 ( 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 + 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4) − 𝑚3𝑎3𝑦 ( 2 3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4) 𝑙 𝑙 + 𝐽 4 4 4𝜃̈4 + 𝑚4𝑎4𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 4 − 𝑚4𝑎4𝑦 2 4 Kot lahko opazimo, v zgornjih treh enačbah še vedno nastopata dve reakcijski sili v podpori O. Žal, se z uporabo metode prerezov ne moremo popolnoma znebiti reakcijskih sil pri zaprto zančnih kinematičnih mehanizmih. V zgornjih primerih so bili podani klasični pristopi za pridobivanje gibalnih enačb odprtih in zaprtih kinematičnih mehanizmov. V kolikor so znani posamezni zasuki in pospeški teles lahko s pomočjo gibalnih enačb izračunamo generirane momente in sile v podporah. V kolikor so znani momenti in zunanje sile lahko iz gibalnih enačb, s pomočjo metod numeričnih reševanj navadnih diferencialnih enačb drugega reda, pridobimo zasuke in pospeške posameznih teles. 4.4 Posplošene oz. generalizirane koordinate Za namen uporabe analitične mehanike potrebujemo vpeljavo oz. uporabo posplošenih oz. generaliziranih koordinat. Posplošene koordinate so bilo katere koordinate, ki jih izberemo za opisovanje točke oz. objekta v prostoru. Po navadi poznamo koordinate 𝑥, 𝑦 in 𝑧. Lahko UM, Fakulteta za strojništvo 62 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika izberemo tudi polarne koordinate, torej 𝑟 in 𝜑 ali pa cilindrične koordinate 𝑟, 𝜑 in 𝑧. Pri izbiri koordinat moramo paziti na sledeče: 1. Ni nujno, da izberemo kartezične koordinate. 2. Morajo biti med seboj neodvisne. 3. Morajo popolnoma opisati sistem. Če povzamemo, posplošene koordinate so neodvisne koordinate, ki popolnoma opišejo opazovani sistem. Poglejmo si primer dvojnega nihala. Primer 4.5: Izbira ustreznih posplošenih koordinat na primeru dvojnega nihala. x O x O y y 𝑙2 𝑙2 𝜃2 (𝑥2, 𝑦2 ) 𝑙3 𝜃 𝑙 3 3 (𝑥3, 𝑦3 ) a) Izbira kartezičnih koordinat b) Izbira posplošenih koordinat Slika 4.10: Izbira a) kartezičnih in b) posplošenih koordinat V kolikor sedaj želimo opisati sistem na zgornji sliki, lahko to naredimo na več načinov. Prvi način je, da izberemo kartezične koordinate in tako potrebujemo štiri podatke 𝑥2, 𝑦2 in 𝑥3, 𝑦3. Poglejmo, ali so te med seboj neodvisne? Z drugimi besedami, če izberem podatek 𝑥2 ali je potem 𝑦2 prosto določljiv? Opazimo lahko, da temu ni tako. Člen 2 ima v naprej znano dolžino 𝑙2 kar pomeni, da če izberemo 𝑥2 potem podatek za 𝑦2 dobimo z upoštevanjem Pitagorovega izreka 𝑦 2 2 2 = ±√𝑙2 + 𝑥2 . Tako hitro ugotovimo, da takšen izbor koordinat ne more dati posplošenih koordinat. Dvojno nihalo ima dve prostostni stopnji. Že ta podatek nam mora povedati, da za opisovanje sistema potrebujemo dve posplošeni koordinati. Lahko si za opis sistema izberemo kot med členom 2 in y osjo ter kot med členom 3 in navidezno osjo podaljšano od člena 2, kot to prikazuje zgornja slika. Izbrana kota označimo z 𝜃2 in 𝜃3. Ta dva kota sta sedaj med sabo neodvisna. Če določimo enega izmed njiju, se drugi lahko prosto vrti. Prav tako, če določimo oba, smo s tem popolnoma opisali sistem, saj se sistem ne more več vrteti oz. premakniti. S tem lahko zagotovo trdimo, da sta kota 𝜃2 in 𝜃3 posplošeni koordinati zgornjega sistema. Posplošene koordinate splošno označimo s črko 𝑞𝑖. Tako bi zgoraj opisani sistem opisali s 𝒒(𝑡) = (𝑞1(𝑡), 𝑞2(𝑡)), pri čemer sta 𝑞1(𝑡) = 𝜃2(𝑡) in 𝑞2(𝑡) = 𝜃3(𝑡). Vemo, da sta obe spremenljivki kota časovno odvisni spremenljivki, zato lahko posplošene koordinate zapišemo kot 𝒒 = (𝑞1, 𝑞2). Ker bomo v nadaljevanju uporabljali Lagrangeeve enačbe in Lagrangeev pristop, moramo pojasniti na kakšnih dinamičnih sistemih lahko ta pristop sploh uporabimo in na katerih bi bilo potrebno uporabiti drugačno metodo. UM, Fakulteta za strojništvo 63 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4.5 Holonomni sistemi in holonomne vezi Holonomni dinamični sistemi so takšni sistemi kjer za opis sistema potrebujemo toliko podatkov, kolikor ima sistem prostostnih stopenj. En takšen primer je bil podan že v primeru 4.5. Poglejmo primer klasičnega industrijskega robota s 6 prostostnimi osmi. Kot veste, če želite določiti pozicijo in orientacijo vrha robota, po tem potrebujete točno 6 podatkov oz. zasukov posameznih motorjev. Tako hitro ugotovimo, da je industrijski robot holonomni sistem. Holonomni sistemi imajo holonomne vezi med posameznimi elementi sistema. Holonomne vezi se nanašajo na omejitve konfiguracije oz. konstrukcije, torej gre za geometrijske omejitve. Z drugimi besedami omejujejo gibanje sistema tako, da ustrezno zmanjšajo prostostno stopnjo sistema. Da je vez holonomna, mora biti izražena s funkcijo, ki vsebuje posplošene koordinate in čas. 𝑪(𝑞1, 𝑞2, . . ., 𝑞𝑛, 𝑡) = 𝑪(𝒒, 𝑡) = 0 (4. 14) Enačba (4.14) tako predstavlja enačbo holonomnih kinematičnih omejitev posameznih vezi kjer je 𝑪 matrika neodvisnih omejitvenih enačb posameznega sklepa sistema, ki je odvisna od posplošenih koordinat in časa. Prav tako so holonomne vezi lahko časovno odvisne ali pa časovno neodvisne. Časovno odvisnim vezem pravimo rheonomne, časovno neodvisnim pa skleronomne vezi. Poglejmo primer. Primer 4.6: Zapišite enačbo vezne točke 𝑉12 v globalnem koordinatnem sistemu ter določite ali je vez rheonomna ali skleronomna. 𝑎 𝑏 𝑉 𝑇 12 1 𝑇2 𝒆2𝑣 𝒆1𝑣 𝜃1 𝜃2 y 𝒆1𝑢 𝒆2𝑢 𝐸 𝐸 1 2 O x Slika 4.11: Primer holonomne vezi Za zapis enačbe vezne točke 𝑉12 moramo zapisati pozicijo točk 𝑇1 in 𝑇2 glede na globalni koordinatni sistem. Za to potrebujemo dva krajevna vektorja. Enega, ki gre skozi težišče prvega elementa do vezne točke in drugega, ki gre skozi težišče drugega elementa do vezne točke. Ta dva krajevna vektorja morata biti med sabo enaka saj opisujeta isto točko. 𝑥 1 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − (𝑥2 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝜃2) = 0 (4. 15) 𝑦1 + 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − (𝑦2 − 𝑏 𝑠𝑖𝑛 𝜃2) = 0 Kot lahko vidimo iz zgornje enačbe gre za geometrijsko omejitveno vez, kjer čas ne nastopa eksplicitno, spremenljivki za oba kota pa sta še vedno časovno odvisni. Torej gre za holonomno vez, ki je hkrati tudi skleronomna. V kolikor bi v vezno točko 𝑉12 vgradili motor bi se zapis za zasuk telesa dva spremenil. Ta takrat postane eksplicitno časovno odvisen 𝜃2 = 𝑐 ⋅ 𝑡, kjer je 𝑐 konstanta zasuka, 𝑡 pa je čas. Kar pomeni, da je to sedaj holonomna vez, ki je hkrati tudi rheonomna, torej eksplicitno časovno odvisna. Enačba (4.15) se tako preoblikuje v enačbo UM, Fakulteta za strojništvo 64 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika (4.16). 𝑥 1 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − (𝑥2 − 𝑏 𝑐𝑜𝑠( 𝑐 ⋅ 𝑡)) = 0 (4. 16) 𝑦1 + 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − (𝑦2 − 𝑏 𝑠𝑖𝑛( 𝑐 ⋅ 𝑡)) = 0 4.6 Neholonomni sistemi in neholonomne vezi Neholonomni sistemi so dinamični sistemi, ki potrebujejo za opis sistema več podatkov, kot imajo število prostostnih stopenj. Prav tako imajo neholonomni sistemi neholonomne vezi. To so vezi, kjer je poleg posplošenih koordinat in časa potrebno definirati tudi hitrosti. 𝑪(𝑞1, 𝑞2, . . ., 𝑞𝑛, 𝑞̇1, 𝑞̇2, . . ., 𝑞̇𝑛, 𝑡) = 𝑪(𝒒, 𝒒̇, 𝑡) = 0 (4. 17) Zgornja enačba tako predstavlja enačbo neholonomnih kinematičnih omejitev posameznih vezi kjer je 𝑪 matrika neodvisnih omejitvenih enačb posameznega sklepa sistema, ki je odvisna od posplošenih koordinat, posplošenih hitrosti in časa. Poglejmo primer. Primer 4.7: Avtonomno vozilo ima v ravnini tri prostostne stopnje, 𝑥, 𝑦, 𝜃. Vozilo se lahko pomika naprej in nazaj ter krmili s pomočjo sprednjih koles. Tako imamo samo dve krmilni veličini s katerima lahko pridemo iz pozicije 0 v pozicijo 1 ali 2, kot to prikazuje slika 4.12. To sta hitrost vozila in zasuk sprednjih koles. Pozicija 2 Pot 2 Pot 1 v y 𝜃 Pozicija 0 Pozicija 1 O x Slika 4.12: Primer neholonomnega sistema Za opis takšnega sistema potrebujemo začetne podatke o poziciji sistema, torej posplošene koordinate v katere je vključen zasuk 𝜃, hitrost sistema in čas. Samo tako lahko iz pozicije 0 preidemo v pozicijo 1 ali 2. Tako ugotovimo, da poziciji 1 in 2 nista odvisni samo od pozicije vozila, temveč tudi od poti po kateri je to vozilo prišlo v določeno pozicijo. V nadaljevanju se bomo posvečali samo holonomnim sistemom. UM, Fakulteta za strojništvo 65 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4.7 Virtualno delo V nadaljevanju bo predstavljen princip virtualnega dela. Virtualno delo omogoča izpeljavo gibalnih enačb brez omejitvenih oz. reakcijskih sil v podporah. Na podlagi skalarne veličine dela tako pridobimo gibalne enačbe. Dobimo minimalno število gibalnih enačb, ki je enako številu prostostnih stopenj dinamičnega sistema. Da lahko zapišemo virtualno delo moramo najprej definirati virtualni pomik in posplošene sile. 4.7.1 Virtualni pomik Virtualni pomik je definiran kot infinitezimalno (neskončno) majhen pomik, ki je skladen s kinematičnimi omejitvami sistema. Virtualni pomiki so imaginarni/navidezni, saj bi se naj zgodili, ko čas miruje. Virtualni pomik lahko obravnavamo kot parcialni odvod, kjer je čas fiksen, se ne spreminja. Vektor pozicije zapišemo kot 𝒓 = 𝒓(𝒒, 𝑡), kjer je 𝒒 vektor posplošenih koordinat. Če želimo pridobiti virtualni pomik je potrebno vektor pozicije odvajati. Tega odvajamo kot totalni odvod in dobimo enačbo (4.18). 𝑑𝒓 𝜕𝒓 𝑑𝒒 𝜕𝒓 = + (4. 18) 𝑑𝑡 𝜕𝒒 𝑑𝑡 𝜕𝑡 Enačbo pomnožimo na obeh straneh z 𝑑𝑡. 𝜕𝒓 𝜕𝒓 𝑑𝒓 = 𝑑𝒒 + 𝑑𝑡 (4. 19) 𝜕𝒒 𝜕𝑡 Pri virtualnem pomiku 𝒓 ni eksplicitna funkcija časa, zato zadnji člen odpade. Prav tako za zapis virtualnega pomika uporabimo grško črko 𝛿. Tako se enačba (4.19) pretvori v enačbo (4.20) kar predstavlja definicijo virtualnega pomika. 𝜕𝒓 𝛿𝒓 = 𝛿𝒒 (4. 20) 𝜕𝒒 Primer 4.8: Izračunajte virtualni pomik točke A prostega telesa v ravnini čigar pozicija je zapisana z uporabo gibljive baze, kot kaže slika 4.13. Vemo, da je 𝒆𝑢 = [𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃]𝑇in 𝒆𝑣 = [− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃]𝑇. Tako zapišemo začetno pozicijo točke A glede na globalni koordinatni sistem O. 𝐴 𝒓𝑄𝐴 𝒓 𝑒𝑢 𝑒𝑣 𝑦 𝜃 𝑄 𝒓 𝑂 𝑄 𝑥 Slika 4.13: Za izračun virtualnega pomika uporabimo krajevni vektor točke A prostega telesa v ravnini. UM, Fakulteta za strojništvo 66 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝒓 = 𝒓𝑄 + 𝒓𝑄𝐴 = 𝒓𝑄 + 𝑢𝒆𝑢 + 𝑣𝒆𝑣 (4. 21) Od začetne pozicije sedaj poiščemo virtualni pomik s parcialnim odvodom, kjer odvod zapišemo z grško črko 𝛿. 𝛿𝒓 = 𝛿𝒓𝑄 + 𝛿𝒓𝑄𝐴 = 𝛿𝒓𝑄 + 𝛿(𝑢𝒆𝑢) + 𝛿(𝑣𝒆𝑣) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝛿𝒓 = 𝛿𝒓𝑄 + 𝑢𝛿 [ ] + 𝑣𝛿 [ ] 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 (4. 22) 𝛿𝒓 = 𝛿𝒓𝑄 + 𝑢 [ ] 𝛿𝜃 − 𝑣 [ ] 𝛿𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝛿𝒓 = 𝛿𝒓𝑄 + [ ] [ ] 𝛿𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑣 4.7.2 Odvisne in neodvisne koordinate V sistemih imamo vedno odvisne in neodvisne koordinate. Poglejmo si primer. Primer 4.9: Za batni mehanizem izpeljite virtualne zasuke in pomike za kot 𝜃3 in 𝑟4𝑥 glede na zasuk 𝜃2. Batni mehanizem ima samo eno prostostno stopnjo. Tako ima samo eno neodvisno koordinatno, koordinato 𝜃2. Koordinati 𝜃3 in 𝑟4𝑥 pa sta odvisni koordinati. A 𝜃3 𝑙2 𝑙3 𝜃 y 2 B O x 𝑟4𝑥 Slika 4.14: Virtualni pomik za batni mehanizem Za opis pozicije točke B bomo sešteli vektorje od izhodiščne točke preko točke A do točke B. Po tem poiščemo virtualni pomik s pomočjo parcialnega odvoda. 𝒓𝐵 = 𝒓𝑂𝐴 + 𝒓𝐴𝐵 𝑟 𝑙 𝑙 [ 4𝑥] = [ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2] + [ 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3] /𝛿 0 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 (4. 23) 𝛿𝑟 −𝑙 −𝑙 [ 4𝑥] = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2] + [ 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3] 0 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Iz zgornje enačbe ločimo odvisne in neodvisne koordinate tako, da dobimo na levi strani virtualni zasuk in pomik 𝛿𝜃3 in 𝛿𝑟4𝑥, na desni pa virtualni zasuk 𝛿𝜃2. −𝑙 −𝛿𝑟 𝑙 [ 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 ] + [ 4𝑥] = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2] −𝑙 0 𝑙 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 −𝑙 𝛿𝜃 𝑙 (4. 24) [ 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 −1] [ 3 ] = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2] 𝛿𝜃 −𝑙 2 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 0 𝛿𝑟4𝑥 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 Poiščemo inverzno matriko 2x2 na levi strani in jo pomnožimo na obeh stran zgornje enačbe. UM, Fakulteta za strojništvo 67 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika S tem pridemo do končne rešitve. 𝛿𝜃 −1 0 1 𝑙 [ 3 ] = [ ] [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 ] 𝛿𝜃 𝛿𝑟 𝑙 𝑙 𝑙 2 4𝑥 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 −𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 (4. 25) 𝛿𝜃 −1 𝑙 [ 3 ] = [ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 ] 𝛿𝜃 𝛿𝑟 2 4𝑥 𝑙 𝑙 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) Zgornja enačba tako opisuje kolikšna je sprememba virtualnega zasuka in pomika 𝛿𝜃3 in 𝛿𝑟4𝑥, če se zgodi virtualni zasuk 𝛿𝜃2. Primer 4.10: Za štiri zgibni mehanizem zapišite virtualna zasuka 𝛿𝜃3 in 𝛿𝜃4 glede na virtualni zasuk 𝛿𝜃2. Štiri zgibni mehanizem ima samo eno prostostno stopnjo. Neodvisna koordinata je tako 𝜃2, odvisni koordinati pa sta 𝜃3 in 𝜃4. 𝐵 𝜃4 𝑙3 𝐴 𝜃3 𝑙2 𝑙4 𝜃 y 2 𝑂 𝐶 x Slika 4.15: Virtualni zasuki štiri zgibnega mehanizma Postopamo identično, kot v prejšnjem primeru. Za opis gibanja točke C uporabimo vektorski pristop. Seštejemo vse vektorje od izhodišča O skozi točki A in B do točke C. 𝒓𝐶 = 𝒓𝑂𝐴 + 𝒓𝐴𝐵 + 𝒓𝐵𝐶 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 [ 1] = [ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2] + [ 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3] + [ 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4] /𝛿 0 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 (4. 26) 0 −𝑙 [ ] = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 − 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 𝛿𝜃4] 0 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4 𝛿𝜃4 Iz zgornje enačbe izrazimo na levi strani virtualna zasuka 𝛿𝜃3 in 𝛿𝜃4 na desni pa virtualni zasuk 𝛿𝜃2. 𝑙 𝑙 [ 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4 𝛿𝜃4 ] = − [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2] 𝑙 𝑙 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4 𝛿𝜃4 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝑙 𝛿𝜃 𝑙 (4. 27) [ 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4] [ 3] = −[ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2] 𝛿𝜃 𝑙 2 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝑙4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4 𝛿𝜃4 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 Poiščemo inverzno matriko 2x2 na levi strani in jo pomnožimo na obeh stran zgornje enačbe. S tem pridemo do končne rešitve. 𝛿𝜃 1 𝑙 −𝑙 [ 3] = [ 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃4 −𝑙4 𝑠𝑖𝑛 𝜃4] [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2] 𝛿𝜃 𝛿𝜃 𝑙 −𝑙 −𝑙 2 4 3𝑙4 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 (4. 28) 𝛿𝜃 1 𝑙 [ 3] = [ 2𝑙4 𝑠𝑖𝑛(𝜃4 − 𝜃2)] 𝛿𝜃 𝛿𝜃 2 4 𝑙3𝑙4 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) Zgornja enačba tako opisuje kolikšna je sprememba virtualnega zasuka 𝛿𝜃3 in 𝛿𝜃4, če se zgodi virtualni zasuk 𝛿𝜃2. UM, Fakulteta za strojništvo 68 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4.8 Virtualno delo in posplošene sile Koncept virtualnega dela je v analitični mehaniki pomembno orodje. Sile in momente ne moremo med sabo seštevati, saj predstavljajo različne fizikalne veličine. Če pa sile in momente pretvorimo v delo, v tem konkretnem primeru v virtualno delo, pa lahko njihovo opravljeno virtualno delo enostavno med sabo seštejemo. Virtualno delo zapišemo kot 𝛿𝑊. Virtualno delo sile je definirano kot skalarni produkt vektorja sile in virtualnega pomika prijemališča sile. Virtualno delo momenta je definirano kot skalarni produkt momenta in virtualnega zasuka telesa. Tako lahko virtualno delo sil in momentov zapišemo, kot je prikazano spodaj, kjer je 𝑭 vektor rezultante zunanjih sil in 𝑀 vsota vseh zunanjih momentov. 𝛿𝑊 = 𝑭𝑇𝛿𝒓 + 𝑀𝛿𝜃 (4. 29) 4.8.1 Posplošene sile Z vpeljavo virtualnega dela pridemo tudi do izraza posplošene sile. Posplošene sile predstavlja izraz, ki zajema vse zunanje sile in momente zapisane v posplošenih koordinatah. Na spodnji sliki imamo prikazan vpliv zunanje sile in zunanjega momenta na prosto gibajoče se telo v ravnini. 𝑀 𝑭 𝑃 𝒓𝑃 𝒓𝑄𝑃 𝒆𝑢 𝒆𝑣 𝑦 𝜃 𝑄 𝒓 𝑂 𝑄 𝑥 Slika 4.16: Virtualno delo zunanje sile in zunanjega momenta na prosto gibajoče se telo Zapišimo virtualno delo zunanjih sil in zunanjih momentov. 𝛿𝑊 = 𝑭𝑇𝛿𝒓𝑃 + 𝑀𝛿𝜃 (4. 30) Izrazimo virtualni pomik točke P na katero deluje sila 𝑭 s pomočjo gibljive baze. − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝛿𝒓𝑃 = 𝛿𝒓𝑄 + [ ] [ ] 𝛿𝜃 (4. 31) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑣 Zgornji zapis tako vstavimo v enačbo (4.30) in dobimo spodnji zapis. − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝛿𝑊 = 𝑭𝑇 (𝛿𝒓𝑄 + [ ] [ ] 𝛿𝜃) + 𝑀𝛿𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑣 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑢 𝛿𝑊 = 𝑭𝑇𝛿𝒓 (4. 32) 𝑄 + (𝐹𝑇 [ ] [ ] + 𝑀) 𝛿𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑣 𝛿𝑊 = 𝑸𝑅𝛿𝒓𝑄 + 𝑄𝜃𝛿𝜃 UM, Fakulteta za strojništvo 69 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika V zgornji enačbi 𝑸𝑅 predstavlja vektor posplošenih zunanjih sil in 𝑄𝜃 predstavlja zunanje vplive, ki so povezani z rotacijo telesa. Ker po navadi zapišemo pozicije vektorjev zunanjih sil v posplošenih koordinatah, lahko za prosto telo izberemo koordinate 𝑞1 = 𝑥, 𝑞2 = 𝑦 in 𝑞3 = 𝜃. Tako dobimo naslednji izraz kjer je 𝑸 vektor vseh posplošenih zunanjih sil vključno z zunanjimi momenti in 𝒒 je vektor vseh posplošenih koordinat. 𝛿𝑊 = 𝑄 1𝛿𝑞1 + 𝑄2𝛿𝑞2 + 𝑄3𝛿𝑞3 (4. 33) 𝛿𝑊 = 𝑸𝛿𝒒 Primer 4.11: Zapišite virtualno delo zunanjih sil in momentov, ki delujejo na batni mehanizem glede na virtualni zasuk 𝛿𝜃2. A 𝜃3 𝑙3 𝑀2 𝑭3 𝑙2 C y 𝜃 B 2 𝑭4 O x 𝑟4𝑥 Slika 4.17: Virtualno delo zunanjih sil in momentov na batnem mehanizmu Najprej zapišemo virtualno delo posameznih zunanjih vplivov za posamezno telo in jih med sabo seštejemo. 𝛿𝑊 = 𝑀 𝑇 2𝛿𝜃2 + 𝑭3 𝛿𝒓𝐶 + 𝐹4𝛿𝑟4𝑥 (4. 34) Za tem potrebujemo virtualni pomik za vektor 𝒓𝐶. 𝑙 𝒓 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝐶 = [ ] 𝑙 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 (4. 35) −𝑙 𝛿𝒓 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 𝐶 = [ ] 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Virtualni pomik vstavimo v enačbo (4.34). 𝛿𝑊 = 𝑀 2𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 (4. 36) +𝐹3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝐹4𝛿𝑟4𝑥 Pridobljeno enačbo zapišemo v matrični obliki iz katere izpostavimo 𝛿𝜃2, 𝛿𝜃3 in 𝛿𝑟4𝑥. 𝑀 𝑇 2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝛿𝑊 = [−𝐹3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3] [𝛿𝜃3 ] (4. 37) 𝐹 𝛿𝑟 4 4𝑥 Trenutni zapis virtualnega dela še ni ustrezen, saj še vsebuje odvisne koordinate. Če želimo zapisati virtualno delo zunanjih vplivov glede na neodvisno koordinato 𝛿𝜃2, moramo 𝛿𝜃3 in 𝛿𝑟4𝑥 zapisati v odvisnosti od 𝛿𝜃2. To smo že storili v primeru 4.9 kar uporabimo tudi v tem primeru. Tako dobimo končen izraz za virtualno delo izraženo z virtualnim pomikom neodvisne koordinate 𝛿𝜃2. UM, Fakulteta za strojništvo 70 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝛿𝑊 𝑀 𝑇 2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 1 (4. 38) = [−𝐹 −𝑙 3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3] [ 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 /𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 ] 𝛿𝜃2 𝐹 −𝑙 4 2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) /𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 Skalarni produkt obeh matrik lahko zapišemo splošno, kjer 𝑄 predstavlja vse posplošene zunanje sile, ki vključujejo tudi moment.  W  Q (4. 39) 2 Primer 4.12: Zapišite virtualno delo zunanjih sil in momentov, ki delujejo na štiri zgibni mehanizem glede na virtualni zasuk 𝛿𝜃2. 𝑭3 𝐵 𝜃4 𝑙 𝐶 3 𝐴 𝜃3 𝑙 𝑀 2 4 𝑙4 𝑀2 𝜃 y 2 𝑂 𝐶 x Slika 4.18: Virtualno delo zunanjih sil in momentov na štiri zgibnem mehanizmu Najprej zapišemo virtualno delo posameznih zunanjih vplivov za posamezno telo in jih med sabo seštejemo. 𝛿𝑊 = 𝑀 𝑇 2𝛿𝜃2 + 𝑭3 𝛿𝒓𝐶 + 𝑀4𝛿𝜃4 (4. 40) Za tem potrebujemo virtualni pomik za vektor 𝒓𝐶, ki pa je v konkretnem primeru kar enak virtualnemu pomiku v prejšnjem primeru. −𝑙 𝛿𝒓 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 𝐶 = [ ] (4. 41) 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Virtualni pomik 𝛿𝒓𝐶 vstavimo v enačbo (4.40). 𝛿𝑊 = 𝑀 2𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 (4. 42) +𝐹3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 + 𝑀4𝛿𝜃4 Trenutni zapis virtualnega dela še ni ustrezen, saj vsebuje še odvisne koordinate. Če želimo zapisati virtualno delo zunanjih vplivov glede na neodvisno koordinato 𝛿𝜃2, moramo 𝛿𝜃3 in 𝛿𝜃4 zapisati v odvisnosti od 𝛿𝜃2. To smo že storili v primeru 4.10 kar uporabimo tudi v tem primeru. Tako dobimo končen izraz za virtualno delo izraženo z virtualnim pomikom neodvisne koordinate 𝛿𝜃2. UM, Fakulteta za strojništvo 71 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑙 𝛿𝑊 = 𝑀 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃4 − 𝜃2) 2𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝐹3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃 𝑙 2 3 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝑙2 𝑠𝑖𝑛(𝜃4 − 𝜃2) + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝐹3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃 (4. 43) 𝑙 2 3 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝑙 + 𝑀 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 4 𝛿𝜃 𝑙 2 4 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) Virtualni pomik 𝛿𝜃2 lahko izrazimo in tako pridemo bo posplošenih zunanjih sil 𝑄. 𝑙 𝛿𝑊 = [𝑀 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃4 − 𝜃2) 2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝐹3𝑥(𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹 𝑙 3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 3 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝑙 𝑙 (4. 44) + 𝐹 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃4 − 𝜃2) 2 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 3𝑦(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 𝑀 ] 𝛿𝜃 𝑙 4 2 3 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝑙4 𝑠𝑖𝑛(𝜃3 − 𝜃4) 𝛿𝑊 = 𝑄𝛿𝜃2 4.8.2 Virtualno delo konservativnih in nekonservativnih sil Določene sile, ki se pojavljajo v dinamičnih sistemih se ohranjajo, določene pa ne. Silam, ki se ohranjajo pravimo konservativne sile. Silam, ki se ne ohranjajo pa pravimo nekonservativne sile. Med konservativne sile spadata gravitacijska sila ter sila, ki se pojavi v vzmeti. Obe sili se ohranjata. Gravitacijska sila je konstanta po celotnem opazovanem prostoru v katerem se giblje dinamični sistem. Sila v vzmeti pa se ohranja tako dolgo, dokler se sila ne povrne nazaj v začetno ravnovesno stanje. Virtualno delo gravitacijske sile prikazuje spodnja enačba kjer je predznak negativen, saj gravitacija deluje v obratni smeri od predvidene y koordinate. 𝛿𝑊 = −𝑚𝑔𝛿𝑦 (4. 45) Virtualno delo sile v vzmeti pa prikazuje spodnja enačba. Virtualno delo v sili pišemo kot pozitivno. Predznak vzmeti definira raztezek, če je raztezek pozitiven, bo virtualno delo pozitivno in obratno. 𝛿𝑊 = 𝑘𝑥𝛿𝑥 (4. 46) Virtualno delo nekonservativnih sil smo že zapisali v prejšnjih primerih vendar jih nismo poimenovali tako. Nekonservativne sile so vse zunanje sile, zunanji momenti in momenti, generirani z motorji, ki delujejo na opazovani dinamični sistem. Virtualno delo nekonzervativnih zunanjih sil zapišemo, kot prikazuje enačba (4.30). 4.8.3 Virtualno delo reakcijskih sil v podporah Reakcijske sile, ki se pojavljajo v podporah, sledijo 3. Newtonovemu zakonu akcije in reakcije. Zato je virtualno delo reakcijskih sil v podporah vedno enako nič. Poglejmo primer rotacijskega sklepa. UM, Fakulteta za strojništvo 72 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑖 𝑃 𝑗 𝑦 𝑖 𝑗 𝑂 𝑥 𝐹𝑃𝑗𝑖 𝐹𝑃𝑖𝑗 Slika 4.19: Virtualno delo reakcijskih sil v podporah Kot lahko vidimo v točki P na telo i deluje sila 𝐹𝑃𝑗𝑖. Prav tako v isti točki P deluje na telo j sila 𝐹𝑃𝑖𝑗, ki pa je nasprotno usmerjena kot sila na telo i. Virtualno delo posameznih reakcijskih sil posameznih teles tako znaša 𝛿𝑊𝑖 = −𝐹𝑃𝑗𝑖𝛿𝑟𝑃 in 𝛿𝑊𝑗 = 𝐹𝑃𝑖𝑗𝛿𝑟𝑃, pri čemer sta sili 𝐹𝑃𝑗𝑖 = 𝐹𝑃𝑖𝑗. V kolikor seštejemo virtualno delo posameznih teles dobimo, da je virtualno delo enako nič. 𝛿𝑊 = 𝛿𝑊𝑖 + 𝛿𝑊𝑗 = −𝐹𝑃𝑗𝑖𝛿𝑟𝑃 + 𝐹𝑃𝑖𝑗𝛿𝑟𝑃 = 0 (4. 47) 4.9 Princip uporabe virtualnega dela v statiki oz. statičnem ravnotežju 4.9.1 Virtualno delo v statiki V nadaljevanju si bomo pogledali princip uporabe virtualnega dela v statiki oz. statičnem ravnotežju. Dostikrat se zgodi, da imamo dinamični model a nas zanima trenutni navor ali potrebna sila, ki vzdržuje dinamični sistem v statičnem ravnotežju. V takšnih primerih se princip virtualnega dela izkaže za zelo uporabnega. Na telo i naj deluje sistem zunanjih sil in sistem zunanjih momentov, kot to prikazuje slika 4.20. Ta sistem sil in momentov, ki prav tako vsebuje reakcijske sile, lahko zamenjamo z ekvivalentno silo (rezultanto) in ekvivalentnim momentom, ki predstavljata skupek vseh zunanjih sil in zunanjih momentov. UM, Fakulteta za strojništvo 73 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑭𝑖2 𝑭 𝑖 𝑖 𝑖1 𝑀𝑖2 𝑭𝑖𝑒 𝑀𝑖𝑒 = 𝑀𝑖1 𝑭𝑖3 Slika 4.20: Princip uporabe virtualnega dela pri statičnem ravnotežju Virtualno delo vseh zunanjih sil lahko zapišemo kot: 𝛿𝑊 𝑇 𝑇 𝑇 𝑧 = 𝑭𝑖1 𝛿𝒓1 + 𝑭𝑖2 𝛿𝒓2+. . . +𝑭𝑖𝑛 𝛿𝒓𝑛 + (𝑀𝑖1 + 𝑀𝑖2+. . . +𝑀𝑖𝑚)𝛿𝜃𝑖 (4. 48) V zgornji enačbi je 𝒓𝑛 vektor prijemališča posamezne zunanje sile. Virtualno delo zunanjih sil lahko zapišemo tudi kot vsoto. 𝑛 𝑚 𝛿𝑊 𝑇 𝑧 = ∑ 𝑭𝑖𝑗 𝛿𝒓𝑗 + (∑ 𝑀𝑖𝑗) 𝛿𝜃𝑖 (4. 49) 𝑗=1 𝑗=1 Zapišimo sedaj virtualno delo ekvivalentne zunanje sile in ekvivalentnega zunanjega momenta. 𝛿𝑊 𝑇 𝑒 = 𝑭𝑖𝑒 𝛿𝒓𝑒 + 𝑀𝑖𝑒𝛿𝜃𝑖 (4. 50) Virtualno delo vseh zunanjih sil in momentov mora tako biti enako virtualnemu delu ekvivalentne zunanje sile in ekvivalentnemu zunanjemu momentu 𝛿𝑊𝑧 = 𝛿𝑊𝑒. 𝑛 𝑚 ∑ 𝑭 𝑇 𝑇 𝑖𝑗 𝛿𝒓𝑗 + (∑ 𝑀𝑖𝑗) 𝛿𝜃𝑖 = 𝑭𝑖𝑒 𝛿𝒓𝑒 + 𝑀𝑖𝑒𝛿𝜃𝑖 (4. 51) 𝑗=1 𝑗=1 V kolikor je telo v statičnem ravnotežju po tem velja naslednji pogoj. 𝑭 𝑇 𝑖𝑒 = 0, 𝑀𝑖𝑒 = 0 (4. 52) Prav tako velja pogoj: 𝑭 𝑇 𝑖𝑒 𝛿𝒓𝑒 = 0, 𝑀𝑖𝑒𝛿𝜃𝑖 = 0 (4. 53) Tukaj je potrebno poudariti, da virtualni pomik in virtualni zasuk ne moreta biti enaka nič, saj sta po definiciji oba možna in skladna z omejitvami. S tem pridemo do končne ugotovitve, da je virtualno delo zunanjih sil in momentov pri statičnem ravnotežju enako nič. 𝑭 𝑇𝛿𝒓 𝑖𝑒 𝑒 + 𝑀𝑖𝑒𝛿𝜃𝑖 = 0 (4. 54) 𝛿𝑊𝑧 = 0 4.9.2 Pridobivanje ravnotežnih enačb Naj bo sistem 𝑛𝑏 togih teles podvržen sistemu zunanjih sil in momentov ter zapisan tako, kot prikazuje enačba spodaj. 𝑇 𝑭 = [𝑭 𝑇 𝑇 𝑇 1 𝑭2 . . . 𝑭𝑛 ] , 𝑴 = [𝑀1 𝑀2 . . . 𝑀𝑚]𝑇 (4. 55) Virtualno delo sistema zunanjih sil in momentov tako zapišemo kot: 𝑛 𝑚 𝑇 𝛿𝑊𝑧 = ∑ 𝑭𝑗 𝛿𝒓𝑗 + ∑ 𝑀𝑗𝛿𝜃𝑗 (4. 56) 𝑗=1 𝑗=1 UM, Fakulteta za strojništvo 74 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Pri tem lahko pomik 𝒓𝑗 in 𝜃𝑗 zapišemo v odvisnosti od posplošenih neodvisnih koordinat 𝒒𝑖. 𝒓𝑗 = 𝒓𝑗(𝒒𝑖), 𝜃𝑗 = 𝜃𝑗(𝒒𝑖) (4. 57) Virtualni pomik in zasuk tako znašata: 𝜕𝒓𝑗 𝜕𝜃𝑗 𝛿𝒓𝑗 = 𝛿𝒒 𝛿𝒒 𝜕𝒒 𝑖, 𝛿𝜃𝑗 = 𝑖, (4. 58) 𝑖 𝜕𝒒𝑖 Z upoštevanjem zgornje enačbe dobimo iz enačbe (4.56) zapis 𝜕𝜃 𝛿𝑊 𝑛 𝑇 𝜕𝒓𝑗 𝑚 𝑗 𝑧 = (∑ 𝑭 𝑗=1 𝑗 + ∑ 𝑀 ) 𝛿𝒒 𝜕𝒒 𝑗=1 𝑗 𝑖. (4. 59) 𝑖 𝜕𝒒𝑖 Tega lahko okrajšano zapišemo kot 𝛿𝑊𝑧 = 𝑸𝑧𝛿𝒒𝑖, (4. 60) kjer je 𝑸𝑧 vektor posplošenih zunanjih sil. V kolikor je sistem v statičnem ravnotežju pridemo do naslednje enačbe. 𝛿𝑊𝑧 = 𝑸𝑧𝛿𝒒𝑖 = 0 (4. 61) Kot smo že dejali, definicija virtualnega pomika ne dopušča, da je ta enak nič. Tako ostane edina možnost, da je 𝑸𝑧 vektor posplošenih zunanjih sil enak nič. 𝑸𝑧 = 0 (4. 62) V vektorju 𝑸𝑧 je toliko ravnotežnih enačb, kolikor ima opazovani sistem prostostnih stopenj. Primer 4.13: Za prikazan sistem na sliki 4.21 je potrebno s pomočjo virtualnega dela poiskati potreben moment 𝑀2, da bo sistem v statičnem ravnotežju. A 𝜃3 𝑙3 𝑀2 𝑙2 C g y 𝜃 B 2 𝑭4 O x 𝑟4𝑥 Slika 4.21: Batni mehanizem v statičnem ravnotežju Potrebno je zapisati virtualno delo vseh zunanjih sil in momentov, kot tudi virtualno delo gravitacije. Vse to mora biti enako nič. Samo takrat bo sistem v statičnem ravnotežju. 𝛿𝑊𝑧 = 𝑀2𝛿𝜃2 − 𝑚2𝑔𝛿𝑟2𝑦 − 𝑚3𝑔𝛿𝑟3𝑦 + 𝐹4𝛿𝑟4𝑥 = 0 (4. 63) V zgornji enačbi je potrebno zapisati vse virtualne pomike glede na neodvisno koordinato 𝜃2. 𝑟2𝑦 = (𝑙2/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 → 𝛿𝑟2𝑦 = (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝑟3𝑦 = 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 → 𝛿𝑟3𝑦 = 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 (4. 64) 𝑟4𝑥 = 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 → 𝛿𝑟4𝑥 = −𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 Kot lahko opazimo, v zgornji enačbi še vedno nastopa odvisna koordinata 𝜃3. To odpravimo s pomočjo geometrijske relacije dveh trikotnikov v batnem mehanizmu, kot to prikazuje spodnja slika. UM, Fakulteta za strojništvo 75 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika A 𝜃3 𝑙3 𝑙2 v C y B 𝜃2 O x Slika 4.22: Geometrijska relacija dveh trikotnikov znotraj batnega mehanizma Za skupno višino v obeh pravokotnih trikotnikov lahko zapišemo naslednjo relacijo. 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 = −𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 (4. 65) To spremenimo v virtualni pomik in izrazimo 𝛿𝜃3. 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝛿𝜃3 = − (4. 66) 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 Zgornji izraz vstavimo v enačbo (4.64). 𝑙 𝛿𝑟 2 2𝑦 = ( ) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 𝛿𝜃2 𝑙 𝑙 𝛿𝑟 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 3𝑦 = 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝛿𝜃 𝛿𝜃 (4. 67) 2 2 = 2 2 𝛿𝑟4𝑥 = −𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3 𝛿𝜃2 = (−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3)𝛿𝜃2 Zgornje izraze sedaj vstavimo v enačbo (4.63) in tako dobimo končno enačbo. 𝑙 [𝑀 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 − 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑚3𝑔 2 (4. 68) + 𝐹4(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3)] 𝛿𝜃2 = 0 Končni izraz lahko zapišemo kot 𝛿𝑊𝑧 = 𝑄𝑧𝛿𝜃2 = 0, kjer je 𝑄𝑧 izraz posplošenih zunanjih sil. Ta izraz bo enak nič samo v primeru, če bo 𝑄𝑧 enak nič, saj virtualni zasuk ne more biti enak nič. Iz 𝑄𝑧 lahko sedaj izrazimo potreben moment na motorju, da bo batni mehanizem v statičnem ravnotežju. 𝑙 𝑀 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 = 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑚3𝑔 − 𝐹 2 4(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3) (4. 69) UM, Fakulteta za strojništvo 76 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Primer 4.14: Za dvoosni manipulator prikazan na sliki 4.23, ki je v statičnem ravnotežju, poiščite potrebna momenta na motorju, ki vzdržujeta ravnotežje. 𝐹 𝑔 3 𝑙 𝑃 𝑀 3 3 A 𝜃3 𝑙2 𝑀2 𝜃 y 2 O x Slika 4.23: Dvoosni mehanizem v statičnem ravnotežju Zapišimo virtualno delo sistema, ki zajema zunanje sile in momente ter vpliv gravitacije. 𝛿𝑊 𝑇 𝑧 = 𝑀2𝛿𝜃2 − 𝑚2𝑔𝛿𝑟2𝑦 + 𝑀3𝛿𝜃3 − 𝑚3𝑔𝛿𝑟3𝑦 + 𝑭3 𝛿𝒓3𝑃 = 0 (4. 70) V zgornji enačbi je potrebno zapisati vse virtualne pomike glede na neodvisni koordinati 𝜃2 in 𝜃3. 𝑟2𝑦 = (𝑙2/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 → 𝛿𝑟2𝑦 = (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝑟 3𝑦 = 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 → 𝛿𝑟3𝑦 = 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 (4. 71) 𝑙 −𝑙 𝒓 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 𝑃3 = [ ] → 𝛿𝒓 ] 𝑙 𝑃3 = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Pridobljene virtualne pomike vstavimo v enačbo (4.70). 𝛿𝑊𝑧 = 𝑀2𝛿𝜃2 − 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑀3𝛿𝜃3 − 𝑚 3𝑔(𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3) −𝑙 (4. 72) + 𝑭 𝑇 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 3 [ ] 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Iz zgornje enačbe izpostavimo vse izraze, ki so vezani na virtualni zasuk 𝛿𝜃2 in 𝛿𝜃3 ločeno in tako pridemo do končne enačbe. 𝛿𝑊𝑧 = [𝑀2 − 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2]𝛿𝜃2 (4. 73) + [𝑀3 − 𝑚3𝑔(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 − 𝐹3𝑥𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3𝑦𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3]𝛿𝜃3 Ker gre za statično ravnotežje, morata biti izraza v oklepajih enaka nič, saj virtualna zasuka po definiciji ne moreta biti enaka nič. Iz tega dobimo izraz za potreben moment na posameznem motorju, da bo dvoosni manipulator v statičnem ravnotežju. 𝑀 2 = 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 (4. 74) 𝑀3 = 𝑚3𝑔(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 𝐹3𝑥𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 − 𝐹3𝑦𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 UM, Fakulteta za strojništvo 77 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4.10 Princip uporabe virtualnega dela v dinamiki 4.10.1 Virtualno delo v dinamiki Uporaba virtualnega dela v dinamiki temelji na D'Alambertovem principu. Vpliv zunanjih sil in zunanjih momentov na sistem mora biti enak vztrajnostnim silam in vztrajnostnim momentom opazovanega sistema. To je osnova s pomočjo katere izpeljemo uporabo principa virtualnega dela v dinamiki. D'Alambertov princip zapišemo, kot prikazujeta spodnji enačbi. 𝑭 𝑖 − 𝑚𝑖𝒂𝑖 = 0 (4. 75) 𝑀𝑖 − 𝐽𝑖𝜃̈𝑖 = 0 V kolikor želimo seštevati sile in momente moramo le te spremeniti v virtualno delo. To storimo tako, da zgornjo enačbo s silami pomnožimo z virtualnim pomikom ter zgornjo enačbo z momenti pomnožimo z virtualnim zasukom. 𝑭 𝑖 − 𝑚𝑖𝒂𝑖 = 0/𝛿𝒓𝑖 (4. 76) 𝑀𝑖 − 𝐽𝑖𝜃̈𝑖 = 0/𝛿𝜃𝑖 S tem spremenimo sile in momente v virtualno delo in jih lahko med sabo preprosto seštejemo. (𝑭𝑖 − 𝑚𝑖𝒂𝑖)𝛿𝒓𝑖 + (𝑀𝑖 − 𝐽𝑖𝜃̈𝑖)𝛿𝜃𝑖 = 0 (4. 77) Virtualno delo razdelimo na delo, ki ga opravijo zunanje sile in zunanji momenti in na virtualno delo, ki ga opravijo vztrajnostne sile in vztrajnostni momenti. (𝑭𝑖𝛿𝒓𝑖 + 𝑀𝑖𝛿𝜃𝑖) − (𝑚𝑖𝒂𝑖𝛿𝒓𝑖 + 𝐽𝑖𝜃̈𝑖𝛿𝜃𝑖) = 0 𝛿𝑊 𝑧 = 𝑭𝑖𝛿𝒓𝑖 + 𝑀𝑖 𝛿𝜃𝑖 (4. 78) 𝛿𝑊𝑣 = 𝑚𝑖𝒂𝑖𝛿𝒓𝑖 + 𝐽𝑖𝜃̈𝑖𝛿𝜃𝑖 𝛿𝑊𝑧 − 𝛿𝑊𝑣 = 0 V kolikor imamo v sistemu n teles zgornjo enačbo preuredimo. 𝑛 𝑛 ∑ 𝛿𝑊𝑧𝑖 − ∑ 𝛿𝑊𝑣𝑖 = 0 (4. 79) 𝑖=1 𝑖=1 Iz enačbe (4.79) ugotovimo, da je virtualno delo zunanjih sil, ki delujejo na sistem teles enako virtualnemu delu vztrajnostnih sil obravnavanih teles. 4.10.2 Pridobivanje gibalnih oz. dinamičnih enačb Naj bo sistem 𝑛𝑏 togih teles podvržen sistemu zunanjih sil in momentov zapisan tako, kot prikazuje enačba spodaj. 𝑇 𝑭 = [𝑭 𝑇 𝑇 𝑇 1 𝑭2 . . . 𝑭𝑛 ] , 𝑴 = [𝑀1 𝑀2 . . . 𝑀𝑚]𝑇 (4. 80) Virtualno delo sistema zunanjih sil in momentov tako zapišemo kot: 𝑛 𝑚 𝑇 𝛿𝑊𝑧 = ∑ 𝑭𝑗 𝛿𝒓𝑗 + ∑ 𝑀𝑗𝛿𝜃𝑗 (4. 81) 𝑗=1 𝑗=1 Na sistem 𝑛𝑏 togih teles delujejo tudi vztrajnostne sile in vztrajnostni momenti, ki jih zapišemo z virtualnim delom, kot prikazuje enačba spodaj. UM, Fakulteta za strojništvo 78 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑛𝑏 𝛿𝑊𝑣 = ∑ (𝑚𝑗𝒂𝑗𝛿𝒓𝑗 + 𝐽𝑗𝜃̈𝑗𝛿𝜃𝑗) (4. 82) 𝑗 Pri tem lahko pomik 𝒓𝑗 in 𝜃𝑗 zapišemo v odvisnosti od posplošenih neodvisnih koordinat 𝒒𝑖. 𝒓𝑗 = 𝒓𝑗(𝒒𝑖), 𝜃𝑗 = 𝜃𝑗(𝒒𝑖) (4. 83) Virtualni pomik in zasuk tako znašata: 𝜕𝒓𝑗 𝜕𝜃𝑗 𝛿𝒓𝑗 = 𝛿𝒒 𝛿𝒒 𝜕𝒒 𝑖, 𝛿𝜃𝑗 = 𝑖, (4. 84) 𝑖 𝜕𝒒𝑖 Z upoštevanjem zgornje enačbe tako dobimo iz enačb (4.81) in (4.82) enačbo (4.85) za virtualno delo zunanjih sil in zunanjih momentov ter vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov. 𝑛 𝜕𝒓 𝑚 𝑗 𝜕𝜃𝑗 𝛿𝑊 𝑇 𝑧 = (∑ 𝑭𝑗 + ∑ 𝑀 ) 𝛿𝒒𝑖 𝑗=1 𝜕𝒒 𝑗 𝑗=1 𝜕𝒒 𝑖 𝑖 (4. 85) 𝑛𝑏 𝜕𝒓𝑗 𝜕𝜃𝑗 𝛿𝑊𝑣 = ∑ (𝑚𝑗𝒂𝑗 + 𝐽 ) 𝛿𝒒𝑖 𝑗 𝜕𝒒 𝑗𝜃̈𝑗 𝑖 𝜕𝒒𝑖 Izraza iz zgornje enačbe lahko krajše zapišemo s pomočjo vektorja posplošenih zunanjih sil 𝑸𝑧 in vektorja posplošenih vztrajnostnih sil 𝑸𝑣. 𝛿𝑊 𝑇𝛿𝒒 𝑧 = 𝑸𝑧 𝑖 (4. 86) 𝛿𝑊 𝑇 𝑣 = 𝑸𝑣 𝛿𝒒𝑖 Ker mora biti virtualno delo zunanjih sil enako virtualnemu delo vztrajnostnih sil lahko končen izraz zapišemo, kot to prikazuje spodnja enačba. 𝛿𝑊 𝑇 𝑇 𝑧 − 𝛿𝑊𝑣 = (𝑸𝑧 − 𝑸𝑣 )𝛿𝒒𝑖 = 0 (4. 87) Virtualni pomik po definiciji ne more biti enak nič zato sledi, da je vektor posplošenih zunanjih sil enak vektorju posplošenih vztrajnostnih sil. 𝑸𝑧 = 𝑸𝑣 (4. 88) Primer 4.15: Za batni mehanizem na sliki 4.24, na katerega delujeta zunanji moment in zunanja sila, pridobite gibalne enačbe s pomočjo virtualnega dela. A 𝜃3 𝑚2𝑎2𝑦 𝑙3 𝑚 𝐽 3𝑎3𝑦 2𝜃2 𝐽 𝑚 3𝜃3 𝑚3𝑎3𝑥 𝑀 2𝑎2𝑥 2 𝑙2 g 𝜃2 B y 𝑚 𝑚 2𝑔 3𝑔 𝑭4 O x 𝑚4𝑎4𝑥 Slika 4.24: Uporaba virtualnega dela za pridobivanje gibalnih enačb batnega mehanizma Batni mehanizem ima samo 1 prostostno stopnjo, kar pomeni, da pričakujemo samo eno gibalno enačbo, kjer je 𝜃2 neodvisna koordinata. Najprej je potrebno zapisati virtualno delo vseh zunanjih sil in zunanjih momentov glede na neodvisno koordinato 𝜃2. To smo storili že v primeru 4.13. Enačbo (4.69) še enkrat uporabimo. UM, Fakulteta za strojništvo 79 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑙 𝛿𝑊 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑧 = [𝑀2 − 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑚3𝑔 2 (4. 89) + 𝐹4(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3)] 𝛿𝜃2 V naslednjem koraku je potrebno zapisati virtualno delo vseh vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov, ki delujejo na batni mehanizem. 𝛿𝑊 𝑇 𝑇 𝑣 = 𝑚2𝒂2 𝛿𝒓2 + 𝐽2𝜃̈2 + 𝑚3𝒂3 𝛿𝒓3 + 𝐽3𝜃̈3 + 𝑚4𝑎4𝑥𝛿𝑟4𝑥 (4. 90) V zgornji enačbi virtualni pomik ni izražen glede na neodvisno koordinato. Virtualne pomike zapišemo glede na neodvisno koordinato. 𝑙 𝑙 ( 2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − ( ) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 𝒓 2 2 2 = [ ] → 𝛿𝒓 ] 𝑙 2 = [ 𝑙 ( 2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ( 2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 2 2 𝛿𝜃2 𝑙 𝑙 3) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + ( 3 (4. 91) 𝒓 2 3 = [ ] → 𝑙 𝑙 3 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + ( ) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3 −𝑙 𝛿𝒓 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 3 = [ ] 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 𝑟4𝑥 = 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 → 𝛿𝑟4𝑥 = −𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 V zgornjih enačbah imamo še vedno virtualno delo zapisano v odvisnih koordinatah. Spomnimo se razmerja, ki smo ga že uporabili pri primeru 4.13. To uporabimo tudi v tem primeru in tako pridobimo sledeče enačbe za virtualne pomike. −(𝑙 𝛿𝒓 2/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 2 = [ ] (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 −𝑙 (4. 92) 𝛿𝒓 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3 𝛿𝜃2 3 = [ ] (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 𝛿𝑟4𝑥 = −𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3 𝛿𝜃2 Virtualne pomike izražene iz zgornje enačbe vstavimo sedaj v enačbo (4.90), kjer po preurejanju dobimo spodnjo enačbo za virtualno delo vseh vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov. 𝛿𝑊𝑣 = [−𝑚2𝑎2𝑥(𝑙2/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑚2𝑎2𝑦(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝐽2𝜃̈2 + 𝑚 3𝑎3𝑥(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + (𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3) + 𝑚3𝑎3𝑦(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 (4. 93) 𝑙 − 𝐽 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 3𝜃̈3 + 𝑚 𝑙 4𝑎4𝑥(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3)]𝛿𝜃2 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 Izraz v oglatem oklepaju iz zgornje enačbe predstavlja posplošene vztrajnostne sile 𝑸𝑣, ki se pojavljajo na batnem mehanizmu. Sedaj je virtualno delo zunanjih sil in zunanjih momentov v enačbi (4.89) in virtualno delo vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov v enačbi (4.93) zapisano glede na virtualno delo neodvisne koordinate 𝛿𝜃2. Tako lahko ti dve enačbi med sabo odštejemo in njuna razlika mora biti enaka nič. 𝛿𝑊 𝑧 − 𝛿𝑊𝑣 = 0 (4. 94) 𝑸𝑧𝛿𝜃2 − 𝑸𝑣𝛿𝜃2 = (𝑸𝑧 − 𝑸𝑣)𝛿𝜃2 = 0 Ker virtualni pomik ne more biti enak nič nas to pripelje do končne gibalne enačbe, ki opisuje gibanje batnega mehanizma na katerega delujeta zunanji moment in sila. UM, Fakulteta za strojništvo 80 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑙 𝑙 𝑀 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 − 𝑚2𝑔 ( ) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝐹 2 2 − 𝑚3𝑔 2 4(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3) 𝑙 𝑙 = −𝑚 2 2 2𝑎2𝑥 ( ) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 + 𝑚2𝑎2𝑦 ( 2 2 + 𝐽2𝜃̈2 𝑙 (4. 95) + 𝑚 2 3𝑎3𝑥 (−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + ( ) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3) 𝑙 + 𝑚 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 3𝑎3𝑦(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝐽3𝜃̈3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 + 𝑚4𝑎4𝑥(−𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃3) Primer 4.16: Za dinamični sistem dvoosnega manipulatorja na sliki 4.25, na katerega deluje zunanja sila in zunanja momenta motorjev, je potrebno pridobiti gibalne enačbe s pomočjo virtualnega dela. 𝑚3𝑎3𝑦 𝐹 𝑔 3 𝐽 𝜃 3 3 𝑃 𝑚3𝑎3𝑥 𝑀3 A 𝜃3 𝑚2𝑎2𝑦 𝑙3 𝑚3𝑔 𝐽 𝜃 2 2 𝑙 𝑚2𝑎2𝑥 𝑀 2 2 𝜃2 y 𝑚2𝑔 O x Slika 4.25: Uporaba virtualnega dela za pridobivanje gibalnih enačb dvoosnega manipulatorja V primeru 4.14 smo že definirali virtualno delo vseh zunanjih sil in zunanjim momentov vendar jih sedaj ne enačimo z nič, temveč z virtualnim delom vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov. Prepišemo enačbo (4.73). 𝛿𝑊𝑧 = [𝑀2 − 𝑚2𝑔(𝑙2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2]𝛿𝜃2 (4. 96) + [𝑀3 − 𝑚3𝑔(𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 − 𝐹3𝑥𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3𝑦𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3]𝛿𝜃3 Zgornjo enačbo lahko poenostavimo. 𝛿𝑊𝑧 = 𝑄𝑧2𝛿𝜃2 + 𝑄𝑧3𝛿𝜃3 (4. 97) Zapišimo virtualno delo vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov dvoosnega manipulatorja. 𝛿𝑊 𝑻 𝑇 𝑣 = 𝑚2𝒂2 𝛿𝒓2 + 𝐽2𝜃̈2 + 𝑚3𝒂3 𝛿𝒓3 + 𝐽3𝜃̈3 (4. 98) V zgornji enačbi virtualni pomik ni izražen glede na neodvisni koordinati. Virtualne pomike zapišemo glede na neodvisni koordinati 𝜃2 in 𝜃3. UM, Fakulteta za strojništvo 81 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝑙 𝑙 ( 2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − ( ) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 𝒓 2 2 2 = [ ] → 𝛿𝒓 ] 𝑙 2 = [ 𝑙 ( 2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ( 2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 2 2 𝛿𝜃2 𝑙3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + ( ) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 (4. 99) 𝒓 2 3 = [ ] → 𝑙 𝑙 3 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + ( ) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3 −𝑙 𝛿𝒓 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 3 = [ ] 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Virtualne pomike izražene iz zgornje enačbe vstavimo sedaj v enačbo (4.98), kjer po preurejanju dobimo spodnjo enačbo za virtualno delo vseh vztrajnostnih sil in vztrajnostnih momentov. 𝑙 𝑙 𝛿𝑊 2 2 𝑣 = [−𝑚2𝑎2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 + 𝑚2𝑎2𝑦 2 2 + 𝐽2𝜃̈2 − 𝑚3𝑎3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑚3𝑎3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2] 𝛿𝜃2 (4. 100) 𝑙 𝑙 + [−𝑚 3 3 3𝑎3𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 + 𝑚3𝑎3𝑦 2 3 + 𝐽3𝜃̈3] 𝛿𝜃3 Če zgornjo enačbo poenostavimo, dobimo preprosti izraz. 𝛿𝑊𝑣 = 𝑄𝑣2𝛿𝜃2 + 𝑄𝑣3𝛿𝜃3 (4. 101) Iz definicije sledi, da mora biti virtualno delo zunanjih sil enako virtualnemu delu vztrajnostnih sil. Tako lahko enačimo enačbi (4.96) in (4.101). 𝛿𝑊𝑧 = 𝛿𝑊𝑣 𝑄𝑧2𝛿𝜃2 + 𝑄𝑧3𝛿𝜃3 = 𝑄𝑣2𝛿𝜃2 + 𝑄𝑣3𝛿𝜃3 (4. 102) (𝑄𝑧2 − 𝑄𝑣2)𝛿𝜃2 + (𝑄𝑧3 − 𝑄𝑣3)𝛿𝜃3 = 0 Zopet velja, da virtualni pomiki ne morejo biti enaki nič. Tako je edina možnost, da sta izraza v oklepajih enaka nič oz. enaka drug drugemu. Za neodvisno spremenljivko 𝜃2 tako dobimo sledeči izraz. 𝑙 𝑀 2 2 − 𝑚2𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 − 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝐹3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 = 𝑙 𝑙 (4. 103) −𝑚 2 2 2𝑎2𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 2 + 𝑚2𝑎2𝑦 2 2 + 𝐽2𝜃̈2 − 𝑚3𝑎3𝑥𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑚3𝑎3𝑦𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 Za neodvisno spremenljivko 𝜃3 pa dobimo izraz zapisan spodaj. 𝑙 𝑀 3 3 − 𝑚3𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 − 𝐹3𝑥𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3𝑦𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 = 2 𝑙 𝑙 (4. 104) −𝑚 3 3 3𝑎3𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3 + 𝑚3𝑎3𝑦 2 3 + 𝐽3𝜃̈3 UM, Fakulteta za strojništvo 82 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 4.11 Izpeljava Lagrangeeve enačbe 4.11.1 Lagrangeeva enačba Lagrangeeva enačba je še eno močno orodje za pridobivanje gibalnih enačb opazovanega dinamičnega sistema. Z uporabo kinetične in potencialne energije s pomočjo Lagrangeeve enačbe pridobimo enako število gibalnih enačb, kot ima sistem prostostnih stopenj. Izpeljavo Lagrangeeve enačbe izpeljemo s pomočjo uporabe virtualnega dela vztrajnostne sile na togem telesu. 𝑇 𝛿𝑊𝑣 = ∫ 𝜌𝑖𝒓̈𝑖 𝛿𝒓𝑖𝑑𝑉𝑖 (4. 105) 𝑉𝑖 V zgornji enačbi 𝜌𝑖 predstavlja gostoto togega telesa, 𝒓𝑖 predstavlja globalno pozicijo poljubne točke na togem telesu zapisane z generaliziranimi koordinatami, 𝑑𝑉𝑖 pa predstavlja volumen togega telesa. Izraz ∫ 𝜌𝑖𝑑𝑉𝑖 = 𝑚 𝑉 𝑖 predstavlja maso togega telesa. Globalno pozicijo poljubne 𝑖 točke 𝒓𝑖 je potrebno zapisati s pomočjo posplošenih koordinat in izraziti virtualni pomik poljubne točke glede na posplošene koordinate. 𝜕𝒓𝑖 𝒓𝑖 = 𝒓𝑖(𝒒, 𝑡) → 𝛿𝒓𝑖 = 𝛿𝒒 (4. 106) 𝜕𝒒 Virtualni pomik iz zgornje enačbe vstavimo v enačbo (4.105) iz katere lahko zapišemo izraz za posplošeno silo. 𝜕𝒓 𝛿𝑊 𝑇 𝑖 𝑣 = ∫ 𝜌𝑖𝒓̈𝑖 𝛿𝒒𝑑𝑉 𝜕𝒒 𝑖 𝑉𝑖 𝑇 𝛿𝑊𝑣 = 𝑸𝑣 𝛿𝒒 (4. 107) 𝜕𝒓 𝜕𝒓 𝑇 𝑸 𝑇 𝑖 𝑖 𝑣 = ∫ 𝜌𝑖𝒓̈𝑖 𝑑𝑉 = ∫ 𝜌 ) 𝒓̈ 𝜕𝒒 𝑖 𝑖 ( 𝜕𝒒 𝑖𝑑𝑉𝑖 𝑉𝑖 𝑉𝑖 Za izpeljavo Lagrangeeve enačbe je potrebno zapisati hitrost točke 𝒓𝑖. 𝜕𝒓𝑖 𝑑𝒒 𝜕𝒓𝑖 𝜕𝒓𝑖 𝜕𝒓𝑖 𝒓̇𝑖 = + = 𝒒̇ + (4. 108) 𝜕𝒒 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝒒 𝜕𝑡 Za izpeljavo Lagrangeeve enačbe potrebujemo tudi parcialni odvod od 𝒓̇𝑖. 𝜕𝒓̇𝑖 𝜕 𝜕𝒓 𝜕𝒓 = ( 𝑖 𝒒̇ + 𝑖) 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝜕𝑡 𝜕𝒓̇ (4. 109) 𝑖 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝒓 = ( 𝑖 𝒒̇) + ( 𝑖) 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝜕𝒒̇ 𝜕𝑡 Pravilo parcialnih odvodov omogoča, da v zadnjem členu zgornje enačbe vrstni red odvajanja parcialnih odvodov zamenjamo. Zadnji člen tako postane nič. 𝜕𝒓̇𝑖 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝒓 𝜕 𝜕𝒓 = ( 𝑖 𝒒̇) + ( 𝑖) → ( 𝑖) = 0 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝜕𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒓̇ (4. 110) 𝑖 𝜕 𝜕𝒓 = ( 𝑖 𝒒̇) 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 To enačbo razpišemo in pogledamo vrednosti parcialnih odvodov. 𝜕𝒓̇𝑖 𝜕 𝜕𝒓𝑖 𝜕𝒓𝑖 𝜕 = 𝒒̇ + 𝒒̇ (4. 111) 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝜕𝒒 𝜕𝒒̇ UM, Fakulteta za strojništvo 83 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Prvi člen na desni strani zgornje enačbe je enak nič, saj vektor 𝒓𝑖 ne vsebuje hitrosti generalizirane koordinate 𝒒̇. Drugi člen na desni pa je kar enak parcialnemu odvodu vektorja 𝒓𝑖 po posplošeni koordinati 𝒒. 𝜕 𝜕𝒓𝑖 𝒒̇ = 0 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝜕𝒓 (4. 112) 𝑖 𝜕 𝜕𝒓 𝒒̇ = 𝑖 𝜕𝒒 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 Tako pridemo do pomembne relacije parcialnih odvodov položaja in hitrosti po posplošenih koordinatah in posplošenih hitrostih. 𝜕𝒓̇𝑖 𝜕𝒓𝑖 = (4. 113) 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 Zgornjo enakost uporabimo v enačbi (4.107). 𝜕𝒓 𝑇 𝑇 𝑖 𝜕𝒓̇𝑖 𝑸𝑣 = ∫ 𝜌𝑖 ( ) 𝒓̈ = ∫ 𝜌 ) 𝒓̈ (4. 114) 𝜕𝒒 𝑖𝑑𝑉𝑖 𝑖 ( 𝜕𝒒̇ 𝑖𝑑𝑉𝑖 𝑉𝑖 𝑉𝑖 V pridobljeni enačbi še vedno nastopa pospešek. Tega se znebimo s pomočjo naslednjega odvoda. 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝜕𝒓̇ 𝑇 [( 𝑖) 𝒓̇ ( 𝑖) 𝒓̇ 𝑖) 𝒓̈ 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖] = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖 + ( 𝜕𝒒̇ 𝑖 (4. 115) Iz zgornje enačbe izrazimo zadnji člen na desni strani, saj ta prestavlja vrednost znotraj integrala v enačbi (4.114) kjer nastopa pospešek 𝒓̈𝑖. 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 ( 𝑖) 𝒓̈ [( 𝑖) 𝒓̇ ( 𝑖) 𝒓̇ 𝜕𝒒̇ 𝑖 = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖] − 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖 (4. 116) V zgornji enačbi sedaj uporabimo relacijo, ki smo jo izpeljavi v enačbi (4.113), za zadnji člen na desni strani. 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓 𝑇 ( 𝑖) 𝒓̈ [( 𝑖) 𝒓̇ ( 𝑖) 𝒓̇ 𝜕𝒒̇ 𝑖 = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖] − 𝑑𝑡 𝜕𝒒 𝑖 (4. 117) V drugem členu na desni strani zgornje enačbe lahko zamenjamo vrstni red odvajanja ter v obeh členih na desni strani vstavimo vektor hitrosti 𝒓̇𝑖 v parcialni odvod. 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝜕 𝑑 𝑇 ( 𝑖 ) 𝒓̈ [( 𝑖) 𝒓̇ ( 𝒓 𝒓̇ 𝜕𝒒̇ 𝑖 = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖] − 𝜕𝒒 𝑑𝑡 𝑖) 𝑖 (4. 118) 𝜕𝒓̇ 𝑇 𝑑 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ ( 𝑖 ) 𝒓̈ [ ( 𝑖 𝑖)] − ( 𝑖 𝑖) 𝜕𝒒̇ 𝑖 = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 2 𝜕𝒒 2 Zgornji izraz vstavimo v enačbo (4.114) ter zamenjamo vrstni red integriranja in odvajanja. 𝑑 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 𝑸 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑣 = ∫ 𝜌𝑖 [ [ ( )] − ( )] 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 2 𝜕𝒒 2 𝑖 𝑉 𝑖 (4. 119) 𝑑 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 𝜕 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 𝑸 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑣 = ( ∫ 𝜌 𝑑𝑉 ) − (∫ 𝜌 𝑑𝑉 ) 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝑖 2 𝑖 𝜕𝒒 𝑖 2 𝑖 𝑉𝑖 𝑉𝑖 𝒓̇ 𝑇𝒓̇ 1 V zgornji enačbi je izraz z integralom ∫ 𝜌 𝑖 𝑖 𝑇 𝑖 𝑑𝑉 = 𝑚𝒓̇ 𝒓̇ 2 𝑖 𝑉 𝑖 𝑖 = 𝑇𝑖 enak kinetični energiji. 𝑖 2 Iz definicije uporabe virtualnega dela v dinamiki in D'Alambertovega principa vemo, da morajo biti posplošene vztrajnostne sile enake posplošenim zunanjim silam 𝑸𝑣 = 𝑸𝑧. Tako dobimo UM, Fakulteta za strojništvo 84 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika naslednji izraz. 𝑑 𝜕𝑇 𝑇 𝜕𝑇 𝑇 𝑸 𝑖 𝑖 𝑧 = ( ) − ( ) (4. 120) 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 Ta izraz še ni končna Lagrangeeva enačba, saj v njem potencialna energija še ne nastopa eksplicitno. Vektor zunanjih posplošenih sil vsebuje tako konservativne kot nekonservativne zunanje sile. Kot konservativne zunanje sile smo navedli, da sta to gravitacija in sila vzmeti. Sila vzmeti nas trenutno ne zanima toliko, kolikor nas zanima gravitacijska sila. Vemo, da je potencialna energija povezana z gravitacijsko silo. To zapišemo s posplošeno koordinato. 𝑉𝑖 = 𝑚𝑖𝑔𝑞 (4. 121) Zunanje posplošene sile tako razdelimo na konservativne in nekonservativne. 𝑑 𝜕𝑇 𝑇 𝜕𝑇 𝑇 𝑸 𝑖 𝑖 𝑧 = 𝑸𝐾𝑂 + 𝑸𝑁𝐾 = ( ) − ( ) (4. 122) 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 Gravitacijsko konservativno silo dobimo, če enačbo (4.121) parcialno odvajamo glede na 𝒒 ter dodamo negativni predznak, saj v večini primerov gravitacijska sila deluje v nasprotno smer od postavitve koordinatnega sistema. 𝜕𝑉 𝑇 𝑸 𝑖 𝐾𝑂 = − ( ) (4. 123) 𝜕𝒒 Zgornji izraz vstavimo v enačbo (4.122) in po preurejanju dobimo sledečo enačbo. 𝜕𝑉 𝑇 𝑑 𝜕𝑇 𝑇 𝜕𝑇 𝑇 − ( 𝑖) + 𝑸 ( 𝑖) − ( 𝑖) 𝜕𝒒 𝑁𝐾 = 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 (4. 124) 𝑑 𝜕(𝑇 𝑇 𝜕(𝑇 𝑇 𝑸 𝑖 − 𝑉𝑖) 𝑖 − 𝑉𝑖) 𝑁𝐾 = ( ) − ( ) 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 V zgornji enačbi izraz T  V  L predstavlja Lagrangeeano, ki je razlika med kinetično in i i potencialno energijo opazovanega sistema. S tem pridemo do končne Lagrangeeve enačbe, ki pravi, da je vektor generaliziranih nekonzervativnih zunanjih sil enak izrazu, ki vključuje kinetično in potencialno energijo sistema, kot je prikazano spodaj. 𝑑 𝜕𝐿 𝑇 𝜕𝐿 𝑇 ( ) − ( ) = 𝑸 𝑑𝑡 𝜕𝒒̇ 𝜕𝒒 𝑁𝐾 (4. 125) Spomnimo še, da vektor nekonzervativnih posplošenih sil pridobimo s pomočjo zapisa virtualnega dela nekonzervativnih sil zapisanega z virtualnim pomikom po posplošeni koordinati 𝒒. 𝛿𝑊𝑁𝐾 = 𝑸𝑇 𝛿𝒒 𝑁𝐾 (4. 126) UM, Fakulteta za strojništvo 85 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Primer 4.17: Na primeru dvoosnega manipulatorja, na katerega delujejo zunanja sila in zunanja momenta, uporabite Lagrangeevo metodo za pridobivanje gibalnih enačb opazovanega sistema. 𝑚3𝑎3𝑦 𝑭 𝑔 3 𝐽 𝜃 3 3 𝑃 𝜑 𝑚 3 3𝑎3𝑥 𝑀3 A 𝜃3 𝑚2𝑎2𝑦 𝑙3 𝑚3𝑔 𝐽 𝜃 2 2 𝑙 𝑚2𝑎2𝑥 𝑀 2 2 𝜃2 y 𝑚2𝑔 O x Slika 4.26: Dvoosni manipulator in Lagrangeeva enačba Pri Lagrangeevi metodi potrebujemo kinetično in potencialno energijo opazovanega sistema. Kinetična energija posameznega elementa je tako translacijska kot rotacijska energija. 1 1 1 1 𝑇 = 𝑚 𝑇𝒓̇ 𝐽 𝑚 𝑇𝒓̇ 𝐽 2 2𝒓̇2 2 + 2 2𝜃̇22 + 2 3𝒓̇3 3 + 2 3𝜃̇23 (4. 127) Potlej zapišemo potencialno energijo sistema. 𝑉 = 𝑚2𝑔𝑟2𝑦 + 𝑚3𝑔𝑟3𝑦 (4. 128) Zapišemo virtualno delo zunanjih nekonservativnih sil in momentov. 𝛿𝑊 𝑇 𝑁𝐾 = 𝑀2𝛿𝜃2 + 𝑀3𝛿𝜃3 + 𝑭3 𝛿𝒓𝑃 (4. 129) Preden vstavimo vse te izraze v Lagrangeevo enačbo, je te izraze potrebno razpisati za posamezne vektorje pozicije 𝒓2, 𝒓3, 𝑟2𝑦, 𝑟3𝑦, 𝛿𝒓𝑃. (𝑙 −(𝑙 𝒓 2/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2/2)𝜃̇2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 2 = [ ] → 𝒓̇ ] (𝑙 2 = [ 2/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 (𝑙2/2)𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝑙 −𝑙 𝒓 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 2𝜃̇2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − (𝑙3/2)𝜃̇3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 (4. 130) 3 = [ ] → 𝒓̇ ] 𝑙 3 = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + (𝑙3/2) 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝑙2𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + (𝑙3/2)𝜃̇3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝑙 −𝑙 𝒓 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3 𝑃 = [ ] → 𝛿𝒓 ] 𝑙 𝑃 = [ 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 Te izraze sedaj vstavimo v enačbe (4.127), (4.128) in (4.129). Za kinetično energijo tako dobimo sledečo enačbo. 1 𝑙 2 𝑙 2 1 𝑇 = 𝑚 2 𝜃̇ + ( 2 𝜃̇ ] + 𝐽 2 2 [(− 2 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2) 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2) 2 2𝜃̇22 + 2 2 1 𝑙 𝑙 𝑚 3 𝜃̇ + (𝑙 3 𝜃̇ ] + (4. 131) 2 3 [(−𝑙2𝜃̇2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 − 2 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3) 2𝜃̇2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 2 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3) 1 𝐽 2 3𝜃̇23 Po preurejanju dobimo naslednjo enačbo za kinetično energijo. UM, Fakulteta za strojništvo 86 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 1 𝑙 2 1 𝑇 = 𝑚 2) 𝜃̇2 𝐽 2 2 ( 2 2 + 2 2𝜃̇22 + (4. 132) 1 𝑙 2 1 𝑚 2𝜃̇2 3) 𝜃̇2 𝐽 2 3 [𝑙2 2 + ( 2 3 + 𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3] + 2 3𝜃̇23 Za potencialno energijo dobimo sledečo enačbo. 𝑙 𝑙 𝑉 = 𝑚 2 3 2𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 2 + 𝑚3𝑔 (𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 2 3) (4. 133) Za virtualno delo nekonservativnih zunanjih sil in momentov po preurejanju dobimo enačbo prikazano spodaj. 𝛿𝑊𝑁𝐾 = 𝑀2𝛿𝜃2 + 𝑀3𝛿𝜃3 −𝑙 + [𝐹 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 𝛿𝜃2 − 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 𝛿𝜃3] 3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 𝐹3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3]𝑇 [ 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 𝛿𝜃2 + 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 𝛿𝜃3 (4. 134) 𝛿𝑊𝑁𝐾 = [𝑀2 − 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2]𝛿𝜃2 + [𝑀3 − 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3]𝛿𝜃3 Sedaj lahko zapišemo Lagrangeeano 𝐿 = 𝑇 − 𝑉. 1 𝑙 2 1 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚 2) 𝜃̇2 𝐽 2 2 ( 2 2 + 2 2𝜃̇22 1 𝑙 2 + 𝑚 2𝜃̇2 3) 𝜃̇2 (4. 135) 2 3 [𝑙2 2 + ( 2 3 + 𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3] 1 𝑙 𝑙 + 𝐽 2 𝑠𝑖𝑛 𝜃 3 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2 3𝜃̇23 − 𝑚2𝑔 2 2 − 𝑚3𝑔 (𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 2 3) Enačbi (4.135) in (4.134) vstavimo v enačbo (4.125). Ker imamo sistem z dvema prostostnima stopnjama, imamo dve neodvisni koordinati 𝜃2 in 𝜃3. Tako je vektor posplošenih koordinat enak 𝒒 = [𝜃2 𝜃3]𝑇. Lagrangeevo enačbo bomo tako dvakrat obravnavali za vsako neodvisno spremenljivko posebej. Najprej uporabimo Lagrangeevo enačbo za neodvisno spremenljivko 𝜃2. Lagrangeevo enačbo tako zapišemo, kot prikazuje spodnja enačba. 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( ) − ( ) = 𝑄 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑁𝐾(𝜃2) (4. 136) 2 2 Najprej je potrebno poiskati parcialni odvod Lagrangeeane po kotni hitrosti 𝜃̇2. 𝜕𝐿 𝑙 2 1 = 𝑚 2) 𝜃̇ 2𝜃̇ 𝑚 𝜕𝜃̇ 2 ( 2 2 + 𝐽2𝜃̇2 + 𝑚3𝑙2 2 + 2 3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇3 (4. 137) 2 Po tem izvedemo časovni odvod zgornje enačbe. 𝑑 𝜕𝐿 𝑙 2 ( ) = (𝑚 2) + 𝐽 2) 𝜃̈ 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 2 ( 2 2 + 𝑚3𝑙2 2 2 1 − 𝑚 (4. 138) 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) (𝜃̇2 − 𝜃̇3)𝜃̇3 1 + 𝑚 2 3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̈3 Nazadnje izvedemo še parcialni odvod Lagrangeeane po zasuku 𝜃2. 𝜕𝐿 1 𝑙2 = − 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜕𝜃 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3 − 𝑚2𝑔 2 − 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 (4. 139) 2 2 2 Sedaj izraze iz (4.139), (4.138) in del enačbe (4.134) za 𝜃2 vstavimo v enačbo (4.136). S tem UM, Fakulteta za strojništvo 87 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika pridobimo prvo gibalno enačbo našega sistema. 𝑙 2 1 (𝑚 2 2 2 ( ) + 𝐽 ) 𝜃̈ 𝑚 2 2 + 𝑚3𝑙2 2 + 2 3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̈3 1 − 𝑚 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) (𝜃̇2 − 𝜃̇3)𝜃̇3 + (4. 140) 1 𝑙 𝑚 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3 + 𝑚2𝑔 2 2 + 𝑚3𝑔𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 = 𝑀2 − 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 𝑙2 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 + 𝐹3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3 𝑙2 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 Sedaj ponovimo celoten postopek odvajanja s parcialnimi in časovnimi odvodi za drugo neodvisno spremenljivko 𝜃3. 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 ( ) − ( ) = 𝑄 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 𝜕𝜃 𝑁𝐾(𝜃3) (4. 141) 3 3 Najprej je potrebno poiskati parcialni odvod Lagrangeeane po kotni hitrosti 𝜃̇3. 𝜕𝐿 𝑙 2 1 = 𝑚 3) 𝜃̇ 𝑚 𝜕𝜃̇ 3 ( 2 3 + 𝐽3𝜃̇3 + 2 3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2 (4. 142) 3 Po tem izvedemo časovni odvod zgornje enačbe. 𝑑 𝜕𝐿 𝑙 2 1 ( ) = 𝑚 3 3 ( ) 𝜃̈3 + 𝐽3𝜃̈3 + 𝑚3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̈2 − 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 2 2 2 (4. 143) 1 𝑚 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) (𝜃̇2 − 𝜃̇3)𝜃̇2 Nazadnje izvedemo še parcialni odvod Lagrangeeane po zasuku 𝜃3. 𝜕𝐿 1 𝑙3 = 𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜕𝜃 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3 − 𝑚3𝑔 3 (4. 144) 3 2 2 Sedaj izraze iz (4.144), (4.143) in del enačbe (4.134) za 𝜃3 vstavimo v enačbo (4.141). S tem pridobimo drugo gibalno enačbo našega sistema in tako pridobimo obe gibalni enačbi, ki opišeta dinamični odziv dvoosnega manipulatorja. 𝑙 2 1 (𝑚 3 3 ( ) + 𝐽 𝑚 2 3) 𝜃̈3 + 2 3𝑙2𝑙3 𝑐𝑜𝑠(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̈2 1 − 𝑚 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) (𝜃̇2 − 𝜃̇3)𝜃̇2 − (4. 145) 1 𝑙 𝑚 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 3𝑙2𝑙3 𝑠𝑖𝑛(𝜃2 − 𝜃3) 𝜃̇2𝜃̇3 + 𝑚3𝑔 2 3 = 𝑀3 − 𝐹3 𝑐𝑜𝑠 𝜑3 𝑙3 𝑠𝑖𝑛 𝜃3 + 𝐹3 𝑠𝑖𝑛 𝜑3 𝑙3 𝑐𝑜𝑠 𝜃3 4.11.2 Upoštevanje sile vzmeti pri Lagrangeevi metodi V poglavju 4.8.2 smo definirali konservativne in nekonservativne sile. Pri tem smo dejali, da sila vzmeti spada pod konservativne sile tako kot sila gravitacije. Kot takšno jo pri Lagrangeevi metodi vključimo k potencialni energiji. Poglejmo si primer. UM, Fakulteta za strojništvo 88 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika Primer 4.18: Za vzmetno nihalo z vzmetno konstanto 𝑘2 na sliki 4.27 zapišite gibalne enačbe sistema z uporabo Lagrangeeve metode. y O 𝑔 x 𝑟2 𝑘2 𝜃2 𝒆𝜃 2 𝑚2 𝒆𝑟 Slika 4.27: Vzmetno nihalo in Lagrangeeva metoda Sistem ima dve prostostni stopnji kar pomeni, da bosta za opis sistema potrebni dve gibalni enačbi. Prav tako potrebujemo dve posplošeni koordinati. Podobno, kot v primeru 4.5, tudi tukaj izbira x in y koordinate ni ustrezna, saj koordinati med sabo nista neodvisni. Za opis sistema si izberemo polarne koordinate z enotskima vektorjema 𝒆𝑟 in 𝒆𝜃 . V smeri 𝒆 2 𝑟 imamo razdaljo 𝑟2. Ta opisuje pozicijo vzmeti. Za vzmet je pomembno, da vemo njeno začetno lego. S tem namenom razdaljo 𝑟2 razdelimo na 𝑟2 = 𝑟0 + 𝑟(𝑡), kjer 𝑟0 opisuje začetni raztezek vzmeti, 𝑟(𝑡) pa trenutni odmik od začetne lege. Tako je prva posplošena koordinata enaka 𝑟(𝑡), druga pa je kar zasuk vzmetnega nihala 𝜃2(𝑡). To sta dve med seboj neodvisni generalizirani koordinati. Za uporabo Lagrangeeve metode potrebujemo kinetično in potencialno energijo sistema. Kinetična energija je tako sestavljena iz translacijske in rotacijske energije. 1 1 2 𝑇 = 𝑚 2 + 𝑚 2𝜃̇ (4. 146) 2 2𝑟̇2 2 2𝑟2 2 V kolikor odvajamo razdaljo 𝑟2, potem dobimo 𝑟̇2 = 𝑟̇(𝑡). 1 1 2 𝑇 = 𝑚 𝑚 (4. 147) 2 2𝑟̇(𝑡)2 + 2 2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))2𝜃̇2 Potencialna energija v tem primeru vsebuje še energijo vzmeti, ki pa je odvisna samo od trenutnega raztezka. 1 𝑉 = −𝑚2𝑔(𝑟0 + 𝑟(𝑡)) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑘 2 2𝑟(𝑡)2 (4. 148) Ker na sistem vzmetnega nihala ne deluje nobena zunanja nekonservativna sila, v tem primeru ne potrebujemo princip virtualnega dela, da bi pridobili nekonservativne sile zapisane v posplošenih koordinatah. 𝑸𝑁𝐾 = 0 (4. 149) Nadaljujemo z zapisom Lagrangeeane in uporabe Lagrangeeve enačbe. 1 1 2 𝐿 = 𝑇 − 𝑉 = 𝑚2𝑟̇(𝑡)2 + 𝑚2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))2𝜃̇2 + 𝑚2𝑔(𝑟0 + 𝑟(𝑡)) 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 2 2 1 (4. 150) − 𝑘 2 2𝑟(𝑡)2 Lagrangeeano vstavimo v Lagrangeevo enačbo in najprej odvajamo po prvi posplošeni koordinati 𝑟(𝑡). UM, Fakulteta za strojništvo 89 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov 4 Analitična dinamika 𝜕𝐿 = 𝑚 𝜕𝑟̇(𝑡) 2𝑟̇(𝑡) 𝑑 𝜕𝐿 ( ) = 𝑚 (4. 151) 𝑑𝑡 𝜕𝑟̇(𝑡) 2𝑟̈(𝑡) 𝜕𝐿 2 = 𝑚 + 𝑚 𝜕𝑟(𝑡) 2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))𝜃̇2 2𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 − 𝑘2𝑟(𝑡) Zgornje izraze vstavimo v Lagrangeevo enačbo in dobimo prvo gibalno enačbo. 2 𝑚2𝑟̈(𝑡) − 𝑚2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))𝜃̇2 − 𝑚2𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝜃2 + 𝑘2𝑟(𝑡) = 0 (4. 152) Sedaj odvajamo še po drugi posplošeni koordinati 𝜃2(𝑡). 𝜕𝐿 = 𝑚 𝜕𝜃̇ 2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))2𝜃̇2 2 𝑑 𝜕𝐿 ( ) = 2𝑚 (4. 153) 𝑑𝑡 𝜕𝜃̇ 2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))𝑟̇(𝑡)𝜃̇2 + 𝑚2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))2𝜃̈2 2 𝜕𝐿 = −𝑚 𝜕𝜃 2𝑔(𝑟0 + 𝑟(𝑡)) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 2 Zgornje izraze vstavimo v Lagrangeevo enačbo in dobimo še drugo gibalno enačbo. S tem smo popolnoma opisali vzmetno nihalo s pomočjo Lagrangeeve metode. 𝑚2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))2𝜃̈2 + 2𝑚2(𝑟0 + 𝑟(𝑡))𝑟̇(𝑡)𝜃̇2 + 𝑚2𝑔(𝑟0 + 𝑟(𝑡)) 𝑠𝑖𝑛 𝜃2 = 0 (4. 154) UM, Fakulteta za strojništvo 90 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov Literatura LITERATURA [1] Alujevič A., Harl B., Mehanika I: Založništvo Fakultete za strojništvo, 2005. [2] Bedford A., Fowler W., Engineering Mechanics: Dynamics, 5. izdaja. Upper Saddle River: Pearson Prentice Hall, 2008. [3] Beer F. P., Johnston E. R. J., Cornwell P. J., Vector Mechanics for Engineers: Dynamics, 9. izdaja. New York: McGraw-Hill, 2009. [4] Boltežar M., Mehanska nihanja 1. del. Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, 2006. [5] Gere J. M., Goodno B. J., Mechanics of Materials, 7. izdaja. Stampford: Cengage Learning, 2009. [6] Hibbeler R. C., Engineering Mechanics: Dynamics, 11. izdaja. Singapore: Pearson Education, 2007. [7] Inman D. J., Engineering Vibration, 2. izdaja. Upper Saddle River: Prentice Hall International, 2001. [8] Kegl M., Vesenjak M., Harl. B., Mehanika za mehatronike. Maribor: Založništvo Fakultete za strojništvo, 2011. [9] Kuhelj A., Mehanika: Dinamika. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, 1998. [10] Lozina Ž., Dinamika, Split: Sveučilište u Splitu, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, 2005. [11] Meriam J. L., Kraige L. G., Engineering Mechanics: Dynamics, 7. izdaja. Danvers: John Wiley & Sons, 2003. [12] Mestemacher F., Grundkurs Technische Mechanik. Würzburg: Spketrum Akademischer Verlag, 2008 [13] Muršič M., Osnove tehniške mehanike 3: Dinamika. Ljubljana: Akademska založba, 1991. [14] Nelson E. W., Best C. L., McLean W. G., Potter M. C., Engineering Mechanics Dynamics. New York: McGraw-Hill, 2010. [15] Richard H. A., Sander M., Technische Mechanik Dynamik. Wiesbaden: Viewegs Fachbücher der Technik, 2008. [16] Riley W. F., Sturges L. D., Engineering Mechanics: Dynamics, 2. izdaja. New York: John Wiley & Sons, 1996. [17] Rusov L., Mehanika III, Dinamika. Naučna knjiga, 1979. [18] Saje M., Kinematika in dinamika. Ljubljana: Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo, UM, Fakulteta za strojništvo 91 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov Literatura 1994. [19] Stropnik J. Dinamika. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije, 1990. [20] Stropnik J., Kinetika: zapiski predavanj, Ljubljana: Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, 1990. [21] Šterk P., Mehanika: Statika, dinamika in trdnost, Novo mesto: Šolski center, 2005. [22] Williams J. H. J., Fundamentals of Applied Dynamics, Danvers: John Wiley & Sons, 1996. [23] Wohlhart K., Steffan H., Dynamik, Graz: Technische Universität Graz, Institut für Mechanik, 2003. [24] Shabana AA., Computational Dynamics, Second Edition, New York: Wiley-Interscience, 2001. [25] Hamill P., A student’s guide to Lagrangians and Hamiltonians, Cambridge: Cambridge University Press, 2014. UM, Fakulteta za strojništvo 92 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov Stvarno kazalo aktivna sila, 32 lastna nihajna oblika, 45 centralne glavne vztrajnostne osi telesa, 15 lastno nihanje, 38 Coriolisov pospešek točke, 9 linearna dušilka, 37 D'Alembertov princip, 55 linearna vzmet, 33 delo sile, 26 logaritemski dekrement, 43 deviacijski vztrajnostni moment telesa, 15 lokalne koordinate točke, 7 diagram prostih teles, 56 masa telesa, 12 dinamični faktor ojačenja, 47 masna matrika sistema, 44 disipacijska sila, 32 masni delec, 11 dušeno lastno nihanje, 41 masno središče telesa, 12 dušeno nihanje, 32 metoda prerezov, 59 dušeno vsiljeno nihanje, 48 moč, 26 dušilna konstanta, 37 nadkritično dušenje, 42 Eulerjevi koti, 10 nadomestna togost vzmeti, 35 fiksna vektorska baza, 3 nedušeno lastno nihanje, 38 frekvenca nihanja, 32 nedušeno nihanje, 32 gibalna količina delca, 18 nedušeno vsiljeno nihanje, 47 gibalne enačbe, 53 neholonomne vezi, 65 gibanje telesa, 9 neholonomni sistemi, 65 gibanje točke, 7 nekonservativne sile, 72 gibljiva vektorska baza, 4 neodvisne koordinate, 67 glavne vztrajnostne osi telesa, 15 Newton-Eulerjev pristop, 54 harmonično vzbujanje sistema, 46 Newtonovi zakoni, 15 hitrost točke, 7 norma vektorja, 5 holonomne vezi, 64 normalni pospešek točke, 9 holonomni sistemi, 64 odvisne koordinate, 67 Huygens-Steinerjevo pravilo, 14 osni vztrajnostni moment telesa, 13 impulz momenta sile, 23 osnovni zakon dinamike, 16 impulz sile, 19 parametrizacija prostorskih rotacij, 10 Kartezijev koordinatni sistem, 4 parametrizacija rotacijske matrike, 10 kinetična energija delca, 27 perioda nihanja, 32 kinetična energija telesa, 28 periodično nihanje, 32 koeficient kritičnega dušenja, 42 podkritično dušenje, 43 konservativne sile, 72 pospešek težišča sistema masnih delcev, 17 koordinate vektorja, 5 pospešek točke, 8 kotna hitrost, 7 posplošene koordinate, 62 krajevni vektor točke, 7 posplošene sile, 69 kritično dušenje, 43 potencialna energija, 29 krožna frekvenca vzbujanja sistema, 47 povratna sila, 31 Lagrangeeva enačba, 83 pozicija telesa, 9 lastna krožna frekvenca dušenega nihanja, prehodni odziv sistema, 50 42 preslikava koordinat tenzorja, 10 lastna krožna frekvenca nedušenega preslikava koordinat vektorja, 10 nihanja, 39 prostornina telesa, 12 UM, Fakulteta za strojništvo 93 B. Harl, M. Kegl, T. Karner: Dinamika masnih sistemov prostostne stopnje, 54 vrtilna količina delca, 22 relativna hitrost točke, 8 vrtilna količina telesa, 23 relativni pospešek točke, 9 vzbujanje sistema, 46 rheonomne vezi, 64 vzporedna vezava vzmeti, 35 rotacijska matrika, 10 vztrajnostni tenzor telesa, 15 rotacijski psevdovektor, 10 zakon akcije in reakcije, 16 sistem masnih delcev, 16 zakon o ohranitvi gibalne količine delca, 19 skalarni produkt, 5 zakon o spremembi gibalne količine delca, skleronomne vezi, 64 19 splošni zakoni dinamike, 18 zakon o spremembi gibalne količine telesa, stacionarni odziv sistema, 50 20 sunek momenta sile, 23 zakon o spremembi kinetične energije sunek sile, 19 delca, 27 tangencialni pospešek točke, 9 zakon o spremembi kinetične energije telo fiksne mase, 12 telesa, 28 telo spremenljive mase, 21 zakon o spremembi vrtilne količine delca, težišče sistema masnih delcev, 17 23 težišče telesa, 12 zakon o spremembi vrtilne količine telesa, togost vzmeti, 33 24, 25 togostna matrika sistema, 44 zakon vztrajnosti, 16 torzijska togost vzmeti, 33 zaporedna vezava vzmeti, 36 vektorski produkt, 6 zasuk telesa, 9 virtualni pomik, 66 zvezno telo končnih dimenzij, 17 virtualno delo, 66 UM, Fakulteta za strojništvo 94 DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fs.1.2024 DINAMIKA MASNIH SISTEMOV ISBN 978-961-286-835-2 BOŠTJAN HARL, MARKO KEGL, TIMI KARNER Univerza v Mariboru, Fakulteta za strojništvo, Maribor, Slovenija bostjan.harl@um.si, marko.kegl@um.si, timi.karner@um.si Učbenik obravnava dinamiko masnih sistemov togih teles. V okviru Ključne besede: togo telo, kinematika, kinematike je prikazan opis prostorskega gibanja v različnih dinamika, mehanska nihanja, koordinatnih sistemih, predstavljena je rotacijska matrika in njena analitična mehanika, virtualno delo, parametrizacija ter Eulerjevi koti. Temu sledi dimamika in prikaz Lagrangev pristop zakona o gibalni in vrtilni količini togega telesa. V okviru mehanskih nihanj so obravnavana lastna in vsiljena nihanja sistemov z eno in več prostostnimi stopnjami. Učbenik zaključuje področje analitične mehanike, ki vsebuje prikaz generaliziranih koordinat, virtualnega dela in generaliziranih sil. Predstavljeni so Newton-Eulerjev, Lagrangev in Hamiltonov pristop za tvorbo gibalnih enačb sistemov in njihovo numerično reševanje. Document Outline 1DinMasSis-Naslov DinMasSis-00 DinMasSis-01 DinMasSis-02 DinMasSis-03 DinMasSis-04 DinMasSis-05 DinMasSis-06 DinMasSis-Kon Blank Page