Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj Avtor Peter Dobrila Marec 2024 Naslov Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi Title mejnih stanj Dimensioning of Reinforced Concrete Structures According to Limit State Design Avtor Peter Dobrila Author (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Recenzija Miroslav Premrov Review (Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo) Viktor Markelj (Ponting d.o.o.) Lektoriranje Language editing Jasmina Vajda Vrhunec Tehnični uredniki Jan Perša Technical editors (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Marina Bajić (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Marko Horvat Oblikovanje ovitka Jan Perša Cover designer (Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba) Grafične priloge Viri so lastni, razen če ni navedeno drugače. Graphic material Dobrila (avtor), 2024 Grafike na ovitku Grayscale photo of concrete building, foto: Osman Rana, Unsplash.com, Cover graphics 2017 Založnik Univerza v Mariboru Published by Univerzitetna založba Slomškov trg 15, 2000 Maribor, Slovenija https://press.um.si, zalozba@um.si Izdajatelj Univerza v Mariboru Issued by Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, Slovenija https://fgpa.um.si, fgpa@um.si Izdaja Edition Prva izdaja Vrsta publikacije Publication type E-knjiga Dostopno na Available at http://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/844 Izdano Published at Maribor, marec 2024 © Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba / University of Maribor, University Press Besedilo / Text © Dobrila, 2024 To delo je objavljeno pod licenco Creative Commons Priznanje avtorstva 4.0 Mednarodna. / This work is licensed under the Creative Commons At ribution 4.0 International License. Uporabnikom je dovoljeno tako nekomercialno kot tudi komercialno reproduciranje, distribuiranje, dajanje v najem, javna priobčitev in predelava avtorskega dela, pod pogojem, da navedejo avtorja izvirnega dela. Vsa gradiva tretjih oseb v tej knjigi so objavljena pod licenco Creative Commons, razen če to ni navedeno drugače. Če želite ponovno uporabiti gradivo tretjih oseb, ki ni zajeto v licenci Creative Commons, boste morali pridobiti dovoljenje neposredno od imetnika avtorskih pravic. https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 624.012.35(075.8)(0.034.2) DOBRILA, Peter Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [Elektronski vir] / avtor Peter Dobrila. - 1. izd. - E-publikacija. - Maribor : Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba, 2024 Način dostopa (URL): https://press.um.si/index.php/ump/catalog/book/844 ISBN 978-961-286-833-8 doi: 10.18690/um.fgpa.1.2024 COBISS.SI-ID 186746627 ISBN 978-961-286-833-8 (pdf) 978-961-286-834-5 (trda vezava) DOI https://doi.org/10.18690/um.fgpa.1.2024 Cena Price Brezplačen izvod Odgovorna oseba založnika prof. dr. Zdravko Kačič, For publisher rektor Univerze v Mariboru Citiranje Dobrila, P. (2023). Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po Attribution metodi mejnih stanj. Univerza v Mariboru, Univerzitetna založba. doi: 10.18690/um.fgpa.1.2024 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila Kazalo 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije.........................................................1 1.1 Uvod ...................................................................................................................................... 1 1.2 Zgodovina armiranega betona .......................................................................................... 2 1.3 Prednosti armiranega betona ............................................................................................ 5 1.4 Pomanjkljivosti armiranega betona .................................................................................. 5 2 Umetni kamen – beton (concrete) ............................................................... 7 2.1 Uvod ...................................................................................................................................... 7 2.2 Komponente betona .......................................................................................................... 8 2.2.1 Cement .................................................................................................................................. 8 2.2.2 Voda ................................................................................................................................ 12 2.2.3 Agregat ................................................................................................................................ 13 2.2.4 Dodatki betona – aditivi .................................................................................................. 16 2.3 Sveži beton in njegov sestav ........................................................................................... 17 2.3.1 Uvod ................................................................................................................................ 17 2.3.2 Žitkost konsistence svežega betona ............................................................................... 19 2.3.3 Strjevanje betona ............................................................................................................... 20 2.4 Mehanske lastnosti normalnih betonov ........................................................................ 24 2.4.1 Tlačna trdnost betona – pri kratkotrajni obtežbi ........................................................ 24 2.4.2 Določitev karakteristične tlačne trdnosti betona ......................................................... 28 2.4.3 Razvoj tlačne trdnosti betona, deklarirane po predpisih ............................................ 33 2.4.4 Tlačna trdnost normalnega betona pri dolgotrajni obtežbi ....................................... 34 2.4.5 Tlačna trdnost normalnega betona pri cikličnih obremenitvah ................................ 36 2.4.6 Tlačna trdnost betona pri visokih temperaturah ......................................................... 38 2.4.7 Tlačna trdnost betona pri nizkih temperaturah ........................................................... 40 2.4.8 Tlačna trdnost betona na udar ........................................................................................ 42 2.4.9 Tlačna trdnost betona, pri katerem je onemogočena prečna ekspanzija (confined concrete) ............................................................................................................................. 42 2.4.10 Tlačna trdnost betona, vgrajenega v konstrukcije ....................................................... 44 2.4.11 Natezna trdnost betona ................................................................................................... 44 2.4.12 Strižna trdnost normalnega betona ................................................................................ 49 ii KAZALO 2.5 Deformacije normalnega betona .................................................................................... 50 2.5.1 Modul elastičnosti in strižni modul ................................................................................ 51 2.5.2 Temperaturni razteznostni koeficient 𝛼𝛼𝛼𝛼 in toplotna prevodnost 𝜆𝜆 normalnih betonov ............................................................................................................................... 55 2.5.3 Časovno neodvisne plastične deformacije betona ...................................................... 56 2.6 Časovno odvisne deformacije ......................................................................................... 58 2.6.1 Reologija betona ................................................................................................................ 58 2.6.2 Krčenje in nabrekanje betona (shrinkage and swel ing) ............................................. 58 2.6.3 Izračun vrednosti krčenja betona 𝜀𝜀𝜀𝜀 .............................................................................. 60 2.6.4 Lezenje betona ................................................................................................................... 66 2.7 Kemični učinki na beton .................................................................................................. 87 2.7.1 Korozija betona ................................................................................................................. 87 2.7.2 Karbonatizacija betona .................................................................................................... 88 2.8 Ostale vrste betonov ........................................................................................................ 89 2.8.1 Težki betoni ....................................................................................................................... 89 2.8.2 MASS betoni za gradnjo velikih masivnih konstrukcij ............................................... 90 2.8.3 Vlaknasti ali mikroarmirani beton .................................................................................. 91 2.8.4 Ferocement ........................................................................................................................ 92 2.8.5 Lahki betoni za nosilne konstrukcije (light weight concrete) .................................... 95 2.8.5.1 Osnovna dejstva ................................................................................................................ 95 2.8.5.2 Presejna krivulja agregatov in sestava komponent lahkega betona .......................... 97 2.8.5.3 Napetostne trajektorije v lahkem betonu...................................................................... 98 2.8.5.4 Tlačne trdnosti lahkih betonov pri trenutni obremenitvi .......................................... 99 2.8.5.5 Tlačne trdnosti lahkega betona pri trajni obtežbi ...................................................... 100 2.8.5.6 Dinamična tlačna trdnost lahkega betona ................................................................... 100 2.8.5.7 Delovni diagram (𝜎𝜎 − 𝜀𝜀) in modul elastičnosti lahkega betona pri trenutni obremenitvi ...................................................................................................................... 102 2.8.5.8 Natezne trdnosti lahkih betonov .................................................................................. 103 2.8.5.9 Adhezijska (sprijemna) trdnost ..................................................................................... 103 2.8.5.10 Nabrekanje, krčenje in lezenje lahkega betona .......................................................... 104 2.8.5.11 Fizikalne količine lahkega betona, odvisne od temperature in prevoda toplote .. 107 2.8.5.12 Korozijska zaščita armature v lahkem betonu ........................................................... 109 2.8.5.13 Ekonomske prednosti in pomanjkljivosti lahkega betona ....................................... 109 2.8.5.14 Pomembni objekti (konstrukcije) ................................................................................. 110 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) ......................................111 3.1 Uvod .................................................................................................................................. 111 3.2 Betonsko jeklo – sestava in lastnosti ........................................................................... 111 3.3 Vrste in oznake betonskih jekel .................................................................................... 112 3.4 Mehanske in fizikalne lastnosti armature .................................................................... 119 KAZALO iii. 3.4.1 Meja plastičnosti (popuščanja), natezna trdnost, žilavost in duktilnost ................ 119 3.4.2 Projektna natezna trdnost jeklene armature ............................................................... 123 3.4.3 Duktilnost betonskega jekla .......................................................................................... 125 3.4.4 Modul elastičnosti, Poissonov količnik, temperaturni specifični količnik, strižni modul in gostota .............................................................................................................. 125 3.4.5 Vpliv visoke temperature na trdnosti betonskega jekla ............................................ 126 3.5 Krivljenje betonskega jekla – armature ....................................................................... 128 3.6 Zaščita armature pred korozijo ..................................................................................... 129 4 Armirani beton .......................................................................................... 133 4.1 Uvod .................................................................................................................................. 133 4.2 Adhezijska (sprijemna) in izruvna trdnost (nosilnost) normalnega betona .......... 133 4.3 Sodelovanje armature in betona ................................................................................... 142 4.3.1 Centrični nateg ................................................................................................................. 143 4.3.2 Čisti upogib ...................................................................................................................... 149 5 Armirani beton – mejna stanja .................................................................. 159 5.1 Uvod .................................................................................................................................. 159 5.2 Metoda mejnega stanja nosilnosti (porušitve) – MSN.............................................. 161 5.3 Problem in koncept varnosti inženirskih konstrukcij ............................................... 166 5.4 Faktorji varnosti .............................................................................................................. 167 5.5 Projektiranje armiranobetonskih konstrukcij ............................................................. 168 5.5.1 Uvod .............................................................................................................................. 168 5.6 Mejno stanje nosilnosti – MSN .................................................................................... 169 5.6.1 Uvod .............................................................................................................................. 169 5.6.2 Kombinacija vplivov za stalna in spremenljiva projektna stanja ............................ 170 5.6.3 Delni faktorji varnosti za materiale .............................................................................. 174 5.7 Mejno stanje uporabnosti – MSU ................................................................................ 174 5.8 Analiza možnih deformacij in pripadajočih tlačnih napetosti betona pri mejnem stanju nosilnosti – MSN ................................................................................................. 179 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete ................................. 185 6.1 Centrični nateg ................................................................................................................. 187 6.2 Ekscentrični nateg male ekscentričnosti ..................................................................... 188 6.3 Priključek vešalke na nosilec z zanko in preklopom (izvedba armaturnega členka) .. ........................................................................................................................................ 189 iv KAZALO 7 Upogib....................................................................................................... 197 7.1 Uvod .................................................................................................................................. 197 7.2 Teoretične osnove dimenzioniranja armiranobetonskih nosilcev pri upogibni obremenitvi brez osne sile (delovni diagram betona (DDB) – kvadratna parabola + premica) ........................................................................................................................ 201 7.3 Načini dimenzioniranja nosilcev konstantnega prereza ........................................... 220 7.3.1 Prosto dimenzioniranje .................................................................................................. 220 7.3.2 Vezano dimenzioniranje ................................................................................................ 221 7.3.3 Vezano dimenzioniranje ................................................................................................ 221 7.4 Minimalni količnik natezne armature .......................................................................... 222 7.5 Maksimalni količnik natezne armature ........................................................................ 224 7.6 Dvojno armirani prerezi ................................................................................................ 225 7.7 Ekscentrični nateg in ekscentrični tlak (brez upoštevanje stabilnosti) – enoosni upogib za C ≤ 50/60 ...................................................................................................... 229 7.7.1 Ekscentrični nateg – velika in mala ekscentričnost ................................................... 229 7.7.2 Ekscentrični tlak – velika in mala ekscentričnost ...................................................... 230 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo .............. 245 8.1 Uvod .................................................................................................................................. 245 8.2 Dimenzioniranje armiranobetonskih nosilcev s konstantno višino in širino za fazo II ........................................................................................................................................ 254 8.2.1 Mörschevo paličje ........................................................................................................... 254 8.2.2 Analiza tlačne diagonale ................................................................................................. 257 8.2.3 Analiza natezne diagonale.............................................................................................. 259 8.2.4 Mejna prečna sila, pri kateri doseže beton »poševne« diagonale in natezno trdnost . .............................................................................................................................. 261 8.2.5 Minimalni količnik poševne armature 𝜌𝜌𝜌𝜌, 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ......................................................... 264 8.2.6 »Stopničenje« vzdolžne natezne armature .................................................................. 265 8.2.7 Določitev območja, do kod mora segati natezna vzdolžna armatura .................... 271 8.3 Armiranobetonski nosilci s spremenljivo višino in konstantno širino – faza II .. 274 8.3.1 Kritični prerez .................................................................................................................. 274 8.3.2 Reducirana prečna sila .................................................................................................... 279 9 Plošče ........................................................................................................ 295 9.1 Definicija osnovne predpostavke »homogenih« plošč ............................................. 295 9.2 Analiza plošč .................................................................................................................... 297 9.3 Teorija tankih plošč – Kirchoffova teorija plošč (kratek opis) ............................... 299 9.3.1 Pravokotne plošče ........................................................................................................... 314 9.3.2 Pravokotne plošče, nosilne v dveh smereh ................................................................ 331 KAZALO v. 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« .................................................................... 353 10.1 Uvod .................................................................................................................................. 353 10.2 Sodelujoča ali efektivna širina tlačne plošče ............................................................... 356 10.3 »Prehod« in sprememba smeri tlačnih napetosti betona iz plošče v rebro ........... 359 10.4 Dimenzioniranje prerezov »T« ..................................................................................... 361 10.4.1 Upogib z osno silo .......................................................................................................... 361 10.4.2 Diagrami za dimenzioniranje armature pravokotnih prerezov in prerezov »T« .. 366 10.4.3 Računski zgled, kjer uporabimo preglednice iz Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [26] .................................. 373 10.4.4 Računski zgled z uporabo nomogramov Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [24] .................................. 376 11 Centrični tlak ............................................................................................. 387 11.1 Uvod .................................................................................................................................. 387 11.2 Stebri z vzdolžno armaturo in stremeni (enoosno napetostno stanje) .................. 388 11.3 Običajni načini dimenzioniranja armiranobetonskih elementov, obremenjenih s centrično tlačno silo ........................................................................................................ 395 11.4 Stebri, armirani s spiralno armaturo............................................................................. 395 11.5 Nosilnost »spiralno« armiranega stebra, obremenjenega s centričnim pritiskom 400 11.5.1 Uvod .............................................................................................................................. 400 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« ........................................... 411 12.1 Uvod klasična teorija – jeklene konstrukcije .............................................................. 411 12.2 Armiranobetonske konstrukcije ................................................................................... 414 12.2.1 Uvod .............................................................................................................................. 414 12.2.2 Vplivi na nosilnost oziroma stabilnost tlačnih armiranobetonskih palic .............. 418 12.2.3 Parametri določevanja sile hitrosti po EC2 ................................................................ 422 12.2.4 »Pomičnost« konstrukcij ................................................................................................ 427 12.2.5 Določitev uklonske dolžine ........................................................................................... 429 12.2.6 Limitna (mejna) vitkost .................................................................................................. 431 12.2.7 Določitev ekscentritete zaradi upogiba »e2« .............................................................. 433 12.2.8 Izračun momenta MII in popravek rezultatov, dobljenih po teoriji I. reda ......... 436 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) ....................... 441 13.1 Uvod – »trdnost« ............................................................................................................. 441 13.2 Glavne napetosti homogenega prereza pri »čisti« torziji .......................................... 445 13.2.1 Faza I – nerazpokan prerez – St. Venantova torzija 𝐹𝐹𝐹𝐹 = 0,0,0, 𝐹𝐹𝑇𝑇, 0,0𝐹𝐹 ............ 445 13.2.2 Faza IIa ............................................................................................................................. 449 13.2.3 Analiza možnih »predalčij« v vertikalnih in horizontalnih ravninah ...................... 452 vi KAZALO 13.3 Dimenzioniranje torzijsko obremenjenih prerezov za mejno stanje nosilnosti – MSN .................................................................................................................................. 457 13.3.1 Uvod .............................................................................................................................. 457 13.3.2 Analiza napetostnega stanja 𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎𝜎 in določitev ustreznega mejnega torzijskega momenta 𝐹𝐹𝑇𝑇𝜎𝜎, 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑇𝑇, ko je izčrpana tlačna nosilnost betona ................................... 459 13.3.3 Določitev nateznih sil v vzdolžni in stremenski armaturi ter mejnih torzijskih momentov, ko sta izčrpani vzdolžna in stremenska armatura (𝜎𝜎𝜀𝜀𝜎𝜎 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝜎𝜎; 𝛼𝛼 = 90𝑜𝑜) .............................................................................................................................. 461 13.3.4 Izračun projektnega torzijskega momenta pri znani vzdolžni in stremenski armaturi ............................................................................................................................. 465 13.3.5 Kombinacije obremenitev ............................................................................................. 466 13.3.6 Razdalje med stremeni pri dvoosnem upogibu in torziji ......................................... 468 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij ........................... 475 14.1 Uvod – MSU .................................................................................................................... 475 14.2 Statične količine prereza – nevtralne osi, togosti....................................................... 475 14.3 Povesi armiranobetonskih konstrukcij ........................................................................ 483 14.3.1 Nosilci konstantnega prereza ........................................................................................ 483 14.3.2 Nosilci nekonstantnega prereza .................................................................................... 489 14.4 Razpoke ............................................................................................................................ 492 14.4.1 Uvod .............................................................................................................................. 492 14.4.2 Teoretične osnove izračuna razpok ............................................................................. 493 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije 1.1 Uvod Pod pojmom armirani ali ojačani beton razumemo beton z vgrajenim materialom – betonskim jeklom ali kakršnim koli drugim materialom, kot so azbestna vlakna, bambus, cirkonijevo steklo itd. Ojačitev betona z armaturo je potrebna, ker beton kljub svoji visoki tlačni trdnosti fc nima nikakršne sposobnosti prevzemati natezne napetosti oziroma je njegova natezna trdnost fct izredno nizka (10 % v primerjavi s tlačno trdnostjo). Zato je ojačitev oziroma armatura praviloma v natezni coni, kajti jeklo ima visoko natezno trdnost in je sposobno prevzeti natezne napetosti v nosilcu. V prerezu beton in jeklo statično sodelujeta tako, da beton prevzame tlačne napetosti, jeklo pa natezne. Prikaz delovanja prostoležečega armiranobetonskega nosilca je razviden iz Slika 1.1 in Slika 1.2. 2 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 1.1: Razpoke v nosilcu Slika 1.2: Jeklene palice v natezni coni Zaradi povezave med betonom in armaturo (εc−εs) so deformacije med armaturo in obkrožujočim betonom v začetni fazi približno enake. Ker pa beton velikim raztezkom armature ne more povsem slediti, v natezni coni poči. Tako v razpoki prenaša rezultanto nateznih napetosti samo armatura. Nearmirani beton se bo zaradi nizkih nateznih trdnosti porušil, čeprav mnogo višje tlačne trdnosti še zdaleč niso bile dosežene. Pri zgolj tlačno obremenjenih konstrukcijskih elementih (centrično tlačni stebri) pa armatura njihovo nosilnost na tlak samo še poviša. 1.2 Zgodovina armiranega betona Beton in malto so pridobivali že Azijci, Hebrejci in Egipčani (pr. n. št.), kasneje stari Grki in Rimljani. Poznali so lastnosti mešanice vulkanskega pepela – pucolana (Pozzuoli – mesto pod vulkanom Vezuvom), pražene gline in apna (CaO). To vezivo so mešali s peskom, drobljeno opeko in vodo ter tako dobili odlično malto. Objekti, grajeni s tovrstno malto, so se obdržali do danes, saj je uporabljena malta še vedno trdna in močna. 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije 3. Srednji vek je razvoj betona zavrl in tako so se prve izboljšave znanja o hidravličnih vezivih pojavile šele v 18. stoletju. Prvi portlandski cement je leta 1824 proizvedel Francoz, doma iz Leedsa, Josep Aspdin, pomanjkljivost pa je bila, da ta cement ni bil dovolj pečen. Nato je leta 1845 Angležu Isaacu Johnsonu s pečenjem mešanice gline in lapornatega apnenca, vse do nastanka klinkerja, uspelo dobiti portlandski cement z odličnimi lastnostmi, ki jih poznamo še danes. Barva tega cementa je podobna apnencu iz okolice Portlanda v Angliji, od koder tudi naziv. Približno v tem času je Američan Huatt že opravljal preizkuse na armiranobetonskih nosilcih. Razvoj armiranega betona se je torej začel kmalu po iznajdbi cementa. Leta 1850 je J. L. Lambot skonstruiral prvi čoln iz jeklene mreže, ki jo je z obeh strani obdelal s cementno malto, debelo nekaj centimetrov. J. Monier, pariški vrtnar, je leta 1861 izdelal in leta 1867 patentiral prve cvetlične lonce z jekleno mrežo. Kasneje je patentiral še nekatere konstrukcije, cevi in mostove, izdelal je tudi prvi večji armiranobetonski rezervoar za vodo s prostornino 130 m3. F. Coignet je leta 1861 podal osnove za gradnjo armiranobetonskih elementov in leta 1867 na pariški svetovni razstavi prikazal armiranobetonske cevi in nosilce. Američan W. E. Ward je leta 1873 prvi zgradil hišo iz armiranega betona, poimenovano »Wardś Castle«, ki stoji še danes. Patente so odkupili Avstrijci in Nemci. Leta 1860 Nemec M. Koenen poda prvo metodo izračunavanja armiranobetonskih konstrukcij, kar je v Nemčiji in Avstriji pospešilo gradnjo z armiranim betonom. Velik pomen za razvoj armiranega betona je imel nov sistem rebrastih stropov, ki jih je leta 1892 predstavil francoski inženir F. Hennebique. V tem času je bila tako prvič zgrajena monolitna armiranobetonska konstrukcija, obremenjena z upogibom, kjer je Hennebique uporabil stropno ploščo z rebri, v nosilcih pa stremena. Izdeloval je še armiranobetonske stebre, temelje, podporne zidove in celo armiranobetonske pilote. V tem času se začneta uporabljati Coignetova in de Tedeicova metoda računanja armiranobetonskih konstrukcij po tako imenovani klasični teoriji dopustnih napetosti. Z vedno višjimi kakovostmi osnovnih materialov so tudi konstruktorji in raziskovalci dosegali vedno boljše rezultate in gradili vedno zahtevnejše konstrukcije. Vodilni raziskovalci s tega področja so v tem času bili Consider in Masnager v Franciji, Mörsch, Empeger in Bach v Nemčiji ter Saliger v Avstriji. Emil Mörsch, profesor na univerzi v Sttutgartu (1916–1948), je podal teorijo o računanju 4 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ armiranobetonskih (takrat še železobetonskih) konstrukcij. Pravilen izraz je jeklo-beton (stahlbeton, steel reinforced concrete), saj je armatura iz jekla in ne iz železa. Zaradi pojava razpok v natezni coni se je razvoj armiranobetonskih konstrukcij upočasnil (tankim razpokam – lasnicam – se dejansko ne moremo izogniti). Zaradi tega je leta 1907 Koenen predlagal konstrukcijo prednapeti, čeprav kot začetnika prednapetih konstrukcij poznamo inženirja Freyssineta, ki je leta 1928 izvedel prvo uporabno prednapeto konstrukcijo na objektih v Le Havru. Prve raziskave so bile pomanjkljive, kajti niso poznali posledic krčenja in lezenja betona ter lezenja armature in jekla, zaradi česar se je skupaj približno 30 % prednapenjalne sile izgubilo. Šele Freysinet se je deloma izognil izgubam s tem, da je uporabil visokovredno jeklo za prednapenjanje in s to rešitvijo zagotovil v betonu dovolj visoke tlačne napetosti. Na začetku leta 1928 se pojavijo prve tankostenske prostorske armiranobetonske konstrukcije – cilindrične in rotacijske lupine, za katere imata največ zaslug Ellers in Dischinger. V Sovjetski zvezi (SSSR) je bila leta 1936 izdelana nova metoda izračuna armiranega betona, ki je slonela na teoriji porušitve, iz katere se je razvila danes uzakonjena in veljavna teorija mejnih stanj. Začetniki teorije porušitve v Sovjetski zvezi so bili Lolejt, Grozdjev, Stoljareov, Murašev, Pasternak in drugi. Razvoj armiranega betona je s tem dobil nove razsežnosti in se pravzaprav še do danes ni končal. Pri nas je bila metoda mejnih stanj uzakonjena leta 1987 s Pravilnikom o tehničnih normativih za beton in armirani beton – PBAB (Uradni list SFRJ, št. 11/87) [1], danes dimenzioniramo armiranobetonske konstrukcije po nacionalnem standardu SIST EN 1992-1-1:2005, Evrokod 2: Projektiranje betonskih konstrukcij [2]. S to metodo je konstrukterju omogočena predvsem zanesljivejša presoja varnosti konstrukcije proti porušitvi. Armirani beton je postal gradbeni material, ki ga uporabljamo skoraj na vseh področjih gradbeništva, in sicer za: − gradnjo cestnih in železniških mostov; − gradnjo poslovnih in industrijskih objektov; − hidrotehnične objekte; − temelje strojev; − kesone, oporne in podporne zidove; − dimnike, daljnovode in antenske stebre; 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije 5. − predore; − stanovanjsko gradnjo; − gradnjo zaklonišč in drugih objektov za zaščito. 1.3 Prednosti armiranega betona Osnovne prednosti armiranega betona so [3]: − armirani beton je trajni material: beton ščiti armaturno jeklo pred korozijo in s tem poveča trajnost konstrukcije; − material je odporen proti požaru: praksa je pokazala, da zaščitni sloj betona, debeline 2,5 cm, v požaru s temperaturo okolice 1100 °C zadrži vpliv na jeklo za nekaj ur. Odpornost betona proti požaru je odvisna od uporabljenega agregata. Najboljši agregati v tem primeru so: bazalt, apnenec, diabaz, dolomit in šamot oziroma žlindra iz visokih peči. Požarno obstojnost armiranobetonskih konstrukcij določamo s pomočjo veljavnega standarda [2]; − konstrukcija je monolitna: posamezni elementi statično sodelujejo pri prenašanju obtežbe; − dobro prenaša statične in dinamične obremenitve ter dobro zaduši energijo potresov; − izdelava teh konstrukcij zahteva običajne gradbene materiale, ki jih imamo na voljo razmeroma dovolj; − armiranobetonski objekti so higienski, estetski in ekonomični zaradi nizke cene peska, gramoza in betonskega jekla. Ob pravilni izvedbi armiranobetonske konstrukcije ne potrebujejo posebnega vzdrževanja; − dobro je odporen proti zunanjim vplivom, kot so nevihte, veter, toča itd.; − v njegovih »vdolbinah« se paraziti ne razmnožujejo; − ponovna uporaba zdrobljenega betona. 1.4 Pomanjkljivosti armiranega betona Med pomanjkljivosti armiranega betona spadajo [3]: − visoka lastna teža; 6 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − oteženo ugotavljanje količine in predvsem kakovosti armature po končanem betoniranju; − vidne razpoke, ki sicer ne zmanjšajo nosilnosti, kvarijo pa izgled in trajnost objekta; − stroški za oder in opaž so visoki – to pomanjkljivost lahko deloma odpravimo z montažnimi konstrukcijami; − armirani beton je težak material, zato je gradnja konstrukcij z večjimi razpetinami otežena – problem delno rešimo z uporabo lahkih betonov in prednapetega betona; − za izdelavo armiranobetonskih konstrukcij potrebujemo ugodne vremenske razmere. Betoniranje pozimi (T < 5 °C) je neugodno; − adaptacija in rekonstrukcija teh objektov sta težko izvedljivi in težavni – nekoliko si delo lahko olajšamo z uporabo sodobnih tehnoloških postopkov; − toplotna in zvočna prevodnost je velika – razmere lahko izboljšamo v kombinaciji z drugimi materiali za zvočno in toplotno izolacijo; − te objekte je zaradi trajnosti težko odstraniti. DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 2 Umetni kamen – beton (concrete) 2.1 Uvod Beton je zmes vode, veziva (cementa) in agregata (drobljenec, gramoz) [3]. K tem osnovnim trem komponentam po potrebi dodajamo aditive, ki povečujejo gostoto – vodotesnost, povečajo luknjičavost (aeranti), upočasnjujejo ali pospešujejo vezanje, ščitijo beton pred kemičnimi vplivi itd. Vezanje – utrjevanje (60–90 %) betona se izvrši v 28 dneh od nastanka sveže mešanice. Glede na gostoto ločimo: − težke betone (heavy concret) ρ > 2,8 t m3 − normalne betone (normal weight concrete) ρ = 2,0 − 2,8 t m3 − lahke betone (light weight concrete) delimo na: − konstrukcijsko lahek beton ρ = 1,2 − 2,0 t m3 − lahek beton kot izolator ρ = 0,7 − 1,6 t m3 Po sestavi ločimo: − goste betone, ki imajo minimalne praznine med zrni agregata; 8 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − porozne betone, ki imajo veliko poroznost (ϕagr = 8 − 16 𝑚𝑚𝑚𝑚). Pogoj izpolnjenosti betona: 𝝆𝝆 𝜹𝜹 = 𝝆𝝆´ < 𝟏𝟏 (2.1) 𝜌𝜌 … gostota betona 𝜌𝜌´… gostota betona brez odprtin Poroznost betona: 𝐩𝐩 = 𝟏𝟏 − 𝛅𝛅 (2.2) Popolnoma zbit beton ima le 1 % por. Po namenu delimo betone na: − MASS beton, ki se uporablja za jezove, pregrade, jedrske reaktorje itd.; − konstrukcijske betone; − nekonstrukcijske betone (pinobetoni, izolacijski betoni, betonske fasade, zaščitni betoni). 2.2 Komponente betona 2.2.1 Cement Je hidravlično vezivo, ki bistveno vpliva na kakovost betona, in je sestavljeno iz cementnega klinkerja, sadre in žlindre. Cementni klinker pridobivamo z žganjem in mletjem lapornatega apnenca in gline. Razvrstitev standardnih cementov – normirani cementi (NC) Normirani cementi lahko vsebujejo največ 0,1 % kloridov in 3,5 % sulfatov. Višji odstotek kloridov predstavlja nevarnost za korozijo jekla. Vse normalne cemente lahko medsebojno mešamo. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 9. Razvrstitev normiranih cementov: a) portlandski cement – PC; b) hidratacijski portlandski cement – HPC: hitrovezoči se cement, ki je sestavljen iz več kot 64 % portlandskega cementa in manj kot 36 % plavžnega peska oziroma žlindre. Za armirani in prednapeti beton običajno uporabljamo portlandski in hidratacijski portlandski cement s CEM 35. Za gradbene elemente, ki morajo hitro doseči visoke trdnosti, uporabljamo hitrovezoči se cement s CEM 45–55, pri čemer moramo računati na višjo hidratacijsko toploto, zaradi česar bodo nastale večje deformacije in pri ohlajanju večje razpoke; c) nizkotoplotni portlandski cement – NTPC: vsebuje 15–65 % PC in 85–35 % žlindre. Nizkotoplotni portlandski cement uporabljamo za objekte velikih prostornin, da so hidratacijska toplota čim nižja, čas strjevanja daljši in krčenje manjše; d) tras cement ali pucolanski cement – TC: vsebuje 60–80 % PC in 40–20 % vulkanskega pepela. Tras cement uporabljamo za gradnjo objektov velikih dimenzij, katerih pogoj je, da so dolgo vlažni. Zaradi tega lahko pri nizkih temperaturah voda v betonu zmrzne, kar je škodljivo. Drugače ima manjše krčenje, preprečuje cvetenje betona, ker vsebuje dosti kremena (SiO2), ki veže »prosti« apnenec, temperature se spreminjajo počasi. Ker je odporen proti kloridom, je primeren za betoniranje v morski vodi. Razvrstitev in uporaba nestandardnih cementov: a) sulfatni cement: izkazuje odpornost betona v primerjavi z agresivno vodo, ima nizko hidratacijsko toploto. Ne sme se mešati in uporabljati z drugimi cementi, niti uporabljati za prednapeti beton; b) aluminatni cement: ne smemo ga uporabljati za betone nosilnih gradbenih konstrukcij, ker s časom izgubijo 60 % svoje trdnosti. Izkazuje visoko hidratacijsko toploto in po 24 urah doseže že 𝟑𝟑 28-dnevne tlačne trdnosti. Mešanje aluminatnega cementa s portlandskim cementom je zaradi hitrega vezanja prepovedano; c) ekspanzivni cement: v betonu povzroča povečanje prostornine in posledično zmanjša krčenje betona. 10 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Sestavine portlandskega cementa ([4]): Preglednica 2.1: Sestavine portlandskega cementa Sestavina PC Kemijski zapis Odstotek vsebnosti PC (%) Živo apno CaO 60–67 Kremen SiO2 14–25 Glinica AI2O3 3–8 Ferioksid Fe2O3 0,5–6 Magnezijev oksid MgO 0,1–4 Trdnost standardnih cementov Določimo jo na prizmah ali kockah z dimenzijami 7 cm x 7 cm x 7 cm in jo imenujemo aktivnost cementa (AC) oziroma po novih predpisih CEM, ki predstavlja minimalno tlačno trdnost 28 dni stare prizme – kocke, podane v Preglednica 2.2. Preglednica 2.2: Tlačne trdnosti in barve cementov Tlačna trdnost (MPa) CEM (N/mm2) Barva cementov min. maks. srednja vrednost 25 25 45 35 vijoličasta 35 S/R 35 55 45 svetlo rjava 45 S/R 45 / 55 zelena 55 55 / / rdeča S … počasno strjevanje (slow) N … normalno strjevanje (normal) R … hitro strjevanje (rapid) Vrste cementov po standardu SIST EN 197-1 Cemente po standardu SIST EN 197-1 označujemo z vrsto glede na sestavine in trdnostni razred. Glede na sestavo jih standard za navadne cemente razvršča v pet vrst: − CEM I: čisti portlandski cement; − CEM II: portlandski cement z mineralnimi dodatki; − CEM III: cement z dodatkom žlindre; − CEM IV: pucolanski cement; 2 Umetni kamen – beton (concrete) 11. − CEM V: mešani cement. Oznaka za navadne cemente je CEM z rimsko številko, ki nam pove osnovno vrsto cementa. Sestava navadnih cementov je v sklopu glavnih sestavin, dodatkov (polnil) in kalcijevega sulfata. Za glavne sestavine štejemo tiste, katerih masni delež cementa presega 5 %. Skupno pa mora biti masni delež dodatkov (polnil) in kalcijevega sulfata nižji od 5 % mase glavnih sestavin (komponent). A, B in C so oznake za delež dodatka (polnila), iz črk v oklepaju pa je razvidna vrsta dodatka (polnila). Glavne sestavine cementov CEM z oznakami so podane v spodnji razpredelnici. Preglednica 2.3: Glavne sestavine cementov CEM z oznakami Glavne sestavine poleg klinkerja in sadre Oznaka po standardu SIST EN Granulirana plavžna žlindra S Mikrosilika D Pucolan – naravni P Pucolan – umetni Q Elektrofiltrski pepel – silicijski V Elektrofiltrski pepel – kalcijski W Žgani skrilavec T Apnenec – v odvisnosti od kakovosti L, LL Mešani mineralni dodatek M Standard SIST EN 197-1 razvršča trdnostni razred (marko cementa, ki mora biti označena) glede na tlačno trdnost po 28 dneh v tri trdnostne razrede: − 32,5 MPa; − 42,5 MPa; − 52,5 MPa. Hidratacijska toplota Hidratacijska toplota je tista količina toplote, ki jo cement razvije in odda pri dani temperaturi v določenem času – vezanja. 12 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Količino toplote (J/g cementa) v prvih 72 urah (3 dneh) vezanja pri različnih temperaturah okolice podaja tabela 2.4. Preglednica 2.4: Količina sproščene hidratacijske toplote glede na temperaturo okolice Hidratacijska toplota (J/g) Cement Temperatura okolice 4 °C 24 °C 32 °C 41 °C CEM 25 – 35S 108 190 195 214 CEM 35R – 45S 154 285 309 335 CEM 45R – 55 221 348 357 390 Hidratacijska toplota cementa po 1–28 dneh vezanja pri temperaturi okolice 24 °C je podana v tabeli 2.4. Preglednica 2.5: Količina sproščene hidratacijske toplote pri temperaturi okolice 20 °C Hidratacijska toplota (J/g) Cement Dnevi 1. dan 3. dan 7. dan 28. dan CEM 25 – 35S 60–170 125–250 150–300 210–380 CEM 35R – 45S 125–210 210–340 275–380 300–420 CEM 45R – 55 210–275 300–360 340–380 380–420 Cemente s hitrejšo utrditvijo (R) uporabljamo, ko moramo armiranobetonski element »hitro« razopažiti za predčasno prednapenjanje ojačanih konstrukcij in pri betoniranju ob nizkih temperaturah. Cement, ki se utrdi počasi (S), uporabimo za betone velikih prostornin – MASS betone. 2.2.2 Voda Za armirani beton uporabljamo »naravno« vodo, na primer deževnico, podtalnico, čisto močvirsko vodo ali barjansko vodo, skratka tekočo vodo, ki ni onesnažena z industrijskimi odplakami. Vode z dodatki maščob, olj ali sladkorja ne smemo uporabljati. Morska voda zaradi visoke vsebnosti kloridov ni dovoljena za izdelavo armiranega betona. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 13. 2.2.3 Agregat Za armirani beton uporabljamo naravni ali umetni agregat, ki mora biti čist, brez primesi humusa ali ilovice, z manj kot 0,02 % kloridov in manj kot 0,01 % sulfatov. Ne sme vsebovati sladkorja, ker preprečuje utrditev cementnega gela. Naravni agregat predstavlja rečni pesek in gramoz, ki ima običajno okroglo in gladko površino, zaradi česar beton lažje mešamo. Uporabimo lahko tudi lomljenec iz kamnolomov, ki poviša natezno trdnost betona in ga uporabljamo za normalni beton. Plovec in lava sta naravna agregata, ki ju uporabimo za lahke betone. Gramoz iz barita in magnetita uporabljamo za težke betone (jedrski reaktorji). Umetni agregat predstavljajo stiropor in razna umetna vlakna (vlaknasti beton in žlindra iz visokih peči). Fizikalne lastnosti agregata, ki ga uporabljamo za izdelavo normalnih betonov, so podane v spodnji preglednici. Preglednica 2.6: Fizikalne lastnosti agregatov za betone Gostota Modul Temperatura Agregat (g) Higroskopičnost Tlačna trdnost elastičnosti raztez. koef. t/m3 Utežni % N/mm2 N/mm2x104 1/K x 10-6 Granit 2,6–2,8 0,2–0,5 160–210 3,8–7,6 7,4 Diorit 2,8–3 0,2–0,4 170–300 5–6 6,5 Kremen, porfir 2,55–2,8 0,2–0,7 180–300 2,5–6,5 7,4 Gosti apnenec 2,7–2,85 0,1–0,6 80–180 8,16 5–11,5 Žlindra iz visokih peči 2,5–3 0,4–5 80–240 3,37 5,5 Presejne krivulje Količino agregata posameznih frakcij nam podajajo presejne krivulje, ki so konstruirane na maksimalno velikost zrna agregata. Tako poznamo krivulje z ozirom na naslednje maksimalne premere zrna agregata: − 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 8 𝑚𝑚𝑚𝑚; 14 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 16 𝑚𝑚𝑚𝑚; − 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 32 𝑚𝑚𝑚𝑚; − 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 64 𝑚𝑚𝑚𝑚. Na presejni krivulji so na abscisi podane odprtine sit od 0,25 mm do 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, na ordinati pa je presevek v utežnih odstotkih (Slika 2.1). Utežni odstotek posameznih frakcij mora biti praviloma tak, da bo beton dosegel optimalne tlačne trdnosti pri najmanjši porabi cementa in vode. Presejna krivulja vgrajenega agregata se praviloma nahaja med krivuljama A in B. Lahko uporabimo tudi območje, ki sega do krivulje C (Slika 2.1). Predvsem moramo biti pozorni na količino frakcij pod 4 mm, ki ne smejo presegati 35 utežnih odstotkov. Mnogo drobnih frakcij ima veliko površino, kar zahteva večjo porabo cementa in vode, zaradi česar se pojavi večje krčenje betona in posledično nastanejo razpoke. Analiza presejnih krivulj je podana za agregat z maksimalnim zrnom 32 mm (Slika 2.1). Slika 2.1: Presejna krivulja z maksimalnim zrnom 32 mm 2 Umetni kamen – beton (concrete) 15. Pomen območij: − območje 1: neugodno, ker težko vgradimo beton (mnogo debelih zrn – manjša poraba vode in cementa); − območje 2: predstavlja izpad zrn od 𝜙𝜙 > 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 do 𝜙𝜙 16 𝑚𝑚𝑚𝑚; − območje 3: zelo ugodno; − območje 4: je uporabno, vendar zahteva več vode in cementa; − območje 5: že neugodno področje, saj zahteva veliko vode. Pomen krivulj: − A (najnižja): krivulja z malo količino drobnega agregata in več debelih frakcij; − B (vmesna): krivulja z veliko količino drobnega agregata in manj debelih frakcij; − med krivuljama A in B naj se nahaja presejna krivulja agregata; − C (najvišja): krivulja, ki je presejna krivulja naj ne presega; − U: poligonalna premica, ki nas opozarja, da so zrna od 𝜙𝜙 0,25 𝑚𝑚𝑚𝑚 do 𝜙𝜙 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ugodno zastopana, manjkajo zrna od 𝜙𝜙 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 do 𝜙𝜙 6 𝑚𝑚𝑚𝑚, več pa je debelih zrn nad 𝜙𝜙 16 𝑚𝑚𝑚𝑚, ki jih je lahko tudi do 70 %, merjeno v razmerju tež (nadalje utežni odstotki). Če bi sledili krivulji A, bi jih bilo le 38 %. S tem lahko dosežemo višjo trdnost betona, možna je tudi dobra zatesnjenost por, medtem ko je poraba cementa zaradi več debelih zrn manjša. Analiza utežnih odstotkov posameznih frakcij za krivulji A32 in B32 je prikazana v Preglednica 2.7. Preglednica 2.7: Utežni odstotki posameznih frakcij agregata 𝛟𝛟 mm △ utežni odstotek krivulje A △ utežni odstotek krivulje B 0,25–1 mm 6 % 20 % 1–2 mm 6 % 9 % 2–4 mm 9 % 10 % 4–8 mm 15 % 15 % 8–16 mm 24 % 18 % 16–31,5 mm 38 % 20 % Σ = 98 % Σ = 92 % (2 % mulja) (8 % mulja, delcev pod 0, 25 mm) 16 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Položaj zrn v betonu za presejno krivuljo U (Slika 2.1) prikazuje spodnja slika. Slika 2.2: Položaj zrn v betonu za presejno krivuljo U [5] d1 … debela zrna d2 … 0,156𝜎𝜎1 ≈ 1/7𝜎𝜎1 – srednje debela zrna d3 … 1/7𝜎𝜎2 – drobna zrna 2.2.4 Dodatki betona – aditivi Dodatki ali aditivi za beton in malto vplivajo na fizikalne in kemijske lastnosti betona. Njihova količina je zelo omejena, saj ne sme presegati 50 g oziroma 50 cm3 na kg cementa in 20 g oziroma 20 cm3 na kg cementa za prednapeti beton. Za nekatere betone so lahko zelo koristni, za druge škodljivi, zato moramo biti pri njihovi uporabi silno previdni. Ne smemo uporabljati dodatkov, ki jih pred uporabo nismo preverili. Lastnosti dodatkov so potrjene s certifikati. Ločimo naslednje dodatke: − plastifikatorji betona: tekočina, s katero izboljšamo obdelavo betona, povečuje tlačno trdnost, s čimer se lahko ustrezno zmanjša poraba vode; − zaviralci strjevanja oziroma retardenti: zadržujejo začetek utrjevanja za 3–8 ur in se uporabljajo pri betoniranju velikih površin, da se posamezni deli med seboj dobro povežejo; − aeranti: povečajo nastanek drobnih por, s čimer se zmanjša nevarnost zmrzovanja, vendar istočasno pade tlačna trdnost betona. Lezenje betona se poveča. Poroznost betona naj ne bi presegla 3–5 % maksimalnih zrn agregata; 2 Umetni kamen – beton (concrete) 17. − aditivi za vodotesnost betona: dodatki, ki povečajo vodotesnost betona. Zaradi tega dodatka (γ-cementol) se zniža tlačna trdnost betona. Zato je koristneje oziroma bolje uporabiti dobro mešanico agregata (glej presejne krivulje) in ustrezno količino cementa. Z neprimerno mešanico agregata in mešanjem betona ne pomagajo nikakršni dodatki za vodotesnost. Za ustrezno presejno krivuljo se priporočajo določene količine cementa. Priporočene količine cementa za območje 3 v presejnih krivuljah so podane v naslednji preglednici. Preglednica 2.8: Priporočene količine cementa glede na premer zrna agregata [5] 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 8 𝑚𝑚𝑚𝑚 480 kg/m3 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 16 𝑚𝑚𝑚𝑚 400 kg/m3 𝜙𝜙𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 31,5 𝑚𝑚𝑚𝑚 350 kg/m3 − pospeševalci strjevanja: uporabimo jih v primeru bližajočih se nizkih temperatur, ker pa znižujejo tlačno trdnost betona, je bolje uporabiti hidratacijski portlandski cement – HPC; − stabilizatorji: zmanjšujejo sedimentacijo oziroma segregacijo in izboljšujejo zmožnost zadrževanja vode v betonu; − antifrizi: kot dodatki za znižanje zmrzišča vode v betonu, na primer 𝛼𝛼- cementol, ki pa je zaradi negativnega učinka na armaturo (uničuje jo zaradi velike vsebnosti kloridov) prepovedan. Bolj priporočljivo je greti agregat in vodo ter sveži beton pokriti oziroma zaščititi, da temperatura ne pade pod +10 °C ali +15 °C, ali uporabiti hidratacijski portlandski cement. 2.3 Sveži beton in njegov sestav 2.3.1 Uvod Vgradljivost svežega betona in tlačna trdnost vezanega – strnjenega betona sta pomembni lastnosti betona, odvisni od količine cementa in vode. Razmerje med vodo in cementom imenujemo vodocementni faktor (w/c). Za dosego ustrezne konsistence (od K1 do K4) svežega betona pri maksimalnem zrnu agregata in ugodni presejni krivulji moramo uporabiti od 140 kg do 380 kg cementa na kubični meter betona. Pri hidrataciji cementa se za kemično vezanje porabi 24 % vode napram teži cementa (w/c = 0,24). Za popolno hidratacijo cementa za kemično vezanje – 18 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ strjevanje potrebujemo 36–42 % vode napram teži cementa (w/c = 0,24). Potrošnja vode raste sorazmerno z drobnostjo mletja cementa in višjo količino drobnih zrn agregata ter pada z večjo vlažnostjo agregata. Del kemično nevezane vode izpari glede na klimatske razmere v okolici, kar povzroča krčenje betona in posledično njegovo razpokanost. Višji kot je w/c, večja sta krčenje in lezenje betona, medtem ko tlačna trdnost betona pada, kar prikazujeta Slika 2.3 in Slika 2.4, ki sta konstruirani za idealno presejno krivuljo agregata. Slika 2.3: Vpliv w/c na tlačno trdnost betona pri uporabi različnih količin cementa [5] Slika 2.4: Vpliv w/c na tlačno trdnost 28 dni stare betonske kocke pri uporabi različnih vrst cementa [5] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 19. Da omejimo korozijo armature, mora biti w/c omejen z naslednjima vrednostma: − w/c < 0,65 pri CEM 25 (CEM = AC … aktivnost cementa); − w/c < 0,75 pri ostalih CEM. Nižji kot je w/c, težje je sveži beton vgradljiv, zato ga moramo vibrirati, s čimer dosežemo višjo gostoto in tesnost betona. Za dosego ustrezne konsistence svežega betona pri maksimalnem zrnu agregata in ugodni presejni krivulji moramo uporabiti 140–380 kg cementa/m3 betona. 2.3.2 Žitkost konsistence svežega betona Poleg gostote (𝜌𝜌) je pomembna lastnost svežega betona konsistenca, ki igra pomembno vlogo pri vgradnji betona. Poznamo štiri razrede žitkosti, ki so navedeni v Preglednica 2.9. Preglednica 2.9: Razredi žitkosti svežega betona Konsistenca Stopnje Posed Razlez Posed pri vibriranju (𝜐𝜐) K1 trdoplastična – zemeljsko vlažna konsistenca > 11 0 / 1,45–1,26 K2 srednjeplastična konsistenca 5–10 2–5 do 40 1,24–1,11 K3 mehkoplastična konsistenca 2–4 6–10 40–50 1,1–1,04 K4 tekoča – kašasta konsistenca < 1 11–18 50–65 do 1,03 – drezanje, ne vibriranje 𝜐𝜐 … razmerje med vloženo višino betona v prizmatični škatli v primerjavi z višini betona po vibriranju ali nabijanju Za konsistenci K3 in K4 velja, da beton komprimiramo z drezanjem, ne pa vibriranjem. Standard SIST EN 1992 navaja za nearmirani, armirani, prednapeti in vodoneprepustni beton maksimalne in minimalne faktorje w/c, minimalne količine cementa in vrste cementov v odvisnosti od pogojev okolja. Prikazuje jih Preglednica 2.10. 20 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 2.10: Minimalne vrednosti w/c in maksimalne vrednosti količin cementa je ol ska ja Okoljski no ok or ja nih razredi egleno, m droč alij no oč siv ik –suho – vlaž –m – ob – po 1 okolje 2 okolje 3 vlaž 4 obm 5 agre kem ali ali . rz ljo rz ljo m kem Vrste betonov rza rza z z an . vpliv oč – bre – z zm – brez zm – z zm – slab kem. – pretežni m – m a b a b a vpliv b ke c vpliv Maks. w/c Nearmirani beton 0,7 Armirani 0,55 0,5 0,55 0,5 0,55 0,5 0,45 beton 0,65 0,6 Prednapeti beton 0,6 0,6 Min. količina cementa �𝐤𝐤𝐤𝐤 𝐦𝐦 � 𝟑𝟑� Nearmirani beton 150 200 200 200 Armirani 300 300 300 300 300 beton 260 280 280 280 Prednapeti beton 300 300 300 300 Za nearmirani Cementi, ki so dobro odporni in armirani napram sulfatom, če je beton količina sulfatov večja od 500 zahtevana mg/kg v vodi in večja od vrsta cementa 3000 mg/kg v tleh 2.3.3 Strjevanje betona Na strjevanje in strditev betona vplivata vrsta cementa AC = CEM in temperatura okolice oziroma betona. Trdnost betona določamo s preizkušanci 28 dni starega betona, ki pa s staranjem naraste še za 20–50 %. Trdnost 7 dni starega betona je približno 1,5-krat manjša od trdnosti 28 dni starega betona, kot je to razvidno iz Slika 2.5. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 21. Slika 2.5: Razvoj tlačne trdnosti betona pri temperaturi 20 °C v odvisnosti od AC = CEM in starosti betona [5] Najugodnejše temperature za strjevanje betona znašajo 18–25 °C. Višje temperature pospešujejo strditev, nižje pa upočasnijo vezanje betona: − pri temperaturi, nižji od 18 °C, se strjevanje upočasni; − pri temperaturi 5 °C se strjevanje skoraj ustavi; − pri temperaturi pod 5 °C je treba zaščititi beton pred zmrzovanjem. Slika 2.6: Razmerje tlačnih trdnosti betona pri različnih temperaturah okolice [5] 22 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Strjevanje betona pod paro: z negovanjem betona pod paro (p. p) hitro dosežemo visoko trdnost, to je približno 90 % končne (t = ∞) trdnosti pri normalnem betoniranju (n. b). Za strjevanje betona je zelo ugodna temperatura okolice 90 °C. V tem primeru moramo zvišati tudi relativno vlažnost okolice (RH = 90–95 %). 𝒇𝒇𝒑𝒑.𝒑𝒑 𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒏𝒏.𝒃𝒃 ≅ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 (2.3) 𝒄𝒄,∞ Previdni pa moramo biti pri ohladitvi takšnega betona, saj se pri hitri ohladitvi pojavijo površinske razpoke. Še hitrejše strjevanje pod paro dosežemo s povečanim pritiskom na 3 bare, pri čemer bo beton še hitreje dosegel končno trdnost v primerjavi z betonom pri normalnem betoniranju. Negovanje mladega betona: mlad beton je treba ustrezno zaščititi pred vročino, pravočasno razopažiti, vlažiti, zaščititi pred vetrom, dežjem in zmrzaljo. Ogrevanje in vlaženje betona ugodno vplivata na tlačno in natezno trdnost betona ter gostoto, hkrati pa manjšata krčenje betona. Betoniranje v suhem in vročem vremenu: ko temperatura okolice preseže 35 °C, pri čemer je RH pod 50 %, hitrost vetra pa nad 3 m/s = 10,5 km/h, nastanejo pri vezanju betona tehnološki problemi. Pri povišanju temperature nad 35 °C se poveča poraba vode za 20 l/m3, kar poviša w/c za približno 6 %. Zaradi tega se ustrezno zniža tlačna trdnost in poveča krčenje betona. Iz tega lahko sklepamo, da se tlačna trdnost pri temperaturi okolice 50 °C (fck50) zmanjša glede na beton, ki ga betoniramo pri 10 °C (fck10), za približno 25 %, kar ponazarja enačba 2.4. 𝒇𝒇𝟓𝟓𝟎𝟎° 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇𝟏𝟏𝟎𝟎° ≅ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓 (2.4) 𝒄𝒄𝒄𝒄 Posebej nevarno za mlad beton je povečanje izparevanja vode na površini betona, ki se vrši v suhem in vročem vremenu. Parni tlak vode v betonu (p) narašča z višjo temperaturo okolice (T). 𝒑𝒑 ∙ 𝑽𝑽 𝑻𝑻 = 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒌𝒌𝒌𝒌. (2.5) 2 Umetni kamen – beton (concrete) 23. Odločilna za izparevanje je razlika med parnim tlakom na površini betona in zračnim pritiskom okolice. Zaradi vetra se ta razlika še poveča. Takšno izparevanje ima za posledico močno krčenje svežega betona (krčenje v plastičnem področju), ki je lahko znatno večje kot krčenje pri strjevanju betona v normalnih klimatskih razmerah. Posledice strjevanja so razpoke vse do armature. Zaščita betona v vročem in suhem vremenu: − znižanje delovne temperature (betoniranje ponoči); − uporaba podhlajenega agregata in podhlajene vode; − dodajanje aditiva proti izhlapevanju; − zvišanje relativne vlažnosti (RH) okolice – na gradbišču pokrivamo beton z juto in ohlajamo beton z vodo ustrezne temperature. Betoniranje pri nizkih temperaturah: pri nizkih temperaturah voda v svežem betonu zmrzne, zato se v porah pojavi hidravlični pritisk, ki poškoduje cementni kamen. Svež beton je treba zavarovati pred zmrzovanjem tako dolgo, dokler ne doseže neke mejne hidratacijske stopnje – stopnje proti zmrzali odpornega betona. Voda v betonu ne zmrzne več, ko beton doseže tlačno trdnost približno 5 N/mm2 = 5 MPa. Beton lahko zaščitimo tudi z gretjem opaža, v katerega vstavimo beton, pri čemer naj temperatura gretja ne preseže 30 °C, tako dolgo, dokler beton ne doseže odpornosti proti zmrzovanju. Najenostavnejša in hkrati najdražja zaščita betona pred zmrzovanjem je gretje zraka tako dolgo, dokler beton ne doseže odpornosti proti zmrzovanju. Pri betoniranju pri nizkih temperaturah moramo upoštevati pojav zmrzali, ki upočasnjuje strjevanje betona in poveča nevarnost razpok. Razopaževanje armiranobetonskih plošč: za dosego potrebne trdnosti betona lahko armiranobetonske plošče pri temperaturi nad 18 °C razopažimo glede na dneve in AC = CEM, prikazano v Preglednica 2.11, kjer pri temperaturi pod 18 °C najprej razopažimo stranske opaže, nazadnje pa spodnje. 24 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 2.11: Najzgodnejši termin razopaževanja armiranobetonskih plošč glede na aktivnost cementa Dnevi Vrsta cementa – AC (CEM) 10 25 8 35 S 5 35 R – 45 S 3 45 R – 55 2.4 Mehanske lastnosti normalnih betonov Glavni mehanski lastnosti betona sta njegova trdnost in deformabilnost (podajnost). Trdnost materiala odgovarja napetosti, povzročeni z obremenitvijo, ki premaga kohezijske napetosti materiala in sposobnost plastične deformacije. Deformabilnost materiala je lastnost elastične in plastične deformacije do porušitve. Vse mehanske in tudi fizikalne lastnosti betonov so odvisne od: − kakovosti cementa; − kakovosti in geometrijske sestave agregata; − vodocementnega faktorja, razmerja w/c; − naravnih dodatkov v agregatu in vodi ter posebnih aditivov v cementu in betonski mešanici; − načina priprave in vgrajevanja betona v konstrukcijo; − nege betona. Zaradi mnogo dejavnikov, ki vplivajo na mehanske lastnosti, so preiskave betona zahtevne in je za statično obdelavo treba raziskati mnogo vzorcev. 2.4.1 Tlačna trdnost betona – pri kratkotrajni obtežbi Ker je tlačna trdnost betona ena od najpomembnejših lastnosti betona in je fizikalno povezana z drugimi mehanskimi karakteristikami, je izbrana za dominantni kriterij za splošno oceno (oznako) mehanskih lastnosti betona. V projektu predpisana oziroma pogojena karakteristična tlačna trdnost betona se imenuje marka betona – MB, označena s številskimi karakteristikami tlačnih trdnosti betonske kocke, standardnih dimenzij 20 cm x 20 cm x 20 cm. Veljavni nacionalni predpisi SIST EN 1992 označujejo marko betona s črko C – concrete in odgovarjajočo karakteristično tlačno trdnost 28 dni starega betona, preizkušancev, v obliki valja s premerom 15 2 Umetni kamen – beton (concrete) 25. cm in višino 30 cm – 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐, oznaka je predpisana tudi v ZDA, ter kocke – 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 – z robom 15 cm. Jugoslovanski in nemški predpisi označujejo MB za kocke z robom 20 cm [1], [6]. Te vrednosti niso identične vrednostim, predpisanim v veljavnih nacionalnih predpisih, kajti njihova vrednost je za približno 5 % nižja, kar je ponazorjeno z enačbo (2.6). 𝒇𝒇𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟓𝟓 (2.6) 𝒄𝒄𝒄𝒄 Iz tega sledi, da je tlačna trdnost odvisna od oblike in velikosti preizkušancev, kar prikazuje Slika 2.7. Slika 2.7: Razmerje tlačnih trdnosti 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 prizmatičnih teles glede na tlačne trdnosti 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 kocke, odvisno od razmerja med višino in širino – h/d ali h/b [5] Iz Slika 2.7 je razvidno, da plošče oziroma po višini tanka telesa izkazujejo precej višje trdnosti kot kocke. Pri manjših kockah so tlačne trdnosti višje kot pri velikih. Kocke z robom 10 cm izdelujemo, ko znaša premer minimalnega zrna agregata manj kot 16 mm, kocke z robom 30 cm pa, ko je premer maksimalnega zrna agregata večji od 40 mm. Razmerje tlačnih trdnosti kocke z robom 20 cm v primerjavi s kockami z različnimi robovi je prikazano v Preglednica 2.12 in kot primer še v (2.7). 26 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 2.12: Razmerja tlačnih trdnosti kock različnih dimenzij Dimenzije kock (cm) Masa kocke (kg) Razmerje 𝑓𝑓20 𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐 /𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 a = 10 cm 2,4 0,9 a = 15 cm 8,1 0,95 a = 20 cm 19,2 1 a = 30 cm 64,8 1,05 𝒇𝒇𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒇𝒇𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 = (2.7) 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 Tlačne trdnosti ugotavljamo pri enoosnem napetostnem stanju, kjer je čas od začetka do konca porušitve kratek – tlačna trdnost pri kratkotrajni obtežbi. Pri obremenjevanju telesa, na primer kocke, se med ploščo bata in betonom pojavijo normalne tlačne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 (Slika 2.8). Zaradi trenja, ki preprečuje ekspanzijo betona v smeri Y, se pojavijo strižne 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐 in natezne normalne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 (Slika 2.9a). Trenje med tlačno ploščo bata in betonom lahko zelo zmanjšamo, če batno ploščo naoljimo. V tem primeru so prečne deformacije v smeri Y omogočene, strižne napetosti v smeri Y izginejo, pojavijo pa se normalne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 (Slika 2.9b). V tem primeru so tlačne napetosti betona nekoliko nižje, kot če med tlačno ploščo in batom ustvarjamo trenje oziroma prečne deformacije 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐. Slika 2.8: Prikaz preizkušancev, ko je v a prisotno in v b ni prisotno trenje [5] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 27. Slika 2.9: Napetostno stanje v točki 1 zaradi sile 𝑭𝑭𝒙𝒙 Takšno dvoosno napetostno stanje se pojavi samo na stiku med tlačno ploščo in preizkušancem. V sredini preizkušanca je sicer možna prečna dilatacija, pojavijo pa se tudi natezne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐. Möhrov napetostni krog za dvoosno napetostno stanje: Slika 2.10: Möhrovi napetostni krogi in prikaz ravnin 𝝃𝝃 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝜼𝜼, kjer nastopajo maksimalne strižne napetosti za primere napetostnega stanja a in b 28 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Maksimalne strižne napetosti 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, v primeru prisotnosti trenja in tlačne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 𝑐𝑐 𝑐𝑐 so nižje kot maksimalne strižne napetosti 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, ko trenja ni in obstajajo natezne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐. Če bi za primer b želeli dobiti enako strižno napetost kot v primeru a (𝜏𝜏𝑐𝑐 𝑚𝑚 1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝜏𝜏1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚), bi morali tlačno napetost 𝜎𝜎𝑚𝑚 zmanjšati, s čimer bi se znižala tudi natezna napetost 𝜎𝜎𝑐𝑐, kar prikazuje črtkana krožnica na Slika 2.10b. Za »tlačno trdnost« je merodajna maksimalna strižna napetost v ravninah 𝜉𝜉 in 𝜂𝜂, saj je strižna trdnost betona precej nižja od tlačne trdnosti. Ker pa so natezne trdnosti betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 nižje od strižnih trdnosti betona 𝑓𝑓𝑣𝑣, dobimo v primeru b razpoke, ki so skoraj vzporedne z vertikalnim robom kocke, saj je za porušitev kocke odločilna natezna napetost betona 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐. Spoznali smo torej, da če ob istočasnem nastopu osnega pritiska 𝜎𝜎𝑚𝑚 še nastopa bočni pritisk 𝜎𝜎𝑐𝑐, nastane porušitev pri višji tlačni osni obremenitvi 𝜎𝜎𝑚𝑚. 2.4.2 Določitev karakteristične tlačne trdnosti betona Karakteristična tlačna trdnost je trdnost, pri kateri (za 30 ali več preizkušancev) samo 5 % preizkušancev izkazuje nižjo vrednost od deklarirane. Tako imenovano karakteristično tlačno trdnost, ki jo označimo s 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐,0,05, pogosto imenujemo tudi tlačna trdnost betona pri 5-odstotni fraktili. Razlaga je podana za primer 30 preizkušancev, ki so bili preiskani v različnem času za različne serije, predstavljajoč različne trdnosti betona, prikazane v Preglednica 2.13: Monogram urnega seznama 30 preizkušancev. Diagram pogostosti (Preglednica 2.14: Diagram pogostosti pri preizkušanju vzorcev) je prikaz števila preizkušancev z enako tlačno trdnostjo. Ta stopničasti diagram lahko aproksimiramo s simetrično krivuljo v obliki zvona – Gaussovo krivuljo. Enačba te krivulje je podana z izrazom (2.7) in jo prikazuje Slika 2.11: Gaussova krivulja pogostosti (verjetnosti) pri preizkušanju vzorcev. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 29. Preglednica 2.13: Monogram urnega seznama 30 preizkušancev Urni seznam Trdnostni razred (N/mm2 = MPa) Datum Čas f od 28,1 30,1 32,1 34,1 36,1 38,1 40,1 42,1 od c28 do 30 32 34 36 38 40 42 44 do 10. 3. 9.30 36,5 11.45 36 15.00 35,3 11. 3. 10.00 39 14. 3. 8.00 34,8 11.00 31 16.00 30,7 20. 3. 13.00 29,2 15.45 34,1 22. 3. 9.00 40,7 25. 3. 7.30 43 11.00 35,5 16.30 36 1. 4. 8.15 39,1 10.45 32,2 8. 4. 7.30 35 11.00 38,1 14.30 33,7 21. 4. 9.00 32,5 12.00 35 16.00 38 22. 4. 8.00 34 10.30 33,5 14.00 35,4 30. 4. 11.00 34,8 14.00 37,5 4. 5. 16.00 37,1 9. 5. 7.30 37,2 11.00 37,5 17.00 40 Pogostost 1 2 5 10 6 4 1 1 Seštevek pogostosti 1 3 8 18 24 28 29 30 Vsota pogostosti (%) 3 10 27 60 80 93 97 100 30 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 2.14: Diagram pogostosti pri preizkušanju vzorcev � 𝒏𝒏𝒊𝒊 ∑ 𝒏𝒏𝒊𝒊 Pogostost 𝒏𝒏 10 0,333 9 0,3 8 0,267 7 0,233 6 0,2 5 0,167 4 0,133 3 0,1 2 0,067 1 0,033 28 30 32 34 36 38 40 42 44 fc28 Slika 2.11: Gaussova krivulja pogostosti (verjetnosti) pri preizkušanju vzorcev 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒄𝒄 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) = ∙ 𝝈𝝈 ∙ √𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟐𝟐 (2.8) 𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝒇𝒇𝒊𝒊 − 𝒇𝒇𝒎𝒎 𝝈𝝈 � 𝑓𝑓 … pogostost, število vzorcev z ustrezno tlačno trdnostjo 𝜎𝜎 … standardni odklon ali deviacija 𝟏𝟏 𝒏𝒏 𝝈𝝈 = � (2.9) 𝒏𝒏 ∙ �(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌 − 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎)𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚 … povprečna tlačna trdnost 2 Umetni kamen – beton (concrete) 31. 𝟏𝟏 𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 = (2.10) 𝒏𝒏 ∙ � 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ∑ 𝑚𝑚𝑖𝑖 … število preizkušancev z enakimi tlačnimi trdnostmi 𝑚𝑚 … število preizkušancev 𝑣𝑣 … variacija, ki ne sme presegati 10 % (odstopanje) 𝝈𝝈 𝒗𝒗 = (2.11) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 𝑓𝑓𝑐𝑐,0,05 … spodnja tlačna trdnost betona (pri 5-odstotni fraktili) – Slika 2.11 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝝈𝝈 (2.12) 𝑓𝑓𝑐𝑐,0.95 – zgornja tlačna trdnost betona (pri 95-odstotni fraktili) – Slika 2.11 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟓𝟓 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 + 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝝈𝝈 (2.13) 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐,0,05 – karakteristična – deklarirana tlačna trdnost betona Za primer, prikazan v Preglednica 2.13: Monogram urnega seznama 30 preizkušancev, bi karakteristično tlačno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 izračunali kot: 𝟏𝟏 𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟗𝟗, 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟕𝟕 + 𝟑𝟑𝟏𝟏 + ⋯ + 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝒏𝒏 ∙ � 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟎𝟎 = 𝟑𝟑𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒊𝒊=𝟏𝟏 (2.14) 𝟏𝟏 𝒏𝒏 𝝈𝝈 = �𝒏𝒏 ∙ �(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌 − 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎)𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = �𝟑𝟑𝟎𝟎 ∙ �(𝟐𝟐𝟗𝟗,𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝟓𝟓,𝟕𝟕𝟓𝟓)𝟐𝟐 + (𝟑𝟑𝟎𝟎,𝟕𝟕 − 𝟑𝟑𝟓𝟓,𝟕𝟕𝟓𝟓)𝟐𝟐 + ⋯ +(𝟒𝟒𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟓𝟓)𝟐𝟐 � 𝑵𝑵 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 (2.15) 32 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝝈𝝈 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒗𝒗 = 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟑𝟑𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟓𝟓 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ≈ 𝟎𝟎 % < 𝟏𝟏𝟎𝟎 % (2.16) 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟓𝟓 + 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟐𝟐 (2.17) 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟓𝟓, 𝟕𝟕𝟓𝟓 − 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟎𝟎 (2.18) 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 Če so bili v obliki valjev, potem znaša karakteristična tlačna trdnost 30 MPa, kar odgovarja preizkušancem v obliki kocke z robom 15 cm, v vrednosti 37 MPa, iz česar sledi, da je oznaka za beton po aktualnem veljavnem predpisu C 30/37. Sklepamo, da samo 5 % preizkušancev predstavlja nižje trdnosti, kot je deklarirana tlačna trdnost betona, in sicer 30 N/mm2. Predpisi navajajo približno enačbo za izračun povprečne tlačne trdnosti betona: 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝟎𝟎; � 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐� (2.19) V Preglednica 2.15 so podane tlačne trdnosti vseh trdnostnih razredov betona po veljavnih predpisih [4]. Preglednica 2.15: Tlačne trdnosti glede na trdnostni razred betona Trdnostni razredi betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚(𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 Vsa ta razlaga velja za tlačne trdnosti normalnih betonov, podane za kratkotrajno obtežbo, ustvarjeno v laboratoriju – v idealnih razmerah. Na objektih beton ne zori v tako ugodnih razmerah, pojavljajo se dolgotrajne in ciklične obremenitve, ponavljajoče se – dinamične obtežbe in obremenitve, neodvisno od trajanja obtežbe, pri visokih in nizkih temperaturah, zato so tlačne trdnosti takšnih betonov nižje. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 33. 2.4.3 Razvoj tlačne trdnosti betona, deklarirane po predpisih Časovni razvoj tlačne trdnosti betona je odvisen predvsem od vrste cementa, temperature okolja in ostalih pogojev nege. Aktualni nacionalni (tudi evropski SIST EN 1992-1-1:2005) predpis podaja za določitev trdnosti betonov, mlajših od 28 dni, vendar starejših od 3 dni, predvsem za potrebe gradnje v več fazah (prednapenjanje, razopaževanje itd.), spodaj razloženi postopek določitve karakteristične tlačne trdnosti betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑐𝑐) (2.20). Izraza (2.21) in (2.22) veljata pri povprečni temperaturi 20 °C in negi betona v skladu z EN 12390. 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 − 𝟎𝟎 � 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐� (2.20) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎(𝒌𝒌) = 𝜷𝜷𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 (2.21) 𝒌𝒌∙�𝟏𝟏−�𝟐𝟐𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝒌𝒌 � 𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌) = 𝒄𝒄 (2.22) 𝛼𝛼 … starost v dnevih (3 dni < t < 28 dni) 𝜀𝜀 … koeficient, odvisen od vrste cementa: 0,20 (R); 0,25 (N); 0,38 (S) Na Slika 2.12 in Slika 2.13 je prikazan časovni razvoj trdnosti betona za normalno (N) vezoči se cement. Slika 2.12: Diagram časovnega razvoja tlačne trdnosti od 3 do 28 dni 34 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.13: Diagram časovnega razvoja tlačne trdnosti od 3 do 10 let Iz Slika 2.13 je razvidno, da za končno trdnost betona velja enačba (2.23): 𝒇𝒇 𝒏𝒏𝒄𝒄𝒌𝒌𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎. 𝒄𝒄,(∞) = 𝒇𝒇𝒄𝒄,(∞) = 𝜷𝜷𝒄𝒄𝒄𝒄(∞) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 (2.23) 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟓𝟓∙�𝟏𝟏−�𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝒄𝒄 ∞� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 ≅ 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 2.4.4 Tlačna trdnost normalnega betona pri dolgotrajni obtežbi Trajna obtežba, ki jo predstavljata lastna in stalna teža, včasih tudi dolgotrajno koristna spremenljiva teža, zmanjšuje tlačno trdnost betona. Betonski stebri, obremenjeni z napetostjo 0,9 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐, so prenesli napetost samo za 30 min, z napetostjo 0,85 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 že nekaj ur. Slika 2.14 prikazuje razmerje tlačnih trdnosti v času od 𝛼𝛼 = 0 do 𝛼𝛼 = ∞ in ustrezne dilatacije betona. Zaradi dolgotrajne obtežbe se cementni kamen plastično deformira. Ker agregat tem deformacijam ne more slediti, okoli agregata nastanejo drobne razpoke, ki privedejo do porušitve. Slika 2.15 prikazuje časovni potek tlačnih trdnosti obremenjenega betona. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 35. 𝒏𝒏𝒄𝒄𝒌𝒌𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎. Slika 2.14 Rüschev diagram – razmerja tlačnih trdnost 𝒇𝒇𝒄𝒄,(∞) in dilatacij, odvisnih od 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 časa trajanja velikih napetosti Slika 2.15: Diagram tlačnih trdnosti betona, odvisnih od časa trajanja obremenitve Diagram na Slika 2.15 opisuje enačba 2.24: 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎. 𝒄𝒄,𝒌𝒌 𝒄𝒄,(∞) = 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝜶𝜶 ∙ �𝒇𝒇 𝒏𝒏𝒄𝒄𝒌𝒌𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎.� (2.24) 𝒄𝒄,(∞) 36 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑜𝑜 … tlačna trdnost betona v trenutku obremenitve (t = 0) 𝛼𝛼 … 0,25–0,27 𝑓𝑓𝑛𝑛𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚. … tlačna trdnost neobremenjenega betona v času t = ∞ 𝑓𝑓𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚. . . tlačna trdnost obremenjenega betona v času t = ∞ Tlačna trdnost trajno obremenjenega betona, izvedenega z normalno (N) vezočim se cementom: 𝟏𝟏 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎. 𝒄𝒄,(∞) = 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒� (2.25) = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 To pomeni, da tlačne trdnosti pod dolgotrajno obremenitvijo padejo za približno 22 %. Tlačna trdnost betona pod dolgotrajno obtežbo z upoštevanjem staranja betona: Ker vemo, da se tlačna trdnost neobremenjenega betona veča (Slika 2.5), F. Leonhard [7] predlaga, da se tlačna trdnost dolgotrajno obremenjenega betona v primerjavi s tlačno trdnostjo pri trenutnih obremenitvah zmanjša le za 15 % (𝛼𝛼 = 0,85 – to privzamejo predstandardi ENV 1992-1-1). Nacionalni standard pa privzame faktor 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏[8], kar izhaja iz dejstev, navedenih v (2.23) in (2.25), ter je prikazano v (2.26): 𝒇𝒇𝒄𝒄,(∞) = 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 ∙ (𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟎𝟎) ≈ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒌𝒌 (2.26) 2.4.5 Tlačna trdnost normalnega betona pri cikličnih obremenitvah Če je armiranobetonska konstrukcija oziroma njen element podvržen ponavljajočim se obremenitvam, se ta poruši pri nižjih trdnostih kot pri obremenitvah zaradi mirne oziroma statične obtežbe. Govorimo torej o utrujanju materiala, ki je večje pri izmeničnih napetostih (±𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖) kot pri istosmernem napetostnem stanju. Pri proučevanju utrujanja materiala moramo na elementu izvesti 2 ∙ 106 obremenitev in razbremenitev (ciklov), pri čemer mora napetost presegati 50 % tlačne trdnosti betona. Rezultate tovrstnih meritev lahko s sodobnimi stroji dobimo v 14 dneh. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 37. Dinamična starost 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑛𝑛 = 𝑓𝑓𝐹𝐹 je privzeta trdnost betona pri 5-odstotni fraktili po 2 ∙ 106 ciklov obremenitev in razbremenitev, pri čemer indeks F pomeni utrujanje (F-fatigue). Vrednost 2𝜎𝜎𝑚𝑚 je razlika med maksimalno in minimalno napetostjo, ki je pri armiranobetonskih konstrukcijah praviloma pozitivna (istosmerna napetost) zaradi velikega deleža stalne obtežbe. Iz količnika 2𝜎𝜎𝑎𝑎 lahko izračunamo vrednost 2𝜎𝜎 𝑓𝑓 . 𝑚𝑚 in 𝑐𝑐 končno z (2.27) tlačno trdnost betona zaradi utrujanja: 𝒇𝒇𝑭𝑭 = 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 + 𝟐𝟐𝝈𝝈𝒐𝒐 (2.27) Pri tem je (glej Slika 2.16): 𝟐𝟐𝝈𝝈𝒐𝒐 = (𝝈𝝈𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏) = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄 − 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 ∙ 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 (2.28) Slika 2.16: Prikaz nihanja napetosti pod dinamično (ciklično) obtežbo [5] V Preglednica 2.16 so navedene dinamične trdnosti 𝑓𝑓𝐹𝐹 v odvisnosti od razmerja 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑓𝑓 . . 𝑐𝑐 Preglednica 2.16: Razmerja med dinamično in statično trdnostjo betona 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑓𝑓 . 2𝜎𝜎𝑚𝑚. 𝑓𝑓𝐹𝐹 𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐 0 0,60 0,60𝑓𝑓𝑐𝑐 0,2 0,48 0,68𝑓𝑓𝑐𝑐 0,4 0,36 0,76𝑓𝑓𝑐𝑐 0,6 0,24 0,84𝑓𝑓𝑐𝑐 0,8 0,12 0,92 1,0 0 𝑓𝑓𝑐𝑐 38 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ PRIMER 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 … velikost najmanjše napetosti (glej Slika 2.16) 2𝜎𝜎𝑚𝑚 = 0,6 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 − 0,6 ∙ 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 0,36 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑓𝑓𝐹𝐹 = 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 + 0,36 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 0,76 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 Prikazano pomeni, da je trdnost padla na 76 % začetne trdnosti. V Preglednica 2.17 so navedena razmerja med dinamično trdnostjo in statično tlačno trdnostjo za beton in armirani beton glede na vrste obremenitev po Tomičiću [9]. Preglednica 2.17: Razmerja med dinamično in statično trdnostjo betona Vrsta betona in obremenitev 𝑓𝑓𝐹𝐹 𝑓𝑓 . Izboljšava mehanskih lastnosti 𝑐𝑐 Običajni beton: tlak 0,62 8–15 % Običajni beton: upogib 0,59 nebistveno Običajni beton: adhezija med betonom in armaturo 0,69 nebistveno Armirani beton: nateg 0,54 nebistveno Armirani beton: tlak 0,60 6–10 % Iz Preglednica 2.17 je razvidno, da se lahko s ponavljajočo se obremenitvijo lastnosti betona celo poboljšajo, če je maksimalna napetost 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 nižja od meje utrujanja 𝑓𝑓𝐹𝐹. 2.4.6 Tlačna trdnost betona pri visokih temperaturah Slika 2.17: Vpliv agregata na tlačno trdnost betona pri visokih temperaturah [5] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 39. Jedrski reaktorji obremenjujejo okoliški beton s temperaturo okoli 500 °C, pri požarih pa se lahko v kratkem času razvijejo temperature okoli 1100 °C. Tovrstne temperaturne obremenitve zelo znižajo tlačne trdnosti in elastoplastične lastnosti betonov. Fizikalne lastnosti cementnega kamna so že motene pri 100 °C. Izgube trdnosti se lahko delno kompenzirajo z ustrezno izbiro agregatov. Iz Slika 2.17 je razvidno, da je za temperature pod 400 °C ustreznejši agregat iz skrilavcev ali kremena, za temperature nad 400 °C pa agregat iz apnenca. Začetna trdnost in vodocementni faktor ne vplivata na trdnost betona pri visokih temperaturah. Slika 2.18 prikazuje vpliv visokih temperatur na specifične deformacije in modul elastičnosti. Opazimo, da deformacije z višanjem temperature hitro naraščajo, kar je posledica padca modula elastičnosti. Slika 2.18: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 za normalni beton (star 133 dni) pri različnih temperaturah [5] Slika 2.19: Tlačna trdnost betona pri različno visokih temperaturah in padec tlačnih trdnosti z ohladitvijo [5] 40 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ PRIMER 𝑵𝑵 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 °𝑪𝑪 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟒𝟒 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝈𝝈 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟒𝟒 𝑵𝑵 𝜺𝜺 𝒄𝒄 𝒐𝒐 ≈ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ‰ 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝜺𝜺 = 𝒄𝒄 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝑻𝑻 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 °𝑪𝑪 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟒𝟒 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝈𝝈 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟒𝟒 𝑵𝑵 𝜺𝜺 𝒄𝒄 𝒐𝒐 ≈ 𝟏𝟏, 𝟒𝟒 ‰ 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝜺𝜺 = 𝒄𝒄 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 Z ohlajanjem vročega betona ne moremo več doseči osnovnih lastnosti (trdnosti) betona. Iz Slika 2.19 je razvidno, da tlačne trdnosti z ohlajanjem še dodatno upadejo, še večji padec trdnosti betona pa nastopi s hitro ohladitvijo betona. 2.4.7 Tlačna trdnost betona pri nizkih temperaturah Tlačna trdnost in modul elastičnosti rasteta z nižanjem temperature. Iz Slika 2.20 je razvidno, da je prirastek tlačne trdnosti toliko večji, kolikor višja je vlažnost betona v trenutku zamrznitve. Beton, ki ga osušimo pri 105 °C, pa pri nizkih temperaturah ne izkazuje bistvenega porasta tlačnih trdnosti. Slika 2.20: Vpliv vsebnosti vlage na tlačno trdnost betona pri nizkih temperaturah [10] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 41. Z nizkimi temperaturami se spreminja tudi delovni diagram 𝜎𝜎 − 𝜀𝜀 za beton. Modul elastičnosti zelo naraste, saj se beton pri –170 °C obnaša elastično do porušitve (nevarnost krhkega loma). Iz Slika 2.21 je razvidno, da se beton z višjo vsebnostjo vlage obnaša bolj krhko kot beton z nižjo vsebnostjo vlage pri –170 °C, medtem ko je pri +20 °C vpliv vsebnosti vlage neznaten. Slika 2.21: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 za normalni beton (star 3 mesece) pri nizkih temperaturah [5] Pri hipni ohladitvi se pojavijo nekoliko nižje tlačne trdnosti kot pri počasnem ohlajanju. Ciklične temperaturne obremenitve povzročajo največje padce tlačne trdnosti in s tem povezane poškodbe pri betonih z visoko vsebnostjo vlažnosti. Suh beton ne izkazuje posebnih padcev tlačne trdnosti pri cikličnih temperaturnih obremenitvah z nizkimi temperaturami. 42 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.22: Padec tlačne trdnosti z vodo zasičenega betona, odvisen od števila temperaturnih ciklov (od +20 °C do –30 °C, –70 °C, –170 °C) [5] 2.4.8 Tlačna trdnost betona na udar Ta je merodajna za konstrukcije, ki so izpostavljene udarnim silam (pilotom). Trdnost je toliko višja, kolikor večja je sposobnost deformiranja betona, ne da bi se ta porušil. Betoni z več cementa imajo višjo udarno trdnost. Tudi betoni iz agregata lomljenca imajo višjo udarno trdnost kot betoni iz gramoza. Na udarno tlačno trdnost betona bistveno vplivata lokalna natezna in strižna trdnost betona. 2.4.9 Tlačna trdnost betona, pri katerem je onemogočena prečna ekspanzija (confined concrete) V betonu, ki je zaprt v togi cevi ali ovit z gosto spiralo, nastopa troosno napetostno stanje (𝜎𝜎1,𝜎𝜎2,𝜎𝜎3) in enoosno deformacijsko stanje (𝜀𝜀1 ≠ 0,𝜀𝜀2 = 0,𝜀𝜀3 = 0), kar prikazuje Slika 2.23. Zaradi tega se tlačne trdnosti takega betona v primerjavi z betonom, obremenjenim z enoosnim pritiskom, povišajo. Tlačni beton je tudi bolj duktilen in se lahko »daleč« plastificira v obremenjeni smeri (𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2,𝑐𝑐 ≫ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐). 2 Umetni kamen – beton (concrete) 43. Slika 2.23: Karakteristična tlačna trdnost 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 za troosno napetostno stanje Stanje na Slika 2.23 opisujejo enačbe (2.29)–(2.32): 𝝈𝝈 𝒇𝒇 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 + 𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇 � 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝝈𝝈𝟐𝟐 < 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (2.29) 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝈𝝈 𝒇𝒇 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇 � 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝝈𝝈𝟐𝟐 ≥ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (2.30) 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇 𝟐𝟐 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟐𝟐,𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 ∙ � (2.31) 𝒇𝒇 � 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝈𝝈 𝜺𝜺 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐,𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ (2.32) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 Potrebni parametri so v spodnji preglednici. Preglednica 2.18: Specifične deformacije za razne kakovosti betona Trdnostni razredi betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 𝜀𝜀𝑐𝑐2 [‰] 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2[‰] 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 PRIMER za betone do C50 pri 𝜎𝜎2=0,1∙𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐: 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇 � = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟕𝟕𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 44 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇 𝟐𝟐 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟐𝟐,𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 ∙ � 𝒇𝒇 � = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟗𝟗 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟗𝟗 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟓𝟓 ‰ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐,𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟓 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟑𝟑, 𝟓𝟓𝟎𝟎 ‰ 𝒄𝒄𝒄𝒄 2.4.10 Tlačna trdnost betona, vgrajenega v konstrukcije Zaradi neugodnih vplivov okolice beton v konstrukcijah ne »zori« v tako dobrih razmerah kot preizkušanci v laboratoriju. Zato so tlačne trdnosti takega betona običajno nižje kot tlačne trdnosti preizkusnih vzorcev. Betonske vzorce iz konstrukcije pridobimo z izrezom v obliki valjev. Možno je tudi določanje tlačnih trdnosti s sklerometrom (vzmetnim kladivom). Odstopanja tlačnih trdnosti pa so odvisna od izvedbe vgradnje in negovanja betona ter so podana v Preglednica 2.19. Preglednica 2.19: Razmerja tlačnih trdnosti betona, vgrajenega v konstrukcije Tlačne trdnosti betona, vgrajenega v konstrukcije 𝑓𝑓𝑐𝑐,0,05 𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑐𝑐,𝑚𝑚 𝑐𝑐,0,95 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Normalna izdelava in negovanje 0,85 1,0 1,15 Skrbna izdelava in negovanje 0,91 1,0 1,09 2.4.11 Natezna trdnost betona Natezna trdnost betona je odvisna od več dejavnikov, predvsem pa od povezave med agregatom in cementnim kamnom. Natezna trdnost je v smeri betoniranja nižja kot pravokotno na smer betoniranja. To si lahko razlagamo tako, da za vsakim večjim zrnom agregata ali tudi vzdolžno armaturo-cementni gel popusti, zaradi česar nastanejo pore in se povezava med agregatom in cementnim kamnom poslabša (glej Slika 2.24). Natezna trdnost pri centričnem nategu: visokovredna umetna (sintetična) lepila omogočajo preizkuse, kjer preizkušance dobro prilepimo na čeljusti natezalnega stroja. Preizkušanec za določitev tovrstne trdnosti je prikazan na Slika 2.25, stanje napetosti oziroma trdnosti pa predstavlja (2.32): 2 Umetni kamen – beton (concrete) 45. 𝑭𝑭 𝒇𝒇 𝒌𝒌,𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒙𝒙 = (2.33) 𝑨𝑨𝒄𝒄 Slika 2.24: Nastanek praznin in por pod agregatom ali jeklom za armiranje zaradi sedimentacije in nabiranja vode Slika 2.25: Preizkušanec za določitev osne (centrične) natezne trdnosti [5] Natezna trdnost s cepitvijo: brazilski raziskovalec Fernardo Karneiro je predložil indirektno metodo preiskave vzorca s cepitvijo (metodo je razvil na Japonskem). Pri tej metodi je obremenjeval kocke ali valje po delni površini (valje obremenjujemo po plašču). Za takšno tlačno obremenitev lahko uporabimo stroje, s katerimi določamo tlačne trdnosti betona. Preizkušanci pa so identični preizkušancem za določitev tlačne trdnosti. S tovrstnim obremenjevanjem nastane dvoosno napetostno stanje. V horizontalni ravnini nastopijo tlačne napetosti, ki proti sredini padajo. V ravnini pa na višini 2 ∙ 0,05𝜎𝜎 oziroma 2 ∙ 0,05𝑚𝑚 tlačne napetosti, ki nato preidejo v skoraj konstantne natezne napetosti po celotni preostali višini 0,9𝜎𝜎, kar je prikazano na Slika 2.26 in pojasnjeno z enačbami (2.34)–(2.37). 46 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.26: Določitev natezne trdnosti s cepitvijo kocke ali valja [11] Slika 2.26 prikazuje napetostno stanje tik pod zgornjim in spodnjim robom: 𝑭𝑭 𝑭𝑭 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = − 𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝝈𝝈𝒄𝒄 = − 𝒌𝒌 ∙ 𝒉𝒉 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒗𝒗𝒐𝒐𝒄𝒄𝒗𝒗 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝝈𝝈𝒙𝒙 < 𝟎𝟎 (2.34) V sredini preizkušanca pa: 𝑭𝑭 𝑭𝑭 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = − (2.35) 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝝈𝝈𝒄𝒄 = − 𝒅𝒅 ∙ 𝒉𝒉 𝟐𝟐𝑭𝑭 𝟐𝟐𝑭𝑭 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = + (2.36) 𝟐𝟐 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝝈𝝈𝒙𝒙 = + 𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒉𝒉 Natezne trdnosti, dobljene s cepitvijo, so nekoliko višje kot natezne trdnosti pri osnem nategu v razmerju, podanem z (2.37): 2 Umetni kamen – beton (concrete) 47. 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒌𝒌𝒑𝒑 = (2.37) 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 Upogibna natezna trdnost: določimo jo na nearmiranem betonskem nosilcu, dimenzij 15 cm x 15 cm x 70 cm, obremenjenem z dvema enakima silama na tretjinah razpona, kot to prikazuje Slika 2.27. Dejansko je odvisna od dimenzij preizkušancev in razporeditve obtežbe, zato je postopek določitve standardiziran. Zaradi nizke natezne trdnosti je razporeditev normalnih napetosti po višini nosilca linearna, kar privzamemo v enačbo 2.25: 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝒄𝒄 𝟔𝟔 𝑭𝑭 𝒇𝒇 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒇𝒇𝒄𝒄 = + (2.38) 𝑾𝑾 = 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 Slika 2.27: Preizkušanec za določitev upogibne natezne trdnosti [5] Ker najprej poči krajno tegnjeno vlakno in šele kasneje natezno obremenjena vlakna proti nevtralni osi, so natezne trdnosti pri upogibu višje kot natezne trdnosti pri centričnem nategu in pri nategu s cepitvijo. Aktualni nacionalni predpisi podajajo (2.39) za določitev upogibne natezne trdnosti v odvisnosti od osne natezne trdnosti in celotne višine elementa (v mm) [8]. 𝒉𝒉 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒇𝒇𝒄𝒄 = 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ��𝟏𝟏, 𝟔𝟔 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎� (2.39) Če ne razpolagamo z laboratorijskimi vrednostmi za natezne trdnosti normalnega betona, nam predpis [8] omogoča njihov izračun z enačbami v odvisnosti od karakteristične tlačne trdnosti betona po enačbah (2.38)–(2.40), katerih vrednosti so podane v Preglednica 2.20. 48 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 2.20: Centrične natezne trdnosti za razne kakovosti betona Trdnostni razredi betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,0,05[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐,0,95[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 Časovni razvoj natezne trdnosti betona podaja predpis prek izraza (2.40) za približno določitev natezne trdnosti betona, mlajšega ali starejšega od 28 dni [8]. 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝜷𝜷𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌)𝜶𝜶 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 (2.40) Pri tem so: 𝜶𝜶 = 𝟏𝟏; 𝒌𝒌 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒊𝒊 𝟐𝟐 𝜶𝜶 = 𝟑𝟑; 𝒌𝒌 > 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒊𝒊 𝒌𝒌∙�𝟏𝟏−�𝟐𝟐𝟎𝟎 𝜷𝜷 𝒌𝒌 � 𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌) = 𝒄𝒄 Slika 2.28 in Slika 2.29 ta časovni razvoj ponazarjata tudi za 𝛼𝛼 ≤ 28 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚 in 𝛼𝛼 > 28 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚. Slika 2.28: Diagram časovnega razvoja natezne trdnosti betona do 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒊𝒊 2 Umetni kamen – beton (concrete) 49. Slika 2.29: Diagram časovnega razvoja natezne trdnosti betona do 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌 Na osnovi Slika 2.29 za končno trdnost betona velja zapis (2.41): 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟓𝟓∙�𝟏𝟏−�𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒇𝒇 ∞� 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎(∞) = 𝜷𝜷𝒄𝒄𝒄𝒄(𝒌𝒌)𝜶𝜶 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 = �𝒄𝒄 � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 (2.41) 2.4.12 Strižna trdnost normalnega betona Ugotovljeno je, da je strižna trdnost več kot dvakrat večja od natezne trdnosti betona (glej (2.42)), medtem ko je prerezna trdnost celo trikrat večja od natezne trdnosti betona. Za kratke konzole in nosilce, kjer prevlada prečna sila nad upogibnim momentom, so lahko strižne napetosti 𝝉𝝉 mnogokrat večje od normalnih napetosti 𝜎𝜎. Slika 2.30: Primeri čistega striga v konstrukcijah 50 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Pri čistem strigu bo v nearmiranem betonskem nosilcu nastala porušitev v neki drugi ravnini, v kateri bodo natezne napetosti dosegle natezno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Zaradi tega strižna trdnost 𝑓𝑓𝑣𝑣 ni bistvena in je predpisi ne navajajo. 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒗𝒗 ≈ (2.42) 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 Slika 2.31: Möhrov napetostni krog pri čistem strigu Pri čistem strigu z upogibom praviloma iščemo ravnine 𝜋𝜋, v katerih se pojavijo glavne natezne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐. Metod, s katerimi se določa prerezna trdnost betona, je več, vendar nobena ni dovolj zanesljiva. 2.5 Deformacije normalnega betona Poleg trdnosti betona moramo za razumevanje obnašanja konstrukcije v času eksploatacije in mejne obremenitve poznati tudi sposobnost deformacij betona. Poleg tega še moramo poznati fizikalne lastnosti ojačil (armature), ki so bistveno različne od fizikalnih lastnosti betona. Znano je, da beton in armatura sodelujeta, posledica česar je enaka deformacija obeh tam, kjer sta spojena. Danes vemo, da deformacije betona vplivajo na napetostno stanje, deformacije, stabilnost in varnost konstrukcije. Po značaju ločimo pri strjenem betonu naslednje deformacije: − volumenske deformacije betona: so neodvisne od obremenitve ter nastanejo zaradi krčenja, nabrekanja in temperature; 2 Umetni kamen – beton (concrete) 51. − deformacije, ki nastanejo kot posledica obremenitve: obremenitve so lahko kratkotrajne, dolgotrajne ali ciklične. Elastični modul E pri ciklični obremenitvi je enak elastičnemu modulu E pri hipni obremenitvi; − elastične deformacije, ki se pojavijo zaradi obremenitev: te deformacije so povratne – po razbremenitvi nimamo trajnih deformacij; − plastične deformacije: nastanejo zaradi visoke kratkotrajne obtežbe in ciklične obremenitve. Po razbremenitvi ostanejo v konstrukciji trajne deformacije; − časovne in od klime odvisne deformacije: nastanejo zaradi spremembe volumna cementnega gela. Pri tem ločimo: − krčenje 𝜺𝜺𝒌𝒌 (shrinkage) in nabrekanje (swelling): to sta deformaciji, ki nista odvisni od obtežbe, temveč samo od sprememb volumna cementnega gela; − lezenje (creep): to je deformacija zaradi obremenitve oziroma razbremenitve (creep recovering), ki povzroča tudi spremembo volumna cementnega gela. Deformacije lahko uspešno izračunamo s pomočjo elastične teorije (Hookov zakon), ko so deformacije premo sorazmerne napetostim in obratno sorazmerne modulu elastičnosti, in sicer po enačbi 2.43: 𝝈𝝈 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 (2.43) 𝒄𝒄𝒄𝒄 Zato nacionalni predpis zahteva izračun deformacij v elastičnem področju, ki jih dobimo z nefaktoriranimi vrednostmi obremenitev (𝛾𝛾𝑐𝑐𝑖𝑖 = 1,0). Za trajno obremenitev pa moramo upoštevati vplive lezenja in krčenja na deformacije betona. 2.5.1 Modul elastičnosti in strižni modul Samo elastično obnašanje betona opazimo pri nizkih normalnih napetostih, ki praviloma ne prekoračujejo 40 % povprečne tlačne trdnosti betona. V tem območju velja Hookov zakon. Delovne diagrame za različne kakovosti betonov, dobljene z enoosnim pritiskom na vzorcih v obliki kock, prikazuje Slika 2.32. 52 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.32: Rezultati preiskav za različne kakovosti betonov Iz Slika 2.32 je razvidno, da betoni različnih kakovosti dosežejo tlačne trdnosti pri enakih dilatacijah, ki znašajo približno 2 ‰. Porušne specifične deformacije, ki jih prikazuje črtkana črta, pa so za betone višjih kakovosti nižje kot za betone nižjih kakovosti. Za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij bo mejna deformacija 3,5 ‰ privzeta za vse betone do kakovosti C50. Natančnejše vrednosti pa prikazuje tabela 2.18. Preglednica 2.21: Specifične deformacije za različne kakovosti betonov [2] Trdnostni razredi betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 𝜀𝜀𝑐𝑐1 [‰] 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐1 [‰] 3,5 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 𝜀𝜀𝑐𝑐2 [‰] 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2[‰] 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Specifični raztezek natezno obremenjenega betona ni odvisen od kakovosti betona in znaša pri pretrgu betona (0,1 − 0,2 ‰). 2 Umetni kamen – beton (concrete) 53. Modul elastičnosti – Youngov modul: modul elastičnosti betona definira smerni količnik sekante 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 in predstavlja razmerje med napetostjo 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚 in pripadajočo specifično deformacijo 𝜀𝜀𝑐𝑐, kot je zapisano z (2.44) in prikazano na Slika 2.32. 𝝈𝝈 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝜺𝜺 = = 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒏𝒏𝜶𝜶 (2.44) 𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒄𝒄 Slika 2.33: Delovni diagram betona pri tlaku [8] Nacionalni predpis navaja izračun sekantnega modula elastičnosti za betone iz kremenovega agregata v (2.45) in že izračunane vrednosti za posamezne kakovosti betona v Preglednica 2.22 [2]. 𝒇𝒇 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∙ � (2.45) 𝟏𝟏𝟎𝟎 � Pri tem velja: 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒗𝒗 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 (𝑮𝑮𝑴𝑴𝒐𝒐) 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒗𝒗 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 (𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐) 54 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ V primeru uporabe agregata iz apnenca je treba njegovo vrednost zmanjšati za 10 %, v primeru uporabe agregata iz peščenjaka za 30 %, v primeru uporabe agregata iz bazalta pa povečati za 20 %. Preglednica 2.22: Sekantni modul elastičnosti za različne kakovosti betonov [2] Trdnostni razredi betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐[𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 [𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚] 27 29 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41 42 44 Vrednosti sekantnega modula elastičnosti pri tlaku imajo le informativni značaj, ker so dejanske vrednosti odvisne od granulometrijske sestave agregata (ϕmax), količine in vrste cemente, vodocementnega faktorja, starosti betona, vgradnje in nege betona. Če so deformacije in razpoke konstrukcije bistvenega pomena, moramo preiskati beton z dejanskimi komponentami betona (delovni diagram betona) ali iz izmerjenega povesa konstrukcije izračunati E. Izračun za modul elastičnosti poljubno starega betona podaja predpis prek (2.46): 𝒇𝒇 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎(𝒌𝒌) 𝒄𝒄𝒎𝒎(𝒌𝒌) = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ � (2.46) 𝒇𝒇 � 𝒄𝒄𝒎𝒎 Tangentni modul elastičnosti pri začetni napetosti 𝜎𝜎0 definiramo z (2.47), ki predstavlja naklon premice v koordinatnem izhodišču in je večji od 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚: 𝒅𝒅𝝈𝝈 𝑬𝑬 𝟎𝟎 𝟎𝟎 = (2.47) 𝒅𝒅𝜺𝜺𝟎𝟎 Pri napetostih, večjih od 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚, preidemo v elastoplastično območje. Pri napetostih 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚 bi znašal tangentni modul elastičnosti nič. Ker v dejanskem stanju to ne velja, literatura navaja enačbo (2.46) [9]. Sekantni modul elastičnosti v elastoplastičnem stanju znaša: 𝜺𝜺 𝑬𝑬 𝒄𝒄 𝒄𝒄,𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒑𝒑𝒄𝒄𝒐𝒐𝒌𝒌𝒌𝒌. = 𝑬𝑬𝟎𝟎 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝜺𝜺 � (2.48) 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝜺𝜺 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝒄𝒄,𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏. = 𝑬𝑬𝟎𝟎 ∙ �𝟏𝟏 − (2.49) 𝟐𝟐𝜺𝜺 � = 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝟐𝟐 2 Umetni kamen – beton (concrete) 55. Poissonov koeficient in strižni modul betona: vsaka obtežba povzroča poleg deformacij v smeri sile tudi prečne deformacije. Razmerje med prečnimi in vzdolžnimi deformacijami imenujemo Poissonov koeficient (po francoskem fiziku in matematiku Simeonu-Denisu Poissonu (1781–1840)) in znaša za beton od 0,16 do 0,25, odvisno od tega, ali gre za elastične ali plastične deformacije. 𝜺𝜺 𝜺𝜺 𝜺𝜺 𝝊𝝊 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒄𝒄č𝒏𝒏𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒐𝒐 𝒄𝒄 = − 𝜺𝜺 = − = − ≈ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 (2.50) 𝒗𝒗𝒐𝒐𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄ž𝒏𝒏𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒙𝒙 𝜺𝜺𝒙𝒙 Vrednosti, manjše ali enake 0,2, pripadajo elastičnim deformacijam, vrednosti okoli 0,25 pa že plastičnim deformacijam betona. Nacionalni predpis priporoča vrednost 0,2 za nerazpokan prerez, za razpokanega pa 0 [2]. S pomočjo Poissonovega koeficienta lahko izračunamo strižni modul betona po (2.51): 𝑬𝑬 𝑮𝑮 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 + 𝝊𝝊) ≈ 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟎𝟎 𝑬𝑬𝒄𝒄 (2.51) Deformacije zaradi prečnih sil in torzijskih momentov, ki jih izračunamo (2.52), pa veljajo le za nerazpokane armiranobetonske elemente, torej za majhne obremenitve. Za razpokane elemente vrednosti za strižni modul ne smemo upoštevati po (2.51). 𝑽𝑽 ∙ 𝑽𝑽� 𝑴𝑴 ���� 𝝊𝝊 = � 𝒅𝒅𝒙𝒙; 𝝋𝝋 𝒙𝒙 ∙ 𝑴𝑴𝒙𝒙 𝒙𝒙 = � 𝒅𝒅𝒙𝒙 (2.52) 𝒙𝒙 𝑮𝑮 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒙𝒙 𝑮𝑮 ∙ 𝑰𝑰𝒌𝒌 2.5.2 Temperaturni razteznostni koeficient 𝜶𝜶𝒌𝒌 in toplotna prevodnost 𝝀𝝀 normalnih betonov Sprememba temperature, enakomerne ali neenakomerne vzdolž prereza elementa, povzroča v betonu volumenske deformacije (raztezke, skrčke in ukrivljanje). Temperaturni razteznostni koeficient 𝛼𝛼𝑐𝑐 (Coefficient of thermal expansion): pri visokih temperaturah (𝐹𝐹 > 200 °𝐶𝐶) znaša do 22 ∙ 10−6 ∙ 𝐾𝐾−1, pri nizkih temperaturah (𝐹𝐹 < 0 °𝐶𝐶) pa lahko pade do 5 ∙ 10−6 ∙ 𝐾𝐾−1. Za »normalna« temperaturna nihanja znaša 56 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ (9~12) ∙ 10−6 ∙ 𝐾𝐾−1 in zato tudi predpis [3] navaja priporočeno vrednost 𝛼𝛼𝑐𝑐 = 10 ∙ 10−6 ∙ 𝐾𝐾−1. Temperaturni razteznostni koeficient je odvisen tudi od vrste agregata. Koeficient bo najmanjši pri betonu, za katerega smo uporabili apnenec, največji pa pri betonu, za katerega smo uporabili kremenčev agregat. Za jeklo, ki se najpogosteje uporablja kot ojačilo za beton, ima pri »normalnih« temperaturah koeficient 𝛼𝛼𝑐𝑐 = 12 ∙ 10−6 ∙ 𝐾𝐾−1, kar je za armiranobetonske konstrukcije zelo ugodno (kompabiliteta jekla in betona). Toplotna prevodnost betona 𝜆𝜆 (Thermal conductivity): je lastnost, odvisna od gostote vlažnosti in količine kremenčevega peska v betonu. Za normalne betone gostote 𝜌𝜌 = 2,2 − 2,4 𝑐𝑐 znaša toplotna prevodnost 𝜆𝜆 = 5,04 − 10,1 𝐽𝐽 . Ker pa ima 𝑚𝑚3 𝑚𝑚3∙𝐾𝐾∙ℎ jeklo precej višjo toplotno prevodnost: 𝜆𝜆 = 252 𝐽𝐽 , moramo to upoštevati, saj ta 𝑚𝑚3∙𝐾𝐾∙ℎ razlika privede do temperaturnih razlik med betonom in armaturo. 2.5.3 Časovno neodvisne plastične deformacije betona Če pri enkratni kratkotrajni obremenitvi betona presežemo 40 % njegove tlačne trdnosti (𝜎𝜎𝑐𝑐 > 0,4𝑓𝑓𝑐𝑐), postaja delovni diagram betona vse bolj ukrivljen (modul elastičnosti postaja vse manjši). Ko pri napetosti, višji od 0,4𝑓𝑓𝑐𝑐, vzorec razbremenimo, opazimo, da se deformacija več ne povrne v začetno izhodiščno stanje, temveč ostane vzorec oziroma konstrukcija deformirana. To pomeni, da so se na vzorcu pojavile plastične deformacije kot posledica nepovratne energije. Iz Slika 2.34 je razvidno, da v območju elastoplastičnega obnašanja betona (𝜎𝜎𝑐𝑐 > 0,4𝑓𝑓𝑐𝑐) ne moremo več računati s konstantnim modulom elastičnosti. Plastične deformacije betona zaradi ciklične obremenitve: na spodnji sliki je prikazano obnašanje betona pri ciklični obtežbi za različne napetosti v betonu. Za napetosti, ki so manjše ali enake polovici tlačne trdnosti betona: 𝜎𝜎𝑐𝑐 ≤ 0,5𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐, je obremenilna krivulja konveksna, razbremenilna pa konkavna. Z večjim številom ciklusov se krivulji uravnavata, trajne deformacije pa s časom izginejo − v tem primeru porušitve betona ne bo. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 57. Slika 2.34: Deformacije betonske prizme zaradi trenutne obremenitve in razbremenitve ter ponovne obremenitve Če napetosti presegajo polovico tlačne trdnosti betona: 𝜎𝜎𝑐𝑐 > 0,5𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐, sta v začetnih ciklih obremenilna in razbremenilna krivulja podobni kot pri nižjih obremenitvah, z večanjem števila ciklov pa se obremenilna krivulja izravna in celo usloči v konkavno obliko (kot razbremenilna krivulja). Takšna ukrivljenost obremenilne krivulje opozarja na utrujanje betona in nadaljnje ponavljanje obremenitev povzroča vse večje trajne deformacije, nižje nagibe delovnega diagrama in porušitev betona. Slika 2.35: Delovni diagram pri ponavljajoči se oziroma ciklični obremenitvi 58 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.6 Časovno odvisne deformacije 2.6.1 Reologija betona To so volumenske deformacije, ki nastanejo zaradi različnih vzrokov. K tem vzrokom prištevamo krčenje in lezenje betona, katerih vplive moramo upoštevati pri dimenzioniranju prednapetih konstrukcij, ter račun razpok in deformacij armiranobetonskih konstrukcij (SLS). 2.6.2 Krčenje in nabrekanje betona (shrinkage and sweling) Zaradi izparitve kemično nevezane vode se cementno testo ali gel v času sušenja in strjevanja (vezanja betona) krči in tako manjša svojo prostornino. Nasprotno pa beton zaradi vlaženja (visoka relativna vlažnost okolice: RH > 80 %) okolice svoj volumen povečuje. Ta pojav imenujemo krčenje in nabrekanje betona, ki sta v bistvu visokoplastični deformaciji, odvisni od časa. Krčenje in lezenje betona sta delno povratni (reverzibilni) deformaciji. Krčenje betona je odvisno od relativne vlažnosti okolice, časa negovanja betona (beton lahko vlažimo do začetka meritve), temperature okolice, količine cementa, faktorja w/c, žitkosti betona in tako imenovane srednje debeline ℎ0. Časovni potek krčenja in nabrekanja betona prikazuje spodnja slika. Slika 2.36: Krčenje (reverzibilno) in nabrekanje betona, grajenega s cementom 25 (350 kg/m3) pri RH 70 % in temperaturi okolice 18 0C [12] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 59. Čas negovanja betona do začetka meritev zelo vpliva na krčenje betona. Ta proces prikazuje Slika 2.37, kjer so enaki vzorci (preizkušanci) podvrženi negovanju v različno vlažnih prostorih. Slika 2.37: Časovni potek krčenja betonskih prizem (12 cm x 12 cm x 36 cm) pri različnih vlažnostih RH, temperaturi 18 0C in času negovanja betona [13] Beton v bolj suhem okolju (RH 35 %) doseže prej in višje končne vrednosti krčenja betona 𝜀𝜀𝑠𝑠∞ kot v vlažnem okolju. Z enoletnim vlaženjem betona lahko zmanjšamo krčenje za približno 40 %. Pri tankih elementih (plošče) se krčenje betona konča v dveh do štirih letih, pri debelih elementih (𝜎𝜎 > 1,0 𝑚𝑚) pa po približno enajstih letih. Velika količina cementa in visok faktor w/c povečujeta krčenje betona. Tudi višja temperatura in nižja vlaga (RH) povečujeta krčenje betona. Mejne vrednosti krčenja betona 𝜀𝜀𝑠𝑠∞ veljajo za temperature od +10 0C do +20 0C, vendar jih lahko upoštevamo tudi za temperature od –20 0C do +40 0C. Te vrednosti upoštevamo za RH od 20 % do 100 %. 60 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Krčenje betona je v armiranih konstrukcijah ovirano, ovirano je tudi na stikih med starim in novim betonom, v notranjosti telesa se krčenje betona odvija počasneje kot po obodu elementa, ki je v stiku z zrakom. Zaradi tega nastajajo v »zunanjem« delu betona, kjer armatura preprečuje oziroma ovira skrček betona, natezne napetosti, ki »hitro« dosežejo natezno trdnost betona – pojav razpoke. Slika 2.38: Razvoj nateznih trdnosti in nateznih napetosti v betonu Zgornja slika prikazuje, da se razpokam v armiranobetonski konstrukciji ne moremo izogniti, saj natezna napetost 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 že po 10 h doseže natezno trdnost betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. 2.6.3 Izračun vrednosti krčenja betona 𝛆𝛆𝐬𝐬 Na krčenje betona vplivata sušenje in strjevanje betona. Po SIST EN 1992 izračunamo celotno deformacijo krčenja betona po (2.53): 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒐𝒐 (2.53) 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑 … delež krčenja betona zaradi sušenja (drying) 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚 … delež krčenja betona zaradi strjevanja (autogenous) Končne vrednosti krčenja betona zaradi sušenja podaja (2.54): 2 Umetni kamen – beton (concrete) 61. 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,∞ = 𝑹𝑹𝒉𝒉 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,𝟎𝟎 (2.54) 𝑘𝑘ℎ … količnik, ki je odvisen od tako imenovane srednje ali »fiktivne« debeline h0, ki je podana v Preglednica 2.24. 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝒉𝒉 𝒄𝒄 𝟎𝟎 = 𝒄𝒄 (2.55) 𝐴𝐴𝑐𝑐 … površina prečnega prereza betona 𝑢𝑢 … obod betona, ki je v času sušenja izpostavljen zraku 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑,0 … nazivna vrednost neoviranega krčenja betona zaradi sušenja betona 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ �(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝜶𝜶𝒅𝒅𝒌𝒌𝟏𝟏) ∙ �𝒄𝒄−𝜶𝜶𝒅𝒅𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟏𝟏𝟎𝟎 �� (2.56) ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∙ 𝜷𝜷𝑹𝑹𝑹𝑹 Pri tem pomenijo: 3 CEM S 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑠𝑠1 = 4 CEM N 6 CEM R 3 CEM S 𝛼𝛼𝑑𝑑𝑠𝑠2 = 4 CEM N 6 CEM R 𝐀𝐀𝐜𝐜 = 𝐡𝐡 ∙ 𝐛𝐛 𝐀𝐀𝐜𝐜 = 𝐡𝐡 ∙ 𝐛𝐛; 𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉𝒑𝒑 ∙ 𝒃𝒃 ≅ 𝟐𝟐𝒉𝒉 𝒃𝒃 𝒑𝒑 𝐮𝐮 = 𝟐𝟐𝐡𝐡 + 𝐛𝐛 𝐮𝐮 = 𝐛𝐛 62 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝒃𝒃 𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝒃𝒃 𝐀𝐀𝐜𝐜 = 𝐡𝐡 ∙ 𝐛𝐛; 𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝒉𝒉 + 𝒃𝒃 𝐀𝐀𝐜𝐜 = 𝐡𝐡 ∙ 𝐛𝐛; 𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝒉𝒉𝒏𝒏 𝐮𝐮 = 𝟐𝟐𝐡𝐡 + 𝐛𝐛 𝐮𝐮 = 𝐛𝐛 Slika 2.39: Primeri določitve debeline h0 𝑹𝑹𝑹𝑹 𝟑𝟑 𝜷𝜷𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏 − �𝑹𝑹𝑹𝑹 � � (2.57) 𝟎𝟎 𝑇𝑇𝐻𝐻0 … 100-odstotna vlažnost 𝑇𝑇𝐻𝐻 … 100-odstotna relativna vlažnost okolice v času sušenja betona Preglednica 2.23: Nazivne vrednosti neoviranega krčenja betona iz cementa CEM razreda N zaradi sušenja 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,𝟎𝟎 (v ‰) [8] Časovni razvoj deformacij krčenja betona zaradi sušenja podajajo (2.58) in (2.59) ter Slika 2.53. 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝜷𝜷𝒅𝒅𝒌𝒌(𝒌𝒌,𝒌𝒌𝒌𝒌) ∙ 𝒄𝒄𝒉𝒉 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅,𝟎𝟎 (2.58) 2 Umetni kamen – beton (concrete) 63. 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌 𝜷𝜷 𝒌𝒌 𝒅𝒅𝒌𝒌(𝒌𝒌,𝒌𝒌 𝒌𝒌) = (2.59) (𝒌𝒌 − 𝒌𝒌 𝟑𝟑 𝒌𝒌) + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ �𝒉𝒉𝟎𝟎 𝛼𝛼 … starost betona v obravnavanem času t 𝛼𝛼𝑠𝑠 … starost betona ob začetku krčenja zaradi sušenja (ali nabrekanja) betona – običajno je to tisti dan (čas), ko smo prenehali negovati beton Preglednica 2.24: Vrednosti koeficienta 𝒄𝒄𝒉𝒉 [8] ℎ0 [𝑚𝑚𝑚𝑚] 𝑘𝑘ℎ 100 1,0 200 0,85 300 0,75 ≥ 500 0,70 Diagram časovnega razvoja deformacij krčenja betona 𝛽𝛽𝑑𝑑𝑠𝑠(𝑐𝑐,) zaradi sušenja prikazuje Slika 2.40. Slika 2.40: Časovni razvoj deformacije krčenja betona zaradi sušenja Časovni razvoj krčenja betona zaradi strjevanja betona je precej manjši od časovnega razvoja krčenja betona zaradi sušenja ter ga podajajo (2.60), (2.61) in (2.62) in Slika 2.41. 64 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒐𝒐,𝒌𝒌 = 𝜷𝜷𝒐𝒐𝒌𝒌,𝒌𝒌 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒐𝒐,∞ (2.60) 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒐𝒐,∞ = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ (𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝟏𝟏𝟎𝟎) ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 (2.61) 𝟏𝟏 𝜷𝜷𝒐𝒐𝒌𝒌,𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄−𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∙ √𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 − (2.62) 𝒄𝒄𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∙ √𝒌𝒌 Slika 2.41: Časovni razvoj deformacije krčenja betona zaradi strjevanja betona Slika 2.42: Mejne vrednosti krčenja betona zaradi strjevanja betona [14] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 65. Nemške norme podajajo grafikone, s pomočjo katerih lahko »dovolj« natančno izračunamo 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑,𝑠𝑠 in 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑠𝑠, v funkcijski odvisnosti od karakteristične tlačne trdnosti v obliki Slika 2.42 [14]. Krčenje zaradi strjevanja betona – 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑠𝑠: 1 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 N (MPa); S – počasi se vezoč 2 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 R; 42,5 N (MPa); N, R – počasi ali hitro se vezoč 3 – trdnostni razred cementa CEM 42,5 R; 52,5 N (MPa); R – hitro se vezoč Krčenje zaradi sušenja betona – 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑,𝑠𝑠: Slika 2.43: Mejne vrednosti krčenja betona zaradi sušenja betona [14] 1 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 N (MPa); S – počasi se vezoč 2 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 R; 42,5 N (MPa); N, R – počasi ali hitro se vezoč 3 – trdnostni razred cementa CEM 42,5 R; 52,5 N (MPa); R – hitro se vezoč V »obeh« primerih niso enako kot v EC2 definirani cementi S, N, R. 66 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.6.4 Lezenje betona Lezenje betona nastane zaradi trajne obremenitve armiranobetonskega elementa, ko kemično nevezana voda iz mikropor cementnega testa (gela) vtisnemo v kapilare, kjer izpari, zaradi česar se volumen betona zmanjša. Tako kot krčenje betona je tudi lezenje odvisno od temperature in vlažnosti RH okolice, srednje debeline h0, količine in vrste cementa, faktorja w/c, žitkosti konsistence betona in starosti betona v trenutku obremenitve (glej Slika 2.44 in Slika 2.45). Lezenje s časom trajanja upada in se lahko ustavi po približno enem letu stalne obremenitve. Po velikosti so lahko deformacije zaradi lezenja betona večkrat večje od trenutnih elastičnih deformacij. Kot krčenje je tudi lezenje betona pri razbremenitvi reverzibilno. Na pojav lezenja betona sta že leta 1905 opozorila Considere in Woolson. Prof. Ros (1938) je ugotovil, da je lezenje betona odvisno tudi od vrste cementa, še prej pa je Davis ugotovil odvisnost lezenja betona od faktorja w/c. Lezenje betona pri natezni obremenitvi je celo 1,5-krat večje kot pri tlačni obremenitvi. Slika 2.44: Odvisnost količnika lezenja betona (𝝋𝝋∞ / 𝝋𝝋∞,𝟕𝟕𝟎𝟎 %) od RH okolja in vrste cementa [15] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 67. Slika 2.45: Količnik lezenja betona 𝝋𝝋𝒌𝒌 v odvisnosti od starosti betona v trenutku obremenitve in RH okolja – vzorci: prizme 12 cm x 12 cm x 36 cm; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 in 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟎𝟎𝑪𝑪 [13] Količnik lezenja betona v času t predstavlja razmerje deformacije v času trajanja obtežbe v času t in trenutne elastične deformacije betona pri napetosti betona 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0,4 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐 ≅ 0,45 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝜺𝜺 𝝋𝝋 𝒌𝒌 𝒌𝒌 = (2.63) 𝜺𝜺𝟎𝟎𝒄𝒄 Slika 2.46: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 betona zaradi obremenitve, ki je trajala t dni, in hipne razbremenitve 68 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝜀𝜀0𝑐𝑐 … trenutna elastična deformacija pri obremenitvi σc ≅ 0,45 ∙ fck 𝜀𝜀𝑐𝑐… časovna deformacija pri napetosti σc 𝜀𝜀1 0 𝑐𝑐 ≅ 𝜀𝜀𝑐𝑐 … trenutna elastična deformacija pri popolni razbremenitvi 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 ≅ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑒𝑒 … časovna elastična deformacija po razbremenitvi 𝜀𝜀𝑝𝑝 … trajna (plastična) deformacija po razbremenitvi Slika 2.46 prikazuje delovni diagram σ−ε za vzorec, ko smo ga »hitro« obremenili do 0,45 ∙ f 0 ck in opazili trenutno elastično deformiranje 𝜀𝜀𝑐𝑐 . Če bi v tem trenutku vzorce razbremenili, bi bili povratna deformacija 𝜀𝜀0𝑐𝑐 in končna deformacija nič. Torej se je do napetosti 0,45 ∙ fck vzorec obnašal elastično. Pri nižji napetosti σc < 0,45 ∙ fck bi bila elastična deformacija manjša. Pri deformaciji 𝜀𝜀0𝑐𝑐 bo vzorec še napet z napetostjo σc in po določenem času bo deformacija 𝜀𝜀 0 𝑐𝑐 večja od deformacije 𝜀𝜀𝑐𝑐 , čeprav se napetost σc ni spremenila. Deformacijo 𝜀𝜀𝑐𝑐 imenujemo časovna deformacija, ki je deloma elastična in plastična ter bo lahko večja čim dalj bo vzorec obremenjen. Razmerje med časovno deformacijo 𝜀𝜀 0 𝑐𝑐 in trenutno elastično deformacijo 𝜀𝜀𝑐𝑐 pa imenujemo količnik lezenja betona 𝜑𝜑𝑐𝑐0,𝑐𝑐 in je podan v (2.66). Po daljšem času obremenitve, ko deformacija v času ti ni bila večja od deformacije v času ti-1, lahko trdimo, da se je lezenje betona izvršilo, in določimo »končni« količnik lezenja betona 𝜑𝜑𝑐𝑐0,∞ po (2.64). 𝜺𝜺 𝝋𝝋 𝒌𝒌𝟎𝟎,∞ 𝒌𝒌 = (2.64) 𝟎𝟎,∞ 𝜺𝜺𝟎𝟎𝒄𝒄 Opazujemo vzorec, ki se je »stisnil« za 𝜀𝜀𝑐𝑐 pri hipni popolni razbremenitvi. Vzorec se bo trenutno »raztegnil« za delež 𝜀𝜀1 0 1 𝑐𝑐 ≅ 𝜀𝜀𝑐𝑐 , s časom t pa že za 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑒𝑒, kjer je 𝜀𝜀𝑐𝑐 trenutna elastična deformacija po razbremenitvi (relaksaciji) in 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑒𝑒 časovna elastična deformacija po razbremenitvi, katere vrednost znaša 𝜀𝜀 0 𝑐𝑐𝑒𝑒 = (0,24 − 0,44) ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐 . Oblika vzorca po popolni razbremenitvi pa ni več enaka obliki pred obremenitvijo, temveč je vzorec ostal »krajši« za 𝜀𝜀𝑝𝑝 ∙ 𝑚𝑚, kjer je 𝜀𝜀𝑝𝑝 trajna plastična deformacija, a pa višina vzorca. Seveda se moramo zavedati, da je »v praksi« vzorec trajno obremenjen zaradi lastne in stalne obtežbe, relaksacija pa se zgodi zaradi zmanjšanja spremenljive obtežbe. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 69. Časovni potek deformacij zaradi obremenitve in razbremenitve prikazuje Slika 2.47 in jo moramo primerjati s Slika 2.46. Slika 2.47: Delovni diagram 𝜺𝜺 − 𝒌𝒌 za časovni potek deformacij pri obremenitvi in razbremenitvi 𝜀𝜀0𝑐𝑐 = σc0 Ecm 𝜀𝜀 0 𝑐𝑐 = 𝜑𝜑𝑐𝑐 0,𝑐𝑐 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐 𝜀𝜀0𝑐𝑐,∞ – »časovna« deformacija betona v času 𝛼𝛼 = ∞, ko se je lezenje izvršilo 𝜀𝜀1𝑐𝑐 = σc0 = σc0 Ec 1,05 ∙ Ecm 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑒𝑒 𝜀𝜀𝑝𝑝 = 𝜀𝜀𝑓𝑓 – trajna nepovratna deformacija betona po razbremenitvi (lezenje betona) Razmere zaradi lezenja betona pri obremenitvi, razbremenitvi in relaksaciji (𝜀𝜀𝑒𝑒) ter ponovni obremenitvi in zaradi krčenja betona 𝜀𝜀 0 𝑠𝑠 (𝜀𝜀𝑐𝑐,∞) prikazuje spodnja slika. 70 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.48: Delovni diagram 𝜺𝜺 − 𝒌𝒌 zaradi lezenja (obremenitev – razbremenitev – obremenitev) in krčenja betona Črtkana črta na Slika 2.48 prikazuje deformacije betona brez razbremenitve. Končna deformacija betona zaradi lezenja (brez razbremenitve) in krčenja betona znaša: 𝜺𝜺 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑲𝑲 = 𝜺𝜺𝒇𝒇𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝜺𝜺𝒄𝒄 + 𝜺𝜺∞ + 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ (2.65) Če pa vzorec v času t2 razbremenimo, znaša končna deformacija: 𝜺𝜺 𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝑲𝑲 = 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ + 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ = 𝜺𝜺𝒄𝒄 + 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝜺𝜺𝒄𝒄 − 𝜺𝜺𝝂𝝂 + 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ = 𝜺𝜺𝒇𝒇 + 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ (2.66) »Končna« dilatacija v času t znaša: 𝛔𝛔 𝛔𝛔 𝛔𝛔 𝐍𝐍 𝜺𝜺 𝒌𝒌 𝐜𝐜 𝐜𝐜 𝐜𝐜 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒄𝒄 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 ≅ 𝐄𝐄 + 𝝋𝝋𝒌𝒌 ≅ �𝟏𝟏 + 𝝋𝝋𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 + 𝝋𝝋𝒌𝒌 𝐜𝐜 𝟎𝟎,𝒌𝒌 ∙ 𝐄𝐄𝐜𝐜 𝐄𝐄𝐜𝐜 𝟎𝟎,𝒌𝒌� ≅ 𝐀𝐀𝐜𝐜 ∙ 𝐄𝐄𝐜𝐜 𝟎𝟎,𝒌𝒌� (2.67) 2 Umetni kamen – beton (concrete) 71. Efektivni modul elastičnosti: 𝐄𝐄𝐜𝐜 𝐭𝐭 (2.68) 𝟏𝟏 + 𝝋𝝋 = 𝐄𝐄𝐜𝐜,𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒌𝒌𝟎𝟎,𝒌𝒌 Dilatacija v času t = ∞: 𝐍𝐍 𝜺𝜺∞𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝐀𝐀 ∙ �𝟏𝟏 + 𝝋𝝋𝒌𝒌 𝐜𝐜 ∙ 𝐄𝐄𝐜𝐜 𝟎𝟎,∞� (2.69) 𝐄𝐄𝐜𝐜,(𝟐𝟐𝟎𝟎 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝) = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝐄𝐄𝐜𝐜𝐦𝐦 (2.70) 𝐀𝐀𝐜𝐜 ≅ 𝐀𝐀𝐜𝐜,𝐝𝐝𝐝𝐝 Časovni potek lezenja betona 14 dni starega vzorca (brez obremenitve) ponazarja »srednja krivulja« na Slika 2.49. Slika 2.49: Časovni potek lezenja betona pri konstantni temperaturi 18 0C in RH 70 % [13] Po enem letu je znašal 𝜑𝜑𝑡𝑡 = 80 %. 𝜑𝜑∞ Evropske norme EC2 oziroma SIST EN 1992 podajajo končne vrednosti količnika lezenja betona 𝜑𝜑𝑐𝑐0,∞ v odvisnosti od relativne vlažnosti okolice RH, starosti betona v trenutku obremenitve 𝛼𝛼0, srednje debeline ℎ0, uporabljenega cementa CEM in trajanj obremenitve. 72 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Srednja vrednost ℎ0 pri lezenju betona (predpostavlja se, da je bil beton ob obremenitvi že razopažen) se upošteva s celotnim obodom betonskega elementa: 𝐮𝐮𝐩𝐩𝐩𝐩 = 𝟐𝟐(𝐡𝐡 + 𝐛𝐛) 𝐮𝐮𝐩𝐩𝐩𝐩 = 𝟐𝟐𝐛𝐛 + 𝟐𝟐𝒉𝒉𝒑𝒑𝒄𝒄~𝟐𝟐𝒃𝒃 (𝟐𝟐𝐡𝐡 + 𝐛𝐛) �𝐛𝐛 + 𝟐𝟐𝒉𝒉𝒑𝒑𝒄𝒄~𝒃𝒃� Ko ni zahtevana prevelika natančnost armiranobetonskih konstrukcij, lahko določimo količnik končne vrednosti lezenja betona 𝜑𝜑𝑐𝑐0,∞, ko napetost ne preseže vrednosti 0,45 ∙ fck(t0), s pomočjo Slika 2.48a, b za suhe in vlažne pogoje ozračja. Vrednost za Ecm je privzeta iz Preglednica 2.15. Če obremenimo starejši beton od 30 dni, krivulje S, N in R sovpadajo. Slika 2.50: Določitev količnika lezenja betona 𝝋𝝋𝒌𝒌𝟎𝟎,∞ za betone v »normalnih pogojih« vlažnosti okolice [8] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 73. Vrednosti 𝜑𝜑𝑐𝑐0,∞, podane na Slika 2.50, veljajo za temperature okolice med –40 0C in +40 0C in relativno vlažnost okolice od 40 % do 100 %. 𝑆𝑆 … beton iz počasi strjajočega se cementa 𝑁𝑁 … beton iz normalno strjajočega se cementa 𝑇𝑇 … beton iz hitro strjajočega se cementa 𝛼𝛼0 … starost betona v dnevih v trenutku prve obremenitve Če tlačna napetost σc v trenutku nanosa napetosti preseže 0,45∙fck(t0), moramo upoštevati nelinearno obnašanje betona (glej delovni diagram betona) in količnik končne vrednosti lezenja betona znaša: 𝝋𝝋𝑲𝑲(𝒌𝒌 = 𝝋𝝋 (2.71) 𝟎𝟎,∞) (𝒌𝒌𝟎𝟎,∞) ∙ 𝒄𝒄𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∙ (𝒄𝒄𝝈𝝈− 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟓𝟓) 𝛔𝛔 𝒄𝒄 𝐜𝐜(𝐭𝐭𝟎𝟎) 𝝈𝝈 = 𝐞𝐞 (2.72) 𝐜𝐜𝐦𝐦(𝐭𝐭𝟎𝟎) Natančen informativni izračun količnika lezenja betona podaja SIST 1992 v dodatku B: 𝝋𝝋(𝒌𝒌,𝒌𝒌 = 𝝋𝝋 𝟎𝟎) (2.73) 𝟎𝟎 ∙ 𝜷𝜷(𝒌𝒌,𝒌𝒌𝟎𝟎) 𝜑𝜑0 … nazivni količnik lezenja betona 𝝋𝝋(𝟎𝟎) = 𝝋𝝋 ∙ 𝜷𝜷 𝑹𝑹𝑹𝑹 ∙ 𝜷𝜷(𝒌𝒌𝟎𝟎) (2.74) (𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎) 𝜑𝜑𝑅𝑅𝑅𝑅 … faktor učinka RH zraka (Slika 2.52) 𝟏𝟏 − 𝐑𝐑𝐑𝐑 𝝋𝝋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟏𝟏 + … 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝐞𝐞 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ � 𝟑𝟑 𝐡𝐡 𝐜𝐜𝐦𝐦 ≤ 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 (2.75) 𝟎𝟎 𝟏𝟏 − 𝐑𝐑𝐑𝐑 𝝋𝝋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑹𝑹 = �𝟏𝟏 + ∙ 𝜶𝜶 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ � 𝟑𝟑 𝐡𝐡 𝟏𝟏� ∙ 𝜶𝜶𝟐𝟐 … 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 > 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 (2.76) 𝟎𝟎 74 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝜶𝜶𝟏𝟏 (2.77) = �𝐞𝐞 � ; 𝜶𝜶𝟐𝟐 = � � 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝒉𝒉 𝒄𝒄 𝟎𝟎 = 𝒄𝒄 (2.78) 𝐴𝐴𝑐𝑐 … površina prečnega prereza betona 𝑢𝑢 … obod betona, ki je v času sušenja izpostavljen zraku 𝛽𝛽(𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚)… faktor učinka trdnosti betona za nazivni količnik lezenja betona 𝜑𝜑0 𝟏𝟏𝟔𝟔, 𝟎𝟎 𝜷𝜷(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎) = (2.79) �𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚 … srednja tlačna trdnost 28 dni starega betona 𝛽𝛽(𝑐𝑐0)… faktor učinka starosti betona ob obremenitvi za izračun 𝜑𝜑0 𝟏𝟏 𝜷𝜷(𝒌𝒌 = (2.80) 𝟎𝟎) �𝟎𝟎, 𝟏𝟏 + 𝐭𝐭𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝟎𝟎 � 𝛽𝛽𝑐𝑐(𝑐𝑐0,𝑐𝑐) … količnik časovnega razvoja lezenja po nanosu obtežbe se oceni po (2.81), (2.82) in (2.83) (Slika 2.51) 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝜷𝜷 𝟎𝟎 𝒄𝒄(𝒌𝒌 = � � (2.81) 𝟎𝟎,𝒌𝒌) 𝜷𝜷𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌𝟎𝟎 𝛽𝛽𝑅𝑅 … količnik, ki je odvisen od RH okolja in srednjega polmera ali nazivne vrednosti ℎ0 = [𝑚𝑚𝑚𝑚] (Slika 2.52) Ocena: 𝜷𝜷𝑹𝑹 = {𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ [𝟏𝟏 + (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝐑𝐑𝐑𝐑)𝟏𝟏𝟎𝟎] ∙ 𝐡𝐡 𝟎𝟎} + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 < 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 … 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 ≤ 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 (2.82) 2 Umetni kamen – beton (concrete) 75. 𝜷𝜷𝑹𝑹 = {𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ [𝟏𝟏 + (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝐑𝐑𝐑𝐑)𝟏𝟏𝟎𝟎] ∙ 𝐡𝐡 𝟎𝟎} + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 … 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 > 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 (2.83) Učinek vrste cementa (S, N, R) na količnik lezenja betona se lahko upošteva s korigirano starostjo betona v času ob obremenitvi 𝒌𝒌𝟎𝟎 v spodnji enačbi. 𝟗𝟗 𝛂𝛂 𝒌𝒌𝟎𝟎 = 𝒌𝒌𝟎𝟎𝑻𝑻 ∙ � ≥ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 (2.84) 𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌𝟏𝟏,𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� 𝟎𝟎 𝑻𝑻 𝛼𝛼0𝑇𝑇 … glede na temperaturo T spremenjena starost betona ob obremenitvi v dnevih skladno z (2.85) (»zajamemo« vpliv nihanja temperature 0–80 0C) –1 CEM S 𝛼𝛼 = 0 CEM N +1 CEM R 𝛼𝛼𝑇𝑇 … učinek povišanih ali znižanih temperatur (0–80 0C) na zrelost betona se upošteva s prilagoditvijo betona po (2.85) 𝒏𝒏 𝒌𝒌𝟎𝟎𝑻𝑻 = � 𝐞𝐞− � 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 + 𝑻𝑻(∆𝒌𝒌𝒊𝒊)] − 𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟓𝟓� ∙ ∆𝒌𝒌𝒊𝒊 (2.85) 𝒊𝒊 = 𝟏𝟏 𝐹𝐹(∆𝛼𝛼𝑖𝑖) … temperatura v 0C »znotraj« časovnega intervala (∆𝛼𝛼𝑖𝑖) (∆𝛼𝛼𝑖𝑖) … število dni, v katerih prevladuje temperatura T Diagrami, ki prikazujejo predhodne enačbe: Slika 2.51: Časovni razvoj lezenja betona po nanosu obtežbe 𝒌𝒌𝟎𝟎 = 15 dni 76 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.52: Potek količnika 𝝋𝝋𝑹𝑹𝑹𝑹 za RH = 80 %, 𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎, 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 in 𝝋𝝋𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒 Slika 2.53: Variabilnost – faktor učinka trdnosti betona za 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 in 𝜷𝜷(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎) = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟔𝟔 2 Umetni kamen – beton (concrete) 77. Slika 2.54: Faktor učinka starosti betona v trenutku obremenitve 𝜷𝜷(𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒊𝒊) = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝜷𝜷(𝟗𝟗𝟎𝟎 𝒅𝒅𝒏𝒏𝒊𝒊) = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 Slika 2.55: Variabilnost – količnik 𝜷𝜷𝑹𝑹 za RH = 80 %, 𝒉𝒉𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎 in 𝜷𝜷𝑹𝑹 = 𝟔𝟔𝟗𝟗𝟒𝟒 78 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.56: Razmerje spremenjene starosti betona glede na število dni (∆𝒌𝒌𝒊𝒊), ko prevladuje temperatura T PRIMER RH = 80 % 𝛼𝛼0 = 15 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚 σc ≤ 0,45 ∙ fck C 35/45; fcm = 43 MPa − [fck + 8] MPa CEM N; CEM 42,5 MPa T = 20 OC (povprečna temperatura) t = 10 let ts = 1 leto kh = 0,81 t∞ = t = 70 let Krčenje betona: 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒌𝒌) = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒌𝒌) + 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒐𝒐(𝒌𝒌) 2 Umetni kamen – beton (concrete) 79. 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝(𝐭𝐭) = 𝛃𝛃𝐝𝐝,𝐬𝐬(𝐭𝐭) ∙ 𝐤𝐤𝐡𝐡 ∙ 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟔𝟏𝟏(𝟏𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟑𝟑 = −𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟕𝟕 ‰(𝟏𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟔𝟔(𝟕𝟕𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) = −𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒 ‰(𝟕𝟕𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) 𝛃𝛃𝐝𝐝,𝐬𝐬(𝐭𝐭) = 𝐭𝐭−𝐭𝐭𝐬𝐬 = 𝟑𝟑; 𝐭𝐭 − 𝐭𝐭𝐬𝐬 = 𝟗𝟗 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭______𝟔𝟔𝟗𝟗 let (𝐭𝐭−𝐭𝐭 𝟑𝟑 𝐬𝐬) + 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ �𝐡𝐡𝟎𝟎 𝜶𝜶𝒅𝒅𝒌𝒌,𝟏𝟏 = 𝟒𝟒; 𝜶𝜶 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒌𝒌,𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∙ 𝐀𝐀 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐡𝐡 𝐜𝐜 𝟎𝟎 = 𝐮𝐮 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎 𝐦𝐦𝐦𝐦 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 𝛃𝛃𝐝𝐝,𝐬𝐬(𝟏𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) = = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟔𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ √𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎 𝛃𝛃𝐝𝐝,𝐬𝐬(𝟕𝟕𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭) = = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟔𝟔 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟎𝟎 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ √𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟑 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ �(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝛂𝛂𝐝𝐝𝐬𝐬𝟏𝟏) ∙ �𝐞𝐞−𝛂𝛂𝐝𝐝𝐬𝐬𝟐𝟐 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟏𝟏𝟎𝟎 �� ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∙ 𝛃𝛃𝐑𝐑𝐑𝐑 𝐑𝐑𝐑𝐑 𝟑𝟑 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝛃𝛃𝐑𝐑𝐑𝐑 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏 − �𝐑𝐑𝐑𝐑 � � = 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏 − � � = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟔𝟔 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎� 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ �(𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟒) ∙ �𝐞𝐞−𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟎𝟎�� ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∙ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟔𝟔 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝,𝟎𝟎 = −𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 = −𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟑𝟑 ‰ 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝,∞ = 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐝𝐝,𝟎𝟎 ∙ 𝐤𝐤𝐡𝐡 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟑𝟑 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏 = −𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 ‰ 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐜𝐜,𝐭𝐭 = 𝛃𝛃𝐜𝐜𝐬𝐬,𝐭𝐭 ∙ 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐜𝐜,∞ 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐜𝐜,∞ = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ (𝐞𝐞𝐜𝐜𝐤𝐤 − 𝟏𝟏𝟎𝟎) ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 = 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 ‰ 80 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟏𝟏 𝛃𝛃𝐜𝐜𝐬𝐬,𝐭𝐭 = 𝟏𝟏 − 𝐞𝐞−𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∙ √𝐭𝐭 = 𝟏𝟏 − = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 𝐞𝐞𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∙ √𝐭𝐭 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐬𝐬,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟕𝟕 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 = −𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗 ‰ Za enostavno določitev εcs,∞ lahko uporabimo krivuljo »2« iz spodaj prikazanih diagramov. Krčenje zaradi strjevanja betona – 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚,𝑠𝑠[14]: 1 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 N (MPa); S – počasi se vezoč 2 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 R; 42,5 N (MPa); N, R – počasi ali hitro se vezoč 3 – trdnostni razred cementa CEM 42,5 R; 52,5 N (MPa); R – hitro se vezoč 2 Umetni kamen – beton (concrete) 81. Krčenje zaradi sušenja betona – 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑,𝑠𝑠 [14]: 1 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 N (MPa); S – počasi se vezoč 2 – trdnostni razred cementa CEM 32,5 R; 42,5 N (MPa); N, R – počasi ali hitro se vezoč 3 – trdnostni razred cementa CEM 42,5 R; 52,5 N (MPa); R – hitro se vezoč 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐬𝐬,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟕𝟓𝟓 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 = −𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟓𝟓 ‰ +𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟓𝟓 ‰ > 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗 ‰ Lezenje betona 𝐭𝐭 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭 (𝐳𝐳𝐜𝐜 𝐭𝐭 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐭𝐭 →> 𝟏𝟏, 𝟓𝟓) 82 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑬𝑬 𝝋𝝋 𝒄𝒄 (𝒌𝒌,𝒌𝒌 = 𝝋𝝋 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 ∙ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟒𝟒𝟓𝟓 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝟎𝟎) 𝟎𝟎 ∙ 𝜷𝜷(𝒌𝒌,𝒌𝒌𝟎𝟎) 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟓𝟓 𝝋𝝋(𝟎𝟎) = 𝝋𝝋 ∙ 𝜷𝜷 𝑹𝑹𝑹𝑹 ∙ 𝜷𝜷(𝒌𝒌𝟎𝟎) (𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎) = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟔𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟒𝟗𝟗𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟗𝟗 𝟏𝟏 − 𝐑𝐑𝐑𝐑 𝝋𝝋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑹𝑹 = �𝟏𝟏 + ∙ 𝜶𝜶 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ � 𝟑𝟑 𝐡𝐡 𝟏𝟏� ∙ 𝜶𝜶𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝟕𝟕 𝜶𝜶𝟏𝟏 = �𝐞𝐞 � = � = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟔; 𝜶𝜶𝟐𝟐 = � � = � = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟒𝟒𝟓𝟓� 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟒𝟒𝟓𝟓� 𝟏𝟏 − 𝐑𝐑𝐑𝐑 𝟏𝟏 − 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑹𝑹𝑹𝑹 = �𝟏𝟏 + ∙ 𝜶𝜶 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟔𝟔� ∙ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟔𝟔 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ � 𝟑𝟑 𝐡𝐡 𝟏𝟏� ∙ 𝜶𝜶𝟐𝟐 = �𝟏𝟏 + 𝟑𝟑 𝟎𝟎 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ √𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 ≅ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔, 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟔𝟔, 𝟎𝟎 𝜷𝜷(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒎𝒎) = = = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓𝟔𝟔𝟐𝟐 �𝐞𝐞𝐜𝐜𝐦𝐦 √𝟒𝟒𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝜷𝜷(𝒌𝒌 = = 𝟎𝟎) �𝟎𝟎, 𝟏𝟏 + 𝐭𝐭𝟎𝟎,𝟐𝟐 (𝟎𝟎, 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎,𝟐𝟐) = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟒𝟗𝟗𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝟎𝟎 � 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 (𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌) − 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕 𝟎𝟎,𝟑𝟑 𝜷𝜷 𝟎𝟎 𝒄𝒄(𝒌𝒌 = � � = � = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟒𝟒𝟓𝟓 𝟎𝟎,𝒌𝒌) 𝜷𝜷𝑹𝑹 + 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌𝟎𝟎 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕� 𝜷𝜷𝑹𝑹 = �𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏 + (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝐑𝐑𝐑𝐑)𝟏𝟏𝟎𝟎� ∙ 𝐡𝐡𝟎𝟎� + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝟏𝟏𝟔𝟔, 𝟎𝟎 𝜶𝜶𝟑𝟑 = �𝐞𝐞 � = = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐦𝐦 √𝟒𝟒𝟑𝟑 𝜷𝜷𝑹𝑹 = �𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ �𝟏𝟏 + (𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟏𝟏𝟎𝟎� ∙ 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎� + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 2 Umetni kamen – beton (concrete) 83. 𝜷𝜷𝑹𝑹 = 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟏𝟏 ≤ 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟓𝟓𝟑𝟑, 𝟑𝟑 𝟗𝟗 𝛂𝛂 𝟗𝟗 𝛂𝛂 𝒌𝒌𝟎𝟎 = 𝒌𝒌𝟎𝟎𝑻𝑻 ∙ � ≥ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕 ∙ � ≥ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝒌𝒌𝟏𝟏,𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕𝟏𝟏,𝟐𝟐 + 𝟏𝟏� 𝟎𝟎𝑻𝑻 –1 CEM S 𝛼𝛼 = 0 CEM N +1 CEM R 𝐝𝐝 𝟏𝟏 𝐭𝐭𝟎𝟎𝟎𝟎 = � 𝐞𝐞 − � 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 + 𝟎𝟎(∆𝐭𝐭𝐝𝐝)] − 𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟓𝟓� ∙ ∆𝐭𝐭𝐝𝐝 = � 𝐞𝐞 − � 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 [𝟐𝟐𝟕𝟕𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝟎𝟎] − 𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟓𝟓� ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝐝𝐝 = 𝟏𝟏 𝐝𝐝=𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐭𝐭𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟗𝟗𝟕𝟕 ≥ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 (𝐝𝐝𝐝𝐝 𝐩𝐩𝐜𝐜𝐳𝐳𝐩𝐩𝐝𝐝𝐤𝐤𝐞𝐞,𝐳𝐳𝐜𝐜𝐭𝐭𝐳𝐳 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝𝐝) T(△t) = 20 OC … temperatura v intervalu ∆𝛼𝛼𝑖𝑖 Lezenje po »enostavni« metodi RH = 80 % 𝛼𝛼0 = 15 dni t0T = 14,97 dni = 15 dni h0 = 240 mm 84 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝝋𝝋(∞,𝒌𝒌) = 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟓𝟓 ‰ 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟓𝟓 ‰ > 𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟐𝟐 ‰ Načini zmanjšanja vpliva krčenja in lezenja betona v armiranobetonskih konstrukcijah Slika 2.57: Potek upogibnih momentov 2 Umetni kamen – beton (concrete) 85. Preglednica 2.25: Trdnostne in deformacijske lastnosti betona – Preglednica 3.1 [2] 86 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.58: Delovni diagrami 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 2 Umetni kamen – beton (concrete) 87. 2.7 Kemični učinki na beton Doseči dobre trajne tlačne trdnosti in ostale mehanske lastnosti betona v življenjski dobi konstrukcije je bila in bo želja vseh konstrukterjev armiranobetonskih in prednapetih betonskih konstrukcij. Kljub vsej pazljivosti in skrbnemu vlaženju se v armiranobetonskih elementih lahko pojavijo poškodbe, ki pa jih je treba minimizirati in ustrezno sanirati. Vzroki za poškodbe betona so: − konstrukcijske pomanjkljivosti, kot so premajhen zaščitni sloj betona, preveliki razmiki armature (stremen), priključki tankostenskih armiranobetonskih elementov na debele oziroma masivne armiranobetonske elemente, slaba izdelava dilatacij (presledkov – prekinitev), pomanjkljiva izdelava toplotne zaščite in hidroizolacije ter ločilnih in drsnih slojev; − tehnološke pomanjkljivosti, kot je napačna izbira cementa, agregata in aditivov; − pomanjkljivosti negovanja in vzdrževanja, kot so prehitra ohladitev ali osušitev, betoniranje pri nizkih temperaturah, škodljivi vplivi onesnaženega okolja ( SO2, CO2, H2SO3, H2CO3) ali agresivnih vod, karbonatizacija betona, vnosa snovi, ki povzročajo korozijo betona – kloridov ( NaCl, MgCl2, KCl2), mehanski učinki zaradi ekstremnih temperaturnih sprememb (posledična razpokanost in korozija armature). 2.7.1 Korozija betona Korozija betona nastane zaradi izluženja gašenega apna Ca(OH)2, ki se nahaja v cementnem kamnu in daje trdnost betonu. Korozija betona je torej posledica kemijskih reakcij, ki jih povzročajo kisli dež in soli: 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝟐𝟐𝑪𝑪 → 𝑹𝑹𝟐𝟐𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑; 𝟐𝟐𝑹𝑹𝟐𝟐𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 + 𝑪𝑪𝒐𝒐(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 → 𝑹𝑹𝟐𝟐𝑪𝑪 + 𝑪𝑪𝒐𝒐(𝑹𝑹𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑)𝟐𝟐 (2.86) 88 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Kalcijev bikarbonat preide zopet v apnenec, ki tvori na površini betona bele lise. Tudi soli in sulfati povzročajo korozijo betona: 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑪𝑪𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝒐𝒐(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 → 𝑪𝑪𝒐𝒐𝑪𝑪𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝑴𝑴𝑴𝑴(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 (2.87) Kalcijev klorid bo izpran, saj je topen v vodi: 𝑵𝑵𝒐𝒐𝑵𝑵𝑪𝑪𝟒𝟒 + 𝑪𝑪𝒐𝒐(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 → 𝑪𝑪𝒐𝒐𝑵𝑵𝑪𝑪𝟒𝟒 + 𝑵𝑵𝒐𝒐(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 (2.88) V vseh primerih kristalizirana voda povečuje volumen betona, ki poškoduje beton. Z uporabo »mehke« vode preprečimo izluženje gašenega apna. Korozija armature v betonu je možna le, če je beton karbonatiziral pod prisotnostjo vlage in kisline. 2.7.2 Karbonatizacija betona O karbonatizaciji betona govorimo takrat, ko beton spremeni svoje bazične lastnosti. pH mladega betona znaša približno 12,5. Ko se mlad beton »suši« oziroma strjuje, lahko ogljikov dioksid ( CO2) iz zraka difundira v pore cementnega kamna in se veže z gašenim apnom (𝐶𝐶𝑚𝑚(𝑂𝑂𝐻𝐻)2). Nastaneta apnenec (𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑂𝑂3) in voda po enačbi 2.74, s čimer pade pH pod 9. 𝑪𝑪𝒐𝒐(𝑪𝑪𝑹𝑹)𝟐𝟐 + 𝑪𝑪𝑪𝑪𝟐𝟐 → 𝑪𝑪𝒐𝒐𝑪𝑪𝑪𝑪𝟑𝟑 + 𝑹𝑹𝟐𝟐𝑪𝑪 (2.89) Ta proces se najprej pojavi na površini, kjer beton razpoka. Zato je karbonatizacija betona pomembna za armirani beton, za nearmiranega pa razen iz estetskih ozirov ni pomembna. Na karbonatizacijo betona vplivajo: − povečana količina ogljikovega dioksida v ozračju (mestna in industrijska področja), ki ga vlažen beton bolj vpija kot suh. Suhi beton ne karbonatizira, saj je za kemično reakcijo potrebna voda. Zato moramo armiranobetonske konstrukcije zaščititi pred vlago (RH < 70 %); 2 Umetni kamen – beton (concrete) 89. − sestava betona, poroznost in s tem odpor v primerjavi z difuzijo so odvisni od faktorja w/c in trdnosti betona. Daljše negovanje betona zmanjšuje možnosti karbonatizacije, saj se pri daljšem hidratacijskem času zmanjša kapilarna poroznost betona. Globino karbonatizacije predstavlja Slika 2.59. Slika 2.59: Časovni potek karbonatizacije nezaščitenega betona različnih kakovosti [16] 2.8 Ostale vrste betonov Poleg normalnega betona gostote 𝜌𝜌 = 2,0 − 2,8 𝑐𝑐 , izdelanega iz peska, gramoza in 𝑚𝑚3 drobirja oziroma lomljenca, poznamo še težke betone gostote 𝜌𝜌 = 2,8 − 3,8 𝑐𝑐 iz 𝑚𝑚3 agregata barita, magnetita in drobne železove rude ter lahke betone z gostoto 𝜌𝜌 = < 2,0 𝑐𝑐 . 𝑚𝑚3 2.8.1 Težki betoni Uporabljamo jih za gradnjo jedrskih (nuklearnih) objektov, s čimer zmanjšamo nevarno ionizirajoče sevanje (nevtronsko sevanje) v okolico. Sevanje gama (𝛾𝛾) žarkov pa preprečuje agregat z večjo gostoto. 90 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.8.2 MASS betoni za gradnjo velikih masivnih konstrukcij Za gradnjo konstrukcij velikih prostornin (zidovi jezov, temelji stolpnic itd.) uporabljamo masivne betone, katerih sestavo določajo posebni predpisi. Pri hidrataciji cementa se notranji del konstrukcije ohlaja mnogo počasneje kot zunanji del. Ta temperaturna razlika privede do nateznih napetosti in razpok zunanjih delov betonskih gmot. Za zmanjšanje teh neugodnih posledic uporabimo cemente s čim nižjo hidratacijsko toploto, pravilno količino cementa, pazimo na temperaturo svežega betona ter na stopnje strjevanja in mere objekta. Maksimalno zrno agregata naj ne bo manjše od 125 mm. Presejna krivulja naj bo izbrana tako, da bo za beton zadostovala čim manjša količina vode (čim manj drobnih frakcij), kar prikazuje Slika 2.55. Slika 2.60: Presejna krivulja z maksimalnim zrnom agregata [5] Za nearmirani MASS beton z maksimalnim zrnom okroglega (gramoza) agregata 125 mm je potrebna količina cementa najmanj 125 𝑐𝑐𝑎𝑎 betona, za agregat v obliki 𝑚𝑚3 lomljenca (drobljenec) pa 140 𝑐𝑐𝑎𝑎. Če želimo beton, odporen proti zmrzali, 𝑚𝑚3 2 Umetni kamen – beton (concrete) 91. potrebujemo vsaj 200 𝑘𝑘𝑘𝑘 cementa za izdelavo 1 m3 betona. Zaščitne plasti armature in količine cementa za armirani MASS beton prikazuje Preglednica 2.26. Preglednica 2.26: Zaščitne plasti armature in količine cementa za MASS beton [5] Maksimalno zrno agregata Zaščitna plast Minimalna količina cementa 4 cm kg 220 63 mm m3 10 cm kg 180 m3 6 cm kg 200 125 mm m3 16 cm kg 160 m3 Za doseganje čim nižje hidratacijske toplote uporabimo vodo z nižjo temperaturo. Objekt naj bo razdeljen na posamezne segmente, saj želimo doseči čim manjši volumen posameznega dela – segmenta objekta. Temperaturne razlike notranjega betona in zunanjega ohlajenega betona naj bodo čim manjše, kar dosežemo z ogrevanjem opažev posameznih segmentov. 2.8.3 Vlaknasti ali mikroarmirani beton Dobimo ga z dodatkom najlona, poliprilena, cirkonijevega stekla, jekla itd., s čimer povečamo predvsem natezno trdnost betona. Vlakna teh materialov imajo visoke natezne trdnosti (900 − 2000 𝑁𝑁 ) in v betonu praviloma niso določeno orientirana. 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Premer vlaken znaša 0,003–0,06 mm, njihove dolžine pa so 50–70 mm. Le jeklena vlakna so debelejša (0,2–1,0 mm) in dolžine 20–50 mm. Razdalje med vlakni praviloma ne presegajo velikosti maksimalnega zrna agregata. Tovrstni betoni so precej bolj duktilni kot normalni beton. Vlaknasti beton z jeklenimi vlakni vgradimo oziroma vlijemo v opaž ali nanesemo z brizganjem. Tako trdnosti kot deformabilne lastnosti vlaknastih betonov so neprimerno izboljšane v primerjavi z mehanskimi lastnostmi nevlaknastega (normalnega) betona. Za 3-odstotni delež jeklenih vlaken v betonski masi so mehanske lastnosti višje za: – tlačna trdnost za 44 %; 92 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ – cepilna natezna trdnost za 110 %; – trdnost na udar za 1970 %. Vpliv jeklenih vlaken na duktilnost in trdnost betona prikazuje Slika 2.61. Slika 2.61: Delovni diagram vlaknastega in navadnega betona [5] Tudi žilavost oziroma zmožnost prevzema obremenitev (v poljubni energiji) vlaknastega betona je neprimerno večja v primerjavi z normalnim oziroma navadnim betonom. 2.8.4 Ferocement Ferocement lahko izdelamo brez opaža. Armaturo oziroma strukturo ferocementa predstavljajo v več slojih zložene ravne ali ukrivljene mreže, zvarjene iz jeklenih vlaken s premerom 0,2–1,2 mm in nameščene na medsebojnih razdaljah 4–12 mm. Zaradi majhnih razmikov vlaken namesto betona uporabimo cementno malto, ki jo ročno ali strojno z brizganjem nanesemo na plasti prepletenih žic (mrež). Tako so bila izdelana ogrodja betonskih ladij, razne kupole, lupine bob stez itd. Tovrstne konstrukcije so lahke in zahtevajo malo porabo materiala. Zaradi goste armature in dobre povezave med armaturo in cementno malto dobimo material, ki je v primerjavi z nearmiranim betonom zelo duktilen in ima precej višje natezne trdnosti. Razmiki med razpokami so majhni in razpoke komaj vidne. Za dosego teh lastnosti mora biti armatura razporejena po naslednjem pogoju: specifična površina (𝐾𝐾𝑚𝑚) mora znašati 0,8–1,5 cm-1, pri čemer 𝐾𝐾𝑚𝑚 predstavlja razmerje površine 2 Umetni kamen – beton (concrete) 93. oziroma obseg žic z ustrezno površino oziroma volumnom elementa, kot to prikazuje enačba 2.75. 𝒏𝒏 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝑲𝑲𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏,𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎−𝟏𝟏 (2.90) n … število slojev armature d … premer armature s … razmik med žicami in armaturo t … debelina elementa PRIMER Za 8-slojno kvadratno mrežno armaturo z razmikom 6 mm, premerom 0,8 mm in 5 mm zaščitne plasti 𝐾𝐾𝑚𝑚: 𝐬𝐬 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝐝𝐝 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝐝𝐝 = 𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝐭𝐭 = 𝟕𝟕 ∙ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 + 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 = 𝟓𝟓, 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟐 𝑲𝑲𝒙𝒙 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔 ∙ 𝟓𝟓,𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒄𝒄𝒎𝒎−𝟏𝟏 Ferocement nam lahko služi kot opaž armiranobetonskih konstrukcij, ki je lahko istočasno tudi sodelujoči del konstrukcije. Na Slika 2.62 so prikazani razmiki in odprtine razpok ter specifične deformacije za ferocemente različnih 𝑲𝑲𝒙𝒙. Nadalje je na Slika 2.63 prikazano izboljšanje oziroma zmanjšanje odprtin razpok armiranobetonske konstrukcije z uporabo ferocementa kot zunanjega opaža. 94 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 2.62: Odprtine razpok in razmiki med njimi v odvisnosti od 𝑲𝑲𝒙𝒙 [5] Slika 2.63: Izboljšane lastnosti ferocementa glede na armirani beton [5] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 95. 2.8.5 Lahki betoni za nosilne konstrukcije (light weight concrete) 2.8.5.1 Osnovna dejstva Pri lahkih betonih ločimo: − lahki beton z gostim sestavom poroznega agregata gostote 𝜌𝜌 = 0,8 − 2,0 𝑐𝑐 𝑚𝑚3 in trdnosti 10 − 35 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚; − lahki betoni z ostrimi porami med gostim agregatom z malo količino cementne malte: ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 4 − 8 𝑚𝑚𝑚𝑚 ali ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 8 − 12 𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝜌𝜌 = 1 − 2 𝑐𝑐 ; 𝑓𝑓 𝑚𝑚3 𝑐𝑐 = 2 − 10 𝑁𝑁 ; 𝑚𝑚𝑚𝑚2 − lahki betoni s poroznim agregatom in poroznim sestavom, na primer beton iz plovca: 𝜌𝜌 = 0,7 − 1,4 𝑐𝑐 ; 𝑓𝑓 ; 𝑚𝑚3 𝑐𝑐 = 2 − 10 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2 − lahki betoni brez ostrega agregata iz drobnozrnate malte (kaše) z enakomerno porazdelitvijo por – plinobeton (za tvorbo por se uporabi aluminijev prah, ki ustrezno reagira s cementom, ali izdelan penobeton z uporabo različnih pen); − lahki beton, ki uporablja okrogli agregat iz polistirola, pomešan z gosto cementno malto: 𝜌𝜌 = 0,3 − 0,8 𝑐𝑐 ; 𝑓𝑓 𝑚𝑚3 𝑐𝑐 − 𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑜𝑜 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑘𝑘𝑚𝑚. Lahki betoni s tlačno trdnostjo pod 15 𝑁𝑁 so dobri dušilci zvoka in toplotni 𝑚𝑚𝑚𝑚2 izolatorji (čim nižja je gostota, tem boljše so toplotno-dušilne lastnosti lahkega betona). a) Lahki beton z gosto strukturo b) Lahki beton iz goste lahkih agregatov neporozne kamenine 96 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ d) Lahki beton, izdelan iz d) Plinobeton lahkih neporoznih agregatov Slika 2.64: Lahki betoni [5] Lahki betoni z gostoto 𝜌𝜌 = 1,2 − 1,6 𝑐𝑐 in tlačno trdnostjo 𝑓𝑓 se 𝑚𝑚3 𝑐𝑐 = 23 − 10 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2 uporabljajo za gradnjo sten visokih zgradb. V spodnjih etažah uporabljamo lahke betone z višjo gostoto in tlačno trdnostjo kot v zgornjih etažah. Med te betone spadajo plinobetoni, z agregatom iz Siporexa, plovca (Ytong) z gostoto nad 𝜌𝜌 = 0,8 𝑐𝑐 in tlačno trdnostjo nad 𝑓𝑓 . S temi betoni lahko tudi gradimo pregradne 𝑚𝑚3 𝑐𝑐 = 10 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2 elemente, na primer strešne plošče. Preglednica 2.27 prikazuje agregate in pripadajoče lahke betone z njihovimi mehanskimi lastnostmi. Konstrukcijsko lahki beton, ki se uporablja tako za armiranobetonske kot za prednapete betonske konstrukcije, je lahki beton v predzadnji koloni Preglednica 2.27. Preglednica 2.27: Agregati in dosežene tlačne trdnosti ustreznih lahkih betonov [5] Gost. v Klasifikacija trdn. lahkih beton. Gost. razsutem Gost. Material zrn stanju (»čista«) Trdn. Gosti/polni/ Gmotni/ ⎡skupine ⎡ zrn � 𝑐𝑐𝑎𝑎 � (nezbito) 𝑘𝑘𝑘𝑘 � kons./nos. porozni 𝑑𝑑𝑚𝑚3 � 𝑐𝑐𝑎𝑎 � 𝜎𝜎𝑚𝑚3� lahki bet. lahki bet. 𝑑𝑑𝑚𝑚3 Lahki agregati po DIN 4226 del 2 Narav. plovec 0,4–0,7 0,3–0,5 pribl. 2,5 nizka LB 10 LB 5 Penas. lava 0,7–1,5 0,5–1,3 pribl. 3,0 srednja LB 25 LB 5 Žlind. nizka do srednja plovec 0,5–1,5 0,4–1,3 2,9–3,0 LB 25 LB 5 nizka do srednja 2 Umetni kamen – beton (concrete) 97. Gost. v Klasifikacija trdn. lahkih beton. Gost. razsutem Gost. Material zrn stanju (»čista«) Trdn. Gosti/polni/ Gmotni/ ⎡skupine ⎡ zrn � 𝑐𝑐𝑎𝑎 � (nezbito) 𝑘𝑘𝑘𝑘 � kons./nos. porozni 𝑑𝑑𝑚𝑚3 � 𝑐𝑐𝑎𝑎 � 𝜎𝜎𝑚𝑚3� lahki bet. lahki bet. 𝑑𝑑𝑚𝑚3 Sigasti/lehnja kov plovec 0,5–1,8 0,4–1,4 2,6–3,0 LB 25 LB 5 Opečni srednja drobir 1,2–1,8 1,0–1,5 2,5–2,8 LB 25 LB 5 Ekspan. glina nizka do visoka (glinopor) Ekspan. 0,4–1,9 0,3–1,5 2,5–2,7 LB 55 LB 8 skrilavec Visoko izol. anorg. lahki agr. Kremenka 0,2–0,4 0,2–0,3 2,6–2,7 zelo nizka LB 5 LB 2 Eksp. perlit 0,1–0,2 0,1–0,2 2,3–2,5 zelo nizka LB 5 LB 2 Eksp. sljuda 0,1–0,3 0,1–0,3 2,5–2,7 zelo nizka LB 5 LB 2 Pena. pesek Pena. 0,1–0,3 0,1–0,3 2,5–2,7 zelo nizka LB 5 LB 2 gramoz Organ. lahki agregati Les. volna Les. 0,4–1,0 0,2–0,3 1,5–1,8 nizka LB 10 LB 5 oblanci Les. moka Pen. plastični < 0,1 < 0,1 pribl. 1,0 zelo nizka LB 5 LB 2 dodatki 2.8.5.2 Presejna krivulja agregatov in sestava komponent lahkega betona Presejne krivulje agregatov za lahki beton naj se približajo presejnim krivuljam (več drobnih zrn). Najvišje razmerje 𝑓𝑓𝑐𝑐 �𝑣𝑣𝑖𝑖𝑠𝑠𝑜𝑜𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚č𝑛𝑛𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑑𝑑𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠𝑐𝑐� bo doseženo z večjo količino 𝜌𝜌𝐿𝐿,𝑏𝑏 𝑛𝑛𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑜𝑜𝑠𝑠𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑚𝑚 agregata ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 8 − 16 𝑚𝑚𝑚𝑚 ali ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 16 − 25 𝑚𝑚𝑚𝑚 in malo zrn ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 2 − 8 𝑚𝑚𝑚𝑚 ter mešanico dobre malte s sestavo peska ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 0 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ali ∅𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎 0 − 4 𝑚𝑚𝑚𝑚 (odpadni pesek). 98 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Relativno »velik« premer agregata znižuje gostoto, medtem ko drobni pesek povečuje tlačno trdnost. Zaradi tega je tudi večja poraba cementa, cement pa naj bo tudi čim bolj na drobno zmlet. Za armirani lahki beton porabimo najmanj 300 kg cementa na 1 m3 betona. Ker pri mešanju zrn agregata z gostoto pod 𝜌𝜌 = 0,9 𝑐𝑐 𝑚𝑚3 priplava cement na površino (segregira), sta v tem primeru dovoljeni konsistenci betona le K1 in K2. 2.8.5.3 Napetostne trajektorije v lahkem betonu Pri normalnem betonu ima agregat višjo trdoto in trdnost od malte (cementnega kamna), zato napetostni tok oziroma napetostne trajektorije potujejo po agregatu. Pri lahkem betonu pa je slučaj ravno obraten, saj napetostni tok potuje po strjeni malti »okrog« agregata. Zato so trajektorije napetosti v malti močno ukrivljene, kar privede do prečnega natega v malti in posledično do razpok. Trajektorije tlačnih napetosti v normalnem in lahkem betonu prikazuje Slika 2.60, razpoke v lahkem betonu zaradi ukrivljenosti trajektorij tlačnih napetosti pa Slika 2.61. a) Normalni beton b) Lahki beton Slika 2.65: Trajektorije tlačnih napetosti v a) normalnem in b) lahkem betonu [17] 2 Umetni kamen – beton (concrete) 99. Slika 2.66: Razdelitev napetosti in nastanek razpok v območju agregata in malte lahkega betona [17] Trdnost lahkega betona je odvisna od lastnosti malte (cementne malte), strukture in oblike cementnih »reber« med agregatom ter od razmika in razporeditve agregata. Trdnost malte naj praviloma za 40–50 % presega tlačno trdnost lahkega betona. 2.8.5.4 Tlačne trdnosti lahkih betonov pri trenutni obremenitvi Lahke betone razvrščamo po tlačnih trdnostih in gostotah. Glede na izbrane gostote lahkih betonov in različne trdnosti agregata lahko, kot prikazuje Slika 2.62, ugotovimo dosežene tlačne trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐,28 lahkega betona. Slika 2.67: Prikaz tlačnih trdnosti betonske kocke lahkega betona v odvisnosti od gostot agregata in betona (gostega sestava) [5] 100 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝜌𝜌𝑐𝑐 … gostota betona 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑎𝑎 … gostota agregata 2.8.5.5 Tlačne trdnosti lahkega betona pri trajni obtežbi Kot pri normalnem betonu se tudi pri lahkem betonu »prepletata« vpliva. S trajanjem obremenitve trdnosti lahkega betona padajo, s starostjo betona pa zaradi strjevanja cementnega kamna naraščajo. Pri normalnem betonu znaša trajna trdnost približno 85 % trenutne trdnosti (28 dni) starega betona. Pri lahkem betonu je ta odstotek nižji, kar prikazuje Slika 2.68. Omeniti velja, da so pri lahkem betonu trajne trdnosti že definirane za približno 35 dni star beton. 𝒇𝒇𝒄𝒄.𝒃𝒃.𝒌𝒌𝒐𝒐𝒐𝒐𝒗𝒗𝒏𝒏. ∞ 𝒇𝒇𝒄𝒄.𝒃𝒃.𝒌𝒌𝒐𝒐𝒄𝒄𝒏𝒏. ≈ (𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟎𝟎 − 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓) (2.91) 𝟐𝟐𝟎𝟎 Slika 2.68: Razmerja trajne in trenutne trdnosti lahkih betonov po Grasserju [18] 2.8.5.6 Dinamična tlačna trdnost lahkega betona Po raziskavah Weiglerja in Freitaga dosežemo dinamično trdnost lahkega betona po 109 do 1010 ciklih, ko znaša izraz: 2𝜎𝜎𝑎𝑎 ≈ 0,30 − 0,35. 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 2 Umetni kamen – beton (concrete) 101. Slika 2.69: Dinamične tlačne trdnosti lahkega betona [19] 102 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.8.5.7 Delovni diagram (𝝈𝝈 − 𝜺𝜺) in modul elastičnosti lahkega betona pri trenutni obremenitvi Čas od začetka obremenitve do porušitve vzorcev znaša približno 10 min. Delovni diagram (𝜎𝜎 − 𝜀𝜀) lahkega betona je za iste marke betona položnejši kot pri normalnem betonu. Dilatacija pri dosegu tlačne trdnosti lahkega betona je za 20–30 % večja kot dilatacija pri normalnem betonu, kar prikazuje Slika 2.65. Modul elastičnosti lahkega betona po DIN 1048 (pri 𝜎𝜎𝑐𝑐 ≈ 1 𝑓𝑓 3 𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑚𝑚𝑐𝑐) ni odvisen samo od tlačne trdnosti, temveč tudi od gostote lahkega betona in vrste agregate. Vrednosti sekantnega modula elastičnosti lahkega betona po Weiglerju podajata spodnji enačbi. Slika 2.70: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 za normalni beton C 25 z gostoto 𝝆𝝆 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑴𝑴 in lahki 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟑𝟑 beton LC 25 z gostoto 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑 𝒄𝒄𝑴𝑴 (agregat iz ekspandirane gline) [5] 𝒅𝒅𝒎𝒎𝟑𝟑 Agregat iz ekspandirane gline: 𝑵𝑵 𝑬𝑬 𝟑𝟑 𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟗𝟗𝟎𝟎 + 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑�𝝆𝝆𝒃𝒃 ∙ 𝝆𝝆𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄; �𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐� (2.92) Agregat iz ekspandiranih skrilavcev: 2 Umetni kamen – beton (concrete) 103. 𝑵𝑵 𝑬𝑬 𝟑𝟑 𝑳𝑳𝑳𝑳 = 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟕𝟕𝟎𝟎 + 𝟕𝟕𝟒𝟒𝟓𝟓�𝝆𝝆𝒃𝒃 ∙ 𝝆𝝆𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄; �𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐� (2.93) 𝜌𝜌𝑐𝑐 … gostota lahkega betona; � 𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑐𝑐 � 𝑑𝑑𝑚𝑚3 𝑚𝑚3 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 … tlačna trdnost kocke normalnega betona; � 𝑁𝑁 = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚� 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Vedeti moramo, da nižje vrednosti modula elastičnosti lahkega betona v primerjavi z normalnim betonom nekoliko povečujejo deformacije konstrukcije. Nagnjenost k nastanku razpok zaradi ovirane deformacije betona ob armaturi pa bo manjša kot pri normalnem betonu. 2.8.5.8 Natezne trdnosti lahkih betonov Upogibna in cepilna natezna trdnost (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑓𝑓𝑐𝑐; 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑠𝑠𝑝𝑝) sta odvisni od oblike in trdnosti agregata (kar ni slučaj pri normalnih betonih). Pri trdnostnih razredih do LB 25 so natezne trdnosti višje kot pri normalnem betonu, pri višjih trdnostnih razredih od LB 35 pa nižje kot pri normalnih betonih. Za natezno cepilno in upogibno trdnost lahko uporabljamo spodaj navedeni enačbi. Natezna cepilna trdnost: 𝒇𝒇 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒌𝒌𝒑𝒑 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑 ∙ �𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 (2.94) Natezna upogibna trdnost: 𝒇𝒇 𝟑𝟑 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒇𝒇𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟔𝟔 ∙ �𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 (2.95) 2.8.5.9 Adhezijska (sprijemna) trdnost Za rebrasto jeklo ∅ 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 in ∅ 26 𝑚𝑚𝑚𝑚 je izruvna sila enaka dvakratni vrednosti izruvne sile pri normalnem betonu, ko je bila armatura izruvana iz betona za 0,1 mm. Za primere RA > ∅ 26 𝑚𝑚𝑚𝑚 je izruvna trdnost manjša. Da so izruvne trdnosti lahkih betonov, sicer identične trdnosti kot pri normalnem betonu, višje, je vzrok v višji trdnosti »malte« lahkega betona. 104 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.8.5.10 Nabrekanje, krčenje in lezenje lahkega betona Voda v porah dodatno vlaži malto v notranjosti volumna lahkega betona, kar pri temperaturi okolice 20 °C in relativni vlažnosti RH 60 % zmanjšuje izgubo vlage prvih 100–300 dni. Zaradi tega beton nabrekne do približno +0,1 ‰(10 x 10-5). V zatesnjenem okolju lahko tak beton nabrekne do +0,35 ‰. Z nabrekanjem moramo v notranjosti lahkega betona, predvsem v vlažnem okolju, računati mejne vrednosti. Krčenja lahkega betona pa znašajo od +0,35 ‰ do +0,40 ‰. Čeprav normalni beton negujemo z vlaženjem, je to pri lahkem betonu prepovedano! Nabrekanje in krčenje neobremenjenega lahkega betona prikazuje Slika 2.71. Slika 2.71: Nabrekanje in krčenje lahkega betona z agregatom iz ekspandirane gline [5] Časovno primerjavo krčenja normalnega in lahkega betona prikazuje spodnja slika. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 105. Slika 2.72: Primerjava časovnega poteka krčenja lahkega in normalnega betona [5] Po 180 dneh je krčenje lahkega betona v primerjavi z normalnim betonom nekje 2/3 vrednosti normalnega. Oblika krivulje lezenja lahkega betona je podobna obliki krivulje lezenja normalnega betona. Tako imenovana fizikalna količina 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑎𝑎 lezenja betona, ki jo podaja razmerje med časovno dilatacijo lezenja betona 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝜀𝜀𝑐𝑐 in tlačno napetostjo betona pri tretjinski vrednosti tlačne trdnosti betonske kocke, znaša 0,33 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ≅ 0,40 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑎𝑎. = 0,40 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Slika 2.73: Delovna diagrama 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 in 𝜺𝜺 − 𝒌𝒌 106 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Fizikalno količino 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑎𝑎 imenujemo »vrednost lezenja« (𝛼𝛼𝑐𝑐𝑎𝑎 = εcr = εt=∞ ; �𝑚𝑚𝑚𝑚2�) 0,40 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 0,40 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑁𝑁 in je manj odvisna od starosti betona ob začetku obremenjevanja kot pri normalnem betonu, ker vlažnost agregata deluje ugodno na strjevanje cementnega gela (negovanje betona). Tako bo na primer mejna vrednost lezenja lahkega betona pri popolni zaščiti v primerjavi z izsušenjem le za 20 % manjša kot pri nezaščitenem betonu (RH = 60 %). Slika 2.74: Potek lezenja lahkega in normalnega betona – starost betona ob začetku obremenitve znaša 28 dni [5] Končna vrednost 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑎𝑎,∞ se za normalni in lahki beton enakih tlačnih trdnosti (64− 𝐿𝐿.𝐵𝐵. 66 𝑁𝑁 ) malo razlikuje (približno 20 %), 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐,∞ ≅ 1,2. 𝑚𝑚𝑚𝑚2 𝛼𝛼𝑁𝑁.𝐵𝐵. = 5,8 𝑐𝑐𝑐𝑐,∞ 4,9 Količnik lezenja lahkega betona (𝜑𝜑𝐿𝐿.𝐵𝐵.) je nekoliko nižji kot količnik lezenja pri normalnem betonu (𝜑𝜑𝑁𝑁.𝐵𝐵.). 2 Umetni kamen – beton (concrete) 107. 𝛆𝛆 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇 𝝋𝝋 = 𝐭𝐭 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑳𝑳.𝑳𝑳 𝛆𝛆 = = = 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝐄𝐄𝐜𝐜𝐦𝐦; 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟎𝟎 𝛆𝛆𝟎𝟎 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝐄𝐄𝐜𝐜𝐦𝐦 < 𝑬𝑬𝑵𝑵.𝑳𝑳 𝒄𝒄𝒎𝒎 (2.96) PRIMER Določiti je treba čas trajanja obremenitve za normalni beton C 50/60. 𝑵𝑵 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟑𝟑𝟕𝟕 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 ∙ 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝜺𝜺𝟎𝟎 Začetna deformacija: 𝝈𝝈 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝜺𝜺 𝒄𝒄 𝟎𝟎 = 𝐄𝐄 = 𝐜𝐜𝐦𝐦 𝟑𝟑𝟕𝟕 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟒 ‰ 𝜺𝜺 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟒 𝜶𝜶 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝝈𝝈 = 𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑵𝑵 Iz Slika 2.74 lahko odčitamo, da je obremenitev trajala približno 6 mesecev. 2.8.5.11 Fizikalne količine lahkega betona, odvisne od temperature in prevoda toplote Specifični temperaturni količnik lahkega betona znaša pri nizko vlažnem betonu približno od 0,8 ∙ 10−5 ° do 1,0 ∙ 10−5 °. Z višjo vlažnostjo količnik pojema do 0,65 ∙ 𝐾𝐾 𝐾𝐾 10−5 ° . Zmožnost prevoda toplote pa je močno odvisna od gostote in vlažnosti 𝐾𝐾 (vsebnosti vlage) lahkega betona. DIN 4018 podaja vrednosti za λ v odvisnosti od gostote in ravnotežja vlažnosti: 108 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑾𝑾 𝟏𝟏 𝒌𝒌 𝛌𝛌𝑳𝑳.𝑳𝑳. = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 − 𝟎𝟎, 𝟕𝟕 𝒎𝒎𝑲𝑲 �𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒗𝒗𝒄𝒄 < 𝟑𝟑𝛌𝛌𝑵𝑵.𝑳𝑳.�; 𝝆𝝆 = 𝟏𝟏,𝟒𝟒𝒎𝒎𝟑𝟑 ; 𝑹𝑹𝑹𝑹 = 𝟓𝟓 % 𝑾𝑾 𝒌𝒌 𝛌𝛌𝑵𝑵.𝑳𝑳. = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 𝒎𝒎𝑲𝑲; 𝝆𝝆 = 𝟐𝟐,𝟐𝟐𝒎𝒎𝟑𝟑 Tako je pri lahkem betonu tudi večja ognjevarnost in zaščita armature. Slika 2.75 prikazuje toplotno odpornost 1/λ za lahki in normalni beton v odvisnosti od relativne vlažnosti betona, ko je izpolnjeno ravnotežje vlažnosti. Slika 2.75: Toplotna odpornost 𝟏𝟏/𝛌𝛌 za lahki in normalni beton [5] Hidratacijska toplota pri lahkem betonu se počasneje niža, zato se pri debelejših elementih lahkega betona razvijejo višja temperatura in višje napetosti. Zato moramo zunanje sloje zaščititi pred večjo ohladitvijo, saj se notranji sloj počasneje ohlaja (velja za lahke betone, debelejše od 60 cm oziroma 80 cm). Z zaščito zunanjega sloja zmanjšamo krčenje zunanjega sloja v primerjavi z notranjim, ki preprečuje dilatacije zunanjega sloja in večje razpoke. Razvoj temperaturnih razlik pri zunanji temperaturi 20 °C v jedru in zunanjem delu prikazuje Slika 2.70. 2 Umetni kamen – beton (concrete) 109. Slika 2.76: Temperaturna razlika med betonom v jedru in na zunanjem robu elementa zaradi hidratacije [5] 2.8.5.12 Korozijska zaščita armature v lahkem betonu Malta, bogata s cementom, dobro ščiti armaturo pred korozijo, žal pa »lahki« agregat omogoča malo odpora prehodu CO2 do armature. Tako pride do karbonatizacije betona (pade bazičnost – pH lahkega betona). Zato moramo zaščitno plast lahkega betona v primerjavi z zaščitno plastjo normalnega betona povečati za 5 mm, sicer pa je to odvisno od velikosti maksimalnega zrna agregata. 2.8.5.13 Ekonomske prednosti in pomanjkljivosti lahkega betona − Lahki agregat in izdelava lahkega betona sta dražja od normalnega betona. − Lastna teža konstrukcije lahkega betona je manjša od lastne teže konstrukcije normalnega betona, zaradi česar se tudi zmanjša poraba armature. Prihranek je pri ležiščih in temeljih konstrukcij iz lahkega betona, kar se ugodno odraža pri konstrukcijah velikih razponov, večetažnih konstrukcijah in slabih nosilnostih temeljnih tal. − Dobra izolativnost konstrukcij iz lahkega betona. Pri visokih zgradbah ni potrebna niti dodatna izolacija niti zaščita pred požarom. 110 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 2.8.5.14 Pomembni objekti (konstrukcije) − Prvi cestni most iz lahkega betona, ki je bil zgrajen leta 1976 v Gitteldeju, z razponom 12,50 m x 15,10 m x 12,50 m. − Most za pešce prek rokava Rena v Sestriesteinu z razponom 96,40 m. − Cestni most prek jezera Fühlinger pri Kölnu z razponom 136 m. − Strešni nosilci Ledene dvorane v Augsburgu dolžine l = 62 m. − Hala letališča v Frankfurtu. Viseča streha z razponom 135 m. DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 3.1 Uvod Za armiranje betonskih elementov in konstrukcij uporabljamo betonsko jeklo (reinforcing steel, betonstahl) – armaturo. Razvoj armature je vedno stremel k povišanju trdnosti jekla, izboljšani sprijemnosti jekla z betonom, dosegu velike deformabilnosti, v novejšem času pa k zmožnosti varivosti armature. 3.2 Betonsko jeklo – sestava in lastnosti Jeklo je prečiščen proizvod železove rude, ki se v naravi nahaja v glavnem kot magnetit in hematit. Proizvodnja jekla poteka v visokih pečeh – plavžih, kamor mečemo železno rudo, koks in apnenec. Pri temperaturah nad 1600 ℃ se večina drugih materialov, razen železa, izloči v obliki plinov ali žlindre, ki splava na vrh stopljenega železa. Žlindro ohladimo in koristno uporabimo (v industriji za proizvodnjo cementa). 112 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Stopljeno železo pa iz visokih peči vlivamo v kalupe (ingote) ali se neposredno transportira v jeklarne kot surovo železo, ki vsebuje silicij, žveplo, fosfor, mangan in 3,5– 4,25 % ogljika. Visok delež ogljika povzroča, da je surovo železo krhko. Imenujemo ga lito železo (dobro prenaša »čiste« tlačne obremenitve). Zato moramo surovemu železu izboljšati mehanske lastnosti in ga podvržemo nadaljnji predelavi z namenom dobiti topljeno jeklo. Z dodatkom starega železa in delno železne rude se surovo železo v plamenskih pečeh ali konvektorjih osvobaja odvečnega ogljika in drugih nečistoč ter istočasno legira z želenimi legirnimi elementi (𝐶𝐶𝑎𝑎 − 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑜𝑜𝑚𝑚, 𝑁𝑁𝑖𝑖, − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑧𝑧𝑧𝑧𝑛𝑛, 𝐹𝐹𝑖𝑖 − 𝛼𝛼𝑚𝑚𝛼𝛼𝑚𝑚𝑚𝑚, 𝑉𝑉𝑚𝑚 − 𝑣𝑣𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜎𝜎𝑚𝑚𝑛𝑛, 𝑁𝑁𝑜𝑜 − 𝑚𝑚𝑜𝑜𝑛𝑛𝑧𝑧𝑧𝑧𝑚𝑚𝑛𝑛, 𝑁𝑁𝑐𝑐 − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑜𝑜𝑛𝑛𝑚𝑚𝑛𝑛). Količina ogljika namreč močno vpliva na mehanske in varilne lastnosti jekla. Topljeno jeklo lahko vlivamo v kalupe za izdelavo ležišč mostov (strojev, jeklenih stebrov in konstrukcij itd.) ali pa ga vlivamo v ingote, iz katerih se z valjanjem dobijo valjani proizvodi konstrukcijskega jekla. 3.3 Vrste in oznake betonskih jekel Betonska jekla sestavljajo jeklene palice (reinforcing bars) in varjene jeklene mreže (welded wire fabric). Betonska jekla delimo po: − profilu: ∅ ≤ 16 𝑚𝑚𝑚𝑚 (žice v svitkih, kolutih); ∅ > 16 𝑚𝑚𝑚𝑚 (ravne palice); − mehanskih lastnostih (meja plastičnosti oziroma meja popuščanja za trda jekla, natezna trdnost, raztezek pri porušitvi vzorca na dolžini 10 ∅, modul elastičnosti, Poissonov količnik prečne kontrakcije); − varivosti (nevarivno jeklo, varivno jeklo pod določenimi pogoji, varivno jeklo); − površinski obdelavi (gladka armatura, rebrasta armatura, zavarjene mreže); − vrsti obdelave (toplo valjano, toplo valjano in hladno obdelano, termično izboljšano jeklo). Betonske jeklene palice so toplotno obdelane (valjane) in kasneje podvržene dodatni obdelavi. 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 113. Toplo obdelano jeklo (TEMPCORE) doseže po valjanju v toplem stanju neke izboljšave. Armaturne mreže so sestavljene iz hladno valjanih žic, ki so medsebojno ortogonalno točkasto zvarjene. Varivost betonskih jekel dosežemo z dodatki mikrolegurnih elementov vanadija (𝑉𝑉𝑚𝑚), niobija (𝑁𝑁𝑐𝑐,) in titana (𝐹𝐹𝑖𝑖). Oznako jekla sestavljata dve oznaki, od katerih prva nakazuje karakteristično mejo plastičnosti (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,), za toplo valjana jekla oziroma za hladno obdelano jeklo pa karakteristično mejo popuščanja (𝑓𝑓0,2𝑐𝑐,), medtem ko druga oznaka označuje karakteristično natezno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,. Proizvajalec betonskega jekla jamči naslednje mehanske lastnosti: − karakteristično natezno trdnost pri 5-odstotni 𝒇𝒇𝒐𝒐𝒐𝒐𝒄𝒄𝒌𝒌𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒇𝒇𝒌𝒌𝒄𝒄; − karakteristično mejo plastičnosti oziroma popuščanja pri 5-odstotni 𝒇𝒇𝒐𝒐𝒐𝒐𝒄𝒄𝒌𝒌𝒊𝒊𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒇𝒇𝟎𝟎,𝟐𝟐𝒄𝒄, 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄; − relativni raztezek vzorca po pretrgu na dolžini 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∅ 𝜹𝜹 % [𝒎𝒎𝒎𝒎/𝒎𝒎𝒎𝒎]; − sposobnost upogiba in povratnega upogiba (ukrivljenja) palic okrog trna določenega premera 𝐷𝐷, s kotom upogiba, ne da bi palice počile v natezni ali tlačni coni; − karakteristično dinamično trdnost 𝑓𝑓𝑑𝑑𝑐𝑐𝑛𝑛 = 𝑓𝑓𝐹𝐹; − karakteristično dilatacijo 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐; − projektirano oziroma karakteristično razmerje med višino in razdaljo reber, tako imenovano lastnost sodelovanja med betonom in rebrasto armaturo; − varivost; − duktilnost 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐/𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 in razmerje 𝑓𝑓𝑐𝑐/𝑓𝑓𝑐𝑐. 𝒐𝒐 𝒇𝒇𝑹𝑹 = (3.1) 𝒄𝒄 114 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 3.1: Višina reber in razdalja med rebri armature Slika 3.2: Delovna diagrama 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 a) toplo in b) hladno obdelanega armaturnega jekla [8] 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 … karakteristična dilatacija (raztezek) pri trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 (največji napetosti) – Slika 3.2 in Slika 3.4. 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 115. Dobro sprijemnost (adhezijo) med betonom in armaturo dosežemo z rebrasto armaturo, ko je sodelovanje med betonom in jeklom veliko boljše kot z uporabo gladke armature. Razmik med razpokami v betonu je z uporabo rebraste armature manjši, odprtine razpok pa tanjše. Slika 3.3: Vrste betonskega jekla Tabelarični pregled z značilnostmi posameznih betonskih jekel podajamo v Preglednica 3.1 in Preglednica 3.2. Armature, ki se uporabljajo v Sloveniji in so prikazane v Preglednica 3.1, in jekla, ki jih navaja DIN 1045 in za razliko od slovenskih predpisov še navajajo varivost posameznih armatur, prikazuje Preglednica 3.2. 116 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 5 t 4 3 2 1 B M M R R G G k m in O e – r – – – – i A A A A A a A A ra e z nanaš z a d pol t u i o Bi na po 680/ G G 400/ 400/ 240/ hans nak 220/ k e j e 500/ t 500/ e A m g k g ris a k a s pa i u l i o bni 800 500 500 360 340 t i ar h č ik m e na pog i 560? 560 m - - na na pr 2 at 2 1 tr i a bne e ur u s d z i e pog am nos ag z k g ot u i a i h t s banj ar s pr ov v hl o s Arm ž nar v hl m ar Va e vi a R je be m a G a N je l e ečen m e l ad b pe ic l g rm ečen ad d i j z e pot lik re m c e e rje a s e k rm rm e at ok no no k e ial a br no ž at je o br la t e l ons hk ad az ko a a a ž u r e iz t e ne u e e u n k t as i u e t k t v u i u až c s e iz r v e ah, a b ž ra ne r e la v ra t k g a u a e ar e i ce l ne r a ra re e a e iz g iz i na s na e i n d a n v v z š t os in v t v o e z t j ob a v or e ( rne š k z i c l a v 3, p N o e 1 4 6 6 5 5 m t i u h S z mm r – – – – – – em a pr e z d ar < n 11, 12 40 14 36 12 iv m i e e z m iz 𝟎𝟎 sam 3 er n i s v at k , t ar u 𝟔𝟔 u u j s o P e r i % na e r , t z e u ) a 𝑓𝑓 v d m 𝑐𝑐𝑐𝑐 m g K v g i e l oz r aj na r e oz j a e a ra d l ž i e š ne pov e 680 500 400 240 220 M i pl k n r č , om as t i a k P e c v i r be at s a t ris a i a č e nos t ič 3 no 𝑓𝑓 . t u 𝑜𝑜 n 1 onu por ,2 t a : u 𝑐𝑐 i pog V , abl r s in te i j s ba aj nat i o i c nj K n e k e r e ot z a z z ok na ra n a u R ol pog 800 560 500 360 340 M k a t t A i P r e č d ris i t 4 r nj a l nos n na t 4 ič o e 0 ne t n s / 𝟕𝟕 𝑓𝑓 a ti 5 𝑐𝑐 0 ∅ ( 𝑐𝑐 b z 0 ⬚ a e -2 s to p s k tr n ot e o R m na s s om a k t e a na) 5 6 10 18 18 z % 1 t i n ez h u d 0 pog a ∅ ek je r k d e u ibanj l J v U p S S a C 𝟓𝟓 t r 𝟒𝟒 .K 𝟓𝟓 ∅ 𝟒𝟒 𝟓𝟓 𝟐𝟐 ∅ rn em lo 𝟓𝟓 v a ° 6 er e U n i . n 0 pog ij 2 s i 0 k , z ot i u banj a om pog v 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 a 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗 r 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎 ko e pov 𝟎𝟎 ° i j banj e ° ° t n 𝟑𝟑 ° ° ° e r a at a r ne ma g t a u t u r r D n pog d e m 170 120 200 M c nos i x nam ik 1 ibanj P lih r 0 t 4 4 4 a e 6 po i ž čna e a M 2 22,5 AG 𝟎𝟎 i ° d o d o e n o d o d GP la M M 200 190 210 200 s o tič d A a n u R . l 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 117. Preglednica 3.2: Vrste in značilnosti betonskih jekel, ki jih navaja DIN 1045 (Nemčija) BA BA BA BA ID 220/340 220/340 420/500 420/500 GN RN RN RH Element/vrsta armature ARMATURA – PALICE Nominalni premer ∅𝑠𝑠 [𝑚𝑚𝑚𝑚] 5–28 6–40 6–28 6–28 Meja plastifikacije 𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚 𝑓𝑓0,2 � 𝑁𝑁 � 220 220 420 420 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Natezna trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐 � 𝑁𝑁 � 340 340 500 500 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Mejna/porušna deformacija 𝛿𝛿10 [%] 18 18 10 10 Dinamična trdnost (na Ravne razdalji enega vala pri palice 180 - 230 230 frek. 𝜐𝜐 = 2 ∙ 106 1 Ukrivljene 𝑠𝑠 palice 180 - 200 200 𝐷𝐷1 = ∅𝑠𝑠 Zagotovljena možnost ∅𝑠𝑠 ≤ 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 RA RA RA RA, RP varivosti glede na premer ∅𝑠𝑠 ≥ 14 𝑚𝑚𝑚𝑚 RA RA, E RA RA, E, RP BA BA BA BA ID 500/550 500/550 500/550 500/550 GH PH RH RH Element/vrsta armature ARMATURA – MREŽE nazivni premer ∅𝑠𝑠 [𝑚𝑚𝑚𝑚] 4–12 4–12 4–12 6–12 Meja plastičnopstzi 𝑓𝑓𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚 𝑓𝑓0,2 � 𝑁𝑁 � 500 500 500 500 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Min. natezna trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐 � 𝑁𝑁 � 550 550 550 550 𝑚𝑚𝑚𝑚2 Porušna(min) deformacija 𝛿𝛿10 [%] 8 8 8 8 Dinamična Ravne trdnost (na razdalji palice 120 120 120 230 enega vala pri frek. Ukrivljene 𝜐𝜐 = 2 ∙ 106 1 palice 120 120 120 200 𝑠𝑠 𝐷𝐷1 = ∅𝑠𝑠 Zagotovljena možnost ∅𝑠𝑠 ≤ 12 𝑚𝑚𝑚𝑚 RA RA RA RA, RP varivosti glede na premer ∅𝑠𝑠 ≥ 14 𝑚𝑚𝑚𝑚 RA RA, E RA RA, E, RP G – gladko jeklo; N – neobdelano jeklo; P – profilirano jeklo; H – hladno valjano (oblikovano) jeklo; R – rebrasto jeklo; RA – varivo jeklo s posebno elektrodo ali varilno žico pod CO2; E – elektroobločno varjenje; RP – točkovno varivo jeklo Gladka armatura (GA) se dobavlja v kolutih za profile ∅≤16 𝑚𝑚𝑚𝑚, dolžine 36−42 𝑚𝑚, in v obliki ravnih palic za profile ∅ > 16 𝑚𝑚𝑚𝑚, dolžine 6 𝑚𝑚, 12 − 16 𝑚𝑚, izjemoma do 20 𝑚𝑚. Premeri gladkega (valjanega) betonskega jekla znašajo: ∅ 5,6,8,10,12,14,16,18,20,22,25,28,32,36 (40) 𝑚𝑚𝑚𝑚. 118 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Rebrasto jeklo je naravno trdo jeklo (RA), ki ga vlečemo v hladnem stanju. Pri zadnjem vleku palice skozi valj je ta narezan (oblikovan) z žlebovi, iz katerih se formirajo rebra. Rebrasto jeklo se dobavlja v kolutih za profile ∅ 8– 14 𝑚𝑚𝑚𝑚, dolžine 50 𝑚𝑚, in v obliki ravnih palic za profile ∅ 6– 40 𝑚𝑚𝑚𝑚, dolžine 6 𝑚𝑚, 12 − 14 𝑚𝑚. Premeri rebrastega betonskega jekla znašajo: – ∅ 𝟔𝟔, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏; 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 – ∅ 𝟔𝟔, 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟓𝟓, 𝟐𝟐𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟔𝟔 (𝟒𝟒𝟎𝟎) 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝑹𝑹𝑨𝑨 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟐. 1 – nagibi reber znašajo 50° ≤ 𝛽𝛽 ≤ 90° 2 – nagibi reber znašajo 50° ≤ 𝛽𝛽 ≤ 75° Pri »rebrih« z oznako 2 je njihova oblika srpasta. Zavarjene mreže iz hladno vlečene žice Mrežna armatura služi za armiranje plošč, sten, lupin ali tudi kot stremenska in vzdolžna armatura linijskih nosilcev, za armiranje betonskih vozišč, pist aerodromov, cevi in raznih prefabriciranih elementov (korita, rešetke itd.). Mreže se izdelujejo z enako armaturo v dveh ortogonalnih smereh in z močnejšo armaturo v eni smeri (razpona) ter s »slabšo« armaturo – razdelilno – v drugi smeri. Dimenzije mrež so običajno (2,0–2,7 𝑚𝑚) 𝑇𝑇 (5,0–6,0 𝑚𝑚). Čim večji je razmik 𝛼𝛼, tem manjši mora biti razmik 𝑚𝑚. Velja pogoj, da znaša: 𝒌𝒌 𝒐𝒐 ≤ 𝟑𝟑 (3.2) 𝛼𝛼 … razmik med palicami razdelilne armature 𝑚𝑚 … razmik med palicami nosilne armature 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 119. 3.4 Mehanske in fizikalne lastnosti armature 3.4.1 Meja plastičnosti (popuščanja), natezna trdnost, žilavost in duktilnost Mehanske lastnosti posameznih jeklenih armatur so že bile prikazane v Preglednica 3.1 in Preglednica 3.2. Za njihovo dobro razumevanje moramo, tako kot pri betonu, poznati delovni diagram jekla in prirejen projektirani delovni diagram jekla, ki ga omenjajo norme EC2, ACI itd. Za tako imenovano mehko jeklo in hladno obdelana jekla Slika 3.4 prikazuje odnos med napetostmi 𝜎𝜎𝑠𝑠 in specifičnimi deformacijami 𝜀𝜀𝑠𝑠. Slika 3.4: Delovni diagrami za betonska jekla Jeklo 𝐺𝐺𝐴𝐴 240/360 ima jasno izraženo mejo plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐, naravno trdo jeklo 𝑇𝑇𝐴𝐴 400/500 ima to mejo nekoliko slabše izraženo, hladno obdelano jeklo mrežne armature 𝑀𝑀𝐴𝐴 500/560 pa meje plastičnosti nima jasno izražene. Zato pri tej armaturi in vseh hladno obdelanih jeklih definiramo mejo popuščanja 𝑓𝑓0,2, kar prikazujeta Slika 3.2 in Slika 3.5. 120 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Meja popuščanja 𝑓𝑓0,2 predstavlja napetost, pri kateri vzorce popolnoma razbremenimo. Pri popolni razbremenitvi pa oblika vzorca ni več enaka kot pred obremenitvijo, saj je vzorec ostal daljši za 0,2 %. Slika 3.5: Meja popuščanja pri hladno obdelani armaturi Natezna trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐 predstavlja največjo doseženo napetost v jeklu, pripadajočo deformacijo pa označimo z 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 (Slika 3.4). Površina pod delovnim diagramom 𝜎𝜎−𝜀𝜀 (0−𝜀𝜀𝑐𝑐) je največja pri mehkem jeklu GA 240/360, najmanjša pa pri hladno obdelani mrežni armaturi MA 500/560, kot je razvidno iz Slika 3.4. Površina pod delovnim diagramom 𝜎𝜎−𝜀𝜀 predstavlja mero žilavosti betonskega jekla, kar fizikalno pomeni delo oziroma energijo, ki je bila vložena za raztezek armature do porušitve, kot shematsko prikazuje Slika 3.6. 𝜺𝜺𝒄𝒄 𝑬𝑬 = 𝑾𝑾 = � 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒅𝒅𝜺𝜺𝒌𝒌 (3.3) 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 Žilavost pomeni geometrijsko šrafirano površino na spodnji sliki. 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 121. Slika 3.6: Delovni diagram za »mehko« jeklo in določitev žilavosti Duktilnost jeklenega materiala pa je definirana z razmerjem med končnimi in elastičnimi deformacijami: 𝜺𝜺 𝒅𝒅 = 𝒄𝒄 (3.4) 𝜺𝜺𝒌𝒌𝒄𝒄 Duktilnost mehkega jekla je mnogo višja kot duktilnost naravno trdega oziroma hladno obdelanega jekla. Za dobro razumevanje podajamo na Slika 3.7 natančnejšo razlago delovnega diagrama 𝜎𝜎 − 𝜀𝜀 gladke (mehke) armature. Slika 3.7: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 »mehke« armature GA 240/360 122 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − Do meje proporcionalnosti 𝜎𝜎𝑝𝑝 je raztezek armature linearen napetosti 𝜎𝜎𝑠𝑠. − Do meje elastičnosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 se jeklo obnaša kot elastičen material. Po razbremenitvi je dolžina armature enaka prvotni dolžini (dolžini pred obremenitvijo). − Točka F določa spodnjo mejo popuščanja jekla, dolžina A–F znaša 0,2 %. − Točka B je zgornja meja popuščanja in se označi z 𝜀𝜀𝑠𝑠. Dolžina 0–𝐵𝐵′ = 𝜀𝜀𝑠𝑠 znaša 5–10 %. − Točka L predstavlja natezno trdnost jekla 𝑓𝑓𝑐𝑐. Ustrezna deformacija 𝜀𝜀𝑐𝑐 pa nakaže deformacijsko stanje, ko se začne kontrakcija jekla. − V točki K se armatura poruši. Črtkana linija delovnega diagrama 𝜎𝜎 − 𝜀𝜀 prikazuje napetosti kontrahiranega (zoženega) preseka armature. Delovni diagram, prikazan na Slika 3.8, predstavlja diagram hladno obdelanega jekla, s čimer se spremenijo mehanske lastnosti materiala, običajno na boljše. Če mehko jeklo napnemo do napetosti 𝜎𝜎𝑠𝑠=1,5𝑓𝑓𝑐𝑐 in palico nato popolnoma razbremenimo (črta H–0∗) ter ponovno obremenimo, opazimo, da se pojavi nova meja popuščanja 𝑓𝑓∗𝑐𝑐, ki je višja od prvotne vrednosti 𝑓𝑓𝑐𝑐. Meja popuščanja hladno obdelane armature ni več tako jasno izražena kot pri mehki armaturi. Točka 𝐾𝐾∗ predstavlja »novo« višjo natezno trdnost hladno obdelane armature. Tako jeklo pa je manj duktilno od tako imenovane »mehke« armature. Slika 3.8: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 za mehko in hladno obdelano jeklo 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 123. Slika 3.9 prikazuje del delovnega diagrama visoko vrednega naravno trdega jekla RA 400/500, ki ga dobimo z legiranjem (𝐶𝐶𝑎𝑎, 𝑉𝑉𝑚𝑚) in ne s hladno obdelavo, temveč z valjanjem v vročem stanju. To jeklo ima nižjo zgornjo mejo popuščanja 𝜀𝜀𝑠𝑠 kot mehka armatura. Slika 3.9: Delovni diagram 𝝈𝝈 − 𝜺𝜺 visokovrednega naravno trdega jekla RA 400/500 Pri slabo armiranih presekih ali visokih trdnostih betona (𝑀𝑀𝐵𝐵 ≥ 𝐶𝐶50/60) nekateri avtorji priporočajo, da se upošteva kot »karakteristična meja plastičnosti« napetost 𝜎𝜎∗ ∗ 𝑠𝑠 . To pa zaradi tega, ker je razlika 𝜀𝜀𝑠𝑠 − 𝜀𝜀𝑠𝑠 majhna. 3.4.2 Projektna natezna trdnost jeklene armature Kot smo omenili v podpoglavju 2.4 o računski tlačni trdnosti betona, je treba za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj tudi poznati projektno (natezno trdnost) mejo plastičnosti armature in ustrezen delovni diagram armature. 124 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Na Slika 3.10 sta prikazana idealizirani delovni diagram armature (A) in projektni ali računski diagram armature (B). Iz idealiziranega delovnega diagrama armature (A) določimo projektni delovni diagram, pri čemer dobimo projektno (dizajnirano) mejo plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 tako, da karakteristično mejo plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 oziroma karakteristično mejo popuščanja 𝑓𝑓𝑅𝑅𝐾𝐾 delimo s faktorjem varnosti za jekleno armaturo 𝛾𝛾𝑠𝑠. Ta znaša za kombinacije običajnih obremenitev 𝛾𝛾𝑠𝑠 = 1,15, za kombinacije ekstremnih obremenitev pa 𝛾𝛾𝑠𝑠 = 1,0. Projektna (dizajnirana) mejna dilatacija pa znaša 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑, ki jo praviloma za vsa jekla omejimo z 10 ‰, v agresivnih okoljih pa s 7 ‰, ponekod celo s 5 ‰ (določeno v nacionalnih dokumentih in odvisno od posameznih držav). Razmerje med karakteristično mejno dilatacijo in karakteristično projektno dilatacijo zajemajo nacionalni dokumenti posameznih držav. Predlagana vrednost v SIST EN 1992 znaša 0,9. Iz osnovnih delovnih diagramov je razvidno, da je karakteristična mejna dilatacija 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 za vsa betonska jekla neprimerno večja. Razlog projektne (dizajnirane) mejne dilatacije 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑 je doseg čim manjših odprtin razpok, s čimer zaščitimo armaturo pred korozijo. 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜺𝜺 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 (3.5) 𝒄𝒄𝒄𝒄 Razmerje med karakterističnimi nateznimi trdnostmi in karakteristično mejo plastičnosti podaja količnik k. Pravilo za projektiranje armature SIST EN 1992 omejuje za jekla do karakteristične meje plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ≤ 600 𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑚𝑚2. 𝒇𝒇 𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒄𝒄 (3.6) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 125. Slika 3.10: Idealizirani in projektni (dizajnirani) delovni diagram armaturnega jekla (za nateg in tlak) [8] 3.4.3 Duktilnost betonskega jekla SIST EN 1992 navaja dve vrsti duktilnosti, in sicer: − visoko duktilnost (HD) 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝟕𝟕𝟓𝟓 ‰; 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 > 𝒇𝒇 > 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄 − normalno duktilnost (ND) 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝟓𝟓𝟎𝟎 ‰; 𝒇𝒇 > 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄 − nizko duktilnost (LD) 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝟐𝟐𝟓𝟓‰; 𝒇𝒇 > 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒄𝒄 3.4.4 Modul elastičnosti, Poissonov količnik, temperaturni specifični količnik, strižni modul in gostota Moduli elastičnosti 𝐸𝐸𝑠𝑠 so bili prikazani v Preglednica 3.1. Predpisi SIST EN 1992 priporočajo vrednost 𝐸𝐸𝑠𝑠 = 200 𝑐𝑐𝑁𝑁 . 𝑚𝑚𝑚𝑚2 126 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − Poissonov količnik: 𝝊𝝊 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 − Specifični temperaturni količnik: 𝜶𝜶𝑻𝑻 = 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟓 𝟏𝟏 ℃ − Strižni modul: 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝑮𝑮 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐(𝟏𝟏 + 𝝂𝝂) = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔 ≅ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 𝑬𝑬𝒌𝒌 − Gostota: 𝒄𝒄𝑴𝑴 𝝆𝝆 = 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 Vse naštete vrednosti mehanskih količin betonskega jekla veljajo za temperature med −40 ℃ in +100 ℃. 3.4.5 Vpliv visoke temperature na trdnosti betonskega jekla Natezni preizkusi so pokazali, da vse vrste betonskih jekel izgubljajo natezno trdnost in elastični modul pri temperaturi nad 200 ℃. Pri temperaturi 500 ℃ natezne trdnosti padejo na polovico, pri temperaturi 900 ℃ pa že na 15 % nateznih trdnosti pri normalnih temperaturah. Zato moramo biti pozorni na nevarnost požarov. Jeklo sicer ne gori, je pa požarno neodporno. Iz grafikona na Slika 3.11 je razvidno, da je za vse vrste jekel, premera ∅ 16 𝑚𝑚𝑚𝑚, nevarna temperatura nad 350 ℃, ko natezne trdnosti strmo padajo. Običajno hladno obdelana jekla hitro izgubijo natezno trdnost pri temperaturah 550– 600 ℃. Toplo obdelana (valjana) legirana jekla pa hitro izgubijo natezne trdnosti pri temperaturah nad 800 ℃ (1074 °𝐾𝐾). 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 127. Slika 3.11: Vpliv temperature na nosilnost raznih betonskih jekel za ∅ 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎 [5] Opozarjamo na upogibanje armature s segrevanjem in naknadno ustrezno ohladitvijo. Glede na predhodna spoznanja je pri tem praviloma potrebna konzultacija z ustreznim strokovnjakom. Vpliv nizkih temperatur na trdnosti betonskega jekla Pri temperaturah nad −10 ℃ ni nevarnosti za betonska jekla. Moramo pa biti pozorni na upogibanje in varjenje betonskih jekel pri nizkih temperaturah. Preiskave so pokazale, da naravno trda, toplo valjana in hladno obdelana betonska jekla pri temperaturah do −40 ℃ pridobivajo na nateznih trdnostih, vendar pa nekoliko izgubljajo na deformabilnost, kar pomeni, da jeklo postaja bolj krhko. Bistveno zmanjšanje deformabilnosti so pokazale preiskave pri temperaturah pod −160 ℃. Pozorni moramo biti na betonsko jeklo pri temperaturah pod −165 ℃, če smo betonu dodali aditiv za večjo vodotesnost. V tem primeru uporabimo specifično armaturo (npr. KRYBAR). 128 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 3.5 Krivljenje betonskega jekla – armature Za preprečitev poškodb armature pri ukrivljanju navaja literatura naslednje minimalne premere trna: – Gladka (mehka) armatura: 𝑫𝑫𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 ∅ 𝑫𝑫𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∅, 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒌𝒌𝒇𝒇𝒊𝒊𝒄𝒄𝒄𝒄 ∅ ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑫𝑫𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ∅, 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒌𝒌𝒇𝒇𝒊𝒊𝒄𝒄𝒄𝒄 ∅ ≥ 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑫𝑫𝟑𝟑 = 𝟒𝟒 ∅𝒌𝒌, 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒌𝒌𝒇𝒇𝒊𝒊𝒄𝒄𝒄𝒄 ∅𝒌𝒌 ≤ 𝟏𝟏𝟔𝟔 (𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎𝒄𝒄𝒏𝒏𝒐𝒐) Slika 3.12: Minimalni premeri trnov za različne preseke gladke armature – Rebrasta visokovredna armatura (manj duktilna): 𝑫𝑫𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 ∅ 𝑫𝑫𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∅ 𝒌𝒌 = 𝟓𝟓 ∅ 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 129. Slika 3.13: Krivljenje rebraste armature 3.6 Zaščita armature pred korozijo Običajno beton dobro ščiti armaturo pred korozijo. Ker pa vemo, da zaradi nizke natezne trdnosti betona v armiranobetonskih konstrukcijah nastanejo razpoke, moramo v specialnih konstrukcijah, kot so bazeni, obmorski objekti, objekti kemične industrije idr., armaturo »dodatno« zaščititi pred korozijo. Običajna zaščita armature je s cinkanjem le-te. Pri tem moramo biti previdni z debelino pocinkane plasti. Cink (𝑍𝑍𝑛𝑛) reagira na razmere pri vezanju betona. Za kakšen drugi premaz armature pa moramo raziskati obstojnost tega materiala. Pocinkano armaturo moramo ločiti od neobdelane armature. Seveda se je treba za tako zaščito armature nujno posvetovati z ustreznimi strokovnjaki, katerih navodila moramo upoštevati. V preglednicah 3.3–3.5 podajamo karakteristike armaturnih elementov (mrež in palic), ki so v splošni uporabi in dobavljivosti ter predstavljajo standardno proizvodnjo. Ne glede na to pa je možnost dobiti še drugačne elemente z različnimi karakteristikami, kar je odvisno od dobavitelja in proizvajalca le-teh. 130 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 3.3: Prikaz karakteristik armaturnih palic Premer – ϕ Dolžina – l Obdelava/teža Obdelava/teža (mm) (m) gladko/(kg/m) rebrasto/(kg/m) 6 6/12 0,222 0,230 8 6/12 0,395 0,408 10 6/12 0,617 0,638 12 6/12 0,888 0,920 14 6/12 1,208 1,242 16 6/12 1,578 1,621 18 6/12 1,998 2,029 20 6/12 2,466 2,470 22 6/12 2,984 3,092 24 6/12 3,550 3,650 25 6/12 3,853 3,951 26 6/12 4,170 4,300 28 6/12 4,834 4,956 30 6/12 5,550 5,870 32 6/12 6,313 6,474 36 6/12 7,990 8,200 40 6/12 9,860 10,117 ARMATURNE MREŽE – R Nosilna armatura v vzdolžni smeri in razdelilna armatura po širini Razred jekla B500 Slika 3.14: Armaturne mreže R 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 131. Preglednica 3.4: Prikaz karakteristik armaturnih mrež R Tip Kg Kg Profil Razmik palic Premer palic Velikost mreže mreže m2 kos obdelava ev er ∅𝑣𝑣 ∅𝑎𝑎 dolžina širina (mm) (mm) (mm) (mm) (cm) (cm) R 92 1,20 10,30 gladka 150 250 4,2 4,2 400 215 R 131 1,49 16,30 rebrasta 150 250 5,0 4,2 500 220 R 133 1,50 16,50 rebrasta 125 250 4,6 4,2 500 220 R 139 1,53 16,80 gladka 100 250 4,2 4,2 500 220 R 157 1,70 18,70 rebrasta 125 250 5,0 4,2 500 220 R 166 1,74 19,10 rebrasta 100 250 4,6 4,2 500 220 R 189 1,95 21,40 rebrasta 150 250 6,0 4,2 500 220 R 196 1,98 21,70 rebrasta 100 250 5,0 4,2 500 220 R 226 2,26 24,80 rebrasta 125 250 6,0 4,2 500 220 R 257 2,68 29,40 rebrasta 150 250 7,0 5,0 500 220 R 283 2,66 29,20 rebrasta 100 250 6,0 4,2 500 220 R 308 3,09 40,70 rebrasta 125 250 7,0 5,0 600 220 R 335 3,31 43,70 rebrasta 150 250 8,0 5,0 600 220 R 385 3,64 48,00 rebrasta 100 250 7,0 5,0 600 220 R 402 3,85 50,80 rebrasta 125 250 8,0 5,0 600 220 R 424 4,29 56,60 rebrasta 150 250 9,0 5,0 600 220 R 503 4,57 60,30 rebrasta 100 250 8,0 6,0 600 220 R 509 4,97 65,60 rebrasta 125 250 9,0 5,0 600 220 R 524 5,10 67,30 rebrasta 150 250 10,0 6,0 600 220 R628 5,94 78,40 rebrasta 125 250 10,0 6,0 600 220 R 636 5,88 77,60 rebrasta 100 250 9,0 6,0 600 220 R 785 7,38 97,40 rebrasta 100 250 10,0 7,0 600 220 ARMATURNE MREŽE – Q Nosilna armatura v prečni in vzdolžni smeri Razred jekla B500 Slika 3.15: Armaturne mreže Q 132 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 3.5: Prikaz karakteristik armaturnih mrež Q Razmik Premer Tip Kg Kg Profil palic palic Velikost mreže mreže m2 kos obdelava 𝑧𝑧 ∅ dolžina širina (mm) (mm) (cm) (cm) Q 69 1,10 12,00 gladka 200 4,2 500 220 Q 131 2,10 23,10 rebrasta 150 5,0 500 220 Q 133 2,10 23,10 rebrasta 125 4,6 500 220 Q 139 2,19 24,00 gladka 100 4,2 500 220 Q 157 2,49 27,40 rebrasta 125 5,0 500 220 Q 166 2,60 28,60 rebrasta 100 4,6 500 220 Q 189 3,03 33,30 rebrasta 150 6,0 500 220 Q 196 3,09 33,90 rebrasta 100 5,0 500 220 Q 226 3,60 39,50 rebrasta 125 6,0 500 220 Q 257 4,11 45,20 rebrasta 150 7,0 500 220 Q 283 4,44 48,80 rebrasta 100 6,0 500 220 Q 308 4,89 64,50 rebrasta 125 7,0 600 220 Q 335 5,33 70,30 rebrasta 150 8,0 600 220 Q 385 6,04 79,70 rebrasta 100 7,0 600 220 Q 402 6,40 84,40 rebrasta 125 8,0 600 220 Q 424 6,73 88,80 rebrasta 150 9,0 600 220 Q 503 7,90 104,33 rebrasta 100 8,0 600 220 Q 509 8,08 106,60 rebrasta 125 9,0 600 220 Q 524 8,32 109,80 rebrasta 150 10,0 600 220 Q 628 9,99 131,80 rebrasta 125 10,0 600 220 Q 636 9,98 131,70 rebrasta 100 9,0 600 220 Q 785 12,34 162,90 rebrasta 100 10,0 600 220 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 4 Armirani beton 4.1 Uvod V predhodnih poglavjih smo spoznali fizikalne oziroma mehanske lastnosti betona in jeklene armature, materialov, ki ju združujemo v armiranobetonske elemente inženirskih konstrukcij. Armirani beton je statično in elastično sodelovanje oziroma sovprežnost dveh fizikalno različnih materialov. Predhodno pa moramo poznati še eno pomembno mehansko lastnost betona, ki v prejšnjih poglavjih še ni bila omenjena. To je adhezijska (sprijemna) napetost med betonom in armaturo. 4.2 Adhezijska (sprijemna) in izruvna trdnost (nosilnost) normalnega betona Sprijemnost (adhezija, lepenje) med betonom in armaturo je nujno potrebna, da lahko govorimo o sodelovanju teh dveh materialov, na osnovi česar lahko tudi podamo matematične modele za izračun armiranobetonskih konstrukcij za različna napetostno-deformacijska stanja. Sprijemnost je odvisna od hrapavosti površine 134 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ armaturnih palic, ki pa običajno ne zadošča za dobro sodelovanje med betonom in jekleno armaturo, saj se že pri majhnih silah sodelovanje poruši. Večje izruvne sile nam omogoči trenje, ki lahko nastopi med betonom in armaturo. Pravokotno na armaturo deluje tlačna napetost, ki je lahko posledica tlačnih reakcij podpore na nosilce in posledično na spodnjo armaturo. Prečni pritiski na armaturo se tudi pojavijo zaradi krčenja betona. Torni količnik med jekleno armaturo in betonom je odvisen od hrapavosti armature in znaša 0,3– 0,6. 36-kratno povečavo hrapavosti treh vrst armature prikazuje Slika 4.1. Slika 4.1: Hrapavosti treh vrst armatur [5] Bistveno izboljšanje izruvne nosilnosti pa dobimo z uporabo profilirane (rebraste) armature, kjer se med rebri armature in betonom ustvarijo kontaktni pritiski (moznični efekt). Te napetosti se prenašajo na betonske kratke konzole, kjer nastanejo strižne, tlačne in natezne cepilne napetosti. Šele ko so ustrezne trdnosti teh »konzol« dosežene, nastopi zdrs med armaturo in betonom. V primeru majhnega razmika reber, 𝑓𝑓ℎ = 𝑚𝑚 > 0,15 (Slika 4.2a), prevzame strižne 𝑐𝑐 napetosti valj v višini reber. V primeru velikega razmika reber, 𝑓𝑓ℎ = 𝑚𝑚 < 0,10 (Slika 𝑐𝑐 4.2b), pa se strižne napetosti pojavijo v prisekanem stožcu. 4 Armirani beton 135. 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒐𝒐 > 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒐𝒐 < 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒄𝒄 a) b) Slika 4.2: Porušne ploskve za različne primere razmikov reber [5] Parametra a in c podaja Slika 4.3, na kateri so prikazane tudi vse napetosti, ki se pojavijo med armaturo in betonom. Slika 4.3: Napetosti, ki preprečujejo izruvanje armature ∆𝐹𝐹𝑠𝑠 … sprememba natezne sile v armaturi med dvema rebroma na eno armaturno palico 𝐹𝐹 ∆𝐹𝐹𝑠𝑠 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑚𝑚 𝑚𝑚 … število reber 𝑚𝑚 … število palic 𝐹𝐹 … natezna sila 𝜏𝜏𝑐𝑐 … adhezijska napetost med armaturo in betonom (lepenje oziroma adhezija in trenje) 𝜎𝜎𝑐𝑐 … tlačna napetost med betonom in rebrom 𝜏𝜏𝑐𝑐 … strižne napetosti v betonu valja oziroma stožca med dvema rebroma 136 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Strižne trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐 (adhezija med armaturo in betonom) se z uporabo profilirane armature lahko zanemarijo, ker so vrednosti nizke. Slika 4.4: Določitev bočne nosilnosti 𝑹𝑹𝝈𝝈𝒄𝒄, strižne nosilnosti 𝑹𝑹𝝉𝝉𝒄𝒄 in bočne napetosti 𝝈𝝈𝒄𝒄 Ravnotežje med bočnimi nosilnostmi 𝑇𝑇𝜎𝜎𝑐𝑐, strižnimi nosilnostmi 𝑇𝑇𝜏𝜏𝑐𝑐 in spremembo natezne sile med dvema rebroma ∆𝐹𝐹𝑠𝑠, pri čemer zanemarimo silo lepenja 𝑇𝑇𝜏𝜏𝑐𝑐, nam omogoča izračunati bočni napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 in strižne napetosti v betonskem valju 𝜏𝜏𝑐𝑐 oziroma njun medsebojni odnos: 𝑹𝑹𝝈𝝈𝒄𝒄 ≅ 𝑹𝑹𝝉𝝉𝒄𝒄 = ∆𝑭𝑭𝒌𝒌 (4.1) 𝒅𝒅𝒃𝒃 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄 ≅ 𝒅𝒅𝒃𝒃 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝝉𝝉𝒄𝒄 = ∆𝑭𝑭𝒌𝒌 𝒐𝒐 ∆𝑭𝑭 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝒄𝒄 = (4.2) 𝒄𝒄 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐 ∆𝑭𝑭 𝝈𝝈 𝒌𝒌 𝒄𝒄 = (4.3) 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐 𝑭𝑭 ∆𝑭𝑭𝒌𝒌 = 𝒏𝒏 ∙ 𝒎𝒎 = 𝑭𝑭𝟏𝟏 𝑚𝑚 … število reber 𝑚𝑚 … število palic 𝐹𝐹1 … sila na eno armaturno palico in eno rebro 4 Armirani beton 137. Slika 4.5: Določitev spremembe natezne sile med dvema rebroma ∆𝑭𝑭𝒌𝒌 Slika 4.6: Diagram 𝝉𝝉𝒃𝒃 − ∆ za gladko in rebrasto armaturo [5] 𝜏𝜏1𝑅𝑅 … povprečna računska strižna napetost (trdnost) 138 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ G. Rehm je raziskoval izruvne napetosti 𝜏𝜏𝑐𝑐 oziroma trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐 na osnovi 𝜏𝜏 − ∆ linij za gladke in profilirane armaturne palice. »Razmerje« 𝜏𝜏1/∆ je privzeto kot sovprežna togost. Računska izruvna trdnost običajno privzame tisto vrednost, pri kateri smo palico izruvali za 0,1 mm. Dejanska izruvna trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐 za rebrasto armaturo je dvakrat večja od izruvne trdnosti gladke armature. Na Slika 4.6 pa pri gladki armaturi opazimo »ravni« del krivulje, ki nam ponazarja drsenje armature iz betona. Zato EC2-SIST EN 1992 ne dopušča več uporabe gladke armature v armiranobetonskih konstrukcijah. Pri gladki armaturi se izkaže, da se pri izvleku, večjem od 0,1 mm, adhezija vzdržuje še samo s trenjem. Na sprijemnost oziroma adhezijo med armaturo in betonom vplivajo: − kakovost betona; − površinske karakteristike armature (gladka ali rebrasta); − dimenzije elementa ter položaj in upogib armature v času betoniranja. Te odvisnosti so podane v predpisih SIST EN 1992 za rebraste (profilirane) palice. Projektna adhezijska trdnost med betonom in rebrasto armaturo: 𝒇𝒇𝒃𝒃 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝝁𝝁𝟏𝟏 ∙ 𝝁𝝁𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 (4.4) 𝜇𝜇1 … koeficient, ki je odvisen od kakovosti pogojev sidranja in lege palic med betoniranjem ter za palice v konstruktivnih elementih, ki se gradijo z drsnim opažem 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝐝𝐝𝐳𝐳𝐛𝐛𝐩𝐩𝐞𝐞 𝐩𝐩𝐳𝐳𝐤𝐤𝐳𝐳𝐩𝐩𝐞𝐞 𝐬𝐬𝐝𝐝𝐝𝐝𝐩𝐩𝐜𝐜𝐝𝐝𝐩𝐩𝐜𝐜 (4.5) 𝝁𝝁𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝐬𝐬𝐩𝐩𝐜𝐜𝐛𝐛𝐞𝐞 𝐩𝐩𝐳𝐳𝐤𝐤𝐳𝐳𝐩𝐩𝐞𝐞 𝐬𝐬𝐝𝐝𝐝𝐝𝐩𝐩𝐜𝐜𝐝𝐝𝐩𝐩𝐜𝐜 𝜇𝜇2 … koeficient, ki je odvisen od premera palic 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝝋𝝋 ≤ 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎 (𝟏𝟏𝟑𝟑𝟐𝟐 − 𝝋𝝋) (4.6) 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝝋𝝋 > 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎 4 Armirani beton 139. Slika 4.7: Opis pogojev sidranja v odvisnosti od lege armaturne palice v elementu [8] Informativno podajamo vrednosti za adhezijsko projektno trdnost za gladko armaturo (SIST EN 1992 ne dopušča več uporabe gladke armature v armiranobetonskih konstrukcijah). 𝒇𝒇𝒃𝒃 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (4.7) Povprečna izruvna napetost 𝜏𝜏1𝑚𝑚 in maksimalna izruvna napetost 𝜏𝜏𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 sta odvisni od sidrne dolžine palice, hrapavosti palice in prečnih pritiskov betona na armaturo. Iz Slika 4.7 je razvidno, da potek strižnih napetosti po vsesidrni dolžini ls težko izračunamo. Izračunamo lahko samo povprečno izruvno napetost 𝜏𝜏1𝑚𝑚 in posledično računsko sprijemno oziroma adhezijsko trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. 𝑭𝑭 𝝉𝝉𝟏𝟏𝒎𝒎 = (4.8) 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 𝑭𝑭 𝒇𝒇 ∆→𝟎𝟎,𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒃𝒃𝒅𝒅 = (4.9) 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 140 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝐹𝐹 … izruvna sila pri ∆ = 0,1 mm 𝑜𝑜 … obod armaturne palice 𝑧𝑧𝑠𝑠 … sidrna dolžina palica Prikaz poteka strižnih (izruvnih) napetosti za različne vzorce sidranja je na Slika 4.8a, b, c. Največja razlika 𝜏𝜏1𝑚𝑚–𝜏𝜏1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 je bila ugotovljena na vzorcu a), ki je zato neprimeren. Na vzorcih b) in c) smo opazili, da je povprečna izračunana napetost 𝜏𝜏1 najbližja maksimalni izruvni napetosti 𝜏𝜏1𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. Povprečno računsko napetost 𝜏𝜏1𝑚𝑚 = 𝜏𝜏1𝑅𝑅 določimo s pomočjo enačbe (4.8), s silo F, pri kateri je nastal zamik (zdrs) ∆ = 0,1 mm. Diagram na spodnji sliki prikazuje razmerje med povprečnimi izruvnimi napetostmi 𝜏𝜏1 pri različnih izruvnih vrednostih ∆0 in karakteristično tlačno trdnostjo betonskih kock 𝑓𝑓𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 za C 10/15, C 20/25 … C 40/50 za primere »ležeče« (nosilci, plošče) in »stoječe« armature (stebri, stene) ter za različna razmerja 𝑓𝑓𝑅𝑅 = 𝑚𝑚 ; �0,15 > 𝑚𝑚 ≥ 0�. 𝑐𝑐 𝑐𝑐 Slika 4.8: Preizkusni vzorci, s katerimi določimo izruvne napetosti 𝝉𝝉𝟏𝟏𝒎𝒎 in 𝝉𝝉𝟏𝟏𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 na posameznih sidrnih dolžinah ls [5] 4 Armirani beton 141. Slika 4.9: Razmerje izruvne napetosti v primerjavi s tlačnimi trdnostmi kocke v odvisnosti od marke betona, 𝒇𝒇𝑹𝑹 ter položaja in zamika ∆ armature [5] Slika 4.10: Vpliv premera armature 𝒅𝒅𝒌𝒌 na razmerje 𝝉𝝉𝟎𝟎𝟏𝟏 pri izruvanju ∆= 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎, 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝑹𝑹 = 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟓𝟓, 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎 in 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒄𝒄𝒃𝒃𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 za ležečo in stoječo/pokončno armaturo [20] 142 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Iz Slika 4.9 je tudi razvidno, da je izruvna napetost gladke armature izredno nizka. Zaradi tega se ta armatura ne sme več uporabljati v armiranobetonskih konstrukcijah. Vpliv položaja armature, količnika 𝑓𝑓𝑅𝑅 in premera armature na izruvne napetosti oziroma njuno razmerje v primerjavi s tlačno trdnostjo betonske kocke prikazuje Slika 4.10. Pri ležeči armaturi se zaradi sedimentacije cementa – veziva – pod armaturo nabira voda, ki pa jo kasneje v času strjevanja beton »posesa«. Tako nastanejo izpod armature pore, ki zmanjšujejo njen stik z betonom. 4.3 Sodelovanje armature in betona Beton, zahvaljujoč svojim dobrim lastnostim, omogoča dobro sprijemnost oziroma adhezijo z armaturo. Pri sodelovanju obeh materialov so deformacije betona in armature enake, kar pa ne velja za stanje v razpokah. Beton pri natezni porušitvi 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 doseže relativne raztezke 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 le v razponu 0,08 − 0,15 ‰. Zato se beton v nekaterih prerezih pretrže, ker ni sposoben slediti raztezkom armature. V teh prerezih vse natezne obremenitve prevzame samo armatura. Ločimo dve fazi sodelovanja betona in armature. Faza I je tako imenovana faza brez razpok, ko beton nosi tudi natezne obremenitve. Faza II je faza, ko beton v natezni coni na več mestih razpoka, v katerih prevzame natezne sile samo armatura. Napetost armature pri pretrgu betona znaša: 𝛆𝛆𝐬𝐬 = 𝛆𝛆𝐜𝐜𝐭𝐭𝐮𝐮 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ 𝐤𝐤𝐍𝐍 𝛔𝛔𝐬𝐬 = 𝛆𝛆𝐬𝐬 ∙ 𝐄𝐄𝐬𝐬 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝐌𝐌𝐌𝐌𝐜𝐜 = 𝟐𝟐 𝐜𝐜𝐦𝐦𝟐𝟐 𝐞𝐞𝐮𝐮𝐤𝐤 = 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐌𝐌𝐌𝐌𝐜𝐜 Povprečna razdalja med razpokami Povprečne razdalje med razpokami bodo izvedene za primere centričnega in ekscentričnega natega ter čistega enoosnega upogiba. Obremenitve bomo povzemali po mejnem stanju uporabnosti (MSU). 4 Armirani beton 143. 4.3.1 Centrični nateg Na Slika 4.11 je prikazan primer brez razpok, ko natezne obremenitve prevzemata beton in armatura. Natezna napetost »izven elementa«, ko celotno silo prenese samo armatura, znaša: 𝑭𝑭 𝝈𝝈𝒌𝒌𝟎𝟎 = (4.10) 𝑨𝑨𝒌𝒌 Temu ustrezna specifična deformacija armature izven betonskega elementa: 𝝈𝝈 𝑭𝑭 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟎𝟎 = (4.11) 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝑬𝑬𝒌𝒌 Na začetku armiranobetonske palice pa se del natezne sile s sprijemnimi napetostmi prenese v beton, ki bo natezno obremenjen in se bo ustrezno raztegnil (𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐). Zaradi tega natezne napetosti in dilatacije v armaturi padejo, v betonu pa narastejo. Po določeni razdalji 𝑧𝑧𝑐𝑐, ki jo imenujemo območje vnosa sile z armature v beton, natezne napetosti v betonu narastejo do vrednosti 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐, ki pa še ne dosežejo natezne trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚, zaradi česar beton ne poči. Na dolžini 𝑧𝑧𝑐𝑐 obstajajo med betonom in armaturo sprijemne napetosti 𝜏𝜏𝑐𝑐(𝑚𝑚), katerih potek pa, kot že vemo, ni točno poznan. Na intervalu dx na območju le napišemo naslednjo ravnotežno enačbo: 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒌𝒌 = 𝒅𝒅𝑭𝑭𝝉𝝉 = 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒄𝒄𝒌𝒌 (4.12) 𝒅𝒅𝝈𝝈𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝉𝝉𝒃𝒃(𝒙𝒙) ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒅𝒅𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒌𝒌 (4.13) Ta enačba pomeni, da je zmanjšanje natezne sile v armaturi enako spremembi adhezijske sile med betonom in armaturo ter enako povečanju natezne sile v betonu. 𝐴𝐴𝑆𝑆 … prerez armature 𝑜𝑜 … obod armaturne palice 𝐴𝐴𝑐𝑐0 … prerez betonskega elementa, zmanjšan za prerez armature 𝐴𝐴𝑆𝑆 Kot je že bilo omenjeno, potek sprijemnih napetosti med armaturo in betonom ni točno znan, zato na območju le upoštevamo konstantne povprečne sprijemne napetosti 𝜏𝜏1𝑚𝑚. 144 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 4.11: Potek napetosti 𝝈𝝈𝒌𝒌, 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝝉𝝉𝟏𝟏 za nerazpokani centrično tegnjeni armiranobetonski vzorec [5] Na koncu odseka vnosa natezne sile iz armature v beton (𝑧𝑧𝑐𝑐) lahko napišemo naslednjo ravnotežno enačbo (4.11), ki je nekoliko modificirana enačba (4.10). 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒌𝒌 = 𝑻𝑻𝒃𝒃 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒌𝒌 (4.14) (𝝈𝝈𝒌𝒌𝟎𝟎 − 𝝈𝝈𝒌𝒌𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝉𝝉𝟏𝟏𝒎𝒎 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 (4.15) Enačbi (4.14) in (4.15) pomenita, da je padec sile v armaturi enak adhezijski (sprijemni) sili med armaturo in betonom, ta pa je enaka natezni sili v oslabljenem prerezu betona. Na odseku a, kjer ni razpok in adhezijskih (sprijemnih) napetosti 𝜏𝜏𝑐𝑐, so specifične deformacije betona in armature enake. Na tem odseku lahko zapišemo ravnotežno enačbo, kjer ob sodelovanju betona in armature prevzemata celotno silo F beton in armatura. 𝑭𝑭 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒌𝒌 + 𝑭𝑭𝒌𝒌 (4.16) 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄 (4.17) 4 Armirani beton 145. 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑬𝑬𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑬𝑬 = ⇒ 𝝈𝝈𝒌𝒌 = ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 (4.18) 𝒌𝒌 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝑬𝑬 𝜶𝜶 𝒌𝒌 𝒄𝒄 = (4.19) 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝛼𝛼𝑐𝑐 … količnik ekvivalence za kratkotrajno obremenitev Enačbi (4.16) in (4.17) definirata pojem armiranje betona. Armirani beton je torej statično in elastično sodelovanje betona in armature (sovprežnost). Ko vstavimo enačbo (4.18) v enačbo (4.16), dobimo: 𝑭𝑭 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝝈𝝈𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 (4.20) = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌(𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌) Za stanje v fazi I (stanje brez razpok) so natezne napetosti v armaturi zelo nizke. 𝑵𝑵 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 ≈ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏 ‰ ⇒ 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒌𝒌 ∙ 𝑬𝑬𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟒𝟒 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 Natezna napetost v betonu za stanje v fazi I znaša: 𝑭𝑭 𝑭𝑭 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 = (4.21) 𝑨𝑨 = 𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = (𝑨𝑨𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌) + 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 (4.22) = [𝑨𝑨𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌] 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 … tako imenovani »idealni prerez« betona − to je tisti prerez »betona«, ki nosi pri isti specifični deformaciji armature in betona isto silo kot armiranobetonski prerez Ko doseže natezna napetost v betonu 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 natezno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚, bo beton v najslabšem delu oziroma prerezu počil – tam se bo pojavila prva razpoka. V razpokah izginejo natezne in adhezijske napetosti v betonu, vso natezno silo pa 146 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ prevzame armatura. Od te razpoke levo in desno se zopet pojavi novo območje vnosa sile iz armature v beton (𝑧𝑧𝑐𝑐) in nove adhezijske napetosti 𝜏𝜏𝑐𝑐. To stanje prikazuje Slika 4.12. Slika 4.12: Prikaz 𝝈𝝈𝒌𝒌,𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝝉𝝉𝟏𝟏 pri pretrganem vzorcu s centrično natezno osno silo [5] V razpoki se nahaja armiranobetonski element v tako imenovani fazi II. S povečanjem sile se pojavi nova razpoka in se napetostne razmere (𝜎𝜎𝑠𝑠,𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 in 𝜏𝜏𝑐𝑐) prerazdelijo, kar prikazujejo črtkane krivulje na Slika 4.12. Iz te slike je razvidno, da območje vnosa sile iz armature v beton že predstavljajo razdaljo med razpokami. Razdaljo med razpokami 𝑧𝑧𝑐𝑐 lahko izračunamo s pomočjo enačbe 4.23, ki »izhaja« iz (4.15). 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝝉𝝉𝟏𝟏𝒎𝒎 ∙ 𝒌𝒌 (4.23) Razpoka nastane, ko natezna napetost betona 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 doseže natezno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Ker takrat armatura v razpoki zdrsne od betona, so dosežene tudi sprijemne (adhezijske) trdnosti betona 𝑓𝑓𝑐𝑐. 𝝓𝝓𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝝓𝝓 ∙ 𝒌𝒌 𝟒𝟒𝑨𝑨 𝒌𝒌 = 𝝓𝝓 ∙ 𝟐𝟐; 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝒌𝒌 = (4.24) 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 ⇒ 𝒌𝒌 = 𝝓𝝓 4 Armirani beton 147. Z upoštevanjem (4.23) in (4.24) dobimo srednjo razdaljo med razpokami: 𝒇𝒇 (𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝝓𝝓 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌)𝝓𝝓 𝒐𝒐𝒎𝒎 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 = (4.25) 𝒇𝒇 ∙ = 𝒃𝒃 𝟒𝟒𝑨𝑨𝒌𝒌 𝟒𝟒 ∙ 𝑲𝑲𝟏𝟏 ∙ 𝑲𝑲𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 (𝑨𝑨 … 𝝆𝝆(𝝁𝝁) (4.26) 𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌) ≈ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝜌𝜌(𝜇𝜇) … količnik armiranja 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝟎𝟎,𝟎𝟎 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝐩𝐩𝐞𝐞𝐛𝐛𝐩𝐩𝐜𝐜𝐬𝐬𝐭𝐭𝐳𝐳 𝐜𝐜𝐩𝐩𝐦𝐦𝐜𝐜𝐭𝐭𝐮𝐮𝐩𝐩𝐳𝐳 (4.27) 𝒇𝒇 = 𝑲𝑲𝟏𝟏 − 𝟏𝟏,𝟔𝟔 𝐳𝐳𝐜𝐜 𝐤𝐤𝐩𝐩𝐜𝐜𝐝𝐝𝐤𝐤𝐳𝐳 𝐜𝐜𝐩𝐩𝐦𝐦𝐜𝐜𝐭𝐭𝐮𝐮𝐩𝐩𝐳𝐳 𝒃𝒃 Količnik 𝐾𝐾1 predstavlja razmerje med nateznimi in sprijemnimi trdnostmi betona ter je enak za vse marke betona. Razlikuje se samo od hrapavosti armature (SIST EN 1992 upošteva samo še hrapavo armaturo v armiranobetonskih konstrukcijah). 𝐾𝐾2 je odvisen od diagrama napetosti in znaša za centrični nateg 1. S pomočjo (4.21) izračunamo natezno silo v betonu v trenutku nastanka prve razpoke, ko natezne napetosti betona 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 dosežejo povprečno natezno trdnost betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚. 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 (4.28) 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 [𝑨𝑨𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌] (4.29) = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 [𝟏𝟏 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝝆𝝆 ] 𝜎𝜎𝑘𝑘 … razpoka (crack) Natezna napetost v armaturi takoj po nastanku razpoke znaša: 𝑭𝑭 𝑨𝑨 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄[𝟏𝟏 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝝆𝝆] 𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝑨𝑨 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 [𝟏𝟏 + (𝜶𝜶 = 𝒇𝒇 𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝝆𝝆] 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑨𝑨 (4.30) 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ [𝟏𝟏 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝝆𝝆] 𝝆𝝆 148 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ V praksi pa se namesto (4.30) pogosto uporablja (4.31), kjer smo delež armature 𝛼𝛼𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴𝑠𝑠 zanemarili in je idealni prerez betona predstavljala samo ploščina betonskega prereza. Napaka z uporabo enačbe (4.31) je nebistvena pri slabo armiranih perezih. 𝒇𝒇 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒐𝒐 = (4.31) 𝝆𝝆 Opomba: pri centričnem in ekscentričnem nategu male ekscentritete predstavlja 𝐴𝐴𝑐𝑐 površino celotnega betonskega prereza. Izraza v oglatem oklepaju enačb (4.29) in (4.30) sta predvsem odvisna od količine armature in tlačne trdnosti betona ter znašata 1,05 in 1,2. Natezna napetost v armaturi v razpoki pri dejanski obremenitvi znaša (faza II): 𝑭𝑭 𝝈𝝈𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 = (4.32) 𝑨𝑨𝒌𝒌 Natezno napetost v armaturi pred nastankom razpoke (faza I) določimo s pomočjo enačb (4.18) in (4.20) ter znaša: 𝑭𝑭 𝑭𝑭 𝝈𝝈𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 (4.33) 𝑨𝑨 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑨𝑨𝒄𝒄[𝟏𝟏 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝝆𝝆] Razvidno je, da je precej manjša od natezne napetosti v armaturi, ko je beton počil (faza II). Skok napetosti v armaturi ∆𝜎𝜎𝑠𝑠 med fazama I in II je odvisen od prereza armature ter ga prikazuje Slika 4.13: Prikaz sprememb napetosti v armaturi za močno (a) in slabo (b) armirane prereze. 4 Armirani beton 149. Slika 4.13: Prikaz sprememb napetosti v armaturi za močno (a) in slabo (b) armirane prereze. »Skok« napetosti v armaturi ob nastanku razpoke znaša: 𝑭𝑭 𝑭𝑭 ∆𝝈𝝈 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒌𝒌 = 𝝈𝝈𝒌𝒌 − 𝝈𝝈𝒌𝒌 − 𝑨𝑨 − 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨 = 𝒇𝒇 𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝒄𝒄 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 � (4.34) 𝑨𝑨 − 𝟏𝟏� 𝒌𝒌 𝑨𝑨 = 𝒇𝒇 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 � 𝑨𝑨 − 𝟏𝟏� 𝒌𝒌 4.3.2 Čisti upogib Pri čistem upogibu bo razpoka nastala v prerezu blizu maksimalnega upogibnega momenta, v najbolj tegnjenem vlaknu. Faza I: 𝑴𝑴 ∙ 𝒐𝒐 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑰𝑰 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 (4.35) 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒌𝒌 – maksimalna natezna napetost v betonu 𝑴𝑴 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑰𝑰 ∙ 𝒐𝒐𝒄𝒄 ≪ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (4.36) 𝒊𝒊 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄 – maksimalna tlačna napetost v betonu 150 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 4.14: Potek normalnih napetosti 𝝈𝝈𝒌𝒌, 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 in adhezijskih napetosti 𝝉𝝉𝟏𝟏 pri upogibno obremenjenem nosilcu za fazi I in II [5] 𝑴𝑴 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 𝑰𝑰 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 (4.37) 𝒊𝒊 𝝈𝝈𝒌𝒌 – natezna napetost v armaturi Upogibni moment, pri katerem nastane ena razpoka, izračunamo po enačbi (4.38): 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝑴𝑴 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊 𝑰𝑰 𝒐𝒐 = (4.38) 𝒐𝒐𝑰𝑰 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊 𝒌𝒌 Upogibna togost armiranobetonskega nosilca za fazo I znaša: (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑬𝑬𝒌𝒌 ∙ 𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎(𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄𝑰𝑰𝒌𝒌) = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 (4.39) 4 Armirani beton 151. 𝑰𝑰𝑰𝑰 , ,𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄�𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 � (4.40) 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑 – »idealni« vztrajnostni moment armiranobetonskega preseka 𝐼𝐼𝑐𝑐 – vztrajnostni moment celotnega betonskega preseka okrog težiščne osi Na odseku vnosa sile iz armature v beton se pojavijo adhezijske napetosti 𝜏𝜏1, ki so odvisne od prečne sile 𝑉𝑉𝑛𝑛. Ko se na območju maksimalnega upogibnega momenta pojavi prva razpoka, se ta prerez armiranobetonskega nosilca nahaja v fazi II, kjer vso upogibno obremenitev prenašata samo tlačni del betona s tlačno armaturo in natezna armatura. Seveda se z večanjem obtežbe F2 > F1, F3 > F2 pojavljajo nove razpoke, obstoječe pa se odpirajo oziroma širijo in poglabljajo v tlačno cono. Istočasno se večajo tlačne napetosti v betonu (𝜎𝜎𝑐𝑐) in natezne napetosti armature (𝜎𝜎𝑠𝑠). Ob novih razpokah se pojavljajo nove adhezijske napetosti 𝜏𝜏1, natezne napetosti betona med razpokami pa znašajo med 0 in 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Pri visokih obremenitvah se »skoraj« ves nosilec nahaja v fazi II. Nerazpokani del je le na odsekih, kjer je 𝑀𝑀 ≤ 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑀𝑀𝑎𝑎. Natezna napetost v armaturi in tlačna napetost v betonu za fazo IIa znaša: 𝑴𝑴 𝑴𝑴(𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 𝝈𝝈𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒌𝒌 = 𝒐𝒐 ∙ 𝑨𝑨 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 𝑰𝑰𝑰𝑰 (4.41) 𝒌𝒌 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝝈𝝈𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 (4.42) 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 , , ,𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄�𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 � (4.43) 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝑰𝑰, 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄 = � 𝒐𝒐𝟐𝟐𝒅𝒅𝑨𝑨 = 𝒃𝒃 � 𝒐𝒐𝟐𝟐𝒅𝒅𝒐𝒐 = (4.44) 𝑨𝑨, 𝟎𝟎 𝟑𝟑 𝒄𝒄 𝐼𝐼,𝑐𝑐 … vztrajnostni moment tlačnega betona 152 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Upogibna togost armiranobetonskega nosilca za fazo IIa znaša: (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝑰𝑰𝑰𝑰 , 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎(𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄𝑰𝑰𝒌𝒌) = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 (4.45) Natezna napetost v armaturi v trenutku nastanka prve razpoke je pri čistem upogibu pravokotnega prereza približno 5-krat manjša kot pri centričnem nategu. 𝑴𝑴 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝒇𝒇 𝝈𝝈 𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒐𝒐𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨 = 𝑰𝑰 = 𝒌𝒌 𝒐𝒐𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒉𝒉 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉/𝟐𝟐 (4.46) 𝒇𝒇 𝒇𝒇 ≅ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟓𝟓, 𝟏𝟏 ∙ 𝑨𝑨 = 𝒌𝒌/𝑨𝑨𝒄𝒄 𝟓𝟓, 𝟏𝟏 ∙ 𝝆𝝆 Razdaljo med razpokami oziroma vnos sile iz armature v beton pri čistem upogibu lahko izračunamo s pomočjo (4.25) in (4.38) ter Slika 4.5. Pri upogibu moramo upoštevati samo natezno cono betona, ki pa jo bomo še reducirali (zmanjšali) na območje maksimalnih napetosti v armaturi. Slika 4.15: Napetostni diagram pri nizkih upogibnih napetostih (faza I) Za fazo I velja linearni napetostni diagram v tlačni in natezni coni. S pomočjo enačb (4.14), (4.15) in (4.24) dobimo sprijemno silo 𝐹𝐹𝑐𝑐. 4 Armirani beton 153. 𝟒𝟒𝑨𝑨 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒃𝒃 ∙ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒃𝒃 ∙ (4.47) 𝝓𝝓 Rezultanta nateznih napetosti nerazpokanega prereza znaša: 𝑭𝑭 𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌 = � 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉−𝒙𝒙𝑰𝑰 𝒐𝒐 𝒃𝒃 ∙ 𝒇𝒇 = 𝒃𝒃 ∙ � 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟎𝟎 𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒐𝒐 = 𝑰𝑰 𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰 (4.48) (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 ∙ 𝑰𝑰)𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 Z upoštevanjem (4.15), (4.47) in (4.48) izračunamo 𝒄𝒄𝒄𝒄. 𝟏𝟏 𝒃𝒃 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 𝑭𝑭 𝑰𝑰) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝝓𝝓 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑻𝑻𝒃𝒃 ⇒ 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒃𝒃 ∙ 𝟒𝟒𝑨𝑨𝒌𝒌 (4.49) 𝟏𝟏 𝝓𝝓 = 𝟒𝟒 ∙ 𝑲𝑲𝟏𝟏 ∙ 𝑲𝑲𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆𝒌𝒌 𝒇𝒇 𝑲𝑲 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟏𝟏 = 𝒇𝒇𝒃𝒃 (4.50) 𝑲𝑲𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝑨𝑨+ 𝑨𝑨+ 𝝆𝝆 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝒌𝒌 = (4.51) 𝒃𝒃(𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) = 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒌𝒌 𝜌𝜌𝑐𝑐 … količnik armiranja natezne armature s pripadajočo natezno cono betona Podobno enačbo, kot sta (4.25) in (4.48), navaja predpis SIST EN 1992, ki podajaja enačbo za maksimalno razdaljo med razpokami 𝜀𝜀𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. V (4.52) je dodan še člen 𝐾𝐾3 ∙ 𝜎𝜎, ki zajema zaščitni sloj armature 𝜎𝜎 in faktor 𝐾𝐾3. Izračun maksimalne razdalje med razpokami po SIST EN 1992 odgovarja razdalji med razpokami pri 95-odstotni kvantili (fraktili). 154 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒌𝒌𝒐𝒐,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙=𝑲𝑲𝟑𝟑 ∙ 𝒄𝒄 + 𝑲𝑲𝟏𝟏 ∙ 𝑲𝑲𝟐𝟐 ∙ 𝑲𝑲𝟒𝟒 ∙ 𝝓𝝓 (4.52) 𝝆𝝆𝒑𝒑,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝐾𝐾2 = 1,0 … centrični nateg 𝐾𝐾2 = 0,5 … »čisti« upogib 𝐾𝐾2 = 𝜀𝜀1+𝜀𝜀2 … ekscentrični nateg male ekscentritete; 𝜀𝜀 2𝜀𝜀 1 > 𝜀𝜀2 1 𝐾𝐾3 = 3,4 𝐾𝐾4 = 0,425 = 1 ∙ 1,7; 𝜀𝜀 4 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝛽𝛽 ∙ 𝜀𝜀𝑎𝑎𝑚𝑚 = 1,7 ∙ 𝜀𝜀𝑎𝑎𝑚𝑚 𝜎𝜎 … zaščitni – krovni sloj armature, odvisen od klimatskih con (glej SIST EN 1992, točka 4.2, preglednice 4.1, 4.2, 4.3N, 4.4N in 4.5N) (𝜙𝜙𝑎𝑎𝑐𝑐𝑓𝑓)𝜙𝜙 … premer armaturne palice 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝝆𝝆 𝒌𝒌 + 𝝃𝝃𝟏𝟏 𝒑𝒑 𝒑𝒑,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝑨𝑨 (4.53) 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝐴𝐴𝑝𝑝 … prerez predhodno ali naknadno napetih kablov znotraj 𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓 … učinkovit del betonskega prereza, ki obdaja natezno armaturo ali prednapete kable z višino ℎ𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓 (Slika 4.14a, b, c) 𝟐𝟐, 𝟓𝟓(𝒉𝒉 − 𝒅𝒅) ⎧ 𝒉𝒉−𝒙𝒙 𝒉𝒉 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 (glej Slika 4.16) ⎨ 𝟑𝟑 ⎩ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝒉𝒉𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 ∙ 𝒃𝒃(𝒙𝒙) (4.54) 𝝓𝝓 𝝃𝝃 𝒌𝒌 𝟏𝟏 = �𝝃𝝃 (4.55) 𝝓𝝓𝒑𝒑 𝜉𝜉1… prirejeno razmerje sprijemne trdnosti, ki upošteva različne primere jekla za armiranje in prednapenjanje 4 Armirani beton 155. 𝜉𝜉… razmerje med sprijemno trdnostjo prednapetega in armaturnega jekla po Preglednica 4.1 𝜙𝜙𝑠𝑠… maksimalni premer armaturne palic 𝜙𝜙𝑝𝑝 … nadomestni premer kabla Preglednica 4.1: Vrednosti koeficienta 𝝃𝝃 𝜉𝜉 Povezani kabli Jeklo za prednapenjanje Predhodno napenjanje Naknadno napenjanje C < 50/60 C > 70/85 gladke palice in žice ni uporabno 0,3 0,15 vrvi 0,6 0,5 0,25 nazobčane žice 0,7 0,6 0,3 rebraste palice 0,8 0,7 0,35 Za »čiste« armiranobetonske konstrukcije v enačbi (4.53) sumand 𝜉𝜉21∙𝐴𝐴𝑝𝑝 odpade in znaša 𝜌𝜌𝑝𝑝,𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝑨𝑨 𝝆𝝆 𝒌𝒌 𝒑𝒑,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = (4.56) 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒇𝒇 Količnik 𝐾𝐾2 za ekscentrični nateg male ekscentritete dobimo iz (4.57). 𝑲𝑲𝟐𝟐 = 𝜺𝜺𝟏𝟏+𝜺𝜺𝟐𝟐; 𝜺𝜺 𝟐𝟐𝜺𝜺 𝟏𝟏 > 𝜺𝜺𝟐𝟐 (4.57) 𝟏𝟏 𝑵𝑵𝑰𝑰 𝑵𝑵𝑰𝑰 ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 = 𝑨𝑨 + 𝑰𝑰 ⇒ 𝜺𝜺𝟏𝟏 = 𝒄𝒄 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝑵𝑵𝑰𝑰 𝑵𝑵𝑰𝑰 ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝑨𝑨 − 𝑰𝑰 ⇒ 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝒄𝒄 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 Za 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 → 𝒄𝒄 = 𝒗𝒗 ≅ 𝒉𝒉 𝟔𝟔 𝐾𝐾2 = 0,5 – pri upogibu brez osne sile 𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀2; e = 0 𝐾𝐾2 = 1,0 – pri centričnem nategu 156 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 0,5 ≤ 𝐾𝐾2 ≤ 1 Slika 4.16: Učinkoviti natezni del betonskega prereza (značilni primeri),[8] Slika 4.17: Dilatacija betona pri »mali« ekscentriteti 4 Armirani beton 157. Posebni primeri Ker so jeklene palice običajno armirane z različnimi premeri armature, moramo za izračun razdalje vnosa sile iz armature v beton 𝑧𝑧𝑐𝑐 (4.25) določiti tako imenovani efektivni premer armature. SIST EN 1992 navaja (4.58): ∑ 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒊𝒊 𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝒏𝒏 + 𝒏𝒏 + ⋯ + 𝒏𝒏 𝝓𝝓 𝒊𝒊 ∙ 𝝓𝝓𝒊𝒊 𝟏𝟏 ∙ 𝝓𝝓𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∙ 𝝓𝝓𝟐𝟐 𝒄𝒄 ∙ 𝝓𝝓𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒇𝒇 = ∑ = (4.58) 𝒊𝒊 𝒏𝒏𝒊𝒊 ∙ 𝝓𝝓𝒊𝒊 𝒏𝒏𝟏𝟏 ∙ 𝝓𝝓𝟏𝟏 + 𝒏𝒏𝟐𝟐 ∙ 𝝓𝝓𝟐𝟐 + ⋯ + 𝒏𝒏𝒄𝒄 ∙ 𝝓𝝓𝒄𝒄 𝑚𝑚𝑖𝑖 … število enakih armaturnih palic Če pa smo primorani armaturne palice enakega premera povezati v svitke, izračunamo efektivni premer armature po navodilu SIST EN 1992 iz (4.59): 𝝓𝝓𝒌𝒌𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝝓𝝓�𝒏𝒏𝒃𝒃 < 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎 (4.59) 𝑚𝑚𝑐𝑐 … število armaturnih palic, povezanih v svitku 𝒏𝒏𝒃𝒃 = 𝟐𝟐 → ; 𝒏𝒏𝒃𝒃 = 𝟑𝟑 → Opomba: sprijemna (adhezijska) površina »zvezanih« palic je manjša od adhezijske površine samostojnih armaturnih palic. 𝝓𝝓𝒌𝒌𝒗𝒗. 𝒌𝒌𝒗𝒗. 𝒌𝒌𝒗𝒗. 𝒄𝒄𝒇𝒇 > 𝝓𝝓 → 𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝒄𝒄𝒄𝒄 → 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 > 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 (4.60) 158 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 5 Armirani beton – mejna stanja 5.1 Uvod Pri analizi armiranobetonskih konstrukcij bodo obravnavani principi mejnih stanj. Mejna stanja so stanja, katerih prekoračitev povzroči to, da konstrukcija ne izpolnjuje več računskih zahtev, varnosti in uporabe. Klasična teorija dopustnih napetosti ne daje odgovora na vprašanje nosilnosti ter potrebne varnosti elementov in konstrukcije, kar je pomembno pri sodelovanju (sovpregi) betona in jekla. Stopnja varnosti mora biti izpolnjena za oba materiala in oba naj bosta maksimalno izkoriščena. Pri dimenzioniranju morajo armiranobetonski elementi zadostiti naslednjim zahtevam: − obstajati mora zadostna varnost napram porušitvi; − za vse bistvene kombinacije obtežb se zadosti pogojem nosilnosti in omeji razpoke; − skupne deformacije – ob upoštevanju lezenja in krčenja betona ter temperature – ne smejo povzročati neugodnih vplivov na konstrukcijo v vsej njeni »življenjski« dobi (v času eksploatacije). 160 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Ločimo: Mejno stanje nosilnosti – MSN (Ultimate Limit State – ULS) MSN odgovarja maksimalni nosilnosti betona ali armature. Ogroženo MSN vodi v izgubo zanesljivosti in zahteva temeljito rekonstrukcijo konstrukcije, če je ta možna. To mejno stanje nastane pri delovanju upogibnih momentov, osnih in prečnih sil, torzijskih momentov, preboja, nezadostne sovprege med betonom in armaturo. MSN obravnava: − izgubo ravnotežja konstrukcije ali dela konstrukcije (𝑀𝑀𝑎𝑎 ≤ 𝑀𝑀𝑑𝑑); − nastanek plastičnih členkov, ko pri statično določenih ali nedoločenih konstrukcijah nastopi kinematična veriga (statično predoločena konstrukcija oziroma manjkrat statično nedoločena konstrukcija); − uklon ali izbočitev v elastičnem ali plastičnem področju; − nestabilnost zaradi prevelikih deformacij; − utrujanje materiala zaradi dinamične obremenitve (žerjavne proge, mostovi, nadvozi itd.); − izgubo stabilnosti podpor (temeljev); − porušitev po materialu v kritičnem prerezu ali z dosegom zadostnih deformacij; − nestabilnost konstrukcije zaradi velikih pomikov in deformacij. Mejno stanje uporabnosti – MSU (Servicieability Limit State – SLS) MSU odgovarja zahtevam za normalno uporabo, trajnost in videz konstrukcije. Ogroženo MSU ne povzroča tako hudih posledic kot ogroženo MSN in se take konstrukcije po odpravi napak še lahko uporabljajo. MSU obravnava: − deformacije (povesi, zasuki) in spremembo oblike, ki vplivajo na izgled konstrukcije; 5 Armirani beton – mejna stanja 161. − nihanja (vibracije) konstrukcije, ki povzročajo nelagodja pri uporabnikih, s čimer je omejena funkcionalnost objekta; − razpoke betona, ki vplivajo na izgled, trajnost in vodotesnost betona. 5.2 Metoda mejnega stanja nosilnosti (porušitve) – MSN Ta metoda odgovarja namenu, da se čim bolj prilagodimo lastnostim materialov (delovni diagram betona – DDB in delovni diagram armature – DDA). MSN obravnava mejno nosilnost preseka ali konstrukcije, kar je v nasprotju z metodo dopustnih napetosti, ki podaja samo varnost med trdnostjo in dejansko napetostjo betona oziroma armature. MSN obravnava napetosti (𝜎𝜎𝑖𝑖𝑖𝑖) in deformacije (𝜀𝜀𝑖𝑖𝑖𝑖) »tik« pred porušitvijo. Mnoge preiskave potrjujejo pravilnost MSN, saj lahko tudi ocenimo duktilnost elementa (preseka). Opazimo različne faze napetostnega in deformacijskega stanja (𝜎𝜎−𝜀𝜀) ter izkoriščenost nosilca v različnih območjih. Opazujmo armiranobetonski nosilec konstantnega prereza in znane armature, obtežene s koncentrirano silo na sredini nosilca. Zanimajo nas napetosti in dilatacije v različnih prerezih. Slika 5.1: Prikaz napetostnih stanj v pravokotnem nosilcu AB, obremenjenem s centrično silo 162 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ – Napetostno in deformacijsko stanje Ia Območje je brez razpok, tlačne in natezne napetosti so majhne in linearne, beton je nosilen tudi v natezni coni, kjer je 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 manjši od 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Dilatacije betona v natezni coni ne presežejo 0,1–0,15 %. Upogibna togost v fazi Ia je bila podana z (4.39) in (4.40). Izkoriščenost prereza je tu najmanjša. – Napetostno in deformacijsko stanje Ib Opozarja, da je beton v zaščitni plasti armature dosegel natezno trdnost. Diagram napetosti v natezni coni poteka krivočrtno, v tlačni coni pa linearno. Upogibna togost v fazi Ib je približno enaka upogibni togosti v fazi Ia. – Napetostno in deformacijsko stanje IIa Z večjo obremenitvijo se razpoke v natezni coni »odpirajo« in širijo v notranjost prereza. Tlačne napetosti niso več linearne, ampak so lahko ukrivljene, saj sledijo DDB. Za izračun nevtralne osi in napetosti zadostuje linearni raznos tlačnih napetosti. Maksimalne tlačne napetosti ne presegajo (0,45–0,50) 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 tlačnih trdnosti 𝜎𝜎𝑐𝑐= (0,45–0,50) 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. Beton v natezni coni več ne nosi in ga izločimo. Upogibna togost armiranobetonskega pravokotnega prereza za fazo IIa je bila podana z (4.43), (4.44) in (4.45). Izkoriščenost prereza je večja kot v fazi I. To stanje je značilno za MSU. – Napetostno in deformacijsko stanje IIb Značilno za stanje pred porušitvijo. Razpoke so se še bolj poglobile in odprle. Diagram tlačnih napetosti poteka krivočrtno in sledi DDB. V krajnem vlaknu betona (zgornji rob nosilca AB) napetosti več ne naraščajo, pač pa samo specifične deformacije (𝜀𝜀𝑐𝑐). Tlačna cona betona se manjša. V vseh stanjih (fazah) velja Bernoulli-Eulerjeva hipoteza o ravnih – planih prerezih, ki tudi po deformaciji ostanejo ravninski (𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑘𝑘𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜀𝜀 je linearen). Na sliki 5.2 je prikazano obnašanje betona in armature v vseh fazah obremenitve. 5 Armirani beton – mejna stanja 163. – Območje 0-a Deformacije in napetosti potekajo linearno, beton ni razpokal, obnaša se elastično v tlačni in tegnjeni coni. – Območje a–b Pojavijo se razpoke v natezni coni, kjer nosi vse natezne napetosti v razpoki samo armatura, ki se elastično obnaša do meje plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐. Razpoka se širi in poglablja, s čimer pada upogibna togost armiranobetonskega prereza, veča pa se ukrivljenost 𝑀𝑀 / 𝐸𝐸𝐼𝐼 = 𝛋𝛋. – Območje b–c V tej fazi se plastificirata beton in armatura, lahko po tudi samo beton (pri močno armiranih prerezih) ali samo armatura (pri »slabo« armiranih oziroma duktilnih prerezih). Pri nosilcih se pojavijo plastični členki, pri ploščah pa črte loma. Pri obojestransko vpetem nosilcu bodo nastali plastični členki ob podporah (𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚), s čimer bo v tem vozlišču nastal majhen zasuk nosilca. Zaradi tega se bosta povečala poves in upogibni moment v polju. Ob podpori pa se bo vpetostni moment zmanjšal. V tem primeru govorimo o tako imenovani redistribuciji vplivov (upogibnih momentov), kar prikazuje črtkana črta na Slika 5.3. – Območje c–d To je območje porušitve, ko napetosti betona v krajnih vlaknih ne naraščajo, naraščajo samo specifične deformacije (𝜀𝜀𝑐𝑐). Porušitev lahko nastopi po: − betonu, kjer pride do drobljenja betona v tlačni coni, deformacije in razpoke so neznatne; − armaturi, ko se razpoke pojavijo po skoraj celotni višini nosilca; − betonu in armaturi, in sicer pri istočasnem izčrpanju nosilnosti natezne armature in betona. To porušitev imenujemo tudi balansirani zlom, ki nastane ob predhodnih vidnih deformacijah in razpokah. 164 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 5.2: Diagram: upogibni moment/ukrivljenost za različne obremenitve nosilca AB Slika 5.3: Redistribucija upogibnega momenta zaradi nastanka plastičnih členkov v podporah 5 Armirani beton – mejna stanja 165. Katera od zgoraj naštetih možnosti je odločilna za porušitev, je odvisno od: − kakovosti betona in armature; − oblike in velikosti betonskega prereza; − količine armature; − vrste obremenitve (M, M ∓ N, N). Porušitev po armaturi lahko nastane iz dveh razlogov: a) količina armature je nezadostna (𝜌𝜌 < 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛), da lahko prevzame natezne napetosti ob nastanku prvih razpok. Porušitev je trenutna, in da to preprečimo, moramo presek armirati vsaj z minimalnim prerezom armature; b) v drugem primeru nastane porušitev zaradi »izčrpanosti« armature – prevelikih napetosti oziroma dilatacij. Vedeti pa moramo, da porušitev ne nastopi ob nastanku prvih razpok, temveč pri višjih obremenitvah, ko so se razpoke »formirale« (razpoke so širše in globje, novih razpok pa praviloma več ni). Povesi nosilca »počasi« naraščajo. Ta porušitev je duktilna in ni nevarna, saj je relativno počasna in jo lahko preprečimo. Porušitev po betonu (neduktilna porušitev) nastane pri močno armiranih presekih, zaradi česar armatura ne doseže niti meje plastičnosti, ali pri ekscentričnem tlaku, ko je pretežni del betonskega prereza tlačen. Taka porušitev je trenutna, brez vidnih razpok in večjih povesov. Zato je nevarna. Tako porušitev imenujemo krhki lom po betonu. Priporočamo takšno dimenzioniranje, da sta »istočasno« izčrpana beton in armatura ali samo armatura. Za armiranobetonski nosilec, kjer istočasno nastane porušitev po betonu in armaturi, z omejeno dilatacijo armature, je to odvisno od razmerja 𝑀𝑀 < 𝑀𝑀𝑐𝑐. Napetosti v armaturi in betonu tlačnega roba prikazuje Slika 5.4. Ko nastane prva razpoka (𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎), skokovito narastejo napetosti v armaturi in betonu. Napetosti v armaturi linearno naraščajo do plastifikacije le-te, medtem ko v betonu tlačne napetosti naraščajo nelinearno. Ko armatura doseže mejo plastičnosti, napetosti betona »hitro« narastejo do porušitve. 166 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 5.4: Obnašanje betona in armature v odvisnosti od razmerja 𝑴𝑴/𝑴𝑴𝒄𝒄 5.3 Problem in koncept varnosti inženirskih konstrukcij Projektanti in izvajalci inženirskih konstrukcij ne poznajo do potankosti vseh dejavnikov, ki vplivajo na varnost konstrukcij. Evropske norme temeljijo na tako imenovanem semiprobabilističnem konceptu varnosti, kar pomeni, da tako dolgo upoštevamo verjetne teoretične metode, dokler niso potrjeni tako imenovani delni faktorji varnosti obtežb in materiala. Teoretične rezultate mora potrditi eksperiment. 5 Armirani beton – mejna stanja 167. Primeri, ki izhajajo iz nezadostnega poznavanja odločilnih faktorjev za varnost konstrukcije, so: − fizikalno-mehanske lastnosti materialov; − velikost in način delovanja obtežb in njihovih kombinacij; − sprememba fizikalnih lastnosti materialov; − nepredvidene spremembe in napake med gradnjo; − geometrijske netočnosti; − netočnosti računskega modela v primerjavi z dejanskim obnašanjem konstrukcije; − nivo usposobljenosti projektantov in izvajalcev, opremljenost in organizacija gradnje. 5.4 Faktorji varnosti Račun po mejni nosilnosti obravnava nosilnost preseka konstrukcije, kjer morajo biti izpolnjene: − zadostna varnost napram porušitvi za »mejno« obtežbo in trdnost materiala; − zadostna varnost nosilnosti za dejanske obtežbe v življenjski dobi objekta z omejitvijo razpok; − omejitev deformacij zaradi vseh obtežb, upoštevajoč tudi temperaturo, krčenje in lezenje betona. Faktorji varnosti morajo »pokriti«: − netočne ocene stalne in spremenljive (koristne) obtežbe. Spremembe stalne obtežbe lahko nastanejo zaradi spremembe dimenzij elementov in gostote (volumenske teže) betona. Spremenljive obtežbe pa lahko še bolj odstopajo od privzetih, s predpisi podanih obtežb; − netočnosti ocen trdnosti in deformacij betona in armature, saj so raznosi rezultatov vzorcev lahko različni; − odstopanja privzetega statičnega sistema z ozirom na dejanski statični sistem; − odstopanja trdnosti materiala v vzorcu od materiala v konstrukciji; 168 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − vpliv lezenja in krčenja (betona) na končne trdnosti betona; − netočnosti pri izvedbi, tolerantna odstopanja od vertikale, netočnosti dimenzij preseka; − možne razlike položaja armature od zahtevanega položaja le-te; − korozijo betona in armature, ki zmanjšuje nosilnost elementa; − omejitev statičnega računa na ravninske sisteme, z neupoštevanjem prostorskega delovanja konstrukcij. 5.5 Projektiranje armiranobetonskih konstrukcij 5.5.1 Uvod Projektiranje armiranobetonskih konstrukcij mora biti v skladu s pravili, podanimi v SIST EN 1990, 1991, 1998 (EC0, EC1, EC8). Konstrukcijo je treba projektirati in izvesti tako, da bo v predvideni življenjski dobi s primerno zanesljivostjo in ob primernih stroških: − prenašala vse vplive med gradnjo in uporabo; − služila svojemu namenu; − odporna, uporabna in trajna. Projektiranje na mejna stanja mora temeljiti na uporabi računskih modelov konstrukcije in obtežbe za ustrezna mejna stanja. Preveriti moramo, ali ni katero od mejnih stanj preseženo, ko so v modelih uporabljene ustrezne projektne ali računske vrednosti: − vplivov (stalnih, spremenljivih, nezgodnih itd.); − lastnosti materialov ali proizvodov; − geometrije konstrukcije. Vplive razvrščamo glede na časovno spremenljivost: − stalni vplivi (G): lastna teža, pritrjena oprema, zgornji ustroj cest, vplivi zaradi krčenja in relativnih posedkov temeljev; − spremenljivi vplivi (Q): koristna obtežba stropov, mostov, streh, veter, sneg; 5 Armirani beton – mejna stanja 169. − nezgodni vplivi (A): eksplozije, trčenje vozil v stebre nadvozov; − potres in sneg sta lahko razvrščena kot nezgodna ali spremenljiva vpliva, odvisno od kraja gradnje; − voda: hidrostat in hidrodinamični pritisk ter vzgon (predvsem »vodni« objekti) so lahko obravnavani kot stalni ali spremenljivi; − aktivni in pasivni zemeljski pritisk; − žled. 5.6 Mejno stanje nosilnosti – MSN 5.6.1 Uvod EC0 navaja štiri mejna stanja, ki jih je ali ni smiselno preveriti: EQU (eqilibrium): izguba statičnega ravnotežja konstrukcije ali katerega njenega dela kot togega telesa, pri čemer so pomembne majhne spremembe velikosti ali položaja vplivov posameznega izvora in na splošno niso odločilne trdnosti materiala in tal. 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌 ≤ 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌𝒌𝒌𝒃𝒃 (5.1) 𝐸𝐸𝑑𝑑,𝑑𝑑𝑠𝑠𝑐𝑐 … projektna vrednost učinkov, ki zmanjšujejo stabilnost 𝐸𝐸𝑑𝑑,𝑠𝑠𝑐𝑐𝑐𝑐 … projektna vrednost učinkov, ki povečujejo stabilnost STR (structure): notranja odpoved ali pretirana deformacija konstrukcije ali konstrukcijskega elementa, vključno s temelji, piloti, kletnimi stenami itd., pri čemer je odločilna trdnost materiala. GEO (geomehanika): za izračun temeljev oziroma porušitev ali pretirano deformacijo tal, pri čemer sta za zagotavljanje odpornosti pomembni trdnost in deformabilnost zemljine ali skale. STR in GEO moramo preveriti, če je: 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑹𝑹𝒅𝒅 (5.2) 𝐸𝐸𝑑𝑑 … projektna vrednost učinkov obremenitve (momenti, sile) 𝑇𝑇𝑑𝑑 … projektna vrednost pripadajoče odpornosti 170 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ FAT (fatique): odpoved zaradi utrujenosti (izmenične ali dinamične obremenitve) konstrukcije ali konstrukcijskega elementa. V tem učbeniku bo obdelano MSN STR, kjer bodo predhodno navedene zahteve, izpolnjene po metodi delnih faktorjev varnosti. To lahko zapišemo kot: 𝑿𝑿 𝑬𝑬 𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝜸𝜸𝑭𝑭 ∙ 𝑭𝑭𝒐𝒐𝒄𝒄𝒑𝒑 ≤ 𝑿𝑿𝒅𝒅 = 𝜼𝜼 𝜸𝜸 = 𝑹𝑹𝒅𝒅 (5.3) 𝒎𝒎 Ali kot: 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝜸𝜸𝑭𝑭 ∙ 𝑭𝑭𝒐𝒐𝒄𝒄𝒑𝒑 ≤ 𝑹𝑹 �𝜼𝜼𝒄𝒄 𝜸𝜸 ; 𝜼𝜼𝒌𝒌 � (5.4) 𝒄𝒄 𝜸𝜸𝒌𝒌 5.6.2 Kombinacija vplivov za stalna in spremenljiva projektna stanja Osnovne kombinacije obremenitev: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝜸𝜸𝑴𝑴𝒊𝒊 ∙ 𝑮𝑮𝒗𝒗 + 𝜸𝜸𝑸𝑸𝟏𝟏 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝟏𝟏 + � 𝜸𝜸𝑸𝑸𝒊𝒊 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 + 𝜸𝜸𝑴𝑴 𝒊𝒊𝒗𝒗 𝒊𝒊>𝟏𝟏 (5.5) ∙ 𝑴𝑴 Kombinacija vplivov za nezgodna stanja: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑮𝑮𝒗𝒗 + 𝑨𝑨𝒅𝒅 + (𝝍𝝍𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊 𝝍𝝍𝟐𝟐𝟏𝟏) ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝟏𝟏 + � 𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 𝒊𝒊𝒗𝒗 𝒊𝒊>𝟏𝟏 (5.6) + 𝑴𝑴 𝜓𝜓11, 𝜓𝜓21 … povezana sta z ustreznim nezgodnim projektnim stanjem (trk, ogenj, eksplozija) Kombinacija vplivov za potresna projektna stanja: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑮𝑮𝒄𝒄𝒗𝒗 + 𝑨𝑨𝑬𝑬𝒅𝒅 + � 𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 + 𝑴𝑴 (5.7) 𝒗𝒗>𝟏𝟏 𝒊𝒊>𝟏𝟏 5 Armirani beton – mejna stanja 171. 𝑨𝑨𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝒅𝒅 ∙ 𝒎𝒎 ∙ 𝝀𝝀 𝒎𝒎 = � 𝑴𝑴𝒊𝒊 + 𝝍𝝍𝑬𝑬𝒊𝒊 ∙ 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝝍𝝍𝑬𝑬𝒊𝒊 = 𝝋𝝋 ∙ 𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊 𝐴𝐴𝐸𝐸𝑑𝑑 … projektna potresna obremenitev 𝐴𝐴𝐸𝐸𝐾𝐾 … karakteristična potresna obremenitev 𝑨𝑨𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝜸𝜸𝟏𝟏 ∙ 𝑨𝑨𝑬𝑬𝑲𝑲 (5.8) 𝛾𝛾1… faktor pomembnosti objektov za potresno obremenitev, ki ga podaja SIST EN 1998-1: 2006 na strani 45 Preglednica 5.1: Faktor pomembnosti [21] 172 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Faktorji varnosti vplivov za MSN STR so podani v spodnji preglednici v odvisnosti od ugodnega ali neugodnega delovanja obremenitve. Preglednica 5.2: Faktorji varnosti obremenitev 𝜸𝜸𝑭𝑭 Vpliv OBREMENITVE delovanja Stalna Gj Spremenljiva QK Prednapetje PK Neugodno 1,35 1,5 1,0 ali 1,2 Ugodno 1,0 0 0,9 ali 1,0 Preglednica 5.3: Projektne vrednosti vplivov [21] 5 Armirani beton – mejna stanja 173. Preglednica 5.4: Faktorji ψ za izračun vplivov za MSN STR 174 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Faktorji ψ obravnavajo oziroma podajajo zmanjševanje spremenljivih obtežb, saj je minimalna verjetnost, da bi več spremenljivih obtežb nastopilo istočasno z maksimalnimi intenzitetami. 5.6.3 Delni faktorji varnosti za materiale Iz (5.3) in (5.4) je razvidno, da dobimo projektne vrednosti tlačne trdnosti betona, tako da karakteristično trdnost betona delimo s faktorjem varnosti 𝛾𝛾𝐶𝐶 in pomnožimo s faktorjem 𝜂𝜂𝐶𝐶 (projektna ali računska tlačna trdnost betona (𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑). Identično dobimo projektno ali računsko mejo plastičnosti armature 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 tako, da karakteristično mejo plastičnosti armature delimo s faktorjem varnosti 𝛾𝛾𝑆𝑆 in pomnožimo s faktorjem 𝜂𝜂𝑆𝑆. Priporočene vrednosti za stalno, spremenljivo in nezgodno projektno stanje prikazuje spodnja preglednica. Te vrednosti ne veljajo za projektiranje požarno varnih konstrukcij. Preglednica 5.5: Delni faktorji varnosti za materiale za projektiranje v MSN Projektna stanja 𝛾𝛾𝐶𝐶 𝛾𝛾𝑆𝑆 (mehka armatura) 𝛾𝛾𝑆𝑆 (jeklo za prednapetje) Stalna in spremenljiva 1,5 1,15 1,15 Nezgodna, potres 1,2 1,0 1,0 Količnika 𝜂𝜂𝐶𝐶 in 𝜂𝜂𝑆𝑆 se privzameta z vrednostjo 1,0 (pred leti smo upoštevali 𝜂𝜂𝐶𝐶 =0,85, kar je bilo upravičeno) iz razloga, da se tlačna trdnost zaradi trajne obtežbe zmanjša za približno 30 %, medtem ko se tlačna trdnost »starega« betona poveča za 20–50 %, odvisno od marke betona (podpodpoglavje 2.3.3). 5.7 Mejno stanje uporabnosti – MSU Preveriti je treba: 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑪𝑪𝒅𝒅 (5.9) 𝐸𝐸𝑑𝑑 … projektna vrednost učinkov oziroma vplivov (projektni poves, pomik, odprtina razpoke, mejna frekvenca, napetost) 𝐶𝐶𝑑𝑑 … projektna vrednost pripadajoče trdnosti (»dovoljeni« poves ali pomik, odprtina razpoke, frekvenca nihanja, meja plastičnosti) 5 Armirani beton – mejna stanja 175. Kombinacije vplivov: − karakteristična oziroma redka kombinacija: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑮𝑮𝒄𝒄,𝒗𝒗 + 𝑸𝑸𝑲𝑲,𝟏𝟏 + � 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 + 𝑴𝑴 (5.10) 𝒗𝒗>𝟏𝟏 𝒊𝒊>𝟏𝟏 − pogosta kombinacija: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑮𝑮𝒄𝒄??𝒗𝒗 + 𝝍𝝍𝟏𝟏,𝟏𝟏 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲??𝟏𝟏 + � 𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 + 𝑴𝑴 (5.11) 𝒗𝒗>𝟏𝟏 𝒊𝒊>𝟏𝟏 − navidezno stalna (kvazipermanentna) kombinacija: 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑮𝑮𝒄𝒄𝒗𝒗 + � 𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝑸𝑸𝑲𝑲𝒊𝒊 + 𝑴𝑴 (5.12) 𝒗𝒗>𝟏𝟏 𝒊𝒊>𝟏𝟏 Iz enačb (5.10),(5.11) in (5.12) je razvidno, koliko znašajo faktorji varnosti za MSU (𝛾𝛾𝑖𝑖 = 1,0; 𝜓𝜓1𝑖𝑖 ≤ 1), kar pomeni, da bodo »deformacije« in napetosti računane za dejansko obtežbo. To pomeni, da se konstrukcija nahaja v fazi IIa, napetosti betona so skoraj linearne. Za izračun deformacij, razpok in frekvence pa uporabimo za modul elastičnosti betona in armature vrednosti 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 in 𝐸𝐸𝑠𝑠, ki so bile podane v podpoglavju 2.5. Da preprečimo vzdolžne razpoke in pretirane deformacije zaradi lezenja betona, moramo tlačne napetosti betona omejiti. Karakteristične (redke) kombinacije obtežbe dosežejo »kritično« vrednost, zaradi česar se zmanjša trajnost konstrukcije. Zato moramo povečati krovni sloj armature v tlačni coni ali tlačno cono »objeti« s prečno (stremensko) armaturo. V okolju izpostavljenosti razredov XD, XF in XS mora biti izpolnjeno: 𝑴𝑴𝑲𝑲𝒐𝒐𝒐𝒐.𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌. 𝝈𝝈𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒐𝒐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝑿𝑿𝑰𝑰𝑰𝑰 ≤ 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (5.13) 𝒊𝒊𝒅𝒅 176 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Ker je 0,6𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 > 0,4𝑓𝑓𝑐𝑐𝑚𝑚 (razen za C12/16), bi morali napetost betona podati za MSN: 𝑴𝑴𝑲𝑲𝒐𝒐𝒐𝒐.𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌. 𝜺𝜺 𝒇𝒇 𝝋𝝋, 𝒎𝒎 = 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 ⇒ 𝜺𝜺 ⇒ 𝝋𝝋,; 𝝈𝝈𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝋𝝋, ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝋𝝋, ∙ ≤ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 𝜸𝜸𝒄𝒄 𝜸𝜸𝒄𝒄 ≤ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 𝝋𝝋, ≤ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 Napetost v armaturi pa moramo omejiti: 𝑴𝑴𝑲𝑲𝒐𝒐𝒐𝒐.𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌. 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝒐𝒐 ∙ 𝑨𝑨 ≤ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (5.14) 𝒌𝒌 Na ta način se preprečijo vzdolžne razpoke in pretirane deformacije. Pogosta kombinacija se upošteva pri računu razpok v prednapetih konstrukcijah. Navidezno stalna (kvazipermanentna) obtežba je merodajna za izračun povesov in odprtin razpok za klimatske razrede izpostavljenosti X0, XC1 (0,4 mm), za ostale razrede izpostavljenosti XC2-HS3 pa 0,3 mm. Pri navidezno stalni obtežbi moramo za izračun razpok in povesov upoštevati tudi vplive lezenja in krčenja betona: 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇 = (5.15) 𝟏𝟏 + 𝝋𝝋𝒌𝒌𝟎𝟎−∞ Primer kombinacije stalne in spremenljive obtežbe na kontinuiranem nosilcu konstantnega prereza z različnimi razponi: nastopa samo ena spremenljiva obtežba p, ki pa jo razvrstimo v treh različnih položajih. Za MSN izračunamo ekstremne vrednosti upogibnih momentov v poljih in nad podporo 2, pri čemer upoštevamo neugodno in ugodno delovanje spremenljive obtežbe p (sile prednapetja ni). Za MSU pa izračunamo odprtine razpok nad podporo 2 in poves v prvem polju zaradi navidezno stalne obtežbe. Za MSU moramo še dodatno zadostiti enačbama (5.13) in (5.14), za kateri upoštevamo karakteristično kombinacijo obtežb. 5 Armirani beton – mejna stanja 177. Slika 5.5: Upogibni momenti in prečne sile neprekinjenega nosilca zaradi osnovnih obtežnih slučajev MSN 𝑵𝑵. 𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟏𝟏 > 𝟎𝟎; 𝑽𝑽𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑽𝑽𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑽𝑽𝒑𝒑𝟏𝟏 > 𝟎𝟎 𝑼𝑼. 𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟐𝟐 ≷ 𝟎𝟎; 𝑽𝑽𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑽𝑽𝟏𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑽𝑽𝒑𝒑𝟐𝟐 ≷ 𝟎𝟎 𝑵𝑵. 𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟐𝟐−𝟑𝟑 𝟐𝟐−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟐𝟐 > 𝟎𝟎; 𝑽𝑽𝟐𝟐𝟏𝟏 = (5.16) 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑽𝑽𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟐𝟐𝟏𝟏 𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑽𝑽𝒑𝒑𝟏𝟏 < 𝟎𝟎 𝑼𝑼. 𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐−𝟑𝟑 𝟐𝟐−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟐𝟐 ≷ 𝟎𝟎; 𝑽𝑽𝟐𝟐𝟑𝟑 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑽𝑽𝟐𝟐𝟑𝟑 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑽𝑽𝒑𝒑𝟐𝟐 > 𝟎𝟎 𝑵𝑵. 𝑫𝑫 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟑𝟑 < 𝟎𝟎 = |𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙|; 𝑽𝑽𝟑𝟑𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑽𝑽𝟑𝟑𝟐𝟐 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝑴𝑴 + 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝑽𝑽𝒑𝒑𝟐𝟐 < 𝟎𝟎 178 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Mejno stanje uporabnosti – MSU Maksimalna razpoka bo nastala v prerezu 2 in jo bomo določili zaradi navidezno stalne obtežbe. 𝒘𝒘 𝑴𝑴 𝒑𝒑𝟑𝟑 𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝒄𝒄 + 𝝍𝝍𝟐𝟐,𝒑𝒑𝟑𝟑 ∙ 𝒘𝒘𝒄𝒄 (5.17) Maksimalni poves pa bo nastal v poljih 0–1 in ga bomo določili zaradi navidezno stalne obtežbe. 𝒘𝒘𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝑴𝑴 + 𝝍𝝍𝟐𝟐,𝒑𝒑𝟏𝟏 ∙ 𝒘𝒘𝒑𝒑𝟏𝟏 + 𝒘𝒘𝒄𝒄𝒐𝒐 + 𝒘𝒘𝒌𝒌 𝒄𝒄𝟏𝟏+𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟏𝟏 + 𝝋𝝋 = (𝑬𝑬 � � 𝑴𝑴𝑴𝑴 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒎𝒎𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 𝟎𝟎 (5.18) 𝒄𝒄𝟏𝟏+𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝍𝝍𝟐𝟐,𝒑𝒑𝟏𝟏 � 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟏𝟏 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙� + 𝒘𝒘𝒄𝒄𝒐𝒐 + 𝒘𝒘𝒌𝒌 𝟎𝟎 𝜌𝜌𝑐𝑐𝑎𝑎, 𝜌𝜌𝑠𝑠 … povesa zaradi lezenja in krčenja betona (podana v poglavju 14) Enačbi (5.13) in (5.14) bosta morali zadostiti karakteristični kombinaciji obremenitve in tako bomo napetostni izračun podali za prerez 2 z vrednostjo: 𝑴𝑴𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐.𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌. = 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟑𝟑 (5.19) Iz Slika 5.5 je razvidno, da nastopajo štirje osnovni obtežni slučaji. Kombinacij pa je pet za MSN in tri za MSU. Na podoben način kot upogibni momenti bodo izračunane tudi (ustrezne) prečne sile. V praksi lahko sicer tudi izvrednotimo manj kombinacij (brez Mmin v poljih), pri tem pa se moramo zavedati, da je lahko območje negativnih momentov pri manjši vrednosti M2 daljše kot pri ekstremni vrednosti M2, min. 5 Armirani beton – mejna stanja 179. 5.8 Analiza možnih deformacij in pripadajočih tlačnih napetosti betona pri mejnem stanju nosilnosti – MSN V tem poglavju bodo obdelana območja nosilcev, plošč in podobnih elementov pri osnih oziroma osno-upogibnih obremenitvah, pri katerih prerezi ostanejo ravni tudi po deformaciji (Bernoulli-Eulerjeva hipoteza). Ta hipoteza pa ne velja za stene. Tlačne deformacije betona moramo omejiti z 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2 oziroma 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐3 in 𝜀𝜀𝑐𝑐2 (glej poglavje 2). Projektne natezne deformacije armature moramo omejiti z vrednostjo 10 ‰, kar pa zadnji SIST EN 1992 omejuje celo z vrednostjo 20 ‰, ki je navedena v EN 1992-4-1. Slika 5.6 prikazuje diagrame dilatacij armature in betona za različne kombinacije obremenitev (𝑀𝑀𝑑𝑑 ∓ 𝑁𝑁𝑑𝑑) ter pripadajočih dilatacij diagramov d, e, f, g, h in i tlačnih napetosti betona. Beton: 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 ≥ 𝟐𝟐 ‰; 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟑𝟑 ≥ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ‰ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 ≤ 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰; 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓‰ – ZA BILINEARNI DIAGRAM Neenačaji veljajo za 𝐶𝐶 > 55 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚, enačaji pa za 𝐶𝐶 ≤ 55 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚. Armatura: 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ (𝟐𝟐𝟎𝟎 ‰) Pomen premic: − a: odgovarja centričnemu nategu – izčrpana armatura (beton razpokan); − b, c: odgovarjata ekscentričnemu nategu z malo ekscentriteto (e ≤ j) – izčrpana »spodnja« armatura; − d: odgovarja ekscentričnemu nategu z veliko ekscentriteto (e > j) – izčrpana »spodnja« armatura; 180 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − e: odgovarja upogibu, ekscentričnemu nategu in tlaku, ko sta izčrpana armatura in beton; − f: odgovarja ekscentričnemu tlaku velike ekscentritete (e > j) in upogibu, ko je izčrpan beton; − g, h: odgovarjata ekscentričnemu tlaku male ekscentritete (e < j), ko je izčrpan beton; − i: odgovarja centričnemu tlaku, ko je dilatacija betona omejena na 𝟐𝟐 ‰ – izčrpan beton. Slika 5.6: Diagrami dilatacij in pripadajoče tlačne napetosti betona Pomen območij v diagramu Točka rotacije A: (1) odgovarja centričnemu nategu oziroma ekscentričnemu nategu z malo ekscentriteto (e < j); (2) odgovarja upogibu z ali brez osne sile, ko je izčrpana armatura ali ko sta izčrpana armatura in beton. Točka rotacije B: (3) odgovarja upogibu z ali brez osne sile, ko sta izčrpana armatura in beton ali samo beton; (4) odgovarja upogibu z osno silo ali samo čistemu upogibu (𝐴𝐴𝑠𝑠∞,ℎ𝑚𝑚𝑖𝑖𝑜𝑜𝛼𝛼𝑧𝑧𝛼𝛼𝑚𝑚č𝑚𝑚𝑜𝑜), ko je izčrpan beton. 5 Armirani beton – mejna stanja 181. Točka rotacije C: (5) odgovarja ekscentričnemu tlaku male ekscentritete (e < j) ali centričnemu tlaku, ko je izčrpan beton. Za območji (1) in (2) predstavlja točko rotacije dilatacij točka A. Za območji (3) in (4) predstavlja točko rotacije dilatacij točka B. Za območje (5) predstavlja točko rotacije dilatacij točka C. Diagrami dilatacij in nevtralne osi so prikazani na spodnjih slikah. a) Diagram dilatacij za centrični in ekscentrični nateg z majhno ekscentriteto Slika 5.7: Napetosti pri centričnem in ekscentričnem nategu Področje (1) odgovarja diagramu dilatacij pri centričnem in ekscentričnem nategu, premica a, kjer natezna osna sila deluje v težišču prereza, pa ekscentričnemu nategu z malo ekscentriteto (e ≤ j). Beton sledi dilataciji armature do 0,1 ‰, nato pa poči. Celotno natezno silo prevzame armatura, katere deformacije omejimo na 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰, da razpoke niso prevelike. Iz tega sledi, da damo več tankih palic za manjše razpoke in na krajših medsebojnih razdaljah oziroma manj debelih palic, kar rezultira v širših razpokah in daljših medsebojnih razdaljah. b) Diagram dilatacij za ekscentrični nateg z veliko ekscentriteto in čisti upogib 182 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 5.8: Napetosti pri osno-upogibni obremenitvi Področje (2) odgovarja osno-upogibni obremenitvi. Ekscentrični nateg ustreza po diagramu dilatacij premici d, premici e pa ustrezajo upogib ter tlak in nateg z veliko ekscentriteto. Tu izčrpamo obe komponenti notranje dvojice. Beton odpove pri dilataciji 3,5 ‰, zaradi razpok pa je tudi dilatacija armature 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰ izčrpana. Če gre prijemališče natezne sile še bolj proti nateznemu robu, torej spodnjemu delu prereza, gre nevtralna os še bolj proti težišču jedra prereza. Premica d odgovarja dilatacija betona v krajnem vlaknu in je enaka 2,0 ‰. Diagram napetosti 𝜎𝜎𝑑𝑑 bo v tlačni coni potekal po rahlo ukrivljeni krivulji – paraboli, pri čemer je samo v krajnem vlaknu dosežena tlačna trdnost 𝛼𝛼 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. Beton doseže tlačno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 pri dilataciji 2,0 ‰, ampak tu še ni izčrpan, šele pri dilataciji 3,5 ‰ nastopi porušitev. Dilatacija premic d in e odgovarja osno-upogibni obremenitvi – ekscentrični nateg in tlak velike ekscentritete – ter upogibu, pri katerem dosežemo v zgornjem vlaknu betona dilatacijo 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 3,5 ‰, v spodnji armaturi pa 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰. c) Diagram dilatacij za upogib in ekscentrični tlak velike ekscentritete Slika 5.9: Napetosti pri upogibu z ali brez osne sile 5 Armirani beton – mejna stanja 183. Področje (3) ustreza upogibu z ali brez osne sile. Če povečamo prerez spodnje armature, bodo dilatacije armature pri isti upogibni obremenitvi kot pri e manjše od 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰ in bo še večji del betonskega prereza tlačen. Ker smo povečali prerez spodnje armature, smo zmanjšali dilatacijo iz 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰ na približno 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 2,0 ‰, povečali pa tlačno napetost. Če v natezno cono damo še več armature, potem bo še večji del betonskega prereza tlačen, tako kot na dilatacijski črti f. Dilatacije armature ≤ 2,0 ‰ namreč pomenijo, da se armatura že nahaja v elastičnem območju (veljavnost Hookovega zakona, linearni odnos). Pri teh malih dilatacijah smo praktično že pri čistem upogibu, izčrpan je samo beton, zatorej tudi porušitev nastopi samo po betonu. d) Diagram dilatacij za upogib z osno silo ali čisti upogib in ekscentrični tlak z majhno ekscentriteto Slika 5.10: Napetosti pri upogibu z osno silo ali samo čistem upogibu Področje (4) ustreza upogibu z osno silo ali samo čistemu upogibu. Ko nastopi dilatacija armature 𝜀𝜀𝑠𝑠 ≅ 0,0 ‰, postane cel betonski prerez tlačen. V betonu ni razpok. Porušitev nastopi po betonu in nenadno, torej v trenutku, brez opozoril. Dilatacijska premica g pa odgovarja tudi diagramu dilatacije pri ekscentričnem tlaku z majhno ekscentriteto (e ≤ j), ko je prijemališče tlačne osne sile v zgornji točki jedra prereza, nevtralna os pa na njegovem spodnjem delu. e) Diagram dilatacij za ekscentrični tlak z majhno ekscentriteto in centrični tlak 184 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 5.11: Napetosti pri ekscentričnem tlaku male ekscentritete (e < j) ali centričnem tlaku, ko je izčrpan beton Področje (5) ustreza ekscentričnemu tlaku male ekscentritete (e < j) ali centričnemu tlaku, ko je izčrpan beton. Če se sedaj prijemališče tlačne osne sile približa težišču jedra prereza, bodo dilatacije armature potekale po dilatacijski premici h. Spodnja armatura bo tlačna, kar predstavlja nevarnost porušitve po betonu – nevarnost krhkega loma. V zgornjem delu prereza nastopi ekscentrični tlak. Točko rotacije prereza predstavlja točka 𝐶𝐶 = 3 ℎ od zgornjega roba prereza. Nevtralna os poteka 7 izven prereza. Če tlačna sila deluje v težišču prereza, diagram dilatacije predstavlja dilatacijska črta i. Nevtralna os je v neskončnosti. Nastopi centrični tlak, torej je napetost po celotnem prerezu konstantna. Pri centričnem tlaku so dilatacije betona omejene na 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2,0 ‰. Točko rotacije tudi pri dilatacijski črti i predstavlja točka 𝐶𝐶 = 3 ℎ od 7 zgornjega roba prereza. Najprej je bila točka rotacije prereza točka A, nato točka B, ko je šla tlačna osna sila v jedro prereza, pa je postala z omejitvijo dilatacije betona na 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2,0 ‰ točka rotacije prereza točka 𝐶𝐶. DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij zajema določitev betonskega prereza, prereza armature, dokaz napetostnega stanja, specifičnih deformacij za MSN ter razpok in povesov kot deformacij za MSU. Centrični nateg nastopa v vešalkah, ločenih konstrukcijah, zategah, krožnem vencu krogelne lupine, cilindričnih lupinah zbiralnikov, silosov in rezervoarjev ter nateznih palicah predalčnih nosilcev. Te primere prikazuje spodnja slika. 186 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 6.1: Primeri nateznih obremenitev Slika 6.2: Primeri nateznih in tlačnih obremenitev v paličju 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 187. Natezne palice predalčnega nosilca so pretežno obremenjene s centrično natezno silo z malim deležem upogibnih momentov, ki nastanejo zaradi pomikov vozlišč. 6.1 Centrični nateg Centrično tegnjeni elementi se po mejnem stanju nosilnosti (MSN) računajo tako, da vso natezno silo prevzame armatura, ki se po prerezu simetrično namesti. To je primer, ki pripada premici a na Slika 5.7. Slika 6.3: Centrični nateg in detajl armiranja preseka Projektna napetost v armaturi v razpoki znaša: 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (6.1) 𝒌𝒌 Potreben prerez armature znaša: 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. ≥ (6.2) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Če želimo preprečiti nastanek razpok, postopamo na zapisan način, zaradi česar pa bo prerez betona večji. 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 = = 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝆𝝆) < 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 188 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒄𝒄 ≥ (6.3) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝆𝝆) ; 𝝆𝝆 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 6.2 Ekscentrični nateg male ekscentričnosti Iz nauka o trdnosti vemo, da bo mala ekscentriteta nastopila, ko bo ekscentriteta osne sile v jedru prereza (premica b na Slika 5.7) ali na robu jedra prereza (premica c na Slika 5.7). Za armiranobetonske konstrukcije, ki v natezni coni razpokajo, pa velja, da se ekscentrično tegnjeni elementi z malo ekscentriteto računajo, dokler je sila »znotraj« armature. 𝑴𝑴 𝒉𝒉 𝒃𝒃 𝒄𝒄 = 𝒅𝒅 𝑵𝑵 ≤ 𝒙𝒙𝒅𝒅 𝟐𝟐 − 𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 �𝟐𝟐 − 𝒐𝒐� (6.4) Prerez armature v bolj in manj obremenjenem delu prereza izračunamo po (6.5) in (6.6). Slika 6.4: Ekscentrični nateg pravokotnega prereza 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄) 𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝟐𝟐 = (6.5) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐) = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐) 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝒄𝒄) 𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟏𝟏 = (6.6) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐) = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐) Da odprtine razpok čim bolj minimiziramo, bomo izbrali (pri centričnem in ekscentričnem nategu) čim več tanjših armaturnih palic, saj bodo zaradi tega tudi razmiki med razpokami krajši (glej poglavje 4). 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 189. Dimenzije preseka nateznih elementov določimo na osnovi spodaj zapisanih alinej: − običajne konstrukcije v suhem okolju; − konstrukcije v agresivnem in vlažnem okolju; − »vodotesne« konstrukcije (bele kadi). Račun razpok bo podan pri MSU. 6.3 Priključek vešalke na nosilec z zanko in preklopom (izvedba armaturnega členka) Pozicija 1: premer vzdolžne armature ∅1 Pozicija 2: premer zanke ∅𝟐𝟐 n … število zank (v našem primeru n = 5) Sila na vertikalni krak zanke: 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝒙𝒙𝒅𝒅 𝟏𝟏,𝒅𝒅 = (6.7) 𝟐𝟐 ∙ 𝒏𝒏 Pritisk na beton pod zanko izračunamo po kotelni formuli: 𝑵𝑵 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒑𝒑 𝟏𝟏,𝒅𝒅 𝟏𝟏,𝒅𝒅 = 𝒐𝒐 ; �𝒄𝒄𝒎𝒎� (6.8) Napetost na beton pod zanko znaša: 𝒑𝒑 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝝈𝝈 𝟏𝟏,𝒅𝒅 𝟏𝟏,𝒅𝒅 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 = ∅ = ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ � ≤ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (6.9) 𝟐𝟐 𝒐𝒐 ∙ ∅𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 Opomba: zaradi boljše preglednosti na Slika 6.5 stremena niso prikazana! 190 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 6.5: Armaturni členek in priključek vešalke na nosilec 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 191. 𝐴𝐴𝑐𝑐0 = 𝑚𝑚 ∙ 𝑘𝑘 ∙ 𝜋𝜋 ∙ ∅2 … konkretna površina med betonom in zanko (reducirna površina), ki ima isto težišče kot nereducirna površina 𝐴𝐴𝑐𝑐1 = 𝑘𝑘 ∙ 𝜋𝜋 ∙ ℎ1 … nereducirna površina (plašč valja) V primeru, da (6.9) ni izpolnjena, moramo povečati premer r (če je možno) ali ∅ zanke. Možna pa je tudi povečava konkretne površine 𝐴𝐴𝑐𝑐0 s prečno armaturo ∅3 in dolžino ℎ1, kar prikazuje Slika 6.6. Kontaktne napetosti pod delom zanke (kotom 𝛼𝛼) in prečno armaturo ∅3 pa izračunamo po enačbah (6.10) in (6.11), kjer sta 𝜎𝜎 = ℎ1 in ∅ 𝑛𝑛 3 premer ravne armature pod zanko. Slika 6.6: Prikaz povečave konkretne površine 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 s prečno armaturo 192 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒑𝒑𝟏𝟏,𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶 𝑨𝑨 𝝈𝝈 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ �𝑨𝑨 ≤ 𝟑𝟑,𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (6.10) 𝒄𝒄𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ ∅𝟐𝟐 + 𝒄𝒄 ∙ ∅𝟑𝟑 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝒐𝒐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ ∅𝟐𝟐 + 𝒏𝒏𝟏𝟏 ∙ 𝒄𝒄 ∙ ∅𝟑𝟑 (6.11) 𝑚𝑚1 … število ravnih palic (∅𝟑𝟑) pod zanko 𝐴𝐴𝑐𝑐1 = 𝑘𝑘 ∙ 𝜋𝜋 ∙ 𝜎𝜎 Kontrolirati moramo še kontaktne napetosti betona na »prelomu« poševnih palic (v stebru in nosilcu), ki morajo prav tako zadoščati vrednostim, podanim v (6.9). Opomba: 𝑨𝑨 � 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝑨𝑨 ≤ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝟎𝟎 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 193. 𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝒄𝒄̂ = 𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝜷𝜷 = 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ; 𝜸𝜸 = 𝟐𝟐 − 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 = 𝜷𝜷 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑵𝑵𝟏𝟏𝒅𝒅 𝑫𝑫𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝝋𝝋 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝝋𝝋 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜸𝜸 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜷𝜷 ; 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜸𝜸 ∙ 𝑵𝑵𝟏𝟏𝒅𝒅; 𝑫𝑫𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝟏𝟏𝒅𝒅 (6.12) za 𝜑𝜑 = 45°; 𝛾𝛾 = 𝛽𝛽 = 67,5° 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝟒𝟒𝟓𝟓° 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝟔𝟔𝟕𝟕,𝟓𝟓° ∙ 𝑵𝑵𝟏𝟏𝒅𝒅 = 𝟎𝟎,𝟕𝟕𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝑵𝑵𝟏𝟏𝒅𝒅 𝑹𝑹 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° 𝒄𝒄𝒅𝒅 = (6.13) 𝒐𝒐𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 ∙ ∅𝟐𝟐 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝑵𝑵 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟕𝟒𝟒 ∙ 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝟏𝟏𝒅𝒅 𝟏𝟏𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒐𝒐𝟏𝟏 ∙ ∅𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝒐𝒐𝟏𝟏 ∙ ∅𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒅𝒅 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ �𝑨𝑨 ≤ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝟎𝟎 Projektna sidrna dolžina znaša: 𝒄𝒄𝒃𝒃𝒅𝒅 = 𝜶𝜶𝟏𝟏 ∙ 𝜶𝜶𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 ∙ 𝜶𝜶𝟒𝟒 ∙ 𝜶𝜶𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒐𝒐𝒓𝒓𝒅𝒅 ≥ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 Osnovna zahtevana dolžina sidranja znaša: ∅ 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒃𝒃,𝒐𝒐𝒓𝒓𝒅𝒅 = 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒅𝒅 Najmanjša sidrna dolžina 𝑧𝑧𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 pri sidranju nateznih palic znaša: 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 > �𝟎𝟎, 𝟑𝟑 ∙ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒐𝒐𝑴𝑴𝒅𝒅; 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∅; 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎� 194 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 6.7: Dolžina sidranja Veljati mora: (𝛼𝛼2 ∙ 𝛼𝛼3 ∙ 𝛼𝛼5) ≥ 0,7 𝛼𝛼1 … koeficient, ki upošteva vpliv oblike krivljenja palice pri zagotovljenem zadostnem krovnem sloju betona 𝛼𝛼2 … koeficient, ki upošteva vpliv minimalnega krovnega sloja betona 𝛼𝛼3 … koeficient za upoštevanje vpliva objetja s prečno armaturo 𝛼𝛼4 … koeficient za upoštevanje vpliva ene ali več privarjenih palic vzdolž projektne sidrne dolžine 𝛼𝛼5 … koeficient za upoštevanje tlačnih napetosti prečno na ravnino cepitve vzdolž projektne sidrne dolžine 𝒐𝒐 𝑨𝑨 𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝒄𝒄̂ ∙ ∅𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° ∙ ∅𝟐𝟐 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 195. 𝒉𝒉 𝒐𝒐 𝒉𝒉 𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝒄𝒄̂ ∙ 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° ∙ 𝒏𝒏 𝑨𝑨𝒄𝒄𝟏𝟏 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝑨𝑨 = = 𝒄𝒄𝟎𝟎 𝒏𝒏 ∙ ∅𝟐𝟐 𝟓𝟓 ∙ ∅𝟐𝟐 𝑹𝑹𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝒐𝒐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 ∙ ∅ ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ � ≤ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝒏𝒏 ∙ ∅𝟐𝟐 𝑹𝑹 𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° 𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. ≥ 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒐𝒐𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋° ∙ ∅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ � 𝒉𝒉𝟏𝟏 𝒏𝒏 ∙ ∅𝟐𝟐 (6.14) 𝑹𝑹 ≥ 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎° 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋° ∙ ∅ 𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 196 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 7 Upogib 7.1 Uvod Elementi, obremenjeni z upogibom, so nosilci in plošče. Nosilce lahko dovolj natančno izračunamo kot linijske elemente, če je ℎ ≤ 0,4. 𝑐𝑐 V armiranobetonskih konstrukcijah se razmerje višine nosilca v primerjavi z razponom nahaja v »območju« ℎ = 1 − 1 , kar je odvisno od statičnega sistema 𝑐𝑐 8 20 konstrukcije in obtežbe. Prečni prerezi upogibnih nosilcev so lahko: pravokotni, trikotni, okrogli prerezi T in I itd. Pri upogibno obremenjenih nosilcih se v natezni coni polaga armatura, ki jo s stremeni povežemo z montažno armaturo v armaturni skelet, ki ga položimo prek betonskih podstavkov na opaž. Tudi montažna armatura se lahko uporabi kot nosilna (statična) armatura. Vzdolžna armatura se praviloma razporedi simetrično po širini prereza. 198 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Tudi stebri v armiranobetonskih konstrukcijah so upogibno obremenjeni, vendar je delež osne sile pri teh elementih neprimerno večji kot pri nosilcih. Enako velja za stene, ki so lahko upogibno obremenjene kot plošče, vendar je delež osne sile neprimerno večji kot pri ploščah. a) Večetažni okvir s stropnimi ploščami Slika 7.1: Večetažni okvir s stropnimi ploščami [5] b) Oporna stena Slika 7.2: Oporna stena [5] 7 Upogib 199. c) Montažna hala Slika 7.3: Montažna hala [5] d) Prostorska konstrukcija Slika 7.4: Prostorska konstrukcija [5] 200 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 7.5: Nosilnost in faze prostoležečega armiranobetonskega nosilca pri obtežbah od 𝑭𝑭 𝟎𝟎 → 𝑭𝑭 𝒄𝒄 [5] 7 Upogib 201. Slika 7.5 prikazuje armiranobetonski nosilec pravokotnega in konstantnega prereza, obtežen z dvema simetričnima silama ter armiran z vzdolžno in stremensko oziroma poševno armaturo. Pri majhnih silah 𝐹𝐹0, ko še ne nastopijo razpoke (𝐹𝐹<𝐹𝐹𝑐𝑐𝑎𝑎; 𝑀𝑀<𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎), so po celotnem nosilcu natezne napetosti nižje od nateznih trdnosti (𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 < 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚). Govorimo o fazi I, pri kateri se »pojavijo« trajektorije glavnih napetosti (Slika 7.5a). S porastom obtežbe 𝐹𝐹 1 > 𝐹𝐹0 se pojavijo prve razpoke v odseku med silama 𝐹𝐹1(𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐 ≥ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚), kar prikazuje Slika 7.5b. To območje se nahaja v fazi II. Območje proti podporam pa se nahaja v fazi I, kjer ni bilo opaziti razpok. Na Slika 7.5b so tudi prikazani diagrami specifičnih deformacij (𝜀𝜀𝑐𝑐,𝜀𝜀𝑠𝑠) in normalnih napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐,𝜎𝜎𝑐𝑐𝑐𝑐,𝜎𝜎𝑠𝑠 oziroma 𝜎𝜎𝑠𝑠 za območji I in II. 𝛼𝛼𝐸𝐸 S ponovnim porastom obtežbe 𝐹𝐹 2 > 𝐹𝐹1 se pojavijo tudi razpoke proti podporam, med silama 𝐹𝐹 2 pa prav tako nastanejo nove razpoke. Razpoke proti podporam so vse bolj nagnjene, to pa zato, ker so tudi glavne natezne napetosti 𝜎𝜎1 (Slika 7.5a), ki jih je povzročila prečna sila, nagnjene k osi nosilca. Pri visoki obtežbi 𝐹𝐹𝑛𝑛 je skoraj ves nosilec v fazi II, samo prerezi v neposredni bližini podpor ostanejo v fazi I. 7.2 Teoretične osnove dimenzioniranja armiranobetonskih nosilcev pri upogibni obremenitvi brez osne sile (delovni diagram betona (DDB) – kvadratna parabola + premica) Mejno stanje uporabnosti (MSU) – faza IIa Slika 7.6: Diagram napetosti in dilatacij za MSU 202 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Nevtralna os … 𝑇𝑇 ′ ′ 𝐼𝐼𝐼𝐼 → 𝑆𝑆𝑠𝑠 + 𝑆𝑆𝑐𝑐 − 𝛼𝛼𝐸𝐸 ∙ 𝑆𝑆𝑠𝑠 = 0 Idealni vztrajnostni moment … 𝐼𝐼 ′ 2 ′ ′2 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑑𝑑 = 𝐼𝐼𝑐𝑐 + 𝛼𝛼𝐸𝐸 ∙ 𝐼𝐼𝑠𝑠 = ∫ ′ 𝑓𝑓2𝜎𝜎𝐴𝐴 + 𝛼𝛼 + 𝐴𝐴 ∙ 𝐼𝐼 ) 𝐴𝐴 𝐸𝐸(𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑐𝑐 𝑴𝑴𝑰𝑰𝑰𝑰𝒐𝒐 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑴𝑴𝒊𝒊 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒊𝒊 = 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝑸𝑸𝟏𝟏 + � 𝜳𝜳𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝑀𝑀𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚 𝒊𝒊>𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑴𝑴 + � 𝜳𝜳𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴𝒊𝒊 𝒊𝒊>𝟎𝟎 Mejno stanje nosilnosti (MSN) – faza IIb Slika 7.7: Diagram napetosti in dilatacij za MSN 𝑴𝑴𝑰𝑰𝑰𝑰𝒃𝒃 𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝜸𝜸𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴𝒊𝒊 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒊𝒊 𝒏𝒏 = 𝜸𝜸𝑴𝑴 ∙ 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝜸𝜸𝑸𝑸𝟏𝟏 ∙ 𝑴𝑴𝑸𝑸𝟏𝟏 + � 𝜳𝜳𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝜸𝜸𝑸𝑸𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴𝒊𝒊 𝒊𝒊>𝟏𝟏 Predpostavke, ki jih upoštevamo za določitev potrebnih obremenitev za MSN (z uporabo delovnega diagrama betona (DDB) – kvadratna parabola in premica): a) Velja Bernoulli-Eulerjeva hipoteza (𝜀𝜀-diagram je linearen). Enačbi napetosti betona: dokaz bo podan za C < 50 MPa (n = 2). 7 Upogib 203. b) 𝟎𝟎 ≤ 𝜺𝜺𝒄𝒄 ≤ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ‰ 𝜺𝜺 𝒏𝒏 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ �𝟏𝟏 − �𝟏𝟏 − 𝜺𝜺 � � (7.1) 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝐜𝐜) 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 ≥ 𝜺𝜺𝒄𝒄 ≤ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐; 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 𝒄𝒄 V natezni coni prevzame v razpoki vse natezne napetosti armatura. d) 𝝈𝝈 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝑵𝑵 ∙ 𝑬𝑬𝑵𝑵, 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒌𝒌 ≤ 𝜺𝜺𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Glej DDA. (7.2) e) 𝝈𝝈 𝒌𝒌 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒌𝒌 > 𝜺𝜺𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 f) Statična širina betona je funkcija oddaljenosti vlakna 𝑓𝑓(𝜂𝜂) od nevtralne osi. B … privzeta statična širina (primerjalna statična širina); 𝑛𝑛 = 𝛽𝛽(𝜂𝜂) ∙ 𝐵𝐵 Robno dilatacijo betona označimo z 𝜑𝜑∙𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐, kar pomeni, da beton ni izčrpal svoje nosilnosti, čeprav je ali ni dosegel projektne tlačne trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. Za izračun napetosti in specifičnih deformacij v območju parabole bomo (7.2) pisali v nekoliko drugačni obliki. Pri tem bomo računali z brezdimenzijskima ordinatama 𝜂𝜂 in 𝜀𝜀: 𝒄𝒄 𝜼𝜼 = 𝒅𝒅 𝒙𝒙 (7.3) 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄 𝒅𝒅 Upoštevali bomo tudi spodnjo sliko in enačbe (7.4)–(7.6). 204 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 7.8: Diagrami dilatacije in napetosti betona za MS Za 𝑓𝑓<𝑓𝑓0: 𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝜼𝜼 𝒙𝒙 = → 𝜺𝜺𝒄𝒄 = ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝒄𝒄 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝜼𝜼 (7.4) 𝟒𝟒 𝝋𝝋 𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 → 𝜺𝜺𝟎𝟎 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜺𝜺 (7.5) 𝝋𝝋 = 𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜺𝜺𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺 = = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 → 𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝝋𝝋 ∙ 𝒙𝒙𝒄𝒄 𝝋𝝋 (7.6) 𝜼𝜼 𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝝈𝝈 𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (7.7) Za 𝜑𝜑0 = 4 in 𝜑𝜑 < 4 normalne napetosti tlačnega vlakna betona izračunamo po (7.8): 7 7 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝟒𝟒 𝜼𝜼 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ �𝟕𝟕 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 �𝟒𝟒𝟕𝟕� 𝟎𝟎 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ 𝟒𝟒𝟗𝟗 = �𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝟕𝟕 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 7 Upogib 205. 𝟕𝟕 𝜼𝜼 𝟒𝟒𝟗𝟗 𝜼𝜼 𝟐𝟐 𝝈𝝈𝒄𝒄 = �𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �𝒌𝒌� � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝋𝝋′ ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (7.8) 𝜑𝜑′ =≤ 1 … količnik robnih napetosti betona, ko je robna dilatacija 𝜀𝜀2𝑐𝑐 < 𝜀𝜀𝑐𝑐2 = 2 ‰ Deformacije najbolj tlačnega roba 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 so lahko: 𝜺𝜺𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ⋚ 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 Primerjava (7.1) in (7.7): 𝜺𝜺 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝜺𝜺 𝟐𝟐 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = �𝟏𝟏 − �𝟏𝟏 − 𝜺𝜺 � � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = ∙ �𝜺𝜺𝒄𝒄 − � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (7.9) 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 𝜺𝜺 𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝜼𝜼; 𝜺𝜺𝟎𝟎 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐𝜺𝜺 𝜺𝜺 𝝈𝝈 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝜺𝜺 ∙ �𝟏𝟏 − � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (7.10) 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟐𝟐𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝜼𝜼 𝒙𝒙 = 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺 → 𝜺𝜺𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 (7.11) 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝝋𝝋 𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 → 𝜺𝜺𝟎𝟎 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟕𝟕 ∙ 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ = 𝟐𝟐 ‰ 206 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝜼𝜼 = 𝒅𝒅 ; 𝒌𝒌 = 𝒅𝒅 ; 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜺𝜺𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺 = = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 → 𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝝋𝝋 ∙ 𝒙𝒙𝒄𝒄; 𝜼𝜼𝟎𝟎 = 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 (7.12) Ko vrednosti iz (7.11) in (7.12) vstavimo v (7.10), dobimo: 𝟐𝟐 ∙ 𝜼𝜼 𝜼𝜼 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺 𝝈𝝈 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝝋𝝋 ∙ �𝟏𝟏 − � ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒌𝒌 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 ∙ 𝜼𝜼 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝟏𝟏 = 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 𝝋𝝋 ∙ �𝟏𝟏 − ∙ 𝟎𝟎 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝝋𝝋 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝝈𝝈 𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇 Določitev lege nevtralne osi 𝑇𝑇𝑐𝑐: nevtralno os določata dilataciji betona in armature. 7 Upogib 207. Slika 7.9: Potek dilatacij (𝜺𝜺-diagram) 𝒙𝒙 𝒅𝒅 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟏𝟏 𝒙𝒙 = ∙ 𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 (7.13) 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟏𝟏 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 (7.14) 𝝋𝝋 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 Ko sta beton in armatura istočasno izčrpana, znaša: 𝝋𝝋 = 𝟏𝟏; 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰; 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ in 208 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟏𝟏 𝒌𝒌 = = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔 𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 To pomeni, da je dobra četrtina statične višine nosilca tlačena. Določitev statične višine 𝜎𝜎=(ℎ−𝑚𝑚) Slika 7.10: Prikaz dilatacij in napetosti »pred porušitvijo« rezultant tlačnih napetosti betona armature ter natezne armature in diferenciala tlačnih napetosti 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 Diferencial tlačne napetosti betona Tlačna rezultanta betona 𝒅𝒅𝑭𝑭′ ′ ′ ′ 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨𝒄𝒄 → 𝑭𝑭𝒄𝒄 = � 𝝈𝝈𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨𝒄𝒄 (7.15) 𝑨𝑨′𝒄𝒄 𝒅𝒅𝑨𝑨′𝒄𝒄 = 𝒃𝒃(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄 = 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝒅𝒅𝜼𝜼 𝛽𝛽(𝑐𝑐) … funkcija statične širine tlačnega betona 𝒄𝒄 = 𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 → 𝒅𝒅𝒄𝒄 = 𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝜼𝜼 𝝈𝝈 ′ ′ ′ ′ ′ 𝒌𝒌 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 č𝒄𝒄 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒌𝒌 ≥ 𝜺𝜺𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒌𝒌 ∙ 𝑬𝑬𝒌𝒌, č𝒄𝒄 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝜺𝜺𝒌𝒌 < 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Za: 𝜼𝜼 ≤ 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝒌𝒌 → 𝝈𝝈 ∙ 𝒌𝒌 − 𝜼𝜼� ∙ 𝒇𝒇 𝝋𝝋 𝜼𝜼 = 𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝜼𝜼 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ �𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝟐𝟐 7 Upogib 209. 𝝋𝝋 𝜼𝜼 ≥ 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 → 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟒𝟒 𝝈𝝈𝜼𝜼 = 𝝋𝝋′ ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅, č𝒄𝒄 𝒗𝒗𝒄𝒄 𝝋𝝋 < 𝝋𝝋𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 𝑭𝑭 ′ ′ 𝒄𝒄 = � 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒄𝒄 = � 𝝈𝝈𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨𝒄𝒄 𝑨𝑨′𝒄𝒄 Iz momentnega ravnotežja na težišče natezne armature dobimo: � 𝑭𝑭′ ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 + 𝒄𝒄) + 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒐𝒐′) ≥ 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 𝑨𝑨′𝒄𝒄 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝜼𝜼 � 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 ∙ 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝑨𝑨′ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝒄𝒄 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 + � 𝒇𝒇 ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜷𝜷 𝝋𝝋 (𝒄𝒄) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒐𝒐′) ≥ 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 Po ureditvi predhodne enačbe in upoštevanju, da je ′ ′ 𝑢𝑢′ � ≡ 𝜌𝜌�′��2 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 ali 𝜎𝜎𝑠𝑠 , dobimo: 𝑐𝑐∙𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 ≤ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ � 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼 ∙ 𝜷𝜷 � ′�� (𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝝆𝝆 ∙ 𝝋𝝋 𝒐𝒐 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼 ∙ 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝒐𝒐′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅 �� 210 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 ≤ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ �𝑰𝑰(𝟏𝟏) (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) (𝟐𝟐) (7.16) 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰′𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌� Opomba: 𝑓𝑓 ′ 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝑠𝑠 – ko so dilatacije tlačne armature manjše kot dilatacije pri doseženi meji plastičnosti tlačne armature 𝜀𝜀 ′ 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦, upoštevamo namesto 𝑓𝑓 𝜎𝜎 = 𝐸𝐸 . 𝐸𝐸 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑠𝑠 𝑠𝑠 ∙ 𝜀𝜀𝑠𝑠 𝑠𝑠 Pri tem sta 𝐼𝐼(1) in (1) (2) in (2) sta 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 oblikovni funkciji betona na območju parabole, 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 oblikovni funkciji na območju premice ter 𝐼𝐼(1) in (1) in ′ so oblikovne funkcije 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑠𝑠 tlačne armature. Vsoto vseh petih sumandov označimo z 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼. 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 ≤ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 (7.17) Statična višina: 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝒅𝒅 ≥ � 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 (7.18) 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰 ∙ � = 𝒄𝒄𝒃𝒃 ∙ � 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Količnik nosilnosti oziroma normirani moment znaša: 𝑴𝑴𝒅𝒅𝒌𝒌 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒎𝒎 (7.19) 𝑰𝑰 (𝟏𝟏) (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) (𝟐𝟐) ′ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 (7.20) Oblikovna funkcija betona 𝐼𝐼(1) na območju parabole znaša: 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝑰𝑰(𝟏𝟏) 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 = (7.21) 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 7 Upogib 211. Oblikovna funkcija betona 𝐼𝐼(1) na območju parabole znaša: 𝐼𝐼 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝑰𝑰(𝟏𝟏) 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝒄𝒄 = (7.22) 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 Oblikovna funkcija betona 𝐼𝐼(2) na območju premice znaša: 𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝑰𝑰(𝟐𝟐) 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼 ∙ 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 (7.23) 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 Oblikovna funkcija betona 𝐼𝐼(2) na območju premice znaša: 𝐼𝐼𝑐𝑐 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝑰𝑰(𝟐𝟐) 𝑰𝑰𝒄𝒄 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝒄𝒄 ∙ 𝜷𝜷(𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 (7.24) 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 Oblikovni količnik tlačne armature znaša: 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒐𝒐′ 𝑰𝑰′ � ′�� 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝝆𝝆𝒐𝒐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅 � (7.25) Količnik, ki je odvisen od nevtralne osi, statične širine b ter dilatacij betona in armature: 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒃𝒃 = � (7.26) 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 Opomba: izraz za 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 lahko vsebuje le 2 (3) sumanda, ko je mejna dilatacija betona 𝜀𝜀′ (1) (2) 𝑐𝑐 ≤ 𝜑𝜑0 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 = 0. Nekaj zgledov za določitev »funkcije« statične širine 𝛽𝛽(𝜂𝜂) oziroma 𝛽𝛽(𝑐𝑐) je prikazanih na Slika 7.11, Slika 7.12, Slika 7.13 in Slika 7.14. a) Pravokotni prerez: 212 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 7.11: Pravokotni prerez 𝒃𝒃 = 𝜷𝜷(𝜼𝜼) ∙ 𝑳𝑳; 𝜷𝜷(𝜼𝜼) = 𝟏𝟏 (7.27) b) Prerez T (nevtralna os v rebru): 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝜷𝜷 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 (𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 > 𝟏𝟏; 𝒃𝒃 = 𝑳𝑳 ∙ 𝑳𝑳 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 (7.28) 𝜷𝜷(𝜼𝜼) = 𝟏𝟏; 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 ∙ 𝑳𝑳 7 Upogib 213. c) Prerez T (nevtralna os v plošči): Slika 7.13: Prerez T 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝜷𝜷 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 (𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 > 𝟏𝟏; 𝒃𝒃 = 𝑳𝑳 ∙ 𝑳𝑳 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 (7.29) d) Trikotni prerez (neracionalni prerez): Slika 7.14: Trikotni prerez 𝒃𝒃 𝒙𝒙𝒄𝒄 − 𝒄𝒄 𝑳𝑳 = 𝒅𝒅 214 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒙𝒙 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄 − 𝒄𝒄 𝒅𝒅 ∙ 𝑳𝑳 = (𝒌𝒌 − 𝜼𝜼) ∙ 𝑳𝑳 (7.30) 𝜷𝜷(𝜼𝜼) = (𝒌𝒌 − 𝜼𝜼); 𝜼𝜼 = 𝟎𝟎 → 𝜷𝜷(𝜼𝜼) = 𝒌𝒌; 𝒃𝒃 = 𝒌𝒌 ∙ 𝑳𝑳 𝜼𝜼 = 𝒌𝒌 → 𝜷𝜷(𝜼𝜼) = 𝟎𝟎; 𝒃𝒃 = 𝟎𝟎 e) Trapezni prerez: Slika 7.15: Trapezni prerez 𝒃𝒃 𝑳𝑳 �𝟐𝟐� = 𝜼𝜼 𝟐𝟐 + 𝒄𝒄(𝜼𝜼) 𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 + 𝒄𝒄 𝒃𝒃 𝑳𝑳 𝒄𝒄 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 (𝜼𝜼) = 𝒅𝒅 ∙ � 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐� 𝟏𝟏 𝒄𝒄(𝜼𝜼) = (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) ∙ ( 𝟐𝟐 𝒃𝒃𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝑳𝑳) 𝟏𝟏 𝒃𝒃(𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 + 𝟐𝟐 ∙ 𝒄𝒄(𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) ∙ ( 𝟐𝟐 𝒃𝒃𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝑳𝑳) 𝒃𝒃(𝜼𝜼) = (𝒌𝒌 − 𝜼𝜼) ∙ 𝑳𝑳 + 𝒃𝒃𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) (7.31) 7 Upogib 215. 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝜷𝜷 (𝜼𝜼) 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 (𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 = 𝒌𝒌 − 𝜼𝜼 + 𝑳𝑳 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌 + 𝜼𝜼) (7.32) Velja, ko je: 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝜼𝜼 = 𝟎𝟎 → 𝜷𝜷 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 (𝜼𝜼) = 𝒌𝒌 + 𝑳𝑳 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) = 𝒌𝒌 �𝟏𝟏 − 𝑳𝑳 � + 𝑳𝑳 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝜼𝜼 = 𝒌𝒌 → 𝜷𝜷 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 (𝜼𝜼) = 𝑳𝑳 ∙ (𝟏𝟏) → 𝒃𝒃 = 𝑳𝑳 ∙ 𝑳𝑳 = 𝒃𝒃𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 Izračun potrebne natezne armature Projektno natezno silo armature dobimo iz momentnega ravnotežja na učinkovalnico tlačnih napetosti (𝐹𝐹𝑐𝑐𝑑𝑑). � 𝑴𝑴�𝑭𝑭′𝒌𝒌+𝑭𝑭𝒄𝒄� = 𝟎𝟎 → 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐 − 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 (7.33) 𝑴𝑴 𝑭𝑭′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 = (7.34) 𝒐𝒐 𝑭𝑭 𝑴𝑴 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = (7.35) 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 z … ročica notranje dvojice 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝒐𝒐 = 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 (7.36) 𝑭𝑭 = ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑭𝑭𝒌𝒌 + 𝑭𝑭𝒄𝒄 𝑭𝑭 ′ ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 = � 𝝈𝝈𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 + 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨′𝒄𝒄 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝜼𝜼 = � 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 ∙ 𝜷𝜷(𝝇𝝇) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ � 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 + � 𝒇𝒇 ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜷𝜷 𝝋𝝋 (𝝇𝝇) ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 216 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑭𝑭 ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑭𝑭𝒌𝒌,𝒅𝒅 = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝜼𝜼 ∙ �� 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝝋𝝋 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟐𝟐� ∙ 𝜷𝜷(𝜼𝜼) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝑨𝑨′ 𝒌𝒌𝟐𝟐 + � 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝜷𝜷(𝜼𝜼) ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝒇𝒇 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐� 𝝋𝝋 ∙𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝈𝝈𝒌𝒌 (glej opombo pri (7.16)) Rezultanta tlačnih napetosti znaša: 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑭𝑭 ′ (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑭𝑭𝒌𝒌,𝒅𝒅 = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ �𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌� (7.37) 𝝋𝝋𝟐𝟐 = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 Če enačbo 7.43 vstavimo v enačbo 7.42 in upoštevamo enačbo 7.13, dobimo: 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝒐𝒐 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒅𝒅 = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅 (7.38) 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 Količnik notranje dvojice 𝝇𝝇 𝐳𝐳𝐝𝐝𝐜𝐜š𝐜𝐜: 𝑰𝑰 𝒐𝒐 𝝇𝝇 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰 𝒅𝒅 < 𝟏𝟏 (7.39) 𝑴𝑴 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇 = = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇 𝑰𝑰 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝝆𝝆 � ∙ 𝒇𝒇 (7.40) 𝒄𝒄𝒅𝒅 7 Upogib 217. Mehanski količnik armature znaša: 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝒇𝒇 𝝆𝝆� = 𝝁𝝁� = 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 (7.41) 𝒄𝒄𝒅𝒅 Količnik armature znaša: 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝝆𝝆 = 𝝁𝝁 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒌𝒌 (7.42) 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝁𝝁� = 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟏𝟏 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒎𝒎 = = 𝝇𝝇 ∙ 𝝁𝝁� = 𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ = (7.43) 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 Oddaljenost tlačne rezultante (𝐹𝐹 ′ 𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑑𝑑) od krajnega tlačnega roba pa dobimo tako: 𝜶𝜶 ∙ 𝒙𝒙 = 𝜶𝜶 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 − 𝒐𝒐 = 𝒅𝒅 − 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅 = (𝟏𝟏 − 𝝇𝝇) ∙ 𝒅𝒅 (𝟏𝟏 − 𝝇𝝇) ∙ 𝒅𝒅 (𝟏𝟏 − 𝝇𝝇) ∙ 𝒅𝒅 (𝟏𝟏 − 𝝇𝝇) 𝜶𝜶 = (7.44) 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 = 𝒌𝒌 Z (7.33)–(7.44) lahko določimo oblikovne funkcije 𝐼𝐼𝐼𝐼 in 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ter količnike 𝑘𝑘𝑐𝑐, m, 𝜌𝜌̅, 𝛼𝛼 za različne prereze. Za pravokotni prerez �𝛽𝛽(𝜂𝜂) = 1� podajajo njihove vrednosti enačbe (7.45)–(7.49) in so prikazane v literaturi [22]. Vse naštete vrednosti so odvisne od razmerja 𝜑𝜑∙𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 oziroma od vrednosti s. 𝜀𝜀 𝑠𝑠 Oblikovni funkciji 𝐼𝐼 𝐼𝐼 in 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ter ustrezni količniki za ustrezne primere robnih dilatacij betona 𝜑𝜑 ∙ 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐 znašajo: a) Robna dilatacija ne preseže 𝜀𝜀 0: 𝜺𝜺 𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝜺𝜺𝟎𝟎; 𝝋𝝋 ≤ 𝝋𝝋𝟎𝟎 (napetosti samo v obliki kvadratne parabole) 218 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ (7.45) 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝝋𝝋 − 𝟑𝟑 ∙ 𝝋𝝋 − 𝟑𝟑� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ (7.46) 𝒐𝒐′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅� 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝒌𝒌 𝟏𝟏 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌 � 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝝋𝝋 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑� − 𝟑𝟑� ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.47) 𝒄𝒄𝒃𝒃 = � 𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝑰𝑰 � 𝒌𝒌 𝒎𝒎 𝝇𝝇 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟏𝟏 𝟑𝟑� 𝑰𝑰 = = 𝑰𝑰 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝁𝝁� ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.48) 𝝋𝝋 − 𝟏𝟏𝟑𝟑 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝝆𝝆� = 𝝁𝝁� = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌 � 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟑𝟑� ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.49) (𝟏𝟏 − 𝝇𝝇) 𝜶𝜶 = 𝒌𝒌 Takšni prerezi, ko ni izčrpana dilatacija betona, so neekonomični. Nosilci so »visoki«. b) Robna dilatacija preseže 𝜀𝜀 0, ne preseže pa 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2: 𝜺𝜺 𝟎𝟎 < 𝜺𝜺𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ≤ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐; 𝝋𝝋𝟎𝟎 < 𝝋𝝋 < 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝝋𝝋 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝝋𝝋� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ (7.50) 7 Upogib 219. 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝝋𝝋 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ (7.51) 𝒐𝒐′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅� 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝒌𝒌 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒎𝒎 = 𝒌𝒌 �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑𝝋𝝋 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑� − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐� ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.52) 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒌𝒌 �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝝋𝝋� ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.53) 𝟐𝟐 𝑰𝑰 �𝟏𝟏 − 𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝟑𝟑𝝋𝝋 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) − 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐� 𝝇𝝇 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 = ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.54) 𝑰𝑰 𝟏𝟏 − 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝟑𝟑𝝋𝝋 Dilatacija betona znaša 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 3,5 ‰: 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟏𝟏 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑 ∙ 𝟕𝟕� = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒌𝒌𝟑𝟑; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.55) 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒌𝒌𝟑𝟑 − 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∙ 𝒌𝒌𝟒𝟒; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.56) 𝟏𝟏 𝒌𝒌 = ; 𝜺𝜺 𝒌𝒌 ≠ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒌𝒌𝒌𝒌. (7.57) 𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟑𝟑. 𝟓𝟓 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒃𝒃 = �𝟏𝟏𝟕𝟕 ; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.58) 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒃𝒃 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒌𝒌 − 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐; 𝝁𝝁�′ = 𝟎𝟎 (7.59) Za prakso so pripravljene tabele za izračun parametrov v odvisnosti od 𝜑𝜑 ∙ 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2[3], 𝜀𝜀 𝑠𝑠 [23], [24]. 220 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Običajno dimenzioniramo nosilce z uporabo tabel, diagramov in nomogramov tako, da v prerezu maksimalnega momenta (nosilci konstantnega prereza) izčrpamo dilatacije betona in armature (𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐) ter izberemo ustrezen količnik 𝑘𝑘 𝜀𝜀 𝑐𝑐 ali m, da 𝑠𝑠𝑐𝑐 izračunamo statično višino d. Za ustrezen »mehanski« količnik armiranja 𝜇𝜇̅(𝜌𝜌̅) izračunamo potrebno vzdolžno armaturo 𝐴𝐴𝑠𝑠(MSN po betonu in armaturi). V vseh ostalih prerezih nosilca lahko izčrpamo dilatacijo armature 𝜀𝜀 𝑠𝑠 = 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑐𝑐, dilatacije betona pa ne bodo izčrpane (MSN po armaturi). Če položimo enako natezno armaturo po vsej dolžini nosilca, upogibni momenti pa se manjšajo, v teh prerezih nimamo MSN (𝜀𝜀 𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 < 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐; 𝜀𝜀𝑠𝑠 < 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑐𝑐). 7.3 Načini dimenzioniranja nosilcev konstantnega prereza V tem podpoglavju bo obdelan pravokotni prerez z enojno armaturo (𝐴𝐴′𝑠𝑠 =0), obremenjen z upogibnim momentom 𝑀𝑀𝑑𝑑. Uporabljene bodo tabele [25]. 7.3.1 Prosto dimenzioniranje Poznamo: 𝑀𝑀𝑑𝑑, 𝑛𝑛=𝐵𝐵, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 Izračunati moramo: d, 𝐴𝐴𝑠𝑠 Za izbrano 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐 odčitamo količnike 𝑘𝑘 𝜀𝜀 = 3,5 𝑐𝑐, m, 𝜇𝜇̅, 𝜀𝜀, 𝜍𝜍 in izračunamo: 𝑠𝑠𝑐𝑐 10 𝑴𝑴 𝒅𝒅 = 𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ � 𝒃𝒃 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒙𝒙 = 𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 𝒐𝒐 = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅 7 Upogib 221. 7.3.2 Vezano dimenzioniranje Poznamo: 𝑀𝑀𝑑𝑑, 𝑛𝑛, d, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. Izračunati moramo 𝐴𝐴𝑠𝑠 in določiti (lahko odčitamo 𝜀𝜀𝑐𝑐) ter nato izračunamo količnik 𝜀𝜀 𝑠𝑠 m: 𝑴𝑴 𝒎𝒎 = 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Za dobljeni m odčitamo 𝜀𝜀𝑐𝑐, 𝜇𝜇̅(𝜌𝜌̅), 𝜀𝜀, 𝜍𝜍. Če je izčrpan beton, bosta 𝜀𝜀𝑐𝑐 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 = 3,5 𝑠𝑠 𝜀𝜀𝑠𝑠 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑐𝑐 𝜀𝜀𝑠𝑠 < 10 ‰ in mejni moment odpornosti 𝑀𝑀𝑅𝑅𝐶𝐶 ≥ 𝑀𝑀𝑑𝑑, če bo izčrpana armatura, pa znašata 𝜀𝜀𝑐𝑐 𝜀𝜀 = 𝑠𝑠 𝜑𝜑 ∙ 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐 in mejni moment odpornosti prereza 𝑀𝑀 𝜀𝜀 = 𝜑𝜑 ∙ 3,5 𝑅𝑅𝑆𝑆 ≥ 𝑀𝑀𝑑𝑑. 𝑠𝑠 10 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒅𝒅 7.3.3 Vezano dimenzioniranje Poznamo: 𝑀𝑀𝑑𝑑, 𝑛𝑛, d, 𝐴𝐴𝑠𝑠, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 Izračunati moramo projektni (mejni) moment odpora armiranobetonskega prereza, ki mora biti enak ali večji od projektnega (mejnega) momenta obremenitve 𝑀𝑀𝑑𝑑. Izračunamo: 𝜇𝜇̅ = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑐𝑐∙𝑑𝑑 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑦𝑦 Zopet se lahko pojavita dva primera, ko sta beton ali armatura izčrpana. Ko je: 𝜇𝜇̅ > 𝜇𝜇̅10 = 20,988 % – je izčrpan beton; 3,5 𝜇𝜇̅ < 𝜇𝜇̅10 – je izčrpana armatura. 3,5 222 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑴𝑴𝑹𝑹𝑪𝑪(𝑴𝑴𝑹𝑹𝑵𝑵) = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒎𝒎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒅𝒅 Če projektni moment obremenitve 𝑀𝑀𝑑𝑑 presega projektni moment odpora 𝑀𝑀𝑅𝑅𝑑𝑑, moramo omejiti koristno obtežbo tako, da bo doseženo 𝑀𝑀𝑅𝑅𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝑑𝑑. 7.4 Minimalni količnik natezne armature Pri nastanku 1. razpoke naj natezne napetosti armature ne dosežejo meje plastičnosti 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐. V tem primeru bo armatura sposobna prevzeti natezne obremenitve v razpoki. Če armatura tega ni sposobna prevzeti, bo nastal krhki lom. Pravokotni prerez – čisti upogib: 𝑴𝑴𝑹𝑹𝑵𝑵 ≥ 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 (7.60) Slika 7.16: Diagram napetosti za fazo I 𝑨𝑨 𝑰𝑰 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ≥ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉; 𝒐𝒐𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 − 𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝒉𝒉 7 Upogib 223. 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝁𝝁 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟔𝒉𝒉𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝝁𝝁) Za: C30/37; 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 =32 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚; 𝐸𝐸𝑠𝑠 =200 𝐺𝐺𝑀𝑀𝑚𝑚; 𝛼𝛼𝐸𝐸 =6,25 Pri: 𝜇𝜇 = 0,15 % 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎) ≅ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄 → 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒅𝒅 (7.61) 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝑾𝑾𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟐𝟐 Pri: 𝜇𝜇 = 1,0 % 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒅𝒅 ≅ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄 → 𝑾𝑾𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝑾𝑾𝒄𝒄 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ∙ 𝟔𝟔 𝟐𝟐 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑 ∙ 𝒉𝒉 ≥ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝝁𝝁 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ≥ 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ (7.62) 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 Po SIST EN 1992-1-1:2005: 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ≥ 0,26 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑡𝑡𝑚𝑚 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 Centrični nateg: 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ≥ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 (7.63) 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝁𝝁 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝁𝝁) Pri: 𝜇𝜇 = 0,15 % 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 ∙ (𝟏𝟏 + 𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓) ≅ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 224 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑨𝑨 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟏𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟏𝟏 ≥ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟏𝟏 𝝁𝝁 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ≥ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇 ≅ ; � 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟔𝟔� (7.64) 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 za čisti upogib pravokotnega prereza Preglednica 7.1: 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 pravokotnega prereza C; S 16/20 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 240 % 0,21 0,24 0,28 0,314 0,35 0,38 0,41 0,44 400 0,12 0,14 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 500 0,1 0,11 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20 0,21 7.5 Maksimalni količnik natezne armature 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝁𝝁𝒄𝒄𝒊𝒊𝒎𝒎 Limitni količnik armature nam določa pogoj, da se plastifikacija natezne armature izvrši »pred« izčrpanjem tlačne nosilnosti betona. Nevtralno os omejimo z 𝒙𝒙 = 0,5 ∙ 𝜎𝜎; 𝜑𝜑 = 1. Za enojno armirani pravokotni prerez pri čistem upogibu z upoštevanjem delovnega diagrama betona (DDB) – parabola + premica) lahko zapišemo: 𝑭𝑭𝑵𝑵(𝒄𝒄) ≤ 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒄𝒄 (7.65) 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝟒𝟒 𝑨𝑨 ′ 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ≤ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄; 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝟎𝟎; 𝝋𝝋𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟑𝟑 � 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 = 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒇𝒇 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟕𝟕 ∙ 𝒌𝒌 𝒇𝒇 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒇𝒇 𝒇𝒇 𝝁𝝁 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = (7.66) 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇 = = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟒𝟒𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 7 Upogib 225. 𝒇𝒇 𝝁𝝁� 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 = 𝟒𝟒𝟎𝟎,𝟓𝟓 % (7.67) 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 za čisti upogib pravokotnega prereza Preglednica 7.2: 𝝁𝝁𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 za pravokotni prerez 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚/𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 18 20 25 30 35 40 45 50 240 2,7 3,38 4,22 5,06 5,91 6,75 7,6 8,44 400 1,62 2,03 2,53 3,04 3,54 4,05 4,56 5,06 % 500 1,3 1,62 2,02 2,43 2,83 3,24 3,65 4,05 Za osenčena polja velja, da je v teh primerih 4 % armature preveč, kar pomeni, da vrednost, ki je v osenčenih poljih, pomeni »še« plastifikacijo armature, prekoračitev te pa že porušitev po betonu. Po SIST EN 1992-1-1:2005 znaša maksimalni količnik armiranja 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 =4 %. Če to vrednost primerjamo s Preglednica 7.2: μmax za pravokotni prerez, opazimo, da je za: − armaturo 240/360 ogrožen beton 𝐶𝐶 < 𝐶𝐶25; − armaturo 400/500 ogrožen beton 𝐶𝐶 < 𝐶𝐶40; − armaturo 500/560 ogrožen beton 𝐶𝐶 < 𝐶𝐶45. V teh primerih mora biti maksimalni količnik natezne armature nižji od 4 %, sicer pri 4 % ne pride do plastifikacije armature. 7.6 Dvojno armirani prerezi V podpoglavju 7.3 smo spoznali, da lahko nastopa mejno stanje po betonu ali armaturi. Zaradi neprimerno nižje duktilnosti je porušitev po betonu nevarnejša, zato se praviloma izogibamo »mejnega stanja po betonu«, ki je značilno za nizke nosilce (oziroma za ekscentrični tlak). To »nevarnost« odstranimo tako, da tudi tlačni del betonskega prereza ustrezno armiramo – tako del tlačnih napetosti prevzame tudi tlačna armatura, prerez pa postane bolj duktilen. Zaradi tega omejitev maksimalnega prereza natezne armature, podane v podpoglavju 7.5, z mehanskim količnikom 𝜇𝜇̅𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0,405 ni več merodajna. 226 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Če se omejimo na pravokotni prerez, bomo upoštevali tudi nosilnost tlačne armature 𝐹𝐹′ ′ 𝑠𝑠𝑑𝑑 takrat, ko bo dilatacija tlačne armature 𝜀𝜀𝑠𝑠 večja od dilatacije 𝜀𝜀𝜎𝜎′ , torej dilatacije, 𝑠𝑠=𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 pri kateri je napetost tlačne armature dosegla projektno »tlačno« mejo plastičnosti armature, ki jo privzamemo enako kot pri natezni obremenitvi, čeprav se jeklo nekoliko drugače obnaša pri tlačni obremenitvi. Delovni diagram armature je bilinearen in je podan v podpoglavju 3.4. Slika 7.17: Diagrama dilatacij in napetosti v pravokotnem prerezu Oblikovni funkciji 𝐼𝐼𝐼𝐼in 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 z upoštevanjem deleža tlačne armature in količnika 𝜑𝜑=1 (izčrpan beton ′ 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚) izrazimo s pomočjo (7.50) in (7.51) ter vrednosti 𝜇𝜇̅′ = 𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ 𝑐𝑐∙𝑑𝑑 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦; 𝑓𝑓 ′, ko je 𝜀𝜀′ ≥ 𝜀𝜀 . 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑦𝑦 Za pravokotni prerez (𝛽𝛽(𝜂𝜂)=1) in izčrpan beton (𝜑𝜑=1) zapišemo oblikovni funkciji 𝐼𝐼𝐼𝐼in 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 kot: 𝝋𝝋 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟑𝟑 � + 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ 𝒌𝒌 𝝋𝝋 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒐𝒐′ 𝑰𝑰 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 − 𝟑𝟑 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) − 𝟏𝟏𝟐𝟐 � + 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅� Z upoštevanjem (7.42): 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝁𝝁� = 𝟑𝟑𝝋𝝋� + 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�′ 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒌𝒌𝟐𝟐 dobimo: 7 Upogib 227. 𝝋𝝋 𝒇𝒇 𝝆𝝆� = 𝝁𝝁� = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒅𝒅 (7.68) 𝟑𝟑 � + 𝝁𝝁�′ → 𝝆𝝆 = 𝝁𝝁 = 𝝁𝝁� ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Za izbrano razmerje ′ 𝑘𝑘 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 in z uporabo (7.68) dobimo: 𝐴𝐴𝑠𝑠 𝝋𝝋 𝒇𝒇− 𝝋𝝋 𝑨𝑨′ 𝒇𝒇− 𝝁𝝁� = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑 � + 𝝁𝝁�′ ∙ 𝒇𝒇 = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑 � + 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇+ 𝝋𝝋 𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨 𝒇𝒇− 𝝋𝝋 𝒇𝒇− 𝝁𝝁 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − ∙ = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑 � + 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑 � + 𝒄𝒄 ∙ 𝝁𝝁 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇+ 𝒇𝒇− 𝝋𝝋 𝝁𝝁 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒇𝒇 − 𝒄𝒄 ∙ 𝝁𝝁 ∙ = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑 � 𝒇𝒇+ 𝒇𝒇− 𝒇𝒇 𝝋𝝋 𝝁𝝁 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒇𝒇 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄 ∙ ∙ + ) = 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟑𝟑𝝋𝝋� 𝒌𝒌 ∙ �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝁𝝁� = 𝟑𝟑 � 𝒇𝒇− (7.69) 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇+𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑓𝑓− 𝑐𝑐𝑑𝑑 … projektna meja plastičnosti jekla pri tlačni obremenitvi 𝑓𝑓+ 𝑐𝑐𝑑𝑑 … projektna meja plastičnosti jekla pri natezni obremenitvi Enačba (7.69) nam pove, da je z uporabo tlačne armature 𝐴𝐴′𝑠𝑠 limitni mehanski količnik armiranja 𝜇𝜇̅ višji od 40,5 %, kar je bilo obdelano v podpoglavju 7.5. Hipotetično je 𝜇𝜇̅ lahko neskončno velika, če je k = 1 in 𝑓𝑓− + 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. Pri simetrično armiranih presekih torej ne velja omejitev maksimalnega mehanskega odstotka armature z vrednostjo 40,5 %. Iz predhodno izračunanih izrazov lahko določimo še vse ostale količine, potrebne za dimenzioniranje. Ko upoštevamo 𝜑𝜑 0 = 4, preide (7.66) v naslednjo obliko: 7 228 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝒌𝒌 𝝁𝝁� = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇− 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Z uporabo (7.14) in upoštevanjem 𝜑𝜑 = 1 in 𝑓𝑓− + 𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 dobimo: 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏 𝝁𝝁� = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ �𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟑𝟑, 𝟓𝟓� ∙ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄) Pri čistem upogibu in upoštevanju 𝜇𝜇̅𝑐𝑐𝑖𝑖𝑚𝑚 = 0,405 = 17 in s = 0,5 dobimo: 42 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏 𝟒𝟒𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄) = 𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ �𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟑𝟑, 𝟓𝟓� 𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄 = → �𝟏𝟏 + 𝜺𝜺𝒌𝒌 𝟑𝟑, 𝟓𝟓� 𝟕𝟕 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 − (7.70) (𝟑𝟑, 𝟓𝟓 + 𝜺𝜺𝒌𝒌) Ko je 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 3,5 → 𝑘𝑘 = 0 Ko je 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 → 𝑘𝑘 = 0,48 Ko je 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 20 → 𝑘𝑘 = 0,7 Slika 7.18: Razmerje tlačne in natezne armature pri upogibu pravokotnega prereza 7 Upogib 229. Pri ekscentričnem tlaku, ko se sila bliža jedru prereza, je prerez tlačne armature vse višji, mejna vrednost količnika k pa bo 1, kar ustreza centrični tlačni obremenitvi. 7.7 Ekscentrični nateg in ekscentrični tlak (brez upoštevanje stabilnosti) – enoosni upogib za 𝑪𝑪 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎/𝟔𝟔𝟎𝟎 V tem podpoglavju ne bodo podane podrobne teoretične rešitve kot pri čistem upogibu, temveč samo uporaba tabel in diagramov, ki smo jih že analizirali pri upogibu brez osne sile. Enoosni upogib in ustrezne količine obremenitev (za dimenzioniranje) prikazujeta Slika 7.19 in Slika 7.20. 7.7.1 Ekscentrični nateg – velika in mala ekscentričnost Slika 7.19: Ekscentrični nateg z veliko ekscentriteto Slika 7.20: Ekscentrični nateg z malo ekscentriteto 230 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ a) Veliko ekscentričnost po Slika 7.19 podamo kot 𝑧𝑧 > 𝜎𝜎𝑠𝑠 Upogibni moment na težišče nerazpokanega prereza: 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄; 𝒄𝒄 = 𝑵𝑵 > 𝒄𝒄𝒌𝒌 (7.71) 𝑬𝑬𝒅𝒅 Upogibni moment na težišče natezne armature: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (7.72) Rezultanta tlačne napetosti: 𝑭𝑭 ′ 𝒄𝒄 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 (7.73) Rezultanta nateznih napetosti: 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒐𝒐 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 (7.74) 𝑭𝑭 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. ≥ 𝒇𝒇𝒙𝒙𝒅𝒅 Upogibni moment na težišče tlačne armature: 𝑴𝑴′ ′ 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (7.75) b) Malo ekscentričnost po Slika 7.20 podamo kot 𝑧𝑧 ≤ 𝜎𝜎𝑠𝑠′ Problem je bil obdelan v poglavju 6! 7.7.2 Ekscentrični tlak – velika in mala ekscentričnost Veliko ekscentričnost po Slika 7.21 podamo kot 𝑧𝑧>𝜎𝜎𝑠𝑠 Upogibni moment na težišče nerazpokanega prereza: 7 Upogib 231. 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒅𝒅 ′ 𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄; 𝒄𝒄 = (7.76) 𝑵𝑵 > 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝑬𝑬𝒅𝒅 Slika 7.21: Ekscentrični tlak z veliko ekscentriteto Upogibni moment na težišče natezne armature: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (7.77) Rezultanta tlačne napetosti: 𝑭𝑭 ′ 𝒄𝒄 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 Rezultanta nateznih napetosti: 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒐𝒐 − 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 (7.78) Upogibni moment na težišče tlačne armature: 𝑴𝑴′ ′ 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (7.79) Mala ekscentričnost O »mali ekscentričnosti« govorimo takrat, ko je dilatacija natezne armature 𝜀𝜀𝑠𝑠≤0, torej ko ekscentrična sila 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑑𝑑 deluje blizu ali v jedru prereza. 232 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Z bližanjem ekscentrične tlačne sile proti težišču nerazpokanega prereza sta ves prerez betona in z njim vsa armatura tlačena. Ker je beton manj duktilen kot armatura, moramo zmanjšati »dovoljene« dilatacije betona, od 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −3,5 ‰ do 𝜀𝜀𝑐𝑐1 = −2,0 ‰. V diagramu na Slika 7.18 je točka rotacije dilatacij točka C. Slika 7.22: Ekscentrični tlak z malo ekscentriteto 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄; 𝒄𝒄 = 𝑵𝑵 ≤ 𝒗𝒗(𝒐𝒐),(𝒌𝒌) 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝟒𝟒 ∙ 𝜺𝜺 𝟒𝟒 |𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟏𝟏| > |𝜺𝜺𝟐𝟐|; 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝟎𝟎 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟕𝟕 = 𝟕𝟕 ∙ 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ (7.80) = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎 ‰ Maksimalna dilatacija 𝜀𝜀 1: 𝟑𝟑 ∙ 𝜺𝜺 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝟎𝟎 + 𝒄𝒄 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 + ) 𝟒𝟒 ∙ (𝝋𝝋𝟎𝟎 − 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ �𝝋𝝋 (7.81) 𝟎𝟎 + 𝟒𝟒 𝝋𝝋𝟎𝟎 − 𝟒𝟒 𝝋𝝋𝟐𝟐� 𝟑𝟑 = 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟒𝟒 𝝋𝝋𝟐𝟐� 7 Upogib 233. 𝒄𝒄 𝝋𝝋 𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑𝒉𝒉 = 𝟒𝟒𝒉𝒉 → 𝒄𝒄 = ) 𝟒𝟒 ∙ (𝝋𝝋𝟎𝟎 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝜺𝜺𝟐𝟐 𝟕𝟕 𝟕𝟕 (7.82) 𝟑𝟑 = ) 𝟒𝟒 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ (𝝋𝝋𝟎𝟎 − 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝟑𝟑 𝜺𝜺 𝜺𝜺 𝟐𝟐 𝟏𝟏 = 𝝋𝝋𝟏𝟏 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄; 𝝋𝝋𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 − 𝟒𝟒 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟒𝟒 ∙ 𝜺𝜺 (7.83) 𝒄𝒄𝒄𝒄 Za 𝜀𝜀 𝑐𝑐𝑐𝑐 = −3,5 %: 𝟑𝟑 𝝋𝝋 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 − (7.84) 𝟏𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝜺𝜺𝟐𝟐 Minimalna dilatacija: 𝜺𝜺 𝟐𝟐 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄; 𝜺𝜺𝟐𝟐 = 𝟎𝟎; 𝝋𝝋𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 → 𝜺𝜺𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄; 𝒄𝒄 = 𝒗𝒗 𝟒𝟒 𝜺𝜺 𝟐𝟐 = 𝜺𝜺𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝟎𝟎; 𝝋𝝋𝟏𝟏 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 = 𝝋𝝋𝟎𝟎 = 𝟕𝟕 ; 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝒄𝒄𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐𝒗𝒗𝒄𝒄𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒏𝒏𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊č𝒏𝒏𝒊𝒊 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 Uporaba teh enačb je podana v knjigi Armirani beton 2 [25]. Pri mali ekscentričnosti običajno armiramo simetrične prereze (I, ⌷) s simetrično armaturo ′ 𝐴𝐴 ′ 𝑠𝑠 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 oziroma 𝐴𝐴𝑠𝑠 = 0,5, prereze T pa s tlačno armaturo, ki je za polovico 𝐴𝐴𝑠𝑠 manjša od natezne armature 𝐴𝐴′𝑠𝑠 = 0,5. 𝐴𝐴𝑠𝑠 Tu pa podajamo dimenzioniranje na ekscentrični nateg in ekscentrični tlak z grafikoni iz Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [24]. Prikaz uporabe tabel in grafikonov za dimenzioniranje armiranobetonskih prerezov Pri preverjanju nosilnih elementov v mejnih stanjih nosilnosti (MSN) lahko uporabimo linearno analizo z omejeno prerazporeditvijo učinkov vplivov, torej notranjega napetostnega stanja. 234 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Koncept metode mejnih stanj je osnovan na večji »izkoriščenosti« materiala – konstrukcije – prereza. Torej mora priti do prerazporeditve notranjega napetostnega stanja oziroma do prerazporeditve notranjih sil. Temeljni pogoj, da v konstrukciji sploh lahko pride do prerazporeditve notranjih sil, je, da so kritična območja dovolj duktilna oziroma imajo dovolj veliko rotacijsko sposobnost, da lahko na teh kritičnih območjih pride do znatne plastifikacije natezne armature, preden je izčrpana nosilnost tlačne cone betona, oziroma da preprečimo nastanek krhkega loma betona [26]. Pri linearni elastični analizi z omejeno prerazporeditvijo notranjih sil je treba za neprekinjene nosilce in plošče prek več polj upoštevati, da so: − pretežno upogibno obremenjeni; − imajo razmerje priležnih razpetin med 0,5 in 2,0. Preglednica 7.3: Omejitve vrednosti koeficienta redukcije upogibnih momentov 𝜹𝜹 v primeru, da rotacijska sposobnost kritičnega prereza ni posebej dokazana Trdnostni razred betona ≤ 𝐶𝐶50/60 ≥ 𝐶𝐶55/67 𝑇𝑇 𝛿𝛿 ≥ 0,44 + 1,25 𝑐𝑐 1,75 𝑇𝑇𝑐𝑐 𝜎𝜎 𝛿𝛿 ≥ 0,54 + �0,75 + 𝜀𝜀 � ∙ 𝑐𝑐𝑐𝑐2 𝜎𝜎 𝛿𝛿 ≥ 0,80 – pri armaturi duktilnosti A 𝛿𝛿 ≥ 0,80 – pri armaturi duktilnosti A 𝛿𝛿 ≥ 0,70 – pri armaturi duktilnosti B ali C 𝛿𝛿 ≥ 0,70 – pri armaturi duktilnosti B ali C 4 Pri tem je 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2 = 2,6 + 35 ∙ �(90−𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐)� ; [‰] 100 𝛿𝛿 … razmerje med momentom po prerazporeditvi in momentom, dobljenim po teoriji elastičnosti (𝛿𝛿 ≤ 1) 𝑇𝑇𝑐𝑐 … višina tlačne cone v MSN po prerazporeditvi 𝜎𝜎 … statična višina prereza 𝑚𝑚𝑐𝑐 … koeficient višine tlačne cone 𝑑𝑑 Pri tem lahko prerazporeditev upogibnih momentov izvedemo brez posebnega dokazovanja rotacijske sposobnosti elementa, če koeficient redukcije upogibnih momentov 𝛿𝛿 ustreza pogojem iz Preglednica 7.3. Ker je za ugotavljanja najmanjšega možnega koeficienta redukcije upogibnih momentov 𝛿𝛿 pri prerezih brez tlačne armature v splošnem potreben iteracijski postopek, lahko uporabimo postopek, ki omogoča neposredno določanje najmanjše vrednosti koeficienta 𝛿𝛿 v odvisnosti od koeficienta izkoriščenosti betona (prereza) 7 Upogib 235. 𝑘𝑘𝑑𝑑, določenega pri izhodiščni obremenitvi iz elastične obremenitve brez razporeditve. Za pretežno upogibno obremenitev, kjer je osna sila nič oziroma zanemarljivo majhna: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅; 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ≈ 𝟎𝟎, kot sledi: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 → 𝒄𝒄𝒅𝒅 → 𝜹𝜹. 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑,𝑠𝑠 … upogibni moment po prerazporeditvi Reducirani upogibni moment k težišču armature po prerazporeditvi znaša: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜹𝜹 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 < 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌; 𝜹𝜹 < 𝟏𝟏 (𝒗𝒗𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝑴𝑴−) Če še upoštevamo, da je osna sila tudi po prerazporeditvi enaka, pa znaša reducirani upogibni moment: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜹𝜹 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 + (𝟏𝟏 − 𝜹𝜹) ∙ 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜹𝜹 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 → 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝒐𝒐𝒐𝒐 č𝒊𝒊𝒌𝒌𝒌𝒌𝒊𝒊 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒌𝒌𝑴𝑴𝒊𝒊𝒃𝒃 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 < 𝟎𝟎 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒏𝒏𝒐𝒐𝒌𝒌𝒄𝒄𝑴𝑴 Prerazporeditev upogibnih momentov brez dokazovanja rotacijske sposobnosti kritičnega prereza lahko dosežemo tudi z zmanjšanjem višine tlačne cone prereza, kjer vzamemo v »zakup« namestitev tlačne armature po naslednjem postopku: − izberemo takšen koeficient redukcije upogibnih momentov 𝛿𝛿, ki izpolnjuje absolutne omejitve glede armature v odvisnosti od razreda duktilnosti (𝛿𝛿 ≥ 0,80 ali 𝛿𝛿 ≥ 0,70); − upoštevajoč še pogoj za beton, ki nam poda koeficient globine nevtralne osi po prerazporeditvi 𝑘𝑘 𝑚𝑚,𝑐𝑐 glede na deformacijo betona 𝜀𝜀1 = 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐2, pripadajočo deformacijo jekla 𝜀𝜀 𝑠𝑠 in tem deformacijam pripadajoči koeficient izkoriščenosti betona 𝑘𝑘 𝑑𝑑,𝑐𝑐; − če je koeficient izkoriščenosti betona, ki pripada obremenitvi po izbrani prerazporeditvi 𝑘𝑘 𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑦𝑦𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑦𝑦, manjši od 𝑘𝑘 , je prerazporeditev upogibnih 𝑐𝑐∙𝑑𝑑2 ∙𝑓𝑓 𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑦𝑦 236 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ momentov z izbranim koeficientom redukcije 𝛿𝛿 mogoča brez namestitve tlačne armature, v nasprotnem primeru pa se z upoštevanjem ravnotežnih pogojev in odpornosti betona, ki jo določa koeficient 𝑘𝑘 𝑑𝑑,𝑐𝑐, izračunata potrebna natezna in tlačna armatura. Rezultati, pri katerih je prerez tlačne armature večji od prereza natezne armature (𝐴𝐴′𝑠𝑠 ≥ 𝐴𝐴𝑠𝑠), niso primerni. Preglednica 7.4: Parametri za dimenzioniranje enojno ali dvojno armiranih pravokotnih prerezov pri prerazporeditvi upogibnih momentov brez posebnega dokazovanja rotacijske sposobnosti kritičnega prereza; 𝛆𝛆𝟏𝟏 in 𝛆𝛆𝐬𝐬; [‰] Beton 𝐶𝐶50/60 Beton 𝐶𝐶55/67 𝛿𝛿 𝑘𝑘 𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 1,00 0,448 0,295 1,229 3,5/4,31 0,350 0,224 1,159 3,1/5,76 0,95 0,408 0,274 1,204 3,5/5,08 0,312 0,203 1,139 3,1/6,84 0,90 0,368 0,252 1,181 3,5/6,01 0,274 0,181 1,120 3,1/8,22 0,85 0,328 0,229 1,158 3,5/7,17 0,236 0,159 1,102 3,1/10,05 0,80˙ 0,288 0,205 1,136 3,5/8,65 0,198 0,135 1,084 3,1/12,57 0,75 0,248 0,180 1,115 3,5/10,61 0,160 0,111 1,067 3,1/16,30 0,70˙˙ 0,208 0,154 1,095 3,5/13,33 0,122 0,086 1,050 3,1/22,376 Beton 𝐶𝐶60/75 Beton 𝐶𝐶70/85 𝛿𝛿 𝑘𝑘 𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 1,00 0,340 0,206 1,147 2,9/5,63 0,329 0,185 1,135 2,7/5,51 0,95 0,303 0,186 1,129 2,9/6,67 0,293 0,167 1,119 2,7/6,51 0,90 0,266 0,166 1,112 2,9/8,00 0,257 0,149 1,103 2,7/7,79 0,85 0,229 0,145 1,059 2,9/9,76 0,222 0,130 1,087 2,7/9,48 0,80˙ 0,192 0,124 1,078 2,9/12,20 0,186 0,111 1,072 2,7/11,82 0,75 0,155 0,102 1,062 2,9/15,79 0,150 0,091 1,058 2,7/15,28 0,70˙˙ 0,118 0,078 1,047 2,9/21,63 0,114 0,070 1,043 2,7/20,89 Beton 𝐶𝐶80/75 Beton 𝐶𝐶90/105 𝛿𝛿 𝑘𝑘 𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 𝑘𝑘𝑚𝑚,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑠𝑠,𝑐𝑐 −𝜀𝜀1/𝜀𝜀𝑠𝑠 1,00 0,323 0,172 1,130 2,6/5,44 0,323 0,167 1,129 2,6/5,44 0,95 0,288 0,155 1,114 2,6/6,42 0,288 0,151 1,113 2,6/6,42 0,90 0,253 0,138 1,099 2,6/7,68 0,253 0,134 1,098 2,6/7,68 0,85 0,218 0,120 1,084 2,6/9,34 0,218 0,117 1,083 2,6/9,34 0,80˙ 0,183 0,102 1,069 2,6/11,63 0,183 0,100 1,069 2,6/11,63 0,75 0,148 0,084 1,055 2,6/15,02 0,148 0,082 1,055 2,6/15,02 0,70˙˙ 0,112 0,065 1,042 2,6/20,52 0,112 0,063 1,041 2,6/20,52 ˙ Najnižja dovoljena vrednost koeficienta 𝜹𝜹 za armaturo razreda duktilnosti A ˙˙ Najnižja dovoljena vrednost koeficienta 𝜹𝜹 za armaturo razreda duktilnosti B ali C 𝑘𝑘𝑚𝑚,𝑐𝑐 = 𝑚𝑚𝑐𝑐 … koeficient globine nevtralne osi 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑦𝑦𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑦𝑦 < 𝑘𝑘 … koeficient izkoriščenosti betona, ki pripada obremenitvi 𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑2∙ 𝑓𝑓 𝑑𝑑,𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑦𝑦 po izbrani prerazporeditvi oziroma »redukciji« 7 Upogib 237. 𝑘𝑘 𝑠𝑠,𝑐𝑐 = 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑2 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 … koeficient zahtevane oziroma »potrebne« stopnje armiranja 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑦𝑦,𝑠𝑠 V Preglednica 7.4 so podane vrednosti koeficientov za dimenzioniranje enojno ali dvojno armiranih pravokotnih prerezov, upoštevajoč izbran koeficient redukcije 𝛿𝛿, ki ne zahteva dokazovanja rotacijske sposobnosti prereza. Podali bomo primera dimenzioniranja pravokotnega prečnega prereza, kot je prikazano v Priročniku za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod [26]. Primer I: dimenzioniranje pravokotnega prečnega prereza pri izbranem koeficientu redukcije upogibnih momentov 𝛿𝛿 Na spodnji sliki imamo pravokotni prerez, ki je obremenjen s projektnim upogibnim momentom 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑 = 285 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑚𝑚 (po elastični analizi). Določili bomo potrebno armaturo za prerez, ki omogoča uporabo izbranega koeficienta redukcije upogibnega momenta 𝛿𝛿, ki ne zahteva dokazovanja rotacijske sposobnosti. Slika 7.23: Geometrija pravokotnega prereza z oznakami Obremenitev: 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑 =; 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑑𝑑 = 0 Materiali: 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝜶𝜶 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑪𝑪 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐤𝐤 𝟑𝟑𝟕𝟕 ; → 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝒄𝒄 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝐞𝐞 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝑳𝑳; → 𝒇𝒇 𝐲𝐲𝐤𝐤 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝒌𝒌 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟒𝟒𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 238 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑬𝑬𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 ; → 𝜺𝜺 ; 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟎𝟎 ; 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝐞𝐞𝐲𝐲𝐝𝐝 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟕𝟕 ‰ 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 Za duktilnost razreda B je dovoljen najmanjši koeficient redukcije 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛=0,70→𝛿𝛿≥ 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 → 0,75 > 0,7. Izberemo koeficient redukcije 𝛿𝛿 =0,75. Projektni moment k težišču armature po prerazporeditvi: 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 → 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹; 𝟎𝟎,∙ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Za lažjo ponazoritev teh enačb si lahko pomagamo s Slika 7.19–Slika 7.22. Iz Preglednica 7.4 za betone do 𝐶𝐶 50/60 ob 𝛿𝛿 = 0,75 odčitamo: 𝒄𝒄𝒙𝒙,𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎; 𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓; −𝜺𝜺𝟏𝟏/𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟑𝟑, 𝟓𝟓/𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟏𝟏 → 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟒𝟒𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄 𝒅𝒅,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 ; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 > 𝒄𝒄 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝒅𝒅,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐,𝟎𝟎 potrebna je tlačna armatura Upogibni moment, ki ga glede na odčitane deformacije lahko prevzame enojno armirani prerez: 𝑴𝑴 𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐, 𝟎𝟎; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌,𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Neuravnoteženi del momenta pri enojni armaturi: ∆𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌,𝒄𝒄; 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐,; ∆𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 7 Upogib 239. Napetost v tlačni armaturi: 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒙𝒙,𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅; 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟒𝟓𝟓; 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝜺𝜺′ ′ 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝟏𝟏 ∙ 𝒙𝒙 − 𝒐𝒐′; −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟓; 𝜺𝜺 = −𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟐𝟐 ‰ < 𝜺𝜺 𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏𝟕𝟕 ‰ |𝜺𝜺′ ′ ′ ′ 𝒌𝒌| = 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟐𝟐 ‰ → |𝝈𝝈𝒌𝒌| = 𝑬𝑬𝒌𝒌 ∙ |𝜺𝜺𝒌𝒌|; 20.000 ∙ 𝟏𝟏, 𝟗𝟗𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑; |𝝈𝝈𝒌𝒌| = 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Potreben prerez armature: 𝑨𝑨′ ′ 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = ∆𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 ; 𝟑𝟑𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 (𝒅𝒅 − 𝒐𝒐′) ∙ �𝝈𝝈′ 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒌𝒌� (𝟒𝟒𝟓𝟓 − 𝟓𝟓) ∙ 𝟑𝟑𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟎𝟎 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒄𝒄 + ∆𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 ; 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐,𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟏𝟏,𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (𝒅𝒅 − 𝒐𝒐′) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟎𝟎 (𝟒𝟒𝟓𝟓−𝟓𝟓) ∙ 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟎𝟎 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐, 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Pri tej armaturi je možna redukcija upogibnega momenta na 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑 ∙ 𝛿𝛿 brez dokazovanja rotacijskih sposobnosti. Primer II: določanje največje možne redukcije upogibnega momenta 𝛿𝛿 enojno armiranega pravokotnega prečnega prereza Na Slika 7.24: Geometrija pravokotnega prereza z oznakami imamo pravokotni prerez, ki je obremenjen s projektnim upogibnim momentom 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑑𝑑 = 285 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑚𝑚 (po elastični analizi). Ugotoviti bo treba največje možno zmanjšanje upogibnega momenta, ki ga lahko izvedemo brez nameščanja tlačne armature in brez dokazovanja rotacijske sposobnosti prereza. Slika 7.24: Geometrija pravokotnega prereza z oznakami 240 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Materiali: 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝜶𝜶 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑪𝑪 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐤𝐤 𝟑𝟑𝟕𝟕 ; → 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝒄𝒄 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝐞𝐞 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝑳𝑳; → 𝒇𝒇 𝐲𝐲𝐤𝐤 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝒌𝒌 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟒𝟒𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Obremenitev, določena z elastično analizo: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎; 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 → 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Koeficient izkoriščenosti tlačne cone betona pri obremenitvi brez prerazporeditve: 𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 ; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐,𝟎𝟎 Določitev najmanjšega dovoljenega koeficienta redukcije 𝜹𝜹 Iz Error! Reference source not found. pri 𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 0,281 z upoštevanjem krivulje za normalne betone ≤ 𝐶𝐶50/60 in linije za jeklo duktilnosti B odčitamo vrednost najmanjšega dovoljenega koeficienta redukcije 𝛿𝛿: 𝜹𝜹(𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏; 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝒏𝒏 ≤ 𝑪𝑪𝟓𝟓𝟎𝟎/𝟔𝟔𝟎𝟎; 𝑵𝑵𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝑳𝑳); 𝜹𝜹 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟎 (merodajna je krivulja betonov) Najmanjši dovoljeni moment enojno armiranega pravokotnega prereza po prerazporeditvi, ki ne zahteva dokazovanja rotacijskih sposobnosti, znaša: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 ∙ 𝜹𝜹; 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∙ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔, 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Potrebna armatura za prevzem momenta po razporeditvi: 𝑘𝑘 𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑦𝑦,𝑠𝑠,𝑐𝑐𝑟𝑟𝑦𝑦 ; 256,5 ∙ 100 ; 𝑘𝑘 𝑐𝑐 ∙ 𝑑𝑑2 ∙ 𝑓𝑓 𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 0,253 → iz Preglednica 2-10 na strani 2-26 𝑐𝑐𝑦𝑦 25 ∙ 452 ∙ 2,0 Priročnika za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod [26] za vrednost 𝑘𝑘 𝑑𝑑 ≈ 𝑘𝑘𝑑𝑑,𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 = 0,253 nato odčitamo naslednje koeficiente: 7 Upogib 241. 𝒄𝒄 𝒙𝒙,𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎; 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏; −𝜺𝜺𝟏𝟏/𝜺𝜺𝒌𝒌 = −𝟑𝟑, 𝟓𝟓/𝟔𝟔 ‰ 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌,𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟔𝟔,𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝑨𝑨 𝒅𝒅∙𝒇𝒇 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟎𝟎 Preverimo, ali je izpolnjen pogoj glede višine tlačne cone betona iz Preglednica 7.3: za 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎 → 𝜹𝜹 ≥ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒙𝒙𝒄𝒄; 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 + 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒅𝒅 𝒙𝒙,𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝛿𝛿 = 0,90, kar je enako vrednosti, ob upoštevanju obremenitev pred prerazporeditvijo. Dimenzioniranje po MSN z metodami, kot so plastična analiza, plastična analiza z uporabo modelov z razporami in vezmi ter nelinearno analizo in poenostavljen postopek preverjanja rotacijske sposobnosti, si lahko bralec pogleda v Priročniku za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod ali v dotični strokovni literaturi oziroma na svetovnem spletu [26]. Podali bomo primer določitve potrebnega prereza natezne armature za pravokotni prečni prerez iz betona visoke trdnosti, kjer bo opisan vpliv konstitutivnega zakona betona na osno-upogibno odpornost prereza, kot je prikazano v Priročniku za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod [26]. Materiali: 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝜶𝜶 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑪𝑪 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐤𝐤 𝟗𝟗𝟓𝟓 ; → 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝒄𝒄 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟓𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 242 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑵𝑵 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒄𝒄𝒄𝒄𝒌𝒌𝒊𝒊𝒄𝒄𝒏𝒏𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒌𝒊𝒊 𝑨𝑨 Obremenitev, določena z elastično analizo: 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎; 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 = −𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒃𝒃 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝒉𝒉 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝒐𝒐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟗 𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 − 𝒐𝒐; 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟗; 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝒉𝒉 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 − 𝒐𝒐; 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟗𝟗; 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟏𝟏 𝒎𝒎 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌; 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟏𝟏; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Koeficient izkoriščenosti tlačne cone betona: 𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 ; 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒃𝒃∙𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝟗𝟗𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟓𝟓,𝟑𝟑𝟑𝟑 Iz Preglednica P1-1 na strani 2-100 Priročnika za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod [26] izberemo za beton 𝐶𝐶 80/95 pri 𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 0,182 ≈ 0,180, nato sledi: −𝜺𝜺 𝟏𝟏/𝜺𝜺𝒌𝒌 = −𝟐𝟐,𝟔𝟔 ‰; 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎; 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟐𝟐; 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅; 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟐𝟐 ∙ 𝟗𝟗𝟏𝟏 𝟓𝟓 𝒌𝒌 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒎𝒎 Za jeklo 𝑆𝑆 500 − 𝐴𝐴 odčitamo napetost 𝜎𝜎𝑠𝑠(𝜀𝜀 . 𝑠𝑠 = 5 ‰) = 43,75 𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑚𝑚2 Potrebna natezna armatura: 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅,𝒌𝒌 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅; 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝑨𝑨 𝒅𝒅 ∙ 𝝈𝝈 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝟓𝟓𝟕𝟕, 𝟔𝟔𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟏𝟏 ∙ 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟓𝟓 𝟒𝟒𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟓𝟓 Če bi napačno uporabili stolpec za betone trdnostnega razreda, na primer ≤ 𝐶𝐶 50/60 oziroma starejše pripomočke za dimenzioniranje, bi pri 𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 0,182 ≈ 0,187 dobili: −𝜺𝜺 𝟏𝟏/𝜺𝜺𝒌𝒌 = −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ 𝟏𝟏𝟎𝟎‰; 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏; 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗; 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟗𝟗 ∙ 𝟗𝟗𝟏𝟏; 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟑𝟑, 𝟓𝟓𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒎𝒎 7 Upogib 243. Za jeklo 𝑆𝑆 500 − 𝐴𝐴 odčitamo napetost 𝜎𝜎𝑠𝑠(𝜀𝜀 . 𝑠𝑠 = 10 ‰) = 44,22 𝑐𝑐𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑚𝑚2 Potrebna natezna armatura: 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅𝒌𝒌 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅; 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝑨𝑨 𝒅𝒅∙𝝈𝝈 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝟎𝟎,𝟗𝟗𝟏𝟏 ∙ 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟐𝟐𝟐𝟐 Napačno izračunan prerez armature sicer bistveno ne odstopa od pravilnega potrebnega prereza armature in je približno 3 % premajhen, je pa ocenjeno deformacijsko stanje precej različno (5 ‰ → 10 ‰). Še očitneje kot v tem primeru bi se vpliv uporabe napačnih podatkov pokazal pri večji obremenitvi, ko bi dobili na primer 𝑘𝑘 𝑑𝑑 = 0,276. Ta vrednost koeficienta 𝑘𝑘𝑑𝑑 pri betonih običajne trdnost (≤ 𝐶𝐶 50/60) pripada deformaciji armature 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 5 ‰, pri betonu 𝐶𝐶 90/105 pa deformaciji jekla približno 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 1,84 ‰, ki je manjša od deformacije na meji elastičnosti 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑑𝑑 = 2,17 ‰, kar je za upogibno obremenjeni element neprimerno. V tem primeru bi bila tudi precej večja napaka pri izračunanem prerezu armature, saj je napetost armature pri uporabi napačnih diagramov znatno prevelika, izračunan prerez armature pa posledično občutno premajhen. Poznavanje pravega deformacijskega stanja prereza s hkratno pravilno uporabo konstitutivnih zakonov betona in armature (pravilno odčitavanje podatkov iz diagramov) je pomembno za zagotavljanje duktilnosti, ki je bistvo standarda SIST EN 1992-1-1 in je zahtevana zlasti takrat, kadar uporabljamo linearno elastično analizo z omejeno prerazporeditvijo upogibnih momentov ali plastično analizo, v splošnem pa je bistvenega pomena pri zagotavljanju primernega odziva armiranobetonskih konstrukcij v primeru potresa. 244 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 8.1 Uvod Na Slika 7.5 so bile prikazane trajektorije tlačnih in nateznih napetosti, ki so jih povzročili upogibni momenti in prečne sile. Če analiziramo armiranobetonski prerez, v posameznih točkah prereza opazimo, da se vrednosti glavnih tlačnih in nateznih napetosti spreminjajo po smeri in velikosti. Podan bo primer za fazo brez razpok (faza I) in fazo z razpokami (faza II). a) Brez osne sile b) S tlačno osno silo Slika 8.1: Normalne tangencionalne napetosti v armiranobetonskem prerezu za fazi I in I 246 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Analizirajmo primer enoosnega upogiba brez osne sile. Fazo I bomo obdelali v petih točkah prereza, in sicer z = 0, z = h/4, z = h/2, z = 3h/4, z = h. Iz nauka o trdnosti vemo, da glavne napetosti izračunamo po znanih enačbah iz trdnosti. Glavne napetosti za enoosno napetostno stanje: 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝝈𝝈 𝟏𝟏 𝝈𝝈 𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐 = � 𝟐𝟐 ± �� 𝟐𝟐 � + 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ± 𝟐𝟐 𝝈𝝈𝒙𝒙 + 𝟒𝟒𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 Ravnine glavnih napetosti: 𝝉𝝉 𝟐𝟐𝝉𝝉 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = − 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝒙𝒙𝒐𝒐 𝝈𝝈 = − 𝒙𝒙 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝒙𝒙 Točke prereza: 𝑴𝑴 𝟔𝟔 ∙ 𝑴𝑴 𝒐𝒐 = 𝟎𝟎; 𝝈𝝈𝒙𝒙 = 𝝈𝝈𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ≅ 𝑾𝑾 = − 𝒄𝒄 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ; 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝟔𝟔 ∙ 𝑴𝑴 𝝈𝝈𝟐𝟐 = − 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ; 𝝈𝝈𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = 𝟎𝟎 𝒉𝒉 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝒐𝒐 = 𝟒𝟒; 𝝈𝝈𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝝈𝝈𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = −𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑽𝑽 , 𝟑𝟑 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟗𝟗 ∙ 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝒐𝒐 ∙ 𝑵𝑵𝒄𝒄 𝒐𝒐 𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝑰𝑰 ∙ 𝑽𝑽𝒐𝒐 = 𝒄𝒄 ∙ 𝒃𝒃 = 𝟑𝟑𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝟎𝟎 ∙ 𝑨𝑨𝒙𝒙 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝟑𝟑𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑵𝑵,𝒄𝒄 = 𝒃𝒃 𝟒𝟒 ∙ �𝟒𝟒 + 𝟎𝟎� = 𝟑𝟑𝟐𝟐 ; 𝑰𝑰𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 247. 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟗𝟗 ∙ 𝑽𝑽 𝟐𝟐 𝝈𝝈 � 𝒐𝒐 𝟏𝟏,𝟐𝟐 = − 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ± 𝟐𝟐 �𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐� + 𝟒𝟒 ∙ �𝟎𝟎 ∙ 𝒃𝒃𝒉𝒉� ; 𝝈𝝈𝟐𝟐 < 𝟎𝟎; 𝝈𝝈𝟏𝟏 > 𝟎𝟎; |𝝈𝝈𝟏𝟏| > |𝝈𝝈𝟐𝟐| 𝟐𝟐 ∙ 𝟗𝟗 ∙ 𝑽𝑽 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒉𝒉 𝑽𝑽 𝟑𝟑 ∙ 𝒉𝒉 𝑽𝑽 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = − 𝒐𝒐 ∙ �−𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐� 𝒐𝒐 𝒐𝒐 𝟎𝟎 ∙ 𝒃𝒃𝒉𝒉 ∙ 𝟑𝟑𝑴𝑴 = 𝟐𝟐𝟒𝟒 �𝑴𝑴 � = � > 𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝟒𝟒 ∙ �𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒉𝒉 𝟑𝟑 ∙ 𝑽𝑽 𝒐𝒐 = 𝒐𝒐 𝟐𝟐 ; 𝝈𝝈𝒙𝒙 = 𝟎𝟎; 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝒉𝒉 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑵𝑵,𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 �𝟒𝟒� = 𝟎𝟎 ; 𝑰𝑰𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟐𝟐 = −𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐; 𝝈𝝈𝟐𝟐 = +𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = ∞ → 𝟐𝟐𝝋𝝋 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒌𝒌 → 𝝋𝝋 = 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒌𝒌 𝟑𝟑 ∙ 𝒉𝒉 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝟗𝟗 ∙ 𝑽𝑽 𝒐𝒐 = 𝒐𝒐 𝟒𝟒 ; 𝝈𝝈𝒙𝒙 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ; 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 ∙ 𝑨𝑨𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝟏𝟏 𝟑𝟑 ∙ 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟗𝟗 ∙ 𝑽𝑽 𝟐𝟐 𝝈𝝈 � 𝒐𝒐 𝟏𝟏 = + 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 �𝟔𝟔 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐� + 𝟒𝟒 ∙ � � ; 𝝈𝝈 𝟎𝟎 ∙ 𝒃𝒃𝒉𝒉 𝟐𝟐 < 𝟎𝟎; 𝝈𝝈𝟏𝟏 > 𝟎𝟎; |𝝈𝝈𝟏𝟏| > |𝝈𝝈𝟐𝟐| 𝝈𝝈𝟐𝟐 < 𝟎𝟎; 𝝈𝝈𝟏𝟏 > 𝟎𝟎; |𝝈𝝈𝟏𝟏| > |𝝈𝝈𝟐𝟐| −𝟐𝟐 ∙ 𝝉𝝉 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = − 𝒙𝒙𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟑𝟑𝑴𝑴 < 𝟎𝟎 𝟔𝟔 ∙ 𝑴𝑴 𝒐𝒐 = 𝒉𝒉; 𝝈𝝈𝒙𝒙 = + 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 ; 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝟔𝟔 ∙ 𝑴𝑴 𝝈𝝈𝟏𝟏 = +𝝈𝝈𝒙𝒙 = + 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝝈𝝈𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = 𝟎𝟎 248 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Iz predhodnih enačb bralec opazi, da v armiranobetonskem prerezu ni bila upoštevana armatura, kar za prerez brez razpok ni bistveno. 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 249. Slika 8.2: Trajektorije glavnih napetosti za fazo I armiranobetonskega prereza Trajektorije glavnih napetosti za nerazpokan prerez, fazo I, so že bile prikazane na Slika 7.5. Ko doseže glavna natezna napetost 𝜎𝜎1 natezno trdnost betona, se pojavijo poševne razpoke v smeri glavnih tlačnih napetosti 𝜎𝜎2, torej pravokotno na smer trajektorij nateznih napetosti 𝜎𝜎1. Glavne tlačne napetosti 𝜎𝜎2 bo beton med razpokami lahko prenašal le, če bo natezne napetosti 𝜎𝜎1 prevzela tako imenovana poševna armatura, ki mora praviloma biti položena v smeri glavnih nateznih napetosti 𝜎𝜎1, kar pa ni nujno. Iz Slika 8.3 je razvidno, da se smeri teh napetosti po višini nosilca spreminjajo, kakor se tudi spreminjajo smeri trajektorij glavnih tlačnih napetosti 𝜎𝜎2. Iz Slika 8.2, Slika 8.3 in Slika 8.4 je razvidno, da se v armiranobetonskih nosilcih tvori krivočrtna palična konstrukcija (diagonale) z »ravnima« pasovoma, ki ju ponazarjata tlačni pas betona in tlačna armatura (Fc), ter nateznim pasom, ki ga predstavlja natezna vzdolžna armatura. Nekateri avtorji (Rüsch) so predlagali predalčje s križnimi diagonalami, ki pa je notranje statično nedoločeno. Danes uporabljamo predlog Mörscha v obliki trikotnega paličja, ki je notranje statično določeno. Natezne 250 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ diagonale pod kotom 45° se najbolje prilegajo smerem glavnih nateznih napetosti (Slika 8.4), zaradi praktičnega vidika pa lahko natezne diagonale tudi položimo vertikalno (stremena) – poševna stremena, kar se odraža na velikosti tlačnih sil v diagonalah in nateznih sil v stremenih. Za fazo II bo obdelan le »tlačni del prereza, ker v razpokah« prenaša vse natezne napetosti le armatura. »Strižne« razpoke v smeri glavnih tlačnih napetosti 𝜎𝜎32 se pojavijo po vsej natezni coni betona. Slika 8.3: Prikaz tlačnih normalnih napetosti ter strižnih in glavnih napetosti s pripadajočimi smermi (trajektorijami) Slika 8.4: Möhrovi napetostni krogi za točke 1, 2 in 3 ter določitev glavnih napetosti in naklona ravnin glavnih napetosti 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋𝒊𝒊 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 251. Slika 8.5: »Krivočrtno« paličje Slika 8.6: Paličje s križnimi diagonalami (Rüsch) Slika 8.7: Mörschevo »trikotno« paličje 252 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Prikaz prostoležečega nosilca I, obteženega z dvema koncentriranima silama F, je na spodnjih slikah. Slika 8.8: Upogibne in strižne razpoke prostoležečega nosilca I [5] Slika 8.9: Diagrama momentov in prečnih sil za prostoležeči nosilec I Slika 8.10: Razvrstitev razpok v stojini in pasnici nosilca I zaradi simetrične obtežbe 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 253. V »srednjem« delu prostoležečega nosilca (V = 0) opazimo na preizkušancu samo vertikalne razpoke (razpoke od upogibnega momenta). Na predelu nosilca, kjer upogibni momenti padajo, prečne sile pa so konstantne, opazimo v spodnji pasnici vertikalne razpoke, v stojini pa poševne razpoke (razpoke od V oziroma 𝜎𝜎1). Na območju, kjer so vrednosti M že zelo nizke, vertikalnih razpok več ni, so pa opazne samo še poševne razpoke od 𝜎𝜎1. Preiskave potrjujejo predhodna teoretična dognanja. Tlačne diagonale Mörschevega paličja so opazne med poševnimi razpokami. Zanimiv je vzorec kontinuirnega nosilca, obteženega s koncentrirano silo F v vsakem polju. V tem primeru nastopajo »pozitivni« in »negativni« upogibni momenti, prečne sile pa so večje v poljih proti srednji podpori. Prve vertikalne razpoke so se pojavile v zgornji pasnici ob srednji podpori. Slika 8.11: Razpoke v armiranobetonskem kontinuirnem nosilcu I prek dveh polj, obteženem s koncentriranima silama F [5] Slika 8.12: Prečne sile in momenti v armiranobetonskem kontinuirnem nosilcu I prek dveh polj 254 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Ker je »negativni« upogibni moment večji od »pozitivnega« upogibnega momenta, prej »pade« (se zmanjša) upogibna togost na območju negativnih momentov kot v polju, kjer je nosilec še v fazi I. Tako se tudi zmanjšajo negativni upogibni momenti, istočasno pa se povečajo pozitivni upogibni momenti (črtkana črta v diagramu M). To je pojav, ki ga v praksi uporabimo pri tako imenovani prerazdelitvi upogibnih momentov. Zaradi tega se v nosilcu sicer konstantnega prereza pojavijo različne upogibne togosti (III ni več konstanten in deformacij oziroma povesov takega nosilca ni več enostavno izračunati). Poševne razpoke ob srednji podpori so širše kot ob končnih podporah (|𝑉𝑉01|< |𝑉𝑉10| 𝑜𝑜𝑧𝑧. |𝑉𝑉12| > |𝑉𝑉21|). 8.2 Dimenzioniranje armiranobetonskih nosilcev s konstantno višino in širino za fazo II 8.2.1 Mörschevo paličje Mörschevo paličje je zasnovano kot paličje s paralelnima pasovoma (𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑜𝑜𝑚𝑚𝜀𝜀𝛼𝛼.), tlačnimi diagonalami pod kotom 𝜃𝜃 in nateznimi diagonalami pod kotom 𝛼𝛼 (45𝑜𝑜, 60𝑜𝑜, 90𝑜𝑜) glede na os nosilca. Temelji na fazi II, to je na razpokanem prerezu, kjer se maksimalne strižne napetosti 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐 pojavijo na prehodu tlačne v natezno cono in jih izračunamo s pomočjo spodnje enačbe. 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝒐𝒐 ∙ 𝑵𝑵𝒄𝒄 𝒐𝒐 𝟎𝟎 = 𝑰𝑰 = (8.1) 𝒄𝒄,𝒊𝒊𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 𝑰𝑰 𝒐𝒐 = 𝒄𝒄,𝒊𝒊𝒅𝒅 (8.2) 𝑵𝑵𝒄𝒄 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 255. Primer za pravokotni prerez: 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑵𝑵𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑵𝑵𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒅𝒅 − 𝒙𝒙) = 𝑵𝑵𝒌𝒌 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝑰𝑰𝒄𝒄,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟑𝟑 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒅𝒅 − 𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑰𝑰𝒄𝒄,𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒅𝒅 − 𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑵𝑵 = + 𝒄𝒄 𝟑𝟑 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒅𝒅 − 𝒙𝒙) = 𝟑𝟑 𝒙𝒙 + (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙) = 𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑛𝑛0 … statična širina prereza v višini nevtralne osi Natezne diagonale pod kotom 𝛼𝛼=45𝑜𝑜 so najugodnejše, saj pod tem kotom delujejo maksimalne glavne natezne napetosti 𝜎𝜎1. Te diagonale lahko izvedemo s krivljenjem vzdolžne natezne armature oziroma s »poševnimi« stremeni. Stremena polagamo praviloma pod kotom 𝛼𝛼=90𝑜𝑜, s čimer dobimo paličje z nateznimi in tlačnimi diagonalami (Slika 8.14). 256 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Pri izvedbi s poševnimi diagonalami moramo paziti, da te niso medsebojno zelo oddaljene, ker se med dvema palicama lahko pojavi poševna razpoka. Slika 8.13: Paličje s poševnimi nateznimi diagonalami (𝜶𝜶 = 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒌𝒌) Slika 8.14: Paličje z vertikalnimi nateznimi diagonalami (𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒌𝒌) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 257. 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 (8.3) 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶 (8.4) 𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒐𝒐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) (8.5) 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝒐𝒐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 (8.6) 8.2.2 Analiza tlačne diagonale Iz ∑ 𝑉𝑉 = 0 dobimo: 𝑽𝑽𝑨𝑨 − 𝒓𝒓 ∙ 𝒙𝒙 − 𝑫𝑫𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝑨𝑨 ∙ 𝒓𝒓 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝑫𝑫 𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∙ 𝒙𝒙 𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒄𝒄 = (8.7) 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 𝑫𝑫𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 Tlačna projektna napetost v tlačni diagonali: 𝑫𝑫 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝝈𝝈 𝒄𝒄,𝒅𝒅 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒄𝒄 = 𝑨𝑨 = = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 𝑽𝑽 𝝈𝝈 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 𝝉𝝉 = 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) Z upoštevanjem, da je: 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 → 𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟐𝟐𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄; 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄 → 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌 𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄, (8.8) 258 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ dobimo: 𝝉𝝉 𝝈𝝈 𝟎𝟎 𝒄𝒄 = (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄 (8.9) 𝑽𝑽 �𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄� = 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟐𝟐𝒄𝒄(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 Tlačna napetost ne sme presegati projektne tlačne trdnosti betona, ki jo moramo še reducirati s faktorjema 𝜐𝜐 in 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐, saj je lahko v »položni« diagonali (glej Slika 16 in Slika 17) glavna tlačna napetost 𝜎𝜎2 1 2 večja kot 𝜎𝜎2 , ker se v točki 2 pojavijo poleg normalnih napetosti 𝜎𝜎2 2 𝑚𝑚 tudi strižne napetosti 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐. Iz enačbe 8.9 lahko izračunamo strižno nosilnost (odpornost) tlačne diagonale 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 po enačbi 8.9. 𝑽𝑽 �𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄� 𝝈𝝈 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒄𝒄 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ≤ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝊𝝊𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜶𝜶 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝊𝝊𝟏𝟏 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄) 𝒐𝒐𝒅𝒅 ≤ 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = (8.10) (𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴 𝟐𝟐𝒄𝒄) Po EC2: če je projektna napetost »poševne« armature manjša od 0,8fyk, se lahko vzame za: 𝝊𝝊𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔; (𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ≤ 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐) (8.11) 𝒇𝒇 𝝊𝝊 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 > 𝟎𝟎, 𝟓𝟓; (𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 > 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐) (8.12) Za 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 nacionalni dokument priporoča vrednosti: 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒊𝒊𝒗𝒗𝒄𝒄 𝒃𝒃𝒐𝒐𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅𝒏𝒏𝒐𝒐𝒑𝒑𝒄𝒄𝒌𝒌𝒗𝒗𝒐𝒐 (8.13) 𝝈𝝈 𝜶𝜶 𝒄𝒄𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 + 𝒇𝒇 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑 ≤ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (8.14) 𝒄𝒄𝒅𝒅 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 259. 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 < 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑 ≤ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟎𝟎𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (8.15) 𝝈𝝈 𝜶𝜶 𝒄𝒄𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒘𝒘 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 �𝟏𝟏 − 𝒇𝒇 � 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝟎𝟎,𝟓𝟓𝟎𝟎𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 < 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑 ≤ 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (8.16) 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑝𝑝 … srednja tlačna napetost betona zaradi prednapenjanja 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑝𝑝 > 0, ki pripada projektni osni sili (𝑁𝑁𝐸𝐸𝑑𝑑) Priporočene mejne vrednosti naklona tlačne diagonale so podane z enačbo 8.12: 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 < 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ≤ 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 (8.17) 𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝒌𝒌 ≤ 𝒄𝒄 ≤ 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒌𝒌 8.2.3 Analiza natezne diagonale Sila v natezni diagonali: 𝑽𝑽 𝑫𝑫 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒌𝒌,𝒅𝒅 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶 Natezna sila v diagonali na »enoto« dolžine nosilca: 𝑫𝑫 𝑽𝑽 𝑫𝑫′ 𝒌𝒌,𝒅𝒅 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒌𝒌,𝒅𝒅 = 𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶 ∙ 𝒐𝒐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) (8.18) Natezna napetost v natezni diagonali: 𝑫𝑫 𝝈𝝈 𝒌𝒌,𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒅𝒅 = (8.19) 𝑨𝑨 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 Projektna meja plastičnosti poševne armature: 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 … [𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐] 260 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Natezna napetost v diagonali na enoto dolžine nosilca: 𝝈𝝈 𝑫𝑫′ 𝒇𝒇 𝝈𝝈′ 𝒌𝒌,𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒅𝒅 = (8.20) 𝒄𝒄 = 𝑨𝑨 ≤ 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 Prerez natezne diagonale: 𝒇𝒇 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝟏𝟏 < (8.21) 𝒌𝒌𝒘𝒘 Prerez ene poševne palice: 𝑨𝑨𝒌𝒌𝟏𝟏 … �𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐� 𝑽𝑽 𝑨𝑨 ∙ 𝒇𝒇 𝑫𝑫′ 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒅𝒅 = (8.22) 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶 ∙ 𝒐𝒐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ≤ 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝜀𝜀 𝑐𝑐 = 𝜎𝜎 … razmik poševne armature »Mejna« projektna nosilnost natezne diagonale: 𝑨𝑨 ∙ 𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝑽𝑽 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) < 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒌𝒌 = (8.23) 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑨𝑨 ∙ 𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜶𝜶(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝒘𝒘 = 𝑽𝑽 (8.24) 𝒐𝒐,𝒅𝒅(𝒙𝒙) Prerez natezne diagonale: 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝟏𝟏 𝐴𝐴𝑠𝑠1 … prerez ene palice 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 261. Sečnost natezne diagonale: 𝑚𝑚 = (1, 2, 3,4 … ) – število sečnosti stremen v prerezu. Sečnost predstavlja število palic stremen v smeri delovanja sile. 8.2.4 Mejna prečna sila, pri kateri doseže beton »poševne« diagonale in natezno trdnost Za orientacijo, če statično potrebujemo poševno armaturo, moramo določiti mejno prečno silo 𝑉𝑉 𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐, pri kateri doseže natezna diagonala natezno trdnost 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐. Vsekakor pa moramo tudi na teh odsekih zagotoviti minimalni odstotek poševne armature 𝜌𝜌 𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛. 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 = �𝑪𝑪𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄(𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝝆𝝆𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄)𝟏𝟏/𝟑𝟑 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 (8.25) 𝒃𝒃𝒘𝒘 = 𝒃𝒃𝟎𝟎 in 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 ≥ �𝝑𝝑𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 (8.26) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 – [𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐] 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 + �𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒅 ≤ 𝟐𝟐, 𝟎𝟎; 𝒅𝒅 … [𝒎𝒎𝒎𝒎] 𝑨𝑨 𝝆𝝆 𝒌𝒌𝑳𝑳 𝑳𝑳 = 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 ≤ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟐𝟐 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝐿𝐿 … prerez vzdolžne armature, ki jo moramo voditi najmanj ≥ (𝑧𝑧𝑐𝑐𝑑𝑑 + 𝜎𝜎) prek obravnavanega prečnega prereza (Slika 8.16) 𝑛𝑛 𝑐𝑐 … širina stojine (na mestu nevtralne osi) 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒑𝒑 = 𝑨𝑨 ≤ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 … [𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐] 𝒄𝒄 262 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑁𝑁 𝐸𝐸𝑑𝑑 … projektna osna sila v prerezu, ki ga povzroča obtežba oziroma sila prednapetja v [𝑁𝑁] 𝐴𝐴 𝑐𝑐 … ploščina prečnega prereza betona 𝟑𝟑 𝟏𝟏 𝝑𝝑 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟓�𝒄𝒄𝟑𝟑 ∙ �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 0,15 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑪𝑪𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝜸𝜸 𝒄𝒄 𝜸𝜸 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 a … odsek, kjer je 𝑉𝑉 𝑛𝑛,𝑑𝑑(𝑚𝑚) < 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐, poševna armatura statično ni potrebna Slika 8.15: Prikaz območja a, kjer poševna armatura statično ni potrebna Slika 8.16: Definicija 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝑳𝑳 v izrazu (8.25) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 263. EC2: pri nosilcih in kratkih konzolah, kjer je obtežba na zgornji strani nosilca, blizu roba podpore 0,5𝜎𝜎 < 𝑚𝑚𝑉𝑉 < 2𝜎𝜎, in ko so uporabljena podajna (npr. neopren) ležišča, lahko 𝑉𝑉 𝐸𝐸𝑑𝑑 = 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑑𝑑 reduciramo s faktorjem 𝛽𝛽 = 𝑚𝑚𝑉𝑉 ≥ 0,5, kar lahko uporabimo za 2𝑑𝑑 kontrolo 𝑉𝑉 𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐. Seveda mora biti vzdolžna armatura nad podporo polno zasidrana. Slika 8.17: Redukcija prečne sile Prečna sila 𝑉𝑉 𝐸𝐸𝑑𝑑, izračunana brez redukcije (zmanjšanja) s faktorjem 𝛽𝛽, pa mora zadoščati pogoju: 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (8.27) 𝒇𝒇 𝝑𝝑 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎� ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄[𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐] (8.28) 264 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 8.1: »Strižna« odpornost tlačnih in nateznih diagonal pri različnih kotih 𝒄𝒄 in 𝜶𝜶 𝛼𝛼 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑𝑠𝑠 𝜃𝜃 (tlačna diagonala) (natezna diagonala) 𝑉𝑉 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 𝐸𝐸𝑑𝑑 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 𝛼𝛼 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 𝐴𝐴 ≤ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝜐𝜐1 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝑛𝑛𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝜃𝜃 + 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝛼𝛼) 𝑠𝑠𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑧𝑧(𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝜃𝜃 + 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝛼𝛼)𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼 (1 + 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘 2𝜃𝜃) ≤ 𝜀𝜀 𝛼𝛼 = 90° 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝜐𝜐1 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝑛𝑛𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝜃𝜃 𝜃𝜃 = 𝜃𝜃 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 ≤ 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝜃𝜃 + 𝛼𝛼𝑘𝑘𝜃𝜃 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 ≤ 𝜀𝜀 𝛼𝛼 = 𝛼𝛼 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑧𝑧 𝜃𝜃 = 45° 𝛼𝛼 ≤ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝜐𝜐1 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝑛𝑛𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑(1 + 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘𝛼𝛼) 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 ≤ (𝜎𝜎𝑜𝑜𝜀𝜀𝛼𝛼 + 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚𝛼𝛼) 2 𝜀𝜀 𝛼𝛼 = 90° 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐𝜐𝜐1 ∙ 𝑧𝑧 ∙ 𝑛𝑛𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑧𝑧 𝜃𝜃 = 45° 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 ≤ 2 𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑 ≤ 𝜀𝜀 8.2.5 Minimalni količnik poševne armature 𝝆𝝆 𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 Na delu nosilca, kjer so prečne sile 𝑉𝑉 𝐸𝐸𝑑𝑑 manjše kot 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐, moramo položiti minimalni prerez poševne armature 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑝𝑝,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 𝜌𝜌𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ∙ 𝐴𝐴,𝑝𝑝𝑜𝑜š. Slika 8.18: »Prerez betona«, ki pripada poševni armaturi 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 265. Podobno kot pri minimalnem količniku vzdolžne armature mora biti tudi za poševno armaturo izpolnjen pogoj ob nastanku »poševne«razpoke (zaradi 𝜎𝜎1). 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒘𝒘 ≥ 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 ≥ 𝑨𝑨𝒄𝒄,𝒑𝒑𝒌𝒌š ∙ 𝑪𝑪𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄�𝒄𝒄 ∙ (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝝆𝝆𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄)𝟏𝟏/𝟑𝟑� 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑪𝑪 𝟑𝟑� 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 �𝒄𝒄 ∙ (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝝆𝝆𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄) (8.29) 𝑨𝑨 = 𝝆𝝆𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ≥ 𝒄𝒄,𝒑𝒑𝒌𝒌š 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 Enačba (8.29) za prakso ni primerna, zato SIST EN 1992-1-1:2005 navaja poenostavljen izraz, ki je odvisen samo od marke betona in kakovosti armature: �𝒇𝒇 𝝆𝝆 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ≥ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 (8.30) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 8.2.6 »Stopničenje« vzdolžne natezne armature Vzdolžno armaturo smo dimenzionirali po tako imenovani teoriji nosilca, predhodna spoznanja in določevanja strižnih odpornosti po metodi Mörschevega paličja pa nas opozorijo, da so natezne sile vzdolžne armature, izračunane za palične nosilce, nekoliko večje kot natezne sile vzdolžne armature, izračunane po metodi nosilca. To velja tedaj, ko kota 𝜃𝜃 in 𝛼𝛼 nista enaka. 𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶 𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝒐𝒐 ∙ (𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 = 𝟑𝟑𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 ∙ (𝟑𝟑𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) Teorija paličja: Teorija nosilca: 𝑴𝑴′ 𝑽𝑽𝑨𝑨(𝒄𝒄 + 𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝟐𝟐 𝟏𝟏) 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 = 𝒐𝒐 𝑵𝑵𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 = 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝟑𝟑𝟐𝟐𝒄𝒄 266 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑽𝑽𝑨𝑨(𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒐𝒐 𝑵𝑵 𝟐𝟐 = 𝒐𝒐 𝑵𝑵𝟐𝟐 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝟑𝟑 = 𝒐𝒐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒐𝒐 ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝑴𝑴′ 𝑽𝑽𝑨𝑨(𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝒄𝒄 𝑴𝑴 (𝟐𝟐𝒄𝒄 + 𝒄𝒄/𝟐𝟐) 𝑵𝑵 𝟑𝟑 𝟏𝟏) 𝟑𝟑 𝟑𝟑 = 𝒐𝒐 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒐𝒐 𝑵𝑵𝟑𝟑 = 𝒐𝒐 = 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝒐𝒐 𝟓𝟓 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑽𝑽𝑨𝑨 𝑵𝑵 𝟑𝟑 = 𝒐𝒐 ∙ (𝟑𝟑𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝑵𝑵𝟑𝟑 𝑽𝑽𝑨𝑨 = 𝒐𝒐 ∙ (𝟑𝟑 − 𝟏𝟏/𝟐𝟐) ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) Slika 8.19: Mörschevo paličje, obremenjeno z upogibnimi momenti in prečnimi silami 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 267. Sila v n-ti palici nateznega pasu: 𝑽𝑽 𝑵𝑵 𝒏𝒏 = 𝒐𝒐 ∙ (𝒏𝒏 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + (𝒏𝒏 + 𝟏𝟏)𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝑵𝑵𝒏𝒏 = (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏/𝟐𝟐) ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝑽𝑽 𝑽𝑽 ∆𝑵𝑵 𝒌𝒌𝒑𝒑 𝒌𝒌𝒏𝒏 𝒏𝒏 = 𝑵𝑵𝒏𝒏 − 𝑵𝑵𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶); |𝒄𝒄| > |𝜶𝜶| (8.31) Sila v n-ti palici natezne armature se razlikuje, če jo izračunamo po teoriji paličja za vrednost, dano v enačbi (8.31). Enačba velja za konstantno oziroma spreminjajočo se prečno silo. Sila v zgornjem pasu po teoriji paličja: 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒁𝒁 = ( 𝒐𝒐 − 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) Slika 8.20: Določitev 𝒐𝒐 𝒄𝒄 268 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ ∆𝑴𝑴 = 𝑽𝑽 ∙ ∆𝒙𝒙 = 𝑽𝑽 ∙ 𝒐𝒐 𝒄𝒄 ∆𝑴𝑴 ∆𝑵𝑵 ∙ 𝒐𝒐 𝒐𝒐 𝒄𝒄 = 𝑽𝑽 = 𝑽𝑽 𝑽𝑽 (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ∙ 𝒐𝒐 𝒐𝒐 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑽𝑽 𝒐𝒐 𝒐𝒐 𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ (𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) (8.32) Za 𝒄𝒄 = 𝜶𝜶 → 𝒐𝒐𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟎𝟎°; 𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟓𝟓° → 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝒐𝒐/𝟐𝟐 𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟎𝟎°; 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝟎𝟎° → 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝒅𝒅 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓𝒅𝒅 SIST EN 1992-1-1:2005 predlaga 𝑚𝑚2 = 𝜎𝜎. 𝜎𝜎 … statična višina nosilca Od točke 𝑚𝑚𝑐𝑐 naprej moramo računati projektno sidrno dolžino ustrezne palice (𝑧𝑧𝑐𝑐𝑑𝑑). Osnovna potrebna sidrna dolžina: Slika 8.21: Ravnotežje adhezijske sil 𝑻𝑻 𝒅𝒅 in izruvne sile 𝑭𝑭𝒌𝒌𝒅𝒅 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 269. Osnovno potrebno sidrno dolžino pri predpostavljeni povprečni sprijemni projektni trdnosti 𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑑𝑑 določimo na osnovi ravnotežja adhezijske sile 𝐹𝐹𝑑𝑑 in izruvne sile 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑑𝑑 (sile v armaturi). 𝑭𝑭 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑻𝑻𝒅𝒅 𝝈𝝈 𝒌𝒌𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝒇𝒇𝒃𝒃𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝒌𝒌 = 𝜱𝜱𝟐𝟐 𝒌𝒌 ∙ 𝜱𝜱 𝜱𝜱𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝒌𝒌 = 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 𝝈𝝈 𝑨𝑨 𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒃𝒃,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. ≥ 𝒇𝒇 ∙ 𝒃𝒃𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝝈𝝈 𝜱𝜱 𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒃𝒃,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. = (8.33) 𝒇𝒇 ∙ 𝒃𝒃𝒅𝒅 𝟒𝟒 𝑭𝑭 𝝈𝝈 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝒇𝒇 𝒃𝒃𝒅𝒅 (glej (4.4)) Projektna sidrna dolžina Odvisna je od različnih konstant 𝛼𝛼 𝑖𝑖 in potrebne sidrne dolžine 𝑧𝑧𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎. 𝒄𝒄𝒃𝒃𝒅𝒅 = 𝜶𝜶𝟏𝟏 ∙ 𝜶𝜶𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝟑𝟑 ∙ 𝜶𝜶𝟒𝟒 ∙ 𝜶𝜶𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. ≥ 𝒄𝒄𝒃𝒃,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 (8.34) 𝛼𝛼1, 𝛼𝛼2, 𝛼𝛼3, 𝛼𝛼4 in 𝛼𝛼5 so podani v Preglednica 8.2 SIST EN 1992-1-1:2005. Bralec naj si ogleda zahteve o: – sidranju vzdolžne, stremenske in poševne armature ter armature s privarjenimi palicami v SIST EN 1992-1-1:2005, točke 8.4.4, 8.5 in 8.6; 270 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ – stikovanju s prekrivanjem, varjenjem in mehanskimi spojkami v SIST EN 1992-1-1:2005, točka 8.7; – dodatnih pravilih za palice velikih premerov v SIST EN 1992-1-1:2005, točka 8.8; – palicah v svežnju SIST EN 1992-1-1:2005, točka 8.9. Nesmiselno bi bilo namreč ta poglavja prikazati v učbeniku. Iz predhodnih razlag smo ugotovili, da moramo v natezni armaturi pri elementih z in brez strižne armature uporabiti dodatno silo v natezni vzdolžni armaturi ∆𝑆𝑆 𝑐𝑐 = ∆𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑑𝑑, ki jo lahko ocenimo na podlagi premika črte (nateznih sil v armaturi) za razdaljo ∆𝑇𝑇 = 𝑚𝑚 𝑐𝑐. Tako dobimo »polno« črto nateznih sil armature, pri kateri opazimo, da ima vzdolžna armature večjo silo za vrednost ∆𝑆𝑆 𝑐𝑐 = ∆𝐹𝐹𝑐𝑐𝑑𝑑 (glej Slika 8.21). Ovojnico nateznih sil vzdolžne armature pri osno-upogibni obremenitvi 𝐹𝐹 𝑠𝑠𝑑𝑑 = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑦𝑦 + 𝑁𝑁 predstavlja prekinjena črta na Slika 8.22. 𝑛𝑛 𝐸𝐸𝑑𝑑 Vrednosti nateznih (projektnih) sil posamezne armature 𝑆𝑆 1𝛷𝛷𝑖𝑖, podanih z (8.39), nanašamo v ovojnico nateznih sil, da dobimo območja, do katerih mora statično potekati ustrezna armatura, ki jo ponazarjajo točke K na prekinjeni črti. Od točke K podaljšamo ustrezne palice za vrednost 𝑚𝑚𝑐𝑐 in dolžino točke R, ki jih povežemo in dobimo črto povečanih nateznih sil vzdolžne armature (R). Od točke R naprej v neugodno smer podaljšamo ustrezne palice za vrednost projektne sidrne dolžine 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑑𝑑! Posamezne palice prav tako sidramo pod kotom 𝛼𝛼 (45°) ter jih namestimo v zgornjo natezno cono »negativnih« momentov in prekrivamo tudi potrebno območje v sosednjem polju. Identično to napravimo, ko iz drugega polja vodimo armature iz spodnje v zgornjo cono in prekrivno potrebno območje v prvo polje. S tem lahko istočasno hkrati prevzemamo tudi del »nateznih diagonal« Mörschevega paličja. Tako prikazovanje je sicer »šolski primer«, danes pa v »praksi« polagamo le vzdolžno armature. Za prevzem prečnih sil uporabimo stremena. Polna črta že predstavlja povečano silo v natezni armaturi, izračunano po metodi paličja. To povečanje se izraža z vrednostjo ∆𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑑𝑑. 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 271. Slika 8.22: Stopničenje vzdolžne armature [27] 8.2.7 Določitev območja, do kod mora segati natezna vzdolžna armatura Za določitev območij, do kod mora segati ustrezna vzdolžna armatura, moramo izračunati natezno silo, ki jo ta armatura prenese. Upogibni moment, ki ga prenaša ena palica 𝛷𝛷𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖[𝜎𝜎𝑚𝑚2]), znaša: 𝑨𝑨 𝑴𝑴 𝒊𝒊 𝟏𝟏𝜱𝜱 = 𝒊𝒊 𝑨𝑨 ∙ 𝑴𝑴𝒅𝒅 (8.35) 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 272 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Natezna sila v armaturi zaradi upogibnega momenta, ki ga prenaša ena palica 𝛷𝛷𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖[𝜎𝜎𝑚𝑚2]), znaša: 𝑴𝑴 𝑨𝑨 𝑴𝑴 𝑵𝑵𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏𝜱𝜱𝒊𝒊 𝒊𝒊 𝒅𝒅 𝟏𝟏𝜱𝜱 = (8.36) 𝒊𝒊 𝒐𝒐 = 𝑨𝑨 ∙ 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝒐𝒐 Natezna sila v armaturi zaradi osne sile 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑑𝑑, ki jo prenaša ena palica 1𝛷𝛷𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖[𝜎𝜎𝑚𝑚2]), znaša: 𝑨𝑨 𝑵𝑵𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒊𝒊 𝟏𝟏𝜱𝜱 = (8.37) 𝒊𝒊 𝑨𝑨 ∙ 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝑨𝑨 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. = 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. + 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. (8.38) Natezna sila v armaturi, ki jo prenaša ena palica 1𝛷𝛷𝑖𝑖(𝐴𝐴𝑖𝑖[𝜎𝜎𝑚𝑚2]), zaradi osne sile 𝑁𝑁 in upogibnega momenta 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑑𝑑 znaša: 𝑨𝑨 𝑴𝑴 𝑵𝑵�𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅+𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅� 𝒊𝒊 𝒅𝒅 𝟏𝟏𝜱𝜱 = � (8.39) 𝒊𝒊 𝑨𝑨 ∙ � 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. 𝒐𝒐 + 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 8.2.8 Redukcija »špice« negativnih momentov nad vmesnimi podporami Ker reakcija B ni točkasta, pač pa enakomerno zvezna 𝑖𝑖0 �𝑖𝑖0 = 𝐵𝐵 �, se upogibni 𝑐𝑐 ∙ 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑝𝑝𝑠𝑠 momenti na odseku b lahko reducirajo, kot prikazuje spodnja slika. 𝒃𝒃 𝒃𝒃𝟐𝟐 ∆𝑴𝑴𝑳𝑳 = 𝑽𝑽𝑳𝑳𝒄𝒄 ∙ 𝟐𝟐 − 𝒓𝒓 ∙ 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑳𝑳 𝒐𝒐𝒐𝒐č = 𝑴𝑴𝒅𝒅 − ∆𝑴𝑴𝑳𝑳 (8.40) V praksi običajno odčitamo daljico ∆𝑀𝑀𝑑𝑑, jo razpolovimo in potegnemo premico (tangento) vzporedno premici A–C (Slika 8.17). ∆𝑴𝑴 𝑴𝑴𝑳𝑳 𝑳𝑳 𝒅𝒅 𝒅𝒅 ≅ 𝑴𝑴𝒅𝒅 − 𝟐𝟐 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 273. Slika 8.23: Zaokrožitev (redukcija) upogibnih momentov nad podporo širine b 274 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 8.3 Armiranobetonski nosilci s spremenljivo višino in konstantno širino – faza II 8.3.1 Kritični prerez To je prerez, v katerem se pojavi maksimalna natezna sila v armaturi. V tem podpodpoglavju bo obdelan primer brez osne sile (𝑁𝑁 𝐸𝐸𝑑𝑑 = 0). Obtežba g, p in q je konstantno enakomerno zvezna. Slika 8.24: Določitev natezne sile v armaturi v prerezu x Natezna sila v armaturi znaša: 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝒄𝒄(𝒙𝒙) 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝒐𝒐(𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 (8.41) 𝒓𝒓𝒄𝒄 𝒓𝒓 ∙ 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒓𝒓 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 ∙ 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐�𝒄𝒄𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐� (8.42) 𝒓𝒓𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝑽𝑽𝒐𝒐(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐 − 𝒓𝒓 ∙ 𝒙𝒙 = 𝒓𝒓 ∙ �𝟐𝟐 − 𝒙𝒙� (8.43) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 275. 𝒐𝒐(𝒙𝒙) = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝝇𝝇 ∙ [𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝒙𝒙 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸)] (8.44) Maksimalna natezna sila v armaturi 𝐹𝐹𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 se pojavi v prerezu, kjer bo izpolnjen pogoj 𝑑𝑑𝐹𝐹𝑠𝑠 = 0. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒌𝒌 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝟏𝟏 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝒅𝒅 = ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐(𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 − 𝒐𝒐(𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝒅𝒅 = 𝝇𝝇 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) 𝒙𝒙 𝟏𝟏 ∙ �𝑽𝑽 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝒐𝒐 ∙ 𝒐𝒐(𝒙𝒙) − 𝑴𝑴𝒄𝒄 ∙ 𝒗𝒗 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸)� = 𝟎𝟎 (𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 𝒓𝒓 𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 ∙ �𝒐𝒐𝟐𝟐 ∙ �(𝒄𝒄 − 𝟐𝟐𝒙𝒙) ∙ 𝒐𝒐(𝒙𝒙) − �𝒄𝒄𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐� ∙ 𝝇𝝇 (𝒙𝒙) ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸)�� = 𝟎𝟎 (𝒄𝒄 − 𝟐𝟐𝒙𝒙) ∙ 𝝇𝝇 ∙ [𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝒙𝒙 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸)] − �𝒄𝒄𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐� ∙ 𝝇𝝇 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) = 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) + 𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝟎𝟎 ∙ 𝒙𝒙 − 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 −𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝟎𝟎 ± �𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝟎𝟎 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) (8.45) 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝟐𝟐 = (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝒄𝒄(𝒙𝒙)𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒐𝒐(𝒙𝒙)𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 276 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Enokapni nosilec ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 = 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝒅𝒅𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒙𝒙𝒄𝒄𝒐𝒐 = (8.46) ∆𝒅𝒅 ∙ �−𝒅𝒅𝟎𝟎 + �𝒅𝒅𝟎𝟎 ∙ (𝒅𝒅𝟎𝟎 + ∆𝒅𝒅)� < 𝟐𝟐 Slika 8.25: Geometrija enokapnega nosilca Dvokapni simetrični nosilec 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 = 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝒅𝒅𝟎𝟎 𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 ∆𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝒅𝒅𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒙𝒙𝒄𝒄𝒐𝒐 = (8.47) 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒅𝒅 ∙ �−𝒅𝒅𝟎𝟎 + �𝒅𝒅𝟎𝟎 ∙ (𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒅𝒅)� < 𝟐𝟐 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 277. Slika 8.26: Geometrija dvokapnega simetričnega nosilca Tudi v teh primerih lahko izvedemo stopničenje črte nateznih sil v armaturi. Primer za nosilec (enokapni in dvokapni simetrični nosilec) z merami: 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝒓𝒓 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓; 𝒅𝒅𝟎𝟎 = 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎; ∆𝒅𝒅 = 𝟕𝟕𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎; 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎; 𝟎𝟎, 𝟕𝟕 𝜸𝜸 = 𝟎𝟎; 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 = 𝟕𝟕,𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏 in konstantno enakomerno obtežbo q znaša: 𝒙𝒙𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝒓𝒓𝒄𝒄 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑭𝑭𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟔𝟔, 𝟓𝟓𝒓𝒓; 𝒎𝒎 ∙ 𝒎𝒎 → [𝒄𝒄𝑵𝑵] 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑭𝑭𝒌𝒌,𝑳𝑳/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝒓𝒓; 𝒎𝒎 ∙ 𝒎𝒎 → [𝒄𝒄𝑵𝑵] 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝒓𝒓; 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∙ 𝒎𝒎 → [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎] Vzdolžna armatura: 𝟓𝟓 ∙ 𝟐𝟐∅𝒊𝒊 = 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒅𝒅𝒄𝒄𝒗𝒗 278 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑭𝑭 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑨𝑨 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒐𝒐𝒊𝒊𝒌𝒌 = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄𝒌𝒌 Slika 8.27: Stopničenje črte enokapnega oziroma dvokapnega nosilca Na zgornji sliki so nakazane črte nateznih sil (točke K), ne pa premaknjene črte nateznih sil (točke R). Natezna sila v i-tem prerezu znaša glede na (8.41): 𝒓𝒓 𝒄𝒄 ∙ 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑭𝑭 𝟐𝟐 ∙ (𝒄𝒄 ∙ 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐) 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝝇𝝇 ∙ (𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) = 𝒓𝒓 𝟐𝟐𝝇𝝇 ∙ (𝒅𝒅𝟎𝟎 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) 𝒙𝒙 ∙ (𝒄𝒄 − 𝒙𝒙) = 𝒓𝒓 𝟏𝟏. 𝟕𝟕 ∙ (𝟎𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝒙𝒙) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 279. 8.3.2 Reducirana prečna sila Za splošno obremenitev z 𝑀𝑀𝑐𝑐,𝑉𝑉𝑛𝑛,𝑁𝑁𝑚𝑚 in linearno spreminjajočo se statično višino 𝜎𝜎(𝑚𝑚) velja: Reducirno prečno silo 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 bomo izračunali s pomočjo maksimalne strižne napetosti 𝜏𝜏 𝑚𝑚𝑐𝑐 = 𝜏𝜏0, ki nastane v katerem koli prerezu na prehodu tlačne v natezno cono. Iz nosilca izrežemo natezno cono in uravnotežimo sile, ki nanjo delujejo (Slika 8.29). Slika 8.28: Prikaz nosilca nekonstantnega prereza in nateznih obremenitev Slika 8.29: »Izrez« dela nosilca 𝒅𝒅(𝒙𝒙) (a) in nateznega dela tega nosilca (b) 280 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Na izrezanem delu 𝜎𝜎(𝑚𝑚) nosilca uravnotežimo horizontalne komponente sile v natezni coni, kjer ne upoštevamo natezne nosilnosti betona (faza II). � 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 𝒅𝒅𝑭𝑭 �−𝑭𝑭 𝒌𝒌 𝒌𝒌(𝒙𝒙) + 𝑭𝑭𝒌𝒌(𝒙𝒙) + 𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙� ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 = 𝑻𝑻 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑭𝑭𝒌𝒌 𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 = 𝝉𝝉𝟎𝟎 ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙 Maksimalna strižna napetost: 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝑭𝑭 𝟏𝟏 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝝉𝝉 𝒌𝒌 𝑭𝑭𝒄𝒄(𝒙𝒙) 𝟎𝟎 = 𝒃𝒃 ∙ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 = ∙ ∙ � 𝒘𝒘 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸� (8.48) Iz momentnega ravnotežja na točko 1 dobimo natezno silo v armaturi (Slika 8.29a). � 𝑴𝑴𝑭𝑭𝒄𝒄 = � 𝑴𝑴𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝑭𝑭𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 − 𝑵𝑵(𝒐𝒐 − 𝒄𝒄𝒌𝒌) − 𝑴𝑴 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑭𝑭 (𝒙𝒙) + 𝑵𝑵(𝒙𝒙) ∙ �𝒐𝒐(𝒙𝒙) + 𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒙𝒙)� 𝑭𝑭𝒄𝒄(𝒙𝒙) 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = (8.49) 𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 = 𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜸𝜸 𝟏𝟏 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝝉𝝉 (𝒙𝒙) + 𝑵𝑵(𝒙𝒙) ∙ �𝒐𝒐(𝒙𝒙) + 𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒙𝒙)� 𝟎𝟎 = 𝒃𝒃 ∙ ∙ � � 𝒘𝒘 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝑵𝑵 = (𝒙𝒙) (𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒙𝒙) 𝒃𝒃 ∙ ∙ � + 𝑵𝑵(𝒙𝒙) − � 𝒘𝒘 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝒅𝒅𝑵𝑵 𝟏𝟏 = (𝒙𝒙) 𝒃𝒃 ∙ � ∙ − 𝟐𝟐 ∙ 𝑴𝑴(𝒙𝒙) ∙ + − 𝒘𝒘 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒅𝒅𝑵𝑵 𝒅𝒅𝒄𝒄 𝟏𝟏 ∙ � (𝒙𝒙) 𝒌𝒌(𝒙𝒙) (8.50) 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒙𝒙) + 𝑵𝑵(𝒙𝒙) ∙ � + 𝟐𝟐 ∙ 𝑵𝑵(𝒙𝒙) 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄 𝒐𝒐 𝒌𝒌(𝒙𝒙) ∙ 𝒅𝒅 � 𝒙𝒙 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 281. 𝒐𝒐(𝒙𝒙) = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅(𝒙𝒙) (8.51) 𝒐𝒐 𝝇𝝇 = (𝒙𝒙) 𝒅𝒅 (𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝒅𝒅�𝒅𝒅(𝒙𝒙)� 𝒅𝒅 = 𝝇𝝇 ∙ = 𝝇𝝇 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) (𝒙𝒙) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒐𝒐(𝒙𝒙) 𝒐𝒐(𝒙𝒙) 𝒅𝒅 = ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) (8.52) (𝒙𝒙) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒅𝒅 = 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸 (8.53) (𝒙𝒙) Prečna sila zaradi obtežbe pri danih robnih pogojih znaša: 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝒅𝒅 = 𝑽𝑽(𝒙𝒙) (8.54) (𝒙𝒙) 282 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Z upoštevanjem enačb (8.51), (8.52), (8.53) in (8.54) ter po ureditvi enačbe (8.50) dobimo izraz za strižne napetosti na prehodu tlačne v natezno cono: 𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝝉𝝉 (𝒙𝒙) 𝟎𝟎(𝒙𝒙) = 𝒃𝒃 ∙ 𝒐𝒐 ∙ �𝑽𝑽(𝒙𝒙) − ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸) − 𝑵𝑵(𝒙𝒙) 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒄𝒄 𝒅𝒅𝑵𝑵 ∙ �𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸 − 𝒌𝒌(𝒙𝒙) (𝒙𝒙) (8.55) 𝒅𝒅 ∙ (𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 + 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸)� + (𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∙ �𝒐𝒐(𝒙𝒙) − 𝒄𝒄𝒌𝒌(𝒙𝒙)�� Izraz na začetku oklepaja imenujemo tako imenovana reducirna prečna silo 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 in je odvisna od 𝑉𝑉(𝑚𝑚),𝑀𝑀(𝑚𝑚),𝑁𝑁(𝑚𝑚),𝜎𝜎(𝑚𝑚),𝑧𝑧(𝑚𝑚),𝜎𝜎𝑠𝑠(𝑚𝑚),𝑑𝑑𝑁𝑁(𝑥𝑥) ,𝛽𝛽 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝛾𝛾, kar se praviloma pojavi pri 𝑑𝑑𝑥𝑥 okvirnih in ločenih sistemih s spremenljivimi prerezi elementov. Za tlačno osno silo upoštevamo −𝑁𝑁(𝑚𝑚). 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝟎𝟎(𝒙𝒙) = (8.56) 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒐𝒐𝒙𝒙 Če se statična širina stojine spreminja, se (8.56) lahko »razširi« v (8.57). 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝟎𝟎(𝒙𝒙) = (8.57) 𝒃𝒃𝒘𝒘(𝒙𝒙) ∙ 𝒐𝒐𝒙𝒙 Predznak 𝑑𝑑𝑁𝑁: 𝑑𝑑𝑥𝑥 Za MSN pišemo: 𝑽𝑽𝟎𝟎(𝒙𝒙) … 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 – »osnovna« projektna prečna sila 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙) … 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵(𝒙𝒙) … 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 283. Slika 8.30: Prikaz »prirastka« osnih sil in ustrezne vrednosti 𝒅𝒅𝑵𝑵 𝒅𝒅𝒙𝒙 PRIMERI Določitev 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑚𝑚) za isti primer, kot je bil podan na Slika 8.21 (enokapni in dvokapni simetrični prostoležeči nosilec). Obremenitev: 𝑽𝑽𝒐𝒐(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅; 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙) = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝜸𝜸 = 𝟎𝟎; 𝑵𝑵𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) = �𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷� (8.58) 𝒙𝒙 𝒄𝒄 𝒙𝒙 < 𝟐𝟐: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 284 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒅𝒅𝒙𝒙 > 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 > 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 𝒄𝒄 𝒙𝒙 < 𝟐𝟐: 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 (𝒙𝒙) Slika 8.31: Določitev reducirne prečne sile 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 Dvokapni nosilec Pravilo: 𝛼𝛼𝑘𝑘𝛽𝛽 > 0 → višina nosilca narašča s pozitivno osjo X 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑑𝑑 > 0 → moment narašča s pozitivno osjo X 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑑𝑑 > 0 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒌𝒌: 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 285. 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 (𝒄𝒄/𝟐𝟐) 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 > 𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒌𝒌: 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 (𝒙𝒙) 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 > 𝟎𝟎 → višina nosilca se zmanjšuje s pozitivno osjo X 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 − 𝒅𝒅 ∙ (−𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) > 𝟎𝟎 (𝒄𝒄/𝟐𝟐) Za skok reducirne prečne sile velja: 𝒄𝒄 𝒙𝒙 > 𝟐𝟐: 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 < 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = −𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 ∙ (−𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) = −𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 + ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 (𝒙𝒙) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) Ponovno smo oba sumanda odštevali. Pravilo za odštevanje obeh sumandov velja tudi, če višina nosilca in upogibni moment hkrati padata z rastočo osjo X. Oba sumanda odštevamo v primeru, če oba padata ali rasteta, medtem ko se oba sumanda seštevata, če višina nosilca raste (pade) in moment pada (raste). Enokapni nosilec: 𝒙𝒙 < 𝒄𝒄: 𝟐𝟐 286 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Veljajo enaka pravila kot za dvokapni simetrični nosilec. 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐: 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 > 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 (𝒙𝒙) Slika 8.32 prikazuje diagrama reducirne prečne sile za dvokapni simetrični nosilec in enokapni nosilec. V kritičnem prerezu (maksimalna natezna sila v armaturi) je vrednost 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 enaka nič. Nakazani so tudi odseki 𝑇𝑇1 za 𝜀𝜀𝑐𝑐 in 𝑇𝑇2 za 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. Slika 8.32: Določitev reducirne prečne sile 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 za dvokapni in enokapni nosilec 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 287. Nakazane pa so tudi mejne prečne sile za minimalni razmik stremen 𝜀𝜀𝑐𝑐 in maksimalni razmik stremen 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. Evropski standard EC2 navaja enačbo za reducirno prečno silo v obliki: 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 − 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅 𝜸𝜸𝑭𝑭� = 𝟏𝟏 𝒓𝒓 = 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝑵𝑵/𝒎𝒎 Preglednica 8.2: Ordinate parametrov za določitev reducirne prečne sile x(m) dx(m) Vzd(m) Myd(m2) Vccd(m) Vred(m) zx = 0,85 dx(m) 0 0,5 7,0 0 0 7,0 0,425 2,8 0,78 4,2 15,68 2,01 2,19 0,663 4,75 0,975 2,25 21,97 2,25 0 0,83 5,6 1,06 1,4 23,52 2,22 –0,82 0,90 7,0 1,2 0 24,5 2,04 –2,04 1,02 ENOKAPNI NOSILEC 8,4 1,34 –1,4 23,52 –1,75 –3,15 1,13 11,2 1,62 –4,2 15,68 –0,97 –5,17 1,38 14 1,9 –7,0 0 0 –70 1,615 Vrednosti za V in M iz Preglednica 8.2 še moramo pomnožiti z 𝜸𝜸𝑭𝑭� ∙ 𝒓𝒓! Evropski standard EC 1992 navaja enačbo za reducirno prečno silo v prerezu x 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅 (upoštevajoč samo prečne sile in upogibne momente), podano v (8.55): � 𝑽𝑽 = 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅 − 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅 (8.59) 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅(𝒙𝒙) − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 − ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸 (8.60) (𝒙𝒙) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) Pri tem pomenijo: 𝑉𝑉𝑠𝑠𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑚𝑚) … reducirna projektna sila 288 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑑𝑑(𝑚𝑚) 𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑚𝑚) … projektna prečna sila v smeri z ali y v prerezu x 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦(𝑥𝑥) ∙ 𝛼𝛼𝑘𝑘𝛽𝛽 … rezultanta tlačnih projektnih napetosti, paralelna z 𝑉𝑉 𝑑𝑑 𝑜𝑜𝑑𝑑(𝑚𝑚) (𝑥𝑥) 𝑉𝑉𝑐𝑐𝑑𝑑(𝑚𝑚) = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑦𝑦(𝑥𝑥) ∙ 𝛼𝛼𝑘𝑘𝛾𝛾 … rezultanta nateznih projektnih napetosti (armature), 𝑑𝑑(𝑥𝑥) paralelna z 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑑𝑑(𝑚𝑚) 𝛿𝛿 … kot med rezultanto tlačnih napetosti in osjo nosilca Slika 8.33: Analiza enačbe (8.59) 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜹𝜹 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝒐𝒐 ≅ 𝒅𝒅 𝒐𝒐 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜹𝜹 = 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 289. 𝑽𝑽 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒅𝒅 − 𝒓𝒓 ∙ 𝜸𝜸𝑭𝑭� ∙ 𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝒐𝒐 𝑽𝑽 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜹𝜹 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝜹𝜹 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜹𝜹 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝑴𝑴 = 𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 Primer kontinuirnega nosilca z vuto: Slika 8.34: Reducirna prečna sila 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 za kontinuirni nosilec z vuto 290 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Rez 1–1: nosilec raste, upogibni moment absolutno raste – odštevamo oba sumanda. 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 > 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙𝟏𝟏) < 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙 𝟏𝟏) < 𝟎𝟎 𝑴𝑴 −𝑽𝑽 (𝒙𝒙) (𝒙𝒙) − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 (𝒙𝒙) Ali po osnovni enačbi: 𝑴𝑴 (−𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒅𝒅 𝟏𝟏𝒅𝒅) 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒌𝒌(𝒙𝒙) − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 = −𝑽𝑽𝒌𝒌(𝒙𝒙) − ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝑴𝑴 = −𝑽𝑽 𝟏𝟏𝒅𝒅 𝒌𝒌 + 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝒙𝒙 Rez 2-2: nosilec pada, upogibni moment absolutno pada. 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙 𝟐𝟐) < 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙𝟐𝟐) > 𝟎𝟎 Ali po osnovni enačbi: (−𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝟐𝟐𝒅𝒅) 𝟐𝟐𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙 ∙ (−𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) = 𝑽𝑽 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝟐𝟐) − 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟐𝟐) − 𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 Rez 2’–2': 𝑴𝑴𝟐𝟐′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙𝟐𝟐) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 291. Rez 3–3: nosilec pada, upogibni moment raste – seštevamo oba sumanda. 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝟑𝟑𝒅𝒅(𝒙𝒙 𝟐𝟐) > 𝟎𝟎 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙𝟑𝟑) > 𝟎𝟎 Ali po osnovni enačbi: 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝟑𝟑𝒅𝒅 𝟑𝟑𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙 ∙ (−𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷) = 𝑽𝑽 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝟑𝟑) − 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 + (𝒙𝒙 𝒅𝒅 𝟑𝟑) (𝒙𝒙𝟑𝟑) Določitev vzdolžne osi nosilca (X) Za nosilec različnih naklonov tlačne in tegnjene cone določimo os nosilca x in ustrezne sile, kot prikazuje spodnja slika. Slika 8.35: Prikaz položaja vzdolžne osi 𝒙𝒙 nosilca in ustrezne prečne sile 292 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑽𝑽 𝑨𝑨 𝒐𝒐𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒌𝒌𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝑽𝑽𝒐𝒐,𝒅𝒅 − 𝒓𝒓𝒐𝒐𝒅𝒅 ∙ 𝒙𝒙 = 𝑽𝑽𝑨𝑨𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜶𝜶 − 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜶𝜶 ∙ 𝒙𝒙 = �𝑽𝑽𝑨𝑨𝒅𝒅 − 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒙𝒙� ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝜶𝜶 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 (𝒙𝒙) 𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜸𝜸 (𝒙𝒙) Konzolni nosilec s spremenljivo višino Pri konzolnem nosilcu, kot ga prikazuje Slika 8.36, se pojavi kritični prerez pri vpetju nosilca. (𝒄𝒄 − 𝒙𝒙)𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝑭𝑭 ∙ (𝒄𝒄 − 𝒙𝒙) + 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 ∙ 𝑴𝑴 ∙ 𝟐𝟐 𝑽𝑽𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ 𝑭𝑭 + 𝟏𝟏, 𝟑𝟑𝟓𝟓 ∙ 𝑴𝑴 ∙ (𝒄𝒄 − 𝒙𝒙) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝒅𝒅𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝒐𝒐(𝒙𝒙) = 𝝇𝝇 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 < 𝟎𝟎 𝒐𝒐𝟐𝟐 − 𝒑𝒑𝒌𝒌 (8.35) 𝐹𝐹𝑠𝑠 … projektna sila v armaturi 𝑇𝑇𝑠𝑠 … projektna nosilnost vzdolžne armature �𝑴𝑴 𝑽𝑽 𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙� 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝑽𝑽𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 − 𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝜷𝜷 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄,𝒘𝒘𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐(𝒙𝒙) 𝒘𝒘 ≥ 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅(𝒙𝒙) 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 293. Slika 8.36: Reducirna črta prečnih sil in projektne sile v vzdolžni armaturi konzolnega nosilca s spremenljivo višino 294 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 9 Plošče 9.1 Definicija osnovne predpostavke »homogenih« plošč Plošče imenujemo ravna telesa, katerih debelina je znatno manjša od ostalih dveh dimenzij. Obtežba je usmerjena vedno pravokotno na ravnino xy, kot je prikazana na spodnji sliki. Slika 9.1: Prikaz geometrije plošče in potek obtežbe plošče 296 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Premiki in napetosti v plošči so v glavnem odvisni od odnosa njene debeline v primerjavi z ostalimi dimenzijami. Razlikujemo tri vrste plošč: − tanke plošče z malimi upogibi; − tanke plošče z velikimi upogibi; − debele plošče. ℎ < 0,2 … tanke plošče 𝑐𝑐𝑥𝑥 ℎ > 0,2 … debele plošče 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑧𝑧𝑚𝑚 … krajša stranica plošče Pri upogibu obstajajo tudi napetosti v osrednji ravnini, vendar lahko te napetosti zanemarimo, dokler so upogibi plošče majhni v primerjavi z njeno debelino. Če pa upogibi niso majhni, moramo te dodatne napetosti upoštevati v diferencialnih enačbah plošč. V tem primeru postane rešitev problema bolj komplicirana. V primeru velikih upogibov moramo razlikovati tudi med pomičnim in nepomičnim robom v smeri ravnine plošče, kajti obremenitev se lahko prenaša deloma z odpornostjo plošče na upogib, deloma pa z nategi kot pri membrani. Približne teorije tankih plošč pa postanejo netočne v primeru debelih plošč, še posebej pri koncentriranih obtežbah. Tedaj je treba uporabiti teorijo debelih plošč. Ta teorija obravnava problem plošč kot tridimenzionalni elastični problem ali upošteva tudi strižne deformacije 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑛𝑛 in 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑛𝑛, pri čemer je os z pravokotna na osrednjo ravnino. Ker se v praksi največkrat uporabljajo tanke plošče z malimi upogibi, je Kirchoffova teorija »tankih« plošč tudi osnova večine računalniških programov. Reševanje plošč povzroča projektantom že od nekdaj nemajhne težave. Z analitičnimi metodami lahko rešujemo samo močno idealizirane (»enostavne«) plošče, pri čemer je treba rešiti parcialne diferencialne enačbe z raznimi nastavki, kar zahteva ogromno časa. 9 Plošče 297. Računanje plošče s pomočjo tabel je možno za manjše in relativno enostavne plošče, čim je problem obsežnejši in splošnejši, pa se moramo poslužiti približnih poenostavitev. Zaradi tega so numerične metode, ki so prilagodljive realnim modelom konstrukcij, privlačne za projektante. V 20. stoletju se je vzporedno z razvojem računalnikov in temu namenjenih aplikacij razvila nova numerična metoda, tako imenovana metoda končnih elementov, ki temelji na uporabi matrične algebre ob diskretizaciji poljubne konstrukcije na ustrezne končne elemente. S to metodo lahko računamo vse vrste inženirskih konstrukcij. Vse te metode se nanašajo na »homogene« plošče, kar pa v armiranobetonskih ploščah ni naključje, saj so to sovprežni elementi, kjer beton in armatura sodelujeta po že znanih zakonitostih. 9.2 Analiza plošč Plošče so lahko različnih oblik: − pravokotnih; − trikotnih; − trapeznih; − krožnih; − polkrožnih: − poligonalnih; − eliptičnih in drugih. Podprte so lahko na enem robu, dveh nasprotnih ali soležnih robovih, treh in štirih robovih ter točkovno. Robni pogoji podpor so lahko različni: − prosti rob; − prosto podprti rob; − elastično vpeti rob; 298 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ − vpeti rob; − robovi kontinuirnih plošč; − plošče, podprte s stebri (gobaste plošče). Primer pravokotne, različno podprte plošče z deformacijskimi linijami za enakomerno zvezno obtežbo q prikazuje spodnja slika. Slika 9.2: Prikaz deformacij dvostransko podprte plošče s stebrom 9 Plošče 299. Debeline plošč so omejene. Najmanjše debeline plošč, ki nosijo v eni ali dveh smereh, morajo znašati približno 1 manjšega razpona oziroma razdalje ničelnih točk 35 poteka momentne linije (kar pa ne drži za plošče, ki so točkovno podprte). Sicer pa razmerje 𝑐𝑐 podajajo predpisi, kar bo prikazano v poglavju o MSU. Plošče 𝑑𝑑 naj ne bodo tanjše od 7 cm (5 cm) (za statično obtežbo) oziroma od 10 cm za plošče, po katerih vozijo osebna vozila, in od 12 cm za plošče, po katerih vozijo tovorna vozila. Seveda so to samo približne vrednosti (potrebni pogoji), natančne vrednosti določimo s statično in dinamično analizo ter z omejitvijo oziroma kontrolo povesov. Debelina plošč je v osnovi odvisna od razponov, velikosti ter položaja obtežb in robnih pogojev (zadostni pogoji). 9.3 Teorija tankih plošč – Kirchoffova teorija plošč (kratek opis) Za lažje razumevanje obnašanja plošč bo podana Kirchoffova teorija tankih plošč, ki temelji na naslednjih predpostavkah: − upogibki plošč so majhni v primerjavi z njihovo debelino; − ravne linije materialnih delcev, ki so pravokotne na srednjo ravnino plošče, ostanejo ravne in pravokotne tudi po deformaciji; − dolžina teh linij se ne spremeni (so neraztegljive); − te linije zarotirajo tako, da tudi po deformaciji ostanejo pravokotne na srednjo ravnino plošče. Slika 9.3: Deformacija segmenta – infinitezimalnega dela plošče v smeri X 300 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Relativni pomik plošče po debelini je enak 0. 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 → 𝒘𝒘𝑨𝑨 = 𝒘𝒘𝑳𝑳 (9.1) 𝒘𝒘 = 𝒘𝒘(𝒙𝒙,𝒄𝒄) 𝒄𝒄𝑨𝑨 = 𝒗𝒗𝑨𝑨 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝒄𝒄𝑳𝑳 = −𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝝏𝝏𝒘𝒘 (9.2) 𝒗𝒗𝑳𝑳 = −𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄 Specifične deformacije (enačbe, ki povezujejo specifične deformacije s pomiki 𝑢𝑢𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 ∙ �𝑢𝑢 2 𝑖𝑖,𝑖𝑖 + 𝑢𝑢𝑖𝑖,𝑖𝑖�): 𝝏𝝏𝒄𝒄 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝜺𝜺𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ �−𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙� = −𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒗𝒗 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝜺𝜺𝒄𝒄 = (9.3) 𝝏𝝏𝒄𝒄 = 𝝏𝝏𝒄𝒄 ∙ �−𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄� = −𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝜺𝜺𝒐𝒐 = 𝝏𝝏𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒄𝒄 𝝏𝝏𝒗𝒗 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝜸𝜸𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝝏𝝏𝒄𝒄 + 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒄𝒄 ∙ �−𝒐𝒐∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙� + 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ �−𝒐𝒐∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄� 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = −𝟐𝟐𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 𝝏𝝏𝒗𝒗 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒘𝒘 (9.4) 𝜸𝜸𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝝏𝝏𝒐𝒐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄 = 𝝏𝝏𝒐𝒐 ∙ �−𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄� + 𝝏𝝏𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒄𝒄 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝜸𝜸𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝝏𝝏𝒐𝒐 = 𝝏𝝏𝒐𝒐 ∙ �−𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙�+ 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 Napetosti (enačbe, ki povezujejo specifične deformacije z napetostmi): 9 Plošče 301. Slika 9.4: Prikaz napetosti plošče v dveh ortogonalnih ravninah 𝝈𝝈𝒐𝒐 = −𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒄𝒄) = 𝟎𝟎 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒙𝒙 = 𝑬𝑬 ∙ �𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝂𝝂𝝈𝝈𝒄𝒄� 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 ∙ �𝝈𝝈𝒄𝒄 − 𝝂𝝂𝝈𝝈𝒙𝒙�/∙ 𝝂𝝂 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒙𝒙 + 𝒗𝒗 ∙ 𝜺𝜺𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 ∙ ��𝝈𝝈𝒙𝒙 − 𝝂𝝂𝝈𝝈𝒄𝒄� + 𝝂𝝂𝝈𝝈𝒄𝒄 − 𝝂𝝂𝟐𝟐𝝈𝝈𝒙𝒙� 𝝈𝝈 = 𝒙𝒙 𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐� 𝑬𝑬 𝝈𝝈𝒙𝒙𝒙𝒙 ≡ 𝝈𝝈𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ �𝜺𝜺𝒙𝒙 + 𝜺𝜺𝒄𝒄 ∙ 𝝂𝝂� 𝑬𝑬 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ �−𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ �−𝒐𝒐∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐�� 𝑬𝑬 ∙ 𝒐𝒐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝑬𝑬 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒄𝒄 ≡ 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ �𝜺𝜺𝒄𝒄 + 𝜺𝜺𝒙𝒙 ∙ 𝝂𝝂� 𝑬𝑬 ∙ 𝒐𝒐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 (9.5) = − 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ �𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐� 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝑮𝑮 ∙ 𝜸𝜸𝒙𝒙𝒄𝒄 = −𝟐𝟐𝑮𝑮𝒐𝒐 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 302 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Enotine sile in momenti: Slika 9.5: Prikaz določitve upogibnih in torzijskih momentov +𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒙𝒙 = � 𝝈𝝈𝒙𝒙 ∙ 𝒐𝒐𝒅𝒅𝒐𝒐 −𝒉𝒉𝟐𝟐 +𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑬𝑬 ∙ 𝒐𝒐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − � � ∙ 𝒅𝒅𝒐𝒐 −𝒉𝒉 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ � 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 �� 𝟐𝟐 𝑬𝑬∙𝒉𝒉𝟑𝟑 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐) ∙ �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� +𝒉𝒉𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒄𝒄 = � 𝝈𝝈𝒙𝒙 ∙ 𝒐𝒐𝒅𝒅𝒐𝒐 −𝒉𝒉𝟐𝟐 +𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑬𝑬 ∙ 𝒐𝒐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − � � (9.6) −𝒉𝒉 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐 ∙ � 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 �� ∙ 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝑬𝑬∙𝒉𝒉𝟑𝟑 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐) ∙ �𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐� 9 Plošče 303. +𝒉𝒉𝟐𝟐 +𝒉𝒉𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒙𝒙𝒄𝒄 = � 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐𝒅𝒅𝒐𝒐 = −𝟐𝟐𝑮𝑮 � 𝒐𝒐𝟐𝟐 ∙ −𝒉𝒉 −𝒉𝒉 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 𝒅𝒅𝒐𝒐 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝑮𝑮 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 𝟐𝟐𝑮𝑮 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝟏𝟏 − 𝝂𝝂 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 + 𝝂𝝂) ∙ 𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 𝑮𝑮 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = − 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐) ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 Upogibna togost plošče pri 𝐼𝐼 = 1∙ℎ3 znaša: 12 𝑬𝑬 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑲𝑲 = (9.7) 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂𝟐𝟐) 1 = 𝜘𝜘 … ukrivljenost plošče v smeri X 𝑅𝑅 𝑚𝑚 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑚𝑚2 1 = 𝜘𝜘 … ukrivljenost plošče v smeri Y 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑐𝑐2 𝜘𝜘𝑚𝑚𝑐𝑐 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐 … vegavost plošče 𝜕𝜕𝑚𝑚𝜕𝜕𝑐𝑐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒙𝒙 = −𝑲𝑲 ∙ �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒄𝒄 = −𝑲𝑲 ∙ � (9.8) 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 � 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒙𝒙𝒄𝒄 = −𝑲𝑲 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 Prečni sili 𝒓𝒓𝒙𝒙 in 𝒓𝒓𝒄𝒄 ne dobimo neposredno, saj sta napetosti 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 in 𝝉𝝉𝒄𝒄𝒐𝒐, izraženi z deformacijo 𝒘𝒘, enaki 0. Že pri nosilcih (linijskih elementih) obstaja zveza med upogibnim momentom in prečno silo, ki jo zapišemo kot: 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝒅𝒅 = 𝑸𝑸𝒙𝒙 ≡ 𝑸𝑸𝒙𝒙𝒐𝒐 𝒙𝒙 Podobno analogijo zasledimo tudi pri ploščah. 304 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 9.6: Enotine »sile« za izračun prečne sile 𝒓𝒓𝒙𝒙 � 𝑴𝑴𝒌𝒌−𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝝏𝝏𝒄𝒄 (9.9) 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓 𝒄𝒄 𝒙𝒙𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝝏𝝏𝒄𝒄 + 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒓𝒓𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒙𝒙�−𝑲𝑲 ∙ �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐�� 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 + 𝝏𝝏𝒄𝒄�−𝑲𝑲 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄� 9 Plošče 305. 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝒓𝒓𝒙𝒙 = −𝑲𝑲 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝝂𝝂𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝝂𝝂𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒓𝒓𝒙𝒙 = −𝑲𝑲 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� = −𝑲𝑲𝝏𝝏𝒙𝒙�𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� (9.10) 𝝏𝝏 = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ (∆′ ∙ 𝒘𝒘) Analogno sledi za smer y: 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒓𝒓𝒄𝒄 = −𝑲𝑲 �𝝏𝝏𝒄𝒄𝟑𝟑 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐� = −𝑲𝑲𝝏𝝏𝒄𝒄�𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐� (9.11) 𝝏𝝏 = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒄𝒄 ∙ (∆′ ∙ 𝒘𝒘) Ravninski (delni) Laplaceov operator: 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 ∆′= �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� (9.12) Slika 9.7: Enotine »sile« na diferencialnem delu plošče 306 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ V (9.7), (9.8) in (9.9) nastopa samo ena neznana količina, s katero lahko izračunamo notranje statične količine. To je funkcija pomikov 𝜌𝜌, ki jo lahko določimo z osnovno enačbo plošče, ki temelji na osnovi enačbe ∑ 𝐹𝐹𝑛𝑛 = 0. � 𝑭𝑭𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒓𝒓 𝒑𝒑 𝒙𝒙 (𝒙𝒙,𝒄𝒄) ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄 − 𝒓𝒓𝒙𝒙 ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄 + �𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙� ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄 − 𝒓𝒓𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝝏𝝏𝒓𝒓 + �𝒓𝒓 𝒄𝒄 𝒄𝒄 + 𝝏𝝏𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝒄𝒄� ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒓𝒓𝒙𝒙 𝝏𝝏𝒓𝒓𝒄𝒄 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝝏𝝏𝒄𝒄 = −𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒄𝒄) 𝝏𝝏 𝝏𝝏 𝝏𝝏 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 �−𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ (∆′ ∙ 𝒘𝒘)� + 𝝏𝝏𝒄𝒄 �−𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ (∆′ ∙ 𝒘𝒘)� = −𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒄𝒄) 𝝏𝝏𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒄𝒄) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 � + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 � = 𝑲𝑲 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 −𝒑𝒑(𝒙𝒙,𝒄𝒄) (9.13) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝑲𝑲 𝒑𝒑 ∆′ ∙ ∆′ ∙ 𝒘𝒘 = (9.14) 𝑲𝑲 »Dvojni« Laplaceov operator: 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟒𝟒𝒘𝒘 ∆′ ∙ ∆′= (9.15) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 Dobljena enačba se imenuje osnovna diferencialna enačba plošče. Ta enačba je podobna Airyjevi napetostni funkciji, s to razliko, da je homogena. Omogoča izračun pomikov 𝜌𝜌 in iz tega vse ostale količine plošče, ki so potrebne za njeno dimenzioniranje (𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑞𝑞𝑖𝑖𝑖𝑖). 9 Plošče 307. Reducirna prečna sila Pri plošči v kartezijevih koordinatah je na razpolago največ dvanajst robnih pogojev, deferencialna enačba plošče pa je 4. reda in potrebuje le štiri konstante. Stroga izpolnitev robnih pogojev zahteva, da so na obodu plošče prečna sila 𝑞𝑞𝑛𝑛, upogibni moment 𝑚𝑚𝑛𝑛 in torzijski moment 𝑚𝑚𝑛𝑛𝑠𝑠 v ravnotežju z zunanjo obtežbo. Slika 9.8: Določitev sil 𝒓𝒓′𝒏𝒏 zaradi torzijskega momenta 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒓𝒓′ ′ 𝒏𝒏 ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 = 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 → 𝒓𝒓𝒏𝒏 = 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓′′ 𝒏𝒏𝒌𝒌 ′′ 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏𝒏 ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 = �𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 − 𝝏𝝏𝒌𝒌 � ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 → 𝒓𝒓𝒏𝒏 = 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 − 𝝏𝝏𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓′′′ 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏𝒏 = 𝒎𝒎𝒏𝒏𝒌𝒌 + 𝝏𝝏𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓′ ′′ 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏𝒏 − 𝒓𝒓𝒏𝒏 = 𝝏𝝏𝒌𝒌 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓′′′ ′ 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏𝒏 − 𝒓𝒓𝒏𝒏 = 𝝏𝝏𝒌𝒌 308 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Reducirna prečna sila je: 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓� 𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒏𝒏 �� = 𝒓𝒓𝒏𝒏 + (9.16) 𝝏𝝏𝒌𝒌 Reducirne prečne sile v kartezijevih koordinatah, ki predstavljajo tudi reakcije na podpore, upoštevajoč robne pogoje, zapišemo kot: 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓� 𝒙𝒙𝒄𝒄 𝒙𝒙 �� = 𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝝏𝝏𝒄𝒄 𝝏𝝏 = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒙𝒙 ∙ (∆′ ∙ 𝒘𝒘) 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 + 𝝏𝝏𝒄𝒄�−𝑲𝑲 ∙ (𝟏𝟏 − 𝝂𝝂) ∙ 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄� 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 = −𝑲𝑲 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 (9.17) 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 − 𝝂𝝂 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒙𝒙�𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + (𝟐𝟐 − 𝝂𝝂) 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� 𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒓𝒓�𝒄𝒄�� = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒄𝒄�𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + (𝟐𝟐 − 𝝂𝝂) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐� Robni pogoji – podprtje plošč S pomočjo reducirane prečne sile smo število robnih pogojev zmanjšali. Za plošče v kartezijevih koordinatah dobimo na vsakem robu le dva robna pogoja. V praksi nastopajo v glavnem naslednji primeri podprtja plošč: a) vrtljivo podprti rob (dva robna pogoja) 9 Plošče 309. 𝒘𝒘 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝒘𝒘𝒄𝒄 ≡ 𝒎𝒎𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 → 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 → 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎; 𝝏𝝏𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 b) vpeti rob plošče (trije robni pogoji) 𝒘𝒘 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 → 𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐𝒐𝒐𝒊𝒊𝒗𝒗𝒌𝒌𝒄𝒄𝒊𝒊 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒎𝒎𝒄𝒄𝒏𝒏𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 c) rob plošče je na elastični podlagi (dva robna pogoja) 𝒘𝒘 = 𝒇𝒇(𝒐𝒐) 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒘𝒘 = 𝒇𝒇(𝒐𝒐) 310 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝝏𝝏𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 d) viseči rob (dva robna pogoja) 𝒎𝒎𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 𝒓𝒓�𝒏𝒏 �� = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 = 𝒎𝒎𝒙𝒙 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟑𝟑𝒘𝒘 ��� 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟑𝟑 + (𝟐𝟐 − 𝝂𝝂) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 = 𝒓𝒓𝒙𝒙 Slika 9.9: Robni pogoji (a, b, c, d) plošč Pri pravokotnih ploščah nastaja problem vihanja vogalov. V primeru, ko sta soležna roba vrtljivo podprta (𝜌𝜌 = 0; 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 0; 𝑚𝑚𝑐𝑐 = 0), se vogal dvigne. Ta dvig preprečimo s sidranjem vogala v zidni nosilec. Potrebna vogalna armatura bo ortogonalna. Zaradi sile R se vogal dvigne. 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝝏𝝏𝒎𝒎 𝒓𝒓′ 𝒙𝒙𝒄𝒄 ′ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝒙𝒙 = 𝝏𝝏𝒄𝒄 ; 𝒓𝒓𝒄𝒄 = 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝒓𝒓′ ′ 𝒙𝒙 + 𝒓𝒓𝒄𝒄 = 𝑹𝑹 (9.18) 9 Plošče 311. Slika 9.10: Prikaz sile dviga plošče Slika 9.11: Deformacije plošče, položene na zidove brez sidranja vogalov 312 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝜌𝜌𝐴𝐴 = 𝜌𝜌𝐴𝐴𝑝𝑝 + 𝜌𝜌𝑣𝑣 – skupni pomik plošče Slika 9.12: Deformacije plošče, položene na zidove s sidranjem vogalov 𝒘𝒘𝑨𝑨(𝒌𝒌𝒊𝒊𝒅𝒅𝒐𝒐𝒐𝒐𝒏𝒏𝒌𝒌) 𝑨𝑨(𝒏𝒏𝒊𝒊 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒅𝒅𝒐𝒐𝒐𝒐𝒏𝒏𝒌𝒌) 𝒑𝒑 < 𝒘𝒘𝒑𝒑𝟏𝟏 Natezna armatura v smeri diagonale je za 𝑖𝑖(𝑚𝑚,𝑐𝑐), kot ga kaže Slika 9.12, vedno zgoraj. Na sliki pa tudi vidimo, da je deformacijska črta blizu vogala »pravokotna« na smer diagonale, tako da zahteva armaturo v spodnji coni. Slika 9.13: Natezna armatura v smeri diagonale plošče 9 Plošče 313. S sidranjem vogalov v zidove bodo upogibni momenti v polju manjši kot v primeru, če tega ne storimo. Slika 9.14: Natezna vogalna armatura v zgornji in spodnji coni plošče Z uporabo mrež Q (mreže, ki imajo v ortogonalni smeri enako armaturo na enakih razmikih) pa je položitev enostavnejša, saj imamo zgoraj in spodaj enaki poziciji. Zgornje palice mreže Q sidramo v zid, spodnje pa položimo na podložke. Slika 9.15: Ortogonalna »vogalna« armatura v zgornji in spodnji coni plošče 314 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ V primeru, ko sta soležna robova različna (polnovpeti in vrtljivo podprti rob – prostoležeči rob), vogalne armature ne potrebujemo, saj vpeti rob preprečuje dvig vogala. Kljub temu položimo zaradi vpetega robu tudi v smeri pravokotno na vrtljivo podprti rob. Po Kirchoffovi teoriji so se strižne deformacije 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑛𝑛 in 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑛𝑛 (𝜕𝜕𝑐𝑐 = 0) zanemarile, kar je 𝜕𝜕𝑛𝑛 vodilo v uporabo »reducirne prečne sile« in povečalo še vrsto drugih nevšečnosti. Za izračun debelih plošč, celičnih plošč in tudi plošč z velikimi upogibki pa so strižne deformacije 𝛾𝛾𝑚𝑚𝑛𝑛 in 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑛𝑛 pomembne. S tako imenovano Mindlinovo teorijo plošče se izognemo vrsti nevšečnosti, ki smo jih ugotovili pri Kirchoffovi teoriji – ta metoda je uporabna za vse vrste plošč. Teoretične osnove so podane v ustrezni literaturi in v tem učbeniku ne bodo prikazane. So pa teoretične osnove Kirchoffove teorije in tudi Mindlinove teorije osnova za metodo končnih elementov (FEM – MKE), s pomočjo katerih so bili določeni računalniški programi za izračun plošč. Naj omenimo samo nekaj računalniških aplikacij, s katerimi se lahko projektirajo plošče: − MORJE (v sklopu programa OCEAN); − TOWER; − SAP 2000; − FRILO (iz podjetja Nemetschek Group); − SCIA (iz podjetja Nemetschek Group). 9.3.1 Pravokotne plošče 9.3.1.1 Pravokotne plošče, nosilne v eni smeri Pravokotne plošče, naslonjene – ali tudi ne – po vsem obodu, se lahko računajo kot plošče, nosilne v eni smeri, ali plošče, nosilne v vseh smereh, praviloma v dveh ortogonalnih smereh. S pomočjo (9.1) in (9.2) lahko hitro in enostavno ugotovimo, ali je plošča nosilna v eni ali dveh smereh. Plošča je nosilna v eni smeri, ko je ukrivljenost v drugi smeri »zelo mala«. 9 Plošče 315. a.) b.) Plošča, podprta na Plošča, podprta na dveh robovih štirih robovih 𝑇𝑇𝑐𝑐 → ∞ 𝑧𝑧𝑚𝑚 ≫ 𝑧𝑧𝑐𝑐 𝑇𝑇𝑚𝑚 ≫ 𝑇𝑇𝑐𝑐 Slika 9.16: Plošče, nosilne v eni smeri 𝑇𝑇 … radij ukrivljenosti − Plošča nosi samo v smeri X, ker je ukrivljenost v smeri Y enaka 0 (plošča, nosilna v eni smeri, glavna armatura poteka v smeri X, razdelilna armatura poteka v smeri Y): 𝟏𝟏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝑹𝑹 = 𝝒𝝒𝒄𝒄 = 𝒄𝒄 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒙𝒙 = −𝑲𝑲 (9.19) 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 − Plošča nosi samo v smeri Y, ker je ukrivljenost v smeri X enaka 0 (plošča, nosilna v eni smeri, glavna armatura poteka v smeri Y, razdelilna armatura poteka v smeri X): 𝑹𝑹𝒙𝒙 ≫ 𝑹𝑹𝒄𝒄 316 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝑹𝑹 = 𝝒𝝒𝒙𝒙 ≪ 𝝒𝝒𝒄𝒄 = ; 𝝒𝝒𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 𝑹𝑹𝒄𝒄 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒄𝒄 = −𝑲𝑲 (9.20) 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 Ko smo ugotovili, da je ukrivljenost v eni smeri minimalna oziroma gre proti 0, lahko s pomočjo (9.21) izračunamo vrednosti upogibnih momentov v nosilni smeri oziroma »nenosilni« smeri. Če se navežemo na Slika 9.16b in s tem na 1 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐 → 0, 𝑅𝑅𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑚𝑚2 bo znašal moment v smeri Y (krajša stranica plošče): 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒄𝒄 = −𝑲𝑲( 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 ) = −𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 Moment v »nenosilni« smeri X (daljša stranica plošče) pa: 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝝏𝝏𝟐𝟐𝒘𝒘 𝒎𝒎𝒙𝒙 = −𝑲𝑲 �𝝏𝝏𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝝂𝝂 ∙ 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐� = −𝝂𝝂𝑲𝑲 𝝏𝝏𝒄𝒄𝟐𝟐 = −𝟎𝟎,𝟐𝟐 ∙ 𝒎𝒎𝒄𝒄 (9.21) Zgornja enačba velja za enakomerno zvezno obtežbo. To pomeni, da bomo ploščo armirali s tako imenovanimi mrežami »R« mrežami, ki imajo v nenosilni smeri 5-krat manjši prerez armature kot v nosilni smeri. S tem smo zadostili (9.20) in (9.21). Na Slika 9.16a se razmere spremenijo pri koncentrirani obtežbi, ker v tem primeru nastopa tudi ukrivljenost v smeri Y: 𝑇𝑇𝑐𝑐 ≠ ∞. 𝝒𝝒𝒄𝒄 ≠ 𝟎𝟎 Armatura v spodnji coni je potrebna v obeh smereh. Plošča se tudi ukrivi v smeri Y. 9 Plošče 317. Slika 9.17: Plošča, nosilna v dveh smereh Način določitve nosilnosti pravokotne plošče v eni ali dveh smereh podaja razlaga na osnovi računa trakov plošče v dveh ortogonalnih smereh po metodi enakosti pomika 𝜌𝜌𝐴𝐴 v točki A v obeh smereh. 𝒘𝒘𝑨𝑨 𝑨𝑨 (𝒙𝒙) = 𝒘𝒘(𝒄𝒄); 𝑘𝑘𝑧𝑧𝑧𝑧𝑛𝑛 Slika 9.16𝑛𝑛 (9.22) 𝒎𝒎 𝟐𝟐 𝟐𝟐 (𝒙𝒙) ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝒎𝒎(𝒄𝒄) ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄 = ; (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝒙𝒙 = (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝒄𝒄 (9.23) 𝒙𝒙 ∙ (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬𝑰𝑰)𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒙𝒙 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = 𝒄𝒄 ∙ � � ∙ 𝒎𝒎𝒄𝒄 (9.24) 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒙𝒙 Če so robni pogoji po obodu plošče enaki 𝑘𝑘𝑚𝑚 = 𝑘𝑘𝑐𝑐, znaša: 𝒄𝒄 𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒄𝒄 𝒙𝒙 = �𝒄𝒄 � ∙ 𝒎𝒎𝒄𝒄 (9.25) 𝒙𝒙 318 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za razmerje 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2 dobimo moment v krajši smeri: 𝑐𝑐𝑥𝑥 𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝟒𝟒 ∙ 𝒎𝒎𝒄𝒄 (9.26) 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 5 ∙ 𝑚𝑚𝑐𝑐 pa dobimo pri razmerju 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2,236 𝑐𝑐𝑥𝑥 Seveda pri tej razlagi ni bil upoštevan Poissonov količnik prečne kontrakcije 𝝂𝝂, vendar zopet opažamo, da je pri razmerju stranic večja od 2 plošča, »nosilna« v kratki smeri. Nekaj primerov plošče nosilne v eni smeri prikazuje Slika 9.18. Slika 9.18: Plošče, nosilne v eni (X) smeri Konzolna plošča, obtežena s koncentrirano silo, na koncu plošče izkazuje drugačne razmere, saj ukrivljenost v smeri Y �𝜕𝜕2𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑐𝑐2 � ni več enaka nič Zato jo moramo v smeri X armirati z zgornjo armaturo, v smeri Y pa s spodnjo in zgornjo armaturo (glej Slika 9.19, Slika 9.20 in Slika 9.21). 9 Plošče 319. Slika 9.19: Deformacije konzolne plošče, obtežene s koncentrirano silo na sredini 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐 320 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 9.20: Aksonometrični prikaz momentov 𝑴𝑴𝒙𝒙 ob vpeti podpori in prikaz poteka momentov 𝑴𝑴𝒄𝒄 na prostem robu Slika 9.21: Armatura po Slika 9.20 in Slika 9.21 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑎𝑎 … razdelilna armatura 𝐴𝐴𝑠𝑠(𝑚𝑚) … armatura zaradi obremenitve upogibnega momenta 𝑀𝑀𝑚𝑚 𝐴𝐴𝑠𝑠(𝑐𝑐) … armatura zaradi obremenitve upogibnega momenta 𝑀𝑀𝑐𝑐 9 Plošče 321. -+--- Slika 9.22: »Razširitev« in porazdelitev momentov 𝑴𝑴𝒙𝒙 ob vpeti podpori ter prikaz poteka momentov 𝑴𝑴𝒄𝒄 na prostem robu Momenti 𝑀𝑀𝑚𝑚 ob vpetem robu plošče se zaradi koncentrirane sile F razširijo oziroma porazdelijo približno na dolžini 2a. Vpliv koncentriranih sil za plošče, nosilne v eni smeri, se upošteva prek delnih površin 𝑛𝑛1 ∙ 𝑛𝑛2. Raznos koncentrirane sile upoštevamo na širino plošče 𝑛𝑛3 (pravokotno na smer nosilnosti plošče). 𝒇𝒇 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝟑𝟑 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒇𝒇 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 (9.27) 𝒌𝒌 Vpliv koncentrirane sile izven območja 𝑛𝑛3 pa je ničen (𝑚𝑚𝑚𝑚=𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑎𝑎). 𝑓𝑓𝑠𝑠 … prerez nosilne armature 𝑧𝑧𝑚𝑚 … razpon plošče v smeri nosilnosti 𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2 … razširjena širina, obtežbe v osrednji ravnini plošče (pravokotno na smer nosilne armature) 𝒃𝒃𝟏𝟏 = 𝒄𝒄𝟏𝟏 + 𝒅𝒅𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 (9.28) 𝒃𝒃𝟐𝟐 = 𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝟏𝟏 𝑧𝑧2… razdalja v smeri vožnje, ki znaša 𝑧𝑧2 ≅ 10 𝜎𝜎𝑚𝑚 322 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 9.23: Raznos koncentrirane sile F na območje pravokotno na smer nosilnosti plošče 𝒃𝒃𝟑𝟑 Ustrezni upogibni moment 𝑚𝑚𝑚𝑚 od enakomerne zvezne teže (lastne) in koncentrirane obtežbe kolesa na širinski (enotin) meter plošče pa znaša: 𝑴𝑴𝑭𝑭 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝒎𝒎𝒙𝒙,𝑴𝑴 + 𝒃𝒃 ; � 𝟑𝟑 𝒎𝒎′ � (9.29) Račun notranjih statičnih količin se določa za trak enotine širine (1 m), upoštevajoč ustrezno obtežbo in robne pogoje. Ko računamo kontinuirne plošče, so te v rebru elastično vpete, kar je odvisno od torzijske togosti rebra, ki podpira ploščo. Pri končnem (začetnem) robu se običajno upošteva vrtljivo podprti rob, s čimer dobimo »večje« pozitivne momente v prvem oziroma zadnjem polju. V resnici pa je plošča »delno« vpeta v rebro, kar povzroča v zgornji coni natezne napetosti, ki jh običajno prevzamemo z negativno armaturo ali z ukrivljanjem vsake druge palice iz polja v zgornjo cono (sidranje). Izračun upogibih momentov kontinuirnih plošč enakih polj ali razmerja 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 < 1,2 zaradi enakomerne 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 zvezne obtežbe 𝑞𝑞 = 𝑘𝑘 + 𝑖𝑖 lahko določimo po enačbi: 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = ∓(𝑴𝑴 + 𝒑𝒑) ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 (9.30) 𝒑𝒑𝒌𝒌 𝑴𝑴𝑵𝑵𝑵𝑵: 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = ∓�𝑴𝑴 ∙ 𝜸𝜸𝑴𝑴 + 𝒑𝒑 ∙ 𝜸𝜸𝒑𝒑� ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 9 Plošče 323. 𝑘𝑘 … količnik vrednosti negativnih in pozitivnih vrednosti upogibnih momentov za plošče z ali brez vut. Količniki 𝑘𝑘 in območja poteka negativnih in pozitivnih upogibnih momentov so prikazani na Slika 9.23 za primere plošče z in brez vut. Dolžina vute naj bo večja od 3-kratnika njene debeline. Slika 9.24: Količniki 𝒄𝒄 in območja poteka negativnih in pozitivnih upogibnih momentov za kontinuirne plošče z ali brez vut. Plošče, nosilne v eni smeri, se lahko upoštevajo kot linijski nosilci širine 1 m v naslednjih primerih: a) ko plošča nalega samo na dveh nasprotnih robovih (mostna plošča, podprta z obrežnima podpornikoma); b) ko je plošča podprta na dveh nasprotnih straneh (vmesne »podpore« so toga rebra) ali kontinuirna prek več podpor; c) ko je vpeta na enem robu, ostali robovi pa so prosti; d) ko je podprta na vseh štirih robovih in je razmerje stranic 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 > 2 oziroma 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 < 0,5. 𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 324 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Nosilnost plošče v eni ali »dveh« smereh pa v bistvu določa ukrivljenost, ki je podana z izrazoma 𝜘𝜘𝑚𝑚 = 1 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐 in 𝜘𝜘 = 𝜕𝜕2𝑐𝑐, kar je bilo podano v teoretičnih osnovah. 𝑅𝑅 𝑐𝑐 = 1 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑚𝑚2 𝑅𝑅𝑐𝑐 𝜕𝜕𝑐𝑐2 Ker pa so ukrivljenosti odvisne od vrste obtežb (koncentrirane sile, zvezna obtežba, momentna obtežba) robnih pogojev, lahko uspešno določimo notranje statične količine 𝑚𝑚𝑖𝑖,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑞𝑞𝑖𝑖 samo s pomočjo tabel oziroma računalniških aplikacij, ki smo jih na primer že omenili zgoraj. Z uporabo tabel, ko določimo karakteristične notranje statične količine, pa plošče dimenzioniramo kot pravokotni prerez s statično širino 𝑛𝑛 = 1 𝑚𝑚. Statična debelina plošče: 𝑴𝑴 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝒄𝒄 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ �𝒃𝒃 ∙ 𝒇𝒇 ; ��𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 ∙ 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒎𝒎 ∙ 𝒄𝒄𝑵𝑵 � → [𝒄𝒄𝒎𝒎] 𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐 �𝒎𝒎′ � Prerez glavne (nosilne) armature: 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇 ; � 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒎𝒎 � → � 𝒎𝒎′ � 𝑧𝑧𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝐴𝐴𝑠𝑠1 ∙ 100 … razmik armature 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑝𝑝𝑡𝑡𝑐𝑐. 𝐴𝐴𝑠𝑠1 … prerez posamične palice 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖 > 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 Razdelilna armatura pri mrežah »R« je že določena, za posamične armaturne palice pa jo izračunamo glede na delujočo obtežbo. 𝒁𝒁𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒐𝒐𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎𝒄𝒄𝒐𝒐𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒐𝒐𝒗𝒗𝒄𝒄𝒐𝒐𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌𝒄𝒄ž𝒃𝒃𝒌𝒌: 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒐𝒐 ≥ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 (9.31) 𝒁𝒁𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒏𝒏𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊𝒐𝒐𝒐𝒐𝒏𝒏𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒃𝒃𝒌𝒌𝒄𝒄ž𝒃𝒃𝒌𝒌: 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒐𝒐 ≤ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟓𝟓 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 V primeru uporabe posameznih palic naj razmik posameznih palic ne presega 2d (enakomerna zvezna obtežba), pri čemer debelina plošče naj ne presega 60 𝜎𝜎𝑚𝑚. 𝑧𝑧 ≤ 2𝜎𝜎 (oziroma 20 cm) 9 Plošče 325. Slika 9.25: Armiranje plošče s pozitivno in negativno armaturo 𝑧𝑧𝑎𝑎 … razmik razdelilne armature 𝒄𝒄𝒐𝒐 ≤ 𝟒𝟒𝒅𝒅; 𝒓𝒓 = 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒏𝒏𝒌𝒌𝒌𝒌. ≤ 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒐𝒐 ≤ 𝟑𝟑𝒅𝒅; 𝒓𝒓 + 𝑭𝑭 Spodaj prikazujemo nekaj primerov armiranja plošč, nosilnih v eni smeri. Slika 9.26: Armiranje plošče nosilne v eni smeri s poševnimi palicami 326 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 9.27: Armiranje plošče, nosilne v eni smeri z ravnimi palicami S krivljenjem vsake druge palice iz polja v zgornjo cono prevzamemo možne negativne momente zaradi elastične vpetosti nad podporo. Istočasno pa poševna armatura tudi prevzema glavne natezne napetosti 𝜎𝜎1, ki nastanejo zaradi prečnih sil. Možne negativne momente zaradi elastične vpetosti prevzamemo s palicami pozicije 2. Glavna (nosilna) armatura se polaga tako, da ji pripada večja statična širina. Kontinuirne plošče: a) S krivljenjem »pozitivne« armature iz polja v zgornjo cono in dodatnimi palicami nad rebri Kot v primeru Slika 9.26 in Slika 9.27 tudi pri kontinuirnih ploščah, nosilnih v eni smeri, vsako drugo palico iz polja (𝐴𝐴+𝑠𝑠) krivimo v zgornjo cono, s čimer že prevzamemo del negativnih upogibnih momentov. Ker pa so negativni upogibni momenti večji kot pozitivni upogibni momenti, moramo nad rebri (podporami) še 9 Plošče 327. dodati ravne palice. Kot je razvidno iz zgornje slike, so to palice s pozicijo 3 – Poz 3. Slika 9.28: Armatura kontinuirnih plošč z ravnimi in poševnimi palicami b) Armatura v polju ter nad podporami in rebri z ravnimi palicami Slika 9.29: Armatura kontinuirnih plošč z ravnimi palicami 328 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ c) Kontinuirne plošče z uporabo mrež »R« Načine armiranja plošč, prikazanih na Slika 9.26 in Slika 9.28, danes še zelo redko uporabljamo, saj plošče (posamične in kontinuirne) z mrežami »R« naslanjamo na podložke, ki ležijo na opažu (spodnja armatura), in posebej izdelane podložke, na katere nalegajo mreže v zgornji coni. Slika 9.30: Betonska podložka za spodnjo armaturo Slika 9.31: Jeklena podložka za zgornjo armaturo Slika 9.32: Univerzalna podložka za »spodnjo« armaturo nosilcev 9 Plošče 329. Pri proizvajalcih tehnične opreme za armiranje in beton ter tudi na spletu lahko dobimo še več informacij o različnih izdelkih in materialih, ki jih nudi trg. Slika 9.33: Posamična plošča, nosilna v eni smeri in armirana z mrežami »R« Posamična plošča, podprta po obodu 𝒄𝒄𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝟐𝟐𝒌𝒌 ≤ 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒐𝒐𝒄𝒄ž𝒄𝒄 Spodnja armatura: 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟎𝟎 Velja za običajno široke podpore. 330 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 9.34: Prikaz armature v zgornji coni plošče Zgornja armatura: 𝑧𝑧𝑐𝑐 = 1,025 ∙ 𝑧𝑧𝑐𝑐0 + 𝛼𝛼/2 za 𝑚𝑚𝑝𝑝 … prekrivanje za razdelilno armaturo 𝑚𝑚𝑝𝑝 = (3 ÷ 4)𝑧𝑧𝑠𝑠 Kontinuirne plošče 9 Plošče 331. Slika 9.35: Mreže »R« kontinuirnih plošč, nosilnih v eni smeri 9.3.2 Pravokotne plošče, nosilne v dveh smereh 9.3.2.1 Splošno V podpodpoglavju 9.3.1 smo spoznali teoretične osnove in pogoje, kdaj plošča nosi v eni ali dveh smereh. Praviloma nosijo plošče večji del obtežbe v krajši smeri, seveda ob upoštevanju robnih pogojev plošče. Plošče, ki nosijo v dveh smereh, so lahko tanjše kot plošče, nosilne v eni smeri. Robni pogoji plošč so lahko različni. Ločimo plošče, ki so podprte po vseh štirih, treh ali dveh robovih ali ki so celo podprte (vpete) samo po enem robu. Skice robnih pogojev s pripadajočimi deformacijskimi črtami oziroma ustreznimi upogibnimi momenti (ukrivljenosti) prikazuje Slika 9.36a–i. Za ustrezne robne pogoje in različne vrste obtežb so v strokovni »literaturi« (v tiskani obliki in 332 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ računalniških aplikacijah) podani izračuni notranjih statičnih količin oziroma napetostnega stanja. 9.3.2.2 Pravokotne plošče, »podprte« na vseh štirih robovih V tem primeru poznamo šest možnih primerov, v katerih bodo prikazani deformacijske črte in upogibni momenti plošče v dveh ortogonalnih smereh, obteženih z enakomerno zvezno obtežbo. Slika 9.36a–i: Deformacijske črte in upogibni momenti pri štiristransko podprtih ploščah za enakomerno zvezno obtežbo 9 Plošče 333. S pomočjo izračunanih upogibnih momentov posameznih plošč lahko tudi z ustrezno kombinacijo stalne in spremenljive obtežbe določimo ekstremne upogibne momente kontinuirnih plošč, kjer pa morata biti izpolnjena pogoja: 𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 < 1,2 in 𝑐𝑐𝑥𝑥,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 < 1,2. 𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 9.3.2.3 Pravokotne plošče, »podprte« na treh robovih Slika 9.37a–d: Diagrami deformacij in upogibnih momentov za tristransko podprte plošče, obtežene z enakomerno zvezno obtežbo 334 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ za: 𝒐𝒐 ; 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟓 − 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓; 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 ≤ 𝒐𝒐 ≤ 𝟐𝟐 𝒃𝒃 𝒃𝒃 Za primere a–d so narisani upogibni momenti 𝑚𝑚𝑚𝑚 za 𝑓𝑓 = 𝑐𝑐 in upogibni momenti 𝑚𝑚 2 𝑐𝑐 za 𝑇𝑇 = 𝑚𝑚. Za bazene pravokotne oblike predstavljajo stene plošče, obtežene s trikotno zvezno obtežbo (vodni oziroma zemeljski pritisk). Robni pogoji takih plošč se upoštevajo, kot je prikazano na Slika 9.37d, in se momenti v poljih ustreznih sten »adaptirajo« z ozirom na togosti sosednjih sten. 9.3.2.4 Pravokotne plošče, »podprte« na dveh soležnih robovih Deformacijski črti 𝜌𝜌(𝑚𝑚) in 𝜌𝜌(𝑐𝑐) sta prikazani za ortogonalni smeri na prostih robovih za ploščo z razmerjem stranic 𝑚𝑚 = 0,5. 𝑐𝑐 Slika 9.38: Diagrami deformacijskih črt in upogibnih momentov za dvostransko vpete plošče, obtežene z enakomerno zvezno obtežbo 9 Plošče 335. 9.3.2.5 Navodila za izračun obremenitev pravokotnih plošč s pomočjo tabel Za lažje razumevanje nastalih problemov bomo prikazali izračun upogibnih momentov in reakcij za štiristransko »podprto« ploščo, obteženo z enakomerno zvezno obtežbo, in trostransko »podprto« vpeto ploščo, obteženo s trikotno zvezno obtežbo, kot primer stene bazena, obtežene tako z zemeljskim (prazen bazen) kot z vodnim pritiskom (nezasut bazen). Uporabljene in prikazane so tabele iz literature Armirani beton 3 [28], [29]. Razmerje stranic 𝒄𝒄𝒄𝒄: 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, ; 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 Iz preglednice v knjigi Armirani beton 3 – priloga 4 [28] odčitamo koeficiente za momente: 𝑲𝑲𝟑𝟑𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟐𝟐; 𝑲𝑲𝟑𝟑𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟕𝟕 336 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑲𝑲𝟑𝟑(−𝒙𝒙) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟗𝟗; 𝑲𝑲𝟑𝟑(−𝒄𝒄) = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟏 𝒓𝒓 = 𝑴𝑴 + 𝒑𝒑; 𝒓𝒓𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒅𝒅 + 𝒑𝒑𝒅𝒅 Upogibni momenti: Smer X Upogibni moment v polju: 𝑴𝑴𝒙𝒙 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.32) Upogibni moment nad vpetostnim robom: 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑿𝑿 = −𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟔𝟗𝟗; � 𝒎𝒎 � (9.33) Smer Y Upogibni moment v polju: 𝑴𝑴𝒙𝒙 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟕𝟕; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.34) Upogibni moment nad vpetostnim robom: 𝒀𝒀 = −𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟏𝟏; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.35) Absolutni maksimalni moment se nahaja na sredini daljšega roba plošče. Smer X: |𝑴𝑴𝒙𝒙| = −𝑿𝑿 → 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌č𝒊𝒊𝒎𝒎𝒌𝒌: 𝒅𝒅(𝒙𝒙) = 𝒄𝒄 ∙ ; ��𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎∙𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝒎𝒎� 𝒃𝒃�𝟏𝟏𝟎𝟎� � 𝑿𝑿 𝟑𝟑.𝟓𝟓 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒎𝒎∙𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒇𝒇 𝑨𝑨− 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 9 Plošče 337. 𝒅𝒅 𝑴𝑴 + 𝒙𝒙,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 → 𝒄𝒄𝒃𝒃 = ; → 𝒌𝒌𝒅𝒅č𝒊𝒊𝒌𝒌𝒐𝒐𝒎𝒎𝒌𝒌 𝜼𝜼� 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌č𝒊𝒊𝒎𝒎𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒙𝒙) �𝑴𝑴𝒙𝒙 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑨𝑨+ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Smer Y: �𝑴𝑴𝒄𝒄� = −𝒀𝒀 → 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌č𝒊𝒊𝒎𝒎𝒌𝒌: 𝒄𝒄𝒃𝒃 = 𝒅𝒅(𝒄𝒄) ; → �𝑴𝑴𝒙𝒙 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅č𝒊𝒊𝒌𝒌𝒐𝒐𝒎𝒎𝒌𝒌 𝝁𝝁� 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌č𝒊𝒊𝒎𝒎𝒌𝒌 𝑨𝑨−𝒌𝒌(𝒙𝒙) 𝒇𝒇 𝑨𝑨− 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒅𝒅(𝒄𝒄) = 𝒅𝒅(𝒙𝒙) − ∅(𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒅𝒅𝒅𝒅 𝑴𝑴 (𝒄𝒄) + 𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 → 𝒄𝒄𝒃𝒃 = ; → 𝒌𝒌𝒅𝒅č𝒊𝒊𝒌𝒌𝒐𝒐𝒎𝒎𝒌𝒌 𝝁𝝁� 𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌č𝒊𝒊𝒎𝒎𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌(𝒙𝒙) �𝑴𝑴𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑨𝑨+ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌(𝒙𝒙) = 𝝁𝝁 � ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Opomba: pozitivna armatura v smeri X je pod pozicijo armature v smeri Y. Reakcije nad robovi Razmerje stranic 𝒄𝒄𝒄𝒄: 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟏𝟏, ; 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 338 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Iz preglednice v knjigi Armirani beton 3 – priloga 4 [28] odčitamo koeficiente za reakcije: 𝒄𝒄𝟔𝟔𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟕; 𝒄𝒄𝟔𝟔𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟕𝟕; 𝒄𝒄𝟔𝟔𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏; 𝒄𝒄𝟔𝟔𝟒𝟒 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 Smer X: 𝑸𝑸𝟏𝟏 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟕𝟕; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.36) 𝑸𝑸𝟐𝟐 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟕𝟕; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.37) Smer Y: 𝑸𝑸𝟑𝟑 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.38) 𝑸𝑸𝟒𝟒 = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.39) Približna obtežba na robno preklado »2« znaša: 𝑸𝑸 𝒓𝒓 𝒓𝒓′ 𝟐𝟐 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟕𝟕 𝟐𝟐 = 𝒄𝒄 = = 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟕𝟕; [𝒄𝒄𝑵𝑵/𝒎𝒎] (9.40) 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒄𝒄 Tej obtežbi še moramo prišteti projektno lastno težo rebra (nosilca) 𝑞𝑞𝑛𝑛𝑜𝑜𝑠𝑠𝑖𝑖𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑑𝑑 , da lahko statično analiziramo nosilec, ki podpira ploščo na robu »2«. Izračun upogibnih momentov za tristransko vpeto ploščo s prostim robom, obteženo s trikotno zvezno obtežbo Za ta primer uporabimo Preglednica 9.1. Slika 9.39: Tristransko vpeta plošča s prostim robom, obtežena s trikotno zvezno obtežbo 9 Plošče 339. Smer X Upogibni moment na prostem robu: 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝒃𝒃),𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔𝟔 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.41) 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝒃𝒃),𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.42) Upogibni moment v polju (armatura poteka v smeri X): 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝒃𝒃) → 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] (9.43) 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝒃𝒃) → 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏𝟓𝟓 = |𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙| (9.44) = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒𝟓𝟓𝟔𝟔 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐; [𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎/𝒎𝒎] Smer Y za 𝒙𝒙 = 𝒐𝒐: 𝒃𝒃 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙 = 𝒐𝒐/𝟐𝟐) → 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟐𝟐𝟎𝟎 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕 ∙ 𝒓𝒓 (9.45) 𝒅𝒅 ∙ (𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝒐𝒐)𝟐𝟐 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟕𝟕 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟔𝟔 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟔𝟔 ∙ 𝝂𝝂 = −𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟔𝟔 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 (9.46) 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟐𝟐𝟎𝟎 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟒𝟒 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 Opomba: z upoštevanjem Poissonovega količnika dobimo na prostem robu (𝑇𝑇 = 𝑚𝑚 ;𝑓𝑓 = 𝑛𝑛) v smeri Y 𝜈𝜈–kratno vrednost upogibnega momenta 𝑀𝑀 2 𝑚𝑚6. Spodnja plošča ima razmerje stranic 𝜸𝜸 = 𝒐𝒐 = 𝟑𝟑. 𝒃𝒃 340 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Smer X Upogibni moment na prostem robu: 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝒃𝒃),𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟒𝟒𝟔𝟔 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 > �𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟒𝟒� (9.47) 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝒃𝒃),𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟓𝟓𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 (9.48) Upogibni moment v polju (armatura poteka v smeri X): 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝒃𝒃) → 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 < 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟔𝟔 (9.49) 𝑴𝑴𝒙𝒙(𝒄𝒄 = 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝒃𝒃) → 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏𝟓𝟓 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟗𝟗𝟗𝟗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 < |𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏| (9.50) Smer Y za 𝒙𝒙 = 𝒐𝒐: 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄(𝒙𝒙=𝒐𝒐/𝟐𝟐) → 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟐𝟐𝟎𝟎 = −𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝒐𝒐 𝟐𝟐 (9.51) = −𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ �𝟑𝟑� 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟐𝟐𝟎𝟎 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟒𝟒 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 < |𝑴𝑴𝒙𝒙𝟏𝟏| (9.52) 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟐𝟐𝟐𝟐 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒𝟕𝟕𝟒𝟒 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 9 Plošče 341. 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟗𝟗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟒𝟒 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗𝟒𝟒 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟏𝟏𝟎𝟎 = +𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟔𝟔 = 𝑴𝑴𝒙𝒙𝟔𝟔 ∙ 𝝂𝝂 = −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟓𝟑𝟑 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 (9.53) 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎 → 𝑴𝑴𝒄𝒄𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 342 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 9.1: Količniki za izračun tristransko vpete plošče s prostim robom, obtežene s trikotno obtežbo 𝒐𝒐 𝝂𝝂 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎; 𝜸𝜸 = 𝒃𝒃; 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒃𝒃 = −𝝂𝝂 ∙ 𝑴𝑴𝒙𝒙𝒃𝒃 𝛾𝛾 0,25 0,50 0,75 1,0 1,5 2,0 3,0 Množitelj 𝑀𝑀𝑚𝑚1 -0,0064 -0,0088 -0,0148 -0,0151 -0,0180 -0,01610 -0,00952 𝑀𝑀𝑚𝑚4 +0,0016 +0,0024 +0,0045 +0,0046 +0,0051 +0,00430 +0,00221 𝑀𝑀𝑚𝑚5 +0,0032 +0,0048 +0,0088 +0,0084 +0,0084 +0,00630 +0,00258 𝑀𝑀𝑚𝑚6 +0,0032 +0,0056 +0,0101 +0,0097 +0,0095 +0,00690 +0,00264 𝑀𝑀𝑚𝑚7 -0,0176 -0,0184 -0,0263 -0,0216 -0,0192 -0,01502 -0,00811 𝑀𝑀𝑚𝑚8 +0,0048 +0,0048 +0,0070 +0,0059 +0,0053 +0,00402 +0,00191 𝑀𝑀𝑚𝑚9 +0,0080 +0,0084 +0,0121 +0,0099 +0,0082 +0,00565 +0,00215 𝑀𝑀𝑚𝑚10 +0,0080 +0,0096 +0,0139 +0,0112 +0,0091 +0,00612 +0,00220 𝑀𝑀𝑚𝑚11 -0,0336 -0,0332 -0,0396 -0,0273 -0,0189 -0,01288 -0,00622 𝑀𝑀𝑚𝑚12 +0,0096 +0,0092 +0,0110 +0,0079 +0,0055 +0,00382 +0,00149 𝑀𝑀𝑚𝑚13 +0,0144 +0,0152 +0,0178 +0,0119 +0,0077 +0,00472 +0,00158 𝑞𝑞𝑑𝑑 ∙ 𝑚𝑚2 𝑀𝑀𝑚𝑚14 +0,0176 +0,0168 +0,0198 +0,0132 +0,0084 +0,00502 +0,00157 𝑀𝑀𝑚𝑚15 -0,0496 -0,0456 -0,0468 -0,0277 -0,0155 -0,00930 -0,00399 𝑀𝑀𝑚𝑚16 +0,0128 +0,0128 +0,0137 +0,0082 +0,0045 +0,00250 +0,00072 𝑀𝑀𝑚𝑚17 +0,0224 +0,0204 +0,0202 +0,0115 +0,0058 +0,00295 +0,00063 𝑀𝑀𝑚𝑚18 +0,0256 +0,0228 +0,0223 +0,0125 +0,0061 +0,00305 +0,00059 𝑀𝑀𝑚𝑚19 -0,0608 -0,0408 -0,0326 -0,0160 -0,0072 -0,00385 -0,00147 𝑀𝑀𝑚𝑚20 +0,0160 +0,0120 +0,0094 +0,0044 +0,0014 +0,00015 -0,00055 𝑀𝑀𝑚𝑚21 +0,0272 +0,0172 +0,0128 +0,0055 +0,0015 +0,000 -0,00077 𝑀𝑀𝑚𝑚22 +0,0304 +0,0188 +0,0137 +0,0058 +0,0015 +0,00008 -0,00084 𝑀𝑀𝑐𝑐8 0 0 +0,0002 +0,0011 +0,0042 +0,0065 +0,0072 𝑀𝑀𝑐𝑐9 +0,0001 +0,0002 +0,0005 +0,0019 +0,0061 +0,0088 +0,0082 𝑀𝑀 𝑞𝑞 10 +0,0001 +0,0002 +0,0007 +0,0022 +0,0067 +0,0095 +0,0085 𝑑𝑑 ∙ 𝑛𝑛2 𝑀𝑀12 +0,0001 +0,0005 +0,0020 +0,0047 +0,0102 +0,0125 +0,0096 𝑴𝑴𝒊𝒊 = 𝑲𝑲𝒊𝒊 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐(𝒃𝒃𝟐𝟐) 9 Plošče 343. 𝛾𝛾 0,25 0,50 0,75 1,0 1,5 2,0 3,0 Množitelj 𝑀𝑀𝑐𝑐13 +0,0002 +0,0009 +0,0029 +0,0064 +0,0130 +0,0151 +0,0096 𝑀𝑀𝑐𝑐14 +0,0002 +0,0010 +0,0032 +0,0070 +0,0139 +0,0159 +0,0094 𝑀𝑀𝑐𝑐16 +0,0002 +0,0013 +0,0042 +0,0076 +0,0115 +0,0099 -0,0012 𝑀𝑀𝑐𝑐17 +0,0003 +0,0019 +0,0056 +0,0097 +0,0137 +0,0106 -0,0046 𝑀𝑀𝑐𝑐18 -0,0003 +0,0021 +0,0061 +0,0104 -0,0143 +0,0107 -0,0059 𝑀𝑀𝑐𝑐20 +0,0005 +0,0022 +0,0039 +0,0039 +0,0014 -0,0116 -0,0356 𝑞𝑞𝑑𝑑 ∙ 𝑛𝑛2 𝑀𝑀𝑐𝑐21 +0,0005 +0,0029 +0,0048 +0,0044 +0,0029 -0,0160 -0,0444 𝑀𝑀𝑐𝑐22 +0,0005 +0,0031 +0,0051 +0,0046 +0,0035 -0,0175 -0,0474 𝑀𝑀𝑐𝑐26 -0,0023 -0,0023 -0,0152 -0,0252 -0,0465 -0,0683 -0,1062 𝑀𝑀𝑐𝑐27 -0,0028 -0,0028 -0,0188 -0,0188 -0,0554 -0,0804 -0,1214 𝑀𝑀𝑐𝑐28 -0,0030 -0,0030 -0,0200 -0,0200 -0,0584 -0,0845 -0,1262 𝑇𝑇𝑚𝑚1 +0,0328 +0,0294 +0,0283 +0,0326 +0,0707 +0,0992 +0,1041 𝑇𝑇𝑚𝑚7 +0,1004 +0,1046 +0,1328 +0,1315 +0,1383 +0,1282 +0,0975 𝑇𝑇𝑚𝑚11 +0,1984 +0,2030 +0,2310 +0,1972 +0,1604 +0,1242 +0,0784 𝑞𝑞𝑑𝑑 ∙ 𝑚𝑚 𝑇𝑇𝑚𝑚15 +0,3004 +0,3028 +0,3160 +0,2421 +0,1695 +0,1205 +0,0715 𝑇𝑇𝑚𝑚19 +0,3786 -0,2988 +0,2537 +0,1607 +0,0891 +0,0554 +0,0299 𝑇𝑇𝑚𝑚23 +0,1840 +0,0608 +0,0153 -0,0045 -0,0131 -0,0120 -0,0068 𝑇𝑇𝑐𝑐23 +0,0460 +0,0304 +0,0102 -0,0045 -0,0196 -0,0241 -0,0204 𝑇𝑇𝑐𝑐24 +0,0136 +0,0309 +0,0474 +0,0744 +0,1256 +0,1691 +0,2452 𝑇𝑇𝑐𝑐25 +0,0543 +0,1052 +0,1488 +0,1942 +0,2666 +0,3199 +0,3964 𝑞𝑞 𝑇𝑇 𝑑𝑑 ∙ 𝑛𝑛 𝑐𝑐26 +0,0839 +0,1563 +0,2154 +0,2699 +0,3496 +0,4038 +0,4668 𝑇𝑇𝑐𝑐27 +0,1004 +0,1856 +0,2526 +0,3108 +0,3923 +0,4457 +0,4966 𝑇𝑇𝑐𝑐28 +0,1056 +0,0336 +0,2645 +0,3236 +0,4055 +0,4584 +0,5047 𝑴𝑴𝒊𝒊 = 𝑲𝑲𝒊𝒊 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒊𝒊 = 𝑲𝑲𝒊𝒊 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐 𝑴𝑴𝒊𝒊 = 𝑲𝑲𝒊𝒊 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃 9.3.3 Poševne plošče 9.3.3.1 Uvod Poševne plošče predstavljajo plošče mostov, ki premoščajo vodotoke pod kotom 𝜑𝜑 ≠ 90°. Te plošče so običajno prosto podprte na obrežnih opornikih, elastično vpete na vmesnih (rečnih) opornikih (kontinuirne plošče), lahko pa tudi prosto podprte na vmesnih podporah. 344 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Ker sta vsebina in teorija teh plošč zahtevni, bomo v tem učbeniku prikazali samo način računanja »glavnih« upogibnih momentov v karakterističnih točkah prostoležeče plošče za enakomerno zvezno obtežbo in koncentrirane sile. Več znanja si uporabnik tega učbenika lahko pridobi v ustrezni literaturi (npr. Rüsch, Bareš in drugi) ter na spletu (posebej na straneh univerz, ki ponujajo predavanja v smislu »open sources«). Pri poševnih ploščah je vpliv prečnih kontrakcij (𝜈𝜈=0,17−0,25) večji oziroma pomembnejši kot pri pravokotnih ploščah (𝜑𝜑 = 90°). Uspešno in hitro reševanje poševnih plošč (oziroma vseh plošč) pa danes lahko izvajamo s pomočjo računalniških aplikacij (SAP 200, Sofistik-Cubus, TOWER, FRILO, SCIA in drugi) s pravilno in smotrno postavitvijo (koristne) obtežbe, s katero dobimo v kombinaciji s stalno in lastno težo konstrukcije ekstremne obremenitve oziroma napetosti. Točke v poševni plošči, v katerih nas zanimajo obremenitve, so prikazane na spodnji sliki. Slika 9.40: Položaj raziskanih točk in smeri upogibnih momentov poševne plošče Za določitev upogibne obremenitve v poljubni točki plošče potrebujemo tri vrednosti, ki so lahko naslednje: 9 Plošče 345. − upogibni momenti v treh različnih smereh; − upogibna momenta v dveh ortogonalnih smereh (𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑀𝑀𝑐𝑐) s pripadajočim torzijskim momentom 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐; − glavna momenta 𝑀𝑀𝐼𝐼,𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 z njunima smerema. Točka A Leži v sredini poševnega prostega roba na oddaljenosti 0,04∙𝑧𝑧𝑚𝑚. Izračunati moramo glavna upogibna momenta 𝑀𝑀𝑐𝑐,𝑀𝑀𝑣𝑣 in pripadajoči torzijski moment 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑣𝑣. 𝑀𝑀𝑣𝑣 v tej točki je zelo majhen in ga lahko zanemarimo. Točka B Leži v sredini plošče. Za te točke bodo konstruirane vplivne črte za 𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑀𝑀𝑐𝑐 in 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐 (𝑧𝑧𝑚𝑚 je pravokoten na smer »obrežnih opornikov«). Točka C To je točka, v kateri se pojavijo (najneugodnejši) ekstremni upogibni momenti 𝑀𝑀𝑐𝑐,𝑀𝑀𝑣𝑣 za primer enakomerne zvezne obtežbe. Čim ožja je plošča in čim bolj se bliža kot 𝜑𝜑 proti 90°, tem bolj se točka C bliža točki A. Pri 𝜑𝜑 = 60° in 𝑐𝑐 = 0,7 znaša 𝑧𝑧 . 𝑐𝑐 𝐶𝐶 = 0,43 ∙ 𝑧𝑧𝜑𝜑 ≅ 𝑐𝑐𝜑𝜑 𝜑𝜑 2 Pri 𝜑𝜑 = 30° in 𝑐𝑐 = 1,6 znaša 𝑧𝑧 𝑐𝑐 𝐶𝐶 = 0,23 ∙ 𝑧𝑧𝜑𝜑 = 𝑧𝑧𝐶𝐶,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛. 𝜑𝜑 Pri 𝜑𝜑 = 90° in vseh razmerjih 𝑐𝑐 znaša 𝑧𝑧 𝑐𝑐 𝐶𝐶 = 0,50 ∙ 𝑧𝑧𝜑𝜑. 𝜑𝜑 Za prakso se običajno zadovoljimo z vrednostmi v točki A. Točka D Ta točka je pomembna za določitev 𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑀𝑀𝑐𝑐 in 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐 za razmerja 𝑐𝑐𝜑𝜑 = 0,1,0,1,6 in 𝝋𝝋 = 𝑐𝑐 45°. Ta točka je pomembna za določitev 𝑀𝑀𝑚𝑚, 𝑀𝑀𝑐𝑐 in 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐 za »široke« plošče 𝑐𝑐𝜑𝜑 > 1. 𝑐𝑐 346 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Točka E Leži blizu »topega« vogala. V tej točki bodo izvrednoteni 𝑀𝑀𝑚𝑚,𝑀𝑀𝑐𝑐 in 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐. 9.3.3.2 Navodila za izračun obremenitev poševnih plošč s pomočjo diagramov ali vplivnic Prikazan bo izračun upogibnih in torzijskih momentov s pomočjo Rüschevih diagramov za točki A in B za primer enakomerne zvezne obtežbe. Enakomerna zvezna obtežba 𝑞𝑞𝐸𝐸𝑑𝑑 𝑐𝑐 = 0,8; 𝛼𝛼 = 64° (glej Slika 9.40 in Slika 9.42) 𝑐𝑐𝜑𝜑 𝑲𝑲𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓; 𝑲𝑲𝒄𝒄𝒗𝒗 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑; 𝑲𝑲𝒗𝒗 = 𝟎𝟎 (po Slika 9.34) 𝑲𝑲𝑰𝑰 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒𝟓𝟓; 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟓𝟓; 𝜸𝜸𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟑𝟑° = 𝜸𝜸 (po Slika 9.42) 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒄,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝒄𝒄 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 (9.54) 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒗𝒗,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝒗𝒗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (9.55) 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒗𝒗,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝒄𝒄𝒗𝒗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 (9.56) 9 Plošče 347. 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 (9.57) 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 (9.58) 𝟐𝟐 ∙ 𝑴𝑴 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝒓𝒓 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝜸𝜸 = 𝒄𝒄𝒗𝒗,𝒅𝒅 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟏𝟏 (9.59) 𝒄𝒄 − 𝑴𝑴𝒗𝒗 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝟐𝟐𝜸𝜸 = 𝟐𝟐𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟓𝟓°; 𝜸𝜸 = 𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟓𝟓° Enačba, s katero lahko izračunamo 𝑀𝑀𝐼𝐼,𝑑𝑑 in 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑑𝑑, je: 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒄𝒄 + 𝑴𝑴𝒗𝒗 𝒄𝒄 − 𝑴𝑴𝒗𝒗 𝟐𝟐 𝑰𝑰,𝑰𝑰𝑰𝑰 = (9.60) 𝟐𝟐 ± �� 𝟐𝟐 � + 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒗𝒗 𝛾𝛾 = 𝛾𝛾0 = 13,5° (lahko odčitamo iz Slika 9.42) Točka B (po Slika 9.43 in Slika 9.44) 𝑲𝑲𝒙𝒙 ≅ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎; 𝑲𝑲𝒄𝒄 ≅ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏; 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒄𝒄 ≅ −𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑲𝑲𝑰𝑰 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓; 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒅𝒅 = 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴𝒙𝒙 − 𝑴𝑴𝒄𝒄 > 𝟎𝟎 in 𝑴𝑴𝒙𝒙𝒄𝒄 < 𝟎𝟎 je 𝜸𝜸 = 𝟐𝟐 − 𝜸𝜸𝟎𝟎 𝜸𝜸𝟎𝟎 ≅ 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔𝟔° Račun: 𝟐𝟐 ∙ 𝑴𝑴 −𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 ∙ 𝒓𝒓 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝜸𝜸 𝒙𝒙𝒄𝒄 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝟎𝟎 = 𝑴𝑴 = 𝟐𝟐 = −𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟒𝟒𝟏𝟏𝟕𝟕 → 𝟐𝟐𝜸𝜸𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟕° 𝒙𝒙 − 𝑴𝑴𝒄𝒄 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 348 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝜸𝜸𝟎𝟎 = 𝟒𝟒° → 𝜸𝜸 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝜸𝜸𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔𝟔° 𝑴𝑴𝒙𝒙𝒄𝒄 < 𝟎𝟎 𝜸𝜸 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝜸𝜸𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔𝟔° 𝑴𝑴𝒙𝒙 − 𝑴𝑴𝒄𝒄 > 𝟎𝟎 Z enačbo za določitev kota 𝛾𝛾 lahko izračunamo samo pozitivne vrednosti smeri glavnega momenta 𝑀𝑀𝐼𝐼(𝛾𝛾0). Iz prikazane Preglednica 9.2 določimo kot 𝛾𝛾. Preglednica 9.2: Določitev kota 𝜸𝜸 glavnega momenta 𝑴𝑴𝑰𝑰 k osi X Predznak Kot 𝜸𝜸 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑐𝑐 ali 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑣𝑣 𝑀𝑀𝑚𝑚 − 𝑀𝑀𝑐𝑐 ali 𝑀𝑀𝑐𝑐 − 𝑀𝑀𝑣𝑣 + + 𝛾𝛾 = 𝛾𝛾0 + – 𝜋𝜋 𝛾𝛾 = 2 − 𝛾𝛾0 – – 𝜋𝜋 𝛾𝛾 = 2 + 𝛾𝛾0 – + 𝛾𝛾 = 𝜋𝜋 − 𝛾𝛾0 Opomba: ti grafikoni veljajo tudi za pravokotne plošče 𝜑𝜑=90°. 9 Plošče 349. 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒄𝒄 = 𝑲𝑲𝒄𝒄 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴𝒗𝒗 ≈ 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒗𝒗 = 𝑲𝑲𝒄𝒄𝒗𝒗 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 Slika 9.41: Diagrami za določitev upogibnih momentov 𝑴𝑴𝒄𝒄 in 𝑴𝑴𝒗𝒗 v točki A za plošče, obtežene z enakomerno zvezno obtežbo 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝑲𝑲𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 Slika 9.42: Glavni upogibni momenti 𝑴𝑴𝑰𝑰 in 𝑴𝑴𝑰𝑰𝑰𝑰 v točki A zaradi enakomerne zvezne obtežbe po vsej plošči 350 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒙𝒙 = 𝑲𝑲𝒙𝒙 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒄𝒄 = 𝑲𝑲𝒄𝒄 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝑲𝑲𝒙𝒙𝒄𝒄 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 Slika 9.43: Upogibni momenti 𝑴𝑴𝒙𝒙 in 𝑴𝑴𝒄𝒄 v točki B za plošče, obtežene z enakomerno zvezno obtežbo 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑰𝑰 = 𝑲𝑲𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑲𝑲𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒙𝒙 Slika 9.44: Glavni upogibni momenti 𝑴𝑴𝑰𝑰 in 𝑴𝑴𝑰𝑰𝑰𝑰 v točki B zaradi enakomerne zvezne obtežbe po vsej plošči 9 Plošče 351. 9.3.3.3 Koncentrirane sile Po evropskih predpisih (EC 2) se cestni mostovi dimenzionirajo na obtežbo, ki se definira kot ljudska gneča, in sicer z različnimi vrednostmi po pasovih. Uporabo in izvrednotenje ustreznih vplivnic polj pa naj bralec preštudira v ustrezni strokovni literaturi. V primeru uporabe računalniških aplikacij naj obvezno za to »obtežbo« upošteva razlago v navodilih aplikacije proizvajalca, če to v navodilih ni izrecno pojasnjeno, pa naj kontaktira strokovni svetovalni tim zastopnika proizvajalca te aplikacije. 352 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 10.1 Uvod V želji po zmanjšanju teže armiranobetonskih nosilcev so se razvili tako imenovani prerezi »T«, pri katerih smo zmanjšali betonski prerez v natezni coni, saj natezna cona betona v razpoki ne doprinese k nosilnosti armiranobetonskega nosilca ( Slika 10.2). Statično širino rebra »𝑛𝑛𝑐𝑐« moramo izbrati tako, da so glavne natezne oziroma strižne napetosti v mejah, kot jih zahtevajo predpisi (SIST EN 1992-1-1:2005). Da ne bi bila armatura položena v preveč vrsticah (zmanjša se d), razširimo rebro tako, da se natezna armatura položi v čim manj vrstah (Slika 10.2), ali izberemo širše rebro (𝑛𝑛𝑐𝑐). Slika 10.1: »Nastanek« prereza T 354 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 10.2: Razširitev rebra za namestitev natezne armature pri visokih nosilcih Oblike takih nosilcev so lahko različne. Tako uporabljamo ||�-prereze in škatlaste prereze, ki jih računamo kot prereze »T«. a) b) c) d) Slika 10.3: Nekaj primerov nosilcev »T« 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 355. Slika 10.4: Lokalna armatura v plošči (pravokotni prerez) Armatura v plošči je vedno pravokotna na armaturo 𝐴𝐴+𝑠𝑠 v nosilcu. Slika 10.5: »Lokalna« armatura v plošči in »glavna« armatura v rebru nosilca ||� s prikazom poteka upogibnih momentov v plošči 356 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ ||�-prerezi (odprti) so primerni samo za nosilce, kjer se predznak upogibnega momenta ne spreminja. Za negativni upogibni moment −𝑀𝑀𝑛𝑛 se ||�-prerez računa kot pravokotni prerez s statično širino 2𝑛𝑛𝑐𝑐. Na Slika 10.3a je tlačna plošča zgoraj, zato predvidevamo, da je ta nosilec obremenjen samo s +𝑀𝑀𝑛𝑛, medtem ko sta nosilca na Slika 10.3b, c lahko obremenjena z +𝑀𝑀 + 𝑛𝑛 (tlačna plošča zgoraj, natezna armatura 𝐴𝐴𝑠𝑠 spodaj) ali −𝑀𝑀 + 𝑛𝑛 (tlačna plošča spodaj, natezna armatura 𝐴𝐴𝑠𝑠 zgoraj). Tlačna plošča predstavlja »tlačno« pasnico, armatura oziroma spodnji del nosilca pa natezno pasnico. Sovprego med tlačno in natezno pasnico (armaturo) omogočimo s strižno armaturo (stremeni). Na plošči moramo namestiti tudi »prečno« armaturo, saj se ta v smeri Z obnaša kot plošča, nosilna v smeri Z. 10.2 Sodelujoča ali efektivna širina tlačne plošče S sovprego plošče in reber so vzdolžne deformacije 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚 in napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚 v rebru oziroma v spodnjem delu plošče enake. a) 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 357. b) Slika 10.6: Prikaz tlačnih napetosti 𝝈𝝈𝒙𝒙nad rebrom in ploščo Po širini plošče normalne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 niso enake, saj so te na koncu plošče manjše kot nad rebrom. V praksi uporabljamo poenostavljeno metodo z uporabo tako imenovane sodelujoče širine plošče (𝑛𝑛𝑐𝑐𝑓𝑓 − efektivna širina), na kateri predvidimo enake specifične deformacije 𝜀𝜀𝑚𝑚 in enake tlačne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 po vsej efektivni širini plošče 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑓𝑓. Določitev efektivne širine tlačne plošče, kot jo navaja SIST EN 1992, prikazujeta enačba (10.1) in Slika 10.7. 358 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 10.7: Sodelujoče širine krajnega in vmesnih nosilcev 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇 = � 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇𝒊𝒊 + 𝒃𝒃𝒘𝒘 ≤ 𝒃𝒃 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒊𝒊 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒊𝒊 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎 < 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎 (10.1) 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒊𝒊 ≤ 𝒃𝒃𝒊𝒊 𝑧𝑧0 … predstavlja razmik med ničelnimi točkami momentne linije in je podan na Slika 10.8 Čim večja je razdalja 𝑧𝑧0, na tem večjo širino se tlačne napetosti v plošči lahko razširijo. Primer za 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇𝟏𝟏 + 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝒘𝒘 Opomba: če na območjih negativnih momentov spodaj ni tlačne plošče, moramo upoštevati širino nosilca 𝑛𝑛 𝑐𝑐! »Sistemske dolžine« nosilcev 𝑧𝑧 𝑖𝑖 podaja SIST EN 1992 v podpodpodpoglavju 5.3.2.2 z ustreznim grafičnim opisom. 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 359. Slika 10.8: Razdalje med ničelnimi točkami momentne linije 10.3 »Prehod« in sprememba smeri tlačnih napetosti betona iz plošče v rebro Da pridejo trajektorije tlačnih napetosti iz plošče v rebro, morajo spremeniti svojo smer. Pravimo, da se te trajektorije iz plošče »zlivajo« v rebro. Tako dobimo iz rezultante tlačnih napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 na odseku ∆𝑇𝑇 silo ∆𝐹𝐹𝑐𝑐𝑚𝑚, ki jo zaradi spremembe smeri projiciramo v sili ∆𝐹𝐹𝑐𝑐 in ∆𝐹𝐹𝑐𝑐 (glej Slika 10.9b). ∆𝑭𝑭𝒄𝒄𝒙𝒙 = ∆𝝈𝝈𝒙𝒙 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒐𝒐 = ∆𝝈𝝈𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝒅𝒅 Slika 10.9: Trajektorije glavnih tlačnih (𝝈𝝈𝟐𝟐) in nateznih napetosti (𝝈𝝈𝟏𝟏) ter njihov prehod iz plošče v rebro 360 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 10.10: Razstavljanje sile ∆𝑭𝑭𝒄𝒄𝒙𝒙 na sili ∆𝑭𝑭𝒄𝒄 in ∆𝑭𝑭𝒌𝒌 Iz Slika 10.9 in Slika 10.10 je razvidno, da se rezultanta tlačnih napetosti (dela plošče) v krilu ∆𝐹𝐹𝑐𝑐𝑚𝑚 preusmerja v tlačno silo ∆𝐹𝐹𝑐𝑐, ki prehaja v rebro in natezno komponento ∆𝐹𝐹𝑐𝑐, ki povzroči v plošči natezne napetosti. Posledica tega je, da moramo v smeri trajektorij nateznih napetosti ploščo armirati z armaturo, konkavno usmerjeno k podpori. Da ne bi prišlo do morebitnih napak in bi armirali ploščo z armaturo, konveksno usmerjeno k podpori, pa izvedemo armiranje s stremensko/strižno armaturo, ki je pravokotna na os nosilca, kot je prikazano na Slika 10.11. Slika 10.11: Prikaz armiranja dela plošče v nosilcu »T« s stremeni (dvosečna) 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 361. 10.4 Dimenzioniranje prerezov »T« 10.4.1 Upogib z osno silo Ker statične višine prereza »T« in statične višine rebra ne poznamo, moramo najprej določiti ti dve količini. Zato izhajamo iz predpostavke, da je 𝑐𝑐 𝑟𝑟𝑒𝑒 𝑐𝑐 ≥ 5, in določimo 𝑤𝑤 statično višino d iz predpostavke izkoriščenih tlačnih trdnosti v plošči in iz tega, da nevtralna os pade v rebro. Če bi »izbrali« preveliko višino rebra (𝜎𝜎 𝑎𝑎), tlačnih trdnosti betona v plošči ne bi dosegli in bi lahko nevtralna os padla v ploščo ali na mejo med ploščo in rebrom. V tem primeru bi lahko računali prerez »T« kot pravokotni prerez, saj je statična širina 𝑛𝑛 konstantna do nevtralne osi in znaša 𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑓𝑓. Ta primer prikazuje Slika 10.12. Slika 10.12: Nosilec »T« z nevtralno osjo v plošči (𝒙𝒙 ≤ 𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒄𝒄 velja za visoke nosilce) Vrnimo se k primeru, ko nevtralna os pade v rebro. Poznati moramo debelino plošče 𝜎𝜎 𝑝𝑝𝑐𝑐, ki smo jo izračunali po znanih principih za plošče. Predpostavimo, da so tlačne napetosti v plošči konstantne 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑, ne glede na to, ali so dilatacije 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 dosežene ali ne. Rezultante tlačnih napetosti v rebru 𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑎𝑎 zanemarimo (za 1. aproksimacijo) in izračunamo potrebno statično višino d. Napaka ni bistvena, ker je rezultanta tlačnih napetosti v rebru 𝐹𝐹 𝑐𝑐𝑎𝑎 precej manjša od rezultante tlačnih napetosti v plošči 𝐹𝐹𝑝𝑝𝑐𝑐. 362 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 10.13: Nosilec (prerez) »T« z nevtralno osjo v rebru 𝒙𝒙 > 𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒄𝒄 � 𝑴𝑴𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 → 𝑭𝑭𝒄𝒄,𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐 − 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝒐𝒐 ≥ 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑭𝑭 = 𝒄𝒄,𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝒅𝒅 𝒅𝒅 ≥ 𝒐𝒐 + 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒄𝒄 (10.2) 𝟐𝟐 = 𝒃𝒃 + 𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟐𝟐 Približni prerez armature je: 𝑴𝑴 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒑𝒑𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐. = (10.3) 𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Z znanimi dimenzijami betonskega prereza lahko izračunamo točen prerez armature ter dilatacije armature in betona. 𝒅𝒅 𝒙𝒙 > 𝒅𝒅 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒑𝒑𝒄𝒄; 𝒌𝒌 > 𝜹𝜹 = 𝒅𝒅 Ko pade nevtralna os v rebro, se lahko pojavita dva primera: a) dilatacije betona 𝜀𝜀𝑐𝑐0 = 2 ‰ – pade v ploščo; b) dilatacije betona 𝜀𝜀𝑐𝑐0 = 2 ‰ – pade v rebro. 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 363. Slika 10.14: Primera prereza »T« in brezdimenzijske statične širine 𝜷𝜷 (𝜼𝜼) a) 𝑀𝑀𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑘𝑘: 𝜀𝜀𝑐𝑐0 = 2 ‰ – dilatacija betona pade v ploščo 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒑𝒑 > �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋 � ∙ 𝒙𝒙; 𝜹𝜹 > �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋 � ∙ 𝒌𝒌 Slika 10.15: Dilatacija betona 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ‰ – dilatacija betona pade v ploščo 𝑰𝑰 (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) ′ 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 𝟐𝟐 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 = 𝟎𝟎 𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 𝟎𝟎 ∙ 𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �� �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼 + � 𝜼𝜼 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� ∙ 𝑳𝑳 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 + 𝝋𝝋𝟐𝟐� 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆�′� 𝝋𝝋 364 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ (𝒌𝒌 − 𝜹𝜹)𝟐𝟐 𝒃𝒃 𝝋𝝋 𝒌𝒌 − 𝜹𝜹 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝑳𝑳 − 𝟏𝟏� ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 − 𝟑𝟑 � + 𝝋𝝋𝟐𝟐 (10.4) 𝝋𝝋 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎 𝟑𝟑𝝋𝝋� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆�′ 𝑰𝑰 (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) ′ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 = 𝟎𝟎 𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �� �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼 + � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼� 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� ∙ 𝑳𝑳 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝟐𝟐 + 𝝋𝝋𝟐𝟐� 𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝟎𝟎 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 ∙ �� 𝜼𝜼 �𝒌𝒌 ∙ 𝟎𝟎 𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝜼𝜼 + � 𝜼𝜼 ∙ �𝒌𝒌 ∙ ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼� + 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� ∙ 𝑳𝑳 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� 𝝋𝝋𝟐𝟐 � 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒐𝒐′ + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆�′ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅� 𝒃𝒃 (𝒌𝒌 − 𝜹𝜹)𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝒘𝒘 𝑰𝑰𝑰𝑰 = � 𝑳𝑳 − 𝟏𝟏� ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝝋𝝋 (𝒌𝒌 − 𝜹𝜹)𝟐𝟐 ∙ � 𝟎𝟎 𝟑𝟑 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 ∙ (𝒌𝒌 − 𝜹𝜹) − 𝟒𝟒 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) 𝝋𝝋 𝒌𝒌 − 𝜹𝜹 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝟎𝟎 (10.5) 𝝋𝝋 − 𝟑𝟑 �� + 𝒌𝒌𝟑𝟑 𝒌𝒌 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 − 𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟐𝟐 � + 𝝆𝝆�′ ∙ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒐𝒐′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅� 𝑛𝑛) 𝑀𝑀𝑘𝑘𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑘𝑘: 𝜀𝜀𝑐𝑐0 = 2 ‰ – dilatacija betona pade v rebro 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝒅𝒅 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝒑𝒑 < �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋 � ∙ 𝒙𝒙; 𝜹𝜹 < �𝟏𝟏 − 𝝋𝝋 � ∙ 𝒌𝒌 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 365. Slika 10.16: Dilatacija betona 𝜺𝜺𝒄𝒄𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ‰ – dilatacija betona pade v rebro 𝑰𝑰 (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) ′ 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 𝟐𝟐 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 𝒘𝒘 + + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �� 𝜼𝜼 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼 + 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� ∙ 𝑳𝑳 𝝋𝝋𝟐𝟐 �𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝝋𝝋𝟐𝟐 � 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝝋𝝋𝟐𝟐 𝝋𝝋 𝒌𝒌−𝜹𝜹 ∙ 𝝆𝝆�′� Po integraciji in ureditvi dobimo: 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒃𝒃 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝑰𝑰 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝑳𝑳 ∙ �𝒌𝒌 − 𝜹𝜹 − 𝟑𝟑𝝋𝝋 � + 𝜹𝜹� + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆�′ (10.6) 𝑰𝑰 (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) (𝟏𝟏) (𝟐𝟐) ′ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 ∙ 𝒘𝒘 𝒘𝒘 + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼𝟐𝟐 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝝋𝝋𝟐𝟐 � 𝜼𝜼 ∙ 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝝋𝝋𝟐𝟐 � 𝜼𝜼 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝝋𝝋 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝟐𝟐 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝝋𝝋 𝝋𝝋 𝜼𝜼 𝒃𝒃 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝟎𝟎 𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝜼𝜼 ∙ �𝒌𝒌 ∙ 𝜼𝜼 + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝝋𝝋 − 𝟐𝟐� ∙ 𝑳𝑳 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌−𝜹𝜹 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒐𝒐′ ∙ 𝒘𝒘 𝝋𝝋𝟐𝟐 � + (𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ 𝒌𝒌∙𝝋𝝋𝟎𝟎 𝑳𝑳 ∙ 𝒅𝒅𝜼𝜼 𝝋𝝋𝟐𝟐 � 𝒅𝒅𝜼𝜼 + 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ 𝝆𝝆�′ ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅 � 𝝋𝝋 𝒌𝒌−𝜹𝜹 366 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒃𝒃 𝒌𝒌 ∙ 𝝋𝝋 �𝒌𝒌 − 𝜹𝜹𝟐𝟐� 𝑰𝑰 𝒘𝒘 𝟎𝟎 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ � 𝑳𝑳 ∙ �(𝟏𝟏 − 𝒌𝒌) ∙ �𝒌𝒌 − 𝜹𝜹 − 𝟑𝟑𝝋𝝋 � + 𝟐𝟐 (10.7) 𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋 𝟐𝟐 𝜹𝜹𝟐𝟐 𝒌𝒌𝟐𝟐 𝒐𝒐′ − 𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 � + 𝜹𝜹 − 𝟐𝟐 � + 𝝆𝝆�′ ∙ 𝝋𝝋𝟐𝟐 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒅𝒅 � Z oblikovnimi funkcijami 𝐼𝐼𝐼𝐼in 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 lahko po znanih enačbah izračunamo 𝑘𝑘𝑐𝑐,𝑚𝑚,𝜌𝜌̅,𝜍𝜍 in končno 𝜎𝜎, 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑀𝑀𝑅𝑅 = 𝑛𝑛 ∙ 𝜎𝜎2 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 ∙ 𝑚𝑚𝑅𝑅. Kot vidimo, so vsi količniki in količine odvisni od oblike prereza. Vse te izsledke, ki so bili podani za čisti upogib, lahko tudi »razširimo« na enoosni upogib (ekscentrični tlak oziroma ekscentrični nateg) s parametri 𝑖𝑖, 𝑞𝑞, ki v tem učbeniku ne bodo prikazani, bo pa podana uporaba že izvrednotenih diagramov za izračun 𝜇𝜇̅ = 𝜌𝜌̅ in 𝜇𝜇̅′ = 𝜌𝜌̅′ pri različnih dilatacijah armature 𝜀𝜀𝑠𝑠 in izkoriščenih nosilnostih betona 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑐𝑐0 = 3,5 ‰. Skratka, tako kot za pravokotne prereze bo v tem učbeniku podana samo uporaba poznanih enačb (tabel) oziroma nomogramov za izračun prerezov »T«. 10.4.2 Diagrami za dimenzioniranje armature pravokotnih prerezov in prerezov »T« Uporaba diagramov za izračun vzdolžne armature pri znanih dimenzijah betonskega prereza [30]. Slika 10.17: Prerez »𝟎𝟎« s pripadajočimi nosilnostmi 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 367. Poznamo: − betonski prerez → 𝑛𝑛𝑐𝑐𝑓𝑓, 𝑛𝑛𝑐𝑐, 𝜎𝜎𝑝𝑝𝑐𝑐, ℎ, 𝜎𝜎; − krovni sloji armature → 𝑚𝑚′, 𝑚𝑚; − kakovost betona → 𝐶𝐶 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 ; 𝛾𝛾𝐶𝐶 − kakovost armature → 𝑆𝑆 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 = 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐. 𝛾𝛾𝑠𝑠 Obremenitev: − osna sila → 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑑𝑑 > 0, 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑑𝑑 < 0; − upogibni moment 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑑𝑑. Izračunati moramo težišče betonskega prereza: 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒑𝒑 𝒙𝒙 𝒑𝒑 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝟐𝟐 + �𝒉𝒉 − 𝒅𝒅𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒅𝒅 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝒑𝒑) 𝒃𝒃 = (10.8) 𝒅𝒅𝒑𝒑 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 + �𝒉𝒉 − 𝒅𝒅𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒄𝒄′ = 𝒙𝒙 − 𝒐𝒐′; 𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 − 𝒐𝒐 Mejna upogibna momenta na težišče natezne in tlačne armature (𝑁𝑁𝑚𝑚𝑑𝑑 > 0) znašata za ekscentrični nateg: 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (10.9) 𝑴𝑴′ ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 (10.10) Za ekscentrični tlak se predznaka drugih sumandov spremenita (𝑁𝑁𝑚𝑚𝑑𝑑 < 0). Normirana upogibna momenta na težišče natezne in tlačne armature znašata: 𝑴𝑴 𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒄𝒄 = (𝒎𝒎𝒐𝒐𝒄𝒄) = (10.11) 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 368 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑴𝑴′ 𝒎𝒎′ ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒄𝒄 = (𝒎𝒎𝒐𝒐𝒄𝒄) = (10.12) 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Iz grafikona ustreznih razmerij 𝑑𝑑𝑝𝑝 ; 𝑚𝑚′ ; 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑒𝑒 lahko za različne dilatacije določimo 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑤𝑤 natezne armature ter mehanska količnika natezne (𝜌𝜌̅) in tlačne armature (𝜌𝜌̅′). Krivulja 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐 nam določa tlačno armaturo 𝜌𝜌̅′. Krivulja 𝑚𝑚′𝑠𝑠𝑐𝑐 nam določa natezno armaturo 𝜌𝜌̅. Krivulji 𝑚𝑚 ′ 𝑠𝑠𝑐𝑐 in 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐 se lahko na intervalu 0 ≤ 𝜀𝜀𝑠𝑠 ≤ 10 ‰ sekata ali ne. Sekata se običajno pri ekscentričnem tlaku. Ne sekata pa se pri čistem upogibu, ekscentričnem nategu in ekscentričnem tlaku, ko je betonski prerez poddimenzioniran. Slika 10.18: Krivulji 𝒎𝒎 ′ 𝒌𝒌𝒄𝒄 in 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒄𝒄 se sekata 𝒇𝒇 𝜺𝜺 ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝟏𝟏 → 𝝆𝝆 �′ = 𝝆𝝆� → 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝆𝝆� ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅 ∙ (10.13) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝜺𝜺 ′ ′ ′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ → 𝝆𝝆 �′ = 𝝆𝝆�𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 → 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝆𝝆�𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅 ∙ (10.14) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 369. 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ → 𝝆𝝆 � = 𝝆𝝆�𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 → 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝆𝝆�𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅 ∙ (10.15) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Slika 10.19: Krivulji 𝒎𝒎 ′ ′ 𝒌𝒌𝒄𝒄 in 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒄𝒄 se ne sekata(𝑨𝑨𝒌𝒌 < 𝑨𝑨𝒌𝒌) 𝜺𝜺 ′ 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 → 𝝆𝝆 �′ = 𝟎𝟎 → 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 (10.16) 𝜺𝜺𝒌𝒌 < 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 → 𝝆𝝆�′ < 𝟎𝟎; 𝜺𝜺𝒄𝒄 < 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ (10.17) 𝒇𝒇 𝝆𝝆� = 𝝆𝝆� 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 → 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝆𝝆 �𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅 ∙ (10.18) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Primer s simetrično armaturo nam določa dilatacijo natezne armature, ki je manjša od 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 10 ‰. Primer z največ tlačne in najmanj natezne armature nas opozarja, da bodo razpoke in duktilnost v armiranobetonskem prerezu največje. Primer z največ natezne in najmanj tlačne armature pa kaže na najmanjše razpoke in duktilnost v armiranobetonskem prerezu. 370 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Računski zgled: 𝑪𝑪 𝟑𝟑𝟎𝟎/37; 𝑵𝑵 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒃𝒃𝒘𝒘 = 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒑𝒑 = 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒐𝒐′ = 𝒐𝒐 = 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒐𝒐′ 𝟎𝟎 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒑𝒑 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒃𝒃 = 𝒘𝒘 𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟒𝟒, 𝟎𝟎 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏,𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟕𝟕,𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒄𝒄𝒎𝒎 a) Ekscentrični tlak: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑵𝑵𝑿𝑿𝒅𝒅 = −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒄𝒄𝑵𝑵 b) Ekscentrični nateg: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑵𝑵𝑿𝑿𝒅𝒅 = +𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵 c) Čisti upogib: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 371. Težišče betonskega prereza po enačbi 10.7: 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒑𝒑 𝒙𝒙 𝒑𝒑 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝟐𝟐 + �𝒉𝒉 − 𝒅𝒅𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒅𝒅 𝟐𝟐 + 𝒅𝒅𝒑𝒑) 𝒃𝒃 = 𝒅𝒅𝒑𝒑 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 + �𝒉𝒉 − 𝒅𝒅𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎 + (𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟔𝟔) ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓 ∙ (𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟔𝟔) 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏𝟔𝟔 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 + (𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟔𝟔) ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒙𝒙𝒃𝒃 = 𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝒃𝒃 − 𝒐𝒐; 𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟗𝟗 − 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄′𝒌𝒌 = 𝒙𝒙𝒃𝒃 − 𝒐𝒐′; 𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟗𝟗 − 𝟎𝟎 𝒄𝒄′𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟑𝟑, 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝒄𝒄𝒎𝒎 Določimo upogibne in normirne momente za ekscentrični tlak: 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 − (−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑴𝑴′ ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 + (−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑴𝑴′𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟕𝟕, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑴𝑴 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ; 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓 ≅ 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓; iz literature [30] 𝑴𝑴′ 𝟗𝟗𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒎𝒎′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ; 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎′𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎 ≅ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟑𝟑 ≅ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟓 372 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Simetrična armatura: za 𝝆𝝆� = 𝝆𝝆�′; 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟓𝟓, 𝟓𝟓 ‰ 𝝆𝝆� = 𝝆𝝆�′ = 𝟏𝟏𝟕𝟕 %; 𝝆𝝆� + 𝝆𝝆�′ = 𝟑𝟑𝟒𝟒 % (Dejansko je količnik armiranja nekoliko manjši, ker so vrednosti 𝑚𝑚 ′ 𝑠𝑠𝑑𝑑 in 𝑚𝑚𝑠𝑠𝑑𝑑 zaokrožene navzgor.) 𝒇𝒇 𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝆𝝆 � ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟕𝟕. 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑨𝑨′𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟔𝟔, 𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Za 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 ‰ → 𝝁𝝁� = 𝝆𝝆� = 𝟐𝟐𝟕𝟕 %; 𝝁𝝁� = 𝟏𝟏𝟏𝟏 %; iz tega izhaja: 𝑨𝑨 ′ 𝒌𝒌 = 𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Armatura pri 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ → 𝝆𝝆� = 𝟏𝟏𝟓𝟓 %; 𝝆𝝆�′ = 𝟏𝟏𝟗𝟗 % znaša: 𝑨𝑨 ′ 𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟏𝟏, 𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟓𝟓𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Določimo upogibne in normirne momente za ekscentrični nateg: 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 − 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑴𝑴 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑴𝑴′ ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝒙𝒙𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑴𝑴′𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ; 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑴𝑴′ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒎𝒎′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ; 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎′𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟕𝟕 Za 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ → 𝝆𝝆� = 𝟑𝟑𝟎𝟎 %; 𝝆𝝆�′ = 𝟗𝟗 % 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 373. 𝒇𝒇 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆 � ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝟗𝟗 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑨𝑨′ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆 � ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑨𝑨′𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 Krivulji se nikjer ne sekata! Določimo upogibne in normirne momente za čisti upogib: 𝑴𝑴 ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝒎𝒎 ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅; 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 ′ 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟓𝟓 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 Armatura pri 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ → 𝝆𝝆� = 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟓𝟓 %; 𝝆𝝆�′ = 𝟑𝟑 % znaša: 𝑨𝑨 ′ 𝒌𝒌 = 𝟔𝟔𝟐𝟐, 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 10.4.3 Računski zgled, kjer uporabimo preglednice iz Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [26] 𝒃𝒃 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒃𝒃� 𝒘𝒘 𝒌𝒌 = 𝒃𝒃 ; 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝟔𝟔𝟎𝟎 ; 𝒃𝒃 �𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒅𝒅 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒉𝒉� 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒌𝒌 = 𝒅𝒅 �𝒌𝒌 = 𝒅𝒅 ; 𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝒉𝒉�𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟎𝟎 𝜹𝜹 = 𝒐𝒐′ ; 𝟎𝟎 ; 𝜹𝜹 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏; 𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 Po (10.9) izračunamo upogibni moment 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 za ekscentrični tlak: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝑵𝑵𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − (−𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟏 374 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 in upogibni moment 𝑀𝑀𝑠𝑠𝑑𝑑 =𝑀𝑀𝑐𝑐𝑠𝑠 za ekscentrični nateg: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑴𝑴𝒄𝒄 − 𝑵𝑵𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟕𝟕𝟏𝟏 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 ter za primer čistega upogiba: 𝑴𝑴𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 Iz tabele izberemo koeficiente za določitev površine armature pri ekscentričnem tlaku: 𝑴𝑴 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 → 𝒄𝒄𝒉𝒉 = (𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅) = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟓𝟓 ≅ 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓 za 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ / 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ → 𝒄𝒄 ′ = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟏𝟏𝟒𝟒; 𝒄𝒄′ = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝜺𝜺 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑; 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 + ; 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 − 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟔𝟔, 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝑨𝑨′ ′ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ′ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄′ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟏𝟏𝟒𝟒 ∙ = 𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 Pri vrednosti 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟓𝟓 ‰ → 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟓𝟓 ‰ / 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ → 𝒄𝒄 𝜺𝜺 𝒉𝒉 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟒𝟒 𝒄𝒄 𝒄𝒄 ′ 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟒𝟒; 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟎𝟎; 𝒄𝒄′ = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 + ; 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟒𝟒 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 − 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟐𝟐 𝑨𝑨′ ′ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ′ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄′ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ = 𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 375. Armatura ni simetrična! Opomba: za 𝜀𝜀 ′ 𝑠𝑠 = 5,5 ‰ bi morali vrednosti za 𝑘𝑘𝑠𝑠, 𝑘𝑘𝑠𝑠 interpolirati. Izberemo koeficiente za določitev površine armature pri ekscentričnem nategu: 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 → 𝒄𝒄𝒉𝒉 = (𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅) = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟒𝟒𝟒𝟒𝟓𝟓 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓 za 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ / 𝟑𝟑, 𝟓𝟓‰ → 𝒄𝒄 ′ = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟗𝟗; 𝒄𝒄′ = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝜺𝜺 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔; 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 + ; 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟔 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 + 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨′ ′ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ′ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄′ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟗𝟗 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ = 𝟐𝟐𝟗𝟗, 𝟗𝟗𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 Pa tudi analogno za čisti upogib: 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 → 𝒄𝒄𝒉𝒉 = (𝒎𝒎𝒌𝒌𝒅𝒅) = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟓𝟓𝟑𝟑 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 Za 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 ‰ 𝟑𝟑, 𝟓𝟓 ‰ → 𝒄𝒄 ′ = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟕𝟕; 𝒄𝒄′ = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝜺𝜺 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗; 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒄𝒄 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 + ; 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟗𝟗 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑨𝑨′ ′ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ′ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄′ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟕𝟕 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒, 𝟕𝟕𝟎𝟎 ; 𝑨𝑨𝒌𝒌 376 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 10.4.4 Računski zgled z uporabo nomogramov Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [24] Nomograme iz zgoraj navedenega priročnika lahko uporabimo samo za armature S 400/500! 𝒃𝒃 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝒃𝒃� 𝒘𝒘 𝒌𝒌 = 𝒃𝒃 ; 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒃𝒃 �𝒌𝒌 = 𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟕𝟕 ≅ 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒅𝒅 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒅𝒅� 𝒑𝒑 𝒌𝒌 = 𝒉𝒉 ; 𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝒅𝒅�𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟐𝟐 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒐𝒐′ 𝟎𝟎 𝜹𝜹 = ′ 𝒅𝒅 ; 𝟎𝟎𝟎𝟎 ; 𝜹𝜹 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏; 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 Izračunamo normirani moment 𝒎𝒎𝒄𝒄 in normirano osno silo 𝒏𝒏𝒄𝒄 za ekscentrični tlak: 𝑴𝑴 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∙ 𝑨𝑨 ; 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟔𝟔 + 𝟕𝟕𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓) ; 𝒎𝒎𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟓𝟓𝟑𝟑 ≅ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑵𝑵 −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏 𝒄𝒄 𝒄𝒄 = 𝑨𝑨 ; 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟔𝟔 + 𝟕𝟕𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓) ; 𝒏𝒏𝒄𝒄 = −𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟕𝟕 Odčitamo: 𝜺𝜺 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓; 𝝁𝝁� 𝒌𝒌 𝒌𝒌 �� = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝜺𝜺 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑 ‰ / 𝟑𝟑,𝟓𝟓 ‰ 𝒄𝒄 𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟔𝟔 + 𝟕𝟕𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓; 𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝝁𝝁��� 𝒇𝒇 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝝁𝝁 = 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏 + 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇 ; 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟑𝟑 ; 𝝁𝝁 = 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟒𝟒 % 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟒𝟒 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝝁𝝁 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄; 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟑𝟑𝟓𝟓; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑨𝑨′ ′ 𝒌𝒌 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌; 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟏𝟏; 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 377. Nevarnost krhkega loma po betonu: 𝜀𝜀𝑠𝑠 = 0,3 ‰ / 3,5 ‰. 𝜀𝜀𝑐𝑐 Glavna vzdolžna armatura ter dilatacije armature in betona so tako izračunane. Moramo pa še podati izračun strižne armature. Pri tem posebej obdelamo »vertikalno« in »horizontalno« strižno armaturo. 10.4.5 Prečna sila – »strižna« armatura 10.4.5.1 Poševna armatura v rebru Poševno armaturo položimo v smeri glavnih nateznih napetosti v vertikalni ravnini xy. 𝑽𝑽 𝑽𝑽 ′ 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝑵𝑵𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟎𝟎 = 𝝉𝝉𝒐𝒐𝒙𝒙,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒐𝒐 ≅ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 Slika 10.20: Strižne in glavne napetosti nosilca »T« na odseku dx Izračun poševne armature in glavnih tlačnih napetosti je identičen kot pri pravokotnih prerezih in ga v tem poglavju ne bomo ponavljali. 378 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za kot 𝜃𝜃 = 45° in 𝛼𝛼 = 90ůporabimo enačbi, podani v poglavju 8. Tlačna diagonala: 𝜶𝜶 𝑽𝑽 𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝊𝝊𝟏𝟏 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒘𝒘 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 Natezna diagonala: 𝑨𝑨 ∙ 𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 𝑽𝑽 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒌𝒌 = 𝒌𝒌 ≤ 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒘𝒘 Sledi še razmik stremen z ročico notranje dvojice: 𝒌𝒌 ∙𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘𝒅𝒅∙𝒐𝒐 𝒘𝒘 ≤ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑽𝑽 ; 𝒐𝒐 ≅ 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝒑𝒑 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝟐𝟐 10.4.5.2 »Poševna« armatura v plošči V prejšnjem poglavju smo spoznali, da sprememba normalnih napetosti 𝜎𝜎𝜎𝜎𝑚𝑚 na odseku 𝜎𝜎𝑚𝑚 »striže« rebro v horizontalni ravnini (𝜏𝜏0 = 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑚𝑚 = 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑛𝑛). Lahko pa sprememba normalnih napetosti 𝜎𝜎𝜎𝜎𝑚𝑚 tudi prestriže »krilo« plošče od rebra (𝜏𝜏0 = 𝜏𝜏𝑐𝑐𝑚𝑚 = 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐). Ta napetost se pojavi v vertikalni ravnini xy. Slika 10.21: Strižne napetosti v vertikalni ravnini xy in pripadajoče glavne napetosti 𝝈𝝈𝟏𝟏 in 𝝈𝝈𝟐𝟐 nosilca na odseku dx 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 379. 𝒐𝒐𝒑𝒑 = 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝒑𝒑; 𝑵𝑵 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝑵𝑵𝒄𝒄𝒐𝒐𝒊𝒊𝒄𝒄𝒐𝒐 Slika 10.22: Prikaz strižnih napetosti zaradi prečne sile 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 Strižna napetost na prehodu krila plošče v rebro znaša: 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝑵𝑵𝒄𝒄 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝑵𝑵𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝝉𝝉𝒄𝒄𝒙𝒙 = = (10.19) 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝑴𝑴 𝒃𝒃 𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝑴𝑴 (10.20) 𝑵𝑵𝒑𝒑𝒄𝒄 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝑴𝑴 (10.21) 𝑵𝑵 𝟐𝟐 ∙ 𝑵𝑵 𝒉𝒉 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝑴𝑴 = (10.22) 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 380 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒃𝒃 𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝑵𝑵𝒑𝒑𝒄𝒄 (10.23) 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ (𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘) 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ (𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘) 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 (10.24) 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝒑𝒑 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑵𝑵 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒉𝒉𝒇𝒇 (10.25) 𝑵𝑵 = 𝒐𝒐𝒑𝒑 ≅ 𝒅𝒅 − 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝟐𝟐 Povprečna »vzdolžna« strižna napetost 𝜏𝜏�𝑐𝑐�𝑚𝑚�� na stiku med krilom in rebrom na odseku dx znaša: �𝒃𝒃 𝒗𝒗 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝑬𝑬𝒅𝒅(𝒑𝒑𝒌𝒌 𝑬𝑬𝑪𝑪𝟐𝟐) ≡ 𝝉𝝉 �𝒄𝒄𝒙𝒙 ��� = 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃 ∙ � 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∆𝒙𝒙 (10.26) �𝒃𝒃 ∆𝑴𝑴 = 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃 ∙ 𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∆𝒙𝒙 Prirastek momenta na odseku dx znaša: � 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 = ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙) (10.27) ∆𝒙𝒙 ∆𝑭𝑭 𝝉𝝉� 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒙𝒙 ��� = (10.28) ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 �𝒃𝒃 ∆𝑭𝑭 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ ∆𝑴𝑴𝒅𝒅 (10.29) ∆𝐹𝐹𝑑𝑑 … prirastek tlačne sile v pasnici na odseku dx (∆𝑇𝑇) 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 381. Slika 10.23: Prikaz strižnih napetosti oziroma strižnega toka zaradi spremembe normalne sile ∆𝑭𝑭𝒅𝒅 na odseku dx (∆𝒙𝒙) Strižni tok zapišemo kot: �𝒃𝒃 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒗𝒗 ′ 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ≡ 𝑻𝑻𝒙𝒙 = 𝝉𝝉𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅(𝒙𝒙); �𝒄𝒄𝒎𝒎� (10.30) Ta tok predstavlja osnovo enačbama v poglavju 6 standarda SIST EN 1992-1-1:2005, s pomočjo katerih izračunamo razdaljo med horizontalnimi stremeni in tlačne napetosti v Mörschevi rešetki. Pri tem izračunu uporabimo vrednosti iz Preglednica 8.1 za primer 𝜶𝜶=90°; 𝜃𝜃= 𝜃𝜃; 𝜃𝜃 = 45°: 382 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝑹𝑹𝒅𝒅𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒙𝒙 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 = 𝒗𝒗𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ≤ 𝒌𝒌𝒇𝒇 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅(𝒙𝒙) 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒇𝒇 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒇𝒇𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ≤ 𝒌𝒌𝒇𝒇 Ta enačba je identična enačbi 6.21 v SIST EN 1992-1-1:2005. Podamo še razdaljo med horizontalnimi stremeni: 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒇𝒇 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒇𝒇𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 𝒇𝒇 ≤ (10.31) 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅(𝒙𝒙) ∙ �𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑓𝑓 … prerez »horizontalnih« stremen (2𝐴𝐴1𝑠𝑠) 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑓𝑓𝑑𝑑 … projektna meja plastičnosti »horizontalnih« stremen Za 𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟓𝟓° → 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 Slika 10.24: Razmiki 𝒌𝒌𝒇𝒇𝒊𝒊 na enakih ∆𝒙𝒙𝒊𝒊(∆𝒙𝒙𝟏𝟏 = ∆𝒙𝒙𝟐𝟐 = ∆𝒙𝒙𝟑𝟑 = ∆𝒙𝒙𝟒𝟒) 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 383. Primeri za izračun ∆𝑴𝑴𝒅𝒅: Slika 10.25: Določitev sprememb momentov ∆𝑴𝑴𝒅𝒅 na odsekih ∆𝒙𝒙𝒊𝒊 Elemente določimo po (10.27). ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙𝟏𝟏) = ∫ 𝑽𝑽𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∆𝒙𝒙𝟏𝟏 ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙𝟐𝟐) = ∫ 𝑽𝑽𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∆𝒙𝒙𝟐𝟐 ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙𝟑𝟑) = ∫ 𝑽𝑽𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 ∆𝒙𝒙𝟑𝟑 Strižni tok 𝐹𝐹′𝑚𝑚 = 𝜏𝜏𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ ℎ𝑓𝑓, pomnožen z ∆𝑇𝑇𝑖𝑖, predstavlja strižno silo na odseku ∆𝑇𝑇𝑖𝑖. 𝑻𝑻𝒙𝒙(∆𝒙𝒙 ∙ 𝑽𝑽 ∙ ∆𝑴𝑴 𝒊𝒊) = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇−𝒃𝒃𝒘𝒘 𝟐𝟐∙𝒃𝒃 𝑬𝑬𝒅𝒅(𝒙𝒙) ∙ ∆𝒙𝒙𝒊𝒊 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇−𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒅𝒅 ; izraz je identičen (10.30) 𝒄𝒄𝒇𝒇∙𝒐𝒐 𝟐𝟐∙𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇∙𝒐𝒐 384 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Nosilci ||� 𝒃𝒃 𝟐𝟐 ∙ 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝑴𝑴 → 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐𝑴𝑴 = 𝒃𝒃 = 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑵𝑵𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇−𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝑵𝑵 𝟐𝟐∙𝒃𝒃 𝒑𝒑𝒄𝒄 – izraz je identičen enačbi (10.23) 𝒄𝒄𝒇𝒇 Za nosilce ||� moramo za posamezno stojino upoštevati vrednost 𝑐𝑐𝑤𝑤. Tako se lahko 2 (10.25)–(10.31) uporabljajo tudi za prereze z dvema stojinama 𝑛𝑛𝑐𝑐 = 2 ∙ 𝑐𝑐𝑤𝑤. 2 10.4.5.3 Kontrola tlačnih napetosti med krilom plošče in rebrom Slika 10.26: Tlačne napetosti med krilom plošče in rebrom 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 385. Povprečna »vzdolžna« strižna napetost 𝜏𝜏�𝑐𝑐�𝑚𝑚�� na stiku med krilom in rebrom na odseku dx po enačbi 10.25 znaša: ∆𝑭𝑭 �𝒃𝒃 𝝉𝝉� 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� 𝒄𝒄𝒙𝒙 ��� = ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒉𝒉 = ∙ ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙) 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 ∆𝑭𝑭 �𝒃𝒃 𝝂𝝂 ∙ 𝒇𝒇 𝝉𝝉� 𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘� ∙ ∆𝑴𝑴(∆𝒙𝒙) 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒙𝒙 ��� = ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒉𝒉 = ≤ 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ∙ ∆𝒙𝒙 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ; 𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟎𝟎°, 𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟓𝟓° Strižna napetost 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒄𝒄 v »točki« po enačbi 10.23 znaša: 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ (𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 − 𝒃𝒃𝒘𝒘) 𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒃𝒃𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒉𝒉𝒇𝒇 𝝂𝝂 ∙ 𝒇𝒇 𝝉𝝉� 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒙𝒙 ��� ≤ (10.32) 𝟐𝟐 Zmanjšanje tlačnih trdnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 s faktorjem 𝜈𝜈1 je že bilo omenjeno v poglavju 8, saj se v točki poleg strižnih napetosti pojavijo tudi tlačne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚. To napetostno stanje lahko prikažemo z Möhrovim napetostnim krogom. Slika 10.27: Möhrov napetostni krog 386 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 11 Centrični tlak 11.1 Uvod Obremenitev s centričnim tlakom lahko upoštevamo samo za konstrukcije brez upoštevanja začetnih deformacij (uklon, imperfekcija, če je 𝜆𝜆𝑐𝑐 < 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 in 𝑧𝑧0 = 0 oziroma 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 < 1,1), kar je povezano z dolžino in prerezom palic ter robnimi pogoji. 𝑀𝑀𝐼𝐼 V teh primerih upoštevamo samo teorijo I. reda. Slika 11.1: Prikaz tlačnih palic konstrukcije 388 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Dimenzioniranje tlačnih palic po teoriji I. reda (brez upoštevanja uklona) je dovoljeno samo v posameznih primerih, ko stabilnost palic ni ogrožena in mora tlačna palica zadostiti posameznim zahtevam (glej poglavje 0 oziroma SIST EN 1992-1-1:2005; str. 66; 5.8.2 (6), 5.8.3 (1)). 11.2 Stebri z vzdolžno armaturo in stremeni (enoosno napetostno stanje) Tako projektirane stebre uporabljamo pri običajnih konstrukcijah, ko obremenitve niso enormno visoke. Stremena »ovijejo« vzdolžno armaturo in s tem zmanjšujejo uklonsko dolžino 𝑧𝑧𝑐𝑐. 𝑵𝑵𝑴𝑴𝑵𝑵𝑵𝑵(𝑼𝑼𝑳𝑳𝑵𝑵) 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝈𝝈𝒙𝒙𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 = ; 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝑬𝑬 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌; 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝜶𝜶𝑬𝑬 𝜶𝜶𝑬𝑬 𝑵𝑵𝑴𝑴𝑵𝑵𝑼𝑼(𝑵𝑵𝑳𝑳𝑵𝑵) < 𝜺𝜺 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒄𝒄 = 𝜺𝜺𝒐𝒐 > 𝟎𝟎; 𝜺𝜺𝒙𝒙 = − 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 ∙ 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 Slika 11.2: Pravokotni steber z vzdolžno armaturo in stremeni 11 Centrični tlak 389. V tem poglavju bodo obravnavani stebri, katerih daljša stranica ℎ ni večja od 4-kratnika krajše stranice 𝑛𝑛. 𝒉𝒉 𝒃𝒃 ≤ 𝟒𝟒 (11.1) V podpoglavju 5.8 je bilo prikazano, da centrična tlačna obremenitev ustreza premici 𝑚𝑚 (Slika 5.6), pri kateri je omejena dilatacija betona z 𝜀𝜀𝑐𝑐2, ki znaša za 𝐶𝐶 ≤ 50/60 → 2 ‰, za 𝐶𝐶 > 50/60 pa več. Dilatacije betona so pri centričnem tlaku omejene na 𝜀𝜀𝑐𝑐2=2 ‰ po vsem prerezu. Ta omejitev je zaradi duktilnosti betona, ki je nižja kot duktilnost armature. Ker so dilatacije betona po SIST EN 1992 omejene z 𝜀𝜀𝑐𝑐2 →(2;2,2;2,3;2,4;2,5;2), so omejene tudi dilatacije armature s temi vrednostmi, saj moramo upoštevati sovprežnost med betonom in armaturo (𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑠𝑠) [31]. 𝒇𝒇 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ‰ > 𝟐𝟐 ‰; 𝑵𝑵𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒇𝒇 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝜺𝜺 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑬𝑬 = 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 ‰; 𝑵𝑵𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 Slika 11.3: Dilatacija jekel 𝑵𝑵 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 in 𝑵𝑵 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟔𝟔𝟎𝟎 pri doseženi karakteristični meji plastičnosti 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄 (upoštevan 𝑬𝑬𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐) 390 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za armaturo 𝑆𝑆 500/560 ne smemo upoštevati 𝑓𝑓 ′ 𝑐𝑐𝑑𝑑, temveč napetost armature 𝜎𝜎𝑠𝑠, ki ustreza dilataciji 2 ‰, ta pa znaša 400 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚 = 𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑚𝑚2. 𝒇𝒇𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟔𝟔𝟎𝟎 ′ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎/𝟓𝟓𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒅𝒅 ≠ 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵𝑵/𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 Za vsa jekla z višjo karakteristično mejo plastičnosti kot 400 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚 moramo upoštevati 𝜎𝜎′𝑠𝑠 = 400 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚. Pri nosilnosti armaturnega betonskega stebra prerezov 𝐴𝐴𝑐𝑐 in 𝐴𝐴𝑠𝑠 upoštevamo enako mejo plastičnosti jekla tako pri tlaku kot pri nategu. 𝑵𝑵 ′ 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅(𝝈𝝈𝒌𝒌) 𝑨𝑨 𝒇𝒇 ′ ) = 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅(𝝈𝝈𝒌𝒌 (11.2) 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝟏𝟏 + 𝑨𝑨 ∙ ) 𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ (𝟏𝟏 + 𝝆𝝆�) Minimalni koeficient armiranja znaša: 𝜌𝜌 = 𝐴𝐴𝑠𝑠. 𝐴𝐴𝑐𝑐 𝒇𝒇 𝝈𝝈′ 𝝆𝝆� = 𝝆𝝆 ∙ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 𝒇𝒇 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊 𝝆𝝆� = 𝝆𝝆 ∙ 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 > 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 (11.3) 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Po SIST EN 1992-1-1:2005 (str. 164; 9.5.2 (2)) znaša minimalni prerez (tlačne) armature: 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝒇𝒇 ≥ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 (11.4) 𝒄𝒄𝒅𝒅 Opomba: minimalni prerez armature, kot ga navaja Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po standardih Evrokod [26], se razlikuje v »redukciji« tlačne sile 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑑𝑑 in znaša: 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟓 ∙ 𝑵𝑵 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 11 Centrični tlak 391. 𝑨𝑨 𝟎𝟎, 𝟏𝟏 ∙ 𝑵𝑵 𝝁𝝁 = 𝝆𝝆 𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝑨𝑨 = ≥ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐% 𝒄𝒄 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 Maksimalni prerez armature znaša: 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ 4 % 𝐴𝐴𝑐𝑐 … za območja izven stikovanja armature Priporočilo za minimalni odstotek armature v odvisnosti od vitkosti 𝜆𝜆: 𝝀𝝀 𝝆𝝆𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = �𝟓𝟓𝟎𝟎 − 𝟎𝟎,𝟒𝟒�% > 𝟑𝟑 % Osna togost betonskega prereza znaša: (𝑨𝑨𝑬𝑬)𝒄𝒄𝒇𝒇 = (𝑨𝑨𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌) ∙ 𝑬𝑬𝒄𝒄 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝑬𝑬𝒌𝒌 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ [(𝑨𝑨𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌) + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌] (11.5) = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ [(𝑨𝑨𝒄𝒄 + (𝜶𝜶𝑬𝑬 − 𝟏𝟏) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌] = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Kot je že bilo omenjeno, moramo vzdolžno tlačno armaturo »uklonsko« zavarovati. To se izvede s stremeni premera ∅𝑠𝑠 ≥ 6 𝑚𝑚𝑚𝑚 na razdaljah 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐, ki morajo ustrezati zahtevam SIST EN 1992-1-1:2005 (str. 164; 9.5.3 (3)), ki znašajo: ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ ∅𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 � ≤ 𝒃𝒃 � (11.6) ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎 ∅𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … minimalni premer vzdolžne armature 𝑛𝑛 … krajša stranica pravokotnega prereza Razmiku 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 =20∙∅ ustreza lokalna vitkost armature 𝜆𝜆=80. 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ ∅ 𝝀𝝀𝒄𝒄𝒌𝒌𝒄𝒄 = ∅/𝟒𝟒 = 𝟎𝟎𝟎𝟎; 𝒊𝒊𝟎𝟎 = ∅/𝟒𝟒 a) Neodvisno od vrste obremenitve (𝑁𝑁𝑚𝑚,𝑀𝑀) moramo največjo razdaljo 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚, ki jo podajajo pogoji v (11.6), na območju preklopa ℎ reducirati s faktorjem 0,6. 392 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ b) Na območju stikovanja vzdolžnih palic s podaljševanjem, če je največji premer teh > 14 𝑚𝑚𝑚𝑚. c) Sprememba smeri vzdolžne armature. V teh primerih je treba 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑐𝑐 prečne armature izračunati v odvisnosti od vrste obremenitve. ℎ … daljša stranica prereza stebra Slika 11.4: Območje zgostitve stremen na območju preklopa 11 Centrični tlak 393. Centrični tlak a) 394 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ b) Slika 11.5: Območja zgostitve stremen pri spremembi naklona osi oziroma dimenzij stebrov pri centričnem tlaku V točki 1 so napetosti, pravokotne na os nosilca, natezne (rezultanta »dviga« nosilec). V točki 2 so napetosti, pravokotne na os nosilca, tlačne (rezultanta »tišči« v nosilec). Upogib Slika 11.6: Območja zgostitve stremen pri spremembi naklona osi oziroma dimenzij stebrov pri upogibu 11 Centrični tlak 395. 𝑴𝑴 𝑭𝑭 𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒐𝒐 𝑚𝑚 … sečnost/strižnost stremen 𝑚𝑚 … število stremen 11.3 Običajni načini dimenzioniranja armiranobetonskih elementov, obremenjenih s centrično tlačno silo Ne upoštevamo uklona – stabilnosti palice. Poznamo:𝐶𝐶,𝑆𝑆,𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐 Izberemo: 𝜌𝜌 = 𝐴𝐴𝑠𝑠 > 0,3 % (0,2 %) 𝐴𝐴𝑐𝑐 Izračunamo: 𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑦𝑦 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦(1 + 𝜌𝜌�) Določimo: 𝑐𝑐 ℎ Kontroliramo: 𝜆𝜆𝑐𝑐 in 𝜆𝜆𝑛𝑛 Izračunamo: 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 = 𝜌𝜌 ∙ 𝐴𝐴𝑐𝑐,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐𝑎𝑎 Določimo: 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖 > 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑝𝑝𝑜𝑜𝑐𝑐 Pri upoštevanju vitkosti elementov pa upoštevamo zahteve, navedene v poglavju 12. 11.4 Stebri, armirani s spiralno armaturo Pri armiranobetonskih stebrih se izogibamo momentne obremenitve, upoštevamo pa le upogibno obremenitev, ki nastopi zaradi neravnosti (imperfekcije) stebrov. V poglavju o centrični tlačni obremenitvi smo določili vzdolžno in stremensko armaturo po pravilih, ki so že bila obdelana. Stremena smo namestili na predpisanih razmikih zaradi zmanjšanja uklonskih dolžin armaturnih palic. V prerezu med stremeni sta se pojavili tako imenovani enoosno napetostno stanje (𝜎𝜎𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝑐𝑐; 𝜎𝜎𝑐𝑐 ≅ 𝜎𝜎𝑛𝑛 ≅ 0) in triosno deformacijsko stanje (𝜀𝜀𝑚𝑚 < 0; 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≅ 𝜀𝜀𝑛𝑛 > 0), kar pomeni, da je beton v prečni smeri ekspandiral (dolžina palic se je skrajšala, prerez pa povečal). Ko beton »zapremo« v togo cev, kar lahko dosežemo tudi z gosto nameščenimi stremeni oziroma spiralno armaturo z dovolj kratkim hodom spirale, nastane troosno napetostno stanje (𝜎𝜎𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 <; 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑛𝑛 < 0) in enoosno deformacijsko stanje 396 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ (𝜀𝜀𝑚𝑚 < 0; 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑛𝑛 ≈ 0). Tlačna trdnost in deformacije v betonu se bistveno povečajo. Beton se lahko deformira »daleč« v plastično območje, kar je bilo prikazano v poglavju 0. Karman (Theodore von Karman, 1914–1932) je preiskoval stebre iz peščenjaka in marmorja, podvržene osnim in bočnim pritiskom v vseh smereh (𝜎𝜎𝑚𝑚,𝜎𝜎𝑐𝑐,𝜎𝜎𝑛𝑛; 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑛𝑛 ≅ 𝜎𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝜎𝑥𝑥). 2,5 8 Rezultate tlačnih trdnosti (točki a in b) za isto vrsto peščenjaka pri različnih bočnih pritiskih prikazuje Slika 11.7. 𝜎𝜎′ … bočni tlak 𝜎𝜎 … osni tlak 𝑵𝑵 𝝈𝝈𝒙𝒙 �𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐� Slika 11.7: Diagrami vzdolžnih deformacij 𝜺𝜺𝒙𝒙𝒙𝒙 tlačno obremenjenega peščenjaka pri različnih vrednostih bočnih pritiskov Beton se je stisnil in zapolnil pore! Kratki betonski stebri, oviti s spiralno armaturo (𝐴𝐴𝑠𝑠,𝛼𝛼), so se obnašali različno pri nizkih in visokih osnih pritiskih. Ko je osna sila nizka, so deformacije proporcionalne sili, ko še spirala ni bila tegnjena, ker beton še ni ekspandiral v prečni smeri. Pri 11 Centrični tlak 397. nekem skrčku stebra 𝜀𝜀𝑚𝑚𝑚𝑚 se je v prečni smeri beton začel širiti (𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑛𝑛), kar pa ovira gosto navita spirala, ki »postane« tegnjena. Pri nekem določenem skrčku betona doseže vzdolžna armatura mejo plastičnosti (gnetenja) 𝑓𝑓𝑐𝑐 in se ji tlačna napetost več ne povečuje in vse tlačne napetosti prevzema beton (še večji skrčki betona). Posledično se v spiralni armaturi pojavijo večje natezne sile (napetosti), kar se vidi v odpadanju betona v območju izven spirale. Armiranobetonski steber, armiran s spiralno armaturo, še lahko prevzame velike obremenitve, še bolj pa se večajo vzdolžne deformacije. Skupni skrček betona, ovitega s spiralno armaturo, znatno presega skupni skrček betonskih stebrov brez spiralne armature. 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≅ 30 ‰ … spiralno armirani stebri 𝜀𝜀𝑐𝑐 ≅ 1 − 2 ‰ … armiranobetonski stebri brez spiralne armature Slika 11.8: Vzdolžne deformacije spiralno armiranih stebrov v odvisnosti od sile Spiralno armirani steber nosi precej več kot običajno armirani steber, armiran le z vzdolžno armaturo, pri čemer so plastične deformacije betona toliko večje, kolikor močnejša je spiralna armatura (manjši hod in večji prerez spirale). 398 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎 ≤ ∅𝒌𝒌𝒑𝒑 ≤ 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒎𝒎𝒎𝒎 Conside're je opravljal poskuse, kjer je v kartonski valj nasul pesek in valj ovil z vrvico. Takšno telo je pokazalo zelo veliko tlačno trdnost. Glede na to je Conside're predpostavil, da bo porušitev betona v okroglem stebru nastala hkrati z naraslo napetostjo, ki je mnogo večja od njegove trdnosti, če se ta betonski valj ovije s spiralno armaturo. Poskusi so potrdili pravilnost te trditve. Na začetku se steber krči sorazmerno z naraščanjem napetosti. V tem napetostnem stanju spiralna armatura še ne opravlja funkcije (ni tegnjena), saj je zaradi gnetenja betona obremenjena na tlak. Ko prečne deformacije 𝜺𝜺𝒄𝒄 presežejo mejo gnetenja, spiralna armatura postane tegnjena in začne tlačno obremenjevati betonsko jedro stebra. Pri določenem skrčku stebra lahko predpostavimo, da je napetost v vzdolžni armaturi dosegla vrednost gnetenja jekla. Od tod dalje armatura »teče«, napetosti v njej ne naraščajo, saj jih prevzame beton. Ko vzdolžna armatura doseže mejo gnetenja – tečenja, v diagramu na Slika 11.8 opazimo pri skoraj enaki obremenitvi kot znaša meja gnetenja, da pride do hitrega skrčka 𝜺𝜺𝒄𝒄, ki ga spremlja razpad plašča betona v območju izven spiralne armature. Po tem lahko steber prenese še velik porast napetosti, skoraj dvakratnega, ampak moramo biti pozorni, saj so deformacije zelo velike. V tem času se beton obnaša kot zelo gosta tekočina, ki se hoče prebiti med navojem/hodom spiralne armature, pri čemer pa ga ovira »zunanji plašč« betona. Skupni skrček 𝜀𝜀𝑐𝑐 betonskih stebrov, armiranih s spiralno armaturo, je veliko večji od stebrov, ki niso armirani s spiralno armaturo. Skrček spiralno armiranih stebrov se lahko giblje vse tja do 30 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑚𝑚′, medtem ko za stebre brez spiralne armature skrček znaša le 1 − 2 𝑚𝑚𝑚𝑚/𝑚𝑚′. Prikaz višje trdnosti za dvoosno napetostno stanje za neko marko betona je s pomočjo Möhrovih krogov podan na Slika 11.9. 11 Centrični tlak 399. Slika 11.9: Möhrovi krogi »porušitev« in ovojnica pri dvoosnem napetostnem stanju Prva obremenitev obravnava enoosno napetostno stanje, ko znaša 𝜎𝜎1𝑚𝑚 ≈ 𝑓𝑓𝑐𝑐 in 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0. Opazimo, da se v nekaterih ravninah 𝜉𝜉, 𝜂𝜂 pod kotom 45° pojavijo normalne napetosti 𝜎𝜎 1 𝜂𝜂 in 𝜎𝜎𝜉𝜉 ter strižne napetosti 𝜏𝜏1(𝜏𝜏𝜂𝜂 =𝜏𝜏𝜉𝜉), katerih vrednosti znašajo 𝜎𝜎𝑚𝑚 /2. Če strižna napetost 𝜏𝜏1 doseže ali presega strižno trdnost betona 𝜏𝜏𝑎𝑎 (takrat 𝜏𝜏1 tangira ali seka ovojnico Möhrovih krogov), se beton poruši. Druga obremenitev obravnava dvoosno napetostno stanje, kjer znaša 𝜎𝜎1 2 2 𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝑚𝑚 , 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0.4 ∙ 𝜎𝜎1𝑚𝑚. V tem primeru opazimo, da so strižne napetosti 𝜏𝜏2 precej nižje kot 𝜏𝜏1, ko se je pri enoosnem napetostnem stanju vzorec porušil. Če bi želeli doseči strižno napetost 𝜏𝜏 3 2 1 3 = 𝜏𝜏1 pri bočni napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0,4 ∙ 𝜎𝜎𝑚𝑚 , bi lahko obremenili vzorec z napetostjo 𝜎𝜎3 1 3 𝑚𝑚 = 1,4 ∙ 𝜎𝜎𝑚𝑚 . Vendar se tudi pri tej napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚 vzorec ne bo porušil, pač pa se bo to zgodilo pri napetosti 𝜎𝜎4 1 𝑚𝑚 = 1,675 ∙ 𝜎𝜎𝑚𝑚 , ko bo 𝜏𝜏4 dosegel ovojnico Möhrovih krogov (𝜎𝜎 1 2 3 1 𝑚𝑚𝑐𝑐 = 1,675 ∙ 𝜎𝜎𝑚𝑚 ; 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 0,4 ∙ 𝜎𝜎𝑚𝑚 ). Z večanjem bočnih napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐𝑖𝑖 se viša tudi »tlačna trdnost« 𝜎𝜎𝑚𝑚𝑖𝑖. Če Möhrovi krogi sekajo ovojnico, je to znak, da se je vzorec porušil. V primeru 𝜎𝜎5 4 5 1 𝑚𝑚 = 𝜎𝜎𝑚𝑚 in 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑚𝑚 do porušitve ne bi prišlo, ker Möhrov napetostni krog še ni dosegel ovojnice, kar pomeni, da strižne napetosti 𝜏𝜏5 še niso dosegle mejne (porušne) 400 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ vrednosti. V tem primeru bi vzdolžna napetost 𝜎𝜎6 6 4 1 𝑚𝑚 , ko je 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑚𝑚 , dosegla vrednost 2,725 ∙ 𝜎𝜎1𝑚𝑚, saj takrat Möhrov napetostni krog tangira ovojnico in strižna napetost 𝜏𝜏6 znaša približno 1,79 ∙ 𝜏𝜏1. Če nastopi dvoosno oziroma troosno napetostno stanje 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑚𝑚, porušitve telesa ne bo, ker je Möhrov napetostni krog točka in so si tlaki v vseh smereh v »ravnotežju«. Skrček v eni smeri bo oviral raztezek (ekspanzijo) v drugi smeri! Primeri so dober pokazatelj, kako večosno napetostno stanje (𝜎𝜎𝑐𝑐𝑖𝑖 <0) zvišuje »tlačne« trdnosti vzorcev in omogoča tudi deformacije betona »daleč« v plastično območje (glej podpodpoglavje 2.4.10). 11.5 Nosilnost »spiralno« armiranega stebra, obremenjenega s centričnim pritiskom 11.5.1 Uvod Mejna nosilnost spiralno armiranega stebra bo enaka vsoti mejnih nosilnosti betona, vzdolžne in spiralne armature. 𝑵𝑵 𝒄𝒄 𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝑹𝑹,𝒄𝒄 = 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒄𝒄 + 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒄𝒄 + 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒄𝒄 (11.7) Projektna nosilnost pa znaša: 𝑵𝑵 𝒄𝒄 𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝑹𝑹,𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝑹𝑹,𝒅𝒅 ≥ 𝑵𝑵𝑬𝑬,𝒅𝒅 (11.8) Pri projektni nosilnosti betona moramo upoštevati projektno tlačno trdnost ukleščenega betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑,𝑐𝑐, ki je odvisna od prečne napetosti 𝜎𝜎𝑐𝑐 (glej poglavje Uvod v armiranobetonske konstrukcije – 0). Projektna nosilnost betona znaša: 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝑵𝑵𝒄𝒄 𝒗𝒗 𝑹𝑹,𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝜶𝜶 ∙ 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 (11.9) 11 Centrični tlak 401. Projektno mejo gnetenja vzdolžne armature izmerimo s projektno mejo pri nategu. Projektna meja gnetenja ne sme presegati vrednosti pri dilatacijah 2 ‰, s katero je omejena dilatacija betona pri centričnem tlaku. Projektna nosilnost vzdolžne armature znaša: 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝑵𝑵𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝑹𝑹,𝒅𝒅 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟒𝟒 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (11.10) Vitkost stebrov moramo omejiti z vrednostjo 𝜆𝜆𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛≤50 oziroma manj, če je izkoriščenost > 0,15 (glej poglavje o tlaku). Prerez vzdolžne armature pa mora presegati minimalne vrednosti, podane v podpoglavju 11.4. Projektna nosilnost spiralne armature 𝒌𝒌𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎(𝑫𝑫/𝟓𝟓); 𝒌𝒌𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 = 𝟑𝟑 + ∅𝒌𝒌(𝒄𝒄𝒎𝒎); 𝑫𝑫 = 𝒅𝒅𝒗𝒗 + 𝟐𝟐 ∙ 𝒐𝒐; 𝒐𝒐 = 𝒐𝒐𝟎𝟎 + ∅𝒌𝒌/𝟐𝟐 Slika 11.10: Prikaz spiralno armiranega stebra z omejitvami hoda spirale t [3] 402 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Delovanje oziroma nosilnost spiralne armature prikažemo na valju, obremenjenem s pritiskom 𝑖𝑖𝑐𝑐 viskozne tekočine brez trenja, pri čemer uporabimo kotelno formulo za krožnico. Slika 11.11: Prikaz natezne sile 𝑵𝑵 v cevi 𝒅𝒅𝑵𝑵 = 𝒐𝒐 ∙ 𝒅𝒅𝝋𝝋 (11.11) 𝟐𝟐 𝟐𝟐/𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∙ 𝑵𝑵 − � 𝒑𝒑𝒄𝒄𝒗𝒗 ∙ 𝒅𝒅𝑵𝑵 = 𝟎𝟎; 𝟐𝟐 ∙ 𝑵𝑵 − 𝟐𝟐 � 𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝝋𝝋 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒅𝒅𝝋𝝋 𝟎𝟎 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑵𝑵 = 𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐 � 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝝋𝝋 ∙ 𝒅𝒅𝝋𝝋 = 𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝒐𝒐 (11.12) 𝟎𝟎 Natezna sila 𝑆𝑆 v cevi na enoto višine cevi znaša: 𝑫𝑫 𝑵𝑵 = 𝒑𝒑𝒄𝒄 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏.𝟎𝟎 (11.13) Projektna nosilnost cevi bo dosežena, ko bo izpolnjen pogoj: 𝒑𝒑 𝑵𝑵 𝒄𝒄 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 ∙ 𝟏𝟏. 𝟎𝟎 (11.14) 11 Centrični tlak 403. Slika 11.12: Troosno napetostno stanje v cevi [3] Pritisk v cevi bo takrat znašal: 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝒑𝒑 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 𝒄𝒄 = (11.15) 𝑫𝑫𝒄𝒄 𝑫𝑫𝒄𝒄 = 𝑫𝑫 + 𝜹𝜹 = 𝒅𝒅𝒗𝒗 Skupna projektna nosilnost valja znaša: 𝑫𝑫𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝑫𝑫𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫 𝑭𝑭 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 𝒅𝒅 = (11.16) 𝟒𝟒 ∙ 𝒑𝒑𝒄𝒄 = 𝟒𝟒 ∙ 𝑫𝑫 = 𝒄𝒄 𝟐𝟐 Prerez cevi znaša: 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 ∙ 𝜹𝜹 (11.17) 404 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Material v cevi ni idealno viskozna tekočina, ampak beton, ki je več ali manj porozen, kjer med zrni agregata nastopa trenje. Nastopijo vzdolžne deformacije 𝜺𝜺𝒙𝒙 in prečne dilatacije (ekspanzija) 𝜀𝜀𝑐𝑐 = 𝜀𝜀𝑛𝑛 = 𝜐𝜐 ∙ 𝜀𝜀𝑚𝑚. Da bi premagali silo trenja med zrni agregata, bo potrebna za 1-krat večja sila. Takrat 𝜐𝜐 bo izčrpana nosilnost valja, izpolnjenega z betonom, in bo znašala: 𝑭𝑭 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫 𝑵𝑵𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒅𝒅 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝊𝝊 = 𝟐𝟐 ∙ 𝝊𝝊 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 (11.18) = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜐𝜐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑚𝑚𝑠𝑠𝑐𝑐 = 0,25 … Poissonov količnik prečne kontrakcije pri plastifikaciji betona Z upoštevanjem (11.18) dobi (11.19) naslednjo obliko: 𝑵𝑵 𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 + 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅 + 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨 𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 (11.19) ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒄𝒄𝒅𝒅 ≤ 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 Če v zgornji enačbi izpostavimo 𝛼𝛼∙𝐴𝐴𝑐𝑐∙𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑,𝑐𝑐, sledi: 𝑨𝑨𝒗𝒗.𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 ∙ 𝒇𝒇𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝑵𝑵 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 + 𝑨𝑨 + 𝟐𝟐 ∙ � 𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 + 𝝁𝝁�𝟎𝟎 �� + 𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�𝒌𝒌�,�𝒐𝒐��� (11.20) Če omejimo vitkosti z vrednostjo 50 ali manj, za okrogli prerez sledi: 𝒅𝒅𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝒗𝒗 𝒄𝒄 = 𝟒𝟒 𝝀𝝀𝒄𝒄 = 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟒𝟒 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎; 𝒅𝒅 𝒊𝒊 𝒅𝒅 𝒗𝒗 ≥ 𝟒𝟒 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒗𝒗 𝟓𝟓𝟎𝟎 11 Centrični tlak 405. Po SIST EN 1992-1-1:2005 (str. 164; 9.5.2 (2)) znaša minimalni prerez vzdolžne (tlačne) armature 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 = 0,1 ∙ 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑦𝑦 ≥ 0,002 ∙ 𝐴𝐴 𝑓𝑓 𝑐𝑐. 𝑐𝑐𝑦𝑦 Za vzdolžno armaturo izberemo 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚𝑜𝑜 6 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑧𝑧𝑚𝑚𝜎𝜎. Iz znanih vrednosti 𝜎𝜎 𝑣𝑣.𝑚𝑚 𝑖𝑖 in 𝐴𝐴𝑠𝑠,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 lahko izračunamo 𝜇𝜇 �0�� oziroma 𝜇𝜇0. 𝑨𝑨𝒗𝒗.𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇 𝝁𝝁� 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 �� = 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 S pomočjo (11.20) pa dinamični količnik spiralne armature praviloma znaša: 𝑨𝑨𝒗𝒗.𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇 𝝁𝝁� 𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌 �� = (𝟐𝟐 − 𝟑𝟑) ∙ 𝝁𝝁�𝟎𝟎 �� = (𝟐𝟐 − 𝟑𝟑) ∙ (11.21) 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 V (11.21) je »skrita« 𝐴𝐴𝑐𝑐𝑐𝑐𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑐𝑐 , ki jo bomo določili s pomočjo enačbe 11.20, ko smo predhodno izračunali 𝐴𝐴𝑐𝑐 in 𝐴𝐴𝑠𝑠: 𝑵𝑵 𝒗𝒗.𝒐𝒐 ∙ 𝒇𝒇𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫 𝑬𝑬𝒅𝒅 − 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 − 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄 ∙ 𝜹𝜹 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒌𝒌.𝒐𝒐 (11.22) 𝒄𝒄𝒅𝒅 Če je zgornji izraz negativen, spiralna armatura ni potrebna. Iz (11.22) izražamo prerez spiralne armature na hodu 𝒌𝒌 iz pogoja, da sta volumna spiralne armature in »cevi« enaka: 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝒗𝒗 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 ∙ 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝒄𝒄 𝟏𝟏 > (11.23) 𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝒗𝒗 V (11.23) smo izbrali hod spirale, ki mora ustrezati naslednjim zahtevam: 𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 ∅ � 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒐𝒐𝒐𝒐𝒏𝒏𝒐𝒐 + 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟑𝟑 + ∅𝒌𝒌(𝒄𝒄𝒎𝒎) � 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒊𝒊 ≤ 𝒌𝒌 ≤ 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 (11.24) 406 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Če izberemo ∅ 𝑠𝑠.𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑝𝑝(𝐴𝐴1 ), lahko izračunamo hod spirale, ki mora zadoščati zahtevam (11.24). 𝑨𝑨𝒌𝒌.𝒐𝒐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅 𝒌𝒌 ≤ 𝟏𝟏 𝒗𝒗 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 𝒄𝒄 Slika 11.13: Določitev prereza spiralne armature 𝑨𝑨𝒌𝒌.𝒐𝒐 𝟏𝟏 in hoda 𝒌𝒌 [3] Jeklena cev, izpolnjena z betonom Cev je dvoosno obremenjena v vzdolžni smeri s pritiski 𝜎𝜎𝑚𝑚, tangencialno na krožnico pa z nateznimi napetostmi 𝜎𝜎𝑐𝑐. 𝑨𝑨𝒗𝒗.𝒐𝒐 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 = (𝑫𝑫𝒄𝒄 − 𝜹𝜹) ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝜹𝜹; 𝜹𝜹 ≪ 𝑫𝑫𝒄𝒄 11 Centrični tlak 407. 𝑨𝑨 (𝑫𝑫 − 𝜹𝜹) ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝜹𝜹 𝟒𝟒 ∙ 𝜹𝜹 𝝁𝝁 𝒌𝒌 𝟎𝟎 = 𝝁𝝁𝒌𝒌 = (11.25) 𝑨𝑨 = 𝒄𝒄 (𝑫𝑫 − 𝜹𝜹)𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 ≅ 𝑫𝑫 𝒇𝒇 𝟒𝟒 ∙ 𝜹𝜹 𝒇𝒇 𝝁𝝁� 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝟎𝟎 �� = 𝝁𝝁�𝒌𝒌�� = 𝝁𝝁𝟎𝟎 ∙ (11.26) 𝒇𝒇 ≅ 𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝑫𝑫 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 Prednosti takih konstrukcij so: − konstrukcija ne potrebuje opaža; − ni zaščitnega sloja betona; − dimenzije so manjše kot pri spiralno armiranih stebrih. Slika 11.14: Beton v cevi [3] 408 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Po (11.22) dobimo: 𝑵𝑵𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑵𝑵𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 + 𝝁𝝁�𝟎𝟎 �� + 𝟐𝟐 ∙ 𝝁𝝁�𝒌𝒌�,�𝒐𝒐��� (11.27) = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ [𝟏𝟏 + 𝟑𝟑 ∙ 𝝁𝝁�𝟎𝟎 ��] Zaradi strižnih napetosti, ki se pojavijo v neki »novi« ravnini cevi, upoštevamo strižne trdnosti jekla, ki običajno ne presežejo vrednosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦. S tem izrazom √3 korigiramo (11.26) ali (11.27). 𝟑𝟑 ∙ 𝝁𝝁�� 𝑵𝑵 𝟎𝟎 𝑹𝑹𝒅𝒅 = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ �𝟏𝟏 + � √𝟑𝟑 (11.28) = 𝜶𝜶 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ [𝟏𝟏 + 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝝁𝝁�𝟎𝟎 ��] PRIMER 𝑫𝑫 = 𝟒𝟒𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎; 𝑫𝑫𝒄𝒄 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎; 𝜹𝜹 = 𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝑨𝑨𝑵𝑵 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 ∙ 𝜹𝜹; 𝟐𝟐 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟓𝟓; 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒄𝒄𝒗𝒗𝒊𝒊 = 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒄𝒄𝑴𝑴 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑵𝑵 𝑵𝑵 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓; 𝝆𝝆 = 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒎𝒎𝟑𝟑 ;𝜸𝜸𝑴𝑴𝒇𝒇 = 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟓𝟓; 𝒇𝒇𝒄𝒄 = 𝟐𝟐𝟑𝟑,𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝒇𝒇 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 ; 𝑴𝑴𝒇𝒇 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟓𝟓 ; 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 Pritisk na beton znaša: 𝒑𝒑𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹 ; 𝟐𝟐 ∙ 𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇 𝑫𝑫 𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝒑𝒑𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟕𝟕𝑬𝑬 − 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝒑𝒑𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟓𝟓, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝒄𝒄 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 Tlačna osna sila stebra znaša: 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝜹𝜹; 𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟓𝟓; 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟐𝟐𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑭𝑭𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝟒 𝒄𝒄𝑵𝑵 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔 𝑴𝑴𝑵𝑵 Tlačna napetost v betonu znaša: 11 Centrični tlak 409. 𝑭𝑭 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟕𝟕𝟐𝟐𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄 = 𝝈𝝈𝒙𝒙𝒅𝒅 = 𝑨𝑨 ; 𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏 𝑵𝑵 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝑬𝑬 − 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟑𝟑,𝟕𝟕𝟒𝟒 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌; 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟔𝟔𝟏𝟏, 𝟕𝟕𝟐𝟐; 𝑨𝑨 𝟒𝟒 𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟗𝟗𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟏 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝜶𝜶𝒑𝒑𝒄𝒄 𝑬𝑬 = 𝟏𝟏𝟎𝟎 Tlačna napetost v vzdolžni armaturi (na kolobar) znaša: 𝝈𝝈𝒙𝒙,𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝝈𝝈𝒙𝒙,𝒅𝒅; 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝑬𝑬 − 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅; 𝝈𝝈𝒙𝒙,𝒌𝒌 = 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟐𝟐𝑬𝑬 − 𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝑵𝑵 𝝈𝝈𝒙𝒙,𝒌𝒌 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟕𝟕, 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟕𝟕,𝟑𝟑𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒐𝒐 Natezna napetost v cevi znaša: 𝝈𝝈𝒄𝒄,𝒌𝒌 = 𝒑𝒑𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑫𝑫𝒄𝒄 ; 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟕𝟕𝑬𝑬 − 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓; 𝝈𝝈 𝟐𝟐𝜹𝜹 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄,𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟓𝟓 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ≅ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Slika 11.15: Natezne in tlačne napetosti v stebru 410 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 12.1 Uvod klasična teorija – jeklene konstrukcije Klasična teorija nas uči, da zaradi imperfekcije ni centričnega tlaka, pač pa se ponekod po vzdolžni osi neke tlačne palice pojavi še upogibna obremenitev, ki zaradi začetne ekscentritete povzroča vse večje odklone oziroma ukrivljenosti in večje upogibne obremenitve tlačnega elementa. Dokler ne nastopi »kritični« odklon, se nahajamo v stabilnem stanju. Ob nastanku kritičnega uklona preidemo v indiferentno oziroma nestabilno stanje. Eulerjevo kritično napetost oziroma »kritično silo«, to je napetost, ko dosežemo »kritični« odklon, izračunamo po (12.1): 𝟐𝟐𝟐𝟐 · 𝑬𝑬 𝝈𝝈 = (12.1) 𝝀𝝀𝟐𝟐𝒄𝒄,(𝒐𝒐) Ta velja samo v elastičnem področju palice, za katero velja konstrukcijski modul elastičnosti E. 412 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Vitkost tlačne palice: 𝒄𝒄 𝒏𝒏 𝝀𝝀 𝟎𝟎 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) · 𝒄𝒄 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) = (12.2) 𝒊𝒊 = 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒊𝒊𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝑚𝑚𝑐𝑐.(𝑛𝑛) · 𝑧𝑧 … število valov na sistemski dolžini 𝑧𝑧 okrog 𝑜𝑜𝜀𝜀𝑚𝑚 𝑓𝑓 oziroma osi 𝑧𝑧. Primer 1 Slika 12.1: Uklonski dolžini stebra okrog osi 𝒄𝒄 oziroma 𝒐𝒐 Število valov: 𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝟐𝟐; 𝒏𝒏𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 Uklonski dolžini: 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝟏𝟏/𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝒄𝒄; 𝒄𝒄𝒏𝒏𝒐𝒐 = 𝟐𝟐𝒄𝒄 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 413. 𝒉𝒉 𝒃𝒃 𝝀𝝀𝒄𝒄 = 𝝀𝝀𝒐𝒐; 𝒊𝒊𝒄𝒄 = ; 𝒊𝒊 √𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒐𝒐 = √𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄 𝟐𝟐 · 𝒄𝒄 · √𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄 · √𝟏𝟏𝟐𝟐 𝝀𝝀 𝟎𝟎 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) = 𝒊𝒊 ; 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒉𝒉 = 𝟐𝟐𝒃𝒃 ⇛ 𝒉𝒉 = 𝟒𝟒𝒃𝒃 Če želimo doseči enako vitkost stebra okrog obeh vztrajnostnih osi stebra po Slika 1, mora biti: 𝒉𝒉 = 𝟒𝟒𝒃𝒃 Znano je, da velja Eulerjeva kritična hiperbola samo v območju tako imenovanega elastičnega uklona. Ko dosežemo tako imenovano mejo proporcionalnosti, dosežemo tudi modul elastičnosti Ecm. Z višjimi napetostmi pa prehajamo v elastoplastično območje, ko se modul »elastičnosti« niža: 𝐸𝐸’𝜎𝜎 < 𝐸𝐸𝜎𝜎𝑚𝑚. Slika 12.2: Diagrami (𝝀𝝀 − 𝝈𝝈), (𝝀𝝀 − 𝑬𝑬) in (𝝈𝝈 − 𝑬𝑬) Vitkost 𝜆𝜆 izračunamo, ko dosežemo mejo proporcionalnosti, s pomočjo (12.1). 414 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟐𝟐𝟐𝟐 · 𝑬𝑬 𝝀𝝀𝐩𝐩𝐩𝐩𝐳𝐳𝐩𝐩 = √ (12.3) 𝝈𝝈𝐩𝐩𝐩𝐩𝐳𝐳𝐩𝐩 𝝈𝝈𝐩𝐩𝐩𝐩𝐳𝐳𝐩𝐩 ≅ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝒇𝒇𝐜𝐜 Pri manjših vitkostih od 𝜆𝜆prop bodo kritične napetosti višje, kar je razvidno iz diagramov na Slika 12.2. To pomeni, da so kritične napetosti vse višje, ne morejo pa preseči tlačne trdnosti 𝑓𝑓c. To pa istočasno pomeni, da se nahajamo v območju tako imenovanega plastičnega uklona (Slika 12.2a) in stabilitetni problem (elastični uklon) prehaja v tako imenovani trdnostni problem. Pri λ =0 velja enačba: 𝟐𝟐𝟐𝟐 · 𝑬𝑬, 𝝈𝝈 (𝛌𝛌=𝟎𝟎) 𝐜𝐜𝐩𝐩 = 𝟎𝟎𝟐𝟐 ≤ 𝒇𝒇𝐜𝐜 (12.4) Tej enačbi bo zadoščeno le v primeru, ko bo 𝐸𝐸, = 0. (λ = 0) 12.2 Armiranobetonske konstrukcije 12.2.1 Uvod Prejšnji izsledki veljajo predvsem za jeklene elemente – za armiranobetonske tlačne palice, kjer moramo upoštevati sodelovanje betona in armature. Za naravno trdo jeklo lahko z dovolj natančnim približkom opišemo idealno elastično in idealno plastično obnašanje v tlačnem in nateznem območju. Za hladno obdelano jeklo (Hd) pa napetosti po dosegu meje plastičnosti 𝑓𝑓y naraščajo, s čimer narašča tudi nosilnost v armiranem betonu. Ko beton in armatura sodelujeta, je zvezo med silo in pomiki težje matematično opisati kot pri jeklu, zato računske metode stabilnosti jeklenih elementov ne moremo uporabiti v armiranobetonskih elementih. Steber se lahko poruši pri pomiku w1, preden je bil dosežen kritični izklon wa oziroma kritična sila Fcr. V tem primeru so bile v najbolj tlačnem delu prereza dosežene tlačne trdnosti betona fc oziroma natezne trdnosti betona fct. V tem primeru govorimo o trdnostnem problemu. 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 415. Slika 12.3: Diagrami za naravno trdo jeklo Pri silah F < Fcr in pomikih w < wcr je ravnotežno stanje še stabilno, vendar pa pri pomiku wcr in kritični sili Fcr postane indiferentno (stabilno-labilno). V tem stanju je plastifikacija prereza že močno napredovala in samo majhno povečanje sile dF ne dopušča več ravnotežja, saj »moment odpora« nosilnosti Mr narašča počasneje kot zunanja obremenitev Md in palica postane nestabilna. Zato Fcr označimo kot kritično silo. Če želimo z večanjem izklona w > wcr teoretično obdržati stabilno stanje, moramo zmanjšati silo F < Fcr, kar je razvidno iz Slika 4 (w2 ⇛ F < Fcr), kar pa označimo kot labilno stanje, saj postane palica z minimalnim povečanjem sile dF labilna. Za sile F 416 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ < Fcr poznamo dve ravnotežni stanji: pri pomiku w1 govorimo o stabilnem stanju, pri pomiku w2 pa o labilnem stanju. Diagram sila–pomik. Slika 12.4 predstavlja odvisnost izklona elementa od količine armature. Slika 12.4: Diagram sila–pomik in prikaz deformacij tlačno obremenjenega elementa Po Slika 12.5 so možnosti izgube stabilnosti (ravnotežja) prikazane z interakcijskim diagramom Mu, Fu dilatacij 𝜀𝜀c in 𝜀𝜀s ob pogoju 𝜀𝜀c ≦ 2 ‰. 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 417. Slika 12.5: Možnost porušitve oziroma nestabilnosti Linija 1: diagram 1 Mu, Fu, ko je w = 0, 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀𝑐𝑐 𝐹𝐹1 – do porušitve pride po materialu. 𝑐𝑐 Linija 2: diagram 2 Mu, Fu, ko je w ≠ 0, 𝑧𝑧 = 𝑀𝑀𝑐𝑐 𝐹𝐹2 – nismo še dosegli kritične sile F2cr, torej 𝑐𝑐 tudi tu nastopi porušitev po materialu. Linija 3: diagram 3 Mu, Fu, ko je 𝑧𝑧 + 𝜌𝜌¨′𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐹𝐹3 – stabilnost palice dosežena, čeprav 𝑐𝑐𝑐𝑐 trdnosti materiala niso bile dosežene. Pri zanemarljivih izklonih w∽0 ne upoštevamo deformacije. Pri momentni obremenitvi 𝑧𝑧 · 𝐹𝐹2 2 1 𝑐𝑐 = 𝑀𝑀𝑐𝑐, kar predstavlja teorijo I. reda, bo palica popustila pri sili 𝐹𝐹𝑐𝑐 zaradi porušitve materiala – linija 1. Pri večjih vitkostih, ko se bodo pojavili večji izkloni w, se bo pojavila porušitev pri manjših silah F2u < F1 u, vendar pri večjih upogibnih momentih M1 u < M2 u, (𝑧𝑧 + 𝜌𝜌) · 𝐹𝐹2 2 𝑐𝑐 = 𝑀𝑀𝑐𝑐 – črta 2. V tem primeru govorimo o trdnostnem problemu po teoriji II. reda. Pri nadaljnjem povečanju vitkosti se pomiki w hitro večajo in palica postane nestabilna pri sili F3cr < F2u in ustreznem momentu M3cr, ne da bi bile v materialu dosežene tlačne trdnosti (pri sili 𝐹𝐹3 3 𝑐𝑐 in momentu 𝑀𝑀𝑐𝑐) – črta 3. Na Slika 5 je tudi vidno, da so bili v tem primeru doseženi maksimalni izkloni wmax. 418 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 12.2.2 Vplivi na nosilnost oziroma stabilnost tlačnih armiranobetonskih palic 12.2.2.1 Vpliv razporeditve upogibnih momentov Ločiti moramo med pomičnimi in nepomičnimi konstrukcijami (razloženo v poglavju 4). Za okvirje z nepomičnimi prostimi vozlišči bo efektivni moment (ekscentriteta odločilna za prerez, ki sovpada z maksimalnim pomikom in se ta ne pojavi v vozliščih), kjer so ekstremni upogibni momenti. Na Slika 12.6 je podano razmerje 𝑟𝑟2 = 0 𝛼𝛼𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝑐𝑐 v odvisnosti od vitkosti 𝜆𝜆 in 𝑁𝑁𝑟𝑟2 = 𝑟𝑟1 𝑐𝑐,(𝑛𝑛) = 𝑐𝑐0 𝑐𝑐,(𝑧𝑧) 𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑐𝑐,(𝑧𝑧) od razmerja 𝑟𝑟1 = −𝑟𝑟2 𝑐𝑐1 (1 ; 1). Na Slika 6.b je podano razmerje 𝛼𝛼 v odvisnosti od ℎ 2 6 𝑀𝑀 = 𝑁𝑁𝑐𝑐 𝑁𝑁𝑟𝑟1 = 𝑟𝑟2 𝑐𝑐 vitkosti 𝜆𝜆𝑐𝑐,(𝑛𝑛) = 𝑐𝑐0 𝑐𝑐,(𝑧𝑧) in od razmerja 𝑐𝑐1 (1 ; 1). 𝑖𝑖𝑐𝑐,(𝑧𝑧) ℎ 2 6 Opazili smo, da imajo stebri s »trikotno« momentno črto (linija 1) večjo stabilnost kot stebri s »pravokotno« in s tem tudi »trapezno« momentno črto (liniji 2, 3) e1 ≠ e2 (Slika 12.6). Še bolj pa so stebri stabilni, ko se upogibni momenti po vzdolžni osi stebra spreminjajo tudi po predznaku (tlačna obremenitev stebrov v vozliščih je na nasprotnih straneh) (Slika 6b). V tem primeru se stabilnost povečuje z večjo ekscentriteto e1, medtem ko v primeru Slika 6a to velja le do vitkosti 𝜆𝜆 ≤ 135. Zanimiva bo primerjava nosilnosti oziroma stabilnosti tlačnih palic z nepomičnimi prostimi vozlišči pri različnih oblikah momentne linije in vitkostih. Diagrami so izdelani za normirano osno silo 𝑚𝑚𝑐𝑐 = 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑦𝑦 in normirane upogibne momente 𝑚𝑚 𝐴𝐴 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐∙𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 𝑁𝑁𝐸𝐸𝑦𝑦 ; (A 𝐴𝐴 C = bh). 𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑦𝑦 ∙ ℎ 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 419. Slika 12.6: Razmerje »nosilnosti« (stabilnosti) palic z nepomično prostimi vozlišči v odvisnosti od poteka momentne črte in vitkosti 𝝀𝝀 Slika 12.7: Interakcijski diagrami za normirane »porušne« sile 𝒏𝒏u oziroma normirane momente 𝒎𝒎u pri različnih obtežbah M vitkosti 𝝀𝝀 420 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 12.2.2.2 Vpliv marke betona in armature Pri majhni relativni ekscentričnosti 𝐞𝐞 je razmerje nosilnosti stebra med višjo in nižjo 𝐮𝐮 marko betona visoka. Če pa se relativna ekscentričnost osne sile veča, razmerje nosilnosti stebrov zelo pade. Slika 12.8: Razmerje 𝜶𝜶c nosilnosti stebra, izdelanih iz C50 in C15, v odvisnosti od vitkosti 𝝀𝝀𝒄𝒄,(𝒐𝒐) in »ekscentritete« 𝐞𝐞 𝐡𝐡 Vpliv armature kaže nasprotno tendenco, saj se razmerje nosilnosti stebra, armiranega z višjo oziroma nižjo kakovostjo, z večjo relativno ekscentričnostjo viša. To razmerje pa se niža z vitkostjo 𝜆𝜆 (Slika 12.9). Slika 12.9: Razmerje 𝜶𝜶s nosilnosti stebrov, armiranih z armaturo 400/500 in 240/360, v odvisnosti od vitkosti 𝝀𝝀𝒄𝒄,(𝒐𝒐) in »ekscentritete« 𝐞𝐞 𝐡𝐡 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 421. 12.2.2.3 Vpliv količnika armiranja → = 𝛚𝛚 𝛍𝛍 Za stebre, grajene iz betona C35/45 in armirane z armaturo S40/50, se razmerje pri višjem količniku armiranja μ0 = μ, = 2 % v primerjavi z μ , = 1 % le malo poveča. 0 0 = μ0 To povečanje bo večje pri večji relativni »ekscentriteti« e in celo narašča z vitkostjo h 𝝀𝝀𝒄𝒄,(𝒐𝒐) (Slika 12.10). Slika 12.10: Razmerje 𝜶𝜶u nosilnosti stebrov, armiranih s simetrično armaturo v količini 2 %, in stebrov, armiranih s simetrično armaturo v količini 1 %, v odvisnosti od vitkosti 𝝀𝝀𝒄𝒄,(𝒐𝒐) in »ekscentritete« 𝐞𝐞 𝐡𝐡 12.2.2.4 Vpliv lezenja betona Lezenje betona kot posledica trajne obtežbe poveča ekscentričnost in s tem tudi ukrivljenost tlačne palice. Na Slika 12.11 so prikazani rezultati raziskav stebrov vitkosti 𝜆𝜆𝑐𝑐,(𝑛𝑛) = 104 in relativne ekscentritete e = 0,1 za različno trajanje obremenitve, h to je od 0 dni, 4 mesece do 8 let, in različne vrednosti obtežb: serije s trajno obtežbo 8 let in serije s trajno obtežbo 4 mesece. Na sliki opazimo ugoden vpliv strjevanja betona pri delovanju sile po 8 letih, istočasno pa velik padec nosilnosti v primerjavi s kratkočasovnim delovanjem obtežbe. 422 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Zmanjšanje nosilnosti zaradi trajne obtežbe v primerjavi s kratkotrajno obtežbo je občutno manjše in v odvisnosti z vitkostjo 𝜆𝜆𝑐𝑐,(𝑛𝑛) elementa. Z »močnim« armiranjem pa se nosilnost pri trajni obtežbi »manj« zmanjša (Slika 12.11). Slika 12.11: Primerjave nosilnosti stebrov vitkosti 𝝀𝝀𝒄𝒄,(𝒐𝒐) = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟒𝟒 in relativne ekscentritete 𝐞𝐞 = 𝐡𝐡 0,1 v odvisnosti od trajanja obtežbe in velikosti trajne obtežbe N∞ 56 dni starega betona pri obremenitvi z osno obtežbo N∞, Nu,0 Nu0 … nosilnost pri kratkočasovni obtežbi v trenutku obremenitve 56 dni starega betona Nu∞ … nosilnost po predhodni trajni obtežbi (8 let, 4 mesece) N∞ … velikost trajne obtežbe t∞ … čas trajanja obtežbe 12.2.3 Parametri določevanja sile hitrosti po EC2 12.2.3.1 Neravnost ali imperfekcija tlačnih palic – geometrijska nepopolnost Po zahtevah EC2 moramo za simetrično armirane tlačne elemente upoštevati vsaj e0 = h/30, pri čemer je h večja stranica prereza, vendar ne manj kot 20 mm. 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 423. Nepopolnosti moramo upoštevati pri MSN za stalna in nezgodna projektna stanja, medtem ko pri MSU tega ni treba upoštevati. Odstopanja oziroma nepopolnosti opišemo z nagibom 𝑄𝑄𝑖𝑖 (v radianih). 𝐐𝐐𝐝𝐝 = 𝐐𝐐𝐝𝐝 ∙ 𝛂𝛂𝐡𝐡 ∙ 𝛂𝛂𝐦𝐦 (12.5) 𝐐𝐐𝟎𝟎 = 𝟏𝟏/𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 (v nacionalnem dodatku) (12.6) 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝟑𝟑 ≤ 𝛂𝛂𝐡𝐡 = ≤ 𝟏𝟏; 𝒄𝒄[𝒎𝒎] (12.7) √𝐩𝐩 𝟏𝟏 𝛂𝛂𝐦𝐦 = �𝟎𝟎, 𝟓𝟓(𝟏𝟏 + 𝐦𝐦) (12.8) 𝟏𝟏 ≥ 𝛂𝛂𝐦𝐦 ≥ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕; 𝒎𝒎 = 𝟐𝟐 → 𝜶𝜶𝒎𝒎 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟕 Pomen l in m je odvisen od obravnavanega učinka, pri čemer razlikujemo tri primere, kar prikazujejo spodnje slike: a) vpliv na izoliran element (zavarovan ali nezavarovan, l dolžina elementa v [𝑚𝑚], m = 1, Slika 12.12a1 in a2); b) vpliv na zavarovalni sistem (Slika 12.12b), kjer je l = ∑li =; m = 3; velja za stebre vertikalnih elementov, ki prispevajo k vodoravnim silam, ki delujejo na zavarovalni element (stena ali škatla); c) vpliv na etažne ali strešne opore ali nosilce, ki prispevajo k porazdelitvi vodoravnih obtežb (Slika 12.12c1 in c2) Pri »izoliranih« zavarovanih elementih lahko nepopolnosti izrazimo na dva načina: a) Kot ekscentričnost ei: 𝐩𝐩 𝐞𝐞 𝟎𝟎 𝐝𝐝 = 𝐞𝐞𝐜𝐜 = 𝐐𝐐𝐝𝐝 ∙ (12.9) 𝟐𝟐 424 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Pri stenah in izoliranih elementih zavetrno varnih sistemov lahko uporabimo: 𝐩𝐩 𝐞𝐞 𝟎𝟎 𝐝𝐝 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 b) Kot prečno silo Hi, ki je za zavarovane (izolirane) in zavarovalne elemente ter diafragme stropov različna in jih prikazuje Slika 12.12. Uporaba ekscentričnosti ei je primerna pri statično določenih sistemih, medtem ko se prečna obtežba Hi lahko uporabi pri statično določenih in nedoločenih sistemih. Slika 12.12: Primeri učinkov geometrijskih nepopolnosti 12.2.3.2 Totalna ekscentričnost Totalna ekscentričnost pri konzolni konstrukciji: 𝐞𝐞 𝐩𝐩 𝟐𝟐 = 𝐌𝐌𝐈𝐈 ∫ 𝐱𝐱𝐝𝐝𝐱𝐱 ; 𝐌𝐌 𝐄𝐄𝐈𝐈 𝐈𝐈 = 𝐍𝐍𝐞𝐞𝐝𝐝 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎 (12.10) 𝐬𝐬 𝟎𝟎 = 𝐌𝐌𝐈𝐈 ∙ 𝐩𝐩𝟐𝟐 𝟐𝟐𝐄𝐄𝐈𝐈𝐬𝐬 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 425. Slika 12.13: Primeri ekscentričnosti zaradi različnih »vzrokov« 𝐌𝐌𝐈𝐈 = 𝐍𝐍𝐞𝐞𝐝𝐝 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎; 𝐌𝐌(𝐞𝐞𝟏𝟏) = 𝐍𝐍𝐞𝐞𝐝𝐝 ∙ 𝒄𝒄𝟏𝟏; 𝐌𝐌(𝐞𝐞𝟐𝟐) = 𝐍𝐍𝐞𝐞𝐝𝐝 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 (12.11) sestavljajo: 𝐞𝐞 𝐩𝐩𝟎𝟎 𝟎𝟎 ≠ 𝐌𝐌𝐈𝐈 ; 𝐞𝐞 ; 𝐞𝐞 𝐝𝐝𝐱𝐱 (12.12) 𝐍𝐍 𝟏𝟏 = 𝛉𝛉𝐝𝐝 𝟐𝟐 = ∫ 𝐌𝐌∙𝐌𝐌 � 𝐞𝐞𝐝𝐝 𝟐𝟐 𝐱𝐱 𝐄𝐄𝐈𝐈 Pri tem pomeni e0 ekscentričnost od upogibnega momenta, ki pri centričnem tlaku ne obstaja, Ned pa predstavlja projektno vrednost osne sile. e1 … ekscentričnost od neravnosti osi e2 … ekscentričnost zaradi upogibnega momenta M2 po teoriji II. reda Za sisteme z nepomičnimi vozlišči upoštevamo tisti upogibni moment, kjer nastopa največji pomik (izklon) in ga predpisi EC2 navajajo z enačbama. Projektni ekvivalentni upogibni moment: 𝐌𝐌𝐄𝐄𝐝𝐝 = 𝐌𝐌𝟎𝟎𝐄𝐄𝐝𝐝 + 𝐌𝐌𝟐𝟐 (12.13) 𝐌𝐌𝟎𝟎𝐄𝐄𝐝𝐝 = 𝐌𝐌𝟎𝟎𝐝𝐝 + 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝒄𝒄𝒊𝒊 (12.14) 426 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Nadomestni upogibni moment po teoriji I. reda: 𝐌𝐌𝟎𝟎𝐄𝐄 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝐌𝐌𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝐌𝐌𝟎𝟎𝟏𝟏 ≥ 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝐌𝐌𝟎𝟎𝟐𝟐 (12.15) Pri tem sta M02 in M01 vozliščna upogibna momenta, |M02|>|M01|. Za konstrukcije s pomičnimi prostimi vozlišči pa upoštevamo za ekvivalentni moment vozliščni moment (večjo vrednost vozliščnih momentov na stebru). Slika 12.14: Primeri ekvivalentnih momentov na nepomičnih stebrih a, b, c in pomičnem stebru d Podobne relacije prikazuje Slika 12.15, kjer pa ustrezajo primeri b), e) in g) stebrom s pomičnimi vozlišči. Vozlišča so nezasučna. Slika 12.15: Primeri različnih uklonskih oblik in pripadajočih uklonskih dolžin izoliranih elementov [2] 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 427. 12.2.4 »Pomičnost« konstrukcij Za določitev uklonskih dolžin stebrov okvirnih konstrukcij in okvirnih konstrukcij z jedri (strižne stene oziroma škatle) moramo ugotoviti pomičnost oziroma nepomičnost teh konstrukcij. Za okvir po spodnji sliki bo veljala nepomičnost prostih vozlišč, ko bodo upogibni momenti po teoriji I. reda manjši ali kvečjemu enaki 1,1-kratni vrednosti upogibnih momentov po teoriji II. reda. 𝐌𝐌𝐈𝐈𝐈𝐈 ≤ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝐌𝐌𝐈𝐈 (12.16) Slika 12.16: Primer določitve upogibnega momenta po teoriji II. reda Za vozlišče 2 velja: 𝐩𝐩 𝐩𝐩 𝟏𝟏 𝒐𝒐 > 𝒄𝒄 𝐌𝐌𝟐𝟐 𝐬𝐬 𝐬𝐬 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒌𝒌 𝐈𝐈𝐈𝐈 = − (12.17) 𝟐𝟐 − 𝐩𝐩 ∙ 𝒐𝒐𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 � � = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 𝐝𝐝 𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝒏𝒏 ≦ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝐌𝐌𝐈𝐈 𝟐𝟐 Za simetrično okvirno konstrukcijo z jedri in etažnimi ploščami bo nepomičnost konstrukcije, ko lahko zanemarimo učinke II. reda, izpolnjena z enačbo: 𝒏𝒏 ∑ 𝑬𝑬 𝐅𝐅 𝒌𝒌 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄 𝐯𝐯,𝐄𝐄𝐝𝐝 ≤ 𝐑𝐑𝟏𝟏 ∙ � (12.18) 𝒏𝒏𝒌𝒌 + 𝟏𝟏, 𝟔𝟔� ∙ 𝑳𝑳𝟐𝟐 428 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Pri tem so: Fv,Ed … skupna vertikalna obtežba zavarovanih in zavarovalnih elementov 𝐅𝐅𝐯𝐯,𝐄𝐄𝐝𝐝 = (𝐤𝐤 + 𝐩𝐩) ∙ 𝑹𝑹 ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝒏𝒏𝒌𝒌 + 𝑮𝑮𝒌𝒌𝒌𝒌𝒄𝒄𝒃𝒃𝒐𝒐𝒌𝒌𝒗𝒗 + 𝑮𝑮𝒐𝒐𝒊𝒊𝒅𝒅𝒌𝒌𝒗𝒗 (12.19) L … celotna višina objekta, merjena od temeljev Ecd …. projektna vrednost modula elementa betona 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝐄𝐄 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝐜𝐜𝐝𝐝 = (12.20) 𝜸𝜸 = 𝒄𝒄 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 γc … priporočena vrednost 1,2 Ic … vztrajnostni moment nerazpokanih zavarovalnih (Ic,y, Ic,z) elementov ns … število nadstropij Slika 12.17: Primer večetažne in večladijske konstrukcije s stebri in jedrom 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 429. 12.2.5 Določitev uklonske dolžine Ko smo ugotovili pomičnost oziroma nepomičnost konstrukcije, določimo uklonsko dolžono l0. Uporabili bomo nomograma za konstrukcije z nepomičnimi in pomičnimi vozlišči, določili zasučne togosti sosednjih vozlišč KA in KB ter posledično količnik 𝛽𝛽. Uklonsko dolžino izračunamo z enačbo: 𝛌𝛌𝐲𝐲,(𝐳𝐳) = 𝛃𝛃𝐲𝐲,(𝐳𝐳) ∙ 𝐩𝐩 (12.21) 𝐄𝐄 ∑ 𝐩𝐩𝐬𝐬 ∙ 𝐈𝐈𝐩𝐩𝐬𝐬 𝐩𝐩 𝐈𝐈 𝐊𝐊 𝐩𝐩𝐬𝐬 𝐀𝐀,(𝐁𝐁) = (12.22) ∑ 𝐄𝐄𝐝𝐝𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝐝𝐝𝐝𝐝 ∙ 𝛂𝛂𝐊𝐊 𝐝𝐝 𝐈𝐈𝐝𝐝𝐝𝐝 Slika 12.18: Nomograma za določitev uklonskih dolžin stebrov 430 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Kmin … priporočena minimalna vrednost Kmin = 0,4 (z nižjimi vrednostmi ni priporočljivo). Slika 12.19: Primer uklonske dolžine okvirne konstrukcije 𝐩𝐩𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝛃𝛃 ∙ 𝐩𝐩𝟐𝟐 ∙ 𝐬𝐬 (12.23) 𝐄𝐄𝐬𝐬 ∙ 𝐈𝐈𝟑𝟑𝐬𝐬 + 𝐄𝐄𝐬𝐬 ∙ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝐬𝐬 𝐊𝐊 𝐩𝐩𝟑𝟑𝐬𝐬 𝐩𝐩𝟐𝟐𝐬𝐬 𝐀𝐀 = 𝐄𝐄 (12.24) 𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝐝𝐝 𝐩𝐩 + 𝟎𝟎 𝟐𝟐𝐝𝐝 𝐄𝐄𝐬𝐬 ∙ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝐬𝐬 + 𝐄𝐄𝐬𝐬 ∙ 𝐈𝐈𝟏𝟏𝐬𝐬 ∙ 𝟎𝟎.𝟓𝟓 𝐊𝐊 𝐩𝐩𝟐𝟐𝐬𝐬 𝐩𝐩𝟏𝟏𝐬𝐬 𝐁𝐁 = 𝐄𝐄 (12.25) 𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝟐𝟐𝐝𝐝 𝐩𝐩 + 𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝟑𝟑𝐝𝐝 ∙ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓 𝟐𝟐𝐝𝐝 𝐩𝐩𝟑𝟑𝐝𝐝 𝐩𝐩𝟏𝟏𝟎𝟎 = 𝛃𝛃 ∙ 𝐩𝐩𝟏𝟏 ∙ 𝐬𝐬 (12.26) K ls2 A = KB ; KB = ∞ ⇛ KB = Kmin = 0,4 za nepomične in pomične konstrukcije 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 431. Predpis SIST EN 1992 navaja za zavarovane nepomične elemente in nezavarovane pomične elemente enačbi 5.15 in 5.16, ki pa v tem prispevku ne bosta posebej razloženi. Ko poznamo uklonsko dolžino l0,y(z), lahko izračunamo vitkost tlačne palice λy,(z). Po enačbi: 𝒄𝒄 𝒏𝒏 𝝀𝝀 𝟎𝟎 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒄𝒄.(𝒐𝒐) · 𝒄𝒄 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) = (12.27) 𝒊𝒊 = 𝒄𝒄,(𝒐𝒐) 𝒊𝒊𝒄𝒄,(𝒐𝒐) Primerjamo jo lahko s tako imenovano limitno vitkostjo. 12.2.6 Limitna (mejna) vitkost 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝑳𝑳 ∙ 𝑪𝑪 𝝀𝝀𝒄𝒄𝒊𝒊𝒎𝒎 = (12.28) √𝒏𝒏 𝟏𝟏 𝑨𝑨 = (12.29) 𝟏𝟏 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝝋𝝋𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑴𝑴𝑰𝑰 𝝋𝝋 𝑵𝑵𝑳𝑳𝑵𝑵 𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝝋𝝋(𝒌𝒌=∞) (12.30) 𝑴𝑴𝑰𝑰𝑼𝑼𝑳𝑳𝑵𝑵 𝜑𝜑𝑐𝑐𝑓𝑓 … če ni poznan, lahko upoštevamo A = 0,7 432 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Učinek lezenja betona lahko zanemarimo, če je zadoščeno vsem trem pogojem »istočasno«: 𝝋𝝋(𝒌𝒌=∞) ≤ 𝟐𝟐 𝝀𝝀 ≤ 𝟕𝟕𝟓𝟓 (12.31) 𝑴𝑴𝟎𝟎𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵 ≥ 𝒉𝒉 𝑬𝑬𝒅𝒅 h … stranica prereza v smeri upogiba 𝒇𝒇 𝝆𝝆� = 𝝁𝝁� = 𝝎𝝎 � = 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 (12.32) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝑳𝑳 = √𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝝎𝝎 (12.33) ω … če ni poznan, lahko upoštevamo B = 1,1 𝑪𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟕𝟕 − 𝐩𝐩𝐦𝐦 (12.34) 𝐌𝐌 > 𝐩𝐩 𝟎𝟎𝟏𝟏 𝐦𝐦 = 𝐌𝐌 𝟎𝟎𝟐𝟐 < 𝟎𝟎 (12.35) 𝟐𝟐, 𝟕𝟕 ≤ 𝑪𝑪 ≤ 𝟏𝟏, 𝟕𝟕 Vpliv izkoriščenosti prereza: 𝑵𝑵 𝒏𝒏 = 𝑬𝑬𝒅𝒅 (12.36) 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝒏𝒏 … normirana osna sila glede na izkoriščenost prereza 𝑘𝑘𝑚𝑚 = 1 ⇛ C = 0,7, zato moramo upoštevati: 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 433. − če na zavarovanih elementih izhajajo upogibni momenti po teoriji I. reda od prečne obtežbe in nepopolnosti (imperfekcije) palice; − za vse pomične sisteme (na nezavarovanih sistemih). Slika 12.20: Diagram količnika »C« Če vitkosti 𝜆𝜆𝑐𝑐,(𝑛𝑛) presegata tako imenovani 𝜆𝜆𝑐𝑐𝑖𝑖𝑚𝑚, moramo upoštevati teorijo II. reda in izračunati končno ekscentričnost 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐 in 𝑀𝑀𝐼𝐼𝐼𝐼 = NEd ∙ etot, sicer pa ni treba upoštevati niti 𝑧𝑧𝑚𝑚 niti 𝑧𝑧2 – to sta ekscentričnosti zaradi imperfekcije in upogiba tlačnega elementa, temveč upoštevamo samo 𝑧𝑧0 in posledično 𝑀𝑀𝐼𝐼, za katerega je bil prerez že dimenzioniran. 12.2.7 Določitev ekscentritete zaradi upogiba »e2« Čeprav je bila ekscentriteta e2 nakazana z (12.10), se v praksi za poljubne statične sisteme tega načina ne poslužujemo, saj smo v predhodnih prikazih (ekvivalentni moment) ugotovili, da je tak izračun zelo kompleksen. Zato bomo uporabili metodo analize, ki temelji na nazivni ukrivljenosti tlačne palice. Splošno metodo (SIST EN 1992 – 5.8.6), ki sloni na nazivni togosti (SIST EN 1992 – 5.8.7), si lahko bralec pridobi v strokovni literaturi. 434 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Metoda, ki temelji na nazivni ukrivljenosti, je predvsem primerna za izolirane elemente s konstantno osno silo in znano uklonsko dolžino l0. Projektni (ekvivalentni) upogibni moment MEd je bil naveden v (12.13), pri čemer moramo ločiti vrednosti za nepomične in pomične sisteme. Ker smo MEd že prikazali z (12.13) in (12.14), moramo še samo določiti upogibni moment M2, ki posledično nastane zaradi upogiba (pomika) in ga prikazuje (12.37): 𝐌𝐌𝟐𝟐 = 𝐌𝐌𝐞𝐞𝟐𝟐 = 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝐞𝐞𝟐𝟐 (12.37) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝐞𝐞 𝟐𝟐 𝟐𝟐 = (12.38) 𝐩𝐩 ∙ 𝒄𝒄𝟎𝟎 ∙ 𝒄𝒄 Ukrivljenost tlačne palice: 𝟏𝟏 𝟏𝟏 (12.39) 𝐩𝐩 = 𝑲𝑲𝒐𝒐 ∙ 𝑲𝑲𝝋𝝋 ∙ 𝒐𝒐𝟎𝟎 Korekcijski faktor, ki je odvisen od normirane osne sile: 𝐝𝐝 𝐊𝐊 𝐮𝐮 − 𝐝𝐝 𝐩𝐩 = (12.40) 𝐝𝐝𝐮𝐮 − 𝐝𝐝𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝑚𝑚𝑐𝑐 … normirana nosilnost 𝐝𝐝𝐮𝐮 = 𝟏𝟏 + 𝛚𝛚 (12.41) 𝐞𝐞 𝐀𝐀 𝐍𝐍 𝐲𝐲𝐝𝐝 𝐬𝐬 𝐮𝐮 = 𝐍𝐍𝐜𝐜𝐮𝐮 + 𝐍𝐍𝐬𝐬𝐮𝐮 = 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐀𝐀𝐜𝐜 + 𝐞𝐞𝐲𝐲𝐝𝐝 ∙ 𝐀𝐀𝐬𝐬 = 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐀𝐀𝐜𝐜 �𝟏𝟏 + 𝐞𝐞 ∙ � 𝐜𝐜𝐝𝐝 𝐀𝐀𝐜𝐜 𝐍𝐍 𝐝𝐝 𝐮𝐮 𝐮𝐮 = 𝐀𝐀 = 𝟏𝟏 + 𝛚𝛚 𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 𝐍𝐍 𝐝𝐝 = 𝐄𝐄𝐝𝐝 (12.42) 𝐀𝐀𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 𝑚𝑚𝑐𝑐 … normirana osna sila 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 435. 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 … vrednost normirane osne sile na mestu največje »upogibne« odpornosti, ko tlačne napetosti za pravokotni presek ne presegajo 0,4fcd in se jo zato lahko upošteva z vrednostjo 0,4 𝐌𝐌 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝐞𝐞 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝐞𝐞 𝐞𝐞 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 = � 𝐍𝐍 = � → 𝐍𝐍𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 = 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝐱𝐱𝐈𝐈𝐈𝐈 ∙ 𝐍𝐍𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝐱𝐱𝐈𝐈𝐈𝐈 ∙ 𝛉𝛉𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝐍𝐍 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝐞𝐞 𝐝𝐝 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 = 𝐀𝐀 = → 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 𝐱𝐱𝐈𝐈𝐈𝐈 ∙ 𝐞𝐞𝐭𝐭𝐳𝐳𝐭𝐭 ∙ 𝐀𝐀𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 𝐝𝐝𝐛𝐛𝐜𝐜𝐩𝐩 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒 (12.43) Korekcijski faktor, ki je odvisen od lezenja betona: 𝐊𝐊𝛗𝛗 = 𝟏𝟏 + 𝛃𝛃 ∙ 𝛗𝛗𝐞𝐞𝐞𝐞 ≥ 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟓𝟓 (12.44) φef – glej (12.30) 𝐞𝐞 𝝀𝝀 𝛃𝛃 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟓𝟓 + 𝐜𝐜𝐤𝐤 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟏𝟏𝟐𝟐, 𝟑𝟑𝟔𝟔 (12.45) Preglednica 12.1: Vrednosti vitkosti v odvisnosti od tlačne trdnosti betona λ 20 30 40 50 60 70 80 85 fck ⇚ 3 ⇛ 25 0,34 0,27 0,21 0,14 0,08 0 30 0,37 0,30 0,23 0,17 0,10 0,03 0 40 0,42 0,35 0,28 0,22 0,15 0,08 0,08 0 50 0,47 0,40 0,33 0,27 0,20 0,13 0,06 0 β = 0, ko je: fck = 25; λ = 70 fck = 30; λ = 75 fck = 40; λ = 80 in Kφ = 1 fck = 50; λ = 90 Osnovna ukrivljenost: 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 (12.46) 𝐩𝐩 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒅𝒅 436 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ εyd … specifična dilatacija tegnjene armature pri napetosti fyd d … statična višina prereza Slika 12.21: Dokaz ukrivljenosti 𝟏𝟏 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 𝐩𝐩𝟎𝟎 𝟎𝟎,𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒅𝒅 Dokaz: 𝐝𝐝𝐱𝐱 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 (𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅+𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅) ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝐩𝐩 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒅𝒅 𝐩𝐩 = 𝟎𝟎 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟓𝟓 ∙ 𝒅𝒅 12.2.8 Izračun momenta MII in popravek rezultatov, dobljenih po teoriji I. reda Ko smo izračunali e2, lahko v prerezu največjega izklona (upogiba) izračunamo totalno ekscentriteto etot in MII. 𝐞𝐞𝐭𝐭𝐳𝐳𝐭𝐭 = 𝐞𝐞𝟎𝟎𝐞𝐞𝐞𝐞 + 𝐞𝐞𝟏𝟏 + 𝐞𝐞𝟐𝟐 (12.47) e0ef … maksimalna ekscentriteta ⇛ ustrezen M0eEd 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 437. 𝐌𝐌𝐄𝐄𝐝𝐝 = 𝐌𝐌𝐈𝐈𝐈𝐈 = 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝐞𝐞𝐭𝐭𝐳𝐳𝐭𝐭 (12.48) 𝐌𝐌𝐄𝐄𝐝𝐝 = 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ (𝐞𝐞𝟎𝟎𝐞𝐞𝐞𝐞 + 𝐞𝐞𝟏𝟏 + 𝐞𝐞𝟐𝟐) > 𝟏𝟏. 𝟏𝟏𝐌𝐌𝐈𝐈; 𝐌𝐌𝐈𝐈 = 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝐞𝐞𝟎𝟎 (12.49) Če smo za dimenzioniranje po teoriji I. reda določili prerez armature in ustrezne dilatacije v prerezu Mmax, ki nastopi pri okvirnih konstrukcijah v vozliščih stika stebrov z nosilcem, moramo izvršiti korekcijo po naslednjem postopku (uporabili bomo nomograme za RA 400/500 ter simetrično tlačno in natezno armaturo za enoosni upogib a/d = 0,07): 𝐝𝐝𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐮𝐮 = 𝐝𝐝𝐮𝐮 = 𝐍𝐍𝐄𝐄𝐝𝐝 = −𝟏𝟏, 𝟑𝟑 (Slika 12.22) 𝐀𝐀𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 𝐍𝐍 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒇𝒇 𝐦𝐦𝐈𝐈 𝐄𝐄𝐝𝐝 ∙ 𝐞𝐞𝟎𝟎 ´ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝐮𝐮 = �� 𝐀𝐀 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓𝟓 → 𝐀𝐀𝐬𝐬 = 𝐀𝐀𝐬𝐬 = ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 → 𝛍𝛍𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜺𝜺𝒄𝒄 −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 𝜺𝜺 = 𝒌𝒌 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝐌𝐌 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 𝒇𝒇 𝐦𝐦𝐈𝐈𝐈𝐈 𝐈𝐈𝐈𝐈 ´ 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝐮𝐮 = �� 𝐀𝐀 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 → 𝐀𝐀𝐬𝐬 = 𝐀𝐀𝐬𝐬 = ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝐜𝐜 ∙ 𝐞𝐞𝐜𝐜𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔 → 𝛍𝛍𝟎𝟎 𝟐𝟐 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 Izčrpan beton, 𝐀𝐀𝐜𝐜 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅 𝐝𝐝𝐮𝐮 = −𝟎𝟎, 𝟕𝟕 (Slika 12.22) 𝜺𝜺 −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 𝐦𝐦𝐈𝐈 𝒄𝒄 𝐮𝐮 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 → 𝛍𝛍 � 𝟎𝟎 �� = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟓 → 𝜺𝜺 = 𝒌𝒌 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 𝜺𝜺 −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 𝐦𝐦𝐈𝐈𝐈𝐈 𝒄𝒄 𝐮𝐮 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔 → 𝛍𝛍 � 𝟎𝟎 �� = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕 → 𝜺𝜺 = 𝒌𝒌 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 Za nesimetrično armirani presek Aś = 𝐴𝐴𝑠𝑠 pa opazimo, da je sečišče med n 2 u = −1,3 in mIu = 0,3 izven območja, ki jo omejuje μ�0�m ���a�x��, kar pomeni, da smo »na nevarni strani« in je treba povečati betonski prerez ali povišati tlačno trdnost betona (Slika 12.23). 438 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 12.22: Nomogrami za določitev 𝛍𝛍� , 𝟎𝟎 �� 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝜺𝜺𝒄𝒄 ; 𝑨𝑨 𝜺𝜺 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 439. Slika 12.23: Nomogrami za določitev 𝛍𝛍� , 𝟎𝟎 �� 𝐝𝐝𝐝𝐝 𝜺𝜺𝒄𝒄 ; 𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝜺𝜺 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝟐𝟐 440 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za: 𝐝𝐝𝐮𝐮 = −𝟎𝟎, 𝟕𝟕 𝜺𝜺 −𝟑𝟑. 𝟓𝟓 𝐦𝐦𝐈𝐈 𝒄𝒄 𝐮𝐮 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 → 𝛍𝛍 � 𝟎𝟎 �� = 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓 → 𝜺𝜺 = 𝒌𝒌 𝟎𝟎. 𝟕𝟕 𝜺𝜺 −𝟑𝟑, 𝟓𝟓 𝐦𝐦𝐈𝐈𝐈𝐈 𝒄𝒄 𝐮𝐮 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟔𝟔 → 𝛍𝛍 � 𝟎𝟎 �� = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟕𝟕 → 𝜺𝜺 = 𝒌𝒌 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟐𝟐 𝐀𝐀 �� ´ 𝐬𝐬 = 𝛍𝛍𝟎𝟎 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨 = 𝐊𝐊 ∙ 𝑨𝑨 𝟏𝟏 + 𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝒇𝒇 𝒄𝒄; 𝐀𝐀𝐬𝐬 𝒌𝒌; K = 1/2 𝒄𝒄𝒅𝒅 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 13.1 Uvod – »trdnost« V nauku o trdnosti smo spoznali eksaktna izvajanja samo za torzijo okroglih prerezov. Zaradi popolne simetrije ostanejo taki prerezi tudi po deformaciji ravni. Za neokrogle prereze pa smo morali poseči po približnih obrazcih, saj se ti prvotno ravni prerezi po deformaciji vitoperijo. Zaradi tega maksimalne strižne napetosti ne nastopijo v najbolj oddaljeni točki prereza (vogalu), temveč v točki, ki je najbljižja težišču (faza I armiranobetonske konstrukcije). Pri torziji se prerez zaradi različnih vzdolžnih specifičnih deformacij vitoperi. Predpostavljamo, da vitoperjenje ni ovirano. Govorimo o tako imenovani St. Venantovi torziji ali neovirani torziji. Oviranje vitoperjenja povzroča dodatne vzdolžne normalne napetosti 𝜎𝜎𝑚𝑚, ki pa zaradi razpok v betonu (faza II) močno padejo in ne vplivajo bistveno na varnost konstrukcije. 442 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ V masivnih konstrukcijah je ovirana torzija pogosta, zato jo bomo upoštevali z ustreznim armiranjem. »Torzijsko« armaturo bomo določili ob predpostavki, da beton ne prenaša nateznih napetosti. Te napetosti pa lahko prenaša armatura, ki ima zadostne trdnosti. Dejanske in projektne obremenitve bo, kot pri strigu, prevzela armatura šele po nastanku razpok. Potrebna varnost bo dosežena, ko bodo zaradi projektne obremenitve v fazi II (𝐹𝐹𝑑𝑑 = ∑ 𝛾𝛾𝑖𝑖 ∙ 𝐹𝐹𝑚𝑚𝑖𝑖): − natezne napetosti v armaturi nižje ali kvečjemu enake projektni meji plastičnosti 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑; − tlačne napetosti v betonu nižje ali kvečjemu enake projektni trdnosti betona 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑, ki pa jih moramo še dodatno zmanjšati s faktorjem 𝜐𝜐, ker se ob »tlačnih diagonalah« pojavijo še dodatne (stranske) napetosti. Pri znatni torzijski obremenitvi moramo še dokazati deformacije, ker togost (𝐺𝐺∙𝐼𝐼𝑇𝑇)I. zaradi razpok močno pade (𝐺𝐺 ∙ 𝐼𝐼𝑇𝑇)II. Čista torzijska obremenitev, brez prisotnosti upogibnih momentov, prečnih in osnih sil, v gradbeni praksi redko nastopa. V tem poglavju bo kot taka obravnavana, vendar napetostno in deformacijsko stanje lahko dovolj natančno upoštevamo v kombinaciji z drugimi obremenitvami. Za boljše razumevanje tega problema so na Slika 13.1 prikazane vse možne obremenitve, ki se pojavijo na konzoli, nosilcu in stebrih zaradi enolične obtežbe q na konzoli, na Slika 13.2 in Slika 13.3 pa je le omenjeno, v katerih prečkah se pojavi torzijska obremenitev. 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 443. Slika 13.1: Obremenitve v nosilcu, konzoli in stebru zaradi obtežbe q 444 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 13.2: Torzija v elementih A–C in B–D Slika 13.3: Torzija v elementu A–B 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 445. 13.2 Glavne napetosti homogenega prereza pri »čisti« torziji 13.2.1 Faza I – nerazpokan prerez – St. Venantova torzija {𝑭𝑭}𝑻𝑻 = {𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎, 𝑻𝑻𝒙𝒙, 𝟎𝟎, 𝟎𝟎}𝑻𝑻 Samo pri dvojno simetričnih prerezih sovpada težišče s strižnim središčem. Pri vseh ostalih obtežbah je treba določiti strižno središče, za katero določimo torzijski moment. Strižne napetosti, deformacije in torzijske zasuke za fazo I izračunamo s pomočjo znanih enačb, po elastični teoriji, podani v nauku o trdnosti. 𝑻𝑻 𝝉𝝉 𝒙𝒙 𝒊𝒊,𝒗𝒗 = (13.1) 𝑾𝑾𝒌𝒌 𝒅𝒅𝝋𝝋𝒙𝒙 𝑻𝑻𝒙𝒙 (13.2) 𝒅𝒅 = 𝒙𝒙 𝑮𝑮 ∙ 𝑱𝑱𝒌𝒌 𝑻𝑻 ��� 𝝋𝝋 𝒙𝒙 ∙ 𝑻𝑻𝒙𝒙 𝒙𝒙 = � 𝑵𝑵 𝑮𝑮 ∙ 𝑱𝑱𝒌𝒌 Vrednosti za strižne napetosti »torzijskih odpornostnih in vztrajnostnih momentov« so podane v Preglednica 13.1. Potek strižnih napetosti za različne prereze je prikazan na Slika 13.4. Pri polnem pravokotnem prerezu se maksimalne strižne napetosti pojavijo v sredini daljše stranice. Pri votlem prerezu pa v najtanjši steni. Te izračunamo s pomočjo I. Bredtove formule. Torzijski vztrajnostni moment 𝐽𝐽𝑐𝑐 pa izračunamo s pomočjo II. Bredtove formule. I. in II. Bredtova formula odgovarjata za II. fazo – fazo razpok. 𝑻𝑻 𝝉𝝉𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 – 𝑰𝑰. 𝑳𝑳𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒌𝒌𝒐𝒐𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐 (13.3) 𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 446 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟒𝟒 ∙ 𝑨𝑨𝟐𝟐 𝑱𝑱 𝑲𝑲 𝑻𝑻 = – 𝑰𝑰𝑰𝑰. 𝑳𝑳𝒐𝒐𝒄𝒄𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌𝒗𝒗𝒐𝒐 𝒇𝒇𝒌𝒌𝒐𝒐𝒎𝒎𝒄𝒄𝒄𝒄𝒐𝒐 (13.4) ∮ 𝒅𝒅𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝑲𝑲 … prerez nosilca znotraj sredinske črte stene Slika 13.4: Potek torzijskih strižnih napetosti 𝝉𝝉𝒊𝒊,𝒗𝒗 za posamezne prereze: kvadrat, pravokotnik, krog, tanki pravokotnik in votli prerez [5] Glavne tlačne in natezne napetosti, ki se pojavijo v novih ravninah 𝜋𝜋1 in 𝜋𝜋2 kot posledica strižnih napetosti, prikazuje spodnja slika. Slika 13.5: Glavne napetosti 𝝈𝝈𝟏𝟏 in 𝝈𝝈𝟐𝟐 krožnega prereza [5] 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 447. Za tanki pravokotni prerez, ko je 𝜎𝜎 ≫ 𝑛𝑛 ≡ 𝛼𝛼, so vrednosti za 𝑊𝑊𝑐𝑐 in 𝐽𝐽𝑐𝑐 naslednje: 𝟏𝟏 𝑱𝑱𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝒌𝒌𝟑𝟑 ∙ 𝒅𝒅 𝟏𝟏 𝑾𝑾𝑻𝑻 = 𝟑𝟑𝒌𝒌𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅 To ustreza količnikoma 𝛼𝛼 in 𝛽𝛽 za razmerje d/b = ∞. 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝝉𝝉𝑻𝑻 Preglednica 13.1: Strižne napetosti 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 in 𝝉𝝉𝑻𝑻 ter torzijski vztrajnostni moment 𝑱𝑱𝒙𝒙 ≡ 𝑱𝑱𝑻𝑻 za nekatere homogene prereze po elastični teoriji – I. faza [5] 448 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Analizirajmo napetostno stanje pri čisti torziji Tx v pravokotnem prerezu v točki 1 (𝜏𝜏𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) in točki 2 (𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐 < 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑛𝑛) ter določimo natezne (normalne) napetosti 𝜎𝜎1 v pripadajočih ravninah 𝜋𝜋1 in 𝜋𝜋2. Slika 13.6: Strižne in glavne natezne napetosti torzijsko obremenjenega pravokotnega prereza v točkah 1 in 2 S pomočjo Möhrovega napetostnega kroga ali s pomočjo (13.5) ugotovimo, da se pojavijo glavne natezne napetosti v ravninah pod kotom 45o v primerjavi z osjo nosilca in so enake ustreznim strižnim napetostim (𝜎𝜎𝜋𝜋1 𝜋𝜋2 1 = 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑛𝑛; 𝜎𝜎1 = 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑐𝑐). 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝟏𝟏,𝟐𝟐 = ±�𝝉𝝉𝑻𝑻 = ±𝝉𝝉𝑻𝑻 (13.5) 𝟐𝟐𝝉𝝉 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝝋𝝋 = − 𝒊𝒊 𝟎𝟎 → 𝝋𝝋 = 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒌𝒌 Glavne natezne napetosti 𝜎𝜎1 so največje na robovih, prerezi proti strižnemu središču pa se manjšajo. Zato bo na tem mestu, ravninah 𝜋𝜋1in 𝜋𝜋2, beton najprej počil. Zaradi tega bomo morali glavne natezne napetosti prevzeti z armaturo po obodu prereza. 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 449. Po nastanku razpok in prevzemu nateznih napetosti preidemo v II. fazo – podobno kot pri upogibu in strigu zaradi prečnih sil. 13.2.2 Faza IIa Armiranje lahko izvršimo s spiralno armaturo, ki pa nosi samo v »smeri navitja«. V primeru spremembe predznaka torzijskega momenta ta spirala ne nosi nič. Zato ojačamo nosilec s tako imenovano ortogonalno armaturo, ki jo tvorijo stremena, in vzdolžno armaturo, nameščeno po obodu nosilca. Stremena se preklapljajo po krajši stranici pravokotnega prereza. Slika 13.7: Ortogonalna armatura torzijsko obremenjenega nosilca pravokotnega prereza Preiskave so dokazale, da z nastopom razpok (𝜑𝜑=45 𝑜𝑜𝑧𝑧𝑚𝑚𝑘𝑘𝑜𝑜𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜑𝜑=135𝑜𝑜) in ustreznim armiranjem po obodu prereza pri nosilnosti sodeluje le tanka stena betona z debelino t. Votli in polni kvadratni prerez, oba enako armirana z vzdolžno in prečno (stremensko) armaturo, se podobno obnašata, saj so se torzijski zasuki 𝝋𝝋𝒙𝒙 pri različnih torzijskih momentih TX nebistveno razlikovali. To tudi velja za pravokotne prereze, katerih prerez h x b je konstanten, čeprav je razmerje h/b različno. Po predpisih SIST EN 1992 efektivno debelino stene tef izračunamo po (13.6). 450 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑨𝑨 𝟐𝟐𝒄𝒄 ≤ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 ≤ (13.6) 𝒄𝒄 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑓𝑓 … efektivna debelina stene 𝜎𝜎 … oddaljenost težišča vzdolžne torzijske armature do roba prereza 𝐴𝐴 … celotni prerez znotraj zunanjega oboda, upoštevajoč tudi morebitni notranji votli del 𝑢𝑢 … zunanji obod prečnega prereza Na Slika 13.8 so prikazani ustrezni votli prerezi polnega pravokotnega in peterokotnega nosilca ter votlega (škatlastega) prereza z različnimi debelinami sten ti. Na Slika 13.9 so prikazani škatlasti prerezi mostnih konstrukcij, ki so lahko tudi obremenjeni z »ekscentrično« koristno obtežbo. Slika 13.10 pa prikazuje prečni prerez mostu s komentarjem. Slika 13.8: Primeri polnih pravokotnikov in peterokotnika ter votlega prereza [5] 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 451. Zaradi dobre distribucije strižnih napetosti po »votlem« prerezu (velika torzijska vztrajnost GJt) jih pogosto uporabljamo pri gradnji mostov, kjer zaradi nesimetrične premične obtežbe nastane torzijska obremenitev. Slika 13.9: Primeri prečnih prerezov konstrukcij mostov 452 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 13.10: Škatlasti prečni prerez mostu Delež torzijske togosti presekov 1 je v primerjavi s torzijsko togostjo preseka »škatle« 2 na zgornji sliki neznaten in se ga v praksi lahko zanemari. 13.2.3 Analiza možnih »predalčij« v vertikalnih in horizontalnih ravninah Pri čisti torziji se podobno kot pri strigu zaradi prečnih sil tvori »predalčna konstrukcija«. V smeri trajektorij nateznih napetosti namestimo oziroma položimo armaturo, ki je sposobna te napetosti prevzeti, v smeri tlačnih napetosti pa upoštevamo nosilnost betona s tako imenovanimi tlačnimi palicami (princip nateznih vezi in tlačnih palic – ties and struts). Možne oblike predalčja so različne. Rüsch je predlagal statično nedoločeno predalčje (Slika 13.11), ki je za prakso manj primerno in se danes poslužujemo Mörschevega paličja, ki je statično določeno (Slika 13.12 in Slika 13.13). Natezne palice so podane z eno črto, tlačne pa so »odebeljene«. Analizirajmo razmere v točki 1 Mörscheve rešetke z diagonalami pod kotom α in Mörscheve rešetke z diagonalami pod kotom α = 90o. Naklon tlačnih diagonal je nagnjen za kot θ k osi nosilca. Kot je prikazano na Slika 9b, c, se lahko v vozlišču 1 pojavi rezultanta sil 𝑆𝑆�1�⃑ + 𝐶𝐶�1�⃑ + 𝑆𝑆�2�⃑ + 𝐶𝐶�2�⃑ = 𝑇𝑇�1�⃑ + 𝑇𝑇�2�⃑ = 𝑇𝑇���⃑, ki jo prevzame vzdolžna (v našem primeru vogalna) armatura. V primeru kvadratnega prereza in kotov α = θ = 45o je rezultanta 𝑇𝑇�⃑ = 0. 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 453. Rezultanta 𝑇𝑇�1�⃑ predstavlja vektorsko vsoto diagonalnih sil 𝑆𝑆�1�⃑ + 𝐶𝐶�1�⃑ v vertikalni ravnini π1, rezultanta 𝑇𝑇�2�⃑ pa predstavlja vektorsko vsoto diagonalnih sil 𝑆𝑆�2�⃑ + 𝐶𝐶�2�⃑ v horizontalni ravnini π2 Mörscheve rešetke. Slika 13.11: Rüschevo paličje α, θ v ravninah π1, π2 𝑇𝑇�1�⃑ = 𝑇𝑇�2�⃑, ko je h = b in α = θ = 45o Ci … sile v tlačnih diagonalah Si … sile v tegnjenih diagonalah αi … nagibi nateznih diagonal θi … nagibi tlačnih diagonal 454 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 13.12: Mörshevo paličje α, θ v ravninah π1, π2 Slika 13.13: Mörshevo paličje α = 90, θ v ravninah π1, π2 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 455. Slika 13.14 prikazuje prostorsko paličje v vidnih in nevidnih ravnina za α = 90o, θ = 45o. Slika 13.14: Paličje pri čisti torziji (kvadratni prerez) 456 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 13.15: Rezultanti 𝑹𝑹 ��𝟏𝟏�⃑ = 𝑪𝑪�𝟏𝟏�⃑ + 𝑵𝑵�𝟏𝟏�⃑ in 𝑹𝑹��𝟐𝟐�⃑ = 𝑪𝑪�𝟐𝟐�⃑ + 𝑵𝑵�𝟐𝟐�⃑ v vozlišču B Slika 13.16: Rezultanta tlačnih sil 𝑪𝑪�𝟏𝟏�⃑ in 𝑪𝑪�𝟐𝟐�⃑ v diagonalah vozlišča B – 𝑹𝑹��𝟏𝟏�⃑(𝑪𝑪�𝟏𝟏�⃑+𝑪𝑪�𝟐𝟐�⃑) 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 457. θ = 45o, α = 90o: �𝑪𝑪�𝟏𝟏��𝒙𝒙�⃑� = �𝑪𝑪�𝟐𝟐��𝒙𝒙�⃑�; 𝑪𝑪�𝟏𝟏�⃑ = {+𝑪𝑪𝟏𝟏𝒙𝒙, 𝟎𝟎, −𝑪𝑪𝟏𝟏𝒐𝒐 }; 𝑪𝑪�𝟐𝟐�⃑ = �−𝑪𝑪𝟐𝟐𝒙𝒙, −𝑪𝑪𝟐𝟐𝒄𝒄, 𝟎𝟎 � 𝑹𝑹 ��𝟏𝟏�⃑(𝑪𝑪��𝟏𝟏�⃑ + 𝑪𝑪��𝟐𝟐�⃑) = �(+𝑪𝑪𝟏𝟏𝒙𝒙 − 𝑪𝑪𝟐𝟐𝒙𝒙),−𝑪𝑪𝟐𝟐𝒄𝒄,−𝑪𝑪𝟏𝟏𝒐𝒐� 𝑹𝑹 ��𝟏𝟏�⃑(𝑪𝑪��𝟏𝟏�⃑+𝑪𝑪��𝟐𝟐�⃑) = �𝟎𝟎,−𝑪𝑪𝟐𝟐𝒄𝒄,−𝑪𝑪𝟏𝟏𝒐𝒐� Slika 13.17: Možna poškodba vogala Slika 13.17 prikazuje možno poškodbo vogala pri slabem prerezu vzdolžne armature in prevelikem razmiku stremen sw oziroma slabem prerezu stremen. 13.3 Dimenzioniranje torzijsko obremenjenih prerezov za mejno stanje nosilnosti – MSN 13.3.1 Uvod 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 = � 𝑻𝑻𝒊𝒊 ∙ 𝜸𝜸𝒄𝒄𝒊𝒊 ≤ 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅 (13.7) 𝒊𝒊 458 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za MSN moramo definirati pojav prvih razpok oziroma vrednost mejnega torzijskega momenta, pri katerem bo izčrpana nosilnost prereza. Mejna nosilnost zaradi torzije lahko nastopi po betonu, armaturi ali po obeh materialih istočasno. Pri istočasnem delovanju upogiba My, Vz in torzije Tx se strižne napetosti zaradi prečne sile Vz in torzije Tx ponekod seštevajo, ponekod pa odštevajo. Armiranje takih nosilcev izvedemo ločeno za vsako obremenitev posebej. V primeru »čiste« torzije bo mejna nosilnost obravnavana na modelu prostorskega paličja (Slika 13.11, Slika 13.12 in Slika 13.13), kjer natezne diagonale (S), ki so jeklene, pod kotom α k osi nosilca dosežejo mejo plastičnosti jekla fyd, medtem ko tlačne diagonale (C) pod kotom θ k osi nosilca dosežejo projektno tlačno trdnost betona fcd. Pri čisti torziji je torzijski zasuk φx premo sorazmeren s torzijskim momentom do pojava prve razpoke (13.2), nato pa se torzijski zasuki hitro povečujejo (torzijska togost v fazi IIa pade). Ta faza »traja«, dokler armatura ne doseže meje plastičnosti fyd, nato pa se krivulja Tx/φx asimptotično približuje Txu. Obnašanje torzijskih zasukov φx v odvisnosti od Tx za različne faze prikazuje Slika 13.18. Slika 13.18: Diagram 𝟎𝟎𝐱𝐱/𝛗𝛗𝐱𝐱 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 459. 13.3.2 Analiza napetostnega stanja 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒅𝒅 in določitev ustreznega mejnega torzijskega momenta 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙, ko je izčrpana tlačna nosilnost betona Vpliv torzije in prečne sile pri polnih in »votlih« prerezih se morajo sešteti. Pri tem privzamemo za obe obremenitvi enak kot θ (nagib tlačne diagonale k osi nosilca). Slika 13.19: Vpliv torzije in prečne sile pri polnih in »votlih« prerezih V poglavju, kjer smo obravnavali vpliv prečnih sil na nosilec konstantnega prereza, je bila za fazo II izpeljana enačba za izračun projektne tangencialne napetosti τV,d. 𝑽𝑽 𝝉𝝉 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝑽𝑽,𝒅𝒅 = (13.8) 𝒃𝒃𝝎𝝎 ∙ 𝒐𝒐 Ustrezna projektna tlačna napetost v tlačni diagonali Dc (glej podpodpoglavje 8.2.2, (8.7)) pa je po enačbi 13.10 znašala: 𝑽𝑽 𝝈𝝈 𝒐𝒐,𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝒃𝒃𝝎𝝎 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ≤ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (13.9) Z upoštevanjem I. Bredtove enačbe dobimo strižno napetost zaradi torzije za votle prereze po (13.3): 460 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑻𝑻 𝝉𝝉 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑻𝑻 = (13.10) 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 S pomočjo (13.9) in (13.10) določimo tlačno napetost σcd v tlačni diagonali Dc tako, da vnesemo namesto vrednosti 𝜏𝜏𝑉𝑉,𝑑𝑑 vrednost 𝜏𝜏𝑇𝑇,𝑑𝑑, ki pa ne sme presegati vrednosti reducirane tlačne trdnosti betona 𝜗𝜗 ∙ 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. 𝑻𝑻 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) ≤ 𝝑𝝑 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (13.11) Iz (13.10) izračunamo projektni torzijski moment, pri katerem dosežemo reducirano projektno trdnost betona 𝜗𝜗 ∙ 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑 (beton je izčrpan). 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 (13.12) ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) Za 𝛼𝛼=90𝑜𝑜 je 𝜎𝜎𝛼𝛼𝑘𝑘90𝑜𝑜= 0 dobimo: 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝒄𝒄 (13.13) Količnika 𝜗𝜗 in 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 sta že bila omenjena v poglavju o strigu. 𝜗𝜗 = 0,6 �1 − 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐� … količnik zaradi dvoosnega napetostnega stanja diagonal 250 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1 … če ni prednapetja 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 461. I. Bredtova enačba: 𝐝𝐝𝟎𝟎𝐱𝐱𝐝𝐝 = 𝛕𝛕𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝𝐒𝐒𝐝𝐝 ∙ 𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝛒𝛒𝐝𝐝 𝟎𝟎𝐱𝐱𝐝𝐝 = � 𝐝𝐝𝟎𝟎𝐱𝐱𝐝𝐝 = � 𝛕𝛕𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝛒𝛒𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝𝐒𝐒𝐝𝐝 = 𝛕𝛕𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝟐𝟐𝐀𝐀𝐊𝐊 𝐒𝐒𝐝𝐝 𝐒𝐒𝐝𝐝 𝟎𝟎 𝛒𝛒 𝐱𝐱𝐝𝐝 𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝𝐒𝐒𝐝𝐝 = 𝟐𝟐𝐀𝐀𝟏𝟏; � 𝛒𝛒𝐝𝐝 ∙ 𝐝𝐝𝐒𝐒𝐝𝐝 = 𝟐𝟐𝐀𝐀𝐊𝐊; 𝛕𝛕𝐭𝐭𝐝𝐝 = 𝐭𝐭𝐝𝐝 ∙ 𝟐𝟐𝐀𝐀𝐊𝐊 𝐒𝐒𝐝𝐝 13.3.3 Določitev nateznih sil v vzdolžni in stremenski armaturi ter mejnih torzijskih momentov, ko sta izčrpani vzdolžna in stremenska armatura (𝝈𝝈𝒌𝒌𝒅𝒅 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅;𝜶𝜶 = 𝟗𝟗𝟎𝟎𝒌𝒌) Slika 13.20: Prikaz elementarnih »teles« škatle v ravninah 𝟐𝟐𝟏𝟏in 𝟐𝟐𝟐𝟐 za t = 𝐜𝐜𝐳𝐳𝐝𝐝𝐬𝐬𝐭𝐭 → 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒄𝒄 = 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 Analiza napetostnih razmer v vertikalni ravnini 𝜋𝜋1v točkah 1 in 2. 462 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 13.21: Prikaz sil v vzdolžni in stremenski armaturi zaradi »čiste« torzije Priporočilo: 𝒄𝒄 𝒌𝒌 𝑲𝑲 𝑳𝑳 ≤ (13.14) 𝟔𝟔 Točka 1 Rezultanta strižnih napetosti 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑛𝑛 (glej zgornjo sliko): 𝑻𝑻 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑽𝑽 = 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 ∙ 𝒌𝒌𝑳𝑳𝒊𝒊 ∙ 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝑻𝑻 (13.15) = 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝑲𝑲 Ravnotežje sil v točki 1: 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 463. Slika 13.22: Ravnotežje sil v točki 1 Natezna sila v i-ti vzdolžni armaturi: 𝑻𝑻 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 = 𝑭𝑭𝑽𝑽 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 (13.16) 𝑲𝑲 Tlačna sila v betonu: 𝑭𝑭 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝑭𝑭 𝑽𝑽 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒘𝒘 𝑪𝑪 = (13.17) 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝒄𝒄 Natezna sila v vzdolžni armaturi na enoto oboda: 𝑭𝑭 𝑻𝑻 𝒌𝒌 𝑻𝑻 𝒇𝒇 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒘𝒘 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 = 𝒌𝒌 = ∙ ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 (13.18) 𝑳𝑳𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 Natezna sila v vzdolžni armaturi po celotnem obodu: 𝑻𝑻 � 𝒇𝒇 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 = 𝑭𝑭𝑵𝑵𝑳𝑳 = 𝒇𝒇𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 (13.19) 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 𝑲𝑲 Natezna napetost v celotni vzdolžni armaturi: 𝑭𝑭 𝑻𝑻 𝝈𝝈 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 = ∑ 𝑨𝑨 = ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 (13.20) 𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ ∑ 𝑨𝑨𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 464 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Projektni torzijski moment, ko je izčrpana vzdolžna armatura: 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝑻𝑻 𝑲𝑲 ∙ ∑ 𝑨𝑨𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝑳𝑳 = 𝒄𝒄 ≥ 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 (13.21) 𝑲𝑲 Potrebna celotna vzdolžna armatura: 𝑻𝑻 𝑨𝑨 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 𝑵𝑵𝑳𝑳 = � 𝑨𝑨𝑵𝑵𝑳𝑳𝒊𝒊 ≥ 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 (13.22) 𝑲𝑲 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 Za 1. iteracijo izberemo 𝜃𝜃=45𝑜𝑜. 𝑓𝑓𝑐𝑐𝐿𝐿,𝑑𝑑 … projektna meja plastičnosti vzdolžne armature Točka 2 Rezultanta strižnih napetosti 𝜏𝜏𝑛𝑛𝑚𝑚 (glej Slika 13a): 𝝉𝝉𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝝉𝝉𝒙𝒙𝒐𝒐 = 𝝉𝝉𝑻𝑻𝒅𝒅 𝑻𝑻 𝑻𝑻 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑹𝑹 = 𝝉𝝉𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 (13.23) 𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 Ravnotežje sil v točki 2: Slika 13.23: Ravnotežje sil v točki 2 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 465. Natezna sila v i-tem stremenu: 𝑻𝑻 𝑭𝑭 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑵𝑵𝒘𝒘 = 𝑭𝑭𝑹𝑹 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 (13.24) 𝑲𝑲 Potreben prerez stremena (enosečnega): 𝑭𝑭 𝑻𝑻 𝑨𝑨 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝟏𝟏𝑵𝑵 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ≥ (13.25) 𝒇𝒇 = 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 Projektna natezna napetost v enosečnem stremenu: 𝑭𝑭 𝑻𝑻 𝝈𝝈 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒘𝒘𝒊𝒊 = 𝑨𝑨 = ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 (13.26) 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 Projektni torzijski moment, pri čemer je izčrpano streme: 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝑻𝑻 𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒘𝒘 = 𝒌𝒌 ≥ 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 (13.27) 𝒘𝒘 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑑𝑑 … projektna meja plastičnosti stremen V praksi običajno izračunamo razdaljo med stremeni (𝐹𝐹𝐸𝐸𝑑𝑑 =𝑓𝑓(𝑚𝑚)). 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝒌𝒌 𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒘𝒘 = (13.28) 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 13.3.4 Izračun projektnega torzijskega momenta pri znani vzdolžni in stremenski armaturi Ko smo izračunali prerez in razmik stremen ter (longitudinalne) vzdolžne armature pri predpostavljenem naklonskem kotu 𝜃𝜃 tlačne diagonale, lahko izračunamo projektni torzijski moment TRd, ki ustreza vzdolžni in stremenski armaturi, ter pripadajoči kot 𝜃𝜃 tlačne diagonale. 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒘𝒘 = 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝑳𝑳 (13.29) 466 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 𝒌𝒌 = (13.30) 𝒘𝒘 𝒄𝒄𝑲𝑲 𝟏𝟏 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 (13.31) 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝒄𝒄 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑨𝑨 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 = � 𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 (13.32) 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 S pomočjo enačb (13.21) in (13.33) izračunamo projektni torzijski moment 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑑𝑑,𝐿𝐿: 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑻𝑻 𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄,𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝑲𝑲 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝑳𝑳 = (13.33) 𝒄𝒄 ∙ � 𝑲𝑲 𝑨𝑨𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 ∙ 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑨𝑨 𝑨𝑨 𝑻𝑻 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑳𝑳 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝑳𝑳,𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 ≤ 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝑳𝑳 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ � 𝒌𝒌 ∙ � 𝒘𝒘 𝒄𝒄𝑲𝑲 (13.34) = 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒘𝒘 Priporočene vrednosti za kot 𝜃𝜃 so omejene z enačbo: 𝟏𝟏 ≤ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 ≤ 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 (13.35) 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒌𝒌 ≥ 𝒄𝒄 ≥ 𝟐𝟐𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝒌𝒌 (13.36) Če kot 𝜃𝜃 leži izven območja, podanega z (13.36), upoštevamo najbližjo vrednost. V praksi stremimo k temu, da namestimo vzdolžno in stremensko armaturo na čim bolj enakih razdaljah (𝜀𝜀𝐿𝐿 ≅ 𝜀𝜀𝑐𝑐). 13.3.5 Kombinacije obremenitev V tlačnem polju (od upogiba) lahko prerez vzdolžne armature ustrezno zmanjšamo. V nateznem pasu pa moramo torzijsko vzdolžno armaturo dodati k armaturi zaradi upogibnega momenta in natezne sile. 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 467. Vzdolžna torzijska armatura mora biti razporejena vzdolž stranic »škatlastega« prereza, medtem ko mora biti pri manjših prerezih skoncentrirana v vogalih (na primer pravokotni prerez ∅ 12 v vsakem vogalu). Pri istočasnem delovanju prečne sile 𝑉𝑉𝑛𝑛𝑑𝑑 (𝑉𝑉𝐸𝐸𝑑𝑑) in torzijskega momenta 𝐹𝐹𝐸𝐸𝑑𝑑 tlačne napetosti diagrama ne smejo prekoračiti vrednosti 𝛼𝛼𝑐𝑐𝑐𝑐 ∙ 𝜗𝜗 ∙ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑑𝑑. 𝝈𝝈 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒅𝒅 + 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒅𝒅 ≤ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 (13.37) Predpis to zahteva z (13.38): 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑻𝑻 + ≤ 𝟏𝟏 (13.38) 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 Projektna nosilnost tlačnih diagonal pri torziji in strigu: 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝑽𝑽 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐(𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝜶𝜶) 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝒊𝒊𝒏𝒏𝒄𝒄𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 + 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝟐𝟐𝒄𝒄 Minimalna količina strižne in torzijske armature se zahteva, ko je izpolnjen pogoj v spodnji enačbi: 𝑻𝑻𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑽𝑽𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑻𝑻 + ≤ 𝟏𝟏 (13.39) 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝐹𝐹𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐 … projektni torzijski moment ob nastanku razpoke v betonu 𝑻𝑻 𝝉𝝉 𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 𝑻𝑻 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌 ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒅𝒅 → 𝑻𝑻𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ∙ 𝒌𝒌 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒅𝒅 (13.40) 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑑𝑑,𝑐𝑐 … projektna prečna sila ob nastanku razpoke v betonu 𝑽𝑽𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 = �𝑪𝑪𝑹𝑹𝒅𝒅,𝒄𝒄 ∙ (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝝆𝝆𝟏𝟏 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒄𝒄)𝟏𝟏/𝟑𝟑 + 𝑲𝑲𝟏𝟏 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒑𝒑� ∙ 𝒃𝒃𝒘𝒘 ∙ 𝒅𝒅 (13.41) 468 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Zgornja enačba je bila podana pri poglavju o strigu. V primeru upogibnih in torzijskih obremenitev moramo raziskati oziroma določiti glavne (tlačne) napetosti škatlastega prereza. Slika 13.24: Glavne napetosti v točki 1 tlačne plošče škatlastega nosilca �𝝈𝝈(𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑴𝑴𝒄𝒄) 𝟐𝟐 � ≤ 𝜶𝜶𝒄𝒄𝒘𝒘 ∙ 𝝑𝝑 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒅𝒅 𝜎𝜎1 ≤ 𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑑𝑑 … če ta pogoj ni izpolnjen, se lahko v zgornji plošči pojavijo razpoke 13.3.6 Razdalje med stremeni pri dvoosnem upogibu in torziji Ker v praksi čista torzija skoraj nikoli ne nastopi, pač pa v kombinacijami s prečnimi silami (dvoosni upogib), moramo izračunati razmik med stremeni 𝒌𝒌𝒘𝒘 zaradi vseh vplivov (𝑉𝑉𝑛𝑛,𝑉𝑉𝑐𝑐,𝐹𝐹𝑚𝑚). Slika 13.25: Strižne napetosti 𝝉𝝉𝒊𝒊𝒗𝒗 zaradi dvoosnega upogiba in torzije (𝑽𝑽𝒐𝒐, 𝑽𝑽𝒄𝒄, 𝑻𝑻𝒙𝒙) 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 469. Kot je razvidno iz Slika 13.25, se strižne napetosti (tokovi) zaradi vseh teh obremenitev v eni točki seštevajo (točke 2). V točki 2 je delež 𝜏𝜏𝑉𝑉𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑐𝑐 nebistven, v točki 1 pa je nebistven delež 𝜏𝜏𝑉𝑉𝑐𝑐 𝑚𝑚𝑛𝑛 . Razdalje med stremeni 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑖𝑖 zaradi posameznih vplivov podajajo (13.42), (13.43) in (13.44): 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 𝑻𝑻𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 𝑲𝑲 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉,𝒃𝒃 𝒘𝒘 = (13.42) 𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝒉𝒉 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉 𝒘𝒘 = (13.43) 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒐𝒐𝒃𝒃 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒃𝒃 𝒘𝒘 = (13.44) 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 Če upoštevamo, da je mejna projektna nosilnost stremen za i-to obremenitev: 𝑹𝑹 𝒊𝒊 𝒅𝒅𝒊𝒊 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒊𝒊𝒉𝒉,𝒃𝒃 (13.45) in da so strižni tokovi: 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒅𝒅 ∙ 𝝆𝝆´𝒄𝒄 𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒇𝒇 = (13.46) 𝑰𝑰 = ≅ 𝒄𝒄 𝒐𝒐𝒉𝒉 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒉𝒉 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝑽𝑽 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝝆𝝆´𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 = (13.47) 𝑰𝑰 = ≅ 𝒐𝒐 𝒐𝒐𝒃𝒃 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝒃𝒃 𝑻𝑻 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒇𝒇 = (13.48) 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝑲𝑲 ter če izrazimo strižne tokove s pomočjo enačb (13.42), (13.48), (13.43) in (13.46) ter (13.44) in (13.47), ob upoštevanju (13.45) dobimo strižne tokove od posameznih obremenitev 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑓𝑓: 470 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑻𝑻 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇 𝑹𝑹𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙,𝒅𝒅 𝒙𝒙𝒊𝒊,𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉,𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒇𝒇 = (13.49) 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨 = 𝑲𝑲 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 = 𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑽𝑽 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝑹𝑹𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉 𝒅𝒅 𝒇𝒇 = (13.50) 𝒐𝒐 = 𝒉𝒉 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝑽𝑽 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 𝑹𝑹𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒃𝒃 𝒅𝒅 𝒇𝒇 = 𝒐𝒐 = 𝒃𝒃 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 (13.51) 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 Ker je razdalja med stremeni 𝜀𝜀𝑐𝑐 premo sorazmerna projektni nosilnosti stremen in obratno sorazmerna strižnemu toku zaradi vseh obremenitev, dobimo razdaljo med stremeni po (13.52): 𝑹𝑹𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒅𝒅 𝒘𝒘 = (13.52) 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙,𝒅𝒅 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒇𝒇 + 𝒌𝒌𝒇𝒇 + 𝒌𝒌𝒇𝒇 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒇𝒇 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒊𝒊𝒉𝒉,𝒃𝒃 𝒘𝒘 = 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒙𝒙 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉,𝒃𝒃 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘 ∙ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒉𝒉 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙𝒅𝒅 + 𝑽𝑽𝒐𝒐𝒅𝒅 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 (13.53) 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 ∙ 𝒇𝒇 + 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒄𝒄𝒘𝒘,𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒃𝒃 𝒌𝒌𝑽𝑽𝒄𝒄𝒅𝒅 𝒘𝒘 V (13.53) nastopata vrednosti 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐𝑖𝑖 in 𝜃𝜃𝑖𝑖, ki ju moramo skrbno definirati: 𝜃𝜃𝑖𝑖 predstavlja naklonski kot tlačne diagonale v vertikalni ali horizontalni ravnini Mörscheve rešetke, 𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐𝑖𝑖 pa pomeni prerez stremen, ki se nanaša na sečnost stremen, odvisno od njihove obremenitve (𝑉𝑉, 𝐹𝐹𝑚𝑚) in namestitve. Nekaj primerov določitve sečnosti (𝜌𝜌𝑖𝑖) stremen prikazujejo Slika 13.26, Slika 13.27 in Slika 13.28 ter podaja (13.54). Dvosečno-dvostrižno streme, sečnost stremen: 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄,𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙; 𝒎𝒎𝒄𝒄,𝒐𝒐 = 𝟐𝟐 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 471. 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒙𝒙 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌; 𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 (13.54) Slika 13.26: Torzija − dvostrižno streme Štirisečno streme, sečnost stremen: 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄,𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟒𝟒 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙; 𝒎𝒎𝒄𝒄,𝒐𝒐 = 𝟒𝟒 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒙𝒙 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌; 𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝟐𝟐 (13.55) Slika 13.27: Torzija − štirisečno streme 472 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Štiri-/dvo-/enosečno strižno streme, sečnost stremen: 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟒𝟒 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙; 𝒎𝒎𝒐𝒐 = 𝟒𝟒 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝑨𝑨𝑽𝑽𝒄𝒄 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌𝒘𝒘,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙; 𝒎𝒎𝒄𝒄 = 𝟐𝟐 𝑨𝑨𝑻𝑻𝒙𝒙 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌; 𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 (13.56) Slika 13.28: Torzija − sečnost − štiri-/dvo-/enosečno strižno streme 𝑨𝑨𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝒎𝒎𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝒎𝒎𝒊𝒊 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 (13.57) 𝐴𝐴1𝑠𝑠 … prerez enega stremena 𝑚𝑚𝑖𝑖 … sečnost – strižnost stremen Po ureditvi pride (13.53) v končno obliko: 𝒎𝒎 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 𝒘𝒘 = 𝒎𝒎𝟏𝟏 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 𝒌𝒌𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎𝟑𝟑 ∙ 𝑨𝑨𝟏𝟏𝒌𝒌 𝟑𝟑 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒎𝒎 = 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒎𝒎 𝟏𝟏 𝒌𝒌𝟏𝟏 + 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝟐𝟐 + 𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒘𝒘 𝒌𝒌𝒘𝒘 𝒌𝒌𝟑𝟑𝒘𝒘 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 473. 𝒎𝒎 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝒘𝒘 = ∑ 𝒎𝒎𝒊𝒊 (13.58) 𝒊𝒊 𝒌𝒌𝒘𝒘𝒊𝒊 Zgledi: 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙 𝑽𝑽𝒐𝒐 𝑽𝑽𝒄𝒄 𝒘𝒘 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎, 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒎𝒎, 𝒌𝒌𝒘𝒘 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎 Po Slika 13.26: 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 = 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎 (𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎) 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒘𝒘 Po Slika 13.27: 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 = 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎 (𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎) 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟒𝟒 𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒘𝒘 Po Slika 13.28: 𝟒𝟒 𝟒𝟒 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙+𝑽𝑽𝒄𝒄+𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 = 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎 (𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎) 𝒌𝒌𝑻𝑻𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒄𝒄 + 𝟐𝟐𝑽𝑽𝒐𝒐 𝒘𝒘 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝟐𝟐𝟎𝟎 + 𝟐𝟐 𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟒𝟒 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒘𝒘 Opomba: vrednosti v oklepajih ustrezajo razdaljam med stremeni samo zaradi vpliva 𝐹𝐹𝑚𝑚 in 𝑉𝑉𝑛𝑛. 𝒎𝒎 𝑽𝑽 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 → 𝒌𝒌𝒄𝒄 = 𝟎𝟎 𝒘𝒘 474 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 14.1 Uvod – MSU V poglavju 5 so bila obdelana MSU za karakteristično, pogosto in navidezno stalno kombinacijo vplivov na konstrukcijo. Spoznali smo, da vplivov ne faktoriramo s faktorji 𝛾𝛾𝑐𝑐𝑖𝑖, kot jih moramo upoštevati pri metodi MSN, kar pomeni, da računamo z dejansko obtežbo, ko upoštevamo reologijo betona, pa celo zmanjšamo koristne obtežbe s faktorji 𝜓𝜓2𝑖𝑖 ((5.10), (5.11) in (5.12)). Zanimata nas samo fazi I in faza IIa, s pomočjo katerih izračunamo zahtevane statične količine prereza oziroma togosti konstrukcije, kar je bilo podano v poglavju 4 z (4.22), (4.39), (4.40), (4.44) in (4.45). 14.2 Statične količine prereza – nevtralne osi, togosti (𝑨𝑨𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒅𝒅; 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅; 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅; 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅) Nauk o trdnosti nas uči, da za homogene, nerazpokane elastično deformirane sisteme veljajo nasljednje enačbe: 476 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟏𝟏 𝒗𝒗(𝒙𝒙) = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒗𝒗′ ′ (𝒙𝒙) = 𝝋𝝋(𝒙𝒙) = 𝑬𝑬 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟐𝟐(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝝋𝝋 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒗𝒗′′ ′′ (𝒙𝒙) = 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝝒𝝒(𝒙𝒙) = 𝑬𝑬 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟑𝟑(𝒙𝒙) (14.1) 𝟏𝟏 = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝑴𝑴(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝝒𝝒 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒗𝒗′′′ ′′′ (𝒙𝒙) = 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝑬𝑬 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟒𝟒(𝒙𝒙) = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝑸𝑸(𝒙𝒙) 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝒗𝒗′′′′ ′′′′ (𝒙𝒙) = 𝑬𝑬 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒇𝒇𝟓𝟓(𝒙𝒙) = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒓𝒓(𝒙𝒙) Za nosilce, obremenjene z enakomerno zvezno obtežbo, velja, da je: 𝒓𝒓𝒙𝒙𝟒𝟒 𝒓𝒓𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒇𝒇𝟏𝟏(𝒙𝒙) = 𝟐𝟐𝟒𝟒 + 𝑨𝑨 ∙ 𝟐𝟐 + 𝑪𝑪 ∙ 𝒙𝒙 + 𝑫𝑫 (14.2) Konstante A, B, C in D izračunamo s pomočjo robnih pogojev. V praksi pa uporabljamo za izračun deformacij v določenem prerezu spodnjo enačbo. 𝑴𝑴 ������ 𝒗𝒗 = � (𝒐𝒐) ∙ 𝑴𝑴(𝒐𝒐) ������ 𝑬𝑬 � 𝝒𝝒 ∙ 𝑴𝑴(𝒐𝒐) ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 (14.3) 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰 ∙ 𝒅𝒅𝒌𝒌 = 𝑵𝑵 𝑵𝑵 V predhodnih enačbah nastopa vztrajnostni moment 𝐼𝐼, ki je nedefiniran, saj se z obremenitvijo spreminja zaradi pojava razpok armiranobetonskih elementov. Upoštevati pa moramo tudi spremembe modula elastičnosti betona zaradi trajne obtežbe. Za trenutno obtežbo že poznamo območja obnašanja armiranobetonskih nosilcev v fazah I in IIa, kjer smo spoznali, da se armiranobetonski prerez in vztrajnostni momenti spreminjajo v odvisnosti od velikosti razpok. Ker v poglavju 4 niso bile podane nevtralne osi 𝑓𝑓𝑐𝑐 za fazi I in IIa, jih za čisti upogib podajamo v tem poglavju. 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 477. Faza I (prerez brez razpok) – nevtralno os izračunamo po principu težišča »homogenega prereza« Slika 14.1: Nevtralna os nerazpokanega armiranobetonskega prereza Iz ∑𝑀𝑀𝑛𝑛1 po Slika 14.1 dobimo »težiščno« os 𝑧𝑧𝑐𝑐 nerazpokanega armiranobetonskega prereza, pri čemer upoštevamo: 𝑓𝑓′1 = 𝑚𝑚′; 𝑓𝑓2 = 𝑧𝑧𝑐𝑐𝑐𝑐; 𝑓𝑓3 = 𝜎𝜎; 𝐴𝐴𝑐𝑐 = ∫ 𝜎𝜎𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝑐𝑐 𝑵𝑵𝒄𝒄 = � 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 = (𝒄𝒄𝒌𝒌 − 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒌𝒌) ∙ 𝑨𝑨𝒄𝒄 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∫ 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 ′ + 𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨 𝒄𝒄 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝒐𝒐′ ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌) 𝒌𝒌 = 𝒙𝒙𝑰𝑰 = ∫ 𝒅𝒅𝑨𝑨 ′ 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌) (14.4) 𝑵𝑵 ′ + 𝑵𝑵 = 𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝑵𝑵𝒌𝒌 𝒌𝒌) ∫ 𝒅𝒅𝑨𝑨 ′ 𝑨𝑨𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌) 𝑰𝑰𝑰𝑰 ′ 𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝑰𝑰𝒌𝒌 + 𝑰𝑰𝒌𝒌) (14.5) = 𝑰𝑰 𝟐𝟐 𝟐𝟐′ ′ 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌� Odpornostni moment lahko ustrezno zapišemo: 𝐼𝐼 𝑊𝑊𝑛𝑛 = 𝐼𝐼𝑧𝑧,𝑚𝑚𝑦𝑦. 𝑐𝑐 Faza IIa (razpokan prerez) – ne upoštevamo natezne nosilnosti betona 478 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Slika 14.2: Nevtralna os razpokanega armiranobetonskega prereza Iz ravnotežnega pogoja ∑𝐻𝐻=0 𝐹𝐹′𝑠𝑠+𝐹𝐹𝑐𝑐−𝐹𝐹𝑠𝑠 sledi: 𝑭𝑭′𝒌𝒌 + 𝑭𝑭𝒄𝒄 − 𝑭𝑭𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 (14.6) 𝒙𝒙 𝝈𝝈′ 𝑰𝑰𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′ 𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝒙𝒙 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 𝝈𝝈 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝒙𝒙 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 (14.7) 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄 𝝈𝝈(𝒄𝒄) = 𝝈𝝈𝒄𝒄 = 𝒙𝒙 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝑭𝑭 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄 = � 𝝈𝝈𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 = � 𝒙𝒙 ∙ 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 = � 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑨𝑨𝒄𝒄′ 𝑨𝑨𝒄𝒄′ 𝑨𝑨𝒄𝒄′ 𝑨𝑨′ ∙ 𝝈𝝈′ 𝒙𝒙 𝑭𝑭′ 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝑰𝑰𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′ ′ (14.8) 𝒌𝒌 = 𝜶𝜶 = ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑬𝑬 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 𝑭𝑭 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝒙𝒙 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑰𝑰𝑰𝑰 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 479. Ko vstavimo (14.8) v (14.6), sledi: 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒐𝒐 ′ 𝒙𝒙 ∙ � � 𝒄𝒄 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 − 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌� 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑨𝑨𝒄𝒄′ = 𝟎𝟎 Izraz v oglatem oklepaju predstavlja enačbo nevtralne osi, ki jo zapišemo kot: 𝑵𝑵′ ′ 𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑵𝑵𝒌𝒌 − 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑵𝑵𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 (14.9) Pri infinitezimalno majhnem delu površine 𝜎𝜎𝐴𝐴 moramo upoštevati spremembo statične širine tlačne cone betona z enačbo, ki je bila podana v poglavju 7 ((7.27)– (7.31)). 𝒃𝒃 = 𝜷𝜷(𝜼𝜼) ∙ 𝑳𝑳 Za pravokotni prerez velja, da je 𝛽𝛽(𝜂𝜂) = 1, nakar sledi: −𝜶𝜶 ′ 𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌) + �[𝜶𝜶 ′ + 𝑨𝑨 ′ + 𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨 (14.10) 𝒙𝒙 𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌)𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝒃𝒃 ∙ (𝒐𝒐′ ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌)] 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒃𝒃 Nato še zapišemo vztrajnostni moment razpokanega prereza: 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰 ′ 𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′)𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰)𝟐𝟐� (14.11) Upogibne togosti nosilca med razpokama (ali na območju brez razpok) in v razpoki znašajo (kot smo navedli v poglavju 4): 𝑬𝑬𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝑬𝑬𝒌𝒌𝑰𝑰𝒌𝒌 = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ [𝑰𝑰𝑰𝑰 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝒌𝒌] = 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 (4.39) 𝑰𝑰𝑰𝑰 ′ 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌′𝑰𝑰 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌𝑰𝑰� (4.40) 𝑬𝑬𝑰𝑰 , 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎(𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄𝑰𝑰𝒌𝒌) = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 (4.45) 480 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 , , ,𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝒄𝒄�𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌𝑰𝑰𝑰𝑰 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌𝑰𝑰𝑰𝑰� (4.43) 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝑰𝑰′𝒄𝒄 = � 𝒐𝒐𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝑨𝑨 = 𝒃𝒃 � 𝒐𝒐𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝒐𝒐 = 𝟑𝟑 𝑨𝑨𝒄𝒄′ 𝟎𝟎 (14.12) = 𝑳𝑳 � 𝜷𝜷(𝜼𝜼) ∙ 𝒐𝒐𝟐𝟐 ∙ 𝒅𝒅𝒐𝒐 − 𝒐𝒐𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒐𝒐𝒗𝒗𝒌𝒌𝒄𝒄𝒌𝒌𝒌𝒌𝒏𝒏𝒊𝒊 𝒑𝒑𝒐𝒐𝒄𝒄𝒐𝒐𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎 … moment pri nastanku prve razpoke 𝑰𝑰 𝑴𝑴 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ (14.13) (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) Slika 14.3: Upogibni momenti in upogibne togosti v nerazpokanem in razpokanem delu nosilca »Globina« razpok ni enaka po vsej dolžini nosilca, saj se običajno upogibni momenti spreminjajo. Tako se »idealni« prerez spreminja in je najmanjši tam, kjer je razpoka »najgloblja«. Iz Slika 14.3 je razvidno, da upogibne togosti armiranobetonskega razpokanega nosilca niso konstantne, čeprav je nosilec konstantnega prereza po vsej njegovi dolžini (𝐼𝐼𝐼𝐼𝑐𝑐 = 𝜎𝜎𝑜𝑜𝑚𝑚𝜀𝜀𝛼𝛼.). 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 481. Slika 14.4: Prikaz efektivne togosti 𝑬𝑬𝒄𝒄𝑰𝑰 armiranobetonskega nosilca Na Slika 14.4 je uporabljena tako imenovana bilinearna metoda določevanja upogibne togosti, ko v območju 𝑀𝑀 > 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎 upoštevamo premico 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 in za tako imenovano »efektivno« togost določimo novo premico, ki poteka iz koordinatnega izhodišča 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓. 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 … togost razpokanega nosilca v prerezu maksimalnega upogibnega momenta. Ta togost se s spremembo upogibnih momentov spreminja proti prerezu, kjer dosežemo 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎, in nato obravnavamo nosilec kot nerazpokan do podpore (𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝐼𝐼). Tak način računanja deformacij s spreminjajočimi se upogibnimi togostmi po intervalih 𝑇𝑇𝑖𝑖 bi bil zamuden, zato lahko za račun povesov upoštevamo konstantno togost po vsej dolžini nosilca s tako imenovano efektivno togostjo 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓. Tak postopek navaja tudi SIST EN 1992 z enačbama 7.18 in 7.19. 𝜶𝜶 = 𝜻𝜻 ∙ 𝜶𝜶𝑰𝑰𝑰𝑰 + (𝟏𝟏 − 𝜻𝜻) ∙ 𝜶𝜶𝑰𝑰 (𝟕𝟕. 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒑𝒑𝒌𝒌 𝐒𝐒𝐈𝐈𝐒𝐒𝟎𝟎 𝐄𝐄𝐍𝐍 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐𝟐) (14.14) 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝜻𝜻 = 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝝈𝝈 � (𝟕𝟕. 𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒑𝒑𝒌𝒌 𝐒𝐒𝐈𝐈𝐒𝐒𝟎𝟎 𝐄𝐄𝐍𝐍 𝟏𝟏𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐𝟐) (14.15) 𝒌𝒌 482 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ [𝜻𝜻 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 + (𝟏𝟏 − 𝜻𝜻) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰] (14.16) 𝛽𝛽 … koeficient, ki upošteva trajanje obtežbe ali ponavljajoče se obtežbe 𝛽𝛽 = 1,0 … za kratkotrajno (redko) kombinacijo 𝛽𝛽 = 0,5 … za trajno obtežbo ali ciklično ponavljajočo se obtežbo 𝛽𝛽 > 0,5 … predmet diskusije – ocena projektanta 𝜎𝜎𝑠𝑠 … napetost v natezni armaturi, v razpoki 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑎𝑎 … napetost v natezni armaturi ob nastanku prve razpoke (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎) 𝑴𝑴 𝑴𝑴 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 𝝈𝝈 𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒌𝒌 = 𝒐𝒐 = ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 (14.17) 𝒌𝒌𝑰𝑰𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒐𝒐 𝒐𝒐𝒌𝒌𝑰𝑰𝑰𝑰 ≅ 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 ∙ 𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝒇𝒇 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌𝒐𝒐 = (14.18) 𝒐𝒐 = 𝒌𝒌𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒐𝒐𝒌𝒌𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) Enačbo 14.19 lahko zapišemo tudi v obliki enačbe 14.13a ob upoštevanju (𝑧𝑧𝑠𝑠𝐼𝐼 ≅ 𝑧𝑧𝑠𝑠𝐼𝐼𝐼𝐼). 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝜻𝜻 = 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 (14.19) 𝝈𝝈 � = 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � 𝒌𝒌 𝑴𝑴 � Izračun upogibnega momenta ob nastanku prve razpoke (𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎) za osno-upogibno obremenitev podamo prek napetostnega pogoja: 𝑴𝑴 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝑰𝑰) 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 + 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑰𝑰 + < 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Za ekscentrični nateg sledi: 𝑵𝑵 𝑰𝑰 𝑵𝑵 𝑴𝑴 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒐𝒐 = �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝑨𝑨 � ∙ � ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒅𝒅 (14.20) 𝒊𝒊𝒅𝒅 (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) = �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Za ekscentrični tlak sledi: 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 483. 𝑵𝑵 𝑰𝑰 𝑵𝑵 𝑴𝑴 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒐𝒐 = �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 + 𝑨𝑨 � ∙ � ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒅𝒅 (14.21) 𝒊𝒊𝒅𝒅 (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) = �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 + 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Izračun osne sile ob nastanku prve razpoke (𝑁𝑁𝑐𝑐𝑎𝑎) za osno-upogibno obremenitev podamo prek napetostnega pogoja: 𝑴𝑴 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑴𝑴 𝑵𝑵 𝑰𝑰) 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 + 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝑰𝑰 + ≤ 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Za ekscentrični nateg sledi: 𝑴𝑴 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝑰𝑰) 𝒄𝒄𝒐𝒐 = �𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝑰𝑰 � ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 (14.22) 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 Za ekscentrični tlak sledi: 𝑴𝑴 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝑰𝑰) 𝒄𝒄𝒐𝒐 = � 𝑰𝑰 − 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎� ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 (14.23) 𝑰𝑰,𝒊𝒊𝒅𝒅 Zavedati pa se moramo, da sta 𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑖𝑖𝑑𝑑 in 𝐴𝐴𝑖𝑖𝑑𝑑 pri ekscentričnem tlaku in nategu različna, saj je pri ekscentričnem tlaku večji del prereza tlačen kot pri ekscentričnem nategu (𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐.𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 > 𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐.𝑛𝑛𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎). 14.3 Povesi armiranobetonskih konstrukcij 14.3.1 Nosilci konstantnega prereza 14.3.1.1 Karakteristična – redka kombinacija, 𝜷𝜷 = 𝟏𝟏,𝟎𝟎 Za to kombinacijo lahko izračunamo povese in tudi razpoke samo v času obremenitve (𝛼𝛼 = 0). Ne upoštevamo lezenja betona 𝛽𝛽 = 1,0. 484 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟏𝟏 + � 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴𝒑𝒑𝒊𝒊 = 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝑴𝑴𝑰𝑰 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 Slika 14.5: Prikaz upogibnih momentov, togosti in ukrivljenosti armiranobetonskega nosilca Iz Slika 14.5 je razvidno, da togosti in posledično ukrivljenosti armiranobetonskega razpokanega prereza niso konstantne, saj se razpoka z večjim upogibnim momentom »poglablja«, tlačna cona betona (𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼) pa manjša. Z upoštevanjem efektivne togosti (𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓), podane z (14.15) in (14.16) oziroma (14.19), lahko računamo s konstantno togostjo (𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓) po vsem razponu nosilca, s čimer zelo poenostavimo izračun povesov. Izračun povesa, kjer lastna teža (𝑘𝑘) in koristna obtežba(𝑖𝑖1) delujeta na enakem intervalu kot lastna teža (0 − 𝑧𝑧), lahko zapišemo z (14.24). 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 485. 𝑀𝑀 𝑀𝑀 𝒘𝒘𝟎𝟎 𝑎𝑎 ∙ 𝑀𝑀 � 𝑝𝑝1 ∙ 𝑀𝑀 � 𝑴𝑴 + 𝒑𝒑 = � 𝜎𝜎𝑇𝑇 + � 𝜎𝜎𝑇𝑇 𝟏𝟏 𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑐𝑐𝑓𝑓 (14.24) 𝟏𝟏 = 𝑬𝑬 ��𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟏𝟏� ∙ 𝑴𝑴�𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒄𝒄𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇 𝒙𝒙 Podamo še izračun povesa za več spremenljivih obtežb: 𝟏𝟏 𝒘𝒘𝟎𝟎𝑴𝑴 + 𝒑𝒑 = �𝑴𝑴 𝒅𝒅𝒙𝒙 + � 𝑴𝑴 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝟏𝟏 + 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝑬𝑬 𝑴𝑴 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒑𝒑𝟏𝟏 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒄𝒄𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟏𝟏 𝒏𝒏 (14.25) + � � 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴𝒑𝒑𝒊𝒊 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒊𝒊 𝒊𝒊>𝟏𝟏 14.3.1.2 Namišljena stalna obtežba (kvazipermanentna obtežba; 𝟎𝟎,𝟓𝟓 ≤ 𝜷𝜷 < 𝟏𝟏, 𝟎𝟎) Ker trenutna obtežba ne povzroča lezenja betona, lahko trdimo, da so povesi zaradi trenutne obtežbe v trenutku nanosa obtežbe (𝛼𝛼 = 0) enaki povesu v katerem koli času (𝛼𝛼), (𝜌𝜌𝑝𝑝0 = 𝜌𝜌𝑝𝑝𝑐𝑐 = 𝜌𝜌𝑝𝑝∞). Slika 14.6: Deformacija nosilca zaradi lezenja betona 486 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒘𝒘𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝑴𝑴,∞ + 𝒘𝒘𝒑𝒑,∞ = 𝒘𝒘𝑴𝑴,∞ + 𝒘𝒘𝒑𝒑,𝟎𝟎 = 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) + 𝒘𝒘(𝑴𝑴+𝒑𝒑),𝟎𝟎 − 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 = = 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 + 𝜱𝜱 ∙ 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 + 𝒘𝒘(𝑴𝑴 + 𝒑𝒑),𝟎𝟎 − 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 = 𝒘𝒘(𝑴𝑴 + 𝒑𝒑),𝟎𝟎 + 𝜱𝜱 ∙ 𝒘𝒘𝑴𝑴,𝟎𝟎 = 𝑴𝑴 𝑴𝑴 = 𝒘𝒘 𝑴𝑴 (𝑴𝑴+𝒑𝒑),𝟎𝟎 ∙ (𝟏𝟏 + 𝑴𝑴 ∙ 𝜱𝜱) = 𝒘𝒘(𝑴𝑴 + 𝒑𝒑),𝟎𝟎 ∙ (𝟏𝟏 + (𝑴𝑴 + 𝒑𝒑) 𝑴𝑴 + 𝒑𝒑 ∙ 𝜱𝜱) = 𝑴𝑴 𝑴𝑴 = (𝑴𝑴+𝒑𝒑) ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 + ∙ 𝜱𝜱� (14.26) 𝒄𝒄𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑴𝑴(𝑴𝑴 + 𝒑𝒑) (𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼)𝑐𝑐𝑓𝑓 … konstantna upogibna togost po vsej dolžini nosilca 𝑀𝑀𝑎𝑎; 𝑀𝑀(𝑎𝑎+𝑝𝑝) … maksimalna upogibna momenta Za nosilce konstantnega prereza pa predpis SIST EN 1992 dovoljuje poenostavitev, s katero upoštevamo tudi lezenje zaradi trenutne obtežbe (𝑖𝑖), ki jo reduciramo s faktorji 𝜓𝜓2𝑖𝑖. Tako znaša skupna namišljena trajna obtežba (𝑘𝑘 + 𝜓𝜓2 ∙ 𝑖𝑖), za katero upoštevamo enak količnik lezenja betona (𝜑𝜑𝑐𝑐0,∞) kot za trajno obtežbo. Spodnjo enačbo uporabi tudi SIST EN 1992 s tako izračunanim efektivnim modulom elastičnosti betona (𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓). 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝟏𝟏 + 𝝋𝝋 (𝒄𝒄𝒏𝒏𝒐𝒐č𝒃𝒃𝒐𝒐 𝟐𝟐.𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒊𝒊𝒐𝒐 𝒑𝒑𝒌𝒌𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐𝒗𝒗𝒗𝒗𝒐𝒐 𝟐𝟐) (14.27) 𝟎𝟎,∞ Poves za eno spremenljivo obtežbo: 𝑴𝑴 𝒘𝒘 (𝑴𝑴+𝝍𝝍𝟐𝟐∙𝒑𝒑) ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 (𝑴𝑴 + 𝝍𝝍𝟐𝟐 ∙ 𝒑𝒑),∞ = 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬𝒄𝒄𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 (14.28) 𝑴𝑴 = (𝑴𝑴+𝝍𝝍𝟐𝟐∙𝒑𝒑) ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 + 𝜱𝜱𝟎𝟎,∞� 𝒄𝒄𝒎𝒎𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 Še izračun povesa za več spremenljivih obtežb: 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 487. 𝒘𝒘(𝑴𝑴 + ∑𝝍𝝍𝟐𝟐𝒊𝒊𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 ∙ 𝒑𝒑𝒊𝒊) �𝑴𝑴 ∙ 𝝍𝝍 = � 𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝒑𝒑𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∙ 𝒑𝒑𝟏𝟏� ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬𝒄𝒄𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 ∑𝒊𝒊 > 𝟏𝟏 𝑴𝑴 ∙ 𝝍𝝍 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 + 𝒑𝒑𝒊𝒊 𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬 � ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) = 𝒄𝒄𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 = (14.29) 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬𝒄𝒄𝑰𝑰)𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ �𝑴𝑴𝑴𝑴 + 𝑴𝑴𝒑𝒑 ∙ 𝝍𝝍 𝟏𝟏 𝟐𝟐 ∙ 𝒑𝒑𝟏𝟏 + � 𝑴𝑴𝒑𝒑 ∙ 𝝍𝝍 � 𝒊𝒊 𝟐𝟐𝒊𝒊 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎𝒊𝒊 𝒊𝒊>𝟏𝟏 14.3.1.3 Povesi zaradi krčenja betona Kot smo spoznali v podpodpoglavju 2.6.2, krčenje betona povzroča specifične deformacije 𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑠𝑠, ki bodo prav gotovo večje v delu nosilca, kjer »ni« armature (neovirano krčenje betona), kot v predelu z armaturo, ki krčenje zavira. Zaradi tega se nosilec ukrivi, kar na začetku vezanja betona (28 dni) preprečimo z gostim podpiranjem nosilca, po razopaženju pa se krčenje betona nadaljuje, vendar v manjšem obsegu. Slika 14.7: Ukrivljenost 𝜿𝜿𝒌𝒌 488 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 (14.30) 𝒐𝒐 = = 𝜿𝜿𝒌𝒌 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉 → 𝒐𝒐𝒄𝒄𝒌𝒌 𝒉𝒉 ≅ 𝒐𝒐 𝑧𝑧 = 𝐼𝐼 … ročica notranje dvojice 𝑆𝑆 Ker je krčenje dolgotrajni proces, moramo upoštevati zmanjšanje modula elastičnosti z 𝐸𝐸𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓, ustrezen količnik ekvivalence 𝛼𝛼𝐸𝐸 pa znaša: 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝜶𝜶 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 = ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) (14.31) 𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝛼𝛼𝐸𝐸 ∙ 𝑆𝑆 = 𝛼𝛼𝐸𝐸 ∙ 𝐴𝐴𝑠𝑠 ∙ (𝜎𝜎 − 𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼) … statični moment natezne armature na težišče razpokanega prereza 𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝜻𝜻 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 + (𝟏𝟏 − 𝜻𝜻) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑨𝑨 𝜿𝜿 𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ (14.32) 𝜻𝜻 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 + (𝟏𝟏 − 𝜻𝜻) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑴𝑴 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒘𝒘𝒄𝒄𝒌𝒌 = � 𝒅𝒅𝒙𝒙 = �𝜿𝜿𝒌𝒌 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰 𝒙𝒙 (14.33) 𝑨𝑨 = 𝜺𝜺 𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰 �𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝑀𝑀� … funkcija virtualnih momentov za konzolo in prostoležeči nosilec 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 489. 14.3.2 Nosilci nekonstantnega prereza Slika 14.8: Prikaz upogibnih momentov, virtualnih momentov, momentov ob nastanku razpok in upogibne togosti nosilca z nekonstantnim prerezom Pri nosilcih nekonstantnega prereza so I, W in A funkcije x. Zaradi tega ne moremo in ne smemo upoštevati konstantne upogibne togosti (𝐸𝐸𝑐𝑐𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑐𝑐𝑓𝑓 kot pri nosilcih konstantnega prereza. 490 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Zato namesto »integralnih enačb« uporabimo enačbe diferenc na odsekih 𝑇𝑇𝑖𝑖, za katere lahko predvidimo konstantne upogibne togosti, upogibne momente in virtualne momente. Ta postopek je dovolj natančen, ko čim bolj zgostimo intervale 𝑇𝑇𝑖𝑖. Prav tako niso konstantni momenti, pri katerih nastopi razpoka 𝑀𝑀𝑐𝑐𝑎𝑎, saj so funkcija 𝑊𝑊𝑖𝑖(𝑚𝑚), kot prikazuje Slika 14.8. Za fazo I velja: 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝑰𝑰(𝒙𝒙) (14.34) 𝑰𝑰 𝑾𝑾 𝑰𝑰(𝒙𝒙) 𝑰𝑰(𝒙𝒙) = (14.35) 𝒅𝒅(𝒙𝒙) − 𝒙𝒙𝑰𝑰(𝒙𝒙) 𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒙𝒙) = 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒄𝒄(𝒙𝒙) + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒌𝒌(𝒙𝒙) = (14.36) = 𝑰𝑰 ′ 𝑰𝑰,𝒄𝒄(𝒙𝒙) + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ �𝒙𝒙𝑰𝑰,(𝒙𝒙) − 𝒐𝒐′�𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ �𝒅𝒅(𝒙𝒙) − 𝒙𝒙𝑰𝑰(𝒙𝒙)�𝟐𝟐� 𝑇𝑇𝐼𝐼,𝑖𝑖 … težiščna os nerazpokanega prereza Faza II Za čim več prerezov znane višine ℎ, širine 𝑛𝑛1 in 𝑛𝑛0 ter količine armature 𝐴𝐴𝑠𝑠 izračunamo nevtralne osi 𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑖𝑖, vztrajnostne momente v razpokah 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑖𝑖 in upogibne togosti 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑖𝑖 ter ustrezne efektivne togosti 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼,𝑖𝑖,𝑐𝑐𝑓𝑓, upoštevajoč bilinearno metodo. 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 = 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰(𝒙𝒙) 𝜶𝜶 ′ ′ 𝑬𝑬 ∙ 𝑵𝑵𝒌𝒌 + 𝑵𝑵𝒄𝒄 − 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑵𝑵𝒌𝒌 = 𝟎𝟎 (14.37) 𝜶𝜶 ′ 𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒊𝒊 ∙ �𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 − 𝒐𝒐′� + 𝒃𝒃𝟏𝟏 ∙ 𝒅𝒅𝒑𝒑(𝒙𝒙) ∙ 𝒐𝒐𝒑𝒑,𝒊𝒊 − 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒊𝒊 (14.38) ∙ �𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊� 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 491. 𝒅𝒅 𝒐𝒐 𝒑𝒑,𝒊𝒊 𝒑𝒑,𝒊𝒊 = 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 − (14.39) 𝟐𝟐 𝑰𝑰 ′ ′ 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 = 𝑰𝑰𝒄𝒄,𝒊𝒊 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒊𝒊 ∙ �𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 − 𝒐𝒐′�𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝒌𝒌,𝒊𝒊 ∙ �𝒅𝒅𝒊𝒊 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊�𝟐𝟐� (14.40) 𝒃𝒃 ∙ 𝒅𝒅𝟑𝟑 𝑰𝑰′ 𝒑𝒑,𝒊𝒊 𝟐𝟐 𝒄𝒄,𝒊𝒊 = (14.41) 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟏𝟏 ∙ 𝒅𝒅𝒑𝒑𝒊𝒊 ∙ 𝒐𝒐𝒑𝒑,𝒊𝒊 Poves za kvazipermanentno kombinacijo ob upoštevanju 𝑛𝑛 koristnih obtežb znaša: �𝑴𝑴 � ∙ 𝑴𝑴 � 𝒘𝒘 𝑴𝑴,𝒗𝒗 + ∑𝒗𝒗 𝑴𝑴𝒑𝒑.𝒗𝒗 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎,𝒗𝒗 𝒗𝒗 𝟎𝟎,∞ = � 𝑬𝑬 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) (14.42) 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇,𝒊𝒊 ∆𝒙𝒙𝒊𝒊 𝑴𝑴𝑴𝑴,𝟏𝟏 + �∑𝒗𝒗 𝑴𝑴𝒑𝒑.𝒗𝒗 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎,𝒗𝒗� ∙ 𝑴𝑴 � 𝟏𝟏 𝒘𝒘 𝟏𝟏 𝟎𝟎,∞ = � 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇,𝟏𝟏 𝑴𝑴𝑴𝑴,𝟐𝟐 + �∑𝒗𝒗 𝑴𝑴𝒑𝒑.𝒗𝒗 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎,𝒗𝒗� ∙ 𝑴𝑴 � 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 (14.43) 𝑬𝑬 + ⋯ 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇,𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑴𝑴,𝒏𝒏 + �∑𝒗𝒗 𝑴𝑴𝒑𝒑.𝒗𝒗 ∙ 𝝍𝝍𝟎𝟎,𝒗𝒗� ∙ 𝑴𝑴 � 𝒏𝒏 … + 𝒏𝒏 𝑬𝑬 � ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇,𝒏𝒏 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝒄𝒄,𝒊𝒊 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒄𝒄𝒇𝒇,𝒊𝒊 = 𝑴𝑴 𝑰𝑰 (14.44) 𝟏𝟏 − 𝑰𝑰,𝒊𝒊 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 𝑴𝑴 ∙ (𝟏𝟏 − ) ,𝒊𝒊 𝑰𝑰𝑰𝑰,𝒊𝒊 492 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Enačba (14.44) podaja efektivno togost nosilca v prerezu 𝑚𝑚 po bilinearni metodi. Postopek je zamuden, vendar dovolj natančen in bistveno različen od rezultata, ki ga dobimo s programsko analizo s pomočjo računalnika, pri katerem aplikacija ne upošteva razpok. Izračunani povesi ne smejo prekoračiti dovoljenih povesov, podanih v SIST EN 1992, in sicer po enačbi: 𝒄𝒄 𝒘𝒘𝒅𝒅𝒌𝒌𝒑𝒑 = (14.45) 𝒏𝒏 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 … 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 14.4 Razpoke 14.4.1 Uvod Največje razpoke se pojavijo v trenutku obtežbe (𝛼𝛼=0) za karakteristično kombinacijo obtežb. Te razpoke pa se bodo s prenehanjem spremenljive obtežbe zmanjšale in bodo časovno naraščale samo zaradi lastne teže (lezenje in krčenje betona). Ker je »narava« spremenljive obtežbe zelo različna, navaja SIST EN 1992 izračun razpok za tako imenovano navidezno kombinacijo permanentne obtežbe, obtežbe (kvazipremanentna kombinacija, Q. P. K) v času 𝛼𝛼 = ∞. Podobno kot pri računu deformacij (povesov, zasukov). V tem poglavju bo naveden samo izračun razpok za primer namišljene trajne obtežbe. Izračun bo prikazan za odprtino razpoke pri 95-odstotni fraktili, kar pomeni, da lahko pričakujemo samo še 5 % razpok, ki bodo imele večjo vrednost od izračunane. 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 493. 14.4.2 Teoretične osnove izračuna razpok Evropski normativi SIST EN 1992 navajajo za izračun karakteristične odprtine razpoke: 𝒘𝒘𝒄𝒄 = 𝒌𝒌𝒐𝒐,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ (𝜺𝜺𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎) = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − ∆𝜺𝜺𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 (14.46) 𝜌𝜌𝑐𝑐 … karakteristična odprtina razpok 𝜀𝜀𝑎𝑎,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 … maksimalna razdalja med razpokami pri 95-odstotni fraktili, podana v (4.52) v poglavju 4 (SIST EN 1992 (7.11), str. 128) 𝜱𝜱 𝒌𝒌𝒐𝒐,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 = 𝒄𝒄𝟑𝟑 ∙ 𝒄𝒄 + 𝝆𝝆 ∙ 𝒄𝒄𝟏𝟏 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 ∙ 𝒄𝒄𝟒𝟒 (14.47) 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑘𝑘1… upoštevanje pogojev sidranja z betonom sprijete armature 0,8 … za palice z dobro sprijemnostjo 1,8 … za palice s približno gladko površino 𝑘𝑘2… upoštevanje vpliva razporeditve deformacij po prerezu 0,5 … za upogib 1,0 … za čisti nateg 𝑘𝑘3 = 3,4; 𝑘𝑘4 = 0,425 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑚𝑚 … povprečna dilatacija »gole« armature 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚 … povprečna dilatacija betona, ki ovira raztezek armature (med razpokama tudi beton nosi natezne obremenitve) Natezne napetosti v armaturi in razpoki po MSU Centrični nateg: 𝑵𝑵 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝒇𝒇 𝝈𝝈 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝝈𝝈𝒌𝒌 = (14.48) 𝑨𝑨 = 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒄𝒄 = 𝝆𝝆𝒄𝒄𝒇𝒇 𝑭𝑭 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌,𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝝈𝝈𝒌𝒌 = (14.49) 𝑨𝑨 = 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 494 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Upogib: 𝑴𝑴 𝑴𝑴 𝝈𝝈 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒌𝒌,𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝝈𝝈𝒌𝒌 = (14.50) 𝒐𝒐 ∙ 𝑨𝑨 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒌𝒌 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑴𝑴 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝝈𝝈 𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒐𝒐 = (14.51) 𝒐𝒐 = 𝑰𝑰 𝑰𝑰 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 𝑨𝑨𝑰𝑰 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒊𝒊𝒅𝒅, 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅, 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅, 𝒙𝒙𝑰𝑰, 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 – glej poglavje 4 𝑵𝑵𝒐𝒐 = 𝑵𝑵𝒄𝒄𝒐𝒐; 𝑴𝑴𝒐𝒐 = 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 Slika 14.9: Dilatacije in napetosti v armaturi 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 495. 𝜎𝜎𝑠𝑠,𝐼𝐼, 𝜀𝜀𝑠𝑠,𝐼𝐼 … napetosti in dilatacije v armaturi v fazi I 𝜎𝜎𝑠𝑠𝑎𝑎, 𝜀𝜀𝑠𝑠𝑎𝑎 … napetosti in dilatacije v armaturi ob nastanku prve razpoke 𝜎𝜎𝑠𝑠,𝐸𝐸𝑑𝑑 = 𝜎𝜎𝑠𝑠2 … projektna napetost v armaturi 𝜀𝜀𝑠𝑠2 … največja dilatacija armature »golega« prereza 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚, ∆𝜀𝜀𝑠𝑠 … prispevek betona, ki zmanjša povprečno dilatacijo armature ∆𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 … največja razlika dilatacij v armaturi armiranobetonskega prereza v primerjavi z dilatacijo »golega« prereza 𝝈𝝈 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝒌𝒌 𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝜶𝜶 ; 𝝈𝝈𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 ∙ 𝝈𝝈𝒄𝒄𝒌𝒌; 𝜺𝜺𝒌𝒌,𝑰𝑰 = 𝒄𝒄 𝑬𝑬𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 Slika 14.10: Prikaz napetostnega in deformacijskega stanja v razpokah in med njima V razpoki sta beton in armatura popolnoma ločena (zdrs med njima). Zaradi sprijemnosti med betonom in jeklom se beton upira raztezku armature, ki bi se sicer raztegnila za 𝜀𝜀𝑠𝑠2, če ne bi bila ovita z betonom (glej premico za »goli« prerez na Slika 14.9). Ker pa adhezija med armaturo in betonom med razpokami ostaja, so deformacije 𝜀𝜀𝑠𝑠 dejansko manjše in potekajo po strmejši premici (faza I) in po 496 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ nastanku razpoke po krivulji (faza II). Tako znaša »dejanska« dilatacija med razpokama pri projektni napetosti 𝜎𝜎𝑠𝑠2: 𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − ∆𝜺𝜺𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒊𝒊𝒏𝒏 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟑𝟑𝟎𝟎 (14.52) V (14.52) predstavlja 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚 =𝜀𝜀𝑐𝑐,𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 zmanjšanje dilatacije gole armature zaradi natezne nosilnosti betona med razpokama. Iz Slika 14.9 je razvidno, da delež natezne nosilnosti betona (specifične deformacije betona 𝜀𝜀𝑐𝑐𝑚𝑚) pada z napetostjo armature 𝜎𝜎𝑠𝑠 (obratno sorazmerje). Eksperimentalno je bilo dokazano, da to zakonitost lahko zapišemo z (14.53): 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒐𝒐 𝜺𝜺 = ; 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 = ∆𝜺𝜺𝒌𝒌 (14.53) 𝒄𝒄,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝝈𝝈𝒌𝒌𝟐𝟐 Za fazo II znaša specifična deformacija armature: 𝝈𝝈 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒌𝒌,𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − ∆𝜺𝜺𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝟐𝟐 − ∆𝜺𝜺𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝝈𝝈 = 𝜺𝜺𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 (14.54) 𝒌𝒌𝟐𝟐 Za povprečne odprtine razpok uporabimo indeks m. Centrični nateg: 𝑵𝑵 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 𝒌𝒌 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑨𝑨𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒐𝒐 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 Čisti upogib: 𝑴𝑴 𝝈𝝈 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝒌𝒌 = 𝜶𝜶𝒄𝒄 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝝈𝝈 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒐𝒐 = (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙 𝑰𝑰 𝑰𝑰𝑰𝑰) ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝒌𝒌 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 497. Z upoštevanjem (14.52) in (14.53) dobimo: 𝝈𝝈 𝝈𝝈 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝑬𝑬 − ∆𝜺𝜺𝒌𝒌,𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 ∙ 𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝝈𝝈 𝑬𝑬 𝝈𝝈 = 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝑬𝑬 ∙ (𝟏𝟏 − ∙ ∆𝜺𝜺𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ ) 𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑬𝑬𝒌𝒌 𝝈𝝈 ∙ ∆𝜺𝜺𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝒄𝒄𝒌𝒌 (14.55) 𝒌𝒌 𝑘𝑘𝑐𝑐 … faktor trajanja obtežbe 0,6 … za kratkotrajno obtežbo 0,4 … za dolgotrajno in ciklično obtežbo Centrični nateg: 𝝈𝝈(𝑵𝑵) 𝒇𝒇 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ � 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝑨𝑨 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒎𝒎 (14.56) 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝝈𝝈(𝑵𝑵) 𝒇𝒇 = 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 𝝆𝝆 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒎𝒎 � Čisti upogib: 𝝈𝝈(𝑴𝑴) 𝒇𝒇 𝑰𝑰 𝜺𝜺 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒌𝒌𝒎𝒎 − 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌𝒎𝒎 � 𝝈𝝈(𝑴𝑴) 𝒇𝒇 = 𝒌𝒌𝒎𝒎 ⎛ 𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ⎞ (14.57) 𝑬𝑬 ∙ 𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ = 𝒌𝒌 𝑨𝑨𝒌𝒌 ⎝ 𝑾𝑾𝑰𝑰 ∙ 𝒐𝒐 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌 𝒊𝒊𝒅𝒅 ⎠ 𝝈𝝈(𝑴𝑴) 𝒇𝒇 = 𝒌𝒌𝒎𝒎 𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇(𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎) 𝑬𝑬 ∙ �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝒌𝒌 𝝆𝝆𝒄𝒄𝒇𝒇 ∙ 𝝈𝝈𝒌𝒌 � 498 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Pri tem za pravokotni prerez brez armature velja: 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑾𝑾𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟔𝟔 ; 𝒐𝒐𝑰𝑰 = 𝟑𝟑 ∙ 𝒉𝒉 𝑨𝑨+ + + + 𝒌𝒌 ∙ 𝒐𝒐𝑰𝑰 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ 𝟐𝟐𝟑𝟑 ∙ 𝒉𝒉 𝑨𝑨 𝑨𝑨 = 𝒌𝒌 = 𝒌𝒌 = 𝝆𝝆 𝑾𝑾𝑰𝑰 = 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 𝒄𝒄𝒇𝒇 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟐𝟐 𝑨𝑨𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒇𝒇 𝟔𝟔 𝟔𝟔 V poglavju 4 smo podali enačbo za efektivno višino prereza: 𝒉𝒉𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ (𝒉𝒉 − 𝒅𝒅); 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝒉𝒉 𝒉𝒉𝒄𝒄𝒌𝒌,𝒄𝒄𝒇𝒇 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝒉𝒉 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝒉𝒉 ℎ𝑐𝑐𝑐𝑐,𝑐𝑐𝑓𝑓 = ℎ … efektivna višina tegnjene cone betona, v kateri leži armatura 4 𝝆𝝆č𝒊𝒊𝒌𝒌𝒌𝒌𝒊𝒊 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒌𝒌𝑴𝑴𝒊𝒊𝒃𝒃 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒏𝒏𝒌𝒌𝒐𝒐𝒊𝒊č𝒏𝒏𝒊𝒊 𝒏𝒏𝒐𝒐𝒌𝒌𝒄𝒄𝑴𝑴 𝒄𝒄𝒇𝒇 ≠ 𝝆𝝆𝒄𝒄𝒇𝒇 Izračunana odprtina razpok 𝜌𝜌𝑐𝑐 mora zadoščati dopustni odprtini, ki znaša za običajne pogoje okolice (𝑇𝑇𝐻𝐻 ≈ 50 %, brez kislin in strupenih snovi v ozračju) 0,3 𝑚𝑚𝑚𝑚. Seveda moramo dopustno odprtino v primeru »slabšega« zraka zmanjšati. Predpis SIST EN 1992 navaja maksimalne dovoljene odprtine razpok v odvisnosti od premera in medsebojne razdalje armaturnih palic (Preglednica 7.2N in Preglednica 7.3N). Maksimalno dovoljene odprtine razpok v odvisnosti od okolice so navedene v SIST EN 1992 (Preglednica 7.1N) in so večje od zahtev v predpisih PBAB. Informativno prikazujemo preglednico iz PBAB. 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 499. Preglednica 14.1: Največje vrednosti mejnih širin razpok 𝒐𝒐𝒄𝒄; [𝒎𝒎𝒎𝒎] – [1] Agresivnost Trajanje vpliva Okolja Stalo in dolgotrajno Stalno, dolgotrajno in spremenljivo kratkotrajno spremenljivo Majhna 0,2 0,4 Srednja 0,1 0,2 Močna 0,05 0,1 Agresivnost okolja je lahko: − majhna za elemente v notranjosti objektov, ki niso izpostavljeni vlagi, atmosferskim in korozijskim vplivom; − srednja za elemente, ki so izpostavljeni močnejšim korozijskim vplivom (tekočim ali plinastim), vštevši neposredni vpliv morske vode in morskega zraka. Največje vrednosti mejnih širin razpok 𝑚𝑚𝑐𝑐 iz Preglednica 14.1 se nanašajo na armiranobetonske elemente z najmanjšimi krovnimi plastmi betona, ki so predpisane v 135. členu PBAB. Za armiranobetonske elemente z debelejšimi krovnimi plastmi betona se smejo največje vrednosti mejnih širin razpok 𝑚𝑚𝑐𝑐 sorazmerno povečati do največ 50 % od vrednosti, navedenih v zgornji preglednici, vendar največ do 0,4 mm. Priporočene vrednosti 𝜌𝜌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚;[𝑚𝑚𝑚𝑚] – po standardu (Preglednica 7.1N) [2] Preglednica 14.2: Priporočene vrednosti 𝒘𝒘𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 [2] Razred Armiranobetonski elementi in prednapeti Prednapeti betonski izpostavljenosti betonski elementi z nepovezanimi kabli elementi s povezanimi kabli Navidezno stalna kombinacija obtežbe Pogosta kombinacija obtežbe X0, XC1 0,4 0,2 XC2, XC3, XC4 0,2 XD1, XD2, 0,3 XS1, XS2, XS3 Dekompresija Največji premer palic ∅𝑠𝑠;[𝑚𝑚𝑚𝑚] – glede na omejitev širine razpok (Preglednica 7.2N) [2] 500 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Preglednica 14.3: Največji premer palic ∅𝒌𝒌 – glede na omejitev širine razpok [2] Največji premer palice [𝑚𝑚𝑚𝑚] Napetost jekla [𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,4 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,3 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,2 𝑚𝑚𝑚𝑚 160 40 32 25 200 32 25 16 240 20 16 12 280 16 12 8 320 12 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 - Največja medosna razdalja armaturnih palic glede na omejitev širine razpok po standardu (Preglednica 7.3N) [2] Preglednica 14.4: Največja medosna razdalja armaturnih palic glede na omejitev širine razpok [2] Največja medosna oddaljenost palic [𝒎𝒎𝒎𝒎] Napetost jekla [𝑀𝑀𝑀𝑀𝑚𝑚] 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,4 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,3 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜌𝜌𝑐𝑐 = 0,2 𝑚𝑚𝑚𝑚 160 300 300 200 200 300 250 150 240 250 200 100 280 200 150 50 320 150 100 – 360 100 50 – Podajamo primer nosilca s konstantnim prerezom za karakteristično (redko) obtežno kombinacijo: 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟕𝟕, 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒑𝒑𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟓𝟓, 𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝑪𝑪 𝟑𝟑𝟎𝟎/𝟑𝟑𝟕𝟕 𝑵𝑵 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 S 500-B 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 501. 𝑬𝑬𝒌𝒌 = 𝟐𝟐, 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑵𝑵 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒉𝒉 = 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒃𝒃 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎 𝒄𝒄 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒐𝒐 = 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 + ∅ = 𝟑𝟑 + 𝟎𝟎, 𝟎𝟎 + 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 = 𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎 ∅ 𝒐𝒐′ = 𝒄𝒄 + 𝒅𝒅𝒌𝒌𝒌𝒌𝒐𝒐 + 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 + 𝟎𝟎,𝟎𝟎 + 𝟎𝟎,𝟔𝟔 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝑨𝑨𝒌𝒌 = 𝟎𝟎∅𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑨𝑨′𝒌𝒌 = 𝟐𝟐∅𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒅𝒅 = 𝒉𝒉 − 𝒐𝒐 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄𝑵𝑵 𝒓𝒓𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝒑𝒑𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒎𝒎 𝝋𝝋 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐 𝝆𝝆 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟏𝟏 % 𝒇𝒇 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝑵𝑵 𝒇𝒇 𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒄𝒄𝒅𝒅 = 𝜸𝜸 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟗 𝒎𝒎𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑬𝑬 𝟐𝟐, 𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 𝜶𝜶 𝒌𝒌 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 = 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 = 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝑬𝑬𝒌𝒌 ∙ (𝟏𝟏 + 𝝋𝝋) = 𝟐𝟐,𝟏𝟏 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟓𝟓 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝟐𝟐, 𝟒𝟒 = 𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟐𝟐𝟕𝟕 – upoštevajoč lezenje betona 𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝑴𝑴 = 𝒓𝒓𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐 ∙ 𝒙𝒙 − 𝒓𝒓𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟔𝟔𝒙𝒙(𝟎𝟎 − 𝒙𝒙) 𝑴𝑴 � = 𝒙𝒙; 𝑴𝑴 + 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 = 𝟓𝟓𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟎𝟎; 𝟐𝟐 (𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝒑𝒑𝑬𝑬𝒅𝒅) = 𝟕𝟕 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝑴𝑴(𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝒑𝒑𝑬𝑬𝒅𝒅) = 𝟗𝟗𝟔𝟔 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 502 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ Za fazo I: 𝒙𝒙 ′ 𝑰𝑰 ≅ 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎; 𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟎𝟎; 𝒄𝒄𝒌𝒌 = 𝒙𝒙𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′ = 𝟑𝟑𝟎𝟎 − 𝟒𝟒, 𝟒𝟒 = 𝟐𝟐𝟓𝟓, 𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒌𝒌 = �𝒉𝒉 − 𝒙𝒙𝑰𝑰� − 𝒐𝒐 = 𝟑𝟑𝟎𝟎 − 𝟓𝟓 = 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟐𝟐 𝟐𝟐′ ′ 𝟐𝟐 𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝑰𝑰𝒄𝒄𝟎𝟎 + 𝑨𝑨𝒄𝒄 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌� 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝟐𝟐 𝟐𝟐′ ′ 𝟐𝟐 𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒃𝒃 ∙ 𝒉𝒉 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌� 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 + 𝟔𝟔.𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ �𝟐𝟐𝟓𝟓, 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 + 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟐𝟐 ∙ 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓� 𝑰𝑰𝑰𝑰𝒐𝒐,𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟓𝟓𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝒄𝒄𝒎𝒎𝟒𝟒 = 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒𝟒 Za fazo II: −𝜶𝜶 ′ 𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 + 𝑨𝑨𝒌𝒌) + �[𝜶𝜶 ′ + 𝑨𝑨 ′ + 𝒅𝒅 ∙ 𝑨𝑨 𝒙𝒙 𝑬𝑬 ∙ (𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌)𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝒃𝒃 ∙ (𝒐𝒐′ ∙ 𝑨𝑨𝒌𝒌 𝒌𝒌)] 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝒃𝒃 −𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ (𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 + 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓) + � 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ (𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 + 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓)𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ (𝟒𝟒, 𝟒𝟒 ∙ 𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∙ 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓) 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒎𝒎 (brez reologije betona) 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 503. 𝒙𝒙𝜶𝜶𝑬𝑬=𝟏𝟏𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟕𝟕 𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟗𝟗 > 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟑𝟑 – to fizikalno ni mogoče, saj se pri upoštevanju reologije betona nevtralna os pomakne proti tlačnemu robu! 𝒃𝒃 ∙ 𝒙𝒙𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑰𝑰𝑰𝑰 ′ 𝟑𝟑 + 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ �𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 − 𝒐𝒐′)𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰)𝟐𝟐� 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟑𝟑 + 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ �𝟐𝟐, 𝟐𝟐𝟔𝟔 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕𝟐𝟐� 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟒𝟒 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒𝟒 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟒𝟒 𝑴𝑴𝑵𝑵 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑. 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟑𝟑𝟎𝟎. 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟔𝟔 𝑴𝑴𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 Bilinearna metoda: 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ∙ 𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝑴𝑴𝑰𝑰 = 𝒇𝒇𝒄𝒄𝒌𝒌𝒎𝒎 ∙ 𝑾𝑾𝑰𝑰 = 𝟐𝟐, 𝟗𝟗 ∙ 𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟎𝟎 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝑴𝑴𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝑴𝑴𝑰𝑰 → 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟑𝟑 → 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝟎𝟎𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 = 𝟎𝟎 𝟒𝟒𝟎𝟎 ± �𝟒𝟒𝟎𝟎𝟐𝟐 − 𝟒𝟒 ∙ 𝟔𝟔 ∙ 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒙𝒙𝑴𝑴𝑰𝑰 𝟏𝟏,𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟏𝟏 = 𝟕𝟕, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒎𝒎; 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒎𝒎 504 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝑬𝑬 𝟑𝟑𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟒𝟒𝟔𝟔 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 = ; 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 − 𝑴𝑴𝒄𝒄𝒐𝒐 𝑴𝑴 ∙ (𝟏𝟏 − 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰) 𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ (𝟏𝟏 − 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟕𝟕) (𝒙𝒙) 𝑰𝑰𝑰𝑰 𝑴𝑴(𝒙𝒙) Preglednica 14.5: Efektivne togosti po bilinearni metodi 𝑇𝑇 𝑀𝑀 𝑀𝑀� 𝐸𝐸𝑐𝑐𝑚𝑚 ∙ 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑 [𝑚𝑚] [𝑘𝑘𝑁𝑁𝑚𝑚] [𝑚𝑚] [𝑀𝑀𝑁𝑁𝑚𝑚2] 0 0 0 133,782 0,5 22,5 0,25 133,782 ↧ 0,920 39,082 0,460 133,782 razpoke 1,0 42 0,5 114,625 1,5 58,5 0,75 73,427 2,0 72,0 1,0 62,676 2,5 82,5 1,25 57,993 3,0 90,0 1,5 55,618 3,5 94,5 1,75 54,450 4,0 96,0 2,05 54,095 Slika 14.11: Diagrami togosti, upogibnih in virtualnih momentov 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 505. Za karakteristično kombinacijo znaša vrednost 𝛽𝛽 = 1,0. 𝛽𝛽 … koeficient, ki upošteva vpliv trajanja obtežbe ali ponavljajoče se (ciklične) obtežbe na povprečno deformacijo jekla 𝛽𝛽 = 1 … za enkratno kratkotrajno obtežbo 𝛽𝛽 = 0,5 … za trajno ali ciklično obtežbo (𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒎𝒎 ∙ [𝜻𝜻 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 + (𝟏𝟏 − 𝜻𝜻) ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰] 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝜻𝜻 = 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝝈𝝈 � ≅ 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � � 𝒌𝒌 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ � 𝟗𝟗𝟔𝟔 � = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 < 𝜷𝜷𝑹𝑹𝑲𝑲 ≤ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 (𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ [𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟕𝟕 ∙ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒] ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 (𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝟓𝟓𝟒𝟒, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 Spodaj je podan izračun povesa v času 𝛼𝛼=0 za »redko« oziroma karakteristično kombinacijo Izračun ∑(𝐸𝐸𝑐𝑐∙𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑖𝑖 (Slika 14.6) 𝑴𝑴 𝒘𝒘 = � 𝒊𝒊 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒊𝒊 ∙ ∆𝒙𝒙𝒊𝒊 (𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒊𝒊𝟐𝟐 𝟗𝟗𝟔𝟔∙𝟐𝟐∙𝟎𝟎,𝟓𝟓 𝟗𝟗𝟒𝟒,𝟓𝟓∙𝟏𝟏,𝟕𝟕𝟓𝟓∙𝟎𝟎,𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ (𝟓𝟓𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟓𝟓 ∙ 𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟓𝟓𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟔𝟔𝟏𝟏𝟎𝟎 + 506 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝟎𝟎𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝟕𝟕𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏, 𝟎𝟎 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝟓𝟓𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟕𝟕𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝟕𝟕, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟕𝟕𝟔𝟔 + 𝟕𝟕𝟑𝟑, 𝟒𝟒𝟐𝟐𝟕𝟕 𝟒𝟒𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒,𝟔𝟔𝟐𝟐𝟓𝟓 + 𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟐𝟐𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟐𝟐 ) 𝒄𝒄 𝒘𝒘 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟗𝟗𝟔𝟔 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐 𝒎𝒎 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟕𝟕𝟐𝟐𝟕𝟕 Z upoštevanjem konstantne vrednosti togosti (𝐸𝐸∙𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓 po vsej dolžini nosilca: (𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝟓𝟓𝟒𝟒, 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟗𝟗𝟔𝟔 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒘𝒘 𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝟏𝟏 = 𝟗𝟗, 𝟔𝟔 ∙ (𝑬𝑬 = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝟗𝟗, 𝟔𝟔 ∙ 𝟓𝟓𝟒𝟒, 𝟐𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝒎𝒎 = 𝟔𝟔𝟕𝟕𝟎𝟎 Razlika znaša 𝜌𝜌 − 𝜌𝜌1 = 1,096 ∙ 10−2 − 1,18 ∙ 10−2 = −0,084 𝜎𝜎𝑚𝑚 ≅ 0,8 𝑚𝑚𝑚𝑚, kar v kvocientu znaša 𝑐𝑐 = 1,096 = 0,93 (7 %). 𝑐𝑐1 1,18 Namišljeno stalna obtežna kombinacija; 𝛽𝛽 = 0,5 (kvazipermanentna kombinacija) Upoštevamo trenutno obtežbo kot trajno, vendar pa jo zmanjšamo s faktorjem 𝜓𝜓2. 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 507. Poves zaradi lezenja betona 𝟓𝟓 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 𝝍𝝍𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟐𝟐; 𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑬𝑬𝒅𝒅 + 𝝍𝝍𝟐𝟐 ∙ 𝑴𝑴𝒑𝒑𝑬𝑬𝒅𝒅 = 𝟓𝟓𝟔𝟔 + 𝟎𝟎, 𝟐𝟐 ∙ 𝟎𝟎 = 𝟔𝟔𝟒𝟒 𝒄𝒄𝑵𝑵𝒎𝒎 𝝈𝝈 𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝟐𝟐 𝜻𝜻 = 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � 𝒌𝒌𝒐𝒐 𝒄𝒄𝒐𝒐 𝝈𝝈 � ≅ 𝟏𝟏 − 𝜷𝜷 ∙ � � 𝒌𝒌 𝑴𝑴𝒎𝒎𝒐𝒐𝒙𝒙 𝟑𝟑𝟗𝟗, 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 ∙ � 𝟔𝟔𝟒𝟒 � = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 (𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ [𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟒, 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟒𝟒] ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 = 𝟓𝟓𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟗𝟗 𝑴𝑴𝑵𝑵𝒎𝒎𝟐𝟐 ≅ 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰𝑰 Opomba: za 𝜓𝜓2 > 0,2 dobimo (𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝐼𝐼𝑖𝑖𝑑𝑑)𝑐𝑐𝑓𝑓𝑓𝑓 < 𝐸𝐸𝑐𝑐 ∙ 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼, kar ni logično. 𝑬𝑬 ∅ = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐; 𝑬𝑬 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝝋𝝋 = 𝟏𝟏 + ∅ 𝑴𝑴 𝟔𝟔𝟒𝟒 ∙ 𝟎𝟎𝟐𝟐 𝒘𝒘 = 𝑬𝑬𝒅𝒅 ∙ 𝒄𝒄𝟐𝟐 𝒄𝒄 ∙ (𝑬𝑬 ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) = 𝒄𝒄 ∙ 𝑰𝑰𝒊𝒊𝒅𝒅)𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝟗𝟗, 𝟔𝟔 ∙ 𝟓𝟓𝟔𝟔, 𝟐𝟐𝟗𝟗 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟑𝟑 ∙ 𝟐𝟐, 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟕𝟕 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟐𝒎𝒎 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄 𝒄𝒄 𝒘𝒘𝒄𝒄𝒐𝒐 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟕𝟕 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟗𝟗 = 𝟒𝟒𝟕𝟕𝟗𝟗 < 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎 Poves zaradi krčenja betona: 𝒘𝒘𝒌𝒌 = �𝜿𝜿𝒌𝒌 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙; 𝜺𝜺𝒌𝒌,∞ = 𝜺𝜺𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 ‰ 𝒙𝒙 Ukrivljenost zaradi krčenja betona 𝜅𝜅𝑠𝑠 znaša: 𝑵𝑵 𝑬𝑬 𝑬𝑬 𝜿𝜿 𝒌𝒌 𝒌𝒌 𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰 ; 𝜶𝜶𝑬𝑬 = = ∙ (𝟏𝟏 + 𝜱𝜱) 𝒊𝒊𝒅𝒅 𝑬𝑬𝒄𝒄,𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ 𝟐𝟐, 𝟐𝟐 = 𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟗𝟗𝟗𝟗 Statični moment prereza armature na nevtralno os 𝑇𝑇𝐼𝐼𝐼𝐼 znaša: 508 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ 𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟏𝟏𝟒𝟒, 𝟒𝟒𝟑𝟑 = 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕; 𝑵𝑵 = 𝑵𝑵𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝑨𝑨𝒌𝒌 ∙ (𝒅𝒅 − 𝒙𝒙𝑰𝑰𝑰𝑰) = 𝟗𝟗, 𝟎𝟎𝟓𝟓 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎, 𝟓𝟓𝟕𝟕 = 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟕𝟕, 𝟏𝟏𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟑𝟑 𝑰𝑰𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝑰𝑰 = 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟑𝟑𝟕𝟕, 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟒𝟒 = 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟐𝟐𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟒𝟒 𝑰𝑰𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝑰𝑰𝑰𝑰 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟑𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟑𝟑𝟓𝟓 + 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ 𝟏𝟏𝟓𝟓𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟕𝟕𝟎𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟕𝟕𝟓𝟓 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟒𝟒 𝑰𝑰𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟐𝟐𝟏𝟏𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟕𝟕𝟓𝟓 + 𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟐𝟐𝟑𝟑𝟗𝟗𝟑𝟑, 𝟔𝟔𝟑𝟑𝟓𝟓 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓, 𝟐𝟐𝟔𝟔𝟒𝟒 𝒄𝒄𝒎𝒎𝟒𝟒 Opomba: ker smo statični moment armature množili z 𝛼𝛼𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝑠𝑠 ∙ (1 + 𝛷𝛷), moramo 𝐸𝐸𝑐𝑐 ustrezen količnik ekvivalence upoštevati pri izračunu efektivnega vztrajnostnega momenta in tako sledi: 𝑵𝑵 𝜿𝜿𝒌𝒌 = 𝜺𝜺𝒄𝒄𝒌𝒌 ∙ 𝜶𝜶𝑬𝑬 ∙ 𝑰𝑰𝜶𝜶𝑬𝑬 = 𝟔𝟔,𝟑𝟑𝟔𝟔 𝒄𝒄𝒇𝒇𝒇𝒇 𝟑𝟑𝟔𝟔𝟕𝟕, 𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑 ∙ 𝟔𝟔, 𝟑𝟑𝟔𝟔 ∙ 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟏𝟓𝟓,𝟐𝟐𝟔𝟔𝟒𝟒 = 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒎𝒎 𝒄𝒄 𝒄𝒄𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒘𝒘𝒌𝒌 = �𝜿𝜿𝒌𝒌 ∙ 𝑴𝑴 � 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝜿𝜿𝒌𝒌 � 𝑴𝑴�𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝜿𝜿𝒌𝒌 ∙ 𝟐𝟐� 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒄𝒄/𝟐𝟐 = 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∙ 𝟐𝟐 � = 𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟐𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟔𝟔 ∙ 𝟎𝟎 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒎𝒎 = 𝟑𝟑,𝟑𝟑 𝒎𝒎𝒎𝒎 Končna deformacija zaradi lezenja in krčenja betona znaša: � 𝒘𝒘 = 𝒘𝒘𝒄𝒄𝒐𝒐 + 𝒘𝒘𝒌𝒌 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟕𝟕 + 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒎𝒎 = 𝒘𝒘∞ DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ P. Dobrila Literatura „Pravilnik za beton in armirani beton - PBAB“. 1987. „Slovenski standard. SIST EN 1992-1-1:2005“. Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2006. Ž. Radosavljević, Armirani beton. Knj. 1, Novo 5. izd. Beograd: Građevinska knjiga, 1988. M. Neville Adam, Properties of Concrete, 4. izd. Harlow: Longman, 2005. F. Leonhardt in E. Mönnig, Vorlesungen über Massivbau 1, let. 1. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1973. doi: 10.1007/978-3-662-07601-9. „DIN 1048“. F. Leonhardt in E. Mönnig, Vorlesungen über Massivbau 2, let. 2. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1986. doi: 10.1007/978-3-642-61643-3. „Slovenski standard. SIST EN 1992-1-1:2005“. Slovenski inštitut za standardizacijo, Ljubljana, 2006. I. Tomičić, Priručnik za proračun armiranobetonskih konstrukcija. Zagreb: T tisak Velika Gorica, 1993. F. S. Rostásy in G. Wiedemann, „Stress-strain-behaviour of concrete at extremely low temperature“, Cem Concr Res, let. 10, št. 4, str. 565–572, 1980, doi: https://doi.org/10.1016/0008-8846(80)90100-3. J. Bonzel, Über die Spaltzugfestigkeit des Betons. Düsseldorf: Beton-Verlag GmbH, 1964. A. Hummel, Das Beton-ABC: Ein Lehrbuch Der Technologie Des Schwerbetons und Des Leichtbetons. W. Ernst, 1959. [Na spletu]. Dostopno na: https://books.google.si/books?id=zZtTAAAAYAAJ M. Roš, Die materialtechnischen Grundlagen und Probleme des Eisenbetons im Hinblick auf die zukünftige Gestaltung der Stahlbeton-Bauweise. v Bericht / Eidgenössische Materialprüfungs- und Versuchsanstalt für Industrie, Bauwesen und Gewerbe. EMPA, 1950. [Na spletu]. Dostopno na: https://books.google.si/books?id=fT4rvwEACAAJ „DIN 1045-1“. 0. Wagner, Das Kriechen unbewehrten Betons, let. 131. Berlin: Deutscher Ausschuβ für Stahlbeton, 1958. H. Klopfer, „Die Carbonatisation von Sichtbeton und ihre Bekämpfung“, Bautenschutz und Bausanierung, let. 1, št. 3, 1978. G. Wischers in M. Lusche, „Einfluss der inneren Spannungsverteilung auf das Tragverhalten von druckbeanspruchtem Normal-und Leichtbeton“, 1972. [Na spletu]. Dostopno na: https://api.semanticscholar.org/CorpusID:160990297 E. Grasser in P. Probst, Biegebemessung von Stahl eichtbeton. Ableitung der Spannungsverteilung in der Biegedruckzone aus Prismenversuchen als Grundlage für DIN 4219, 322. izd., št. 322. Berlin: W. Ernst u. Sohn, 1981. H. Weigler in W. Freitag, Dauerschwel - und Betriebsfestigkeit von KonstruktionsLeichtbeton, DAfStb., let. 247. Berlin: W. Ernst u. Sohn, 1975. G. Rehm, „Kriterien zur Beurteilung von Bewehrungsstäben mit hochwertigem Verbund“, Stahlbetonbau. W. Ernst u. Sohn, Berlin, 1969. „SIST EN 1990:2004“. Ž. Radosavljević, Armirani beton. Knj. 2: Teorija graničnih stanja. Beograd: Građevinska knjiga, 1986. P. Dobrila, M. Lep in M. Ježovnik, Diagrami za dimenzioniranje armature pravokotnih in „T“ prerezov: upogibno osna obremenitev, velika ekscentričnost: priročnik. Maribor: Tehniška fakulteta, 1991. R. Rogač, F. Saje in M. Lozej, Priročnik za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj. Fakulteta za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo, VTOZD Gradbeništv o in 510 DIMENZIONIRANJE ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ geodezija, Katedra za masivne in lesene konstrukcije, 1989. [Na spletu]. Dostopno na: https://books.google.si/books?id=1jdxAAAACAAJ Ž. Radosavljević, Armirani beton. Knj. 2: Teorija graničnih stanja. Beograd: Građevinska knjiga, 1986. D. Beg in A. Pogačnik, Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod standardih. Inženirska zbornica Slovenije, 2009. F. Leonhardt in E. Mönnig, Vorlesungen über Massivbau 3, let. 3. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1974. doi: 10.1007/978-3-662-10822-2. Ž. Radosavljević in D. Bajić, Armirani beton. 3, Elementi armiranobetonskih konstrukcija. Beograd: Akademska misao, 2016. R. Bareš, Proračun ploča i zidnih platna. Beograd: Građevinska knjiga, 1972. P. Dobrila, M. Lep in M. Ježovnik, Diagrami za dimenzioniranje armature pravokotnih in „T“ prerezov: upogibno osna obremenitev, velika ekscentričnost: priročnik. Maribor: Tehniška fakulteta, 1991. D. Beg in A. Pogačnik, Priročnik za projektiranje gradbenih konstrukcij po evrokod standardih. Inženirska zbornica Slovenije, 2009. Ž. Radosavljević, Armirani beton. Knj. 1, Novo 5. izd. Beograd: Građevinska knjiga, 1988. DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fgpa.1.2024 DIMENZIONIRNJE ISBN 978-961-286-833-8 ARMIRANOBETONSKIH KONSTRUKCIJ PO METODI MEJNIH STANJ PETER DOBRILA Univerza v Mariboru, Fakulteta za gradbeništvo, prometno inženirstvo in arhitekturo, Maribor, Slovenija fgpa@um.si Publikacija predstavlja zelo obširen spekter dimenzioniranja Ključne besede: beton, armirano-betonskih (AB) elementov, tako linijskih, kot konstrukcije, ploskovnih elementov. Posamična poglavja so tematsko mehanika konstrukcij, evrokod standardi, zasnovana tako, da so najprej predstavljene osnovne teoretične metoda mejnih stanj osnove osnovnih mehanskih mehanizmov posameznega obremenitvenega problema konstrukcijskih elementov, v drugem delu pa nato še aplikacije na specifični primer uporabe veljavnih Evrokod standardov. V posameznih poglavjih so na koncu podani tudi posebni konkretni računski primeri, ki bralcu približajo uporabo Evrokod standardov na posameznih izbranih vzorčnih primerih. Dodatno pa bo publikacija lahko zelo koristen učni in uporabniški pripomoček tudi za projektante armirano- betonskih konstrukcij v projektivnih birojih, ter v določeni meri tudi za izvajalce gradbenih del. Publikacija je sicer tematsko razdeljena v 14 ločenih samostojnih poglavij. DOI https://doi.org/ 10.18690/um.fgpa.1.2024 DIMENSIONING OF REINFORCED ISBN 978-961-286-833-8 CONCRETE STRUCTURES ACCORDING TO LIMIT STATE DESIGN PETER DOBRILA University of Maribor, .Faculty of Civil Engineering, Transportation Engineering and Architecture, Maribor, Slovenia fgpa@um.si Keywords: This publication presents a very comprehensive coverage of the concrete, structures, design of reinforced concrete (RC) elements, both linear and structural mechanics, planar. The chapters are organised in such a way that first the Eurocode standards, limit state method basic theoretical background of the underlying mechanical mechanisms of each loading problem of structural elements is presented, followed in the second part by applications to the specific example of the use of the applicable Eurocode standards. Finally, specific concrete calculation examples are given in individual chapters to bring the reader closer to the application of the Eurocode standards to selected sample cases. In addition, the publication can be a very useful learning and application tool for designers of reinforced concrete structures in design offices and, to some extent, for contractors. The publication is divided into 14 separate chapters. Document Outline 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije 1 2 Umetni kamen – beton (concrete) 7 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 111 4 Armirani beton 133 5 Armirani beton – mejna stanja 159 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 185 7 Upogib 197 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 245 9 Plošče 295 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 353 11 Centrični tlak 387 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 411 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 441 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 475 1 Uvod v armiranobetonske konstrukcije 1.1 Uvod 1.2 Zgodovina armiranega betona 1.3 Prednosti armiranega betona 1.4 Pomanjkljivosti armiranega betona 2 Umetni kamen – beton (concrete) 2.1 Uvod 2.2 Komponente betona 2.2.1 Cement 2.2.2 Voda 2.2.3 Agregat 2.2.4 Dodatki betona – aditivi 2.3 Sveži beton in njegov sestav 2.3.1 Uvod 2.3.2 Žitkost konsistence svežega betona 2.3.3 Strjevanje betona 2.4 Mehanske lastnosti normalnih betonov 2.4.1 Tlačna trdnost betona – pri kratkotrajni obtežbi 2.4.2 Določitev karakteristične tlačne trdnosti betona 2.4.3 Razvoj tlačne trdnosti betona, deklarirane po predpisih 2.4.4 Tlačna trdnost normalnega betona pri dolgotrajni obtežbi 2.4.5 Tlačna trdnost normalnega betona pri cikličnih obremenitvah 2.4.6 Tlačna trdnost betona pri visokih temperaturah 2.4.7 Tlačna trdnost betona pri nizkih temperaturah 2.4.8 Tlačna trdnost betona na udar 2.4.9 Tlačna trdnost betona, pri katerem je onemogočena prečna ekspanzija (confined concrete) 2.4.10 Tlačna trdnost betona, vgrajenega v konstrukcije 2.4.11 Natezna trdnost betona 2.4.12 Strižna trdnost normalnega betona 2.5 Deformacije normalnega betona 2.5.1 Modul elastičnosti in strižni modul 2.5.2 Temperaturni razteznostni koeficient ,𝜶-𝒕. in toplotna prevodnost 𝝀 normalnih betonov 2.5.3 Časovno neodvisne plastične deformacije betona 2.6 Časovno odvisne deformacije 2.6.1 Reologija betona 2.6.2 Krčenje in nabrekanje betona (shrinkage and swelling) 2.6.3 Izračun vrednosti krčenja betona ,𝛆-𝐬. 2.6.4 Lezenje betona 2.7 Kemični učinki na beton 2.7.1 Korozija betona 2.7.2 Karbonatizacija betona 2.8 Ostale vrste betonov 2.8.1 Težki betoni 2.8.2 MASS betoni za gradnjo velikih masivnih konstrukcij 2.8.3 Vlaknasti ali mikroarmirani beton 2.8.4 Ferocement 2.8.5 Lahki betoni za nosilne konstrukcije (light weight concrete) 2.8.5.1 Osnovna dejstva 2.8.5.2 Presejna krivulja agregatov in sestava komponent lahkega betona 2.8.5.3 Napetostne trajektorije v lahkem betonu 2.8.5.4 Tlačne trdnosti lahkih betonov pri trenutni obremenitvi 2.8.5.5 Tlačne trdnosti lahkega betona pri trajni obtežbi 2.8.5.6 Dinamična tlačna trdnost lahkega betona 2.8.5.7 Delovni diagram (𝝈−𝜺) in modul elastičnosti lahkega betona pri trenutni obremenitvi 2.8.5.8 Natezne trdnosti lahkih betonov 2.8.5.9 Adhezijska (sprijemna) trdnost 2.8.5.10 Nabrekanje, krčenje in lezenje lahkega betona 2.8.5.11 Fizikalne količine lahkega betona, odvisne od temperature in prevoda toplote 2.8.5.12 Korozijska zaščita armature v lahkem betonu 2.8.5.13 Ekonomske prednosti in pomanjkljivosti lahkega betona 2.8.5.14 Pomembni objekti (konstrukcije) 3 Betonsko jeklo – armatura (steel reinforcement) 3.1 Uvod 3.2 Betonsko jeklo – sestava in lastnosti 3.3 Vrste in oznake betonskih jekel 3.4 Mehanske in fizikalne lastnosti armature 3.4.1 Meja plastičnosti (popuščanja), natezna trdnost, žilavost in duktilnost 3.4.2 Projektna natezna trdnost jeklene armature 3.4.3 Duktilnost betonskega jekla 3.4.4 Modul elastičnosti, Poissonov količnik, temperaturni specifični količnik, strižni modul in gostota 3.4.5 Vpliv visoke temperature na trdnosti betonskega jekla 3.5 Krivljenje betonskega jekla – armature 3.6 Zaščita armature pred korozijo 4 Armirani beton 4.1 Uvod 4.2 Adhezijska (sprijemna) in izruvna trdnost (nosilnost) normalnega betona 4.3 Sodelovanje armature in betona 4.3.1 Centrični nateg 4.3.2 Čisti upogib 5 Armirani beton – mejna stanja 5.1 Uvod 5.2 Metoda mejnega stanja nosilnosti (porušitve) – MSN 5.3 Problem in koncept varnosti inženirskih konstrukcij 5.4 Faktorji varnosti 5.5 Projektiranje armiranobetonskih konstrukcij 5.5.1 Uvod 5.6 Mejno stanje nosilnosti – MSN 5.6.1 Uvod 5.6.2 Kombinacija vplivov za stalna in spremenljiva projektna stanja 5.6.3 Delni faktorji varnosti za materiale 5.7 Mejno stanje uporabnosti – MSU 5.8 Analiza možnih deformacij in pripadajočih tlačnih napetosti betona pri mejnem stanju nosilnosti – MSN 6 Dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij s centrično natezno osno silo in ekscentrično natezno silo male ekscentritete 6.1 Centrični nateg 6.2 Ekscentrični nateg male ekscentričnosti 6.3 Priključek vešalke na nosilec z zanko in preklopom (izvedba armaturnega členka) 7 Upogib 7.1 Uvod 7.2 Teoretične osnove dimenzioniranja armiranobetonskih nosilcev pri upogibni obremenitvi brez osne sile (delovni diagram betona (DDB) – kvadratna parabola + premica) 7.3 Načini dimenzioniranja nosilcev konstantnega prereza 7.3.1 Prosto dimenzioniranje 7.3.2 Vezano dimenzioniranje 7.3.3 Vezano dimenzioniranje 7.4 Minimalni količnik natezne armature 7.5 Maksimalni količnik natezne armature 7.6 Dvojno armirani prerezi 7.7 Ekscentrični nateg in ekscentrični tlak (brez upoštevanje stabilnosti) – enoosni upogib za 𝑪≤𝟓𝟎/𝟔𝟎 7.7.1 Ekscentrični nateg – velika in mala ekscentričnost 7.7.2 Ekscentrični tlak – velika in mala ekscentričnost 8 Dimenzioniranje armiranobetonskih elementov na prečno silo 8.1 Uvod 8.2 Dimenzioniranje armiranobetonskih nosilcev s konstantno višino in širino za fazo II 8.2.1 Mörschevo paličje 8.2.2 Analiza tlačne diagonale 8.2.3 Analiza natezne diagonale 8.2.4 Mejna prečna sila, pri kateri doseže beton »poševne« diagonale in natezno trdnost 8.2.5 Minimalni količnik poševne armature ,𝝆-𝒘,𝒎𝒊𝒏- . 8.2.6 »Stopničenje« vzdolžne natezne armature 8.2.7 Določitev območja, do kod mora segati natezna vzdolžna armatura 8.3 Armiranobetonski nosilci s spremenljivo višino in konstantno širino – faza II 8.3.1 Kritični prerez 8.3.2 Reducirana prečna sila 9 Plošče 9.1 Definicija osnovne predpostavke »homogenih« plošč 9.2 Analiza plošč 9.3 Teorija tankih plošč – Kirchoffova teorija plošč (kratek opis) 9.3.1 Pravokotne plošče 9.3.1.1 Pravokotne plošče, nosilne v eni smeri 9.3.2 Pravokotne plošče, nosilne v dveh smereh 9.3.2.1 Splošno 9.3.2.2 Pravokotne plošče, »podprte« na vseh štirih robovih 9.3.2.3 Pravokotne plošče, »podprte« na treh robovih 9.3.2.4 Pravokotne plošče, »podprte« na dveh soležnih robovih 9.3.2.5 Navodila za izračun obremenitev pravokotnih plošč s pomočjo tabel 9.3.3.3 Koncentrirane sile 10 Plošče z rebrom –prerezi »T« 10.1 Uvod 10.2 Sodelujoča ali efektivna širina tlačne plošče 10.3 »Prehod« in sprememba smeri tlačnih napetosti betona iz plošče v rebro 10.4 Dimenzioniranje prerezov »T« 10.4.1 Upogib z osno silo 10.4.2 Diagrami za dimenzioniranje armature pravokotnih prerezov in prerezov »T« 10.4.3 Računski zgled, kjer uporabimo preglednice iz Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [26] 10.4.4 Računski zgled z uporabo nomogramov Priročnika za dimenzioniranje armiranobetonskih konstrukcij po metodi mejnih stanj [24] 10.4.5.3 Kontrola tlačnih napetosti med krilom plošče in rebrom 11 Centrični tlak 11.1 Uvod 11.2 Stebri z vzdolžno armaturo in stremeni (enoosno napetostno stanje) 11.3 Običajni načini dimenzioniranja armiranobetonskih elementov, obremenjenih s centrično tlačno silo 11.4 Stebri, armirani s spiralno armaturo 11.5 Nosilnost »spiralno« armiranega stebra, obremenjenega s centričnim pritiskom 11.5.1 Uvod 12 Stabilnost tlačnih armiranobetonskih »palic« 12.1 Uvod klasična teorija – jeklene konstrukcije 12.2 Armiranobetonske konstrukcije 12.2.1 Uvod 12.2.2 Vplivi na nosilnost oziroma stabilnost tlačnih armiranobetonskih palic 12.2.2.1 Vpliv razporeditve upogibnih momentov 12.2.2.2 Vpliv marke betona in armature 12.2.2.3 Vpliv količnika armiranja ,,𝛍.=𝛚. 12.2.2.4 Vpliv lezenja betona 12.2.3 Parametri določevanja sile hitrosti po EC2 12.2.3.1 Neravnost ali imperfekcija tlačnih palic – geometrijska nepopolnost 12.2.3.2 Totalna ekscentričnost 12.2.4 »Pomičnost« konstrukcij 12.2.5 Določitev uklonske dolžine 12.2.6 Limitna (mejna) vitkost 12.2.7 Določitev ekscentritete zaradi upogiba »e2« 12.2.8 Izračun momenta MII in popravek rezultatov, dobljenih po teoriji I. reda 13 Vzvoj ali torzija armiranobetonskih nosilcev (tx, txu, txd) 13.1 Uvod – »trdnost« 13.2 Glavne napetosti homogenega prereza pri »čisti« torziji 13.2.1 Faza I – nerazpokan prerez – St. Venantova torzija ,,𝑭.-𝑻.=,,𝟎,𝟎,𝟎,𝑻𝒙,𝟎,𝟎.-𝑻. 13.2.2 Faza IIa 13.2.3 Analiza možnih »predalčij« v vertikalnih in horizontalnih ravninah 13.3 Dimenzioniranje torzijsko obremenjenih prerezov za mejno stanje nosilnosti – MSN 13.3.1 Uvod 13.3.2 Analiza napetostnega stanja ,𝝈-𝒄𝒅. in določitev ustreznega mejnega torzijskega momenta ,𝑻-𝑹𝒅,𝒎𝒂𝒙., ko je izčrpana tlačna nosilnost betona 13.3.3 Določitev nateznih sil v vzdolžni in stremenski armaturi ter mejnih torzijskih momentov, ko sta izčrpani vzdolžna in stremenska armatura (,𝝈-𝒔𝒅.=,𝒇-𝒚𝒅.;𝜶=,𝟗𝟎-𝒐.) 13.3.4 Izračun projektnega torzijskega momenta pri znani vzdolžni in stremenski armaturi 13.3.5 Kombinacije obremenitev 13.3.6 Razdalje med stremeni pri dvoosnem upogibu in torziji 14 Deformacije in razpoke armiranobetonskih konstrukcij 14.1 Uvod – MSU 14.2 Statične količine prereza – nevtralne osi, togosti 14.3 Povesi armiranobetonskih konstrukcij 14.3.1 Nosilci konstantnega prereza 14.3.1.1 Karakteristična – redka kombinacija, 𝜷=𝟏,𝟎 14.3.1.2 Namišljena stalna obtežba (kvazipermanentna obtežba; 𝟎,𝟓≤𝜷<𝟏,𝟎) 14.3.1.3 Povesi zaradi krčenja betona 14.3.2 Nosilci nekonstantnega prereza 14.4 Razpoke 14.4.1 Uvod 14.4.2 Teoretične osnove izračuna razpok Blank Page Blank Page