Tight relative t-designs on two shells in hypercubes, and Hahn and Hermite polynomials - Bannai, Eiichi (Ars mathematica contemporanea, 2022)
Relativni ?$t$?-dizajni v ?$n$?-dimenzionalni hiperkocki ?$\mathcal{Q}_n$? so ekvivalentni uteženim regularnim ?$t$?-kratnim uravnoteženim dizajnom, ki posplošujejo kombinatorne ?$t-(n, k, λ)$? dizajne na ta način, da dovoljujejo večkratne velikosti blokov, pa tudi uteži. Motivirani tudi z nedavno študijo o tesnih evklidskih ?$t$?-dizajnih na dveh koncentričnih sferah, v članku obravnavamo tesne relativne ?$t$?-dizajne v hiperkocki ?$\mathcal{Q}_n$?, podprte na dveh lupinah. Pokažemo, da, pod blagim pogojem, velja, da takšen relativen ?$t$?-dizajn inducira strukturo koherentne konfiguracije z dvema vlaknoma. Iz te strukture sklepamo tudi, da mora imeti polinom iz družine Hahnovih hipergeometrijskih ortogonalnih polinomov samo celoštevilske enostavne ničle. Glavno orodje pri izpeljavi teh rezultatov je Terwilligerjeva algebra. Z eksplicitno oceno vedenja ničel Hahnovih polinomov, ki pri ustreznem limitnem procesu degenerirajo v Hermiteove polinome, dokažemo izrek, ki deloma dokazuje, da so netrivialni tesni relativni ?$t$?-dizajni v ?$\mathcal{Q}_n$?, podprti na dveh lupinah, za velike ?$t$? redki.
Keywords: asociativna shema; association scheme; coherent configuration; Hahn polynomial; Hahnov polinom; Hermite polynomial; Hermiteov polinom; koherentna konfiguracija; relative t-design; relativni t-dizajn; Terwilliger algebra; Terwilligerjeva algebra