ISSN 0351-6652 Letnik 29 (2001/2002) Številka 4 Strani 233-237
Nada Razpet:
REZANJE IN SESTAVLJANJE PRAVILNEGA ČETVERCA
Ključne besede: matematika, geometrija, prostorska predstavljivost, tetraeder, četverec, prostornina.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/29/1482-Razpet.pdf
© 2002 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
REZANJE IN SESTAVLJANJE PRAVILNEGA ČETVERCA
Štiri skladna telesa, iz katerih lahko sestavimo pravilni četverec, smo spoznali že v 5. številki lanskega letnika Preseka, str. 290. Tokrat poglejmo, kaj nastane, če enemu izmed teh teles dodajamo druga telesa.
Telesa, iz katerih sestavljamo pravilni četverec, bomo označili s T4. Najdaljši rob telesa T4 naj bo 3x. V omenjenem članku smo videli, da lahko iz štirih skladnih teles T 4 sestavimo pravilni četverec z osnovnim robom 4x. Od tod lahko hitro izračunamo prostornino Vt telesa T4:
4X3V2
vt = -3-.
Telo T4 dopolnimo do prisekane piramide
Poglejmo na telo T4 še drugače. Iz sestavljenega pravilnega četverca z robom 4x vidimo, da so stranski robovi telesa T4 vzporedni z robovi pravilnega četverca, torej lahko vzamemo, da je na vogalu telesa T4 pravilni četverec z robom x. Višina telesa T4 je enaka višini pravilnega četverca z robom x:
xV6
Ce dodamo telesu T4 poševno prizmo, ki ima za osnovno ploskev enako-stranični trikotnik, dobimo prisekano piramido, ki ima za osnovni ploskvi enakostranična trikotnika s stranicama 3x in 2x ter višino Uj (slika 1).
A
Slika la. Telesu T4 dodamo prizmo in dobimo prisekano pravilno tristrano piramido.
Slika lb. Mreža dodane poševne prizme. Sestavljajo jo; dva romba, kvadrat in dva enakostranična trikotnika. Vsi liki imajo vse robove enake x. Višina prizme je «i-
234	Matematika
Prostornina prisekane piramide je
\9x3s/2 12 '
prostornina dodane prizme V,i — a & t njuna razlika je enaka prostornini telesa T4: Vt = V - Vd =
Telo T4 dopolnimo do pravilnega četverca
Dopolnimo telo T4 do pravilnega četverca z robom 3x. Najprej dodajmo telo T21 (slika 2) s prostornino V21 na manjšo osnovno ploskev, nato pa še ob strani telo T22 (slika 3) s prostornino V22-
Telo T21 je sestavljeno iz treh delov: pokončne tristrane prizme in dveh polovic pravilnega četverca z robom x. Osnovna ploskev prizme je enako kraki trikotnik z osnovnico x in krakoma, ki sta višini (v?) enakost rauič ne ga trikotnika z osnovnico x. Višina prizme je Višina osnovne ploskve prizme je 1J3 = in od tod V21 =
Telo T22 pa dobimo, če prizmi iz telesa T21 podaljšamo višino na 2x. Torej je V» =
Vsota prostornin
Vt + V2i + V22 =

je seveda prostornina pravilnega četverca z robom 3x.
Slika 2a. Mreža télesa T21.
Slika 2b. Tloris telesa T21.
2x
Slika 3. Mreža telesa T22.
Slika 4a. Telesu T4 dodamo telo T21.	Slika 4b, Dodamo še telo T22.
Rezanje pravilnega četverca
Do teles T21 in T22 pridemo z rezanjem pravilnega, četverca z robom 2x oz, 3:r (slika 5). Dva robova pravilnega četverca, ki sta inimobežna in drog na drugega pravokotna, sta vzporedna s presečno ravnino. Presek ravnine in pravilnega četverca je v prvem primeru kvadrat s stranico x, v
Še nekaj lastnosti telesa T4
Izračunajmo Se kote med ploskvami telesa T4, Najprej se dogovorimo za oznake. Osnovni ploskvi naj bosta enakokraka trapeza ABLK in N1M1MN, stranske ploskve pa kvadrat KLMN in trapezi AKNN\, LBM\M in ABM\Ni (slika 6). Dopolnimo telo T4 se s četvercem z robom 2x. Dobimo četverec z robom .3,1', ki mu manjka poševna tristrana enakoroba prizma z robom 3;r. Četverec vložimo v kocko tako, kot kaže slika., in postavimo izhodišče koordinatnega sistema v središče kocke, osi pa vzporedno z robovi kocke.
Slika 6.
Zdaj lahko hitro izračunamo kote med ploskvami. Ploskev AKNA1! leži na ploskvi ACD z normalo ni = (1,1,—1), ploskev .4BM\Ni pa na ploskvi ABD z normalo ft-2 = (1,-1,-1). Torej je
cosii =
1 — 1 + 1 _ 1
\/3\/3 ~ 3
in Si = 70,52°
kot med sosednjima ploskvama pravilnega četverca.
Ploskev AKLB leži na ploskvi ABC z normalo n = (1,1,1). Ploskev KLMN je ena od stranskih ploskev poševne prizme, zato je rob KN vzporeden z robom CD. Ploskev KLMN ima normalni vektor fig — — (1,0,0). Izračunajmo naklonski kot te ploskve proti osnovni ploskvi AKLB:
cos 52 = -7= in 82 = 54,74° . v3
Kot med ravninama AKNNi in KLMN je top, zato je
cos =--7= in ¿3 = 125,26°.
v3
Iz slike in računa lahko razberemo, daje v našem primeru kvadrat. KLMN vzporeden s tisto ploskvijo kocke, na kateri leži rob AB.
Pravilni "četverec" sestavljen iz krogel
Tudi "četverce" iz krogel lahko sestavljamo tako, kot smo dopolnjevali telesa TA (fotografije).
Nada Razpel