Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 MnoZice 5 1.1 Matematična logika..................................................5 1.2 Množice..............................................................10 2 Preslikave 18 2.1 Realne funkcije......................................................18 2.2 Limita in zveznost .........................28 2.3 Pregled elementarnih funkcij....................32 3 Zaporedja 44 3.1 Definicija zaporedij.........................44 3.2 Konvergentna zaporedja......................48 3.3 Aritmeticno in geometrijsko zaporedje ..............52 3.4 Geometrijska vrsta.........................56 4 Odvod 60 4.1 Definicija in geometrijski pomen odvoda.............60 4.2 Racunanje odvoda .........................62 4.3 Diferencial ............................................................68 4.4 Analiza realnih funkcij.......................69 4.5 Optimizacijske naloge........................75 5 Matrike 80 5.1 Osnovne lastnosti matrik ............................................80 5.2 Determinanta ........................................................87 5.3 Inverzna matrika..........................92 5.4 Sistemi linearnih enacb.......................95 Avtor: doc. dr. Ajda Fosner, doc. dr. Maja Fosner Recenzent: dr. Bojana Zalar CIP - Katalozni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51(075.8) FOSNER, Ajda Matematika [Elektronski vir] : univerzitetni ucbenik / Ajda Fosner in Maja Fosner. - Celje : Fakulteta za logistiko, 2008 Nacin dostopa (URL): http://fl.uni-mb.si/eknjige/matematika_univerz itetni_ucbenik.pdf ISBN 978-961-6562-22-5 1. Fosner, Maja 240560128 1 Množice Kot že sam naslov pove bomo v tem poglavju predstavili množice in osnovne operacije z njimi. Se pred tem pa se bomo seznanili z osnovnimi prijemi iz matematiCne logike. 1.1 Matematična logika Za razumevanje formul, izrekov, dokazov in izpeljav, s katerimi se bomo sre-Scevali v tem uScbeniku, je potrebno osnovno znanje iz logike, predvsem pravila sklepanja. Zato bomo v tem delu predstavili nekaj osnovnih pojmov matema-tiScne logike. Osnovni pojem v matematiCni logiki je zagotovo izjava. Izjava je trditev, ki je lahko resniCna ali neresniCna. Izjave bomo v nadaljevanju oznaCevali z malimi tiskanimi Crkami p,q,r,... Primer 1.1 Poglejmo primer dveh izjav. Izjava p: 55 je liho .število. Ta izjava je resniCna. Izjava q: 55 je praštevilo. Ta izjava je neresniCna. Izjave glede na to, ali jih je mogoče razdeliti na enostavne sestavne dele, delimo na enostavne izjave in sestavljene izjave. Primer 1.2 Izjavi p in q sta enostavni izjavi. Primer 1.3 Vsota števil 3 in 5 je osem je enostavna izjava. Ce je bil včeraj (četrtek, potem je danes petek je sestavljena izjava. Enostavne izjave lahko z logičnimi operacijami povežemo v sestavljene izjave. Kako je s pravilnostjo sestavljene izjave najlazje prikazemo s pravilnostno tabelo. Tako bomo v nadaljevanju predstavili osnovne logične operacije in njihove pravilnostne tabele. Kot oznako za pravilnost oziroma nepravilnost izjav bomo uporabljali stevili 1 oziroma 0. NEGACIJA Oznaka za negacijo je — . Negacija izjave —p je resnična natanko tedaj, ko je p neresnična izjava. p —p 1 0 0 1 Primer 1.4 Izjava —p: 55 je sodo stevilo. Ta izjava je neresnična. Izjava —q: 55 ni pračtevilo. Ta izjava je resnična. DISJUNKCIJA Oznaka za disjunkčijo je V. Sestavljena izjava p V q je resnična natanko tedaj, ko je resnična vsaj ena od izjav p ali q. p q p V q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Primer 1.5 Izjava p V q: 55 je liho .število ali prastevilo. Ta izjava je resnicna. Primer 1.6 Ali so sestavljene izjave 1. (-P) V q, 2. -(p V q), 3. (-P) V (—q), 4. -(p V (—q)) resnicne ali neresnicne? Hitro lahko preverimo, da je le tretja izmed nastetih izjav resnicna, ostale pa so neresnicne. KONJUNKCIJA Oznaka za konjunkcijo je A (v nekateri literaturi se za konjunkcijo izjav p in q uporablja tudi oznaka p & q.) Sestavljena izjava p A q je resnicna natanko tedaj, ko sta resnicni obe izjavi p in q. p q p A q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Primer 1.7 Izjava p A q: 55 je liho število in hkrati prastevilo. Ta izjava je neresnicna. Primer 1.8 Ali so sestavljene izjave 1. (-P) A q, 2. -(p A q), 3. (-p) A (—q), 4. -(p A (—q)) resnicne ali neresnicne? Hitro lahko preverimo, da je le druga izmed nastetih izjav resnicna, ostale pa so neresnicne. IMPLIKACIJA Oznaka za implikacijo je Sestavljena izjava p ^ q je neresnicna natanko tedaj, ko iz resnicne izjave p sledi neresnicna izjava q. V vseh ostalih primerih je ta izjava resnicna. p q p ^ q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Primer 1.9 Izjava p ^ q: še je 55 liho število, potem je 55 praštevilo. Ta izjava je neresnicna. Izjava q ^ p: ce je 55 praštevilo, potem je 55 liho število. Ta izjava je resnicna. Primer 1.10 Ali so sestavljene izjave 1 -(q ^ p), 2. (-p) ^ q, 3. (p V q) ^ p, 4. (p ^ q) V q resnične ali neresnične? Prva in zadnja izjava sta neresnični, druga in tretja pa resnični. EKVIVALENCA Oznaka za ekvivalenco je Sestavljena izjava p ^ q je resnična natanko tedaj, ko sta p in q obe resnični ali obe neresnični izjavi. p q p ^ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Primer 1.11 Izjava p ^ q: 55 je liho število natanko tedaj, ko je 55 praštevilo. Ta izjava je neresnična. Primer 1.12 Ali so sestavljene izjave 1. (-p) ^ (-q), 2. (-(p ^ q)) V q, 3. (p ^ q) A q, 4. ((p a q) ^ p) ^ (—q) resnične ali neresnične? Druga in četrta izjava sta resnični, prva in tretja pa neresnični. Za konec razdelka omenimo se dva kvantifikatorja, ki izhajata iz matema-ticne logike. Prvi je univerzalni kvantifikator, ki ga oznacujemo z oznako V. Univerzalni kvantifikator srecujemo v izjavah, ki veljajo za vse elemente dane univerzalne mnozice. Drugi je eksistenčni kvantifikator, ki ga oznacujemo z oznako 3. Eksistencni kvantifikator uporabljamo, kadar hocemo povedati, da neka izjava velja za vsaj en element dane mnozice. Primer 1.13 Zapis Vx : x G N x2 > 0 pove, da imajo vsa naravna stevila pozitivne kvadrate. Primer 1.14 Zapis 3x : x G N A x2 = 9 pove, da obstaja naravno stevilo, katerega kvadrat je enak 9. 1.2 Množice Mnozice bomo oznacevali z velikimi tiskanimi crkami A, B,..., elemente mnozice pa z malimi crkami a,b,... Elemente mnozice lahko bodisi nastejemo A = {a, b, c, d}, pogosto pa mnozico opisemo z lastnostjo, ki karakterizira njene elemente. Na primer, mnozico vseh sodih naravnih stevil lahko opi semo na naslednji nacin A = {a : a = 2k, k G N}. Ce element a pripada mnozici A, to zapisemo kot a G A. Ce pa a ni element mnoz ice A, to zapi semo kot a G M. Mnozico, ki ne vsebuje nobenega elementa, imenujemo prazna mnošica. Prazno mnozico obi c ajno oznacimo s simbolom 0 ali {}. Primer 1.15 Mnozica A vsebuje vsa naravna stevila od 1 do 10. Potem pisemo A = {1, 2, 3,..., 10} ali A = {a | a < 10, a G N}. Mnozica A je podmnošica mnozice B, ce je vsak element mnozice A tudi element mnozice B A C B ^ (Va) (a G A ^ G B). Ce zelimo pri tem poudariti, da mnozica A ne izcrpa celotne mnozice B, potem pisemo A C B. V takem primeru pravimo, da je mnozica A prava podmnošica mnozice B. Primer 1.16 Naj bosta dani mnozici A = {1, 2, 3, 4, 5,6} in B = {2, 4, 5}. Potem je B C A. Primer 1.17 Naj bo A mnoziča vseh čelih stevil in naj bo B mnoziča vseh sodih stevil. Tedaj je B prava podmnoziča mnoziče A, saj je B C A in B = A. Primer 1.18 Prazna mnoziča 0 je prava podmnoziča vsake mnoziče A z vsaj enim elementom. Pri obravnavi se vedno omejimo na elemente neke univerzalne mnočice, ki vsebuje vse objekte, ki nas pri nekem matematičnem premisljanju zanimajo. Univerzalno mnozičo bomo označevali s simbolom U. Univerzalna mnoziča bo za nas največkrat kar mnoziča vseh realnih stevil. Operacije med mnočicami Z mnozičami lahko tudi računamo. Osnovne operačije med mnozičami so unija, presek, razlika, komplement in kartezični produkt. V nadaljevanju bomo opisali vsako od nastetih operačij. 1. Unija mnozič A in B je mnoziča vseh tistih elementov, ki so vsaj v eni od mnozič A ali B A U B = {x : x e A V x e B}. Primer 1.19 Naj bosta dani mnoziči A = {a,b,c} in B = {d,e, f, g}. Potem je A U B = {a,b,c,d,e, f,g} (slika 1.2). B 2. Presek mnozic A in B je mnozica vseh tistih elementov, ki so hkrati v mnozici A in v mnozici B A n B = {x : x G A A x G B}. Primer 1.20 Naj bosta dani mnozici A = {a, b, c, f, g} in B = {d, e, f, g}. Potem je A n B = {f, g} (slika 1.3). B Ce je presek mnozic A in B prazen (A n B = 0), pravimo, da sta mnozici A in B disjunktni. Primer 1.21 Mnozici iz primera 1.2 sta disjunktni. Primer 1.22 Naj bosta dani mnozici A = {x,y,z} in B = {q,w}. Potem je A n B = 0 (slika 1.4). Torej sta mnozici disjunktni. Slika 1.4: Disjunktni mnozici Slika 1.5: A \ B 3. Razlika mnozic A in B je mnozica vseh tistih elementov, ki so v A in niso v B A \ B = {x : x e A A x (/ B}. V nekateri literaturi se za razliko mnozic A in B uporablja oznaka A — B. Primer 1.23 Naj A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} in naj bo B = {2, 4, 6,8,10}. Potem je A \ B = {1, 3, 5, 7, 9} (slika (1.5)). Primer 1.24 Naj bo A mnozica vseh naravnih veckratnikov stevila 3 in B mnozica vseh sodih naravnih stevil. Potem je A \ B mnozica vseh lihih naravnih veckratnikov stevila 3. Primer 1.25 Naj bo A = {1, 2, 3,4} in naj bo B = {2, 4,10}. Dolocimo naslednje mnoz ice A n B, A U B, A \ B in B \ A. (i) A n B = {2,4}, (ii) A U B = {1,2, 3,4,10}, (iii) A \ B = {1, 3}, (iv) B \ A = {10}. Hitro lahko pokaz emo, da velja A n B = B n A in A U B = B U A. Ta lastnost seveda ne velja za razliko mnoz ic, kar se lepo vidi na zgornjem primeru. Prav tako velja A n (B n C) = (A n B) n C in A U (B U C) = (A U B) U C. Ta lastnost ponovno ne velj a za razliko mno zic. 4. Komplement mnozice A (glede na univerzalno mnoz ico U) je mnoz ica vseh tistih elementov, ki so v U in niso v A Ac = {x G U : x GA}. Torej je Ac = U \ A. Primer 1.26 Naj bo sedaj univerzalna mnoz ica mno z ica vseh naravnih stevil in A mnozica vseh sodih naravnih stevil. Potem je seveda Ac mno zica vseh lihih naravnih stevil. Primer 1.27 Naj bo dana univerzalna mnoz ica U = {a, b, c, d, e, f, g} in naj bo dana mnoz ica A = {e, f, g}. Hitro lahko vidimo, da je A C U in Ac = {a, b, c, d} (slika 1.6). Slika 1.6: Ac 5. Kartezični produkt mnozic A in B je mnozica vseh urejenih parov (a, b), kjer je prva komponenta a iz mnozice A in druga komponenta b iz mnozice B A x B = {(a, b) : a e A A b e B}. Pri tem je potrebno poudariti, da urejen par (a, b) v splosnem ni enak urejenemu paru (b, a). Primer 1.28 Naj bo A = {1, 2, 3} in B = {a, b}. Potem je A x B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1,b), (2, a), (3, a)}, B x A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}. Ker se z zamenjavo vrstnega reda mnozic spremenijo urejeni pari, karte-zicni produkt A x B v splosnem ni enak kartezicnemu produktu B x A. Zapisimo se nekaj preprostih lastnosti operacij z mnozicami. A C (A U B) (A n B) C A (A n A) = A (A n 0) = 0 A n (B u C)-- (A n B) U (A n C) (A n B)c = Ac U Bc B C (A U B) (A n B) C B (A U A) = A (A U 0) = A A u (B n C) = (A u B) n (A u C) (A U B)c = Ac n Bc Primer 1.29 Naj bodo A = {6,9,11,12,14, 21}, B = {2n : n G N A n < 8} in C = {4n-1 : n G N A n < 4}. Dolocimo mnozici (CnB) \ A in (AUB) nC. Najprej moramo seveda zapisati elemente mnozice B in elemente mnozice C. Ker je n G {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} in so v mnozici B elementi oblike 2n, je B = {2, 4, 6,8,10,12,14}. Podobno razmisljamo v primeru mnozice C. Ker je n G {1, 2, 3,4} in so v mnozici C elementi oblike 4n — 1, je C = {3, 7,11,15}. Torej je (C n B) \ A = 0 in (A u B) n C = {11}. Druzino vseh podmnozic mnozice A imenujemo potenšna mnošica mnozice A in jo oznacimo s simbolom P (A). Hitro lahko opazimo, da vsaka potencna mnozica vsebuje prazno mnozico in celotno mnozico A, saj za vsako mnozico A velja 0 C A in A C A. Denimo, da ima mnozica A natanko n elementov. Pri vsaki od podmnozic dane mnozice imamo za vsak element mnozice A natanko dve moznosti: ali ga vkljucimo v podmnozico ali ne. Iz tega hitro sledi, da je vseh podmnozic natanko 2n. Primer 1.30 Naj bo A = {1, 2}. Potem je P (A) = {0, {1}, {2}, {1, 2}}. Vseh podmnozic mnozice A je 22 = 4. Primer 1.31 Naj bo A = {a,b,c}. Potem je P (A) = {0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Vseh podmnozic mnozice A je 23 = 8. 2 Preslikave Naj bosta A in B dve neprazni mnoz ici. Preslikava f, ki slika iz mno z ice A v mnoz ico B, je predpis, ki vsakemu elementu iz prve mno z ice priredi element iz druge mno zice. Pri tem uporabljamo zapis f : A ^ B. Mnozici A pravimo definicijsko obmošje preslikave f. Oznacevali ga bomo z oznako Df. Definicijsko obmocje funkcije je torej mnoz ica, na kateri je funkcija definirana. Zaloga vrednosti preslikave f pa je podmnozica mnoz ice B, v kateri so slike vseh elementov iz mnoz ice A (torej iz definicijskega obmocja funkcije). Oznac evali jo bomo z oznako Zf. V nadaljevanju bomo obravnavali le preslikave, ki slikajo iz neke podmnozice realnih stevil v mnoz ico realnih stevil. Takim preslikavam f : R ^ R pravimo realne funkcije. 2.1 Realne funkcije Realna funkcija je preslikava f : R ^ R. Najbolje je opisana analiticno s svojo ekspličitno enačbo f (x) = V- Stevilo v je torej vrednost funkčije f v točki x. Včasih realno stevilo x imenujemo tudi neodvisna spremenljivka, stevilo y pa odvisna spremenljivka. Kot smo zapisali pred začetkom tega poglavja, je definičijsko območje realne funkčije f podmnoz iča realnih stevil, na kateri je funkčija definirana Df = {x e R : f (x) e R}. Zaloga vrednosti funkčije f pa je mnoz iča vseh vrednosti, ki jih funkčija zavzame Zf = {y e R : 3x e Df, f (x) = y}. Graf funkcije f (označili ga bomo z Gf) je mnoz iča vseh urejenih parov oblike (x,f (x)). Torej velja Gf = {(x,V) : x eDf >V = f (x)}- To mnozičo urejenih parov navadno grafično predstavimo v pravokotnem koordinatnem sistemu. Na ta način najbolje upodobimo funkčijski odnos med odvisno in neodvisno spremenljivko. Primer 2.1 Naj bo f (x) = x + 3. To je linearna funkčija in njen graf je premiča. Definičijsko območje in zaloga vrednosti funkčije f so vsa realna stevila Df = R, Zf = R. Primer 2.2 Naj bo f (x) = X. Potem je Df = R\{0}, Zf = R\{0}. Primer 2.3 Določimo definičijsko območje funkčije I 4x - x2 f(x) = yln—3— • Slika 2.1: f (x) Takoj lahko opazimo, da mora biti izraz pod korenom nenegativen, kar lahko zapi s emo kot , 4x — x2 ln- > 0. 3 " Ker je logaritem nenegativen natanko tedaj, ko je njegov argument ve cji ali enak 1, velja 4x — x2 Torej mora veljati 1. x2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) < 0. Resitev zgornje neenacbe je 1 < x < 3. Definicijsko obmocje funkcije f je zaprti interval [1, 3]. Naj bo f realna funkcija. Potem je funkcija f narašcajoša, ce je Xi < X2 f (xi) < f (X2), in je strogo naraššajoša, ce je Xi < X2 f (xi) < f (X2). Funkcija f je padajoča, ce je Xi < X2 f (xi) > f (X2), in je strogo padajoča, ce je xi < x2 f (xi) > f (x2). Pravimo, da je funkcija f monotona, ce je (strogo) narascajoca ali (strogo) padajoca. Primer 2.4 Naj bo f (x) = 2x + 1. To je linearna funkcija s pozitivnim smernim koeficientom k = 2 in je zato strogo narascajoca. Slika 2.2: f (x) = 2x + 1 Primer 2.5 Naj bo f (x) = 2x2—3. Na intervalu (—to, 0] je funkcija padajoca, na intervalu [0, to) pa narascajoca. Realna funkcija f je na intervalu I navzgor omejena, ce obstaja tak M G R, da je f (x) < M, Vx G I. Funkcija f je navzdol omejena na intervalu I, ce obstaja tak m G R, da je m < f (x), Vx G I. 21 Slika 2.3: f (x) = 2x2 - 3 Pravimo, da je M zgornja meja, m pa spodnja meja funkcije f na intervalu I. Funkcija f je na intervalu I omejena, Ce je navzgor in navzdol omejena. Najmanjšo zgornjo mejo M funkcije f imenujemo natančna zgornja meja. Naj-veCjo spodnjo mejo m funkcije f imenujemo natančna spodnja meja. Ce je natancna zgornja meja M funkcije f tudi funkcijska vrednost, potem je M maksimum funkcije f na I M = max f (x). Ce je natancna spodnja meja m funkcije f tudi funkcijska vrednost, potem je m minimum funkcije f na I m = min f (x). Primer 2.6 Naj bo f (x) = x2 + 2. Maksimum funkcije f na intervali [-1,1] je 3 in minimum 2. Tocka T(x0,f (x0)) je lokalni maksimum funkcije f, ce v poljubno majhni okolici realnega stevila x0 velja f(x) < f(x0). Tocka T(x0,f(x0)) je lokalni minimum funkcije f, ce v poljubno majhni okolici realnega stevila x0 velja f (x) > f (x0). Lokalni maksimum in lokalni minimum sta lokalna ekstrema funkcije f. Definirajmo se ni Clo, pol in asimptoto realne funkcije f. Realno stevilo x0 je ničla funkcije f, Ce je f (x0) = 0. ToCka x0 je pol funkcije f, Ce funkcija f v xo ni definirana, v poljubno majhni okolici tocke x0 pa se funkcija približuje pozitivni ali negativni neskoncnosti. Asimptota funkcije f je krivulja h kateri se funkcija f približuje, ko gre x priti pozitivni ali negativni neskoncnosti. Primer 2.7 Naj bo f (x) = . Funkcija f ima dve nicli x = 1 in x = — 1. Pol funkcija f dosež e pri realnem številu x = -2. Njeno asimptoto pa izrac unamo tako, da delimo polinom v s tevcu s polinomom v imenovalcu (x2 — 1) : (x + 2) in dobimo x — 2 ter ostanek 3. Asimptota je torej premica y = x — 2. Funkcija f definirana na simetri cnem intervalu I (na primer I = (—a, a) ali I = [a, —a]) je soda, ce je f(x) = f (—x), Vx G I, in je liha, ce je f (x) = —f(—x), Vx G I. Spodnji primeri bodo pokazali, da je graf sode funkcije simetri c en glede na y os, graf lihe funkcije pa je simetri c en glede na koordinatno izhodi s c e. Primer 2.8 Naj bo f (x) = x2. Ker je f (—x) = (—x)2 = x2 = f (x), je f soda funkcija. Primer 2.9 Naj bo f (x) = x3. Ker je f (—x) = (—x)3 = —x3 = —f (x), je f liha funkcija. Slika 2.4: f (x) = x2 0 6 ■ 0 4 0 2 J -3 -2 -1 / 1 2 3 /0 2 -0 4 1 -0 6 Slika 2.5: f (x) = x3 Primer 2.10 Funkcija f : R ^ R, definirana s predpisom f (x) = x + 2, ni niti soda niti liha. Namrec, f (—x) = —x + 2 in —f (x) = —x — 2. Iz tega sledi, da je f (-x) = f (x) in f (-x) = -f (x). Ce obstaja tako stevilo u G R, da za vsako realno stevilo x velja f (x + u) = f (x), potem je f periodična funkcija s periodo u. Najmanj so pozitivno periodo imenujemo osnovna perioda. Funkcija f je torej periodi cna, ce njen graf vsakih u enot zacne ponavljati nek vzorec. Primer 2.11 Naj bo f (x) = sinx. Ker je f (x) = f (x + 2n) = f (x + 4n) = f (x — 2n)..., je f periodi cna funkcija z osnovno periodo 2n. Podobno lahko razmislimo za funkcijo g(x) = cosx. Ukrivljenost funkcij Funkcija f je na intervalu I konveksna, c e je njena vrednost v vsaki to c ki manj s a od sekante grafa funkcije f. Slika 2.6: f (x) = x2 + 3, konveksna funkcija Funkcija f je na intervalu I konkavna, c e je njena vrednost v vsaki to c ki ve cja od sekante grafa funkcije f. Slika 2.7: f (x) = —x2 + 9, konkavna funkcija Iz definicije lahko opazimo, da je funkcija f konveksna natanko tedaj, ko je —f konkavna. Primer 2.12 Kvadratna funkcija f (x) = 2x2+2 je ne celi realni osi konveksna. Kvadratna funkcija f (x) = —2x2 + 2 je ne celi realni osi konkavna. Funkcija f ima v x0 prevoj, ce obstaja taka okolica tocke x0, da je f na eni strani te to cke konveksna, na drugi pa konkavna. Primer 2.13 Funkcija f (x) = x3 ima v tocki T(0, 0) prevoj, saj je na intervalu (—to, 0) konkavna, na intervalu (0, to) pa konveksna. Kompozitum funkcij Naj bosta f : X — Y in g : Y — Z realni funkciji (X, Y, Z C R). Kompozitum funkcij f in g je funkcija g o f : X — Z definirana s predpisom (g o f )(x) = g(f (x)) za vsak x G X. Pri tem moramo paziti, da kompozitum g o f ni nujno enak funkciji f o g. Kompozitum f o g v dolocenih primerih sploh ne moremo definirati, kar je odvisno od mnoz ic Z in X. Primer 2.14 Podani sta funkciji f (x) = x2 in g(x) = Vx3 — 2. Potem je (g o f )(x) = g(f (x)) = g(x2) = V(x2)3 - 2 = vx6—2. Po drugi strani pa je (f o g)(x) = f (g(x)) = f (^x3—2) = x3 - 2. Inverzna funkcija Naj bosta X in Y podmnozici realnih stevil. Funkcija f : X — Y je injek-tivna, ce se dva razli cna elementa iz mno zice X vedno preslikata v dva razli cna elementa iz mnoz ice Y. Torej, xi = x2 f(x2) = f(x2). Funkcija f : X — Y je surjektivna, ce je vsak element iz mnozice Y slika vsaj enega elementa iz mnoz ice X. Funkcija f je bijektivna, ce je injektivna in surjektivna. Primer 2.15 Naj bo f (x) = 3x — 4. Kot predstavnik linearnih funkcij je funkcija f bijektivna funkcija, torej je injektivna in tudi surjektivna. Primer 2.16 Naj bo f (x) = 2x2. Ta funkcija ni injektivna, saj je f (— 1) = f (1) = 2. Prav tako ni surjektivna, saj so njene funkcijske vrednosti nenega-tivna realna stevila. Primer 2.17 Naj bo f (x) = x3 + 1. Ta funkcija je injektivna in prav tako surjektivna. Torej je f bijektivna funkcija. Naj bo f : X ^ Y bijektivna funkcija. Potem obstaja taka funkcija f-1 : Y ^ X, da velja f-1(f (x))= x za vsak x G X in f (f-1(y)) = y za vsak y G Y. Funkcijo f-1 imenujemo inverzna funkcija funkcije f. Pri tem poudarimo, daje funkcija obrnljiva (ima inverzno funkcijo), natanko tedaj, ko je bijektivna. Primer 2.18 Naj bo f (x) = 2x + 3. To je linearna funkcija, je bijektivna in je zato tudi obrnljiva. Njeno inverzno funkcijo izracunamo tako, da zamenjamo vlogi spremenljivk x in y ter zapi s emo x = 2y + 3. Ce iz zgornje enakosti izrazimo y, dobimo y = 2(x — 3). Torej je f -1(x) = 2(x — 3). Primer 2.19 Naj bo f (x) = 4. Poi scimo njeno inverzno funkcijo. Tako kot v prej snjem primeru, bomo najprej zamenjali vlogi spremenljivk x in y in nato iz tako dobljene enakosti izrazili y. Torej, y — 4 5 — y' 27 Ce zgornjo enakost pomnozimo z 5 — y, dobimo (5 — y)x = y — 4 oziroma 5x + 4 = y + yx. Iz tega sledi, da je y = f+r. Torej je f-1(x) = f+r. 2.2 Limita in zveznost V tem razdelku bomo spoznali dva temeljna pojma iz teorije realnih funkcij. Najprej bomo definirali limito in zapisali nekaj osnovnih limit. Nato pa bomo s pomo cjo limite definirali se zveznost realnih funkcij. Naj bo realna funkcija f definirana v okolici to cke a, razen morda v sami to cki a. Realno stevilo L imenujemo limita funkcije f v tocki a, ce za vsak e > 0 obstaja tako stevilo 8 > 0, da je |f (x) — L| < e za vsak x = a z lastnostjo |x — a| < 8. Pri tem pisemo L = lim f (x). x^a Pri iskanju limite si lahko pomagamo z naslednjim vpras anjem: H kateri vrednosti se f (x) približa, ce se z vrednostjo x z leve ali z desne strani dovolj približamo a? Pa si kar na konkretnih primerih oglejmo, kako racunamo limite. Primer 2.20 Naj bo dana funkcija f : R ^ R s predpisom f (x) = xX—|1. Potem je x2 — 81 lim f (x) = lim- x^9 x^9 x — 9 .. (x — 9)(x + 9) — lim x^9 x — 9 lim 18. lim(x + 9) x9 Primer 2.21 Naj bo dana funkcija f : R ^ R s predpisom f (x) = x2x+3x1+2. Potem je x2 - 1 lim f (x) = lim x * i ^ \ / x > i x2 + 3x + 2 .. (x +1)(x - 1) lim --—-- (x + 1)(x + 2) x- 1 lim -i x + 2 = -2. Primer 2.22 Naj bo dana funkcija f : R ^ R s predpisom f (x) = — • Potem je 1 12 lim f (x) = lim(-----) x^2Jy ! x^2V x- 2 x3 — 8 x2 + 2x — 8 lim x^2 (x — 2)(x2 + 2x + 4) (x — 2)(x + 2) lim --——-- x^2 (x — 2)(x2 + 2x + 4) 1 2' Analogno kot zgoraj lahko definiramo limiti v neskonCnem. Naj bo f definirana na intervalu (a, to). Funkcija f ima limito L, ko gre x proti neskonCno, Ce za vsak e > 0 obstaja tak M > 0, da je neenakost |f (x) — L| < e izpolnjena za vsak x > M. Naj bo f definirana na intervalu Funkcija f ima limito L, ko gre x proti negativni neskoncnosti, ce za vsak e > 0 obstaja tak m < 0, da je neenakost |f (x) — L| < e izpolnjena za vsak x < m. Naj bo limx^0 f (x) = A in naj bo limx^0 g(x) = B. Potem velja (i) limx^„(f (x) ± g(x)) = A ± B, (ii) limx_>0(f (x) ■ g(x)) = A ■ B, (iii) lim^afg = A, c e je B = 0. Zapi s imo nekaj pomembnej s ih limit. 1. lim^o ^ = 1 2. lim^o = 1 3. + f)f = e 4. limf^o(1 + x)x = e 5. lim^o ln(1f+f) = 1 6. limx_ 1 f-1 = 1 ln f 7. limfno ^fr1 = ln a Na primerih bomo pokazali, kako uporabiti zgoraj zapisane enakosti. Primer 2.23 Izracunajmo lim; f f—> o sin(2f)' X 2x lim-;—- = lim f^o sin(2x) f^o 2 sin(2x) 1 2x = - • lim 2 f^o sin(2x) 1 2 Primer 2.24 Izracunajmo limf^o(1 + 2x) *. 1 2 lim(1 + 2x) x = lim(1 + 2x) 2x f o f o (lim (1 + 2x)2x)2 2f o e2 Primer 2.25 Izracunajmo limf^o ebx — 1 e5f — 1 5(e5f — 1) lim- = lim- f^o x f^o 5x e5f 1 = 5 • lim- f^o 5x = 5 ln e = 5 30 f Zveznost funkcij Naj bo funkcija f definirana na okolici tocke a. Pravimo, da je f zvezna v tocki a, ce za vsak e > 0 obstaja tako stevilo 8 > 0, da je |f (x) — f (a)| < e, ce je |x — a| < 8. V definiciji zveznosti funkcije f v to cki a se skrivajo naslednje tri zahteve. 1. Obstajati mora limita L = limx^a f (x). 2. Funkcija mora biti definirana v to c ki a. 3. L = f (a). Funkcija f je torej zvezna v to cki a, ce je njen graf v tej tocki nepretrgan. Pri tem nepretrganost grafa pomeni, da je funkcija f definirana v to c ki a in da obstaja ustrezna limita, ki je enaka funkcijski vrednosti f (a). Ce sta funkciji f in g zvezni v tocki a, potem so v tej tocki zvezne tudi funkcije f ± g, fg, cf, g. V zadnjem primeru mora biti seveda g(a) = 0. Realna funkcija f je zvezna, ce je zvezna v vsaki tocki svojega definicijskega obmocja. Oziroma, povedano bolj ohlapno, funkcija je zvezna, ce je njen graf nepretrgana krivulja. Podajmo s e nekaj primerov nezveznih funkcij. Primer 2.26 Naj bo ' x + 2; x < 1 x3. Funkcija f ni zvezna v to c ki x =1. Primer 2.27 Funkcija e-x; x = 0 f (x) ^ x3; x > 1 f(x) 0; x = 0 ni zvezna v to cki x = 0. Primer 2.28 Naj bo funkcija f definirana s predpisom 3x — 8; x < 4 f (x) = ^ J w ' log3(x + a +1); x > 4 Dolocimo parameter a tako, da bo funkcija f zvezna. Funkcija f bo zvezna, ce bo zvezna v vsaki tocki svojega definicijskega obmocja, torej na vsej realni osi. Tako lahko takoj opazimo, da bo realno stevilo 4 tista tocka, s pomo cjo katere bomo dolo c ili parameter a. Ker je f (4) = 3 ■ 4 — 8 = 4, mora veljati lim f (x) = lim log3(x + a + 1) = log3(4 + a + 1) = 4, >4 x—> 4 oziroma 5 + a = 34. Iz tega sledi, da je a = 76. 2.3 Pregled elementarnih funkcij V zadnjem delu poglavja o realnih funkcijah bomo na kratko preleteli osnovne lastnosti elementarnih funkcij. Pri tem se ne bomo spu s c ali v same podrobnosti, saj predvidevamo, da jih je bralec spoznal v okviru srednje solke snovi. Polinomi Polinomi so funkcije definirane s predpisom f (x) = anxn + ara_1xn_1 + ... + a1x + a0, kjer so a^ G R (imenujemo jih konstante) za vsak i = 1, 2,..., n. Ce je an = 0, pravimo, da je f polinom stopnje n. Stevilo an imenujemo vodilni koeficient polinoma. Resitvam polinomske enacbe f (x) = 0 pravimo koreni polinoma f. Obi c ajno namesto o korenih govorimo kar o ničlah polinoma. Naj bodo xi, x2, . . . , xn (ne nujno razli cne) ni cle polinoma f (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + azx + a0. Potem lahko f zapisemo kot produkt faktorjev f (x) = an(x — xi)(x — x2) ■ ■ ■ (x — xn). Ce se faktor (x — xk) pojavi m-krat v razcepu, pravimo, da je xk m-kratna ničla polinoma f (npr. f (x) = an(x — xz)(x — x2) ■ ■ ■ (x — xk)m ■ ■ ■ (x — xn)). Primer 2.29 Polinom f (x) = x4 — 4x3 — x2 + 4x je cetrte stopnje in ga lahko zapi semo kot f (x) = x(x — 4)(x — 1)(x + 1). Polinom ima s tiri ni cle: xi = 0, x2 = 4, x3 = 1, x4 = -1. Korene polinoma druge stopnje f (x) = ax2 + bx + c (a, b, c G R, a = 0) poi s cemo s pomocjo formul —b + \Jb2 — 4ac xi = ——, —b — V b2 — 4ac x2 = -. 2 2a Izraz pod korenom imenujemo diskriminanta D = b2 — 4ac. Glede na vrednost diskriminante lo c imo tri mo z nosti. 1. Ce je D > 0, potem je xi = x2 G R. 2. Ce je D = 0, potem je xi = x2 G R. 3. Ce je D < 0 potem je xi = G C. V tem primeru polinom nima realnih ni cel. Slika 2.8: f (x) = —x2 — x + 6, D > 0 Slika 2.9: f (x) = x2 + 2x + 1, D = 0 Primer 2.30 Naj bo f (x) = —x2 — x + 6. Potem je D = \Jb2 — 4ac =25 > 0. Ni cli sta x1 = 2 in x2 = —3. Primer 2.31 Naj bo f (x) = x2 + 2x + 1. Potem je D = 0. Ni cla je x = —1. Primer 2.32 Naj bo f (x) = x2 + x + 1. Ker je D < 0, polinom nima realnih ni cel. Slika 2.10: f (x) = x2 + x +1, D< 0 Racionalne funkcije Kvocient dveh polinomov p in q imenujemo racionalna funkcija p(x) f (x) q(x) Racionalna funkcija je definirana povsod, kjer je q(x) = 0. Ni Cle ima v tistih realnih Številih x, ki zadoS C ajo enakosti p(x) = 0. V to Ckah, kjer pa je q(x) = 0, pa ima funkcija f pole. Asimptoto funkcije f doloCimo tako, da polinom p delimo s polinomom q. Primer 2.33 Naj bo , x2 — x - 6 f (x) = x3 + x2 — 20x Ni cli funkcije f sta xi = 3 in x2 = —2. Definicijsko obmocje je R \ {—5, 0, 4}. Slika 2.11: f (x) x2—x—6 x3+x2 — 20x Eksponentna funkcija Eksponentna funkcija je funkcija definirana s predpisom f (x) = af, a > 0. Ker je 1f = 1, naj bo osnova a =1. Eksponentna funkcija je definirana za vsa realna stevila (Df = R) in je povsod pozitivna (Zf = R+). 1. Ce je a > 1, je f (x) = af strogo narascajoca funkcija, saj velja x1 < x2 af1 < af2. Primer 2.34 Graf eksponentne funkcije f (x) = 2f vidimo na sliki (2.12). -3 -2 -1 Slika 2.12: f(x) = 2f 2. Ce je a < 1, je f (x) = af strogo padajoc a funkcija, saj velja x1 < x2 af1 > af2. Primer 2.35 Graf eksponentne funkcije f (x) = (1 )f vidimo na sliki (2.13). 12 -2 -1 Slika 2.13: f (x) = (2) 12 3 iN x Logaritemska funkcija Naj bo f : R ^ R+ eksponentna funkcija, torej f(x) = ax, a > 0, a = 1. Ker je f bijektivna funkcija, obstaja njej inverzna funkcija f-i : R+ ^ R Imenujemo jo logaritemska funkcija in pi semo i Torej velja in f (x) = loga x. f (f-i (x)) = alogax = x, Vx G R+, f-i(f (x)) = logaax = x, Vx G R. Potemtakem velja ay = x. y = loga x ^ Logaritemska funkcija ima ni c lo v to c ki 1, saj velja 0 = loga x ^^ a0 = 1 = x Izpeljimo nekaj lastnosti logaritma. 1. log«(xy) = log«x + log« y, x, y > 0, xy = alog a loga(xy) = xy = aloga xaloga y = aloga x+loga y 2 logo f = logo x - logo + V > 0 loga x = l°ga(xV) = log«(~V) = logo(X) + log„ V V V V 3. log« xy = v log« x, x > 0, v G R, aloga x» = xy = (aloga x)y = ay loga x Kadar je osnova enaka stevilu e govorimo o naravnem logaritmu in pi semo loge x = ln x. Graf logaritemske funkcije dobimo z zrcaljenjem eksponentne funkcije preko premice y = x. Primer 2.36 Graf funkcije f (x) = lnx (D/ = (0, to), Z/ sliki (2.14). R) vidimo na 0.5^^ 1 1.5 2 2.5 3 Slika 2.14: f (x) = ln x Trigonometrijske funkcije V nadaljevanju bomo definirali trigonometrijske funkcije sinus, kosinus, tan-gens in kotangens, in sicer najprej za kote na intervalu [0, 2n]. Na enotski kroznici (s polmerom 1 in sredi scem v koordinatnem izhodis cu) si izberemo poljubno to cko T (a, b). Ce skozi to to cko potegnemo poltrak z zacetkom v koordinatnem izhodi s cu, je med tem poltrakom in med pozitivno smerjo osi x dolo c en natanko en kot, ki ga ozna c imo z x (dogovorimo se, da bomo kote vedno merili od pozitivnega dela osi x v smeri nasprotni gibanju urinega kazalca). Kotne funkcije definiramo na naslednji nac in: • kosinus cos x = a, • sinus sin x = b, • tangens sinf = tan x, ° cos f ' • kotangens coSf = cot x. sin f Za poljubne kote definiramo trigonometrijske funkcije na sledec nacin: cos x = cos(x + 2kn), sin x = sin(x + 2kn), tan x = tan(x + kn), cot x = cot(x + kn), kjer je k poljubno celo s tevilo (k G Z). Opazimo, da so vse s tiri funkcije periodi cne, prvi dve z osnovno periodo 2n, drugi dve pa z osnovno periodo n. Prav tako lahko opazimo, da je kosinus soda funkcija, cos x = cos(—x), sinus pa liha funkcija, sin x = — sin(—x). Iz tega sledi, da sta tangens in kotangens lihi funkciji, tan x = — tan(—x), cot x = — cot(—x). Poglejmo si se nekaj najpogostej s ih zvez med kotnimi funkcijami. Po Pitagorovem izreku velja, da je cos2 x + sin2 x = 1. Izracunajmo 1 + tan x = 1 + 2 9 • 2 sin x cos2 x + sin x cos2 x cos2 x cos2 x Podobno velj a za kotangens, zato imamo zvezi 21 1 + tan x = cos2 x 1 + cot x 1 sin2 x Zapi s imo s e adicijska izreka sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y — sin x sin y. Od tod izpeljemo sin(x — y) = sin(x + (—y)) = sin x cos(—y) + cos x sin(—y) = sin x cos y - cos x sin y, cos(x — y) = cos(x + (—y)) = cos x cos(—y) — sin x sin(—y) = cos x cos y + cos x sin y. Iz adicijskih izrekov izpeljemo tudi sinus in kosinus dvojnih kotov sin(2x) = sin(x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos(x + x) = cos x cos x - sin x sin x 2 • 2 = cos2 x sin2 x. Prav tako nam adicijski izreki dajo naslednji zvezi: sin(--x) = sin — cos x — cos — sin x = cos x, 222 . n . n . cos(--x) = cos — cos x + sin — sin x = sin x. 2 ; 2 2 Podobno velja . sin(n — x) cos x tan(--x) =-—-r =-= cot x 2 cos( ^ — x) sin x , 1 cot(--x) =-—-r = tan x. 2 ; tan( f — x) Poglejmo si grafe trigonometrijskih funkcij. Kosinus in sinus sta definirana na celi realni osi, medtem ko tangens ni definiran v niclah cosinusa (x = -f1, k G Z), kotangens pa v ni c lah sinusa (x = kn, k G Z). Slika 2.15: f (x) = sinx Slika 2.16: f (x) = cos x 30 20 J J 10 "J J -6 -4 -2 -10 -20 -30 4 Slika 2.17: f (x) = tanx 30 20 L ^^ 10 L -6 4\ -2 -10 -20 -30 4 ^^ Slika 2.18: f (x) = cot x 3 Zaporedja V tem poglavju se bomo posvetili preslikavam, ki slikajo iz mnozice naravnih stevil v mnozico realnih stevil. Take preslikave imenujemo zaporedja realnih števil ali kar zaporedja. 3.1 Definicija zaporedij V tem razdelku bomo spoznali definicijo zaporedij in njihove osnovne lastnosti. Naj bo f : n ^ r preslikava mnoz ice naravnih stevil v mnoz ico realnih s tevil. Funkcija f nam torej vsako naravno s tevilo n preslika v neko realno s tevilo f (n) G r. Dogovorimo se, da namesto f (n) pisemo enostavneje an, torej ai = f (1) a2 = f (2) ..., an = f (n) ... Stevila a1, a2,..., an,... tvorijo zaporedje (ai, a2,... ,an,...) s prvim c lenom a1, drugim clenom a2, ... ter splošnim šlenom an. Stevila 1, 2, ...,n,... so indeksi clenov. Ce imamo podan splosni clen an, potem izracunamo posamezne clene zaporedja tako, da namesto n vstavljamo konkretne vrednosti 1, 2,... Zaporedje s splos nim clenom an bomo na kratko oznacili z (an}^=1. Primer 3.1 1. an = n: (1, 2, 3,...) = {n}~1 2. an = (—1)n: (-1,1, -1,1,...) = {(-1)n}~=i 3 a = n+1: (2 3 4 _5_ ) = rn+iloo 3. an = n2 : (2 ' 4 ' 9 ' 16 ' • • •) = { n2 }n=1 Naj bo M neka podmnozica naravnih števil. Potem cleni am, m G M, tvorijo podzaporedje zaporedja {an}^=1. Ce je mnoz ica M koncna, potem je podza-poredje {am}meM koncno, ce pa je mnoz ica M neskoncna, pa je to podzaporedje neskon cno. Ce je zaporedje koncno (ustrezna preslikava je definirana na neki koncni podmnozici naravnih stevil), lahko njegove clene preprosto nastejemo. S takimi zaporedji se ne bomo posebej ukvarjali. Za nas bodo pomembnej s a neskon c na zaporedja. Primer 3.2 Naj bo (-1,1, -1,1,...) = {(- 1)""}^= in M mnozica vseh sodih naravnih s tevil. Potem je {am}meM = (1,1,1,...). Omejenost zaporedij Zaporedje {an}^c=1 je navzdol omejeno, ce obstaja tako realno stevilo m, da noben clen zaporedja ni manj si od tega stevila. Stevilo m imenujemo spodnja meja zaporedja. Najve cjo med spodnjimi mejami imenujemo natančna spodnja meja zaporedja. Zaporedje {an}JJ=1 je navzgor omejeno, ce obstaja tako realno stevilo M, da noben clen zaporedja ni vecji od tega stevila. Stevilo M imenujemo zgornja meja zaporedja. Najmanj so med zgornjimi mejami imenujemo natančna zgornja meja zaporedja. Zaporedje, ki je navzgor in navzdol omejeno, imenujemo omejeno zaporedje. Za omejeno zaporedje torej obstajata taki realni Števili m in M, da za vsako naravno s tevilo n velja ocena m < an < M. Primer 3.3 PoisCimo natanCno zgornjo in natanCno spodnjo mejo zaporedja s splo snim clenom = n + 2 an i o • n + 3 Zapi s imo splo s ni C len zaporedja v obliki n + 3 - 1 1 1 — n+ 3 n+ 3 Ker se vrednost ulomka n+3 z veC anjem stevila n zmanj s uje, se Cleni zaporedja ve C ajo. Tako lahko takoj re Cemo, da je prvi Clen zaporedja ai = 4 hkrati tudi natanCna spodnja meja tega zaporedja. Noben Clen zaporedja ni manj s i od 4. Ce pa bi k stevilu 4 pri s teli poljubno majhno pozitivno s tevilo e , bi bil prvi Clen zaporedja manj s i od stevila 4 + e. Kako pa je z zgornjo mejo zaporedja? NatanCna zgornja meja zaporedja je zagotovo stevilo 1, saj noben Clen zaporedja ni veCji od 1. Ce od stevila 1 odstejemo poljubno pozitivno stevilo e, obstajajo Cleni zaporedja, ki so veCji od stevila 1 — e. Kako pa lahko to dokaz emo? Re simo neenaCbo 1 — e < an. Vstavimo splo sni Clen v zgornjo neenakost 1 1 - e < 1 - Iz tega sledi, da je n+3 1 < e, n+3 oziroma 1 < n + 3. e Torej lahko zapi semo - - 3 < n. e Ce je n ve čji od s tevila 1 — 3, je pripadajo č i an ve čji od 1 — e. Takih členov pa je v danem zaporedju neskon čno mnogo. Omenimo S e, daje natančna spodnja meja | člen zaporedja, natančna zgornja meja 1 pa ni č len zaporedja, saj so vsi č leni strogo manj s i od 1. Monotonost zaporedij Zaporedje (an}^=1 je naraščajoče, če za vsako naravno stevilo n velja an < an+1 • Zaporedje (an}^=1 je padajoče, če za vsako naravno stevilo n velja an ^ an+1 • Zaporedje {an}^=1 je strogo naraščajoče, če za vsako naravno stevilo n velja an < an+1 • Zaporedje {an}^=1 je padajoče, če za vsako naravno stevilo n velja an > an+1 • Zaporedje {an}^=1 je konstantno, če za vsako naravno stevilo n velja an an+1. Primer 3.4 Dano je zaporedje s splosnim členom an = n+f. To zaporedje je strogo naras čajoče, saj za vsako naravno stevilo n velja _ n + 3 n + ^ 1 an+1 — an = —T — = 7 —TT7 —T > 0, n + 4 n + 3 (n + 4)(n + 3) oziroma an+1 > an. Ve čina zaporedij pa je takih, da niso niti naras čajo č a, niti padajo ča. Tako je na primer zaporedje (—1,1, —1,1,...) = {(—1)n}^=1. 3.2 Konvergentna zaporedja V tam razdelku se bomo ukvarjali z neskoncnimi zaporedji, pri katerih se zacno dovolj pozni cleni pribli z evati nekemu stevilu. Definirali bom pojem stekali s c a ter si pogledali, kdaj je zaporedje konvergentno. Stekališče zaporedja Naj bo e > 0 neko pozitivno realno s tevilo. Potem odprti interval (a — e, a + e) imenujemo e-okolica tocke a. Naj bo {a„}~= 1 zaporedje. Stevil° S imenujemo StekaliŠce zaporedja {an}^°=1, ce poljubna e-okolica tocke s vsebuje neskoncno mnogo clenov zaporedja. Pri tem je pomembno omeniti, da je lahko izven te okolice kon c no ali neskon c no mnogo c lenov zaporedja. Primer 3.5 Dano naj bo zaporedje s splosnim clenom "» =(—1)n n+2 • Pri tem zaporedju se cleni s sodim indeksom obnas ajo kot zaporedje s splosnim c lenom n+f, cleni z lihim indeksom pa kot zaporedje s splo s nim clenom — n+f. Iz tega sledi, da ima dano zaporedje dve stekalisci: 1 in —1 ( cleni s sodim indeksom se kopi c ijo pri 1, c leni z lihim indeksom pa pri —1). Naslednji izrek, katerega dokaz bomo izpustili, povezuje zgornjo definicijo z omejenimi zaporedji. Izrek 3.1 Vsako neskončno omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče. Limita in konvergenca V nadaljevanju se bomo posvetili zaporedjem, ki imajo natanko eno stekali s ce. Stevilo a je limita zaporedja {an}^=1, ce poljubna e-okolica toCke a vsebuje neskon Cno mnogo C lenov zaporedja, izven te okolice pa je le kon C no mnogo Clenov zaporedja. Na kratko to zapi semo na naslednji naCin a = lim an. n— Pravimo tudi, da zaporedje {ankonvergira k številu a, zaporedje {an}^=1 je konvergentna. Limita, je torej edino stekali sCe zaporedja. Zaporedje, ki nima limite, imenujemo divergentno zaporedje. Primer 3.6 Hitro lahko pokaz emo, da zaporedje {nkonvergira k stevilu 0, oziroma lim — = 0. n—n Enako velja za zaporedje s splosnim Clenom ^k, kjer je k poljubno naravno stevilo lim — = 0. n—nk V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj lastnosti konvergentnih zaporedij, ki nam bodo pomagale pri raCunanju limit. Izrek 3.2 Naj bo {an}^=1 konvergentna zaporedje z limito a. Potem velja 1. Ce zaporedju dodamo ali odvzamemo končno mnogo (členov, ima novo zaporedje spet limito a. 2. Vsako neskončno podzaporedje je konvergentno in ima limito a. 3. limn—^> kan = k ' limn—rc> an = k ' a 4- limn—^ an = limn—an = a, (an = 0,a = °) Izrek 3.3 Naj bosta {an}^=1 in {bn}^=1 konvergentni zaporedji lim an = a , lim bn = b. n—n— Potem velja 1. limn^(an + bn) = limn^^ an + limn^^ bn = a + b 2. limn^(an - bn) = limn^ an - limn^ bn = a - b 3. limn^(an ■ bn) = limn^^ an ■ limn^^ bn = a ■ b 4. m = sn^an = a, (bn = 0,b = 0) Primer 3.7 Zaporedje s splosnim clenom = n2 + 2n - 3 an = 4n je konvergentno, saj je n2(1 + ^ - 4) 1 + ^ - 4 „ _ n n n2 ^ __n n2 an = 4n2 =4 in je v limn^^ 1 + limn^^ - - lim^^ -j 1 + 0 - 0 1 lim an — n n — — n n limn 4 Primer 3.8 Izracunajmo limito zaporedja s splosnim clenom an = V n2 - n - n . Zapi simo najprej splosni clen v obliki kvocienta (Vn2 - n - n)(Vn2 - n + n) -n an — i — i n2 - n + n n2 - n + n Po deljenju s tevca in imenovalca z n dobimo = -1 an 1 - 1 + 1 n Torej je lim an = lim — -= -= - n 1 + 1 ^/1 - 0+1 2 V nadaljevanju bomo omenili se posebno stevilo, ki je definirano s pomocjo limite. Število e Stevilo, ki ga ozna c imo s crko e, igra v matematiki in tudi v drugih vedah pomembno vlogo. To stevilo je definirano z limito zaporedja, ki ima splosni clen an = ( 1 + - 1n n Torej 1n e = lim 1 +— . n— 0, je zaporedje navzgor neomejeno, zato ni konvergentno. Podobno, Ce je d < 0, je zaporedje navzdol neomejeno in zato ni konvergentno. Ce pa je d = 0, vsi Cleni sovpadajo s prvim Clenom in je zato zaporedje konvergentno z limito a1 . Izra Cunajmo s e vsoto sn prvih n Clenov aritmeti C nega zaporedja Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an, oziroma Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n — 1)d) ali Sn = an + (an — d) + (an — 2d) + ... + (an — (n — 1)d). Po sestetju zadnjih dveh enaCb dobimo 2sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an). Dvo C lenik a1 + an se na desni strani enakosti pojavi n-krat, zato je Sn = n(a1 + an) = n(2a1 + (n — 1)d)). Primer 3.11 DoloCimo s tevilo x tako, da bodo stevila x, 2x + 2 in x2 + 4x + 4 prvi trije Cleni aritmetiCnega zaporedja. Po definiCiji aritmeti Cnega zaporedja mora veljati (2x + 2) — x = (x2 + 4x + 4) — (2x + 2). Ce zgornjo enakost malo preuredimo, dobimo enaCbo x2 + x = 0, oziroma x(x + 1) = 0. Imamo torej dve re s itvi: x = 0in x = -1. Ceje x = 0, potem dobimo zaporedje (0, 2, 4,...). To je aritmeti cno zaporedje s prvim clenom 0 in diferenco d =2. Ceje x = -1, potem dobimo zaporedje (-1, 0,1,...). To je aritmeti cno zaporedje s prvim c lenom -1 in diferenco d =1. Geometrijsko zaporedje Zaporedje {an}^c=1 imenujemo geometrijsko zaporedje, ce je kvocient dveh zaporednih clenov stalen a2 _ a- _ _ an+1 _ a1 a2 an Ce ozna cimo kvocient s q, je splo s ni c len geometrijskega zaporedja an = a1qn-1. Vidimo, daje podobno kot pri aritmeti cnih zaporedjih vsak clen geometrijskega zaporedja dolo cen s prvim clenom in kvocientom. Torej lahko geometrijsko zaporedje zapi semo kot (a1, a1q, a1q2,..., a1 qn-1,...) Ce je 0 < q < 1, je zaporedje potenc (W,..., 1, je zaporedje s splosnim členom |q|n neomejeno in je zato geometrijsko zaporedje {a1qn-1}^=1 divergentno. Poi s č imo s e vsoto sn prvih n č lenov geometrijskega zaporedja Sn = a1 + a1q + a1q2 + ... + a1qn-1 = a1(1 + q + q2 + ... + qn-1). Ce pomnozimo obe strani enakosti s q in novo enakost odstejemo od zgornje, dobimo Sn(1 — q) = a1(1 — qn). Ce je q = 1, potem je 1 — qn Sn = ar 1—q če pa je q = 1, je sn = na1. Primer 3.12 V geometrijskem zaporedju je cetrti clen 24 in kolicnik2. Zapisite splosni clen zaporedja in izracunajte vsoto prvih 5 clenov zaporedja. Po definiciji geometrijskega zaporedja velja a1 • q3 = a1 • 8 = 24. Torej je a1 = 3. Po zgornji enac bi je " = 3I =3 3.4 Geometrijska vrsta Naj bo {an}^c=1 poljubno neskoncno zaporedje. Ce povezemo clene tega zaporedja z znakom +, dobimo vrsto an n=1 a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = Clen an imenujemo splošni člen vrste. Vrsti an priredimo zaporedje delnih vsot s1 = a1 S2 = a1 + a2 n s- = a1 + a2 + ... + an = ^ n = an n=1 Zaporedje {sn}^=1 je lahko konvergentno ali pa tudi ne. Ce je in je njegova limita S, pravimo, da je vrsta an konvergentna, stevilo S pa imenujemo vsota vrste. Ce pa zaporedje delnih vsot divergira, potem pa pravimo, da je tudi vrsta Y1 an divergentna. Primer 3.13 Vrsta 1 je divergentna, saj je njeno zaporedje delnih vsot (1, 2, 3,...) neomejeno in zato nima limite. Iz definicije limite sledi, da morajo v konvergentni vrsti posamezni cleni kon-vergirati proti 0, oziroma lim an = 0 . n n Pri tem poudarimo, da je to samo potreben pogoj, ne pa tudi zadosten pogoj za konvergenco vrste. Vzemimo na primer vrsto 1 1 1 1 + — + — + ... + —= + ... v^ v^ Vn Ocenimo n-to delno vsoto 11 1 1 r- Sn = 1 +—p +—p + ... +—T^ > n ■ = V n . Zaporedje delnih vsot torej z narasCajoCim n raste preko vseh meja in zato vsota ni konvergentna. Po drugi strani pa je lim —— = 0 . V nadaljevanju bomo posvetili pozornost le posebni vrsti in sicer geometrijski vrsti. Prav zato se tukaj ne bomo ukvarjali s splosno teorijo. Tako tudi ne bomo omenili kriterijev, ki nam pomagajo presoditi, ali je neka vrsta konvergentna ali ne. Radovedni bralci pa se seveda lahko s splosno teorijo seznanijo v navedeni literaturi. Naj bo (a, aq, aq2,...) = {aq"-1}^^ geometrijsko zaporedje s prvim clenom a in kvocientom q. Potem vrsto a + aq + aq2 + ... + aqn 1 + ... = a ^ qn 1 n1 + . . . = a n=1 imenujemo geometrijska vrsta, q pa kvocient geometrijske vrste. Vemo z e, da je n-ta delna vsota geometrijskega zaporedja {aqn 1}^CL1 enaka 1 - qn sn — a 1-q Naj bo |q| < 1. Potem je limn^^ qn = 0, in je zato lim sn =- n—>00 1 - q Ce pa je |q| > 1, limita limn^^ qn ne obstaja in zato tudi limita limn^^ sn ne obstaja. Torej, ce je |q| < 1, potem je geometrijska vrsta a qn-1 konvergentna in je njena vsota S = , ce pa je |q| > 1, je vrsta a qn-1 divergentna. Primer 3.14 Ali je vrsta 2n konvergentna? Hitro lahko opazimo, da je zgornja vrsta geometrijska vrsta s prvim členom 2 in kvocientom q = 2. Ker je izpolnjen pogoj |q| = 2 < 1, je vrsta konvergentna, njena vsota pa je a 1 S = ~r~— = ^r = 11 - q 1 - 2 Primer 3.15 Ugotovimo, za katera realna stevila x je vrsta x1 ^ Vx + 1 n=1 konvergentna, ter izračunajmo njeno vsoto. Zgornja vrsta je seveda geometrijska vrsta s prvim členom in kvocientom a = q = X++1. Konvergentna je za vsa realna stevila x, ki zados c ajo naslednjemu pogoju |q| x1 x + 1 <1 oziroma |x - 1| < |x + 1| . Zgornjo neenakost analiziramo. 1. Za x < -1 neenacba preide v neenacbo 1 - x < -x - 1, ki ne velja. 2. Za -1 < x < 1 neenac ba preide v neenac bo 1 - x < x +1, iz katere dobimo 0 < x. 3. Za x > 1 neenacba preide v neenacbo x - 1 0. Njena vsota je po obrazcu a x - 1 1 x - 1 x +1 x - 1 S 1 - q x + 1 1 - fj- x +1 x + 1 - x + 1 4 Odvod V tem poglavju se bomo ukvarjali s tako imenovanim diferencialnim računom. Spoznali bomo definicijo odvoda, njegov geometrijski pomen in tehnike racunanja. S pomocjo odvoda bomo analizirali realne funkcije ter poglavje zakljucili s prakticnimi primeri optimizacijskih nalog. 4.1 Definicija in geometrijski pomen odvoda Naj bo f neka realna funkcija in xo stevilo iz definicijska obmocja funkcije f. V praksi pogosto opazujemo dinamiko funkcije f na nekem majhnem intervalu od xo do xo + h. Oznacimo prirastek neodvisne spremenljivke x z Ax = h in prirastek odvisne spremenljivke y z Ay = f (xo + h) - f (xo). Nas bo v nadaljevanju zanimalo predvsem razmerje (koli cnik) med prirastkom odvisne in neodvisne spremenljivke Ay = Af = f (xo + h) - f (xo) Ax Ax h in ga imenujemo diferenčni količnik. f' = 196 * Torej je smerni koeficient tangente 175 in je enacba tangente oblike 47 y =-x + n. y 196 Ker pa imata vzporedni premici enak naklonski koeficient in i s cemo premico skozi tocko 0(0, 0), velja 47 ° = T56'0 + iz c esar sledi, da je n = 0. Enac ba vzporednice je torej 47 y =196x- Primer 4.9 Naj bo f (x) = lnx. Zapi s imo enacbo tangente in normale na graf funkcije f v to cki xo = 2. Ker je f'(x) = X, je smerni koeficient tangente f'(2) = 2, smerni koeficient normale pa - /t^ = -2. Ena c ba tangente je y = 1(x - 2) + ln 2, ena cba normale pa y = -2(x - 2) + ln 2. Odvodi višjega reda Ce je za odvedljivo funkcijo f tudi njen prvi odvod f odvedljiva funkcija, potem s ponovnim odvajanjem dobimo odvod drugega reda, oziroma drugi odvod funkcije f in pisemo /". Analogno dobimo tretji odvod /'", ... Torej je n-ti odvod funkcije f odvod funkcije f(n-1), oziroma f(n)(x) = (f(n-1))'(x) . Primer 4.10 Izrac unajmo tretji odvod funkcije f (x) = x5. Po pravilu za odvajanje potenc je /'(x) = 5x4, /''(x) = 20x3 in /w(x) = 60x2. Sami lahko doma preverite, da ima funkcija f vse odvode od s estega dalje enake 0. V splo snem imajo vsi polinomi le končno mnogo od nic različnih odvodov, saj se z vsakim odvajanjem stopnja polinoma za eno zniža. Primer 4.11 Naj bo f (x) = xex . Izracunajmo drugi odvod funkcije f. f' (x) = ex+1 + xex+1 = ex+1(1 + x) f''(x) = ex+1(1 + x) + ex+1(1 + x) = 2ex+1(1 + x). 4.3 Diferencial Diferencial neodvisne spremenljivke x je enak njenemu prirastku, torej dx = Ax. Diferencial funkcije f pa je produkt dy = df = f' (x)dx. Pri majhnih spremembah neodvisne spremenljivke x je pri odvedljivih funkcijah tangenta blizu grafa funkcije. Zato lahko diferencial funkcije df uporabimo kot pribliz ek za spremembo funkcijske vrednosti Af, ki jo povzroci sprememba neodvisne spremenljivke za dx. Zapisano z matematicnimi znaki Af « df = f' (x)dx oziroma f(x + dx) ~ f(x) + f'(x)dx . Kako pa to pravilo uporabimo v praktičnih primerih? Za zac etno vrednost spremenljivke x izberemo tako vrednost, da je ra cunanje funkcijske vrednosti in vrednosti odvoda funkcije v tej tocki cim enostavneje. Poleg tega naj bo dx c im manj s i, da bo aproksimacija dobra. Primer 4.12 S pomo cjo diferenciala izracunajmo pribliz no vrednost -\/98. Funkcija, katere vrednost ocenjujemo, je \fx, njen odvod pa ^^. Torej ima v na sem primeru zgornji obrazec obliko Vx + dx ~ Vx +--p= dx . 2x Tocka, v kateri znamo izracunati vrednost funkcije in njenega odvoda, je x = 100. Ustrezna sprememba neodvisne spremenljivke je tedaj dx = -2. Tako je V9Š « V^100 + —^(-2) = 10 - — = 9, 9 . 2v/100 10 4.4 Analiza realnih funkcij V tem razdelku se bomo spopadli z izreki, s katerimi bomo opisali najpo-membnej se lastnosti odvedljivih funkcij. S Taylorjevo vrsto bomo spoznali aproksimacijo poljubne (dovoljkrat odvedljive) funkcije s pomocjo polinoma. Dobljene rezultate bomo na koncu uporabili pri analizi realnih funkcij. Tako bomo ilustrirali uporabnost diferencialnega ra cuna in se na prakti cni ravni lotili risarskih nalog. Omenimo s e, da bomo dokaze zapisanih izrekov izpustili, saj bo za nas pomembna predvsem prakti cna uporaba odvoda pri resevanju ekonomskih problemov. Bralec lahko sam doma poskusi dokazati naslednji izrek. Izrek 4.1 V vseh točkah, kjer je funkcija f odvedljiva, je tudi zvezna. Izrek 4.2 (Fermat) Naj bo funkcija f definirana na intervalu [a, b] in odvedljiva na (a, b) ter naj bo c G (a,b). Ce funkcija f zavzame v točki c lokalni maksimum ali lokalni minimum, potem je f '(c) = 0. Fermatov izrek nam pove, da ima tangenta na graf funkcije f v lokalnem maksimumu oziroma lokalnem minimumu smerni koeficient 0, torej je vzporedna z abscisno osjo. Tockam, v katerih je prvi odvod enak 0, imenujemo stacionarne točke. Velja torej: ce ima funkcija f v točki c lokalni ekstrem, potem je c stacionarna tocka. Obratno ni nujno res. Primer 4.13 Naj bo f (x) = x3. Potem je f(x) = 3x2 in f'(x) = 0 natanko tedaj, ko je x = 0. Vendar v stacionarni to cki x = 0 funkcija f nima lokalnega ekstrema. S pomo cjo Fermatovega izreka lahko dokaz emo razli cne izreke o povprečni vrednosti. Izrek 4.3 (Rolle) Naj bo f : [a, b] ^ R zvezna funkcija na intervalu [a, b] in odvedljiva na intervalu (a,b). Ce je f (a) = f (b), tedaj obstaja vsaj ena taka tocka c G (a, b), da je f (c) = 0. Izrek 4.4 (Lagrange) Naj bo funkcija f zvezna na intervalu [a, b] in odvedljiva na intervalu (a,b). Potem obstaja taka tocka c G (a,b), daje f (b) - f (a) = f' (c)(b - a). Izrek 4.5 (Cauchy) Naj bosta funkciji f in g zvezni na intervalu [a,b] in odvedljivi na intervalu (a, b). Potem obstaja taka tocka c G (a, b), daje f (c)(g(b) - g(a)) = g' (c)(f (b) - f (a)). Taylorjeva formula V nadaljevanju bomo zapisali Taylorjevo formulo, s pomočjo katere bomo aproksimirali odvedljive funkcije s polinomi. To nam bo pomagalo pri računanju vrednosti zapletenih funkcij. Izrek 4.6 (Taylorjeva formula) Naj bo f vsaj n +1 krat odvedljiva funkcija na odprtem intervalu I in naj bo a G I. Potem za vsak x G I obstaja tak z G I, ki lezi med a in x, da je „ \ *u w \ f'(a)(x - a)2 f(n)(a)(x - a)n n . . f (x) = f (a)(x - a) + -L_ + ... + J -- + Rn(x), kjer je f (n+1)(z)(x - a)n+1 Rn(x)= (n +1)! • V Taylorjevi formuli imenujemo Rn(x) ostanek, izraz na desni pa razvoj funkcije f v Taylorjevo formulo v okolici to č ke a. Ce je f polinom, je Rn(x) = 0 in je n f (k)(a)(x - a)k f (x) = ]>] k! k=0 Taylorjevo formulo imenujemo tudi Taylorjeva vrsta. Ce je limn^^ Rn(x) = 0, je vrsta konvergentna. Primer 4.14 Razvijmo funkcijo f (x) = e x v Taylorjevo vrsto v okolici tocke a = 0. Izracunajmo najprej odvode: f'(x) = _e-x, f''(x) = e-x, f'''(x) = _e-x,... Izra cunajmo se vrednosti v to cki 0 f (0) = 1, f'(0) = _1, f''(0) = 1, f'''(0) = _1,... Torej je Taylorjeva vrsta za funkcijo f x2 2! 3! ' 4! 2 3 4 -v, l/C *Aj *Aj e-x = 1 _ x + — _ — + — _ Zapi simo se nekaj primerov razvoja funkcij v Taylorjevo vrsto v okolici tocke a = 0. 2 3 n 1. ex = 1 + x + % + % + ■■■ + n + ... o x3 x5 (— 1)n-1x2n-1 2. sin x = x _ -3! + -5! + ■ ■ ■ + (2n-1)! + ... x2 ( — 1)n —1x2n —2 3. cos x =1 _ g! + -4! + ■■■ + (2n-2)! + ... 2 3 4 ( n 4. ln(1 + x) = x _ % + _ ^ + ■■■ + (-1) n x + ... 3 5 7 (_1)n- 1x2n-1 5. arctan x = x _ ^ + ^ _ ^ +-----+ ( 1]2n_x--+ ... V nadaljevanju bomo povezali prvi odvod odvedljivih funkcij z monotonostjo. Izrek 4.7 Naj bo funkcija f : (a,b) ^ R odvedljiva. Tedaj velja 1- f '(x) > 0 za vsak x G (a, b) ^^ f narasčajoča, 2. f'(x) > 0 za vsak x G (a, b) f strogo narasčajoča, 3- f'(x) < 0 za vsak x G (a, b) ^^ f padajoča, 4- f'(x) < 0 za vsak x G (a, b) f strogo padajoča. Naslednji primer pokaze, zakaj v drugi tocki izreka ne velja "ekvivalenca". Primer 4.15 Naj bo f (x) = x3. Potem je f'(x) = 3x2. Funkcija je strogo narascajoca na definicijskem obmocju, vendar ne velja f'(0) > 0. Torej, ce je f strogo naras cajo c a funkcija na intervalu I, ne sledi nujno, da je f'(x) > 0 za vsak x G I. Podobno, ce je f strogo padajo c a na intervalu I, ne sledi nujno, da je f'(x) < 0 za vsak x G I. Kako pa poi s cemo in dolocimo lokalne minimume in lokalne maksimume funkcije? Izrek 4.8 Naj bo funkcija f (n+1)-krat zvezno odvedljiva na neki okolici točke x0 in naj bo f'(x0) = f''(xo) = ... = f(n-1)(x0) = 0 ter f(n)(x0) = 0. Potem velja 1. če je n sodo stevilo in je f (n)(x0) < 0, potem ima f v x0 lokalni maksimum, 2. če je n sodo število in je f (n)(x0) > 0, potem ima f v x0 lokalni minimum, 3. še je n liho število, potem f v x0 nima lokalnega ekstrema (v tej toški je prevoj funkcije f). Za nas bo pomembna predvsem naslednja trditev. Naj bo f odvedljiva na neki okolici tocke x0 in naj bo f'(x0) = 0. Tedaj velja 1. ce je f (x0) < 0, potem ima f v x0 lokalni maksimum, 2. ce je f''(x0) > 0, potem ima f v x0 lokalni minimum. Primer 4.16 Poi s cimo lokalne ekstreme funkcije f (x) = xe3x+1. Najprej poi s cimo stacionarne tocke. Ker je f'(x) = e3x+1(1 + 3x), je x re sitev ena cbe f (x) = 0. Ker je f''(x) = e3x+1(6 + 9x), je f''(-1) > 0, iz cesar sledi, da ima f v x = -1 lokalni minimum. Tudi ukrivljenost funkcij (konveksnost, konkavnost) je povezana z odvodom. Izrek 4.9 Naj bo funkcija f dvakrat odvedljiva na odprtem intervalu I. Potem velja 1. f''(x) > 0 za vsak x G I ^^ f je konveksna na I. 2. f''(x) < 0 za vsak x G I ^^ f je konkavna na I. Izrek 4.10 Ce odvedljiva funkcija v stacionarni točki nima lokalnega ekstrema, ima v njej prevoj. Primer 4.17 Naj bo f (x) = xe3x+1. Dolocimo intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije f. Ker je f''(x) = e3x+1(6 + 9x), je po zgornji definiciji funkcija f konveksna na intervalu [-1, to) ter konkavna na intervalu (-to, -1]. V to cki x = -1 ima funkcija f prevoj. Zdaj imamo z e zadosti informacij, da se lahko lotimo podrobne analize odvedljivih funkcij. Primer 4.18 Podrobno analizirajmo racionalno funkcijo z enacbo f (x) = — M ; x + 2 in skicirajmo njen graf. Poi s cimo najprej ni cle funkcije x1 f (x) =-= 0 ^^ x - 1 = 0 ^^ x = 1. Jy J x + 2 Ni cla je torej x = 1 in je prvega reda. Ulomljena racionalna funkcija ima pole v ni clah svojega imenovalca (seveda ob predpostavki, da polinoma v stevcu oziroma imenovalcu nimata skupnih linearnih faktorjev, ki je v nasem primeru o c itno izpolnjena). Ker je x - 2 ^^ x = -2, ima funkcija f v x = -2 pol prvega reda. Kot z e vemo, je pol edina to cka na realni osi, v kateri ulomljena racionalna funkcija ni definirana, tako da velja Df = r \{-2}. Ce polinoma x - 1 in x + 2 delimo, dobimo x- 1 x + 2 1 x+2 Torej je asimptota grafa funkcije f vodoravnica y =1. Lotimo se sedaj analize s sredstvi diferencialnega racuna. Za prvi odvod izrac unamo, da velja f (x) 3 > 0, (x + 2)2 kar pomeni, da je funkcija povsod na definicijskem obmo čju naras c ajoc a. Prav tako lahko opazimo, da funkcija nima lokalnih ekstremov, saj je f'(x) = 0 za vse x G D/. Kako pa je s prevoji, konveksnostjo in konkavnostjo? Izra cunajmo drugi odvod 6 f"<*> = - • Ker je f''(x) > 0 za vsa realna stevila x, ki so manj sa od -2, je na intervalu (-to, -2) funkcija konveksna. Podobno je f''(x) < 0 za vsa realna stevila x, ki so ve čja od -2. Torej je na intervalu (-2, to) funkcija konkavna. Ker drugi odvod nikjer na definicijskem obmo čju D/ ni enak ni c, funkcija f nima prevojev. Zdaj imamo zbrane vse informacije, potrebne za risanje grafa funkcije f. -6 -4 -1 F" Slika 4.2: f (x) = Primer 4.19 Podrobno analizirajmo racionalno funkcijo z enacbo f (x) x x2 + 3 4 1 4 x 4 in skicirajmo njen graf. Najprej poiscimo nicle in pole dane funkcije. O citno ima funkcija samo eno ni clo v to cki x = 0, ki je tretjega reda, ter nobenega pola, saj je x2 + 3 = 0 za vsa realna stevila x. Iz tega sledi, da je Df = r. Ker je 3 Jb KjJb x2 + 3 x2 + 3 ' je simetrala lihih kvadrantov y = x asimptota. Z odvajanjem je v tem primeru nekoliko ve c dela, je pa dobra vaja v premetavanju izrazov in izpostavljanju skupnih faktorjev, ki naj ga bralec opravi last-noro cno. Torej, f'(x) = x2(x2 + 9) > 0 f (x) (x2 + 3)2 > 0 za vsa realna stevila x. Iz tega sledi, da je funkcija povsod narascajoca. Ker je f'(x) = 0 ^^ x = 0, je T1(0, 0) stacionarna to cka. Izracunajmo se drugi odvod 6x(3 + x)(3 - x) f ''(x) (x2 + 3)3 Ker je 6x(3 + x)(3 - x) = 0 natanko tedaj, ko je x = 0 ali x = -3 ali x = 3, so tocke T1(0,0), T2(-3,f(-3)) in T3(3,f (3)) prevoji obravnavane funkcije. Na obmocju (-to, -3) U (0, 3) je funkcija konveksna, saj za x G (-to, -3) U (0, 3) velja f ''(x) > 0. Podobno je funkcija na intervalu (-3, 0) U (3, to) konkavna, saj je tam f'(x) < 0. Zdaj se lahko lotimo risanja grafa funkcije. 4.5 Optimizacijske naloge V tem poglavju bomo predstavili nekaj moznosti za uporabo matematicnih orodij pri iskanju optimalnih (minimalnih ali maksimalnih) vrednosti funkcij. Da bomo lahko vse probleme re sili z metodami iz diferencialnega računa, ki smo jih spoznali, bodo vse funkcije zadosti pohlevne in odvedljive. Primer 4.20 Poi s čimo za funkcijo f (x) = x4 — 2x2 + 6 globalni minimum na intervalu [—2, 0]. Poi s čimo najprej stacionarne to čke funkcije f f' (x) = 4x3 — 4x = 0, oziroma 4x(x2 — 1) = 0. Re s itve zgornje enac be so x = 0,1, —1. Ker pa i s c emo minimum na intervalu [—2,0], sta za nas zanimivi le tocki x = —1 in x = 0. Izracunajmo s e drugi odvod funkcije f f''(x) = 12x2 — 4. Ker je f''(0) = —4 < 0 in f''(—1) = 8 > 0, doseže funkcija f minimum le za x = —1. Iskana tocka je torej T(—1, 5). Primer 4.21 Med vsemi pari stevil, katerih vsota je S, najdimo tisti par, katerega vsota kvadratov je najmanj s a. Oznacimo iskani stevili z x in y. Vemo torej, da je x + y = S. Iz te enakosti lahko izrazimo y: y = S _ x. Poleg tega pa mora biti vsota x2 + y2 = x2 + (S _ x)2 = 2x2 _ 2xS + S2 najmanj sa. Is cemo torej minimum funkcije f (x) = 2x2 _ 2xS + S2. Ce to funkcijo odvajamo, dobimo f'(x) = 4x _ 2S. Ce prvi odvod enacimo z 0, dobimo x = f. Drugi odvod funkcije f je f''(x) = 4 in velja f''(2) = 4 > 0. Torej funkcija f doseze minimum v tocki x = f. Iz tega sledi, da je iskani par s x = y = 2. Primer 4.22 Med vsemi kvadri, pri katerih je dolz ina dvakratnik sirine, vsota vi sine, dolzine in sirine pa je enaka 900, poi s cimo tistega, ki ima najve cjo prostornino. Oznac imo s irino kvadra z x, dol z ino z y in vi s ino z z. Iz podatkov vemo, da je y = 2x in x + y + z = 900. Ce v zadnjo enakost vstavimo y = 2x, potem je x + 2x + z = 900, oziroma z = 900 _ 3x. Prostornina kvadra je enaka produktu x ■ y ■ z, oziroma x ■ 2x ■ (900 _ 3x) = 1800x2 _ 6x3. Iscemo torej maksimum funkcije f (x) = 1800x2 _ 6x3. Izra cunajmo prvi odvod f '(x) = 3600x _ 18x2 in ga ena cimo z 0 3600x _ 18x2 = 18x(200 _ x) = 0. Ker je x sirina kvadra, je edina smiselna re sitev x = 200. Z drugi odvodom lahko preverimo, da funkcija f res zavzame maksimum pri x = 200 (f''(200) < 0). Torej ima iskani kvader sirino 200, dolz ino 400 in vi sino 300. Zadnji primer nam bo pokazal, kako lahko metode iz diferencialnega racuna uporabimo pri ugotavljanju ucinkovitosti in uspe snosti poslovanja. Primer je povzet po (Cibej, 2005). Primer 4.23 Neko podjetje proizvaja en sam izdelek. Odvisnost stro skov od obsega proizvodnje q je opisana s funkcijo C (q) = 2q2 + 16000000, povprasevanje po njegovih proizvodih pa je dano z enacbo 1 q = - + 10000, kjer p oznacuje ceno ene enote proucevanega proizvoda. Zanima nas, kaksen je optimalen obseg proizvodnje. Kaj v tem primeru sploh pomeni izraz optimalen? Zavedati se moramo, da imajo razli cni ljudje lahko povsem razli cne cilje in s tem tudi razli cne poglede na optimalen obseg proizvodnje. V nas em primeru bomo za namensko funkcijo izbrali kar razliko med izkupi ckom od prodaje P in pripadajo cimi stros ki C, kar bi lahko imenovali kar dobi cek D. Ta je odvisen od obsega proizvodnje q. Pri tem privzamemo, da celotno proizvedeno koli cino izdelkov tudi prodamo. Imamo torej enakost D(q) = P(q) - C(q) = q ■ p - C(q). Ceno p lahko izrazimo iz enac be povpras evanja p = -2q + 20000, kar nam da za dobi cek naslednjo funkcijo obsega proizvodnje D(q) = q ■ (-2q + 20000) - (2q2 + 16000000) oziroma D(q) = -4q2 + 20000q - 16000000. Zgornja funkcija ima stacionarno tocko pri tistem obsegu proizvodnje, kjer je njen odvod enak 0 D' (q) = -8q + 20000 = 0, iz cesar sledi, da je q = 2500. Ker je D''(2500) = -8, ima funkcija D v stacionarni to cki maksimum. Zato je = D(2500) = -4 ■ 25002 + 20000 ■ 2500 - 16000000 = 9000000 maksimalni dobi cek, ki ga podjetje pri danih pogojih lahko dosez e, ce proizvaja in seveda tudi prodaja 2500 enot svojega proizvoda; prodaja ga v skladu z enac bo povpra s evanja po ceni p(2500) = -2 ■ 2500 + 20000 = 15000 za enoto. V realnosti pa nas dostikrat zadovolji z e to, da smo z obsegom proizvodnje na intervalu, kjer pokrivamo vse stro ske P(q) > C(q) oziroma -2q2 + 20000q > 2q2 + 16000000, od koder dobimo z resevanjem zgornje kvadratne neenacbe interval 1000 < q < 4000. 5 Matrike Teorija matrik je zagotovo eno izmed najpomembnej s ih podrocij matematike, ki v zadnjih desetletjih pridobiva na pomenu tudi na podrocju ekonomije, man-agementa, druz boslovnih in drugih naravoslovnih znanosti, saj lahko s pomo cjo matrik na enostaven nacin uredimo najrazlicnejse podatke. Tako bomo zadnje poglavje v tem ucbeniku posvetili matrikam. Spoznali bomo njihove osnovne lastnosti, sestevanje, odstevanje in mnozenje matrik, determinante matrik in inverzno matriko. Poglavje bomo zakljucili z resevanjem sistemov linearnih enacb. 5.1 Osnovne lastnosti matrik Pravokotno shemo s tevil, razvrs cenih v vrstice in stolpce, imenujemo matrika. Tako je «11 «12 . • «1n «21 «22 • • «2n A = «31 «32 • • «3n am1 «m2 • matrika dimenzije m x n. Prvi podatek m nam pove stevilo vrstic, drugi n pa stevilo stolpcev. Oba skupaj dolo c ata dimenzijo (ali red) matrike. Primer 5.1 Matrika A 2 _1 0 1 3 2 je primer matrike dimenzije 2 x 3. V c asih ob imenu matrike ozna cimo tudi njeno dimenzijo. V nasem primeru bi torej uporabili oznako A2x3. Matriko, ki ima enako stevilo vrstic kot stolpcev, imenujemo kvadratna matrika. Tako je B 1 2 1 _1 0 3 3 4 5 kvadratna matrika dimenzije 3 x 3. V nadaljevanju bomo pokazali, da lahko kvadratne matrike iste dimenzije med seboj se stevamo (od stevamo) in mno zimo, vsota (razlika) in produkt pa sta spet matriki iste dimenzije. Za nas e potrebe bomo elemente matrike izbirali le iz mno z ice realnih s tevil, aj g r. Podatka i in j imenujemo indeksa: element aj lez i na krizis cu i-te vrstice in j-tega stolpca. Tako je v zgornjem primeru ai2 = _1 element, ki le zi v prvi vrstici in drugem stolpcu matrike A. Dve matriki sta enaki natanko tedaj, ko imata enaki dimenziji in so istolez ni elementi v obeh matrikah enaki. Primer 5.2 Matriki A nista enaki, saj a22 = b22. 27 03 in B 27 09 Kvadratna matrika je zgoraj trikotna, c e je aj = 0 za vsak i > j, torej a11 a21 ... an1 0 a22 . . . an2 0 0 ... ann Kvadratna matrika je spodaj trikotna, ce je aj = 0 za vsak i < j, torej an 0 ... 0 ai2 a22 ... 0 a1n a2n • • • ann Poseben primer trikotnih matrik je diagonalna matrika. Kvadratna matrika je diagonalna, c e so vsi elementi izven diagonale enaki 0, torej di 0 0 d2 0 0 0 0 ... dn Diagonalna matrika, za katero je a^ = 1 za vsak i, je enotska matrika. Ponavadi jo oznac imo z I, I 10 01 0 0 0 0 ... 1 V množici matrik dimenzije m x n vpeljemo dve računski operaciji množenje matrike s skalarjem in vsoto matrik, ki ju bomo v nadaljevanju opisali. Množenje matrik s skalarjem Matriko mnoz imo z realnim številom k tako, da vsak element matrike pomnoz imo s k kA = k aii Primer 5.3 a1n am1 . . . am ka11 kam1 . ka1n . kamn 13 "2 6 5 -1 10 -2 Primer 5.4 0 3 0 -15 5 4 -1 = -20 5 -3 2 15 -10 Nasprotno matriko matrike A (oznacimo jo z -A) dobimo tako, da matriko A pomno zimo z - 1. Tako je A = 1 an am1 a1n -an -a1n am1 . . . -a Seštevanje matrik Matriki A in B dimenzije m x n sestejemo tako, da sestejemo vse istolezne elemente A+B an a1n am1 . . . Podobno je tudi a11 . . . a1n A-B = . . am1 . . . Primer 5.5 Naj bo A Potem je in + + b11 ... b1n b b b11 ... b1n bm1 . . . bmn a11 + b11 ... a1n + b1n am1 + bm1 . . . + bmn «11 - bn am1 bm1 a1n b1n 01 12 A+B AB in B 26 -2 2 -2 -4 06 25 14 Za zgoraj opisani operaciji veljajo naslednja pravila. 1. A + B = B + A, a 2. k ■ A = A ■ k, 3. A + (B + C) = (A + B) + C, 4. k ■ (h ■ A) = (k ■ h) ■ A, 5. k ■ (A + B) = k ■ A + k ■ B, 6. (k + h) ■ A = k ■ A + h ■ A, kjer sta A in B matriki istega reda in k in h poljubni realni števili. Oznac imo z 0 matriko, ki ima vse elemente enake 0, torej 0 ... 0 O = Om 0 ... 0 Tako matriko imenujemo ničelna matrika in velja A + O = A za vsako matriko A iste dimenzije kot je matrika 0. V nadaljevanju se bomo posvetili se eni operaciji med matrikami, to je množenju matrik, ki pa ni izvedljivo za vse pare matrik. Množenje matrik Matriki Am Xp in BqXra lahko mnoz imo, Ce je stevilo stolpcev prve matrike enako s tevilu vrstic druge matrike, torej p = q. Produkt A • B = C ^raxp -^pxra ^mxra je matrika reda m x n, ki ima v i-ti vrstici in j-tem stolpcu element (C)ij = ^^ aifc bfcj . fc=1 A 1 2 2 1 0 -1 in B 2 -3 2 -4 10 Prva matrika je reda 2 x 3 in druga 3x2. Ker je s tevilo stolpcev matrike A enako Številu vrstic matrike B, lahko izraCunamo produkt A ■ B. Ce upoštevamo zgoraj zapisano pravilo za mnoz enje matrik, dobimo A • B = C 2x2 1 ■ 2 + 2 ■ 2 + 2 ■ 1 1 ■ (-3)+ 2 ■ (-4)+ 2 ■ 0 1 ■ 2 + 0 ■ 2 + (-1) ■ 1 1 ■ (-3) + 0 ■ (-4) + (-1) ■ 0 Torej je C 22 8 -11 13 Podobno lahko izraCunamo produkt B ■ A B-A = -14 7 -2 4 8 1 2 2 Primer 5.7 Naj bosta dani matriki A -8 -1 -3 -4 12 in B -3 2 0 2 1 9 0 1 2 Potem je 22 -16 -11 18 -5 -1 A ■ B = 1 -9 -38 in B ■ A = -10 -24 30 -7 3 -24 -5 0 -5 Zgornja dva primera sta pokazala, da matri Cno mnozenje v splosnem ni komu-tativno AB = BA. Lahko se celo zgodi, da za matriki, ki ju lahko zmnozimo v danem vrstnem redu, produkt s faktorjema v obrnjenem vrstnem redu sploh ne obstaja. Ce pa obstajata oba produkta (A ■ B in B ■ A) in velja AB = BA, potem pravimo, da matriki komutirata. A 3 -5 17 20 02 6 -10 2 14 in B = 17 Potem je A ■ B = 6 -140 in B ■ A Ker je AB = BA, matriki A in B komutirata. Za dani matriki A in B ter poljubno realno stevilo k veljajo naslednja pravila. 1. A ■ B = B ■ A, 2. k(AB) = (kA)B, 3. A(BC) = (AB)C, 4. A(B + C) = AB + AC, 5. (A + B)C = AC + BC, 6. A ■ 0 = 0 ■ A = 0, 7. A-1 = 1 • A = A. Za konec omenimo se eno operacijo, ki jo lahko izvedemo na poljubni matriki A. Transponiranje matrik Matriko A transponiramo tako, da v matriki zamenjamo vrstice in stolpce. Naj bo A matrika dimenzije m x n. Transponirana matrika matrike A je matrika A T «11 «21 . . . am1 «12 «22 . . . «m2 «1n «2n . . . "TO«, Hitro lahko opazimo, da je ta matrika dimenzije n x m. Primer 5.9 Naj bo A 1 -1 0 3 0 1 1 3 . Potem je AT = -1 0 01 Zapi simo se nekaj lastnosti transponiranja. 1. (A + B)T = AT + BT, 2. (kA)T = kAT, 3. (AT)T = A, 4. (AB)T = BTAT, kjer je A poljubna matrika in k poljubno realno s tevilo. 5.2 Determinanta V nadaljevanju tega poglavja bomo definirali determinanto kvadratne matrike A in na s teli nekaj njenih osnovnih lastnosti, ki jih bomo potrebovali v naslednjih poglavjih. Determinanta matrike A je realno stevilo, ki ga obi cajno oznacimo na naslednji nac in Pri tem je potrebno poudariti, daje determinanta definirana samo za kvadratne matrike. Determinanta je torej preslikava iz mnozice kvadratnih matrik v mnozico realnih stevil: vsaki kvadratni matriki priredimo natanko doloceno realno stevilo. Zaradi enostavnosti definirajmo najprej determinanto matrike A dimenzije 2 x det A a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n det(A) = det a11 a12 a21 a22 a11 a12 a21 a22 ana22 - a12a21 Determinanto matrike A reda 2 x 2 izracunamo torej tako, da od produkta elementov na glavni diagonali od stejemo produkt elementov, ki ne le zita na njej. Primer 5.10 Naj bo A 1 -3 22 Potem je det A =1 ■ 2 - (-3) ■ 2 = 8. Opisimo se postopek za izracun determinante matrike A dimenzije 3 x 3. «11 «12 «13 det A = det «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11 «12 «13 «11 «12 «21 «22 «23 «21 «22 «31 «32 «33 «31 «32 «11«22«33 + «12«23«31 + «13«21 «32 — («31«22«13 + «32«23«11 + «33«21«12) Primer 5.11 Naj bo A 2 3 -1 0 4 -1 5 -2 1 . Potem je det A 2 3 -1 0 4 -1 5 -2 1 23 04 52 2 ■ 4 ■ 1 + 3 --1 ■ 5 + (-1) ■ 0 ■ (-2) -(5 ■ 4 ■ (-1) + (-2) ■ (-1) ■ 2+1 ■ 0 ■ 3) -7+ 16 = 9. V nadaljevanju bomo opisali postopek, kako izracunamo determinanto poljubne n x n matrike A. Naj bo n > 2 in in A matrika dimenzije n x n. Z Dj oznacimo determinanto tiste matrike, ki jo dobimo, ce v matriki A izpustimo i-to vrstico in j-ti stolpec. Determinante Dj imenujemo poddeterminante matrike A. Determinanta matrike A je definirana s predpisom det A = «nDn - «12D12 + + ... + «1j (-1)1+j Dj + ... + «1„(-1)«+1D1„. Zgornjo enakost imenujemo razvoj determinante po prvi vrstici. Izkaze se, da lahko determinanto razvijemo po poljubni vrstici ali stolpcu - vrednost je vedno enaka. Ce determinanto matrike A izra c unamo z razvojem po i-ti vrstici, tedaj za vsak k = 1,..., n element «ik pomno z imo s pripadajo co poddeterminanto Dik katere predznak je dolocen z (-1)i+fc. Torej je n det A = ^(-1)*+k«jfcDifc. fc=1 Podobno lahko determinanto matrike A izracunamo s pomočjo razvoja po j -tem stolpcu n det A = J](-1)fc+j«fcjDfcj. fc=1 Ponavadi determinanto matrike izra cunamo s pomo cjo razvoja po tisti vrstici ali stolpcu, ki ima najvec ni cel, saj si tako delo olaj s amo. Poglejmo si sedaj bolj natancno, kako bi izracunali determinanto matrike A dimenzije 3 x 3 z razvojem po prvi vrstici. det A det «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 \1+1, «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «22 «23 «21 «23 + «13 «21 «22 - «12 «32 «33 «31 «33 «31 «32 = (-l)1+1an D11 + (-l)1+2a12D12 + (-l)1+3a13D13 = «11 = a11 («22«33 — «23«32) — «12(«21«33 — «23«31 ) + «13 («21«32 - a22a31) • Bralec lahko sam preveri, da je tako dobljen rezultat enak številu, ki bi ga dobili, Ce bi raCunali determinanto matrike A po postopku, ki smo ga opisali v zaCetku poglavja. Primer 5.12 Naj bo A 1 3 -2 -l 0 l 2 0-3 Ker sta v drugem stolpcu dve niCli, je najlažje izraCunati determinanto matrike A z razvojem po drugem stolpCu: det A (-l)1+23D12 + (-l)2+20D22 + (-l)3+20D32 _3 -l l 3 2 -3 -3((-l) ■ (-3) - 2 ■ l) = -3. Torej je det A = -3. Primer 5.13 Naj bo A 2 l -2 5 0 2 -l 7 5 0 0 3 l 2 l 0 Ker sta v tretji vrstiti dve niCli, je najlazje izraCunati determinanto matrike A z razvojem po tretji vrstici: det A = (-1)3+15D3i + (-1)3+20 ■ D32 + (-1)3+30 ■ D33 + (-1)3+43D34 1 -2 5 2 1 -2 5 2 -1 7 -3 0 2 -1 2 -1 0 1 2 -1 5((-1)3+12D31 + (-1)3+2 (-1)D32 + (-1)3+30D33) -3((-1)1+12Dn + (-1)2+10D2i + (-1)3+11D3i) 5(2 -3(2 25 -1 7 2 -1 21 + 1 15 27 ) + 1 1 -2 21 = 5(-18 - 3) - 9 = -114 Torej je det A = -114. Zapisimo se nekaj lastnosti determinant. 1. Ce v matriki zamenjamo poljubni vrstici oziroma stolpca, se s tem determinanti spremeni predznak, njena absolutna vrednost pa se ohrani. 2. Ce poljubni vrstici oziroma stolpcu pri stejemo poljuben (neni Čelni) veCkratnik kake druge vrstice oziroma stolpca, se determinanta ne spremeni. 3. Ce v matriki pomnozimo vse elemente neke vrstice (nekega stolpca) z realnim s tevilom k, je vrednost determinante dobljene matrike k-krat vrednost determinante prvotne matrike. 4. Vrednost determinante se ne spremeni, c e stolpce matrike zamenjamo z vrsticami, oziroma, c e matriko transponiramo det A = det AT. ) 5. Ker je det A = det AT, lahko vse operacije, ki jih delamo na vrsticah, delamo tudi na stolpcih (in obratno). 6. Ce so v dani matriki vsi elementi neke vrstice ali stolpca enaki 0, je tudi determinanta enaka 0. 7. Determinanta matrike je enaka 0, ce sta v njej dva stolpca ali vrstici enaki. 8. Ce je vrstica v matriki mnogokratnik kake druge vrstice, ima determinanta vrednost 0. Enako velja tudi za stolpce. 5.3 Inverzna matrika S pomocjo determinante lahko za nekatere kvadratne matrike izracunamo pri-padajoco inverzno matriko. Inverzna matrika kvadratne matrike A je taka matrika A-1, da velja A-1A = AA-1 = I. Ce taka matrika A-1 obstaja, potem pravimo, da je matrika A obrnljiva, matriko A-1 pa imenujemo inverzna matrika matrike A. Izkaze se, da obstajajo tudi take neni celne kvadratne matrike, ki niso obrnljive (torej, nimajo inverzne matrike). Iz pravila za rac unanje inverzne matrike (glej spodaj) pa takoj sledi naslednji pogoj: kvadratna matrika je obrnljiva natanko tedaj, ko je njena determinanta enaka 0. V nadaljevanju bomo opisali postopek za izracun inverzne matrike. Naj bo A kvadratna matrika in det A = 0. Potem je (-1)1+1Dn (-1)1+2D12 ... (-1)1+nDm " (-1)2+1D21 (-1)2+2D22 ... (-1)2+nD2n (-1)n+1Dn1 (-1)n+2Dn2 ... (-1)n+nDnn A 1 1 det A kjer so Dj poddeterminante matrike AT. Hitro lahko preverimo, daje po zgornji definiciji inverzna matrika 2 x 2 matrike A (det A = 0) enaka -i A-1 ' a a a11 a12 a21 a22 1 «11^22 — «21«12 a22 — a12 a21 a11 Primer 5.14 Naj bo Potem je A A 1 1 ■ (—3) — 5 ■ 0 10 5 —3 — 3 0 51 10 5 _ 1 3 3 Primer 5.15 Naj bo 1 2 -1 A = 3 2 —1 2 1 1 Ker je det A = —6, obratna matrika A-1 matrike A obstaja. Torej: 1 3 2 A T 2 2 1 -1 -1 1 D 11 D 21 D 31 21 -1 1 32 -1 1 32 21 A 1 =3 D 12 D 22 -1 1 6 D 32 21 -1 1 12 -1 1 12 21 =3 D 13 = D 23 3 D 33 22 -1 -1 13 11 13 22 -4 (—1)1+1D11 (—1)1+2D12 (—1)1+3D13 (—1)2+1D21 ( —1)2+2D22 (—1)2+3D23 (—1)3+1D31 ( —1)3+2D32 (—1)3+3D33 3 -3 0 -5 3 -2 1 3 4 1 0 5 3 2 Ni te z ko preveriti, da je A • A 1 = A 1 • A = I. Primer 5.16 Naj bo Potem je A 5 1 -2 2 3 -1 1 -1 0 A 1 1 4 -1 2 5 -1 2 1 -5 6 13 Primer 5.17 Naj bosta dani matriki A 51 23 -3 2 14 Res imo matri cno enacbo AX = zados ca pravkar zapisani enakosti in B - B. Torej, poiskati z elimo matriko X, ki AX B A-1AX = A-1B IX = A-1B X = A-1B. Ker je je A-1 = — 13 X = — 13 3 -1 -2 5 -8 2 " 1 16 Primer 5.18 Naj bosta dani matriki A 30 52 in B Re sitev matri cne ena cbe XA = B je 1 X = -6 -21 15 29 21 -5 -7 5.4 Sistemi linearnih enacb Za konec bomo posvetili pozornost se sistemom linearnih enacb. Opisali bomo postopek, kako lahko s pomoCjo matrik res imo splo sen sistem m linearnih enaCb z n neznankami. Sistem m linearnih enaCb z n neznankami anx1 + a12 X2 + ... + a1nXn = b1 a21X1 + a22 X2 + ... + a2nXn = b2 + aTO2x2 + ... amnxn bm lahko zapi semo z matri cno ena cbo AX = B, kjer je A matrika koeficientov sistema dimenzije m x n, A a11 a12 a21 a22 am1 am2 a1n a2n stolpca X x1 in B bm pa sta matriki neznank ter desne strani sistema. Ce matriki A dodamo se stolpec B, dobimo razširjeno matriko sistema [A|B ] a11 a12 a21 a22 am1 am2 a1n 1 b1 a2n 1 b2 %n | um a b 1 Resitev sistema je vsaka taka n-teriCa stevil x1,x2, • • • ,xn, ki ustreza vsem zgoraj zapisanim enaCbam. Pravimo, da je sistem rešljiv, Ce ima vsaj eno resitev. V nasprotnem primeru je nerešljiv. Ena od metod resevanja sistemov linearnih enaCb je tako imenovana Gaussova elirninacijška metoda: z mnozenjem enaCb s primernimi faktorji in odstevanjem ene enaCbe od druge postopoma eliminiramo posamezne neznanke. Na konCu nam ostane v eni od enaCb samo se ena neznanka. Njeno vrednost izraCunamo in vstavimo v drugo enaCbo, iz nje doloCimo drugo neznanko, ... Ta postopek nadaljujemo tako dolgo, dokler ne izraCunamo vrednosti vseh neznank. KljuCni element zgoraj opisanega postopka je eliminatija, ki jo bomo v bistvu nespremenjeno izvajali tudi sedaj, vendar v nekoliko bolj formalni obliki. Pa si oglejmo, kako lahko s pomoCjo matrik resimo sistem linearnih enaCb. V matriki [A|B] najprej poisCemo vrstiCo, ki ima na skrajni levi neniCelni element (lahko se zgodi, da ima matrika v prvih i - l stolptih same niCle in je iskani neni Celni element sele v i-tem stolpCu) in jo zamenjamo s prvo vrstiCo. Ce ima druga vrstiCa pod tem neni Celnim elementom niClo, jo pustimo, siCer od nje odstejemo prvo vrstiCo, ki jo pomnozimo s takim kvotientom obeh prvih Clenov, da bo na tem mestu v drugi vrstiti ni Cla. Na podoben naCin "delamo" ni C le na preostalih mestih v i-tem stolpCu. Prva vrstiCa in prvih i stolpCev so tako v zeljeni obliki, na preostalem delu matrike pa Cel postopek ponovimo. Pri tem postopku smemo narediti naslednje: • zamenjati smemo poljubni vrstiti med sabo, • poljubno vrstiCo smemo mno ziti z neni Cenim realnim stevilom, • poljubni vrstiCi smemo pri steti ali od steti kako drugo vrstiCo ali ve Ckratnik druge kake vrstiCe. Pri teh operatijah se mnoz iCa re s itev sistema ne spremeni. Osnovna ideja zgoraj opisanega postopka je torej ta, da z elimo izni c iti elemente v levem spodnjem kotu raz sirjene matrike, da postane cimbolj podobna zgoraj trikotni matriki (glej matriko spodaj), nato pa izrac unamo vrednosti neznank od spodaj navzgor. [A|B ] * * * 0 * * 00* 000 Primer 5.19 Resimo spodnji sistem enac b. * * x + 2y - z 3x + y + 2z x — 2z -1 2 Najprej zapi simo raz sirjeno matriko sistema 1 2 1 1 3 1 2 1 0 2 1 Drugo vrstico delimo s 3 in ji od stejemo prvo vrstico 1 2 1 1 0 -5 5 0 3 3 1 0 2 Nato se od tretje vrstice odstejemo prvo vrstico 1 2 -1 0 -5 5 0 3 3 021 1 Drugo vrstico pomnoz imo z -3 12 05 02 -1 -5 1 1 4 1 1 V naslednjem koraku drugo vrstico pomnožimo z 2 in tretjo vrstico pomnožimo s 5 "12 -1 | 1 0 10 -10 | 8 0 -10 -5 | 5 Sedaj tretji vrstici prištejemo drugo in dobimo poravnano matriko 1 2 -1 | 1 0 10 -10 | 8 0 0 15 13 Dobljeno matriko lahko zapisemo se v lepsi obliki - drugo vrstico delimo z 2 1 2 -1 0 5 -5 0 0 -15 1 4 13 Resitve sistema dobimo tako, da zaporedoma resujemo enacbe, ki ustrezajo vrsticam od spodaj navzgor. Torej, iz tretje vrstice dobimo -15z = 13, iz cesar sledi z = -15. Vrednost spremenljivke y dobimo iz druge vrstice 5y - 5z = 4. Ce upostevamo vrednost spremenljivke z, sledi y menljivke x dobimo iz prve vrstice -15. Vrednost spre- x + 2y - z = 1. S pomocjo dobljenih rezultatov lahko izracunamo, daje x = 15 • Resitev danega sistema je torej = 4 =1 =13 X = 15 y = -15' Z = -15 . V splosnem ima lahko vsak sistem linearnih enacb Ax = b neskoncno mnogo resitev, natanko eno resitev ali pa nobene resitve. Primer 5.20 Resimo naslednji sistem enacb x + 2y - z = 1 5x - y + 2z = -3 x - 2y + z = 7. Zapisimo razsirjeno matriko sistema [A|B] = Uporabimo Gaussovo eliminacijsko metodo. 1 2 -1 5 -12 1 -2 1 1 -3 7 Drugi vrstici pri stejemo prvo vrstico, ki jo pomnoz imo z (-5). Tretji vrstici odstejemo prvo vrstico 1 2 -1 0 -11 7 1 -2 1 1 -8 7 1 0 0 2 -1 -11 7 42 1 -8 6 Tretjo vrstico pomnoz imo z 11 in ji pri stejemo drugo vrstico, ki jo pomnoz imo z (-4) 1 2 -1 | 1 0 -11 7| -8 0 0 6 98 Sistem ima natanko eno res itev: 29 x = 4, y =--, ' y 3 ' Primer 5.21 Resitev sistema z = — 49 T' je 4x - 2y - 3z = 2 -2x - y + 5z = 3 -x + 2y - 4z = 5 x = -7, y = -9, z = -4. Literatura [1] J. A. Cibej, Matematika za poslovneže (1. del), Zaloznistvo Ekonomske fakultete, Ljubljana 2003. [2] J. A. Cibej, Matematika za poslovneze (2. del), Zaloz ni stvo Ekonomske fakultete, Ljubljana 2005. [3] J. A. (Cibej, Poslovna matematika (2. del), Drz avna zalozba Slovenije, Ljubljana 2004. [4] S. Indihar, I. Kavkler, M. MastinSek, Matematika za ekonomiste (1. del), Ekonomsko-poslovna fakulteta, Maribor 1997. [5] S. Indihar, I. Kavkler, L. Arih, Matematika za ekonomiste (2. del), Ekonomsko-poslovna fakulteta, Maribor 1999. [6] J. Povh, S. Pustavrh, Zbirka res enih nalog iz operacijskih raziskav, Visoka sola za upravljanje in poslovanje, Novo mesto 2001. [7] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill in Kogakusha Co., Ltd., Tokyo - New York 1964. [8] J. Povh, S. Pustavrh, Matemati cne metode (zbirka re senih nalog), Visoka s ola za upravljanje in poslovanje, Novo mesto 2003. [9] R. Strasek, B. Zalar, Zbirka nalog iz matematike 1 za studente gradbeni s tva, Fakulteta za gradbeni s tvo, Maribor 2004. [10] J. Usenik, Matemati cne metode v managementu (Poslovni racun), Visoka s ola za management, Koper 2000. [11] I. Vidav, Vi sja matematika I, Drus tvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije, Ljubljana l987. [12] P. Zima, R. L. Brown, MathematiCs of FinanCe (3rd Edition), MCGraw-Hill Ryerson Ltd., Toronto l988. [13] L. Zornada, Zbirka nalog iz poslovne matematike in statistike, Fakulteta za management, Koper 2003. l0l