ASTRONOMIJA	
Opoldanska senca vodoravne
II	I v	■
palice na navpično ravnino
Marijan Prosen
-> Večinoma pišemo o navpični palici, ki jo osvetljuje Sonce in meče senco na vodoravno ravnino (ravna tla). Ta pojav znamo tudi uporabiti. Pri znani dolžini palice in izmerjeni dolžini njene sence lahko v posebnih pogojih ugotovimo geografsko širino (in tudi dolžino) kraja.
Tokrat pa bomo spregovorili nekaj besed o vodoravni, od Sonca osvetljeni palici. Vzemimo navpicno ravnino (ravno steno) v smeri vzhod-zahod. Vanjo zapicimo vodoravno palico z dolžino d tako, da vrh palice gleda proti jugu.
Izracunajmo dolžino s opoldanske sence, ki jo od Sonca osvetljena palica mece na navpicno ravnino v kraju z geografsko širino p > 0 dolocenega dne v letu, ko je 5 deklinacija Sonca (slika) znana. Za de-klinacijo Sonca velja omejitev: -23,5° < 5 < 23,5°, kar pomeni, da deklinacija Sonca leži med omenjenima vrednostma.
Sonce je opoldne na jugu, senca palice pa je usmer-
jena od podnožišca palice navpicno navzdol. Pri nas je opoldne Sonce vedno nad obzorjem, zato ima samo taka senca pomen. Če je Sonce pod obzorjem, do sence ne more priti. V našem primeru je dolžina sence palice pozitivna, torej 5 > 0. V primeru, da je 5 = 0, je senca palice tocka - sence ni (Sonce je na idealnem obzorju in njegov višinski kot je nic; žarki Sonca padajo pravokotno na steno in palica se projicira v tocko). Da je vrednost sence negativna (za 5 < 0), pa sploh ne more priti, saj Sonca ni nad obzorjem, ampak je pod njim.
Iz slike 1 izpeljemo splošni izraz za dolžino opoldanske sence 5 na navpiČcni ravnini:
■ 5 = d/ tg(p - 5); 5 > 0.
Dolžina sence ima torej vedno pozitivno vrednost (je vecja od nic in »gleda« dol) ali pa je nic (je ni), je tocka; odvisna je od kraja p in casa v letu, kar pove deklinacija 5 Sonca, ki se med letom spreminja. Seveda obravnavamo le senco, ko je Sonce na nebu in
Navpicna ravnina (stena) E - W		
d		jug
5	\ 1 90° - (p - 5)	
p - 5		Vodoravna tla
SLIKA 1.
Dolžina opoldanske sence 5, ki jo od Sonca osvetljena vodoravna palica d mece na navpicno ravnino vzhod-zahod. Opoldanski višinski kot Sonca je 90° - (p - 5), kot med smerjo Sončevega žarka opoldne in navpicno ravnino pa je p - 5. Poleti je 5 > 0, pozimi je 5 < 0, ob enako-nocjih pa je 5 = 0.
20
PRESEK 45 (2017/2018) 1
ASTRONOMIJA	
osvetljuje palico. Pri nas so poleti sence daljše kot pozimi.
Analizirajmo dobljeno enačbo za dolžino sence in poglejmo nekaj zanimivih zgledov.
■	Ob enakonočju (5 = 0) sledi 5 = d/ tg Dolžina sence je pri znani dolžini palice odvisna le od kraja Za y = 0 (ekvator) je senca nedoločena, saj se Sonce za kraje na ekvatorju ta dan giblje od vzhoda do zahoda natanko po nebesnem ekvatorju na nebu in je opoldne v nadglavišcu. Za
= 45° (približno v naših krajih) je 5 = d. Za = 90° je formalno 5 = 0 in sence ni. (Sonce se navidezno giblje po nebesnem obzorniku, ki so-vpade z nebesnim ekvatorjem; palica se projicira v tocko).
■	Za kraje na Zemljinem ekvatorju (^ = 0) je 5 = d/ tg(-5) = -d/ tg 5. Dolžina sence je odvisna le od 5. Ce je 5 = 0, je senca nedolocena, kar že vemo. Ce je 5 > 0, ne pride do sence, za 5 < 0 pa do sence pride (od jesenskega do spomladanskega enakonocja, torej vso jesen in zimo).
■	Na severnem Zemljinem polu (^ = 90°) nebesne smeri sicer izgubijo pomen, vendar formalno velja 5 = d/ tg(90° - 5) = d tg 5. Dolžina sence je odvisna od 5. Za 5 = 0, je 5 = 0 in idealno ravna vodoravna palica se projicira v tocko, sence ni. Za 5 > 0 pa senca nastopi (od spomladi do jeseni), ko pa je 5 < 0, ne more priti do sence, saj je Sonce pod obzorjem. Kljub temu, da smeri neba tu niso opredeljene, je zanimivo, da izpeljano formulo za dolžino sence lahko dobro pojasnjujemo. V situacijo se moramo pac vživeti.
Na splošno se dolžina sence 5 = d/ tg(y -5) pri konstantnem v casu enega leta spreminja od d/ tg(^-23,5°) do d/ tg(^+23,5°). Ce npr. vzamemo d = 1 m in = 45°, se dolžina sence spreminja od 2,54 m (poletni Soncev obrat) do 0,39 m (zimski obrat).
Za konec pa še tri zelo zanimive raziskovalne naloge
■	Narišite graf 5 = 1/ tg(45° - 5), ki prikazuje, kako se med letom spreminja dolžina sence metrske vodoravne palice v kraju z geografsko širino y = 45°, torej približno tako kot pri nas. Narišite graf za dve zaporedni leti, tj. od prvega spomladanskega enakonocja mimo drugega do tretjega spomladanskega enakonocja. Sestavite tabelo: cas (datum) | 5 oziroma tabelo 5 | 5 in nato narišete graf.
■	Narišite graf 5 = -1/ tg 5, ki prikazuje spreminjanje dolžine sence metrske vodoravne palice v krajih na ekvatorju, za dve zaporedni leti, tj. od prvega spomladanskega enakonocja mimo drugega do tretjega spomladanskega enakonocja. Upoštevajte le 5 > 0. Sestavite tabelo: cas (datum) | 5 oziroma tabelo 5 | 5 in nato narišete graf.
■	Narišite graf 5 = tg 5, ki prikazuje spreminjanje dolžine sence metrske vodoravne palice na severnem Zemljinem polu, za dve zaporedni leti, tj. od prvega spomladanskega enakonocja mimo drugega do tretjega spomladanskega enakonocja. Upoštevajte samo 5 > 0. Sestavite tabelo: cas (datum) | 5 oziroma tabelo 5 | 5 in nato narišete graf.
Pri risanju vseh grafov velja omejitev: -23,5° < 5 < 23,5°. Zato jih rišemo od tocke do tocke. Pomagamo si z astronomskimi efemeridami Naše nebo, ki jih vsako leto izdaja Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije (tu dobimo podatke za dekli-nacijo Sonca), in s kalkulatorjem.
V	vseh treh primerih dobimo zanimive krivulje, ki jih znamo tudi dobro pojasniti. Prva je zvezna, ostali dve pa sta pretrgani. Seveda opazovanje te sence lahko uporabimo tudi pri dolocevanju geografske širine. A to je že druga zgodba.
Rešitev
Predvsem je potrebno natancno narisati vse tri grafe in jih smiselno pokomentirati.
V	casu enega leta se dolžina sence spreminja približno od 0,4 m (minimum) do 2,5 m (maksimum). Senca je vidna vse leto. Krivulja, ki prikazuje potek dolžine sence med letom, je zvezna, tj. nepretrgana.
V	casu enega leta se dolžina sence spreminja od nedolocene vrednosti ob enakonocjih do 2,3 m (minimum) ob zimskem Soncevem obratu. Senco lahko opazujemo le v jesenskem in zimskem casu, spomladi in poleti pa je ni, saj se Sonce giblje po nebu za steno.
■	V casu enega leta se dolžina sence spreminja od 0 m do 0,4 m, in to spomladi in poleti; jeseni in pozimi pa sence sploh ni, saj se Sonce giblje pod obzorjem.
_XXX
21	PRESEK 45 (2017/2018) 1