P R E S E K List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 1 Strani 50-55 Marijan Prosen: PARALAKSA Ključne besede: astronomija. Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1023-Prosen.pdf © 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2009 DMFA - založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. RSTRONOfliJR PARALAKSA Poglej na predse iztegnjeni prst roke najprej z desnim, nato pa z levim očesom. Glave ne premikaj. Na steni sobe ali na ozadju oddaljenih predmetov vidiš prst v različnih smereh. Opisano spremembo smeri merimo s kotom, ki ima vrh v opazovanem prstu, kraka pa sta usmerjena k očema. Temu kotu rečemo paralaksa (iz grSke besede parallaxis - menjava, sprememba. Slika 1, K ugotavljanju paralakse. P prst (opazovano telo), D desno oko (prvo opazovall££e), L levo oko (drugo opazovallSCe), P' navidezna lega prsta na ozadju, Ce ga gledamo z desnim očesom, P" navidezna lega prsta na ozadju, Ce ga gledamo z levim oCesom, j DL |= b baza. C i Ce primikamo prst očesoma, se paralaksa veča, če ga odmikamo, se manjša. Ta preprost poskus s prstom nas pripelje na misel, da sta si paralaksa in oddaljenost (raz* dalja} telesa obratno sorazmerni. O tem nas prepriča enačba, ki smo jo zapisali v besedilo pod sliko 1. Izračunajmo paralakso prsta, ki ga držimo v oddaljenosti r = 50 cm od očes, če je razmik med očesoma b r= 6 cm. V enačbo vstavimo podatke in dobimo p — b 360°/(2= 6 cm 360°/(2 3,14 50) cm - 6,9°. Ali zasledimo to paralakso? Seveda jo, saj naše oko toči mnogo manjše kote od izračunanega, (Čim manjši kot med dvema razmaknjenima točkama lo čimo. boljša je ločljivost našega oče-i sa. Ločljivost človeškega očesa je nekaj kotnih minut.) Ločljivost najboljšega očesa jc 1' (ena kotna minuta). Recimo, da nimamo najboljših oči. Naj bo ločljivost našega očesa okoli 3'. Koliko meri oddaljenost točkastega telesa, da pri gledanju enkrat z enim, drugič z drugim očesom še zapazimo navidezni premik telesa glede na oddaljene predmete, da torej zasledimo njegovo paralakso? Postavimo p = 3', b = 6 cm in izračunamo oddaljenost r — 6 cm 360 60'/(2 ■ 3,14 3') = 68,8 m. Če bi gledali točkasto telo v razdalji večji od 68,8 m najprej z enim in nato z drugim očesom, ne bi več zaznali njegove paralakse. Zasledili pa bi jo, če bi povečali bazo, če bi opazovali dano točko iz dveh bolj razmaknjenih opazovališč, kot sta razmaknjeni očesi. (Naredi ta poskus.) Z večjo bazo torej lahko ugotovimo večjo oddaljenost telesa. Tak način merjenja oddaljenosti uporabljajo v 13 12 Slika 2. Pri natančnem odčitavanju skale nekaterih merilnikov moramo paziti na paralakso. NI vseeno, kako odpiramo vrednost. Pravilno odcitavamo tako, da gledamo vedno z enim oCesom in pravokotno na skalo: s - pravilno odčitavanje, b,c - nepravilno. / * j iU" J r! } ^ ■■ V'-S .. • V/š v ■ — t --.. , „. ■ ---.le ■ i ■ Refraktor z odprtino 60 cm na sproulskem observatoriju (ZDA) Je med najbolj znanimi daljnogledi, s katerim na fotografski naCln merijo oaralakse zvezd. Dosegli so natančnost meritev pod 0,005" (pet tosoClnk kotne sekunde). geodeziji, vojski (daljinomer) in predvsem v astronomiji. Ogledali si bomo omenjeni način merjenja v astronomiji. Če bi iz dveh 2elo razmaknjenih krajev na zemeljskem površju istočasno opazovali ali pa fotografirali Luno ali kak planet, bi ju na ozadju zvezdnega neba zaznali v različnih legah. Če pn bi na tak način opazovali zvezde, ne bi zasledili spremembe njihovih leg. To pomeni, da je za Luno in druga telesa Osončja (planete, komete, meteorje itn.) izbrana baza na zemeljskem površju dovolj velika, da bi z njo določili oddaljenost teh teles, za zvezde pa premajhna. Sklepamo tudi: Ker ne ugotovimo navideznega premika zvezd, morajo biti zvezde vsekakor mnogo dalj od nas, kot so Luna in planeti. Res je. Spremembo lege kake bližnje zvezde glede na mnogo bolj oddaljene bi zaznali šele, če bi jo opazovali iz dveh zelo razmaknjenih leg Zemlje na njeni poti okrog Sonca. Pri zelo oddaljenih zvezdah pa tudi tega ne bi mogli zaslediti. Torej so zvezde zares zelo daleč. Za določanje oddaljenosti teles Osončja jemljemo za bazo kar polmer Zemlje. Kot, v katerem je iz planeta (ali kakega drugega telesa Osončja) viden polmer Zemlje, pravokotno na zorno smer, je (dnevna) paralaksa planeta (slika 3), Paralakso planeta bi načeloma ugotovili takole: Planet bi opazovali istočasno iz dveh krajev, ki ležita na istem poldnevniku. Za prvi kraj L bi bil planet na obzorju, v drugem kraju K pa bi ga videli v zenitu. Kot med smerema od obeh opazovaliŠČ proti planetu je enak paralaksi planeta. Ko torej določijo (fotografirajo) legi planeta glede na zvezde, ugotovijo kot med legama - to je paralakso planeta, oddaljenost planeta pa izračunajo iz enačbe, ki je zapisana pod sliko 3, Za vajo izračunaj oddaljenost planeta Marsa od Zemlje v trenutku, ko je bila njegova paralaksa 18". Za polmer Zemlje vzemi 6370 km. (Rezultat: 7,3 107 km) Pri merjenju oddaljenosti zvezd pa vzamemo mnogo večjo bazo, kot je polmer Zemlje. Za bazo vzamemo polmer krožnice, po kateri kroži Zemlja okrog Sonca (slika 4), Kot, v katerem bi iz zvezde videli polmer zemeljske krožnice ali kar razdaljo med Soncem in Zemljo, pravokotno na zorno smer, imenujemo (letno) paralakso zvezde. Paralakso bližnje zvezde določijo takole: Zvezdo opazujejo (fotografirajo) v časovnem presledku pol leta. ko je Zemlja v nasprotnih legah na svoji krožnici okrog Sonca. Ugotovijo smeri, v katerih vidijo zvezdo glede na ozadje zvezdnega neba iz obeh leg Zemlje. Polovični kot med obema smerema pa je enak paralaksi zvezde. Izkazalo se je, da je za veČino zvezd Še ta baza premajhna. Uporabna je le za določevanje oddaljenosti najbližjih zvezd. Zvezdno nebo Za vajo izračunaj oddaljenost najbližje zvezde Proksime Kentavra, če je njena paralaksa 0.75". Za polmer zemeljske krožnice vzemi 1,5 108 km. (Rezultat: 4,3 svetlobna leta. Svetlobno leto je razdalja, ki jo prepotuje svetloba v enem letu. to je 3 ■ 10s m/s -60 60 -24 365,25 s = 9,5 ■ 1012 km.) >P ( plonet ] Slika 3. Paralaksa planeta Je kot p. v katerem Iz planeta P vidimo polmer Zemlje R. ki stoji pravokotno na zorni smeri. Ker Je polmer Zemlje neprimerno manJSI od oddaljenost! planeta, spet lahko sestavimo enačbo p/360° = R/(2*t). Iz katere pri znanem R = 6370 km In Izmerjen! paralaksi p Izračunamo oddaljenost r planeta. Ker se planeti gibljejo, se njihova paralaksa stalno spreminja, prt bližnjih planetih boU, pri bolj oddaljenih pa manj. krožnico s polmerom r horizont smer proti zenitu zo kraj K b - \LD\=R =6370 km Zemljo Ozadje zvezdnega neba Slika 4. Paralaksa zvezde Je kot p, v katerem bi Iz zvezde videli polmer zemeljske krožnlce a, ki stoji pravokotno na zorno smer. Ker je a skrajno majnen v primeri z r. spet velja enačba /3/360° = 3/(2*t), Iz katere pri znanem a = 1,5 • 108 km In Izmerjeni paralaksi p Izračunamo oddaljenost r zvezde. Zaradi velikanskih oddaljenosti Imajo zvezde zelo majhno oaralakso (vse so pod 1"), Zato je zvezdno paralakso Izredno težko izmeriti. Prvo zvezdno paralakso ln s tem oddaljenost zvezde so astronomi Izmerili Sele pred 150 teti Z najbolj zmogljivimi daljnogle-] di danes izmerijo Se zvezdno paralakso 0,005" in s tem oddaljenost zvezd do okoli 650 svetlobnih let, (Prepričaj se o tem z računom.) Večje oddaljenosti zvezd merijo na druge načine. O tem pa je Presek pisal pred kratkim. Marijan Prosen krotnica s polmerom iP (bližnjo zvezdo) Zemljo po' 6 mesecih tir Zemlje okoli Sonca b=\LD\ = = a «I.S-IO^m