DOLOČITEV GEOMETRIJSKEGA SREDISCA OBČINE SKOCJAN
DETERMINATION OF THE GEOMETRIC CENTRE OF THE MUNICIPALITY OF ŠKOCJAN
Aleš Marjetič, Goran Turk
SS


UDK: 528.3/.5(497,14 Skocjan) POVZETEK
Prisp^-vek obravn^^a analitično določitev geometrijskega središča manjšega območja na površini Zemlje, v obravnavanem primeru izbrane občine Škocjan. Ob predpostavki o homogenem ravninskem območju moramo določiti težišče homogenega ravninskega lika, ki ga imenujemo geometrijsko središče.
Klasifikacija prispevka po COBISS-u: 1.02
ABSTRACT
The article describes the analytical determination of the geometric centre of a small area on Earth's surface, in our case the municipality of Škocjan. According to the assumption of a homogeneous planar region only the centroid, i.e. geometrical centre, of such area needs to be determined.
KLJUČNE BESEDE
KEY WORDS
težišče, geometrijsko središče, ravninsko območje mass centre, geometric centre, planar region
CS
1	UVOD
Ideja o določitvi geometrijskega središča občine Škocjan je bila glavni vzrok za nastanek tega prispevka. Gre za manjšo občino v jugovzhodnem delu Slovenije, ki je letos praznovala 10. obletnico obstoja. Prebivalci te občine so želeli, da se po zgledu Geometričnega središča Slovenije (GEOSS) tudi v njihovi občini postavi trajno obeležje, ki bi bilo postavljeno v središču občine.
V	primeru GEOSS-a je potekala določitev geometričnega središča z grafično analitično metodo.
V	obeh primerih izračuna je ključna aproksimacija območja na površini Zemlje s homogenim ravninskim likom, katerega meje so znane. V našem primeru je bila želja, da se geometrijsko središče določi popolnoma analitično na podlagi meje območja, ki je podano s poligonalno črto.
2	GEOMETRIJSKO SREDIŠČE
Geometrijsko središče je točka, ki predstavlja masno težišče poljubne homogene ravninske ali prostorske ploskve ali poljubnega homogenega prostorskega telesa.
Masno težišče je fizikalno definirano z naslednjo enačbo:
težišče = ■
statični moment masa telesa
Pri obravnavi v ravnini, v našem primeru v ravnini kartografske projekcije, izhajamo pri izračunu težišča iz osnovnih lastnosti ploskovnih in krivuljnih integralov.
m = p dx dy ,
B
py dx dy
Sx
yT =■
pdx dy m p x dx dy
Sy
pdx dy m
(2)
kjer so:
y^, xT - koordinati težišča,
B - obravnavan ravninski lik oziroma območje,
m - masa obravnavanega lika,
p - gostota lika na enoto površine,
S^, - statični moment glede na os x,
S^ - statični moment glede na os y.
Slika 1: Obravnavano ravninsko območje B.

^^
S3
s; ^

B
B
^ =
T
B
Upoštevamo, da je obravnavano območje homogeno, zato je p = konst. in lahko zapišemo:
S = dx dy,
B
y dx dy
yT =■
^_^ Sx:
dx dy S
x dx dy
Sy'
(3)
dx dy
kjer so:
S - ploščina obravnavanega lika,
SX' - statični moment glede na os x za p = 1,
S^ - statični moment glede na os y za p = 1.
Z uporabo Greenove formule (Bronštejn et al., 1997) lahko poljubni ploskovni integral f (y, x) dy dx izrazimo s krivuljnim integralom:
j?
^ s;


^ -J
dQ _dP_
dx dy
dx dy = C {Pdx + Q dy)
3B
(4)
kjer so:
dB - orientirani rob ploskve B (orientirani rob pomeni, da če hodimo po robu, mora biti območje B na levi strani),
Q in P - zvezni in zvezno odvedljivi funkciji na celotnem ravninskem območju B, C - zaključeni krivuljni integral po orientiranem robu ploskve B.
dB
Iz enačb (3) vidimo, da moramo v našem primeru izračunati tri ploskovne integrale: a) ploščina ravninskega območja B ^ S = dx dy ,
B
B
B
^ =
T
m
B
B
b) statični moment glede na os x ^ S ' = y dx dy
c) statični moment glede na os y ^ S' = JJx dx dy
Glavna naloga je torej za vsak posamezen ploskovni integral določiti dve taki zvezni in zvezno odvedljivi funkciji P(y,x) ter Q(y,x), da bo prehod na krivuljni integral po robu območja B preprost.
a) ploščina ravninskega območja B ^ P = dx dy
B
P = y, Q = 0;
5 =
dx dy = - C [ydx + 0 ■ dy) = - C y dx ;
(5)
b) statični moment glede na os x ^ y dx dy
• •
B
P = y2/2, Q = 0;
5x' =
y dx dy = - C
-dx + 0 ■ dv
1
=--C
2 ■
dB
y 2 dx ;
(6)
c) statični moment glede na os y ^ x dx dy
B
P = 0, Q = x2/2;
5y' =
/
x dx dy = C
dBy
0 ■ dx + — dy
2
1 S 2r = — C x 2 dy
V našem primeru imamo podano mejo občine v obliki niza lomnih točk obodne linije.
(7)
Slika 2: Obravnavano območje B, podano z lomnimi točkami obodne linije.
^^ I
5? ^ ^
S3
I
^^ is
ji ^^
B
B
y
2
Območje občine lahko obravnavamo kot homogen ravninski lik, katerega meja je podana z ravninskimi Gauß-Krügerjevimi koordinatami (y, x) v ravnini kartografske projekcije (Gauß-Krügerjeva projekcija). Opis območja občine z ravninskim likom je smiselna, ker gre za lokalno območje, kjer ukrivljenost Zemlje nima znatnega vpliva. S tem se izračun zelo poenostavi.
V našem primeru imamo opravka z odsekoma zveznim robom (slika 2). Posamezen odsek i na tem robu predstavlja del premice od točke T. do točke T^^. Če poznamo koordinate vseh obodnih lomnih točk, lahko na dokaj preprost način izračunamo iskane količine iz enačb (5), (6) in (7). Pri izračunu upoštevamo, da je enačba premice med točkama T. in T^^ dana z enačbo:
J


(8)
oziroma:
X =
xi+i ■
Ji+i - Ji
^^(j - Ji )+ Xi.
(9)
Z upoštevanjem, da gre za odsekoma zvezen in zvezno odvedljiv rob ploskve oz. območja B ter enačbe (5) do (9), izpeljemo izraz za ploščino lika B:
5 = -c
n-1 x,+i
n-1 xi+1
J dx =	J dx =- ^
i=1 x i=1
Ji+1 - Ji xi+1 ~ xi
- x, ) + J,
dx =...
(10)
j?
^ s;


V enačbi (10) uvedemo novo spremenljivko
t = X - X, ...
in dobimo
n-1 Xi+1 ~xi
J
i=1 0
Ji+1 - Ji
Xi+1 xi
t + Ji
n-1
dt - Z
i=1
- +Ji t
Xi+1 - xi 2
Po krajši izpeljavi dobimo izraz za ploščino lika B: 1 n-1
5 = - 2 X (Xi+1 " Xi) ■ (ji+1 + Ji ).
i=1
(11)
(12)
Podobno naredimo tudi za oba statična momenta S^' in S 'ter ob upoštevanju izrazov v enačbah (8) in (9) dobimo:	X '
1 n-1 I
i=1
■x2 )-(j„1 - J, )
(13)
/+1
0
+ yi ■ yi
+1
+ y^i )-(^i+i - ^i)
(14)
Zgornji izrazi za S, Sx' ter S ' so zelo primerni za izračun v primeru, ko je lik podan z velikim številom lomnih točk. V računalniškem smislu gre torej za enostavno ponavljajoče množenje in seštevanje vrednosti na posameznem odseku od točke T. do
Koordinati geometrijskega središča sta podani z izrazoma:
yT =■

(15)
xT =
SiL
S ■
(16)
3 PRIMER IZRAČUNA ZA OBČINO SKOCJAN NA DOLENJSKEM
Izračun geometrijskega središča nekega omejenega območja je bil izveden na primeru občine Škocjan na Dolenjskem.
Najprej je bilo treba pridobiti podatke o meji občine. Mejo definira niz 1617 lomnih točk obodne linije, ki predstavljajo vhodni podatek za izračun geometrijskega središča.
koordinatay		koordinata x		oznaka
523793.	94	90650,	69	1
523812.	69	90664,	77	2
523841.	91	90693 ,	89	3
523864.	.50	90715,	40	4
523884.	69	90726 ,	80	5
523821.	81	90635,	43	1616
523793.	94	90650,	69	1617
Preglednica 1: Izsek iz datoteke s podatki o lomnih točkah obodne linije.
Na podlagi izrazov, podanih z enačbami (13), (14), (15) in (16), lahko na dokaj enostaven način izvedemo izračun s programskim paketom Matlab®. Rezultat sta koordinati geometrijskega središča.
I
JŠ

S
x
S
IZRAČUNANI PODATKI		
Gauß-Krügerjeve koordinate	>> = 523512.73 m	X = 5085878.34 m
geografske koordinate	ö = N 45° 55' 01.145"	e = E 15° 18' 11.333"
obseg občine	56 518 m	
površina občine	60 445 404 m2	
Preglednica 2: Izračunani koordinati geometrijskega središča občine Škocjan.
Položaj geometrijskega središča lahko predstavimo glede na mejo občine:
Slika 3: Položaj geometrijskega središča občine Škocjan.
Opomba: Podatki o meji občine so bili pridobljeni na uradni spletni strani Geodetske uprave RS (http://www.gu.gov.si).
ris
sš
CS


4 ZAKLJUČEK
Izračunane koordinate geometrijskega središča občine predstavljajo težišče občine v primeru, da jo aproksimiramo s homogenim ravninskim likom, katerega obod predstavlja meje občine. Taka poenostavitev omogoča enostavnejši izračun. V primeru računanja težišča poljubne ukrivljene prostorske ploskve bi bilo treba upoštevati reliefno razgibanost terena. To pomeni, da bi se težišče zaradi neenakomerne razgibanosti lahko nahajalo popolnoma drugje. Dodatno upoštevanje zemeljskih mas za izračun težišča bi imelo podoben učinek pa še težavnost določitve bi bila
neprimerno večja, če sploh mogoča, ker ne razpolagamo z natančnimi podatki o njihovi razporeditvi.
Zakoličba tako izračunanega geometrijskega središča je bila izvedena na klasičen geodetski način z navezavo na že obstoječo državno geodetsko mrežo. Obeležje geometrijskega središča je bilo postavljeno v letošnjem letu in svečano odkrito 6. 7. 2004, na dan občinskega praznika.
Slika 4: Obeležje geometrijskega središča občine Škocjan.
Geometrijsko središče je obeleženo s kamnitim stebrom, na katerem je vklesan grb občine. Na vrhu stebra je jeklena plošča z označenimi smermi neba. Steber stoji na kamnitem podstavku, pri katerem gre za "kolaž" vseh vrst kamnin, ki jih je mogoče najti na območju občine. Podstavek je izrezan v obliki občine.
Literatura in viri:
Bronštejn, I. N. et al. (1997). Matematični priročnik. Tehniška založba Slovenije. Spletni naslov Geodetske uprave RS: http://www.gu.gov.si.
asist. Aleš Marjetič, univ. dipl. inž. geod.
FGG - Oddelek za geodezijo, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana E-pošta: amarjeti@fgg.uni-lj.si. tel.: (01) 4768 658
izr. prof. dr. Goran Turk, univ. dipl. inž. grad.
FGG - Katedra za mehaniko, Jamova 2, SI-1000 Ljubljana E-pošta: gturk@fgg.uni-lj.si. tel.: (01) 4768 614
Prispelo v objavo: 27. avgust 2004

JŠ