α Matematika v šoli ∞ XVIII. [2012] ∞ 005-014 Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih Andreja Nudl, Dejan Brezočnik, Alenka Lipovec, Darja Antolin Pedagoška fakulteta Maribor Σ Povzetek Matematiko v predšolskem obdobju lahko razdelimo na tri vsebinska področja: aritmetiko in algebro, geometrijo in merjenje in druge vsebine. Zanimalo nas je, koliko matema- tičnih dejavnosti izvajajo vzgojitelji slovenskih vrtcev in kako uravnotežena je zastopanost po vsebinah. Pregledali smo 130 poročil študentk vzgojiteljic in v njih zasledili 800 dejavnosti. V prispevku podajamo analizo zastopanosti po področjih in predloge za izboljšanje predšolske prakse. Ključne besede: matematika, predšolska vzgoja, aritmetika, geometrija, merjenje. Σ Abstract Preschool mathematics can be divided into three different con- tent areas: arithmetic and algebra, geometry and measure- ment, and other contents. We were interested in the quantity of mathematical activities in which children are engaged in Slove- nian kindergartens. We have also described the ratio in which specific contents were observed. We analysed 130 portfolios of future preschool teachers and discovered 800 different types of activities. In the paper we analysed the distribution of different content areas and offered some suggestions for improvement of practice in preschool institutions. Keywords: mathematics, preschool education, arithmetic, geo- metry, measurement. The Structure of mathematical activities in Slovenian kindergartens Matematika v družboslovnih vedah 06 a Uv od Področje predšolske matematike je vedno bolj raziskovano. Za razmah tega področja se Navaja več razlogov: večja vključenost otrok v vrtce, pomembnost matematike kot te- meljne znanosti, problematika zagotavljanja principa enakosti in pomembnost zgodnjega matematičnega izobraževanja za nadaljnjo poklicno pot (Clements, 2006). Otrok lahko pri mnogih situacijah najde rešitev s pomo- čjo matematike (Kurikulum za vrtce, 1999, str. 64). Predšolski otroci se torej srečujejo z matematiko, prav zato se pojavljajo vpraša- nja o tem, zakaj imajo v šoli težave s šolsko matematiko. Za to obstaja več razlag. Piaget npr. meni, da otroci potrebujejo več praktič- nih izkušenj, in poudarja pomen dejavnosti, prilagojenih razvojni stopnji. Morda je teža- va v tem, da se v šolski matematiki (čeprav imajo že precej izkušenj) otroci ne znajo izraziti v matematičnem jeziku in s simboli (Huges, 1986, Donaldson, 1978, povzeto po Manfreda Kolar, 2006). Veliko je matematičnih konceptov, ki jih otroci lahko usvojijo že v predšolskem ob- dobju. Primere matematičnih dejavnosti, ki pokrivajo cilje, s katerimi usvojijo te koncep- te, najdemo v Kurikulumu za vrtce (1999). Matematične dejavnosti so razdeljene v dve skupini, in sicer za otroke od 1. do 3. leta in otroke od 3. do 6. leta. Že na prvi pogled lahko vidimo, da so dejavnosti za otroke od 3. do 6. leta obširnejše in številčnejše. Kljub temu je presenetljivo veliko matematičnih dejavnosti predlaganih že v prvem staro- stnem obdobju. Že v tem obdobju otroci npr. štejejo, vendar na preprostejši način. V drugem obdobju napredujejo v aritmetiki in cilji so precej zahtevnejši. Pri štetju se že po- javi štetje nazaj,, spoznajo število nič, igrajo se z žepnim računalom, odštevajo, seštevajo itd. Viden preskok se kaže tudi na drugih področjih, predvsem pri geometriji. Otroci v drugem obdobju spoznajo kopico novih pojmov, ki so zanje kar zahtevni (nagnjeno, poševno, krivo, rob, vogal …). Prav tako spo- znajo imena za like in telesa ter opazujejo še mnogo drugih oblik (Kurikulum za vrtce, 1999, str. 65–72). b Aritmetika in algebra Povzetek pomembnejših raziskovalnih ugo- tovitev s področja razvoja pojma število naj- demo v delu Manfreda Kolar (2006). Ugoto- vljeno je bilo, da so otroci zmožni opredeliti moč množice, če je ta dovolj majhna. Otro- ci v prvem starostnem obdobju po navadi štejejo glasno in počasi. Šele pri štirih letih lahko število opazovanih predmetov pove- do že po eni sekundi (2–3 predmeti). Tuje raziskave potrjujejo, da predšolski otroci že štejejo z razumevanjem. Pri tem sledijo trem principom štetja: princip povratno enolične- ga prirejanja (bijekcija), princip urejenosti in princip kardinalnosti. Prvi pomeni, da otrok vsakemu od preštevanih predmetov priredi natanko eno ime oz. besedo za število. Po drugem principu otrok pri štetju uporablja besede v vedno enakem vrstnem redu. Pri tretjem principu je lahko otrok uspešen le, če razume prva dva. Otrok, ki ima usvojen princip kardinalnosti, se zaveda, da zadnja izrečena beseda (ime za število) pomeni moč preštevane množice. Princip kardinalnosti naj bi otroci usvojili nekoliko pozneje. Pri predšolskih otrocih pogosto ne vemo, ali sploh vedo, kaj vse lahko štejejo. Nekaj raz- iskav je pokazalo prav to, da otroci ne pre- poznajo vseh stvari kot števne. Kot števne najbolj prepoznavajo predmete, ki so si po- Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih 07 dobni. Podobni so si npr. po barvi ali obliki. To so predmeti, ki imajo neke skupne lastno- sti. Starejši so otroci, bolj raznoliki so lahko predmeti, ki jih prepoznavajo kot števne (Manfreda Kolar, 2006). Otroci spoznavajo števila skozi različne igre. Za občutek opišimo igro, ki jo bomo imenovali Štej v krogu. Igramo jo v manjši skupini (4–5 otrok). Potrebujemo približno 40 drobnih predmetov, ki so si podobni (npr. link kock, storžev, gumbov …). Razporedi- mo jih drugo zraven drugega v obliki kro- žnice. Vmes vrinemo približno 5 drugačnih predmetov (npr. predmetov druge barve ali oblike), ki jih bomo imenovali vsiljivci (Slika 1). Otrok vrže običajno igralno kocko, gla- sno pove število pik, ki je padlo, in se odloči, kje bo začel šteti. Šteti lahko začne kjer koli, razen na vsiljivcih. Z dotikanjem šteje pred- mete. Predmet, pri katerem se štetje ustavi, vzame s krožnice in ga obdrži, če se pri štetju ni dotaknil vsiljivca. V nasprotnem primeru štetja ne more nadaljevati in je na vrsti nasle- dnji otrok, ki ponovno vrže kocko in se po- stopek ponovi. Zmaga otrok, ki zbere največ predmetov. Po nekaj igrah otroci ugotovijo, da je treba štetje vedno začeti na primernem mestu daljšega krožnega loka, saj tako ne pridemo do vsiljivca. Področje aritmetike in algebre, kamor so- dijo tudi vzorci, ponuja v predšolskem obdo- bju zelo raznolike dejavnosti. Predloge lahko najdemo v Golob (2007). Vzorce lahko pri- kažemo na različnih predstavitvah, vendar v predšolskem obdobju poudarjamo kon- kretno izkušnjo, ki je najpogosteje gibalna ali glasovna. Otroci lahko oblikujejo vzorec s ploskanjem in s tleskanjem ali postavitvijo v vrsto (npr. vzorec z osnovnim gradnikom AABC lahko predstavijo s postavitvijo stoj- -stoj-sedi-most, stoj-stoj-sedi-most (Slika 2). Mogoča je tudi glasovna predstavitev z različnimi »naravnimi« zvoki (ko-ko-dak, ko-ko-dak je glasovna predstavitev vzorca z osnovnim gradnikom AAB) ali z uporabo instrumentov. [Slika 1] Začetna postavitev in vmesni položaj pri igri Štej v krogu. 08 Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih Osnovni gradnik Konkretno/enaktivno Slikovno/ikonično AB Živi vzorec (deček-deklica-deček-deklica) ABB Zvok: Tra-la-la tra-la-la Gibanje: Počep-poskok-poskok počep-po- skok-poskok AABC [Slika 2] Vzorci γ Geometrija in merjenje Raziskav s področja predšolske geometrije in merjenja je bistveno manj kot raziskav s področja razvoja aritmetičnih pojmov. Pri razvoju geometrijskih pojmov sledimo Van Hiele-jevim stopnjam (Van de Walle, 2004), pri čemer je predšolski otrok na vizualizacij- ski stopnji, kar pomeni, da geometrijske obli- ke dojema kot ločene enote in jih opisuje po njihovih zunanjih značilnostih (npr. rdeč in moder pravokotnik sta zanj popolnoma raz- lična lika). Objekt misli so torej oblike in opis tega, »kako so videti«. Rezultat razmišljanja otrok v tem obdobju pa so ugotovitve o ra- zredih oblik, ki so si podobne. Otrok prepo- zna in poimenuje like na podlagi celostnega pristopa. Za otroke je na tej stopnji kvadrat poimenovan kvadrat zato, ker je »videti kot kvadrat«. Ker je videz na tej stopnji domi- nanten, lahko preglasi lastnosti, ki določajo obliko. Npr., za 45° rotiran kvadrat za otroke ni več kvadrat, ampak se spremeni v »karo«. Otroci na tej stopnji klasificirajo in urejajo oblike glede na njihov videz. Npr.: »Ta dva bom položil skupaj, ker sta koničasta/debela/ videti kot hiša.« Z osredinjanjem na videz so otroci sposobni iskati podobnosti in razlike med oblikami. Kot rezultat lahko ustvarijo in razumejo razrede oblik. Predvideni dejavno- sti na tej stopnji sta urejanje in klasificiranje ter sestavljanje in razstavljanje oblik. Kot pri- pomočka sta za sestavljanje in razstavljanje najbolj znana tangram in ploščice za vzorč- ke. Tangram (slika 3), ki je v osnovni obliki za predšolsko obdobje pretežak, najdemo tudi v prirejeni obliki za zgodnje matematič- no obdobje (Lipovec in Štukl, 2010). 09 Ploščic za vzorčke (ang. pattern blocks), žal v naših vrtcih ne najdemo dovolj pogo- sto. Poleg proste igre sestavljanja, oblikova- nja in nadaljevanja vzorcev ta pripomoček ponuja tudi možnost ponazorila za usvajanje prvih konceptov ulomkov (slika 4). S tem posegajo tudi v aritmetiko. Clements in Sarama (2007) v evalvaci- ji projekta Building Blocks ugotavljata, da sestavljanje dvodimenzionalnih oblik po- membno vpliva na razvoj geometrijskih pojmov. Ugotovljeno je bilo, da je vpliv na razvoj geometrijskih konceptov močnejši pri sestavljanju dvodimenzionalnih oblik kot pri [Slika 3] Tangram Vir: Štukl (2009) [Slika 4] Ploščice za vzorčke. 010 drugih dejavnostih te stopnje (npr. opisova- nje oblik in njihovih lastnosti, klasifikacija, nadaljevanje geometrijskih vzorcev, merje- nje). δ Drug e v sebine V slovenskih vrtcih so, poleg dejavnosti s po- dročja aritmetike in algebre ter geometrije in merjenja, tudi dejavnosti s področja drugih vsebin, najpogosteje s področja obdelave po- datkov oz. prikazovanja z različnimi diagra- mi. Rozmanova (2009) podrobneje opisuje to področje in opozarja na terminološko zmedo ter ugotavlja, da se mnogi prikazi podatkov, ki so znani po svetu, v Sloveniji še niso dovolj uveljavili. Ugotavlja tudi, da lah- ko »grafične prikaze bogato in vsestransko uporabljamo in vpletamo ne le v izključno matematične dejavnosti, ampak tudi na vsa druga področja dejavnosti v predšolski vzgo- ji.« (Rozman, 2009, str. 228). Čeprav je znanih nekaj raziskav v mate- matiki v predšolskem obdobju, se te običaj- no osredotočijo na eno vsebinsko področje. Redko gre za pregledno raziskavo, ki bi po- kazala, katero matematično področje prevla- duje. Prevladuje mnenje, da je v osnovni šoli geometrija zapostavljena na račun aritme- tike. Kako pa je v predšolskem obdobju? Z našo raziskavo smo želeli osvetliti to podro- čje in vsaj deloma odgovoriti na zastavljeno vprašanje. Namen naše raziskave je torej ugotoviti matematične dejavnosti v sloven- skih vrtcih in raziskati, katera matematična področja so najpogosteje zastopana. ε Me t odologija Kot vir podatkov smo vzeli poročila, ki so jih v okviru integrirane prakse oddali študentke in študenti tretjega letnika programa Pred- šolske vzgoje na Pedagoški fakulteti Maribor, v študijskih letih 2009/2010 in 2010/2011. Njihova poročila so poleg drugih sestavin vsebovala tudi dnevnik matematičnih de- javnosti. Gre za dnevnike, ki so jih študen- ti pisali med opravljanjem prakse v vrtcu. Dnevniki so nastajali, ko so študenti in štu- dentke obiskovali predmet Metodika mate- matike, ki poteka v zimskem semestru. Prav takrat so študenti enkrat na teden preživljali čas v vrtcu, v okviru integrirane prakse. Na- men prakse je, da študent spozna vrtec kot ustanovo, delo vzgojitelja in težave pri tem delu ter da preizkuša svoje sposobnosti in pridobljena znanja med študijem. Pri pra- ksi študent bolj ali manj samostojno (pod mentorstvom) vodi oddelek in s tem preveri svojo usposobljenost za delo. Za oblikovanje zapisa v dnevnik matematičnih dejavnosti si je vsak študent v vrtcu izbral enega otroka. Opazoval ga je pri vseh dejavnostih z mate- matičnimi cilji in vsa svoja opažanja, ugo- tovitve in vtise zapisal. Dnevnik je vseboval spol in starost opazovanega otroka, zapise o datumu (kdaj je katera matematična dejav- nost potekala), kratek opis poteka določene matematične dejavnosti in okviren čas nje- nega trajanja. Prav tako so v dnevnik zapisali tudi svoja opažanja o zanimanju otroka za dejavnost (ali otrok uživa v njej, se dolgo- časi …), spretnosti (ali otrok ob dejavnosti razvija določene spretnosti, veščine, ali je pri dejavnosti uspešen …) ter otrokovo razmi- šljanje in izražanje. Ob prebiranju dnevnikov matematičnih dejavnosti smo ugotovili, da gre za bogat vir podatkov o matematičnih dejavnostih v predšolski vzgoji, zato smo se odločili, da jih podrobneje raziščemo. V raziskavi smo se osredotočili na zapise, ki so se nanašali Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih 011 na opis matematičnih dejavnosti. Pregledali smo 130 matematičnih dnevnikov in izpisali vse matematične dejavnosti ter jih klasifi- cirali po matematičnih področjih. Podatke smo obdelali z uporabo programskega sve- žnja SPSS za obdelavo in analizo podatkov. ζ Rezultati in interpretacija Izkazalo se je, da v vrtcih poteka veliko ma- tematičnih dejavnosti. Nnašteli smo skupaj 800 matematičnih dejavnosti v 130 dnevni- kih. Nekatere so preproste (npr. preštevanje), druge pa so relativno zapletene (npr. zbira- nje podatkov in grafični prikaz). Analizirali smo tudi razdelitev dejavnosti po sklopih. Vse smo klasificirali po matematičnih po- dročjih, ki jih predlaga osnovnošolski učni načrt (aritmetika in algebra, geometrija in merjenje ter druge vsebine). Znotraj aritme- tike in algebre smo oblikovali podrazrede: štetje, števila, računske operacije in vzorci. Dejavnosti verbalnega preštevanja (npr. ko- liko otrok je danes prišlo v vrtec) smo ločili od dejavnosti, ki števila predstavljajo z rela- cijami (več – manj) ali prikazujejo s števil- ko (simbolnim zapisom). Pri geometriji in merjenju smo razen različnih geometrijskih oblik (liki in telesa) ter različnih količin (masa, dolžina, prostornina …), oblikovali tudi skupino relacij (orientacija) in trans- formacij (skladnost in zrcaljenje). Znotraj drugih vsebin smo ločili tri velike sklope, in sicer klasifikacijske in seriacijske dejavnosti, ki ne posegajo neposredno v razvoj koncepta števila, kombinatorične situacije in različne grafične prikaze (npr. Carrollov, Euler Ven- nov, drevesni prikaz …). Področje Vsebina f f % Aritmetika in algebra Štetje 253 31,6 % Števila in številke 103 12,9 % Računske operacije 29 3,6 % Vzorci 38 4,8 % Skupaj 423 52,9 % Geometrija in merjenje Liki 69 8,6 % Telesa 17 2,1 % Skladnost 4 0,5 % Zrcaljenje 0 0 % Orientacija 32 4,0 % Dolžina 10 1,3 % Prostornina 2 0,3 % Masa 11 1,4 % Čas 17 2,1 % Denar 15 1,9 % Temperatura 1 0,1 % Skupaj 178 22,3 % Matematika v družboslovnih vedah 012 Druge vsebine Kombinatorika 0 0 % Seriacija 63 7,8 % Klasifikacija 118 14,7 % Stolpčni diagram 9 1,1 % Vrstični diagram 3 0,4 % Carollov diagram 0 0 % Euler-Vennov diagram 3 0,4 % Drevesni diagram 0 0 % Puščični diagram 3 0,4 % Skupaj 199 24,8 % Skupaj 800 100 % [Tabela 1] Število (f) in strukturni odstotki (f %) matematičnih aktivnosti Na področju aritmetike in algebre smo zaznali 423 dejavnosti (52,9 %), od tega je 385 (48,1 %) zaznanih dejavnosti v aritme- tiki in le 38 (4,8 %) v algebri. Na področju geometrije in merjenja smo zaznali 178 de- javnosti (22,3 %), od tega 112 (14,0 %) dejav- nosti v geometriji in 66 dejavnosti (8,3 %) na področju merjenja. S področja drugih vsebin je bilo zaznanih 199 dejavnosti (24,8 %), od tega so zelo prevladovale dejavnosti seriacije in klasifikacije, ki jih je bilo skupaj kar 181 (22,5 %). Dejavnosti s področja kombinato- ričnih situacij ni bilo zaznati, vsi prikazi pa so bili zastopani le s 15 dejavnostmi (2,3 %). Čeprav je bilo pričakovati, da bo največ de- javnosti na področju aritmetike, pa je skrb vzbujajoče, da je geometrija zastopana le s 14 odstotki. Podobno velja za merjenje in gra- fične prikaze, na račun večjega deleža seria- cijskih in klasifikacijskih dejavnosti. Kot je že omenjeno, največji delež pred- stavljata aritmetika in algebra, več kot po- lovico vseh dejavnosti. Štetju je namenjenih največ dejavnosti (31,6 %), sledijo števila (12,9 %). Že pri analizi poročil smo zaznali, da se največ dejavnosti nanaša na štetje, kar je seveda razumljivo, saj je štetje začetni kon- cept, ki ga je pričakovati v zgodnjem obdobju otroka. Presenetljivo malo je bilo zaznati de- javnosti za usvajanje začetnih konceptov ra- čunskih operacij (3,6 %) in vzorcev (4,8 %). Ko otroci vstopajo v devetletno osnov- no šolo, v 1. razredu računajo do 10 in na konkretni ravni celo do 20. Učitelji gradijo na predhodnih izkušnjah, in pričakovati je, da bodo otroci izkušenjsko že seznanjeni z osnovnimi strukturami seštevanja in odšte- vanja (del–del–celota, dodajanje oz. odvze- [Prikaz 1] Zastopanost matematičnih dejavnosti po področjih v odstotkih. Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih 013 manje in primerjanje). Čeprav otroci lahko pridobivajo neformalno znanje tudi zunaj ustanov (npr. doma), pa raziskave kažejo na prednosti vključevanja otrok v predšolske ustanove tudi pri znanju. S tega vidika se od vrtca pričakuje, da otrokom ponudi struktu- rirane dejavnosti s predkoncepti računskih operacij, osnova za nadaljnjo gradnjo znanja računskih operacij, ki jih imamo za eno iz- med elementarnih matematičnih znanj. Če se osredotočimo na geometrijo in merjenje, lahko takoj opazimo, da izstopajo dejavnosti, povezane z liki, ki predstavljajo skoraj polovico dejavnosti s tega področja. Podrobnejša analiza je pokazala, da gre veli- ko primerih samo za štiri like, in sicer krog, kvadrat, pravokotnik in enakostranični tri- kotnik. Žal se s tem spodbuja slika koncepta skozi prototip, ki je pozneje lahko omejujo- ča. Dejavnosti, ki jih predlaga Van de Walle (2007), vključujejo približno 20 raznolikih likov (raznostranični trikotnik, pravokotni in topokotni trikotnik, paralelogram, tra- pez, konkavni večkotniki in krivočrtni liki). Kljub temu smo z dejavnostmi na področju likov lahko zadovoljni v primerjavi s količi- no dejavnosti, ki so namenjene usvajanju za- četnih konceptov geometrijskih teles. Telesa, skladnost, zrcaljenje, dolžina, prostornina, masa, čas, denar in temperatura so v vsakda- njem življenju zelo pomembni , zato bi moral biti po našem mnenju v vrtcih večji pouda- rek na teh vsebinah. V zgodnjem obdobju je predlagan pristop »od telesa proti točki«, kar bi se v našem primeru moralo pokazati v več dejavnostih, povezanih s telesi. Žal ni tako, saj smo zaznali približno štirikrat manj dejavnosti s telesi kot dejavnosti z liki. Prav tako manjkajo dejavnosti s področja trans- formacij, zasledili smo jih namreč le štiri, pri čemer je šlo le za razvoj koncepta skladnosti, zrcaljenja oz. kakšne druge simetrije pa ni bilo zaslediti. Merjenje je starodavna veja matemati- ke, ki ima izrazito izkušenjski vidik in je po naravi povezana z vsakdanjim življenjem. Zaradi tega bi pričakovali veliko dejavnosti s tega področja. Izkazalo se je, da je dejav- nosti s področja merjenja le 66 (8,3 %), pri čemer prevladujejo dejavnosti, povezane z denarjem, časom in dolžino, prostornina in temperatura pa sta komaj zastopani (npr. samo ena dejavnost je bila povezana s tem- peraturo). Razporeditev je deloma v skladu z dognanji razvojne psihologije o zaporedju razvoja konzervacijske sposobnosti (Labi- nowicz, 1989, str. 19), kjer je zapisano, da se najprej razvije konzervacija števila (ki ga lahko najdemo znotraj količine denar), nato sledijo dolžina, prostornina in masa. Če se osredotočimo še na tretje podro- čje. Tudi tukaj lahko zaznamo precej večje število nekaterih dejavnosti, druge pa veliko manj. Na tem področju izstopata dve skupini dejavnosti, in sicer klasifikacija (14,7 %) in seriacija (7,8 %). Videti je, da sta klasifikacija in seriacija dejavnosti, ki se zdita vzgojite- ljem v vrtcu pomembni in jima zato nameni- jo precej pozornosti. Potem opazimo, da so področja, ki se sploh ne pojavljajo. Gre za de- javnosti, povezane s kombinatoriko, ter dve posebni vrsti grafičnih prikazov (Carrollov diagram in drevesni diagram). Čeprav nismo pričakovali mnogih dejavnosti s področja kombinatorike, nas je presenetilo, da nismo zaznali niti ene same, čeprav je nabor zelo raznolik in za otroke zanimiv (npr. Na koli- ko načinov lahko oblečemo medvedka, če ima modro in rdečo majico ter dolge in kratke hla- če?). Čeprav se je v zadnjem času grafičnim prikazom namenjlo veliko pozornosti, se žal zdi, da jih je v slovenskih vrtcih še vedno zelo 014 malo; če se že pojavijo, pa gre za stolpični ali vrstični prikaz. Za konec Z rezultati smo lahko le deloma zadovoljni. V vrtcu se izvaja veliko matematičnih dejav- nosti, vendar pa je energija enostransko pre- več usmerjena na določena področja. Čeprav je aritmetika nesporno temeljna in pomemb- na, pa se zdi, da sta tudi v vrtcu močno zapo- stavljena geometrija in merjenje. Poleg tega je premalo povezovanja z vsakdanjim življe- njem, tudi medpredmetnosti skorajda ni za- slediti. Omenimo še, da nas je presenetilo, da je učenja skozi igro razmeroma malo oz. da se nekatere dejavnosti obravnavajo kot igra, čeprav nimajo značilnosti le-te. Vzgojiteljica npr. meni, da se otroci »igrajo«, čeprav po navodilih odrasle osebe izvajajo razmeroma nezanimivo dejavnost (npr. preštevanje avto- mobilčkov). Morda smo zato ponekod v po- ročilih zasledili tudi, da otroci nočejo izvajati matematičnih dejavnosti ali pa niso pokazali zanimanja za igre z matematičnimi cilji in so se raje igrali s svojimi igračami, kljub veliki motivaciji vzgojiteljice ali študentke/študen- ta, ki je otroka opazoval. ε Lit er a tur a 1. Clements, D. H. in Sarama, J. (2007). Effects of Preschool Mathe- matics Curriculum: Summative Research on the Building Blocks Project. Journal for Research in Mathematics Education, 38 (2), 136–163. 2. Clements, D. H. (2006). Part one: Major themes and recommenda- tions. V Douglas H. Clements, Julie Sarama in Ann Marie DiBiase (Ur.), Engaging young children in mathematics: Standards for early childhood mathematics education (pp. 1–72). Mahwah, NJ: LEA. 3. Golob, A. (2007). Celostni pristop pri matematiki – vzorci skozi glas- bo. Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fa- kulteta. 4. Labinowicz, E. (1989). Izvirni Piaget. Ljubljana: Državna založba Slovenije. 5. Lipovec, A., in Štukl, M. (2010). Uporaba tangrama pri pouku ma- tematike na razredni stopnji. Revija za elementarno izobraževanje 3 (1) 43–52. 6. Manfreda Kolar, V. (2006). Razvoj pojma število pri predšolskem otroku. Ljubljana: Pedagoška fakulteta. 7. Rozman, J. (2009). Grafični prikazi podatkov v vrtcu. Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru, Pedagoška fakulteta. 8. Van de Walle, J.A. (2004). Elementary and Middle School Mathema- tics. Teaching Developmentally. NY: Pearson. 9. Kurikulum za vrtce. (1999). Ljubljana: MŠŠ in ZRSŠ. Struktura zastopanosti matematičnih dejavnosti v slovenskih vrtcih