P R E S E K
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652 Letnik 18 (1990/1991) Številka 1 Strani 18-26
Janez Strnad:
PARADOKSA S TEKOČINAMI
Ključne besede: fizika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/18/1023-Strnad.pdf
© 1990 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2009 DMFA - založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno.
"PARADOKSA" S TEKOČINAMI
Nekateri slovarji pojasnijo paradoks kot trditev, ki se zdi na prvi pogled napačna, a se izkaže pri podrobnejšem pogledu za pravilno. Tudi v fiziki naletimo večkrat na besedo v tem pomenu. Včasih z narekovaji poudarimo, da ne gre za pravi paradoks, pri katerem je s trditvijo ali s sklepanjem nekaj zares narobe. V fiziki so navidezni paradoksi pogosto povezani z njenim razvojem. Kak pojav primerjamo z drugim, ki ga že obvladamo, toda pozneje se pokaže, da primerjava ni umestna. Novi pojav je treba pojasniti drugače in je pri njem zato izid drugačen, kot bi ga pričakovali, če bi bil novi pojav zares podoben prejšnjemu,
Obdelajmo dva pojava, ki ju včasih zaznamujemo kot "paradoksa". OpiSimoju. osvetlimo njuno zgodovinsko ozadje in pojasnimo. Oba sodita v poglavje o tekočinah, prvi v del, ki obravnava mirujoče tekočine, hidrostatiko, drugi v del o tekočinskem toku, hidrodinamiko. Oba dela menda ne sodita med kratkočasne in nekatere učne knjige drugega ali kar oba obidejo.
Vzemimo posode raziičnih oblik z enako velikim dnom in nalijmo v vse vodo do enake višine (slika 1). Sila vode na dno je v vseh primerih enaka in ni odvisna od oblike posode. Nekdaj se je zdelo to tako nenavadno, da so govorili o "paradoksu" mirujoče tekočine {hidrostatičnem paradoksu). Ali mislite, da spoznanje zasluži to ime?
Ni težko razumeti, zakaj se je zdeio spoznanje nekdaj bolj nenavadno kot dandanes. Pojav sodi v statiko, ki obravnava mirovanje teles. Nekaj njenih spoznanj izvira od Arliimeda iz 3, stoletja pred našim štetjem. Šele v Šestnajstem stoletju so to znanje rešili pozabe in obnovili. Eden
■ i K; a
J. ; \A
- f. -' j
fi i o
A \f
Stika I. Pascalove posode Iz njegove Razprave o ravnovesju kapljevln. Sila na dno ]e v vseh enaka, ker Imajo posode enako veliko dno ln seg3 vodna gladina v njih do enake višine.
izmed zaslužnih mož je bil Simori Stevin, ki je živel na Nizozemskem in leta 1586 izdal knjigo o umetnosti tehtanja. Tedaj so pogosto primerjali kapljevino s trdnim telesom. Stevin si je zamislil, da so deli kapljevine v posodi trdni, in dognal, da morajo biti gladine v povezanih posodah enako visoke. Toda zavedal se je že bistvene razlike med trdnim telesom in kapljevino (slika 2).
V tem so mu sledili Se nekateri drugi fiziki, med njimi Evangelista Torricelli. ki Ima zasluge za prvo meritev zračnega tlaka. Da je bilo nekaterim tedanjim fizikom težko uvideti razloček med trdnim telesom in kapljevino, priča zabaven Torricellijcv zapis iz leta 1644: "Nekoč je živel filozof, ki je enega izmed svojih služabnikov videl, kako je vstavil cevko v steklenico z vinom. Okaral ga je češ, da vino nikoli tie bo steklo po cevki, ker težka telesa silijo navpično navzdol, a ne vodoravno v stran. Toda služabnik ga je z dejanjem prepričal, da sicer sili po naravi tudi kapljevina navzdol, a poleg tega sili na vse strani, celo navzgor, ker išče k^aj, na katerega se bo premestila, tako da bo na njem odpor manjši kot sila kapljevine."
Deset let prej so fiziki, med njimi tudi Galiieo Galilei. mislili 5e, da ima voda samo "absolutno težo". Del vode naj bi imel težo samo, če ga ne bi obdajali drugi deli vode. "Voda v vodi nima teže, ker se ne spušča." Niso uvideli, da za vsak de! vode težo uravnovesi vzgon, to je sila okolnih delov vode.
Podrobno je pojave obdelal Biaise Pascal v Razpravi o ravnovesju kap-
Sllka 2. Razlika med trdnim telesom In kapljevino z enako gostoto v posodi. Sila opeke na podlago zaradi teZe Je enaka sili enako težke kapljevine na dno posode z enako obliko (a). Sila dveh opek na podlago zaradi teže pa ni enaka sili enako težke kapljevine na dno posode z enako obliko. Treba Je upoštevati Se navpično silo kapljevine na stranske vodoravne dele posode (Črtkano) (b).
Ijevin in teži mase zraka, ki je izSla leta 1663, leto po njegovi smrti. Jasneje kot drugi pred njim, na primer Simon Stevin, je opredelil tlak v mirujoči kapljevini. "Tlak, ki ga izvajamo kjerkoli na kapljevino v zaprti posodi, se prenaša nezmanjšan po vsej kapljevini in deluje pravokotno na vse stene," To trditev so imenovali Pascalov izrek. Pascalu se je na osnovi izreka porodila zamisel za napravo, ki sojo več kot sto let pozneje patentirali kot kapljevinsko stiskalnico (slika 3). "Posoda, polna vode, a sicer povsem zaprta, ima dve odprtini, od katerih je ena stokrat večja kot druga. Postavimo v odprtini bata, ki ju tesno zapirata. Mo2. ki potiska mali bat, deluje s silo, enako sili. s katero potiska sto mož veliki bat. ki je stokrat večji.,. Za večjo jasnost lahko dodamo, da je tlak vode enak pod obema batoma; kajti, če je eden stokrat večji kot drugi, se tudi dotika stokrat več delov vode,"
Pascal je pri poskusih raziskal odvisnost tlaka v mirujoči tekočini od višine, o kateri smo doslej molčali. Z dobrih deset metrov visokim stolpcem vode je uravnovesil zračni tlak Svaka je pripravil do tega, da je izmeril zračni tlak ob vznožju iti na vrhu gore. Merjenje je potrdilo misel, da tudi zračni tlak z viSino pojema. Odvisnost tlaka od višine in njegovo neodvisnost od oblike posode je pokazal s sodom. V sod je vstavil dolgo navpično cevko z razmeroma majhnim premerom. Ko je dolil dovolj vode v cevko, je sod počil (slika 4).
Ker je Pascal med prvimi spoznal vlogo tlaka v mirujoči tekočini in ra2Čistil nekatera vprašanja v zvezi z zračnim tlakom, ni neupravičeno, da
Silks 3. Poenostavljena shema ka-pljevlnske stiskalnice.
moli bol mala st(a

i
velik, bat velika silo
Slika 4. Sod z navpično cevjo, v katero je B,Pascal dolil malo vode, in dosegel, da Je sod počil.
so enoto za tlak poimenovali po njem:
1 newton na kvadratni meter = 1 pascal
ali
1 N/m2 = 1 Pa.
Naredimo kratek račun. Vzemimo, da je v posodi z ravnim dnom voda. Ker je tlak na dno neodvisen od oblike posode, si lahko mislimo, da ima posoda obliko prizme. Težo vode dobimo, če njeno maso m pomnožimo s težnim pospeškom g. Za to težo je sila na dno F večja od sile F0 na gladino vode: F = Fq 4- mg. Tlak dobimo, ko silo delimo s presekom S osnovne ploskve: p — pQ — pgz. Pri tem je p0 — Fq/S tlak na gladini in prostornina prizme V = Sz. Gostoto vode vpeljemo kot kvocient mase in prostornine p — m/V. Višino prizme smo zaznamovali z z in opremili drugi člen z minusom. če merimo z od dna navzgor (slika 5). Tako upoštevamo, da z naraščajočo višino tlak pojema. Enačbi lahko damo obliko, ki poveže tlak P2 v višini s tlakom p\ v višini z\\
P2 = Pi ~ Pg(z2 ~
ali
P2 + PŠ72 = Pl + Pgz i
Enačba velja, če se med višinima z2 in z\ ne spremeni gostota. Pri kapljevi-nah, ki jih smemo imeti za nestisljive. je vedno tako, pri plinih pa samo. če višinska razlika ni prevelika. Spomnimo se, da zajamemo s tekočinami pline tn kapljevine.
Preidimo k drugemu poskusu, Iz risalnega lista izrežimo krožni izsek,
sila na F gladino 0
Slika 5. Sila tlaka na dno F = p5 je vetja kot sila tlaka na gladino F0 = p0S za težo kapljevlne mg = pVg = pSzg. Tlak z naraECajoCo globino naraSCa In z naraSCaJoCo vlSI-l no pojema, zato velja p — - pgz, te usmerimo os z navpltno navzgor.
ga zvijmo v plašč stožca in zalepimo, tako da se prilega lijaku. V navpično postavljeni lijak dajmo papirnati stožec. Zaradi teže stožec pade, Pridržimo stožec v lijaku, pihajmo v lijak in spustimo stožec. Dokler pihamo, stožec ostane v lijaku in pade na tla, šele ko nam zmanjka sape. Podoben poskus se posreči tudi z vretenom za sukanec in s kosom papirja (slika 6). Izid marsikoga preseneti, saj bi pričakoval, da stožec zaradi upora v zračnem curku Se hitreje pade na tla. Pojav včasih imenujejo "paradoks" gibajoče se tekočine [hidrodinamični paradoks). Povedati pa je treba, da nadenejo to ime zadnje čase tudi nekaterim drugim izidom.
Da bomo pojav razumeli, nadaljujmo prejšnjo razpravo. Torricelli je leta 1643, malo pred Galilejevo smrtjo, postal njegov sodelavec. Že prej je napisal rokopisni Dve knjigi o gibanju prosto padajočih in vrženih težkih teles. V njiju je mimogrede obravnaval tudi iztekanje vode iz posode skozi dovolj veliko odprtino. Iztekajoči curek je usmeril tudi navpično navzgor in ugotovil, da curek ni dosegel gladine. Vendar pri dobro oblikovani odprtini razlika ni bita velika. Po tem je sklepal, da bi curek dosegel gladino, če ne bi bilo upora. "Voda, ki izteka iz posode, ima v točki iztekanja enako hitrost, kot bi jo imelo poljubno težko telo, tudi kaplja te vode, ko bi prosto padla od gladine do višine odprtine." Trditev je postala znana kot Torricellijev izrek. Za hitrost iztekajoče vode v velja tedaj enačba \v2 — gz. če je z višina gladine nad odprtino.
ib)
zrak
T
Slika 6. Poskus, pri katerem pihamo ske>2l lijak navpično navzdol In s tem dosežemo, da miruje v nJem stoZec Iz papirja. Ko ne pihamo, stoZec pade (a). Poskus se posreči tudi z vretenom za sukanec in kosom papirja (b). V cztnt Je hitrost zraka velika In tlak nl^Jl od zunanjeoa zračnega tlaka.
TorrlceHl Je naredil Se drug poskus, ki ga najbolje razumemo na osnovi raCuna. Hitrost iztekanja vode v = \[2hz skozi odprtino s presekom Stf na dnu posode poveZImo s hitrostjo zniževanja gladine — dzjdt v prlzmatlCnl posodi s presekom S. Prostornina vode. ki IzteCa skozt odprtino na sekundo. Je enaka prostornini med lego gladine In njeno lego sekundo pozneje:
° dt
EnaCbo \f2QŽ = -Sdzjdt preuredimo v tfz/Vz = ->/2~ff(Stf/S)dr In Integriramo od zaCetne višine gladine Zq do višine z ln od začetnega Časa o do Časa t:
V^o) = -V/2a^- t ali
Iz enačbe Izhaja, da se gladina znlZa do dna pri z = 0 v Času r^ = W27q]s S/Sfj. Ta tas razdelimo na N delov !n vpeljemo tn = nt^/N , n < N. Vstavimo to v enačbo za vIStno gladine In enaCbo kvadrlramo:
Naposled polSCemo razmerja višinskih razlik:
3 " ZN~2) : (ZN-2 ZN-1) : 1 ~ ZN^> = "S '• 3 :1-
TorrlceHl Je opazoval, kako se je v enakomernih Časovnih razmikih nižala gladina v posodi proti koncu Iztekanja ln po ugotovljenem razmerju ...5.3.1 sklepal, da gre za kvadratno odvisnost. To razmerje so tedaj poznali od prostega padanja. RaCuna, kakršen je naš, v tej obliki Se nI mogel narediti.
Privzeli smo, da deli vode na gladini pri višini z mirujejo. Če se pri višini zi gibljejo s hitrostjo V\, se gibljejo pri višini Z2 s hitrostjo in velja
\pV2 + PgZ2 =	+ pgZ\
Vstavimo vj = 0 in Z\ = z ter z^ = 0 in fj = f, pa dobimo prejšnjo zvezo \ v2 = gz. Obe strani enačbe smo Se pomnožili z gostoto kapljevine p.
Če se ne spreminjata samo višina delov vode in njihova hitrost ampak tudi tlak, moramo povezati obe enačbi. Dobimo znamenito Bernoullijevo enačbo:
P2 + \pV% + PgZ2 = Pl + \pv\ + pgZ\ ■
Enačbo, ki smo jo v Preseku Že srečali (6 (1978/79), str.241), je Daniel Bernoulli objavil v Hidrodinamiki leta 1738, Del kapljevine se laliko dvigne, če se nu zmanjša hitrost. Ker je višina povezana s tlakom, lahko preide tudi na območje s povišanim tlakom, če se mu zmanjša hitrost. Danes vemo, da velja enačba samo približno, in to tem bolje, čim manjše delo opravijo sile med plastmi kapljevine. čim manjše je "trenje" med deli kapljevine. Potrebujemo samo enačbo za primer, da se ne spremeni višina:
P2 + \pvl = Pi + \pvl .
Enačba pove. da je tlak manjši na mestu, kjer ima kapljevina večjo hitrost. Vzemimo, da teče kapljevina skozi cev s spremenljivim presekom Na mestu, kjer je hitrost je presek Sj, na mestu, kjer je hitrost pa presek Sj. Kapljevina je nestisljiva. zato se ne spremeni njena prostornina, ki preteče skozi določen presek v časovni enoti. Hitrosti potemtakem povezuje s presekoma enačba (ki smo jo uporabili tudi prej):
Vl Sl = v2$2 ■
Čim manjši je presek, tem večja je hitrost in skupaj s prejšnjim: Čim manjši je presek, tem manjši je tlak. Dobljeni sklepi obveljajo tudi za plin, če se njegova gostota ne spremeni znatno. Enačbe veljajo v tem primeru manj natančno.
Slika 7. Sesalka na vodni curek (a) In razpršilo (t>)
S tem ni težko pojasniti poskusa, katerega izid se je prej zdel nenavaden V cevki lijaka, v katero pihamo, je tlak malo večji od zunanjega zračnega tlaka, hitrost delov zraka pa razmeroma majhna. V ožini med stožcem in lijakom je presek zelo majhen, hitrost velika in tlak manjši od zunanjega zračnega
tlaka. Si!a zaradi razlike tlakov uravnovesi težo stožca.
* * +
Kdor tega pojava Se nI videl, se mu zdi čuden In nerazumljiv. Predstavlja si morda, da bi moral biti v oZInl, kjer Je voda utesnjena na manjši presek, tlak večji. Pri tem se človek nehote spomni na gnečo ljudi, ki bolj pritiskajo drug na drugega, kjer rinejo skozi vrata. Vendar Je pri vodi poskus pokazal ravno nasprotno; v oilnl Je tlak zmanjšan. Ljudje se ne dajo dosti deformirati, kaplje pa čisto lahko.
l.KuSčer in A.Moljk. Fizika, l.del, DZS, LJubljana 1980, str. 250 * * *
Slika 8, Sled mehurjev, ki nastanejo ob vrtečem se vijaku na mestih, na katerih Je hitrost delov vode zelo velika In tlak močno znižan.
Pojav izkorlSCa na primer sesalka na vodni curek (slika 7a), Curek vode iz pipe vodimo skozi ožino, po kateri se giblje z veliko hitrostjo, Na tem mestu in v njegovi okolici Je tlak precej manjši od zunanjega zračnega tlaka. Skozi cevko iz dela posode, ki obdaja ožino, sesa naprava zrak. Podobno deluje razprSilo, le da sta v njem vlogi zamenjani. Namesto vodnega curka imamo curek zraka ali kakega drugega plina, ki sesa in razprSuje vodo ali diSečo kapljevino (slika 7b).
Menda sta zaradi tega pojava trčili iadji, ki sta vozili vštric po kanalu. Deli vode med njima so imeli večjo hitrost glede na njiju kot deli vode na nasprotni strani, zato je bii tlak na območju med ladjama manjši kot na nasprotnih straneh. Ladjo je tiSčala proti drugi ladji sila zaradi razlike obeh tlakov, Če seje to zares primerilo, sta morala biti kapitana doka] nepazljiva.
Pojav lahko moti Se drugače. V vodnem toku okoli vrtečih se delov turbin ali ladijskih vijakov imajo deli vode zelo veliko hitrost. Hitrost je tolikšna, da je tlak manjSi od izparilnega tlaka, voda izpareva in nastanejo mehurji vodne pare, Pojav, znan kot kavitacija, je Škodljiv, ker mehurji zmanjšajo učinkovitost turbin ali vijakov in praskajo vrtljive dele, da se prej obrabijo (slika 8).
Tako smo dva "paradoksa" povezali v kramljanju, v katerem ni manjkal Ščepec prave fizike. Ali ste se pri tem dolgočasili?
Janez Strnad