i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 201 — #1 i
i
i
i
i
i
PREPOGIBANJE PAPIRJA, TRETJINJENJE KOTA IN
MACLAURINOVA TRISEKTRISA
MARKO RAZPET IN NADA RAZPET
Pedagoška fakulteta
Univerza v Ljubljani
Math. Subj. Class. (2020): 14H45, 51M15
S prepogibanjem papirja lahko tretjinimo kot in pri tem na naraven način najdemo
Maclaurinovo trisektriso. Kot lahko tretjinimo tudi z Maclaurinovo trisektriso, ki je no-
žǐsčna krivulja parabole, pa tudi inverzna slika hiperbole z razmerjem polosi 1/
√
3 na
primerni krožnici.
PAPER FOLDING, ANGLE TRISECTION, AND TRISECTRIX OF MACLAURIN
By paper folding we can trisect an angle and at the same time we find the trisectrix of
Maclaurin in a natural way. The third of an angle can be constructed also by the trisectrix
of Maclaurin which is the pedal curve of a parabola, and also the inverse of hyperbola
with semiaxes ratio 1/
√
3 on a suitable circle.
Uvod
V prispevku [6] smo spoznali, kako lahko s prepogibanjem papirja rešimo
antični problem podvojitve kocke. Tokrat si bomo ogledali, kako s podob-
nim postopkom rešimo problem tretjinjenja kota. Poleg tega bomo spoznali
Maclaurinovo trisektriso, krivuljo, ki se na naraven način, tako kot Slu-
sova konhoida pri problemu podvojitve kocke, pojavi pri tretjinjenju kota z
metodo prepogibanja papirja. Ugotovili bomo tudi, kako je Maclaurinova
trisektrisa povezana s parabolo in hiperbolo.
O nerešljivosti treh antičnih geometrijskih problemov s šestilom in ne-
označenim ravnilom lahko več preberemo v ustrezni matematični literaturi,
na primer v [5].
Tretjinjenje kota s prepogibanjem papirja
Opisali bomo tretjinjenje kota s prepogibanjem papirja po postopku, ki ga
je razvil Hisashi Abe in ga objavil leta 1980 (več o tem v [3, 4]).
Naj ima naš osnovni list papirja obliko pravokotnikaABCD s stranicama
a = |AB| in b = |BC|, pri čemer je b ≥ a (slika 1). Če je b v primerjavi z a
Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6 201
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 202 — #2 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
dovolj velik, lahko tretjinimo poljuben ostri kot. Izberemo poljubno točko
E na stranici AB in pravokotnik prepognemo tako, da BC prekrije EF . Na
ta način smo razpolovili daljici EB in FC. Če je |EG| = c, potem velja:
|EG| = |GB| = |FH| = |HC| = c.
Slika 1. Priprava pravokotnega lista papirja za tretjinjenje kota.
Izberimo točko P na stranici AD (slika 2) tako, da bo ^CBP = α (ostri)
kot, ki ga želimo tretjiniti. Najprej prepognemo pravokotnik tako, da oglǐsče
B pade na daljico HG, točka E pa na daljico BP (slika 2). Prepogib seka
rob pravokotnika v točkah Q in L. Kaj smo s tem naredili? Točke B, G, E
in A smo zrcalili prek premice skozi točki Q in L in dobili ustrezne zrcalne
točke B′, G′, E′ in A′.
Ker je |EG| = |GB| = c, je tudi |E′G′| = |G′B′| = c. Zrcalna slika
daljice EB je daljica E′B′, zrcalna slika daljice B′G pa daljica BG′. Pri
tem je B′G pravokotna na EB, BG′ pa pravokotna na E′B′. Trikotnika
E′BG′ in B′BG′ sta zato pravokotna in skladna, ker se ujemata v dolžinah
katet E′G′ ter G′B′ in imata skupno kateto BG′. To pa pomeni, da sta kota
^G′BE′ in ^B′BG′ skladna, oziroma da je trikotnik B′E′B enakokrak in
je BG′ njegova simetrala.
Naj bo B1 pravokotna projekcija točke B
′ na daljico BC. Zato je
|B′B1| = c. Pravokotna trikotnika B′BB1 in B′BG′ sta tudi skladna, ker se
ujemata v dolžinah katet G′B′ ter B′B1 in imata skupno hipotenuzo BB
′.
Torej velja relacija
^B1BB
′ = ^B′BG′ = ^G′BE′ =
α
3
,
202 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 203 — #3 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Slika 2. Tretjinjenje ostrega kota.
kar pomeni, da nam je uspelo tretjiniti (ostri) kot α. Pri izbiri P = A
opisana metoda pripelje do tretjinjenja pravega kota (ki je sicer enostavno).
Topi kot lahko tretjinimo tako, da ga najprej razpolovimo, polovico kota
tretjinimo, nato pa dobljeni kot podvojimo. Obstajajo pa tudi metode s
prepogibanjem papirja, s katerimi topi kot tretjinimo neposredno. Več o
tem na primer v [2], pa tudi v nadaljevanju.
Prepogibanje papirja in Maclaurinova trisektrisa
Sedaj se posvetimo še »analitični« obravnavi tretjinjenja kota. Pravokotnik
ABCD (slika 1) postavimo v koordinatni sistem tako, da bo izhodǐsče v
točki E in bosta točki B in F na abscisni in ordinatni osi.
Na daljiciGH izberemo poljubno točko B′ (slika 3) in narǐsemo simetralo
s daljice B′B. Z R označimo razpolovǐsče daljice B′B, z E′ pa zrcalno
sliko točke E prek simetrale s. Zanimalo nas bo, kakšno krivuljo opǐse
E′, ko B′ teče po daljici GH. Opazimo, da bo opisana konstrukcija v
tesni zvezi s tretjinjenjem kota, namreč če je B′ »dovolj visoko« na GH,
dobljena točka E′ sovpada s točko E′ preǰsnje konstrukcije in bo veljalo
^CBE′ = 3^CBB′.
Za izbrano točko B′ na daljici GH lahko zapǐsemo koordinate točk B′,
B in R:
B′(c, t), B(2c, 0), R
(
3c
2
,
t
2
)
.
201–214 203
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 204 — #4 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Smerni koeficient premice skozi točki B in B′, pa tudi premice s1 skozi E
in E′ (slika 3), je enak −t/c. Zato je smerni koeficient simetrale s enak c/t
in njena enačba je
y − t
2
=
c
t
(
x− 3c
2
)
, (1)
enačba s1 pa je
y = − t
c
x. (2)
Slika 3. Ko točka B′ potuje po daljici HG, točka E′ opisuje krivuljo (polna črta) na
Maclaurinovi trisektrisi (črtkana črta).
Koordinati x1 in y1 točke E1, presečǐsča premic s in s1, dobimo kot
rešitev sistema enačb (1) in (2):
x1 =
c(3c2 − t2)
2(c2 + t2)
, y1 =
t(t2 − 3c2)
2(c2 + t2)
.
Koordinati točke E′ sta dvakratnika koordinat x1 in y1. Točka E
′ je torej
podana s koordinatama
x =
c(3c2 − t2)
c2 + t2
, y =
t(t2 − 3c2)
c2 + t2
. (3)
204 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 205 — #5 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Z zamenjavo parametra t→ −ct dobimo parametrično izraženo krivuljo:
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
, (4)
ki jo imenujemo Maclaurinova1 trisektrisa. Če iz (2) izrazimo t = −cy/x in
to vstavimo v eno od enačb (3), po poenostavitvi dobimo enačbo Maclauri-
nove trisektrise v implicitni obliki:
x(x2 + y2) = c(3x2 − y2). (5)
Zapǐsimo Maclaurinovo trisektriso še v polarni obliki. V enačbo (5) vstavimo
x = r cosϕ in y = r sinϕ in po kraǰsem računu izrazimo:
r(ϕ) = c
(
4 cosϕ− 1
cosϕ
)
. (6)
Enačbo (6) lahko s formulama za sinus dvojnega in trojnega kota pretvorimo
v obliko:
r(ϕ) = 2c
sin 3ϕ
sin 2ϕ
. (7)
Maclaurinova trisektrisa je simetrična glede na abscisno os, ki jo seka v
temenu A(3c, 0) in v koordinatnem izhodǐsču E(0, 0). V točki E trisektrisa
seka samo sebe pod kotom 2π/3 oziroma π/3. Slednje lahko ohlapno ute-
meljimo s sicer preprostim intuitivnim razmislekom. Ko smo dovolj blizu
točke E, sta koordinati x in y zelo blizu 0. Ko se x in y približujeta 0, se
leva stran enačbe (5) hitreje (red 3) približuje 0 kot desna (red 2) stran.
Zato lahko rečemo, da ima zelo blizu točke E enačba (5) približno obliko
0 = 3x2 − y2. Enačba 3x2 − y2 = (
√
3x + y)(
√
3x − y) = 0 pa predstavlja
premici y = ±
√
3x, ki sta dejanski tangenti Maclaurinove trisektrise v točki
E in se sekata pod kotom 2π/3 oziroma π/3.
Iz enačb (3) razberemo: ko se |t| približuje neskončnosti, se |y| tudi
približuje neskončnosti, medtem ko se x približuje vrednosti −c. To pomeni,
da ima Maclaurinova trisektrisa za navpično asimptoto premico x = −c.
Kateri del Maclaurinove trisektrise opǐse točka E′ pri različnih vredno-
stih parametra t? Iz enačb (3) razberemo, kakšne vrednosti zavzameta x in
1Colin Maclaurin (1698–1746) je bil škotski matematik.
201–214 205
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 206 — #6 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
y pri različnih vrednostih t:
za t ≤ −c
√
3 sta x ≤ 0 in y ≤ 0 (tretji kvadrant),
za −c
√
3 ≤ t ≤ 0 sta 0 ≤ x in 0 ≤ y (prvi kvadrant),
za 0 ≤ t ≤ c
√
3 sta 0 ≤ x in y ≤ 0 (četrti kvadrant),
za c
√
3 ≤ t sta x ≤ 0 in 0 ≤ y (drugi kvadrant).
Slika 4. Tretjinjenje ostrega kota z Maclaurinovo trisektriso.
Ostri kot smo znali tretjiniti s prepogibanjem papirja. Ob razumevanju
povedanega lahko tretjinimo ostre kote tudi ob predpostavki poznavanja
Maclaurinove trisektrise. Začnemo v običajnem koordinatnem sistemu in z
Maclaurinovo trisektriso (slika 4) s konstanto c, ki je podana z enačbo (5).
Načrtamo premico x = 2c. Premica ustreza nosilki BC na sliki 3, katere
presečǐsče z osjo x označimo (analogno s sliko 3) z B. Kot α, ki ga želimo
tretjiniti, odmerimo od premice x = 2c tako, da ima vrh v B, drugi krak
kota pa seka (bolj oddaljeni del) trisektrise v točki E′. Narǐsemo simetralo s
daljice od točke E′ do koordinatnega izhodǐsča O. Pravokotnica na dobljeno
simetralo iz točke B določa kot β = α/3. Z opisano konstrukcijo v praksi ne
moremo tretjiniti majhnih kotov. Za majhne kote je namreč ordinata točke
B′ zelo velika.
Maclaurinova trisektrisa po točkah in tretjinjenje kota
Oglejmo si še, kako pridemo do Maclaurinove trisektrise z načrtovanjem po
točkah v pravokotnem koordinatnem sistemu. Že prej smo ugotovili, da
Maclaurinova trisektrisa seka samo sebe pod kotom 2π/3 oziroma π/3. Iz
206 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 207 — #7 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
enačbe (7) zlahka povzamemo, da je r(−π/3) = r(π/3) = 0 in zato r(ϕ)
določa Maclaurinovo trisektriso
v prvem kvadrantu za 0 ≤ ϕ ≤ π/3,
v drugem kvadrantu za π/2 < ϕ ≤ 2π/3 oziroma za −π/2 < ϕ ≤ −π/3,
v tretjem kvadrantu za −2π/3 ≤ ϕ < −π/2 oziroma za π/3 ≤ ϕ < π/2,
v četrtem kvadrantu za −π/3 ≤ ϕ ≤ 0.
Pri tem smo v drugem in tretjem kvadrantu upoštevali, da se pri povečanju
argumenta funkcije cos za π spremeni njen predznak. Tako smo z majhno
»zlorabo« polarnih koordinat (polarni radij r(ϕ) je po definiciji razdalja in
ne more biti negativna) dosegli, da lahko za definicijsko območje krivulje
(6) namesto [−2π/3,−π/2) ∪ [−π/3, π/3] ∪ (π/2, 2π/3] vzamemo interval
(−π/2, π/2). Pri tem negativno vrednost r(ϕ) odmerimo kot pozitivno na
nasprotnem poltraku. »Zaključena zanka« Maclaurinove trisektrise v četr-
tem in prvem kvadrantu je opisana z r(ϕ) za −π/3 ≤ ϕ ≤ π/3. Krožnica
(x− 2c)2 + y2 = 4c2 in premica x = −c se v polarni obliki zapǐseta z enač-
bama r1(ϕ) = 4c cosϕ in r2(ϕ) = −c/ cosϕ za ϕ ∈ (−π/2, π/2). Pri tem
smo pri premici zagrešili enako »zlorabo« polarnih koordinat kot zgoraj. Če
polarno obliko enačbe Maclaurinove trisektrise (6) zapǐsemo v obliki
r(ϕ) = 4c cosϕ− c
cosϕ
,
dobimo
r(ϕ) = r1(ϕ) + r2(ϕ). (8)
Slika 5. Risanje Maclaurinove trisektrise po točkah.
201–214 207
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 208 — #8 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Enačba določa točke na Maclaurinovi trisektrisi kot razliko razdalj na
ustrezni nosilki poltraka od izhodǐsča do krožnice oziroma do premice x =
−c. Pri poltraku, določenem s kotom ϕ za −π/3 ≤ ϕ ≤ π/3, dobimo
razdaljo od izhodǐsča do točke T na Maclaurinovi trisektrisi tako, da od
razdalje od O do T1 odštejemo razdaljo od O do T2 (slika 5 levo). Razdalja
med T in T1 je torej |r2(ϕ)|. Pri poltraku, določenem s kotom ϕ za −π/2 <
ϕ ≤ −π/3 in π/3 ≤ ϕ < π/2, pa dobimo razdaljo od izhodǐsča do točke
T na Maclaurinovi trisektrisi tako, da od razdalje od O do T2 odštejemo
razdaljo od O do T1 (slika 5 desno). Razdalja med T in T2 je torej |r1(ϕ)|.
Slika 6. Še eno risanje Maclaurinove trisektrise po točkah.
Opǐsimo še en način risanja Maclaurinove trisektrise po točkah (slika 6).
Spet narǐsemo krožnico s sredǐsčem v točki S(2c, 0) in polmerom 2c. Za
kot 0 ≤ ϕ ≤ π izberemo točko M na krožnici tako, da bo SM z abscisno
osjo oklepala kot ϕ. Presečǐsče nosilke daljice OM in simetrale daljice SM
označimo s T .
Pokažimo, da T leži na Maclaurinovi trisektrisi. Ker sta ψ in ϕ, kot sta
označena na sliki 6, obodni in sredǐsčni kot nad isto tetivo, velja ϕ = 2ψ.
Nosilka daljice OM oklepa z abscisno osjo kot ψ. Točka M ima koordinati
xM = 2c + 2c cosϕ in yM = 2c sinϕ, točka N pa xN = 2c + c cosϕ in
yN = c sinϕ. Nosilka OM ima enačbo y = x tgψ, simetrala daljice SM
pa y− c sinϕ = − ctgϕ(x− 2c− c cosϕ). Izračunamo koordinati presečǐsča
premic in dobimo T (c(1 + 2 cosϕ), c(1 + 2 cosϕ) tgψ). Če izrazimo
1 + 2 cos 2ψ = 3 cos2 ψ − sin2 ψ = 3− tg
2 ψ
1 + tg2 ψ
208 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 209 — #9 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
in vpeljemo t = tgψ, dobimo znani enačbi (4):
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
.
Zanimivo je, da lahko zadnjo ugotovitev zelo elegantno dokažemo tudi
povsem geometrijsko. Opazimo namreč, da sta trikotnika SMT in MOS
enakokraka. Od tu in zaradi sovršnosti takoj sledi skladnost štirih na sliki
6 označenih kotov ψ. Ker je dolžina MN polovica dolžine MS, ki je 2c, sta
daljici OK in MN skladni in skladna sta tudi trikotnika MTN in OT2K.
Kot posledica razlage enačbe (8) sledi sklep, da je T na Maclaurinovi tri-
sektrisi. Zelo podobni geometrijski argumenti veljajo tudi v primeru, ko je
−π/2 < ψ ≤ −π/3 ali π/3 ≤ ψ < π/2.
Ponovimo, da velja ϕ = 2ψ, saj je ϕ sredǐsčni in ψ obodni kot nad istim
lokom. Glede na oznake na sliki 6 je torej ^HST = 3^SOT .
O tretjinjenju kota s pomočjo Maclaurinove trisektrise smo govorili že
pred razdelkom o »načrtovanju Maclaurinove trisektrise po točkah«. Zadnja
ugotovitev pa ponuja nov eleganten način za tretjinjenje kota s pomočjo
Maclaurinove trisektrise za poljubne kote 0 ≤ α ≤ π.
Če namreč začnemo z Maclaurinovo trisektriso s konstanto c in krožnico
s sredǐsčem v točki S(2c, 0) in polmerom 2c ter kot α, ki ga želimo tretjiniti,
narǐsemo z vrhom v S tako, da je en krak na abscisni osi, drugi krak pa
določa točko M na krožnici, nam daljica OT (slika 7 levo) določa kot β =
α/3.
Slika 7. Tretjinjenje kota z Maclaurinovo trisektriso: β = α/3.
Tretjino kota α je s pomočjo Maclaurinove trisektrise mogoče dobiti
še na en način. Če začnemo podobno kot v pravkar opisanem primeru
201–214 209
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 210 — #10 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
in razpolovimo kot α, dobimo točko T (slika 7 desno). Nosilka OT seka
krožnico v točki N . Daljica SN določa kot β = α/3. Namreč, trikotnika
SNT in NOS sta enakokraka (primerjaj s trikotnikom SMT na sliki 6) in
zato velja ^NST = ^TNS = ^SON . Ker sta ^SON obodni in β sredǐsčni
kot nad istim lokom, velja β = 2^SON . Velja tudi ^NST + β = α/2, kar
pa že pomeni β = α/3.
Ploščina
S pomočjo doslej povedanega zlahka izračunamo tudi ploščine nekaterih li-
kov, ki jih omejuje Maclaurinova trisektrisa. Ploščino S1 lista v prvem in
četrtem kvadrantu (slika 8) najlažje izračunamo z uporabo polarnega zapisa
(6) in formule za izračun izseka krivulje, podane v polarni obliki
S =
1
2
∫ ϕ2
ϕ1
r2(ϕ) dϕ.
Glede na znana dejstva je
S1 = 2 ·
c2
2
∫ π/3
0
(
4 cosϕ− 1
cosϕ
)2
dϕ.
Integral se s klasičnimi srednješolskimi metodami enostavno izračuna in do-
bimo S1 = 3c
2
√
3. Podobno se izračuna ploščina S2 med Maclaurinovo
trisektriso in njeno asimptoto kot »posplošeni integral« (območje ni ome-
jeno). Ob upoštevanju (8) in s pogledom na sliko 5 (desno) dobimo
S2 = 2
[
1
2
∫ π/3
0
r22(ϕ) dϕ+
1
2
∫ π/2
π/3
(r22(ϕ)− r2(ϕ)) dϕ
]
= c2
√
3 + 8c2
∫ π/2
π/3
(1− 2 cos2 ϕ
)
dϕ = 3c2
√
3.
Pri tem je prvi integral kar ploščina trikotnika, drugi integral pa zlahka
izračunamo. Zanimivo, da sta ploščini S1 in S2 enaki. Mogoče je zanimivo
opaziti, da je S1 + S2 enaka ploščini pravilnega šestkotnika s stranico 2c.
210 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 211 — #11 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
Slika 8. List Maclaurinove trisektrise in lik med trisektriso in njeno asimptoto imata enaki
ploščini.
Nožǐsčna krivulja parabole
Maclaurinova trisektrisa je tudi nožǐsčna krivulja parabole. To pomeni, da
predstavlja množico pravokotnih projekcij neke točke P na vse tangente
parabole (glej na primer [1, 7]).
V koordinatnem sistemu narǐsimo parabolo, ki ima enačbo y2 = 4c(x−
3c), kjer je c pozitivna konstanta. Parabola ima teme v točki A(3c, 0),
gorǐsče v F (4c, 0), ordinato v gorǐsču p = 2c in za vodnico premico x =
2c (slika 9). Na paraboli izberemo točko M(s, t) in narǐsemo tangento na
parabolo. Iz točke O(0, 0) narǐsemo še pravokotnico na tangento. Dobimo
presečǐsče T . Ko se točka M giblje po paraboli, opisuje točka T krivuljo,
katere parametričnih enačb ni težko najti.
Tangenta na parabolo v točki M in pravokotnica nanjo iz točke O(0, 0)
sta premici z enačbama
y − t = 2c
t
(x− s), y = − t
2c
x.
Presečǐsče teh dveh premic je točka T s koordinatama
xT =
2c(2cs− t2)
4c2 + t2
, yT =
t(t2 − 2cs)
4c2 + t2
.
201–214 211
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 212 — #12 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 9. Nožǐsčna krivulja parabole y2 = 4c(x − 3c) glede na točko O je Maclaurinova
trisektrisa.
Ker točka M leži na paraboli, velja zveza t2 = 4c(s−3c) = 4cs−12c2, iz ka-
tere sledi 2cs = t2/2+6c2, kar vstavimo v preǰsnji enačbi in po poenostavitvi
dobimo:
xT =
c(12c2 − t2)
4c2 + t2
, yT =
t(t2 − 12c2)
2(4c2 + t2)
.
Z zamenjavo t → −2ct dobimo ravno parametrično izraženo Maclaurinovo
trisektriso
x(t) =
c(3− t2)
1 + t2
, y(t) =
ct(3− t2)
1 + t2
,
kot jo poznamo iz (4).
Povsem analogno bi izračunali tudi nožǐsčno krivuljo glede na koordi-
natno izhodǐsče za parabolo y2 = 2p(x − q) (p 6= 0), ki ima teme v točki
A(q, 0). Tedaj bi dobili krivuljo, podano z enačbama
x(t) =
2q − pt2
2(1 + t2)
, y(t) =
t(2q − pt2)
2(1 + t2)
.
Ta krivulja sovpada z Maclaurinovo trisektriso v obravnavanem primeru,
ko je 3p = 2q. To pomeni, da je takrat q trikratnik razdalje od gorǐsča do
temena parabole. V primeru 3p = −2q bi dobili Slusovo konhoido, za p = 2q
strofoido, za q = 0 pri poljubnem p pa Dioklovo cisoido. Več o teh krivuljah
najdemo na primer v [7].
Maclaurinova trisektrisa in inverzija
Zanimivo je na Maclaurinovo trisektriso pogledati še s stalǐsča inverzije.
Začnimo spet z Maclaurinovo trisektriso (5). Spomnimo se, da seka samo
212 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 213 — #13 i
i
i
i
i
i
Prepogibanje papirja, tretjinjenje kota in Maclaurinova trisektrisa
sebe v izhodǐsču O = (0, 0). Inverzija glede na krožnico x2 + y2 = R2 je
določena s preslikavo
(x, y) 7−→
(
R2x
x2 + y2
,
R2y
x2 + y2
)
. (9)
Inverzija preslika O v neskončno oddaljeno točko in neskončno oddaljeno
točko v O. Točke na krožnici x2 + y2 = R2 so za inverzijo (9) negibne.
Inverzija preslika premice in krožnice v premice ali krožnice.
Z upoštevanjem preslikave (9) iz (5) in s kraǰsim računom dobimo enačbo
3cx2 −R2x− cy2 = 0.
Pretvorimo jo v klasično obliko
(x− p)2
a2
− y
2
b2
= 1,
ki predstavlja enačbo hiperbole s sredǐsčem v točki S(p, 0). Brez težav
zapǐsemo njeni polosi a in b ter linearno ekscentričnost e:
a =
R2
6c
, b =
R2
2c
√
3
, e =
R2
3c
.
Prav tako koordinate sredǐsča S, temen A in B ter gorǐsč F1 in F2:
S
(
R2
6c
, 0
)
, A
(
R2
3c
, 0
)
, B(0, 0), F1
(
−R
2
6c
, 0
)
, F2
(
R2
2c
, 0
)
.
Na sliki 10 je prikazana hiperbola, ki ustreza R < 3c.
Zanimivo je, da smo za vsak R dobili hiperbolo. Še več, iz zgornjega ra-
čuna je enostavno preveriti, da imajo vse tako dobljene hiperbole konstantno
razmerje polosi a/b = 1/
√
3 oziroma asimptoti s smernima koeficientoma
√
3
in −
√
3, in sicer:
y = ±
√
3
(
x− R
2
6c
)
.
Tangenti v točki O na Maclaurinovo trisektriso sta asimptotama vzpore-
dni in se pri inverziji ne spremenita. Preprost račun takoj pokaže, da se
asimptoti z inverzijo za vsak R preslikata v krožnici s sredǐsčema v točkah
S1,2(3c,∓c
√
3) in polmerom Ri = 2c
√
3. Sredǐsče prve krožnice leži na drugi
krožnici in obratno. Območje, ki ga ograjujeta, je v zgodovini geometrije
201–214 213
i
i
“Razpet” — 2021/3/9 — 7:58 — page 214 — #14 i
i
i
i
i
i
Marko Razpet in Nada Razpet
Slika 10. Inverzna slika Maclaurinove trisektrise je hiperbola.
znano kot »vesica piscis«2. Sredǐsči teh krožnic in teme Maclaurinove tri-
sektrise so kolinearne točke. Krožnici se sekata v točkah O(0, 0) in Q(6c, 0)
pod kotom π/3 oziroma 2π/3. Točki S in Q sta si inverzni. Vse se lepo
sklada z dejstvom, da inverzija ohranja kote in dotike med krivuljami.
Polmera OS1,2 določata v točki O normali na Maclaurinovo trisektriso
in Ri je celo njen krivinski polmer v O, kar potrdi tudi račun z ustrezno
formulo. Inverzni sliki asimptot hiperbole sta zato pritisnjeni krožnici na
Maclaurinovo trisektriso v O. Zato ni nič čudnega, da sta krožnici neodvisni
od R. Maclaurinova trisektrisa s pritisnjenima krožnicama v O vred se z in-
verzijo preslikajo v hiperbolo in njeni asimptoti. Posamezno krožnico lahko
tudi geometrijsko konstruiramo, ker poteka skozi O in presečǐsči asimptote
s krožnico x2 + y2 = R2.
LITERATURA
[1] D. Haftendorn, Kurven erkunden und verstehen: Mit GeoGebra und anderen Wer-
kzeugen, Springer Spektrum, 2017, str. 62–64.
[2] T. Hull, Project Origami, Activities for Exploring Mathematics, Second Edition,
CRC Press, 2013, str. 67.
[3] K. Fushimi, Trisection of an angle by H. Abe, The Science of Origami, A Supplement
to Saiensu (japonska verzija revije Scientific American) October 1980, str. 8.
[4] R. J. Lang, Origami and Geometric Constructions, http://www.langorigami.com,
ogled 25. 9. 2020).
[5] G. E. Martin, Geometric Constructions, Springer, New York, 1998, str. 41–50.
[6] M. Razpet in N. Razpet, Prepogibanje papirja, podvojitev kocke in Slusova konhoida,
Obzornik. mat. fiz. 67 (2020), str. 41–51.
[7] A. A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.
2V latinščini: ribji mehur.
214 Obzornik mat. fiz. 67 (2020) 6