i i “800-Vidav-ulomki” — 2010/5/25 — 11:23 — page 1 — #1 i i i i i i List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje ISSN 0351-6652 Letnik 14 (1986/1987) Številka 1 Strani 4–7 Ivan Vidav: ULOMKI S ŠTEVCEM 1 Ključne besede: matematika, teorija števil, ulomki. Elektronska verzija: http://www.presek.si/14/800-Vidav.pdf c© 1986 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije c© 2010 DMFA – založništvo Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo- ljeno. ITI"--'-~l" ,,--'1/"," 1CI" I"", ULOMKI S ŠTEVCEM 1 Vsako racionalno število r se da zapisati v obliki ulomka r = alb , kjer sta ain b celi števili. Kakor vemo, je takih zapisov celo nešteto . Če je r pozitiven, smemo vzeti, da sta števec a in imenovalec b naravni števili. Včasih so imeli za ulomek samo tak ulomek, ki ima števec', np r. '12, , /3, , /7 so ulomki. Druga pozitivna racionaina števila pa so izrazili z vsoto ulomkov s števcem " npr. ~ =-1_+ _ , + _,_ 4 4 4 4 Na desn i imajo vsi ulomki isti imenovalec. Pišemo pa lahko tudi takole: -l- = _,_+_, 4 2 4 Imenovaica na desni sta Zdaj razli čna. Podobno je -2=_'_+_' =_, +_,_ 3 3 3 2 6 2/3 se da izraziti tudi takole: -.1... = _,_ + _, +_, 3 3 4 '2 Tudi tu so vsi imenovaici na desni med seboj različni. Naravno se zda j vsiljuje tole vprašanje: (A) Ali se da vsako pozitivno racionalno število zapisati kot vsota ulom- kov, ki imajo števec 1, imenovaici pa so med seboj različni? Ulomke s števcem , zapišimo lepo po vrst i (, ) , " 2'3'4'5" " V tem zaporedju se ulomki man jšajo in postanejo sčasoma poljubno majhni. Racio nalno število , ki je vsota ulomkov s števcem , in različnimi imenovalci , pr i čemer noben imenovalec ni večj i od n , je manjše ali kvečjemu enako številu 4 (2) 1 1 1S =-+-+ +-n 2 3 ... n Število sn je vsota prvih n ulomkov zaporedja (1). Če večamo n, S6 vsota sn ve- ča, njeni sumandi pa postajajo vse manjši. Zato je umestno tole vprašanje: (B) Ali je vsota sn poljubno velika, če je n dovolj velik? Z drugimi besedami povedano: Ali je vsota dovolj velikaga števila ulomkov zaporedja (1) večja od 10, ali celo večja od 10001 Odgovor na vprašanje (B) je pritrdilen. Vsota sn je poljubno velika, če je le n dovolj velik. Torej dobimo tako velike vsote, kakor želimo, če le seštejemo dovolj členov iz (1). Tega dejstva tu ne bomo dokazovali. Hitro pa se s poskusi prepričamo, da se vsote sn zelo počasi večajo. Če bi npr. hoteli dobiti vsoto, ki je večja od 10, bi morali sešteti okoli 10000 ulomkov iz (1)! Pozitivni odgovor na vprašanje (B) še ne pomeni, da je tudi odgovor na vprašanje (A) pozitiven. Res je sicer, da s seštevanjem ulomkov zaporedja (1) dobimo poljubno velike vsote. Ne vemo pa še, ali dobimo za vsoto vsako pozi- tivno racionalno število. Pa si oglejmo metodo , s katero bi izrazili pozitivno racionalno število r kot vsoto ulomkov s števcem 1 in z različnimi imenovalci. Odštejmo od r najprej prvi ulomek zaporedja (1 ) , Nato odštejmo od razl ike r - 112 drugi ulomek 1/3. Tako nadaljujmo. Ker dobimo s seštevanjem ulomkov zaporedja (1) polju- bno velike vsote, se odštevanje po nekaj korakih gotovo konča. Kdaj se konča? Dvoje je mogoče: Ali pridemo z odštevanjem do razlike Oali pa dobimo razliko rl, ki je manjša od prvega ulomka v vrsti (1), ki ga nismo še odšteli. V prvem primeru smo nalogo rešili: števi lo r smo izrazili kot vsoto zaporednih ulomkov iz (1). V drugem primeru odštevanje nadaljujemo. V zaporedju (1) poiščemo prvi ulomek, ki je manjši od zadnje razlike rl ' Tega spet odštejemo od rl in ta- ko nadaljujemo, dokler ne dobimo razlike O. Vzemimo za zgled število r = 21 /20. Najprej odštejemo 112 11. __1_=..!.! 20 2 20 Nato odštejemo 1/3 Dobljena razlika 13/60 je manjša od naslednjega ulomka 1/4. Prvi ulomek v za- poredju (1). ki je manjši od 13/60,je 115. Odštejrno -ga 5 Q __1_=_1 60 5 60 Razlika je ulomek s števcem 1. Zato smo postopek končali in dobili _21 = _1_+ _1_+ _1_ + _1_ 20 2 3 5 60 s to metodo naj skuša bralec sam izraziti število 2 kot vsoto ulomkov s števcem 1 in različnimi imenovaici. Doslej smo tiho privzeli, da je dano število r večje od 1/2. Če je r < 1/2, odštejemo od r prvi ulomek iz (1), ki je manjši od r. Potem z odštevanjem na- daljujemo kakor prej . Seveda se zastavlja vprašanje, ali je naša metoda pri vsakem pozitivnem ra- cionalnem številu r uspešna. Poskusi pri večjih r pokažejo , da se števc i v razl i- kah nekaj časa večajo. Kljub temu pa nas postopek v vsakem primeru privede do cilja. Odgovor na vprašanje (A) je namreč pritrdilen, ker velja izrek: Vsako pozitivno racionalno število se da zapisati kot vsota ulomkov s štev- cem 1 in med seboj različnimi imenovalci. Dokazali bomo ta izrek na koncu. Izrek zagotavlja, da se da vsako pozitivno racionalno število zapisati na opi- sani nač in. Toda pri nekoliko večjem r je število sumandov izredno vel iko . Pri zapisu števila r = 100 je npr . število sumandov tako veliko, da rač u na verjetno ne bi zmogli niti z največjim računalnikom. Pa tudi pap irja za zapis bi nam zmanjkalo. Število sumandov se namreč izraža s številko, ki ima okoli 40 cifer. Z opisano metodo izrazimo vsako pozitivno racionalno število tudi kot vsoto ulomkov s števcem 1, kjer so vsi imenovaici med seboj različni in vsi večji od naprej danega števila m. Namesto z 1/2 začnemo v tem primeru odštevati z ulomkom 1/(m+1). Kot zgled zapišimo 1 kot vsoto ulomkov, kjer so vsi ime- nova Ici večji od 2: 1=_1 +_1_+_1 +_1_+_1_ 3 4 5 6 20 Bralec pa naj sam izrazi število 1 kot vsoto ulomkov, kjer so vsi imenovaici več­ ji od 3 oziroma večji od 4! Dokaz izreka. Po opisani metodi odštevamo od danega števila r zaporedne ulomke iz (1) tako dolgo , dokler ne pridemo do razlike - imenujmo jo rl, ki je manjša od naslednjega ulomka v (1). Razlika rl je seveda racionalno število. Naj bo npr. rl =al/bl, kjer sta al in bl naravni števili. Pojdimo zdaj v zapo- 6 • redju (1) do prvega ulomka, ki je manjši ali enak številu 'l. Denimo, da je ta ulomek 11n. Prejšnji ulomek 1/(n-1) pa je še večji od 'l' Imamo torej tale vrstni red: (3) _ _1 ::::::_al. al < 1"'" In-·-- n bl bl n -1 Iz prve neenačbe dobimo bl