9 770351 665142 4 M A T E M A T IK A +F IZ IK A +A S T R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ T V O # ISSN 0351-6652 9 7 7 0 3 5 1 6 6 5 1 4 2 PR E S E K L E T N I K 5 1 ( 2 0 2 3 / 2 0 24 ) Š T E V I L K A 4    ̌   ̌̌  ̌                      P                     Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 51, šolsko leto 2023/2024, številka 4 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Nino Bašić (računalništvo), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Andrej Guštin (astronomija), Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Boštjan Kuzman (matematika), Peter Legiša, Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Razpet, Grega Rihtar (jezikovni pregled), Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: Fakulteta za matematiko in fiziko, Presek, Jadranska ulica 19, 1000 Ljubljana, telefon (01) 4766 558. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: zalozba@fmf.uni-lj.si Naročnina za šolsko leto 2023/2024 je za posamezne naročnike 25,00 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 22,00 eur, posamezna številka 6,00 eur, stara številka 4,00 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 30 eur. Transakcijski račun: 01100-6030708962. List sofinancira Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega proračuna iz naslova razpisa za sofinanciranje domačih poljudno-znanstvenih periodičnih publikacij. Založila Fakulteta za matematiko in fiziko Oblikovanje Lucia Jamnik Tisk Collegium Graphicum, Ljubljana Naklada 900 izvodov © 2024 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije in Fakulteta za matematiko in fiziko ISSN 2630-4317 (Online), ISSN 0351-6652 (Tiskana izd.) Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana. Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matematike, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja Pri- kaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učencem viš- jih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo ošte- vilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko večinoma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps . . . ), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (co- pyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsti- cami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredništva Fakulteta za matematiko in fiziko, Presek, Jadranska 19, 1000 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte zalozba@fmf.uni-lj.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorne datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu.         ̌           b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b     ̌         P 51 (2023/2024) 42 Avtomatizirano reševanje olimpijskih nalog Problemi iz matematičnih olimpijad predstavljajo izjemen izziv najboljšim srednješolcem in srednje- šolkam iz vsega sveta, orodja umetne inteligence pa pri njihovem reševanju doslej niso bila zelo uspe- šna, saj jim manjka dovolj obsežna baza človeških dokazov v stroju berljivi obliki. Nedavno pa je pri- šlo do prelomnih dosežkov tudi na tem področju. Dokazovalnik geometrijskih izrekov AlphaGeometry je bazo človeških dokazov nadomestil z lastno sin- tetizacijo milijonov izrekov in dokazov. Ustvaril je milijardo naključnih diagramov geometrijskih objek- tov in na njih izčrpno opisal različne relacije med premicami in točkami, nato pa analiziral, kateri do- datni elementi v konstrukcijah so potrebni za do- kaze izrekov. Po izločitvi podobnih mu je v bazi ostalo 9 milijonov primerov, kar zadošča za učinko- vito iskanje novih korakov pri reševanju zahtevnih problemov. AlphaGeometry je na testiranju v stan- dardnem tekmovalnem času rešil 25 od 30 geome- trijskih problemov iz matematičnih olimpijad med leti 2000 in 2022. S tem se je približal dosežkom povprečnega nosilca zlate medalje iz mednarodne matematične olimpijade, ki bi po obstoječi statistiki rešil 25,9 problema. Njegove rešitve so človeku ber- ljive, čeprav so večinoma daljše od tistih, ki jih pri- pravijo najboljši reševalci, ki se sklicujejo na znane izreke. Več v članku Trinh, T.H., Wu, Y., Le, Q.V. et al. Solving olympiad geometry without human demon- strations. Nature 625, 476–482 (2024). ˆ ˆ ˆ S  : Biserni oblaki nad norveškim Bergnom 20. decembra 2023. Pojav je opisan v prispevku o naravoslovni fotogra- fiji. Foto: Tina Pavlin ̌  2 Avtomatizirano reševanje olimpijskih nalog  4 Prvih petnajst let tekmovanj v znanju astronomije (Andrej Guštin)  5–10 S kvaternioni preko štirih dimenzij do računalniških iger (Filip Rus) 11–13 Fibonaccijevi pravokotniki (Marko Razpet) 28–30 GeoGebrin kotiček – Tetraedrsko število 2024 (Boštjan Kuzman)  14–15, 18–19 Vrček in kozarec vode (Nada Razpet) 31 Naravoslovna fotografija – Biserni oblaki: barvito optično čudo (Aleš Mohorič)  21–26 Plimovanje (Vid Kavčič)  10, 26 Križne vsote 16–17 Nagradna križanka (Marko Bokalič) 20 Bilo je nekoč v reviji Presek – 2001 s kovanci 27 Rešitev nagradne križanke Presek 51/3 (Marko Bokalič)      P 51 (2023/2024) 4 3 Kazalo      P 51 (2023/2024) 44 Prvih petnajst let tekmovanj v znanju astronomije A G̌,    Letos je potekalo petnajsto tekmovanje v zna- nju astronomije za Dominkova priznanja. Pobudo za to tekmovanje je ob mednarodnem letu astro- nomije 2009 (MLA 2009) dal Andrej Guštin in ob močni podpori predsednice MLA 2009 Andreje Gomboc zamisel tudi predstavil Društvu matema- tikov, fizikov in astronomov Slovenije (DMFA). Na DMFA Slovenije so novo tekmovanje širokogrudno sprejeli in od tedaj poteka pod okriljem tega dru- štva. Andreja Gomboc je bila prvih štirinajst let tudi predsednica komisije za astronomska tekmo- vanja in recenzentka nalog, Andrej Guštin pa taj- nik tekmovanja in sestavljavec nalog šolskih in dr- žavnih tekmovanj v tem obdobju. DMFA Slovenije ima dobro tekmovalno platformo in povezanost z mentorji po šolah, kar so pri dru- štvu vzpostavili v desetletjih organiziranja tekmo- vanj iz znanja matematike, fizike in sorodnih ved. Vse to je omogočilo, da se je tudi tekmovanje v zna- nju astronomije hitro prijelo. Astronomija je v pri- merjavi s sestrskima matematiko in fiziko sicer v po- drejenem položaju, saj ni del rednega šolskega pro- grama, temveč je v osnovni šoli prepuščena izbirno- sti in krožkom, v srednjih šolah oziroma gimnazi- jah večinoma krožkom, zato v pionirskih časih astro- nomskega tekmovanja sestavljavcu in recenzentki ni bilo lahko »nastaviti« primernega nivoja težavnosti nalog. Obenem ne gre pozabiti na pogum šolskih mentorjev in mentoric, ki so iz istih razlogov kot or- ganizatorji lahko samo tipali za potrebnimi znanji za to novo tekmovanje. Rezultati in zgodovina ka- žejo, da je vsem vpletenim vendarle uspelo. Osnovna namena tekmovanja v znanju astronomije sta popu- larizacija astronomije in dvig astronomskega znanja med mladimi, ki ju je mogoče doseči z vzpostavi- tve piramide znanja od osnovne šole do zaključnega letnika srednjih šol. Za doseganje teh ciljev je ključ- nih veliko faktorjev: čim večje število udeleženih šol in tekmovalk/tekmovalcev, angažiranost in znanje mentoric/mentorjev, primerna težavnost izzivov in njihova pedagoška nota, ki nakazuje smer pričako- vanih znanj in gradi na postopni rasti znanja od niž- jih razredov naprej. Tekmovanje v znanju astrono- mije se je držalo teh smernic in tako postalo do- dana vrednost v splošnem izobraževalnem sistemu. V uspeh tekmovanja je bilo vloženih veliko delovnih dni, truda, strokovnega in pedagoškega znanja, pri čemer je na strani organizatorjev sodelovalo tudi ve- liko ljudi, ki so delovali na različnih nivoji tekmo- vanja. Posebej moram omeniti Dunjo Fabjan, ki se je v preteklem desetletju pri astronomskih tekmova- njih izjemno angažirala in je letos tudi prevzela vo- denje državnega tekmovanja v znanju astronomije. Za mentorje je tudi pomembno, da vzgajajo nasle- dnike, med katerimi v zadnjem času izstopa mladi Vid Kavčič, ki je letos prevzel večino bremena sestav- ljanja tekmovalnih nalog. ˆ ˆ ˆ www.presek.si www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/       P 51 (2023/2024) 4 5 S kvaternioni preko štirih dimenzij do računalniških iger F R V srednji šoli spoznamo naslednje zaporedje številskih množic: N Ă Z Ă Q Ă R Ă C. Matematiki so se dolgo časa spraševali, ali lahko zaporedje smiselno nadaljujemo in definiramo no- vo množico števil, ki bi vsebovala vse prejšnje. Ker so kompleksna števila dvodimenzionalna »nadgradnja« realnih števil, bi bila rešitev proble- ma lahko konstrukcija novih, tridimenzionalnih števil. Tako idejo je imel tudi irski matematik William Rowan Hamilton (1805–1865). Kompleksnim števi- lom lahko dodamo novo komponento, označeno z j, za katero velja j2 “ ´1. Tako dobimo tridimen- zionalni prostor ta ` bi ` cj | a,b, c P Ru, kjer je i2 “ j2 “ ´1. Problem, ki je mučil Hamiltona, pa je bila smiselna definicija množenja takih števil. Kot je produkt dveh kompleksnih števil vedno komple- ksno število, je želel, da je produkt dveh elementov te množice ponovno element iste množice. Vendar, kako smiselno definirati i ¨ j? 16. oktobra leta 1843, ko se je z ženo sprehajal po dublinskem kanalu Ro- yal Canal, se mu je utrnila nova zamisel. Čeprav na- čina za množenje tridimenzionalnih števil ni poznal, pa se je spomnil definicije novih, štiridimenzional- nih števil. Poleg komponente j je kompleksnim šte- vilom dodal komponento k in tako dobil novo mno- SLIKA 1. Spominska plošča na mostu Broom Bridge, posvečena Willi- amu Hamiltonu.       P 51 (2023/2024) 46 žico števil ta`bi`cj`dk | a,b, c, d P Ru. Preko nje lahko vstopimo v tridimenzionalni svet, če parame- ter a nastavimo na 0. Pravila za množenje elementov te množice i2 “ j2 “ k2 “ ´1 in ijk “ ´1 je Ha- milton v navalu navdušenja vklesal na bližnji most Broom Bridge. Množico je poimenoval kvaternioni, ime, ki se je ohranilo vse do danes. Po Hamiltonu množico kvaternionov označujemo s H. Računske operacije s kvaternioni Množico kvaternionov sestavljajo torej štiridimenzi- onalni elementi oblike a ` bi ` cj ` dk, kjer so a, b, c in d realna števila, na primer 6 ` ? 2i ` 12j ´ k. Podmnožico realnih števil iz množice kvaternionov dobimo, če vzamemo b “ c “ d “ 0, kompleksnih pa, če na 0 nastavimo parametra c in d. Prav zato, ker so kvaternioni razširitev kompleksnih števil, je tudi računanje z njimi podobno. Kvaternione sešte- vamo in odštevamo po komponentah. Velja torej p3 ` 7i` 2j ´ 3kq ` p5 ` 2i´ 2j ` 4kq “ 8 ` 9i` k in p8`2i`6j`9kq ´ p9`7i`6j`8kq “ ´1´5i`k. Pričakovano poteka tudi množenje kvaterniona z re- alnim skalarjem: 5p2 ´ 4i` 3j ´ 2kq “ 10 ´ 20i` 15j ´ 10k. Bolj pazljivi moramo biti pri množenju kvaternio- nov. V uvodu smo že definirali pravila za množenje i2 “ j2 “ k2 “ ´1 in ijk “ ´1. S pomočjo tega lahko izpeljemo, kako se med seboj množijo komponente i, j, k. Začnimo z enakostjo ijk “ ´1. Če enakost pomnožimo s k z desne, dobimo ijk2 “ ´k. Ker velja k2 “ ´1, pridemo do zveze ij “ k. Če začetno enakost pomnožimo z i z leve, pa do- bimo i2jk “ ´i oziroma jk “ i. Enakost zdaj pomnožimo še z j z leve. Dobimo ji “ ´k. Vidimo, da velja ij “ ´ji. Množenje kvaternionov torej ni komutativno, zato moramo biti posebej paz- ljivi glede vrstnega reda, v katerem elemente mno- žimo. Podobno lahko izpeljemo enakosti ij “ ´ji “ k, jk “ ´kj “ i, ki “ ´ik “ j. Formule si lahko zapomnimo po shemi na sliki 2. SLIKA 2. Shema množenja elementov i, j, k. Produkt dveh zaporednih elementov v smeri urnega kazalca je naslednji element, v obra- tni smeri pa mu dodamo nasprotni predznak. Kot primer zmnožimo 2 ` i´ k in i` 3j. Produkt je enak p2 ` i´ kqpi` 3jq “ 2i` 6j ` i2 ` 3ij ´ ki´ 3kj “ 2i` 6j ´ 1 ` 3k´ j ` 3i “ ´1 ` 5i` 5j ` 3k.       P 51 (2023/2024) 4 7 Podobno kot konjugiranje kompleksnih števil lahko definiramo tudi konjugiranje kvaternionov. Če vza- memo kvaternion h “ a`bi`cj`dk, je konjugiran kvaternion h̄ enak a ´ bi ´ cj ´ dk. Račun pokaže, da velja hh̄ “ h̄h “ a2 ` b2 ` c2 ` d2, kar lahko, podobno kot pri kompleksnih številih, in- terpretiramo kot kvadrat dolžine kvaterniona |h|2. Za konec poglejmo še deljenje kvaternionov. Da poenostavimo kvocient kvaternionov uv , lahko podo- bno kot pri kompleksnih številih števec in imenova- lec pomnožimo z v̄ . V imenovalcu bomo dobili kva- drat dolžine |v|2, v števcu pa produkt uv̄ . Velja torej u v “ uv̄ vv̄ “ uv̄|v|2 . Deljenje si oglejmo na primeru: 7i` 5k 2 ` i` 3j ` k “ p7i` 5kqp2 ´ i´ 3j ´ kq 22 ` 12 ` 32 ` 12 “ 12 ` 29i` 2j ´ 11k 15 . Uporaba kvaternionov v geometriji Hamilton je pričakoval, da se bodo kvaternioni uve- ljavili kot učinkovito orodje za opis operacij v triraz- sežni geometriji, toda sčasoma jih je izrinil običajni vektorski zapis z operacijama skalarnega in vektor- skega produkta. Kljub temu kvaternioni danes igrajo pomembno vlogo v računalniški grafiki, robotiki in astronomiji, kot je predstavljeno v tem razdelku. Denimo, da imamo podano točko A “ px,y, zq, ki bi jo radi zavrteli okoli neke osi za kot φ. Pri rotiranju si lahko pomagamo s kvaternioni. Točko A lahko predstavimo kot kvaternion v “ xi` yj ` zk. Definiramo še enotski vektor ~u “ pu1, u2, u3q, ki kaže v smer osi vrtenja in mu priredimo kva- ternion h “ cos φ2 `pu1i`u2j`u3kq sin φ 2 , pri čemer je φ želen kot rotacije. Komponente točke A, zavr- tene za kot φ v smeri urnega kazalca (gledano iz ko- ordinatnega izhodišča vzdolž osi) okoli osi, dane z vektorjem ~u, lahko preberemo iz produkta h ¨ v ¨ h̄. Oglejmo si še primer. Denimo, da želimo zavrteti SLIKA 3. Rotacija točke A za kot φ okoli dane osi.       P 51 (2023/2024) 48 točko A “ p1,0,0q za kot φ “ 2π3 okoli osi v smeri vektorja p1,1,1q. Najprej definiramo enotski vektor ~u v smeri osi vrtenja. Ta je enak ~u “ 1? 3 p1,1,1q. Pripadajoč kvaternion h je enak cos ˆ 1 2 ¨ 2π 3 ˙ ` 1? 3 pi` j ` kq sin ˆ 1 2 ¨ 2π 3 ˙ “ “ 1 2 ` 1? 3 pi` j ` kq ? 3 2 “ “ 1 2 p1 ` i` j ` kq. Točko A “ p1,0,0q lahko identificiramo s kvaterni- onom v “ i. Da dobimo novo lego točke po vrtenju, moramo izračunati produkt h ¨ v ¨ h̄ “ 1 2 p1 ` i` j ` kq ¨ i ¨ 1 2 p1 ´ i´ j ´ kq. Če upoštevamo pravila za množenje kvaternionov in pazimo na njihovo nekomutativnost, račun po- kaže, da je zgornji produkt enak j. Podobno kot prej lahko ta kvaternion identificiramo s točko p0,1,0q. Če torej točko p1,0,0q zavrtimo za kot 2π3 okoli osi v smeri vektorja p1,1,1q, dobimo novo točko s koordi- natami p0,1,0q. Da bi lažje razumeli ozadje formule za rotacijo, poglejmo geometrijsko interpretacijo množenja kva- ternionov. Najprej množimo poljuben kvaternion a` bi` cj ` dk s kvaternionom i z leve. Dobimo ipa` bi` cj ` dkq “ ´b ` ai´ dj ` ck. Štiridimenzionalni prostor lahko razdelimo na dve ravnini. Prvo sestavljata realna os in os i, drugo pa osi j in k. Komponenti pa,bq po množenju posta- neta p´b,aq, kar ustreza rotaciji za 90˝ v prvi rav- nini. Hkrati komponenti pc,dq postaneta p´d, cq, kar prav tako ustreza rotaciji za 90˝ v drugi, jk ravnini. Kaj pa, če kvaternion množimo z ´i z desne? Do- bimo pa` bi` cj ` dkqp´iq “ b ´ ai´ dj ` ck. V ravnini jk dobimo popolnoma enako rotacijo kot prej, v prvi ravnini pa dobimo rotacijo za 90˝ v nasprotni smeri kot pri množenju z i z leve. Zdaj lahko brez računanja ugotovimo, čemu je enak pro- dukt ipa`bi` cj `dkqp´iq. V prvi ravnini pride do SLIKA 4. Rotacija v prvi ravnini pri množenju z i z leve. SLIKA 5. Rotacija v drugi ravnini pri množenju z i z leve. dveh nasprotno izključujočih se rotacij, zato kompo- nenti pa,bq ostaneta nespremenjeni, v drugi pa dva- krat rotiramo za 90˝ v isti smeri, kar ustreza rotaciji za 180˝. Tako komponenta pc,dq postane p´c,´dq.       P 51 (2023/2024) 4 9 SLIKA 6. Rotacija v prvi ravnini pri množenju z ´i z desne. Velja torej ipa` bi` cj ` dkqp´iq “ a` bi´ cj ´ dk. Pri množenju točke ai ` bj ` cj s kvaternionom h “ cos φ2 ` pu1i ` u2j ` u3kq sin φ 2 z leve in h̄ “ cos φ2 ` p´u1i´u2j ´u3kq sin φ 2 z desne lahko pro- stor razdelimo na prvo ravnino, ki jo določata realna os in os v smeri vektorja u “ pu1, u2, u3q, drugo rav- nino pa predstavlja njen ortogonalni komplement. Rotaciji v prvi ravnini se izničita, torej realna kom- ponenta točke, ki jo rotiramo, ostane 0, nespreme- njena pa ostane tudi njena lega vzdolž osi u. Hkrati poteka rotacija v drugi ravnini, ki pa ustreza ravno dvakratni rotaciji za kot φ2 okoli osi pu1, u2, u3q. Ko je Hamilton pred približno dvesto leti prvič definiral kvaternione, si ni mogel predstavljati, ka- kšno vlogo bodo danes igrali v vsakdanjem življe- nju. S tehnološkim napredkom so kvaternioni po- stali pomembno orodje na številnih področjih, pred- SLIKA 7. Z modro barvo je označena ravnina, v kateri poteka ro- tacija. Njena normala je ravno os u.           P 51 (2023/2024) 410 vsem znotraj računalništva, kljub temu da gre za šti- ridimenzionalne objekte, kar se na prvi pogled ne sklada z našim tridimenzionalnim svetom. Nobeno presenečenje ne bi bilo, če bi v prihodnosti podoben razcvet doživeli še drugi manj znani večdimenzio- nalni številski sistemi, kot na primer oktonioni. Raz- iskovanje takih objektov je torej še kako pomembno, saj lahko kakršno koli novo spoznanje znotraj njiho- vega sveta še dodatno poenostavi svet okoli nas. Literatura [1] Spominska plošča na mostu Broom Bridge, po- svečena Williamu Hamiltonu, [ogled 12. 1. 2024], dostopno na https://en.m.wikipedia.org/ wiki/File:Inscription_on_Broom_Bridge_ %28Dublin%29_regarding_the_discovery_ of_Quaternions_multiplication_by_Sir_ William_Rowan_Hamilton.jpg. [2] M. Brešar, Uvod v algebro, DMFA - založništvo, Ljubljana, 2018. [3] G. Günaştı, Quaternions Algebra, Their Appli- cations in Rotations and Beyond Quaternions, [ogled 8. 10. 2023], dostopno na https: //www.diva-portal.org/smash/get/diva2: 535712/FULLTEXT02. [4] Yan-Bin Jia, Quaternions and Rotations, [ogled 8. 10. 2023], dostopno na https: //graphics.stanford.edu/courses/ cs348a-20-winter/Papers/quaternion.pdf. [5] N. Reed, Why do Quaternions Double-Cover?, [ogled 8. 10. 2023], dostopno na https://www.reedbeta.com/blog/ why-quaternions-double-cover/. ˆ ˆ ˆ Popravek V članku Rešitve matematičnih nalog s Plemljeve mature v 3. številki 51. letnika Preseka na strani 12 v levem stolpcu spodaj je napaka. Namesto n “ loga{ logA “ n “ 92,64 mora biti n “ logpa{Aq{ log r “ 92,64 let. Za neljubo napako se bralcem iskreno opravičujemo. Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 16 18 14 5 20 5 ̌ ̌  1618 14 95 5 20 794 5 41 ˆ ˆ ˆ       P 51 (2023/2024) 4 11 Fibonaccijevi pravokotniki M R Fibonaccijevo zaporedje sestavljajo Fibonacci- jeva števila Fn, ki so določena z rekurzivno enačbo Fn +2 = Fn +1 ` Fn (n ě 1) (1) pri začetnih pogojih F1 = 1 in F2 = 1. Včasih raje začnemo s F0 = 0 in F1 = 1 ter uporabimo (1) za n ě 0. Indeksi n števil Fn kakor tudi sama števila Fn so naravna števila. Fibonaccijevo zaporedje z nekaj začetnimi členi zapišemo v obliki: (Fn) 8 n =1 = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, . . . ). Fibonaccijeva števila niso samo preprosto defini- rana, ampak imajo številne zanimive lastnosti. V prispevku si bomo ogledali samo eno. Najprej vzemimo zaporedje kvadratov Fibonacci- jevih števil pF2nq8n“1 “ p1,1,4,9,25,64,169,441,1156, 3025,7921,20736,54289, . . .q, (2) nato pa zaporedje delnih vsot teh kvadratov: pSnq8n“1 “ p1,2,6,15,40,104,273,714, 1870,4895,12816,33552, . . .q. (3) Pri tem je n-ta delna vsota Sn definirana kot vsota prvih n členov zaporedja (2), to se pravi S1 “ F21 , S2 “ F21 ` F22 , S3 “ F21 ` F22 ` F23 , . . . , Sn “ F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n, . . . Takoj opazimo, da lahko člene zaporedja (3) raz- stavimo na produkt dveh zaporednih Fibonaccijevih števil, na primer: S1 “ 1 ¨ 1 “ F1F2, S2 “ 1 ¨ 2 “ F2F3, S3 “ 2 ¨ 3 “ F3F4, S4 “ 3 ¨ 5 “ F4F5. SLIKA 1. Konstrukcija Fibonaccijevih pravokotnikov.       P 51 (2023/2024) 412 SLIKA 2. Razrez Fibonaccijevega pravokotnika na kvadrate. Pri tem se nam kar hitro utrne misel, da je na splo- šno Sn “ FnFn`1 oziroma F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n “ FnFn`1. (4) O veljavnosti enakosti (4) se takoj prepričamo z me- todo matematične indukcije. Za n “ 1 relacija očitno velja. Predpostavimo, da relacija velja za katerokoli naravno število n. Potem na osnovi te predpostavke in z uporabo enačbe (1) dobimo F21 ` F22 ` F23 ` . . .` F2n ` F2n`1 “ FnFn`1 ` F2n`1 “ Fn`1pFn ` Fn`1q “ Fn`1Fn`2 “ Fn`1Fpn`1q`1. To pomeni, da relacija velja tudi za število n ` 1, ki je neposredni naslednik števila n. Potemtakem (4) velja za vsa naravna števila n. Enačba (4) pove, da lahko zaporedje pravokotni- kov s stranicama Fn in Fn`1 za n ą 1 (imenujemo jih Fibonaccijevi pravokotniki) konstruiramo po ko- rakih. Začnemo z najmanjšim Fibonaccijevim pravo- kotnikom s stranicama F2 “ 1 in F3 “ 2 (slika 1, A) in ploščino S2 “ 2. Temu pridružimo kvadrat s stra- nico F3 “ 2. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s stra- nicama F3 “ 2 in F4 “ F2 ` F3 “ 3 (slika 1, B) in plo- ščino S3 “ 6. Temu pridružimo kvadrat s stranico F4 “ 3. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s stra- nicama F4 “ 3 in F5 “ F3 ` F4 “ 5 (slika 1, C) in ploščino S4 “ 15. Nato temu pridružimo kvadrat s stranico F5 “ 5. Dobimo Fibonaccijev pravokotnik s       P 51 (2023/2024) 4 13 SLIKA 3. Fibonaccijeva spirala. stranicama F5 “ 5 in F6 “ F4 ` F5 “ 8 (slika 1, D) in ploščino S5 “ 40. Opisani postopek lahko nadalju- jemo tako dolgo, kot želimo. Enakost (4) tudi pomeni, da lahko Fibonaccijev pravokotnik s stranicama Fn in Fn`1 za n ą 1 raz- režemo netrivialno na same kvadrate. Slika 2 kaže primer za n “ 7, ko je F7 “ 13 in F8 “ 21. Kvadrati, na katere smo razdelili Fibonaccijev pravokotnik, so različno obarvani. Ko od Fibonaccijevega pravokotnika s stranicama Fn`1 in Fn odrežemo kvadrat s stranico Fn, dobimo manjši Fibonaccijev pravokotnik s stranicama Fn in Fn´1. Ta postopek lahko nadaljujemo, dokler ne pri- demo do najmanjšega Fibonaccijevega pravokotnika s stranicama F3 “ 2 in F2 “ 1. Slednjega lahko razdelimo samo še na dva enotska kvadrata. Če v vse kvadrate pri tem postopku včrtamo četrtine kro- žnic, tako kot na sliki 3, dobimo Fibonaccijevo spi- ralo. Krožni loki imajo polmere Fn, Fn´1, . . . , F2, F1. Literatura [1] J. Ziegenbalg, Figurierte Zahlen, Springer Spek- trum, Wiesbaden 2018. ˆ ˆ ˆ www.presek.si www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/       P 51 (2023/2024) 414 Vrček in kozarec z vodo N R V steklen vrček in kozarec smo natočili vodo, ju postavili na poličko balkonske ograje in z njima opazovali okolico. Ker imata posebno obliko, vi- dimo isto skupino hiš večkrat, kot kažeta fotogra- fiji (slika 1 in slika 2), ki sta bili posneti pred priha- jajočo nevihto. SLIKA 1. Pogled skozi steklen vrček z vodo. Vidimo dva pasova hiš. Spodnji je na glavo obrnjeni zgornji, oba pa imata med seboj zamenjani levo in desno stran. Spodnji del vrčka in srednji del kozarca sta izbo- čena. Ustje vrčka in spodnji ter zgornji del kozarca pa imata posebno obliko. Preseki z ravninami, vzpo- rednimi z osnovno ploskvijo, so krogi. Preseki z rav- ninami, ki so pravokotni na osnovno ploskev, pa so približno hiperbole. Geometrijsko telo, ki ima tako obliko, je enodelni rotacijski hiperboloid. Zato bomo te dele vrčka in kozarca imenovali hiperboloidni deli. Na prvi pogled rečemo: aha, izbočeni deli vrčka in kozarca delujejo kot zbiralna, hiperboloidni pa kot SLIKA 2. Pogled skozi steklen kozarec z vodo. Vidimo tri pasove hiš, kjer so na spodnjem in zgornjem pasu hiše pokonci, v srednjem pa obrnjene na glavo. Pri vseh treh pasovih hiš pa sta med seboj zamenjani leva in desna stran. razpršilna leča. Pa je res tako? Kaj vidimo skozi kro- gelno zbiralno in kaj skozi krogelno razpršilno lečo, kažeta fotografiji na sliki 3. Po lomu skozi krogelno zbiralno lečo se žarki iz točke P oddaljenega predmeta sekajo v točki P 1. To- čka P 1 je prava slika točke P . Prave slike oddalje- nih predmetov so na drugi strani leče, kot je pred- met, obrnjene so na glavo, leva in desna stran sta med seboj zamenjani. Lahko jih ujamemo na za- slon. Krogelna razpršilna leča pa svetlobo, ki prihaja skozi lečo, razprši, sekajo se podaljški žarkov. Slika nastane na isti strani, kot je predmet, in sicer med predmetom in lečo. Slika je navidezna, pokončna, leva in desna stran pa med seboj nista zamenjani. Primerjajmo, kaj vidimo skozi krogleni leči in kaj skozi vrček in kozarec z vodo. Najprej poglejmo skozi vrček. Če bi bil trebušasti del vrčka povsod enako ukrivljen, bi za svetlobo deloval kot debela zbiralna leča. In res, skozenj vidimo okolico postav- ljeno na glavo, leva in desna stran pa sta med se- boj zamenjani, kot to pričakujemo pri zbiralni leči. Nekoliko preseneti dobra ostrina slike 1, a ker sta       n a d a lj e va n je n a st ra n i 18 P 51 (2023/2024) 4 15 SLIKA 3. Levo: Pogled skozi krogelno razpršilno lečo. Hiše stojijo pokonci, leva hiša je na levi strani, desna pa na desni strani. Desno: Pogled skozi krogelno zbiralno lečo. Hiše stojijo na glavi, leva in desna sta med seboj zamenjani. krivinska radija vrčka na trebušastem predelu v vo- doravni in navpični smeri, to sta Rv “ 6 cm, Rn “ 6,3 cm, skoraj enaka, trebušasti del vrčka res de- luje kot debela zbiralna leča. Povsem drugače pa je na grlu vrčka in na spodnjem in zgornjem delu kozarca. To so hiperboloidni deli. Tu je navpična ukrivljenost negativna, vodoravna pa pozitivna, zato imamo zanimivo lečo, ki je za žarke v vodoravni rav- nini zbiralna, v navpični pa razpršilna. Takih leč ni mogoče kupiti, saj so neuporabne. V teh delih vrčka in kozarca se pojavljajo pasovi hiš, kjer sta med se- boj zamenjani leva in desna stran, hiše pa ne stojijo več na glavi, ampak so pokončne. Torej vidimo kom- binacijo prave in navidezne slike (glej sliko 4). Prava nastane med vrčkom/kozarcem in opazovalcem, na- videzna pa na drugi strani vrčka/kozarca. Če je opa- zovalec daleč od vrčka/kozarca, če je torej njegova razdalja do posod veliko večja, kot je njihov krivin- ski radij R, še vedno kar dobro vidimo kombinirano sliko, čeprav ne več tako ostro kot prej. Narišimo po- tek žarkov skozi hiperboloidne dele kozarca/vrčka. Za skico potrebujemo enačbo hiperboloida: x2 a2 ` y 2 a2 ´ z 2 c2 “ 1. Parametra a in c sta izbrana tako, da ustrezata SLIKA 4. Shema žarkov za hiperboloidne dele vrča in ko- zarca. Žarki, katerih vstopne točke ležijo na mo- drih krožnicah, ki so pravokotne na os z, se sekajo za lečo. Žarki, ki vstopajo na razlǐcnih višinah, se sekajo v razlǐcnih tockah R1, R2, R3, ki ležijo na ru- meni črti. Dobimo prave slike tocke P. Podaljški žar- kov, katerih vstopne točke ležijo na ravninah, ki so vzporedna z navpǐcno osjo z, pa se zgoščajo okoli točk V1, V2 in V . To so navidezne slike točke P.           P 51 (2023/2024) 416 Nagradna križanka ˆ ˆ ˆ      Črke iz oštevilčenih polj vpišite skupaj z osebnimi podatki v obrazec na spletni strani www.presek.si/krizanka ter ga oddajte do 15. marec 2024, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo prejeli knji- žno nagrado.           P 51 (2023/2024) 4 17       n a d a lj e va n je s st ra n i 15 P 51 (2023/2024) 418 SLIKA 5. Posvetimo s svetilko skozi hiperboloidni del vrčka/kozarca in z zaslonom poiščemo sliko. Vidimo črte. Barvna črta je na levi, obarvana dioda pa na desni strani. polmeru dna kozarca in polmeru presečne krožnice na višini 9 cm. Rotacijska os pa je kar os z. Opa- zujemo žarke, ki izhajajo iz točke P (slika 4). Žarki v hiperboloidni del kozarca/vrčka vstopajo v vsto- pnih točkah. Tisti žarki, katerih vstopne točke ležijo na modrih krožnicah, ki so pravokotne na os hiper- boloida, se sekajo na drugi strani hiperboloida. Se pa žarki, ki vstopajo na različnih višinah, sekajo v različnih točkah R1, R2, R3 in ležijo na črti, ki je na sliki 4 označena z rumeno barvo. To so prave slike točke P . Vstopne točke na posameznih krožnicah so označene z rdečo, modro in zeleno barvo. V resnici rumena črta ni tako tanka, saj je leča debela in se na črti seka le ozek šop žarkov. Primerjate s člankom [1]. Črte lahko ujamemo na zaslon. Naredili smo dve fotografiji (slika 5). Za izvir svetlobe smo upora- bili baterijsko svetilko s petimi svetlečimi diodami. Eno od diod smo prekrili s prosojno oranžno plo- ščico. Svetilko postavimo pred vrček/kozarec tako, da je ploščica na desni strani, če gledamo v smeri proti vrčku/kozarcu. Na fotografijah se opazi, da črte niso ostre, so razmazane, saj tudi diode niso točkasta svetila. Ostrejši deli črt so na mestih, kjer se sekajo žarki, katerih razdalja od navpične osi z je majhna. Ne vidimo 5 črt, ker se črte nekaterih diod prekrivajo. Zdaj pa poglejmo, kako je s tistimi žarki, katerih vstopne točke ležijo v navpičnih ravninah. Ker smo narisali vstopne točke na treh vzporednih krožnicah, moramo samo pogledati, kje se sekajo podaljški žar- kov iz točk, ki ležijo v istih navpičnih ravninah. Na sliki so pobarvane z isto barvo. Pravzaprav bi mo- rali reči, kje se gostijo podaljški žarkov, saj se pozna napaka debele leče. Dobimo zgoščine V1, V2 in V . Če se razdalja žarkov od osi z manjša, se zgoščini V1 in V2 približujeta V . Dobili smo navidezne slike točke P . Povzemimo: hiperboloidni deli vrčka in kozarca delujejo v vodoravni smeri kot zbiralna, v navpični pa kot razpršilna leča. Kaj pa izbočeni del kozarca (slika 6)? Del izboče- SLIKA 6. Povečan zgornji del kozarca. Na izboče- nem, spodnjem delu, so hiše obrnjene na glavo, leva in desna stran sta med seboj zamenjani. Na hiper- boloidnem zgornjem robu pa stojijo hiše pokonci, prav tako sta leva in desna med se- boj zamenjani.       P 51 (2023/2024) 4 19 SLIKA 7. Kozarec z vodo smo zasukali za 90˝. Zdaj so na hiperboloidnem delu kozarca hiše obrnjene na glavo, saj v navpǐcni smeri deluje ta del kozarca kot zbiralna leča. Leva in desna stran pa nista med seboj zamenjani, saj v vodoravni smeri deluje ta del kot razpršilna leča. Na izbočenem delu pa so hiše obrnjene na glavo, leva in desna sta med seboj zamenjani. nega dela kozarca deluje kot zbiralna leča, del pa kot kombinirana. Na zaslonu lahko najdemo tako črte kot slike diod, ki pa ne nastanejo na istem mestu. Zanimivo je pogledati še skozi kozarec, ki ga za- sukamo za 90˝ (slika 7). Zdaj deluje hiperboloidni del kozarca navpično kot zbiralna leča, vodoravno pa kot razpršilna leča. Zato so hiše obrnjene na glavo, leva in desna pa nista med seboj zamenjani. Pri foto- grafiranju smo bolj pazili na hiperboloidni del, tako da se na izbočenem delu vidi le srednja hiša, kjer pa vidimo, da je zeleni bager, pri hiperboloidnem delu kozarca na levi strani rumene hiše, pri izbočenem delu pa na desni strani hiše, torej sta leva in desna stran na izbočenem delu kozarca med seboj zame- njani. Ne bo odveč, če pripomnimo, da zbiralna leča, tudi očesna je zbiralna, preslika tudi navidezno sliko v pravo sliko. Ko gledamo predmete skozi vrč ali kozarec, seveda brez zaslona, zaradi majhne zenice in večje oddaljenosti očesa vidimo le košček črte, ki daje vtis točke, žarke iz navidezne slike pa tudi v nekoliko zabrisano točko, ko oko akomodiramo na realno sliko. Od daleč torej vidimo sliko, ki je sicer ne moremo povsem izostriti, a tega niti ne opazimo. Če očesi nista v vodoravni ravnini, vidimo slabše, ker eno oko vidi nekaj drugega kot drugo. Stereo pogled z obema očesoma ne izostri slike. Tudi fotografski aparat teh slik ne more izostriti. Torej v teh prime- rih o slikah, kot jih vidimo pri krogelnih lečah, ne moremo govoriti. Še sami doma poglejte skozi ka- kšen zanimivo oblikovan steklen kozarec ali vrč, na- polnjen z vodo. Literatura [1] A. Likar, Valjasto in krogelno zrcalo, Presek, 51, 3, str. 19-23, 2023/2024 ˆ ˆ ˆ B          ̌        P               ̌ P 51 (2023/2024) 420 2001 s kovanci Š        4 ,       2 8 ( 2 0 0 0 / 2 0 0 1 ) V Sloveniji od leta 2007 dalje uporabljamo evro. Nekatere naše mlade bralke in bralci tako sploh nikoli niso uporabljali slovenskih tolarskih kovancev, o katerih go- vori naloga iz začetka leta 2001. Pravi ljubitelji matematike bodo nalogo zlahka posodobili na dana- šnjo situacijo: Koliko najmanj kovancev in bankovcev za 1, 2, 5 in 10 EUR potrebu- jemo, da lahko z njimi izplačamo vse zneske od 1 do 2024 EUR. Ali je takih skupin kovancev in bankovcev več? Na koliko različnih načinov lahko izplačamo znesek 2024 EUR s ko- vanci in bankovci za 1, 2, 5 in 10 EUR? Pa bi jo znali današnji bralci tudi rešiti? Če je naloga za vas pretežka, pobrskajte po starih številkah revije in morda boste našli odgovor tam.         P 51 (2023/2024) 4 21 Plimovanje V K̌̌ Vsak, ki je vsaj en dan preživel ob morski obali, je prav gotovo opazil plimovanje ´ periodično dvi- ganje in spuščanje gladine morske vode. V članku se bomo sprehodili mimo nekaj osnovnih dejstev o plimi, spoznali, kaj je to plimska sila, nato pa v poenostavljenem modelu ocenili razliko višin gla- dine morja ob nizki in visoki vodi. Nato se bomo z učinki plimovanja seznanili še nekoliko podrob- neje, vse skupaj pa bomo zaokrožili z nekaj zani- mivimi izzivi z astronomskih tekmovanj. Splošno o plimovanju Obče znano je, da je plima v veliki meri posledica gravitacijskega učinka Lune. Manj razširjeno pa je, da na plimovanje v manjši meri kot Luna vpliva tudi Sonce. Morska gladina dvakrat dnevno doseže svojo naj- večjo višino (plima), prav tako svojo najmanjšo vi- šino (oseka). Če smo nekoliko bolj natančni in upo- števamo kroženje Lune okoli Zemlje z obhodnim ča- som približno 27,3 dni, lahko izračunamo, da sta dva zaporedna plimska maksimuma razmaknjena za 1 2 ˆ 24 ` 24 27,3 ˙ h “ 12 h 25 min. Ob polni Luni in ob mlaju so Sonce, Zemlja in Luna poravnani v isti premici, zato se takrat plimska učin- ka Sonca in Lune seštejeta (slika 1). To pomeni, da je takrat razlika med višinama plime in oseke največja. V Koprskem zalivu ta razlika na primer znaša okoli 1 meter in 20 centimetrov. Nasprotno sta ob prvem oziroma ob zadnjem kraj- cu zveznici Zemlja´Luna in Zemlja´Sonce približno pravokotni, zato takrat razlika višin ni tako izrazita (slika 2). Najmanjša razlika višin gladine morske vo- de v Koprskem zalivu je takrat le okoli 40 cm. Sonce mlaj Zemlja SLIKA 1. Ob največji plimi ležijo Sonce, Luna in Zemlja na isti premici. Sonce zadnji krajec Zemlja SLIKA 2. Učinek plime je manjši, ko zveznici Sonce-Zemlja in Zemlja- Luna oklepata pravi kot. Plimska sila Plimovanje je v osnovi zelo zapleten pojav, ki ga ni enostavno pojasniti. Na prvi pogled bi rekli, da se vi- šina gladina vode spreminja, ker Luna in Sonce vodo privlačita s silo gravitacije, kar bi povzročilo dvigo- vanje in spuščanje vode. Po Newtonovem gravitacij- skem zakonu je sila med telesoma z masama M in m obratno sorazmerna s kvadratom razdalje d med njima: Fg “ GMm d2 .         P 51 (2023/2024) 422 ´f0 f0 LunaCB A SLIKA 3. Središče Zemlje je v točki C. Točka A je Luni najbližja točka na Zemljinem površju, točka B pa najbolj oddaljena. Plimska sila je razlika gravitacijskih sil Lune na telo v točkah A in C. Po nekaj razmisleka pa ugotovimo, da bi v tem pri- meru v enem dnevu imeli le eno plimo in eno oseko. Voda bi namreč Zemljo obdala z nekakšno jajčasto lupino, ki bi bila na strani Lune najdebelejša, na na- sprotni strani pa najtanjša. Težava je tudi v tem, da je sila gravitacije Sonca na telesa na Zemlji skoraj dvestokrat večja od sile gravitacije Lune nanje. To se ne sklada s tem, da na plimovanje v večji meri vpliva ravno Luna, zato takšna razlaga ni prava. Luna je od središča Zemlje v povprečju oddaljena okoli 384 tisoč kilometrov. Zemlja pa ni točkasto telo – je planet v obliki nekoliko sploščene krogle s polmerom okoli 6370 kilometrov. To pomeni, da različni deli Zemljinega površja niso enako oddaljeni od Lune – nekateri so bliže, nekateri pa dlje. Ker sila Lunine gravitacije pada z oddaljenostjo od Lune, je sila gravitacijska sila Lune na tiste dele Zemlje, ki so bližje Luni, večja kot na tiste, ki so dlje od nje. Oglejmo si (slika 3) razliko gravitacijskih sil, s ka- terima deluje Luna na opazovalca v središču Zemlje (točka C) in na opazovalca v točki, najbliže Luni (toč- ka A). Označimo to razliko sil z f0. Potemtakem lahko zapišemo f0 “ GMm pd$ ´ R‘q2 ´ GMm d2$ , kjer smo z R‘ označili polmer Zemlje in z d$ odda- ljenost Lune od središča Zemlje. Polmer Zemlje je veliko manjši od oddaljenosti Zemlje od Lune (R‘ ! d$), njen polmer namreč znaša približno 1{60 razda- lje do Lune. Izraz za f0 lahko tako z upoštevanjem zveze p1 ` xqn « 1 ` nx za x ! 1 nekoliko poeno- stavimo: f0 “ GM$m d2$ « ˆ 1 ´ R‘ d$ ˙´2 ´ 1 ff « 2GM$m d3$ R‘. Sili f0 pravimo plimska sila. Iz zgornjega izraza raz- berimo zelo pomembno lastnost plimske sile ´ ta namreč v nasprotju z gravitacijsko ne pada s kva- dratom oddaljenosti, temveč pada z njenim kubom. S podobnim izračunom ugotovimo, da je plimska sila na delec v točki, ki je od Lune najbolj odda- ljena (B), enaka ´f0. Iz simetrije gre tako sklepati, da se voda okoli Zemlje razporedi približno v obliki majceno sploščenega elipsoida, kar smo zaznamo- vali tudi na sliki 3. Zdi se, da bi lahko bile ravno plimske sile tiste, zaradi katerih se višina gladine vode na površju Ze- mlje spreminja ´ Luna na nekatere dele Zemljinega površja deluje z večjo silo kot na druge, zato bi pri- čakovali, da tam vodo pritegne "bliže k sebi", kar bi ustvarilo učinek plimovanja. V tem primeru bi se voda oblikovala v enakomerno jajčasto lupino, kot jo prikazuje slika 3, poleg tega pa bi dnevno zares imeli dve plimi in dve oseki. Z modelom plimovanja kot posledico učinkov pl- imskih sil bi lahko izračunali največjo razliko višin gladine vode ob plimi in oseki. Poskusimo!         P 51 (2023/2024) 4 23 Največja razlika višin gladine vode Izračunajmo, kolikšna je največja razlika višin gla- dine morja zaradi učinka Lune in Sonca. Pri tem bomo predpostavili, da je Zemlja enakomerno pre- krita z vodo ter da ležita Luna in Sonce v ekvato- rialni ravnini. Upoštevali bomo, da je masa Zemlje M‘ “ 6,0 ¨ 1024 kg, polmer Zemlje je R‘ “ 6370 km, masa Lune je M$ “ 7,3 ¨ 1022 kg, oddaljenost sredi- šča Lune od središča Zemlje je d$ “ 384 000 km, masa Sonca je Md “ 2,0 ¨ 1030 kg, njegova oddalje- nost od Zemlje pa dd “ 1,5 ¨ 108 km. Zavoljo lažjega računanja se nad izziv ne bomo spravili s proučevanjem gravitacijske ali plimske sile, temveč z uporabo gravitacijske potencialne energije. Poleg tega se za začetek omejimo zgolj na plimske učinke Lune, dodatnim vplivom Sonca pa se bomo posvetili v nadaljevanju. Zamislimo si testni delec z maso m na Zemljinem površju, ki se nahaja pri kotu z (slika 4). Izrazimo gravitacijsko potencialno energijo Wp tega delca v odvisnosti od kota z. Razdaljo r od središča Lune do telesa na površju Zemlje pri kotu z izrazimo s pomočjo kosinusnega izreka: r “ b d2$ ` R2C ´ 2d$RC cosz. Za potencialno energijo tako sledi Wp “ ´ GM$m b d2$ ` R2‘ ´ 2d$R‘ cosz . Kaj pa zdaj? Zgornji izraz lahko nekoliko poeno- stavimo, če upoštevamo, da je polmer Zemlje veliko manjši od oddaljenosti Lune od Zemlje. Pri tem upo- števamo prve tri člene Taylorjevega razvoja koren- ske funkcije. Če bi namreč upoštevali le prva dva člena, bi napravili pregrob približek, s tem pa bi v enačbah izgubili plimski učinek. Spomnimo se, da za x ! 1 velja zveza p1 ` xq´ 12 « 1 ´ 1 2 x ` 3 8 x2. Če slednje uporabimo v konkretnem primeru, do- bimo Wp “ ´ GM$m b d2$ ` R2‘ ´ 2d$R‘ cosz « ´GM$m d$ ´ GM$m d2$ R‘ cosz ´ GM$mR 2 ‘ 2d3$ p3 cos2 z ´ 1q. V točkah z1 “ 0 in z2 “ 180° je razlika gravita- cijskih potencialnih energij zaradi vpliva Lune najve- O A r d$ z L R‘ SLIKA 4. Skica za razumevanje plimskega učinka Lune za posamezne kraje na Zemljinem površju. S točko O je označeno središče Zemlje, s točko L pa središče Lune. Točka na Zemljinem površju, ki se nahaja pri kotu z glede na zveznico OL, označimo z A.         P 51 (2023/2024) 424 čja. Iz energijskega izreka sledi, da mora razlika gra- vitacijskih potencialnih energij zaradi Lune ustrezati razliki gravitacijskih potencialnih energij ∆W 1p na po- vršju Zemlje, ki je enaka ∆W 1p “ mgh0, kjer je h0 iskana razlika višin, g pa gravitacijski po- spešek na površju Zemlje. Poenostavljeno enačbo za razliko potencialnih energij lahko uporabimo, ker je pričakovana razlika višin h0 veliko manjša od pol- mera Zemlje R‘. Dobimo: mgh0 “ ´ GM$m d2$ R‘ pcosz2 ´ cosz1q “ 2GM$m d2$ R‘, iz česar izračunamo h0: h0 “ 2GM$ gd2$ R‘ » 50 m. Rezultat se zdi nekoliko prevelik in nerealen. Tega si ne moremo niti predstavljati, kaj šele, da bi že- leli kaj takšnega tudi izkusiti v vsakdanjem življenju. Kje smo se zmotili? Razlaga pojava plimovanja s plimsko silo je veliko boljša od začetne zamisli o razlagi pojava z gravi- tacijsko silo kot tako. Takšna interpretacija je po svoje tudi upravičena in bi tudi delovala, če bi Zem- lja in Luna mirovali. V razlagi pojava smo namreč zanemarili kroženje Lune okoli Zemlje. Poskusimo to upoštevati in popraviti svoje izračune. Pri tem moramo paziti in upoštevati še, da Luna pravzaprav ne kroži okoli središča Zemlje, temveč tako Luna kot tudi Zemlja v resnici krožita okoli sku- pnega težišča. Težišče sistema Zemlja–Luna se na- haja v Zemlji, in sicer okoli ρ “ 4670 km od njenega središča, kar lahko preverimo s preprostim računom: ρ “ M$ M‘ `M$ d$ « M$ M‘ d$ “ 4670 km. Tako tudi Zemlja kroži, kar pomeni, da se giblje pospešeno. Na opazovalca v pospešenem opazoval- nem sistemu deluje sistemska sila, ki ji v primeru kroženja pravimo centrifugalna sila. To ni prava sila, temveč navidezna sila, ki jo uvedemo za lažjo obrav- navo krožečih (torej pospešenih) sistemov. Centrifu- galna sila v sistemu krožečega telesa je po velikosti enaka centripetalni sili na telo v mirujočem opazo- valnem sistemu, vendar kaže v smeri stran od teži- šča sistema. Pri energijskem izračunu moramo tako upoštevati tudi delo centrifugalne sile zaradi kroženja Zemlje in Lune okoli skupnega težišča. Telesom na Zemljinem površju pripišemo centrifugalno potencialno energi- jo Wc, ki jo podaja izraz Wc “ mω2ρx, kjer je ω kotna hitrost kroženja sistema Zemlja–Lu- na, x pa oddaljenost telesa na površju Zemlje od Ze- mljine vrtilne osi (slika 4). Če izrazimo s “ R‘ cosz in ω2 “ GM‘{d3$, lahko izraz za centrifugalno potencialno energijo preobli- kujemo v Wc “ mω2ρz “ m GM‘ d3$ M$ M‘ d$R‘ cosz “ GM$m d2$ R‘ cosz. Razlika obeh potencialnih energij v danih krajih z1 in z2 ustrezamgh, pri čemer lahko za voljo ocene predpostavimo, da je g “ GM‘{R2‘ “ 9,8 m{s2 kon- stanten. K razliki prispeva samo tretji člen v izrazu za gravitacijsko potencialno energijo. Velja mgh “ 3GM$mR 2 ‘ 2d3$ , iz česar izračunamo h “ 3M$R 4 ‘ 2M‘d 3 $ “ 54 cm. Podobno izračunamo razliko višin h1 zaradi vplivov Sonca: h1 “ 3MdR 4 ‘ 2M‘d 3 d “ 24 cm. Največja višinska razlika je tako hmax “ h` h1 “ 78 cm, najmanjša pa hmin “ h´ h1 “ 30 cm.         P 51 (2023/2024) 4 25 Opazimo pa še, da so plimski učinki Lune pribli- žno dvakrat tolikšni kot plimski učinki Sonca. Če pa po drugi strani poračunamo razmerje gravitacijskih sil Sonca na Zemljo in Lune na Zemljo, ugotovimo: Fd F$ “ Md M$ ˆ d$ dd ˙2 « 180. Sonce je v tem smislu absolutni zmagovalec. Vendar moramo upoštevati, da je pri plimi bistvena razlika sil na središče Zemlje in točko na njeni površini. Ker plimsko silo izrazimo kot f “ ∆F “ 2GMm d3 RC, je karakteristično razmerje plimskih učinkov v re- snici fd f$ “ Md M$ ˆ d$ dd ˙3 » 0,5. Dinamična teorija plimovanja Razmeroma enostaven matematični model plimova- nja temelji na tako imenovani statični teoriji plimova- nja, ki predpostavlja, da je celotna Zemlja prekrita z oceanom, ki se okoli Zemlje zaradi plimskih sil raz- poredi v obliki elipsoida. To je le idealiziran pribli- žek, ki omogoča enostavno matematično obravnavo. Zemlja namreč ni enakomerno prekrita z vodo, tem- več ima zelo razgiban relief. Izračun zgoraj je tako smiseln le za plimovanje na odprtem morju. V bli- žini otokov, zalivov, prelivov in drugih reliefnih po- sebnosti je slednje veliko bolj zapleteno. Analiza plimovanja na Zemlji terja zahtevnejši pri- stop, ki mu pravimo dinamična teorija plimovanja. Teorija poleg gravitacijskih učinkov Sonca in Lune vključuje tudi preučevanje dinamike tekočin ob pri- sotnosti kopenskih mas, obliko oceanskega dna in vrtenje Zemlje. Plimski valovi se na Zemljinem ekvatorju gibljejo s hitrostjo 460 m/s. Iz hidrodinamike poznamo enač- bo za hitrost v širjenja valovanja na vodi, če je nje- gova veliko večja od globine H vode: v “ a gH, (1) kjer je g gravitacijski pospešek na površju Zemlje. Iz enačbe sledi, da bi morala biti globina oceana vsaj 22 kilometrov, da bi se plimski val prosto širil. Pov- prečna globina oceanov pa je okoli 4 kilometre, zato je hitrost valovanja približno 200 m/s. Če predpo- stavimo, da je valovna dolžina plimskih valov enaka polovici obsega Zemlje, sledi, da je pripadajoča peri- oda tega valovanja približno 30 ur. Spomnimo se, da je perioda plimovanja zaradi Lune okoli 12 ur. Po- jav tako sestavljata dve nihanji, zato bi ga morali v resnici obravnavati kot vsiljeno nihanje. Ostale zanimivosti o plimovanju Ocena v članku se kljub poenostavitvi dobro sklada z dejstvom, da je povprečna razlika višin gladine vode pri plimovanju oceanov po vsem svetu okoli 1 meter. Poznamo pa veliko zanimivih primerov, kjer je ta razlika višin tudi bistveno večja. Pojav opazimo pr- edvsem v nekaterih zalivih z ugodno obliko. Najve- čja amplituda je izmerjena v zalivu Fundy v Kanadi, kjer dosega vrednosti tudi do 22 metrov. V Evropi je plimovanje najbolj izrazito v Rokavskem prelivu, kjer amplituda plimovanja doseže do 16 metrov, po- dobno tudi v zalivu Saint-Malo v Franciji. Tolikšne amplitude so posledica pojava resonance, ki nastopi zaradi prisotnosti precejšnje količine vode v kombi- naciji z edinstveno obliko in velikostjo zaliva. Po drugi strani je lahko plimovanje bistveno manj izrazito, kar je značilno za plitva in zaprta morja, med katere sodi tudi tudi Jadransko morje. Pov- prečna razlika med višino plime in oseke v severnem Jadranu je le okoli 60 centimetrov. Velik vpliv na plimovanje morja imajo tudi mete- orološki dejavniki. Med njimi sta najpomembnejša zračni tlak in veter. Padec tlaka za en milibar pov- zroči zvišanje morske gladine za približno en cen- timeter. Ob nizkem zračnem tlaku v severnem Ja- dranu piha jugo, ki proti obali potiska večjo količino morske vode. Takrat se lahko gladina morja tako zviša, da poplavi nižje dele obale. Povprečna temperatura Zemljinega ozračja se z leta v leto viša. Eden izmed najočitnejših znakov glo- balnega segrevanja je tudi zviševanje gladine morja, kar pomeni, da se bo ogroženost obalnih predelov zaradi visokih plim v prihodnosti še povečala. Po podatkih Agencije za okolje se je povprečna višina morja ob slovenski obali v zadnjih 55 letih zvišala za približno 10 centimetrov ali povprečno za 1,7 mi- limetra na leto, v zadnjih 20 letih pa v povprečju za           P 51 (2023/2024) 426 pet milimetrov na leto, kar je hitreje od evropskega in globalnega trenda. Po projekcijah se bo gladina Jadranskega morja do konca stoletja zvišala še za približno 40 centimetrov. Zaradi plimskih učinkov se ne spreminja le višina gladine vode, temveč tudi oblika Zemljinega ozračja. Pri tem se v ozračju spreminjata gostota zraka in zračni tlak, vendar ne več kot za 0,01 % srednjega tlaka na morski gladini. Te spremembe so zato v pri- merjavi z meteorološkimi dejavniki zanemarljive. Zemlja ni popolnoma toga, temveč je do neke me- re prožna, zato se tudi sama ne more upreti učinkom delovanja plimskih sil. Marsikoga preseneti dejstvo, da poleg gladine vode in ozračja zaradi plimskih sil periodično niha tudi Zemljina skorja. Amplituda ni- hanja na ekvatorju je okoli 55 centimetrov, učinek pa ni tako nedolžen, kot se zdi na prvi pogled. Takšne spremembe so nemalokrat vzrok za manjše potrese, hkrati pa lahko spodbujajo tudi vulkansko delova- nje. Ti učinki so navadno dovolj majhni, da ne pred- stavljajo nevarnosti za ljudi. Plimovanje pa ima tudi druge posledice. Zaradi njihovega delovanja se vrtilna doba Zemlje vsako stoletje poveča za eno do dve milisekundi. Iz istega razloga se upočasnjuje tudi kroženje Lune, hkrati pa zato tudi Luna v prvem približku Zemlji vedno kaže isto lice. Luna se od Zemlje vsako leto oddalji za približno tri centimetre. Literatura [1] French, A. P. (1971). Newtonian mechanics. Lon- don: Nelson. [2] Karttunen, H., Kröger, P., Oja, H., Poutanen, M., & Donner, K. J. (2007). Fundametnal astronomy, fifth edition. Helsinki: Springer. [3] Roša, D. (2020). Elementarna astronomija. Za- greb: Zvjezdarnica Zagreb – Zagrebački astro- nomski savez. ˆ ˆ ˆ www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/ Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9 tako, da bo vsota števk v za- porednih belih kvadratkih po vrsticah in po stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem morajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) različne. 10 12 16 7 10 14 9 7 10 5 ̌ ̌  1012 16 97 7 10 154 14 9 36 7 10 73 5 14 ˆ ˆ ˆ           P 51 (2023/2024) 4 27 Nekaj iz ponudbe Založbe FMF V Založbe Fakultete za matematiko in fiziko izdajamo matematično in fizikalno literaturo. V nadaljevanju vam predstavljamo dve knjigi. Marta Zabret: MArTEMATIČNE PRIGODE 148 strani format 14 ˆ 20 cm mehka vezava 12,50 EUR Carlo Rovelli: SEDEM KRATKIH LEKCIJ IZ FIZIKE 76 strani format 12 ˆ 17 cm mehka vezava 9,50 EUR Poleg omenjene ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. https://www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/katalog/ Dodatne informacije lahko dobite v knjižnici Fakultete za matematiko in fiziko po telefonu (01) 4766 558. ̌  ̌  51/3 Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz druge številke Preseka letnika 51 je stopetdeset. Med pravilnimi rešitvami smo izžrebali naslednje reševalce: Urška Kenda Mavrar iz Grahova ob Bači, Andrej Uranjek iz Velenja, Vlasta Pospeh Fischer iz Celja, ki bodo nagrade prejeli po pošti. ˆ ˆ ˆ G   G          ̌   G  G         ̌   P 51 (2023/2024) 428 Tetraedrsko število 2024 B̌ K Letnica 2024 se kar sama od sebe ponuja kot navdih za tokratni GeoGebrin kotiček, saj ima šte- vilo 2024 številne zanimive lastnosti. Ena izmed njih je ta, da lahko 2024 okroglih pomaranč zlo- žimo v obliko pravilnega tetraedra, tako da je na vsakem robu 22 pomaranč. Ker pa bi takšna koli- čina pomaranč tehtala približno pol tone, bomo to konstrukcijo težko naredili z resničnimi pomaran- čami. Namesto tega jo lahko poskusimo narisati s pomočjo GeoGebre. Čeprav je končna rešitev kratka, pot do nje ni enostavna, zato predstavlja ravno pravšnji izziv za Presekove bralce. Trikotniška in tetraedrska števila Spomnimo se najprej trikotniških števil. Dobimo jih z zlaganjem pomaranč ali drugih enakih objektov v obliko enakostraničnega trikotnika. Za vsako nasle- dnje število prejšnjemu trikotniku dodamo vrstico, v kateri je en objekt več kot v prejšnji vrstici. Trikotni- ško število Tn je torej enako vsoti prvih n naravnih števil, ki jo znamo izračunati po formuli Tn “ 1 ` 2 ` . . .`n “ npn` 1q 2 . Zaporedje trikotniških števil ima torej člene 1,3,6, 10,15,21,28,36,45,55, . . . Tetraedrska števila pa dobimo z zlaganjem poma- ranč v plasti, ki dajo tetraedrsko obliko. Plasti v tej konstrukciji torej predstavljajo zaporedna triko- tniška števila, n-to tetraedrsko število pa je njihova vsota Tetpnq “ T1 ` T2 ` . . .` Tn “ n ÿ k“1 Tk. S pomočjo že znanih trikotniških števil lahko brez težav izračunamo prvih nekaj tetraedrskih števil, ki so enaka 1,4,10,20,35,56,84,120,165,220, . . . Za splošno formulo za tetraedrska števila pa zapišimo Tk “ kpk`1q2 “ k2`k 2 in se spomnimo formule za vsoto kvadratov řn k“1 k 2 “ 12 `22 `. . .`n2 “ npn`1qp2n`1q6 . Bralec lahko zdaj hitro preveri, da je iskana formula SLIKA 1. Prva štiri trikotniška števila T1 “ 1, T2 “ 3, T3 “ 6, T4 “ 10 predstavljajo plasti četrtega tetraedrskega števila Tetp4q “ 20. G  G         ̌   P 51 (2023/2024) 4 29 SLIKA 2. Pomikanje med središči kroglic poteka v smeri treh vektorjev na robovih pravilnega tetraedra. za n-to tetraedrsko število Tetpnq “ n ÿ k“1 Tk “ 1 2 ˜ n ÿ k“1 k` n ÿ k“1 k2 ¸ “ npn` 1qpn` 2q 6 . Iz formule sledi, da je dvaindvajseto tetraedrsko šte- vilo enako Tetp22q “ 22¨23¨246 “ 2024. Konstrukcija tetraedrskih števil Za konstrukcijo bomo seveda uporabili GeoGebrin 3D–način. Ustvarili bomo trojno zaporedje, odvisno od treh parametrov, ki bodo določali položaj sredi- šča vsake kroglice. Pri pomikanju od središča do sre- dišča pa si bomo pomagali z ustrezno izbranimi baz- nimi vektorji na robovih pravilnega tetraedra, glej sliko 2. Denimo, da sta Op0,0,0q in Ap1,0,0q dve izmed oglišč pravilnega tetraedra. Če tretje oglišče B leži v ravnini xy in ima nenegativne koordinate, potem je Bp 12 , ? 3 2 ,0q, saj je trikotnik △OAB enakostraničen s stranico 1. Četrto oglišče C mora ležati navpično nad težiščem tega trikotnika, torej ima prvo koordinato 1 2 , drugo koordinato 1 3 ¨ ? 3 2 “ ? 3 6 , tretjo koordinato z pa določimo tako, da bo razdalja točke Cp 12 , ? 3 6 , zq do točke Op0,0,0q enaka 1. Kratek račun pokaže, da je z “ ˘ b 2 3 in izberemo lahko Cp 1 2 , ? 3 6 , b 2 3 q. Kon- strukcija je zdaj naslednja: 1. Odpremo 3D pogled v GeoGebri in ustvarimo drsnik n=Drsnik(1,22,1), ki ga zaradi preglednosti najprej nastavimo na manjšo vrednost, npr. 5. 2. S pomočjo algebrskega okna vnesemo koordi- nate točk O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(1/2,sqrt(3)/2),0), C=(1/2,sqrt(3)/6,sqrt(2/3)). G  G         ̌   P 51 (2023/2024) 430 SLIKA 3. Ciljna konstrukcija z 2024 oranžnimi kroglicami v 22 trikotnih plasteh. 3. Definiramo vektorje u=Vektor(O,A), v=Vektor(A,B), w=Vektor(B,C). 4. Za opis koordinat središč se bomo iz začetne točke pomikali po korakih v smeri teh vektor- jev, v vsakem koraku pa bomo narisali sfero s polmerom 1{2 v tem središču. Trojno zapo- redje, ki nariše ustrezno konstrukcijo, je Zaporedje( Zaporedje( Zaporedje( Sfera(O+m*u+(l-1)*v+(k-1/2)*w,1/2), k,1,l), l,1,m), m,1,n). 5. Dodamo lahko še funkcijo T=n*(n+1)*(n+2)/6, ki nam n-to tetraedrsko število tudi izračuna, ustrezno tetraedrsko število pa s pomočjo orodja za besedilo postavimo na sliko. Če smo pravilno prepisali ukaze, dobimo konstruk- cijo na sliki 3. Bralec pa lahko tudi preizkusi, kaj se zgodi, če v ukazu za trojno zaporedje zbriše člen (k-1/2)*w, ki dvigne k-to plast v smeri vektorja w. Ker se bodo plasti kroglic prekrivale, bi moral za- gledati običajna trikotniška števila. Do naslednjega tetraedrskega leta pa bo moralo preteči kar 276 let, zato se potrudite, da ga letos čimbolje izkoristite! ˆ ˆ ˆ www.presek.si                                          P 51 (2023/2024) 4 31 Biserni oblaki: barvito optično čudo A̌ M̌ Iridescenca je optični pojav, ki se lahko pojavi na oblakih in jih obarva v živahne barve. Barve oblakov spominjajo na barve milnih mehurčkov ali oljne pla- sti na vodni gladini. Te mavrične oblake pogosteje opazimo blizu Sonca ali Lune in nebu dodajo pridih čarovnije. Ti oblaki se kažejo v pastelnih odtenkih, barve pa so redkeje lahko tudi bolj živahne in se prelivajo podobno kot pri biserovini. Najpogosteje jih opazimo na altokumulusih (srednje visoki oblaki, velike ovčke), cirokumulusih (visoki oblaki, male ov- čice), lečastih in visokih, tankih cirusnih oblakih. Včasih se iridescenca pojavi v pasovih, ki so vzpo- redni z robovi oblakov [1]. V redkih primerih, pred- vsem v polarnih območjih, lahko opazujemo polarne stratosferske oblake (od 12 do 15 km visoko na ne- bu), ki kažejo izrazito živo iridescenco, če se Sonce nahaja že pod obzorjem. Take oblake imenujemo biserni oblaki in primer, ki nam ga je poslala bralka iz Norveške, kaže današnja naravoslovna fotografija. Iridescenca nastane zaradi uklona na majhnih kaplji- cah vode ali drobnih ledenih kristalih, ki posamično razpršijo sončno svetlobo. Interferenca potem pov- zroči, da se od kapljic širi svetloba različnih barv pod različnimi koti. Oblak mora biti dovolj tanek, da večina žarkov svetlobe, ki potuje skozenj, naleti le na eno kapljico. Ko veliko število enako velikih kapljic vode uklanja svetlobo, postane iridescenca prvega reda vidna pod kotom približno 10 stopinj od Sonca. Lahko pa jo opazimo tudi še do kota 40 stopinj od Sonca. Najsvetlejšo in najbolj barvito iri- descenco ustvarjajo novo nastajajoči oblaki, tam so kapljice najbolj verjetno enakih velikosti. Strukturi- rane oblike iridescence, kot je korona, svetel krožni disk okoli Sonca ali Lune, obdan z barvnimi obroči, se pojavijo, ko so delci povsod po oblaku enako- merno veliki. Več o iridescenčnih oblakih si zain- teresirani bralci lahko na hitro preberete v [2], bolj poglobljeno pa v [3]. Ko se iridescenca pojavi blizu Sonca, jo je težko opaziti zaradi Sončevega blešča- nja. Takrat si lahko premagamo tako, da zastremo sončno svetlobo z roko ali pa se postavimo tako, da je Sonce skrito za drevesom ali stavbo. Za zmanjša- nje bleščanja pomagajo tudi temna sončna očala in opazovanje neba v odsevu od gladke površine, npr. šipe ali vodne gladine [4]. Pojava iridescence oblakov pa ne gre zamenjevati s halojem, ki se prav tako po- javi na koprenastih oblakih okoli Lune ali Sonca. V takih oblakih je vzrok za nastanek lom in razklon na dosti večjih šestkotnih ledenih kristalčkih [5]. Halo prepoznamo po tipično simetrični obliki kroga okoli Lune ali Sonca in značilnem zornem kotu 22°, ki je posledica geometrije ledenih kristalov. Naslednjič, ko boste gledali v nebo in opazili mavrične biserne oblake, se spomnite zanimive fizike, ki je v igri – drobnih kapljic, ki uklanjajo svetlobo, da ustvarijo nebesno mojstrovino. Ti bežni trenutki nas spomi- njajo na lepoto in čudenje, ki ga ponuja narava, tudi v navidezno običajnih oblakih nad nami. Literatura [1] A. Mohorič, Venec, Presek, 40, 5, 2012/2013. [2] P. Laven, Iridescent clouds and distorted coronas, Applied Optics, 56, 19, 20217. [3] K. N. Liou, An Introduction to Atmospheric Radi- ation, ISBN 0-12-451451-02002, Applied Optics, Elsevier Science (ZDA) [4] A. Mohorič, Vodna gladina, Presek, 45, 1, 2017/2018. [5] A. Mohorič, Halo, Presek, 44, 3 in naslovnica 4, 2016/2017. ˆ ˆ ˆ Matematični kenguru Osnovna naloga tekmovanja Kenguru je popularizacija matematike. Zanimiv, zabaven in igriv način za- stavljanja matematičnih problemov je pripomogel, da se je tekmovanje kmalu razširilo po vsej Evropi, hkrati pa so se v tekmovanje vključevali tudi otroci in mladostniki iz drugih držav sveta. Tekmovanje je preseglo evropske okvire in postalo Mednarodni matematični kenguru. V Sloveniji Društvo mate- matikov, fizikov in astronomov Slovenije organizira tekmovanje za učence od prvega razreda osnovne šole do četrtega letnika srednje šole. Poseben izbor je pripravljen za dijake srednjih tehniških in strokovnih šol, za dijake srednjih poklicnih šol ter za študente. Naloge, zbrane v teh knjigah, so najboljše možno gradivo za pripravo na prihodnja tekmovanja. Pred- vsem zato, ker je vsaki nalogi dodana podrobno razložena rešitev, ki bralca vodi v logično mišljenje in spoznavanje novih strategij reševanja. Marsikatera naloga, ki je sprva na videz nerešljiva, postane tako dosegljiv iskriv matematični izziv. 18,74 EUR 14,50 EUR 23,00 EUR Izšlo je že pet knjig Matematičnega kenguruja. Na zalogi so še: ‚ Mednarodni matematični kenguru 2005–2008, ‚ Mednarodni matematični kenguru 2009–2011, ‚ Mednarodni matematični kenguru 2012–2016. Poleg omenjenih ponujamo tudi druga matematična, fizikalna in astronomska dela. Podrobnejše pred- stavitve so na spodnjem naslovu, kjer lahko vse publikacije tudi naročite: https://www.fmf.uni-lj.si/sl/zalozba/katalog/ Dodatne informacije lahko dobite v knjižnici Fakultete za matematiko in fiziko po telefonu (01) 4766 558.