ISSN 0351-6652 Letnik 20 (1992/1993) Številka 1 Strani 54-59
Jože Grasselli: POTENCNA ŠTEVILA
Ključne besede: matematika, potence.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/20/1115-Grasselli.pdf
© 1992 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije © 2010 DMFA - založništvo
POTENČNA ŠTEVILA
Osnovni izrek aritmetike pravi: vsako od ena večje naravno število je produkt enolično določenih praštevilskih potenc. Za naravno število n > 1 obstajajo torej enolično določena praštevila p\ < ... < pj in naravna števila , ..., ej tako, da je
n ~ Pi1 ■ ■ ■ :Pj* ■	(1)
Zgledi za osnovni izrek: 100 = 22.52, 162 = 2.34. 620 - 27.5.31, 239 = = 172,107 - 107 (število 107 je praštevilo).
Če je v izrazitvi (1) vsak eksponent ej.....ej dve aH več, imenujemo
naravno število n potenčiio. Zgledi potenčnih Števil; 200 = 23.52, 10800 = = 24.33,52,15125 = 53.112, kvadrati, kubi, bikvadrati (četrte potence) od ena večjih naravnih števil.
Ko v zaporedju naravnih števil
1,2,3.4,5,6,7.8,9,10,11,12,.,.	(2)
izpustimo Člene, ki niso potenčna števila, ostane zaporedje potenčnih Števil 4,8,9,16,25,27,32,36,49,64,72,81,100,108,121,125,128,144,.,. (3)
Zaporedje (3) se nikdar ne neha. Potenčnih števil je namreč neskončno; saj ježe kvadratov 22, 3 2, 43, .... ki so vsi v (3), neskončno.
Sosednji potenčni števili v (3) sta bolj ali manj oddaljeni. Zanimiv je primer potenčnih Števil 8, 9, ki sta obenem zaporedni naravni Števili. Ali se v zaporedju (3) še kdaj zgodi, da sta sosednja člena obenem zaporedni naravni Števili? Ali se to zgodi velikokrat?
Ker so kvadrati 22, 32, ... potenčna števila, poglejmo najprej, ali je med njimi kaj parov zaporednih naravnih števil Če sta kvadrata y2 < x2 zaporedni naravni števili, je x2 = y2 + 1. Od tod sledi (x — y)(x + y) = 1. Ker sta faktorja na levi naravni števili in njun produkt 1, je mogoče le x — y — = 1, x + y = 1 in tako x = l,y = 0. Število y = 0 ni naravno, kvadrata 0° = 0, l2 = 1 tudi nista potenčni števili. Med kvadrati 22,32,... torej ni parov, ki jih iščemo. Tako vemo: če sta sosednji potenčni števili v (3) zaporedni naravni števili, vsaj eno ni kvadrat.
Če potenčno število ni kvadrat, mora vsebovati v zapisu (1) vsaj en prafaktor v lihi stopnji, večji ali enaki 3, Najbolj preprosto število take oblike je 23.y2 = 8y2, kjer je y naravno število. Ali je lahko naslednik števila 8y2,
tj. 8y2 + 1, kvadrat naravnega števila x? Kadar to drž!, je
x2 - 8y2 = 1.	(4)
Če dajeta naravni števili x,y rešitev enačbe (4), sta 8y2,x2 potenčni in obenem zaporedni naravni števili. Za xo = 3, yo = ki izpolnjujeta enačbo (4), dobimo ravno par potenčnih števil 8, 9. Iz rešitve xq = 3,yo = 1 pa hitro pridemo do drugih rešitev enačbe (4) v naravnih Številih. Izhajajmo iz ohrazcev
xn = 3xn„! + 8yn„!
;x0 = 3,y0 = 1 (5)
yn = *n„i + 3y„_i Ker poznamo xo r yo, iz (5) izračunamo
xi = 3x0 + 8yo = 3.3 + 8.1 = 17 yi = xq + 3yo — 3 + 3.1 — 6
Iz znanih xi — 17. y\ — 6 po (5) najdemo
x2 = 3xi + 8yi = 3.17+ 8.6 = 99 y2 = xi + 3yi = 17 + 3.6 = 35
Podobno dobimo po obrazcih (5) naprej
X3 = 577 X4 = 3363 x5 = 19601 y3 = 203 y4 = 1189 ys = 6930
Tako lahko nadaljujemo brez kraja. Po obrazcih (5) je
- 8/n = (3*n-l + 8yn_i)2 - 8(xn_! + 3yn_!)2 = x2_j - 8y2^ in ta povezava velja za vsak indeks n — 1,2,... Torej je
x2n - 8yl ~ *n-i - = ■■■ = - 8yi - 4 ~ = 32 - 812 = i
Vidimo, da vsaki števili xn,yn, določeni po obrazcih (5), izpolnjujeta enačbo (4). Zato sta vsaki potenčni števili 8za n = 0,1,2,... zaporedni naravni števili. Obstaja torej neskončno porov takih potenčnih števil, da sta števili para zaporedni naravni števili. Ali drugače povedano: število 1
sc da na neskončno načinov izraziti kot razlika dveh potenčnih števil.
Po zgornjem so zgledi za take pare:
32 - 23.12 = 1 5772 - 23.2042 = 1 172 - 23.62 = 1 33632 - 23.11893 = 1 992 - 23.352 = 1 196012 - 23.69302 = 1
Za vsak naraven y je število 33.y2 = 27y2 potenčno in ne kvadrat. Če je njegov naslednik kvadrat, je 27y2 + 1 = x2 ali
x2 — 27y2 = 1.	(6)
Kakor zgoraj se prepričamo, da je z obrazcema
xn — 26x„-i + 135yn-i
;*o = 26, y0 = 5 (7)
y„ = 5x„_i + 26yr)-i
za n — 1,2, ... določenih neskončno naravnih rešitev enačbe (6) in potenčni števili 27y2,x2 sta spet zaporedni naravni števili. Ker enačbi (4) in (6) nimata nobene skupne rešitve v naravnih številih, so vsi sedaj dobljeni pari potenčnih števil različni od parov zgoraj. Za n = 0,1, 2, 3 dobimo iz (7) pare potenčnih števil
262 - 33.52 = 1 702262 - 33.135152 = 1
(*)
13512 - 33.2602 = 1 36504012 - 33.7025202 = 1
Ugotovili smo, da se v zaporedju (3) potenčnih števil neskončnokrat zgodi, da sta sosednji potenčni števili zaporedni naravni števili. (Z rešitvami (5) in (7) še zdaleč nismo izčrpali vseh takih parov.) Zastavlja se sedaj vprašanje: Ali so v (3) kdaj trije ali morda celo štirje sosednji členi zaporedna naravna števila?
Med štirimi zaporednimi naravnimi števili sta dve števili sodi, dve lihi. Manjše sodo število se zapiše 2tu je e naravno število, I liho število. Sodi števili med zaporednimi štirimi naravnimi števili sta tako
2e/ in 2el + 2.
(8)
Če je e = 1, število 21 ni potenčno; v njem je namreč 2 le v prvi stopnji, ker je / liho število. Če je e > 2, je
2el + 2 = 2(2e_1/ + 1).
število 2e~1l je zaradi e > 2 sodo, zato 2e~1/ + 1 liho; torej nastopa 2 v 2el+2 samo v prvi stopnji in tako 2e/ + 2 ni potenčno število. Med številoma
(8) je torej zmeraj vsaj eno, ki ni potenčno. To pa pomeni, da štiri zaporedna naravna števila nikoli niso vsa potenčna. Tem bolj seveda velja, da pri petih ali več zaporednih naravnih številih nikdar niso vsa potenčna. V zaporedju (3) se tako nikoli ne zgodi, da bi štirje ali več sosednjih členov bili zaporedna naravna števila.
Kako je s tremi zaporednimi naravnimi števili? Med tremi zaporednimi naravnimi števili sta dve sodi in eno liho ali pa eno sodo in dve lihi števili. V prvem primeru sta med tremi števili sodi števili oblike (8). Zanju pa že vemo, da nista nikdar obe po-tenčni, če so torej tri zaporedna naravna števila vsa potenčna, morata biti med njima dve lihi in eno sodo število. Piscu teh vrstic ni znano, ali je v zadnjem času kdo našel tri zaporedna naravna Števila, ki so vsa potenčna. Do nedavnega niso poznali nobene take trojice. Da takih treh števil ni, tudi ni dokazano. Tako ne vemo, ali v zaporedju (3) nastopajo kdaj trtje sodenji členi, ki so obenem zaporedna naravna Števila
Videli smo. da je od dveh zaporednih sodih števil (8) kvečjemu eno potenčno. Zaporedni lihi števili pa sta lahko obe potenčnr Zgled: 52 — = 25, 33 — 27. Ali je še več primerov, ko sta zaporedni lihi števili obe potenčni?
Pokazali smo Že, da ima enačba
x
2-27y2 = l	(6)
neskončno rešitev v naravnih številih. Naj bo npr. x',y' taka rešitev, torej Napravimo števili
— 27y/2 = 1.
X = 5x' + 27 y'
(9)
Y = + 5y'
in izračunajmo
27Y2 - X2 = 27(x' + 5y')2 - (5x' + 27y')2 = 2(x'2 - 27y'2) = 2.1 = 2.
Vsaki rešitvi x',y' enačbe (6) v naravnih številih pripadata torej po (9) določeni naravni števili X, Y, ki ustrezata enačbi
27Y2-X2 = 2.	(10)
Ker ima enačba (6) neskončno naravnih rešitev, ima tudi enačba (10) neskončno naravnih rešitev in potenČni števili X2,27Y2 sta zaporedni lihi števili. Torej obstaja neskončno parov zaporednih lihih števil, ko sta obe števili para potenčni. Ali drugače povedano; število 2 se da na neskončno načinov zapisati kot razlika dveh potenčnili števil.
Napravimo nekaj zgledov. Iz (*) preberemo štiri rešitve za enačbo (6). Pri rešitvi x' = 26, y' 5 dobimo po obrazcih (9)
X = 5,26 + 27,5 = 265 Y = 26 + 5.5 = 51
in torej
33,512 — 2652 = 2. Rešitev x' = 1351, y' - 260 iz (*) daje po obrazcih (9)
X = 5.1351 + 27.260 = 13775 V= 1351 + 5.260 = 2651
in od tod zaradi (10)
33,26512 — 137752 — 2. Na enak način pridemo iz zadnjih dveh rešitev v (*) do izrazitev
33.1378012 — 7160352 = 2 33.71630012 — 372200452 = 2
Da je vsako potenčno število izrazljivo z razliko dveh potencnih števil na neskončno načinov, hitro vidimo. Upoštevajmo, da je na neskončno načinov mogoče pisati
1 = a - r2,	(11)
kjer sta r\,T2 potenčni števili. Maj bo r potenčno Število. Iz izrazitve (11) sledi
r — rr\ — rT^
in r je izražen kot razlika dveh potencnih števil. Po opredelitvi potenčnega števila je namreč jasno, da je produkt potencnih števil potenčno število.
Podobno kot zgoraj za število 2 se da tudi za števila 3,5,6,7,10 in mnoga druga, ki niso potenčna, pokazati, da jih je mogoče na neskončno načinov pisati kot razliko dveh potencnih števil. Dognati so, da velja to sploh za vsako celo Število.
Jože Grasseffi