MATEMATIKA
Matematika v genetiki
Tadeja Kraner Šumenjak, Vilma Šuštar
-> Vsaka dedna lastnost je določena s prisotnostjo dveh neodvisnih enot, po ena od vsakega starša; imenujemo ju alelni par. Alelni par lahko vsebuje dve enaki neodvisni enoti (AA ali aa) ali pa različni (Aa). Ce potomec deduje alelni par z enakima neodvisnima enotama, ga imenujemo homozigot, v nasprotnem primeru pa heterozigot. Denimo, da alel A nosi informacijo o rdeči, alel a pa o beli barvi. Ce potomec nosi kombinacijo aa, je bele barve. Ce nosi kombinacijo AA, pa rdece. V primeru, da je potomec heterozigot s kombinacijo Aa, se bo izrazila le ena barva. Naj bo to v našem primeru rdeca. Alel, ki jo nosi, imenujemo domina-nanten. Bela barva ostane v tem primeru prikrita in pripadajoci alel imenujemo recesiven. Dominantne alele bomo zapisovali z velikimi tiskanimi cr-kami recesivne alele pa z malimi tiskani crkami. Z enakimi crkami bomo oznacevali tudi lastnost, ki se kaže navzven.
Dedovanje ene lastnosti
Najprej bomo opazovali križanje rastlin, kjer se bo dedovala le ena lastnost. Križajmo enako število rastlin, ki imajo alelni par AA, z enakim številom rastlin, ki imajo alelni par aa. Predpostavimo, da so vse kombinacije enako uspešne pri preživetju. Vse možne kombinacije pri križanju teh dveh rastlin lahko zapišemo s produktom
ali s produktom
■ (a + a) (A + A) = aA + aA + aA + aA = 4aA.
Produkta sta enaka, saj sta alelna para Aa in aA genetsko enaka (vseeno je, kateri od staršev prispeva določen alel). Velja dogovor, da dominantni alel vedno zapisujemo pred recesivnim.
Ta produkt lahko pregledneje prikažemo tudi s tabelo 1.
gamete staršev	A	A
		
a	Aa	Aa
a	Aa	Aa
TABELA1.
Razmerje genotipov pri dedovanju ene lastnosti.
V prvi generaciji imajo torej vse rastline genotip Aa.
Oglejmo si sedaj drugo generacijo. Naj bo A dogodek, da izberemo alel z dominantno lastnostjo iz alelnega para staršev Aa, in a dogodek, da izberemo alel z recesivno lastnostjo iz alelnega para staršev Aa. Verjetnost P(A) = P(a) = Ker sta dogodka med seboj neodvisna, je verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom AA, enaka
- P(AA) = P(A)P(A) = 1 ■ 1 = 4.
Verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom aa, je prav tako
■	P(aa) = P(a)P(a) = 1 ■ 1 = 4.
Verjetnost, da dobimo potomca z alelnim parom Aa, pa je
■	P(Aa) + P(aA) = 2P(Aa) = 2 ■ 2 ■ 1 = |,
pri tem smo upoštevali, da sta z vidika genetika alel-na para Aa in aA enaka.
Torej so v drugi generaciji genotipi v razmerju
111
■	AA:Aa:aa= — : — : —
4 2 4
ali
(A + A) (a + a) = Aa + Aa + Aa + Aa = 4Aa
AA : Aa : aa = 1:2:1.
4
PRESEK 41 (2013/2014) 4	4
MATEMATIKA
Vse možne kombinacije pri križanju rastlin z alel-nima paroma Aa dobimo s produktom
■	(A + a) (A + a) =
= AA + Aa + aA + aa = AA + 2Aa + aa,
kjer nam koeficienti pri posameznih faktorjih dajo zgornje razmerje.
Razmerje med potomci, ki kažejo dominantno lastnost, in tistimi, ki kažejo recesivno lastnost, je 3 : 1 v korist dominantne, kar bomo v nadaljevanju zapisovali z izrazom 3A + a. Za vidno lastnost osebka pa bomo uporabljali strokovni izraz fenotip.
Primer. Križajmo med seboj rastline, ki imajo »ciste« bele in »ciste« rdece cvetove. Ker je rdeca barva dominantna nad belo, so to rastline, ki imajo alelna para aa in AA. Potomci so rdece barve, ce imajo genotip AA ali Aa, in so bele barve, ce imajo genotip aa. V prvi generaciji imajo vsi potomci alelni par Aa, torej so vsi rdece barve.
V	drugi generaciji je verjetnost, da je potomec rdece barve, enaka verjetnost daje bele, pa
V	tretji generaciji dobimo vse možne kombinacije alelnih parov potomcev, ce izracunamo produkt
■	((A + A) + (a + A) + (A + a) + (a + a))2 =
= (4A + 4a)2 = 16(AA + 2Aa + aa).
Razmerje genotipov v tretji generaciji je torej 16 : 32 : 16, kar je enako razmerju 1:2:1. Od tod sledi, da so verjetnosti, da dobimo potomca z alelnim parom AA, aa ali Aa enake kot v drugi generaciji. S podobnim razmislekom bi opazili, da se to razmerje ohrani v vseh nadaljnjih generacijah. O tem govori Hardy - Weinbergov zakon iz leta 1908, ki pravi, da se v velikih populacijah pri nakljucnem razmnoževanju osebkov enakih sposobnosti razmerja genotipov ohranjajo.
Dedovanje dveh lastnosti
Sedaj pa proučujemo potomce glede na dvoje lastnosti. Prva se navzven kaže kot A oz. a, druga pa kot B oz. b. Ce križamo rastline, ki imajo genotipa AABB in aabb, imajo vse rastline v prvi generaciji genotip AaBb, kar dobimo s produktom
■	(A + A)(a + a)(B + B)(b + b) = 4Aa4Bb = 16AaBb.
Ker je genetska zasnova enega roditelja enaka
■	(A + a) ■ (B + b) = AB + Ab + aB + ab,
dobimo vse možne genotipe v drugi generaciji s produktom
■	((A + a)(B + b))2 =
= (AA + 2Aa + aa) ■ (BB + 2Bb + bb) = AABB + 2AABb + AAbb + 2AaBB + + 4AaBb + 2Aabb + aaBB + 2aaBb + + aabb.
Ta produkt lahko nazorneje prikažemo s tabelo 2.
gamete staršev		AB	Ab Ab	aB	ab	
						
AB		AABB	AABb	AaBB	AaBb	
Ab		AABb	AAbb	AaBb	Aabb	
aB		AaBB	AaBb	aaBB	aaBb	
ab		AaBb	Aabb	aaBb	aabb	
TABELA 2.
Razmerje genotipov pri dedovanju dveh lastnosti.
Opazimo, da so genotipi v razmerju 1:2:1:2: 4:2:1:2:1. Razmerje fenotipov 9:3:3:1 pa dobimo s produktom fenotipov za posamezno lastnost:
■	(3A + a) ■ (3B + b) = 9AB + 3aB + 3Ab + ab.
Vse možne genotipe v tretji generaciji dobimo s produktom
■	((A + A) ■ (B + B) + (A + A) ■ (B + b) +
+ (A + a) ■ (B + B) + (A + a) ■ (B + b) + + (A + A) ■ (B + b) + (A + A) ■ (b + b) + + (A + a) ■ (B + b) + (A + a) ■ (b + b) + + (A + a) ■ (B + B) + (A + a) ■ (B + b) + + (a + a) ■ (B + B) + (a + a) ■ (B + b) + + (A + a) ■ (B + b) + (A + a) ■ (b + b) + + (a + a) ■ (B + b) + (a + a) ■ (b + b))2 = = 256AABB + 512 AABb + 256AAbb + + 512 AaBB + 1024AaBb + 512Aabb + + 256aaBB + 512aaBb + 256aabb.

PRESEK 41 (2013/2014) 4
5
MATEMATIKA

Ce pogledamo koeficiente pred posameznimi členi, dobimo enako razmerje genotipov kot v drugi generaciji:
■	1:2:1:2:4:2:1:2:1. Dedovanje n lastnosti
Zaradi preglednosti uredimo razmerja genotipov tako, da bomo najprej zapisali genotipe brez hetero-zigotnih alelnih parov, nato genotipe z enim hete-rozigotnim parom, nazadnje genotipe, ki imajo le heterozigotne alelne pare. Tako je:
razmerje pri dedovanju ene lastnosti AA : aa : Aa = 1:1:2,
■	razmerje pri dedovanju dveh lastnosti
AABB : AAbb : aaBB : aabb : AABb : AaBB : Aabb:aaBb:AaBb= 1:1:1:1:2:2:2:2:4.
Oglejmo si, kakšno je razmerje genotipov, če opazujemo n lastnosti. Ustrezna razmerja bi dobili iz koeficientov izračunanega produkta:
■	((A1 + a1) ■ (A2 + a2) ■ (A3 + a3)... (An + an))2.
Koeficienti pred vsemi genotipi, ki imajo k hetero-zigotnih (k = 0,..., n) in n - k homozigotnih alelnih parov, so enaki, in sicer 2k, ker lahko vsakega od teh k parov zapišemo na dva nacina Aiai ali aiAi.
Za dolocitev razmerja pa potrebujemo še število takšnih genotipov. Najprej izmed n mest (vsako mesto pripada eni lastnosti) izberemo k mest za hetero-zigotne alelne pare. To lahko naredimo na naci-nov. Za vsako od k mest imamo le eno možnost, saj sta razporeditvi Aiai in aiAi genetsko enaki. Za preostalih n - k mest, dolocenih za homozigotne pare, pa imamo po dve možnosti AiAi ali aiai, zato je iskano število enako
n
nk
Primer. Poglejmo si dedovanje treh lastnosti (n = 3). Število genotipov brez heterozigotnih alelnih parov s koeficienti 20 = 1 je enako
23-0 = 8.
Število genotipov z enim heterozigotnim alelnim parom s koeficienti 21 = 2 je enako
23-1 = 12.
Število genotipov z dvema heterozigotnima alelnima paroma s koeficienti 22 = 4 je enako
23-2 = 6.
Število genotipov brez homozigotnih parov s koeficienti 20 = 1 je enako
23-3 = 1.
Število vseh razlicnih genotipov je enako 3n, saj imamo za vsako od n mest (vsako mesto pripada posamezni lastnosti) tri razlicne možnosti:
■ AiAi, Aiai ali aiai.
Razmerje fenotipov pa dobimo, ce izracunamo produkt:
Dobimo razmerje
■ 1:1:1:1:1:1:1:1:2:2:2:2:2:
:2:2:2:2:2:2:2:4:4:4:4:4:4:8.
Število razlicnih genotipov je enako 3n = 33 = 27. Koncajmo z mislijo, ki jo je pred vec kot tristo leti zapisal Galileo Galilei: Zakoni narave so zapisani v jeziku matematike.
Literatura
[1]	B. Brajkovic, Genetika, Ljubljana, DZS, 2006.
[2]	G. Valentic, Matematika u prirodi, PlayMath, Vol. V, No. 14, Studeni 2007.
_ XXX
www.presek.si
www.dmfa.si
(3A1 + a1) ■ (3A2 + a2)
(3 An + an).
www.dmfa-zaloznistvo.si
k
6
PRESEK 41 (2013/2014) 4	6