der für das Unter - Gymnasium. -------- Von Ni. /ranz Macnik, k. k. Schulrath und Volksschul-Inspcktor für Krain. Mrste Wlheilung. Für die I. und II. Klasse, vierte vermehrte Auflage. Wien. Verlag von Carl Gerold und Soh 1852. Druck von Carl Gerold und Sohn. V o r m o r t >^ie vorliegende Schrift, als Leitfaden beim arithmeti- schenUnterrichte in den zwei ersten Klassen des Untergymna- siums bestimmt, umfaßt den diesen Klassen zugewiesenen Stoff in derjenigen Reihenfolge, welche der neue Gymnasial-Lehr¬ plan vorzeichnet. Bezüglich der Form glaubte ich auf die Methode Rück¬ sicht nehmen zu sollen, welche beim Unterrichte in der Arith¬ metik, wenn dieser nicht bloß die mechanische Fertigkeit im Rechnen, sondern auch die formale Bildung des Schülers er¬ zielen soll, eingehalteu werden muß. Der Organisazionsent- wurf für die Gymnasien unterscheidet in der Ausführung des Nechenunterrichtes ganz richtig drei Elemente: das Verständ- niß einer Rechnungsoperazion, ihre Ausführung in der Rech¬ nung , und die Kenntniß derjenigen wirklichen Verhältnisse des Lebens, auf welche die Rechnung angewendet wird. In den erstem beiden Beziehungen stellt sich wohl die heuristische Methode als die zweckmäßigste heraus; man geht von Bei¬ spielen aus, von den leichtern allmälig zu schwierigeren den Uebergang machend, die Schüler müssen dabei aus dem Be¬ griffe der Operazion selbst beurtheilen, wie die Ausrechnung am zweckmäßigsten einzuletten, welcher Gang der natürlichste und kürzeste ist; so ziehen sie selbstthätig aus den Beispielen die einzelnen Regeln, sie werden sich der Gründe ihres Ver¬ fahrens bewußt, und die Rechnungsregeln als ein selosterwor- IV benes Eigenthum nicht so leicht wieder vergessen. Diese Me¬ thode findet in der vorliegenden Schrift durchgängig die ihr gebührende Berücksichtigung. Zur Einübung des auf die an¬ gedeutete Art entwickelten, bei jeder Operazion zu beobachten¬ den Verfahrens habe ich Zahlenbeispiele folgen lassen, von denen jedesmal einige als Muster vollständig ausgcführt er¬ scheinen; die Anzahl derselben wollte ich nicht unnöthiger Weise zu sehr vermehren, weil es für den Schüler nicht schwer ist, derlei Zahlenbeispiele in beliebiger Menge sich selbst zu geben. Endlich sind bei jeder Rechnungsoperazion zahlreiche Aufgaben aus dem gewerblichen und kaufmännischen Leben, aus der Statistik, Geschichte, Naturlehre u. s. w. zusammen¬ gestellt worden, welche den Zweck baben, die Anwendung der Rechnungsarten auf die verschiedenen Verhältnisse des Lebens zu zeigen. Unerwartet schnell wurden drei Auflagen dieser Schrift vergriffen, weil sie in vielen Gymnasien als Lehrbuch einge¬ führt wurde. Spricht dieser Umstand einerseits günstig für die Brauchbarkeit meines Buches, so dient er mir anderseits zu nicht geringer Aufmunterung in meinen Bemühungen für Hebung und Erleichterung des mathematischen Unterrichts auf Gymnasien, Der Verfasser Einleitung. 8. I. Wenn mehrere Dinge in gewissen Merkmalen überein¬ stimmen, so heißen sie in Beziehung auf diese Merkmale Dinge von einerlei Art oder gleichartige Dinge. Mehrere Dinge von einerlei Art nennt man ein Mehrheit; jedes einzelne solche Ding wird eine Einheit genannt. Z. B. fünf Gulden bilden eine Mehrheit, ein Gulden ist eine Einheit. — Die Einheit sowohl als auch jede beliebige Mehrheit wird Zahl genannt. Man unterscheidet un benannte und benannte Zahlen. Wenn man bei einer Zahl nicht auf die Art, sondern nur aus die Menge der Einheiten, welche darin vorkommen, Rücksicht nimmt, so heißt sie eine unbenannte Zahl; wird aber sowohl die Menge als die Art der Einheiten ausgedrückt, so nennt man die Zahl eine b en a n n t e. Z. B. fünf ist eine unbenannte, fünf Gul¬ den eine benannte Zahl; bei der ersten Zahl ist die Art der Ein¬ heiten nicht benannt, sie kann daher was immer für Einheiten be¬ deuten ; bei der zweiten Zahl ist die Art der Einheiten angegeben, und man kann darunter nur Gulden verstehen. Eine benannte Zahl kann wieder ein- oder mehr namig sein. Hat die Zahl nur einen Namen, so heißt sie ein namig; z. B. drei Gulden, sechs Pfund. Enthalt aber eine Zahl mehrere Bestandtheile, welche verschiedene Namen haben, so heißt sie mehr- namig; z. B. drei Gulden und acht Kreuzer ist eine mehrnamige Zahl, eben so sechs Pfund und sieben Loth. Jedes Ding, also auch jede Einheit, ist aus Theilen zusam¬ mengesetzt, oder kann aus Theilen zusammengesetzt gedacht werden. In dieser Hinsicht unterscheidet man nun ganze und gebro¬ chene Zahlen. Ganze Zahlen sind diejenigen, unter welchen man sich die ganze Einheit ein- oder mehrmal vorstellt; gebro¬ chene Zahlen aber, oder Brüche, heißen jene Zahlen, welche unr¬ einen Theil der Einheit ein- oder mehrmal in sich enthalten. Z. B. ein Gulden, vier Gulden sind ganze Zahlen, weil die erste die ganze Einheit, nämlich einen Gulden, einmal, die zweite ebenfalls Uovnlk, Arithmetik. 4. Nnfl. t 2 die ganze Einheit, und zwar viermal in sich enthält; ein Fünftel Gulden, vier Fünftel Gulden aber sind Brüche, weil mau sich darunter nur einen Theil der Einheit, nämlich den fünften Theil eines Guldens, und zwar unter der ersten Zahl einmal, unter der zweiten viermal vorstellt. S- 2- Aus gegebenen Zahlen mittelst bestimmter Veränderungen andere unbekannte Zahlen suchen, heißt rechnen; die Lehre darüber wird die R e ch e n k u n st oder besondere Arithmetik genannt. Jede Veränderung einer Zahl besteht nun darin, daß man ihr etwas hinzugibt, oder von ihr etwas hinwegnimmt. Beides kann wieder hauptsächlich auf zweierlei Art geschehen. Man kann zu einer Zahl eine oder mehrere beliebig große Zahlen hinzusctzen, oder man kann die Zahl selbst beliebige Male nehmen. Erstere Rechnungsart heißt das Addiren, letztere das Multipliziren. Eben so kann man von einer Zahl eine oder mehrere beliebig große Zahlen wegnehmen, oder auch eine und dieselbe Zahl mehr¬ mal Hinwegnehmen, und zwar so vielmal als es möglich ist. Das erstere Rechnungsverfahren heißt das S u b tra h i r e n, das letztere das Dividiren. ES gibt demnach vier H auptre ch n un gs ar ten: das Addiren, Subtrahiren, Multipliziren und Divi¬ diren. Die Zahl, welche nach verrichteter Rechnung zum Vorschein kommt, wird das Ergebnis; oder Resultat der Rechnung genannt. Erster Abschnitt. Das Rechnen mit unbenannten und einnamigen ganzen Zahlen. I. Das dekadische Zahlensystem. 8. 3. Wenn man zu der Einheit wieder eine Einheit, und dann noch eine Einheit, und immer wieder eine Einheit dazu setzt, so be¬ kommt man nach und nach immer neuere und größere Zahlen. Weil nun dieses Hinzusetzen einer Einheit zu der schon vorhan¬ denen Zahl ohne Ende fortgesetzt werden kann, so sind unendlich viele Zahlen denkbar. Die auf einander folgenden Zahlen mit Wörtern auszudrückcn, heißt zählen; die Schristzeichen der Zahlen werden Ziffern genannt. Wollte man jede Zahl mit einem eigenen Worte und mit einer eigenen Ziffer bezeichnen, so müßte man unzählig viele Wörter und Ziffern haben, deren Auffassung aber für unfern beschränkten Geist durchaus unmöglich wäre. Man hat darum eine solche Zu¬ sammenstellung der Zahlen ersonnen, daß durch einige wenige Wörter, und durch noch wenigere Ziffern alle noch so großen Zahlen ausgedrückt werden können. Die ersten auf einander folgenden Zahlen haben folgende Namen und Ziffern: eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, 1 2 3 4 5 6 7 8 S. Neun und eins nennt man zehn. Wenn man beim Zählen der ursprünglichen Einheiten, welche auch schlechthin Einheiten heißen, bis zehn kommt, so betrachtet man diese Zahl als eine neue nächst höhere Einheit, und nennt sie einen Zehner. Man zählt sodann : ein Zehner, zwei Zehner, drei Zehner, . . . , neun Zehner, oder kürzer: zehn, zwanzig, dreißig, .... neunzig. l * 4 Kommt man beim Zählen der Zehner bis zehn, so nennt man diese Zahl, nämlich zehn Zehner, ein Hundert, und nimmt wieder das Hundert als Einheit an, welche nächst höher ist, als der Zehner. Man zählt weiter: ein Hundert, zwei Hunderte, drei Hunderte, .... nenn Hunderte. Zehn Hunderte werden wieder alö die nächst höhere Einheit ange¬ nommen, und erhalten den Namen Tausend. Auf die nämliche Art wird dann daS Zählen weiter fort¬ gesetzt. Eine solche Zusammenstellung der Zahlen, daß immer eine bestimmte Anzahl niedrigerer Einheiten für eine Einheit der nächst höheren Ordnung angenommen wird, nennt man ein Zahlen¬ gebäude oder Z a h l e n sp sie m. Jene Zahl, welche auzcigt, wie viele niedrigere Einheiten eine nächst höhere Einheit auSmache», heißt die G ru n d z a hl des Zahlensystems. Unser Zahlengebäude, in welchem immer zehn niedrigere Ein¬ heiten als die nächst höhere Einheit angenommen werden, hat also zehn zur Grundzahl, und wird darum das d eka d i sch e Za si¬ le nsysi em genannt (vom griechischen deka, zehn). §. 4. Um das Benennen der verschiedenen Ordnungen von Ein¬ heiten zu erleichtern, gibt man je drei aus einander folgenden Ordnungen, von der niedrigsten angefangeu, denselben Namen, nämlich Einheiten, Zehner, Hunderte; nur erhalten sie zum Unterschiede noch besondere Beisätze. Es heißen nämlich die drei niedrigsten Ordnungen : Einheiten, Zehner, Hunderte; die nächstfolgenden: Einheiten l Zehner von Tausenden. Hunderte) Die nächst höheren sechs Ordnungen von Zahlcneinheiten unter¬ scheiden sich von den früheren durch den Beisatz der Millionen. Man nennt sie: Einheiten Zehner Hunderte Einheiten) Zehner von Tausenden Hunderte) , Die Reihe der folgenden sechs Ordnungen erhält den Beisatz der Billionen, die noch weitere der Trillione n, u. f f. der Millionen. 5 §. 5. Mit Hilfe dcö dekadischen Zahlensystems kann man jede be¬ liebige grosse Zahl mit einigen wenigen Namen und Ziffern dar-- stellen. Jede Zahl, wie gross sie auch sein mag, ist aus Einheiten, Zehnern, Hunderten, . . . zusammengesetzt; sie wird daher voll¬ kommen bestimmt, wenn man angibr, wie viele Einheiten, wie viele Zehner, Hunderte, ... sie enthalt. So ist z. B. eine Zahl voll¬ kommen ausgcdrückt, wenn man sagt, dass sie drei Einheiten, sieben Zehner, sechs Hunderte, vier Einheiten von Tausenden, und zwei Zehner von Tausenden enthalt. Die Anzahl der Einheiten irgend einer Ordnung kann nicht großer als neun sein, da zehn Einheiten einer Ordnung schon eine nächst höhere Einheit geben; um also die Anzahl der Einheiten, der Zehner, Hunderte, . . . anzugcbcn, sind die Namen der ersten neun Zahlen hinreichend. Verbindet man diese neun Namen mit den Benennungen der auf einander fol¬ genden Zahleneinheiten, als: Einheiten, Zehner, Hunderte, Ein¬ heiten der Tausende, ... so kann dadurch jede beliebig große Zahl mit Worten auögedrückt werden. Noch einfacher ist die schriftliche Darstellung der Zahlen Die Anzahl der Einheiten, der Zehner, Hunderte, . . . läßt sich, da sie nicht größer sein kann als neun, durch die oben angeführten neun Ziffern ausdrucken. Man braucht nur noch sichtbar darzu- stellen, daß eine Ziffer Einheiten, oder Zehner/ Hunderte . . .. bedeutet. Dieses geschieht durch die Folge, in welcher die Ziffern neben einander hingcschrieben werden; man nimmt an, daß jede Ziffer, wenn man von der Rechten gegen die Linke ausgeht, an der ersten Stelle Einheiten, „ „ zweiten „ Zehner, „ „ dritten „ Hunderte, „ „ vierten „ Einheiten der Tausende, u. s. w., überhaupt an jeder folgenden Stelle gegen die Linke zehn¬ mal so viel bedeutet, als an der nächstvorhergehcnden. So z. B. wild dieZahl, welche fünf Einheiten, neun Zehner, ein Hundert, drei Tausende enthält, durch Ziffern so auSgedrückt: 3195. Um anzuzeigen, dass eine Ordnung von Einheiten in einer Zahl gar nicht vorkommt, dient das Zeichen o, welches die Nulle heißt. Mit dieser hat man zehn Ziffern; die Null nennt man eine un bedeut liche Ziffer, die übrigen Ziffern heissen be- deutliche. Nach dem dekadischen Zahlensystems kann man also alle möglichen Zahlen mit zehn Ziffern darstellen, indem man annimmt, daß jede Ziffer an jeder folgenden Stelle gegen dieLinke daS Zehnfache von de in bedeutet, was sie 6 an der nächstvorhergehenden Stelle gilt. Jede Zif¬ fer in einer Zahl hat demnach einen doppelten Werth, den Werth der Figur, welcher ihr vermöge des Zeichens zukommt und da¬ her unveränderlich ist, und den Werth der Stelle, welcher ihr vermöge der Stelle zukommt und veränderlich ist. So bedeu¬ tet z. B. in der Zahl 4404 jede vorkommende bedeutliche Ziffer vier, jedoch gilt dieselbe an der ersten Stelle vier Einheiten, an der dritten vier Hunderte, an der vierten vier Tausende. §. 6. Beim A u S sp r e ch e n g eschri e b e n e r Z a h l e n beobachte man Folgendes: 1. Eine Zahl, welche nur mit drei oder weniger als drei Ziffern geschrieben ist, wird gelesen, wenn man zuerst die Hunderte, dann die Einheiten und zuletzt die Zehner ausspricht. Kommt an einer dieser drei Stellen keine bedeutliche Ziffer vor, so wird jene Stelle beim Aussprechcn übergangen. z. B. 497 heißt vierhundert sieben und neunzig, 530 ,, fünfhundert dreißig, 208 „ zweihundert acht, 700 v siebenhundert, 48 „ acht und vierzig, 30 „ dreißig, 6 „ sechs. Die Zahlen ii und 12 werden eils und zwölf genannt. 2. Um eine Zahl, welche mit mehr als drei Ziffern an¬ geschrieben ist, auszusprechen, theile man dieselbe, von der Rechten angefangen, in Klassen zu drei Ziffern ab; die letzte Klasse kann auch weniger als drei Ziffern haben. Hinter der ersten Klaffe setze man einen Punkt, hinter der zweiten einen Strich, hinter der drit¬ ten einen Punkt, hinter der vierten zwei Striche u. s. w. Sodann lese man, von der Linken angefangen, jede Klasse für sich, als wenn sie allein da wäre, und setze beim Punkte das Wort Tausend, beim Striche das Wort Million, bei zwei Strichen Billion u. s. w. dazu. So z. B. wird 28.056,349.702 gelesen: acht und zwanzig Tausend sechs und fünfzig Millionen, dreihundert nenn und vier¬ zig Tausend siebenhundert zwei. Bei kleineren Zahlen braucht man die Eintheilung in Klassen und das Anbringen der Punkte und Striche nur im Gedanken zu verrichten. §. 7. Für das An sch reib en der Zahlen ist Folgendes zu merken: 1. Um eine Zahl, welche kleiner ist als ein Tausend, anzuschreiben, setze man die Hunderte an die dritte, die Zehner an 7 die zweite und die Einheiten an die erste Stelle, von der Rechten an gerechnet. Die Stellen, an denen keine Ziffer stehen sollte, werden, wenn noch höhere Stellen vorkommen, mit Nullen aus¬ gefüllt. So wird: zweihundert sechs und dreißig durch 236, siebenhundert neun „ 709, dreihundert fünfzig „ 350, sieben und vierzig „ 47, achtzig „ 80, fünf „ s ausgedrückt. 2. Um größere Zahlen, welche auch Tausende, Millionen u. s. w. enthalten, zu bezeichnen, schreibe man von der Linken an¬ gefangen, zuerst jene Zahl an, nach welcher das erste Mal der Bei¬ satz Tausend, Million . . . gehört wird. Die übrigen Bestandtheile müssen dann, wie man sie in Abtheilungen zu drei ausspricht, eben so auch in Klassen zu drei Ziffern, nämlich als Hunderte, Zehner und Einheiten eingeschrieben werden. Auf das Wort Mil¬ lion müssen noch zwei Klassen, auf Tausend eine folgen. Werden in einer Klasse nicht alle drei Bestandtheile, d. i. Hunderte, Zehner und Einheiten angegeben, so wird das Fehlende durch Nullen er¬ gänzt; wenn beim Aussprechen der Zahl eine ganze Klaffe nicht vorkommt, so werden alle drei Stellen derselben mit Nullen auSgefüllt. Z. B. neun und vierzig Lausend, vierhundert zwölf schreibt man so an: 49412. Es wird hier zuerst die Zahl bis zum ersten Beisatze Tausend, nämlich 49, und dann die folgende Klasse 412, als wenn sie für sich vorhanden wäre, angeschrieben. — Eilf Tau' send fünf Millionen, dreihundert vier und zwanzig wird angeschrie' ben: 11005000324. Hier wird die Klasse der Tausende, welche nach den Millionen vorkommen sollte, nicht ausgesprochen, dahH setzt man an ihre Stelle drei Nullen; eben so kommen an dH' Stelle der Hunderte und Zehner der Millionen, welche mit Still' schweigen übergangen werden, Nullen vor. II. Das Addireu. §. 8. Addiren heißt, eine Zahl suchen, welche zwei oder mehre¬ ren gegebenen Zahlen zusammengenommen gleich ist. Die gege¬ benen Zahlen heißen Posten oder Addenden; und die Zahl, welche beim Addiren herauskommt, die Summe. Die Summe zeigt also an, wie viel die Addenden zusammengenommen aus¬ machen. 8 Z. B. 2 und 3 sind 5; hier sind 2 und 3 die Addenden, 5 ist ihre Summe. Das Zeichen der Addizion ist ein stehendes Kreuz -h- (mehr), welches zwischen die Addenden gesetzt wird. Man merke hier auch das Gleichheitszeichen --- (gleich), welches anzeigt, daß die Zah¬ len oder Zahlenverbindungen, zwischen denen es steht, einander gleich sind; z. B. 2-s- 3 — 5 wird gelesen: 2 mehr 3 ist gleich 5, oder 2 und 3 sind 3. Beim Addiren der Zahlen wird vorausgesetzt, daß man zu jeder ein- oder zweizifferigen Zahl eine cinzifferige geläufig zu addiren wisse. §. 9. Die Summe zweier oder mehrerer Zahlen muß, wenn sie rich¬ tig ist, so viele Einheiten, Zehner, Hunderte u. s. w. enthalten, als ihrer in den Addenden zusammengenommcn vorkommen. Man wird also sicher die wahre Summe finden, wenn man in allen Addenden die Einheiten einer jeden Ordnung einzeln addirt, und dann diese einzelnen Summen, deren jede Einheiten von der addir- ten Ordnung bedeutet, in eine Summe zusammenzieht. Um leicht jedesmal Einheiten derselben Ordnung zusammenzuzählen, ist es am zweckmäßigsten, wenn man die Addenden gleich beim Anschrei- ben so stellt, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen. Es seien nun z. B. die Zahlen 1199, 9274, 6095, 4178 zu addiren. Man schreibt zuerst die Zahlen mit ihren gleichnamigen Stellen unter einander, nämlich: 1199 Addirt man nun die Einheiten, so hat man : 8 und 5 9274 sind 13, und 4 sind 17, und 9 sind 26 Einheiten; 6095 diese geben 6 Einheiten und 2 Zehner, es gehören 4178 also nur die 6 an die Stelle der Einheiten in der Summe, die zwei Zehner werden in die Summe der Zehner auf¬ zunehmen sein. Nun zählt man die Zehner zusammen: 2 Zehner, welche aus der Summe der Einheiten hervorgingen, und 7 sind 9, und 9 sind 18, und 7 sind 23, und 9 sind 34 Zehner, welche 4 Zehner und 3 Hunderte enthalten; von diesen werden 4 Zehner als solche in die Summe geschrieben, die drei Hunderte aber zu der Reihe der Hunderte weiter gezählt. Beim Addiren der Hunderte hat man sodann: 3 Hunderte, welche bei den Zehnern herausge¬ kommen sind, und 1 sind 4, und 2 sind 6, und 1 sind 7 Hun¬ derte, welche man unter die Hunderte setzt. Man addirt nun noch die Tausende: 4 und 6 sind 10, und 9 sind 19, und 1 sind 20 Tausende; diese enthalten o Tausende und zwei Zehntausende; an die Stelle der Tausende wird also eine Null geschrieben, die 2 Zehn¬ tausende schreibt man, da nichts weiter zu addiren ist, an die nächst¬ folgende Stelle gegen die Linke. Die Rechnung steht also: 9 IIS6 9274 6095 4178 20746. Weil die Summe der niedrigeren Einheiten, wenn sie zwei- zifferig ist, mittelst ihrer Zehner auf die Summe der nächst höhe¬ ren Einheiten einwirkt, so daß man die letztere erst dann genau an- gcben kann, wenn schon die erstere bestimmt wurde; so ist es ganz natürlich, daß man mit der Addizion der niedrigsten Ordnung, d. i. der Einheiten, den Anfang machen, dann zu den Zehnern, hierauf zu den Hunderten u. s. w. hinaufsteigen müsse. 8- to. Aus dem Vorhergehenden ergeben sich für das Addiren der Zahlen folgende Regeln: 1. Man schreibe die Addenden so unter einander, daß Ein¬ heiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w., überhaupt Einheiten derselben Ordnung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Strich. 2. Man addire zuerst die Einheiten, dann die Zehner, Hun¬ derte u. s. w-, und schreibe die jedesmalige Summe, wenn sie nicht großer als 9 ist, unter die addirtcn Ziffern. Ist aber die Summe einer Reihe größer als 9, also zweizifferig, so werden nur die Ein¬ heiten unter die addirte Reihe geschrieben, die Zehner aber zählt man zu der nächstfolgenden Reihe. Am ersten Beispiele sagt man : i und 2 sind 3, und 4 sind 7; 2 und I sind 3, und 3 sind 6 ; 3 und 5 sind 8, und I sind 9 ; 6 und 2 sind 8. — Am zweiten Beispiele spricht man: 8 und 4 sind 12 und 2 sind 14, 4 angeschrieben, bleibt I; I und 9 sind io, und 4 sind 14, 4 ungeschrieben, bleibt 1 ; l und 6 sind 7, und 5 sind 12, und 8 sind 20, 0 angeschrieben, bleiben 2; 2 und 7 sind 9, und 3 sind 12, und 7 sind 19. ES ist vorteilhaft, wenn man während des AddircnS das Wörtchen und, und so die einzelnen Ziffern der Addenden nicht ausspricht, sondern sogleich nur die jedesmalige Summe angibt. Am zweiten Beispiele würde man sagen: 8, 12, 14 (4 wird an- 10 geschrieben); I, io, 14 (4 wird angeschrieben); i, 7, 12, 20 (0 wird angeschriebcn); 2, 9, 12, 19 (wird ganz angeschrieben). 5) 3478 -s- 1396 -s- 4284 -s- 7107 -s- 2590 ---? 6) 23 -s- 345 -s- 4567 -s- 10203 ss- 156789 ^-? 7) 85023 -s- 190708 -s- 985 -s- 23458 -s- 34209 -s- 15738 ---? 11) Man addire in lothrechter und wagrechter Richtung Um sich von der Richtigkeit der Summe zu überzeugen, wie¬ derhole man die Addizion noch einmal, und zwar von oben nach unten, wenn man früher von unten nach oben addirt hat. Erhält man in beiden Fällen dieselbe Summe, so kann man die Addizion alö richtig ansehen. Anwendung der Addizion. 8. 11. Die Addizion wird, wie schon aus ihrer Erklärung hervor¬ geht, angewendet, wenn man erfahren will, wie viel zwei oder mehrere Zahlen zusammengenommen ausmachen. — Die Addenden müssen alle gleichen Namen haben, welchen dann auch die Summe bekommt. Aufgaben. 1) Eine Schule hat acht Klassen; in der ersten sind 80, in der zweiten 75, in der dritten 78, in der vierten 64, in der fünf¬ ten 68, in der sechsten 70, in der siebenten 61, in der achten 58 Schüler. Wie viele Schüler besuchen diese Lehranstalt? — 554 Schüler. 2) Fünf Kisten Zucker enthalten 385, 396, 405, 410 und 417 Pfund; wie viel macht dieses zusammen? — 2013 Pfund. 3) Ein Handlungshauö nimmt ein: am Montage 543, amDinö- tage 428, am Mittwoch 150, am Donnerstage 685 , am Freitage 45, am Samstage 724 fl.; wie viel in der ganzen Woche? — 2575 fl. 1L 4) In einem Hause sind sechs Wohnungen, welche einzeln 85, 120, 125, 230, 230, 325 fl. eintragen; wie viel Zins be¬ zieht der Hausherr von allen sechs Wohnungen? — ms fl. 5) Jemand hinterläßt 5240 fl. bares Geld, 3500 fl. in Kapita¬ lien, 4500 fl. in Staatspapieren, und Grundstücke im Werthe von 6848 fl.; wie hoch beläuft sich die ganze Hinterlassen¬ schaft? — Aus 20088 fl. 6) Ein Kaufmann gewann während eines Jahres 2548 fl.; sein anfängliches Vermögen war 44375 fl.; wie groß war sein Vermögen am Ende des Jahres? — 46S23 fl. 7) Jemand hat fünf Kapitalien: bei 2480, bei 8 5 364, bei 6 1500, bei 0 3245, bei 8 2265 fl.; wie viel betragen diese Kapitalien zusammen? — 14854 fl. 8) In Triest wurden in fünf auf einander folgenden Jahren an Kaffee eingesührt: 180089, 241579, 212403 , 210402, 233S37Zentner; wie viel in allen fünf Jahren zusammen? — 1078010 Zentner. 9) In Böhmen werden im Durchschnitte jährlich 13890150 Metzen Roggen, 13248780 Metzen Hafer, 7987320 Metzen Gerste und 5524740 Metzen Weizen erzeugt; wie groß ist das ganze jährliche Getreide-Erträgnis; Böhmens? —40650990 Metzen. 10) Eine Provinz ist in fünf Kreise abgetheilt; der Kreis hat 35I7IS Einwohner, 8 100426, 6 77179, v 217544 und 8 2I550I; wie groß ist die Bevölkerung der ganzen Pro¬ vinz? — 962365 Einwohner. 11) Wie groß ist die Summe von 10 Zahlen, deren erste 128, und jede folgende um 12 größer ist als die vorhergehende? 12) Man suche die Summe von fünf Zahlen ; die erste ist 725, die zweite um 110 größer als die erste, die dritte um 218 größer als die zweite, die vierte um 172 größer als die dritte, und die fünfte um 208 größer als die vierte. 13) Welche Zahl ist um 2147 größer als 3147? 14) An einem Markttage wurde verkauft 314 Metzen Weizen, 227 Metzen Korn, 375 Metzen Gerste und 731 Metzen Hafer; wie viel Metzen zusammen? >5) Ein Kaufmann hat folgenden Kaffeevorrath: 3587 Pfund Mokka, 2317 Pfd. fein Martinique, 15108 Pfd. ordinär Martinique, und 4705 Pfd. Havanna; wie groß ist der ganze Vorrath? 16) Jemand erhält 6 Säcke Pfeffer, welche einzeln 112 Pfd.; 115 Pfd., 120 Pfd., 123 Pfd., 124 Pfd., 128 Pfd. wiegen; wie groß ist das ganze Gewicht? 17) Wie viele Tage verfließen in einem gemeinen Jahre vom 1. Jän¬ ner bis zum letzten Tage eines jeden Monates? 18) Von den europäischen Eisenbahnen entfallen auf Oesterreich und Deutschland 5877 Kilometer (, Kilometer hat nahe 527 1Ä Wiener Klafter), auf Großbritannien und Irland 378v, auf Frankreich 2273, auf Belgien 777, aus Rußland mit Polen 3S2, auf Italien 246, auf Holland 283, aufDänemark 184, auf Spanien 2S, auf die Schweiz 19 Kilometer; wie viel Kilometer beträgt die Länge aller europäischen Eisenbahnen? iS) Die Bergwerks-Produktion Mährens betrug im Jahre 1849 an Roheisen 265080 Ztr., an Gußeisen 89804 Ztr., an Stein¬ kohlen 970639 Ztr., an Braunkohlen 511172 Ztr., an Alaun 2450 Ztr., an Graphit 5960 Ztr.; wie vielZentner zusammen? 20) Im Jahre 1847 verursachte sür das Land Oesterreich unter der Enns dis Erhaliung der Gymnasien und höher» Lehran¬ stalten einen Auswand von 471092 sl., jene der Volksschulen 399687 fl., der Kinderbewahranstalten 13970 sl-, der Erzie¬ hungsanstalten 1009658 fl.; wie groß war der ganze Auf¬ wand? 21) Die fünf größten Städte in Oesterreich sind Wien mit 431147, Mailandmit 160101, Venedig mit >23290, Pragmit 118405, und Pest mit 106379 Einwohnern; wie groß ist die gestimmte Volkszahl in allen diesen Städten? 22) Der Bau der nördlichen Staatsbahn verursachte folgende Kosten: für die Grundeinlösung 1660364 fl., für den Unter¬ bau 18444518 fl., für den Oberbau 7630026 fl., für Gebäude 2846017 fl., für Verschiedenes 432597 fl.; wie hoch belaufen sich die sämnitlichcn Baukosten? 23) Der benutzte Boden der österreichischen Monarchie wird aus folgende Art angegeben: Accker und Reisfelder 36951164 Joch Weingarten 1 759271 „ Wiesen und Gärten H595152 „ Oliven-und Kastanicnwälder . . . 1 14462 „ Weiden 12377233 „ Waldungen 3530735 5 „ Wie viel Joch beträgt die ganze produkiive Bodcnfläche Oe¬ sterreichs? 24) In der österreichischen Monarchie leben 30170541 Katholiken, 3160805 nicht unirte Griechen, 344838« Protestanten, 50541 Unitaricr, 2350 Bekenner anderer Sekten, und 729005 Ju¬ den; wie groß ist mit Rücksicht auf diese Angaben die Gesammt- bcvölkerung von Oesterreich? II!. Das Subtrahiren. 8- 12. Subtrahiren oder abziehen heißt, eine Zahl von ei¬ ner andern wegnehmen. 13 Die Zahl, von welcher eine andere weggenommen wird, heißt der Minuend; die Zahl, welche man hinwegnimmt, der Sub¬ trahend, und die Zahl, welche beim Subtrahiren herauskommt, der Rest. Der Rest zeigt also an, um wie viel Einheiten der Minuend größer ist als der Subtrahend; darum wird er auch der Unterschied oder die Differenz genannt. Z. B. 3 von 4 bleibt I; hier ist 4 der Minuend, 3 der Sub¬ trahend, und 1 der Nest oder Unterschied. Das Zeichen der Subtrakzion ist ein liegender Strich — (we¬ niger); der Minuend wird vor, der Subtrahend nach dem Striche gesetzt. Z. B. 4—3 — 1 wird gelesen: 4 weniger 3 ist gleich 1, oder: 3 von 4 bleibt 1. Der Unterschied muß so beschaffen sein, daß er zur kleinern Zahl, d. i zum Subtrahend addirt, die größere Zahl, d. i. den Minuend gibt. Der Minuend kann somit als die Summe zweier Zahlen betrachtet werden, der Subtrahend ist eine dieser zwei Zah¬ len, der Nest die andere. Man kann daher auch sagen: Subtra¬ hiren heißt aus der Summe zweier Zahlen und aus einer dersel¬ ben die andere finden. §. 13. Wenn man den Unterschied zweier Zahlen erhalten will, wird man entweder die kleinere von der größeren wegnchmen und ange¬ ben, wie viel noch übrig bleibt, oder man wird suchen, wie viel zu der kleineren Zahl hinzugesetzt werden muffe, um die größere zu erhalten. Zn beiden Fällen erhält man einerlei Zahl. ES sei z. B. der Unterschied zwischen 8 und 3 zu bestimmen; entweder nimmt man 3 von 8 weg, wo sodann noch 5 bleiben, oder man sucht, wie viel noch zu 3 hinzukommen müsse, um 8 zu erhalten, und man findet wieder 5. Auf beide Arten kommt also s als Unterschied heraus. Das Subtrahiren kann demnach auf eine zweifache Art ver¬ richtet werden: entweder durch bas wirklicheWeguehmcn des Sub- trahends vom Minuend, oder durch Auffindung einer Zahl, welche zum Subtrahend hinzugesetzt den Minuend gibt. Die zweite Art des Subtrahircns ist vortheilhafter und für das praktische Rechnen bequemer als die erste; daher soll hier nur das Subtrahiren mit¬ telst des HinzusetzcnS vorgenommcn werden. Bei dieser Art der Subtrakzion wird vorausgesetzt, daß man sogleich anzugeben wisse, wie viel zu einer Zahl addirt werden muß, um eine andere Zahl zu erhalten, die höchstens un! 9 größer ist, als die erstere Zahl. L. 14. l!m den Unterschied zweier Zahlen zu erhalten, darf man nur einzeln bestimmen, wie viel zu den Einheiten einer jeden Ordnung 14 im Subtrahend hinzugeseht werden muß, um die Einheiten dersel¬ ben Ordnung im Minuend zu erhalte», und sodann diese einzelnen Zahlen, deren jede Einheiten der ergänzten Ordnung bedeutet, in eine einzige Zahl znsammenziehen. Zu diesem Ende wird es auch hier am zweckmäßigsten sein, gleich beim Anschreiben den Subtra¬ hend so unter den Minuend zu setzen, daß Einheiten unter Einhei¬ ten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen. Jst z. B. 104862 von 385487 zu subtrahiren, so schreibt man 385487 Nun bestimmt man den Unterschied der Einheiten: zu 2 104862 Einheiten müssen 5 Einheiten hinzugesetzt werden, um 7 Einheiten zu erhalten; die Ziffer 5 kommt daher an die Stelle der Einheiten im Reste. Hierauf subtrahirt man die Zehner; zu 6 Zeh¬ ner muß man noch 2 Zehner addiren, um 8 Zehner zu erhalten; 2 ist also der Unterschied der Zehner und wird unter die Zehner ge¬ schrieben. Sodann werden die Hunderte subtrahirt: da 8 großer als 4 ist, so kann man durch Hinzusetzen zu 8 Hunderten unmög¬ lich 4 Hunderte erhalten, wohl aber können dadurch 14 Hunderte zum Vorschein kommen; da nun der Unterschied zweier Zahlen nicht geändert wird, wenn man beide um gleichviel vermehrt, so kann man auch wirklich die 4 Hunderte des Minnends um io Hunderte vermehren; von diesen 14 Hunderten können dann 8 Hunderte sub- trahirt werden, nämlich: zu 8 Hunderte» sind noch 6 Hunderte hinzuzusetzen, damit 14 Hunderte zum Vorschein kommen; der Un¬ terschied in den Hunderten ist also 6, welche Ziffer unter die sub- trahirten Hunderte gesetzt wird. Da aber der Minuend um 10 Hun¬ derte vermehrt wurde, muß man, damit der Unterschied nicht ge¬ ändert werde, auch den Subtrahend um 10 Hunderte oder um I Tausend vergrößern; man vermehrt also die nächst höhere Ziffer desselben, die 4 Tausende, um 1, wodurch man 5 bekommt, und subtrahirt hierauf die Tausende: zu 5 Tausenden muß man nichts oder o Tausende addiren, um 5 Tausende zu erhalten; unter die Lausende wird daher im Neste die o geschrieben. Bei den Zehntau¬ senden hat man: zu 0 Zehntausenden müssen 8 Zehntausende hin¬ zugesetzt werden, um 8 Zehntausende zu bekommen; die addirte 8 wird daher unter die Zehntausende gesetzt Endlich subtrahirt man die Hunderttausende, zu 1 Hunderttausend muß man 2 Hundert- tausende hinzusetzen, um 3 Hunderttausende zu erhalten; der Rest in den Hunderttausenden ist also 2. Die Zahl, welche zu >04862 addirt werden muß, um 385487 zu erhalten, d. i. der Unterschied zwischen diesen beiden Zahlen ist demnach 280625. Die ganze Rechnung steht so: 385487 104862 280625 15 Wenn eine Ziffer des Subtrahends größer ist als die darüber stehende Ziffer des Minuends, so denke man sich, wie dieses in dem früheren Beispiele bei den Hunderten geschah, diese Ziffer des Minuends um 10 vergrößert, worauf sich subtrahiren läßt; dage¬ gen muß man auch den Subtrahend in derselben Stelle um io, oder was gleichviel ist, in der nächsthöheren Stelle um I vermeh¬ ren. Weil auf diese Art das Subtrahiren der niedriger» Stellen öfters auf die nächst höhere Stelle im Subtrahend mittelst der Ver¬ mehrung um I einwirkt, so daß der Unterschied in einer höheren Stelle erst dann genau angegeben werden kann, wenn schon der Unterschied in der nächst niedrigeren Stelle bestimmt wurde, so folgt, daß die Subtrakzion in der niedrigsten Stelle, d. i. bei den Einheiten, anfangcn müsse, worauf nach der Ordnung die Zehner, Hunderte u. s. w. subtrahirt werden. 15. Für das Subtrahiren der Zahlen sind demnach folgende Re¬ geln zu beobachten: 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, daß Einheiten unter Einheiten, Zehner unter Zehner u. s. w. zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Strich. 2. Man subtrahire zuerst die Einheiten, dann die Zehner u. s. w., indem man jedeSmal zu der Ziffer des Subtrahends so viel hinzuzählt, daß man die darüber stehende Ziffer des Minuends bekommt; die hinzugezählte Zahl wird als Rest unier diejenige Stelle gesetzt, wo die Subtrakzion verrichtet wurde. 3. Ist eine Ziffer des Subtrahends größer als die darüber stehende des Minuends, so vermehre man diese Ziffer des Mi¬ nuends um 10 und subtrahire; dagegen muß dann zugleich die nächst höhere Stelle des Subtrahends um l vermehrt werden. Beispiele. I) 594 2) 281-4 3) 794216 4) 9470542 253 4296 358063 8890236 341 '23878 436153 580306 Äm ersten Beispiele sagt man: 3 und (l) sind 4; 5 und (4) Md 9; 2 und (3) sind 5. Die Ziffer, welche man jedesmal dazu "'"ß' und welche hier eingeklammcrt ist, wird sogleich wäh¬ rend des Aussprechens unter den Strich geschrieben. — Im zweiten Beispiele heißt es: 6 und (8) sind 14; l und 9 sind io, und (7) sind 17; I und 2 sind 3 und (8) sind II; I und 4 sind 5, und s3) sind 8; 0 (welche man sich an der nächstfolgenden leeren Stelle des Subtrahends denkt) und (2) sind 2. 16 5) 789234 — 178983 -----? 6) 71908 -st 189746 — 38919 ----? 7) 34167 21358 — 38709 — 985 — ? 8) 984155 — 79331 — 109146 — 381077 ------? 9) 193456 93438 — 23456 — 83179 -f- 2976 ---? 10) 3904793 — 823793 -s- 1239064 — 1807593 — ? 11) Von 8064728 sind abzuziehen die Zahlen 284679, 1830551, 5210813, 92357. 12) Von 212975 soll die Zahl 30425 6inal hinter einander ab¬ gezogen werden. Um sich von der Richtigkeit des Restes zu überzeugen, braucht man nur den Rest zu dem Subtrahend zu addiren, wodurch, wenn richtig subtrahirt wurde, der Minuend herauskommen muß. Anwendung der Subtraktion 8- 16. Die Subtrakzion wird überhaupt angewendet, wenn man er¬ fahren will, um wie viel eine Zahl größer sei als die andere. — Der Minuend und der Subtrahend müssen einerlei Namen haben, welchen dann auch der Nest bekommt. A u fg ab en. 1) In einem Keller waren 382 Eimer Wein vorräthig; davon sind 195 Eimer verkauft worden; wie viel Eimer blieben noch übrig? — 187 Eimer. 2) Ein Beamter bezieht jährlich 800 ft. Gehalt, und gibt davon nur 658 st. auS: wie viel ersparter? — 142 st. 3) Für eine Waare gibt man beim Einkäufe 1218 st. und ver¬ kauft sie dann um 1445 st ; wie viel gewinnt man dabei? — 227 st. 4) Mehrere Kisten mit Zucker wiegen 1285 Pfund, die Kisten allein 376 Pfund; wie viel wiegt der Zucker? — 909 Pfund. 5) Jemand kauft ein Haus um 4255 st., darauf zahlt er 2885 st.; was bleibt er noch schuldig? — 1370 st. 6) Jemand hat 768 Metzen Weizen; davon verkauft er nach und nach 150, 25, 102, 263, 37, 8 Metzen; wie viel Weizen bleibt ihm noch übrig? — 183 Metzen. 7) Jemand hinterläßt ein Vermögen von 15280 st.; es finden sich aber zugleich 4326 st. Schulden vor; wie groß ist das reine Vermögen ? — 10954 st. 8) In Wien wurden im Jahre 1845 I9I9I Menschen geboren, wogegen 14842 starben; um wie viel hat in diesem Jahre die Bevölkerung Wiens zugenommcn? — Um 4349. 17 9) Jemand nimmt in cinemMonatefolgendeSummen ein: 128, 215, 35 nnd 65 fl.; dagegen gibt er au§: 47, 175 und 38 fl. Wie viel betragt die ganze Einnahme, wie viel die ganze Ausgabe, und wie viel der Ueberschuß? — Die Ein¬ nahme ist 443 fl., die Ausgabe 260 fl. und der Ueberschuß 183 fl. 10) Welche Zahl ist um 3152 kleiner als 12302 ? 11) Um wie viel ist 82034-f-31578 größer als 62145 -s-39245 ? 12) Welche Zahl ist um eben so viel größer als M72, als 1357 kleiner ist? 13) Um wie viel ist der Unterschied 79124 — 31842 kleiner als der Unterschied 88421 —29078? 14) Wenn von einer Schuld, welche 2480 fl. beträgt, 1335 fl. ge¬ tilgt werden, wie viel bleibt man noch schuldig? 15) Von 1564fl. Einnahme werden 1238fl. ausgegeben; wieviel bleibt übrig? 16) Kepler, der die Gesetze deö Himmels entdeckte, wurde 1571 geboren, und starb 1631; Newton, der jene Gesetze erwei¬ terte, wurde 1642 geboren, und starb 1727. Wie lange lebte jeder dieser großen Gelehrten? 17) Im Jahre 1840 zählte man seit der Erfindung der Dampf¬ maschinen i4t Jahre, seit der Erfindung der Buchdruckerkunst 400 Jahre, und seit der Erfindung unseres Papieres 599 Jahre. In welchem Jahre geschah jede dieser Erfindungen ? 18) liegt 114 Fuß höher als L, 6 73 Fuß höher als 0, und 0 55 Fuß tiefer als I); um wie viel liegt X höher als 0? 19) Böhmen hatte im Jahre 1780 2561794 Einwohner, und im Jahre 1849 4432474 Einwohner; um wie viel ist die Be¬ völkerung in dieser Zeit gestiegen ? 20) Von 2384 Pfd. Reis wurden nach und nach 258, 350, 288, 877, 344 Pfd. verkauft; wie viel blieb noch übrig? 21) Vier Kisten Kaffee wiegen 465, 485, 476, 492 Pfd.; die Kisten für sich wiegen 35, 36, 36, 37 Pfd.; wie Viel Kaffee befindet sich in jeder Kiste, und wie viel in allen zusammen? 22) Oesterreich unter der Enns hat 1494399 Seelen, Oesterreich ob der EnnS 713005, Salzburg 143689, Tirol mit Vorarl¬ berg 862776, Mähren 1826057, Schlesien 467420 Einwoh- uer. Wie groß ist der Unterschied in der Bevölkerung zwischen je zwei dieser Kronländer? 23) Steiermark erzeugte im Jahre 1847 an Rohkupfer 769, an Roheisen 845072, an Gußeisen 25978, an Steinkohlen 871444 Ztr.; im Jahre 1848 an Rohkupfer 1367, an Roh¬ eisen 852628, an Gußeisen 20006, an Steinkohlen 847157 Ztr. Wie viel von jedem dieser Produkte wurde im Jahre 1848 mehr oder weniger erzeugt, als im Jahre 1847 ? KoenH ArNhmcfik. 1 Aust 2 18 24) Die Zahl der Verstorbenen in der österr, Monarchie betruq im Jahre 1846 364907 männlich, 353178 weiblich; „ „ 1847 512058 „ 487977 „ . „ „ 1848 479718 „ 458108 „ „ „ 1849 451813 „ 428941 „ „ „ 1850 399249 „ 385442 „ Um wie viel war die Zahl der Verstorbenen männlichen Ge¬ schlechtes größer als jene der Verstorbenen des weiblichen Geschlechtes, und zwar n) in jedem einzelnen Jahre, d) wäh¬ rend des ganzen fünfjährigen Zeitraumes. IV. Das Multipliziren. §. 17. Multipliziren heißt eine Zahl so oftmal nehmen, als eine andere Einheiten in sich enthält. Z. B. 6 mit 4 multipliziren heißt 6 so oftmal nehmen, als 4 Einheiten enthält, also 6 4mal nehmen, wodurch man 0-^6-j-6-s-6 — 24 erhält. Das Multipliziren ist demnach nichts anderes als ein wieder¬ holtes Addiren. Die Zahl, welche man mehrmal nimmt, heißt der Multi¬ plikand; die Zahl, welche angibt, wie oft der Multiplikand ge¬ nommen werden soll, der Multiplikator; beide Zahlen nennt man auch Faktoren. Die Zahl, welche beim Multipliziren her- auökommt, heißt das Produkt. In dem früheren Beispiele sind 6 und 4 die Faktoren, und zwar ist 6 der Multiplikand, 4 der Multiplikator; 24 ist das Produkt. Das Zeichen der Multiplikazion ist ein schiefes Kreuz x, welches zwischen die Faktoren gesetzt wird. Z. B 6x4 — 24 bedeutet: 6 multiplizirt mit 4 ist gleich 24. Statt des Zeichens x wird häufig auch bloß ein Punkt - gesetzt; eS ist also 6 - 4 so viel als'6x4. Da 4--1 -s- 1 -s- 1 -s- 1 und 6x4--6-s-6-s-6-j-6 ist, da also das Produkt 6x4 gerade so aus 6 gebildet wird, wie 4 aus der Einheit entstanden ist, so kann man auch sagen: Multi¬ pliziren heißt aus dem Multiplikand eine Zahl so bilden, wie der Multiplikator aus der Einheit entstanden ist. Z. B. 12 mit 5 multipliziren, heißt aus 12 auf dieselbe Art eine neue Zahl bilden, wie 5 aus der Einheit entstanden ist; 5 ist aus der Einheit ent¬ standen, indem man die Einheit 5mal als Addend setzte, es ist nämlich 5 — lZ-1-j-i-j-i-s-il man muß daher auch 12 5mal als Addend setzen, wodurch man 12 x 5 -- 12 -s- 12 -s- 12 -s- I2-s-i2 --- 60 erhält. 19 Wenn von dem Produkte von mehr als zwei Zahlen gespro¬ chen wird, so versteht man darunter das Endprodukt, welches her- auskommt, wenn man das Produkt der ersten zwei Zahlen mit der dritten, das neue Produkt mit der vierten Zahl u. s. w. multiplizier. Aus der Erklärung der Multiplikazion folgt der Satz: Wenn e i n F a k t o r N u ll ist, so ist auch das Pro¬ dukt Null. Denn, ist der Multiplikand o, so hat mau o (nichts) öfters zu nehmen, wodurch gewiß auch 0 herauskommt; ist aber der Mul¬ tiplikator 0, so hat man den Multiplikand omal (keinmal) zu neh¬ men, wodurch man sicher auch v erhalt. Es ist also z. B. 4x0 — 0, und 0x4 — 0. Beim Multipliziren der Zahlen wird vorausgesetzt, daß man je zwei einzifferige Zahlen geläufig zu multipliziren wisse, was in der Kenntnis; des sogenannten Ein mal Eins besteht. Bei der Entwicklung der Multiplikazionsregeln sollen drei Fälle unterschieden werden: entweder ist der Multiplikator einziffe- rig, oder ist er 10, ISO, 1000, . . . oder irgend eine mehrziffe- rige Zahl. §. 18. Wenn der Multiplikator einzitferig ist. Es soll z. B. 3812 mit 4 multiplizirt werden. Um 3812 mit 4 zu multipiiziren, oder 4mal zu nehmen, wird man zuerst die 2 Einheiten, dann 1 Zehner, hierauf 8 Hunderte, und endlich 3 Tausende 4mal nehmen, und die dabei erhaltenen Einheiten, Zehner, Hunderte und Tausende gehörig neben einander stellen. Man wird nämlich haben: 2 Einheiten 4mal genommen, geben 8 Einheiten, welche man unter die Einheiten setzt; 1 Zehner 4mal genommen gibt 4 Zehner, welche man unter die Zehner schreibt; 4mal 8 Hunderts sind 32 Hunderte, welche 2 Hunderte und 3 Tau¬ sende geben, dis 2 Hunderte schreibt man an die Stelle der Hun¬ derte, die 3 Lausende aber werden zu dem Produkte der Tausende gezählt, man behält sie so lange im Gedächtnisse, bis man das Produkt der Tausende erhalten hat; 4mal 3 Tausende sind 12 Tau¬ sende, und die im Gedächtnisse behaltenen 3 Tausende sind 15 Tau¬ sende, oder 5 Tausende und l Zehntausend; 5 Tausende werden in die Stelle der Tausende gesetzt, i Zehntausend aber kommt in die Stelle der Zehntausende. Die ganze Rechnung stehet: 3812 x 4 15248. Wenn daher eine mehrzifserige Za hl mit einer einzifferigen multiplizirt werden soll, so multiplizire man mit dem einzifferigen Multiplikator zuerst die Einheiten, dann 20 die Zehner, Hunderte, ... des Multiplikands, und schreibe das jedesmalige Produkt, wenn es einzifferig ist, unter die Stelle, welche man eben multiplizirt hat; ist aber das Produkt zweizifferig, so werden nur die Einheiten unter die eben multiplizirte Stelle gesetzt, die Zehner aber zu dem Produkte der nächst höheren Stelle hinzugezählt. Beispiele. I) 3721 X 3 11163 2) 50-16 X 5 25230. Im ersten Beispiele spricht man: 3mal 1 sind 3; 3mal 2 sind 6; 3mal 7 sind 21, 1 angeschriebcu, bleiben 2; 3mal 3 sind 9 und 2 sind li. — Im zweiten Beispiele sagt man: 5mal 6 sind 30, o angeschrieben, bleiben 3; 5mal 4 sind 20, und 3 sind 23, 3 angeschrieben, bleiben 2; ümal 0 ist 0, und 2 sind 2; 5mal 5 sind 25. 3) 31407 x 9 4) 123456 x7 282663 864192. 5) 287563 X 8 ---? 6) 3095627 x 6 ---? 7) Man multiplizire 783459 mit 2, das Produkt mit 3, das neue Produkt mit 7. 8) Man multiplizire 291085 viermal mit 8. 9) Es soll 84602537 n) mit 4, b) mit 5, c) Mit 6, tl) mit 7, o) mit 8, f) mit 9 multiplizirt werden. 10) Man multiplizire 3092758 ->) 5,nal mit 3, I>) 4mal mit 9, o) 7mal mit 7, ü) 6mal mit 8, e) lOmal mit 6. 8. 19. d. Wenn der Multiplikator 10, 100, 1000, ... ist. Um eine Zahl, z. B. 3467, mit io zu multipliziren, braucht Man sie nur so zu ändern, daß jede Ziffer lOmal so viel bedeutet, als sie früher galt, d. h. man wird jede Ziffer um eine Stelle wei¬ ter gegen die Linke vorrücken; dieses geschieht, wenn man der un- geänderten Zahl rechts eine Null anhängt. Es ist also 3467 x 10 --- 34670. Eben so überzeugt man sich, daß man, um eine Zahl loomal zu nehmen, derselben rechts zwei Nullen anhängen muß. Im Allgemeinen hat man die Regel: Eine Zahl wird mit io, ioo, i ooo,°. . multipli¬ zirt, wenn man jede Ziffer um I, 2, 3, .. . Stegen weiter ge¬ gen die Linke rückt, was bewirkt wird, indem man der Zahl rechts I, 2, 3, .. . Nullen anhängt. 21 Beispiele. I) 63378 X IO 2 ) 76543 X lOO 653780 7654300 3) 3408 X 1000 —? 4) 25670 X 100 —? §. 20. o Wenn der Multiplikator irgend eine mehrzifferige Zahl ist. Es soll z. B. 3417 mit 2048 multiplizirt werden. Man wird sicher das 2048fache von 3417 erhalten, wenn man diese Zahl 8mal, dann 40mal, endlich 2000mal nimmt, und diese Theilpro- dukte znsammenzählt. 3417 8mal genommen, oder mit 8 multi¬ plizirt, gibt 27336 ; um die Zahl 3417 40mal zu nehmen, sucht man zuerst daß 4fache von ihr, und nimmt dieses 4sache, nämlich 13668, noch lomal, indem man eß unter das erste Thcilprodukt so anschreibt, daß jede Ziffer um eine Stelle weiter gegen die Linke gerückt erscheint,- nun wird die Zahl 3417 noch 2000mal ge¬ nommen, indem man sie mit 2 multiplizirt, und die dadurch er¬ haltene Zahl, nämlich 6834, noch lOOOmal nimmt, indem man jede Ziffer derselben in Beziehung auf das erste Theilprodukt um drei Stellen weiter gegen die Linke vorrückt; endlich addirt man die Theilprodukte, so wie sie unter einander stehen. Die Rechnung steht: 3417 x 2048 sieht sogleich , daß hier die nied- 27336 rigste Ziffer eines jeden Thcilproduktcs 13668 immer Einheiten derselben Ordnung bcdeu- 6834 tet, wie die Ziffer des Multiplikators, mit H)8oi6 welcher man multiplizirt. Es ist gleichgiltig, in welcher Ordnung mit den Ziffern des Multiplikators multiplizirt wird, wenn man nur denTheilproduk- ten die gehörige Stellung gegen einander gibt. Das vorhergehende Beispiel kann auch noch auf folgende Arten ausgearbeitet werden: 3417 x2048 oder 3417 X 2048 oder 3417 x2048 27336 13668 13668 6834 27336 6834 13668 6834 27336 6098016 6998ÖH 6998016 oder 3417x 2048 oder 3417X 2048 6834 6834 27336 13668 13668 27336 6998016 6998016. LA Zm Allgemeinen ist es am zweckmäßigsten, mit den Ziffern des Multiplikators in der natürlichen Ordnung entweder von der niedrigsten oder von der höchsten angefangen, zu multipliziren. Wenn daher eine mehrzifferige Zahl mit einer mehrzifferigen zu multipliziren ist, so hat man fol¬ gende Regeln zu beobachten: 1. Man ziehe unter den Multiplikand einen Strich. 2. Man multiplizire den ganzen Multiplikand mit jeder Ziffer des Multiplikators, und schreibe die einzelnen Theilprodukte so unter einander, daß die niedrigste Ziffer eines jeden Theilpro- duktes Einheiten derselben Ordnung bedeutet, wie die Ziffer des Multiplikators, mit der mau multiplizirt hat. — Kommt im Multiplikator eine Null vor, so wird dieselbe beim Multipliziren übergangen. 3. Die einzelnen Theilprodukte werden, so wie sie ange¬ schrieben sind, addirt; ihre Summe ist das gesuchte Produkt. Beispiele. 1- 5304 X351 5304 26520 I59I2 1861704 2) 25986X2708 51972 181902 207888 70370088 3) 57906 X790 52II540 405342 45745740 Im zweiten Beispiele wurde zuerst mit 2, dann mit 7, und endlich mit 8 multiplizirt; im ersten Theilprodukte bedeutet daher die niedrigste Ziffer Tausende, im zweiten Hunderte, im dritten Einheiten ; darum wurde das zweite Theilprodukt in Beziehung auf das erste um eine Stelle, und das dritte Theilprodukt um drei Stellen weiter gegen die Rechte hinausgerückt. — Im dritten Bei¬ spiele wurde dem ersten Theilproducte eine Null angehangt, weil die niedrigste Ziffer 4 Zehner bedeuten soll. 4) 795063 X 9218 ---- 7328890734. 5) 123456 X 9087 ----- 1121844672. 6) 30715 x 42086 — 1292671490. 7) 8910564 X 794 — ? 8) 139440 x 2309 ----? 9) 341908 X 28947 --- ? 10) 728304 X 46093 — ? 11) 38546 X 4893 X 6721 ---? 12) 9473 X 2368 X 1927 x 4368 ----? 13) 387093 x 219089 x 523906 ---? 14) 57908 Xi 36897 X 25786 x 14675 ---? 23 §. 21. Kommen in einem oder in beiden Faktoren rechts Nullen vor, so erscheinen alle diese Nullen auch im Produkte. Die Richtigkeit davon ist leicht einzuschen. Hat nämlich der Multiplikand rechts Nullen, so müssen die¬ selben auch im Produkte Vorkommen, weil o mit was immer für einer Zahl multiplizirt o zum Produkte gibt. Z. B. 958» X 93 3792000 X 702 28740 7584000 86220 26544000 890940 2661984000. 12345 X 20700 86415000 24690 2855415000. Kommen im Multiplikator rechts Nullen vor, so wird die erste bedeutliche Ziffer des Produktes an jene Stelle zu stehen kom¬ men, an welcher sich die erste bedeutliche Ziffer im Multiplikator befindet; d. h. es wird auch das Produkt rechts so viele Nullen haben, als ihrer der Multiplikator hat. Z. B.: 9706 X 3800 77648Ö0 29118 36882800 Haben endlich beide Faktoren rechts Nullen, so werden im Produkte außer den Nullen des MultiplikandS auch jene des Mul¬ tiplikators vorkommen; d. h., im Produkte werden so viele Nullen rechts erscheinen, als ihrer beide Faktoren haben. Z. B.: 348600 X 340 765030 X 108000 "13944000 6120240600 1045800 765030 118524000 82623240000. Wenn daher in einem oder in beiden Faktoren rechts Nullen vorkommen, so kann die Multiplikazion am kürzesten verrichtet werden, wenn man jene Nullen weglaßt, die dann übrigbleibenden Zahlen mit einander multiplizirt, und dem Produkte rechts so viele Nullen anhängt, als ihrer in beiden Fak¬ toren weggelaffen wurden. Um z B. 305800 mit 98000 zu multipliziren, sucht man das Produkt aus 3058 und 98, und hängt diesem Produkte 299684 die in beiden Faktoren rechts vorkommenden und wahrend der Rech¬ nung wcggelaffcnen 5 Nullen wieder an. Die Rechnung fleht: 305800 X 98000 24464 27522 29968400000. 24 §. 22. Zwei Zahlen geben in jeder Ordnung mit ein- ander multiplizirt dasselbe Produkt. So kann man z. B. zeigen, daß 3x4 —4x3 sein muß. Es ist 3x4 — 3-st3-P3-st3, oder wenn man jede 3 in ihre Einheiten austost: 3x4--(1-stI.-s-1)-P(1-s-I-stI)-st(I-stI-st4)-st(I-st1-stI). Nimmt man nun die erste Einheit, die in jeder 3 vorkommt, so erhält man dadurch 4 Einheiten oder 4, durchs Addiren der zweiten Einheit in jeder 3 erhalt man wieder 4, und durchs Addi¬ ren der dritten Einheiten nochmal 4; man erhält also 4 so oft, als Einheiten in 3 enthalten sind: folglich: 3 X 4 4 —st 4 —st 4 4 X 3. Dieselben Schlüsse lassen sich bei was immer für zwei Zahlen machen. Es ist daher für das Produkt gleichgiltig, welchen von zwei Faktoren man zum Multiplikand annimmt; am zweckmäßigsten ist cs, denjenigen Faktor dafür zu nehmen, welcher mehr bedeutliche und verschiedene Ziffern enthält. Die beste Probe über die Richtigkeit des Produktes besteht darin, daß man noch einmal multiplizirt; bekommt man wieder das nämliche Produkt, so darf man es als richtig anschen, besonders, wenn man bei der zweiten Multiplikazion die Faktoren verwechselt, d. i. denjenigen als Multiplikand annimmt, der früher Multipli¬ kator war. Anwendung der Multiplikazion. §. 23. Die Multiplikazion wird überhaupt angewendct, wenn man wissen will, wie viel cineZahl öfters genommen, ausmacht.— Der Multiplikator wird während der Rechnung als unbenannt betrach¬ tet, und das Produkt bekommt den Namen deS Multiplikands. A u fga ben. 1) l Ztr. kostet 23 st.; waö kosten 8 Ztr? — Wenn k Ztr. 23 st. kostet, so kosten 2 Ztr. 2mal 23 fl., 3 Ztr.3mal 23 fl., 8 Ztr. 8mal 23 fl.; man muß also 23 fl. mit 8 multiplizi- ren, wodurch man 184 fl. bekommt. 2) Wie viel kosten 10 Ztr., zu 127 fl. der Ztr.? — 1270 fl. 3) Ein Gctreidehändlcr kauft 85 Meßen Weizen zu 184 Gro¬ schen ; wie viel Groschen beträgt das Ganze? — 15640 Groschen. 4) Wie viel Kreuzer machen 12 fl. — i fl. hat 60 kr., 2 fl. haben 2inal 60 kr., 3 fl. 3mal 60 kr., 12 fl. also I2mal 60 kr., d. i. 720 kr. 25 5) Wie viel Kreuzer geben io, 17, 38, 127, 3459fl.?— 600, 1020, 2280, 7620, 207540 kr. 6) Wie viel Loth machen 17 Pfd.? — I Pfund hat 32 Loth, 17 Pfund haben also I7mal 32 Loth, also 544 Loth. 7) In einem Garten sind 12 Reihen von Bäumen, in jeder Reihe sind 36 Bäume; wie viel Bäume sind es zusammen? — 432 Bäume. 8) Das Quecksilberbergwerk in Jdria liefert im Durchschnitte jährlich 3333 Ztr. Quecksilber; wenn nun i Ztr. um 255 fl. verkauft wird, wie groß ist der ganze Ertrag? — 849915 fl. 9) Ein Grundbesitzer verkauft 4 Joch Ackergrund zu 228 fl., und bekommt auf Rechnung 560 fl.; wie viel hat er noch zu for¬ dern? — 352 fl.' 10) Ein Weinhändler verkauft nach und nach: 50 Eimer Wein zu 24 fl., 60 Eimer zu 22 fl, 45 Eimer zu 18 fl., 32 Eimer zu 25 fl. und 13 Eimer zu 35 fl.; wie viel hat er im Ganzen für den Wein eingenommen? — 4585 fl. 11) Wie viel Einwohner hat ein Land von 3576 Quadratmeilen, wenn man im Durchschnitte aus jede Quadratmeile 3248 Ein¬ wohner rechnet? — 11614848 Einwohner. 12) Wenn ein Eimer Wein 18 fl. kostet, wie hoch kommen 12, 17, 25, 42, 89, 108 Eimer? 13) 1 Ztr. kostet 127 fl., was kosten 8, 21, 29, 45, 88 Ztr.? 14) Der Schall legt in jeder Sekunde 1050 Fuß zurück; wie viel das Licht, welches sich 926400mal so schnell bewegt als der Schall? 15) Wie viel Stunden machen 3, 8, 17, 3 0, 365 Tage? 16) Wie viel Fuß sind 33, 58, 105, 223, 315 Klafter? 17) Wenn man annimmt, daß ein Joch Ackergrund im Durch, schnitte 12 Metzen Getreide liefert, wie groß ist das Erträg- niß von 18, 41, 72, 321, 1088 Joch? 18) Ein Rechteck ist 204 Fuß lang und 137 Fuß breit, wie viel Quadratfuß beträgt seine Fläche? 19) Die Entfernung des Mondes von der Erde beträgt 60 Erd- halbmefser; wie viel macht dieses, wenn man den Halbmesser der Erde zu 859 deutschen Meilen annimmt? 20) Jemand verkauft 35 Ztr. zu 48 fl., 57 Ztr. zu 53 fl., 67 Ztr. zu 29 fl.; wie viel nimmt er dafür ein? 21) /V gibt dem 6 57 Eimer Wein zu 25 fl., und bekommt dafür von 8214 Metzen Weizen zu 3 fl.; wie viel hat 8 noch zu bezahlen? 22) Jemand besitzt 10000 fl.; er kauft 24 Joch Ackergrund zu 212 fl., 7 Jgch Wiesen zu 93 fl. und 2 Joch Gartenland zu 308 fl.; wie viel Geld bleibt ihm noch? 23) Zu einer Kubikklafter Mauerwerk braucht man 1728 Ziegel¬ steine; wie viel zu 18, 27, 38, 123 Kubikklaster? 26 24) Im Jahre 1846 kamen in Oesterreich unter der Eiuitz mit 346fi^ Meilen 4322Einwohner auf jede ssfs Meile, iuSteier- mark mit 391 fsss Meilen 2566, in Böhmen mit 904 fiss Mei¬ len 4809, in der Lombardie mit 373 ss) Meilen 7120, in Venedig mit 415fi^Mcilen 5439 Einwohner. Wie groß war in jenem Jahre die Bevölkerung einer jeden dieser Provinzen ? 25) Ein Grundbesitzer säet 43 Meßen Korn, 65 Metzen Weizen, 124 Metzen Hafer und 68 Metzen Gerste. Vom Korn erntet er 9fältig, vom Weizen i ifältig, vom Hafer 8fältig und von dec Gerste lOfältig. Wie viel Metzen erntet er von jeder Frucht? 26) Bei einem neugeborncn Kinde schlägt der Pnls in einer Mi¬ nute i40mal, nach dem ersten Lebens,'fahre loomal, bei Er¬ wachsenen 75mal und bei Greisen tz>omal. Wie oft schlägt der Puls in jeder angegebenen Z,eit: s) in einer Stunde, I)) in einem Tage, o) in einem Jahre? 27) Die ärarischen Eisenhämmer lieferten im Jahre 1847 436S6 Ztr. Stahl im Preise zu 16 fO, im Jahre 1848 nur 34127 Ztr. im Preise zu 15 fl.; um wie viel ist der Geldwerth des erzeugten Stahles im Jahre. 1847 größer als im Jahre 1848? 2 8) Ein viereckiger Kasten von s Fuß Länge, 7 Fuß Breite und Z Fuß Hohe ist mit Steinkohlen gefüllt, von denen jeder Kubikfuß 84 Pfund» wiegt; der Kasten allein wiegt 218 Pfd. Wie groß ist das glanze Gewicht? V- Das Di vidi ren. 8. 24. Eine Zahf. durch eine andere dividiren heißt un¬ tersuchen, wie o,st die zweite Zahl in der ersten enthalten ist. Z. B. 12 durch z dividiren heißt untersuchen, wie oft 3 in 12 ent¬ halten ist ; dfxses findet man, wenn man 3 so ost von 12 abzieht, als es möglich ist; 3 läßt sich von 12 4mal abziehen; also ist 3 in 12 4m,al enthalten. Alan sieht, daß das Dividiren nichts anderes ist, als ein wiederholtes Subtrahiren. Die Zahl, welche dividirt wird, heißt der Dividend, und dig Zahl, durch welche dividirt wird, der Divisor; die Zahl aber, welche beim Dividiren herauskommt, wird der Quozient genannt. In dem früheren Beispiele ist 12 der Dividend, 3 der Divisor und 4 der Quozient. Der Quozient zeigt an, wie vielmal der Divisor in dem Di¬ vidend enthalten ist. Wenn man nun den Divisor so ost nimmt, als der Quozient anzeigt, d. h. wenn man den Divisor mit dem 27 Quozienten multiplizirt, so muß wieder der Dividend herauskom- men. Der Dividend kann demnach als das Produkt zweier Fakto¬ ren betrachtet werden, von denen der eine der Divisor, der andere der Quozient ist. Man kann daher auch sagen: D i v i d ir e n heißt aus dem Produkte zweier Faktoren und aus einem dieser Faktoren den andern suchen. Z. B. 12 durch 3 dividiren heißt, 12 ist das Produkt zweier Faktoren, 4 ist der eine Faktor, man soll den an¬ dern suchen. Die Division kann auch als Th ei l u n g sr e ch n u n g, wo¬ von sie eben den Namen führt, betrachtet werden. Um z. B. 30 in 5 gleiche Theile zu theilen, muß man eine Zahl finden, welche 5mal genommen oder mit 5 multiplizirt 30 zum Produkt gibt; man muß also aus dem Produkte 30 zweier Faktoren und aus einem Faktor 5 den andern suchen, d. i. 30 durch s dividiren. Das Zeichen der Division besteht in zwei über einander ste¬ henden Punkten : und zeigt an/dass,die Zahl vor den Punkten durch die Zahl nach den Punkten zu dividiren ist; z.B. 30 : 5 —6 wird gelesen: 30 dividirt durch ö ist gleich 6. Ein Quozient, der durch den ,Dividend und Divisor ausge¬ drückt ist, heißt ein an gezeigter Quozient; das Resultat der Division wird der wirkliche Quozient genannt. So ist der Ausdruck 30 : 5 der angezeigte, 6 der wirkliche Quozient. Ost wird ein Quozient auch dadurch angezeigt, daß man den Divisor unter den Dividend, und zwischen beide einen Strich setzt; dieses geschieht besonders dann, wenn der Dividend kleiner ist als der Divisor. Wenn z. B. 3 durch ^5 zu dividiren ist, so zeigt man die Division Nurhan, indem mass schreibt: ß, welches gele¬ sen wird: 3 Stel. — Ein so dargestellter Quozient wird ein Bruch genannt. Beim Dividiren wird vorausgesetzt, daß man den Quozienten sogleich zu bestimmen wisse, wenn der Divisor einzifferig und der Dividend kleiner ist als das Zehnfache des Divisors. 8. 25. Um eine Zahl durch eine andere zu dividiren, wird man am sichersten verfahren, wenn man untersucht, wie oft der Divisor in den einzelnen Bestandtheilen, d. i. Einheiten, Zehnern, Hunder¬ ten, ... des Dividends enthalten ist. Man zerlege also den Dividend in so viele Theile, Theildividende, als er Ziffern hat, und dividire sie, alle durch den Divisor; dadurch bekommt man eben so viele Theile im Quozienten, Theilquozien en, deren jeder Einheiten derselben Ordnung enthält, als der ,entspre¬ chende Theildividend. So geben 8 Zehner durch 2 dividirt 4Zeh¬ ner; weil nämlich 2 in 8 4mal enthalten ist, so wird 2 in 8 Zeh¬ nern oder in 80 lomal so oft als in 8, also 40>nal enthalten sein ; der Quozient ist also 40 oder 4 Zehner. Eben so geben 28 8 Hunderte durch 2 dividirt 4 Hunderte, 8 Tausende „ 2 „ 4 Tausende, u. s. w. Ist nun z. B. 34461 durch 63 zu dividiren, so wird man die Bestandtheile des Dividends, nämlich 3 Zehntauscnde, 4 Tausende, 4 Hunderte, 6 Zehner, 1 Einheit, einzeln durch 63 dividiren, und die erhaltenen Theilquozienten in eine Zahl zusammenziehen. 3 Zehntauscnde kann man, so lange solche alö Zehntausende betrachtet werden, durch 63 nicht wirklich dividiren, weil 63 in 3 nicht enthalten ist. Man verwandelt darum die 3 Zehntausende in Tausende, indem man sie mit 10 multiplizirt; man bekommt 30 Tausende; zu diesen setzt man die im Dividend bereits vorhandenen 4 Lausende dazu, indem man 4 an die Stelle der angehängten Null schreibt, wodurch 34 Tausende herauskommen; kürzer erhält man diese Zahl 34, wenn man zu 3 sogleich die nächst niedrigere Ziffer 4 hinzusetzt. Aber auch 34 Tausende kann man als Tausende durch 63 nicht dividiren, weil 63 auch in 3l noch nicht enthalten ist; die 34 Tausende werden daher in Hunderte aufgelöst, sie geben 340 Hunderte; die bereits vorhandenen 4 Hunderte dazu, sind 344 Hunderte, welche man kürzer bekommt, wenn man zu 34 sogleich die nächst niedrigere Ziffer 4 anhängt; 344 Hunderte taffen sich nun durch 63 dividiren; man steht zunächst, wie oft 6 in 34 ent¬ halten ist, und schließt daraus, daß auch 63 in 344 nicht mehr als 5mal enthalten sein kann; 344 Hunderte durch 63 dividirt, geben also 5 Hunderte. — Aus dieser Entwickelung folgt erstlich, das; man als ersten Theildividend, aus welchem die höchst bedcutliche Ziffer de§ Ouozienten gefunden wird, so viele höchste Stellen des Dividends nehmen müsse, als ihier nöthig sind, damit der Divisor darin wenigstens einmal enthalten ist; mithin enlweder eben so viele Ziffern als ihrer der Divisor hat, oder um eine mehr, wenn eben so viele höchste Ziffern des Dividends als Zahl betrachtet kleiner sind als der Divisor. Ferner sieht man, daß die höchste Ziffer im Ouozienten Einheiten derselben Ordnung bedeutet, wie die nied¬ rigste Ziffer im ersten Theildividend. Um nun zu erfahren, ob der erste Theilguozient (5 Hunderte) richtig ist, wird man untersuchen, ob sich 63 von 344 Hunderten wirklich SOOmal hinwegnehmcn läßt; man wird zu diesem Ende 63 LOOmal nehmen, und dieses von 344 Hunderten subtrahircn; oder was eben so viel ist, man wird 63 5mal nehmen, und dieses von 344 subtrahiren. 63 5mal genommen oder mit 5 multiplizirt gibt 315, und dieses Produkt von 344 abgezogen läßt 29 zum Reste, woraus folgt, daß man 63 von 344 wohl 5mal, aber nicht mehr als 5mal Hinwegnehmen kann, daß somit die Ziffer s im Ouozicn- ten richtig ist. — Um also zu sehen, ob die gefundene Ziffer des Ouozienten richtig ist, multiplizire man den Divisor mit dieser Ziffer des Ouozienten, und ziehe das Produkt von dem Theildivi- 29 dend ab, aus welchem jene Ziffer gefunden wird. Ließe sich dieses Produkt gar nicht subtrahnen, so wäre dies; ein Beweis, daß der Divisor in dem Theildividend nicht so oft enthalten ist, als der Theilquozient es anzcigt, daß also dieser zu groß angenommen wurde. Bliebe ein Rest, welcher eben so groß oder größer als der Divisor ist, so wäre letzterer im Theildividend öfters enthalten, als der Theilquozient es anzeigt; der Theilquozient wäre also zu klein genommen worden. Bleibt aber gar kein Rest, oder bleibt zwar ein Rest, der jedoch kleiner ist als der Divisor, so hat man die Ziffer des Quozienten richtig angenommen. Wenn man 63 öOOinal von 344 Hunderten wegnimmt, so bleiben noch 29 Hunderte übrig: diese können als Hunderte durch 63 nicht mehr dividirt werden, man verwandelt sie daher in Zeh¬ ner und addirt die im Dividend bereits vorhandenen 6 Zehner dazu, wodurch man 296 Zehner bekommt, welche Zahl man un¬ mittelbar erhalten kann, wenn man zu dem Reste 29 die nächst niedrigere Ziffer 6 des Dividends hinzusetzt. Um nun den neuen Theildividend, nämlich 296 Zehner, durch 63 zu dividiren, sieht man zuerst, wie oft 6 in 29 enthalten ist, und folgert, daß auch 63 in 296 nicht mehr als 4mal enthalten sein könne; 296 Zehner durch 63 dividirt geben also 4 Zehner. 4mal 63 ist 252, von 296 abgezogen, bleiben noch 44 Zehner. Die 44 Zehner werden, da man sie als solche durch 63 nicht dividiren kann, in Einheiten verwandelt; zu diesen 440 Einheiten die im Dividend schon vorhandene I dazu gesetzt, hat man 441 Einheiten, welche durch 63 dividirt, 7 Einheiten geben; 7inal 63 ist gerade 441, somit bleibt kein Rest übrig. Der ganze Quozicnt ist also: 5 Hunderte, 4 Zehner und 7 Einheiten, d. i. 547. Man braucht zu den einzelnen Ziffern des Quozienten ihre Bedeutung gar nicht hinzuzusetzen, weil sie nach der Ordnung Hunderte, Zehner, Einheiten bedeuten, und weil dieselben, wenn man sie nur nach der Reihe hinschreibt, schon durch diese Anordnung selbst in ihrer wahren Bedeutung erscheinen. Die ganze Rechnung steht: 34461 : 63 -- 547 315 296 252 HI 441 0 Da sich erst, nachdem schon die höheren Einheiten dividirt wurden, auS dem übrigbleibenden Reste der nächst niedrigere Theil¬ dividend bestimmen läßt, so folgt, daß man die Division von den höchsten Stellen an beginnen müsse. 30 Ist ein Theildivident kleiner als der Divisor, so setzt man in den Quozientcn eine Null, und setzt zu dem Theildividende so¬ gleich die nächstniedrigere Stelle des Dividends dazu; denn der Divisor mit dem Theilquozienten o multiplizirt gibt o zum Pro¬ dukte; und o vom Theildividend abgezogen, gibt diesen selbst zum Reste, wozu dann die nächst folgende Ziffer des Dividends hinzu- kommen muß. §. 26. Aus allem Vorhergehenden ergeben sich für das Dividiren der Zahlen folgende Regeln: 1. Man schreibe zuerst den Dividend, dann den Divisor, setze zwischen beide das Divisionszeichen, nach dem Divisor wird das Gleichheitszeichen, und nach diesem der Quozient hingeschrieben. 2. Man fängt bei der höchsten Stelle zu dividiren an; man nimmt so viele höchste Ziffern des Dividends, als der Divisor Stellen hat, oder um eine mehr, wenn jene Ziffern kleiner sind, als der Divisor; diese Ziffern bilden den ersten Theildividend. 3. Nun untersucht man, wie oft der Divisor in dem ersten Theildividend enthalten ist, und schreibt die Zahl, welche dieses an¬ zeigt, als höchste Ziffer in den Quozientcn. Wenn dec Divisor mehrzifferig ist, so erleichtert man sich diese Untersuchung, wenn man versucht, wie oft die höchste Ziffer des Divisors in der höchsten oder in den zwei höchsten Ziffern des Dividends enthalten ist. 4. Mit dec gefundenen Ziffer des Quozientcn wird der Divi¬ sor multiplizirt, das Produkt unter den ersten Theildividend ge¬ schrieben, und von diesem subtrahirt. Ist jenes Produkt großer als der erste Theildividend, so daß die Subtrakzion nicht verrichtet werden kann, so ist der Quo¬ zient zu groß angenommen worden; man muß ihn also kleiner nehmen. Bleibt aber ein Rest, der eben so groß oder größer ist, als der Divisor, so ist der Quozient zu klein angenommen; man muß ihn daher größer nehmen. 5. Zu dem ubrigbleibenden Reste wird die nächste Ziffer des Dividends herabgesetzt; die Zahl, welche dadurch entsteht, ist der neue Theildividend. Man untersucht nun wieder, wie oft der Divisor in dem neuen Theildividend enthalten ist; die Zahl, welche dieses anzeigt, schreibt man als eine neue Ziffer in den Quozientcn. 6. Mit dieser Ziffer des Quozienten wird nur der Divisor multiplizirt, und das Produkt von dem letzten Theildividend ab¬ gezogen. Zu dem Reste wird wieder die nächstfolgende Ziffer des Dividends herabgesetzt, und dieser neue Theildividend durch den Divisor dividirt, um die dritte Ziffer des Quozienten zu erhalten. 7. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis man nach und nach alle Ziffern des Dividends herabgesetzt hat. 31 Geschieht es, daß ein Theildividend kleiner ist, als der Divisor, so daß die Division nicht vollgezogen werden kann, so schreibt man in den Quozienten eine Null, und setzt sogleich die nächste Ziffer des DividendS herab. 8. Bleibt zuletzt kein Rest übrig, so ist der Divisor im Divi¬ dend genau enthalten. Bleibt aber ein Rest, so ist dieser noch durch den Divisor zu dividiren; der Quozient davon wird jedoch nur in Bruchform angezeigt, und dem erhaltenen ganzen Quozien¬ ten angehängt. Beispiele. 1) 17255 : 7 --- 2465 14 1 Man sagt hier: 7 in 17 ist 2mal enthalten, 28 2mal 7 sind 14, von 17 bleiben 3; 2 herab, H" 7 in 32 geht 4mal, 4mal 7 sind 28, von 32 y bleiben 4; 5 hernb, 7 in 45 geht 6mal, 6mal 7 sind 42, von 45 bleiben 3; 5 herab, 7 in 35 35 geht 5mal, 7 mal 5 sind 35, von 35 geht auf. 35 // v 2) 5409835 : 2347 ---- 2305 4694 Hier untersucht man zuerst, wie oft 2347 in -715^ 5409, oder versuchsweise, wie oft 2 in 5 enthal- 7041 ten lst; es geht 2mal. Nun multiplizirt man -, - den Divisor 2347 mit 2 und zieht das Produkt 4694 von 5409ab. Zu dcmReste715 setztman die nächste Ziffer 8 des Dividends herab; 2347 in 7158, oder 2 in 7 ist 3mal enthalten, 3>nal 2347 sind 7041, was von 7158 abgezogen 117 zurücklaßt. Zu diesem Reste 117 wird 3 herabgesetzt; 2347 ist nun in 1173 Omal ent¬ halten; in den Quozienten kommt daher eine Null, und zu dem Theildividend 1173 sogleich die nächste Ziffer 5 herab, 2347 in 11735 ist 5mal enthalten, 5mal 2347 sind gerade 11735, was von 11735 ohne Rest aufgeht. 3) 326745 : 137 — 2385 274 H' 411 ^1164 4) 151254272 : 50284 — 3008 1096 150852 685 492272 685 402272 //" // // k/ // // // 32 5) 13847082 : 3169 — 4369M 12676 11710 S5V7 22038 Hier wird unter den letzten Rest 1721 der Di- 19015 visor 3169 gesetzt, unddieser Bruch dem ganzen 30242 Quozientcn 4369 angehängt. 28521 1721 6) 36734975 : 1025 — 35839. 7) 71426835 : 782 ---- 9I338M. 8) 3568533564 : 356782 — 10002. 9) 23456783 : 57936 ? 10) 59073680 : 29864 — ? 11) 371089246 : 38421 12) 1284502378 : 7358 13) 5210341536 : 241563 —? Die Probe für die Richtigkeit der Division besteht darin, daß man den Quozientcn mit dem Divisor multiplizirt; erhält man zum Produkte den Dividend, so ist richtig dividirt worden. Ist bei der Division ein Rest geblieben, so ist das Produkt aus dem Divisor mit dem Quozientcn noch um diesen Rest zu vcr^ mehren, wornach der Dividend erhalten werden muß. Abkürzungen beim Dividiren. §. 27. 1. Wenn der Divisor einzifferig ist, so pflegt man die Division gewöhnlich so zu verrichten, daß man daö Produkt aus dem Divisor und der jedesmaligen Ziffer des Quozientcn gleich im Kopfe von dem entsprechenden Lhcildividend abzieht, und sich den Rest der nächsten Ziffer dcS DividcndS als Zehner vorange¬ setzt denkt; der Quozient wird gehörig unter den Dividend selbst geschrieben. Beispiele. 1) 4376 : 8 Man spricht hier: 8 in 43 geht 5mal, bleibt3 ; 547 dieser Rest wird als Zehner der nächsten Ziffer 7 vorangesetzt, und man hat: 8 in 37 geht 4mal, bleibt 5; zu diesem Reste setzt man die folgende Ziffer 6, und sagt: 8 in 56 geht 7mal. 2) 54321 : 7 3) 2085369 : 5 "7760s 417073^ 4) 6232 : 8 5) 18900 :"6 6) 21072 : 4 — ? 7) 78536 : 7 — ? 33 8) Man dividire 3175268 durch 5, die ganze Zahl desQuozien- ten wieder durch 5, und sofort noch 6mal durch s. 9) Die Zahl 79354260 soll man durch 2, und die in diesem und den weitern Quozienteu enthaltenen ganzen Zahlen folgeweise durch 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dividiren. Wie heißt der letzte Quozient? 2. Wenn der Divisor 10, IOO, 1000, ... ist Um eine Zahl, z. B. 4567 durch io zu dividiren, muß man die Tausende, die Hunderte, die Zehner und die Einheiten durch 10 divioiren. 4 Tausende durch 10 dividirt geben 4 Hunderte; s Hunderte durch lO dividirt geben 5 Zehner; 6 Zehner durch io dividirt geben 6 Einheiten; die sieben Einheiten aber können durch io nicht wirklich dividirt werden, und bleiben als Rest, dessen Division durch 10 nur angezeigt werden kann; man hat somit 4567 : 10 ----- 456s^. Um daher eine Zahl durch 10 zu dividiren, braucht man nur die Einheiten als Rest zu betrachten, die Zehner alS Einheiten, die Hunderte als Zehner, .... anzunehmen; die¬ ses alles geschieht, indem man der Zahl rechts eine Ziffer abschnei¬ det, welche den Rest bildet, und die übrigen Ziffern als Quozien- ten ansieht. Um eine Zahl durch 100 zu dividiren, muß man sie so ver¬ ändern, daß jede Ziffer nur den lOOsten Thcil ihres früheren Wer- theS bedeutet, welches erreicht wird, wenn man ihr rechts zwei Ziffern abschneidet, welche den Divisionsrest vorstellen, und die übrigen Ziffern als Quozienteu annimmt. Allgemein: Eine Zahl wird durch io, ioo, 1000, . . . divi¬ dirt, wenn man ihr rechts I, 2, 3, . . . Ziffern ablchneidet; die übrigbleibenden Ziffern sind der Quozient, die rechts abgeschnit- tenen aber der Rest, welcher noch durch den Divisor zu dividiren ist, was nur angezeigt wird. Beispiele. 1) 34560 : 10 — 3456. 3) 58400 : IOO ------ 584. 5) 24793 : 1000 ---- 24^. 7) 39058 : IOO ? 2) 20953 : 10 ----- 2095^. 4) 7803 : IOO ----- 78^. 6) 37159 : 10000 ---- 3.^ 8) 23645 : 1000 §. 28. 3. Wenn der Divisor irgend eine m e h rzi ffe r i g e Zahl ist, so kann die Division bedeuiend vereinfacht werden, wenn man das Produkt aus dem Divisor und der jedesmaligen Zifferches Quozienteu sogleich während des Multiplizirens von dem betreffenden Theildwidend abzieht, und bloß den Rest anschreibt Es wird nämlich zu jedem einzelnen Produkte so viel dazu addirt, daß man die nächste höhere Zahl bekommt, welche in der Stelle UoöM, Arithmetik. 4. Aufl. 3 34 der Einheiten die entsprechende Ziffer des Dividende hat; was inan zum Produkte addirt hat, wird unter diese Ziffer des Divi- dcnds als Nrest angsschrieben. Enthalt die nächste Zahl, welche durch die Aodizion herauskommt, Zehner, so werden diese zu drin Produkte mit der nächstfolgenden Ziffer des Divisors dazu gezahlt. Beispie le. 1) 349848 : 22Ü ----- 1548 >238 Hier ist 226 in 349 imal enthalten; nun wird 1084 der Divisor mit I mnltiplizirt, und das Produkt 1808 gleich während des Multiplizircnö von 349 abgezo- „„„ gen, indem man sagt: imal 6 sind 6, und (3) sind 9, die 3, welche man zu 6 addiren mußte, um die darüber stehende Ziffer 9 zu erhalten, kommt sogleich als Rest unter 9; dann sagt man: imal 2 sind 2, und (2) sind 4, die 2 wird wieder als Rest augesetzt; imal 2 sind 2, und (!) sind 3; die addirte i kommt in den Rest. 226 ist in dem nächsten Lheildividend 1238 5mal enthalten; 5inal 6 sind 30, und (8) sind 38; weil zu 30 noch 8 addirt werden mußte, um eine Zahl zu erhalten, welche an der Stelle der Einheiten die Ziffer 8 hat, so wird 8 als Rest unter 8 gesetzt; smal 2 sind 10, und die von 38 übriggebliebenen 3 Zeh¬ ner sind 13, und (0) sind 13, die 0 wird unter 3 geschrieben, bleibt 1; smal 2 sind 10, und i sind i i, und (1) sind 12; die addirte t wird angeschrieben ; u. s. w. 2) 9834178 : 3127 ----- 3144 MM 4531 Man druckt sich hier alts: 3 in 9 3mal; 3mal 7 14047 sind 21, und (3) sind 24, bleiben 2 ; 3mal 2 sind 13398 6, und 2 sind 8, und (5) sind 13, bleibt 1; 3mal 2890 I sind 3, lind I sind 4, und (4) sind 8; 3mal 3 sind 9, geht auf, II. s. w. 3) 3890074 : 523 — 7438. 4) 9145731 : 1428------6404Wz. 2299 5777 1987 6531 4184 819 5) 67240644 : 799 — 84156. 6) 92456782 : 375 — 24655IM 7) 214396 : 52 ? 8) 455784 : 84 ? 9) 3890074 : 523 -----? 10) 719472 : 208 ------? I i) 1233567 : 5678 12) 8094026 : 3507 ? !3) 27810934 : 79632 ----? 14) 27093582 : 285 — l 15) 423987150362 : 9874156 —? 35 §. 29. 4. W e n n im Divis or r c ch t s N u l l e n Vorkommen. Enthält der Divisor rechts Nullen, so wird mich das Produkt aus ihm und der jedesmaligen Ziffer VeS Oaoziemen rechts so viel Nullen halnn, und daher von dem betreffenden Theildioioend ab¬ gezogen, eben so viele niedrigste Ziffern desselben ungeändert las¬ sen. Die jedesmalige Ziffer deö O.uozienten würde daher eben so richtig herauskommen, ivcnn man im Divisor die Nullen, und in jedem Theildividende rechts eben so viele Ziffern unberücksichtigt lassen würde; nur in dem letzten Neste, der nicht mehrdividirt wer¬ den kann, müssen auch die letzten Ziffern nothwendig Vorkommen. Aus diesem folgt: Wenn im Divisor rechts Nullen Vorkommen, so lasse man während der Division diese Nullen, und zugleich auch im Dividend eben so viele Ziffern zur Rechten nnberücksichliget; zum letzten Neste setze man dann diese Z ffern herab, und betrachte die dadurch entstehende Zahl als den Rest der ganzen Division. Beispiele. 1) 57823 : 700 Hier schneidet man INI Dividende 2 Ziffern 82^M rechts ab, und dividirt die übrigbleibende Zahl 578 durch 7, wodurch man 82 erhält; zu dem Reste 4 hängt man die abgeschnittenen Ziffern 23 an, und schreibt darunter in Bruch¬ form den ganzen Divisor. ° 2) 5783241 : 3700 ----- >563^ 208 233 3) 94S7837 : 415000 ----- 22M§U 112 1157 I4l 327837 4) 3344556677 : 11889900 ---- 289^MjA. Anwendung der Division. 8. 30. Die Division wird entweder als Verglei ch n n g angewen¬ det, wenn man untersuchen will, wie ost eine Zahl in cmer an¬ dern enthalten ist; oder als Lheilung, wenn man emeZahl in mehrere gleiche Theile theilen, und die Große eines solchen Theileü bestimmen will. I. Die Division als Vergleichung. Dabei müssen Dividend und Divisor gleichen Namen haken; der Qnozient erscheint durch die Rechnung selbst als unbenannt, erhält aber dann den Namen nach der Natur der Aufgabe. 3* 36 Aufgaben. 1) Zu einem Unternehmen braucht man II250 fl,; wie viele Personen müssen dazu treten, damit auf jede eins Einlage von 450 fl. entfalle? — Offenbar so viele Personen, a!S wie oft 450 fl. in 11250 fl. enthalten sind; dieses erhalt man, wenn man II250 durch 450 dividirt; der Quozient ist 25, und bekommt der Natur der Aufgabe gemäß den Namen Per¬ sonen; also: 25 Personen. 2) Wie viele Personen kann man mit 5952 fl. so betheilen, daß auf eine Person der Betrag von 48 fl. entfällt?—124 Per¬ sonen ? 3) Böhmen erzeugt im Durchschnitte jährlich 13890150 Meßen Roggen; wenn man nun annimmt, daß l Joch 15 Metzen Roggen erträgt, wie viel Joch Ackergrund sind in Böhmen mit Roggen angebant? — 926010 Joch. 4) Wie viel Gulden betragen 18720 Kreuzer? — I fl. hatöO kr.; es werden daher 18720 kr. so viel Gulden auömachen, als wie oft 60 kr. in 18720 kr. enthalten sind; man muß also 18720 durch 60 dividiren, wodurch man 312 erhalt; folg¬ lich 312 fl. 5) Wie viel Pfund machen 4096 Loth? — l Pfd. hat 32 Loch; man muß daher untersuchen, wie oft 32 Lth. in 4096 Lth. ent¬ halten sind; 4096 durch 32 dividirt gibt 128 ; also 128 Pfd. 6) I Elle kostet 6 fl.; wie viel Ellen bekommt man für 654 fl. — So viel Ellen, alö wie oft 6 fl. in 654 fl. enthalten ist; also 109 Ellen 7) Jemand schuldet eine Summe von 1692 fl., und will dieselbe mit Wein berichtigen; wie viel Eimer Wein muß er dafür geben, wenn der Eimer zu 18 fl. gerechnet wird? — 94 Eimer. 8) Wie viel Ztr. Kaffee muß man für I36Z:r Zucker geben, wenn 1 Zr. Kaffee 32 fl., und 1 Ztr. Zucker 24 fl. kostet? — 136 Ztr. Zucker zu 24 fl. betragen 3263 fl.; in dieser Summe aber sind 32 fl. I02mal enthalten; die Antwort ist also: 102 Ztr. Kaffee. 9) Es soll eine 564 Fuß lange Wasserleitung mittelst Röhren von Blei ausgesührt werden; wie viele solche Röhren werden dazu erfordert, wenn eine j.de 8 Fuß lang ist? 10) Wie vielGulden betragen 720 Kreuzer, wie viel 3120, 7124, 3560, 13589 Kreuzer? 11) Wie viel Ellen bekommt man um 640 fl., wenn 1 Elle 5 fl. kostet? 12^1 Ztr. kostet 23 fl.; wie viel Zentner erhalt man für 756 fl. wie viel für 1 150. 2312, 31 l5 fl.,? 13) Die Militärgränze hatte im Jahre 1846 eine Bevölkerung 37 von 1226408 Seelen, wovon 1796 auf I fZ Meile kamen; wie viel siZ Meilen hat die Militärgränze? 14) Ein Fußboden, welcher 44 Fuß lang und 27 Fuß breit ist, soll mit Bretern von 1l Fuß Länge und I Fuß Breite belegt werden; wie viele Broker sind dazu erforderlich? 15) Wie viel Ziegelsteine zu tOZoll laug, 5 Zoll breit und 3 Zoll dick braucht man zu einer Mauer, welche 3060 Zoll lang, 300 Zoll breit und 78 Zoll dick ist? 16) Die österreichische Monarchie hat eine Fläche von 11575 Quadratmeilen ; wie oft könnte darin dasHcrzogthum Salz¬ burg, das nur 125 Quadratmeilen enthält, Platz haben? 17) Im Jahre 1846 starben in Böhmen 128308 von 4347962 Lebenden, „ Niederosterreich 50459 „ 1494399 „ „ Krain II973 ,, 466209 „ „ der Lombardie 81254 „ 2696772 „ Auf wie viele Lebende kam in jedem dieser Kronländer ein Slerbefall? §. 31. II. Die Division als Lheilung. Dabei darf nur der Dividend eine benannte Zahl sein, der Divisor aber wird während der Rechnung als unbenannt betrachtet, und der Quozient bekommt denselben Namen, welchen der Divi¬ dend hat. A n fg a be n. 1) 2 5Ztr. einerWaarekosten 375 fl.; wie hoch kommt I Ztr.? — I Ztr. ist der 25ste Theil von 25 Ztr.; daher wird I Ztr. auch nur den 25sten Theil von 375 fl. kosten; der 25ste Theil von 375 fl. wird gefunden, wenn man 375 fl. durch 25 divi- dirt; 25 ist in 375 lämal enthalten; 1 Ztr. kostet als0 15fl. 2) Was kostet i Ztr. Kupfer, wenn 31 Ztr. mit 1395 fl. bezahlt werden? — 45 fl. 3) In einem Garten will man 280 Bäume in 10 Reihen an- pflanzen; wie viele Bäume wird man in jede Reihe setzen muffen? — 28 Bäume. 4) Ein Beamter hat jährlich 800 fl. Besoldung; wie viel bezieht er monatlich? — Ein Jahr hat 12 Monate, der Beamte wird also monatlich den I2ten Theil von 800 fl., d. i. 66^ fl. beziehen. 5) Auf einer Eisenbahn wurden im Monate Dezember 49228 fl. eingenommen; wie hoch beläuft sich im Durchschnitte die täg¬ liche Einnahme? — Dezember hat 31 Tage, die tägliche Ein- 38 nähme wird also den giften Theil von 49228 fl. betragen, nämlich 1588 fl. 6) Ein Gut trägt in 5 auf einander folgenden Jahren: 3584, 3072, 2378, 4135, 3261 fl.; wie viel ist der jährliche Er. trag im Durchschnitte? — In 5 Jahren trägt das Gut 16430 fl , in einem Jahre also den 5ten Theil davon ein, also 3282 fl. 7) In einer Muhle werden in 48 Tagen 1004 Ztr. Mehl ge¬ mahlen; wie viel in 37 Tagen?— In 48 Tagen 1004 Ztr., in I Tage also der 48ftc Theil davon: 1004 : 48 — 23 ; in i Tage also 23 Ztr., und in 37 Tagen 37mal 23 Ztr., d. i. 751 Ztr. 8) 29 Ellen Tuch kosten 203 fl.; waö kosten 38 Ellen? — Wenn 29 Ellen 203 fl. kosten, so kostet I Elle den 29sten Theil von 203 fl., nämlich 7 fl ; 38 Ellen aber werden 38mal 7 fl-, d. i. 266 fl. kosten. S) Ein Vater hinterläßt ein Vermögen von 8400 fl. Dieses soll unter seine Frau, 2 Söhne und 3 Töchter so verthcilt wer¬ den, daß die Mutter 4 Theilc, jeder Sohn 3 Lhcilc, und jede Tochter 2 Lheile erhalte; wie viel bekommt die Mutter, und wie viel jedes Kind? — Die Mutter bekommt 4Theile, jeder Sohn 3 Lheile, somit beide Söhne 6 Lheile, jede Toch¬ ter 2 Lheile, somit alle 3 Töchter 6 Lheile; alle zusammen bekommen also 16 Lheile, und diese betragen 8400 fl., da¬ her auf einen Theil 525 fl. entfallen; die Mutter bekommt nun 4 solche Lheile, also 2100 fl , jeder Sohn 3 solche Lheile, also 1575 fl.; jede Tochter 2 solche Lheile, also 1050 fl. 10) Wie groß ist der Ute Theil von 37972 ? 11) Wie viel beträgt der 5te, 8le und 9te Theil von 3950 zu- sammengenommen? 12) Um wie viel ist das 23fache von 187 größer als der I7te Theil von 38760? 13) 849915 fl. sind unter 255 Personen zu Vertheilen; wie viel kommt auf eine Person? 14) Das Kronland Schlesien hat 467420 Einwohner auf 89 Quadratmeilen; wie viele Einwohner kommen auf 1 Qua- dratmeile? 15) In einer Mühle werden in 25 Tagen 831 Ztr. Mehl gemah¬ len; wie viel in I Tage? 16) 65 Ztr kosten 2080 fl.; was kostet I Ztr.? 17) 56 Eimer Wein kosten 2016 fl.; wie hoch kommt l Eimer? 18) Jemand kauft 12 Joch Ackergrund um 1380 fl.; was kostet 1 Joch? 19) In Preußen bestanden am Schluffe des Jahres 1848 201 Sparkaffen mit 239562 Interessenten und einer Kapital¬ summe von 14355449 Lhalcrn; wie viele Interessenten und 39 Thaler kommen im Durchschnitte auf eine Sparkasse, wie viel Thaler auf einen Interessenten? 20) Das Kronland Böhmen erzeugte im Jahre 1848 in 81 Spin¬ nereien 6947533 Pfd. Baumwollgarn; wie viel Psd. kom¬ men im Durchschnitte auf eine Spinnerei? 21) Im Jahre 1848 wurden von den ärarischen Eisenprodukten verkauft: 105695 Ztr. Stabeisen um 103581 < fl., 9396 Ztr. Eisenblech um 134676 st., 326 Ztr. Eisendraht um 6585 fl - 28740 .Ztr. Stahl um 428226 st.; wie hoch kommt im Durch¬ schnitte ein Zentner von jedem dieser Produkte? 22) Auf der Wien-Gloggnitzer Bahn wurden im Jahre 1849 1088163 Personen befördert, wie viel kommen auf einen Tag ? 23) Ein Kaufmann mischt dreierlei Kaffee; 8 Psd. zu 36 kr., 9 Pfd. zu 30 kr. und 7 Pfd. zu 24 kr; was kostet 1 Pfd. von dem so gemischten Kaffee? 24) A gibt 6 1025 Metzen Weizen zu 3 ft.; wie viel Eimer Wen: muß dafür II an abgeben, wenn der Eimer zu 25 fl. ge¬ rechnet wird? 2 5) Wenn 23 Ztr. einer Waare 828 fl. kosten, wie hoch kommen 65 Ztr.? 26) 14 Arbeiter vollenden eine Arbeit in 6 Tagen; in wie viel Tagen kommen 12 Arbeiter damit zu Stande? 27) Wie viel Wiener Ellen beträgt das in Großbritannien jähr¬ lich gesponnene Baumwollgarn, wenn dasselbe in einem ein¬ zigen Faden die Erde, die einen Umfang von 5420 deutschen Meilen hat, 203775mal umfassen wurde, und wenn auf > deutsche Meile 9526 Wiener Ellen gehen; wie vielmal würde jener Faden von der Erde zur Sonne reichen, wenn die Erde 21000000 Meilen von der Sonne entfernt ist? 28) 16 Maurer können eine Mauer in 40 Tagen auff,ihren; in wie viel Tagen wird dieselbe Mauer von io Arbeitern auf- geführt werden? 29) Jemand kauft 15 Eimer Wein zu 24 fl., io Eimer zu 18 fl. und 8 Eimer zu 15 fl.; wie hoch kommt im Durchschnitte 1 Eimer zu stehen? 30) Im Jahre 1830 hatte das Herzogthum Steiermark eine Be¬ völkerung von 885948, im Jahre 1846 von 1003074 See¬ len ; um wie viel hat die Volkszahl durchschnittlich in jedem Jahre zugenommen? 31) Im Jahre 1849 betrug in der österreichischen Monarchie mit Ausschluß von Ungarn und den Nebcnländern die Zahl der Geborncn 924307, die Zahl der Verstorbenen 880754. Wie viele Geburten und wie viele Sterbefälle kamen im Durch¬ schnitte auf 1 Tag? 32) Schlesien zählte im Jahre 1851, bei einer Bevölkerung von 472280 Seelen, 346 Volksschulen mit 51825 Schulbesu- 40 chenden. Auf wie viele Einwohner kommt im Durchschnitte eine Schule, und wie viel Schüler entfallen auf eine Schule ? 33) Die atmosphärische Luft ist ein Gemenge aus Sauerstoffgas und Stickgas, und zwar so, daß von je 100 Theilen der atmosphärischen Luft 21 Raumtheile auf das Sauerstoffgas und 79 solche Theile auf das Stickgas kommen. Wie viel Kubikfuß von jeder dieser Gasarten sind in einem Raume enthalten, welcher 25 Fuß lang, 17 Fuß breit und 12 Fuß hoch ist? VI. Dort hei le beim Multiplier en und beim Divi dir en. s Multiplikastons-Vortheile. §. 32. I. Ein bei der Multiplikazion von je zwei mehrzifferigen Zah- len anwendbarer Vortheil ist das Ein zäh len des letzten Theilproduktes. Dieser Vortheil besteht darin, daß man mit den einzelnen Ziffern bis auf eine auf die gewöhnliche Art multipli- zirt, unter den dadurch erhaltenen Lheilprodukten einen Strich zieht, dann auch mit der letzten Ziffer multiplizirt, jedoch dieses Produkt sogleich während der Entwickelung an der gehörigen Stelle zur Summe der früher» Thcilprodukte hinzuzählt. Beispiele. 347 Hier sind zuerst die Thcilprodukte für 3 und 4 entwickelt worden; darunter zieht man einen Strich, und multipli¬ zirt noch mit 7; da 7 an der Stelle der Einheiten steht, so bedeutet auch die erste Stelle dieses Theilproduktes Einheiten, und muß rückstchtlich des zweiten Theilproduktes, dessen niederste Stelle Zehner bedeutet, um eine Stelle weiter gegen die Rechte hinauskommen, so daß erst die zweite Ziffer, welche Zehner bedeutet, zu den 4 Zehnern des zweiten Theilproduktes dazu gezählt wird. Man hat demnach: 7mal 6 sind 42 Einheiten, die 2 Einheiten werden mn eine Stelle rechts hin¬ ausgeschrieben, die 4 Zehner weiter gezahlt; 7mal 2 sind ^Zeh¬ ner, dazu werden die übrig gebliebenen 4 Zehner, und die 4 Zeh¬ ner des zweiten Theilproduktes addirt, man erhält 22 Zehner, 2 Zehner werden angeschrieben, 2 Hunderte weiter gezählt; 7mal 4 sind 28 Hunderte, dazu zählt man zuerst die übrig gebliebenen 2 Hunderte, dann die 0 Hunderte des zweiten, und die 8 Hunderte 1) 39426 X I18278 157704 I2680822 41 des ersten Theilproduktes, man bekommt 38 Hunderte, 8 Hun¬ derte schreibt man an, 3 Tausende werden weiter gezählt; 7mal 9 sind 63 Tausende, dazu die übrig gebliebenen 3 Tausende, dann die 7 Tausende des zweiten, und die 7 Tausende des ersten Lheil- produktes, so hat man 80 Tausende, wovon 0 Lausende angeschrie¬ ben, 8 Zehntausende aber weiter gezählt werden, u. st st Man spricht, während man mit 7 multiplizirt: 7mal 6 sind 42, bleiben 4; 7mal 2 sind 4 4, 18, 22, bleiben 2; 7mal 4 sind 28, 30, 38, bleiben 3; 7mal 9 sind 63, 66, 73, 80, bleiben 8 ; 7mal 3 sind 21, 29, 36, 38, bleiben 3; 3, 8, 16, bleibt I; 1,2, 3; 1. 2) 59107 X 2508 Hier multiplizirt man zuerst mit 8, , dann mit 5, endlich mit 2; da die ' niederste Stelle des letzten Theilpro- —ls— duktes Tausende bedeutet, so beginnt 148240356 man dasselbe an der Stelle der Tau¬ sende einzuzählen, indem man sagt: 6; 5; 13, bleibt 1 ; 2mal 7 sind 14, 15, 18, 20, bleiben 2; 2mal o ist o, 2, 7, 14, bleibt 1; 2mal i sind 2, 3, 8, 12, bleibt i ; 2mal 9 sind 18, 19, 28, blei¬ ben 2; 2mal 5 sind 10, 12, 14. 3) 2345678 x 2093 4) 80925 X 3257 4691356 566475 21111102 404625 4909504054 161850 263572725 17804 x >309 — 5501436 ; 6) 29148 X 287 ---- 8368346 ; 7) 215608 x 4279 ----- 922586632; 8) 93654 X 93648 ---- 8770509792. 2. Wenn im Multiplikator die Ziffer i vor¬ kommt, so läßt man den Multiplikand ungeändert als das erste Theilprodukt stehen, multiplizirt ihn dann bloß mit den andern be- deutlichen Ziffern, und schreibt die dadurch erhaltenen Theilpro- dukte, bis auf das letzte, welches sogleich eingezählt wird, ge¬ hörig darunter. Beispiele. 1) 34567 x 17 2) 34567 X 71 3) 34567 X 107 587639 2454257 3698669 In diesen drei Beispielen ließ man den Multiplikand alSerstes Theilprodukt stehen, multiplizirte bloß mit 7 und zählte das Pro¬ dukt sogleich wahrend der Entwi lung an den gehörigen Stellen zum Multiplikand ein. 42 4) 24783 X193 5) 791046 x 4501 223047 39S5230 47831 IS 3560498046 6) 3,087 x 318 7) 93412 x 2019 S326I 186824 9885666 18859882^ 8) 4571245, X 7108 --- 32492409460; 9) 2345678 x 1987 ^ 4660862186; 10) 7081643 X 21 54 ---- 15253859022. 3. Mit II wird eine Zahl multiplizirt, wenn man die erste Ziffer rechts uugeändert anschreibt, dann zur ersten die zweite, zur zweiten die dritte, und überhaupt zu jeder Stelle die nächst höhere dazu abdirt. — Von der Richtigkeit dieses Ver¬ fahrens überzeugt man sich, wenn man die Multiplikation auf die gewöhnliche Art verrichtet, und die Stellung betrachtet, in welcher die Ziffern des MultiplikandS in den beiden Theilprodukten unter einander zu siehen kommen. Beispiele. 1) 348524 x 1 1 Man spricht: 4 ist 4; 4 und 2 sind 6 ; 3833764 2 und 5 sind 7; 5 Und 8 sind 13, bleibt I, I und 8 sind 9, und 4 sind >3, bleibt I ; I und 4 sind 5, und 3 sind 8; 3 und 0 (welche man sich links oon 3 denken kann), sind 3. 2) 4568912 x 1 1 3) 9235487 XH0 50258032 1015903570 8- 32. 4 Mit 25 wird eine Zahl multiplizirt, wenn man sie mit 100 multiplizirt, und das Produkt durch 4 dividirt. Denn, wenn man von dem lOOfachen den 4ten Theil nimmt, so bekommt man gewiß das 25fache. Eben so folgt: Mit 125 wird eine Zahl multiplizirt, wenn man sie mit 1000 multiplizirt, und das Produkt durch 8 dividirt. Bei sp iele. 1) 345678^X 25 2) 7095806„„o X >25 8641950 886975750 5. W e N N d e r M N l t i p l i k a t o r e i n P r o d u k t z w e i e r Faktor-ni ist, mit denen man bequem multiplizireu kann, so mnl- 43 tiplizirt inan zuerst mit dem einen Faktor, und dann das Produkt mit dem andern Faktor. Beispiele. 1) 391 56 X 63 Da 63 — 7 X 9 ist, so wird zuerst 274092 X 7 der Multiplikand mit 7, und das Produkt 2466828 9 noch mit 9 multiplizirt ; wenn man näm¬ lich das 7fache einer Zahl 9mal nimmt, so bekommt man gewiß das 63fache. 2) 710983 x 420 3) 1 58437 x 5600 4265898 X 6 I 109059 x 7 298612860 X 70 88724 7200 X 800 6. Wenn der Multiplikator an allen Stellen die Ziffer 9 hat, mit Ausnahme der niedersten Stelle, so addirt man zu den Einheiten so viel, daßman lOzur Summe bekommt; dadurch erhält man 100, 1000, 1000, .. man multiplizirt nun zue,st mit 100, 1000, 10000, dann multiplizirt man noch mit der Ziffer, welche man zu den Einhei¬ ten dazu addiren mußte, und subtrahirt dieses zweite Produkt gleich während der Entwickelung vom eisten Produkte Beispiele. 1) 563429p,, X 97 Man addirt hier zu 97 noch 3 54652613 100—3 Einheiten, so erhält man 100; nun multiplizirt man den Multiplikand mit 100, indem man ihm zwei Nullen anhäugt; aber dadurch bekommt man zu viel und zwar um das 3fache zu viel; man muß daher den Multiplikand noch mit 3 multipliziren, und dieses 3fache von dem früher erhaltenen loofa- chen abziehen. Man spricht dabei: 3mal 9 sind 27, und (8) sind 30, bleiben 3; 3mal 2 sind 6, und 3 sind 9, und (I ) sind tO, bleibt I; 3mal 4 sind 12, und I sind 13, und 6 sind 19, bleibt 1; 3mal 3 sind 9, und I find 10, und (2) sind 12; bleibt I; 3mal 6 sind 18, und I sind 19, und (5) sind 24, bleiben 2; 3ma! s sind 15, und 2 sind 17, und (6) sind 23, bleiben 2; 2 und (4) sind 6; 0 und (5) sind 5. 2) I30857p„„ x 998 3) 6170892^,, X 9994 130595286 1000—2 61671894648 10000 6 4) 9156723 X 991 ^9074312493; 5) 9387429 x 9998 --- 93855515142. 7. Wenn der Multiplikator an allen Stellen d i e Z i f f er 9 h a t, m it A u s n a h m e d e r h ö ch st c n S t e l l e, so vermehrt man ihn um 1; dadurch erhält man eine Zahl, welche 44 aus einer einzigen bedenklichen Ziffer mit rechts folgenden Nullen besteht; man multiplizirt nun mit dieser Zahl, und setzt das Pro¬ dukt so unter den Multiplikand, daß zuerst die Nullen darunter zu stehen kommen, dann erst die übrigen Ziffern des Produktes; der Multiplikand wird sodann von dem darunter stehenden Produkte abgezogen. Beispiele. 1) 37098 X 299 Addirt man zu 299 noch I dazu, 1 1129400 ZOO — l so erhält man 300; multiplizirt 11092302 man nun den Multiplikand mit 300, indem man zuerst zwei Nullen darunter schreibt, und dann mit 3 multiplizirt, so ist dieses Produkt um das ifache des Mul- liplikandö, d. i. um den Multiplikand selbst zu groß; man muß daher nech den darüber stehenden Multiplikand subtrahiren. 2) 415263 x 4999 3) 27084 x 79999 2076315000 ggOO—I 2166720000 gOOOO- I b) Divisiontvortheüe. 33. 1. Durch 25 wird eine Zahl dividirt, wenn man sie mit 4 multiplizirt, und das Produkt durch 100 dividirt. Denn, 25 wird in einer Zahl sicher gerade so ost enthalten sein, als 100 in einer viermal so großen Zahl. Eben so folgt: Durch 125 wird eine Zahl dividirt, wenn man sie mit 8 multiplizirt, und das Produkt durch 1000 dividirt. 45 Beispiele. 1) 35875 : 25 2) 1234567 : 125 ,435 00 ---- 1435 9876 536 — 8076^. 2. Wenn der Divisor ein Produkt zweier Fak¬ toren ist, durch welche man bequem dividireu kann, so dividirt man zuerst durch einen Faktor, und dann den Quozienten durch den andern Faktor. Beispiele. I) 155422 : 48 2) 2373840 : 630 25908 : 6 33912 : 70 3238 : 8 3768 : 9 VII. Theilbarkeit der Zahlen. 8 34. Eine Zahl heißt durch eine andere th e ilbar, wenn sie durch dieselbe dividirt keinen Rest zurückläßt. Z. B. 24 ist durch 6 theilbar, weil 2 t durch 6 dividirt 4 zum Quozienten gibt, und kein Rest übrig bleibt; dagegen ist 2 7 durch 6 nicht theilbar, weil bei der Division von 27 durch 6 ein Rest übrig bleibt. Jede Zahl ist durch einö und durch sich selbst theilbar. Jene Zahlen nun, welche nur durch i und durch sich selbst theil- bar sind, heißen Primzahlen; z. B. I, 2, 3, 5, 7, II, 13, 17 u. s. w. Diejenigen Zahlen aber, welche nicht nur durch i und durch sich selbst, sondern auch noch durch andere Zahlen theilbar sind, heißen zusammengesetzte Zahlen; z. B 12 ist durch I und 12, aber überdieß auch noch durch 2, 3, 4, 6 theilbar; 12 ist also eine zusammengesetzte Zahl. Wenn eine Zahl durch eine andere theilbar ist, so heißt der Divisor ein Theiler oder ein Maß des Dividends, und der Di- vieend ein Vielfaches des Divisors. Z. B. 18 ist durch 6 theilbar, 6 ist daher ein Maß von 18, und 18 ist ein Vielfaches von 6. Wenn zwei oder mehrere Zahlen durch dieselbe Zahl theilbar sind, so heißt diese ein gemeinschaftliches Maß von jenen Zahlen; z. B. 24 und 16 sind beide durch 8 theilbar, 8 ist also ein gemeinschaftliches Maß von 24 und 16; eben so ist 5 ein ge¬ meinschaftliches Maß von 10, 20, 50. Haben zwei oder mehrere Wahlen mehrere gemeinschaftliche Maße, so wird das größte unter ihnen das g r ö ß t e g e m e i n s ch a f t l i ch e Maß jener Zahlen ge¬ nannt: z. B. 12/ 24, 36, 60 haben die Zahlen 2, 3, 4, 6, 12 zu 46 gemeinschaftlichen Maßen^ die Zahl >2 aber ist ihr größtes gemein¬ schaftliches Maß. Eins ist ein gemeinschaftliches Maß aller Zahlen-; darnm pflegt man Eins nicht mit zu begreifen, wenn neu den gemeinschaft¬ lichen Maßen mehrerer Zahlen die Rede ist. Zahlen, welche außer der Einheit kein anderes gemeinschaftliches Maß haben, heißen Primzahlen unter c i n a n d e r, oder relative Primzah¬ len. So sind 5 und 13 relative Primzahlen, eben so die Zahlen 7 und 15, die Zahlen, 8, 9 und 25. Eine Zahl, welche durch zwei oder mehrere andere Zahlen lheilbar ist, heißt ein g em c i n sch a st l i ch c S V ie l fa ch es von diesen Zahlen; z. B. 24 ist durch 8 und >2 lheilbar, eö ist also 24 un gemeinschaftliches Vielfaches von 8 und 12; eben so ist 60 ein gemeinschaftliches Vielfaches von 2, 3, 5, 12, 20. Die kleinste Zahl, welche durch mehrere andere «heilbar ist, heißt das kleinste gemeinschaftliche Vielfache dieser Zahlen; z. B. die Zah¬ len 3, 4, 6, 10 haben die Zahlen 60, 120, 180, 240, ... zu ge¬ meinschaftlichen Vielfachen, dicZahl 60 ist aber das kleinstegemein- schaftliche Vielfache für jene Zahlen. Zahlen, welche an der Stelle der Einheiten o, 2, 4, 6 oder 8 haben, heißen gerade Zahlen; Zahlen dagegen, welche ander Stelle der Einheiten l, 3, 5, 7, 9 haben, werden ungerade Zahlen genannt. 8. 35. 1. Durch 2 sind alle geraden Zahlen theilbar; B. 30, 52, 184, 3756, 10878; die ungeraden Zahlen sind da¬ gegen nicht durch 2 theilbar, als 51, 243, 565, 2687, 30649. Diese Regel läßt sich auf folgende Art begründen: Alle Zeh¬ ner, Hunderte, Tausende, . . . sind durch 2 theilbar; eö kommt also nur auf die Einheiten an, kommen entweder gar keine Einhei¬ ten vor, oder steht an der Stelle der Einheit, n eine durch 2 thcil- barc Zahl, nämlich 2, 4, 6, 8, so muß auch die ganz,- Zahl durch 2 theilbar sein. Eine Zahl ist demnach durch 2 theilbar, wenn sic an der Stelle der Einheiten o, 2, 4, 6, 8 hat, d. i. wenn sie eine gerade Zahl ist. Welche von den Zahlen >2, 38, 59, 1235, 2184, 19326, 93128, 13020, 35731, 24689, 70314 sind durch 2 theilbar, welche nicht? 2. Durch 3 sind alle Zahlen theilbar, deren Ziffern summe durch 3 theilbar ist. Z. B. 53682 ist durch 3 theilbar, weil die Ziffernsumme 5 -ft 3 -f- 6 -ft 8 -f- 2 --- 24 durch 3 theilbar ist; eben so sind 75, 273, 38121, 705492 durch 3 theilbar. Um tue Richtigkeit dieser Regel einzuseben, stelle man folgende Betrachtungen an: 10 durch 3 dividirt gibt 3 zum Quozientcn und 47 l zum Reste; 20 durch 3 dividirt gibt 6 mit dem Reste 2; 30durch 3 dividirt, kann mau gieich 9 sehen und 3 als Rest annehmen; 40 durch 3 Lividirt kann gleich 12 mit dem Reste 4 angenommen wer¬ den n. st w. Wenn man also I Zehner durch 3 dividirt, so bleibt I als Rest; dividirt man 2 Zehner durch 3, so erhält man 2 als als Rest; überhaupt, so viels Zehner durch 3 dividirt werden, eben so viele Einheiten kann man als Rest der Division annehmen. Fer¬ ner: wenn I Hundert durch 3 dividirt wird, so bleibt auch 1 als Nest; werden 2, 3, 4, . . . Hunderte durch 3 dividirt, so kann man 2, 3, 4, . . . als Reste annehmen. Dasselbe gilt von den Tausen¬ den, Zehntaus,nden u. s. w. Wenn mau daher die Zehner, Hun¬ derte, Tausende, . . . durch 3 dividirt, so kann mau die Ziffern selbst, welche au der Stelle der Zehner, Hunderte, Lausende, . . . stehen, als Rests der Division ansehen: ist nun die Summe aus allen diesen Resten und aus den Einheiten durch 3 theilbar, so ist es auch die ganze Zahl. Jene Reste aber und die Einheiten zusam¬ mengenommen bilden eben die Ziffernsumme Folglich ist eine Zahl durch 3 theilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 3 theilbar ist. Beim Addiren der Ziffern läßt man die 3, 6 und 9 weg. Man gebe von den nachfolgenden Zahlen diejenigen au, welche durch 3 theilbar sind : 1540, 5926, 5028, 38017, 12345, 67089, 791426, 3l0629. 3. Durch 4 sind alle Zahlen theilbar, deren zwei niedrigste Stellen als Zahl betrachtet durch 4 theilbar sind. Z. B. 35 >2 ist durch 4 theilbar, weil die Zahl 12, welche aus den zwei niedrigsten Stellen besteht, durch 4 theilbar ist; eben so sind die Zahlen 132, 5704, 18720 durch 4 theilbar. Begründung dieser Regel: Alle Hunderte sind durch 4 theil¬ bar, eben so alle Tausende, Zehntausende u. s. w ; ist es auch die Zahl, die aus den Zehnern und Einheiten, d i. aus den zwei niedrigsten Stellen zusammengesetzt ist, so ist die ganze Zahl durch 4 theilbar. Sind die Zahlen 3924, 1038, 5916, 81033, 79062, 18752, 36516, 24300, 132930, 174636 durch 4 theilbar oder nicht? 4. Durch 5 sind alle Zahlen theilbar, welche an der Stelle der Einheiten, 0 oder 5 haben; z. B. 10, 35, 1225, 38400. 5. Durch 10, 100, 1000, . . . sind alle Zahlen theilbar, welche rechts 1, 2, 3, . . . Nullen haben. So sind die Zahlen 120, 2300 durch 10; die Zahlen 2400,308000 durch 100; dis Zahlen 35000, 27800000 durch 1000 theilbar. Die Regeln für die Theilbarkeit durch 5, ferner durch 10, 100, 1000, . . . wird der Anfänger nach dem Vorhergehenden von selbst zu begründen im Stande sein. Welche von den Zahlen 718, 3105, 2346, 1157, 8245, 7842SI sind durch 3 theilbar, welche nicht? 48 Welche von den Zahlen 4S2, 712, 3126, 3860, 13132, 89442 sind durch 4 theilbar? Man gebe an, durch welche von den Zahlen 2, 3, 4, 5, 9, io die nachfolgenden Zahlen theilbar sind: 312,1840,23848, 150180, 652440. Durch welche Zahlen lassen sich die Zahlen 31704, 219350, 150800, 793168, 321625, 821425000 ohne Rest theilen? Man hat auch Kennzeichen für die Theilbarkeit durch andere, als die bisher betrachteten Zahlen, allein sie sind viel verwickelter, und darum minder brauchbar; auch reicht es für die Ausübung hin, die Regeln für die Theilbarkeit durch 2, 3, 4, 5, 10, 100 1000 zu kennen. 36. Wenn man mehrere Zahlen mit einander multiplizirt, so wird das Produkt gewiß durch jede dieser Zahlen theilbar sein; das Produkt mehrerer Zahlen ist also immer ein gemeinschaftliches Viel¬ faches derselben. Sind diese Zahlen Primzahlen unter einander, so ist ihr Produkt zugleich ihr kleinstes gemeinschaftliches Viel¬ faches; sind aber zwei oder mehrere unter den Zahlen durch eine gemeinschaftliche Zahl theilbar, so haben sie auch kleinere gemein¬ schaftliche Vielfache, als es ihr Produkt ist. Um nun das Verfahren zu entwickeln, nach welchem in jedem Falle das kleinste gemeinschaftliche Vieliache mehrerer Zahlen ge¬ funden werden kann, nehme man erstlich an, daß einige kleinere Zahlen in den größeren ohne Rest enthalten sind. Das Vielfache, welches durch die größeren Zahlen theilbar ist, wird gewiß auch durch alle kleineren Zahlen, die in jenen größeren als Faktoren vorkommen, theilbar sein. Läßt man daher unter mehreren gege¬ benen Zahlen diejenigen, die in anderen größeren ohne Rest ent¬ halten sind, hinweg, so muß das kleinste gemeinschaftliche Viel¬ fache der übrig gebliebenen größeren Zahlen auch das kleinste ge¬ meinschaftliche Vielfache aller gegebenen Zahlen sein. — Haben ferner zwei oder mehrere Zahlen, ohne gerade durch einander theil¬ bar zu sein, ein gemeinschaftliches Maß, so wird das Vielfache, welches dieses gemeinschaftliche Maß nur einmal, und zugleich von jeder Zahl alle übrigen Faktoren in sich enthält, gewiß durch alle jene Zahlen theilbar sein. Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache mehrerer Zahlen wird daher nicht geändert, wenn man, anstatt der Zahlen, die ein gemeinschaftliches Maß haben, dieses Maß und die Quozienten setzt, welche zum Vorschein kommen, wenn man jede dieser Zahlen durch das gemeinschaftliche Maß dividirtl Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von mehreren gegebenen Zahlen wird daher durch folgendes Verfahren gefunden: 1. Man schreibt alle Zahlen in eine Reihe neben einander, und 49 streicht die kleineren Zahlen, welche in den größeren ohne Rest enthalten sind, dnrch. 2. Nun sieht man, ob nicht zwei oder mehrere der übrig geblie¬ benen Zahlen ein gemeinschaftliches Maß haben. Ist dieses der Fall, so schreibt man dieses Maß links heraus, und di- vidirt durch alle Zahlen, deren Maß es ist; die Quozien- ten, so wie die nicht theilbaren Zahlen schreibt man in eine darunter befindliche Reihe neben einander. 3. Mit dieser neuen Reihe verfährt man eben so, wie mit der ursprünglich gegebenen, und wiederholt dieses Verfahren so lange, bis man zuletzt eine Reihe erhält, in welcher nur mehr relative Primzahlen Vorkommen. > 4. Multiplizirt man dann die in der letzten Reihe befindlichen relativen Primzahlen und die links angesetzten gemeinschaft¬ lichen Maße mit einander, so ist das Produkt das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller gegebenen Zahlen. Beispiele. 1) Man suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von Z, II, >6, 21. Da diese Zahlen Primzahlen unter einander sind, so ist ihr Produkt sxi lxl6x2i — >8480 selbst das verlangte kleinste gemeinschaftliche Vielfache. 2) Es soll die kleinste Zahl gefunden werden, welche durch die Zahlen 2, 3, 4, s, 6, IO, 12, 15, 60 thcilbar ist. Da hier alle kleineren Zahlen in der größten 60 ohne Rest enthalten sind, so ist 60 das kleinste gemeinschaftliche Vielfache der gegebenen Zahlen. 3) Man suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache für die Zahlen 2, 3, 5, 8, 12, 18, 28, 40. 3i, 3, 3, 3, 12, 18, 28, 40 . 2 6, 9, 14, 20 2 3, 9, 7, 10 Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache ist also- 2. 4 040 das 2 2 2 2 3 Es ist also 5x3x7 X2 gesuchte kleinste gemeinschaftliche Vielfache. Uoönik, Arithmetik. 1. Aufl. 3, 20, 10, 9X7X 10 X2X2 — 2520. 4) Es soll das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zwischen den Zahlen 2, 3, 5, 20, 30, 48, 72, 112 gesucht werde». 50 Man suche noch das kleinste gemeinschaftliche Vielfache: 5) zwischen 5> und 8; 6) zwischen 3 und 12; 7) zwischen 8 und 12; 8) zwischen 3, 4 und 5 9) zwischen 2, 6, 30; 10) zwischen 4, 6, 9; 11) zwischen 2, 4, 8, 16, 3, 9, 27, 6, 12, 24; 12) zwischen 3, 5, 7, 8, 18, 20, 35, 42, 50; 13) zwischen 5, 12, 8, 10, 21, 28, 30, 15, 60. Iweiter Abschnitt. Das Rechnen mit unbenannten oder einnamigen gebro¬ chenen Zahlen 8. 37. (.^ine Zahl, welche einen Theil der Einheit ein- oder mehr¬ mal in sich enthält, wird eine gebrochene Zahl oder ein Brnch genannt. Ein Bruch entsteht also, wenn man die Einheit in mehrere gleiche Thecke theilt, und einen oder mehrere solche gleiche Theile nimmt. Wird die Einheit z. B. in fünf gleiche Theile getheilt, so heißt jeder solche Theil ein Fünftel; ein Fünftel, zwei Fünftel, drei Fünftel, vier Fünftel, fünf Fünftel, sechs Fünftel, . . . sind dem¬ nach Brüche. Das Entstehen der Brüche kann sehr zweckmäßig durch meh¬ rere gleich lange Linien, welche man folgcweise in 2, 3, 4, 5, . . . gleiche Theile theilt, anschaulich gemacht werden. Aus dem Begriffe eines Bruches geht hervor, daß zu dessen Bestimmung zwei Sachen erforderlich sind; erstlich muß man wissen, in w i c v i e l c gleiche Theile die Einheit getheilt ist, und dann, wie viele solche Theile zu nehmen sind. Um also einen Bruch auszudrücken, braucht man zwei Zahlen: die eine, welche anzeigt, in wie viele gleiche Theile die Einheit getheilt ist, welche also die Art der Theile angibt oder die Theile benennt, und darum der Nenner heißt; die andere, welche anzcigt, wie viele solche Theile. zu nehmen sind, welche also die Theile zählt, und darum der Za h le r genannt wird. Z. B. in dem Bruche drei Fünf¬ tel ist die Zahl ."> der Nenner, und zeigt an, daß die Einheit in 5 gleiche Theile getheilt wurde; 3 ist der Zähler und gibt an, daß man 3 solche gleiche Theile genommen habe. Man schreibt den Nenner unter den Zähler, und seht zwischen beide einen Strich. Z. B. der Bruch drei Fünftel wud durch ß oder dargcstcllt. Man unterscheidet gemeine und D e z i m a lbr ü ch c. D e- zimal- oder zehntheilige Brüche heißen diejenigen, deren 4-» 52 Nenner io, IVO, 1000, . . . überhaupt i mit lauter Nullen ist; alle übrigen werden gemeine Br ü ch e genannt. So sind : 7 10' 7 8' 3-7 51 39043 100, 1000' LOOOO, 23 17 347 36' 60^ LLOOO, ' ' Dezimalbrüche, . gemeine Brüche. I. Gemeine Brüche. 1. Erklärungen >d allgeineine Regel'-. 8. 38. Die gemeinen Brüche we den in echte und unechte ein- getheilt. Ein echter Bruch ist derjenige, dessen Zähler kleiner ist als der Nenner; jeder andere Bruch, dessen Zähler entweder gleich dem Nenner oder größer als der Nenner ist, heißt ein unechter Bruch; z. B. z, ß, -ä. si"d echte, ß. Z' IZ' -M sind unechte Brüche. Ein echter Bruch ist immer kleiner als die Einheit; ein un¬ echter Bruch dagegen ist der Einheit gleich oder größer als die Ein¬ heit. Dieses erhellet schon aus dem Begriffe des Zählers und des Nenners. Man kann sich davon auch überzeugen, wenn man die Brüche durch Linien versinnlichet, oder wenn man echte und un¬ echte Guldenbrüche betrachtet, und untersucht, ob sie kleiner, gleich oder größer als ein ganzer Gulden sind. I fl. hat 60 k''.; fl. ist daher gleich 12 kr.; fl. 24 kr. ;Z fl. —36 kr.; Z fl. — 48 kr.; ferner ßfl. — 60 kr.; Z fl. — 72 kr/; u. s. w. Eine Zahl, welche aus einer ganzen Zahl und auö einem an¬ gehängten Bruche besteht, heißt eine gemischte Zahl, z. B. 5i, 67^, 3024U. § 39. Jeder Bruch kann als ein an gezeigter Quo- zient angesehen werden, worin der Zähler als Di¬ vidend, und der Nenner als Divisor vorkommt. Um z. B. den Bruch ß zu erhalten, muß man die Einheit in 5 gleiche Theile theilen, und 3 solche Theile nehmen; allein das¬ selbe bekommt man auch, wenn man 3 Einheiten in g gleiche Theile theilt, aber nur einen solchen Thcil nimmt; 3 in 5 gleiche Theile theilen, und einen solchen Theil angeben, heißt aber nichts ande¬ res, als 3 durch 5 dividiren. Es ist demnach ° — 3 : S. Diesel¬ ben Schlüsse lassen sich auch durchführen, wenn man als Zähler und Nenner was immer für zwei andere Zahlen annimmt. Durch den hier erwiesenen Satz ist nun auch das Verfahren 53 gerechtfertiget, nach welchem bei der Division, wenn zuletzt ein Rest übrig bleibt, welcher sich durch den Divisor nicht mehr dividi- ren läßt, dieser Nest als Zähler eines Bruches angenommen wird" dessen Nenner der Divisor ist. Der Quozient ist in diesem Falle eine gemischte Zahl. Da jeder Bruch als ein angezeigter Quozient anzusehen ist, so folgt von selbst^ daß man, um aus einem unechten Bruche die darin enthaltenen Ganzen zu finden, nur den Zähle ' durch den Nenner zu dividiren braucht. Z. B. 6; g' ; ----- 378 : 1 1 34^. So oft das Endresultat einer Rechnung ein unechter Bruch ist, muß man immer die Ganzen herausziehen. Jede ganze Zahl kann in einen Bruch von beliebigem Nenner verwandelt werden. Ist z. B. 5 als ein Bruch vom Nenner 6 dar¬ zustellen, so macht man folgende Schlüsse: i Ganzes hat 6 Sechs¬ tel, 5 Ganze haben also smal 6 Sechstel, d. i. 30 Sechstel; folglich 5 — Man hat hier die ganze Zc st 5 mit dem Nennte 6 multiplizirt z'das Produkt ist der Zahler des verlangten Bruches. Um daher eine ganze Zahl in einenBruch, des¬ sen Nenner gegeben ist, zu verwandeln, multiplizirt man Vie ganze Zahl mit dem gegebenen N'iner; dieses Produkt setzt man als Zähler, und den gegebenen Nmw"' als Nenner d-s gesuchten Bruches. Z. B.: i 2 Z 4 5 IO 1^6 . L - .j ^0 12« 7 > 6 9 30 378 . O 2 3 4 5 10' I26> 16 27 — 512 ------ Jede gemischte Zahl kann in eine» unedlen Bruch verwan delt werden. Man verwandle z. B. die gemischte Zahl 3ß in einen Brach. Zuerst müssen 3 Ganze auf Achtel g bracht werden, i Ganzes hat 8 Achtel, also 3 Ganze 3mc 8 Achtel, d. i. 24 Achtel; setzt man nun noch die s Achtel dazu, so hat man 2S Achtel; es ist also 3ß ----- Hier wurde die ganze Zahl 3 mit dem Nenner 8 mul¬ tiplizirt, und zu dem Produkte 24 der Zähler 5 addirt; die Summe ist der Zähler des unechten Bruches. Um daher eine gemischte Zahl in einen unech¬ ten Bruch zu verwandeln, was man das Einrichten der gemischten Za hl nennt, so multiplizirt man die ganze Zahl mit dem Nenner und addirt zum Produkte den Zähler; diese Summe ist der Zähler, der Nenner wird ungeändert beibehal¬ ten. Z. B.: i l 4 . o? 71 . L 9 4779 3 3>Otz 15' Man verwandle folgende gemischte Zahlen in unechte Brüche: 311^, 238^, 834j^, 762^00- 54 8. 40. Wenn man den Zähler eines Bruches vergrößert, ohne dabei den Nenner zu ändern, so wird der Werth des Bruches größer, weil man dadurch mehrere eben so große Theile erhält. So sind z. B. 4 Drittel 2mal so viel als 2 Drittel, 6 Drittel 3mal so viel als 2 Drittel, 16 Drittel 8»ial so viel als 2 Drittel. Man kann dieses, von dessen Richtigkeit man sich auch durch Bestimmung der Guldenbrüche, oder durch Eintheilung einer Linie überzeugen kann, so schreiben : 2 4 . 2 » « . 2 k — IS 3 X - - ., I 3 X s - 3 - 3X0 - 2- Ein Br uch wird also mi t ei n er ganze n Zahl m u l- tiplizirt, wenn man den Zähler damit multipli- zirt, den Nenner aber u n g e ä n d ert läßt. Z. B. 2 - _ 3xv _ 4- - r x — 7xt3 _ t»r . is x Is! 8 X 1 .1 - Z- - 11z, L» I I — 42« - «22 . 4-2S n-i - 42 7L _ >>!> SS soXii so ozg.^iuXos 2IS — Ein Bruch kann auch noch auf eine andere Art mit einer gan¬ zen Zahl mnltiplizirt werden. Wenn der Nenner eines Bruches kleiner wird, der Zähler aber nngeändert bleibt, so wird der Werth des Bruches größer; denn in je weniger Theile dis ganze Einheit getheilt wird, desto größer sind die einzelnen Theile, folglich auch desto größer eben so viele solche Theile zusammengcnommen. Nimmt man z. B. den Bruch und dividirt den Nenner durch 4, so erhält man ß; in beiden Fällen hat man 3 Theile zu nehmen, allein im ersten Falle sind eS 3 Sechszehutel, im zweiten 3 Viertel; nun ist ein Viertel 4mal so groß als i Sechszehntel, also ist auch E 4mal so groß als ^vder^x4--2. Ein Bruch wird demnach mit einer ganzen Zahl auch mnltiplizirt, wenn man den Nenner dadurch dividirt und den Zähler u n g eä n d e r t läßt. Z. B.: ^7. y _ 7 _ -7. . _n I _ 13 _ IS. 2V 2V : 2 10' Ivo 100:4 2°' - 4 >1. _7I_ « I 74 07 IS X S 3 Iz) SI2 X O-t-z Diese zweite Art des Multiplizirenö kann offenbar nur dann augewendet werden, wenn der Nenner des Bruches durch die ganze Zahl theilbar ist. Man verrichte folgende Multiplikazionen : 8 Wenn man den Zähler eines Bruches 2, 3, 4mal kleiner an- nimmt, den Nenner aber ungsändert läßt, so erhält man 2, 3, 4mal weniger eben so große Theile, also wird auch der Werth des neuen Bruches 2, 3, 4inal kleiner ausfallen. Daraus folgt: Ein Bruch wird durch eineganzeZahl dividirt, wenn man den Zähler dadurch dividirt, den Nen¬ ner aber un geändert läßt. Z. B..- IL . i> 12 : 3 .4,.. IL . „ 10 - 8 . 2°' 24 —25'21'°— zl — 2I> 60 . i i) 5 * 36 « i o , 2 S7 - - »7» 2SS - -o 2IL' Das hier begründete Verfahren, einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividiren, kann offenbar nur dann angewendet werden, wenn der Zähler durch die ganze Zahl theilbar ist. Es gibt übri¬ gens noch eine zweite Art, eine solche Division zu verrichten. Wenn der Nenner eines Bruches 2,3, 4mal großer wird, ohne daß sich der Zähler ändert, so bekommt man eben so viele, aber 2, 3, 4mal kleinere Theile, also wird der Bruch selbst 2, 3, 4>nal kleiner, als er früher war. Ein Bruch wird also durch eine ganze Zahl auch dividirt, wenn man den Nenner damit multipli- zirt, und den Zähler un geändert läßt. Z. B.: L . z-?_2:^-4^- 15 is. » 4X2 " « ' 22 ' — 22X4 ««' 3 7 . , /4 37 . 225 . o 225 12 ' L20 > 313 ' O 2504' Es sollen noch folgende Divisionen ausgeführt werden: 0^:4; 2) zß : 8; 3) M : 25; 4)W-12; S) M : 23; 6) M : 30; 7)A:13; 8) LZzs - 2.6; S) ZZZZ : 4239. 42. D e r W e rt h e i n e s B ruch e s wird nicht geändert, wenn man Zähler und N c n n e r mit derselben Zahl multiplizirt. — Denn: wird der Zähler z. B. mit 4 multi- plizirt, so erhält man 4>nal so viele Theile, als ihrer der frühere Bruch enthielt; wird nun zugleich auch der Nenner mit 4 multipli¬ zirt, so werden die einzelnen Theile 4mal kleiner ausfallen als die früheren; man erhält also im Ganzen 4mal so viele, aber 4mal kleinere Theile, so daß der Bruch denselben Werth behält, den er früher hat. — Die Richtigkeit dieses Satzes kann man auch so er¬ weisen: wenn man den Zähler mit 4 multiplizirt, so wird auch der Bruch mit 4 multiplizirt, man erhält also 4mal so viel; wird der Nenner mit 4 multiplizirt, so wird der Bruch durch 4 dividir t, 56 man erhält also nur den 4ten Theil des früheren; wird aber eine Zahl 4mal, und davon wieder der 4te Lhcil genommen, so bleibt die ursprüngliche Zahl ungeändert. — Dieser Satz läßt sich über- dieß durch Eintheilung von Linien oder durch Betrachtung von Gul¬ denbrüchen beleuchten. Es ist z. B. 2 ^0 M 2 "4 6 10 12 20 - SV 60' Betrachtet man diese Brüche als Gnldentheile, so bedeutet je¬ der derselben 30 Kreuzer. Der Werth eines Bruches bleibt unverändert, wenn man Zahler und Nenner durch dieselbe Zahl dividirt. — Denn: wird der Zähler z. B. durch 4 dimdirt, so erhält man 4Mal weniger Lheile; wenn mau nun zugleich auch den Nenner durch 4 divioirt, so werden die einzelnen Lheile 4mal grö¬ ßer; man hat also 4mal weniger, aber 4mal größere Lheile; folg¬ lich ist der Bruch ungeändert geblieben. — Der Beweis könnteauch so geführt werden: wenn man den Zähler durch 4 dividirt, so wird auch der Bruch durch 4 dividirt, man erhält also nur den 4ten Theil des früheren Bruches; wird der Nenner durch 4 dividirt, so wird der Bruch mit 4 multiplizirt, also 4mal genommen; wenn man aber von einer Zahl zuerst den 4tcn Theil nimmt, und diesen 4ten Theil wieder 4mal setzt, so erhält man die ursprüngliche Zahl. ES ist z. B. 24 H 2 60 30 LS 5' Zur noch größeren Einsicht kann man diese letzten Brüche als Gnldentheile betrachten, und durch Kreuzer ausdrücken. Nach den eben erwiesenen zwei Sätzen kann demnach die Form eines Bruches auf zweifache Art geändert werden, ohne daß sich dabei der Werth deS Bruches ändert; entweder indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizirt, oder indem man beide durch dieselbe Zahl dividirt. 8- 43. Mittelst der Formveränderung eines Bruches durch die Mul¬ tiplikation ist man im Stande, jeden Bruch ohne Aenderung des WertheS auf einen neuen Nenner zu bringen, sobald dieser ein Vielfaches des früheren Nenners ist. Man braucht nur zu unter¬ suchen, mit welcher Zahl der frühere Nenner multiplizirt werden muß, um den neuen zu geben, d. i., wie oft der frühere Nenner in dem neuen cnihalten ist; mit derselben Zahl wird dann auch der frühere Zähler multiplizirt. Wenn also ein Bruch ohne Aenderung seines WertheS auf einen neuen Neuner, der ein'Viclfa- ches des alten Nenners ist, gebracht werden soll, so dividire man den neuen Nenner durch den alten, und multi- plizirc mit dem Quozienten den alten Zähler; das Produkt ist dec - neue Zähler. Um z. B. I auf den Nenner 20 zu bringen, hat man: 20:4^5; 3 X 5 --- 15; also J A Man bringe ß auf den Nenner 30, " » 60, U n " 280. Wenn der neue Nenner durch den alten nicht Heilbar wäre, so konnte der neue Zähler im Allgemeinen keine ganze Zahl sein. Damit also Zähler und Nenner des neuen Bruches als ganze Zah¬ len erscheinen, so muß der neue Nenner ein Vielfaches deS alten sein. So wie man einen Bruch ohne Aenderung des Werthes auf einen neuen Nenner bringen kann, so können auch zwei oder meh¬ rere Brüche mit einem neuen gemeinschaftlichen Nenner dargestellt werden, nnr muß dieser neue Nenner ein gemeinschaftliches Viel¬ faches aller gegebenen Nenner sein. Um die Rechnungen so einfach als möglich zu führen, pflegt man die Brüche gewöhnlich auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner zu bringen. Dabei beobachtet man folgendes Verfahren: 1. Man suche das kleinste gemeinschaftliche Vielfache aller gegebenen Nenner; dieses ist der kleinste gemeinschaftliche Nenner. 2. Um den neuen Zähler eines jeden Bruches zu finden, di- vidire man den neuen Nenner durch den früheren, und multiplizire mit dem Quozienten den früheren Zähler. Beispiele. I) Es sollen die Brüche Z, ß, auf den kleinsten ge¬ meinschaftlichen Nenner gebrächt werden. Man suche zuerst das kleinste gemeinschaftliche Vielfache zwi¬ schen den Nennern 3, 4, 5, 6, l8, 30. Zh 4, s, s, 18, 30 Der kleinste gemeinschaftliche 2 2, 9, 15 Nenner ist also: 3 2, 3, 5 2X3X5X2 X3— 180. Man hat nun folgende Rechnung: 180 2) Man bringe die Brüche 4 ß, ß, gemeinschaftlichen Nenner. _ 120 — Ho? 18 5 180^ 150 18 0/ 170 180/ 66 '18 0 ' auf den kleinsten Die ganze Rechnung stehet: L, S, 8, 12, 20 also ist 2 4, 6, 10 2 X 3 X 5 X 2 X 2 ---- 120 2 2, 3, ö der kleinste gemeinschaftliche Nenner. 120 z 60 60 daher z --- L 24 48 ß -- § 15 75 Z — 3) Man bringe die Brüche z, f, Z, Z, zs auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner. Die neuen Brüche sind: M, d 567 768 1008, 1008' Man bringe auf den kleinsten gemeinschaftlichen Nenner: ^57. _3. _8_ . 8k 10, 18 ' 1^ 17. 10' 21^ 30' «X 2 3 7 11 11 13 19. I? 51 8^ 14, 18k 21, 30' 1113 7 14 Hl 2, 3, 5' 5, H, IS, 21, ,1^13^ 7 12 47 23 20 24, 36' 35' 75, 24^ 30' 12) Welcher von den Brüchen größte, und welcher der kleinste 3 5 1L . 4, 6, 18' 21 ' O>1 25^1_»16 22. 3' 5' 6, 18' 201 21, 2S ? 29 3 6' » 7 ^3 23 41 107 jss 4' 8, 15' 25, 4S, 112 13) Man ordne folgende Brüche nach ihrer Größe, und zwar vom größten angesangen: Z, z, ß Z. 7^, d 8- 4 t. Die Formveränderung eines Bruches durch die Division dient dazu, um einen Bruch abznkürzen, d i., denselben ohne Aende- rung des Werthes mit kleineren Zahlen darzustellen. Dieses kann in allen Fällen geschehen, wo Zähler und Nenner durch die näm¬ liche Zahl theilbar sind; man darf nur beide durch jenes gemein¬ schaftliche Maß dividiren. Z. B.: IX 10 c) X ^5 38 19' 36 12' /1 > — 9 300 _. 3 0 ____ 1 5 80 16' 460 46 23' Zm ersten Beispiele sind Zähler und Nenner durch 2, im zweiten durch 3, im dritten durch 4, im vierten durch 5, im fünf¬ ten zuerst durch 10, und dann durch 2 dividirt worden. Man kür;e noch die folgenden Brüche ab: M, 420 LLN. So ofs in dem Endresultate einer Rechnung ein Bruch er¬ scheint, der sich abkürzen läßt, soll man ihn immer auf seine ein¬ fachste Form bringen. 3) 2. Das Addiren. 8- 43. 1 . Bruch»! v o n g l e ich en N e n n e r n werden addirt, wenn man ihre Zähler addirt, und die Summe der Zähler zum Zähler annimmt, als Nenner aber den gemeinschaftlichen Nenner beibehäll. Es seien z. B. die Brüche ß und Z zu addiren. 2 Neuntel und 5 Neuntel geben gewiß 7 Neuntel; also ß -j- ß — I) -j- ß-- ß -- 1. _ — M--4L — iS IS m IS IS I IS IS ' 8 8' 20 20 " 20 " 20 I 20 I 20 20 32 I 22 n 32 I 32 32 I 32 I 32 I 32 2. Brüche von ungleichen Nennern werden addirt, wenn man sie zuerst auf einen gemeinschaftlichen Nenner bringt, dann die neuen Zähler addirt, und unter die erhaltene Summe den gemeinschaftlichen Nenner darunter setzt. Sind z. B. ß und ß zu addiren, so geben diese wcdm'8 Fünf¬ tel, noch 8 Achtel man muß die beiden Brüche erst auf eine ge> meinschaftliche Benennung bringen. Der kleinste gemeinschaftliche Nenner ist 40; die neuen Brüche heißen M und D, und können, da sie nun gleiche Nenner haben, wirklich addirt werden; man er- bält M — 40 »40» Die Rechnung steht: 40 ß s>24 s 5 25 49 _ l 40 40' I) L>ind die Brüche 2, 2, ztl addiren, so hat man fol¬ gende Rechnung : 240 2, 5, 16, 24 8 5, 2, 3 5 X2X3X8 — 240 ist der kleinste gemeinschaftliche Nenner. 4«9 > 22 0 240 ^240 3. Wenn unter den Addenden ganze oder gemischte Zahlen vorkommen, so addirt man zuerst die Brüche, und dann 60 die Ganzen; kommen in der Summe der Brüche auch Ganze vor, so werden diese zu den Ganzen weiter gezählt. Z. B.: Hier werden die Brüche aus gleiche Nenner gebracht und addirt; die Summe der Brüchs enthält 1 Ganzes und ß; der Bruch Z wird angeschrieben, i Ganzes I» aber zu den Ganzen in den Addenden hinzugezählt. 1) 7Z 12Z 20z 8 2 6 1 S 2) 5Z -s- 62 -s- 74 - I92ZL. 3) ß -s- 16 -s- 1322 31ZZ. 4) 328Z -s- 5362 _s_ 7I2Z - IS77Z2. 5) 1^ -ff 2^ -s- 3^ -s- 4 -s- 5^ ---? 6) 72 -s- 8? -s- 9Z -s- I0§ -s- HZ --? 7) 128 -s- 333^ -ff 317^ -s- 70822 --? 8) 2Z -s- 327 -ff 58Z -s- ISI2Z -ff S5Z 9) 3741Z -s- 5709Z -s- I390Z -s- 8913^ 10) 851342Z -s- 2369IZ -s- 744622 _s_ 90I78Zz Aufgaben. 8- 46. 1) Jemand hat drei Stück Leinwand; das erste enthält 48Z, das zweite 512, das dritte 52 Ellen; wie viel Ellen halten alle drei Stücke? — 152 Ellen. 2) In einem Keller liegen 6 Fässer Wein, welche einzeln 12Z, 12^, 13^, 13U, 142 und 14Z Eimer enthalten; wie viel Wein befindet sich in allen 6 Fässern? — 8222 Eimer. 3) Fünf Ballen enthalten einzeln 1322, 1322 135Z, 1332, 136Z Pfd.; wie groß ist das ganze Gewicht? — 674^Pfd. 4) Wieviel machen folgende Zahlungen znsammengenommen : 1042, 328Z, 75^, 24922 fl., _ 658M st. 5) Ein Kaufmann erhält sechs Fässer Kaffee: das Faß ent¬ hält 1242 Pfd., v 126Z Pfd., 6 120^ Pfd., I) II8Z Pfd., Iü 1172 Pfd., b 1192 Pfd.; wie viel Pfunde sind cs IM Ganzen? — 729ZZ Pfd. 6) Wie groß ist die Summe von vier Zahlen, deren erste 138 und jede folgende um I7Z großer alö die vorhergehende ist? 7) Die Seiten eines Fünfeckes betragen einzeln 312, 12Z, 471, 21^, 8^ Klafter; wie groß ist der Umfang? 8) Vier Kapitalien geben einzeln >08^, 8922, 138A 243Z fl. Zins; wie viel zusammen? 9) In einem Kaffeehause wird nach und nach an Vanille v braucht: 52, 12Z, in^, 1 rZ, 47^ Loth; wie groß ist der ganze Verbrauch? 61 10) Ein Mauerstein, welcher ioß Zoll lang, 54 Zoll breit und 2^ Zoll dick ist, wird an jeder Seite 4 Zoll stark mit Mörtel umgeben; welches sind dann seine drei Ausdehnungen? 11) Wenn vier Breter von und Z Zoll Dicke über einander gelegt werden; welche Dicke gibt dieses? 12) Von drei Röhren füllt die eine einen Wasserbehälter in 6 Stunden, die andere in 4, die dritte in 3 Stunden. Der wie vielte Theil des Behälters wird in einer Stunde gefüllt, wenn alle drei Röhren zugleich stießen? 3. Das Subtrahiren. 3 3) 7) 2) 4) 6) 8) I) Ist L- B. Z von z abzuziehen, so hat z man: 5 24 — _5_ L - — 20 4 8 - - 13 2 20 5 17 L 18 S 103 71 _ - 250 300 0 _5_ _ 16 12 4Z. 23 _5^ _2 28 21 ' SO _ ^3_«z 72 45 30 11-3 _ 53 _ 48 "l 15 60 3. Wenn eine ganze Zahl von einer gemischten abzuziehen ist, so setzt man den Bruch des Minucndö sogleich in den Rest, und subtrahirt nur die Ganzen. Z. B.: 1) 28ß —24 --- 4Z. 2) 25744 — 87 ---- I7t)44 3) 124^-59---? 4) 308^-259---? 4. Wenn ein Bruch oder eine gemischte Zahl von einer ganzen Zahl zu subtrahiren ist, so addirt man zu dem Bruche des Subtrahendö so viel dazu, daß man ein Ganzes er¬ hält; was man hinzuaddirt, wird sogleich in den Rest gejchrieben; dann vermehrt man den Subtrahend um i Ganzes, und zieht die Ganzen ab. §. 47. 1. Brüche von gleichen Nennern werden subtrahirt, wenn man die Zähler subtrahirt, und unter den Rest ten gemein¬ schaftlichen Nenner schreibt. Nimmt man z. B. von 4 Fünfteln 2 Fünftel hinweg, ss bleiben offenbar noch 2 Fünftel übrig; also Z—ß — ii s _ «_i Li _ ».—4» — ^42 12 - 4?- L' SN 2» 20 10' ,7 _ 7 - 4^) _7. — V O>> 30 30 ' 48 48 ' 2. Wenn Brüche, welche ungleiche Nenner haben, zu subtrahiren sind, so bringt man sie zuerst auf einen gemeinschaft¬ lichen Nenner, zieht dann die neuen Zähler von einander ab, und schreibt unter den Rest den gemeinschaftlichen Nenner. 24 8 16 62 Die Richtigkeit dieses Verfahrens erhellt daraus, weil man dabei Minuend und Subtrahend um ein Ganzes vermehrt, der Un¬ terschied zweier Zahlen aber dadurch nicht geändert wird, wenn man jede derselben nm 4 vergrößert. Es ist z. B. 1) 7 — s — «H. Im ersten Beispiele spricht man : 2) 28 — 43§ — I4ß. ß und (ß) sind ein Ganzes; 1 (um 3) 247 — 208^ — 38^. welches der Subtrahend vermehrt wird) und (6) sind 7. 4) 29 —5) 100 —48^---? 6) 349 — 288sL — ? 5. Menn ein Bruch o d c r ei n e g e m i sch t e Zahl von einer gemisch te n Zahl abzuziehen ist, so ist cs am besten, zuerst die gemis.lte: hiren. Z. B I) 72 —L» 5» 5 5_5 8 Z 0) 25F,- - - 7) I342kL _ 943^ 8) 908^-55^—? 9) I42Z -s- 7I3ß — 327Z ^? 10) 300 — 89A — 108^ I I) 715 22 -s- 'l04Z- 69^- 44OW Zahlen emznnchten, und dann erst zu subtra- 40 45 8i304 2) ! 9,s — 22- g 875 25 8^----^ 3 381 279 _ /2 3!» 496 - I I ' H»" - ^49' 45 45' «L - 4) 729Z - 533^ ---I85kk. 65 II 1-4-77k A ufgaben. 8- 48. 1) Von 5^ fl. werden 2? st. ausgegeben; >vie viel bleibt übrig ?— 3i st. 2) Ein Beamter hat monatlich 66z st. Gehalt, und gibt 54^ st. aus; wie viel erspart er? — I 4^fl. 3) Ein Stuck Leinwand hat 56k Ellen gemessen; nun sind nur noch 49Z Ellen übrig; wie viel wurde davon verbraucht? 36st Ellen. 4) Jemand besitzt 27 Joch Ackergrund, wie viel behält er noch, wenn er 7^ Joch verkauft? - 49D Joch. 5) Jemand nimmt 4k, 5°, 42j^, 30 Gulden ein, und gibt 2Z, 48k, 25ß, Gulden aus; um wie viel ist die Einnahme größer, all die Ausgabe?— Um 6^ fl. 6) Um wie viel ist 358^ größer als 319kl 63 7) Wie groß ist der Unterschied zwischen 927H -s- ioz^ und 804 — 85-^? 8) Von 2000 st. Schulden werden nach und nach 333^ st., 215^ st., 804^ fl. getilgt; wie groß ist noch der Schul¬ denrest ? 9) Man hat folgende Brüche : 4 4, um wie viel unterscheidet sich die Summe der ersten zwei Brüche von i, um wie viel die Summe der ersten drei, vier, fünf, sechs Brüche? 10) Eine Länge von 12 Linien wird in i l gleiche Theile getheilt; um wie viel ist jeder solche Theil größer als eine Linie? 11) Um wie viel gewinnt oder verliert der Bruch wenn man im Zähler und Nenner a) die letzte Ziffer, b) die zwei letzten Ziffern rechts wegläßt? 12) Von einem Schutthaufen, der 1258^ Kubikfuß mißt, wer¬ den 65 Wägen voll, jeder zu I6ß Kubikfuß, weggeführt. Wie viel bleibt noch ? 13) Es sind vier Zahlen. Die erste ist 17^, die zweite um 8§ klei¬ ner als die erste; die dritte um 5A größer als die zweite; die vierte so groß als der Unterschied zwischen der ersten und dritten. Wie groß ist die Summe aller vier Zahlen? 4 Da« Miiltiplizircn. §. 49. 1. Das Verfahren für das Multipliziren eines Bruches mit einer ganzen Zahl ist bereits oben entwickelt worden, nämlich: Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multiplizirt, wenn man entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizirt und den Nenner ungeändert läßt; oder wenn man den Zähler ungeändert läßt, und den Neuner durch die ganze Zahl dividirt. Daraus folgt auch : Ein Bruch mit seinem Nenner multiplizirt gibt den Zähler. Es ist z. B. : Zx 8 --- f- --- 5; X 10 7. 2. Um eine gemischte Zahl mit einer ganzen Z a h l zu multipliziren, so multiplizirt man mit der ganzen Zahl zuerst den Bruch, dann die Ganzen der gemischten Zahl; kommen bei der Multiplikazion des Bruches auch Ganze heraus , so werden sie zu dem Produkte der Ganzen addirt. Z. B. : 7? X 8 -- 60ß. Man sagt hier: 8mak sind — 4ß ; der Bruch ß wird 64 angeschrieben, 4 Ganze aber werden zu dem Produkte der Ganzen gezählt; 8mal 7 sind 56 und 4 sind 60. Eine gemischte Zahl kann mit einer ganzen Zahl auch multi- plizirt werden, wenn man die gemischte Zahl einrichtet, und den erhaltenen unechten Bruch mit der ganzen Zahl multiplizirt. Z.B.: 1) 60ß. 2) 10^X 5 — 542. 3) 12ß x 9 ---- 112. 4) 27Z X 10 ---- 273Z. 5) 123^ X 18 --- 2221^. 6) 328^X32---? 7) 1905^x 480 ----? 3. Eine ganze Zahl wird mit einem Bruche multiplizirt, wenn man sie mit dem Zähler multiplizirt, und dieses Produkt durch den Nenner dividirt. Es ist z. B. 6 xK --- d- 82. Die Richtigkeit dieses Verfahrens geht aus dem Begriffe der Multiplikazion hervor. 6 mit Z multiplizircn heißt aus 6 auf die nämliche Art eine neue Zahl bilden, wie A aus der Einheit entstan¬ den ist; Z ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit zuerst in^z gleiche Theile theilte, und einen solchen Theil 3mal setzte, oder, was gleichviel ist, indem man die Einheit durch 5 di- vidirte, und den Quozienteu mit 3 multiplizirte; dieselben Verän¬ derungen, die mit der Einheit vorgingen, müssen mm auch mit 6 vorgcnommen werden; man muß nämlich 6 durch 5 dividiren, wodurch mau Z bekommt, und diesen Quozicnten mit 3 multipli- ziren, was Zx 3 ---- - " gibt; folglich ist 6 xZ —' 5 5 1) 945XZ --- 354ß. 2) 27 X § -- 15. 3) 1724xzZ---? 4) 7530x^--? 4. Wenn eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl zu multipliziren ist, so wird die ganze Zahl zuerst mit dem Bruche und dann mit den Ganzen der gemischten Zahl multipli¬ zirt ; kommen bei der Multiplikazion mit dem Bruche auch Ganze heraus, so werden diese zu dem Produkte mit den Ganzen ad- dirt. Z. B.; I8X 7; 139z. Man hat hier: 18 X 2 --- ---13^; schreibt man an, 13 Ganze werden zu dem Produkte mit den Ganzen hinzuge¬ zählt; 7mal 18 sind 126, und 13 sind 139. Man kann auch hier zuerst die gemischte Zahl einrichten, und dann die ganze Zahl mit dem erhaltenen unechten Bruche multi¬ pliziren; nämlich: 1 o XX 1 H XX Z 1 6 68 279 I j O XX ' 4. — ' o 4. 4.-2" - - 4 0^2' 65 D 3182 X iz --- sosiz 2) 259 X 85^ --- 22166^. 3) 5790 X11^^? 4) 9308 x 37^---? 5. Ein Bruch wird mit einem Bruche multiplizirk, wenn man Zähler mit Zähler, Nenner mit Nenner multipli- zirt, und daS Produkt der Zähler zum Zähler, das Produkt der Nenner aber zum Nenner anuimmt. Z. B. : » ^-.5x5^15 4X7— ^X7 Diese Regel läßt sick) unmittelbar aus der Erklärung des Mul- tiplizirens hcrlciten. mit ß multiplizircn heißt auö Z eine neue Zahl so zu bilden, wie aus der Einheit entstanden ist; ß ist aus der Einheit entstanden, indem man die Einheit in 7 gleiche Theilc theilte, und einen Lheil »mal nahm, oder indem man die Einheit durch 7 dividirte, und den Quozientcn z mit s multiplizirte; man wird daher auch z durch 7 dividiren, und den Quozienten mit 5 multipliziren; es ist nun ß : 7 — und^^x 5 — , , 17 2» SS^ ? I i) 18 X 2Ü X X . , SS US 60 X — 't X 128 SIS - 6. Wenn eine g e mischt e Z a hl und e i n Bruch, oder wenn zwei gemischte Zahlen mit einander zu multipliziren sind, so ist es am zweckmäßigsten, die gemischten Zahlen einzurichten, und dann erst zu multipliziren. Z. B.: , X o 5 3 50 3^ - - st77 , 59 3 4 6^4 24 8 8' 2) 3^X^--zZX^----^z°--- IS. 3) 4) 39^X ^24A. 5) 283^ X l28z--36S03A 6) 258Kx2l2stz---54885zzck. 7) 315^X59----? 8) I34^X314Z-^? 9) xx 2 is — ' Lloömll, Arithmetik.-4 Aufl. 66 10) 15^X312^--? 11) 1234^ X43M ------? 12) 90lW X 314^----? 13) 37ßx8x77ßxU---? 14) 212^X^X 45 x 331^---? Aufgaben. §. so. 1) Wie viel Gulden betragen 35 kaiserliche Dukaten, wenn 1 k. Dukaten 4z fl. gilt? — 3Smal 4z, d. i. 157z fl. 2) Ein Souveräind'or hat 13z fl.; wie viel fl. machen 48 Sou- veraind'or? — 640 fl. 3) Eine Klafter Holz kostet 7ß fl., was kosten 71 Klafter? — S8L fl. 4) Mn Eimer Wein kostet llß fl., wie hoch kommen 16^ Ei¬ mer? — Auf I87ß fl. 5) Ein Kubikfuß Wasser wiegt 56z Pfd., das Quecksilber ist I3^mal so schwer als das Wasser; wie viel wiegt also ein Kubikfuß Quecksilber? — 762ßPfd. 6) Jemand kaust ein Dutzend silberne Löffel, deren jeder 3^Loth wiegt; was muß er dafür bezahlen, wenn das Loth Silber zu 1^ fl. gerechnet wird? — 31 x 12 x 1^ — 7lß fl. 7) Eine Kiste mit Zucker wiegt 348z Pfd., die Kiste allein 53ß Pfd.; wie viel Zucker ist in der Kiste, und wie viel ist er werth, das Pfund zu ß fl. gerechnet ? — Es sind 294ß Pfd., und der Werth davon ist 1I7A fl. 8) Jemand kauft 4 Metzen Weizen zu 3fz fl., 5 Metzen Roggen zu 3^ fl., und I2i Metzen Hafer zu iß fl.; wie viel muß er dafür bezahlen? — Siz fl. 9) Drei Personen sollen eine Summe von 588z fl. so Lheilen, daß davon, 8 z, und 6 den Rest erhält; wie viel be¬ kommt jede Person? bekommt 588i ------ 17611 fl. 8 „ 5881 X z ----- 1 961 fl . zusammen 372^ fl., welche von S 88z fl. abgezogen werden; 6 bekommt den Nest von 2151z fl. 10) Wie viel Kreuzer machen ß fl., wie viel ß, tz, Q 14 1L 29 59 fs ? " » 6' 10, 12, lö^ 20, 30, 60 ' 11) Wie viel ist sst von 748^ x 3152? 12) Um wie viel ist 2z von 57ß großer, als Q von 204z? 13) Ein Zentner kostet 63^ fl., was kosten l?z Ztr., 31^ Ztr., 62ziZtr, 1I2ZzZtr,? 67 14) Ein Silberbarren wiegt 27^ Mark; welchen Werth hat er, wenn jede Mark I3Z Loth seines Silber enthält, und wenn das Loth feines Silber zu iZfl. gerechnet wird? 15) Ein Rechteck ist I2ß Fuß lang tlnd 7ß Fuß breit; wie viel Quadratsuß beträgt dis Fläche? 16) Ein viereckiges Gesäß ist 3fi Fußlang, if^Fuß breit, und Z Fuß tief; wie viel Kubikfuß enthält cs? 17) Eine Fläche, welche 9Z Fuß lang und 5^ Fuß breit ist, wird mit Sturzblech beschlagen, wovon ein Quadratfuß st. kostet; wie hoch kommt die ganze Arbeit? 18) Wie hoch kommt ein behauener Stamm von 24ZFuß Länge, 34 Fuß Breite und Fuß Dicke, wenn der Kubikfuß mit A; fl. bezahlt wird? 19) Wie groß ist der Unterschied zwischen 4 und 4 von 739I? 20) Ein Silberarbeiter hat is Mark iZilöthiges, 122 Mark l lßlothiges, und 7^ Mark lOTlöthiges Silber; wie viel Loth feines Silber hat er? 21) Ein Pächter verkauft 144 Metzen Weizen zu 4Z fl., und I8g Metzen Gerste zu 3^ fl.; wie viel fehlt ihm noch au 140 fl..Pachtzins? 22) Was wiegen 13 vierkantige Eisenstangen von 7ß Fuß Länge, A Fuß Breite und Fuß Dicke, wenn ein Kubikfuß Eisen 42^ Zentner wiegt?" 23) Eine Summe von 128D fl. soll unter 4 Personen so getheilt werden, daß ß, 8 6 21. und D den Nest erhält. Wie viel kommt auf jede Person? 24) Welchen Druck«ubt eine Mauer aus, welche 43^ Fuß lang, 24 Fuß breit und 25^ Fuß hoch ist, wenn ein Kubikfuß Mauer¬ werk 87ß Pfund wiegt? 25) Ein Faß, welches 10^ Eimer halt, ist mit Wein gefüllt. Wenn nun 1 Eimer 1^ Kubikfuß enthält, wenn I Kubikfuß Wein soZ Pfund wiegt, und das Gewicht des leeren Fasses 574 Pfund beträgt; wie groß ist das ganz« Gewicht? 5. Das Divlliren. §. 51. 1. Es ist bereits bewiesen worden, daß ein Bruch auf eine zweifache Art durch eine g a n z e Z a hl dividirt werden könne; entweder indem man den Zähler durch die ganze Zahl dividirt, und den Nenner ungeändert läßt, oder indem mau den Zähler unge- ändert läßt, und den Denner mit der ganzen Zahl multiplizirt. 2. Wenn eine gemischte Zahl durch eine ganze Zahl zu dividiren ist, so dividirt man dadurch zuerst die Ganzen, und dann den Bruch der gemischten Zahl; bleibt bei der Division 5 * 68 der Ganzen ein Rest, so wird er mit dem angehangten Bruche als eine gemischte Zahl eingerichtet, und der erhaltene unechte Bruch weiter dividirt. Man kann die Division auch verrichten, wenn man die gegebene gemischte Zasll einrichtet, worauf ein Bruch durch eine ganze Zahl zu dividiren ist. Z. B.; 12? : 3 ----- 4?, oder 12? : I -----tkS : 3 ----- --U! ----- 4?. Bei dem ersten Verfahren hat man 12:3—4 und ? : 3 — 17? : 5 --- 34-z, oder 17? : 5 : ö - 3zz. Bei der ersten Divisionsweise ist 17 : s ----- 3, und eS bleiben noch 2 ; 2? eingerichtet gibt und : 5 — Eben so findet man: 0 8§ : 3 --- 2Z. 2) Z7ß : 12 ----- 4§. 3) 218? : 9 — 24^. 4) 3ls^ : !8 — is^- 5) 1234^:41-? 6)5268^:104-----? 3. Die Division einer Zahl durch einen Bruch kann in eine Multiplikazion derselben Zahl mit dem umgekehrten Bruche verwandelt werden. ES sei irgend eine Zahl z. B. durch ? zu dividiren. Um zu erfahren, wie oft ? in jener Zahl enthalten ist, untersucht man zuerst, wie oft 3 in einer Zahl enthalten ist, d. i., man dividirt die Zahl durch 3; ? ist nun 4mal kleiner als 3, daher ist ? in der gegebenen Zahl 4mal so oft enthalten als 3, man muß daher den früher erhaltenen Quozienten noch mit 4 multipliziren. Um also eine Zahl durch ? zu dividiren, muß man sie durch 3 dividiren und den Quozienten mit 4 multipliziren. Allem dasselbe geschuht auch, wenn man eine Zahl mit dem umgekehrten Bruche § multipliziren will. ES ist daher gleichgiltig, ob man eine Zahl durch ? divi- dirk, oder mit dem umgekehrten Divisor? multiplizirt; die Di¬ vision durch einen Bruch kann demnach in eine Multiplikation mit dem umgekehrten Bruche verwandelt werden, und eö besteht die Regel: Eine Zahl wird durch einen Bruch dividirt, wenn man sie mit dem umgekehrten Divisor multiplizirt. Z. B.: l) g : Z----8x§--rL---i3z. 5 ' 10 L 7 35 7* 3) sZ : z ---- x 2----^---- uz. 4) 318 Z08ß. S) : Z --- ib. 6) 4zs-Z^5?. 7)7ß:sl^io^. 8)I2-z--? 9)^:z°--? 10) 2W II) 14^ 12)W-M-^ 'S) 7S2§ : ZZ 14) 27zz x nszz : 17^----? 69 4. Um cine Zahl durch eine gemischte Zahl zu dividiren, richtet man diese ein, und dividirt kann durch den un¬ echten Bruch. Z. B. : 1) 7 : 32 --- 7 2) 2 - sz --- Z . yü 3L . 21 3.2 4) 917 ^72^-- 12/^. 6) 948^ : I7H -- S4M. 8) 1234 : 3ß^-? 10) 215/- : 17^ --? 12) 13578 : I4ßS---? 14) 572^ x 135^ - 929M 3 H 16 V6 33' 8 264 66 ^22 v! 21 84 21 7 ?' -- 7^- 7) 139^ - 82 -- I6§2. 1-8 . 8_o_ —2 11) 724^ ; 23§§ 13) 8375/ö ! 128^--? — 'e 15) 798^ 152 -fl i48Z : 7l/„ ---? 16) I356Z X 17» : 542- 7157^ - 9f^--? Aufgaben. §. 52. 1) Wie viel Gulden machen § kr. ? — l kr. ist der 60ste Theil von l st., ß kr. sind also der 60ste Theil von ß st.; nun ist 2-60---§^^;ß kr. sind also/, st. 2) Wie viel Ztr. sind 35^ Pfd.? — Der looste Theil von 3sz Ztr., also Ztr.' 3) I Eimer kostet 92 fl.; wie hoch kommt eine Miß? —Aufden 40sten Theil von 92 fl., also auf /5 st- 4) 1 Ztr. kommt auf 362 fl; was kostet ein.Pfd. ? — fl. 5) 12 Stück einer Waare werden um I7Z fl' gekauft; wie hoch kommt 1 Stück? — Auf 1/2 fl. 6) Ein Hut Zucker wiegt 9^ Pfd. und kostet 32 st.; wie thcuer wurde 1 Pfd. gerechnet? — Zu 2 fl. 7) 42 Ztr. kosten 49» fl.; wie viel 1 Ztr.? — 102Z fl. 8) Jemand will für 261 fl. kaiserliche Dukaten haben; wie viel Stücke braucht er, den Dukaten zu 4^ st. gerechnet? — 58 Stück. . 9) Eine silberne Dose, welche 72 Loth wiegt, wird um IS^ fl- verkauft; wie hoch kommt ein Loth Silber? — Auf l» fl. 10) Jemand kanft 5^ Ztr. Zucker; wie viel muß er dafür bezah¬ len, wenn 3 ZtQ ans 862 fl. z.« stehen kommen? — Für I Ztr. muß mam86? ; 3 — 28sck fl., für 52 Ztr. also 28^- x s» --- 156^ fl. bezahlen. ' . I I) Wenn eine Waare um zLfl. 42 Meilen weit geführt wird, wie weit wird dieselbe Maare um 7H fl. geführt? — Um I fl. 70 wird die Waare 42 : sz -----^Meilenweit, daherum 7z fl. L5 x 7js ----- 56 Meilen weit geführt. 12) Jemand'kauft ein Stück Leinwand von 52z Ellen, 6 Ellen zu i^ fl.;er bezahlt darauf I2ß fl.; wie viel bleibt er noch schuldig? — 2A fl. 13) Ein Gut trug in sechs aufeinanderfolgenden Jahren: 2148Z, 253oz, 3017ß, 2408, 26I1Z, 1365 fl. ; wie groß ist im Durchschnitt das jährliche Erträgniß? — In 6 Zähren trug das Gut 15082-zz fl.; auf ein Jahr kommen also 2513^ fl. 14) Ein Weinwirth mischt 2z Eimer Wein zu i»z fl., 3^ Eimer zu 14 fl., und 43578 28216 108624 "48'81368 0 16 062774 3) 4'37684 X 0'0027 4) 33 185 X 0'751 1659 25 24'921935 8 75368 0-011 817468 5) 2'3715 X 7 5009 ? 6 7) 0 293 X 0 584 —? 8 9) 258 34107 x 15'19298 —? 10) 0'890572 X 12-81964 ? 11) 39-345689 X 48'213158 — 'i 12) 0'1234567 X 8'00937852 --- 'k 6) 23'088 X 13'712 ---? 8) 78 94 X 113'5 57. Oft reicht es hin, daß man im Produkte außer den Ganzen nur emige Dezimalen erhalte, da die späteren Stellen für die Be¬ rechnungen des gewöhnlichen Lebens keinen angebbaren Werth mehr haben. Bedeutet das Produkt z.B. Gulden, so sind 3 Dezimalen hinlänglich, da schon 0-001 Gulden kleiner ist als i Pfennig also ein nicht mehr zahlbares Geld; um so mehr gilt dieses von den weiteren Dezimalstellen. Um zu zeigen, wie man die Multiplikazion verrichten könne damit man, ohne eine überflüssige Ziffer anzuschreiben im Pro¬ dukte sogleich nur eine bestimmte Anzahl von Dezimalen erhalte soll das Produkt aus 7-31456 und 8 942 bis auf die dritte Dezi¬ malstelle entwickelt werden. Die gewöhnliche Multiplikazion würde so stehen: 77 Die ganze Rechnung rechts deö Stri¬ ches ist überflüssig. Wie man sich dieselbe ersparen könnte, ergibt sich aus folgenden Betrachtungen. —Wenn man mit 8 mul- tiplizirt, so fängt das Produkt erst dann bedeutend zu werden an, wenn man da¬ mit 5 multiplizirt, da daöProdukt von 6 mit 8 rechts desStriches fallt; die niederste nothwsndige Stelle in dem ersten Theilprodukte bekommt man also durch die Multiplikation der Ziffer 5 deö Mal. tiplikandö mit der Ziffer 8 des Multiplikators. Bei der Multipli- kazion mit 9 beginnt das Produkt erst dann nothwendig zu wer¬ den, wenn man 1 mit 9 multiplizirt, indem die Produkts von 5 und 6 mit 9 auf die rechteSeite desStriches fallen; die niedrigste Stelle des zweiten LhcilprodukteS entsteht also, indem man mit der Ziffer 9 des Multiplikators die Ziffer i dcS MultiplikandS mul- tiplizirt. Eben so findet man die niedrigste nothwsndige Ziffer im dritten Theilprodukte, wenn mit der Ziffer 4 des Multiplikators die Ziffer 3 des Multchlikands multiplizirt wird u.s. f. — Würde man daher den Multiplikator so unter den Multiplikand schreiben, daß die mit gleichen Buchstaben überschriebenen Ziffern gerade unter einander zu stehen kommen, nämlich: ll clln so könnte man bei der Entwicklung der abgekürzten 7.8IZ6 Theilprodukte mit jeder Ziffer des Multiplikators zuerst 2.498 die gerade darüber stehende Ziffer des MultiplikandS, und dann nur noch die höheren multipliziren. Betrachtet man die Stellung der Ziffern des Multiplikators bei dieser zweiten An¬ schreibeweise, so sieht man, daß dis Ziffer der Einheiten des Mul¬ tiplikators, nämlich 8, unter der dritten Dezimale 5, also unter derjenigen Dezimalstelle dcS MultiplikandS sieht, mit welcher das Produkt abbrechen soll, und daß die übrigen Ziffern deö Multipli¬ kators darneben in umgekehrter Ordnung erscheinen. — Da in der letzten beizubehaltcnden Stelle eines jeden Lheiiproduktes, wie aus der obigen Ausführung ersichtlich ist, nicht nur das Produkt aus den zwei hier über einander stehenden Ziffern, sondern auch die Zeh¬ ner des Produktes mit der nächst niedrigeren Stelle des Multipli- kands erscheinen, so muß man, um die niedrigste beizubehaltends Stelle genau zu erhalten, mit jeder Ziffer des Multiplikators, nachdem dieser in verkehrter Ordnung gehörig unter den Multipli¬ kand angesetzt wurde, zuerst die, um eine Stelle weitsr rechts ste¬ hende Ziffer des MultiplikandS multipliziren, davon die nächsten Zehner behalten, und diese als Korrektur zu dem Produkte der über einander stehenden Ziffern addiren Daraus ergeben sich für das abgekürzte Mnltiplizi- r e n der D e z i m albrüche folgende Regeln: ü c b a «dock 7 315 6 X 8 942 8 04 624 6312 0952 58 S24 6 584 292 14 65 416 78 1. Man sehe die Einheiten des Multiplikators, d. i. die Ziffer links vor dem Dezimalpunkte, unter diejenige Dezimalstelle des Multiplikands, welche im Produkte noch borkommcn soll; die übrigen Ziffern werden in umgekehrter Ordnung darneben ge¬ schrieben, so daß der ganze Multiplikator umgekehrt erscheint. — Hat der Multiplikator leere Stellen über sich, so ergänze man die¬ selben mit Nullen. 2. Man multiplizire mit der ersten rechts verkommenden Zif¬ fer des umgekehrten Multiplikators zuerst die um eine Stelle wei¬ ter rechts stehende Ziffer des Multiplikands, schreibt jedoch dieses Produkt nicht an, sondern merke stch davon nur die nächsten Zeh¬ ner, welche die Korrektur bilden; dann multiplizire man die gerade darüber sichende Ziffer des Multiplikands, addirc die Kor¬ rektur dazu, und fange hier das Produkt zu schreiben an; nun werden nach der Reihe auch die weiter folgenden Ziffern des Mul¬ tiplikands multiplizirt: auf diese Art erhält man das erste abge¬ kürzte Thcilprodukt. Eben so multiplizirt man dann mit der zwei¬ ten, dritten, ... Ziffer des Multiplikators, und schreibt die ein¬ zelnen dadurch erhaltenen abgekürzten Theilprodukte als Addizicns- posten unter einander. Die Ziffern des Multiplikators, mit denen bereits mullipli- zirt wurde, können zum Zeichen der geschehenen Multiplikazion unterstrichen werden. 3. Die abgekürzten Lheilprodukte werden addirt, und in der Summe schneidet man die verengte Anzahl Dezimalen ab. Soll die letzte Dezimalstelle im Produkte vollkommen richtig sein, so entwickle man eine Dezimale mehr, als ihrer genau sein sollen. Beispiele. 1) Man entwickle das Produkt aus 35'21567 und 21'785 in 3 Dezimalstellen. 35'21567 X 21'785 Weil im abgekürzten Produkte 3 De- 5.8712 zimalen verlangt werden, so setzt man die Einheiten des Multiplikators, d. i. die "0 4313 Ziffer l, unter die dritte Dezimale 5 des 3 5216 Multiplikands; die übrigen Ziffern schreibt 2 4651 man jo, daß der ganze Multiplikator 2317 umgekehrt unter den Multiplikand zu ste- 4 76 hon kommt. Nun multiplizirt man mit 2, 767-173" indem man sagt: 2mal 7 ist 14, bleibt I zur Korrektur; 2mal 6 sind 12, und 1 (Korrektur) sind 13 ; man schreibt 3 an, I wird, indem man auf die gewöhnliche Art weiter multiplizirt, zu dem folgenden Produkte gezählt. Hierauf multi- plizirt man mit I, und zwar: imal 6 sind 6, bleibt l zur Korrek¬ tur (weil 6 naher an I Zehner als an 0 Zehner liegt); imal 5 sind 5 und I (Korrektur) sind 6; man schreibt 6 gerade unter die 79 niedrigste Ziffer des ersten abgekürzten ThcilprodukteS, und multi. plizirt dann mit l wie gewöhnlich die weiteren Stellen des Multi- plikands. Auf dieselbe Art multiplizirt man hierauf mit 7, 8 und endlich mit 5. Diese Theilprodukte werden, wie sie stehen, addirt, und in der Summe schneidet man 3 Dezimalen ab. 2) Man multiplizire 123-45 mit 0-00678 so, daß im Produkte 4 Dezimalen erscheinen. I23-4Sog X 0-00678 oder 0-00678o X 123'45 87 6000 5432k 3 0-8369 Hier kommen die Einheiten des Multiplikators unter die vierte Dezimalstelle des Multiplikands; die fehlenden Dezimalen rechts im Multiplikand werden mit Nullen erst t. Eben so findet man: Aufgaben. §. 58. 1) Ein Ztr. einer Waare kostet 35 786 st.: was kosten i99Ztr.? — 7121'414 st. 2) Ein Kapital gibt in einem Jahre 128-314 st. Zills; wie viel in 2.34 Jahren? — Da das Resultat Gulden bedeutet, so reicht es hin, dasselbe auf 3 Dezimalen zu berechnen; man bekommt mittelst der abgekürzten Multiplikazion 300-488 st. 3) Eine kölnische Mark feines Silber gilt 20-35 st.; wie hoch kommen 4-612 Mark zu stehen? — Auf 93'854 st. 80 4) Wie groß ist der Umfang eines Kreises, dessen Durchmesser 8 315 Fuß betragt? — 26 217 Fuß. Um aus dem Durchmesser eines Kreises den Umfang zu berechnen, multiplizirt man den Durchmesser mit 3.1416. 5) Ein Wiener Fuß enthalt 0 316162 Meter; wie viel Meter machen 3-16353 Wiener Fuß? — I Meter. 6) Wenn 1 Ztr. 81-238 fl. kostet, was kosten 8, 34, 100, 7-23, 13-856, 57-075 Zentner? 7) Ein Wiener Eimer hat 1-702 Kubikfuß; wie viel Kubiksuß machen 58, 3-81, 17 098, 28-525 Eimer? 8) Ein nieder-österreichischer Metzen enthält I-947I Kubikfuß; wie viel Kubikfuß enthalten 18 8, 5-75, 13-136, 47-5035 Metzen? 9) Ein Kilogramm hat 2 785675 Wiener Pfund; wie viel Wie¬ ner Pfund haben 100, 8-356,37 093 , 188 24, 3088 285 Kilogramm ? 10) Wie viel Quadratfuß enthält ein Rechteck, welches 27-34 Klafter lang, und 13 156 Klafter breit ist? 11) Non zwei Gärten ist der eine 35-3 Klafter lang und 19-35 Klafter breit, der- andere 31-25 Klafter lang und 18 75 Klaf¬ ter breit; um wie viel Quadratk'aster ist der erste Garten größer als der zweite? 12) Wie hoch kommt das Pflaster eines Hofes, der ein 13-278 Klafter langes und 7 536 Klafter breites Rechteck vorstellt, wenn die Quadratklaftcr zu 1-535 fl. gerechnet wird? 13) Ein Gefäß ist 4-23 Fuß lang, 2-125 Fuß breit und 105 Fuß tief; wie viel Kubikfuß beträgt der Inhalt? 14) Der Durchmesser eines Kreises beträgt 2-348', jener eines zweiten Kreises aber nur I 835Z wie groß ist der Unterschied ihrer Umfänge? 15) Quecksilber ist 13-598, Blei 11-33, Zinn 7-291, Kupfer 8-788, Gußeisen 7'207inal so schwer als eine Wassermenge von gleichem Volum; wenn nun ein Kubikfuß Wasser 56-6 Pfund wiegt, wie viel wiegen 2-35 Kubikfuß von jedem der genannten Metalle? S. Dai Diwdiren. §. SS. Beim. Dividiren der Dezimalbruche hat man mehrere Fälle zu unterscheiden. I. Einen Dezimalbruch durch 10, 100, 1000, ... zu dividiren. Sell ein Dezimalbruch, z.B. 734-6, durch 10 dividirt wer¬ den, so muß man von dem Wcrthe jeder einzelnen Ziffer den loten Lheil nehmen; die 7 Hunderte gehen dadurch in 7 Zehner über, 81 die 3 Zehner in 3 Einheiten, die 4 Einheiten in 4 Zehntel, und die 6 Zehntel in 6 Hundertel; dieses alles wird bewirkt, wenn man den Dezimalpunkt um eine Stelle weiter gegen die Linke rückt; es ist somit 734 6 : 10 -- 73'46. Um einen Dezimalbruch durch 100 zu dividiren, muß man jeder Ziffer eine loomal kleinere Bedeutung geben, als sie früher hatte; dieses geschieht, indem man den Dezimalpunkt an zwei Stellen gegen die Linke rückt. Allgemein: Ein Dezimalbruch wird durch io, iOO, 1000, dividirt, wenn man den Dezimalpunkt um l, 2, 3, ... Stel¬ len gegen die Linke rückt. — Hat der Dezimalbruch nicht so viele ganze Stellen, als zur Ortoveränderung des Punktes nöthig sind, so ergänze man die fehlenden links mit Nullen. Z.B.: 1> 578 35 : 10 — 57.835 2) 123 47 : 100 — 1-2347 3) 723'1 : 1000 ----- 0-7231 4) 15'34 : 10000 — 0.001534 5) 135-78 : 100 --? 6) 0'78:1000 ---? Die hier für Dezimalbrüche abgeleitete Regel findet auch auf ganze Zahlen ihre Anwendung; es wird nämlich eine ganze Zahl durch 10, 100, 1000, . . . dividirt, wenn man ihr rechts l, 2, 3, ... Ziffern als Dezimalen abschneidet. Z. B. 1) 3586 : 10 : 358 6 2) 794 : 10000 — 0.07S4 3) 3924:100 —? 4) 178:1000 —? 2. Einen Dezimalbruch durch irgend eine ganze Zahl zu dividiren. Es sei z. B. 853.74 durch 3 zu dividiren. 8 Hunderte durch 3 dividirt geben 2 Hunderte, und es bleiben noch 2 Hunderte; diese geben 20 Zehner, und 5 Zehner sind 25 Zehner, welchedurch 3 dividirt 8 Zehner zum Quozienten und l Zehner zum Reste ge¬ ben; i Zehner macht 10 Einheiten, und 3 sind 13 Einheiten, diese durch 3 dividirt geben 4 Einheiten, und es bleibt noch I Einheit; i Einheit hat io Zehntel, und 7 Zehntel sind 17 Zehntel, welche durch S dividirt 5 Zehntel als Quozient, und 2 Zehntel als Rest geben; 2 Zehntel sind 20 Hundertel, und 4 Hundertel sind 24 Hundertel, welche durch 3 getheilt 8 Hundertel geben. Die Rech¬ nung steht: 853.74 : 3 284-58 Man sieht, daß jede Ziffer des Quozienten denselben Werth hat, als die dividirte Stelle im Dividend; man braucht daher nur den Dividend wie eine ganze Zahl zu dividiren, und in dem Quo.- zienten den Dezimalpunkt zu seßen, nachdem man die Stelle der Einheiten dividirt hat. Ein D e z i m a lbruch wird daher durch eine ganze Zahl dividirt, wenn man ihn wie eine ganze Zahl dividirt, und Mönik, Arithmetik, 4. Auff. 0 8S im Quozienten den Dezimalpunkt setzt, bevor man die erste Dezi¬ malstelle des DividendS in Rechnung zieht. — Bleibt am Ende ein Rest, so kann man demselben eine Null anhängen und die Division auf dieselbe Weise weiter fortsetzen. Beispiele. 4) 927'744 : 96-----9.664 5) 9.78476: S8 -----0'168703 . . . 6) 87'1904:50-----? 7) 31 5.93 :64 —? 8) 7 8375 : 125 — ? 9) 510-246 : 317—? 10) 17-35638 : 3578 ----? 11) 3-141569 : 80578 — ? 12) 2574 31585 : 9373 -----? 3) Einen Dezimalbruch durch einen Dezimal¬ bruch zu divi dir en. Ist z. B. 5 696 durch 3 2 zu dividiren, so kann man Divisor und Dividend mit 10 multipliziren, da der lofache Divisor in dem lOsachen Dividend gewiß eben so ost enthalten ist, als der einfache Divisor in dem einfachen Dividende; im Divisor fallt nach dieser Multiplikazion der Dezimalpunkt weg, im Dividende aber er; scheint er um eine Stelle weiter gegen die Rechte; sodann hat man einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl zu dividiren. ES ist also: 5'696 : 3'2 — 56'96 : 32 ----- 1.78 24 9 2 56 00 Wenn daher e I n D e z i m a lbruch durch e l n e n D e- zi malbruch dividirt werden soll, so multiplizirt man zuerst Dividend und Divisor mit io, 100, 1000, ..., je nachdem der Divisor l, 2, 3, . . . Dezimalstellen enthält; dadurch ver¬ wandelt sich der Divisor in eine ganze Zahl, im Dividende aber erscheint der Dezimalbruch um so viele Stellen weiter gegen die Rechte, als im Divisor Dezimalen waren. Dann wird der Divi¬ dend durch die ganzeZahl, als welche der Divisor erscheint, dividirt. 83 Dasselbe Verfahren ist auch anzuwenden, wenn eine ganze Zahl durch einen Dezimalbruch dividirt werden soll. Beispiele. 1) 258 2637 : 7 95 - 25826 37 : 795 — 32.486 1976 386 3 68 37 3 770 0 2) 28-2 : 0 002 ----- 28200 - 2 — I4I00 3) 5 6784 : 9 78 ----- 0 58061 . . . 4) 2-7241 ; 0-1234 — 22 07537 . . . 5) 0 04178 : 8 079 ------ 0 00517 . . . 6) 365-12 : 13-57863 ------ 26 88923 . . . 7) 18-93 : 5-87 ---? 8) 39 07 : 45 5 ---- ? 9) 328 : 2 156 -----? 10) 5.83 : 0.078 ----? I I) 312-4791 : 38 472 - - 12) 918 5093 : 19 79352 ? 13) 5-241572 : 0 82935 ? §. 60. Ein anderes allgemeines Verfahren für d.'e Division der De¬ zimalbrüche beruhet auf folgenden Betrachtungen. Die Ziffernreihe des Quozienten hängt blos von der Ziffernrcihe desDividends und jener des Divisors ab; man bekommt daher die auf einander fol¬ genden Ziffern des Quozienten, wenn man im Dividend und im Divisor die Dezimalpunkte ganz unberücksichtigt laßt, und die Division wie bei ganzen Zahlen verrichtet. Der Stellenwerts) der Ziffern ist sodann vollkommen bestimmt, wenn man den Werth der ersten, d. i. der höchsten Ziffer kennt, da der Stellenwerth feder- folgenden Ziffer um das Zehnfache abnimmt. Bei der Division ganzer Zahlen hat bekanntlich die erste Ziffer des Quozienten den¬ selben Stellenwerth, wie die niedrigste Ziffer im ersten Theildivi- dend, oder was einerlei ist, wie diejenige Ziffer, von welcher das Produkt aus der ersten Ziffer des Quozienten mit den Einheiten des Divisors abgezogen wird; kommen nun im Divisor nebst den Ganzen auch Dezimalen vor, so ändert dieses den Stellenwerth der ersten Ziffer im Quozienten nicht; es wird also auch da die erste Ziffer des Quozienten Einheiten derselben Ordnung bedeuten, wie die Ziffer des Dividends, von welcher das Produkt aus der ersten Ziffer des Quozienten mit den Einheiten des Divisors abge¬ zogen werden muß. Hat der Divisor keine Ganzen, somit an der Stelle der Einheiten eine Null, so hat die erste Ziffer im Quozien« K * 84 ten gleichen Stellenwerth mit der Ziffer des Dividends, wo das Produkt aus jener Ziffer des Quozienten mit den Einheiten des Divisors abzuziehen wäre, wenn sich an dieser Stelle eine bedeut- liche Ziffer befände. Es ergibt sich also für das D i v i d ir e n der D e z i m a l- brüche folgendes allgemeine Verfahren: t. Man bestimme die erste Ziffer des Quozienten, ohne auf die Dezimalpunkte Rücksicht zu nehmen. 2. Man multiplizire mit dieser Ziffer des Quozienten den Divisor, ziehe das Produkt von dem ersten Lheildividende ab und sehe, von welcher Stelle des Dividends das Produkt der Einheiten des Divisors mit jenerZiffer desQuozienten subtrahirt wird; oder wenn der Divisor keine Einheiten hat, von welcher Stelle jenes Produkt subtrahirt werden müßte, wenn die Einheiten vorhanden wären. Die erste Ziffer des Quozienten bedeutet nun Einheiten derselben Ordnung wie die Ziffer des Dividends, von welcher das genannte Produkt zu subtrahiren ist. Ist diese Stelle eine Dezi¬ malstelle, so deutet man dieses durch Vorsetzung der erforderlichen Nullen mit dem Dezimalpunkte an; ist sie eine ganze Stelle, so punktirt man alle noch folgenden ganzen Stellen, und setzt dann den Dezimalpunkt. 3. Die weitere Division wird wie bei ganzen Zahlen verrichtet. Beispiele. 1) 9141 2321 : 32 9 ----- 277.849 2561 Da hier das Produkt aus der ersten Ziffer 258 2 2 des Quozienten mit den Einheiten 2 des Di- 27 93 visors von derZiffer 1 deS Dividends, welche 1612 Hunderte bedeutet, subtrahirt wird, so bedeutet 2961 auch 2 im Quozienten Hunderte, und es müssen 0 noch zwei ganze Stellen, nämlich Zehner und Einheiten folgen, deren Stellen man vor der wirklichen Bestim¬ mung der dahin kommenden Ziffern punktirt; die Rechnung steht daher im Anfänge: 9141 2321 : 32 9 — 2 . . . 256 Hierauf wird, ohne weiter auf die Dezimalpunkte Rücksicht zu nehmen, die Division wie bei ganzen Zahlen fortgesetzt. 2) 3 4156 : 82 7 — 0 0413 . . . 1076 Hier wird das Produkt aus der ersten Ziffer 4 2490 deS Quozienten mit den Einheiten 2 deöMulti- S plikatorö von derZiffer l desDividends, welche Hundertel bedeutet, subtrahirt; daher kommt 4 an die Stelle der Hundertel. 85 3) 2-5882 : 0 123 --- 21042 . . . 128 Das Produkt aus der ersten Ziffer 2 mit 520 den Zehnteln des Divisors wird von den Ein- 280 heiten des Dividends subtrahirt; wenn daher 34 der Divisor auch Einheiten enthielte, so müßte das Produkt derselben mit 2 von den Zehnern des Dividends ab¬ gezogen werden; darum bedeutet die erste Ziffer 2 im Quozienten Zehner. 4) 19-78 : 3-415 — 5 79209 . . 5) 741-85 : 18'34 — 40-44983 . . 6) 7 42176 : 13'156 — 0'56413 . . 7) 9 1342 : 208 3 — 0 04384 . . 8) 12'345 : 0 0047 9) 83 087 : 5'37 —? 10) 0'8376 : 0 421 11) 0'3126 : 0-0434 — ? §. 61. Wenn man im Quozienten nur einige Dezimalen erhalten will, so bediene man sich der abgekürzten Division. Dabei verfährt man nach folgenden Regeln : 1. Man suche die erste Ziffer im Quozienten, und bestimme ihren Stellenwerth. Da der Quozient eine bestimmte Anzahl De¬ zimalen enthalten soll, so ist aus dem Stellenwerthe der ersten Zif¬ fer auch bekannt, wie viel Ziffern der abgekürzte Quozient ha¬ ben soll. 2. Man schneide im Divisor, von der Linken angefangen, so viele Ziffern ab, als ihrer der gesuchte Quozient enthalten soll; diese bilden den abgekürzten Divisor. Hat der Divisor nicht so viele Ziffern, als ihrer abgeschnitten werden sollen, so tritt die abge¬ kürzte Division erst später im Verlaufe der Rechnung ein. 3. Man behalte auch im Dividende nur so viele Ziffern von der höchsten angefangen, als ihrer der Quozient haben soll, oder um eine mehr, wenn der erste Theildividend um eine Stelle mehr hat, als der Divisor; jene beibehaltenen Ziffern sind der abgekürzte Theildividend. 4. Man dividirt nach den gewöhnlichen Divisionsregeln so lange fort, bis die letzte Ziffer des abgekürzten Dividends herab¬ gesetzt wurde; hierauf schneidet man bei jeder folgenden Division die niederste noch vorhandene Ziffer des Divisors ab; die jedeSmal gefundene Ziffer des Quozienten wird dann zuerst mit der höch- -sten im Divisor weggelassenen Ziffer multiplizirt, und die ans die¬ sem Produkte erhaltene Korrektur zu dem ersten eigentlichen Pro¬ dukte addirt. 5. Dieses Verfahren wird fortgesetzt, bis sich im Divisor keine Ziffer mehr vorfindet. Beispiele. 1) Man bestimme den Quozienten 83 423 : 31-586 in 4 Dezi¬ malen. 83-423 : 3.I-.S.8.6 — 2 64II 20 251 Die erste Ziffer 2 des Quozienten bedeutet Ein- i 299 heiten; daher wird der Quozient im Ganzen L Zist- 36 fern enthalten; es werden daher der Dividend und 4 der Divisor, so wie sie gegeben sind, auch schon als abgekürzt zu betrachten sein. Nachdem das Produkt des Divisors mit 2 von dem Dividende subtrahirt wurde, schneidet man, anstatt dem Reste 20251 eine Null anzuhangen, im Divisor die letzte Zif¬ fer 6 weg, und dividirt 20251 durch 3158; sodann multiplizirt man: 6mal6sind36, bleiben 4 zur Korrektur; 6mal 8 sind 48, und 4 (Korrektur) sind 52, und (9) sind 61 u. s. f. 2) Man suche den Quozienten 3 79357 : 13 8594 in 3 De¬ zimalen. 3-79 357 : 13,-.8.594 — 0 274 l 02 Da hier die erste Ziffer 2 des Quozienten Zehntel 5 bedeutet, so müssen im Ganzen 3 Ziffern entwickelt werden; man behält daher im Dididend und im.Divisor die drei höchsten Stellen bei, und dividirt dann abgekürzt. 3) 12345-6352 : 7 89 soll in drei Dezimalstellen entwickelt werden, >2345-635.2 : 7 .8.9 ---- 1564 719 4455 Die erste Ziffer l im Quozienten bedeutet Tau- 510 6 sende; der Quozient enthält also vier ganze Stel- 87 23 len, so daß man mit diesen 7 Ziffern zu entwickeln 5 675 hat; der abgekürzte Divisor soll daher 7, undder 152 abgekürzte Dividend 8 Stellen haben; da aber 73 der Divisor nur dreizifferig ist, so tritt die abge¬ kürzte Division erst dann ein, nachdem die letzte Ziffer 5 des ab¬ gekürzten Dividendö in Rechnung gezogen wurde. Man besiimme noch: 9) 12-903 : 5-284 IN 3 Dezimalen 10) 3-79 : 48 75 ,, 4 „ 11) 546 08 : 4'312 „ 2 „ Aufgaben. §. 62. I) Ein Kapital gibt in 4 Monaten 57-384 st. Interesse; wie viel in i Monate? — 14-346 st. 87 2) Wenn 1 Ztr. 17-75 fl. kostet; wie viel Ztr. kann man um 348 25 fl. kaufen? — 19 62 Ztr. 3) Wenn 7-248 Mark feines Silber mit 145'6 fl. bezahlt wer¬ den, wie hoch wurde die Mark seineß Silber gerechnet? — Zu 20-088 fl' 4) Eine Linie wurde 4mal gemessen; ihre Länge betrug bei der ersten Messung 68-358, bei der zweiten 68-742, bei der drit¬ ten 68'127, beider vierten 68-479 Klafter; wie groß darf die Länge mit Rücksicht auf alle vier Messungen angenommen werden? -- Alle vier Messungen geben zusammen 273-706 Klafter, was die 4fache Länge der gemessenen Linie vorstellt; die mittlere Länge ist also der vierte Lheil von jener Summe, somit 684-265 Klafter. 5) Wie hoch kommen 37-347 Ztr , wenn man 18 345 Ztr. mit 718-356 fl. bezahlt? — I Ztr. kostet 718 356 .- 18'345 — --- 39-158 fl., 37-347 Ztr. werden also 39-158 x 37-347 --- -- 1462-433 fl. kosten. 6) Der Umfang des AequatorS ist 5400 geographische Meilen; wie groß ist der Durchmesser? (Mau dividire den Umfang durch 3'1416). 7) Ein Eimer enthalt 1-792 Kubikfuß; wie viel Eimer komme auf 23-25 Kubikfuß? 8) Das Licht legt den Weg von der Sonne zur Erde, also 21000000 Meilen, in 493-22 Sekunden zurück; wie viele Meilen in einer Sekunde? 9) Wie viel Metzen faßt ein Getreidekasten, welcher 11 28 Fuß lang, 4-55 Fuß breit und 4 82 Fuß tief ist, den Meßen zu l 9471 Kubikfuß gerechnet? 10) Wenn 5-925 Ztr. einer Waare mit 1 53-75 bezahlt werden, wie hoch kommen 13 136 Ztr. ? I I> Ein Rad hat 4-45' im Durchmesser; wie groß ist der Um¬ fang desselben, und wie viele Umläufe wird eS machen müs¬ sen, um eine Meile zurückzulegen? 12) Ein runder Tisch hat für 12 Personen Platz; wie groß ist sein Durchmesser, menn auf eine Person 2-29 des Umfanges gerechnet werden? 6. 'Anwandlung eines gkMkMkN Bruches in einen Dezimalbnich, und umgekehrt. Z. 63. Jeder gemeine Bruch kann in einen Dezimalbruch verwandelt werden. Man kann nämlich den Zähler eines jeden Bruches als Di¬ vidend und den Nenner desselben als Divisor betrachten, mithin auch die Division des Zählers durch den Nenner in Dezimalen 88 wirklich verrichten, indem man dem jedesmaligen Neste eine Null anhängt. Ein gemeiner Bruch wird demnach in einen De- zi malbruch verwandelt, wenn man den Zähler durch den Nenner dividirt, so lange es angeht. Hat man zu dem Reste keine Ziffer des Dividends mehr hinzuzufügen, so bringe man im Quo- zienten den Dezimalpunkt an, und hänge diesem, so wie jedem fol¬ genden Reste eine Null an, und fahre so im Dividiren fort. Geht die Division zuletzt ohneRest auf, so ist der als Quozicnt erhaltene Dezimalbruch dem gegebenen gemeinen vollkommen gleich, sonst nur angenähert, und zwar um so genauer, je mehrere Dezimalen man entwickelt. Z. B. I) 2^--- 225 : 16 --- 14-0625 2) ßß —23 : 78 -- 02948 ... 65 230 400 740 40 380 80 680 0 56 Im zweiten Beispiele geht die Division nicht ohne Rest auf, daher ist der gemeine Bruch ßß durch den Dezimalbruch 0-2948 nicht genau, sondern nur näherungsweise ausgedrückt. 3) Man verwandle noch folgende gemeine Brüche in Dczimal- bruske- 1 s s m ssi 7 ss oiss 7» 17 «s s» , < - 2 ' 4' 8' IS- S2- 128' S' 2S - 12L - «28 ' 20' 801 24- sl 117 28 II» 71S II 1 SS 1 so- 241- 1728' Wenn man in einem Dezimalbruche mehr Dezimalen hat, als ihrer der Gegenstand der Rechnung erfordert, so läßt man die über¬ flüssigen Dezimalen weg, vergrößert aber die letzte beibehaltene Zif¬ fer um 1, wenn dis nächste darauf folgende Ziffer, die man schon wegläßt, 5 oder größer als 5 ist, d. h. man korrigirt die letzte beibehaltene Dezimale. Wollte man z. B. in dem Dezimalbruche 0-2948 nur drei Dezimalen beibehalten, so würdeman dafür 0 295 . setzen, weil die erste vernachläßigte Dezimale 8 größer als 5 ist. Wenn sich bei der Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimalbruch immerfort dieselbe Ziffer oder dieselbe Ziffern¬ reihe wiederholt, so heißt der Dezimalbruch ein periodischer. Die Ziffern, welche sich wiederholen, heißen die Periode. Z. B.: 29'41666...; MZ--- 0 2414141 ...; N ---- 0'351351... Im ersten Beispiele besteht die Periode aus einer Ziffer, näm¬ lich 6; im zweiten ans zwei Ziffern, nämlich 41; im dritten aus drei Ziffern, nämlich 351. Man pflegt die Periode nur einmal anzuschreiben, jedoch die erste und die letzte Ziffer derselben mit darüber gesetzten Punkten zu bezeichnen. Es ist demnach: 29-416; ZN -- 0 241 ; N y.zgj 89 8. 64. Bei der Verwandlung von Dezimalbrüchen in gemeine hat man verschiedene Fälle zu unterscheiden. 1. Wenn der Dezimalbruch ein endlicher ist, also ohne Pe¬ riode, so braucht man ihn nur mit Angabe seines Nenners auszu- sprcchen, und den so ausgesprochenen Dezimalbruch in Form eines gemeinen Bruches anzuschreiben. Z. B. der Dezimalbruch 0.48 wird ausgesprochen: 48 Hundertel; wird dieses angeschrieben, so hat man 0-48 — d Ein e n d l i ch e r D e z i m a l b ruch wird daher in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die Dezimalen desselben zum Zähler, zum Nenner aber l mit so vielen Nullen annimmt, als Dezimalen vorhanden sind; dann wird der Bruch, wenn es möglich ist, abgekürzt. Z. B.: _ 25 _ 1 y'"» _ 875 _ 175 _ 35 _ 7 zoo 4- S /«1 1000 200 - 40 - 8' 3) 3 S-^3/ö —3s 4) 18'75---- I8^----18ß. 5) Es sollen noch die Dezimalbrüche 0-4, 0-025, 0-336, 6 48, 37 15, 10-064, 58 0256, 233 125 in gemeine Brüche ver¬ wandelt werden. 2. Es sei ein periodischer Dezimalbruch, worin der Periode keine Dezimale vorangeht, z. B. 0-408, in einen gemeinen Bruch zu verwandeln. Multiplizirt man diesen ohne Ende fortlaufen¬ den Dezimalbruch 0.408408408 . . . mit 1000, so erhält man 408 408408...; zieht man nun von dem lOOOfachen Bruche den einfachen Bruch ab, so fallen im Reste die Dezimalen weg,- man hat nämlich: lOOOfacher Bruch ---- 408-408408 . . -j h Ifacher Bruch ----- 0-408408 . . .gezogen 999facher Bruch — 408, daher der einfache Bruch — es ist also 0-408 — ßM. Man sieht hier, daß der Zähler des gemeinen Bruches die Periode, der Nenner aber so viele Neuner enthält, als in der Periode Ziffern vorkommen. Dieselbe Entwikelungsart findet Statt, wenn für irgend einen periodischen Dezimalbruch, in welchem die Periode gleich mit der ersten Dezimale beginnt, der ihm entspre¬ chende gemeine Bruch ausgestellt werden soll. Es gilt demnach die Regel: Ein periodischer Dezimalbruch, worin der Pe¬ riode keine Dezimale vorausgeht, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die Periode zum Zähler, und zum Nenner so viele Neuner annimmt, als die Pe¬ riode Ziffern enthält. Z. B: i) 0-3 --- Z ---- z. 2) 0w3 --- M 3) 7-6 --- 7ß ----- 7Z. 4) 38-2418 --- 38Mß ---- 90 5) Es sollen noch die periodischen Dezimalbrüche 0 72, 8-93 0-503, 17 153, 3-423, 0'538461 durch gemeine Brüche ausge^ drückt werden. 3. Ist ein periodischer Dezimalbruch, worin der Periode noch andeie Dezimalen vorangehen, z. B. 0-82345, in einen gemeinen Bruch zu verwandeln, so multiplizire man den ohne Ende fortlau¬ senden Bruch 0-82345345345 . . . zuerst mit 100000, und dann mit 100; ziehtman nunden l OOfachen Bruch von dem lOOOOOfa- chen Bruche ab, so fallen im Reste, welcher den 99900fachen Bruch enthält, alle Dezimalen weg; man hat nämlich: lOOOOOfacher Bruch -- 82345-345345 . . .! b lOOfacher Bruch --- 82-345345 . . 4 gezogen V9900facher Bruch --- 82263, und ifacher Bruch --- ZWZ; es ist also 0-82345 --- Der Zähler dieses gemeinen Bruches wurde erhalten, indem man von 82345 die Zahl 82 subtrahirte; indem man also die der Periode vorangehenden Dezimalen 82 sammt der Periode 345 auf- stellte, und von dieser Zahl 82345 die der Periode vorangehenden Dezimalen 82 abzog. Den Nenner bilden so viele Neuner, als die Periode Ziffern enthält, mit so vielen Nullen rechts, als Dezi¬ malen der Periode vorangehen. Daraus folgt: Ein periodischer Dezimalbruch, worin der Pe¬ riode noch andere Dezimalen vor an geh en, wird in einen gemeinen Bruch verwandelt, wenn man die der Periode vorangehenden Dezimalen sammt der Periode zusammen¬ stellt, von dieser Zahl die der Periode vorangehenden Dezimalen abzieht, und den Rest zum Zähler eines Bruches annimmt, dessen Nenner so viele Neuner sind, als die Periode Ziffern hat, mit so vielen Nullen rechts, als Dezimalen der Periode vorausgehen. Z. B.: — ^ 23713—23 __ 45^-00 45«»«» 4) — 4L> 09900 — ^''ssso' 5) Man drücke noch die periodischen Dezimalbrüche 0-83, 0 083, 4-IÜ6, 0'1296 , 5.3126, 3-73517 durch gemeine Brüche aus. Dritter Abschnitt. Das Rechnen mit mehrnamigen Zahlen. §. 65. ^6ie bei unbenannten Zahlen, wird auch bei benannten das Zahlen und Auffaffen dadurch erleichtert, daß man mehrere niedri¬ gere Einheiten als eine höhere Einheit derselben Art betrachiet, welche sodann eine besondere Benennung erhält. Die Zahl, welche anzeigt, wie viele Einheiten der niedrigeren Benennung auf eine Einheit dec höheren Benennung gehen, heißt der Verwandler zwischen jenen Benennungen. So ist z. B. zwischen Gulden und Kreuzern 60 der Verwandler, weil 60 Kreu¬ zer einen Gulden ausmachen. Die zwischen den verschiedenen Benennungen einer Art ver¬ kommenden Verwandler sind aus der im vierten Abschnitte enthal¬ tenen Lehre von den Maßen, Gewichten und Münzen zu ersehen. §. 66. Die Regeln, welche beim Rechnen mit mehrnamigen Zahlen zu beobachten sind, beruhen auf denselben Gründen, wie jene beim Rechnen mit unbenannten und zwar mehrzifferigen Zahlen; sie las¬ sen sich daher auch leicht aus riesen ableiten, und man braucht nur das, waS bei mehrzifferigen Zahlen in Hinsicht der Einheiten, Zehner, Hunderte, ... zu beobachten ist, bei den mehrnamigen Zahlen auf die verschiedenen Benennungen, von der niedersten an- gefangen, als: Pfennige, Kreuzer, Gulden; Loth, Pfunde, Zent, ner u. s. w., zu beziehen. Vor Allem ist nothwendig zu wissen, wie die Einheiten irgend einer Benennung unter eine andere Benennung derselben Art ge¬ bracht werden können. t. Das Nesolviren. 8- 67. Die Einheiten einer höheren Benennung in Einheiten einer niedrigeren Benennung verwandeln, heißt jene resolviren oder auflösen. 92 1. Es sei zuerst eine einnamige Zahl in eine niedrigere Be¬ nennung zu resolviren, z. B. 13 Gulden in Kreuzer. Da l fl. 60 kr. hat, so betragen 13 fl. I3mal 60 kr.; man muß daher 60 mit 13, oder, was einerlei ist, 13 mit 60 multipliziren, wodurch man 780 kr. erhält. Hier ist die Anzahl der Gulden, nämlich 13, mit 60, d. i. mit dem Verwandler zwischen Gulden und Kreuzern multiplizirt worden. Eine einnamigeZahl wird daher in eine niedri¬ gere Benennung aufgelöst, wenn man sie mit dem be¬ treffenden Verwandler multiplizirt. Beispiele. 1) Wie viel Pfennige machen 73 Kreuzer? 73 X 4 --- 292 Pf. 2) Wie viel Linien machen 8 Klafter? 8X6 ----48'; 48 X 12 — 576"; 576 X 12 — 6912'". 3) 57 Stunden —? Minuten. 5) 128 fl. — ? Kreuzer. 5) 147 Pfd. — ? Quentchen. 6) 35 Ballen ---? Buch. 2. DieDezimalen einer einnamigen Zahl wer¬ den in Ganze der niedrigeren Benennungen aufge¬ löst, wenn man sie zuerst mit dem Verwandler für die nächst niedrigere Benennung multiplizirt, und von dem Produkte so viele Ziffern als Dezimalen abschneidet, als ihrer früher vorhanden waren; die Ganzen sind Einheiten dieser nächst niedrigeren Benen¬ nung, die Dezimalen werden auf dieselbe Weise in die noch niedri¬ gere Benennung aufgelöst. Beispiele. 1) 758-378 fl. ---- 758 fl. 22 kr. 3 Pf. 22-68 kr. 2-72" Pf. 2) 2-356 Jahre — 2 Jahre 4 Mon. 8 Tage. 4-272 Monate 8-16 Tage 3) 17-832" — 17" 4' II" II"' 4 992' 11-904" 10-848 4) 3-5783 Ztr. ----- 3 Ztr. 57 Pfd. 26 Loth 2 QtchN. Man resolvire noch folgende Zahlen in Ganze der niedrigeren Benennungen: 93 5) 31.378 fl. 6) 38-125 Klafter. 7) 0-3478 Jahr. 8) 79'2185 Zentner. 9) 17-2472 Zentner. 10) 1-3456 fl. Wenn ein Dezimalbruch Gulden bedeutet, und man begnügt sich, bloß die Kreuzer zu finden, welche in den Dezimalen enthal¬ ten sind, so multiplizirt man die Zehntel mit 6, dieses Produkt bedeutet Kreuzer, nur muß man wegen der Korrektur auch die nied- ligeren Dezimalen mit 6 multipliziren, aber von diesen Produk¬ ten nur die letzten Zehner beibehalten. Z. B.: fl. 305'785 — fl. 305„47 kr. Man spricht hier: 6mal 5 sind 30, bleiben 3; 6mal 8 sind 48, und 3 sind 51, bleiben 5; 6mal 7 sind 42, und 5 sind 47; man hat also 47 Kreuzer. 3. EinemehrnamigeZahlwirdin die niedrigste Benennung aufgelöst, wenn man die Einheitender höchsten Benennung mit dem Verwandler für die nächst niedrigere multi¬ plizirt, und zu dem Produkte die bereits vorhandenen Einheiten dieser niedrigeren Benennung addirt, welches meistens sogleich wäh¬ rend des Multiplizirenö geschieht. Dieses Verfahren wird fortge¬ setzt, bis man auf die niedrigste Benennung kommt. Beispiele. I) 5° 3' 4" 7"' 2) fl. 58,, 23„ 3 33' 3512 kr. 400" 14051 Pf. 4807"' 3) 35 Jahre 7 Mon. 15 Tage --- 12825 Tage. 4) 2 Ztr. 35 Pfd. 20 Loth I Qtchn. — 30161 Qtchn. 5) 37° 5' 9" 3'" — ? Linien. 6) 8 fl. 51 kr. 1 Pf. — ? Pfennige. 7) 7 Ztr. 88 Pfv. 13 Loth 2 Qtchn. — ? Quentchen. 8) 3 Jahre 5 Mon. 29 Tage — ? Tage. 2. Das Reduzirm. 8 68. Die Einheiten einer niedrigeren Benennung in Einheiten ei¬ ner höheren Benennung verwandeln, heißt jene reduziren. i. Es sei eine einnamige Zahl auf eine höhere Benennung zu reduziren, z. B. 2400 Loth auf Pfund. Da 1 Pfund 32 Loth enthält, so werden 2400 Loth so viele Pfunde ausmachen, als wie oft 32 in 2400 vorkommt; man muß also 2400, d. i. die Einhei¬ ten der niedrigeren Benennung durch 32, d. i. durch den Verwand¬ ler zwischen Loth und Pfund dividiren; man hat: 94 2400 : 32 --- 75 ; somit sind 2400 Loth ---- 75 Pfund. Eine einnamige Zahl wird daher auf eine hö¬ here Benennung gebracht, wenn man sie durch den betref¬ fenden Verwandler dividirt. Beispiele. 1) Wie viel fl. machen 880 kr.? ! 380 : 60 --- 6?^ fl., oder 6 fl. 20 kr. 2) Wie viel Tage machen 1000000 Sekunden? 1000000 : 60 --- 166666 Minuten, 16666-6 : 60 — 277 7 Stunden, 277 7 : 24 II-574Ö Tage. 3) 2350 Kreuzer --? Gulden. 4) 31248 Loth ---? Zentner. 5) 7312 Zoll Klafter. 6) 10507 PfennigeGuld. 2. Eine e i n n a in i g e Z a h l, i n welcher Ganze von höheren Benennungen enthalten sind, wird auf Ganze dieser höheren Benennungen reduzirt, wenn man sie durch den Ver¬ wandler für die nächst höhere Benennung dividirt; der Quozicnt bedeutet Einheiten der nächst höheren, der Rest aber die übrigge¬ bliebenen Einheiten der niedrigeren Benennung. Der Quozient wird, wenn es angeht, auf die nämliche Art auf die nächst höhere Benennung reduzirt. Beispiele. 1) Man verwandle 3142'" in Klafter, Fuß, Zoll, Linien. 3142 : 12 --- 261" 261 : 12 --- 21' 74 21 22 9" 10'" 21 : 6 — 3° 3' also 3142"' — 3° 3' 9" 10 " 2) Wie viel Pfund, Loth und Quentchen geben 5231 Quentchen? 5231 : 4 ---- 1307 Loth 1307 : 32 — 40 Pfd. 3 Qtchn. 27 Loth folglich 5231 Qtchn. --- 40 Pfd. 27 Loth 3 Qtchn. Man verwandle folgende Zahlen in Ganze der höheren Be¬ nennungen : 3) 1231 Sekunden. 4) 37891 Pfennige. 5) 2934 Druckbogen. 6) 91856 Linien. 95 3. Es soll eine mehrnamige Zahl auf die höchste Benennung reduzier werden, z. D. 5" 3' 5" 9'" auf die Benennung Klafter. Man hat Um daher eine mehr namige Zahl auf die höchste Benennung zu reduziren, verfahrt man am zweckmäßig, sten , wenn man einen aufrechten Strich zieht, rechts die gegebe¬ nen Zahlen, von der niedrigsten Benennung angefangen, unter einander setzt, und jeder Zahl links gegenüber den Verwandler zwi¬ schen dieser und der nächst höhern Benennung hinschrcibt. Sodann dividirt man die erste rechts stehende Zahl durch den links stehenden Verwandler, und hängt den in Dezimalen erhaltenen Quozienten der darunter befindlichen Zahl an. Die so gcfundencZahl wird wie¬ der durch den links gegenüber stehenden Verwandler dividirt, der Quozient an die nächstfolgende Zahl als Dezimalbruch angehängt, und so bis zur höchsten Benennung fortgefahren. Die zuletzterhall tene Zahl ist der gesuchte Dezimalbruch, ausgedrückt in der höchsten Benennung. Beispiele. i) Man reduzire 128 fl. 37 kr. 2 Pf. auf die Benennung Gulden. 4 2 Pf. 60 37 5 kr. 128 625 fl. 2) 7 Ztr. 28Pfd. 24kth. I Quent¬ chen sollen auf die Benennung Zentner gebracht werden. 4 i Qtchn. 32 24'25 Lth. 6- 0625 100 28-7578 Pfd. 7- 287578 Ztr. 3) 7 Jahre 5 Monate 18 Tage — 74 6 Jahre. 4) 37° 2< 4" 8"' — ? Klafter. 5) 3 Tage 17 Minuten 18 Sekunden —? Tage. 6) 37 fl. 44 kr. 3 Pf. ---? Gulven. Um Kreuzer, welche neben Gulden vorkommen, in einen Gul- den.-Dezimalbruch zu verwandeln, braucht man sie nur durch 6 zu dividiren, und den Quozienten nach dem Dezimalpunkte hinzu- schreiben. Z. B. I) fl.512 „ 24 --- 5I24fl. 3) fl. 17 „ IS -- 17-316 fl 5) fl.318 „ 48 — ? Gulden. 2) fl 39 „ 57 --- 39 95 fl 4) fl. 20 „ 4 — 20 06 fl 6) fl. 3 „ 3 Gulden 96 3. Das Addiren. S- 69. Beim Addircn mehrnamigcr Zahlen verfährt man nach fol¬ genden Regeln: 1. Man schreibe die Addenden so unter einander, daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu stehen kommen, und ziehe darunter einen Strich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu addircn an, schreite sodann immer zur nächst höheren Benennung, und schreibe die jedesmalige Summe unter die addirten Zahlen. 3. Ist die erhaltene Summe so groß, daß sie Einheiten der nächst höheren Benennung enthält, so reduzirt man sie auf diese höhere Benennung; die übriggebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle geschrieben, die erhaltenen höheren Einheiten aber zu ihrer Benennung weiter gezählt. Beispiele. fl. l408 „ 48 als Summe derZehner kommt dann l6 her¬ aus, 16 Zehner geben (weil auf einen Gulden 6 Zehner gehen) 2 fl. und 4 Zehner; die 4 Zehner werden unter die Zehner gesetzt, die 2 fl. aber zu den Gulden gezählt. 3) 17 Ztr. 57 Pfd. 3 Loth 3 Qtchn. 152 Ztr. 96 Pfd. 7 Loth 2 Qtchn. 4) 3 Ballen 7 Rieß 18 Buch !7 „ 8 „ 17 „ 15 „ „ 14 „ UMii — Rieß 9 Buch? 97 4. DaS Subtrahiren. §. 70. Das Subtrahiren mehrnamiger Zahlen geschieht nach fol¬ genden Regeln: 1. Man schreibe den Subtrahend so unter den Minuend, daß Zahlen derselben Benennung unter einander zu stehen kommen und ziehe darunter einen Strich. 2. Man fange bei der niedrigsten Benennung zu subtrahiren an, subtrahier nach der Reihe die Einheiten jeder 'Benennung, bis man zur höchsten kommt, und schreibe den Rest jedesmal unter die subtrahirten Zahlen. 3. Ist bei einer Benennung die Zahl des Subtrahends grö¬ ßer als jene deS Minuends, so wird letztere nm so viele Einheiten vermehrt, als ihrer eine nächst höhere Einheit enthält, und daun die Subtrakzion verrichtet. Sodann wird aber, damit der Rest ungcändcrt bleibe, auch der Subtrahend in der nächst höheren Be¬ nennung um i vermehrt. B ei sp iele. 1) Von 58 Ztr. 79 Pfd. 27 Loth 3 Qtchn. sollen 39 „ 36 „ 18 „ 1 „ abgezogen werden. l9 Ztr. 43 Psd. 9 Loth 2 Htchn. 2) Von 5 Jahr subtrahire man 3 „ 7 Mon. 18 Tage. 1 Jahr 4 Mon. 12 Tage. Hier denkt man sich im Minuend 30 Tage, und subtrahirt; dagegen vergrößert man auch den Subtrahend um 30 Tage, oder 1 Monat. Ferner denkt man sich an der Stelle der Monate im Minuend die Zahl 12, wovon die 8 Monate des Subtrahends ab¬ gezogen werden können; dafür aber muß man auch den Subtra¬ hend um 12 Monate oder i Jahr vermehren. 3) Man subtrahire von st. 748 „ 54 „ 2 die Zahl „ 355 „ 57 „ 3 st. 392 „ 56 „ 3 Wenn eine Zahl des Subtrahends kleiner ist als die darüber stehende Zahl des Minuends, so kann die Subtrakzion am be¬ quemsten vollzogen werden, wenn man die Zahl des Subtrahends zuerst von der nächst höheren Einheit abzieht, und zu dem Reste die Zahl des Minuends addirt; der Subtrahend ist sodann in der nächst höheren Benennung nm i zu vergrößern. Z. B. Alonnilr, Arithmetik 1. Aufl. 7 98 Minuend fl. 315 „ 21 „ 1 Mai; spricht: 3 Pf. von Subtrahend „ 201 „ 52 „ 3 , xx. bleibt 1 Pf., „„p ; Pf. Rest .... fst i i 0 „ 28 „ 2 des Minuends dazu, sind 2 Pf.; 53 kc. von 1 fl. bleiben 7 kr. und 21 sind 28 kr. Sodann sind noch 205 fl. von 315 fl. zu subtrahircn. 5. DaS Multipliziren. 8- 71. Beim Multipliziren einer mehrnamigen Zahl mit einer ein-- namigen beobachte man folgende Regeln: 1. Man beginne die Multiplikazion bei der niedrigsten Be¬ nennung, multiplizire nach der Reihe auch die höheren Benennun- gen, und schreibe das jedesmalige Produkt unter die multiplizirte Benennung. 2. Wenn das erhaltene Produkt so groß ist, daß es Einhei« ten der nächst höheren Benennung enthält, so reduzire man es auf diese höhere Benennung; die übrig gebliebenen Einheiten werden an die gehörige Stelle geschrieben, die erhaltenen höheren Einhei¬ ten aber zu dem Produkte dieser letzteren und zwar sogleich während des Multiplizirens weiter gezählt. Beispiele. 1) Man multiplizire 5 Ztr. 23 Pfd. 17 Loth mit 9. 5Ztr. 23Pfd. 17Lth.X9 17X 9 23x9 -s-4 47 „ 11 „ 25 „ lH 32 — 4 Pfd. 2??: 100—2 Ztr. 25 8th. 11 Pfd. 2) 17° 4' 3" 9^X127 "2248°3'8" 3<" 3) 3 Tage 15 Stunden 17 Minuten X 20 ?2 17 40 4) fl. 739 „ 58 x 8 Hjxr multiplizirt man zuerst die fl. 5919 „ 44 Kreuzer: 8mal 8 sind 64 kr., 4 kr. werden ungeschrieben, 6 Zehner weiter gezählt; 8mal 5 sind 40, und 6 sind 46 Zehner, diese geben 7 fl. und 4 Zehner; die 4 Zehner schreibt man an, die 7 fl. aber zählt man zu dem Produkte der Gulden. Ein zweites Verfahren, eine mehrnamige Zahl mit einer ein- namigen Zahl zu multipliziren, besteht darin, daß man die mehr- namige Zahl in die niedrigste oder höchste Benennung verwandelt, und dann multiplizirt. Es sei z. B. 18° 2< 5" mit 23 zu multipliziren. 18° 2^ 5" --- 1325" oder 18° 2< 5" — 18 4026° 1325 X 23 18 40267 X 23 2650 36 80534 S0475" ----- 423° 1^ 7" 423 20144° ----- 423° 7". 99 6. Das Dividiren. §. 72. Wenn eine mehr namige Zahl durch eine un be¬ nannte zu dividiren ist, wo also dis Division als THeilung angewendet wird, beobachtet man Folgendes: i Man fängt bei der höchsten Benennung zu dividiren an, dividirt nach und nach alle niedrigeren Benennungen, und gibt dem jedesmaligen Quozienten denjenigen Namen, welchen die dividirte Zahl hat. 2. Bleibt bei der Division einer Benennung ein Rest, so verwandle man ihn in die nächst niedrigere Benennung, und addire die im Dividend bereits vorhandenen Einheiten dieser Benennung dazu; dann wird weiter dividirt. Beispiele. l) Man dividire 238 Ztr. 58 Pfd. 13 Lth. durch 16. 238 Ztr. 38 Psd. 13 Lth. : 16----14 Ztr. 91 Pfd. 4 Lth. 4^ QLchn. und die bereits vorhandenen 2 dazu, sind20Zehner; 6 in 20 geht 3mal, bleiben 2; 6 in 24 4mal. Ein anderes Verfahren, eine mehrnamige Zahl durch eine unbenannte Zahl zu dividiren, besteht darin, daß man die mehr¬ namige Zahl auf die niedrigste oder höchste Benennung bringt, und dann dividirt. Ist z. B. 2144° 2' 4" durch 29 zu dividiren, so hat man: 21440 2'4// ---- 154396" oder 21440 2- 4" — 2144-38° 154396 : 29 ---- 5324" 2144'3889 : 29 --- 73'9444° 5324" ---- 73° 5' 8" 73'94° ---- 73° 5' 8" 8- 73. ffm eine mehrnamige Zahl durch eineandere benannte Zahl zu dividiren, bringe man zuerst beide Zahlen auf gleiche Benennung, und verrichte sodann die Division. E Beispiele. 1) Wie ost sind fl. 16 „ 2 „ l in fl 946 „ 12 „ 3 enthalten? fl.946 „ 12 „ 3 227091 Pf. 227091 : 3849 59 fl. 16 „ 2 „ I -- 3849 Pf. 34641 0 fl. 16 „ 2 „ I sind also in fl.946 „ 12 „ 3 59mal enthalten. 2) Man dividire 214" 3' 5" durch 4" 2' 9". 214" !U 5" — 15449" 15449 : 321 48 1277 . . . 40 9" — 321" Aufgaben über daß Rechnen mit mehrnamigen Zahlen. §. 74. 1) Für die Ausbesserung eines Hauses sind folgende Ausgaben zu machen: für Maurerarbeiten fl. 248 „ 24 „ Tischlerarbeiten „ 117 ,, si „ Schlosserarbeiten „ 85 „ 30 „ Hafnerarbeiten „ 27 „ 45 „ das Anslreichen „ 22 „ 50 wie groß ist der Gesammtbetrag? fl. 502 „ 20. 2) Eine Buchdruckerei erhalt von verschiedenen Papiermühlen folgendes Druckpapier: von der Mühle 7 Ballen 8 Rieß 15 Buch, „ /, ft II 5 ,, 7 ,, 9 „ » „ „ 0 13 /, 5 „ 17 „ „ „ „ I) 9 » — „18/, wie viel zusammen? 36 Ballen 2 Rieß 19 Buch. 3) Von fünf Gemeinden zahlt an Grund- und Haussteuer: fl. 2548 „ 38 „ 3 II „ 3425 „ 57 „ ^2 alle fünf " °" " Gemeinden zusammen? LI // 4Lo8 // — „ s L „ 1793 „ 41 „ 3 fl. 12716 „ 8 „ 3 4) Jemand schuldet .... fl.280 „ 20 darauf zahlt er 75 „ 15 wie viel bleibt er noch schuldig? fl. 205 „ 5 5) Der kürzeste Tag in Wien ist 8 Stunden 23 Minuten lang, der längste dauert 15 Stunden 58 Minuten; wie groß ist der Unterschied zwischen dem kürzesten und längsten Tage? — 7 Stunden 25 Minuten- Mi 6) Jemand hat drei Fässer Wem; das erste enthält 17 Eimer 25 Maß, das zweite iS Eimer 28 Maß, das dritte 14 Eimer 18 Maß. Wie viel Wein bleibt noch übrig, wenn er 28 Ei¬ mer 35 Maß verkauft hat? — 18 Eimer 36 Maß. 7) Ein Körper wog in der Lust 2 Pfd. 15 Lth. 3^ Qtchn.; nachdem er in ein Gefäß mit Wasser gesenkt wurde, wog er nur 2 Pfd. 5 Lth. 32 Qtchn.; wie viel verlor der Körper im Wasser von seinem Gewichte? — 9 Lth. 3Z Qtchn. 8) Ein Metzen Gerste wiegt im Durchschnitte 70 Pfd. 14 Loth; wie viel wiegen 27 Metzen? — 19 Ztr. i Pfd. 26 Loth. 9) Zu einer Wasserleitung werden 248 Röhren, jede 3" 3" 4^ lang, verwendet; wie lang ist die ganze Wasserleitung? — 88io 4/ g/,. I«) Wenn I Pfd. Saffran fl. 15 „ 24 kostet, wie hoch kommen 122 Pfd.? — Auf fl. 196 „ 21. 11) Was kosten 2 Ztr. 52 Pfd. 16 Lth. Pfeffer, wenn dsr Zent¬ ner zu fl. 22 » 28 gerechnet wird? —2525 Ztr. zu 22-467 fl. machen 56'73 fl. — ,fl. 56 „ 54. 12) Ein Mondmonat enthält 29 Tage 12 Stunden 44 Minuten 3 Sekunden; wie viel betragen 12 Mondmonate, und um wie viel ist ein Mondjahr kürzer als ein Sonnenjahr, wenn dieses zu 365 Tagen 5 Stunden 48 Minuten 48 Sekunden angenommen wird? — Ein Mondjahr enthält 354 Tage 8 Stunden 48 Minuten 36 Sekunden, und ist daher um 10 Tage 21 Stunden 12 Sekunden kurzer als daö Sonnen¬ uhr. 13) Wenn man das Sonnenjahr, welches 365 Tage 5 Stunden 48 Minuten 50-83 Sekunden beträgt, zu 365 Tagen rech¬ net, und wegen des Vernachlässigten jedes vierte Jahr einen Tag eiuschaltet; wie groß wird der Fehler, den man in 400 Jahren bei dieser Rechnungsweise begeht? — In 4 Jahren betragt das Vcrnachläßigte 4mal 5 St. 48 Min. 50 83 Sek., also 23 St. 15 Min. 23.32 Sek.; wenn man daher das vierte Jahr 1 Tag cinschaltet, so wird dabei 44 Min. 36-68 Sek. zu viel in Rechnung gebracht; dieses wiederholt sich in 400 Jahren lOOmal, so daß in diesem Zeiträume ein Fehler von 3 Tagen 2 St. 21 Min. 8 Sek. begangen wird. Dieß ist der Grund, warum man nach unserer Zeitrechnung in 400 Jahren 3 Schalttage vernachlässigen müsse. 14) 14 Zentner kosten fl. 31 „ 30; wie hoch kommt I Ztr. zu stehen? — Auf fl. 2 „ 15. 15) Man verthcilt fl. 128 „ 24 unter 12 Personen; was be¬ kommt eine Person? — fl. 10 „ 42. 16) I Pfund Indigo kostet fl. 5 „ 26; wie viel Pfund kann man um fl. 92 „ 22 kaufen? — 17 Pfd. 102 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 23 Ztr. einer Waare kommen auf fl. 363 „ 24; was kosten I7i Ztr. von derselben Waare? — fl. 276 ,, 30. Eine silberne Schüssel wiegt 8Z Mark, in jeder Mark sind 13 Lth. feines Silber; wenn nun für dieSchüssel fl. 154 „ 42 bezahlt werden, wie hoch rechnet man 1 Loth, und wie hoch 16 Loth oder 1 Mark seines Silber? — Das Loth feines Silber zu fl. I „ 24 und die Mark zu fl. 22 „ 24. Wie viel hat crim Durchschnittemonatlich ausgegeben? — In 12 Monaten fl. 899 „ 53, daher in l Monate fl. 74 „ 59^. Die Triebräder einer Lokomotivmaschine haben einen Durch¬ messer von 4'; wie viel Umlaufe müssen sie in einer Minute machen, damit in 1 Stunde 4Meilen zurückgclegt werden? — Den Umfang eines Rades findet man, wenn man den Durch¬ messer mit 3 1416 multiplizirt, man erhält 12-5664'; wäh¬ rend eines Umlaufes legt also das Rad 12-5664' zurück. Da¬ mit in i Stunde 4 Meilen — 96000' zurückgelegt werden, müssen die Räder in 1 Minute um 96000 : 60 — 1600' vorwärts kommen. Es ist demnach die Frage: wie oft sind 12 5664' in 1600' enthalten? 1600 : 12-5664 — 127-3, die Räder der Lokomotive müssen daher in einer Minute nahe 127 Umläufe machen. Die Seiten eines Fünfeckes sind: 5" 3' 3", 6" 5', 3" 2' 8'', 70 7", 4" 2' 10"; wie groß ist der Umfang? Der Ort liegt um 14° 5' hoher als L, 8 liegt 12° 3' ho¬ her als 6, und 6 18° 2' hoher als v; um wie viel liegt höher als v? ä liegt 25° 3' höher als 8, 8 17° 2' tiefer als 0, 6 37° 5' höher als v, v 28° 4' 6" tiefer als 8; um wie viel liegt eV höher oder tiefer als 8? Zn der böhmischen Sparkasse betrugen im Verwaltungsjahre 1849 die Einlagen 3744898 fl. 27^ kr., die Rückzahlungen 2978184 fl. 30Z kr.; nm wie viel betrugen die ersteren mehr als die letzteren? Die österreichischen Donaudampfboote hatten im Monate Au¬ gust 1848 eine Einnahme von 1935276 fl. 25 kr., im Sep¬ tember 248035 fl. 53 kr., im Oktober 193544 fl. 36 kr.; im Jahre 1849 in denselben Monaten 1325207 fl. 16 kr., 252266 fl. 10 kr., 519448 fl. 13 kr.; wie groß ist der Un- 103 terschied in den Einnahmen der einzelnen Monate und wie groß während des ganzen Quartals? 26) Wie viele Tage sind zwischen dem 13. März und 8. Dezember, wie viel zwischen dem 5. Jänner und 30. Juni? 27) Jemand wurde den 17. März 1807 geboren und siarb in ei¬ nem Alter von 31 Jahren 7 Monaten 10 Tagen; wann ist er gestorben? Gcburtszeit: >806 Jahre 2 Monate >6 Tage nach Chr. G. 31 „ 7 „ 10,, Sterbezeit: 1837 „ 9 „ 26 „ nach Chr. G. Er starb am 27. Oktober >838. 28) Jemand wurde am 3. Juli >807 geboren; wie alt war er am >s. April >837? 1836 Jahre 3 Monate 14 Tage. 1806 _„ 6 „ 2 „ 29 „ 9 „ 12 „ 29) Herschel, der berühmte Astronom, war 42 Jahre 3 Monate und 8 Tage alt, als er am 13. März 1781 den Planeten Uranus entdeckte; er starb 1822 den 27. August. Wann ist er geboren worden, wie alt ist er geworden? 30) Was kosten 87 Pfd. zu 8 fl. 47 kr? 31) 1 Ztr. kostet 37 fl. 18 kr.; wie hoch kommen loZtr., 2S Ztr., 31 Ztr., 89 Ztr., >33 Ztr.? 32) Wenn 1 Eimer Wein 22 fl. 12 kr. kostet, was werden 8, 19, 35, 64, 235 Eimer kosten? 33) Ein Rechteck ist 4° 3^ 6" lang und 3° 5/ 3" breit; wieviel Quadratzoll beträgt sein Flächeninhalt? 34) Wenn eine Maß Wasser zwei Pfd. 5 Lth. 2 Qtchn. wiegt, wie viel wiegen 7, >5, 33 Maß, wie viel 3 Eimer und >8 Maß? 35) In wie viel Zeit wird eine Röhre einen Eimer Wasser geben, wenn sie in 12 Stunden 12 Minuten 35 Eimer gibt? 36) 38 Ztr. kosten 527 fl. 28 kr.; wie hoch kommt I Ztr., was kosten 4, 9, 27, 57 Zentner? 37) 64 Pfund Reis werden mit 14 fl. 20 kr. bezahlt; wie viel Pfd. bekommt man um 1 fl.? 38) Wenn 38 Eimer 612 fl 15 kr. kosten, wie viel wird man für 23 Eimer desselben Weines bezahlen? 39) Ein Gut gibt in 5 auf einander folgenden Jahren nächste. § henden reinen Ertrag: 40) Ein Wirth kauft 4 Eimer Wein zu 15 fl. 20 kr., 2 Eimer zu 12 fl. 14 kr., und 3 Eimer zu ii fl.; was kostet im Durchschnitte 1 Eimer? 4 Eimer zu fl. 15 „ 20 kosten fl. 61 „ 20 2 „ „ „ 12 „ 14 „ „ 24 ,, 28 3 „ „ v II „ „ „ 33 „ — '9 Eimer kosten also . . . fl. "fliZUss. daher ein Eimer fl. ins ! 2 ' 41) Auf einem Markte werden verkauft: Was ist der Mittclpreis für einen Metzen? 42) Es werden 12 Ztr. Kaffee zu fl. 28 „ 35, 17 Ztr. zu fl.32 „ 20, 8 Ztr. zu fl. 35, und 3 Ztr. zu fl. 36 „ 40 gekauft; was ko¬ stet im Durchschnitte ein Zentner ? Vierter Abschnitt. Lehre von den einfachen Verhältnisse» u«d Propsrzionen I. Verhältnisse. §- 75. Die Vergleichung zwei gleichartiger Größen, um zu sehen, wie oft die eine in der anderen enthalten ist, wird ein Verhält¬ nis; genannt. Zur Vermeidung jeder Unbestimmtheit soll bei der Aufstellung jedes Verhältnisses untersucht werden, wie oft die zweite der beiden Größen in der ersten enthalten ist. Wenn z. B. das Verhältniß von 8 fl. zu 2 st. aufgestellt werden soll, so heißt dieses: es soll untersucht werden, wie oft 2 st. in 8 st. enthal¬ ten sind. Zu einem Verhältnisse werden zwei Zahlen erfordert, welche benannt oder unbenannt sein können; im ersten Falle müssen sie gleichartig sein. So heißen Glieder des Verhältnisses, und zwar die erste das. V or d e r gl i e d, die zweite das Hinter¬ glied. In dem früheren Beispiele sind 8 fl. das Vorderglied, 2 fl. das Hinterglied. Um zu erfahren, wie oft eine Zahl in der anderen enthal¬ ten ist, muß mau die Division anwenden; daher wird ein Verhäl- niß dadurch angezeigt, daß man zwischen das Vorder- undHinter- glicd das Divisionszeichen seht, z. B. 8:2, welches so gelesen wird: 8 verhält sich zu 2, oder kürzer: 8 zu 2. Die Zahl, welche anzeigt, wie ost das Hinterglied in dem Vord'ergliede enthalten ist, heißt der Erpon ent des Verhält¬ nisses. Um daher den Erponcnten zu erhalten, braucht man nur das Vorderglied durch das Hintergliev zu dividiren. In dem Ver¬ hältnisse 8 : 2 ist 4 der Erponcnt, weil 2 in 8 4inal enthalten ist; der Erponent des Verhältnisses 3 : 5 ist H, weil 3 durch S di- vidirt zum Quozienten gibt. Aus dem Vorhergehenden geht hervor, daß jedes Verhältniß als eine angezeigte Division betrachtet werden könne; das Vorderglied ist der Dividend, das Hinterglied der Divisor, und der Exponent der Quozient. Weil nun der Dividend gleich ist dem 106 Divisor multiplizirt mit dem Quozienten, so muß auch das Vor¬ derglied eines jeden Verhältnisses gleich sein dem Hintergliede mul- tiplizirt mit dem Exponenten. Wenn beide Glieder eines Verhältnisses gleich sind, so heißt dieses ein Verhältniß der Gleichheit; z. B. i : i, 2 : 2, 8 : 8. Der Exponent eines Verhältnisses der Gleichheit ist 1, weil jede Zahl in sich selbst imal enthalten ist. Ist das Vorderglied eines Verhältnisses größer, als das Hin. terglied, so heißt das Verhältniß fallend; z. B. 3 : 1, 5 : 2, 10 : 7. Der Exponent eines solchen Verhältnisses ist immer grö¬ ßer, als 1. Wenn endlich das Vorderglied kleiner ist, als das Hinterglied, so heißt das Verhältniß steigend; z. B. 1 : 2, 3: 7, 10 : 39. Der Exponent eines steigenden Verhältnisses ist immer ein echter Bruch, daher kleiner alö 1. §. 76. Verhältnisse, welche den nämlichen Exponenten haben, heißen gleiche Verhältnisse. So sind 6 : 2, 9 : 3, 12 : 4, 36 : 12 gleiche Verhältnisse, weil sie alle denselben Exponenten 3 haben. Zwei gleiche Verhältnisse können übrigens auch ungleich be¬ nannte Glieder haben: z. B. das Verhältniß 10 fl. : 5 st. hat den Exponenten 2; das Verhältniß 18 Pfd. : 9 Pfd. hat ebenfalls den Exponenten 2; die zwei Verhältnisse 10 fl. : 5 fl. und 18 Pfd. : 9 Pfd. sind also gleich, wiewohl die Glieder des ersten Verhältnisses eine andere Benennung haben, alö die Glieder des zweiten Verhältnisses. Ein Verhältniß bleibt so lange unverändert, als der Ex¬ ponent desselben sich nicht ändert. Ein Verhältniß wird daher n i ch t g ea nder t, wen n man beide Glieder mit einerlei Zahl multiplizirt oder durch einerlei Zahl dividirt, weil in beiden Fällen der Exponent unverändert bleibt. Z. B.: 36 : 12 36 - 12 36 X 6 : 12 X 6 (36 : 6) : (12 : 6) 216 : 72 6:2 Das Verhältniß 36 : 12 gibt, wenn man beide Glieder zuerst mit 6 multiplizirt, und dann durch 6 dividirt, die neuen Verhält¬ nisse 216 : 72 und 6 : 2, welche beide dem früheren Verhältnisse gleich sind, weil sie mit ihm einerlei Exponenten 3 haben. Man kann also die Form eines Verhältnisses ohne Aen- derung seiner Größe auf zweifache Art verändern, indem man entweder beide Glieder desselben mit einerlei Zahl multiplizirt, oder indem man beide Glieder durch dieselbe Zahl dividirt. Die Formveränderung eines Verhältnisses durch die Multi- 107 plikaziou seiner Glieder dient dazu, um ein Verhältniß, dessen Glieder BrLhe enthalten, durch ganze Zahlen darzustellen; man braucht nur I side Verhältnißglieder mit dem gemeinschaftlichen Nenner der Brüche zu multipliziren. Z. B.: 3.3 k; 2 3.3 7 ^3 3 ' s ^3 * ^6 3 : 28 IS : 2 10 : 9 z : 14 : II Mittelst der Formveränderung eines Verhältnisses durch die Division kann man jedes Verhältniß, dessen beide Glieder durch einerlei Zahl theilbar sind, abkürzen, wenn man beide Verhält¬ nißglieder durch jene Zahl dividirt. Z. B.: 18 : 14 20 : 8 12 : 6 100 : 48 9:7 5:2 2 : 1 25 : 12 Um ein Verhältniß auf die einfachste Form zu bringen, muß man es zuerst in ganzen Zahlen darstellen, und dann, wenn es möglich ist, abkürzen. Z. B.: 6 : ß § : 10 E : is 8^:41 18 : 2 5 .- 80 12 : 15 '9:1 I : 16 4:5 175 : 84 25 : 12 Aufgaben, 8. 77. 1) Wie verhält sich ein Fuß zu einem Zoll? — Wie 12 : I. 2) Wie verhält sich die Länge eines Zimmers zu dessen Breite, wenn die erstere 6°, die letztere 4° beträgt? — Wie 6:4 oder wie 3 .- 2. 3) Wie verhält sich der Werth eines Groschens zu jenem eines Guldens? — Wie l : 20. 4) Von zwei Lokomotiven legt die eine in jeder Minute 360 Fuß, die andere 420 Fuß zurück, wie verhalten sich ihre Ge¬ schwindigkeiten ? — Wie 360 : 420, oder wie 6 : 7. 5) Von zwei Lokomotiven legt die eine den Weg von einer Meile in 15 Minuten, die andere in 20 Minuten zurück; wie ver¬ hält sich die Geschwindigkeit der ersteren Lokomotive zu jener der zweiten? — Wie 20 : IS, oder wie 4 : 3- 6) Aus einer kölnischen Mark feines Silber kann man 20 fl- Conv. Münze oder auch 14 sächsische Thaler prägen; wie ver¬ hält sich der Werth eines Convenzionsguldens zu dem eines sächsischen Thalers? — Wie 14 : 20, oder wie 7 : 10. 7) 49 französische Meter betragen iss Wiener Fuß; wie ver¬ hält sich der Meter zu dem Wiener Fuß? — Wie 155 : 49 . 108 8) In welchem Verhältnisse steht i Loth zu einem Zentner? 9) Eine Kanonenkugel legt in einer Sekunda 700 Fuß zurück, der Schall 1050 Fuß; wie verhalten sich diese Geschwin¬ digkeiten zu einander? 10) geht in 3 Stunden so weit als L in 4 Stunden; wie ver¬ halten sich ihre Geschwindigkeiten? 11) Ein Taglöhner arbeitet täglich s Stunden, ein anderer 12 Stunden; in welchem Verhältnisse stehet bei gleichem Fleiße die Größe der Arbeit? 12) Eine Straße erhebt sich aus eine Klafter um 2 Zoll; wie groß ist das Verhältnis; der Steigung? 13) Ein Kubikfuß Wasser wiegt 56^ Pfd., ein Kubikfuß Queck. silber 762? Pfd.; wie verhalten sich diese Gewichte zu ein¬ ander? 14) Wie verhält sich das Wiener Pfd. zum Kilogramm, wenn 14 Kilogramm 25 Wien. Pfd. betragen? 15) Die Höhe eines gemauerten Bogens ist 1° 3,, die Weite 2» 2Z wie groß ist das Verhältnis; der Höhe zur Weite? 16) arbeitet in 4 Stunden so viel als 8 in 5 Stunden; wie muß sich der Arbeitslohn beider verhalten? 17) Von zwei Rädern, deren Zähne in einander greifen, hat das erste 28, das zweite 36 Zähne; in welchem Verhältniß steht die Umdrehungsgeschwindigkeit des ersten Rades zu jener des zweiten? 18) Ein Wasserbehälter kann durch zwei Röhren gefüllt werden, und zwar durch die erste in 2 Stunden 24 Minuten, durch die zweite in 3 Stunden 18 Minuten; wie Verhalten sich die Wassermcngcn, welche in derselben Zeit aus jeder der bei¬ den Röhren fließen? II. Proporzioneu. 8- 78. Die Gleichsetzung von zwei gleichen Verhältnissen wird eine Proporzi on genannt. Z.B. dieVerhältnisse 6 : 2 und 15 : 5 haben denselben Erponentcn 3, sie sind gleich, und können also auch gleichgesetzt werden, wodurch man 6 : 2 --- 15 : 5 erhält; dieser Ausdruck nun bildet eine Proporzion, welche so gelesen wird : 6 verhalt sich zu 2, wie sich 15 zu 5 verhält, oder kürzer: 6 zu 2, wie 15 zu 5. Jede Proporzion enthält 2 Verhältnisse, somit vier Glie¬ der, welche man nach der Ordnung von der Linken gegen die Rechte das erste, zweite, dritte, vierte Glied nennt. Das erste tO9 und vierte Glied werden die äußeren, das zweite und dritte aber die inneren Glieder genannt. In der Proporzion 6:2 — 15:5 ist 6 das erste, 2 das zweite, is das dritte, 5 das vierte Glied; ferner sind 6 und 5 die äußeren, 2 und IS die inneren Glieder. 8 79. In jeder Proporzion ist das Produkt der äu¬ ßeren Glieder gleich dem Produkte der inneren Glieder. Betrachtet man eine beliebige Proporzion, z.B.6 : 2 —15:5, und seht darin statt eines jeden Vordergliedeö das Produkt aus seinem Hintergliede und dem Exponenten 3, so nimmt die Pro¬ porzion die Form 2 x 3 : 2 — 5 x 3 : s an, aus welcher ersichtlich ist, daß sowohl die zwei äußeren als die zwei inneren Glieder mit einander multiplizirt, dieselben drei Faktoren 2, 3 und 5 enthalten, somit auch dasselbe Produkt geben muffen; es ist wirk¬ lich 6 x s ---- 2 x 15 ---- 30. Das Kennzeichen für die Richtigkeit einer Proporzion ist demnach nicht nur die Gleichheit der Exponen¬ ten beider Verhältnisse, sondern auch die Gleichheit der Produkte aus den beiden äußeren und aus den beiden inneren Gliedern. Das erste Kennzeichen ist natürlicher und dem Begriffe einer Pro¬ porzion entsprechender, das zweite ist gewöhnlich einfacher. Um z. B.die Richtigkeit des Ansatzes 7l : 2^ — 2 z : A zu prüfen, sucht man die Exponenten der beiden Verhältnisse;7Z : 2^ gibt den Exponenten 3z, und L.z : auch den Exponenten 3^; die beiden Verhältnisse bilden also wirklich eine Proporzion. Dieses bewährt sich auch durch die Gleichheit der Produkte der äußeren und der inneren Glieder; es ist nämlich 7^xß — 2, x 2^- —5°. Man prüfe eben so die Richtigkeit folgender Ansätze: " 1) 12 : 3 ---- 27 : 7. 2) 3» : 2 -- II' : 6. — « ' r«' 6) 9 : 12 — 8 : 14. 7) 2^ : 2 --- 3z : 3. 8) 2' : 3z - 5 : 6Z. 8. 80. Eine Proporzion kann verschiedenen Form verän der n n- gen unterworfen werden, ohne daß sie aufhört, richtig z» sein, wenn nur bei diesen Veränderungen das Produkt der äußeren Glieder dem Produkte der inneren Glieder gleich bleibt. 110 I. Wenn man in einer Proporzion die äußeren Glieder unter einander, oder die inneren Glieder unter einander, oder die äußeren Glieder mit den i n n e r e n G li e d e rn verwechselt, so erhält man durch jede solcheVerwechslung wieder eine neuePropor- zion; weil dabei stets das Produkt der äußeren Glieder dem Produkte der inneren Glieder gleich bleibt. Es sei B. die Proporzion . . . .8: 2 ----- 12 : 3. Verwechselt man darin die äußeren Glie¬ der, so bekommt man die Proporzion . . 3 : 2 — 12 : 8. Verwechselt man in diesen beiden Pro- porzionen die inneren Glieder, so hat man 8 : 12 — 2 : 3, 3 : 12 — 2 : 8. Verwechselt man endlich in allen vier Pro- porzionen die äußeren Glieder mit den in¬ neren, so erhält man . . . . . . . 2 : 8 ----- 3 : 12, 2 : 3 — 8 : 12, 12 : 8 ----- 3 : 2, 12 : 3 ----- 8 : 2. Alle diese Ansätze sind richtige Proporzionen, weil in allen sowohl das Produkt der äußeren, als das Produkt der inneren Glieder 60 ist. Es kann demnach jede Proporzion durch bloße Versetzung der Glieder auf achtfache Art dargestellt werden. 2. W e n n man ein äuß e r e 8 n n d e i n i n n e r e s G li e b e i n e r P r o p o r z i o n mit derselben Zahl m u It i p I i z i rt oder dividirt, so erhält man wieder eine Propor-- z i on. Denn dadurch wird sowohl das Produkt der äußeren, als das Produkt der inneren Glieder im ersten Falle mit derselben Zahl multiplizirt, im zweiten durch dieselbe Zahl dividirt; daher müs¬ sen auch die neuen Produkte einander gleich sein. Aus der Proporzion 8 : 24 — 12 : 36 folgt auch- 8 x 2:24 x2 — 12 -.36 oder 16:48 — 12: 36, 8 X 2:24 — 12 X 2:36 oder 16 : 24 — 24 : 36, 8 : 14 — 12x2 : 36x2 oder 8:24 — 24 : 72, 8 : 24 x 2 ----- 12 : 36 X 2 oder 8 : 48 — 12 : 72. (8 : 4) :(24 : 4)---- 12 : 36 oder (8 : 4): (24 ----(12 : 4) : 36 oder 8 : 24 ---(12 : 4) : (36 : 4) oder 8 :(24 : 4)--- 12 : (36 : 4) oder 2: 6---12: 36, 2 : 24 ---- 3:36, 8:24--- 3: S, 8: 6-----12: S. In den vier ersteren neu gebildeten Proporzionen ist sowohl das Produkt der äußeren Glieder als jenes der inneren S76, in den vier letzteren 72. 111 8- 81. Aus drei gegebenen Gliedern einer Proporzion das vierte un¬ bekannte Glied finden, heißt die Proporzion auflösen. Das unbekannte Glied einer Proporzion wird durch den Buchstaben x, oder zuweilen auch durch 2 bezeichnet. DasAuflösen der Proporzionen geschieht nach folgenden zwei Regeln: 1. Ein äußeres Glied der Proporzion wird ge¬ funden, wenn man die beiden inneren Glieder mit einander multiplizirt, und das Produkt durch das bekannte äußere dividirt. ES sei z. B. die Proporzion 8 : S — 16 : x auszulösen. Das Produkt der inneren Glieder ist S x 16 --- 80, also muß auch das Produkt der äußeren Glieder 80 sein; eines dieser Glieder, also einer der beiden Faktoren ist 8; um den anderen Faktor zu fin¬ den, darf man nur das Produkt 80 durch den einen Faktor, nämlich durch das bekannte äußere Glied 8 dividiren ; folglich — — 10. Die Proporzion ist also 8 : s --- 16 : 10. 2. Ein inneres Glied der Proporzion wird ge¬ funden, wenn man die beiden äußeren Glieder mit einander multiplizirt, und daS Produkt durch das bekannte innere dividirt. Ist z. B. die Proporzion 8 : X — 24 : 9 aufzulösen, so er¬ hält man daraus 8 x9 — 72 als das Produkt der äußeren Glie¬ der; es muß daher auch das Produkt der inneren Glieder 72 sein; hier ist also aus dem Produkte 72 zweier Zahlen und aus einer derselben, nämlich 21, die andere zu suchen, d.h. 72 durch 24 zu 8x9 dividiren; folglich x — 3, und die Proporzion heißt 8 : 3 --- 24 : 9. Beispiele. 1) Aus der Proporzion 3 : 4 9 : x folgt 4 X 9 X — —— 12, daher die Proporzion 3:4 — 9:12. 2) 3 : x -- 5 : 30 gibt x --- 5 3) x : z gibt x --- nun ist ZXg'-- und z : ßx 2 -- E -- iL; also x---1^. 4) Zur Auflösung der Proporzion 3ä : 4Z --- 52 : x hat man 4^ X - 4^ X 23 — »22 __ I« ! . - 4 4 ' » 4 l S I . Hl. — zsz . L toi ^.2 »22 I «l , 2» 7 2 . alfo X --- 7z, und die Proporzion ist Sz : 4z --- 5; : 7 z. 112 5) AUS x : 2-^ : 3 folgt x Z. 6) Auö 7Z : 2d -- X : 5° folgt x ----- lä. Man löse noch folgende Proporzionen auf: 7) 5Z - ' 2Z- 8) x : 3^ - 5. S) losz : x -- 13^ - 18^. 10) 9^ : 10^ --- 27» : x. 11) 4 35 : x --- 3 18 : 2 31. 12) 243-^ : 317^ ------ x : 55?» §. 82. Am einfachsten geschieht die Auflösung der Proporzionen mit¬ telst der S tri ch m e t h od e, wobei Folgendes zu beobachten ist: 1. Man zieht einen aufrechten Strich, setzt dieZahlcn, welche mit einander zu multipliziren sind, auf die rechte oder Dividcnd- seite, die Zahl aber, durch welche jenes Produkt dividirt werden soll, auf die linke oder Divisorseite. 2. Kommen gemischte Zahlen vor, so werden sie eingerichtet; die Zähler läßt man aus der Seite stehen, wo der Bruch sein soll, die Nenner aber werden auf die entgegengesetzte Seite übertragen. 3. Die Zahlen zu beiden Seiten dcS Striches werden, wenn es angeht, abgekürzt. 4. Man multiplizirt die links bleibenden, und eben so die rechts bleibenden Zahlen mit einander, und dividirt daö Produkt auf der Dividendseite durch das Produkt auf der Divisorseile; der Quozient ist die gesuchte Zahl. Der Grund dieses Verfahrend beruhet auf dem Grundsätze, daß ein Quozient nicht geändert wird, wenn man Di¬ visor und Dividend mit einerlei Zahl multiplizirt, oder durch einer¬ lei Zahlen dividirt. Bei der Strichmethode wird nämlich durch die Zahl linker Hand der Divisor, und durch die Zahlen rechts deS Striches der Dividend vorgestellt, der Quozient ist das gesuchte Glied der Proporzion; dieser Quozient wird also nicht geändert, wenn man auf beiden Seiten deö Striches mit derselben Zahl mul- tiplizirt oder durch dieselbe Zahl dividirt. — Komnu nun ans einer Seite ein Bruch vor, so darf man, um ihn wegzuschaffen, nur beiderseits mit dessen Nenner multipliziren; dadurch bleibt der Nenner auf der Seite des Bruches weg, weil ein Bruch mit sei¬ nem Nenner multiplizirt den Zähler gibt, auf der andern Seite aber erscheint er alö Faktor. Uni daher einen Bruch wegzuschaffen, streicht man den Nenner durch, und überträgt ihn auf die entge¬ gengesetzte Seite als Faktor. Kommt eine gemischte Zahl vor, so wird sie zuerst in einen unechten Bruch verwandelt, und davon der 113 Zähler auf derselben Seite ungeschrieben, der Nenner aber sogleich auf die andere Seite als Faktor übertragen. — Wenn zwei Zah¬ len zu beide» Seiten des Striches durch dieselbe Zahl theilbar sind, so darf man, ohne den gesuchten Quozienten zu ändern, da¬ durch abkürzen. Beispiele. 68 3 8 E 17 4 2) Man lö 62 M 2 70 2 9 3 13 »L4S ^248 248 893 149 8 4 4) 26 : IZ ----- x 4 K 3 12 1105 92^ 25 1 aber auf nicht abkürzen lassen, so multiplizirt man die links und eben so die rechts stehenden Faktoren, und dividirt das zweite Produkt 351 durch das erste 68, wodurch man x --- 5H erhält. 2) Man löse die Proporzion 37^ LlÜ S 57 19 47 351 5zz _ 2 8 4 3 4_ 9 II. die linke Seite. Da sich die Zahlen auf beiden Seiten — - V - M 13 5 17 l) Es soll die Proporzion 3^ : 5Z — x: 9 aufgelöset werden. Nachdem man 3^ und 9 auf die rechte, und 5^ auf die linke Seite gesetzt hat, wird zuerst 5Z eingerichtet , der Zähler 17 auf die¬ selbe, der Nenner 3 aber aus die rechte Seite geschrieben; dann richtet man 3^ ein, setzt eben so den Zähler 13 auf dieselbe, den Nenner 4 5s^ 23^ : x auf. Nachdem hier die zu multipliziren- den inneren Glieder auf die rechte, und das bekannte äußere Glied auf die linke Seite geschrieben, die gemischten Zah¬ len eingerichtet, die Zähler auf dieselbe und die Nenner auf die entgegengesetzte Seite gestellt wurden, erscheinen links die Faktoren 186, 10, 2, und rechts 5, 57, 47. Nun kürzt man io und 5 durch 5 ab, schreibt aber neben 5 den Quozienten 1 nicht an, weil 1 als Faktor das Produkt nicht ändert; dann kürzt man 186 und 57 durch 3 ab. Das Produkt auf der Divisorseitc ist 248, jenes auf der Dividendseite 893, und der Quozient, wel¬ cher das gesuchte Glied der Proporzion angibt, 3^H. 3) 8 : x 2 Man löse noch folgende Proportionen nach der Strichme- thode auf: 5) 7z : 8 --- 9; : x. 6) 15^ : 234 ----- x : 23^. LloöM, Arithmetik. 4, Aufl. 114 7) irz : X -- 2> : I7L- 8) X : 33^ — 44^ : 24^. S) X : 213^ ---- 3148^ : 158A 10) 48^ : 249§Z -- x : 7S0U. 8- 83. Wenn zwei Arten von Zahlen so zusammenhängen, daß zu einer 2-, 3-, 4mal so großen Zahl der einen Art auch eine 2-, 3-, 4mal so große Zahl der anderen Art gehört, so heißen die beiden Arten von Zahlen gerade p r o p 0 rz i 0 n i rt, oder sie stehen in einem geraden Verhältnisse. So sind Waare und Preis gerade proporzionirt; denn 2mal so viel von derselben Waare kostet auch 2inal so viel Geld, 3mal so viel Waare kostet auch 3mal so viel Geld, 4mal so viel Waare kostet 4mal so viel Geld. Wenn z. B. I Elle Tuch 5 Gulden kostet, so kosten 2 Ellen 2mal s, also io Gulden, 3 „ 3mal 5, ,, IS „ 4 „ 4mal s, „ 20 „ 5 „ smal 5, „ 2S ,, u. s. w. Ueberhaupt sieht mau, daß zwischen je zwei Zahlen der Ellen dasselbe Verhältniß Statt findet, wie zwischen den dazu gehörigen Zahlen der Gulden; z. B.: 2 Ellen : 5 Ellen — 10 Gulden : 25 Gulden. Wenn also zwei Arten von Zahlen gerade pro- porzionirt sind, so ist daö Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der ande¬ ren Art in der nämlichen Ordnung genommen. 8. 84. Wenn zwei Arten von Zahlen von einander so abhängen, daß zu einer 2-, 3-, 4mal so großen Zahl der einen Art nur der 2te, 3te, 4te Theil von der Zahl der andern Art gehört, so sagt man: die beiden Arten von Zahlen sind verkehrt propor¬ zionirt, oder sie stehen in einem verkehrten Ver¬ hältnisse. So sind die Anzahl der Arbeiter und die Dauer der Arbeits¬ zeit verkehrt proporzionirt ; denn 2mal so viel Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit nur die Hälfte der Zeit, 3mal so viel Arbeiter brauchen den dritten Theil der Zeit, 4mal so viel Arbeiter nur den vierten Theil der Zeit. Nimmt man an, daß z. B. 115 1 Arbeiter für eine bestimmte Arbeit 60 Tage braucht, so brauchen 2 „ nur den 2ten Theil von 60, also 30 Tage, 3 „ „ „ 3ten „ „ 60, „ 20 „ 4 „ ,, // 4ten „ „ 60, /, 15 5 5ten „ „ 60, „ 12 „ u. s. w. Man steht, daß hier daö Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der Arbeiter dasselbe ist, wie zwischen den zugehörigen Zahlen der Arbeitstage in umgekehrter Ordnung genommen; z. B. 3 Arbeiter 5 Arbeiter — 12 Tage : 20 Tage. Sind daher zwei Arten von Zahlen verkehrt proporzionirt, so ist das Verhältniß zwischen je zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse zwischen den zwei zugehörigen Zahlen der andern Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen. III. Die einfache Regeldetri. 8. 85. Wenn zwei Arten von Zahlen in geradem oder verkehrtem Verhältnisse stehen, und wenn zwei Zahlen der einen Art gegeben sind, von den beiden zugehörigen Zahlen der anderen Art aber nur die eine bekannt ist, so kann die andere unbekannte Zahl dieser zweiten Art durch Aufstellung und Auflösung einer Proporzion ge¬ funden werden. DaS Rechnungsverfahren, nach welchem dieses ge¬ schieht, wird die einfache Regeldetri genannt. Bei der Regeldetri wird also vorausgesetzt, daß erstlich zwei Arten von Zahlen vorhanden sind, welche in einem geraden oder verkehrten Verhältnisse stehen; und zweitens, daß drei Zahlen be¬ kannt sind, zwei Zahlen der einen Art, und eine der dazu gehöri¬ gen Zahlen der anderen Art. Z. B.: wenn 5 Pfund einer Maare 9 Gulden kosten, wie viel Gulden werden II Pfund von derselben Maare kostend — Die beiden Arten von Zahlen, welche hier vorkommen, sind Pfund und Gulden; sie sind gerade proporzionirt, weil 2mal, 3mal, 4mal so viel Pfund von derselben Maare auch 2mal, 3mal, 4mal so viel Gulden kosten; von der ersten Art sind zwei Zahlen gegeben, nämlich 5 Pfund und I I Pfund; von den dazu gehörigen Zahlen der zweiten Art ist nur eine bekannt, nämlich 9 Gulden, die an¬ dere ist unbekannt und soll erst gefunden werden. Dieß ist also eine Aufgabe, welche nach der einfachen Regeldetri aufgelöset wird. Die unbekannte Zahl wird durch einen der letzten Buchstaben x, V, ?! bezeichnet, 8 * 116 Bei der Regcldetri werden die zusammengehörigen Zahlen ne¬ ben einander, die gleichartigen aber unter einander geschrieben; die gleichartigen Zahlen müssen, wenn sie nicht gleichnamig sind, auf gleiche Benennung gebracht werden. g. 86. Bei der einfachen Regcldetri ist Folgendes zn beob¬ achten : 1. Man untersuche, ob die beiden Arten von Zahlen gerade oder verkehrt proporzionirt sind, indem man beurtheilt, ob zn einer 2-, 3-, 4mal so großen Zahl der ersten Art auch eine 2-, 3-, 4mal so große Zahl der zweiten Art, oder nur der 2te, 3te, 4te Lheil von der zweiten Art gehört. 2. Man setze das Verhältniß zwischen zwei Zahlen der einen Art gleich dem Verhältnisse der beiden zugehörigen Zahlen der an¬ dern Art in der nämlichen Ordnung genommen, wenn beide Arten gerade, und in umgekehrter, wenn sie verkehrt proporzionirt sind. Es ist an sich gleichgiltig, in welches Glied der Proporzion die unbekannte Zahl dabei zu stehen kommt; am zweckmäßigsten er¬ scheint eS, dieselbe inö erste Glied zu setzen. 3. Die Proporzion wird aufgelöset, wobei man sich meistens der Strichmethode mit Vortheil bedienen kann. Einfachere Aufgaben der Rcgeldetri können ost bequem im Kopfe aufgelöset werden; man bedient sich dabei meistens derMnl- tiplikazion und der Division, manchmal nur einer dieser beiden Rechnungsarten. Z. B.: 9 Metzen Weizen kosten 30 fl., was kosten 7 Metzen? — Wenn 9 Metzen 30 fl. kosten, so kommt I Metze auf den 9ten Thcil von 30 fl., d. i. auf 3 fl. 20 kr.; 7 Metzen kosten dann 7mal 3 fl. 20 kr., also 23 fl. 20 kr. 5 Ztr. kosten 39 fl. 18 kr., wie hoch kommen 15 Ztr. zu ste¬ hen? — is Ztr. koste» offenbar 3mal so viel als 5 Ztr., also 3mal 39 fl 18 kr., d. i. 117 fl. 54 kr. 18 Ellen bekommt man um 53 fl. 10 kr., wie viel wird man für 9 Ellen desselben Stoffes bezahlen? — 9 Ellen werden nur die Hälfte von dem kosten, waö man für 18 Ellen zahlt, also die Hälfte von 53 fl. 10 kr., d. i. 26 fl. 35 kr. Bei den nachfolgenden Aufgaben verbinde man mit der schrift¬ lichen Ausrechnung überall, wo die Einfachheit der Zahlen es zu¬ läßt, auch die Auflösung im Kopfe. Beispiele und Aufgaben. 8- S7. I) 5 Psd. einer Waare koste» 9 fl.; wie viel fl. kosten 11 Pfd. von derselben Waare? 117 s Pfd. 9 fl. X : 9 — II .- 5 II „ x „ also x — 9 X 11 : S — 19A sl. -fl. was IVO fl. folgt. 3)1 Zli- tostet 25^ fl.; IVO Psd. L54 fl. 39 „ x Die Arten von Zahlen sind hier Pfund und Gulden; 2-, 3 , 4mal so viel Pfund kosten auch 2-, 3-, 4mal so viel Gulden; die beiden Arten von Zahlen sind also gerade proporzionirt, man seht daher das Verhältniß von zwei Zahlen der einen Art x : 9 gleich dem Verhältnisse der zugehörigen Zahlen der andern Art in der nämlichen Ordnung genommen, nämlich ll : 5. Die Proporzion x : 9 — II : 5 wird dann aufgeloset. 2) Jemand kauft 5ß Ztr. Zucker; wie viel muß er dafür bezah¬ len, wenn 3 Ztw auf 86^ x fl- 5ß Ztr. 86, „ 3 „ fl. zu stehen kommen? x : 86; — 5^ : 3 3M» 4, Sß 5 347 27 9 2os3I23 i 156^ kosten 39 Pfd.? x : 25^ — 39 : woraus x — 9W Hier müssen i Ztr. und 39 Pfd. gleichnamig gemacht werden, welches geschieht, wenn man loo Pfd. anstatt i Ztr. setzt. 4) 12 Arbeiter bringen eine Arbeit in 20 Tagen zu Stande; wie viel Tage werden zu derselben Arbeit 10 Arbeiter brauchen ? 12 Arb. 20 Tage x : 20 — 12 : io 10 „ x „ also X — 20 X 12 : 10 -----24 Lage. Hier sind die beiden Arten von Zahlen, nämlich die Zahl der Arbeiter und die Zahl der Arbeitstage, verkehrt proporzionirt, da 2-, 3-, 4mal so viel Arbeiter nur die Hälfte, den 3ten, lten Theil so viel Zeit brauchen; daher setzt man das Ver¬ hältnis; zwischen zwei Zahlen der einen Art x : 20 gleich dem Verhältnisse der zwei zugehörigen Zahlen der anderen Art, aber in umgekehrter Ordnung genommen, nämlich 12 : io. 5) Eine Krcuzerscmmel wiegt 5 Loth, wenn der Metzen Weizen fl. 3 „ 20 kostet; wie schwer wird eine solche Semmel aus¬ zubacken sein, wenn der Metzen Weizen nur fl. 2 „ 40 gilt? 5 Lth. 3,' fl. x : 5 ----- 3' : 2; x „ 2^ „ also x — 6,s Loth. 6) Ein Kapital bringt in 2 Jahren fl. 123 „ 24 ZinS; wie viel in 10 Monaten? 24 Mon. 123^ fl. I o v X „ X : 123" — IO : 24 also x" -- fl- 51 „ 25. 118 7) Wenn eine Waare um 9 fl. 2iß Meilen geführt wird, wie weit wird sie der Fuhrmann um 5 fl. führen? 9 fl. 2I§ Meilen X : 2lß --- 5 : 9 5 „ X „ und x — 12 Meilen. . 8) Ein Fuhrmann verpflichtet sich 6 Ztr. für ein bestimmtes Frachtgeld 8ß Meilen weit zu führen ; wie viel Ztr. wird er für dasselbe Frachtgeld 12-'- Meile weil führen? 6 Ztr. 8ß Meilen x .- 6 --- 8ß : 12z x „ I2ß „ daher x --- 4ß Ztr.' 9) Ein Mühlgang mahlt in 3 Stunden 13 Metzen Korn; wie viel in 10z Stunden? — 45^ Metzen. 10) Jemand hat durch 46 Tage gearbeitet, und bekommt für je 3 Tage 2z fl. Lohn; wie viel bekommt er im Ganzen? — 43z fl. 11) Für eine Haushaltung gehen wöchentlich 19Z fl. auf; wie viel in 45 Tagen? — 125^ fl. 12) Wie viel Zins gibt ein Kapital in iß Jahren, wenn es in 4z Monaten fl. 9 „ 36 Zins abwirft? — fl. 35 „ 12. 13) Zwei Kaufleute kaufen zusammen 2358 Pfd. Oel; nimmt 1842 Pfd. und zahlt 429ß fl.; wie viel Oel bleibt für 6, und was muß er dafür bezahlen? —L übernimmt 516 Pfd. und zahlt I20ß fl. 14) 16 Maurer können eine Mauer in 20 Tagen aufführen, es gehen aber gleich zu Anfänge 6 Maurer ab; in wie viel Ta¬ gen wird nun die Mauer fertig werden? — In 32 Tagen. 15) Um eine Wiese abzumähen, braucht man 12 Mäher durch 6 Tage; der Eigenthümer aber will solche in 4 Tagen abge- mähet haben; wie viel Mäher wird er noch aufnehmen müs¬ sen? — 6 Mäher. 16) Jemand braucht zu einem Kleide sz Ellen Tuch, welches 2 Ellen breit ist; im Gewölbe bekommt er aber nur Tuch von ; Ellen Breite; wie viel muß zu jenem Kleide genommen wer¬ den? — 6 Ellen. 17) 8000 Mann Besatzung i» einer Festung kommen mit ihren Lebensmitteln durch 9 Monate aus; aus wie viele Monate reichen diese Lebensmittel hin, wenn 2000 Mann austreten? — Auf 12 Monate. 18) Wie viel fl. betragen 648 Franken, wenn 20 fl. 51-934 Fran¬ ken geben? — Nahe fl. 249 „ 33. 19) Der Metzen Weizen, welcher früher fl. 2 „ 50 kostete, steigt um 20 kr.; um wie viel leichter wird man nun eine Mund¬ semmel, welche früher 4ß Loth wog, ausbacken? — Um z Loth leichter. 20) Wenn ein Metzen Roggen 162 Groschen W W. kostet, wiegt ein Groschenlaib 1 Pfd. i4Lth. ; um wie viel muß der Metzen 119 Rogge» in, Werthe fallen, damit man den Groschenlaib um 8 Lth. schwerer auöbacken könne? — Um 24 Groschen, §. 88. 21) Ein Eimer Wein kostet 12 fl.; wie hoch kommen 10 Maß? 22) Wie theuer sind 20 Pfd., wenn der Zentner mit 15 fl. 50 kr. bezahlt wird? 23) Jemand kaust 15 Ellen Tuch; wie viel muß er dafür bejah- len, wenn 20 Ellen 83 fl. 12 kr. kosten? 24) Ein Kapital von 750 fl. ist zu 5 Prozent angelegt, d. i., jede 100 fl. Kapital geben 5 fl. Zins; wie viel ZinS trägt das ganze Kapital in einem Jahre? 25) Wie groß ist der jährliche Zins von 1785 fl. Kapital, wenn diese zu 4 Prozent angelegt sind? 26) Jemand hat drei Kapitalien anliegen: 3680 fl. zu 3 Prozent, 2750 fl. zu 4 Prozent, und 2220 fl. zu 5 Prozent; wie viel nimmt er jährlich an Zinsen ein? 27) 7820 fl. geben in einer bestimmten Zeit 391 fl. Interessen; wie viel Interessen geben in derselben Zeit 5750 fl. Kapital? 28) Jemand hat sein Kapital zu 6 Prozent angelegt, und be¬ kommt jährlich 420 fl. ZinS; wie groß ist das Kapital? 29) Von 3740 fl. hat man in einem Jahre 187 fl. ZinS einge¬ nommen; wie hoch waren 100 fl. Kapital verzinset? 30) Wie viel Interessen geben 100 fl. zu 6 Prozent in 37 Tagen? 31) Wie viel fl. Kapital muß man zu 5 Prozent anlegen, damit man in einer gewissen Zeit eben so viel ZinS einnehme, wie von 7550 fl. zu 4 Prozent? 32) Zu wie viel Prozent muß ein Kapital angelegt werden, damit es in 3 Jahren eben so viel ZinS gibt, als eS in 2 Jahren zu 6 Prozent geben würde? 33) Rach einer genauen Vorberechnung braucht Jemand 24 Mau¬ rer, um ein Gebäude in 4 Monaten aufzuführen; wie viel Maurer müssen ausgenommen werden, damit die Mauer in 3 Monaten fertig werde? 34) Mit einem bestimmten Vorraths reichen 35 Menschen durch 9 Monate aus; wie lange werden damit 40 Menschen aus¬ reichen? 35) Ein Arbeiter macht in 3 Tagen 2000 Ziegel; wie viel in 30 Tagen? 36) Ein Fuhrmann führt um ein gewisses Geld 5 Zentner 12 Meilen weit; wie weit wird er um dasselbe Geld 15 Ztr. führen? 37) Um eine Waare 12 Meilen weit zu führen, verlangt der Fuhr¬ mann 2 fl.; wie viel wird man ihm bezahlen müssen, wenn dieselbe Waare 30 Meilen weit verführt werden soll ? 1LV 38) Von 2 Rädern macht das eine 36 Umdrehungen, wahrend sich das andere I3inal umdrehet; wie viel Umdrehungen wird das erste Rad machen, wenn sich daS zweite ii7inal umgc- drehet hat? 39) 2v fl. Couv. Münze machen 14 preußische Thaler; wie viel preußische Thaler sind 7813 fl. C. M.? 40) I2Z Eimer enthalten 224 Kubikfuß; wie viel Eimer machen 1234 Kubikfuß? §. 89. 41) Wieviel muß man für 7ß Ztr. bezahlen, wenn 5^ Zentner 87ß fl.. kosten ? 42) 17 Ztr. 20 Pfd. kosten 358 fl. 12 kr.; wie hoch kommen 13 Ztr. 35 Pfd.? l3) Was kosten HZ Ellen, wenn 5^ Ellen mit 30ß fl. bezahlt werden?. 44) 17^ Mark Silber werden mit 388^ fl. bezahlt; wie hoch kom^ men 21/^ Mark? 45) Was kosten 2-7^ Eimer Wein, wenn 12 Eimer 198^ fl. kosten? 46) Was kosten 2 Zentner 65 Pfd. einer Waare, wovon man 4 Pfd. um 7z fl. bekommt? 47) Für 37 fl. 20 kr. bekommt man 8K Metzen Weizen; was kosten 43ß Metzen? 48) 3.H Ztr. kosten 57 fl. 48 kr.; was kosten 7 Ztr. 38 Pfd 15 Loth? 19) 20 fl. Couv. Münze machen 2^ engl. Pfund Sterling; wie viel fl. Couv. Münze betragen 300 Pfund Sterling? 50) 24if holländische Gulden geben 244 bairische Gulden; wieviel bairische Gulden sind 1000 holländische Gulden? 51) Die St Paulskirche in London hat eine Länge von 480 engl. Fuß; wieviel beträgt dieses in Wiener Fuß, wenn .100 W. Fuß 103-71 engl. Fuß machen? .12) Wie viel W. Pfund sind 3444 russische Pfund, wenn 100 russ. Pfund 73-13 W. Pfund betragen? 53) Wie viel prcuß. Scheffel sind 718E Wien. Metzen, wenn 100 preuß. Scheffel 89 36. W. Metzen machen? 51) Wie viel Wien..Maß betragen 749 baierische Maß, wenn 1000 bair. Maß — 755-4 W. Maß ist? 55) Wie viel Zinö geben jährlich 7915 fl. Kapital zu 44 Prozent? 56) Welches Kapital gibt zu 4^ Prozent angelegt jährlich 58 fl. 38 kr. Interesse? 57) 3127 fl. Kapital geben jährlich 125 fl. 6 kr. Zins; zu wie viel Prozent ist das Kapital angelegt? 5-8) Zn wie viel Prozent muß man ein Kapital anlegen, damit es in 5i Monaten eben so viel Zins gebe, als es zu 3ß Prozent in 74 Monaten gibt? 1L1 so) Welches Kapital gibt m i Jahre «Monaten eben so vielZins, als 3715^ fl. in 2 Jahren 4 Monaten? 60) Wie lange muß ein Kapital von 2222 fl. angelegt bleiben, damit es eben so viel ZinS bringe, als 3333 fl. Kapital in l Jahre 4 Monaten? Z. 90. 6!) 7 Arbeiter erhalten wöchentlich 35^ fl.; nun kommen noch 5 Arbeiier dazu; wie viel beträgt dann der wöchentliche Arbeits¬ lohn aller Arbeiter? 62) Wenn 28 Weber in 3ä Wochen 40 Stück Tuch verfertigen, wie viel Weber werden erfordert, um dieselbe'Anzahl Stücke in 2 Wochen zu verfertigen? 63) Die Are unserer Erde beträgt 6713548 Klafter, der Durch¬ messer des Aequators 6724306 Klafter; wenn man nun bei einem Erdglobus die Erdaxe 16 Zoll lang annimmt, wie groß muß dabei der Durchmesser des Aequators angenommen werden? 64) Eine Festung ist auf io Monate für 8000 Mann verprovian- tirt; nun kommen noch 2000 Mann dazu; wie lange wird jener Vorrath auSrcichcn? 63) Eine Festung hat 6800 Mann Besatzung, und ist mit Lebens¬ mitteln auf 6^- Monat versehen; wie viel Mann müssen ab- zichen, damit der Proviant auf 8^ Monat auöreichc? 66) Jemand hält 48 Arbeiter zu gleichem Lohne; wenn nun 10 derselben mit 6 wie viel beträgt der ganze Gewinn? 35 60 x 8 320 40 — fl. 320 „ 24. 6) Eine Partie Kaffee wiegt Brutto 1546 Pfd.; wie viel be¬ trägt die Tara zu s"/,, und wie groß ist das Netto-Ge¬ wicht? Wenn eine Waare sammt dem Behältnisse, worin sie sich befindet, gewogen wird, so heißt dieses Gesammtgcwicht das Brutto- oder S p o r c o - G e w i ch t. Das Gewicht des Behältnisses heißt die Tara, und wird häufig nach Prozenten berechnet. Wenn man die Tara von dem Brutto Gewichte abzieht, so bekommt inan das reine oder Netto Gewicht der Waare. 15 46 x5 Brutto 1546 Pfd. 77 30 Pfd. Tara, "b Tara Netto 1568 7 Pfd. 7) Jemand kauft um 5120 fl. Maaren ein; wenn ihm nun ein Skonto von 2;'/o bewilligt wird, wie viel muß er kontant bezahlen? Wenn Jemand eine Bezahlung früher leistet, als er sie zu leisten verpflichtet ist, so wird ihm wegen der früheren Berichtigung ein Abzug bewilliget. Dieser Abzug an der Bezahlung heißt Skonto, und wird nach Prozenten be¬ stimmt. Die zu zahlende Summe, welche nach Abzug des Skonto übrig bleibt, wird die kontante Bezahlung genannt. 51 20 X 2z Ganze Schuld fl. 5120 „ — 102 40 ab Skonto 2b„ 11 5 „ 12 12 80 Kontante Zahlung fl. 5004 „ 48 115'20 --- fl. 115 „ 12 Skonto. 125 8) Bei einer Feuer-Assekuranz-Gesellschaft wird ein auf 8240fl. geschätztes Haus zu versichert; wie viel beträgt die Asse¬ kuranz-Prämie? 82 40 X z 10 30 -- fl. 10 „ 18. 9) Wie groß ist die Sensarie bei einem Waarengeschäfte von 3848 fl. zu z o/o- Zur Abschließung von Geschäften zwischen Kaufleuten desselben Ortes gibt es vom Staate beeidete oder beauf¬ sichtigte Personen, welche man Mäkler oder Sensale nennt. Die Vergütung, welche sie für ihre Mühe erhal¬ ten, wird die S ensarie genannt. 38 48 x^ 19-24 --- fl. 19 „ 14. 10) Jemand besorgt einenWaarenverkaufimBetrage von 5730 fl.; wie groß wird seine Provision zu 2'X, sein? Wenn Jemand die Vollziehung eines Geschäftes, z. B. den Einkauf oder Verkauf von Maaren oder andern Ge¬ genständen, einem Andern aufträgt, so heißt die Person, welche den Auftrag gibt, Kommittent, die Person aber, welche mit der Vollziehung des Geschäftes beauftragt wird, Kommissionär. Die Vergütung, welche der Kommissionär für seine Mühe bekommt, wird Provision genannt. 57 30 X 2 1l460 ---- fl. 114 ,, 36. 11) Wie groß ist das jährliche Interesse von 2318 fl. 12) Wie groß ist das Netto-Gewicht einer Waare, welche 7238 Pfd. Brutto hat, wenn die Tara zu l3"/o gerechnet wird? 13) Bei einer Waare, welche im Einkäufe 1731 fl. 18 kr. kostet, gewinnt Jemand beim Verkaufe 84"/„; wie viel beträgt der Gewinn? 14) Die gesammte Silberprodukzion Europas beträgt 403696 Mark; daran hat Preußen einen Antheil von 6-2°/o; wie viel Mark Silber erzeugt es? 15) Europa erzeugt jährlich 2120000 Ztr. Blei; am meisten sind dabei England und Spanien betheiliget, und zwar jenes mit 47"/o, dieses mit 42-4"/,; wie viel Blei produzirt jedes die¬ ser beiden Länder? 16) Bei der Wicn-Gloggnitzer Eisenbahn beliefen sich die Bau¬ kosten aus 11276733 fl. und die Einrichtungskosten auf 2762400 fl.; wie groß müßte die jährliche reine Einnahme sein, damit sich das Anlagekapital zu 5"/, verzinse? 17) Im Jahre 1847 wurde von den österreichischen Zuckerfabriken 619424 Ztr. Zuckermehl aus dem Auslande bezogen; wie 126 groß ist die Menge des daraus gewonnenen raffinirten Zuckers zu 80"/g, und des Syrups zu gerechnet? 18) Von 523 12jährigenMenschen erreichen 83"/, das 30steJahr; wie viele von diesen Personen werden also 30 Jahre alt? 19) Nach Keller beträgt der Trockengehalt der Kartoffeln 30°/g. Wie viel trockene Masse, und wie viel Wasser ist also in 1258 Pf, Kartoffeln? 20) Jemand kauft zwei Fässer Maaren, das erste von 328 Pfd., daö zweite von 295 Pfd, den Zentner zu 28ß fl. Bei barer Zahlung erhält er Skonto. Wie viel beträgt die Barzahlung? 21) Beim Mahlen des Roggens rechnet man 84"/° Mehl und !4°/o Kleien; wie viel Mehl und Kleien erhält man von 324 Pfd. Roggen? 22) Eine Parthie Waare, welche 4192 Pfd. Brutto wog, wurde mit 880 ff. bezahlt; wie theuer kommt der Zentner Netto, wenn man 16^ "/s> Tara rechnet? 23) Wie viel Ziegelsteine gehen auf eine Kubikklafter, wenn die¬ selben 11" lang, 5^" breit und 1^" dick sind, wenn die Fu¬ gendicke angenommen, und wenn für Bruch und Abgang 9^"/« hinzugesetzt wird? 2. Berechnung der Summe, worauf sich der Proze» tcrtrag bezieht- §. 93. Der Ertrag einer Summe zu 8°/g ist 312 fl.; wie groß ist jene Summe? — Nach der Regeldetri hat man xfl. Summe 312 fl. Ertrag x : 100 — 312 : 8 100 „ „ 8„ „ daher x —^^^--7- 3900 fl. Um daher aus dem Prozent und dem Prozen¬ ten er trage einer Summe diese Summe selbst zu finden, multiplizire man den Ertrag mit ioo, und dividire das Produkt durch das Prozent. Beispiele. 1) Ein Haus trägt zu 5"/g 812 fl.; welchen Werth hat es? 81200 : 5 ----- 16240 fl. 2) Jemand kauft für einen Andern Maaren ein, und nimmt als 2prozentige Provision 63^ fl.; wie groß war der Waarenbe- trag? 6350 : 2 ---- 3175 fl. 3) Wie viel Kapital muß man anlegen, damit man zu 4^, jährlich 558 fl. Interessen beziehe? 558OY ; 4! ----- 12400 fl. 127 4) Wiegroß ist die Bevölkerung eines Ortes, wenn 22"/o der¬ selben 286 betragen? 28600 : 22 — 1300 Einwohner. 5) Jemand zahlte für auf der Eisenbahn beförderte Maaren 2fl. an Assekuranz; für welchen Betrag wurden die Maaren ver¬ sichert, die Assekuranz zu gerechnet? 200 : 4000 fl. 6) Wie theuer wurde eine Waare eingekauft, welche beim Ver¬ kaufe einen 6prozentigen Gewinn mit 125 fl. abwarf? 12500 : 6 --- 2083 3 --- fl. 2083 „ 20. 7) Welches Kapital gibt zu 5^/^ jährlich 378 fl. Zins? 8 Beim Verkaufe einer Waare wurden 251 fl. gewonnen; wenn nun dieser Gewinn 8"/, beträgt, wie groß war die Einkaufö- summe? S) Bei einem Waarenbetrage wurden wegen der sogleichen Zah- lung 2"/o nachgelassen ; wenn nun der Nachlaß 82 fl. 34 kr. beträgt, wie groß ist der Waarenbetrag? 10) Preußen erzeugt jährlich 1735260 Ztr. Kochsalz; wie groß ist die Kochsalz-Produkzion Europas, wenn Preußen daran mit 3Zo/o bctheiligt ist? I I) Im Jahre 1848 erzeugte Steiermark 852628 Ztr. Roheisen; wenn nun dieses 35'98°/o von der ganzen österreichischen Roheisen-Produkzion jenes Jahres beträgt, wie groß war letztere? 12) Die Bevölkerung von Laibach, welche im Jahre 1851 17256 Einwohner betrug, hat während der Jahre 1831 bis 1851 um 43"/o zngenommcn, wie groß war die Volkszahl im Jahre 1831 ? 13) Man nimmt die Menge des aus Runkelrüben gewonnenen Rohzuckers zu 5"/o an; wie viel Zentner Runkelrüben sind daher im Jahre 1848 in Böhmen erzeugt worden, wenn man daraus 47438 Zentner Rohzucker gewonnen hat? 14) Wie hoch ist ein Haus geschätzt worden, das zu in ei¬ nem Jahre 22^ fl. Assekuranz zahlen muß? 15) Ein Kaufmann gewinnt bei einem Pfund Kaffee 2 Kreuzer oder 6ß"/o', wie theuer hat er den Zentner eingekauft? 3. Berechnung des Prozentes. §. 94. Es soll z. B. bestimmt werden, wie viel "/<> man von 8350 fl. nehmen müsse, um 501 fl. zu erhalten. — Man hat x fl. Ertrag lOO fl. Summe x : 501 — 100 : 8350 rn, LN-N soixioo - 501 „ 8350 „ „ x — . - ---- 6. 83S0 12s Wenn also e i n e S u m m e nebst i h r c m P r o z e n t e n - ertrage gegeben ist, so berechnet man das Prozent, wenn m a n d e n E r t r a g m i t 100 m u l t i p l i z i rt, un d d a ö Prodnkt dnrch die gegebene Summe di vidi rt. Beispiele. 1) Ein Haus kostet 9150 st. und trägt jährlich 366 sl. reinen Zins; zu wie viel Prozent verzinst cS sich? 36600 : 9150 — 4"/o- 2) Eine Waare wurde um 4290 st. 'cingekauft und um 4435 st, verkauft; wie viel beträgt der Gewinn? 4435 st. 14500 : 4290 -- 3z "/g. 4290 „ Gewinn 145 st. 3) Eine Provinz hat 523480 Schulfähige und 317240 Schul- besuchende; wie viel von den Schulfähigen besuchen wirk¬ lich die Schule? 31724000 : 523480 — 60-04"/". 4) Ein Sensal, welcher einen Waareneinkauf sür 3480 st. un¬ terhandelte, erhielt I7§fl.; zu wie viel wurde die Sen- sarie gerechnet? 1740 : 3480 --- z°/g. 5) Böhmen hat einen Flächenraum von 9026673 Joch, worun¬ ter 4286409 Joch Ackerland; wie viel o/o beträgt dieses letz¬ tere von dem ganzen Flächeninhalte? 428640900 : 9026673 ---- 47'49"/o. 6) Wien hatte im Jahre 1833 eine Bevölkerung von 319873 Einwohnern, im Jahre 1847 von 358784; um wie viel "/o ist die Bevölkerung Wiens in diesen 14 Jahren gestiegen? 358784 319873 3891Ioo : 319873 — 12-16"/". 7) Böhmen halte im Jahre 1780 2561794 Einwohner, und im Jahre 1849 4432474 Einwohner; um wie viel o/o hat die Bevölkerung von Böhmen in dieser Zeit zugenommen? 8) Von 532 10jährigen Menschen erreichen im Durchschnitte 491 das 20ste und 439 das 30ste Lebensjahr; wie viel o/o sterben von io bis 20 und wie viel von 20 bis 30 Jahren? 9) Jemand kaust 58 Ellen Tuch um I98fl., und verkauft die Elle zu 4z fl.; wie viel Prozent gewinnt er? 10) Europa produzirt jährlich 52389000 Ztr. Roheisen, darunter England 29572000 Ztr., Frankreich 7085000Ztr., Oester- 129 reich 2505000 Ztr., Preußen 2070000 Ztr.; wie viel der gesammten europäischen Eisenprodukzion kommt auf jedes dieser Lander? 11) Von den im Jahre 1846 in unserer Monarchie erzeugten 415850 Ztr. Baumwollgarn kamen auf Niederösterreich al¬ lein 156140 Ztr.; wie viel o/^ ist dieses? 12) Im Jahre 1849 sind im Kronlande Krain 8012 Knaben und 7408 Mädchen geboren worden; man drücke diese Zahlen in Prozenten von der Gesammtsumme der Gebornen aus. >3) Von 160 Pfd. Kalkstein erhält man 83^ Pfd. gebrannten Kalk; wie viel verliert der Kalkstein beim Brenne» ? 14) Zur Deckung der Landesbedürfnifse werden bei den direkten Steuern 7 Kreuzer auf jeden Steuergulden umgelegt; wie viel °/o beträgt dieses? 15) Wenn 4 Metzen Weizen so vielNahrungstheile enthalten als 5 Metzen Roggen, um wie viel ist der Nahrungsgehalt des Weizens höher als jener des Roggens? !6) Im Jahre 1846 betrug in Steiermark die Bevölkerung 1003074, im Jahre 1847 war die Zahl der Gebornen 31046, und jene der Verstorbenen 31969; um wie viel »/o hat die Bevölkerung von Steiermark in jenem Jahre abge¬ nommen? V. Die wälsche Praktik. §. 95. Die wälsche Praktik ist diejenige Rechnungsweise, nach welcher die in einer Ausgabe vorkommenden niedrigeren Zahlen als aliquote Theile einer höhern Zahl betrachtet und als solche berech¬ net werden. Es heißt aber ein aliquoter Theil von einer Zahl ein solcher Theil/ welcher mehrere Male genommen jene Zahl gibt. Z. B. 12 Kreuzer sind ein aliquoter Theil von 60 Kreuzern oder von einem Gulden, und zwar der fünfte Theil, weil 12 Kreu¬ zer 5>nal genommen 60 Kreuzer oder einen Gulden geben; dage¬ gen sind 14 Kreuzer kein aliquoter Theil von einem Gulden, weil sie 4mal genommen weniger, 5mal genommen aber schon mehr als einen Gulden geben. Alle Brüche, deren Zähler I ist, sind ali¬ quote Theile der Einheit, z. B. z, 4, Die bei benannten Zahlen im Rechnen am häufigsten vorkom¬ menden aliquoten Theile ersieht man aus folgender Tabelle: Arithmetik. 1 Aufi 9 130 Beim Gelde. Wenn 50 36 28 gaben "ausgelöset: Aufgaben, in denen aus dem Betrage der Ein¬ eine niedrigere Zahl kein aliquoter Theil einer höhe-n Zahl ist, so läßt sie sich immer in aliquote Theile derselben zerle¬ gen, und zwar durch die S u b t r a kzi on, wenn ihr gerade noch ein aliquoter Theil bis zur höhern Einheit fehlt, sonst durch die Addizion. So sind 7 kr. 5 kr" Pf< ! cr s - s Zerlegungen durch die Subtrakzion, I sl. LV ti. / ^-t- n kr ! Zerlegungen durch die Durch die wälsche Praktik werden zwei Gattungen von Auf- 131 heit der Betrag einer gleichartigen Mehrheit gefunden werden soll; und Aufgaben. in welchen aus dem Betrage einer Mehrheir der Betrag irgend einer andern Mehrheit derselben Art zu bestimmen ist, somit Aufgaben der einfachen Regeldetri. t Aufgaben, in denen aus dem Betrage der Einheit der Betrag einer gleichartigen Mehrheit bestimmt werden soll. §. 96. Bei solchen Aufgaben sehe man vor Allem auf die Mehr¬ heit, deren Betrag gesucht wird; ob ste nämlich eine ganze Zahl, und mit der Einheit, deren Betrag man kennt, gleich¬ namig ist, oder ob ste einen Bruch oder Unterbenennungen von jener Einheit enthält. A. Wenn die Mehrheit, deren Betrag man be¬ stimmen will, eine g a nz e Z a h l, und mit der Ein¬ heit, deren Betrag man kennt, gleichnamig ist, so nehme man auf den Betrag der Einheit Rücksicht. g. Ist die niedrigere Geldsorte imBetrage der Einheit gerade ein aliquoter Theil der höhern Geldeinheit, so erhält man den Betrag für die Mehrheit, wenn man so viele solche aliquote Theile nimmt, als die Mehr¬ heit Einheiten enthält, und dann diese aliquoten Theile durch die Division zu Ganzen der höher« Geldsorte bringt; dieses alles ge¬ schieht, wenn man sogleich aus der Mehrheit den betreffenden ali¬ quoten Theil sucht, und diesem die Benennung der höhern Geld¬ sorte gibt. Kommen im Betrage der Einheit auch Ganze der hö¬ her» Geldsorte vor, so berechnet man zuerst den Werth für die höhere Geldsorte durch die Multiplikation, dann den Betrag für die niedrigere Geldsorte durch die Division, und addirt diese Beträge. Beis piele. i) i Pfd. kostet 20 kr., was kosten 36 Pfd.? 36 Pfd. i> 20 kr. --- z fl. fl. l2 Die Mehrheit, deren Werth man sucht, ist 36 Pfd ; die Ein¬ heit, deren Preis man kennt, ist I Pfd.; hier ist also die Mehr¬ heit eine ganze Zahl und mit der Einheit gleichnamig, man sehe daher auf den Betrag der Einheit, d.i.auf20 kr.; 20 kr. sind ^fl.; 36 Pfd. zu fl. kosten ^fl.; um nun die ganzen Gulden heraus- zuziehen, muß man 36 durch 3 dividiren, wodurch man 12 fl erhält. 9 * 132 2) Was kosten 48 Pfd. zu 15 kr. das Pfund? 48 Psd. ü 15 kr. ----- L fl. fl. 12 3) Was kosten 1000 Stück zu 12 kr.? 1000 Stück ü 12 kr. fl. 200 4) Was betragen 349 Kronthaler zu fl. 2 „ 12 kr. ? 349 ü fl.2 „ 12 fl.698 ü 2 fl. 69 „ 48 ü 12 kr. fl. 767 „ 48 Hier sucht man zuerst den Betrag u2fl., indem man 349 mit 2 multiplizirt; dann sucht man den Betrag ü 12 kr. ----- ^ fl., in¬ dem man 349 durch 5dividirt; die beiden Beträge werden addirt. 5) 3562 Pfd. ä 5 I^iro 25 6ent. Iure 17810 ä 5 „ 890 v 50 ü 25 6ont. — I-ire I-iro 18700 „ 50 llenlos. 6) 1389 Ztr. ü fl. 20 „ 6 fl. 27780 138 „ 54 fl. 27918 „ 54 7) 844 k. Dukaten ü fl. 4 „ 30 betragen fl. 37U8. 8) 288 Souveraind'or zu fl. 13 „ 20 betragen fl. 3840. 9) 734 Eimer zu fl. 8 ,, 20 kosten fl. 6116 „ 40. 10) 328 Ellen zu fl. I „ 12 kommen auf fl. 393 „ 36. Man berechne noch: i l) 377 Ztr. zu fl.8 „ 30. 12) 1258 Pfd zu fl.2 „ 15. 13) 712 Stück zu 20 kr. 14) 377 Ellen zu fl. 3 „ 6. §. 97. d. Ist die niedrigere Geldsorte im Betrage der Einheit kein aliquoter Theil der höher» Geldein¬ heit, so zerlege man sie durch die Addizion oder durch die Sub¬ traktion in lauter aliquote Theile, berechne zuerst den Betrag für die Ganzen der höher» Gcldsorte durch die Multiplikation, dann den Betrag für die aliquoten Theile durch die Division, und addire oder subtrahire die erhaltenen Beträge, je nachdem die Zerlegung durch die Addizion oder durch die Subtrakzion geschieht. Bei der 133 Zerlegung durch die Addizion sehe man darauf, daß man immer mit den größer« aliquoten Theilen anfangs, und daß wo möglich jeder folgende Theil ein aliquoter Theil eines andern vorhergehen¬ den Theiles sei, aus dessen Betrage dann auch sein Betrag durch die Division bestimmt wird. B eispiel e. 1) Wie hoch kommen 284 Ellen zu stehen, wenn i Elle 36 kr. kostet? 284 Ellen ä 36 kr. st. 142 L30 „ 28 „ 24 u 6 „ 170 ^24~ Die Mehrheit, deren Werth gesucht wird, ist 284 Ellen; die Einheit, deren Werth man kennt, ist l Elle; die Mehrheit ist also eine ganze Zahl und mit der Einheit gleichnamig, daher sieht man auf den Betrag der Einheit, d. i. auf 36 kr. Diese sind kein ali¬ quoter Theil eines Guldens, lassen sich aber in aliquote Theile, nämlich 30 kr. und 6 kr. zerlegen. Man berechnet zuerst den Be¬ trag zu 30 kr. — Z fl., wodurch man — 142 st. erhält; den Betrag ä 6 kr. berechnet man aus dem Betrage L 30 kr., indem man den 5ten Theil davon nimmt, weil 6 kr. — von 30 kr. ist, die zwei erhaltenen Beträge werden addirt. 2) 124 Pfd. u 16 kr. sl.-24 „ 48 12 kr. fl. 8 „ 16 4 „ — von 12 kr. fl.H 4 3) 856 Ellen zu 27 kr. fli7i „ 12 i2 „ z fl- 171 „12 >2 „ 42 „ 48 3 „ V0N 12 kr. st. 385 ^12 4) 635 A ä st- 4 „ 38 fl.254Ö 317 „ 30 30 63 „ 30 6 21 „ 10 2 fl.2942 „ 10 5» 422 Eimer zu fl. 10 „ 46 211 30 70 „20 10 42 „ 12 6 2 fl?4542 „ 3 124 6) 355 Ztr. k fl. 2 „ IS kosten fl. 822 „ 25. 7) 728 Ellen zu Lire 7 „ 60 Cent, betragen Lire 5532 „ 80. 8) 226 Metzen nfl. 2 „ 44 betragen fl. 617 „ 44. 9) 152 Ellen u 54 kr. 15 „ 12 6 kr. fl.136 „ 48 Zu 54 kr fehlen noch 6 kr. — ^fl., um einen ganzen Gul¬ den zu erhalten, oder 54 kr. --- i fl. — 6 kr.; man berechnet da her zuerst 152 Ellen zu l fl., wodurch man I52fl. bekommt, dann sucht man den Werth von 152 Ellen zu 6kr., indem man 152 durch 10 dividirt; zuletzt zieht man den zweiten Betrag fl. 15 „ 12 von dem ersten fl 152 ab. 10) 744 Ztr. zu fl. 12 „ 50 fl 9672 13 fl. 124 10 kr. st. 9548^ Zu 50 kr. fehlen noch 10 kr. — g fl. bis zu einem ganzen Gulden, oder fl. 12 „ 50 — 13 fl. — 10 kr.; man sucht daher zuerst den Werth zu 13 fl., dann zu 10 kr. — Z fl., und zieht den zweiten Werth vom ersten ab. I I) 327 Stück Dukaten ü fl. 4 „ 40 machen fl. 1526. 12) 516 Souveraind'or zu fl. 13 „ 45 betragen fl. 7095. 13) Wie viel betragen 211 Stück k.Dukaten zu fl.5 „ 13? 14) S08 Eimer zu fl. IS „ 40 —? 15) 813 Metzen afl 3 „ 23 ---? 16) 318 Ztr. L fl. 10 „ 33 17) 1543 Ellen » fl. I „ 39 —? 18) In den ärarischen Montan-Eisenhämmern wurden im Jahre 1848 erzeugt: 150397 Ztr. Stabeisen im Durchschnitte zu fl. 9 „ 48, 10062 „ Eisenblech ,, „ „ „ 14 „ IS, 325 „ Eisendraht „ „ „ „ 20 „ 12, 34127 „ Stahl „ „ „ „ 14 „ 52 Wie groß ist der Geldwerth dieser Gesammterzeugung? Wenn die Mehrheit, deren Betrag gefunden werden soll, ein- zifferig ist, so verfährt man am kürzesten, wenn man den Betrag für die Einheit damit unmittelbar multiplizirt. Z. B.: 9 Ellen a fl. 6 „ 38 fl.59 „ 42 §. 98. 6. Wenn dieMehrheit, deren Werth man sucht, einen Bruch oder Unterbenennungen von der Ein- 135 heit, deren Betrag angegeben wird, enthält, so nehme man Rücksicht auf diese kleineren Lheile in der Mehr¬ heit. g. Sind die kleineren Lheile in der Mehrheit gerade ein aliquoter Lheil der Einheit, deren Werth man kennt, so erhält man den Betrag für die Mehr¬ heit, wenn man aus dem bekannten Betrage der Einheit denselben aliquoten Lheil herauszieht. Kommen nebst dem aliquoten Lheile der Einheit auch ganze Einheiten vor, so berechnet man zuerst den Betrag für die Ganzen, dann den Betrag für den aliquoten Lheil, und addirt beide Beträge. Beispiele. 1) Was kosten 25 Pfd., wenn i Ztr. auf 150 fl. zu stehen kommt? 25 Pfd. L fl. 150 per Ztr. fl."3V „ 30. Die Mehrheit, deren Werth man sucht, ist 25 Pfd.; die Ein¬ heit, deren Werth man kennt, ist i Ztr; die Mehrheit enthält also eine Unterbenennung von der Einheit, daher sehe man aus diese Unterbenennung selbst, nämlich auf 25 Pfd. Diese sind ein aliquoter Lheil von i Ztr., und zwar der 4te Lheil; man schließt daher: i Ztr. kostet 150 fl., 25 Pfd. werden nur den 4ten Lheil von 150 fl. kosten, man muß also die 150 fl. durch 4 dividirm. 2) 1 Pfd. Vanille kostet fl. 63, was kosten 8 Loth? 8 Loch L fl. 63 per Pfd. fl. H„ 45. 3) 1 Ztr. Kaffee kostet fl.28 „ 14; wie hoch kommen 3 Ztr. 50 Pfd.? 3 Ztr. 50 Pfd. st fl. 28 „ 14 per Ztr. fl.84 „ 42 " „ 7 fl. 98 „ 49. Hier wird zuerst der Betrag für 3 Ztr., hierauf jener für 50 Pfd. berechnet, und der zweite zu dem ersten addirt. 4) 17 Pfd. 4 Lth. zu fl. 20 „ 8 per Pfd. fl 342 „ 16 2 „ 31 fl. 344 „ 47. 5) 7^ Ellen zu fl. 5 „ 1 2 fl. 36 „24 — „ 39 fl. 37 „ 3. 136 6) 3 Eimer 8 Maß zu fl. 22 per Eimer fl.66 4 „ 24 fl. 70 „ 24. 7) Das Interesse für ein Jahr betragt fl. 528 „ 12; wie groß ist das Interesse für 3 Monate? — fl. >32 „ 3. 8) Das jährliche Interesse beträgt fl. 133; wie groß ist das In¬ teresse für 2 Jahre 4 Monate? — fl 310 „ 20. 9) 8 Ztr. 10 Pfd. n fl. 256 per Ztr. machen fl. 2073 „ 36. 10) 15^ Ellen zu fl. 2 „ 48 kosten fl. 42 „ 42. I I) 25 Pfd. zu fl. 27 „ 24 der Ztr. ---? 12) 8^ Ellen zu fl. 5 „ 45 ---? 13) 3 Ztr. s Pfd. ä fl. 38 „ 40 der Ztr. ---? 8. 99. d. Wenn die kleineren Theile in der Mehrheit kein aliquoter Theil der Einheit, deren Werth man kennt, sind, so zerlege man sie durch die Addizion oder durch die Subtrakzion in lauter aliquote Theile, berechne zuerst den Betrag für die ganzen Einheiten durch die Multiplikazion, dann den Betrag für die aliquoten Theile durch die Division, und ad- dire oder subtrahire die erhaltenen Beträge, je nachdem die Zerle¬ gung durch die Addizion oder Subtrakzion geschah. Beispiele. 1) Was kosten 30 Pfd., wenn 1 Ztr. fl. 37 „ 20 kostet? 30 Pfd. » fl. 37 „ 20 per Zentner 25 „ -- Ztr. 9 „ 20 5 „ — L von 25 1 „ 52 fl-tt „ 12 2) ^7 Lth. ü fl. 5 „ 12 per Pfund. "16 „ 2 „ 36 8 „ 1 „ 18 2 » — „ 39 I " " " fl. 4 „ 52^. 3) Z Ellen zu fl. 7 „ 3 ,, 30 r z von ß - „ 52' fl. 4 „ 224 137 4) 3 Ztr. 82 Pfd. zu fl. 302 „ 24 5) 9§ Ellen zu fl. 6 fl. 54' , 1 ,, 30 8 " ',^5 7) Wenn der monatliche Zins fl. 58 » 24 beträgt, wie groß ist der Zins für 2 Monate 23 Tage? — fl. 161 „ 34 4. 8) 8 Ztr. 41 Pfd. zu fl. 63 „ 20 per Ztr. kosten fl. 532 „ 48. 9) 3 Ztr. 37 Pfd. 29 Lth. zu fl. 58 ,, 26 per Zentner betragen fl. 197 „ 26-89. 10) Wie hoch kommen 80 Pfd. einer Waare, wovon der Zentner fl. 46 kostet? 80 Pfd. ü fl. 46 per Ztr. ab 1ö Pfd. --- z Ztr. 9 „ 12 fl. 36 „ 48. Zu 80 Pfd. fehlen noch 20 Pfd. — 2. Ztr., um einen ganzen Zentner zu erhalten, oder 80 Pfd. — i Ztr. — 20 Pfd.; man nimmt daher zuerst den Werth für l Ztr., dann für 20 Pfd., und subtrahirt den zweiten Werth von dem ersten. 11) Was betragen 9 Pfd. 28 Lth. zu fl. 4 « 24 per Pfd.? 9 Pfd. 28 Lth. u fl. 4 „ 24 pr. Pfd. 10 Pfd. fl. 46 „ — ab 4 Lth. — Pfd. — „ 33 fl. 45 ,, 27. 12) Was kosten 19^ Ellen zu fl. 3 „ 12? 19^ Ellen zu fl. 3 „ 12 20' „ 64 „ — ab „ 24 fl. 63 36. 136 13) 5^ Ellen zu fl. 5 „ 20 kosten fl. 30 „ 40. 14) 8 Mark 12 Lth. feines Silber, zu fl. 20 „ 28 die Mark, be¬ tragen fl. 179 ,, 5. 15) Was kosten 38 Ztr. 85 Pfd. zu fl. 128 „ 48 per Ztr. 38 Ztr. 85 Pfd. zu fl. 128 „ 48 per Ztr. fl. 5003 „ 52-8. 16) Der Zins für i Jahr beträgt fl. 2452 „ 12; wie groß ist der Zins für 2 Jahre 7 Monate 18 Tage? 17) Wenn ein Ztr. mit fl. 48 „ 15 bezahlt wird, wie hoch werden 20 Ztr. 62 Pfd. 8 Lth. zu stehen kommen? 20 Ztr. 62 Pfd. 8 Lth. zu fl. 48 „ 15 pr. Ztr. 20 Ztr. » 48 fl. . . . fl7"960 „ — ü 15 kr. . . . 3 „ — 50 Pfd. 24 „ 7-5 IO „ 4 „ 49-5 2 „ — „ 57-9 8 Lth. ----1 von 2 Pfd. — » 7-5 fl. 995 „ 2-4 oder 20 Ztr. 62 Pfd. 8 Lth. zu fl. 48-25 965 50 Pfd. . . . 24'125 10 „ . . . . 4-825 2 „ . . . . 0'965 8 Lth . 0 1 21 fl—995-041 ----- fl- 995 „ 2. 18) 6 Mark 9 Lth. 3 Qtchn. feines Silber zu fl 20 „ 36 die Mark betragen fl. 136 ,, 9. 139 19) 10 Ztr. 24 Pfd. 12z Lth. kosten fl. 3134, wenn I Ztr. mit fl. 315 „ 42 bezahlt wird. 20) Wie viel seines Silber ist in 42 Mark 12 Lth. enthalten, wenn eine Mark 12 Lth. 9 Gran feines Silber enthält? — 33 Mark 4-375 Lth. seines Silber. 21) 7ß Ellen zu fl. 3 „ 15 — ? 22) 26 Loth zu fl. 2 „ 14 das Pfund — ? 23) 9 Pfd. 28 Loth zu fl. 3 das Pfund — ? 24) 35 Ztr. 17 Pfd. 18 Lth. zu fl. 51 „ 12 der Ztr. ---? 25) 7 Mark 9 Lth. 3^ Qtchn. Gold ä fl. 389 „ 30 die Mark — ? 26) 83 Ztr. 57 Pfd. 18^ Lth. zu fl. 45 „ 42 der Ztr. — ? 2) Aufgaben, in welchen aus dem Betrage einer Mehrheit der Betrag irgend einer anderen Mehrheit derselben Art zu suchen ist. 8. 100. Solche Aufgaben können nur dann nach der wälschen Praktik berechnet werden, wenn die Mehrheit, deren Betrag gegeben ist, sich sehr leicht in aliquote Theile zerlegen laßt. Der Betrag für die Viel¬ fachen dieser Mehrheit wird durch die Multiplikazion, der Betrag für die aliquoten Theile durch die Division berechnet. Beispiele. I) Was kosten 18 Pfd. 8 Lth., wenn 32 Pfd. mit fl. 87 „ 24 bezahlt werden? 16 Pfd. — i von 32 Pfd. kosten fl. 43 „ 42 2 „ von 16 „ „ „ 5 „ 27'7 8 Lth. -- z von 2 „ „ „ — „ 40-8 2) fl. 49 „ 50-6. 25 16 2 462 57 II I f/ k/ k/ l/ k/ s/ fl. v v » 45 33 9-3 8-7 II Mie hoch kommen 230 Pfd. 18^ Lth., wenn 25 Pfd. mit fl. 57 „ - ' 200 25 5 16 2 L 4 Pfd. 45 bezahlt werden? Pfv. --- 8mal 25 Pfd. kosten -- Z V0N Loth — von „ -- von ,, — A von fl. 532 „ 57-1. Ein Kapital gibt zu 6 Perzent fl. 538 135 Interesse; wie viel Interesse gibt es zu 4ß Perzent? fl. 538 135 zu 6 Perzent fl. 269-067 „ 3 Perzent „ 134-533 „ iz „ u " 211 „ l von iz // fl. 4I4-8II -- fl. 414 49. 140 4) Wie viel Franken betragen fl. 382 „ 24, nenn 20 fl. einen Werth von 51-934 Franken haben? 200 fl. betragen 519-34 Franken 5) Wenn 20 fl. 58-047 griechische Drachmen gelten, wie viel Drachmen machen fl. II7 „ 25? 6) Was kosten 3 Ztr. 37 Pfd. 14 Lth., wenn 12 Ztr. auf fl. 338 „ 18 zu stehen kommen? l Die Maß- u n d G ewichl s k u n de. §. 101. Eine Größe messen heißt im Allgemeinen untersuchen, wie ost eine als Einheit angenommene Größe derselben Art in der gegebenen Größe enthalten ist. Wiewohl man zu diesem Zwecke eigentlich so viele Maßeinheiten annehmen sollte, als es verschie¬ dene Arten von Größen gibt, so hat man es doch für gut befun¬ den, dieselben auf eine geringere Zahl zurückzuführen. Alle sinnlich wahrnehmbaren Gegenstände, deren Größe wir der Rechnung unterziehen können, kommen in der Zeit oder im Raume vor, so daß man zunächst Zeit- und Raumgrößen zu unterscheiden hat. Messen der Zeitgrößen Z. 102. Die Zeit wird nach Jahren, Monaten, Wochen, Tagen u. s. w und zwar nach folgender Eintheilung bestimmt: i Jahr hat 12 Monate i Tag hat 24 Stunden l Monat „ 30 Tage i Stunde „ 60 Minuten 1 Woche „ 7 Tage i Minute „ 60 Sekunden. In der Zinsrechnung wird zwar gewöhnlich der Monat zu 30 Tagen, und sonnt das Jahr zu I2mal 30, d. i. 360 Tagen an¬ genommen; in der Wirklichkeit aber hat ein gemeines Jahr 365, ein Schaltjahr 366 Tage; eben so haben die Monate eine ungleiche Anzahl von Tagen, und zwar: 14t Bestimmung der Ranmgrößen. §. 103. Es gibt eine dreifache Art, die Raumgrößen zu bestimmen.- einige derselben werden nach ihrer Ausdehnung im Raume gemessen, man bedient sich dazu der Maße im engeren Sinne des Wortes, andere werden nach dem Gewichte bestimmt, d. i. nach der Größe des Druckes, den ste vermöge der Schwere auf eine Un¬ terlage auönben; noch andere bestimmt man nach der Anzahl der einzelnen Stücke, man nennt sie darum Stückgüter. Die Maße selbst werden wieder in Längen-, Flächen- und Körper¬ maße unterschieden. Es wäre wohl sehr zu wünschen daß sich alle Völker gleicher Maße und Gewichte bedienen würden. So lange jedoch diese Ueber- einstimmung noch mangelt, wird man genöthigt sein, sich mit den Maßen und Gewichten der bedeutendsten Staaten bekannt zu machen. In der vorliegenden Abhandlung wollen wir zunächst daS metrische Maß- und Gewichtssystem erklären, sodann die vaterlän¬ dischen Maße und Gewichte durchführen, und darauf die wichtig¬ sten auswärtigen folgen lassen. Das metrische System. §. 104. Die vielen Veränderungen, denen die Maße und Gewichte durch äußere Einflüsse ausgesetzt sind, haben schon lange das Be¬ dürfnis einer festen, unwandelbaren Einheit, nach welcher die Me߬ werkzeuge bestimmt und berichtiget werden könnten, fühlbar gemacht. Offenbar handelt es sich dabei nur um die Festsetzung einer unver¬ änderlichen Linieneinheit; ist diese gegeben, so bestimmt ihr Quadrat die Einheit des Flächenmaßes, ihr Würfel die Einheit des Körper¬ maßes, und das Gewicht des reinen Wassers, welches ein solcher Würfel faßt, die Gewichtseinheit. Französische Mathematiker haben zuerst die Ansicht ausge¬ sprochen, daß man, um für alle Zeiten ein bleibendes Maß zu ha¬ ben, die Normaleinheit aus der Natur selbst nehmen müsse. Sie gingen von der Voraussetzung aus, daß das Volumen der Erde, 1^2 mithin auch der Umfang oder irgend eine andere daraus befindliche Linie stets ein und dasselbe Maß haben würde. Man nahm wirk¬ lich die Messung eines Meridianbogens von 10 Graden, von Dün¬ kirchen chis Formentera, mit der größten Genauigkeit vor, berech¬ nete daraus die Entfernung vom Pole bis zum Aequator oder die Länge eines Meridianquadranten, und theilte dieselbe in 10 Mil¬ lionen gleiche Theile. Einen solchen Theil nannte man Meter, und legte denselben als Normaleinheit allen Maßen und Ge¬ wichten und selbst den Münzen zu Grunde; zugleich wurde dabei der leichteren Rechnung wegen durchgehends die Dezimaleintheilung zu Grunde gelegt. Dieses neue französische Maß- und Gewichts¬ system wird das metrische genannt. Die Einheit des Längenmaßes in dem metrischen Systeme ist also der Meter. Sowohl beim Längenmaße, als auch bei den übrigen Mafien wird das lOfache durch das vorgesetzte Wort Deka, das lOOfache durch Hekto, das lOOOfache durch Kilo, das lOOOOfache durch MYria ; ferner der lOte Theil durch D e ci, der lOOste Theil durch Centi, der tOOOste Theil durch Milli ausgedrückt. Es bedeu¬ tet also 1 Dekameter io Meter. 1 Hektometer 100 „ 1 Kilometer iooo „ 1 Decimeter Meter. 1 Centimeter „ 1 Millimeter „ I Myriameter 10000 „ Die Einheitdes Flächenmaßes ist ein Quadrat, des¬ sen Seite einen Dekameter beträgt, und das eine Are genannt wird. Die Vielfachen und Untcrabtheilungen werden wie beim Meter benannt. Als Einheit des Körpermaßes dient ein Würfel, dessen Seite einen Decimeter enthält, man nennt ihn Liter. Be¬ sonders häufig braucht man den Hekt o liter --- 100 Liter, und den Kiloliter — 1000 Liter, welcher letztere auch Ster ge¬ nannt wird. Die Einheit des Gewichtes ist das Gewicht desjenigen reinen Wassers, welches im Zustande seiner größten Dichtigkeit in einem hohlen Würfel, dessen Seite einen Centimeter beträgt, ent¬ halten ist; sie heißt Gramm. Das Kilogramm -- IOOO Gramm wird als das m e t r i s ch e P fu n d angenommen. 8. Oesterreichtsche Maße und Gewichte. 1 Längenmaße. §. 105. Beim Längenmaße ist das eigentliche Linien- oder Fufimaß, das Schnittwaaren- oder Ellenmaß, und das Weg- oder Mei¬ le n m a ß zu unterscheiden. 143 Das Fußmaß. Die E i n h e i t d e s ö st e r r e i ch i sch e n L ä n g e n m a ß e s ist die Wiener Klafter, welche 18966657 Meter beträgt. Sie wird in 6 Fuß, jeder zu t 2 Z oll ü 12 Linien ü 12 Punkte eingetheilt. Der Wiener Fuß ist gleich 0-316iiv95 Meter. Beim Feldmefsen bedient man sich häufig des Dezimal¬ maßes, nach welchem die Klafter 10 Fuß, ein Fuß 10 Zoll, und ein Zoll 10 Linien enthält. Der Strich als Rekrutenmaß ist Zoll. Die Faust als Pferdemaß beträgt 4 Zoll zu 4 Strich. Im lombardisch-venezianischen Königreiche ist das französische Maß gesetzlich, jedoch unter anderen Benennungen. Die Einheit ist der Melro -^ 3-16344625 Wiener Fuß, und hat 10 ?ulmi (Decimeter), ein kalmo 10 viti (Centimeter), ein Oilo 10 ^tomi (Millimeter). Außer diesen gesetzlichen Linienmaßen sind in den verschiede¬ nen Kronländern noch folgende im Gebrauche: Der alte böhmische Fuß — 0-9377 Wiener Fuß. Der Krakauer Fuß (8topu) — 0-7975 W. Fuß. Der alte mährische Fuß 0-9362 W. Fuß. Der alte Mailänder Fuß ----- 13767 W. Fuß. Der alte schlesische Fuß — 0-9155 W. Fuß. Der Venediger Fuß — 0-9167 W Fuß. b. Das Ellenmaß. §. 106. Bei Tüchern, Zeugen und anderen Schnittwaaren wird die Elle als Einheit angenommen. Die Wiener Elle ist —2-465 Wie¬ ner Fuß — 0-7792 Meter, und wird in halbe Ellen, Viertel, Ach¬ tel, Sechzehntel, oder auch in Drittel und Sechstel eingetheilt. Für das lombardisch-venezianische Königreich ist der Metro das gesetzliche Schnittwaarenmaß. 1 Metro — 1 283345 Wiener Ellen. Außerdem gibt es noch folgende hin und wieder noch ge¬ bräuchliche Ellenmaße: Die böhmischeElle — 0-7623 W. Ellen. Die Krakauer Elle (Imkiee) — 2 Krak. Fuß ----- 0-6471 W. Ellen. Die Lemberger Ette — 0-7622 W. Ellen. Der Mailänder krsooio — 0-7635 W Ellen. Die schlesische Elle — o 7424 W. Ellen. Zn Triest und Venedig gebraucht man: die Elle für Seide ----- 0-8197 W. Ellen, die Elle für Wolle ----- 0 877 W. Ellen. 144 o. Das Wkgmaß. §. 107. Die österreichische Postmeile enthält 4000 W. Klaf¬ ter — 7586'6628 Meter; die österreichische Seemeile ist gleich der englischen und beträgt 976-48 W. Klafter — 1851 852 Meter. In D alm azie n ist d.er gewöhnliche Ni'xlio, deren 75 auf einen Meridiangrad gehen, gleich 781-12 W. Klafter — 1481-48 Meter; die ämtliche Meile, Illi^lio ^raäusto genannt, ist der österreichischen Postmeile, somit — 1000 W. Klafter --- 1896-67 Meter. Die Venediger Meile ist — 1000 kassä ü 6 llioäi, folg¬ lich --- 916-701 W. Klafter -- 1738.675 Meter. 2. Flächenmaße. §. 108. Zum Messen der Flächen bedient man sich der Quadratmaße. Die Einheit ist nämlich ein Quadrat, dessen Seite ein Zoll, ein Fuß, eine Klafter, eine Meile ist, und welches dann beziehungs¬ weise ein Q u adr at zo l l (s^"), ein Qu a dr a t f u ß (ssP), eine Quadratklafter eine Quadratmeile (s^s Meile) ge¬ nannt wird. Die Eintheilung dabei ist folgende: bestimmte Menge kleinerer Flächeneinheiten eigene Benennungen eingeführt, als: Joch, Acker, Morgen, llsmpo u. dgl. Das J och zu 3 Metzen Aussaat enthält 1600^" — 57'55745 ^ro. Der Metzen als Feldmaß ist Joch. Das gesetzliche Feldmaß des lombardisch--veneziani¬ schen Königreiches ist die lornsturg (Helilurv), welche in 100 lavole eingetheilt wird. I lornalura — 2 779 98 3. .Körpermaße. 8. 109. Die Größe der Körper wird im Allgemeinen durch einen W ü r- fe l oder Kubus bestimmt, welcher eine Kubikmeile, eine 145 Äubikklafter, ein Kubikfuß . . . genannt wird, je nach dem eine Seite desselben eine Meile, eine Klafter, einen Fuß, beträgt. Die Verwandler ersieht man aus der folgenden Tabelle: I Kub -Meile enthält 64000000000 Kub.- 1 Kub." hat 216 Kub/ I Kub/ „ 1728 Kub/' l Kub." „ 1728 Kub/" Außer diesen geometrischen Körpermaßen sind für das Leben noch die Hohlmaße, womit trockene und flüssige Körper gemessen werden, besonders wichtig. a. Das Hohlmaß für trockene Körper. 110. Den Muth Getreide rechnet man zu 30 Metzen, i Metzen hat 2 halbe Metzen, 4 Viertel, 16 halbe Achtel oder Müllermaßeln, 32 große Maßeln, 64 kleine Maßeln, 128 Becher. Der niederösterreichische Metzen, welcher das ge¬ setzliche Getreidemaß ist, hat 1 9471 Kub.--Fuß ---- 0-615045 Hek¬ toliter. Das Kohlenmaß ist der Stübich, welcher 2 niederöster¬ reichische Metzen hält. Zm l o m b.- v e n e z i a n isch e n K ö n i g r e i ch e ist die 8onm (Hektoliter) — 1-6259 W. Metzen das gesetzliche Getreidemaß. 1 8oma — 10 Wne (Dekaliter) — 100 ?inlo (Liter) ---- lOOS 6oppi (Deciliter). Provinzielle Getreidemaße: Der böhmische Strich — 1'522 W. Metzen. Der Krakauer oder Lemberger Scheffel tlior^ev) — I 9998 W. Metzen. Der alte mährische Metzen — 1-1482 W. Metzen. Die Mailänder Ning von 28 Noxxiu — 2-3783 W Metzen. Der Pesther Metzen — 1-3007 W. Metzen. Der gesetzliche Preß bürg er Meßen---- 0 8 672 W.M-tzen. Der alte sch lesische Scheffel — 1-2419 W. Metzen Der Triester 8tsro — 1-2054 W. Metzen. Der Venediger 8larc> — 1-3546 W. Metzen. d. Hohlmaß für flüssige Körper. §. 111. Flüssigkeiten, als Wein, Bier, . . . werden nach Faß, Eimer, Maß, .. . gemessen, und zwar hat i Eimer 40 Maß, 1 Maß Uoönik, Arithmetik 4. Aufl. 10 1 i6 2 Halbe oder 4 Seidel oder 8 Pfiffe. Ein Faß Wein enthalt >0, ein Faß Bier 2, in Böhmen und Mähren 4 Eimer; 32 Ei¬ mer Wein nennt man l Fuder. Der W i ener Eimer enthält 1 792 Kub. Fuß --- 56'605239 Liter. Das Oel wird im Großen nach dem Gewichte, im Kleinen nach dem Maße verkauft. Im lombardisch-venezianischen Königreiche ist für flüssige Körper dasselbe Hohlmaß, wie für trockene, gesetzlich eittgeführt; es ist I 8om» — 70-66484 W. Maß. In den verschiedenen Provinzen sind neben den gesetzlichen noch folgende Flüffigkeitsmaße im Gebrauche : Der alte böhmische Eimer von 32 Cinto — 43'2 W. Maß. Der Krakauer und Lemberger kurnoe ----- 27162 W. Maß. Die alte mährische Maß — 0-756 W. Maß. Die Mailänder krönt« zu 96 Looouli ----- 53'3904 W Maß. Der O ed e n bur g er Eimer (Mo) zu 84 Halbe — 37 0998 W. Maß. Der Preß b u rg e r Eimer zu 64Halbe--- 37-6887 W.Maß. Der alte s ch l e s ische Eimer von 80 Quart — 39-68 W. M. Die Triester Wein-Ornu zu 36 kooouli — 46'6667 W. M. Die Venediger kurilu zu 64 končali — 45'4982 W. M. 4 Gewichte. 8 112. Körper, die sich mittelst der Hohlmaße nicht messen lassen, werden nach dem Gewichte, d. i. dem Drucke, den sie auf eine Unterlage ausüben, bestimmt. In Oesterreich haben folgende Gewichte gesetzliche Geltung: a. Das Handclsgewicht. Der Z ent ner hat 100 Pfund , cin Psu n d 32 Loth, ein Loth 4 Quentchen. I Zenrncr ----- 56 001199 Kilogramm. Im lombardisch-venezianischen Königreiche ist die läbbra mMriou (Kilogramm) die Einheit desHandelögewichtcs; sie ist gleich 1'785676 Pfund des Wiener Handelsgewichtes, und wird in 10 Oneo zu 10 ürossi zu 10 koiiari von 10 Orani einge- theilt. Die kibkra molrioa ist zugleich das gesetzliche Geld , Sil¬ ber- und Münzgewicht. In den einzelnen Provinzen sind noch folgende Handelsge¬ wichte üblich: Daö alte böhmische Pfund-----0 9185 W. Pfund Das Krakauer Pfund — 0-7241 W. Pfund. 147 Das Lemberger Pfund — 0 75 W. Pfund. Die Mailänder Uidluu xrossu ----- 4 .3646 W. Pfund. Uiddru piooola — 0 5835 W. Pfund Das alte schlesische Pfund — 0-9462 W. Pfund. In Triest und Venedig, die läbbru A-iossu — 0 8517 W. Pfund, die Uilllua soililo ----- 0-5379 W. Pfund. b. Das Münz - und Silbcrgcwicht. 8. 443. Die Einheit ist die Wiener Mark, welche-----0 280644 Kilogramm ist. Die Mark hat 16 Loth, i Loth 4 Qurntcl-en, 4 Quent¬ chen 4 Denar, l Denar 2 Heller, l Heller 128 Richt« Pfennige; somit ist eine Mark — 65536 Richtpfennigen. Die Wiener Mark mit ihren Unterabtheilungen ist zugleich das Valvazionsge wicht, nach welchem alle übrigen Gewichte regulirt werden. In Deutschland dient als Münzgcwicht die kölnische Mark, welche ------ 0 8331277 Wien. Mark ----- 0 2338423 Kilo¬ gramm enthält. c. Das Dukatengewichl. Gold und die daraus gearbeiteten Dachen werden durch das Dukaten gewicht bestimmt. Der Dukaten enthält 84 5^ W. Richtpfennige ------ 3 490598 Gramm, und wird in 60 Duka¬ tengran eingetheilt. 80^ Dukaten ------- 4824 Dukatcngran — 4 W. Mark. cl. Das Juwelengcwicht. Das Karat ist ----- 48^ W. Richtpfcnnige—0-206085 Gramm, und wird in 4 Iuw e l c n grän eingetheilt. e. Das Apothckcrgewicht. Das Apothekerpfund enthält 24 Loth des Wiener Han-- delsgewichtes — 420-009 Gramm. Ein Pfund hat 42 Unzen, 4 Unze 8 Drachmen, l Drachme 3 Skrupel, 4 Skrupel 20 Apothekergran Die Unze ist also 2 Loth Handelsgewicht. k. Symbolisches Gewicht zur Prüfung des GoldeS und des Silbers. Gold und Silber werden bei der Verarbeitung, damit sic mehr Härte erlangen, mit Kupfer zusammengesetzt, was man das Legiren nennt. Eine sdlche Legirung ist dann um so seiner, je 40* 148 mehrere Theile reines Geld oder Silber, und je weniger Zusatz sie enthalt. Um nun den Grad der Feinheit des Goldes oder Silbers zu probiren, nimmt man eine verjüngte Mark alö Einheit an. Diese verjüngte Gold- und Silber-Prüfungsmark ist --- i Denar — 256 Richtpfennigen --- «>0936 Gramm. Beim Golde wird dieselbe in 24 Karat zu 12 Gold¬ grän eingetheilt. Ganz reines Gold ohne allen Zusatz heißt 24karatig. 18karatig heißt solches Gold, wo in einer Mark 48 Karat Gold und 6 Karat Zusatz enthalten ist; Gold 19 Karat 7 Grän fein heißt solches, wo in einer Mark 19 Karat 7 Grän rei¬ nes Gold, das übrige aber, nämlich 4 Karal s Gran, Zusatz ist, Beim Silber theilt man die Mark in 16 Loth zu 18 Silbergrän ein. Feines Silber ohne allen Zusatz heißt lülöthig iglöthig heißt das Silber, wenn in einer Mark 13 Loth Silber und 3 Loth Kupfer vorkommen. Wenn Gold und Silber keinen Zusatz haben, so wird in der Münzkunde und im Handel eine Mark davon eine feine Mark, sonst eine rauhe Mark genannt. S. Zahlungsarten bei Stückgütern. 8. 114. Ein Schock enthält 60, ein Schilling 30, ein Man¬ dells, ein Dutzend 12 Stücke. Ein Ballen Papier hat i o Rieß, ein Rieß 20 Buch, ein Buch Schreibpapier 24, ein Buch Druckpapier 2ö Bogen Ein Bund Schreibfedern sind 25 Stück. Eine Webe Leinwand hat 54, das Stück Tuch, Flanell, Leinwand 30, das Stück Kammertuch 16, das Stück Battist iS Ellen, io Stück Tuch geben einen Ballen. 6. Verwandlung der österreichischen Provinzial maße und Gewichte in die gesetzlichen, und umgekehrt. 8- 115. Mit Hilfe der obigen Angaben lassen sich die provinziellen Maße und Gewichte in die gesetzlich vorgeschriebenen verwandeln, und umgekehrt; und zwar ersteres durch die Multiplikazion, letz¬ teres durch die Division. Beispiele. 1) Wie viel Wiener Fuß machen 3748 Krakauer Stope? 3748 X 0 7S7S --- 2989 W. Fuß. 2) Wie viel böhmische Ellen machen 328 W. Ellen? 328 : 0-7623 --- 430 3 böhm. Ellen. 149 3) Wie viel Triesier Seiden-Ellen sind 705 Mailänder örseci»? 705 X 0 7635 ----- 537 2675 W. Ellen. 537 2675 : 0'8197 ------ 655'441 Triester Seiden-Ellen. 4) Wie viel W. Metzen betragen 348 böhm. Strich? 348 X I 522 ---- 529 656 W. Metzen. 5) Wie viel Triester Stisia geben 217 2 8om6 (Hektoliter)? 217 2 X 1 6259 ----- 353 142 W. Metzen. 353'142 : 1 2054 ---- 292-97 Triester Star. 6) Wie viel Wiener Maß betragen 13 8omo? 1 3 X 70 665 ----- 918 6 W- Maß. 7) Wie viel Wiener Eimer machen 38 Oedenburger Eimer ? 38 X 37'0998 ----1309'8 W. Maß --- 32 Eimer 29'8 Maß in Wien 8) Wie viel lähhre nwtiioli« machen 128 55 Wien. Zentner? 128'55 X 56 001 199 — 7185-95 llihdrs metr. S) Es sollen 2131 Wien. Pfund in Lemberger Pfund verwan¬ delt weiden. 2131 ' 0 75 ---- 28412 Lemberger Pfund. lO) Wie viel Wiener Fuß machen 3148 Mailänder Fuß? I!) Mau verwandle 391 VenedigerWollcn-Ellen in Wien.Ellen >2) Wie viel böhmische Strich machen 315 Pesther Metzen? 0. Die vorzüglichsten Maße und Gewichte fremder Staaten. z. ns. Indem wir hier die Maße und Gewichte der wichtigsten frem¬ den Staaten zusammcnstellen, werden wir von jedem Lande a) daS Längenmaß, Ii) das Flächenmaß, n) das Körpermaß und O) das Gewicht, und zwar jedes im Verhältnisse zu den metrischen und österreichischen Maßen und Gewichten ansühren. I. Bade», Großherjogthum. Längen m aß e. 1 Ruthe hat 10 Fuß, I Fuß -----10 Zoll, 1 Zoll ------ 10Linien, 1 Fuß------ 0-3 Meter ---- 0-949 W. Fuß. — I Elle bat 2 Fuß------ 0-6 Meter ------ 0-77 W. Ellen. — Die Meile ----- 2 Wegstunden ---- 29629-7 Fuß — 8888 9 Meter ----- I-I7I6 österr. Meilen. Feldmaß, i Morgen ----- 400 ^Ruthen — 36 Are ------ 0-6255 W. Joch. Getreidemaß. l Malter ------ 10 Sester ä 10 Meslein ----- 1'5 Hektoliter ------ 2-4388 W. Metzen. Fliissigkeitömaß. i Ohm-----100 Maß ä 4 Schoppen. i Maß ---- i-5 Liter ------ i 06 W. Maß. Gewichte. I Zentner ----- io Stein----- loo Pfund---- lOOOZehn- ling-, auch wird das Pfund in 2 Mark, die Mark in 2 Vier 150 linge oder 8 Unzen zu 2 Loth eingetheilt. 1 Pfund -- 0 5 Kilogramm — 0-8928 W. Pfund. 2. Balern, Könige,-ich Längenmaße. 1 Fuß hat 12 Zoll, 1 Zoll 12 Linien. 1 geometri¬ sche Ruthe — 10 Fuß. I Fuß — 0 2919 Meter — 0 9234 W- Fuß.— I Elle — 0^833 Meter — 1069 W. Ellen. Feldmaß. 1 Tagewerk — 400 ffZNuthen -- 0 3407 Uoolaros — 0-592 W. Joch. Getreidemaß. I Scheffel hat 6 Metzen --2-2236 Hektoliter--- 3-6153 W. Metzen. Fl ü ssi g keit s m a ß. 1 Eimer hat 64 Maß. 1 Maß oder Ma߬ kanne --- 1 069 1-itor --- 0-7554 W. Maß. Gewicht. 1 Zentner — 100 Pfund ü 32 Loth. I Pfund — 6-56 Kilogramm — 0-999978 W. Pfund. 3. Belgien, Königreich. Belgien hat die französischen Maße und Gewichte, jedoch unter anderen Benennungen. Längen m a ß. Funo — Meter, I'orolio — Dekameter, Mio --- Kilometer, llslmo — Decimeter, l'ouoo — Centimeter, I^iK-no — Millimeter. Feldmaß. Ilonnier — Uoolaro, llerclio oarröo----Fro, Funo oginw ---- sfZMeter. H o h l m a ß. Onnlo — 8lor, 1,u«t — Hektoliter, Iloisseuu — De¬ kaliter, luiron — Liter als Getreidemaß; llnril ---- Hektoliter, lllirvn — Liter als Flüssigkeitsmaß. Gewi ch t. luvro — Kilogramm, Onoo — Hektogramm, 6ro«« --- Dekagramm, üFiorlin — Gramm, und (Amin --- Dezigramm. 4. Braunschweig, Herzogthum. Längenmaße. 1 Ruthe hat 16 Fuß, I Fuß 12 Zoll, l Zoll 12 Linien. I Fuß -- 0-2854 Meter — 0-9027 W. Fuß. — I Elle — 2 Fuß --- 0-5707 Meter ---- 0-7324 W. Ellen. Feldmaß. 1 Morgen von 120 ffZRuthen — 0 2502 Hektaren -- 0 4346 W. Joch. Getreidemaß. 1 Mispel hat 4 Scheffel, 1 Scheffel 8 Hunten. ! Hunten — 2316 Kub. Zoll — 0 3>I4 Hektoliter — 0-5064 W. Metzen. F l ü ssi g k e i t S m a ß. I Fuder Wein hat 4 Orthoft oder 6 Ohm, I Ohm 4 Anker, i Anker 10 Stübchen oder 20 Maß, und l Maß 2 Quartier. 1 Quartier --- 0-9368 Liter — 0-662 W. Maß. Gew i ch t. I Z en t n er hat 100 Pfund zu 32 Loth zu 4 Quent¬ chen I Pfund — 0-4677 Kilogramm — 0-8352 W. Pfund. 151 5. B re m e n, freie Stadt. Längenmaße. 1 Ruthe hat 16 Fuß zu 12 Zoll. i Fuß — 0-2895 Meter ----- 0 9158 W. Fuß. — I Elle ---- 2 Fuß 0-579 Meter — 0-7431 W. Ellen. Die Brabanter Elle wird beim Verkaufe von Maaren zu 14 Bremer Ellen gerechnet. Getreidemaß. i Last hat 40 Scheffel zu 4 Viertel, il Scheffel — 0-741 Hektoliter — 1-2049 W. Metzen. F lü ssi gk e i t ö m a st. i Oxhoft hat 1 4 Ohm, l Ohm 4 Anker oder 180 Quart, i Quart0 8054 Liter---0-5691 W. Maß. Gewicht. I Zentner hat 1l6 Pfund zu 32 Loth zu 4 Quentchen I Pfund — 0-4985 Kilogramm — 0-89 W. Pfund. 6. Dänemark, Königreich. Längenmaße. 1 Ruthe — i o Fuß; > Fuß hat 12 Zoll, l Zoll 12 Linien. 1 Fuß ----- 0-3138 Meter ----- 0-9929 W. Fuß. — I Elle — 2 Fuß — 0-6277 Meter ----- 0-8056 W. Ellen. — I Meile ----- 7532-48 Meter ----- 0'99286 österr. Meilen. Feldmaß. 1 Morgen -----180 ^Ruthen — 0-2553 Hektaren — 0-4436 W. Joch. Getreidcmaß. Die Korntonne wird in 8 Scheffel, und der Scheffel in Viertel, Achtel und Sechzehntel eingetheilt. l Korn- toune — I-39I2 Hektoliter --- 2-262 W.Metzen. F lüssi g k e i t S m a st. 1 Fuder hat 6 Ohm, l Ohm 4 Anker oder l55 Pott. I Pott----54 Kub. Zoll---- 0-9661 Liter-----06827 W. Maß. Gewicht. Der Zentner hat 100 Pfund zu 32 Loth zu 4 Quint. 1 Pfund — 0-4993 Kilogramm ----- 0 8916 W. Pfund. 7. England, Königreich. Längen m a st e, i Ruthe (polo oder perlli) — 5^ Vurels. 1 Vurri — 0-9144 Meter — 2'8926 W. Fuß ----- 1-1735 W. Ellen.— 1 Fuß ----- 4 Vsr.I ----- 0-3048 Meter ----- 0'9642 W. Fuß. — Die gesetzliche Meile — 1760 luräs — 1609'315 Meter — 0 212124 osterr. Meilen. Die englische Seemeile — 5565-1 18 Meter ------ 0-73354 österr Meilen Feldmaß. I — 160 HjRuLhen — 0'4047 Hektaren — 0-7031 W. Joch. Get re idem aß, i Quarter hat 8 Bushels, i Bushel 8 Gallons zu 4 Quart, i Quarter — 2 9078 Hektoliter ----- 4-7278 W. Metzen. Das Gallon, welches daö Normalmast für trockene und fluffige Gegenstände bildet, ist — 4-54346 Liter — 0 07287 W. Metzen. Fl ü ssi gkei tsmast. Die Tonne für Wein hat 252, für Bier 216, für ^lo 192 ttulion« 1 6ullon------- 4 54346 Liter — 3-21063 W. Mast. 152 Gewichte. Das Iro^s-Gewicht : das^roys-Pfund von 12 Un¬ zen ----- 0'37325 Kilogramm — o 6665 W. Pfund. — DaS Pvoi-z-tiu-pois-Eewicht (allp): die Tonne hat 20 Zentner zu 4 Quarters oder zu 8 Stein oder 112 Pfund; das Pfund ist --- 16 Unzen zu 16 Drachmen, 1 Drachme hat 3 Skrupel, 1 Skrupel 10 Grän. I Pfund näp — 0 4536 Kilogramm ----- 0'81 W. Pfund. 8. Frankfurt a M., freie Stadt. Längenmaße. Die Ruthe ----- 12^ Werkfuß — 10 Feldfuß; I Fuß hat 12 Zoll zu 12 Linien, l Werkfuß ---- 0'2846 Me¬ ter ----- 0 9004 W.Fuß. — 1 Elle --- 0'5473 Meter — 0'7024 W. Ellen. Die Frankfurter Brabanter Elle — 0 6992 Meter ----- 0'8973 W Ellen. Feldmaß. 1 Morgen ----- 160 ss^Ruthen ----- 0-2025 Hektaren — 0'3518 W. Joch. 30 Morgen nennt man eine Hube oder Hufe Land. G e tr e i d e m aß. I Malter hat 4 Summer und 4 Sechter. I Mal¬ ter ----- 1-1475 Hektoliter ---- 1 8656 W. Metzen. Flüssigkeitsmaß. I Ohm hat 20 Viertel zu 4 alte Maß; 6 Ohm machen 1 Fuder. 1 alte oder Eichmaß — 1'7929 Li¬ ter — I 2669 W. Maß. Gewicht. 1 Zentner hat 100 Pfund Schwer-, und 108 Pfund Leichtgewicht; das Pfund hat 32 Loth zu 4 Quint zu 4 Pfen¬ ning. I schweres Pfund — 0-5053 Kilogramm — 0 9023 W Pfund; I leichtes Pfund — 0 4679 Kilogr. 0 8355 W. Pfund. 9. Frankreich, Republik. Das metrische System, welches in Frankreich gesetzlich eingeführt ist, haben wir seinem Wesen nach bereits oben erklärt; hier sollen nur die Verhältnisse desselben zu den österreichischen Maßen uns Gewichten angeführt, und zugleich die älteren Maße und Gewichte Frankreichs mitgetheilt werden. Längenmaße. 1 Meter 3-16344625 W. Fuß — 1 283345 W. Ellen. — Die alte Toise hat 6 Fuß; der königliche Fuß, ?ieü ik, I 8o- lolnik ----- 96 voli (Theile). I Pfund — 0-4095 Kilogramm ----- 0-7313 W. Pfund. 19. Sachsen, Königreich. Längenmaße, i Ruthe hat 16 Fuß zu 12 Zoll, i Fuß---^ 0-2832 Meter ---- 0 8959 W. Fuß. — I Elle ----- 2 Fuß ----- 0-5664 Meter — 0 7269 W. Ellen. — Die Meile — 32000 Fuß — 9062 08 Meter ---- I 1945 österr. Meilen. Feldmaß. I Acker — 300 ^Ruthen ----- 0-5534 Hektaren ----- 0-9615 W. Joch. Getreidemaß. i Mispel hat 2 Malter zu I2Wcheffrl, 1 Schef¬ fel 16 Metzen. 1 Scheffel ----- 1-0514 Hektoliter ----- 1-7095 W. Metzen. Flüssigkeitsmaß. 1 Fuder hat 12 Eimer, 1 Eimer 72 Kan¬ nen. I Kanne ---- 0 9355 Liier ----- 0 6618 W. Maß. Gewicht 1 Zentner — 5 Stein ----- lio Pfund. Das neue sächsische Pfund — 0 5 Kilogramm ----- 0.8928 W. Pfund. 20 Sardinien, Königreich. Die neuen Maße und Gewichte sind die französischen me¬ trischen. Alte Maße: Längenmaße I l'rnbuooo — 6 Lieüi zu 12 Onco ü 12 llunti, I llivlle ----- 0 5138 Meter — 1-6254 W. Fuß — 1 ----- 1 7126 Meter ----- 2 1979 W. Ellen. Feldmaß, i tiiol-naw von ioo 'kuvolo ------ 0-3801 Hektaren ----- 0 6604 W. Joch. Getreidemaß. 1 8aooo ----- 5 lümino 400 6oppi. 1 Lmina ----- 0 2301 Hektoliter — 0 3741 W. Metzen. Flüssigkeitsmaß. 1 Lrenta-----36 llinlo----- 72 kloeosl! I Vvo- calo ----- 0-6845 Liter — 0-4837 W. Maß. Gewicht. 1 vuddo —25 lübku-o zu 12 Onoo. I viddra----- 0-3688 Kilogramm — o 6586 W. Pfund. 21. Schweden, Königreich Längenmaße 1 Ruthe------ 16 Fuß zu 12 Zoll, i Faden-----6 Fuß. i Fuß ------ 0 2969 Meter — 0-9392 W. Fuß. — > Elle ----- 157 O 5938 Meter ----- 0-762 W Ellen — Die Meile 6000 Faden ---- 10688 44 Meter — I-41486 osterr. Meilen. Feldmaß, i Tonne Land ----- 56000 ^Fuß — 0 4936 Hektaren ----- 0 8577 W. Joch. Getrcidemaß. I Tonne — 2 Spann — 8 Viertel — 56 Kan? nen --- 112 Stoop. i Tonne — I 6488 Hektoliter — 2 6808 W. Metzen. Fl ü ssigk ei t s m a ß. I Fuder — 2 Pipen — 4 Orhoft — 6 Ohm — 12 Eimer----24 Anker — 360 Kannen, i Kanne —2 6172 Liter — 1-8494 W. Maß. Gewicht. 1 Zentner — 100 Pfund zu 32 Loth. Das 8ksl- Pfund als Handelsgewicht--- 0 4251 Kilogramm — 0 759 W. Pfund. 22 Schweiz. Längenmaße. I Ruthe ----- io Fuß, i Klafter 6 Fuß zu 10 Zoll zu 10 Linien, i Fuß ----- 0 3 Meter — 0-949 W. Fuß. — I Elle ------ 2 Fuß ----- 0 6 Meter — 0 77 W. Ellen. — Die neue Wegstunde ---- 16000 Fuß ----- 4800 Meter --- 0 6327 österr. Meilen. Feldmaß. I Juchart von 400 ^Ruthen ----0 36 Hektaren ----- 0-6255 W. Joch. Getreidemaß. i Malter ----- io Viertel — 100 Jmmi ---- 160 Mäßlcin. 1 Malter ---- i 5 Hektoliter — 2-4388 W Metzen. Flüssigkeitsmaß. i Ohm ----- 100 Maß. i Maß ----- 1-5 Liker --- 1-O6 W. Maß. Gewicht. Der Zentner hat 100 Pfund, 1, Pfund 32 Loth zu 4 Quentchen. Das neue Pfund ------ 0 5 Kilogramm ------ 0 8928 W. Pfund. 23. Sizilien, ein mit Neapel vereinigtes Königreich. Längenmaße. 1 timmu-----10 ?slmi. 4 ?slmo----- 0 26455 Me. ter ----- 0 8369 W. Fuß ----- 0-3395 W. Ellen. Feldmaß. I AoSKio ----- 10000 s^llulmi ----- 0 06998 Hektaren ----- 0 1216 W. Joch. Getreidemaß. 1 lomolo — 3 Kub. kslmi, und wird in Halbe und Viertel, oder auch in 24 Maß eingetheilt. 1 '1'omolo ----- 0185 Hektoliter ---- 0 3008 W. Metzen. Flüssigkeitsmaß. I Lotto ----- 12 Lgrili von 60 Oarullo. 1 0»- rsssg ----- 0-952 Liter ----- 0-6727 W Maß. Gewicht. I 6sntaso — 100 kotlola, I kottolo ---- 1000 Irsposm. I Lotlolo ------ 0 891 Kilogramm — 4 594 W. Pfund. 24. Spanien, Königreich. Längenmaße. 1 kastilischer Fuß von 12 Lulxallns ----- 0 2783 Meter ----- 0-8804 W. Fuß. — 1 Vur« ----- 3 Fuß ----- 0-835 Me« .158 ter — 1 0716 W. Ellen. — I Doxa ioxal — 5555 56 Meter — 0 73228 osterr. Meilen. Feldmaß. 1 danoxa — 9100 HfVaras — 0'6426 Hektaren — 1-1164 W. Inch. Getrcidemaß. I Oadix — 12 kanoxas-----144 Oolomines. 1 Da nexa — 0-563S Hektoliter ----- 0 9161 W. Metzen Fl ü s si gk ei t s m a ß. I Alo)O — 16 ^rrodas ma^oros oder 6an- taras, 1 ^rroda ma^or — 4 Ouarlillas — 8 ^rumdrus. 1 ^ruiudra ----- 2-0171 Liter — 1 4254 W. Maß. Gewicht. 1 Ouintal-----4-Lrrodas zu 25 Indras. 1 Didrs----0'460i Kilogramm — 0 8216 W. Pfund. 25. Toscana, Großhcrzogthum. Längenmaße. I Feldmesser 6snna — 5 Draoeia zu 20 8oI5) Die Goldausbeute Rußlands betrug im Jahre 1849 1634 Pud 2 Pfund 23 Solotnik 88 Theile; wie viel macht dieses im Wiener Markgewichte? 8. 118. 2. Verwandlung der österreichischen oder metrischen M a ße und Gewichte in andere ausländische. Man be¬ dient sich dabei der Division. Beispiele. 1) Wie viel preußische Fuß machen 248 Meter ? 248 : 0 3138 789 8 pr. Fuß. 2) Wie viel bairische Ellen sind 555 Wiener Ellen? 555 : 1 069 ----- 519 5 bairische Ellen. 3) Man verwandle 3128 Wiener Joch in dänische Morgen. 3128 : 0 4436 — 7051 4 dän Morgen. 4) Man verwandle 1234 Wiener Metzen in englische QuarterS 1234 : 4 7278 ----- 261 01 Quarters. 5) Wie viel englische Gallons machen 348 Liter? 348 : 4 5435 ----- 76 59 Gallons 6) Wie viel sächsische Eimer betragen 73 8 Wiener Eimer? 73 8 Wien Eimer — 2982 W Maß. 2952 : 0 6618 — 4460 6 Dresdner Kannen. 4460 6 Kannen ---- 61 9 sächsische Eimer. 7) Man verwandle 253 Wiener Zentner in Zollzentner. 253 : 0 8928 ----- 283 38 Zollzentner. 8) Wie viel russische Pfund machen 7l 63 Wiener Zentner? 71 63 : 0 7313 ----- 97 95 Pud. 9) Wie viel portugiesische Quinta! machen 712 5 Kilogramm? 161 712 S : 0-4589 — 1552-6 Libras. 1552-6 Libras --; 12 13 -Quintal. 10) Der Hamburger Michaelisthurm ist 340 Pariser Fuß hoch; um wie viel Pariser Fuß ist der Wiener Stephansthurm hö¬ her, welcher eine Höhe von 451 Wiener Fuß hat? 11) Im Jahre 1841 wurden in Triest aus Rußland 97500 Star Weizen eingeführt; wie viel Tschetwert sind es? 12) In demselbm Jahre wurden in Triest aus England 13700 Wiener Zentner Roheisen eingeführt; wie viel sind es engl. Tonnen? 13) Das berühmte Heidelberger Faß halt 6620 Wiener Eimer; wie viel saßt es badnische Ohm? 8. 119. Um allgemein das Maß oder Gewicht irgend eines Landes in das gleich geltende eines anderen Landes zu verwandeln, muß zuerst das Pari, d. i. ein Gleichheits- außdruck zwischen den Maßen oder Gewichten der beiden Länder gegeben sein. Dieses ist aus den obigen Angaben leicht zu ermit¬ teln; so ist z. B. 1 baierischer Scheffel ----- 3 6153 W. Metzen, 1 sächsischer Scheffel — 17095 W. Metzen; daher I 7095 baier. Scheffel ----- 1-7095 x 3 6153 W. Metzen, und 3 6153 sächsische Scheffel--- 1-7095 x 3-6153 W. Metzen; und somit 1-7095 baier. Scheffel — 3-6153 sächs Scheffel, oder wenn man mit 10000 multiplizirt, I7V95 baierische Scheffel — 36153 sächs. Scheffel, welches das Pari zwischen dem baierischen und preußischen Getrei- demaß ist. Um eben so das Pari zwischen dem badischen und rus¬ sischen Gewichte zu erhalten, hat man: 1 bad. Pfund — 0-5 Ki¬ logramm, 1 russisch Pfund — 0-4095 Kilogramm, woraus sofort als Pari 0-4095 bad. Pfund — 0 5 ruff. Pfund, oder 4095 bad. Pfund ----- 5000 ruff. Pfund folgt. Hat man einmal das Pari zwischen den beiden Maß- oder Gewichtsgattungen, so geschieht , die Verwandlung durch die ein¬ fache Regeldetri. Beis piele. 1) Wie viel baierische Fuß betragen 258 alte pariser Fuß? 1 baierischer Fuß ----0-2919 Meter > Pari -. I alter Par. Fuß — 0 3248 Meter / 3248 baier. F.-----2919 Par F. X : 3248 ----- 258 : 2919, daher X — 290 5 baier. Muß. 2) Man verwandle 723 preußische Morgen in russische Deffätin 1 preuß. Morgen — 0-4436 W. Joch r Pari: 1 ruff. Deffätin ----- 1 8981 W Joch / 18981 pr. M ----- 4436 D. X -. 4436 ----- 723 : 1M8I; x ------ 168 97 Deffätin. iVIoömk, Arithmetik. 4. Aufl. 11 162 3) Wie viel russische Lschetwert machen 1234 sächsische Scheffel? I russ Tschetw.-----2 099 Hektolit.'» Pari: I sächs. Schffl. — l-O5I4Hektolit /I05I4 Tschetw.----- 20990 Sch. X : 10514 ----- 1234 : 20990; X --- 618'12 Lschetwert. 4) Wie viel Dresdner Kannen sind 192 englische Gallons? I DresdnerKanne —0'6618 W. Maß Pari: 1 englische Gallon --- 3 2106 W. Maß / 32106 K. ----- 6618 Gall. X : 32106 ----- 192 : 6618 ; X ---- 931 46 Kannen. 5) Wie viel Zollvereins-Pfund machen 12340 Hamburger Pfund? I Zoll-Pfund-----0 5 Kilogramm Pari: 1 Hamb Psd. — O 4846 Kilogr. 7 4846 Zollpf.— 5000 Hamb.Pf. x : 4846 ---- 12340 : 5000; x ----- 11960 Zollpfund. 6) Die Länge der Eisenbahnen in Großbritannien und Irland beträgt 3780 Kilometer; wie viel sind es englische Meilen? 7) Frankreich erntet im Durchschnitte jährlich ungefähr 70 Mil¬ lionen Hektoliter Weizen, 60 Millionen Hektoliter Hafer, 45 Millionen Hektoliter Roggen, 17 Millionen Hektoliter Gerste. Wie viel beträgt dieses in preußischen Scheffeln? 8) Portugals Weinausfuhr betrug aus Oporto im Jahre 1844 33946 Pipen; wie viel sind dies Hektoliter? 9) Griechenland liefert im Durchschnitte jährlich 2^ Millionen preußische Eimer Wein; wie viel sind es griechische Kilo? 10) Rußland verschifft jährlich an Flachs 3035600 Pud, an Hans 2417000 Pud; wie viel beträgt dieses in englischen Zentnern? I I) Die Eisenprodukzion der preuß. Hütten war 1843 4507414 preußische Zentner, jene der englischen 1330000 Tonnen; wie groß ist der Unterschied in sächsischen Zentnern? VH. Das Geld- und Münz wesen. §. 120. Der ursprüngliche Verkehr unter den Menschen bestand in ei¬ nem bloßen Austausche von Erzeugnissen gegen Erzeugnisse. Die Mannigfaltigkeit der sich immer steigernden Bedürfnisse, und die Unbequemlichkeiten, die mit der Versendung, Aufbewahrung und Erhaltung der Produkte, die man ein- und austauschte, verbun¬ den waren, machten frühzeitig die Mängel dieses Tauschhandels sichtbar. Man dachte aus Mittel, einen allgemeinen Maßstab für 163 den Werth der verschiedenen Erzeugnisse ausfindig zu machen, und kam nach einer Reihe unglücklicher Versuche und der Benützung der verschiedensten Stoffe endlich aus die Metalle, die sich als ein allgemeiner Werthmesser der Dinge, als Geld, ganz besonders eignen. Die Metalle, namentlich Gold und Silber, haben ihren eigenen Werth; sie gewähren Bequemlichkeit im Verkehre; sie sind dauerhaft und können durch den Verkehr nicht so leicht abgenutzt werden; sie sind nur mit Mühe und nicht allzu häufig zu gewin¬ nen ; sie entsprechen demnach allen Anforderungen, die man an einen allgemeinen Werthmesser der menschlichen Bedürfnißmittel machen kann. Man machte aus den Metallen Stücke von bestimmter Form und Größe, versah sie mit einem Gepräge, wodurch der Werth der¬ selben bestimmt und verbürgt wurde, und nannte sie Münzen. Außer solchen wirklich geprägten Münzen gibt cs auch bloß eingebildete oder R ech n u n g s m ü n z e n, und diese sind es eben, nach denen der Werth der Dinge, selbst auch der gepräg¬ ten Münzen, bestimmt wird. §. 121. Der Werth einer geprägten Münze hängt von dem Ma¬ teriale, woraus sie geprägt ist, von der Feinheit dieses Ma¬ terials und von dem Gewichte ab. Gold- und Silbermünzen haben einen allgemein anerkannten Werth; Kupfermünzen gelten nur im eigenen Lande, und zwar als Scheidemünze, um die kleineren Unterschiede in Zahlungen auszugleichen. Das ganze Gewicht einer Münze wird das Schrott, das Gewicht des feinen darin enthaltenen Goldes oder Silbers das Korn genannt. Die gesetzliche Bestimmung des Schrottes und Kornes einer Münze nennt man den Münzfuß. Für Goldmünzen sind für uns besonders wichtig: 1) Der Dukaten fuß, nach welchem 67 Stück auf eine kölnische Mark Gold, welches 23ß Karat fein ist, gehen. Nach diesem Münzfüße werden in Oesterreich die kaiserlichen Dukaten ausgeprägt. 2) Der Pistolenfuß, nach welchem aus einer kölnischen Mark Gold, 260 Grän fein, 35 Stück ausgemünzt werden. Die¬ ser Münzfuß liegt den preußischen Friedrichsd'or, den sächsischen Augustd'or, den hannoverschen Georgsd'or und den dänischen Chri- stiansd'or zu Grunde. 3) Der Souverainsd'orfuß, nach welchem im lombar¬ disch-venezianischen Königreiche ein Souveraind'or ein metrisches Gewicht von 113 Gran und 32^ Hunderttheilen eines Granes Gold enthält, das A fein ist, d.i. 9 Lheile seines Gold und einen Lheil Zusatz hat. * II 164 Für Silber m-ünzen haben für uns besonders folgende Arten des Münzfußes Wichtigkeit: 1) Der 20--Guldenfuß, nach welchem eine kölnische Mark fein Silber zu 20 Gulden ausgeprägt wird; dieser Münzfuß, wel¬ cher auch der K o n v e n z i o n s - K o ur a ntfuß genannt wird, ist in ganz Oesterreich üblich. 2) Der I4-Thaler-. oder 24^-Gulden fuß, nach wel¬ chem aus einer kölnischen Mark fein Silber 14 Thaler ü iß Gulden oder 24^ Gulden geprägt werden. Nach ihm rechnen die Staaten deö deutschen Zollvereins, und zwar die norddeutschen, als Preu¬ ßen, Sachsen, . . . nach Thalern, die süddeutschen aber, als Baiern, Würtemberg, . . . nach Gulden. 3) Der 24 -G u ldenfnß ist ein bloßer Rechnungsfuß; er kommt in einigen deutschen Staaten unter dem Namen der R e i chömü n z e oder des rheinischen Geldes vor. Wenn man den Münzfuß in Bezug auf zwei Gattungen von Silbermünzen kennt, so ist dadurch das Verhältnis; dieser Münz¬ gattungen vollkommen bestimmt. Z. B. aus einer kölnischen Mark feines Silber können 20 Gulden Konvenzions-Münze geprägt werden; aus einer kölnischen Mark fein Silber lassen sich auch 14 preußische Thaler prägen; folglich ist in 20 Gulden Konven- zions-Münze eben so viel Silber als in 14 preußischen Thalern, daher: 20 fl. K. M. — 14 preuß. Thlr. Dieser Ausdruck gibt das Werthverhältniß der beiden Münz¬ gattungen, oder ihr Pari an. §. 122. Bei der Auswechslung gewisser Münzsorten, besonders der Goldmünzen, pflegt man entweder wegen ihres größeren inneren Gehaltes oder wegen ihrer größeren Beliebtheit ein Aufgeld über ihren gesetzlichen oder Rechnungswerth zu geben. Dieses Aufgeld wird das Agio genannt. Das Agio wird entweder per Stück oder in P r o z e n t e n bestimmt. Das Agio per Stück ist der Unterschied zwischen dem gesetzlichen und dem von verschiedenen Umständen abhängigen veränderlichen Werthe eines Stückes. Z. B. der kaiserliche Duka¬ ten gilt gesetzliche fl. 30 kr., im Handel aber gibt man dafür 4 fl. 50 kr., bald mehr, bald weniger, je nachdem die Nachfrage nach Dukaten stärker oder geringer ist: wenn nun 4 fl. 50 kr. der kur¬ rente Werth eines Dukatens ist, so sind 20 kr. das Agio per Stück. — Das Agio in Prozenten wird angegeben, indem man sagt, um wie viel 100, welche in der besseren Münzsorte bezahlt werden, mehr werth sind, als 100 in der geringeren Geldsorte Wenn z. B. die kaiserlichen Dukaten mit 10"^ Agio stehen, so 165 heißt dieseß: für 100 Gulden in Dukaten muß man iio Gulden in der geringeren Geldsorte bezahlen. 1. Oesterreichisches Geld- und Münzwesen. §. 123. Zn Oesterreich rechnet man nach Gulden, Kreuzern und Pfennigen, und zwar hat 1 Gulden 60 Kreuzer, I Kreuzer 4Pfen¬ nige. 20 Gulden enthalten eine kölnische Mark feines Silber. Ein Reichsthaler gilt 1^ Gulden. Zm lombardisch - venezianischen Königreiche rechnet man nach Iure zu 100 Lonlesimi. 3 lüro gusirmvlm machen 1 Gulden Kon- venzionsmünze. Die geprägten Münzen sind aus Gold, Silber und Kupfer. Ferner gibt es Gulden, und zwar ganze, halbe und Viertel; Zwanziger, Zehner, Sechser, Fünfer und Groschen zu 3 kr.; endlich ilnro gustrigoüe zu 20 kr., und zwar ganze, halbe und Viertel. v) Kupfermünzen: Zweikrcuzerftücke, Kreuzer, halbe und Viertelkreuzer, Stücke zu 5, 3 und 1 Lenlosimi. Außer den angeführten Gold- und Silbermünzen genießen in Oesterreich auch folgende die Vortheile des gesetzlichen Umlaufes, und zwar nach dem nachstehenden Tarife: 166 167 k. Silbermünzen. Bairischer Schwert- oder Kronthaler Bologneser 8ou? X : 20 1324 : 58'047; X ---- 456 fl. I l kr.K.M. 6) Wie viel Hamburger Mark Banko machen 5208 fl. baierisch? x : 27Z 5208 : 242; x — 5872 Mark 4 Schill. 7 Pfenn. Banko. 7) Rußland führte im Zahre 1843 nm 3727212 Rubel Baum- wollwaaren ein; wie viel beträgt dieses in Konv. Münze? 8) Zm Zahre 1813 war der Werth von Großbritanniens und Irlands Ausfuhr 1 17877278 Pfund Sterling; wie viel macht dieses in fl. K. M., wie viel in kruncs, wie viel in preußischen Thalern? 9) Bei der Leipzig-Dresdner Bahn ist das Anlagekapital auf die Meile 668387 fl. rheinisch, bei der München-Augsburger Bahn 517240 fl. rhein., bei der Wien-Gloggnißer Bahn 1221000 fl. rhein.; man gebe diese Werthe in fl. K. M. an. 10) Nach einerZusammenstellung der europäischen Finanzverhält- nifse für das Zahr ,849 beläuft sich die Staatsschuld Groß- Uoömk, Arithmetik. 4. Ausl. I 2 170 britanniens aus 19500 Millionen kA'anos, jene Frankreichs auf 5000 Millionen ?rgn68, und die Staatsschuld Oesterreichs aus 2960 Millionen krano«; wie viel betragen diese Sum¬ men in sl. K. M., wie viel in Pfund Sterling ? 11) Der Werth der in Rußland vom Jahre 1664 bis zum Jahre 1844 geprägten Münzen beträgt 596166271 Silberrnbel; wie groß ist diese Summe in st. K. M, in krnno«, in Pfund Sterling, in sächsischen Thalern, im 244 st Fuße? 12) Die jährlichen Staatseinnahmen betragen in Preußen 59 Mil¬ lionen Thaler, in Baiern 46 Millionen Gulden, in Sachsen 5ß Millionen Tbaler, in Würtemberg 3i Millionen Gulden, in Belgien 75 Millionen llrano«, in Dänemark 17 Millionen Reichsbankthaler, in Griechenland 15 Millionen Drachmen. Man reduzire alle diese Summen auf Gulden Konv. Münze. IS) In den vereinigten Staaten von Nordamerika wurden im Jahre 1850 7I7026I Doppeladler (Goldmünzen) im Wer- the von 23405222 Dollars geprägt; wie hoch in Konv. Münze beläuft sich der Werth eines Doppeladlers? t>. .Verwandlung verschiedener Münzsorken in die Nechnungsmünze eines Ortes. 8. 125. Um den Betrag für eine gegebene Anzahl Münzstücke in der Rechnungsmünze eines Ortes zu finden, darf man nur den Werth eines solchen Münzstückes mit der Anzahl derselben multipliziren. Meistens wird dabei mit Vortheil die wälsche Praktik angewendet. B e i sp i el e 1) Wie viel st. machen 95 Stück k. Doppel-Dukaten ä 9 fl. ? 95 X 9 -- 855 fl 2) Wie viel in K. M. betragen 348 k. Dukaten ä fl. 4 „ so? 348 chfi ü 4 „ 30 1392 174 ?566 st. 3) Man verwandle 74 Louiöd'or ä sl. 8 „ 55 in Konv Münze ^4 ä fl.8 „ 55 666 9 st. — 6 „ 10 S kr. st. 659 „ 5^" 4) Wie viel betragen 614 Kronthaler ä fl. 2 „ 12? st. 1350 „ 48. 17t S) Was betragen 148 Souveraind'or a fl. 13 „ 20? fl. 1973 „ 20. ü) Wie viel muß man für 113 Napoleonsd'or zu fl. 9 ,, 42 be¬ zahlen? 7) Was betragen 204 ruff. Imperials zu fl. 9 „ 52? 8) Jemand kauft 137 Friedrichsd'or u fl. 9 „ 45, 37 Souverain¬ d'or ü fl. 17 „ 3 und 85 engl. Souvereigns zu fl. II „ 54; wie viel muß er dafür in Konv. Münze bezahlen? §. 126. Wenn eine Münzsorte gegen die Rechnungsmünze eines Ortes Agio genießt, so ist zu unterscheiden, ob das Agio pr. Stück oder in Prozenten angegeben ist. Ist das Agio per Stück gegeben, so addirt man es sogleich zu dem gegebenen Werthe eines Münzstückes, und sucht daraus den ganzen Münzbelauf. Wenn aber das Agio in Prozenten gegeben ist, so bestimmt man zuerst den Münzbelauf nach dem Rechnungs- werthe eines Münzstückes, sucht von dieser Summe das Agio nach der Prozentrechnung, und addirt es dazu. Beispiele. 1) Die kais. Dukaten u fl. 4 „ 30 haben 14 kr. Agio per Stück; was betragen 256 Hfl? i flfl 4 „ 30 256 flfl L 4 „ 44 Agw _1024 fl. 4 „ 44 85 „ 20 20 85 „ 20 20 17 „ 4 4 fl. 1211 „ 44 2) Wie viel sind 85 Souveraind'or werth, wenn das Agio per Stück 35 kr. betragt? 85 Souv. ü fl. 13 „ 55 1190 14 fl. — 7 „ 5 5 kr fl. 1182 „ 55' 3) Die flfl stehen mit 5 0/0 Agio; wie viel betragen 376 Stück ? 376 flfl S 4 „ 30 1504 >88 fl 1692 84 „ 36 Agio a 5>/„ fl. 1776 „ 36 I 2 * !72 4) Wie viel betragen 78 Souveraind'or mit lö"/, Agio? 78 Sony, a 13 „ 20 234 26 fl. loio 156 Agio Ä I5»/o fl. 1196 5) In Wien stehen die A mit 4^7» Agio; was betragen 543 Stuck? — fl. 2547 v 21. 6) Wenn die Souveraind'or mit 37/„ Agio gehen, wie hoch kommen 128 Stück? — Auf fl. 1762 „ 8. 7) Die Souveraind'or haben fl. 3 „ 37 Agio per Stück; was sind 26 Stück Werth? 8) Die chp genießen 26^ Agio; was kosten 9 L 41 G, 310 G? 9) Das Silber hat gegen Papiergeld I4§7„ Agio; wie viel in Papiergeld muß man für 3248 fl. in Zwanzigern bezahlen? 10) Jemand kauft 172 Stück A mit 35K7» Agio, und 2850fl. Silbergeld mit 29^7» Agio; wie viel Papiergeld muß er dafür geben? §. 127. Wenn man aus dem Agio per Stück das Agio in 7,, oder umgekehrt, berechnen will, so darf man nur die Regeln der Pro¬ zentrechnung anwenden. Beispiele. 1) Die G stehen zu fl. 4 57; wie groß ist das Agio in Pro¬ zenten? ^-00 107». 270 2) Zu wie viel "/„ Agio stehen die Dukaten, wenn sie per Stück 6 kr., 13^ kr., 18 kr., 45 kr. Agio haben? Zu 2Z«/o, 5°/o, 6ß»/o, I6Z7). 3) Was beträgt das Agio in 7o bei den Souveraind'or, wenn sie per Stück 24 kr. Agio haben? 2400 __ _ s O/ 800 4) Wenn die Souveraind'or per Stück 32 kr., 40 kr., 52 kr., I fl. haben, wie viel 7> macht dieses? 57o, 6z7,, 7zo/o- 173 2) Die Dukaten gehen mit 8"/,, Agio; wie groß ist das Agio per Stück? 2 70 X 8 2160 --- 2I§ kr. 6) Wie groß ist das Agio per Stuck bei den wenn sie 3»/<,, IS'-», 250/0 stehen? 8^ kr., 27 kr., 40z kr., fl. I „ 7z. 7) Die Souveraind'or haben Agio; wie viel macht dieses per Stück? 800 X 4^ 32 4 36" kr. 8) Was beträgt das Agio per Stück bei den Souveraind'or, wenn sie mit S"/», 6z'/„, 127,, l82»/o gehen? 40 kr., 52 kr., fl. 1 „ 36, fl. 2 „ 26. S) Die Souveraind'or stehen fl. 17 „ 12; wie viel 7, betragt das Agio? 10) Was ist Vortheilhafter, die A mit 277« oder die Sonve- raind'or mit fl. 16 „ 58 zu bezahlen? - »ilEMO 5Iuvuiic, Arithmetik ! Auft. 13 - Inhalt der ersten Abtheilung der Arithmetik. Seite Einleitung 1 Erster Abschnitt. Das Rechnen mit unbenannten und einnamigen ganzen Zahlen. I. Das dekadische Zahlensystem 3 II. DasAddiren 7 III. DasSubtrahiren.12 IV. Das Multiplizircn 18 V. Das Dividiren.26 VI. Vortheile beim Multipliziren und Dividiren . . 46 VII. TheilbarkeitderZahlen.45 Zweiter Abschnitt. Das Rechnen mit unbenannten und einnamigen gebro¬ chenen Zahlen. I. Gemeine Brüche. 1. Erklärungen und allgemeine Regeln - 52 2. Das Addiren 59 3. Das Subtrahiren 61 4. Das Multipliziren 63 5. Das Dividiren.67 6. Aufgaben II. Dezimalbrüche. 1. Erklärungen - 2. Das Addiren z. Das Subtrahiren 4. Das Multipliziren . 5. Das Dividiren > - 6. Verwandlung eines gemeinen Bruches in einen Dezimalbruch und umgekehrt. VI Seite Dritter Abschnitt. DaS Rechne» mit mehrnamigen Zahlen 1. Das Rcsolviren. 8t 8. Das Reduziren . - .93 3. Das Addiren . .. 88 4-. Das Subtrahiren.87 5 Das Multiplizireu. 88 6. Das Dividiren. 88 Vierter Abschnitt. Lehre von den einfachen Verhältnissen und Propor¬ tionen. I. Verhältnisse. 105 II. P r o p o rz l o n c n .. 108 lkl. Die einfache Reg eldetri.115 IV. Die Prozentrechnung. 122 V. D i e w ä l sch e P r a k t t k . . . . . . 129 VI. Die Maß- und Gewichtskunde. 140 ^l. Metrisches System.141 6. Oesterreichische Maße und Gewichte.142 6. Maße und Gewichte fremder Staaten.149 N. Maß- und Gewichts - Rcdukzion.- . 159 VII. D a s G e l d - u n d M ü u z w e s e n.182 1. Oeficrreichisches Geld - und Münzwesen.165 2 Ausländische Rcchnungsmüuzcn.1^7 3. Münzredukzivn.169 L0SI8S G 8SSSS4S2S87