Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije Ljubljana, MAREC 2015, letnik 62, številka 2, strani 41–80 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohori ˇ c (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši ´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehni ˇ cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. clane in študente pa 12 EUR. Naro ˇPosamezna številka za ˇ clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je v ˇclanjeno v Evropsko matemati ˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇcisto in uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇcnosti z Ameriškim matemati ˇc­nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega prora ˇ cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje doma ˇcnih publikacij. cih znanstvenih periodiˇ©c2015 DMFA Slovenije – 1964 Poštnina pla ˇcana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇ clanke iz mate­matike, .zike in astronomije, v ˇcasih tudi kak prevod. Poleg ˇclankov objavlja prikaze novih knjig s teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti cij, poroˇ o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) cek v slovenskem jeziku, naslov in izvleˇin citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevil ˇcene, morajo imeti dovolj izˇcrpen opis, da jih lahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ cinoma razumemo tudi lo ˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇ clanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇcno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matemati ˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇ cunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇcic urejevalnikov TEX oziroma LATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. VRNITEV ARNOLDOVE MA ˇ CKE MITJA LAKNER1, PETER PETEK2, MARJETA ˇSKAPIN RUGELJ1 1Fakulteta za gradbeniˇstvo in geodezijo, Univerza v Ljubljani 2Pedagoˇska fakulteta, Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 37D45, 94A60 Hiperboliˇcna matrika doloˇca preslikavo na torusu, vendar jo lahko opazujemo tudi na N × N rastru, kot je to napravil V. I. Arnold [2]. Opazoval je sliko maˇcke, ki se je po doloˇcenem ˇstevilu iteracij vrnila. Zanima nas povezava med gostoto rastra in periodo vrnitve. To lastnost lahko uporabimo tudi za ˇsifriranje in prikrivanje informacij. RECURRENCE OF ARNOLD’S CAT A hyperbolic matrix yields a mapping on the torus. However we can, as V. I. Arnold [2] did, consider the picture of the cat on N × N raster. After a certain number of iterations the cat returns. We are interested in the dependence of the period of return on the density of the raster net. The property of return can be used for coding and covering up information. Uvod V klasiˇcni mehaniki nastopa jo posebni sistemi diferencialnih enaˇcb – ha­miltonski sistemi. Po javlja jo se npr. pri nebesni mehaniki ali pri dvo jnem nihalu. Standardna obravnava [1] nas pripelje do prostorov v obliki veˇcdi­menzionalnih torusov. Lokalne reˇsitve sistema opiˇsemo z matriko, ki ohranja ploˇsˇcino. Matrika v eno smer razteguje, v drugo stiska in je hiperboliˇcna, kar pomeni, da nima lastnih vrednosti dolˇzine ena. V nekem smislu ta hi­perboliˇcnost zagotavlja dobro meˇsanje slike. Ruski matematik V. I. Arnold je obravnaval take sisteme, posebej na dvodimenzionalnem torusu. Opazo­val je zanimive lastnosti, ka j se zgodi na neki ekvidistantni mreˇzi – rastru – na torusu. Toˇck na mreˇzi je konˇcno mnogo, matrika jih zgolj premeˇsa, permutira med sabo. Po konˇcnem ˇstevilu korakov vsaka permutacija spet pripelje stvari v prvotno stanje. Arnold, ki je imel rad slikovite prispodobe, je vzel sliko maˇcke, jo ra­striral in iteriral preslikavo na torusu [2]. In maˇcka se je spet po javila po doloˇcenem konˇcnem ˇstevilu korakov. Seveda je perioda odvisna od gostote rastra in to precej misteriozno. Vsa j teoretiˇcno se da uporabiti to metodo za prikrivanje podatkov, ste­ganogra.jo. Pri tem ni treba slediti prvotni Arnoldovi matriki, vsaka iz sploˇsne linearne grupe nad celimi ˇstevili je dobra. In kot je navada ˇze v kriptogra.ji, kjer si ˇzelijo velikih praˇstevil, si tuka j ˇzelimo dolgo periodo. Sicer pa je, ˇce jo opazujemo na celem torusu in ne le na rastrski mreˇzi, preslikava kaotiˇcna. A o tem v prihodnjem ˇclanku. Hiperboliˇcni avtomor.zmi torusa Torus dobimo, ˇce enotski kvadrat zlepimo po dveh vzporednih stranicah in isto naredimo ˇse z nastalima kroˇznicama. To je vsebina naslednje de.nicije: ˇ De.nicija 1. Ce v ravnini R2 identi.ciramo vse toˇcke, katerih koordinate se razlikujejo za celo ˇstevilo, dobimo torus T . Identi.kacija de.nira ekvivalenˇcno relacijo na R2, kjer je (x1, y1) ~ (x2, y2) natanko teda j, ko sta x2 - x1 in y2 - y1 celi ˇstevili. Ta ekvivalenˇcna relacija doloˇca pro jekcijo . : R2 › T , .(x, y) = [x, y]. Poglejmo si, ka j dobimo, ˇce tlakovano celoˇstevilsko ravninsko mreˇzo pre­slikamo s celoˇstevilsko matriko dimenzije 2 ×2. Na sliki 1 na sredini vidimo, da pri mnoˇzenju z matriko z determinanto 1 dobimo tlakovanje mreˇze s ˇ skladnimi »ploˇsˇcicami«. Ce pa ima matrika determinanto 2, so »ploˇsˇcice« tlakovanja razliˇcne. Iz slike intuitivno sklepamo, da se je smiselno omejiti na matrike z determinanto ±1. Slika 1. Tlakovanje ravninske mreˇze (na levi) in sliki mreˇze, ˇce uporabimo matriki z determinanto 1 (na sredi) oz. 2 (na desni). De.nicija 2. Na j bo A = (aij) matrika dimenzije 2 × 2 z lastnostmi (a) A je hiperboliˇcna (lastni vrednosti ne leˇzita na enotski kroˇznici v kom­pleksni ravnini); (b) aij . Z, 1 . i, j . 2; (c) det A = ±1. cke Slika 2. Slika kroˇznice pri mnoˇzenju z matriko A. Matrika A inducira tako preslikavo LA : T › T , da je LA . . = . . A. To preslikavo imenujemo hiperboliˇcni avtomor.zem torusa: x LA([x, y]) . A (mod 1). y Opomba 1. Ker je det A = ±1, je A-1 tudi hiperboliˇcna in elementi ma-trike so cela ˇstevila. Torej A-1 tudi inducira hiperboliˇcni avtomor.zem torusa (LA)-1 . 2 1 Primer. Preslikavo LA torusa, inducirano z matriko A = , ime­ 1 1 nujemo preslikava Arnoldove maˇcke CA [2]. Lastni vrednosti matrike A sta . . 3+ 5 3- 5 .1 = 2 in .2 = 2 . Na sliki 2 vidimo, kam se pri mnoˇzenju z matriko A preslika kroˇznica s srediˇsˇcem v izhodiˇsˇcu. Ker je det A = 1, je CA hi­perboliˇcni avtomor.zem torusa. Poglejmo, kam A preslika enotski kvadrat. Ker je . . . . . . . . . . . . A 1 0 = 2 1 , A 0 1 = 1 1 , A 1 1 = 3 2 , se enotski kvadrat preslika v paralelogram enake ploˇsˇcine (glej sliko 3). Na sliki 4 vidimo, kako se slika maˇcke, ki jo predstavimo s 124 × 124 toˇckami, razmaˇze po paralelogramu in po 15 iteracijah ponovno po javi. Slika 3. Avtomor.zem. Izhodiˇsˇce je edina negibna toˇcka preslikave CA. Bralec se lahko z upo­rabo popolne indukcije prepriˇca, da za potenco matrike A velja F2n+1 F2n An = , F2n F2n-1 kjer je (Fn) Fibonaccijevo zaporedje s F0 = 0, F1 = 1 in Fn+1 = Fn-1 + Fn. Resniˇcno sliko predstavimo z N × N slikovnimi toˇckami, enakomerno razporejenimi v kvadratno mreˇzo. Na j bo .(N) na jmanjˇse tako ˇstevilo, da je Ak . I (mod N). Potem se po .(N) iteracijah preslikave CA vrne prvotna slika. Na jbolj znan raster je N = 124, ko je .(124) = 15 (slika 4). Diskretna preslikava Arnoldove maˇcke Diskretna preslikava Arnoldove maˇcke je podana s predpisom xn+1 xn . A (mod N), (1) yn+1 yn 2 1 kjer je A = , in deluje na kvadratni mreˇzi z N ×N toˇckami, katerih 1 1 koordinate so cela ˇstevila 0, 1, . . . , N - 1. Na j toˇcke pomenijo slikovne toˇcke slike maˇcke. Vsaka iteracija toˇcke pomeˇsa med sabo. To vidimo takole: y preslikava (x, y) › (N x , ) preslika kvadrat [0, N )2 bijektivno na [0, 1)2 . N Ker . preslika kvadrat [0, 1)2 bijektivno na torus T , kjer je LA bijekcija, je diskretna preslikava Arnoldove maˇcke res permutacija. cke Slika 4. Iteracija avtomor.zma. Vpraˇsanje pa je, koliko iteracij je treba, da zopet dobimo prvotno sliko. V matriˇcnem zapisu to pomeni, da iˇsˇcemo tako ˇstevilo P = P (N), da bo ˇ AP . I (mod N) (glej sliko 4). Stevilo P (N) imenujemo perioda, s .(N) pa oznaˇcimo minimalno periodo, ko se slika ponovi. V primeru na sliki 4 je .(124) = 15. Izkaˇze se, da minimalna perioda ni naraˇsˇca joˇca funkcija N ([6, 3, 4]). Slika 5 prikazuje minimalno periodo do vkljuˇcno N = 5000. Ker velja F2n+1 F2n An = , (2) F2n F2n-1 kjer je (Fn) Fibonaccijevo zaporedje za F0 = 0, F1 = 1, sta perioda in minimalna perioda preslikave (1) odvisni od deljivosti Fibonaccijevih ˇstevil. Iz enaˇcbe (2) sledi, da je ˇstevilo T perioda P (N) preslikave (1), ˇce in samo ˇce velja F2T -1 . 1 (mod N) in F2T . 0 (mod N). (3) Pokaˇzimo zelo grobo oceno za minimalno periodo. Izrek 1. Za poljubno sliko velikosti N ×N, kjer je N . 3, velja .(N) . N2 . Za dokaz izreka potrebujemo tri kratke leme. Na j bo .n na jmanjˇsi nenegativni ostanek Fn pri deljenju z N: Fn . .n (mod N). Slika 5. Minimalna perioda .(N). Na sliki opazimo premice, opisane v izrekih 6 in 7. Primer. (a) Za N = 2 je zaporedje .n periodiˇcno z minimalno periodo 3, (0, 1, 1, 0, 1, 1, . . .). (b) Za N = 7 je zaporedje .n periodiˇcno z minimalno periodo 16, (0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 6, 0, 6, 6, 5, 4, 2, 6, 1, . . .). (c) Za N = 11 je zaporedje .n periodiˇcno z minimalno periodo 10, (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 2, 10, 1, . . .). Lema 2. Prvi par, ki se ponovi v zaporedju parov (.1, .2), (.2, .3), . . . , (.n, .n+1), . . ., je par (1, 1). Dokaz. Ker je na jveˇc N2 razliˇcnih parov, poljubna mnoˇzica N2 + 1 parov vsebuje vsa j dva enaka para. Pa recimo, da je prvi par, ki se ponovi, enak (.k, .k+1), kjer je k > 1. Poiˇsˇcimo torej v zaporedju tak par (.r, .r+1), kjer je r > k, da velja .k = .r in .k+1 = .r+1. Iz de.nicije Fibonaccijevih ˇstevil sledi .r-1 = .r+1 - .r in .k-1 = .k+1 - .k, torej .r-1 = .k-1. cke To pa pomeni, da je (.r-1, .r) = (.k-1, .k). Toda (.k-1, .k) se v zaporedju po javi pred (.k, .k+1). To pa je v nasprotju z naˇso predpostavko, da je k > 1. Torej je k = 1. Lema 3. Za poljubno pozitivno celo ˇstevilo N obstaja med prvimi N2 Fibo­naccijevimi ˇstevili vsaj eno, ki je deljivo z N. Dokaz. Iz leme 2 sledi, da je (1, 1) prvi par v zaporedju, ki se ponovi. Torej je (.t, .t+1) = (1, 1) za neko celo ˇstevilo t, 1 < t . N2 + 1. Potem je Ft . 1 (mod N) in Ft+1 . 1 (mod N). Toda Ft-1 = Ft+1 - Ft in zato je Ft-1 . 0 (mod N). 1 1 Fn+1 Fn Na j bo B = . Potem je A = B2 in Bn = . 1 0 Fn Fn-1 ˇ Lema 4. Naj bo N > 2. Ce velja Fn . 0 (mod N) in Fn+1 . 1 (mod N), potem je ˇstevilo n sodo. Dokaz. Lema je ekvivalentna trditvi, da za N > 2 iz Bn . I (mod N) sledi, da je n sodo ˇstevilo. Ker je det B = -1, je det Bn = (det B)n = (-1)n . 1 (mod N). Torej je n sodo ˇstevilo. Dokaz izreka 1. Iz leme 2 in leme 3 sledi, da se vzorec 0, 1, 1 v zaporedju .0, .1, .2, . . . , .n, .n+1, . . . prviˇc ponovi za .t-1, .t, .t+1, kjer je 0 < t - 1 . N2 . Iz leme 4 sledi, da je t - 1 sodo ˇstevilo. Iz de.nicije minimalne periode pa dobimo, da velja 2.(N) . 2.(N) = t - 1, kar dokazuje izrek. Za preslikavo (1) iz pogo ja (3) in leme 4 sledi naslednja trditev: Trditev 5. Naj bo N > 2. Potem velja: (a) T je perioda preslikave (1), ˇce in samo ˇce je 2T perioda zaporedja (.n). (b) T je minimalna perioda preslikave (1), ˇce in samo ˇce je 2T minimalna perioda zaporedja (.n). Dyson in Falk [6] sta dokazala, da velja jo bistveno bolj stroge meje kot v izreku 1. Izrek 6. (a) .(N) = 3N, ˇce in samo ˇce je N = 2 × 5k, kjer je k = 1, 2, . . . (b) .(N) = 2N, ˇce in samo ˇce je N = 5k ali N = 6 × 5k, kjer je k = 0, 1, 2, . . . (c) .(N) . 12N za vse preostale N. 7 Primer. .(10) = 30, .(5) = 10, .(6) = 12, .(30) = 60, .(2) = 3, .(3) = 4. Lastnosti, ki jih je Wall v ˇclanku [11] dokazal za periode zaporedij (.n), sta Bao in Yang [3] z uporabo trditve 5 zdruˇzila v naslednje izreke: Izrek 7. Naj bo N praˇstevilo, veˇcje od 5. Potem za preslikavo (1) velja: ˇ (a) Ce je N oblike 10m ± 3, potem je N + 1 neka perioda preslikave (1). ˇ (b) Ce je N oblike 10m ± 1, potem je N-1 neka perioda preslikave (1). 2 Primer. Minimalna perioda pa je lahko ˇse bistveno manjˇsa: .(29) = 7, .(47) = 16, .(521) = 13, .(9349) = 19. ˇ .1 .2 .k Izrek 8. Ce ima N praˇstevilsko faktorizacijo N = p · p · · · p , potem 1 2 k .1 .k je .(N) najmanjˇsi skupni veˇckratnik ˇstevil .(p1 ), . . . , .(pk ). Se pravi, da moramo doloˇciti .(N) le ˇse za potence praˇstevil N = pM . Pri tem je p = 2 poseben primer. ˇ Izrek 9. Ce je p = 2, potem je .(2) = .(4) = 3. Za M . 2 pa je .(2M ) = 3 × 2M-2 . Primer. .(8) = 6, .(16) = 12, .(32) = 24. Za praˇstevila, veˇcja od 2, raˇcuni kaˇzejo, da je .(p2) > .(p). Velja pa cke Slika 6. Skrivno sporoˇcilo in njegov deseti iterat s preslikavo Arnoldove maˇcke. M Izrek 10. Naj za praˇstevilo p velja .(p Potem za N = pvelja 2)= .(p). ˇk) .(N) = pM-1.(p). Ce je k najveˇcje tako celo ˇstevilo, da velja .(p= .(p), potem je .(N) = pM-k.(p) za M > k. Primer. .(3) = 4, .(9) = 12, .(27) = 36, .(7) = 8, .(49) = 56, .(343) = 392. Posploˇsena diskretna preslikava Arnoldove maˇcke ˇ Ce v enaˇcbi (1) vzamemo matriko 1 + ab a A = , b 1 kjer sta a in b naravni ˇstevili, dobimo avtomor.zem torusa, sa j sta lastni vrednosti razliˇcni realni ˇstevili, katerih produkt je enak 1. Tako dobljeno preslikavo imenujemo posploˇsena diskretna preslikava Arnoldove maˇcke. Po­sploˇsena preslikava se uporablja v kriptogra.ji in steganogra.ji. Cilj kriptograf´ije (grˇsko krypt´os – skrit in gr´aphein – pisati) je narediti podatke neberljive, medtem ko je cilj kriptoanalize razkrivanje ˇsifriranih podatkov [7]. Osnovno sporoˇcilo po navadi imenujemo ˇcistopis (cleartext, plaintext), zaˇsifrirano pa ˇsifropis ali ta jnopis (kriptogram, ciphertext). Spo­roˇcilo po nekem algoritmu spremenimo v kriptirano sporoˇcilo. Doloˇcene vre­dnosti parametrov, ki jih uporabimo v algoritmu, imenujemo kljuˇc. Sogo­vornika se morata torej dogovoriti o algoritmu in kljuˇcu, da si lahko poˇsiljata ˇsifrirana sporoˇciji so ˇcilo zakodirali tako, da cila. V stari GrˇSpartanci sporoˇso na valj navili ozek trak in sporoˇcilo napisali pravokotno na smer traku. Naslovniku so potem poslali odvit trak in ˇce je ˇzelel sporoˇcilo prebrati, je moral trak naviti na valj z enakim premerom. Kljuˇc tega postopka je bil torej premer valja. Julij Cezar je sporoˇcila svo jim vo jskovodjem zakodiral tako, da je vsako ˇcrko zamenjal s ˇcrko, ki je bila po abecedi neka j mest za njo. Matematiˇcno tak naˇcin kodiranja lahko opiˇsemo kot f(a) . (a + k) (mod n), kjer je n ˇstevilo ˇcrk v abecedi, k pa kljuˇc. Takih sporoˇcil ni teˇzko deˇsifrirati, ˇce uporabimo statistiˇcno analizo ˇcrk, znaˇcilnih za doloˇcen jezik. Iz daljˇsega besedila ugotovimo frekvenco doloˇcenih ˇcrk v jeziku in s pri­merjavo frekvenc ˇcrk v kodiranem besedilu lahko relativno hitro ugotovimo, katera ˇcrka pomeni doloˇceno ˇcrko, in tako razˇsifriramo sporoˇcilo. Skozi zgo­dovino so z uporabo matematike razvili razliˇcne postopke ˇsifriranja. Pri moderni kriptogra.ji je algoritem kodiranja velikokrat znan, torej je pou­darek kriptoanalize na odkrivanju kljuˇca. Na Fakulteti za raˇcunalniˇstvo v Ljubljani prof. dr. Aleksandar Juriˇsi´c vodi Laboratorij za kriptogra.jo in ra­ˇcunalniˇsko varnost in na strani http://lkrv.fri.uni-lj.si/ je kar neka j literature s tega podroˇcja. Cilj steganogra.je (grˇsko steganos – prikrit in gr´aphein – pisati) je prikri­vanje obsto ja podatkov [10]. Stari Kita jci so npr. sporoˇcilo napisali na ozek svilen trak, ga tesno zvili, potopili v vosek in tako dobili voˇsˇcene kroglice, ki jih je nato pogoltnil sel. Med na jbolj znanimi metodami steganogra.je je zapis sporoˇcila s ˇcrnilom, ki je pri normalni sobni temperaturi nevidno. Ko list papirja segrejemo, pa se sporoˇcilo obarva rjavo. Kot ˇcrnilo lahko uporabimo na primer limonin sok, kis ali mleko. Ena od moˇznosti uporabe posploˇsene preslikave Arnoldove maˇcke v ste­ganogra.ji je, da vzamemo sliko, ki ji dodamo skrivno sporoˇcilo, ki ga pred tem transformiramo z eno ali veˇc razliˇcnimi preslikavami [8], [9]. Spremenjeno sliko nato poˇsljemo tistemu, ki mu ˇzelimo sporoˇciti skrivno sporoˇcilo. Z ustreznim kljuˇcem lahko naslovnik loˇci sliko od ˇsifriranega sporoˇcila. Pri tem je pomembno, da s prostim oˇcesom ne loˇcimo originalne slike od slike z dodanim sporoˇcilom, tako da slika ni sumljiva. Ker je ranljivost algoritmov veˇcja, ˇce je perioda preslikave kratka, je zelo pomembno poznavanje periode v odvisnosti od parametrov a, b in N [4,5]. Primer. Na sliki 6 je skrivno sporoˇcilo »OMF« in njegov deseti iterat. Na sliki 7 je na levi originalna slika muce, na desni pa je slika muce z dodanim skrivnim sporoˇcilom. Na vseh slikah je raster enak 124, zato ˇ je minimalna perioda .(124) = 15. Ce ima naslovnik, ki mu je sporoˇcilo namenjeno, originalno sliko muce, lahko dobi ˇsifrirano skrivno sporoˇCe cilo. ˇpozna ˇse kljuˇc, ki je v naˇsem primeru zaporedna ˇstevilka iterata, lahko dobi originalno skrivno sporoˇcilo. Ker smo sliki dodali deseti iterat sporoˇcila s preslikavo Arnoldove maˇcke, izraˇcunamo peti iterat ˇsifriranega sporoˇcila. cke Slika 7. Muca brez in s skrivnim sporoˇcilom. Neka j nalog 1. Vzemimo za A osnovno Arnoldovo matriko in raster N = 50. (a) Koliko je .(50)? (b) Ka j pa, ˇce se vpraˇsamo po minimalni potenci p, da je 0 0 Ap + I . (mod N), 0 0 seveda ˇce tak p sploh obsta ja? 7 3 2. Na j bo A posploˇsena Arnoldova matrika A = in raster N = 26. 2 1 Koliko je .(26)? Ka j pa, ˇce je raster N = 124? 1 + ab a 3. Ali na jdete ˇse kakˇsno hiperboliˇcno matriko, ki ni oblike A = ? b 1 4. Katera celoˇstevilska matrika dimenzije 2 × 2 ustreza enaˇcbi A3 . I (mod 5)? http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ Reˇsitve: 1. (a) .(50) = 150. (b) 75. 2. .(26) = 14, .(124) = 14. 3 5 3 4 3. Primera takih matrik: 1 2 in 2 3 . 1 1 21 4. Primera takih matrik: in . 2 3 32 LITERATURA [1] V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer, 1989. [2] V. I. Arnold in A. Avez, Ergodic problems in Classical Mechanics, Benjamin, New York, 1968. [3] J. Bao in Q. Yang, Period of the discrete Arnold cat map and general cat map, Non­linear Dynam. 70 (2012), 1365–1375. [4] F. Chen, K. Wong, X. Liao in T. Xiang, Period distribution of generalized discrete Arnold cat map for N = p e, IEEE T. Inform. Theory 58 (2012), 445–452. [5] F. Chen, X. Liao, K. Wong, T. Xiang, Q. Han in Y. Li, Period distribution of some linear maps, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 17 (2012), 3848–3856. [6] F. Dyson in H. Falk, Period of a Discrete Cat Mapping, Amer. Math. Monthly 99 (1992), 603–614. [7] Kriptogra.ja, dostopno na: http://www.egradiva.net/moduli/upravljanje\_ik/ 14\_kriptiranje/01\_datoteka.html, ogled 3. 6. 2015. [8] M. Mishra, A. R. Routray in S. Kumar, High Security Image Steganography with Modi.ed Arnold’s Cat Map, Int. J. Comput. Appl. 37 (2012), 16–20. [9] S. Rawat in B. Raman, A chaotic system based fragile watermarking scheme for image temper detection, Int. J. Electron. Commun. 65 (2011), 840–847. [10] Steganogra.ja, dostopno na: http://www.monitor.si/clanek/skrivanje­podatkov-steganografija/123365/?xURL=301, ogled 3. 6. 2015. [11] D. Wall, Fibonacci series modulo m, Amer. Math. Monthly 67 (1960), 525–532. http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ http://www.obzornik.si/ BARVNI VID ALEˇC S MOHORIˇ Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani Institut Joˇzef Stefan PACS: 42.66.Ne V ˇclanku so predstavljeni ˇcloveˇski barvni vid, osnove barvnih sistemov in naˇcin, kako prikaˇzemo barvo doloˇcenega svetlobnega spektra z dostopno programsko opremo. COLOR VISION The article describes human color vision, basics of color systems and a way of repre­senting color of a light with a given spectrum by readily available software. Kadar pri pouku obravnavamo mavrico ali interferenco na uklonski mre­ˇzici, brez zadrege opiˇsemo mavriˇcne barve. Pri opisu interferenˇcnih barv milniˇcne opne ali plasti olja na luˇzi pa imamo ˇze teˇzave. To je zato, ker barve v prvem primeru opiˇsemo z enobarvno svetlobo in vsaki barvi pripi­ˇsemo svetlobo doloˇcene valovne dolˇzine. V drugem primeru nastanejo barve s sestavljanjem enobarvnih svetlob razliˇcnih spektralnih gostot in enostav­nega odgovora niti ne moremo dati. Za doloˇceno smer opazovanja enostavno povemo le, katera enobarvna sestavina je v tej smeri najbolj ojaˇcana in ka­tera najbolj oslabljena. To velja za primere, ko nastane opazovani pojav zaradi bele svetlobe. Teˇzav z opisom nimamo, ko pojav povzroˇci enobarvna svetloba. Tedaj vidimo le bolj ali manj svetle toˇcke iste barve. Slika na naslovnici kaˇze a) mavriˇcne barve, ki nastanejo z interferenco svetlobe iz ˇzarnice na uklonski mreˇzici, in b) milniˇcno opno, na kateri nastanejo barve zaradi odboja in interference sonˇcne svetlobe na tanki plasti. V .ziki svetlobo, ki je sestavljena iz mnoˇzice enobarvnih sestavin, opi­ˇsemo s spektrom. Spekter je porazdelitev gostote energijskega toka sve­tlobe po valovni dolˇzini. Svetlobni tok merimo s fotometri. Fotometri so umerjeni fotodetektorji in jih je veˇc vrst. Nekateri temeljijo na merjenju temperature senzorja, ki ga greje vpadni svetlobni tok. Taki so bolometri: termouporniki, poˇcrnjeni termoˇcleni in termistorji. Ti detektorji so obˇcu­tljivi za vse valovne dolˇzine enako. Obˇcutljivost fotometrov, ki temeljijo na fotoefektu (fotocelice in fotopomnoˇzevalke), polprevodniˇskih fotometrov (fotodiode, sonˇcne celice, CCD) ter kemiˇcnih detektorjev (fotografski .lm) je odvisna od valovne dolˇzine svetlobe. Spektralne lastnosti svetlobe me­rimo tako, da svetlobo razklonimo s prizmo ali uklonsko mreˇzico. Iz ˇsopa razklonjene svetlobe z zaslonko izberemo tanek curek enobarvne svetlobe in njen tok izmerimo s fotometrom. Spekter enobarvne ali monokromatiˇcne svetlobe ima pri ustrezni valovni dolˇzini en ozek vrh, ki ga imenujemo tudi ˇcrta, drugje pa je enak niˇc. Spekter sonˇcne svetlobe ali svetlobe ˇzarnice je zvezen in ga pribliˇzno opiˇsemo s Planckovim spektrom sevanja ˇcrnega telesa. Spekter svetlobe atomov plina, ki se relaksirajo iz vzbujenih stanj, je ˇcrtast. V sploˇsnem je spekter svetlobe meˇsanica zveznega in ˇcrtastega spektra. Taka svetloba v oˇceh (pravzaprav v moˇzganih) ustvari obˇcutek, ki mu pripiˇsemo svetlost in barvo. Svetlost je povezana z gostoto energijskega toka svetlobe, ki vpada na oˇcesno zenico. Kakˇsna pa je barva, ki ustreza doloˇcenemu spektru? Odgovor dobimo, ˇce si podrobneje ogledamo, kako deluje barvni vid pri ljudeh. Oko Svetlobo zaznavamo z oˇcmi. Roˇzenica in leˇca preslikata osvetljen predmet ali svetilko na mreˇznico. Vmreˇznici sta dve vrsti svetlobnih ˇcutnic: paliˇcnice in ˇcepnice. V normalnem oˇcesu je preko 100 milijonov paliˇcnic in veˇc kot 6 milijonov ˇcepnic. V toˇcki na mreˇznici, ki leˇzi blizu optiˇcne osi oˇcesne leˇce, je gostota (ˇstevilo na ploskovno enoto) ˇcepnic najveˇcja. To podroˇcje mreˇznice imenujemo rumena pega. Osrednji del rumene pege ima polmer -2 1,25 mm in gostota ˇcepnic tam doseˇze 150 000 mm. Drugod po mreˇznici prevladujejo paliˇcnice. Njihova gostota je pribliˇzno homogena in tudi enaka 150 000 mm-2 . Na mreˇznici razloˇcimo ˇse slepo pego. V njej vidni ˇzivec vstopa v mreˇznico in na tem delu mreˇznica nima ˇcutnic. Tega dela vidnega polja oko ne zazna. Pri vidu nas to ne moti, saj oˇci stalno premikamo in moˇzgani poskrbijo za primerno interpretacijo slike. V razmerah ˇsibke svetlobe so v mreˇznici aktivne paliˇcnice. Tak vid imenujemo skotopiˇcni vid. Skotopiˇcni vid je ˇcrno-bel; s paliˇcnicami samo zaznavamo svetlobo, barv pa ne. Ponoˇci smo barvno slepi. Gostota paliˇc­nic je v rumeni pegi zanemarljivo majhna, zunaj pa je veˇcja in pribliˇzno konstantna. To je razlog, zakaj vidimo ponoˇci ˇsibke zvezde bolje zunaj osi zornega polja. V razmerah moˇcne svetlobe so v mreˇznici aktivne ˇcepnice. Tak vid je fotopiˇcni vid. V normalnem oˇcesu so tri vrste ˇcepnic, barvno slepi pa jih imajo manj. Obˇcutljivost ˇcepnic je odvisna od valovne dolˇzine svetlobe in se razlikuje med vrstami ˇcepnic. Spektralno obˇcutljivost posameznih ˇcepnic doloˇcajo na vzorcu ljudi. Pri enem od naˇcinov merjenja merijo absorpcijo svetlobe v ˇcepnicah. To metodo imenujemo mikrospektrofotometrija. Rezultati teh meritev so opisani v [1] in jih kaˇze slika 1a. Pri teh meritvah ne izmerijo absorpcijskih lastnosti zrkla pred mreˇznico, lahko pa to dodatno upoˇstevajo s primernimi popravki. Drug naˇcin merjenja spektralne obˇcutljivosti ˇcepnic je psiho.ziˇcen. V tem primeru merijo tako, da dve vrsti ˇcepnic opazovalca desenzibilizirajo z dovolj moˇcnim in dolgotrajnim osvetljevanjem s svetlobo primerne valovne dolˇzine. Valovna dolˇzina mora biti taka, da nasiti ˇcutnice, katerih obˇcutljivosti ne merimo, merjene ˇcutnice pa je ne zaznavajo. Po desenzibilizaciji se meri obˇcutljivost na enobarvno svetlobo z opazovanjem utripajoˇce svetlobe. Te meritve primerjajo z meritvami spektralne obˇcutlji­vosti pri barvno slepih dikromatih (protanopi – brez ˇcepnic L, devteranoji – brez ˇcepnic M in zelo redki tritanopi – brez ˇcepnic S). Spektralne obˇcu­tljivosti treh vrst ˇcutnic, ki so rezultati meritev v [5], kaˇze slika 1b. Slika 1. a) Relativna spektralna obˇcutljivost ˇcepnic, merjena z mikrospektrofotometrijo, pri kateri merijo absorpcijo svetlobe v ˇcutnicah, in b) relativna spektralna obˇcutljivost ˇcepnic, doloˇcena s psiho.ziˇcnimi meritvami. Na obeh gra.h prepoznamo tri razliˇcne vrste ˇcepnic. ˇcutljive za kratkovalovno svetlobo imenujemo S, ˇcutljive Cepnice bolj obˇcepnice obˇna srednjevalovno svetlobo M in ˇcepnice obˇcutljive na dolgovalovno svetlobo L. ˇ Meritve pokaˇzejo, da so ˇcepnice treh razliˇcnih vrst. Cepnice vrste L (iz ang. Long wavelength) so najbolj obˇcutljive na svetlobo dolgih valovnih dolˇzin. ˇcutljive Cepnice vrste M (iz ang. Middle wavelength) so najbolj obˇna svetlobo srednjih valovnih dolˇzin. Intervala valovnih dolˇzin, za katere so obˇcutljive ˇcepnice L in M, sta dokaj podobna. Tretji tip ˇcepnic je S (iz ang. Short wavelength). Te ˇcepnice so najbolj obˇcutljive za najkrajˇse valovne dolˇzine vidne svetlobe. Nekdaj so ˇcepnice imenovali rdeˇca, zelena in modra, vendar to imenovanje ni ustrezno. Vsako od teh barv zazna veˇc vrst ˇcepnic, ne le ena. Tudi najveˇcje obˇcutljivosti ˇcutnic ne ustrezajo tem barvam, temveˇc po vrsti rumenozeleni, zeleni in vijoliˇcni. Razlike v barvnih vtisih razliˇcnih spektrov nastanejo zato, ker so raz­merja ˇzivˇcnih signalov posameznih ˇcepnic drugaˇcna. Enako razmerje signa­lov lahko doseˇzemo z razliˇcnimi svetlobnimi spektri. Npr. meˇsanica rdeˇce in zelene enobarvne svetlobe ustvari v moˇzganih enak vtis kot rumena eno­barvna svetloba. Barvni sistemi Tribarvni vid je preslikava iz Hilbertovega prostora spektralnih gostot v trirazseˇzni realni prostor (signali treh razliˇcnih ˇcepnic). Barvni vtis vsake svetlobe lahko reproduciramo s primerno kombinacijo svetlob treh osnovnih barv. Te tri osnovne barve so baza trirazseˇznega barvnega prostora. V tem prostoru vsaka barva, ki jo razloˇci oko, ustreza toˇcki znotraj konveksnega lika. Lik je konveksen zato, ker ima kombinacija svetlob poljubnih dveh barv tudi neko vidno barvo. Za osnovne barve lahko vzamemo katerekoli tri razliˇcne barve, s katerimi lahko vzbudimo vse tri vrste ˇcepnic. Pri izbiri osnovnih barv upoˇstevamo moˇznost realizacije in spektralne obˇcutljivosti ˇcepnic. Svetlobe morajo imeti take valovne dolˇzine, da jih enostavno re­produciramo s svetili ali barvili. Poleg tega barve svetlob ne smejo biti preveˇc podobne, da nimamo teˇzav z loˇcevanjem podobnih barv in premajh­nim barvnim obsegom. Barvni obsegi (gamut) razliˇcnih barvnih sistemov niso enaki. Z nekaterimi sistemi ne moremo opisati vseh barv, ki jih lahko zazna oko. Praktiˇcnih barvnih sistemov je veˇc vrst. Najbolj naravni je kar sistem SML, ki temelji na obˇcutljivosti ˇcepnic. Uporabna in znana sta ˇse sistem RGB, ki ga uporabljamo za aditivno meˇsanje barv pri barvnih prikazovalni­kih, in sistem CMYK, ki ga uporabljamo pri barvnem tisku. Oznaka RGB sledi iz zaˇcetnic angleˇskih izrazov za osnovne barve: Red (rdeˇca), Green (zelena) in Blue (modra). CMYK je akronim za sinja (Cyan), ˇskrlatna (Magenta) in rumena (ang. Yellow), ki so osnovne barve pri subtraktivnem meˇsanju barv. Ker meˇsanica vseh treh ne ustvari ˇcrne ampak sivorjavo, pri tisku uporabljamo dodatno ˇcrno barvilo (ang. Key ali blacK). Pomanjklji­vost sistemov RGB in CMYK je, da je njun barvni obseg manjˇsi od obsega oˇcesa. Prehod med barvnimi sistemi je enostaven – vrednosti v enem sis­temu preslikamo v vrednosti drugega sistema z matriko 3 × 3. Opiˇsimo poskus, s katerim doloˇcijo sistem RGB. V referencah [4, 6] so osnovne barve naredili s tremi svetilkami z enobarvnimi svetlobami valovnih dolˇzin 436 nm (modra), 546 nm (zelena) in 700 nm (rdeˇca). Te svetilke so svetile v primerjalno polovico vidnega polja. To polje so opazovali udele­ˇzenci poskusa, ki so prilagajali jakosti svetilk, dokler se ni barva meˇsanice njihovih svetlob v primerjalnem polju ujemala z barvo, ki jo je na drugi, te­stni polovici vidnega polja ustvarjala enobarvna svetilka. Poskus so ponovili pri vrsti razliˇcnih enobarvnih svetlob. Zorna velikost testnega polja je bila 2., zato da v zaznavi sodelujejo le ˇcutnice z rumene pege. Na opisani na­ˇcin so katerikoli valovni dolˇzini enobarvne svetlobe v testnem polju pripisali tri vrednosti – jakosti, s katero v primerjalno polje svetijo svetilke osnov­nih barv, ki razpenjajo barvni prostor RGB. Ustrezno normirane vrednosti teh jakosti so funkcije barvnega ujemanja r(.), g(.), b(.). Grafe funkcij barvnega ujemanja sistema RGB kaˇze slika 2a. Funkcije so normirane tako, da so ploˇsˇcine pod vsemi krivuljami enake. Vrednosti treh funkcij pri neki valovni dolˇzini povedo, v kakˇsnem razmerju moramo zmeˇsati svetlobe sve­tilk osnovnih barv, da ustvarimo barvni vtis enobarvne svetlobe s to valovno dolˇzino: j(.). r(.)jr +g(.)jg+b(.)jb. Moˇci svetilk so v .zioloˇskem merilu med seboj v razmerju jr : jg : jb = 1: 4,6: 0,060. Vrednosti funkcij barvnega ujemanja ustrezajo moˇci svetilk tako, da bela svetloba nastane takrat, ko se na opazovanem polju meˇsajo med seboj rdeˇca, zelena in modra svetloba s svetlostmi v razmerju 1: 4,6: 0,060. Tako normiranje funkcij barvnega ujemanja je izbrano zato, ker je oko za zeleno svetlobo bolj obˇcutljivo kot za modro ali rdeˇco, ˇzelimo pa, da je razpon posameznih barvnih komponent pribliˇzno enak. Razmerja so doloˇcena tako, da se vsota normiranih funkcij barvnega ujemanja z ustreznimi uteˇzmi ujema s spektralno obˇcutljivostjo oˇcesa V(.)= r(.) + 4,6g(.) + 0,060b(.). Podroben opis normiranja funkcij barvnega ujemanja je v [3]. V intervalu okoli 500 nm so vrednosti funkcije ujemanja za rdeˇco svetlobo negativne, kar pomeni, da barvnega vtisa svetlobe tiste valovne dolˇzine ne moremo reproducirati z meˇsanico primarnih barv. Namesto tega moramo z rdeˇco svetlobo ustrezne jakosti posvetiti na testni del ploskve, kar seveda spremeni iskano barvo. Tako je, na nekoliko nenavaden naˇcin, de.nirano odˇstevanje v barvnem prostoru. Ker so v sistemu RGB nekatere vrednosti funkcij barvnega ujemanja negativne in obstaja veˇc razliˇcnih dogovorov, je ICE (Mednarodna zveza za razsvetljavo) sprejela enotni standardizirani barvni sistem XY Z [8]. Funk­cije barvnega ujemanja tega sistema kaˇze slika 2b. Krivulje pribliˇzno opi­ˇsemo z Gaussovimi funkcijami ali njihovimi vsotami: .- 444 2 .- 593 2 x(.)= 0,401 exp-+ 1,13 exp-, 28,148,6 .- 556 2 y(.)= 1,01 exp-, 65,3 .- 448 2 z(.)= 2,06 exp-. 31,9 Valovne dolˇzine moramo v zgornjih izrazih vstaviti v nanometrih. V barvnem sistemu XYZ izraˇcunamo komponente svetlobe, ki jo opiˇse spekter I(.), z integrali: 780 780 X =I(.)x(.)d., Y =I(.)y(.)d. in Z =I(.)z(.)d.. 380 380 380 Slika 2. a) Gra. treh funkcij barvnega ujemanja sistema RGB. Vrednosti funkcij pri doloˇceni valovni dolˇzini so povezane z jakostmi enobarvnih svetlob primarnih barv, ki aditivno zmeˇsane ustvarijo enak barvni vtis kot enobarvna svetloba s to valovno dolˇzino. Navpiˇcna skala je izbrana tako, da imajo vse krivulje enako ploˇsˇcino. Negativne vrednosti rdeˇce v intervalu okoli 500 nm pomenijo, da barv v tem intervalu ne moremo realizirati s kombinacijo izbranih osnovnih barv. Namesto na primerjalno polje moramo z rdeˇco svetlobo posvetiti na testno polje. b) Gra. funkcij barvnega ujemanja barvnega sistema X Y Z [8]. Ti integrali pomenijo projekcijo Hilbertovega prostora (spektra svetlobe) na trirazseˇzni prostor komponent X, Y in Z, ki ustrezajo doloˇceni barvi. Z dogovorom [8] so spekter I(.) in funkcije barvnega ujemanja normirani tako, da ima spekter sevanja ˇcrnega telesa, segretega na 2856 K (standardno svetilo A), vrednost 100 pri valovni dolˇzini 560 nm in valovno dolˇzino v integralih izrazimo normirano na nanometer. Funkcije barvnega ujemanja v sistemu XY Z so izbrane tako, da y pri­bliˇzno ustreza obˇcutljivosti ˇcutnic M. V razmerah moˇcne svetlobe normalno oko dojema svetlobo zelenega dela spektra svetleje kot rdeˇco ali modro sve­tlobo enake moˇci. Povpreˇcna svetlobna obˇcutljivost oˇcesa se pribliˇzno ujema s spektralno obˇcutljivostjo ˇcepnic M. V sistemu XY Z zato svetlost ustreza komponenti Y. Funkcija z(.) ustreza obˇcutljivosti oˇcesa za modro barvo (obˇcutljivosti ˇcepnic S). Funkcija x(.) je taka kombinacija odzivov ˇcepnic, da nobena od funkcij barvnega ujemanja ni negativna. Pri taki de.niciji sistema pomeni komponenta Y svetlost barve, kompo­nenti X in Z pa opiˇseta vse barvne odtenke pri tej svetlosti. Zato trojico X, Y in Z lahko prikaˇzemo s trojico (x, y, Y ), kjer sta deleˇza barvnih vrednosti de.nirana z x = X/(X+Y +Z)in y = Y/(X+Y +Z). Projekcija ploskve X+Y +Z = 1 na ravnino (x, y) je lik z obliko podkve. Na ukrivljenem delu oboda tega lika so spektralne barve, krajiˇsˇca krakov podkve pa povezuje ˇskrlatna daljica. Lik imenujemo barvni diagram CIE. Toˇcke v liku doloˇcajo deleˇze barvnih vrednosti. Barvni diagram CIE kaˇze slika c na naslovnici. Barve, kot jih zazna oko, lahko merimo s kolorimetri. V kolorimetru ˇ merimo svetlobo, ki na detektor vpada skozi razliˇcne barvne .ltre. Ce so spektralne prepustnosti .ltrov poznane, iz izmerjenih signalov lahko izra­ˇcunamo komponente barve v barvnem sistemu. Kolorimetre uporabljajo za preverjanje barv barvnih zaslonov in v barvnem tisku. Zgledi Opiˇsimo nekaj zgledov, v katerih opazujemo znane spektre svetlobe, ki jim ˇzelimo doloˇciti barvo. Prvi zgled je na uklonski mreˇzici uklonjena svetloba curka bele svetlobe (slika a na naslovnici). Bela svetloba se po prehodu ukloni tako, da je pod nekim kotom glede na smer prvotnega curka svetloba enobarvna. Spekter enobarvne svetlobe je ˇcrta (porazdelitev delta) pri dolo­ˇceni valovni dolˇzini. Komponente barvnega prostora za enobarvno svetlobo z relativno gostoto svetlobnega toka 1 so kar enake vrednostim funkcij barv­nega ujemanja X = x(.), Y = y(.)in Z = z(.). Slika d na naslovnici kaˇze trak mavriˇcnih barv, ki je sestavljen iz oˇzjih trakov, katerih barve po vrsti od leve proti desni ustrezajo enobarvnim svetlobam vedno veˇcje valovne dol­ˇzine. Za risanje uporabimo program, ki zna interpretirati barve v prostoru XY Z. Za prikaz na zaslonu te barve potem pretvorimo v prostor RBG, za tisk pa v prostor CMYK. Primeren program je npr. Mathematica, s katerim sliko izriˇsemo z ukazom: sp=Table[{XYZColor[x[l],y[l],z[l]], Rectangle[{l,0},{l+1,100}]},{l,300,800,1}]; Graphics[Flatten[sp,1]] Enostavno lahko pojasnimo tudi, kako lahko svetlobi z razliˇcnima spek­troma ustvarita v moˇzganih enak barvni vtis. Npr. enobarvna rumena sve­tloba z valovno dolˇzino 573 nm in normirano jakostjo ena ima komponente barvnega prostora enake X = 0,95, Y = 0,94 in Z = 0. Komponenti X in Y sta pribliˇzno enaki, komponenta Z pa je enaka 0. Enobarvna zelena svetloba z valovno dolˇzino 549 nm in normirano jakostjo 1 ima komponente (0,50,1,0,0), rdeˇca svetloba z valovno dolˇzino 665 nm in normirano jakostjo 1 pa (0,13,0,062,0). ˇsamo zeleno svetlobo z normirano jakostjo 0,9 Ce zmeˇin rdeˇco z normirano jakostjo 4, dobimo v oˇcesu enak vtis kot z rumeno svetlobo: (0,95,0,94,0) = 0,9(0,50,1,0,0) + 4(0,13,0,062,0). Tako meˇsanje barv demonstrira slika e na naslovnici. V sploˇsnem velja, da linearna kom­binacija katerihkoli barv, ki jih predstavimo v prostoru XY Z, ustvari neko barvo, ki jo lahko predstavimo v tem prostoru. Opiˇsimo barvo segretega ˇcrnega telesa. Spekter segretega ˇcrnega telesa opiˇse Planckov zakon: 1 Ict(., T ). . . . . . .5 hc exp - 1 .kT Tu so hPlanckova konstanta, c svetlobna hitrost, k Boltzmannova konstanta in T absolutna temperatura. Normiranje spektra je opisano v razdelku Barvni sistemi. Rezultat predstavimo tako, da zaporedno nariˇsemo trakove v barvah, ki ustrezajo vedno viˇsji temperaturi (slika f na naslovnici). Telesa s sobno temperaturo sevajo veˇcino svetlobe v infrardeˇcem delu spektra in jih z oˇcmi ne opazimo (opisujemo ˇcrno telo). Pri temperaturi okoli 1000 K telo ˇzari v rdeˇci barvi. Ko temperatura telesa naraˇsˇca, se barva preko oranˇzne in rumene spremeni v belo, ki ustreza telesu, segretemu na 6000 K. To je temperatura povrˇsja Sonca in njegovo svetlobo oko zazna kot belo. ˇ Se bolj segreta telesa imajo modrikast barvni ton. Opiˇsimo ˇse barve tanke milniˇcne plasti, od katere se odbija bela svetloba. ˇ Cloveˇsko oko je prilagojeno na sonˇcno svetlobo in kot belo – barvo brez tona – zazna sonˇcno svetlobo, to je svetloba ˇcrnega telesa, segretega na 6000 K. ˇ Zarnice so segrete na niˇzjo temperaturo (pod 3000 K) in njihovo svetlobo vidimo kot nenasiˇceno rumeno, vendar ˇse vedno pribliˇzno belo. Vpraˇsanje, kakˇsen je barvni vtis svetila, zelo zanima industrijo svetil. V naˇsem zgledu bomo kot belo svetlobo vzeli svetlobo s konstantnim spektrom. Spekter svetlobe, odbite pod pravim kotom, lahko opiˇsemo z izrazom: 2 n2.d . Im(., d). cos + . . 2 Tu je n lomni kvocient snovi v tanki plasti in d je debelina plasti. Slika g na zadnji strani kaˇze barvo plasti v odvisnosti od debeline plasti od 0 nm do 1500 nm. To sliko lahko primerjamo s sliko b na naslovnici vendar moramo upoˇstevati, da se debelina milniˇcne plasti zaradi teˇze spreminja z viˇsino (na dnu je veˇcja kot na vrhu), vendar ne sorazmerno. Sklep Modeli barvnih prostorov ne ponujajo popolnega opisa barvnega vida. Barvo opiˇsejo le s tremi parametri in ne upoˇstevajo percepcije – prilagajanja ˇcu­tnic na svetlobo, razlike signalov sosednjih ˇcutnic, vpliva obrobja vidnega polja, vpliva paliˇcnic idr. Popolnejˇsi in matematiˇcno bolj zahtevni so modeli barvnega zaznavanja, v katerih barvo opiˇsemo z njenim tonom, svetlostjo, sijajem, nasiˇcenostjo, polnostjo in kromo [2]. Opis teh modelov presega okvir tega ˇclanka. LITERATURA [1] J. Bowmaker in H. Dartnall, Visual pigments of rods and cones in a human retina, J. Physiol. 298: 501–511 (1980). [2] D. Javorˇsek, Od CIE kolorimetrije do modelov barvnega zaznavanja, Tekstilec 55 (2012), 3, 176–183. [3] V. C. Smith in J. Pokorny, The Science of Color, Elsevier, 2003. [4] W. Stiles in J. Burch, N. P. L. Colour-matching Investigation: Final Report, Optica Acta 6 (1959), 1, 1–26. [5] A. Stockman, D. MacLeod in N. Johnson, Spectral sensitivities of the human cones, J. Opt. Soc. of America A 10 (1993), 2491–2521. [6] W. D. Wright, A re-determination of the trichromatic coe.cients of the spectral colours, Transactions of the Optical Society 30 (1928), 4, 141–164. [7] G. Wyszecki in W. Stiles, Colour Science, London: J. Wiley (1967). [8] http://www.cie.co.at/index.php/LEFTMENUE/index.php?i_ca_id=298, ogled: 3. 6. 2015. Na naslovnici: a) Barvni vzorec, ki nastane na zaslonu po uklonu sve­tlobe ˇzarnice na uklonski mreˇzici. Na doloˇceni razdalji navzgor ali navzdol od belega traku na sredini slike so ozki, vodoravni trakovi razliˇcnih barv. Vsaki barvi lahko pripiˇsemo enobarvno svetlobo z doloˇceno valovno dol­ˇzino. b) Odsev sonˇcne svetlobe na milniˇcni opni. Opazimo barve, ki jim ne moremo pripisati enobarvne svetlobe, npr. sinja ali ˇskrlatna. c) Barvni diagram CIE. V diagram sta vrisana ˇse barvni podprostor, ki ga razpe­nja sistem RGB, in toˇcka beline. Po loku so nanizane spektralne barve, krajiˇsˇci loka povezuje ˇskrlatna daljica. d) Navpiˇcni trakovi mavriˇcnih barv enobarvne svetlobe, valovna dolˇzina naraˇsˇca od leve (300 nm) proti desni (800 nm). e) Z aditivnim meˇsanjem zelene in rdeˇce enobarvne svetlobe ustvarimo v moˇzganih enak barvni vtis kot z enobarvno rumeno svetlobo. f) Barva segretega ˇcrnega telesa kot funkcija temperature. Temperatura telesa naraˇsˇca z leve proti desni od 1000 K do 10 000 K. Telo z nizko tem­peraturo ˇzari rdeˇce, zelo vroˇca telesa pa so modrikasta. Telo s temperaturo 6000 K (temperatura povrˇsja Sonca) je videti belo. Na zadnji strani: g) Barve milniˇcne opne po pravokotnem vpadu bele svetlobe s konstantnim spektrom v odvisnosti od debeline plasti. Barve niso mavriˇcne in jih ne moremo opisati le s svetlobo ene valovne dolˇzine, temveˇc s spektrom. Cim debelejˇˇsa je plast, manj nasiˇcene so barve. Videti so, kot da bi bile zmeˇsane z belo. To sliko lahko primerjamo s sliko b, vendar moramo upoˇstevati, da debelina milniˇcne plasti na sliki b ne naraˇsˇca sorazmerno z oddaljenostjo od vrha zanke. ˇ SOLA MOTIVACIJA ZA ˇSTUDIJ FIZIKE ALEˇC S MOHORI ˇ Fakulteta za matematiko in .ziko Univerza v Ljubljani Ste se kda j vpraˇsali, ka j vas je zmamilo v .ziko? Kakorkoli se kot po­samezniki razlikujemo, v mnogoˇcem smo si podobni. Tako so podobne tudi vzpodbude in ˇzelje, ki nas zapeljejo v ˇstudij. Nekatere so bolj pomembne, nekatere manj. Med sebo j se razlikujemo po teˇzi, ki jo pripisujemo dolo­ˇcenemu razlogu, v veˇcjem ˇstevilu pa vendarle opazimo vzorec. Ta vzorec smo na skupini enainˇsestdesetih letoˇsnjih brucev .zike ugotavljali z vpra­ˇsalnikom. Vpraˇsalnik je sestavljen iz dva jsetih izjav, s katerimi ˇstudenti izrazijo strinjanje na petstopenjski lestvici, vpraˇsanj odprtega tipa ter ne­katerih vpraˇsanj za ugotavljanje statistike. Vpraˇsalnik je nastal na podlagi sprejemnega intervjuja na Imperial College of London, ki ga ˇze dolga leta vodi Gareth Jones. Vpraˇsalnik je za ˇsirˇso rabo priredila prva delovna sku­pina svetovne .zikalne mreˇze pro jekta Hope [1]. Vpraˇsalnik so izpolnjevali ˇse v enaintridesetih evropskih drˇzavah. ˇ Studentom je bilo zastavljeno vpraˇsanje: ka j vas je motiviralo za ˇstudij .zike? Sledila je vrsta izjav z lestvico od 1 (sploh ni pomembno, ne drˇzi) do 5 (zelo je pomembno, popolnoma drˇzi), in ˇstudenti so izjavi podelili ˇstevilo toˇck, ki na jbolj ustreza njihovemu prepriˇcanju. Sledi seznam izjav, poleg izjav je zapisano povpreˇcno ˇstevilo toˇck pri tej izjavi in standardni odklon, kot smo jih dobili za naˇse ˇstudente. Izjave so urejene po vrsti glede na povpreˇcno ˇstevilo toˇck, ˇstevilka pred izjavo kaˇze njeno mesto v nizu. ˇ 8. Zelja, da bi razumel/a svet okoli sebe 4,7 ± 0,5 ˇ 13. Zelja po razumevanju, kako reˇci delujejo 4,5 ± 0,7 ˇ 16. Zelja po zanimivi sluˇzbi 4,4 ± 0,8 ˇ 1. Zelja, da bi zares dobro razumel/a vesolje 4,3 ± 0,9 ˇ 14. Zelja po uˇcenju viˇsje .zike (npr. kvantne mehanike) 4,2 ± 0,9 ˇ 17. Zelja postati .zik – znanstvenik 4,1 ± 1,0 19. Fizika je predmet, ki mi leˇzi bolje kot drugi predmeti 3,7 ± 1,2 ˇ 15. Zelja po tem, da bi znal/a na .zikalnih temeljih sesta­ viti ali/in uporabiti napravo, npr. teleskop 3,6 ± 1,1 ˇ 2. Zelja, da bi si poveˇcal/a moˇznosti zaposlitve 3,5 ± 1,0 12. Internet, spletne strani s .zikalno tematiko, .lmi na YouTube-u, . . . 3,4 ± 0,9 6. Prebiranje knjig in revij 3,3 ± 1,2 5. Dokumentarne odda je s .zikalnimi vsebinami na TV 3,2 ± 1,1 4. Uˇcitelj .zike 3,1 ± 1,3 10. Obiski znanstvenih laboratorijev (na fakulteti), CERN-u, . . . 2,9 ± 1,3 9. Obiski muzejev in specializiranih razstav 2,6 ± 1,0 20. Starˇsi in druˇzina 2,5 ± 1,2 11. Obiski znanstvenikov ali ˇstudentov s fakultete na naˇsi ˇsoli 2,1 ± 1,1 7. Raziskovalec v druˇzini 2,0 ± 1,3 3. Spodbuda soˇsolcev/prijateljev 1,9 ± 1,1 ˇ 18. Zelja postati uˇcitelj .zike 1,9 ± 1,0 Sledijo odprta in statistiˇcna vpraˇsanja s povzetki odgovorov. 21. Prosimo, napiˇsi ˇse druge razloge, ki so pomembno vplivali na tvo je zanimanje za ˇstudij .zike. Nava jam na jpogosteje omenjene razloge. Fizika: je zanimiva, je zah­tevna, je izziv, je na jpomembnejˇsa, je matematiˇcna, je logiˇcna, razˇsiri pogled na svet, je prestiˇzna, zanjo se ni treba uˇciti na pamet, omogoˇca dobro zaposlitev, je na viˇsjem nivo ju kot drugi inˇzenirski programi. Zanima me: vesolje, teoretiˇcna .zika, reˇsevanje matematiˇcnih proble­mov. Vpliv: uˇciteljev, starˇsev, tekmovanj, pro jektov, televizijskih osebnosti. 22. Pri kateri starosti te je .zika zaˇcela zelo zanimati? Izpraˇsane bruce je .zika zaˇcela zelo zanimati pri povpreˇcni starosti 13 let. 23. Pri kateri starosti si se odloˇcil/a za ˇstudij .zike? Izpraˇsani bruci so se za ˇstudij .zike odloˇcili pri povpreˇcni starosti 17 let. 24. Kateri drugi predmeti so ˇse priˇsli v oˇzji izbor za ˇstudij? matematika 18, stro jniˇstvo 11, raˇcunal­niˇstvo 10, kemija 7, elektrotehnika 5, medicina 3, ekonomija 3, jeziki 2, biokemija 2, biologija 2, geogra.ja 2, .lozo.ja 2, arhitektura 2, gozdarstvo, fotogra.ja, elektronika, glasba, zgodovina, ˇsport, veterina, diplomacija, psihologija 25. Katera posebej pomembna okoliˇsˇcina ali razlog te je navdihnila za ˇstudij .zike? dobri uˇcitelji 4, knjiga 2, starˇsi 2, nakljuˇcje, korist, ugled, tele­vizija, zaposlitvene moˇznosti, zvedavost, posebna teorija relativnosti, astro.zika, vesolje, skepticizem, kro., .zika: je zanimiva, me veseli, je raznolika 26. Si fant ali dekle? Dve tretjini (42) je fantov in tretjina (19) deklet. 27. Si obiskoval/a fantovsko, dekliˇsko ali meˇsano ˇsolo? Meˇsano (vpraˇsanje za Slovenijo ni smiselno, je pa za tujino, anketa je mednarodna). 28. Katero srednjo ˇsolo si konˇcal/a (gimnazijo, tehniˇcno gimnazijo, . . . )? Veˇcina (57) gimnazija, drugi tehniˇcna gimnazija. 29. Na katerem programu ˇstudiraˇs? 90 % (54) .zika ter po 5 % (3) astro.zika in (4) meteorologija. Iz podanih odgovorov si vsak lahko sam ustvari sliko o motivacijah na­ˇsih ˇstudentov. Na hitro lahko strnem, da so med na jpomembnejˇsimi mo­tivacijami za ˇstudij ˇzelja po razumevanju sveta okoli nas, delovanju reˇci in razumevanju vesolja ter ˇzelja po zanimivi sluˇzbi. Na jmanj pomemben se zdi vpliv prijateljev in soˇsolcev in veˇcina brucev ne razmiˇslja o uˇciteljski karieri. Zadnja izjava drˇzi sicer le v povpreˇcju. Med posameznimi odgo­vori je neka j takih, katerim je uˇciteljski poklic pomemben. Kot kaˇze, tudi obiski znanstvenikov in ˇstudentov s fakultete na ˇsolah niso zelo pomembna motivacija. Iz odgovorov na odprta vpraˇsanja sledi, da ˇstudentje do jema jo .ziko kot zahteven, vendar zanimiv ˇstudij. Rezultati pri izjavah 20, 7 in 3 kaˇzejo, da od domaˇcih vzpodbude in zgleda v povpreˇcju ni prav veliko, vendar pa relativno velik odklon in odgovori na vpraˇsanje 25 kaˇzejo, da pri delu vzorca vseeno moˇcno vpliva jo. To velja tudi za uˇcitelje .zike v srednji ˇsoli, ki so ˇse pred knjigami, televizijo in internetom na jpomembnejˇsi moti­vatorji. Odgovori na vpraˇsanje 25 so na videz v nasprotju z izjavo 4, a se je treba zavedati, da je ˇstevilo toˇck le povpreˇcje. Iz vpraˇsanj odprtega tipa je jasno, da uˇcitelji na nekatere dijake moˇcno vpliva jo. Poleg .zike in narave same so ravno uˇcitelji na jboljˇsa reklama za ˇstudij. Nobenega preseneˇcenja ni, katerim programom je .zika konkurirala, ko so se odloˇcali za ˇstudij. Na jveˇc jih je v naravoslovju in tehniki. Prva je matematika, nato stro jniˇstvo, raˇcunalniˇstvo ter kemija, kar ni preseneˇcenje. Med ˇstudenti doka j krepko prevladujejo fantje, vendar ne veˇc tako kot vˇcasih. Veˇcina brucev priha ja z gimnazij. Za .ziko se v povpreˇcju zaˇcnejo zanimati pri starosti trina jst let, s sedemna jstimi pa se odloˇcijo za ˇstudij. Rezultati v celoti niso presenetljivi, lahko pa koristijo snovalcem ˇstu­dijskega programa z idejami, ka j priˇcakujejo od ˇstudijskega programa tisti dijaki, ki se odloˇcijo za vpis na .ziko, in pomaga jo pri strategiji privabljanja novih ˇstudentov. Kot kaˇze, je na jpomembnejˇsi faktor, na katerega imamo vpliv, skrb za dobre uˇcitelje .zike v osnovnih in srednjih ˇsolah. LITERATURA [1] www.hopenetwork.eu, ogled: 25. 5. 2015. VESTI OSEMDESET LET PROFESORJA ANTONA SUHADOLCA Sredi aprila je dopolnil osemdeset let prof. dr. Anton Suhadolc, ki je bil v drugi polovici 20. stoletja in je ˇse danes eden na jbolj znanih in ce­njenih profesorjev Oddelka za mate­matiko Univerze v Ljubljani. Okro­gli jubilej je priloˇznost, da opozori­mo na njegov prispevek k razvo ju ˇstudija in raziskovanja matematike na Slovenskem. Rodil se je 19. aprila 1935 v Lju­bljani. Po maturi na beˇzigra jski gi­mnaziji je ˇstudiral matematiko na ljubljanski univerzi, diplomiral ko­nec leta 1957, bil nato leto dni zapo­slen na Institutu Joˇzef Stefan, leto dni sluˇzil vo jaˇski rok, marca 1960 pa je postal asistent na tedanji Na­ravoslovni fakulteti, kasnejˇsi Fakulteti za naravoslovje in tehnologijo (FNT). Kot Humboldtov ˇstipendist se je dve leti strokovno izpopolnjeval v Heidel­bergu. Tam je zaˇcel pripravljati doktorat, ki ga je pod mentorstvom profe­sorja Ivana Vidava konˇcal v Ljubljani in z disertacijo Posploˇsitev Fourier-Laplaceove transformacije promoviral februarja 1965. Po doktoratu je bil vse do upoko jitve leta 1998 zaposlen na FNT (zadnja tri leta na novo nastali Fakulteti za matematiko in .ziko), na jprej kot docent, nato izredni profesor in od leta 1981 kot redni profesor za matematiko. V tem ˇcasu je bil dvakrat gostujoˇci profesor v ZDA, eno leto (1969/70) na University of Wisconsin v Madisonu in eno leto (1977/78) na University of Florida v Tallahasseeju. Trikrat je bil za kra jˇsi ˇcas tudi na ˇstudijskem dopustu v Hagenu v Nemˇciji. Podroˇcje znanstvenega zanimanja in delovanja profesorja Suhadolca je bila matematiˇcna analiza, zlasti v povezavi z matematiˇcno .ziko. Poleg dva jsetih internih poroˇcil o raziskovalnem delu na Inˇstitutu za matematiko, .ziko in mehaniko (IMFM), ki jih je bilo treba v ˇsestdesetih, sedemdesetih in osemdesetih letih 20. stoletja izdelati vsako leto, je ob javil dvana jst tehtnih znanstvenih ˇclankov. Njihova vsebina sega od integralskih operatorjev te ali one vrste, Fourierove in Laplaceove transformacije, do linearizirane Boltz­mannove enaˇcbe v transportni teoriji nevtronov in do problemov pretakanja nestisljivih tekoˇcin skozi porozni material. Za znanstveno raziskovalno delo s podroˇcja transportne teorije je leta 1974 skupa j s profesorjem Sergejem Pahorjem prejel prestiˇzno Kidriˇcevo nagrado, predhodnico danaˇsnje Zoi­sove nagrade za znanstveno delo. Recenziral je ˇstevilne znanstvene ˇclanke in knjige ter o njih poroˇcal v tujih referativnih revijah (samo v Mathema­tical Reviews oziroma kasnejˇsem MathSciNet okrog dvestokrat) in v doma­ˇcem Obzorniku (skora j ˇstiridesetkrat). V Obzorniku in Preseku je ob javil ˇstevilne strokovne ˇclanke in kra jˇse prispevke, skupa j skora j ˇsestdeset. Ob deseti obletnici izha janja Preseka je prejel priznanje DMFA Slovenije. Napi­sal je tudi ˇsest univerzitetnih dodiplomskih uˇcbenikov, dva podiplomska in veˇc kra jˇsih samosto jnih strokovnih publikacij ter matematiˇcnih prispevkov v razliˇcnih zbornikih. Preva jal je iz angleˇsˇcine v slovenˇsˇcino in iz ruˇsˇcine v angleˇsˇcino. Udeleˇzil se je razliˇcnih kongresov v okviru bivˇse drˇzave in veˇc mednarodnih konferenc. Kot gost je imel predavanja na univerzah v Mariboru, Zagrebu, Trstu, Madisonu in v Hagenu. Rad je predaval dijakom pa tudi uˇciteljem na strokovnih sreˇcanjih v okviru Druˇstva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije (DMFA). Profesorski ugled in sploˇsno priljubljenost med slovenskimi matematiki pa si je zagotovo pridobil s svo jimi rednimi predavanji. Generacijam ˇstu­dentov matematike je bil odliˇcen vodnik na poti odkrivanja skrivnosti posa­meznih matematiˇcnih disciplin: linearne algebre, numeriˇcne in funkcionalne analize, aproksimativnih metod, teorije mere, diferencialnih enaˇcb (analiza III in IV), enkrat tudi teorije analitiˇcnih funkcij, pogosto pa razliˇcnih spe­cialnih teˇca jev in seminarjev. Obˇcasno je predaval matematiko tudi drugim naravoslovcem, tehnikom, raˇcunalnikarjem in sluˇsateljem pedagoˇske fakul­tete v Ljubljani. Na podiplomskem ˇstudiju je uˇcil na domaˇci fakulteti (se­minar, linearni topoloˇski prostori, funkcionalna analiza, variacijske metode za mehanike), na fakulteti za elektrotehniko in na montanistiki. Svo jo pe­dagoˇsko poslanstvo je neka j ˇcasa uresniˇceval tudi ˇse po upoko jitvi. Njegova predavanja so se odlikovala po jasnosti in nazornosti, ˇceprav je bila predpisana snov veˇcinoma med matematiˇcno na jbolj zahtevnimi. Go­voril je mirno in zbrano; nikoli ni povzdignil glasu, a kljub temu je bila njegova razlaga ˇzivahna in privlaˇcna. Na izpitih je bil do ˇstudentov izjemno prijazen in korekten. Med njimi je bil na glasu kot dober in zaˇzelen mentor. V tej vlogi se je izkazal pri ˇsestinˇsestdesetih diplomah in ˇsestih magisterijih. V resnici pa je njegovo mentorsko delo presegalo te okvire. S svo jo ˇsiroko matematiˇcno razgledanostjo in sposobnostjo posluˇsati in vˇziveti se v (mate­matiˇcne) probleme drugih je bil primeren sogovornik svo jim kolegom, tako matematikom kot .zikom, o razliˇcnih strokovnih vpraˇsanjih. Tudi do drugih sodelavcev je bil odprt in vedno vsa j z nasvetom pripravljen priskoˇciti na pomoˇc. Pomagal je npr. pri organiziranju matematiˇcne knjiˇznice, kasneje pri naroˇcanju in klasi.kaciji knjig, pri pripravi razstave o Vegovih logaritmih ob slovenskem matematiˇcnem kongresu leta 1994, pri organizaciji Vegovih dnevov leta 2004 itd. Za svo je predano pedagoˇsko delo je profesor Suhadolc upraviˇceno prejel pomembno priznanje domaˇce alme mater. Leta 2002 je postal zasluˇzni profesor Univerze v Ljubljani. V svo ji univerzitetni karieri je moral prevzeti tudi ustrezen deleˇz ad­ministrativnih in vodstvenih dolˇznosti na Oddelku za matematiko. Dva loˇcena mandata je bil predsto jnik oddelka, ˇse prej namestnik predsto jnika. V zgodovino se je zapisal kot prvi dekan nove Fakultete za matematiko in .ziko. To zahtevno in nehvaleˇzno funkcijo je opravljal v kritiˇcnih letih 1995–1997, ko je bilo treba na novo vzpostaviti celoten dekanat in vse nje­gove sluˇzbe. Nazadnje je v letih 2006–2009 opravljal pomembno drˇzavno funkcijo na znanstvenem podroˇcju kot ˇclan Odbora za Zoisove nagrade in priznanja Republike Slovenije. Ob koncu ˇsestdesetih let je vodil Oddelek za matematiko na IMFM in bil v zaˇcetku devetdesetih let predsednik inˇstitutskega sveta. Tako rekoˇc vso svo jo kariero je bil aktiven pri DMFA. Bil je dolgoletni ˇclan upravnega odbora druˇstva, ˇstiri leta njegov podpredsednik in dve leti predsednik, po upoko jitvi pa ˇclan ˇcastnega razsodiˇsˇca. Veˇc kot dva jset let je bil ˇclan ure­dniˇstva in kasneje svetovalec druˇstvenega glasila Obzornik, od tega devet let urednik za matematiko. Eno leto je bil tudi predsednik Komisije za tisk. Druˇstvo se mu je za dolgoletno nesebiˇcno delo leta 2001 zahvalilo z izvolitvijo za ˇcastnega ˇclana. Doslej smo govorili o profesorju Suhadolcu kot matematiku v razliˇcnih vlogah: znanstvenika in univerzitetnega profesorja, promotorja znanosti in urednika strokovne revije. Poroˇcilo pa bi bilo nepopolno, ˇce ne bi ome­nili tudi njegovih drugih zanimanj in aktivnosti, ki so le rahlo povezane z matematiko ali pa povsem zuna j matematiˇcnega podroˇcja. ˇ Ze pred upoko jitvijo ga je zanimala zgodovina matematike. Ob razliˇc­nih priloˇznostih je predaval o znamenitih matematikih iz naˇse preteklosti, o Vegi, Moˇcniku, Hoˇcevarju, veˇckrat o Plemlju, pa o Zupanˇciˇcu, Kuˇsarju, o nekaterih tujih znanih matematikih, o zaˇcetkih pouka .zike na ljubljan­ski univerzi, o nastanku logaritmov, o starih uˇcbenikih itd. O vsem tem je pisal v Obzorniku, pa tudi v Kroniki in drugje. Pretipkal, uredil in v samozaloˇzbi je izdal dnevnik svo jega oˇceta (znanega arhitekta) iz partizan­skih dni. Njegovo zadnje veliko delo pa je raziskava o pozabljenem in po krivici zamolˇcanem predvo jnem slovenskem matematiku, Plemljevem ko­legu in njegovem nasledniku na rektorskem stolu Univerze v Ljubljani. O njem je napisal veˇc poroˇclankov, krona pa je ob java knjige ˇ cil in ˇZivljenje in delo profesorja Riharda Zupanˇciˇca, ki jo je leta 2011 izdala domaˇca zaloˇzba DMFA – zaloˇzniˇstvo. V zadnjem ˇcasu se profesor Suhadolc rad udeleˇzuje razliˇcnih predavanj v okviru Druˇstva univerzitetnih profesorjev in Seminarja za zgodovino matematike in matematiˇcnih znanosti pri DMFA. Med kolegi na fakulteti slovi tudi njegovo intenzivno ukvarjanje z ra­stlinami in s cvetjem. O njih si je z leti nabral ogromno praktiˇcnega in teoretiˇcnega znanja. S svo jih ˇstevilnih potovanj v tujino je prinaˇsal ekso­tiˇcne rastline, jih go jil doma in obˇcasno »razstavil« na hodnikih fakultete, da smo jih lahko obˇcudovali tudi drugi in hkrati posluˇsali profesorjevo raz­lago. O nekaterih posebnih rastlinah je pisal v revijah Proteus in Mo j mali svet. Poleg tega je profesor Suhadolc eden na jboljˇsih slovenskih poznaval­cev lesa; domaˇcega, ki ga je zbiral po vseh kra jih, in tudi tujega. O tem je leta 2012 izdal knjigo Les naˇsih dreves in grmovnic. Razliˇcne vrste lesa je uporabil za razne praktiˇcne predmete, celo domaˇci parket. Posebnost so manjˇse in veˇcje krogle, ki jih je dal izdelati in jih v zadnjih desetih letih prikazal na ˇstevilnih razstavah po Sloveniji. Ka j na j reˇcemo ob koncu tega poroˇcila, ki seveda ne more celovito prika­zati niti bogate ustvarjalnosti profesorja Suhadolca niti njegovih pedagoˇskih zaslug in strokovnih prizadevanj, ka j ˇsele vse ˇsirine njegovega duha? Omenili smo ˇze nagrado za znanstveno delo ter univerzitetna in druˇstvena priznanja. Za svo je druge uspehe in ravnanja na jbrˇz ni dobil niˇcesar, razen notranjega zadovoljstva. To pa ne pomeni, da si ne zasluˇzijo pozornosti in da jih njegovi nekdanji uˇcenci in kolegi ne znamo ceniti. Ob ˇzivljenjskem jubileju pa mu predvsem ˇzelimo, da ostane ˇse naprej ˇcil in vitalen, mlad po duhu, trden v svo ji intelektualno poˇsteni in pokonˇcni drˇzi ter veder v svo jem odnosu do soljudi. ˇ Se na mnoga zdrava leta, spoˇstovani gospod profesor! Milan Hladnik ENAINDVAJSETO MEDNARODNO TEKMOVANJE ˇ STUDENTOV MATEMATIKE Slika 1. ˇsevanjem nalog. Studenti med reˇ V Blagoevgradu v Bolgariji je od 29. julija do 4. avgusta 2014 potekalo ˇze 21. tekmovanje ˇstudentov matematike. Iz Slovenije sta se ga udeleˇzili dve ekipi. Fakulteto za matematiko in .ziko Univerze v Ljubljani so za­stopali Vesna Irˇsiˇc in Veno Mramor iz drugega letnika, Simon Bergant iz tretjega letnika ter Matej Aleksandrov in Matej Petkovi´c iz prvega letnika druge stopnje ˇstudija, Famnit Univerze na Primorskem pa ˇstudenti Marko Ra jkovi´c in Marko Palangeti´c iz prvega letnika ter Anastasiya Tanana iz drugega letnika. Vodji ekip sva bila Gregor Sega in Istv´ˇan Est´elyi. V dvodnevnem reˇsevanju desetih nalog se je pomerilo 324 ˇstudentov, razvrˇsˇcenih v 73 ekip. Obiˇca jno ekipo sestavlja jo ˇstudenti ene univerze, vˇcasih pa je kakˇsna od ekip sestavljena iz ˇstudentov razliˇcnih univerz (letos je bila taka zmagovalna ekipa, ki se je imenovala Narodna ekipa Izraela). Poleg ekip se tekmovanja vedno udeleˇzi ˇse neka j posameznikov, sa j se na tekmovanje lahko prijavi vsak ˇstudent matematike. Slika 2. Ekipa Fakultete za matematiko in .ziko na podelitvi. Naˇsi ekipi sta bili tudi tokrat zelo uspeˇsni. Anastasiya Tanana je osvo jila prvo nagrado, Simon Bergant je prvo nagrado zgreˇsil za eno toˇcko in tako osvo jil drugo nagrado, ki so si jo prisluˇzili tudi Matej Aleksandrov, Veno Mramor in Matej Petkovi´c. Marko Palangeti´c in Marko Ra jkovi´c sta osvo jila tretjo nagrado, Vesna Irˇsiˇc pa pohvalo. Ekipno smo dosegli triindva jseto (ekipa Fakultete za matematiko in .ziko) ter ˇstiriintrideseto mesto (ekipa Famnit). Posnetek podelitve, na kateri vsak ˇstudent na odru prevzame svo jo na­grado, ˇcestitke predsednika tekmovalne komisije in zasluˇzen aplavz, je dose­gljiv tudi na YouTubu. Ker je ˇstudentov kar veliko, prireditev tra ja skora j toliko kot kakˇsna otvoritev olimpijskih iger. Temu primerno je potem tudi ˇstevilo ogledov – verjetno vsak le pogleda svo j del. Kot obiˇca jno velja neka j vrstic nameniti tudi druˇzabnemu ˇzivljenju. Skozi leta se je pravzaprav marsika j spremenilo. Na zaˇcetku je bilo tek­movalcev manj kot sto, zato je bilo druˇzenje precej laˇzje, ni pa bilo tako raznoliko. Seda j je ˇstudentov prek tristo, tako da se mnogi v enem tednu niti ne sreˇca jo. Vseeno je veliko ˇsportnih iger (tokrat vreme ni naga jalo), druˇzabnih iger ter noˇcnih zabav v ˇstudentskem naselju, kjer so nastanjeni tekmovalci. Je pa bilo tokrat moˇcno opazno ˇcakanje na rezultate: komisija po vsakem tekmovalnem dnevu ocenjuje izdelke pozno v noˇc, rezultati pa se sproti ob javlja jo na spletni strani organizatorja. Tako so nekateri (predvsem boljˇsi) tekmovalci sedeli pred svo jimi elektronskimi pripomoˇcki in osveˇzevali domaˇco stran tekmovanja. Kot obiˇca jno so temperamentni ˇ Spanci poskrbeli za glasno zabavo pozno v noˇc, njeno srediˇsˇce je bila bikova glava, narejena iz izdolbene lubenice. Slika 3. Obe slovenski ekipi po podelitvi. S konˇcnimi rezultati so bili tekmovalci veˇcinoma zadovoljni, ne pa vsi. Na primer, tekmovalka, ki je dosegla ˇsesto mesto, je bila tako razoˇcarana, da se podelitve nagrad sploh ni udeleˇzila. Oglejmo si ˇse tri naloge s tekmovanja ter njihove reˇsitve. Prva na j bi bila zelo lahka, druga srednje teˇzavnosti in tretja malo teˇzja. Naloga 1. Doloˇcite vse pare (a, b) realnih ˇstevil, za katere obsta ja enoliˇcno doloˇcena simetriˇcna 2 × 2 matrika s sledjo enako a in determinanto enako b. Optimisti pravijo, da za vsak problem obsta ja veliko pravilnih reˇsitev, na­paˇcna reˇsitev pa je le ena. Pesimisti nasprotno trdijo, da je prava reˇsitev le ena, napaˇcnih reˇsitev pa je mnogo. Matematiki pa vemo, da obsta ja mnogo pravilnih reˇsitev, pa tudi mnogo napaˇcnih. Oglejmo si neka j pravilnih reˇsitev. Na jprej poda jmo analitiˇcno reˇsitev algebraiˇcnega problema: x y Reˇsitev 1. Oznaˇcimo matriko M =. Veljati mora x + z = a, y z 2 xz - y= b. Iz prve enaˇcbe dobimo z = a - x, vstavimo v drugo enaˇcbo, da 2 dobimo ax - x2 - y= b. Dodamo ˇclen -a2 , da dobimo popolni kvadrat, 4 in lahko piˇsemo 2 2 a a 2 x - + y = - b . 24 Dobili smo enaˇcbo kroˇznice. Ker moramo imeti le eno reˇsitev, mora biti radij kroˇznice enak 0. Tako je pogo j a2 = 4b in pri tem pogo ju imamo eno Slika 4. Vodja tekmovanja John E. Jayne v druˇzbi ˇspanskih tekmovalcev. reˇsitev, x = a .2 2 , y = 0 in z = a Matrika je tako enaka M = a/2 0 . 0 a/2 Lotimo se naloge bolj algebraiˇcno: x y Reˇsitev 2. Oznaˇcimo matriko M = . Ker imata matrika M in y z z -y matrika isto determinanto ter isto sled, mora biti x = z in -y x y = 0, sicer bi imeli dve razliˇcni matriki z zahtevanima lastnostma. Tako x 0 je matrika M = in ima sled enako 2x in determinanto x2 . Sledi, 0 x 2 2 da je a = 2x in b = x= a2/4. Pogo j a= 4b je tako potreben za enoliˇcno reˇsitev. Preverimo, da je tudi zadosten. Za sploˇsno matriko M 2 kot zgora j mora veljati x + z = a in xz - y= a2/4 = (x + z)2/4 oziroma -y2 = (x + z)2/4 - xz = (x - z)2/4. Ta enaˇcba ima le eno reˇsitev, y = 0 in x = z = a/2. Ker gre le za matrike, poskusimo ˇse bolj algebraiˇcno: Reˇsitev 3. Simetriˇcno matriko lahko diagonaliziramo, torej je M = SDS-1 . Matrika D ima enako sled kot M ter prav tako enako determinanto, ker pa je .1 0 doloˇcena enoliˇcno, mora biti M = D = . Vendar pa morata biti 0 .2 0 1 .2 0 lastni vrednosti enaki, sa j je za S = produkt SDS-1 = 10 0 .1 Slika 5. Slovenski ekipi na slavnostni veˇcerji. (ˇse enkrat uporabimo enoliˇcnost). Tako je 2.1 = a in .2 = b, od koder spet 1 sledi a2 = 4b. A tudi tokrat moramo preveriti enoliˇcnost: za lastni vrednosti reˇsujemo enaˇcbi .1 + .2 = a, .1.2 = a2/4. Izraˇcunamo (.1 - .2)2 = (.1 + .2)2 - 4.1.2 = a 2 - a 2 = 0 , od koder sledi .1 = .2 = .. Tako je (za poljubno matriko S) iskana matrika M enaka . 0 S-1 M = S = S.I S-1 = .I 0 . in je torej doloˇcena enoliˇcno. Teˇzja je naloga z viˇsjimi odvodi: Naloga 2. Za funkcijo f(x) = sin x dokaˇzite, da za x > 0 in naravno ˇstevilo x 1 n velja |f(n)(x)| < n+1 . Obiˇca jno ˇstudenti pokaˇzejo veliko izna jdljivosti, tako da skora j vedno kdo preseneti z lepo reˇsitvijo. Tokrat le ni bilo ˇcisto tako, na jkra jˇsa reˇsitev ycos(n)(xy). Ker lahko odvode funkcije cos izrazimo kot cos(n) x = cos(x+ je priˇsla iz komisije. Reˇsitev. Uporabimo enakosti 1 0 cos(xy)dy = sin x x in .n . xn cos(xy) = n n. 2 ), je . 1 . 1 .n 1 f(n)(x) = cos(xy)dy < y ndy = 0 . . xn n + 1 0 Naloga 3. Na j bo n > 6 popolno ˇstevilo (torej enako vsoti vseh svo jih deliteljev – brez n). Faktoriziramo ˇstevilo n kot e1 e2 ek n = p1 p · · · p , 2 k kjer so p1 < p2 < . . . < pk praˇstevila in ei naravna ˇstevila. Dokaˇzite, da je e1 sodo ˇstevilo. .k e1 e2 ek Reˇsitev. Za ˇstevilo n = p1 p · · · p je vsota vseh deliteljev enaka (1 + 2 k i=1 pi + pi 2 + . . . + p ei ). Ker je n popolno, velja i k2 ei e1 e2 ek (1 + pi + pi + . . . + p ) = 2n = 2p · · · p . i 1 p2 k i=1 Predpostavimo, da je e1 liho ˇstevilo. Potem vidimo, da prvi faktor pro­dukta na levi lahko razstavimo, tako da izpostavimo 1 + p1. To pomeni, da p1 + 1 deli 2n, od koder sledi (ker je p1 + 1 > 2), da neko izmed praˇstevil p2, p3, . . . , pk deli p1 + 1. To pa je moˇzno le, ˇce je p1 = 2 in p2 = 3. Torej je ˇstevilo n deljivo s 6, kar pomeni, da so n/2, n/3, n/6 in 1 (nekateri) delitelji ˇstevila n. Njihova vsota je enaka n/2 + n/3 + n/6 + 1 = n + 1, kar pomeni, da n ni popolno ˇstevilo. Opomba 1. Lahko bi tudi uporabili dejstvo, da je vsako popolno ˇstevilo oblike 2p-1(2p - 1), kjer sta p in 2p - 1 praˇstevili. Za konec predlagam, da se poskusite v reˇsevanju ˇse enega zanimivega vpra­ˇsanja: Naloga 4. Na j bo n pozitivno celo ˇstevilo. Dokaˇzite, da obsta ja jo pozi­tivna realna ˇstevila a0, a1, . . . , an, tako da ima za vsak izbor predznakov ± polinom oblike ±anx n ± an-1x n-1 ± . . . ± a1x ± a0 n razliˇcnih niˇcel. Kogar zanima reˇsitev te naloge ali pa bi se rad poskusil v reˇsevanju ˇse kakˇsne naloge s tekmovanja, si jih lahko ogleda na uradni strani www.imc-math. org.uk. Gregor ˇSega NOVE KNJIGE Kim Plofker, Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, 368 strani. Po navadi se takrat, ko ome­njamo indijsko matematiko, na jprej spomnimo na tako ime­novane arabske ˇstevilke, ki pa so svo j ˇcas priˇsle iz Indije. V praksi obiˇca jno uporabljamo ravno arabske ˇstevilke, redko rimske ali kakˇsne druge. Rim­ske ima jo pravilno ime, sa j so se pred dva tisoˇc leti razˇsirile hkrati s ˇsirjenjem rimske drˇzave in so jih v Evropi ˇse dolgo upo­rabljali v vsakdanjem ˇzivljenju. Pravijo, da so arabski trgovci bili med prvimi, ki so spoznali indijske ˇstevilke, odkrili njihovo praktiˇcnost v zapisu in raˇcuna­nju z njimi ter jih postopoma s ˇsirjenjem islama posredovali vse do Alˇzirije, Maroka in Pi­renejskega polotoka, kjer so jih prevzeli Evropejci. Zato bi upra­viˇceno morali govoriti o indijskih, morda vsa j o indijsko-arabskih ali arabsko­indijskih ˇstevilkah. Gra.ˇcna podoba ˇstevk se je s kra jem in ˇcasom sicer spreminjala, bistvena pa je moˇznost mestnega zapisa ˇstevil samo z desetimi znaki, vkljuˇcno z niˇclo, o kateri se da posebej razpravljati. To pa ˇse zdaleˇc ni vsa indijska matematika, o ˇcemer nas prepriˇca avtori­ca knjige Kim Plofker, ki je na podlagi obseˇznih raziskav sanskrtskih virov lahko zasledovala razvo j matematike na indijski podcelini od antike pa vse do zgodnjega novega veka. V knjigi ga skuˇsa avtorica na podlagi dejstev, ki so sploˇsno znana, na primer indijski izvor arabskih ˇstevilk, postaviti v ˇsirˇsi kulturni okvir. Pokaˇze, da sta indijska in islamska matematika ter astronomija vplivali druga na drugo. Indijska matematika ni kar tako neko neprekinjeno zaporedje odkritij, ampak je ˇzivahna, pisana, z drugimi indij­skimi oblikami uˇcenja povezana dejavnost. Knjiga je razdeljena na devet poglavij in dva dodatka. Ne uporablja nobene indijske pisave. Besede ali kra jˇsa sanskrtska besedila preˇcrkuje po shemi IAST (kratica za International Alphabet of Sanskrit Transliteration, uporablja se ˇze veˇc kot sto let), ki natanˇcno ohranja vse podrobnosti san­skrta, ki se originalno piˇse v pisavi devanagari. IAST uporablja ˇcrke angleˇske abecede, katerim po potrebi doda ja spoda j ali zgora j doloˇcena znamenja. Po priporoˇcilih Slovenskega pravopisa za preˇcrkovanje indijskih jezikov iz­gubimo razlike med nekaterimi sanskrtskimi soglasniki, pa ˇse paziti je treba na to, kda j je beseda zapisana po shemi IAST, kda j po naˇsem ali kakem drugem pravopisu. Knjiga na zaˇcetku pove na jnujnejˇse o zgodovini Juˇzne Azije in sanskrt­ski literaturi. Seveda se ne more izogniti Vedam, obseˇzni zbirki indijskih spisov, ki so osnova indijske .lozo.je in verstev. V Vedah na jdemo precej matematike in astronomije, na primer pitagorejske tro jice, pribliˇzke za kva­dratne korene, ˇstevilo ., pretvorbe pravokotnikov v ploˇsˇcinsko enake kva­drate, menjavanje letnih ˇcasov. Geometrijska pravila v Vedah so posveˇcena ´ konstrukciji oltarjev. Pogosto je omenjen izraz ˇ– utra Sulba-sutra Sulba-s— (druga oblika je zapisana po shemi IAST), kar dobesedno pomeni pravilo za delo z merilno vrvico. Pisali so v verzih. Tako Indijci kot Mezopotamci so razdelili kroˇznico na 360 enakih delov, stopinje. To kaˇze na zgodnjo pove­zavo med obema kulturama. Za polmer kroˇznice so jemali razliˇcno ˇstevilo enot. Operirali so s kroˇznimi loki, ne pa s koti. V obdob ju pribliˇzno od propada Aleksandrovega imperija naprej so se in­dijski matematiki in astronomi veliko ukvarjali s ˇstevili, ˇstevniki in trigono­metrijo ter odkrivali tudi druga podroˇcja, na primer kombinatoriko. V trigo­nometriji so ˇze poznali funkciji sinus in kosinus, ki sta bili vezani na kroˇznico s konkretnim polmerom. Drugaˇce od Grkov, ki so kroˇznemu loku priredili tetivo, so Indijci polovici kroˇznega loka priredili polovico tetive, kar ˇse danes delamo pri vpeljavi funkcije sinus z enotsko kroˇznico. V resnici je latinska beseda sinus v kasnejˇsem obdob ju nastala kot napaˇcen prevod sanskrtske besede za poltetivo. Poznali so ˇze neka j enakosti za funkcijo sinus in sestavili so zanjo tablice od loka 3.45. do loka 90. s korakom 3.45. . V ˇcasu, ki sovpada s propadom Zahodnorimskega cesarstva, ob zori na­ˇsega srednjega veka, se je kljub ˇstevilnim osva jalcem Indije zaˇcelo klasiˇcno obdob je indijske matematike in astronomije. V tem obdob ju so v Indiji prevladovale siddhante. To so v glavnem astronomske razprave, pisane v verzih. Beseda siddhanta je teˇzko prevedljiva. Lahko bi bila to doktrina, tradicija, princip, pravilo, teorija, dogma, aksiom, uˇcenje, konˇcni sklep, reˇsi­tev ali razprava. Indijci so uporabljali geocentriˇcni svetovni sistem. ˇ Stevilna preraˇcunavanja so samo ˇse utrdila indijski desetiˇski sistem mestnih vredno­sti. Raˇcunali so z ulomki in negativnimi ˇstevili. Zanimivo pri tem je, da desetiˇskih ulomkov v tabelah sinusov niso uporabljali, ampak star babilonski ˇsestdesetiˇski sistem. Izumili so aproksimativno formulo za izraˇcune sinusov, ki bi jo dandanes zapisali v obliki: 16x(1 - x) sin(.x) . , 0 . x . 1. 5 - 4x(1 - x) Sami se lahko prepriˇcamo o njeni natanˇcnosti. V astronomiji so seveda na­povedovali tudi Sonˇceve in Lunine mrke, konjunkcije planetov, sestavljali koledar in drugo. V geometriji so bili vˇcasih precej nenatanˇcni in marsika­tera formula za ploˇsˇcino in prostornino je bila le pribliˇzna. Iz klasiˇcnega obdob ja verjetno izvira tudi Bakhˇsalijski rokopis, ki so ga odkrili proti koncu 19. stoletja. Vsebuje postopke raˇcunanja z ulomki, zelo dober postopek za korenjenje in naloge, ki vodijo do linearnih enaˇcb. Morda so razne naloge bile zapisane zato, da bi zraslo zanimanje za matematiko in astronomijo, katerima pripada primerno mesto v druˇzbi. V 12. stoletju je nastala Lilavati, zbirka matematiˇcnih razprav in nalog iz aritmetike, algebre in geometrije. Proti koncu naˇsega srednjega veka je v Kerali na jugozahodu Indije na­stala Keralska ˇsola, v kateri so se ukvarjali tudi z neskonˇcnimi vrstami. Poznali so ˇze vrste za sinus, kosinus in arkus tangens. Izraˇcunali so ˇstevilo . na 11 decimalk natanˇcno. Vsa indijska matematiˇcna in astronomska znanja so poˇcasi prek islam­skega sveta prodirala na Zahod. Okorne rimske in grˇske ˇstevilke so zame­njale indijske, Ptolema jeve tetive, ki ustreza jo kroˇznim lokom, so zamenjale indijske poltetive, predhodnice danaˇsnjih sinusov. V zadnjem poglavju Plo­fkerjeva poudari pomen indijske matematike in astronomijo za samo Indijo in za ves preostali svet. V prvem dodatku avtorica opiˇse osnove sanskrta in strukturo sanskrt­skega verza, ki so ga uporabljali za pisanje matematiˇcnih in astronomskih besedil. Navedenih je neka j primerov, kakˇsna je indijska matematika v ver­zih. Dodan je tudi kratek slovarˇcek nekaterih besed, ki se uporablja jo v starih sanskrtskih matematiˇcnih in astronomskih besedilih. Primeri: ganita . – raˇcunanje, matematika; j—iv—a – sinus; ´s—unya – niˇcla. V drugem dodatku so zbrani kratki ˇzivljenjepisi pomembnih indijskih matematikov iz predhodnih poglavij. Namenoma v opisu knjige ni doslej naveden niti eden. Sodobni Indijci so na svo je stare matematike seveda zelo ponosni. Zato je ˇcas, da omenimo tri. V Indiji so namreˇc ustanovili Indijski vesoljski raziskovalni program ISRO – Bh—arat—iya amtariksa anusamdh—ana .. . samgathana. Svo j prvi umetni satelit so lansirali v tirnico okrog Zemlje 19. . . aprila leta 1975 s pomoˇcjo Sovjetske zveze. Imenoval se je Aryabhata, po znanem indijskem matematiku in astronomu. Sledila sta ˇse umetna satelita Bhaskara I, Bhaskara II, poimenovana prav tako po indijskih matematikih in astronomih. Knjiga se konˇca z obseˇzenim seznamom virov, v katerih se lahko sezna­nimo z raziskavami drugih avtorjev o problematiki indijske matematike. S tem delo izpolnjuje pomembno vrzel, ka jti matematiˇcno zgodovinopisje je bilo doslej v glavnem oblikovano v obdob ju razsvetljenstva, in to preteˇzno na podlagi grˇske matematiˇCisto na koncu je priloˇse zgledno cne tradicije. ˇzeno ˇurejeno stvarno kazalo. Raziskovalci indijske zgodovine matematike si niso popolnoma enotni o ˇcasu, kra ju in avtorstvu kakˇsne nove zamisli, besedila ali predmeta, zato pogosto priha ja med nepoznavalci do napaˇcnih strokovnih sklepov. Kljub temu knjiga zagotavlja bogato in kompleksno razumevanje indijske mate­matiˇcne tradicije. Avtorica je opravila izjemno delo s predstavitvijo indijske matematike. Kdorkoli, ˇcetudi ne ravno zgodovinar, ki se poglobi v problematiko pri bra­nju lepo in dobro napisane knjige, bo naˇsel preprosto matematiˇcno razlago, se neka j nauˇcil o kulturi, v kateri so nastale, in na koncu bolje razumel indijsko civilizacijo z njeno matematiko vred. Kim Leslie Plofker, ro jena 25. novembra 1964, je ameriˇska zgodovinarka matematike, ˇse prav posebej indijske. Doktorirala je leta 1995 na Brown University, in sicer iz aproksimacije sinusne funkcije v srednjeveˇskih astro­nomskih sanskrtskih besedilih. Delala je na MIT, bila gostujoˇca profesorica v Utrechtu in sodelavka na Mednarodnem inˇstitutu za azijske ˇstudije v Le­idenu. Seda j je gostujoˇca profesorica na Union Collegeu v Schenectadyju v drˇzavi New York. Leta 2010 je imela plenarno predavanje na Mednarodnem kongresu matematikov v Hyderabadu, leta 2011 pa je prejela Brouwerjevo medaljo, ki jo podeljuje Nizozemsko kraljevo matematiˇcno druˇstvo. Marko Razpet Benjamin Wardhaugh, How to read Historical Mathematics, Prin­ceton University Pres, Princeton in Oxford, 2010, 116 strani. Drobna knjiˇzica z dragoceno vsebino je odli­ˇcen vodnik k razumevanju matematiˇcnih za­kladov preteklosti, zakopanih v starih knji­gah, ˇclankih ali celo rokopisih, dnevnikih in pismih. Bralcu ob primerih podrobne analize odlomkov originalnih besedil (npr. iz Newtonove knjige »Principia« ali iz Ga­loisovega predsmrtnega pisma) predstavi osnovne veˇsˇcine razbiranja pomena starih matematiˇcnih tekstov. V veliko pomoˇc bo prav vsakomur, ki ˇzeli globlje pronikniti v katerikoli matematiˇcni tekst iz preteklosti, lahko pa je tudi izvrstno dopolnilno gradivo za kakrˇsenkoli ˇstudijski predmet s podro­ˇcja zgodovine matematike (pa tudi mate­matike same, sa j so nekatere veˇsˇcine razbi­ranja smisla iz teksta, predstavljene v tej knjigi, sploˇsno uporabne, npr. tudi pri pre­biranju novejˇsih ˇclankov). Kdor je ˇze imel v rokah kakrˇsnokoli matematiˇcno knjigo, staro sto ali veˇc let, se je zagotovo vpraˇsal: »Kaj . . . pa je to?«. Uporabljeni izrazi se nam zdijo nenavadni, matematiˇcna notacija je skrivnostna in jo le s teˇzavo raz­vozlamo, namesto algebraiˇcnih izrazov prebiramo dolgovezne besedne opise formul in enaˇcb (vˇcasih celo v verzih!), o kakrˇsnikoli »matematiˇcni stro­gosti« besedila ni ne duha ne sluha. Tekst je morda v latinˇsˇcini ali v stari nemˇsˇcini, zapisani v gotici, ali celo v kakˇsnem nam povsem neznanem jeziku in pisavi. ˇ Ce imamo v rokah le fragment starega pisnega vira, morda ne po­znamo niti imena, ka j ˇsele »pro.la« avtorja (spola, starosti, izobraˇzenosti, profesionalnega statusa, itd.), pa tudi ne ˇcasa ne kra ja nastanka besedila. Tako tavamo v popolni temi, nazadnje pa razoˇcarani odloˇzimo knjigo in se posvetimo kakˇsnemu »bolj smiselnemu« poˇcetju, npr. posodabljanju svo jega pro.la na Research Gate (o katerem se bo kakˇsen raziskovalec »primitivnih raˇcunalniˇskih kultur staroselcev« ˇcez 500 let spraˇseval: »Kaj . . . pa je to?«). Knjiˇzica How to Read Historical Mathematics nas uˇci umetnosti zasta­vljanja vpraˇsanj, ki nam pomaga jo k razumevanju starih matematiˇcnih te­kstov (podobno kot nas znana knjiˇzica George Polya How to Solve It uˇci reˇsevanja matematiˇcnih problemov). Osnovnim vpraˇsanjem: Kaj besedilo pove? Kako je napisano? Komu je bil tekst namenjen? Kdo je bil lastnik knjige? Katere stare tekste brati in zakaj? moramo pridruˇziti svo ja lastna vpraˇsanja, prilago jena vsakokrat drugaˇcnemu predmetu raziskave. Ogro- mno informacij o avtorju, kra ju in ˇcasu nastanka, itd. lahko s pomoˇcjo »lateralnega razmiˇsljanja« in pravega »detektivskega« raziskovanja dobimo ˇ iz .ziˇcnega nosilca besedila (knjige, pisma, dnevnika, ˇclanka). Ce npr. sicer nam neznani avtor teksta omenja druge matematike kot svo je sodobnike, lahko ˇze iz teh podatkov precej natanˇcno doloˇcimo ˇcas, v katerem je ˇzivel. ˇ Ce imamo sreˇco, lahko slej ko prej iz dovoljˇsnega ˇstevila takˇsnih drobnih koˇsˇckov informacije dostikrat doˇzenemo celo avtorjevo identiteto, podobno kot lahko natanˇcno identi.ciramo npr. naravno ˇstevilo n . a, ˇce poznamo a in dovolj ostankov n (mod mi) pri deljenju n z razliˇcnimi naravnimi ˇste­vili mi. Delo zgodovinarja matematike temelji na razliˇcnih veˇsˇcinah, ki mu pomaga jo iz teksta uganiti marsikatero informacijo o kontekstu njegovega nastanka. Veˇsˇcina raziskovanja virov, ki je v tej knjigi zelo dobro razloˇzena, pride prav tudi vsakemu ˇstudentu, ki hoˇce svo je razumevanje razˇsiriti in poglobiti onstran predpisanega »uˇcbeniˇskega« znanja s poznavanjem druge relevantne literature. Enako pomemben in dobro razloˇzen je problem preva janja starega teksta v sodobni jezik in notacijo. Pri tem moramo biti zelo pozorni, da avtorjevo misel prenesemo ˇcim zvesteje v jezik danaˇsnjega ˇcasa. Tako Newtonovih spremenljivih »koliˇcin« ne smemo avtomatiˇcno imeti za realna ˇstevila ali funkcije (sa j npr. po jem realnega ˇstevila v Newtonovem ˇcasu ni bil tako izˇciˇsˇcen kot danes!); pogosto je Newton s tem izrazom oznaˇceval neke ge­ometrijske koliˇcine (dolˇzine daljic ali njihova razmerja). To se zdi povsem skregano z zahtevo, znano vsakemu matematiku, da mora imeti vsak mate­matiˇcni po jem svo j natanˇcno doloˇcen pomen. Branje starih matematiˇcnih tekstov nam jasno pokaˇze, kako se je pomen posameznih matematiˇcnih iz­razov skozi zgodovino spreminjal. Brez natanˇcnejˇsega poznavanja ˇsirˇsega konteksta, v katerem je delo nastalo, ga ne moremo ustrezno raztolmaˇciti in prevesti. To pa nikakor ni mehaniˇcen postopek, zato je tudi dobro pre­va janje starih tekstov ne samo prava znanost, ampak tudi umetnost. Treba je pretehtati in sprejeti odloˇcitve, kot so npr.: Ali narisati slike na novo ali uporabiti faksimile originalnih slik? Modernizirati notacijo ali ne? Oznaˇciti neberljiva mesta ali ne ohranjati nobene informacije o tem? Zavedati se moramo, da bo vsaka poenostavitev, ki jo bomo vnesli v tekst, v »naslednji generaciji« morda pripeljala do ˇse veˇcjega osiromaˇsenja prvotnega sporoˇcila. Ukvarjanje z zgodovino matematike nam omogoˇca bolje razumeti ne samo, kako so se razvile doloˇcene matematiˇcne ideje in koncepti (npr. po jem funkcije), ampak kako so razmiˇsljali in ˇziveli matematiki v preteklosti. Pri tem so nam v na jveˇcjo pomoˇc primarni viri (neposredni viri informacij, nastali v obdob ju, ki ga preuˇcujemo). Sekundarni viri, nastali kasneje na osnovi primarnih virov, ki jih praviloma nava ja jo med referencami, so ˇze »en korak odmaknjeni« od dogodkov, ki jih opisujejo. Terciarni viri, nastali na podlagi sekundarnih virov, so »dva koraka odmaknjeni« od dogodkov, ki jih opisujejo. Pri preuˇcevanju doloˇcenega avtorja ali teksta iz preteklosti si je dobro pomagati z vsemi temi razliˇcnimi vrstami virov. Marsikatera oseba, ki jo matematiki sicer poznamo le po imenu, nam po­stane veliko bliˇzja, ˇce preberemo vsa j droben del njenega originalnega dela, ˇcetudi le v prevodu (kot npr. v knjiˇzici ob javljeno pismo Sophie Germain, ki ga je 1804 pisala Gaussu in podpisala s psevdonimom Le Blanc). Do­bro je vedeti, da za mnoge velike matematike na spletu na jdemo skenirana njihova originalna dela ali rokopise. Tudi mnoge univerze in knjiˇznice po svetu naˇcrtno arhivira jo v elektronski obliki izvirnike starih tekstov. Pre-uˇcevanje stare matematike je danes veliko laˇzje tudi zaradi novih in novih tekstov, ob javljenih v elektronski obliki, ki jih zato ni treba veˇc iskati po knjiˇznicah v tiskani ali rokopisni obliki. Zgodovina matematike, ki jo vsaka naslednja generacija skuˇsa premisliti in napisati na novo, bo tudi zaradi vse laˇzjega dostopa do na jrazliˇcnejˇsih virov posta jala vse bolj in bolj zanimiva, privlaˇcna in pouˇcna. Na marsikaterih univerzah jo zato ˇze vkljuˇcujejo v svo je ˇstudijske programe. ˇ Ceprav matematiki radi verjamemo, da je matematika ena sama, da so njeni izreki veˇcne in nespremenljive resnice, biva joˇce v svetu idej, kjer samo ˇcaka jo, da jih odkrijemo, nas ˇze ena sama taka izkuˇsnja, kot je npr. branje te drobne knjiˇzice ali branje kakˇsnega starega matematiˇcnega teksta (ka j ˇsele boljˇse poznavanje zgodovine matematike!) kmalu prepriˇca, da je ta »Platonov postulat« o neodvisnosti matematike od ˇclovekovega uma daleˇc od resnice. Takrat se nam naenkrat odpre popolnoma nov svet. V njem de.nicije matematiˇcnih po jmov niso enkrat za vselej doloˇcene, v njem jasno vidimo, da matematiko delamo ljudje, da jo ne le odkrivamo, ampak tudi ustvarjamo, in to ne le z razumom in logiko, temveˇc tudi z obˇcutji in domiˇsljijo! O matematiki niˇc veˇc ne razmiˇsljamo le iz ozkega zornega kota sedanjosti, marveˇc s hvaleˇznostjo sprejemamo (ne samo v svo j razum, ampak tudi v svo je srce) ˇzivljenja in prispevke matematikov na jrazliˇcnejˇsih ˇcasov in kultur. Kdor je prebral ta prispevek do konca in je priˇcakoval bolj »klasiˇcen« opis ˇ knjige, se je morda neka jkrat vpraˇsal: »Kaj . . . pa je to?« – Se en nazoren dokaz G¨odlovega spoznanja, da matematiˇcne misli ni mogoˇce ukalupiti v nobeno naˇso vnaprejˇsnjo predstavo o njej! Knjiˇzica How to read historical mathematics? (ki se ji, kakor hitro sem jo zagledal v knjigarni, nisem mogel upreti – po svo ji zunanji in notranji likovni opremi posreˇceno spominja na knjige iz antikvariata!), vsebuje ˇse mnoge druge zaklade, ki jih v tem kratkem pregledu ni bilo mogoˇce niti omeniti, do katerih pa ne obsta ja nobena druga kraljevska pot kot lasten poglobljen ˇstudij in potrpeˇzljivo urjenje v razliˇcnih veˇsˇcinah branja, razu­mevanja, raziskovanja, preva janja in interpretacije, ki niso le mehaniˇcno priuˇcljive, ampak zahteva jo tudi ustvarjalen pristop. Jurij Koviˇc OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, MAREC 2015 Letnik 62, številka 2 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 VSEBINA ˇClanki Vrnitev Arnoldove ma ˇcke (Mitja Lakner, Peter Petek, Marjeta Škapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . . . . . Barvni vid (Aleš Mohori ˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strani 41–52 53–61 Šola Motivacija za študij .zike (Aleš Mohori ˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–65 Vesti Osemdeset let profesorja Antona Suhadolca (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . Enaindvajseto mednarodno tekmovanje študentov matematike (Gregor Šega) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–69 69–74 Nove knjige Kim Plofker, Mathematics in India (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Benjamin Wardhaugh, How to read Historical Mathematics (Jurij Kovi ˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75–78 79–VII CONTENTS Articles Recurrence of Arnold’s cat (Mitja Lakner, Peter Petek, Marjeta Škapin Rugelj) . . . . . . . . . . . . . . . . Color vision (Aleš Mohori ˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . School . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pages 41–52 53–61 62–65 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–74 75–VII Na naslovnici in spodaj: Slika k ˇ clanku na strani 53.