i
i
“3-1-Oblak” — 2010/5/6 — 11:02 — page 1 — #1 i
i
i
i
i
i
List za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje
ISSN 0351-6652
Letnik 2 (1975/1976)
Številka 1
Strani 15–19
Franci Oblak:
NEKAJ O RAZCEPU NEKATERIH VEČČLENIH IZ-
RAZOV
Ključne besede: matematika.
Elektronska verzija: http://www.presek.si/2/3-1-Oblak.pdf
c© 1975 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije
c© 2010 DMFA – založništvo
Vse pravice pridržane. Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali
posameznih delov brez poprejšnjega dovoljenja založnika ni dovo-
ljeno.
NEKAJ ORAZCEPU NEKATERIH VEččlENIH IZRAZOV
Iz različnih raz logov hočemo večkrat spremeniti vsoto v pro -
dukt . Ta pos t opek se se veda n e posreči v e dn o . V n e katerih p r i me-
r i h p a gre p rav lepo in take primere si bom o o g l eda l i . Na v e d i mo
naj pre j n ekaj zn a nih formul , k i jih preverimo preprosto tako , da
i z r a z na d esni zmn ožimo in dob i mo i z r a z n a lev i strani enakost i .
1 . a x + ab a ( x +b)
2 . x 2 - a 2 ( x +a ) ( x- a )
3 . x 2 + 2a x + a 2 ( x+ a ) ( x+ a)
4 . x 2 + ( a+b ) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = (x +a)(x +b )
5 . aox 2 + (bo +ad)x + bd = ao x 2 + b o x + a d x + b d = (ax +b ) (ox +d)
Prve tri formul e men da v s i do bro po znate :
lo j e
2 . j e
3. j e
4 . i n
izpos tav l jan j e s k upn ega f aktorja
fo rmula za razliko k vadr a tov
f o rm u l a z a k vadrat t ričlenika
5. p a s t a f ormuli z a r a z stavlj anj e tr ičlenih izrazov .
Včas ih nam kori s ti š e f ormula za r a zs tavlj anj e š t i ričlenih
iz ra z o v :
6 . ax + b x + ay + b y = (a+ b)x + ( a +b)y = (a +b ) (x+y) ,
k i j e v b is t v u z apo redna u porab a f ormul e 1 , t a pa j e ede n o snov-
n ih računskih z a konov: d is t r ibu t i vnost množ en ja g l ede n a seš te -
va n j e ali razčlenitven i z akon , pre bran z u pora b o s imetričnost i
e nakost i . ( Simetrično s t e nakost i j e nasl e dnja lastnost e n ako s t i :
če j e a = b , pot e m j e tud i b = a , t orej č i tan j e e nakos t i z d es n e
n a l e vo!)
Ome j i l i se bomo l e n a c e le vre dn o s ti p a r a met r o v a , b, o i n d .
To re j a, b , o, d E Z . Z = {... , - 3, - 2 , -1 ,0, 1 , 2, 3 .. . } . To j e mno -
žica c elih š t e v i l !
Po g l e j mo n e k a j zg ledov upo r abe prv ih tre h p r avi l :
1 . x 2 - 81 = x 2 - 9 2 = ( x +9)(x- 9)
2 . x 2 + 10 x + 25 = x 2 + 2 .5x + 5 2
15
3 . x 2 - 10 0 x 2 - 1 0 2 = ( x+ l 0 ) ( x - l 0)
4 . x 2 - 14 x + 4 9 x 2 + 2 . ( - 7 ) x + ( - 7 ) 2
5 . 6x + 1 8 = 6x + 6 .3 = 6 ( x +3 )
Kda j prav i mo , d a z n a mo r a zs t avl jati po prvih tre h fo rmulah ? Vsa
ume tnos t j e v t e m, d a h it ro rač unamo n a pamet in " v i d i mo ", da j e
npr . 81 = 9 2 , d a j e - 1 4 = 2 '( - 7 ) , pa h k r a t i še 49 = ( _7)2 i t d .
Nujno je dobro po znavan j e sešte vanke in poštevanke ce l ih š tevil !
Pa s e l otimo še formul e 4. Na jpre j j o op a zu jmo:
x 2 + (a +b )x + ab = (x +a) (x +b)
f o efi c i ent lin. č lena
( a+b) x + ab
I z ra z i ma tri č l e ne : x 2
nega ko t l ' x 2 , pravimo ,
( a +b)x j e lin e a r n i č le n
ab .
+
j e kvadra tni člen , mis l imo s i ga zal' isa-
da je koef icient kvad r a t nega č l ena 1 ,
s k o e f i c i e nt o m ( a+b ) . Pa še pros t i č l en
k v a d r a t n i č l e n l i nearni č len pros t i člen
Po f ormul i 5 vidimo , d a s e d a ra z staviti v (x +a ) ( x +b ) .
Npr .: x 2 + ( 3 +9) x + 3 '9 = ( x+ 3)( x +9 ) . Zaka j spl oh nastane jo p re -
g l a v i ce p ri r a z s t a vlj a n j u t rič lenika? Vsa skri vnost j e v t e m, da
sta vsota i n p rodukt n avadno že izrač un an a . Tako ne dob i mo z a
raz s t a v l j an je t ri č l e n ik x 2 + ( 3+9 ) x + 3 '9 , t e mve č tri č l e n ik
x 2 + 1 2x + 2 7 i n seda j moramo s poskušanjem ugo toviti , kate ri
ce l i š t e vi l i s t a taki , d a j e n j un pro duk t 2 7 ( pro s t i člen) i n
n j un a v s o ta 1 2 ( k o e fic i e n t line arn e ga člena ) . Ce pa h i t ro rač u ­
namo , j e z a e no- in dvome s t n a ce la š t e v i l a po s t o p e k res p reprost .
(x -l ) ( x +3 )
1 · ( - 3 ) i n - 1 + 3 = 2 .- 1' 3- 3
x
2 + 2x - 3
Kar pogle jmo :
Ra z stavi : x
2
+ 3x + 2 ; na pamet p re miš l jujemo takol e : prost i
č len j e 2 , k i pa mora b i t i p rodukt dveh t a ki h ce l ih š tev i l , da
bo vsot a t e h dve h š tev i l 3 . V h i pu v i dimo , da s ta t o šte vili 1
in 2 , ke r j e 2 = 1 ' 2 i n j e 3 ~ 1 + 2 . Tako t ri č l e n i k r a z sta vimo :
x
2
+ 3x + 2 = (x +l ) (x +2) . Br ez kome n tarja pogle jmo drug p r im er :
x
2
+ 10x + 21 = (x+ 3) ( x +7) , s a j j e : 21 1 '2 1 n e pride v poštev
3 .7 i n 3 + 7 = 1 0
Pr emišlj a mo : prod ukt j e negativen , zato j e e n fakto r negativen .
Vs o t a j e pozi t ivna , t o r e j j e poz it i ve n f a k t or z več jo abso lutno
vre d n o s tj o.
16
In š e x 2 X - 6 = (x - 3)(x+2)
- 6 - 3 , 2 = 1 . ( - 6 )
- 3 + 2 = - 1
( Vse t e rač une napravimo na pame t l )
x 2 - 7x + 1 2
1 2 - 1(-1 2 )
= (- 3 )· ( - 4)
- 3 + ( -4 ) - 7
(x - 3) (x - 4)
( - 2) ·( - 6) =
In še: x 2 - 2x + 3 = ? 3 = 1· 3 = (-1 )·( -3 )
( Primer, d a s e r a zce p ne po s reči ve d no . )
VAJE
Razcepi :
1- x 2 - 4 9 . x 2 - 1 0 00 0 =
2 . x 2 + 6x + 9 = 10 . x 2 + 30x + 225
3 . x 2 + 7x + 1 0 = 11- x 2 + 2x - 24 =
4. 3a + 6b 1 2. 2x 3 + 2x 2 - 24 x
5 . a 2 - 121 = 1 3 . 1 - a 2 = 1 2 - a 2
6 . a 2 - 8a + 1 6 14 • - c 2 + 2c - 1 - ( c 2 - 2c + 1 )
7 . a 2 - 1 0a + 21 1 5 . Z2 - 9z - 36
8 . 6 a 2 + 4 ab 16 . 4a 2b - 3 6b
Po vs e h t eh vaj ah s mo dovo l j obo rože ni , da se lotimo še z ad -
n jega pri me ra, k j e r j e vsa umetno s t v pr a v i l nem p r episu tri č l e ­
nika v š t i rič l en i k !
a cx 2 + (b c +ad)x + bd acx 2 + bcx + a dx + b d
( ax +b ) (c x +d )
c x ( a x +b ) + d ( a x +b )
Ta ko l e razmi š ljamo: č e z mno žim ( ac) ( b d) acb d = ( b c)( a d) , s em
s p e t do bi l dva faktorja, kate r ih vs o ta je ko e f ic i e n t pri l i ne ar-
n em členu ( b c +a d). To j e pa t ud i v s e . Ka r na de l o :
1. 6x 2 + 7 x + 2 = 6x 2 +3x +4x +2 =3x (2 x +l ) +2 (2 x +l ) =(2 x +l ) (3 x +2 )
6 . 2 1 2 3 ' 4 , ker j e 3 + 4 = 7
2 . 1 5x 2 + 23 x + 4 = 1 5x 2 +3x +2 0x +4 =3x (5x +l ) +4 ( 5x +l ) =( 5x +l ) ( 3x +4)
15 ·4 60 = 1 · 6 0 = 2 · 30 = 3 '20 , ker j e 3 + 20 = 23
3 . 6x 2 + X - 1 5 = 6x 2 - 9x +l 0x -1 5 =3x( 2x - 3 +5( 2x - 3) =( 2x - 3)( 3x +5 )
6 '( - 1 5 ) - 90 = - 1· 9 0 = - 2' 4 5 = - 3' 30 - .. . - 9 · 1 0 , ke r j e
- 9+1 0 = 1 ( ta pri x sicer n i na pi s a n , a mpak x = l · x )
4 . 1 2x 2 - 1 9x - 21
1 2 ' ( - 21) = - 2 52
12x 2 - 2 8x +9x - 2 1 =4x( 3x-7 ) +3 ( 3x - 7)= ( 3x -7)( 4x +3)
- 28 · 9, ker je - 2 8+ 9 = - 1 9
Mo ž nos t i , ko j e nega t i vn i faktor po a bsolutni v rednos t i man jš i od
po z i t i vn ega , s plo h ne pr e izkus imo , ke r mora bi t i vsota negat ivna .
17
Primere, ko t (7 ·( -36)) in podobno, pa k a j h i t r o na pamet pr e l e -
timo. Se ve d a pa zaradi ko nt r o l e ve dno napravi mo pre s kus na p a met
z Qnož e njem r e z ul t a t a .
Za konec še nekaj vaj !
Razcepi in napravi preskus:
17 . 2x 2 - 3x - 14 = 22 . 15a 2 + a - 2
18. 12a 2 - 23a + 5 23 . 14x 2 17 x - 6
19 . 4b 2 + 6b + 2 24 . 24a
2 - 22a - 35 =
20 . 9a 2 9a + 2 25 . 54x
2 231x 490
21. 35m 2 - 2m - 1 = 26 . 3x 2 - 4x + 2
27. (Iz knjige Franceta Križani~a: Križem po matematiki , MK Ljub-
ljana 1960)
Opic trop je skrit v vat Zini .
Tri odvzemi vseh petini
in kvadri raj, kar ostane.
To vseh skritih je števiZo .
Eni Ze se ni ZjubiZo
med tovariši ce ?ob rane ,
pa se urno vzpne med veje ,
prekopica se in smeje
razposajenost igriva.
Jasnooka LiZavati !
Daj, poskusi r az va z Za t i,
koZiko se opic skriva?
RESITEV. (omenjena knjiga , str .23)
To nalogo je postavil Bhaskara U~eni (Bhaskara Acarya, rojen
leta 1114). t1i bOQO ka j urno zapisali te ve rze v moderni p isavi -
matematiš~ ini . Stevilo vseh opic zaznamujemo s ~rko x . Od petine
vseh opic x/5 odš tejemo 3 , kakor nam naro~a U~eni . Tako dobimo
x/5 - 3 . Kvadrat tega števila (x/5 - 3)2 pove, koliko opic ti~i
v votlini. Če k tem dodamo še razposa jenko , ki rogovili po drev -
ju , dobimo celoten trop:
(x/5 - 3)2 + 1 x
x 2/25 - 6x/5 + 10 x
x 2 - 55x + 250 = O
in naprej
/ ·25
Uporabi, kar s i se naučil pri razcepljanju tri~lenih izrazov!
(x-5) (x-50) = O X l = 5 , X2 = 50
ali [lej omenjeno knjigo , str .168,169 .
18
Za.l&z+%& 3 W. W(&B3*PI 
- 
17. - W * li, - $4 = Et+B)Y%-73 
-1b. 31dk- Z& - + 5 = @k-%)Cam-5) 
2s. izt*r +,a +,& =B i l  5 % ? u p r ~ b + 3 )  
FIX. 7~ & & * 2-z ~ * P ~ ; s s ~ - x J ,  
8,q. - - * w :g, t*--t 3 Ckca+3$ 
2 .  i - S d  + &B. -' b - 2 4 13a-91bSgu21 
- nr. ril*~'; 034 x ?;I; L h i 7 ~ _ * 2 2 ~ 3 ~ ? - 3 3   
L 24 . 2 k 6  -r #-hA% - .3,& D  PI^> tthipfa - 
26. ,&&prB-+ &+a - C @  a $ 6 s k % d ~  t%a+fk 
- 2 .  Nk m* b?&&q&i. - 
P 
1 * -, " t 
w '  
L r - 7 F ~ a w i  ObEak 
C - - .