Glasilo Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije Ljubljana, NOVEMBER 2014, letnik 61, številka 6, strani 201–240 Naslov uredništva: DMFA–založništvo, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana Telefon: (01) 4766 553, 4232 460 Telefaks: (01) 4232 460, 2517 281 Elektronska pošta: zaloznistvo@dmfa.si Internet: http://www.obzornik.si/ Transakcijski raˇ03100–1000018787 cina 4, cun: Mednarodna nakazila: SKB banka d.d., Ajdovšˇ 1513 Ljubljana SWIFT (BIC): SKBASI2X IBAN: SI56 0310 0100 0018 787 Uredniški odbor: Peter Legiša (glavni urednik), Sašo Strle (urednik za matematiko in odgovorni urednik), Aleš Mohori ˇc (urednik za .ziko), Mirko Dobovišek, Irena Drevenšek Olenik, Damjan Kobal, Petar Paveši ´ c, Marko Petkovšek, Marko Razpet, Nada Razpet, Peter Šemrl, Matjaž Zaveršnik (tehni ˇ cni urednik). Jezikovno pregledal Janez Juvan. Raˇ cunalniško stavila in oblikovala Tadeja Šekoranja. Natisnila tiskarna COLLEGIUM GRAPHICUM v nakladi 1250 izvodov. ˇ Clani društva prejemajo Obzornik brezplaˇclanarina znaša 24 EUR, za druge cno. Celoletna ˇdružinske ˇcnina za ustanove je 35 EUR, za tujino 40 EUR. clane in študente pa 12 EUR. Naro ˇPosamezna številka za ˇ clane stane 3,19 EUR, stare številke 1,99 EUR. DMFA je v ˇcno društvo (EMS), v Mednarodno matematiˇ clanjeno v Evropsko matemati ˇcno unijo (IMU), v Evropsko .zikalno društvo (EPS) in v Mednarodno združenje za ˇ cisto in uporabno .ziko (IUPAP). DMFA ima pogodbo o reciproˇc­ cnosti z Ameriškim matemati ˇ nim društvom (AMS). Revija izhaja praviloma vsak drugi mesec. So.nancira jo Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije iz sredstev državnega prora ˇ cuna iz naslova razpisa za so.­nanciranje doma ˇcih znanstvenih periodiˇcnih publikacij. ©c2014 DMFA Slovenije – 1954 Poštnina plaˇcana pri pošti 1102 Ljubljana NAVODILA SODELAVCEM OBZORNIKA ZA ODDAJO PRISPEVKOV Revija Obzornik za matematiko in .ziko objavlja izvirne znanstvene in strokovne ˇclanke iz mate­matike, .zike in astronomije, v ˇclankov objavlja prikaze novih knjig casih tudi kak prevod. Poleg ˇs teh podroˇcila o dejavnosti Društva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije ter vesti cij, poroˇ o drugih pomembnih dogodkih v okviru omenjenih znanstvenih ved. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, diplomantov iz omenjenih strok. ˇ Clanek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev), sedež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo), izvle­ˇ cek v slovenskem jeziku, naslov in izvle ˇcek v angleškem jeziku, klasi.kacijo (MSC oziroma PACS) in citirano literaturo. Slike in tabele, ki naj bodo oštevil ˇcrpen opis, da jih cene, morajo imeti dovolj izˇlahko veˇceno od besedila. Avtorji ˇ cinoma razumemo tudi lo ˇclankov, ki želijo objaviti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti dovoljenje (copyright). Prispevki so lahko oddani v raˇ cunalni­ški datoteki PDF ali pa natisnjeni enostransko na belem papirju formata A4. Zaželena velikost ˇ crk je 12 pt, razmik med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku ali uredniku za matematiko oziroma .ziko na zgoraj na­pisani naslov uredništva. Vsak ˇclanek se praviloma pošlje dvema anonimnima recenzentoma, ki morata predvsem natanˇ cno oceniti, kako je obravnavana tema predstavljena, manj pomembna pa je originalnost (in pri matematiˇclankih splošnost) rezultatov. ˇ cnih ˇCe je prispevek sprejet v objavo, potem urednik prosi avtorja še za izvorne raˇcunalniške datoteke. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih razliˇATEX, kar bo olajšalo uredniški postopek. cic urejevalnikov TEX oziroma LAvtor se z oddajo ˇ clanka strinja tudi z njegovo kasnejšo objavo v elektronski obliki na internetu. O NEKI ZVEZI MED RIEMANNOVO FUNKCIJO ZETA IN PRAˇSTEVILI ALEKSANDER SIMONI Cˇ Fakulteta za matematiko in .ziko Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 40A30, 11M26 V ˇclanku pokaˇzemo, kako lahko vrsto p f (p -s ) izrazimo z Riemannovo funkcijo zeta, ˇce je f holomorfna funkcija in vsota teˇce po vseh praˇstevilih. V nadaljevanju se ukvarjamo z analitiˇcnimi lastnostmi takih funkcij. ON SOME RELATION BETWEEN THE RIEMANN ZETA FUNCTION AND PRIMES In the article we demonstrate how to express the series p f (p -s) in terms of Riemann zeta function, where f is a holomorphic function and summation goes through primes. Next we study analytic properties of such functions. Uvod Riemannova funkcija zeta je de.nirana kot funkcijska vrsta . 1 .(s)= (1) ns n=1 kompleksne spremenljivke s. Kot funkcijo realnega parametra jo je obrav­naval ˇze Leonhard Euler (1707–1783). Njemu tudi pripisujemo odkritje neskonˇcnega produkta za funkcijo .(s) 1 .(s)=, (2) 1-p-s p kjer smo s poznaˇcili elemente iz mnoˇzice praˇstevil. Kot funkcijo kompleksne spremenljivke pa jo je obravnaval ˇsele Georg F. B. Riemann (1826–1866) v ˇclanku Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨ osse, objavljenem leta 1859. Ce oznaˇˇcimo s = .+ it, potem je za . > 1 vrsta (1) absolutno konvergentna; prav tako velja enakost (2). V ˇclanku je Riemann s posebnimi prijemi kompleksne analize in lastnostmi funkcije gama funkcijo (1) analitiˇcno razˇsiril na C \{1}. Kot posledico razˇsiritve je dobil znamenito funkcijsko enaˇcbo (.s ) .(1 -s)= 2(2.)-s.(s)cos.(s). (3) 2 Od takrat so odkrili ˇse precej dokazov enaˇcbe (3). Nekaj od teh jih bo bralec naˇsel v [7, §2]. Z Eulerjevim produktom (2) slutimo, da je funkcija . povezana s praˇste­vili. In res, na njem sloni praˇstevilski izrek .(x) log x lim = 1, x›. x kjer .(x)oznaˇcuje ˇstevilo praˇstevil, ki ne presegajo x. Ob ˇstudiju funkcije zeta in praˇstevilskega izreka pogosto naletimo na zvezo . 1 = log .(s), (4) npns p n=1 ki se pojavlja v dokazu Jacquesa S. Hadamarda (1865–1963) in Charlesa J. G. N. de la Vall´ee Poussina (1866–1962), da razˇsirjena funkcija .(s) nima niˇcel na premici . = 1 [7, str. 46] in je eden od kljuˇcnih elementov dokaza praˇstevilskega izreka. Vpraˇsanje, kje leˇzijo niˇcle funkcije .(s), je v tej teoriji zelo pomembno. Naj bo N(T)ˇstevilo niˇcel funkcije .(s) na obmoˇcju {z . C : 0 . R(z) . 1,0 < I(z). T}, N(.0, T ) ˇstevilo niˇcel na obmoˇcju {z . C : R(z)> .0,0 < I(z). T}in N0(T)ˇstevilo niˇcel na {z . C : R(z)= 1/2,0 < I(z). T}. Iz enakosti (2) sledi N(1, T ) = 0 za vsak T > 0. Preko funkcijske enaˇcbe (3) opazimo, da so toˇcke s = -2k za vsak k . N edine niˇcle v polravnini . < 0. Te niˇcle imenujemo trivialne niˇcle. Vse preostale netrivialne niˇcle leˇzijo v pasu 0 < . < 1. Slovita in ˇse ne reˇsena Riemannova domneva spraˇsuje, ali vse netrivialne niˇcle funkcije zeta leˇzijo na premici . = 1/2, kar je z zgornjimi oznakami ekvivalentno trditvi N(T) = N0(T) za vsak ˇ T > 0. Takim niˇclam pravimo kritiˇcne. Ze Riemann je napovedal naslednjo asimptotiˇcno formulo1 [7, izrek 9.4] T T N(T)= log + O(log T), 2. 2.e katere dokaz je leta 1905 podal Hans C. F. von Mangoldt (1854–1925). Angleˇski matematik Godfrey H. Hardy (1877–1947) je v prid Riemannovi domnevi leta 1914 dokazal, da je kritiˇcnih niˇcel neskonˇcno mnogo. Sedem let kasneje je v sodelovanju z Johnom E. Littlewoodom (1885–1977) dokazal, da obstajata konstanti A, T0 > 0, tako da velja N0(T)> AT (5) 1Oznaka f (x) = O(g(x)) za realni funkciji f , g, de.nirani na neki domeni D . R, pomeni, da obstaja konstanta C > 0, da velja |f (x)| . C g(x)za vse x . D. za vse T > T0 [7, izrek 10.7]. Harald A. Bohr (1887–1951) in Edmund G. H. Landau (1877–1938) sta leta 1914 dokazala [7, izrek 9.15(A)] N (., T )= O(T) (6) za vsak .ksen . > 1/2. To je izboljˇsana Riemann-von Mangoldtova formula za primer tistih morebitnih niˇcel, ki leˇzijo desno od kritiˇcnih. Preko (4) se da izpeljati p 1 ps = . n=1 µ(n) n log .(sn), (7) kjer se vrsta na levi imenuje praˇstevilska funkcija zeta, µ(n) pa je M¨ obiu­sova funkcija, imenovana po nemˇskem matematiku Augustu F. M¨ obiusu (1790–1868). V ˇclanku bomo posploˇsili zvezo (4) oz. (7) na primer sumacije f(p-sn)/n oz. f(p-s), kjer je f(z) holomorfna funkcija v okolici 0, za katero velja f(0) = 0. V nadaljevanju bomo z uporabo podobnih ocen kakor (5) in (6) raziskali analitiˇcne lastnosti funkcije f(p-s). p Prva posploˇsitev Naj bo f(z) holomorfna funkcija na domeni . . C, ki vsebuje toˇcko 0, in na j velja f(0) = 0. Vemo, da se funkcijo lahko zapiˇse v obliki potenˇcne vrste . n f(z)= anz (8) n=1 s konvergenˇcnim radijem R(f). Lema 1. Naj bo f(z)oblike (8) s konvergenˇcnim radijem R(f). Potem za |z|< min{1,R(f)}velja . . f(zn) -an log(1 -z n)= . (9) n n=1 n=1 Dokaz. Spomnimo se znane potenˇcne vrste . n z -log(1 -z)= , (10) n n=1 ki konvergira za |z|< 1. Radi bi pokazali, da velja . .. mn .. . mn zzf(zn) -an log(1 -z n)= an = an = m mn n=1 n=1 m=1 m=1 n=1 n=1 za |z|< min{1,R(f)}. Prvi in tretji enaˇcaj sledita iz de.nicije dvakratnih vrst in de.nicije funkcije f(z), torej je treba dokazati veljavnost drugega enaˇcaja. Izberimo poljuben |z0|< min{1,R(f)}. Cauchyjev izrek o dvakra­tnih vrstah [6, str. 143] nam zagotavlja, da je dovolj preveriti konvergenco druge vrste v z0, pri kateri zamenjamo ˇclene z absolutnimi vrednostmi .. . |z0|mn |an|= -|an|log(1 - |z0|n). (11) m n=1 m=1 n=1 Naj bo N . N tak, da je |z0|N < 1/2. Ker za |z|< 1/2 velja ocena |log(1 + z)|.2|z|, (12) sledi . . |an||log(1 - |z0|n)|. 2|an||z0|n . n=N n=N Majoranta konvergira, sa j je |z0|< R(f). S tem konvergira tudi dvakratna vrsta (11). Enakost (9) je s tem dokazana. Neposredno iz (1) za . > 1 sledi |.(s)-1|..(.)-1. To pomeni, da slika polravnine . > 2 funkcije .(s)leˇzi v enotskem disku s srediˇsˇcem v 1. To dejstvo zagotavlja obstoj holomorfne funkcije log .(s)na obmoˇcju . > 2. Iz (2) za . > 1 sledi log .(s)= - log(1 -p -s). (13) p Fiksirajmo .0 > 1. Z uporabo ocene (12) dobimo -.0 |log(1 -p -s)|. 2p < . p p za vse . > .0. Weierstrassov M-kriterij nam pove, da vrsta v (13) konver­gira enakomerno na kompaktih na obmoˇcju . > 1, zato je na tem obmoˇcju holomorfna funkcija. Torej je funkcija log .(s), de.nirana s (13), holomorfna na polravnini . > 1. Opazimo lahko, da nam kombinacija enaˇcb (10) in (13) da enakost (4). Naslednjo trditev imamo lahko za posploˇsitev te enakosti, sa j jo dobimo s postavitvijo f(z)= z. Trditev 2. Naj bo f(z) oblike (8) in s = . + it. Potem na polravnini . > .(f), kjer je { 1, R(f). 1/2 .(f):= -log2 R(f), R(f). 1/2, velja enakost . . -sn) f (p = an log .(sn). (14) n p n=1 n=1 ˇ Ce obstaja tak N . N, da je an = 0 za vsak n < N , potem zgornja enakost velja na polravnini . > N -1.(f). Funkcija, ki jo doloˇca dvakratna vrsta, je na tem obmoˇcju holomorfna. Dokaz. Fiksirajmo .0 > .(f). Potem je |p-s|. 2-.(f) . min{1,R(f)}za vse . > .0 in vsa praˇstevila p. Zato lahko uporabimo lemo 1 za z = p-s in dobimo . . -sn) f (p1 = an log -sn . n 1-p p n=1 p n=1 Iz enakosti (13) dobimo . . 1 an log = an log .(sn). 1-p-sn n=1 p n=1 ˇ Ce pokaˇzemo, da zgornja dvakratna vrsta, pri kateri zamenjamo ˇclene z absolutnimi vrednostmi, konvergira za vsak . > .0 in je ma joranta odvisna le od .0, bo sledila enakost (14) in holomorfnost funkcije, ki jo doloˇca ta dvakratna vrsta. Ker je |an||log(1 -p -sn)|.2|an| p -.n . 2|an|(.(.0n)-1), p p dobimo oceno . . |an||log(1 -p -sn)|. 4|an|2-.0n , n=1 p n=1 < 21-.0n kjer smo upoˇstevali .(.0n)-1 . Majoranta konvergira in je odvisna ˇ le od .0. Ce obstaja tak N . N, da je an = 0 za vsak n < N , potem seˇstevamo v (14) ˇsele od n = N naprej. Zgoraj dokazano bo veljalo za tiste s, pri katerih je N. > .(f). Druga posploˇsitev Oglejmo si naslednji problem. V dokazu leme 1 smo dokazali absolutno konvergenco dvakratne vrste . . mn z an . (15) m n=1 m=1 Seˇstevali smo po vrsticah in stolpcih, vendar lahko zaradi absolutne kon­vergence v kateremkoli vrstnem redu. Poskusimo seˇsteti vrsto (15) tako, da ponovno dobimo potenˇcno vrsto . f(zn)1 1 1 23 4 = a1z+ (a1 + 2a2)z + (a1 + 3a3)z + (a1 + 2a2 + 4a4)z +· · · n 2 3 4 n=1 Opazimo, da lahko vrsto strnemo . . f(zn) d n = Anz , kjer je An = ad. n n n=1 n=1 d|n Ta vrsta pomeni novo funkcijo, recimo ji F(z). Po trditvi 2 vemo, da na polravnini . > .(f)velja . -s) F(p = an log .(sn) p n=1 in funkcija, ki jo doloˇca vrsta po praˇstevilih, je na tem obmoˇcju holomorfna. V tem primeru imamo koe.ciente an dane, raˇcunamo pa koe.ciente An nove vrste, ki pomeni funkcijo F(z). Vendar bi se radi problema lotili z druge strani. Denimo, da imamo funkcijo F(z)ˇze zapisano v potenˇcni vrsti. Bi znali doloˇciti koe.ciente an? Odgovor se skriva v t. i. Mobiusovi inverzni ¨formuli. M¨n . N de.nirana z obiusova funkcija µ(n) je za vsak . . 1, n = 1 µ(n)= (-1)k , n = produkt k razliˇcnih praˇstevil . 0, n je deljiv s kvadratom kakˇsnega praˇstevila. obiusova funkcija je primer aritmetiˇcne funkcije, to so funkcije, de.nirane na mnoˇzici naravnih ˇstevil. Osnovna lastnost funkcije µ(n) je podana v naslednji lemi: M¨ Lema 3. Za vsako naravno ˇstevilo n velja { 1, n = 1 µ(d)= 0, n> 1. d|n Dokaz. Za n = 1 je po de.niciji µ(1) = 1. Naj bo n > 1. Po osnovnem I .p(n) izreku aritmetike lahko piˇsemo n = p. K zgornji vsoti prispevajo p|n samo tisti delitelji ˇstevila n, ki ima jo v praˇstevilskem razcepu potence 1. Torej sestavljajo mnoˇzico deliteljev kombinacije brez ponavljanja mnoˇzice {p1, p2,. . . , pk}:= {p: p|n}. Potem imamo k µ(d)= 1 + (-1)mk = (1 -1)k = 0. m d|n m=1 Izrek 4 (M¨ obiusova inverzna formula). Naj bosta f(n)in g(n)poljubni aritmetiˇcni funkciji. Potem velja ( ) n g(n)= f(d) .. f(n)= µ g(d). d d|n d|n Dokaz. Piˇsemo lahko () () n n µ g(d)= µ f(q). d d d|n d|n q|d Za q = n je d = n, zato je v vsoti le en ˇclen µ(1)f(n)= f(n). Naj bo sedaj q < n. Imamo d = lq, kjer l deli n/q. Potem je koe.cient pred f(q)enak n/q µ, l l|n/q kar je enako 0 po lemi 3. Nasprotno smer dokaˇzemo podobno, zato dokaz prepuˇsˇcamo bralcu. Sedaj smo pripravljeni na naslednji izrek, ki posploˇsuje zvezo (7). Izrek 5. Naj bo f(z) oblike (8), s = . + it in .(f) iz trditve 2. Potem na polravnini . > .(f)velja enakost . -s) d (n)f(p = An log .(sn), kjer je An = µ ad. n d p n=1 d|n ˇ Ce obstaja tak N . N, da je an = 0 za vsak n < N , potem zgornja enakost velja na polravnini . > N -1.(f). Funkcija, ki jo doloˇca vrsta po praˇstevilih, je na tem obmoˇcju holomorfna. Dokaz. Naj bo g(n) := An in h(d) := (d/n)ad. Iz zveze v izreku 5 med an in An in M¨obiusove inverzne formule dobimo an = (d/n)Ad. Zato d|n .. preostane dokazati, da za vrsto F(z):= Anzn velja .(F). .(f). n=1 Ker je .. .. |z|mn d |An||z|n . |ad||z|n = |an|, n m n=1 n=1 d|n n=1 m=1 vrsta za F(z) konvergira za |z| 1. Izraz na desni strani lahko poenostavimo. Eulerjeva funkcija .(n) pri vsakem naravnem ˇstevilu n preˇsteje tista ˇstevila k . {1,. . . , n -1}, za katera sta k in n tuji si ˇstevili. Veˇc v [1, str. 28]. Izkoristili bomo dejstvo, da je .(d)= n. d|n Po izreku 4 sledi ( ) d .(n) n = µ . n dn d|n ¦ Posledica 6. Naj bo f(z)holomorfna funkcija v okolici toˇcke 0, s = .+ it in .(f)iz trditve 2. Dodatno naj velja ˇse: f nima niˇcel, f(0) = 1 in . f ' (z) n = bnz . f(z) n=0 Potem na polravnini . > .(f)velja . ()An bd-1 (n)-s) f(p = .(sn), kjer je An = µ . n d p n=1 d|n Dokaz. Ker je f(z) holomorfna funkcija brez niˇcel na enostavno povezani domeni . . 0, obstaja holomorfna funkcija g(z), za katero velja g ' (z) . f ' (z)/f(z)na .. Ker je ' exp(g(z)) (g ' (z)f(z)-f ' (z))exp(g(z)) = = 0 f(z) f(z)2 za vsak z . ., sledi f(z)= C · exp(g(z)) za neko konstanto C. Po predpo­ .. n stavki posledice imamo g ' (z)= n=0 bnz. To pomeni . bn-1 n g(z)= z . n n=1 Ker je g(0) = 0, po predpostavki posledice sledi C = f(0) = 1. Uporabimo izrek 5 na funkciji g(z)in dobimo . -s) g(p = An log .(sn) (16) p n=1 za s . ., kjer je An = (bd-1/n)µ(n/d). Na obeh straneh enaˇcbe (16) d|neksponiramo in upoˇstevamo exp g(p-s)= f(p-s). Pogo ju f(0) = 1 se ne moremo izogniti, sa j bi bil v nasprotnem pri­meru produkt po praˇstevilih divergenten. Potrebni pogo j za konvergenco neskonˇcnega produkta I. je limn›. un = 1. n=1 un Z uporabo posledice 6 na funkciji f(z)= (1 -z)-1 dobimo () { 1 n 1, n = 1 An = µ = n d 0, n> 1, d|n kjer smo si za izraˇcun vsote pomagali z lemo 3. Dobili smo Eulerjev produkt (2). Primer 2. Posledico 6 bomo uporabili na produktu 1 1- . p(p-1) p ˇ Stevilo CArtin . 0,3739558, ki pomeni vrednost zgornjega produkta, ime­nujemo Artinovo ˇstevilo. Izrazili ga bomo s produktom funkcije zeta. Ob upoˇstevanju oznak iz posledice 6 imamo f(z)= (1 -z -z2)(1 -z)-1 in s tem . .n+1 + .n+1 f ' (z)11 1 1 2 n = - - = 1- z , (.1.2)n+1 f(z) 1-z .1 -z .2 -z n=0 2 kjer sta .1 in .2 reˇsitvi kvadratne enaˇcbe z+ z -1 = 0. Torej (.1.2)n = (-1)n in . n . n 1- 5 1 + 5 .n + .n = (-1)n+= (-1)nLn, 1 2 22 kjer smo z Ln oznaˇcili n-to Lucasovo ˇstevilo2 (Fran¸cois E. A. Lucas (1842– 1891)). Dognali smo bn = 1-Ln+1 in ( ) 1 n An = (1 -Ld)µ . n d d|n Ker je f(z)holomorfna funkcija na C \ {1}, je R(f)= 1 in s tem .(f)= 1. Funkcija f(z) je na . > 1 brez niˇcel, velja ˇse f(0) = 1 in a1 = 0. Zato lahko uporabimo posledico 6 za . = 1 ter tako dobimo . . ()Ld n d|n n µ(d ) CArtin = .(n). n=2 Za vsako praˇstevilo p /. {2,5}je ulomek 1/p periodiˇcen in dolˇzina periode deli ˇstevilo p-1. Obstajajo praˇstevila p, za katera je dolˇzina periode ulomka 1/p enaka p-1. Tak ulomek je npr. 1/7 = 0,142857. Emil Artin (1898– 1962) je postavil domnevo, da je gostota takih praˇstevil ravno ˇstevilo CArtin . ¦ Problem analitiˇcnega nadaljevanja Naj bo f(z)oblike (8), s = .+ it in .(f)iz trditve 2. Po izreku 5 imamo . -s) f~(s):= f(p = An log .(ns), (17) p n=1 2Lucasova ˇstevila so de.nirana rekurzivno s predpisom Ln+2 = Ln +Ln+1 in zaˇcetnima pogojema L1 = 1 ter L2 = 3. Veˇc v [3, str. 426]. kjer so koe.cienti An doloˇceni s funkcijo f. Vrsta po praˇstevilih konvergira na polravnini . > .(f)in f~je tam holomorfna funkcija. Po drugi strani pa desna vrsta konvergira na polravnini . > 0, razen na neki podmnoˇzici S . {. > 0: .n . N. . (ns)= 0.ns = 1}. Zato lahko f~analitiˇcno razˇsirimo na . > 0 z izoliranimi singularnostmi v S. Namen tega razdelka je odgovoriti na vpraˇsanje: ali bi lahko f~ analitiˇcno nadaljevali preko premice . = 0? V nadaljevanju bomo potrebovali naslednja izreka, ki podajata boljˇse ocene kakor (5) in (6). 1 +. Izrek 7 ([4, §2.1.2]). Naj bo . > 0 in H . T2 . Obstajata konstanti A(.), T0(.)> 0, da je N0(T + H)-N0(T)> A(.)H za vse T > T0(.). Izrek 8 ([5, str. 128]). Za . . [1/2,1] in T . 2 velja () N(., T )= O T4.(1-.) log13 T . Iz izreka 8 lahko sklepamo, da za poljuben . . (1/2,1] velja N(., T )= o(T), kar pomeni limT›. T-1N(., T ) = 0. Kombinacija zgornjih izrekov nam da Lema 9. Za vsak . > 0 obstaja T0(.), da vsaj ena premica skozi izhodiˇsˇce vsebuje vsaj eno niˇclo funkcije .(s)v pravokotniku R(., T ):= {z . C : 0 < R(z)< 1,(1 -.)T < I(z)< (1 + .)T} in nobene niˇcle zunaj R(., T )za vse T > T0(.). 3 Dokaz. Po izreku 7 za H . T4 obstajata konstanti A, T0 > 0, da je N0(T + H)-N0(T)> AH za vsak T > T0. Naj bo T1(.)> 0 taka konstanta, da 3 bo 2.T > ((1 - .)T)4 za vse T > T1(.). Potem N0((1 + .)T)- N0((1 - .)T)> 2A.T za vse T > max{T0, T1(.)}. Ker pa po izreku 8 za poljuben . . (1/2,1] velja N(., 2(1 + .)T) = o(T), obstaja premica z zahtevanimi lastnostmi. Recimo, da je mnoˇzica {n . N : An .= 0}konˇcna. Potem ima desna vrsta v izrazu (17) konˇcno mnogo ˇclenov. Mnoˇzica singularnosti S je neskonˇcna, vendar nima stekaliˇsˇc na C. Zato se v tem primeru da f~analitiˇcno razˇsiriti preko premice . = 0 na cel C, razen na neki mnoˇzici izoliranih singularnosti. Zato se bomo osredotoˇcili na primer, ko je mnoˇzica {n . N : An =.0}neskonˇcna. ˇ Svedski matematik Germund Dahlquist (1925–2005), znan predvsem po delu na podroˇcju numeriˇcne analize, je podal odgovor na uvodno vpra­ˇsanje. Izrek 10 ([2]). Ce je mnoˇˇzica {n . N : An .= 0}neskonˇcna, se funkcije f~(s)ne da analitiˇcno nadaljevati preko premice . = 0. Analitiˇcno jedro dokaza izreka 10 je lema 9. Preostali del dokaza je elementaren, toda bolj tehniˇcne narave, zato ga bomo izpustili. Vseeno pa bomo nakazali, kje se skriva originalna Dahlquistova ideja v dokazu. Za trenutek privzemimo veljavnost Riemannove domneve. Naj bosta ., T > 0 poljubni .ksni ˇstevili in T0(.) konstanta iz leme 9. Naj bo N tako naravno ˇstevilo, da je NT > T0(.) in AN .0. stevil N je = Takih ˇneskonˇcno. Potem obstaja niˇcla . = 1 + it funkcije ., za katero velja (1 - 2 .)NT < t < (1 + .)NT . Sledi ./N . R(., T ) in ./N . S. Dobili smo neskonˇcno zaporedje singularnosti s stekaliˇsˇcem na premici . = 0. Ker je bil . poljuben, imamo lahko za stekaliˇsˇce vrednost T, ki pa je prav tako poljubna. Ugotovili smo, da je premica . = 0 naravni rob funkcije f~ . To je leta 1900 opazil nizozemski matematik Jan C. Kluyver (1860–1932) pri praˇstevilski funkciji zeta (7). Brez privzetka o veljavnosti Riemannove domneve se lahko zgodi, da obstajata niˇcli .1, .2 in naravni ˇstevili N1, N2, tako da je .1/N1 = .2/N2. ˇ Ce dodatno velja ˇse AN1 st(.1) + AN2 st(.2)= 0 in sta to edini niˇcli na pre­mici skozi izhodiˇsˇce, potem .1/N1 ni singularnost funkcije f~ . Kluyverjeva opazka je Landaua in njegovega uˇcenca Arnolda Wal.sza (1892–1962) vzpodbudila, da sta leta 1919 brez privzetka o veljavnosti Riemannove do­mneve dokazala, da ima funkcija (7) naravni rob . = 0. Da bi se izognila zgornjemu problemu, sta uporabila posebne lastnosti koe.cientov µ(n)/n (bralec lahko reproduciran dokaz na jde v [7, §9.5]). Prav zaradi tega nju­nega dokaza ne moremo posploˇsiti na poljubne koe.ciente An. Dahlquist je ta problem reˇsil z lemo [2, lema 3.2]. LITERATURA [1] J. Braˇciˇc, Uvod v analitiˇcno teorijo ˇstevil, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2003. [2] G. Dahlquist, On the analytic continuation of Eulerian products, Ark. Mat. 36 (1952), 533–554. [3] J. Grasselli, Enciklopedija ˇstevil, DMFA – zaloˇzniˇstvo, Ljubljana, 2008. [4] A. A. Karatsuba, Complex analysis in number theory, Boca Raton, CRC Press, 1995. [5] A. A. Karatsuba, S. M. Voronin, The Riemann zeta-function, De Gruyter Expositions in Mathematics 5, Walter de Gruyter, Berlin, 1992. [6] K. Knopp, Theory and application of in.nite series, Dover publications, New York, 1990. [7] E. C. Titchmarsh, The theory of the Riemann zeta-function, Clarendon Press, Ox­ford, 1986. NOBELOVA NAGRADA ZA FIZIKO 2014 IN REVOLUCIJA V OSVETLJEVANJU MARKO ZGONIK Fakulteta za matematiko in .ziko, Univerza v Ljubljani Institut »Joˇzef Stefan« PACS: 01.75.+m, 85.60.Jb, 42.72.-g Isamu Akasaki in Hiroshi Amano z Univerze v Nagoji ter Shuji Nakamura, ki je de­loval v podjetju Nichia Chemicals na Japonskem, sedaj pa je profesor v ZDA, so letoˇsnji ˇ Nobelovi nagrajenci za .ziko. Clanek opiˇse pot do izdelave modre LED na osnovi GaN. Posebej uporabna pa je modra LED v kombinaciji s .uorescenˇcno pretvorbo v belo sve­tlobo. Tako smo dobili izvor bele svetlobe, ki je uˇcinkovit, ima dolgo ˇzivljenjsko dobo in je okolju prijazen. NOBEL PRIZE IN PHYSICS 2014 AND LIGHTING REVOLUTION Isamu Akasaki and Hiroshi Amano from Nagoya University and Shuji Nakamura, formerly from a Japanese company Nichia Chemicals, at present a professor in the U.S.A., were awarded the 2014 Nobel Prize in Physics. The article describes the pathway to the invention of blue LED based on GaN. Fluorescent conversion of the blue emission into the white light makes blue LEDs especially versatile. The new white light source is e.cient, durable and environmentally friendly. Letoˇsnja nagrada za .ziko je bila podeljena za ˇsiroko uporaben izdelek, to je modro svetleˇco diodo, ki je omogoˇcila izdelavo novih, energijsko varˇcnih izvorov bele svetlobe, ki so tudi prijazni do okolja in ima jo dolgo ˇzivljenjsko dobo. Nagrado so si razdelili trije raziskovalci, Isamu Akasaki in Hiroshi Amano z Univerze v Nago ji ter Shuji Nakamura, ki je deloval v podjetju Nichia Chemicals na Japonskem, seda j pa je professor v ZDA [8]. Nagra jeno odkritje je izrazito tehniˇcne narave in ˇse en primer, kako upo­rabni so polprevodniki in kako daleˇc je mogoˇce izpopolnjevati njihovo teh­nologijo. Podobno, kot velja za silicij Mooreov zakon – podvo jitev gostote tranzistorjev vsaki dve leti – na j bi za svetleˇce diode veljal Haitzev zakon [9]. Ta predvideva, da se cena enega lumna (lm) svetlobne energije zniˇza na eno desetino vsakih deset let. V Evropi porabimo za razsvetljavo pribliˇzno 20 % vse proizvedene elektriˇcne energije. Razmerje med uˇcinkovitostjo modernih izvorov in klasiˇcnih ˇzarnic je veˇc kot 4, in tako ni presenetljivo, da je Evrop­ska komisija leta 2009 [10] zaˇcela uva jati ukrepe, ki postopno prepovedujejo proda jo klasiˇcnih ˇzarnic, ki na j jih delno nadomeˇsˇca jo halogene ˇzarnice, predvsem pa varˇcne .uorescenˇcne in LED sijalke. Neposredna prednost LED pred .uorescentnimi sijalkami je njihov izsev v polprostor in veˇcja svetlost. S tem je povezana moˇznost usmerjanja in doseganje svetilnosti, Slika 1. V pn spoju, skozi katerega teˇce tok v prevodni smeri, se rekombinirajo elektroni in vrzeli, pri tem pa lahko dobimo fotone z energijo, pribliˇzno enako ˇsirini energijske reˇze. a) enojni pn spo j, b) dvojni spoj (heterostruktura) z vmesnim polprevodnikom z manjˇso energijsko reˇzo, ki deluje kot enodimenzionalna kvantna jama, v kateri se moˇcno poveˇca koncentracija nosilcev naboja. kakrˇsno sicer dosegamo s halogenimi re.ektorskimi ˇzarnicami z desetkrat veˇcjo porabo elektriˇcne energije. Raziskave polprevodniˇskih izvorov svetlobe so se zaˇcele ˇze kmalu po od­kritju tranzistorja. Rekombinacija elektrona in vrzeli, pri ˇcemer se izseva foton, je idealni mehanizem pretvorbe elektriˇcne energije v svetlobo. Tako rekombinacijo lahko preprosto doseˇzemo v polprevodniˇski diodi, ki jo na­pa jamo v prevodni smeri, kar shematiˇcno prikazuje slika 1. V pn spo ju je treba poskrbeti, da so drugi mehanizmi rekombinacije manj verjetni. Hi­tro so ugotovili, da so za ta namen potrebni direktni polprevodniki, to so tisti, pri katerih imata elektron z na jniˇzjo energijo v prevodnem pasu in vrzel z na jviˇsjo energijo v valenˇcnem pasu enaki gibalni koliˇcini. Razlog je v zanemarljivi gibalni koliˇcini fotona, pri procesu rekombinacije pa se ohra­njata tako energija kot gibalna koliˇcina. Odvisnost energije elektronov od valovnega vektorja je shematiˇcno prikazana na sliki 2. Tehnologija silicija je izredno razvita, vendar je Si indirektni polprevodnik in torej ne ustreza temu pogo ju. Kljub temu raziskovalci ˇse danes poskuˇsa jo vse mogoˇce, da bi izdelali svetlobni izvor na tej osnovi. Slika 2. Shema energije elektronov v odvisnosti od velikosti valovnega vektorja v do­loˇceni smeri. Za prevodni pas sta prikazani dve odvisnosti, ki ponazarjata direktne in indirektne polprevodnike. V pn spoju se sreˇcajo elektroni z minimalno in vrzeli z maksi­malno energijo. V direktnih polprevodnikih je moˇzna rekombinacija z izsevanjem fotona, v indirektnih pa je potrebna ˇse ena ekscitacija, npr. fonon, da je v procesu zadoˇsˇceno ohranitvi gibalne koliˇcine. Med direktne polprevodnike sodijo meˇsani kristali iz 3. in 5. skupine elementov, ki jim pravimo III–V polprevodniki. GaAs z energijsko reˇzo 1,4 eV je bil prvi med njimi, katerega tehnologija se je zaˇcela hitro razvijati v ˇsestdesetih letih predvsem zaradi obljub o hitrejˇsi elektroniki. Leta 1962 so prviˇc izmerili emisijo infrardeˇce svetlobe iz pn spo ja v GaAs [5]. III–V kristali, v katerih sta V elementa As in P, so postali osnova LED diod vse od infrardeˇcega do zelenega dela spektra. Z meˇsanjem As in P ter kovin Al, Ga in In je namreˇc mogoˇce poljubno izbrati energijsko reˇzo in s tem valovno dolˇzino LED. V letu 1962 so izdelali tudi prvi laser na tej osnovi, ki je na jprej deloval le pri temperaturi tekoˇcega duˇsika (77 K). Razvo j polpre­vodniˇskih heterostruktur, za katere sta leta 2000 Z. I. Alferov in H. Kroemer dobila Nobelovo nagrado, je omogoˇcil boljˇso kontrolo prostora, v katerem se rekombinira jo elektroni in vrzeli. S tem so zmanjˇsali izgube in prag la­serskega delovanja. Laserske diode na osnovi meˇsanih kristalov GaAsP, ki delujejo pri sobni temperaturi, pa so postale ˇsiroko uporabne. Iskanje materialov s ˇsirˇso energijsko reˇzo, ki jih je mogoˇce dopirati, se je nadaljevalo. Izkazalo se je, da je ta naloga precej zapletena. Moˇznost p in n dopiranja je postala osnova za razlikovanje med polprevodniki in izolatorji. Kandidata za izdelavo modre LED sta bila v zaˇcetku kristala ZnSe in SiC, oba indirektna polprevodnika in zato z nizkimi izkoristki. Duˇsikovi spo jini GaN in AlN sta direktna polprevodnika z energijskima reˇzama 3,4 in 6,5 eV in so zato njune zlitine primerne za LED z valovnimi dolˇzinami od 400 do 200 nm. Material tudi ni strupen, kar ga loˇci od mnogih drugih III–V in II–VI polprevodnikov. Go jenje tankih kvalitetnih kristalnih plasti GaN na substratu iz sa.rja je prviˇc uspelo Akasakiju in sodelavcem leta 1986 [1]. Tehnologija rasti je bila tako imenovana MOVPE (metalorganic vapour phase epitaxy). Sa.r je relativno poceni v primerjavi s SiC, ki je sicer boljˇsi substrat, sa j se njegova mreˇzna konstanta bolj sklada z mreˇzno konstanto GaN. Uspeˇsno rast na sa.rju so dosegli v veˇc korakih, prikazanih na sliki 3. Na jprej so nanesli tanko (30 nm) polikristalno plast AlN pri temperaturi 500 .C in jo potem segreli na 1000 .C. Pri tem se je plast prekristalizirala tako, da so se kristalˇckom uredile heksagonalne osi. Na tej plasti je uspeˇsno rastel GaN, sprva sicer z mnogimi dislokacijami, po neka j µm rasti pa se je gostota napak zelo zmanjˇsala in dobili so kvalitetno kristalno povrˇsino, na katero so lahko naprej nanaˇsali veˇcplastne strukture ustrezno dopiranega GaN, kakrˇsne so potrebne za izdelavo LED. Tudi probleme z dopiranjem so reˇsili po mnogih poskusih. Izdelava p­tipa polprevodnika s ˇsiroko reˇzo je vedno teˇzavna naloga, sa j se poleg na­mernega dopiranja v prepovedanem pasu po javi ˇse vrsta drugih elektronskih nivo jev, ki so posledica napak v strukturi in nenamernega onesnaˇzenja kri­stalov. Prve plasti p-GaN so uspeˇsno naredili Amano, Akasaki in sodelavci z Mg dopiranjem, plast pa so dodatno obsevali z nizkoenergijskimi elek­troni [2]. Nakamura je kasneje razloˇzil mehanizem aktivacije donorjev Mg in Zn, ki pri nizkih temperaturah tvorijo nevtralne komplekse z vodikom. Elektroni, UV osvetljevanje in v primeru GaN tudi popuˇsˇcanje pri visoki temperaturi pa te komplekse disociira jo in aktivira jo akceptorje [3]. Tehnologijo heterostruktur p-dopiranih zlitin AlGaN in InGaN, kakr­ˇsne so potrebne za izdelavo uˇcinkovitih svetlobnih izvorov, sta obe skupini Slika 3. Priprava podlage za izdelavo GaN LED. Slika 4. Struktura modre LED z dvo jno heterostrukturo na osnovi InGaN-AlGaN. potem hitro izboljˇsevali. Pri tem so se Nakamura in sodelavci osredotoˇcili na kombinaciji InGaN/GaN in InGaN/AlN, s katerima so izdelovali hetero­strukture in kvantne jame. S strukturo, prikazano na sliki 4, so v letu 1994 dosegli kvantni izkoristek 2,7 % [2]. Ta doseˇzek je nakazal nadaljnjo pot in v naslednjih dveh letih sta obe skupini izdelali prototipe modrih laser­skih diod. LED in laserske diode z valovnimi dolˇzinami v modro vijoliˇcnem delu spektra so postopoma posta jale vse dostopnejˇse. Naslednji korak v ra­zvo ju pa bodo polprevodniˇski izvori v UV podroˇcju, kjer se je z AlN mogoˇce pribliˇzati valovni dolˇzini 200 nm [7]. LED diode so tehnoloˇsko manj zahtevne od laserjev, sa j nima jo praga delovanja in so koristni ˇze spontano izsevani fotoni. Teˇzava z izkoristkom LED pa je v tem, da je spontano sevanje izotropno porazdeljeno in je v zrak izsevan le ma jhen deleˇz, preostala svetloba pa se odbije na meji polprevo­dnik/zrak. Ta omejitev je posebej huda zaradi velikega lomnega koliˇcnika polprevodniˇskih materialov, npr. 3,5 v GaAs pri valovni dolˇzini 1 µm ozi­roma 2,5 v GaN pri 450 nm. Iz kvadra GaN tako lahko pobegne v zrak le svetloba znotra j stoˇzcev, ki jih omejuje kot totalnega odbo ja 22 stopinj, pa ˇse ta svetloba se delno odbije na meji. Skozi eno ravno golo ploskev tako preide le 3 % svetlobe. Ker je geometrija pn spo ja vedno planarna, je treba stranske dimenzije LED zmanjˇsati in omogoˇciti izsev v ravnini spo ja, vse skupa j prekriti s polimerom z visokim lomnim koliˇcnikom in ga oblikovati v ˇ ustrezno leˇco. Se veˇcji izkoristek pa doseˇze modra LED dioda v kombinaciji s .uorescenˇcno pretvorbo v belo svetlobo. Na sliki 5 je prikazana shema bele LED diode z visokim izkoristkom. Kot totalnega odbo ja na meji med polprevodnikom in polimerom z razprˇsenim .uorescentnim prahom je pove­ Slika 5. Shema bele LED s poveˇcanim izkoristkom in tehnologijo COB (Chip On Board). Tipiˇcno je na podlago nameˇsˇcenih veˇc takih elementov ˇcan zaradi velikega lomnega koliˇcnika polimera, zmanjˇsa se odbo jnost meje in tudi totalni odbo j ni veˇc »totalen«, ampak zmanjˇsan zaradi absorpcije evanescentnega vala v .uorescentnem prahu. Dodatna polimerna leˇca nato ˇse poveˇca prehodnost svetlobe na mejah s .uorescentno plastjo in zrakom ter usmeri svetlobo. Ker je bila nagrada podeljena s poudarkom na ˇsiroki uporabnosti modrih LED za osvetljevanje, ponovimo neka j podatkov o tem. Za osvetljevanje je pomemben .zioloˇski odziv oˇci. Zvezni spekter bele svetlobe lahko za osve­tljevanje dovolj dobro nadomestimo z ustrezno meˇsanico oˇzjih spektralnih pasov. Dobro znano je aditivno meˇsanje rdeˇce, zelene in modre barve, s kate­rim lahko doseˇzemo zelo ˇsirok nabor barvnih odtenkov. Zamik maksimuma spektra od rdeˇce proti modri barvi merimo z barvno temperaturo (CCT, Correlated Color Temperatute), ki enaˇci zaznavo barve svetila z barvo ˇcr­nega telesa pri ustrezni temperaturi [11]. Kvaliteto bele meˇsanice pa meri indeks barvne reprodukcije (CRI, Color Rendering Index) [12]. Ta primerja pravilnost vidne zaznave za razliˇcne barvne ploskve, osvetljene s testnim svetilom in z referenˇcnim izvorom, ki je standardno halogena ˇzarnica s tem­peraturo nitke 3200 K in z vrednostjo CRI = 100. Dobre .uorescentne in LED sijalke dosega jo vrednosti CRI do 90. Poleg barvne zaznave je zelo pomembna tudi svetlost in s tem izkori­stek svetila. Oko je na jbolj obˇcutljivo za rumenozeleno svetlobo pri valovni dolˇzini 555 nm, kjer je relativna obˇcutljivost na jveˇcja in je iz zgodovinskih razlogov dogovorjeno razmerje 683 lm/W [6]. Obiˇca jna ˇzarnica, ki dobro ustreza ˇcrnemu telesu pri temperaturi 2800 K, odda ja pribliˇzno 15 lm/W, pri soncu pa je razmerje 94 lm/W. Uˇcinkovitost .uorescenˇcnih sijalk je okoli 60 lm/W, medtem ko so tipiˇcne vrednosti LED sijalk ˇse viˇsje, to je okoli 90 lm/W. Za obe vrsti velja, da je uˇcinkovitost viˇsja pri barvni temperaturi okoli 6000 K. Uˇcinkovitost LED sijalk se je v zadnjem ˇcasu hitro poveˇcevala in v labo­ratoriju so ˇze dosegli vrednosti 300 lm/W. Ta vrednost je blizu teoretiˇcnega maksimuma 348 lm/W za osvetljevanje z idealnim svetlobnim izvorom. Tak izvor bi seval spekter ˇcrnega telesa pri temperaturi 5800 K v omejenem ob-moˇcju od 450 nm do 660 nm, kjer obˇcutljivost oˇcesa ne pade pod 5 % na jviˇsje vrednosti [13]. Z nadaljnjim razvo jem tehnologije se bo uporabnost belih svetlobnih izvorov, osnovanih na GaN, ˇsirila na nova podroˇcja. Za osvetljevanje te­koˇcekristalnih prikazovanikov v televizorjih in raˇcunalniˇskih monitorjih so se LED diode ˇze izkazale, osvetljevanje prostorov osva ja ta tehnologija z velikimi koraki, avtomobilska industrija pa bo kmalu zamenjala vse izvore svetlobe s polprevodniˇskimi. Vse to upraviˇcuje odloˇcitev za podelitev leto­ˇsnje Nobelove nagrade za .ziko. LITERATURA [1] H. Amano, N. Sawaki, I. Akasaki in Y. Toyoda, Metalorganic vapor phase epitaxial growth of a high quality GaN .lm using an AlN bu.er layer, Appl. Phys. Lett. 48 (1986), 353. [2] H. Amano, M. Kito, K. Hiramatsu in I. Akasaki, p-type conduction in Mg-doped GaN treated with low-energy electron beam Irradiation (LEEBI), Jpn. J. Appl. Phys. 28 (1989), L2112. [3] S. Nakamura, N. Iwasa, M. Senoh in T. Mukai, Hole compensation mechanism of p-type GaN .lms, Jpn. J. Appl. Phys. 31 (1992), 1258. [4] S. Nakamura, T. Mukai in M. Senoh, Candela – class high – brightness InGaN/AlGaN double – heterostructure blue – light – emitting diodes, Appl. Phys. Lett. 64 (1994), 1687. [5] J. I. Pankove, Tunneling-assisted photon emission in gallium arsenide pn junctions, Phys. Rev. Lett. 9 (1962), 283–285. [6] J. Strnad, Uvod v .ziko, II. del, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1971. [7] J. Xie, S. Mita, Z. Bryan, W. Guo, L. Hussey, B. Moody, R. Schlesser, R. Kirste, M. Gerhold, R. Collazo in Z. Sitar, Lasing and longitudinal cavity modes in photo-pumped deep ultraviolet AlGaN heterostructures, Appl. Phys. Lett. 102 (2013), 171102. [8] The Nobel prize in physics, http://www.nobelprize.org/nobel\_prizes/physics/, ogled 24. 10. 2014. [9] Tha Haitz’s Law, http://www.nature.com/nphoton/journal/v1/n1/full/ nphoton.2006.78.html, ogled 24. 10. 2014. [10] Veˇc svetlobe z manj energije, http://ec.europa.eu/energy/lumen/index\_sl.htm, ogled 10. 12. 2014. [11] What is correlated color temperature, http://www.lrc.rpi.edu/programs/nlpip/ lightinganswers/lightsources/whatisCCT.asp, ogled 12. 12. 2014. [12] Color rendering index, http://en.wikipedia.org/wiki/Color\_rendering\_index, ogled 28. 10. 2014. [13] Luminous e.cacy, http://en.wikipedia.org/wiki/Luminous\_efficacy, ogled 10. 12. 2014. http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ FRANC VITEZ MO ˇCNIK: OB 200-LETNICI NJEGOVEGA ROJSTVA MARKO RAZPET Pedagoˇska fakulteta Univerza v Ljubljani Math. Subj. Class. (2010): 01A55, 97A30 Predstavljeno je ˇzivljenje in delo Franca Moˇcnika v spomin njegove 200-letnice rojstva. Dodanih je nekaj manj znanih podrobnosti o njegovih potomcih. FRANC VON MO ˇ CNIK: ON THE 200TH ANNIVERSARY OF HIS BIRTH The life and work of Franc Moˇcnik in memory of the 200th anniversary of his birth are presented. Some less well-known details about his descendants are added. V zavetju cerkljanskih in idrijskih hribov O dr. Francu vitezu Moˇcniku je pravzaprav teˇzko napisati ka j bistveno no­vega. Ob njegovih okroglih obletnicah so se razliˇcni avtorji ˇze na veliko razpisali, nekateri poljudno, drugi strokovno in strogo znanstveno. Z ve­seljem ugotavljamo, da so se ob Moˇcnikovi 200-letnici ro jstva tudi zuna j Slovenije zaˇceli znova zanimati za njegovo ˇzivljenje in delo. To je dandanes, ko imamo na voljo svetovni splet in ogromno digitaliziranega materiala v knjiˇznicah po svetu, veliko laˇze kot pred sto leti. Kljub vsemu pa Moˇcnika dobro pozna predvsem le matematiˇcna strokovna javnost, marsikdo, ˇceprav dela v ˇsolstvu, pa ˇse ni sliˇsal zanj. Prav zato na jbrˇz ne bo odveˇc, ˇce o njem ponovno neka j povemo. Beseda pa bo za spremembo tekla nekoliko drugaˇce, kot smo nava jeni. Predvsem bomo opustili suhoparno nava janje podrobnosti o Moˇcnikovih uˇcbenikih. Franc Moˇcnik se je rodil 1. oktobra 1814 v Cerknem. Marsikomu ˇzal ˇse vedno ni popolnoma jasno, kje je to. Pogosto ljudje med sebo j zamenjujejo kra jevna imena Cerkno, Cerknica in Cerklje, ki se podobno piˇsejo in izgo­varja jo. Prav tako prebivalce Cerkljane in Cerkniˇcane, pa tudi pridevnika cerkljanski in cerkniˇski. Zadnje ˇcase je morda Cerkno bolj prepoznavno, sa j obsta ja obˇcina Cerkno, ˇclanica ˇstevilne druˇzine slovenskih obˇcin, znan pa je tudi Smuˇcarski center Cerkno. Lahko bi o Cerknem, Cerkljanskem in Cerkljanih zapisali ˇse marsika j, na kar bi bil Moˇcnik zagotovo ponosen. Cerkljanska obˇcina je bila takrat, ko se je rodil Moˇcnik, med na jveˇcjimi na Goriˇskem: ˇSebrelj, ki so spadale v drugo stela je okoli 4 000 prebivalcev, brez ˇobˇcino (glej [8]). Danes ˇzivi v cerkljanski obˇcini okoli 5 000 prebivalcev. Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva Sam kra j Cerkno leˇzi v kotlini, obdani s hribi in gorami, visokimi tudi veˇc kot 1000 m. Prek neka j sedel vodijo poti v sosednje doline in kotline. Edina odprta dolina vodi ob potoku Cerknica v dolino reke Idrijce, ki se izliva v Soˇco. Za ˇcloveka, ki ˇzivi samo v Cerknem, je svet ma jhen, sega namreˇc samo do slemen in vrhov okoliˇskih hribov. Obzorje se bistveno razˇsiri ˇze prebivalcem okoliˇskih vasi, ki leˇzijo neka j sto metrov viˇse. Toda ljudje so se od nekda j zaradi take ali drugaˇcne nuje, kmeˇckih opravil ali gole radovednosti vzpenjali na svo je vrhove, od koder so videli veliko dlje kot s cerkljanskega trga. S Porezna (1632 m), na jviˇsjega vrha na Cerkljanskem, se ob izjemno lepem vremenu vidi vse do Jadranskega morja. Kot je znano, je bilo oˇcetu Franca Moˇcnika ime Andrej, materi pa Mar­jana. Priimek Moˇcnik je na Cerkljanskem zelo pogost, na jdemo pa ga po vsej Sloveniji, pa tudi drugje, celo v Ameriki, kjer ga piˇsejo kot Mocnik. Etimologi se nagiba jo k razlagi, da ima priimek Moˇcnik korenine v besedi moˇca, kar pomeni stanje zaradi dolgotra jnega deˇzevja, mokrota, moˇcvirnat svet, moˇcvirje. Kmet, ki je imel veliko moˇcvirnatega sveta, je postal Moˇc­nik, tako kot je na primer postal Zadnik ali Zadnikar oni, ki je imel zemljo na koncu doline ali na jviˇse na poboˇcju hriba. So ˇse druge, za lase privleˇcene razlage, o katerih pa na tem mestu ne bomo razpravljali. Ob Moˇcnikovem ro jstvu so Slovenci uporabljali bohoriˇcico, pisavo, ki je nastala v 16. stoletju in je bila v rabi do sredine 19. stoletja, ko jo je izpodrinila danaˇsnja ga jica. Zato je bil Moˇcnik v dokumente vpisan kot Franz Mozhnik. To obliko je Franc tudi sam uporabljal, po uvedbi ga jice pa se je strogo drˇzal danaˇsnje oblike. Imel je tudi drugo ime, ki ga tu in tam sreˇcamo: Sera.n, po nemˇsko Seraphin. V ˇstevilnih prevodih Moˇcnikovih del so preva jali tudi njegovo ime, na primer: Franc, Fran, Franˇciˇsek, Francesco, Frantiˇsek, Ferenc. Oˇce Andrej je imel doma krˇcmo, bil pa je tudi kmet in ugleden Cerkljan. Sam Franc ga v nekem pismu cerkljanskemu ˇzupniku, ko je po doktoratu iskal boljˇso sluˇzbo, imenuje zemljiˇski posestnik in oberrihtar glavne obˇcine Cerkno. Rihtarje so v nekaterih avstrijskih deˇzelah vpeljali v ˇcasu vladanja Marije Terezije in Joˇzefa II. Ob koncu 18. stoletja je rihtar v bistvu opra­vljal dela in naloge ˇzupana, nikakor pa ni bil sodnik, kar bi lahko napaˇcno razumeli, ˇce bi razlago besede naslanjali na nemˇsko besedo Richter. Na­vsezadnje ˇse dandanes v cerkljanskem nareˇcju uporablja jo besedo rihtati, kar pomeni nekomu neka j ukazovati, pa tudi neka j urejati. Cerkljansko je bilo kra jˇsi ˇcas (1809–1813) del Napoleonovih Ilirskih provinc. Francozi so takrat vpeljali svo je m^ere (francosko maire, ˇzupan), ki so bili veˇcinoma kar prejˇsnji ˇzupani, le priseˇci so morali samemu Napoleonu. Andrej Moˇcnik je bil kandidat za m^era (glej [8]). Franc Moˇcnik se je torej rodil kakˇsno leto po odhodu Francozov iz Cer­knega. Morda se je kot deˇcek, preden je ˇsel v ˇsole, povzpel na kakˇsnega od cerkljanskih vrhov in od tam pokukal v ˇsirni svet. Nihˇce ne ve, kako so ga klicali domaˇci in vrstniki. Morda Franci, Anci, Frenˇck, Ence, Ene, Eni, imena, ki se danes uporablja jo na Cerkljanskem. S ˇcim so se tam ljudje pre­ˇzivljali v tistih ˇcasih? V glavnem s kmetijstvom, ˇzivinorejo, gozdarstvom, furmanstvom in domaˇco obrtjo. Pogosto so hodili delat na tuje, vˇcasih se je ponudila priloˇznost dobiti delo pri gradnji cest. Neka j je bilo trgovin in gostiln. Vsekakor je bilo treba plaˇcevati vedno previsoke davke v denarju ali naturalijah, fantje so morali k vo jakom za veˇc let. Po pokra jini so se klatili ljudje vseh vrst: beraˇci, potepuhi, dezerterji, razbo jniki. Kakˇsnih prireditev v danaˇsnjem smislu na Cerkljanskem v Moˇcnikovem otroˇstvu ni bilo. ˇc se je doga jalo po cerkvah in okoli njih, na sejmih Se na jveˇin svatbah. Ljudska ˇsola je v neki obliki bila, kot razberemo iz virov. Po navadi je pouk potekal v kakˇsni veˇcji hiˇsi ali pa kar v ˇzupniˇsˇcu. Cerkljanski uˇcitelj je bil Ivan S.ligo j, ki je mladega Franca nauˇcil osnovnih znanj. Tako kot se je z deˇcki pogosto doga jalo v tistih ˇcasih, sta na jbrˇz uˇcitelj in ˇzupnik spoznala Franˇcevo nadarjenost in zlahka prepriˇcala njegove starˇse, da so ga dali v nadaljnje ˇsolanje. Njihov gmotni poloˇza j ni bil ovira in ˇzelja, da bi sin postal duhovnik, je tudi bila ˇziva, kar je bilo takrat obiˇca jno v druˇzinah z veˇc sinovi, ka jti posestvo in obrt je po gospodarjevi smrti ali po tistem, ko ni mogel veˇc delati, podedoval samo eden. Franca so dali v ˇsolo v 20 km oddaljeno Idrijo, ki takrat ni spadala pod Tolminsko oziroma Primorsko, ampak pod Kranjsko. Idrija je bila s svo jim rudnikom ˇzivega srebra, enim na jveˇcjih na svetu, drugo mesto na Kranjskem. Imela je marsika j, ˇcesar mnogi drugi kra ji niso imeli: grad brez graˇsˇcakov, rudarsko godbo, gledaliˇsˇce, urejeno zdravstvo, predvsem pa ˇsole, vse od protestantskih ˇcasov naprej, in sicer od ljudske in glavne do tehniˇske in zemljemerske. Za vse to gre zahvala rudniku in izobraˇzencem, ki so priha jali v Idrijo tudi iz drugih deˇzel avstrijskega cesarstva. Samo ugibamo lahko, kako je mladi Franc priˇsel v Idrijo pri takrat slabih prometnih povezavah. Morda peˇs, morda na vozu z vprego, morda na konj­skem hrbtu. Niti ni znano, kje je v Idriji stanoval. Reˇcemo lahko samo to, da mu je v ˇsoli ˇslo dobro. Slovenˇsˇcine je bilo takrat po ˇsolah bore malo ali niˇc, nemˇsˇcine, ki je bila uˇcni jezik, in latinˇsˇcine pa neprimerno veˇc. Sicer so pouˇcevali na glavni ˇsoli obiˇca jne vsebine, na primer aritmetiko, geometrijo, naravoslovje, zgodovino, zemljepis, glasbo, klasiˇcno grˇsˇcino in ˇse kakˇsen tuj jezik. Verjetno je Franc ˇze takrat obˇcutil togost ˇsolskega sistema, ki je temeljil na uˇcenju na pamet, branju iz knjig, neskonˇcnem ponavljanju in ˇ disciplini. Se na jveˇc svobode in ustvarjalnosti so si uˇcenci lahko privoˇsˇcili pri pisanju prostih spisov. Niˇcesar ne vemo o njegovem vraˇcanju v rodno Cerkno. Verjetno so ga domaˇci obiskovali ali pa mu tako ali drugaˇce poˇsiljali ka j za priboljˇsek v Idrijo. Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva V Ljubljani in Gorici Ko je bil Franc star 10 let, je nadaljeval ˇsolanje v Ljubljani. Glede tega posebnih moˇznosti pravzaprav ni imel: Ljubljana ali Gorica. Poti do teh mest so bile dolge in slabe. Iz Idrije v Ljubljano se je dalo priti po poti, po kateri so tovorili ˇzivo srebro do Vrhnike, morda tudi ˇse kako drugaˇce, iz Cerknega pa prek prelazov na vzhodni strani cerkljanske kotline, skozi Po­ ˇ ljane in ˇse teˇCe imamo v mislih Skofjo Loko. Gorica je bila ˇzje dosegljiva. na jkra jˇso pot, ki so jo uporabljali tudi romarji na Sveto goro nad Solkanom, pomeni, da je moral Cerkljan kreniti po dolini Cerknice do Idrijce, jo preˇc­kati, se na Straˇzi povzpeti v ˇ Sebrelje in se tam usmeriti proti Oblakovemu vrhu in ˇze tudi po dolini Idrijce do Dolenje Cepovanu. Lahko je krenil s StraˇTrebuˇse in se tam usmeril proti ˇ Cepovanu. Ko je prispel v Grgar, so bili pred njim tako Sveta gora kot Solkan in Gorica. Moˇzno pa je bilo izbrati ˇse kakˇsno drugo pot. V Ljubljani se je Moˇcnik vpisal v gimnazijo, nato pa na licej. Ljubljanski licej je bil na Kranjskem takrat ˇsola na jviˇsjega ranga. Pomembna Moˇcnikova uˇcitelja na liceju sta bila jezikoslovec Matija ˇsernov osebni prijatelj, Cop, Preˇin Leopold Karol Schulz von Straßnitzki (1803–1852). Slednji je bil po rodu iz starodavnega Krakova in matematiˇcno dobro podkovan profesor, ki je obiskoval gimnazijo ter nato ˇstudiral matematiko in astronomijo na Duna ju. Tudi v tistih ˇcasih ni bilo profesorskih mest na pretek, in zgodilo se je, da je bil s cesarskim dekretom poslan na ljubljanski licej, kjer je ostal 7 let. O Straßnitzkem in njegovem pomenu za naˇso matematiko bi bilo dobro narediti posebno raziskavo. Doda jmo le to, da je, kot je sam zapisal v nekem pismu, bila ob njegovem prihodu v Ljubljano na liceju znanost v precej bolehnem stanju. Da bi to stanje po svo jih moˇceh vsa j malo ozdravil, je izvedel veˇc javnih predavanj iz matematike in astronomije in s tem tudi pokazal ne samo, kako je treba pouˇcevati, ampak tudi, kako je treba mlade navduˇsiti za znanosti. Vse pa kaˇze, da je Straßnitzki imel velik vpliv na Moˇcnika, ki se je kasneje odloˇcil za ˇstudij matematike. Moˇcnik je imel izjemno sreˇco, da je bil uˇcenec duhovitega in razgledanega profesorja evropskega formata, polnega novih idej, kako izboljˇsati ˇsolstvo. Straßnitzki se je iz Ljubljane preselil v Lvov, kjer je doktoriral, svo jo kariero in ˇzivljenjsko pot pa je sklenil na Duna ju. Napisal je veˇc matematiˇcnih uˇcbenikov in priroˇcnikov, v matematiˇcno zgodovino pa se je vpisal s formulo ./4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8), s katero je Johann Martin Zacharias Dase, tudi Dahse (1824–1861), ˇclovek, ki je imel izjemne sposobnosti v raˇcunanju na pamet, izraˇcunal v neka j tednih ˇstevilo . (1844) na takrat rekordnih toˇcnih 200 decimalk. Moˇcnik je po konˇcanem liceju ˇstudiral bogoslovje v Gorici. Ne znamo odgovoriti na vpraˇsanje, zaka j v Gorici in ne kar v Ljubljani, ki je bila, kot smo ˇze zapisali, za Cerkljane in Idrijˇcane bolj dostopna. Morda je bila to ˇzelja starˇsev, morda se mu je zdela sonˇcna Goriˇska bolj zdrava kot meglena Ljubljana. Leta 1836 je uspeˇsno dokonˇcal ˇstudij, star 22 let, kar pa je bilo premalo, da bi bil lahko posveˇcen v duhovnika. V Gorici je ostal ˇse 10 let in tam pouˇceval na normalki, obenem pa je ˇstudiral za doktorat na graˇski univerzi. V tistem ˇcasu ˇse ni bilo juˇzne ˇzeleznice in ljudje so potovali do Gradca in naza j veˇcinoma s poˇstnimi koˇcijami. Prvi vlak je iz Gradca v Celje pripeljal leta 1846, v Ljubljano leta 1849, v Trst pa leta 1857. V ˇcasu pouˇcevanja na goriˇski normalki se je Moˇcniku ˇze drugiˇc nasmeh­nila sreˇca. V Gorico se je namreˇc leta 1836 zatekel z vso druˇzino francoski kralj Karel X. Burbonski (1757–1836), ki je moral leta 1830 odstopiti. Z njim je bil tudi Henrik V. (1820–1883), kraljev vnuk in prestolonaslednik, ki pa ni nikoli vladal. Zatoˇciˇsˇce jim je ponudil goriˇski grof Coronini. Kot se je za kraljevo druˇzino spodobilo, je priˇsla s ˇstevilnim spremstvom. Ve­ˇcina ˇclanov druˇzine je na kraljevo ˇzeljo pokopanih v kripti kostanjeviˇskega samostana. Leta 1917 so sarkofage zaradi spopadov na soˇski fronti zaˇca­sno preselili v M¨cali odling pri Duna ju. Ta kra j bomo v tem prispevki sreˇˇse enkrat. V zvezi s tem pa le redki omenja jo, kar kaˇze na to, kako malo nekateri cenijo matematiko, da je bil v spremstvu tudi veliki, takrat ˇze pri­znani francoski matematik Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), ki je bil za kralja in je imel z novimi oblastmi v Parizu nemalo teˇzav. Cauchy je priˇsel v Gorico kot dvorni uˇcitelj Henrika V. Spisal je celo posebno knjiˇzico, kako mladega Henrika nauˇciti neka j matematike, ki pa je slednji ni nikdar imel posebno rad. Cauchy je ostal v Gorici do leta 1838. Ni se ukvarjal le s pouˇcevanjem za matematiko nezainteresiranega kraljevega vnuka, ampak je vneto raziskoval in ob javljal. Med drugim je razvil metodo za numeriˇcno reˇsevanje polinom­skih enaˇcb poljubne stopnje. Matematikov v nekem mestu ni prav veliko in se po navadi hitro na jdejo. Cauchy je v Gorici kmalu naˇsel sogovornike za matematiˇcne teme in Moˇcnik je bil eden od njih. To je bilo kot naro­ˇceno za Cerkljana, ki se je takrat pripravljal na doktorat v Gradcu. Oˇcitno je prav hitro razumel Cauchyjevo metodo za numeriˇcno reˇsevanje polinom­skih enaˇcb, ka jti leta 1839 je na Duna ju ob javil skora j 100 strani obseˇzno znanstveno razpravo Theorie der numerischen Gleichungen mit einer Unbe­kannten. Mit besonderer R¨ ucksicht auf die neueste von Cauchy erfundene allgemeine Au.¨osungsmethode, kar pomeni Teorija numeriˇcnih enaˇcb z eno neznanko. S posebnim ozirom na najnovejˇso sploˇsno metodo reˇsevanja, ki jo je izumil Cauchy. V tem delu je Moˇcnik znanstveno, metodiˇcno in ra­zumljivo obdelal Cauchyjevo metodo in jo predstavil avstrijskim in drugim ˇ nemˇsko govoreˇcim matematikom. Zal je ta razprava ostala njegovo edino znanstveno delo, a bilo je za tiste ˇcase dovolj dobro, da se je uveljavil v znanstvenem in akademskem svetu ter nato kot matematiˇcni pedagog, ˇsol- Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva ski reformator, pisec uˇcbenikov, ˇsolski svetnik in nadzornik. Morda je celo od Cauchyja, ki je imel neka j prakse, kako mlade s kraljeviˇcem vred uˇciti matematiko, dobil navdih za svo je kasnejˇse metodiˇcne priroˇcnike. Goriˇcani so se leta 2007 oddolˇzili Cauchyju in mu 150 let po njegovi smrti na palaˇci Strassoldo v Gorici odkrili spominsko ploˇsˇco (glej [4]). Doktorat, Lvov in Olomuc Moˇcnikov doktorat je neprimerljiv z danaˇsnjim doktoratom, pri katerem mora kandidat na jprej vpisati ˇstudij 3. stopnje, opraviti predpisane izpite, na jti temo, predlagati mentorja, ˇcakati, da jo potrdi senat fakultete, pred­staviti teze pred komisijo, napisati doktorsko disertacijo, ki jo pregleda stro­kovna komisija in morda nato ˇse etiˇcna komisija, ter antiplagiatorski pro­gram, javno obraniti disertacijo in nato neka j mesecev ˇcakati na slovesno promocijo. Moˇcnik je v Gorici naˇstudiral, kar so v Gradcu od njega zahte­vali, predavanj pa zaradi dela na normalki v Gorici ni mogel obiskovati. V letih 1839 in 1840 je v Gradcu opravljal izpite, potem pa ˇse tako imenovane rigoroze pred komisijo strogih profesorjev. Po zadnjem izpitu je bil ˇze nasle­dnjega dne, 14. aprila 1840, promoviran za doktorja .lozo.je. Iz seznama predavanj lahko navedemo, katere matematiˇcne vsebine so takrat (1839) obravnavali: osnove matematike, .ziko in uporabno matematiko, uporabno geometrijo (glej [5]). Po doktoratu je Moˇcnik pouˇceval na goriˇski normalki vse do leta 1846. Tako kot dandanes, ko mladi doktor ne na jde kar tako j stalne sluˇzbe, se je godilo tudi njemu. Viˇsjih in visokih ˇsol v cesarstvu ni bilo na pretek, narava pa je, tako kot vedno, poskrbela, da se je tu in tam sprostilo kakˇsno uˇciteljsko mesto. Moˇcnik si je seveda prizadeval, da bi ga naˇsel. Pisal je celo cerkljanskemu ˇzupniku, da mu dopolni krstni list, iz katerega na j bi bilo razvidno, da je vendarle njegov oˇce bil posestnik in obˇcinski veljak, ne pa kdorkoli. Menil je, da si na cesarskem Duna ju popolnoma napaˇcno predstavlja jo, kakˇsna je situacija na Primorskem. Leta 1845 mu ni uspelo zasesti prostega mesta v Gradcu, naslednje leto pa mu je prineslo napredek: imenovan je bil za profesorja elementarne matematike in trgovskega raˇcun­stva na Tehniˇski akademiji v daljnem Lvovu v danaˇsnji Ukra jini. Stavba akademije je bila leta 1848, ob Pomladi narodov, precej poˇskodovana. Moˇc­nik se ni vpletal v to vrenje, premeˇsˇcen je bil na univerzo v Olomucu na Moravskem. Tam je predaval osnovno in viˇsjo matematiko, elementarno matematiko, diferencialni raˇcun z uporabo v geometriji in numeriˇcno reˇse­vanje enaˇcb. Opravljal je celo dolˇznosti dekana fakultete. V Olomucu je ostal do leta 1851 (glej [1, 2, 3]). Naza j v Ljubljano in nato v Gradec Decembra 1850 so ga imenovali za deˇzelnega ˇsolskega svetnika in nadzornika ljudskih ˇsol na Kranjskem. Po prisegi januarja 1851 se je preselil v Ljubljano. Leta 1860 je bil Moˇcnik spet premeˇsˇcen, tokrat v Gradec, kjer je bil od leta 1861 deˇzelni svetovalec ter nadzornik ljudskih ˇSta jersko in sol in realk za ˇKoroˇsko. Dne 23. junija 1862 je za svo je delo in zasluge v napredku ˇsolstva prejel viteˇski kriˇzec reda Franca Joˇzefa. Leta 1869 je v skladu z novim ˇsolskim zakonom postal deˇzelni ˇsolski nadzornik prve stopnje, vendar ne za dolgo. Leta 1871 se je upoko jil, uradno na lastno ˇzeljo zaradi zdravja. Ob tej priliki ga je cesar s podpisom 5. julija 1871 ponovno odlikoval, to pot z viteˇskim redom ˇzelezne krone 3. razreda. Malo je ljudi, ki so si z matematiko in pisanjem uˇcbenikov prisluˇzili viteˇsko ˇcast. Verjetno je bil pri svo jih 57 letih, ˇse poln ustvarjalnih moˇci in idej, ne malo zagrenjen zaradi upoko jitve, pribliˇzno tako kot danes, ko profesorji odha ja jo v poko j zaradi ZUJF-a. Seveda pa vitez Moˇcnik, ki se je smel od takrat naprej predstavljati in podpisovati kot von Moˇcnik, njegovi potomci pa tudi, ni bil brez dela: urejal, dopolnjeval in popravljal je svo je uˇcbenike. Moˇcnik je umrl 30. novembra 1892 po srˇcnem napadu na svo jem domu v Gradcu. Pokopan je bil 2. decembra 1892 na graˇskem pokopaliˇsˇcu pri sv. Petru. Franc Moˇcnik je ˇze zgoda j spoznal, kot uˇcenec in uˇcitelj, na jbrˇz pod vplivom Cauchyja in Straßnitzkega, da je ˇsolstvo v cesarstvu zastarelo in ne sledi ˇcasu, ki je zahteval boljˇse znanje, sa j se je doga jala industrijska revolucija, gradili so ˇzeleznice, priha jale so nove tehnologije, napredovala je trgovina itd. Zato ni ˇcudno, da je ˇze leta 1840 v Ljubljani v nemˇsˇcini izdal knjigo, v kateri opisuje osnovne ˇstiri raˇcunske operacije, kot pomoˇc uˇciteljem in uˇcencem pri pouku raˇcunstva. Prav tako je leta 1843 izdal v Ljubljani v nemˇsˇcini napisan priroˇcnik za vse, ki se ˇzelijo izpopolniti v raˇcunstvu. Moˇcnik je napisal v nemˇsˇcini sploh vsa svo ja dela, ki so jih preva jali v druge jezike v drˇzavi. Leta 1846 je na Duna ju izdal navodila za raˇcunanje na pamet za prvi razred ljudskih ˇsol. Naslednje leto so, prav tako na Duna ju, izdali tudi slovenski prevod, napisan v bohoriˇcici. Nato skora j ni minilo leto, v katerem Moˇcnik ne bi izdal kakˇsne knjige: navodil, raˇcunic, tablic, uˇcbenikov aritmetike, uˇcbenikov geometrije. Namenjeni so bili za ljudske, glavne, meˇsˇcanske in dekliˇske ˇsole ter gimnazije. Moˇcnik je v zaˇcetku leta 1851 na Duna j poslal poroˇcilo o stanju ljud­skih ˇsol na Kranjskem, hkrati pa predlagal izboljˇsave. Poleti istega leta je sestavil in predlagal nov uˇcni naˇcrt za ljudske ˇsole, ki je predvideval tudi veˇc ur slovenˇsˇcine. Septembra 1851 so njegov naˇcrt potrdili. Postopoma je namreˇc le napredovalo mnenje, da je v osnovni ˇsoli treba tudi pouˇcevati v slovenˇsˇcini, ki je bil materin jezik veˇcine prebivalcev na Kranjskem. Moˇcnik je pisal uˇcbenike, izva jal inˇspekcije po ˇsolah, se sreˇceval z uˇcitelji in tudi sam Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva pokazal, kako se pravilno pouˇcuje. Uva jal je tudi novosti: risanje, telovadbo, petje, praktiˇcna znanja, uˇciteljske teˇca je, ˇsolske knjiˇznice. Sodeloval je tudi pri pisanju slovensko-nemˇske slovnice, pisanju statutov nekaterih ˇsol, trudil se je za boljˇsi gmotni poloˇza j uˇciteljev, dal pobudo za ustanovitev Druˇstva v podporo vdov in sirot kranjskih uˇciteljev, ki je potem delovalo vse do 1. svetovne vo jne (veˇc v [1]). Slovensko znanstveno izrazoslovje je bilo treba postaviti na novo. Pri tem so imeli veliko zaslug trije Rovtarji, ˇce gledamo na njihovo nareˇcje ob ro jstvu. Poleg Moˇcnika sta bila to ˇse Mihael Peternel (1808–1884), doma v danaˇsnjem Podlaniˇsˇcu blizu Cerknega, in Matej Cigale (1819–1889), doma ˇ blizu Crnega Vrha nad Idrijo. Peternel je bil duhovnik, ki ga je Moˇcnik postavil za prvega ravnatelja ljubljanske realke. Bil je vsestransko tehniˇcno in naravoslovno podkovan izobraˇzenec (veˇc v [7]). Cigale pa je bil pravnik in jezikoslovec. Moˇcnik je dal zgled za geometrijo. V uˇcbeniku za niˇzje realke iz leta 1856 je dodal slovenske geometrijske izraze. Po vseh treh moˇzeh so v Ljubljani poimenovali ulice. Poleg drˇzavnih priznanj je bil Moˇcnik deleˇzen ˇse drugih ˇcasti. Postal je ˇcastni ˇclan uˇciteljskega druˇstva za Kranjsko, ˇcastni ˇclan uˇciteljskega druˇstva v Celju, Gradcu in Leobnu, ˇcastni ˇclan kranjske in goriˇske kmetijske druˇzbe. Njegove uˇcbenike odlikujejo jasnost, uporabnost, koristnost. Zasnovani so tako, da na j ne bi po nepotrebnem obremenjevali uˇcenca s pravili in obrazci, osnove raˇcunstva na j si pridobi s samosto jnim razmiˇsljanjem, utrdi pa na j jih s ponavljanjem in raznovrstnimi va jami, pri tem na j skrbi tudi za pravilno izraˇzanje in dobi na j obˇcutek za resnico in pravico. Pogosto pa na j uˇcenec raˇcuna na pamet. Moˇcnikove uˇcbenike so preva jali v vse jezike cesarstva, pravijo, da tudi v ruˇsˇcino in celo v staro cerkveno slovanˇsˇcino. Doˇziveli so ˇstevilne ponatise in priredbe in so se ponekod uporabljali skora j do 2. svetovne vo jne (veˇc o tem v [6]). Moˇcnik se je zavzemal za uvedbo desetiˇskih mer v vsakdanjem ˇzivlje­ˇ nju. Te so se zelo poˇcasi uveljavljale. Ze baron Jurij Vega (1754–1802) se je trudil v tej smeri, pa se v sto letih ni dosti spremenilo. Prav tako je vladala zmeda na podroˇcju denarniˇstva. Zato je Moˇcnik na koncu raˇcunic in uˇcbenikov doda jal pretvornike med merskimi in denarnimi enotami, ki so jih uporabljali v drˇzavi. Druˇzina Moˇcnik se je 15. oktobra 1850 v Olomucu poroˇcil s Terezijo Rossiwall (1830– 1911). Imela sta 3 otroke: Marijo (1852–1903), Emilijo (1854–1948) in Teodorja (1855–1920). Marija se je poroˇcila z Gustavom von Zeynekom (1837–1901), ki je bil ˇsolski svetnik za ˇc knjig, ki obravnava jo nemˇ Slezijo in avtor veˇsko literaturo. Marija in Gustav sta imela tri otroke: Richarda (1869–1945), ki je bil .ziolog in kemik, leta 1930 nominiran za Nobelovo nagrado iz .ziologije in medicine; Olgo Rudel (1871–1948), ki je postala pisateljica in politiˇcarka, prva predse­dnica avstrijskega Bundesrata (1927/28 in 1932); Teodorja (1873–1948), pi­satelja, Shakespearjevega preva jalca v nemˇsˇcino in polkovnika (glej [9, 10]). Poˇciva jo v druˇzinski grobnici v Modlingu pri Duna ju. ¨ Emilija Moˇcnik se je poroˇcila s sodnim adjunktom Josefom Schaller­jem. Teodor je diplomiral leta 1877 v Gradcu iz matematike in .zike, toda postal je benediktinec z redovniˇskim imenom Benno Moˇcnik v avstrijskem Admontu, zadnjih 35 let pa je preˇzivel v samostanu v Einsiedelnu v ˇ Svici. Za konec Dr. Franc vitez Moˇcnik je bil pravi moˇz, latinsko vir, poosebljena moˇza­tost, pogumnost, vrlina in odloˇcnost, latinsko virtus. S svo jim znanjem in nesebiˇcnim prizadevanjem je kot metodik in reformator pouka matematike ter ˇsolski organizator dvignil zastarelo, omrtviˇceno, okorno in zanikrno niˇzje in srednje ˇsolstvo prve polovice 19. stoletja na naˇsih tleh, pa tudi ˇsirˇse, na spodobno visoko r´aven. Njegovi ˇstevilni matematiˇcni uˇcbeniki, raˇcunice in navodila, kako uspeˇsno pouˇcevati matematiko, nas ˇse danes prijetno prese­neˇca jo. Njegova dela, latinsko operae, so uporabljali ˇstevilni rodovi in bila so zgled in vzpodbuda mnogim, da so se odloˇcili ˇstudirati pedagoˇsko mate­matiko in z njenim nezadrˇznim napredkom ˇsli po njegovih stopinjah. Pod njegovim viteˇskim grbom se ne vije zaman trak z latinskim napisom Virtute et opera, kar navadno preva jamo v Z vrlino in delom. Ob 200-letnici ro jstva smo se Franca viteza Moˇcnika spomnili z neka j dogodki, ki so se zgodili okoli njegovega ro jstnega dne, 1. oktobra. Obˇcina Cerkno praznuje svo j obˇcinski praznik ravno na ta dan v ˇcast cerkljanskemu vitezu. Osnovna ˇsola Cerkno je v sodelovanju z Univerzo na Primorskem organizirala Moˇcnikove delavnice za zadnje tri razrede. Osnovna ˇsola je pri­spevala tudi kviz in igrico, ki se tiˇceta Moˇcnika in njegovih raˇcunic. Mestni muzej Idrija, Cerkljanski muzej in Slovenski ˇsolski muzej so pripravili prilo­ˇznostno razstavo o Moˇcniku v Cerknem in postavili malo uˇcilnico, kakrˇsne so bile v slavljenˇcevem ˇcasu po ˇsolah. V posebnem prostoru so poskrbeli tudi za raˇcunalniˇsko predstavitev nalog iz njegovih raˇcunic, anagramov in kviza. V uˇcilnici so v oktobru izvedli neka j delavnic uˇcnih ur po starem. Obˇcina Cerkno in Cerkljanski muzej sta poskrbela za preselitev Moˇcniko­vega doprsnega kipa na primernejˇso lokacijo in njegovo ponovno odkritje na sam obˇcinski praznik, 1. oktobra. Filatelistiˇcno druˇstvo Idrija je na ta dan predstavilo Moˇcniku v ˇcast priloˇznostno ovo jnico z osebno poˇstno znamko Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva in priloˇznostnim poˇstnim ˇzigom. Na levi strani ovo jnice je natiskan Moˇc­nikov viteˇski grb, pod njim pa kopija njegovega podpisa. Na znamki je slavljenˇceva fotogra.ja z osnovnimi osebnimi podatki. Poˇstni ˇzig vsebuje Moˇcnikovo karikaturo, katere avtor je Borut Peˇcar (1931–2009), prav tako Moˇcnikove osnovne osebne podatke, datum 1. 10. 2014 in cerkljansko po­ˇstno ˇstevilko. Seveda na ovo jnici ne manjkata zapisa njenega avtorja (Blaˇz Jereb) in kra ja predstavitve (Cerkljanski muzej). Mestni muzej Idrija je dal na svetlo katalog razstave z naslovom ˇ Zivljenj­ska pot Franca Moˇcnika (Z vrlino in delom. Dr. Franc Moˇcnik (1814–1892)). Na sploh je bil Z vrlino in delom glavni moto vseh prireditev. V katalogu je zbranih veˇc ˇclankov o Moˇcniku in njegovem delu. DMFA Slovenije je imelo v Cerknem, kot se spodobi za 200-letnico ro jstva velikega cerkljanskega ro­jaka, svo je strokovno sreˇcanje in obˇcni zbor. Matematiˇcni del s prispevki veˇc avtorjev, enega celo iz Slovaˇske, je bil v glavnem posveˇcen Moˇcniku. Ciklus prireditev je bil sklenjen s predavanjem prof. Milana Hladnika z na­slovom Poslanstvo dr. Franca Moˇcnika v okviru rednih muzejskih sreˇcanj, ki jih organizira Mestni muzej Idrija. V okviru Seminarja za zgodovino matematiˇcnih znanosti, ki poteka ob ponedeljkih v Plemljevem seminarju na Jadranski ulici 19 v Ljubljani pod okriljem DMFA, IMFM in FMF, se je v letu 2014 (pa tudi ˇze prej) zvrstilo veˇc predavanj o Francu Moˇcniku in njegovem delu. LITERATURA [1] M. Hladnik, Franc Moˇcnik kot ˇsolski svetnik in nadzornik (v zborniku Po stopinjah dr. Franca Moˇcnika, Strokovno sreˇcanje matematiˇcnih pedagogov, Cerkno, 28. september 1996), Zaloˇzba Bogataj, Idrija 1997. [2] M. Hladnik, Franc Moˇcnik, matematik in pedagog. Ob stoletnici njegove smrti, Idrijski razgledi 37 (1992), 19–33. [3] M. Hladnik, ˇcnika (Z vrlino in delom. Dr. Franc Moˇ Zivljenjska pot Franca Moˇcnik (1814–1892). Katalog obˇcasne razstave ob 200-letnici rojstva dr. Franca Moˇcnika), Mestni muzej, Idrija 2014. [4] S. Juˇzniˇc, Cauchyjeva in Moˇcnikova Gorica kot srediˇsˇce evropske matematike (ob 190. obletnici Moˇcnikovega ro jstva), Arhivi 28 (2005), 15–32. [5] S. Juˇzniˇc, Moˇcnikova disertacija (ob 165. obletnici Moˇcnikove promocije), Arhivi 28 (2005), 153–164. [6] J. Povˇsiˇc, Bibliogra.ja Franca Moˇcnika, Slovenska akademija znanosti in umetnosti, Ljubljana 1966. [7] M. Razpet, Mihael Peternel, prvi ravnatelj ljubljanske realke, Obzornik mat. .z. 51 (2004), 80–86. [8] A. ˇStucin, Cerkljanska pod Francozi, Idrijski razgledi 35 (1990), 27–34. [9] T. Zeynek, Ein O.zier im Generalstabskorps erinnert sich, B¨ ohlau Verlag, Dunaj, K¨oln, Weimar 2009. [10] www.deutsche-biographie.de/sfz108610.html, ogled 2. 12. 2014. NOVE KNJIGE Vito Lampret: Matematika I, prvi del – preslikave, ˇstevila in vek­torski prostori, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbeniˇstvo in geodezijo – Komisija za informatiko, knjiˇzniˇcarstvo in zaloˇzniˇstvo, Ljubljana 2013, XIV + 442 strani. Avtor priˇcujoˇcega novega uˇcbe­nika ˇze vrsto let predava mate­matiko, preverja znanje ˇstuden-tov in pri tem spoznava, ka j le­ti v svo ji starosti zmorejo. Pri tem si je nabral veliko izkuˇsenj in je, ko je pisal uˇcbenik ma­tematike, oˇcitno imel v mislih ˇstudenta prvega letnika gradbe­niˇstva in kasnejˇsega inˇzenirja, ki na j bi znal korektno formuli­rati tehniˇski problem, na kate­rega je naletel v praksi, ga pre­delati v primerno matematiˇcno obliko in ga uspeˇsno reˇsiti. Na­to na j bi rezultate, ki jih veˇci­noma dobi z uporabo raˇcunal­ niˇske opreme, znal kritiˇcno interpretirati, jih temeljito preveriti in prenesti ˇ naza j v svo jo stroko. Student gradbeniˇstva, ki bo ˇstudiral matematiko po tej knjigi, na j bi precej temeljito spoznal in razumel notranjo zgradbo ma­tematike, njene metode in sistematiˇcnost. Ni cilj, da bi matematiko spoznal do potankosti, ampak da bi kot bodoˇci inˇzenir dobro obvladal matematiˇcni jezik in se znal v njem primerno izraˇzati. Za poglobljeni ˇstudij matematike pa avtor sam priporoˇca ˇstevilne druge dobre uˇcbenike priznanih avtorjev. Uˇcbenik je zasnovan in napisan moderno, tako kot veˇcina uˇcbenikov ma­tematike za tehniˇske fakultete doma in po svetu. Delo je smiselno in logiˇcno razdeljeno na devet poglavij: MnoˇStevila, Geometrijski zice in preslikave, ˇvektorji, Linearni prostori, Linearne preslikave, Matrike, Sistemi linearnih enaˇcb, Lastne vrednosti in Normiran prostor matrik. Vsako od teh pogla­vij je razdeljeno na veˇc razdelkov, ti pa po potrebi na podrazdelke. Vse enote besedila so oˇstevilˇcene, prav tako de.nicije, izreki, trditve, posledice, opombe in primeri, kar omogoˇca, da uporabnik hitro na jde, kar je morda med branjem uˇcbenika ˇze pozabil. Avtor je poskrbel za primerno velikost ˇcrk osnovnega besedila, prav tako je zelo pazil na izbiro oznak za standardne funkcije, konstante in spremenljivke, bodisi skalarne, vektorske, operatorske ali matriˇcne. Vse to v veliki meri pripomore k veˇcji preglednosti uˇcbenika. V njem je obdelanih neka j tem, recimo v linearni algebri, veliko bolj natanˇcno kot v drugih tovrstnih slovenskih uˇcbenikih. Linearna algebra, od geome­trijskih vektorjev do matrik, je obdelana zelo vestno in temeljito, pri ˇcemer je dano veliko poudarka na linearno neodvisnost vektorjev in urejene vektor­ske baze. Delo vsebuje tudi zahtevnejˇsi temi o singularnem razcepu matrik in simultani diagonalizaciji matrik. O velikih matematikih, po katerih se ka j obravnavanega v knjigi imenuje, avtor v opombah pod ˇcrto napiˇse osnovne ˇzivljenjske podatke, tako da bralec mimogrede izve neka j o zgodovini pro­blema in da vsa j okvirno ve, kda j je v matematiki ka j novega nasta jalo. Morda je celotno vsebino knjige nemogoˇce odpredavati v predvidenih peda­goˇskih enotah, doloˇcenih z uˇcnim naˇcrtom, toda delo je napisano tako, da bi ˇstudent lahko tudi samosto jno, s papirjem in svinˇcnikom v roki, predelal doloˇcene vsebine. Uˇcbenik je opremljen s kazalom, seznamom slik, seznamom tabel, sezna­mom uporabljenih virov in z obˇsirnim stvarnim kazalom. Slednje bo zelo dobrodoˇslo uporabnikom, ki bodo v knjigi hitro naˇsli, kar jih bo paˇc zani­malo, bodisi pri ˇstudiju ali pa kasneje na delovnem mestu. Delo je napisano v lepi in kleni slovenˇsˇcini, v kateri je sicer precej tujk, ki pa jih avtor veˇcino prevede in po jasni v naˇsem jeziku. Po svo je so tuji izrazi dobrodoˇsli, ker pomenijo preprost most za laˇze razumevanje matematiˇcnih besedil v tujih jezikih, katerim se dandanes ne moremo izogniti. Besedilo je lepo razpo­rejeno in oblikovano, vanj je vkljuˇcenih tudi precej slik. Pri izpeljavah in dokazih se avtor opira na aksiome, de.nicije in prejˇsnje, ˇze dokazane izreke, trditve, posledice, opombe in primere, kar je tudi pri sklicevanjih nanje ne­dvoumno oznaˇceno s ˇstevilkami le-teh, tako da bralec lahko hitro na jde, ka j v njih piˇse. Konci dokazov so, kot se v takih uˇcbenikih spodobi, jasno ozna­ˇceni. Avtor pogosto vkljuˇcuje tudi kratka navodila, kako lahko uporabimo raˇcunalniˇski program Mathematica pri reˇsevanju nekaterih problemov, ki so povezani z vsebino knjige. Univerzitetni uˇcbenik Matematika I, prvi del – preslikave, ˇstevila in vek­torski prostori – je napisan estetsko, pregledno, strukturirano, matematiˇcno in jezikovno korektno ter tehniˇcno dovrˇseno. Napisan je za ˇstudente prvega letnika univerzitetnega ˇstudija gradbeniˇstva, ki se prviˇc sreˇca jo z visokoˇsol­sko matematiko, primeren pa je prav tako za inˇzenirje gradbeniˇstva, ki bi ˇzeleli svo je znanje matematike obnoviti ali pa ˇse nekoliko poglobiti. Marko Razpet Thomas Hull, Pro ject Origami, Activities for exploring mathema­tics, Second Edition CRC Press, Taylor & Francis Group, 2013, 363 str. Avtor predava na Western New En­gland University matematiˇcne pred­mete. Na predavanjih povezuje ma­tematiko z japonsko umetnostjo pre­pogibanja papirja. Prvo izda jo knjige (2006), ki je vsebovala 22 dejavnosti, je na podlagi odzivov, ki jih je prejel od ˇstudentov in uˇciteljev, ki so de­javnosti praktiˇcno izvedli v razredih, in na podlagi lastnih izkuˇsenj v drugi izda ji dopolnil in razˇsiril na 30 dejav­nosti. ˇ Ze vsebina uvoda nakazuje meto­diˇcno zasnovo knjige, sa j v njem na j-demo navodila, kako izva jati dejavno­sti, da bi poudarili uˇcenje z razisko­vanjem, in katero vrsto oziroma veli­kost papirja potrebujemo za posame­zne dejavnosti. Uvod se konˇca z navedbo 13 knjig s kratkim opisom vsebine, ki prav tako obravnava jo povezavo med matematiko in origamiji. V knjigi je navedenih 30 dejavnosti, ki ima jo vse enako strukturo. Na j­prej je z veˇc slikami opisan postopek prepogibanja, vˇcasih sledi namig, kako z vpraˇsanji napovemo matematiˇcno ozadje, nato avtor zapiˇse, s katerimi ma­tematiˇcnimi vsebinami lahko poveˇzemo doloˇceno dejavnost, sledijo delovni listi z vpraˇsanji in nalogami za uˇcence (dijake ali ˇstudente), ki so dosto­pni tudi na domaˇci strani zaloˇzbe. Poglavje se konˇca z navodili za uˇcitelje, kjer so zapisane reˇsitve ali namigi za reˇsitve in opozorila, na ka j moramo biti pri delu posebej pozorni. Na koncu so dodani ˇse predlogi za nadaljnje dejavnosti, s katerimi nadgradimo matematiˇcno znanje. Prvo dejavnost bomo opisali nekoliko podrobneje, da bomo bolje spo­znali strukturo knjige, druge pa bomo preleteli. Dejavnost povezuje kvadrat in enakostraniˇcni trikotnik. Narisan je eden od naˇcinov, kako s prepogiba­njem kvadrata dobimo enakostraniˇcni trikotnik. Uˇcenci mora jo nato ugoto­viti, na koliko naˇcinov lahko v kvadrat vˇcrta jo enakostraniˇcni trikotnik. Po razgovoru se posvetijo primeru, ko imata trikotnik in kvadrat le eno skupno ogliˇsˇce, drugi dve ogliˇsˇci trikotnika pa leˇzita na stranicah kvadrata. Poiskati mora jo povezavo med ploˇsˇcino trikotnika p in kotom ., ki ga osnovnica ena­kostraniˇcnega trikotnika oklepa s stranico kvadrata. Nariˇsejo graf funkcije p(.) in doloˇcijo na jveˇcji moˇzni kot, ki je 15. . Nariˇsejo natanˇcno skico, do­loˇcijo kote, se pogovorijo o medsebo jni legi trikotnika in kvadrata in nato iz kvadrata s prepogibanjem dobijo enakostraniˇcni trikotnik. Ob tem lahko ponovimo lastnosti zrcaljenja, kotne funkcije in iskanje ekstremov funkcij z odvodi. Kot nadaljevanje dejavnosti pa avtor predlaga iskanje na jveˇcjega kvadratu vˇcrtanega ˇsestkotnika. Naˇstejmo ˇse preostale dejavnosti: origami trigonometrija (adicijski iz­reki), delitev kvadrata na n enakih delov, pri ˇcemer razlikujemo delitev na sodo in liho ˇstevilo delov, origami helix ali zgibanje kvadratnega lista papirja tako, da ga lahko zvijemo in ustvarimo rotacijske prostorske ploskve, zgiba­nje parabole, trisekcija kota, reˇsevanje kubiˇcne enaˇcbe (veˇc metod reˇsevanja z zgibanjem papirja), vozli s papirnatim trakom, primeri Hagovega izreka. Sledijo modularni origamiji, kjer zlagamo modele iz veˇc enakih ali razliˇcnih modulov, vsakega od njih izdelamo iz enako velikih kvadratnih listov pa­pirja. Modularno sestavi razliˇcne poliedre (ˇskatlo, prisekani dvana jsterec, zvezdaste poliedre). Zanimive so dejavnosti, pri katerih za izdelovanje po­liedrov uporabimo vizitke. Sledi zgibanje papirja, pri katerem ponavljamo doloˇcen niz prepogibov, tako da nastanejo sebi podobni liki. Pri tem so omenjene povezave s fraktali, aritmetiˇcnim in geometrijskim zaporedjem, kompleksnimi ˇstevili in preslikavami. Mreˇze poliedrov in ravninske origa­mije, pri katerih gredo vsi zgibi skozi eno toˇcko, avtor poveˇze s teorijo grafov. Sledijo skice za zgibanje »nemogoˇcih vzorcev«, kot jih imenuje avtor, sa j se po razgrnitvi prepognjenega kvadrata izkaˇze, da vzorec ne more biti ravnin­ski. Zadnje tri dejavnosti v knjigi so vezane na abstraktno algebro (matrike, homomor.zmi) in sferno trigonometrijo. ˇ Ce je pri vsaki dejavnosti navedeno, katere matematiˇcne vsebine lahko pri tem obravnavamo, je za uˇcitelje pomemben tudi dodatek, v katerem avtor naredi obraten seznam: za posamezne matematiˇcne vsebine naˇsteje dejavnosti, ki se nanje navezujejo. Zaˇcetne dejavnosti lahko uporabimo v zadnji triadi osnovne ˇsole, sa j matematiˇcno ozadje ni zahtevno. Sledijo dejavnosti, ki so primerne za sre­dnjeˇsolce, druga polovica naˇstetih dejavnosti pa je vezana na matematiˇcne vsebine, ki jih v srednji ˇsoli ne obravnavamo. ˇcetni Se vedno pa lahko vsa j zaˇdel uporabimo tudi v srednji ˇsoli. Avtor pri nekaterih dejavnostih predlaga tudi uporabo raˇcunalniˇskih programov za dinamiˇcno geometrijo, kot je na primer GeoGebra oziroma v ZDA priljubljeni program The Geometer’s Sketchpad. Z njimi se lahko izognemo nekaterim zapletenejˇsim raˇcunom in naloge prilagodimo za osnov­noˇsolski ali srednjeˇsolski nivo. Knjigo odlikujejo skrbno izbrane skice, razumljive in v enostavnem je­ziku zapisane razlage ter metodiˇcno zasnovani delovni listi. Zasnovana je tako, da jo uporablja uˇcitelj kot metodiˇcni pripomoˇcek, a hkrati tudi omo­goˇca bralcu, da se ukvarja le z umetnostjo prepogibanja papirja ali pa nastale like, ploskve in telesa tudi matematiˇcno »obdela«. Nada Razpet David Reimer, Count like an Egyptian, A hands-on introduction to ancient mathematics, Princeton University Press, 2014, 250 strani. Matematika starega Egipta je bila popolnoma drugaˇcna od matematike, kakrˇsno poznamo danes. Po navadi ljudje mislijo, da je bila le nekakˇsen primitivni predhodnik sodobne matemati­ ke. Pa ni ˇcisto tako. Predvsem je bila praktiˇcna. Je pa res, da je ni mogoˇce enostavno razume­ ti, ker smo ˇze preveˇc indoktri­ nirani s sodobno matematiko in sodobnimi raˇcunskimi postopki. Vendar nam egipˇcanski naˇcin zapisa ˇstevil in raˇcunanje z nji­ mi ponuja svojevrsten uˇzitek. Marsikaj novega se pri tem na­ uˇcimo. V knjigi najprej spoznamo osnovne egipˇcanske ˇstevke: | = 1, 2 = 10, 3 = 100, 4 = 1 000, 5 = 10 000, 6 = 100 000, 7=1 000 000. Znak za 1 je palˇcka, za 10 podkev, za 100 kos zvite vrvi, za 1 000 lotus, za 10 000 ˇcloveˇski prst, za 100 000 ˇzabji paglavec, vˇcasih kar ˇzaba, in za 1 000 000 ˇclovek, morda neko boˇzanstvo v posebni telesni pozi. Za ˇstevila od 1 do 9 so Egipˇcani zapisali ustrezno ˇstevilo znakov |, za 10-kratnike teh ˇstevil ustrezno ˇstevilo znakov 2 in tako naprej. Zaradi varˇcevanja s prostorom so znake zapisovali tudi drugega nad drugim, na primer: 22222 |||| = || = 4, |||||| = ||| = 6, 2222 = 22 = 40, 222222 = 222 = 60. Veˇcja ˇstevila so zapisovali z zdruˇzevanjem ustrezno mnogo osnovnih ˇstevk, na primer: 2|| 442||||| = 44||| = 2015. Avtor zaradi enostavnosti uporablja prvo varianto, zapis v vrsto. Tako so zapisovali naravna ˇstevila, niˇcle in negativnih ˇstevil pa ˇse niso poznali. Ulomke so zapisovali kot vsoto ulomkov s ˇstevcem 1. Ulomku s ˇstevcem 1 glede na deˇzelo, v kateri so ga uporabljali, obiˇcajno pravimo egipˇcanski ulomek. Pri takem ulomku so Egipˇcani pod znak r zapisali imenovalec. Za ulomek 2/3 so imeli poseben simbol, vˇcasih tudi za 1/2 in 1/4. ˇ Stevilski simboli so se skozi ˇcas namreˇStevili 3,14 = 3 + 1/10 + 4/100 = c spreminjali. ˇ3 + 1/10 + 1/25 in 11/30 = 1/5 + 1/6 bi v egipˇcanski obliki zapisali takole: rrrr||| 2 22|||||, ||||| ||||||. Egipˇcanski ulomki v knjigi niso prav velikokrat zapisani v hieroglifski pi­savi, ampak s ˇcrtami nad obiˇca jnimi indijsko-arabskimi ˇstevkami, na primer 1/2 = 2, 1/123 = 123. Za poseben ulomek 2/3 uporablja zapis 3. S seˇstevanjem ˇstevil v egipˇcanskem ˇstevilskem sistemu ni posebnih teˇzav. Za mnoˇzenje pa so uporabljali princip zaporednega podva janja. Da dobimo zmnoˇzek naravnih ˇstevil a in b, zapiˇsemo a binarno: a = a0 + 2 · a1 + 22 · a2 + · · · + 2n · an. Pri tem je vsak ak bodisi 0 bodisi 1. Torej je a · b = a0 · b + a1 · (2 · b) + a2 · (22 · b) + · · · + an · (2n · b). Egipˇcani so, ne da bi vedeli za binarni zapis ˇstevil, razvili algoritem za mnoˇzenje. ˇstevila 2, ki so jih dosegli Stevilo a so zapisali kot vsoto potenc ˇz zaporednim podva janjem ˇstevila 1: (1, 2, 4, . . .). Podva jali so samo toli­kokrat, da niso presegli a. Nato so zaporedno prav tolikokrat podvo jili ˇse b: (b, 2 · b, 4 · b, . . .). Nazadnje so seˇsteli tiste ˇclene tega zaporedja, ki so na tistih zaporednih mestih v prvem zaporedju, katerih ˇcleni da jo vsoto a. Vzemimo za primer a = 19, b = 2015: (1, 2, 4, 8, 16); 19 = 1 + 2 + 16, (2015, 4030, 8060, 16120, 32240); 19 · 2015 = 2015 + 4030 + 32240 = 38285. Avtor knjige nas postopoma vodi skozi skrivnosti egipˇcanskih ˇstevil in ulomkov ter osnovnih raˇcunskih operacij z njimi. Obenem pokaˇze, da je matematika izraz kulture, ki jo uporablja. Prav tako nas sproti ob reˇse­vanju matematiˇcnih problemov opozarja na nekatere zanimive zgodovinske podatke in zgodbe iz razliˇcnih obdobij egiptovske zgodovine. Ob reˇsevanju nalog bralec nehote bolje spozna ˇzivljenje, mitologijo in druˇzbeno organizira­nost starih Egipˇcanov, njihov naˇcin kmetovanja, peko kruha in celo varjenje piva. Seveda je govor tudi o hierogli.h, geometriji, astronomiji in pirami­dah. Razen egipˇcanske matematike bralec za primerjavo spozna tudi veliko stvari o babilonski matematiki, na primer klinopisni zapis ˇstevil, ˇsestdeseti­ˇski ˇstevilski sistem in raˇcunanje v tem sistemu. Knjiga je lepo napisana in opremljena s ˇstevilnimi barvnimi slikami. Je zanimiva kombinacija matematike, zgodovine, knjiˇzevnosti (ep o Gilgameˇsu) in mitologije. Je lahko vzor za medpredmetno povezovanje. Vsebuje tudi veliko nalog za samosto jno raˇcunanje, ki bralca vzpodbuja k razmiˇsljanju. Zato ima knjiga tudi precejˇsnjo didaktiˇcno vrednost. David Reimer, avtor knjige, je izredni profesor matematike na izobra­ˇzevalni ustanovi College of New Jersey. Matematiko je ˇstudiral na Rutgers University. Leta 1996 je prejel za delo na podroˇcju diskretne matematike nagrado, imenovano George P´olya Prize. Dokazal je namreˇc van den Berg-Kestenovo domnevo. Njegovo ime nastopa tudi v van den Berg-Kesten-Reimerjevi neenakosti. Marko Razpet Marcus du Sautoy, The Music of the Primes, HarperCollins Pu­blishers, 2004, 335 strani. Izvrstno napisana knjiga na po­ljuden in privlaˇcen naˇcin obrav­nava eno na jteˇzjih ˇse nereˇsenih vpraˇsanj matematike: skrivno­stno razporeditev praˇstevil. Kljuˇc do odgovora na to vpra­ˇsanje leˇzi v slavni Riemannovi hipotezi, osrednjem problemu sodobne matematike in enem od sedmih t. i. milenijskih proble­mov; za reˇsitev vsakega od njih je razpisana nagrada milijon do­larjev. Ko so Hilberta, ki je ta problem ˇze leta 1900 uvrstil na svo j znameniti seznam 23 od­prtih problemov, vpraˇsali, ka j bi storil, ˇce bi ga oˇzivili po 500 letih, je odgovoril, da bi vpra­ˇsal, ali je ˇze kdo dokazal Ri­emannovo hipotezo. Sedmega aprila 1997 je matematiˇcni svet obkroˇzila in ˇsokirala vest, da jo je dokazal mlad .zik, ki je »v trenutku videl«, kako jo lahko dokaˇze s svo jimi bizarnimi »supersimetriˇcnimi fermionskimi bozonskimi sistemi«, a izkazalo se je, da je ˇslo za prvoaprilsko potegavˇsˇcino. Mimogrede, podobna sodobna potegavˇsˇcina je na spletu dostopen program za generiranje »matematiˇc-nih ˇclankov«, ki za videzom uˇcenih besednih zvez in sluˇca jno generiranih formul skriva popolne nesmisle, kot so npr. »topoloˇska topologija«, »semi­integrabilna kombinatorika«, ipd. Z vpraˇsanjem razporeditve praˇstevil, teh »atomov naravnih ˇstevil«, so se ukvarjali mnogi veliki matematiki. Avtor predstavi njihove prispevke k reˇsevanju te velike skrivnosti, z obilico zgodovinskih podrobnosti in anekdot pa nam jih pribliˇza tudi kot osebnosti. Matematiˇcni del knjige je predsta­vljen predvsem na ravni idej, dostikrat tudi s pomoˇcjo razliˇcnih metafor. Ne ukvarja se prav veliko s tehniˇcnimi podrobnostmi, formulami in dokazi, zato osnovno sporoˇcilo knjige naˇceloma lahko razume in usvo ji vsak dovolj zainteresiran bralec. Tako npr. Eulerja, ki mu pravi kar matematiˇcni orel, omenja med drugim v zvezi s tabelo praˇstevil, ki jih je izraˇcunal do 100 000 in ˇse malo ˇcez, ter z izrazom x2 + x + 1, katerega vrednost je praˇstevilo kar za prvih 41 naravnih ˇstevil x. Mladi Gauss je bil prvi, ki je sprevidel, da ˇce stoletja iskanja magiˇcne formule, katere vrednosti bi bila sama praˇstevila, niso rodila uspeha, potem je treba ubrati drugaˇcen naˇcin: odkril oziroma uganil je . pribliˇzno formulo .(N) = N/ ln N za ˇstevilo praˇstevil .(N), ki ne presega jo danega ˇstevila N. Ker pa tega ni znal dokazati, je bilo to odkritje zanj, ki je cenil dokaz bolj kot katerikoli matematik pred njim, tako rekoˇc brez vrednosti. Legendre je, resda neka j let kasneje, a neodvisno od Gaussa, naˇsel boljˇsi pribliˇzek N za .(N). Kot vzorec avtorjevega duhovitega, ln(N)-1.08366 metaforiˇcno obarvanega sloga navedimo le en odstavek: »Gauss je naredil pomemben psiholoˇski premik v gledanju na praˇstevila. Bilo je tako, kot bi prejˇsnje generacije posluˇsale glasbo praˇstevil noto za noto, nezmoˇzne sliˇsati celo kompozicijo. Ko se je namesto tega skoncentriral na ˇstetje, koliko je praˇstevil do danega ˇstevila, je Gauss naˇsel nov naˇcin, da je sliˇsal dominantno temo.« To glasbeno metaforo o glasbi praˇstevil avtor kasneje ˇse razvija in je nekakˇsna rdeˇca nit vse knjige. Na jodloˇcilnejˇsi korak k razumevanju razporeditve praˇstevil je storil Bern-hard Riemann, ki ga avtor knjige imenuje »Wagner matematiˇcnega sveta«. Riemannova hipoteza (iz leta 1859) pravi, da ima jo vse netrivialne niˇcle zeta funkcije . 0 1 .(s) = , ns n=1 kjer je n poljubno naravno ˇstevilo, realno komponento enako 1/2. Matema­tiki so postopoma spoznali, da prav takˇsna razporeditev niˇcel zeta funkcije v kompleksni ravnini vpliva na to, da se zdi razporeditev praˇstevil med na- ravnimi ˇstevili tako nakljuˇcna in nepredvidljiva. Riemannova hipoteza je ˇse do danes nedokazana, njen dokaz (ali ovrˇzba) pa bo pomembno prispevala k nadaljnjemu razvo ju matematike, sa j gre za enega osrednjih nereˇsenih problemov matematike. Po besedah Andrewa Wilesa nam bo reˇsitev tega problema ola jˇsala navigacijo v matematiˇcnem svetu, tako kot je reˇsitev pro­blema geografskih dolˇzin omogoˇcila raziskovalcem v 18. stoletju navigacijo v .ziˇcnem svetu. V knjigi je predstavljenih ˇse mnogo zanimivih rezultatov o praˇstevi­lih, kot npr. »praˇstevilska formula« s 26 spremenljivkami, izraz, katerega vrednost je pri kakrˇsnemkoli izboru vrednosti spremenljivk praˇstevilo, pod pogo jem, da je pozitiven. Praˇstevila, za katera so dolgo verjeli, da so, podobno kot teorija ˇstevil v celoti, le teoretiˇcno zanimiva, ima jo v sodobnem svetu tudi pomembne praktiˇcne uporabe. Tako so npr. pomembna v modernih kriptografskih sis­temih. Ta njihova uporabnost je neloˇcljivo povezana s teˇzavnostjo problema razcepitve produkta dveh velikih praˇstevil na njegova prafaktorja. ˇ Ce bi ma­tematiki naˇsli enostavno metodo za reˇsitev tega problema, bi bila internetna varnost ogroˇzena. Iz zgodbe o praˇstevilih, ki se ne omejuje zgolj na matematiˇcne rezultate, opisana so tudi ˇzivljenja mnogih znamenitih matematikov, logikov in .zikov, ki so pomembno prispevali k razumevanju praˇstevil, se lahko nauˇcimo, da proces odkrivanja novih izrekov, formul in dokazov v matematiki ni omejen le na logiko, domiselnost in znanje posameznih raziskovalcev, temveˇc je od­visen tudi od nakljuˇcij, povezanih s sreˇcanji matematikov in komunikacije med njimi (marsikatera dobra matematiˇcna ideja se utrne med pogovori ob kavi). Jasno razumevanje tega procesa prinaˇsa uvid, da bodo v prihodnje matematiˇcni izreki (ne samo o praˇstevilih, ampak v matematiki na sploh) in njihovi dokazi vse bolj kompleksni, da bo pri njihovem oblikovanju sodelo­valo vse veˇc matematikov in da bodo pri njihovem dokazovanju raˇcunalniki imeli vse pomembnejˇso vlogo (kot jo npr. ˇze ima jo pri raˇcunanju vse veˇc niˇcel zeta funkcije). Seveda pa se bodo vedno naˇsli tudi matematiki, ki bodo ra je delali sami (kot npr. Andrew Wiles, ki je dokazal Fermatov zadnji izrek). Knjiga je kratkoˇcasno branje in obenem odliˇcna motivacija za nadaljnji ˇ ˇstudij tega podroˇcja. Studentje ali nadarjeni dijaki bi lahko o posameznih poglavjih ali temah iz nje pripravili zanimive povzetke, plakate ali semi­ˇ narje. Se veˇc, glede na silno zanimivost teme, ki tako ali drugaˇce uga ja vsem, predlagam, da slovenski matematiki razglasimo en dan v letu za dan praˇstevil, morda kar ro jstni dan Jurija Vege, 23. marec. Jurij Koviˇc VESTI LETNO KAZALO Obzornik za matematiko in .ziko 61 (2014) ˇstevilke 1–6, strani 1–240 ˇ Clanki — Articles Znaˇcilne toˇcke trikotnika kot funkcije (Bo jan Hvala) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–14 Vrnitev Bohrovega modela (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15–20 Osnove kvantnega raˇcunalniˇstva, 2. del (Matija Pretnar) . . . . . . . . . . . . . . . 41–51 Homopolarna indukcija (Robert Hauko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52–60 Kratek vpogled v zgodovino integracije (Marjan Jerman) . . . . . . . . . . . . . . 81–97 Vegovi profesorji in njegova ocena pri matematiki (Stanislav Juˇzniˇc) . . . 98–103 Poldrugo stoletje elektromagnetnih valov (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . 104–112 Kako iˇsˇce Google? (Marjeta Kramar Fijavˇz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121–131 Nekatere zgodovinske konstrukcije pravilnega sedemkotnika (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132–145 Zapleti z gravitacijsko konstanto (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146–152 Kako predstaviti Casimirjev tlak? (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153–159 Problem umetnostne galerije (Aleksandra Franc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161–172 Higgsov bozon (Tomaˇz Podobnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173–181 O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praˇstevili (Aleksander Simoniˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201–212 Nobelova nagrada za .ziko 2014 in revolucija v osvetljevanju (Marko Zgonik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213–219 Franc Vitez Moˇcnik: Ob 200-letnici njegovega ro jstva (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220–229 ˇ Sola — School Petdeset let »Feynmanovih predavanj« (Janez Strnad) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21–23 http://www.dmfa-zaloznistvo.si/ http://www.presek.si/ Vesti — News Gospod Davorin TomaˇziˇCadeˇsa) . . . . . . . . . . . . . . . . 35–37 c (Andrej ˇz, Peter LegiˇProf. dr. Peter ˇsa) 38–III Semrl novi predsednik ILAS (Peter Legiˇ. . . . . . . . . . . . . Obzornikovih ˇsestdeset letnikov (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–75 Janez Strnad – 80-letnik (Aleˇs Mohoriˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76–77 Zoisove nagrade in priznanja 2013 (Aleˇs Mohoriˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78–79 Vabilo (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–VII Obvestilo (Andrej Likar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Strokovna ekskurzija DMFA 2014 na Goriˇsko (Mitja Rosina) . . . . . . . . . . VII Dr. Jernej Barbiˇc med letoˇsnjimi Sloanovimi nagra jenci (Boˇstjan Kuzman) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119–XI Ka j je novega v Hiˇsi poliedrov? (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–XV Strokovno sreˇcanje in 66. obˇcni zbor DMFA (Nada Razpet in Janez Kruˇsiˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182–186 Prejemniki priznanj DMFA (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187–190 Devetdeset let profesorja Josipa Grasselija (Milan Hladnik) . . . . . . . . . . . . 191–194 Matematiˇcne novice (Peter Legiˇsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195–IXX Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII Novi ˇclani v letu 2014 (Tadeja ˇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sekoranja) XXIII Anagram (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII Nove knjige — New books John A. Adam, prevod Damjana Kokol Bukovˇsek, Matematiˇcni sprehodi v naravo (Peter Legiˇsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24–29 Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, The Secrets of Triangles (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–33 Lessons in Play, An Introduction to Combinatorial Game Theory (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61–64 Ivar Ekeland, The Best of All Possible Worlds, Mathematics and Destiny (Peter Legiˇsa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113–118 Matematika I, prvi del – preslikave, ˇstevila in vektorski prostori (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230–231 Project Origami, Activities for explorating mathematics (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–233 Count like an egyptian, A hands-on introduction to ancient mathematics (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234–236 The Music of the Primes (Jurij Koviˇc) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–238 http://www.obzornik.si/ Pisma bralcev — Letters Opraviˇcilo (Peter Prelog) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–35 NOVI ˇSTVA V LETU 20141 CLANI DRUˇ V letu 2014 se je v Druˇstvo matematikov, .zikov in astronomov Slovenije vˇclanilo 13 novih ˇclanov: 2410. Renata Babiˇc 2411. Marcel ˇ Campa 2412. Aljoˇsa Erman 2413. Blaˇz Koroˇsa 2414. Blaˇz Kovaˇciˇc 2415. Jernej Kovaˇciˇc 2416. Lara Kozarski 2417. Maja Remˇskar 2418. Jonathan Skowera 2419. Aleˇs Toman 2420. Ciril Velkovrh 2421. Nina Zupanˇciˇc ˇ 2422. Neˇza Zager Korenjak Tadeja ˇSekoranja Anagram Ali je res, da IMA TRIKOTNIK MOZAIK, BOZONI FAZE? Odgovor na vpraˇsanje morda na jdete v glasilu Druˇstva matematikov, .zikov in astronomov Slovenije. Kako se ˇse imenuje? Marko Razpet http://www.dmfa.si/ 1Novi ˇclani DMFA Slovenije za leto 2013 so bili objavljeni v Obzorniku za matematiko in .ziko 60 (2013) 6, stran XXIII. OBZORNIK ZA MATEMATIKO IN FIZIKO LJUBLJANA, NOVEMBER 2014 Letnik 61, številka 6 ISSN 0473-7466, UDK 51 + 52 + 53 VSEBINA ˇ Clanki Strani O neki zvezi med Riemannovo funkcijo zeta in praštevili (Aleksander Simoni ˇ201–212 c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nobelova nagrada za .ziko 2014 in revolucija v osvetljevanju (Marko Zgonik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213–219 Franc Vitez Mo ˇ cnik: Ob 200-letnici njegovega rojstva (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220–229 Nove knjige Matematika I, prvi del – preslikave, števila in vektorski prostori (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230–231 Project Origami, Activities for explorating mathematics (Nada Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232–233 Count like an egyptian, A hands-on introduction to ancient mathematics (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234–236 The Music of the Primes (Jurij Kovi c)ˇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236–238 Vesti Letno kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII Novi ˇXXIII clani v letu 2014 (Tadeja Šekoranja) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anagram (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII CONTENTS Articles Pages On some relation between the Riemann zeta function and primes (Aleksander Simoni ˇ201–212 c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nobel prize in physics 2014 and lighting revolution (Marko Zgonik) . . . . 213–219 Franc Von Mo ˇ cnik: On the 200th anniversary of his birth (Marko Razpet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220–229 New books . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230–238 News . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239–XXIII Na naslovnici: Franc Mo ˇcunanje na pa­