i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 10 — #1 i
i
i
i
i
i
OBIČAJNI IN EKSOTIČNI HADRONI
SAŠA PRELOVŠEK KOMELJ
Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani
Odsek za teoretično fiziko, Institut Jožef Stefan, Ljubljana
PACS: 12.38.Gc, 14.40.Pq, 14.40.Rt
Običajni hadroni so barioni in mezoni. Prvi so sestavjeni iz treh valenčnih kvarkov
(qqq), drugi pa iz valenčnega kvarka in antikvarka (qq̄). V zadnjem desetletju so ekspe-
rimentalno prvič opazili zanimiva stanja, ki bi lahko ustrezala eksotičnim tetrakvarkom
(q̄qq̄q) in pentakvarkom (qqqqq̄). Posvetili se bomo vprašanju, kaj vemo danes o običajnih
in eksotičnih hadronih na podlagi fundamentalne teorije – kromodinamike. To vpraša-
nje ni preprosto, ker močna sila v hadronih ne dovoljuje perturbativnega teoretičnega
pristopa.
CONVENTIONAL AND EXOTIC HADRONS
Conventional hadrons are baryons (qqq) and mesons (qq̄). Experiments have recently
found candidates for exotic tetraquarks (q̄qq̄q) and pentaquarks (qqqqq̄). This article
sheds light on what is known about the conventional and the exotic hadrons based on the
fundamental theory of strong interactions – Quantum ChromoDynamics (QCD). This is
not a simple problem, since the strong force in hadrons does not allow the perturbative
theoretical treatment.
Uvod
Hadroni so sestavljeni iz kvarkov, za slednje pa danes velja, da so osnovni
nedeljivi delci. Običajna narava je sestavljena iz kvarkov u in d, saj ob-
stajata tako v protonu (uud) kot v nevtronu (ddu). Drugi štirje kvarki
s, c, b, t so težji in živijo le kratek čas, potem ko jih ustvarijo pri različnih
eksperimentih.
Kvarke v hadrone veže močna sila, ki je ena od štirih osnovnih sil. Močna
sila veže tudi protone in nevtrone v jedra, kjer prevlada nad odbojno ele-
ktrično silo med pozitivno nabitimi protoni. Na razdaljah, ki so večje od
velikosti jeder, je vpliv močne sile zanemarljiv. Prenašalci močne sile so
brezmasni gluoni, podobno kot so prenašalci elektromagnetne sile brezmasni
fotoni. Osnovna teorija močne interakcije med kvarki in gluoni se imenuje
kvantna kromodinamika.
Skušali bomo odgovoriti na več vprašanj. Vprašali se bomo, ali sta masi
protona in nevtrona le merljivi količini, ali ju lahko izračunamo v kromodi-
namiki? Predstavljata namreč več kot 99 % mase vidnega vesolja. Prispevek
mirovnih mas treh valenčnih kvarkov k masi protona in nevtrona je manǰsi
10 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 11 — #2 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
od 3 %; za ta prispevek je odgovoren Higgsov mehanizem, ki daje maso
kvarkom. Velika večina mase protona in nevtrona pa je posledica vezavne
energije kvarkov zaradi močne interakcije, ki je tema tega prispevka. Ali
lahko mase preostalih mezonov in barionov izračunamo s pomočjo kromo-
dinamike? Ali iz kromodinamike sledi obstoj eksotičnih tetrakvarkov in
pentakvarkov? In naposled – zakaj ta vprašanja niso bila že davno rešena?
Problem pri teoretičnem študiju hadronov
Primerjajmo kromodinamiko z elektrodinamiko, kjer so bila analogna vpra-
šanja že davno rešena. Elektrodinamika je teorija, ki opisuje fotone oziroma
elektromagnetno valovanje ter nabite delce. Sile temeljijo na enem samem
vozlǐsču na sliki 1a. Vozlǐsče je točka Feynmanovega diagrama, kjer se stika
več linij; v elektrodinamiki predstavlja interakcijo elektrona s fotonom. Veli-
kost interakcije podaja osnovni električni naboj e0 oziroma α = e
2
0/(4π0~c),
ki ima pri nizkih energijah1 vrednost približno α ' 1/137.
Slika 1. Vozlǐsča v elektrodinamiki (a) in kromodinamiki (b) ter odvisnost vozlǐsča
α2s = g
2
s/(4π) od (Qc)
2 = (pc)2 − E2, kjer sta p in E gibalna količina in energija fotona
oziroma gluona [11] (c). Oznake: foton γ, elektron e, kvark q, gluon G.
Kromodinamika je teorija, ki opisuje gluone in kvarke ter interakcije med
njimi zaradi tako imenovanega barvnega naboja. Vozlǐsče med kvarkom in
gluonom je sorazmerno s sklopitvijo gs, kot kaže slika 1b. Gluoni so barvno
nabiti, zato interagirajo tudi med seboj (fotoni so električno nevtralni in
1Efektivna skopitev e0(Q
2) med fotonom in elektronom pravzaprav pomeni vsoto vseh
Feynmanovih diagramov, ki vodijo do interakcije elektron-elektron-foton. Izkaže se, da
e0(Q
2) rahlo raste z naraščajočim Q, ki je definiran na sliki 1. To je povezano s tvorbo
virtualnih parov e+e− in senčenjem naboja elektrona. Iz analognih razlogov se spreminja
tudi efektivna močna sklopitev gs(Q
2), le da ta z naraščajočo energijo občutno pada.
10–17 11
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 12 — #3 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
vozlǐsča med fotoni ni). Vozlǐsča med gluoni so odgovorna za naraščanje
sklopitve gs(Q
2) s padajočo gibalno količino gluonov Q, kot prikazuje slika
1c. S padajočo energijo αs raste in pri hadronskih energijah pod GeV na-
raste na vrednost blizu αs ' 1.
Elektro-magnetno interakcijo med dvema elektronoma na sliki 2 lahko
razvijemo po številu vozlǐsč, kjer Feynmanov diagram z dodatnim parom
vozlǐsč e0 prispeva k verjetnostni amplitudi α ' 1/137-krat manj. V per-
turbativnem pristopu lahko torej želeno natančnost dosežemo z izračunom
nekaj najnižjih redov po α. Pri interakcijah med dvema kvarkoma pa dia-
gramov na sliki 2 z več vozlǐsči gs ne moremo zanemariti, ker pri hadronskih
energijah velja αs ' 1. Potreben je neperturbativen pristop, ki sešteje ne-
skončno vrsto diagramov.
Slika 2. Feynmanovi diagrami, ki prikazujejo perturbativni razvoj po številu vozlǐsč za
interakcijo med elektronoma (levo) in kvarkoma (desno).
Kromodinamika na mreži
Neperturbativni pristop temelji na popotnem integralu. V kvantni mehaniki
je pričakovana vrednost za propagacijo delca iz točke ~x1 ob času t1 do točke
~x2 ob času t2 sorazmerna z∫
D~x(t) eiS/~ , S[~x(t)] =
∫ t2
t1
Ldt , L[~x(t)] = 12m~̇x
2 − V (~x). (1)
Funkcionalni integral D~x(t) pomeni vsoto vseh poti ~x(t) ob zahtevi ~x(t1) =
~x1, ~x(t2) = ~x2, kar prikazuje slika 3a. Vsaka pot je utežena z eksponentnim
faktorjem, ki je odvisen od klasične akcije S[~x(t)] za to pot. V klasični
mehaniki potuje delec po poti z najmanǰso akcijo.
Teoretično ogrodje za kromodinamiko (kot tudi za elektrodinamiko) je
kvantna teorija polja, ki temelji na kvarkovskih poljih q(~x, t) = q(x) in
gluonskih poljih G(~x, t) = G(x). Polje je fizikalna količina, ki ima vrednost v
vsaki točki prostor-časa x podobno kot elektromagnetno polje. Pričakovano
vrednost neke količine C(q,G) v kvantni teoriji polja izrazimo s popotnim
12 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 13 — #4 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
integralom
〈C〉 ∝
∫
Dq(x) Dq̄(x) DG(x) C(q,G) eiS/~ , S =
∫
d4x LQCD[q(x), G(x)].
(2)
Funkcionalni integral tu pomeni vsoto po vseh konfiguracijah (oblikah) kvar-
kovskih in gluonskih polj, ki se razpenjajo nad štirirazsežnim prostor-časom.
Primer konfiguracije polj je prikazan na sliki 3b, funkcionalni integral pa
narekuje vsoto po vseh konfiguracijah. Prispevek vsake konfiguracije je ute-
žen z eiS/~ kot v kvantni mehaniki, akcija S pa je odvisna od kvarkovske
in gluonske konfiguracije, kot narekuje Lagrangeeva gostota kromodinamike
LQCD[q(x), G(x)] (podrobnega izraza ne bomo potrebovali).
Analitičen izračun (2) je mogoč le za poenostavljene teorije, nikakor pa
ne za kromodinamiko. V kromodinamiki na mreži popotni integral (2) izra-
čunamo numerično za končno in diskretno mrežo točk prostor-časa na sliki
3c. Mrežni razmik je običajno okoli a ' 0,05 fm, velikost mreže pa 3−6 fm,
kar zaobjame večino hadronov. Seštejemo po končnem naboru gluonskih
in kvarkovskih konfiguracij najrazličneǰsih oblik; primer je prikazan na sliki
3b. Ta pristop se je izkazal kot najzanesljiveǰsa neperturbativna metoda
in se danes na široko uporablja2 za kromodinamiko ter tudi druge kvantne
teorije polja, kjer perturbativni pristop ni mogoč.
Slika 3. Popotni integral v kvantni mehaniki (a); primer kvarkovskih in gluonskih kon-
figuracij pri popotnem integralu v kvantni teoriji polja (b); mreža (c).
Običajni stabilni hadroni
Najprej so bile na mreži izračunane mase hadronov, ki ne razpadejo prek
močne interakcije. Ti hadroni so na mreži stabilni, saj popotni integral (2)
vsebuje le močno interakcijo, ne pa tudi elektromagnetne in šibke. Da bi s
tem popotnim integralom izluščili maso hadrona, izračunamo pričakovano
vrednost 〈C〉 za fizikalno količino, ki jo imenujemo korelacijska funkcija C(t).
Le-ta ustreza verjetnostni amplitudi, kjer kreiramo stanje s kvantnimi števili
2Baza http://arxiv.org/archive/hep-lat je posvečena teoriji polja na mreži.
10–17 13
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 14 — #5 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
hadrona ob času t = 0 ter stanje anihiliramo ob času t. Za proton na primer
kreiramo uud s spinom 1/2 in pozitivno parnostjo, za pion pa ud̄ s spinom
0 in negativno parnostjo. Časovno odvisnost C(t) lastnega stanja z energijo
E = (m2Hc
4 + ~p2c2)1/2 v kvantni mehaniki podaja
C(t) ∝ e−iEt/~ = e−EtE/~ → C(tE , ~p = 0) ∝ e−mHc
2 tE/~, (3)
na mreži pa uporabljamo evklidski čas tE = it, zato korelacijske funkcije pa-
dajo eksponentno s časom. Dejansko v C(t) propagira linearna kombinacija
lastnih stanj z izbranimi kvantnimi števili. S prilagajanjem izračunane 〈C〉
(2) z izrazom C(tE) ∝
∑
Ane
−EntE/~ izluščimo lastne energije En oziroma
mase mHn hadronov z danimi kvantnimi števili.
Slika 4. Mase čarmonijevih mezonov c̄c: izračunane [10] (križci) in izmerjene [11] (črte).
Stanja z maso nad okoli 3900 MeV/c2 razpadajo prek močne interakcije, zato pri teh
energijah rezultati konvencionalne metode [10] niso zanesljivi.
Tako so bile s kromodinamiko na mreži določene mase vseh barionov in
mezonov, ki so stabilni glede močne interakcije. Edini vhodni podatek so
parametri, ki nastopajo v LQCD, torej mase kvarkov ter močna sklopitvena
konstanta gs. Najnatančneǰsi izračun mase protona in nevtrona vodi do
mp ' mn = 936±25±22 MeV/c2 [6] in mn−mp = 1.5±0.16±0.23 MeV/c2
[5]. Oboje se znotraj napake ujema z izmerjenimi vrednostmi, pri čemer je
prispevek mase treh valenčnih kvarkov manǰsi od 20 MeV/c2. Izračunane
mase čarmonijevih mezonov c̄c z različnimi kvantnimi števili [10], prikazuje
jih slika 4, se prav tako razmeroma dobro ujemajo z eksperimentom [11].
Z merjenji se skladajo tudi rezultati za mase vseh drugih hadronov, ki ne
razpadajo prek močne interakcije, na primer Λ, Σ, Ω, K, D, B, Ds, Bs, Bc,
b̄b, . . .
14 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 15 — #6 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
Hadroni, ki močno razpadajo
Večina hadronov pa je hadronskih resonanc, ki se tvorijo pri sipanju dveh
hadronov H1H2 → H → H1H2 in potem hitro razpadejo prek močne inte-
rakcije. V eksperimentu jih opazijo pri merjenju preseka σ(E) za sipanje
dveh hadronov H1H2 v odvisnosti od njune težǐsčne energije E. Sipalni
presek σ je količina, ki pove, kolikšen delež curka hadronov H2 se bo pri
vpadu na H1 odklonil. Hadronska resonanca se kaže kot vrh v preseku pri
E = mHc
2, njen razpadni čas pa je s širino vrha Γ povezan prek τ = ~/Γ.
Primeri σ(E) za eksotične resonance so prikazani na sliki 5. Mase hadron-
skih resonanc ne moremo izračunati, kot je navedeno v preǰsnjem poglavju.
Namesto tega na mreži simuliramo sipanje H1H2, izluščimo sipalni presek
σ(E) v odvisnosti od težǐsčne energije E ter od tod maso in razpadni čas
resonance. Simulacija sipanja na mreži je velik izziv, kljub temu pa smo ne-
davno v pionirskih simulacijah tako prvi izluščili konvencionalne resonance
s kvarkom s [16] in kvarkom c [10, 8].
Slika 5. Vrh v preseku pri težǐsčni energiji J/ψ π+ okoli mJ/ψπ ' 3.9 GeV nakazuje
na možnost obstoja kratkoživega tetrakvarkovskega stanja Z+c (3900) [4] (levo). Vrh pri
težǐsčni energiji J/ψ p okoli mJ/ψp ' 4.4 GeV pa na morebiten obstoj pentakvarkovskega
stanja P+c (4450) [9] (desno). Oznake delcev: p = proton, J/ψ = c̄c, π
+ = d̄u.
Eksotični hadroni
Vsi opaženi eksotični hadroni razpadajo prek močne interakcije, zato je nji-
hov teoretični opis velik izziv, dokončnih odgovorov na nekatera vprašanja
pa še ni.
Do razcveta spektroskopije eksotičnih hadronov je prǐslo leta 2003, ko so
v eksperimentu Belle odkrili čarmoniju podobno stanje X(3872) [2]. Stanje
10–17 15
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 16 — #7 i
i
i
i
i
i
Saša Prelovšek Komelj
je morda nenavadna hadronska molekula D0D̄∗0 = (ūc)(c̄u), saj njegova
masa skoraj točno sovpada z mD0 +mD̄∗0 , tej hipotezi pa so v prid še druge
opažene lastnosti. Prvi dokaz za obstoj tega stanja v kromodinamiki na
mreži je bil predstavljen v [14], kjer smo simulirali sipanje D0D̄∗0. Izluščili
smo σ(E) in ugotovili, da obstaja vezano stanje D0D̄∗0 malce pod maso
mD0 +mD̄∗0 . Prav take lastnosti ima opaženo stanje X(3872).
Leta 2013 so v eksperimentih BESIII and Belle opazili kandidata za te-
trakvarkovsko stanje Z+c (3900) [4, 3], ki ne more biti običajen mezon q̄1q2.
To stanje razpada v J/ψ π+, zato naj bi bilo sestavljeno iz kvarkov c̄cd̄u
kot razpadna produkta J/ψ = c̄c in π+ = d̄u. Eksperimentalna indikacija
za obstoj kratkoživega stanja c̄cd̄u je resonančni vrh v preseku na sliki 5,
obstajajo pa še druge razlage za opažen vrh. Po eksperimentalnem odkritju
smo prvi določili lastna stanja z relevantnimi kvantnimi števili na mreži. V
zanimivem energijskem območju smo našli le pričakovana lastna stanja dveh
hadronov (J/ψ π+, DD̄∗, . . . ), dodatnega lastnega stanja, ki bi ustrezalo
resonanci Z+c (3900), pa nismo našli [15, 13]. Dokončnega odgovora o izvoru
vrha na sliki 5 še ni, vendar naši rezultati kažejo na to, da vrh najverjetneje
ni posledica kratkožive resonance s tetrakvarkovsko strukturo, temveč ne-
česa drugega. Ker je vrh opažen malce nad mD +mD̄∗ , je morda posledica
močne sklopitve med kanaloma J/ψ π+ in DD̄∗, kot je mogoče sklepati tudi
na osnovi kasneǰse simulacije skupine HALQCD [7].
Dve morebitni stanji s tetrakvarkovsko strukturo b̄bd̄u je opazil eksperi-
ment Belle leta 2011 [1]. Prva preliminarna indikacija za morebiten obstoj
takega stanja na mreži temelji na izračunu potenciala V (r) za sistem v od-
visnosti od razdalje r med b in b̄ v limiti mb →∞ [12].
LHCb je odkril kandidata za pentakvarkovsko stanje P+c (4450), ki ne
more biti običajen barion q1q2q3. Stanje se kaže kot vrh v preseku za sipanje
protona in piona na sliki 5 [9]. Če je vrh posledica obstoja kratkoživega
P+c (4450), potem mora vsebovati kvarke uudud̄ kot razpadna produkta p
(uud) in π+ (ud̄). Tudi v tem primeru so mogoče manj eksotične razlage za
obstoj vrha. Simulacija opaženih pentakvarkovskih stanj na mreži je velik
izziv, zato bomo morali na rezultate prvih simulacij in na odgovore počakati
še nekaj časa.
Sklep
V eksperimentih so nedavno opazili hadrone, ki morda predstavljajo nena-
vadne tetrakvarke ali pentakvarke. Teoretični študij hadronskih lastnosti
zahteva neperturbativno obravnavo. Najzanesljiveǰsi pristop je kromodina-
mika na mreži, ki temelji na numeričnem izračunu popotnega integrala. Ta
16 Obzornik mat. fiz. 63 (2016) 1
i
i
“Prelovsek” — 2016/5/12 — 12:14 — page 17 — #8 i
i
i
i
i
i
Običajni in eksotični hadroni
pristop vodi do prave mase protona, nevtrona in vseh drugih hadronov, ki
ne razpadajo prek močne interakcije. V zadnjih letih se je izkazal za uspe-
šnega tudi pri sipanju dveh hadronov, kar vodi do informacije o nestabilnih
hadronskih resonancah. Privedel je tudi že do nekaj delnih odgovorov na
morebiten obstoj opaženih stanj s tetrakvarkovsko strukturo.
LITERATURA
[1] Belle Collaboration, I. Adachi, Observation of two charged bottomonium-like reso-
nances, arXiv:1105.4583.
[2] Belle Collaboration, Observation of a narrow charmoniumlike state in exclusive B →
KππJ/ψ decays, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 262001.
[3] Belle Collaboration, Z. Liu et al., Study of e+e− → π+π−J/ψ and Observation of
a Charged Charmonium-like State at Belle, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 252002,
arXiv:1304.0121.
[4] BESIII Collaboration, M. Ablikim et al., Observation of a charged charmoniumlike
structure in e+e− → ππJ/ψ at
√
s = 4.26 GeV, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) 252001,
arXiv:1303.5949.
[5] BMW collaboration, S. Borsanyi et al., Ab initio calculation of the neutron-proton
mass difference, Science 347 (2015) 1452–1455, arXiv:1406.4088.
[6] BMW collaboration, S. Dürr et al., Ab-Initio Determination of Light Hadron Masses,
Science 322 (2008) 1224–1227, arXiv:0906.3599.
[7] HALQCD Collaboration, Y. Ikeda et al., Fate of the Tetraquark Candidate Zc(3900)
in Lattice QCD, arXiv:1602.03465.
[8] C. B. Lang, L. Leskovec, D. Mohler in S. Prelovsek, Vector and scalar charmonium
resonances with lattice QCD, arXiv:1503.05363.
[9] LHCb Collaboration, R. Aaij et al., Observation of J/ψp Resonances Consistent with
Pentaquark States in Λ0b → J/ψKp Decays, Phys. Rev. Lett. 115 (2015), 072001,
arXiv:1507.03414.
[10] D. Mohler, S. Prelovsek in R. Woloshyn, D Pi scattering and D meson resonances
from lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D87 (2013) 034501, arXiv:1208.4059.
[11] Particle Data Group Collaboration, K. A. Olive et al., Review of Particle Physics,
Chin. Phys. C38 (2014) 090001.
[12] A. Peters, P. Bicudo, K. Cichy in M. Wagner, Investigation of BB̄ four-quark systems
using lattice QCD, arXiv:1602.07621.
[13] S. Prelovsek, C. B. Lang, L. Leskovec in D. Mohler, Study of the Z+c channel using
lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D91 (2015), 014504, arXiv:1405.7623.
[14] S. Prelovsek in L. Leskovec, Evidence for X(3872) from DD∗ scattering on the lattice,
Phys. Rev. Lett. 111 (2013) 192001, arXiv:1307.5172.
[15] S. Prelovsek in L. Leskovec, Search for Z+c (3900) in the 1
+− Channel on the Lattice,
Phys. Rev. Lett. B727 (2013) 172, arXiv:1308.2097.
[16] S. Prelovsek, L. Leskovec, C. Lang in D. Mohler, Kπ scattering and the K∗ decay
width from lattice QCD, Phys. Rev. Lett. D88 (2013), 054508, arXiv:1307.0736.
10–17 17