6 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 6 • model pajčevine • kako razložiti relativnost? • prehod venere čez sonce in zgodovina meritev astronomske enote • predstavitev grafa s seznamom sosedov in pregled v širino Ugotavljanje resnice Pri raziskovanju več pomembnih primerov kršitev človekovih pravic in volitvenih prevar so si preisko- valci pomagali z matematiko. Poglejmo jih nekaj: Volitve v Iranu leta 2009 Benfordov zakon pravi, da prve števke naključnih števil, v nasprotju z našimi pričakovanji, niso poraz- deljene enakomerno. Manjše števke, na primer 1, se pojavljajo na prvem mestu naključnih števil veliko bolj pogosto kot večje, npr. 9. Tako so Benfordov zakon in dodatni statistični testi pokazali, da so re- zultati volitev v Iranu leta 2009 zelo verjetno pona- rejeni. Etnično čiščenje Slobodan Milošević je na sojenju v Haagu trdil, da je množičen izgon Albancev iz Kosova posledica NATO- vega bombardiranja in dejavnosti Albanske vojske za osvoboditev Kosova, ne pa njegovih ukazov. Sku- pina strokovnjakov je zbrala podatke o tokovih be- guncev, testirala te hipoteze in z rezultati v celoti ovrgla Miloševićeve trditve. Izginotja v Gvatemali S statistiko so si pomagali tudi pri zbiranju infor- macij o približno 200 000 mrtvih in izginulih ter pri analizi več kot 80 milijonov strani dokumentov v arhivu državne policije. Metode vzorčenja so raz- iskovalcem, brez natančnega branja vsake posame- zne strani številnih dokumentov, omogočile precej natančen vpogled v dogajanje samo. Družine pogre- šanih so tako končno prišle do dolgo želenih doka- zov o usodi svojih najbližjih, raziskovalci pa so od- krili vzorce in motive za ugrabitve in umore nedol- žnih. Tragično je, da so izginili ljudje, a so vsaj dej- stva o njihovem izginotju sedaj razkrita in ostajajo na očeh javnosti za vedno. Več o tej temi si lahko preberete v: Killings and Refugee Flow in Kosovo, March-June 1999, Ball et al., 2002. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo objavlja Ameriško ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1 Ugotavljanje resnice Pri raziskovanju več pomembnih primerov kršitev človekovih pravic in volitvenih preva so si preisko- valci p magali z matema iko. Poglejmo jih nekaj: Volitve v Iranu leta 2009 Benfordov zakon pravi, da prve števke naključnih števil, v nasprotju z našimi pričakovanji, niso poraz- deljene enakomerno. Manjše števke, a pr mer 1, se pojavljajo na prvem mestu naključnih števil veliko b lj pog sto kot večje, npr. 9. Tako so Benfordov zakon in dodatni statistični testi pokazali, da so re- ultati volitev v Iranu leta 2009 zelo verjetno p na rejeni. Etnično čiščenje Slobodan Miloš vić je na sojenju v Haagu trdil, da je množičen izg n Albancev iz Koso a posledica NATO- vega bombardiranja in dejavnosti Albanske vojske za osv boditev Kosova, n pa njegovih ukazov. Sku- pina strokovnjak v je zbrala podatke o tok ih be guncev, testirala te hipoteze in z rezultati v celoti ovrgla Miloševićev trditv . Izginotja v Gvat mali S statistiko so si pomagali tudi pri zbiranju infor- macij o približno 200 000 mrtvih in izgin lih ter pri analizi več k t 8 milijonov stra i dokumentov v arhivu državne policije. Metode vzorčenja so raz- iskovalcem, brez natančnega branja vsake posame zne strani številnih dokumentov, omogočile prec j natančen vpogled v dogajanje sam . Družin ogr - š nih so tak končno prišle do dolgo žele ih doka zov o usodi svojih ajbližjih, razisk valci pa so od krili vzorce in motive za ugrabitve in umore nedol žnih. Tragično je, da so izginili ljudje, a s vsaj ej stva o njihovem izginotju sedaj razkrita in ostajajo na očeh avnosti za vedno. Več o tej temi si lahk preberete v: Killings and Refugee Flow in Kosovo, March-June 1999, Ball et al., 2002. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo obja lja Ameriš o ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.ams.org/mathmoments. 1 Ugotavljanje resnice Pri raziskovanju več pomembnih primerov kršitev človekovih pravic in volitvenih preva so si preisko- valci p magali z mat ma iko. Poglejmo jih ne aj: Volitve v Iranu leta 2009 Benfordov zakon pravi, da prve števke naključnih števil, v nasprotju z našimi pričakovanji, niso poraz- d ljene enakomerno. Manjše števke, a pr mer 1, se pojavljajo na prvem mestu naključnih števil veliko b pog sto kot večje, pr. 9. Tako so Benfordov zakon in dodatni statistični testi pokazali, da so re- u tati v li ev v Iranu leta 2009 zelo verjetno p na rejeni. Etnično čišč nje Slobodan Miloš vić je na sojenju v Haagu trdil, da je m ožičen izg n Albancev iz Koso a posledica NATO- vega bombardiranja i dejav osti Albanske vojsk za sv boditev Kosova, n pa njegovih ukazov. Sku pin strokovnjak v je zbrala p datke o tok ih be guncev, testirala te hipoteze in z rezultati v celoti ovrgla Miloševićev trditv . Izginotja v Gv t mali S statistik so si pomagali tudi pri zbiranju infor- macij o približno 200 000 mrtvih in izgin lih ter pri nalizi več k t 8 milijonov st a i dokumentov v rhivu d žavne policije. Metode vzorčenja so raz- iskovalcem, brez natančnega branja vsake posame zne strani številnih dokumentov, omogočile prec j natančen vpogled v dogajanje sam . Družin ogr š nih so tak ko čno prišle do dolgo žele ih doka zov o usodi svojih ajbližjih, razisk valci pa s od kril vz rce in motive za ugrabitve in umore nedol žnih. Tragično je, da so zginili ljudje, a s vsaj ej stva o njihovem izginotju sedaj razkrita in ostajajo na očeh avnosti za vedno. Več o tej t i si lahk preberete v: K llings and Refugee Flow in Kosovo, March-June 1999, Ball et al., 2002. Slika 1 POJASNILO: Gornji prispevek je prevod iz rubrike „The Mathematical Moments“, ki jo obja lja Ameriš o ma- tematično društvo AMS na spletni strani www.a s.org/mathmoments. 1 Ugotavl janje resnice Presek list za mlade matematike, fizike, astronome in računalnikarje letnik 39, šolsko leto 2011/2012, številka 6 Uredniški odbor: Vladimir Batagelj, Tanja Bečan (jezikovni pregled), Mojca Čepič, Mirko Dobovišek, Vilko Domajnko, Bojan Golli, Andrej Guštin (astronomija), Marjan Jerman (matematika), Martin Juvan, Maja Klavžar, Damjan Kobal, Lucijana Kračun Berc (tekmovanja), Andrej Likar (fizika), Matija Lokar, Aleš Mohorič (odgovorni urednik), Marko Petkovšek (glavni urednik), Marko Razpet, Andrej Taranenko (računalništvo), Marija Vencelj, Matjaž Vencelj, Matjaž Zaveršnik. Dopisi in naročnine: DMFA–založništvo, Presek, Jadranska ulica 19, p. p. 2964, 1001 Ljubljana, telefon (01) 4766 553, 4232 460, telefaks (01) 4232 460, 2517 281. Internet: www.presek.si Elektronska pošta: presek@dmfa.si Naročnina za šolsko leto 2011/2012 je za posamezne naročnike 16,69 eur – posamezno naročilo velja do preklica, za skupinska naročila učencev šol 14,61 eur, posamezna številka 3,76 eur, dvojna številka 6,89 eur, stara številka 2,71 eur, letna naročnina za tujino pa znaša 25 eur. Transakcijski račun: 03100–1000018787. Devizna nakazila: SKB banka d.d. Ljubljana, Ajdovščina 4, 1513 Ljubljana, swift (bic): SKBASI2X, iban: SI56 0310 0100 0018 787. List sofinancirata Javna agencija za raziskovalno dejavnost Republike Slovenije ter Ministrstvo za šolstvo in šport Založilo DMFA–založništvo Tehnična urednica Tadeja Šekoranja Oblikovanje in ilustracija Polona Šterk Košir Tisk Tiskarna Pleško, Ljubljana Naklada 1600 izvodov © 2012 Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije – 1867 Razmnoževanje ali reproduciranje celote ali posameznih delov brez poprej šnjega dovoljenja založnika ni dovoljeno. Poštnina plačana pri pošti 1102 Ljubljana Presek objavlja poljudne in strokovne članke iz matemati- ke, fizike, astronomije in računalništva. Poleg člankov objavlja prikaze novih knjig s teh področij in poročila z osnovnošolskih in srednješolskih tekmovanj v matematiki in fiziki. Prispevki naj bodo zanimivi in razumljivi širšemu krogu bralcev, učen- cem višjih razredov osnovnih šol in srednješolcem. Članek naj vsebuje naslov, ime avtorja (oz. avtorjev) in se- dež institucije, kjer avtor(ji) dela(jo). Slike in tabele, ki naj bodo oštevilčene, morajo imeti dovolj izčrpen opis, da jih lahko veči- noma razumemo ločeno od besedila. Slike v elektronski obliki morajo biti visoke kakovosti (jpeg, tiff, eps, ...), velikosti vsaj 8 cm pri ločljivosti 300 dpi. V primeru slabše kakovosti se slika primerno pomanjša ali ne objavi. Avtorji člankov, ki želijo ob- javiti slike iz drugih virov, si morajo za to sami priskrbeti do- voljenje (copyright). Zaželena velikost črk je vsaj 12 pt, razmak med vrsticami pa vsaj 18 pt. Prispevke pošljite odgovornemu uredniku na naslov uredni- štva DMFA–založništvo, Uredništvo revije Presek, p. p. 2964, 1001 Ljubljana ali na naslov elektronske pošte presek@dmfa.si. Vsak članek se praviloma pošlje vsaj enemu anonimnemu re- cenzentu, ki oceni primernost članka za objavo. Če je prispevek sprejet v objavo in če je besedilo napisano z računalnikom, po- tem uredništvo prosi avtorja za izvorno datoteko. Le-te naj bodo praviloma napisane v eni od standardnih različic urejevalnikov TeX oziroma LaTeX, kar bo olajšalo uredniški postopek. Avtor se z oddajo članka strinja tudi z njegovo kasnejšo ob- javo v elektronski obliki na internetu. k o l o f o n n a v o d i l a s o d e l a v c e m P r e s e k a z a o d d a j o p r i s p e v k o v • m a t e m a t ič n i t r e n u t k i m a t e m a t i č n i t r e n u t k i 2 presek 39 (2011/2012) 6 • zak n pravi, da prve števk naključnih šte vil, v nasprotju z ašim pričako anji, niso po azde lj n enakomerno. Manjše št vk , na primer 1, s po javljaj na prvem estu aključnih števil v lik b lj g sto ko večje, npr. 9. Tako o Be fordov z k n in d d n statistični t sti pokazali, d so rezult ti voli t v v Ira u l t 2009 zelo verj tno n re ni. matematika Model pajčevine (Janko Marovt) fizika Kako razložiti relativnost? (Andrej Likar) Poizkuševalnica za mizo – Kdaj se škatlica vžigalic prevrne in kdaj ne? (Gorazd Planinšič) Poizkuševalnica v sobi – odgovor naloge – Akvarij? (Mojca Čepič) Razmisli in poskusi (Mitja Rosina) razvedrilo Naravoslovna fotografija – Globinska ostrina (Aleš Mohorič) Nagradna križanka (Marko Bokalič) Rešitev nagradne križanke Presek 39/5 (Marko Bokalič) Barvni sudoku Sudoku Križne vsote računalništvo Predstavitev grafa s seznamom sosedov in pregled v širino (Andrej Taranenko) matematični trenutki Ugotavljanje resnice astronomija Prehod Venere čez Sonce in zgodovina meritev astronomske enote (Andrej Guštin) Astronomske delavnice za šolsko leto 2012/2013 tekmovanja 21. šolsko tekmovanje iz razvedrilne matematike 21. državno tekmovanje iz razvedrilne matematike 2 4–11 12–15 15 18–20 21 22–26 26 27–30 31 16–17 30 11,26 21 11 priloga priloga k a z a l o Kazalo 3Presek 39 (2011/2012) 6 Slika na naslovnici: Januarja 2008 se je ob minimumu Sončeve aktivnosti začel 24 cikel aktivnosti. Ta se v vidni svetlobi kaže v pe- riodičnem večanju in manjšanju povprečnega števila peg v fotosferi Sonca. Pege so hladnejša območja v fotosferi, ki imajo življenjsko dobo od nekaj ur do več tednov. Za hlajenje plazme v območju peg je krivo sorazmerno močno magnetno polje. Temperatura v pegi je približno 1500 K nižja kot v okolici, zato tudi manj sije (Stefanov zakon) in je zaradi velikega kontrasta z okolico videti črna. Cikel med dvema maksimuma v povprečju traja nekaj več kot enajst let. Naslednji maksimum aktivnosti pričakujemo sredi prihodnjega leta, po napovedih pa bo peg nekoliko manj kot med leti 2000 in 2003. Kljub temu pa je letos bilo mogoče na Soncu videti že znatno več. S povečano Sončevo aktivnostjo so povezani še številni drugi pojavi, med katerimi so izbruhi v Sončevi koroni, ki lahko ob trku z ozračjem priredijo pravo optično predstavo – polarne sije, o čemer ste v Preseku lahko že brali. Jeseni in prihodnjo zimo ter pomlad se lahko zgodi, da bo polarni sij občasno viden tudi v Sloveniji. Foto: ESO/NASA 4 m a t e m a t i k a Predstavili bomo model pajčevine in v okvirih tega modela analizirali obnašanje zaporedja cen enote izdelka, blaga ali storitve za primer linear- nih funkcij ponudbe in povpraševanja. Matematična obravnava ekonomskih zakonitosti je v sodobni literaturi nepogrešljiva. Ekonomska stroka se namreč ukvarja z merljivimi količinami, med ka- terimi so določene medsebojne odvisnosti. Njihove vrednosti so seveda odvisne tudi od časa. Matema- tični modeli, ki bolj ali manj natančno opisujejo in ponazarjajo te odvisnosti, omogočajo po eni strani analizo teh odnosov, po drugi strani pa nudijo mo- žnost, da predvidimo, kako se bodo, ob izbranih predpostavkah, vrednosti spremenljivk obnašale v prihodnosti. Eden najbolj preprostih modelov, ki pa je hkrati eden najbolj uporabnih, je „model“, ki opisuje pov- praševanje in ponudbo po nekem blagu, storitvi ali izdelku na trgu. „Model“ zanima odnos med samo dvema spremenljivkama: ceno enote izdelka, ki jo ponavadi označujemo s črko p, količino izdelka na trgu, ki jo ponavadi označujemo s črko q. „Matematični model“ temelji na preprosti ideji po- nazoritve odnosa med ceno p in količino q z grafom funkcije v pravokotnem koordinatnem sistemu. Pri tem ločimo dve funkciji: funkcijo povpraševanja in funkcijo ponudbe. Funkciji povpraševanja in ponudbe Povpraševanje (ang. demand) po nekem blagu, iz- delku ali storitvi v določenem časovnem intervalu je odvisno od številnih dejavnikov, ki vladajo na trgu. Če se omejimo le na odvisnost od cene, dobimo funk- cijo, ki ji pravimo funkcija povpraševanja. To funk- cijo bomo označevali s qD(p). Vrednost funkcije povpraševanja nam pove, koliko enot izdelkov q bo (ali bi vsaj lahko bilo) na trgu prodanih v nekem ob- dobju pri ceni enote izdelka p. Na odnos med ko- ličino povpraševanja q in ceno izdelka p lahko gle- damo tudi drugače. Denimo, da poznamo količino q in da iščemo ceno p. Gre za ceno, ki bi jo bili pripra- vljeni za enoto izdelka plačati potrošniki, če bi bilo na voljo q enot izdelka, ali drugače, če en potrošnik kupi največ en izdelek, potem nam vrednost spre- menljivke p pove, kakšna je cena enote izdelka, ki bi jo bilo pripravljeno za izdelek plačati q potrošni- kov. Tako dobimo (inverzno) funkcijo povpraševanja pD(q), kjer je cena izražena v odvisnosti od količine. V ekonomskih učbenikih je običajno (po dogovoru) količina povpraševanja q prikazana v pravokotnem koordinatnem sistemu na abscisni osi, cena p pa na ordinatni osi. Z večanjem cene se v normalnih tržnih razmerah 2 Predstavili bo o odel pajčevine in v okvirih tega odela analizirali obnašanje zaporedja cen enote izdelka, blaga ali storitve za pri er linear- nih funkcij ponudbe in povpraševanja. Mate atična obravnava ekono skih zakonitosti je v sodobni literaturi nepogrešljiva. Ekono ska stroka se na reč ukvarja z erljivi i količina i, ed ka- teri i so določene edsebojne odvisnosti. Njihove vrednosti so seveda odvisne tudi od časa. Mate a- tični odeli, ki bolj ali anj natančno opisujejo in ponazarjajo te odvisnosti, o ogočajo po eni strani analizo teh odnosov, po drugi strani pa nudijo o- žnost, da predvidi o, kako se bodo, ob izbranih predpostavkah, vrednosti spre enljivk obnašale v prihodnosti. Eden najbolj preprostih odelov, ki pa je hkrati eden najbolj uporabnih, je „ odel“, ki opisuje pov- praševanje in ponudbo po neke blagu, storitvi ali izdelku na trgu. „Model“ zani a odnos ed sa o dve a spre enljivka a: ceno enote izdelka, ki jo ponavadi označuje o s črko p, količino izdelka na trgu, ki jo ponavadi označuje o s črko q. „Mate atični odel“ te elji na preprosti ideji po- nazoritve odnosa ed ceno p in količino q z grafo funkcije v pravokotne koordinatne siste u. Pri te loči o dve funkciji: funkcijo povpraševanja in funkcijo ponudbe. Funkciji povpraševanja in ponudbe Povpraševanje (ang. de and) po neke blagu, iz- delku ali storitvi v določene časovne intervalu je odvisno od številnih dejavnikov, ki vladajo na trgu. Če se o eji o le na odvisnost od cene, dobi o funk- cijo, ki ji pravi o funkcija povpraševanja. To funk- cijo bo o označevali s qD(p). Vrednost funkcije povpraševanja na pove, koliko enot izdelkov q bo (ali bi vsaj lahko bilo) na trgu prodanih v neke ob- dobju pri ceni enote izdelka p. Na odnos ed ko- ličino povpraševanja q in ceno izdelka p lahko gle- da o tudi drugače. Deni o, da pozna o količino q in da išče o ceno p. Gre za ceno, ki bi jo bili pripra- vljeni za enoto izdelka plačati potrošniki, če bi bilo na voljo q enot izdelka, ali drugače, če en potrošnik kupi največ en izdelek, pote na vrednost spre- enljivke p pove, kakšna je cena enote izdelka, ki bi jo bilo pripravljeno za izdelek plačati q potrošni- kov. Tako dobi o (inverzno) funkcijo povpraševanja pD(q), kjer je cena izražena v odvisnosti od količine. V ekono skih učbenikih je običajno (po dogovoru) količina povpraševanja q prikazana v pravokotne koordinatne siste u na abscisni osi, cena p pa na ordinatni osi. Z večanje cene se v nor alnih tržnih raz erah 2 Predstavili bomo model pajčevine in v okvirih tega modela analizirali obnašanje zaporedja cen enote izdelka, blaga ali storitve za primer linear- nih funkcij ponudbe in povpraševanja. Matematična obravnava ekonomskih zakonitosti je v sodobni literaturi nepogrešljiva. Ekonomska stroka se namreč ukvarja z merljivimi količinami, med ka- terimi so določene medsebojne odvisnosti. Njihove vrednosti so seveda odvisne tudi od časa. Matema- tični modeli, ki bolj ali manj natančno opisujejo in ponazarjajo te odvisnosti, omogočajo po eni strani analizo teh odnosov, po drugi strani pa nudijo mo- žnost, da predvidimo, kako se bodo, ob izbranih predpostavkah, vrednosti spremenljivk obnašale v prihodnosti. Eden najbolj preprostih modelov, ki pa je hkrati eden najbolj uporabnih, je „model“, ki opisuje pov- praševanje in ponudbo po nekem blagu, storitvi ali izdelku na trgu. „Model“ zanima odnos med samo dvema spremenljivkama: ceno enote izdelka, ki jo ponavadi označujemo s črko p, količino izdelka na trgu, ki jo ponavadi označujemo s črko q. „Matematični model“ temelji na preprosti ideji po- nazoritve odnosa med ceno p in količino q z grafom funkcije v pravokotnem koordinatnem sistemu. Pri tem ločimo dve funkciji: funkcijo povpraševanja in funkcijo ponudbe. Funkciji povpraševanja in ponudbe Povpraševanje (ang. demand) po nekem blagu, iz- delku ali storitvi v določenem časovnem intervalu je odvisno od številnih dejavnikov, ki vladajo na trgu. Če se omejimo le na odvisnost od cene, dobimo funk- cijo, ki ji pravimo funkcija povpraševanja. To funk- cijo bomo označevali s qD(p). Vrednost funkcije povpraševanja nam pove, koliko enot izdelkov q bo (ali bi vsaj lahko bilo) na trgu prodanih v nekem ob- dobju pri ceni enote izdelka p. Na odnos med ko- ličino povpraševanja q in ceno izdelka p lahko gle- damo tudi drugače. Denimo, da poznamo količino q in da iščemo ceno p. Gre za ceno, ki bi jo bili pripra- vljeni za enoto izdelka plačati potrošniki, če bi bilo na voljo q enot izdelka, ali drugače, če en potrošnik kupi največ en izdelek, potem nam vrednost spre- menljivke p pove, kakšna je cena enote izdelka, ki bi jo bilo pripravljeno za izdelek plačati q potrošni- kov. Tako dobimo (inverzno) funkcijo povpraševanja pD(q), kjer je cena izražena v odvisnosti od količine. V ekonomskih učbenikih je običajno (po dogovoru) količina povpraševanja q prikazana v pravokotnem koordinatnem sistemu na abscisni osi, cena p pa na ordinatni osi. Z večanjem cene se v normalnih tržnih razmerah 2 Predstavili bomo model pajčevine in v okvirih tega modela analizirali obnašanje zaporedja cen enote izdelka, blaga ali storitve za primer linear- nih funkcij ponudbe in povpraševanja. Matematičn obravnava konoms ih zakonitosti je v sodobni literaturi nepogrešljiva. Eko o ska stroka s namreč ukvarja z merljivimi količi am , med ka- terimi o d ločene medsebojne odvisnosti. Njihove vrednosti so seveda odvisne tudi od časa. Matema- tič i modeli, ki bolj ali manj natančno pisujejo in pona arjajo te dvisnosti, omogočajo po en strani a alizo teh odnosov, po drugi strani pa nudijo mo- žnost, d predvidimo, kako se bodo, ob izbranih edpostavkah, vrednosti spremenljivk obnašale v prihodnosti. Eden najbolj p eprostih modelov, i pa je hkrati eden n jbolj u rabnih, je „model“, ki opisuje pov- praševanje in ponudbo po nekem blagu, storitvi ali izdelku na trgu. „Model“ zanima odnos med samo dvema spremenljivkama: ceno enote izdelka, ki jo ponavadi označujemo s črko p, količino izdelka na trgu, ki jo ponavadi označujemo s črko q. „Ma ematični model“ temelj na prepr sti ideji po- nazor tve odnosa med cen p in količino q z grafom funkcije v pravokotnem koordinatnem sist mu. Pri tem ločim dve funkciji: funkcijo povpraševanja in funkcijo ponudbe. Funkciji povpraševanja in ponudbe Povpraševanje (ang. d mand) p kem blagu, iz- delku ali storit i v določenem časovnem intervalu je odvisno od števil ih ejavnik v, ki vla ajo na trgu. Če se omejimo le na odvisnost od cene, dobim , ki ji pravimo funkcija povpraševa ja. To funk- cijo bomo označevali s qD(p). Vrednost funkcije povpraševanja nam pove, koliko enot izdelkov q bo (ali bi vsaj lahko bilo) na trgu rod nih v nekem ob dobju pri ceni enote izdelka p. Na odnos med ko ličin povpraševanja q in ceno izdelka p lahko gle- damo tudi drugače. Denimo, da poznamo količino q in da iščemo ceno p. Gre za ceno, ki bi jo bili pripra- vljeni za enoto plačati potrošniki, če bi bilo na voljo q enot ka ali drugače, če n potrošnik kupi največ en izdelek, pot m m vr dnost spre- menljivke p po e, kakšna je c na eno e izdelka, ki bi jo bilo pripravlje o za izdelek plačati q potrošni- kov. Ta o dobimo ( nverz o) funkcijo povpraševa ja pD(q), kjer je cena izražena v odvisnosti o količine. V eko omskih učbe ikih je obič jno ( o d g voru) ličina povpraševanja q prikazana v pravokotnem koordinatnem sistemu na abscisni osi, cena p pa na ordinatni osi. Z večanjem cene se v normalnih tržnih razmerah 2 i i i i - ij - - i l i l , i t ili l j i i i i t l li i li j j t i l , l li t it i li - i f ij i j . t ti a r e ki it ti j i lit r t ri r lji . n tr e r rj rlji i i li in , - t ri i s ol j i ti. ji r ti i t i . t - ti ni li, i lj li j t o i j j i z rj j t o i ti, j tr i n li t , r i tr i ij - t, a r i i , , i r i pr t , r ti r lji l ri ti. j lj r r ti l , ki j r ti aj lj por i , j l , i i j - r j i l , t rit i li i l tr . l i r lji : t i l , i j i j r , li i i l tr , i j i j r . t ti i l t lj r ro ti i ji - r t o i li i r f f ij r t r i t i te . ri t l i o f iji: f ij r j i f ij . iji j i r j ( . e ) o ne l , i - l li t ritvi l i t r l j i t ilni d j i o , i l d j tr . ji l i t , i o funk c o, i ji r i f ij r nj . f - ij li . r t f ij r j , li t i l ( li i j l il ) tr pr a i j ri i t i l . li i o r j i i l l l - t i r . i , li i i i . r , i i j ili ri r - lj i t zde ka l ti tr i i, i il lj t zde , li r , e tr i i j i l , te na re t r - lji v , j e t i l , i i j il ri r lj n i l l ti tr i- . k i ( r n ) f ij r nj , j r j i r i ti d li i . n i ni i j i aj (p o o r ) koli i r j ri r t r i t i t i i i, r i t i i. j r l i tr i r r r s r r š r s r r r r r š e c s s e s e e eš s s s ec e c i e e ce e e se e s s e e s s se e s e c s e c e c s e e s s c e i s e s s s e se e s e s s e e š e s e e s e e e e e „ e “ s e še e e e s e „ e “ s e s e s e e ce e e e c e s c c e c e s c „ e c e “ e e i e s e i e s e ce c c e e e s s e c e c c še c e r še e e e s ce e c s e e e s š e e e se e e s s ce e - ij c še c ce s ( ) e s c e še e e e s e e - ce e e e s e - c še ce e e ce e c šce ce e ce e e i l c š ce e i l ce ce š ec e e e s s e e e e š e c e e e e e e c š i e c še ( ) e e ce e s s c e e s c e e c c še e e s s e sc s s ce s ec e ce e se e Model pajčevine • pre k 39 (2011/2012) 6 janko marovt ciji praševanja in ponudbe 5 m a t e m a t i k a povpraševanje po izdelku manjša. Izjema so npr. prestižni izdelki, kot so dragi avtomobili ali nakit, kjer se lahko zgodi, da se z večanjem cene povpraše- vanje celo poveča. V normalnih tržnih razmerah je torej funkcija povpraševanja strogo padajoča funk- cija, npr. qD(p) = 30 · e−p/5. Z vprašanji prilagajanja izbrane krivulje dejanskim podatkom se ukvarjata statistika in ekonometrija. Tudi količina ponudbe (ang. supply) nekega izdel- ka, ki ga proizvajalci v danem časovnem intervalu ponudijo na trgu, je odvisna od mnogih dejavnikov. Če se omejimo le na odvisnost količine ponudbe od cene, dobimo funkcijo ponudbe, ki jo bomo označe- vali s qS(p). Vrednost funkcije ponudbe nam torej pove, kakšna je količina q izdelkov, ki jo proizvajalci ponudijo na trgu, če je cena enote izdelka enaka p. V normalnih tržnih razmerah je funkcija ponudbe strogo naraščajoča funkcija, npr. qS(p) = 10 · p − 2. Pri risanju grafov funkcij ponudbe in povpraševa- nja se moramo zavedati, da imamo opravka z re- alnimi, nenegativnimi ekonomskimi količinami, kar pomeni, da smo pri risanju vedno omejeni le na prvi kvadrant. V ekonomskih učbenikih je navada, da graf funkcije povpraševanja označimo s črko D, graf funkcije ponudbe pa s črko S. Zgled 1 Denimo, da na nekem trgu (npr. v Celju) ne bo nihče pripravljen kupiti video igrice Super Mario, če bo cena ene enote te igrice 100 denarnih enot ali več. Privzemimo tudi, da smo z raziskavo ugotovili, da se povpraševanje po tej igrici spreminja linearno (funkcija qD(p) je linearna) in da bo v primeru, če je cene enote igrice 40 denarnih enot, prodanih 120 enot igrice. Na grafu funkcije povpraševanja qD(p) (premici) torej ležita točki T1(100,0) in T2(40,120). Smerni koeficient je tako enak k = 120− 0 40− 100 = −2. Če upoštevamo smerni koeficient k in (na primer) točko T1, bo poljubna točka (p, q), ki leži na grafu funkcije qD(p), zadoščala enačbi: q − 0 = −2 · (p − 100). Tako je qD(p) = −2p + 200 funkcija povpraševanja. Narišimo funkcijo pD(q). Ker je q = −2p + 200, je 2p = 200 − q in zato pD(q) = 100 − 12q. Upoštevamo, da je pD(0) = 100 in pD(200) = 0. Slika 1 Zgled 2 Denimo, da je funkcija ponudbe qS(p) športnih 3 povpraševanje po izdelku manjša. Izjema so npr. prestižni izdelki, kot so dragi avtomobili ali nakit, kjer se lahko zgodi, da se z večanjem cene povpraše- vanje celo poveča. V normalnih tržnih razmerah je torej funkcija povpraševanja strogo padajoča funk- cija, npr. qD(p) = 30 · e−p/5. Z vprašanji prilagajanja izbrane krivulje dejanskim podatkom se ukvarjata statistika in ekonometrija. Tudi količina ponudbe (ang. supply) nekega izdel- ka, ki ga proizvajalci v danem časovnem intervalu ponudijo na trgu, je odvisna od mnogih dejavnikov. Če se omejimo le na odvisnost količine ponudbe od cene, dobimo funkcijo ponudbe, ki jo bomo označe- vali s qS(p). Vrednost funkcije ponudbe nam torej pove, kakšna je količina q izdelkov, ki jo proizvajalci ponudijo na trgu, če je cena enote izdelka enaka p. V normalnih tržnih razmerah je funkcija ponudbe strogo naraščajoča funkcija, npr. qS(p) = 10 · p − 2. Pri risanju grafov funkcij ponudbe in povpraševa- nja se moramo zavedati, da imamo opravka z re- alnimi, nenegativnimi ekonomskimi količinami, kar pomeni, da smo pri risanju vedno omejeni le na prvi kvadrant. V ekonomskih učbenikih je navada, da graf funkcije povpraševanja označimo s črko D, graf funkcije ponudbe pa s črko S. Zgled 1 Denimo, da na nekem trgu (npr. v Celju) ne bo nihče pripravljen kupiti video igrice Super Mario, če bo cena ene enote te igrice 100 denarnih enot ali več. Privzemimo tudi, da smo z raziskavo ugotovili, da se povpraševanje po tej igrici spreminja linearno (funkcija qD(p) je linearna) in da bo v primeru, če je cene enote igrice 40 denarnih enot, prodanih 120 enot igrice. Na grafu funkcije povpraševanja qD(p) (premici) torej ležita točki T1(100,0) in T2(40,120). Smerni koeficient je tako enak k = 120− 0 40− 100 = −2. Če upoštevamo smerni koeficient k in (na primer) točko T1, bo poljubna točka (p, q), ki leži na grafu funkcije qD(p), zadoščala enačbi: q − 0 = −2 · (p − 100). Tako je qD(p) = −2p + 200 funkcija povpraševanja. Narišimo funkcijo pD(q). Ker je q = −2p + 200, je 2p = 200 − q in zato pD(q) = 100 − 12q. Upoštevamo, da je pD(0) = 100 in pD(200) = 0. Slika 1 Zgled 2 Denimo, da je funkcija ponudbe qS(p) športnih 3 povpraševanje po izdelku manjša. Izjema so npr. prestižni izdelki, kot so dragi avtomobili ali nakit, kjer se lahko zgodi, da se z večanjem cene povpraše- vanje celo poveča. V normalnih tržnih razmerah je torej funkcija povpraševanja strogo padajoča funk- cija, npr. qD(p) = 30 · e−p/5. Z vprašanji prilagajanja izbrane krivulje dejanskim podatkom se ukvarjata statistika in ekonometrija. Tudi količina ponudbe (ang. supply) nekega izdel- ka, ki ga proizvajalci v danem časovnem intervalu ponudijo na trgu, je odvisna od mnogih dejavnikov. Če se omejimo le na odvisnost količine ponudbe od cene, dobimo funkcijo ponudbe, ki jo bomo označe- vali s qS(p). Vrednost funkcije ponudbe nam torej pove, kakšna je količina q izdelkov, ki jo proizvajalci ponudijo na trgu, če je cena enote izdelka enaka p. V normalnih tržnih razmerah je funkcija ponudbe strogo naraščajoča funkcija, npr. qS(p) = 10 · p − 2. Pri risanju grafov funkcij ponudbe in povpraševa- nja se moramo zavedati, da imamo opravka z re- alnimi, nenegativnimi ekonomskimi količinami, kar pomeni, da smo pri risanju vedno omejeni le na prvi kvadrant. V ekonomskih učbenikih je navada, da graf funkcije povpraševanja označimo s črko D, graf funkcije ponudbe pa s črko S. Zgled 1 Denimo, da na nekem trgu (npr. v Celju) ne bo nihče pripravljen kupiti video igrice Super Mario, če bo cena ene enote te igrice 100 denarnih enot ali več. Privzemimo tudi, da smo z raziskavo ugotovili, da se povpraševanje po tej igrici spreminja linearno (funkcija qD(p) je linearna) in da bo v primeru, če je cene enote igrice 40 denarnih enot, prodanih 120 enot igrice. Na grafu funkcije povpraševanja qD(p) (premici) torej ležita točki T1(100,0) in T2(40,120). Smerni koeficient je tako enak k = 120− 0 40− 100 = −2. Če upoštevamo smerni koeficient k in (na primer) točko T1, bo poljubna točka (p, q), ki leži na grafu funkcije qD(p), zadoščala enačbi: q − 0 = −2 · (p − 100). Tako je qD(p) = −2p + 200 funkcija povpraševanja. Narišimo funkcijo pD(q). Ker je q = −2p + 200, je 2p = 200 − q in zato pD(q) = 100 − 12q. Upoštevamo, da je pD(0) = 100 in pD(200) = 0. Slika 1 Zgled 2 Denimo, da je funkcija ponudbe qS(p) športnih 3 povpraševanje po izdelku manjša. Izjema so npr. restižni izd lki, kot so dragi avtomobili ali nakit, kj r se lahko zgodi, da se z večanjem cene povpraše- vanje celo poveča. V normalnih tržnih razmerah je torej funkcija povpraševanja strogo pad joča funk- cija, npr. qD(p) = 30 · −p/5. Z vprašanji prilagaja ja izbrane krivulje dejanskim podatkom se ukv rjat statistika in ekonometrija. Tudi količina p nudbe (ang. supply) nekega izdel- ka, ki ga proizvajalci v d em časovnem intervalu ponudijo na trgu, je odvisna od mn gih dejavnikov. Če se omejimo le na is ost količine ponudbe d cene, dobimo funkcij ponudbe, ki jo bomo označe- vali s qS(p). Vrednost fu kcij ponudbe nam tor j pove, kakšna je količina q izdelkov, ki jo proizvajalci nudijo na trgu, če je cena note izdelka enaka p. V ormal ih tržnih razmerah je funkcij ponudbe strogo naraščajoča funkcija, npr. qS(p) = 10 · p − 2. Pri ris nju grafov funkcij ponudbe in povpraševa- nja se moramo zavedati, da imamo opra ka z re- alnimi, nenegativnimi ekonomski i k ličinami, kar pomeni, da smo pri risanju vedno omejeni le na prvi kvadrant. V ekonomskih učbenikih je navada, da gr f fu kcije povpraševanja označimo s črko D, graf funkcije ponudbe p s črko S. Zgled 1 Denimo, da na nekem trgu (npr. v Celju) ne bo nihč pripravljen kupiti video igrice Super Mario, če bo na ene enote te igric 100 denarnih enot ali več. Privzemimo tudi, da smo z raziskavo ugotovili, da se povpraševanje po tej igrici spreminja linearno (funkcija qD(p) je linearna) in da bo v primeru, če je cene enote igrice 40 denarnih enot, prodanih 120 enot igrice. Na grafu funkcije povpraševanja qD(p) (premici) torej ležita točki T1(100,0) in T2(40,120). Sm rni koeficient je tako enak k = 120− 0 40− 100 = −2. Če upoštevamo smerni koeficient k in (na primer) točko T1, bo p ljubna točka (p, q), ki leži na grafu fun cije qD(p), zadoščala enačbi: q − 0 = −2 · (p − 100). Tako je qD(p) = −2p + 200 funkcija povpraševanja. Narišimo funkcijo pD(q). Ker je q = −2p + 200, je 2p = 200 − q in zato pD(q) = 100 − 12q. Upoštevamo, da je pD(0) = 100 in pD(200) = 0. Slika 1 Zgled 2 Denimo, da je funkcija ponudbe qS(p) športnih 3 Predstavili bomo model pajčevine in v okvirih tega modela analizirali obnašanje zaporedja cen enote izdelka, blaga ali storitve za primer linear- nih funkcij ponudbe in povpraševanja. Matematična obravnava ekonomskih zakonitosti je v sodobni literaturi nepogrešljiva. Ekonomska stroka se namreč ukvarja z merljivimi količinami, med ka- terimi so določene medsebojne odvisnosti. Njihove vrednosti so seveda odvisne tudi od časa. Matema- tični modeli, ki bolj ali manj natančno opisujejo in ponazarjajo te odvisnosti, omogočajo po eni strani analizo teh odnosov, po drugi strani pa nudijo mo- žnost, da predvidimo, kako se bodo, ob izbranih predpostavkah, vrednosti spremenljivk obnašale v prihodnosti. Eden najbolj preprostih modelov, ki pa je hkrati eden najbolj uporabnih, je „model“, ki opisuje pov- praševanje in ponudbo po nekem blagu, storitvi ali izdelku na trgu. „Model“ zanima odnos med samo dvema spremenljivkama: ceno enote izdelka, ki jo ponavadi označujemo s črko p, količino izdelka na trgu, ki jo ponavadi označujemo s črko q. „Matematični model“ temelji na preprosti ideji po- nazoritve odnosa med ceno p in količino q z grafom funkcije v pravokotnem koordinatnem sistemu. Pri tem ločimo dve funkciji: funkcijo povpraševanja in funkcijo ponudbe. Funkciji povpraševanja in ponudbe Povpraševanje (ang. demand) po nekem blagu, iz- delku ali storitvi v določenem časovnem intervalu je odvisno od številnih dejavnikov, ki vladajo na trgu. Če se omejimo le na odvisnost od cene, dobimo funk- cijo, ki ji pravimo funkcija povpraševanja. To funk- cijo bomo označevali s qD(p). Vrednost funkcije povpraševanja nam pove, koliko enot izdelkov q bo (ali bi vsaj lahko bilo) na trgu prodanih v nekem ob- dobju pri ceni enote izdelka p. Na odnos med ko- ličino povpraševanja q in ceno izdelka p lahko gle- damo tudi drugače. Denimo, da poznamo količino q in da iščemo ceno p. Gre za ceno, ki bi jo bili pripra- vljeni za enoto izdelka plačati potrošniki, če bi bilo na voljo q enot izdelka, ali drugače, če en potrošnik kupi največ en izdelek, potem nam vrednost spre- menljivke p pove, kakšna je cena enote izdelka, ki bi jo bilo pripravljeno za izdelek plačati q potrošni- kov. Tako dobimo (inverzno) funkcijo povpraševanja pD(q), kjer je cena izražena v odvisnosti od količine. V ekonomskih učbenikih je običajno (po dogovoru) količina povpraševanja q prikazana v pravokotnem koordinatnem sistemu na abscisni osi, cena p pa na ordinatni osi. Z večanjem cene se v normalnih tržnih razmerah 2 Presek 39 (2011/2012) 6 • gled 1 120 p D q 100 80 60 40 20 0 40 80 120 160 200 240 slika 1. Funkcija povpraševanja (zgled 1) praševanje p zdelku manjša. Izjema so npr. restižni izdelki, kot so dragi avtomobili ali n kit, kjer se l hko z odi, da se z večanj m c ne povpr še- va je celo poveča. V normalnih trž ih r zmerah j to ej funkcija povpraševanja strogo padajoča funk cija, npr. qD(p) = 30 · e−p/5. Z vprašanji rilag janja izbrane krivulje dejans im podatk m se u varjata statistika i ek nometrija. Tudi količina onudbe (ang. supply) nekega izdel- a, ki ga proizvajalci danem časovnem intervalu ponudijo na trgu, je odvisna od mnogih dejavnikov. Če se omejimo l n odvisnost količine ponudbe od cene, dobimo funkcijo ponudbe, ki jo bomo označe- vali s qS(p). Vrednost funkcije ponudbe nam torej pov , kakšna je količina q izdelkov, ki jo proizvajalci ponud jo n trgu, če j cena enote izdelka enaka p. V normalnih tržnih razmerah je fu kcija ponudb strogo naraščaj ča funkcija, npr. qS(p) = 10 · p − 2. Pri sanju grafov funkcij ponudbe in povpraševa- nja se mor mo zavedati, da m m opravka z re- alnimi, nenegativnimi ekonomskimi količinami, kar pomeni, da smo pri risa ju v dn omejeni le na prvi kvadrant. V ekonomskih učbenikih j navada, da graf funkcije povpr ševanja označimo s črko D, graf funkcije ponudbe pa s črko S. Zgled 1 Denimo, da na nekem trgu ( pr. v Celju) ne bo nihče pripravljen kupiti video igrice Super M rio, če bo cena ene enote te igrice 100 denarnih enot ali več. Privzemimo tudi, da smo z raziskavo ugotovili, da se povpraševanje po tej igrici spreminja linearno (funkcija qD(p) je linearna) in da bo v primeru, če je cene enote igrice 40 denarnih enot, prodanih 120 enot igrice. Na grafu funkcije povpraševanja qD(p) (premici) torej ležita točki T1(100,0) in T2(40,120). Smerni koeficient je tako n k k = 120− 40− 100 = −2. Če upoštevamo smerni koefi ent k in (na primer) točko T1, bo poljubna točka (p, q), ki leži na grafu funkcije qD(p), zadoščala enačbi: q − 0 = −2 · (p − 100). Tako je qD(p) = −2p + 200 funkcija povpraševanja. Narišimo funkcijo pD(q). Ker je q = −2p + 200, je 2p = 200 − q in zato pD(q) = 100 − 12q. Upoštevamo, da je pD(0) = 100 in pD(200) = 0. Slika 1 Zgled 2 Denimo, da je funkcija ponudbe qS(p) športnih 3 gled 2 6 m a t e m a t i k a • majic v nekem trgovskem centru linearna in bo proi-zvajalec pripravljen ponuditi majice samo v primeru, če bo cena ene majice večja kot pet denarnih enot. Zadnji podatek nam pove, da na iskani premici leži točka T1(5,0). Predpostavimo še, da smo ugotovili, da bo pri ceni desetih denarnih enot proizvajalec pripravljen ponuditi deset enot izdelka (deset ma- jic). Ne premici leži torej tudi točka T2(10,10). Bra- lec lahko sedaj sam ugotovi, da je funkcija ponudbe naslednje oblike: qS(p) = 2p − 10. Vidimo lahko, da bo v primeru, če cena ene majice naraste na 11 denarnih enot, proizvajalec priskrbel qS(11) = 12 majic. Za vsako povečanje cene za eno denarno enoto, bo proizvajalec ponudil dve majici več. Narišimo funkcijo pS(q). Iz q = 2p − 10 sledi, da je 2p = q+10 in zato pS(q) = 12q+5. Upoštevamo, da je pS(0) = 5 in pS(10) = 10. Slika 2 Tržno ravnovesje Denimo, da poznamo vse dejavnike, ki vplivajo na povpraševanje in ponudbo nekega izdelka na trgu. Z drugimi besedami, predpostavimo, da poznamo funkciji povpraševanja in ponudbe. Najpomembnej- še vprašanje, s katerim se ukvarja „matematični mo- del“ povpraševanja in ponudbe, je sledeče. Kolikšni vrednosti količine q in cene p bosta na trgu dejansko doseženi? Trg uravna ceno enote izdelka tako, da se ponudba izdelka na trgu izenači s povpraševanjem [1]. Stanju na trgu, ko se to zgodi, pravimo tržno ravnovesje. Ceno p∗, pri kateri je doseženo tržno ravnovesje, imenujemo ravnotežna cena, količino q∗ pa ravnotežna količina. Matematično gledano mo- ramo torej poiskati presečišče krivulj povpraševanja in ponudbe. Na sliki 3 je tržno ravnovesje doseženo v točki E. Slika 3 Zgled 3 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednji linearni funkciji: qD(p) = −2 · p + 20 in qS(p) = 23 · p − 4. Izračunajmo ravnotežno ceno in količino. 4 majic v nekem trgovskem centru linearna in bo pro - zvajalec pripravljen ponuditi majice samo v primeru če bo cena ene majice večja kot pet denarnih enot. Zadnji podatek nam pove, da na iskani premici leži točka T1(5,0). Predpostavimo še, da smo ugotovili, da bo pri ceni desetih denarnih enot proizvajalec pripravljen ponuditi deset enot izdelka (deset ma- jic). Ne premici leži torej tudi točka T2(10,10). Bra- lec lahko sedaj sam ugotovi, da je funkcija ponudbe naslednje oblik : qS(p) = 2p − 10. Vi imo lahko, da bo v primeru, če cena ene m jice naraste na 11 den rnih enot, proizvajalec priskrbel qS(11) = 12 majic. Za vsako povečanje cene za eno narno enoto, bo proizvajalec ponu il dve majic eč. Narišimo funkcijo pS(q). Iz q = 2p − 10 sledi, a j 2p = q+10 in z to pS(q) = 12q+5. Upoštevamo, da je pS(0) = 5 in pS(10) = 10. Slika 2 Tržno ravnovesje Denimo, da poznamo vse dejavnike, ki vplivajo na povpraševanje in ponudbo nekega izdelka na trgu. Z drugimi besedami, predpostavimo, da poznamo funkciji povpraševanja in ponudbe. Najpomembnej- še vprašanje, s katerim se ukvarja „matematični mo- de “ povpraševanja in ponudbe, je sledeče. Kolikšni vrednosti količine q in cene p bosta na trgu dejansko doseženi? Trg uravna ceno enote izdelka tako, da se ponudba izdelka a trgu izenači s povpraševanjem [1]. Stanju na trgu, ko se to zgodi, pravimo tržno ravnovesje. Ceno p∗, pri kateri je doseženo tržno ravnovesje, imenujemo ravnotežna cena, količino q∗ pa ravnotežna količina. Matematično gledano mo- ramo torej poiskati presečišče krivulj povpraševanja in ponudbe. Na sliki 3 je tržno ravnovesje doseženo v točki E. Slika 3 Zgled 3 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednji linearni funkciji: qD(p) = −2 · p + 20 in qS(p) = 23 · p − 4. Izračunajmo ravnotežno ceno in količino. 4 majic v nekem trgovskem centru linearna in bo proi- zvajalec pripravljen ponuditi majice samo v primeru, če bo cena ene majice večja kot pet denarnih enot. Zadnji podatek nam pove, da na iskani premici leži točka T1(5,0). Predpostavimo še, da smo ugotovili, da bo pri ceni desetih denarnih enot proizvajalec pripravljen ponuditi deset enot izdelka (deset ma- jic). Ne premici leži torej tudi točka T2(10,10). Bra- lec lahko sedaj sam ugotovi, da je funkcija ponudbe naslednje oblike: qS(p) = 2p − 10. Vidimo lahko, da bo v primeru, če cena ene majice naraste na 11 denarnih enot, proizvajalec priskrbel qS(11) = 12 majic. Za vsako povečanje cene za eno denarno enoto, bo proizvajalec ponudil dve majici več. Narišimo funkcijo pS(q). Iz q = 2p − 10 sledi, da je 2p = q+10 in zato pS(q) = 12q+5. Upoštevamo, da je pS(0) = 5 in pS(10) = 10. Slika 2 Tržno ravnovesje Denimo, da poznamo vse dejavnike, ki vplivajo na povpraševanje in ponudbo nekega izdelka na trgu. Z drugimi besedami, predpostavimo, da poznamo funkciji povpraševanja in ponudbe. Najpomembnej- še vprašanje, s katerim se ukvarja „matematični mo- del“ povpraševanja in ponudbe, je sledeče. Kolikšni vrednosti količine q in cene p bosta na trgu dejansko doseženi? Trg uravna ceno enote izdelka tako, da se ponudba izdelka na trgu izenači s povpraševanjem [1]. Stanju na trgu, ko se to zgodi, pravimo tržno ravnovesje. Ceno p∗, pri kateri je doseženo tržno ravnovesje, imenujemo ravnotežna cena, količino q∗ pa ravnotežna količina. Matematično gledano mo- ramo torej poiskati presečišče krivulj povpraševanja in ponudbe. Na sliki 3 je tržno ravnovesje doseženo v točki E. Slika 3 Zgled 3 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednji linearni funkciji: qD(p) = −2 · p + 20 in qS(p) = 23 · p − 4. Izračunajmo ravnotežno ceno in količino. 4 majic v nekem trgovskem centru linearna i bo proi- zvajal c pripravljen ponuditi majice samo v rimeru, če bo cena ene majice ečja k t pet d narnih enot. Zadnji podatek nam p ve, da na iskani premici lež to ka T1(5,0). Predpostavimo še, da smo ugotovil bo pri ceni desetih denarnih enot pr izvajalec pripravljen ponuditi deset enot izdelka (deset ma- jic). Ne premici leži torej tudi točka T2(10,10). Bra- lec lahko sedaj sam ugotovi, da je funkcija ponudbe naslednje oblike: qS(p) = 2p − 10. Vidimo l hk , da bo v primeru, če cena ene majice naraste na 11 denarnih enot, proizvajalec priskrbel qS(11) = 12 majic. Za vsako po ečanje cene za e o dena no enoto, bo proizvajalec ponu i dve majici več. Narišimo funkcijo pS(q). Iz q = 2p − 10 sledi, da je 2p = q+10 in zato pS(q) = 12q+5. Upoštevamo, da je pS(0) = 5 in pS(10) = 10. Slika 2 Tržno ravnoves Denimo, da poznamo vse dejavnike, ki vplivajo n povpraševanje in ponudbo ekega izdelka na trgu. Z drugimi besedami, predpostavimo, da poznamo funkciji povpraševanja in ponudbe. Najpomembnej- še vprašanje, s katerim se ukvarja „matematični mo- del“ povpraševanja in ponudbe, je sledeče. Kolikšni vrednosti količine q in cene p bosta na trgu dejansko doseženi? Trg uravna ceno enote izdelka tako, da se ponudba izdelka na trgu izenači s povpraševanjem [1]. Stanju na trgu, ko se to zgodi, pravimo tržno ravnovesje. Ceno p∗, pri kateri je doseženo tržno ravnovesje, imenujemo ravnotež a ce a, količino q∗ pa ravnot žna količina. Matematično gledano mo- ramo torej poiskati presečišče krivulj povpraševanja in ponudbe. Na sliki 3 je tržno ravnovesje doseženo v točki E. Slika 3 Zgled 3 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednji linearni funkciji: qD(p) = −2 · p + 20 in qS(p) = 23 · p − 4. Izračunajmo ravnotežno ceno in količino. 4 Poiskati moramo točko, kjer se premici sekata. Iz qD(p) = qS(p) dobimo enačbo −2 · p + 20 = 23 · p − 4. Sledi, da je 83 ·p = 24 in zato p = 9. Ravnotežna cena je p∗ = 9 denarnih enot. Poiščimo še ravnotežno količino. Iz qD(9) = −2 · 9+ 20 = 2 lahko zaključimo, da je q∗ = 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni sistem nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posplošimo naše razmisleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) = −kD · p +nD in qS(p) = kS · p +nS. Pri tem so kD, kS,nD > 0. Izračunajmo ravnotežno ceno p∗. Iz −kD · p +nD = kS · p +nS sledi, da je iskana cena enaka p∗ = nD −nS kD + kS . Omenimo, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene zmanjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vzemimo funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) = −2 · p + 20. Tako je kD = 2. Denimo, da je cena izdelka p = 8 denarnih enot in predposta- vimo, da to ceno povečamo na p = 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p = 8 je qD(8) = 4, pri ceni p = 9 pa qD(9) = 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p = 8 na p = 9 za dve enoti. Vzemimo sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) = −p + 20. Tokrat je kD = 1. Sledi, da je qD(8) = 12 in qD(9) = 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz osem na devet denarnih enot zmanjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene povečanje ponudbe. 5 Poiskati ora o točko, kjer se pre ici sekata. Iz qD(p) qS(p) dobi o enačbo 2 · p 20 23 · p 4. Sledi, da je 83 ·p 24 in zato p 9. Ravnotežna cena je p∗ 9 denarnih enot. Poišči o še ravnotežno količino. Iz qD(9) 2 · 9 20 2 lahko zaključi o, da je q∗ 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni siste nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posploši o naše raz isleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 aj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) kD · p D in qS(p) kS · p S. Pri te so kD, kS, D 0. Izračunaj o ravnotežno ceno p∗. Iz kD · p D kS · p S sledi, da je iskana cena enaka p∗ D S kD kS . eni o, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, očnejše bo ob dane povečanju cene z anjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vze i o funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) 2 · p 20. Tako je kD 2. eni o, da je cena izdelka p 8 denarnih enot in predposta- vi o, da to ceno poveča o na p 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p 8 je qD(8) 4, pri ceni p 9 pa qD(9) 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p 8 na p 9 za dve enoti. Vze i o sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) p 20. Tokrat je kD 1. Sledi, da je qD(8) 12 in qD(9) 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz ose na devet denarnih enot z anjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, očnejše bo ob dane povečanju cene povečanje ponudbe. 5 s i . Funkcija ponudbe (zgled 2) s i . Tržno ravnovesje led 3 presek 39 (2011/2012) 6 30 25 20 15 10 5 0 0 10 1 20 30 40 50 q q p p S SD E 7 m a t e m a t i k a • Poiskati moramo točko, kjer se premici sekata. Iz qD(p) = qS(p) dobimo enačbo −2 · p + 20 = 23 · p − 4. Sledi, da je 83 ·p = 24 in zato p = 9. Ravnotežna cena je p∗ = 9 denarnih enot. Poiščimo še ravnotežno količino. Iz qD(9) = −2 · 9+ 20 = 2 lahko zaključimo, da je q∗ = 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni sistem nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posplošimo naše razmisleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) = −kD · p +nD in qS(p) = kS · p +nS. Pri tem so kD, kS,nD > 0. Izračunajmo ravnotežno ceno p∗. Iz −kD · p +nD = kS · p +nS sledi, da je iskana cena enaka p∗ = nD −nS kD + kS . Omenimo, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene zmanjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vzemimo funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) = −2 · p + 20. Tako je kD = 2. Denimo, da je cena izdelka p = 8 denarnih enot in predposta- vimo, da to ceno povečamo na p = 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p = 8 je qD(8) = 4, pri ceni p = 9 pa qD(9) = 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p = 8 na p = 9 za dve enoti. Vzemimo sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) = −p + 20. Tokrat je kD = 1. Sledi, da je qD(8) = 12 in qD(9) = 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz osem na devet denarnih enot zmanjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene povečanje ponudbe. 5 , . , . . , . , . . : . , , . , . : . , , . . , . : , . is ti r t c , jer se re ici se t . I ( ) S( ) i e c · 23 · . le i, je 83 · i t . te ce je e r i e t. išci še r te lici . I ( ) · l lj ci , je r te lici . r lec l re eri lje i re lt t, t isti r i t i siste riše f ciji r še j i e. s l ši še r isle e s l š i li e r i le . l j st f ciji r še j i e li e- r i: ( ) · i S( ) S · S . ri te s , S , . I r c j r te ce . I · S · S sle i, je is ce e S S . e i , e cie t l c „ c tlji st“ - tr š i ce i el . ecji t je t e cie t, c ejše e ec j ce e jš je r še j . l e i f cij r še j i le : ( ) · . je . e i , je ce i el e r i e t i re st - i , t ce ec e r i e t. r še je ri ce i je ( ) , ri ce i ( ) . r še je e ec - j ce e i e e ti. e i se j f cij r še j ( ) . r t je . le i, je ( ) i ( ) . r še je se t r t ri ec j ce e i se e et e r i e t jš le e e t . e cie t S l c „ c tlji st“ r i - j lce ce : ecji t t e cie t, c ejše e ec j ce e ec je e. Po ka o a o oˇko k p ka a z qD p q p dob o naˇbo 2 p 20 p 4 S d da p 24 n za o p 9 Ravno žna na p∗ 9 d na n h no Po ˇ o avno žno ko ˇ no z qD 9 2 9 20 2 ahko zak uˇ o da q∗ 2 avno žna ko ˇ na B a ahko p v dob n zu a ako da v koo d na n na unk povp a van a n ponudb Po p o o na az k na p o n n a n zg d Zg ed 4 a bo a unk povp a van a n ponudb n a n qD p kD p D n q p k p P o kD k D 0 z aˇuna o avno žno no p∗ z kD p D k p d da kana na naka p∗ D kD k n o da ko fi n kD do oˇa obˇu vo po o n kov na no zd ka V ˇ ko a ko fi n oˇn bo ob dan pov ˇan u n z an an povp a van a Zg ed 5 Vz o unk o povp a van a z zg da 3 qD p 2 p 20 Tako kD 2 n o da na zd ka p 8 d na n h no n p dpo a v o da o no pov ˇa o na p 9 d na n h no Povp a van p n p 8 qD 8 4 p n p 9 pa qD 9 2 Povp a van pad ob pov ˇa n u n z p 8 na p 9 za dv no Vz o da unk o povp a van a qD p p 20 Tok a kD 1 S d da qD 8 12 n qD 9 11 Povp a van ok a p pov ˇan u n z o na d v d na n h no z an a za no no o Podobno ko fi n k do oˇa obˇu vo p o zva a v na no v ˇ ko bo a ko fi n oˇn bo ob dan pov ˇan u n pov ˇan ponudb 5 Poiskati moramo točko, kjer se premici sekata. Iz qD(p) = qS(p) dobimo enačbo −2 · p + 20 = 23 · p − 4. Sledi, da je 83 ·p = 24 in zato p = 9. Ravnotežna cena je p∗ = 9 denarnih enot. Poiščimo še ravnotežno količino. Iz qD(9) = −2 · 9+ 20 = 2 lahko zaključimo, da je q∗ = 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni sistem nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posplošimo naše razmisleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) = −kD · p +nD in qS(p) = kS · p +nS. Pri tem so kD, kS,nD > 0. Izračunajmo ravnotežno ceno p∗. Iz −kD · p +nD = kS · p +nS sledi, da je iskana cena enaka p∗ = nD −nS kD + kS . Omenimo, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene zmanjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vzemimo funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) = −2 · p + 20. Tako je kD = 2. Denimo, da je cena izdelka p = 8 denarnih enot in predposta- vimo, da to ceno povečamo na p = 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p = 8 je qD(8) = 4, pri ceni p = 9 pa qD(9) = 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p = 8 na p = 9 za dve enoti. Vzemimo sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) = −p + 20. Tokrat je kD = 1. Sledi, da je qD(8) = 12 in qD(9) = 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz osem na devet denarnih enot zmanjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene povečanje ponudbe. 5 Poiskati moramo točko, kjer se premici sekata. Iz qD(p) = qS(p) dobimo enačbo −2 · p + 20 = 23 · p − 4. Sledi, da je 83 ·p = 24 in zato p = 9. Ravnotežna cena je p∗ = 9 denarnih enot. Poiščimo še ravnotežno količino. Iz qD(9) = −2 · 9+ 20 = 2 lahko zaključimo, da je q∗ = 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni sistem nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posplošimo naše razmisleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) = −kD · p +nD in qS(p) = kS · p +nS. Pri tem so kD, kS,nD > 0. Izračunajmo ravnotežno ceno p∗. Iz −kD · p +nD = kS · p +nS sledi, da je iskana cena enaka p∗ = nD −nS kD + kS . Omenimo, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene zmanjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vzemimo funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) = −2 · p + 20. Tako je kD = 2. Denimo, da je cena izdelka p = 8 denarnih enot in predposta- vimo, da to ceno povečamo na p = 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p = 8 je qD(8) = 4, pri ceni p = 9 pa qD(9) = 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p = 8 na p = 9 za dve enoti. Vzemimo sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) = −p + 20. Tokrat je kD = 1. Sledi, da je qD(8) = 12 in qD(9) = 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz osem na devet denarnih enot zmanjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene povečanje ponudbe. 5 Kljub znani funkciji povpraševanja in ponudbe se v praksi pogosto zgodi, da na trgu v nekem obdobju cena izdelka ni enaka ravnotežni ceni. Na ponudbo izdelka na trgu lahko namreč vplivajo tudi številni zunanji dejavniki kot so npr. vremenske ujme. Model paǰcevine Vzemimo kmetijski pridelek (npr. pšenico ali hmelj) in denimo, da za ta pridelek poznamo funk- ciji povpraševanja in ponudbe, ki sta prikazani na sliki 4. V primeru, da ni zunanjih motenj, bosta na trgu doseženi ravnotežna cena p∗ in ravnotežna ko- ličina q∗. Denimo, da je zaradi zunanjih dejavnikov, kot je npr. suša, pomanjkanje pridelka na trgu. Za- radi tega pomanjkanja zraste na trgu cena (enote) pridelka iz p∗ na p0. Kmetje pozimi načrtujejo koli- čino proizvodnje pridelka za prihajajoče leto. Svoje načrte delajo na osnovi višje cene pridelka p0, zato se v naslednjem letu na trgu pojavi večja količina pri- delka: q1 = qS(p0). Ker pa je sedaj količina pridelka na trgu večja, pade cena, ki jo za enoto pridelka pla- čujejo potrošniki. Nova cena znaša p1 = pD(q1). Za- ključimo lahko, da je zaradi zunanjih motenj cena na trgu najprej narasla iz p∗ na p0, nato pa padla na od ravnotežne cene p∗ na nižjo ceno p1. Slika 4 Proces se ponovi v naslednjem letu. Nižja cena p1 privede do zmanjšanja proizvodnje pridelka. Koli- čina proizvodnje pade na q2, kar porodi višjo ceno p2. Z nadaljevanjem procesa dobimo zaporedji cen p0, p1, p2, . . . in količin q0, q1, q2, . . . . Iz slike 4 lahko vidimo, zakaj je ta model napovedovanja pri- hodnjih cen in količin dobil ime „model pajčevine“ (ang. cobweb model). Čas je v modelu pajčevine obravnavan kot diskre- tna spremenljivka, kar pomeni, da čas razdelimo na posamezna obdobja (npr. leta): t = 0,1,2, . . . . Na sliki 4 cene pt, t = 0,1,2, . . . , nihajo okrog ravno- težne cene p∗. Slika 4 nakazuje tudi, da se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravnotežni ceni; mate- matiki bomo rekli, da zaporedje cen pt s časom kon- vergira proti ravnotežni ceni p∗. V splošnem temu ni nujno tako. Lastnosti zaporedja cen so odvisne od začetne cene p0, funkcije ponudbe qS in od (in- verzne) funkcije povpraševanja pD. Če posplošimo, cena pt v obdobju t določa količino ponudbe qt+1 v obdobju t + 1, ki nato določa ceno pt+1 : qt+1 = qS(pt), pt+1 = pD(qt+1). (1) Ceno pt+1 v obdobju t+1 določimo s pomočjo funk- cije pD in pri tem upoštevamo temeljno načelo, po katerem bo trg v ravnovesju, če bo količina ponudbe v vsakem obdobju enaka količini povpraševanja. Splošni linearni primer 6 Poiskati moramo točko, kjer se premici sekata. Iz qD(p) = qS(p) dobimo enačbo −2 · p + 20 = 23 · p − 4. Sledi, da je 83 ·p = 24 in zato p = 9. Ravnotežna cena je p∗ = 9 denarnih enot. Poiščimo še ravnotežno količino. Iz qD(9) = −2 · 9+ 20 = 2 lahko zaključimo, da je q∗ = 2 ravnotežna količina. Bralec lahko preveri dobljeni rezultat, tako da v isti koordinatni sistem nariše funkciji povpraševanja in ponudbe. Posplošimo naše razmisleke na splošni linearni zgled. Zgled 4 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni: qD(p) = −kD · p +nD in qS(p) = kS · p +nS. Pri tem so kD, kS,nD > 0. Izračunajmo ravnotežno ceno p∗. Iz −kD · p +nD = kS · p +nS sledi, da je iskana cena enaka p∗ = nD −nS kD + kS . Omenimo, da koeficient kD določa „občutljivost“ po- trošnikov na ceno izdelka. Večji kot je ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene zmanjšanje povpraševanja. Zgled 5 Vzemimo funkcijo povpraševanja iz zgleda 3: qD(p) = −2 · p + 20. Tako je kD = 2. Denimo, da je cena izdelka p = 8 denarnih enot in predposta- vimo, da to ceno povečamo na p = 9 denarnih enot. Povpraševanje pri ceni p = 8 je qD(8) = 4, pri ceni p = 9 pa qD(9) = 2. Povpraševanje pade ob poveča- nju cene iz p = 8 na p = 9 za dve enoti. Vzemimo sedaj funkcijo povpraševanja qD(p) = −p + 20. Tokrat je kD = 1. Sledi, da je qD(8) = 12 in qD(9) = 11. Povpraševanje se tokrat pri povečanju cene iz osem na devet denarnih enot zmanjša le za eno enoto. Podobno koeficient kS določa „občutljivost“ proizva- jalcev na ceno: večji kot bo ta koeficient, močnejše bo ob danem povečanju cene povečanje ponudbe. 5 slika 4. M del pajčevine led 4 č gled 5 Presek 39 (2011/2012) 6 qq 1 q*q2 p p 0 p 2 p* p 1 SD 8 m a t e m a t i k a • zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen ločimo tri primere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen ločimo tri primere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, s j v primeru, če se proces začne (brez „zu a- njih motenj“) pri ravnot žni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi se prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcij h povpraševanja qD(p) = −kD ·p+ D in pon dbe qS( ) = kS ·p+nS s časom spreminja po aslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse b lj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je v dno tak . Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta na en loči o tri prim re: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ug - tovimo lahko tu i, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojem j čo ampli- tud ). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · t) niha u- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt ( p0 b 1 a ) · at b 1 a . (6) Spo ni o se, da je b nD−nSkD . V zgledu 4 s o ug tovili, da je r vnotežna cena enaka p∗ nD−nSk +kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ b1−a . To ni presene- tljivo, s j v pri eru, če se proces začne (brez „zu a- njih otenj“) pri ravnot žni ceni p0 p∗, pričaku- je o, da bodo tudi se prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključi o lahko, da se cena v odelu pajče- vine pri linearnih funkcij h povpraševanja qD(p) kD ·p D in pon dbe qS( ) kS ·p S s časo spre inja po aslednje predpisu: pt ( p0 p∗ ) · ( kS D )t p∗, t 0,1,2, . . . (7) ver e ca za re ja ce Z odelo napoveduje o prihodnje cene pt. a sliki 4 se cene s časo vse b lj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je v dno tak . Š aprej naj bo a kS D . naliziraj o spre inja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta na en loči o tri pri re: (a) 1 a 0, (b) a 1, (c) a 1. Preden bo o preučili vse tri pri ere, si zastavi o naslednjo nalogo. al a naliziraj o zaporedje ( 1/2)t, t 0,1,2, . . . re za zaporedje ( 1/2)0, ( 1/2)1, ( 1/2)2, ( 1/2)3, ( 1/2)4 . . . oz. 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanje t „bližajo“ številu 0. Zaporedje ( 1/2)t konvergira proti 0. g - tovi o lahko tu i, da pozitivne u členu zaporedja sledi negativni člen. Pravi o, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s poje j čo a pli- tud ). Ker je v pri eru (a) 1 a 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovi o, da zaporedje at (in s te tudi zaporedje ( p0 p∗ ) · t) niha u- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, s j v primeru, če se proces začne (brez „zu a n h motenj“) pri ravnot žni ceni p0 = p∗, pričaku jemo, da bodo tudi se prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcij h povpraševanja qD(p) = −kD ·p+ D in pon dbe qS( ) = kS ·p+nS s časom spreminja po aslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse b lj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je v dno tak . Še aprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta na en loči o tri prim re: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ug - tovimo lahko tu i, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojem j čo ampl tud ). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · t) niha u- 8 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+nD in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD kD = − kSkD · pt + nD−nS kD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešitev so namreč vsa zaporedja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a negativna konstanta in zato a ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, da je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zato je zt = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), da je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+nD in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD kD = − SkD · pt + nD−nS kD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešitev so namreč vsa zaporedja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a negativna konstanta in zato a ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, da je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zato je zt = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), da je vsako 7 aj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD( ) kD · D (2) in qS( ) kS · S , kD, kS, D 0. Izrazi o iz (2) ceno . Iz q kD · D, sledi, da je kD · q D in zato D(q) 1 kD · q nD kD . Iz (1) dobi o t+1 1 kD · qt+1 nD kD 1 kD · (kS · t S) nD kD kS kD · t nD−nS kD . znači o kS kD in b D S kD , da dobi o enačbo t+1 · t b. (3) aš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. ešitev so na reč vsa zaporedja t, t 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preveri o najprej, če obstaja konstantno zapored- je t F, ki ustreza tej enačbi. (Za lajše bralce o eni o, da pod poj o konstantno zaporedje i- sli o na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) er je t F za vsak t, je tudi t+1 F in zato F ·F b. Sledi, da je F · (1 ) b. Enačbo deli o z (1 ), kar lahko stori o, saj je negativna konstanta in zato 1. ako je F b1−a . Zaporedje t b 1−a ustreza zgornji enačbi. a bo o našli vse rešitve enačbe (3) si bo o po agali s preprosti triko . pelji o novo neznanko zt na naslednji način: t b 1 zt. (4) Sledi, da je t+1 b 1−a zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1 zt+1 · ( b 1 zt ) b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 · zt. (5) eni o, da pozna o prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 · z0, z2 · z1 in zato z2 2 · z0. Podobno je z3 3 · z0. Zaključi o lahko, da je zt t · z0. obljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 0 b1−a , zato je zt ( 0 b 1−a ) · t. Sledi (glej enačbo (4), da je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+nD in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD kD = − kSkD · pt + nD−nS kD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešitev so namreč vsa zaporedja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a negativna konstanta in zato a ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, da je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zato je zt = ( p0 − b1 a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), da je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+nD in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD kD = − kSkD · pt + nD−nS kD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešitev so namreč vsa zaporedja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a negativna konstanta in zato a ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, da je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti 0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zato je zt = ( p0 − b1 a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), da je vsako 7 − j st f ciji r še j i e li e- r i f ciji ( ) · ( ) i S( ) S · S , , S , . I r i i ( ) ce . I · , sle i, je · i t ( ) 1 kD · D kD . I ( ) i t 1 1 kD · t 1 D kD 1 kD · ( S · t S) D kD S kD · t D S kD . ci S i S , i e c t 1 · t . ( ) š cilj je is ti se rešit e te e c e. r lec l i, e re „ ic j “ e c , tere rešite je e šte il . ešite s rec s re j t, t , , , . . . , i stre j e c i ( ). re eri j rej, ce st j st t re - je t , i stre tej e c i. ( l jše r lce e i , j st t re je i- sli re je e i šte il: , , , . . . .) er je t s t, je t i t 1 i t · . le i, je · ( ) . c eli ( ), r l st ri , s j je e ti st t i t . je b1 a . re je t b 1 a stre r ji e c i. šli se rešit e e c e ( ) si li s re r sti tri . elji e t sle ji ci : t t. ( ) le i, je t 1 b 1 a t 1. I e c e ( ) sle i, je t 1 · t , r re e e e c ( ) re r stejš li : t 1 · t. ( ) e i , r i cle 0 re j t. ( ) je 1 · 0, 2 · 1 i t 2 2 · 0. je 3 3 · 0. lj ci l , je t t · 0. lje e st elj lj i ir re sti 0. I e c e ( ) sle i, je 0 0 b 1 a , t je t 0 b 1 a · t. le i ( lej e c ( ), je s Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+ D in zato pD(q) = − 1kD · q + nD k . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD k = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD k = − S D · pt + nD−nSkD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ načbo, kater rešitev je neko število. Rešitev so amreč vsa z poredja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustr zaj enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ust za tej enačbi. (Z mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zapor dje mi- slimo na zapore je enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a egativna k nstanta in zato a ≠ 1. Tak je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a us reza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim t ikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · 0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, d je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti 0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zat je zt = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), d je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+ D in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD (kS · pt +nS)+ nDkD S · pt + nD−nSkD . Označimo a = − kS D in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ načbo, kater rešitev je neko število. Rešitev so amreč vsa z poredja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustr zaj enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ust za tej enačbi. (Z mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zapor dje mi- slimo na zapore je enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a egativna k nstanta in z to a ≠ 1. Tak je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a us reza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim t ikom. Vpeljimo novo neznanko zt na nasl dnji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · 0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, d je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti 0. Iz enačbe (4) sl di, da je z0 = p0 − b1−a , zat je zt = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (glej enačbo (4), d je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+ D in zato pD(q) = − 1kD · q + nD kD . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD kD = − 1kD · (kS · pt +nS)+ nD kD = − kSkD · pt + nD−nS kD . Označimo a = − kS D in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ načbo, kater rešitev je neko število. Rešit v so amr č vsa z poredj pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustr zaj enačbi (3). Preverimo najprej, če obst ja konst ntno zapored- je pt = F, ki ust za tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zapor dje mi slimo na zapore j enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker j pt = F za vs k t, je tudi pt+1 = F i zato F−a·F = b. S edi, d je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko torimo, saj je a egativna k nstanta in z to ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje pt = b 1−a us reza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim t ikom. Vpeljimo n vo n znanko zt na nasl dnj način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · 0, z2 = a · z1 in zato z2 = 2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zak jučimo lahko, d je zt = at · 0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti 0. Iz enačbe (4) sl di, d je z0 = p0 − b1−a , zat je zt = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (gl j enačbo (4), d je vsako 7 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+nD in zato pD(q) = − 1kD · q + nD k . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD k (kS · pt +nS)+ nDk S pt + nD−nSkD . Označimo a = − kS kD in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešit v so namr č vsa zaporedj pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obst ja konst ntno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedj enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker j pt = F za vs k t, je tudi pt+1 = F i zato F−a·F = b. Sledi, d je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko torimo, saj je a negativna konstanta in zato a ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje p = b 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo ašli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo n vo n znanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt+1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, d je zt = at · 0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sledi, da je z0 = p0 − b1−a , zato je t = ( p0 − b1−a ) ·at. Sledi (gl j enačbo (4), da j vsako 7 e j t f iji r j i li - r i f iji ( ) · ( ) i S( ) S · S , , S , . I r i i ( ) . I · , l i, j · i t ( ) 1 kD · D kD . I ( ) i t 1 1 kD · t 1 D kD = − 1kD · ( S · t S) D kD S t D S . i S i S , i t 1 · t . ( ) ilj j i ti r it t . r l l i, r „ i j “ , t r r it j t il . it r r j t, t , , , . . . , i tr j i ( ). r ri j r j, t j t t r - j t , i t t j i. ( l j r l i , j t t r j i li r j i t il: , , , . . . .) r j t t, j t i t 1 i t · . i, j · ( ) . li ( ), r l t ri , j j ti t t i t . j b1 . r j t b 1 r r ji i. li r it ( ) i li r r ti t i . lji t l j i : t t. ( ) l i, j t 1 b 1 t 1. I ( ) l i, j t 1 · t , r r ( ) r r t j li : t 1 · t. ( ) i , r i l 0 r j t. ( ) j 1 · 0, 2 · 1 i t 2 2 · 0. j 3 3 · 0. j i l , j t t · 0. lj t lj lj i ir r ti 0. I ( ) l i, j 0 0 b 1 , t j zt 0 b1 · t. l i ( lej ( ), j Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe line- arni funkciji qD(p) = −kD · p +nD (2) in qS(p) = kS · p +nS, kD, kS,nD > 0. Izrazimo iz (2) ceno p. Iz q = −kD · p+nD, sledi, da je kD ·p = −q+ D in zato pD(q) = − 1kD · q + nD k . Iz (1) dobimo pt+1 = − 1kD · qt+1 + nD k (kS · pt +nS)+ nDk S pt + nD−nS . Označimo a = − kS D in b = nD −nS kD , da dobimo enačbo pt+1 − a · pt = b. (3) Naš cilj je poiskati vse rešitve te enačbe. Bralec lahko opazi, da ne gre za „obǐcajno“ enačbo, katere rešitev je neko število. Rešitev so namreč vsa zaporedja pt, t = 0,1,2, . . . , ki ustrezajo enačbi (3). Preverimo najprej, če obstaja konstantno zapored- je pt = F, ki ustreza tej enačbi. (Za mlajše bralce omenimo, da pod pojmom konstantno zaporedje mi- slimo na zaporedje enakih števil: F, F, F, . . . .) Ker je pt = F za vsak t, je tudi pt+1 = F in zato F−a·F = b. Sledi, da je F · (1− a) = b. Enačbo delimo z (1− a), kar lahko storimo, saj je a negativna konstanta in z to ≠ 1. Tako je F = b1−a . Zaporedje p = 1−a ustreza zgornji enačbi. Da bomo našli vse rešitve enačbe (3) si bomo pomagali s preprostim trikom. Vpeljimo novo neznanko zt na naslednji način: pt = b 1− a + zt. (4) Sledi, da je pt 1 = b1−a + zt+1. Iz enačbe (3) sledi, da je b 1− a + zt+1 − a · ( b 1− a + zt ) = b, kar prevede enačbo (3) na preprostejšo obliko: zt+1 = a · zt. (5) Denimo, da poznamo prvi člen z0 zaporedja zt. Po (5) je z1 = a · z0, z2 = a · z1 in zato z2 = a2 · z0. Podobno je z3 = a3 · z0. Zaključimo lahko, da je zt = at · z0. Dobljena enakost velja za poljubno izbiro vrednosti z0. Iz enačbe (4) sl di, d je z0 = p0 − b1−a , zat je t = ( p0 − b1−a ) ·at. Sl di (gl j enačbo (4), da j vsako 7 Kljub znani funkciji povpraševanja in ponudbe se v praksi pogosto zgodi, da na trgu v nekem obdobju cena izdelka ni enaka ravnotežni ceni. Na ponudbo izdelka na trgu lahko namreč vplivajo tudi številni zunanji dejavniki kot so npr. vremenske ujme. Model paǰcevine Vzemimo kmetijski pridelek (npr. pšenico ali hmelj) in denimo, da za ta pridelek poznamo funk- ciji povpraševanja in ponudbe, ki sta prikazani na sliki 4. V primeru, da ni zunanjih motenj, bosta na trgu doseženi ravnotežna cena p∗ in ravnotežna ko- ličina q∗. Denimo, da je zaradi zunanjih dejavnikov, kot je npr. suša, pomanjkanje pridelka na trgu. Za- radi tega pomanjkanja zraste na trgu cena (enote) pridelka iz p∗ na p0. Kmetje pozimi načrtujejo koli- čino proizvodnje pridelka za prihajajoče leto. Svoje načrte delajo na osnovi višje cene pridelka p0, zato se v naslednjem letu na trgu pojavi večja količina pri- delka: q1 = qS(p0). Ker pa je sedaj količina pridelka na trgu večja, pade cena, ki jo za enoto pridelka pla- čujejo potrošniki. Nova cena znaša p1 = pD(q1). Za- ključimo lahko, da je zaradi zunanjih motenj cena na trgu najprej narasla iz p∗ na p0, nato pa padla na od ravnotežne cene p∗ na nižjo ceno p1. Slika 4 Proces se ponovi v naslednjem letu. Nižja cena p1 privede do zmanjšanja proizvodnje pridelka. Koli- čina proizvodnje pade na q2, kar porodi višjo ceno p2. Z nadaljevanjem procesa dobimo zaporedji cen p0, p1, p2, . . . in količin q0, q1, q2, . . . . Iz slike 4 lahko vidimo, zakaj je ta model napovedovanja pri- hodnjih cen in količin dobil ime „model pajčevine“ (ang. cobweb model). Čas je v modelu pajčevine obravnavan kot diskre- tna spremenljivka, kar pomeni, da čas razdelimo na posamezna obdobja (npr. leta): t = 0,1,2, . . . . Na sliki 4 cene pt, t = 0,1,2, . . . , nihajo okrog ravno- težne cene p∗. Slika 4 nakazuje tudi, da se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravnotežni ceni; mate- matiki bomo rekli, da zaporedje cen pt s časom kon- vergira proti ravnotežni ceni p∗. V splošnem temu ni nujno tako. Lastnosti zaporedja cen so odvisne od začetne cene p0, funkcije ponudbe qS in od (in- verzne) funkcije povpraševanja pD. Če posplošimo, cena pt v obdobju t določa količino ponudbe qt+1 v obdobju t + 1, ki nato določa ceno pt+1 : qt+1 = qS(pt), pt+1 = pD(qt+1). (1) Ceno pt+1 v obdobju t+1 določimo s pomočjo funk- cije pD in pri tem upoštevamo temeljno načelo, po katerem bo trg v ravnovesju, če bo količina ponudbe v vsakem obdobju enaka količini povpraševanja. Splošni linearni primer 6 i li earni pri er resek 39 (2011/2012) 6 9 m a t e m a t i k a • zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen ločimo tri primere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen ločimo tri primere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD nSkD . V zgledu 4 smo ug tov li, da je r vnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni prese e- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, pričaku- jemo, da bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Š aprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta na en loči o tri primere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da pozi ivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 r j , i tr i ( ), l j li : t 0 · t . ( ) i , j S . l t ili, j ra t S S . r l l r ri, j 1 . i r - tlji , j ri r , r ( r - ji t j ) ri r t i i 0 , ri - j , t i ri j t i . lj i l , l j - i ri li r i f ij r j · i S S · S r i j l j r i : t 0 · S t , t , , , . . . ( ) j l j ri j t. li i lj ri li j j r - t i i. t lj r j , j t . e n r j j S . li ir j r i j - j t i ti . t m l im tri ri r : ( ) , ( ) , ( ) . r r ili tri ri r , i t i l j l . l li ir j r j t, t , , , . . . r r j 0, 1, 2, 3, 4 . . . . , , , , , . . . . r l l (t i r r j r ji ) - t i, l i r j j t li j t il . r j t r ir r ti . - t i l t i, i i l r j l i ti i l . r i , l i r j i- j r t il ( j j li- t ). r j ri r , l - i t ri r j ji l i t i , r j t (i t t i r j 0 · t) i - , , : , D D . , D D , , , „ “ , , ( ) ( ) : D „ “ . , . D : , . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . , „ “ ( ) , t . , „ “ . ( ) , k k k k k k k zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: t = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ug tov li, da je r vnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, s j v primeru, če se proces začne (brez „zu a n h motenj“) pri ravnot žni ceni p0 = p∗, pričaku jemo, da bodo tudi se prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se cena v modelu pajče- vine pri linearnih funkcij h povpraševanja qD(p) = −kD ·p+ D in pon dbe qS( ) = kS ·p+nS s časom spreminja po aslednjem predpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s časom vse b lj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je v dno tak . Š aprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta na en loči o tri prim re: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (−1/2)4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ug - tovimo lahko tu i, da pozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da členi zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojem j čo ampl tud ). Ker je v primeru (a) −1 < a < 0, lahko na enak na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · t) niha u- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: t = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spo ni o se, da je b = nD nSkD . V zgledu 4 s o ugotov li, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1−a . To ni presene- tljivo, saj v pri eru, če se proces začne (brez „zu a- njih otenj“) pri ravnotežni ceni p0 = p∗, priča u- je o, d bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zakl uči o lahko, da se c na v odelu pajče vine pri li earnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časo spre inja po naslednje pr dpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z odelo napoveduje o prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s č so vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analiziraj o spre inja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen ločimo tri pri ere: (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bo o preučili vse tri pri ere, si zastavi o naslednjo nalogo. Naloga Analiziraj o zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (− / )4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi, da se členi zaporedja z večanje t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovi o lahko tudi, da ozi ivne u členu zaporedja sledi negativni člen. Pravi o, da čle i zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s poje ajočo a pli udo). Ker je v pri ru (a) −1 < a < 0, lahko na en k na čin kot pri prejšnji nalogi ugotovi o, da zaporedje at (in s te tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 zaporedje, ki ustreza enačbi (3), naslednje oblike: pt = ( p0 − b 1− a ) · at + b 1− a. (6) Spomnimo se, da je b = nD−nSkD . V zgledu 4 smo ugotovili, da je ravnotežna cena enaka p∗ = nD−nSkD+kS . Bralec lahko preveri, da je p∗ = b1− . To ni prese e- tljivo, saj v primeru, če se proces začne (brez „zuna- njih motenj“) pri ravnotežni ceni p0 = , priča u- jemo, d bodo tudi vse prihodnje cene pt enake ceni p∗. Zaključimo lahko, da se c na v modelu pajče- vine pri li earnih funkcijah povpraševanja qD(p) = −kD ·p+nD in ponudbe qS(p) = kS ·p+nS s časom spreminja po naslednjem pr dpisu: pt = ( p0 − p∗ ) · ( − kSkD )t + p∗, t = 0,1,2, . . . (7) Konvergenca zaporedja cen Z modelom napovedujemo prihodnje cene pt. Na sliki 4 se cene s č som vse bolj „približujejo“ ravno- težni ceni. Zastavlja se vprašanje, če je vedno tako. Še naprej naj bo a = − kSkD . Analizirajmo spreminja- nje cene pt v odvisnosti od a. V ta namen l čimo tri primer : (a) −1 < a < 0, (b) a = −1, (c) a < −1. Preden bomo preučili vse tri primere, si zastavimo naslednjo nalogo. Naloga Analizirajmo zaporedje (−1/2)t, t = 0,1,2, . . . Gre za zaporedje (−1/2)0, (−1/2)1, (−1/2)2, (−1/2)3, (− / )4 . . . oz. 1,−1 2 , 1 4 ,−1 8 , 1 16 , . . . . Bralec lahko (tudi brez predznanja o zaporedjih) ugo- tovi da se členi zaporedja z večanjem t „bližajo“ številu 0. Zaporedje (−1/2)t konvergira proti 0. Ugo- tovimo lahko tudi, da ozitivnemu členu zaporedja sledi negativni člen. Pravimo, da čle i zaporedja „ni- hajo“ okrog števila 0 dušeno (s pojemajočo ampli- tudo). Ker je v prim ru (a) −1 < a < 0, lahko na en k na- čin kot pri prejšnji nalogi ugotovimo, da zaporedje at (in s tem tudi zaporedje ( p0 − p∗ ) · at) niha du- 8 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna cena p∗ v tem primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna cena p∗ v tem primeru sta bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. R vnotež a cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zakl učim , d zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v te primeru ravnotežna cena asi p- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- r z „stabi na“ ravnotežna c na in pravijo, da je trg stabil n. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna c na p∗ t m primeru sta- b lna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog r vnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizv jalci manj občutljivi na ce o kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta pri er uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna cena p∗ v tem primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s p jemajočo amplitudo) okr g ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti ogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, ce je t liho število. Cene nihajo akomer o okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotež a cena p∗ v tem primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), pote bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potroš iki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgl d 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zakl učim , d zaporedje cen pt niha dušeno (s p jemajočo amplitudo) okr g ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti ogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- r z „stabi na“ ravnotežna c na in pravijo, da je trg stabil n. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V pri eru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo akomer o okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna c na p∗ v t m primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ek nomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabile . Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizv j lci manj občutljivi na ce o kot po- trošniki (i. e. kS < kD), pote bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgl d 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- sle nje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključim , d zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabil n. Slika 5 Na p doben način analiziramo primera (b) in (c). V pri eru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enako erno okrog ravnotežn cene ed dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra vi o, da je ravnotežna c na p∗ v m primeru sta bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne c , a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna c na je nestabilna (slika 7). Ek nomisti pravijo, da je v tem pri eru trg nestabile . Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če s proizv jalci manj občutljivi na ce o kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi n ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- sle nje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 lika 5. Asimptotsko stabilna ravnotežna cen Presek 39 (2011/2012) 6 q p p 0 S D 10 m a t e m a t i k a • Če je začetna cena p0 = 7501, preverimo, kako se obnaša zaporedje cen. Iz enačb (1) dobimo naslednji enačbi: qt+1 = 3pt − 21500, pt+1 = 8500− qt+1. Sledi, da je pt+1 = 8500− ( 3pt − 21500 ) in zato pt+1 + 3pt = 30000. Ob upoštevanju, da je p0 = 7501, a = −3 in b = 30000, sledi iz predpisa (6), da je: pt = ( 7501− 30000 1+ 3 ) · (−3)t + 30000 1+ 3 = (−3)t + 7500. Ker je a < −1, gre za primer (c). Ravnotežno cena je enaka p∗ = b 1− a = 30000 1− (−3) = 7500. S časom nihajo cene pt okrog ravnotežne cene p∗ = 7500 z naraščajočo amplitudo. Pri tem je na mestu vprašanje, če je tako obnašanje zaporedja cen sploh mogoče v realnem svetu ekonomije. Model namreč napoveduje, da bodo za dovolj velike vrednosti t ne- katere cene celo negativne (glej sliko 7). V tem pri- meru lahko na model pajčevine gledamo le kot na za- časni model napovedovanja prihodnjih cen: v resnici (glej [3]) proizvajalci in potrošniki slej kot prej ugo- tovijo, kaj se dogaja, in spremenijo svoja ravnanja tako, da le-ta niso več v skladu z napovedmi modela. 10 Če je začetna cena p0 = 7501, preverimo, kako se obnaša zaporedje cen. Iz enačb (1) dobimo naslednji enačbi: qt+1 = 3pt − 21500, pt+1 = 8500− qt+1. Sledi, da je pt+1 = 8500− ( 3pt − 21500 ) in zato pt+1 + 3pt = 30000. Ob upoštevanju, da je p0 = 7501, a = −3 in b = 30000, sledi iz predpisa (6), da je: pt = ( 7501− 30000 1+ 3 ) · (−3)t + 30000 1+ 3 = (−3)t + 7500. Ker je a < −1, gre za primer (c). Ravnotežno cena je enaka p∗ = b 1− a = 30000 1− (−3) = 7500. S časom nihajo cene pt okrog ravnotežne cene p∗ = 7500 z naraščajočo amplitudo. Pri tem je na mestu vprašanje, če je tako obnašanje zaporedja cen sploh mogoče v realnem svetu ekonomije. Model namreč napoveduje, da bodo za dovolj velike vrednosti t ne- katere cene celo negativne (glej sliko 7). V tem pri- meru lahko na model pajčevine gledamo le kot na za- časni model napovedovanja prihodnjih cen: v resnici (glej [3]) proizvajalci in potrošniki slej kot prej ugo- tovijo, kaj se dogaja, in spremenijo svoja ravnanja tako, da le-ta niso več v skladu z napovedmi modela. 10 Če je začetna cena p0 7501, preveri o, kako se obnaša zaporedje cen. Iz enačb (1) dobi o naslednji enačbi: qt+1 3pt 21500, pt+1 8500 qt+1. Sledi, da je pt+1 8500 ( 3pt 21500 ) in zato pt+1 3pt 30000. b upoštevanju, da je p0 7501, a 3 in b 30000, sledi iz predpisa (6), da je: pt ( 7501 30000 1 3 ) · ( 3)t 30000 1 3 ( 3)t 7500. Ker je a 1, gre za pri er (c). Ravnotežno cena je enaka p∗ b 1 a 30000 1 ( 3) 7500. S časo nihajo cene pt okrog ravnotežne cene p∗ 7500 z naraščajočo a plitudo. Pri te je na estu vprašanje, če je tako obnašanje zaporedja cen sploh ogoče v realne svetu ekono ije. odel na reč napoveduje, da bodo za dovolj velike vrednosti t ne- katere cene celo negativne (glej sliko 7). V te pri- eru lahko na odel pajčevine gleda o le kot na za- časni odel napovedovanja prihodnjih cen: v resnici (glej [3]) proizvajalci in potrošniki slej kot prej ugo- tovijo, kaj se dogaja, in spre enijo svoja ravnanja tako, da le-ta niso več v skladu z napoved i odela. 10 = = − = − = − − + = O = = − = = − + − + + = − + < − = − = − − = = j , i , j . I ( ) i l ji i: t t , t t . l i, j t t i t t . j , j , i , l i i i ( ), j : t t t . j , i ( ). j . i j t j li . i j j , j j j l l ij . l j , lj li i - l i ( l j li . i- l l j i l l - i l j i ji : i i ( l j [ ]) i j l i i i i l j j - ij , j j , i ij j j , l - i l i l . slika 6. Stabilna ravnotežna cena slika 7. Nestabilna ravnotežna cena Zgled 6 presek 39 (2011/2012) 6 q p p 0 S q p p 0 S D D Trditev šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna cena p∗ v tem primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) okrog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko- nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz- raz „stabilna“ ravnotežna cena in pravijo, da je trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, če je t liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnotežna cena p∗ v tem primeru sta- bilna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z naraščajočo amplitudo. Ravnotežna cena je nestabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimptotsko) stabilen. Če so proizvajalci bolj občutljivi na ceno kot potrošniki (i. e. kS > kD), bo trg nestabilen. Zgled 6 Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje oblike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 šeno (s pojemajočo amplitudo) okrog 0. Ker je (glej predpis (7)) pt = ( p0 − p∗ ) · at + p∗, lahko zaključimo, da zaporedje cen pt niha dušeno (s pojemajočo amplitudo) krog ravnotežne cene p∗. Pravimo, da je v tem primeru ravnotežna cena asimp- totsko stabilna (glej sliko 5). Opozoriti velja, da eko nomisti pogosto za ta primer uporabljajo krajši iz raz „ abilna“ ravno ežna c na in pravijo, da e trg stabilen. Slika 5 Na podoben način analiziramo primera (b) in (c). V primeru (b) je pt = { p0, če je t sodo število 2p∗ − p0, j liho število. Cene nihajo enakomerno okrog ravnotežne cene med dvema fiksnima vrednostima: p0 in 2p∗ − p0. Pra- vimo, da je ravnot ž a cena p∗ v tem primeru st b lna (slika 6). Slika 6 V primeru (c) cene spet nihajo okrog ravnotežne cene, a z narašˇajočo amplitudo. Ravn težna cena j n stabilna (slika 7). Ekonomisti pravijo, da je v tem primeru trg nestabilen. Slika 7 Ugotovitve lahko povzamemo v naslednji trditvi, ki je v ekonomiji znana kot cobweb izrek [2]. Trditev Če so proizvajalci manj občutljivi na ceno kot po- trošniki (i. e. kS < kD), potem bo trg (asimpt sk ) stabilen. Če so proizvajalci bolj o čutljivi na ceno t potroš iki (i. e. kS > kD), bo trg nestab len. Naj bosta funkciji povpraševanja in ponudbe na- slednje blike: qS(p) = 3p − 21500 in qD(p) = 8500− p. 9 5 7 6 3 8 7 4 2 2 6 1 4 1 3 6 2 5 4 Barvni sudoku V 8× 8 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 8, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih iste barve (pravokotnikih 2× 4) nastopalo vseh 8 števil. 1 • Barvni sudoku Če je začetna cena p0 = 7501, preverimo, kako se obnaša zaporedje cen. Iz enačb (1) dobimo naslednji enačbi: qt+1 = 3pt − 21500, pt+1 = 8500− qt+1. Sledi, da je pt+1 = 8500− ( 3pt − 21500 ) in zato pt+1 + 3pt = 30000. Ob upoštevanju, da je p0 = 7501, a = −3 in b = 30000, sledi iz predpisa (6), da je: pt = ( 7501− 30000 1+ 3 ) · (−3)t + 30000 1+ 3 = (−3)t + 7500. Ker je a < −1, gre za primer (c). Ravnotežno cena je enaka p∗ = b 1− a = 30000 1− (−3) = 7500. S časom nihajo cene pt okrog ravnotežne cene p∗ = 7500 z naraščajočo amplitudo. Pri tem je na mestu vprašanje, če je tako obnašanje zaporedja cen sploh mogoče v realnem svetu ekonomije. Model namreč napoveduje, da bodo za dovolj velike vrednosti t ne- katere cene celo negativne (glej sliko 7). V tem pri- meru lahko na model pajčevine gledamo le kot na za- časni model napovedovanja prihodnjih cen: v resnici (glej [3]) proizvajalci in potrošniki slej kot prej ugo- tovijo, kaj se dogaja, in spremenijo svoja ravnanja tako, da le-ta niso več v skladu z napovedmi modela. 10 Literatura [1] M. Anthony in N. Biggs, Mathematics for econo- mics and finance: methods and modeling, Cam- bridge University press, Cambridge (1996). [2] S. N. Elaydi, An introduction to difference equati- ons, Springer-Verlag, New York (1999). [3] C. P. Wellford, A laboratory analysis of price dynamics and expectations in the cobweb model, Discussion paper 89–15, University of Arizona (1989). 11 Literatura [1] M. Anthony in N. Biggs, Mathematics for econo- mics and finance: methods and modeling, Cam- bridge University press, Cambridge (1996). [2] S. N. Elaydi, An introduction to difference equati- ons, Springer-Verlag, New York (1999). [3] C. P. Wellford, A laboratory analysis of price dynamics and expectations in the cobweb model, Discussion paper 89–15, University of Arizona (1989). 11 Literatura [1] M. Anthony in N. Biggs, Mathematics for econo- mics and finance: methods and modeling, Cam- bridge University press, Cambridge (1996). [2] S. N. Elaydi, An introduction to difference equati- ons, Springer-Verlag, New York (1999). [3] C. P. Wellford, A laboratory analysis of price dynamics and expectations in the cobweb model, Discussion paper 89–15, University of Arizona (1989). 11 teratura Križne vsote • Križne vsote Naloga reševalca je, da izpolni bele kvadratke s števkami od 1 do 9, tako, da je vsota števk v zapore- dnih belih kvadratkih po vrsticah in stolpcih enaka številu, ki je zapisano v sivem kvadratku na začetku vrstice (stolpca) nad (pod) diagonalo. Pri tem pa mo- rajo biti vse števke v posamezni vrstici (stolpcu) raz- lične. 1 8 7 16 9 16 11 8 16 15 5 17 21 4 19 17 7969 32917 786 31 8 716 916 11 8 1615 517 21 4 19 rešitev • • • Presek 39 (2011/2012) 6 11 m a t e m a t i k a + r a z v e d r i l o 12 f i z i k a V prejšnjem zapisu sem ob pogovoru s prijate- ljem Bogdanom poskušal osvetliti nekaj ključnih dejstev teorije relativnosti. Seveda se pogovor ni zaključil tam, kjer se je končal zapis. Nadaljevala sva nekako takole. „Lastnosti prostora in časa, lastnosti prostora in časa,“ je nezadovoljno brundal Bogdan. „A tu sta še zdrava pamet in logika. Če moja ura in opazovalčeva nista ubrani, ena vedno prehiteva drugo ali pa ena vedno zaostaja za drugo, ali ne? Kako potem lahko trdiš, da sta opazovalca enakopravna? Tisti, deniva, s počasnejšo uro je, spet deniva, na boljšem.“ Takoj mi je bilo jasno, da zadeve nisem dobro ra- zložil. To o drugačnem teku ur v različnih opazoval- nih sistemih ni tako preprosto, kot je Bogdan dojel. Moral sem izostriti razlago: „Deniva, da merim čas, ki poteče od oddaje svetlobnega bliska proti zame mirujočemu zrcalu do sprejema odbitega bliska. Re- civa temu lastni čas bliska. Potem pa merim to isto, le da me zanima čas od oddaje bliska do trenutka, ko ti sprejmeš ta blisk. Ti pa se giblješ vzporedno z zr- calom in si v trenutku, ko sprožim blisk, tik ob meni. Ker svetloba opravi daljšo pot, (tu sem narisal sliko 1), namerim tudi daljši čas kot prej. Ti pa seveda iz- meriš krajši čas bliska, saj si glede tega na istem kot jaz pri prvi meritvi. Ob teh izidih sicer lahko rečem, da tvoja ura zaostaja, a ti ne bom svetoval, da jo po- praviš. Oba sva namreč povsem na istem, in če sedaj ti meriš čas, ki ga potrebuje od tebe oddan blisk proti zrcalu in ki po odboju prispe do mene, boš ugotovil prav isto kot jaz: moja ura, kako nenadejano, zao- staja za tvojo.“ „No, to pa je že od sile. Obe uri sta hkrati hitrejši in počasnejši. Sicer je vsaj v tem logika, da postavi oba opazovalca v enakopraven položaj. A kako je sedaj z merjenjem časa? Enkrat je čas daljši, dru- gič spet krajši, situacija pa je za oba enaka, saj oba opazujeva oddajo in sprejem istega bliska. Moja ura zate zaostaja, zame pa zaostaja tvoja ura. Priznaj, da to res ni logično.“ „Seveda ni v obliki, ki si jo povedal,“ sem mu moral priznati. „A med mojim sprejemom bliska in tvojim, gledano z mojimi očmi, je bistvena razlika. Jaz sem svojo uro pognal v trenutku, ko sem blisk oddal, in jo ustavil, ko sem ga prejel, sicer prav tako kot ti, a oboje se je zgodilo v zame isti točki prostora. Ko pa sem meril čas, ki ga blisk porabi do tebe, se od- daja in sprejem nista zgodila v isti točki prostora. In prav to je odločilo o presoji, katera ura zaostaja. Bo- lje rečeno, namerjeni čas je najkrajši v sistemu, kjer se dogodka, ki sprožita in ustavita uro, zgodita na istem mestu. Takemu času pravimo lastni čas, za razliko od koordinatnega časa, ki je vedno daljši od lastnega časa.“ Bogdanu je zadeva počasi začela presedati. Pre- 2 V prejšnjem zapisu sem ob pogovoru s prijate- ljem Bogdanom poskušal osvetliti nekaj ključnih dejstev teorije relativnosti. Seveda se pogovor ni zaključil tam, kjer se je končal zapis. Nadaljevala sva nekako takole. „Lastnosti prostora in časa, lastnosti prostora in časa,“ je nezadovoljno brundal Bogdan. „A tu sta še zdrava pamet in logika. Če moja ura in opazovalčeva nista ubrani, ena vedno prehiteva drugo ali pa ena vedno zaostaja za drugo, ali ne? Kako potem lahko trdiš, da sta opazovalca enakopravna? Tisti, deniva, s počasnejšo uro je, spet deniva, na boljšem.“ Takoj mi je bilo jasno, da zadeve nisem dobro ra- zložil. To o drugačnem teku ur v različnih opazoval- nih sistemih ni tako preprosto, kot je Bogdan dojel. Moral sem izostriti razlago: „Deniva, da merim čas, ki poteče od oddaje svetlobnega bliska proti zame mirujočemu zrcalu do sprejema odbitega bliska. Re- civa temu lastni čas bliska. Potem pa merim to isto, le da me zanima čas od oddaje bliska do trenutka, ko ti sprejmeš ta blisk. Ti pa se giblješ vzporedno z zr- calom in si v trenutku, ko sprožim blisk, tik ob meni. Ker svetloba opravi daljšo pot, (tu sem narisal sliko 1), namerim tudi daljši čas kot prej. Ti pa seveda iz- meriš krajši čas bliska, saj si glede tega na istem kot jaz pri prvi meritvi. Ob teh izidih sicer lahko rečem, da tvoja ura zaostaja, a ti ne bom svetoval, da jo po- praviš. Oba sva namreč povsem na istem, in če sedaj ti meriš čas, ki ga potrebuje od tebe oddan blisk proti zrcalu in ki po odboju prispe do mene, boš ugotovil prav isto kot jaz: moja ura, kako nenadejano, zao- staja za tvojo.“ „No, to pa je že od sile. Obe uri sta hkrati hitrejši in počasnejši. Sicer je vsaj v tem logika, da postavi oba opazovalca v enakopraven položaj. A kako je sedaj z merjenjem časa? Enkrat je čas daljši, dru- gič spet krajši, situacija pa je za oba enaka, saj oba opazujeva oddajo in sprejem istega bliska. Moja ura zate zaostaja, zame pa zaostaja tvoja ura. Priznaj, da to res ni logično.“ „Seveda ni v obliki, ki si jo povedal,“ sem mu moral priznati. „A med mojim sprejemom bliska in tvojim, gledano z mojimi očmi, je bistvena razlika. Jaz sem svojo uro pognal v trenutku, ko sem blisk oddal, in jo ustavil, ko sem ga prejel, sicer prav tako kot ti, a oboje se je zgodilo v zame isti točki prostora. Ko pa sem meril čas, ki ga blisk porabi do tebe, se od- daja in sprejem nista zgodila v isti točki prostora. In prav to je odločilo o presoji, katera ura zaostaja. Bo- lje rečeno, namerjeni čas je najkrajši v sistemu, kjer se dogodka, ki sprožita in ustavita uro, zgodita na istem mestu. Takemu času pravimo lastni čas, za razliko od koordinatnega časa, ki je vedno daljši od lastnega časa.“ Bogdanu je zadeva počasi začela presedati. Pre- 2 prejšnje zapisu se ob pogovoru s prijate- lje Bogdano poskušal osvetliti nekaj ključnih dejstev teorije relativnosti. Seveda se pogovor ni zaključil ta , kjer se je končal zapis. adaljevala sva nekako takole. „Lastnosti prostora in časa, lastnosti prostora in časa,“ je nezadovoljno brundal Bogdan. „ tu sta še zdrava pa et in logika. Če oja ura in opazovalčeva nista ubrani, ena vedno prehiteva drugo ali pa ena vedno zaostaja za drugo, ali ne? Kako pote lahko trdiš, da sta opazovalca enakopravna? Tisti, deniva, s počasnejšo uro je, spet deniva, na boljše .“ Takoj i je bilo jasno, da zadeve nise dobro ra- zložil. To o drugačne teku ur v različnih opazoval- nih siste ih ni tako preprosto, kot je Bogdan dojel. oral se izostriti razlago: „ eniva, da eri čas, ki poteče od oddaje svetlobnega bliska proti za e irujoče u zrcalu do spreje a odbitega bliska. Re- civa te u lastni čas bliska. Pote pa eri to isto, le da e zani a čas od oddaje bliska do trenutka, ko ti sprej eš ta blisk. Ti pa se giblješ vzporedno z zr- calo in si v trenutku, ko sproži blisk, tik ob eni. Ker svetloba opravi daljšo pot, (tu se narisal sliko 1), na eri tudi daljši čas kot prej. Ti pa seveda iz- eriš krajši čas bliska, saj si glede tega na iste kot jaz pri prvi eritvi. b teh izidih sicer lahko reče , da tvoja ura zaostaja, a ti ne bo svetoval, da jo po- praviš. ba sva na reč povse na iste , in če sedaj ti eriš čas, ki ga potrebuje od tebe oddan blisk proti zrcalu in ki po odboju prispe do ene, boš ugotovil prav isto kot jaz: oja ura, kako nenadejano, zao- staja za tvojo.“ „ o, to pa je že od sile. be uri sta hkrati hitrejši in počasnejši. Sicer je vsaj v te logika, da postavi oba opazovalca v enakopraven položaj. kako je sedaj z erjenje časa? Enkrat je čas daljši, dru- gič spet krajši, situacija pa je za oba enaka, saj oba opazujeva oddajo in spreje istega bliska. oja ura zate zaostaja, za e pa zaostaja tvoja ura. Priznaj, da to res ni logično.“ „Seveda ni v obliki, ki si jo povedal,“ se u oral priznati. „ ed oji spreje o bliska in tvoji , gledano z oji i oč i, je bistvena razlika. Jaz se svojo uro pognal v trenutku, ko se blisk oddal, in jo ustavil, ko se ga prejel, sicer prav tako kot ti, a oboje se je zgodilo v za e isti točki prostora. Ko pa se eril čas, ki ga blisk porabi do tebe, se od- daja in spreje nista zgodila v isti točki prostora. In prav to je odločilo o presoji, katera ura zaostaja. Bo- lje rečeno, na erjeni čas je najkrajši v siste u, kjer se dogodka, ki sprožita in ustavita uro, zgodita na iste estu. Take u času pravi o lastni čas, za razliko od koordinatnega časa, ki je vedno daljši od lastnega časa.“ Bogdanu je zadeva počasi začela presedati. Pre- 2 . , . . , , . . , , , , , , , . , . , . : , , . . , , . , , . , , . , . , , , . , , , : , , . , . . , . , , , . , . , . , , . , , . , , , , , . , , . , . , , , , . , , . . Kako razložiti relativnost? • andrej likar presek 39 (2011/2012) 6 13 f i z i k a prostih odgovorov ni bilo več, vse se je začelo pre- več zapletati. Nič trdnega, jasnega, absolutnega. Re- signirano je povedal: „Navajen sem, da če ura zao- staja, pač zaostaja, ne glede na okoliščine.“ Že sva se začela meniti o nečem drugem, ko se je Bogdan nenadoma domislil. „Vse se pa le ne more zgoditi na istem mestu, pomisli na merjenje dolžine palice. Imam ribiško palico, en konec je tik ob meni, drugi pa za razdaljo L od mene v smeri gibanja. Kako boš izmeril njeno dolžino, saj se zate palica premika?“ „Preprosto! V trenutku, ko je en konec palice tik ob meni, bom sprožil uro. Ko pa pripotuješ k meni še ti z drugim koncem palice, pa bom uro ustavil. In dolžina je hitrost najinega medsebojnega gibanja krat izmerjeni čas.“ Bogdan je zasijal: „Čudovito, pa sem te ujel. Če tako merim tudi jaz, in tega mi ne moreš preprečiti, bo pa vse narobe! Kajti moj čas bo drugačen, ker moja start in stop zame nista na istem mestu, in pa- lica bo zame daljša. Medsebojno hitrost pa oba vi- diva enako veliko, sicer spet ne bi bila enakopravna. A ker sem palico izmeril tudi z metrom, o moji me- ritvi ne more biti dvoma, ure gor ali dol. Denimo, da je dolga točno en meter, ti boš pa nameril krajšo palico. To pa ni logično, saj bi morala palica v tem primeru biti stisnjena, o kakih silah pa ne jaz ne ti nič ne veva.“ Pravilen sklep, ni kaj. A Bogdan ne ve, da ima teo- rija relativnosti še eno presenečenje. Ne le, da gredo ure po svoje, tudi dolžine niso povsod to, kar naj bi bile. Mirno sem odvrnil: „Palico le vidim krajšo, ni pa zato stisnjena.“ „To pa ne gre. Meter je meter, pa naj ga gledaš od koderkoli. Bo pa že kaj narobe s teorijo relativnosti!“ Spet napad. Sledi obramba: „Le kaj je tu narobe? Sicer pa, kako pa bi ti izmeril dolžino gibajoče se palice?“ „Tekel bi za njo in, ko se ne bi več gibala, bi jo izmeril z metrom.“ „No, to bi bila meritev v nekem drugem sistemu, saj si se moral pospešiti, da si lahko tako meril.“ „No, potem pa tako, da bi hkrati naredil oznako obeh koncev palice na tla in potem izmeril dolžino.“ „Bravo, tako je edino prav. A kleč je prav tu. Raz- lika med najinima meritvama je ravno v tem, da kar je zate hkrati, ni vedno hkrati tudi zame. Od tod pride razlika v dolžinah. Spet lahko govoriva o lastni dolžini, ki je vedno daljša od koordinatne dolžine.“ Tu je Bogdan pritrdil. Spomnil se je najinega po- govora pred časom, ko je beseda tekla o istočasno- 3 V prejšnjem zapisu sem ob pogovoru s prijate- ljem Bogdanom poskušal osvetliti nekaj ključnih dejstev teorije relativnosti. Seveda se pogovor ni zaključil tam, kjer se je končal zapis. Nadaljevala sva nekako takole. „Lastnosti prostora in časa, lastnosti prostora in časa,“ je nezadovoljno brundal Bogdan. „A tu sta še zdrava pamet in logika. Če moja ura in opazovalčeva nista ubrani, ena vedno prehiteva drugo ali pa ena vedno zaostaja za drugo, ali ne? Kako potem lahko trdiš, da sta opazovalca enakopravna? Tisti, deniva, s počasnejšo uro je, spet deniva, na boljšem.“ Takoj mi je bilo jasno, da zadeve nisem dobro ra- zložil. To o drugačnem teku ur v različnih opazoval- nih sistemih ni tako preprosto, kot je Bogdan dojel. Moral sem izostriti razlago: „Deniva, da merim čas, ki poteče od oddaje svetlobnega bliska proti zame mirujočemu zrcalu do sprejema odbitega bliska. Re- civa temu lastni čas bliska. Potem pa merim to isto, le da me zanima čas od oddaje bliska do trenutka, ko ti sprejmeš ta blisk. Ti pa se giblješ vzporedno z zr- calom in si v trenutku, ko sprožim blisk, tik ob meni. Ker svetloba opravi daljšo pot, (tu sem narisal sliko 1), namerim tudi daljši čas kot prej. Ti pa seveda iz- meriš krajši čas bliska, saj si glede tega na istem kot jaz pri prvi meritvi. Ob teh izidih sicer lahko rečem, da tvoja ura zaostaja, a ti ne bom svetoval, da jo po- praviš. Oba sva namreč povsem na istem, in če sedaj ti meriš čas, ki ga potrebuje od tebe oddan blisk proti zrcalu in ki po odboju prispe do mene, boš ugotovil prav isto kot jaz: moja ura, kako nenadejano, zao- staja za tvojo.“ „No, to pa je že od sile. Obe uri sta hkrati hitrejši in počasnejši. Sicer je vsaj v tem logika, da postavi oba opazovalca v enakopraven položaj. A kako je sedaj z merjenjem časa? Enkrat je čas daljši, dru- gič spet krajši, situacija pa je za oba enaka, saj oba opazujeva oddajo in sprejem istega bliska. Moja ura zate zaostaja, zame pa zaostaja tvoja ura. Priznaj, da to res ni logično.“ „Seveda ni v obliki, ki si jo povedal,“ sem mu moral priznati. „A med mojim sprejemom bliska in tvojim, gledano z mojimi očmi, je bistvena razlika. Jaz sem svojo uro pognal v trenutku, ko sem blisk oddal, in jo ustavil, ko sem ga prejel, sicer prav tako kot ti, a oboje se je zgodilo v zame isti točki prostora. Ko pa sem meril čas, ki ga blisk porabi do tebe, se od- daja in sprejem nista zgodila v isti točki prostora. In prav to je odločilo o presoji, katera ura zaostaja. Bo- lje rečeno, namerjeni čas je najkrajši v sistemu, kjer se dogodka, ki sprožita in ustavita uro, zgodita na istem mestu. Takemu času pravimo lastni čas, za razliko od koordinatnega časa, ki je vedno daljši od lastnega časa.“ Bogdanu je zadeva počasi začela presedati. Pre- 2 sti. Spomnil se je: „O tem sva pa res že govorila. Če se prav spomnim, si mi povedal primer potnikov na drvečem vlaku in potnika, ki čaka na postaji. Tam se dobro vidi, da istočasnost ni absolutna, če privza- meš, da se svetloba za vse tri giblje z enako hitrostjo. Kar vidita potnika na vlaku kot istočasno, ni tako za potnika na postaji.“ Kljub temu je še napeto premi- šljeval. Spet ni bil povsem zadovoljen: “A pomisli, da bi imel v roki metrsko palico, postavljeno prečno na najino medsebojno gibanje, ti pa ravno tako. V tem primeru pa bi morala nameriti enaki dolžini, saj sva glede na tako postavljeni palici povsem enako- pravna, če pa bi izmerila različni dolžini, pa ne bi bila?“ „Točno, dolžine prečno postavljenih palic so enake za oba.“ „No, kaže, da imaš odgovor na vsako zagato,“ je zaključil Bogdan. Pa sem le nekoga prepričal, da teorija relativno- sti ni povsem nerazumljiva. „Seveda, relativnost pač nima notranjih neskladnosti, kot je to davno tega po- kazal Albert Einstein, takrat še mladenič pri šestin- dvajsetih.“ Bogdan končno: “Sedaj mi je jasno, zakaj te teorije niso mogli kar tako sprejeti tudi izkušeni fiziki na začetku 20. stoletja.“ „In še danes se najde kak dvomljivec, ki bi rad se- sul relativnost, ne vedoč, da je podprta z brez števila poskusov.“ —————————————– Dodatek k članku Vlak se po ravni progi pelje s hitrostjo v . Se- dite v zadnjem vagonu, v prvem pa sedi vaš prija- telj. V smeri proti prvemu vagonu izsevate svetlobni blisk. Vi in prijatelj ugotovita, da blisk potuje s hi- trostjo svetlobe v praznem prostoru c. Na postaji je ostal znanec, ki se za vas oddaljuje s hitrostjo v . Za znanca se vlak giblje s hitrostjo v v smeri od za- dnjega vagona proti prvemu. Če se za nekega opa- zovalca gibljete s hitrostjo v , se opazovalec za vas giblje z enako veliko hitrostjo v nasprotni smeri. Za znanca potuje blisk s hitrostjo c v isti smeri. To za- gotavlja načelo relativnosti, po katerem so vsi nepo- spešeni koordinatni sistemi enako pripravni za opis naravnih pojavov. Če ima svetloba v praznem pro- storu v enem od njih hitrost c, ima hitrost c tudi v vseh drugih. Ali bi bilo mogoče, da bi se za znanca oddaljevali s hitrostjo, ki bi presegla c? Ne! Če bi se, blisk nikoli ne bi dosegel vašega prijatelja. To pa bi bil popolnoma drugačen pojav od opisanega. Nasprotoval bi načelu relativnosti, ker vaš in znan- čev koordinatni sistem ne bi bila enako pripravna za opis pojava. Če naj svetloba potuje naprej in če naj velja načelo relativnosti, hitrost vlaka v ne more pre- seči hitrosti c. 4 prostih odgovorov ni bilo več, vse se je začelo pre- več zapletati. Nič trdnega, jasnega, absolutnega. Re- signirano je povedal: „Navajen sem, da če ura zao- staja, pač zaostaja, ne glede na okoliščine.“ Že sva se začela meniti o nečem drugem, ko se je Bogdan nenadoma domislil. „Vse se pa le ne more zgoditi na istem mestu, pomisli na merjenje dolžine palice. Imam ribiško palico, en konec je tik ob meni, drugi pa za razdaljo L od mene v smeri gibanja. Kako boš izmeril njeno dolžino, saj se zate palica premika?“ „Preprosto! V trenutku, ko je en konec palice tik ob meni, bom sprožil uro. Ko pa pripotuješ k meni še ti z drugim koncem palice, pa bom uro ustavil. In dolžina je hitrost najinega medsebojnega gibanja krat izmerjeni čas.“ Bogdan je zasijal: „Čudovito, pa sem te ujel. Če tako merim tudi jaz, in tega mi ne moreš preprečiti, bo pa vse narobe! Kajti moj čas bo drugačen, ker moja start in stop zame nista na istem mestu, in pa- lica bo zame daljša. Medsebojno hitrost pa oba vi- diva enako veliko, sicer spet ne bi bila enakopravna. A ker sem palico izmeril tudi z metrom, o moji me- ritvi ne more biti dvoma, ure gor ali dol. Denimo, da je dolga točno en meter, ti boš pa nameril krajšo palico. To pa ni logično, saj bi morala palica v tem primeru biti stisnjena, o kakih silah pa ne jaz ne ti nič ne veva.“ Pravilen sklep, ni kaj. A Bogdan ne ve, da ima teo- rija relativnosti še eno presenečenje. Ne le, da gredo ure po svoje, tudi dolžine niso povsod to, kar naj bi bile. Mirno sem odvrnil: „Palico le vidim krajšo, ni pa zato stisnjena.“ „To pa ne gre. Meter je meter, pa naj ga gledaš od koderkoli. Bo pa že kaj narobe s teorijo relativnosti!“ Spet napad. Sledi obramba: „Le kaj je tu narobe? Sicer pa, kako pa bi ti izmeril dolžino gibajoče se palice?“ „Tekel bi za njo in, ko se ne bi več gibala, bi jo izmeril z metrom.“ „No, to bi bila meritev v nekem drugem sistemu, saj si se moral pospešiti, da si lahko tako meril.“ „No, potem pa tako, da bi hkrati naredil oznako obeh koncev palice na tla in potem izmeril dolžino.“ „Bravo, tako je edino prav. A kleč je prav tu. Raz- lika med najinima meritvama je ravno v tem, da kar je zate hkrati, ni vedno hkrati tudi zame. Od tod pride razlika v dolžinah. Spet lahko govoriva o lastni dolžini, ki je vedno daljša od koordinatne dolžine.“ Tu je Bogdan pritrdil. Spomnil se je najineg po- govora pred časom, ko je b seda tekla o istočasno- 3 prostih odgovorov ni bilo več, vse se je začelo pre- več zapletati. Nič trdnega, jasnega, absolutn ga. R signirano je povedal: „N vaje sem, da če ura zao taja, pač zaostaja, ne glede a okoliščin .“ Že sva e začela meni i o nečem rugem, ko se je Bogdan n nadoma dom slil. „Vse se pa le ne mor zgo iti a istem mestu, pomisli na merjenje dolžine palice. Imam ribiško palico, en konec je tik ob meni, drugi pa za razdaljo L od mene v smeri gibanja. Kako boš izmeril njeno dolžino, saj se zate palica premika?“ „Preprosto! V trenutku, ko je en konec palice tik ob m ni, bom sprožil uro. Ko pa pripotuješ k meni še ti z drugim koncem palice, pa bom ro ustavil. In dolžina je hitr st najinega medsebojnega gib nja krat izmerjeni čas.“ Bogdan je zasijal: „Čudovito, pa sem te ujel. Če tako merim tudi jaz, in tega mi ne moreš preprečiti, bo pa vse narobe! Kajti moj čas bo drugačen, ker moja start in stop zame nista na istem mestu, in pa- lica bo zame daljša. Medsebojno hitrost pa oba vi diva enako veliko, sicer spet ne bi b la enakopravna. A ker sem palico izm il tudi z metrom, o moji me- ritvi ne ore biti dvoma, ure gor ali dol. Deni o, da je dolga točno en meter, ti boš pa nameril krajšo p lico. To pa ni logično, saj bi mor la palica v tem rimeru biti stisnjena, k kih silah pa ne j z n ti nič n veva.“ Pravilen sklep, ni kaj. A Bogdan ne ve, da ima teo- rija relativnosti še eno preseneče je. N le, da gredo ure po svoje, udi dolžine niso povsod to, kar naj bi bil . Mirno sem o vrn l: „Palico le vidim rajšo, n pa zato stisnj na.“ „To pa ne gre. Meter je meter, pa naj ga gledaš od koderkoli. Bo pa že kaj narobe s teorijo relativnosti!“ Spet napad. Sledi obramba: „Le kaj je tu narobe? Sicer pa, k ko pa bi ti izmeril dolžino gibajoče se palice?“ „Tekel bi za njo in, ko se ne bi več gibala, bi jo izmeril z metrom.“ „No, to bi bila meritev v nekem drugem sistemu, saj si se moral posp šiti, da si lahko tako eril.“ „No, potem pa tako, da bi hkrati naredil oznako obeh koncev palice na tla in potem zmeril dolžino.“ „Bravo, tako je edino prav. A kleč je prav tu. Raz- lika med najinima meritvama je ravno v tem, da kar je zate hkrati, ni vedno hkrati tudi zam . Od tod pride razlik v dolžinah. Spet lahko govoriva o lastni dolžini, ki je e no d ljša od koordinatne dolžine.“ Tu je Bogdan pritrdil. Spomnil se je najinega po- govora pred časom, ko je beseda t kla o istoč sn 3 prostih odgovorov ni bilo več, vse se je začelo pre- več zapletati. Nič trdnega, jasnega, absolutn ga. R signiran je p vedal: „N vaje sem, da če ura zao taja, ač zaostaja, ne lede a okoliščin .“ Že sva e začela meni i o nečem rugem, ko se je Bogdan n n doma dom slil. „Vse s p le ne mor zgo iti a istem mestu, pomisli na merjenje dolžine palice. Imam ribiško palico, en konec je tik ob meni, drug p za razdaljo L od ene v smeri gibanja. Kako boš izmeril njen do žino, saj se zat palica pr mika?“ „Preprost ! V trenutku, ko je en konec palice tik ob m ni, bom sprožil uro. Ko pa pripotuješ k meni še ti z drugim koncem palice, pa bom ro ustav l. In dolžina je hitr st najinega medsebojnega gib nja kra i merjeni čas.“ Bogdan zasijal: „Čudovito, pa sem te ujel. Če tako merim tudi jaz, in tega mi ne moreš preprečiti, bo pa vse narobe! Kajti moj čas bo drugačen, ker moja start in stop ame nista na istem mestu, in pa- lica bo zame daljša. Medsebojno hitrost pa oba vi diva en ko veliko, sicer spe ne b b la enakopravn . A ker sem palico izm il tudi z metrom, o m ji me rit i ne or biti dvoma, ure gor a i dol. Deni o, da j dolga točn en meter, t boš pa nameril krajšo p lico. To pa n logično, saj bi mor la palica v tem rimeru biti stisnje a, k k h silah pa n j z n ti nič n veva.“ Pravil n sklep, ni kaj. A Bogdan ne ve, da ima teo- rija relativnosti še eno preseneče je. N le, da gredo ure po svoje, udi dolžine niso povsod to, kar naj bi bil . Mirno sem o vrn l: „Pali o le vidim r jšo, n pa zato stisnj na.“ „To pa ne gre. Meter je meter, pa naj ga gledaš od koderkoli. Bo pa že kaj narobe s teorijo relativnosti!“ Spet napad. Sledi obramba: „Le kaj je tu narobe? Sicer pa, k ko pa bi ti izmeril dolžino gibajoče se palic ?“ „T kel bi za njo in, ko se ne bi več gibala, bi jo izmeril z metrom.“ „No, to bi bila meritev v nekem drugem sistemu, saj si se moral posp šiti, da si lahko tako eril.“ „No, potem a tako, da bi hkrati naredil oznako obeh koncev palice na tla in potem zmeril dolžino.“ „Bravo, tako je edino prav. A kleč je prav tu. Raz- lika med najinima meritvama je ravno v tem, da kar je zate hkr ti, ni vedno hkrati tudi zam . Od tod pride razlik v dolžinah. Spet lahko g voriva o l stni dolžini, ki je e no d ljša od koor inatne dolžine.“ Tu je Bogdan pritrdil. Spomnil se je najinega po- govora pred časom, ko je beseda t kla o istoč sn 3 Presek 39 (2011/2012) 6 • 14 f i z i k a slika 1a. V trenutku, ko se opazovalca A in B srečata, začne od tam potovati svetlobni blisk proti zrcalu na vrhu slike, kot ga vidi na sliki mirujoči opazovalec A . Na sliki se B giblje vzporedno z zrcalom. slika 1b. Svetlobni blisk se od zrcala odbije in potuje proti opazoval- cema A in B. slika 1c. Odbiti blisk najprej doseže opazovalca A slika 1č. in nato še opazovalca B. sti. Spomnil se je: „O tem sva pa res že govorila. Če se prav spomnim, si mi povedal primer potnikov na drvečem vlaku in potnika, ki čaka na postaji. Tam se dobro vidi, da istočasnost ni absolutna, če privza- meš, da se svetloba za vse tri giblje z enako hitrostjo. Kar vidita potnika na vlaku kot istočasno, ni tako za potnika na postaji.“ Kljub temu je še napeto premi- šljeval. Spet ni bil povsem zadovoljen: “A pomisli, da bi imel v roki metrsko palico, postavljeno prečno na najino medsebojno gibanje, ti pa ravno tako. V tem primeru pa bi morala nameriti enaki dolžini, saj sva glede na tako postavljeni palici povsem enako- pravna, če pa bi izmerila različni dolžini, pa ne bi bila?“ „Točno, dolžine prečno postavljenih palic so enake za oba.“ „No, kaže, da imaš odgovor na vsako zagato,“ je zaključil Bogdan. Pa sem le nekoga prepričal, da teorija relativno- sti ni povsem nerazumljiva. „Seveda, relativnost pač nima notranjih neskladnosti, kot je to davno tega po- kazal Albert Einstein, takrat še mladenič pri šestin- dvajsetih.“ Bogdan končno: “Sedaj mi je jasno, zakaj te teorije niso mogli kar tako sprejeti tudi izkušeni fiziki na začetku 20. stoletja.“ „In še danes se najde kak dvomljivec, ki bi rad se- sul relativnost, ne vedoč, da je podprta z brez števila poskusov.“ —————————————– Dodatek k članku Vlak se po ravni progi pelje s hitrostjo v . Se- dite v zadnjem vagonu, v prvem pa sedi vaš prija- telj. V smeri proti prvemu vagonu izsevate svetlobni blisk. Vi in prijatelj ugotovita, da blisk potuje s hi- trostjo svetlobe v praznem prostoru c. Na postaji je ostal znanec, ki se za vas oddaljuje s hitrostjo v . Za znanca se vlak giblje s hitrostjo v v smeri od za- dnjega vagona proti prvemu. Če se za nekega opa- zovalca gibljete s hitrostjo v , se opazovalec za vas giblje z enako veliko hitrostjo v nasprotni smeri. Za znanca potuje blisk s hitrostjo c v isti smeri. To za- gotavlja načelo rel tivnosti, po kat rem so vsi nepo- spešen koordinatni sistemi enako pripravni za opis ravnih p javov. Če ima svetloba v praznem pro- storu v enem od njih hitrost c, ima hitrost c tudi v vseh drugih. Ali bi bilo mogoče, da bi se za znanca oddaljevali s hitrostjo, ki bi presegla c? Ne! Če bi se, blisk nikoli ne bi dosegel vašega prijatelja. To pa bi bil popolnoma drugačen pojav od opisanega. Nasprotoval bi načelu relativnosti, ker vaš in znan- čev koordinatni sistem ne bi bila enako pripravna za opis pojava. Če naj svetloba potuje naprej in če naj velja načelo relativnosti, hitrost vlaka v ne more pre- seči hitrosti c. 4 sti. Spomnil se je: „O tem sva pa res že govorila. Če se prav spomnim, si mi povedal primer potnikov na drvečem v aku in potnika, ki čaka na postaji. Tam e dobro vidi, da istočasnost ni absolutn , če privza- meš, da se svetloba z vse tri gibl z en ko hitrostj . K r vidita potnika na vl u kot istočas o, ni tako za potnika na postaji.“ Kljub temu je še napeto premi- šljeval. Spet ni bil povsem zadovoljen: “A pomisli, da bi imel v roki metrsko palico, postavljeno prečno a najino medsebojno gibanje, t pa rav o tako. V tem primeru pa bi morala nameriti enaki dolžini, saj sva glede na tako postavljeni palici povsem enako- pravna, če pa bi izmerila različni dolžin , pa ne bi bila?“ „Točno, dolžine prečno postavljenih palic so enake za oba.“ „No, kaže, da imaš odgovor na vsako zagato,“ je zaključil Bogdan. Pa se le nekoga prepričal, da teorija rela ivno- st ni povsem nerazumljiva. „Seveda, relativnost pač nima notranjih nesklad osti, kot je to davno tega po- kazal Albert Einstein, t krat še mlad nič p i šestin- dvajsetih.“ Bogdan končno: “Sedaj mi je jasno, ak j te teorije niso mogli ar ta spreje i tudi izkušeni fiziki n ačetku 20. stoletja.“ „In še danes se ajde kak dvomljivec, ki bi r d se- sul relat vn st, ne vedo ,̌ da je p dprta z bre št vila poskusov.“ —————————————– Dodate k članku Vlak se po ravni progi pelje s hit ostjo v . Se dite v zad jem vagonu, v prvem pa sedi vaš prija- telj. V smeri proti prvemu v gon izsevate svetlobni blisk. Vi in prijatelj ugotovita, da blisk potuje s hi trostjo svetlobe v praznem prostoru c. Na postaji je ostal znanec, ki se za vas oddaljuje s hitrostjo v . Za znanca se vlak giblje s hitrostjo v v smeri od za- dnjega vagona proti prvemu. Če se za nekega opa- zovalca gibljete s hitrostjo v , se opazovalec za vas giblje z enako veliko hitrostjo v nasprotni smeri. Za znanca potuje blisk s hitrostjo c v isti smeri. To za- gotavlja načelo relativnosti, po katerem so vsi nepo- spešeni koordinatni sistemi enako pripravni za opis naravnih pojavov. Če ima svetloba v praznem pro- storu v enem od njih hitrost c, ima hitrost c tudi v vseh drugih. Ali bi bilo mogoče, da bi se za znanca oddaljevali s hitrostjo, ki bi presegla c? Ne! Če bi se, blisk nikoli ne bi dosegel vašega prijatelja. To pa bi bil popolnoma drugačen pojav od opisanega. Nasprotoval bi načelu relativnosti, ker vaš in znan- čev koordinatni sistem ne bi bila enako pripravna za opis pojava. Če naj svetloba potuje naprej in če naj velja načelo relativnosti, hitrost vlaka v ne more pre- seči hitrosti c. 4 presek 39 (2011/2012) 6 • zrcalo zrcalo A A A A B B B B v v v v atek k č a ku Za poskus potrebujete škatlico vžigalic, mizo in nekaj potrpljenja. Najprej naredite naslednji po- skus (1): Zaprto škatlico držite v pokončni legi in jo spustite na mizo z višine približno 20 cm (slika 1a). Poskus večkrat ponovite. Opazili boste, da se škatlica po dotiku z mizo skoraj vedno prevrne. Nato škatlico nekoliko odprite in jo spustite na mizo z enake višine kot prej (slika 1b). Pri tem naj bo odprti del škatlice obrnjen navzgor. Tudi tokrat poskus večkrat ponovite. Opazili boste, da bo škatlica tokrat skoraj vedno pristala na mizi, ne da bi se prevrnila. Zakaj se je škatlica v prvem poskusu prevrnila, v drugem pa ne? Predlagajte več razlag in razmislite, kako bi jih preverili. Raziščite, kako vpliva na izid poskusa višina, s katere spustite škatlico, in kako število vžigalic v škatlici. Kaj pa, če damo v škatlico kakšen drug predmet, npr. radirko? Več o tem boste lahko prebrali v naslednji številki Preseka. Opisani poskus in preprosto razlago lahko najdete tudi v knjižici M. Kos, B. Kos, L. Vidic in G. Planinšič, Znanstveni stalaktiti, KOSKOS, Ljubljana, 2006. Slika 1 a in b 2 slika 1. Spuščanje zaprte a) in odprte škatlice b) na mizo. Misel je posneta po članku Edwina F. Taylorja Why does nothing move faster than light? Because ahead is ahead v American Journal of Physics 58 (1998) 889–90. Taylor je z Johnom A. Wheelerjem napisal znano knjigo Fizika prostor-časa. (Janez Strnad) 5 sti. Spomnil se je: „O tem sva pa res že govorila. Če se prav spomnim, si mi povedal primer potnikov na drvečem vlaku in potnika, ki čaka na postaji. Tam se dobro vidi, da istočasnost ni absolutna, če privza- meš, da se svetloba za vse tri giblje z enako hitrostjo. Kar vidita potnika na vlaku kot istočasno, ni tako za potnika na postaji.“ Kljub temu je še napeto premi- šljeval. Spet ni bil povsem zadovoljen: “A pomisli, da bi imel v roki metrsko palico, postavljeno prečno na najino medsebojno gibanje, ti pa ravno tako. V tem primeru pa bi morala nameriti enaki dolžini, saj sva glede na tako postavljeni palici povsem enako- pravna, če pa bi izmerila različni dolžini, pa ne bi bila?“ „Točno, dolžine prečno postavljenih palic so enake za oba.“ „No, kaže, da imaš odgovor na vsako zagato,“ je zaključil Bogdan. Pa sem le nekoga prepričal, da teorija relativno- sti ni povsem nerazumljiva. „Seveda, relativnost pač nima notranjih neskladnosti, kot je to davno tega po- kazal Albert Einstein, takrat še mladenič pri šestin- dvajsetih.“ Bogdan končno: “Sedaj mi je jasno, zakaj te teorije niso mogli kar tako sprejeti tudi izkušeni fiziki na začetku 20. stoletja.“ „In še danes se najde kak dvomljivec, ki bi rad se- sul relativnost, ne vedoč, da je podprta z brez števila poskusov.“ —————————————– Dodatek k članku Vlak se po ravni progi pelje s hitrostjo v . Se- dite v zadnjem vagonu, v prvem pa sedi vaš prija- telj. V smeri proti prvemu vagonu izsevate svetlobni blisk. Vi in prijatelj ugotovita, da blisk potuje s hi- trostjo svetlobe v praznem prostoru c. Na postaji je ostal znanec, ki se za vas oddaljuje s hitrostjo v . Za znanca se vlak giblje s hitrostjo v v smeri od za- dnjega vagona proti prvemu. Če se za nekega opa- zovalca gibljete s hitrostjo v , se opazovalec za vas giblje z enako veliko hitrostjo v nasprotni smeri. Za znanca potuje blisk s hitrostjo c v isti smeri. To za- gotavlja načelo relativnosti, po katerem so vsi nepo- spešeni koordinatni sistemi enako pripravni za opis naravnih pojavov. Če ima svetloba v praznem pro- storu v enem od njih hitrost c, ima hitrost c tudi v vseh drugih. Ali bi bilo mogoče, da bi se za znanca oddaljevali s hitrostjo, ki bi presegla c? Ne! Če bi se, blisk nikoli ne bi dosegel vašega prijatelja. To pa bi bil popolnoma drugačen pojav od opisanega. Nasprotoval bi načelu relativnosti, ker vaš in znan- čev koordinatni sistem ne bi bila enako pripravna za opis pojava. Če naj svetloba potuje naprej in če naj velja načelo relativnosti, hitrost vlaka v ne more pre- seči hitrosti c. 4 a os s otre jete š atlico žigalic, izo i e aj otr lje ja. aj rej are ite asle ji o- s s (1): a rto š atlico ržite o o č i legi i jo s stite a izo z iši e ri liž o 20 c (sli a 1a). Pos s eč rat o o ite. azili boste, a se škatlica o otik z izo skoraj ve o revr e. ato škatlico ekoliko o rite i jo s stite a izo z e ake viši e kot rej (slika 1b). Pri te aj bo o rti el škatlice obr je avzgor. i tokrat osk s večkrat o ovite. azili boste, a bo škatlica tokrat skoraj ve o ristala a izi, e a bi se revr ila. akaj se je škatlica v rve osk s revr ila, v r ge a e? Pre lagajte več razlag i raz islite, kako bi ji reverili. aziščite, kako v liva a izi osk sa viši a, s katere s stite škatlico, i kako število vžigalic v škatlici. aj a, če a o v škatlico kakše r g re et, r. ra irko? eč o te boste la ko rebrali v asle ji številki Preseka. isa i osk s i re rosto razlago la ko aj ete t i v k jižici . os, B. os, L. i ic i . Pla i šič, a stve i stalaktiti, S S, Lj blja a, 2006. S i a i b 2 Kdaj se škatlica vžigalic prevrne in kdaj ne? • • gorazd planinšič 15 f i z i k a p o iz k u š e v a l n ic a z a m iz o (a) (b) Presek 39 (2011/2012) 6 r a z v e d r i l o 16 Nagradna kr ižanka presek 39 (2011/2012) 6 r a z v e d r i l o 17 n a g r a d n i r a z p i s • Črke iz označenih polj po vrsti zapišite na Preseku priloženo dopisnico, dodajte tudi svoje ime, priimek in naslov. Dopi- snice pošljite na Presekov naslov (poštni- na je že plačana) do 30. junija 2012, ko bomo izžrebali tri nagrajence, ki bodo za nagrado prejeli Presekov paket. Presek 39 (2011/2012) 6 Ste kaj kukali v akvarije? Ste si ogledovali ste- klene posode od spodaj navzgor? Kaj ste opazili? Morda najbolj pomenljivo je opažanje, da se večina vodne gladine, ki jo opazujemo od spodaj navzgor, spremeni v zrcalo. V vodni gladini vidimo predmete na dnu posode, vidimo spodnje dele predmetov, ki so delno v vodi in delno nad njo (slika 1 in 2). Zakaj tako? Spomnimo se preteklih poizkuševalnic, v katerih smo že kar nekajkrat raziskovali, kako so videti pred- meti, če jih opazujemo skozi vodo in če jih opazu- jemo v vodi. Ključno za razumevanje videnega je za- vedanje, da oko zazna informacijo o smeri, iz katere pada svetloba vanj, o njeni barvni sestavi oz. spek- tru in o njeni intenziteti oz. jakosti svetlobnega toka. Danes se bomo pogovarjali o prvih dveh, za jakost svetlobnega toka pa se bomo zgolj strinjali, da je do- volj velika za vidni vtis. Drugače tega, kar opazu- jemo, sploh ne bi videli. Pojdimo najprej pred akvarij in si poglejmo dvoje. Na slikah 1 in 2 vidimo pogled od spodaj za dve oko- liščini. Slika 1 kaže običajno opazovanje akvarija, ki je nekoliko privzdignjen nad nivo oči. Ob opazova- nju vidimo tudi gladino od spodaj. Vodna gladina deluje kot zrcalo in v njej vidimo zrcalne, na glavo postavljene slike vodnih rastlin. Videti je, kot da ra- stline rastejo od zgoraj navzdol, vendar so to seveda rastline z dna akvarija. Zrcalne slike rastlin in ži- vali v akvariju lahko vidimo le, če je gladina mirna in gladka. Podobno lahko opazujemo tudi v stekleni posodi z vodo. Če vanjo vržemo predmet, ki potone, ga, od spodaj gledano, vidimo v površini vode; pred- metu, ki je delno pod vodo, delno pa nad njo (slika 2 a), vidimo prezrcaljen le del, ki je pod vodo (slika 2 b). Videti je, kot da bi predmet zlezel delno v zrcalo. Zakaj tako? Slika 1, Slika 2a in 2b Če se spomnimo ene od prejšnjih poizkuševalnic, se svetloba pri prehodu med dvema sredstvoma lomi in predmete zaradi spremenjene smeri vidimo v dru- gih smereh, kot se dejansko nahajajo. Lomni zakon za prehod svetlobe iz snovi 1 v snov 2 pravi naslednje: sinα sinβ = n2 n1 oziroma sinβ = n1 n2 sinα (1) V enačbi (1) predstavljata α in β vpadni in lomni kot, n1 in n2 pa lomna količnika snovi 1 in 2. Medtem ko pri prehodu svetlobe iz snovi 1 v snov 2 z rešitvijo enačbe na desni strani (1) ni nikoli težav, saj je raz- merje lomnih kolǐcnikov manjše od 1, se pri prehodu svetlobe v obratni smeri lahko zgodi, da enačba nima rešitve. Tedaj ostane svetloba ujeta v snovi in se na površini odbije. Natanko to se zgodi s svetlobo, ki se odbija od predmetov v vodi. Ta svetloba se od- bije od vodne površine in pade v naše oči iz druge 2 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo razlǐcna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 Ste kaj kukali v akvarije? Ste si ogledovali ste- klene posode od spodaj navzgor? Kaj ste opazili? Morda najbolj pomenljivo je opažanje, da se večina vodne gladine, ki jo opazujemo od spodaj navzgor, spremeni v zrcalo. V vodni gladini vidimo predmete na dnu posode, vidimo spodnje dele predmetov, ki so delno v vodi in delno nad njo (slika 1 in 2). Zakaj tako? Spomnimo se preteklih poizkuševalnic, v katerih smo že kar nekajkrat raziskovali, kako so videti pred- meti, če jih opazujemo skozi vodo in če jih opazu- jemo v vodi. Ključno za razumevanje videnega je za- vedanje, da oko zazna informacijo o smeri, iz katere pada svetloba vanj, o njeni barvni sestavi oz. spek- tru in o njeni intenziteti oz. jakosti svetlobnega toka. Danes se bomo pogovarjali o prvih dveh, za jakost svetlobnega toka pa se bomo zgolj strinjali, da je do- volj velika za vidni vtis. Drugače tega, kar opazu- jemo, sploh ne bi videli. Pojdimo najprej pred akvarij in si poglejmo dvoje. Na slikah 1 in 2 vidimo pogled od spodaj za dve oko- liščini. Slika 1 kaže običajno opazovanje akvarija, ki je nekoliko privzdignjen nad nivo oči. Ob opazova- nju vidimo tudi gladino od spodaj. Vodna gladina deluje kot zrcalo in v njej vidimo zrcalne, na glavo postavljene slike vodnih rastlin. Videti je, kot da ra- stline rastejo od zgoraj navzdol, vendar so to seveda rastline z dna akvarija. Zrcalne slike rastlin in ži- vali v akvariju lahko vidimo le, če je gladina mirna in gladka. Podobno lahko opazujemo tudi v stekleni posodi z vodo. Če vanjo vržemo predmet, ki potone, ga, od spodaj gledano, vidimo v površini vode; pred- metu, ki je delno pod vodo, delno pa nad njo (slika 2 a), vidimo prezrcaljen le del, ki je pod vodo (slika 2 b). Videti je, kot da bi predmet zlezel delno v zrcalo. Zakaj tako? Slika 1, Slika 2a in 2b Če se spomnimo ene od prejšnjih poizkuševalnic, se svetloba pri prehodu med dvema sredstvoma lomi in predmete zaradi spremenjene smeri vidimo v dru- gih smereh, kot se dejansko nahajajo. Lomni zakon za prehod svetlobe iz snovi 1 v snov 2 pravi naslednje: sinα sinβ = n2 n1 oziroma sinβ = n1 n2 sinα (1) V enačbi (1) predstavljata α in β vpadni in lomni kot, n1 in n2 pa lomna količnika snovi 1 in 2. Medtem ko pri prehodu svetlobe iz snovi 1 v snov 2 z rešitvijo enačbe na desni strani (1) ni nikoli težav, saj je raz- merje lomnih kolǐcnikov manjše od 1, se pri prehodu svetlobe v obratni smeri lahko zgodi, da enačba nima rešitve. Tedaj ostane svetloba ujeta v snovi in se na površini odbije. Natanko to se zgodi s svetlobo, ki se odbija od predmetov v vodi. Ta svetloba se od- bije od vodne površine in pade v naše oči iz druge 2 Ste kaj kukali v akvarije? Ste si ogledovali ste- klene posode od spodaj navzgor? Kaj ste opazili? Morda najbolj pomenljivo je opažanje, da se večina vodne gladine, ki jo opazujemo od spodaj navzgor, spremeni v zrcalo. V vodni gladini vidimo predmete na dnu posode, vidimo spodnje dele predmetov, ki so delno v vodi in delno nad njo (slika 1 in 2). Zakaj tako? Spomnimo se preteklih poizkuševalnic, v katerih smo že kar nekajkrat raziskovali, kako so videti pred- meti, če jih opazujemo skozi vodo in če jih opazu- jemo v vodi. Ključno za razumevanje videnega je za- vedanje, da oko zazna informacijo o smeri, iz katere pada svetloba vanj, o njeni barvni sestavi oz. spek- tru in o njeni intenziteti oz. jakosti svetlobnega toka. Danes se bomo pogovarjali o prvih dveh, za jakost svetlobnega toka pa se bomo zgolj strinjali, da je do- volj velika za vidni vtis. Drugače tega, kar opazu- jemo, sploh ne bi videli. Pojdimo najprej pred akvarij in si poglejmo dvoje. Na slikah 1 in 2 vidimo pogled od spodaj za dve oko- liščini. Slika 1 kaže običajno opazovanje akvarija, ki je nekoliko privzdignjen nad nivo oči. Ob opazova- nju vidimo tudi gladino od spodaj. Vodna gladina deluje kot zrcalo in v njej vidimo zrcalne, na glavo postavljene slike vodnih rastlin. Videti je, kot da ra- stline rastejo od zgoraj navzdol, vendar so to seveda rastline z dna akvarija. Zrcalne slike rastlin in ži- vali v akvariju lahko vidimo le, če je gladina mirna in gladka. Podobno lahko opazujemo tudi v stekleni posodi z vodo. Če vanjo vržemo predmet, ki potone, ga, od spodaj gledano, vidimo v površini vode; pred- metu, ki je delno pod vodo, delno pa nad njo (slika 2 a), vidimo prezrcaljen le del, ki je pod vodo (slika 2 b). Videti je, kot da bi predmet zlezel delno v zrcalo. Zakaj tako? Slika 1, Slika 2a in 2b Če se spomnimo ene od prejšnjih poizkuševalnic, se svetloba pri prehodu med dvema sredstvoma lomi in predmete zaradi spremenjene smeri vidimo v dru- gih smereh, kot se dejansko nahajajo. Lomni zakon za prehod svetlobe iz snovi 1 v snov 2 pravi naslednje: sinα sinβ = n2 n1 oziroma sinβ = n1 n2 sinα (1) V enačbi (1) predstavljata α in β vpadni in lomni kot, n1 in n2 pa lomna količnika snovi 1 in 2. Medtem ko pri prehodu svetlobe iz snovi 1 v snov 2 z rešitvijo enačbe na desni strani (1) ni nikoli težav, saj je raz- merje lomnih kolǐcnikov manjše od 1, se pri prehodu svetlobe v obratni smeri lahko zgodi, da enačba nima rešitve. Tedaj ostane svetloba ujeta v snovi in se na površini odbije. Natanko to se zgodi s svetlobo, ki se odbija od predmetov v vodi. Ta svetloba se od- bije od vodne površine in pade v naše oči iz druge 2 Ste kaj kukali v akvarije? Ste si ogledovali ste- klene posode od spodaj navzgor? Kaj ste opazili? Morda najbolj pomenljivo je opažanje, da se večina vodne gladine, ki jo opazujemo od spo aj na zgor, spremeni v zrcalo. V vodni gladini vidimo predmete na dnu posode, vidim spodnje dele predmetov, ki so elno v vodi in elno nad jo (slika 1 in 2). Zakaj tako? Spomnimo se preteklih poizkuševalnic, v katerih smo že kar nekajkrat raziskovali, kako so videti pred- meti, če jih opazujemo skozi vodo in če jih o azu- jemo v vodi. Ključno za razumevanje videnega je a- vedanje, da oko zazna informacijo o smeri, iz katere pa a svetloba vanj, o njeni barvni sestavi o . spek- tru in o njeni inte ziteti oz. jakosti svetlobnega toka. Danes se bomo pogovarjali o prvih dveh, za jakost svetlobnega toka pa se bomo zgolj strinjali, da je do- volj velika za vidni vtis. Dru ače tega, kar opazu- jemo, sploh ne bi videli. P jdimo najprej pred akvarij in si poglejmo dvoje. Na slikah 1 in 2 vidimo pogled od spodaj za dve oko- liščini. Slika 1 kaže običajno opazovanje akvarija, ki je nekoliko privzdignjen ad nivo oči. Ob opazova- nju vidim tudi gladino od spodaj. Vodna gladina deluje kot zrcalo in v njej vidimo zrcalne, na glavo postavljene slike vodnih rastlin. Videti je, kot da ra- stline rastejo od zgoraj navzdol, vendar so t seveda rastline z dna akvarija. Zrcalne slike rastlin in ži- vali v akvariju lahko vidimo le, če je gladina mirna in gladka. Podobno lahko opazujemo tudi v stekleni posodi z vodo. Če vanjo vržemo predmet, ki potone, ga, spodaj gledano, vidimo v ovršini vode; pred- metu, ki je delno pod vodo, delno pa nad njo (slika 2 a), vidimo prezrcaljen le del, ki je pod vod (sli a b). Videti je, kot da bi pre met zlezel delno v zrcalo. Zakaj tako? Slika 1, Slika 2a in 2b Če se spomnimo ene od prejšnjih poizkuševalnic, se svetloba pri prehodu med dvema sredstvoma lomi in predmete zaradi spre enjene smeri vidimo v dru- gih smereh, kot se dejansko nahajajo. Lo ni zakon za prehod svetlobe iz snovi 1 v snov 2 pravi nasled je: sinα sinβ = n2 n1 oziroma sinβ = n1 n2 sinα (1) V enačbi (1) predstavljata α in β vpadni in lomni kot, n1 in n2 pa lomna količnika sno i 1 i 2. Medtem ko pri prehodu svetlobe iz snovi 1 v snov 2 z rešitvij enačbe na desni strani (1) ni nikoli težav, saj je raz- merje lomnih kolǐcnikov manjše d 1, se pri prehodu svetlobe v obratni smeri lahko zgodi, da enačba nima rešitve. Tedaj ostane svetloba ujeta v snovi in se na površini o bije. Natanko to se zgodi s s etlobo, ki se odbija od predmetov v vodi. Ta svetloba se od- bije od vodne površine in pa e v naše oči iz druge 2 Akvarij? o d g o v o r n a l o g e • mojca čepič 18 f i z i k a p o iz k u š e v a l n ic a v s o b i slika 1. Če pogledamo v akvarij od spodaj, vidimo v vodni površini zrcalno sliko rastlin v akvariju. Opazimo še svetal polkrožni del, ki ga od „zrc la“ loči mavrični lok. presek 39 (2011/2012) 6 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo različna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo različna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo razlǐcna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- imo. Slika 3 Sedaj pa si p drobneje oglejmo, kaj se d g ja n robu med področjema, kjer svetloba vodno površin še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vod a gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je p dročje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spod ji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo razlǐcna območj pr stora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali pos di z vod iz ečjih oddaljenosti (bolj ravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri pazovanju vodne gladine skoraj vzporedn z navpično steno posode pa vidimo skozi ovršino v prostor. Skozi majhno svetl bmočje si lahk teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 p gledamo p drobneje, vidim na robu med obem področ ma še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v a variju, medtem ko je pas v posodi s čist vodo bolj modr kaste ali vča- s h bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj t k ? Po- 3 19 f i z i k a slika 2. V vodo od zunaj lahko gleda o; ključi, ki prebadajo vodno gladino, s vidni v celoti. (b) Površina vode, opazovana o spo aj, deluje kot zrcalo. Vidimo le spodnji del ključev in njihovo zrc lno sliko. slika 3. Ko opazujemo pred ete skozi vod iz spodnjega levega ko- ta, označenega s stiliziranim očesom b posodi, vidimo oba predme a v smeri črtkanih črt. Predmete nad vodo vidimo v smereh levo od črne črte, predmet z dna posode pa v sme- reh desno od črne črte. Simbolično sta l čeni tudi področji v vodi, skozi kater prehaja svetloba, ki pade v naše oči. Presek 39 (2011/2012) 6 (a) (b) 20 f i z i k a drobnostim tega pojava lahko v prihodnje posvetimo še eno poizkuševalnico. Sedaj poskusimo razloge povedati le v grobem. Lomni količnik vode je odvi- sen od frekvence oz. valovne dolžine, ki določa barvo svetlobe. Pravimo, da ima disperzijo. Za valovne dolžine v vidnem področju lahko lomni količnik v odvisnosti od valovne dolžine zapišemo z naslednjo enačbo: n(λ) = n0 − k(λ− λ0). (3) V enačbi je n0 = 1,331 pri valovni dolžini rdeče sve- tlobe λ0 = 656 nm. Koeficient, ki pove spreminja- nje lomnega količnika z valovno dolžino, pa je k = 4 · 10−5 nm−1. Enačba pove, da se svetloba rdeče barve lomi manj kot svetloba modre barve. Enako velja tudi za kote totalnega odboja. Svetloba modre barve se bo totalno odbijala pri manjšem vpadnem kotu kot svetloba rdeče barve. Sedaj lahko razumemo vzrok za obarvano mejo. Iz določene smeri pada v oko svetloba, ki bodisi pre- haja površino bodisi se odbija od nje. Ker se lo- mni količniki za svetlobe različnih barv razlikujejo, se okoli smeri, ki jo na sliki 3 označuje črna mejna črta, dogaja oboje. V oko v isti smeri pada rdeča sve- tloba, ki prehaja vodno površino, saj za rdečo sve- tlobo pogoj totalnega odboja še ni izpolnjen, ter mo- dra svetloba, ki se od vodne površine odbija, saj se zaradi večjega lomnega količnika že totalno odbija. Kaj bomo videli, je odvisno od tega, kakšne barvne sestavine ima svetloba, ki preseva vodno površino, in kakšne svetloba, ki se odbija od predmetov pod vodo. Na sliki 4a lahko vidimo, da je rob modrikast, saj smo pokrili površino nad vodo s črnim kartonom (slika 4b) in tako zmanjšali svetlobni tok od zgoraj. V akvariju je bilo mnogo zelenja, na katerem se je odbijala svetloba zelene barve, zato na sliki akvarija vidimo več barv. 4 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo različna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 smeri, kot se nahaja predmet (slika 3). Zdi se nam, da se dvojniki predmetov v vodi nahajajo tudi nad gladino. Svetloba, ki vpada na vodno površino s spodnje strani, se za vpadne kote, večje od določenega kota, totalno odbije. Zakaj totalno? Pri odboju na zrcalu se del svetlobe vedno absorbira, na vodni gladini se v območjih kotov, večjih od mejnega kota totalnega odboja, odbije v celoti. Jakost svetlobnega toka je po odboju popolnoma enaka kot pred njim. Kolikšen je ta kot za vodo? Pri mejnem vpadnem kotu bi se sve- tloba lomila tako, da bi se po lomu širila neposredno ob površini – torej pod lomnim kotom 90◦: β = arcsin n1 n2 = arcsin 1.00 1.33 = 48.7◦. (2) Kot lomni količnik zraka smo upoštevali n1 = 1.00. Vsa svetloba, ki pade na vodno površino z vodne strani pod večjim vpadnim kotom, se totalno odbije. Svetloba, ki pade pod manjšim vpadnim kotom, se odbije zgolj deloma, nekaj svetlobe pa se razširi v prostor na vodo. Zato predmete pod vodo sploh vi- dimo. Slika 3 Sedaj pa si podrobneje oglejmo, kaj se dogaja na robu med področjema, kjer svetloba vodno površino še prehaja in kjer se že totalno odbija. Na sliki 1 vidimo, da celotna vodna gladina ni zrcalo, temveč v delu vodne površine, ki ga od zrcala loči mavrica, vidimo zgolj svetlo liso. To je področje, kjer lahko pogledamo skozi površino v prostor nad vodno gla- dino. Svetla lisa pa je tam zato, ker je nad akvarijem luč. Na spodnji sliki 3 vidimo, kako svetloba pada v oči opazovalca. Ko gledamo v različnih smereh, vidimo različna območja prostora. Pri opazovanju vodne gladine v akvariju ali posodi z vodo iz večjih oddaljenosti (bolj pravokotno) vidimo vodno povr- šino kot zrcalo. Pri opazovanju vodne gladine skoraj vzporedno z navpično steno posode pa vidimo skozi površino v prostor. Skozi majhno svetlo območje si lahko teoretično ogledamo (skoraj) celoten prostor nad površino vode. Pri tem svetloba iz prostora nad vodno gladino, ki pade v naše oko označeno na sliki, prehaja skozi osenčeno področje posode na sliki 3. Svetloba, ki se najprej odbije na predmetih ali rastli- nah pod vodo, nato pa še od vodne površine, prehaja skozi neosenčeno področje na sliki 3. Slika 4a in 4b Če sliko 1 pogledamo podrobneje, vidimo na robu med obema področjema še barvni pas, podoben ma- vrici. Mavrične barve vidimo v akvariju, medtem ko je pas v posodi s čisto vodo bolj modrikaste ali vča- sih bolj rdečkaste barve (slika 4). Zakaj tako? Po- 3 slika 4. (a) Pogled od spodaj skozi posodo z vodo. Modrikasti rob ločuje področji, kjer neposredno opazujemo črn papir, s ka- terim je posoda pokrita, kot vidimo na (b) in področje, kjer se svetloba od površine odbija. www.presek.si www.dmfa.si presek 39 (2011/2012) 6 (a) (b) • mitja rosina Razmisli in poskusi 48. Prevroč čaj Čaj je prevroč, da bi ga spili, a ne moremo predolgo čakati, da se ohladi do primerne temperature. Kaj lahko storiš? Lahko ga preliješ v drugo skodelico, ki prevzame nekaj toplote, vendar ne dovolj. Kdaj boš manj čakal, če najprej preliješ in potem počakaš, ali če najprej počakaš in potem preliješ? Poizkusi! Razloži, zakaj! Slika 1 (skodelica čaja, iz katere se kadi) Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka Bralce vabimo, da nam pošljejo odgovore tudi o varč- nih žarnicah (Presek 38, št. 6), o stopinjah in tračni- cah v snegu (Presek 39, št. 4) in o preprostem kom- pasu (Presek 39, št. 5). Poleti boste imeli dovolj časa, da o tem in še o marsičem razmislite ter se pozaba- vate s poskusi. 2 48. Prevroč čaj Čaj je prevroč, da bi ga spili, a ne moremo predolgo čakati, da se ohladi do primerne temperature. Kaj lahko storiš? Lahko ga preliješ v drugo skodelico, ki prevzame nekaj toplote, vendar ne dovolj. Kdaj boš manj čakal, če najprej preliješ in potem počakaš, ali če najprej počakaš in potem preliješ? Poizkusi! Razloži, zakaj! Slika 1 (skodelica čaja, iz katere se kadi) Odgovor na vprašanje iz prejšnje številke Preseka Bralce vabimo, da nam pošljejo odgovore tudi o varč- nih žarnicah (Presek 38, št. 6), o stopinjah in tračni- h v snegu (Presek 39, št. 4) i o pre ros em kom- pasu (Presek 39, št. 5). Poleti boste imeli dov lj časa, da o tem in še o marsičem razmislite ter se pozab - vate s poskusi. 2 Sudoku V 9× 9 kvadratkov moraš vpisati začetna naravna števila od 1 do 9, tako da bo v vsaki vrstici, v vsakem stolpcu in v kvadratkih nastopalo vseh 9 števil. 1 • Sudoku rešitev odgovor na vpr ašanje iz prejšnje šte ilke pres ka • • • abcdefghi a243657198 b716398452 c85914267 3 d691234785 e438765219 f572819364 g184573926 h365921847 i927486531 a b c d e f g h i a 4 9 b 7 1 3 c 9 1 2 d 4 5 e 8 6 2 f 5 8 g 5 3 9 h 1 4 7 i 2 3 Presek 39 (2011/2012) 6 21 f i z i k a + r a z v e d r i l o a s t r o n o m i j a 22 6. junija v zgodnjih jutranjih urah bo iz naših krajev viden prehod Venere čez Sončevo ploskev. Pojava sicer ne bo mogoče spremljati v celoti, saj se prehod Venere po našem času začne nekaj čez polnoč. Videli bomo le zadnji del prehoda tik po vzidu Sonca. Za opazovanje nebesnega pojava bo potrebno zato vstati zgodaj, a naslednji prehod Ve- nere bo šele 11. decembra 2117. V današnjem svetu merimo skoraj vse. Merimo prostor in čas, maso in hitrost, Merimo vse; od ki- lograma solate do stotink pri slalomu. Zdi se, da je merjenje bistvo spoznanja o naši okolici. S fizikal- nega stališča to prav gotovo drži. Fizika je neločljivo povezana z merjenjem in teorije je mogoče potrditi ali ovreči le na podlagi natančnih poskusov, pri ka- terih merimo to ali ono količino. Kako pa je z ve- soljem? Če bi dobili nalogo izmeriti višino stavbe, bi se že nekako znašli. Kako pa bi izmerili oddalje- nost Lune, Sonca, planetov in zvezd? Na prvi pogled se nam tako merjenje zdi skoraj nemogoče. Vpra- šanje o oddaljenosti vesoljskih teles so si postavili prvi zvezdogledi, če ne že kar prvi ljudje, ki so za- maknjeno zrli v nebo. Gotovo se jim je to zdelo kot nekakšna polkrogla, v katerem središču je Zemlja, na obodu pa so pritrjene zvezde, planeti. Tudi nam se tako zdi, če stopimo pod jasno nočno nebo. Nika- kor ne moremo dojeti trirazsežnosti neba. Seveda je to zaradi velikih razdalj, ki nas ločijo do vesolj- skih teles. To je tako, kot bi opazovali oddaljeno pogorje na obzorju ter poskušali ugotoviti razdaljo in višino posameznih gora. Brez znane reference bi težko karkoli rekli o njihovi višini. Toda pri gorah nam pomaga izkušnja; zeleni griči so nižji od zasne- ženih vršacev in meglica, ki nam daje občutek per- spektive, zračna perspektiva. Z vesoljem pa nimamo nikakršnih oprijemljivih izkušenj. Kako daleč je Sonce? Že starogrški astronomi so naredili prve ocene od- daljenosti nebesnih teles. S svojimi preprostimi pri- pomočki, a z dobrim poznavanjem geometrije in bi- stroumnimi zamislimi, nas še danes presenečajo. Ta- ko se je v tretjem stoletju pred našim štetjem Ari- starh s Samosa spopadel s problemom oddaljeno- sti Sonca in Lune. Pri tem si je pomagal z elemen- tarno trigonometrijo in starim dobrim Pitagorovim izrekom. Spoznal je, da če ob prvem ali zadnjem Luninem krajcu izmeri kot med Soncem in Luno na nebu, lahko enostavno pride do razmerja med odda- ljenostma Zemlja-Sonce in Zemlja-Luna. Žal pa astro- nomske naprave starega veka niso omogočile dovolj natančne meritve tega kota, zato je Aristarh menil, da je Sonce 19-krat dlje kot Luna. To je precejšnja napaka, saj je prava vrednost približno 15-krat ve- čja, a zamisel meritve je bila prava. Grki pa se niso ustavili pri tem. Eratosten je z znamenitim vodnja- 2 6. junija v zgodnjih jutranjih urah bo iz naših krajev viden prehod Venere čez Sončevo ploskev. Pojava sicer ne bo mogoče spremljati v celoti, saj se prehod Venere po našem času začne nekaj čez polnoč. Videli bomo le zadnji del prehoda tik po vzidu Sonca. Za opazovanje nebesnega pojava bo potrebno zato vstati zgodaj, a naslednji prehod Ve- nere bo šele 11. decembra 2117. V današnjem svetu merimo skoraj vse. Merimo prostor in čas, maso in hitrost, Merimo vse; od ki- lograma solate do stotink pri slalomu. Zdi se, da je merjenje bistvo spoznanja o naši okolici. S fizikal- nega stališča to prav gotovo drži. Fizika je neločljivo povezana z merjenjem in teorije je mogoče potrditi ali ovreči le na podlagi natančnih poskusov, pri ka- terih merimo to ali ono količino. Kako pa je z ve- soljem? Če bi dobili nalogo izmeriti višino stavbe, bi se že nekako znašli. Kako pa bi izmerili oddalje- nost Lune, Sonca, planetov in zvezd? Na prvi pogled se nam tako merjenje zdi skoraj nemogoče. Vpra- šanje o oddaljenosti vesoljskih teles so si postavili prvi zvezdogledi, če ne že kar prvi ljudje, ki so za- maknjeno zrli v nebo. Gotovo se jim je to zdelo kot nekakšna polkrogla, v katerem središču je Zemlja, na obodu pa so pritrjene zvezde, planeti. Tudi nam se tako zdi, če stopimo pod jasno nočno nebo. Nika- kor ne moremo dojeti trirazsežnosti neba. Seveda je to zaradi velikih razdalj, ki nas ločijo do vesolj- skih teles. To je tako, kot bi opazovali oddaljeno pogorje na obzorju ter poskušali ugotoviti razdaljo in višino posameznih gora. Brez znane reference bi težko karkoli rekli o njihovi višini. Toda pri gorah nam pomaga izkušnja; zeleni griči so nižji od zasne- ženih vršacev in meglica, ki nam daje občutek per- spektive, zračna perspektiva. Z vesoljem pa nimamo nikakršnih oprijemljivih izkušenj. Kako daleč je Sonce? Že starogrški astronomi so naredili prve ocene od- daljenosti nebesnih teles. S svojimi preprostimi pri- pomočki, a z dobrim poznavanjem geometrije in bi- stroumnimi zamislimi, nas še danes presenečajo. Ta- ko se je v tretjem stoletju pred našim štetjem Ari- starh s Samosa spopadel s problemom oddaljeno- sti Sonca in Lune. Pri tem si je pomagal z elemen- tarno trigonometrijo in starim dobrim Pitagorovim izrekom. Spoznal je, da če ob prvem ali zadnjem Luninem krajcu izmeri kot med Soncem in Luno na nebu, lahko enostavno pride do razmerja med odda- ljenostma Zemlja-Sonce in Zemlja-Luna. Žal pa astro- nomske naprave starega veka niso omogočile dovolj natančne meritve tega kota, zato je Aristarh menil, da je Sonce 19-krat dlje kot Luna. To je precejšnja napaka, saj je prava vrednost približno 15-krat ve- čja, a zamisel meritve je bila prava. Grki pa se niso ustavili pri tem. Eratosten je z znamenitim vodnja- 2 . . , . . , . . . , , ; . , . . , . , . , , . , , . , , , . , . . , . , . . ; , , . . . , , . . . , , . , , . , , . . . j ij ji j tr ji r i ši r j i r r l s . j si r s r lj ti l ti, s j s r r š s j l . i li l ji l r ti i . j s j tr t st ti j, sl ji r - r š l . r . š je s et eri s r j se. eri r st r i c s, s i itr st, eri se; i- l r s l te st ti ri sl l . i se, je erje je ist s j ši lici. i l- e st lišc t r t r i. i i je el clji e erje je i te rije je ce tr iti li reci le l i t c i s s , ri - teri eri t li lici . je e- s lje ? e i ili l i eriti iši st e, i se e e šli. i i erili lje- st e, c , l et i e ? r i le se t erje je i s r j e ce. r - š je lje sti es ljs i teles s si st ili r i e le i, ce e e r r i lj je, i s - je rli e . t se ji je t el t e š l r l , tere sre išc je e lj , s ritrje e e e, l eti. i se t i, ce st i j s c e . i - r e re jeti trir se sti e . e e je t r i eli i r lj, i s l cij es lj- s i teles. je t , t i li lje rje rj ter s š li t iti r lj i iši s e i r . re e refere ce i te r li re li ji i iši i. ri r i š j ; ele i rici s i ji s e- e i rš ce i e lic , i je c te er- s e ti e, r c ers e ti . es lje i i rš i rije lji i i še j. l j ? e st r rš i str i s re ili r e ce e - lje sti e es i teles. s ji i re r sti i ri- c i, ri je e etrije i i- str i i isli i, s še es rese ec j . - se je tretje st letj re ši štetje ri- st r s s s el s r le lje - sti c i e. ri te si je l ele e - t r tri etrij i st ri ri it r i i re . l je, ce r e li je i e r jc i eri t e ce i e , l e st ri e r erj e - lje st e lj - ce i e lj - . l str - s e r e st re e is cile lj t c e erit e te t , t je rist r e il, je ce - r t lje t . je recejš j , s j je r re st ri li - r t e- cj , isel erit e je il r . r i se is st ili ri te . r t ste je e iti j - 6 a zgo a a o z a a e e e o e e e čez So če o o e Po a a ce e o ogoče e a ce o a e e o e e e o a e ča zač e e a čez o oč e o o e za e e o a o z So ca a o azo a e e e ega o a a o o e o za o a zgo a a a e e o e e e o e e 11 ece a 2117 a a v o ko a v o o o ˇa a o o o v o k og a a o a o o k a o a b vo oz a a o a oko S z ka ga a ˇa o av go ovo ž F z ka oˇ vo ov za a z o ogoˇ o a ov ˇ a o ag a a ˇ o k ov ka o o a o o ko ˇ o ako a z v o ˇ b ob a ogo z v o avb b ž kako z a ako a b z o a o L So a a ov zv z a v og a ako z ko a ogoˇ a a o o a o v o k o o av v zv z og ˇ ž ka v k o za ak o z v bo o ovo o z o ko kak a o k og a v ka ˇ a a obo a o zv z a a ako z ˇ o o o a o oˇ o bo ka ko o o o az ž o ba S v a o za a v k az a k a oˇ o o v o k o ako ko b o azova o a o ogo a obzo o k a go ov az a o v o o a z go a B z z a b žko ka ko k o ov v o a go a a o aga zk a z g ˇ o ž o za ž v a v g a k a a obˇ k k v z aˇ a k va v o a a o kak o v zk c c a og k a o o o a v o o a o b S vo o o oˇk a z ob oz ava g o b o za a a ˇa o a ko v o a a Sa o a o a ob o o a o So a L P o aga z a o go o o a ob P ago ov z ko S oz a a ˇ ob v a za L k a z ko So L o a b a ko o av o o az a o a o a a So a L a a a a o o k a av a ga v ka o o ogoˇ ovo a a ˇ v ga ko a za o a a So 19 k a ko L a o a a aka a ava v o b ž o 15 k a v ˇ a a za v b a ava k a o av E a o z z a vo a 2 . junij v dnjih ju njih u h b i n ih k j v vid n p h d V n n v pl k v. j v i n b p lj i v l i, j p h d V n p n u n n k j p ln . Vid li b l dnji d l p h d ik p v idu n . Z p v nj n b n p j v b p bn v i d j, n l dnji p h d V - n b l . d b . V d n nj u i j . M i p in , in hi , M i ; d i- l l d in p i l l u. Zdi , d j j nj i p n nj n i li i. fi i l- n li p d i. i i j n l lji p n j nj in ij j p di i li i l n p dl i n n nih p u , p i - ih i li n li in . K p j - lj C i d ili n l i i i i in , i n n li. K p i i ili dd lj - n un , n , pl n in d N p i p l d n j nj di j n . Vp - nj dd lj n i lj ih l i p ili p i d l di, n p i ljudj , i - nj n li n . G ji j d l n n p l l , di u j Z lj , n du p p i j n d , pl n i. Tudi n di, pi p d j n n n n . Ni - n d j i i n i n . d j di li ih d lj, i n l ij d lj- ih l . T j , i p li dd lj n p j n ju p u li u i i d lj in i in p nih . n n n i li li njih i i ini. T d p i h n p i u nj ; l ni i i ni ji d n - nih in li , i n d j u p - p i , n p p i . Z lj p ni ni nih p ij lji ih i u nj. Kako daleˇ je Son e Ž i n i n dili p n d- d lj n i n nih l . ji i p p i i p i- p i, d i p n nj ij in i- u ni i i li i, n d n p n j . T - j j l ju p d n i j A i- h p p d l p l dd lj n - i n in un . i i j p l l n- n i n ij in i d i i i i . p n l j , d p li dnj unin j u i i d n in un n n u, l h n n p id d j d dd - lj n Z lj - n in Z lj - un . Ž l p - n n p ni il d lj n n n i , j A i h nil, d j n - dlj un . T j p j nj n p , j j p dn p i li n - - j , i l i j il p . G i p ni u ili p i . n j n ni i dnj - t t t t t t t t t r r r r t r tr t r r t t t r r t t t r t r r t r tr t r t r t r r t r t t r t t r t r r r t t t r r r r t t t r t r r r tr t t t r r t tr r t t r r t t t r r t r t t r r r r f r t r r r r r r t r t r r t r r t r r tr r r t t r r t r r tr tr r tr t t t r t t r t r r t r t t r tr tr t r r t r r r r r t t r r r t tr r t r t r t t t t r t r r t t r r r t r r t r t r r t r t r t t t 6. j ija zgo ji j ra ji ra o iz aši raje i e re o e ere čez So če o los e . Poja a sicer e o ogoče s re lja i celo i, saj se re o e ere o aše čas zač e e aj čez ol oč. i eli o o le za ji el re o a i o zi So ca. a o azo a je e es ega oja a o o re o za o s a i zgo aj, a asle ji re o e- ere o šele 11. ece ra 2117. a aš je sve e i o sko aj vse. e i o os o i čas, aso i i os , e i o vse; o ki- log a a sola e o s o i k i slalo . i se, a je e je je bis vo s oz a ja o aši okolici. S zikal- ega s ališča o av go ovo ži. Fizika je eločljivo oveza a z e je je i eo ije je ogoče o i i ali ov eči le a o lagi a a č i osk sov, i ka- e i e i o o ali o o količi o. ako a je z ve- solje ? ˇe bi obili alogo iz e i i viši o s avbe, bi se že ekako z ašli. ako a bi iz e ili o alje- os L e, So ca, la e ov i zvez ? a vi ogle se a ako e je je z i sko aj e ogoče. a- ša je o o alje os i vesoljski eles so si os avili vi zvez ogle i, če e že ka vi lj je, ki so za- ak je o z li v ebo. o ovo se ji je o z elo ko ekakš a olk ogla, v ka e e s e išč je e lja, a obo a so i je e zvez e, la e i. i a se ako z i, če s o i o o jas o oč o ebo. ika- ko e o e o oje i i azsež os i eba. Seve a je o za a i veliki az alj, ki as ločijo o vesolj- ski eles. o je ako, ko bi o azovali o alje o ogo je a obzo j e osk šali go ovi i az aljo i viši o osa ez i go a. B ez z a e e e e ce bi ežko ka koli ekli o ji ovi viši i. o a i go a a o aga izk š ja; zele i g iči so ižji o zas e- že i v šacev i eglica, ki a aje obč ek e - s ek ive, z ač a e s ek iva. vesolje a i a o ikak š i o ije ljivi izk še j. l c j c ? e s a og ški as o o i so a e ili ve oce e o - alje os i ebes i eles. S svoji i e os i i i- o očki, a z ob i oz ava je geo e ije i bi- s o i i za isli i, as še a es ese ečajo. a- ko se je v e je s ole j e aši š e je i- s a s Sa osa s o a el s oble o o alje o- s i So ca i L e. P i e si je o agal z ele e - a o igo o e ijo i s a i ob i Pi ago ovi iz eko . S oz al je, a če ob ve ali za je L i e k ajc iz e i ko e So ce i L o a eb , la ko e os av o i e o az e ja e o a- lje os a e lja-So ce i e lja-L a. al a as o- o ske a ave s a ega veka iso o ogočile ovolj a a č e e i ve ega ko a, za o je is a e il, a je So ce 19-k a lje ko L a. o je ecejš ja a aka, saj je ava v e os ibliž o 15-k a ve- čja, a za isel e i ve je bila ava. ki a se iso s avili i e . E a os e je z z a e i i vo ja- 2 . . , . . , . . . , , ; . , . . , . , . , , . , , . , , , . , . . , . , . . ; , , . . . , , . . . , , . , , . , , . . andrej guštin Prehod Venere čez Sonce in zgodovina meritev astronomske enote • presek 39 (2011/2012) 6 a s t r o n o m i j a 23 kom in senco zelo dobro ocenil premer Zemlje. To je bila odlična osnova, da so razmerja med oddalje- nostmi v vesolju zamenjale številke. Hiparh (190– 120 pr. n. št.) je bil brez dvoma največji astronom antike in ga imamo lahko za utemeljitelja sistemat- skih astronomskih opazovanj. Izdelal je prvi kata- log 1080 zvezd, odkril je precesijo enakonočja, med drugim pa se je pozabaval tudi z meritvijo oddalje- nosti Lune. V ta namen je izkoristil Lunine mrke in opazoval prehod naše spremljevalke skozi Zemljino senco. Z enostavnim računom je tako ugotovil, da je Luna oddaljena za 59 polmerov Zemlje, kar se dobro ujema s pravo vrednostjo. S tem podatkom Hiparhu ni bilo težko izračunati še oddaljenosti Sonca. Žal pa se je naslonil na staro Aristarhovo oceno, ki pa je bila slaba, ter tako dobil mnogo premajhno vre- dnost. Res škoda, sicer bi že pred več kot dva tisoč leti zelo dobro poznali velikosti v Osončju. Tako pa je še v Keplerjevih časih veljalo, da je Sonce približno 7-krat bližje, kot v resnici je. V prvi polovici 17. sto- letja je Kepler izdelal Rudolfove tablice o napovedih gibanja planetov, iz katerih je izhajalo, da Merkur in Venera občasno prečkata Sončevo ploskvico. To po- meni, da sta tedaj planeta natanko med Zemljo in Soncem in ju je mogoče kot temni pegici videti na svetlem ozadju naše zvezde. In res se je leta 1631 Merkur navidezno sprehodil čez Sonce. Keplerja žal ni bilo več med živimi, pojav pa je opazoval franco- ski astronom Pierre Gassendi, ki je tako postal prvi očividec takemu dogodku. O prehodu Venere, ki naj bi se zgodil mesec kasneje, ni bilo ne duha ne sluha, vsaj v Evropi ne. Kepler je poleg tega izračunal, da se bo naslednji prehod Venere zgodil šele sto let ka- sneje, a se je na srečo uštel. Angleški amaterski astronom Horrocks pa je pravilno izračunal, da bo se bo Venera zapeljala čez Sonce že leta 1639. Toda to mu je uspelo le mesec pred dogodkom. Ker tedaj ni bilo interneta, ni mogel obvestiti drugih astrono- mov, s prijateljem sta bila prva in edina, ki sta pojav opazovala. Pomen prehodov Venere Pomen teh prehodov se je pokazal šele pol stoletja kasneje. Angleški astronom Edmond Halley je v jav- nosti znan predvsem po znamenitem kometu, ki se vrne v bližino Zemlje približno vsakih 76 let. V zgo- dovino znanosti pa je zapisan kot najpomembnejši astronom svoje dobe in človek, ki je bistveno pripo- mogel k izdaji Newtonovega najpomembnejšega dela Principia ter k uporabi gravitacijskega zakona. V drugi polovici 17. stoletja je Halley na otoku Svete Helene opazoval zvezde in izpopolnjeval ka- talog južnega neba. Leta 1677 je videl tudi prehod Merkurja čez Sonce. Pri tem se je zavedel, da bi z opazovanjem takih dogodkov lahko zelo natančno izmerili oddaljenost Sonca od Zemlje ali t. i. astro- nomsko enoto. V njegovem času so bile ocene astro- nomske enote še vedno zelo nezanesljive in so se od prave vrednosti razlikovale tudi za faktor 10. Zelo pomembno pa bi bilo imeti pravo vrednost, s katero bi lahko določili vse velikosti v Osončju. Iz Keplerje- 3 kom in senco zelo dobro ocenil premer Zemlje. To je bila odlična osnova, da so razmerja med oddalje- nostmi v vesolju zamenjale številke. Hiparh (190– 120 pr. n. št.) je bil brez dvoma največji astronom antike in ga imamo lahko za utemeljitelja sistemat- skih astronomskih opazovanj. Izdelal je prvi kata- log 1080 zvezd, odkril je precesijo enakonočja, med drugim pa se je pozabaval tudi z meritvijo oddalje- nosti Lune. V ta namen je izkoristil Lunine mrke in opazoval prehod naše spremljevalke skozi Zemljino senco. Z enostavnim računom je tako ugotovil, da je Luna oddaljena za 59 polmerov Zemlje, kar se dobro ujema s pravo vrednostjo. S tem podatkom Hiparhu ni bilo težko izračunati še oddaljenosti Sonca. Žal pa se je naslonil na staro Aristarhovo oceno, ki pa je bila slaba, ter tako dobil mnogo premajhno vre- dnost. Res škoda, sicer bi že pred več kot dva tisoč leti zelo dobro poznali velikosti v Osončju. Tako pa je še v Keplerjevih časih veljalo, da je Sonce približno 7-krat bližje, kot v resnici je. V prvi polovici 17. sto- letja je Kepler izdelal Rudolfove tablice o napovedih gibanja planetov, iz katerih je izhajalo, da Merkur in Venera občasno prečkata Sončevo ploskvico. To po- meni, da sta tedaj planeta natanko med Zemljo in Soncem in ju je mogoče kot temni pegici videti na svetlem ozadju naše zvezde. In res se je leta 1631 Merkur navidezno sprehodil čez Sonce. Keplerja žal ni bilo več med živimi, pojav pa je opazoval franco- ski astronom Pierre Gassendi, ki je tako postal prvi očividec takemu dogodku. O prehodu Venere, ki naj bi se zgodil mesec kasneje, ni bilo ne duha ne sluha, vsaj v Evropi ne. Kepler je poleg tega izračunal, da se bo naslednji prehod Venere zgodil šele sto let ka- sneje, a se je na srečo uštel. Angleški amaterski astronom Horrocks pa je pravilno izračunal, da bo se bo Venera zapeljala čez Sonce že leta 1639. Toda to mu je uspelo le mesec pred dogodkom. Ker tedaj ni bilo interneta, ni mogel obvestiti drugih astrono- mov, s prijateljem sta bila prva in edina, ki sta pojav opazovala. Pomen prehodov Venere Pomen teh prehodov se je pokazal šele pol stoletja kasneje. Angleški astronom Edmond Halley je v jav- nosti znan predvsem po znamenitem kometu, ki se vrne v bližino Zemlje približno vsakih 76 let. V zgo- dovino znanosti pa je zapisan kot najpomembnejši astronom svoje dobe in človek, ki je bistveno pripo- mogel k izdaji Newtonovega najpomembnejšega dela Principia ter k uporabi gravitacijskega zakona. V drugi polovici 17. stoletja je Halley na otoku Svete Helene opazoval zvezde in izpopolnjeval ka- talog južnega neba. Leta 1677 je videl tudi prehod Merkurja čez Sonce. Pri tem se je zavedel, da bi z opazovanjem takih dogodkov lahko zelo natančno izmerili oddaljenost Sonca od Zemlje ali t. i. astro- nomsko enoto. V njegovem času so bile ocene astro- nomske enote še vedno zelo nezanesljive in so se od prave vrednosti razlikovale tudi za faktor 10. Zelo pomembno pa bi bilo imeti pravo vrednost, s katero bi lahko določili vse velikosti v Osončju. Iz Keplerje- 3 6. junija v zgodnjih jutranjih urah bo iz naših krajev viden prehod Venere čez Sončevo ploskev. Pojava sicer ne bo mogoče spremljati v celoti, saj se prehod Venere po našem času začne nekaj čez polnoč. Videli bomo le zadnji del prehoda tik po vzidu Sonca. Za opazovanje nebesnega pojava bo potrebno zato vstati zgodaj, a naslednji prehod Ve- nere bo šele 11. decembra 2117. V današnjem svetu merimo skoraj vse. Merimo prostor in čas, maso in hitrost, Merimo vse; od ki- lograma solate do stotink pri slalomu. Zdi se, da je merjenje bistvo spoznanja o naši okolici. S fizikal- nega stališča to prav gotovo drži. Fizika je neločljivo povezana z merjenjem in teorije je mogoče potrditi ali ovreči le na podlagi natančnih poskusov, pri ka- terih merimo to ali ono količino. Kako pa je z ve- soljem? Če bi dobili nalogo izmeriti višino stavbe, bi se že nekako znašli. Kako pa bi izmerili oddalje- nost Lune, Sonca, planetov in zvezd? Na prvi pogled se nam tako merjenje zdi skoraj nemogoče. Vpra- šanje o oddaljenosti vesoljskih teles so si postavili prvi zvezdogledi, če ne že kar prvi ljudje, ki so za- maknjeno zrli v nebo. Gotovo se jim je to zdelo kot nekakšna polkrogla, v katerem središču je Zemlja, na obodu pa so pritrjene zvezde, planeti. Tudi nam se tako zdi, če stopimo pod jasno nočno nebo. Nika- kor ne moremo dojeti trirazsežnosti neba. Seveda je to zaradi velikih razdalj, ki nas ločijo do vesolj- skih teles. To je tako, kot bi opazovali oddaljeno pogorje na obzorju ter poskušali ugotoviti razdaljo in višino posameznih gora. Brez znane reference bi težko karkoli rekli o njihovi višini. Toda pri gorah nam pomaga izkušnja; zeleni griči so nižji od zasne- ženih vršacev in meglica, ki nam daje občutek per- spektive, zračna perspektiva. Z vesoljem pa nimamo nikakršnih oprijemljivih izkušenj. Kako daleč je Sonce? Že starogrški astronomi so naredili prve ocene od- daljenosti nebesnih teles. S svojimi preprostimi pri- pomočki, a z dobrim poznavanjem geometrije in bi- stroumnimi zamislimi, nas še danes presenečajo. Ta- ko se je v tretjem stoletju pred našim štetjem Ari- starh s Samosa spopadel s problemom oddaljeno- sti Sonca in Lune. Pri tem si je pomagal z elemen- tarno trigonometrijo in starim dobrim Pitagorovim izrekom. Spoznal je, da če ob prvem ali zadnjem Luninem krajcu izmeri kot med Soncem in Luno na nebu, lahko enostavno pride do razmerja med odda- ljenostma Zemlja-Sonce in Zemlja-Luna. Žal pa astro- nomske naprave starega veka niso omogočile dovolj natančne meritve tega kota, zato je Aristarh menil, da je Sonce 19-krat dlje kot Luna. To je precejšnja napaka, saj je prava vrednost približno 15-krat ve- čja, a zamisel meritve je bila prava. Grki pa se niso ustavili pri tem. Eratosten je z znamenitim vodnja- 2 6. junija v zgodnjih jutranjih urah bo iz naših krajev viden prehod Venere čez Sončevo ploskev. Pojava sicer ne bo mogoče spremljati v celoti, saj se prehod Venere po našem času začne nekaj čez polnoč. Videli bomo le zadnji del prehoda tik po vzidu Sonca. Za opazovanje nebesnega pojava bo potrebno zato vstati zgodaj, a naslednji prehod Ve- nere bo šele 1 . decembra 21 7. V današnjem svetu merimo skoraj vse. Merimo prostor in čas, maso in hitrost, Merimo vse; od ki- lograma solate do stotink pri slalomu. Zdi se, da je merjenje bistvo spoznanja o naši okolici. S fizikal- nega stališča to prav gotovo drži. Fizika je neločljivo povezana z merjenjem in teorije je mogoče potrditi ali ovreči le na podlagi natančnih poskusov, pri ka- terih merimo to ali ono količino. Kako pa je z ve- soljem? Če bi dobili nalogo izmeriti višino stavbe, bi se že nekako znašli. Kako pa bi izmerili od alje- nost Lune, Sonca, planetov in zvezd? Na prvi pogled se nam tako merjenje zdi skoraj nemogoče. Vpra- šanje o od aljenosti vesoljskih teles so si postavili prvi zvezdogledi, če ne že kar prvi ljudje, ki so za- maknjeno zrli v nebo. Gotovo se jim je to zdelo kot nekakšna polkrogla, v katerem središču je Zemlja, na obodu pa so pritrjene zvezde, planeti. Tudi nam se tako zdi, če stopimo pod jasno nočno nebo. Nika- kor ne moremo dojeti trirazsežnosti neba. Seveda je to zaradi velikih razdalj, ki nas ločijo do vesolj- skih teles. To je tako, kot bi opazovali od aljeno pogorje na obzorju ter poskušali ugotoviti razdaljo in višino posameznih gora. Brez znane reference bi težko karkoli rekli o njihovi višini. Toda pri gorah nam pomaga izkušnja; zeleni griči so nižji od zasne- ženih vršacev in meglica, ki nam daje občutek per- spektive, zračna perspektiva. Z vesoljem pa nimamo nikakršnih oprijemljivih izkušenj. Kako daleč je Sonce? Že starogrški astronomi so naredili prve ocene od- daljenosti nebesnih teles. S svojimi preprostimi pri- pomočki, a z dobrim poznavanjem geometrije in bi- stroumnimi zamislimi, nas še danes presenečajo. Ta- ko se je v tretjem stoletju pred našim štetjem Ari- starh s Samosa spopadel s problemom od aljeno- sti Sonca in Lune. Pri tem si je pomagal z elemen- tarno trigonometrijo in starim dobrim Pitagorovim izrekom. Spoznal je, da če ob prvem ali zadnjem Luninem krajcu izmeri kot med Soncem in Luno na nebu, lahko enostavno pride do razmerja med od a- ljenostma Zemlja-Sonce in Zemlja-Luna. Žal pa astro- nomske naprave starega veka niso omogočile dovolj natančne meritve tega kota, zato je Aristarh menil, da je Sonce 19-krat dlje kot Luna. To je precejšnja napaka, saj je prava vrednost približno 15-krat ve- čja, a zamisel meritve je bila prava. Grki pa se niso ustavili pri tem. Eratosten je z znamenitim vodnja- 2 č vih zakonov in iz kasneje zapisanega Newtonovega gravitacijskega zakona je namreč mogoče izračunati oddaljenost vseh planetov od Sonca, če je znana od- daljenost Zemlje od naše zvezde. Halleyeva ugoto- vitev je bila načeloma enostavna. Če bi prehod opa- zovali na dveh različnih zemljepisnih širinah, npr. v Evropi in Južni Afriki, potem bi bilo mogoče izraču- nati oddaljenost Zemlje od Sonca. Morali bi le iz- meriti čas začetka in konca prehoda ter zarisati pot Venere čez Sončevo ploskvico. Za tem razmislekom se skriva t. i. paralaksa. Najlažje si princip parala- kse ogledamo z enostavnim primerom. Kazalec izte- gnjene roke postavimo pokonci, z drugo roko si za- krijemo najprej eno, nato pa drugo oko. Opazimo, da je položaj prsta glede na okoliški prostor dru- gačen, ko gledamo z enim ali drugim očesom. Če primaknemo prst bližje, vidimo, da je navidezni pre- mik še večji. To je posledica razmika med očesoma, saj vidimo prst z vsakim očesom pod različnim ko- tom. Nekaj podobnega moramo opaziti, če opazu- jemo Venero na različnih zemljepisnih širinah. V tem primeru razdaljo med očesoma nadomesti raz- dalja med krajema. Zaradi tega opazovalca na raz- ličnih koncih sveta vidita prehod Venere na različnih mestih ploskvice Sonca. Z malo trigonometrije pa je iz tega mogoče izračunati oddaljenosti med Zemljo, Venero in Soncem. Leta 1716 je Halley izdal zelo po- memben članek, v katerem je opisal meritve razdalje Zemlja-Sonce ob prehodu Venere. Venero je izbral zato, ker nam je bližje in so zato meritve ob njenem prehodu zanesljivejše kot ob prehodu Merkurja. Žal pa se Venera čez Sonce sprehodi le poredko, v in- tervalih približno 120 let. Po tem daljšem premoru sta dva prehoda osem let narazen, potem pa pribli- žno 120 let ni nobenega. V osemnajstem stoletju sta bila prehoda napovedana za leto 1761 in 1769. Tudi tokrat, kot v primeru napovedanega povratka „nje- govega“ kometa, ki ga je Halley napovedal, a je pred prihodom umrl, je pripravil pot novim generacijam astronomov, saj sta bila prehoda več kot sto let po njegovem rojstvu. Prve meritve In res so astronomi sprejeli Halleyev izziv. Ve- činoma so bili to Angleži in Francozi, tedaj nosilci astronomskih opazovanj in raziskovanja. Tudi če pozabimo na težave, s katerimi so se morali opazo- valci soočati na potovanjih v zelo oddaljene kraje, da bi videli prehod Venere, tudi politične razmere okoli leta 1761 niso bile najboljše. Ravno tedaj je divjala sedemletna vojna med Francijo in Anglijo, ki je bila prava svetovna vojna, saj je praktično zajela vse kon- tinente. Kljub sovražnosti pa so astronomi dobili „prepustnice“, s katerimi so lahko potovali po voj- nih krajinah. Tako so se razkropili po vsej zemeljski obli, od Svete Helene sredi Atlantika, Sumatre, Mada- gaskarja, severa Norveške, Amerike. Že prva opazo- vanja so dala dobre rezultate in spodbudo za opazo- vanja osem let kasneje, torej leta 1769, ko je bilo tudi manj rožljanja z orožjem. Pri drugi opazovalni kam- panji je sodeloval tudi znameniti pomorščak James 4 Presek 39 (2011/2012) 6 • a s t r o n o m i j a 24 vih zakonov in iz kasneje zapisanega Newtonovega gravitacijskega zakona je namreč mogoče izračunati oddaljenost vseh planetov od Sonca, če je znana od- daljenost Zemlje od naše zvezde. Halleyeva ugoto- vitev je bila načeloma enostavna. Če bi prehod opa- zovali na dveh različnih zemljepisnih širinah, npr. v Evropi in Južni Afriki, potem bi bilo mogoče izraču- nati oddaljenost Zemlje od Sonca. Morali bi le iz- meriti čas začetka in konca prehoda ter zarisati pot Venere čez Sončevo ploskvico. Za tem razmislekom se skriva t. i. paralaksa. Najlažje si princip parala- kse ogledamo z enostavnim primerom. Kazalec izte- gnjene roke postavimo pokonci, z drugo roko si za- krijemo najprej eno, nato pa drugo oko. Opazimo, da je položaj prsta glede na okoliški prostor dru- gačen, ko gledamo z enim ali drugim očesom. Če primaknemo prst bližje, vidimo, da je navidezni pre- mik še večji. To je posledica razmika med očesoma, saj vidimo prst z vsakim očesom pod različnim ko- tom. Nekaj podobnega moramo opaziti, če opazu- jemo Venero na različnih zemljepisnih širinah. V tem primeru razdaljo med očesoma nadomesti raz- dalja med krajema. Zaradi tega opazovalca na raz- ličnih koncih sveta vidita prehod Venere na različnih mestih ploskvice Sonca. Z malo trigonometrije pa je iz tega mogoče izračunati oddaljenosti med Zemljo, Venero in Soncem. Leta 1716 je Halley izdal zelo po- memben članek, v katerem je opisal meritve razdalje Zemlja-Sonce ob prehodu Venere. Venero je izbral zato, ker nam je bližje in so zato meritve ob njenem prehodu zanesljivejše kot ob prehodu Merkurja. Žal pa se Venera čez Sonce sprehodi le poredko, v in- tervalih približno 120 let. Po tem daljšem premoru sta dva prehoda osem let narazen, potem pa pribli- žno 120 let ni nobenega. V osemnajstem stoletju sta bila prehoda napovedana za leto 1761 in 1769. Tudi tokrat, kot v primeru napovedanega povratka „nje- govega“ kometa, ki ga je Halley napovedal, a je pred prihodom umrl, je pripravil pot novim generacijam astronomov, saj sta bila prehoda več kot sto let po njegovem rojstvu. Prve meritve In res so astronomi sprejeli Halleyev izziv. Ve- činoma so bili to Angleži in Francozi, tedaj nosilci astronomskih opazovanj in raziskovanja. Tudi če pozabimo na težave, s katerimi so se morali opazo- valci soočati na potovanjih v zelo oddaljene kraje, da bi videli prehod Venere, tudi politične razmere okoli leta 1761 niso bile najboljše. Ravno tedaj je divjala sedemletna vojna med Francijo in Anglijo, ki je bila prava svetovna vojna, saj je praktično zajela vse kon- tinente. Kljub sovražnosti pa so astronomi dobili „prepustnice“, s katerimi so lahko potovali po voj- nih krajinah. Tako so se razkropili po vsej zemeljski obli, od Svete Helene sredi Atlantika, Sumatre, Mada- gaskarja, severa Norveške, Amerike. Že prva opazo- vanja so dala dobre rezultate in spodbudo za opazo- vanja osem let kasneje, torej leta 1769, ko je bilo tudi manj rožljanja z orožjem. Pri drugi opazovalni kam- panji je sodeloval tudi znameniti pomorščak James 4 vih zakonov in iz kasneje zapisanega Newtonovega gravitacijskega zakona je namreč mogoče izračunati oddaljenost vseh planetov od Sonca, če je znana od- daljenost Zemlje od naše zvezde. Halleyeva ugoto- vitev je bila načeloma enostavna. Če bi prehod opa- zovali na dveh različnih zemljepisnih širinah, npr. v Evropi in Južni Afriki, potem bi bilo mogoče izraču- nati oddaljenost Zemlje od Sonca. Morali bi le iz- meriti čas začetka in konca prehoda ter zarisati pot Venere čez Sončevo ploskvico. Za tem razmislekom se skriva t. i. paralaksa. Najlažje si princip parala- kse ogledamo z enostavnim primerom. Kazalec izte- gnjene roke postavimo pokonci, z drugo roko si za- krijemo najprej eno, nato pa drugo oko. Opazimo, da je položaj prsta glede na okoliški prostor dru- gačen, ko gledamo z enim ali drugim očesom. Če primaknemo prst bližje, vidimo, da je navidezni pre- mik še večji. To je posledica razmika med očesoma, saj vidimo prst z vsakim očesom pod različnim ko- tom. Nekaj podobnega moramo opaziti, če opazu- jemo Venero na različnih zemljepisnih širinah. V tem primeru razdaljo med očesoma nadomesti raz- dalja med krajema. Zaradi tega opazovalca na raz- ličnih koncih sveta vidita prehod Venere na različnih mestih ploskvice Sonca. Z malo trigonometrije pa je iz tega mogoče izračunati oddaljenosti med Zemljo, Venero in Soncem. Leta 1716 je Halley izdal zelo po- memben članek, v katerem je opisal meritve razdalje Zemlja-Sonce ob prehodu Venere. Venero je izbral zato, ker nam je bližje in so zato meritve ob njenem prehodu zanesljivejše kot ob prehodu Merkurja. Žal pa se Venera čez Sonce sprehodi le poredko, v in- tervalih približno 120 let. Po tem daljšem premoru sta dva prehoda osem let narazen, potem pa pribli- žno 120 let ni nobenega. V osemnajstem stoletju sta bila prehoda napovedana za leto 1761 in 1769. Tudi tokrat, kot v primeru napovedanega povratka „nje- govega“ kometa, ki ga je Halley napovedal, a je pred prihodom umrl, je pripravil pot novim generacijam astronomov, saj sta bila prehoda več kot sto let po njegovem rojstvu. Prve meritve In res so astronomi sprejeli Halleyev izziv. Ve- činoma so bili to Angleži in Francozi, tedaj nosilci astronomskih opazovanj in raziskovanja. Tudi če pozabimo na težave, s katerimi so se morali opazo- valci soočati na potovanjih v zelo oddaljene kraje, da bi videli prehod Venere, tudi politične razmere okoli leta 1761 niso bile najboljše. Ravno tedaj je divjala sedemletna vojna med Francijo in Anglijo, ki je bila prava svetovna vojna, saj je praktično zajela vse kon- tinente. Kljub sovražnosti pa so astronomi dobili „prepustnice“, s katerimi so lahko potovali po voj- nih krajinah. Tako so se razkropili po vsej zemeljski obli, od Svete Helene sredi Atlantika, Sumatre, Mada- gaskarja, severa Norveške, Amerike. Že prva opazo- vanja so dala dobre rezultate in spodbudo za opazo- vanja osem let kasneje, torej leta 1769, ko je bilo tudi manj rožljanja z orožjem. Pri drugi opazovalni kam- panji je sodeloval tudi znameniti pomorščak James 4 Cook. Iz Anglije je z ladjo Endeavor odplul leta 1768, da bi obplul Zemljo, se ob prehodu Venere ustavil še na Tahitiju in opravil astronomske meritve. Po sed- mih mesecih je Endeavor srečno pristala na mistično lepem otoku sredi Pacifika. Astronomi so na otoku postavili observatorij, kraj se še danes imenuje Point Venus. Prav Cookove meritve prehoda Venere čez Sonce so bistveno pripomogle k skupnemu svetov- nemu uspehu določanja velikosti Osončja. Tedanje meritve odstopajo vsega odstotek od današnjih pra- vih vrednosti. Pripravimo se na opazovanje Prehodi Venere med Soncem in Zemljo si sledijo v intervalih po osem let, 105,5 leta in 121,5 leta. Tako sta bila zaporedna prehoda leta 1874 in 1882, nato pa je bil naslednji leta 2004, ki mu sledi letošnji pre- hod Venere. Naslednji prehod bo leta 2117, naslednji še osem let kasneje, zato je to verjetno vaša zadnja priložnost, da pojav lahko opazujete. Za opazovalca v Ljubljani se bo Venerina ploskvica navidezno dotaknila roba Sončeve ploskvice nekaj minut čez polnoč. Tedaj bo Sonce še globoko pod obzorjem in tega ne bo mogoče videti. Sonce v Lju- bljani vzide ob 5 uri in 11 minut, ko bo Venera že do- bro zakoračila čez njegovo ploskvico. Venera bo vi- dna kot temna pika, velika približno 1/32 ploskvice Sonca, ki bo počasi lezla čez Sonce. Prehod bo trajal približno do 6 ure in 55 minut. Časi vzhoda Sonca so odvisni od geografske lege in se za druge kraje po Sloveniji nekoliko razlikujejo od navedenih. V veliko pomoč je brezplačna mobilna aplikacija VenusTransit, ki so jo astronomi razvili za Applove naprave in Android. Več podatkov in zanimivosti najdete tudi na sple- tnih naslovih www.transitofvenus.org in eclipse.gsfc.nasa.gov. Nasveti za opazovanje Prehod Venere čez Sonce je viden že sprostim oče- som. Venera je vidna kot temna pika na ploskvici Sonca. Kljub temu, da bo Sonce še nizko nad ob- zorjem, moramo oči primerno zaščititi pred njegovo svetlobo. To lahko naredimo s posebno folijo mylar za opazovanje Sonca ali z varilskim steklom gostote 12 ali več. Še lepše je pojav mogoče spremljati z lovskim dvogledom ali teleskopom. Toda, pozor! Ni- koli ne smemo v Sonce pogledati skozi daljnogled, saj lahko v trenutku oslepimo! Pomagamo si tako, da Sonce projiciramo na svetel zaslon, na katerem lahko varno opazujemo dogajanje. Neizkušeni opa- zovalci naj raje počakajo na javna opazovanja, ki jih bodo organizirala astronomska društva po Sloveniji. Kdor bi želeli podrobneje spoznati matematično 5 . li l l l l , i l l l , il i i i il i . i i i l i i l i i . i ili i , i i . i i i l l li i . i i i i. i i l i l i i li l , , l i , l . il l i , il l i l , i l i l i . l i l , l i l , il , l . l l i i l i i il l i i l . l i i i. l i i i i i , il l i . i i , li i li l i , i i l l . l i li i i . i i i l i l i i li li i . li l il li i i , i i ili l i i . i i i i i l i l i . i . i li . . . . i i . i i l i i . l , i , i i i i i l . l i li l li il i l li . l l i l i l li l . , ! i li l i i l l , l l i ! i , i i l l , l . i i l i , i i i i l l i i. Cook. Iz Ang ije je z ladjo Endeavor dplul leta 1768, da bi obplul Zemljo, se ob prehodu Venere ustavil še n Tahitij in opravil astronomske meritve. Po sed- mih mesecih je Endeavor srečno pristala na mistično lepe otoku sredi P cifika. Astronomi so na otoku postavili bservatorij, kraj se še da es imenuje P int Venus. Prav Cookove meritve prehoda Venere čez So ce so bistveno pripomogl k skupnemu svetov- nemu uspehu določanja velikosti Oso čja. Tedanje meritve odstopajo vseg odst tek od dan šnjih pra- vih vredno i. Pripravimo se na opazovanje Prehodi Venere med Soncem in Zemljo si sledijo v inte valih po osem l t, 105,5 leta in 121,5 leta. Tako sta bila za redna prehoda leta 1874 in 1882, nat pa je bil naslednji leta 2004, ki mu sledi letošnji pre- hod Venere. Naslednji prehod bo leta 2117, naslednji še osem let kasn je, zato je to verjetno vaša zadnja priložnost, da pojav lahko opazujete. Za opazov lca v Ljubljani se bo Venerina ploskvica navidezno dotaknila roba Sončeve ploskvice nekaj minut čez p lnoč. Tedaj bo Sonc še globoko pod obzorjem in tega ne bo mogoče videti. S nce v Lju- bljani vzide ob 5 uri in 11 minut, ko bo Venera že do ro zakoračila čez njegovo ploskvico. bo vi dna kot temn pika, velika ribližno 1/32 ploskvice Sonca, ki bo počasi lezla čez Sonce. Prehod b trajal približno d 6 ure in 55 minut. Časi vzh da Sonca so odvisni od geografske lege in se za druge kraje po Sl veniji nekoliko zlikuj jo od navedenih. V velik pomoč e brezplačn mobilna aplikacija VenusTransit, ki s jo astronomi razvil z A plove naprave in Android. Več podatko in za imivosti najdete tudi na sple- tnih naslovih www.transitofvenus.org in eclipse.gsfc.nasa.gov. Nasveti za opazovanje Prehod Venere čez Sonce je viden že sprostim oče- som. Venera je vidna kot t mna pika na ploskvici S nca. Kljub t mu, da bo Sonce še nizko nad ob- z rjem, moramo oči primern zaščititi pred jegovo svetlobo. To lahk na edimo s posebno folijo mylar za opazovanje Sonca ali z varilskim stekl m gostote 12 ali več. Š lepše je pojav mogoč spremljati z lovsk m dvogl dom ali teleskopom. Toda, pozor! Ni- koli ne smemo v Sonce pogledati sk zi daljn gled, saj lahko v trenutku oslepimo! Pomagamo si tako d Sonce projiciramo na svetel zaslon, na katerem lahk varno opazujemo dogajanje. Neizkušeni opa- zovalci naj raje počakajo na jav a opazovanja, ki jih b do org nizirala astronomska društva po Sloveniji. Kdor bi želeli podrobneje spoznati matematično 5 e i i o j presek 39 (2011/2012) 6 • a s t r o n o m i j a 25 slika 1. Varno opazovanje s teleskopom in projekcijo na bel papir. Sve- tel krog v sredini je Sončeva ploskvica, Venera pa je na njej vidna kot črna pika, ki je označena s puščico. • ozadje meritve astronomske enote ob prehodu Ve- nere čez Sonce, lahko primerne materiale v sloven- ščini najde na spletnem naslovu http://www.fiz.uni-lj.si/venera2004/. Opozorila in navodila za opazovanje Pri opazovanju prehoda Venere in Sonca na- sploh moramo poskrbeti za primerno za- ščito oči, sicer lahko pride do nepopravljivih okvar oči. Nikoli ne uporabljajmo doma narejenih in improviziranih filtrov, kot so s svečo pote- mnjena stekla, počrnjeni fotografski filmi in podobno! Primerna filtra sta le folija mylar in varil- ska stekla z gostoto 12 ali več! V Sonce ne smemo neposredno gledati skozi nobeno optično napravo (daljnogled, fotoaparat), ki ni opremljena s primernimi filtri, saj lahko v hipu oslepimo! Otroci naj vedno opazujejo v spremstvu staršev ali drugih odraslih oseb. Slika 1, 2, 3 6 ozadje meritve astronomske enote ob prehodu Ve- nere čez Sonce, lahko primerne materiale v sloven- ščini najde na spletnem naslovu http://www.fiz.uni-lj.si/venera2004/. Opozorila in navodila za opazovanje Pri opazovanju prehoda Venere in Sonca na- sploh moramo poskrbeti za primerno za- ščito oči, sicer lahko pride do nepopravljivih okvar oči. Nikoli ne uporabljajmo doma narejenih in improviziranih filtrov, kot so s svečo pote- mnjena stekla, počrnjeni fotografski filmi in podobno! Primerna filtra sta le folija mylar in varil- ska stekla z gostoto 12 ali več! V Sonce ne smemo neposredno gledati skozi nobeno optično napravo (daljnogled, fotoaparat), ki ni opremljena s primernimi filtri, saj lahko v hipu oslepimo! Otroci naj vedno opazujejo v spremstvu staršev ali drugih odraslih oseb. Slika 1, 2, 3 6 j i - , l i i l l - i i j l l tt : . . i-lj. i . il i il j i j i - l i i - i i, i l i lji i i. i li lj j j i i i i i i l , - j l , j i i l i i ! i l l lij l i il- l li ! l i i i ( lj l , ), i i lj i i i l i, j l i l i ! i j j j li i li . li , , r t tr t r r r r t r t // / r / r r r r r r t r r t r r r r r r r r tr t s s s t st r f t r fs r r tr st f r r s st st t s sr t s t r f t r t r s r r tr s s tr r t t r r r Cook. Iz Anglije je z ladjo Endeavor odplul leta 1768, da bi obplul Zemljo, se ob prehodu Venere ustavil še na Tahitiju in opravil astronomske meritve. Po sed- mih mesecih je Endeavor srečno pristala na mistično lepem otoku sredi Pacifika. Astronomi so na otoku postavili observatorij, kraj se še danes imenuje Point Venus. Prav Cookove meritve prehoda Venere čez Sonce so bistveno pripomogle k skupnemu svetov- nemu uspehu določanja velikosti Osončja. Tedanje meritve odstopajo vsega odstotek od današnjih pra- vih vrednosti. Pripravimo se na opazovanje Prehodi Venere med Soncem in Zemljo si sledijo v intervalih po osem let, 105,5 leta in 121,5 leta. Tako sta bila zaporedna prehoda leta 1874 in 1882, nato pa je bil naslednji leta 2004, ki mu sledi letošnji pre- hod Venere. Naslednji prehod bo leta 2117, naslednji še osem let kasneje, zato je to verjetno vaša zadnja priložnost, da pojav lahko opazujete. Za opazovalca v Ljubljani se bo Venerina ploskvica navidezno dotaknila roba Sončeve ploskvice nekaj minut čez polnoč. Tedaj bo Sonce še globoko pod obzorjem in tega ne bo mogoče videti. Sonce v Lju- bljani vzide ob 5 uri in 11 minut, ko bo Venera že do- bro zakoračila čez njegovo ploskvico. Venera bo vi- dna kot temna pika, velika približno 1/32 ploskvice Sonca, ki bo počasi lezla čez Sonce. Prehod bo trajal približno do 6 ure in 55 minut. Časi vzhoda Sonca so odvisni od geografske lege in se za druge kraje po Sloveniji nekoliko razlikujejo od navedenih. V veliko pomoč je brezplačna mobilna aplikacija VenusTransit, ki so jo astronomi razvili za Applove naprave in Android. Več podatkov in zanimivosti najdete tudi na sple- tnih naslovih www.transitofvenus.org in eclipse.gsfc.nasa.gov. Nasveti za opazovanje Prehod Venere čez Sonce je viden že sprostim oče- som. Venera je vidna kot temna pika na ploskvici Sonca. Kljub temu, da bo Sonce še nizko nad ob- zorjem, moramo oči primerno zaščititi pred njegovo svetlobo. To lahko naredimo s posebno folijo mylar za opazovanje Sonca ali z varilskim steklom gostote 12 ali več. Še lepše je pojav mogoče spremljati z lovskim dvogledom ali teleskopom. Toda, pozor! Ni- koli ne smemo v Sonce pogledati skozi daljnogled, saj lahko v trenutku oslepimo! Pomagamo si tako, da Sonce projiciramo na svetel zaslon, na katerem lahko varno opazujemo dogajanje. Neizkušeni opa- zovalci naj raje počakajo na javna opazovanja, ki jih bodo organizirala astronomska društva po Sloveniji. Kdor bi želeli podrobneje spoznati matematično 5 Opozorila in navodila za opazovanje slika 2. Prehod Venere čez Sonce leta 2004 Presek 39 (2011/2012) 6 a s t r o n o m i j a 26 • Astronomske delavnice za šolsko leto 2012/2013 • DMFA Slovenije bo septembra in oktobra 2012 or- ganiziralo delavnice za učitelje, ki poučujejo astro- nomijo, in za mentorje tekmovalcev iz znanja astro- nomije. Delavnice bodo organizirane regijsko. O datumih in načinu prijave boste obveščeni na sple- tni strani DMFA, v revijah Spika in Presek. Več informacij in predprijave na gustinvesolje@gmail.com. 2 slika 3. Do navideznega prehoda Venere čez Sončevo ploskvico pride tedaj, ko je Venera med Zemljo in Soncem. Opazovalca na raz- ličnih zemljepisnih širinah vidita prehod na različnem mestu ploskvice Sonca, iz česar je mogoče izračunati medsebojne oddaljenosti. Slika ni v merilu. presek 39 (2011/2012) 6 rešitev barvni sudoku s str ani 11 1 2 5 7 8 6 4 3 8 6 3 4 2 1 7 5 6 7 8 1 4 3 5 2 5 3 4 2 7 8 6 1 4 1 7 3 6 5 2 8 2 5 6 8 3 7 1 4 3 4 1 6 5 2 8 7 7 8 2 5 1 4 3 6 • • • 27 r a č u n a l n i š t v o • Predstavitve grafov Predstavitve grafov Graf G je definiran z množico vozlišč V(G) in množico povezav E(G). Pravimo, da sta vozlišči vi in vj grafa G sosednji, če v grafu obstaja povezava vivj ∈ E(G). Povezavi, ki ima za eno krajišče vo- zlišče vi, pravimo, da je incidenčna z vi. Zaporedju povezav v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk, kjer so vsa vozlišča različna, pravimo pot (v tem primeru dolžine k − 1, ker imamo k − 1 povezav). Graf G je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Število povezav v najkrajši poti med vozliščema vi in vj imenujemo razdalja med tema dvema vozliščema. Označimo jo z dG(vi, vj) ali kar d(vi, vj), če je očitno, o katerem grafu govo- rimo. Primer grafa lahko vidimo na sliki 1. Ta graf je definiran z V(G) = {v1, v2, . . . , v6} in E(G) = {v1v2, v2v3, v2v4, v3v5, v4v5, v5v6}. Sosedi vozlišča v3 sta vozlišči v2 in v5. Povezava v1v2 je incidenčna z v1 in z v2, z v2 sta incidenčni tudi povezavi v2v3 in v2v4. Zaporedje povezav v2v3, v3v5, v5v4 tvori pot dolžine 3 med vozliščema v2 in v4. To seveda ni najkrajša pot med tema dvema vozliščema, saj sta vozlišči sosednji, torej je pot v2v4 najkrajša pot med njima, in sta zato na razdalji 1. Graf G na sliki 1 je povezan, saj med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Podatkovnih struktur, s katerimi lahko v računal- niku predstavimo graf, je več. Najbolj znani sta pred- stavitvi z matriko sosednosti ali s seznamom sose- dov. Pri različnih predstavitvah grafa se na podlagi hitrosti izvajanja osnovnih operacij nad grafom (se- znam le-teh bomo podali v nadaljevanju) odločamo, katero predstavitev izberemo. Je pa sama izbira po- gojena tudi s problemom, ki ga za dani graf rešu- jemo. V tem prispevku si bomo pogledali učinkovito predstavitev grafa s seznamom sosedov. Slika 1 Predstavitev s seznamom sosedov Pri predstavitvi grafa s seznamom sosedov za vsa- ko vozlišče v potrebujemo seznam Sv , v katerem so našteta vsa vozlišča, ki z vozliščem v tvorijo pove- zavo grafa. Takšno predstavitev grafa si bomo ogledali na pri- meru grafa s slike 1. Graf G na sliki 1 lahko predsta- vimo z naslednjim seznamom sosedov: 2 Predstavitve grafov Graf G je definiran z množico vozlišč V(G) in množico povezav E(G). Pravimo, da sta vozlišči vi in vj grafa G sosednji, če v grafu obstaja povezava vivj ∈ E(G). Povezavi, ki ima za eno krajišče vo- zlišče vi, pravimo, da je incidenčna z vi. Zaporedju povezav v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk, kjer so vsa vozlišča različna, pravimo pot (v tem primeru dolžine k − 1, ker imamo k − 1 povezav). Graf G je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Število povezav v najkrajši poti med vozliščema vi in vj imenujemo razdalja med tema dvema vozliščema. Označimo jo z dG(vi, vj) ali kar d(vi, vj), če je očitno, o katerem grafu govo- rimo. Primer grafa lahko vidimo na sliki 1. Ta graf je definiran z V(G) = {v1, v2, . . . , v6} in E(G) = {v1v2, v2v3, v2v4, v3v5, v4v5, v5v6}. Sosedi vozlišča v3 sta vozlišči v2 in v5. Povezava v1v2 je incidenčna z v1 in z v2, z v2 sta incidenčni tudi povezavi v2v3 in v2v4. Zaporedje povezav v2v3, v3v5, v5v4 tvori pot dolžine 3 med vozliščema v2 in v4. To seveda ni najkrajša pot med tema dvema vozliščema, saj sta vozlišči sosednji, torej je pot v2v4 najkrajša pot med njima, in sta zato na razdalji 1. Graf G na sliki 1 je povezan, saj med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Podatkovnih struktur, s katerimi lahko v računal- niku predstavimo graf, je več. Najbolj znani sta pred- stavitvi z matriko sosednosti ali s seznamom sose- dov. Pri različnih predstavitvah grafa se na podlagi hitrosti izvajanja osnovnih operacij nad grafom (se- znam le-teh bomo podali v nadaljevanju) odločamo, katero predstavitev izberemo. Je pa sama izbira po- gojena tudi s problemom, ki ga za dani graf rešu- jemo. V tem prispevku si bomo pogledali učinkovito predstavitev grafa s seznamom sosedov. Slika 1 Predstavitev s seznamom sosedov Pri predstavitvi grafa s seznamom sosedov za vsa- ko vozlišče v potrebujemo seznam Sv , v katerem so našteta vsa vozlišča, ki z vozliščem v tvorijo pove- zavo grafa. Takšno predstavitev grafa si bomo ogledali na pri- meru grafa s slike 1. Graf G na sliki 1 lahko predsta- vimo z naslednjim seznamom sosedov: 2 i j i i li i i . i , li i i i i, j i . i, i i ji - li i, i , j i i i. j , , . . . , , , j li li , i ( i l i , i ). j , lj i li j . il j j i i li i i i j l li . i j i, li i, , j i , - i . i l i i li i . j i , , . . . , i , , , , , . i li li i i . j i i i , i i i i i i . j , , i l i li i . i j j li , j li i ji, j j j j ji , i lji . li i j , j lj i li j . i , i i l l- i i , j . j lj i - i i i i li - . i li i i l i i i i j j i ij ( - l - li lj j ) l , i i . i i - j i l , i i - j . i i l li i i i . li i i i i - li j , li , i li ij - . i i l li i- li . li i l - i l ji : r st v tv r f v raf e e ra z ož co oz šč ( ) ož co o eza ( ). Pra o, a sta oz šč j grafa sose j , če graf o sta a o eza a j ( ). Po eza , a za e o ra šče o z šče , ra o, a e c e č z . a ore o eza 1 2 2 3 k−2 k−1 k−1 k, er so sa oz šča raz č a, ra o ot te r er o ž e 1, er a o 1 o eza . raf e ovez , če e o a e a oz šče a o sta a ot. Šte o o eza a ra š ot e oz šče a j e e o r z j e te a e a oz šče a. z ač o o z G( j) a ar ( j), če e oč t o, o atere graf go o r o. Pr er grafa a ko v o a s k 1. a graf e e ra z ( ) { 1 2 6} ( ) { 1 2 2 3 2 4 3 5 4 5 5 6}. Sose voz šča 3 sta voz šč 2 5. Povezava 1 2 e c e č a z 1 z 2, z 2 sta c e č t ovezav 2 3 2 4. a ore e ovezav 2 3 3 5 5 4 tvor ot o ž e 3 e voz šče a 2 4. o seve a a kra ša ot e te a ve a voz šče a, sa sta voz šč sose , tore e ot 2 4 a kra ša ot e a, sta zato a raz a 1. raf a s k 1 e oveza , sa e o b a ve a voz šče a obsta a ot. Po atkov str kt r, s kater a ko v rač a k re stav o graf, e več. a bo z a sta re stav tv z atr ko sose ost a s sez a o sose ov. Pr raz č re stav tva grafa se a o ag trost zva a a os ov o erac a grafo se z a e te bo o o a v a a eva o oča o, katero re stav tev zbere o. Je a sa a zb ra o go e a t s rob e o , k ga za a graf reš e o. te r s evk s bo o og e a č kov to re stav tev grafa s sez a o sose ov. S ka 1 r st v t v s s s s v Pr re stav tv grafa s sez a o sose ov za vsa ko voz šče otreb e o sez a Sv , v katere so ašteta vsa voz šča, k z voz šče tvor o ove zavo grafa. akš o re stav tev grafa s bo o og e a a r er grafa s s ke 1. raf a s k 1 a ko re sta v o z as e sez a o sose ov: 2 P ed a i e g a o G G j d fini n n i v li V G in n i p v v E G vi d v li i vi in v G dn i v u b j p v v viv ∈ E G v vi ki i n k ji v - li vi p vi d j in id n na vi Z p dju p v v v v ,v v , . . . , v v ,v v kj v v li li n p vi p (v p i u d l in k − k i k − p v v) G G j p an d p ljubni dv v li b j p vil p v v v n jk j i p i d v li vi in v i nuj a dal a d dv v li n i j d vi, v li k d vi, v j i n k u v - i i l h idi n li i T j d fini n V G = v ,v , . . . , v in E G = v v , v v ,v v ,v v ,v v ,v v di li v li i v in v v v j in id n n v in v v in id n ni udi p i v v in v v Z p dj p v v ,v v ,v v i p d l in d li v in v T d ni n j j p d d li j li i dnji j j p v v n j j p d nji in n d lji G G n li i j p n j d p lju ni d li j p d nih u u i i l h un l- ni u p d i j N j lj n ni p d- i i i dn i li n - d i li nih p d i h n p dl i hi i i j nj n nih p ij n d ( - n l - h p d li n d lj nju) dl p d i i p i i p - j n udi p l i d ni u- j V p i p u i p l d li u in i p d i n d li P ed a i e ezna o o edo i p d i i n d - li v p uj n n li i li v ij p - T n p d i i l d li n p i- u li G G n li i l h p d - i n l dnji n d . , , . , , , . , , , . , . . , , . . . . , . . , , , . , . , , . . , . , . . , , . . : r t it r f r f j ir i liš ( ) i i ( ). r i , st liš i i i j r f s s ji, r f st j i j ( ). i, i i r jiš - liš i, r i , j i ci c i. r j 1 2, 2 3, . . . , k 2 k 1, k 1 k, j r s s liš r li , r i t ( t ri r l i , r i ). r f j , lj i liš st j t. t il j r jši ti liš i i j i j r lj t liš . i j ( i, j) li r ( i, j), j it , t r r f - ri . ri er r f l i i sli i . r f je e ir ( ) { 1, 2, . . . , 6} i ( ) { 1 2, 2 3, 2 4, 3 5, 4 5, 5 6}. se i lišc 3 st lišci 2 i 5. e 1 2 je i ci e c 1 i 2, 2 st i ci e c i t i e i 2 3 i 2 4. re je e 2 3, 3 5, 5 4 t ri t l i e e lišce 2 i 4. se e i j r jš t e te e lišce , s j st lišci s se ji, t rej je t 2 4 j r jš t e ji , i st t r lji . r f sli i je e , s j e lj i e lišce st j t. t i str t r, s teri i l r c l- i re st i r f, je ec. j lj i st re - st it i tri s se sti li s se s se- . ri r lic i re st it r f se l i itr sti i j j s i er cij r f (se- le-te li lje j ) l c , ter re st ite i ere . Je s i ir - je t i s r le , i i r f reš - je . te ris e si le li ci it re st ite r f s se s se . li r t it ri re st it i r f s se s se s - lišce tre je se v , tere s štet s lišc , i lišce t rij e- r f . š re st ite r f si le li ri- er r f s sli e . r f sli i l re st - i sle ji se s se : r t it r f r f j ir i liš ( ) i i ( ). r i , st liš i i i j r f s s ji, r f st j i j ( ). i, i i r jiš - liš i, r i , j i ci c i. r j 1 2, 2 3, . . . , k 2 k 1, k 1 k, j r s s liš r li , r i t ( t ri r l i , r i ). r f j , lj i liš st j t. t il j r jši ti liš i i j i j r lj t liš . i j ( i, j) li r ( i, j), j it , t r r f - ri . ri er r f l i i sli i . r f je e ir ( ) { 1, 2, . . . , 6} i ( ) { 1 2, 2 3, 2 4, 3 5, 4 5, 5 6}. se i lišc 3 st lišci 2 i 5. e 1 2 je i ci e c 1 i 2, 2 st i ci e c i t i e i 2 3 i 2 4. re je e 2 3, 3 5, 5 4 t ri t l i e e lišce 2 i 4. se e i j r jš t e te e lišce , s j st lišci s se ji, t rej je t 2 4 j r jš t e ji , i st t r lji . r f sli i je e , s j e lj i e lišce st j t. t i str t r, s teri i l r c l- i re st i r f, je ec. j lj i st re - st it i tri s se sti li s se s se- . ri r lic i re st it r f se l i itr sti i j j s i er cij r f (se- le-te li lje j ) l c , ter re st ite i ere . Je s i ir - je t i s r le , i i r f reš - je . te ris e si le li ci it re st ite r f s se s se . li r t it ri re st it i r f s se s se s - lišce tre je se v , tere s štet s lišc , i lišce t rij e- r f . š re st ite r f si le li ri- er r f s sli e . r f sli i l re st - i sle ji se s se : s v v v a e e a z ož co oz č ož co o eza P a o a a oz č g a a o e če g a o a a o eza a Po eza a za e o a če o z če a o a e e ˇ z a o e o eza − − − e o a oz ča az č a a o o e e o ž e 1 e a o 1 o eza a e ovez če e o a e a oz če a o a a o Š e o o eza a a o e oz če a e e o z e e a e a oz če a z ač o o z G a a če e oč o o a e e g a go o o P g a a a ko v o a k 1 a g a a z So voz ˇa a voz ˇ Pov zava ˇ a z z z a ˇ ov zav a o ov zav vo o o ž 3 voz ˇ a o v a a k a a o a v a voz ˇ a a a voz ˇ o o o a k a a o a a za o a az a 1 a a k 1 ov za a o b a v a voz ˇ a ob a a o Po a kov k ka a ko v aˇ a k av o g a v ˇ a bo z a a av v z a ko o o a z a o o ov P az ˇ av va g a a a o ag o zva a a o ov o a a g a o z a bo o o a v a a va o oˇa o ka o av v zb o a a a zb a o go a ob o k ga za a g a o vk bo o og a ˇ kov o av v g a a z a o o ov S ka 1 s v v s s s s v P av v g a a z a o o ov za v a ko voz ˇ o b o z a S v ka o a a v a voz ˇa k z voz ˇ vo o ov zavo g a a ak o av v g a a bo o og a a g a a k 1 a a k 1 a ko a v o z a z a o o ov 2 P ed ta it e g afo G f G j d fini n mn i v li V G in mn i p v v E G . vim , d t v li i vi in vj f G dnji, v fu b t j p v v vivj ∈ E G . v vi, ki im n k ji v - li vi, p vim , d j in id n na vi. Z p dju p v v v1v2, v2v3, . . . , v 2v 1, v 1v , kj v v li li n , p vim p t (v t m p im u d l in k − , k im m k − p v v). G f G j p an, m d p ljubnim dv m v li m b t j p t. t vil p v v v n jk j i p ti m d v li m vi in vj im nuj m a dalja m d t m dv m v li m . O n im j d vi, vj li k d vi, vj , j itn , k t m fu v - im . rim r r f l h idim n li i . T r f j d finir n V G = v1, v2, . . . , v6 in E G = v1v2, v2v3, v2v4, v3v5, v4v5, v5v6 . di li v3 t li i v2 in v5. v1v2 j in id n n v1 in v2, v2 t in id n ni tudi p i v2v3 in v2v4. Z p r dj p v2v3, v3v5, v5v4 t ri p t d l in m d li m v2 in v4. T d ni n j r j p t m d t m d m li m , j t li i dnji, t r j j p t v2v4 n j r j p t m d njim , in t t n r d lji . Gr f G n li i j p n, j m d p lju nim d m li m t j p t. d t nih tru tur, t rimi l h r un l- ni u pr d t im r f, j . N j lj n ni t pr d- t it i m tri dn ti li n m m - d . ri r li nih pr d t it h r f n p dl i hitr ti i j nj n nih p r ij n d r f m ( - n m l -t h m p d li n d lj nju) dl m , t r pr d t it i r m . J p m i ir p - j n tudi pr l m m, i d ni r f r u- j m . V t m pri p u i m p l d li u in it pr d t it r f n m m d . li P ed ta ite ezna o o edo ri pr d t it i r f n m m d - li v p tr uj m n m , t r m n t t li , i li m t rij p - r f . T n pr d t it r f i m l d li n pri- m ru r f li . Gr f G n li i l h pr d t - im n l dnjim n m m d : andrej taranenko Predstavitev grafa s seznamom sosedov in pregled v širino • Presek 39 (2011/2012) 6 28 r a č u n a l n i š t v o • Predstavitve grafov Graf G je definiran z množico vozlišč V(G) in množico povezav E(G). Pravimo, da sta vozlišči vi in vj grafa G sosednji, če v grafu obstaja povezava vivj ∈ E(G). Povezavi, ki ima za eno krajišče vo- zlišče vi, pravimo, da je incidenčna z vi. Zaporedju povezav v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk, kjer so vsa vozlišča različna, pravimo pot (v tem primeru dolžine k − 1, ker imamo k − 1 povezav). Graf G je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Število povezav v najkrajši poti med vozliščema vi in vj imenujemo razdalja med tema dvema vozliščema. Označimo jo z dG(vi, vj) ali kar d(vi, vj), če je očitno, o katerem grafu govo- rimo. Primer grafa lahko vidimo na sliki 1. Ta graf je definiran z V(G) = {v1, v2, . . . , v6} in E(G) = {v1v2, v2v3, v2v4, v3v5, v4v5, v5v6}. Sosedi vozlišča v3 sta vozlišči v2 in v5. Povezava v1v2 je incidenčna z v1 in z v2, z v2 sta incidenčni tudi povezavi v2v3 in v2v4. Zaporedje povezav v2v3, v3v5, v5v4 tvori pot dolžine 3 med vozliščema v2 in v4. To seveda ni najkrajša pot med tema dvema vozliščema, saj sta vozlišči sosednji, torej je pot v2v4 najkrajša pot med njima, in sta zato na razdalji 1. Graf G na sliki 1 je povezan, saj med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Podatkovnih struktur, s katerimi lahko v računal- niku predstavimo graf, je več. Najbolj znani sta pred- stavitvi z matriko sosednosti ali s seznamom sose- dov. Pri različnih predstavitvah grafa se na podlagi hitrosti izvajanja osnovnih operacij nad grafom (se- znam le-teh bomo podali v nadaljevanju) odločamo, katero predstavitev izberemo. Je pa sama izbira po- gojena tudi s problemom, ki ga za dani graf rešu- jemo. V tem prispevku si bomo pogledali učinkovito predstavitev grafa s seznamom sosedov. Slika 1 Predstavitev s seznamom sosedov Pri predstavitvi grafa s seznamom sosedov za vsa- ko vozlišče v potrebujemo seznam Sv , v katerem so našteta vsa vozlišča, ki z vozliščem v tvorijo pove- zavo grafa. Takšno predstavitev grafa si bomo ogledali na pri- meru grafa s slike 1. Graf G na sliki 1 lahko predsta- vimo z naslednjim seznamom sosedov: 2 Predstavitve grafov Graf G je definiran z množico vozlišč V(G) in množico povezav E(G). Pravimo, da sta vozlišči vi in vj grafa G sosednji, če v grafu obstaja povezava vivj ∈ E(G). Povezavi, ki ima za eno krajišče vo- zlišče vi, pravimo, da je incidenčna z vi. Zaporedju povezav v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk, kjer so vsa vozlišča različna, pravimo pot (v tem primeru dolžine k − 1, ker imamo k − 1 povezav). Graf G je povezan, če med poljubnima dvema vozliščema obstaja pot. Število povezav v najkrajši poti med vozliščema vi in vj imenujemo razdalja med tema dvema vozliščema. Označimo jo z dG(vi, vj) ali kar d(vi, vj), če je očitno, o katerem grafu govo- rimo. Primer grafa lahko vidimo na sliki 1. Ta graf je definiran z V(G) = {v1, v2, . . . , v6} in E(G) = {v1 2, v2v3, v2v4, v3v5, v4v5, v5v6}. Sosedi vozlišča v3 sta vozlišči v2 in v5. Povezava v1v2 je incidenčna z v1 in z v2, z v2 sta incidenčni tudi povezavi v2v3 in v2v4. Zaporedje po ezav 3 5 5 4 tvori pot dolžine 3 med vozliščema v2 in v4. To seveda ni najkrajša pot med tema dvema v zliščema, saj sta vozlišči sosednji, torej je pot v2 4 najkrajša pot med njima, in sta ato n raz alji 1. Graf G na sliki 1 je po ezan, saj med poljubnima dvema vozliščema bstaja pot. Podatkovnih struktur, s katerimi lahko v računal- niku predstavimo graf, je več. Najbolj znani sta pred- stavitvi z matriko sosednosti ali s sez mom sose- dov. Pri raz čnih predstavitvah grafa se na podlagi hitrosti izvajanja osnovnih peracij nad grafom (se- znam le-teh bomo podali v nadaljevanju) odlocamo, katero predstavitev izb remo. Je pa sama izbira po gojena tudi s pr blemom, k ga za dani graf rešu jemo. V tem prispevku si bomo pogledali učinkovito pred avitev grafa sez amom sosedov. Slika 1 Predstavitev s seznamom sosedov Pri predstavitvi grafa s seznamom sosedov za vsa- ko vozlišče v potrebujemo seznam Sv , v katerem so našteta vsa vozlišča, ki z vozliščem v tvorijo pove- zavo gr fa. Takšno predstavitev grafa si bomo ogledali na pri- meru g afa s slike 1. Graf G sliki 1 lahk predst vim naslednjim seznamom sosedov: 2 Tabela 1 Pri predstavitvi bomo predpostavili, da so vozlišča grafa oštevilčena z naravnimi števili. Torej si lahko vozlišče vi predstavimo kar s številom i. Vse sezname sosedov bomo shranili v polje sezna- mov P . Ker moramo za vsako vozlišče hraniti se- znam sosedov, je velikost polja P enaka številu voz- lišč grafa, torej n = |V(G)|. Kot smo že omenili, se- znam Si predstavlja vozlišče vi. Polje izberemo zato, ker lahko do seznama Si preprosto dostopamo, saj vemo, da je v polju shranjen na indeksu i− 1 (pred- postavljamo, da so elementi polja indeksirani od 0 naprej). Za posamezni seznam Si bomo uporabili podat- kovno strukturo dinamični seznam, ki omogoča hi- tro dodajanje novih elementov (na konec ali začetek seznama) ter hitro brisanje elementa, ko smo ele- ment že poiskali. Za graf G z n vozlišči in m povezavami je pro- storska zahtevnost takšne predstavitve za povezan graf O(m), saj je skupno vsaka povezava shranjena dvakrat (v vsakem seznamu obeh krajišč povezave). Osnovne operacije, ki jih običajno izvajamo nad grafi, so naslednje: preveri, ali obstaja povezava vivj , označi vse sosede vozlišča vi, označi vse povezave, dodaj povezavo vivj , odstrani povezavo vivj , odstrani vse povezave incidenčne z vi. Časovne zahtevnosti naštetih osnovnih operacij v predstavitvi s seznamom sosedov so, kot sledi. Da preverimo, ali obstaja povezava vivj , moramo v naj- slabšem primeru pregledati celoten seznam Si, v ka- terem so shranjeni vsi sosedi vozlišča vi. Velikost takšnega seznama je število sosedov vozlišča vi, ki ga imenujemo stopnja vozlišča vi in ga označimo z d(vi). Torej je časovna zahtevnost te operacije O(d(vi)). Enako časovno zahtevnost imamo pri označevanju vseh sosedov danega vozlišča. Za označevanje vseh povezav grafa se moramo sprehoditi skozi vse sezname. Ker je v vseh sezna- mih vsaka povezava shranjena dvakrat, je časovna zahtevnost te operacije O(m), če je m število pove- zav grafa. Če predpostavimo, da za dodajanje nove povezave ni potrebno preverjati, ali je povezava že v seznamu, je hitrost izvedbe te operacije konstantna, torej O(1). Za odstranjevanje povezave vivj iz strukture moramo v obeh seznamih poiskati ustrezni element. Samo brisanje lahko nato izvedemo v konstantnem času. Torej je časovna zahtevnost operacije odvi- sna od iskanja elementa, kar je za dano povezavo 3 slika 1. Primer grafa G tabela 1. Seznam sosedov grafa s slike 1 itev s sez Seznam Vsebina S 1 v 2 S 2 v 1, v 3, v 4 S 3 v 2, v 5 S 4 v 2, v 5 S 5 v 3, v 4, v 6 S 6 v 5 presek 39 (2011/2012) 6 v 1 v 2 v 4 v 3 v 5 v 6 29 r a č u n a l n i š t v o O(d(vi)+ d(vj)). Za zadnjo operacijo, da odstranimo vse povezave incidenčne z vozliščem vi, moramo izbrisati celotni seznam vi. Še več, v vseh seznamih moramo poiskati in izbrisati vozlišče vi, kar pomeni, da moramo v najslabšem primeru pregledati vse povezave. Torej je časovna zahtevnost te operacije O(m). Pregled grafa v širino Pregled grafa v širino (angl. Breadth-first Search - BFS) je postopek, s katerim obiščemo (in obdelamo) vsa vozlišča grafa v vrstnem redu glede na njihovo razdaljo od podanega vozlišča v0. Tak pregled lahko izvedemo s postopkom, prikazanim z algoritmom 1. V algoritmu vozlišče x označimo z vrednostjo (x), ki je enaka razdalji med x in v0. Algoritem 1 Algoritem 1 označi vsa vozlišča grafa G, saj je vsako označeno vozlišče dodano v seznam L. Ko vo- zlišče odstranimo iz L, označimo vse sosede tega vo- zlišča. Ker je graf G povezan, z danim postopkom označimo vsa vozlišča grafa. Glede na dejstvo, da algoritem 1 vsako povezavo grafa pregleda največ dvakrat, vidimo, da je časovna zahtevnost algoritma O(m), kjer je m = |E(G)|. V splošnem lahko korak 5 v algoritmu 1 nadome- stimo s poljubnim postopkom, ki mora obdelati vo- zlišče. Seveda je časovna zahtevnost celotnega algo- ritma odvisna od tega koraka. Natančneje, če ima korak 5 časovno zahtevnost O(κ), je časovna zah- tevnost celotnega algoritma O(m+nκ). Primer izvajanja BFS algoritma Poglejmo si primer poteka BFS algoritma na pri- meru grafa s slike 1, pri čemer postopek izvajamo glede na vozlišče v2. Na prvem koraku v seznam L damo vozlišče v2 in to vozlišče označimo z 0. Sledi izvajanje zanke koraka 2. Ker L ni prazen, izberemo (in odstranimo) prvo vozlišče iz seznama L in ga označimo z w, v našem primeru je w = v2. For zanka koraka 4 pravi: Preglej celoten seznam S2 in vsa neoznačena vozlišča v seznamu označi s številom, ki je za ena večje od oznake vozlišča w. Vsako tako vozlišče dodaj na konec seznama L. V našem konkretnem primeru je S2 = {v1, v3, v4}. Vsi elementi seznama so neoznačeni, zato jih ozna- čimo z 1 (saj ima vozlišče s2 oznako 0) in jih do- damo v L. Po končanem izvajanju for zanke je L = {v1, v3, v4}, (v1) = (v3) = (v4) = 1. Ker L ni prazen, ponovno izvedemo while zanko. V tem primeru je w = v1, spomnimo se oznaka voz- lišča v1 je 1. Pregledamo vsa neoznačena vozlišča v seznamu S1; ker takih vozlišč ni (v2 je že označeno vozlišče), nadaljujemo na začetku while zanke. Ker L = {v3, v4} ni prazen, ponovimo postopek za 4 O(d(vi)+ d(vj)). Za zadnjo operacijo, da odstranimo vse povezave incidenčne z vozliščem vi, moramo izbrisati celotni seznam vi. Še več, v vseh seznamih moramo poiskati in izbrisati vozlišče vi, kar pomeni, da moramo v najslabšem primeru pregledati vse povezave. Torej je č sovna zaht vnost te operacije O(m). Pregled grafa v širino Pregled grafa v širino (angl. Breadth-first Search - BFS) je postopek, s katerim obišč mo (in obdelamo) vsa vozlišča grafa v vrstnem redu glede na njihovo razdaljo od podanega v zlišča v0. Tak pregled lahko izvedemo s postopkom, prikazanim z algoritmom 1. V algoritmu vozlišče x označimo z vrednostjo (x), ki je enaka razdalji med x in v0. Algoritem 1 Algoritem 1 označi vsa vozlišča grafa G, saj je vsako označeno vozlišče dodano v seznam L. Ko vo- zlišče odstranimo iz L, označimo vse sosede tega vo- zlišča. Ker je graf G povezan, z danim postopkom označimo vsa vozlišča grafa. G ede na dejstvo, da algoritem 1 vsako povezavo gr fa pregleda največ dvakrat, vidimo, da je čas vna aht vnost lgoritma O(m), kjer je m = |E(G)|. V splošnem lahko korak 5 v algorit u 1 nadome- stimo s poljubnim postopkom, ki mora obdelati vo- zlišč . Seveda e časovn zaht vnost celotnega algo- ritm odvisn od t ga koraka. Natančnej , če im korak 5 časovno zahtevnost O(κ), je časovna zah- tevnost celotnega algoritma O(m+nκ). Primer izvajanja BFS lgoritma Poglejmo si primer poteka BFS algoritma na pri meru grafa s slike 1, pri čemer postopek izvajamo glede na vozlišče v2. Na prvem koraku v seznam L damo vozlišče v2 in to vozlišče označimo z 0. Sledi izvajanje zanke koraka 2. Ker L n prazen, izberemo (in odstranimo) prvo vozlišče iz seznama L in ga označimo z w, v našem primeru je w = v2. For zanka a 4 pravi: Preglej celoten seznam S2 in sa neoznačena vo lišča v seznamu ozn či s številom, ki je za en večje od oznake vozlišča w. Vsako tako vozlišče dodaj na konec sezna a L. V našem konkretnem primeru je S2 = {v1, v3, v4}. Vsi elementi seznama so neoznač ni, za o jih ozna- čimo z 1 (saj ima vozlišče s2 oznako 0) in jih do- damo v L. Po končanem izvajanju for zanke je L = {v1, v3, v4}, (v1) = (v3) = (v4) = 1. Ker L ni prazen, ponovno izvedemo while zanko tem primeru je w = v1, spomnimo se oznaka voz lišča v1 je 1. Pregledamo vsa neoznačena vozlišča v seznamu S1; ker takih vozlišč ni (v2 je že označeno vozlišče), nadaljujemo na začetku while zanke. = {v3, v4} ni prazen, ponovimo postopek za 4 O(d(vi)+ d(vj)). Za zadnjo operacijo, da odstranimo vse povezave incidenčne z vozliščem vi, moramo izbrisati celotni seznam vi. Še več, v vseh seznamih moramo poiskati in izbrisati vozlišče vi, kar pomeni, da moramo v najslabšem primeru pregledati vse povezave. Torej je časovna zahtevnost te operacije O(m). Pregled grafa v širino Pregled grafa v širino (angl. Breadth-first Search - BFS) je postopek, s katerim obiščemo (in obdelamo) vsa vozlišča grafa v vrstnem redu glede na njihovo razdaljo od podanega vozlišča v0. Tak pregled lahko izvedemo s postopkom, prikazanim z algoritmom 1. V algoritmu vozlišče x označimo z vrednostjo (x), ki je enaka razdalji med x in v0. Algoritem 1 Algoritem 1 označi vsa vozlišča grafa G, saj je vsako označeno vozlišče dodano v seznam L. Ko vo- zlišče odstranimo iz L, označimo vse sosede tega vo- zlišča. Ker je graf G povezan, z danim postopkom označimo vsa vozlišča grafa. Glede na dejstvo, da algoritem 1 vsako povezavo grafa pregleda največ dvakrat, vidimo, da je časovna zahtevnost algoritma O(m), kjer je m = |E(G)|. V splošnem lahko korak 5 v algoritmu 1 nadome- stimo s poljubnim postopkom, ki mora obdelati vo- zlišče. Seveda je časovna zahtevnost celotnega algo- ritma odvisna od tega koraka. Natančneje, če ima korak 5 časovno zahtevnost O(κ), je časovna zah- tevnost celotnega algoritma O(m+nκ). Primer izvajanja BFS algoritma Poglejmo si primer poteka BFS algoritma na pri- meru grafa s slike 1, pri čemer postopek izvajamo glede na vozlišče v2. Na prvem koraku v seznam L damo vozlišče v2 in to vozlišče označimo z 0. Sledi izvajanje zanke koraka 2. Ker L ni prazen, izberemo (in odstranimo) prvo vozlišče iz seznama L in ga označimo z w, v našem primeru je w = v2. For zanka koraka 4 pravi: Preglej celoten seznam S2 in vsa neoznačena vozlišča v seznamu označi s številom, ki je za ena večje od oznake vozlišča w. Vsako tako vozlišče dodaj na konec seznama L. V našem konkretnem primeru je S2 = {v1, v3, v4}. Vsi elementi seznama so neoznačeni, zato jih ozna- čimo z 1 (saj ima vozlišče s2 oznako 0) in jih do- damo v L. Po končanem izvajanju for zanke je L = {v1, v3, v4}, (v1) = (v3) = (v4) = 1. Ker L ni prazen, ponovno izvedemo while zanko. V tem primeru je w = v1, spomnimo se oznaka voz- lišča v1 je 1. Pregledamo vsa neoznačena vozlišča v seznamu S1; ker takih vozlišč ni (v2 je že označeno vozlišče), nadaljujemo na začetku while zanke. Ker L = {v3, v4} ni prazen, ponovimo postopek za 4 Tabela 1 Pri predstavitvi bomo predpostavili, da so vozlišča grafa oštevilčena z naravnimi števili. Torej si lahko vozlišče vi predstavimo kar s številom i. Vse sezname sosedov bomo shranili v polje sezna- mov P . Ker moramo za vsako vozlišče hraniti se- znam sosedov, je velikost polja P enaka številu voz- lišč grafa, torej n = |V(G)|. Kot smo že omenili, se- znam Si predstavlja vozlišče vi. Polje izberemo zato, ker lahko do seznama Si preprosto dostopamo, saj vemo, da je v polju shranjen na indeksu i− 1 (pred- postavljamo, da so elementi polja indeksirani od 0 naprej). Za posamezni seznam Si bomo uporabili podat- kovno strukturo dinamični seznam, ki omogoča hi- tro dodajanje novih elementov (na konec ali začetek seznama) ter hitro brisanje elementa, ko smo ele- ment že poiskali. Za graf G z n vozlišči in m povezavami je pro- storska zahtevnost takšne predstavitve za povezan graf O(m), saj je skupno vsaka povezava shranjena dvakrat (v vsakem seznamu obeh krajišč povezave). Osnovne operacije, ki jih običajno izvajamo nad grafi, so naslednje: preveri, ali obstaja povezava vivj , označi vse sosede vozlišča vi, označi vse povezave, dodaj povezavo vivj , odstrani povezavo vivj , odstrani vse povezave incidenčne z vi. Časovne zahtevnosti naštetih osnovnih operacij v predstavitvi s seznamom sosedov so, kot sledi. Da preverimo, ali obstaja povezava vivj , moramo v naj- slabšem primeru pregledati celoten seznam Si, v ka- terem so shranjeni vsi sosedi vozlišča vi. Velikost takšnega seznama je število sosedov vozlišča vi, ki ga imenujemo stopnja vozlišča vi in ga označimo z d(vi). Torej je časovna zahtevnost te operacije O(d(vi)). Enako časovno zahtevnost imamo pri označevanju vseh sosedov danega vozlišča. Za označevanje vseh povezav grafa se moramo sprehoditi skozi vse sezname. Ker je v vseh sezna- mih vsaka povezava shranjena dvakrat, je časovna zahtevnost te operacije O(m), če je m število pove- zav grafa. Če predpostavimo, da za dodajanje nove povezave ni potrebno preverjati, ali je povezava že v seznamu, je hitrost izvedbe te operacije konstantna, torej 1). Za o stranjevanje povezave vivj iz strukture moramo v obeh seznamih poi k ti ustrezni element. Samo brisanje lahko nato izvede o v konstantnem času. Torej je asovna zahtevnost peracije odvi- sna od iskanja elementa, kar je za dano povezavo 3 algoritem 1. Pregl d danega rafa v širino – BFS algoritem r ri r i janja FS algoritma Al oritem 1: Pregled danega grafa v širino – BFS algoritem Vhod: Seznam sosed v povezanega grafa G in vozlišče v0 Izhod: Označitev vozlišč v g afa G s celimi števili (v) = d(v0, v) 1 Prični s seznamom L, ki vsebuje samo vozlišče v0 in določi (v0) = 0. 2 while L ≠ ∅ do 3 Vzemi in odstrani prvo vozlišče w iz L. // Naj bo Sw seznam sosedov // vozlišča w. 4 for all v ∈ Sw, za katere je (v) nedoločen do 5 Določi (v) = (w) + 1. 6 Dodaj vozlišče v na konec seznama L. 7 end 8 end 2 Algorite 1: Pregled danega grafa v širino – BFS algorite Vhod: Sezna sosedov povezanega grafa in vozlišče v0 Izhod: značitev vozlišč v grafa s celi i števili (v) d(v0, v) 1 Prični s sezna o L, ki vsebuje sa o vozlišče v0 in določi (v0) 0. 2 while L ≠ ∅ do 3 Vze i in odstrani prvo vozlišče w iz L. // Naj bo Sw seznam sosedov // vozlišča w. 4 for all v ∈ Sw, za katere je (v) nedoločen do 5 Določi (v) (w) 1. 6 Dodaj vozlišče v na konec sezna a 7 end 8 end 2 Presek 39 (2011/2012) 6 • 30 r a č u n a l n i š t v o Literatura [1] R. Hammack, W. Imrich in S. Klavžar, Handbook of Product Graphs, second edition, CRC Press, Boca Raton, 2011. [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list (po- gledano 25. 3. 2012) 6 Literatura [1] R. Hammack, W. Imrich in S. Klavžar, Handbook of Product Graphs, second edition, CRC Press, Boca Raton, 2011. [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Adjacency_list (po- gledano 25. 3. 2012) 6 r e š i t e v n a g r a d n e k r i ž a n k e p r e s e k 3 9 / 5 • Pravilna rešitev nagra- dne križanke iz pete šte- vilke 39. letnika Preseka je Pravilni petnajstko- tnik. Izmed pravilnih re- šitev smo izžrebali, Bo- risa Kožlina iz Dobrov v Brdih, Tatjano Gosar iz Tržiča in Matjaža Ci- glarja iz Vranskega, ki so razpisane nagrade pre- jeli po pošti. w = v3. Edino neoznačeno vozlišče seznama S3 je v5, ki mu določimo oznako 2 in ga dodamo na konec seznama L. Vrnemo se na začetek while zanke. Ker L = {v4, v5} ni prazen, ponovimo postopek za w = v4. V seznamu S4 ni neoznačenih vozlišč, zato se vrnemo kar na začetek while zanke. Sedaj je L = {v5} in ni prazen, zato ponovimo po- stopek za w = v5. Oznaka v5 je 2, edino neozna- čeno vozlišče v S5 je v6, zato ga označimo s 3 in ga dodamo v L. Vrnemo se na začetek while zanke. Na tem koraku je L = {v6} in ni prazen, zato po- novimo postopek za w = v6. Ker v seznamu S6 ni neoznačenih vozlišč, se ponovno vrnemo na začetek while zanke. V tem primeru je seznam L prazen in se algoritem zaključi. Tako smo označili vsa vozlišča grafa G glede na razdaljo do vozlišča v2. Dobljeno označitev lahko vidimo na sliki 2, kjer so oznake do- ločene z algoritmom zapisane nad posameznim voz- liščem. Slika 2 Če neki poti v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk do- damo še povezavo vkv1, dobimo cikel. Povezanemu grafu brez ciklov rečemo drevo. Drevesu, ki zavzame vsa vozlišča danega grafa, rečemo vpeto drevo. Včasih nas za podano vozlišče v0 povezanega gra- fa G zanima vpeto drevo T , za katerega je dT(v0, v) = dG(v0, v), za vsako vozlišče v ∈ V(G). Tako drevo imenujemo BFS-drevo. BFS algoritem lahko enostavno prilagodimo, da poiščemo BFS-drevo gra- fa. Na sliki 2 je s krepkimi povezavami prikazano eno izmed možnih dobljenih BFS-dreves grafa G gle- de na vozlišče v2. 5 w = v3. Edino neoznačeno vozlišče seznama S3 je v5, ki mu določimo oznako 2 in ga dodamo na konec seznama L. Vrnemo se na začetek while zanke. Ker L = {v4, v5} ni prazen, ponovimo postopek za w = v4. V seznamu S4 ni neoznačenih vozlišč, zato se vrnemo kar na začetek while anke. Sedaj je L = {v5} in i prazen, zat pon vimo po- stopek za w = v5. Oz ka v5 je 2, edino n ozna- čeno vozlišče v S5 je v6, ato ga označim s 3 in g dodamo v L. Vrne o se a začetek while zanke. Na t koraku je L = {v6} in ni prazen, zato po- novimo postopek za w = v6. Ker v seznamu S6 ni ne značenih vozlišč, se ponovno vrnemo a začetek while zanke. V tem primeru je seznam L praze in se algoritem zaključi. Tako smo označili vsa vozlišča graf G glede na razdaljo do vozlišča v2. Dobljen označitev lahko vidimo na sliki 2, kjer so oznake do- ločene z algoritmom zapisa e ad posameznim voz- liščem. Slika 2 Če neki poti v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk do- damo še povezavo vkv1, dobimo cikel. Povezanemu grafu brez ciklov rečemo drevo. Drevesu, ki zavzame vsa vozlišča danega grafa, rečemo vpeto drevo. Včasih nas za podano vozlišče v0 povezanega gra- fa G zanima vpeto drevo T za katerega je dT( 0, v) = dG(v0, v), vsa o vozlišče v ∈ V(G). Tako d evo imenujemo BFS-drevo. BFS algoritem lahko enostavno pril godimo, da poiščemo BFS-drevo gra- fa. N sliki 2 je s krepkimi povezavami prikazano eno i med možnih obljenih BFS-dreves grafa G gle- de na vozlišče v2. 5 w = v3. Edino neoznačeno vozlišče seznama S3 je v5, ki mu določimo oznako 2 in ga dodamo na konec seznama L. Vrnemo se na začetek while zanke. Ker L = {v4, v5} ni prazen, ponovimo postopek za w = v4. V seznamu S4 ni neoznačenih vozlišč, zato se vrnemo kar na začetek while zanke. Sedaj je L = {v5} in ni prazen, zato ponovimo po- stopek za w = v5. Oznaka v5 je 2, edino neozna- čeno vozlišče v S5 je v6, zato ga označimo s 3 in ga dodamo v L. Vrnemo se na začetek while zanke. Na tem koraku je L = {v6} in ni prazen, zato po- novimo postopek za w = v6. Ker v seznamu S6 ni neoznačenih vozlišč, se ponovno vrnemo na začetek while zanke. V tem primeru je seznam L prazen in se algoritem zaključi. Tako smo označili vsa vozlišča grafa G glede na razdaljo do vozlišča v2. Dobljeno označitev lahko vidimo na sliki 2, kjer so oznake do- ločene z algoritmom zapisane nad posameznim voz- liščem. Slika 2 Če neki poti v1v2, v2v3, . . . , vk−2vk−1, vk−1vk do- damo še povezavo vkv1, dobimo cikel. Povezanemu grafu brez ciklov rečemo drevo. Drevesu, ki zavzame vsa vozlišča danega grafa, rečemo vpeto drevo. Včasih nas za podano vozlišče v0 povezanega gra- fa G zanima vpeto drevo T , za katerega je dT(v0, v) = dG(v0, v), za vsako vozlišče v ∈ V(G). Tako drevo imenujemo BFS-drevo. BFS algoritem lahko enostavno prilagodimo, da poiščemo BFS-drevo gra- fa. Na sliki 2 je s krepkimi povezavami prikazano eno izmed možnih dobljenih BFS-dreves grafa G gle- de na vozlišče v2. 5 slika 2. BFS označitev grafa glede na vozlišče v2 teratura presek 39 (2011/2012) 6 • v 1 1 1 1 0 2 3 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 O(d(vi)+ d(vj)). Za zadnjo operacijo, da odstranimo vse povezave incidenčne z vozliščem vi, moramo izbrisati celotni seznam vi. Še več, v vseh seznamih moramo poiskati in izbrisati vozlišče vi, kar pomeni, da moramo v najslabšem primeru pregledati vse povezave. Torej je časovna zahtevnost te operacije O(m). Pregled grafa v širino Pregled grafa v širino (angl. Breadth-first Search - BFS) je postopek, s katerim obiščemo (in obdelamo) vsa vozlišča grafa v vrstnem redu glede na njihovo razdaljo od podanega vozlišča v0. Tak pregled lahko izvedemo s postopkom, prikazanim z algoritmom 1. V algoritmu vozlišče x označimo z vrednostjo (x), ki je enaka razdalji med x in v0. Algoritem 1 Algoritem 1 označi vsa vozlišča grafa G, saj je vsako označeno vozlišče dodano v seznam L. Ko vo- zlišče odstranimo iz L, označimo vse sosede tega vo- zlišča. Ker je graf G povezan, z danim postopkom označimo vsa vozlišča grafa. Glede na dejstvo, da algoritem 1 vsako povezavo grafa pregleda največ dvakrat, vidimo, da je časovna zahtevnost algoritma O(m), kjer je m = |E(G)|. V splošnem lahko korak 5 v algoritmu 1 nadome- stimo s poljubnim postopkom, ki mora obdelati vo- zlišče. Seveda je časovna zahtevnost celotnega algo- ritma odvisna od tega koraka. Natančneje, če ima korak 5 časovno zahtevnost O(κ), je časovna zah- tevnost celotnega algoritma O(m+nκ). Primer izvajanja BFS algoritma Poglejmo si primer poteka BFS algoritma na pri- meru grafa s slike 1, pri čemer postopek izvajamo glede na vozlišče v2. Na prvem koraku v seznam L damo vozlišče v2 in to vozlišče označimo z 0. Sledi izvajanje zanke koraka 2. Ker L ni prazen, izberemo (in odstranimo) prvo vozlišče iz seznama L in ga označimo z w, v našem primeru je w = v2. For zanka koraka 4 pravi: Preglej celoten seznam S2 in vsa neoznačena vozlišča v seznamu označi s številom, ki je za ena večje od oznake vozlišča w. Vsako tako vozlišče dodaj na konec seznama L. V našem konkretnem primeru je S2 = {v1, v3, v4}. Vsi elementi seznama so neoznačeni, zato jih ozna- čimo z 1 (saj ima vozlišče s2 oznako 0) in jih do- damo v L. Po končanem izvajanju for zanke je L = {v1, v3, v4}, (v1) = (v3) = (v4) = 1. Ker L ni prazen, ponovno izvedemo while zanko. V tem primeru je w = v1, spomn mo oznaka voz- lišča v1 je 1. Pregledamo vsa eoznačena vozlišča v se a u S1; ker takih vozlišč ni (v2 je že označeno vozlišče), nadaljujemo na začetku while zanke. Ker L = {v3, v4} ni prazen, ponovimo postopek za 4 Fotografija kaže vejo, polno trnja. Veja je obr- njena proti fotografskemu objektivu. Da je bila za- slonka na fotoaparatu dovolj odprta, nam pove po- datek zaslonsko število (z = 6,3). Zaslonsko število je enako razmerju med goriščno razdaljo objektiva in premerom zaslonske odprtine. Na posnetku je oster samo ožji del veje, globinska ostrina posnetka je to- rej majhna, slika na robovih ni ostra. Slika 1 Globinska ostrina je pojem, s katerim opišemo ob- močje prostora, ki ga z lečo zadovoljivo ostro presli- kamo na zaslon (ali na tipalo digitalnega fotograf- skega aparata). Jasno je, da z idealno lečo ostro pre- slikamo ravnino, ki je za a stran od leče, če je go- riščna razdalja leče f in razdalja od leče do zaslona b. To zvezo opiše enačba leče 1a + 1 b = 1 f . Ven- dar pa zadovoljivo ostro preslikamo tudi točke, ki ležijo pred ali za to ravnino; koliko ostro, pa je odvi- sno od zaslonke. Bolj ko je zaslonka zastrta (manjša zenica in manjše zaslonsko število), večja je ta raz- dalja. Pravimo, da je globinska ostrina velika. Po- vejmo še, kaj mislimo, ko pravimo, da je slika zado- voljivo ostra. Preslikava je ostra, ko se točka preslika v točko. Če preslikava ni ostra, na sliki iz točke na- stane krogec. Z očmi ne ločimo krogcev od točke, če so le-ti dovolj majhni. To je povezano z uklonom svetlobe na zenici očesa. Mejni zorni kot je podan z Reyleighovim kriterijem: α0 = 0,61λ/R. Ločljivost očesa lahko ocenimo s polmerom zenice R = 1 mm in λ = 600 nm na α0 = 1′. Če torej opazujemo stan- dardno fotografijo formata 10 cm × 15 cm na nor- malni vidni razdalji a0 = 25 cm, bomo med seboj ločili točki, ki sta α0a0 = 0,07 mm narazen. Če to razdaljo pomanjšamo za toliko, kot je maloslikovni Leica format filma 24 mm × 36 mm manjši od fo- tografije (približno štirikrat), ugotovimo, da je slika še vedno videti ostra tudi, če je pika na filmu enaka krogu s premerom 0,02 mm. To običajno ustreza nekaj desetim slikovnim elementom na tipalu. Če s h označimo premer kroga, ki ga še vidimo kot piko, potem z nekaj računanja pridemo do izrazov za spo- dnjo in zgornjo mejo območja globinske ostrine, ki ga preslikamo navidezno ostro: a′ = af 2 f 2 + zh(a− f) ; a ′′ = af 2 f 2 − zh(a− f) . a′ je najmanjša, a′′ pa največja razdalja predmeta, ki se še preslika ostro. Vpliv premera zaslonske odpr- tine na ostrino slike prikazujeta žarkovna diagrama. Slika 2 in 3 2 Fotografija kaže vejo, polno trnja. Veja je obr- njena proti fotografskemu objektivu. Da je bila za- slonka na fotoaparatu dovolj odprta, nam pove po- datek zaslonsko število (z = 6,3). Zaslonsko število je enako razmerju med goriščno razdaljo objektiva in premerom zaslonske odprtine. Na posnetku je oster samo ožji del veje, globinska ostrina posnetka je to- rej majhna, slika na robovih ni ostra. Slika 1 Globinska ostrina je pojem, s katerim opišemo ob- močje prostora, ki ga z lečo zadovoljivo ostro presli- kamo na zaslon (ali na tipalo digitalnega fotograf- skega aparata). Jasno je, da z idealno lečo ostro pre- slikamo ravnino, ki je za a stran od leče, če je go- riščna razdalja leče f in razdalja od leče do zaslona b. To zvezo opiše enačba leče 1a + 1 b = 1 f . Ven- dar pa zadovoljivo ostro preslikamo tudi točke, ki ležijo pred ali za to ravnino; koliko ostro, pa je odvi- sno od zaslonke. Bolj ko je zaslonka zastrta (manjša zenica in manjše zaslonsko število), večja je ta raz- dalja. Pravimo, da je globinska ostrina velika. Po- vejmo še, kaj mislimo, ko pravimo, da je slika zado- voljivo ostra. Preslikava je ostra, ko se točka preslika v točko. Če preslikava ni ostra, na sliki iz točke na- stane krogec. Z očmi ne ločimo krogcev od točke, če so le-ti dovolj majhni. To je povezano z uklonom svetlobe na zenici očesa. Mejni zorni kot je podan z Reyleighovim kriterijem: α0 = 0,61λ/R. Ločljivost očesa lahko ocenimo s polmerom zenice R = 1 mm in λ = 600 nm na α0 = 1′. Če torej opazujemo stan- dardno fotografijo formata 10 cm × 15 cm na nor- malni vidni razdalji a0 = 25 cm, bomo med seboj ločili točki, ki sta α0a0 = 0,07 mm narazen. Če to razdaljo pomanjšamo za toliko, kot je maloslikovni Leica format filma 24 mm × 36 mm manjši od fo- tografije (približno štirikrat), ugotovimo, da je slika še vedno videti ostra tudi, če je pika na filmu enaka krogu s premerom 0,02 mm. To običajno ustreza nekaj desetim slikovnim elementom na tipalu. Če s h označimo premer kroga, ki ga še vidimo kot piko, potem z nekaj računanja pridemo do izrazov za spo- dnjo in zgornjo mejo območja globinske ostrine, ki ga preslikamo navidezno ostro: a′ = af 2 f 2 + zh(a− f) ; a ′′ = af 2 f 2 − zh(a− f) . a′ je najmanjša, a′′ pa največja razdalja predmeta, ki se še preslika ostro. Vpliv premera zaslonske odpr- tine na ostrino slike prikazujeta žarkovna diagrama. Slika 2 in 3 2 Fotografija kaže vejo, polno trnja. Veja je obr- njena proti fotografskemu objektivu. Da je bila za- slonka na fotoaparatu dovolj odprta, nam pove po- datek zaslonsko število (z = 6,3). Zaslonsko število je enako razmerju med goriščno razdaljo objektiva in premerom zaslonske odprtine. Na posnetku je oster samo ožji del veje, globinska ostrina posnetka je to- rej majhna, slika na robovih ni ostra. Slika 1 Globinska ostrina je pojem, s katerim opišemo ob- močje prostora, ki ga z lečo zadovoljivo ostro presli- kamo na zaslon (ali na tipalo digitalnega fotograf- skega aparata). Jasno je, da z idealno lečo ostro pre- slikamo ravnino, ki je za a stran od leče, če je go- riščna razdalja leče f in razdalja od leče do zaslona b. To zvezo opiše enačba leče 1a + 1 b = 1 f . Ven- dar pa zadovoljivo ostro preslikamo tudi točke, ki ležijo pred ali za to ravnino; koliko ostro, pa je odvi- sno od zaslonke. Bolj ko je zaslonka zastrta (manjša zenica in manjše zaslonsko število), večja je ta raz- dalja. Pravimo, da je globinska ostrina velika. Po- vejmo še, kaj mislimo, ko pravimo, da je slika zado- voljivo ostra. Preslikava je ostra, ko se točka preslika v točko. Če preslikava ni ostra, na sliki iz točke na- stane krogec. Z očmi ne ločimo krogcev od točke, če so le-ti dovolj majhni. To je povezano z uklonom svetlobe na zenici očesa. Mejni zorni kot je podan z Reyleighovim kriterijem: α0 = 0,61λ/R. Ločljivost očesa lahko ocenimo s polmerom zenice R = 1 mm in λ = 600 nm na α0 = 1′. Če torej opazujemo stan- dardno fotografijo formata 10 cm × 15 cm na nor- malni vidni razdalji a0 = 25 cm, bomo med seboj ločili točki, ki sta α0a0 = 0,07 mm narazen. Če to razdaljo pomanjšamo za toliko, kot je maloslikovni Leica format filma 24 mm × 36 mm manjši od fo- tografije (približno štirikrat), ugotovimo, da je slika še vedno videti ostra tudi, če je pika na filmu enaka krogu s premerom 0,02 mm. To običajno ustreza nekaj desetim slikovnim elementom na tipalu. Če s h označimo premer kroga, ki ga še vidimo kot piko, potem z nekaj računanja pridemo do izrazov za spo- dnjo in zgornjo mejo območja globinske ostrine, ki ga preslikamo navidezno ostro: a′ = af 2 f 2 + zh(a− f) ; a ′′ = af 2 f 2 − zh(a− f) . a′ je najmanjša, a′′ pa največja razdalja predmeta, ki se še preslika ostro. Vpliv premera zaslonske odpr- tine na ostrino slike prikazujeta žarkovna diagrama. Slika 2 in 3 2 Fotografija kaže vejo, polno trnja. Veja je obr- njena proti fotografskemu objektivu. Da je bila za- slonka na fotoaparatu dovolj odprta, nam pove po- datek zaslonsko število (z = 6,3). Zaslonsko število je enako razmerju med goriščno razdaljo objektiva in premerom zaslonske o prtine. Na pos etku je oster s mo ožji del veje, globinska ostrina posnetka je to- rej majhna, slika na robovih ni ostra. Slika 1 Globinska ostrina je pojem, s katerim opišemo ob- močje prostora, ki ga z lečo zadovoljivo ostro presli- kamo na zaslon (ali na tipalo digitalnega fotograf- skega aparata). Jasno je, da z ide lno lečo ostro pre slikamo ravnino, ki je za a stran od leče, če je go riščna r zd lja leče f in razdalja od leče do zaslona b. To zvezo opiše enačb leč 1a + 1 b = 1 f . Ven dar pa zadovoljivo ostro preslikamo tudi točke, ki ležijo pred li za to rav ino; kolik ostro, pa je odvi- sno od aslonke. Bolj ko je zaslonka zastrta (manjša zenic in manjše zaslonsko število), večja je ta raz- dalja. Pravimo, da je globinska strina velika. Po vejmo še, kaj mislimo, ko pr vimo, da je slika zado- volj vo ostra. Pr slikava je stra, k se točka preslika v točko. Če preslikava ni ostra, na sl ki iz točke na stane krogec. Z očmi ne ločimo krogc v od točke, če so le-ti dovolj majhni. T je povezano z uklonom svetlobe na zenici očesa. Mejni zorni kot je podan z Reyleighovim kriter jem: α0 = 0,61λ/R. Ločljivost očesa lahko ocenimo s polmerom zenice R = 1 m in λ = 600 nm a α0 = 1′. Č torej opazujemo stan- dardno fotografijo formata 10 cm × 15 cm na n r- malni vidni razdalji a0 = 25 c , bomo med seboj ločili točki, ki st 0a0 = 0,07 mm n raz n. Če to raz aljo pomanjšamo za toliko, kot je maloslikovni Leica format filma 24 mm × 36 mm manjši od f - t grafije (približno štirikrat) ugotovimo, da je slika še vedno videti ostra tudi, če je pika na filmu enaka krogu s premerom 0,02 m. To običaj o ustreza nekaj d setim slikovnim elementom na tip lu. Če s h označimo preme kroga, ki ga še vidimo kot piko, potem z nekaj računanja pridemo d izraz v za spo- dnjo in zgornjo mejo območja globinske ostrine, ki ga preslikamo navidezno stro: a′ = f 2 f 2 + zh(a− f) ; a ′′ = af 2 f 2 − zh(a− f) . a′ je najmanjša, ′′ pa največja razdalja predmeta, ki se še preslika ostro. Vpliv premera zaslonske odpr- tine na ostrino slike prikazujeta žarkovna diagrama. Slika 2 in 3 2 Globinska ostrina r a z v e d r i l o 31 n a r a v o s l o v n a f o t o g r a f ij a • aleš mohorič Presek 39 (2011/2012) 6 Fotografija kaže vejo, polno trnja. Veja je obr- njena proti fotografskemu objektivu. Da je bila za- slonka a fotoapar tu d volj odprta, nam pove po datek zaslonsko število (z = 6,3). Zaslonsko število je enako r zmerju med goriščn razd ljo objektiva in pr merom z slon ke odprtine. N p snetku je ost r amo ožji del veje, globinska ostrina posnetka je t ej m jhna, slika na robovih ni ostra. Slika 1 Globinska ostrina je p jem, s kate im opišemo ob- močje prostora, ki ga z lečo zadovoljivo o tro presli- kamo na z slon (ali n tipalo digitalnega fotograf- skega aparata). Jasno je, da z idealno lečo ostro pre- likamo ravnino, ki je za a stran od leče, če je go- riščna raz alja leče f in razdalja od leče do zaslona b. To zvezo opiše enačba leče 1a + 1 b = 1 f . Ven- dar pa zadovoljivo ostro preslikamo tudi točke, ki ležijo pred ali za to ravnino; koliko ostro, pa je odvi- s o od zaslonke. Bolj ko je zaslonka z strta (manjša zenica in manjše zaslonsko število), večja je t raz dalja. Pravimo, da je globinska ostrina velika. P - vejmo še, kaj mislimo, ko pravimo, da je slika zado- voljivo stra. Preslikava je stra se točka preslika v točko. Če preslikava ni ostra, na sliki iz točke na stane krogec. Z čm ne ločim krogcev od točke, č so le-ti dovolj majhni. To je povezano z uklo om svetlobe na zenici očesa. Mejni zorn kot je podan z Reyleighovim kriterijem: α0 = 0,61λ/R. Ločljivost očesa lahk oc nimo s polmerom zenice R = 1 mm in λ = 600 nm na α0 = 1′. Če torej pazujemo stan ardno fotografijo formata 10 cm × 15 cm na nor- maln vidni r z alji a0 = 25 cm, bomo med seboj ločili točki, ki sta α0a0 = 0,07 mm narazen. Če to razdaljo pomanjšamo za toliko, kot je maloslikovni Leica format filma 24 mm × 36 mm manjši od fo- tografije (približno štirikrat), ugotovimo, da je slika še vedno videti ostra tudi, če je pika na filmu enaka krogu s premerom 0,02 mm. To običajno ustreza nekaj desetim slikovnim elementom na tipalu. Če s h označimo premer kroga, ki ga še vidimo kot piko, potem z nekaj računanja prid mo do izrazov za spo- dnjo in zgornjo mejo območja globinske ostrine, ki ga preslikamo navidezno ostro: a′ = af 2 f 2 + zh(a− f) ; a ′′ = af 2 f 2 − zh(a− f) . a′ je najmanjša, a′′ pa največja razdalja predmeta, ki se še preslika ostro. Vpliv premera zaslonske odpr- tine na ostrino slike prikazujeta žarkovna diagrama. Slika 2 in 3 2 n a o r o o t r j e ej , l tr j . ej je r- je r ti f t r fs e je ti . je il - sl f t r t lj rt , e - te sl s šte il ( , ). sl s šte il je e r erj e rišc r lj je ti i r er sl s e rti e. s et je st r s ji el eje, l i s stri s et je t - rej j , sli r i i str . li l i s stri je je , s teri iše - cje r st r , i lec lji str resli- asl ( li a ti l i it l e f t r f- s e r t ). J s je, i e l lec str re- sli r i , i je str lece, ce je - rišc r d lj lece i r lj lece sl . e iše e c lece 1a 1 b 1 f . e - r lji str resli t i t e, i le ij re li t r i ; li str , je i- s sl e. lj je sl strt ( jš e ic i jše sl s šte il ), ecj je t r - lj . r i , je l i s stri eli . - ej še, j isli , r i , je sli - lji str . resli je str , se t c resli t c . e resli i str , sli i i t c e - st e r ec. c i e l ci r ce t c e, c s le-ti lj j i. je e l s etl e e ici ces . ej i r i t je e lei i riterije : 0 , / . clji st ces l c i s l er e ice i 0 ′. e t rej je st - r f t r j f r t c c r- l i i i r lji 0 c , e se j l cili t c i, i st 0 0 , r e . e t r lj jš t li , t je l sli i eic f r t l jši f - t r je ( ri li štiri r t), t i , je sli še e i eti str t i, ce je i l e r s re er , . ic j stre e j eseti sli i el e t ti l . e s ci re er r , i še i i t i , te e j r c j ri i r s - j i r j ej cj l i s e stri e, i resli i e str : ′ 2 2 ( ) ; ′′ 2 2 ( ) . ′ je j jš , ′′ j ecj r lj re et , i se še resli str . li re er sl s e r- ti e stri sli e ri jet r i r . li i preslikava z majhnim zaslonskim številom in globinsko ostrino preslikava z majhnim zaslonskim številom in globinsko ostrino predmet v predmetni ravnini predmet v predmetni ravnini predmet B izven predmetne ravnine predmet B izven predmetne ravnine leča leča zaslon zaslonzaslonka F F F F točka z vrha predmeta B se preslika v velik krog točka z vrha predmeta B se preslika v majhen krog 6 ISSN 0351-6652M A TE M A TI K A +F IZ IK A +A ST R O N O M IJ A +R A ČU N A LN IŠ TV O # presek letnik 39 ( 2 0 1 1 / 2 0 1 2 ) š t e v il k a 6